Introdução · consideradas longitudinais, em analogia com as ondas sonoras propagando-se no ar....

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Introdução

1.1 UMA BREVE RETROSPECTIVA HISTÓRICA

Tradicionalmente, é reconhecido que a interpretação dos chamados “anéis de

Newton”, por Boyle (1627-1691), e, independentemente, por Hooke (1635-1703), foi o

ponto de partida para o estudo de interferometria óptica. Estes anéis coloridos

correspondiam as figuras de interferência observadas visualmente num filme de ar

bastante delgado estabelecido entre duas lâminas de vidro em contato entre si [1].

Hooke explicou o fenômeno interpretando a luz como um movimento vibratório rápido

do meio de propagação, refletindo-se sucessivamente nas superfícies do vidro.

Entretanto, surgiu uma questão inquietante entre os pensadores daquela época,

relativamente a natureza da luz: seria ela constituída de corpúsculos, isto é, por um trem

de partículas em movimento, ou, seria uma onda propagando-se em um meio de

substrato, o então denominado éter ?

Com a famosa experiência da passagem de luz branca por um prisma, Newton,

em 1666, pode concluir que esta era composta por uma mistura de cores independentes,

cada qual, correspondente a corpúsculos excitados no éter com características de

vibração diferentes [2]. Assim, por exemplo, a sensação (no olho humano) de cor

vermelha corresponderia a uma vibração mais longa do éter, e, a cor violeta, a uma

vibração mais curta. Desta forma, através do fenômeno de dispersão cromática, Newton

explicou o aparecimento das franjas coloridas naqueles anéis. A principal razão para

Newton rejeitar o modelo ondulatório, foi a dificuldade em explicar a propagação

retilínea da luz em termos de ondas, as quais espalhavam-se em todas as direções,

semelhante as ondas mecânicas, as únicas investigadas até então.

Contudo, em 1678, na Europa, Huygens encontrava-se bastante envolvido com

a teoria ondulatória. Segundo Huygens, a cada ponto do éter por onde a distribuição

luminosa passava, poderia ser associado um centro de um novo distúrbio, que se

propagaria na forma de ondas esféricas. Estas ondas secundárias (wavelets) se

combinariam de modo que sua envoltória determinasse a nova frente de onda em

qualquer instante posterior [3]. Com esta teoria ele foi capaz de explicar

matematicamente as leis de reflexão e refração, descritas por Snell e Descartes a partir

de resultados experimentais, e analisar a dupla refração em cristais de calcita. Foi

justamente trabalhando com este material que Huygens descobriu o fenômeno de

polarização, interpretado por ele como dois tipos diferentes de emanações de ondas de

luz. Entretanto, Huygens evitou qualquer interpretação em termos da natureza hipotética

da luz.

INTRODUÇÃO - 2

Por sua vez, Newton apresentou uma outra explicação segundo o modelo

corpuscular para o fenômeno de polarização, atribuindo lateralidade (sides) aos raios,

e, foi justamente esta tranversalidade que inviabilizou a aceitação da teoria ondulatória,

uma vez que naquela época, conforme já foi lembrado, somente ondas longitudinais

haviam sido estudadas.

Independentemente das dúvidas a respeito da natureza da luz, um fato tornava-

se indiscutível até então, qual seja, sua velocidade de propagação deveria ser

extremamente elevada. Em 1676, Römer, observando o intervalo de tempo entre

eclipses solares sucessivos da lua mais próxima de Júpiter, elaborou um engenhoso

método [3] para medir a velocidade da luz, obtendo uma estimativa aproximada de

214.000 Km/s.

Devido a grande influência exercida pelas idéias de Newton na época, a teoria

corpuscular prevaleceu por mais de um século. A teoria ondulatória só voltou a ser

discutida no trabalho experimental de Young, em 1801 [3]. Este último introduziu um

novo conceito, denominado princípio de interferência de ondas, segundo o qual,

quando duas ondas coincidem em direção, resulta num efeito global, correspondente a

uma combinação dos movimentos de cada onda. Com esta teoria, Young propôs uma

explicação para as franjas coloridas dos filmes finos e determinou os comprimentos de

onda associados as várias cores utilizando os dados de Newton. Contudo, tais idéias não

foram aceitas com seriedade na época, pelos seguidores da teoria de corpuscular de

Newton, em vista que essa teoria não contemplava o fenômeno de polarização.

Passaram-se vários anos, até que Fresnel (1818) sintetizou os conceitos da

descrição ondulatória de Huygens com o princípio de interferência de Young. Segundo

Fresnel, o modo de propagação de uma onda primária poderia ser interpretada como

uma sucessão de ondas secundárias esféricas, emanadas a partir de cada ponto da

primeira, que se superpoem e interferem entre si para formar uma nova onda primária,

constituída por suas envoltórias. Isto havia sido proposto por Huygens porém, agora,

considerava-se o conceito de fase da onda óptica. Estas ondas, contudo, ainda eram

consideradas longitudinais, em analogia com as ondas sonoras propagando-se no ar.

Com sua teoria, Fresnel pôde determinar as figuras de difração oriundas de

vários obstáculos e aberturas [3], tal qual observado por Grimaldi, a cerca de um século

e meio atrás. Isto, para satisfação de Young, o qual teve sua credibilidade recuperada

nos anos seguintes.

Em 1808, Malus descobriu que a bi-lateralidade da luz, observada por

Huygens nos cristais de calcita, também ocorria durante as reflexões [1]. Por vários

anos, Arago (1786-1853), Young e Fresnel, realizaram uma série de experiências para

determinar o efeito da polarização sobre a interferência, porém, com resultados

insatisfatórios, devido ao modelo de onda longitudinal empregado. Finalmente, Young

sugeriu que a vibração no éter poderia ser transversal, como a onda propagando-se em

uma corda. A bi-lateralidade da luz seria então uma simples manifestação de duas

vibrações ortogonais do éter, transversais à direção do raio de luz. Isto permitiu obter

matematicamente as conhecidas fórmulas para as amplitudes das ondas refletida e

transmitida, da luz incidente sobre uma superfície de separação de dois meios,

solidificando a teoria ondulatória definitivamente.

A primeira determinação em terra da velocidade da luz, foi realizada por

Fizeau, em 1849. Através da conhecida experiência da roda dentada [3], ele mediu esta

TÉCNICAS DE DEMODULAÇÃO DE SINAIS EM INTERFEROMETRIA ÓPTICA - 3

velocidade como sendo 315.300 Km/s. Seu contemporâneo, Foucault, em 1850, mediu

a velocidade da luz num meio denso, e descreveu que esta era menor que no ar,

contrariando assim a formulação da teoria de emissão de Newton. Esta foi mais uma

contribuição para resolver a ambiguidade imposta pela teoria corpuscular, a favor da

teoria ondulatória.

Paralelamente ao que ocorria na óptica, em 1845, Faraday estabeleceu um

interelacionamento entre o eletromagnetismo e a luz, quando descobriu que a direção de

polarização de um feixe poderia ser alterado por um campo magnético intenso aplicado

ao meio [3]. Baseando-se no conhecimento empírico da época, Maxwell (1831-1879)

elaborou um conjunto de equações matemáticas e mostrou, de forma completamente

teórica, que o campo eletromagnético poderia se propagar como onda transversal no

éter. Resolvendo tais equações para a velocidade da onda, obteve uma expressão em

termos de propriedades eletromagnéticas do meio (c=1/, onde e são a

permissividade e a permeabilidade do meio, cujos valores eram conhecidos

empiricamente). Substituindo-se os valores dessas grandezas, obteve um resultado

numérico correspondente àqueles medidos por Fizeau e Foucault. Deste modo, pôde

concluir que a luz era um distúrbio eletromagnético na forma de ondas que se

propagariam através do éter. Somente oito anos após a morte de Maxwell (1888), Hertz

verificou experimentalmente a existência de ondas eletromagnéticas de elevado

comprimento de onda, confirmando assim as previsões teóricas do primeiro [1].

Contudo, ainda persistiam questões sobre a natureza do éter. Se haviam ondas,

parecia óbvio haver um meio de sustentação, o éter. Entretanto, este deveria possuir

estranhas propriedades, tais como, ser tão tênue que não ofereceria qualquer resistência

ao movimento dos corpos celestes, e, ao mesmo tempo, suportar as oscilações de

frequências extremamente elevadas (1015

Hz) da luz, propagando-se a cerca de

300.000 Km/s. Isto implicaria em forças de restauração muito elevadas em seu interior.

Além disso, a velocidade de avanço das ondas no meio dependeria das características

do substrato de distúrbio, mas não de quaisquer movimentos da fonte. Isto contrariava o

comportamento de um trem de partículas, cuja velocidade com relação a fonte é um

parâmetro essencial. Finalmente, certos aspectos da natureza do éter falhavam quando

do estudo da óptica de objetos em movimento.

Baseado nas observações do astrônomo Bradley, em 1725, sobre o fenômeno

de aberrações estelares [3], verificou-se que a teoria ondulatória só ofereceria

explicação aceitável se fosse assumido que o éter permanecesse totalmente não

perturbado quando a terra se movesse através dele (ou seja, deveria haver movimento

relativo entre ambos). Já na teoria corpuscular, este fenômeno era prontamente

explicável e sem quaisquer restrições. Assim, segundo cálculos de Fresnel, em 1818,

indicava-se que num meio com índice de refração n, movendo-se com velocidade v, o

éter deveria ser carregado (arrastado) com uma velocidade v(1-1/n2). O experimento

interferométrico de Fizeau, em 1851, no qual dois feixes percorriam uma coluna de

água em movimento em sentidos opostos, confirmou a hipótese de Fresnel, através da

observação do deslocamento de franjas conforme o valor esperado [4]. Concluía-se,

então, que nenhuma diferença observável resultaria entre a luz de fontes na terra ou fora

dela, devido ao movimento da terra no éter. Assumindo que o éter estava em absoluto

repouso, Lorentz (1853-1928), derivou uma teoria matemática que cofirmava

totalmente as hipóteses de Fresnel [1].

INTRODUÇÃO - 4

A partir desses resultados, Maxwell previu, em 1880, que se houvesse

movimento da terra através do éter, deveria resultar uma variação da velocidade da luz

proporcional ao quadrado da razão entre a velocidade da terra e a velocidade da luz [4].

Porém, esta variação deveria ser muito pequena para ser detectada experimentalmente.

Entretanto, em 1881, Michelson realizou sua famosa experiência utilizando-se da

enorme exatidão da interferometria para medir este valor [3]. O resultado indicou que

não havia qualquer movimento detectável da terra com relação ao éter, ou seja, o éter

não era estacionário (arrastava-se com a terra).

Assim, enquanto a observação das aberrações estelares, no contexto da teoria

ondulatória, exigia a existência de movimento relativo entre a terra e o éter, o

experimento de Michelson desconsiderava esta possibilidade. Em 1900, Poincaré

tornou-se um dos primeiros a questionar seriamente a necessidade da existência do éter

[1]. Sem dúvida, a experiência de Michelson conduziria à rejeição do conceito de éter,

nos anos subsequentes, e fixou as bases para os fundamentos da teoria da relatividade

especial. Em 1905, Einstein postulou que a luz sempre propaga-se no espaço vazio com

velocidade definida, que é independente do estado de movimento da fonte emissora [1].

Detalhes adicionais a respeito da evolução histórica da óptica e da interferometria

podem ser encontradas nas referências [1-4].

1.2 ALGUMAS APLICAÇÕES DA INTERFEROMETRIA ÓPTICA

Nos últimos 40 anos tem havido um crescente interesse em interferometria

óptica, principalmente, devido ao desenvolvimento do laser como fonte de luz com

elevado comprimento de coerência [5]. Até a primeira metade do século XX, a maioria

das fontes de luz utilizadas em interferometria eram constituídas, por exemplo, por

lâmpadas de vapor de mercúrio, acrescidas de filtros ópticos que isolavam a linha verde

(0,546m) de seu espectro de emissão. Este tipo de fonte produzia luz com reduzida

coerência espacial e temporal, além de possuir baixíssima intensidade.

Com a invenção do laser por volta de 1960, removeu-se a maioria das

limitações impostas pelas fontes térmicas ou por descarga, possibilitando uma mudança

substancial nas técnicas de medida. Destaca-se brevemente, que constituem qualidades

essenciais do laser o seu elevado grau de monocromaticidade, direcionalidade, brilho e

coerência [5]. Citam-se a seguir, algumas aplicações potenciais de interferometria

óptica, com ênfase nos sistemas utilizando laser.

1.2.1 METRO PADRÃO

Em 1896, Michelson realizou a primeira medição rigorosa do comprimento de

uma barra de Pt-Ir, a qual constituiu o protótipo internacional do metro padrão, em

termos do comprimento de onda da radiação vermelha do cádio (0,606m). Em 1960, o

comprimento de onda da radiação laranja do Kr-86 foi usado com referência natural

para definir o metro padrão. Assim, um metro (1m) corresponderia a 1.650.763,73

vezes o comprimento de onda no vácuo da transição 2P10 - 5D5 do criptônio 86. Uma

descrição detalhada deste arranjo é apresentada na referência [4].


1.2.2 ESTUDO DE FRENTES DE ONDAS

Outro ramo de aplicação da interferometria surgiu com as pesquisas

desenvolvidas por Twyman em 1916, que propôs a utilização de um interferômetro de

Michelson modificado para testar componentes ópticos. Este interferômetro foi

adaptado por Linnik, em 1933, para permitir o exame microscópico de superfícies

refletoras [4], a fim de testar esses componentes ópticos.

Tais sistemas são utilizados para medir variações de fase através de frentes de

onda ópticas, e podem ser aplicados em estudos de fluxo de gás em turbinas, fenômenos

de combustão, difusão, sistemas de plasmas, e outros [4].

1.2.3 INTERFEROMETRIA HOLOGRÁFICA

Em interferometria holográfica, uma das frentes de onda é armazenada em um

holograma e posteriormente comparada com outra frente de onda. Isto permite, por

exemplo, comparar frentes de onda que estão separadas no tempo ou no espaço. Desta

forma, variações na forma de objetos, ainda que suas superfícies sejam ásperas, podem

ser medidas com elevada exatidão. Como resultado, aplicações em teste não-destrutivo

de materiais, em engenharia biomédica, na análise de tensões mecânicas, e outras, têm

sido amplamente investigadas [4].

1.2.4 INTERFEROMETRIA SPECKLE

O fenômeno de “speckle” refere-se à aparência granulada da projeção da luz

refletida por uma superfície difusa, iluminada por um feixe de laser. Isto ocorre devido

a interferência entre feixes completamente coerentes, difratados a partir de elementos

individuais dessa superfície. No início, o speckle foi tratado como um incômodo,

contudo, posteriormente, observou-se que poderia ser usado como uma portadora de

informações,e, aplicações para análise de deslocamentos e vibrações de superfície

demonstraram ser bastante atraentes [4].

1.2.5 TÉCNICAS HETERODINAS

O desenvolvimento da eletrônica proporcionou uma verdadeira revolução na

interferometria óptica, através da disponibilidade de fotodetectores a semicondutor

capazes de operar em frequências de modulação elevadas, sistemas de demodulação de

sinais analógicos e digitais, sistemas de aquisição de dados por computador, e outros.

Acrescido ao desenvolvimento do laser como fonte altamente coerente, tornou-se

possível imprimir informações ao batimento (beat) de dois comprimentos de ondas,

correspondentes a frequências levemente diferentes, obtido por mistura (mixing) sobre

um fotodetector de lei quadrática. Desde que, medidas de frequência ou fase de

batimentos, podem ser realizadas com elevada precisão através de eletrônica

convencional, foi possível atingir níveis de sensibilidade nunca antes alcançados [4].

INTRODUÇÃO - 6

1.2.6 INTERFERÔMETRO A FIBRA ÓPTICA

A partir dos anos 70, o desenvolvimento da tecnologia de produção de fibras

ópticas monomodo com elevada transmissão adquiriu notável avanço. Com o auxílio de

dispositivos, como o acoplador direcional, tornou-se possível a implementação de

interferômetros de dois feixes totalmente a fibra óptica. Tais sistemas possuem

vantagens ímpares como, por exemplo, a capacidade de acomodar comprimentos de

caminhos ópticos muito longos em pequenas dimensões físicas e com baixíssimo peso.

São portáteis e podem ser montados segundo diferentes versões como o interferômetro

de Mach-Zehnder, de Michelson, de Sagnac, de Fabry-Perot, interferômetro

polarimétrico, intermodal, e outros. Finalmente, o desenvolvimento de dispositivos

compatíveis com esta tecnologia permitiram a implementação de uma grande variedade

de sensores, dentre os quais citam-se, os sensores de deslocamento, pressão, rotação,

aceleração, temperatura, campo elétrico, campo magnético, e muitos outros [6].

1.2.7 INTERFEROMETRIA EM ÓPTICA INTEGRADA

Uma área que também passou a concentrar esforços de desenvolvimento

tecnológico, a partir de 1970, foi a óptica integrada. Suas principais características são a

miniaturização, a necessidade de poucos ajustes por parte do usuário final, e a elevada

insensibilidade a perturbações ambientais externas. Um bloco essencial desses

dispositivos é o interferômetro Mach-Zehnder integrado, o qual pode ser utilizado para

modulação óptica de amplitude, polarização, frequência, etc, dependendo do arranjo

específico gravado sobre uma superfície planar. Podem ser aplicados na confecção de

diversos tipos de sensores, bem como vários dispositivos voltados para as áreas de

telecomunicações e processamento de sinais [7].

Sem dúvida alguma, o breve resumo aqui apresentado, deixou de citar várias

outras aplicações não menos importantes da interferometria óptica, como a

interferometria estelar, a espectroscópica, etc. Desta forma é sugerido a leitura da

bibliografia apresentada ao final do capítulo para mais informações. Ressalta-se

também, que no texto a seguir, será dada ênfase ao estudo de técnicas de demodulação

de sinais gerados em interferômetros de dois feixes recomendando-se novamente, a

consulta da bibliografia indicada, para o estudo de outros tipos de interferômetros

(dentre as dezenas disponíveis) empregados em óptica.

1.3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] BORN,M. & WOLF,E., Principles of Optics, Pergamon Press, 6a ed., 1980

[2] IIZUKA,K., Engineering Optics, Springer-Verlag, 6a ed., 1983.

[3] HETCH,E. & ZAJAC,A., Optics, Addison-Wesley Publishing Company, 1974.

[4] HARIHARAN,P., Optica Interferometry, Academic Press, 1985.

[5] SIEGMAN,A.E., An Introduction to Lasers and Masers, McGraw-Hill, 1971.

[6] UDD,E., Fiber Optic Sensors, John Wiley & Sons, 1991.

[7] DAKIN,J. & CULSHAW,B., Optical Fiber Sensors, Artech House, 1988.

2

Interferômetros de Dois Feixes

2.1 INTRODUÇÃO

A interferometria óptica adquiriu, principalmente a partir dos anos 70,

importância fundamental na área de sensores, instrumentação eletrônica e

processamento de sinais [1]. Relativamente aos sensores, uma aplicação poderosa da

interferometria óptica ocorre nos chamados sensores de fase, que são dispositivos

óptico-eletrônicos extremamente sensíveis, nos quais a informação a respeito dos

fenômenos físicos que se desejam caracterizar é introduzida diretamente na fase de uma

portadora óptica , e não na sua amplitude, ao contrário do que ocorre nos sensores

ópticos de intensidade. Para se ter uma idéia de tal sensibilidade, cita-se, que no caso de

sensores de deslocamentos (por exemplo), amplitudes de deslocamentos relativos da

ordem de um milésimo de comprimento de onda óptico () podem induzir desvios da

fase da luz da ordem de um grau (1o), o qual, em princípio, podem ser detectados

eletronicamente sem grandes dificuldades. Esses valores de desvios de fase também

podem ser obtidos através da variação do índice de refração do meio que envolve o raio

de luz, na ordem de uma parte em um milhão. Este fato pode ser explorado na

implementação de sensores de temperatura, campo elétrico, campo magnético, etc.

Além disso, como tais variações mínimas de deslocamento ou de índice de refração

podem ser produzidas, por exemplo, pela mais leve pressão sobre um trecho de fibra

óptica, admite-se também a possibilidade de implementação dos sensores de fase a

fibra óptica, as quais são bastante difundidos atualmente.

Esta sensibilidade elevada ocorre sobretudo, porque o comprimento de onda

óptico é muito pequeno (da ordem de 0.5m) e a velocidade da luz é muito grande (da

ordem de 3x108m/s). Isto favorece ainda, a implementação de dispositivos óptico-

eletrônicos com dimensões físicas reduzidas, relativamente a possíveis versões nas

faixas de freqüência de RF ou microondas, por exemplo. Através da interferometria as

grandezas físicas que desejam-se medir são incorporadas na fase da luz e, a seguir,

podem ser extraídas utilizando-se sistemas de demodulação de sinais adequados. Esses,

por sua vez, executam a transferência da informação contida no “domínio óptico”, cuja

freqüência é altíssima (da ordem de 1014

Hz), para o “domínio elétrico”, de preferência

para um sinal de baixa freqüência, compatível com a instrumentação eletrônica

disponível atualmente.

Os interferômetros ópticos podem se apresentar em diferentes configurações

como, por exemplo, os interferômetros de Mach-Zehnder, de Michelson, de Sagnac, de

INTERFERÔMETROS DE DOIS FEIXES - 8

Fizeau, de Fabry-Perot, etc., cada qual mais adequada a uma dada aplicação específica

[2]. Neste trabalho será dado ênfase ao estudo dos interferômetros de dois feixes do tipo

Mach-Zehnder e Michelson, devido as suas consagradas aplicabilidades nos mais

variados tipos de sensores ópticos de fase. Inicialmente serão feitas considerações sobre

franjas de interferência e determinada a expressão matemática da distribuição espacial

da intensidade óptica resultante. Em seguida serão analisadas diversas técnicas de

demodulação eletrônica do sinal de informação, abrangendo textos de diversos autores,

desde a década de 60 até os dias de hoje. A análise se concentrará sobretudo nos

interferômetros em óptica volumétrica, contudo, diversos exemplos com interferômetros

à fibra óptica também serão apresentados. Será discutido o problema de degradação de

sinais devido à perturbações ambientais de baixa freqüência agindo sobre o

interferômetro, e apresentadas algumas soluções para eliminar seus efeitos na detecção

eletrônica final. Finalmente, serão feitas rápidas considerações a respeito de ruído

elétrico e do nível mínimo de sinal detectável. Além disso, apresenta-se no Apêndice I,

um estudo relacionando as dimensões físicas de fotodetectores de alta freqüência, o

grau de alinhamento necessário entre os raios de luz na saída do interferômetro, e a

eficiência de conversão da intensidade óptica em corrente elétrica, a fim de obter

desempenho ótimo.

Antes de prosseguir, convém lembrar que em operações envolvendo laseres de

potência elevada, ou, em aplicações em plasmas ou descargas de jatos supersônicos, por

exemplo, a técnica interferométrica à óptica volumétrica ainda permanece insubstituível

relativamente às suas versões em fibra óptica ou óptica integrada, devido às suas

robustez e versatilidade. Além disso, ela destaca-se por seu caráter extremamente

pedagógico e pelo reduzido investimento tecnológico. Ressalta-se ainda, que em

configurações volumétricas, as ondas não são guiadas, podendo-se trabalhar com a

formulação de ondas planas e uniforme, uma vez que a secção transversal dos feixes de

laseres utilizados, normalmente, apresentam valores muito superiores ao comprimento

de onda óptico. Também, não há necessidade de impor condições de contorno à

propagação dos raios, a não ser nas interfaces onde a luz incide ou emerge dos

dispositivos, daí a facilidade evidente nos cálculos. Em grande parte das aplicações de

interesse, os resultados teóricos obtidos por este modelo em primeira ordem,

apresentam concordância satisfatória com dados experimentais, além de proporcionar

uma boa estimativa inicial para estruturas mais elaboradas, de ordem superior.

2.2 INTERFERÊNCIA ENTRE DOIS FEIXES ÓPTICOS

O vetor campo elétrico (medido em volts/m) de uma radiação óptica varia no

tempo a uma taxa muito rápida (da ordem de 1014

ciclos/s), tornando o processo de

detecção desta função de campo praticamente inviável, utilizando-se detectores

convencionais. Ressalta-se que operam com constantes de tempo de diversas ordens de

grandeza superiores as necessárias para detectar as oscilações nas freqüências ópticas.

Por outro lado, a irradiância pode ser medida diretamente usando-se uma variedade de

fotodetectores [3]. A irradiância, , em W/m2, corresponde ao valor médio do vetor de

Poynting eletromagnético s(r,t), ou seja:

TÉCNICAS DE DEMODULAÇÃO DE SINAIS EM INTERFEROMETRIA ÓPTICA -9

Tt

t'dt)'t,()'t,(

T

1)t,()t,( rhrersr (2.1)

onde e(r,t) = vetor campo elétrico,

h(r,t) = vetor campo magnético,

T = período da onda óptica,

r = vetor posição.

Aplicando-se (2.1) para uma onda TEM propagando-se num meio ilimitado,

linear e isotrópico, de impedância intrínseca Zo (em ohms), obtém-se [4]:

EEEr .Z2

1

Z2

1)t,(

0

2

0

(2.2)

onde e(r,t) = Re {E ejt} corresponde a uma onda plana monocromática na freqüência

angular .

Contudo, na prática, normalmente trabalha-se somente com os valores de

irradiâncias relativas (ou normalizadas), e não com seus valores absolutos, e assim,

costuma-se desconsiderar o fator (1/2Zo ) na equação (2.2), e utilizar apenas o termo

proporcional a , denominado intensidade óptica, I(r,t):

2

.)t,(I

EE

r (2.3)

A fim de detectar uma determinada intensidade óptica, podem ser utilizados

fotodetectores como, por exemplo, fotodiodos semicondutores. Estes dispositivos

óptico-eletrônicos são capazes de detectar a potência luminosa incidindo sobre eles,

convertendo-a em um sinal de corrente elétrica, i(t), linearmente correspondente. O

fator de proporcionalidade depende de características do fotodetector como, por

exemplo, a eficiência quântica, o ganho, a área efetiva, etc [5]. Finalmente, procura-se

fazer com que esta corrente gerada opticamente circule através de um resistor de carga

adequado, de forma a poder operar com tensões elétricas detectadas, v(t), mais

convenientes para serem processadas por circuitos eletrônicos.

Entretanto, como se observa na equação (2.3), nenhuma informação sobre a

fase do sinal óptico aparece na expressão final da intensidade. Justamente para esta

finalidade, é que os interferômetros devem ser empregados, ou seja, converter as

informações presentes na fase óptica, em variações de intensidade óptica, as quais

podem ser diretamente medidas.

2.3 INTERFERÔMETRO DE YOUNG

Uma representação esquemática do interferômetro de Young é ilustrada na

figura 2.1, onde S1 e S2 são duas fontes pontuais de luz coerente sobre um plano

normal ao plano da página). Um ponto de observação P está sobre um plano


(paralelo a a uma distância finita D, de . Representam-se as fontes S1 e S2 pelos

campos e1 (r,t) e e2 (r,t), nas freqüências e , respectivamente, onde:

)]}.t(jexp[.Re{)t,(

)]}.t(jexp[.Re{)t,(

22220222

11110111

rkEre

rkEre

(2.4)

Figura 2.1 - Representação esquemática do interferômetro de Young.

Nas expressões acima, E01 e E02 fornecem as amplitudes e as polarizações

dos campos elétricos, k1 e k2 são os vetores de onda e e são fases iniciais dos

sinais das fontes S1 e S2 , respectivamente. Usando a notação fasorial, definem-se:

)].t(jexp[

)].t(jexp[

2222022

1111011

rkEE

rkEE

(2.5)

O campo total no ponto P é obtido pela superposição de E1 e E2 , e será

denotado por ET:

21T EEE (2.6)

Utilizando-se (2.6), investiga-se o valor do produto escalar a seguir:

]}..t)[(jexp{.

]}..t)[(jexp{.

...

212211210201

212211210201

02020101TT

rkrkEE

rkrkEE

EEEEEE

(2.7)


A intensidade total, I , é calculada lembrando-se que a largura de faixa de um

fotodetector prático não é suficientemente larga para detectar freqüências ópticas,

porém, se esta largura de faixa for grande o bastante, tal que possa detectar a freqüência

diferença (1-2), a aplicação das equações (2.3) e (2.7) conduz a:

]t)cos[(.22

1)t,(I 21210201

2

022

01 EEEEr (2.8)

onde = k1.r1 - k2.r2 (2.9)

As duas primeiras parcelas do lado direito da equação (2.8) referem-se a soma

das intensidades individuais produzidas pelas fontes, correspondendo a uma intensidade

uniforme, denominada intensidade de polarização (bias). A terceira parcela é uma

distribuição espacial senoidal denominada figura de franjas (fringe patterns), e que

conterá a informação de sinal desejada.

Denomina-se visibilidade, V, uma grandeza cujos valores estão entre 0 e 1,

definida por [6]:

2

02

2

01

0201

MINMAX

MINMAX .2

II

IIV

EE

EE

(2.10)

onde IMAX e IMIN são as intensidades máxima e mínima, respectivamente, deduzidas a

partir de (2.8).

Analisando-se a equação (2.8), observa-se que, se os feixes forem polarizados

ortogonalmente entre si, o termo de interferência cruzada desaparece, e restará apenas

uma intensidade constante, igual a soma das intensidades de cada feixe individual.

Neste caso, a visibilidade é nula, conforme indica a equação (2.10), e a expressão da

intensidade óptica não conterá qualquer informação a respeito do sinal. Quando os

feixes são polarizados paralelamente entre si, o termo de interferência cruzada é

máximo, e , para os estados de polarização relativa intermediários, tal termo é atenuado

pelo fator correspondente ao coseno do ângulo entre as direções de polarização dos

feixes, reduzindo-se assim, a parcela da intensidade óptica que contém informação de

sinal. Neste trabalho, será considerado que os feixes apresentam polarizações paralelas

entre si, a menos que se diga o contrário.

Um caso particular, embora muito importante, ocorre quando

2/I0

2

02

2

01 EE , onde Io é a intensidade óptica da fonte, e assim, (2.8) torna-se:

]t)cos[(12

1

I

)t,(I2121

0

r

(2.11)

uma situação onde a visibilidade é máxima (V=1).

Deve ser ressaltado que, originalmente, o interferômetro de Young opera a

partir de uma fonte que gera onda plana , a qual posteriormente passa através de duas


fendas paralelas e próximas, produzindo-se ondas TEM cilíndricas em S1 e S2 , na

figura 2.1, conforme é descrito na referência [7]. Neste caso, a condição de paralelismo

entre k1 e r1 , e entre k2 e r2 , no plano é sempre satisfeita. Entretanto, no caso deste

trabalho, é suposto operar-se com fontes laser a partir de S1 e S2 , isto é, ondas com

características eminentemente TEM planas, e assim, nem sempre a condição de

paralelismo acima é satisfeita. Contudo, se o espaçamento "d" entre as fontes S1 e S2 na

figura 2.1, for muito pequena relativamente à distância D, e, se as observações sobre o

plano forem realizadas em uma pequena região em volta do ponto Q, torna-se

razoável usar uma aproximação de paralelismo em primeira ordem. Assim, de (2.9):

= 22112211 rkrk.. rkrk (2.12)

Além disso, analisando-se geometricamente a figura 2.1 mostra-se que:

222 )D

y(

2

11)

D

y(1

D

r (2.13)

onde foi utilizada uma expansão binomial, sob a condição y<<D . Assim finalmente,

D2

yDr

2

2 (2.14)

Uma expressão similar, pode ser obtida para r1 :

D2

)dy(Dr

2

1

(2.15)

Desta forma, a equação (2.12) conduz a:

D2

)y2d(dk)

D2

yD)(kk( 1

2

21

(2.16)

Admitindo-se que (1-2) << 1, então, pode-se fazer uma aproximação

em primeira ordem, qual seja: ( ) /k k k k k1 2 2 1 2 . Com isso, a primeira

parcela do lado direito da equação (2.16) pode ser desconsiderada relativamente a

segunda. Portanto, obtém-se

yD

kd

D2

kd 2

(2.17)

Desta forma, a equação (2.11) torna-se:


)]D2

kd(y

D

kdt)cos[(1

2

1

I

)t,y(I12

2

210

(2.18)

ou seja, uma onda progressiva na direção y sobre o plano .

Observa-se, portanto, que a figura de franjas possui freqüência espacial, F,

dada pela derivada espacial da fase da onda em (2.18):

D

kd

2

1)

D2

kdy

D

kd(

y2

1F 21

2

(2.19)

ou ainda,

ciclos/m D

dF

(2.20)

Considerando-se, momentaneamente, o caso particular ()=0 na equação

(2.18), obtém-se uma onda estacionária na coordenada espacial y:

)]yD

kdcos(1[

2

I)y(I 0 (2.21)

onde é um termo de fase constante, dado por = (kd2 /2D)+

sta distribuição de intensidade óptica pode ser observada sobre uma tela em P

da figura 2.1, como uma região de claros (máximos) e escuros (nulos) dando origem as

franjas de interferência. A figura 2.2-a) ilustra este fato para o caso ()=0 em As

franjas brilhantes são locais onde as amplitudes das ondas superpostas somam-se em

fase, isto é, construtivamente. Nesta situação a diferença de fase entre os dois raios que

chegam em P é um múltiplo inteiro, m, de 2m). Nas regiões escuras, a diferença

de fase é (m+1/2)2 e a interferência é destrutiva. Neste arranjo, as figuras de franjas

assumem a forma de linhas retas paralelas e eqüidistantes sobre o plano conforme

mostrado na figura 2.2-b).

Uma discussão interessante apresentada na referência [7], indica que a

grandeza V, isto é, a visibilidade de franjas dada em (2.10), relaciona-se também, com a

qualidade do contraste (ou definição visual) entre as franjas claras e escuras.

A partir de (2.21) determina-se que os pontos de máximos, para ()=0 ,

ocorrem quando:

F

m2dy2 (2.22)

onde o índice m é denominado ordem das franjas. O máximo principal, ou franja de

ordem zero, ocorre em m = 0, isto é, y = d/2, conforme mostrado na figura 2.2.


S1

S2

dd/2

D

I(y)

ANTEPARO

x

y

(a)

m = +2

m= +1

m = 0

m = -1

m = -2

(b)

Figura 2.2 - Franjas de Interferência. a) Distribuição de intensidade sobre o anteparo.

b) Figura de franjas projetada num anteparo.

A separação entre franjas consecutivas, ou, período espacial , é dada por:

d

D

F

1 (2.23)

de onde se observa que a quantidade de franjas por unidade de comprimento diminui

com o aumento de D, ou, com a diminuição de d.

Os casos em que (ou (são não nulos serão analisados em mais

detalhes nas seções seguintes.

Exercício 2.1: Supondo que em vez de ondas planas e uniformes, conforme descritas

pela equação (4), tivéssemos ondas esféricas linearmente polarizadas, mostre que a

figura de interferência (campo distante) gerada pelo interferômetro de Young seria

constituída por franjas em forma de hipérboles, diferentemente da figura 2.2. Sugestão:

Consultar a referência [7].


2.4 INTERFERÔMETRO DE MACH-ZEHNDER

O diagrama de um interferômetro do tipo Mach-Zehnder está ilustrado na

figura 2.3. Neste sistema a luz (polarizada) é feita incidir sobre um semi-espelho BS1,

sendo parte transmitida e parte refletida sob taxas bem definidas. Essas duas ondas, uma

em cada ramo, propagam-se segundo caminhos ópticos separados, até se recombinarem

num segundo divisor de feixes BS2, após sofrerem reflexões nos espelhos M1 e M2.

Deve ser observado, pela figura 2.3-b), que ao saírem do segundo divisor de feixes, os

dois raios de luz emergentes constituem um interferômetro de Young, tal qual aquele da

figura 2.1. Os pontos F1 e F2 da figura 2.3-b), correspondem as fontes S1 e S2 anteriores.

Figura 2.3 - Interferômetro Mach Zehnder. a) Esquema geral, b) Divisor de feixes.

A interposição de um objeto em um dos ramos do interferômetro Mach-

Zehnder alterará a diferença de caminho óptico entre eles (por exemplo, devido a

variação de índices de refração), e daí, a figura de franjas de interferência, conforme

será visto agora.

Nas situações em que (é diferente de zero, as quais implica em que o

interferômetro tenha ramos com caminhos ópticos diferentes, ou, que exista um desequilíbrio de fases devido a algum agente externo atuando sobre estes ramos, as

fontes F1 e F2 não estão mais em fase. Contudo, admite-se que tal diferença de fase não

ocorra de forma aleatória, como poderia acontecer se as fontes não fossem coerentes.

Neste trabalho, considera-se que as dimensões físicas relevantes sejam inferiores ao

comprimento de coerência das fontes de alimentação laser. Denominando-se esta diferença de fase por e ainda na situação

(0, a equação (2.18) torna-se:

INTERFERÔMETROS DE DOIS FEIXES- 16

)]t(D2

kdy

D

kdcos[1

2

1

I

)t,y(I 2

0

(2.24)

indicando que o perfil de intensidade óptica, I , permanece tal qual na figura 2.2, sendo

contudo, transladado em relação a origem do eixo y, por um valor . Se a diferença de

fase for variável no tempo, isto é, se =(t), o perfil de I(y,t) corresponderá a franjas

que se deslocam de forma contínua, paralelamente ao eixo y.

Observa-se ainda, analisando-se as figuras 2.1 e 2.3, que para um alinhamento

correto dos raios que partem de F1 e F2 , ao longo de toda sua extensão (do divisor de

feixes até o anteparo), deve ser imposto que a distância d deve ser cada vez mais

reduzida (para uma dada distância D fixa). Isto torna a separação entre as franjas, ,

progressivamente maior, conforme a equação (2.23). Para um alinhamento perfeito

( ) , obtém-se uma região de claro ocupando toda a tela no plano ,

correspondente à franja de ordem zero.

Alinhar um interferômetro significa obter um grau de paralelismo elevado

entre os feixes ópticos que são superpostos no fotodetector. A necessidade de um

paralelismo rigoroso pode ser compreendida com o auxílio do processo de formação de

franjas descrito anteriormente. As modernas técnicas de interferometria utilizam

fotodetectores para analisar o sinal óptico de saída. Estes fotodetectores normalmente

apresentam uma área ativa bastante reduzida ( a fim de aumentar sua velocidade de

resposta), sensível a variações de intensidade óptica do feixe incidente sobre ela. Esta

área deve ser iluminada por apenas uma franja, de preferência a de ordem zero, caso

contrário não detectará variações de fase alguma, mas tão somente um valor de

intensidade média constante e que não contém nenhuma informação relevante sobre o

sinal, conforme discutido no Apêndice I. Por outro lado, como a separação entre franjas

depende do paralelismo dos raios, para isolar uma única franja, suficiente para iluminar

completamente a janela do fotodetector, o alinhamento final deve ser realizado com

bastante precisão. Em termos de ordem de grandeza, afirma-se que para obter uma

separação de 1,5mm entre franjas, deve ser imposto um ângulo, entre os raios que

incidem no fotodetector, menor que 10-4 rad (ver Apêndice I).

No caso em que (é diferente de zero na equação (2.18), ainda ocorre o

processo de formação de franjas sobre o plano , no entanto, tal distribuição de

intensidade não é mais uma onda estacionária como a figura na 2.2, mas sim uma onda

progressiva na direção y, conforme já for observado anteriormente.

Desta forma, as figuras de franjas somente poderão ser observadas visualmente

se a diferença ( for muito pequena, fazendo com que as franjas se desloquem

com baixa velocidade sobre o anteparo. Como neste trabalho, opera-se com freqüências

de batimento da ordem de MHz, a observação visual das franjas torna-se impraticável.

Entretanto, se forem usados fotodetectores com largura de faixa suficientemente elevada

(como os fotodiodos PIN) , pode-se realizar o processo de detecção de franjas óptico-

eletronicamente.

Uma forma de obter freqüências ópticas diferentes entre os ramos do

interferômetro será discutido nas seções seguintes.


Exercício 2.2: No texto, foi feita a afirmação de que se o laser de entrada for

linearmente polarizado as franjas do interferômetro Mach-Zehnder são constituídas por

linhas claras e escuras paralelas entre si. Explique detalhadamente o que aconteceria

com o formato das franjas se o laser não fosse polarizado (tal qual ocorre em

interferômetros com fontes de luz branca, por exemplo).

2.5 INTERFERÔMETROS HOMODINO E HETERODINO

A literatura mostra que existe uma infinidade de aplicações práticas da

interferometria em medições de grandezas físicas, caracterização de materiais e

dispositivos, e processamento de sinais. No caso dos sensores interferométricos basta

posicionar, em um de seus ramos, o dispositivo óptico sensível à variável de iteresse e

que provoque variações de caminho óptico. A grandeza a ser medida causa então uma

variação na diferença de fase entre os ramos, da equação (2.24), cujo valor pode ser

dado por [4] :

l

221

n (2.25)

com n = índice de refração do meio no qual o feixe de sinal se propaga,

l = diferença de comprimento entre os ramos,

= comprimento de onda da luz.

Deste modo, uma variação em qualquer um dos três parâmetros nesta equação

(n, l ou ) causará um deslocamento de fase , em relação ao valor dado em (2.25),

cujo valor será:

]nnn[

lll

2 (2.26)

Assim, por exemplo, um sensor de deslocamento provoca modulação de fase,

,devido a variações em l. Já um sensor de temperatura deve modular a fase

devido a variações em n, e assim por diante [1].

A variação de fase induzida pela grandeza física em estudo deve ser

detectada através da observação do deslocamento físico do interferograma sobre o

anteparo. Esta medida pode ser realizada através da visualização direta do movimento

das franjas pelo olho humano (nem sempre isto é possível), ou, através de

fotodetectores, os quais permitem ainda explorar a região invisível do infravermelho.

Considerando-se um fotodetector de lei quadrática posicionado num dado

ponto fixo y = yo , sobre o anteparo da figura 2.2, a expressão (2.18), diante da

aplicação de uma variação de fase , conduz à:

)]yy()t(t.cos[12

1

I

)t(I00

0

(2.27)


onde = 1-2 , e , (t) é a modulação na diferença de fase entre os ramos do

interferômetro. Ainda,

)D2

kdy

D

kd()yy(

2

000 (2.28)

com dado por (2.25).

A equação (2.27) indica que o fotodetector, fixo em y = yo , será sensível aos

movimentos do perfil de intensidade óptica da figura 2.2, sobre o anteparo, e, é uma

função apenas da variável t (não mais de y).

Na expressão (2.27), foi utilizado um fator , um número entre 0 e 1,

denominado eficiência de mistura do interferômetro (mixing efficiency). Este fator, só

pode ser determinado experimentalmente, e contém informações sobre vários efeitos

adicionais que ocorrem na prática, e que não foram levados em consideração no

desenvolvimento teórico idealizado da expressão (2.18) como, por exemplo, perdas de

coerência e de polarização dos raios de luz, descasamento das frentes de onda dos

feixes que interferem entre si, e outros [8].

Como já foi dito anteriormente, a corrente gerada no fotodetector, i(t), tem

forma similar a equação (2.27), porém multiplicada por um fator constante, G, que leva

em consideração as características do fotodetector (ver Apêndice I). Finalmente, esta

corrente é transformada em tensão elétrica, v(t), utilizando-se um resistor de carga.

Contudo, neste trabalho, serão utilizados I, i(t) ou v(t) indistintamente, a menos que se

diga o contrário.

Em termos gerais, a expressão final para o sinal de saída do fotodetector, pode

ser dada por:

])t(t.cos[BA)t(I 0 (2.29)

onde A é o termo correspondente à intensidade DC, e, o termo B, depende do produto

das intensidades individuais em cada ramo do interferômetro, do fator de eficiência e

do fator G do fotodetector. Esta expressão permanece válida mesmo quando as

intensidade dos ramos individuais não são mais iguais.

Utilizando-se a notação da equação (2.29), a visibilidade das franjas do

interferômetro não ideal, a partir da equação (2.10), é dada simplesmente por V = B/A

= . Assim, uma outra forma de escrever (2.29) é [9]:

]})t(t.cos[V1{A)t(I 0 (2.30)

confirmando-se que a visibilidade é uma medida do grau de qualidade das franjas:

quanto maior o valor de V, maior será a parcela correspondente ao sinal de interesse.

O fator (t) nas equações (2.29) ou (2.30), representa toda e qualquer

modulação de fase relativa entre os ramos do interferômetro. O termo é uma fase

relativa constante que leva em consideração a diferença de fase fixa, devido a diferença

de caminho óptico entre esses ramos, dada pela equação (2.28). Em algumas situações,


torna-se interessante estabelecer a fase em torno de algum valor específico (como na

condição de quadratura, a ser vista adiante), a fim de melhorar o processo de detecção

do sinal. Isto pode ser realizado ajustando-se n, l ou da equação (2.25), conforme seja

mais conveniente [10].

O problema da interferometria óptica então, resume-se em extrair (t) da

equação (2.30). Em termos gerais, existem duas técnicas tradicionalmente adotadas para

detecção da modulação de fase (t), as quais são denominadas de técnicas homodina

e heterodina de demodulação de sinais ópticos.

Na técnica homodina, não existe diferença de freqüências (1 = 2) entre os

ramos do interferômetro, e, a intensidade óptica (normalizada) é dada simplesmente

por:

)]t(cos[V12

1])t(cos[V1

2

1)t(I 0 (2.31)

onde 0)t()t( .

Na figura 2.4, representa-se o gráfico da intensidade óptica em função da fase

total, onde nota-se que o pico da característica estática de I(t) está centrado em (t) =0,

quando a diferença de fase global entre os feixes é nula, ocorrendo interferência

construtiva.

Figura 2.4 - Diagrama de intensidade óptica e condição de quadratura de fase.

Na presença de uma pequena diferença de fase relativa (t), oscilando num

tom de freqüência m, amplitude m e fase inicial , ou seja:


)tsen()t( mm (2.32)

obtém-se uma variação temporal na intensidade detectada, em torno do ponto

correspondente a o (característica dinâmica).

A variação máxima desta intensidade, para uma pequena variação em (t)

devido a (t) , ocorre no ponto do gráfico de I(t)x onde a inclinação é máxima, isto

é, onde

senVd

dI

(2.33)

é máxima, ou seja, em = o = +/2 ou -/2.

Portanto, aplicando-se uma polarização de o = +/2 , pode-se manter o ponto

de operação quiescente onde a sensibilidade de fase é máxima. Esta situação é

denominada de condição de quadratura de fase [10].

Contudo, um sério problema surge devido a instabilidade do termo de fase o , associado a turbulências de ar, flutuações térmicas aleatórias e ruídos ambientais de

baixa freqüência no local onde se encontra o interferômetro, mesmo que sejam

aparentemente imperceptíveis como, por exemplo, as variações de densidade do ar

provocadas pela temperatura corporal de uma pessoa em movimento no recinto [1].

Estas derivas (drifts) provocam variações espúrias na amplitude do sinal detectado

(signal fading) que, sob certas circunstâncias, podem até anulá-lo completamente.

Deve ser lembrado que, normalmente, os níveis de diferença de fase

correspondentes aos sinais de interesse ( (t) na equação (2.27)) são muito inferiores a

rad. Contudo, o fator de fase o, que idealmente deveria permanecer constante, sofre

variações aleatórias devido a deriva, que podem chegar a 2 rad em poucos segundos

[1].

Desta forma, o processo de extração do sinal (t) torna-se não trivial, em

primeiro lugar, devido a própria complexidade do processo de demodulação de sinais

modulados em fase (PM), e, em segundo lugar, pelo problema de fading.

Deve-se ressaltar, porém, que este é um problema que surge não porque a

interferometria óptica seja ineficiente, muito pelo contrário, mas sim porque ela é

extremamente sensível. Isto exige que o ambiente a sua volta apresente características

mecânicas de longa duração absolutamente controladas, ou, que sejam utilizados

circuitos de realimentação (controle automático) ou técnicas de processamento de sinais

adequados, para realizar a compensação do drift.

As formas de se ajustar a condição de quadratura de fase no interferômetro e

de eliminar os problemas associados a drift , serão discutidos na seções seguintes.

No caso da técnica heterodina, e são diferentes entre si, e o termo

(t) = (t)+, presente na equação (2.30), corresponde as bandas laterais,

distribuídas em torno da portadora de alta freqüência em ( ). Neste caso, a

expressão geral para a intensidade óptica normalizada no local do fotodetector é dada

por:


)]t(t.cos[V12

1)t(I (2.34)

Neste sistema, as bandas laterais do sinal modulado em fase, estão distribuídas

em torno de uma portadora cuja freqüência intermediária normalmente é estabelecida

em valor elevado (dezenas de MHz). Uma característica importante da técnica

heterodina é sua elevada seletividade em freqüência, inerente ao processo de detecção

coerente [11], a qual permite que a largura de faixa de ruído seja reduzida a valores

muito pequenos.

2.6 INTERFERÔMETRO DE MICHELSON

No interferômetro de Michelson apenas um divisor de feixes é necessário, a

fim de constituir os feixes do ramo sensor e de referência. A figura 2.5 ilustra sua

configuração.

Figura 2.5 - Interferômetro de Michelson.

O ramo de referência é aquele no qual, após ser derivado do divisor de feixes,

sofre reflexão no espelho fixo e retorna (através do divisor de feixes) em direção a um

detector óptico. No ramo sensor, o outro raio de luz, derivado no divisor de feixes, sofre

reflexão ou espalhamento na superfície de um objeto sob teste, retorna ao divisor de

feixes, e interfere com a luz do ramo de referência sobre o fotodetector.

Observa-se que os pontos F1 e F2 da figura 2.5, atuam como as duas fontes do

interferômetro de Young da figura 2.1, e assim, a expressão geral para a intensidade

óptica percebida pelo fotodetector tem a mesma forma que a equação (2.18) ou (2.34).

Entretanto, deve-se tomar o cuidado de multiplicar os termos de fase pelo fator 2, pois

cada ramo (sensor e de referência) é percorrido duas vezes por um mesmo raio.


A geometria deste tipo de interferômetro o torna mais adequado (relativamente

aos demais tipos de interferômetros de dois feixes) para detecção de pequenos

deslocamentos (na faixa de angstrom e sub-angstrom), de vibrações em sistemas

biológicos e de ultra-som, como será visto adiante. Pequenos deslocamentos da

superfície especular do objeto sensor provocam variação do comprimento do caminho

óptico, e daí, modulação da diferença de fase relativa. Além disso, a interposição de

algum dispositivo óptico no ramo sensor, mantendo os dois espelhos fixos, permite

medidas envolvendo variações relativas de índices de refração.

Cita-se, finalmente, que esta configuração é mais econômica que o

interferômetro Mach-Zehnder, por exemplo, além de muito mais simples de ser

alinhada experimentalmente. Neste sentido, a possibilidade de usar o ramo sensor como

sonda óptica não invasiva, desde que o objeto reflita ou espalhe luz, é muito atraente

[10].

Contudo, este arranjo encontra problemas de implementação nas versões à

fibra óptica ou óptica integrada, devido a dificuldades técnicas em se construir espelhos

compatíveis com estas tecnologias. O mesmo não acontece com o interferômetro Mach-

Zehnder, que normalmente constitui a célula básica dos sistemas interferométricos

nestas duas versões.

Exercício 2.3: No interferômetro de Michelson existem parcelas dos feixes de laser que

retornam à fonte após serem refletidos nos espelhos. Discutir as implicações deste

problema e propor uma forma de evitá-lo.

Exercício 2.4: O que acontece com a visibilidade das franjas a medida que a diferença

entre os comprimentos dos braços de um interferômetro (Michelson ou Mach-Zehnder)

torna-se cada vez maior. Estimar a máxima diferença admissível entre estes

comprimentos no caso do laser de He-Ne. Sugestão: Utilizar as referências [4] ou [7].

Exercício 2.5: Afirmou-se no texto que para haver interferência construtiva entre dois

feixes de luz linearmente polarizados, suas polarizações não devem ser ortogonais.

Supondo que, por algum motivo, um dos feixes do interferômetro de Michelson (ou

Mach-Zehnder) sofra uma rotação de polarização de 90 graus, relativamente ao outro

feixe, proponha um arranjo de forma que a demodulação da fase óptica ainda possa ser

realizada. Sugestão: Utilizar um polarizador antes do fotodetector.

Exercício 2.6: Estabeleça um procedimento experimental para medir o comprimento de

onda da luz de uma fonte operando no visível, utilizando o método de contagem de

franjas.

2.7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] GIALLORENZI, T.G., et alii, IEEE Journal of Quantum Electronics, vol. QE-18

(4), pp.626-665, apr.1982.

[2] HARIHARAN, P. , Optical Interferometry, Sidney, Australia, Academic Press,

1985.


[3] SMITH, R.G. , Photodetectors for Fiber Transmission Systems, Proceedings of

IEEE, vol.68 (10), pp.1247-1253, 1980.

[4] BORN, M. & WOLF, E. , Principles of Optics, 6. ed., Oxford, England,

Pergamon Press, 1987.

[5] KEISER, G. Optical Fiber Communicatin, 2. ed., Singapura, McGraww-Hill

International Edition, 1991.

[6] GUENTHER, B.D. & VANDERLUGT, A. , Interference and Fresnel Diffraction,

IEEE Transactions on Education, vol.35 (2), may/1992.

[7] HETCH, E. & ZAJAC, A. , Optics, EUA, Addison-Wesley Publishing Company,

1974.

[8] DEFERRARI, H.A. , et alii, Vibrational Displacement and Mode-Shape

Measurement by a Laser Interferometer, The Journal of the Acoustic Society

of America, vol. 42 (5), pp 982-990, may/1967.

[9] KINNSTAETTER, K. et alii, Accuracy of Phase Shifting Interferometry,

Applied Optics, vol 27 (24), pp.5082-5089, dez/1988.

[10] WAGNER, J.W. , Optical Detection of Ultrasound, in Physical Acoustic, vol.

IXI, cap. 5, pp.201-266, Academic Press, 1990.

[11] TEICH, M.C. , Infrared Heterodyne Detection, Proceedings of IEEE, vol 56 (1),

pp.37-46, jan/1968.

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