Investigacao Operacional Exercicios Muito Bom

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    FEUPFACULDADE DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE DO PORTO

    DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA E GESTAO INDUSTRIAL

    Investigacao Operacional

    Exerccios

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    Indice

    1 Modelacao 7

    1.1 Problema da Mistura de Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Publicacoes Polemicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3 Montagem duas pecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.4 A companhia de aviacao Benvoa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.5 Carga de navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.6 Producao e Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.7 Refinaria Petroleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem (5M) . . . . . . . . . 30

    1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica de Papel . . . . . . . 33

    1.10 Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.11 Seleccao de Eventos na UPorto . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    1.12 Aeroporto ALETROP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    1.13 Urbanizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.14 Estaleiro do ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    1.15 Escalonamento de recursos humanos . . . . . . . . . . . . . . 56

    1.16 SuperBoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    2 Programacao Linear 67

    2.1 Problema PL I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    2.2 Problema PL II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.3 Problema PL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    2.4 Problema PL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    2.5 Problema PL3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    2.6 Problema PL4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    3 Utilizacao do Solver do Excel 79

    3.1 Planeamento da producao na VW Autoeuropa . . . . . . . . . 81

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    4 Metodo Simplex 87

    4.1 Problema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Problema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.3 Problema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    4.4 Problema D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    4.5 Problema E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    4.6 Problema F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    4.7 Problema G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    4.8 Problema H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5 Programacao Inteira 121

    5.1 Problema PIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2 Problema PIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    5.3 Problema PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    5.4 Problema PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    5.5 Problema Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    5.6 Problema PIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    6 Problemas de Transportes 1516.1 Reservatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.2 Transfronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    6.3 Construtora de Avioes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.4 Instituto de Altos Estudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    6.5 UnEng5/FND/UNIFIL no Lbano . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    7 Problemas de Afetacao 1697.1 Desenhadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    7.2 Recrutamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    7.3 Romeu e Julieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    7.4 Companhia de Navegacao Aerea . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    7.5 Asa de Luxo Lda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    7.6 WFP na Costa da Somalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    8 Problemas de Fluxo Maximo 1918.1 Exerccio dos Depositos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    8.2 Exerccio No 1 a No 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    8.3 Exerccio No 1 a No 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    8.4 Exerccio No 0 a No 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    8.5 Exerccio Fluxo Maximo no ShopShopping . . . . . . . . . . . 204

    8.6 WFP na Costa da Somalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

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    Indice 5

    9 Problemas de Caminho Mnimo 211

    9.1 Rede Caminho Mnimo No 1 ao No 6 . . . . . . . . . . . . . . 2139.2 Guerra Azuis e Verdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

    9.3 Ven de Dor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    9.4 Tabuleiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

    9.5 Perseguicao ao Ladrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    10 Planeamento e Controlo de Projetos 23110.1 Banco TTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

    10.2 Projeto A a I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    10.3 Projeto A a J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

    10.4 9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24410.5 Limpeza ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

    10.6 UNIFIL no Lbano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

    10.7 Estorninhos em Evoramonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

    11 Teoria da Decisao 25711.1 Xpt0 Textil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

    11.2 Nova peca automovel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

    11.3 Aquisicao de maquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

    11.4 Exploracao de Gas Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

    11.5 Polido Guapo e a Lavandaria Asseada . . . . . . . . . . . . . . 27011.6 LESTO, um novo produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.7 A Historia de Chicofredo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

    11.8 To be or not to be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

    11.9 Vincennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

    12 Multicriterio 28112.1 Horta da Formiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

    12.2 VetProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

    12.3 So Phtuere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

    12.4 Abre Latas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28912.5 Designs Alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

    12.6 Processamento de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

    12.7 Localizacao de Laboratorio de Investigacao . . . . . . . . . . . 292

    12.8 Sorinfacc & Amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

    12.9 KKs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

    12.10PATinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

    12.11Seleccao de Estagios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

    12.12Ze Playboy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

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    6 Indice

    13 Filas de Espera 301

    13.1 Limpeza de autocarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30313.2 Pastelaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30513.3 Junta Autonoma das Estradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30713.4 Cabina telefonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30913.5 Boeingavela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113.6 Servico de emergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31413.7 Servico de veterinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31713.8 Seccao de fotocopias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31913.9 Manutencao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32413.10Uma horta na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

    13.11DouryKayak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

    14 Simulacao 33314.1 Avarias na rede electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33614.2 ValorSul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.3 Avistamento de Aves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

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    Captulo 1

    Modelacao

    Objetivos de Aprendizagem

    Dado um enunciado com a descricao de um problema Formular esse problema atraves de uma funcao objetivo e de um

    conjunto de restricoes lineares, quer com variaveis contnuas, in-teiras ou binarias.

    Utilizar variaveis binarias como variaveis auxiliares para formular

    situacoes diferentes da simples conjuncoes de restricoes, como porexemplo:

    disjuncao de restricoes implicacao de restricoes valores mnimos para variaveis (e.g. ou vale zero ou e maior

    que...)

    Descrever o que significam e fazem um conjunto de restricoes, no con-texto de um problema concreto.

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    8 Modelacao

    Exerccios

    1.1 Problema da Mistura de Produtos . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2 Publicacoes Polemicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3 Montagem duas pecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.4 A companhia de aviacao Benvoa . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.5 Carga de navio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.6 Producao e Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.7 Refinaria Petroleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem (5M) . . . . . . . 30

    1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica de Papel . . . . 33

    1.10 Distribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.11 Seleccao de Eventos na UPorto . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    1.12 Aeroporto ALETROP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    1.13 Urbanizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.14 Estaleiro do ShopShopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    1.15 Escalonamento de recursos humanos . . . . . . . . . . . . . 56

    1.16 SuperBoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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    1.1 Problema da Mistura de Produtos 9

    1.1 Problema da Mistura de Produtos

    1.1.1 Enunciado

    A companhia Electro & Domesticos pretende escalonar a producao de umnovo apetrecho de cozinha que requer dois recursos: mao-de-obra e materia-prima. A companhia considera a hipotese de produzir 3 modelos diferentes,tendo o seu departamento de engenharia fornecido os dados representados natabela 1

    Modelo A B CMao-de-obra (horas por unidade) 7 3 6

    Materia-prima (quilos por unidade) 4 4 5Lucro (epor unidade) 4 2 3

    Tabela 1: Dados fornecidos pelo departamento de engenharia

    O fornecimento de materia-prima esta limitado a 200 quilos/dia. Por diaestao disponveis 150 horas de trabalho. O objetivo e maximizar o lucro total.Formule o modelo que permitiria resolver este problema.

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    10 Modelacao

    1.1.2 Resolucao

    Passo I O que se desconhece, e que se pretende determinar na fase deresolucao do modelo, sao as quantidades a produzir diariamente de cada umdos modelos as variaveis de decisao.

    Representando-as algebricamente:

    xA producao diaria do modelo A (no de unidades)xB producao diaria do modelo B (no de unidades)xC producao diaria do modelo C (no de unidades)

    Passo II Restricoes do problema.Nao podemos produzir quantidades infinitas de A, B e C (o que daria um

    lucro infinito) porque estamos limitados pela materia-prima (200) e mao-de-obra (150) disponveis, valores que nao podemos exceder.

    Entao, a mao-de-obra necessaria para produzir uma unidade do modeloA (7 horas), vezes o numero de unidades do modelo A a produzir (xA), maisa mao-de-obra necessaria para produzir uma unidade do modelo B (3 horas),vezes o numero de unidades do modelo B que se resolva produzir (xB), maisa mao-de-obra necessaria para produzir uma unidade do modelo C (6 horas),vezes o numero de unidades do modelo C que se venha a produzir (xC), nao

    poderao exceder as 150 horas, isto e:

    7xA + 3xB + 6xC 150

    Aplicando o mesmo raciocnio a materia-prima, obter-se-ia:

    4xA + 4xB + 5xC 200

    As restricoes que faltam ao problema dizem directamente respeito as variaveisde decisao, e sao:

    xA

    0, xB

    0, xC

    0

    ou seja, nao se podem produzir quantidades negativas.

    Passo III O ob jetivo do problema e maximizar o lucro total, isto e, o lucroobtido com os 3 modelos. Como cada unidade do modelo A da um lucro de4, do modelo B da 2 e do modelo C da 3, a funcao objetivo sera:

    max LUCRO = 4xA + 2xB + 3xC

    O modelo do nosso problema sera entao:

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    1.1 Problema da Mistura de Produtos 11

    Encontrar os numeros xA, xB e xC tais que:

    max LUCRO = 4xA + 2xB + 3xC

    sujeito a:

    7xA + 3xB + 6xC 1504xA + 4xB + 5xC 200

    xA, xB, xC 0

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    12 Modelacao

    1.2 Publicacoes Polemicas

    1.2.1 Enunciado

    Publicacoes Polemicas e uma editora de grande divulgacao internacionalque vai publicar proximamente uma autobiografia de um poltico controverso.Dadas as caractersticas do poltico em causa, a editora admite que a 1a edicaovai ser vendida por completo, se nao houver atrasos. Seguindo a sua habituallinha editorial foi decidido fazer o lancamento em simultaneo das versoes deLuxo, com capa dura e Normal, com capa mole, mas a empresa desconheceo numero de exemplares de cada versao que deve ser produzido para obter o

    maximo lucro possvel.A empresa tem um conjunto de restricoes de producao e armazenamentoque se apresentam a seguir:

    Departamento de Impressao O departamento de impressao pode pro-duzir no maximo 10 000 exemplares (incluindo versoes Luxo e Normal).

    Departamento de Encadernacao O departamento de encadernacao po-deria concluir 12 000 exemplares da versao Normal se encadernasse apenasesse tipo de livros. Se encadernasse apenas livros da versao Luxo conseguiria

    encadernar ate 8 000 exemplares.

    Armazem A capacidade maxima do armazem seria de 15 000 exemplaresse so despachasse exemplares da versao Normal ou entao 9 000 exemplaresse so despachasse exemplares da versao Luxo.

    Para alem das restricoes de producao e de armazenamento existem outrasrestricoes que se apresentam a seguir.

    Pedidos Ja existem pedidos de 2 000 exemplares Normal e 1 000 exempla-res Luxo, que deverao ser satisfeitos na 1a edicao.

    Mnimo Luxo Pelo menos 14

    do total dos exemplares devera ser em versaoLuxo.

    Lucro O lucro resultante da venda de um exemplar Normal e de 600UMse de um exemplar Luxo e de 720UMs.

    (a) Formule este problema como um Modelo de Programacao Linear.

    (b) Resolva-o graficamente, ilustrando o conjunto das solucoes admissveis.

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    1.2 Publicacoes Polemicas 13

    (c) Resolva pelo metodo Simplex uma versao simplificada do problema, em

    que nao se consideram os Pedidos e o Mnimo Luxo.

    Qual o significado que atribui ao valor das variaveis de folga? A solucaoobtida sera a solucao optima do problema inicial?

    (d) Substitua a condicao Mnimo Luxo pela seguinte: Se houver pro-ducao de copias na versao Luxo entao o seu numero devera ser maiorou igual a 2 000. Indique em detalhe como incluiria esta condicao nomodelo formulado, mantendo a sua estrutura linear (inteira).

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    14 Modelacao

    1.2.2 Resolucao

    (a) Definam-se as seguintes variaveis de decisao:

    xL quantidade de livros a produzir na versao Luxo;

    xN quantidade de livros a produzir na versao Normal.

    Com essas variaveis de decisao o modelo de Programacao Linear serao seguinte:

    Objectivo:

    max Z = 600xN + 720xL (1.1)

    Sujeito a:

    xN + xL 10000 (1.2)xN

    12000+

    xL8000

    1 (1.3)xN

    15000+ xL

    9000 1 (1.4)

    1

    4(xN + xL) xL (1.5)

    xN 2000 (1.6)xL 1000 (1.7)

    A equacao (1.2) corresponde a restricao de impressao. As equacoes (1.3)e (1.4) sao devidas as restricoes da encadernacao e do armazem. Aequacao (1.5) e devida a restricao de mnimo de producao de exemplares

    de Luxo. Por ultimo, as equacoes (1.6) e (1.7) representam a restricaode satisfacao dos pedidos ja existentes.

    O modelo apresentado e equivalente ao seguinte modelo:

    max Z = 600xN + 720xL (1.8)

    Sujeito a:

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    1.2 Publicacoes Polemicas 15

    xN + xL 10000 (1.9)2xN + 3xL 24000 (1.10)3xN + 5xL 45000 (1.11)

    xN 3xL 0 (1.12)xN 2000 (1.13)xL 1000 (1.14)

    (b) Representacao grafica:

    xN

    xL

    (14)

    (13)

    (12)

    (11)(10)(9)

    (8)

    Z crescente

    Soluo ptima

    xN = 6000

    xL = 4000

    (c) Resolucao pelo Algoritmo Simplex

    xN xL s1 s2 s3s1 1 1 1 0 0 10

    s2 2 3 0 1 0 24s3 3 5 0 0 1 45

    Z10

    60 72 0 0 0 0

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    16 Modelacao

    xN xL s1 s2 s3

    s113

    0 1 13

    0 2

    xL23

    1 0 13

    0 8s3 13 0 0 53 1 5

    Z10

    12 0 0 24 0 576

    xN xL s1 s2 s3xN 1 0 3 1 0 6xL 0 1

    2 1 0 4

    s3 0 0 1 2 1 7 Z

    100 0 36 12 0 648

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    1.3 Montagem duas pecas 17

    1.3 Montagem duas pecas

    1.3.1 Enunciado

    Um produto em fabrico resulta duma montagem constituda por duas pecas,A e B. Para a producao dessas pecas recorre-se a uma maquina M1 e acinco maquinas M2. A produtividade de cada maquina relativamente asduas pecas e a indicada na tabela 2:

    Peca M1 M2A 3 20B 5 15

    Tabela 2: Tempo de producao das pecas (em minutos por peca) A e B nasmaquinas M1 e M2

    A carga das maquinas M2 e repartida igualmente pelas 5 maquinas. Oobjetivo do problema e saber como se pode obter o maximo de montagenscompletas por dia. Considere que um dia corresponde a 8 horas de trabalho.

    (a) Apresente um modelo matematico para este problema.

    (b) Considere agora a situacao em que tambem se pretende manter umautilizacao equilibrada entre as maquinas de modo que nenhuma de-las seja utilizada mais 30 minutos por dia do que qualquer outra dasmaquinas.

    Sera possvel resolver este novo problema por Programacao Linear?Justifique.

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    18 Modelacao

    1.3.2 Resolucao

    (a) Variaveis de decisaoxA1 quantidade de pecas do tipo A a produzir na maquina M1;

    xA2 quantidade de pecas do tipo A a produzir na maquina M2;

    xB1 quantidade de pecas do tipo B a produzir na maquina M1;

    xB2 quantidade de pecas do tipo B a produzir na maquina M2.

    Funcao objectivoPretende-se maximizar o numero de montagens completas:

    max Z = min(xA1 + xA2, xB1 + xB2)

    Esta funcao objetivo pode ser linearizada, acrescentando mais umavariavel auxiliar e duas restricoes:

    max Z = Y

    xA1 + xA2 YxB1 + xB2 Y

    Modelo

    max Z = Y (1.15)

    Sujeito a:

    3xA1 + 5xB1 8 60 (minutos) (1.16)20xA2 + 15xB2 8 60 5 (minutos) (1.17)

    xA1 + xA2 Y 0 (1.18)xB1 + xB2 Y 0 (1.19)

    xA1, xA2, xB1, xB2 0 (1.20)

    Onde 1.16 e 1.17 correspondem as restricoes de capacidade dasmaquinas 1 e 2 respectivamente (ha 5 maquinas tipo 2). As res-tricoes 1.18 e 1.19 sao as restricoes auxiliares para linearizacao dafuncao objectivo. Por ultimo, as restricoes 1.20 exigem que todasas variaveis sejam maiores ou iguais a zero.

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    1.3 Montagem duas pecas 19

    (b) A restricao (nao linear) que modeliza a situacao pretendida nesta alnea

    e a seguinte: (3xA1 + 5xB1) 20xA2 + 15xB25 30

    Simplificando obtem-se:

    |3xA1 + 5xB1 4xA2 3xB2| 30 (1.21)

    Para obter um modelo de Programacao Linear, sera necessario trans-formar a restricao 1.21 em duas restricoes lineares:

    3xA1 + 5xB1 4xA2 3xB2 30 (1.22)3xA1 5xB1 + 4xA2 + 3xB2 30 (1.23)

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    20 Modelacao

    1.4 A companhia de aviacao Benvoa

    1.4.1 Enunciado

    A companhia de aviacao Benvoa vai comprar avioes a jacto de passageiros,para viagens longas, medias e curtas, denominados de Al, Am e Ac, respecti-vamente.

    Os custos unitarios, em milhoes de euros sao, respectivamente, de 5000,3800 e 2000. A administracao da companhia aprovou um orcamento maximode 112 000 milhoes de euros para esse efeito.

    Admite-se que os lucros anuais com cada um dos tipos de aviao Al, Am e

    Ac, sejam de 310, 230 e 200 milhoes de euros respectivamente.Ha pilotos suficientes para pilotar, no maximo, 30 avioes novos.Se apenas fossem comprados avioes Ac, os servicos de manutencao seriam

    capazes de garantir a manutencao de 40 avioes novos. Contudo, do ponto devista do esforco de manutencao, cada aviao Am equivale a 4/3 de um aviaoAc e cada aviao Al a 5/3 de um aviao Ac.

    A direccao tecnica e ainda de opiniao que, por cada aviao Ac que sejacomprado, se comprem tambem pelo menos um aviao Al ou um aviao Am.

    Por outro lado, seleccionado um aviao Al para comprar, tambem deveraoser comprados pelo menos 8 avioes Ac ou Am.

    Com estes dados, a gestao da empresa deve decidir a quantidade de avioes

    de cada tipo a comprar, de modo a maximizar o lucro.Formule este problema com um modelo de programacao linear.

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    1.4 A companhia de aviacao Benvoa 21

    1.4.2 Resolucao

    Variaveis de decisao

    xc, xm, xl no de avioes de cada tipo a comprar

    Restricoes

    Dinheiro disponvel: 5000xl + 3800xm + 2000xc 112000Pilotos disponveis: xl + xm + xc 30Manutencao: 5

    3xl +

    43

    xm + xc 40Opiniao da direccao tecnica: xl + xm

    xc

    xc + xm 8xlxc, xm, xl 0

    e inteiros

    Funcao objectivo

    max LUCRO = 310xl + 230xm + 200xc

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    22 Modelacao

    1.5 Carga de navio

    1.5.1 Enunciado

    '" .,,1

    p

    ElOElO

    Uma companhia de navegacao possui um navio com 3 poroes de carga (aproa, a re e ao centro) possuindo os limites de capacidade apresentados natabela 3:

    Porao Tonelagem Volume(toneladas) (m3)

    Proa 2000 100000Centro 3200 140000

    Re 1800 80000

    Tabela 3: Limites de capacidade (em tonelagem e em volume) de cada umdos poroes

    A empresa sao oferecidas as cargas da tabela 4, cada uma das quais podeser aceite parcial ou totalmente:

    Carga Peso Volume por tonelada Lucro

    (toneladas) ( m3

    tonelada) ( euro

    tonelada)

    A 7000 60 20B 6500 50 24C 4000 25 16

    Tabela 4: Peso, volume e lucro associados a cada carga

    A fim de preservar o equilbrio do navio, a proporcao entre o peso em cadaporao e o volume respectivo deve ser a mesma que entre os correspondenteslimites de capacidade. Admita que em cada porao podem ser transporta-das partes de cargas diferentes. Pretende-se maximizar o lucro da empresa,relativo a utilizacao deste navio.

    Construa um modelo de Programacao Linear para o problema apresen-tado.

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    1.5 Carga de navio 23

    1.5.2 Resolucao

    Indicesi tipo de carga (A, B e C) i [1, 2, 3];j tipo de porao (P, C, R) j [1, 2, 3].

    Variaveis de decisaoxij quantidade de carga i a transportar no porao j (em toneladas).

    Funcao objectivoPretende-se maximizar o lucro com o transporte das cargas i em todos

    os poroes j, o que corresponde a soma do lucro obtido com o transporteda carga A, com o lucro com transporte da carga B e da carga C.

    max Z = 20

    j

    x1j + 24

    j

    x2j + 16

    j

    x3j (1.24)

    Restricoes j

    x1j 7000 (1.25)

    j

    x2j 6500 (1.26)

    j

    x3j 4000 (1.27)

    i

    xi1 2000 (1.28)

    i

    xi2 3200 (1.29)

    i

    xi3 1800 (1.30)

    60x11 + 50x21 + 25x31

    100000 (1.31)

    60x12 + 50x22 + 25x32 140000 (1.32)60x13 + 50x23 + 25x33 80000 (1.33)

    60x11+50x21+25x31i xi1

    =100000

    2000(1.34)

    60x12+50x22+25x32i xi2

    =140000

    3200(1.35)

    60x13+50x23+25x33i xi3

    =80000

    1800(1.36)

    i,j xij 0 (1.37)

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    24 Modelacao

    As restricoes 1.25, 1.26 e 1.27 garantem que nao se transporta mais

    carga do que a que existe de cada um dos tipos. As restricoes 1.28, 1.29e 1.30 garantem que nao se ultrapassa a tonelagem maxima permitidaem cada um dos poroes. As restricoes 1.31, 1.32 e 1.33 garantem quenao se ultrapassa a capacidade (volume) maxima permitida em cadaum dos poroes. As restricoes 1.34, 1.35 e 1.36 garantem que se mantema proporcao entre o peso em cada porao e a respectiva capacidade. Porfim, as restricoes 1.37 garantem que todas as variaveis de decisao saomaiores ou iguais a zero.

    ModeloO modelo apresentado (equacoes 1.24 a 1.37) pode ser reescrito daseguinte forma:

    max Z = 20

    j

    x1j + 24

    j

    x2j + 16

    j

    x3j

    j

    x1j 7000

    jx2j 6500

    j

    x3j 4000

    i

    xi1 2000

    i

    xi2 3200

    i

    xi3 1800

    60x11 + 50x21 + 25x31

    100000

    60x12 + 50x22 + 25x32 14000060x13 + 50x23 + 25x33 80000

    10x11 25x31 = 065x12 + 25x22 + 75x32 = 0

    28x13 + 10x23 35x33 = 0i,j xij 0

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    1.6 Producao e Distribuicao 25

    1.6 Producao e Distribuicao

    1.6.1 Enunciado

    Duas fabricas, A e B, situadas em locais diferentes produzem ambas os pro-dutos P1 e P2. A fabrica A tem 3 maquinas e a fabrica B tem 2 maquinas.Todas as maquinas fazem os produtos P1 e P2. Depois de fabricados, osprodutos podem ser transportados entre as fabricas de modo a satisfazer aprocura. O numero de unidades produzidas por dia, os custos de producaoe de transporte, a procura dos produtos e o numero de dias em que cadamaquina esta disponvel por mes estao indicados nas tabelas 5 e 6.

    (a) Apresente um modelo geral (usando variaveis indexadas e coeficientesconvenientes a definir) que permita determinar os esquemas de utiliza-cao das maquinas em cada fabrica e de distribuicao dos produtos entreas fabricas, a que corresponda um custo total mnimo.

    (b) Concretize o modelo para o caso descrito.

    (c) Refira-se a resolucao do problema em questao.

    Fabrica A B

    Maquina M1 M2 M3 M1 M2Disponibilidade (dias) 30 28 24 26 28

    Produto P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2Producao por dia 40 35 42 38 40 37 41 37 42 40

    Custo por dia 100 102 104 106 98 104 102 105 103 106

    Tabela 5: Capacidades de producao das fabricas

    Produto P1 P2Fabrica A B A B

    Procura 1200 800 1500 1100Custo de transporte A B = 4 B A = 4 A B = 3 B A = 4

    por unidade

    Tabela 6: Procura e custos de transporte dos produtos

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    26 Modelacao

    1.6.2 Resolucao

    (a) Indicesi fabricas (A e B) i [1, 2];j maquinas (M1, M2, M3) j [1, 2, 3];k produtos (P1 e P2) k [1, 2].

    Variaveis de decisaoxijk numero de dias de producao durante um mes do produto k,

    na fabrica i, maquina j;

    yik quantidade do produto k a transportar da fabrica i para a

    outra fabrica. Coeficientes

    cijk custo diario de producao do produto k, na fabrica i, maquinaj;

    pijk producao diaria do produto k, na fabrica i, maquina j;

    mij disponibilidade (em dias) da maquina j da fabrica i;

    dik procura na fabrica i do produto k;

    sik custo de transporte, a partir da fabrica i, do produto k.

    Modelo

    Objectivo

    min Custo =i,j,k

    cijk xijk +

    i,k

    sik yik (1.38)

    i,k

    j pijk xijk yik + yik dik (1.39)i,j

    k xijk mij (1.40)

    i,k

    j pijk xijk yik 0 (1.41)

    i,j,k xijk , yik

    0 (1.42)

    As restricoes 1.39 garantem que a procura do produto k na fa-brica i e satisfeita. As restricoes 1.40 sao restricoes de capacidade(disponibilidade) das maquinas. As restricoes 1.41 garantem queso se transporta a partir de uma fabrica o que e produzido nessafabrica. Finalmente as restricoes 1.42 garantem que todas as va-riaveis tomam valores maiores ou iguais a zero.

    (b) Concretize agora o modelo generico apresentado, de tal forma que cor-responda a situacao descrita no enunciado.

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    1.6 Producao e Distribuicao 27

    (c) Ao resolver a alnea anterior, teve com certeza que tratar o caso das

    variaveis x231 e x232, dado que essas variaveis foram definidas no modelogenerico, mas na realidade nao existe nenhuma maquina 3 na fabrica2. Ha varias formas de resolver esta questao:

    quando se concretizao modelo, pode-se nao definir as variaveisem causa (ver resolucao do exerccio 2);

    pode-se associar um valor nulo a producao nessa maquina naoexistente (p23k = 0) (sera que e suficiente?);

    pode-se associar um custo infinito (muito grande) a producaonessa maquina nao existente (c23k =

    ), dado que se trata de

    um problema de minimizacao e nessa situacao as variaveis seraonulas na solucao final;

    podem-se acrescentar restricoes do tipo x23k = 0.

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    28 Modelacao

    1.7 Refinaria Petroleo

    1.7.1 Enunciado

    Uma refinaria de petroleo pode misturar 3 tipos de crude para produzir ga-solina normal e super.

    A refinaria de petroleo tem duas unidades de mistura, uma unidade maisantiga e uma outra mais recente.

    Para cada ciclo de producao, a unidade mais antiga usa 5 barris de crudeA, 7 barris de crude B e 2 barris de crude C para produzir 9 tanques degasolina normal e 7 de gasolina super. A unidade de mistura mais recente

    usa, para cada ciclo de producao, 3 barris de crude A, 9 de B e 4 de C paraproduzir 5 tanques de gasolina normal e 9 de super.Devido a contratos ja assinados, a refinaria tem que produzir, pelo menos,

    500 tanques de gasolina normal e 300 tanques de gasolina super.Para essa producao existem em armazem 1500 barris de crude A, 1900 de

    crude B e 1000 de crude C.Por cada tanque de gasolina normal produzida, a refinaria ganha 6 uni-

    dades monetarias e, por tanque de super, 9 unidades monetarias.Pretende-se saber como utilizar as reservas de crude e as duas unida-

    des de mistura, de forma a maximizar o lucro da refinaria respeitando oscompromissos assumidos.

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    1.7 Refinaria Petroleo 29

    1.7.2 Resolucao

    Variaveis de decisao

    x1 no de ciclos de producao a realizar na unidade antigax2 no de ciclos de producao a realizar na unidade nova

    Restricoes Crude disponvel:

    Tipo A: 5x1

    gasto naunidadeantiga

    + 3x2

    gasto naunidadenova

    1500

    Tipo B: 7x1 + 9x2 1900Tipo C: 2x1 + 4x2 1000

    Contratos assinados:

    Gasolina normal: 9x1produzido

    na unidade

    antiga

    + 5x2produzido

    na unidade

    nova

    500

    Gasolina super: 7x1 + 9x2 300E ainda:

    x1, x2 0

    Funcao objectivo

    max LUCRO =

    gasolina normal 6 ( 9

    no detanques

    por ciclo

    x1

    no deciclos

    unidade antiga

    + 5x2

    unidade nova) +

    gasolina super 9 (7x1 + 9x2)

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    30 Modelacao

    1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem(5M)

    1.8.1 Enunciado

    Uma empresa planeia arrendar espaco num armazem. As necessidades deespaco da empresa para os proximos 5 meses estao representadas na tabela7.

    Os custos de arrendamento por metro quadrado e por duracao do perodode arrendamento estao representados na tabela 8.

    Construa um modelo que permita determinar o esquema de contratos a

    assinar, por forma a satisfazer as necessidades de espaco o mais economica-mente possvel.

    Mes Necessidade deespaco (m2)

    1 15002 10003 20004 5005 2500

    Tabela 7: Necessidades de espaco nos proximos 5 meses

    Perodo de arrendamento Custo por m2

    (meses) ($)1 28002 45003 60004 73005 8400

    Tabela 8: Custos de arrendamento por m2 para cada perodo de arrenda-

    mento

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    1.8 Arrendamento de Espaco num Armazem (5M) 31

    1.8.2 Resolucao

    Variaveis de decisao

    xij espaco a arrendar no incio do mes i por um perodo de j meses

    Restricoes Que em cada mes esteja arrendado pelo menos o espaco neces-sario:

    (mes 1)5

    j=1 x1j 1500(mes 2)

    5j=2 x1j +

    4j=1 x2j 1000

    (mes 3) 5j=3 x1j +4j=2 x2j +3j=1 x3j 2000(mes 4)

    5j=4 x1j +

    4j=3 x2j +

    3j=2 x3j +

    2j=1 x4j 500

    (mes 5) x15 +x24 +x33 +x42 +x51 2500xij 0

    1i5, 1j6i

    Funcao objectivo

    min CUSTO =

    custo de arrendar

    1 m2 por 1 mes2800

    espaco arrendado

    por 1 mes

    (no incio do mes

    1, 2, 3, 4 ou 5) 5

    i=1

    xi1 + 45004

    i=1

    xi2 + 60003

    i=1

    xi3

    + 73002

    i=1

    xi4 + 8400 x15

    Arrendamento de espaco num armazem

    Resolucao mais compacta

    Dados

    Cj custo de arrendar 1m2 por um perodo de j mesesNi necessidade de espaco no mes i

    Variaveis de decisao

    xij espaco a arrendar no incio do mes i por um perodo de j meses

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    32 Modelacao

    Restricoes Que em cada mes esteja arrendado pelo menos o espaco neces-

    sario:

    i6i

    j=1 xij +i1

    k=1

    6kj=i+1k xkj Ni

    Funcao objectivo

    5j=1

    Cj 6ji=1

    xij

    Arrendamento de espaco num armazemResolucao mais compacta

    Dados

    Cj custo de arrendar 1m2 por um perodo de j mesesNi necessidade de espaco no mes i

    Variaveis de decisao

    xij espaco a arrendar no incio do mes i por um perodo de j meses

    Restricoes Que em cada mes esteja arrendado pelo menos o espaco neces-sario:

    i6i

    j=1 xij +i1

    k=1

    6kj=i+1k xkj Ni

    Funcao objectivo

    5j=1

    Cj 6ji=1

    xij

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    1.9 Planeamento da Producao numa Fabrica de Papel 33

    1.9 Planeamento da Producao numa Fabricade Papel

    1.9.1 Enunciado

    A maior fabrica de papel do mundo (vdeo)

    Carretel n Bobinas

    n Laminas

    Como se pode ver nas figuras, o papel e fabricado em rolos grandes tantoem largura como em diametro, conhecidos na industria por jumbos. Osjumbos sao divididos em rolos mais pequenos que podem ser vendidos direc-tamente a clientes ou que entao podem ser usados para cortar em formatos.

    Consideremos uma empresa em que o papel e produzido em jumbos com6 metros de largura.

    A partir destes jumbos de 6 metros e necessario produzir:

    30 rolos com 280cm de largura, 60 rolos com 200cm de largura, 48 rolos com 150cm de largura.

    Um jumbo de 6 metros poderia, por exemplo, ser dividido em 2 rolos de280cm, sobrando um rolinho de 40cm que e considerado desperdcio.

    Assumindo que existem jumbos em quantidade suficiente para satisfazer

    esta encomenda, o problema consiste em determinar a forma de cortar osjumbos minimizando o desperdcio.

    Construa o modelo de Programacao Matematica para este problema.

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    http://www.youtube.com/watch?v=BXutjvFrjCIhttp://www.youtube.com/watch?v=BXutjvFrjCIhttp://www.youtube.com/watch?v=BXutjvFrjCI
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    34 Modelacao

    1.9.2 Resolucao

    O primeiro passo para a formulacao deste problema passa por determinar dequantas formas pode um jumbo ser cortado. Para alem da forma sugerida noenunciado (2 rolos de 200cm, sobrando 40cm de desperdcio) podem aindaser determinados 6 outros padroes de corte (ver tabela).

    As variaveis de decisao (x1 a x7) correspondem ao numero de vezes quecada padrao de corte e aplicado no corte de um jumbo. A tabela seguinteapresenta ainda as quantidades pedidas de cada rolo, assim como o desper-dcio gerado por cada padrao de corte.

    Largura No de rolosdos rolos x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 pedidos

    280 2 1 1 0 0 0 0 30200 0 1 0 3 2 1 0 60150 0 0 2 0 1 2 4 48

    Desperdcio 40 120 20 0 50 100 0

    Exemplificando, x3 = 4 significa que se cortam 4 jumbos em 1 rolo de280cm e 2 rolos de 150cm, gerando um desperdcio de 20cm. No total obtem-se 4 rolos de 280cm e 8 de 150cm (e nenhum de 200cm).

    As restricoes vao estar directamente relacionadas com as quantidades derolos pequenos que e necessario cortar e e necessaria uma restricao por cadadimensao de rolo. Se a cada linha do sistema de inequa coes corresponde umtipo de rolo pequeno, a cada coluna correspondera um padrao de corte:

    2x1 + x2 + x3 30x2 + 3x4 + 2x5 + x6 60

    2x3 + x5 + 2x6 + 4x7 48xi 0 1i7

    O objetivo do problema e minimizar o desperdcio. Assim, a funcao ob-jetivo deste modelo tomara a forma:

    min 40x1 + 120x2 + 20x3 + 50x5 + 100x6

    E se as restricoes tiverem que ser satisfeitas como igualdades, isto e, e senao forem admitidas sobreproducoes?

    Nesse caso como e que o modelo deve ser alterado?

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    1.10 Distribuicao 35

    1.10 Distribuicao

    1.10.1 Enunciado

    Uma empresa tem duas fabricas e quatro armazens e vende produtos a seisclientes que podem ser abastecidos a partir dos armazens ou directamente apartir das fabricas. A empresa suporta os custos de distribuicao apresentadosnas tabelas 9 e 10. Os tracos indicam que a entrega correspondente nao serealiza.

    Origens

    Destinos Braganca Evora

    Armazens (fabrica) (fabrica)Coimbra 0.5

    Faro 1.0 0.2Lisboa 0.8 0.6Porto 0.4 0.8

    Tabela 9: Custos de distribuicao (em 1000$ por ton.)

    Origens

    Destinos Braganca Evora Coimbra Faro Lisboa Porto

    Clientes (fabrica) (fabrica) (armazem) (armazem) (armazem) (armazem)C1 1.0 2.0 1.0 C2 1.5 0.5 1.5 C3 1.5 0.5 0.5 2.0 0.2C4 2.0 1.5 1.0 1.5C5 0.5 0.5 0.5C6 1.0 1.0 1.5 1.5

    Tabela 10: Custos de distribuicao (em 1000$ por ton.)

    Nas tabelas 11 e 12 estao representadas as capacidades mensais maximasdas fabricas e dos armazens. Na tabela 13, apresenta-se a procura tpicamensal dos clientes.

    Fabrica Capacidade(toneladas)

    Braganca 150 000

    Evora 200 000

    Tabela 11: Capacidade maxima mensal de producao das fabricas

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    36 Modelacao

    Armazem Capacidade

    (toneladas)Coimbra 70 000Faro 50 000Lisboa 100 000Porto 40 000

    Tabela 12: Capacidade maxima mensal de fornecimento dos armazens

    Cliente Procura mensal(toneladas)

    C1 50 000C2 10 000C3 40 000C4 35 000C5 60 000C6 20 000

    Tabela 13: Procura tpica mensal dos clientes

    O objetivo da empresa e a determinacao de uma estrategia optima dedistribuicao que satisfaca a procura respeitando as capacidades e limitacoesexistentes:

    Construa um modelo de Programacao Linear para este problema.

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    1.10 Distribuicao 37

    1.10.2 Resolucao

    Indicesi fabricas i [1, 2];j armazens j [1, . . . , 4];k clientes k [1, . . . , 6].

    Variaveis de decisaoxij quantidade a enviar da fabrica i para o armazem j;

    yik quantidade a enviar da fabrica i para o cliente k;

    zjk quantidade a enviar do armazem j para o cliente k.

    Como algumas das entregas nao podem ser efectuadas (tracos nas tabe-las), as variaveis de decisao correspondentes nao serao definidas. Umaoutra solucao para o problema consistiria em definir as vari aveis todase restringir o valor dessas variaveis a zero.

    As variaveis em causa sao entao:

    x21, y12, y15, y22, y23, y24, y25, y26, z11, z15, z26, z31, z34, z41, z42

    Funcao objectivo

    O objetivo pretendido e a minimizacao do custo Z, isto e:

    min Z = 0.5x11 + 1.0x12 + 0.8x13 + 0.4x14

    +0.2x22 + 0.6x23 + 0.8x24

    +1.0y11 + 1.5y13 + 2.0y14 + 1.0y16

    +2.0y21

    +1.5z12 + 0.5z13 + 1.5z14 + 1.0z16

    +1.0z21 + 0.5z22 + 0.5z23 + 1.0z24 + 0.5z25

    +1.5z32

    + 2.0z33

    + 0.5z35

    + 1.5z36

    +0.2z43 + 1.5z44 + 0.5z45 + 1.5z46

    RestricoesCada fabrica tem uma capacidade maxima, o que quer dizer que asoma de todos os xij com todos os yik para uma dada fabrica i naopode exceder a capacidade da fabrica i.

    Dado que existem duas fabricas, esse limite de capacidade resulta emduas restricoes.

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    38 Modelacao

    Por exemplo para a fabrica de Braganca (i = 1):

    x11 + x12 + x13 + x14 + y11 + y13 + y14 + y16 150000 (1.43)

    Tambem ha limites para a capacidade de fornecimento de um armazeme como ha quatro armazens, ha quatro restricoes do mesmo tipo.

    Para o armazem de Coimbra (j = 1):

    x11 70000 (1.44)

    Os pedidos dos clientes tambem devem ser satisfeitos e como ha 6 cli-entes, ha 6 restricoes do mesmo tipo.

    Para o cliente C1 (k = 1):

    y11 + y21 + z21 = 50000 (1.45)

    E tambem necessario considerar as restricoes de continuidade para osarmazens, que obrigam a que nao saia mais mercadoria de um armazemdo que a que entra. Como ha 4 armazens, ha quatro restricoes domesmo tipo.

    Para o armazem de Coimbra (j = 1):

    z12 + z13 + z14 + z16 x11 (1.46)

    Por fim, e necessario garantir que todas as variaveis tem valores maioresou iguais a zero:

    x11, x12, x13, x14, x22, x23, x24, y11, y13, y14, y16, y21, z12, z13,

    z14, z16, z21, z22, z23, z24, z25, z32, z33, z35, z36, z43, z44, z45, z46 0 (1.47)

    Complete agora o modelo!

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    1.11 Seleccao de Eventos na UPorto 39

    1.11 Seleccao de Eventos na UPorto

    Protocolo Universidade do PortoNovo acordo de com a Urivenlidade do POI too ~ n C < l SantaOOer lltll a UrWersiI!odedo Porto . . . . . . om urn .ooroo neo io

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    40 Modelacao

    1.11.2 Enunciado parte 2Depois de analisar a solucao encontrada para o investimento a 5 anos, o Reitor pediu a mesma equipaque classificasse os diversos eventos nas categorias: Artes Performativas, Musica, Filosofia, Arquitectura,Literatura, Desporto e Ciencia, p ois pretendia acrescentar ao modelo construdo um conjunto de restricoesque lhe permitissem garantir que seria organizado pelo menos um evento de cada tipo.

    De entre os eventos classificados como de Desporto e de Ciencia seria necessario apenas garantir queera organizado um.

    Evento Artes perf. Mu si ca F il os ofi a Ar q. Li t. D es po rt o Cie nc iaNU.Porto tudo e teatro XA Ciencia nU.Porto XCorrer pelU.Porto XCom U.Porto amanhecemos com livros XU.Porto por dentro XFestival de Tunas dU.Porto X XDepois das seis, U.Porto e Jazz X XU.Porto sao so Coros X XU.Porto nos caminhos do Porto X

    U.Porto sim U.Porto nao X

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    1.12 Aeroporto ALETROP 41

    1.12 Aeroporto ALETROP

    1.12.1 Enunciado

    O aeroporto de Aletrop e a base dos avioes da companhia aerea PAT. Trata-se de um aeroporto moderno, e de uma empresa de aviacao em expansao,que pretende manter a sua competitividade num sector de actividade forte-mente concorrencial. O aumento de competitividade passa, nomeadamente,pela realizacao de dois objectivos, a melhoria da qualidade de servi co e areducao dos custos de operacao. Por outro lado, a seguranca de uma com-

    panhia aerea e um aspecto de primordial importancia, estando intimamenteligado a manutencao. Para manter um aviao em boas condicoes tecnicas,procede-se a manutencao preventiva aos aparelhos da PAT, atraves de pe-quenas inspeccoes entre aterragem e posterior descolagem. A direccao daempresa esta tambem a considerar a hipotese de oferecer estes servicos demanutencao a outras companhias de aviacao, mesmo que para tal tenha queaumentar as equipas de manutencao. O elemento crucial nestas equipas e ochefe de manutencao, tecnico altamente qualificado, que necessita de fazerformacao especfica para cada tipo de aviao e obter assim uma licenca im-prescindvel para o desempenho dessas funcoes. A cada licenca corresponde

    uma categoria de avioes, existindo 4 licencas diferentes:

    Tipos de licencas Avioes1 Boeing 717 (100 lugares)2 Boeing 777 (300 a 500 lugares)3 Airbus A319 (124 lugares)4 Airbus A340 (350 lugares)

    Cada tecnico pode ter no maximo 2 licencas. A primeira licenca demoravarios anos a obter, sendo portanto mais cara para a empresa, enquantoa segunda licenca demora menos anos a obter, ficando naturalmente maisbarata. O custo da segunda licenca depende ainda da licenca anterior queo tecnico possui. Actualmente existem 9 equipas de manutencao, cada umachefiada por um tecnico licenciado, que funcionam em 3 turnos.

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    42 Modelacao

    Custo (M$)Licenca Licenca a tiraranterior

    1 2 3 40 2 4 2 41 - 1 2 32 1 - 2 33 1 3 - 24 1 2 1 -

    Turno Chefe de equipa Tipo de licenca

    1 1, 21 2 1

    3 24 3, 4

    2 5 26 37 4

    3 8 3, 49 3

    Para poder oferecer servicos a outras companhias de aviacao, a empresa

    pretende que existam 4 licencas de cada tipo, no conjunto dos chefes demanutencao. Isto pode ser conseguido enviando para formacao actuais chefesde equipa (portanto tecnicos que ja possuem 1 licenca) ou outros tecnicos queainda nao possuem nenhuma licenca. No entanto, de cada turno so poderasair, no maximo, 1 chefe de equipa para formacao. Escreva um modelo deprogramacao matematica que permita determinar a poltica de obtencao delicencas que minimiza os custos para a Aletrop.

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    1.12 Aeroporto ALETROP 43

    1.12.2 Resolucao

    Variaveis de decisao

    xij =

    1 se tecnico i tira licenca j0 se nao

    A empresa pretende que existam 4 licencas de cada tipo, num total de 16licencas. Como, no conjunto dos chefes de manutencao existentes, ja existem12 licencas, sao necessarias mais 4 licencas, que no limite poderao ser todasobtidas por tecnicos novos. Nesse caso o numero maximo de tecnicos, ndice

    i na formulacao, sera igual a 13, 9 ja existentes e 4 novos.

    Restricoes A empresa pretende que existam 4 licencas de cada tipo, noconjunto dos chefes de manutencao:

    13i=1 xi1 = 213i=1 xi2 = 113i=1 xi3 = 0

    13i=1 xi4 = 1

    Um tecnico pode ter no maximo 2 licencas e os tecnicos novos so poderaoobter nesta fase uma licenca1:

    4j=1 xij 1 i{2,3,5,6,7,9,10,11,12,13}4j=1 xij = 0 i{1,4,8}

    De cada turno so podera sair, no maximo, 1 chefe de equipa para forma-cao:

    4j=1

    3i=1 xij 14j=1 6i=4 xij 14

    j=1

    9i=7 xij 1

    Cada tecnico so pode obter 1 vez a mesma licenca:

    x21 = x32 = x52 = 0x63 = x74 = x93 = 0

    1Esta restricao nao vem referida explicitamente no enunciado, no entanto pode-se inferirque nao havera disponibilidade de tempo para que um tecnico novo obtenha duas licencas.

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    44 Modelacao

    Funcao objectivo

    ckj = custo de tirar licenca j dado que ja se tem licenca k

    min4

    j=1

    13i=10

    c0j xij +

    i{6,9}c3j xij +

    i{3,5}

    c2j xij + c1j x2j + c4jx7j

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    1.13 Urbanizacao 45

    1.13 Urbanizacao

    1.13.1 Enunciado

    A empresa Latifundios e Companhia pretende urbanizar uma das suas gran-des propriedades. A propriedade divide-se em 3 zonas, Z1, Z2 e Z3, comcaractersticas bastante diferentes em termos de relevo, localizacao e tipo desubsolo, tal como se pode verificar nas fotografias apresentadas a seguir.

    A urbanizacao devera incluir areas para fins residenciais, R, areas verdes,V e areas para equipamentos sociais, E. Pretende-se conhecer as areas aatribuir a R, V, e E nas zonas Z1, Z2 e Z3.

    Custos O custo da construcao de cada tipo de area (R, V ou E) em cadauma das zonas Z1, Z2 ou Z3, e proporcional a respectiva area de construcao,

    sendo as constantes de proporcionalidade diferentes entre si e conhecidas.

    Areas mnimas de construcao E necessario construir pelo menos K hec-tares de Ar.

    Proporcionalidade entre tipos de areas E necessario garantir que oquociente areaE

    areaRseja l e que o quociente areaV

    areaRseja m.

    (a) Formule o problema nas seguintes condicoes (sera um modelo de Pro-gramacao Linear?):

    (i) As condicoes relativas a l e m devem ser satisfeitas em cada zona.

    (ii) As condicoes relativas a l e m devem ser satisfeitas para o conjuntode Z1, Z2 e Z3.

    (b) Qual a relacao de ordem existente entre o custo total da solucao optimacalculavel em (i) e em (ii)? Justifique.

    (c) Formule o problema como em (ii) mas admitindo que, se as areas paraE forem maiores que p, entao as areas para V serao maiores que q (p eq conhecidos).

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    46 Modelacao

    1.13.2 Resolucao

    (a)

    Variaveis de decisao

    ARi no de hectares da zona i para fins residenciaisAV i no de hectares da zona i para areas verdesAEi no de hectares da zona i para equipamentos sociais

    Restricoes -(i)

    3i=1 ARi K (1.48)

    i1,2,3 AEiARi l (1.49)i1,2,3 AV iARi m (1.50)i1,2,3 ARi, AV i, AEi 0 (1.51)

    (ii)

    3i=1 ARi K (1.52)

    i1,2,33

    i=1 AEi3i=1 ARi

    l (1.53)i1,2,3

    3i=1 AV i3i=1 ARi

    m (1.54)i1,2,3 ARi, AV i, AEi 0 (1.55)

    Nota:Poder-se-ia ainda introduzir uma restricao referente ao espaco total dis-

    ponvel em cada zona i, AZi , e que nao pode ser ultrapassado. Embora naomencionada explicitamente no enunciado ela e inerente ao problema:

    i1,2,3 ARi + AEi + AV i AZi (1.56)

    Funcao objectivo

    min3

    i=1(KRi ARi + KV i AV i + KEi AEi) (1.57)

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    1.13 Urbanizacao 47

    (b)

    O custo da solucao optima em (i) sera sempre maior ou igual do que ocusto da solucao optima em (ii) pois a formulacao em (i) e mais restritiva doque a formulacao em (ii).

    (c)Num Modelo de Programacao Linear a regiao das solucoes admissveis

    e obtida pela conjuncao das restricoes formuladas no modelo. Nesta alneapretende-se modelizar a seguinte implicacao de condicoes:

    3

    i=1AEi > p

    3

    i=1AV i q

    A implicacao de condicoes e modelizada com o auxlio de uma variavelde decisao suplementar e de um majorante para os valores que as condi coespossam tomar.

    Consideremos entao que A = AZ1 + AZ2 + AZ3 e a area total disponvelnas 3 zonas. Sendo A a area total e evidente que

    3i=1 AEi A e que3

    i=1 AV i A, ou seja, A e um majorante destes somatorios.Tomando entao uma variavel auxiliar inteira binaria {0, 1}, a impli-

    cacao pode ser formulada do seguinte modo:

    3i=1

    AEi p A 0 (1.58)

    q3

    i=1

    AV i (1 )A 0 (1.59)

    {0, 1} (1.60)

    Para verificarmos que as inequacoes 1.58 a 1.60 modelizam a implicacaode condicoes devemos relembrar que para que uma implicacao a b sejaverdadeira e preciso que se a for verdadeira entao b tambem o seja e que seb for falsa entao a tambem o seja.

    De facto, se3

    i=1 AEi > p entao para que a restricao 1.58 se verifique eforcoso que = 1. Ora = 1 transforma 1.59 em

    3i=1 AV i q, como se

    pretendia.Se, por outro lado,

    3i=1 AV i < q entao, para que 1.59 se verifique e

    forcoso que = 0. Com = 0 a restricao 1.58 fica3

    i=1 AEi p, como sequeria demonstrar.

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    48 Modelacao

    1.14 Estaleiro do ShopShopping

    1.14.1 Enunciado parte 12Antes de dar incio a construcao do ShopShopping, Feimiro necessita dedefinir a localizacao dos estaleiros da obra. Para tal comecou por dividir aarea de construcao em sectores, tal como se representa na figura seguinte:

    AB

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    Sabe-se que e possvel montar no maximo um estaleiro em cada sector

    e a empresa de Feimiro, a unica que esta habilitada a montar estaleiros emplataformas martimas, monta estaleiros de dois tipos:

    Estaleiro tipo Estaleiro simples, com uma capacidade de movimentacaoe armazenamento de 1 000 toneladas de materiais durantetoda a obra. Os estaleiros tipo so podem fornecer osector onde estao instalados

    Estaleiro tipo Grande estaleiro, com uma capacidade de movimentacaoe armazenamento de 5 000 toneladas de materiais du-rante toda a obra. Os estaleiros tipo podem fornecerqualquer sector.

    Por imposicao das empresas de construcao envolvidas, se for montado umestaleiro no sector B, entao e necessario montar um estaleiro no sectorA ou um estaleiro no sector C.

    Por imposicoes regulamentares, o numero mnimo de estaleiros a montarnuma obra desta natureza e com esta area de construcao e 7.

    Os custos de montagem de um estaleiro tipo ou num determinadosector estao representados na tabela seguinte (em ke).

    2Exame da LEEC da FEUP em 2008.01.28

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    1.14 Estaleiro do ShopShopping 49

    Sector A B C D E F G H I

    Est 100 100 100 100 100 200 100 50 100Est 300 300 300 400 200 300 200 100 300

    Os custos de funcionamento dos estaleiros tambem foram determinadose sao independentes do tipo de estaleiro. Por cada tonelada de materialque seja deslocado de um estaleiro para obras no sector onde o estaleiro seencontra, o custo e de 100e. A deslocacao de materiais de um estaleiro deum sector para obras de um outro sector custa 200e por tonelada.

    As previsoes das necessidades totais de materiais para as obras em cadasector estao representadas na tabela seguinte (em toneladas).

    Sector A B C D E F G H INec. materiais 1000 2000 5000 5000 1000 1500 2000 3000 4000

    Construa o modelo de programacao linear para este problema.

    1.14.2 Enunciado parte 2

    20 minutos depois de Feimiro ter apresentado o problema completo, ja lhevai entregar o modelo pedido, pensando que pode ir descansado para casa.No entanto, Feimiro esteve entretanto a pensar e quer acrescentar mais umarestricao ao problema.

    Pensei que podera custar menos dinheiro se se obrigar que cada sectorseja alimentado por um e um so estaleiro. Deve ser facil alterar o modelo, eja que fez grande parte do trabalho em tao pouco tempo, ira gastar com estapequena alteracao no maximo 2 minutos.

    (a) Sera que Feimiro vai gastar menos dinheiro neste caso? Porque?

    (b) Esta nova ideia de Feimiro ira implicar uma alteracao realmente pe-quena?

    (c) Construa o novo modelo.

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    50 Modelacao

    1.14.3 Resolucao parte 1

    Resolucao por extenso

    Variaveis de decisao

    xA, xB , xC, xD, xE, xF, xG, xH, xI,xA, xB , xC, xD , xE, xF, xG, xH, xI

    =

    1 se estaleiro tipo ou e montado no sector A, B, C, D, E, F, G, H ou I0 se nao

    Funcao Objectivo Pretende-se minimizar a soma dos custos de montagemdos estaleiros com os custos de movimentacao de materiais.

    min CUSTO =

    Custos de montagem

    50000xH

    + 100000(xA + xB + xC + xD + xE + xG + xI + xH)

    + 200000(xF + xE + xG)

    + 300000(xA + xB + xC + xF + xI)

    + 400000xD

    Custos de funcionamento =

    Custos de movimentacao dos materiais vindos do estaleiro do proprio sec

    custos de movimentacao dos materiais vindos dos estaleiro dos restantes

    + 100 (1000xA + 1000xA) + 200 [1000 (1000xA + 1000xA)]+ 100 (1000xB + 2000xB ) + 200 [2000 (1000xB + 2000xB )]+ 100 (1000xC + 5000xC) + 200 [5000 (1000xC + 5000xC)]+ 100 (1000xD + 5000xD ) + 200 [5000 (1000xD + 5000xD )]+ 100 (1000xE + 1000xE) + 200 [1000 (1000xE + 1000xE)]+ 100 (1000xF + 1500xF) + 200 [1500 (1000xF + 1500xF)]+ 100 (1000xG + 2000xG) + 200 [2000 (1000xG + 2000xG)]+ 100 (1000xH + 3000xH) + 200 [3000 (1000xH + 3000xH)]+ 100 (1000xI + 4000xI) + 200 [4000 (1000xI + 4000xI)]

    Restricoes So se pode montar no maximo um estaleiro em cada sector:

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    1.14 Estaleiro do ShopShopping 51

    xA + xA 1xB + xB 1xC + xC 1xD + xD 1xE + xE 1xF + xF 1xG + xG 1xH + xH

    1

    xI + xI 1

    Se for montado um estaleiro do tipo no sector B entao e necessariomontar um estaleiro no sector A ou um estaleiro no sector C:

    xB xA + xC

    O numero mnimo de estaleiros a instalar e 7:

    xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI

    +xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI 7

    Satisfacao das necessidades de materiais:

    1000(xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI)

    +5000(xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI)

    1000 + 2000 + 5000 + 5000 + 1000 + 1500 + 2000 + 3000 + 4000

    Resolucao compacta

    Indices

    tipo de estaleiro e {, }

    sector onde esta o estaleiro s {A,B,C,D,E,F,G,H,I}

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    52 Modelacao

    Dados

    Cape capacidade total durante a obra (em toneladas) do estaleiro tipo e.

    Necs necessidade total de materiais durante a obra (em toneladas) do sectors.

    ces custo de montagem de um estaleiro tipo e no sector s.

    Variaveis de decisao

    xes 1 se estaleiro tipo e e montado no sector s

    0 se nao

    (1.61)

    Funcao Objectivo Pretende-se minimizar a soma dos custos de montagemdos estaleiros com os custos de movimentacao de materiais.

    Custos de montagem dos estaleiros:

    e,s

    ces xes (1.62)

    Custos de movimentacao de materiais (soma do custo de movimen-

    tacao dos materiais do estaleiro para o sector onde esta montado com o custoda movimentacao dos materiais do estaleiro para outros sectores):Custo de movimentacao dos materiais de cada um dos estaleiros para o

    sector onde o estaleiro esta montado:

    100

    e,s

    xes min(Cape, Necs) (1.63)

    Custo de movimentacao dos materiais do estaleiro para outros sectores:

    200 (s

    Necs e,s

    xes min(Cape, Necs)) (1.64)

    Restricoes e

    xes 1 s (1.65)

    s

    xs min(Cap, Necs) +

    s

    xs Cap

    s Necs (1.66)

    e,s

    xes 7 (1.67)

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    1.14 Estaleiro do ShopShopping 53

    As restricoes (1.65) indicam que so se pode montar no maximo um esta-

    leiro em cada sector.A restricao (1.66) assegura que ha capacidade disponvel para alimen-

    tar todos os estaleiros. Como um estaleiro tipo so pode alimentar o sec-tor onde esta montado, a capacidade disponvel nesse estaleiro sera igual amnimo(Cap, Necs). Os estaleiros terao que satisfazer as restantes ne-cessidades.

    As restricoes (1.67) impoem um numero mnimo de estaleiros a montar(7 neste caso).

    A imposicao que seja montado um estaleiro no sector A ou um estaleiro no sector C se for montado 1 estaleiro no sector B representa-se com a

    restricao (1.68).3

    xB xA + xC (1.68)

    1.14.4 Resolucao parte 2

    (a) Feimiro esta a introduzir mais restricoes ao problema, por isso o custoda solucao optima obtida depois de acrescentadas as restricoes so podeter um valor maior ou igual ao custo da solucao optima anterior (ou

    entao ele esta a pensar noutros custos que nao referiu na alnea (a)).

    (b) A alteracao ao modelo inicial e bastante grande, dado que vai ser neces-sario que as variaveis de decisao passem a ter informacao sobre quaisos estaleiros que alimentam um determinado sector.

    (c)

    Indices

    tipo de estaleiro e

    {,

    }sector onde esta o estaleiro s {A,B,C,D,E,F,G,H,I}sector alimentado por estaleiro k {A,B,C,D,E,F,G,H,I}

    3A tabela de verdade da implicacao e a seguinte:

    xB xA + xC V/F0 0 V0 1 V0 2 V1 0 F1 1 V1 2 V

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    54 Modelacao

    Dados

    Cape capacidade total durante a obra (em toneladas) do estaleiro tipoe.

    Necs necessidade total de materiais durante a obra (em toneladas) dosector s.

    ces custo de montagem de um estaleiro tipo e no sector s.

    Variaveis de decisao

    xes 1 se estaleiro tipo e e montado no sector s

    0 se nao(1.69)

    ysk

    1 se estaleiro montado no sector s alimenta o sector k0 se nao

    (1.70)

    Funcao Objectivo Pretende-se minimizar a soma dos custos de mon-tagem dos estaleiros com os custos de movimentacao de materiais.

    Custos de montagem dos estaleiros:

    e,s

    ces xes (1.71)

    Custos de movimentacao de materiais (soma do custo de movi-mentacao dos materiais do estaleiro para o sector onde esta montadocom o custo da movimentacao dos materiais do estaleiro para outrossectores):

    Custo de movimentacao dos materiais de cada um dos estaleiros para

    o sector onde o estaleiro esta montado:

    100

    s

    yss Necs (1.72)

    Custo de movimentacao dos materiais do estaleiro para outros sectores:

    200 (

    s

    Necs

    s

    yss Necs) (1.73)

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    1.14 Estaleiro do ShopShopping 55

    Restricoes e

    xes 1 s (1.74)

    s

    ysk 1 k (1.75)

    xs Cap yss Necs s (1.76)xs Cap

    k (ysk Neck) s (1.77)

    e,s

    xes 7 (1.78)

    xB xA + xC (1.79)As restricoes (1.74) indicam que se pode montar no maximo um esta-leiro em cada sector.

    As restricoes (1.75) asseguram que cada sector so pode ser alimentadopor um estaleiro.

    As restricoes (1.76) e (1.77) garantem que um estaleiro so pode ali-mentar um conjunto de sectores se existir e se tiver capacidade paraalimentar completamente todos esses sectores. Os estaleiros so po-dem alimentar o sector em que se encontram.

    As restricoes (1.78) impoem um numero mnimo de estaleiros a montar(7 neste caso).

    A imposicao que seja montado um estaleiro no sector A ou umestaleiro no sector C se for montado um estaleiro no sector Brepresenta-se com a restricao (1.79).

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    56 Modelacao

    1.15 Escalonamento de recursos humanos

    1.15.1 Enunciado parte 1

    Um posto de correios requer para funcionar um numero diferente de traba-lhadores a tempo inteiro em cada dia da semana:

    No mnimo de funcionarios

    Segunda 17Terca 13Quarta 16Quinta 19

    Sexta 14Sabado 16Domingo 11

    As leis laborais impoem que cada funcionario trabalhe 5 dias consecutivos,seguidos de 2 dias de folga. Por exemplo, um funcionario que trabalhe deSegunda a Sexta tera que estar de folga no Sabado e no Domingo. O postode correios pretende pois satisfazer as necessidades diarias de trabalhadoresrecorrendo apenas a funcionarios a tempo inteiro. O objetivo e minimizar onumero de funcionarios a tempo inteiro.

    1.15.2 Enunciado parte 2

    Suponha agora que as necessidades de mao-de-obra podem ser satisfeitas querpor funcionarios a tempo inteiro quer por funcionarios a tempo parcial. Umfuncionario a tempo inteiro trabalha 8 horas por dia, enquanto um funcion arioa tempo parcial trabalha 4 horas por dia, mantendo-se as restantes condicoeslaborais. No entanto, acordos com os sindicatos limitam a 25% do total apercentagem de funcionarios a tempo parcial. Sabendo que o custo horariode um funcionario a tempo inteiro e de 15 euros e o de um funcionario atempo parcial e de 10 euros, determine o escalonamento dos funcionarios queminimiza o custo global com recursos humanos.

    1.15.3 Enunciado parte 3

    Considere agora que cada funcionario pode fazer um dia de trabalho extra-ordinario por semana. Por exemplo, a um funcionario cujo turno de trabalhoseja de Segunda a Sexta pode ser pedido que trabalhe ainda no Sabado.A remuneracao por hora de trabalho extraordinario corresponde a 150% daremuneracao base.

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    1.15 Escalonamento de recursos humanos 57

    1.15.4 Enunciado parte 4

    Considere novamente a situacao inicial, das necessidades de mao-de-obra se-rem satisfeitas unicamente por funcionarios a tempo inteiro. Considere aindaque o posto de correios tem 25 funcionarios contratados. Determine o escalo-namento que maximiza o numero de folgas em dias de fim-de-semana (Sabadoou Domingo).

    1.15.5 Enunciado parte 5

    Apesar de se ter minimizado o numero de trabalhadores com turnos de fim-de-semana, esses turnos existem e tem que ser cobertos. Como resolveria oproblema de, ao longo do ano, garantir uma escala justa e equilibrada paratodos os trabalhadores em termos de dias de fim-de-semana ocupados?

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    58 Modelacao

    1.15.6 Resolucao parte 1

    Variaveis de decisao xi numero de trabalhadores que comecarao o seuperodo de 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

    Restricoes Em cada dia tem que se ter o numero de funcionarios mnimo atrabalhar. Note-se que, por exemplo, a Segunda-Feira estao a trabalhar naoso os funcionarios que iniciam o seu perodo de 5 dias a Segunda, mas tambemtodos os que iniciaram esse perodo na semana anterior na Quinta-Feira oudepois.

    x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17x1 + x2 + x5 + x6 + x7 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 16x1 + x2 + x3 + x4 + x7 19x1 + x2 + x3 + x4 + x5 14

    x2 + x3 + x4 + x5 + x6 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 11

    x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0 e inteiros

    Funcao objectivo

    min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

    1.15.7 Resolucao parte 2

    Variaveis de decisao Teremos agora que considerar tambem os funciona-rios a tempo parcial:

    xi numero de trabalhadores a tempo inteiro que comecarao o seu perodode 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

    yi numero de trabalhadores a tempo parcial que comecarao o seu perodode 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

    Restricoes As necessidades de mao-de-obra em cada um dos 7 dias dasemana terao agora que ser expressas em termos de horas de trabalho enao de numero de funcionarios. As proximas sete restricoes garantem asnecessidades para cada um dos dias da semana.

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    1.15 Escalonamento de recursos humanos 59

    8x1 + 87

    i=4

    xi + 4y1 + 47

    i=4

    yi 136

    82

    i=1

    xi + 87

    i=5

    xi + 42

    i=1

    yi + 47

    i=5

    yi 104

    83

    i=1

    xi + 87

    i=6

    xi + 43

    i=1

    yi + 47

    i=6

    yi 128

    84

    i=1

    xi

    + 8x7

    + 44

    i=1

    yi

    + 4y7

    152

    85

    i=1

    xi + 45

    i=1

    yi 112

    86

    i=2

    xi + 46

    i=2

    yi 128

    87

    i=3

    xi + 47

    i=3

    yi 88

    A equacao seguinte garante a restricao imposta pelos sindicatos, que li-mitam a 25% do total a percentagem de funcionarios a tempo parcial.

    7i=1

    yi 0.257

    i=1

    (xi + yi) 0

    xi, yi 0 e inteiros i

    Funcao ob jectivo Minimizacao do custo total das contratacoes por 5 dias.

    min5 (15 8 7

    i=1

    xi + 10 4 7

    i=1

    yi)

    1.15.8 Resolucao parte 3

    Variaveis de decisao Teremos que juntar agora novas variaveis corres-pondentes ao numero de funcionarios que fazem um dia de trabalho extra.

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    60 Modelacao

    zi numero de trabalhadores a tempo inteiro que comecarao no dia i,

    i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo), o seu perodo de 5 dias de trabalhomais um dia de trabalho extra.

    wi numero de trabalhadores a tempo parcial que comecarao no dia i,i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo), o seu perodo de 5 dias de trabalhomais um dia de trabalho extra.

    Restricoes

    8(x1 + z1) + 8z3 + 8

    7

    i=4

    (xi + zi) + 4(y1 + w1) + 4w3 + 4

    7

    i=4

    (yi + wi) 136

    82

    i=1

    (xi + zi) + 8z4 + 87

    i=5

    (xi + zi) + 42

    i=1

    (yi + wi) + 4w4 + 47

    i=5

    (yi + wi) 104

    83

    i=1

    (xi + zi) + 8z5 + 87

    i=6

    (xi + +zi)43

    i=1

    (yi + wi) + 4w5 + 47

    i=6

    (yi + wi) 128

    84

    i=1

    (xi + zi) + 8z6 + 8x7 + 44

    i=1

    (yi + wi) + 4w6 + 4y7 152

    85

    i=1

    (xi + zi) + 8z7 + 45

    i=1

    (yi + wi) + 4w7 112

    8z1 + 86

    i=2

    (xi + zi) + 4w1 + 46

    i=2

    (yi + wi) 128

    8z2 + 87

    i=3

    (xi + zi) + 4w2 + 47

    i=3

    (yi + wi) 887

    i=1yi 0.25

    7

    i=1(xi + yi) 0

    ixi, yi, zi, wi 0 e inteiros

    Funcao objectivo

    min15857

    i=1

    xi+10457

    i=1

    yi+158(5+1.5)7

    i=1

    zi+104(5+1.5)7

    i=1

    wi

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    1.15 Escalonamento de recursos humanos 61

    1.15.9 Resolucao parte 4

    Variaveis de decisao xi numero de trabalhadores que comecarao o seuperodo de 5 dias de trabalho no dia i, i = 1 . . . 7 (1=Segunda,. . .,7=Domingo)

    Restricoes Em cada dia tem que se ter o numero mnimo de funcionariosa trabalhar e nao se pode ter mais que 25 funcionarios a trabalhar. No seuconjunto as escalas tem que incorporar 25 funcionarios.

    x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17

    x1 + x2 + x5 + x6 + x7 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 16x1 + x2 + x3 + x4 + x7 19x1 + x2 + x3 + x4 + x5 14

    x2 + x3 + x4 + x5 + x6 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 11

    x1 + x4 + x5 + x6 + x7 25x1 + x2 + x5 + x6 + x7 25x1 + x2 + x3 + x6 + x7 25x1 + x2 + x3 + x4 + x7 25x1 + x2 + x3 + x4 + x5

    25

    x2 + x3 + x4 + x5 + x6 25x3 + x4 + x5 + x6 + x7 25

    x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 25x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0 e inteiros

    Funcao objectivo A funcao objetivo e agora minimizar o numero de tra-balhadores que pertencem a turnos que trabalhem ao Sabado (dia 6) ou aoDomingo (dia 7), tendo em atencao que alguns turnos sao particularmentepenalizantes por ocuparem simultaneamente o Sabado e o Domingo.

    min x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + x7

    1.15.10 Resolucao parte 5

    O problema de escalonamento de recursos humanos aqui resolvido e do tipoestatico porque assume que o posto de correios enfrenta a mesma situa caosemana apos semana. No entanto, afectar um funcionario permanentementea uma escala traduz-se numa situacao de injustica e desiquilbrio potenci-adora de instabilidade laboral e de atritos entre funcionarios que em nada

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    62 Modelacao

    contribuem para uma harmoniosa gestao de recursos humanos. A solucao

    passa portanto por fazer os funcionarios rodar pelas varias escalas.Suponha entao a seguinte solucao para o problema de escalonamento se-

    manal:

    x1 x2 x3 x4 x5 x6 x78 6 0 7 0 4 0

    Poderamos agora criar um ciclo de 25 semanas com a seguinte escala:

    Semana 18 Incio a SegundaSemana 914 Incio a Terca

    Semana 1521 Incio a QuintaSemana 2225 Incio ao Sabado

    Seguindo esta escala, o funcionario 1 comecaria na semana 1 da escala, ofuncionario 2 comecaria na semana 2 e assim sucessivamente. Por exemplo,o funcionario 5 faria 4 semanas o turno que se inicia a Segunda, depois faria6 semanas o turno que se inicia a Terca, 7 semanas o turno que se inicia aQuinta, 4 semanas o turno que se inicia ao Sabado e, finalmente, 4 semanas oturno que se inicia a Segunda, fechando o ciclo de 25 semanas e recomecandode novo.

    Desta forma todos os funcionarios passariam de uma forma equilibrada ejusta por todos os turnos.

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    1.16 SuperBoa 63

    1.16 SuperBoa

    1.16.1 Enunciado

    A SUPERBOA e uma cerveja produzida em 3 fabricas e e distribuda apartir de 10 armazens principais.

    Recentemente pediram-nos para construir um modelo matematico para oproblema da determinacao da estrategia optima mensal de producao, trans-porte e venda da SUPERBOA. Para tal foi necessario fazer o levantamentode um conjunto alargado de informacoes necessarias para construir o modelo.

    Informacoes relativas as fabricas Em cada mes a fabrica i, i = 1, 2, 3, produz no maximo ai quilolitros

    de cerveja em regime normal, com um custo ri e/kl.

    Qualquer fabrica tambem pode trabalhar em regime extraordinario,produzindo nessa situacao um maximo de bi quilolitros com um custosi e/kl. (si > ri).

    Informacoes relativas ao transporte

    O custo de transporte da fabrica i para o armazem j, j = 1, . . . , 10, e

    de cij e/kl.

    Toda a cerveja produzida num dado mes pode ser transportada, nomesmo mes, para os postos de distribuicao.

    Informacoes relativas a distribuicao e venda

    No posto j a procura e de dj kl. A procura podera nao ser satisfeita, contudo:

    cada kl distribudo no armazem j rende je;

    cada kl que fique por distribuir penaliza a empresa em je.

    Se a quantidade de cerveja transportada para o armazem j exceder aprocura nesse armazem, o excesso pode ser vendido, em quantidadesilimitadas, para um armazem de revenda ao preco de j e/kl, comj < j.

    Construa o modelo de programacao linear para o problema da determina-cao da estrategia optima mensal de producao, transporte e venda da cervejaSUPERBOA.

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    64 Modelacao

    1.16.2 Resolucao

    Indices

    i fabricas i [1, . . . , 3];

    j armazens j [1, . . . 10].

    Variaveis de decisao

    y1i quantidade de kl de cerveja a produzir na fabrica i, em regime normal;

    y2i quantidade de kl de cerveja a produzir na fabrica i, em regime extraordi-nario;

    qij quantidade de kl de cerveja a transportar da fabrica i para o armazem j.

    Variaveis auxiliares E necessario criar uma variavel auxiliar para cadaarmazem que possa representar o excesso ou a escassez de cerveja no armazemj. Como as variaveis nos modelos de programacao linear nao podem tomarvalores negativos, vai ser necessario substituir cada uma pela diferenca deduas variaveis auxiliares que tomem valores maiores ou iguais a zero (uj - vj)

    onde:

    uj excesso de cerveja no armazem j (em kl);

    vj escassez de cerveja no armazem j (em kl).

    Coeficientes

    ai quantidade maxima de cerveja a produzir em regime normal na f abrica i(em kl);

    ri custo de producao de cerveja em regime normal (em e/kl);

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    1.16 SuperBoa 65

    bi quantidade maxima de cerveja a produzir em regime extraordinario na

    fabrica i (em kl);

    si custo de producao de 1 kl de cerveja em regime extraordinario (em e);

    cij custo de transporte de 1 kl de cerveja