INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE
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RELATIVIDADEINTRODUÇÃO À
AULA 5/6/7 - 16/03/2020
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AULA 5/6/7 - 16/03/2020
• Primeira aula totalmente online!
• Exercícios e exemplos
• Dinâmica relativística
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
• Um carro tem comprimento próprio de 12m, e viaja a uma velocidade de 4/5 da velocidade da luz. A uma certa altura o carro entra num pequeno túnel, cujo comprimento próprio é de 10m. Para responder as perguntas seguintes, vamos chamar o referencial de um observador na entrada do túnel de S, tal que a entrada do túnel está na posição x=0 e o final do túnel em x=10m. Vamos chamar o referencial do motorista do carro de S’, e colocar o ponto x’=0 na parte dianteira do carro, e assim a traseira do carro fica no ponto x’= - 12m .
S’ Sv=0.8c
L0=12m L0=10m
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
• Evento 1: o carro começa a entrar no túnel
Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0
• Evento 2: o carro começa a sair do túnel
Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m
• Evento 3: a traseira do carro entra no túnel
Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m
1
2
3
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
• Evento 1: o carro começa a entrar no túnel
Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0
• Evento 2: o carro começa a sair do túnel
Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m
• Evento 3: a traseira do carro entra no túnel
Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m
Note que
• Evento 2 no Ref. S’: ,
• Evento 3 no Ref S:
β =45
, γ =53
x′ 2 = γ × (10m − 4/5 × 12m) = 0 (!!!)ct′ 2 = γ × (12.5m − 4/5 × 10m) = 7.5 m
x3 = γ(−12m + 4/5 × 15m) = 0 (!!!)ct3 = γ(15m + 4/5 × (−12m)) = 9m
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
• Evento 1: o carro começa a entrar no túnel
Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0
• Evento 2: o carro começa a sair do túnel
Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m
• Evento 3: a traseira do carro entra no túnel
Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m
Note que
• Evento 2 no Ref. S’: ,
• Evento 3 no Ref S:
β =45
, γ =53
x′ 2 = γ × (10m − 4/5 × 12m) = 0 (!!!)ct′ 2 = γ × (12.5m − 4/5 × 10m) = 7.5 m
x3 = γ(−12m + 4/5 × 15m) = 0 (!!!)ct3 = γ(15m + 4/5 × (−12m)) = 9m
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
• Evento 1: o carro começa a entrar no túnel
Ref. S e S’: x1=x1’=0 , ct1=ct1’=0
• Evento 2: o carro começa a sair do túnel
Ref. S: x2=10m, ct2 = 10 m/(v/c) = 12.5 m
• Evento 3: a traseira do carro entra no túnel
Ref. S’: x3’=-12m , ct3’= 12m/(v/c) = 15 m
No Ref. S, o evento 3 (ct3=9m) ocorre antes do evento 2 (ct2=12.5m) No Ref. S’, o evento 2 (ct2’=7.5m) ocorre antes do evento 3 (ct3'=15m)
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
Entrada do túnel
Saída do túnel
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’
Entrada do túnel
Saída do túnel
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’
Entrada do túnel
Saída do túnel
Trase
ira
do ca
rroFr
ente
do
carro
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’
oo
Entrada do túnel
Saída do túnel
Trase
ira
do ca
rroFr
ente
do
carro
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’
-ct2 ct 2'
oo
Entrada do túnel
Saída do túnel
Trase
ira
do ca
rroFr
ente
do
carro
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’ct 3
'
ct3
-ct2 ct 2'
-
oo
Entrada do túnel
Saída do túnel
Trase
ira
do ca
rroFr
ente
do
carro
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’ct 3
'
ct3
1
2
3
No Ref. S
-ct2 ct 2'
-
oo
Entrada do túnel
Saída do túnel
Trase
ira
do ca
rroFr
ente
do
carro
CONTRAÇÃO DO ESPAÇOEXEMPLO 1
x
ct
x’
ct’ct 3
'
ct3
1
2
3
No Ref. S
1
3
2
No Ref. S’
-ct2 ct 2'
-
oo
Entrada do túnel
Saída do túnel
Trase
ira
do ca
rroFr
ente
do
carro
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• 4-vetores no espaço de Minkowski são objetos que se transformam segundo a mesma transformação de Lorentz que se aplica para o primeiro “vetor" que encontramos — aqueles que correspondem a intervalos entre eventos:
drμ ⟶ dr′ μ = Λμνdrν
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• 4-vetores no espaço de Minkowski são objetos que se transformam segundo a mesma transformação de Lorentz que se aplica para o primeiro “vetor" que encontramos — aqueles que correspondem a intervalos entre eventos:
drμ ⟶ dr′ μ = Λμνdrν
• Um 4-vetor de Minkowski (V) é um objeto que se comporta do mesmo modo:
Vμ ⟶ V′ μ = ΛμνVν
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• 4-vetores no espaço de Minkowski são objetos que se transformam segundo a mesma transformação de Lorentz que se aplica para o primeiro “vetor" que encontramos — aqueles que correspondem a intervalos entre eventos:
drμ ⟶ dr′ μ = Λμνdrν
• Um 4-vetor de Minkowski (V) é um objeto que se comporta do mesmo modo:
Vμ ⟶ V′ μ = ΛμνVν
• 4-vetores de Minkowski têm um módulo que é definido por meio de um produto escalar. Esse produto escalar é dado em termos de uma métrica (a métrica de Minkowski):
| |V | |2 = ημνVμVν ⌘µ⌫ = ⌘µ⌫ =
0
BB@
�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
1
CCA
<latexit sha1_base64="Y3HdrOx/ZJIBPM8BtGISJENQLh4=">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</latexit>
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Podemos escrever a norma de 4-vetores no espaço de Minkowski de um modo mais interessante se notarmos que:
Vμ = {V0, V1, V2, V3}
Vμ = ημνVν = {−V0, V1, V2, V3}
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Podemos escrever a norma de 4-vetores no espaço de Minkowski de um modo mais interessante se notarmos que:
Vμ = {V0, V1, V2, V3}
Vμ = ημνVν = {−V0, V1, V2, V3}
• Note que a operação é facilmente invertida:
Vμ = ημνVν , ημν = ημν = diag(−1,1,1,1)
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Podemos escrever a norma de 4-vetores no espaço de Minkowski de um modo mais interessante se notarmos que:
Vμ = {V0, V1, V2, V3}
Vμ = ημνVν = {−V0, V1, V2, V3}
• Note que a operação é facilmente invertida:
Vμ = ημνVν , ημν = ημν = diag(−1,1,1,1)
• Desse modo, o módulo desse 4-vetor fica:
| |V | |2 = Vμ ημνVν = VμVμ = − (V0)2 + V 2
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• É interessante ver como esse “novo" objeto se comporta sob transformações de Lorentz:
V′ μ = ημν V′ ν = ημν ΛναVα = ημν Λν
α ηαβ Vβ
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• É interessante ver como esse “novo" objeto se comporta sob transformações de Lorentz:
V′ μ = ημν V′ ν = ημν ΛναVα = ημν Λν
α ηαβ Vβ
• Agora, vamos nos lembrar que as transformações de Lorentz obedecem o princípio da… invariância de Lorentz!
Λμσ ημν Λν
α = ησα
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• É interessante ver como esse “novo" objeto se comporta sob transformações de Lorentz:
V′ μ = ημν V′ ν = ημν ΛναVα = ημν Λν
α ηαβ Vβ
• Agora, vamos nos lembrar que as transformações de Lorentz obedecem o princípio da… invariância de Lorentz!
Λμσ ημν Λν
α = ησα
• Podemos multiplicar a primeira equação acima por , levando a: Λμσ
Λμσ V′ μ = Λμ
σ ημν Λνα ηαβ Vβ = ησα ηαβ Vβ = δβ
σ Vβ = Vσ
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Ou seja, se por um lado temos que a transformação de Lorentz usual é
,V′ μ = Λμν Vν
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Ou seja, se por um lado temos que a transformação de Lorentz usual é
,V′ μ = Λμν Vν
• por outro, vemos que a transformação desse mesmo 4-vetor usando a representação alternativa é:
Λμν V′ μ = Vν ⟹ V′ μ = (Λμ
ν)−1Vν = Λ νμ Vν
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Ou seja, se por um lado temos que a transformação de Lorentz usual é
,V′ μ = Λμν Vν
• por outro, vemos que a transformação desse mesmo 4-vetor usando a representação alternativa é:
Λμν V′ μ = Vν ⟹ V′ μ = (Λμ
ν)−1Vν = Λ νμ Vν
• onde (veja a página anterior) essa inversa da matriz pode ser escrita facilmente como:
Λ
Λ βμ = ημν Λν
α ηαβ
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Vejamos isso na prática, no caso de um boost de Lorentz na direção x:
⇒
• Esse mesmo vetor pode ser representado do modo alternativo:
⇒
• Vamos verificar que isso está correto:
rμ = {ct, x, y, z}
rμ = {−ct, x, y, z}
r′ 0 = − ct′ = (−ct) × γ + x × γβ = − γ(ct − β x)
r′ 1 = x′ = (−ct) × γβ + x × γ = γ(x − β ct)
r0µ =
✓ct0
x0
◆=
✓� ���
��� �
◆ ✓ctx
◆
<latexit sha1_base64="ir1NAWAkI0rruGToI/AMHlzeISM=">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</latexit>
r0µ = (�ct0 x0) = (�ct x)
✓� +��
+�� �
◆
<latexit sha1_base64="XD8l2J231w2rGX4CGp9DwZ1V19Y=">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</latexit>
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Portanto, encontramos que
,r′ μ = Λμν rν
onde r′ μ = Λ νμ rν Λ β
μ = ημν Λνα ηαβ
4-VETORES NO ESPAÇO DE MINKOWSKIEXEMPLO 2
• Portanto, encontramos que
,r′ μ = Λμν rν
onde r′ μ = Λ νμ rν Λ β
μ = ημν Λνα ηαβ
• Onde as matrizes de transformação são, nos dois casos:
⇤ ⌫µ =
0
BB@
� +�� 0 0+�� � 0 00 0 1 00 0 0 1
1
CCA
<latexit sha1_base64="Tr96ANXZtQYWExqUW3zagdn9hYA=">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</latexit>
⇤µ⌫ =
0
BB@
� ��� 0 0��� � 0 00 0 1 00 0 0 1
1
CCA
<latexit sha1_base64="W+4PYvCkOGHLGd40jHQG6Bp5hDg=">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</latexit>
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
ct
x
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• A 4-velocidade de um corpo em movimento é dada por:
,Uμ =d xμ
dτ= γ{c, Vx, Vy, Vz}
onde é o tempo próprio, τ dτ = dt/γ(V )
ct
x
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• A 4-velocidade de um corpo em movimento é dada por:
,Uμ =d xμ
dτ= γ{c, Vx, Vy, Vz}
onde é o tempo próprio, τ dτ = dt/γ(V )
• Um corpo massivo possui igualmente um 4-momento:
ct
x
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• A 4-velocidade de um corpo em movimento é dada por:
,Uμ =d xμ
dτ= γ{c, Vx, Vy, Vz}
onde é o tempo próprio, τ dτ = dt/γ(V )
• Um corpo massivo possui igualmente um 4-momento:
Pμ = m Uμ = m γ {c, V }
ct
x
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• A 4-velocidade de um corpo em movimento é dada por:
,Uμ =d xμ
dτ= γ{c, Vx, Vy, Vz}
onde é o tempo próprio, τ dτ = dt/γ(V )
• Um corpo massivo possui igualmente um 4-momento:
Pμ = m Uμ = m γ {c, V }
• Essa componente “temporal” do momento é, naturalmente, a energia (a menos de um fator de c). De fato:
P0 = m γ c = m c (1 +12
V2
c2+ …)
ct
x
�(V ) =
✓1� V 2
c2
◆�1/2
<latexit sha1_base64="tGQ+stOfxf9NpxlKdvhh3WSu65Q=">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</latexit>
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Reconhecemos essa componente como energia:
P0 ≃1c (m c2 +
12
m V2 + …)
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
ENERGIA CINÉTICA
(Ñ-RELATIV.)
ENERGIA DE
REPOUSO
• Reconhecemos essa componente como energia:
P0 ≃1c (m c2 +
12
m V2 + …)
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
ENERGIA CINÉTICA
(Ñ-RELATIV.)
ENERGIA DE
REPOUSO
• Reconhecemos essa componente como energia:
P0 ≃1c (m c2 +
12
m V2 + …)
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, a energia da partícula é , e assimE = m γ(V ) c2
Pμ = { Ec
, p }
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?
• Suponhamos que tomamos o limite simples , e assimm → 0
Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?
• Suponhamos que tomamos o limite simples , e assimm → 0
Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0
• Claramente isso não funciona: que partícula é essa, que não tem massa, nem energia, nem momento???
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?
• Suponhamos que tomamos o limite simples , e assimm → 0
Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0
• Claramente isso não funciona: que partícula é essa, que não tem massa, nem energia, nem momento???
• Podemos pensar em tomar e de tal modo que . Porém, temos de tomar cuidado para que nem que . Mas isso soa muito arbitrário: que “massa" é essa?
m → 0 V → c γ(V ) → ∞m γ ↛ 0 m γ ↛ ∞
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?
• Suponhamos que tomamos o limite simples , e assimm → 0
Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0
• Claramente isso não funciona: que partícula é essa, que não tem massa, nem energia, nem momento???
• Podemos pensar em tomar e de tal modo que . Porém, temos de tomar cuidado para que nem que . Mas isso soa muito arbitrário: que “massa" é essa?
m → 0 V → c γ(V ) → ∞m γ ↛ 0 m γ ↛ ∞
• De fato, não precisamos pensar em nenhum desses limites: basta lembrarmos que para qualquer partícula (com ou sem massa), e portanto
. | |Uμ | |2 = − c2
| |Pμ | |2 = − m2c2
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Mas e se uma partícula (e.g., fóton) não tem massa?
• Suponhamos que tomamos o limite simples , e assimm → 0
Pμ ?= 0 × Uμ ?= 0
• Claramente isso não funciona: que partícula é essa, que não tem massa, nem energia, nem momento???
• Podemos pensar em tomar e de tal modo que . Porém, temos de tomar cuidado para que nem que . Mas isso soa muito arbitrário: que “massa" é essa?
m → 0 V → c γ(V ) → ∞m γ ↛ 0 m γ ↛ ∞
• De fato, não precisamos pensar em nenhum desses limites: basta lembrarmos que para qualquer partícula (com ou sem massa), e portanto
. | |Uμ | |2 = − c2
| |Pμ | |2 = − m2c2
• Para raios de luz, claramente temos , portanto .m = 0 | |Pμluz | |2 = 0
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
0 = | |Pμluz | |2 = −
E2luz
c2+ p 2
luz
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
0 = | |Pμluz | |2 = −
E2luz
c2+ p 2
luz
• Ou seja, a energia da luz é vinculada a seu momento, .Eluz = p luz c
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
0 = | |Pμluz | |2 = −
E2luz
c2+ p 2
luz
• Ou seja, a energia da luz é vinculada a seu momento, .Eluz = p luz c
• A única propriedade de um raio
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
0 = | |Pμluz | |2 = −
E2luz
c2+ p 2
luz
• Ou seja, a energia da luz é vinculada a seu momento, .Eluz = p luz c
• A única propriedade de um raio
de luz é sua energia e sua direção
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
0 = | |Pμluz | |2 = −
E2luz
c2+ p 2
luz
• Ou seja, a energia da luz é vinculada a seu momento, .Eluz = p luz c
• A única propriedade de um raio
de luz é sua energia e sua direção
• Essas componentes são, claro,
4-VELOCIDADE E 4-MOMENTO
• Portanto, para raios de luz temos que
0 = | |Pμluz | |2 = −
E2luz
c2+ p 2
luz
• Ou seja, a energia da luz é vinculada a seu momento, .Eluz = p luz c
• A única propriedade de um raio
de luz é sua energia e sua direção
• Essas componentes são, claro,
diferentes dependendo do referencial!
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Na mecânica não-relativística a lei de movimento é dada por:
F = m a
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Na mecânica não-relativística a lei de movimento é dada por:
F = m a
• Mas e na relatividade? Assim como temos , podemos
definir a mudança desse estado de movimento em termos do mesmo tempo próprio, e escrever:
Uμ =d rμ
dτ
fμ =d Pμ
dτ
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Na mecânica não-relativística a lei de movimento é dada por:
F = m a
• Mas e na relatividade? Assim como temos , podemos
definir a mudança desse estado de movimento em termos do mesmo tempo próprio, e escrever:
Uμ =d rμ
dτ
fμ =d Pμ
dτ
• Exercício: mostre que . Interprete a equação resultante em termos de conceitos familiares da mecânica não-relativística. (Ou seja: o que significa, fisicamente, essa equação?)
f ⋅ P = ημν fμ Pν = 0
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
E(n) , p (n)E(n) , p (n)
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Conservação de 4-momento
Pμtot = ∑
n
Pμ(n) E(n) , p (n)E(n) , p (n)
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Conservação de 4-momento
Pμtot = ∑
n
Pμ(n)
Conservação de energia
E(n) , p (n)E(n) , p (n)
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Conservação de 4-momento
Pμtot = ∑
n
Pμ(n)
Conservação de energia
Conservação de momento
E(n) , p (n)E(n) , p (n)
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Conservação de 4-momento
Pμtot = ∑
n
Pμ(n)
Conservação de energia
Conservação de momento
• Note que não há um invariante associado com a “massa total” do sistema! A noção do Centro de Massa, de fato, é bastante mais complexa na Relatividade!
E(n) , p (n)E(n) , p (n)
DINÂMICA RELATIVÍSTICA E FORÇA
• Conservação de 4-momento
Pμtot = ∑
n
Pμ(n)
Conservação de energia
Conservação de momento
• Note que não há um invariante associado com a “massa total” do sistema! A noção do Centro de Massa, de fato, é bastante mais complexa na Relatividade!
E(n) , p (n)E(n) , p (n)
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
mev e
p fp ′ f
n n′
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• A energia do fóton incidente é E = hν = | p f |c
• , onde é a direção de propagação do foton incidentePμf =
h νc
{1, n} n
• , onde é a direção de propagação do foton emergenteP′ μf =
h ν′
c{1, n′ } n′
mev e
p fp ′ f
n n′
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
mev e
p fp ′ f
n n′
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Pergunta: qual a relação entre o ângulo de espalhamento e a mudança na frequência do fóton?
• Conservação de 4- momento: = Pμf + Pμ
e P′ μf + P′ μ
e
• Ou seja, Pμf + Pμ
e −P′ μf = P′ μ
e
mev e
p fp ′ f
n n′
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
n
n′
θ
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
n
n′
θ
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:
n
n′
θ
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:
• | |Pμf + Pμ
e − P′ μf | |2 = | |P′ μ
e | |2
n
n′
θ
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:
• | |Pμf + Pμ
e − P′ μf | |2 = | |P′ μ
e | |2
➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ
e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ
f Pμe | | − 2 | |Pμ
f P′ μf | | − 2 | |Pμ
e P′ μf | | = | |P′ μ
e | |2
n
n′
θ
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:
• | |Pμf + Pμ
e − P′ μf | |2 = | |P′ μ
e | |2
➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ
e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ
f Pμe | | − 2 | |Pμ
f P′ μf | | − 2 | |Pμ
e P′ μf | | = | |P′ μ
e | |2
n
n′
θ
=0=0
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:
• | |Pμf + Pμ
e − P′ μf | |2 = | |P′ μ
e | |2
➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ
e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ
f Pμe | | − 2 | |Pμ
f P′ μf | | − 2 | |Pμ
e P′ μf | | = | |P′ μ
e | |2
n
n′
θ
=0=0
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Vamos tomar a norma de ambos os lados dessa expressão:
• | |Pμf + Pμ
e − P′ μf | |2 = | |P′ μ
e | |2
➡ | |Pμf | |2 + | |Pμ
e | |2 + | |P′ μf | |2 − 2 | |Pμ
f Pμe | | − 2 | |Pμ
f P′ μf | | − 2 | |Pμ
e P′ μf | | = | |P′ μ
e | |2
➡ | |Pμe (Pμ
f − P′ μf ) | | = | |Pμ
f P′ μf | |
n
n′
θ
=0=0
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Agora vamos abrir essa última expressão, | |Pμe (Pμ
f − P′ μf ) | | = | |Pμ
f P′ μf | |
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Agora vamos abrir essa última expressão, | |Pμe (Pμ
f − P′ μf ) | | = | |Pμ
f P′ μf | |
➡ P0e (P0
f − P′ 0f ) + p e ⋅ ( p f + p ′ f ) = P0
f P′ 0f − p f ⋅ p ′ f
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Agora vamos abrir essa última expressão, | |Pμe (Pμ
f − P′ μf ) | | = | |Pμ
f P′ μf | |
➡ P0e (P0
f − P′ 0f ) + p e ⋅ ( p f + p ′ f ) = P0
f P′ 0f − p f ⋅ p ′ f
• Note que , , etcP0e = Ee/c = mec P0
f = Ef /c = hν/c
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Agora vamos abrir essa última expressão, | |Pμe (Pμ
f − P′ μf ) | | = | |Pμ
f P′ μf | |
➡ P0e (P0
f − P′ 0f ) + p e ⋅ ( p f + p ′ f ) = P0
f P′ 0f − p f ⋅ p ′ f
• Note que , , etcP0e = Ee/c = mec P0
f = Ef /c = hν/c
➡ mec2 × (hν − hν′ ) = hν × hν′ − (hν n) ⋅ (hν′ n′ )
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Ou seja, obtemos que
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Ou seja, obtemos que
➡
ν − ν′
νν′ =
hmec
(1 − cos θ)
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Ou seja, obtemos que
➡
ν − ν′
νν′ =
hmec
(1 − cos θ)
• Isso é geralmente usando , como:ν = c/λ
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Ou seja, obtemos que
➡
ν − ν′
νν′ =
hmec
(1 − cos θ)
• Isso é geralmente usando , como:ν = c/λ
➡ λ′ − λ =2hmec
sen2 θ
n
n′
θ
p f
p ′ f
DINÂMICA RELATIVÍSTICA: INTERAÇÕES
• Espalhamento Compton
• Ou seja, obtemos que
➡
ν − ν′
νν′ =
hmec
(1 − cos θ)
• Isso é geralmente usando , como:ν = c/λ
➡ λ′ − λ =2hmec
sen2 θ
n
n′
θ
p f
p ′ f
Arthur Compton