Introdução ao Escoamento Compressível · Introdução ao Escoamento Compressível • Aumento do...

Introdução ao Escoamento CompressívelIntrodução ao Escoamento Compressível

• Sumário• Sumárioo Variação de massa específica associada à o Variação de massa específica associada à

variação de energia cinética;

o Revisões de Termodinâmica;o Revisões de Termodinâmica;

o Equação de energia unidimensional para gases em regime estacionário sem trocas de energia.em regime estacionário sem trocas de energia.

o Entalpia e temperatura de estagnação;

o Escoamento subsónico, crítico e supersónico.o Escoamento subsónico, crítico e supersónico.


• Efeito de compressibilidade associado a variações de energia cinética:• Efeito de compressibilidade associado a variações de energia cinética:

2Vp

2

Vp

Equação de Bernoulli:

p2V pelevados elevados

= (T,p)

significativos Efeitos de compressibilidade

Importância do termo

1

p

2

1

a a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos

fluidos de menor a)


• Aumento do número de variáveis:

Esc. incompressívelEsc. incompressível Esc. compressível

V e p V, p, e TV e p

Equação da continuidade

Equação de Bernoulli

V, p, e T

Equação da continuidade

Equação de EnergiaEquação de Bernoulli(ou de quantidade de movimento)

Equação de Energia

Equação da quantidade de movimento

Equação de estado (G.P.): RTp Equação de estado (G.P.): RTp

• Parâmetros: a – Velocidade do som

M – Número de Mach

(M = V/a)(M = V/a)

Revisão de TermodinâmicaRevisão de Termodinâmica

• Algumas definições:• Algumas definições:o Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de

duas delas (p.ex. pressão e temperatura).duas delas (p.ex. pressão e temperatura).

o Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o final.final.

o Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem interferência do exterior.interferência do exterior.

o Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de trocas de calor).

•• Leis da Termodinâmica:o 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de o 1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de

energia.

o 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais.o 2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais.

1ª Lei da Termodinâmica – Sistemas1ª Lei da Termodinâmica – SistemasAbertos – Volumes de Controlo

• Equação de energia para escoamentos unidimensionais:

2 2 2

i k

V V Vu d h gy m h gy m W Q

t 2 2 2

i ksaída entVC i k

u d h gy m h gy m W Qt 2 2 2

•• Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia potencial (gases), por unidade de massa:potencial (gases), por unidade de massa:

VV 22

qV

hV

h

1

2

2

2

22 12

2ª Lei da Termodinâmica2ª Lei da Termodinâmica

• Num processo real a entropia s varia de modo a que;

dq

T

dqds irrevrev dsdsds

Ts e q expressos por unidade de massa

T

dq

T

• Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta,excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso emexcepto se o processo for reversível (sem atrito), caso emque s = cte – processo isentrópico.

Adiabático + reversível (sem atrito) isentrópico, ds = 0

Lei dos Gases PerfeitosLei dos Gases Perfeitos

•• Equação de estado: comRTp MR R

R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)

e ainda:

dTcdh

dTcdu v

vp

ccR

cc

1

RcpdTcdh p

vp ccR

varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da molécula do gás; vapor de água =1,33.

1p

• Relações isentrópicas:1

2

1

22

pT

molécula do gás; vapor de água =1,33.

• Relações isentrópicas:1

2

1

2

1

2

p

p

T

T

Número de MachNúmero de Mach

som do velocidade

fluido do velocidade

a

VM

M

p

V

2

22

Lp

LV

elálásti forço

inércia de forçoForça de inércia

Força elástica p 2Lp elálásti forçoForça elástica

M

V

32LV

cinética energiaEnergia cinética

M

p

3Lp

elálásti energiaEnergia elástica

Entalpia de Estagnação AdiabáticaEntalpia de Estagnação Adiabática

Equação de energia: qV

hV

h

22

22

2Vhh Entalpia de estagnação adiabática:

1222

20

Vhh

qhh

Entalpia de estagnação adiabática:

qhh 1020

2VNum escoamento adiabático (q = 0): .

2

2

0 cteV

hh

Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Temperatura de Estagnação AdiabáticaTemperatura de Estagnação Adiabática

•

• Temperatura de estagnação adiabática:V

TT2

• Para um gás perfeito: dTcdh p

• Temperatura de estagnação adiabática:pc

VTT

20

qhh 1020

• Equação da energia:pc

qTT 1020

.2

0 cteV

hh • Num escoamento adiabático:

p

.2

0 cteV

TT .2

0 ctehh • Num escoamento adiabático:

Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado

.2

0 ctec

TTp

Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado ao repouso numa desaceleração adiabática

Temperatura de Estagnação emTemperatura de Estagnação emFunção do Número de Mach

• Temperatura de estagnação, T :V

TT2

• Temperatura de estagnação, T0:pc

VTT

20

V

TT 12

VTT

211

Rc

Tc

VTT

p210

RT

VTT

0

2

11

2a

1

Rcp

a

1

2

02

11 MTT

Condições Críticas (M = 1)Condições Críticas (M = 1)

•• Para M = 1:

11

TT

211 MTT

210 TT

2

02

11 MTT

1

2

1

T

TT* é a temperatura crítica0 2

T

aRT

V 0V* é a temperatura crítica:

aRT

V10

V* é a temperatura crítica:

a* é a velocidade do som críticaa* é a velocidade do som crítica

Resumo de Escoamento CompressívelResumo de Escoamento Compressível

• Equação da energia:c

qTT 1020

c

dqdT 0• Equação da energia:

pcTT 1020

•

pcdT 0

dVdAd• Equação da continuidade: .cteAV 0V

dV

A

dAd

• Equação de estado: RTp 0T

dTd

p

dp

• Equação do número de Mach:

Tp

VM 0

dVdadM• Equação do número de Mach:a

VM 0

V

dV

a

da

M

dM

Escoamento CompressívelEscoamento Compressível

•• Equação da quantidade de movimento:

VVmF p

dxV 2

12 xxx VVmF

V V+dV

A+dA

p

AVdVd

dxVfdAAdpppdApA 2

2 V V+dV

A, p, p+dp

+dpForça longitudinal exercida pela pressão

2 dxMVdVdp1

pForça longitudinal exercida pela pressão na parede lateral

02

2

d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dp

RTp

1

Ondas de ChoqueOndas de Choque

•• Sumário:o Formação das ondas de choque.o Formação das ondas de choque.

o Formação das ondas de expansão.

o Equações das ondas de choque.o Equações das ondas de choque.

o Tabelas das ondas de choque.

Características das ondas de choque.o Características das ondas de choque.

Formação de Ondas de ChoqueFormação de Ondas de Choque

Aceleração do êmbolo Aceleração do êmbolo por sucessivos impulsos de velocidade

11,,0 TpV 11 RTa 22 , pT

dTT 1 11 adTTRa

dTT 21 adTTRa 21 1222 aRTadTTRan

dTT 2

dTT 21 adTTRa 21

dTT 31

1222 aRTadTTRa

adTTRa 21

Ao fim de algum tempo as ondas ficam todas sobrepostas Onda de Choque Normal

Compressão não infinitésimal numa frente sem espessura que se desloca a uma velocidade superior à do som (e tanto maior quanto maior T2/T1 e p2/p1).2 1 2 1

Onda de ExpansãoOnda de Expansão

Aceleração do êmbolo por sucessivos impulsos de velocidade (sentido contrário)

11,,0 TpV 11 RTa 22 , pT

dTT 1

11,,0 TpV 11 RTa

11 adTTRa

22 , pT

dTT 21 11

dTT 21 adTTRa 21

dTT 3

1222 aRTadTTRan

adTTRa 2dTT 31

A frente de onda espalha-se com o tempo: não

adTTRa 21

A frente de onda espalha-se com o tempo: não pode ocorrer onda de choque de expansão

Equações da Onda de ChoqueEquações da Onda de Choque

• Equação da continuidade:•V.C.

• Equação da continuidade:

•V1

•p1,T1

•V2

•p2,T2

AVAV 2211 2211 VV

•p1,T1 •p2,T2

•1•2

•O.C. sem espessura: A1=A2

• Balanço q. movimento longitudinal: xx

VVmFx 12

App 22 VpVp App 21 1211 VVAV 2222

2111 VpVp

• Balanço de energia:c

VT

c

VT

22

22

2

21

1 •pp c

Tc

T22

21


• Equação da continuidade:•V.C.

2211 VV • Equação da continuidade:

•V1

•p1,T1

•V2

•p ,T

2211 VV

• Balanço q. movimento longitudinal:

22 VpVp •p1,T1 •p2,T2

1 2

2222

2111 VpVp

• Balanço de energia:V

TV

T22

21 • Balanço de energia:

pp c

VT

c

VT

222

21

1

• Gás Perfeito:

•MTV

• Definição Mach:

2

1

2

1

2

1

T

T

p

p

2

1

2

1

2

1

M

M

T

T

V

V

222 Tp

•5 equações, 5 incógnitas: p2, T2, M2, V2, 2


2

V.C.

21

221

22

M

M

12 MfM M V1 V2

11

2 21

2

M

M

12 MfM M V1

p1,T1

V2

p2,T2

1 2

1

1

1

2 21

2

M

p

p 12 Mfp

pp

1 2

111

1

M

p 1

1pp

21

2

21

21

2

11

2

2

11 MM

T

2 MfT

21

21

12

1M

T

1

1

2 MfT

T


V.C.

Tp

V.C.

2

1

1

2

1

2

T

T

p

p

11

2 Mf

V1

p1,T1

V2

p2,T2

1 2

p2

11

2

1 11

21

21

MMp

10

0

0

1

2 Mfp

pp

12

21

2

21

11

0

0

1

2

M

MM

p

p

01p

111

01

M

Ondas de ChoqueOndas de Choque


22 RT

Equação de Prandtl:2

1

2 021

VRT

VV

RTaV em que é a velocidade crítica

VV VV Escoamento passa de supersónico para VV1VV2 Escoamento passa de supersónico para

subsónico

VVVV2 Escoamento passa de subsónico para VV1

VV2 Escoamento passa de subsónico para supersónico

Impossível pela 2ª lei da termodinâmicaImpossível pela 2ª lei da termodinâmica

Ondas de Choque: Segunda Lei da TermodinâmicaOndas de Choque: Segunda Lei da Termodinâmica

pTNum escoamento adiabático com atrito: 0lnln

1

2

1

212

p

pR

T

Tcss p

1

-s1)/

c p

Usando as expressões anteriores:

12

ln12 ss0,5

(s2-

Usando as expressões anteriores:

12ln1

1

1

1

2ln

2

21

12

M

Mc

ss

p

0

1

1

1

2ln1 2

1

M

-0,5

0 1 2 3 4 5

M1

-0,5

Impossível pela 2ª lei da termodinâmicada termodinâmica

Características da Onda de ChoqueCaracterísticas da Onda de Choque10 1

8 0,88 0,8

6 0,6

(s2-s1)/cp

4 0,4p2/p1

2 0,2p02/p01

0

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

M11 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5M1

Características da Onda de ChoqueCaracterísticas da Onda de Choque

10 1

8 0,8

M26 0,6

2 / 1

T2 / T1

M2

4 0,4

2 0,2

0

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0

M1

Velocidade de Propagação da Onda de ChoqueVelocidade de Propagação da Onda de Choque

• Como a onda está estacionária, a sua velocidade éidêntica, mas oposta ao escoamento de aproximação:idêntica, mas oposta ao escoamento de aproximação:

VV MM e V.C.1.. VV co 1.. MM co e

V1

p1,T1

V2

p2,T2

• Ondas de choque maisintensas (p2 / p1 mais elevado)

1 2

intensas (p2 / p1 mais elevado)deslocam-se com maiornúmero de Mach (M1).número de Mach (M1).

Ondas de Choque quando M1 → 1Ondas de Choque quando M1 → 1

• Ondas de choque com M1 → 1 transformam-se em• Ondas de choque com M1 → 1 transformam-se emondas de pressão de amplitude infinitésimal, sãoisentrópicas (ver gráfico 1) e deslocam-se à velocidadedo som.do som.

12 22

Mp

→ M 2 =1+→ 2

12 p

1

1

1

2 21

1

2

M

p

p→ M1

2 =1+→ 1

11

2

p

Escoamento Isentrópico em Dutos Escoamento Isentrópico em Dutos de Secção Variávelde Secção Variável

• Sumário• Sumário

o Pressão de estagnação isentrópica.o Pressão de estagnação isentrópica.

o Análise qualitativa do escoamento isentrópico em odutos de secção variável.

o Formação de ondas de choque.o Formação de ondas de choque.

Escoamento Isentrópico em Dutos Escoamento Isentrópico em Dutos de Secção Variável

• Pressão de estagnação isentrópica: pressão que se atingiria se o fluido fosse levado ao repouso em condições isentrópicas.

de Secção Variável

• Pressão de estagnação isentrópica: pressão que se atingiria se o fluido fosse levado ao repouso em condições isentrópicas.

p0 = 120 kPa p0 = 80 kPa

V V

O atrito nas paredes da conduta faz baixar a pressão de estagnação isentrópicaisentrópica


• Evolução isentrópica entre 1 e 2 (T =T ):1

22

Tp


• Evolução isentrópica entre 1 e 2 (T01=T02):1

2

1

2

Tp

p2, T2

V2

p1, T1

V1

Pressão de estagnação isentrópica na secção 1:

1

1

0

1

01

T

T

p

p

1 2

1 11

Pressão de estagnação 1

002

Tp1 2 Pressão de estagnação

isentrópica na secção 2:2

0

2

2

Tp

22

0

1

1

2

2

0

0

0

p

p

p

p

p

p

p

p 1 cte.0p

1

0

11

1

21

2

0

T

T

T

T

T

T

11 0120 pppp 0012

TTT


Equações na forma diferencial:


Equações na forma diferencial:

0V

dV

A

dAd

Continuidade:

VA

spa Velocidade do som:

dp

a

d2

1

02

2

d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dpQuantidade de movimento:

a

2 dARTp

Eliminando p e entre as 3 equações resulta em: dVMdA 21Eliminando p e entre as 3 equações resulta em:

VM

A1

Escoamento Isentrópico em Dutos Escoamento Isentrópico em Dutos de Secção Variávelde Secção Variável

dVMdA 21

V

dVM

A

dA 21dA/A < 0

p

Duto convergente

dA/A < 0

Duto convergente

Tubeira subsónicaM<1 dV/V > 0 Tubeira subsónica

M>1 dV/V < 0 Difusor supersónicoM<1 dV/V > 0



V

dVM

A

dA 21dA/A > 0

VA dA/A > 0

Conduta divergenteConduta divergente

M<1 dV/V < 0 Difusor subsónicoM<1 dV/V < 0 Difusor subsónico

M>1 dV/V > 0 Tubeira supersónica


Duto convergente -divergente

dVdA

dA/A = 0 em x = 0

V

dVM

A

dA 21

dA/A = 0 em x = 0VA

dV/V = 0 em x = 0 se Mg ≠ 1dV/V = 0 em x = 0 se Mg ≠ 1

Se Mg ≠ 1 a velocidade atinge um mínimo (se Mg>1 – escoamento supersónico no convergente, permanece supersónico no divergente) ou um máximo (se Mg<1

garganta

no convergente, permanece supersónico no divergente) ou um máximo (se Mg<1 – escoamento subsónico no convergente, permanece subsónico no divergente).

Se M = 1 dV/V ≠ 0 (o escoamentoSe Mg = 1 dV/V ≠ 0 (o escoamentopode passar de subsónico a supersónico, ouvice-versa), ou dV/V = 0 (caso anterior) – é avice-versa), ou dV/V = 0 (caso anterior) – é adiferença de pressões que determina.

Fonte Sonora em MovimentoFonte Sonora em Movimento

• Uma fonte sonora que se desloca a um número de Mach = 0,5 (asfrentes de ondas sonoras deslocam-se ao dobro da velocidade dafrentes de ondas sonoras deslocam-se ao dobro da velocidade dafonte).

t=-2Frentes de onda maispróximas à frente da fonte

t=-1t=-3

próximas à frente da fontedo que atrás (efeito dedoppler).

t=0

t=-1

t=-2

t=-3

Observador fixo ouve ruídocom maior frequência (maisagudo) antes da passagemagudo) antes da passagemda fonte que depois.

Fonte Sonora em Movimento

• Uma fonte sonora que se desloca a um número de Mach = 1 (asfrentes de ondas sonoras deslocam-se à mesma velocidade da


frentes de ondas sonoras deslocam-se à mesma velocidade dafonte).

t=-2Frentes de onda juntam-sena fonte criando uma onda

t=-1t=-3

na fonte criando uma ondade choque normal (p finito)junto da fonte.

t=0

t=-1

t=-2

t=-3

Observador fixo ouve forteestampido da passagem dafrente de onda (e da fonte).frente de onda (e da fonte).


• Uma fonte sonora que se desloca a um número de Mach = 2 (asfrentes de ondas sonoras deslocam-se a metade da velocidade da


frentes de ondas sonoras deslocam-se a metade da velocidade dafonte).

Frentes de onda juntam-senum cone criando uma onda

t=-2num cone criando uma ondade choque oblíqua (p finito)junto da fonte.

t=-1

t=0

t=-1

t=-2

t=-3

Observador fixo ouveestampido da frente deonda depois da

t=-3

onda depois dapassagem da fonte).

M1tanCone de Mach:

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