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  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    Introduo

    O universo de suporte do Clculo Diferencial e Integral, que vamosestudar, o conjunto dos nmeros reais R.Estes nmeros so os objetos matemticos que se usam genericamentepara medir: quantificar grandezas como distncias, comprimentos, reas,volumes, velocidade, . . . e no Clculo desenvolvem-se ferramentas quepermitem dar resposta a necessidades muito concretas deste tipo.

    Aps milnios de desenvolvimento, a abordagem moderna do Clculo creditada a Newton e Leibniz (sc. XVII) que, nomeadamente,relacionaram os conceitos de derivada e integral (medida de uma rea).

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  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    IntroduoO que so os nmeros reais?

    Mas, o que so os nmeros reais, afinal?Curiosamente, apesar de serem conceitos abstratos que servem de modeloa grandezas muito reais, sendo usados como tal desde a antiga Grcia,esta pergunta ocupou muitos grandes matemticos do sculo XIX. S nofim desse sculo, como parte integrante de um grande movimento defundamentao rigorosa da Matemtica, foi estabelecida uma formalizaodo conceito de nmero real, como entidade matemtica bem definida.Mas uma abordagem destas questes ter de ficar para mais tarde, e sem disciplinas mais avanadas sero desvendados muitos dos mistriosenvolvendo R.Entretanto, para termos uma base de trabalho, admitimos como princpioum conjunto de propriedades que caraterizam os nmeros reais e toda aestrutura matemtica que lhes est associada, e que na maior parte jbem conhecida desde o Ensino Secundrio.

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  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    O conjunto dos nmeros reaisA estrutura do conjunto dos nmeros reais

    Para o desenvolvimento dos conceitos e ferramentas do Clculo Diferenciale Integral (ex: limites, derivadas, integrais, . . . ) conta-se com umaestrutura rica definida em R:

    Uma estrutura algbrica, que permite operar com nmeros reais;Uma ordenao, compatvel com as operaes algbricas, que permitecomparar estas grandezas;Uma propriedade, conhecida como completude, que garante apossibilidade de medir, para qualquer unidade pr-definida (1), ocomprimento de qualquer segmento de reta com um nmero real.

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    O conjunto dos nmeros reaisSubconjuntos importantes

    So j familiares as operaes algbricas em R (adio, multiplicao,subtrao, diviso, radiciao, potncia, . . . ), bem como a ordenaousual e respetivas propriedades.Sabe-se tambm que R contm como subconjuntos importantes

    N = {0, 1, 2, 3, . . .} (nmeros naturais)Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .} (nmeros inteiros)Q =

    {mn : m, n Z, n 6= 0

    }(nmeros racionais)

    e que h nmeros reais que no so racionais os irracionais como,por exemplo,

    2, e e pi.

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    A irracionalidade de2

    O Teorema de Pitgoras estabelece que, num tringulo retngulo, a somados quadrados dos comprimentos dos catetos igual ao quadrado docomprimento da hipotenusa.Podemos ento pensar em

    2 como o comprimento da hipotenusa de um

    tringulo retngulo cujos catetos tm por comprimento 1. Ser este umnmero racional?Vejamos que no. Suponhamos, por reduo ao absurdo, que existemp, q N tais que

    2 = pq .

    Sem perda de generalidade, podemos assumir que p e q so primos entresi, isto , p e q no tm nenhum fator em comum. Temos que

    2 = p2

    q2

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    A irracionalidade de2

    e, portanto,p2 = 2q2. (1)

    Daqui resulta que p um nmero par (o produto de dois nmeros mpares um nmero mpar). Ou seja, existe algum k N tal que

    p = 2k

    Substituindo em (1), obtemos

    4k2 = 2q2

    e, portanto,q2 = 2k2.

    Isto implica que q tambm um nmero par, o que absurdo, visto que,por hiptese, p e q no tm fatores em comum.

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    O conjunto dos nmeros reaisIntervalos

    Outro tipo de subconjuntos de R que ocupam um lugar de destaque soos intervalos: I R um intervalo sse

    a, b, c R, (a, b I a 6 c 6 b) c I.

    Podem ser das seguintes formas: , {a}, ]a, b[, ]a, b], [a, b[, [a, b],]a,+[, [a,+[, ], b[, ], b] ou R = ],+[.

    A terminologia seguinte, embora seja aplicvel em contextos mais gerais, j bem conhecida a respeito de intervalos:Os intervalos dos tipos , ]a, b[, ]a,+[, ], b[ e R dizem-se abertos;, [a, b], [a,+[, ], b] e R dizem-se fechados;e ]a, b] ou [a, b[ no so abertos nem fechados.

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    O conjunto dos nmeros reaisSubconjuntos limitados, majorados e minorados

    Por outro lado, um intervalo, por exemplo, do tipo [a, b[ limitado; umintervalo como [a,+[ limitado inferiormente mas no superiormente.Em geral,I S R diz-se limitado superiormente ou majorado sse existe a R tal

    que a > x para todo o x S; e um tal a diz-se um majorante de S.I S R diz-se limitado inferiormente ou minorado sse existe a R tal

    que a 6 x para todo o x S; e um tal a diz-se um minorante de S.I S R diz-se limitado quando majorado e minorado.

    Exemplos:]0, 1] majorado e o conjunto dos majorantes [1,+[; minorado e oconjunto dos minorantes ], 0]; logo, limitado.N minorado mas no majorado em R; no limitado.

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    O conjunto dos nmeros reaisSupremo e nfimo

    Dados S R no vazio e a R,I a o supremo de S se a um majorante de S e a 6 M para todo o

    majorante M de S;I a o nfimo de S se a um minorante de S e m 6 a para todo o

    minorante m de S.

    Por exemplo, sup ]0, 1] = 1 e inf ]0, 1] = 0. claro que o supremo e o nfimo de um subconjunto S, caso existam, sonicos. Se pertencerem a S, dizem-se o mximo e o mnimo de S,respetivamente. O termo genrico extremo designa mximos e mnimosindiscriminadamente.

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    O conjunto dos nmeros reaisAxioma do supremo

    Usando o conhecimento emprico que temos dos reais, facilmente nosconvencemos que o supremo de um subconjunto majorado S 6= de Rexiste sempre: vemos que o conjunto dos majorantes de S sempre umintervalo fechado do tipo [a,+[ e este tem um mnimo, a = supS.No entanto, isto no verdade em qualquer conjunto. Por exemplo,[0,2[ Q no vazio e majorado em Q mas no tem supremo em Q.

    De facto, esta uma das possveis formas de formular a j referidacompletude de R e a propriedade estrutural que distingue R de Q.

    Admitimos ento que em R vlido o seguinte princpio:(Axioma do supremo)Seja S R no vazio.I Se S tem um majorante, ento S tem supremo;I Se S tem um minorante, ento S tem nfimo.

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    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao geomtrica de R a reta real

    As propriedades de R tornam possvel estabelecer uma correspondnciabijetiva entre este conjunto e os pontos de uma reta, de forma que aordenao e a distncia entre os nmeros seja refletida na posio relativados respetivos pontos da reta. Em geral, representamos os pontos da retapelos nmeros reais que lhes correspondem:

    Recta Real

    0 1 2< <

  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao geomtrica de R a reta real

    2 = sup S

    S

    falha racional

    A completude de Rcorresponde ao facto de a todo o pontoda reta estar associado um nmero real.A reta real funciona ento como uma rgua graduada capaz de medir ocomprimento de qualquer segmento de reta, com qualquer grau depreciso pretendido.Tanto os racionais como os irracionais esto distribudos ao longo de todaa reta real de uma forma densa. Isto quer dizer que entre dois quaisquerreais h um racional e um irracional.Esta afirmao percebe-se bem se tivermos em considerao a j familiarrepresentao dos nmeros reais em forma de dzima.

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    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao decimal

    comum representarmos os nmeros inteiros pela sua expanso decimal.Por exemplo: 2138 = (2 103) + (1 102) + (3 101) + (8 100).Quanto aos nmeros reais no inteiros, bem conhecido que tambmpodem ser expressos na forma de uma dzima. De facto, prova-se que:

    I toda a expresso da forma

    x0,x1x2x3 . . . (x0 Z, x1, x2, . . . {0, . . . , 9})

    define um nico nmero real;I todo o nmero real x admite uma descrio x = x0,x1x2x3 . . . desta

    forma.

    Esta representao nica, exceto para os nmeros que admitem umadzima que termina numa sequncia infinita de 9s: por exemplo, 0,999 . . .e 1,000 . . . definem ambos o nmero natural 1.

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  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao decimal

    Exemplos:

    54 = 1,25 = 1+ (2 10

    1) + (5 102);13 = 0,333 . . .

    notao= 0,(3)

    = (3 101) + (3 102) + (3 103) +

    Esta ltima expresso, uma soma com um nmero infinito de parcelas,pode representar-se por

    +k=1

    310k

    e chama-se uma srie; diz-se ento que 13 a soma desta srie.(As sries de nmeros reais sero objeto de estudo, mais frente, nesta disciplina)

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    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao decimal

    Mas, que significado se atribui a esta soma? Precisamente,13 = limn+

    nk=1

    310k

    ou seja, 13 pode ser arbitrariamente aproximado pelas sucessivas dzimasfinitas:

    13 0,3 (erro < 0,1)13 0,33 (erro < 0,01)13 0,333 (erro < 0,001)

    Dito ainda de outra forma, 13 o supremo de todos os termos da sucessocrescente

    (nk=1

    310k)n>1

    = (0,3; 0,33; 0,333; . . .).Clculo Infinitesimal I (M111) 2014/2015 0. 15

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    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao decimal e completude

    Em geral, o facto de toda a dzima x0,x1x2x3 . . . representar um nmeroreal, est relacionado diretamente com a completude de R:I A sucesso

    (nk=1

    xk10k)n>1

    crescente e o conjunto dos seus termos,as dzimas finitas correspondentes, majorado (por 1, por exemplo);logo, este conjunto tem um supremo, que se mostra facilmente ser olimite da sucesso, e por definio o nmero que admite a expansodecimal 0,x1x2x3 . . ..

    I Por outro lado, se S R no vazio e majorado, ento a expansodecimal y0,y1y2y3 . . . do seu supremo pode ser obtida indutivamentedo seguinte modo:

    y0 = max{n Z | existe n, . . . S} (existe porque S majorado)y1 = max{k {0, 1, . . . , 9} | existe y0, k . . . S}y2 = max{k {0, 1, . . . , 9} | existe y0, y1k . . . S}y3 = max{k {0, 1, . . . , 9} | existe y0, y1y2k . . . S}. . .

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    O conjunto dos nmeros reaisRepresentao decimal dzimas peridicas e no peridicas

    Finalmente, recorde-se que os nmeros racionais so precisamente os queadmitem expanses em dzimas peridicas:

    x0,x1 . . . xi(xi+1 . . . xi+p)

    e existem algoritmos simples para passar da forma fracionria para a formadecimal e vice-versa.Os irracionais so ento aqueles cuja expanso decimal no peridica.Note-se que um nmero irracional, sendo o limite das correspondentesdzimas finitas, pode ser sempre visto como o limite de uma sucesso denmeros racionais, ou seja, aproximado com a preciso que se pretendapor nmeros racionais.

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    SucessesDefinio

    Usamos atrs o conceito de sucesso e alguns factos relacionados, queveremos agora com um pouco mais de detalhe.Uma sucesso de nmeros reais uma funo s : N [k,+[ R. habitual designar a imagem de n por sn (dito o termo de ordem n) erepresentar a sucesso na forma (sn)n>k ou mesmo (sn)n ousk , sk+1, sk+2, . . . (quando clara a inteno subjacente. . . ).

    Exemplos:I ((1)n)n>1I (n3)nI (cos n)nI 1, 12 ,

    13 ,

    14 , . . . ( clara a inteno de sugerir a sucesso (

    1n )n>1)

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    SucessesLimite definio

    Seja (sn)n uma sucesso e seja L R. Diremos que L o limite dasucesso (sn)n, e escreveremos limn+ sn = L (ou sn L) se, para nsuficientemente grande, sn estiver to prximo de L quanto for requerido.Mais precisamente, diremos que limn+ sn = L se

    > 0 p N n N (n > p |sn L| < sn ]L,L+[

    ).

    (

    (

    ((

    L

    LL- L-

    L+

    L+

    |

    |

    1

    1

    p n > p ...2

    2 35p

    ...

    grfico da sucessotermos da sucesso

    s s s ss

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  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    SucessesLimite exemplos

    1. limn+

    1n = 0 pois

    1/

    |

    |

    1 p2

    y=1/xdado qualquer > 0,basta tomar p > 1 para garantir que:

    n > p |1n 0| =1n 0 p N n N (n > p | 1n | < ).

    De facto, basta tomar p N maior que 12 . Ento n > p implica

    | 1n | =1n 0). Como limn+ sn = L1,existe p1 N tal que

    n > p1 |sn L1| < .Por outro lado, como limn+ sn = L2, tambm existe p2 N tal que

    n > p2 |sn L2| < .

    ( (( (LL- L+

    2

    | |

    1 L21 2Mas ento, para qualquer n > max{p1, p2},tem-se |sn L1| < e |sn L2| < , o que absurdo pois os intervalos ]L1 , L1 + [ e]L2 , L2 + [ so disjuntos.

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    SucessesExistncia de limite

    fcil verificar que nem toda a sucesso tem limite, por exemplo (n2)n ou((1)n)n. Uma sucesso com limite diz-se convergente, caso contrriodiz-se divergente.E como que sabemos se uma sucesso ou no convergente? Nemsempre fcil responder, mas h um caso em que podemos garantir aconvergncia: quando a sucesso montona e limitada.Dizemos que (sn)n :I crescente se m < n sm 6 sn para todos m, n N;I decrescente se m < n sm > sn para todos m, n N;I montona se for crescente ou decrescente;I limitada se {sn | n N} for um subconjunto limitado de R.

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    SucessesSucesses montonas e limitadas

    Toda a sucesso montona e limitada convergente.

    Demonstrao: Suponhamos que (sn)n uma sucesso crescente elimitada (o caso decrescente anlogo). Como (sn)n limitada, existeL = sup{sn | n N}. Vejamos que limn+ sn = L.Seja > 0. Como L o supremo de {sn | n N}, existe algum sp nointervalo ]L , L] (caso contrrio, existiria um majorante de {sn | n N}menor que L. . . ). Mas ento, se n > p, e porque (sn)n crescente, resultaque sn > sp. Como sn 6 L = sup{sn | n N}, conclumos quesn ]L , L] e logo |sn L| < . Logo, tem-se

    > 0 p N n N (n > p |sn L| < )

    e, portanto, limn+ sn = L.Clculo Infinitesimal I (M111) 2014/2015 0. 23

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    SucessesSucesses montonas e limitadas

    Notas:I Basta que a sucesso seja montona e limitada a partir de um

    determinado termo sp, pois fcil ver quelimn+ sn = limn+ sn+p.

    I Toda a sucesso convergente necessariamente limitada, pois

    > 0 p N (n > p |sn L| < )

    implica que s um nmero finito de termos (s1, . . . , sp) podem estarfora do intervalo ]L , L+ [. Mas no tem que ser montona! Porexemplo, limn+ (1)

    n

    n = 0.

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    SucessesSubsucesses

    Uma subsucesso da sucesso (sn)n uma sucesso que se obtm a partirde s1, s2, s3, . . . eliminando alguns termos desta sucesso e mantendo osrestantes. Por exemplo, s2, s4, s6, . . . = (s2n)n uma subsucesso de (sn)n.Genericamente, representamos uma subsucesso de (sn)n na forma (sin)n,onde i1 < i2 < i3 < . . . so nmeros naturais.

    Exemplos: ( 12n )n>1, (1n3 )n>1 e (

    1n!)n>1 so subsucesses de (

    1n )n>1;

    (1, 14 ,12 , . . .) ou (1,

    12 ,

    13 ,

    13 . . .) no so subsucesses de (

    1n )n>1;

    para qualquer sucesso (sn)nN, pode-se considerar a subsucesso dostermos de ndice par, (s2n)nN, a subsucesso dos termos de ndice mpar,(s2n+1)nN, a subsucesso dos termos cujos ndices so mltiplos de 3,(s3n)nN, . . .

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    SucessesLimites de subsucesses

    claro que a existncia de limite de uma subsucesso (sin)n no implica aexistncia de limite de (sn)nN; e podem at existir subsucesses de umamesma sucesso com diferentes limites.Por exemplo,

    a sucesso (sn)nN = ((1)n)nN = (1,1, 1,1, . . .) no convergente, mas a subsucesso (s2n)nN tem limite 1 ( constante = 1) ea subsucesso (s2n+1)nN tem limite 1 ( constante = 1);

    para qualquer n N, a sucesso (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, . . .) temuma subsucesso convergente para n.Por outro lado, fcil ver que se (s2n)nN l e (s2n+1)nN l , entotambm (sn)nN l .Isto verifica-se facilmente a partir da definio de limite e resulta do factode todos os termos da sucesso serem da forma s2n ou s2n+1, para algumn N.

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    SucessesLimites de subsucesses

    Alm disso:

    Se limn+ sn = L, ento limn+ sin = L para toda a subsucesso (sin)nde (sn)n.

    De facto, se > 0 p N (n > p |sn L| < ),

    ento tambm vlido

    > 0 p N (n > p |sin L| < ),

    pois i1 < i2 < i3 < . . . implica que in > n para todo n, e logo n > pimplicar sempre in > p.

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    Sucesses de CauchyDefinio e propriedades bsicas

    possvel caraterizar as sucesses convergentes sem fazer referncia aolimite? A resposta dada pela seguinte propriedade.Uma sucesso (sn)n diz-se de Cauchy se

    > 0 p N m, n N (m, n > p |sm sn| < ).

    1 Toda a sucesso convergente de Cauchy.2 Toda a sucesso de Cauchy limitada.

    Demonstrao:1. Seja a o limite da sucesso convergente (sn)n. Ento, dado > 0,existe p tal que, para qualquer n > p, tem-se |sn a| < 2 . Logo, paraquaisquer m, n > p, usando a desigualdade triangular obtm-se:

    |sm sn| 6 |sm a|+ |sn a| < .Clculo Infinitesimal I (M111) 2014/2015 0. 28

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    Sucesses de CauchyDefinio e propriedades bsicas

    2. Seja agora (sn)n uma sucesso de Cauchy e seja p tal que, paraquaisquer m, n > p, tem-se |sm sn| < 1. Ento, o nmero

    max{|sn| : n < p} {|sp|+ 1}

    um majorante da sucesso (|sn|)n.A recproca da primeira propriedade tambm vlida, mas d mais algumtrabalho.Generalizando a noo de intervalo fechado, dizemos que um subconjuntoS de R fechado se, para toda a sucesso convergente (sn)n de elementosde S, o limite limn+ sn pertencer a S.

    Seja S um subconjunto fechado limitado no vazio de R. Ento S tem ummximo e um mnimo.

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    Sucesses de CauchyDefinio e propriedades bsicas

    Demonstrao:Seja a = inf S. Ento, para todo o n > 1, existe sn S tal quea 6 sn 6 a + 1n . Sendo limn+ sn = a e S fechado, resulta que a S.Logo a o mnimo de S. Analogamente, supS o mximo de S.

    Toda a sucesso real admite alguma subsucesso montona.

    Demonstrao:Dada uma sucesso real (sn)nN, consideremos o conjuntoS = {n N : m > n (sm < sn)}. Se S finito, ento existe N N talque n > N implica n / S. Seja n1 = N. Como n1 / S, existe n2 > n1 talque sn2 > sn1 . Analogamente, como n2 > N, existe n3 > n2 tal quesn3 > sn2 . Procedendo assim sucessivamente, obtemos uma subsucessocrescente (snk )k . Se S infinito, ento existe uma sucesso estritamentecrescente (nk)k de elementos de S. Ento a subsucesso (snk )k decrescente.

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    Sucesses de CauchyDefinio e propriedades bsicas

    Seja (sn)n uma sucesso real de Cauchy que admite alguma subsucessoconvergente. Ento (sn)n converge.

    Demonstrao:Seja (snk )k uma subsucesso convergente e seja a o seu limite. Vejamosque limn+ sn = a.Seja > 0. Ento existem p1 e p2 tais que:

    1 m, n > p1 implica |sm sn| < 2 ;2 k > p2 implica |snk a| < 2 .

    Seja p > p1 tal que np > p2. Ento, para todo o n > p tem-se

    |sn a| 6 |sn snp |+ |snp a| < .

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    Sucesses de CauchyConvergncia

    Teorema

    Uma sucesso real converge se e s se ela for de Cauchy.

    Demonstrao:Resta mostrar que toda a sucesso de Cauchy (sn)n converge.Mostrmos que (sn)n necessariamente limitada e, como tal, admitealguma subsucesso montona (snk )k .Sendo montona, a sucesso (snk )k converge.Ora, mostrmos tambm que toda a sucesso de Cauchy que admita umasubsucesso convergente tambm ela prpria convergente.Dado um subconjunto S de R, o dimetro de S

    diam S = sup{|s t| : s, t S}para S 6= , enquanto diam = 0.

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    Sucesses de CauchyDimetro de um conjunto

    Corolrio (Cantor)Seja S1 S2 uma cadeia decrescente de subconjuntos fechados novazios de R tal que limm+ diam Sm = 0. Ento

    m>1 Sm um

    conjunto singular.

    Demonstrao:Escolhamos sm Sm para cada m > 1.Note-se que (sm)m uma sucesso de Cauchy. Seja a = limm+ sm.Como cada Sm fechado, a Sm. Logo tem-se a m>1 Sm.Se b m>1 Sm, ento |a b| 6 diam Sm para todo o m. Comolimm+ diam Sm = 0, segue que |a b| = 0, donde a = b. Logom>1 Sm um conjunto singular.

    um exerccio simples verificar que nenhuma das hipteses do corolrio suprflua.

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  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    Topologia da reta realConjuntos abertos e conjuntos fechados

    Recorde-se que um subconjunto S de R se diz fechado se, para toda asucesso convergente (sn)n de elementos de S, o limite limn+ snpertencer a S.Um subconjunto S de R diz-se aberto se o seu complementar R \ S forfechado. Por outras palavras, S aberto precisamente quando nenhumponto a de S limite duma sucesso de pontos de R \ S. Algumas outrasformulaes da noo de aberto so apresentadas no seguinte resultado,cuja prova deixada ao cuidado do leitor.

    As condies seguintes so equivalentes para todo o subconjunto S de R:1 S aberto;2 a S > 0 ( ]a , a + [ S );3 para todo o a S, existe algum intervalo aberto I tal que a I S.

    Note-se que, em particular, os intervalos abertos so abertos.Clculo Infinitesimal I (M111) 2014/2015 0. 34

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    Topologia da reta realConjuntos abertos e conjuntos fechados - propriedades

    Os resultados seguintes resumem as principais propriedades dos conjuntosabertos e dos conjuntos fechados.

    1 Os conjuntos e R so abertos.2 Se A e B so abertos, ento A B tambm o .3 Se (Ai)iI uma famlia de abertos, ento a unio

    iI Ai = {s R : i I (s Ai)} tambm um aberto.

    1 Os conjuntos e R so fechados.2 Se F e G so fechados, ento F G tambm o .3 Se (Fi)iI uma famlia de fechados, ento a interseo

    iI Fi = {s R : i I (s Fi)} tambm um fechado.

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    Topologia da reta realFronteira de um conjunto

    Seja S um subconjunto de R. A sua fronteira o conjunto S dosnmeros reais a tais que todo o aberto A contendo a contm tambmpontos de S e pontos de R \ S.Exemplos:

    se S um conjunto no vazio majorado, ento sup S S;propriedade dual para o nfimo;a fronteira dum intervalo constituda pelos seus extremos (reais);Q = R;

    Seja S um subconjunto de R.1 S fechado se e s se S S.2 S aberto se e s se S S = .3 S = (R \ S).4 S um fechado.

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    Topologia da reta realInterior e fecho

    Seja S um subconjunto de R.O interior de S o conjunto

    S (tambm denotado S) dos a R

    para os quais existe > 0 tal que ]a , a + [ S.O fecho de S o conjunto S dos a R tais que, para todo o > 0,]a , a + [ S 6= .

    1S a unio da famlia de todos os abertos contidos em S; emparticular,

    S aberto, e S aberto se e s se

    S = S.

    2S = S \ S.

    3 S a interseo da famlia de todos os fechados que contm S; emparticular, S fechado, e S fechado se e s se S = S.

    4 S = S S.5 Dois quaisquer dos conjuntos

    S, S e (R \ S) so disjuntos e a sua

    unio R.Clculo Infinitesimal I (M111) 2014/2015 0. 37

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    Induo

    Descrevemos o conjunto N dos nmeros naturais como sendo formado por0, 1, 2, 3, . . .. Isto pressupe que o leitor de alguma forma j sabe o queso os nmeros naturais. Uma definio formal pode ser dada como segue.Dizemos que um subconjunto S de R indutivo se

    1 0 S;2 para todo o a S, a + 1 S.

    Note-se R um conjunto indutivo e que, se (Si)iI uma famlia deconjuntos indutivos, ento iI Si tambm um conjunto indutivo. Logo,existe o menor conjunto indutivo, que se define como sendo o conjuntodos nmeros naturais.Princpio de induo matemticaSeja S um conjunto indutivo de nmeros naturais. Ento S = N.

    Clculo Infinitesimal I (M111) 2014/2015 0. 38

  • Introduo O conjunto dos nmeros reais

    InduoPor outras palavras,

    Seja S um conjunto de nmeros naturais tal que1 0 S;2 n S n + 1 S.

    Ento S = N.

    Exemplo: Vejamos que ni=1(2i 1) = n2. De facto, consideremos oconjunto S = {n N :ni=1(2i 1) = n2}. Note-se que 0 S. Supondo(indutivamente, ou como hiptese de induo) que n S, temos ento

    n+1i=1

    (2i 1) =n

    i=1(2i 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

    ou seja, n + 1 S. Pelo princpio de induo, segue que S = N, o quemostra que a frmula vlida para todo o nmero natural n.

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    InduoNuma formulao alternativa do princpio de induo, assume-se comohiptese de induo todos os casos anteriores.

    Princpio de induo forteSeja S um conjunto de nmeros naturais tal que

    n N (k N (k < n k S) n S) .

    Ento S = N.

    Demonstrao:Consideremos o conjunto T = {n N : k N (k < n k S)}.Note-se que T = N implica S = N. Procedemos por induo. Tomandon = 0, a condio k < n com k N impossvel, pelo que a implicaok < n k S se verifica, ou seja 0 T . Supondo agora, indutivamente,que n T , temos k < n k S donde, por hiptese, resulta que n S,pelo que tambm se tem k < n + 1 k S, ou seja n + 1 T .

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    InduoExemplo

    Recorde-se que um nmero natural p > 1 primo se os seus divisorespositivos forem 1 e p. Provamos por induo (forte) que todo o nmeronatural n > 1 produto de nmeros primos.Seja S o conjunto formado por 0, 1 e por todos os produtos de nmerosprimos. Basta mostrar que S satisfaz a hiptese do princpio de induoforte.Consideremos um nmero natural arbitrrio n > 1 e (como hiptese deinduo) suponhamos que, para todo o k N, k < n implica k S. Se nfor primo, ento claro que n S. Se n no for primo, ento existealguma fatorizao da forma n = rs com r , s N [2, n 1]. Pelahiptese de induo, segue que r , s S e, portanto, r e s so produtos denmeros primos. Logo, n = rs tambm produto de nmeros primos. Ficaassim provado que a hiptese de induo implica n S, ou sejaverificmos a hiptese do princpio de induo forte.

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