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Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Introdução ao Método dos

Elementos Finitos


Princípio dos Trabalhos Virtuais para a Elasticidade

Tridimensional

O trabalho virtual dos esforços externos é

dado por:

Define-se o trabalho virtual dos esforços internos – as tensões – sxx, syy, szz, sxy,

sxz e syz para o campo das deformações virtuais por:

dVV

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxxi ssssss

dVV

T

i s }{

dSfudVfu ST

S

B

V

T

e

f

}{

onde:

),,(

),,(

),,(

zyxw

zyxv

zyxu

u

),,(

),,(

),,(

zyxw

zyxv

zyxu

u


O Princípio dos Trabalhos Virtuais para a elasticidade tridimensional pode ser

escrito como:

dSfudVfudV ST

S

BT

V

T

V f

s

Mostra-se que:

Dados Bf em V e Sf em Sf

são condições equivalentes para o campo de tensões {s} satisfazer o Princípio dos

Trabalhos Virtuais para qualquer deslocamento virtual e satisfazer equilíbrio, i.e.,


Princípio dos Trabalhos Virtuais

dSfudVfudV ST

S

BT

V

T

V f

s

para todo 0, uu em Su

0

B

y

yzyyyxf

zyx

sss

0

B

zzzzyzx f

zyx

sss

0

B

xxzxyxx f

zyx

sss

Equilíbrio

para todo x em V

SfuT para todo x em Sf


O problema da elasticidade linear pode ser formulado usando o princípio dos

trabalhos virtuais.

Determinar s e,u tal que

dSfudVfudV ST

S

BT

V

T

V f

s

para todo 0, uu em Su

Equilíbrio

(a)

w

v

u

yz

xz

xy

z

y

x

yz

xz

xy

zz

yy

xx

0

0

00

00

00

u Vx

Compatibilidade

(b)

s C VxEquação Constitutiva

(c)


Substituindo as equações de compatibilidade e constitutivas ( (b) e (c) ) na expressão

do princípio dos trabalhos virtuais (a) obtém-se a formulação somente em termos dos

deslocamentos

dSfudVfudVuCu ST

S

BT

V

TT

V f

0, uu em Su

u

s C

Determinar u tal que

Tendo-se u , obtém-se

e


Princípio dos Trabalhos Virtuais para a Elasticidade

no Plano

Particularizando-se a expressão da elasticidade tridimensional para as condições de

estado plano de tensão:

Estado Plano de Tensões

Axyxyyyyyxxxx

A

h

hxyxyzzyyyyxxxx

T

V

dAh

dAdzdV

sss

ssss2/

2/0}{}{

e

ff

f

L

S

y

S

xL A

B

y

B

x

h

h

S

y

S

x

A

h

h

B

y

B

xS

ST

V

BT

dLfvfuhdAfvfuhdLdzfvfu

dAdzfvfudSfudVfu

2/

2/

2/

2/}{


Usando a notação:

e definindo-se

resulta:

xy

yy

xx

xy

yy

xx

s

s

s

s

S

y

S

xS

B

y

B

xB

f

ff

f

ff

v

uu

dLfdAfdV S

L

T

A

BTT

A f

}{}u{}{}u{}{}{ s


Estado Plano de Deformações

As componentes de deformação xx, yy, xy são diferentes de zero e as componentes

de tensão sxx, sxy, syy , szz são não nulas, então analogamente ao caso de estado

plano de tensões, tem-se:

dLfudAfudV S

L

T

A

BTT

A f

}{}{}{}{}{}{ s



Considerando o Problema Plano

Equilíbrio:

dLfudAfudA ST

L

BT

A

T

A f

s

vuuT

Compatibilidade:

x

v

y

u

x

v

x

u

xy

yy

xx

Equação constitutiva:

s C (i)

onde


Definindo-se

A equação de compatibilidade pode ser reescrita como:

Substituindo-se (i) e (ii) na equação de equilíbrio, resulta:

xy

y

x

0

0

u (ii)

dLfudAfudAuCu ST

L

BT

A

TT

A f


Formulação do Problema da Elasticidade Plana em

Termos de Deslocamentos

Determinar o campo de deslocamentos {u}, {u}T = { u(x,y) v(x,y) } tal que:

para qualquer {u}, {u }T = { u(x,y), v(x,y) } tal que {u} = {0} em Lu

Vamos procurar a solução para a equação acima considerando uma determinada forma

funcional para os deslocamentos.

dLfudAfudAuCu ST

L

BT

A

TT

A f


Para se definir essa forma considere:

A(m)

A

Y

X

A(m)

A

Y

X

pontos

nodais


A(m)

A

Y

X

pontos

nodais

m

y

x

Y,V

X,U


Considere um elemento genérico

Uk

lU

U

Uq

p

U

Uf

gjU

Ui

y,v

x,u

a/2 a/2

b/2

b/2

e uma numeração local

2 1

3 4

v2

2u

1v

u1

3v

u3

v4

4u

y

x

define-se


Então

h1

1

x

y

b

y

a

xyxh

b

y

a

xyxh

b

y

a

xyxh

b

y

a

xyxh

21

21

4

1),(

21

21

4

1),(

21

21

4

1),(

21

21

4

1),(

4

3

2

1


Define-se o campo de deslocamentos no interior do elemento por

Nota-se que

analogamente

4

1

4

1

),(

),(

i

ii

i

ii

vhyxv

uhyxu

4

1

),(),(i

ijjijj uyxhyxu

1),( jji yxh ji Como quando 0),( jji yxh ji e quando

jjj uyxu ),(

jjj vyxv ),(


Definindo-se

onde:

Pode-se escrever

uHyxv

yxuu m ˆ

),(

),()(

4321

4321

0000

0000

hhhh

hhhhH

4

4

3

3

2

2

1

1

ˆ

v

u

v

u

v

u

v

u

u


Considere:

Pode-se escrever:

onde Ui , i = 1, ..., n representam todos os deslocamentos nodais do modelo.

n

TUUUU ......21

UHu mm )()(

),(

),()(

)(

)(

yxv

yxuu

m

m

m

onde

e para o elemento (m) abaixo

Uk

lU

U

Uq

p

U

Uf

gjU

Ui

y,v

x,u

a/2 a/2

b/2

b/2


tem-se

Considerando as relações deslocamento-deformações

.........0

...0...0...0

...0...000...00...0

......0...000...0

431

4

2

132)(

hhh

h

h

hhhH

gjpf

qiK

UUUU

UUUU

m

UB mm )()( onde

)()( mm HB

e usando a equação constitutiva

)()()( mmm C s

sendo que

CC m )(

para material homogêneo.


Lembrando o enunciado do Princípio dos Trabalhos Virtuais

pode-se escrevê-lo considerando-se a interpolação de elementos finitos

E considerando ainda que os deslocamentos virtuais são interpolados da mesma forma

que os deslocamentos

dLfdAfdA ST

L

BT

A

T

A f

uu s

UHyxv

yxuu mm )()(

),(

),(

UB mm )()(

UHu mm )()(


então resulta

onde L1(m), L2

(m), ..., Lf(m) lados do elemento (m) que pertencem a fronteira do domínio

Lf .

e

mq

m

m

e

m

m

e

m

n

m

m

LL

STm

n

m

m

A

BTmT

n

m

m

A

mmTmT

dLfH

dAfHU

UdABCBU

1

)(

,...

)(

1

)()(

1

)()()()(

)()(1

)(

)(

)(

)(


Definindo-se

)()()()()(

)(

m

A

mmTmm dABCBKm

en

m

mKK1

)(

)()()(

)(

)( m

A

BTmm

B dAfHRm

m

)(

,...

)()(

)()(1

)( m

LL

STmm

S dLfHRm

qm

m

en

m

m

BB RR1

)(

en

m

m

SS RR1

)( SB RRR

Pode-se escrever

0 RUKUT

Como os deslocamentos virtuais são arbitrários, {U} pode ser tomado

arbitrariamente levando a: RUK


Montagem da Matriz de Rigidez

m

y

x

Y,V

X,U

Uk

lU

U

Uq

p

U

Uf

gjU

Ui

y,v

x,u

a/2 a/2

b/2

b/2

en

m

mKK1

)(

)()()(

)(

)( m

A

j

mT

i

m

ij dABCBKm

m

.............................. )()()(

j

m

i

mm BBB

i j

0)(

m

ijK somente se os graus de liberdade Ui e Uj pertencerem ao elemento (m)



Uk

lU

U

Uq

p

U

Uf

gjU

Ui

y,v

x,u

a/2 a/2

b/2

b/2

2 1

3 4

v2

2u

1v

u1

3v

u3

v4

4u

y

x

Recorda-se

188212

)(

12

)( ˆ uHUHu NN

mm

Analogamente

188313

)(

13

)( ˆ uBUB NN

mm


Definindo

3

3

vU

uU

j

i

Os termos de [K(m)] que não são encontrados em [k] são nulos

dABCBkA

T

88

56

)(

kKm

ij

8

7

6

5

4

3

2

1

ˆ

4

4

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

v

u

u



Uk

lU

U

Uq

p

U

Uf

gjU

Ui

y,v

x,u

a/2 a/2

b/2

b/2

2 1

3 4

v2

2u

1v

u1

3v

u3

v4

4u

y

x

Define-se

gfjiklpqLMTm

vuvuvuvu

)(

44332211

As contribuições da matriz de rigidez do elemento (m) para a matriz [K] podem ser

obtidas somando-sek11 na posição qq de [K]

k12 na posição qp de [K]

k18 na posição qg de [K]

k22 na posição pp de [K]

k28 na posição pg de [K]


Forças Nodais

Uk

lU

U

Uq

p

U

Uf

gjU

Ui

y,v

x,u

a/2 a/2

b/2

b/2

2 1

3 4

v2

2u

1v

u1

3v

u3

v4

4u

y

x

1

)(

1

)(

NNN

m

N

m UKF

ukf ˆ

2fFp

1fFq

4fFk

3fFl

6fFj

5fFi

8fFg

7fFf

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