Introdução ao Eletromagnetismo Aula 04 Germano Maioli Penello 24/10/2012 Site do curso...

Introdução ao Eletromagnetismo

Aula 04

Germano Maioli Penello

24/10/2012

Site do cursowww.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-2.html

[email protected]

http://www.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-2.html

Revisão: Campo elétrico

Pelo princípio da superposição, obtivemos:

ij

ij2ij

j

0ii r

r

q

4

1qF

ou r

r

dqqi ˆ

4

1F

20

i

EE

Eqi

iFE


ij

ij2ij

j

0

rr

q

4

1E

ou r

r

dqE ˆ

4

12

0

Unidade de : N / CE

Cargas pontuais Distribuição de cargas

O campo elétrico é um campo vetorial parecido com um campo de velocidades em hidrodinâmica.

Enquanto que em hidrodinâmica é necessário que haja um meio material, não é necessário a presença de um meio para a existência do campo elétrico!

http://twistedphysics.typepad.com/cocktail_party_physics/aerodynamics/


http://twistedphysics.typepad.com/cocktail_party_physics/aerodynamics/

Devido à presença de uma carga puntiforme, qual o campo elétrico no ponto p

qa qb

rr4

qqF 2

ab0

baba

r

abr

rr4

qE 2

ab0

a

p


Devido à presença de uma carga puntiforme de carga negativa -q, qual o campo elétrico no ponto p

-qa

p

r

rr4

qE

20

Substituindo q por -qa

rr4

q-E

20

a

Faz sentido?


Calculando diretamente o campo:

r Ed

r

z

rr

dqEd ˆ

4

12

0


Trajetória de um elétron dentro de uma TV de tubo de raios catódicos

e-


ExperiênciaComo explicar a seguinte experiência?

http://www.youtube.com/watch?v=g9GU3XpiepM

Linhas de campo elétrico

Dipolo elétrico

http://www.falstad.com/emstatic/

Par de cargas puntiformes de mesmo módulo, porém de sinais contrários


Dipolo elétrico

Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um dipolo

-q

+qd

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

x

SEMPRE DEFINIR EIXOS!! p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

x

Como calcular o campo elétrico no ponto p?p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

x

rr

dqE ˆ

4

12

0

p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

x

E

p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

x

z)

2d

-(z4

qE

20

E

p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

z)

2d

-(z4

qE

20

EE

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

z)

2d

-(z4

qE

20

z)

2d

(z4

q-E

20

EE

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EEE

EE

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EEE

EE

z)

2d

(z4

q-

)2d

-(z4

qE

20

20

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EEE

EE

z)

2d

(z

1

)2d

-(z

1

4

qE

z)

2d

(z4

q-

)2d

-(z4

qE

220

20

20

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

z

)2d

(z

1

)2d

-(z

1

4

qE

220

z)

2zd

(1

1

)2zd

-(1

1

z4

qE

222

0

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

z)

2zd

(1

1

)2zd

-(1

1

z4

qE

222

0

Caso em que d<<2z.

Dipolo elétrico muito pequeno se comparado com a distância.

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

z)

2zd

(1

1

)2zd

-(1

1

z4

qE

222

0

Caso em que d<<2z.

Primeira aproximação:

1)2z

d(1

01

2z

d

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

0z)(1

1

)(1

1

z4

qE

2220

Caso em que d<<2z.

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

0z)(1

1

)(1

1

z4

qE

2220

Caso em que d<<2z.

Faz sentido?

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

0z)(1

1

)(1

1

z4

qE

2220

Caso em que d<<2z.

Faz sentido?Sim! O campo gerado pela carga +q é praticamente igual ao da carga –q.Mas podemos melhorar este resultado!

Série de Taylor

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Série de Taylor

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

)()( bf n n-ésima derivada da função aplicada no ponto b

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Expandindo em torno do ponto b=0:

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

1)0(1

1)0(

2)0(

f


Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

1)0(1

1)0(

2)0(

f


1)0(1

1)0(

2)0(

f

03

)1(

)x(1

(-2)(-1))0(

x

f

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

...)0(!1

)1()1)(2()0(

!0

1)( 1

0

30

xx

xxfx

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

...)0(!1

)1()1)(2()0(

!0

1)( 1

0

30

xx

xxfx

...21)( xxf

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

...)0(!1

)1()1)(2()0(

!0

1)( 1

0

30

xx

xxfx

...21)( xxf

1º termo da expansão 2º termo da expansão

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

...)0(!1

)1()1)(2()0(

!0

1)( 1

0

30

xx

xxfx

...21)( xxf

1º termo da expansão 2º termo da expansão

xxf 21)(

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Série de Taylor

Exemplo:

2)x(1

1)(

xf

xxf 21)(

Aproximação de segunda ordem. Desprezaremos termos de ordens superiores.

!

)()()(

)(

0 n

bfaondebxaxf

n

nn

nn

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

z)

2zd

(1

1

)2zd

-(1

1

z4

qE

222

0

Caso em que d<<2z.

2z

d21

2zd

1

12

Fazendo x=d/2z, obtemos:

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

zz

d-1

z

d1

z4

qE

20

Caso em que d<<2z.

Note que a primeira aproximação dá realmente zero!

Ficamos apenas com o segundo termo da expansão.

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

zz

2d

z4

qE

20

Caso em que d<<2z.

zz4

2qdE

30

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

Caso em que d<<2z.

zz4

2qdE

30

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

Caso em que d<<2z.

zz4

2qdE

30

Nova grandeza: Momento de dipolo elétrico

dq

p

p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

Caso em que d<<2z.

zz4

2qdE

30

Nova grandeza: Momento de dipolo elétrico

dq

pO sentido do momento de dipolo é definido como saindo da carga negativa para a carga positiva! (Não confundir com o sentido do campo elétrico!)

p

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

Caso em que d<<2z.

zz4

2qdE

30

Reescrevendo em função do momento de dipolo

p

30z2

pE

Dipolo elétrico


-q

z

+qd

EE

Caso em que d<<2z.

p

30z2

pE

Campo com dependência de 1/r3!

Relembrando para cargas puntiformes; Campo com dependência de 1/r2

. Qual será a dependência do campo elétrico de um quadrupolo?

Dipolo elétrico


p

O sentido do momento de dipolo é definido como saindo da carga negativa para a carga positiva! (Não confundir com o sentido do campo elétrico!)

dq

p


Força sobre um dipolo elétrico

p

Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme


p


Analisando a força individualmente nas cargas

Onde está a carga positiva? E a negativa?


p



+q

-q


p



+q

-qx

y

z

DEFININDO EIXOS!


p



+q

-q

EqF

x

y

z


p



+q

-q

EqF

F

x

y

z


p



+q

-q

FFF

F

Fx

y

z


p



+q

-q

xqExqE

FFF

ˆ)(ˆ

F

Fx

y

z


p



+q

-q

F

F

A força resultante sobre um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme é zero!

0

ˆ)(ˆ

xqExqE

FFF

x

y

z

Torque sobre um dipolo elétrico

p


+q

-q

F

Fx

y

z


p


+q

-q

F

F

Fr

x

y

z


p


+q

-q

FrFr

F

F

Fr

x

y

z


p


+q

-q

FrFr

F

F

Fr

x

y

z

zFsend

zFsend

ˆ))(2

(ˆ))(2

(


p


+q

-q

FrFr

F

F

Fr

x

y

z

zdFsen ˆ)(

zFsend

zFsend

ˆ))(2

(ˆ))(2

(


p


+q

-q

F

F

Fr

x

y

z

zdFsen ˆ)(


p


+q

-q

F

F

Fr

x

y

z

zdFsen ˆ)(

zdqEsen ˆ)(


p


+q

-q

F

F

Fr

x

y

z

zdFsen ˆ)(

zpEsen ˆ)(


p


+q

-q

F

F

Fr

x

y

z

zdFsen ˆ)(

zpEsen ˆ)(

Ep

Resumo

p

Um dipolo elétrico inserido em uma região com um campo elétrico uniforme não sofre força (se o dipolo estiver inicialmente em repouso, ele continuará em repouso)Mas ele sofrerá um torque (rotação sobre o eixo do dipolo)

Em resumo

p

Um dipolo elétrico inserido em uma região com um campo elétrico uniforme não sofre força (se o dipolo estiver inicialmente em repouso, ele continuará em repouso)Mas ele sofrerá um torque (rotação sobre o eixo do dipolo)

ExperiênciaAcabamos de demonstrar que a força exercida em um dipolo elétrico inserido em um campo elétrico uniforme é nula. O dipolo apenas sofrerá um torque sob a ação de tal campo elétrico.Como explicar a seguinte experiência?


Experiência


De acordo com o que vimos, a água (uma molécula polar) não deveria ser defletida! Onde está o detalhe que pode explicar esta experiência? Qual hipótese que fizemos não está sendo respeitada?

Experiência De acordo com o que vimos, a água (uma molécula polar)

não deveria ser defletida! Onde está o detalhe que pode explicar esta experiência? Qual hipótese que fizemos não está sendo respeitada? Não estamos utilizando um campo elétrico uniforme!!


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