Introdução aos Conceitos Básicos da MFEP

7/22/2019 Introduo aos Conceitos Bsicos da MFEP

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Introduo aos Conceitos Bsicos da Mecnica da Fratura Elasto-Plstica

Estela Mari Ricetti Bueno

Tlio Nogueira Bittencourt

Laboratrio de Mecnica Computacional - LMC

Departamento de Estruturas e Fundaes da Escola Politcnica da

Universidade de So Paulo

Resumo

O objetivo deste trabalho apresentar de forma compacta e simplificada os conceitos fundamentais e modelosbsicos da mecnica da fratura elasto-plstica. Ao ocorrer o fraturamento de um corpo, para alguns tipos de

materiais, sempre h uma regio plastificada na ponta da fissura. Apesar disso, muitas vezes a existncia dessaplastificao pode ser negligenciada, sem prejudicar a simulao do comportamento da fissura, quando esta temdimenso pequena em relao regio K-dominante. Nesses casos, possvel aplicar a mecnica da fraturaelstica linear (MFEL). Nos casos em que estas condies no se verificam, preciso considerar a plastificao,aplicando-se ento os conceitos da mecnica da fratura elasto-plstica. Geralmente materiais com alta tenacidadee baixa resistncia sofrem grandes deformaes plsticas e necessitam da aplicao da mecnica da fraturaelasto-plstica para simulao de seu fraturamento. No fraturamento elasto-plstico ocorre dissipao de energiapor meio da deformao plstica e da propagao da fissura. A avaliao do fluxo de energia envolvido noprocesso pode ser dado pela Integral J. Ser abordado o conceito de regio J-dominante, onde o crescimento dafissura e a estabilidade so controlados pelo valor da integral J. Ser tambm apresentado o modelo de Dugdale,que prope uma simplificao para chapas metlicas finas bastante eficiente para a representao do fenmeno.A representao de fissuras elasto-plsticas exige o desenvolvimento de tcnicas de soluo no-lineares gerais,embora neste trabalho sejam abordadas somente solues no-lineares restritas a pequenas deformaes. Para

simular de maneira satisfatria o processo de fraturamento elasto-plstico preciso enfocar o comportamento domaterial a nvel microscpico, sendo este vlido tambm com grandes deformaes. Para materiais dcteis ocomportamento microscpico do material simplificadamente explicado atravs da mecnica do dano pelosmodelos de nucleao e crescimento de vazios de Gurson[29, 36] e de Tvergaard[34].

1. Introduo

No desenvolvimento do estudo da mecnica da fratura, Wells[7] observou que osvalores obtidos para tenacidade, KIC, para aos estruturais eram muito elevados, ou seja,tratavam-se de materiais com tenacidade extremamente elevada, que atingiam tenses muitomaiores do que a de escoamento. Por conseguinte, tornava-se invivel a representao do

fenmeno do fraturamento atravs da Mecnica da Fratura Elstica Linear (MFEL).Claramente, estes materiais desenvolviam o fraturamento em regime plstico. Devido grande necessidade de utilizao destes materiais na indstria, houve incentivo para que se

pesquisasse o fenmeno do fraturamento elasto-plstico, e conseqentemente, mtodos declculo que permitissem o projeto de estruturas sob esta condio de servio.

A mecnica da fratura elasto-plstica representa o comportamento de fissuras emmateriais com comportamento no-linear e independente do tempo. H dois parmetros queso mais utilizados para representao da elasto-plasticidade no fraturamento : aIntegral Je aabertura de ponta de fissura (CTOD- Crack Tip Opening Displacement). Seus valorescrticos so quase independentes da tenacidade ao fraturamento, para grandes deformaes

plsticas. A integral J e a CTOD podem ser utilizados como critrios para dimensionamento

no regime elasto-plstico. Embora possuam limitaes, esses parmetros so maisabrangentes que a MFEL.


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2. Abertura de Ponta de Fissura (CTOD) -

Atravs de ensaios de fraturamento para obteno de KIC, Wells[7] percebeu que asfaces da fissura se afastavam. As deformaes plsticas provocavam um arredondamento da

ponta aguda da fissura (fig. 1) e o crescimento da fissura aumentava proporcionalmente tenacidade do material, quando a zona de plastificao no era muito grande. Essa separaoentre as faces da fissura devida ao arredondamento chamada de abertura de ponta de fissura(CTOD- Crack Tip Opening Displacement). Wells[7] relacionou o valor de KIao de com escoamento em pequena escala. Baseado nisto, Irwin[8] props uma extenso de fissurafictcia (fig. 2), para ajustar MFEL em casos de pequena zona de plastificao na ponta dafissura. O comprimento fictcio seria dado por a+ry, sendo ao comprimento da fissura e ryoraio da regio em plastificao para estado plano de tenso, conforme abaixo:

uy= (+1)/2* KI * (ry/2) (1)

Figura 1 - Abertura de ponta de fissura (CTOD - Crack Tip Opening Displacement). Um incio dearredondamento da ponta da fissura com deformao plstica, resultante do deslocamento na ponta da fissura.[1]

Figura 2 - Estimativa da abertura de ponta de fissura (CTOD- Crack Tip Opening Displacement) a partir dafissura efetiva na zona de plastificao de Irwin. [1]

ry= (KI/ ys)2/(2) (2)

substituindo (1) em (2) :

= 2uy= * (KI)2/(E ys) (3)

onde : = (4/ )= 1 (experimentalmente)

Dentro da limitao de uma pequena zona da plastificao possvel relacionarCTOD a G ( taxa de liberao de energia) e KI. A medida de CTOD continua vlida, mesmoquando a MFEL no pode mais ser aplicada.

Wells[7] props uma relao para que vlida para a zona de plastificao de

tamanho significativo que depende da tenso aplicada na chapa () e que considera que naponta da fissura ocorre a tenso de escoamento (ys). O tamanho da regio entre a abertura e a


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ponta de fissura que de fato ainda resiste sob tenso de escoamento baseado na tensonecessria para fechar a fissura de abertura (fig 3) de uma chapa infinita[9] com estado

plano de tenso e sem encruamento do material.

= [8 ysa / (E) ] * ln sec [s / (2ys)]

= [8 ysa / (E) ] * { [/ (2ys)2]/2 + [/ (2ys)

4]/12 +...}

= [(KI)2/ (2ysE) ] * { 1 + [ / (2ys)

2]/6 +...} (4)

Figura 3 - Estimativa da CTOD a partir do modelo do prolongamento plastificado. [1]

Desta forma a relao entre CTOD , KIe G :

= [(KI)2/ (m sysE) ] = [G / (m sysE) ] (5)

onde: m um parmetro adimensional que assume o valor aproximadamente 1para estado plano de tenso e 2 para estado plano de deformao.

H diversas maneiras de se medir a CTOD, as duas mais comuns esto indicadasabaixo (fig. 4):

Figura 4(a) - Deslocamento da ponta de fissuraoriginal

Figura 4(b) - Deslocamento na interseo a um ngulode 900com as faces da fissura

Em laboratrio, a maneira mais comum de se medir CTOD atravs do ensaio docorpo de prova com fissura de extremidade sujeito a carga aplicada em 3 pontos (fig. 5),

three-point bend specimens.


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Figura 5 -Ensaio three-point bend specimens.para estimar CTOD [1]

Onde : r = fator de rotao adimensional, que varia de 0 a 1V = abertura do entalhe (valor medido no ensaio).

Este valor V aproximadamente o que se define por Vp abertura da boca da fissura(MOD - Mouth Openingning Displacement). Na verdade a CTOD medida composta porduas partes, uma devida contribuio da deformao elstica (e), e a outra devida deformao plstica (p)

= e+ p= [(KI)2/ (ysE) ] + [rp(W-a)Vp] / [rp(W-a) + a]

(6)

Onde : rp= fator de rotao plstica (aproximadamente 0,44)

Na figura abaixo possvel visualizar a relao entre P(carga) e MOD do ensaiodescrito, obtendo o valor de Vp.

Figura 6 - Abertura da Boca da Fissura (MOD - Mouth Opening Displacement) [1]

3. Integral J

A integral J um parmetro de fraturamento que quantifica o fluxo de energia atravsde um contorno fechado em torno da ponta da fissura. Este parmetro foi desenvolvido paramateriais elsticos no-lineares.

A teoria da deformao na plasticidade relaciona as deformaes totais com astenses, sendo equivalente anlise no-linear elstica, desde que no ocorra

descarregamento (fig. 7).


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Figura 7 - Comparao do comportamento tenso-deformao de materiais elasto-plsticos e elsticos no-lineares [1]

Rice[10] utilizou esta semelhana e simulou, com xito, o comportamento demateriais elasto-plsticos sob fraturamento como se fossem materiais no-lineares elsticos,ultrapassando o campo de validade da MFEL.

A utilizao de uma integral J independente de trajetria para anlises de

fraturamento, proposta por Rice[4], prova que o valor desta integral a taxa de energia dedissipao calculada para um corpo de material no-linear com uma fissura e comportamentoelstico. Aplicando a analogia do comportamento inelstico ao no-linear, tem-se taxa deenergia de dissipao para a mecnica da fratura elasto-plstica.

J = - (d)/dA (7)

onde : A = rea da fissura= energia potencial

= U - F (8)onde : U = energia de deformao armazenada

F = trabalho realizado pelas foras externas

Deduzindo o valor de J para o caso ilustrado a seguir (fig. 8, 9 e 10):

Figura 8 - Taxa de energia de dissipao no-linear [4]

= U - F = U - P = - U* (9)

onde : U* = energia complementar de deformao


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Quando o carregamento controlado: J = (dU*/da)P (10)

Se a fissura cresce para P = 0, ento:

(11)

ou

(12)

Figura 9 - Esquema para onteno de Ja partir de valores de cargadeslocamentos conhrcidos [4]

Figura 10 - Representaes Equivalentes para J[4]

preciso tomar precaues quanto interpretao de J, pois para materiais elsticos,esta energia totalmente dissipada no crescimento da fissura. No caso elasto-plstico grande

parte desta energia dissipada depositada da formao de deformaes permanentes, restandomenos energia para propagar a fissura.

Para MFEL, quando a regio de plastificao muito pequena, no modo I :

J = (KI)2/ E (13)

E = E estado plano de tensoE = E/(1 - 2) estado plano de deformao


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O parmetro J funo da carga aplicada, comprimento da fissura e geometria do

corpo para cargas monotnicas, e pode ser utilizado em situaes de deformao plstica.

3.1. Determinao da Integral J independente da Trajetria

Considerando um contorno fechado () ao redor da fissura, como o indicado na figura11, a integral J, integral independente do contorno :

(14)onde : w = densidade de energia de deformao

Ti = componentes do vetor de traoui = deslocamento na direo ids = incremento de comprimento ao longo do contorno Ti= ij njni = normal ao contorno ij = componente do tensor de tensesw = 0ijijdij

Figura 11 - Contorno considerado no clculo da integral J, atravs do qual avaliado o fluxo de energiacom incremento de comprimento ds . [1]

Todo material tem uma valor de Integral J crtico (Jc) para o qual a fissura sepropaga. Sua utilizao constitui um critrio de fraturamento com a condio J = Jc (estecritrio ser detalhado no item 6 deste trabalho),desde que se esteja trabalhando dentro daregio J-Dominante(fig. 12).

Figura 12 -Regies de comportamento na ponta da fissura [4]3.2. Integral J, Tenso e Deformao

A pesquisa sobre a integral J para caracterizar a fratura elasto-plstica como umprocesso equivalente em um material no-linear elstico foi feita independentemente por Rice


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e Rosengren [11] e por Hutchinson[12]. Para relacionar tenses e deformaes plsticas,foram utilizadas leis de potencial, que para o caso uniaxial de deformao dado pela lei deRamberg-Osgood[1] (eq. 15).

/0= /0+ (/0)n

(15)

onde: 0 a tenso de referncia, usualmente igual a ys0= 0/E uma constante adimensional do materialn o expoente da deformao de encruamento

As equaes (16) e (17) so chamadas de singularidades HRR(Hutchinson, Rice eRosengren) e foram desenvolvidas a partir da equao (15), fazendo as simplificaes

possveis devidas restrio de pequenas deformaes que permite considerar que adeformao total composta por uma parcela elstica e outra plstica separadamente. Essas

equaes so vlidas quando a regio J dominante, ou seja, a regio de grandes deformaesainda bastante pequena ( D >> R).

~ij = 0[(EJ)/( 0

2Inr)][n/(n+1)]ij(n,) (16)

~ij = (0/E)*[(EJ)/( 0

2Inr)]

[n/(n+1)]ij(n,) (17)

~ ~onde: ij ,In e ij so constantes adimensionais que dependem de n e

uma constante adimensional do materialn o expoente da deformao de encruamento

variao angular.

A integral J descreve completamente as condies na zona de plastificao e define otamanho da zona de singularidade HRR. Quando ocorre plastificao em pequena escala hduas regies singulares dominantes: uma elstica onde a tenso proporcional a r1/2 e aoutra plstica onde a tenso proporcional a r1/(n+1).

3.3. Obteno experimental de JO valor de J pode ser obtido experimentalmente, atravs da energia de

deformao(fig.13).Para calcular J preciso encontrar as relaes entre carga, deslocamento e geometria

do corpo. Obedecendo a lei de tenso-deformao de Ramberg-Osgood[6] eq.(18) econsiderando o material isotrpico, pode-se calcular o deslocamento eq.(19) em relao acarga e a geometria do corpo.

= /E + *(R/E) *( /R)m

(18)

onde : , m so constantes do materialR um valor de tenso de referncia


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Figura 13 -Esquema dos primeiros ensaios experimentais para obteno experimental de J.[1]

= b ( P/0b; a/b ; 0/E; ; ;n) (19)

Sendo o deslocamento devido abertura da fissura, o funcional adimensional epode ser simplificado separando as deformaes elsticas das deformaes plsticas. Parauma chapa com duas fissuras laterais, tem-se como resultado desta simplificao:

(20)E = E estado plano de tensoE = E/(1 - 2) estado plano de deformao

Experimentalmente, determina-se o valor de Jcrtico (caracterstica do material), assim

como KIC. O ensaio para obteno de JIc normalizado pela ASTM, e tem como cdigo dereferncia ASTM E399. muito utilizado para materiais dcteis.

3.4. Integral de Domnio Equivalente (EDI -Equivalent Domain Integral) [2]

A Integral de Domnio Equivalente(EDI - Equivalent Domain Integral) [19] temgrande utilidade quando h necessidade de limitar o tamanho do contorno, por exemplo emimplementaes computacionais como elementos finitos. O contorno passa a ser definidocomo na figura 14 [2]. possvel avaliar o valor de J alm do contorno em termos docontorno fechado , quando 0 e s

assumem valor zero:

= 0 + s+- + s- (21)


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Figura 14 - Contorno considerado no clculo da EDI [2]

Cria-se ento uma funo totalmente arbitrria de variao q(x,y) dentro do domnio,assumindo o valor unitrio na ponta da fissura e ao longo de 0 e s. A definio de J-Integral passa a ser escrita como:

(22)Onde : ui = deslocamento na direo i

ni = normal ao contorno ij = componente do tensor de tensesij= delta Kronikerw = 0ijijdijk = assume os valores 1 e 2, embora originalmente a integral J seja somente igual a 1.

Utilizando o teorema da divergncia de Gauss, tem-se:

(23)

As equaes (22) e (23) foram propostas por deLorenzi (1981) [20] e depoisreformuladas por Li (1985) [21] . Para materiais homogneos, isotrpicos, elsticos-lineraresao redor da ponta da fissura, possvel obter os valores da integral J para os modos I e II (J1e J2)[22] em relao aos valores dos coeficientes de intensidade de carga referentes a cadamodo, por unidade de espessura :

J1= (k +1)(KI2 + KII

2)/(8G) (24)

J2= -2 KIKII(k +1) /(8G) (25)

A equao de J2 fornecida em (25) no independente do caminho, apesar disto, oclculo de J ainda vlido. Este mtodo foi aprimorado inicialmente separando-se as partessimtricas e anti-simtricas como sugerido por Bui(1983) [23] e posteriormente houve ascontribuies de Eischen(1987)[24] e Kienze e Kordisch(1990)[25], fornecendo bonsresultados da integral J para modos mistos.

A EDI tem larga aplicao em programas de elementos finitos como no programaFRANC2D (Fracture Analysis Code[26], desenvolvido em Cornell University), no qual suaimplementao permite o clculo do campo de tenses e deformaes para modos mistos e

pode tambm pode ser aplicado para alguns materiais no-lineares[2].


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3.5. J de deformao (JD)

Este mtodo avalia a energia que no foi absorvida pelas deformaes plsticasestimando o valor de J como sendo a energia de deformao total armazenada para umdeslocamento , que provoca um incremento de fissura a, mas o comprimento inicial da

fissura de clculo igual ao comprimento final da fissura real (a1 = a0 + a). Ou seja, aenergia de dissipao armazenada considerada calculada para o corpo deformado (fig. 19).

UD = P da (26)

0 a = a1

J D = - 1 . UD (27)2 a

Figura 15- Energia de deformao para material elstico-no linear. [1]

4. Zona de Grandes Deformaes

Na zona HRR de singularidade o valor de tenso singular em r = 0. Quando h grande

plastificao, devido ao arredondamento da ponta de fissura, a tenso xx diferente de zeroe varia nesta face livre e arredondada da fissura.

McMeeking e Parks[13] incorporaram o conceito de grandes deformaes a esta teoriae obtiveram a distribuio de tenso yyem funo de 0e J, conseguindo representar a quedade resistncia em relao a aproximidade da ponta da fissura (r 0) depois de passar por umvalor de mximo. Esta regio de mxima tenso yy fica a uma distncia aproximada de raior0/J (CTOD) da ponta da fissura (fig.16).

Figura 16-Relao entre na ponta da fissura com singularidade de HHR e amolecimento da ponta e o.[4]

5. Relao entre CTOD e J Integral


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Para condies elsticas (MFEL), J = G ( Taxa de liberao de energia potencial total)

ento :

J = m ys (28)

onde : m uma constante adimensional relacionada ao material e ao confinamento.Considerando a situao de fraturamento elasto-plstico (fig. 17) , onde >> e o

contorno da integral J:

(29)para = 2 uye yy= ys, ou seja no ponto em que se mede CTOD :

J = ys (30)

Figura 17 - Contorno ao longo da faixa sob tenso de escoamento na ponta da fissura [1]

Sih[14] desenvolveu outra relao entre J e CTOD baseando-se nos deslocamentospropostos pela soluo HRR(fig. 18) , de acordo com qual:

(31)

Figura 18-Desenho esquemtico da relao entre CTOD e deslocamentos uxe uy [1]

/2 = uy(r* , ) = r* - ux(r* , ) (32)

~ ~r* = (0/E)(1/n)[ uy(r* , ) + ux(r* , )]

[(n+1)/n][J/0In] (33)

ento: = (dn J) /0 (34)

com: dn= [0/(E In)](1/n)[ uy(r* , ) + ux(r* , )](1/n) (35)


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Os valores da constante adimensional dn so encontrados em bacos[1] para estadoplano de tenso e de deformao. Esta relao de CTOD e J baseada em HRR no tem grandepreciso quando r < 2, devido a ocorrncia de grandes deformaes plsticas nesta regio.

6. Resistncia ao Fraturamento baseada em J Integral

6.1. Curvas de Resistncia

comum materiais com alta tenacidade ao fraturamento apresentarem curvas deresistncia crescentes, nos quais os valores de J e CTOD aumentam com o crescimento dafissura. A curva R nos metais dcteis crescente devido aos mecanismos de fraturamentomicroscpico (apndice 1).

A figura a seguir (fig.19) mostra uma curva tpica de valores de J resistente para otamanho da fissura. Enquanto J < Jc a ponta da fissura vai sofrendo aumento atravs doarredondamento da ponta (energia sendo dissipada em deformao plstica), o valor de Jaumenta porque est havendo fluxo de energia travs do contorno, at que ao atingir um valor

prximo de Jcsurge um incremento real no comprimento da fissura.

Figura 19 -Esquema da curva de resistncia JRpara um material dctil [1]

O valor do CTOD correspondente ao ponto em que se inicia a propagao da fissura

denotado por i pelo U.S. and British Testing Standart podendo ser obtidoexperimentalmente.

6.2. Estabilidade e Crescimento de Fissuras

O mdulo de rasgamento(Tearing Modulus) uma grandeza adimensional,introduzida por Paris , obtida atravs da tangente a curva de rasgamento J em cada ponto. uma ferramenta importante para verificao da estabilidade do crescimento de fissuras sobregime elasto-plstico.

T = ( E/ 0

2) ( dJ / da)T

e TR= ( E/

0

2) ( dJR/ da) (36)

onde :


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T : o mdulo de rasgamento calculado para uma situao qualquer para umdeslocamento total T e 0 a tenso aplicada ao corpo.

TR : o mdulo de rasgamento mximo resistente.

Como critrio de estabilidade de crescimento da fissura( fig. 20) tem-se:

J = JR Verificar TT < TRestvelT > TRinstvel

Figura 20-Diagrama de propagao de fissura atravs da curva JR com controle carga(Pi) e desloc.(i)[1]

H diversos mtodos de estimar o crescimento da fissura utilizando a integral J pormeio de diferentes enfoques como o J de deformao(JD), o campo de domnio J (Jf) e

Integral de Domnio Equivalente (EDI - Equivalent Domain Integral), embora o maiscomum seja estabelecimento de curvas experimentais.

Jf e JD apresentam valores muito prximos, no entanto, Jf tambm tende a zeroquando o contorno tende a zero. No h nenhuma garantia de que somente Jfou JD consigamcaracterizar completamente as condies na ponta da fissura para definir o seu crescimento.Sem estes parmetros a curva JR passa a ter que ser representada com depedncia dageometria.

Um desenho esquemtico de uma fissura com crescimento controlado pela integral J,suas fases de propagao em regime elasto-plstico e o seu estgio na curva de resistncia JRso apresentadas na figura 21.

O comportamento na ponta da fissura no estgio 1 dado por :

ij/ 0= Fij(1)(EJ/ 0

2r ,) (37)

No estgio 2 a fissura comea a crescer e as tenses e deformaes so provavelmenteinfluenciadas pelo amolecimento(arredondamento) ocorrido no estgio 1. A funo quedescreve o fenmeno tem novos parmetros:

ij/ 0= Fij(2)(EJ/ 0

2r ,, a/i)(38)

onde i= CTOD no incio da propagao.


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O terceiro estgio nitidamente um fenmeno localizado, no qual as tenses edeformaes independem da extenso da fissura.

ij/ 0= Fij(3)

(EJ/ 02r,,) (39)

Apesar das funes F(1) e F(3) trabalharem sob mesmo tipo de regime de tenses(inferior a y), elas so diferentes devido a histria do material, pois F

(3)sofre influncia doamolecimento anterior e descreve somente um comportamento localizado na ponta da fissura,enquanto F(1)representa um material com micro-estrutura ainda ntegra.

O estgio 2 a transio entre um arredondamento(amolecimento) e o crescimentosob condies estveis.

Figura 21 - Trs estgios de propagao de fissura em um corpo infinito [1]

6.3 - Validade do mtodo da Integral JComo foi mostrado anteriormente, os parmetros J e CTOD tem uma nica relao

entre si, por isso fazer a descrio do comportamento ao fraturamento equivalente paraambos, em termos de resultados, restries e validade. A integral J pode ser aplicada emqualquer processo elasto-plstico em que J caracterize completamente o comportamento na

ponta da fissura. H restries quanto aplicao deste mtodo em casos de grandesdeformaes plsticas.


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A integral J pode ser aplicada sem problemas MFEL, tendo uma relao direta comG (taxa de energia potencial dissipada), J = G, e conseqentemente com KI.Neste caso noaparecero as parcelas referentes deformao plstica.

A seqncia de ilustraes a seguir (fig. 22) indica claramente as condies de pontade fissura que podem ser encontradas.

Figura 22 -Efeitos da plastificao nos campos de tenses de ponta de fissura [1]

Para o caso (a)-MFEL- sendo rso raio do crculo no qual ocorre singularidade:

ij = Fij(KI2/ 0

2r ,) ( para 0 r rs() ) (40)

KI2 = J E (41)

Em (a) a zona J-Dominante engloba a K-Dominante, embora no seja necessrio aocorrncia da singularidade de HRR.

No caso (b) aplica-se a integral J, mesmo para materiais que no se comportemexatamente segundo as leis de escoamento de Ramberg-Osgood[6]. Na zona de grandesdeformaes, bem prxima ponta da fissura, os fenmenos micro-mecnicos dominam.Grandes deformaes invalidam a singularidade de HRR.


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Para o caso (c) em que as grandes deformaes so predominantes, Hutchinson[12]desenvolveu uma tcnica analtica, que representa as tenses nesta regio por sriesinfinitas, nas quais o termo principal proporcional a r-1/(n+1).

Alm das condies de tenso da ponta da fissura preciso considerar oconfinamento (estado plano de tenso ou deformao) e a razo entre a dimenso da rea

plastificada na ponta da fissura e a espessura do corpo nesta regio.

6.4 - Comportamento da Ponta da Fissura com Grande Zona de Plastificao

McClintok[15] utilizou o modelo de escoamento rgido-plstico, sob condies deplastificao total e estado plano de tenso, com vrias configuraes de tenses, comomostra a figura 23 com os respectivos valores de mxima concentrao de tenso.

Figura 23 -Modelos de McClintok [1]

Para materiais sem encruamento, as tenses na ponta da fissura dependem tambm da

geometria, mas com pequenas deformaes na regio da fissura, simplifica-se esta influnciadesta com um nico parmetro. Obviamente este parmetro no vlido para materiais comencruamento sob condies de plastificao total. A tenacidade ao fraturamento, semprequantificado por K, J ou CTOD, sofre a mesma influncia. Embora seja possvel obter um

parmetro aproximadamente vlido para estes casos de plastificao, seria necessrio mantermaior relao de triaxilidade. A maior parte dos ensaios feita com corpos de prova sujeitos aflexo porque estes apresentam menores dificuldades experimentais.

Prospectos feitos com aplicao da mecnica da fratura em casos de escoamento emgrande escala no se mostraram to desanimadores como os resultados tericos de McClintok.Os efeitos de configurao de geometria so muito mais significativos quanto maior oencruamento sofrido.

Na figura 24 a tenacidade ao fraturamento carregado por flexo e trao, comparandoa influncia da geometria do corpo . A relao entre a profundidade da fissura e o tamanho do


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corpo de prova tem tambm afeta o valor de tenacidade que obtido (fig. 25). O efeito darelao entre comprimento da fissura e largura do corpo de prova na curva J-R (fig. 26) e novalor de TR.

Figura 24 -CTOD crticos fratura por clivagem em corpos de prova de ligas de ao sob trao e flexo [1]

Figura 25 -Jc em funo do tamanho da fissura e largura do CP com fissura de aresta sob flexo [1]

Figura 26 -Razo fissura/largura do CP na curva JR para corpos de prova de fissura de aresta sob flexo[1]


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7. Modelo de DugdaleO modelo de escoamento ou modelo coesivo para chapas finas fissuradas proposto

por Dugdale-Barentblatt[4] um tipo de modelo fissuras que apresentam escoamentolocalizado, baseado em extenses da MFEL. Experimentalmente foi determinado que o raio

da zona plastificada ao redor da fissura aproximadamente igual a espessura da chapa.Dugdale[16] assumiu que a zona de plastificao muito maior que a espessura e

modelou a zona plastificada em forma de uma tira na frente da ponta da fissura. O material considerado elasto-plstico perfeito, ento 22 = ys , na ponta da tira. Este modeloconsidera que o efeito do escoamento aumenta o tamanho da fissura, na dimenso da zonaescoada (fig. 27). O comprimento do incremento d calculado considerando uma placainfinita, sujeita a uma tenso uniforme de . Na ponta da fissura no ocorre singularidade nocampo de tenses.

Figura 27 -Esquema do modelo de Dugdale [4]

d = a { sec[ ()/(2y)] -1} (42)

Dugdale obteve bons resultados comparando sua estimativa de tamanho de regioplastificada com ensaios de aos, para valores de > 0,9y . Igualmente ocorreu comMills[17] para fissuras em chapas de policarbonatos, polisulfatos e policlorovinil.

O valor do CTOD dado por:

t= (8/)/(y/E)] . a . ln{ sec[ ()/(2y)] } (43)

Atravs da representao da fissura e da zona escoada, por acmulo de deslocamentos,Bilby, Cottrell e Swiden[18] obtiveram expresses anlogas a (43) para os modos II e III.

O critrio de Dugdale para a propagao da fissura esta atingir o valor crtico deCTOD (tc). A relao entre t e J dada por t= y J, ento:

J = (8/)/(y2/E)] . a . ln{ sec[ ()/(2y)] } (44)

Analogamente o critrio de propagao J = Jc.

Para pequena regio de plastificao ( Regio K-dominante):

Jssy= (KI2/E) = [(2a)/(E)] (45)


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Levando (44) em (43), faz-se a correo para plastificao:

J/ Jssy= [(8/2)(y /)

2]. ln{ sec[ ()/(2y)] } (46)

Quando y : J/ Jssy= 1 + (2/24)(/y)

2} (47)

Na fratura = f e J = Jc:

(J/ Jssy)f= [(8/2)(y /f)

2]. ln{ sec[ (f)/(2y)] } (48)

(KI/ Kc)f=(f /c) { (8/2) . ln{ sec[ (f)/(2c)] }

1/2(49)

Onde : f: tenso que provoca propagaoc= 0(1 - a/W)

n

= constante adimensionaln = 1 para chapas com fissura central ou 2 fissuras lateraisn = 2 para flexo

possvel construir um diagrama Kr x Sr (fig. 28) , onde:

Kr= KI/ Kc e Sr = /c (50)

Figura 28- KR xSR com trajetria de defeito para estado plano de tenso para placa com fissura central [4]

Para uma intensidade de carga a localizao do ponto (Kr,Sr) para diferentes tamanhosde fissuras levam a caminhos de falha. Uma vez que o caminho da falha foi estabelecido, osoutros so construdos por simples proporcionalidade.

O modelo de Dugdale prev que ocorrer grande escoamento ou colapso plstico parapequenas falhas em tubos de alta tenacidade e baixo ys. A condio para o colapso :


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hc /0 = 1/M fissuras passantes (51)

hc /0 = 1/Mp fissuras de superfcie (52)

onde : hc a tenso de colapso plstico.

A figura 29 mostra comportamento de fissuras de superfcies em tubos de ao,aplicando a proposta de Dugdale.

Figura 29- Comparao entre medidas e defeitos previstos em tubod de 24 x 1,5 in. Fissuras de superfcie.[4]

8 - Crescimento de Fissura Dctil sob Enfoque da Mecnica do Dano

Devido concentrao de tenses na ponta da fissura, surgem vazios nesta regio.Inicialmente so pequenos, mas aumentam e se unem, at formar uma falha a nvel macro-estrutural.

Os mecanismos que descrevem este fenmeno so estudados pela Mecnica do Dano,atravs de modelos de nucleao de vazios como o de Gurson. A ocorrncia de nucleao

provoca uma subida na curva de resistncia. Geralmente ocorre nucleao entre a pontaarredondada da fissura at uma distncia 2.

Este fenmeno est bem claro na figura abaixo:


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Figura 30 -Mecanismos de crescimento de fissura dctil [1]

A simulao do desenvolvimento de dano em materiais dcteis pode ser simplificadoconsiderando os trs estados reduzidos:

estado Dano Modelo

MICROEstrutura atmica

Discordncias

modelo fsico

MESOvolume representativoelementar

Micro-vazios

modelomicromecnico

MACROcorpo

Fissuramodelo dedano contnuo

A representao do dano em micro-escala considera o material no plano atmico,

mostrando o arranjo de tomos como uma grade (estrutura cristalina), ocorrendodeslocamentos de ligaes, tendo em vista a existncia de discordncias (falhas da estrutura


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atmica), que se movem devido a esforos e se concentram. Esse fenmeno conduz aoprocesso seguinte que a existncia dos vazio, pois, o conjunto de discordncias provoca osurgimento de um vazio. Com ajuda de algoritmos possvel avaliar este mecanismo eintroduzir seus efeitos no corpo antes do surgimento da etapa macroscpica [27].

Enquanto na estrutura no enfoque intermedirio (meso) o comportamento do defeito

isolado ou mais discreto (por exemplo um microporo ou microfissura) e perceptvel matrizdo material (visvel no volume infinitesimal), homogeneiza-se o material ( considera-se que aexistncia de danos igual em todas as direes e na mesma proporo) em comparao ao

plano macrosppico e em seu mecanismo de comportamento, ou seja, o material danificado considerado isotrpico. A influncia de um grande nmero de vazios pode ser quaseconsiderado como uma lubrificao. A lei de comportamento das variveis de dano(escalares ou tensoriais) podem ser obtidas por estudo dos fenmenos que ocorrem ou porobservao do micro-compormento [28]. Um enfoque de danificao discreta pelo mtodo deruptura mecnica, por exemplo a simulao de uma fissura discreta(isolada, definida),

propagada por uma regio isolada.O modelo que liga as vantagens do tratamento de dano atravs da mecnica do

contnuo com as vantagens do modelo de mecanismo de ruptura e torna possvel fazer umateoria de surgimento de dano baseada em fenmenos micro-mecnicos.

No mbito terico, considera-se o formato do poro como crculo ou elipse emmateriais plsticos sob estado elstico e define-se uma funo de vizinhana para falha domaterial, que entra, se o poro vizinho comear a se fundir com esse.

O modelo mais utilizado para descrio deste mecanismo o modelo de rea de vaziosproposto por Gurson [29], [30] e modificaes deste, como o de Tvergaard e Needleman [31],[32], [33], [34]. Gurson escreveu sobre a avaliao de um valor de fronteira da rea de porosesfricos ou forma cilndrica.

8.1. Modelo de Gurson

O principal mecanismo de dano dctil so as nucleaes, crescimento e unio demicrocavidades por grandes deformaes plsticas locais. Considerando um volumeelementar representativo ( meso-escala) como um cubo de aresta l com n clulas decavidades de dimenso d3. Neste simples modelo escreve-se o balano de energia calculadoa partir do crescimento dos vazios e de um conceito de dano.

De acordo com o modelo de Gurson, a porosidade em meso-escala P igual a partehidrosttica das deformaes plsticas pH= (

pkk/3) devido ao crescimento dos vazios. Para o

modelo geomtrico considerado, sendo n o nmero de cavidades:

P = n d3/ l3 (53)

Escrevendo a equao para a taxa em. .

meso-escala:

P = pH (54)

A densidade de potncia total dissipada em meso-escala para tenso homogeneizadaije taxa de deformao plstica

pij :

.ij=

pij (55)

Podendo ser escrita em duas partes, uma deviatria e a outra hidrosttica:

. .(Dij + H ij) = ( pDij + pH ij) (56)


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A primeira parcela a potncia dissipada na plasticidade simples por escorregamento.O segundo termo corresponde a parte irreversvel de mudana de volume, pode serinterpretada como a potncia dissipada pelo aumento de descontinuidades no volumeelementar representativo pelo crescimento de cavidades. Esta parte igual a dissipao dodano: . .

3H p

H l3= YDl3 (57)

O valor crtico de porosidade correspondente a D = 1 :

Pc= d/l (58)

que leva a obter: D = n d2/ l2 (59)

A lei cinemtica de evoluo do dano dada por :. . .D = n d2/ l2+2dn/ l2 (60)

O primeiro termo indica o aumento do nmero de cavidades e o segundo a taxa decrescimento dos vazios.

8.1.1. Crescimento pelo surgimento de novas cavidades

. .D = n d2/ l2 (61)

No modelo de Gurson, a taxa de porosidade tambm a soma de dois termos quecontribuem para a nucleao (surgimento de novos poros) e o crescimento. Para nucleao alei cintica de Tvergaard usada:

. . .P = A eq+ B H (62)

onde A e B so parmetros do material.

Considerando por simplificao uma nucleao subta de cavidades de tamanho fixo d:

. . .D = ( l /d)eq (A + B H /eq) (63)

. conveniente expressar o dano em funo da taxa de deformao plstica acumulada p, que fcil de introduzir pelo significado do mdulo tangente de plasticidade ET. Com carregamento

proporcional: . .p = eq/ ET (64). .

(H /eq) = (H /eq) (65) . . . .

D = ( l /d) ET(A + B H /eq) p (66)

8.1.2. Crescimento atravs do aumento do tamanho das cavidades. .D = 2dn/ l2 (67)

Considerando o estudo de vazios cilndricos e esfricos de volume V em um corpo infinito e

perfeitamente plstico, a taxa de variao de volume em funo da taxa de deformaoplstica acumulada e da razo triaxial:. .


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V = 0.85 V p exp(3H /2eq) (68)

com V = d3: . .3d2d = 0.85 V p exp(3H /2eq) (69)

. .

D = 0.57 D p exp(3H /2eq) (70)8.2. Modelo de Tvergaard-Needleman

O surgimento de microporos( microvazios) e seu crescimento o principalmecanismo de fratura de materiais dcteis. Os vazios crescem e em uma segunda fase

provocam o aparecimento de falhas e regies sem coeso nas interfaces, e a ruptura finalenvolve o crescimento dos vazios vizinhos que se fundem. Gurson introduziu uma estruturaconstitutiva para slidos com cavitao de vazios progressiva. A base um potencial deescoamento , que caracteriza a porosidade em termos de uma nica varivel interna escalar,f,a frao de volume de vazios:

= ( e2/ 2) + 2 q1f* cosh[ (3q2h)/ 2] - 1 - q1

2 f*2= 0 (71)

Com f* = 0 , a equao reduz-se ao potencial de von Mises. Os parmetros q1 e q2foramintroduzidos em [36] para trazer prognsticos do modelo em difuso de bordas de gros eescorregamento plstico na adjacncia dos gros. Assumindo que a superfcie de difuso suficientemente rpida para manter quase-equilbrio, cavidades em forma esfrica. Aexpresso para o cisalhamento parte da taxa de deformao que obtida de Hutchinson[37]

para materiais policristalinos levando a cisalhamento imposto por cavitao na borda dosgros, modificado por Tvergaard [35] para considerar esforo normal no nulo atuando nas

faces da cavidade,

dc= 0( /0)n 3 + 3 n - 1 ( - n)

2 / 2+ 2 [( - n)/] n n (72)2 2 n + 1 n + 1

onde n = 1/m o expoente de cisalhamento, x y denota produto tensorial tendocomponentes xiyj e s = n.. n ; s representa o esforo macroscpico normal nas faces dascavidades com normal n na configurao corrente. Os parmetros 0 e so variveisinternas, 0 a tenso mdia nos arredores dos vazios e a densidade de cavitao, que, nosclculos considerada constante. Com nas 0, eq. (72) se reduz a lei de Norton.

Equaes de evoluo so especificadas por n e por n. A evoluo da normal a facedo gro de cavitao, n, obtida por uma relao geomtrica e equao de evoluo de nvem da descrio do crescimento do vazio nas fronteiras do gro. Expresses especficas paraas equaes de evoluo so dadas em [35, 38] e pode tambm ser encontrada em [39] . Odefeito ocorre quando as cavidades dos gros se fundem e abrem microfissuras, quando o raioda cavidade igual a metade do espao entre cavidades [35, 38].

9. Concluso

Os processos de fraturamento elasto-plsticos so bem descritos para materiais dcteise coesivos, em condies de pequenas de formaes. O mtodo da integral J bastante

eficiente, principalmente para materiais dcteis, e de fcil implementao computacional.


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O desenvolvimento de modelos que combinam dano e fraturamento tem ganhadobastante nfase por representarem mais fielmente o fenmeno fsico, sendo vlidos para oscasos de pequenas e de grandes deformaes. Apesar disso, ainda h grande dificuldade emacoplar de maneira satisfatria estes modelos, pois a transio entre a predoninncia deefeitos microscpicos para os macroscpicos no instantnea. H grande nfase no

desenvolvimento de mtodos que permitam a continuidade de representao docomportamento de microscpico para o macroscpico sem perda de informaes nestatransio, e conseqente aplicao simultnea de ambos harmonicamente .


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Introdução aos Conceitos Básicos da MFEP

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