Introdução às Geometrias Não-Euclidianas

Miguel Abreu

Instituto Superior Técnico

14 de Julho de 2015

Geometria Euclidiana (∼ 300 a.C.)- primeiros Axiomas

Plano = conjunto de pontos = {(x , y) ∈ R2}

Axiomas ou Postulados de Euclides (= ferramentas):

1) Dados dois pontos distintos podemos desenhar osegmento de recta que os une. (Podemos usar régua.)

2) Qualquer segmento de recta pode ser prolongado parauma recta. (A régua pode ser considerada infinita.)

3) Dado dois pontos distintos, podemos desenhar umacircunferência com centro num e que passa no outro.(Podemos usar compasso.)

4) Todos os ângulos rectos são congruentes. (Podemos usartranslações e rotações para comparar figuras.)

E...

Geometria Euclidiana - Axioma da Recta Paralela

5) Dada uma recta e um ponto que não lhe pertence, existeuma e uma só recta que passa nesse ponto e é paralela àrecta inicial. (??????????)

α

β

Figure: Versão equivalente do Axioma 5.[Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria EuclidianaMuitos dos resultados em Geometria Euclidiana podem serdemonstrados sem recorrer ao Axioma da Recta Paralela.

Figure: Existência de triângulo equilátero com lado dado por umsegmento AB arbitrário. [Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria EuclidianaNo entanto, o Axioma da Recta Paralela é necessário nasdemonstrações que se conhecem para alguns resultadosfundamentais, tais como:A) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a

dois ângulos rectos.B) Existem semelhanças que não são congruências.

É também necessário para o Teorema de Pitágoras:

Mas é mesmo necessário? Vamos ver que sim.

Alexander GiventalTitle: The Pythagorean Theorem: What Is It About?Source: The American Mathematical Monthly, Vol. 113, No. 3(Mar., 2006), pp. 261–265.

"Perhaps the scaling self-similarity property of the Euclideangeometry is the fundamental ingredient eternalizing thePythagorean theorem."

Geometria EsféricaSuperfície de uma esfera = {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = R2}

"Rectas" = intersecção com planos que passam na origem.

Pontos anti-podais têm mais do que uma recta a uni-los.

Não existem rectas paralelas e qualquer semelhança é umacongruência.

BA

C

b a

c

βα

γ

Figure: [Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria EsféricaTeorema: área(∆) = R2(α + β + γ − π). Em particular,α + β + γ > π.

Figure: [Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria Hiperbólica (∼ 1830)

Descoberta/Inventada na primeira metade do século XIX, deforma independente por:

I Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855), matemáticoalemão.

I János Bolyai (1802–1860), matemático húngaro.

I Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), matemáticorusso.

A sua existência mostra que o Axioma da Recta Paralela é, defacto, necessário na Geometria Euclidiana. Foram precisosmais de 2000 anos para provar que Euclides tinha razão!!

Geometria Hiperbólica - modelo local

Figure: [Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria Hiperbólica - modelo de Poincaré (∼ 1868)Disco: D = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} = {z ∈ C : |z| < 1}

"Rectas" = diâmetros de D e arcos circulares ortogonais àfronteira de D.

Propriedades:

1) Existe um único segmento de recta entre cada dois pontosdistintos.

2) Qualquer segmento de recta pode ser prolongado parauma recta.

3) Dado dois pontos distintos, existe uma circunferência comcentro num e que passa no outro.

4) Todos os ângulos rectos são congruentes. (Podemos usartransformações de Moebius para comparar figuras.)

5) Dada uma recta e um ponto que não lhe pertence, existemmuitas rectas que passam nesse ponto e são paralelas àrecta inicial.

Geometria Hiperbólica - modelo de Poincaré

Figure: Infinidade de rectas com um ponto em comum e paralelas auma outra recta arbitrária. [Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria Hiperbólica - modelo de PoincaréMais propriedades:

A)

distância(0,P) =12

log(

1 + |P|1− |P|

)B) área(∆) = π − (α + β + γ). Em particular, α + β + γ < π e

área(∆) < π para qualquer triângulo hiperbólico.

γα

β

Figure: Triângulo hiperbólico. [Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria Hiperbólica - modelo de PoincaréMais propriedades:

C) De forma mais geral, temos que

área de um polígono com n lados = (n − 2)π −n∑

i=1

αi

Figure: Polígonos ideais. [Fonte: Math and the Art of M. C. Escher.]

D) Qualquer semelhança é uma congruência dada por umatransformação de Moebius, i.e. φ : D→ D da forma

φ(z) = eiθ z + a1 + az

, com θ ∈ R e a ∈ D.

Geometria Hiperbólica - modelo de Poincaré

Figure: Pavimentação com triângulos hiperbólicos ideais.[Fonte: Wikimedia Commons.]

Geometria Hiperbólica - modelo de Poincaré

Figure: Pavimentação com quadriláteros regulares de ângulo π/3 eárea 2π/3. [Fonte: Math and the Art of M. C. Escher.]

Geometria Hiperbólica - modelo de Poincaré

Figure: Pavimentação com pentágonos regulares de ângulo π/2 eárea π/2. [Fonte: Math and the Art of M. C. Escher.]

Arte Hiperbólica

Figure: Circle Limit III de M. C. Escher. [Fonte: Math and the Art ofM. C. Escher.]

Curvatura de GaussVerificamos nas 3 geometrias anteriores que

α + β + γ − πárea(∆)

= constante =

< 0 , Hiperbólica;= 0 , Euclidiana;> 0 , Esférica.

Figure: [Fonte: Wikimedia Commons.]

Curvatura de Gauss e Teorema de Gauss-BonnetDe forma mais geral, define-se

Curvatura de Gauss:

K := lim∆→0

α + β + γ − πárea(∆)

que, em geral, varia de ponto para ponto.

Teorema de Gauss-Bonnet (∼ 1850): relação entre o valor total(i.e. o integral) da curvatura de Gauss e a topologia global dasuperfície. Por exemplo,∫

Σg

K = 2π χ(Σg)

em que Σg = superfície de género g e

χ(Σg) = característica de Euler de Σg = 2(1− g) .

Curvatura de Gauss e Teorema de Gauss-Bonnet

Figure: g = 0 e∫

K = 4π > 0. [Fonte: Wikimedia Commons.]

Figure: g = 1 e∫

K = 0. [Fonte: Wikimedia Commons.]

Curvatura de Gauss e Teorema de Gauss-Bonnet

Figure: g > 1 e∫

K = 4π(1− g) < 0. [Fonte: Wikimedia Commons.]

Nota Final: muita da Geometria desenvolvida no século XX,tanto a puramente Matemática como a relacionada com aFísica do Universo, está relacionada com generalizações eaplicações do Teorema de Gauss-Bonnet.