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CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA E CIÊNCIA DOS MATERIAIS, 14., 2000, São Pedro - SP. Anais 07701

SOLUÇÃO NUMÉRICA PARA O PROBLEMA DE DIFUSÃO TRANSIENTE EM

SÓLIDOS PARALELEPÍPEDOS.

J. J. S. Nascimento1,2; A. G. B. de Lima2; F. A. Belo1;1Universidade Federal da Paraíba, Centro de Tecnologia, Departamento de Tecnologia

Mecânica, Cep 58059900, João Pessoa, PB, Brasil. E-mail: [email protected] Federal da Paraíba, Centro de Ciências e Tecnologia, Departamento de

Engenharia Mecânica, 58109-970, Campina Grande, PB, Brasil. E-mail: [email protected].

RESUMO

Soluções analíticas e numéricas para o problema de difusão transiente (calor e/ou

massa) para várias geometrias tem sido reportada na literatura, contudo são escassos os

trabalhos relacionados a problemas tridimensionais, particularmente aqueles relacionados a

materiais cerâmicos. Neste contexto, este trabalho apresenta uma modelagem matemática para

predizer o fenômeno de difusão transiente em sólidos paralelepípedos. A solução numérica da

equação de difusão, utilizando-se do método de volumes finitos, considerando as propriedades

termo-físicas e condições de contorno na superfície do sólido constantes, é apresentada e

discutida. Como aplicação o modelo foi utilizado para descrever a transferência de calor no

interior de um tijolo cerâmico e resultados da distribuição de temperatura ao longo do

processo são mostrados e analisados. O conhecimento do perfil de temperatura dentro do

material permite verificar regiões mais propícias a tensões térmicas, que podem ocasionar

trincas e deformações, e conseqüentemente diminuir a qualidade do produto no final do

processo.

Palavras-chave: Difusão, Massa, Calor, Volumes finitos, Numérica, Cerâmica.

ABSTRACT

Analytical and numerical solutions for the transient diffusion problem ( for example

heat and/or mass transfer) for several geometries have been reported in the literature.

However few articles are related with three-dimensional problems, particularly those related

to ceramic materials. In this context, this work presents a mathematical modeling to predict

the transient three-dimensional diffusion phenomenon applied to parallelepiped solids. The


numerical solution of the diffusion equation using the finite-volume method, considering

termo-physical properties and boundary condition constants is presented. As application the

model was used to describe the heat transfer inside a ceramic brick and results of the

temperature distribution along the process are shown and analyzed. The knowledge of the

temperature profile inside of the material its very important to verify more favorable areas to

thermal stresses, that may cause cracks and deformations, and consequently to decrease the

quality of the product in the end process.

Key-words: Diffusion, Mass, Heat, Finite-volume, Numerical, Ceramic.

1. INTRODUÇÃO

A secagem é um processo físico que ocorre com transferência de calor e massa e com

deformações acopladas, no interior dos materiais. Deformação e falhas de peças cerâmicas

durante a secagem são os grandes problemas no processo produtivo, particularmente de tijolos

cerâmicos. O conhecimento dos gradientes de temperatura e umidade, das taxas de secagem, e

da influência da forma do produto na cinética de secagem, permitem estabelecer as condições

de secagem, que visam minimizar o consumo de energia, e uma melhor qualidade do produto

final pós-secagem. De acordo com Velthius et al. (1992); se a secagem de tijolos de argila for

realizada severamente, por exemplo, secagem a altas temperaturas e baixas umidade relativa,

têm-se o aparecimento de trincas no interior do material devido a elevados gradientes de

temperatura e umidade, que comprometem a resistência e a qualidade do produto final.

Os tijolos de argila ainda são largamente empregados na industria da construção civil.

No entanto segundo Santos et al. (1995a), há carência de informações tecnológicas na

produção destes materiais. Normalmente, têm-se os usos de procedimentos artesanais e

equipamentos obsoletos no processo produtivos, contribuindo para que a maioria dos tijolos

produzidos apresentem trincas, quebras e superfícies irregulares, no final do processo,

comprometendo sua qualidade. Pelo exposto, existem muitos problemas a serem resolvidos

cientifica e tecnologicamente na produção e secagem de produtos cerâmicos.

Durante a secagem, transferência de calor, massa e deformações ocorrem

simultaneamente, sendo que os fluxos de calor e massa ocorrem em sentidos contrários. A

medida que a umidade do produto diminui, a temperatura do produto aumenta. Além disso,

quanto maior a diminuição do volume do corpo devido a perda de umidade, maior será a

tensão resultante no interior do produto. Isto ocorre devido à contração das camadas nas


proximidades da superfície do material. De acordo com Fricke (1981), os poros do material

cerâmico se contraem nessa região, restringindo a saída de água, gerando, portanto, tensões de

sentido contrário entre a camada exterior e interior. Hasatani e Itaya (1992), estudando a

secagem de materiais cerâmicos com a forma de um paralelepípedo, usando a técnica dos

elementos finitos, concluíram que as tensões compressivas se situam na superfície do material

e as tensões trativas no centro, e que estas tensões aumentam com o aumento transferência de

calor no interior do material, devido a desuniformidade nos gradientes de temperatura e

umidade. Um estudo analítico do fenômeno de transferência de calor em materiais cerâmicos

com forma de paralelepípedo também foi realizado por Nascimento et al (2000). De acordo

com os autores, altos gradientes de temperatura ocorrem na superfície do material sendo

seco, particularmente nas proximidades dos vértices.

O objetivo deste trabalho é apresentar uma solução numérica para o fenômeno de

difusão transiente em sólidos paralelepípedos, considerando propriedades termo-físicas e

condições de contorno constantes. Procurando situar o avanço atual desta pesquisa, constatou-

se a existência de vários trabalhos na literatura sobre transferência de calor em materiais

cerâmicos, Santos e Baldo (1995b), Nishikawa et al (1995), Pereira et al (1995), contudo

apenas um, a conhecimento dos autores refere-se a problemas tridimensionais, Hasatani e

Itaya (1992).

2- MODELAGEM MATEMÁTICA

Para descrever a transferência de calor e/ou massa no sólido com forma paralelepípedo,

as seguintes considerações são adotadas, no modelo matemático:

• as Propriedades termo-físicas são constantes, durante todo o processo de difusão;

• a geração de energia interna é desprezível;

• o sólido é homogêneo e isotrópico;

• a distribuição da temperatura é uniforme no inicio do processo;

• existe simetria no centro do sólido(o que ocorre em 1/8 do paralelepípedo, ocorre nas

outras partes);

• a condição de contorno é de equilíbrio com o meio exterior.


R2

y

x

z

R2

R1

R3

R3

R1

O

Figura 1-Configuração geométrica do problema físico

A Figura 1 ilustra um sólido paralelepípedo de dimensões 2R1x 2R2x2R3. Para este

caso,a equação diferencial geral que descreve o fenômeno de difusão é da forma:

''').(t

)( Φ+Φ∇ΦΓ∇=∂Φξ∂

(1)

onde na equação (1) têm-se: para transferência de calor, pcρ=ξ ; T=Φ e k=ΓΦ , onde cp, T

e k são o calor específico, temperatura e condutividade térmica do sólido, respectivamente,

enquanto que, para transferência de massa, ρ=ξ ; M=Φ ; Dρ=ΓΦ ; onde ρ , M e D são a

densidade, teor de umidade e coeficiente de difusão do sólido, respectivamente.

Devido a simetria existente no sólido, particularmente nos planos (x=0,y,z), (x,y=0,z),

(x,y,z=0) considera-se como volume de trabalho, apenas 1/8 do volume do sólido.

As condições inicial, de simetria e de contorno para o problema são as seguintes:

θ Condição inicial:

o)0t,z,y,x( Φ==Φ (2)

θ Condições de simetria:

0z

)t,0z,y,x(

y

)t,z,0y,x(

x

)t,z,y,0x(=

∂=Φ∂

=∂=Φ∂

=∂

=Φ∂, t>0 (3)

θ Condições de contorno na superfície:

etRzyxtzRyxtzyRx Φ==Φ==Φ==Φ ),,,(),,,(),,,( 321 , t>0 (4)

Para adimensionalisar, as equações (1), (2), (3) e (4), considere as seguintes variáveis

adimensionais:

eo

e* )t,z,y,x(

Φ−ΦΦ−Φ

=Φ , R

xx* = ,

R

yy* = ,

R

zz* = ,

2*

R

tt

α= , 3

*

R

VV = (5)

com 23

22

21 RRRR ++= e α= ΦΓ / ξ .


Derivando-se estas equações e substituindo na equação (1), obtém-se a equação geral

tridimensional transiente na forma adimensional, dada por:

*2t*m

*Φ∇=

∂Φ∂ (6)

Adimensionalmente, as condições inicial, de simetria e de contorno, são:

1)0,*z,*y,*x(* =Φ (7)

0)*t,R3R

,*y,*x(*)*t,*z,R2R

,*x(*)*t,*z,*y,R1R

(* =Φ=Φ=Φ (8)

0*z

)*t,0,*y,*x(*y

)*t,*z,0,*x(*x

)*t,*z,*y,0( =∂

∗Φ∂=∂

∗Φ∂=∂

∗Φ∂ (9)

Vários métodos numéricos tem sido usados para resolver o problema de difusão

transiente, como os métodos de elementos de fronteira, elementos finitos, diferenças finitas e

volumes finitos. Em particular neste trabalho, o método usado é o método dos volumes

finitos. A Figura 2 representa um volume infinitesimal do domínio físico considerado (Figura

1), onde os pontos nodais (W, E, N, S, F, T), bem como o tamanho deste volume e as

distâncias entre eles são apresentadas.

W

N

E

F

∆y

T

∆z

S

P

δxe

∆x

δxw

δyn

δys

ew

n

sf

t

δzf

δzt

W

N

E

F

∆y

T

∆z

S

P

δxe

∆x

δxw

δyn

δys

ew

n

sf

t

δzf

δzt

Figura 2-Configuração geométrica do problema físico usado na solução numérica.

Assumindo uma formulação totalmente implícita, onde os termos são estimados nos

tempos tt ** ∆+ , Maliska (1995), a equação (6) foi integrada no volume de controle da Figura

2, e no tempo. Desta forma obtêm-se a equação (6) na forma discretizada, que pode ser escrita

de forma linear segundo (Patankar, 1980 e Maliska, 1995), de acordo com a equação (10),

abaixo:

BAAAAAAA FFTTSSNNWWEEPP +Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ ∗∗∗∗∗∗∗ (10)


onde:

*e

**

Ex

zyA

δ∆∆=

*w

**

Wx

zyA

δ∆∆=

*n

**

Ey

xyA

δ∆∆=

*s

**

Sy

xyA

δ∆∆=

*t

**

Tz

yxA

δ∆∆=

*f

**

Fz

yxA

δ∆∆=

*

***oP

t

zyxA

∆∆∆∆=

o*P

oPAB Φ=

oPFTSNWEp AAAAAAAA ++++++=

Os coeficientes AK, K≠P, refletem as contribuições do transporte difusivo de Φ , que

vem dos nodos vizinhos em direção ao nodo P. O coeficiente oPA refere-se aos efeitos da

variável Φ no tempo anterior. Logicamente seus efeitos decrescem no tempo ao longo do

processo e será igual a zero no final do processo, se o regime permanente for alcançado. O

conjunto de equações provenientes da equação (10), foi resolvido iterativamente, pelo método

Gauss-Seidel. Os cálculos foram iniciados com as condições iniciais dadas e terminou quando

o critério de convergência apresentado na equação (11) foi satisfeito, em cada ponto do

domínio computacional.

8110|| −∗+∗ ≤Φ−Φ nn

. (11)

Onde n representa a n-ésima iteração em cada instante de tempo. Este critério do ponto de

vista físico e numérico é suficientemente preciso para garantir o realismo físico das respostas

obtidas.

Como aplicação, o método foi usado para descrever a transferência de calor num tijolo

refratário com dimensões (R1 x R3 x R2) 0,100 x 0,045 x 0,025m3. A Norma Técnica EB-19

estabelece dois padrões: 2R1 x 2R2 x 2R3 para tijolo cheio ou maciço: (0,240+5) x(0,115+2)x

(0,052+2)m3 e (0,200+5) x (0,045+ 2) x (0,053+ 2)m3, mas nem sempre é obedecida pelas

olarias (Bauer, 1992). As propriedades do material estudado forma as seguintes (Pereira et al,

1995): ρ=2100 (kg/m3 ); k=1,13 (W/mK) a 100ºC e cp=1064 (J/kgK)

Para obtenção dos resultados, foi implementado um programa computacional,

considerando uma malha numérica de 20 x 20 x 20 pontos nodais e um st 1=∆ (estes

parâmetros foram obtidos depois que um refino de malha e de tempo foi realizado). As

Figuras 3-8, apresentam a distribuição de temperatura adimensional ( Φ *) no interior do

sólido, nos planos x*=0,000, x*=0,420 ( 2R1≅ ), y*=0,000, y*=0,105 ( 2

R 2≅ ), z*=0,000,

z*=0,189 ( 2R3≅ ) para os instantes t*=0,0004, 0,0008, 0,002, respectivamente.


3. RESULTADOS E DISCUSSÕES

A análise das figuras evidencia as linhas isotérmicas, a frente de aquecimento e a

existência de altos gradientes de temperatura na região próxima ao vértice do sólido em todos

os casos ilustrados, com a propriedade adimensional apresentando os maiores resultados no

centro do mesmo em qualquer tempo de secagem. Além disso, percebe-se o decréscimo da

temperatura adimensional ao longo do tempo, em qualquer posição, conseqüentemente a

propriedade no interior do sólido aproxima-se da propriedade do meio externo. Verifica-se em

t*=0,002 que existe uma maior diferença da temperatura adimensional entre o centro e o

vértice, e os maiores gradientes da temperatura adimensional *Φ são observados em qualquer

destes três tempos nos planos x*=0,420, y*=0,105, z*=0,189, que correspondem aos pontos

medianos do sólido.

0.00

00.

050

0.10

00.

150

0.20

00.

250

0.30

00.

350

0.40

00.

450

0.50

00.

525

0.55

00.

600

0.65

00.

700

0.75

00.

800

0.85

00.

900

0.95

01.

000

0 .011 0 .389

z /R

0 .006

0 .216

y/R

(a)

0 .01 1 0 .3 8 9

z /R

0 .0 0 6

0 .2 1 6

y/R

(b)

0 .0 1 1 0 .3 8 9

z/R

0 .0 0 6

0 .2 1 6

y/R

(c)

Figura 3 Distribuição de temperatura adimensional no plano x*=0,000 nos tempos:

a) t*=0,0004 b) t*=0,.0008, c) t*=0,002.


Os resultados evidenciam que as regiões nas proximidades dos vértices de um sólido

paralelepípedo como um tijolo cerâmico, são mais susceptíveis ao aparecimento de trincas e

deformações, devido a gradientes de temperatura e umidade, em concordância com os

resultados apresentados por Keey (1992), Nascimento et al. (2000), Hasatani e Itaya (1992).

Vale salientar que os resultados apresentados são adimensionais, podendo representar

fenômenos de difusão transiente tais como: secagem, umidificação, aquecimento ou

resfriamento.

0 . 0 0 0 0 . 4 0 0z / R

0 . 0 0 0

0 . 2 2 2y/

R

(a)

0.0 00 0 .4 00

z / R

0 .0 00

0 .2 22

y/R

(b)

0 .0 0 0 0 .4 0 0

z /R

0 .0 0 0

0 .2 2 2

y/R

(c)

Figura 4 Distribuição de temperatura adimensional no plano x*=0,419857 nos tempos:

a) t*=0,0004, b) t*= 0,0008, c) t*=0,002.

Ao se analisar o problema sob o ponto de vista da transferência de massa devido a

secagem, as regiões de maior aquecimento, representam áreas de maior perda de água, e,

portanto mais secas. Pelos resultados expostos, durante o processo de secagem, a camada

externa da peça (principalmente os vértices) aquece mais rápido do que o centro, região essa

que se contrai primeiro (não levada em consideração neste modelo), produzindo uma redução

nas dimensões do corpo, tal redução de volume, corresponde a perda de água evaporada do


mesmo, o que dificulta a difusão de água, para fora do corpo, gerando tensões de sentidos

contrários entre a camada externa e interna. Quanto maior a taxa de perda de água do produto,

maior será a tensão resultante no mesmo, Fricke (1981).

0 .0 2 5 0 .8 6 4

x /R

0 .0 1 2

0 .3 8 8

z/R

(a)

0 .0 2 5 0 .8 6 4

x /R

0 .0 1 2

0 .3 8 8

z/R

(b)

0 .0 2 5 0 .8 6 4

x /R

0 .0 1 1

0 .3 8 8

z/R

(c)

Figura 5 Distribuição de temperatura adimensional no plano y*=0,000 nos tempos:

a) t*=0,0004, b) t*= 0,0008 c) t*=0,002.

O tijolo comum (cerâmica vermelha estrutural), por exemplo, conserva cerca de 1 kg de

água após a moldagem. Se a argila for levada ainda úmida para a queima, a umidade interior

ficará retida pela crosta externa, gerando tensões internas e trincas, de acordo com Bauer


(1994). Neste sentido, a água, presente nas etapas de conformação devem então ser

eliminadas antes da queima, de forma lenta e cuidadosa, impedindo fraturas e trincas nas

peças, que possam diminuir a sua qualidade ao final do processo, (Fernandes, 1998). Uma

discussão detalhada dos defeitos em materiais cerâmicos oriundos do processo de secagem

pode ser encontrada na literatura recente (Sanchez e Barba, 1998).

0 .0 0 0 0 .8 8 9

x /R

0 .0 0 0

0 .4 0 0

z/R

(a)

0 .0 0 0 0 .8 8 9

x /R

0 .0 0 0

0 .4 0 0

z/R

(b)

0 .0 0 0 0 .8 8 9

x /R

0 .0 0 0

0 .4 0 0

z/R

(c)

Figura 6 Distribuição de temperatura adimensional no plano y*=0,104964 nos tempos:

a) t*=0,0004 b) t*= 0,0008 c) t*=0,002.


0 .0 2 5 0 .8 6 4

x /R

0 .0 0 6

0 .2 1 6

y/R

(a)

0 .0 2 5 0 .8 6 4

x /R

0 .0 0 6

0 .2 1 6

y/R

(b)

0 .0 2 5 0 .8 6 4

x /R

0 .0 0 6

0 .2 1 6

y/R

(c)Figura 7 Distribuição de temperatura adimensional no plano z*=0,0000 nos tempos:

a) t*=0,0004 b) t*= 0,0008 c) t*=0,002.

0 .0 0 0 0 .8 8 9

x /R

0 .0 0 0

0 .2 2 2

y/R

(a)

0 .0 0 0 0 .8 8 9

x /R

0 .0 0 0

0 .2 2 2

y/R

(b)

0 .0 0 0 0 .8 8 9

x /R

0 .0 0 0

0 .2 2 2

y/R

(c)Figura 8 Distribuição de temperatura adimensional no plano z*=0,188936 nos tempos:


a) t*=0,0004 b) t*= 0,0008 c) t*=0,002.

Uma secagem prévia, controlada, é de grande importância. Se a secagem não for

uniforme, aparecerão distorções nas peças, mas, se for muito lenta, a produção tornar-se-á

antieconômica. Para se ter uma secagem uniforme (gradientes de temperatura e umidade

minimizados) é importante moderar adequadamente a intensidade da secagem, pelo controle

das velocidade, umidade relativa e temperatura, do ar de secagem, forma do corpo,

particularmente a relação área/volume e a porosidade do material (Keteraals et al., 1992;

Nishikawa et al., 1994; Santos et al., 1995b, Lima, 1999; Lima e Nebra, 1999 e Lima e Nebra,

2000).

4. CONCLUSÕES

Dos resultados apresentados neste estudo algumas conclusões podem ser feitas:

⇒ Quanto maior o tempo adimensional maior será a temperatura do sólido e

menor será o seu teor de umidade, em qualquer ponto no interior do mesmo.

⇒ Os maiores valores das temperaturas adimensionais num sólido paralelepípedo,

se situam no centro do mesmo, em qualquer tempo

⇒ As regiões nas proximidades dos vértices do paralelepípedo apresentam as

maiores taxas de transferência de calor e/ou massa, por isso são mais susceptíveis a

choques térmicos, trincas, deformações e até mesmo a fratura total do material.

⇒ A formulação utilizada, sendo adimensional pode ser usada em problemas de

aquecimento, resfriamento, secagem e umidificação.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Parte B.

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