JM2010 Calculo

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LER E ESCREVER JORNADA DE MATEMTICA Clculo

Governo do Estado de So Paulo Governador Alberto Goldman Secretrio da Educao Paulo Renato Souza Secretrio-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedaggicas Valria de Souza Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE Presidente Fbio Bonini Simes de Lima Chefe de Gabinete Richard Vainberg Diretora de Projetos Especiais Claudia Rosenberg Aratangy Coordenadora do Programa Ler e Escrever Iara Gloria Areias Prado Centro de Referncia em Educao Mrio Covas Coordenadora Maria Salles

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO SECRETARIA DA EDUCAO CORDENADORIA DE ESTUDOS E NORMAS PEDAGGICAS

LER E ESCREVER JORNADA DE MATEMTICA Clculo

So Paulo 2010

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SUMRIOO que e como funcionar a Jornada Matemtica .......................................................................05 Por que trabalhar com diferentes tipos de clculos?.......................................................................13 Orientaes para o planejamento das atividades. .........................................................................20 Atividade 1: Preenchimento da Tabela de Adies ........................................................................21 Atividade 2: Jogo - Bingo das Metades ............................................................................................23 Atividade 3: Jogo Stop de Operaes ..........................................................................................26 Atividade 4: Explorando Subtraes ..................................................................................................28 Atividade 5: Adio e Subtrao de Dezenas e Centenas Exatas ..............................................29 Atividade 6: Jogo das Dezenas Exatas .............................................................................................32 Atividade 7: Montando d Tabuada ....................................................................................................34 Atividade 8: Bingo da Tabuada ..........................................................................................................36 Atividade 9: Bingo de Tabuada Invertida .........................................................................................39 Atividade 10: Arredondar Nmeros ...................................................................................................43 Atividade 11: Estimando Custos ..........................................................................................................45 Atividade 12: Maior que, menor que .................................................................................................47 Atividade 13: Multiplicao por 10, 100, 1.000 ............................................................................49 Atividade 14: Primeiro Listo de Operaes ...................................................................................51 Atividade 15: Algoritmos da Adio Decomposio de Nmeros ............................................52 Atividade 16: Algoritmos da Subtrao Decomposio de Nmeros ......................................55 Atividade 17: Algoritmos Alternativos de Adio e Subtrao ....................................................60 Atividade 18: Multiplicando por Mltiplos de Dez..........................................................................62 Atividade 19: Carta na Testa ..............................................................................................................64 Atividade 20: Qual o Resultado Exato Mais Prximo? ............................................................65 Atividade 21: Competio de Algoritmos Adio e Subtrao ................................................67 Atividade 22: Dobros ............................................................................................................................69 Atividade 23: Metades .........................................................................................................................71 Atividade 24: Quantos Cabem ............................................................................................................73 Atividade 25: Segundo Listo de Operaes ..................................................................................76 Atividade 26: Quantos Dgitos? ...........................................................................................................77 Atividade 27: Por Que Esta Operao Est Errada?......................................................................79 Atividade 28: Fazendo Multiplicaes por Decomposio ............................................................81 Atividade 29: Stop de Multiplicaes ................................................................................................83 Atividade 30: Gincana de Algoritmos Adio, Subtrao e Multiplicao...................................85 3

Atividade 31: Quantas Notas de 10? ................................................................................................87 Atividade 32: Escolher o Resultado Mais Prximo ...........................................................................89 Atividade 33: Tcnicas para Multiplicar ............................................................................................91 Atividade 34: Multiplicar Usando Dobros e Metades.....................................................................93 Atividade 35: Simplificando as Divises (Atividade Complementar) ...........................................95 Atividade 36: Planejando a Festa ......................................................................................................98 Atividade 37: Resolvendo Problemas .................................................................................................100 Atividade 38: Terceiro Listo de Operaes ....................................................................................102 Anexo: Modelos Para Provas................................................................................................................103

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O Que e Como Funcionar A Jornada MatemticaA Jornada de Matemtica segue o modelo de um concurso, envolvendo os alunos da quarta srie das escolas estaduais da Grande So Paulo - quinto ano no Ensino Fundamental de nove anos. Os concorrentes sero avaliados em suas habilidades de clculo em diversas modalidades: clculo mental e escrito, exato e aproximado. Mesmo em se tratando de uma jornada, o objetivo desta iniciativa mobilizar toda a comunidade escolar para o desenvolvimento de aes de ensino que visem ampliao das competncias matemticas do maior nmero de alunos possvel. Pensando nisso, foram previstas trs etapas na escola, em que equipes de cinco alunos, formadas em cada classe, realizaro atividades especialmente elaboradas para avaliar a capacidade de realizar estimativas, clculos mentais, clculos escritos, exatos, e a possibilidade de utilizar diferentes estratgias para calcular. Aps essas trs etapas, ser escolhida uma equipe de cada escola: aquela que tenha conseguido reunir, nas trs etapas iniciais, o maior nmero de pontos, considerando os quatro melhores resultados dos integrantes. O menor resultado do grupo ser desconsiderado na contagem. Essa equipe passar para a fase seguinte, que ocorrer nas Diretorias de Ensino, em que as equipes de escolas pertencentes mesma regio disputaro uma vaga para as fases semifinal e final. A etapa final, na Secretaria da Educao, reunir as equipes vencedoras da semifinal que ocorrer nos Polos. Importncia das etapas nas escolas A jornada de matemtica no tem por objetivo simplesmente premiar alunos vencedores, mas criar um contexto favorvel aprendizagem das diversas modalidades de clculo. Pretendese que a participao seja um estmulo para que os alunos se envolvam em atividades realizadas em salas de aula, voltadas ao desenvolvimento de diferentes formas de calcular. Considerando-se este objetivo, as etapas nas escolas so fundamentais. Elas ocorrero em classes de quarta srie - quinto ano no Ensino Fundamental de nove anos, aps um perodo de aprendizagem dos diferentes tipos de clculo. Para tanto, os professores envolvidos devero planejar e propor atividades, enfocando esses contedos. Nestas Orientaes esto includas algumas sugestes. Nas provas da Jornada, os alunos tero oportunidade de utilizar os conhecimentos construdos durante as atividades que ocorrerem em classe. Sendo assim, as etapas nas escolas sero constitudas por dois momentos: o de realizao de atividades voltadas aprendizagem de 5

todas as modalidades de clculo e o de provas, quando conhecimentos construdos em um primeiro momento podero ser aplicados. A participao nas etapas iniciais, aquelas que ocorrem nas escolas, faz parte de um processo que envolve professores e alunos: como realizaro vrias atividades em que o professor favorecer o desenvolvimento de diferentes competncias relacionadas ao clculo, os alunos estaro melhor instrumentalizados para participar da Jornada. por isso que haver vrias etapas na escola e que, nestas, nenhuma equipe ser eliminada: espera-se garantir assim um perodo de tempo maior para realizao de atividades, com participao de todos os alunos nessa fase. Outra caracterstica da Jornada envolver equipes, e no s o aluno em seu desempenho individual. Com isso, espera-se garantir, tanto na fase inicial, nas escolas, como nas etapas posteriores, que o clima de competio entre as equipes tenha como meta a cooperao entre os integrantes de uma mesma equipe. Durante as provas, os alunos realizaro atividades individuais e em grupos, mas o rendimento da equipe que ser considerado. A que apresentar melhor desempenho ser aquela que reunir maior nmero de pontos, considerando-se a soma conseguida pelos participantes. Todas as equipes podero eliminar da contagem o menor resultado. Dessa forma, os alunos sero estimulados a compartilhar aquilo que sabem com colegas que encontrem maiores dificuldades, especialmente nos momentos de aprendizagem, que precedem cada uma das provas. Como sero as provas atividades. Haver quatro tipos diferentes de desafios: 1o desafio: Os alunos trabalharo individualmente e tero que calcular o resultado de 20 operaes simples. Em apenas cinco minutos, devero resolver corretamente o maior nmero de operaes, o que implicar na necessidade de trabalhar com rapidez. Terminado esse tempo, todos devero parar, mesmo que no tenham conseguido concluir. Esta atividade dever envolver clculos exatos nas operaes, esperando-se que os alunos tenham memorizado os resultados. Ganhar mais pontos a equipe que conseguir o maior nmero de respostas corretas. Para calcular o seu total se excluir o resultado do aluno que obteve o menor nmero de acertos enquanto os demais sero somados. 2o desafio: As atividades so propostas oralmente e os alunos devero realizar clculos aproximados - estimativas. O professor far uma pergunta, cada aluno responder individualmente em sua folha e depois mostrar para toda a classe. Nesse caso, os alunos tambm tero um tempo, estipulado previamente, para realizar o raciocnio. 6

Ganhar mais pontos a equipe em que o maior nmero de integrantes chegar resposta correta. Essa atividade envolve competncias relacionadas ao clculo aproximado ou capacidade de realizar estimativas. 3o desafio: Os alunos tero uma operao para resolver, utilizando-se de determinada estratgia de clculo. Os integrantes do grupo resolvero conjuntamente, mas somente um aluno ser chamado ao quadro para expor o raciocnio. importante que todos saibam como resolver, pois o aluno que for chamado para representar cada grupo ser sorteado. Assim, procura-se garantir que um colabore com o outro, ensinando o colega, a fim de que todos estejam preparados para apresentar a soluo encontrada. Essa atividade envolve trabalho em equipe e diferentes tcnicas de clculo, incluindo as operatrias convencionais - algoritmos convencionais ou estratgias que envolvam a decomposio dos nmeros. 4o desafio: Uma atividade ser proposta e o grupo que resolv-la mais rapidamente mostrar como fez. Se a soluo apresentada estiver correta, a equipe ganhar pontos. O que o professor pode fazer para preparar seus alunos A Jornada foi planejada de modo a promover as habilidades do maior nmero de alunos: A organizao em equipes visa a favorecer a troca de informaes, especialmente a cooperao entre aqueles que tm maior afinidade com os contedos matemticos e os colegas que encontram algumas dificuldades. A realizao das etapas iniciais, no mbito das escolas, tem por objetivo propiciar um contato mais prximo entre professor e equipes de alunos, o que pode auxiliar na identificao daqueles que mais necessitam de suporte para a aprendizagem e a proposio para intervenes de auxlio. Isso poder ocorrer durante as atividades que antecedam as provas. As Orientaes, elaboradas especialmente para a Jornada, contm informaes sobre os diferentes tipos de clculo e sua importncia, alm de vrias sugestes de atividades, reconhecidas em seu potencial para promover a aprendizagem dos contedos visados. Trata-se de um subsdio para apoiar o professor em planejamento e encaminhamento de tais atividades. Formao de grupos e orientaes para incluso de todos os alunos. A formao dos grupos que participaro da Jornada permite um ambiente de cooperao entre os integrantes. No entanto, para que isso de fato ocorra, importante que o professor faa intervenes no seguinte sentido: Incluir todos os alunos nas equipes. Organizar os grupos de modo a equilibrar as equipes, distribuindo de modo equivalente 7

os alunos mais competentes e os que apresentam dificuldades, entre as equipes de cada classe. Assim, a interao entre os que dominam os contedos e aqueles que precisam de ajuda favorecida. Evitar que alguns alunos, identificados como pouco competentes nos contedos matemticos, sejam hostilizados ou ignorados em suas equipes. preciso que todos compreendam que, ao ajudar os colegas a superar algumas dificuldades, aumentam-se as chances do grupo. possvel encaminhar as atividades que precedem as provas classificatrias de modo a propiciar que cada aluno sinta-se responsvel por ensinar a seus companheiros de equipe o melhor modo de realizar os clculos, pois essa uma boa estratgia para garantir um bom desempenho de todos durante as provas. importante que o professor oferea ajuda aos alunos que necessitam, durante o perodo de preparao para as provas e, sempre que possvel, fornea informaes e ajude-os a rever seus clculos.

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As etapas do concurso e as atribuies de cada um.Etapa Preparao para a primeira prova - em classe. O que fazer Atividades em classe, sem carter competitivo, para que os alunos aprendam os diversos tipos de clculo. Organizao dos alunos Alunos trabalharo individualmente ou em equipes. Material Orientaes elaboradas para o concurso. Atividades criadas pelo professor. Quando Junho/Julho/ Agosto/Setembro

Primeira prova na escola

Desafios matemticos envolvendo os contedos relacionados a diferentes tipos de clculos.

Equipes formadas pelo professor.

Atividades elaboradas pela equipe de professores da 4 srie, com apoio da equipe de coordenao da escola. Podese contar com as sugestes de atividades das Orientaes. Orientaes de atividades elaboradas para o concurso. Atividades criadas pelo professor.

Preparao para a segunda prova - em classe.

Atividades em classe, sem carter competitivo, para que os alunos aprendam os diversos tipos de clculo. Desafios matemticos envolvendo os contedos relacionados a diferentes tipos de clculos.

Atividades individuais ou em equipes.

Segunda prova na escola.

Equipes formadas pelo professor.

Atividades elaboradas pela equipe de professores da 4 srie, com apoio da equipe de coordenao da escola. Pode-se contar com as sugestes de atividades das Orientaes.

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Etapa Preparao para a terceira prova - em classe.

O que fazer Atividades em classe, sem carter competitivo, para que os alunos aprendam os diversos tipos de clculo. Desafios matemticos envolvendo os contedos relacionados a diferentes tipos de clculos.

Organizao dos alunos Atividades individuais ou em equipes.

Material Orientaes elaboradas para o concurso. Atividades criadas pelo professor.

Quando

3 prova - na escola.

Equipes formadas pelo professor.

Atividades elaboradas pela equipe de professores da 4 srie com apoio da equipe de coordenao da escola. Pode-se contar com as sugestes de atividades das Orientaes. Equipe de coordenao das escolas.

Escolha da equipe vencedora da escola. Disputa nas Diretorias de Ensino.

Soma dos pontos dos integrantes das equipes. Desafios matemticos dos quatro tipos descritos acima. Equipes vencedoras das escolas.

Prova elaborada pela equipe tcnica das Diretorias, a partir dos relatrios fornecidos pelas escolas. Ver observao abaixo. Equipe Tcnica das Diretorias de Ensino.

Setembro/ Outubro

Escolha da equipe que disputar a prxima etapa nos Polos Disputa das semifinais nos Polos e escolha da equipe que disputar a etapa final

Soma dos pontos para amparar a escolha da equipe vencedora. Desafios matemticos dos tipos descritos acima e soma dos pontos para amparar a escolha da equipe vencedora. Equipes vencedoras nas Diretorias de Ensino

Equipe Tcnica constituda pela COGSP/SEE

Outubro

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Etapa Disputa da final - na Secretaria da Educao.

O que fazer Desafios matemticos envolvendo os contedos relacionados a diferentes tipos de clculos.

Organizao dos alunos Equipes vencedoras nas Diretorias de Ensino.

Material Prova elaborada pela equipe tcnica da Secretaria da Educao, a partir dos relatrios das Diretorias de Ensino. Ver observao abaixo. Equipe Tcnica da Secretaria da Educao.

Quando Outubro/ Novembro

Escolha da equipe vencedora.

Soma dos pontos para amparar a escolha da equipe vencedora.

Observao: Ao inscrever a equipe vencedora, a escola dever apresentar um relatrio descrevendo o processo de escolha e os desafios que foram propostos aos alunos em cada uma das provas. O mesmo dever fazer a Diretoria de Ensino, ao inscrever a equipe que se classificou para a etapa semifinal. Possveis dvidas e respostas Nas etapas que ocorrero nas escolas, haver equipes eliminadas em cada rodada? No. Em cada prova aplicada nas escolas, as equipes acumularo pontos, mas todas continuaro disputando. Se uma equipe fizer menos pontos na primeira rodada, poder se preparar melhor e superar as demais na rodada seguinte. Busca-se garantir assim que o maior nmero de alunos participe do processo, durante o maior perodo possvel, pois essa participao que motivar a realizao das atividades voltadas para a aprendizagem das habilidades de clculo. Haver alguma fiscalizao do processo de escolha das equipes vencedoras nas escolas? No. As trs etapas iniciais fornecero subsdios para a escolha da equipe que representar a escola nas demais rodadas do concurso. Para inscrever a equipe vencedora, a escola dever apresentar um relatrio em que constar o relato do processo de escolha das equipes e as atividades que foram aplicadas nas trs provas. O professor poder propor atividades diferentes daquelas que esto sugeridas no manual? As atividades das Orientaes so sugestes e a elaborao das trs primeiras provas ser feita pela equipe de professores. No entanto, aconselhvel que se utilize uma estrutura 11

semelhante s provas que sero utilizadas nas etapas posteriores - nas Diretorias de Ensino e na Secretaria da Educao, para que os alunos se familiarizem com os vrios tipos de desafios que sero propostos. Assim, para melhorar as condies de participao de seus alunos, aconselhvel que os professores criem provas que sigam os mesmos modelos que sero utilizados nas etapas posteriores.

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Por Que Trabalhar Com Diferentes Tipos De Clculos?Nas situaes da vida cotidiana que exigem clculos, as pessoas lanam mo de diferentes formas de calcular: podem usar uma calculadora e com isso conseguir um resultado exato; podem usar lpis e papel e utilizar os algoritmos ensinados na escola; podem obter uma aproximao do resultado, estimando seu valor; ou podem realizar a operao mentalmente, por meio de estratgias diversas. A escolha de um ou outro mtodo depende da situao em que a pessoa se encontra, do grau de habilidade que apresenta em cada modalidade de clculo, dos instrumentos de que dispe no momento, da necessidade ou no de resultado exato e dos prprios nmeros envolvidos. Durante um perodo considervel do sculo passado, o ensino dos algoritmos das quatro operaes fundamentais ocupava um papel central e primordial nas aulas de matemtica do ensino primrio e as outras modalidades de clculo no eram bem aceitas. Havia uma razo para isso: a inexistncia ou dificuldade de acesso s calculadoras exigia que as pessoas tivessem algum recurso que lhes permitisse fazer operaes com resultados corretos, independente de sua maior ou menor habilidade com nmeros. O ensino dos algoritmos era, ento, realizado como se fosse um bolo do qual se d a receita: uma sequncia clara de passos, que deve ser seguida em uma ordem predeterminada e que pode ser aplicada a qualquer nmero - A definio de algoritmo, proposta por Knuth na Scientific American, em 1977, : um conjunto de regras para obteno de um determinado resultado a partir de dados especficos e atravs de passos descritos com tal preciso que poderiam ser executados por mquinas. Nesse tipo de ensino, no cabiam explicaes sobre os porqus dos diferentes passos ou das regras: Por que se comea a somar da esquerda para a direita?, Na multiplicao, por que se deixa um espao vazio, direita, quando se est operando com o segundo algarismo? Por que na diviso realizamos o procedimento da esquerda para a direita, se em todas as outras operaes trabalhamos da direita para a esquerda?. Muito provavelmente, essas perguntas nem eram formuladas, pois o prprio modo de ensinar no estimulava questionamentos desse tipo. Em compensao, a utilizao do algoritmo em operaes matemticas organiza os passos, facilita o registro e a conferncia dos resultados, e pode ser ensinada por repetio. Muitas pessoas tornaram-se geis nas operaes ensinadas dessa forma, embora com poucas condies de calcular de qualquer outra maneira. Por outro lado, indivduos com maior dificuldade em seguir tais procedimentos acharam-se excludos. Mas, e hoje em dia, quando as calculadoras se tornaram de to fcil acesso, mais baratas e encontradas em todos os lugares? Qual o sentido de continuar ensinando a resolver operaes com o uso dos algoritmos convencionais? 13

Realmente, no h como negar que, atualmente, em atividades cotidianas e profissionais, muito menos operaes so realizadas com a utilizao dos algoritmos convencionais, com lpis e papel, do que em pocas anteriores ao advento da calculadora! Quando se precisa operar com nmeros grandes para obter resultados exatos, esse o mtodo mais escolhido. Mas, e nas operaes bsicas do dia a dia? E naquelas em que precisamos apenas ter uma ideia do resultado, saber se o dinheiro que temos suficiente para fazer uma compra, por exemplo? Naquelas em que precisamos de um resultado rpido e direto? Esse o motivo que tem levado os educadores matemticos, j h algum tempo, a insistir na necessidade de a escola incorporar em seus programas de matemtica, desde o Ensino Fundamental, outros tipos de clculo, incentivando-os, valorizando-os, estimulando a troca de estratgias diversas entre os prprios alunos. Quais seriam esses diferentes tipos de clculos? 1) Usando calculadora Neste caso, normalmente o que se busca uma resposta exata. Contudo, mesmo que a mquina realize a operao pela pessoa, necessrio saber us-la, conhecer seus recursos, seu potencial, saber interpretar o que est sendo pedido, que operaes acessar, que teclas digitar e tambm interpretar os resultados que aparecem no visor. No rara, por exemplo, a confuso entre vrgula e ponto no momento de ler o nmero fornecido como resposta. Exemplo: o aluno v o nmero 1.234 e pensa em mil duzentos e trinta e quatro, ao invs de um inteiro e duzentos e trinta e quatro milsimos. necessrio que se use a calculadora com alguma criticidade e no de forma absolutamente mecnica, para que possa detectar erros bvios, que tm a ver com digitaes erradas. A maneira mais atenta para se fazer operaes com a calculadora precisa ser desenvolvida na escola e tem relao direta com a capacidade dos alunos em realizar estimativas de resultados. Se, ao utilizar a mquina para 1.230 : 15, o aluno j houver refletido que dever encontrar algum valor da ordem das dezenas, prximo de 100, porque pensou em 1.500 : 15, ele refar a operao se obtiver, no visor, o resultado 8,2 - por no ter pressionado direito o 0 do nmero 1.230, ao digit-lo. Com isso, estamos chamando a ateno para dois pontos. Primeiro: seria importante trabalhar com a calculadora nas escolas, para um aprimoramento de seu uso, com explorao mais adequada de seus recursos e caractersticas. Segundo: o uso da calculadora justifica e pede um trabalho cuidadoso com estimativas, aproximaes e clculo mental, estes sim so objetivos do material que ora apresentamos. 14

O professor pode tambm construir propostas didticas com o uso da calculadora para produzir escritas numricas: primeiro porque as crianas sentem certo fascnio por esse tipo de equipamento; segundo, porque a prpria atividade faz os alunos refletirem sobre o que sabem a respeito da escrita dos nmeros, principalmente sobre o valor posicional portanto, a calculadora um bom instrumento para resolver problemas. 2) Usando algoritmos Esta modalidade a que continua sendo privilegiada na escola: o ensino de algoritmos, especialmente dos algoritmos convencionais. Seu uso, fora do contexto escolar, se d quando precisamos de um resultado exato, no dispomos de calculadora e os nmeros so grandes, dificultando o clculo mental. No se est propondo que esse tipo de clculo seja extinto, que se pare de ensin-lo, pois se trata de um recurso interessante por agilizar as operaes matemticas, servir para qualquer extenso de nmero, possibilitar um raciocnio organizador e seguro para o aluno. Contudo, ainda que os algoritmos ensinados hoje em dia sejam os mesmos que os ensinados a nossos avs, a forma de ensino no pode mais ser a mesma. Hoje, j no parece adequado ensin-los como uma receita, com passos a serem seguidos, sem que se compreenda cada uma das aes envolvidas. mais significativo e estimulante que sua lgica seja construda junto com os alunos e que outros algoritmos, eventualmente menos geis, mas com significado mais claro, sejam trabalhados antes. Uma das consequncias do ensino dos algoritmos, do modo como se realizava antigamente, era levar os alunos a uma concepo errnea de que a matemtica nica, de que existe apenas um procedimento correto para se fazer cada coisa, e que essa forma independe da cultura, da poca, dos povos ou dos valores. Apresentar aos alunos outros algoritmos, diferentes daqueles com os quais esto acostumados, elaborados por outros povos, pode ser bastante enriquecedor, no sentido de perceberem que h possibilidade de criao no campo da matemtica e, mesmo, que possvel escolher algoritmos entre diversas opes existentes. Tambm importante ressaltar que, mesmo usando algoritmos, necessrio saber alguns clculos simples, mentalmente: a tabuada da multiplicao e as adies simples de nmeros entre 1 e 9, por exemplo. Estes podem ser simplesmente decorados, ou podem ser construdos e memorizados pouco a pouco por meio de jogos e atividades ldicas. No demais lembrar que, da mesma forma que no clculo realizado com a calculadora, a estimativa um importante recurso de controle do resultado obtido por meio do algoritmo, e deve ser usada conjuntamente com este. 15

3) Usando clculo mental A expresso clculo mental pode ser entendida em contraposio ao clculo que se realiza usando lpis e papel, ou seja, seria o clculo feito integralmente de cabea, mas tambm pode ser entendida como clculo rpido, gil. Na verdade, ao nos referirmos a clculo mental, no estamos usando nenhuma dessas duas acepes do termo e sim ao clculo que se faz, sem seguir, um algoritmo nico, predeterminado. Trata-se de um clculo que se faz escolhendo a melhor estratgia de acordo com os nmeros envolvidos na operao e que pode, inclusive, contar com apoio escrito. Os procedimentos usados fundamentam-se nas propriedades das operaes e no sistema de numerao, de modo que sua utilizao tambm contribui para a ampliao da compreenso de tais contedos. Estamos falando de um clculo pensado, em oposio a um clculo automatizado. Mesmo essa contraposio, entretanto, relativa. Para que um aluno possa pensar sobre a operao 28 + 17, utilizando o recurso de decompor o 7 em 2 + 5, para ento operar 20 + 10 + (8 + 2) + 5, j que 8 + 2 = 10, precisa ter o resultado dessa operao armazenado em sua mente. Assim como 20 + 10 + 10 + 5, necessrio que certas operaes, como adies que resultam 10 e adies envolvendo mltiplos de 10, j faam parte de um conjunto de clculos automatizados pelo aluno e que possam ser usados como instrumentos, no precisam mais ser refletidos. Em outras palavras, o clculo mental se torna mais e mais eficiente, na medida em que o aluno amplie os clculos automatizados memorizados, que tem disponveis e sobre os quais no precise refletir. O que pensado em um determinado momento da escolarizao passa a ser instrumento em uso, em outra etapa e assim sucessivamente. Nesse sentido, a tabuada, por exemplo, deve ser compreendida, construda junto com os alunos, ter suas caractersticas e regularidades exploradas, mas, em etapa posterior, precisa ser efetivamente memorizada, para passar a ser usada como recurso para outros clculos. Outro aspecto que merece ateno a formalizao e o registro dos procedimentos. No rara a situao em que registrar com linguagem matemtica o procedimento desenvolvido em um clculo seja mais difcil do que o prprio clculo e, para fugir da necessidade de registrar, o aluno acabe preferindo o algoritmo, no qual os procedimentos j incluem a forma de registr-los. importante, ento, que se exercite o explicar como pensou de formas variadas, por meio de desenhos, esquemas, por escrito, ou mesmo falando! Em sntese, importante que o trabalho com clculo mental considere dois tipos de atividades, que ocorram simultaneamente: aquelas que visam memorizao de um repertrio de clculos, que sero usados em outros mais complexos, e aquelas que visam 16

aprendizagem de clculos pensados, atravs de um processo de construo, compreenso e comparao de diferentes procedimentos usados pelos alunos. Para ambos objetivos, o jogo pode ser considerado uma atividade privilegiada. 4) Fazendo estimativas - ou clculos aproximados A estimativa o recurso utilizado para se chegar a um valor aproximado, atravs do clculo mental. No dia a dia, so muito frequentes as situaes em que no h necessidade de se saber o resultado exato de uma operao, pois apenas precisamos ter uma noo de determinado valor. Por exemplo, para decidir se vamos fazer uma compra, vista ou a prazo, no necessrio saber exatamente o valor a prazo, mas ter uma ideia, que permita compar-lo com o preo vista. Alm disso, ter tambm um bom domnio dos arredondamentos para dezenas ou centenas exatas, pois as aproximaes permitem checar resultados de operaes feitas com algoritmos ou calculadoras. Com isso, o aluno ganha mais autonomia e controle sobre seus prprios processos, no precisando sempre do professor para apontar-lhe seus erros. O uso de estimativas deve ser constante em sala de aula: antes de realizar uma operao, usando calculadora ou algoritmo escrito, interessante pedir aos alunos que estimem prximo de quanto ser o resultado; na resoluo de um problema, estimar seu resultado; na anlise de uma resposta, verificar se plausvel. Na socializao das estimativas dos alunos, importante discutir o quo prximo do resultado exato se precisa chegar. Isso depende do contexto e tambm dos nmeros envolvidos e que, nesse caso, no h apenas uma resposta certa. Por exemplo, ao estimar o resultado de 485 + 324, um aluno pode pensar: A centena exata mais prxima de 485 500, e de 324 300; ento, uma boa aproximao para esse resultado 800. Outro pode pensar: Para obter um resultado aproximado, vou me preocupar apenas com as centenas; ento uma aproximao possvel 400 + 300 = 700. E, um terceiro, 500 + 500 = 1000, ento, como 485 est bem prximo de 500, o resultado final vai ser menor que 1.000 e maior que 500. Nenhuma delas est errada! Nem sempre a aproximao ao valor exato o que deve ser valorizado. O importante discutir as estratgias possveis frente necessidade daquela estimativa especfica. Como trabalhar com diferentes tipos de clculo em classe? O trabalho com essas diversas modalidades de clculo exige do professor uma determinada conduo das aulas, diferente daquela empregada ao se ensinar apenas algoritmos. Para trabalhar com clculo mental e estimativas, importante que os alunos sejam estimulados 17

a relatar os seus procedimentos de clculo, a maneira como esto pensando, mesmo que no saibam registr-la adequadamente. Os colegas devem se habituar a ouvir as estratgias uns dos outros e, eventualmente, alterar as suas prprias, quando houver soluo mais eficiente. Nos momentos de atividades individuais, em duplas ou grupos, o professor deve circular pela classe, identificando os alunos com maiores dificuldades, auxiliando-os, agrupandoos com colegas com quem tenham boa interao e, eventualmente, propondo atividades diferenciadas, com nvel de desafio mais adequado s suas habilidades no momento. No caso das atividades propostas nestas orientaes, o professor deve sentir-se vontade para repeti-las quantas vezes forem necessrias, com algumas crianas, at que elas tenham adquirido mais firmeza, antes de passar para outras, mais complexas. bastante til, tambm, que o professor solicite constantemente que os alunos registrem as concluses gerais a que o grupo chegou, com exemplos de estratgias. Esse registro pode at ser feito em uma parte separada do caderno, destinada especificamente para esse fim. Os estudantes devem ser estimulados a consultar esses registros com frequncia, de maneira a facilitar na reconstituio de determinada estratgia. Com relao s atividades, sugerimos que, sempre que possvel, sejam propostos jogos, pois a sua utilizao em aulas de matemtica auxilia no desenvolvimento de diversas habilidades, no s de clculo mental ou no , mas na resoluo de problemas em geral; leva o aluno a observar, levantar hipteses, tomar decises, argumentar, investigar a melhor jogada, analisar as regras, aprender com o erro. Mas, usar o jogo como recurso metodolgico exige certos cuidados. O primeiro que o professor mantenha-se bastante atento para perceber se o nvel de desafio do jogo em questo est adequado ao seu grupo de alunos, se os est instigando. necessrio tambm que se tenha a conscincia de que, utilizado uma nica vez, o jogo poder no produzir a aprendizagem esperada. Essa vez servir para que os alunos conheam as regras, experimentem o jogo. Para ser efetivo, alm se ser jogado mais vezes, necessrio conversar sobre quais foram os obstculos, que problemas determinadas situaes colocaram, quais as estratgias mais eficazes. Muitas vezes, vale a pena, tambm, pedir que os alunos escrevam sobre o jogo: quais so as regras, que dificuldades tiveram, o que aprenderam com ele, que dicas podem dar, ou simplesmente, um registro das etapas, dos pontos parciais. extremamente necessrio que, tanto professor quanto alunos, tenham clareza de que esse um instrumento de aprendizagem e no uma aula livre, de puro lazer, ainda que o carter ldico seja um componente dessa atividade. Nestas Orientaes, algumas das atividades sugeridas so jogos e podem, portanto, ser realizadas mais de uma vez, ou modificadas e adaptadas de acordo com as caractersticas da classe. 18

Vale lembrar o papel do erro em aulas desse tipo. Os alunos sero encorajados a participar, pensar e propor solues, na medida em que seus erros sejam vistos como tentativas vlidas, caminhos para a reflexo, formas de evoluir de um raciocnio para outro, mais adequado. No se trata de presumir que no exista nada errado, ou que qualquer colocao do aluno ser interessante, mas sim, de realmente utilizar o erro como instrumento de aprendizagem. Isso se faz problematizando as ideias que o aluno traz, colocando contraexemplos, solicitando que explique como chegou a determinadas concluses. Quando o prprio aluno percebe aquilo que errou, ele aprende e cresce. preciso deixar claro que durante o ano o professor deve planejar situaes de aprendizagem para o desenvolvimento dos conceitos matemticos presentes no Documento de Orientaes Curriculares do Estado de So Paulo Ciclo I, publicado em 2008 pela SEE SP, no se atendo apenas proposta ora oferecida, que tem por finalidade a realizao da Jornada de Matemtica, embora muitas das atividades propostas para esse fim possa contribuir em grande medida para o desenvolvimento de muitas habilidades previstas nas expectativas de aprendizagem.

Referncias: Smole, Katia; Diniz, Maria Ignez e Cndido, Patrcia. Jogos de matemtica. Porto Alegre: Artmed, 2007. Zunino, Delia Lerner. A matemtica na escola: aqui e agora. 2 ed. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1995. Parra, Ceclia e Saiz, Irma. Didtica da matemtica: reflexes pedaggicas. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1996. Carraher, Terezinha e outros. Na vida dez na escola zero. So Paulo: Cortez, 1988. PCN - Parmetros curriculares nacionais: matemtica. Braslia: MEC, Secretaria de Educao Fundamental, 1988.

19

Orientaes para o Planejamento das AtividadesNa rotina semanal da 4 srie - quinto ano no Ensino Fundamental de nove anos, um perodo de tempo razovel destinado a desenvolver o trabalho de matemtica. E grande parte desse trabalho destina-se ao ensino dos diferentes tipos de clculo. Com a adeso de sua escola Jornada de Matemtica, as habilidades de clculo de seus alunos ganharo novo sentido, pois alm da necessidade de aprender um contedo escolar, h uma nova motivao: conseguir uma boa participao nesse evento. Procuramos elaborar um material que, ao mesmo tempo em que oferecesse sugestes de encaminhamentos interessantes e produtivos para esses contedos de aprendizagem, tambm auxiliasse na preparao dos alunos para obter um melhor desempenho nas diferentes etapas da jornada. Dito de outra maneira, ao propor atividades que podero contribuir para a participao dos alunos na Jornada de Matemtica, tambm h a inteno de ajudar no desenvolvimento do trabalho que o professor realiza. Procuramos concretizar tal inteno em propostas variadas, que permitam o uso das habilidades de clculo e a reflexo dos alunos sobre as diferentes possibilidades de operar com nmeros. Organizamos as atividades em determinada sequncia com cada uma delas numerada. Alm dessa organizao, elas se dividem em trs grandes grupos:

CM CA TO

Atividades voltadas a ampliar o repertrio de clculos memorizados. Atividades voltadas ao desenvolvimento do clculo aproximado - estimativas. Atividades voltadas compreenso e ao uso de tcnicas operatrias algoritmos no convencionais.

As atividades que se relacionam a cada um desses objetivos esto distribudas ao longo das Orientaes, pois entendemos que devam ser abordadas concomitantemente. Para identific-las, inclumos as siglas CM, CA e TO em sua apresentao.

20

ATIVIDADE Preenchimento da Tabela de AdiesObjetivo

1

CM

Favorecer a memorizao das adies com parcelas envolvendo nmeros menores que 10.

Planejamento Organizao dos alunos: na primeira etapa, atividade coletiva; depois, em duplas. Material: cpias da tabela abaixo, no preenchida uma para cada aluno; uma tabela grande, para ser afixada na classe. Durao: uma ou duas aulas de 40 minutos.

Encaminhamento Os alunos devem ter suas tabelas, com as clulas correspondentes aos dobros pintadas com uma cor mais forte para melhor localizar o espao onde colocar as parcelas. Como um contedo bsico para alunos de 4 srie - quinto ano no ensino fundamental de nove anos, a montagem dessa tabela uma forma de rememorar as adies. Relembrar o funcionamento da tabela de dupla entrada, utilizando o exemplo: + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1+1) 2 (1+2) 3 (1+3) 4 (1+4) 5 (1+5) (2+5) (3+5) (4+5) (5+5) (6+5) (7+5) (8+5) (9+5) 6 (1+6) 7 (1+7) 8 (1+8) 9 (1+9)

21

Aps explicar a tabela, propor a localizao das clulas que envolvam dobros, em seguida, preencher coletivamente a primeira linha, que corresponde ao 1: a turma dita e o professor preenche na tabela grande, coletiva, enquanto cada aluno faz o mesmo na sua, individual. Em seguida, preencher, tambm coletivamente, uma coluna. No nosso exemplo, escolhemos a coluna do 5. Se houver necessidade, em funo das dificuldades de alguns alunos, o professor poder realizar os clculos com apoio de material de contagem: fichas, botes, tampinhas, etc. Preenchidas a linha e a coluna, propor que os alunos busquem clulas que podero ser preenchidas a partir daquelas que j foram calculadas. Por exemplo: se sabemos que 4 + 5 = 9, saberemos o resultado do 5 + 4, pois a mesma operao, com as parcelas em outra ordem. Dar um tempo para que os alunos busquem esses resultados e orient-los todos para que os preencham em suas tabelas individuais. Depois dessa busca, os alunos devero preencher o restante da tabela, em duplas. Enquanto as duplas trabalham, circular pela sala para garantir que todos tenham compreendido bem a tarefa, para ajudar aqueles que apresentam maiores dificuldades e para corrigir eventuais erros no preenchimento da tabela. Na aula seguinte, fazer o preenchimento coletivo e pedir aos alunos para que observem se incluram os mesmos resultados em suas tabelas individuais.

Explicar a importncia de todos terem os resultados corretos em suas tabelas: como se trata de um material de consulta, os erros podero acarretar outros erros, em atividades a serem realizadas futuramente. O cartaz e a tabela colada no caderno devem ser consultados sempre que possvel. Esse uso, nas mais diversas atividades, o que favorecer a memorizao dos resultados. Tambm importante considerar que os resultados de adies, quando memorizados, podem ser utilizados nas operaes inversas, ou seja, ao memorizar uma adio, os alunos devem ser oportunamente desafiados a utilizar esse conhecimento nas subtraes correspondentes, ou seja, se sabem que 9 + 5 = 14 tm condies de realizar clculos como 14 5 = 9 ou 14 9 = 5.

22

ATIVIDADE Jogo do Bingo das MetadesObjetivoFavorecer a memorizao de dobros e metades de nmeros menores que 10.

2

CM

Planejamento Organizao dos alunos: atividade coletiva. Material: cartelas de bingo; cartes de nmeros e marcadores como fichas, botes, feijes, etc. Durao: 40 minutos.

Encaminhamento Explicar o jogo aos alunos. Nas primeiras vezes em que jogarem, permitir que consultem suas tabelas, mas estimul-los, gradativamente, a recuperar os resultados de memria. Depois de algumas rodadas, orient-los a no mais realizar consultas. Distribuir as cartelas e iniciar o jogo.

Jogo: Bingo Das MetadesPreparao - O professor pode solicitar que os alunos o ajudem a preparar as cartelas. Utilizar cartelas com seis espaos preenchidos, cada um com um nmero de 1 a 9. As cartelas devem diferenciar-se entre si pela sequncia de nmeros que possui. Preparar uma quantidade suficiente de cartelas para que cada dupla de alunos receba uma delas. (Ver sugestes de cartelas abaixo). Preparar nove cartes e, em cada um, anotar o dobro de um dos nmeros de 1 a 9. (Ver modelo dos cartes de dobros abaixo). No dia do jogo, organizar os alunos e distribuir uma cartela para cada dupla. Para que possam ser usadas mais de uma vez, orientar os alunos a no usarem lpis ou canetas nas cartelas. Ao invs disso, devem usar botes ou feijes como marcadores.

O jogo Sortear um dos cartes. Ditar para os alunos. Quem tiver em sua cartela o nmero que a metade do valor ditado, marca com um feijo. Por exemplo, se o professor virou o carto com o nmero 16, marcam todos os alunos que tm o nmero 8 em suas cartelas. 23

Ganha a dupla que primeiro completar sua cartela. Antes de ser considerada vencedora, porm, preciso conferir se todos os dobros dos nmeros da cartela foram realmente sorteados.

MODELO DE CARTES DO BINGO DE METADES

2 8 14

4 10 16

6 12 18

24

Modelo de Cartelas

1 7 1 5 3 7 1 7 2 5

3 8 3 7 5 8 2 9 3 7

5 9 4 9 6 9 4 5 4 9

1 6 1 6 3 6 2 6 1 6

2 7 4 7 4 7 3 7 3 7

4 8 5 8 5 8 5 8 5 8

25

ATIVIDADE Jogo Stop de OperaesObjetivoFavorecer a memorizao de adies envolvendo nmeros menores que 10.

3

CM

Planejamento Organizao dos alunos: a atividade coletiva. Material: papel e lpis. Durao: 40 minutos.

Encaminhamento Explicar o jogo aos alunos. Nas primeiras vezes, deixar que consultem suas tabelas de adies, mas estimul-los a recuperar os resultados de memria. Depois de algumas rodadas, orientar para que no mais faam consultas. Colocar a cartela do jogo na lousa e pedir que os alunos copiem.

Jogo - Stop de Operaes Os alunos copiam na folha uma tabela como a da lousa. Em cada uma das quatro colunas, o professor pode incluir um total que varie entre 2, o menor resultado da tabela de adio, e 18, o maior resultado. Por exemplo: 6 12 15 17

Quando todos tiverem preparado suas tabelas, devem escrever uma adio cujo resultado seja aquele que encabece a coluna. No nosso exemplo, um aluno poderia resolver assim: 6 5+1 12 6+6 15 8+7 17 9+8

26

Deixar que todos trabalhem e depois contar os pontos. Solues incorretas, que no totalizam o valor indicado, valem 0. Solues corretas, que foram repetidas por mais de um aluno, valem 10 pontos. Uma soluo correta, e que foi escolhida somente por um aluno, vale 20 pontos. Uma variao interessante , em vez de uma nica soluo, os alunos precisarem incluir todas as que conseguirem para o total proposto, considerando que s valem aquelas cujas parcelas no excedam 9. Ver uma tabela preenchida nessa verso do Stop: 6 5+1 4+2 3+3 12 6+3 9+3 8+4 7+5 6+6 Nesse caso, cada soluo correta vale 10 pontos: aqueles que descobrirem mais solues ganham mais pontos. Terminada uma rodada, aps a contagem de pontos, pode-se iniciar outra, com diferentes totais. 15 8+5 9+6 8+7 17 3+7 9+8

27

ATIVIDADE Explorando Subtraes

4

CM

Nesta atividade, os alunos trabalharo com subtraes em que o minuendo um nmero maior que 10 e menor ou igual a 20 e o subtraendo um nmero menor que 10.

Objetivo Aprender estratgias para realizar subtraes.

Planejamento Organizao dos alunos: atividade coletiva na primeira etapa e depois em duplas. Material: lousa, lpis e papel. Durao: 40 minutos.

Encaminhamento Escrever as seguintes subtraes na lousa: 17 5 = 12 7 = 14 8 = 18 9 = 20 3 = 19 6 = Vrios alunos resolvero essas operaes mentalmente. Pedir para que alguns deles expliquem os procedimentos utilizados para a obteno do resultado. Uma das possibilidades de resolver a seguinte: Primeiro, transforma-se 17 em 10+7 e subtrai-se 7 5:

17-5=10+7-5 10 + 2=12

28

ATIVIDADE Adio e Subtrao de Dezenas e Centenas ExatasObjetivoAprender a calcular adies e subtraes que envolvam dezenas e centenas exatas.

5

CM

Observao: Chamamos de dezenas exatas as dezenas terminadas em 0, como 10, 20, 30, etc. Chamamos de centenas exatas as centenas terminadas em 00, como 100, 200, 300, etc.

Planejamento Organizao dos alunos: atividade coletiva. Material: lousa, lpis e papel. Durao: 30 minutos.

Encaminhamento Relembrar com os alunos algumas adies que j devem ter sido memorizadas: Qual o resultado de: 3 + 4? E de 7 + 5? E de 8 + 8? Propor o desafio na lousa:

SABENDO QUE 3 + 4 = 7, POSSO DESCOBRIR O RESULTADO DE 30 + 40 ? E DE 300 + 400?

Deixar que os alunos reflitam durante algum tempo. Provavelmente, no tero dificuldade para calcular o resultado de 30 + 40, mas devem encontrar uma maneira de justificar isso. Enquanto trabalham, circular pela sala e observar os alunos que conseguiram justificar o procedimento. Espera-se que utilizem argumentos como este: 29

30 o mesmo que 10 + 10 + 10 e 40 o mesmo que 10 + 10 + 10 + 10. Ento, a operao fica assim: 10+10+10 + 10+10+10+10 = 70

Ou ento: 30 so 3 vezes 10 e 40 so 4 vezes 10. 3 vezes 10 + 4 vezes 10 d 7 vezes 10, que 70. Socializar com a classe os diferentes procedimentos utilizados. No caso de surgirem procedimentos incorretos, pea classe que os analise. Perguntar aos alunos: ser que o mesmo vale para 300 + 400? Aps ouvir as justificativas dos alunos reescreva no quadro 3+4=7 30 + 40 = 70 300 + 400 = 700 Solicite que observem se existe alguma regularidade nesses clculos. Obs.: importante que os alunos percebam que os zeros acrescidos nos dois casos representam, respectivamente, 10 vezes mais e 100 vezes mais. Em seguida, propor outro desafio aos alunos:

SABENDO QUE 7 - 4 = 3, POSSO DESCOBRIR O RESULTADO DE 70 - 40 ? E DE 700 - 400?

Um dos procedimentos poder ser: 10 + 10 + 10 + 10 +10 + 10 +10 (70) Foram cortados 4 grupos de 10 ou 40 e sobraram 30 unidades.

30

Propor aos alunos as seguintes operaes: 50 + 10 = 50 + 30 = 30 + 80 = 70 + 50 = 80 + 80 = 40 + 60 = 90 + 20 = 60 + 60 = 500 + 100 = 500 + 300 = 300 + 800 = 700 + 500 = 800 + 800 = 400 + 600 = 900 + 200 = 600 + 600 =

31

ATIVIDADE Jogo das Dezenas ExatasObjetivoUtilizar os conhecimentos sobre adio e subtrao de dezenas exatas.

6

CM

Planejamento Organizao dos alunos: em duplas. Material: cartela e cartes numerados para cada participante, cujos modelos constam nas orientaes do jogo. Durao: 30 minutos.

Encaminhamento Desenhar a cartela na lousa e pedir que os alunos a copiem. Pode-se tambm deix-las prontas e pedir aos alunos que, ao invs de risc-las, marquem as casas com feijes ou botes, assim as cartelas podero ser usadas mais de uma vez. Organizar os alunos em dupla. Explicar o jogo e, em seguida, propor aos alunos que joguem.

Jogo das Dezenas ExatasParticipantes: alunos organizados em duplas. Objetivo do jogo: completar a cartela em primeiro lugar, corretamente. Material: a cartela abaixo para cada um dos participantes e dois conjuntos de cartes com os nmeros 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, um nmero em cada carto. Isso quer dizer que cada um dos nmeros aparecer duas vezes, uma em cada conjunto de cartes. Modelo da cartela: 10 100 20 110 30 120 40 130 50 140 60 150 70 160 80 170 90 180

Modelo dos cartes: 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Observao: fazer os cartes separados

32

Como jogar Cada participante coloca na carteira sua cartela e um conjunto de cartes virados para baixo. Na sua vez, um dos jogadores vira dois cartes, um de cada conjunto, e com eles decide se far uma adio ou subtrao. Deve marcar na cartela o resultado dessa operao. Por exemplo: Carla e Camila esto jogando. Na sua vez, Carla vira duas cartas. Os nmeros que virou so 30 e 70. Ela deve decidir se adiciona os nmeros, obtendo o nmero 100, ou subtrai (70 30), obtendo 40. Se decidiu somar, deve marcar 100 e, se decidiu pela subtrao, marca 40. Depois de marcar, passa a vez ao outro jogador. Se, em certa jogada, o jogador virar as duas cartas e, tanto a adio, quanto a subtrao desses nmeros j tiverem sido marcadas, perde a vez. Ganha aquele que conseguir completar a cartela.

33

ATIVIDADE Montando a TabuadaObjetivoElaborar a tabela da tabuada da multiplicao e explor-la.

7

CM

Planejamento Organizao dos alunos: na primeira parte da aula, os alunos estaro em roda, com a tabela grande de multiplicao ao centro. Depois, em suas carteiras, iro copi-la. Na terceira parte da aula, estaro sentados em duplas, frente a frente. Material: fita crepe, giz, cpias da tabela e um baralho para cada dupla de alunos.

Encaminhamento Elaborar uma tabela de dupla entrada, conforme o desenho seguinte, bem grande, no cho, utilizando fita crepe. Escrever os nmeros de 0 a 10 na primeira linha e, novamente, na primeira coluna. Perguntar aos alunos de quais multiplicaes eles se lembram. Caso seja a primeira vez que estiverem se deparando com a tabuada, podero fazer adies de parcelas iguais. Ir preenchendo a tabela, usando giz, conforme os alunos forem informando os resultados, no necessariamente de maneira ordenada, pelas linhas e colunas. Conforme for preenchendo o quadro, explorar as regularidades, sempre por meio de questionamentos. Por exemplo: Se j sabemos que 3 x 4 =12, qual outro quadrinho da tabela pode ser preenchido? Sempre h pares de resultados iguais? Qual a exceo? Qual a sequncia de nmeros em cada coluna? Qual a regra dessas sequncias? O que acontece nas colunas em que os fatores so pares? E naquelas de fatores mpares? Como so as terminaes dos nmeros da coluna do 5? Como so as terminaes dos nmeros da coluna do 10? Mostrar a simetria da tabela e que o eixo de simetria a diagonal, que contm os nmeros quadrados perfeitos. Observar que na coluna do 3, a soma dos algarismos de cada nmero sempre resulta em um mltiplo de 3. Ser que isso acontece em alguma outra coluna?

34

Quando o quadro coletivo estiver pronto, pedir que copiem na tabela que receberam e colem no caderno para estudar. Recomendar que memorizem toda essa tabela e pedir que analisem quantas sero as operaes que realmente tero que decorar. Por exemplo, se j sabem 3 x 4, j sabem tambm 4 x 3. Propor uma nova atividade: Batalha de cartas Organizar os alunos em duplas, cada um com metade de um baralho, sem valetes e damas. Combinar que o s valer como 1 e o rei, como zero! Com o mao de cartas viradas para baixo, os alunos devero contar 1, 2 e j! e cada um virar a sua primeira carta. Quem calcular o resultado da multiplicao primeiro fica com as duas cartas. Ganha quem juntar o maior nmero de cartas.

Tabuada da Multiplicaox 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

35

ATIVIDADE Bingo de TabuadaObjetivoUtilizar as multiplicaes de nmeros at 10, favorecendo a memorizao.

8

CM

Planejamento Organizao dos alunos: em duplas ou individualmente. Material: cartelas para bingo, como as seguintes; feijes, clipes ou fichas para marcar. Durao: a atividade descrita pode ser realizada em mais de uma aula, com intervalos entre elas. Assim, os alunos podem ser estimulados a estudar a tabuada em casa para melhorar seu desempenho no jogo.

Encaminhamento Distribuir para os alunos cartelas do bingo da tabuada anexas e algum marcador: feijes, fichas, clipes. Ditar operaes da tabuada e pedir para os alunos marcarem os resultados nas cartelas. Obs.: No esquecer as tabuadas do zero, do um e do dez! Vence o aluno que primeiro preencher uma linha ou coluna da cartela. Pode-se tambm combinar com a classe para que vena o aluno que primeiro preencher a cartela inteira. Pode-se repetir o jogo diversas vezes, mas conveniente que os alunos troquem de cartelas entre si. Depois de jogar vrias vezes, pode-se propor aos alunos que montem sua prpria cartela de bingo. Discutir, depois da montagem, quais cartelas propiciam mais chances para que um jogador ganhe, conversando com os alunos sobre quais os resultados que aparecem vrias vezes na tabuada e quais os outros que aparecem apenas uma ou duas vezes; quanto a estes, discutir os seus porqus. Jogar com as cartelas elaboradas pelos alunos.

36

Cartelas:32 64 18 48 35 24 72 0 3 2 6 10 49 0 3 0 60 40 36 6 4 15 24 27

42 9 21

27 50 14

90 15 81

45 16 8

30 12 6

5 50 0

48 63 18

16 49 28

24 6 20

35 12 36

18 56 4

2 80 48

3 0 7

63 3 81

12 8 36

25 54 42

0 15 24

7 42 48

10 30 8

32 81 28

12 10 0

63 0 6

64 3 30

18 70 36

37

Cartelas:24 10 40 72 2 35 0 0 12 7 72 9 8 5 0 20 18 24 21 35 15 16 7 48

4 81 14

40 14 30

0 1 80

12 0 25

24 0 54

20 2 27

14 12 7

42 32 0

36 16 0

8 10 45

15 21 8

0 18 90

0 12 36

6 27 49

64 15 40

0 24 60

0 28 16

50 18 0

9 18 12

42 9 54

6 16 0

0 45 20

5 28 56

30 48 6

38

ATIVIDADE Bingo de Tabuada InvertidaObjetivoAuxiliar na memorizao da tabuada de multiplicao dos nmeros at 10.

9

CM

Planejamento Organizao dos alunos: em duplas ou individualmente. Material: cartelas para bingo, como as seguintes; feijes ou clipes para marcar.

Encaminhamento Distribuir para os alunos cartelas do bingo da tabuada invertida e algum marcador como: feijes, fichas, clipes. Ditar resultados da tabuada e pedir que marquem as operaes correspondentes. Obs.: No esquecer as tabuadas do zero, do um e do dez. Vence o aluno que primeiro preencher uma linha ou coluna da cartela. Pode-se tambm combinar com a classe para que vena o aluno que primeiro preencher a cartela inteira. Pode-se repetir o jogo diversas vezes, mas conveniente que os alunos troquem as cartelas entre si. Pode-se combinar de repetir o jogo em outra aula.

Cartelas:1x10 4x2 8x1 0x1 5x9 1x1 2x8 6x6 9x10 3x5 7x3 1x0 7x4 1x2 8x2 6x7 5x10 4x3 2x0 0x2 2x9 9x1 3x6 1x9

39

Cartelas:8x3 1x8 0x3 7x5 6x8 3x0 9x2 4x4 2x10 2x1 5x1 3x7 3x1 0x7 7x0 7x9 1x4 8x7 6x2 2x4 4x8 5x5 9x6 4x6

0x4 9x3 2x10

1x7 5x2 4x0

4x5 2x1 6x9

7x6 8x4 3x8

4x3 2x5 8x0

9x7 0x8 3x2

8x8 1x3 5x6

6x3 7x10 4x9

7x7 5x0 3x1

0x5 6x10 8x5

9x4 1x6 2x2

5x3 4x6 3x9

6x4 5x2 4x10

9x8 1x2 5x7

9x0 0x9 2x6

7x1 8x9 3x3

3x10 3x5 5x4

1x5 6x0 4x7

0x6 2x3 6x1

7x8 8x6 9x5

4x1 9x9 7x2

5x8 2x7 6x5

10x0 1x1 8x10

3x4 0x10 5x5

40

Cartelas:6x6 2x8 0x1 4x2 1x10 5x9 3x5 7x3 8x1 1x0 6x3 9x10 0x5 2x2 9x4 1x6 3x9 7x7 8x8 5x3 8x5 5x0 4x6 6x10

2x0 7x4 8x2

5x10 2x9 0x2

1x9 3x6 4x3

6x7 9x1 6x9

6x1 8x2 6x0

0x6 9x5 5x4

1x5 4x7 7x8

3x10 8x6 2x3

1x8 5x1 3x0

2x10 9x2 8x3

3x7 7x5 0x3

4x4 7x1 6x8

9x3 9x6 2x4

7x0 4x8 6x2

0x7 5x5 7x9

1x4 3x1 8x7

3x8 4x0 6x9

4x5 5x2 9x3

7x2 2x1 1x7

7x6 8x4 0x4

9x7 4x9 7x10

6x3 1x3 8x0

3x2 2x5 8x8

0x8 9x5 5x6

41

Cartelas:5x7 0x9 4x10 7x1 1x2 9x0 6x4 2x6 8x9 9x8 3x3 0x1 1x1 0x5 8x10 3x4 0x10 2x7 7x2 6x5 5x8 10x0 9x9 4x1

42

ATIVIDADE Arredondar NmerosObjetivoDesenvolver procedimentos de clculo mental, para auxiliar em estimativas.

10

CA

Planejamento Organizao dos alunos: em duplas. Material: lpis e papel. Durao: 20 minutos.

Encaminhamento Conversar com os alunos sobre algumas situaes em que no necessitamos saber o resultado exato de uma operao, sendo suficiente saber que esse resultado se aproxima de determinado valor. Dar alguns exemplos: Saber se possvel comprar os produtos que colocamos no carrinho de supermercado com o dinheiro que temos na carteira; Saber quanto tempo falta para concluir uma viagem; Saber quantas pessoas devero comparecer a um determinado evento; Saber quantos refrigerantes preciso comprar para uma festa. Em todas essas situaes, comum arredondar os nmeros envolvidos, utilizando os mltiplos de 10, 100 ou 1.000 mais prximos, j que mais fcil calcular com eles. Explicar aos alunos que chamaremos esses nmeros de dezenas ou centenas exatas. Dar alguns exemplos: A dezena exata mais prxima de 73 70. No caso de 78, melhor aproximar para 80. A centena exata mais prxima de 321 300. A centena exata mais prxima de 1.694 1.700. Escrever na lousa os seguintes nmeros: 7 9 15 28 43 58 136 287 1.785 5.428 Os alunos, em duplas, devem discutir quais os nmeros exatos, em forma de dezenas ou centenas, so mais prximos de cada um. Enquanto trabalham, procurar apoiar os alunos que necessitam de ajuda, sanando suas dvidas e esclarecendo o seu raciocnio. 43

Espera-se que os alunos pensem nos seguintes valores: 7 e 9 podem ser arredondados para 10; 15 tanto poderia ser arredondado para 10 como para 20. Observao: Para estas atividades, os nmeros terminados em cinco devem ser arredondados para cima.

28 pode ser arredondado para 30; 43 pode ser arredondado para 40; 58 pode ser arredondado para 60; 136 pode ser arredondado para 140; 287 pode ser arredondado para 300; 1.785 pode ser arredondado para 1.800; 5.428 pode ser arredondado para 5.400. Considerando esses arredondamentos, propor que os alunos calculem o total aproximado das seguintes operaes: 43 + 58 28 + 58 280 + 28 136 + 287 1.785 + 136 1.785 + 5.428 1.785 + 5.428 + 43 43 + 58 + 15

Para esses clculos, a orientao importante para que os alunos no utilizem os algoritmos convencionais, pois se busca um resultado aproximado rpido, fcil de ser calculado mentalmente. Para isso, possvel utilizar os arredondamentos discutidos anteriormente.

44

ATIVIDADE Estimando CustosObjetivoUtilizar estratgias de clculo aproximado para adies e subtraes.

11

CA

Planejamento Organizao dos alunos: em duplas. Material: cpias da atividade da pgina seguinte.

Encaminhamento Entregar a atividade e explicar aos alunos que no se espera que resolvam as operaes, mas que encontrem formas de responder s perguntas, apenas por meio de estimativas. Resolver um exerccio coletivamente. Pea que os alunos pensem como fariam para encontrar mentalmente o resultado dos seguintes valores: R$ 2,60 + R$ 3,30 + R$ 1,25 + R$ 3,80. Discuta com a turma como procederam. Uma das possibilidades poder ser: 3 + 3 + 1 + 4 para obter o valor aproximado de R$ 11,00. Propor as demais perguntas para as duplas. Enquanto os alunos realizam a atividade, acompanhar seu trabalho, especialmente o dos alunos que encontram maiores dificuldades em atividades matemticas. Depois que cada dupla terminar a proposta, socializar as respostas, comparando resultados das duplas e discutindo com a classe as estratgias.

Modelo de atividade

PREOS DA CANTINA DO SEU ALFREDOPo de queijo Batata frita Pizza (fatia) Cheeseburger Sanduche natural Cachorro-quente Pipoca Milk-shake Refrigerante Suco Sorvete R$ 0,90 R$ 1,80 R$ 2,30 R$ 2,40 R$ 3,10 R$ 1,50 R$ 1,80 R$ 3,30 R$ 1,50 R$ 2,10 R$ 2,10 45

Andra levou R$5,00 para a cantina. Est pensando em pedir um cheeseburger, um suco e um sorvete. O dinheiro ser suficiente? A me de Lus tambm deu R$5,00 para ele comprar seu lanche na cantina, mas recomendou que comesse um sanduche, acompanhado de uma bebida. Se sobrasse dinheiro, poderia pedir outra coisa. Com essa quantia, quais as opes de lanche para Lus? Pedro levou R$7,00 e quer comprar uma fatia de pizza e um milk-shake. O dinheiro ser suficiente? A melhor amiga de Pedro, Marina, esqueceu de levar dinheiro para o lanche. Est com muita vontade de comer pipoca e pediu para Pedro emprestar-lhe dinheiro. Depois que ele pedir seu prprio lanche, sobrar dinheiro suficiente para Marina comprar pipoca? Obs.: consultar a resoluo do problema acima. Denise levou R$20,00 para a cantina, porque seus pais no tinham dinheiro trocado. Disseram-lhe que ela poderia comer o que quisesse, mas que deveria devolver-lhes, no mnimo, R$13,00 de troco. Que escolhas de lanche ela poder fazer? Obs.: D, pelo menos, trs sugestes.

46

ATIVIDADE Maior que, menor queObjetivoDesenvolver estratgias de clculo aproximado para adies e subtraes.

12

CA

Planejamento Organizao dos alunos: individual. Material: cpias da atividade que est na pgina seguinte. Durao: 30 minutos.

Encaminhamento Nesta atividade, o professor apresenta algumas operaes (ver o modelo da atividade na pgina seguinte). Eles apenas devero responder se o resultado ser maior ou menor que determinado valor dado. Resultados exatos no so solicitados e sim os estimados. Faa coletivamente o primeiro exerccio: 25 + 38 maior ou menor que 50? Pea que respondam e justifiquem como chegaram soluo. Uma possvel resposta ser: ao arredondar cada uma das parcelas, teremos: 25 pode ser arredondado para 30 38 pode ser arredondado para 40 30 + 40 d um resultado aproximado de 70, que maior que 50.

Propor que os alunos resolvam as outras operaes, sempre com clculo aproximado, e respondam pergunta proposta: Maior ou menor que...?. Chamar-lhes a ateno para o fato de algumas operaes envolverem adies e outras, subtraes.

47

Modelo de Atividade Maior que, menor que... Descubra se o resultado de cada uma destas operaes maior ou menor que...

25 + 38Maior que 50 Menor que 50

77 + 26Maior que 150 Menor que 150

67 15Maior que 40 Menor que 40

17 + 56Maior que 60 Menor que 60

37 + 27Maior que 60 Menor que 60

84 59Maior que 20 Menor que 20

205 + 48Maior que 250 Menor que 250

147 + 52Maior que 200 Menor que 200

200 64Maior que 150 Menor que 150

385 + 268Maior que 600 Menor que 600

477 + 562Maior que 900 Menor que 900

673 245Maior que 300 Menor que 300

48

ATIVIDADE Multiplicao por 10, 100, 1.000ObjetivoDesenvolver as propriedades da multiplicao por 10, 100, 1.000...

13

CM

Planejamento Organizao dos alunos: individualmente Material: cartelas para jogar Stop, conforme modelo.

Encaminhamento Passar na lousa, conforme sugesto abaixo, as operaes para que os alunos resolvam como quiserem: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3 x 100 7 x 1.000 5 x 10 8 x 100.000 32 x 10 54 x 100 39 x 1.000 453 x 10 120 x 10

30 x 100 k) 280 x 1.000 l) 56 x 100 m) 54 x 10.000 Assim que acabarem, conferir coletivamente os resultados e pedir que expliquem os procedimentos que utilizaram. possvel que haja alunos que apenas acrescentaram os zeros necessrios e outros que tenham montado o algoritmo. Nesse caso, colocar na lousa, em uma coluna, todas as multiplicaes por 10, em outra coluna, as multiplicaes por 100 e assim por diante, com os resultados corretos. Pedir aos alunos que procurem as regularidades. 49

Uma vez compreendidas, ou recordadas, as caractersticas das multiplicaes por 10, 100, 1.000, escrever coletivamente a concluso sobre o assunto e pedir que os alunos a copiem em seus cadernos e/ou registre num cartaz para ser afixado na sala de aula. Proponha aos alunos jogar Stop das multiplicaes por 10, 100, 1.000. Cada aluno recebe ou faz uma cartela de Stop ver modelo abaixo. Ditar um nmero representado por um ou mais algarismos que dever ento ser multiplicado pelos nmeros indicados na primeira linha da tabela. O primeiro aluno que terminar grita stop. Todos devem parar de resolver as operaes imediatamente. O aluno que acabou primeiro dita as respostas, que so conferidas e confirmadas por todos. Se tudo estiver correto, os alunos marcam seus pontos: 10 para cada operao certa. (Esse valor tambm escolhido para estimular, ao final do jogo, as multiplicaes por 10, quando o total de pontos for somado). O aluno que gritar stop ganha 20 pontos se todas as suas operaes estiverem corretas, e mais 10 por operao. Caso tenha errado alguma, s ganhar os pontos correspondentes s certas. Se o professor perceber que h muita discrepncia entre os ritmos dos alunos, poder propor uma variao: ao invs de o aluno que acabar primeiro gritar stop, e todos pararem de fazer as operaes, ele grita acabei e recebe os pontos extras, enquanto os colegas seguem at o final da tarefa, fazendo todos os clculos pedidos. Modelo da Tabela do Stop de multiplicaes por 10, 100 e 1.000 Nmero X 10 X 10.000 X 100 X 1.000 Pontos

50

ATIVIDADE Primeiro Listo de OperaesObjetivo

14

CM

Discutir clculos memorizados que j foram trabalhados. Avaliao do percurso para ajustar o planejamento com vistas participao no concurso.

Planejamento Organizao dos alunos: individual. Material: listas de operaes elaboradas pelo professor.

Encaminhamento Elaborar duas listas contendo 20 operaes diversas, considerando os tipos de clculos trabalhados nas atividades anteriores. Entregar cpias da primeira lista para os alunos e pedir que resolvam o mais rpido possvel. Corrigir coletivamente. Cada aluno deve marcar o nmero de operaes corretas que realizou. Avisar que haver uma segunda lista e que o desafio ser conseguir realizar as operaes num tempo determinado (aproximadamente 4 minutos). Apresentar a segunda lista, repetir o encaminhamento da primeira e verificar se os alunos avanaram. Essas atividades devem ser utilizadas para verificar o aprendizado at o momento. A partir desta anlise possvel fazer ajustes no planejamento de maneira a contemplar o que foi avaliado. Pode-se optar por repetir ou preparar novas atividades que abordem as questes que ainda no foram superadas.

51

ATIVIDADE Algoritmos da Adio Decomposio de Nmeros1Objetivo

15

TO

Desenvolver outras estratgias de clculo da adio, alm do tradicional, com base em decomposio de nmeros.

Planejamento Organizao dos alunos: atividade coletiva. Material: lousa, lpis e papel. Durao: 50 minutos.

Encaminhamento Propor aos alunos a seguinte operao: 23 + 46 = Para essa resoluo, os alunos no podero utilizar o algoritmo convencional. Pea que faam suas tentativas. Caminhar pela classe e observar o trabalho dos alunos: que tipo de estratgia est sendo acionada? Quais alunos as esto empregando? Talvez, algumas dessas estratgias tenham sido aprendidas em sries anteriores. Algumas podem ter sido criadas pelos prprios alunos. O importante a se considerar que, em cada uma delas, os alunos se apoiem em diferentes conhecimentos sobre organizao do Sistema Numrico Decimal, especialmente quando utilizam a decomposio dos nmeros. A seguir, solicitar que os alunos apresentem algumas estratgias utilizadas. Comparar as diferentes estratgias apresentadas.

1 Os exemplos utilizados nesta atividade foram retirados do fascculo Matemtica 1, da srie Cadernos da TV Escola PCN na Escola, publicados pelo MEC em 1998.

52

Possveis estratgias que podem ser apresentadas pelos alunos:

23 = 10 + 10 + 3 46 = 10 + 10 + 10 + 10 +6 23 + 46 = 10 + 10 + 3 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6 ou 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 3 60 + 6 + 3 = 69

Ao adotar esse esquema, a criana demonstrar j compreender que o 23 formado por duas vezes o nmero 10, acrescido de 3; e que o 46 corresponde a quatro vezes o nmero 10, acrescido de 6. Assim, decide que pode simplificar a operao, somando primeiro todos os 10, para depois juntar o 3 e o 6. Tambm possvel resolver assim:

Essa estratgia mais elaborada que a anterior: o aluno j sabe que 23 formado por 20 + 3 e 46, por 40 + 6. Se o professor perguntar como fizeram a operao 20 + 40, talvez respondam: Se eu sei que 2 + 4 6, ento s juntar um zero em 20 + 40 para ter 60.

53

Ou ainda desta forma:

23 + 46 = 46 + 23 23 = 10 + 10 + 3 46 + 23= 46 + 10 + 10 + 3 46 + 10 = 56 56 + 10 = 66 66 + 3 = 69Neste caso, o procedimento tambm se apoia na decomposio decimal, s que isso ocorre apenas com um dos termos da adio: somente se decompe 23 em 10 + 10 + 3. O nmero 23 somado aos poucos ao 46: primeiro os dois grupos de 10, um a um, e depois as trs unidades. Em seguida, propor as operaes abaixo e pedir aos alunos que escolham uma das estratgias discutidas para resolv-las. 45 + 29 = 63 + 34 = 38 + 57 = 23 + 41 =

54

TO ATIVIDADE Algoritmos da Subtrao Decomposio de NmerosObjetivoDesenvolver outras estratgias de clculo da subtrao, alm do tradicional, com base em decomposio de nmeros.

16

Planejamento Organizao dos alunos: atividade coletiva. Material: lousa, lpis e papel. Durao: 50 minutos.

Encaminhamento Propor aos alunos a seguinte operao: 54 32 = Para essa resoluo, os alunos no podero utilizar algoritmo convencional. Podero inventar ou utilizar outras tcnicas operatrias j aprendidas. Pedir que faam suas tentativas. Caminhar pela classe observando os trabalhos: que tipos de estratgia so acionadas? Quais alunos as esto empregando? Talvez, alguns desses algoritmos tenham sido aprendidos em sries anteriores. Alguns podem ter sido criados pelos prprios estudantes. O importante a se considerar o uso de cada um deles, que implica em conhecimentos sobre organizao do Sistema Numrico Decimal, especialmente quando houver utilizao de decomposio de nmeros. A seguir, solicitar que os alunos apresentem algumas estratgias utilizadas. Comparar as diferentes estratgias apresentadas.

55

Possveis estratgias utilizadas pelos alunos:

54 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 4

32 = 10 + 10 + 10 + 2 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 4 4 -2 =2 10 + 10 + 2 = 22

Do mesmo modo como ocorre na adio, neste algoritmo ambos os nmeros so decompostos em grupos de 10. Os grupos que correspondem ao subtraendo so retirados do minuendo. As unidades do subtraendo tambm so retiradas do minuendo. Neste caso, como o algarismo correspondente s unidades do subtraendo menor que o do minuendo, fcil subtrair. Tambm possvel resolver assim:

50 - 30 = 20 54 - 32 = 50 + 4 - 30 - 2 4 - 2=2 54 - 32 = 20 + 2 = 22

Nesta estratgia, mais elaborada que a anterior, trabalhamos com as dezenas exatas: ambos os nmeros so decompostos e as parcelas correspondentes ao subtraendo so retiradas do minuendo, considerando-se a ordem de grandeza: subtraem-se as dezenas e depois, as unidades. possvel fazer isso porque o algarismo correspondente s unidades do minuendo maior que o do subtraendo.

56

Ou ainda desta forma:

54 - 32 = 54 - 10 - 10 - 10 - 2 54 - 10 = 44 44 - 10 = 34 34 - 10 = 24 24 - 2 = 22Neste caso, o raciocnio tambm se apoia na decomposio decimal, s que isso ocorre apenas com o subtraendo: somente se decompe o 32 em 10 + 10 + 10 + 2. O nmero 32 subtrado aos poucos de 54: primeiro os trs grupos de 10 e depois as duas unidades. Propor aos alunos um novo desafio: o que ocorre quando o algarismo das unidades do subtraendo for maior do que a do minuendo? Para abordar essa possibilidade, propor uma nova operao: 54 37 = Pedir aos alunos que encontrem formas de resolver este desafio. Novamente, propor que os alunos mostrem suas resolues. Discutir e comparar as diferentes estratgias utilizadas.

57

Possveis estratgias utilizadas pelos alunos:

54 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 4

37 = 10 + 10 + 10 + 7 7=4+3 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 4 4 - 4 = 10 10 - 3 = 7 10 + 7 = 17

Foram utilizados os grupos de 10. Os grupos correspondentes ao subtraendo so retirados do minuendo. Nas unidades, seria necessrio subtrair 4 7. Nesse caso, no se pode inverter a ordem: o 7 o algarismo da unidade do nmero que precisa ser retirado, ou seja, ele faz parte de 37. Para realizar essa subtrao das unidades, primeiro se decomps o 7 em 4+3. O 4 foi usado para zerar o algarismo das unidades do minuendo. Como ainda era preciso subtrair 3, para completar 7, tirou-se esse nmero de um dos grupos de 10 restantes. Para chegar ao resultado, preciso somar o que sobrou, depois que todas as quantidades, que formavam o subtraendo foram retiradas. Tambm possvel resolver assim:

50 - 30 = 20 54 - 37 = 50 + 4 - 30 - 7 4-4=0 7=4+3 54 - 37 = 20 - 3 = 17

58

Ao trabalhar com a decomposio em dezenas exatas, procede-se da mesma forma que no caso correspondente, apresentado anteriormente. Quando chegar o momento de subtrair as unidades, tambm se decompe o sete para zerar as unidades do minuendo e o restante ser retirado do 20, resultado da subtrao de 50 30. Ou ainda desta forma:

54 - 37 = 54 - 10 - 10 - 10 - 7 54 - 10 = 44 44 - 10 = 34 34 - 10 = 24

7=4+3

24 - 4 = 20 20 - 3 = 17A decomposio do subtraendo para que o minuendo seja reduzido aos poucos. Para resolver a subtrao das unidades, tambm se decomps o 7 em 4 + 3. Primeiro, se retirou o 4 e, em seguida, dos 20 que restaram, subtraiu-se o 3. Em seguida, propor as operaes abaixo e pedir aos alunos que escolham, para resolvlas, uma das estratgias discutidas. 63 34 = 58 17 = 79 15 = 40 27 =

59

ATIVIDADE Algoritmos Alternativos de Adio e SubtraoObjetivo

17

TO

Refletir sobre uso de diferentes estratgias para clculo de adio e subtrao, comparandoas com algoritmos convencionais.

Planejamento Organizao: os alunos trabalharo em grupos. Material: lousa, lpis e papel. Durao: 50 minutos.

Encaminhamento Organizar os grupos. Procurar compor grupos produtivos favorecendo a cooperao e avano conjunto. Propor aos alunos a seguinte operao: 68 + 44 = Antes de resolver a operao, cada grupo dever dizer um valor prximo ao resultado exato. Obs.: esta uma forma de estimular os alunos s estimativas, ajudando-os, tambm, a controlar melhor os resultados obtidos, empregando tcnicas operatrias ou algoritmos. Anotar na lousa a estimativa de cada grupo para o resultado dessa operao. Propor que, nos grupos, uma parte faa a operao usando o algoritmo convencional e outra a resolva, utilizando uma das estratgias da adio discutidas na aula 15. Depois de operar de duas diferentes formas, devem comparar seus resultados. Se no forem iguais, deve ter havido algum erro e todos devem conferir as suas operaes para descobrir o equvoco. Em seguida, os grupos apresentam seus resultados e avaliam se as estimativas feitas no incio foram adequadas. 60

Propor uma nova operao: 90 24 =

Proceder como na primeira vez, no se esquecendo de propor que estimem o resultado da operao antes de resolv-la. Orientar as equipes que utilizaram as tcnicas convencionais para que utilizem, agora, uma das estratgias discutidas e vice-versa. Aps chegarem ao resultado e avaliarem suas estimativas, propor a ltima operao: 76 + 93 =

Quando tiverem realizado novamente toda a sequncia cumprida nas outras duas operaes, propor que os alunos pintem de azul aquelas que foram mais facilmente resolvidas, utilizando estratgias diferenciadas e, de amarelo, as que foram mais facilmente resolvidas com o algoritmo convencional. Para chegar a essas concluses, todos os integrantes do grupo devem opinar.

61

ATIVIDADE Multiplicando por Mltiplos de DezObjetivoDesenvolver a multiplicao por mltiplos de dez.

18

CM

Planejamento Organizao dos alunos: individual. Material: lousa, caderno, lpis, cpias da ficha de exerccios anexadas.

Encaminhamento Discutir com os alunos como resolver multiplicaes envolvendo mltiplos de 10, mentalmente. Por exemplo: 20 x 7 = 2 x 10 x 7 = 140 ou 14 x 10 = 140 20 x 7 = 2 x 7 = 14 Ou 2 x 7 x 10 = 140 8 x 30 = 8 x 3 x 10 = 240 15 x 40 = 15 x 4 x 10 = 600 200 x 5 = 2 x 5 x 100 = 1.000 Quando todos tiverem compreendido, devem registrar as concluses no caderno. desejvel que os alunos pratiquem essas estratgias um pouco individualmente, e por escrito. Sugesto de operaes a) b) c) d) e) f) g) 30 x 4 = 70 x 5 = 60 x 4 = 600 x 4 = 700 x 3 = 80 x 3 = 2.000 x 5 = h) i) j) k) l) m) 3.000 x 9 = 20 x 7 = 6.000 x 5 = 20 x 12 = 40 x 11 = 200 x 9 =

62

Explicar que esse recurso pode ser utilizado quando se precisa de um resultado apenas aproximado de uma operao. Por exemplo, para se ter uma noo do resultado de 215 x 4, pode-se pensar em 200 x 4 = 800 e concluir que a operao original resulta em um nmero um pouco maior que 800. Pode-se tambm pensar em 210 x 4 = 840, para se ter uma noo aproximada do produto, porm um pouco mais precisa. Perguntar aos alunos em que situaes eles imaginam que podero usar este tipo de recurso e auxili-los a concluir que ele tambm interessante para se conferir operaes resolvidas com algoritmo convencional ou mesmo com calculadoras, verificando se o resultado obtido razovel ou no. Pedir que resolvam as operaes da folha anexa. Modelo de atividade 38 x 2800 6.000 600 80

198 x 81.200 160 16.000 1.600

79 x 5350 300 400 4.000

12 x 3003.000 30.000 400 40.000

688 x 1.000700.000

7.000

700

600.000

31 x 451.200 1.500 15.000 120

2 x 45 x 120500 1.000 10.000 90.000

46 x 321.500 150 15.000 1.200

320 x 1.000320.000

32.000

3.200

10.000

63

ATIVIDADE Carta na TestaObjetivo

19

CM

Desenvolver a tabuada de multiplicao e compreender a diviso como operao inversa da multiplicao.

Planejamento Organizao dos alunos: agrupados em trios, de modo que dois alunos fiquem sentados frente a frente e o terceiro o juiz fique sentado de modo que possa ver os dois. Material: um baralho com as cartas de s a 10 de dois naipes, para cada trio, ou 20 cartes numerados dessa forma. No caso de usar baralho, o s valer 1.

Encaminhamento Os alunos que esto sentados frente a frente recebem, cada um, um conjunto de cartas de s a 10, que devem deixar viradas para baixo, na sua frente. Ambos viram a primeira carta de seu monte e, sem a olhar, colocam-na na testa, de forma que, tanto seu oponente, quanto o juiz, possam v-la. O juiz ento diz o resultado da multiplicao dos dois valores. Cada um dos competidores deve tentar descobrir qual a carta que tem na testa. Aquele que descobrir primeiro, ganha cinco pontos. Propor cinco jogadas com essa mesma formao e depois outras tantas com a mudana da funo de cada um, no trio, at que todos tenham desempenhado a funo de juiz. Se o juiz errar a operao, perde cinco pontos. Se for percebida muita disparidade de condies entre os competidores de algum trio, pode-se optar por alterar os grupos, procurando deix-los mais ou menos homogneos. interessante realizar novamente esse jogo, estimulando os alunos a estudar a tabuada em casa, para apresentar melhor desempenho na prxima rodada. 64

ATIVIDADE Qual o Resultado Exato Mais Prximo?ObjetivoDiscutir estratgias de aproximao para multiplicaes.

20

CA

Planejamento Organizao dos alunos: em equipes de quatro alunos. Material: papel, lpis, lousa.

Encaminhamento Dividir a classe em grupos e atribuir a cada aluno, de cada equipe, uma letra: A, B, C, D. Colocar na lousa uma operao e algumas possibilidades de resultados arredondados. Por exemplo: 35 x 47 Resultados: 1.200 120 1.500 2.000 150 Escolher quais alunos devero resolv-la; por exemplo, todos os alunos C de cada equipe. Os alunos C escolhem o resultado, sem discutir com seu grupo, anotam em um papel e entregam ao professor. Colocar na lousa todos os resultados escolhidos. Cada grupo discute, ento, a aproximao escolhida pelo colega C de seu grupo. Caso concordem com ela, buscam a sua justificativa; caso discordem, procuram argumentos que justifiquem essa discordncia. Perguntar a cada equipe se mantm ou no o resultado escolhido inicialmente e solicitar a justificativa em qualquer dos casos. Pedir, ento, que as equipes faam a operao exata e calculem a diferena entre esse valor e o arredondamento escolhido por cada equipe, de maneira a poder determinar qual a melhor aproximao. Combinar com os alunos a seguinte pontuao: dois pontos para as equipes que tenham escolhido a aproximao mais correta e um ponto para as equipes que, embora no tenham escolhido a melhor aproximao de incio, depois da discusso tenham mudado de opinio. Repetir essa atividade quantas vezes forem necessrias. Reservar um tempo da aula, podendo ser no final ou no meio do perodo, a fim de que as equipes relatem, umas para as outras, quais estratgias de clculo esto usando e quais 65

parecem mais teis. Caso o professor perceba alguma estratgia diferente, pode ser interessante coment-la, nesse momento. Sugesto de exerccios a) 36 x 42 Resultados aproximados: 1.200 120 14.000 140 36 x 421.200 1.500 120 150 14.000 15.000 140

1.500 150 15.000

b) 18 x 39 Resultados aproximados: 8.000 800 700 7.000 300 3.000 c) 101 x 298 Resultados aproximados: 30.000 d) 26 x 50 Resultados aproximados:

3.000

300

200.000 2.000 20.000

1.200

1.300

1.400 13.000 12.000

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ATIVIDADE Competio de Algoritmos Adio e SubtraoObjetivo

21

TO

Refletir sobre o uso de diferentes estratgias de adio e subtrao, comparando com o algoritmo convencional.

Planejamento Organizao dos alunos: em duplas. Material: lousa, lpis e papel. Durao: 50 minutos.

Encaminhamento Organizar duplas produtivas, favorecendo a cooperao e o avano de todos. Propor estas operaes: 65 + 35 = 22 + 36 = 125 + 207 = 58 31 = 67 28 = 540 135 =

Inclumos operaes que envolvem centenas e no apenas dezenas. Para resolver estas operaes, os alunos tero que fazer decomposies, considerando os agrupamentos. Com o conhecimento que j tm, a respeito de decomposio de nmeros, na ordem das dezenas, provvel que consigam fazer o mesmo com as centenas. interessante ajudar aqueles que no conseguirem. Antes de propor a resoluo, cada dupla anota, ao lado da operao, um valor prximo do resultado exato (esta uma forma de estimular os alunos ao clculo de estimativas). Ao iniciar o trabalho, os alunos devem marcar em azul as operaes que consideram mais fceis de resolver usando algoritmo convencional e uma marca amarela naquelas em que outras estratgias podero facilitar a busca do resultado. Aps essas etapas, propor que resolvam do modo como acharem mais fcil e mais eficaz. O desafio que consigam resolver o mais rpido possvel. 67

Depois de resolvidas as operaes, propor a correo e a conferncia dos resultados com as estimativas realizadas no incio. Conversar com os alunos sobre as operaes que julgaram mais fceis utilizando uma ou outra forma de resolver: concordaram ou h respostas diferentes? Por que alguns acham que determinada operao ser mais facilmente resolvida com algoritmo convencional? O que se espera que os estudantes tenham acesso a outras tcnicas para realizar clculos exatos e percebam que, em alguns casos, dependendo dos nmeros envolvidos, mais vantajoso utilizar determinada tcnica e em outros casos, outra diferente.

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ATIVIDADE DobrosObjetivo

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CM

Desenvolver o clculo mental, envolvendo dobros.

Planejamento Organizao dos alunos: sentados em fileiras. Material: lpis e papel. Durao: provavelmente, esta atividade ocupar mais de uma aula; poder ser realizada em um horrio mais extenso ou dividida em diferentes momentos.

Encaminhamento Como aquecimento, comear perguntando aos alunos, aleatoriamente, a tabuada do 2, tanto na forma multiplicativa (quanto 2 x 5?), quanto na forma de diviso (quanto 18 : 2?). Passar a lista de exerccios abaixo, para ser resolvida individualmente: 2 x 12 2 x 23 2 x 41 2 x 62 2 x 84 2 x 91 2 x 26 2 x 67 2 x 48 2 x 59 2 x 57 2 x 76 2 x 49

Perguntar aos alunos quais operaes eles conseguiriam fazer por clculo mental, sem utilizar o algoritmo ( provvel que alguns alunos percebam que as seis primeiras operaes so mais simples e podem ser resolvidas simplesmente dobrando ambos os algarismos do nmero. Apontar esse fato para toda a classe). Perguntar se seria possvel fazer algo parecido com as outras operaes. Mostrar para a classe toda que, quando se conhece bem a tabuada do 2, essas operaes so simples de serem feitas por clculo mental. Exemplos: 2 x 67 = (2 x 60) + (2 x 7) =120 + 14 = 134. 69

Propor vrias operaes na lousa, chamando alunos para resolverem. Dependendo do andamento da aula e do grau de dificuldade com que se deparam os alunos para realizar a atividade, pode-se aumentar o nvel de desafio, com operaes como as seguintes: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2 x 123 2 x 213 2 x 432 2 x 642 2 x 843 2 x 934 2 x 938 2 x 836 2 x 237 2 x 258 k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) 2 x 168 2 x 286 2 x 388 2 x 496 2 x 876 2 x 975 2 x 576 2 x 699 2 x 968 2 x 877

Discutir com o aluno que ele poder obter os mesmos resultados invertendo os fatores da operao. Por exemplo 2 x 123 tem o mesmo resultado que 123 x 2 Propor o jogo Batalha de fileiras Cada fileira de alunos, na sala de aula, formar uma equipe. Dar um nmero representado por um algarismo, escrito em um papel, para os primeiros de cada fila, devendo ser diferentes para cada fileira. A um sinal do professor, todos abrem o papel, imediatamente multiplicam o nmero por 2, viram-se para trs e informam o resultado da operao no ouvido do colega. Este deve multiplicar o resultado por 2, e fazer o mesmo, at o ltimo aluno da fila, que deve escrever o resultado obtido em um papel e levar correndo para o professor. Todas as equipes devem chegar at o fim, ou seja, no devem interromper o andamento da atividade, mesmo que algum grupo j tenha corrido para a frente. A equipe que primeiro chegar ao resultado final correto ganhar 10 pontos, enquanto cada uma das outras que acertar o resultado ganhar 5 pontos. Em seguida, os colegas de uma mesma fileira trocam de carteiras, j que a operao ser sempre mais fcil para os primeiros e mais difcil para os ltimos. Assim, o primeiro se sentar na segunda carteira; o segundo, na terceira e assim sucessivamente. O ltimo se sentar na primeira carteira e o jogo recomear. Repetir a atividade at que todos voltem aos seus lugares iniciais. 70

ATIVIDADE MetadesObjetivo

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CM

Discutir estratgias de dividir por 2 mentalmente.

Planejamento Organizao dos alunos: sentados em duplas, em fileiras. Material: lpis, papel e lousa.

Encaminhamento Colocar alguns nmeros na lousa e perguntar aos alunos quais deles so divisveis por 2, ou seja, pela metade, sem sobrar resto. Sugesto de nmeros que podem ser usados: 128, 48, 90, 36, 623, 875, 344, 642, 844, 200, 372, 638, 26, 288

Caso no esteja claro para toda a turma que apenas os nmeros pares so divisveis por 2, mostrar isso, efetuando algumas divises e retomando o conceito de nmero par, aquele que permite a formao de pares, que so grupos de 2. Solicitar o registro no caderno. Apagar da lousa os nmeros que no so divisveis por 2 e perguntar quais dos nmeros restantes so fceis de ser