JACQUES HERBRAND 

Cássio Cristo Dawyson Guerra

Matheu Santos

Geralmente aqueles que sabem pouco falam muito e aqueles que sabem muito falam pouco.

Jean Jacques Rousseau

Interpretação de Herbrand de S

S − um conjunto de cláusulas H − o Universo de Herbrand de S I − uma interpretação de S sobre H I é uma Interpretação de Herbrand de S se

satisfaz às seguintes condições:

1. I mapeia todas as constantes de S nelas próprias.

2. Seja f um símbolo funcional n-ário e sejam h1, h2, .., hn elementos de H. Em I, à f é atribuída uma função que mapeia (h1, h2, .., hn) − um elemento de Hn − a f(h1,h2,..,hn) − um elemento de H.

Interpretação de Herbrand de S

Não existe restrição com relação à atribuição para cada símbolo predicado em S, de maneira que diferentes Interpretações de Herbrand podem existir dependendo de tais diferentes atribuições. Desta forma, uma Interpretação de Herbrand I de um conjunto de cláusulas S é qualquer subconjunto de BS (a Base de Herbrand).

Uma Interpretação de Herbrand é desta forma uma livre atribuição de valores verdade

(verdadeiro ou falso) a todos os átomos da BS.

Exemplo

Para testar se um conjunto S de cláusulas é insatisfatível, precisa-se considerar somente interpretações sobre o universo Herbrand de S. Se S é falso sob todas as interpretações do universo Herbrand de S, então pode-se concluir que S é insatisfatível

Implementação do Teorema de Herbrand

O teorema de Herbrand sugere um procedimento de refutação. Isto é, dado um conjunto insatisfatível S de cláusulas para provar, se há um procedimento mecânico que pode sucessivamente gerar os conjuntos S1', ..., Sn', ... de instâncias base de cláusulas em S e sucessivamente testar se eles são insatisfatíveis, então como garantido pelo Teorema de Herbrand, este procedimento pode detectar um número finito N tal que SN' é insatisfatível.

Gilmore em 1960 desenvolveu um programa de computador que gerava, sucessivamente, os conjuntos S0', S1', ..., onde Si' é o conjunto de todos as instâncias base obtidas pela troca das variáveis em S por constantes no conjunto de constantes i-nível Hi de S. Uma vez que cada Si' é uma conjunção de cláusulas base, pode-se usar qualquer método disponível na lógica proposicional para checar sua insatisfabilidade

Gilmore usou o método multiplicativo. Isto é, quando cada Si' é produzido, Si' é transformado em uma forma normal disjuntiva. Qualquer conjunção na forma normal disjuntiva que contém um par complementar é removida. Se algum conjunto Si' for vazio, então Si' é insatisfatível e a prova é encontrada

Exemplo I

Considere S = {P(x), ~P(a)}. H0 = {a} S0' = P(a) ^ ~P(a) = � Dessa forma S é provado ser insatisfatível.

Exemplo II Considere S = {P(a), ~P(x) ^ Q(f(x)), ~Q(f(a))}. H0 = {a}. S0' = P(a) ^ (~P(a) v Q(f(a))) ^ ~Q(f(a)) = (P(a) ^ ~P(a) ^ ~Q(f(a))) v (P(a) ^ Q(f(a)) ^

~Q(f(a))) = v = � � � Dessa forma está provado que S é

insatisfatível.

O método multiplicativo usado por Gilmore é ineficiente como é facilmente visto. Por exemplo, para um pequeno conjunto de 10 cláusulas base com dois literais, há 210 conjunções

EXEMPLOSeja S = { P( f(x), a, g(y), b) }. Então,

a e b, são as constantes e P e g são os símbolos dos predicados...Para resolver pega-se a constante e aplica na fórmula do predicado e forma todas as combinações possíveis da constante.

Exemplo:

H0 = { a, b}H1 = { a, b, f(a), f(b), g(a), g(b) }H2 = {a,b,f(a),f(b),g(a), g(b),f(f(a)),f(f(b)),f(g(a)),f(g(b)),g(f(a)),g(f(b)), g(g(a)), g(g(b))}

Método de Davis e Putnam Davis e Putnam introduziram um método

mais eficiente para testar se um conjunto de cláusulas baixas é insatisfatível.

Seja S um conjunto de cláusulas base. Essencialmente, o método consiste das quatro regras a seguir:

I. Regra Tautológica: Retirar todas as cláusulas base de S que são tautológicas. O restante do conjunto S' é insatisfatível se e somente se S o for.

II. Regra do Literal-Único: Se há uma cláusula unitária base L em S, obter S' de S retirando todas aquelas cláusulas base em S contendo L. Se S' é vazia, então S é satisfatível. Caso contrário, obter um conjunto S'' de S' pela retirada de ~L de S'. S'' é insatisfatível se e somente se S o é. Note que se ~L é uma cláusula unitária base, então a cláusula torna-se € quando ~L é retirado da cláusula.

II. Regra do Literal-Único: Se há uma cláusula unitária base L em S, obter S' de S retirando todas aquelas cláusulas base em S contendo L. Se S' é vazia, então S é satisfatível. Caso contrário, obter um conjunto S'' de S' pela retirada de ~L de S'. S'' é insatisfatível se e somente se S o é. Note que se ~L é uma cláusula unitária base, então a cláusula torna-se € quando ~L é retirado da cláusula.

III. Regra do Literal-Puro: Um literal L em uma cláusula base S é dito ser puro em S se e somente se o literal ~L não aparecer em nenhuma cláusula base em S. Se um literal L é puro em S, retirar todas as cláusulas base contendo L. O restante do conjunto S' é insatisfatível se e somente se S o é.

IV. Regra da Separação: Se um conjunto S pode ser colocado na forma (A1 Ú L) Ù ... Ù (Am Ú L) Ù (B1 Ú ~L) Ù ... Ù (Bn Ú ~L) Ù R, onde Ai, Bi, e R são livres de L e ~L, então obter os conjuntos S1 = A1 ... Ù Ù Am Ù R e S2 = B1 Ù ... Ù Bn Ù R.

S é insatisfatível se e somente se (S1 Ú S2) é insatisfatível, isto é, ambos S1 e S2 são insatisfatíveis.

Resumo

A base do Teorema de Herbrand é um conjunto formado a partir de símbolos de predicados, que é gerado consecutivamente, verificando-se a insatisfatibilidade dos elementos. Um programa de computador pode implementar a busca dos elementos, pois na prática é muito lenta. Um conjunto de fórmulas será testado de forma recursiva.

OBRIGADO !