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Rev. Int. Met. Num. Calc. Dis. Ing. (2010) 26: 263-281

Influencia da velocidade, do espacamento e do numero deveıculos sobre a resposta dinamica de pontes rodoviariasde concreto armado

Elvis D. Chantre Lopes · Jose G. Santos da Silva · Maria E. da NobregaTavares

Recibido: Julio 2010, Aceptado: Agosto 2010c©Universitat Politecnica de Catalunya, Barcelona, Espana 2010

Resumo. Neste trabalho de pesquisa desenvolve-se umestudo parametrico para analise da resposta dinamicade pontes rodoviarias de concreto armado, devido a tra-vessia de comboios de veıculos sobre o pavimento irre-gular dessas obras-de-arte. O estudo e feito com base emuma metodologia de analise, no domınio do tempo, deacordo com um modelo estatıstico. O modelo matemati-co empregado para simular o comportamento do siste-ma “veıculo-ponte” considera a participacao da massae da rigidez das viaturas na definicao das frequenciasdo sistema e, consequentemente, a forca de interacaoentre os veıculos e a ponte e afetada pela flexibilida-de desta. A ponte e modelada a partir do emprego deelementos finitos de barra unidimensionais e discretiza-do com massas concentradas e flexibilidade distribuıda.O modelo de veıculo empregado baseia-se no veıculoTB-12 preconizado pela norma brasileira NBR 7188.Este veıculo e simulado por sistemas de massas, molase amortecedores sendo descrito por graus de liberdadea translacao e rotacao no plano. As irregularidades dapista sao definidas por um modelo nao-determinısticocom base na densidade espectral do pavimento. O ca-rregamento sobre a ponte e constituıdo por sucessoes deveıculos deslocando-se com velocidade constante sobre aobra. Devido a propria natureza das irregularidades dapista e do comboio de veıculos, atencao especial e con-

E.D. Chantre Lopes · J.G. Santos da Silva ·M.E. da Nobrega TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)Centro de Tecnologia e Ciencias (CTC)Faculdade de Engenharia (FEN)Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Civil (PGECIV)Rua Sao Francisco Xavier, N0. 524, 50 Andar, Bloco A,Sala 5016-A, CEP 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, BrasilTel.: 55 21 23340469; e-mail: elvis [email protected],[email protected], [email protected]

centrada na fase permanente da resposta do sistema.Sao estudadas as respostas de dois modelos estruturaisexistentes, com base em tabuleiros isostaticos, em con-creto armado, com e sem balancos, em secao do tipo“T” e duplo “T”, respectivamente, em termos de des-locamentos e esforcos nas secoes onde ocorrem os efei-tos maximos. As conclusoes do trabalho versam sobrea influencia da velocidade, espacamento e do numerode veıculos, referentes a situacoes distintas de carrega-mento, no que tange a resposta dinamica das pontesrodoviarias de concreto armado. A magnitude dos efei-tos dinamicos associados a interacao dos veıculos como pavimento irregular tambem e investigada.

INFLUENCE OF THE VELOCITY, SPACINGAND NUMBER OF VEHICLES ON THEREINFORCED CONCRETE HIGHWAYBRIDGE DECKS DYNAMIC RESPONSE

Summary In this investigation a parametric study isdeveloped in order to evaluate the reinforced concretehighway bridge decks dynamic response, due to vehiclescrossing on the rough pavement surfaces. This study ismade based on an analysis methodology, in time do-main, considering a statistical approach. The mathema-tical model considered the participation of the mass andstiffness of the vehicles in the definition of the systemnatural frequencies. The “vehicle-bridge” mathemati-cal model includes the interaction between the vehiclesand bridge dynamical properties. The bridge deck wasmodelled using beam finite elements with concentratedmasses and distributed stiffness. The vehicle model wasbased on the Brazilian code NBR 7188 standard vehi-cle TB-12. This vehicle was simulated as mass-spring-damper system and the degrees of freedom of these cars

264 E.D. Chantre, J.G. Santos e M.E. da Nobrega

are defined as in plane vertical translations and rota-tions. The deck surface roughness was defined by a non-deterministic model based on the spectral density of thepavement. The moving load is formed by an infinite suc-cession of vehicles equally spaced and with constant ve-locity. Only the steady-state response was considered.The dynamic response of two existing structural modelscorresponding to reinforced concrete highway bridge de-cks was investigated in terms of displacements and ef-forts. The conclusions have shown the influence of thevelocity, spacing and number of vehicles on the reinfor-ced concrete highway bridge decks dynamic response.The magnitude of the dynamic effects was investigatedwhen the interaction between the vehicle’s wheels andthe irregular pavement surface was considered.

1. Introducao

No universo da engenharia estrutural, as pontes saoestruturas suscetıveis a problemas dinamicos, produzi-dos essencialmente pela movimentacao dos veıculos so-bre o tabuleiro e pela acao do vento. As acoes oriundasda travessia dos veıculos sobre o tabuleiro das obrasde arte sao originadas da interacao entre os sistemasmecanicos destes veıculos e do sistema estrutural. Atual-mente, tem-se o conhecimento de que as amplificacoesdinamicas decorrentes da interacao entre os pneus dosveıculos e a superfıcie irregular do tabuleiro das pon-tes pode vir a causar uma serie de danos estruturais,tais como fissuras em estruturas de concreto ou mesmofraturas por fadiga em estruturas de aco e mistas (aco-concreto) Lopes [1], Amorim [2], Melo [3], Almeida [4],Silva [5,6].

Assim sendo, desde longa data, sabedores da ab-soluta importancia do assunto, diversos pesquisadores,Lopes [1], Amorim [2], Melo [3], Almeida [4], Silva [5,6],tem desenvolvido esforcos contınuos objetivando avaliareste problema, com base no desenvolvimento de diver-sos estudos, considerando inclusive os efeitos oriundosda superfıcie irregular do pavimento. Em sıntese, busca-se um criterio conveniente para calculo dos esforcos edeslocamentos nos tabuleiros das pontes rodoviarias.

Em projetos de pontes rodoviarias, as consequenciasdesses efeitos dinamicos tem sido geralmente conside-radas atraves de um coeficiente de impacto, que e de-terminado, na maioria dos regulamentos, inclusive nobrasileiro ABNT [7,8], exclusivamente com base no vaoda estrutura, sendo aplicado as condicoes estaticas deprojeto e ignora todos os outros fatores da rigidez, doamortecimento e da massa de uma estrutura. Contudo,tem-se observado que algumas pontes podem atingirum nıvel de vibracao, sob condicoes de trafego corren-

te, que as tornam inaceitaveis por comprometerem ascondicoes de servico e a durabilidade da obra.

Assim sendo, esta investigacao propoe um procedi-mento de analise mais elaborado, no que tange aos ele-mentos que contribuem de forma significativa para aresposta dinamica das pontes (veıculos, sistema estru-tural e irregularidades da pista). Um estudo parametri-co e desenvolvido para analise da resposta dinamicade tabuleiros rodoviarias de concreto armado, devidoa travessia de comboios de veıculos sobre o pavimentoirregular dessas obras de arte. A analise parametricatem por objetivo avaliar a influencia da velocidade, doespacamento e do numero de veıculos sobre a respostadinamica destas pontes, em termos de deslocamentos eesforcos.

2. Modelo matematico

A seguir, e apresentado o modelo matematico desen-volvido e implementado, referente ao tabuleiro das pon-tes rodoviarias, aos veıculos responsaveis pelo carrega-mento da estrutura e as irregularidades do pavimento.Em seguida, com base nos modelos obtidos, desenvolve-se o modelo do sistema veıculo-ponte, que agrega todosestes elementos em um unico sistema, o qual sera ob-jeto de uma analise parametrica com vistas a se deter-minar o comportamento da superestrutura da obra-de-arte submetida ao trafego de comboios de veıculos.

2.1. Tabuleiro rodoviario

O tabuleiro das pontes e modelado utilizando-se ele-mentos finitos de viga, de acordo com a formulacao doMetodo dos Elementos Finitos [9] (MEF). Cada elemen-to finito que participa da discretizacao da ponte possui,portanto, dois graus de liberdade por no (graus de li-berdade associados a translacao vertical e a rotacao noproprio plano).

A massa do tabuleiro e concentrada nos nos doselementos finitos. A metodologia de concentracao damassa consiste em que cada no receba metade da mas-sa correspondente ao elemento finito que converge aomesmo. Os nos restritos, ou seja, localizados nos pon-tos de apoio da estrutura, nao recebem massa. Todos osapoios da estrutura sao modelados como sendo rıgidos.A Figura 1 apresenta um modelo generico de uma pon-te simplesmente apoiada discretizada por n elementosfinitos de viga, com n-1 massas concentradas.

Influencia da velocidade, do espacamento e do numero de veıculos sobre a resposta dinamica de pontes 265m11 2m2 m3 m4 m53 4 5 m(n-5) m(n-4)m(n-3)m(n-2)m(n-1)n-4 nn-3 n-2 n-1 Figura 1. Modelo de uma ponte biapoiada com sua massa discretizada nos nos

2.2. Modelos dos veıculos

O modelo matematico do veıculo desenvolvido nes-te trabalho procura representar veıculos reais que tra-fegam sobre as pontes rodoviarias e viadutos existen-tes. Este modelo e considerado discreto, bidimensionale constituıdo por conjuntos de massas, molas e amorte-cedores. Para esta investigacao emprega-se um modelode veıculo com quatro graus de liberdade.

O modelo do veıculo e formado por um conjuntode massas, molas e amortecedores e baseia-se no veıcu-lo “Tipo 12” preconizado pela norma brasileira NBR7188 ABNT [7], como mostrado na Figura 2. Porem,e importante ressaltar que este embasamento diz res-peito apenas as dimensoes e ao numero de eixos doveıculo, pois a referida norma considera que o carre-gamento imposto pelo mesmo e constituıdo por um parde forcas concentradas que apresentam modulos cons-tantes e iguais entre si ao longo do tempo.

O modelo matematico apresentado na Figura 2 pos-sui dois eixos, uma massa suspensa e duas massas nao-suspensas. A massa suspensa, ms, representa o chassie a carroceria do veıculo e as massas nao-suspensas,mns1 e mns2, simulam os pneus, rodas e eixos. O con-junto de molas e amortecedores superiores, kvs1, cvs1 ekvs2, cvs2, representam, respectivamente, a rigidez e oamortecimento da suspensao. Um segundo conjunto demolas e amortecedores inferiores, kvp1, cvp1 e kvp2, cvp2,simula, respectivamente, a rigidez e o amortecimentodos pneus do veıculo, conforme ilustrado na Figura 2.

Nesta investigacao, as propriedades dinamicas uti-lizadas para os veıculos foram as seguintes, a saber:ms=10667 kg, mns1 = mns2=666,5 kg, o que correspon-de a um peso total de 120kN, kvs1 = kvs2=2480 kN/me kvp1 = kvp2=8046 kN/m. Os coeficientes de amorte-cimento destes veıculos sao obtidos a partir da fracaode amortecimento da suspensao (ξs=0,10 ou 10 %).

Uma vez definidos as forcas e os momentos atuantesnas massas do veıculo, efetua-se o equilıbrio, aplicando-se o Princıpio de D’Alembert, obtendo-se assim as qua-tro equacoes de movimento, referentes as viaturas, as

quais escritas na forma matricial sao dadas por:

ms 0 0 00 mns1 0 00 0 mns2 00 0 0 Iv

uv

u1

u2

θv

+

cvs1 + cvs2 −cvs1 −cvs2 (−cvs1 + cvs2) d−cvs1 cvs1 + cvp1 0 cvs1d−cvs2 0 cvs2 + ccp2 −cvs2d

(−cvs1 + cvs2) d cvs1d −cvs2d (cvs1 + cvs2) d2

uv

u1

u2

θv

+

kvs1 + kvs2 −kvs1 −kvs2 (−kvs1 + kvs2) d−kvs1 kvs1 + kvp1 0 kvs1d−kvs2 0 kvs2 + kvp2 −kvs2d

(−kvs1 + kvs2) d kvs1d −kvs2d (kvs1 + kvs2) d2

uv

u1

u2

θv

=

0000

(1)

2.3. Irregularidades superficiais

No que tange a modelagem das irregularidades nao-determinısticas, o ponto de partida desta abordageme a representacao da funcao das irregularidades, vb(x),com base em seu espectro complexo de Fourier. Assimsendo, a funcao das irregularidades, vb(x), Figura 3,e definida pela equacao:

vb (x) =∫ +∞

−∞vb (ω) e(iω)xdω (2)

Adota-se para as irregularidades aleatorias uma dis-tribuicao normal e um processo randomico fracamenteestacionario de segunda ordem. Deste modo, chega-se auma relacao entre a media quadratica da distribuicaodas irregularidades, E[(vb)2], e sua densidade espectral,Φvbvb(ω), expressa pela equacao:

E[v2b ] =

∫ +∞

−∞Φvbvb

(ω)dω (3)

Como modelo matematico, adota-se para represen-tacao da densidade espectral das irregularidades da pis-ta uma funcao exponencial que tem sido utilizada pordiversos pesquisadores Lopes [1], Amorim [2], Almeida


(a) Modelo matematico desenvolvido

(b) Veıculo padrao da NBR 7188(ABNT, 1984)

Figura 2. Modelo matematico do veıculo

+vb-vb v (x)b x(m)XFigura 3. Funcao de irregularidade nao-determinıstica

[4], Silva [5,6], Wang et al. [10], e Dods & Robson [11],dada pela equacao:

Φvbvb(ω) = Φ(ω0)

[ω

ω0

]−w

(4)

onde Φ(ω0) e o coeficiente de amplitude, funcao da qua-lidade do pavimento e de ω0; ω0 la frequencia basica dasirregularidades, igual a 1 m−1 e w a ondulabilidade dapista.

Para avaliacao dos parametros que descrevem a den-sidade espectral das irregularidades, Eq.(4), utiliza-se aclassificacao das irregularidades do pavimento propostapor Braun [12,13] e utilizada por diversos autores queinvestigam este assunto, como por exemplo, Lopes [1],Amorim [2], Almeida [4], Silva [5,6], Wang et al. [10] eSedlaceck & Drosner [14].

Com a finalidade de gerar-se um conjunto de amos-tras de irregularidades, propoe-se a discretizacao dafuncao vb(x). Deste modo, aproxima-se a distribuicaodas irregularidades por uma serie finita de harmonicos,como mostra a Eq.(5)

vb(x) =N∑

i=1

vbi cos[ωix− ϕi] (5)

onde vbi e a amplitude real da parte harmonica; ωi

a frequencia do harmonico i; ϕi o angulo de fase doharmonico i; e N o numero de harmonicos.

A amplitude da parte harmonica das irregularida-des, vbi, e determinada atraves da densidade espectraldas irregularidades, Φvbvb(ω). Assim sendo, considerando-se que ∆ω denota o intervalo de discretizacao da funcao,pode-se escrever:

vbi =√

2∆ωΦvbvb(ωi) (6)

Uma vez que o espectro de Φvbvb(ω) nao possuiinformacoes sobre os angulos de fase dos harmonicos,ϕi, os mesmos sao fixados por meio de numeros gera-dos randomicamente a partir de uma distribuicao nor-mal. Em seguida, a Figura 4 apresenta exemplos re-ferentes a perfis de irregularidades geradas com baseno modelo matematico proposto, para pistas de qua-lidade ruim, media e excelente. No eixo das abscissasencontram-se os valores de amplitudes das irregularida-des, em milımetros, e no das ordenadas, as coordenadaslongitudinais do eixo da ponte metros. Oem metros. Otrecho apresentado representa um metro de pista, gene-ricamente, em uma escala tal que ressalte as amplitudesdas irregularidades para cada qualidade de pista consi-derada (Figura 4).

2.4. Sistema veıculo-ponte

O veıculo e o tabuleiro constituem um sistema unicoatraves da formulacao das matrizes de massa, amorteci-mento, rigidez e de cargas, necessarias para formulacaoe resolucao da equacao de movimento. Objetivando fa-cilitar a organizacao e atualizacao dessas matrizes, asprimeiras linhas e colunas das mesmas sao destinadas

Influencia da velocidade, do espacamento e do numero de veıculos sobre a resposta dinamica de pontes 267

0,0m0,3m

0,5m0,7m

1,0m

Ruim

Média

Excelente

-40mm

-20mm

0mm

20mm

40mm

Ruim:

0 = 1m-1, w = 2 e ( 0) = 64 x 10-6 m3

Média:

0 = 1m-1, w = 2 e ( 0) = 16 x 10-6 m3

Excelente:

0 = 1m-1, w = 2 e ( 0) = 1 x 10-6 m3

Figura 4. Exemplos de amostras de irregularidades superficiais do pavimento

kvs2

kvp2

cvs2 kvs1 cvs1

cvp1cvp2 kvp1

mns1

ms8 5

67mns2

9 10 nn-1n+1 n+2 n+3 r-2 r-1 rm9 m10 mn-1 mnd

kvs2

kvp2

cvs2 kvs1 cvs1

cvp1cvp2 kvp1

mns1

ms4

23mns2

1d

Figura 5. Sistema veıculo-ponte

para os veıculos do comboio. A Figura 5 apresenta umarepresentacao esquematica do sistema veıculo-ponte (ousistema veıculo-viga),

Nesta investigacao, o tabuleiro das obras de artee discretizado com base no emprego de elementos finitosde viga unidimensionais, utilizando-se massas concen-tradas e flexibilidade distribuıda. Os pontos de apoiosao rıgidos, a secao transversal da viga e do tipo duplo“T”, e o momento de inercia da secao transversal, emrelacao a linha neutra, pode variar ao longo do compri-mento do tabuleiro.

Divide-se a viga em elementos finitos e sua massae concentrada nos nos. O processo de concentracao dasmassas consiste na adicao dos valores correspondentesas metades das massas dos elementos convergentes aosnos. Os pontos de apoio nao recebem massas. Os nosrotulados sao pontos de concentracao de massa em vir-tude do elemento adotado para discretizar a viga.

Inicialmente, os veıculos percorrem a ponte com umadeterminada velocidade, e seu efeito sobre esta e deter-minado ao longo do tempo. Devido ao fato de que osveıculos e a ponte formam um sistema unico, estes teminfluencia marcante na equacao de movimento do sis-tema e, portanto, em virtude destes serem elementosmoveis, a cada nova posicao dessas viaturas o sistemae modificado, induzindo, consequentemente, alteracoesna equacao de movimento, mais especificamente nos ele-

mentos associados a rigidez e ao amortecimento do sis-tema veıculo-ponte.

A rigor, essa modificacao na equacao de movimen-to deve ser processada a cada avanco do veıculo sobrea viga, acarretando um grande esforco computacional.Deste modo, com o objetivo de simplificar os calculos,as matrizes de rigidez e amortecimento sao modifica-das somente quando o veıculo ultrapassa a metade decada elemento da viga. Esta medida reduz consideravel-mente o numero de modificacoes e, portanto, o esforcocomputacional na solucao da equacao de movimento,sem grande prejuızo para a precisao dos resultados, Sil-va [5,6].

Em sıntese, o veıculo e posicionado nos nos e suaacao, entre esses nos, e marcada pelas cargas nodaisequivalentes, que sao calculadas para cada intervalo detempo, como se o veıculo percorresse a viga normalmen-te. Deve-se enfatizar, ainda, que a imprecisao geradapela reducao no numero de modificacoes nas matrizesdo sistema e pequena, sendo absolutamente toleravel.

Na concepcao do comboio infinito e mantido um es-pacamento regular entre os veıculos considerado comosendo igual a um multiplo do comprimento de um ele-mento finito de barra, de acordo com o caso de ca-rregamento atuante sobre a obra de arte. Ressalta-eque as matrizes do sistema veıculo-ponte permaneceminalteradas apos o tabuleiro estar completamente ca-


rregado. Tal medida reduz consideravelmente o esforcocomputacional na solucao da equacao de movimento,sem grande prejuızo para a precisao dos resultados pa-ra uma extensao corrente dos elementos de viga de 1/8a 1/10 do comprimento do vao, Silva [5,6].

Ressalta-se que a concepcao do comboio infinito deveıculos relaciona-se diretamente com a fase permanen-te da resposta, que incorpora repeticoes de valores ex-tremos, de interesse direto para uma analise de fadi-ga do material. Por outro lado, a propria natureza daexcitacao referente as irregularidades da pista, defini-das segundo modelo nao-determinıstico, esta associadaa processos fracamente estacionarios.

A resposta da estrutura e obtida mediante a inte-gracao das equacoes de movimento do sistema veıculo-ponte, passo a passo, com base em formulas fundamen-tadas na variacao linear da aceleracao ao longo do in-cremento de tempo. Este incremento de tempo e con-siderado suficientemente pequeno para ajustar-se aosparametros de tempo em jogo, Silva [5,6].

A introducao do efeito das irregularidades da pistana equacao de movimento do sistema veıculo-viga e fei-ta considerando-se que, para os veıculos, tais irregula-ridades assemelham-se a deslocamentos de base. Destemodo, durante o intervalo de tempo em que o veıculoesta atravessando uma irregularidade do pavimento, es-te transmite ao tabuleiro da ponte uma forca variavelde acordo com suas propriedades dinamicas, associadasa rigidez e ao amortecimento.

A partir dessas consideracoes, escreve-se o vetor decargas, F (t), referente a interacao dos pneus dos veıcu-los com a superfıcie irregular do tabuleiro, representan-do forcas dinamicas aplicadas nas coordenadas dessescarros.

F (t) = Cvevb + Kvevb (7)

onde Cv e a matriz de amortecimento para cada modelodistinto de veiculo; Kv a matriz de rigidez para cadamodelo distinto de veıculo; e o vetor unitario definidopara aplicacao das forcas dinamicas nas coordenadasdos carros; vb a grandeza associada ao perfil irregulardo pavimento e vb a primeira derivada de vb.

Calculada a forca exercida por cada eixo do(s) veıcu-lo(s), determina-se o vetor de cargas nodais equivalen-tes para o tabuleiro discretizado em elementos finitos9.Este vetor, para um elemento de viga com uma cargaconcentrada fora do no, e dado por:

r =fv

l3

l3 − 3a2l + 2a3(l2 − 2al + a2

)al

(3l − 2a) a2

(a− l) a2l

(8)

onde l e o comprimento do elemento finito e a a distanciaentre o no esquerdo do elemento e o ponto de aplicacaoda carga fv.

3. Modelagem da carga movel

A carga movel e modelada com base em uma serieinfinita de veıculos, regularmente espacados, deslocando-se sobre o tabuleiro com velocidade constante, ν. Assu-mindo-se que l seja a distancia entre dois veıculos su-cessivos e que os carros entrem um apos o outro notabuleiro da obra de arte, gera-se a partir dessa repe-ticao, ao longo do tempo, uma frequencia de excitacaode carregamento, ou de travessia, fc = νl, associada aomovimento desses veıculos sobre o tabuleiro, conformeilustrado de forma generica pela Figura 6.

Apos um determinado perıodo de tempo, t1, deno-minado de tempo de travessia, o primeiro veıculo docomboio atinge o final da ponte e, a partir desse instan-te, a massa total dos veıculos sobre a obra permanecepraticamente constante. Sob essas condicoes, o tabu-leiro atingira uma situacao em que predomina a fasepermanente da resposta, que incorpora repeticoes devalores extremos, de interesse direto para uma analisede fadiga do material, Silva [5,6].

4. Analise parametrica

A analise parametrica e conduzida com base na im-plementacao computacional da metodologia de analiseno domınio do tempo e sua finalidade basica e a deavaliar a influencia da velocidade, do espacamento edo numero de veıculos sobre a resposta dinamica depontes rodoviarias de concreto armado (deslocamentose esforcos). Evidentemente, os efeitos dinamicos pro-venientes do perfil irregular do pavimento, ocasionadopelo desgaste da superfıcie de rolamento ao longo dotempo, sobre o comportamento estrutural de pontes ro-doviarias serao devidamente avaliados.

As pontes analisadas neste trabalho sao de concre-to armado, com secao do tipo “T” e duplo “T”, comtabuleiro apoiado sobre longarinas e inercia variavel aolongo do seu comprimento como ilustradas nas Figu-ras 7 e 8 (Modelo Estrutural I - ME-I), Figuras 9 e 10(Modelo Estrutural II - ME-II). Este sistema representagrande parte das obras de arte em concreto armado nasrodovias federais na faixa de vaos entre 10m a 40m. Ascaracterısticas dos modelos estruturais sao mostradasnas Tabelas 1 e 2.

Neste trabalho, consideram-se dois sistemas estru-turais para o tabuleiro da obra-de-arte: biapoiado com


l l

vkvs2

kvp2

cvs2 kvs1

cvp1cvp2 kvp1

mns1

ms4

23mns2

kvs2

kvp2

cvs2 kvs1 cvs1

cvp1cvp2 kvp1

mns1

ms8 5

67mns2

kvs2

kvp2

cvs2 kvs1 cvs1

cvp1cvp2 kvp1

mns1

ms12

1011mns2

9 1 Figura 6. Representacao generica do comboio infinito de veıculos

Figura 7. Corte transversal do viaduto: Modelo Estrutural I (unidades em cm)

Figura 8. Corte longitudinal do viaduto - Modelo Estrutural I (unidades em cm)

e sem balancos. No sistema sem balanco (Modelo es-trutural I - ME-I) o vao e de 30,0 m30,0 m, e no combalanco (Modelo estrutural II - ME-II) o vao e de 24,0me os dois balancos de 6,0m, cada um.

Um ponto importante neste estudo diz respeito aosvalores das frequencias naturais dos veıculos isolados,considerados para efeito de analise sobre uma base rıgi-da. As frequencias naturais, correspondentes a trans-lacao da massa suspensa e da massa nao-suspensa, saofeitas iguais a 3,0Hz e 20,0Hz, respectivamente, Sil-va5,6. Contudo, o veıculo possui uma frequencia de va-lor mais baixo, associada a rotacao da massa nao sus-pensa dos modelos, a qual e igual a 2,3Hz, Figura 2.

O coeficiente relativo de amortecimento, ξ, adotadopara o modo de vibracao natural com predominancia dedeslocamentos da massa suspensa dos veıculos e igual a0.1 (10 %), Silva [5,6]. A massa total de todos os mode-los de veıculo empregados neste trabalho e de 12t (ms

= 10667 kg; mns1 = 666,5 kg e mns2 = 666,5 kg), oque corresponde a um peso total de 120kN. A relacaoentre a massa suspensa e as massas nao-suspensas foifeita igual a 8,0 em todos os casos, Silva [5,6].

Para cada qualidade de pavimento sao geradas seriesde amostras de irregularidades de modo a obter-se uma

regularidade estatıstica em termos dos valores maximosmedios da resposta. Convem chamar a atencao do leitorpara o fato de que todos os resultados obtidos ao longodo trabalho referem-se a fase permanente da resposta esao normalizados pelos efeitos estaticos maximos obti-dos para cada secao da ponte em estudo.

A distribuicao do perfil irregular do pavimento, irre-gularidades da pista, e considerada segundo modelo ran-domico com base na densidade espectral do pavimento,eqs.(2) a (6). O tipo de pista escolhido para a anali-se e o de qualidade excelente, observando-se que essacategoria e definida segundo a classificacao das irregu-laridades do pavimento Lopes [1], Amorim [2], Almeida[4], Silva [5,6], Wang et al. [10], e Dods & Robson [11].

4.1. Comportamento dinamico do sistemaveıculo-ponte

Inicialmente, realiza-se um estudo do comportamen-to geral do sistema veıculo-ponte empregando-se as pon-tes biapoiadas com e sem balancos, definidas anterior-mente. Desta forma, obtem-se os deslocamentos, mo-mentos fletores e reacoes de apoio, ao longo do tempo,


Figura 9. Corte transversal da ponte: Modelo Estrutural II (unidades em cm)

Figura 10. Corte longitudinal da ponte: Modelo Estrutural II (unidades em cm)

Tabela 1. Caracterısticas do tabuleiro - Modelo Estrutural I

Grandeza Valor Adotado Unidade

Area da secao transversal (A) 5,61 m2

Massa especıfica (ρ) 2500 kg/m3

Massa distribuıda (m) 14025 kg/mMomento de inercia (J) 2,4698 m4

Modulo de elasticidade (E) 2,82×107 kN/m2

Fracao de amortecimento (ξ1) 0,03 -Frequencia fundamental (f01): ponte descarregada 3,90 HzFrequencia fundamental (f01): ponte carregada 4,15 Hz

Tabela 2. Caracterısticas do tabuleiro - Modelo Estrutural II

Grandeza Valor Adotado Unidade

Area da secao transversal (A) 3,74 m2

Massa especıfica (ρ) 2500 kg/m3

Massa distribuıda (m) 9350 kg/mMomento de inercia (J) 1,2550 m4

Modulo de elasticidade (E) 2,50×107 kN/m2

Fracao de amortecimento (ξ1) 0,03 -Frequencia fundamental (f01): ponte descarregada 4,50 HzFrequencia fundamental (f01): ponte carregada 4,75 Hz

devidos a simulacao da passagem de comboios de veıcu-los sobre o tabuleiro com pavimento irregular.

Assim sendo, as Figuras 11 a 16 apresentam no eixodas ordenadas o fator de amplificacao dinamico, FAD,definido pela relacao entre o valor do efeito dinamico(esforcos e deslocamentos) e o correspondente efeitoestatico maximo na secao do sistema estrutural con-siderada na analise, ao longo do tempo. No eixo dasabscissas essas figuras ilustram a relacao t/t1, na qual

a variavel t representa o tempo de analise e t1 corres-ponde ao tempo de travessia de um veıculo do comboio.

A resposta dinamica da ponte em estudo, ilustradapelas Figuras 11 a 16, foi obtida com base no empregode comboios de 2 veıculos com espacamento de 10,5m(l=10,5m) e 5 veıculos espacados de 7,5m (l=7,5m) (Fi-gura 6), ambos do tipo TB-12 ABNT [7], trafegando so-bre o tabuleiro irregular. Vale ressaltar que o momentofletor positivo e o deslocamento translacional vertical


-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 11. Deslocamento na secao central do ME-Ipara o comboio de 2 veıculos TB-12

-0,8-0,6

-0,4-0,20,00,20,40,6

0,8

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 12. Deslocamento na secao central do ME-Ipara o comboio de 5 veıculos TB-12

-4,0-3,0-2,0-1,00,01,02,03,04,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 13. Momento fletor positivo na secao cen-tral do ME-I para o comboio de 2 veıculos TB-12

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,8

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t/t1

FA

D

Figura 14. Momento fletor positivo na secao cen-tral do ME-I para o Comboio de 5 veıculos TB-12

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 15. Esforco cortante na secao do apoio es-querdo do ME-I para o comboio de 2 veıculos TB-12

-0,8-0,6

-0,4-0,20,00,20,40,60,8

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 16. Esforco cortante na secao do apoio es-querdo do ME-I para o comboio de 5 veıculos TB-12

apresentam valores maximos no meio do vao central daponte e o esforco cortante possui esses maximos sobreo apoio esquerdo do modelo, Figuras 11 a 16.

4.1.1. Ponte simplesmente apoiada - ME-I

Nas Figuras 11 a 16, sao apresentados os graficos docomportamento geral da estrutura, ao longo do tempo,referentes exclusivamente as acoes dinamicas oriundasdas irregularidades superficiais do pavimento, para assecoes correspondentes aos efeitos maximos. As analisesaqui apresentadas foram feitas com base no emprego domodelo estrutural ME-I (ponte simplesmente apoiada),com base no emprego de comboios com 2 e 5 veıculos.Para o caso do trafego do comboio com dois veıculos

foi constatado que este gerou as maiores amplificacoesdinamicas, ao longo da analise, para este modelo es-trutural. Por outro lado, o comboio com cinco veıculosrepresenta o numero maximo de carros que podem tra-fegar sobre a ponte.

Observando-se as Figuras 11 a 16, percebe-se que osnıveis das amplificacoes sao bastante elevados, no quetange ao efeito dinamico produzido pela interacao dospneus dos veıculos do comboio com uma amostra deirregularidade representativa de um pavimento de qua-lidade excelente. Ressalta-se, ainda, que as acoes devi-das as irregularidades da pista sao muito mais severasque as oriundas da mobilidade da carga, chegando mes-mo a ultrapassar com boa margem aos efeitos produzi-dos pela presenca estatica dos veıculos.


Os valores maximos da resposta do sistema veıculo-ponte ocorrem na fase permanente dos graficos, ondese observa a repeticao desses valores extremos, ao lon-go do tempo. Considerando-se as Figuras 11, 13 e 15,verifica-se a predominancia de um perıodo de vibracaoaproximadamente igual a 0,45s (T0 = 0,45s: comboiocom dois veıculos, velocidade de 80km/h e espacamentode 10,5m). Este perıodo de vibracao esta associado afrequencia de travessia dos veıculos (ft = 1/T0), comvalor igual a 2,22Hz (ft = 2,22Hz).

A frequencia de 2,22Hz (ft = 2,22Hz) diz respei-to, praticamente, ao valor da primeira frequencia na-tural do sistema veıculo-ponte, f01=2,30Hz (frequenciaassociada a rotacao da massa nao suspensa dos veıcu-los), indicando que este comboio em particular provocaressonancia, no que tange frequencia fundamental dosistema veıculo-viga (ft = f01). Sob essas condicoes, otabuleiro atinge uma situacao em que predomina a fasepermanente da resposta, com repeticoes de valores ex-tremos, de interesse direto para uma analise de fadigado material.

No que tange as Figuras 12, 14 e 16, observa-se umanıtida predominancia de um perıodo de 0,54s (T0=0,54s),associado a uma frequencia de travessia dos veıculos (oude excitacao) igual a 1,85Hz (ft=1,85Hz). Este perıodode 0,54s correspondente ao tempo de travessia entredois veıculos subsequentes do comboio, ou seja: T0=l/υ, onde l representa o espacamento entre veıculos sub-sequentes do comboio, neste caso 7,5m e υ correspondea velocidade dos veıculos (50km/h). Neste caso, pode-seobservar que esta frequencia nao esta associada a nen-huma frequencia natural do sistema veıculo-ponte, naoresultando, portanto, em uma situacao de ressonancia.

Nesta analise o valor maximo encontrado para oFAD dos deslocamentos translacionais verticais foi daordem de 3,0 (secao do meio do vao) (Figura 11). Paraos momentos fletores este valor foi igual a 3,0 (secaodo meio do vao) (Figura 13). No que diz respeito aosesforcos cortantes maximos medios o valor maximo doFAD foi da ordem de 2,2 (secao do apoio esquerdo) (Fi-gura 15).

4.1.2. Ponte simplesmente apoiada com balancos -ME-II

Nas Figuras 17 a 26, sao apresentados os graficosdo comportamento geral da ponte, ao longo do tempo,no que tange aos efeitos dinamicos oriundos exclusiva-mente das irregularidades da pista, para as secoes dosefeitos maximos. As analises foram feitas com base noemprego do modelo estrutural ME-II (ponte simples-mente apoiada com balancos), utilizando-se comboioscom 3 e 6 veıculos, ambos com espacamento entre asviaturas igual a 7,5m (l = 7,5m, Figura 6). Para o caso

do trafego do comboio com tres veıculos foi constatadoque este gerou as maiores amplificacoes dinamicas paraesta obra de arte, ao longo da analise, e o comboio comseis veıculos representa o numero maximo de carros quepodem trafegar sobre a obra de arte.

Considerando-se as Figuras 17, 19, 21, 23 e 25, cons-tata-se que a predominancia de um perıodo de vibracaoe aproximadamente igual a 0,33s (T0 = 0,33s: comboiocom tres veıculos, velocidade de 80km/h e espacamentode 7,5m). Este perıodo de vibracao esta associado afrequencia de travessia dos veıculos (ft = 1/T0), comvalor igual a 3,0Hz (ft = 3,0Hz).

A frequencia de 3,0Hz (ft = 3,0Hz), corresponden-te a frequencia de translacao da massa suspensa, f02=3,0Hz, indicando que este comboio em particular provo-ca ressonancia, no que tange a frequencia fundamentaldo sistema veıculo-viga (ft = f02). Sob essas condicoes,o tabuleiro atinge uma situacao em que predomina afase permanente da resposta, com repeticoes de valoresextremos, de interesse direto para uma analise de fadigado material.

Em relacao as Figuras 18, 20, 22, 24, 26, observa-se a predominancia de um perıodo de 0,64s (T0=0,64s),associado a uma frequencia de travessia dos veıculos (oude excitacao) igual a 1,56Hz (ft=1,56Hz). Este perıodode 0,64s correspondente ao tempo de travessia entredois veıculos subsequentes do comboio, ou seja: T0 =l/υ, onde l representa o espacamento entre veıculos sub-sequentes do comboio, neste caso 7,5m, e υ correspon-de a velocidade dos veıculos (40km/h). Pode-se obser-var que esta frequencia nao esta associada a nenhumafrequencia natural do sistema veıculo-ponte, logo, naoha situacao de ressonancia.

Nesta analise, o valor maximo encontrado para oFAD correspondente aos deslocamentos translacionaisverticais foi da ordem de 3,0 (secao do meio do vao)(Figura 17), e de 3,2 para a secao da extremidade dobalanco (Figura 19). Para os momentos fletores posi-tivos este valor foi igual a 3,0 (secao do meio do vao)(Figura 21), e de 1,3 para os momentos fletores negati-vos (do apoio esquerdo) (Figura 23). No que diz respeitoaos esforcos cortantes maximos medios o valor maximodo FAD foi da ordem de 1,1 (secao do apoio esquerdo)(Figura 25).

4.2. Efeito da variacao da velocidade e doespacamento entre os veıculos

A seguir, sao apresentados os graficos pertinentes asanalises dinamicas realizadas neste estudo, onde objetiva-se verificar a influencia da velocidade e do espacamentoentre veıculos dos comboios. Para tal, sao utilizados,novamente, os modelos estruturais (ME-I e ME-II).


-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 17. Deslocamento na secao central do ME-II para o comboio de 3 veıculos TB-12

-0,9

-0,6

-0,3

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

0,0

0,5 1,0

1,5 2,0

2,5

3,0

t/t1

FA

D

Figura 18. Deslocamento na secao central do ME-II para o comboio de 6 veıculos TB-12

-4,0

-3,0

-2,0

-1,00,0

1,0

2,0

3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 19. Deslocamento na extremidade do ba-lanco do ME-II para o comboio de 3 veıculos TB-12

-1,2-0,9

-0,6-0,3

0,00,3

0,60,9

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 20. Deslocamento na extremidade do ba-lanco do ME-II para o comboio de 6 veıculos TB-12 -4,0

-3,0

-2,0-1,0

0,01,0

2,03,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

t/t1

FA

D

Figura 21. Momento fletor positivo na secao cen-tral do ME-II para o comboio de 3 veıculos TB-12

-1,2-0,9

-0,6-0,30,00,3

0,60,9

0,0 0,5

1,0

1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 22. Momento fletor positivo na secao cen-tral do ME-II para o comboio de 6 veıculos TB12 -1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 23. Momento fletor negativo na secao doapoio esquerdo do ME-II para o comboio de 3 veıcu-los TB-12

-1,2-0,9-0,6-0,30,00,30,60,91,2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 24. Momento fletor negativo na secao doapoio esquerdo do ME-II para o comboio de 6 veıcu-los TB-12 -2,0

-1,5-1,0-0,50,00,51,01,5

0,0

0,5

1,0

1,5 2,0 2,5

3,0

t/t1

FA

D

Figura 25. Esforco cortante na secao do apoio es-querdo do ME-II para o comboio de 3 veıculos TB-12

-0,6

-0,4

-0,2

0,00,20,4

0,60,8

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

t/t1

FA

D

Figura 26. Esforco cortante na secao do apoio es-querdo do ME-II para o comboio de 6 veıculos TB-12


Os valores dos fatores de amplificacao dinamicosmaximos medios, [FAD]medio, apresentados nesses grafi-cos correspondem a uma analise estatıstica feita me-diante a travessia de diversos comboios de veıculos so-bre 50 (cinquenta) amostras de irregularidades distin-tas, referentes a pavimentos de qualidade excelente. Aolongo da analise foi considerado exclusivamente o efeitoda interacao dos pneus dos veıculos dos comboios coma superfıcie irregular das pontes de concreto armadoanalisadas.

As Figuras 27 a 29 apresentam os resultados da pre-sente analise para comboios compostos por dois veıcu-los do tipo TB-12 ABNT [7], pois foi constatado queeste comboio gerou as maiores amplificacoes dinamicassobre esta ponte em particular, ao longo das analisesrealizadas. Sao consideradas as velocidades das viatu-ras na faixa de 40km/h a 120km/h e os espacamentosentre os veıculos sao modificados na faixa de 7,5 a 15,0m(l = 7,5m ate 15,0m, Figura 6).

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

40 50 60 70 80 90 100 110 120

velocidade (Km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m L = 15,0m

Figura 27. Variacao do FAD referente aos deslocamen-tos translacionais verticais. Secao do meio do vao. Com-boio com 2 veıculos do tipo TB-12

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m L = 15,0m

Figura 28. Variacao do FAD referente aos momentosfletores. Secao do meio do vao. Comboio com 2 veıculosdo tipo TB-12

Percebe-se, claramente, que nao existe uma relacaodireta (relacao linear) entre os valores dos fatores deamplificacao dinamicos maximos medios, [FAD]medio,para os deslocamentos e esforcos, com referencia a va-

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m L = 15,0m

Figura 29. Variacao do FAD referente aos esforcos cor-tantes. Secao do apoio esquerdo. Comboio com 2 veıcu-los do tipo TB-12

riacao da velocidade e do espacamento entre os veıculosdos comboios. Pode-se verificar que existe uma variacaonao-linear nas curvas associadas a essas grandezas (des-locamentos e esforcos), embora esses graficos apresen-tem uma tendencia de comportamento comum, confor-me ilustrado nas Figuras 27 a 29.

Por outro lado, considerando-se que a analise pos-sui um carater estatıstico, pois considera a travessiade comboios de veıculos (2, 3, 4 e 5 veıculos), median-te o emprego de cinquenta amostras de irregularida-des e com diferentes velocidades (na faixa de 40km/h a120km/h), pode-se concluir, de acordo com a tendenciados graficos, que os maiores valores obtidos para o[FAD]medio estao associados as velocidades mais baixas(entre 40km/h e 60km/h) e a um maior espacamentoentre os veıculos (entre 13,5m a 15m), de acordo comas Figuras 27 a 29.

Na presente analise, o valor maximo encontrado pa-ra o [FAD]medio dos deslocamentos translacionais verti-cais foi da ordem de 2,2 (secao do meio do vao) (Figura27). Para os momentos fletores este valor foi igual a 2,4(secao do meio do vao), Figura 28. No que diz respeitoaos esforcos cortantes maximos medios o valor maxi-mo do [FAD]medio foi da ordem de 1,6 (secao do apoioesquerdo) (Figura 29).

Conforme exposto anteriormente, verifica-se que asacoes dinamicas provenientes das irregularidades super-ficiais com qualidade da pista excelente, representamparcela consideravel na resposta do sistema veıculo-ponte, chegando mesmo a ultrapassar as produzidaspelas acoes estaticas devidas ao peso das viaturas e asproduzidas pela mobilidade da carga (Figuras 27 a 29).


As Figuras 30 a 34 apresentam os resultados daanalise para comboios compostos por tres veıculos dotipo TB-12 ABNT7, pois foi constatado que este com-


boio gerou as maiores amplificacoes dinamicas sobre es-te modelo estrutural em particular, ao longo das anali-ses realizadas. Sao consideradas as velocidades na faixade 40km/h a 120km/h e os espacamentos entre veıcu-los sao modificados na faixa de 7,5 a 15,0m (l = 7,5mate 15,0m, Figura 6).

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m

Figura 30. Variacao do FAD referente aos deslocamen-tos translacionais verticais. Secao do meio do vao cen-tral. Comboio com 3 veıculos do tipo TB-12

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m

Figura 31. Variacao do FAD referente aos deslocamen-tos translacionais verticais. Extremidade do balanco.Comboio com 3 veıculos do tipo TB-12

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m

Figura 32. Variacao do FAD referente aos momentosfletores positivos. Secao do meio do vao central. Com-boio com 3 veıculos do tipo TB-12

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m

Figura 33. Variacao do FAD referente aos momentosfletores negativos. Secao do apoio esquerdo. Comboiocom 3 veıculos do tipo TB-12

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

L = 10,5m L = 12,0m L = 13,5m

Figura 34. Variacao do FAD referente aos esforcos cor-tantes.Secao do apoio esquerdo. Comboio com 3 veıculos dotipo TB-12

No que diz respeito as observacoes associadas a in-fluencia da velocidade e do espacamento entre veıcu-los dos comboios, no que tange ao ME-II, Figuras 30a 34, constata-se que, basicamente, as conclusoes al-cancadas, em termos qualitativos, sao semelhantes aaquelas ja enunciadas para o caso anterior (ME-I). Des-te modo, destacam-se apenas as conclusoes mais rele-vantes.

Percebe-se, novamente que nao ha uma relacao dire-ta (relacao linear) entre os valores dos fatores de ampli-ficacao dinamicos maximos medios, [FAD]medio, para osdeslocamentos e esforcos, com referencia a variacao davelocidade e do espacamento entre os veıculos dos com-boios. As curvas apresentam uma variacao nao-linear(deslocamentos e esforcos), com uma tendencia defini-da (Figuras 30 a 34).

Assim sendo, conclui-se que os maiores valores obti-dos para o [FAD]medio estao associados as velocidadesmais baixas (entre 40km/h e 70km/h) e a um maiorespacamento entre os veıculos (entre 13,5m a 15m) (Fi-guras 30 a 34). O valor maximo encontrado para o[FAD]medio dos deslocamentos translacionais verticaisfoi da ordem de 2,3 (secao do meio do vao) (Figura 30),


e igual a 2,4 para a secao da extremidade do balanco(Figura 31). Para os momentos fletores positivos estevalor foi igual a 2,4 (secao do meio do vao) (Figura 32),e da ordem de 1,3 para os momentos fletores negati-vos da secao do apoio esquerdo (Figura 33). Para osesforcos cortantes maximos medios o valor maximo do[FAD]medio foi da ordem de 1,0 (secao do apoio esquer-do) (Figura 34).

4.3. Efeitos do numero de veıculos sobre as obras dearte

Nesta analise, apresentam-se os resultados corres-pondentes a variacao do numero de veıculos sobre asestruturas (ME-I e ME-II). Deste modo, as Figuras 35a 42 apresentam os valores dos fatores de amplificacaodinamicos maximos medios, [FAD]medio, associados asgrandezas da resposta da ponte em estudo, no que tangeaos deslocamentos e esforcos.

Novamente, os valores dos fatores de amplificacaodinamicos maximos medios, [FAD]medio, apresentadosnos graficos correspondem a uma analise estatıstica fei-ta mediante a travessia de diversos comboios de veıculossobre 50 (cinquenta) amostras de irregularidades distin-tas, referentes a pavimentos de qualidade excelente. Aolongo da analise foi considerado exclusivamente o efeitoda interacao dos pneus dos veıculos dos comboios coma superfıcie irregular das pontes de concreto armadoanalisadas.


As Figuras 35 a 37 apresentam a variacao dos fatoresde amplificacao dinamicos maximos medios, [FAD]medio,com relacao ao numero de veıculos que trafegam sobreo tabuleiro da ponte, a saber: 2, 3, 4 e 5 veıculos do tipoTB-12 ABNT [7], com velocidades das viaturas na faixade 40km/h a 120km/h. Ressalta-se que os espacamentosentre os carros foram variados, convenientemente, deacordo com cada comboio (l=7,5m ate 15,0m, Figura6).

Observando-se as Figuras 35 a 37, percebe-se, no-vamente, que os nıveis das amplificacoes sao elevados,no que tange ao efeito dinamico produzido pela in-teracao dos pneus dos veıculos do comboio com amos-tras de irregularidades representativas de um pavimen-to de qualidade excelente (em torno de 50 a 80 % dosefeitos maximos produzidos pela presenca estatica dosveıculos).

Verifica-se tambem que um comboio que possui umpequeno numero de veıculos, de forma geral, e o res-ponsavel pelos maiores valores do fator de amplificacaodinamico, pois estes comboios sao os que tendem a se

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

2 Veículos 3 Veículos 4 Veículos 5 Veículos

Figura 35. Variacao do FAD para os deslocamentostranslacionais verticais maximos medios. Secao do meiodo vao. Qualidade do pavimento: pista excelente

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 36. Variacao do FAD para os momentos fletoresmaximos medios. Secao do meio do vao. Qualidade dopavimento: pista excelente

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 37. Variacao do FAD para os esforcos cortantesmaximos medios. Secao do apoio esquerdo. Qualidadedo pavimento: pista excelente

aproximar das frequencias naturais das obras de arte es-tudadas. Tal fato tambem encontra-se relacionado coma massa e a rigidez do sistema veıculo-ponte, pois quan-do existe um numero pequeno de veıculos sobre a obrade arte, o sistema veıculo-ponte torna-se mais suscetıvelas amplificacoes dinamicas. Entretanto, em termos ab-solutos (quantitativos), um maior numero de veıculosno comboio produz os maiores valores de esforcos e des-locamentos.


Portanto, conclui-se que as amplificacoes maximasmedias encontradas ao longo da presente analise es-tatıstica para o sistema estrutural I (ME-I: veıculos comdois eixos), ocorrem quando a velocidade das viaturasdo comboio e da ordem de 50 km/h. Assim sendo, aamplificacao dinamica maxima media encontrada pa-ra os deslocamentos translacionais verticais foi igual a2,2 (Figura 35). Para os momentos fletores esta ampli-ficacao foi da ordem de 2,4 (Figura 36); e, finalmente,para os esforcos cortantes tal amplificacao foi igual a1,6 (Figura 37).


As Figuras 38 a 42 apresentam a variacao dos fatoresde amplificacao dinamicos maximos medios, [FAD]medio,com relacao ao numero de viaturas que trafegam sobrea obra de arte, a saber: 2, 3, 4, 5 e 6 veıculos do tipoTB-12 ABNT [7]. A faixa de velocidades consideradase da ordem de 40km/h a 120km/h. Destaca-se, nova-mente, que os espacamentos entre os carros foram va-riados, convenientemente, de acordo com cada comboio(l=7,5m ate 15,0m, Figura 6).

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D

2 Veículos 3 Veículos 4 Veículos 5 Veículos 6 Veículos

Figura 38. Variacao do FAD para os deslocamentostranslacionais verticais maximos medios.Secao do meio do vao

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 39. Variacao do FAD para os deslocamentostranslacionais verticais maximos medios. Extremidadedo balanco

0,00,51,01,52,02,53,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 40. Variacao do FAD para os momentos fletoresmaximos medios. Secao do meio do vao

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 41. Variacao do FAD para os momentos fletoresmaximos medios. Extremidade do balanco

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

40 50 60 70 80 90 100 110 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 42. Variacao do FAD para os esforcos cortantesmaximos medios. Secao do apoio esquerdo

Com relacao ao modelo estrutural II, ME-II (Figu-ras 38 a 42), observa-se que os fatores de amplificacaodinamicos maximos medios, [FAD]medio, provenientesexclusivamente das irregularidades da pista, ocorremquando tres e em alguns casos quatro veıculos atraves-sam a ponte e superam os efeitos maximos produzidospela presenca estatica dos veıculos.

Conclui-se que as amplificacoes maximas encontra-das ao longo da presente analise estatıstica para o ME-II (veıculos com dois eixos), ocorrem quando a veloci-dade das viaturas do comboio e da ordem de 50 km/h.Assim sendo, a amplificacao maxima encontrada para


os deslocamentos translacionais verticais foi igual a 2,4(secao do meio do vao), Figura 38, e da ordem de 2,5 pa-ra a secao da extremidade do balanco, Figura 39. Paraos momentos fletores positivos (secao do meio do vao)este valor de amplificacao foi da ordem de 2,7 (Figura40), e para os momentos fletores negativos (secao doapoio esquerdo) (Figura 41), tal amplificacao alcanca1,8. Ja para as reacoes, no apoio esquerdo, nao se veri-fica uma grande amplificacao dos resultados em relacaoaos estabelecidos pela norma de projeto (aproximada-mente 1,1, de acordo com a Figura 42).

De acordo com os nıveis de amplificacao encontradosnas secoes dos balancos, no que tange a obra de arteinvestigada neste trabalho, pode-se concluir que estassecoes devem merecer atencao especial por parte dosprojetistas desse tipo de estrutura.

4.4. Efeitos das condicoes do pavimento sobre aresposta dinamica das pontes

Nesta secao sao apresentadas comparacoes entre asrespostas dinamicas para tres tipos de pavimentos (ex-celente, medio e ruim). As obras de arte adotadas paraesta analise foram os modelos estruturais ME-I e ME-II.Destaca-se que neste item da investigacao, considera-sea acao conjunta dos efeitos referentes a mobilidade dacarga (efeito do peso dos veıculos) e da interacao dospneus dos veıculos dos comboios com a superfıcie irre-gular da ponte de concreto armado.


Apresenta-se nas Figuras 43 a 45, a variacao dos fa-tores de amplificacao dinamicos maximos medios,[FAD]medio, em relacao a qualidade das pistas (excelen-te, medio e ruim), para comboios de dois veıculos tipoTB-12 ABNT7, pois foi observado que este comboio emparticular causa ressonancia para o Modelo EstruturalI (ME-I). Sao consideradas as velocidades na faixa de40km/h a 120km/h e os espacamentos entre veıculossao modificados na faixa de 7,5 a 15,0m (Figura 6).

Conforme esperado, a qualidade do pavimento in-fluencia de forma decisiva na resposta dinamica da es-trutura, pois, observando-se os valores do [FAD]medio,mostrados nas Figuras 43 a 45, percebe-se, claramen-te, o nıvel bastante elevado das amplificacoes existentessobre as obras de arte rodoviarias analisadas, mesmoconsiderando-se pavimentos de qualidade excelente, al-go difıcil de encontrar-se nas rodovias e pontes do Bra-sil.

Percebe-se, ainda, que a medida que a qualidade dopavimento diminui essas amplificacoes aumentam dras-ticamente, (da ordem de 4 para pavimentos de qualida-

0

5

10

15

20

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D

Excelente Médio Ruim

Figura 43. Variacao do FAD referente aos deslocamen-tos translacionais verticais. Secao do meio do vao

0

5

10

15

20

25

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 44. Variacao do FAD referente aos momentosfletores. Secao do meio do vao

0

3

6

9

12

15

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 45. Variacao do FAD referente aos esforcos cor-tantes. Secao do apoio esquerdo

de excelente, em torno de 10 para pistas com qualidademedia e proximo de 20 para pistas com qualidade ruim(Figura 44)). Ou seja, com a deterioracao do pavimentoessas amplificacoes aumentam exponencialmente, deno-tando que o problema em questao e grave.

Como foi mostrado em estudos recentes Lopes [1],Amorim [2], Almeida [4], Silva [5,6], pode-se observarque, sem sombra de duvidas, as acoes dinamicas oriun-das da interacao existente entre as viaturas e o perfilirregular, geram nıveis de deslocamentos e esforcos mui-to severos sobre os tabuleiros das pontes rodoviarias,especialmente, com relacao aqueles considerados usual-mente em projeto.


A acao conjunta da mobilidade da carga (efeito dopeso dos veıculos) e dos efeitos dinamicos provenientesinteracao dos pneus dos veıculos dos comboios com asirregularidades superficiais amplifica consideravelmen-te as respostas dinamicas do sistema veıculo-ponte, in-dicando, mais uma vez, a importancia de se levar emconta o efeito das irregularidades da pista sobre o com-portamento dos tabuleiros rodoviarios.


Apresenta-se nas Figuras 46 a 50, a variacao dosFatores de Amplificacao Dinamicos maximos medios,[FAD]medio, em relacao a qualidade das pistas (excelen-te, medio e ruim), para comboios de tres veıculos tipoTB-12 ABNT [7], pois foi observado que este comboioem particular causa ressonancia para o Modelo Estrutu-ral II (ME-II). Sao consideradas as velocidades na faixade 40km/h a 120km/h e os espacamentos entre veıculossao modificados na faixa de 7,5 a 15,0m (Figura 6).

Observando-se as Figuras 46 a 50, observa-se queas conclusoes alcancadas na analise da variacao dosFatores de Amplificacao Dinamicos maximos medios,[FAD]medio, em relacao a qualidade da pista, corres-pondente ao ME-II, em termos qualitativos, sao absolu-tamente identicas aquelas ja enunciadas anteriormentepara o caso do ME-I, portanto sao destacadas, a seguir,apenas as conclusoes mais relevantes.

Novamente, percebe-se que a acao conjunta da mo-bilidade da carga (efeito do peso dos veıculos) e dosefeitos dinamicos provenientes interacao dos pneus dosveıculos dos comboios com o pavimento irregular am-plifica consideravelmente as respostas dinamicas do sis-tema veıculo-ponte. Portanto, conclui-se que, as acoesdinamicas oriundas da interacao existente entre as via-turas e o perfil irregular, geram nıveis de deslocamentose esforcos muito severos sobre os tabuleiros das pontesrodoviarias, especialmente, com relacao aqueles consi-derados usualmente em projeto.

Verifica-se que, com a reducao da qualidade do pa-vimento, essas amplificacoes aumentam drasticamente,(da ordem de 3 para pavimentos de qualidade excelen-te, em torno de 12 para pistas com qualidade media, eproximo de 22 para pistas com qualidade ruim (Figu-ra 48)). Ou seja, a partir da deterioracao do pavimen-to essas amplificacoes dinamicas, associadas aos deslo-camentos e esforcos, aumentam exponencialmente, deacordo com resultados obtidos em trabalhos de pesqui-sa recentes Lopes [1], Amorim [2], Almeida [4], Silva[5,6].

0

5

10

15

20

25

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 46. Variacao do FAD referente aos deslocamen-tos translacionais verticais. Secao do meio do vao

0

5

10

15

20

25

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 47. Variacao do FAD referente aos deslocamen-tos translacionais verticais. Extremidade do balanco

0

5

10

15

20

25

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 48. Variacao do FAD referente aos momentosfletores positivos. Secao do meio do vao

0

2

4

6

8

10

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 49. Variacao do FAD referente aos momentosfletores negativos. Extremidade do balanco

5. Conclusoes

Ao longo deste trabalho de pesquisa foi desenvolvidauma extensa analise parametrica, considerando-se dois


0

2

4

6

8

10

40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

FA

D


Figura 50. Variacao do FAD referente aos esforcos cor-tantes. Secao do apoio esquerdo

modelos estruturais reais e existentes (ponte simples-mente apoiada e simplesmente apoiada com balancos),submetidas a passagem de comboios de veıculos comdois eixos sobre o pavimento irregular (pistas com qua-lidade excelente, media e ruim). Este estudo parametri-co conduziu as seguintes conclusoes:

1. A metodologia de analise desenvolvida e apresenta-da neste trabalho de pesquisa para a avaliacao dainfluencia da velocidade, do espacamento e do nume-ro de veıculos sobre a resposta dinamica de pontesrodoviarias de concreto armado, segundo analise nodomınio do tempo (modelo estatıstico), apresenta-seconsistente no que tange aos aspectos quantitativose qualitativos da resposta, o que assegura confia-bilidade aos resultados e conclusoes obtidos nesteestudo.

2. Esta investigacao considera os veıculos com as mes-mas caracterısticas dinamicas (massa, rigidez e amor-tecimento). Os veıculos trafegam sobre os tabulei-ros das pontes com velocidade e espacamento cons-tantes. O pavimento das obras de arte e considera-do irregular. Os resultados aqui apresentados dizemrespeito, especialmente, a condicoes de ressonancia,representativas dos valores maximos da resposta di-namica permanente dos modelos estruturais inves-tigados.

3. O fenomeno da ressonancia, oriundo da travessia doscomboios de veıculos sobre os tabuleiros das obrasde arte, depende, fundamentalmente, da velocida-de e do espacamento entre as viaturas, e certamen-te pode vir a ocorrer em situacoes reais da praticacorrente de projeto, especialmente, para tabuleirosrodoviarios muito flexıveis, nos quais a frequenciafundamental da ponte se aproxime da frequencia detravessia oriunda de um comboio de veıculos. Talfato nao e levado em conta nas prescricoes das nor-mas e recomendacoes de projeto que tratam desteassunto.

4. A velocidade e o espacamento entre os veıculos in-fluenciam significativamente a resposta dinamica dosistema veıculo-ponte. Contudo, constata-se que naoexiste uma relacao direta (relacao linear) entre asgrandezas da resposta (deslocamentos e esforcos) emrelacao aos parametros de velocidade e espacamentodas viaturas.

5. Observa-se que existe uma variacao nao-linear nascurvas associadas a resposta dinamica das pontes(deslocamentos e esforcos), de acordo com a variacaoda velocidade e espacamento entre os veıculos, em-bora esses graficos apresentem certa tendencia decomportamento, ou seja: os maiores valores obtidospara as amplificacoes dinamicas estao associados avelocidades mais baixas das viaturas (entre 40km/he 70km/h) e, tambem, aos maiores espacamentosentre os veıculos.

6. A consideracao da qualidade do pavimento mostrou-se de grande importancia na analise da respostadinamica das estruturas, pois os valores dos fato-res de amplificacao dinamicos maximos medios (des-locamentos e esforcos) crescem na razao direta dodecrescimo de qualidade do pavimento. Em diver-sos casos, essas amplificacoes chegam mesmo a ul-trapassar com boa margem aos efeitos produzidospela presenca estatica dos veıculos sobre as pontes.

7. Ao longo da investigacao foi verificado que as acoesmais severas transmitidas a superestrutura das pon-tes sao ocasionadas pela ocorrencia de irregularida-des superficiais ao longo da pista de rolamento, co-rrespondendo, em situacoes extremas, relacionadasa pavimentos de qualidade muito inferior, a valoresda resposta bem mais elevados do que aqueles admi-tidos em projeto. Tal situacao e bastante relevante emerece ser tratada com cuidado no ambito das nor-mas de projeto que tratam da regulamentacao dessetipo de estrutura.

8. Propor recomendacoes de projeto para as solicitacoesoriundas das irregularidades da pista seria antieco-nomico e totalmente fora de proposito. Assim sendo,recomenda-se como solucao absolutamente inadiavelpara o problema realizar uma conservacao perma-nente, preventiva e corretiva, assegurando entao queas superfıcies de rolamento dos tabuleiros rodoviariosestejam sempre livres de irregularidades: “lomba-das” e “costelas”.

9. Convem chamar a atencao do leitor para o fato deque os projetistas de pontes devem atentar para ofato de que frequencias naturais do sistema veıculo-viga podem coincidir com frequencias de travessia(ou de excitacao), provenientes do comboio de veıcu-los. Tal fato e relevante, pois pode provocar umasituacao de ressonancia. Evidentemente, sob essas


condicoes, o tabuleiro atinge uma situacao em quepredomina a fase permanente da resposta, com repe-ticoes de valores extremos (amplificacoes elevadas),de interesse direto para uma analise de fadiga domaterial.

6. Agradecimentos

Os autores agradecem a Fundacao Carlos ChagasFilho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Ja-neiro, FAPERJ, a Coordenacao de Aperfeicoamento dePessoal de Nıvel Superior, CAPES, e ao Conselho Na-cional de Pesquisa, CNPq, o auxılio financeiro para odesenvolvimento deste trabalho de pesquisa.

Referencias

1. Lopes E.D.C. (2008) Influencia da velocidade, do es-pacamento e do numero de veıculos sobre a respostadinamica de pontes rodoviarias de concreto armado.Dissertacao de Mestrado. Programa de Pos-Graduacaoem Engenharia Civil, PGECIV, Faculdade de Engenha-ria, FEN, Universidade do Estado do Rio de Janeiro,UERJ, 148 paginas, Rio de Janeiro, Brasil

2. de Amorim A.B.A. (2007) Avaliacao da respostadinamica de pontes rodoviarias com pavimentos irregu-lares e comparacao com a metodologia de projeto pro-posta pela NBR 7187. Dissertacao de Mestrado. Progra-ma de Pos-Graduacao em Engenharia Civil, PGECIV,Faculdade de Engenharia, FEN, Universidade do Estadodo Rio de Janeiro, UERJ, 145 paginas, Rio de Janeiro,Brasil

3. Melo E.S (2007) Interacao dinamica veıculo-estruturaem pequenas pontes rodoviarias. Dissertacao de Mestra-do, COPPE/UFRJ, 148 paginas, Rio de Janeiro, Brasil

4. Almeida R.S. (2006) Analise de vibracoes de pontes ro-doviarias induzidas pelo trafego de veıculos sobre pavi-mentos irregulares. Dissertacao de Mestrado, Programade Pos-Graduacao em Engenharia Civil, PGECIV, Fa-culdade de Engenharia, FEN, Universidade do Estadodo Rio de Janeiro, UERJ, Rio de Janeiro, Brasil

5. Silva J.G.S. (2004) Dynamical performance of highwaybridge decks with irregular pavement surface. Computer& Structures 82(11-12):871–881

6. Silva J.G.S. (1996) Analise dinamica nao-determinısticade tabuleiros de pontes rodoviarias com irregularidadessuperficiais. Tese de Doutorado, Departamento de En-genharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, Brasil

7. ABNT - Associacao Brasileira de Normas Tecnicas.(1984) Carga Movel em Ponte Rodoviaria e Passarelade Pedestre - NBR 7188

8. ABNT - Asociacao Brasileira de Normas Tecnicas.(2003) Projeto e execucao de pontes de concreto armadoe protendido - NBR 7187

9. Zienkiewicz O.C. (1971) The Finite Element Method inEngineering Science. McGraw-Hill, London

10. Wang T.L., Huang D., Shahawy M. (1994) Dynamicbehavior of slant-legged rigid frame highway bridge. AS-CE, Journal of Structural Engineering 120(3) 885–902

11. Dodss J.C., Robson J.D. (1973) The Description ofRoad Surface Roughness. Journal of Sound and Vibra-tion 31(2) 175–183

12. Braun H. (1969) Untersuchungen Von Fahrbahnune-benheiten und Anwendungen der Ergebnisse. Von derFakultat fur Maschinenbau und Elektrotechnik der Te-chnischen Universitat Carolo-Wilhelmina zu Braunsch-weig, Dissertation

13. Braun H. (1966) Untersuchungen uber Fahrbahnune-benheiten. Deutsche Kraftfahrtforschung und Strassen-verkehrstechnik

14. Sedlacek G., Drosner St. (1990) Dynamik bei Brucken.Institut fur Stahlbau, RWTH Aschen, Mies van derRohe Str. 1, 5100, Aachen, U. Braunschweig, U. Han-nover

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