Introdução metodos computacionais
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Introdução aos Métodos Computacionais
Professor: Raul B. V. Pessolani
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Análise de sistemas de engenharia
Problema físico
Modelo matemático
Ex: Equação Diferencial
Modelo numérico
Ex: Modelo de Elementos Finitos
Simplificações eaproximações
Discretização
Erro
Erro
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Análise de sistemas de engenharia
A seleção do modelo matemático depende do tipo de problema:
Distribuição de temperatura. Campo de tensões.
Um bom modelo deve: Considerar os aspectos essenciais do problema. Desprezar os fatores secundários. Fornecer resultados próximos das respostas reais.
Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais é necessário refinar o modelo:
Incluir aspectos inicialmente desprezados.
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Análise de sistemas de engenharia
Modelos numéricos são aproximações dos modelos matemáticos.
Um método numérico é confiável se ele converge para a solução exata do modelo matemático.
Garantia de convergência com o refinamento. Velocidade de convergência. Custo computacional envolvido. Facilidade de implementação e utilização.
A solução numérica de um problema não pode ser melhor do que o modelo matemático utilizado.
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α
Discretização
Problema: Determinação do perímetro de um círculo.
R
l = 2Rsen(α/2)α = 2π/n
L = n l = 2πR sen(α/2) α/2
Dividindo em n partes:
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Discretização
Laprox/Lexatolog(Laprox/Lexato- 1)
Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.
A velocidade de convergência é boa ?
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Importância dos métodos numéricos
Os problemas da engenharia envolvem a solução de equações diferenciais ordinárias ou parciais.
Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais: Geometria e condições de contorno simples. Certos tipos de carregamento. Material homogêneo.
A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos (aproximados): Método das Diferenças Finitas. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos de Contorno.
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Análise por elementos finitos
apoioscarregamento
nó
Geometria
Material
elementoMalha
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Passos da Análise
1. Dividir o domínio do problema em regiões (elementos finitos) de geometria simples:
Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,... Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.
2. Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos: Interpolar a partir dos valores nodais. Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...
3. Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos deslocamentos nodais (graus de liberdade).
4. Calcular respostas no interior dos elementos: Deformações a partir do campo de deslocamentos. Tensões a partir das deformações.
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Vantagens
Aplicação a qualquer problema de campo: Tensões, transferência de calor, percolação, etc.
Não há restrição quanto a geometria do problema nem quanto ao carregamento e as condições de contorno do problema.
O material pode variar de elemento para elemento.
O modelo de elementos finitos aproxima o comportamento físico na região a ser analisada segundo funções de interpolação: Constantes, lineares, quadráticas,...
Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos: Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.
A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de elementos finitos ⇒ convergência.
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Exemplo de aplicação: estrutura de edifício
http://www.csiberkeley.com/
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Análise de um tanque esférico
http://www.csiberkeley.com/
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Contato pneu-pavimento (não linearidade)
http://www.manufacturingcenter.com/dfx/
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Trem de pouso
http://www.abaqus.com/
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Fuselagem
http://www.abaqus.com/
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Fuselagem
Cargas e apoiosConfiguração pós-flambagem
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Pontes
San Francisco Bay Bridge
http://www.adina.com/
Depois do terremoto
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Pontes
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Passos da Simulação Numérica
Análise preliminar: Obter uma solução aproximada do problema. Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise
experimental, análises anteriores, etc.
Análise por Métodos Numéricos: Pré-processamento:
Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ... Geração de malha.
Análise numérica. Pós-processamento:
Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,... Contornos e gráficos de tensões.
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Análise de navios – Malha Global
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Análise de Navios - Carregamento
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Análise de Navios – Detalhamento
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Exmeplo do Método dos Elementos de Contorno
Tubulação de 3 metros de comprimento, cubo de 2 metros de lado e o fluxo livre é de 1m/s
Discretização inicial com 22 elementos
Qoo = 1 m/s
Qoo = 1 m/s
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Resultados – Validação
Discretização final com 2400 elementos Avaliação da faixa central, pois se aproxima à solução 2D que possui
solução analítica
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Validação - Solução analítica x Solução Programa
Vp=2RV∞SENθRaio = 1Voo = 1.0
Vp
=0.27
=0.58
=0.87
=1.14
=1.08
=1.59
=1.76=1.89
=1.95
=1.99
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Jaqueta para Plataforma
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Aeronave para AeroDesign
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Passos da Simulação Numérica
2. Pacote
PRÉ-PROCESSAMENTO
ANÁLISE
PÓS-PROCESSAMENTO
Escolher o modelo Matemático
Obter resultados aproximadosPara posterior validação
Planejar a discretização
1. Pré-Análise
Devo refinar mais a malha?Devo mudar o tipo de elemento?Devo mudar o Método?
Os resultados são coerentes?Há erros grosseiros?
PARAR
Alteração Dados.
NÃO
SIM
SIM
3. Análise dos Resultados
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Análise dos resultados
Avaliação qualitativa: A resposta “parece” certa ?
As simetrias esperadas estão presentes? As condições de contorno são respeitadas? As maiores deformações (ou tensões) estão nos pontos
esperados? Verificar se a estrutura está em equilíbrio ou se a massa se
mantém
Avaliação quantitativa A resposta está correta?
Comparar resultados obtidos com as soluções preliminares. Verificar se o nível de discretização é satisfatório
especialmente quando há picos na solução.
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Por que estudar a teoria?
Por que estudar a teoria? Programas comerciais são utilizados a bastante tempo. Intensivamente testados: fabricantes e usuários. Os programas atuais possuem interface amigável.
Sua utilização não requer grandes conhecimentos.
A obtenção de resultados confiáveis requer: Conhecimento do comportamento físico:
Mecânica dos Fluídos , Resistência dos Materiais, ...
Conhecimento dos diferentes Métodos: Comportamento dos elementos, características dos algoritmos
aproximações e limitações
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Principais questões envolvidas na análise
Estático x dinâmico As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ? A estrutura é muito flexível ? A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ? O comportamento do material é dependente do tempo ?
Linear x não-linear Os deslocamentos/rotações são significativos ? A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ? O material sofre deformações permanentes ? Existe a formação de trincas ?
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Tipos de análise
Acoplada (multi-física) x desacoplada Termo-mecânico. Solo-estrutura. Fluido-estrutrura.
Estado da prática: Depende do ramo de aplicação. Engenharia civil: estática, linear e desacoplada. Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,... Análise não-linear: problemas especiais.
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Método das Diferenças Finitas
Problema da Difusão e propagação da onda acústica
Área do modeloBorda
Algoritmos de absorçãotestados