INTRODUÇÃO

Trigonometria (do grego trigonon + metria) significa o estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. A Trigonometria é usada em várias áreas das ciências, como as Engenharias, a Física, a Astronomia, a Navegação etc. O matemático suíço Leonhard Euler, um dos grandes matemáticos do século XVIII, desvinculou a Trigonometria da Astronomia transformando-a em um dos diversos ramos independentes da matemática.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Chamamos de triângulo retângulo o que tem um ângulo igual á 90 graus (ângulo reto). Num triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo reto são chamados de "Catetos" e o lado em frente ao ângulo reto é a "Hipotenusa" .

Pitágoras, através de seu teorema demostra que: "Em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos catetos ao quadrado", ou seja, h2= c2+ c2.

Seno - Num triângulo retângulo, o sen de um ângulo agudo é dado pelo quociente (razão) entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

Cosseno - Num triângulo retângulo, o cos de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

Tangente - Num triângulo retângulo, a tg de um ângulo agudo é dado pelo quociente entre o cateto oposto e cateto adjacente a esse ângulo. Podemos também dividir o valor do seno do ângulo pelo valor do cosseno do mesmo ângulo.

EXEMPLOS

1-) Vamos calcular o sen, o cos e a tg dos dois ângulos agudos do triângulo abaixo:

Resolução: sen α = 3/5 ; sen β = 4/5 cos α = 4/5 ; cos β = 3/5 tg α = 3/4 ; tg β = 4/3

2-) Com o auxílio da tabela trigonométrica, vamos calcular o valor do lado X no triângulo retângulo dado:

Resolução: cos 40o = X/10 X = 10 . cos 40o X = 10 . 0,766 X = 7,66

Exercícios de Trigonometria

1-) Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos retângulos abaixo.

2-) Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70o com a margem de partida. Qual a distância percorrida pelo barco ? Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo ?

3-) A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além da mesma altura. Se AB = 2 m e BCA mede 30o, então a medida da extensão de cada degrau ?:

4-) Encontre o valor de x em cada caso:

5-) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15o com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (Dados sen 15o = 0,259 e tg 15o = 0,268.)

6-) Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m no topo de uma colina de 500 m de altura, vê o início de um incêndio numa direção que forma com a horizontal um ângulo de 17o. A que distância aproximada da colina está o fogo?

7-) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60o. Qual é o comprimento da escada em m ?

Trigonometria do Triângulo Retângulo

Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo (catetos são os lado que formam o ângulo de 90º).

Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.

Seno:

Cosseno:

Tangente:

Cotangente:

Razões Trigonométricas Especiais

Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica.

Exemplos

1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º)

2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 60º)

3. Observando a figura seguinte, determine:

Decomposição de movimentos parciais:

Consideremos um projétil lançado obliquamente com velocidade inicial Vo, inclinada de α (ângulo de tiro) em relação ao plano horizontal de lançamento. Tomemos o ponto de lançamento como origem dos espaços, orientemos a trajetória para cima e consideremos o instante de lançamento como origem dos tempos. A velocidade de lançamento Vo será decomposta em duas parcelas: 1. Componente horizontal Vox

2. Componente vertical Voy

Do triangulo retângulo da figura, tiramos que:

0

0.cos

V

V

hip

adjcat xr

r

==α αcos.00 VV x

rr=⇒

0

0..

V

V

hip

opcatsen

yr

r

==α αcos.00 VV y

rr=⇒

Exercícios:

1. Calcule o valor de x em cada item. a)

b)

c)

Exercícios

1) Encontre o valor de x em cada caso: Resp. → a) AB = 8 → b) x = 2 → c) x = 30°

2) Um barco atravessa um rio de 80 m de largura, seguindo uma direção que forma 70° com a margem de partida. a) Qual a distância percorrida pelo barco? b)Quantos metros, em relação ao ponto de partida, ele se desloca rio ? Resp. → a) AB = 85,1m → b) AC = 29,1m