Inversa de uma restrição da

função quadrática

e

Inversa da função cúbica

2

0

xx

IRIR:f

A função f não é injetiva

2

001

xx

IRIR:f A função é uma função bijetiva.

é uma restrição da função f a 1f

1f0IR

Inversa da função : 1f yxyxy)x(fx

0

21

xx

IRIR:f 001

1 Função raiz quadrada 1

1f

Função com radical quadrado

Em termos gráficos:

( chamemos g à função )

x g(x)

1 1

4 2

a

11f

• D=

• CD=

• Zero: 0

• Concavidade voltada para baixo

• A função é estritamente

crescente

• 0 é mínimo da função

0IR0IR

a

x)x(g

O gráfico da função g sofreu uma translação associada ao vetor .

Represente o gráfico da função obtida através dessa transformação.

Transformações do gráfico de g

)31( ,v

- Características que se mantêm inalteradas:

• Monotonia- Estritamente

crescente

• Concavidade voltada para

baixo

- Características que se alteram:

• domínio: [1,+[

• contradomínio: [3,+[

• mínimo: 3

• a função não tem zeros

Exercício 1

Considere a função real de variável real definida por

a) Determine o domínio e o contradomínio de h.

b) Faça um esboço do gráfico de h.

c) Caracterize a inversa de h.

d) Resolva, em IR, a equação h(x)=1

212 x)x(h

a) Determine o domínio e o contradomínio de h.

Contradomínio:

Dois processos

• 1º processo

,x:IRxD 101

212 x)x(h

2,CDh

2

21212

yxyx

20202

2

yy

y

• 2º processo

2212

01201

x

xx

2,CDh 2 )x(h

b) Faça um esboço do gráfico de h.

Vamos obter o gráfico de h a partir do gráfico de xy

212 x)x(h

11 x)x(h 122 x)x(h

123 x)x(h212 x)x(h

Translação horizontal associada ao

vetor de coordenadas )01( ,Dilatação vertical de coeficiente 2

Reflexão de eixo OxTranslação vertical associada ao vetor de

coordenadas )20( ,

c) Caracterize a inversa de h.

12

2

2

21

2

21

22

2

yx

yx

yx

y

12

2)(

21

xxh

12

2

12

2

1

xx

,,:h

yx 212

d) Resolva, em IR, a equação h(x)=1

212 x)x(h

2

1112121 xx)x(h

4

3

4

11

2

11

22

xxx

4

3CS

Exercício 2

Resolva, em IR, a equação

333327

1

52516187

3

134

48164

06421442712271227 2222

222

CS

falsaoposiçãoPr

x

verdadeiraoposiçãoPr

x

oVerificaçã

xxx

xxxxxxxxx

3xx

IRIR:f 3

1

xx

IRIR:f

Função com radical cúbico

• D=IR

• CD=IR

• Zero: 0

• Concavidade:

- Voltada para cima em ]-,0]

- Voltada para baixo em [0,+[

• A função é estritamente

crescente

• Não possui extremos

( f é uma função bijetiva)

Exercício 3

Resolva, em IR, a equação:

223 2 xx 3

33 2 22

xx

08282 22 xxxx

422

8442

xxx

42,CS

223 2 xx

Exercícios que podem resolver nos vossos manuais

Exercícios que envolvem:

• a função inversa das restrições bijetivas

das funções quadráticas e cúbicas

• equações onde surgem radicais

quadráticos e cúbicos