Introdução aos Processos Estocásticos Probabilidade Prof.: Fabrício Simões.

Introdução aos Processos Estocásticos

Probabilidade

Prof.: Fabrício Simões

GPSS - Grupo de Pesquisa em Sinais e Sistemas

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Justificando o Uso da Teoria da Probabilidade

Sinais Aleatórios: Não é possível determinar precisamente o seu valor em qualquer instante tempo.

Entretanto, o sinal apresenta padrões de comportamento.

Presença de incertezas no mecanismo de geração do sinal.


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Probabilidade - Conceitos Básicos

• Experimento Aleatório: Experimento cujos resultados não podem ser previstos. Ex.: Medir a tensão instantânea de um sinal de voz.

• Espaço Amostral: Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. É representado pela letra S.


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Espaço Amostral

1

2 3

4 56

Um evento (A)

Espaço Amostral (S)

Eventos: Subconjunto de um espaço amostral.


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Probabilidade de um Evento

Entretanto, se todos os resultados (elementos) ocorrem com a mesma probabilidade, então:

Eventos

Equiprováveis

Probabilidade do evento A, P(A), é a soma da probabilidade de cada elemento que compõe o conjunto A.

)(

)()(

SN

ANAP


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Probabilidade - Segundo os Axiomas de Kolmogorov

O último axioma ocorre quando os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

( ) 0

0 ( ) 1

( ) ( ) ( )

P A

P A

P A B P A P B


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Mutuamente Exclusivos

Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, se

, BA

isto é, A e B não têm elementos em comum.


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Probabilidade Probabilidade de ocorrer o evento

A ou o evento B.

( )P A B

( )P A B

Probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B.


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Probabilidade Condicional Mede a probabilidade de ocorrer um

evento dado que outro ocorreu.

P(A / B) – Probabilidade de ocorrer A dado que B ocorreu.

( )( / )

( )

P A BP A B

P B


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Eventos Independentes

A probabilidade condicional verifica a dependência entre os eventos A e B.

Os eventos são independentes quando a ocorrência do evento A não depende do evento B, então:

( ) ( ) ( )P A B P A P B


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Variável Aleatória

É uma função que associa um número real com cada elemento no espaço amostral.

nível baixo

nível alto

0

1

x = f (evento)


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Variável Aleatória Discreta

Assume valores isolados (pontuais) dentro do intervalo [a,b].

1 0Fonte Digital S

x (bits)

2/1)0(

2/1)1(

xP

xP


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Distribuição de Probabilidade –Variável Aleatória Discreta

1. ( ) 0

2. ( ) 1

3. ( ) ( )

ii

i i

f x

f x

P X x f x

O par ( x, f(x) ) é uma distribuição de probabilidade davariável aleatória discreta X, se para cada possível resultado de x,


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Variável Aleatória Contínua

Pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo

Fonte de Ruído

n(t)


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Função Densidade de Probabilidade - Variável Aleatória Contínua

1)(.3

,0)(.2

)()(.1

dxxf

xparaxf

dxxfbxaPb

a

A função f(x) é uma função densidade de probabilidade paraa variável aleatória contínua x definida sobre o conjunto R


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Função Densidade de Probabilidade (fdp)

A área é igual a probabilidade.

( )xp x

p q xa b

1

b a

Outras funções: Como obter?


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Valor Esperado – E[x]

• É uma constante que indica qual a média estatística de um grande número de observações de x.

• Indica qual a posição da densidade ou da distribuição de probabilidade.

• Se x for uma corrente ou tensão elétrica aleatória, o valor de E[x] é a componente DC.


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Valor Esperado – E[x]

Variável aleatória contínua

Variável aleatória discreta

dxxxfxE )(][

i

ii xPxxE )(][


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Variância – Var[x]

2 2[ ] [ ] ( [ ])Var x E x E x

Mede a variabilidade da variável aleatória x.

É a potência AC em um resistor de 1ohm e sua raiz quadradaé o valor eficaz da tensão ou da corrente aleatória.


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Função Densidade de Probabilidade (fdp) - Histograma

A fdp pode ser obtida mediante o uso do histograma

X=100 X=1000

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