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F A S C Í C U L O

8FASCÍCULO

MATEMÁTICAE SUAS TECNOLOGIASMATEMÁTICA

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 8

FASCÍCULO

CARO ALUNO,A necessidade de compreender o comportamento de fenômenos, descrever regularidades, estabelecer relações de interdependência, qualificar, quantificar e generalizar conduziu, gradualmente, a humanidade ao moderno conceito de função. Tal conceito é uma forma mais precisa e de maior utilidade do que a noção comum de “fórmula matemática”. Neste fascículo, abordaremos algumas das principais funções matemáticas: função quadrática, o estudo da probabilidade e a trigonometria.

Bom estudo para você!

INTRODUÇÃO

Olá, caro aluno,

As aplicações da função quadrática abrangem situações do meio social, relações de mercado e capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, problemas de otimização etc.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Função QuadráticaToda função f: R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c,

em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de função quadrática.

Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma transformação do número real x no número real ax2 + bx + c. Em símbolos:

x ax bx c 2 + +

Considerando-se a > 0 podemos ter o seguinte gráfico:

Eixo desimetria

f(x)

x

y

x2y

v v

0

(0, c)

xvx

1

Raízes da função quadráticaAs raízes de uma função são os valores que a variável

x pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente, as raízes de uma função representam as abscissas das coordenadas dos pontos nos quais o gráfico da função intersecta o eixo-x. Uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola, possui duas raízes (reais ou imaginárias), geralmente designadas por x1 e x2. Seus valores podem ser

obtidos através da fórmula de Bhaskara.

xb

a1

2= − + ∆

xb

a2

2= − − ∆

xb

a= − ± ∆

2

O valor de ∆ = b2 – 4ac determina o número de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo, é chamado discriminante da equação.

Coordenadas do vérticeConsiderando que o x

v está sobre o eixo de simetria,

então pode-se afirmar que xx x

v = +1 2

2.

Assim:

x

ba

ba

v =

− + + − −∆ ∆2 2

2

x

b ba

v =

− + − −∆ ∆22

x

b

av =

− 2

22

xb

av = −

2(I)

Substituindo (I) na igualdade y = ax2 + bx + c temos:

yv = ax2

v +

bx

v + c

y ab

ab

b

ac= −

+ −

+2 2

2

y ab

a

b

ac= − +.

2

2

2

4 2

yb b ac

a= − +2 22 4

4

yb ac

a= − +2 4

4

yb ac

a= − −2 4

4

2 Matemática e suas Tecnologias

Mas, considerando-se que ∆ = b2 – 4ac temos:

ya

= − ∆4

Assim: Vb

a a− −

2 4

,∆

Interpretação do discriminante

1º caso: se ∆ > 0, então haverá duas raízes reais diferentes.

2º caso: se ∆ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais.

3º caso: se ∆ < 0, então não haverá raízes reais.

Estudo dos sinais

QUADRO RESUMO

a > 0 a < 0

∆ < 0 + + + + +x

– – – – – – – – x

∆ = 0x

+ +x

1 ≡ x

2

+ + – – – – – – x

x1 ≡ x

2

∆ > 0 – – – x

+++ +x

2x

1

++– – – – – – x

x2

x1 +++

Forma fatoradaSe os valores x

1 e x

2 representam as raízes de

uma função quadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na forma fatorada: y = a·(x – x

1)·(x – x

2), em

que a é denominado coeficiente dominante. Essa forma é especialmente útil para determinar a função quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a

construção de argumentação.C-5

H-22

01. Um restaurante self service vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Define-se como receita do restaurante o valor que corresponde ao total pago pelos clientes. Considere R(x) a receita arrecadada em função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.

A expressão R(x) corresponde a:a) – 2x2 – 25x + 1500 d) – x2 + 25x + 1500b) – 3x2 + 15x + 1500 e) – 4x2 – 15x + 1500c) – 5x2 + 25x + 1500

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.C-5

H-21

02. Durante uma partida de futebol, um jogador cobra uma falta, fazendo a bola descrever um arco de parábola contido num plano vertical e simétrica à seu eixo também vertical. A bola atinge o chão exatamente a 30 m do jogador. Durante o trajeto a bola passou raspando a cabeça do juiz que encontrava-se em posição ereta e possui 1,76 m de altura, não interferindo na trajetória da bola. O juiz estava, no instante do chute, a 8 m do jogador. Assim a altura máxima, em metros, atingida pela bola foi dea) 2,25 d) 2,10b) 2,20 e) 2,05 c) 2,15

FIQUE DE OLHO!

ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS

Quando um satélite artificial é colocado em uma órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que podem ser captadas por antenas ou radares na Terra. O que talvez você não saiba é que esses objetos são construídos tendo a parábola como referência, isto porque tal curva possui propriedades geométricas extremamente úteis. Na construção de antenas parabólicas, radares ou faróis, a propriedade mais explorada é a reflexiva. Quando um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao eixo de simetria de uma superfície paraboloide espelhada, sua reflexão ocorre de forma a fazer convergir os raios em um único ponto. Da grande quantidade de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em latim focus, significa fogo). Como os sinais recebidos (ondas de rádio ou luz) são muito fracos, é necessário captá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados. Portanto, a superfície da antena ou do espelho deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a reflexão. Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar, antenas parabólicas e faróis.

guia direcional

O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional.

3Matemática e suas Tecnologias

A secção de um farol de um automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um paraboloide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que, após incidirem sobre a parábola, serão refletidos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo de simetria da parábola.

F

Sup. espelhada

Farol de um automóvel

Secção de um farol

F

Sup. espelhada

Farol de um automóvel

Secção de um farol

INTRODUÇÃO

Olá, caro aluno,

Ao fazer o seguro de um automóvel, o corretor de seguros traça o perfil do cliente. Automóveis cujo condutor principal é homem, tem entre 18 e 25 anos e deixa o carro fora de estacionamento fechado têm seguro bem mais caro, embora não seja certo, mas com esse perfil a chance de ocorrer sinistro ou furto do veículo é considerável.

Um dado honesto foi lançado nove vezes e em todas elas ocorreu o número 5. João apostou que no décimo lançamento também daria o número cinco. Embora lançado nas mesmas condições, nada garante que João ganhará a aposta.

A necessidade de se quantificar os riscos de um seguro e de avaliar as chances de ganhar em jogos de azar deram origem ao ramo da Matemática que cria, desenvolve e, em geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos (ou fenômenos) aleatórios. Tal ramo da Matemática recebe o nome de teoria das probabilidades. Experimentos aleatórios são experimentos que repetidos sob as mesmas condições podem produzir, por força do acaso, resultados diferentes.


Probabilidade

Espaço amostral e eventoEspaço amostral é o conjunto de todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório e é indicado pela letra grega Ω (lê-se “ômega” ). Já evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, um casal pretende ter três filhos, sendo dois homens e uma mulher. Considerando H para filho e M para filha, temos:I. conjunto de todos os resultados possíveis para os três

nascimentos (espaço amostral):

Ω = (H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M);

(M,M,H); (M,M,M), cujo número de elementos é n(Ω) = 8;

II. subconjunto de Ω desejado (evento):

E = (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H), cujo número de elementos

é n(E) = 3.

Se no exemplo anterior o espaço amostral é equiprovável, a chance de cada evento elementar ocorrer é de uma em oito,

isto é, 1

8. Já a chance do evento (E) ocorrer é 1

8

1

8

1

8

3

8+ + =

(três possibilidades em oito possíveis).

Intuitivamente, quando o espaço amostral é equiprovável,

a probabilidade de um evento E ocorrer, P(E), é dada pela razão

entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis:

P En E

n( ) = ( )

( ) =Ω

n mero de casos favor veis

n mero de casos po

ú á

ú sss veisí

No exemplo citado, P En E

n( )

( )

( )= =

Ω3

8.

Probabilidade

Probabilidade é um número que mede a chance de

um evento acontecer, é um número associado a um evento.

Para a definição da probabilidade de um evento (E) qualquer do

espaço amostral Ω = a1, a

2, ..., a

n), associaremos a cada evento

elementar a, um número real, indicado por P(a1), chamado de

probabilidade do evento elementar a1, tal que:

0 ≤ Pa1 ≤ 1, para todo i ∈ 1, 2, ..., n;

Exemplo 1:

Um dado, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, respectivamente,

foi confeccionado de maneira que a probabilidade de uma face

de número par ocorrer é duas vezes mais provável que uma

face de número ímpar. Determine a probabilidade de ocorrer:

a) cada face.

b) um número primo.

Solução:

O espaço amostral desse experimento aleatório é

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , não sendo equiprovável .

Chamando a probabilidade de cada face de número ímpar de

k, a probabilidade de cada face de número par será 2k. Daí:

I. P(1) = P(3) = P(5) = k e P(2) = P(4) = P(6) = 2k;

II. P(1) + P(2) + ... + P(6) = 1 ⇒ 3 · k + 3 · (2k) =

1 ⇒ k = 1

9.

a) Portanto, P(1) = P (3) = P(5) = 1

9 e P(2) = P(4) =

P(6)= 2

9.

b) Ocorrer número primo é o evento E = 2, 3, 5. Daí:

P(E) = P(2) + P(3) + P(5) = 2k + k + k = 4k = 4

9.


Evento certo, evento impossível e eventos complementaresI. O evento C, que coincide com o espaço amostral, é dito

evento certo e a sua probabilidade é igual a 1. Veja:

P Cn C

n

n

n( )

( )

( )= = =

Ω1, ou seja, a probabilidade de o evento

certo ocorrer é 100%.

II. O evento D = = ∅ (conjunto vazio) é dito impossível e a sua probabilidade é igual a zero, veja:

P Dn D

n n( )

( )

( )= = =

Ω0

0, ou seja, a probabilidade do evento

impossível ocorrer é 0%.

III. Os eventos A e B, tais que A ∩ B = ∅ (a interseção é o conjunto vazio) e A ∪ B = Ω (a união é o espaço amostral), são ditos eventos complementares e suas probabilidades são tais que P(A) + P(B) = 1.

Interseção de eventos independentesDois eventos A e B são ditos independentes quando

o fato de ter ocorrido um deles não alterar a probabilidade do outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do evento B (ou A) ocorrer é a mesma, independentemente de B (ou A) ser tomado como subconjunto do universo Ω ou como subconjunto do universo B. Por exemplo, se um casal planeja ter três filhos, o evento A: “o primeiro filho é homem” e o evento B: “o terceiro filho é mulher” são eventos independentes.

A ∩ B é o evento que ocorre se, e somente se, os eventos A e B ocorrerem simultaneamente. No exemplo anterior, A ∩ B é o evento “o primeiro filho é homem e o terceiro filho é mulher”, isto é, para ocorrer o evento A ∩ B, o primeiro filho tem que ser homem e (e ao mesmo tempo) o terceiro tem que ser mulher. Então, podemos calcular a probabilidade de ocorrer A ∩ B. Veja:

Note:

Ω = (H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)

A = (H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M) ⇒P An A

n( )

( )

( )= = =

Ω4

8

1

2

B = (H,H,M); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,M) ⇒P Bn B

n( )

( )

( )= = =

Ω4

8

1

2

A ∩ B = (H,H,M); (H,M,M) ⇒ P A Bn A B

n( )

( )

( )∩ = ∩ = =

Ω2

8

1

4

Quando dois eventos A e B são independentes, uma outra maneira de se calcular a probabilidade deles ocorrerem simultaneamente (ou sucessivamente) é P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

No exemplo anterior, P A P B( ) , ( )= =1

2

1

2 e A e B são

independentes.

Então: P A B P A P B( ) ( ) . ( ) .∩ = = =1

2

1

2

1

4.

Observação:

Exemplo 1:

Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?

Solução:

Para o evento VA “escolha do cartão vermelho e amarelo”, a

probabilidade éP VA( ) = 1

3. Uma vez escolhido o cartão VA, o

evento B “juiz ver a face V e o jogador, a face A” tem probabilidade

P B( ) = 1

2. Daí, P VA B( ) .∩ = =1

3

1

2

1

6é a probabilidade procurada.

União de eventos

Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral Ω não vazio, A ∪ B (A união B) é o evento que ocorre quando há ocorrência de A ou de B, isto é, quando ocorre apenas A ou ocorre apenas B ou, ainda, ocorrem A e B ao mesmo tempo. Temos dois casos a considerar para o cálculo da probabilidade de ocorrer A ∪ B:

1) A ∩ B = ∅.

Nesse caso, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) e os eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos. Veja: Uma vez que A e B são conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅), temos:n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

2) A ∩ B ≠ ∅.

Nesse caso, há ocorrência simultânea dos eventos A e B e a probabilidade de ocorrer (A ∪ B) é dada por P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).Veja: Da teoria dos conjuntos, temos que:n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:

n A B

n

n A

n

n B

n

n A B

nP A B P A P B P

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

∪ = + − ∩ ⇒

∪ = + −Ω Ω Ω Ω

(( )A B∩

AB

A B

Ω

Exemplo 1:

Realizada uma pesquisa sobre o consumo dos refrigerantes A e B, em certo bairro de Fortaleza, constatou-se que dentre as 240 pessoas entrevistadas, 150 consomem o refrigerante A; 80, o refrigerante B e 30 consomem os dois refrigerantes. Com o objetivo de checar a veracidade das informações apresentadas, quem encomendou a pesquisa escolheu, aleatoriamente, um dos entrevistados. Qual a probabilidade da pessoa escolhida consumir a marca A ou a marca B, segundo a pesquisa apresentada?


Solução:

Como os 240 entrevistados (n(Ω) = 240) são igualmente prováveis, temos:

I. P An A

nP A( )

( )

( )( )= ⇒ = =

Ω150

240

5

8

II. P Bn B

nP A( )

( )

( )( )= ⇒ = =

Ω80

240

1

3

III. P A Bn A B

nP A B( )

( )

( )( )∩ = ∩ ⇒ ∪ = =

Ω30

240

1

8

Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) ⇒ P(A ∪ B) =

5

8

1

3

1

8

5

6+ − ⇒ ∪ =P A B( ) .


Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso

para a construção de argumentação.C-7

H-29

03. Em uma determinada agência bancária, para um cliente

que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade de que o

tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou

igual a 15 min é de 80%.

Considerando que quatro clientes tenham chegado na

agência entre 15 h e 16 h, qual a probabilidade de que

exatamente três desses clientes esperem mais de 15 min

na fila?

a) 0,64% d) 6,67%

b) 2,56% e) 10,24%

c) 30,72%

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística

e probabilidade.C-7

H-28

04. Dentre os esportes oferecidos aos estudantes de uma escola

com 3000 alunos, temos o futebol como preferência,

sendo praticado por 600 estudantes. 300 estudantes dessa

mesma escola praticam natação, e 100 praticam ambos

os esportes. Selecionando-se um estudante praticante de

futebol para uma entrevista, qual a probabilidade de ele

também praticar natação?

a) 1

3 d)

1

6

b) 2

3 e)

2

5

c) 4

3

FIQUE DE OLHO!

OS DOIS BODES

Em um programa de televisão, o candidato é solicitado a escolher uma entre três portas fechadas. Atrás de uma delas, há um prêmio, mais precisamente um carro, e atrás de cada uma das outras duas, há um bode. Se você está pensando que esse é um programa dominical de alguma estação de televisão brasileira, vamos logo avisando que está enganado, trata-se de um programa de televisão italiana.

Depois de o candidato ter escolhido a porta que deseja, mas antes de abri-la, o animador do programa, que sabe onde estão os bodes, abre uma das portas que não foram escolhidas e mostra que há um bode atrás dela.

É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da porta que o candidato escolheu há um bode, ainda há outro bode atrás de uma das outras portas e, se atrás da porta escolhida pelo candidato estiver o prêmio, atrás das outras portas há bodes e , nesse caso, o animador escolhe ao acaso uma dessas portas para abrir.

Então, nesse momento, o candidato está com a mão na maçaneta de uma porta fechada, rezando para que ali esteja o carro; há uma outra porta fechada e há uma porta aberta que mostra um bode. Aí então se faz uma crueldade com o candidato. O animador pergunta ao candidato se ele deseja trocar a porta que ele havia escolhido pela outra porta que ainda permanece fechada.

O que você acha que o candidato deve fazer visando maximizar a probabilidade de ganhar o carro? Você acha que ele deve permanecer com a porta que escolhera inicialmente, deve trocar de porta, ou tanto faz?

Convidamos você a pensar um pouco mais.Fizemos então uma simulação. No computador,

realizamos uma série de 1000 experiências, arrumando os bodes ao acaso e fazendo com que o animador, no caso de haver dois bodes nas portas não escolhidas pelo candidato, selecionasse ao acaso a porta para abrir. Determinamos então quantas vezes o candidato ganharia o prêmio se adotasse a estratégia de sempre trocar de porta. A resposta, para surpresa de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do “deve trocar” exclamasse “não disse?”

Chamemos os bodes de A e B e chamemos o carro de C. A árvore de probabilidades a seguir mostra, no primeiro estágio, a escolha inicial do candidato e, no segundo, o bode exibido pelo animador. O terceiro estágio mostra a segunda escolha do candidato.

1/3

1/3

1/3

A

A

A

A

AB

CC

C

C

C

1

1

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/21/2

B

B

B

B

1/6

1/6

1/6

1/6

1/12

1/12

1/12

1/12

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)


Observe que o candidato ganha trocando de porta

nos casos (2) e (4), portanto, com probabilidade igual a 2

6.

O candidato ganha sem trocar de porta nos casos (6) e (8), com

probabilidade igual a 1

6.

Logo, a probabilidade de ganhar trocando de porta é o dobro da probabilidade de ganhar sem trocar. Então, a melhor estratégia é sempre trocar de porta!

A árvore mostra também que, depois de exibido o

bode, a probabilidade de ganhar o carro é igual a 1

2, soma das

probabilidades dos casos (2), (4), (6) e (8). A probabilidade de

ganhar o carro antes de ser exibido o bode é igual a 13

.

INTRODUÇÃO

Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos de triângulos deram início à Trigonometria, que com o passar do tempo, transformou-se numa genuína ferramenta na resolução de um considerável número de problemas relacionados com a mecânica, topografia, navegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim, esta abordagem tem como objetivo principal a aplicação de conceitos trigonométricos em situações que envolvam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salientar que a eficácia desta ferramenta, nas aplicações que iremos apresentar, exigirá naturalmente um razoável domínio algébrico e geométrico do leitor.


Trigonometria e suas AplicaçõesA palavra Trigonometria é formada por três radicais

gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Recapitulando um pouco da História da Trigonometria

Trigonometria surgiu por volta de 300 AC entre os gregos, para resolver problemas de Astronomia Pura. Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolomeu por volta de 150 dC o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou, c. 400 dC,

para a Índia onde era usada nos cálculos astrológicos

(ainda eram problemas de Astronomia). Por cerca de 800 dC

ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e

aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1 100 dC

a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolomeu, na

Europa Cristã. Aí, inicialmente estudada tão somente por suas

aplicações na Astronomia, com os portugueses da Escola de

Sagres encontra uma aplicação de enorme valor econômico

na navegação oceânica.

As aplicações da trigonometria até c. 1 600 dC

Astronomia

Cartografia

Navegação Oceânica

Uso da trigonometria na astronomia:

A trigonometria é muito utilizada para fazer medições de astros, distâncias, etc. Observando o tamanho angular que observamos os astros da Terra.

Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da trigonometria na astronomia:

1º) Eclipses: no cálculo do tamanho da sombra e no cálculo

do raio da sombra.

2º) Distâncias dentro do Sistema Solar: calcular distância

de planetas inferiores e distâncias de planetas superiores.

3º) Determinação do raio lunar: Um observador com ajuda

de aparelhos especiais que lhe forneçam o ângulo em

que ele vê a lua e a distância em que a lua se encontra

da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas utilizando

a lei do seno.

4º) Determinação da distância Terra-Sol: Para calcularmos

a distância da Terra ao Sol, devemos, durante o período da

fase quarto-crescente da lua, quando o ângulo formado

pela Terra, a Lua e o Sol for de 90º, afixar três varetas no

chão. Com um transferidor medir o ângulo (abc), calcular

os lados do triângulo menor, e depois aplicar regra da

semelhança entre triângulos.

Tabela de ângulos notáveis:

30º 45º 60º

sen1

22

2

3

2

cos3

2

2

2

1

2

tan3

31 3


Veja que a tabela de ângulos notáveis merece destaque,pois os ângulos contidos nela são obtidos através da medida da altura do triângulo equilátero e da diagonal do quadrado como podemos observar abaixo:

H

A

30°

60°Cx

x

h

2H

A

B x2

60°

30° 30°

60°Cx

xx

h

2

sen 60º =

x

x

x

x

x

x

32 3

2

1 3

2→ →.

seno60º = 3

2

sen 30º =

x

x

x

x

x

x2

2

1

2→ →.

seno 30º = 1

2

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

45°

A

B

x

x

x

Diagonal

x

C

D

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.

d x xd x

d x

d x

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

= +=

==

45°

A

B x

x d

D

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

sen 45º = x

xx

x

x

x

x

x2

1

2 2

2

2

2

2

2

2→ → → →. .

cos 45º = x

xx

x

x

x

x

x2

1

2 2

2

2

2

2

2

2→ → → →. .

Para resolvermos problemas com triângulos quaisquer estabelecendo um conjunto de cálculos que nos permitam determinar os lados, ângulos e outros segmentos do triângulo utilizamos a lei dos senos e dos cossenos.

Lei dos CossenosConsidere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

ABH

C

b

c

aa

h

b

c

m

C

B H A

Para esses triângulos podemos escrever:

a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cosÂ

Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Lei dos SenosA lei dos senos estabelece a relação entre a medida

de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um

triângulo ABC de lados a, b, c, podemos escrever.

= =a b cˆ ˆsen Â sen B sen C

ABH

C

b

c

ahc

hb

a

hc

hb

b

c

m

C

B H A

A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.



Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.C-2

H-9

05. Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2 m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir.

2 m

45º 30º

L

De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:

a) 2 m d) 4 2 m

b) 2 2 m e) 5 2 m

c) 3 2 m



H-9

06. Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 30º com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60º. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a) 59 m d) 69 mb) 62 m e) 71 mc) 65 m

FIQUE DE OLHO!

FUNÇÕES PERIÓDICAS E SUAS APLICAÇÕES

Muitos fenômenos físicos e sociais de comportamento cíclico podem ser modelados com auxílio de funções trigonométricas, daí a enorme aplicação do estudo desse conteúdo em campos da ciência como acústica, astronomia, economia, engenharia, medicina etc.

Um exemplo de relação que pode ser modelada por uma função trigonométrica é a variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. O gráfico indicado a seguir representa uma investigação desse tipo onde se analisa a situação clínica de um paciente, sendo P a pressão nas paredes dos vasos sanguíneos (em milímetros de mercúrio: mmHg) e t o tempo (em segundos).

Em geral, a pressão indicada no gráfico obedece um ciclo, sendo que cada ciclo completo equivale a um batimento cardíaco. Note por meio do gráfico que ocorre um ciclo completo a cada 0,75 segundos, o que implica dizer que a frequência cardíaca do indivíduo avaliado é de 80 batimentos por minuto.

Usando a função cosseno para modelar a regularidade retratada pelos dados, podemos encontrar sua formulação a partir do gráfico.

Sabendo que a função f(t) = cos t tem domínio real e imagem [–1,1], as transformações do seu gráfico necessárias para que ele modele os dados do nosso problema são: 1) modificação do período de 200 para 800/3, gerando a função f(t) = cos (800t/3); 2) reflexão de f pelo eixo t, gerando a função f(t) = –cos (800t/3); 3) modificação da imagem para

120

P

100

80

0,375 0,75 1,125 1,5 1,875 2,25 t

EXERCÍCIOS PROPOSTOS


algébricos.C-5

H-21

01. Para transmitir energia elétrica produzida nas usinas

são utilizadas grandes torres de transmissão como as

mostradas na figura.

Admita que um cabo elétrico suspenso entre duas torres de mesma altura h = 0,3 km, situadas à distância d (veja figura), assuma a forma de uma parábola de equação y =

4

125 x2 + C.

h h

d

0,25 km


No sistema de coordenadas cartesianas XOY, o eixo OY

passa pelo ponto mais baixo do cabo (0,25 km acima do

nível normal da água), e o eixo OX passa pelas duas torres,

no nível normal da água do rio. Nessas condições, é correto

afirmar que a distância indicada por d, em quilômetros, é

a) 1,2 d) 2,0

b) 1,5 e) 2,5

c) 1,8



H-22

02. O dono de um lote retangular que mede 26 m de comprimento por 16 m de largura colocou o mesmo à venda. Porém, já fazem oito meses desde que o imóvel foi anunciado ninguém se interessou em comprá-lo porque procuram um terreno com área de 816 m2. O dono resolveu, então, ampliar o terreno para buscar atender os futuros compradores e para isso analisou algumas alternativas que acredita resolverem seu problema:

• Alternativa 1: aumentar o comprimento e a largura em 20% de sua medida;

• Alternativa 2: aumentar o comprimento e a largura em 30% de sua medida;

• Alternativa 3: aumentar uma faixa lateral de 8 m no comprimento e na largura.

Deste modo, a melhor alternativa para esse proprietário é

optar pela alternativa

a) 1, pois ele conseguirá exatamente a área desejada.

b) 2, pois ele conseguirá exatamente a área desejada.

c) 3, desde que a faixa lateral tenha espessura 40 m.

d) 3, desde que a faixa lateral tenha espessura 20 m.

e) 3, desde que a faixa lateral tenha espessura 8 m.



H-22

03. Bruno propôs a seus amigos de um grupo de determinada rede social que por ocasião do ano novo, cada membro mandaria 3 mensagens a todos os demais. Todos os amigos desse grupo aceitaram a proposta. Houve um total de 468 mensagens enviadas. Portanto,a) apesar do combinado, pelos menos uma pessoa do

grupo recebeu apenas 2 mensagens.b) apesar do combinado, no máximo duas pessoas do

grupo receberam 4 mensagens.c) não é possível que cada membro do grupo receba

3 mensagens de outros membros.d) para que o combinado seja executado, é necessário que

a quantidade de membros do grupo seja 12.e) para que o combinado seja executado, é necessário que

a quantidade de membros do grupo seja 13.


algébricos.C-5

H-21

04. Uma companhia aérea oferece apenas um vôo diário da cidade A para a cidade B. O dono da empresa observou que quando o preço da passagem é R$ 200,00 comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?a) R$ 220,00b) R$ 230,00c) R$ 240,00d) R$ 250,00

e) R$ 260,00

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso

para a construção de argumentação.C-7

H-29

05. Um grupo de analistas financeiros composto por

3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte característica:

X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%,

e Z decide corretamente em metade das vezes.

Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade

de o grupo tomar uma decisão correta é:

a) 0,16

b) 0,64

c) 0,48

d) 0,32

e) 0,80

Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

de estatística e probabilidade.C-7

H-30

06. Um agricultor adquiriu 60 sementes de milho para

fazer o plantio, com a garantia de que a probabilidade

de germinação é de 0,8 (independentes das outras).

Ao utilizar a plantadeira manual, não percebeu que havia

uma semente utilizada na safra anterior com probabilidade

de germinação de 0,5 e esta se misturou às novas sementes. Assim, o agricultor plantou as 61 sementes e destas, 60 germinaram. Dado que a probabilidade de uma semente

germinar (velha ou nova) é de 97

122, qual é a probabilidade

de que a semente que não germinou tenha sido uma das sementes novas?

a) 24

25 c)

60

61

b) 71

122 d)

1

51


Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística

e probabilidade.C-7

H-28

07. De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe

cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas

e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros

e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre

as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade

de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:

a) 1

130 c)

10

1771

b) 1

420 d)

25

7117



H-9

08. A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que

corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois

pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio.

Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo

localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A

e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A.

Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir

ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado

em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os

ângulos BCAˆ e CÂB mediam, respectivamente, 30º e 105º,

conforme ilustrado na figura a seguir.

AB

rio

C

30º

200

m

105º

Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de:

a) 200 2 d) 100 2

b) 180 2 e) 50 2

c) 150 2



H-9

09. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

C

B

P

N

A20º

50º

300 3m

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:• o ponto de partida ficar localizado no terminal de

transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);

• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.

Supondo que AB m= 300 3 , BC = 200 m, BÂP = 20º

e CBN oˆ = 50 , é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m d) 706 mb) 702 m e) 708 mc) 704 m

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.C-2

H-8

10. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que

os ângulos BÂC e BCDˆ valem 30°, e o ACBˆ vale 105°, como mostra a figura:

30º

105º30º

D

B

C

50 m

A

h

a) 12,5 d) 25 0 2,

b) 12 5 2, e) 35,0c) 25,0




H-9

11. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45º em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105º em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?a) 10 km d) 17 kmb) 14 km e) 22 kmc) 15 km

GABARITOS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01 02 03 04 05 06

c a b d b e

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05 06

e e e d e a

07 08 09 10 11

c d a b b

ANOTAÇÕES

Supervisão Pedagógica: Marcelo PenaSupervisão Gráfica: Felipe Marques e Sebastião PereiraGerente do SFB: Fernanda Denardin

Projeto Gráfico: Antônio Nailton, Daniel Paiva e João LimaEditoração Eletrônica: Antônio NailtonIlustrações: Arte FBRevisão: Maria Amélia

OSG.: 095871/15

Expediente

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