Tlansrorma~s lineales 17]

5.6 EXERCfclOS

I. Seja T : V -+ IV uma funcao, Mostre que:

a) Se T e uma transforrnacao linear. entao T(O) = O. b) Se T(O) =1= O. entao T nao e uma transforrnacao linear.

2. Determine quais das seguintes Iuncoes sao aplicacoes Iineares:

a) [ : R2 -+ R2

(x, y ) ... (x + y, x - y)

b)g :R 2 -.-+R (x. y) t-+ Xl'

c) " :M 2 -+ R

[ : ~ Jr- del [ ~ ~ ] d) k :1'2 --+ 1'3

1 3li X + bx + c ~ liX + bx' + ex

e) M:R3 -+ R2

I 2 ] (x, y, z) t- (x, y, z) ~ - ~

[

/)N:R--+R Xt4' Ixl

3. a) Ache a transforrnacao linear T:R 3 -+ R2 tal que 7"(1,0,0) = (2, 0), T (O, 1,0) = (1, I) e T (O, O. I) = (0, - I).

b) Encontre v de R 3 tal que T(v) = (3, 2).

4. a) Qual e a transform acao linear T :R2--joR 3 tal que T(l , I) = (3,2, I) e T(O , -2) = (0 , I , O)?

b) Ache T(l , 0) e T(O , 1). c) Qual e a transforrnacao linear S :R3-+R2 tal que S(3, 2, I) = (I , I),

S (O , I , 0) = (0, -2 ) e S (O. 0, 1) = (0, O)? d) Ache a transformacao linear P : R2 -+ R2 tal que P = S oT,

5. u) Ache a transforrnacao T do plano no plano que e uma reflexao em lorna da reta x = y.

b) Escreva-a em forma matricial.

6. No plano, uma rotacao anti-horarla de 45° e seguida por uma dilatacao de V2, Ache a aplicacao A que represcnta esta transformacao do plano.

172 ALGEBRA LINEAR

7. Qual e a ap licacao A que repre senta uma con tracao de Jr. segu ida por uma ro tacao horaria de 45°?

8. Ver ifique qual 0 nucleo e imagern e suas respectivas dimensoes das transfe r­macoe s dadas nos exemplos do paragrafo 5.1.

9. Dados T :U --'> V linear e injetora e U I> U2, .. . , Uk, vctores Ll em U. mos tre que {T(ud , ..., T( Uk )} e Ll.

10. Sejam R, SeT tres transformacoes lineares de R3 em R3 •

0 IS, [RI " [ ~ :],

-1

[' 1 -1 ]

[SI = ~ 1 ~ • ache -2

T tal q ue R = SoT.

II. Sejam 0 = {( I , - I ), (0, 2)} e li = {( I , 0, -I ), (0 , 1,2), (1 , 2, O)} bases de R2 e R 3 rcspecuvamcntc e

[ T~ = [ : ~ ] a -I

u) Ache T. 1J ) Se Stx, y ) = (2y. x - y , x), ache lS ; .

c) Ache uma base 'Y de R3 lal que lT)~ = [ ~) ~ ] 0 1 .

o12. Se [R I = r l-I

1 ~ ] e [S1 = [ ~ 1 -I1 ],ache R oS.

13. Se R (x, y) = (2x, x - y, y ) e Sex, y , z) = (y - z, z - x) ,

a) Ache [R oS). 11 ) Ache [SOR l.

Transformacees lineales I 73

I I Scju V 0 espaco veto rial de matr izes 2 X 2 com base

ji = {[ ~ ~ ]. [ ~ ~ ] . [ ~ ~ J. [6 ~ J}

Se 7 . V -. R 2 e dada po r T ( [ ;. ~ } ) = (a + d. b + c) ,

I ) Ache ITe onde a <! a base canonica de R 2.

'")

Se S : R2~ V e lS~ = - I

1 -ij

11 Ache S c. se fo r po ssive l. (a, b) tal que Sea, b) = [6 ~ ].

2 [-I -') ]) '1 . Seja T :R -- R 2 tal q ue 11'1= 0 ~ . Ache os veiores u, v tal que

ell T( u) = u h ) T( v) = - v

l b. Mestre q ue se T : V~ IV e uma transforrnacao linear .

a) Im( T ) e urn subespaco de W. b) ker(T) c urn subespaco de V.

. Sejarn SeT ap licacocs lineares de V em W. Definimo s S + T co mo (S + T) v = S (v) + T(v) para to do v E II e defin imos as como (as) v =

= a . S(v) para to do 0: E R e v E V.

a) Mostre que S + T e uma transforrnacao linear de V em W. b) Mo stre q ue as e urna transforrnacao linear de V em W. c) Me stre q ue X = {T I T: V -->. IV} e urn espaco ve to r ial sobre R . d) Suponha que dim V = 2 e dim IV = 3. Tent e procurar dim X

18. No Exercic io 1 1 de te rmine ker T. 1m To 1m S. ker S c co mprove a validade dos teoremas 5..3 .9 e 5.4.5 pa ra estas transformacoe s.

19. Considere a transformacao linear

T :R3 ~ R3 dada po r T(x, Yo z) = (z, x - Y. - z ).

a) Determine uma base do nucleo de T. b) De a dimensao da imagem de T. ) r e sobrejeto ra? J ustifique.

d) Faca urn csboco de ker T e Im T.

174 ALGEBRA LINEAR

20. De, quando possfvel, exemplos de transforrnacoes lineares T, S, L. M e 11 satisfazendo :

a) T : R3 -+ R 2 sob rejet ora b) S : R3 -+ R 2. com kcr S = {CO, 0, 0 ) \ c) L : R3 -+ R 2

, com Im L = \.(0, 0) 1 d) M : R 2 R2

, com kerM= "f(x,y) E R 2 ;x =y} e) fI : R3 -+ R3

, com ker 11 = t(x, y. z) E R3; Z = - x ]

21. Seja PJ = conjunto das polinomios com grau rnenor au igual a 3, e

T :P3 -+P 3

/ -+ r (derivada)

1I) Mestre que PJ C urn espaco vetorial de dirnensao 4. h) Mestre que T ~ uma transformucao linear. c:) Determine ker T e 1m T e encontre lima base para cada urn destes

subespacos vetorials .

22. Scja D; PJ -> PJ

/1-+ r' (derivada segunda) Mestre que D e linear c determine uma base para ker D.

23 . Sejam cx = {CO, 2), (2, -I)} e {j = {(I, 1,0), (a, 0 , -I), (1, 0, I)} bases de R2 e R J

•

[S)cx = [ ; 6] (j 0-4

De a expressao para Sex , y.) .

24. Seja

0 0 0] B = 1 2 1

A ' [g ~] [-I 0 0

Encontrc ker ~'1' 1m TA . ker To, Im To' ker (T 0 TA ) Im (To 0 TA ) . Determia ne bases para estes seis subespacos.

Transformacoes lineales 175

Seja T : R 2 ~ R2 uma reflexao, atraves da reta y = 3x.

a) Encont re T(x, y).

b) Encontre a base Q de R2, tal que [~ = [~ _~ J

(I . Seja T : R 3 ---.. R3 onde T(v) ~ a projecfo do vetor Y no plano

3x + 2y + z = O.

a) Encontrc T(x, y, z).

b) Encont re u ma base ordenada 8 de R3 , tal que

U o [T1g = o

o ~]

27. Seja L : RJ -.. R3 onde Len reflexao atraves do plano l.~ + 2)' + z = O.

) Encontre L(x, y, z) .

b) Encontre urna base ordenada '1 de R3 • tal que

o[T ]'1 = [ ~ I

0] 0

r 0 o -1

28. Encoutre a expressdo da transforrnacao linear T: R3 ~ R 3 que e uma rotacao de 1T /3 em tomo da leta que passa pela origem e tern a dire9ao do vetor (I , 1, 0).

29. Urn espelho plano esta apoiado em uma parede vert ical formando urn an­gulo de 30

0 com ela. Se urn feixe de luz de raios paralelos for emitido ver­

ticalrnente (do teto para 0 chao) determine a direyao dos raios refletidos.

• 30 . Urn espelho plano t riangular e apo iado no canto de urna sala da forma des­crita na figura abaixo.

z

x y

Em que direcfio sera reflct ido urn feixe de luz de raios paralelos ernitidos vertical mente de cima para baixo ?

5.6.1 Respostas

3. a) Ttx, y, z) = (2x + y, Y - z) b) v = (x. 3 - 2x, 1 - 2x)

5. a) Ttx, y) = (Y, x) b) [ ~ ]r-- [ ~ ~ ][; ]

7. A (x, y) = (x+ y x-y)2 ' 2

x - y x-y )11. T(x, y) = - 2- ' ~' 2x + y(

0 2 -2 ] 13. a) [R oS) = 1 1 -2 b) tSaR ) = [I -2]

[ -2 1 -I ° I

IS. a) v = (x, -x ) b) v = (x,D)

17. d) dim X = 3 X 2 = 6

19. u) kerT = [(1 ,1 ,0)1 base = {( I, I ,D)} ) dim Im T = 3 - dim ker T = 2 Veja (5.3 .9).

c) Nao , dim 1m T = 2.

Trans formucdes Lineares

d)

1m T

y

xx kef T

21. a) [Veja Exemplo 4 de 4.2 .2) base deste espa~ o : {I , X. x 2 , x 3 }

b) (Veja Exemplo 5 de 5.1.2) c) ker T:« {~x) = k (constante)} base : { I }

Im T = {~x) = ax 2 + bx + c, a, b, c E R } base: {I,x,x i }

3 x23. S(x, y) = (y -l x , y +2 ' - 3x - 2y ).

24. ker TB = {x, y , z ) E R3 ; X = 0 c z = 2y } base: to. I . -2)} Im TB = [(0 . 1, 0), (0. 1.-1)] base : { (a, 1,0), (0 , I , -I )} kerTA = [(1, 0») ImTA = [(J , 2,1) !

kerTBo TA = [(1, 0)] 1m TB o TA = [(0, 0, I)]

125. a) T(x,y) = S(- 4x + 3y, 3x - 4y)

b) 0: pode ser qualquer base {v l> V2 } tal que v 1 per tenca areta e vIe V2 sejarn

pcrpendiculares, por cxern plo, 0: = {( I, 3) , (- 3 , I) }

127. a) T (x, y, z) =""""7 (- 2x - 6y - 3z , - 6x + 3y - 2z, - 3x - 2y + 6z)

b) r pode sec qualqu er base {VI , V2, V3 } do R 3 tal que VI e v2 pertencam

ao plano e V 3 seja nonnal ao plano dado . Por exemplo, r = {(I , 0 , -3), (0 , 1, - 2), (3 , 2, I) }.