Jardim Categories

21
Tópicos da Geometria: Categorias Derivadas Professor: Marcos Jardim Alunos: Charles Aparecido de Almeida Brian Callander Rafael Genaro 20 de abril de 2014

Transcript of Jardim Categories

  • Tpicos da Geometria: Categorias Derivadas

    Professor: Marcos Jardim

    Alunos:Charles Aparecido de Almeida

    Brian CallanderRafael Genaro

    20 de abril de 2014

  • Sumrio

    1 Introduo Linguagem de Categorias 11.1 Noes Sobre a Linguagem de Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Categorias Abelianas 52.1 Categoria Aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Categorias Abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Funtores em Categorias Abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Teoremas de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3 Exemplos Importantes de Categorias Abelianas 123.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Hom um grupo Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Existe um objeto zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Somas e produtos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Decomposies cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    Bibliography 19

  • Captulo 1

    Introduo Linguagem deCategorias

    por Charles Aparecido de Almeida

    ResumoNeste trabalho, apresentaremos alguns conceitos fundamentais acerca da teoriade categorias, vizando introduzir a linguagem bsica da geometria algbricamoderna.

    1.1 Noes Sobre a Linguagem de CategoriasA teoria de categorias um ramo abrangente e abstrato da matemtica, e apesar desua generalidade, seus conceitos so muito teis no estudo da geometria algbrica,pois muitas vezes simplificam a notao e a linguagem dos objetos com os quaisestamos tratando. Por este motivo, apresentaremos nesta seo algumas definiese exemplos da teoria de categoria, seguindo a referncia [GM03].

    1.1.1 DEFINIO. Uma categoria C consiste de:

    i) Uma coleo de objetos, que ser denotada por ObC;

    ii) Um conjunto de morfismos (ou setas). Ou seja, para cada dois objetosN, M ObC, existe um conjunto HomC(M, N) de aplicaes que comeamem M e chegam em N;

    iii) Para cada 3 objetos M, N,P existe a composio de morfismos ou seja,se f HomC(M, N) e g HomC(N,P) ento existe uma aplicao f g HomC(M,P);

    iv) Para todo objeto N ObC existe um elemento distinguido idN HomC(N, N)que satisfaz a seguinte propriedade: Para todo objeto M e todo morfismof HomC(M, M) temos que idN f = f idN = f .

  • Introduo Linguagem de CategoriasNoes Sobre a Linguagem de Categorias

    Com o intuito de fixar as ideias e a notao, apresentaremos alguns exemplosa seguir:

    Exemplo 1) A categoria VectK dos espaos vetoriais sobre um corpo fixo K,cujos objetos so os espaos vetoriais sobre K e os morfismos so as transformaeslineares entre os espaos vetoriais.

    Exemplo 2) A categoria Grp de todos os grupos, com os objetos sendo todos osgrupos, e os morfismos sendo os homomorfismos de grupos.

    Exemplo 3 A categoria Top com os objetos sendo os espaos topolgicos, e comos objetos sendo os mapas contnuos entre os espaos.

    Exemplo 4) A categoria Sets com os objetos sendo todos os conjuntos de cardi-nalidade limitada (a categoria Sets contm todos os conjunto com cardinalidademenor) e os morfismos so as aplicaes entre os conjuntos. Limitamos a cardina-lidade dos conjuntos para no termos que lidar com o paradoxo de Russel(que dizque podemos construir o conjunto R tal que R := {X ; X 6 X }, ento R RR 6R)o que nos conduziria a uma m definio).

    Exemplo 5) A categoria dual Cop cujos objetos so os mesmos de C masHomCop (Mop, Nop)=HomC(N, M).

    A partir de agora, escreveremos M C ao invz de escrever M ObC. Por fimdefinimos a noo de isomorfismo entre objetos.

    1.1.2 DEFINIO. Dados M, N C, diremos que M e N so isomorfos se existem : MN e : N M tal que idM = e idN =.

    Observamos que nossos axiomas nos do flexibilidade para criarmos categoriasmuito gerais e abstratas, no entanto, veremos posteriormente que o estudo dealgumas categorias em particular ser muito til.

    Agora que j definimos nosso objeto de estudo, veremos como eles se relacionamentre si, e para isso introduziremos o conceito de funtor entre categorias.

    1.1.3 DEFINIO. Um funtor (covariante) F entre as categorias C e D umaregra que a cada objeto M C associa um objeto FN D,e que para cada morfismo HomC(M, N), associa o morfismo F HomD(FM,FN) satisfaz as seguintescondies:

    i) F(idN )= idFN ;ii) F= FF para , Hom(M, N).

    Diremos que o funtor F contravariante se satisfaz as condies acima excetoque F inverte a direo entre os morfismo. ou seja se HomC(M, N) entoF HomD(FN,FM).

    Para fixar as ideias, apresentaremos alguns exemplos.Exemplo 1) Considere a aplicao F : VectKVectK que a cada espao veto-

    rial V associa seu dual V e para cada transformao linear T : V W para V ,Wespaos vetoriais, associa a sua transformao adjunta T : WV. Vemos queF um funtor contravariante.

    Exemplo 2) Considere a aplicao F : Top(X )Ring, onde Top(X ) catego-ria dos abertos de um espao topolgico X com os morfismos sendo as aplicaescontnuas entre os abertos e CRings a categoria dos aneis comutativos comos morfismos sendo os homomorfismos de aneis, tal que a cada aberto do es-pao topolgico associa o anel das funes contnuas nele, e pra cada funo

    2

  • Introduo Linguagem de CategoriasNoes Sobre a Linguagem de Categorias

    continua Hom(U ,V ) com U ,V sendo abertos de X associa o homomorfiscmoFHom(FU ,FV ), tal que F( f )= f . F um funtor contravariante.

    Exemplo 3) Seja C a categoria dos espaos topolgicos conexos por caminhoscom um ponto distinguido, com os morfismo sendo aplicaes contnuas entreespaos contnuos com pontos distinguidos. Considere o funtor 1 : CGrp quea cada objeto de C associa o seu primeiro grupo fundamental, e para cada funocontnua f entre espaos topolgicos, associa o seu homomorfismo induzido nasclasses de homotopia. O funtor 1 covariante.

    Perceba que o que acabamos de fazer no Exemplo 3, mostra que se dois es-paos topolgicos so homeomorfos esnto 1 induz um isomorfismo nos gruposfundamentais de X e Y . Com isso, podemos ver que a teoria de categorias nosd um invariante topolgico interessante. Perceba que a recproca da afirmaono verdadeira, por exemplo, R2 e R3 no so homeomorfos, mas seus gruposfundamentais so triviais, e portanto isomorfos. Apesar de isso ser um problema,ele nos motiva a seguinte pergunta, existem funtores que "carregam"os isomorfis-mos entre dua categorias, ou seja, existe um funtor F entre duas categorias C e Dtal que se X e Y so objetos isomorfos de D F1X e F1Y so isomorfos? De fato,tais funtores existem e iremos estudar alguns deles neste trabalho. Esta questomotiva as prximas definies.

    1.1.4 DEFINIO. Um funtor F : CD dito fiel se para quaisquer dois objetosX e Y de C, a aplicao F : HomC(X ,Y )HomD(F X ,FY ) injetiva. Diremosque F pleno, se essa aplicao sobrejetiva.

    Para definimos a noo de equivalncia entre duas categorias, precisamos danoo de morfismo e de isomorfismo entre funtores.

    1.1.5 DEFINIO. Sejam F : C D e G : C D dois funtores. Um morfismo : F G entre os funtores F e G uma famlia de morfismos em D tal que paraquaisquer objetos X ,Y D e para cada morfismo h : X Y , o diagrama abaixo comutativo.

    F(X )

    Fh

    (X )//

    G(X )

    Gh

    F(Y )(Y )

    // G(Y )

    Diremos que isomorfismo de funtores, quando cada (X ) for um isomor-fismo na categoria D.

    1.1.6 DEFINIO. Diremos que duas categorias C e D so equivalentes se existemdois funtores F : CD e G : DC, tal que G F ' idC e F G ' idD.

    Como exemplo de categorias equivalentes, podemos citar a equivalncia entrea categoria das variedades afins sobre um corpo algebricamente fechado k e a cate-goria dos domnios de integridade finitamente gerados sobre k, tal demonstraopode ser encontrada em [Har77, Chap. I, Cor. 3.8].

    Observamos que usando a noo de morfismos entre funtores, podemos definira categoria Funct(C,D) dos funtores entre duas categorias C e D, com o morfismoscomo definidos acima.

    Introduziremos agora a noo de funtores representveis, que ser til emposteriores estudos.

    3

  • Introduo Linguagem de CategoriasNoes Sobre a Linguagem de Categorias

    1.1.7 DEFINIO. A categoria dos funtores de uma dada categoria C dada porC=Funct(C,Sets).1.1.8 DEFINIO. Um funtor (contravariante)F C dito representvel se isomorfo a um funtor hX com X C, onde hX : Cop Sets tal que Y op 7HomC(X ,Y ). Diremos que X representa o funtor F.

    Em geral, construir funtores representveis no uma tarefa trivial. Por issoapresentaremos o prximo exemplo:

    Exemplo 1) Seja C = Ring(K) a categoria das K-algebras finitamente gera-das, com K um corpo algebricamente fechado. Sejam f1, ..., fm K[x1, ..., xn],A =K[x1, ..., xn] e A =K[x1, ..., xn]/I onde I = ( f1, ..., fn). Sabemos que para todo : A K, existe um nico a = (a1, ...,an) tal que ( f ) = f (a) (para ver isso, useinduo em n e o algoritmo da diviso de Euclides). Por outro lado, para todoa Kn existe a : AK tal que f 7 f (a). Com isso HomC(A,K)'Kn.

    Agora os homomorfismos AK so os homomorfismos de A K cujo ker-nel contm I. Seja a : A K ento I kera f i(a) = 0 a V ( f1, ..., fm),com V ( f1, ..., fm) := {b Kn; f i(b) = 0, i = 1, ...,m}. Assim, HomC(A,K) ' V =V ( f1, ..., fm). Trocando K por S uma Klgebra finitamente gerada, e repetindoas contas que acabamos de fazer temos que HomC(A,S)' Sn e HomC(A,S)'VSonde VS := {a Sn; f i(0)= 0 S, i = 1, ...,m}.

    Agora considere o funtor Hom(A, .) : CSets tal que Hom(A,)(S)=Hom(A,S)e para cada morfismo f : S S em C associa o morfismo f Hom(A,S) paratodo Hom(A,S). Defina o funtor F : C Sets tal que S 7 VS( f1, ..., fm) e 7V : VS VS tal que V(a)= ((a1), . . . ,(an)) para S S.

    Com isso podemos definir o seguinte morfismo de funtores : F Hom(A,)tal que a cada S C associa o mapa (S) : VS Hom(A,S) tal que a 7a : A Stal que a( f )= f (a). Como VS 'Hom(A,S) temos que isomorfismo de funtores,assim vemos que F representvel.

    Apresentaremos aqui sem a demonstrao, o importante Lema de Yoneda, suademonstrao pode ser encontrada em [Pic02].

    1.1.9 Teorema. (Lema de Yoneda) Se G : C Sets um funtor contravariante,ento para todo X C existe nico isomorfismo de funtores em X tal que G(X )'Hom(hX ,G).

    O seguinte corolrio segue facilmente do Lema de Yoneda.

    1.1.10 Corolrio. Se F ObC representvel, ento o objeto representante em C nico a menos de isomorfismo.

    Observamos que o corolrio acima, mais o Lema de Yoneda nos diz que seconhecermos todos os morfismos que chegam em um objeto da categoria C entoo objeto estar bem determinado, ou seja, para entedermos os objetos de umacategoria C basta entendermos os morfismos dessa categoria.

    4

  • Captulo 2

    Categorias Abelianas

    por Rafael Genaro

    2.1 Categoria AditivaConsidere os seguinte axiomas de uma categoria C:

    A1: Para cada X ,Y Ob(C), o conjunto HomC(X ,Y ) possui uma estrutura degrupos abelianos, alm disso, a composio de morfismos biaditivo comrespeito a estas estruturas.

    A2: Existe um objeto 0 Ob(C), tal queHomC(X ,0)=HomC(0, X )= {0},

    para todo X Ob(C).A3: Para cada X1, X2 Ob(C), existe Y Ob(C) e morfismos p1 : Y X1, p1 : Y

    X2, i1 : X1 Y e i2 : X2 Y tais que:p1 i1 = idX1 p1 i2 = p2 i1 = 0p2 i2 = idX2 i1 p1+ i2 i2 = idY .

    Assim temos a seguinte definio:

    2.1.1 DEFINIO. Uma categoria C satisfazendo os axiomas A1, A2, A3 chamada de categoria aditiva.

    Para esclarecer o papel do terceiro axioma, iremos definir produto de objetos eassim o terceiro axioma pede-se que todos dois objetos possua produto.

    2.1.2 DEFINIO. Seja {A i}iI Ob(C) uma famlia no vazia, A Ob(C) e paracada i I tome ui HomC(A, A1). Se, para cada B Ob(C), a aplicao

    HomC(B, A)iI

    HomC(B, A i)

    u 7 (uiu)iIfor bijetora, diremos que A um produto de {A i}iI atravs da famlia de morfismo{ui}iI .

  • Categorias Abelianas Categorias Abelianas

    2.1.3 Proposio. Suponha que C satisfazA1 eA2. Seja A,B,C Ob(C), pA : CA e pB : CB dois morfismos em C. Para que C seja o produto de A e B atravsda famlia de morfismos {pA , pB}, necessrio e suficiente mostrar que existemiA : AC e iB C em C que satisfaz as propriedades do axioma A3.Demonstrao. () Suponha que C seja um produto de A e B atravs de {pA , pB}.Ento por definio, para cada D Ob(C), a aplicao

    HomC(D,C)HomC(D, A)HomC(D,B)u 7 (pAu, pBu)

    bijetora.Em particular, se D = A, dado (idA ,0) HomC(A, A)HomC(A,B), existe umnico morfismo iA : AC em C tal que

    pA iA = idA ,pB iB = 0.

    Analogamente, se D = B, dado (0, idB) HomC(B, A)HomC(B,B), existe umnico morfismo iB : BC em C tal que

    pB iB = idB,pA iA = 0.

    Por fim, de D = C, temos que (iA pA + iB pB) 7 (pA , pB), por outro lado idC 7(pA , pB). Logo, pela injetividade, iA pA + iB pB = idC .

    () Dado D Ob(C), defina as seguintes funes:

    : HomC(D,C)HomC(D, A)HomC(D,B) : HomC(D, A)HomC(D,B)HomC(D,C),

    onde (u)= (pAu, pBu) e (u,v)= iAu+ iBv.Assim, temos que e so os mapas identidades nos seus devidos domnios.Assim, bijetora, conclundo que C o produto de A,B via {pA , pB} comoqueramos demonstrar.

    2.1.4 Observao. O resultado anterior tambm valido se trocarmos {pA , pB} por{iA , iB}.

    Verifica-se que a categoria de grupos abelianos, Ab, mais geral, a categoriados mdulos sobre um anel R so categorias Aditivas.

    2.2 Categorias AbelianasPara uma categoria aditiva C se encaixar na definio de categorias Abelianas,pede-se que todo morfismo de C possua ncleo, concleo com certas propriedades.

    Suponha que C satisfaa A1, A2 e seja : X Y um morfismo. Dado X1, X2 Ob(C), considere hX1 ,hX2 os funtores que representa-os respectivamentes e definao seguinte morfismo de funtores

    h : hX1 hX2 ,

    6

  • Categorias Abelianas Categorias Abelianas

    que associa cada objeto Y a um mapa h(Y ) : hX1 (Y ) hX2(Y ) que associa cada hX1 (Y ) a composio .Assim, definimos o ncleo de como o funtor

    ker : Cop Abtal que para cada objeto Z, ker(Z)= ker(h), e ker( f ) a restrio de hX ( f ) emker(Z). Agora assuma que o funtor ker representa um objeto K , acompanhadocom um morfismo k : K X tal que k = 0. Chamaremos o par (K ,k) como oncleo de .

    Dado (K ,k) o ncleo de , para todo morfismo k : K X tal que k = 0, entoexiste um nico morfismo h : K K tal que k = k.

    Definimos o concleo de como o duplo dual

    coker= (kerop)op .A definio de concleo equivalente as seguintes definies:

    O concleo de um morfismo : X Y um morfismo c : Y K tal quepara todo objeto Z, a sequncia

    0HomC(K , Z)HomC(Y , Z)HomC(X , Z) exata.

    O concleo de um morfismo : X Y um morfismo c : Y K tal quec = 0 e para qualquer outro morfismo c1 : Y K 1 onde c1 = 0, entoexiste um nico morfismo h : K K 1 com c1 = hc.

    Assim, temos condio de enunciar o quarto axioma:A4: Para cada morfismo : X Y , existe uma sequncia, chamada de decomposi-o cannica,

    K k X i I jY cK ,com as seguintes propriedades:

    ji =; K e K so o ncleo e o concleo respectivamente de ;

    I o ncleo de k e o concleo de c.

    2.2.1 DEFINIO. Uma categoria aditiva C que satisfaz o axioma A4 chamadade categoria Abeliana.

    2.2.2 Exemplo. Ab uma categoria Abeliana:A existncia de uma decomposio cannica de um morfismo : G H entregrupos abelianos, garantido pelo teorema do isomorfismo. Pois se

    im()= Gker

    ,

    obtemos o diagrama

    kerG Gker

    H Him()

    ,

    satisfaz as condies da decomposio primria.

    7

  • Categorias Abelianas Funtores em Categorias Abelianas

    2.2.3 Exemplo. Considere GrpTop a categoria dos grupos topolgicos, Hausdorff,com os morfismos so os homomorfismos contnuos.Qualquer morfismo nesta categoria possui ncleo e concleo, isto , se : X Y ,ker o ncleo de vista em Ab com a topologia induzida e o concleo

    coker=Y/(X ),onde (X ) o fecho de sua imagem.Assim, obtemos o diagrama

    ker X Xker

    (X )Y Yim

    em A b, porm o morfismo cannico de Xker (X ) nem sempre um isomorfismocontnuo e portanto no valdo em GrpTop.Por exemplo, tome X =R com a topologia discreta, assim se = idR : X R, contnua com ncleo e concleo triviais, porm 1 no contnua. Logo GrpTop uma categoria aditiva mas no abeliana.

    2.3 Funtores em Categorias AbelianasToda categoria Abeliana pode ser vista como mergulhada em uma categoria demdulos sobre um anel. Este o conhecido como o teorema do mergulho deFreyd-Mitchell.

    2.3.1 DEFINIO. Seja C, C duas categorias aditivas. Um funtor F : CC dito aditivo se todos os mapas

    F : HomC(X ,Y )HomC (F(X ),F(Y )), X ,Y Ob(C),

    so homomorfismos de grupos abelianos.

    2.3.2 DEFINIO. Seja C, C uma categoria aditiva e F : CC um funtor aditivo.F dito exato se para quaisquer sequncia exata

    0 X fY g Z 0,

    em C, a sequncia0 F(X ) F( f ) F(Y ) F(g) F(Z) 0

    for exata em C.O funtor F dito exata esquerda se a sequncia acima for exata a menos notermo F(Z).O funtor F dito exata direita se a sequncia acima for exata a menos no termoF(X ).

    Segue dois importantes funtores que podem ser encontrados em [GM03]:

    2.3.3 Proposio. Seja C uma categoria Abeliana. Ento os funtores

    CAbX 7HomC(Y , X ),

    8

  • Categorias Abelianas Teoremas de Noether

    e

    Cop Ab,X 7HomC(X ,Y ),

    so exatos esquerda, para cada Y Ob(C).2.3.4 Exemplo. Seja A um anel, ento os funtores:

    A-ModAbX 7Y A X

    e

    Mod-A AbX 7 X A Y ,

    so exatas esquerda, para cada Y Ob(C).Assim enunciamos o teorema que citamos no nicio desta seo

    2.3.5 Teorema. Mergulho de Freyd-Mitchell:Seja A uma categoria Abeliana cujo os objetos formam um conjunto. Ento existeum anel R e um funtor exato F : A R-mod, que um mergulho nos objetos e nosmorfismos Hom s.

    A demonstrao do Teorema acima, pode ser encontrada, na forma mais geralem [Fre64] na pgina 150.

    Por fim, iremos enunciar a definio de funtores projetivos e injetivos.

    2.3.6 DEFINIO. Um objeto Y de uma categoria abeliana dita projetiva se ofuntor X HomC(Y , X ) for exata.Um objeto Y de uma categoria abeliana dita injetiva se o funtor X HomC(X ,Y )for exata.

    Assim,

    2.3.7 Proposio. Y Ob(C) projetivo se, e somente se, para todo epimorfismop : X X e para todo morfismo : Y X , existir um morfismo : Y X talque p =.Y Ob(C) injetivo se, e somente se, para todo monomorfismo i : X X e paratodo morfismo : X Y , existir um morfismo : Y X tal que =.

    2.4 Teoremas de NoetherSeja B Ob(C).2.4.1 DEFINIO. Dois monomorfismos i1 : A1 B e i2 : A2 B so equivalentesse existir mapas 1 : A1 A2 e 2 : A2 A1 tal que i2 1 = i1 e i1 2 = i2.Um subobjeto de B uma classe de equivalncia de monomorfismos em B.Dizemos que um subobjeto representado por i1 : A1 B est contido no subobjetorepresentado por i2 : A2 B se existir um mapa : A1 A2 tal que i2 1 = i1.

    9

  • Categorias Abelianas Teoremas de Noether

    2.4.2 DEFINIO. Dois epimorfismos p1 : BC1 e p2 : BC2 so equivalentesse existir mapas 1 : C1 C2 e 2 : C2 C1 tais que, 1 p1 = p2 e 2 p2 = p1.Um objeto quociente uma classe de equivalncia de epimorfismos.Um objeto quociente representado por p1 : BC1 chamado menor que o objetoquociente representado por p2 : BC2, se existir um mapa 2 : C2 C1, phi2 p2 = p1.

    Assim podemos definir o que venha ser a interseo de objetos:

    2.4.3 DEFINIO. A interseo de dois subobjetos A1, A2 de um objeto A definido como o maior subobjeto contido em A1 e A2. Isto , se C for subobjeto deA1 e A2 ento C est contido na sua interseo.

    2.4.4 Teorema. Seja C uma categoria Abeliana. Ento todo par de objetos possuiuma interseo.

    Demonstrao. Seja 1 : A1 A e 2 : A2 A monomorfismos, : A F umconcleo de 1 e k12 : A12 A2 o ncle de 2. Desde que

    A12k2 A2 2 A F

    nulo, temos que existe um mapa k1 : A12 A1 (monomorfismo) tal queA12 //

    A2

    A1 // A

    comuta.Seja X A1 e X A2 dois pares de mapas tais que

    X //

    A2

    A1 // A

    comuta. Iremos mostrar que existe um nico X A12 tal queX A12 A1 = X A1

    eX A12 A2 = X A2.

    O mapa X A12 existe poisX A2 F = X A1 F = 0

    A12 A2 = ker(A2 F).Portanto existe um nico mapa X A12 tal que

    X A12 A2 = X A2.A outra equao, segue do fato de

    X A12 A1 A = X A2 A = X A1 Ae pelo fato de que 1 um monomorfismo.

    10

  • Categorias Abelianas Teoremas de Noether

    De maneira naloga, sabendo que ncleo e o concleo so inversos (olhar em[Fre64]), todo par de subobjetos tem um menor subobjeto que contm ambos, co-nhecido como a nio. Assim podemos utilizar a notao

    e

    (unio e interseofinita).

    Assim, vale o primeiro e o segundo teorema de Noether, cuja as demonstraespodem ser encontradas em [Fre64] pginas 58 e 59.

    2.4.5 Teorema. Dado C uma categoria Abeliana, e tome A BC objetos. EntoC/AB/A

    =C/B.

    2.4.6 Teorema. Dado C uma categoria Abeliana, e tome A,BC objetos. EntoB

    BA= BA

    A.

    11

  • Captulo 3

    Exemplos Importantes deCategorias Abelianas

    por Brian Callander

    ResumoSeja X uma esquema Noetheriana. Mostraremos que as categorias Sh X , OX -Mod,QCoh X , e Coh X so categorias Abelianas.

    3.1 IntroduoO teorema principal deste captulo o seguinte.

    3.1.1 Teorema. As categorias Sh X , OX -Mod, QCoh X , e Coh X so categoriasAbelianas, onde X uma esquema Noetheriana.

    Nas demonstraes a seguir, usaremos bastante a seguinte relao entre ascategorias:

    Coh X QCoh X OX -Mod Sh Xplenofiel

    plenofiel fiel

    que so imediatas das definies das categorias. Em particular, mostrar que ummorfismo existe em OX -Mod implica que tambm existe em QCoh X e Coh X .No entanto, mostrar que um objeto existe em OX -Mod no implica que existe emQCoh X e Coh X .

    3.2 Hom um grupo Abeliano3.2.1 Lema. HomSh X (F ,G ) um grupo Abeliano para F , G objetos quaisquer.

  • Exemplos Importantes de Categorias Abelianas Existe um objeto zero

    Demonstrao. Sejam , HomSh X (F ,G ). Ento, definindo o morfismo +pela familia (+)U :=U +U , vemos que o diagrama

    F (U) F (V )

    G (U) G (V )

    rUV

    (+)U

    rUV

    (+)V

    comuta pois as restries so homomorphismos de grupos.O elemento neutro dado pela familia de homomorphismos de grupos

    0U : F (U)G (U)s 7 0.

    Ela defina um morfismo 0: F G pois rVU 0U = 0V rVU e defina o elementoneutro pois +0= 0+= .

    O inverso dado pela familia de morfismos

    ()U : F (U)G (U)s 7 U (s).

    Ela compatvel com as restries pois .

    3.2.2 Lema. HomOX -Mod(F ,G ) um grupo Abeliano para F , G objetos quaisquer.

    Demonstrao. Sejam , HomOX -Mod(F ,G ) e defina + , , e 0 como nademonstrao do Lema 3.2.1. Temos que mostrar que estes morfismos pertencem categoria OX -Mod se e pertencerem; ou seja, que so familias de morfismosde mdulos. Seja OX (U) e s F (U). Ento

    ((+)U (s))= U (s)+ U (s)=U

    ( s)+U ( s)

    = (+)U( s)

    e da que (+)U um morfismo de mdulos para um aberto U X qualquer.O morfismo 0U trivialmente um morfismo de mdulos e a inversa pois

    .

    3.2.3 Corolrio. Os conjuntos HomQCoh X (F ,G ) e HomCoh X (F ,G ) so gruposAbelianos para F e G objetos quaisquer das categorias respectivas.

    3.3 Existe um objeto zero3.3.1 Lema. As categorias Sh X , OX -Mod, QCoh X , e Coh X possuem um objetozero.

    Demonstrao. Mostraremos que o feixe constante 0 o objeto zero dessas catego-rias. No primeiro lugar, ele coerente pois, dada uma cobertura afim {Ui =Spec A i | i I }de X , a restrio dele a cada aberto Ui 0|Ui = 0, que o feixe correspondente aoA i-mdulo trivial. Portanto, 0 um objeto de todas as categorias.

    13

  • Exemplos Importantes de Categorias Abelianas Somas e produtos diretos

    Alm disso, temos que

    Hom(F ,0)=Hom(0,F )= 0

    para F um objeto qualquer (da categoria respectiva), pois 0(U) tem exatamente 1elemento para U no vazo.

    3.4 Somas e produtos diretos3.4.1 Lema. A categoria Sh X possui somas e produtos diretos finitos, e uma somadireta isomorfo ao produto direto.

    Demonstrao. Para F1 e F2 objetos de Sh X , o objeto da soma direta dado pelofeixe

    (F1F2)(U) :=F1(U)F2(U),onde a restrio de uma seo a soma das restries dos termos. Ele vem munidocom as incluses ik e as projees pk, k {1,2 }, dadas pelas familias

    (ik)U : Fk(U)F1(U)F2(U), (pk)U : F1(U)F2(U)Fk(U)s 7 s s1+ s2 7 sk.

    Valem (ik)V (s|V )= s|V = (ik)U (s)|V e (pk)V ((s1+ s2)|V )= sk|V = (pk)U (s1+ s2)|V eda que ik e pk so morfismos. Observe que

    pk ik = id (3.1)p1 i2 = p2 i1 = 0 (3.2)i1 p1+ i2 p2 = id (3.3)

    para k {1,2 }, e da que F1F2 uma soma direta e um produto direto.3.4.2 Lema. A categoria OX -Mod possui somas e produtos diretos finitos, e umasoma direta isomorfo ao produto direto.

    Demonstrao. Pelo Lema 3.4.1, temos que mostrar que F1F2 tambm umOX -mdulo e que ik, pk so morfismo de OX -mdulos. Seja OX (U) e sk Fk(U).A multiplicao dada por (s1+ s2) := s1+ s2. Ento

    (s1+ s2)V = ( s1)|V + ( s2)|V=|V s1|V +|V s2|V ,=|V (s1+ s2) |V

    mostrando que a soma compatvel com a estrutura mdulo.Como incluses e projees sempre preservam a estrutura de mdulo, ik e pk

    so morfismos de OX -mdulos.

    3.4.3 Lema. As categorias QCoh X e Coh X possuem somas e produtos diretosfinitos, e uma soma direta isomorfo ao produto direto.

    Demonstrao. Pelo Lema 3.4.3, s falta mostrar que F1F2 (quasi)coerentequandoF1 eF2 foram. Como (F1F2)|Ui =F1|UiF2|Ui , basta considerar o casoafim. O caso afim segue do [Har77, Chap. II, Prop. 5.2c], i.e. com Fk = Mk, a soma dada por

    F1F2 = M1M2,que (quasi)coerente.

    14

  • Exemplos Importantes de Categorias Abelianas Decomposies cannicas

    3.5 Decomposies cannicas3.5.1 Axioma. Qualquer morfismo HomC(F ,G ) tem um ncleo, concleo, euma decomposio cannica

    ker F cokerker G cokerp i

    onde

    p um epimorfismo, i um monomorfismo, e i p= ; e cokerker= kercoker.

    3.5.2 Lema. Morfismos em Sh X tem ncleos.

    3.5.3 Lema. Morfismos em OX -Mod tem ncleos.

    Demonstrao. Seja : F G um morfismo de OX -mdulos e OX (U). Entoker um OX -mdulo, com s induzido pela ao em F (U).

    O morfismo um morfismo de OX -mdulos pois ((s))= s= ( s).Ainda vale = 0.

    Para ver que (ker,) tem a propriedade universal requerida, seja (K ,) umoutro par tal que = 0.

    ker

    F G

    K

    0

    ! 0

    Ento o morfismo de OX -mdulos dado pela familia

    U : s 7 U (s)

    o nico tal que = . Note que bem definida pois = 0, e da queU (s) ker(U).3.5.4 Proposio. [Mac96, Prop. 3.3]. Sejam M, M, e M A-mdulos e S Aum sistema multiplicativo. A operao S1 exata; ou seja, se

    M M Mf g

    for exata em M, ento

    S1M S1M S1MS1 f S1 g

    exata em S1M.

    15

  • Exemplos Importantes de Categorias Abelianas Decomposies cannicas

    3.5.5 Corolrio. Seja : MM um morfismo de A-mdulos. Entoker(p)= (ker)p

    ecoker(p)= (coker)p

    para p< A um ideal primo qualquer.3.5.6 Lema. Morfismos em QCoh X e Coh X tem ncleos.

    Demonstrao. Como (F1 F2)|U =F1|U F2|U , basta considerar o caso afim.Seja X = Spec A, sejam M, N dois A-mdulos, e seja : M N um morfsimo deA-mdulos. Pelo Corolrio 3.5.5

    ker =ker,mostrando que ker (quasi)coerente se for.

    3.5.7 Lema. Morfismos em Sh X tem concleos.

    3.5.8 Lema. Morfismos em OX -Mod tem concleos.

    Demonstrao. Seja Hom(F ,G ), OX (U), e s coker(U). Mostraremosagora que s cokerU , e da que coker um OX -mdulo.

    Para cada x U, temos que s(x) Gx/xFx e que existem uma vizinhanax V U e uma seo t G (V )/VF (V ) tais que ty = s(y) para todo y V . Ento( t)y =y ty =y s(y) e da que s cokerU . Como isso vale sobre as hastes,a ao compatvel com as restries.

    O morfismo c um morfismo de OX -mdulos pois ele a composio demorfismos de pr-feixes que so compatveis com a estrutura de mdulo. Isso ,ele dado pela familia de morfismos

    G (U)

    G (U)/UF (U)

    coker(U)(c)U

    piUiU

    onde piU a projeo cannica e iU a incluso do pr-feixe no feixe associado.Seja Hom(F ,G ) e (C , c) um outro par tal que c = 0.

    coker

    GF

    C

    c

    0

    !

    c

    0

    Ento o morfismo de OX -mdulos dado pela feixificao de

    preU : G (U)/UF (U)C (U)

    [s] 7 c(s) o nico tal que c = c.

    16

  • Exemplos Importantes de Categorias Abelianas Decomposies cannicas

    3.5.9 Lema. Morfismos em QCoh X e Coh X tem concleos.

    Demonstrao. Basta considerar o caso afim. Seja X = Spec A, sejam M, N doisA-mdulos, e seja : MN um morfsimo de A-mdulos. Ento

    coker =coker,mostrando que coker (quasi)coerente se for.

    3.5.10 Proposio. [Har77, Ch. II Prop. 1.1]. Um morfismo de feixes : F G um isomorfismo se e somente se o morfismo induzido nas hastes x : Fx Gx umisomorfismo para todo x X .3.5.11 Lema. Na categoria Sh X ,

    cokerker= kercoker

    para HomSh X (F ,G ) qualquer.Demonstrao. Seja Hom(F ,G ). O morfismo de pr-feixes dado pela familia

    preU : F (U)/kerU (kercoker)(U)

    [s] 7 U (s)

    induz um morfismo de feixes : cokerker kercoker.Ele um isomorfismo pois o morfismo induzido nas hastes

    (cokerker)x =Fx/kerx xFx = kercoker(x)= (kercoker)x[sx] 7 x(sx)

    um isomorfismo para todo x X .3.5.12 Lema. Na categoria OX -Mod,

    cokerker= kercoker

    para HomOX -Mod(F ,G ) qualquer.Demonstrao. Caso que seja um morfismo em OX -Mod, QCoh X , ou Coh X ,o isomorfismo compatvel com a estrutura de mdulo pois . Portanto, oisomorfismo pertence categoria OX -Mod.

    3.5.13 Corolrio. Nas categorias QCoh X e Coh X ,

    cokerker= kercoker

    para Hom(F ,G ) qualquer.3.5.14 Lema. Os morfismos das categorias Sh X , OX -Mod, QCoh X , e Coh Xtem decomposies cannicas.

    17

  • Exemplos Importantes de Categorias Abelianas Decomposies cannicas

    Demonstrao. Seja Hom(F ,G ). Ento a decomposio cannica

    ker F cokerker

    kercoker

    G coker

    c

    =c

    c

    pois

    i := (c ) um monomorfismo por causa de ser uma composio de ummorfismo ncleo com um isomorfismo;

    p := c um epimorfismo por causa de ser um morfismo concleo; = i p; e cokerker= kercoker;

    e todos os objetos e morfismos pertecem s categorias respectivas.

    18

  • Referncias Bibliogrficas

    [Fre64] Peter Freyd, Abelian categories. An introduction to the theory of functors,Harpers Series in Modern Mathematics, Harper & Row, Publishers, NewYork, 1964. MR 0166240 (29 #3517)

    [GM03] Sergei I. Gelfand and Yuri I. Manin, Methods of homological algebra, se-cond ed., Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin,2003. MR 1950475 (2003m:18001)

    [Har77] Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, New York, 1977,Graduate Texts in Mathematics, No. 52. MR 0463157 (57 #3116)

    [Mac96] F.A.A.I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley series in mathematics, Sarat Book House, 1996.

    [Pic02] R.C. Picano, lgebra homolgica de feixes, Dissertao de mestrado,Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), 2002.

    Introduo Linguagem de CategoriasNoes Sobre a Linguagem de Categorias

    Categorias AbelianasCategoria AditivaCategorias AbelianasFuntores em Categorias AbelianasTeoremas de Noether

    Exemplos Importantes de Categorias AbelianasIntroduo`39`42`"613A``45`47`"603AHom um grupo AbelianoExiste um objeto zeroSomas e produtos diretosDecomposies cannicas

    Bibliography