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Introduccion a la Teorıa de Invariantes Geometricos

12 de diciembre de 2010

Claudia Reynoso

[email protected]

Departamento de Matematicas, Universidad de Guanajuato, Callejon Jalisco s/n, A.P. 402, C.P. 36000,Guanajuato, Gto. Mexico.

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Indice

1. Introduccion 31.1. Sobre las notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Acciones en Variedades y Cocientes 5

3. La accion natural de un subgrupo finito en Cn 83.1. Grupos Reductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Cocientes de Variedades Afines 144.1. Conjugacion de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Cocientes de Variedades Proyectivas 255.1. Ejemplos en Variedades Proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Criterio de Hilbert-Mumford 306.1. Ejemplos que hacen uso del Criterio de Hilbert-Mumford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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1. Introduccion

Uno de los objetivos principales de la Teorıa de Invariantes Geometricos (en ingles Geometric InvariantTheory o GIT) es resolver problemas de clasificacion de objetos en Geometrıa Algebraica.

El antecedente de la Teorıa de Invariantes Geometricos es la Teorıa de Invariantes; sin embargo, no hayque olvidar que esta teorıa proviene tambien de problemas geometricos. Entre otros grandes autores pode-mos mencionar los trabajos hechos por David Hilbert en esta rama, dichos trabajos son aproximadamentede 1890, podemos decir que sus resultados en esta area dieron origen a la teorıa de ideales en anillos depolinomios.

El problema fundamental en la teorıa de invariantes es el siguiente: dada una accion “buena”de un grupoG de automorfismos de un anillo de polinomios R, encontrar los elementos de R que quedan invariantes antela accion de G, estos elementos forman una subalgebra de R que denotaremos por RG. El objetivo esenciales probar que RG es un algebra finitamente generada y encontrar los generadores.

Ejemplo: Sea R = C[x1, ..., xn] y denotemos por Σn al grupo de permutaciones de {1, ..., n}. Tenemos lasiguiente accion:

C[x1, ..., xn]× Σn → C[x1, ..., xn](f(x1, ..., xn), σ) 7→ f(xσ(1), ..., xσ(n)).

El conjunto de invariantes RΣ = {f ∈ C[x1, ..., xn] : f(x1, ..., xn) = f(xσ(1), ..., xσ(n)) ∀σ ∈ Σ}, que eneste caso se llama el anillo de funciones simetricas, es un subanillo de R. Este subanillo contiene a lasfunciones simetricas elementales:

f1(x1, ..., xn) = x1 + · · ·+ xn

f2(x1, ..., xn) =∑

1≤i<j≤n

xixj

...fn(x1, ..., xn) = x1x2 · · ·xn.

De hecho se prueba que RΣ esta generado como C-algebra por f1, ..., fn, es decir, todo elemento de RΣ puedeescribirse de manera unica como un polinomio en los fi. Ası que RΣ es isomorfo al anillo C[f1, ..., fn].

La Teorıa de Invariantes Geometricos es la aplicacion de la Teorıa de Invariantes para construir objetosgeometricos que, a su vez, clasifican otros objetos. La TIG fue desarrollada por David Mumford en la decadade los sesentas del siglo pasado y gracias a ella Mumford fue galardonado con el maximo premio al que puedeaspirar un matematico a nivel mundial, la medalla Fields.

En terminos generales el problema que plantea esta teorıa es el siguiente: partimos de un conjunto Xdonde viven los objetos que queremos clasificar y consideramos en este conjunto la accion de un grupo G:

G×X → X

(g, x) 7→ gx.

Tenemos entonces el conjunto de orbitas de la accion, a este conjunto lo denotaremos por X/G, y tenemostambien la aplicacion proyeccion:

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π : X → X/G

x 7→ O(x) = {gx : g ∈ G}.

Si X es un espacio topologico, entonces, definiendo los abiertos U en X/G como aquellos conjuntos talesque π−1(U) es abierto en X, X/G es tambien un espacio topologico y π es una aplicacion continua.

En el caso en que X es una variedad algebraica y G actua de tal modo que en la orbita de un punto seencuentren todos los objetos que deseamos identificar con el, uno esperarıa que el conjunto de orbitas tuvie-ra una estructura algebraica y que la aplicacion proyeccion fuera tambien algebraica. En general esto no es ası.

La Teorıa de invariantes geometricos estudia los casos en que es posible construir espacios que clasifi-quen los objetos en cuestion que a su vez sean variedades algebraicas, junto con un morfismo algebraicode la variedad donde viven nuestros objetos a tal espacio. Como veremos mas adelante, en general esto nose consigue con el conjunto de orbitas en el que cada orbita serıa un punto en el espacio clasificante, engeneral vamos a tener el siguiente fenomeno: una orbita junto con las que se acumulen en ella representaranel mismo punto en el cociente, al que por el momento llamaremos bueno (despues precisaremos este concepto).

Podemos resumir lo anterior diciendo que el objetivo principal de TIG es resolver problemas de clasifica-cion en geometrıa algebraica, es decir, construir cocientes buenos cuyos puntos corresponden a clases deisomorfismos (dadas por la accion) de los objetos a clasificar y con la ventaja de que dicho espacio refleje laspropiedades geometricas y algebraicas de los objetos que esta clasificando.

1.1. Sobre las notas

El prerrequisito recomendable para hacer una lectura eficiente de este escrito es haber tomado un cur-so basico de geometrıa algebraica en el que el lector haya adquirido un conocimiento general de los queson las variedades algebraicas (afines y proyectivas), ası como su anillo de funciones y los morfismos en-tre ellas; esto implica, en particular, tener un conocimiento general de algebra conmutativa y topologıa deZariski. En este apartado daremos un esquema general del modo en que se presentan los temas en estas notas.

Como ya hemos mencionado, nuestro objetivo general es dar una idea basica de la construccion decocientes con estructura algebraica por acciones de grupos en variedades algebraicas afines y proyectivas.Empezaremos la exposicion con las definiciones generales de acciones de grupos y cocientes bueno, categoricoy geometrico; esta parte puede resultar tediosa debido a la gran cantidad de conceptos que se introducen,ası que la seccion 3 tiene el objetivo de aclarar un poco estos conceptos mediante el ejemplo particular deacciones en espacios afines por grupos finitos.

La siguiente seccion pretende dar una idea panoramica de los que son los grupos reductivos, estos grupostienen la gracia de que al actuar linealmente en una variedad algebraica es posible obtener cocientes buenosen un abierto invariante de dicha variedad.

A continuacion daremos la demostracion del teorema de Nagata que nos dice que el algebra de invariantespor la accion de un grupo reductivo resulta finitamente generada; y, como consecuencia importante, proba-remos la existencia de un cociente bueno por la accion de un grupo reductivo en una variedad afın.

La siguiente seccion expone un ejemplo clasico: la conjugacion de matrices. Este ejemplo ilustra de ma-nera clara lo que esta pasando geometricamente con las orbitas cuando construimos cocientes por accionesde grupos. El objetivo de esta seccion es observar que, cuando las orbitas son cerradas, la construccion delcociente es inmediata pero en el caso de orbitas que se acumulan en otras resultan hechos realmente sorpren-

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dentes.

La siguiente meta es tratar de construir cocientes de variedades proyectivas por acciones de grupos reduc-tivos, esto en general no es posible a menos que eliminemos un cerrado de la variedad, el cerrado constituidopor los llamados puntos inestables. El complemento de este cerrado es el abierto de puntos semiestables yen este conjunto invariante sı podremos construir un cociente bueno.

Una vez que hemos entendido por que los puntos inestables representan una obstruccion para construircocientes en variedades proyectivas, daremos algunos ejemplos en los que describimos dichos puntos, con elloveremos que estos puntos son degenerados en algun sentido, por ahora, ambiguo.

Describiremos enseguida un metodo desarrollado por David Hilbert y por David Mumford para encontrarlos puntos inestables de una accion, este metodo hace uso de los subgrupos a un parametro del grupo, ası quele daremos este nombre. Terminaremos las notas con algunos ejemplos que muestran el poder del Metodo deSubgrupos a un Parametro descrito anteriormente.

1.2. Notacion

1. Todos los anillos mencionados en las notas seran conmutativos con 1.

2. K sera un campo algebraicamente cerrado de cualquier caracterıstica.

3. Denotaremos el espacio afın de dimension n en el campo K por A(K)n y el espacio proyectivo dedimension n sobre K como P(K)n.

4. Sea X una variedad y sea U un abierto de X, entonces

A(U) = {f : U → K : f es una funcion regular}.

5. Si R es un anillo y f ∈ R entonces Rf es la localizacion del anillo en f .

2. Acciones en Variedades y Cocientes

A continuacion daremos todas las definiciones generales para poder plantear de un modo general el pro-blema que queremos estudiar, dichas definiciones incluyen la de grupo algebraico, acciones en variedadesalgebraicas y, por supuesto, cocientes en geometrıa algebraica.

Lo referente a grupos algebraicos que se menciona a continuacion puede ser consultado en [2] y [19].

Definicion 1. Un grupo G se dice algebraico sobre un campo K si es una variedad algebraica sobre Ky las operaciones de multiplicacion e inverso son morfismos algebraicos. Un grupo algebraico isomorfo a unsubgrupo cerrado de GL(n,K) se dice grupo algebraico lineal.

Aquı es necesario hacer la siguiente observacion: todos los grupos algebraicos que manejaremos en el textoseran lineales, de hecho esta es la clase de grupos algebraicos que tienen estructura de variedad afın. La clasede grupos algebraicos que tienen estructura de variedad proyectiva son las llamadas variedades abelianas, untema de estudio fascinante que no tocaremos aquı.

Definicion 2. Sean G1 y G2 grupos algebraicos, un homomorfismo de grupos algebraicos, es un ho-momorfismo de grupos φ : G1 → G2, que es morfismo de variedades algebraicas.

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Ejemplo 1. Los ejemplos clasicos de grupos algebraicos lineales son GL(n,K), SL(n,K), PGL(n,K) ytodo grupo finito, el cual, como sabemos, es subgrupo de un grupo de permutaciones Σn y por lo tanto essubgrupo de GL(n,K).

Definicion 3. Una accion de un grupo algebraico G en una variedad X es un morfismo

σ : G×X → X

tal que, para todo g1, g2 ∈ G, x ∈ X,

σ(g1, σ(g2, x)) = σ(g1g2, x)y

σ(e, x) = x,

donde e es el elemento identidad de G. Para simplificar la notacion escribiremos gx para referirnos a σ(g, x),ası que las condiciones anteriores se escriben:

g1(g2x) = (g1g2)x, ex = x.

Sea x ∈ X. Definimos el estabilizador de x y la orbita de x como

Est(x) = {g ∈ G : gx = x}O(x) = {gx ∈ X : g ∈ G},

respectivamente. Diremos que el conjunto W ⊂ X es invariante por la accion de G si gW = {gw : w ∈W} ⊂W para todo g ∈ G.

Ejemplo 2. La aplicacion:

GL(n,K)× A(K)n → A(K)n

(g, (x1, ..., xn)) 7→ g(x1, ..., xn),

que consiste simplemente en aplicar la transformacion lineal g al punto (x1, ..., xn) es una accion, la orbitade un punto distinto de cero es A(K)n − {0} y la orbita de cero es simplemente el cero.

Sea X una variedad afın en A(K)n+1 o proyectiva en P(K)n y sea G un grupo algebraico lineal. Supon-gamos que existe una accion

G×X → X

(g, x) 7→ gx,

de G sobre X.

Definicion 4. La accion anterior se dice lineal o que G actua linealmente sobre X si existe un homo-morfismo de grupos

ρ : G→ GL(n+ 1,K)

tal que la accion de G en X es la accion inducida por

G× A(K)n+1 → A(K)n+1

(g, (x0, ..., xn)) 7→ ρ(g)(x0, ..., xn),

donde ρ(g)(x0, ..., xn) es simplemente aplicar la transformacion lineal ρ(g) en el punto (x0, ..., xn).

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Ejemplo 3. La accion del ejemplo anterior es lineal.

El primer paso importante para llegar a la construccion de un cociente bueno de una variedad algebraicapor la accion de un grupo algebraico es considerar la accion inducida en el algebra de funciones algebraicasde la variedad. Dicha accion se describe a continuacion, supongamos que el grupo algebraico lineal G actuaen una variedad algebraica X, esta accion induce una accion en el algebra de funciones de X, es decir enA(X), de la siguiente manera:

A(X)×G→ A(X)(f, g) 7→ fg : X → K

x 7→ f(gx).

Definicion 5. Un elemento f ∈ A(X) es invariante por la accion de G si fg(x) = f(x) para todo x ∈ Xy g ∈ G. Si W es un subconjunto abierto e invariante de X, definimos el conjunto A(W )G := {f ∈ A(W ) :fg(x) = f(x) ∀x ∈W, ∀g ∈ G}.

Ahora vamos a dar las definiciones de cociente bueno, cociente categorico y espacio de orbitas, cada unode ellos juega un papel importante en los problemas de clasificacion que queremos entender.

Definicion 6. Un cociente bueno de X por G es una pareja (Y, φ) donde Y es una variedad y φ : X → Yes un morfismo afın que satisface las siguientes condiciones:

1. φ es G-invariante.

2. φ es sobre.

3. Si U es un abierto de Y , entoncesφ∗ : A(U)→ A(φ−1(U))

es un isomorfismo de A(U) sobre A(φ−1(U))G.

4. Si W es un subconjunto invariante y cerrado de X, entonces φ(W ) es cerrado.

5. Si W1, W2 son subconjuntos de X, cerrados, invariantes y disjuntos, entonces

φ(W1) ∩ φ(W2) = ∅.

Definicion 7. Un cociente categorico de X por G es un par (Y, φ), donde Y es una variedad y φ : X → Yes un morfismo tal que:

1. φ es constante en las orbitas de la accion.

2. Para cada variedad Y1 y morfismo φ1 : X → Y1 constante en orbitas, existe un unico morfismoχ : Y → Y1 tal que χ ◦ φ = φ1. Es decir, el siguiente diagrama

X

φ1

��

φ // Y

∃!χ~~~~~~

~~~

Y1

conmuta.

Si, ademas, φ−1(y) consiste de solo una orbita para todo y ∈ Y entonces (Y, φ) se llama espacio de orbitas.

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Definicion 8. Un cociente geometrico es un cociente bueno que es, ademas, un espacio de orbitas.

Todo cociente bueno es un cociente categorico, es decir, los cocientes buenos satisfacen una propiedaduniversal. De hecho tenemos la siguiente proposicion.

Proposicion 1. (ver [15]) Sea (Y, φ) un cociente bueno de X por G. Entonces

1. (Y, φ) es un cociente categorico de X por G;

2. φ(x1) = φ(x2) si y solo si O(x1) ∩O(x2) 6= ∅;

3. si la accion de G en X es cerrada, es decir, si todas las orbitas son conjuntos cerrados, entonces (Y, φ)es un cociente geometrico.

Las construcciones de cocientes que haremos en estas notas estaran basadas en el hecho de que A(X)G

sea finitamente generada como K-algebra, es decir, que existan elementos f1, ..., fs ∈ A(X)G tales queA(X)G = K[f1, ..., fs], esto significa que toda funcion invariante se puede escribir como un polinomio enf1, ..., fs.

3. La accion natural de un subgrupo finito en Cn

Lo primero que haremos para empezar a entender los conceptos que se presentaron en la seccion anteriores considerar el caso particular de acciones de grupos finitos en el espacio afın. El algebra de funcionespolinomiales del espacio afın es el anillo de polinomios, ası que para la construccion del cociente buenointroducimos los polinomios invariantes y estudiamos el algebra de polinomios invariantes. Si dicha algebraresulta ser finitamente generada, lo cual en el caso de grupos finitos es cierto, entonces podremos construirel cociente bueno, en este caso debemos destacar que el cociente bueno coincidira con el conjunto de orbitasdebido a que todas las orbitas son conjuntos cerrados de la misma dimension.

Recordemos que todo grupo finito es subgrupo de algun grupo de permutaciones Σn y, por tanto, es ungrupo algebraico lineal. Consideremos la accion natural del grupo finito G ⊂ GL(n,C) en el espacio afıncomplejo An(C) (por comodidad vamos a denotar este espacio por Cn):

G× Cn → Cn

(g, (x1, ..., xn)) 7→ g

x1

...xn

,lo que deseamos es construir un cociente bueno. El primer paso para hacer esta construccion es considerarla accion inducida en el algebra de funciones del espacio afın Cn que, como sabemos, es C[x1, ..., xn],

C[x1, ..., xn]×G→ C[x1, ..., xn](f, g) 7→ fg : Cn → C

x 7→ f(gx).

Adaptando las definiciones de funcion invariante a este caso tenemos que un polinomio f ∈ C[x1, ..., xn]es invariante bajo G si f(x) = f(gx) para todo g ∈ G y el conjunto de polinomios invariantes bajo Gsera denotado por C[x1, ..., xn]G.

Emmy Noether demostro en [16] el siguiente importante resultado.

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Teorema 1. C[x1, ..., xn]G es finitamente generado como C-algebra, es decir, existen polinomios f1, ..., fs ∈C[x1, ..., xn] tales que C[x1, ..., xn]G = C[f1, ..., fs].

Un caso particular lo tenemos cuando el grupo en cuestion es Σn, en este caso se pueden construirfacilmente los generadores del algebra de invariantes y en la demostracion que damos enseguida, la cual sepuede encontrar en [3], se construye todo polinomio invariante como polinomio en los polinomios simetricoselementales.

Teorema 2. Con la notacion del ejemplo presentado en la introduccion, tenemos que:

C[x1, ..., xn]Σn = C[f1, ..., fn].

Demostracion. Usaremos en el conjunto de monomios el orden lexicografico con x1 > x2 > ... > xn. Sea fun polinomio simetrico no cero y sea TP (f) = axα el termino principal de f , es decir, el mayor termino enf . Lo primero que probaremos es que si α = (α1, ..., αn), entonces α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αn. Para probar esto,supongamos que αi < αi+1 y sea β = (α1, ..., αi+1, αi, ..., αn).

Como axα es un termino de f , entonces axβ es un termino de f(..., xi+1, xi, ...). Pero como f es simetrico,entonces f(..., xi+1, xi, ...) = f y, por lo tanto, axβ tambien es un termino de f . Pero esto es imposible, puesxβ > xα. Hemos probado la afirmacion.

Sea

h = fα1−α21 fα2−α3

2 · · · fαn−1−αn

n−1 fαnn ,

para calcular el termino principal de h primero notemos que TP (fr) = x1x2 · · ·xr para 1 ≤ r ≤ n. Ası que

TP (h) = TP (fα1−α21 fα2−α3

2 · · · fαn−1−αn

n−1 fαnn )

= TP (f1)α1−α2TP (f2)α2−α3 · · ·TP (fn−1)αn−1−αnTP (fn)αn

= xα1−α21 (x1x2)α2−α3 · · · (x1x2 · · ·xn)αn

= xα11 · · ·xαn

n = xα.

Se sigue, entonces que f y ah tienen el mismo termino principal, y, entonces, si definimos el multigradode un polinomio F =

∑α aαx

α como multigrado(F ) = max{α ∈ Zn≥0 : aα 6= 0} (el maximo se tomarespecto al orden lexicografico) multigrado(f − ah) < multigrado(f), siempre que f − ah 6= 0.

Sea g1 = f − ah, notar que g1 es simetrico ya que f y h lo son. Si g1 6= 0, podemos repetir este procesopara obtener g2 = g1 − a1h1, donde a1 es una constante y h1 es un producto de las funciones simetricaselementales, f1, ..., fn con alguna potencia. Y sabemos que TP (g2) < TP (g1) cuando g2 6= 0. Continuandode esta manera obtenemos una sucesion de polinomios f, g1, g2, ... con

multigrado(f) > multigrado(g1) > multigrado(g2) > ...

Esta sucecion debe ser finita. Esto significa que el proceso termina y entonces gt+1 = 0 para algun t. Ası que

f = ah+ a1h1 + ...+ atht,

lo cual prueba que f es un polinomio en las funciones simetricas elementales.

Ejercicio 1. Demuestra que un polinomio simetrico puede escribirse de manera unica como un polinomioen las funciones simetricas elementales f1, ..., fn. Concluye con esto que C[x1, ..., xn]Σn es isomorfo comoC-algebra a C[x1, ..., xn].

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Regresando al caso general tenemos, gracias al teorema de Emmy Noether, que existen polinomiosf1, ..., fs ∈ C[x1, ..., xn] tales que C[x1, ..., xn]G = C[f1, ..., fs] y si consideramos el ideal I = {h ∈ C[y1, ..., ys] :h(f1, ..., fs) = 0 en C[x1, ..., xn]}, entonces la correspodencia

ϕ : Cn/G→ Y

O(x) 7→ (f1(x), ..., fs(x)),

donde Y es la variedad definida por I, es decir, Y = {(a1, ..., as) ∈ A(C)s : h(a1, ..., as) = 0 ∀h ∈ I}; es unabiyeccion (la demostracion de este hecho puede encontrarse en el Teorema 10 del capıtulo 4 de [3]), dondeCn/G = {O(x) : x ∈ Cn}. Esto se debe principalmente a que la orbita de un punto es un conjunto finito y,por tanto, es un conjunto cerrado y de hecho todas las orbitas tienen la misma dimension. Esta condiciones muy fuerte y nos permite hacer construcciones de cocientes con hermosas propiedades; el ejemplo de lasmatrices que se presenta en una seccion posterior nos ayudara a entender la geometrıa del cociente cuandolas orbitas tienen en su cerradura otras orbitas.

Consideramos entonces la aplicacion proyeccion seguida de la aplicacion ϕ:

φ = ϕ ◦ π : Cn → Cn/G→ Y

x 7→ O(x) 7→ (f1(x), ..., fs(x));

como ya hemos mencionado en la introduccion, con la aplicacion proyeccion podemos darle una topologıa aCn/G del siguiente modo: un conjunto U ⊂ Cn/G es abierto si y solo si π−1(U) es abierto en Cn. Podemosidentificar las funciones continuas de Cn/G a C con el algebra de invariantes C[x1, ..., xn]G. Entonces laaplicacion φ induce el siguiente morfismo de anillos:

φ∗ : A(Y ) = C[y1, ..., ys]/I → C[x1, ..., xn]G = C[f1, ..., fs]→ A(Cn) = C[x1, ..., xn]h(y1, ..., ys) + I = h(y1, ..., ys) 7→ h(f1, ..., fn) 7→ h(f1(x1, ..., xn), ..., fs(x1, ..., xn)).

Y tenemos el siguiente Teorema.

Teorema 3. La aplicacion φ : Cn → Y es un cociente bueno de Cn por G. Mas aun, este cociente esgeometrico.

Demostracion. La aplicacion:

φ : Cn → Y

x 7→ (f1(x), ..., fs(x)),

es claramente afın e invariante en las orbitas. La condicion 2 de la definicion 6 se sigue del hecho que ϕ essobre. Para demostrar la condicion 3 vamos a usar el resultado que nos dice que todo abierto de Y puedeser cubierto por los abiertos Yh = {y ∈ Y : h(y) 6= 0}, donde h ∈ A(Y ); ası que demostraremos el resultadopara estos abiertos:

φ∗(A(Yh)) = φ∗(A(Y )h) = π∗(C[x1, ..., xn]Gh(f1,...,fs)) =

(π∗(C[x1, ..., xn]G))h(f1(x1,...,xn),...,fs(x1,...,xn)) = C(x1, ..., xn)Gh(f1,...,fs) =

A(Cnh(f1(x1,...,xn),...,fs(x1,...,xn)))G = A(φ−1(Yh))G,

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la inyectividad se sigue de la definicion de φ∗. Podemos ver que φ es un morfismo finito y, por tanto, es unmorfismo cerrado, de aquı se sigue la condicion 4.

Sean W1,W2 subconjuntos de Cn, cerrados, invariantes y disjuntos; supongamos que y ∈ φ(W1)∩φ(W2),es decir, existen a ∈ W1 y b ∈ W2 tales que fj(a) = fj(b) para todo j = 1, ..., s, entonces tenemos que paratodo h, polinomio invariante por G, h(a) = h(b).

Como O(a) y O(b) son conjuntos cerrados disjuntos de Cn entonces existe un polinomio f ∈ C[x1, ..., xn]tal que f|O(a) ≡ 1 y f|O(b) ≡ 0; consideremos el polinomio:

hf =1|G|

∑g∈G

fg ∈ C[x1, ..., xn],

es facil ver que hf es un polinomio invariante, y hf (a) = 1, hf (b) = 0, lo cual es una contradiccion. Hemosprobado que φ(W1) ∩ φ(W2) = ∅. Y con esto concluimos que φ : Cn → Y es un cociente bueno.

Todas las orbitas de esta accion son conjuntos cerrados, ası que, por la proposicion 1, este cociente esgeometrico.

Vamos a finalizar esta seccion con algunos ejemplos sencillos de lo que hemos expuesto hasta ahora.

Ejemplo 4. Hemos demostrado que C[x1, ..., xn]Σn = C[f1, ..., fn] donde f1, ..., fn son las funciones simetri-cas elementales y, por el ejercicio 1 tenemos que I = {h ∈ C[y1, ..., yn] : h(f1, ..., fn) = 0 en C[x1, ..., xn]} ={0}, ası que el cociente bueno de la accion natural de Σn en Cn es:

φ : Cn → Cn

(x1, ...., xn) 7→ (f1(x1, ..., xn), ..., fn(x1, ...., xn)).

Ejemplo 5. Consideremos el grupo cıclico:

C2 ={(−1 00 −1

),

(1 00 1

)}⊂ GL(2,C).

Podemos probar que C[x1, x2]C2 = C[x21, x

22, x1x2] y I = {h ∈ C[y1, y2, y3] : h(x2

1, x22, x1x2) = 0 en C[x1, ..., xn]} =<

y1y2 − y23 >, ası que el cociente bueno esta dado por:

φ : C2 → Y = {(y1, y2, y3) ∈ C3 : y1y2 = y23}

(x1, x2) 7→ (x21, x

22, x1x2).

3.1. Grupos Reductivos

De acuerdo a lo expuesto en la seccion anterior podemos intuir que la generacion finita del algebra deinvariantes nos permite construir cocientes de variedades por acciones de grupos algebraicos lineales pero,¿todo grupo algebraico lineal satisface esta propiedad? ¿cuales son los grupos algebraicos lineales que hacendel algebra de invariantes un algebra finitamente generada? En esta seccion vamos a dar las definicionesy resultados basicos sobre la clase de grupos que tienen esta importante propiedad, dichos grupos son losgrupos reductivos.

En el Congreso Internacional de Matematicas, celebrado en Paris en 1900, David Hilbert propuso unalista de 23 problemas que marcarıan gran parte del desarrollo de las matematicas del siglo pasado. El proble-ma 14 planteaba, entre otras cosas, lo que hemos venido mencionando sobre la generacion finita del algebra

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de invariantes, Hilbert demostro que esto era ası en algunos casos particulares.

El estudio de los grupos con esta propiedad atrajo y sigue atrayendo a muchısimos matematicos impor-tantes que han contribuido al desarrollo de la teorıa, entre ellos podemos mencionar a Masayoshi Nagata,quien en el ano 1958 presento el primer contraejemplo al problema catorce de Hilbert (ver [14]), es decir, cons-truyo un algebra finitamente generada y un grupo actuando en ella de tal modo que el algebra de invariantesno era finitamente generada (el lector interesado en este tema puede encontrar una buena introduccion en[18]).

En 1963 Masayoshi Nagata demostro la generacion finita del algebra de invariantes para los gruposgeometricamente reductivos (ver [13]), la demostracion de este importante Teorema se vera en la siguienteseccion. Por ahora introducimos los conceptos de grupo geometricamente reductivo y grupo linealmentereductivo.

Definicion 9. Un grupo algebraico lineal G se dice geometricamente reductivo (linealmente reduc-tivo) si, para cada accion lineal de G en A(K)n, y cada punto v ∈ A(K)n, v 6= 0, invariante por la accionde G, exite f ∈ C[x1, ..., xn], homogeneo, invariante, de grado mayor o igual a uno (igual a uno) tal quef(v) 6= 0.

Ejemplo 6. Todo grupo finito G es geometricamente reductivo: consideremos una accion lineal de G enA(K)n y sea v ∈ A(K)n, v 6= 0, invariante por la accion de G, existe f polinomio homogeneo tal quef(v) = 1, entonces fG = 1

|G|∑g∈G f

g es invariante, homogeneo y fG(v) = 1.

Ejemplo 7. El grupo aditivo Ga, es decir, el grupo cuyos elementos son los elementos del campo K con lasuma, no es geometricamente reductivo. Este grupo puede verse como un subgrupo de GL(2,K) del siguientemodo:

Ga ={(

1 a0 1

)∈ GL(2,K) : a ∈ K

};

consideremos la accion natural de Ga en A(K)2, es decir,

Ga × A(K)2 → A(K)2(( 1 a0 1

), (x1, x2)

)7→ (x1 + ax2, x2),

el punto (1, 0) es invariante por Ga. Supongamos que el grupo es geometricamente reductivo, entonces existeun polinomio monico e invariante f(x1, x2) = a0x

r2 + a1x1x

r−12 + ... + xr1. Como f es invariante por Ga

entonces f(x1, x2) = f(x1 + ax2, x2) para todo a ∈ K, y esto implica que a0 = a0 + a1a+ ...+ ar−1ar−1 + ar

para todo a ∈ K, lo cual es una contradiccion pues un polinomio tiene un numero finito de raices.

Ahora introducimos el concepto de grupo reductivo, en 1963 Masayoshi Nagata y Miyata en el artıculo[11]probaron que todo grupo geometricamente reductivo es reductivo, ası que, en principio se tenıa la generacionfinita del algebra de invariantes para un tipo especial de grupos reductivos.

Definicion 10. Sea G un grupo algebraico lineal, un elemento u ∈ G se dice unipotente si existe un enteror tal que (u − Id)r = 0, donde Id es la matriz identidad. El grupo G se llama unipotente si todos suselementos son unipotentes.

Ejemplo 8. El grupo aditivo Ga es unipotente pues la matriz:

(1 a0 1

)−(

1 00 1

)=(

0 a0 0

)es nilpotente para todo a 6= 0.

12

Definicion 11. Sea G un grupo algebraico lineal, denotaremos por Gu el subgrupo maximal, normal, uni-potente de G. El radical unipotente de G denotado por Ru(G) es la componente conexa de la identidaden Gu.

Definicion 12. Un grupo algebraico lineal G es reductivo si es conexo y Ru(G) = {Id}

Ejemplo 9. El toro algebraico de dimension n, es decir, (K∗)n es reductivo. Si u = (u1, ..., un) ∈ (K∗)n

es unipotente entonces existe un entero r tal que (uj − 1)r = 0 para todo j = 1, ..., n, y esto implica queuj = 1 para todo j = 1, ..., n, ası que Ru((K∗)n) = {(1, ..., 1)}. Obviamente el toro algebraico de dimensionn es el subgrupo de matrices diagonales de GL(n,K).

Ejemplo 10. Los grupos GL(n,K), SL(n,K), PGL(n,K), ası como los subgrupos finitos de GL(n,K) sonreductivos, la demostracion completa de este hecho puede consultarse en [19]. Aquı vamos a demostrar condetalle la reductividad para el grupo GL(2,K). Supongamos que existe u ∈ Ru(GL(2,K)) distinto de laidentidad, entonces u es conjugada a una matriz de la forma:

u0 =(

1 a0 1

),

con a 6= 0, como Ru(GL(2,K)) es normal entonces u0 ∈ Ru(GL(2,K)) y:

1a

(1 00 a

)(1 a0 1

)(1 00 a

)−1

=(

1 10 1

)∈ Ru(GL(2,K)),

puesto que la matrix(

1 01 1

)es conjugada de

(1 10 1

)tenemos que

(1 10 1

)(1 01 1

)=(

2 11 0

)∈

Ru(GL(2,K)), lo cual es una contradiccion pues:

((2 11 0

)−(

1 00 1

))2

= 2(

1 00 1

).

Ejemplo 11. Evidentemente ningun grupo unipotente, conexo no trivial es reductivo, tal es el caso de Ga.

Ejemplo 12. El subgrupo de GL(4,C) definido por

G =

1 b c bc0 1 0 c0 0 a ab0 0 0 a

: a ∈ C∗, b, c ∈ C

no es reductivo. Consideremos el subgrupo U de G definido por la condicion a = 1, entonces U es un subgrupoalgebraico lineal de G, se deja al lecto probar que U es abeliano y conexo. Sean:

g =

1 b c bc0 1 0 c0 0 a ab0 0 0 a

∈ G u =

1 β γ βγ0 1 0 γ0 0 1 β0 0 0 1

∈ U,entonces

gug−1 =

1 β a−1γ a−1βγ0 1 0 a−1γ0 0 1 β0 0 0 1

∈ U,

13

ası que U es normal, y claramente sus elementos son unipotentes. Por lo tanto U ⊂ Ru(G) y concluimosque G no es reductivo.

En 1939 el matematico aleman Hermann Klaus Hugo Weyl habıa probado que en campos de caracterısticacero todo grupo reductivo es linealmente reductivo (ver [21]). Con todos estos resultados llegamos al siguienteTeorema.

Teorema 4. Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo K de caracterıstica cero. Entonces lo siguientees equivalente:

1. G es reductivo

2. G es linealmente reductivo

3. G es geometricamente reductivo.

Para campos de caracterıstica arbitraria tenemos que William Haboush en [5] demostro, diez anos despuesde haber sido propuesta, la famosa Conjetura de Mumford, establecida en 1964, esta conjetura decıa quetodo grupo reductivo es geometricamente reductivo. Se tiene entonces el siguiente:

Teorema 5. Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo K. Entonces lo siguiente es equivalente:

1. G es reductivo

2. G es geometricamente reductivo.

La conclusion es que los grupos reductivos en campos algebraicamente cerrados de cualquier caracterısticahacen del algebra de invariantes un algebra finitamente generada. De hecho esta clase de grupos es la masgrande con esta propiedad, en el siguiente sentido: Vladimir Popov probo en [17] que si un G grupo tiene lapropiedad de que para toda algebra finitamente generada y toda accion lineal de G en el algebra, el algebrade invariantes es finitamente generada entonces G es reductivo.

4. Cocientes de Variedades Afines

Empezaremos esta seccion dando la definicion de accion racional en una K-algebra. Como veremos masadelante, toda accion lineal de un grupo algebraico en una variedad afın induce una accion racional en sualgebra de funciones regulares; por otro lado, el teorema de Nagata nos garantiza la generacion finita delalgebra de invariantes bajo la accion racional de un grupo reductivo en un algebra finitamente generada.

Definicion 13. Sea G un grupo algebraico y R una K-algebra. Una accion racional de G en R es unaaplicacion

R×G→ R

(f, g) 7→ fg,

que satisface las siguientes propiedades:

1. Para todo f ∈ R y g1, g2 ∈ G, fg1g2 = (fg1)g2 y fe = f .

2. Dado g ∈ G, la aplicacion f 7→ fg es un automorfismo de K-algebras de R.

3. Para cada elemento f ∈ R existe un subespacio vectorial de R de dimension finita n, el cual contiene af , es invariante bajo G y sobre el cual G actua mediante un morfismo de grupos algebraicos G→ GL(n).

14

En el caso en que X es una variedad afın y actua en ella un grupo reductivo G, el siguiente Teorema,demostrado por Masayoshi Nagata en 1964 (ver [13]), tiene como consecuencia la existencia de una variedadafın cuyos puntos en un abierto parametrizan a las orbitas cerradas y en el resto tenemos puntos que para-metrizan cerraduras de orbitas tal que en ellas se acumulan orbitas de dimension menor; ademas existe unmorfismo algebraico de X a esta variedad afın invariante en orbitas y con otras propiedades analogas a lasde la aplicacion proyeccion.

El Teorema fue demostrado originalmente para grupos geometricamente reductivos, despues fue demos-trada la equivalencia de estos con los reductivos, enunciaremos el Teorema para estos ultimos. Nosotrospresentaremos la demostracion de este Teorema debido a la riqueza algebraica que contiene pero quien lodesee puede omitir su lectura ya que esta no es importante para entender las ideas que se presentan en elresto de la exposicion.

Teorema 6. (ver Teorema 3.4 de [15]) Sea G un grupo reductivo actuando racionalmente en una K-algebrafinitamente generada A. Entonces AG = {f ∈ A : fg = f ∀g ∈ G} es finitamente generada como K-algebra.

Demostracion. Para la demostracion de este teorema usaremos los siguientes lemas sobre K-algebras que nodemostraremos aquı, pero una buena referencia para consultar estas demostraciones es [4].

Lema 1. Sea A =⊕

i≥0Ai una K-algebra graduada. Entonces A es finitamente generada como K-algebrasi y solo si A+ =

⊕i>0Ai es finitamente generado como un ideal en A.

Lema 2. Sea A una K-algebra finitamente generada, entera sobre una subalgebra B. Entonces A es unB-modulo finito y B es finitamente generada como K-algebra.

Lema 3. Sea A una K-algebra, entera sobre una subalgebra B. Supongamos que A es un dominio y que elcampo de fracciones L de A es una extension finitamente generada de K (i.e. existen elemento v1, ..., vn ∈ Ltales que L = K(v1, ..., vn) ). Si B es una K-algebra finitamente generada, entonces A es un B-modulo finito,y entonces es una K-algebra finitamente generada.

Lema 4. Consideremos las siguientes extensiones de campos K ⊂ L ⊂ K1 y supongamos que K1 es unaextension finitamente generada de K. Entonces L es una extension finitamente generada de K.

Ahora vamos a probar el siguiente lema de Nagata, fundamental en la prueba del Teorema. Supongamosque G es un grupo reductivo actuando racionalmente en una K-algebra R finitamente generada.

Lema 5. Sea J un ideal de R, invariante por G. Si h+J ∈ (R/J)G, entonces ht+ (J ∩RG) ∈ RG/(J ∩RG)para algun entero positivo t.

Observacion 1. Tenemos que ver a RG/(J ∩RG) como una subalgebra de (R/J)G mediante el homomor-fismo de K-algebras

φ : RG/(J ∩RG)→ (R/J)G

h+ (J ∩RG) 7→ h+ J,

cuyo nucleo es J ∩RG. Entonces este lema lo que esta probando es que (R/J)G es entero sobre RG/(J ∩RG).

Demostracion. Sea h ∈ R, podemos suponer que h /∈ J , pues si h + J = J el resultado es trivial. Tenemosque probar que existen h0 ∈ RG y un entero positivo t tales que h0−ht ∈ J , pues de esta manera tendrıamosque h0 + (J ∩RG) = ht + (J ∩RG).

Como G actua racionalmente sobre R, el subespacio M de R generado por el conjunto {hg : g ∈ G} esde dimension finita, ya que si Wh es el subsepacio de dimension finita e invariante que existe para h, por ladefinicion de racionalidad, entonces < hg : g ∈ G >⊂Wh. Y claramente M es G-invariante.

15

Sea N = M ∩ J . Por hipotesis h /∈ J , entonces h /∈ N , pero hg − h ∈ N , ya que, debido a que f esinvariante por G, tenemos que hg − h ∈ J , para todo g ∈ G.

Si {h2, ..., hr} es una base del espacio vectorial N , entonces {h, h2, ..., hr} es una base de M . Veamos pri-mero que son linealmente independientes sobre K: λh+

∑λihi = 0 implica que

∑λihi = −λh ∈ J , ası que

λ = 0 y λi = 0 para todo i. Y, puesto que, para todo g ∈ G, hg − h =∑ri=2 λihi, entonces {h, h2, ..., hr}

genera a M .

Entonces dimM = dimN + 1 y todo elemento de M puede escribirse de manera unica como ah+h′, cona ∈ K,h′ ∈ N . Definimos entonces la siguiente aplicacion lineal L : M → K, ah + h′ 7→ a, esta aplicacionlineal es G invariante, ya que (ah+ h′)g = ah+ a(hg − h) + h′g ∈ ah+N .

Sea M∗ el espacio dual de M . Identifiquemos a M∗ con Kr con la base dual {h∗, h∗2, ..., h∗r}, entonces elelemento L corresponde a (1, 0, ..., 0) ∈ Kr. Mas aun, L es invariante respecto a la accion lineal de G en Kr

inducida por la accion dada en M .

Gracias a que G es geometricamente reductivo existe un polinomio F ∈ K[x1, ..., xr], homogeneo, inva-riante, de grado t ≥ 1 tal que F (L) 6= 0. Y esto implica que el coeficiente de xt1 en F es distinto de cero;supondremos que este coeficiente es 1.

Finalmente consideramos el siguiente homomorfismo de K-algebras

χ : K[x1, ..., xr]→ R

x1 7→ h

xi 7→ hi (i ≥ 2).

Se ve facilmente que este homomorfismo conmuta con la accion de G en K[x1, ..., xr] y en R.

Tenemos que χ(F (x1, ..., xr)) = F (h, h2, ..., hr) = h0 ∈ RG, ya que F es invariante; y h0 − ht perteneceal ideal generado por h2, ...hr el cual esta contenido en J

Regresemos ahora a la demostracion del Teorema de Nagata. Como R es finitamente generada como K-algebra y G actua racionalmente en R, entonces existen elementos f1, ..., fm ∈ R linealmente independientessobre K tales que:

1. R = K[f1, ..., fm].

2. El subespacio vectorial de R generado por f1, ..., fm es invariante por G, y la accion de G en estesubespacio esta dada por fgi =

∑mj=1 αij(g)fj , donde G→ GL(m,K), g 7→ αij(g), es un homomorfismo

de grupos algebraicos.

Esto se debe a que si Wfies el subespacio vectorial de dimension finita, invariante, que contiene a fi, el

cual existe gracias a que G es geometricamente reductivo, entonces W =< f : f ∈⋃ni Wfi

> es invariante y< f1, ..., fn >⊂W .

Sea S = K[x1, ..., xm]. Podemos ver que existe una unica accion racional de G en S tal que xgi =∑mj=1 αij(g)xj , para 1 ≤ i ≤ m y g ∈ G. Ası que tenemos una accion de G en R y en S y el homomorfismo

de K-algebras φ : S → R, xi 7→ fi, conmuta con la accion, es decir, el siguiente diagrama:

16

G× S

IG×φ��

// S

φ

��G×R // R,

conmuta. Esto, en particular, implica que si F ∈ Ker(φ) y g ∈ G, entonces F g ∈ Ker(φ), pues, para 0 ∈ R,tenemos que 0g = 0. Entonces es suficiente probar el siguiente:

Teorema 7. Sea G un grupo algebraico lineal actuando racionalmente en S de tal manera que preservael grado de todo elemento homogeneo, y sea Q un ideal de S invariante por G. Entonces, para la accioninducida en R = S/Q, RG es finitamente generada.

Demostracion. Consideremos la accion de G en S y supongamos que existe un ideal homogeneo Q de Sinvariante por G tal que RG = (S/Q)G no es finitamente generada.

Como S es un anillo Noetheriano podemos suponer que Q es un ideal maximal entre los ideales conesta propiedad. Como Q es homogeneo, entonces R es tambien una K-algebra graduada. Si J es un idealhomogeneo, invariante de R, entonces J = J1/Q, donde J1 es un ideal, homogeneo, invariante de S y Q ⊂ J1,ası que, por la maximalidad de Q, tenemos que (R/J)G = ((S/Q)/(J1/Q))G = (S/J1)g es finitamente gene-rada.

Por el lema 5, concluimos que (R/J)G es entero sobre RG/(J ∩RG) y, por el lema 2, tenemos que

RG/(J ∩RG) es finitamente generada (1)

mas aun

(R/J)G es un RG/(J ∩RG)-modulo finito. (2)

Sea f un polinomio homogeneo no constante en RG. Si f no es un divisor de cero en R entonces afirmamosque fR∩RG = fRG, ya que, como RG ⊂ R y f es invariante, entonces la contencion fRG ⊂ RG∩fR es claray sea fh ∈ RG, donde h ∈ R, entonces para todo g ∈ G, (fh)g = fghg = fhg = fh, ası que f(hg − h) = 0,por tanto, h ∈ RG.

Entonces, si consideramos el ideal J = fR de R, el cual es homogeneo e invariante porque f lo es, tenemos,por la ecuacion (1) y por la igualdad anterior, que RG/fRG es finitamente generada y, por el lema 1, conclui-mos que (RG/fRG)+, es finitamente generado como ideal de RG/fRG. Y como (RG/fRG)+ = RG+/fR

G,entonces RG+ es finitamente generado como ideal de RG. Esto implica, nuevamente por el lema 1, que RG esfinitamente generada como algebra, lo cual es una contradiccion.

Para terminar la parte de la demostracion en la que Q es homogeneo resta considerar el caso en el quef es divisor de cero, es decir, el ideal I = {h ∈ R : fh = 0} 6= {0}. Sea g ∈ G y sea h ∈ I, entoncesfhg = (fh)g = 0, ası que I es invariante. Ademas el ideal I es homogeneo, pues si

∑hi ∈ I, donde hi es

homogeneo de grado i, entonces∑fhi = 0 implica que fhi = 0, pues f es homogeneo. Por tanto, por la

ecuacion (1), las algebras

RG/(fR ∩Rg) y RG/(I ∩Rg),

son finitamente generadas. Ası que existe una subalgebra R1 de RG, finitamente generada, tal que loshomomorfismos naturales

17

R1 → RG/(fR ∩Rg) R1 → RG/(I ∩Rg)r1 7→ r1 + (fR ∩Rg) r1 7→ r1 + (I ∩Rg),

son sobre. Si RG/(fR∩Rg) = K[a1, ..., as] y RG/(I∩Rg) = K[b1, ..., bn], entonces R1 = K[a1, ..., as, b1, ..., bn].

Notar que, por la ecuacion (2), tenemos que (R/I)G es un RG/(I ∩ RG)-modulo finito. Sean c1, ..., crelementos de R cuyas imagenes en R/I generan este modulo.

Para todo g ∈ G, tenemos (fci)g = fgcgi = fcgi = fci, ya que cgi−ci ∈ I. Ası que fci ∈ RG. Hemos probadoque R1[fc1, ..., fcr] ⊂ RG. Sea h ∈ RG, entonces existe h1 ∈ R1 tal que h1 + (fR ∩Rg) = h+ (fR ∩Rg), esdecir, h− h1 = fb, para algun b ∈ R. Ası que

0 = (fb)g − fb = f(bg − b);

es decir, la imagen de b en R/I es invariante bajo G. Se sigue que existen f1, ..., fr ∈ R1 tales queb−∑fici ∈ I. Por tanto h = h1+fb = h1+

∑ffici ∈ R1[fc1, ..., fcr]. Concluimos que R1[fc1, ..., fcr] = RG,

por tanto, RG es finitamente generada, y esto es una contradiccion.

Ahora vamos a analizar el caso general. Supongamos que Q es un ideal maximal, invariante en S tal queRG = (S/Q)G no es finitamente generada. Si RG contiene un divisor de cero, obtenemos una contradiccionusando el caso homogeneo. Supongamos, entonces, que RG es un dominio entero.

Por el caso homogeneo tenemos que SG es finitamente generada, y, por el lema 5 tenemos que: RG esentero sobre SG/(Q ∩ SG). Ası que, en vista del lema 3, es suficiente probar que el campo de fracciones Lde RG es una extension finita de K.

Para esto, sea T = {r ∈ R : r no es divisor de cero en R}. Claramente T es un subconjunto multiplicati-vo de R. Sabemos que R ⊂ RT y, como RG es un dominio, entonces M ∩ RG = {0} para todo ideal propioM de RT .

Si M es un ideal maximal, entonces L puede ser identificado con un subcampo de RT /M . Por el lema 4,es suficiente probar que RT /M es una extension finita de K. Pero esto es consecuencia de que RT /M es elcampo de fracciones de R/(M ∩R), que es una K-algebra finitamente generada.

Ahora procederemos a aplicar este Teorema para la construccion del cociente bueno en variedades afines,para ello consideremos la siguiente accion lineal de un grupo reductivo G en una variedad afın X que viveen A(K)n y definida por el ideal I ⊂ K[x1, ..., xn]:

G×X → X

(g, x) 7→ gx,

como lo hemos venido mencionando, esta accion induce una accion en el anillo de funciones regulares o anillocoordenado de X:

A(X) = K[x1, ..., xn]/I ×G→ A(X)(f, g) 7→ fg : X → K

x 7→ f(gx).

18

Como A(X) es finitamente generada, entonces, si G actua racionalmente en A(X), tendrıamos, por el Teo-rema de Nagata, que A(X)G es finitamente generada, es decir, existen f1, ..., fs ∈ AG(X), tales que AG(X) =K[f1, ..., fs]. ComoK[f1, ..., fs] = K[y1, ..., yn]/J , donde J = {h ∈ K[y1, ..., ys] : h(f1, ..., fs) ≡ 0 en K[x1, ..., xn]},entonces la variedad afın Y ⊂ A(K)s definida por J tiene como anillo coordenado al algebra de invariantesAG(X) y el morfismo de anillos:

φ∗ : A(Y ) = K[y1, ..., yn]/J → A(X)h+ J 7→ h(f1, ..., fs),

induce un morfismo algebraico φ : X → Y . En el Teorema 8 probaremos que (φ, Y ) es un cociente bueno.

Teorema 8. (ver pag. 61 de [15]) Sea G un grupo reductivo actuando en una variedad afın X, entoncesexiste una variedad afın Y y un morfismo φ : X → Y tal que

1. φ es G− invariante, es decir, φ(gx) = φ(x) para todo g ∈ G.

2. φ es sobre.

3. Si U ⊂ Y es abierto entonces

φ∗ : A(U)→ A(φ−1(U))f 7→ f ◦ φ

es un isomorfismo sobre A(φ−1(U))G.

4. Si W1 y W2 son subconjuntos invariantes, cerrados, disjuntos, entonces φ(W1) ∩ φ(W2) = ∅.

5. Si W es un subconjunto invariante, cerrado de X, entonces φ(W ) es cerrado.

Es decir, (Y, φ) es un cociente bueno.

Para la demostracion del Teorema necesitaremos los siguientes lemas.

Lema 6. Sea G un grupo reductivo actuando racionalmente en una K-algebra R, finitamente generada. Sif1, ..., fs ∈ RG y f ∈ (

∑fiR) ∩RG, entonces f t ∈

∑fiR

G para algun entero positivo t.

Demostracion. Demostraremos el lema usando induccion en s. Para s = 1, sea f ∈ f1R ∩ RG; entoncesf = f1f

∗ y f1(f∗g − f∗) = 0. Aplicando el lema 5 al ideal J = {h ∈ R : f1h = 0}, obtenemos f∗∗ ∈ RG y unentero positivo t tales que f1(f∗∗ − f∗t) = 0. Ası que f t = f t1f

∗t = f t1f∗∗ ∈ f1R

G.

Supongamos ahora que s > 1. Sea R = R/(f1R) y sea f la imagen de f ∈ R en R. Ası que sif ∈ (

∑fiR) ∩ RG, obtenemos, por hipotesis de induccion, un entero positivo t tal que f t ∈

∑si=2 fiR

G.Entonces f t =

∑si=0 fihi, donde hi ∈ R y h2, ..., hs ∈ RG.

Aplicamos ahora el lema 5 al ideal J = f1R y obtenemos un entero positivo u y un elemento h∗s ∈ RGtales que hus = h∗s. Se sigue que f tu − fus h∗s ∈ (

∑s−1i=1 f1R) ∩RG.

Aplicando nuevamente la hipotesis de induccion, obtenemos un entero positivo v tal que (f tu− fus h∗s)v ∈∑s−1i=1 fiR

G. Por lo tanto f tuv ∈∑si=1 fiR

G.

El siguiente lema nos garantiza que toda accion lineal de un grupo algebraico G sobre una variedad X,induce una accion racional de G sobre A(X).

19

Lema 7. Sea G un grupo algebraico lineal actuando en una variedad X, y sea W un subespacio vectorial deA(X) de dimension finita sobre K. Entonces

1. si W es invariante, la accion de G sobre W es lineal, y

2. en cualquier caso, W esta contenido en un subespacio de A(X), de dimension finita, invariante por laaccion de G.

Demostracion. Sea W un subespacio vectorial de A(X), invariante por la accion de G, supongamos que{f1, ..., fn} es una base de este espacio. Podemos entonces escribir de manera unica

fgi =n∑j=1

ρij(g)fj , (3)

con ρij(g) ∈ K. Podemos ver facilmente que la aplicacion ρ : G → GL(n,K), g 7→ (ρij(g)) determina unhomomorfismo de grupos, ya que fg1g2 = (fg1)g2 . Entonces la accion de G en W esta dada por

(n∑i=1

λifi)g =n∑i=1

n∑j=1

λiρij(g)fj .

Lo que falta probar es que ρ es un morfismo de variedades algebraicas. Notemos primero que, como f1, ..., fnson linealmente independientes, entonces, existen puntos x1, ..., xn ∈ X, tales que det(fj(xk)) 6= 0. Ası quela ecuacion (3) puede ser resuelta mediante (fi(gxk)) = (ρij(g))(fj(xk)), o, de modo equivalente,

(ρi1(g), ..., ρin(g)) = (fi(gx1), ..., fi(gxn))A−1,

donde A = (fj(xk)). Ası que ρij es una funcion regular en G.

Ahora probaremos la segunda parte del lema. Sea {f1, ..., fn} una base de W . Sera suficiente probar queel subespacio W1 generado por {fgi : 1 ≤ i ≤ n, g ∈ G} es de dimension finita.

Para esto definimos Fi ∈ A(G×X) como Fi(g, x) = fi(gx). Como A(G×X) = A(G)⊗ A(X), entoncespodemos escribir Fi como una suma finita de la forma Fi =

∑Gij ⊗Hij , con Gij ∈ A(G) y Hij ∈ A(X).

Sea W2 el subespacio generado por {Hij}. Como

fgi (x) = Fi(g, x) =∑

Gij(g)Hij(x),

se sigue que W1 ⊂W2. Pero W2 es de dimension finita, ası que W1 es de dimension finita.

Lema 8. Sea G un grupo reductivo actuando en una variedad afın X y sean W1 y W2 subconjuntos de X,G-invariantes, cerrados y disjuntos. Entonces existe f ∈ A(X)G tal que f(W1) = 0, f(W2) = 1.

Demostracion. Sea h ∈ A(X) tal que h(W1) = 0 y h(W2) = 1. Por el lema (4) el subespacio vectorial deA(X) generado por {hg : g ∈ G} es de dimension finita. Si {h1, ..., hn} es una base de este espacio, entoncespodemos escribir

hgi =∑

αij(g)hj ,

donde g 7→ (αij(g)) es un morfismo de G al grupo general lineal. Este morfismo determina una accion linealde G en Kn y el morfismo

ψ : X → Kn

x 7→ (h1(x), ..., hn(x))

20

es G-invariante, es decir, el diagrama

G×X

IG×ψ��

// X

ψ

��G×Kn // Kn,

conmuta.

Como < hg : g ∈ G >=< h1, ..., hn >, entonces para todo x ∈ W1 y g ∈ G, hg(x) = h(gx) = 0, ası quehi(x) = 0 para todo i, por tanto ψ(x) = (h1(x), ..., hn(x)) = 0, es decir, ψ(W1) = 0. Sean x, y ∈W2 y g ∈ G,tenemos que hg(x) = hg(y) = 1, entonces hi(x) = hi(y) para todo i, por tanto ψ(W2) es un punto invariantev ∈ Kn, con v 6= 0.

Gracias a que G es geometricamente reductivo tenemos que existe f1 ∈ K[x1, ..., xn]G tal que f1(0) = 0y f1(v) = 1. Entonces f = f1 ◦ ψ ∈ A(X)G y tiene las propiedades requeridas.

Ahora podemos probar el Teorema.

Demostracion. Por el lema la accion de G en A(X) es racional, ası que por el Teorema de Nagata, A(X)G

es una K-algebra finitamente generada. Probaremos que el par (Y, φ) definido anteriormente satisface lascondiciones del Teorema, es decir, es un cociente bueno:

1. Supongamos que existe g ∈ G y x ∈ X tales que φ(gx) 6= φ(x). Entonces, como Y es afın, existef ∈ A(Y ) tal que

f(φ(gx)) 6= f(φ(x)) es decir φ∗(f(gx)) 6= φ∗(f(x)).

Esto contradice el hecho de que φ∗(f) ∈ A(X)G.

2. Sea y ∈ Y y sean f1, ..., fr generadores del ideal maximal en A(Y ) que corresponde a y. Se sigue dellema 6 que

∑fiR 6= R; ası que existe un ideal maximal de R que contiene a

∑fiR. Si x es el punto

de X correspondiente a este ideal maximal, entonces fi(x) = 0 para todo i, entonces φ(x) = y.

3. Como lo vimos en la demostracion de la existencia del cociente bueno para acciones de grupos finito, essuficiente probar el isomorfismo para los abiertos de la forma U = Yf para algun f ∈ A(Y ) = A(X)G.En este caso tenemos que φ−1(U) = Xf , entonces, puesto que A(Yf ) = A(Y )f = (A(X)G)f , tenemosque probar que (A(X)G)f = (A(X)f )G, para todo f ∈ A(X)G. Lo cual es claro.

4. Sean W1 y W2 subconjuntos de X invariantes, cerrados y disjuntos, entonces existe, por el lema 8,f ∈ A(X)G tal que f(W1) = 0 y f(W2) = 1. Considerando f como elemento en A(Y ) tenemos que

f(φ(W1)) = 0, f(φ(W2)) = 1;

ası que φ(W1) ⊂ f−1(0), y φ(W2) ⊂ f−1(1), por lo tanto φ(W1) ∩ φ(W2) = ∅.

5. Sea W ⊂ X invariante y cerrado. Supongamos que existe y ∈ φ(W ) − φ(W ). Aplicando el resultadoanterior a los cerrados W1 = W y W2 = φ−1(y) concluimos que φ(W ) ∩ {y} = ∅, lo cual es unacontradiccion.

Terminaremos esta seccion con el siguiente ejemplo sencillo de cociente bueno.

21

Ejemplo 13. Recordar el ejemplo 2 donde tenemos la accion natural:

GL(n,K)× A(K)n → A(K)n

(g, (x1, ..., xn)) 7→ g(x1, ..., xn),

el conjunto de orbitas consta de dos elementos, A(K)n/GL(n,K) = {A(K)n − {0}, {0}}, la orbita {0}se acumula en A(K)n − {0} . Es facil ver que los unicos polinomios invariantes por esta accion son losconstantes, es decir, A(A(K)n)GL(n,K) = K y, por tanto, la variedad Y del Teorema anterior es un punto yel morfismo φ es constante, esto significa que en el cociente bueno estamos identificando las dos orbitas.

4.1. Conjugacion de Matrices

En esta subseccion vamos a describir con detalle el ejemplo de la accion por conjugacion del grupo generallineal en el espacio de matrices, este ejemplo ilustra perfectamente lo que sucede geometricamente con lasorbitas en el cociente.

Sea X el conjunto de matrices cuadradas de tamano n con coeficientes en C. Este conjunto es la variedadafın A(C)n

2y en ella tenemos la accion por conjugacion:

GL(n,C)×X → X

(G,A) 7→ GAG−1,

la cual es lineal. Sea A ∈ X, entonces O(A) = {GAG−1 : G ∈ GL(n,C)} y Est(A) = {G ∈ GL(n,C) :GAG−1 = A}; consideremos su polinomio caracterıstico χA(t) = det(tI−A) = tn+

∑nj=1(−1)icj(A)tn−j . Los

coeficientes del polinomio caracterıstico son funciones cj : X → C continuas invariantes por la accion, pues elpolinomio caracterıstico es invariante ante conjugacion, ası que cj ∈ A(X)GL(n,C) = C[x1, x2, ..., xn2 ]GL(n,C)

y de hecho se tiene que estas funciones generan al algebra de invariantes, es decir:

C[x1, x2, ..., xn2 ]GL(n,C) = C[c1, ..., cn],

estos generadores son algebraicamente independientes, esto significa que

J = {h ∈ C[x1, ..., xn] : h(c1, ..., cn) ≡ 0 en C[x1, ..., xn]} = {0}.

Entonces el Teorema de existencia de cocientes en variedades afines nos dice que (Cn, φ) es el cociente buenode la accion, donde

φ : X → A(C)n = Cn

A 7→ (c1(A), ..., cn(A)).

La aplicacion φ es invariante pues las funciones ci : X → C lo son, recordar que cn−1(A) = traza A ycn(A) = det A.

Tambien sabemos que φ es sobre, en este caso podemos dar explıcitamente un elemento en la preimagende un punto en Cn. Para ello recordemos las siguientes definiciones: Una matriz A ∈ X es un endomorfismocıclico de Cn si existe v ∈ Cn tal que {v,Av, ..., An−1v} es base de Cn, y que cualquier vector con estapropiedad se llama vector cıclico para A.

Si v es un vector cıclico para A y si Anv = c1An−1v − c2An−2v + ...+ (−1)n−1cnv, entonces la matriz A

en la base {v,Av, ..., An−1v} es:

22

A(c1,...,cn) =

0 0 · · · 0 (−1)n−1cn1 0 · · · 0 (−1)n−2cn−1

0. . . . . .

......

.... . . . . . 0

...0 . . . 0 1 c1

. (4)

Dado (c1, ..., cn) ∈ Cn tenemos que la matriz A(c1,...,cn) tiene como polinomio caracterıstico a tn +∑nj=1(−1)jcjtn−j .

Este ejemplo es sumamente interesante ya que en el podemos estudiar cuidadosamente la geometrıa delas orbitas que se acumulan en otras orbitas, este comportamiento de orbitas se repite en el caso general deacciones en variedades afines.

Si φ(A) = φ(B), entonces no necesariamente O(A) = O(B). Por ejemplo las matricesa

ab

. . .

a 1a

b. . .

no son conjugadas entre sı, es decir, O(A) 6= O(B), sin embargo A y B tienen el mismo polinomio carac-terıstico.

Sea A = As + An la descomposicion de Jordan de la matriz A, es decir, As es la parte diagonalizable yAn la parte nilpotente, debido a que los valores propios estan en la matriz As, tenemos que φ(A) = φ(As).

Sea a ∈ C∗ y consideremos la matriz diagonal D = (1, a, ..., an−1). Se tiene entonces que:

D−1AsD = As

D−1AnD = aAn,

ası que D−1AD = As + aAn =: Aa. Entonces para todo a ∈ C∗, Aa ∈ O(A) y, por tanto, A0 = As ∈ O(A).Si φ(A) = φ(B), entonces φ(As) = φ(Bs), ası que existe G ∈ GL(n,C) tal que

As = GBsG−1 y As ∈ O(A) ∩O(B).

Inversamente, si C ∈ O(A), tenemos, por la continuidad del polinomio caracterıstico, que φ(C) = φ(A) y,por tanto O(A) ∩O(B) 6= ∅ implica que φ(A) = φ(B).

Hemos probado la siguiente proposicion.

Proposicion 2. Sean A,B ∈ X. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. O(A) ∩O(B) 6= ∅,

2. φ(A) = φ(B),

3. A y B tienen los mismos valores propios.

En general tenemos que la dimension de una orbita es la dimension del grupo menos la dimension delestabilizador del punto, ası que en este caso dimO(A) = dimGL(n,C) − dimEst(A) = n2 − dimEst(A).La dimension maxima que podemos tener para una orbita es n2 − n, y se alcanza si los bloques de Jor-dan de la matriz A son de tamano maximo para todo valor propio. Por ejemplo, la orbita de la matriz

23

A = (λ1, λ2, ..., λn), donde λi 6= λj para i 6= j tiene dimension n2 − n.

Para continuar con el estudio de la geometrıa de la orbitas de esta accion es necesario caracterizar a lasmatrices con orbitas cerradas.

Corolario 1. La orbita O(A) es cerrada en X si y solo si A es diagonalizable.

Demostracion. Sea A = An + As la descomposicion de Jordan de A. Si O(A) es cerrada en X entonces,As ∈ O(A) y por tanto A = As. Solo resta probar que O(As) es cerrada en X. Sea B ∈ O(As) − O(As),entonces O(B) ⊂ O(As) − O(As), como B y As tienen los mismos valores propios entonces B tiene partenilpotente, ası que dimO(B) > dimO(As) lo cual es una contradiccion.

Ası que la orbita de una matriz A no es cerrada en X si y solo si A tiene parte nilpotente en su descom-posicion de Jordan, y en O(As)−O(As) tendremos las orbitas de las matrices que tienen los mismos valorespropios de A pero con algun bloque de Jordan de tamanno estrictamente menor. Por ejemplo en la orbita

de

a 1 00 a 10 0 a

se acumula

a 1 00 a 00 0 a

y en la orbita de esta matriz se acumula

a 0 00 a 00 0 a

cuya

orbita es cerrada.

Concluimos que las matrices con orbitas cerradas que no van a estar en la cerradura de ninguna otraorbita son las matrices con n valores propios distintos. Es decir, las matrices diagonalizables tal que ladimension de su orbita es maximal. Sea

X ′ = {A ∈ X : dimO(A) alcanza su valor maximo y O(A) es cerrada}= {A ∈ X : A tiene n valores propios distintos}

este es un conjunto abierto en X, ya que es el conjunto de matrices cuyo polinomio caracterıstico tiene nraices distintas, es decir, es el conjunto de matrices en el que el discriminante del polinomio caracterıstico esdistinto de cero. Consideremos la restriccion del cociente bueno a este abierto:

φ|X′ : X ′ → φ(X ′)A 7→ (c1(A), ..., cn(A)),

es claro que la imagen inversa de todo punto (c1, ..., cn) ∈ φ(X ′) es una unica orbita, de hecho es la orbita dela matriz diagonal con las n raices distintas de tn+

∑nj=1(−1)jcjtn−j . Ası que esta restriccion es un cociente

geometrico.

Por ejemplo, en el caso de matrices de tamano 2 el cociente bueno esta dado por φ : X → C2, A 7→(traza(A), det(A)) y los distintos bloques de Jordan son los siguientes:

A1 =(a 10 a

), A2 =

(a 00 a

), A3 =

(a 00 b

)donde a 6= b. Tenemos que Est(A1) = {

(α β0 α

): α ∈ C∗, β ∈ C}, ası que dimO(A1) = 2, O(A2) = {A2},

Est(A3) = {(α 00 β

): α, β ∈ C∗}, ası que dimO(A3) = 2. La orbita de A2, que es cerrada, se acumula

en la orbita de A1; la orbita de A3 es cerrada y no se acumula en ninguna otra. El cociente geometrico seobtiene considerando las matrices cuya descomposicion de Zariski es de la forma A3.

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5. Cocientes de Variedades Proyectivas

Como hemos dicho anteriormente, en general no es posible construir un cociente bueno de una accionlineal de un grupo algebraico lineal G sobre una variedad proyectiva, X ⊂ Pn(K), sin embargo David Mum-ford demostro que, despues de eliminar ciertos puntos de la variedad, sı existe un cociente bueno para laaccion.

Recordemos que, a diferencia del caso afın, los unicos morfismos algebraicos de una variedad proyectiva alcampo son las funciones constantes, ası que si G es un grupo reductivo actuando linealmente en la variedadproyectiva X, consideraremos la accion inducida en el anillo de polinomios, es decir:

K[x0, ..., xn]×G→ K[x0, ..., xn](f, g) 7→ fg(x0, ..., xn) = f(g(x0, ..., xn)).

Los puntos que debemos eliminar para cosntruir el cociente bueno se llaman inestables, forman un cerradode Zariski de la variedad y son aquellos que se anulan en todos los polinomios invariantes, homogeneos noconstantes, los puntos en el complemente se llaman semiestables, aquı sı es posible constuir un cociente buenoy, mas aun, en este abierto tendremos un subconjunto, tambien abierto, con el que podremos construir uncociente geometrico, como es de esperarse, estos puntos son aquellos cuya orbita es cerrada en el conjuntode semiestables y con dimension grande, estos puntos se llaman estables. Las definiciones precisas vienen acontinuacion.

Definicion 14. Decimos que x ∈ X es:

1. semiestable si existe f , polinomio invariante, homogeneo, de grado mayor o igual que uno tal quef(x) 6= 0. Denotaremos el conjunto de puntos semiestables de X por Xss.

2. estable si es semiestable,dim O(x) = dim G,

y O(x) es cerrada en Xss. El conjunto de puntos estables de X lo denotaremos por Xs.

3. Los puntos que no son semiestables se denominan puntos inestables.

El principal Teorema de la Teorıa Geometrica de Invariantes, escrito en el contexto de variedades pro-yectivas, es el siguiente:

Teorema 9. (ver pag. 38 de [12]) Sea G un grupo reductivo actuando linealmente sobre una variedadproyectiva X, entonces

1. Existe un cociente bueno (Y, φ) de Xss por G donde Y es proyectiva.

2. Existe Y s ⊂ Y abierto tal que φ−1(Y s) = Xs y (Y s, φ) es un cociente geometrico de Xs por G.

3. Si x1, x2 ∈ Xss entoncesφ(x1) = φ(x2)⇔ O(x1) ∩O(x2) ∩Xss 6= ∅.

Antes de dar el esbozo de la demostracion de este importante Teorema observemos lo siguiente: SeaR = {f ∈ K[x0, ..., xn] : f es homogeneo, invariante y no-constante}, entonces

Xss =⋃f∈R

Xf ,

donde Xf = {x ∈ X : f(x) 6= 0}. Cada Xf es un abierto afın de X invariante por la accion de G. Por lotanto, usando el caso de acciones en variedades afines, sabemos que existe un cociente bueno (Yf , φf ) de Xf

25

por G. Mediante estos cocientes podemos construir una variedad Y cubierta por los abiertos afines Yf y unmorfismo φ : Xss → Y que define un buen cociente de Xss por G.

Debido a lo anterior, en la demostracion del Teorema, necesitaremos la siguiente proposicion, que exhibelas propiedades locales de los cocientes bueno y geometrico.

Proposicion 3. (ver [15]) Los conceptos de cociente bueno y cociente geometrico son locales respecto a Y ,es decir,

1. si (Y, φ) es un cociente bueno (cociente geometrico) de X por G y U es un abierto de Y , entonces(U, φ) es un cociente bueno (cociente geometrico) de φ−1(U) por G;

2. si φ : X → Y es un morfismo y {Ui} es una cubierta abierta de Y tal que (Ui, φ) es un cociente bueno(cociente geometrico) de φ−1(Ui) por G para todo i, entonces (Y, φ) es un cociente bueno (cocientegeometrico) de X por G.

Demostracion. (Teorema 9) Si X ⊂ P(K)n, entonces el cono afın de X es la variedad afın definida por

X = {x ∈ A(K)n+1 : x ∈ x ∈ X} ∪ {(0, ..., 0)}.

La accion de G en X induce una accion, G× X → X, (g, x) 7→ gx, en el cono afın de X.

1. Para demostrar esta parte usaremos los siguientes hechos generales sobre variedades proyectivas y K-algebras graduadas: Para todo elemento f ∈ A(X) homogeneo, de grado positivo tenemos un abiertoafın Xf en X. Sea R una subalgebra de A(X) finitamente generada por elementos homogeneos y sea

XR =⋃f∈R

Xf .

Entonces existen una variedad proyectiva Y y un morfismo φ : XR → Y tales que

a) Y esta cubierta por conjuntos abiertos afines Yf , uno por cada elemento homogeneo de R de gradopositivo y A(Yf ) es isomorfo a (Rf )0 := {h ∈ Rf : h tiene grado cero};

b) φ−1(Yf ) = Xf y φ : Xf → Yf es el morfismo correspondiente a la inclusion de (Rf )0 en (A(X)f )0.

La accion de G inducida en A(X) preserva el grado de cada elemento homogeneo. Ası que R = A(X)G

es una subalgebra homogenea de A(X) y, por el Teorema de Nagata, es finitamente generada. Notemosque XR = Xss y sea (Y, φ) el par que nos da la observacion anterior.

Por el Teorema de Existencia de Cocientes en Variedades Afines, (b) y

((A(X)G)f )0 = ((A(X)f )0)G,

se sigue que (Yf , φ) es un cociente bueno de φ−1(Yf ) = Xf por G, para cada elemento homogeneof ∈ RG de grado positivo. Y por la proposicion 3 tenemos que (Y, φ) es un cociente bueno de Xss porG.

2. Sea Y s = φ(Xs) y sea Y 0 la union de abiertos Yf para los cuales la accion de G en Xf es cerrada,es decir, las orbitas son cerradas en Xf . Claramente Xs ⊂ φ−1(Y 0) y entonces Y s ⊂ Y 0. Por laproposicion 3 y por la parte (3) de la proposicion 1 tenemos que (Y 0, φ) es un cociente geometrico deX0 = φ−1(Y 0). Se sigue que Xs = φ−1(Y s) y que

Y 0 − Y s = φ(X0 −Xs).

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Ası que Y 0 − Y s es cerrado en Y 0 por la condicion (iv) de cociente bueno, y Y s es abierto en Y 0 y,por lo tanto, tambien es abieto en Y . Aplicando nuevamente la proposicion 3 obtenemos que (Y s, φ)es un cociente geometrico de Xs.

3. Se sigue aplicando la segunda parte de la proposicion 1.

5.1. Ejemplos en Variedades Proyectivas

El grupo de automorfismos del espacio proyectivo complejo de dimension n, P(C)n es isomorfo a laproyectivizacion del grupo general lineal GL(n + 1,C), es decir, es isomorfo a PGL(n + 1,C) (ver ejemplo7.1.1 de [6]). La aplicacion SL(n + 1,C) → PGL(n + 1,C), g 7→ [g], que manda una matriz en su clasede equivalencia, es una isogenia, esto significa que el nucleo es un conjunto finito, de hecho consta de lasmatrices mutiplos de la identidad por una raız n + 1-esima de la unidad; esto nos permite, en el contextode teorıa de invariantes, trabajar indistintamente con cualquiera de ellos, lo haremos con el grupo especiallineal SL(n+ 1,C) que, como veremos, es mas facil de manejar.

1. Considerar la accion natural:

SL(n+ 1,C)× CPn → CPn

(g, (x0 : ... : xn)) 7→ g(x0 : ... : xn).

Que un polinomio f ∈ C[x0, ..., xn] sea invariante para la accion significa que f(g(x0, ..., xn)) =f((x0, ..., xn)) para todo g ∈ SL(n,C), pero esto sucede solo si f es constante. Ası que en este ca-so tenemos que (CPn)ss = ∅.

2. En este ejemplo vamos a considerar la proyectivizacion del espacio de matrices cuadradas de tamanon con coeficientes en C y la accion por conjugacion de SL(n,C), estaremos haciendo referencia al casoafın que vimos con detalles en una seccion precedente.

Sea X la proyectivizacion del espacio de matrices cuadradas de tamano n con coeficientes en C yconsideremos la accion:

SL(n,C)×X → X

(G,A) 7→ GAG−1.

Como vimos antes, todo polinomio invariante es un polinomio en los coeficientes del polinomio carac-terıstico, los cuales son homogeneos. Ası que una matriz A es inestable si y solo si se anula en todoslos coeficientes del polinomio caracterıstico, es decir, si su polinomio caracterıstico es tn. Ası que lamatriz A es inestable si y solo si todos sus valores propios son cero, como hemos excluido la matrizcero para construir la proyectivizacion, entonces las matrices inestables seran aquellas cuya forma deJordan tiene ceros en la diagonal con al menos un bloque de Jordan de tamano al menos 2.

Como en el caso afın la dimension maxima de una orbita es n2 − n, si una matriz A fuera estableentonces la dimension de su orbita serıa la dimension del grupo que en este caso es n2 − 1, esto nosesta diciendo que para n > 1 no existen matrices estables, ası que en este caso el cociente geometricode la accion sera vacıo. Para construir el cociente bueno de esta accion daremos la siguiente definicion.

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Definicion 15. Sean k1, ..., kn ∈ N. Definimos el espacio proyectivo con pesos (k1, ..., kn) comoel conjunto de orbitas de la accion

C∗ × Cn − {(0, ..., 0)} → Cn − {(0, ..., 0)}(l, (x1, ..., xn)) 7→ (lk1x1, ..., l

knxn).

A este espacio lo denotaremos por P(C)(k1,...,kn).

Si det(tI − A) = tn +∑ni=1(−1)ici(A)tn−i, entonces (P(C)(1,2,...,n), φ) es el cociente bueno para la

accion, donde

φ : P(X)ss → P(C)(1,2,...,n)

A 7→ (c1(A), ..., cn(A)).

El espacio proyectivo pesado aparece por la siguiente propiedad:

det(tI −A) = tn +n∑j=1

(−1)jcj(A)tn−j =⇒ det(tI − lA) = tn +n∑j=1

(−1)j ljcj(A)tn−j .

3. Sea C[x0, x1, ..., xn]d = {f ∈ C[x0, ..., xn] : f es homogeneo de grado d}. Entonces C[x0, x1, ..., xn]d esun espacio vectorial sobre C de dimension N =

(n+dd

), y un elemento f es este espacio, define, salvo

multiplo por un escalar no nulo, a la hipersuperficie V (f) = {p ∈ P(C)n : f(p) = 0} en P(C)n. Con estohemos demostrado que la proyectivizacion de este espacio vectorial parametriza a las hipersuperficiesde grado d en P(C)n, denotaremos este espacio por Hipd(n) el cual es isomorfo a CPN−1.

Sea G = SL(n+ 1,C), consideramos la siguiente accion de G en Hipd(n):

G×Hipd(n)→ Hipd(n)

(g, f(x0, ..., xn)) 7→ (gf)(x0, ..., xn) := f(g−1(x0, ..., xn)).

El objetivo de este ejemplo es demostrar que toda hipersuperficie no singular es semiestable. Recordarque una hipersuperficie V (F ) ∈ Hipd(n) tiene una singularidad en el punto p ∈ CPn si y solo si:

f(p) = 0,∂f

∂xi(p) = 0 ∀i = 0, ..., n.

Diremos que la hipersuperficie definida por f es no singular si no tiene puntos singulares. Notemosque, por la formula de Euler:

df =n∑i=0

xi∂f

∂xi,

la primera ecuacion puede ser eliminada. Si f es un elemento generico en Hipd(n) y ∆ es el resultantede los polinomios ∂f

∂xi(ver [20]); entonces ∆ es un polinomio homogeneo de grado (n+1)(d−1)n en los

coeficientes de f , es decir, podemos ver a ∆ como elemento de C[y0, ..., yN ]. El polinomio ∆ se llamael discriminante de Hipd(n) y su valor en f es cero si y solo si los polinomios ∂f

∂xitienen un cero

comun en CPn.

28

La variedad definida por ∆, es decir, V (∆) = {F ∈ Hipd(n) : ∆(F ) = 0} ⊂ Hipd(n), parametriza lashipersuperficies en P(C)n de grado d que son singulares. En C[y0, ..., yN ] tenemos la accion inducidade SL(n+ 1,C):

C[y0, ..., yN ]×G→ C[y0, ..., yN ]

(φ, g) 7→ φg : CN+1 → Cf 7→ φ(gf),

y como f es singular en p si y solo si gf es singular en g(p) entonces ∆ resulta ser un polinomioinvariante por esta accion. Dado que ∆ se anula en el conjunto de hipersuperficies singulares en P(C)n

de grado d, entonces hemos probado el siguiente:

Teorema 10. Toda hipersuperficie no singular es un punto semiestable para la accion de SL(n+ 1,C)en Hipd(n).

4. Una forma binaria de grado d es un polinomio homogeneo fd = a0xd +a1x

d−1y+ ...+ad−1xyd−1 +

adyd ∈ C[x, y]. Ası que, la proyectivizacion del espacio vectorial de formas binarias de grado d es

Hipd(1), y la hipersuperficie que define fd, es V (fd) = {(α : β) ∈ P(C)1 : fd(α, β) = 0} el cual es unconjunto de d puntos (contando multiplicidad) en P(C)1. Como en el caso general, tenemos definida lasiguiente accion lineal:

SL(2,C)×Hipd(1)→ Hipd(1)

(g, f(x, y)) 7→ f(g−1(x, y)).

Analizaremos el primer caso no trivial que corresponde a d = 3. En este caso el discriminante es elpolinomio:

∆(a0, a1, a2, a3) = 27a20a

23 − a2

1a22 − 18a0a1a2a3 + 4a0a

32 + 4a3

1a3,

el cual satisface ∆ = 0 si y solo si la forma binaria a0x3 +a1x

2y+a2xy2 +a3y

3 tiene una raız repetida.Ademas ∆(Y0, Y1, Y2, Y3) ∈ C[Y0, Y1, Y2, Y3] es homogeneo de grado 4 e invariante por la accion, ası que,como ya habıamos visto en el ejemplo anterior:

Hip3(1)∆ = {a0x3 + a1x

2y + a2xy2 + a3y

3 ∈ Hip3(1) : ∆(a0, a1, a2, a3) 6= 0} ⊂ Hip3(1)ss.

Como sabemos, dados x1, x2, x3, y1, y2, y3 ∈ P(C)1 tales que xi 6= xj y yi 6= yj si i 6= j, existe un unicoelemento g ∈ SL(2,C) tal que g(xi) = yi para i = 1, 2, 3. Es decir, dadas dos formas binarias f1, f2

de grado 3 con tres raıces distintas cada una de ellas, existe g ∈ SL(2,C) tal que gf1 = f2. Ası queHip3(1)∆ consta de una unica orbita.

Como Hip3(1)∆ es un abierto de Hip3(1)(' P(C)3), entonces dimHip3(1)∆ = 3 = dimSL(2,C). En[8] podemos ver que todos los polinomios invariantes homogeneos, no constantes son de la forma k∆r

para algun k ∈ C, y un entero positivo r. Entonces Hip3(1)∆ = Hip3(1)ss, y esto implica tambien queHip3(1)∆ = Hip3(1)ss = Hip3(1)s. Concluimos que los puntos inestables corresponden a las formasbinarias de grado 3 con al menos dos raices repetidas y que el cociente bueno es un punto.

29

6. Criterio de Hilbert-Mumford

En esta seccion describiremos un criterio que nos permite encontrar los puntos inestables y estables deuna accion lineal dada, este criterio hace uso de los subgrupos a 1-parametro del grupo y se debe basica-mente a los trabajos de David Hilbert y de David Mumford, es por esto que se conoce como el criterio deHilbert-Mumford.

Consideremos la accion lineal de un grupo reductivo G en una variedad proyectiva: G×X → X, (g, x) 7→gx y sea X el cono afın de X. Empezaremos con la siguiente proposicion, la cual caracteriza los puntossemiestables y estables de acuerdo al comportamiento de la orbita del punto en el cono afın de la variedad.

Proposicion 4. (ver Proposicion 2.2 de [12]) Sea x ∈ X y sea x ∈ X en la clase de x, entonces:

1. x es semiestable si y solo si 0 /∈ O(x).

2. x es estable si y solo si 0 /∈ O(x) , la orbita de x es cerrada en Xss y dimO(x) = dimG.

Demostracion. Sea x ∈ X y sea x ∈ X en la clase de x.

1. Supongamos que el punto x ∈ X es semiestable y sea f un polinomio, invariante, homogeneo de gradopositivo tal que f(x) 6= 0. Entonces f(x) 6= 0 y, por tanto, para todo y ∈ O(x), f(y) es una constanteno cero. Ası que 0 /∈ O(x).

Supongamos que 0 /∈ O(x). Por el lema 8 existe un polinomio invariante f tal que f(0) = 0 y f(O(x)) =1. Si f = fm + fm+1 + ... + fd donde fj es homogeneo de grado j, entonces m > 0 y existe i tal quefi(x) 6= 0. Entonces x es semiestable.

2. Esta parte es clara a partir de la definicion de punto estable que dimos en la seccion anterior.

Definicion 16. Un subgrupo a un parametro de G es un homomorfismo no trivial

λ : K∗ → G

de grupos algebraicos.

Si λ es un subgrupo a 1-parametro de G y si G actua linealmente en una variedad X, entonces λ defineuna representacion de K∗ en Kn+1:

C∗ → GL(n+ 1,K)

t 7→ λ(t) : Kn+1 → Kn+1

v 7→ λ(t)v,

donde, para simplificar la notacion, consideramos λ(t) como elemento de GL(n+ 1,K).

Proposicion 5. La representacion anterior es diagonalizable, es decir, existe {v0, ..., vn} base de Kn+1 talque λ(t)vi = trivi, donde ri ∈ Z.

Demostracion. Dado que K∗ es un grupo conmutativo, entonces {λ(t)}t∈K∗ es una familia conmutativade endomorfismos de Kn+1. Sea t0 ∈ K∗ una raız m − esima de la unidad, entonces λ(t0)m es la matrizidentidad, por lo tanto λ(t0) es diagonalizable. Sea Kn+1 = ker(λ(t0) − a1I)

⊕...⊕ker(λ(t0) − an+1I) la

descomposicion en subespacios propios lineales invariantes que define la diagonalizacion de λ(t0).

30

Sea E ∈ {λ(t)}t∈K∗ y sea j un entero positivo menor o igual que n+ 1 y v ∈ ker(λ(t0)− ajI), entonces

(λ(t0)− ajI)Ev = Eλ(t0)v − ajEv = E(ajv)− ajEv = 0,

por lo tanto el subgrupo unidimensional ker(λ(t0)− ajI) es invariante por E, entonces E es diagonalizablecon la misma base que λ(t0). Sea {v0, ..., vn} la base que diagonaliza estos endomorfismos, puesto que K∗ esun grupo multiplicativo, entonces λ(t)vi = trivi donde ri ∈ Z.

Gracias a que la accion de G es lineal tenemos lo siguiente, si x =∑ni=0 aivi, entonces λ(t)x =∑n

i=0 triaivi. Tomando esto en cuenta establecemos la siguiente definicion.

Definicion 17. Sea x ∈ X y λ un subgrupo a un parametro de G, definimos la siguiente funcion:

µ(x, λ) := min{ri : ai 6= 0}. (5)

Ahora mencionamos el siguiente Lema, cuya demostracion es consecuencia inmediata de la definicion dela funcion µ.

Lema 9. (ver pag. 104 y 108 de [15]) Sea x ∈ X. Tomemos x ∈ X tal que x ∈ x. Sea g ∈ G y λ unsubgrupo a 1-parametro de G, entonces:

1. µ(x, λ) < 0 si y solo si lımt→0 λ(t)x no existe

2. µ(x, λ) > 0 si y solo si lımt→0 λ(t)x = 0.

3. µ(gx, λ) = µ(x, g−1λg)

Demostracion. Sea x ∈ X tal que x ∈ x. Sean g ∈ G y λ un subgrupo a 1-parametro de G, entonces:

1. µ(x, λ) ≥ 0 si y solo si 0 6 ri para todo ai 6= 0 y esto sucede si y solo si lımt→0 λ(t)x = lımt→0

∑ri

i=0 triaivi

exite.

2. µ(x, λ) > 0 si y solo si 0 < ri para todo ai 6= 0 y esto pasa si y solo si lımt→0 λ(t)x = lımt→0

∑ri

i=0 triaivi =

0

3. Supongamos que {gv0, ..., gvn} es una base que diagonaliza a λ, es decir, λ(t)gvi = trigvi, enton-ces g−1λ(t)gvi = g−1(λ(t)gvi) = g−1(trigvi) = trivi. Esto significa que {v0, ..., vn} es una base quediagonaliza a g−1λg. Entonces µ(gx, λ) = µ(x, g−1λg).

Es claro que si existe un subgrupo a 1-parametro λ tal que lımt→0 λ(t)x = 0, entonces x es un puntoinestable, esto debido a que este lımite pertenece a O(x). El siguiente Teorema (cuya demostracion no esinmediata) es el recıproco de la afirmacion anterior.

Teorema 11. (ver Teorema 2.1 de [12]) Si 0 ∈ O(x) entonces existe un subgrupo a un parametro:

λ : K∗ → G

tal que lımt→0 λ(t)x = 0.

Ahora establecemos el criterio de Hilbert-Mumford.

Teorema 12. (ver Teorema 4.9 de [15])Sea G un grupo reductivo actuando linealmente en una variedad proyectiva X, entonces x ∈ X es:

1. semiestable si, y solo si, µ(x, λ) ≤ 0 para todo λ, subgrupo a un parametro de G. (inestable si, y solosi, existe un subgrupo a 1-parametro λ de G tal que µ(x, λ) > 0.)

31

2. estable si, y solo si, µ(x, λ) < 0 para todo λ, subgrupo a un parametro de G.

Una de las facilidades que tenemos al trabajar con el grupo SL(n,K) es que sus subrupos a un parametroson diagonalizables, es decir:

Proposicion 6. (ver [15]) Los subgrupos a un parametro de SL(n,K) son de la forma

λ : K∗ → SL(n,K)

t 7→ g

tr1

. . .trn

g−1,

donde r1 ≥ ... ≥ rn, r1 + ...+ rn = 0 y g ∈ SL(n,K).

De esta proposicion y de la parte (3) de 9 podemos concluir la siguiente

Proposicion 7. Si SL(n,K) actua linealmente en una variedad proyectiva X, entonces x ∈ X es semiestable(respectivamente estable) si y solo si para todo subgrupo a un parametro de la forma

λ : K∗ → SL(n,K)

t 7→

tr1

. . .trn

donde r1 ≥ ... ≥ rn, r1 + ...+ rn = 0 y todo g ∈ SL(n,K) tenemos que µ(gx, λ) ≤ 0 (respectivamente < 0).

6.1. Ejemplos que hacen uso del Criterio de Hilbert-Mumford

1. Recordemos la accion lineal de SL(2,C) en el espacio Hipd(1) de formas binarias de grado d:SL(2,C) ×Hipd(1) → Hipd(1), (g, fd(x, y)) 7→ fd(g−1(x, y)). De acuerdo a la proposicion 7 tenemosque la forma fd es inestable (no-estable) si y solo si existen,

λ : C∗ → SL(2,C), t 7→(

t 00 t−1

),

subgrupo 1-parametro y g ∈ SL(2,C) tales que µ(fd, g−1λg) = µ(fd(g−1(x, y)), λ) > 0 ( respectiva-mente ≥ 0). Si

λ(t)fd(g−1(x, y)) = λ(t)(d∑i=0

aixd−iyi) =

d∑i=0

t−r(d−i)+riaixd−iyi,

entonces µ(fd(g−1(x, y)), λ) = min{−rd+2ri : ai 6= 0}. Sea i0 = min{i : ai 6= 0}. Entonces µ = −rd+2ri0 > 0 (respectivamente ≥ 0) si y solo si i0 > d

2 (respectivamente i0 ≥ d2 ). Ası que fd(g−1(x, y)) =∑d

i=0 aixd−iyi es semiestable (respectivamente estable) si y solo si

fd(g−1(x, y)) =d∑

i=[ d2 +1]

aixd−iyi = y[ d

2 +1](d∑

i=[ d2 +1]

aixd−iyi−[ d

2 +1])

(respectivamente fd(g−1(x, y)) =d∑

i=[ d2 ]

aixd−iyi = y[ d

2 ](d∑

i=[ d2 ]

aixd−iyi−[ d

2 ]));

32

esto nos esta diciendo que el punto (1 : 0) ∈ P(C)1 tiene multiplicidad mayor que d2 +1 para la forma si

y solo si es inestable y tiene multiplicidad mayor que d2 si y solo si la forma es no-estable. Concluimos

la siguiente proposicion.

Proposicion 8. La forma binaria de grado fd, es inestable (respectivamente no-estable) si y solo sitiene un cero de multiplicidad mayor que d

2 (respectivamente mayor o igual que d2 ).

2. Consideremos ahora la accion de G = SL(3,C) en el espacio de curvas cubicas planas Hip3(2): G ×Hip3(2)→ Hip3(2), (g, f(x0, x1, x2) 7→ f(g−1(x0, x1, x2)). Denotaremos una curva cubica plana por

f(x0, x1, x2) =a00x30 + a10x

20x1 + a01x

20x2 + a20x0x

21 + a11x0x1x2

+a02x0x22 + a30x

31 + a21x

21x2 + a12x1x

22 + a03x

32

=∑

aijx3−i−j0 xi1x

j2.

Dejaremos al lector verificar las siguiente propiedades:

a) (1 : 0 : 0) es singular si y solo si a00 = a10 = a01 = 0.b) (1 : 0 : 0) es un punto triple si y solo si a00 = a10 = a01 = a20 = a11 = a02 = 0.c) Si (1 : 0 : 0) es un punto doble, entonces las tangentes en este punto son las lıneas definidas por

a20x21 + a11x1x2 + a02x

22 = 0. Puede suceder que definan una tangente doble.

d) Dado g ∈ G, x es un punto singular (doble, triple) de f si y solo si gx es un punto singular (doble,triple) de gf , ademas, g preserva lıneas tangentes.

Usando estas propiedades demostraremos lo siguiente.

Proposicion 9. Una curva cubica plana es estable si y solo si es no singular.

Demostracion. Una curva cubica plana no es estable si y solo si es equivalente bajo G a una para lacual µ(f, λ) ≥ 0, para algun subgrupo a un parametro:

λ : C∗ → SL(3,C)t 7→ diag(tr0 , tr1 , tr2),

donde r0 ≥ r1 ≥ r2 y r0 + r1 + r2 = 0, esto implica que −2 ≤ r0r2≤ − 1

2 . Es facil verificar queµ(f, λ) = min{(i+ j − 3)r0 − ir1 − jr2 : aij 6= 0}.

Supongamos que f tiene un punto singular x, podemos suponer, sin perdida de generalidad, quex = (1 : 0 : 0), ası que a00 = a10 = a01 = 0. Si tomamos r0 = 2, r1 = r2 = −1, entonces µ(f, λ) ≥ 0 y,por tanto, f no es estable.

Supongamos que µ(f, λ) ≥ 0 para algun λ diagonal de la forma anterior, vamos a probar que f tieneun punto singular. Se verifica facilmente que µ(f, λ) ≥ 0 si y solo si a00 = a10 = 0.

Supongamos que a01 6= 0, entonces µ(f, λ) ≥ 0 y esto implica que −2r0 − r2 ≥ 0, esto pasa si y solo sir1 = r0, r2 = −2r0, podemos entonces suponer que r0 = r1 = 1 y r2 = −2. Para estos valores de los ri,tenemos que µ(f, λ) = min{3(j − 1) : aij 6= 0}.Sea j0 = min{j : aij 6= 0}. Entonces j0 ≥ 1, es decir,

µ(f, λ) ≥ 0⇒ ai0 = 0 ∀i.

Esto implica que f = x2f1 para alguna curva de grado 2, entonces f es singular en la interseccion dex2 y f1.

33

3. Pinceles de conicas: en este ejemplo vamos a introducir el concepto de pincel de curvas planas de gradod, daremos a su conjunto estructura de variedad proyectiva y con la accion de cambio de coordenadascaracterizaremos los pinceles inestables de grado 2 de acuerdo a su lugar base.

Definicion 18. Sean A,B ∈ C[x, y, z]d, al conjunto L = {k1A+ k2B|A 6= B, (k1 : k2) ∈ P(C)1} se lellama Pincel de curvas planas de grado d generado por A y B.

Debido a que podemos parametrizar a las curvas planas de grado d por P(C)((d+1)(d+2)/2)−1, enviandoun polinomio a sus coeficientes, entonces podemos ver a L como la lınea en este espacio proyectivo quepasa por A y B.

Definicion 19. El lugar base del pincel L se define como

B(L) = V (A) ∩ V (B) = {p ∈ P(C)2|k1A(p) + k2B(p) = 0 ∀(k1 : k2) ∈ P(C)1}.

El teorema de Bezout nos da entonces la siguiente:

Proposicion 10. Sea L un pincel de grado d definido por polinomios sin componentes en comun,entonces el conjunto base tiene a lo mas d2 puntos distintos.

Sea Gd el conjunto de pinceles de grado d, daremos a este conjunto estructura de variedad algebraicamediante las coordenadas de Plucker. Para ello tomamos L ∈ Gd y A,B ∈ L dos puntos distintos enL, entonces

A =d∑

i,j=0

ai,jxiyjzd−i−j B =

d∑i,j=0

bi,jxiyjzd−i−j ,

y con estos coeficiente construimos la matriz de 2× (d+ 1)(d+ 2)/2:(a0,0 a0,1 · · · a0,d · · · ad,0b0,0 b0,1 · · · b0,d · · · bd,0

)y tomamos los siguientes determinantes de 2× 2

Mi,j,k,l = det

(ai,j ak,lbi,j bk,l

)= ai,jbk,l − ak,lbi,j .

Notemos que en total tenemos el siguiente numero de combinaciones al formar los menores de tamanno

2 × 2: N =(

(d+ 1)(d+ 2)/22

)por lo que tenemos esa cantidad de coeficientes Mi,j,k,l. Ahora

bien, podemos darle el orden lexicografico a los coeficientes Mi,j,k,l y esto nos permitira ver estos Nelementos como un elemento de P(C)N−1.

Definicion 20. Consideremos la siguiente funcion:

P : Gd → P(C)N−1

L 7→ P(L) = (Mi,j,k,l).

A la imagen de un pincel L bajo esta funcion se le llama coordenadas de Plucker para L.

34

Teorema 13. (ver [9]) Las coordenadasMi,j,k,l de L son, salvo multiplicacion por un escalar no cero,independientes de la eleccion de A y B. Mas aun, la aplicacion:

P : Gd → P(C)N−1

L 7→ P(L) = (Mi,j,k,l)

es un encaje cerrado.

Corolario 2. P(Gd) es una variedad proyectiva.

Ahora describiremos la accion lineal inducida de SL(3,C) en la variedad proyectiva P(Gd): SL(3,C)actua en C[x, y, z], C[x, y, z] × SL(3,C) → C[x, y, z], (f(x, y, z), g) 7→ f(g(x, y, z)) = fg. EntoncesSL(3,C) actua en Gd de la siguiente manera:

G×Gd → Gd

(g, {k1A+ k2B}(k1:k2)∈P(C)1) 7→ {k1Ag + k2Bg}(k1:k2)∈P(C)1 ,

y, por consiguiente, este grupo actua en P(Gd). Para el caso de pinceles de conicas, es decir, pincelesde grado 2 podemos consultar en [1] la demostracion del siguiente Teorema.

Teorema 14. Sea LA,B el pincel generado por las conicas A y B sin componentes en comun. Entonces,P(LA,B) es inestable si y solo si B(LA,B) contiene a lo mas 3 puntos distintos.

Para el caso de pinceles de cubicas existe un analisis detallado de pinceles inestables y estables quetambien hace uso del metodo de subgrupos a un parametro. Este analisis puede consultarse en [10].

Referencias

[1] Claudia R. Alcantara, Daniel Sanchez-Argaez: Inestabilidad de Pinceles de Conicas Planas y su LugarBase. Aceptado para su publicacion en Aportaciones Matematicas de la SMM.

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[12] John Fogarty, Frances Kirwan, David Mumford: Geometric Invariant Theory. Springer-Verlag, 1994.

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[13] Masayoshi Nagata: Invariants of a group in a affine ring. J. Math Kyoto Univ. 3, 1963/64.

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[15] Peter Newstead: Introduction to Moduli Problems and Orbit Spaces. Springer-Verlag, 1978.

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[17] Vladimir Popov: On Hilberts Theorem on Invariants. Dolk. Akad. Nauk SSSR 246, no. 3, 2008.

[18] Graciela Reyes: El problema 14 de Hilbert. Tesis de Licenciatura, Universidad de Guanajuato, 2008.

[19] Walter Ferrer Santos, Alvaro Rittatore: Actions and invariants of algebraic groups. CRC Press, 2005.

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[21] Hermann Weyl: The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton UniversityPress, Princeton, N. J. , 1939.

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