Introduo

Este relatrio referente ao primeiro projecto da disciplina de Mecnica Computacional, cujo objectivo a criao de um programa que analise uma dada estrutura em Matlab atravs do mtodo dos elementos finitos. Era ainda necessrio analisar essa mesma estrutura no software ANSYS.A estrutura em anlise a seguinte:

Como se pode ver na figura acima, considera-se que a estrutura est apoiada em dois pinos que restringem a estrutura em x e y. Esta estrutura feita em madeira e tem de ser capaz de suportar o seu prprio peso com uma coberta de 2 metros, ainda com uma camada de 40cm de neve em cima.Desde logo foi preciso organizar estes dados. Em relao ao material foi escolhido o pinho. As suas propriedades foram retiradas do website eFunda (Engineering Fundamentals), em que o Mdulo de elasticidade de 13,1GPa, a Tenso de cedncia de 50 MPa e a densidade de 590 Kg/m3. Para calcular o peso prprio da estrutura, necessria a seco e o comprimento total das linhas de modo a obter o volume da estrutura. Para obter o comprimento, modelou-se a estrutura no ANSYS e retirou-se valor:

Em relao seco foi consultada uma tabela com seces de vigas retirada do website da AWC (American Wood Council), como a mostrada de seguida:

Para a questo da neve, usou-se a seguinte tabela retirada do website wikipdia:

A neve escolhida foi a neve velha, pois ser o tipo de que se mantm durante algum tempo no topo do telhado, solicitando-o durante mais tempo. Escolheu-se a densidade de 400 Kg/m3, pois este valor encontra-se em ambos os tipos de neve velha.Este valor est ainda prximo da densidade da argila expandida (350), que o material definido para a coberta. Assim considerando uma espessura de 10cm para a coberta, aproxima-se uma espessura de 50cm com uma densidade constante acima da estrutura.Para o clculo do comprimento do telhado recorreu-se a uma folha de clculo onde se colocaram as coordenadas dos extremos de cada viga do telhado e foi calculado o comprimento de cada uma destas e, seguidamente, do telhado.De seguida todos estes valores foram inseridos numa folha de clculo de modo a determinar-se a carga distribuda a aplicar na anlise.

Note-se que a numerao das linhas mostradas a linha seguem da nomenclatura que se deu a cada elemento, no ficheiro de entrada do Matlab, que ser descrito adiante.

Programa em Matlab

O programa de anlise de elementos finitos desenvolvido tem a capacidade de analisar vrias estruturas. Para isso ser possvel necessrio ler um ficheiro com uma formatao especfica. No caso da estrutura em estudo foi criado um ficheiro com a informao apresentada de seguida:

Tabela Dos Ns

N dos NsCoordenadas X (m)Coordenadas Y (m)

1-7.50

2-61.35

3-5.40

.........

16-5.40

17-61.35

187.50

Tabela Dos Elementos

N dos ElementosN InicialN FinalPropriedade GeomtricaPropriedade do Material

11311

21211

32311

...............

31161711

32161811

33171811

Tabela Das Propriedades Geomtricas

N das Propriedades Geomtricasrea(m2)Momento de Inrcia(m4)

10.018.33E-6

Tabela Das Propriedades Do Material

N das Propriedades do MaterialMdulo de Young E (Pa)

113100000000

Tabela Das Cargas Distribuidas

N da Carga DistribudaN do NDirecoIntensidade

120-3393

240-3393

380-3393

............

8260-3393

9300-3393

10330-3393

Tabela Das Condies De Fronteira

N da Condio de FronteiraN do NDirecoRestrico

1110

2120

31810

41820

Com esta informao o programa l a estrutura seguinte:

A numerao apresentada a negro referente aos ns da estrutura. A numerao precedida da letra L referente aos elementos. As propriedades das seces usadas foram determinadas atravs do software MDSolids como se exemplifica de seguida:

A primeira seco foi escolhida com base na tabela referida na introduo (10cm x 10cm). Aps organizar estas informaes num ficheiro txt, o programa poder l-lo. A implementao do programa foi feita segundo a ordem leccionada nas aulas tericas da cadeira. Aps a leitura dos dados, o programa cria as matrizes de rigidez e de cargas locais, faz a transformao de coordenadas e depois faz a assemblagem do problema. De seguida o programa divide a equao de matrizes globais em vrios sistemas de modo a que se calculem, primeiro, os deslocamentos, e, de seguida, as reaces nos apoios.Assim, o utilizador ao correr o programa pode escolher uma das seguintes opes:

Ao escolher a primeira opo, apresentada a deformada estrutura, com uma escala definida pelo utilizador, em que so somados os deslocamentos calculados s coordenadas iniciais dos ns da estrutura multiplicados pela escala definida.Por exemplo, a figura seguinte mostra a deformada com uma escala 1:4.

Escolhendo a segunda opo so apresentadas as reaces nos apoios:

Escolhendo a terceira opo apresentada a seguinte tabela com os deslocamentos em cada n:

Anlise em ANSYS

No software ANSYS, para implementar a carga distribuda calculada anteriormente, foi necessrio decomp-la, j que na anlise as cargas distribudas foram introduzidas perpendicular e tangencialmente a cada elemento. De novo, recorreu-se a uma folha de calculo, que, com as coordenadas dos ns, calcula a orientao dos elementos e calcula as foras a aplicar em cada um deles.

Aps este passo, a estrutura tem estabelecidas as condies (ver figura seguinte) e pode-se correr a soluo e analisar os resultados. Note-se que esta primeira anlise para comparao com o matlab feita com a malha mais simples (as linhas esto divididas num elemento).

Em primeiro lugar, note-se que todos os valores listados, gravados a partir do ANSYS, esto na directoria deste, em formato txt.De seguida apresenta-se a deformada. Nota-se que esta idntica criada pelo programa em Matlab.

O prximo ponto de comparao baseia-se nos valores das reaces nos apoios.

Os valores calculados tm uma diferena de 8N entre os dois programas em y e mais de 200 N em x, o que leva a considerar, que os resultados apresentados pelo programa criado, partida, so fiveis. De seguida retiram-se os deslocamentos do ANSYS:

Neste caso, os valores dos deslocamentos no so to idnticos quanto os das reaces, mas pode-se considerar que estes esto relativamente prximos. Assim terminam os pontos de comparao entre as anlises em ANSYS e MATLAB. Pelo facto de as reaces calculadas serem prximas, pode-se considerar que o programa implementado faz uma anlise razovel de estruturas usando o FEM, mesmo tendo em conta que o calculo dos deslocamentos no so exactos em relao ao ANSYS, que, realce-se, no tem ainda a melhor malha determinada (neste caso!).O passo seguinte foi a anlise de tenses na estrutura. A figura seguinte mostra a distribuio de tenses, onde se pode identificar os valores mximos e mnimos (traco e compresso).

Nota-se que o valor mximo de 2,56 MPa no elemento 12, tal como assinalado na figura, o que est bastante longe da Tenso de Cedncia (50MPa). Isto indica que a seco da estrutura poder ser reduzida assim como o seu peso prprio.Para se poder seguir para a optimizao da estrutura, conveniente saber qual a melhor malha a utilizar. Para isso fizeram-se incrementos na malha (n de divises de cada linha da estrutura) e analisaram-se os valores mximos da Tenso, de modo a perceber quando existe uma convergncia nos valores. Colocaram-se estes valores numa folha de clculo e criou-se um grfico de modo a visualizar um patamar (que aponta para a convergncia).

Conclui-se assim, que a malha de 7 divises, apresenta uma soluo aproximada que est perto da real. A figura seguinte mostra os valores mximos absolutos de tenso nos extremos.

Mesmo para esta malha, os valores de tenso esto bastante longe da cedncia (quer traco quer compresso). Nota-se nesta imagem que a distribuio

Entrada em regime plstico

Para determinar a carga necessria para entrada em regime plstico, dividiu-se a tenso de cedncia (50 MPa) pela tenso mxima (3.23 MPa) e multiplicou-se esta constante (15.48) pela carga distribuda original. A tenso mxima agora de 50MPa, ou seja, o valor da Tenso de cedncia, e encontra-se no local assinalado na figura por MN. Sendo assim, a viga em questo entra em regime plstico enquanto sofre um esforo em compresso.

Optimizao da estrutura

O mtodo escolhido para reduzir o peso da estrutura, aguentando os mesmos esforos passa pela reduo da seco das vigas. Recorrendo de novo ao MDSolids, e consulta da tabela como anteriormente escolhemos, em primeiro lugar uma seco de 10cm x 5cm. A destribuio de tenses (para a melhor malha) a mostrada na figura seguinte.

Nota-se que possvel reduzir mais o peso. Escolheu-se ento uma seco de 7.5cm x 5cm.

A tenso mxima agora de 11Mpa. Escolhe-se ento uma seco de 5cm x5cm.

Para este caso, a tenso mxima, encontra-se ainda no elemento 12 e tem o valor de 32.4 MPa. Considera-se que a estrutura agora est devidamente dimensionada com um coeficiente de segurana de 1.543.

Webgrafia

http://www.efunda.com/materials/common_matl/Common_Matl.cfm?MatlPhase=Solid&MatlProp=Mechanical#Mechanical

http://pt.wikipedia.org/wiki/Neve

http://www.awc.org/pdf/WSDD/C2B.pdf