Jennifer gosso

Universidade Presbiteriana Mackenzie

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ESTUDO E MODELAGEM DE UM VÓRTICE SIMÉTRICO

Jennifer Gosso Mardegan (IC) e José Ignacio Hernández López (Orientador)

Apoio: PIBIC/PIVIC Mackenzie

Resumo

Este estudo tem como finalidade entender e caracterizar a física de vórtices simétricos, a partir de modelos matemáticos existentes sobre o assunto. Este tópico foi escolhido por ser de imensa importância ao mundo científico, já que está presente em diversas áreas de estudo. Partindo de uma revisão bibliográfica de conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos foi possível realizar a leitura de artigos e estudos sobre vórtices, voltados para o tema da teoria dos furacões, analisando as variáveis utilizadas no desenvolvimento de equações matemáticase as hipóteses e aproximações empregadas. Deste modo, foi possível avaliar problemas já resolvidos e compreender os resultados obtidos, muitas vezes na configuração de gráficos. Ao fim da investigação de dados foram discutidas as aproximações indispensáveis para o desenvolvimento de problemas, como a comparação da evolução de um furacão ao ciclo de Carnot. Também foi discutida a importânciados resultados gráficos, obtidos na conclusão destes mesmos problemas, como a influência da pressão na formação de fenômenos físicos como os furacões. Conseqüentemente, os objetivos da pesquisa foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o comportamento dinâmico dos vórtices simétricos. Apesar da complexidade envolvida nos conceitos e cálculos, foi interessante ampliar o conhecimento nesta importante área.

Palavras-chave: vórtices simétricos, modelos matemáticos, furacões

Abstract

This study aims to understand and characterize the physics of symmetrical vortexes, from mathematical models on the subject. This topic was chosen because of its immense importance to the scientific world, since it is present in several areas of study. From a review of basic concepts of Thermodynamics and Fluid Mechanics it was possible to read articles and studies on vortexes, focused on the theme of the theory of hurricanes, analyzing the variables used to develop mathematical equations and the assumptions and approximations employed. Thus, it was possible to assess problems already solved and understand the results, most of times in the setting of graphs. At the end of the data research indispensable approaches were discussed, for the development of problems such as the comparison of a hurricane evolution to the Carnot cycle. The graphic results obtained at the conclusion of these same problems were also discussed, such as the influence of pressure in the formation of physical phenomena like hurricanes. Consequently, the research objectives were achieved, so that it was possible to study and understand the dynamic behavior of symmetrical vortexes. Despite the complexity involved in the concepts and calculations, it was very interesting to expand my knowledge in this important area.

Key-words: symmetrical vortexes, mathematical models, hurricanes

VII Jornada de Iniciação Científica - 2011

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INTRODUÇÃO

Segundo pesquisadores/autores como Çengel e Cimbala (2007); Incropera (2008); Ooyama

(1964); White (2002), os vórtices têm imensa importância para o mundo científico. Como

estes estão presentes em diversas áreas de estudo, entre elas os fenômenos naturais

estudados por Emanuel (1991), permanecem um alvo constante de pesquisas e teorias. De

acordo com Çengel e Cimbala (2007), qualquer objeto sólido imerso em um fluido está

sujeito à formação de vórtices ao seu redor e, muitas vezes, este fenômeno é difícil de ser

observado sem artifícios e envolve diversos processos e conceitos considerados na

dinâmica dos fluidos.

O problema de pesquisa se resume em realizar o estudo da modelagem dinâmica de um

vórtice simétrico a partir de pesquisas e teorias existentes sobre o assunto, aplicadas a

situações reais como, por exemplo, furacões.

Conseqüentemente, os objetivos da pesquisa se resumem em estudar, entender e

caracterizar o comportamento dinâmico dos vórtices, além de analisar os modelos

matemáticos existentes sobre a física de um vórtice simétrico.

REFERENCIAL TEÓRICO

Segundo Çengel e Cimbala (2007) os vórtices são definidos como estruturas locais de um

escoamento de fluido caracterizadas por uma concentração de vorticidade, ou seja, giro ou

rotação de partículas de fluido. Um escoamento turbulento é preenchido com pequenos

vórtices de diversos tamanhos, intensidade e orientações. Para definir se um escoamento é

laminar ou turbulento existe o número de Reynolds.

Figura 1 – Foto de diferentes tipos de escoamento, sendo o primeiro turbulento e o último, laminar.

(Fonte: White, Frank M.Mecânica dos Fluidos, 2002. p. 231)


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White (2002) define este número como a relação entre as forças inerciais e as forças

viscosas (ou de atrito) do fluido, permitindo uma estimativa aproximada da importância geral

da força de atrito no escoamento. Como exemplo, a figura 1 demonstra a passagem de um

fluido, da esquerda para a direita, por um cilindro (vista em corte). À medida que a

velocidade do fluido aumenta, o número de Reynolds aumenta e o escoamento se torna

mais turbulento.

O estudo do escoamento de fluidos tem como base as equações de Navier-Stokes, como

pode ser observado nas análises de Wang (1991). Segundo Çengel e Cimbala (2007) estas

equações são relações fundamentais da Mecânica dos Fluidos. Surgiram através da 2ª Lei

de Newton, que afirma que a aceleração de um corpo é proporcional à força resultante

atuante e inversamente proporcional à sua massa, porém agora aplicada ao movimento dos

fluidos.

A troca de calor realizada a partir de fluidos é chamada de Convecção que, de acordo com

Incropera (2008), é a transferência de energia devido ao movimento molecular aleatório ou

movimento macroscópico do fluido. Em suas demonstrações, Emanuel (1986) cita diversos

conceitos da Mecânica dos Fluidos, entre eles a Convecção. Entre outros exemplos destes

conceitos, utilizados na pesquisa realizada, estão Entropia, Sistema Adiabático, Volume de

Controle e Estado Estacionário, que são esclarecidos por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen

(2003) em sua bibliografia. Segundo estes autores:

- Entropia é uma grandeza termodinâmica. De acordo com a 2ª Lei da Termodinâmica,

trabalho pode ser totalmente convertido em calor, entretanto, calor não pode ser totalmente

convertido em trabalho. Com a entropia procura-se mensurar a parcela de energia que não

pode mais ser convertida em trabalho nas transformações termodinâmicas;

- Sistema Adiabático é um sistema em que a transformação termodinâmica ocorre sem

perda ou ganho de quantidade de vapor;

- Volume de Controle é um volume especificado para análise no qual o escoamento entra

e/ou sai através de alguma parte da superfície do volume total. Artifício utilizado na

simplificação de cálculos;

- Estado Estacionário é o estágio de um sistema, em que muitas propriedades do fluido

estudado são inalteráveis com o tempo.

Prosseguindo com conceitos da Termodinâmica há o ciclo de Carnot. Sonntag, Borgnakke e

Van Wylen (2003) definem este como um ciclo no qual todos os processos são reversíveis e

que, portanto, também é reversível.


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Emanuel (1991) realiza a comparação matemática entre o ciclo de Carnot e um furacão,

inicialmente apresentando a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de fluxo e

posteriormente derivando-a para obter o Teorema de Carnot:

p + ρ×�� + ρ × g × z = constante (1)

Onde: � = massa específica = inverso do volume específico (α)

V = vetor velocidade

g = aceleração da gravidade

z = altura acima da superfície

p = pressão estática

�×��

� = pressão dinâmica

ρ × g × z = pressão por gravidade

Derivando esta equação do Princípio de Bernoulli (1), obtemos o Teorema de Carnot:

d �� + d�g × z�+∝ dp + Fdl = 0 (2)

Onde: α = volume específico

F = força de fricção/unidade de massa

dl = distância incremental

A equação (2) obtida mostra o comportamento de um fluido ao longo de uma linha de fluxo

em um estado estacionário, além de ser a base da demonstração de Emanuel (1991).

Para dar continuidade à dedução, é necessário antes definir o conceito da 1ª Lei da

Termodinâmica. Esta Lei, também conhecida como Princípio da Conservação de Energia,

afirma que a energia não pode ser criada nem destruída durante um processo; ela só pode

mudar de forma. O Princípio é equacionado por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen (2003):

Q�� + W�� = "#$%$�"� (3)

Onde: Q�� = taxa total de transferência de calor para o sistema

W�� = entrada de potência total no sistema


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dE$%$� dt' = taxa de variação de energia total do sistema no tempo

No estudo realizado por Rotunno e Emanuel (1987), há a descrição do modelo matemático

criado pelos autores, que mostra o uso efetivo das três Leis da Termodinâmica, confirmando

a sua importância para os cálculos. Assim sendo, prosseguimos com a demonstração de

Emanuel (1991), em que é necessário adaptar a 1ª Lei da Termodinâmica para um sistema

úmido, ou seja, derivá-la:

Tds = C*dT + d�L, × q� − αdp (4)

Onde: s = entropia específica total do ar

01 = capacidade de aquecimento do ar, a pressão constante

23= calor latente da vaporização

q = massa de vapor d’água/unidade de massa de ar

T = temperatura

Isolando o termo 456 da equação (4) e substituindo em (2), temos:

d 712 V�; + d�g × z� + Fdl + <−Tds + CpdT + d�Lv × q�> = 0

d �?� V� + g × z + Cp × T + Lv × q� − Tds + Fdl = 0 (5)

A equação (5) pode ser integrada de modo fechado, para ilustrar que em um sistema estável

ou estacionário, o calor é balanceado pela fricção. Segundo Stewart (2005) esse tipo de

integral é definido como cíclico, ou seja, o ponto inicial a ser considerado é igual ao ponto

final. Integrando, portanto, em um circuito fechado:

@ Tds = @ Fdl (6)

Analisando o primeiro membro da equação (@ Tds):

@ Tds = A TdsBC = T$∆s = T$�sB − sC� (7)

Onde: Índice c = centro da tempestade

Índice a = ambiente

Índice s = na superfície


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A 1ª Lei da Termodinâmica também é utilizada para obter a fórmula da entropia, a partir de

sua derivação:

s = C* × lnT − R × FGp + H,×IJ (8)

Onde: R = constante universal dos gases

Com isso, podemos substituir (8) em (7):

K Tds = T$ L7Cp × FGT − R × FGpB + Lv × qBT ; − 7Cp × FGT − R × FGpC + Lv × qC

T ;M

Após manipulações algébricas, temos a seguinte equação:

@ Tds = T$ × R × FG �*N*O

� + Lv�qB − qC� (9)

A pressão no centro da tempestade (6P) é estimada através de dados obtidos nas condições

climáticas e os valores mais altos já registrados.

Para deixar o modelo mais próximo do fenômeno real, junta-se (9) a (6), lembrando de

adicionar à equação a eficiência termodinâmica do Ciclo de Carnot:

εT$ds = @ Fdl (10)

Em que ε é a eficiência termodinâmica mencionada (para condições atmosféricas típicas

dos trópicos, esta eficiência tem o valor aproximado de ⅓). Emanuel (1991) explica que

grande parte da energia perdida por fricção ocorre na camada limite da superfície ou em

grande raio na saída da corrente, localizada na estratosfera, onde o momento angular

original do ar deve ser reestabelecido. Essa perda é idealizada quando ocorre em um raio

infinito, que pode ser estimado pela conservação do momento angular absoluto (M) no

centro da tempestade. O conceito do Princípio da Conservação de Momento Angular é

definido por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen (2003). Este é o princípio em que o momento

angular total de um corpo em rotação permanece constante quando o torque resultante que

atua sobre ele é zero e, portanto, o momento angular do sistema é conservado.

M = rV + ?� fr� (11)

Após manipulações algébricas, a velocidade de azimute pode ser escrita da seguinte forma:


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V� = T�U� − fM + ?

V f �r� (12)

Onde: V = velocidade de azimute

f = 2x velocidade angular da Terra (componente vertical)

r = raio até o centro do ciclone

M = momento angular absoluto

A equação (12) mostra, portanto, a possível estimativa da perda de energia a partir da

conservação de momento angular. A perda de energia é significante para o estudo, já que,

quando localizada na camada limite, pode ser relacionada com a queda de pressão radial.

A camada limite, exemplificada pela figura 2, é descrita por White (2002, p. 29): “Os

escoamentos de fluidos de baixa viscosidade como, por exemplo, escoamentos de água e

de ar, podem ser divididos em uma fina camada viscosa, ou camada limite, próxima das

superfícies sólidas [...], na qual as equações de Euler e Bernoulli se aplicam.”. Ou seja, é a

camada de fluido nas imediações de uma superfície delimitadora, onde há a dissipação de

energia.

Figura 2 – Exemplo de um objeto imerso em um fluido e a camada limite que o envolve.

(Fonte: White, Frank M. Mecânica dos Fluidos, 2002. p. 175)

A equação de Euler citada anteriormente, também definida por White (2002), é muito

utilizada para fluidos, já que descreve seu movimento. Esta equação, trazida a seguir, pode

ser integrada ao longo de uma linha de corrente para se obter a equação de Bernoulli (1):

ρ "�"� = ρ × g − ∇p (13)

Onde: V = velocidade

""� = operador de derivada temporal

ρ = densidade

g = aceleração da gravidade


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∇p = gradiente de pressão

O último tema abordado, estudado por Emanuel (1991), será a influência da pressão central

nos furacões. Os furacões nunca surgem espontaneamente, mesmo quando as condições

ambientais são favoráveis. O desequilíbrio termodinâmico entre o oceano e a atmosfera já é

reconhecido como a fonte de energia da grande maioria dos furacões tropicais. Segundo a

teoria de Emanuel (1989), os furacões tropicais resultam de uma instabilidade de amplitude

finita envolvendo o ciclone em estudo e a evaporação da água do oceano, induzida pelo

vento em sua superfície. Ao construir seu modelo matemático, este autor manteve conceitos

básicos da Física para simplificar a resolução de equações, como a da pressão central.

Após extensa dedução e manipulações algébricas, Emanuel (1986) alcança a seguinte

fórmula:

ln πB$ = Y7Z[\Z]^_Z[ ;`× aN∗

cd×Ze�fgOYfgN�hij× k�×lm�

cd×Z[?Y 7Z[\Z]^_

Z[ ;�?h`× aN∗×noOenZe � (14)

Onde: πB$ = pressão central = 1015 mb

Tp = temperatura absoluta no topo da camada limite = 295 K

T�q� = temperatura média de saída, ponderada com a entropia úmida saturada de

saída de superfícies de momento angular. Também chamada de temperatura na

estratosfera = 200 K

T$ = temperatura na superfície do ar (aproximadamente 5°C a mais que Tp) = 300 K

L = rsd×J[t = raio de deformação = 10000 km

qC* = proporção da mistura de ar ambiente, valor saturado

C* = capacidade de aquecimento do ar a pressão constante

R = constante universal dos gases = 8,31447 kJ/kmol.K

RHB = umidade relativa no centro da tempestade

RHC = umidade relativa do ambiente = 80%

RHB$ = umidade relativa da superfície central = 100%

f = parâmetro de Coriolis, para uma latitude de 20°

rv= maior raio do ciclone = 500 km


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Esta equação mostra a relação entre pressão central e o aumento da umidade relativa da

superfície central. Emanuel (1991) esclarece esta relação: “[...] uma transferência de calor

acima e além da associada à expansão térmica é necessária para sustentar um ciclone

tropical. Essa transferência extra-isotérmica é refletida por um aumento da umidade

relativa.” Conseqüentemente, a equação (14) mostra a grande influência que a pressão

central exerce sobre a formação dos furacões.

A fórmula comprova que o déficit de pressão é esperado para ser mais fraco em

tempestades geometricamente maiores (o efeito é apenas notável quando o raio do ciclone

é maior ou igual a 500 km e, por tal motivo, este é o valor utilizado nas contas). Para a

obtenção de resultados efetivos a partir desta equação, suas variáveis e os parâmetros

adotados são transmitidos para um programa computacional, como sugerido por Chapman

(2003). Com o auxílio destes programas, como o Excel ou MatLab, é possível elaborar um

gráfico representativo de seus resultados. Este gráfico apresentará o comportamento da

pressão central em função das outras variáveis a serem analisadas.

Os gráficos obtidos a partir deste modelo matemático serão discutidos nos Resultados.

MÉTODO

Para o estudo da modelagem matemática de um vórtice simétrico, a compreensão das

equações e Leis Físicas ou Matemáticas utilizadas é o primeiro passo, ou seja, saber o que

representa cada termo dentro da equação e qual a teoria por trás da mesma. Ooyama

(1964) cita em seus textos que a evolução e estrutura básica das tempestades são bem

capturadas por modelos axissimétricos simples.

Assim, o projeto foi iniciado a partir de uma revisão bibliográfica, consultando diversos livros

didáticos, para fixar conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos, muitos

deles já citados no Referencial Teórico como Leis da Termodinâmica (Princípios da

Conservação de Energia, Massa e Momento Angular), Ciclo de Carnot, Entropia e Equação

de Bernoulli. Com os conceitos esclarecidos, o estudo passa para a próxima etapa de ler

artigos e estudos prévios sobre vórtices, familiarizando-se com o tema e relacionando os

itens estudados aos itens lidos. Dentre os principais elementos escolhidos para a leitura

estão os artigos de Kerry A. Emanuel, professor norte americano de meteorologia. Seus

artigos foram selecionados devido a sua grande influência na comunidade meteorológica por

ser especialista em convecção atmosférica e mecanismos agentes na formação de ciclones

tropicais.

Concentrando então em artigos voltados para a teoria dos furacões, foi iniciado um estudo

mais profundo do fenômeno físico. Inicialmente todas as variáveis que afetam o fenômeno


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foram identificadas, todas as hipóteses e aproximações razoáveis foram analisadas,

permitindo a compreensão da interdependência entre essas variáveis.

Algo que auxiliou imensamente a pesquisa foi analisar problemas já resolvidos. Por

exemplo, gráficos montados pelo mesmo professor Kerry A. Emanuel que avaliam a

distribuição da pressão central no mundo ao longo dos meses. Ao observar estes resultados

foi possível analisá-los até o início de sua formação, ou seja, como foi formado o problema

até a conclusão de sua resolução.

Posteriormente, ao dar continuidade ao projeto, o próximo passo seria modelar

matematicamente um problema, a fim de alcançar resultados próximos aos já observados. O

futuro objetivo será a realização da redução deste fenômeno, complexo em sua essência,

através de equações e situações simplificadas, transformando-o assim em um modelo

matemático. Portanto, os dados obtidos nos resultados da modelagem poderão ser

comparados e analisados, com base nos dados recolhidos no início da pesquisa, para um

possível refinamento do modelo.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Ao fim da investigação dos dados foi possível separar diversos itens indispensáveis para o

entendimento dos problemas. A discussão de alguns resultados interessantes será realizada

a seguir.

Inicialmente o dado recolhido mais importante foi a aproximação idealizada por Emanuel

(1991) de um vórtice simétrico, no caso de um furacão, ao ciclo de Carnot. Seguindo essa

teoria, o furacão pode ser idealizado como uma instabilidade da superfície trocadora de

calor induzida pelo vento, ou seja, quanto maior o vento superficial maior será a

transferência de calor a partir do mar, o que intensifica os ventos de tempestades. E como

um motor de Carnot, converte a energia calorífica extraída dos oceanos em energia

mecânica. O gráfico a seguir mostra esta aproximação.

Gráfico 1 – O furacão como um ciclo de Carnot

(Fonte: Emanuel, A. Kerry. The theory of hurricanes, 1991. p. 181)


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Simplificando a estrutura de um furacão, adota-se que seus vórtices comportam-se de modo

simétrico em relação ao centro da tempestade. O gráfico 1 representa esta simplificação, de

modo que a metade de um furacão pode ser vista em corte, sendo o eixo das ordenadas o

seu centro. Suas linhas contínuas representam o caminho realizado pelos vórtices e

movimentações de ar. Este caminho é descrito por Emanuel (1991) da seguinte forma:

Ao ir do ponto “a” ao ponto “c”, o ar vai em direção ao centro da tempestade, adquirindo

entropia da superfície do oceano a uma temperatura fixa. A partir do ponto “c” o ar sobe

adiabaticamente até aproximadamente o topo da tempestade, com normalmente um raio

muito amplo, no ponto “o”. Se o fluido deste sistema for o vapor d’água, esta parte do ciclo

será reversível e adiabática. O excesso de entropia é perdido através de exportação ou

radiação eletromagnética em uma temperatura T0, mais baixa. Inicia-se então o

encerramento do ciclo, que tem pouca contribuição termodinâmica. Esta hipótese permitiu a

simplificação dos cálculos aplicados no início da resolução de diversos problemas.

Já o próximo gráfico mostra os resultados obtidos em cálculos de Emanuel (1986). Ele

mostra as regiões de grandes tempestades, a partir das chamadas mínimas pressões

centrais.

Gráfico 2 – Mínima pressão central de ciclones tropicais. As pressões centrais dos ciclones mais intensos

registrados até 1991 estão marcadas com uma cruz. (Fonte: Emanuel, A. Kerry. An air-sea interaction theory for tropical cyclones - Part I, 1986. p. 592)

Regiões como América Central e regiões próximas ao Japão e à Indonésia estão sinalizadas

no gráfico como os locais de menor pressão central e, conseqüentemente os locais com

maior tendência à ocorrência de furacões, o que condiz com a nossa realidade. Portanto, é


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demonstrado matematicamente e experimentalmente que estas duas grandezas são

inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais intensa for a tempestade, menor será a

pressão central envolvida. Assim, o gráfico 2 mostra a importância de se calcular a pressão

central, para que se definam as áreas mais propensas à ocorrência do fenômeno.

O gráfico 3 é mais uma demonstração de resultados obtidos em modelos matemáticos

resolvidos. Através da resolução e desenvolvimento da equação (14) do Referencial Teórico

é possível dispor o gráfico da pressão mínima central em função da temperatura de

superfície do ar e da temperatura média de saída (também chamada de temperatura na

estratosfera).

Gráfico 3 – Mínima pressão central demonstrada como função da temperatura da superfície do ar (Ts) e da

temperatura média de saída do ar na estratosfera (Tout) (Fonte: Emanuel, A. Kerry. The theory of hurricanes, 1991. p. 590)

As soluções apresentadas por este modelo de Emanuel (1991) mostram que ambas as

temperaturas causam modificações na pressão central, porém a temperatura da superfície

do ar se mostra mais sensível quando comparada à temperatura da estratosfera. É possível

notar que a máxima intensidade potencial dos ciclones aumenta rapidamente quando a

temperatura da superfície do ar está acima de aproximadamente 28°C e a temperatura

média de saída do ar na estratosfera é cada vez mais baixa.

A tese de Emanuel (1989) baseia-se no motivo da falta da ocorrência do fenômeno quando

a temperatura da superfície do ar está abaixo de 26°C e a temperatura da estratosfera mais

quente que -20°C. Segundo este autor, este fato ocorre já que nessa faixa de temperaturas

há a falta da instabilidade entre oceano e a atmosfera, necessária para dar início ao

processo de formação dos furacões.


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CONCLUSÃO

Os objetivos da pesquisa foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o

comportamento dinâmico dos vórtices simétricos, além de analisar modelos matemáticos

existentes. Contudo, ao fim da análise teórica foi possível perceber a complexidade

envolvida no assunto visto. Pelo fato de os artigos lidos serem escritos para demonstração

de cálculos, e não de forma didática, e por ser um tema pouco estudado em minha

graduação, dificuldades foram encontradas em relação aos conceitos ao longo dos textos

lidos e das deduções analisadas. A revisão bibliográfica sempre constante durante a

pesquisa foi indispensável para o desenvolvimento do trabalho e um melhor entendimento

do tema. Ao mesmo tempo, foi muito interessante ampliar meu conhecimento nesta área,

que é de imensa importância para a ciência em geral e também para muitos países onde a

realidade dos furacões é freqüente, afetando a vida de milhares de pessoas.

REFERÊNCIAS

ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 1.

ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.

CHAPMAN, Stephen J. Programação em MatLab para Engenheiros. 1. ed. São Paulo:

Thomson Pioneira, 2003.

EMANUEL, Kerry A. An Air-Sea Interaction Theory for Tropical Cyclones. Part I: Steady

State Maintenance. Journal of the Atmospheric Sciences, Boston; v. 43, 1986.

EMANUEL, Kerry A. The Finite-Amplitude Nature of Tropical Cyclogenesis. Journal of the

Atmospheric Sciences, Boston; v. 46, 1989.

EMANUEL, Kerry A. The theory of hurricanes.Annual Review of Fluid Mechanics, California;

v. 23, 1991.

INCROPERA, Frank P. et al. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6. ed. Rio

de Janeiro: LTC, 2008.

OOYAMA, K. A dynamical model for the study of tropical cyclone development.Geofisica

International, México; v. 4, 1964.

ROTUNNO, R.; EMANUEL, Kerry A.An Air-Sea Interaction Theory for Tropical Cyclones,

Part II: Evolutionary study using axisymmetric nonhydrostatic numerical model. Journal of the

Atmospheric Sciences, Boston; v. 44, 1987.

SONNTAG, Richard E.; BORGNAKKE, Claus; VAN WYLEN, Gordon J. Fundamentos da

termodinâmica.6. ed.São Paulo: Blucher, 2003.


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STEWART, James. Cálculo: volume 2. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2005.

WANG, C. Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations. Annual Review of

Fluid Mechanics, California; v. 23, 1991.

WHITE, Frank M. Mecânica dos Fluidos. 4. ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 2002.

Contato: [email protected] e [email protected]

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