Júnio Luan Pereira - USP · Júnio Luan Pereira The forcing technique and applications Master...

A técnica de forcing e aplicações

Júnio Luan Pereira

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________

Júnio Luan Pereira

A técnica de forcing e aplicações

Dissertação apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências – Matemática. VERSÃOREVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi

USP – São CarlosMaio de 2016

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Pereira, Júnio LuanP436a A técnica de forcing e aplicações / Júnio

Luan Pereira; orientador Leandro Fiorini Aurichi.– São Carlos – SP, 2016.

125 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas ede Computação, Universidade de São Paulo, 2016.

1. Forcing. 2. Aplicações. I. Aurichi, LeandroFiorini, orient. II. Título.

Júnio Luan Pereira

The forcing technique and applications

Master dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for thedegree of the Master Program in Mathematics. FINALVERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi

USP – São CarlosMay 2016

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao CAPES pelo financiamento da bolsa de Mestrado, ao CNPq pelo financia-mento das bolsas de pesquisa científica da graduação onde tive a preparação para essa pesquisa,e a Leandro Fiorini Aurichi, o homem que me guiou durante todo esse tempo.

Em especial, agradeço também aos membros da banca de defesa de minha dissertação,Eduardo Tengan, Rodrigo Roque Dias e Samuel Gomes da Silva, cujas diversas sugestões decorreções contribuíram para a redação dessa versão revisada.

RESUMO

PEREIRA, J. L.. A técnica de forcing e aplicações. 2016. 125 f. Dissertação (Mestrado emCiências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP),São Carlos – SP.

O texto descreve a definição e formalização da técnica de forcing, através de uma abordagemdireta, sem a conversão para modelos transitivos. Também usa esta abordagem para provar umcerto número de teoremas de consistência no âmbito da aritmética de cardinais e afins.

Palavras-chave: Forcing, Aplicações.

ABSTRACT

PEREIRA, J. L.. A técnica de forcing e aplicações. 2016. 125 f. Dissertação (Mestrado emCiências – Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP),São Carlos – SP.

The text describes the definition and formalization of the forcing technique, via a direct approach,without the transition to ground models. It also uses this approach to prove a number ofconsistency theorems on cardinal arithmetic and related subjects.

Key-words: Forcing, Applications.

SUMÁRIO

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 DEFINIÇÕES INTRODUTÓRIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1 Álgebra Booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.1 Somatórios e Produtórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2 Homomorfismos e Embarcações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.3 Subconjuntos Densos, Filtros e Anticadeias . . . . . . . . . . . . . . 39

2 A TÉCNICA DE FORCING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1 Definições Essenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Absoluticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3 Modelando ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4 Descrição da Técnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5 Primeiros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Aritmética de Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6.1 Primeiros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.6.2 Consistência de ∼CH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.6.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.7 Colapso de Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

APÊNDICE A DEMONSTRAÇÕES DOS TEOREMAS 2.1.14 E 2.1.15103A.1 Teorema 2.1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.1.1 Breve introdução à lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.1.2 Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2 Teorema 2.1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2.1 Formalizações Necessárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113A.2.2 Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

APÊNDICE B VERSÃO DE FORCING COM MODELOS . . . . . . . 115

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Índice de Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

13

INTRODUÇÃO

A primeira ferramenta criada para demonstrações de consistências de teorias matemáticasfoi a teoria de modelos. Ela consiste em tomar uma “fração” de uma segunda teoria matemáticae, a partir da linguagem desta, definir uma “interpretação” da linguagem da primeira teoria. Setudo ocorrer bem, através desta técnica você conseguirá provar a consistência da primeira teoriacaso valha a consistência da segunda teoria, ou seja, a teoria de modelos lida com demonstraçõesde “consistências relativas”.

Na teoria dos conjuntos, a abordagem mais corriqueira de teoria dos modelos é o usode conjuntos ou classes próprias, de preferência transitivas, mantendo a linguagem originalintacta, permitindo assim a demonstração de consistências relativas para várias axiomatizaçõesda teoria dos conjuntos. Porém, o segundo teorema da incompletude de Gödel prova que o uso deconjuntos não permite provar consistências relativas de axiomatizações suficientemente amplas,como ZF ou ZFC, nos obrigando a lidar, na maioria das vezes, apenas com classes próprias.

Das classes próprias usadas como modelos, a mais conhecida é a classe L (introduzidapor Gödel com o intuito de provar a consistência de GCH em ZF), o “universo dos construtíveis”.Com ela somos capazes de provar que a consistência da teoria ZFC juntamente com a afirmaçãode que todos os conjuntos fazem parte da classe L (o “axioma da construtibilidade”, denotadocomo V = L), desde que valha a consistência de ZF (o C vem de axiom of Choice, “axiomada escolha”), isto é, Con(ZF) → Con(ZFC+V = L) (provada pelo próprio Gödel, para umademonstração desse fato, veja (KUNEN, 1980, VII§2-4)). Porém, ela tem uma propriedadede “minimalidade”, isto é, toda classe própria transitiva que, como modelo, satisfaz ZFC (for-malmente falando, só é necessário satisfazer um número finito específico de axiomas dessateoria), obrigatoriamente conterá L. O problema desse fato é que isso torna impossível provar, apartir dessa abordagem, afirmações como Con(ZFC) → Con(ZFC+V = L), uma vez que, casoencontrarmos uma classe própria transitiva que satisfaz ZFC+V =L, teremos como consequênciaimediata a demonstração de V = L, coisa que não podemos esperar conseguir provar uma vezque já sabemos que Con(ZF) → Con(ZFC+V = L) (a não ser que ZF seja inconsistente, masninguém deseja que isso seja verdade). O problema é ainda mais grave, uma vez que, em ZFC,podemos provar que V = L implica GCH (veja (KUNEN, 1980, VII§4)), hipótese relacionadaao valor do cardinal 2κ , que não é possível de ser provada em ZFC. Logo, não podemos esperarprovar, com a abordagem tradicional de modelos acima mencionada, consistências relativas deteorias cuja aritmética de cardinais transfinitos viola GCH (a dificuldade de provar GCH motivaessa investigação).

14 SUMÁRIO

A técnica de forcing consiste em uma ferramenta de demonstração de consistênciasrelativas, criada por Cohen, capaz de contornar esse fato, mas que, consequentemente, não usa aabordagem tradicional de modelos enunciada no parágrafo anterior. A abordagem do forcingno nosso texto, desenvolvida por Scott e Solovay, consiste de, a partir de uma álgebra booleanacompleta, construir uma classe de conjuntos que, a partir de uma linguagem bastante incomum(a “linguagem forcing”), passará a interpretar uma nova teoria para, assim, conseguirmos provarsua consistência relativa. Na linguagem que criaremos, as afirmações não serão simplesmenteverdadeiras e falsas, mas assumirão um “valor”, assinalado por um elemento específico daálgebra booleana completa.

Com a técnica acima, seremos capazes de interpretar teorias onde não apenas existemtodos os conjuntos que já existiam na teoria original, mas também possuem conjuntos “novos”.A partir desses conjuntos “novos”, dentro dessa nova teoria provaremos afirmações “novas”.Usualmente, a maneira mais usual de manipular essa técnica é a partir de dois “modelos tran-sitivos”, M,M[G], onde M simula o “universo antigo”, e M[G], sendo criado a partir de M, aclasse enunciada acima e o G satisfazendo propriedades específicas (um “filtro M-genérico”,não confundir com a definição desse texto com o mesmo nome), simula o “universo novo”, que“estende o universo antigo”. Essa abordagem, apesar de deixar bem clara a ideia de conjuntos“novos” (que serão os elementos de M[G] que não estão em M), não é necessária para o desenvol-vimento da técnica (sem falar que é necessário um complexo contorno lógico para formalizaressa abordagem). Portanto, esse texto não usará essa abordagem, excluindo toda a necessidadede modelos “intermediários”. No Apêncice B, enunciarei brevemente tal tipo de abordagem.Escolhendo a álgebra booleana completa adequada, conseguiremos provar afirmações ondefacilmente violaremos V = L ou GCH. Nesse texto, exibiremos uma boa porção de teoremasprovando isso. Rigorosamente falando, a classe enunciada no parágrafo anterior munida com alinguagem forcing será um “modelo booleano”, embora não citaremos isso em nenhum lugarque não seja aqui.

15

CAPÍTULO

1DEFINIÇÕES INTRODUTÓRIAS

Nesse capítulo, definiremos e desenvolveremos os principais conceitos necessários paraabordar a técnica de forcing, que será desenvolvida no capítulo seguinte.

1.1 Álgebra BooleanaA nossa abordagem de forcing depende crucialmente da escolha de uma álgebra booleana

completa. Nesta seção faremos as definições e desenvolvimentos necessários para que o leitorcompreenda álgebras booleanas o suficiente para a leitura desse texto.

Definição 1.1.1 (ÁLGEBRA BOOLEANA). Uma álgebra booleana é um conjunto B , munidode duas constantes 0,1 ∈ B, duas operações binárias + (adição) e · (multiplicação) e umaoperação unária − (complemento) satisfazendo: Para quaisquer u,v,w ∈ B

(+) I. u+ v = v+u

(+) II. (u+ v)+w = u+(v+w)

(+) III. u · (v+w) = u · v+u ·w

(+) IV. u · (u+ v) = u

(+) V. u+(−u) = 1

(·) I. u · v = v ·u

(·) II. (u · v) ·w = u · (v ·w)

(·) III. u+(v ·w) = (u+ v) · (u+w)

(·) IV. u+(u · v) = u

(·) V. u · (−u) = 0

Os próximos dois teoremas descreverão as propriedades das álgebras booleanas cujoconhecimento é crucial para qualquer desenvolvimento posterior de sua teoria.

Teorema 1.1.2. São válidas as seguintes afirmações em uma álgebra booleana B: Para quaisqueru,v,w ∈ B

1.

u+ v = u

u · v = u⇐⇒ u = v

16 Capítulo 1. Definições Introdutórias

2.

u+ v = 1

u · v = 0⇐⇒ v = (−u)

3. −(−u) = u

4. −0= 1, −1= 0

Também são válidas as seguintes propriedades relativas às operações + e ·:

(+)1. u+0= u

(+)2. u+u = u

(+)3. u+1= 1

(+)4. −(u+ v) = (−u) · (−v)

(·)1. u ·1= u

(·)2. u ·u = u

(·)3. u ·0= 0

(·)4. −(u · v) = (−u)+(−v)

Demonstração. Conforme formos provando as afirmações, passaremos a usá-las nas demonstra-ções seguintes.

(+)1. : u+0(·)V= u+(u · (−u))

(·)IV= u

(·)1. : u ·1 (+)V= u · (u+(−u))

(+)IV= u

(+)2. : u+u(·)1= u+(u ·1)

(·)IV= u

(·)2. : u ·u (+)1= u · (u+0)

(+)IV= u

(+)3. : u+1(+)V= u+(u+(−u))

(+)II= (u+u)+(−u)

(+)2= u+(−u)

(+)V= 1

(·)3. : u ·0 (·)V= u · (u · (−u))(·)II= (u ·u) · (−u)(·)2= u · (−u)(·)V= 0

1.1. Álgebra Booleana 17

1.⇒): Multiplique ambos os lados da primeira equação por v, obtendo v · (u+ v) = v ·u.

Como v · (v+ u)(+)I= v · (u+ v) e v · u (·)I

= u · v, obtemos v · (v+ u) = u · v. Agora, uma vez que

v(+)IV= v · (v+u) e u · v = u (segunda equação), então vale v = u.

1.⇐): Consequência imediata dos resultados (+)2 e (·)2 deste teorema.

2.⇒): Multiplique ambos os lados da primeira equação por −u, obtendo (−u) ·(u+v) =

1 · (−u), com tudo o que sabemos, chegamos a

1 · (−u)(·)I= −u ·1(·)1= −u

(−u) · (u+ v)(+)III= (−u) ·u+(−u) · v(·)V= 0+(−u) · v(+)I= (−u) · v+0

(+)1.= (−u) · v

assim temos a equação (−u) ·v=−u. Some ambos os lados da segunda equação por −u, obtendo,

(−u)+(u · v) = (−u)+0. Por um lado, vale (−u)+0(+)1= −u, por outro, temos que

(−u)+(u · v) (·)III= ((−u)+u) · ((−u)+ v)(+)I= (u+(−u)) · ((−u)+ v)

(+)V= 1 · ((−u)+ v)(·)I= ((−u)+ v) ·1(·)1= (−u)+ v

através desses dois resultados, chegamos à equação (−u)+ v =−u. Juntas, esta equação com a

obtida antes formam o sistema:

(−u)+ v =−u

(−u) · v =−uque implica −u = v através da parte 1 deste

teorema.

2.⇐): Consequência imediata das propriedades (+)V e (·)V.

3.: Consequência direta da parte 2 deste teorema, usando como equações a propriedades(+)V aplicada com (+)I, e a propriedade (·)V aplicada com (·)I.

4.: Consequência direta da parte 2 deste teorema, utilizando como equações a parte (+)1deste teorema, fazendo u = 1, e a parte (·)1 também deste teorema, fazendo u = 1.

(+)4.: Vamos provar que u+ v e (−u) · (−v) satisfaz as duas equações da parte 2 desteteorema, o que implicará o resultado.


(u+ v)+((−u) · (−v))(·)III= ((u+ v)+(−u)) · ((u+ v)+(−v))

(+)I,(+)II= ((u+(−u))+ v)+(u+(v+(−v)))

(+)V= (1+ v)+(u+1)(+)I= (v+1)+(u+1)

(+)3= 1+1

(+)3= 1

Assim vale a primeira equação.

(u+ v) · ((−u) · (−v))(+)III= (u · ((−u) · (−v)))+(v · (((−u) · (−v))))

(·)I,(·)II= ((u · (−u)) · v)+((−u) · (v · (−v)))(·)V= (0 · v)+((−u) ·0)(·)I= (v ·0)+((−u) ·0)(·)3= 0+0

(+)1= 0

Assim também vale a segunda equação.

(·)4.: Usando a parte (+)4 deste teorema com −u e −v, obteremos −((−u)+(−v)) =

(−(−u)) · (−(−v)). Uma vez que a parte 3 deste teorema implica −(−u) = u e −(−v) = v,temos que −((−u)+(−v)) = u ·v. Esta última afirmação implica −(u ·v) =−(−((−u)+(−v))).Portanto, usando novamente a parte 3 deste teorema, concluímos que −(u ·v)= (−u)+(−v).

Definição 1.1.3. Dada uma álgebra Booleana B, definimos a relação binária ≤ em B da seguinteforma: dados u,v ∈ B, u ≤ v se, e somente se, u · (−v) = 0.

Teorema 1.1.4. A relação ≤ definida acima é uma ordem em B e satisfaz as seguintes proprie-dades, para quaisquer u,v,w,z ∈ B:

1. u ≤ v se, e somente se, (−u)+ v = 1

2. u ≤ v se, e somente se, u · v = u. Também, u ≤ v se, e somente se, u+ v = v

3. 0≤ u, u ≤ 1

4. u ≤ v se, e somente se, (−v)≤ (−u)

Também são válidas as seguintes propriedades relativas às operações + e ·:

(+)1. u ≤ v implica u+w ≤ v+w

(+)2. u≤ v e w≤ z implicam u+w≤ v+z

(+)3. u ≤ v e u ≤ w implicam u ≤ v+w

(+)4. u ≤ u+ v

(·)1. u ≤ v implica u ·w ≤ v ·w

(·)2. u ≤ v e w ≤ z implicam u ·w ≤ v · z

(·)3. u ≤ v e u ≤ w implicam u ≤ v ·w

(·)4. u · v ≤ u


Demonstração. Usaremos implicitamente as propriedades das álgebras booleanas citadas naDefinição 1.1.1 e no Teorema 1.1.2.

Provaremos primeiramente as propriedades 1 e 2, que provam definições equivalentes de≤:

1.: Por definição, u ≤ v ⇔ u · (−v) = 0. Por sua vez, podemos derivar u · (−v)⇔−(u ·(−v)) =−0 (para a volta use Teorema 1.1.2 3). Usando o Teorema 1.1.2, temos que (−u)+ v =

(−u)+(−(−v)) =−(u · (−v)) =−0= 1.

2.: Suponha inicialmente que vale u ≤ v, então temos que u · (−v) = 0. Com isso,provamos que u= u ·1= u ·(v+(−v))= (u ·v)+(u ·(−v))= u ·v+0= u ·v. Agora, supondo queu ·v = u, temos −u =−(u ·v) = (−u)+(−v). Somando v em ambos os lados, derivamos (−u)+

v = (−u)+(−v)+ v = u+1= 1. Assim, pela parte 1 deste teorema, vale u ≤ v. Concluindo aparte u ≤ v ⇔ u · v = u.

Vamos provar agora que u ≤ v ⇔ u+ v = v. Suponhamos inicialmente que vale u ≤ v,então temos que u · (−v) = 0. Somando v em ambos os lados, temos, (u · (−v))+ v = 0+ v = v.Note que, usando a distributividade da adição (propriedade (·)III), temos v = (u · (−v))+ v =

(u+v) · ((−v)+v) = (u+v) ·1= u+v. Agora, suponha que u+v = v, multiplicando-se ambosos lados por −v, temos (u+ v) · (−v) = v · (−v) = 0. Usando a distributividade do produto(propriedade (+)III), temos u · (−v) = u · (−v)+0= (u · (−v))+(v · (−v)) = (u+ v) · (−v) =

v · (−v) = 0, implicando então u ≤ v. Concluindo a demonstração.

Agora, vamos provar que a relação ≤ é, de fato, uma ordem.

REFLEXÃO: u · (−u) = 0, logo u ≤ u.

ANTISSIMETRIA: Como vimos na parte 2 do teorema, u ≤ v implica u · v = u. Porsua vez, v ≤ u implica u+ v = u. Portanto, usando o Teorema 1.1.2 1 com essas duas equações,concluimos que u ≤ v e v ≤ u implicam u = v.

TRANSITIVIDADE: u ≤ v e v ≤ w implicam, pela parte 2 deste teorema, u · v = u ev ·w = v. Portanto, u ·w = (u · v) ·w = u · (v ·w) = u · v = u, assim u ≤ w novamente pela parte 2deste teorema.

Agora passemos à demonstração das propriedades restantes.

3.: Para qualquer u ∈ B, 0 · (−u) = 0 e (−u)+1= 1. Portanto, pelos resultados anterio-res, 0≤ u e u ≤ 1.

4.: u ≤ v implica u · (−v) = 0. Como u =−(−u), vale (−v) · (−(−u)) = 0, isto é −v ≤−u. Para a volta, note que já provamos, em particular, que −v ≤−u implica −(−u)≤−(−v).Com isso, temos que imediato que u ≤ v.

(+)1.: Suponha que vale u ≤ v. Uma vez que −(v+w) = (−v) · (−w), vale (u+w) ·(−(v+w)) = (u+w) · (−v) · (−w) = u · (−v) · (−w)+w · (−v) · (−w). Note que o segundo


termo de u · (−v) · (−w)+w · (−v) · (−w) é igual a 0, e o fato que u ≤ v implica que o primeirotermo também é 0. Logo, (u+w) · (−(v+w)) = 0, isto é, u+w ≤ v+w.

(+)2.: Por hipótese temos u ≤ v e w ≤ z, então o resultado acima implica u+w ≤ v+w

e v+w ≤ v+ z, como ≤ é uma ordem, vale u+w ≤ v+ z.

(+)3.: Consequência imediata do (+)2 acima sabendo que u+u = u.

(+)4.: −(u + v) = (−u) · (−v), assim u · (−(u + v)) = u · (−u) · (−v) = 0, portantou ≤ u+ v.

(·)1.: Como −(v ·w) = (−v)+(−w), temos u ·w · (−(v ·w)) = u ·w · ((−v)+(−w)) =

u ·w · (−v)+u ·w · (−w). Note que o segundo termo vale 0, e que u ≤ v implica que o primeirotermo também vale 0. Portanto u ·w · (−(v ·w)) = 0 e então u ·w ≤ v ·w.

(·)2.: Por hipótese, vale u≤ v e w≤ z. Note que o resultado acima implica que u ·w≤ v ·we v ·w ≤ v · z, portanto, pela transitividade de ≤, vale u ·w ≤ v · z.

(·)3.: Consequência imediata do (·)2 acima sabendo que u ·u = u.

(·)4.: u · v · (−u) = 0, então u · v ≤ u.

Definição 1.1.5. Em uma álgebra booleana B, definimos o operador binário → da seguinteforma, dados u,v ∈ B, u → v = (−u)+ v.

Observação 1.1.6. Pelo Teorema 1.1.4 1, u ≤ v se, e somente se, u → v = 1.

Exemplo 1.1.7 (ABERTO REGULAR). Dada uma topologia (X ,τ), dizemos que o aberto a ∈ τ

é regular quando valer int(cl(a)) = a, onde, para todo x ⊂ X , int(x) é o interior de x (denotadotambém por

∘x), cl(x) é o fecho de x (denotado também por x). Defina B(X ,τ) como o conjunto

dos abertos regulares desta topologia, isto é, B(X ,τ) = a ∈ τ : a é regular . Tal conjunto formauma álgebra booleana com as seguintes operações, dados a,b ∈ B(X ,τ):

∙ a+b = int(cl(a∪b))

∙ a ·b = a∩b

∙ −a = int(X −a)

∙ 0= /0, 1= X

Demonstração. Para facilitar a demonstração, provemos primeiro o seguinte lema:

Lema 1.1.8. Dada uma topologia (X ,τ) vale, para quaisquer a,b ∈ τ e x,y ⊂ X :

1. int(cl(x)) é regular

2. cl(int(cl(a))) = cl(a)


3. cl(x∪ y) = cl(x)∪ cl(y)

4. int(x∩ y) = int(x)∩ int(y)

5. int(cl(int(cl(a))∪b)) = int(cl(a∪b))

6. int(cl(int(cl(a))∩b)) = int(cl(a∩b))

7. int(X −a) = X − cl(a)

Demonstração. Fixe a,b ∈ τ e x,y ⊂ X arbitrários para todas as demonstrações.

1.: Para todo x ⊂ X , int(cl(x)) é aberto contido em cl(int(cl(x))), portanto int(cl(x))⊂int(cl(int(cl(x)))). Por outro lado, pela definição de int(), int(cl(x)) ⊂ cl(x), o que implicacl(int(cl(x))) ⊂ cl(cl(x)) = cl(x). Portanto int(cl(int(cl(x)))) ⊂ int(cl(x)), concluindo assim ademonstração do item.

2.: Já sabemos que int(cl(a)) ⊂ cl(a), então cl(int(cl(a))) ⊂ cl(cl(a)) = cl(a). Agora,como a é aberto contido em cl(a), vale que a ⊂ int(cl(a)), então cl(a)⊂ cl(int(cl(a))).

3.: Dado z ∈ cl(x∪ y), se z ∈ cl(x), então existe aberto A ∋ z com A∩ x = /0 e, conse-quentemente, B∩ x = /0 para todo aberto B ⊂ A. Mas, como B∩ (x∪ y) = /0 quando z ∈ B, segueque B∩ y = /0. Neste caso, portanto, para todo aberto C ∋ z, z ∈ A∩C e C∩ y ⊃ (A∩C)∩ y = /0,portanto z ∈ cl(y). Logo, cl(x∪ y) ⊂ cl(x)∩ cl(y). Agora, como x ⊂ x∪ y e y ⊂ x∪ y temoscl(x)⊂ cl(x∪y) e cl(y)⊂ cl(x∪y) e, portanto cl(x)∪cl(y)⊂ cl(x∪y), concluindo a demonstra-ção do item.

4.: Vale x∩ y ⊂ x e x∩ y ⊂ y. Assim, int(x∩ y) ⊂ int(x) e int(x∩ y) ⊂ int(y). Portanto,int(x∩ y) ⊂ int(x)∩ int(y). Por outro lado, int(x) ⊂ x e int(y) ⊂ y, assim int(x)∩ int(y) é umaberto contido em x∩ y. Portanto int(x)∩ int(y)⊂ int(x∩ y).

5.: Sendo a aberto contido em cl(a) então a ⊂ int(cl(a)), então a∪ b ⊂ int(cl(a))∪ b

e, assim, int(cl(a∪ b)) ⊂ int(cl(int(cl(a))∪ b)). Por outro lado, int(cl(a)) ⊂ cl(a) e b ⊂ cl(b)implica int(cl(a))∪ b ⊂ cl(a)∪ cl(b). Como, devido a parte 3 deste teorema, cl(a)∪ cl(b) =cl(a∪ b), temos que cl(a)∪ b ⊂ cl(a)∪ cl(b) = cl(a∪ b). Assim, obtemos int(cl(int(cl(a))∪b))⊂ int(cl(cl(a∪b))) = int(cl(a∪b)), provando o que queríamos.

6.: Como provamos acima, a ⊂ int(cl(a)), assim, vale a∩b ⊂ int(cl(a))∩b, implicandoque int(cl(a ∩ b)) ⊂ int(cl(|)int(cl(a))∩b). Por outro lado, como int(cl(a)) ⊂ cl(a), temosque int(cl(a))∩b ⊂ cl(a)∩b. Antes de concluir a demonstração, vamos provar que cl(a)∩b ⊂cl(a∩b). Dado z∈ cl(a)∩b e um aberto A∋ z, temos que z∈ b e, portanto, z∈A∩b, mas tambémz ∈ cl(a), portanto A∩ (a∩b) = (A∩b)∩a = /0, então z ∈ cl(a∩b), o suficiente para provar odesejado. Retornando à demonstração, essa última afirmação implica que int(cl(a))∩b ⊂ cl(a)∪b ⊂ cl(a∪ b). Portanto, int(cl(a))∩ b ⊂ cl(a∩ b), o que implica que int(cl(int(cl(a))∩ b)) ⊂int(cl(a∩b)), o que faltava para provarmos o que queríamos.


7.: Sabemos que X − cl(a) é aberto contido em X −a, então X − cl(a)⊂ int(X −a). Poroutro lado, se z ∈ int(X −a), existe um aberto A ∋ z (a saber, o próprio int(X −a)) com A∩a = /0,logo z ∈ cl(a), ou seja, z ∈ X − cl(a). Concluindo a demonstração de que int(X −a)⊂ X − cl(a)e, consequentemente, a demonstração do item.

Primeiramente, vamos provar que, de fato, 0,1 ∈ B(X ,τ). Como X , /0 são abertos efechados, int(cl(X)) = X e int(cl( /0)) = /0. Portanto o que definimos como 0,1 são regulares.Agora, vamos provar que +, ·, − definidas acima são de fato operações em B(X ,τ). Para isso, ésuficiente provar que a+b, a ·b e −a são regulares para todo aberto regular a. A regularidadede a+b é consequência imediata da parte 1 do lema acima. Como a é aberto, X −a é fechado,então cl(X − a) = X − a. Então, int(cl(X − a)) = int(X − a), e o mesmo resultado enunciadoacima implica a regularidade de −a. Falta provar a regularidade de a∩ b para a,b regulares.Como a∩b é aberto, a∩b ⊂ int(cl(a∩b)). Por outro lado, como a∩b ⊂ a e a∩b ⊂ b, temoscl(a∩b)⊂ cl(a)∩ cl(b). Portanto, int(cl(a∩b))⊂ int(cl(a)∩ cl(b)). A parte 4 do lema acimaimplica int(cl(a)∩cl(b)) = int(cl(a))∩ int(cl(b)) que, pela regularidade de a e b, é igual a a∩b.Portanto a ·b é regular. Agora, vamos provar as propriedades da álgebra booleana.

(+)I e (·)I: Consequência imediata da comutatividade de ∪ e ∩.

(·)II: Imediato, devido a associatividade de ∩.

(+)II: (a+b)+ c = int(cl(int(cl(a∪b))∪ c)) que, pelo item 5 do lema acima, é igual aint(cl((a∪b)∪c)). A associatividade de ∪ implica int(cl((a∪b)∪c)) = int(cl(a∪ (b∪c))) quepor sua vez é igual a, pelo item 5 do lema acima, int(cl(a∪ int(cl(b∪ c)))) = a+(b+ c).

(+)III: a · (b+ c) = a∩ int(cl(b∪ c)). A regularidade de a e b+ c implica que a∩int(cl(b∪ c)) = int(cl(a∩ int(cl(b∪ c)))). Por sua vez, int(cl(a∩ int(cl(b∪ c)))) = int(cl(a∩(b∪c))). A distributividade de ∩,∪ implica int(cl(a∩(b∪c))) = int(cl((a∩b)∪(a∩c))), sendoeste último igual a (a ·b)+(a · c).

(·)III: a+(b · c) = int(cl(a∪ (b∩ c))). A distributividade de ∪,∩ implica int(cl(a∪(b∩ c))) = int(cl((a∪ b)∩ (a∪ c))). Aplicando o item 6 do lema acima duas vezes, obtemosint(cl((a∪b)∩ (a∪b))) = int(cl(int(cl(a∪b))∩ int(cl(a∪ c)))) que é igual, pela regularidadede int(cl(x)), a int(cl(a∪b))∩ int(cl(a∪ c)), sendo este último igual a (a+b) · (a+ c).

(+)IV: Como provamos na parte (+)III, a · (a+ b) = int(cl(a∩ (a∪ b))). Mas comoa∩ (a∪b) = a e a é regular, segue que a · (a+b) = int(cl(a)) = a.

(·)IV: Como provamos em (·)III, a+(a ·b) = int(cl(a∪ (a∩b))). Então, como a∪ (a∩b) = a e a é regular, a+(a ·b) = int(cl(a)) = a.

(+)V: Sendo X −a fechado, int(X −a) = int(cl(X −a)). Então a+(−a) = int(cl(a∪int(cl(X −a)))). Pela parte 5 do lema acima, obtemos que int(cl(a∪ int(cl(X −a)))) = int(cl(a∪(X −a))) = int(cl(X)) = X = 1, como queríamos.

(·)V: Como provamos na parte 7 do lema acima, int(X − a) = X − cl(a). Portanto,


a · (−a) = a∩ (X − cl(a)) = a− cl(a) = /0 = 0.

Exemplo 1.1.9. Dada uma álgebra booleana B e dado u ∈ B−0, o conjunto Bu = v ∈ B :v ≤ u munido com a adição, multiplicação e 0 induzidas de B e, fazendo 1= u e −v = u · (−v),é uma álgebra booleana. Analogamente, para todo u∈B−1, o conjunto Bu = v∈B : u≤ vmunido da adição, multiplicação e 1 induzidas de B e, definindo 0= u e −v = u+(−v), tambémé uma álgebra booleana.

Demonstração. As partes (+)3, (+)4, (·)3 e (·)4 do Teorema 1.1.4 provam que as operaçõesacima estão bem definidas em ambas as definições. Como + e · são induzidas de B, as proprie-dades (+)I-IV e (·)I-IV valem. Resta provar (+)V e (·)V.

Para Bu: v+Bu (−v)Bu = v+u · (−v) = (v+u) · (v+(−v)) = (v+u) ·1= v+u. Pelaparte 2 do Teorema 1.1.4, como v ≤ u, vale v+u = u e, então temos v+Bu (−v)Bu = u = 1Bu ,provando (+)V. Por outro lado, v ·Bu (−v)Bu = v ·u · (−v) = v · (−v) ·u = 0 ·u = 0, provandoassim a parte (·)V.

Para Bu: v ·Bu (−v)Bu = v · (−v+u) = v · (−v)+ v ·u = 0+ v ·u = v ·u. Pela parte 2 doTeorema 1.1.4, como u ≤ v, vale u · v = u e, assim temos v ·Bu (−v)Bu = u = 0Bu , assegurandoque a parte (·)V vale. Por outro lado, v+Bu (−v)Bu = v+(−v)+ u = 1+ u = 1, provando aparte (+)V.

Definição 1.1.10 (IDEAL, FILTRO). Dada uma álgebra booleana B, dizemos que I ⊂ B é umideal de B se satisfaz as seguintes propriedades, dados u,v ∈ B:

I 0 ∈ I, 1 ∈ I

II u,v ∈ I implica u+ v ∈ I

III u ∈ I e v ≤ u implicam v ∈ I

Analogamente, dizemos que G ⊂ B é um filtro sobre B se satisfaz as seguintes propriedades,dados u,v ∈ B:

I 1 ∈ G, 0 ∈ G

II u,v ∈ G implica u · v ∈ G

III u ∈ G e u ≤ v implicam v ∈ G

Além disso, dizemos que I ⊂ B é um ideal primo, (respectivamente G ⊂ B é um ultrafiltro),se I é um ideal e satisfaz, para todo u ∈ B, u ∈ I ou −u ∈ I (G é um filtro e satisfaz, para todou ∈ B, u ∈ G ou −u ∈ G).


Corolário 1.1.11. Se I é ideal primo (respectivamente, G é ultrafiltro) e J for ideal (H filtro) talque I ⊂ J (G ⊂ H), então I = J (G = H).

Demonstração. Suponha, por absurdo, que J− I = /0 (H −G = /0) e seja u um de seus elementos.Então, por definição, −u ∈ I ⊂ J (−u ∈ G ⊂ H). Assim u+(−u) = 1 ∈ J (u · (−u) = 0 ∈ H),absurdo.

Definição 1.1.12 (ÁLGEBRA BOOLEANA COMPLETA). Dizemos que uma álgebra booleanaB é completa se, para todo X ⊂ B, existem u,v ∈ B tais que supX = u e infX = v (sup, inftomados em relação a ordem definida na Definição 1.1.3). Se B for uma álgebra booleanacompleta e X ⊂B, definimos ∑u∈X u como supX e ∏u∈X u como infX . Em particular, ∑u∈ /0 u= 0,

∏u∈ /0 u = 1 e, de modo análogo, ∑u∈B u = 1, ∏u∈B u = 0.

Observação 1.1.13. Dada uma álgebra booleana B, é fácil ver que supu,v= u+v e infu,v=u · v.

Demonstração. Use partes (+)3, (+)4, (·)3 e (·)4 do Teorema 1.1.4.

Exemplo 1.1.14. A álgebra booleana B(X ,τ) definida no Exemplo 1.1.7 é completa e satisfaz,para quaisquer a,b ∈ B(X ,τ), a ≤ b se, e somente se, a ⊂ b.

Demonstração. Provemos inicialmente que a ≤ b ⇔ a ⊂ b. Por definição, a ≤ b ⇔ a · (−b) =

0⇔ a∩ int(X − b) = /0. Pela parte 7 do Lema 1.1.8, a∩ int(X − b) = /0 ⇔ a∩ (X − cl(b)) =/0 ⇔ a− cl(b) = /0 ⇔ a ⊂ cl(b). Sendo a aberto, vale a ⊂ cl(b)⇔ a ⊂ int(cl(b)), mas como b éregular int(cl(b)) = b e, portanto, a ≤ b ⇔ a ⊂ b.

Dado A ⊂B(X ,τ), digo que infA = int(cl(⋂

A)) e supA = int(cl(⋃

A)). De fato, a parte 1do Lema 1.1.8 prova que ambos pertencem a B(X ,τ). Para todo a∈A,

⋂A⊂ a e a⊂

⋃A. Portanto

int(cl(⋂

A)) ⊂ int(cl(a)) = a e a = int(cl(a)) ⊂ int(cl(⋃

A)). Então eles são, respectivamente,limitantes inferior e superior. Agora provemos que eles são respectivamente, de fato, o maiorlimitante inferior e o menor limitante superior. Sejam b,c∈B(X ,τ) tais que, para todo a∈A, b≤ a

e a ≤ c, isto é, b ⊂ a e a ⊂ c. Então b ⊂⋂

A e⋃

A ⊂ c. Assim, b = int(cl(b)) ⊂ int(cl(⋂

A))

e int(cl(⋃

A)) ⊂ int(cl(c)) = c. Logo b ≤ int(cl(⋂

A)) e int(cl(⋃

A)) ≤ c, como queríamosprovar.

Exemplo 1.1.15. Para toda álgebra booleana completa B, as álgebras booleanas Bu e Bu

definidas no Exemplo 1.1.9 são completas e suas ordens coincidem com a ordem de B.

Demonstração. Para v,w∈Bu, v≤Bu w⇔ v ·Bu (−w)Bu = 0Bu ⇔ u ·v ·(−w) = 0. Como v≤ u,u ·v = v. Portanto a última afirmação vale se, e somente se v · (−w) = 0 que, por sua vez, vale se,e somente se, v ≤ w. Agora, para v,w ∈ Bu, pelo Teorema 1.1.4 v ≤Bu w ⇔ (−v)Bu +Bu w =

1Bu ⇔ (−v)+u+w = 1. Como u ≤ w, vale u+w = w e, assim, a última afirmação vale se, e

1.2. Forcing 25

somente se −v+w = 1. Por sua vez, a última afirmação vale se, e somente se, v ≤ w. Então, aordem de ambas as álgebras booleanas completas coincidem com a ordem de B.

Devido à coincidência de ordens, para provar a completude, é suficiente provar que, paratodo X ⊂ Bu, supX ≤ u e infX ≤ u e que, para todo X ⊂ Bu, u ≤ supX e u ≤ infX , o que éevidente.

1.2 ForcingMesmo que nossa abordagem esteja centrada em álgebras booleanas completas, o nosso

interesse estará inteiramente centrado em forcings, definição que abordaremos nessa seção.Apesar de existir maneira de abordar a técnica de forcing diretamente com forcings, será maisfácil abordá-la com álgebras booleanas completas. Porém, isso exigirá que, a partir de um forcing,consigamos “associá-lo” a uma álgebra booleana completa, coisa que também faremos nessaseção.

Definição 1.2.1 (FORCING). Dado um conjunto P , dizemos que uma relação binária ≤ em P éuma pré ordem se satisfaz as seguintes propriedades, para todos p,q,r ∈ P:

∙ p ≤ p

∙ p ≤ q e q ≤ r implica p ≤ r

Um forcing é uma tripla (P,≤,1), onde ≤ é uma pré ordem de P e 1 ∈ P satisfazendo, para todop ∈ P, p ≤ 1. Denominaremos cada elemento de P como condições. Se p,q ∈ P, dizemos que:

∙ p é compatível com q, ou p ⊥ q, se existe r ∈ P tal que r ≤ p e r ≤ q

∙ p é incompatível com q, ou p ⊥ q, caso contrário

A partir de agora, quando não gerar conflitos, deixaremos implícita a menção de ≤ e 1quando mencionarmos forcings. Também, quando mencionarmos álgebras booleanas, deixaremosimplícita a menção de ·, a operação de multiplicação em álgebras booleanas.

Uma classe muito utilizada de forcings ao longo desse texto está explicitada no próximoexemplo:

Exemplo 1.2.2 (Fn()). Para quaisquer conjuntos I,J e qualquer cardinal infinito κ , definimosFn(I,J,κ) como o conjunto de funções f com dom( f ) ⊂ I, im( f ) ⊂ J e |dom( f )| < κ , ou,equivalentemente, | f |< κ . Isto é,

Fn(I,J,κ) = f : f é função∧dom( f )⊂ I ∧ im( f )⊂ J∧| f |< κ

A pré ordem de Fn(I,J,κ) é ⊃ e, consequentemente, 1 = /0. Quando κ = ω denotaremosFn(I,J,ω) como Fn(I,J).


Definição 1.2.3 (ÁTOMO). Dado um forcing P, dizemos que p ∈ P é um átomo se, para todosq,r ≤ p valer q ⊥ r. Se P contém átomos, dizemos que ele é atômico, caso contrário, dizemosque ele é não atômico.

Observação 1.2.4. Se um forcing P é não atômico, então, para todo p ∈ P, existem q,r ≤ p

com q ⊥ r.

O forcing do Exemplo 1.2.2 pode ser atômico ou não, como mostrará o seguinte teorema:

Teorema 1.2.5. Fn(I,J,κ) é não atômico se, e somente se, |I| ≥ κ e |J| ≥ 2.

Demonstração. Caso |I| < κ , qualquer f ∈ Fn(I,J,κ) com dom( f ) = I será átomo, pois nãoexistirá g ∈ Fn(I,J,κ) diferente de f tal que f ⊂ g (isto é, g ⊃ f , a definição de g ≤ f ). CasoJ = /0 então Fn(I,J,κ) = /0 e, obviamente, /0 é um átomo. Caso |J| = 1 então, para todof ,g ∈ Fn(I,J,κ), f ≤ g se, e somente se, dom( f ) ⊃ dom(g). Por causa disso, para quaisquerg1,g2 ≤ f , g1 ∪ g2 ∈ Fn(I,J,κ) e g1 ∪ g2 ≤ g1,g2, ou seja g1 ⊥ g2 e, portanto, todo elementode Fn(I,J,κ) é átomo. Como conclusão, caso pelo menos uma das hipóteses do teorema foremvioladas, Fn(I,J,κ) será forcing atômico.

Suponha agora que ambas as hipóteses do teorema são satisfeitas e fixe f ∈ Fn(I,J,κ)arbitrário. Então existem i ∈ I com i ∈ dom( f ) e j1, j2 ∈ J com j1 = j2. Portanto, definag1 = f ∪(i, j1) e g2 = f ∪(i, j2). Logo, g1,g2 ∈ Fn(I,J,κ), g1 ≤ f , g2 ≤ f e g1 ⊥ g2 pois,para todo h com h ⊃ g1,g2, temos que h ⊃ g1 ∪g2 e g1 ∪g2 não é uma função, então h tambémnão será. Assim, o forcing Fn(I,J,κ) será não atômico.

Definição 1.2.6 (FORCING SEPARATIVO). Dizemos que um forcing P é separativo quando≤ satisfaz antissimetria (assim ≤ é uma ordem) e, dados p,q ∈ P, p ≤ q implica que existe r ∈ Ptal que r ≤ p e r ⊥ q.

O forcing do Exemplo 1.2.2 é separativo quase sempre, as exceções serão exibidas noteorema a seguir:

Teorema 1.2.7. O forcing Fn(I,J,κ) é não separativo se, e somente se, |J|= 1 e |I| = /0.

Demonstração. Uma vez que ≤ é ⊃, a pré ordem é sempre antissimétrica.

Suponha que Fn(I,J,κ) seja não separativo. Então existem f ,g ∈ Fn(I,J,κ) com f ≤ g

e h ⊥ g para todo h ≤ f . Em particular, f ⊥ g. Do fato que f ≤ g, isto é g ⊂ f , temos que existe(i, j)∈ g tal que (i, j) ∈ f , então i ∈ I e j ∈ J, logo já temos que I = /0. Como supomos que f ⊥ g,f ∪g é uma função. Assim deve valer i ∈ dom( f ). Suponha que exista j′ ∈ J tal que j = j′. Entãovalem f ∪(i, j′) ∈ Fn(I,J,κ), f ∪(i, j′) ≤ f e f ∪(i, j′) ⊥ g, com essa última afirmaçãoderivando do fato que f ∪(i, j′)∪g não ser uma função, um absurdo com a hipótese inicial.Portanto J = j, ou seja, |J|= 1. Concluindo, para Fn(I,J,κ) ser não separativo, é necessárioas hipóteses do teorema.

1.2. Forcing 27

Agora, suponha que Fn(I,J,κ) satisfaz as hipóteses do teorema. Fixe um i que pertençaa I e j tal que J = j. Então, fazendo f = /0 e g = (i, j), temos que f e g pertencem aFn(I,J,κ) e f ≤ g. Como observamos no Teorema 1.2.5, se |J|= 1, então h0 ≤ h1 se, e somentese, dom(h0)⊃ dom(h1), além disso, h0 ∪h1 é sempre função. Portanto todos os elementos deFn(I,J,κ) são compatíveis. Assim, para todo h com h ≤ f , h ⊥ g, desse modo, f e g violam apropriedade de ser separativo e, portanto, Fn(I,J,κ) é não separativo.

Observação 1.2.8. Para toda álgebra booleana B, a tripla (B−0,≤,1), onde ≤ é a ordemda Definição 1.1.3, é um forcing e satisfaz u ⊥ v se, e somente se, uv = 0. Além disso, tal forcingé separativo. Definiremos ele como sendo o forcing induzido da álgebra booleana B.

Demonstração. Que a ordem ≤ da álgebra booleana B satisfaz antissimetria foi provado noTeorema 1.1.4. Vamos provar agora que, para quaisquer u,v ∈ B−0, u ⊥ v se, e somente se,uv = 0. Como foi provado na parte (·)4 do Teorema 1.1.4, uv satisfaz uv ≤ u e uv ≤ v. Portanto,u ⊥ v implica uv = 0. Vimos, na Observação 1.1.13, que uv = infu,v. Portanto, para todow ∈ B tal que w ≤ u e w ≤ v, vale w ≤ uv. Assim uv = 0 implica w = 0, logo u ⊥ v.

Provemos agora a separatividade de B. Dado u,v ∈ B −0, se u ≤ v, então w =

u(−v) = 0 e w satisfaz w≤ u e w⊥ v (pois wv= u(−v)v= u0= 0), como queríamos provar.

Teorema 1.2.9. No forcing induzido da álgebra booleana B (definido na observação acima),temos que u ∈ B−0 é um átomo se, e somente se, não existir v ∈ B−0 tal que v < u.

Demonstração. Seja u ∈ B−0 satisfazendo a propriedade acima. Então, se v ∈ B−0 étal que v ≤ u, temos v = u e a propriedade de átomo é automaticamente satisfeita. Agora, seu ∈ B−0 é um átomo, vamos provar que, para todo v ∈ B tal que v < u, vale v = 0, o queconcluirá a demonstração do teorema. De v < u, temos que v ≤ u e u ≤ v, isto é, u(−v) = 0 eu(−v)≤ u. Porém, vale u(−v)⊥ v, assim, como u é átomo de B−0, deve obrigatoriamentevaler v = 0.

Teorema 1.2.10. No forcing induzido de B, fixado um átomo u ∈ B −0, para todo v ∈B−0 tal que u ≤ v, temos que u ≤−v. Assim, temos que, para qualquer v ∈ B−0, valeu ≤ v ou u ≤−v.

Demonstração. Note que u ≤ v implica 0 = u(−v) ≤ u. Como supomos que u é átomo, oteorema acima implica que u(−v) = u, portanto u ≤−v.

Como dissemos no início da seção, precisamos, de alguma forma, associar a um forcing Puma álgebra booleana completa. O teorema a seguir será o responsável por fazer essa associação.

Teorema 1.2.11. Para todo forcing P, existem uma álgebra booleana completa B e uma funçãoe : P→ B que satisfaz, para quaisquer p,q ∈ P:


1. e(p) = 0

2. e(1) = 1

3. p ≤ q implica e(p)≤ e(q)

4. p ⊥ q ⇔ e(p)⊥ e(q)⇔ e(p)e(q) = 0

5. Para todo u = 0 em B existe p ∈ P tal que e(p)≤ u

Tal B é B(P,τP) definida conforme o exemplo 1.1.7, sendo τP a topologia em P gerada pelacoleção de abertos básicos Pp : p ∈ P, onde, para todo p ∈ P, Pp = q ∈ P : q ≤ p. Anossa função e : P→ B satisfaz e(p) = int(cl(Pp)). Passaremos a chamar tal B de r.o.(P) (r.o. éabreviação de regular open). Além disso, se P é separativo, a função e satisfaz que, em acréscimo,se e(p)≤ e(q), então p ≤ q (consequentemente, a função e é injetora).

Demonstração. Já sabemos que r.o.(P) como definida acima é uma álgebra booleana completa(exemplo 1.1.14) e é fácil provar que a função e : P→ r.o.(P) definida acima está bem definida.Vamos provar agora que a função e satisfaz as propriedade requeridas.

1.: Como Pp ⊂ int(cl(Pp)) = e(p), segue que e(p) = /0 = 0.

2.: P1 = P, e P é regular, portanto e(1) = int(cl(P)) = P= 1.

3.: p ≤ q implica Pp ⊂ Pq, logo, e(p) = int(cl(Pp)) ⊂ int(cl(Pq)) = e(q), implicandoentão que e(p)≤ e(q).

4.: Se e(p)⊥ e(q), então, e(p)∩e(q) = e(p)e(q) = 0= /0. Como Pp ⊂ e(p) e Pq ⊂ e(q),temos que Pp ∩Pq = /0, logo p ⊥ q. Agora, se e(p) ⊥ e(q), então int(cl(Pp))∩ int(cl(Pq)) =

e(p)e(q) = 0= /0. Fixe r ∈ int(cl(Pp))∩ int(cl(Pq)), então Pr ⊂ int(cl(Pp))∩ int(cl(Pq)). ComoPr ⊂ cl(Pp), Pr ∩Pp = /0, que é aberto. Agora, como temos Pr ∩Pp ⊂ Pr e também Pr ⊂cl(Pq), podemos derivar que Pr ∩Pp ∩Pq = /0, em particular, Pp ∩Pq = /0, o que implica p ⊥ q.Concluindo a demonstração desse item.

5.: Dado u ∈ r.o.(P), u = 0 = /0 implica que existe p ∈ u. Como u é aberto, Pp ⊂ u.Agora, como u é regular, int(cl(Pp))⊂ int(cl(u)) = u. Assim temos que e(p)≤ u.

Caso P for separativo, para provar que e é injetora, basta provar que e(p)≤ e(q) implicap ≤ q. Para isso, vamos provar que Pp é regular e, portanto, e(p) = Pp. Primeiramente, paratodo q ∈ P, q ∈ cl(P) se, e somente se, Pq ∩Pp = /0. Isto é, se, e somente se, q ⊥ p. Note queq ∈ int(cl(Pp)) se, e somente se, Pq ⊂ cl(Pp), isto é, se, e somente se, ∀r ≤ q r ⊥ q. Por P serseparativo, isso implica q ≤ p, e assim, int(cl(Pp)) ⊂ Pp, provando sua regularidade. Entãoe(p)≤ e(q) implica Pp ⊂ Pq, logo, p ≤ q.

Uma vez que, para qualquer álgebra booleana, temos um forcing canônico associado,poderemos também associá-lo a uma álgebra booleana completa. Porém, neste caso, a função de

1.2. Forcing 29

associação (denotada por e no teorema acima) satifaz várias propriedades adicionais. Elas serãocitadas e provadas agora.

Teorema 1.2.12. Para toda álgebra booleana B, existe uma álgebra booleana completa C e umafunção h : B → C injetora que satisfaz, para quaisquer u,v ∈ B:

1. h(0) = 0 e h(1) = 1

2. h(u+ v) = h(u)+h(v)

3. h(uv) = h(u)h(v)

4. h(−u) =−h(u)

5. Para todo w ∈ C −0 existe u ∈ B com h(u)≤ w

Tal C é exatamente r.o.(B−0) do teorema acima e h é definido da mesma forma que aembarcação canônica e, isto é, h(u) = int(cl((B−0)u)) para todo u ∈ B (no caso u = 0,vamos considerar (B −0)0 = /0). Vamos denominar essa álgebra booleana completa der.o.(B).

Demonstração. Com h definido conforme acima, a propriedade 5 é imediatamente satisfeita e,argumentando do mesmo modo que o teorema acima, por B−0 ser separativa, h B−0 éinjetora e com todos os valores diferentes de 0. Agora, vamos provar que ela satisfaz as demaispropriedades requeridas. Como o conjunto (B−0)u lembra muito o forcing induzido daálgebra booleana Bu, definida no Exemplo 1.1.9, passaremos a denotar, para fins de simplificação,(B−0)u como Bu.

1. Como B0 = /0 e B1 = B são regulares, h(0) = /0 = 0 e h(1) = B = 1. Com issoconcluímos também a demonstração de que h é injetora.

2.: Sendo B −0 separativo, h(u) = Bu. Portanto precisamos provar somente queint(cl(Bu ∪Bv)) = Bu+v. Vamos provar primeiramente que, para todo w = 0, vale w ⊥ (u+ v)

se, e somente se, w ⊥ u ou w ⊥ v. Caso valer w ⊥ u ou w ⊥ v, teremos que wu ou wv serádiferente de 0, consequentemente, w(u+ v) = wu+wv = 0, provando assim que, se valer w ⊥ u

ou w ⊥ v, então vale w ⊥ (u+ v). Agora, suponha que valha w ⊥ (u+ v) e w ⊥ u, segue entãoque 0 = w(u+ v) = wu+wv = wv, uma vez que, pela hipótese, wu = 0. Ou seja, teremos w ⊥ v,o suficiente para provar que w ⊥ (u+ v) implica que w ⊥ u ou w ⊥ v, concluindo essa primeirademonstração. Esse fato nos permite provar que cl(Bu ∪Bv) = cl(Bu+v), assim, concluímosque h(u)+h(v) = int(cl(Bu ∪Bv)) = int(cl(Bu+v)) = Bu+v.

3.: Aqui, basta provar que Bu ∩Bv = Buv, o que é evidente já que uv = infu,v.

4.: Inicialmente, provaremos que (B−0)−Bu = cl(B−u). Se v = 0 não pertence aBu, então v ≤ u, isto é, v(−u) = 0. Portanto, v ⊥ −u e, como consequência, v ∈ cl(B−u). Por


outro lado, se v ∈ cl(B−u) então v ⊥ −u, ou seja, v(−u) = 0. Assim, v ≤ u e, consequentemente,v não pertence a Bu. Portanto −h(u) = int((B−0)−Bu) = int(cl(B−u)) = B−u = h(−u).

Corolário 1.2.13. Para todo forcing P, se p ∈ P é átomo, então e(p) ∈ r.o.(P)−0 tambémserá. E, se u ∈ r.o.(P)−0 é átomo, então u = e(p), para algum p ∈ P que seja átomo em P.

Demonstração. Dados u,v ∈ r.o.(P)−0, o teorema acima implica que existe q,r ∈ P come(q) ≤ u, e(r) ≤ v. Agora suponha que p seja átomo e fixe u,v ∈ r.o.(P)−0 arbitrárioscom q,r satisfazendo a propriedade acima. Se u,v ≤ e(p), então e(q),e(r) ≤ e(p). Portanto,e(q) ⊥ e(p) e e(r) ⊥ e(p), implicando q ⊥ p e r ⊥ p. Assim existe q′,r′, com q′ ≤ p,q er′ ≤ p,r. Como p é átomo, temos que q′ ⊥ r′. Retornando a r.o.(P), vale e(q′)≤ e(q)≤ u ≤ e(p),e(r′)≤ e(r)≤ v≤ e(p) e e(q′) ⊥ e(r′), consequentemente, u ⊥ v e assim e(p) é átomo no forcinginduzido de r.o.(P).

Agora, dado u ∈ r.o.(P)−0 que seja átomo, existe p ∈ P com e(p)≤ u. Assim, peloTeorema 1.2.9, e(p) = u. Provemos agora que esse p é átomo em P. Dados q,r ≤ p, entãoe(p),e(r)≤ e(p) = u. Novamente o Teorema 1.2.9 implica e(q) = e(r) = e(p) = u. Note quee(q) = e(r) implica e(q) ⊥ e(r), de onde concluímos que q ⊥ r, assim p é átomo em P.

1.3 PropriedadesAqui analisaremos propriedades dos forcings e álgebras booleanas e, como mencionado

anteriormente, quando mencionarmos uma álgebra booleana B no contexto de forcing, estaremosnos referindo implicitamente ao forcing induzido de B−0.

1.3.1 Somatórios e Produtórios

Nesta subseção, trabalharemos unicamente com álgebras booleanas completas, onde asoperações ∑,∏ podem ser definidas.

Teorema 1.3.1. Para toda álgebra booleana completa B, todos uii∈I,vii∈I subconjuntos deB e v ∈ B, valem as seguintes propriedades:

1. ∑i∈I(ui + vi) = ∑i∈I ui +∑i∈I vi e ∏i∈I uivi = ∏i∈I ui ∏i∈I vi

2. ∑i∈I(v+u) = v+∑i∈I ui e ∏i∈I vui = v∏i∈I ui

3. v∑i∈I ui = ∑i∈I vui e v+∏i∈I ui = ∏i∈I(v+ui).

Demonstração. 1.: Para todo i∈ I vale ui ≤∑i∈I ui e vi ≤∑i∈I vi. Então vi+ui ≤∑i∈I vi+∑i∈I ui,logo ∑i∈I(vi +ui)≤ ∑i∈I vi +∑i∈I ui. Por outro lado, como para todo i ∈ I, vale ui ≤ vi +ui ≤∑i∈I(vi +ui) e vi ≤ vi +ui ≤ ∑i∈I(vi +ui), vale ∑i∈I vi ≤ ∑i∈I(vi +ui) e ∑i∈I ui ≤ ∑i∈I(vi +ui),

1.3. Propriedades 31

o que implica ∑i∈I vi +∑i∈I ui ≤ ∑i∈I(vi +ui)+∑i∈I(vi +ui) = ∑i∈I(vi +ui). A demonstraçãoda segunda equação é análoga, basta apenas inverter as ordens, substituir ∑ por ∏ e soma pormultiplicação.

2.: Consequência imediata de 2 acima fazendo vi = v para todo i ∈ I. Sabendo que, nestecaso, temos ∑i∈I vi = ∏i∈I vi = v.

3.: ∑i∈I ui = ∑i∈I 1ui = ∑i∈I(vui + (−v)ui) que é igual, pelo item 1 provado acima,

∑i∈I vui +∑i∈I(−v)ui. Multiplicando-se ambos os lados por v, temos v∑i∈I ui = v∑i∈I vui +

v∑i∈I(−v)ui. Como, para todo i ∈ I, temos vui ≤ v e (−v)ui ≤ −v, segue que ∑i∈I vui ≤ v

e ∑i∈I(−v)ui ≤ (−v). Então v∑i∈I vui = ∑i∈I vui e v∑i∈I(−v)ui ≤ v(−v) = 0, o que implicav∑i∈I(−v)ui = 0. Concluindo assim que v∑i∈I ui = ∑i∈I vui. A demonstração da segunda equa-ção é análoga, basta inverter a ordem, substituir ∑ por ∏, multiplicação por soma e vice versa, esubstituir 0 por 1 e vice versa.

Teorema 1.3.2. Para toda álgebra booleana completa B e todos uii∈I e v j j∈J subconjuntosde B, valem as seguintes propriedades:

1. ∑i∈I ui +∑ j∈J v j = ∑(i, j)∈I×J(ui + v j) e ∏i∈I ui ∏ j∈J v j = ∏(i, j)∈I×J uiv j

2. ∑i∈I ui ∑ j∈J v j = ∑(i, j)∈I×J uiv j e ∏i∈I ui +∏ j∈J v j = ∏(i, j)∈I×J(ui + v j)

Demonstração. 1.: Aplicando a parte 2 do teorema acima duas vezes, obtemos ∑i∈I ui+∑ j∈J v j =

∑i∈I(ui+∑ j∈J v j)=∑i∈I ∑ j∈J(ui+v j) que podemos substituir por ∑(i, j)∈I×J(ui+v j). A demons-tração da segunda parte é análoga fazendo as substituições necessárias.

2.: Aplicando a parte 3 do teorema acima duas vezes, obtemos ∑i∈I ui ∑ j∈J v j =

∑i∈I(ui ∑ j∈J v j) = ∑i∈I ∑ j∈J uiv j, que podemos trocar por ∑(i, j)∈I×J uiv j. A demonstração dasegunda equação é análoga fazendo as devidas substituições.

Teorema 1.3.3. Para toda álgebra booleana completa B e uii∈I ⊂ B, vale −(∑i∈I ui) =

∏i∈I −ui e −(∏i∈I ui) = ∑i∈I −ui.

Demonstração. Para todo i ∈ I, vale ui ≤ ∑i∈I ui e ∏i∈I ui ≤ ui, o que implica −(∑i∈I ui)≤−ui

e −ui ≤ −(∏i∈I ui). Consequentemente, vale −(∑i∈I ui) ≤ ∏i∈I −ui e ∑i∈I −ui ≤ −(∏i∈I ui).Usando a segunda consequência, temos que −(∏i∈I −ui) + (−(∑i∈I ui)) ≥ ∑i∈I(−(−u)) +

(−(∑i∈I ui)) = ∑i∈I ui+(−(∑i∈I ui)) = 1, portanto ∏i∈I −ui ≤−(∑i∈I ui) e, assim, ∏i∈I −ui =

−(∑i∈I ui). Agora, usando a primeira consequência, temos −(∏i∈I ui)− (∑i∈I −ui)≤− (∏i∈I ui)∏i∈I(−(−u)) = −(∏i∈I ui)∏i∈I ui = 0 o que implica −(∏i∈I ui) ≤ ∑i∈I −ui, por-tanto −(∏i∈I ui)≤ ∑i∈I −ui e, assim, −(∏i∈I ui) = ∑i∈I −ui.


1.3.2 Homomorfismos e Embarcações

As funções e do Teorema 1.2.11 e h do Teorema 1.2.12 são, na verdade, casos par-ticulares de um grupo de funções mais gerais: embarcações e homomorfismos, que fazem,respectivamente, associações entre forcings e entre álgebras booleanas. Essas associações serãodesenvolvidas nessa subseção e serão muito utilizadas na técnica de forcing.

Definição 1.3.4 (HOMOMORFISMO). Dada duas álgebras booleanas B,C , dizemos que umafunção h : C → B é um homomorfismo de álgebras booleanas caso satisfaçam, h(0) = 0,h(1) = 1 e, dados u,v ∈ C , h(u+ v) = h(u)+ h(v), h(uv) = h(u)h(v) e h(−u) = −h(u). Se,além disso, h for bijetora, dizemos que é um isomorfismo de álgebras booleanas.

De modo análogo, dadas álgebras booleanas completas B,C , caso um homomorfismoh : C → B satisfaça, para todo uii∈I ⊂ C , h(∑i∈I ui) = ∑i∈I h(ui) e h(∏i∈I ui) = ∏i∈I h(ui),dizemos que h é um homomorfismo completo. Se h for, de fato, um isomorfismo, dizemos queh é um isomorfismo completo.

Definição 1.3.5 (SUB-ÁLGEBRA). Dada uma álgebra booleana B, uma sub-álgebra booleanade B é uma álgebra booleana C ⊂ B tal que a função inclusão I : C → B é um homomorfismo.

Analogamente, caso B for álgebra booleana completa e C ⊂ B for álgebra booleanacompleta tal que a função inclusão I for homomorfismo completo, então dizemos que C ésub-álgebra booleana completa.

Definição 1.3.6 (EMBARCAÇÃO). Dados dois forcings P,Q, dizemos que a função i : P→ Q éuma embarcação se satisfaz as seguintes propriedades, dados p0, p1 ∈ P:

1 p0 ≤ p1 implica i(p0)≤ i(p1)

2 p0 ⊥ p1 se, e somente se, i(p0)⊥ i(p1)

3 ∀q ∈ Q ∃p ∈ P ∀r ≤ p i(r) ⊥ q

Se i, ao invés de 3 satisfaz a seguinte propriedade:

3′ ∀q ∈ Q ∃p ∈ P i(p)≤ q

dizemos que i é uma embarcação densa.

Observação 1.3.7. A função e : P→ r.o.(P) definida no Teorema 1.2.11 é uma embarcaçãodensa, que passaremos a chamar embarcação canônica de r.o.(P). Analogamente, h : B →r.o.(B) definido no Teorema 1.2.12 é um homomorfismo, que chamaremos, a partir de agora, dehomomorfismo canônico de r.o.(B). Além disso, 3′ implica 3.

Demonstração. Supondo 3′ e, dado q∈Q e p∈P tal que i(p)≤ q, vale, para todo r ≤ p, i(r)≤ q,ou seja, i(r) ⊥ q, assim vale 3.


Observação 1.3.8. Sejam forcings P,Q,S, e funções i : P → Q e j : Q → S. Caso i é umaembarcação e j for embarcação densa, ou caso i seja embarcação densa e j seja embarcação,então j ∘ i é uma embarcação. Caso ambos i, j forem embarcações densas, j ∘ i também seráembarcação densa.

Demonstração. As propriedades 1, 2 são facilmente dedutíveis em todos os três casos. Bastaprovar então a 3 para os dois primeiros casos e 3′ para o terceiro, coisa que provaremos separa-damente para cada caso.

Caso j seja densa e i não: Dado s ∈ S, seja q ∈Q com j(q)≤ s, então existe p ∈ P tal que,para todo p′ ≤ p, i(p′) ⊥ q. Consequentemente j(i(p′)) ⊥ j(q) e, como j(q)≤ s, j(i(p′)) ⊥ s

para todo p′ ≤ p, então j ∘ i satisfaz 3.

Caso i seja densa e j não: Dado s ∈ S, seja q ∈ Q tal que, para todo q′ ≤ q, j(q′) ⊥ s,fixe p ∈ P tal que i(p)≤ q. Digo que j(i(p′)) ⊥ s para todo p′ ≤ p. Pois, fixado p′ ≤ p, entãoi(p′)≤ i(p)≤ q, portanto, pela propriedade de q, j(i(p′)) ⊥ s, assim provando 3.

Caso i, j forem densas: Dado s ∈ S, existe q ∈ Q com j(q)≤ s, do mesmo modo, existep ∈ P com i(p)≤ q, portanto j(i(p))≤ j(q)≤ s. Assim, j ∘ i satisfaz 3′.

Definição 1.3.9. Dados P,Q forcings separativos, se i :P→Q é uma embarcação, então i satisfaz,para quaisquer p0, p1 ∈ P, i(p0)≤ i(p1) implica p0 ≤ p1 e, portanto, i é injetora.

Demonstração. Dados p0, p1 ∈ P, suponha por absurdo que i(p0)≤ i(p1) e p0 ≤ p1. Então, porseparatividade, existe r ≤ p0 tal que r ⊥ p1 implicando i(r)⊥ i(p1), contrariando i(r)≤ i(p0)≤i(p1).

Para os forcings do estilo Fn(I,J,κ), é evidente que, caso I ⊂ I′, então Fn(I,J,κ) ⊂Fn(I′,J,κ). Porém vale mais que isso, a função inclusão i : Fn(I,J,κ) → Fn(I′,J,κ) é umaembarcação, como provaremos a seguir.

Teorema 1.3.10. Quando I ⊂ I′, a função i : Fn(I,J,κ)→ Fn(I′,J,κ) tal que i(p) = p, para todop ∈ Fn(I,J,κ), é uma embarcação.

Demonstração. Uma vez que Fn(I,J,κ)⊂ Fn(I′,J,κ) e a ordem de ambos coincide, temos quep0 ≤ p1 se, e somente se, i(p0)≤ i(p1), assim a condição 1 é satisfeita.

Note que, para qualquer ordem do estilo Fn(), p0 ⊥ p1 se, e somente se, p0∪ p1 é função.Com isso é fácil provar que p0 ⊥ p1 se, e somente se, i(p0) ⊥ i(p1), consequentemente, p0 ⊥ p1

se, e somente se, i(p0)⊥ i(p1). Obtemos assim a propriedade 2.

Agora suponha q ∈ Fn(I′,J,κ) arbitrário, então, fazendo p = q I, temos que p ∈Fn(I,J,κ). Digo que, para todo p1 ∈ Fn(I,J,κ) com p1 ≤ p, vale i(p1) ⊥ q, isto é, p1 ∪ q éfunção. Isso é verdade, uma vez que p ⊂ q e p ⊂ p1. Logo, para todo x ∈ dom(p), p1(x) = q(x)


e, uma vez que dom(p) = dom(q)∩ I, para todo x ∈ dom(p1)− dom(p), x ∈ dom(q). Assimtemos a propriedade 3.

A versão mais geral do teorema acima será dada a seguir:

Teorema 1.3.11. Para toda função injetora f : I → I′, a função i f : Fn(I,J,κ) → Fn(I′,J,κ),dada por i f (p) = p∘ ( f dom(p))−1 é uma embarcação. Caso f for bijetora, i f será embarcaçãodensa (de fato, isomorfismo de ordens).

Demonstração. Note que, uma vez que f : I → I′ é injetora, faz sentido definir a função in-versa f−1 : f [I] → I. Assim, para todo p ∈ Fn(I,J,κ), i f (p) é definida da seguinte forma:dom(i f (p)) = f [dom(p)]⊂ f [I]⊂ I′ e, para todo x ∈ dom(i f (p)), i f (p)(x) = p( f−1(x)).

Vamos considerar inicialmente o caso de que f : I → I′ é bijetora. Nesse caso, além dei f (p) ∈ Fn(I′,J,κ), para todo q ∈ Fn(I′,J,κ) existe p ∈ Fn(I,J,κ) com i f (p) = q, a saber, p =

q∘ ( f f−1[dom(q)]) (isto é, dom(p) = f−1[dom(q)] e p(x) = q( f (x)), para todo x ∈ dom(p)).Vamos provar que p0 ⊂ p1 ⇔ i f (p0)⊂ i f (p1), o que provará que i f : Fn(I,J,κ)→ Fn(I′,J,κ) éfunção bijetora que preserva ordens (isomorfismo de ordens), implicando imediatamente que éembarcação densa.

⇒): p0 ⊂ p1 equivale a dom(p0) ⊂ dom(p1) e p0(x) = p1(x), para todo x ∈ dom(p0).Com isso, temos que dom(i f (p0)) = f [dom(p0)] ⊂ f [dom(p1)] = dom(i f [p1]) e i f (p0)(x) =

p0( f−1(x)) = p1( f−1(x)) = i f (p1)(x), implicando que i f (p0)⊂ i f (p1).

⇐): i f (p0)⊂ i f (p1) implica que f [dom(p0)] = dom(i f (p0))⊂ dom(i f (p1)) =

f [dom(p1)] e, para todo x ∈ dom(i f (p1)), p0( f−1(x)) = i f (p0)(x) = i f (p1)(x) = p1( f−1(x)).Logo, devido ao fato de f ser injetora, temos que dom(p0)⊂ dom(p1) e, para todo x ∈ dom(p0),p0(x) = p1(x), ou seja, p0 ⊂ p1.

Agora, no caso geral, note que f : I → f [I] é bijetora, então, como provamos acima,a função e : Fn(I,J,κ) → Fn( f [I],J,κ) que satisfaz e(p) = i f (p) para todo p ∈ Fn(I,J,κ), éembarcação densa. Uma vez que f [I] ⊂ I′, Fn( f [I],J,κ) ⊂ Fn(I′,J,κ) e, como provado noteorema acima, a função identidade i : Fn( f [I],J,κ)→ Fn(I′,J,κ) é uma embarcação, assimi f = i∘ e. Consequentemente, a Observação 1.3.8 prova que i f é embarcação.

Teorema 1.3.12. Para todo forcing P e B álgebra booleana completa, se i : P→ B for umaembarcação densa, então existe isomorfismo completo h : r.o.(P)→B tal que, se e : P→ r.o.(P)for a embarcação densa canônica do Teorema 1.2.11, vale h(e(p)) = i(p) para todo p ∈ P.

P B

r.o.(P)

i

eh


Demonstração. Como e e i são embarcações densas, e[P] e i[P] são densos em r.o.(P) e B.Assim, se u ∈ r.o.(P) e v ∈B, vale u = ∑e(p) : e(p)≤ u e v = ∑i(p) : i(p)≤ v (caso u = 0

ou v= 0, temos ∑e(p) : e(p)≤ u=∑ /0= 0 e ∑i(p) : i(p)≤ v=∑ /0= 0, consequentementea equação acima continua válida).

Definamos h da seguinte forma, para todo u ∈ r.o.(P), h(u) = ∑i(p) : e(p) ≤ u =

∑ i[p : e(p) ≤ u]. Dado p ∈ P, h(e(p)) = ∑i(q) : e(q) ≤ e(p), como i(p) ∈ i(q) : e(q) ≤e(p), vale i(p)≤ h(e(p)). Assim, caso provarmos que h(e(p))≤ i(p), provaremos então quevale h(e(p)) = i(p), demonstrando uma das afirmações do teorema. Para isso, basta provar que,para todo q ∈ P, e(q)≤ e(p) implica i(q)≤ i(p). Vamos provar que, de fato, vale e(q)≤ e(p)

se, e somente se, i(q) ≤ i(p). Isso é válido pois, caso valer e(q) ≤ e(p) e i(q) ≤ i(p), pelaseparatividade de álgebras booleanas, existe u∈B−0 com u≤ i(q) e u⊥ i(p). Pela densidadede i, existe r ∈ P com i(r)≤ u, logo, i(r)≤ i(q), o que implica i(r) ⊥ i(q) e i(r)⊥ i(p). Comoi é embarcação, temos r ⊥ q e r ⊥ p, mas e também é embarcação, portanto e(r) ⊥ e(q) ee(r)⊥ e(p), absurdo, já que supomos e(q)≤ e(p) e, portanto, deveríamos ter e(r) ⊥ e(p). Comum argumento análogo podemos provar que i(q)≤ i(p) implica e(q)≤ e(p), concluindo o quedesejávamos provar. É óbvio que, por e, i serem embarcações, vale e(p)⊥ e(q)⇔ i(p)⊥ i(q).

Vamos provar agora que h é função bijetora. Se u,v ∈ r.o.(P) é tal que u ≤ v, entãop : e(p) ≤ u ⊂ p : e(p) ≤ v. Portanto i[p : e(p) ≤ u] ⊂ i[p : e(p) ≤ v], o que implicah(u)≤ h(v). Por outro lado, se h(u)≤ h(v) e p ∈ P é tal que e(p)≤ u temos i(p)≤ h(u)≤ h(v).Com isso, note que i(p) ≤ h(v) = ∑i(q) : e(q) ≤ v implica e(p) ≤ v, pois se i(p) ≤ h(v)

e e(p) ≤ v, pela separatividade de r.o.(P) e densidade de e, existe q ∈ P com e(q) ≤ e(p) ee(q) ⊥ v. Portanto e(q) ⊥ e(r) para todo r ∈ P tal que e(r) ≤ v. Devido ao que provamos noparágrafo acima, vale i(q) ≤ i(p) e i(q) ⊥ i(r) para todo r ∈ P satisfazendo e(r) ≤ v, entãoi(q)h(v) = i(q)∑i(r) : e(r)≤ v= ∑i(q)i(r) : e(r)≤ v= 0, assim i(q)⊥ h(v), absurdo como fato que i(q) ≤ i(p) ≤ h(v). Com toda essa argumentação, provamos que, se h(u) ≤ h(v) ep ∈ q : e(q) ≤ u, então p ∈ q : e(q) ≤ v, o que implica p : e(p) ≤ u ⊂ p : e(p) ≤ v,ou seja, u ≤ v. Até o momento então, já sabemos que h satisfaz u ≤ v ⇔ h(u) ≤ h(v) paraquaisquer u,v ∈ r.o.(P). Com esse fato, já temos que h é função injetora, falta provar entãoque h é sobrejetora. Dado u ∈ B, temos que u = ∑i(p) : i(p) ≤ u. Vamos provar que, sev = ∑e(p) : i(p)≤ u ∈ r.o.(P) então, h(v) = u. Para isso, é suficiente provar que p : i(p)≤u= p : e(p)≤ v.

A parte ⊂ decorre da definição de v.

Suponha agora, por absurdo que valha ⊃. Então, seja p ∈ P tal que e(p)≤ v e i(p) ≤ u.Portanto, existe r ∈ P tal que i(r)≤ i(p) e i(r)⊥ u, assim, i(r)⊥ i(q) para todo q com i(q)≤ u.Logo, e(r)⊥ e(q) para todo q com i(q)≤ u. Temos então que e(r)⊥ ∑e(q) : i(q)≤ u= v, sóque i(r) ≤ i(p) implica e(r) ≤ e(p) ≤ v (usando a hipótese com o que provamos no segundoparágrafo da demonstração), absurdo. Assim provamos a parte ⊃.

Agora, vamos provar que h é de fato um homomorfismo completo. Para isso, precisamos


apenas provar que h(∑i∈I ui) = ∑i∈I h(ui) para todo uii∈I ⊂ r.o.(P) e, h(−u) = −h(u) paratodo u ∈ r.o.(P). Uma vez provado isso, a parte h(∏i∈I ui) = ∏i∈I h(ui) poderá ser obtidausando ∏i∈ ui =−∑i∈I −ui, como provado no Teorema 1.3.3 e a parte que h ser homomorfismodecorrerá do fato que u+v = ∑u,v e uv = ∏u,v, como vimos na Observação 1.1.13. Assimnos concentraremos na demonstração dessas duas afirmações.

Temos que h(∑i∈I ui) = ∑i(p) : e(p)≤ ∑i∈I ui. Fixe i ∈ I arbitrário, para todo p ∈ P,se e(p) ≤ ui, então e(p) ≤ ∑i∈I ui e, como consequência disso, h(ui) = ∑i(p) : e(p) ≤ ui ≤∑i(p) : e(p) ≤ ∑i∈I ui = h(∑i∈I ui). Portanto, a arbitrariedade de i ∈ I acima implica quesupi∈I h(ui) ≤ h(∑i∈I ui). Agora, se e(p) ≤ ∑i∈I ui, vamos provar que i(p) ≤ ∑i∈I h(ui), o queimplicará h(∑i∈I ui) ≤ ∑i∈I h(ui) e, consequentemente, h(∑i∈I ui) = ∑i∈I h(ui) concluindo ademonstração da primeira afirmação. Note primeiramente que, para toda álgebra booleanacompleta B, u ⊥ ∑i∈I ui ⇔ u ⊥ ui para todo i ∈ I, pois, se u ⊥ ∑i∈I ui, teremos uui ≤ ∑i∈I uui =

u∑i∈I ui = 0, ou seja, u ⊥ ui para todo i ∈ I arbitrário e, se u ⊥ ui para todo i ∈ I, temosu∑i∈I ui = ∑i∈I uui = ∑i∈I 0 = 0, logo u ⊥ ∑i∈I ui. Agora, suponha, por absurdo, que existae(p) ≤ ∑i∈I ui com i(p) ≤ ∑i∈I h(ui). Então existe i(r) ≤ i(p) com i(r) ⊥ ∑i∈I h(ui), portanto,o que provamos acima implica que, para todo i ∈ I, i(r) ⊥ h(ui). Esse último fato tem comoconsequência que i(r)⊥ i(q) para todo q ∈ P com e(q)≤ ui. Como vale, devido ao fato de valeri(r)⊥ i(p), que e(r)⊥ e(q), concluímos que e(r)⊥ ui para todo i ∈ I. Portanto, e(r)⊥ ∑i∈I ui,absurdo, uma vez que, pela hipótese, vale e(r)≤ e(p)≤ ∑i∈I ui, provando o que queríamos.

Provemos agora que h(−u)=−h(u). Se p é tal que e(p)≤−u então e(p)⊥ u implicandoe(p)⊥ e(q) para todo e(q)≤ u. Portanto vale i(p)⊥ i(q), ou seja, i(p)⊥ h(u), o que implica deimediato que i(p)≤−h(u) e, por arbitrariedade de p com e(p)≤−u, h(−u)≤−h(u). Vamosagora provar que, se i(p)≤−h(u) então e(p)≤−u, isso implicará −h(u)≤ h(−u), provandoassim que h(−u) = −h(u) e concluindo a demonstração do teorema. Note que i(p) ≤ −h(u)

implica i(p)⊥ h(u) ou i(p)⊥ i(q), para todo q com e(q)≤ u, implicando assim que e(p)⊥ e(q)

para todo e(q)≤ u, portanto e(p)⊥ u, ou e(p)≤−u.

Teorema 1.3.13. Dados P forcing, B álgebra booleana completa e i : P→B embarcação, existesub-álgebra completa C de B tal que im(P)⊂ C e i é uma embarcação densa em C .

Demonstração. Lembremos que, por definição, para todo X ⊂ B, ∑X = supX e ∏X = infX .

O nosso C será definido dessa forma: C = ∑p∈S i(p) : S ⊂ P. Uma vez que, paratodo q ∈ P, i(q) = ∑p∈q i(p) ∈ C , vale i[P] ⊂ C . Note agora que, para provar que C é sub-álgebra completa de B, é suficiente provar que 1,0 ∈ C e que C é fechado para as operações+, ·,−,∑,∏ e, argumentando do mesmo modo que na demonstração anterior, é suficiente mostrarque C é fechado pelas operações −,∑. Temos que 0 ∈ C já que 0 = ∑ /0 = ∑p∈ /0 i(p). Vamosprovar que ∑p∈P i(p) = 1, o que implicará 1 ∈ C . Suponha por absurdo que isso seja falso, entãou =−

(∑p∈P i(p)

)é diferente de 0 e, para todo p ∈ P, i(p)⊥ u. Mas, como i é embarcação em

B, existe p ∈ P tal que i(p) ⊥ u, absurdo.


Para todo j ∈ J com u j = ∑p∈S j i(p) ∈ C , é fácil demonstrar que, se S =⋃

j∈J S j,

∑ j∈J u j = ∑p∈S i(p) ∈ C . Assim, o conjunto C é fechado por ∑.

Agora, dado u = ∑p∈S i(p) ∈ C , defina S′ = p ∈ P : ∀q ∈ S p ⊥ q, digo que v =

∑p∈S′ i(p) =−u. Pois, por i ser embarcação, para todo p ∈ S′ e todo q ∈ S, i(p)⊥ i(q), assimuv =

(∑p∈S′ i(p)

)(∑q∈S i(q)

)= ∑(p,q)∈S′×S i(p)i(q) = 0. Com essa última afirmação, temos

v ≤−u. Suponha agora, por absurdo, que não valha −u ≤ v, teremos então que (−u)(−v) = 0.Uma vez que i é embarcação, fixe p ∈ P com i(r) ⊥ (−u)(−v) para todo r ≤ p. Digo que p ⊥ q

para todo q ∈ S. Pois, suponha por absurdo que p ⊥ q para algum q ∈ S, então existirá r ≤ p,q,consequentemente teremos i(r)≤ i(q)≤ u, assim i(r)⊥−u, absurdo com a definição de p, jáque, o fato r ≤ p deveria implicar i(r) ⊥ −u. Com isso, concluímos que p ∈ S′, logo i(p)≤ v,absurdo, agora devido ao fato que essa última afirmação implica i(p)⊥−v, mas, pela definiçãode p, deveria valer i(p) ⊥ −v. Então, com essa afirmação provamos que v =−u, onde derivamosque −u ∈ B e, portanto, C é fechado por −.

Como provamos nos parágrafos anteriores, im(i)⊂ C , 0,1 ∈ C e C é fechado para asoperações +, ·,−,∑,∏. Por causa disso, C preserva as operações +, ·,−,∑,∏ e, consequente-mente, também preserva as operações ≤,⊥, isto é, para quaisquer u,v ∈ C , u ≤B v ⇔ u ≤C v eu ⊥B v ⇔ u ⊥C v. Assim, já que i : P→B é embarcação, i : P→ C satisfaz as propriedades 1 e2 das embarcações. Dado u ∈ C −0, então u = ∑p∈S i(p) com S = /0. Logo existe p ∈ P comi(p)≤C u e, portanto, i : P→ C satisfaz a propriedade 3′ e assim é uma embarcação densa.

Corolário 1.3.14. Sejam P,Q forcings e i :P→Q embarcação. Então existe h : r.o.(P)→ r.o.(Q)homomorfismo que preserva i. Além disso, h é isomorfismo caso i for embarcação densa, ouh denota um isomorfismo de r.o.(P) com uma sub-álgebra completa de r.o.(Q) caso i for umaembarcação simples.

P Q

r.o.(P) r.o.(P)

i

h

Demonstração. Seja e : Q→ r.o.(Q) embarcação densa canônica definida no Teorema 1.2.11.Caso i for embarcação densa, e∘ i : P→ r.o.(Q) também será embarcação densa e poderemosdefinir h através do Teorema 1.3.12 usando a função e ∘ i, onde, no mesmo teorema, já foiprovado ser isomorfismo. Caso i for simples embarcação, o Teorema 1.3.13 implica que existeB sub-álgebra completa de r.o.(Q) tal que e ∘ i : P→ B é embarcação densa, assim, usandoo Teorema 1.3.12, existe h : r.o.(P)→ B isomorfismo que preserva e∘ i e, portanto, preservai. Estendendo o contra-domínio, h : r.o.(P) → r.o.(Q) é um homomorfismo que denota umisomorfismo de r.o.(P) com uma sub-álgebra completa de r.o.(Q).


Todos esses teoremas sugerem uma conexão íntima entre homomorfismos completosinjetores e embarcações, conexão essa que será explicitada no próximo teorema.

Teorema 1.3.15. Fixe álgebras booleanas completas B,C e H : B → C função com H(0) = 0.Caso H for embarcação, então também será homomorfismo completo injetor. Em particular, casoH for embarcação densa, então H será isomorfismo completo. Caso H for homomorfismo com-pleto injetor, então também será embarcação. Em particular, caso H for isomorfismo completo,será embarcação densa.

Demonstração. Caso H for embarcação densa, o Teorema 1.3.12 implica a existência de umisomorfismo completo I : r.o.(B)→C , que, aliado ao homomorfismo canônico h : B → r.o.(B)

injetor do Teorema 1.2.12, satisfaz, I(h(u)) = H(u), para todo u ∈ B (o caso u = 0 não geraproblemas, já que H(0) = 0), ou seja, I ∘h = H. Digo que h também é isomorfismo completo,pois, homomorfismo injetor já foi provado. Agora, fixe uii∈I , então, para todo i∈ I, ui ≤∑i∈I ui,portanto, ∑i∈I h(ui) ≤ h(∑i∈I ui). Por outro lado, suponha que valha h(∑i∈I ui) ≤ ∑i∈I h(ui),então existe v ≤ h(∑i∈I ui) tal que v∑i∈I h(ui) = 0 e, consequentemente, existe w ∈ B tal queh(w)≤ v e h(w)∑i∈I h(ui) = 0, isto é, h(w)h(ui) = 0 para todo i ∈ I. Por h ser homomorfismoinjetor, vale wui = 0 para todo i ∈ I, assim devemos ter w∑i∈I ui = 0, absurdo com o fatode que h(w)≤ v ≤ h(∑i∈I ui). Portanto, h(∑i∈I ui) = ∑i∈I ui. Com isso, temos que h(∏i∈I ui) =

h(−∑i∈I −ui) =−∑i∈I −h(ui) =∏i∈I h(ui), concluindo que h é homomorfismo injetor completoe, como r.o.(B) é completamento de B, h é bijetora e então, isomorfismo como. Por causa dissoé fácil provar que I ∘h = H é isomorfismo completo.

Caso H for somente embarcação, I será apenas homomorfismo completo injetor. Mas,sendo h isomorfismo completo, é o suficiente para provar que I ∘ h = H é homomorfismocompleto injetor.

Agora, suponha que H é isomorfismo completo, é fácil provar que H é embarcação densauma vez que H é bijetora e é fácil provar que u ≤ v se, e somente se H(u)≤ H(v). Agora, casoH é apenas homomorfismo completo injetor, ainda podemos provar que u ≤ v ⇔ H(u)≤ H(v).Também podemos provar que uv = 0⇔ H(u)H(v) = 0 (esta é a afirmação onde é necessário ofato de H ser injetora). Portanto, para provar que H é embarcação só falta provar a propriedade3. Fixe u ∈ C −0 arbitrário, faça w = ∑v ∈ B : uH(v) = 0. Digo que w = 1, isto é,v∈B : uH(v)= 0 =B. Isto é verdade porque ∑v∈B(uH(v))= u∑v∈B H(v)= uH(∑v∈B v)=

uH(1) = u = 0. Portanto, existe w ∈B tal que uH(w) = 0 (é aqui onde o fato de H ser completaé usado). Com isso, para todo w′ ≤ −w diferente de 0, vale H(w′)u = 0, pois, caso contrário,pela definição de w, w′ ≤ w e, assim, w′ = 0, absurdo. Assim, −w satisfaz a propriedade 3 paraeste u ∈ C −0.


1.3.3 Subconjuntos Densos, Filtros e Anticadeias

Uma vez fixado um forcing ou álgebra booleana completa, derivaremos resultados com atécnica de forcing através das propriedades de conjuntos densos, filtros e anticadeias. Os trêsserão nosso objeto de estudo nessa subseção. O núcleo da técnica de forcing está na definição defiltro genérico, que será definida no fim dessa subseção.

Definição 1.3.16 (DENSO). Dado um forcing P, dizemos que D ⊂ P é denso, se, para todop ∈ P, existe q ∈ D tal que q ≤ p. Se, além disso, D for aberto na topologia (P,τP), dizemos queD é denso aberto. Analogamente, para todo p ∈ P, dizemos que E ⊂ P é denso abaixo de p se,para todo q ∈ P, q ≤ p implica que existe r ∈ E com r ≤ q.

Teorema 1.3.17. Para toda álgebra booleana completa B, se D ⊂ B −0 é denso, então

∑D = 1. E, para todo u ∈B, u = ∑v ∈ D : v ≤ u. Dado u ∈B−0 se E ⊂B−0 é densoabaixo de u, então u ≤ ∑E.

Demonstração. Suponha que u = ∑D = 1, então −u = 0 e, logo, existe v ∈ D com v ≤ −u,mas também vale v ≤ u. Assim devemos ter v = 0, absurdo. Dado u ∈ B, se u = 0, então

∑v ∈ D : v ≤ 0= ∑ /0 = 0. Se u = 0, v ∈ D : v ≤ u= D∩Bu, sendo D denso, evidentementeD ∩Bu é denso abaixo de u. Como Bu preserva a ordem de B, D ∩Bu é denso em Bu,portanto, como provamos acima, ∑Bu D∩Bu = 1Bu = u. Como Bu também preserva ∑,∏ deB, ∑D∩Bu = u.

Agora, se E é denso abaixo de u, então E∩Bu continuará sendo denso abaixo de u. Então,argumentando como acima, podemos provar que ∑E ∩Bu = u. Portanto, como E ∩Bu ⊂ E,concluímos que u = ∑E ∩Bu ≤ ∑E.

Definição 1.3.18 (ANTICADEIA). Para todo forcing P, dizemos que A ⊂ P é anticadeia se,dados p,q ∈ A, vale p ⊥ q. Se, além disso, não existir anticadeia B com A ( B, dizemos que A éanticadeia maximal, ou simplesmente partição.

Teorema 1.3.19. Para toda álgebra booleana completa B, uma anticadeia A ⊂ B −0 émaximal se, e somente se, ∑A = 1. Por este motivo, denominamos anticadeias maximais comopartição.

Demonstração. Se ∑A = u = 1, então −u = 0 e, para todo v ∈ A, como v ≤ u, v(−u) = 0.Assim, A∪−u) A é anticadeia e, portanto, A não é maximal. Agora, se A é anticadeia nãomaximal, seja v ∈ B−0 tal que, para todo u ∈ A, uv = 0, então (∑u∈A u)v = ∑u∈A uv = 0 e,portanto, (∑u∈A u)(−(−v)) = 0, ou seja, ∑u∈A u ≤−v e −v = 1.

Teorema 1.3.20. Para toda álgebra booleana completa B e uii∈I ⊂ B−0 com ∑i∈I ui = 1,existe partição A tal que, para todo v ∈ A, existe i ∈ I tal que v ≤ ui. Todo conjunto A ⊂ B−0que satisfaz essa propriedade é dito ser refinamento de uii∈I , nome com o qual denominaremostambém à definição equivalente para forcings.


Demonstração. Defina B=⋃

i∈I Bui (como estamos tratando do forcing induzido de Bui , 0 ∈ B).Use o lema de Zorn para encontrar uma anticadeia A ⊂ B que seja maximal nesse conjunto. Paraprovar que tal A é de fato maximal em B, basta provar que ∑v∈A v = 1. Suponha, por absurdo,que ∑v∈A v = u = 1, então ∑i∈I ui(−u) = (−u)∑i∈I ui = (−u)1 = −u = 0. Assim, existe i ∈ I

tal que 0 = ui(−u) ≤ ui, portanto, ui(−u) ∈ B e A∪ui(−u) é uma anticadeia satisfazendoA ( A∪ui(−u) ⊂ B, absurdo com a maximalidade de A.

Corolário 1.3.21. Para todo D aberto denso de uma álgebra booleana completa B, o Teorema1.3.17 junto com o Teorema 1.3.20 implicam que D contém uma partição.

Existe um resultado análogo que “inverte os papéis” do denso aberto e partição.

Teorema 1.3.22. Para toda partição A de uma álgebra booleana completa B, D = u ∈B−0 :∃v ∈ A u ≤ v é denso aberto que é refinamento de A.

Demonstração. Uma vez fixada a partição A e D definido como acima, é fácil provar que D éaberto e refinamento de A. Agora, fixado u ∈ B−0, por A ser anticadeia maximal, temos queexiste v ∈ A tal que uv = 0, uv ∈ D e uv ≤ u, provando a densidade de D.

Porém o corolário e o teorema acima são apenas um caso particular de um teorema muitomais geral sobre forcings:

Teorema 1.3.23. Para todo forcing P, todo denso D contém uma anticadeia maximal e todaanticadeia maximal A está contida em um denso que é refinamento dela.

Demonstração. Dado um denso D, use o lema de Zorn para encontrar anticadeia A ⊂ D queseja maximal em relação a D. Digo que A é maximal em relação a P. Pois, suponha que issoseja falso e fixe p ∈ P tal que A∪p é anticadeia. Como D é denso, existe r ∈ D com r ≤ p.Agora, como vale p ⊥ q para todo q ∈ A, segue que r ⊥ q para todo q ∈ A. Então A∪r ⊂ D éanticadeia, absurdo com a maximalidade relativa à D.

Agora fixe uma anticadeia maximal A, faça D = p ∈ P : ∃q ∈ A p ≤ q. EvidentementeA ⊂ D, D é refinamento de A e D é aberto. Vamos provar que D é denso. Fixe p ∈ P arbitrário,caso p ∈ A, então teremos p ∈ D. Agora, caso p ∈ A, existe q ∈ A tal que q ⊥ p, então exister ∈ P tal que r ≤ p,q, e tal r pertencerá a D. Assim, D é denso.

Definição 1.3.24 (SATURAÇÃO). Para todo forcing P, definimos a saturação de P ou sat(P)o menor cardinal κ tal que, se A ⊂ P é anticadeia, então |A|< κ .

Observação 1.3.25. Para todo forcing P e cardinal κ , se P possui anticadeia A com |A| = κ ,então κ < sat(P). Se κ < sat(P), então existe anticadeia A ⊂ P com |A| ≥ κ . Escolhendo umsubconjunto de A, podemos supor que |A| = κ . Portanto, κ < sat(P) se, e somente se, existeanticadeia A ⊂ P com |A|= κ . Mas não necessariamente precisa existir partição A com |A|= κ ,exceto em caso de álgebras booleanas completas e κ infinito, como provaremos abaixo.


Teorema 1.3.26. Para toda álgebra booleana completa B e cardinal infinito κ , vale κ < sat(B)

se, e somente se, existe partição A ⊂ B−0 com |A|= κ .

Demonstração. A ida é facilmente dedutível pela observação acima. Basta então provar que,se κ < sat(B), então existe partição A com |A|= κ . A observação acima implica que existe B

anticadeia de B com |B|= κ . Suponha que B não seja maximal, então v = ∑u∈B u = 1, portanto,−v = 0 e −v ⊥ u para todo u ∈ B, já que u ≤ v. Fazendo A = B∪−v, temos que A é umaanticadeia, |A|= κ e ∑u∈A u = v+(−v) = 1, isto é, A é partição.

Teorema 1.3.27. Para toda álgebra booleana completa B e κ cardinal, κ < sat(B) se, e somentese, existe sequência (uξ )ξ<κ de elementos de B−0 satisfazendo uη < uξ caso ξ < η < κ .

Demonstração. Se κ < sat(B), a observação acima implica que existe A ⊂ B−0 anticadeiacom |A| = κ . Seja vξξ<κ enumeração de A. Para todo ξ < κ , defina uξ = ∑η≥ξ vη . Digoque a sequência (uξ )ξ<κ satisfaz as propriedades requeridas. É evidente que ξ < η implicauη ≤ uξ , precisamos provar que, de fato, vale uη < uξ . Isso vale pois vξ ≤ uξ e, para todo ζ ≥ η ,vξ vζ = 0, o que implica vξ uη = vξ ∑ζ≥η vζ = ∑ζ≥η vξ vζ = 0 = vξ , assim, vξ ≤ uη . Portanto,uξ = uη quando ξ < η .

Agora, dado (uξ )ξ<κ sequência que satisfaz o teorema, isto é, para todo ξ < κ temosuξ+1 < uξ . Portanto, uξ (−uξ+1) = 0. Assim, defina, para todo ξ < κ , vξ = uξ (−uξ+1). Digoque vξξ<κ é uma anticadeia de cardinalidade κ . Para isso, basta provar que, para todo ξ ,η < κ

satisfazendo ξ = η , vale vξ vη = 0.

Suponha, sem perda de generalidade, que ξ <η , então uη < uξ . Assim, temos uξ uη = uη .Também vale ξ +1 < η +1, consequentemente, uη+1 < uξ+1, afirmação que implica −uξ+1 <

−uη+1 ou, equivalentemente, (−uξ+1)(−uη+1) =−uξ+1. Com essas afirmações, concluímosque vξ vη = uξ (−uξ+1)uη(−uη+1) = uξ uη(−uξ+1)(−uη+1) = uη(−uξ+1). O fato que ξ < η

implica também que, ξ +1 ≤ η , então uη ≤ uξ+1, ou seja, uη(−uξ+1) = 0, consequentemente,vξ vη = 0, provando o que queríamos. Note que, caso κ = n ∈ ω basta acrescentar un hipotéticoigual a 0 na sequência para conseguirmos usar o argumento acima e provar o teorema para essecardinal finito.

Teorema 1.3.28. Para todo forcing P, temos que sat(P) = sat(r.o.(P)).

Demonstração. Basta provar que, para todo cardinal κ , finito ou infinito, se existe anticadeiaA ⊂ P com |A| = κ , então existe anticadeia B ⊂ r.o.(P) com |B| = κ e vice versa. Devidoà propriedade p ⊥ q ⇔ e(p) ⊥ e(q), se A é anticadeia de P com |A| = κ , então B = e[A] éanticadeia de r.o.(P) e |B| = κ . Se B é anticadeia de r.o.(P) com |B| = κ , para todo u ∈ B,escolha pu tal que e(pu)≤ u, se u = v, então e(pu)⊥ e(pv), o que implica pu ⊥ pv, logo pu = pv,consequentemente, A = puu∈B é anticadeia de P com |A|= κ .


Teorema 1.3.29. Para todo forcing P, sat(P)≤ ω implica que p ∈ P : p é átomo é denso emP.

Demonstração. Suponha, por absurdo, que exista p ∈ P sem átomo menor ou igual a ele.Então, para todo q ≤ p, existe r,s ≤ q com r ⊥ s. Por indução sobre n ∈ ω , escolha r0,s0 comr0 ⊥ s0 e r0,s0 ≤ p e, uma vez definido rn,sn, escolha rn+1,sn+1 satisfazendo rn+1,sn+1 ≤ sn ern+1 ⊥ sn+1. Assim concluímos que rnn<ω é anticadeia enumerável de P, absurdo com o fatode que sat(P)≤ ω .

Teorema 1.3.30. Para todo forcing P vale sat(P) = ω .

Demonstração. Para isso, é suficiente provar que, para todo forcing P, sat(P) ≤ ω implicasat(P) < ω . Devido ao Teorema 1.3.28, basta provar a afirmação para álgebras booleanascompletas.

Para uma álgebra booleana completa B com sat(B)≤ ω , o teorema acima implica queu ∈ B : u é átomo é denso, portanto, o Teorema 1.3.17 implica que todo elemento de B

é gerado por um subconjunto de u ∈ B : u é átomo. Porém, este conjunto também é umaanticadeia de B, pois dados u,v ∈ B átomos distintos, uv = 0 implica uv = u e uv = v, portantou = v, absurdo. Assim, sat(B)≤ ω implica u ∈ B : u é átomo é finito e, consequentemente,só existe um número finito de subconjuntos de u ∈ B : u é átomo, implicando que B é finito.Portanto sat(B)< ω .

Teorema 1.3.31. Para todo forcing P, se sat(P) é infinito, então sat(P) é regular.

Demonstração. Pelo Teorema 1.3.28, é suficiente provar a afirmação para álgebras booleanascompletas. Também, visto que o teorema acima implica que sat(B) = ω , precisaremos apenasprovar que cf(sat(B)) = sat(B).

Seja B álgebra booleana completa com κ = sat(B) e suponha que cf(κ) < κ . ComoBu preserva a ordem de B, toda anticadeia de Bu é anticadeia de B, logo sat(Bu)≤ sat(B).Para fins de simplificação, denotaremos sat(Bu) como sat(u). Vamos definir como estável ou ∈ B −0 que satisfaz, para todo v ≤ u (v = 0), sat(v) = sat(u). Digo que u ∈ B : u é

estavel é um conjunto denso em B. Pois, dado u ∈ B −0, seja λ o menor cardinal doconjunto sat(v) : v ≤ u e v ≤ u seja tal que sat(v) = λ . Como w ≤ v implica w ≤ u, devemoster sat(w) = λ = sat(v) o que implica que v ≤ u é estável. Note também que, além disso, se v éestável, todo w ≤ v também será estável. Assim v ∈ B : v é estável é aberto denso. Portanto, oCorolário 1.3.21 implica que existe uma partição A ⊂ B−0 formada por elementos estáveis.Logo vale λ = |A|< κ . Então vamos denotar A como uξξ<λ , para todo ξ < λ , uξ é estável e

∑ξ<λ uξ = 1. Para todo ξ ≤ λ , definiremos λξ = sat(uξ ).

Vamos provar agora que supξ<λ λξ = κ . Suponha, por absurdo, que supξ<λ λξ < κ .Seja B anticadeia de B com |B| > (supξ<λ λξ ) · λ , para todo ξ < λ (o · aqui significa pro-


duto de cardinais), então Bξ = uξ v : v ∈ B é anticadeia (excluindo possíveis valores nu-los). Sendo uξξ<λ partição, cada Bξ é disjunto de Bη , caso ξ = η , e

⋃ξ<λ Bξ é anti-

cadeia com |⋃

ξ<λ Bξ | ≤ (supξ<λ λξ ) · λ . Todavia, |⋃

ξ<λ Bξ | ≥ |B|, pois, para todo v ∈ B,v = v1 = v∑ξ<λ uξ = ∑ξ<λ vuξ . Assim, existe ξ < λ com vuξ = 0, uma contradição. Agora,como temos que cf(κ)< κ implica que existe função f : cf(κ)→ κ com, para todo η < cf(κ),f (η) é cardinal e supη<cf(κ) f (η) = κ , o fato já provado que supξ<λ λξ = κ implica, em parti-cular, que λ ≥ cf(κ). Concluindo, precisaremos dividir a demonstração final em dois casos:

1_Existe ξ < λ com λξ = sat(uξ ) = κ : Como, por hipótese, cf(κ)< κ , existe anticadeiaB ⊂Buξ

com |B|= cf(κ). Denotaremos B como vηη<cf(κ). Pela estabilidade de uξ , sat(vη) =

κ para todo η < cf(κ), então existe anticadeia Cη ⊂Bvηcom |Cη |= f (η), para todo η < cf(κ).

Cada Cη é disjunto dos demais, portanto C =⋃

η<cf(κ)Cη é anticadeia de Buξ(de B também)

com |C|= κ , o absurdo que queríamos chegar para provar que cf(κ) = κ .

2_Para todo ξ < λ , vale sat(uξ ) < κ: cf(κ) < κ implica que κ é cardinal sucessor.Valendo supξ<λ λξ = κ e λξ < κ para todo ξ < λ , existe subconjunto de cardinalidade cf(κ),uξη

η<cf(κ) com, para todo η < cf(κ), sat(uξη) ≥ f (η)+ < κ . Assim, podemos escolher

anticadeia Cη de Buξηcom |Cη | = λξη

. Argumentando como acima, podemos provar queC =

⋃η<cf(κ)Cη é anticadeia de B com |C|= κ , o absurdo que implica cf(κ) = κ .

Definição 1.3.32 (κ-CC). Dados um forcing P e κ um cardinal, dizemos que P satisfaz κ-cc(κ-chain condition) caso sat(P)≤ κ . Em particular, denotaremos ω1-cc como ccc (countablechain condition).

É razoavelmente difícil determinar a saturação de Fn(I,J,κ), uma vez que esta dependenão somente de κ e das cardinalidades de I,J, mas também da aritmética cardinal. Porém, épossível provar o seguinte teorema relativo ao chain condition destes:

Teorema 1.3.33. Um forcing do estilo Fn(I,J,κ) satisfaz (|J|<κ)+-cc.

Demonstração. Usaremos na demonstração o seguinte lema:

Lema 1.3.34. Seja um cardinal infinito κ . Para todo cardinal regular θ que satisfaz θ > κ e,para todo α ∈ θ , |α<κ |< θ . Temos que, para qualquer coleção de conjuntos A satisfazendo:|A | ≥ θ e |A|< κ para todo A ∈ A , existe B ⊂ A e um conjunto r tais que |B|= θ e, paraquaisquer conjuntos B,C ∈ B distintos entre si, vale B∩C = r. Tal conjunto r é chamado raiz(root).

Este lema é o Teorema II 1.5 do livro (KUNEN, 1980), estando a demonstração nomesmo livro. Em particular, as condições do lema são satisfeitas quando κ = ω e θ = ω1. Nestecaso, o lema acima equivale ao lema do ∆-sistema.

Na demonstração, suponha inicialmente que κ seja regular ou ω , faça θ = (|J|<κ)+,que é regular por ser sucessor. Uma vez que, para todo α ∈ θ , |α| ≤ |J|<κ e, por κ ser regular,


(|J|<κ)<κ = |J|<κ , todas as condições do lema são satisfeitas para os cardinais citados. Suponha aexistência de anticadeia de cardinalidade θ , fαα<θ , vamos provar que isso gera um absurdo. Defato, aplicando o lema na coleção A = dom( fα)α<θ , provamos a existência de uma subcoleçãoda anticadeia fαα<θ de cardinalidade θ , gαα<θ e r ⊂ I tal que dom(gξ )∩ dom(gη) = r

para todo ξ < η < θ (caso |A | < θ e o lema não for aplicável, então existirá subcoleção daanticadeia com cardinalidade θ com o mesmo domínio, o que, no fim, resulta nessa mesmaafirmação). Uma vez fixado ξ < η < θ , a condição necessária e suficiente para que valha gξ ⊥ gη

é que as funções sejam distintas onde os domínios coincidem, isto é, gξ r e gη r são funçõesdistintas. Logo, gα rα<θ se trata de coleção com θ funções distintas, com domínio r ⊂ I

e imagem contida em J. Mas, uma vez que |r| < κ , não pode existir mais do que |J|<κ < θ

funções desse tipo, absurdo, isso assegura a validade do teorema nesse caso.

Agora suponha κ singular, então, κ é cardinal limite e existe função cofinal F : cf(κ)→ κ ,que podemos supor ser de cardinais regulares ou ω (caso contrário, podemos tomar G : cf(κ)→ κ

com G(α) = ω , caso F(α) finito, e G(α) = |F(α)|+, caso contrário). Vamos denotar λξ = F(ξ ).A demonstração aqui também será por absurdo. Uma vez suposta a existência de uma anticadeiade cardinalidade θ , fαα∈θ , para cada ξ < cf(κ), faça Yξ = α < θ : |dom( fα)| < λξ. Jáque cf(κ)< θ e θ é regular, existe ξ < cf(κ) tal que |Yξ |= θ , tecnicamente falando, todas asfunções de fαα<∈Yξ

fazem parte do forcing Fn(I,J,λξ ) e formam uma anticadeia nele. Como|J|<λξ ≤ |J|<κ < θ , a suposição da anticadeia inicial viola o que acabamos de provar acima, queFn(I,J,λξ ) satisfaz (|J|<λξ )+-cc. Esse absurdo nos permite provar o teorema neste caso.

Corolário 1.3.35. Para todo I e J com |J| ≤ ω , Fn(I,J) satisfaz ccc.

A cardinalidade de Fn(I,J,κ) também é complicada de se calcular, devido às váriaspossibilidades consistentes que a aritmética cardinal pode assumir. Mas é possível calcular aomenos um limitante superior no caso geral.

Teorema 1.3.36. Para quaisquer conjuntos não vazios I,J, caso |I| ≥ 2 ou |J| ≥ 2, então|Fn(I,J,κ)| ≤ sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧λ é cardinal, onde, nesse teorema, κ ·λ = |κ ×λ |.

Demonstração. Para todo p ∈ Fn(I,J,κ), |dom(p)| < κ . Fixe um cardinal λ < κ . Quantosp ∈ Fn(I,J,κ) no máximo satisfazem |dom(p)| = λ? Uma vez fixado X ⊂ I com |X | = λ ,existem exatamente |J|λ funções com domínio X . Como existem no máximo |I|λ subconjuntos deI com cardinalidade λ , então existem no máximo |I|λ · |J|λ funções p com |dom(p)|= λ . Assim,conseguimos provar que |Fn(I,J,κ)| ≤ (sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧λ é cardinal) · |λ < κ : λ

é cardinal| ≤ (sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧ λ é cardinal) · κ . Uma vez que κ é infinito, paraconcluirmos a demonstração, basta provar que κ ≥ sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧λ é cardinal, jáque um produto de cardinais com ao menos um infinito é igual ao maior deles.

Uma vez que supomos I,J não vazios e ao menos um com cardinalidade maior que2, temos como resultado imediato que 2λ ≥ sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧λ é cardinal, para todo


cardinal λ < κ . Como sempre vale λ+ ≥ 2λ , temos λ+ ≥ sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧λ é cardinal.Consequentemente, supλ+ : λ < κ ∧λ é cardinal ≥ sup|I|λ · |J|λ : λ < κ ∧λ é cardinal.Com tudo isso, agora é um exercício fácil provar que supλ+ : λ < κ ∧λ é cardinal= κ .

Caso estejamos assumindo GCH como verdadeiro, o cálculo de sup|I|λ · |J|λ : λ < κ∧λ

é cardinal fica extremamente fácil, uma vez que, com essa hipótese, operações do estilo κλ

têm valor determinado a partir de uma regra simples. Além disso, supondo GCH e tendo I,J,κ

especificados, temos grandes chances de encontrar um limitante inferior para a cardinalidadedesse Fn(I,J,κ), o que, se tivermos sorte, permite-nos especificar sua cardinalidade exata.

Uma outra coisa que é bem difícil de calcular é a cardinalidade de álgebras booleanascompletas (a menos que tenhamos sorte ou assumamos GCH). Porém, é possível calcular umlimitante superior caso encontrarmos um conjunto denso D ⊂ B com cardinalidade conhecida,como provaremos no próximo teorema.

Teorema 1.3.37. Para toda álgebra booleana completa B e D ⊂ B−0 um conjunto denso,vale |B| ≤ |D|<sat(B).

Demonstração. Vamos provar que, para todo u ∈ B, existe X ⊂ D com |X | < sat(B) tal que

∑X = u. Para u = 0, basta fazer X = /0. Agora, caso u = 0, então D∩Bu é denso abaixo de u

e, consequentemente, denso em Bu (lembre-se: ≤, ∑ e ∏ de ambos, Bu,B, coincidem peloque provamos no Exemplo 1.1.15). Portanto, o Teorema 1.3.23 implica que existe X ⊂ D∩Bu

anticadeia maximal de Bu. Assim, pelo Teorema 1.3.19, vale ∑X = 1Bu = u. Esse X ⊂ D

também será anticadeia de X (porém não maximal), então vale |X |< sat(B) além de ∑X = u,que era nosso objetivo na demonstração. Esse fato é suficiente para provar o teorema.

Para todo forcing P, o Teorema 1.2.11 nos permite provar que e[P] é denso em r.o.(P).Como temos |e[P]| ≤ |P| e o Teorema 1.3.28 prova que sat(P) = sat(r.o.(P)), temos o seguintecorolário:

Corolário 1.3.38. Para todo forcing P, temos |r.o.(P)| ≤ |P|<sat(P).

Definição 1.3.39 (κ-DISTRIBUTIVIDADE). Para todo forcing P e todo cardinal κ , dizemosque P satisfaz κ-distributividade caso satisfazer, para toda Dξξ<κ coleção de abertos densosem P,

⋂ξ<κ Dξ é denso em P.

Observação 1.3.40. Note que, pela definição de aberto em P,⋂

ξ<κ Dξ é aberto e, para todocardinal λ < κ , P ser κ-distributivo implica que P é λ -distributivo.

Teorema 1.3.41. Para todo forcing P e cardinal κ , P ser κ-distributivo implica que r.o.(P)também é κ-distributivo.

Demonstração. Suponha que P é κ-distributivo e seja Bξξ<κ uma coleção de abertos densosde r.o.(P). Digo que, para todo ξ < κ , Dξ = e−1[Bξ ] é aberto denso em P. Dados p ∈ Dξ e


q ≤ p, então e(q)≤ e(p) e e(p) ∈ Bξ , implicando que e(q) ∈ Bξ e, consequentemente, q ∈ Dξ ,provando que Dξ é aberto. Agora, dado q ∈ P arbitrário, existe u ∈ Bξ com u ≤ e(p), implicandoque existe q ∈ P com e(q) ≤ u ≤ e(p). Assim q ∈ Dξ e e(q) ≤ e(p). Note que, apesar de nãoser necessariamente válido que q ≤ p, sempre vale q ⊥ p. Existe, portanto, r ∈ P com r ≤ q, p

e Dξ ser aberto implica r ∈ Dξ e r ≤ p, portanto Dξ é denso em P. A κ-distributividade de Pimplica que D =

⋂ξ<κ Dξ é denso aberto em P e e[D]⊂ B =

⋂ξ<κ Bξ . Dado u ∈ r.o.(P)−0

arbitrário, existe p ∈ P tal que e(p)≤ u e, a densidade de D implica que existe q ∈ D com q ≤ p,então e(q) ≤ e(p) ≤ u e e(q) ∈ B. Por arbitrariedade de u, segue que B é denso em r.o.(P),provando a κ-distributividade de r.o.(P).

O teorema a seguir e sua demonstração foram extraídos de (JECH, 1978, 158-159). Elemostra afirmações equivalentes a κ-distributividade no caso de álgebras booleanas completas e,nos será muito útil mais para frente.

Teorema 1.3.42. Para toda álgebra booleana completa B e todo cardinal κ , as seguintes propri-edades são equivalentes:

i. B é κ-distributivo

ii. Para toda Aξξ<κ sequência de partições em B, existe uma partição A que é refinamentode Aξ , para todo ξ < κ

iii. ∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i = ∑ f∈∏ξ<κ Iξ

∏ξ<κ uξ f (ξ ), onde, para todo ξ < κ , uξ ii∈Iξé subconjunto

arbitrário de B.

Demonstração. i ⇒ ii.: Seja Aξξ<κ uma coleção de partições de B. Para todo ξ < κ , denoteDξ = u ≤ v : v ∈ Aξ. O Teorema 1.3.22 prova que Dξ é aberto denso e refinamento de Aξ ,para todo ξ < κ . Então, a propriedade i implica que D =

⋂ξ<κ Dξ é aberto denso. Portanto, o

Corolário 1.3.21 implica que existe partição A ⊂ D. Digo que tal A é refinamento de Aξ , paratodo ξ < κ . Pois isso vem facilmente do fato que A ⊂ Dξ e Dξ é refinamento de Aξ . Provandoque vale a propriedade ii.

ii ⇒ iii.: Vamos provar, primeiramente, que sempre vale ∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ ) ≤

∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i, para todo cardinal κ . De fato, selecione f ∈ ∏ξ<κ Iξ arbitrário. Vale, para

todo ξ < κ , ∏ξ<κ uξ f (ξ ) ≤ uξ f (ξ ) ≤ ∑i∈Iξuξ i (note, f (ξ ) ∈ Iξ ). Pela arbitrariedade de f , temos

∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ ) ≤ ∑i∈Iξ

uξ i. Mas perceba que, na parte direita da desigualdade, ξ tam-bém é arbitrário, assim ∑ f∈∏ξ<κ Iξ

∏ξ<κ uξ f (ξ ) ≤ ∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i, provando o que queríamos

independentemente do cardinal κ .

Pelo que provamos acima, se ∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i = 0, ∏ξ<κ ∑i∈Iξ

uξ i =∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ )

decorre imediatamente. Caso contrário, defina ∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i = u = 0. Vamos provar primeira-

mente o caso particular u = 1.


Como u = 1 implica ∑i∈Iξuξ i = 1 para todo ξ < κ , então, pelo Teorema 1.3.20, existe

uma partição Aξ que é refinamento de uξ ii∈Iξ. Aplicando a hipótese ii à coleção de partições

Aξξ<κ , existe A partição que é refinamento comum à todas essas partições. Assim ∑A = 1 e,por ser refinamento comum aos refinamentos acima, para todo v ∈ A e todo ξ < κ , existe i ∈ Iξ

tal que v ≤ uξ i. Por arbitrariedade de ξ , existe fv ∈ ∏ξ<κ Iξ tal que v ≤ ∏ξ<κ uξ fv(ξ ). Sendo A

uma partição, 1=∑A≤∑v∈A ∏ξ<κ uξ fv(ξ ) ≤∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ ). Assim, ∏ξ<κ ∑i∈Iξ

uξ i =

∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ ) = 1.

Caso u = 1, pelos teoremas do início da seção, u= u(

∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i

)=∏ξ<κ ∑i∈Iξ

uuξ i.Faça a definição vξ i = uuξ i, para quaisquer ξ < κ e i ∈ Iξ . Considerando que, em Bu a ordemde B e, consequentemente, as operações ∑,∏ de B preservam seus valores, temos que vale, naálgebra booleana completa Bu, ∏ξ<κ ∑i∈Iξ

vξ i = 1. Com isso, podemos usar a argumentação doparágrafo acima, e provar que, na álgebra booleana completa Bu, ∑ f∈∏ξ<κ Iξ

∏ξ<κ vξ f (ξ ) = 1.Agora, retornando à álgebra booleana completa B, vale ∑ f∈∏ξ<κ Iξ

∏ξ<κ uuξ f (ξ ) = u. Mas,

como u(

∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ )

)= ∑ f∈∏ξ<κ Iξ

∏ξ<κ uuξ f (ξ ), derivamos que

u(

∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ )

)= u. Esta última afirmação implica, por sua vez, u ≤

∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ ). Então, uma vez que a desigualdade provada inicialmente implica

∑ f∈∏ξ<κ Iξ∏ξ<κ uξ f (ξ ) ≤ u, temos que ∑ f∈∏ξ<κ Iξ

∏ξ<κ uξ f (ξ ) = ∏ξ<κ ∑i∈Iξuξ i = u, provando

o que queríamos. Ao ler essa demonstração, note que, para conseguirmos realmente levar oargumento a termo, falta ainda provar que, se B satisfaz ii e u = 0, então Bu também satisfaz ii,e essa demonstração é o suficiente para realmente concluirmos o teorema.

Seja Aξξ<κ uma coleção de partições de Bu. Para todo ξ < κ , Bξ = Aξ ∪−u épartição de B. Aplicando então ii à coleção de partições Bξξ<κ , existe B refinamento comumà essa coleção. Para todo v ∈ B e todo ξ < κ , vale v ≤−u, ou v ≤ w, com w ∈ Aξ e, portanto,w ≤ u (mas não ambos). Assim, A = B∩Bu é refinamento comum da coleção Aξξ<κ . Vamosprovar que A é partição de Bu. O fato de ser anticadeia decorre da preservação de ⊥ de B.Assim, é suficiente provar que ∑A = u. De fato, pela definição de A, v ≤ u para todo v ∈ A,portanto, ∑A ≤ u. Agora, se u ≤ ∑A então u(−∑A) = 0, sendo B partição e A ⊂ B, existe v ∈ B

com v ⊥ u(−∑A), implicando v ⊥ u e, então, v ≤ −u. Como dissemos acima, segue que v ≤ u

e, assim, v ∈ A, absurdo com v ⊥ u(−∑A), uma vez que v ∈ A implica que v ⊥ −∑A. Comoconclusão, ∑A = u, A é partição de Bu e refinamento comum da coleção de partições Aξξ<κ

de Bu, que então satisfaz a propriedade ii.

iii ⇒ i.: Seja Dξξ<κ coleção de abertos densos, precisamos provar que D =⋂

ξ<κ Dξ

é aberto denso. É fácil provar que D é aberto. Para fins de notação, para todo ξ e v ∈ Dξ , de-notemos uξ v = v. Agora, para ξ < κ arbitrário, a densidade de Dξ implica, pelo Teorema1.3.17, que ∑v∈Dξ

uξ v = 1, logo, ∏ξ<κ ∑v∈Dξuξ v = 1. Com isso, devido ao item iii, vale

∑ f∈∏ξ<κ Dξ∏ξ<κ uξ f (ξ )= 1. Dado u∈B−0 arbitrário, temos que u

(∑ f∈∏ξ<κ Dξ

∏ξ<κ uξ f (ξ )

)=

∑ f∈∏ξ<κ Dξu(∏ξ<κ uξ f (ξ )

)= u, implicando que existe f ∈ ∏ξ<κ Dξ com u

(∏ξ<κ uξ f (ξ )

)= 0.


Como vale u(∏ξ<κ uξ f (ξ )

)≤ uξ f (ξ ) ∈ Dξ , para todo ξ < κ , temos que u

(∏ξ<κ uξ f (ξ )

)∈ D e

u(∏ξ<κ uξ f (ξ )

)≤ u. Concluindo, devido à arbitrariedade de u tomado, D é denso em B.

Corolário 1.3.43. Para toda álgebra booleana completa B, como Bu e Bu preservam ∑,∏

de B, segue que, se B satisfaz a propriedade iii do teorema acima, então Bu,Bu tambémsatisfazem. Em particular, se B satisfaz κ-distributividade, Bu,Bu também satisfazem.

Definição 1.3.44 (κ-FECHADO). Dados um P forcing e um cardinal κ , dizemos que P é κ-fechado quando, para toda sequência (pξ )ξ<κ de elementos de P satisfazendo pξ ≥ pη paratodo ξ < η < κ , existir um p ∈ P tal que p ≤ pξ para todo ξ < κ .

Observação 1.3.45. Para todo cardinal κ e forcing P, P ser κ-fechado implica que P também éλ -fechado, para todo cardinal λ < κ .

Teorema 1.3.46. Para todo forcing P e cardinal κ , P ser κ-fechado implica que P é κ-distributivo,porém a recíproca nem sempre é verdadeira.

Demonstração. Sejam P forcing κ-fechado, Dξξ<κ coleção de abertos densos de P e p ∈ P

arbitrário. Vamos construir, por recursão transfinita, sequência (pξ )ξ<κ satisfazendo pξ ∈ Dξ ,para todo ξ < κ , e pη ≤ pξ ≤ p, para todo ξ < η < κ . Suponha que já tenhamos construído(pη)η<ξ , ξ < κ , se ξ = 0, basta definir pξ = p0 tal que p0 ∈ D0 e p0 ≤ p. Se ξ = α +1, bastaescolher pξ ∈ Dξ tal que pξ ≤ pα . Agora, se ξ é ordinal limite, pela κ-distributividade de P,existe p′ ∈ P tal que p′ ≤ pη ≤ p para todo η < ξ < κ . Assim, basta escolher pξ ∈ Dξ talque pξ ≤ p′. Aplique novamente a propriedade de ser κ-fechado, agora na sequência completa(pξ )ξ<κ , escolhendo q ∈ P tal que q ≤ pξ ∈ Dξ , para todo ξ < κ . Como Dξξ<κ é sequênciade abertos densos, q ∈

⋂ξ<κ Dξ e q ≤ p, provando a densidade de

⋂ξ<κ Dξ .

Para construir um contra-exemplo da recíproca do teorema, escolha κ cardinal infinito,P forcing separativo κ-fechado, consequentemente κ-distributivo pela observação acima, comuma sequência (pξ )ξ<κ satisfazendo pη < pξ para todo ξ < η < κ (posteriormente daremosexemplos desse tipo de forcing que satisfaz, pelo Teorema 1.3.27, sat(P) = sat(r.o.(P))> κ).O parágrafo acima prova que r.o.(P) é κ-distributivo. Além disso, temos epη

< e(pξ ) paratodo ξ < η < κ e a κ-distributividade de P implica que u = ∏ξ<κ e(pξ ) = 0. Assim, a álgebrabooleana completa r.o.(P)u também é κ-distributiva pelo Corolário 1.3.43. Porém, como u <

e(pξ ) para todo ξ < κ , (e(pξ ))ξ<κ é uma sequência em r.o.(P)u que prova que o mesmo não éκ-fechado, portanto, sendo o contra exemplo que desejávamos encontrar.

Teorema 1.3.47. Para todo forcing P e todo n ∈ ω , P é n-fechado e, consequentemente, n-distributivo.

Demonstração. Isso é evidente quando n = 0. Caso n = 0 e (pm)m<n é sequência satisfazendopm ≤ pm′ , para todo m′ < m < n, segue que pn−1 ≤ pm para todo m < n, provando assim que Pé n-fechado.


Exemplos mais interessantes de forcings κ-fechados e, consequentemente, κ-distributivossão dados no teorema seguinte:

Teorema 1.3.48. Para todo cardinal κ regular, Fn(I,J,κ) é λ -fechado e, consequentemente,λ -distributiva, para todo cardinal infinito λ < κ .

Demonstração. Fixe λ < κ . Dada uma sequência fξξ<λ de elementos de Fn(I,J,κ) sa-tisfazendo fη ≤ fξ , para todo ξ < η < λ , então os seus elementos são compatíveis 2 a 2.Logo,

⋃ξ<λ fξ é uma função. Como κ é regular e, para todo ξ < λ , |dom( fξ )| < κ , vale

|dom(⋃

ξ<λ fξ )|< κ , temos então que⋃

ξ<λ fξ ∈ Fn(I,J,κ) e⋃

ξ<λ fξ ≤ fξ para todo ξ < κ ,provando o que queríamos.

O teorema respectivo para cardinais arbitrários está no próximo teorema.

Teorema 1.3.49. Para qualquer cardinal infinito λ , Fn(I,J,λ ) é µ-fechado, para todo cardinalµ < cf(λ ).

Demonstração. Aqui o argumento é análogo ao do teorema acima, a única diferença é queprecisamos usar o teorema mais geral que afirma que, dada uma coleção Iξξ<µ de conjuntossatisfazendo |Iξ |< λ para todo ξ < µ < cf(κ)≤ λ , então vale |

⋃ξ<µ Iξ |< λ .

Definição 1.3.50 (FILTRO). Dada um forcing P, dizemos que G ⊂ P é um filtro, se satisfaz asseguintes propriedades:

1. Para quaisquer p,q ∈ G, existe r ∈ G tal que r ≤ p e r ≤ q

2. Para todo p ∈ G e todo q ∈ P, p ≤ q implica q ∈ G

Além disso, dizemos que o filtro G ⊂ P é maximal se não existir filtro H ⊂ P tal que G ( H.

Observação 1.3.51. Para toda álgebra booleana B, a definição de filtro acima coincide com adefinição de filtro da Definição 1.1.10. Além disso, o filtro é maximal se, e somente se, ele éultrafiltro.

Demonstração. Dado G ⊂ B filtro como na Definição 1.1.10, vamos provar que ele é filtrocomo na Definição 1.3.50. A propriedade I da Definição 1.1.10 implica que 0 ∈ G, portantoG ⊂ B−0, com isso provamos que G está, de fato, contido no forcing induzido de B. Vamosprovar agora que G satisfaz todas as propriedades da Definição 1.3.50.

1.: Caso G ser filtro como em 1.1.10 e u,v ∈ G, a proriedade II implica que uv ∈ G,uv ≤ u e uv ≤ v.

2.: Consequência imediata de III.


Do mesmo modo, se G for filtro como na Definição 1.3.50, vamos provar que G é filtrocomo na Definição 1.1.10, provando as respectivas propriedades uma a uma.

I: Como G ⊂ B−0, então 0 ∈ G.

II: Se u,v ∈ G então 1 existe w ∈ G com w ≤ u e w ≤ v, assim w ≤ uv e uv ∈ G decorrede 2.

III: Consequência imediata de 2.

A partir de agora, vamos provar a parte que diz que ultrafiltro equivale à filtro maximal.

Se G for ultrafiltro, o fato de G ser filtro maximal segue do Corolário 1.1.11.

Agora, se G ⊂ B−0 for filtro maximal, vamos provar que, para todo u ∈ B−0,u ∈ G ou −u ∈ G. Se definirmos Gv = wv : w ∈ G, então 0 não pertencerá a pelo menos umdos dois: Gu ou G(−u). Pois, se existir w0,w1 ∈ G com w0u = w1(−u) = 0, então w0 ≤−u ew1 ≤ u, assim, w0w1 = 0, absurdo, já que 1 implica que w0 ⊥ w1. Sem perda de generalidade,suponha que 0 ∈ Gu. Se v0,v1 ∈ Gu, então v0v1 ∈ Gu, pois v0 = w0u e v1 = w1u, para algunsw0,w1 ∈ G e, como provamos acima que w0w1 ∈ G, temos v0v1 = w0w1u ∈ Gu. Logo, peloque provamos acima, H = v ∈ B−0 : ∃w ∈ G uw ≤ v é um filtro tanto como na definição1.1.10 como na Definição 1.3.50. H satisfaz também u ∈ H e G ⊂ H. Devido à maximalidade,G = H. Portanto, u ∈ G. Argumento análogo prova que, caso 0 ∈ G(−u) implica que −u ∈ G,concluindo a demonstração.

Teorema 1.3.52. Todo filtro está contido em um filtro maximal.

Demonstração. Dado um filtro G, aplique o lema de Zorn sobre o conjunto de todos os filtrosque contém esse filtro, ordenado pela inclusão.

Definição 1.3.53 (FILTRO D-GENÉRICO). Em um forcing P e D⊂℘(P), dizemos que o filtroG ⊂ P é D-genérico se, para todo D ∈D, G∩D = /0.

Apesar da definição acima ser mais geral, na maior parte das vezes, iremos supor que D

é coleção de subconjuntos densos de P.

51

CAPÍTULO

2A TÉCNICA DE FORCING

2.1 Definições Essenciais

Esta seção se preocupará em fazer todas as definições e demonstrações necessárias paradefinir a técnica de forcing e mostrar como e porque ela funciona. Porém, as demonstrações dealguns teoremas que envolvem conceitos estritamente lógicos serão deslocados para o apêndice.

Definição 2.1.1 (ORDENS CANÔNICAS). Para todo n ∈ ω , definimos a boa ordem canônica(estrita) <n sobre a classe ONn, de forma que, para todo s, t ∈ ONn, s <n t se, e somente se, umadas seguintes afirmações valer:

∙ maxm<n s(m)< maxm<n t(m)

∙ maxm<n s(m) = maxm<n t(m) e s é menor que t lexicograficamente como sequência deordinais, isto é, vale a afirmação ∃m < n(∀i < m s(i) = t(i))∧ s(m) ∈ t(m)

Analogamente, definimos a boa ordem canônica estrita <<ω sobre a classe ON<ω como, paratodo s, t ∈ ON<ω , s <ω t caso satisfazer uma das seguintes afirmações:

∙ dom(s)< dom(t)

∙ dom(s) = dom(t) e s <dom(s) t

Observação 2.1.2. Para todo n∈ω e s∈ONn, temos que t ∈ONn : t <n s⊂ ((maxm<n s(m))+

1)n e, portanto, se trata de um conjunto. Analogamente, para s ∈ ON<ω , pois t ∈ ON<ω : t <<ω

s ⊂ ((maxm<dom(s) s(m))+ 1)<(dom(s)+1). Dizemos em geral que uma relação R sobre umaclasse A é set-like caso, para todo x ∈ A, y ∈ A : yRx forma um conjunto, que denotaremospred(A,x,R).

52 Capítulo 2. A Técnica de Forcing

As ordens que podemos gerar a partir das ordens estritas definidas acima serão úteis paradefinições e demonstrações recursivas com múltiplos parâmetros. Assim, elas serão usadas comoordens canônicas sempre que possível a partir de agora.

A partir de agora, caso não deixarmos expresso qual álgebra booleana estamos usando,estaremos supondo o uso de uma álgebra booleana completa arbitrária.

A classe definida por uma álgebra booleana completa, que a técnica de forcing usará eque foi mencionada na Introdução, é denotada VB e será definida a seguir.

Definição 2.1.3. Dada uma álgebra booleana completa B, para todo ordinal α , defina VBα , por

recursão sobre o ordinal α , da seguinte forma:

1. VB0 = /0

2. Caso α = β +1, para algum ordinal β : VBα = x ⊂ VB

β×B : x é função

3. Caso α seja ordinal limite: VBα =

⋃ξ<α VB

ξ

Com isso, definimos a classe VB como sendo: VB =⋃

α∈ON VBα . Chamaremos, de modo geral,

um elemento x de VB como nome.

Definição 2.1.4. Para todo x ∈ VB, definimos o rank de x, ou ρ(x) , como o menor ordinal α

tal que x ∈ VBα+1. Ou, equivalentemente, o menor ordinal α tal que dom(x)⊂ VB

α .

Definição 2.1.5 (x). Dada uma álgebra booleana B, para todo conjunto x, defina x por recursãosobre rank(x), da seguinte forma: x é função, dom(x) = y : y ∈ x e x(t) = 1 para todo t ∈dom(x).

Observação 2.1.6. Para todo x, x ∈ VB.

Partiremos agora à definição dos valores booleanos das fórmulas. A definição se darápor indução sobre o comprimento da fórmula, sendo que, nas fórmulas primitivas, deveremosprovas elas simultaneamente e por recursão sobre pares de nomes. A ideia no caso de fórmulasprimitivas é definir x ∈ y a partir de sua versão equivalente ∃z ∈ y x = z e definir x = y a partir daversão equivalente x ⊂ y∧ y ⊂ x, com x ⊂ y simbolizando ∀z ∈ x x ∈ y.

Definição 2.1.7. Dada uma álgebra booleana completa B, para todo x,y ∈ VB, definimos[[x ∈ y]], [[x ⊂ y]], [[x = y]] ∈ B simultaneamente por recursão sobre (ρ(x),ρ(y)), satisfazendo asseguintes propriedades:

∙ [[x ∈ y]] = ∑t∈dom(y)[[x = t]]y(t)

∙ [[x ⊂ y]] = ∏t∈dom(x) x(t)→ [[t ∈ y]]

∙ [[x = y]] = [[x ⊂ y]][[y ⊂ x]]

2.1. Definições Essenciais 53

Tendo em vista a definição acima, dada uma fórmula φ(x1, ...,xn), sendo x1, ...,xn suas variáveislivres, para cada x1, ...,xn ∈ VB, definimos o valor booleano [[φ(x1, ...,xn)]] ∈ B , por induçãosobre o comprimento da fórmula, satisfazendo as seguintes propriedades (deixando implícitamenção às variáveis livres):

∙ [[x ∈ y]], [[x = y]]: vide definição acima

∙ [[φ ∧ψ]] = [[φ ]][[ψ]]

∙ [[∼ φ ]] =−[[φ ]]

∙ [[∃x φ(x)]] = ∑x∈VB [[φ(x)]]

Como sugerimos no início dessa seção, na recursão sobre (ρ(x),ρ(y)) ∈ ON2, usaremos<2 como ordem.

Observação 2.1.8. Das definições acima, segue imediatamente que:

∙ [[φ ∨ψ]] = [[φ ]]+ [[ψ]]

∙ [[φ → ψ]] = [[φ ]]→ [[ψ]]

∙ [[φ ↔ ψ]] = [[φ → ψ]][[ψ → φ ]]

∙ [[∀x φ(x)]] = ∏x∈VB [[φ(x)]]

E também vale ([[φ → ψ]] = 1) se, e somente se, ([[φ ]]→ [[ψ]] = 1)⇔ ([[φ ]]≤ [[ψ]]), e ([[φ ↔ψ]] = 1) se, e somente se, ([[φ ]] = [[ψ]]) (ver Teorema 1.1.4 1).

A linguagem forcing que usaremos em conjunto com a classe VB na técnica de forcing,citada na Introdução, usa o valor booleano definido acima e será definida a seguir.

Definição 2.1.9 (LINGUAGEM FORCING). Dada uma álgebra Booleana completa B e umafórmula φ(x1, ...,xn), para quaisquer u ∈ B − 0 e x1, ...,xn ∈ VB, dizemos que u forçaφ(x1, ...,xn), ou u “φ(x1, ...,xn)” , se, e somente se, valer u ≤ [[φ(x1, ...,xn)]].

Devido à similaridade entre o valor booleano e a linguagem forcing, podemos usar ambosno desenvolvimento da técnica, como faremos.

Essa “linguagem forcing” permite, de modo informal, considerarmos VB como um“universo”, onde a linguagem forcing denomina suas propriedades. Por causa disso, caso valer1 “x é função” ou até mesmo u “x é função”, podemos, de modo informal, tratar o nome xcomo se fosse uma função. O problema de fazer isso é que, apesar de 1 “x é função” e u “xé função” serem afirmações distintas, tal tratamento não deixa claro suas diferenças. Atravésda associação x ↦→ x, poderemos também considerar, de modo informal, que V está contido


em VB, sendo o segundo “maior ou igual” ao primeiro. Demonstrar quando, de fato, VB é“maior”, requer uma demonstração formal da existência de um “conjunto novo”, seja lá o queisso signifique, e será analisada mais adiante nesse texto.

Acima de tudo, o nosso interesse em descobrir propriedades do “universo” VB é provarconsistência de novas teorias, preferencialmente as que estendem ZFC. Assim, muito nosinteressará o fato que, dada uma fórmula φ sem variáveis livres, caso valer [[φ ]]> 0 para algumaálgebra booleana completa B, então φ será consistente com ZFC. Portanto, o valor booleano deuma fórmula será nossa ferramenta para “detectar consistências”. O fato enunciado aqui seráprovado assim que tivermos as ferramentas necessárias para tal.

Teorema 2.1.10. Para toda fórmula φ(x1, ...,xn) com variáveis livres x1, ...,xn, para todo t1, ..., tn ∈VB, temos que 1 “φ(t1, ..., tn)” se, e somente se, [[φ(t1, ..., tn)]] = 1. Além disso, as seguintesafirmações são equivalentes, para todo u ∈ B−0:

1. u “φ(t1, ..., tn)”

2. ∀v ≤ u v “φ(t1, ..., tn)”

3. v : v “φ(t1, ..., tn)” é denso abaixo de u, isto é, vale ∀v ≤ u ∃w ≤ v w “φ(t1, ..., tn)”

Demonstração. A primeira afirmação é evidente. Portanto, aqui provaremos a equivalência dastrês afirmações.

1 ⇒ 2.: u “φ(t1, ..., tn)” implica u ≤ [[φ(t1, ..., tn)]]. Então, para todo v ≤ u, temosv ≤ [[φ(t1, ..., tn)]], isto é, v “φ(t1, ..., tn)”.

2 ⇒ 3: Imediato.

3 ⇒ 1.: Note que, pela definição de , ∑v : v “φ(t1, ..., tn)”= [[φ(t1, ..., tn)]]. Maso Teorema 1.3.17 implica que, como v : v “φ(t1, ..., tn)” é denso abaixo de u, temos u ≤[[φ(t1, ..., tn)]], isto é, u “φ(t1, ..., tn)”.

Observação 2.1.11. Da definição acima, segue que, para todo u ∈ B−0:

1. u “ ∼ φ” se, e somente se, (∀v ≤ u v “φ”)

2. u “φ ∧ψ” se, e somente se, (u “φ” e u “ψ”)

3. u “∀x φ(x)” se, e somente se, (∀x ∈ VB u “φ(x)”)

4. u “φ ∨ ψ” se, e somente se, v : v “φ” ∨ v “ψ” é denso abaixo de u, isto é,∀v ≤ u ∃w ≤ v(w “φ”∨w “ψ”)

5. u “φ → ψ” se, e somente se, (∀v ≤ u v “φ” → v “ψ”)

2.1. Definições Essenciais 55

6. u “∃x φ(x)” se, e somente se, v : ∃x ∈ VB v “φ(x)” é denso abaixo de u, isto é, vale∀v ≤ u ∃w ≤ v ∃x ∈ VB w “φ(x)”

Note que essa observação usa B como forcing, então 0 não aparece em nenhuma afirmação.

Demonstração. Vamos provar as 3 primeiras afirmações diretamente. Uma vez provadas, elasserão usadas para provar as demais afirmações (isso simplificaria uma definição de a partirdessas propriedades).

1:⇒) u “ ∼ φ” implica u ≤ [[∼ φ ]] =−[[φ ]] e, portanto, u[[φ ]] = 0. Portanto não existev ∈ B −0 tal que v ≤ u e v ≤ [[φ ]], pois, caso contrário, valeria v ≤ u[[φ ]] = 0, absurdo.Portanto, para todo v ≤ u, v ≤ [[φ ]], isto é, v “φ”.

⇐) Se v “φ” para todo v ≤ u, segue que v ≤ [[φ ]] para todo v ≤ u, isto é, v(−[[φ ]]) = 0.Portanto, v ⊥ −[[φ ]] para todo v ≤ u. Assim, devido à separatividade de B, temos que u ≤−[[φ ]],ou seja, u “ ∼ φ”.

2:⇒) u “φ ∧ψ” implica u ≤ [[φ ∧ψ]] = [[φ ]][[ψ]]. Consequentemente, u ≤ [[φ ]] e u ≤[[ψ]]. Ou seja u “φ” e u “ψ”.

⇐) u “φ” e u “ψ” implica u ≤ [[φ ]] e u ≤ [[ψ]]. Portanto u ≤ [[φ ]][[ψ]] = [[φ ∧ψ]]. Ouseja, u “φ ∧ψ”.

3:⇒) u “∀x φ(x)” implica u ≤ ∏x∈VB [[φ(x)]]. Assim, para todo x ∈ VB, u ≤ [[φ(x)]].Ou seja, u “φ(x)” para todo x ∈ VB.

⇐) Caso valer u “φ(x)”, isto é, u≤ [[φ(x)]], para todo x∈VB, teremos u≤∏x∈VB [[φ(x)]]devido à definição de ∏. Portanto, u “∀x φ(x)”.

4: φ ∨ψ equivale a ∼ (∼ φ∧∼ ψ). Assim u “φ ∨ψ” equivale a u “ ∼ (∼ φ∧∼ ψ)”.Utilizando os resultados acima, vale u “ ∼ (∼ φ∧ ∼ ψ)” se, e somente se, ∀v ≤ u v “ ∼φ∧ ∼ ψ”. Como v “ ∼ φ∧ ∼ ψ” equivale a v “ ∼ φ”∧ v “ ∼ ψ”, então v “ ∼ φ∧ ∼ ψ”equivale a v “ ∼ φ”∨ v “ ∼ ψ”. Uma vez que v “ ∼ φ” equivale a ∀w ≤ v w “φ”, temosque v “ ∼ φ” equivale a ∃w ≤ v w “φ”, podendo dizer o mesmo para v “ ∼ ψ”. Portanto,u “φ ∨ψ” equivale a ∀v ≤ u ∃w ≤ v(w “φ”∨w “ψ”), sendo este último equivalente aofato de v : v “φ”∨ v “ψ” ser denso abaixo de u.

5: Como φ → ψ equivale a ∼ φ ∨ψ , podemos usar o resultado acima e provar queu “φ → ψ” se, e somente se, v : v “ ∼ φ”∨ v “ψ” é denso abaixo de u. Fixe v ≤ u

arbitrário que satisfaça v “φ”. Pelo teorema que provamos acima, isso implica w “φ” paratodo w ≤ v, logo, w “ ∼ φ”∨w “ψ” implica, obrigatoriamente, w “ψ”. Concluindo,u “φ → ψ” implica que, para todo v ≤ u, se v “φ”, então w : w “ψ” é denso abaixo dev, o que equivale, pelo teorema acima, a v “ψ”.

6: ∃x φ(x) equivale a ∼ ∀x ∼ φ(x). Portanto, u “∃x φ(x)” se, e somente se, v “∀x ∼ φ(x)”, para todo v ≤ u. Como v “∀x ∼ φ(x)” equivale a ∀x ∈ VB v “ ∼ φ(x)”, então


v “∀x ∼ φ(x)” equivale a ∃x ∈ VB v “ ∼ φ(x)”. Uma vez que v “ ∼ φ(x)” equivale a∃w ≤ v w “φ(x)”, temos que u “∃x φ(x)” equivale a ∀v ≤ u ∃w ≤ v ∃x ∈ VB w “φ(x)”,ou seja, v : ∃x ∈ VB v “φ(x)” é denso abaixo de u.

Definição 2.1.12 (u-VÁLIDA). Dadas uma álgebra booleana B e u ∈ B−0, dizemos queuma fórmula φ(x1, ...,xn), com x1, ...,xn variáveis livres, é u-válida (no sentido B, omitiremosisso quando o contexto não gerar conflitos) quando, para todo x1, ...,xn ∈ VB, u “φ(x1, ...,xn)”.Diremos que φ(x1, ...,xn) é válida (no sentido B) quando for 1-válida.

Observação 2.1.13. Para toda álgebra booleana B e u ∈ B−0, uma fórmula φ(x1, ...,xn),com x1, ...,xn variáveis livres, é u-válida se, e somente se, u “∀x1...∀xn φ(x1, ...,xn)”.

Demonstração. Se φ(x1, ...,xn) é u-válida, então, para todo x1, ...,xn ∈ VB, valeu “φ(x1, ...,xn)”, isto é, u ≤ [[φ(x1, ...,xn)]]. Então, por arbitrariedade de x1, ...,xn ∈ VB,vale u ≤ ∏x1∈VB ...∏xn∈VB [[φ(x1, ...,xn)]], isto é, u “∀x1...∀xn φ(x1, ...,xn)”. Agora, suponhaque u “∀x1...∀xn φ(x1, ...,xn)”, isto é, u ≤ ∏x1∈VB ...∏xn∈VB [[φ(x1, ...,xn)]]. Então, para todox1, ...,xn ∈VB, u≤∏x1∈VB ...∏xn∈VB [[φ(x1, ...,xn)]]≤ φ(x1, ...,xn), ou seja, u “φ(x1, ...,xn)”,e portanto, φ(x1, ...,xn) é u-válido.

Teorema 2.1.14. Dadas uma álgebra booleana completa B e uma fórmula φ(x1, ...,xn), tendox1, ...,xn como variáveis livres, se ⊢ φ(x1, ...,xn) (isto é, φ(x1, ...,xn) é logicamente provável),então φ(x1, ...,xn) é válido.

Teorema 2.1.15. Dados álgebra booleana completa B, u ∈ B −0 e φ1, ...,φn coleção fi-nita de afirmações, todas u-válidas. Se ψ(y1, ...,ym) é tal que φ1, ...,φn ⊢ ψ(y1, ...,ym), entãoψ(y1, ...,ym) é u-válido.

Como devemos entender os dois teoremas acima? Ambos se tratam de teoremas dametateoria, sendo um esquema de teoremas formais da teoria dos conjuntos (mais basicamente,ZFC, apesar de alguns axiomas não serem necessários). O Teorema 2.1.14 diz que, para qualquerfórmula φ tal que ⊢ φ temos ZFC ⊢ φ é 1-válido. O Teorema 2.1.15 é mais complicado deformalizar, pois, uma vez que B faz parte da teoria dos conjuntos, não faria sentido mencioná-loem uma afirmação estritamente metateórica, assim a nossa formalização seguirá o seguintecritério: uma vez fixadas as fórmulas φ1, ...,φn, para cada fórmula ψ tal que φ1, ...,φn ⊢ ψ ,o Teorema 2.1.15 diz que ZFC ⊢ ∀u ∈ B −0((φ1 é u-válido∧...∧ φn é u-válido) → ψ é

u-válido).

A demonstração dos dois teoremas acima serão feitas no apêndice.

Corolário 2.1.16. Para toda álgebra booleana completa B, como a afirmação x= x é logicamenteprovável, ela é válida, isto é, [[x = x]] = 1 para todo x ∈ VB. Com isso, para todo t ∈ dom(x) comx ∈ VB, x(t) = x(t)1= x(t)[[t = t]]≤ ∑t ′∈dom(x) x(t ′)[[t = t ′]] = [[t ∈ x]]. Portanto, x(t)≤ [[t ∈ x]]para todo t ∈ dom(x).

2.2. Absoluticidade 57

Teorema 2.1.17. Para todo y ∈ VB e toda fórmula φ(x) com x variável livre, vale:

1. [[∃x ∈ y φ(x)]] = ∑t∈dom(y) (y(t)[[φ(t)]])

2. [[∀x ∈ y φ(x)]] = ∏t∈dom(y) (y(t)→ [[φ(t)]])

Demonstração. 1: O Corolário 2.1.16 implica, para todo t ∈ dom(y), y(t) ≤ [[t ∈ dom(y)]].Como dom(y) ⊂ VB, vale ∑t∈dom(y) y(t)[[φ(t)]] ≤ ∑x∈VB [[x ∈ y]][[φ(x)]] = [[∃x ∈ y φ(x)]]. Poroutro lado, dado x ∈ VB arbitrário, temos que [[x ∈ y]] = ∑t∈dom(y) y(t)[[x = t]]. Assim, [[x ∈y]][[φ(x)]] =

(∑t∈dom(y) y(t)[[x = t]]

)[[φ(x)]] = ∑t∈dom(y) y(t)[[x = t]][[φ(x)]]. Sendo a afirmação

(x = t ∧φ(x))→ φ(t) logicamente provável, portanto válida, o Teorema 1.1.4 1 implica que[[x = t]][[φ(x)]]≤ [[φ(t)]], de onde obtemos ∑t∈dom(y) y(t)[[x = t]][[φ(x)]]≤ ∑t∈dom(y) y(t)[[φ(t)]].A arbitrariedade de x então conclui que [[∃x ∈ y φ(x))]] = ∑x∈VB [[x ∈ y]][[φ(x)]]≤∑t∈dom(y) y(t)[[φ(t)]], provando assim o item.

2: ∀x ∈ y φ(y) é equivalente a ∼ ∃x ∈ y ∼ φ(x), portanto, usando o item acima provado,temos que [[∀x ∈ y φ(x)]] =−[[∃x ∈ y ∼ φ(x)]] =

−(∑t∈dom(y) y(t)[[∼ φ(t)]]

)=−

(∑t∈dom(y) y(t)(−[[φ(t)]])

)= ∏t∈dom(y)(−y(t)+ [[φ(t)]]) =

∏t∈dom(y) y(t)→ [[φ(t)]], provando o desejado.

Como o leitor pode ter notado, esse teorema prova que, de fato, as definiçãos [[x ∈ y]]e [[x ⊂ y]] feitas anteriormente equivalem a, respectivamente, [[∃z ∈ y x = z]] e [[∀z ∈ x z ∈ y]].Analogamente, a nossa definição de [[x = y]] equivale a [[x ⊂ y∧y ⊂ x]].

2.2 Absoluticidade

Apesar de ficarem em segundo plano, as definições de absoluticidade e class-preservingserão cruciais para simplificarmos a demonstração de todos os teoremas que provaremos usandoa técnica de forcing.

Definição 2.2.1 (B-ABSOLUTICIDADE). Dada uma álgebra booleana completa B, dizemosque uma fórmula φ(x1, ...,xn), com variáveis livres x1, ...,xn, é B-absoluta se satisfaz, paraquaisquer conjuntos z1, ...,zn:

1. φ(z1, ...,zn) implica 1 “φ((z1) , ...,(zn) )”

2. ∼ φ(z1, ...,zn) implica 1 “ ∼ φ((z1) , ...,(zn) )”

Além disso, dada uma função F(x1, ...,xn) que seja definível (isto é, é demonstrável na teoriaque estamos supondo e, ao mesmo tempo, 1-válida no sentido de B a seguinte afirmação:∀x1, ...,xn ∃!y y = F(x1, ...,xn)), dizemos que F(x1, ...,xn) é B-absoluta caso for B-absoluta afórmula y = F(x1, ...,xn).


Teorema 2.2.2. Para toda álgebra booleana completa B, são B-absolutas as seguintes fórmulas:

I x ∈ y

II x = y

Se φ ,ψ são fórmulas B-absolutas, também serão B-absolutas as seguintes fórmulas:

1. ∼ φ

2. φ ∧ψ

3. ∃x ∈ y φ

Em particular, toda ∆0-fórmula (isto é, toda fórmula cujos quantificadores são da forma ∀x ∈ y

ou ∃x ∈ y) é B-absoluta. Além disso, se a afirmação φ(x1, ...,xn)↔ ψ(x1, ...,xn) for provávelna teoria que estivermos supondo e, ao mesmo tempo, 1-válida no sentido de B, se φ(x1, ...,xn)

é B-absoluta, então ψ(x1, ...,xn) também será B-absoluta.

Demonstração. I e II: A demonstração será por indução sobre (rank(x), rank(y)) nas duasafirmações simultaneamente.

Supondo que já provamos as duas afirmações para todo z,w com (rank(z), rank(w))<2

(rank(x), rank(y)), suponha que vale x ∈ y. Então [[x ∈ y]] = ∑t∈dom(y) y(t)[[t = x]]. Através dadefinição de y, podemos provar o seguinte: [[x ∈ y]] = ∑t∈dom(y) y(t)[[t = x]] = ∑z∈y y(z)[[z = x]] =

∑z∈y1[[z = x]] = ∑z∈y[[z = x]]. Agora, podemos usar a hipótese de indução da segunda afirmaçãono par (x,z), com z ∈ y (pois z ∈ y implica rank(z) < rank(y), assim (rank(x), rank(z)) <2

(rank(x), rank(y))). Como x ∈ y implica que existe z ∈ y com z = x, então devemos ter que1= [[z = x]], para algum z ∈ y e, consequentemente, [[x ∈ y]] = ∑z∈y[[z = x]] = 1. Analogamente,supondo x ∈ y, então z = x para todo z∈ y. Assim, pela hipótese de indução, [[z = x]] = 1, para todoz ∈ y, o que implica [[x ∈ y]] =−[[x ∈ y]] =−∑z∈y[[z = x]] = ∏z∈y−[[z = x]] = ∏z∈y[[z = x]] = 1,provando assim a parte respectiva do item I.

Supondo agora que vale x = y, então vale x ⊂ y e y ⊂ x. Usando agora a definição de x,conseguimos provar que [[x ⊂ y]] = ∏t∈dom(x) x(t)→ [[t ∈ y]] = ∏z∈x x(z)→ [[z ∈ y]] = ∏z∈x1→[[z ∈ y]] = ∏z∈x[[z ∈ y]] (lembre-se que 1→ u =−1+u = 0+u = u). Portanto, podemos aplicarindução da primeira afirmação sobre (z,y) para todo z ∈ x. Note que x ⊂ y implica, para todoz ∈ x, z ∈ y. Assim, por hipótese, [[z ∈ y]] = 1 para todo z ∈ x. Logo, [[x ⊂ y]] = ∏z∈x[[z ∈ y]] = 1.Analogamente, y ⊂ x implica [[y ⊂ x]] = 1. Então, x = y implica [[x = y]] = [[x ⊂ y]][[y ⊂ x]] = 1.Agora, caso x = y valer, então vale x ⊂ y∨ y ⊂ x. Caso x ⊂ y, existe z ∈ x tal que z ∈ y, assim,por indução, [[z ∈ y]] = 1 e, portanto, [[x ⊂ y]] =−[[x ⊂ y]] =−∏z∈x[[z ∈ y]] = ∑z∈x−[[z ∈ y]] =

∑z∈x[[z ∈ y]] = 1. De modo análogo, caso y ⊂ x, vale [[y ⊂ x]] = 1. Então, x = y implica


[[x = y]] = −([[x ⊂ y]][[y ⊂ x]]) = [[x ⊂ y]]+ [[y ⊂ x]] = 1, provando assim a parte respectiva doitem II, concluindo a demonstração indutiva e, portanto, a absoluticidade das afirmações.

Agora, suponha a absoluticidade das fórmulas φ ,ψ , vamos provar a absoluticidade dositens 1 a 3.

1: Consequência imediata da absoluticidade de φ , apenas note que ∼∼ φ implica φ , e[[∼∼ φ ]] =−(−[[φ ]]) = [[φ ]].

2: φ ∧ ψ implica φ e ψ e, por hipótese, [[φ ]] = 1 e [[ψ]] = 1. Portanto, [[φ ∧ ψ]] =

[[φ ]][[ψ]] = 1. Agora, caso valer ∼ (φ ∧ψ), vale ∼ φ∨ ∼ ψ . Se valer ∼ φ , por hipótese, entãovale [[∼ φ ]] = 1. Agora, se valer ∼ ψ , também por hipótese, vale [[∼ ψ]] = 1. Assim, em ambosos casos, vale [[∼ (φ ∧ψ)]] =−([[φ ]][[ψ]]) = [[∼ φ ]]+ [[∼ ψ]] = 1. Portanto, φ ∧ψ é absoluto.

3: O Teorema 2.1.17 implica que [[∃x∈ y φ(x)]] =∑t∈dom(y) y(t)[[φ(t)]] =∑x∈y y(x)[[φ(x)]] =

∑x∈y1[[φ(x)]] = ∑x∈y[[φ(x)]]. Suponha que vale ∃x ∈ y φ(x), então existe x ∈ y tal que φ(x) éverdade, assim vale [[φ(x)]] = 1 e, portanto, [[∃x ∈ y φ(x)]] = ∑x ∈ y[[φ(x)]] = 1. Caso valer∼ ∃x ∈ y φ(x), então, para todo x ∈ y, vale ∼ φ(x). Por hipótese, vale [[∼ φ(x)]] = 1, logo,[[∼ ∃x ∈ y φ(x)]] =−

(∑x∈y[[φ(x)]]

)= ∏x∈y−[[φ(x)]] = ∏x∈y[[∼ φ(x)]] = 1, provando a absolu-

ticidade de ∃x ∈ y φ(x).

Agora, supondo que φ(x1, ...,xn) ↔ ψ(x1, ...,xn) é provável e 1-válida no sentido B,teremos, em particular, que ∼ φ(x1, ...,xn) ↔∼ ψ(x1, ...,xn). Assim, para todo x1, ...,xn, vale[[φ((x1) , ...,(xn) )]] = [[ψ((x1) , ...,(xn) )]] e −[[φ((x1) , ...,(xn) )]] =−[[ψ((x1) , ...,(xn) )]]. Todasessas equivalências e igualdades implicam que ψ(x1, ...,xn) é automaticamente absoluta, casoφ(x1, ...,xn) assim seja.

Teorema 2.2.3. Para toda álgebra booleana completa B, dada uma fórmula B-absolutaφ(x1, ...,xn), com x1, ..,xn variáveis livres, seja F1(y1, ...,ym), ..., Fn(y1, ...,ym) funções, comvariáveis livres entre y1, ...,ym (não necessariamente todas, podendo algumas funções serem sim-ples variáveis), definíveis e B-absolutas, então φ(F1(y1, ...,ym), ...,Fn(y1, ...,ym)) é uma fórmulaB-absoluta. Analogamente, se F(x1, ...,xn) for função definível e B-absoluta, eG1(y1, ...,ym), ...,Gn(y1, ...,ym) forem fórmulas com variáveis livres entre y1, ...,ym (não neces-sariamente todas, podendo algumas funções serem simples variáveis) definíveis e B-absolutas,então F(G1(y1, ...,ym), ...,Gn(y1, ...,ym)) também será função definível e B-absoluta.

Demonstração. A demonstrabilidade e validade da afirmação ∀y1, ...,ym ∃!z z = Fi(y1, ...,ym),

1≤ i≤ n, implica a demonstrabilidade e validade da afirmação φ(F1(y1, ...,ym), ...,Fn(y1, ...,ym))(1)⇔ (∃z1, ...,zn z1 = F1(y1, ...,ym)∧ ...∧ zn = Fn(y1, ...,ym)∧φ(z1, ...,zn))

(2)⇔(∀z1, ...,zn(z1 = F1(y1, ...,ym)∧ ...∧ zn = Fn(y1, ...,ym))→ φ(z1, ...,zn)). Suponha que valeφ(F1(y1, ...,ym), ...,Fn(y1, ...,ym)), pela equivalência (1) acima, existem z1, ...,zn tais quez1 = F1(y1, ...,ym)∧ ...∧ zn = Fn(y1, ...,ym)∧φ(z1, ...,zn). Então, pela absoluticidade de todas asafirmações envolvidas e o Teorema 2.2.2, concluímos que


1 “(z1) =F1((y1) ...(ym) )∧, ...,∧(zn) =Fn((y1) , ...,(ym) )∧φ((z1) , ...,(zn) )”, o que implica1 “∃z1, ...,zn z1 = F1((y1) , ...,(ym) )∧ zn = Fn((y1) , ...,(ym) )∧ φ(z1, ...,zn)” ou seja, pelaequivalência (1), 1 “φ(F1((y1) , ...,(ym) ), ...,Fn((y1) , ...,(ym) ))”.

Suponha agora que vale ∼ φ(F1(y1, ...,ym), ...,Fn(y1, ...,ym)). Pela equivalência (2) acima,vale ∼ (∀z1, ...,zn((z1 = F1(y1, ...,ym)∧ ...∧ zn = Fn(y1, ..,ym)) → φ(z1, ...,zn))), que, por suavez, é equivalente a ∃z1, ...,zn z1 = F1(y1, ...,ym)∧ ...∧ zn = Fn(y1, ...,yn)∧ ∼ φ(z1, ...,zn). Istoé, existem z1, ...,zn tais que z1 = F1(y1, ...,ym)∧ ...∧ zn = Fn(y1, ...,ym)∧ ∼ φ(z1, ...,zn). No-vamente, pelo Teorema 2.2.2 e a absoluticidade das fórmulas envolvidas, vale 1 “(z1) =

F1((y1) , ...,(ym) )∧ ...∧ (zn) = Fn((y1) , ...,(ym) )∧ ∼ φ((z1) , ...,(zn) )” e, consequentemente,1 “∃z1, ...,zn z1 = F1((y1) , ...,(ym) )∧ ...∧zn = Fn((y1) , ...,(ym) )∧∼ φ(z1, ...,zn)”. Portanto,devido à equivalência (2), vale 1 “ ∼ φ(F1((y1) , ...,(ym) ), ...,Fn((y1) , ...,(ym) ))”, concluindoa demonstração da absoluticidade.

Note que é fácil provar a definibilidade da função F(G1(y1, ...,ym), ...,Gn(y1, ...,ym)),quando as funções F(x1, ...,xn),G1(y1, ...,ym), ...,Gn(y1, ...,ym). A demonstração da absoluti-cidade de z = F(G1(y1, ...,ym), ...,Gn(y1, ...,ym)) é idêntica à demonstração acima, basta usarz = F(x1, ...,xn) no lugar de φ(x1, ...,xn). Perceba que agora, com esse resultado, podemosaplicar esse mesmo teorema à função F(G1(y1, ...,ym), ...,Gn(y1, ...,ym)) e qualquer fórmulaψ .

Definição 2.2.4 (B-CLASS-PRESERVING). Dada uma álgebra booleana completa B, dizemosque uma classe A(y1, ...,yn), com y1, ...,yn parâmetros da classe (isto é, a classe é definida comox : φ(x,y1, ...,yn), onde φ(x,y1, ...,yn) é a afirmação que simboliza x ∈ A(y1, ...,yn)), é B-class-preserving, ou simplesmente B-cp, quando valer, para cada y1, ...,yn, [[x∈A((y1) , ...,(yn) )]] =

∑a∈A(y1,...,yn)[[x = a]], para todo x ∈ VB.

Observação 2.2.5. Para toda álgebra booleana completa B, se a classe A(y1, ...,yn) é B-cp,então a afirmação x ∈ A(y1, ...,yn) é absoluta.

Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos omitir menção aos parâmetros da classe.Suponha que vale x ∈ A, então B-cp implica que [[x ∈ A]] = ∑y∈A[[x = y]]. Como x ∈ A e[[x = x]] = 1, então [[x ∈ A]] = ∑y∈A[[x = y]] = 1. Agora, suponha que vale x ∈ A, então, paratodo y ∈ A, x = y. A absoluticidade dessa última fórmula implica [[x = y]] = 1, isto é, [[x = y]] = 0

para todo y ∈ A. Logo, [[x ∈ A]] = ∑y∈A[[x = y]] = 0, de onde extraímos [[x ∈ A]] = 1, provandoa absoluticidade da fórmula.

Teorema 2.2.6. Dada uma álgebra booleana completa B, para toda classe A(y1, ...,yn), comy1, ...,yn parâmetros de classe, e toda fórmula φ(y,x1, ...,xm), com variáveis livres entre y,x1, ...,xm,caso A(y1, ...,yn) for B-class-preserving, então vale, para quaisquer conjuntos w1, ...,wn e quais-quer x1, ...,xm ∈ VB:

1. [[∃y ∈ A((w1) , ...,(wn) )φ(y,x1, ...,xm)]] = ∑y∈A(w1,...,wn)[[φ(y,x1, ...,xm)]]


2. [[∀y ∈ A((w1) , ...,(wn) )φ(y,x1, ...,xm)]] = ∏y∈A(w1,...,wn)[[φ(y,x1, ...,xm)]]

Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos omitir menção aos parâmetros de classe.

1: [[∃y ∈ A φ(y,x1, ...,xm)]] = ∑y∈VB [[y ∈ A]][[φ(y,x1, ...,xm)]]. Fixe y ∈ VB arbitrá-rio, A ser B-class-preserving implica que [[y ∈ A]] = ∑x∈A[[y = x]]. Portanto, temos por de-monstração lógica que [[y∈A]][[φ(y,x1, ...,xm)]] = (∑x∈A[[y = x]]) [[φ(y,x1, ...,xm)]] =∑x∈A[[y=x]][[φ(y,x1, ...,xm)]]≤ ∑x∈A[[φ(x,x1, ...,xm)]], ou seja, [[∃y ∈ A φ(y,x1, ...,xm)]]≤∑y∈A[[φ(y,x1, ...,xm)]]. Agora, note que ∑y∈A[[y ∈ A]][[φ(y,x1, ...,xn)]]≤∑y∈VB [[y ∈ A]][[φ(y,x1, ...,xm)]] = [[∃y ∈ A φ(y,x1, ..,xm)]]. Pela observação acima, A ser B-class-preserving implica que y ∈ A é absoluto, então, para todo y ∈ A, vale [[y ∈ A]] = 1,assim, ∑y∈A[[φ(y,x1, ...,xm)]] = ∑y∈A[[y ∈ A]][[φ(y, ...,x1, ...,xm)]] ≤ [[∃y ∈ A φ(y,x1, ...,xm)]],concluindo assim a demonstração de que [[∃y ∈ A φ(y,x1, ...,xm)]] = ∑y∈A[[φ(y,x1, ...,xm)]].

2: Como ∀y ∈ A φ(y,x1, ...,xm) equivale a ∼ ∃y ∈ A ∼ φ(y,x1, ...,xm),[[∀y ∈ A φ(y,x1, ...,xm)]] = [[∼ ∃y ∈ A ∼ φ(y,x1, ...,xm)]] = −[[∃y ∈ A ∼ φ(y,x1, ...,xm)]].Usando a parte 1 deste teorema provada no parágrafo acima, temos que [[∀y∈A φ(y,x1, ...,xm)]] =

−(∑y∈A−[[φ(y,x1, ...,xm)]]

), então, [[∀y ∈ A φ(y,x1, ...,xm)]] = ∏y∈A[[φ(y,x1, ...,xm)]].

Teorema 2.2.7. Sejam uma álgebra booleana completa B e uma classe A(y1, ...,ym) que seja B-class-preserving. Então, para toda fórmula φ(x1, ...,xn) com x1, ...,xn variáveis livres e que nãopossui em nenhum lugar as variáveis y1, ...,ym, então a fórmula relativizada φ A(y1,...,ym)(x1, ...,xn)

é absoluta.

Demonstração. Sem prejuízo da demonstração, omitiremos menção aos parâmetros de classe e,quando for possível, às variáveis livres.

A demonstração será por indução sobre o comprimento da fórmula. Para os casos x ∈ y ex = y, o teorema se reduz à demonstração da absoluticidade dessas fórmulas, que foi demonstradano Teorema 2.2.2. Supondo que já foi provado o teorema para as fórmulas φ e ψ , a demonstraçãopara ∼ φ e φ ∧ψ é análoga às respectivas provas de indução do Teorema 2.2.2, partes 1 e 2(lembrando que a demonstração aqui usa φ A e ψA). Agora, para concluir a parte indutiva dademonstração, precisamos, com a hipótese de já termos provado para φ(x), provar o teorema para∃x φ(x). Neste caso, (∃x φ(x))A equivale a ∃x ∈ A φ A(x). Pelo teorema provado acima, temos,pelo fato de A ser B-class-preserving, que [[∃x ∈ A φ A(x)]] = ∑x∈A[[φ

A(x)]], suponha que vale∃x ∈ A φ A(x), então vale φ A(x) para algum x ∈ A, pela hipótese [[φ A(x)]] = 1 para esse x e,assim, [[(∃x φ(x))A]] = ∑x∈A[[φ

A(x)]] = 1. Por outro lado, caso valer ∼ ∃x ∈ A φ A(x), então vale∼ φ A(x) para todo x ∈ A. Logo, por hipótese [[φ A(x)]] = 0 para todo x ∈ A, logo [[(∃x φ(x))A]] =

∑x∈A[[φA(x)]] = 0, isto é, [[∼ (∃x φ(x))A]] =−[[(∃x φ(x))A]] = 1, como queríamos provar.

A Observação 2.2.5 mostra que, de certa forma, “B-cp implica absoluticidade". Então,poderíamos nos perguntar: A “recíproca"é verdadeira, isto é, se x ∈ A é absoluta, então A é


B-cp? No caso particular da classe A ser um conjunto, a resposta é sim, como veremos noteorema abaixo:

Teorema 2.2.8. Para toda álgebra booleana completa B, toda função F(x1, ...,xn) definível e B-absoluta, quando considerada como uma classe com parâmetros x1, ...,xn, é B-class-preserving.Analogamente, quando A(x1, ...,xn) é uma classe B-cp tal que, a classe x : x ∈ A(x1, ...,xn) setrata de uma função definível, então tal função também será B-absoluta.

Demonstração. Aqui, o que precisamos fazer para provar a primeira afirmação é provar que,para todo x1, ...,xn, [[x ∈ F((x1) , ...,(xn) )]] = ∑z∈F(x1,...,xn)[[x = z]]. De fato, a absoluticidadede F(x1, ...,xn) implica a absoluticidade de y = F(x1, ...,xn), isso por sua vez implica que 1=[[(F(x1, ...,xn)) = F((x1) , ...,(xn) )]]. Como consequência imediata disto, podemos provar, porvia lógica, que [[x ∈ F((x1) , ...,(xn) )]] = [[x ∈ (F(x1, ...,xn)) ]]. Assim podemos concluir, usandoa definição de [[x ∈ y]] e x, que [[x ∈ (F(x1, ...,xn)) ]] = ∑t∈dom((F(x1,...,xn)) )(F(x1, ...,xn)) (t)[[x =

t]], mas dom((F(x1, ...,xn)) ) = x : x ∈ F(x1, ...,xn) e, para todo t ∈ dom((F(x1, ...,xn)) ),(F(x1, ...,xn)) (t) = 1, então ∑t∈dom((F(x1,...,xn)) )(F(x1, ...,xn)) (t)[[x= t]] =∑z∈F(x1,...,xn)[[x= z]],o que é suficiente para provar que a classe F(x1, ...,xn) é B-class-preserving.

Agora, dada a classe A(x1, ...,xn) B-cp, note que a Observação 2.2.5 já implica quex ∈ A(x1, ...,xn) é absoluto. Agora, o fato que x : x ∈ A(x1, ...,xn) é definível (o que incluio fato de ser demonstrável e válido o fato de x : x ∈ A(x1, ...,xn) ser conjunto) implica quepodemos fazer a definição x : x ∈ A(x1, ...,xn) da seguinte forma: y = x : x ∈ A(x1, ...,xn)⇔∀x ∈ y x ∈ A(x1, ...,xn)∧∀x ∈ A(x1, ...,xn) x ∈ y. A primeira fórmula ∀x ∈ y x ∈ A(x1, ...,xn)

é absoluta através da técnicas do Teorema 2.2.2, já a segunda fórmula ∀x ∈ A(x1, ...,xn) x ∈ y

é uma fórmula relativizada por uma classe B-cp e, pelo teorema acima, é absoluta, logo astécnicas do Teorema 2.2.2 provam que y = x : x ∈ A(x1, ...,xn) é absoluta, provando assim aabsoluticidade de x : x ∈ A(x1, ...,xn), como era nosso objetivo.

Agora, podemos nos perguntar: E no caso geral, a “equivalência” de B-cp e B-absoluti-cidade vale? A resposta é ’não’. Mas ainda precisamos desenvolver um pouco mais a teoria paraconseguirmos provar a existência de um contra-exemplo.

2.3 Modelando ZFC

Uma vez que temos a pretensão de usar VB como um “modelo incomum” por intermédioda linguagem forcing, precisamos saber o que a linguagem forcing nos dizem a respeito decada axioma da teoria ZFC (que supomos implicitamente como verdadeiro ao longo de todoesse texto). Essa resposta nos será fornecida no próximo teorema que, em sua demonstração,usaremos também as consequências dos teoremas da seção anterior.

Teorema 2.3.1. Para toda álgebra booleana completa B, todo axioma de ZFC é válido.

2.3. Modelando ZFC 63

Demonstração. Nós denotaremos aqui os axiomas de ZFC conforme a seção 7 da Introduçãodo livro (KUNEN, 1980). Porém, excluiremos menção ao “Axioma 0” desse livro porqueprovaremos, no apêndice, que ele é logicamente provável e, portanto, válido.

Axioma da Extensão: Essa demonstração seguirá o esquema de (JECH, 1978, 173). AObservação 2.1.13 implica que necessitamos provar a validade de ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)→ x = y,isto é, para todo x,y ∈ VB, [[∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)]]≤ [[x = y]]. Podemos provar, por via lógica, que[[∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)]] ≤ [[∀z ∈ x z ∈ y]] = [[x ⊂ y]], sendo a última igualdade consequência doTeorema 2.1.17. Analogamente, podemos provar por via lógica que [[∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)]]≤ [[∀z ∈y z ∈ x]] = [[y ⊂ x]], com a última igualdade consequência do Teorema 2.1.17. Então, concluímosque [[∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)]]≤ [[x ⊂ y]][[y ⊂ x]] = [[x = y]], como queríamos provar.

Axioma da Fundação: O objetivo aqui é provar que, para todo x ∈ VB, [[∃y y ∈ x →∃y(y ∈ x∧ ∼ ∃z(z ∈ y∧ z ∈ x))]] = 1, equivalentemente, para todo x ∈ VB, [[∃y y ∈ x∧∀y(y ∈x → ∃z(z ∈ y∧ z ∈ x))]] = −[[∃y y ∈ x → ∃y(y ∈ x∧ ∼ ∃z(z ∈ y∧ z ∈ x))]] = 0. Suponha que,por absurdo, essa afirmação é falsa, isto é, existe x ∈ VB com [[∃y y ∈ x∧∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈y∧ z ∈ x))]] = 0. Fixado um x com essa propriedade, temos que [[∃y y ∈ x∧∀y(y ∈ x →∃z(z ∈y ∧ z ∈ x))]] = [[∃y y ∈ x]][[∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ y ∧ z ∈ x))]] =

(∑y∈VB [[y ∈ x]]

)[[∀y(y ∈ x →

∃z(z ∈ y∧ z ∈ x))]] = ∑y∈VB([[y ∈ x]][[∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ y∧ z ∈ x))]]) = 0. Note que, por vialógica, [[∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ y∧ z ∈ x))]] = [[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]]. Portanto, fixe um y ∈ VB

com o menor ρ(y) que satisfaz [[y ∈ x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]] = 0. Como, por via lógica, vale[[y ∈ x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]] ≤ [[∃z ∈ y z ∈ x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]], portanto 0 = [[∃z ∈ y z ∈x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]] = ∑u∈dom(y)(y(u)[[u ∈ x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]]) ≤ ∑u∈dom(y)([[u ∈x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]]). Assim, existe u ∈ dom(y) tal que [[u ∈ x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]] = 0,um absurdo, pois, devido à hipótese de minimalidade de y e o fato que ρ(u)< ρ(y), para todou ∈ dom(y), deveria valer, para todo u dessa forma, [[u ∈ x]][[∀y ∈ x ∃z ∈ y z ∈ x]] = 0. Destemodo, concluímos a demonstração da validade do axioma da fundação.

Axioma da Compreensão: Esse axioma se trata, na verdade, de um esquema de axio-mas. O nosso objetivo aqui é provar, para toda fórmula φ(x,z,w1, ...,wn), com variáveis livresentre x,z,w1, ...,wn, que a afirmação ∀z ∃y ∀x(x ∈ y ↔ (x ∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn))) é válida. Paraisso, fixe a fórmula φ(x,z,w1, ...,wn) e z,w1, ...,wn ∈ VB. Assim, defina o nome y da seguinteforma: dom(y) = dom(z) e, para todo t ∈ dom(y) = dom(z), y(t) = [[t ∈ z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]].Para provar que [[∀x(x ∈ y ↔ (x ∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn)))]] = 1, basta provar que [[∀x ∈ y x ∈z∧φ(x,z,w1, ...,wn)]] = 1 e [[∀x ∈ z(φ(x,z,w1, ...,wn)→ x ∈ y)]] = 1.

Note que [[∀x∈ y x∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn)]] =∏t∈dom(y)(y(t)→ [[t ∈ z∧φ(t,z,w1, ...,wn)]])=

∏t∈dom(z)([[t ∈ z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]]→ [[t ∈ z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]]). Como, evidentemente, [[t ∈z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]]≤ [[t ∈ z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]], concluímos que [[∀x ∈ y x ∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn)]] = 1. Agora, temos que [[∀x∈ z(φ(x,z,w1, ...,wn)→ x∈ y)]] =∏t∈dom(z)(z(t)→([[φ(t,z,w1, ...,wn)]]→ [[t ∈ y]]))=∏t∈dom(z)(z(t)[[φ(t,z,w1, ...,wn)]]→ [[t ∈ y]]). Fixe t ∈ dom(z)arbitrário, então [[t ∈ y]] = ∑u∈dom(y) y(u)[[t = u]] = ∑u∈dom(y)[[u ∈ z]][[φ(u,z,w1, ...,wn)]][[t = u]].


Como t ∈ dom(y) e [[t = t]] = 1, temos [[t ∈ z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]]≤∑u∈dom(y) y(u)[[t = u]] = [[t ∈y]]. Uma vez que o Corolário 2.1.16 implica que z(t)≤ [[t ∈ z]], logo, z(t)[[φ(t,z,w1, ...,wn)]]≤[[t ∈ z]][[φ(t,z,w1, ...,wn)]]≤ [[t ∈ y]] e, portanto, (z(t)[[φ(t,z,w1, ...,wn)]]→ [[t ∈ y]]) = 1. Comoconclusão de tudo isso, temos [[∀x∈ z φ(x,z,w1, ...,wn)→ x∈ y]] =∏t∈dom(z)(z(t)[[φ(t,z,w1, ...,wn)]]→[[t ∈ y]]) = 1. Como foi nosso objetivo, provamos que [[∀x x ∈ y ↔ (x ∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn))]] =

1. Uma vez que y∈VB, temos que [[∃y(∀x x∈ y↔ (x∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn))]])=∑y∈VB [[∀x x∈y ↔ (x ∈ z∧φ(x,z,w1, ...,wn))]] = 1, provando, como queríamos, a validade do esquema deaxiomas da compreensão.

Axioma do Par não Ordenado: Aqui o objetivo é provar a validade de ∀x ∀y ∃z x ∈ z∧y ∈ z. Para simplificar a notação, faremos a seguinte definição: Dado S conjunto de nomes, isto é,S ⊂ VB, definimos SB ∈ VB como o nome que satisfaz dom(SB) = S e, para todo t ∈ dom(SB),SB(t) = 1. É fácil notar assim que, para todo t ∈ dom(SB), SB(t)u = SB(t)→ u = u, e issonos será muito útil para expansão de fórmulas do tipo [[φ ]], pois permitirá omitir a maior partedas menções de SB(t). Neste axioma, sendo x,y arbitrários, definiremos z = x,yB. Paratodo w ∈ VB, temos [[w ∈ z]] = [[w ∈ x,yB]] = ∑t∈x,y[[w = t]] = [[w = x]]+ [[w = y]]. Então,é fácil provar que [[x ∈ z]] = 1 e [[y ∈ z]] = 1. Concluindo, [[x ∈ z∧ y ∈ z]] = 1, implicando[[∃z x ∈ z∧y ∈ z]] = 1 e a validade da mesma fórmula, devido à arbitrariedade de x,y.

Axioma da União: Este axioma se define como ∀x ∃y ∀z ∀w (w ∈ z∧ z ∈ x)→ w ∈ y.Fixe o nome x, vamos encontrar um nome y que satisfaça [[∀z∈ x ∀w∈ z w∈ y]] = 1. Essa fórmulaé logicamente equivalente a ∀z ∀w((w ∈ z∧ z ∈ x)→ w ∈ y). Assim, de modo análogo ao quefizemos nos parágrafos anteriores, obteremos [[∃y ∀z ∈ x ∀w ∈ z w ∈ y]] = 1, provando a validadedo axioma. Esse y será

(⋃t∈dom(x) dom(t)

)B

, desse jeito, para um nome v arbitrário [[v ∈ y]] =∑u∈

⋃t∈dom(x) dom(t)[[v = u]], de onde podemos inferir que, para todo u ∈ dom(t) com t ∈ dom(x),

[[u ∈ y]] = 1. Fazendo a expansão da fórmula que desejamos provar a validade, [[∀z ∈ x ∀w ∈z w ∈ y]] = ∏t∈dom(x)(x(t)→ [[∀w ∈ t w ∈ y]]) = ∏t∈dom(x)

(x(t)→ ∏u∈dom(t)(t(u)→ [[u ∈ y]])

).

Essa última fórmula pode ser reescrita como ∏t∈dom(x)∏u∈dom(t)(x(t)t(u)→ [[u ∈ y]]). Comoprovamos acima, para todo u neste produtório, [[u ∈ y]] = 1. Além disso, independente dost,u tomados, x(t)t(u) ≤ 1, portanto, para todo u nesse produtório, x(t)t(u) ≤ [[u ∈ y]], isto é,x(t)t(u)→ [[u ∈ y]] = 1. Assim, [[∀z ∈ x ∀w ∈ z w ∈ z]] = ∏t∈dom(x)∏u∈dom(t)(x(t)t(u)→ [[u ∈y]]) = 1, provando a validade da fórmula desejada.

Axioma da Substituição: Este aqui também se consiste num esquema de axiomasonde, para toda fórmula φ(x,y,A,w1, ...,wn), com variáveis livres entre as exibidas, (∀x ∈A ∃!y φ(x,y,A,w1, ...,wn))→ (∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y φ(x,y,A,w1, ...,wn)). Fixando φ arbitrário doestilo acima, vamos provar a validade dessa fórmula. Para fins de simplificação, omitiremosde φ menções às variáveis w1, ...,wn. Note que a fórmula é consequência lógica da afirmação∃Y ∀x ∈ A((∃y φ(x,y,A))→ (∃y ∈ Y φ(x,y,A))), assim basta provar a validade dessa fórmula.Fixe o nome A e, por enquanto, considere Y nome arbitrário. Então, [[∀x ∈ A((∃y φ(x,y,A))→(∃y ∈ Y φ(x,y,A)))]] = ∏t∈dom(A)(A(t) → [[(∃y φ(x,y,A)) → (∃y ∈ Y φ(x,y,A))]]). Fixemos


t ∈ dom(A), então [[∃y φ(t,y,A)]] = ∑y∈VB [[φ(t,y,A)]]. Lembre-se que todos os valores pos-síveis desse somatório estão em B (0 pode estar incluído). Portanto, para todo u ∈ B, seexistir y ∈ VB tal que [[φ(t,y,A)]] = u, então existirá um com essa propriedade tal que ρ(y)seja mínimo, para esse y, defina αu = ρ(y), caso contrário, defina αu = 0. Defina agoraγ = supu∈B(αu + 1) e faça S = VB

γ . Perceba que, para todo y ∈ VB, existe y0 ∈ S tal que[[φ(t,y,A)]] = [[φ(t,y0,A)]], assim, [[∃y φ(t,y,A)]] = ∑y∈VB [[φ(t,y,A)]] = ∑y∈S[[φ(t,y,A)]] =

[[∃y ∈ SB φ(t,y,A)]], que implica [[∃y φ(t,y,A)]] = ∑y∈VB [[φ(t,y,A)]] ≤ ∑y∈S[[φ(t,y,A)]] =

[[∃y ∈ SB φ(t,y,A)]], isto é, [[(∃y φ(x,y,A)) → (∃y ∈ Y φ(x,y,A))]] = 1. Logo, ao fazermosY = SB, teremos como consequência que [[∀x ∈ A((∃y φ(x,y,A))→ (∃y ∈ Y φ(x,y,A)))]] =

∏t∈dom(A)(A(t)→ [[(∃y φ(x,y,A))→ (∃y ∈ Y φ(x,y,A))]]) = 1, uma vez que t ∈ dom(A) foiescolhido arbitrariamente e sempre vale A(t)≤ 1. Concluindo a demonstração, derivamos fa-cilmente que [[∃Y ∀x ∈ A((∃y φ(x,y,A))→ (∃y ∈ Y φ(x,y,A)))]] = 1, provando a validade doaxioma.

Até o momento, provamos a validade de todos os axiomas do sistema ZF-P-Inf, essesaxiomas são suficientes para usar as técnicas de absoluticidade e class-preserving da seção 2.2 eprovar que são definíveis e absolutas, já que ZF-P-Inf prova sua equivalência a ∆0-fórmulas, asseguintes definições:

∙ /0 = 0

∙ S(x) = x∪x

Elas serão usadas no próximo axioma:

Axioma do Infinito: Esse axioma se consiste em ∃y ( /0 ∈ y∧∀x ∈ y S(x)∈ y). É evidenteque a afirmação é valida quando y = ω e que /0 ∈ y∧∀x ∈ y S(x) ∈ y é B-absoluta, portantotemos [[ /0 ∈ ω ∧∀x ∈ y S(x) ∈ ω]] = 1. Consequentemente, temos a validade de ∃y( /0 ∈ y∧∀x ∈y S(x) ∈ y) como queríamos provar.

Axioma da Potência: O nosso objetivo é provar a validade da fórmula ∀x ∃y ∀z z ⊂ x →z ∈ y. Mas antes disso, vamos provar um lema que diz que todo subconjunto de um nome podeser representado por uma forma canônica.

Lema 2.3.2. Dados uma álgebra booleana B e nomes x,Y ∈ VB, existe um nome, que denota-remos por X, que satisfaz dom(X) = dom(Y) e [[x ⊂ Y → x = X]] = 1.

Demonstração. Fixado o nome x, definiremos X de modo que satisfaça dom(X) = dom(Y) e,para todo u ∈ dom(Y), X(u) = Y(u)[[u ∈ x]]. Vamos provar que [[X = x∩Y]] = 1 (a teoria já estáavançada o suficiente para provar que x∩ y é definível). Usando equivalência, o valor booleanoda fórmula acima é igual a [[X ⊂ x]][[X ⊂ Y]][[∀y ∈ Y y ∈ x → y ∈ X]] (nessa equivalência, alémda lógica, precisamos usar todos os axiomas necessários para definir x∩ y, principalmente o


axioma da extensão. Porém, como já provamos a validade de todos eles, isso não gera problemas).Vamos provar a validade dessas fórmulas, o suficiente para provar a validade desejada.

[[X ⊂ x]] = ∏u∈dom(Y)(Y(u)[[u ∈ x]]→ [[u ∈ x]]), para todo u ∈ dom(Y) = dom(X). Umavez que sempre vale Y(u)[[u ∈ x]]≤ [[u ∈ x]], portanto, vale Y(u)[[u ∈ x]]→ [[u ∈ x]] = 1, assim,[[X ⊂ x]] = 1. Note que [[X ⊂ Y]] = ∏u∈dom(Y)(Y(u)[[u ∈ x]]→ [[u ∈ Y]]). Como já sabemos queY(u)[[u ∈ x]]≤ Y(u)≤ [[u ∈ Y]], logo, Y(u)[[u ∈ x]]→ [[u ∈ Y]] = 1, portanto, [[X ⊂ Y]] = 1.

Agora, [[∀y ∈ Y y ∈ x → y ∈ X]] = ∏u∈dom(Y)(Y(u)→ ([[u ∈ x]]→ [[u ∈ X]])) =

∏u∈dom(Y)(Y(u)[[u ∈ x]]→ [[u ∈ X]]). Note aqui que Y(u)[[u ∈ X]] = X(u)≤ [[u ∈ X]], de ondetiramos, como consequência imediata, que [[∀y ∈ Y y ∈ x → y ∈ X]] = 1, concluindo a demons-tração de que [[X = x∩Y]]. Portanto temos, como consequência lógica e dos axiomas usadospara definir x∩ y, que [[x ⊂ Y → X = x]], como queríamos demonstrar.

Com o lema acima, fixado o nome x, defina S = dom(x)B, isto é, o conjunto das funçõesf : dom(x)→ B, e faça y = SB. O nosso objetivo agora é provar que [[∀z z ⊂ x → z ∈ y]] = 1.Note que [[∀z z ⊂ x → z ∈ y]] = ∏z∈VB [[z ⊂ x → z ∈ y]]. Uma vez fixado o nome z, seja Znome que satisfaz o lema acima, isto é, dom(Z) = dom(x) e [[z ⊂ x → Z = z]] = 1. Uma vez que[[Z∈ y]] = 1, então, [[z⊂ x→Z= z]][[Z∈ y]] = 1 e, por consequência lógica, [[z⊂ x→ z∈ y]] = 1.Assim, a arbitrariedade de z implica na validade de ∃y ∀z z ⊂ x → z ∈ y, o axioma da potência.

Axioma da Escolha: Temos, até o momento, já demonstrado a validade de todos osaxiomas da teoria ZF. Com ela, podemos provar que o axioma da escolha é equivalente àafirmação ∀x ∃ f f é função∧dom( f ) é ordinal∧x ⊂ x ⊂ im( f ). A validade do axioma da escolhaserá obtida provando a validade dessa fórmula, mas para isso precisaremos nos aventurar porum tempo nas definições usadas por ela. Usando ZF, podemos provar a absoluticidade de todasas definições mencionadas, mas somente necessitaremos usar a absoluticidade da afirmação x é

ordinal.

Primeiramente, note que z = x,y é equivalente à fórmula x ∈ z∧ y ∈ z∧ (∀w ∈ z (w =

x∨w = y)) (aqui será sempre necessário usar os axiomas de ZF que já provamos ser válidos).Dados os nomes x,y, vamos provar que [[x,yB = x,y]] = 1. Como já provamos durante ademonstração do axioma do par não ordenado, [[w ∈ x,yB]] = [[w = x]]+ [[w = y]]. Assim,[[x ∈ x,yB]] = [[y ∈ x,yB]] = 1. Note que [[∀w ∈ x,yB(w = x∨w = y)]] = ∏t∈x,y([[t =

x]] + [[t = y]]) = ([[x = x]] + [[x = y]])([[y = x]] + [[y = y]]) = 1, o que nos permite provar que[[x,yB = x,y]] = 1. Uma ligeira modificação na demonstração nos permite provar que[[xB = x]] = 1. A definição de par ordenado é a seguinte: (x,y) = x,x,y, vamosdefinir assim op(x,y) = xB,x,yBB. Em um primeiro instante, podemos provar que[[op(x,y) = xB,x,yB]] = 1. Agora, combinando com os resultados que provamos agorahá pouco, concluímos que [[op(x,y) = (x,y)]] = 1. Assim op(x,y) será o nome que usaremospara representar os pares ordenados, elementos das relações e funções.

Fixe um nome arbitrário x, usando o axioma da escolha, podemos provar existência


de uma função bijetora f , onde dom( f ) é um ordinal, que denotaremos α , e im( f ) = dom(x).Defina F = op(ξ , f (ξ )) : ξ < αB. Nosso objetivo final é provar que [[F é função∧dom(F) é

ordinal∧x ⊂ im(F)]] = 1, de onde obteremos de imediato a validade do axioma da escolha.

f é função é equivalente a f é relação∧∀x ∈ dom( f ) ∀y ∀z((x,y) ∈ f ∧ (x,z) ∈ f )→y = z, onde f é relação equivale a ∀z ∈ f z é par ordenado ou ∀z ∈ f ∃x ∃y z = (x,y). Va-mos nos restringir à essa fórmula inicialmente. Note que, para toda fórmula φ(x), [[∀x ∈F φ(x)]] =∏t∈op(ξ , f (ξ )):ξ<α[[φ(t)]] =∏ξ<α [[φ(op(ξ , f (ξ )))]], analogamente [[∃x ∈ F φ(x)]] =

∑ξ<α [[φ(op(ξ , f (ξ )))]]. Fixe ξ < α , como provamos acima que [[op(ξ , f (ξ )) = (ξ , f (ξ ))]] = 1,então, [[∃x ∃y op(ξ , f (ξ )) = (x,y)]] = 1. Pela arbitrariedade de ξ < α , concluímos que [[∀z ∈F ∃x ∃y z = (x,y)]] = 1, portanto, [[f é relação]] = 1.

Agora, vamos concentrar nossa atenção para provar que [[dom(F) = α]] = [[im(F) =(dom(x))B]] = 1 para depois concluir a demonstração de que [[F é função]] = 1. De fato,dom(R)=X equivale a X ⊂ dom(R)∧dom(R)⊂X , onde X ⊂ dom(R) equivale a ∀x∈X ∃y (x,y)∈R) e dom(R)⊂ X equivale a ∀z ∈ R ∀x ∀y(z = (x,y)→ x ∈ X). Para a primeira fórmula, [[∀x ∈α ∃y (x,y) ∈ F]] = ∏ξ<α [[∃y (ξ ,y) ∈ F]]. Fixe ξ < α . Inicialmente, temos que [[op(ξ , f (ξ )) ∈F]] = 1 e que [[op(ξ , f (ξ ))= (ξ , f (ξ ))]] = 1. Então, por consequência lógica, 1= [[op(ξ , f (ξ ))∈F]][[op(ξ , f (ξ ))= (ξ , f (ξ ))]]≤ [[(ξ , f (ξ ))∈ ]], de onde extraímos, já que f (ξ ) é nome, [[∃y (ξ ,y)∈F]] = 1 e, por arbitrariedade de ξ < α , temos [[α ⊂ dom(F)]] = 1. Para a segunda equação,[[∀z ∈ F ∀x ∀y z = (x,y) → x ∈ α]] = ∏ξ<α [[∀x ∀y op(ξ , f (ξ )) = (x,y) → x ∈ α]]. Assim,para provarmos a validade de [[dom(F) ⊂ α]] = 1, precisamos provar que, para quaisquer no-mes x,y e ξ < α , [[op(ξ , f (ξ )) = (x,y) → x ∈ α]] = 1. Primeiramente, veja que a fórmulax = y → (φ(x) ↔ φ(y)), demonstrável logicamente, implica que, caso [[x = y]] = 1, então[[φ(x)]] = [[φ(y)]]. Essa “igualdade lógico-booleana” nos será muito útil em várias demonstrações(note que, pelo jeito que demonstramos, ela também será verdadeira caso usarmos defini-ções no lugar de nomes). A igualdade acima prova que, como [[op(ξ , f (ξ )) = (ξ , f (ξ ))]] = 1,[[op(ξ , f (ξ )) = (x,y) → x ∈ α]] = [[(ξ , f (ξ )) = (x,y) → x ∈ α]]. Por equivalência sobre ZF,temos que [[(ξ , f (ξ )) = (x,y)]] = [[x = ξ ∧ y = f (ξ )]], mas temos também que [[ξ ∈ α]] = 1.Portanto, por consequência lógica, [[x = ξ ∧y = f (ξ )]] = [[x = ξ ∧y = f (ξ )]][[ξ ∈ α]]≤ [[x ∈ α]]

e, consequentemente, [[dom(F)⊂ α]] = 1. Argumentando analogamente, podemos provar que[[im(F) = dom(x)B]] = 1, apenas note que dom(x) = f (ξ ) : ξ < α, que Y ⊂ im(R) equivalea ∀y ∈ Y ∃x (x,y) ∈ R e im(R)⊂ Y equivale a ∀z ∈ R ∀x ∀y (z = (x,y)→ y ∈ R) (tome cuidadopara não confundir o nome x citado aqui com o x usado quase que indiscriminadamente nademonstração acima).

Retornando agora aos esforços para provar que [[F é função]] = 1, falta provar que[[∀x ∈ dom(F) ∀y ∀z ((x,y) ∈ F∧ (x,z) ∈ F)→ y = z]] = 1. Como provamos que [[dom(F) =α]] = 1, a igualdade lógico-booleana implica que [[∀x ∈ dom(F) ∀y ∀z((x,y) ∈ F∧ (x,z) ∈ F)→y = z]] = [[∀x ∈ α ∀y ∀z((x,y) ∈ F∧ (x,z) ∈ F)→ y = z]] = ∏ξ<α ∏y∈VB ∏z∈VB [[((ξ ,y) ∈ F∧(ξ ,z))→ y = z]]. Fixe agora y,z nomes. Então, como se pode facilmente provar, [[(ξ ,y) ∈ F]] =


∑η<α [[(ξ ,x)= (η , f (η)]] que é igual a, usando a equivalência entre igualdade de pares ordenadosusada acima, ∑η<α([[ξ = η ]][[y = f (η)]]). Pelos teoremas provados sobre absoluticidade, temosque [[ξ = η ]] = 0 quando ξ = η e [[ξ = η ]] = 1 quando ξ = η , portanto, [[(ξ ,y) ∈ F]] = [[y =

f (ξ )]]. De modo análogo, podemos provar que [[(ξ ,z) ∈ F]] = [[z = f (ξ )]]. Assim, por vialógica, temos [[(ξ ,y) ∈ F]][[(ξ ,z) ∈ F]]≤ [[y = z]], isto é, [[((ξ ,y) ∈ F(ξ ,z) ∈ F)→ y = z]] = 1

e, consequentemente, concluímos a demonstração de que [[F é função]] = 1. Como já provamosque [[dom(F) = α]] e que x é ordinal é absoluto, então [[α é ordinal]] = 1 e a igualdade lógico-booleana implica que [[dom(F) é ordinal]] = 1. Também já provamos que [[im(F) = dom(x)B]] =

1. Se conseguirmos provar que [[x ⊂ dom(x)B]] = 1, teremos, pela igualdade lógico-booleana,que [[x ⊂ im(F)]] = 1 e concluiremos a validade do axioma da escolha. Isso vale, já que [[x ⊂dom(x)B]] = ∏t∈dom(x) x(t)→ [[t ∈ dom(x)B]] e [[x ∈ dom(x)B]] = ∑u∈dom(x)[[t = u]] é igual a1 para todo t ∈ dom(x), sempre valendo então que x(t)≤ [[t ∈ dom(x)B]], implicando a validadeda fórmula. Concluindo assim a validade do axioma da escolha e a validade da validade de todosos axiomas de ZFC, como queríamos provar.

Corolário 2.3.3. Para toda fórmula φ(x1, ...,xn) com variáveis livres x1, ...,xn, se ZFC⊢ φ(x1, ...,xn)

então φ(x1, ...,xn) é válido.

Agora, com o corolário acima, podemos provar mais uma série de teoremas envolvendoabsoluticidade e class-preserving, isso é o que faremos até o final dessa seção.

Teorema 2.3.4. Para toda álgebra booleana completa B, dadas uma classe A, uma relação Rdefinida em A, ambas absolutas (isto é, as fórmulas x ∈ A e xRy são absolutas), e uma funçãoF : A×V → V definível e absoluta. Defina a classe R(y) do seguinte modo, x ∈ R(y)⇔ xRy.Se R(y) for class-preserving e, além disso, as fórmulas a seguir são todas prováveis e igualmente1-válidas em B:

∙ R é set-like

∙ R é bem fundado sobre A, isto é, ∀X ⊂ A X = /0 →∃y ∈ X(∼ ∃x ∈ X xRy)

Então é definível e absoluta a única função G : A → V que satisfaz, para todo x ∈ A, G(x) =

F(x,G pred(A,x,R)), onde G pred(A,x,R) é uma função g, com dom(g) = pred(A,x,R) e,para todo y ∈ dom(g), g(y) = G(y).

Nota: Com a citação F : A×V → V, queremos dizer que F é uma função com doisparâmetros, sendo o primeiro obrigatoriamente pertencente à classe A. Assim, para realmentefazer sentido a definição da função, precisamos usar a definição auxiliar F ′(x,y) da seguinteforma: z = F ′(x,y) ⇔ (x ∈ A∧ z = F(x,y))∨ (x ∈ A∧ z = /0). O mesmo caso acontece comG : A → V, função de um único parâmetro obrigatoriamente da classe A, aqui, a função G′

necessária para a definição é y = G(x)⇔ (x ∈ A∧ y = G(x))∨ (x ∈ A∧ y = /0). Porém, comoas fórmulas x ∈ A e y = /0 são ambas absolutas pelas técnicas do capítulo anterior aliado ao


corolário acima, não gerará nenhum prejuízo para a absoluticidade dessas funções ignoraresse fato. Como a relação R é definida em A, xRy implica, obrigatoriamente, x ∈ A e y ∈ A,porém a absoluticidade de R não será prejudicada mesmo que sejamos obrigados a mencionarexplicitamente esse fato, já que x ∈ A é absoluto. A demonstração abaixo pode ser adaptada casoA e F possuírem mais parâmetros que os citados aqui.

Demonstração. Primeiramente provaremos o seguinte lema, que nos será muito útil para simpli-ficar as demonstrações de absoluticidade de funções definidas:

Lema 2.3.5. Para toda álgebra booleana completa B e toda função F(x1, ...,xn) definível,temos que F(x1, ...,xn) é absoluta se, e somente se, para todo x1, ...,xn, 1 “(F(x1, ...,xn)) =

F((x1) , ...,(xn) )”.

Demonstração. Defina, neste lema, a fórmula φ(y,x1, ...,xn), que representa y = F(x1, ...,xn).

Suponha a absoluticidade de φ(y,x1, ...,xn). É fácil provar que vale a veracidade deφ(F(x1, ...,xn),x1, ...,xn). Assim, a hipótese implica que 1 “φ((F(x1, ...,xn)) ,(x1) , ...,(xn) )”,isto é, 1 “(F(x1, ...,xn)) = F((x1) , ...,(xn) )”, provando assim o lema.

Suponha agora a veracidade do lema. A absoluticidade será provada caso provarmos aabsoluticidade da fórmula φ(y,x1, ...,xn). Seja y,x1, ...,xn arbitrários, suponha que φ(y,x1, ...,xn)

seja verdade, então y = F(x1, ...,xn). A absoluticidade do = implica facilmente que 1 “y =

(F(x1, ...,xn)) ”, mas como supomos que 1 “(F(x1, ...,xn)) = F((x1) , ...,(xn) )”, segue que1 “y = F((x1) , ...,(xn) )”, isto é, 1 “φ(y,(x1) , ...,(xn) )”. Agora, suponha a falsidade deφ(y,x1, ...,xn), isto é, a veracidade de ∼ φ(y,x1, ...,xn). Então vale y = F(x1, ...,xn), de ondeprovamos, pela absoluticidade de =, que 1 “y = (F(x1, ...,xn)) ”. Como já sabemos que1 “(F(x1, ...,xn)) = F((x1) , ...,(xn) )”, segue que 1 “y = F((x1) , ...,(xn) )”, isto é,1 “ ∼ φ(y,(x1) , ...,(xn) )”.

Como observamos acima, xRy implica, obrigatoriamente, x,y ∈ A. Por causa disso, aclasse x : x ∈ R(y) equivale à classe x ∈ A : x ∈ R(y)= x ∈ A : xRy. Como é provável eigualmente válido em B que R é set-like, então R(y) é um conjunto e assim função definível eclass-preserving. Logo, o Teorema 2.2.8 implica que a função x : x ∈ R(y)= pred(A,y,R) éabsoluta, isto é, para todo x ∈ A, 1 “(pred(A,x,R)) = pred(A, x,R)”.

O principal uso dos axiomas de ZFC aqui é provar que a definição de G : A → V fazsentido. Pois, uma vez determinada uma relação R sobre a classe A que satisfaça as propriedades:R é set-like sobre A e R é bem fundado, e fixando uma função F : A×V → V, podemosdefinir uma função G : A → V que satisfaça a propriedade e provar que uma única definiçãopode satisfazer tal propriedade. O modo de definir G é o seguinte: podemos dizer que umconjunto X ⊂ A é fechado quando, para todo x ∈ X , pred(A,x,R) ⊂ X e podemos provarque, para todo x ∈ A, existe função f com x ∈ dom( f ) ⊂ A, dom( f ) fechado e, para todoy ∈ dom( f ), f (y) = F(y, f pred(A,x,R)), além disso, para quaisquer funções g,h satisfazendo


essas propriedades, então g(x) = h(x). Assim, podemos formalizar y = G(x) como sendo afórmula ∃ f f é função∧dom( f ) é fechado∧x ∈ dom( f )∧ y = f (x). Apesar de podermos usaressas propriedades e fórmulas para provar a absoluticidade, será mais fácil demonstrarmos-aatravés do lema acima.

Para provar a absoluticidade, usaremos o lema acima provando que, para todo x ∈ A,1 “(G(x)) = G(x)”. Provaremos isso por indução pela relação bem fundada R, isto é, se valer1 “(G(x)) = G(x)” para todo x ∈ pred(A,y,R), então vale 1 “(G(y)) = G(y)”.

Assuma a hipótese, vamos provar que ela implica que 1 “(G pred(A,y,R)) =

G pred(A, y,R)”. A fórmula g = G X é equivalente a g é função∧dom(g) = X ∧ ∀x ∈X g(x) = G(x), logo, [[g = G pred(A, y,R)]] = [[g é função∧dom(g) = pred(A, y,R)∧∀x ∈pred(A, y,R) g(x)=G(x)]]. Como a absoluticidade de pred(A,x,R) implica 1 “(pred(A,y,R)) =

pred(A, y,R)”, a equação anterior é igual (pela igualdade lógico-booleana) a [[g é função∧dom(g)=(pred(A,y,R)) ∧∀x ∈ (pred(A,y,R)) g(x) = G(x)]], que é igual a [[g é função]][[dom(g) =(pred(A,y,R)) ]][[∀x ∈ (pred(A,y,R)) g(x) = G(x)]]. Note que [[∀x ∈ (pred(A,y,R)) g(x) =G(x)]] = ∏x∈pred(A,y,R)[[g(x) = G(x)]]. Já que, por hipótese, [[(G(x)) = G(x)]] = 1, para todox ∈ pred(A,y,R), então, ∏x∈pred(A,y,R)[[g(x) = G(x)]] = ∏x∈pred(A,y,R)[[g(x) = (G(x)) ]]. Faça-mos g = (G pred(A,y,R)) , então por absoluticidade temos [[g é função]] = 1 e [[dom(g) =(pred(A,y,R)) ]] = 1, também, por absoluticidade da fórmula f (x) = y, temos que, para todox ∈ pred(A,y,R), [[g(x) = (G(x)) ]] = 1. Portanto, [[∀x ∈ (pred(A,y,R)) g(x) = G(x)]] = 1 e,consequentemente, [[(G pred(A,y,R)) = G pred(A, y,R)]] = 1. Agora, a propriedade deG associado à igualdade lógico booleana implica que, para o nosso y particular, que [[G(y) =

F(y,(pred(A,y,R)) )]]. Então, podemos agora aplicar a absoluticidade da função F , provando que[[F(y,(pred(A,y,R)) ) = (F(y,pred(A,y,R))) ]] = 1, de onde concluímos que [[(G(y)) = G(y)]],provando o passo de indução e assim a absoluticidade da função G : A → V.

Nota: O que aconteceria caso x ∈ A? Nesse caso, teríamos G′(x) = /0 e, portanto, éfácil provar que 1 “(G′(x)) = G′(x)”. Assim, o resultado do parágrafo acima implica que G′

satisfaz o lema acima. Formalmente falando, é isso que assegura a absoluticidade de G.

Teorema 2.3.6. Para toda álgebra booleana completa B, as seguintes funções e afirmações sãoabsolutas:

1o. An, n ∈ ω

2o. A<ω =⋃

n∈ω An

3o. x é finito

Nota: No primeiro item, a definição é entendida como no estilo F : V×ω → V, onde ω é classeabsoluta (de fato, é um conjunto, portanto class-preserving). Como os dois primeiros itens sãode fato conjuntos, o Teorema 2.2.8 implica que são class-preserving.


Demonstração. 1o: A /0 = /0, portanto, evidentemente An é absoluto quando n = 0 através doTeorema 2.2.3. Caso n ≥ 1, usaremos o Teorema 1.3.42, sabendo que o Teorema 1.3.47 implicaque toda álgebra booleana completa é n-distributiva.

Para fins de simplificação, denotaremos por f : n → A a afirmação f é função∧dom( f ) =

n∧ im( f )⊂ A, que é absoluta pelas técnicas que temos até o momento. Com isso provamos que1 “f ∈ (An) → f ∈ An”, sendo f nome arbitrário. Se formos capazes de provar a volta, isto é,1 “f ∈ An → f ∈ (An) ”, conseguiremos provar que 1 “(An) = An”, permitindo-nos provar aabsoluticidade graças ao lema do teorema acima.

ZFC junto com a lógica implica que 1 “f ∈ An → (f : n → A)”. Do mesmo modo, vale1 “(f : n → A)→ ∀x ∈ n ∃y ∈ A f(x) = y”. Combinando as duas afirmações e escrevendo-ade outro modo, temos [[f ∈ An]] ≤ [[∀x ∈ n ∃y ∈ A f(x) = y]] = ∏m<n ∑a∈A[[f(m) = a]]. Usandoagora o Teorema 1.3.42, obtemos que ∏m<n ∑a∈A[[f(m) = a]] = ∑g∈An ∏m<n[[f(m) = (g(m)) ]],logo, [[f ∈ An]]≤ ∑g∈An ∏m<n[[f(m) = (g(m)) ]]. Por absoluticidade da definição f (x), temos que,para todo m < n e todo g ∈ An, [[(g(m)) = g(m)]] = 1. Assim, pela igualdade lógico booleana,[[f ∈ An]]≤ ∑g∈An ∏m<n[[f(m) = g(m)]], isto é, 1 “f ∈ An →∃g ∈ (An) ∀m ∈ n f(m) = g(m)”.Trabalhando com as definições, vale 1 “f ∈ An → dom(f) = n” e, como já provamos que1 “(An) ⊂ An”, também vale 1 “g ∈ (An) → dom(g) = n”. Portanto, 1 “f ∈ An →∃g ∈(An) ((∀m ∈ n f(m) = g(m))dom(f) = n∧dom(g) = n)”, de onde extraímos 1 “f ∈ An →∃g ∈(An) f = g”, isto é, 1 “An ⊂ (An) ”, como queríamos provar.

2o: Note primeiramente que An : n ∈ ω é definição absoluta, pois y = An : n ∈ ωequivale a (∀n ∈ ω An ∈ y)∧ (∀x ∈ y ∃n ∈ ω x = An), que é fórmula absoluta que usa definiçõesabsolutas. Assim, basta usar o Teorema 2.2.3. O mesmo teorema prova a absoluticidade de A<ω ,pois A<ω =

⋃An : n ∈ ω, função absoluta que usa definições absolutas.

3o: x é finito equivale à fórmula ∃ f ∈ x<ω f é injetora∧im( f ) = x, fórmula absoluta queusa definições absolutas, portanto absoluta.

Teorema 2.3.7. Dado uma álgebra booleana completa B, as seguintes fórmulas e definições sãoabsolutas:

1o R é boa ordem de A

2o type(A,R)

Demonstração. 1o: Quando consideramos um conjunto R como uma relação, dizemos que valexRy quando valer (x,y) ∈ R, por causa disso, xRy é afirmação absoluta para qualquer conjuntoR (mesmo que não seja relação). Note que R é boa ordem de A equivale a R é ordem de

A∧∀X ⊂ A(X = /0 →∃x ∈ X ∀y ∈ X xRy), onde R é ordem de A equivale a R ⊂ A×A (portanto,R é uma relação) e, para todo x,y,z:

∙ xRx


∙ (xRy∧ yRx)→ x = y

∙ (xRy∧ yRz)→ xRz

(ou seja, falamos de ordem no sentido fraco). Assim, é fácil provar a absoluticidade de R é

ordem de A pelos teoremas provados até o momento, porém não podemos dizer o mesmo de∀X ⊂ A(X = /0 → ∃x ∈ X ∀y ∈ X xRy), por não ser equivalente a uma ∆0-fórmula (por causado quantificador ∀X ⊂ A). Mas existe uma maneira de contornar isso, usando ZFC, podemosprovar que R é boa ordem de A é equivalente a ∃α ordinal ∃ f f é isomorfismo de ordem entre

(A,R) e α (lembre-se, em um ordinal, ξ ≤ η se, e somente se, ξ ⊂ η). Então, suponha que valeR é boa ordem de A, assim, existe função f com dom( f ) = A, im( f ) é ordinal e que denotaum isomorfismo entre (A,R) e im( f ), isto é, ∀x,y ∈ A xRy ↔ f (x) ⊂ f (y). Sendo todas essasfórmulas absolutas, obtemos a afirmação [[im( f ) é ordinal∧ f é isomorfismo de ordem entre

(A, R) e im( f )]] = 1 e, consequentemente, 1 “∃α ordinal ∃ f f é isomorfismo entre (A, R) e

α”. Portanto, pela validade dos axiomas de ZFC, 1 “R é boa ordem de A”.

Agora, suponha que vale ∼ R é boa ordem de A, isto é, ∼ (R é ordem de A)∨ ∼ (∀X ⊂A(X = /0 → ∃x ∈ X ∀y ∈ X xRy)). Como já provamos a absoluticidade da fórmula R é ordem

de A, podemos restringir nossa demonstração ao caso (R é ordem de A)∧ ∼ (∀X ⊂ A(X =/0 → ∃x ∈ X ∀y ∈ X xRy)). Note que ∼ (∀X ⊂ A(X = /0 → ∃x ∈ X ∀y ∈ X xRy)) equivalea ∃X X ⊂ A∧X = /0∧∀x ∈ X ∃y ∈ X ∼ (xRy). Fixe X satisfazendo essa propriedade, porabsoluticidade, 1 “X ⊂ A∧ X = /0∧∀x ∈ X ∃y ∈ X ∼ (xRy)”, logo, 1 “∃X X ⊂ A∧ X =/0∧∀x ∈ X ∃y ∈ X ∼ (xRy)”. Portanto, 1 “ ∼ (R é boa ordem de A)”, concluindo assim ademonstração do item. Nesse parágrafo a demonstração foi feita diretamente através da definição.

2o: Aqui, para a definição fazer sentido, ela deve ser da forma: α = type(A,R)⇔ (R é

boa ordem de A∧α é ordinal∧∃ f f é isomorfismo de ordem entre (A,R) e α)∨ (∼ (R é boa

ordem de A)∧α = /0). Como já provamos a absoluticidade das fórmulas presentes em ∼ (R é

boa ordem de A)∧α = /0, podemos seguramente ignorá-la nessa demonstração. Suponha quevale R é boa ordem de A∧α é ordinal∧∃ f f é isomorfismo de ordem entre (A,R) e α . Então, demodo análogo à demonstração acima, podemos provar que 1 “α é ordinal∧∃ f f é isomorfismo

de ordem entre (A, R) e α” que, combinando com a absoluticidade provada no item anterior,temos que α = type(A,R) implica que 1 “α = type(A, R)”.

Agora, suponha que vale ∼ (R é boa ordem de A∧α é ordinal∧∃ f f é isomorfismo de

ordem entre (A,R) e α), isto é, ∼ (R é boa ordem de A)∨∼ (α é ordinal)∨∼ (∃ f f é isomorfismo

de ordem entre (A,R) e α). Como já provamos que a duas primeiras afirmações são absolutas,podemos nos restringir ao caso R é boa ordem de A∧α é ordinal∧ ∼ (∃ f f é isomorfismo de

ordem entre (A,R) e α). Como R é boa ordem de A, existe ordinal β com β = type(A,R). Mas,como é falso que ∃ f f é isomorfismo de ordem entre (A,R) e α , temos que β = α . Portanto,vale 1 “β = α” e, usando o que provamos no parágrafo acima, 1 “β = type(A, R)”, de ondetiramos 1 “α = type(A, R)”, provando assim a absoluticidade da definição type(A,R).


Teorema 2.3.8. Para qualquer álgebra booleana completa B, a classe dos ordinais ON é B-cp.

Demonstração. A demonstração aqui utilizada foi extraída de (JECH, 1978, 174).

Já provamos a absoluticidade da afirmação α é ordinal, então, para todo α ∈ ON, [[α ∈ON]] = 1. Agora, fixe x nome. Para todo ordinal α , [[x = α]] = [[x = α]][[α ∈ ON]]≤ [[x ∈ ON]]

(a parte ≤ foi obtida por inferência lógica), assim, ∑α∈ON[[x = α]]≤ [[x ∈ ON]]. Por outro lado,é um teorema de ZFC que, se x,y são ordinais, então vale uma das seguintes afirmações: x ∈ y,x = y ou y ∈ x. Portanto, para todo ordinal α , [[x ∈ ON]] = [[x ∈ ON]][[α ∈ ON]]≤ [[x ∈ α ∨x =

α ∨ α ∈ x]] = [[x ∈ α]]+ [[x = α]]+ [[α ∈ x]]. Digo que existe um ordinal α tal que [[α ∈ x]] = 0.Pois, [[α ∈ x]] = ∑t∈dom(x) x(t)[[α = t]] e, para cada t ∈ dom(x) e u ∈B−0, existe no máximoum ordinal ξ tal que [[ξ = t]] = u, pois, se existirem η = ξ satisfazendo essa última propriedadepara um dado t, então u = [[ξ = t]][[η = t]]≤ [[ξ = η ]] = 0 (lembre-se, 1 “ξ = η”), absurdo.Assim, basta escolher um ordinal α maior do que todos os ordinais ξ tais que [[ξ = t]] = u,para algum t ∈ dom(x) e u ∈ B −0. Desse modo, [[α = t]] = 0, para todo t ∈ dom(x) e,portanto, α ∈ x = 0. Para esse α , temos que [[x é ordinal]]≤ [[x ∈ α]]+ [[x = α]], isto é, 1 “xé ordinal→ (x ∈ α ∨x = α)”. Com isso, concluímos que [[x é ordinal]] ≤ [[x ∈ α ∨x = α]] =

∑ξ<α+1[[x = ξ ]]≤ ∑β∈ON[[x = β ]]. Portanto [[x é ordinal]] = ∑γ∈ON[[x = γ]], provando que ONé cp.

Teorema 2.3.9. Para toda álgebra booleana completa B, a classe dos construtíveis L é B-cp.

Demonstração. Por definição, L =⋃

α∈ON L(α), onde L : ON → V é uma função definidapor recursão que podemos provar ser absoluta através das técnicas demonstradas até agora,principalmente o Teorema 2.3.4. Então, x ∈ L equivale, por definição, a ∃α ∈ ON x ∈ L(α). Jáque provamos acima que ON é cp, o Teorema 2.2.6 implica que [[x ∈ L]] = ∑α∈ON[[x ∈ L(α)]]. Aabsoluticidade da função L, por sua vez, implica que [[x ∈ L(α)]] = [[x ∈ (L(α)) ]] = ∑a∈L(α)[[x =

a]]. Portanto, [[x ∈ L]] = ∑α∈ON ∑a∈L(α)[[x = a]] = ∑a∈L[[x = a]], como queríamos provar.

Todos os teoremas relativos à absoluticidade e class-preserving provados nessas duasúltimas seções, a partir daqui, serão denotadas como uma unidade para justificar que certasafirmações e classes citadas são, respectivamente, absolutas ou class-preserving.

Uma das consequências das técnicas de absoluticidade e class-preserving é que todas asafirmações provadas serem absolutas em modelos transitivos nos capítulos IV, V e VI do livro(KUNEN, 1980) são absolutas no sentido desse texto. A razão disso é que as duas últimas seçõesse preocuparam em provar versões equivalentes dos teoremas usados nesse livro para provar taisabsoluticidades, portanto, basta fazer adaptações nas demonstrações. De fato, o Teorema 2.2.2,resume em um só teorema as versões equivalentes dos Lemas IV 3.2, IV 3.4 e IV 3.7, junto aosCorolários IV 3.3 e IV 3.6, o Teorema 2.2.3 se trata da versão equivalente ao Lema IV 3.10, oTeorema 2.3.4 equivale ao Teorema IV 5.6, e, por fim, os Teoremas 2.3.6 e 2.3.7 são as versõesequivalentes, respectivamente, dos Teoremas IV 5.3 e IV 5.4. Apesar de termos alguns desses


teoremas enquanto ainda não tínhamos provados a lista completa, ou mesmo antes de termosprovado a validade dos axiomas de ZFC (necessários para muitas demonstrações que usam aúltima afirmação do Teorema 2.2.2), esse livro deixa bem claro que apenas o que tínhamosprovado até aquele momento era o suficiente para provar a absoluticidade. Porém, o leitor quequiser verificar esse fato, irá encontrar dificuldade em adaptar as demonstrações, sendo o maiscomplexo o Teorema 2.3.4, onde as hipóteses foram, em relação ao seu equivalente no livro, asmais modificadas entre todas. Porém, o leitor não encontrará dificuldades em provar, usando osteoremas dessas duas últimas seções, principalmente os que se referem a class-preserving, queas classes e funções usadas nas demonstrações do livro que usam tal teorema satisfazem, de fato,as hipóteses requeridas no Teorema 2.3.4.

2.4 Descrição da Técnica

Dado um forcing P e p ∈ P, vamos definir DpP como sendo D ⊂ P : D é denso abaixo

de p. Em particular, denotaremos D1P como DP . Dada uma álgebra booleana completa B,

definimos Γ ∈ VB como sendo (u,u) : u ∈B. Fixado uma embarcação i : P→B (que, devidoao Teorema 1.3.15, pode ser um homomorfismo completo injetor, caso o forcing for uma álgebrabooleana completa), definiremos o nome Γi ∈ VB como (p, i(p)) : p ∈ P.

Vamos iniciar essa seção provando o fato anteriormente citado de que, dada uma fórmulaφ sem variáveis livres, caso valer [[φ ]]> 0 para alguma álgebra booleana completa B (equivalenteao fato de φ ser [[φ ]]-válida), então φ é consistente com ZFC.

Teorema 2.4.1. Dada uma fórmula φ sem variáveis livres, caso valer [[φ ]] > 0 para algumaálgebra booleana completa B, então φ é consistente com ZFC, isto é, vale Con(ZFC) →Con(ZFC + φ ).

Demonstração. Suponha que ZFC + φ seja inconsistente, isto é, existe fórmula ψ tal queZFC+φ ⊢ψ∧∼ψ . Desse fato, podemos derivar que ZFC⊢ φ → (ψ∧∼ψ). Com isso, podemosderivar, pelo Corolário 2.3.3 que a fórmula φ → (ψ∧ ∼ ψ) é válida, ou seja, [[φ ]]≤ [[ψ∧ ∼ ψ]]

(independentemente de que nome atribuímos às variáveis livres de ψ , caso ela tenha). Porém,é sempre verdade que [[ψ∧ ∼ ψ]] = [[ψ]](−[[ψ]]) = 0, portanto [[φ ]]≤ 0, absurdo com o fato deque [[φ ]]> 0, concluindo a demonstração (aqui estamos supondo que usamos unicamente ZFCpara assegurar que [[φ ]]> 0).

O teorema acima mostra o princípio de como usar a técnica de forcing para provarconsistências de teorias que estendem ZFC. A forma geral de como funciona a técnica de forcingna teoria dos conjuntos está no próximo teorema:

Teorema 2.4.2. Fixe uma certa teoria S que estende ZFC e seja T uma outra teoria arbitrária.Caso exista uma álgebra booleana completa B onde, no universo dos nomes VB, para toda lista

2.4. Descrição da Técnica 75

finita φ1, ...,φn de axiomas de T, podemos provar, usando S, que existe u ∈ B−0 tal queφ1, ...,φn são todas u-válidas, então temos que T é consistente caso S assim o seja, isto é, emnotação de metateoria, Con(S)→ Con(T).

Demonstração. Aqui, vamos provar que, caso T seja inconsistente, S também será inconsistente,o suficiente para provar o teorema. Seja ψ uma fórmula tal que T ⊢ ψ∧ ∼ ψ , portanto, existeφ1, ...,φn lista finita de axiomas de T tal que φ1, ...,φn ⊢ ψ∧ ∼ ψ . Fixe u ∈ B−0 para o qualas fórmulas φ1, ...,φn sejam todas u-válidas. Então, o Teorema 2.1.15 implica que S ⊢ (ψ∧ ∼ ψ)

é u-válido, ou seja S ⊢ u ≤ [[ψ]] · (−[[ψ]]) (caso ψ possua variáveis livres, precisamos fixar umnome arbitrário para cada uma delas, embora que, uma vez provada tal inconsistência, podemosobter a mesma contradição com ψ totalmente quantificado), todavia S ⊢ [[ψ]] · (−[[ψ]]) = 0, umabsurdo já que supomos u ∈ B−0.

Nota: Para o leitor que ainda tem dúvidas sobre a demonstração metateórica acima,acredito que a seguinte digressão será suficiente para eliminar as dúvidas. Primeiramente, o leitorprecisa ter em mente que é crucial se ter o conhecimento de uma demonstração de ψ∧ ∼ ψ

a partir de T (cuja definição está no apêndice). Com a demonstração, podemos selecionar osaxiomas φ1, ...,φn ∈ T que são de fato usados, e provar, através do Teorema 2.1.15, já que Sé extensão de ZFC, que S ⊢ ∀u ∈ B−0((φ1 é u-válido∧...∧ φn é u-válido) → (ψ∧ ∼ ψ)

é u-válido). A hipótese é usada para garantir que S ⊢ ∃u ∈ B−0(φ1 é u-válido∧...∧ φn é

u-válido) (o fato do u ser igual em todas as validades é crucial). Com essas duas afirmações,podemos derivar S ⊢ ∃u ∈ B−0(ψ∧ ∼ ψ) é u-válido. O absurdo é que podemos provar queS ⊢ [[ψ∧ ∼ ψ]] = 0 (mais precisamente, ZFC ⊢ [[ψ∧ ∼ ψ]] = 0).

No teorema acima, ao contrário do teorema anterior, foi preciso substituir valor booleanomaior que 0 por u-validade para u > 0, isso se deve ao fato de que é possível que alguns axiomasde T possuam variáveis livres (embora que, é possível quantificar universalmente tais axiomassem prejuízo da teoria). Note também que foi preciso lidar com cada lista finita de axiomaspossíveis ao invés de cada axioma separadamente. Isso se deve ao fato de poder acontecerque, apesar de uma lista finita de afirmações serem consistentes separadamente, elas não sãoconsistentes em conjunto. Um exemplo simples seria duas fórmulas sem variáveis livres φ ,ψ

tais que [[φ ]]> 0, [[ψ]]> 0 e [[φ ]][[ψ]] = 0, apesar do teorema anterior afirmar que Con(ZFC) →Con(ZFC + φ ) e Con(ZFC) → Con(ZFC + ψ), vale, uma vez que [[∼ (φ ∧ψ)]] = 1, Con(ZFC)→ Con(ZFC + ∼ (φ ∧ψ)).

Uma vez tendo demonstrado o Teorema 2.3.1, podemos supor que T é uma extensão deZFC, independentemente do u ∈ B−0 que tomemos em cada lista finita, e isso nós faremosao longo desse texto. Podemos acrescentar ainda que, caso já tivéssemos uma demonstraçãometateórica de Con(S′)→ Con(S), podemos obter que Con(S′)→ Con(T). Isso nos permitiráprovar Con(ZFC)→ Con(T), usando a técnica apenas para provar que Con(ZFC+V = L)→Con(T), já que existe uma demonstração bem conhecida de Con(ZFC)→ Con(ZFC+V = L).


Apesar da enorme generalidade do teorema acima, na maior parte das vezes nesse texto,usaremos um corolário mais simples de mencionar do teorema acima.

Corolário 2.4.3. Fixe uma certa teoria S que estende ZFC e seja T uma outra teoria arbitrária.Caso exista uma álgebra booleana completa B tal que, no universo dos nomes VB, toda fórmulade T é válida, então temos que T é consistente caso S assim o seja, isto é Con(S) → Con(T).

Mas, para encontrar um T interessante que satisfaça as propriedades da hipótese doteorema (ou o corolário) acima (uma vez fixado S), precisamos de ferramentas que nos permitamcalcular o valor booleano de diversas fórmulas de interesse no universo de nomes especificado,essas ferramentas se desembocam em duas vertentes:

1. Ferramentas que asseguram que fórmulas anteriormente verdadeiras, continuam, de certomodo, “verdadeiras”;

2. Ferramentas que nos permitem calcular o valor booleano de fórmulas “novas”.

As ferramentas enunciadas no item 1 consistem, basicamente, nas propriedades deabsoluticidade e class-preserving que foram o objetivo das seções anteriores. Já o item 2, a suaprincipal constituição são os teoremas 2.1.14 e 2.1.15.

No item 2, a abordagem padrão será, após provar que certas afirmações φ1, ...,φn satis-fazem u “φ1”, ...,u “φn”, para nomes específicos e algum u ∈ B−0, provar que, comoconsequência, u “ψ” para alguma afirmação ψ e para esses nomes específicos, argumentandode modo parecido a como se argumentaria para provar que tal fórmula é consequência dasprimeiras através da teoria T (uma vez já tendo assegurado que cada fórmula de T é u-válida, oupelo menos as fórmulas que serão usadas). Esse argumento de fato “faz sentido”, para formalizá-lo, primeiramente precisamos formalizar a demonstração para comprovar que, de fato, valeT ⊢ (φ1∧ ...∧φn)→ ψ . Com isso, agora poderemos usar o Teorema 2.1.15, com o u satisfazendoa propriedade acima, e provar que (φ1∧ ...∧φn)→ ψ é u-válido. Depois disso, fixe os nomes nosquais sabemos que vale u “φ1”, ...,u “φn” e, consequentemente, u “φ1 ∧ ...∧φn”, isto é,u ≤ [[φ1 ∧ ...∧φn]]. Agora, basta proceder da seguinte forma: (φ1 ∧ ...∧φn)→ ψ ser u-válida im-plica u “(φ1∧ ...∧φn)→ψ”, isto é, u≤ [[(φ1∧ ...∧φn)→ψ]] =−[[(φ1∧ ...∧φn)]]+[[ψ]]. Então,já sabemos que u≤ [[φ1∧ ...∧φn]] e u≤−[[φ1∧ ...∧φn]]+[[ψ]]. Multiplicando ambas as fórmulas,obtemos u = uu ≤ [[(φ1∧ ...∧φn)]](−[[(φ1∧ ...∧φn)]]+ [[ψ]]) = [[(φ1∧ ...∧φn)]][[ψ]]≤ [[ψ]], istoé, u “ψ”. Esse argumento nos permitirá, na maior parte do tempo, manipular a linguagemforcing desse universo de nomes como se ele fosse um universo para a teoria T. Na maior partedo tempo ao longo desse texto, o nosso S será ZFC e u = 1. Também poderemos omitir algumasfórmulas φi quando for fácil prová-las que u “φi”, para os nomes específicos pretendidos.

Apesar do parágrafo acima e todos os teoremas envolvidos, para o item 2 funcionarcomo pretendemos, necessitaremos de alguma fórmula “interessante” no universo de nomes.Elas existem e serão abordadas até o fim dessa seção.


Teorema 2.4.4. Fixado B álgebra booleana completa, valem as seguintes afirmações:

a) [[u ∈ Γ]] = u, para todo u ∈ B

b) 1 “Γ é ultrafiltro de B”

c) 1 “Γ é (DB ) −genérico”

d) 1 “u ∈ Γ → Γ é (DuB ) −genérico” para todo u ∈ B−0

Demonstração. a: Por definição de valor booleano e Γ, [[u ∈ Γ]] = ∑v∈B(v[[v = u]]). Por abso-luticidade, se v = u então [[v = u]] = 1, caso contrário [[v = u]] = 0. Assim, ∑v∈B(v[[v = u]]) =

u[[u = u]] = u1= u.

b: Primeiro, vamos assegurar que [[Γ ⊂ B]] = 1. De fato, por definição de Γ, [[Γ ⊂B]] = ∏u∈B(u → [[u ∈ B]]). Como, para todo u ∈ B, [[u ∈ B]] = 1 (absoluticidade), temosu ≤ [[u ∈ B]], portanto, u → [[u ∈ B]] = 1. Assim [[Γ ⊂ B]] = 1.

Para provar o teorema, vamos provar primeiro que 1 “Γ é filtro”. Para isso, vamosprovar que cada um das propriedades citadas na Definição 1.1.10 tem valor booleano 1 para Γ,mas primeiro, note que todas as operações de B são absolutas (já que, por definição, elas sãofunções, a saber +, · : B×B → B e − : B → B), o mesmo podemos dizer das constantes deB, como u ≤ v se, e somente se, u · v = 0, então, a ordem de B também é absoluta (a ordem deum forcing também é absoluta pois a consideramos um conjunto relação).

Para o item I, usando a parte a deste teorema, [[1 ∈ Γ]] = 1 e [[0 ∈ Γ]] = −[[0 ∈ Γ]] =

−0= 1.

Para o item II, note que uma versão equivalente dele é ∀u ∈ B ∀v ∈ B (u ∈ G∧ v ∈G) → u · v ∈ G. Assim, [[∀u ∈ B ∀v ∈ B (u ∈ Γ∧ v ∈ Γ) → u·v ∈ Γ]] = ∏u∈B ∏v∈B[[(u ∈Γ∧ v ∈ Γ)→ u·v ∈ Γ]] = ∏u∈B ∏v∈B([[u ∈ Γ]][[v ∈ Γ]])→ [[u·v ∈ Γ]]. Por absoluticidade de ·,[[u·v = (u · v) ]] = 1, portanto, [[u·v ∈ Γ]] = [[(u · v) ∈ Γ]] (igualdade lógico booleana). Logo,

∏u∈B ∏v∈B([[u ∈ Γ]][[v ∈ Γ]])→ [[u·v ∈ Γ]] = ∏u∈B ∏v∈B((uv)→ uv) e, evidentemente, uv →uv = 1, provando que [[∀u ∈ B ∀v ∈ B (u ∈ Γ∧ v ∈ Γ)→ u·v ∈ Γ]] = 1.

Para o item III, [[∀u ∈ B ∀v ∈ B(u ∈ Γ∧u ≤ v)→ v ∈ Γ]] = ∏u∈B ∏v∈B(([[u ∈ Γ]][[u ≤v]])→ [[v ∈ Γ]]) (aqui ≤ é uma definição por isso não se usa ≤, como se faria no caso de umforcing). Fixe u,v ∈ B arbitrário, por absoluticidade, se u ≤ v então [[u ≤ v]] = 1, caso contrário,[[u ≤ v]] = 0. No primeiro caso, temos [[u ∈ Γ]][[u ≤ v]] = u1= u ≤ v = [[v ∈ Γ]], caso contrário,[[u ∈ Γ]][[u ≤ v]] = 0≤ v = [[v ∈ Γ]]. Assim, concluímos que [[∀u ∈ B ∀v ∈ B(u ∈ Γ∧u ≤ v)→v ∈ Γ]] = 1, provando que 1 “Γ é filtro de B”.

Agora, para concluir a demonstração de b, resta provar que [[∀u∈ B u∈Γ∨−u∈Γ]] = 1,o critério para ultrafiltros. Note que [[∀u ∈ B u ∈ Γ∨−u ∈ Γ]] = ∏u∈B[[u ∈ Γ∨−u ∈ Γ]]. Porabsoluticidade do operador −, [[−u = (−u) ]] = 1 para qualquer u ∈ B, então [[u ∈ Γ∨−u ∈


Γ]] = [[u ∈ Γ∨ (−u) ∈ Γ]] = [[u ∈ Γ]]+ [[(−u) ∈ Γ]] = u+(−u) = 1. Consequentemente, [[∀u ∈B u ∈ Γ∨−u ∈ Γ]] = 1, concluindo a demonstração.

c: Primeiramente, note que G∩D = /0 é equivalente à ∃p ∈ D p ∈ G, então, precisa-mos provar que [[∀D ∈ (DB ) ∃u ∈ D u ∈ Γ]] = 1. Note que [[∀D ∈ (DB ) ∃u ∈ D u ∈ Γ]] =

∏D∈DB(∑u∈D[[u ∈ Γ]]). Perceba também que, para todo D ⊂ B, ∑u∈D[[u ∈ Γ]] = ∑u∈D u = ∑D.

Assim, para provarmos o desejado, precisamos provar que ∑D = 1, para todo D ∈DB, mas issoé consequência imediata pelo Teorema 1.3.17, já que, todo D ∈DB é denso em B.

d: Aqui, é suficiente provar que [[u ∈ Γ]] ≤ [[Γ é (DuB ) -genérico]], isto é, u ≤ [[Γ é

(DuB ) -genérico]]. Como [[Γ é (Du

B ) genérico]] = ∏E∈DuB(∑v∈E [[v ∈ Γ]]), argumentando de

modo análogo no item acima, para provarmos o desejado, é suficiente provar que, para todoE ∈Du

B, u ≤ ∑E. Mas isso é consequência do mesmo Teorema 1.3.17 enunciado acima, já quecada E ∈Du

B é denso abaixo de u.

Muitas vezes, porém o nosso B será da forma r.o.(P), onde P é um forcing. Nesse caso,seria de utilidade acrescentar o seguinte teorema:

Teorema 2.4.5. Para um dado forcing P, faça B = r.o.(P) e seja e : P→ r.o.(P) a embarcaçãodensa canônica. Então temos que 1 “Γe = e−1[Γ]” e, além disso, valem as seguintes fórmulas:

a’) [[p ∈ Γe]] = e(p), para todo p ∈ P

b’) 1 “Γe é filtro de P”

c’) 1 “Γe é (DP) −genérico”

d’) 1 “ p ∈ Γe → Γe é (DpP) −genérico” para todo p ∈ P

Demonstração. Primeiramente, note que, por absoluticidade, é fácil provar que todos, [[P é

forcing]], [[B é álgebra booleana completa]] e [[e : P→ B é embarcação densa]] tem valor 1(aqui usamos (r.o.(P)) e não r.o.(P), pois, caso contrário, não seria fácil nem ao menos saber seé verdade o que afirmei). Apesar de eu não mencionar isso, essas afirmações são cruciais emuma demonstração estritamente rigorosa dessas afirmações.

Antes de provar que 1 “Γe = e−1[Γ]”, vamos provar o item a), ele nos será útil nessademonstração.

a’: Pela definição de Γe, [[p ∈ Γe]] = ∑q∈P e(q)[[q = p]]. Por absoluticidade, para todoq ∈ P, se q = p, então [[q = p]] = 1, caso contrário, [[q = p]] = 0. Portanto, ∑q∈P e(q)[[q = p]] =

e(p)[[p = p]] = e(p), provando o que queríamos.

Para a demonstração de 1 “Γe = e−1[Γ]”, note que, como vale 1 “Γe ⊂ P” (a provaé análoga à de 1 “Γ ⊂ B”), precisamos apenas provar que 1 “∀p ∈ P p ∈ Γe ↔ e(p) ∈ Γ”.Inicialmente, vale [[∀p ∈ P p ∈ Γe ↔ e(p)∈ Γ]] = ∏p∈P[[p ∈ Γe ↔ e(p)∈ Γ]]. Por absoluticidade


da função e, temos [[p ∈ Γe ↔ e(p) ∈ Γ]] = [[p ∈ Γe ↔ (e(p)) ∈ Γ]]. Logo, para demonstrar oque queremos, basta provar que [[p ∈ Γe]] = [[(e(p)) ∈ Γ]] = e(p), para todo p ∈ P, consequênciaimediata do item a’.

Agora, o resultado 1 “Γe = e−1[Γ]” nos será útil nas nossas próximas demonstrações.Para provarmos b’, iremos necessitar da parte c’), então, provaremos c’, d’ antes.

c’: Dado D ⊂ P denso, isto é, D ∈DP, digo que e[D] é denso em B, isto é, e[D] ∈DB.Pois, uma vez fixado D ⊂ P e u ∈ B−0, por e ser embarcação densa, existe p ∈ P tal quee(p)≤ u. Pela densidade de D, existe q ∈ D com q ≤ p, assim, e(q) ∈ e[D] e e(q)≤ e(p)≤ u.Portanto, o item c do teorema anterior implica [[∀D ∈ (DP) e[D]∩Γ = /0]] = 1, logo, [[∀D ∈(DP) D∩ e−1[Γ] = /0]] = 1, isto é, [[∀D ∈ (DP) D∩Γe = /0]] = 1.

d’: Aqui, analogamente ao item acima, podemos provar que, se E ⊂ P é denso abaixo dep, então e[D] é denso abaixo de e(p). Obtendo, pelo item d) do teorema acima, [[(e(p)) ∈ Γ →∀D ∈ (Dp

P) e[D]∩Γ = /0]], isto é, [[(e(p)) ∈ Γ]]≤ [[∀D ∈ (DpP) e[D]∩Γ = /0]]. Argumentando

como acima e usando o item a’, temos que [[p∈Γe]]≤ [[∀D∈ (DpP) D∩Γe = /0]], como queríamos

provar.

b’: Como consequência do item b do teorema acima, temos [[Γ é filtro de B]] = 1 (nosentido de forcing ou álgebra booleana, os dois são equivalentes, como dissemos na Observação1.3.51). Antes da demonstração, precisaremos provar o seguinte lema:

Lema 2.4.6. Dados forcings P,Q e i : P→ Q uma embarcação (podendo ser homomorfismocompleto injetor, devido ao Teorema 1.3.15). Dado G ⊂ Q filtro, então são válidas as seguintesafirmações:

1. ∀p0 ∈ i−1[G] ∀p1 ∈ P p0 ≤ p1 → p1 ∈ i−1[G]

2. ∀p0, p1 ∈ i−1[G] p0 ⊥ p1

Demonstração. 1: Se p0 ∈ i−1[G], p1 ∈ P e p0 ≤ p1, então i(p0) ∈ G, i(p1) ∈ Q e i(p0)≤ i(p1),logo i(p1) ∈ G e, assim, p1 ∈ i−1[G].

2. Dados p0, p1 ∈ i−1[G], vale i(p0), i(p1) ∈ G. Por G ser filtro, existe q ∈ G tal queq ≤ i(p0) e q ≤ i(p1), isto é, i(p0) ⊥ i(p1). Que p0 ⊥ p1 vale é consequência imediata de i serembarcação.

Do lema acima, podemos concluir que vale 1 “∀p ∈ Γe ∀q ∈ P p≤q → q ∈ Γe”,uma das propriedades de filtro. Além disso, considerando a absoluticidade de ⊥, vale 1

“∀p,q ∈ Γe p ⊥ q”, mas precisamos provar mais do que isso, precisamos provar que 1 “∀p,q ∈Γe ∃r ∈ Γe r≤p∧ r≤q”, para isso, vamos usar o item c’. Note que, para quaisquer p,q ∈ P,r ∈ P : r ⊥ p∨ r ⊥ q∨ (r ≤ p∧ r ≤ q) é denso, isto é, este conjunto pertence a DP. Pelaabsoluticidade deste conjunto, temos 1 “∀p,q ∈ P r ∈ P : r ⊥ p∨ r ⊥ q∨ (r≤p∧ r≤q) ∈


(DP) ” (note que r não é variável livre da definição desse conjunto, por isso não levaˇ). Logo,temos 1 “∀p,q ∈ P ∃r ∈ Γe r ⊥ p∨ r ⊥ q∨ (r≤p∧ r≤q)”, em particular, 1 “∀p,q ∈ Γe ∃r ∈Γe r ⊥ p∨ r ⊥ q∨ (r≤p∧ r≤q)”. Mas pelo que provamos acima, nessa fórmula, r ⊥ p e r ⊥ q

são inadmissíveis, então temos 1 “∀p,q ∈ P ∃r ∈ Γe r≤p∧ r≤q”, o que restava para provar olema.

Na verdade, vale a seguinte versão generalizada:

Teorema 2.4.7. Dados uma álgebra booleana completa B, um forcing P com i : P→ B em-barcação (podendo ser homomorfismo completo injetor). No universo de nomes VB, valem asseguintes afirmações:

a’) [[p ∈ Γi]] = i(p), para todo p ∈ P

b’) 1 “Γi é filtro de P”

c’) 1 “Γi é (DP) −genérico”

d’) 1 “ p ∈ Γi → Γi é (DpP) −genérico” para todo p ∈ P

Demonstração. Esta demonstração é praticamente análoga à demonstração acima, as únicasdiferenças são os trechos nos quais usamos propriedades de embarcação densa, que deveremosprovar que ainda valem ao trocá-las por uma simples embarcação. Será esse ponto a que nosrestringiremos aqui. Portanto, já temos que é verdade o item a’ e 1 “Γi = i−1[Γ]”, já que suasdemonstrações não usam as propriedades de e. Para provar os demais teoremas, necessitaremosdo seguinte lema:

Lema 2.4.8. Para todo forcing P e E ⊂ P, temos que p ∈ P : ∃r ∈ E r ≤ p∪q ∈ P : ∀r ∈E q ⊥ r é denso.

Demonstração. Fixe p ∈ P, se valer ∀r ∈ E p ⊥ r, então p ∈ p ∈ P : ∀r ∈ E p ⊥ r, logop ∈ p ∈ P : ∃r ∈ E r ≤ p∪q ∈ P : ∀r ∈ E q ⊥ r. Caso contrário, seja q ∈ E tal que q ⊥ p,fixe r com r ≤ p,q, então r ∈ p ∈ P : ∃r ∈ E r ≤ p, assim r ∈ p ∈ P : ∃r ∈ E r ≤ p∪q ∈P : ∀r ∈ E q ⊥ r, concluindo a demonstração.

c’: Fixe E ⊂ B−0. Usando o lema acima e absoluticidade, temos que 1 “u ∈B−0 : ∃w∈ E w≤ u∪v∈ B−0 : ∀w∈ E v⊥w ∈ (DB ) ”, logo, 1 “(u∈ B−0 :∃w ∈ E w ≤ u∪v ∈ B−0 : ∀w ∈ E v ⊥ w)∩Γ = /0”. Fixe D ∈DP, então i[D]⊂B−0.Dessa afirmação, podemos inferir que, usando a fórmula anterior e absoluticidade, 1 “(u ∈B−0 : ∃w ∈ i[D] w ≤ u∪v ∈ B−0 : ∀w ∈ i[D] v ⊥ w)∩Γ = /0”, para todo D ∈DP,portanto, 1 “∀D ∈ (DP) (u ∈ B−0 : ∃w ∈ i[D] w ≤ u∪v ∈ B−0 : ∀w ∈ i[D] v ⊥w)∩Γ = /0”. Vamos provar que [[∀D ∈ (DP) v ∈ B−0 : ∀w ∈ i[D] v ⊥ w∩Γ = /0]] = 0,ou, por equivalência, [[∀D ∈ (DP) ∃v ∈ Γ ∀p ∈ D i(p)⊥ v]] = 0. Uma vez fixado v ∈ B−0

2.5. Primeiros Resultados 81

e D ∈DP, como i é embarcação, existe q ∈ P tal que i(r) ⊥ w para todo r ≤ q, em particular,como D é denso em P, existe p ∈ D com i(p) ⊥ w, assim, 1 “∀D ∈ (DP) ∀w ∈ B−0 ∃p ∈D i(p) ⊥ w”, permitindo que a fórmula desejada seja inferida. Por causa disso concluímos que1 “∀D ∈ (DP) u ∈ B−0 : ∃w ∈ i[D] w ≤ u∩Γ = /0”. Uma vez que 1 “Γ é filtro” temos1 “∀D ∈ (DP) Γ∩ i[D] = /0”, então 1 “∀D ∈ (DP) Γi ∩D = /0”.

d’: Argumentando do mesmo modo que o início do teorema acima, fixado p ∈ P, paratodo E ∈ Dp

P, i[E] ⊂ B −0, portanto, 1 “∀E ∈ (DpP) (u ∈ B −0 : ∃w ∈ i[E] w ≤

u ∪ v ∈ B −0 : ∀w ∈ i[E] v ⊥ w)∩ Γ = /0”. Como 1 “Γ é filtro”, podemos provarque 1 “i(p) ∈ Γ → ∀u ∈ Γ ∃v ∈ Γ v ≤ i(p)∧ v ≤ u”. Dados E ∈Dp

P e u,v ∈ B−0 comv ≤ i(p) e v ≤ u, sendo i embarcação, existe q ∈ P tal que i(r) ⊥ v para todo r ≤ q. Emparticular, i(q) ⊥ v ≤ i(p), o que implica i(q) ⊥ i(p), de onde extraímos q ⊥ p. Seja r′ ∈P com r′ ≤ p,q, por E ser denso embaixo de p, existe r ∈ E com r ≤ r′ ≤ p,q, de ondeextraímos i(r) ⊥ v ≤ u, portanto, i(r) ⊥ u. Assim temos, por absoluticidade, que 1 “∀u ∈B−0 ∀v ∈ B−0 v ≤ u∧v ≤ i(p)→∃r ∈ E r ⊥ u”. Como 1 “Γ ⊂ B−0”, podemosinferir que 1 “∀u ∈ Γ ∀v ∈ Γ v ≤ u∧ v ≤ i(p)→∃r ∈ E r ⊥ u”. Combinando com a fórmulaobtida inicialmente, temos que 1 “i(p) ∈ Γ → ∀u ∈ Γ ∃r ∈ E i(r) ⊥ u”, isto é, 1 “i(p) ∈Γ →∼ ∃u ∈ Γ ∀r ∈ E i(r) ⊥ u”. Como E ∈ Dp

P foi tomado arbitrário, deduzimos que 1

“i(p) ∈ Γ → ∀E ∈ (DpP) ∼ ∃u ∈ Γ ∀r ∈ E i(r) ⊥ u”, esta última afirmação é equivalente

a 1 “i(p) ∈ Γ → ∀E ∈ (DpP) v ∈ B −0 : ∀w ∈ i[E] v ⊥ w ∩ Γ = /0”, o que implica

1 “i(p) ∈ Γ →∀E ∈ (DpP) u ∈ B−0 : ∃w ∈ i[E] w ≤ u∩Γ = /0” e, consequentemente,

i(p) ∈ Γ →∀E ∈ (DpP Γ∩ i[E] = /0) . O fato que 1 “ p ∈ Γi →∀E ∈ (Dp

P) E ∩Γi = /0” decorreimediatamente dessa última afirmação.

b’: A demonstração do respectivo item do teorema acima está inteiramente adaptadapara o caso de i ser embarcação, uma vez provado o item c’ deste teorema.

2.5 Primeiros Resultados

Na seção anterior, disse que os teoremas 2.4.4, 2.4.5 e 2.4.7 se tratavam de fórmulas“interessantes”, com isso eu queria dizer que não existe um G ⊂ B que seja DB-genérico, nouniverso V. Assim, Γ simboliza um “conjunto novo”. Porém, preciso dizer que isso nem sempreé verdadeiro e, nos casos em que existe tal G podemos provar que u ∈ G → G é Du

B-genérico e,uma vez dada i : P→ B embarcação, densa ou não, podemos provar as duas afirmações parai−1[G] relativa ao forcing P também são verdadeiras (o leitor que quiser provar isso achará oLema 2.4.8 bastante útil, e também poderá encontrar o “segredo” dessas demonstrações “oculto”nas demonstrações dos teoremas 2.4.5 e 2.4.7). Também é válida essa afirmação:

Teorema 2.5.1. Para todo forcing P, se G é filtro DP-genérico, então G é filtro maximal.

Demonstração. Para todo p ∈ P, usando o Lema 2.4.8 com E = p, temos que r ∈ P : r ≤


p∪r ∈ P : r ⊥ p é denso. Assim, se p ∈ G, então existe q ∈ G com q ⊥ p, mostrando que ofiltro G não pode ser estendido.

Nota: No universo dos nomes (de qualquer álgebra booleana completa B), podemosprovar que 1 “∀p ∈ P r ∈ P : r≤p∪r ∈ P : r ⊥ p ∈ (DP) ”. Assim argumentando comoacima, podemos provar que, caso exista i : P→ B embarcação, 1 “Γi é filtro maximal”.

Portanto, caso exista o filtro DB-genérico, nenhuma das fórmulas enunciadas na seçãoanterior é de fato “interessante”. A condição necessária e suficiente para a existência desseconjunto que “estraga tudo” está enunciado no teorema a seguir.

Teorema 2.5.2. Para todo forcing P, existe um filtro DP-genérico se, e somente se, P é atômico.

Demonstração. Suponha P atômico, fixe p ∈ P um de seus átomos e faça S = r ∈ P : r ≤ p.Então, para todo r,s ∈ S, não vale apenas que r ⊥ s, mas também existe t ∈ S com t ≤ r,s.Fixe agora D ⊂ P denso, então existe r ∈ D com r ≤ p, portanto S∩D = /0. Note agora queG = q ∈ P : ∃r ∈ S r ≤ q é filtro que satisfaz S ⊂ G, portanto, para todo D ∈DP, G∩D = /0,sendo assim um filtro DP-genérico.

Agora, suponha que P é não atômico. Suponha, por absurdo que exista G filtro DP-genérico. Digo que P−G é denso. Pois, fixe p ∈ P, então existem q,r ∈ P com q ⊥ r, assim, aomenos um dos dois não pertence a G e assim pertence a P−G. Então, por hipótese, G∩(P−G) =/0, absurdo. Logo, caso P seja não atômico, não existe filtro DP-genérico.

Observação 2.5.3. O teorema acima não gera nenhuma contradição no universo de nomes VB.Pois, argumentando como acima, caso B é não atômica, podemos provar que 1 “∼ (∃G⊂ B G

é filtro DB-genérico)”, e isso não contradiz o Teorema 2.4.4, uma vez que DB não é o mesmoque (DB ) .

Com o resultado acima, podemos provar o seguinte:

Teorema 2.5.4. Para toda álgebra booleana completa B não atômica, vale, para todo conjunto x,[[Γ = x]] = 0.

Demonstração. Podemos provar que é absoluta a fórmula G ⊂ B é ultrafiltro X-genérico, e oteorema acima implica que, para todo conjunto x, é falso que x ⊂ B é ultrafiltro DB-genérico,portanto, [[x ⊂ B é ultrafiltro (DB ) -genérico]] = 0, isto é, [[∼ (x ⊂ B é ultrafiltro (DB ) -

genérico)]] = 1. Mas como [[Γ ⊂ B é ultrafiltro (DB ) -genérico]] = 1, obtemos [[Γ = x]] = 1,isto é, [[Γ = x]] = 0.

Este último teorema, por sua vez, nos permite provar o nosso primeiro resultado:

Teorema 2.5.5. Con(ZFC)→ Con(ZFC+V = L).

2.6. Aritmética de Cardinais 83

Demonstração. Aqui nós suporemos a nossa teoria inicial como sendo ZFC, B pode ser qualquerálgebra booleana completa não atômica, por exemplo, B = r.o.(Fn(ω,2)), como nos assegura oTeorema 1.2.5 e o Corolário 1.2.13.

O teorema acima nos permite concluir que ∑x∈L[[Γ = x]] = 0. Como L é class-preserving,temos que [[Γ ∈ L]] = ∑x∈L[[Γ = x]]. Portanto, [[Γ ∈ L]] = 0, isto é, [[Γ ∈ L]] = 1. Assim, 1

“∃x x ∈ L”, logo, todo axioma de ZFC+V = L é válido no universo de nomes VB, comoqueríamos provar.

Antes da descoberta da técnica de forcing, o método padrão de demonstração de consistên-cias relativas (o uso de modelos transitivos), não permitia demonstrar Con(ZFC)→Con(ZFC+V =L) e, consequentemente, nenhuma demonstração do estilo Con(ZFC)→Con(S), onde valeS ⊢ V = L. A “magia” da técnica de forcing consiste exatamente em superar essa barreirade modo quase trivial. Por causa disso, a técnica de forcing é usada principalmente para demons-tração de consistências relativas nesse estilo.

Os forcings não atômicos também nos permitem provar que, de certo modo, class-preserving não é equivalente a absoluticidade, como tinha prometido anteriormente.

Teorema 2.5.6. A classe dos conjuntos finitos Fn, apesar de ser absoluta como definição, não éclass-preserving.

Demonstração. A absoluticidade foi provada no Teorema 2.3.6. Para provar que ela não éclass-preserving, precisamos antes fixar uma álgebra booleana completa não atômica B. Comessa hipótese, podemos provar que [[Γ ∈ Fn]] = 1. Porém, [[Γ= x]] = 0 para todo conjuntox, uma vez que [[Γ = x]] ≤ [[Γ ⊂ x]] = [[∃y ∈ x y = Γ]] = ∑y∈x[[Γ = y]] = 0, essa últimaigualdade devido ao Teorema 2.5.4. Então, ∑x∈Fn[[Γ= x]] = 0, como queríamos provar (aqui,é necessário trocar Γ por um nome x que satisfaça [[Γ= x]] = 1, por exemplo, x = (Γ,1),e depois usar igualdade lógico-booleana).

2.6 Aritmética de Cardinais

2.6.1 Primeiros Resultados

A relação de ordem canônica usada entre cardinais é: α ≤ β se, e somente se, α ∈β ∨α = β , ou, equivalentemente, α ⊂ β . Sua versão estrita é: α < β se, e somente se, α ∈ β .Ambas são absolutas. Portanto, a partir de agora, faremos uso implícito dessas ordens, deixandoimplícito também sua absoluticidade e suas respectivas consequências.

A principal consequência do Axioma da Construtibilidade (V = L) é que ela implicaGCH. Assim, para provarmos consistências de afirmações da aritmética cardinal que violamGCH, entre elas ∼CH, é crucial assegurar a falsidade desse “axioma”. Então, a técnica de forcing


se torna a principal (se não for a única) ferramenta para esse tipo de demonstração. Passaremosagora a procurar ferramentas para “medir” como fica os cardinais e sua aritmética através dessatécnica.

Uma das principais operações da aritmética cardinal é 2κ = |℘(κ)|. O teorema a seguirpermite nos indicar um “limitante superior” para essa operação, uma vez fixado uma álgebrabooleana completa (ou um forcing, assumindo que B = r.o.(P)).

Teorema 2.6.1. Para toda álgebra booleana completa B e todo cardinal κ vale 1 “|℘(κ)| ≤|(|B|κ ) |”.

Demonstração. Releia a demonstração do Teorema 2.3.1 na parte do axioma da potência. OLema 2.3.2 prova que todo subconjunto de κ será representado por um nome x, com dom(x) =α : α ∈ κ, e cada nome desse conjunto desse estilo representa um subconjunto de κ . Portanto,fazendo o nome pκ tal que dom(pκ) = Bα:α∈κ e pκ(t) = 1 para todo t ∈ dom(pκ), podemosprovar que 1 “℘(κ) = pκ”. Como |dom(pκ)|= |B|κ , existe função f : κ → dom(pκ) bijetora.Agora, releia mais uma vez o Teorema 2.3.1, só que agora na parte do axioma da escolha e noteque, ao tomarmos o nome f que satisfaz dom(f) = op(ξ , f (ξ )) : ξ ∈ |B|κ e f(t) = 1 paratodo t ∈ dom(f), podemos provar que 1 “f é uma função∧dom(f) = (|B|κ ) ∧pκ = im(f)”.Consequentemente, 1 “f é uma função∧dom(f) = (|B|κ ) ∧℘(κ) = im(f)”, o que nos permiteprovar, através de ZFC, que 1 “|℘(κ)| ≤ ‖(|B|κ ) |”.

Note que, no teorema acima, usamos |(|B|κ ) | ao invés de (|B|κ ) . Isso se deve ao fatode que, caso λ seja cardinal, não necessariamente vale 1 “λ é cardinal”. Mais precisamente,a cardinalinalidade não é necessariamente absoluta. Quando a cardinalidade não é absoluta,dizemos que ocorre o colapso de cardinais. Porém, x é cardinal será absoluta caso a cofinalidadefor absoluta (entendida como uma função cf : ON → V) como provaremos mais para frente, apartir de agora, nos preocuparemos em encontrar B que satisfaçam esse fato.

Para provarmos que a cofinalidade é absoluta em B, basta provar que 1 “cf(α) =

(cf(α)) ” para todo α ∈ ON. De fato, essa afirmação é verdadeira para todo α com cf(α)≤ ω ,independentemente do B que se escolha, como provaremos a seguir.

Teorema 2.6.2. Para toda álgebra booleana completa B e todo ordinal α com cf(α)≤ ω , vale1 “cf(α) = (cf(α)) ”.

Demonstração. Inicialmente, provaremos que vale 1 “cf(α)≤ (cf(α)) ” para qualquer ordinalα . Isso é verdade pois a afirmação ( f : β → γ)∧ f é cofinal é absoluta. Assim, dado umafunção f : cf(α) → α cofinal, vale 1 “ f é cofinal”. Logo, podemos provar, via ZFC, que1 “cf(α)≤ (cf(α)) ”.

Quando cf(α)≤ ω , temos duas possibilidades: cf(α) = 1 ou cf(α) = ω . No primeirocaso, α é ordinal sucessor. Essa fórmula é absoluta, portanto 1 “α é ordinal sucessor”, portanto,


devido ao ZFC, vale 1 “cf(α) = 1”. Porém, o que queremos provar é que 1 “cf(α) = 1”,mas essa segue da anterior através da absoluticidade da constante 1 e igualdade lógico booleana.

Agora, se cf(α) = ω , então α é ordinal limite, que também é absoluta, portanto, 1 “α é

ordinal limite”, ou seja, devido a ZFC, 1 “cf(α)≥ ω”, de onde podemos extrair 1 “cf(α)≥ω”, graças à absoluticidade de ω , isto é, 1 “cf(α)≥ (cf(α)) ”. Unindo isso ao que provamosno primeiro parágrafo, temos 1 “cf(α) = (cf(α)) ”, como queríamos.

Quanto aos demais ordinais, uma vez fixado B, podemos provar que 1 “cf(α) =

(cf(α)) ” caso cf(α)≥ sat(B). Mas, para isso, precisamos provar antes o seguinte teorema:

Teorema 2.6.3. Para toda álgebra booleana completa B, todo f ∈ VB e quaisquer conjuntosA,B, existe uma função F : A →℘(B) que satisfaz [[f : A → B]]≤ [[f(a) ∈ F(a)]], para todo a ∈ A

(ou seja, 1 “(f : A → B)→ ∀a ∈ A f(a) ∈ F(a)”, onde f : A → B significa f é uma função,

dom( f ) = A e im( f )⊂ B). Além disso, para todo a ∈ A, |F(a)|< sat(B).

Demonstração. Defina a função F : A →℘(B) da seguinte forma: para todo a ∈ A, F(a) =

b ∈ B : [[f : A → B]][[f(a) = b]] = 0 (quando [[f : A → B]] = 0, teremos F(a) = /0, para todoa ∈ A). Vamos provar que esse F satisfaz o teorema. Se [[f : A → B]] = 0, isso é evidente. Caso[[f : A → B]] = 0, provemos inicialmente que, para todo a ∈ A, |F(a)| < sat(B). Fixe a ∈ A,dados b0,b1 ∈ F(a) com b0 = b1, digo que v = [[f : A → B]][[f(a) = (b0) ]][[f(a) = (b1) ]] = 0.Pois, caso v = 0, então v “(f : A → B)∧ f(a) = b0 ∧ f(a) = b1”. Como 1 “a ∈ A”, segueque v “(b0) = (b1) ”. Porém, como b0 = b1 temos 1 “(b0) = (b1) ”, por absoluticidade.Consequentemente, v “(b0) = (b1) ” e, com isso obtemos um absurdo, uma vez que taisafirmações implicam v “(b0) = (b1) ∧ (b0) = (b1) ”, isto é, v ≤ [[(b0) = (b1) ]](−[[(b0) =

(b1) ]]) = 0. Uma vez demonstrado isso, e com o fato que ([[f : A → B]][[f(a) = (b0) ]])([[f : A →B]][[f(a) = (b1) ]]) = [[f : A → B]][[f(a) = (b0) ]][[f(a) = (b1) ]], podemos provar que, para todoa∈A, [[f : A→ B]][[f(a)= b]]b∈F(a) se trata de uma anticadeia de B com a mesma cardinalidadeque F(a), assim devemos ter que |F(a)|< sat(B).

Agora, vamos provar que, de fato, vale [[f : A → B]] ≤ [[f(a) ∈ F(a)]] para todo a ∈ A,de onde poderemos concluir [[f : A → B]] ≤ ∏a∈A[[f(a) ∈ F(a)]], logo, [[f : A → B]] ≤ [[∀a ∈A f(a) ∈ F(a)]], isto é, 1 “(f : A → B) → ∀a ∈ A f(a) ∈ F(a)”. Inicialmente, temos que1 “(f : A → B) → ∀a ∈ A ∃b ∈ B f(a) = b”, isto é, [[f : A → B]] ≤ ∏a∈A ∑b∈B[[f(a) = b]].Portanto, [[f : A → B]]≤ ∑b∈B[[f(a) = b]] para todo a ∈ A, isto é, ∑b∈B([[f : A → B]][[f(a) = b]]) =

[[f : A → B]]. Mas, pelo modo que definimos F(a), temos que ∑b∈B([[f : A → B]][[f(a) = b]]) =

∑b∈F(a)([[f : A → B]][[f(a) = b]]). Então ∑b∈F(a)([[f : A → B]][[f(a) = b]]) = [[f : A → B]], isto é,[[f : A → B]] ≤ ∑b∈F(a)[[f(a) = b]]. Da igualdade anterior podemos deduzir que [[f : A → B]] ≤[[∃b ∈ (F(a)) f(a) = b]], consequentemente, [[ f : A → B]] ≤ [[f(a) ∈ (F(a)) ]], uma vez quepodemos provar, por absoluticidade, que 1 “F(a) = (F(a)) ” e, via igualdade lógico booleana,que [[f : A → B]]≤ [[f(a) ∈ F(a)]] para a ∈ A arbitrário, concluindo a demonstração.


Agora vamos provar o teorema pretendido:

Teorema 2.6.4. Para todo ordinal α com cf(α)≥ sat(B), vale 1 “cf(α) = (cf(α)) ”.

Demonstração. Fixe ordinal α com cf(α)≥ sat(B). Para β ∈ cf(α) e f ∈ VB arbitrários, sejaF a função que, pelo Teorema 2.6.3, satisfaz 1 “(f : β → α)→∀γ ∈ β f(γ) ∈ F(γ)”. Comocf(α) é um cardinal regular, |β |< cf(α) e, para todo γ ∈ β , |F(γ)|< sat(B)≤ cf(α), então vale|⋃

γ∈β F(γ)|< cf(α). Devido a essa última afirmação, uma vez que⋃

γ∈cf(α)F(γ)⊂ α , existeξ ∈ α tal que η < ξ para todo η ∈

⋃γ∈cf(α)F(γ), isto é, ∃ξ ∈ α ∀γ ∈ β ∀η ∈ F(γ) η < ξ que,

por absoluticidade, implica 1 “∃ξ ∈ α ∀γ ∈ β ∀η ∈ F(γ) η < ξ ”. Uma vez que 1 “(f : β →α) → ∀γ ∈ β f(γ) ∈ F(γ)”, podemos derivar 1 “(f : β → α) → ∃ξ ∈ α ∀γ ∈ β f(γ) < ξ ”,equivalentemente, 1 “(f : β → α) → f não é cofinal”. Como β ∈ cf(α) e f ∈ VB foramtomados arbitrariamente, segue que 1 “∀β ∈ (cf(α)) ∀ f ( f : β → α) → f não é cofinal”,equivalentemente, 1 “cf(α)≥ (cf(α)) ”. Como já sabemos que 1 “cf(α)≤ (cf(α)) ” pelademonstração do Teorema 2.6.2, temos 1 “cf(α) = (cf(α)) ”.

O Teorema 2.6.2 implica que sempre temos 1 “cf(α) = (cf(α)) ” quando cf(α)≤ ω ,e cf(α) sempre é um cardinal. Para que a cofinalidade seja absoluta em B, este precisa apenassatisfazer 1 “cf(α) = (cf(α)) ” para todo ordinal α tal que cf(α) ≥ ω1, e o teorema acimaprova que isso acontecerá quando sat(B) = ω1. Assim provamos a seguinte afirmação:

Corolário 2.6.5. Para toda álgebra booleana B ccc, a cofinalidade é B-absoluta.

Agora provaremos que, de fato, a B-absoluticidade da cofinalidade implica a B-absoluticidade da cardinalidade.

Teorema 2.6.6. Para toda álgebra booleana completa B tal que cf() seja B-absoluta, então asafirmações κ é cardinal e κ é cardinal regular são B-absolutas.

Demonstração. Vamos provar primeiramente que, uma vez fixado B satisfazendo as proprieda-des necessárias, para todo cardinal κ vale que 1 “κ é cardinal”. Já sabemos que a definição ω

é absoluta e que ZFC prova as fórmulas ω é cardinal e ∀n ∈ ω n é cardinal. Então, caso κ ≤ ω ,temos 1 “κ é cardinal”.

A partir de agora, suponha κ > ω . Caso κ for regular, como x é cardinal regular equivalea x é ordinal ∧x > ω ∧ cf(x) = x, pela absoluticidade dos ordinais e B-absoluticidade de cf(),temos 1 “κ é cardinal regular”, consequentemente, 1 “κ é cardinal”. Agora, caso κ não forregular, ele é cardinal limite, assim, para todo cardinal λ < κ com λ ≥ ω , temos que λ+ < κ

que, por sua vez é regular. Então, se definirmos X = λ < κ : λ é cardinal regular, temosque ∀λ ∈ X λ é cardinal regular e

⋃X = κ . Essas fórmulas, por sua vez, devido ao resultado

provado acima e à absoluticidade implicam 1 “∀λ ∈ X λ é cardinal regular” e 1 “⋃

X = κ”.Como podemos provar em ZFC que, para toda coleção Y composta exclusivamente de cardinais,supY =

⋃Y é cardinal, essas últimas fórmulas implicam 1 “κ é cardinal”.


Só resta provar que ∼ κ é cardinal implica 1 “ ∼ κ é cardinal”. Como x é cardinal

equivale a x é ordinal ∧ ∼ ∃ f ( f é função ∧dom( f ) ∈ x∧ im( f ) = x∧ f é injetora) e uma vezque a primeira fórmula é absoluta, podemos aqui nos restringir ao caso que κ é ordinal ∧∃ f ( f é

função ∧dom( f ) ∈ κ ∧ im( f ) = κ ∧ f é injetora). Fixe a função f : α → κ bijetora que satisfazα ∈ κ , teremos então, pela absoluticidade dos termos envolvidos, 1 “ f é função ∧dom( f )∈ κ∧im( f ) = κ ∧ f é injetora”, logo 1 “∃ f ( f é função ∧dom( f ) ∈ κ ∧ im( f ) = κ ∧ f é injetora)”.Assim concluímos que 1 “κ é ordinal ∧∃ f ( f é função ∧dom( f ) ∈ κ ∧ im( f ) = κ ∧ f é

injetora)”, isto é, 1 “ ∼ κ é cardinal”, como queríamos.

A B-absoluticidade de κ é regular é imediata, uma vez que x é cardinal regular equivalea x é ordinal ∧x ≥ ω ∧ cf(x) = x e, uma vez que as duas primeiras fórmulas são absolutas e aúltima satisfaz B-absoluticidade, as três fórmulas combinadas são B-absolutas.

A B-absoluticidade da cardinalidade, por sua vez, implica a absoluticidade de váriasdefinições.

Teorema 2.6.7. Para toda álgebra booleana B tal que κ é cardinal é B-absoluta, então asseguintes definições são B-absolutas:

1. ωα , α ∈ ON

2. α+, α ∈ ON

3. |A|, para todo A

Demonstração. Aqui, quando for necessário, usaremos o Lema 2.3.5 implicitamente.

1: Aqui necessitaremos de algumas definições auxiliares. Para todo ordinal α , definiremosΩ(α) como sendo o conjunto κ ∈ α : κ ≥ ω ∧κ é cardinal. Como supomos que κ é cardinal

é B-absoluta, então podemos provar que Ω(α) é B-absoluta. Para todo conjunto X ⊂ ON,definimos ≤X como a relação de ordem para X definida a partir da ordem canônica entre ordinais,sendo esta última absoluta, então ≤X é absoluta (aqui usamos implicitamente o fato da classeX : X ⊂ ON ser absoluta, o que é fácil uma vez que X pertence a essa classe se, e somente se,∀x ∈ X x é ordinal. Porém, a mesma classe não é class-preserving, como o leitor poderá provarem breve). Com essas definições, pode-se provar que κ = ωα se, e somente se, κ é cardinal

∧κ ≥ ω ∧ type(Ω(κ),≤Ω(α)) = α , uma vez que temos a B-absoluticidade de todas as fórmulase definições citadas (inclusive type(A,R)) a fórmula inteira é B-absoluta.

2: α+ se trata do menor cardinal maior que α (na prática, ele só é usado quando α écardinal). Assim, κ = α+ equivale a κ é cardinal ∧κ > α ∧∀ξ ∈ κ(ξ > α →∼ ξ é cardinal) ea B-absoluticidade de cada termo, consequentemente da fórmula toda, é trivial.

3: Fixe conjunto A e cardinal κ tal que |A|= κ , fixe f : A→ κ bijetora. Por absoluticidade,temos 1 “ f é função ∧dom( f ) = A∧ im( f ) = κ ∧ f é injetora”, portanto, 1 “∃ f f é função


∧dom( f ) = A∧ im( f ) = κ ∧ f é injetora”. Combinando essa fórmula com a B-absoluticidadede x é cardinal, obtemos 1 “κ é cardinal ∧∃ f f é função ∧dom( f ) = A∧ im( f ) = κ ∧ f é

injetora”, implicando, via ZFC, que 1 “|A|= κ”, isto é, 1 “|A|= (|A|) ” para A arbitrário,provando sua B-absoluticidade.

Assim, podemos aplicar o teorema acima, junto com o Corolário 2.6.5 no Teorema 2.6.1,já que, para os cardinais κ e λ , κλ representa a cardinalidade do conjunto de funções f : λ → κ

(que denotaremos λκ para evitar confusões), obtendo o seguinte corolário:

Corolário 2.6.8. Para toda álgebra booleana completa ccc B e todo cardinal λ , temos 1

“|℘(λ )| ≤ (|B|λ ) ”.

Também, com a B-absoluticidade de κ é cardinal, podemos provar o seguinte corolário:

Corolário 2.6.9. Dado álgebra booleana completa B tal que κ é cardinal é B-absoluta, então aclasse dos cardinais CN é class-preserving.

Demonstração. x é cardinal equivale a ∃α ∈ ON(α é cardinal ∧x = α). Assim, devido aoclass-preserving de ON, temos, para todo nome x ∈ VB, [[x ∈ CN]] = [[∃α ∈ ON(α é cardinal

∧x = α)]] = ∑α∈ON([[α é cardinal]][[x = α]]). Devido à B-absoluticidade da cardinalidade, [[αé cardinal]] é igual a 1 caso α for cardinal, e 0, caso contrário, então ∑α∈ON([[α é cardinal]][[x =

α]]) = ∑κ∈CN[[x = κ]], como queríamos provar.

Com o último teorema obtemos o nosso segundo resultado de consistência:

Teorema 2.6.10. Con(ZFC)→ Con(ZFC+GCH+V = L).

Demonstração. Como já sabemos que Con(ZFC)→Con(ZFC+GCH), podemos considerar nossateoria inicial como ZFC+GCH. Nesse caso, a aritmética cardinal se comporta da seguintemaneira: Para quaisquer cardinais κ ≥ 2,λ ≥ 2 com ao menos um desses infinito, κλ =

λ+, Caso κ ≤ λ ;κ+, Caso cf(κ)≤ λ < κ;κ, Caso λ < cf(κ).

O B usado nesse teorema será r.o.(Fn(ω,2)), como Fn(ω,2) é não atômico, r.o.(Fn(ω,2))também será, assim temos 1 “V = L”. O Corolário 1.3.35 implica que Fn(ω,2) é ccc, então oTeorema 1.3.28 implica que r.o.(Fn(ω,2)) é ccc. Portanto, todos os teoremas dessa seção sãoválidos para o nosso B.

Antes de demonstrar que 1 “GCH”, precisamos calcular, ou ao menos estimar, o valorde |r.o.(Fn(ω,2))|. O Teorema 1.3.36 prova que |Fn(ω,2)|= supn∈ω(ω

n ·2n) = ω , como é fácilprovar que |Fn(ω,2)| ≥ω , segue que |Fn(ω,2)|=ω (não é necessário usar GCH aqui). O fato deFn(ω,2) ser não atômico, junto com o Corolário 1.3.35, permite provar que sat(Fn(ω,2)) = ω1


(caso fosse menor, o conjunto de átomos seria denso em Fn(ω,2) pelo Teorema 1.3.29). Agora,o Corolário 1.3.38 nos permite provar que |r.o.(Fn(ω,2))| ≤ |Fn(ω,2)|<sat(Fn(ω,2)) = ω<ω1 =

ωω = ω1. Uma vez que supomos GCH, então é fácil provar, usando a regra citada acima, quepara todo ordinal α , (ω1)

ωα = (ωα)+ = ωα+1. Portanto, através do Corolário 2.6.8, temos que

1 “|℘((ωα ) )| ≤ (ωα+1) ”. Pela r.o.(Fn(ω,2))-absoluticidade de todos os termos envolvidos,provamos que 1 “|℘(ωα)| ≤ ωα”, isto é, 1 “2ωα ≤ ωα+1”, uma vez que vale, graças àZFC, 1 “2ωα ≥ ωα+1”, concluimos que 1 “2ωα = ωα+1”. Pela arbitrariedade do ordinal eo class-preserving dessa classe, obtem-se 1 “∀α ∈ ON 2ωα = ωα+1”, ou seja, 1 “GCH”.Portanto, todos os axiomas de ZFC+GCH+V = L são válidos em r.o.(Fn(ω,2)).

Como já dissemos, em ZFC, o axioma da construtibilidade implica GCH, o teoremaacima nos permite provar que a recíproca não é verdadeira, assim o axioma da construtibilidadeé mais “forte” que GCH.

2.6.2 Consistência de ∼CH

Até o presente momento, nos concentramos em teoremas que preservam a aritméticacardinal. A partir de agora, passaremos a exibir as ferramentas que realmente permitem “controlá-la”, assim permitindo-nos provar a consistência de afirmações como ∼CH.

Para adquirir esse “controle”, precisaremos realmente acrescentar “novos conjuntos”,mas nem sempre é evidente que o fato de adicionar um ultrafiltro genérico, de fato adicionará oconjunto que nos interessa, no caso da aritmética cardinal, funções entre os cardinais. Porém éfácil provar que isso acontece caso a álgebra booleana completa é gerada a partir de forcings doestilo Fn(I,J,λ ), como provaremos a seguir.

Teorema 2.6.11. Para todos I,J não vazios, κ cardinal infinito e álgebra booleana completa B

com nome G ∈ VB tal que 1 “G é filtro (DFn(I,J,κ)) -genérico”, então 1 “⋃

G é função

∧dom(⋃

G) = I” e, caso |I| ≥ κ temos, em acréscimo, que 1 “im(⋃

G) = J”. Essa funçãoserá “nova” quando Fn(I,J,κ) for não atômico.

Demonstração. Pela absoluticidade das propriedades de Fn(I,J,κ), podemos provar que 1

“∀p ∈ (Fn(I,J,κ)) p é função ∧dom(p)⊂ I∧ im(p)⊂ J” e 1 “∀p,q ∈ (Fn(I,J,κ)) p ⊥ q →p∪ q é função”. Como temos, por hipótese, que 1 “G ⊂ (Fn(I,J,κ)) ” e 1 “G é filtro”,temos que 1 “

⋃G é função∧dom(

⋃G)⊂ I ∧ im(

⋃G)⊂ J”.

Para todo i ∈ I, fixe o conjunto Di = p ∈ Fn(I,J,κ) : i ∈ dom(p), digo que Di é denso.Pois, para todo p ∈ Fn(I,J,κ), caso i ∈ dom(p) então p ∈ Di, caso contrário, fixe j ∈ J arbitrárioe faça q = p∪(i, j), então q ∈ Di e q ≤ p. Portanto, pela absoluticidade dos termos envolvidos,podemos provar que 1 “p ∈ (Fn(I,J,κ)) : i ∈ dom(p) ∈ (DFn(I,J,κ)) ”, assim, unindo essefato às hipóteses, temos que 1 “i∈ dom(

⋃G)” para i∈ I arbitrário. Logo, 1 “dom(

⋃G)⊃ I”,

assim concluímos a demonstração de que 1 “dom(⋃

G) = I”.


Suponha agora que |I| ≥ κ . Para todo j ∈ J, defina D j = p ∈ Fn(I,J,κ) : j ∈ im(p),vamos provar que D j é denso. Para isso, podemos nos restringir ao caso que p ∈ D j, neste casoj ∈ im(p). Como |dom(p)|< κ e |I| ≥ κ , então existe i∈ I tal que i ∈ dom(p), consequentemente,fazendo q = p∪(i, j), q ∈ D j e q ≤ p. Agora, a absoluticidade nos fornece que 1 “p ∈(Fn(I,J,κ)) : j ∈ im(p) ∈ (DFn(I,J,κ)) ”. Com ela e a hipótese, podemos concluir que 1

“ j ∈ im(⋃

G)” para todo j ∈ J, ou seja 1 “im(⋃

G) ⊃ J”. Com isso, concluímos que 1

“im(⋃

G) = J”.

Pelo Teorema 1.2.5, Fn(I,J,κ) é não atômico se, e somente se, |I| ≥ κ e |J| ≥ 2. Paraprovarmos que

⋃G é “nova” nessas condições, vamos provar que, para toda função f : I → J,

temos que 1 “⋃

G = f ”. Para isso, construiremos o conjunto D f = p ∈ Fn(I,J,κ) : ∃i ∈dom(p) p(i) = f (i). Digo que ele é denso, pois fixe p∈ Fn(I,J,κ) arbitrário, vale |dom(p)|< κ

e, como supomos que Fn(I,J,κ) é não atômico, existe i∈ I com i ∈ dom(p). Pela mesma hipótese,existe j ∈ J com j = f (i). Consequentemente, q = p∪(i, j) satisfaz q ∈ D f e q ≤ p. Assim,por absoluticidade, temos 1 “p ∈ (Fn(I,J,κ)) : ∃i ∈ dom(p) p(i) = f (i) ∈ (DFn(I,J,κ)) ”,de onde podemos provar que 1 “∃i ∈ dom(

⋃G)

⋃G(i) = f (i)”, isto é, 1 “

⋃G = f ”, para

toda função f : I → J, o que queríamos.

Observação 2.6.12. Note que no teorema anterior foi crucial usar (Fn(I,J,κ)) ao invés deFn(I, J, κ), uma vez que Fn(I,J,κ) não precisa ser necessariamente absoluta.

O teorema acima nos fornece o segredo para acrescentar novos conjuntos. Pois, uma vezque ZFC prova a existência de uma bijeção 2I ⇔℘(I), uma vez tendo uma função f : I → 2“nova”, teremos um subconjunto de I “novo”. Mas podemos ser mais precisos, para toda funçãof : I → 2, podemos associar um conjunto I f ⊂ I definido como i ∈ I : f (i) = 1. Para todosubconjunto J ⊂ I, existe f : I → 2 com J = I f , a saber, χJ , definido como, para todo i ∈ I,

χJ(i) =

1, se i ∈ J;0, se i ∈ J.

Note que , com essas definições, assumindo as hipóteses do teorema

acima e a absoluticidade dos termos envolvidos, temos que 1 “I⋃G ⊂ I” e, para toda funçãof : I → 2, vale que 1 “I⋃G = I f ”, consequentemente 1 “I⋃G = J”, para todo J ∈℘(I). Logo,1 “I⋃G ∈ (℘(I)) ”. Portanto, a existência de um novo subconjunto de I é “evidente” (isto é,valor booleano 1).

Porém, para conseguirmos violar CH, não basta somente criar um novo subconjunto(de ω), precisamos criar infinitos conjuntos novos, o suficiente para violar a hipótese (mais queω1). A estratégia geral para acrescentar infinitos conjuntos I é através do forcing Fn(I ×κ,2,λ ),onde κ é a cardinalidade de cardinais “criada” (desde que os cardinais sejam preservados).Assumindo as mesmas hipóteses do teorema acima, podemos provar que 1 “

⋃G é função

∧dom(⋃

G) = I × κ ∧ im(⋃

G) = 2”. Como podemos, dado uma função f : I ×κ → 2, definir acoleção fξξ<κ de funções f : I → 2 onde, para todo ξ < κ , fξ (i) = f (i,ξ ). Portanto, a função⋃

G dita acima nos fornece uma lista infinita de funções, o fato de todas elas serem “novas” seráprovado no teorema abaixo.


Teorema 2.6.13. Para todo forcing do estilo Fn(I×κ,J,λ ) com |I| ≥ λ e |J| ≥ 2 e toda álgebrabooleana completa B que possua um nome G tal que 1 “G é filtro (DFn(I×κ,J,λ )) -genérico”,então vale, para todo ξ < κ e função f : I → J, 1 “(

⋃G)

ξ= f ”.

Demonstração. Note que, como |I| ≥ λ , vale |I×κ| ≥ λ , portanto, Fn(I×κ,J,λ ) é não atômicae o Teorema 2.6.11 é aplicável. Agora, fixe ξ < κ e função f : I → J, defina o conjuntoDξ

f = p ∈ Fn(I×κ,J,λ ) : ∃i ∈ I (i,ξ ) ∈ dom(p)∧ p(i,ξ ) = f (i), esse conjunto é denso, pois,para todo p ∈ Fn(I ×κ,J,λ ), temos que |i ∈ I : (i,ξ ) ∈ dom(p)| < λ , portanto existe i ∈ I

com (i,ξ ) ∈ dom(p) e j ∈ J tal que f (i) = j. Logo, fazendo q = p∪((i,ξ ), j) temos queq ∈ Dξ

f e q ≤ p. Assim, devido à absoluticidade, temos que 1 “p ∈ (Fn(I ×κ,J,λ )) : ∃i ∈I (i, ξ )∈ dom(p)∧ p(i, ξ ) = f (i) ∈ (DFn(I×κ,J,λ )) ”, de onde podemos derivar 1 “

⋃G

ξ= f ”

para ξ < κ arbitrário, como queríamos provar.

Fixe agora um forcing Fn(I,J,κ) não atômico, seja λ = |I| ≥ κ . Uma vez que existefunção bijetora f : I × λ → I, o Teorema 1.3.11 implica que existe embarcação densa i f :Fn(I ×κ,J,κ)→ Fn(I,J,κ), então podemos provar que 1 “G é filtro (DFn(I,J,κ)) -genérico”implica que 1 “(i f )

−1[G] é filtro (DFn(I×λ ,J,κ)) -genérico”, a demonstração é similar à daafirmação equivalente no Teorema 2.4.5. De modo geral, dada uma embarcação i :P→Q, 1 “Gé filtro (DQ) -genérico” implica 1 “i−1[G] é filtro (DP) -genérico”, a demonstração é análogaà equivalente no Teorema 2.4.7. Com isso, podemos provar que a mesma álgebra booleanacompleta que acrescenta uma nova função f : I → J, ela acaba acrescentando obrigatoriamente|I| funções distintas (desde que os cardinais sejam preservados).

Como o leitor pode ter notado, o fato do forcing ser não atômico não é o suficiente paraque todas as funções enunciadas serem “novas”. Porém, tecnicamente falando, para violarmosCH e a aritmética de cardinais em geral, precisaríamos apenas do fato desse forcing assegurara existência de κ subconjuntos de um conjunto específico I, desde que os cardinais sejampreservados. O problema é que, para provar que as κ funções do teorema acima serem distintasumas das outras, necessitaremos das mesmas hipóteses do teorema acima. No caso de CH, oconjunto I será ω e provaremos abaixo o teorema respectivo.

Teorema 2.6.14. Para todo cardinal κ , existe álgebra booleana completa B tal que a cardinali-dade seja B-absoluta e vale 1 “2ω ≥ κ” (lembre que 2 e ω são definições absolutas).

Demonstração. Aqui basta fazer o B = r.o.(Fn(ω × κ,2)). O Corolário 1.3.35 prova queFn(ω × κ,2), consequentemente, r.o.(Fn(ω × κ,2)) é ccc, portanto, o Teorema 2.6.6 provaque cardinalidade é B-absoluta. Também existe nome G tal que 1 “G é filtro (DFn(ω×κ,2)) -

genérico”, a saber, G = Γe. Então podemos provar, para todo ξ < κ , que 1 “(⋃

Γe)ξé função

∧dom((⋃

Γe)ξ) = ω ∧ im((

⋃Γe)ξ

)⊂ 2” seguindo os passos das demonstrações anteriores. Po-rém, para chegarmos a conclusão desejada, precisamos assegurar que cada uma das funções


dessa coleção é distinta das demais, isso será demonstrado em sua versão mais geral no lema aseguir (como sugerimos acima, o fato de todas essas funções serem “novas” não será usado).

Lema 2.6.15. Para quaisquer Fn(I × κ,J,λ ) com |I| ≥ λ , |J| ≥ 2 e toda álgebra booleanacompleta B com nome G tal que 1 “G é filtro (DFn(I×κ)) -genérico”, então, para todoξ ,η ∈ κ com ξ = η , vale que 1 “

⋃G

ξ=⋃

Gη”.

Demonstração. Para provar o lema, vamos provar que o seguinte conjunto é denso: D(ξ ,η) =

p∈ Fn(I×κ,J,λ ) : ∃i∈ I (i,ξ ),(i,η)∈ dom(p)∧ p(i,ξ ) = p(i,η), para ξ ,η ∈ κ com ξ = η .Uma vez fixado p ∈ Fn(I × κ,J,λ ), podemos provar que |i ∈ I : (i,ξ ) ∈ dom(p)∨ (i,η) ∈dom(p)| < λ , portanto, existe i ∈ I com (i,ξ ),(i,η) ∈ dom(p). Fixe j0, j1 ∈ J com j0 = j1,então, fazendo q = p∪((i,ξ ), j0),((i,η), j1), temos que q ∈ D(ξ ,η) e q ≤ p. Assim, provamospor absoluticidade que 1 “p ∈ (Fn(I ×κ,J,λ )) : ∃i ∈ I (i, ξ ),(i, η) ∈ dom(p)∧ p(i, ξ ) =p(i, η) ∈ (DFn(I×κ,J,λ )) ”, consequentemente, podemos derivar 1 “

⋃G

ξ=⋃

Gη”, o quequeríamos.

Portanto, junto com o fato já demonstrado que 1 “∀ξ ∈ κ(⋃

Γe)ξ é função ∧dom((⋃

Γe)ξ )=

ω ∧ im((⋃

Γe)ξ ) ⊂ 2”, o lema acima, junto com a absoluticidade da igualdade, implica 1

“∀ξ ∈ ˇκ∀η ∈ κ ξ = η → (⋃

Γe)ξ = (⋃

Γe)η”. Essas duas afirmações, junto com o fato de que,por hipótese, 1 “κ é cardinal”, nos permitem provar que 1 “2ω ≥ κ”.

O teorema acima já nos permite obter mais um teorema de consistência:

Teorema 2.6.16. Con(ZFC)→Con(ZFC+∼CH).

Demonstração. A teoria inicial será o próprio ZFC (não será necessário supor GCH). Bastausar o teorema acima com κ = ω2, uma vez que, pelo Teorema 2.6.7, a B-absoluticidade decardinalidade implica a B-absoluticidade de ωα . Então, para todo B que satisfaça o teoremaacima para κ = ω2, vale que 1 “2ω ≥ ω2”, isto é, 1 “ ∼ CH”.

Porém, podemos ir mais longe, e determinar o valor exato de 2ω , podendo escolhê-loem uma vasta gama de cardinais, que atinge sua extensão máxima quando se supõe GCH.Provaremos isso no próximo teorema.

Teorema 2.6.17. Supondo GCH, para todo cardinal κ > ω com cf(κ) ≥ ω1, existe álgebrabooleana completa B tal que a cardinalidade é B-absoluta e satisfaz 1 “2ω = κ”.

Demonstração. Uma vez fixado κ com as propriedades desejadas, o nosso B será r.o.(Fn(ω ×κ,2)). Agora, seguindo os passos do Teorema 2.6.14, podemos provar que 1 “2ω ≥ κ”. Vamosagora usar GCH para calcular |B|. Com a ajuda do Teorema 1.3.36, podemos provar que|Fn(ω ×κ,2)| = κ . Agora, o Corolário 1.3.38 nos permite estimar que |B| ≤ κω = κ (umavez que cf(κ)> ω e estamos supondo GCH). Pelo fato de Fn(ω ×κ,2) ser separativa, temos


que |B|= κ . Então, combinando o Teorema 2.6.1 com o Teorema 2.6.7, podemos provar que1 “2ω ≤ κ” (já provamos que κω = κ), concluindo: 1 “2ω = κ”.

Como já sabemos que Con(ZFC) → Con(ZFC+GCH), seria tentador criar um teoremadizendo que Con(ZFC)→Con(ZFC+2ω = κ) para todo cardinal κ ≥ ω1 satisfazendo cf(κ)> ω ,mas é preciso ter cautela. Pois, primeiramente precisaríamos considerá-lo como um esquemade metateoremas, um para cada cardinal κ satisfazendo as propriedades requeridas, porém ametateoria estuda apenas as afirmações que se pode fazer na teoria dos conjuntos, ela não écapaz de “reconhecer” conjuntos. Por causa disso, a afirmação 2ω = κ não fará nenhum sentido,a menos que κ possa ser definido como uma constante (função sem parâmetros). Assim, sópoderemos criar um esquema, no máximo, com esse tipo de cardinais (chamado “cardinais defi-níveis”), nesse caso, poderemos fazer uma “quantificação metateórica” nos cardinais definíveis,agrupando esse esquema em um único metateorema. Mas ainda tem um inconveniente, o cardinaldefinível precisa ser B-absoluto, pois o teorema acima prova apenas que 1 “2ω = κ”, que nãoprecisa necessariamente implicar 1 “2ω = κ”, a não ser no caso de B-absoluticidade. Assimo nosso metateorema precisa ser Con(ZFC)→Con(ZFC+2ω = κ), para todo cardinal κ definívelem ZFC e que é demonstrável, via ZFC ou ZFC+GCH, as seguintes afirmações:

1. κ é cardinal e κ > ω

2. κ é r.o.(Fn(ω ×κ,2))-absoluto (sendo κ definível, r.o.(Fn(ω ×κ,2)) também será)

3. cf(κ)> ω

Como exemplo de cardinais desse tipo, temos ω1,ω2,ω3, ... e ωω1,ωω2,ωω3 , .... Note que ωω éexemplo de um que não satisfaz isso, uma vez que cf(ωω) = ω , porém ωω+1,ωω+2,ωω+3, ...

satisfazem.

Agora, o leitor pode perguntar: Que teorema parecido com o de cima podemos ter semsupor GCH? Fazendo B = r.o.(Fn(ω ×κ,2)) com κ infinito, podemos provar que 1 “2ω =

(κω ) ”, como provaremos abaixo.

Teorema 2.6.18. Fazendo B = r.o.(Fn(ω ×κ,2)) para cardinal κ infinito, temos que 1 “2ω =

(κω ) ”.

Demonstração. Notemos, acima de tudo, que nesse caso, cardinalidade é B-absoluta e que|B| ≤ κω . Portanto, podemos usar o Corolário 2.6.8 que implica 1 “2ω ≤ (κω ) ”. Agora,devido ao Lema 2.6.15, podemos provar que 1 “2ω ≥ κ”. Como ZFC prova que (2ω)ω = 2ω ,temos 1 “2ω ≥ κω”. Por absoluticidade de funções, podemos provar que 1 “(ωκ ) ⊂ ωκ”,consequentemente, 1 “(κω ) ≤ κω”, portanto, 1 “2ω ≥ (κω ) ”, implicando o desejado.

O resultado acima, porém, não adiciona nenhum resultado novo de consistência, servindoapenas como curiosidade.


2.6.3 Caso Geral

A subseção anterior sugere uma receita bem simples para manipularmos a aritméticade cardinais em geral. Fixe dois cardinais infinitos κ,λ , fazendo B = r.o.(Fn(κ ×λ ,2)). Nestecaso, temos que a cofinalidade e, consequentemente, a cardinalidade são B-absolutas por ser ccc.Fazendo G = Γe, então teremos como consequência do Lema 2.6.15 que 1 “2κ ≥ λ”. Podemosobter mais, pois caso supormos GCH e que λ satisfaz cf(λ ) > κ , teremos que λ ω = λ κ = λ

e, consequentemente, |r.o.(Fn(κ × λ ,2))| = λ . Logo, o Teorema 2.6.1, junto com o fato dacardinalidade ser B-absoluta, nos assegura que 1 “2κ ≤ λ”, concluindo que 1 “2κ = λ”.

Apesar do argumento acima estar correto, ele possui um inconveniente. Fixemos umcardinal infinito µ < κ . Como µ ×λ ⊂ κ ×λ , temos que Fn(µ ×λ ,2)⊂ Fn(κ ×λ ,2). Então,devido ao Teorema 1.3.10, a função identidade, que denotaremos por iµ : Fn(µ × λ ,2) →Fn(κ × λ ,2), é uma embarcação. Isso implica em particular, devido ao Teorema 2.4.7, que1 “Γiµ∘e é filtro DFn(µ×κ,2)-genérico”. Logo, usando o Teorema 2.6.11 junto com o Lema2.6.15, fazendo G = Γiµ∘e, podemos provar que 1 “2µ ≥ λ”. Supondo GCH e cf(λ )> κ > µ ,provamos também que λ µ = λ e, assim, 1 “2µ = λ”, para todo cardinal infinito µ < κ . Entãoa regra acima acaba restringindo nossa liberdade de determinar de modo arbitrário a aritméticacardinal em cardinais menores que κ . Como fazer para evitar isso? Note que, ao usarmosB = r.o.(Fn(κ × λ ,2,κ)) no lugar de r.o.(Fn(κ × λ ,2)), ainda seremos capazes de provarque 1 “2κ ≥ λ” através do Teorema 2.6.11 junto com o Lema 2.6.15, mas não poderemosfazer a mesma coisa para cardinais infinitos µ < κ , uma vez que Fn(µ ×λ ,2,κ) não satisfaza propriedade µ ≥ κ , que é necessária. Porém, não poderemos usar esse forcing a menos queprovemos a B-absoluticidade da cofinalidade, ou ao menos da cardinalidade.

Supondo GCH, temos que 2<κ = κ . Consequentemente, o Teorema 1.3.33 implica queFn(κ ×λ ,2,κ) satisfaz κ+-cc. Portanto, fazendo B = r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ)), os teoremas 2.6.2 e2.6.4 provam que 1 “cf(α) = (cf(α)) ” para todo ordinal α tal que cf(α)≤ ω ou cf(α)≥ κ+.Portanto, para provar a B-absoluticidade da cofinalidade, precisamos provar a mesma afirmaçãopara ordinais α tais que ω < cf(α)< κ+, ou, equivalentemente, ω < cf(α)≤ κ . Isso será válidocaso B for µ-distributivo para todo cardinal infinito µ < κ , como iremos provar.

Teorema 2.6.19. Para todo cardinal κ e toda álgebra booleana completa B κ-distributiva, então,1 “cf(α) = (cf(α)) ” para todo ordinal α tal que cf(α)≤ κ .

Demonstração. Antes da demonstração, necessitaremos provar o seguinte lema:

Lema 2.6.20. Para todo cardinal κ e álgebra booleana completa B κ-distributiva, então, paratodo conjunto A e todo conjunto B tal que |B| ≤ κ , segue que 1 “AB = (AB) ”.

Nota: Caso for possível definir a classe A = B : |B| ≤ κ e provar sua B-absoluticidade,então podemos usar esse lema para provar que a definição F : V×A → V dada por F(A,B) = AB


é B-absoluta. Poderíamos também provar, como consequência, que a definição G : A → V, dadapor G(B) =℘(B) também é absoluta.

Demonstração. Considerando que, para todo cardinal µ < κ , B será µ-distributiva, podemosrestringir a demonstração para o caso que |B|= κ . Então existe função F : κ → B bijetora, e aabsoluticidade garante que 1 “F : κ → B∧ F é bijetora”. Argumentando do mesmo modo quena demonstração do Teorema 2.3.6 1o, substituindo apenas n por κ , podemos provar, devido aκ-distributividade, que 1 “Aκ = (Aκ ) ” para todo conjunto A. Com isso, vamos provar que,para todo nome f ∈ VB vale 1 “(f : B → A)→ f ∈ (AB) ”.

Uma vez fixado nome f como acima, usando a função F , temos que 1 “(f : B →A)→ (f ∘ F : κ → A)”, ou seja, 1 “(f : B → A)→ f ∘ F ∈ Aκ”. Então, o que demonstramosno parágrafo acima implica que 1 “(f : B → A) → f ∘ F ∈ (Aκ ) ”, de um outro modo, [[f :B → A]] ≤ [[f∘ F ∈ (Aκ ) ]]. Se então provarmos que [[f∘ F ∈ (Aκ ) ]] ≤ [[f ∈ (AB) ]], poderemosdeduzir facilmente que 1 “AB ⊂ (AB) ”, o suficiente para provarmos o lema, uma vez que1 “(AB) ⊂ AB” decorre da absoluticidade.

Temos que [[f∘ F ∈ (Aκ ) ]] = ∑g∈Aκ [[f∘ F = g]]. Fixe g ∈ Aκ arbitrário. O fato de F serbijetora implica que F admite inversa. Então podemos provar 1 “f ∘ F = g → f = g ∘ F−1”,isto é, [[f ∘ F = g]] ≤ [[f = g ∘ F−1]]. A absoluticidade dos termos envolvidos implica [[f =g ∘ F−1]] = [[f = (g ∘F−1) ]]. Uma vez que g ∘F−1 ∈ AB, temos que 1 “(g ∘F−1) ∈ (AB) ”,consequentemente, [[f = (g∘F−1) ]] ≤ [[f ∈ (AB) ]]. Já que g ∈ Aκ foi tomado arbitrariamente,segue que ∑g∈Aκ [[f∘ F = g]]≤ [[f ∈ (AB) ]], provando a última coisa que queríamos.

Como, para todo ξ < κ , |ξ |< κ , o lema acima nos permitirá provar que 1 “Aξ = (Aξ ) ”para todo A e todo ξ < κ . Agora, fixe ordinal α com cf(α)≤ κ , então todo ξ < cf(α) satisfaz apropriedade acima. Já sabemos que 1 “cf(α) ≤ (cf(α)) ”, só nos bastando aqui provar que1 “cf(α)≥ (cf(α)) ”.

Para todo ξ < cf(α), não existe função f : ξ →α cofinal, isto é, ∼∃ f ∈αξ f é cofinal, deonde, por absoluticidade, derivamos 1 “ ∼∃ f ∈ (αξ ) f é cofinal”. Usando o lema acima nessaúltima fórmula, obtemos que 1 “ ∼ ∃ f ∈ α ξ f é cofinal”. Pela arbitrariedade de ξ < cf(α),o último resultado implica que 1 “∀ξ < (cf(α)) ∼ ∃ f ∈ αξ f é cofinal”, de onde podemosderivar que 1 “cf(α)≥ (cf(α)) ”, como queríamos provar.

Agora podemos provar o esquema geral do que desejávamos como consequência imediatado teorema acima e o Teorema 2.6.4.

Corolário 2.6.21. Para toda álgebra booleana completa B que satisfaça κ+-cc e que, paratodo cardinal infinito µ < κ , B é µ-distributiva, então a função cofinalidade cf : ON → ON éB-absoluta, e então os teoremas 2.6.6, 2.6.7 e o Corolário 2.6.9 são aplicáveis.


Uma vez supondo GCH, já provamos que Fn(κ×λ ,2,κ), consequentemente r.o.(Fn(κ×λ ,2,κ)) satisfaz κ+-cc. Agora, o Teorema 1.3.48 implica que Fn(κ ×λ ,2,κ) e, consequente-mente, r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ)) são µ-distributivos para todo cardinal infinito µ < κ desde que κ

seja regular. Logo, a cardinalidade é r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ))-absoluta para todo cardinal regularκ . É sobre essas restrições que somos obrigados a abordar a partir de agora. Apesar disso, opróximo teorema mostra todo o potencial desse método.

Teorema 2.6.22. Supondo GCH, para todo cardinal regular κ e todo cardinal λ tal que cf(λ )> κ ,segue que, fazendo B = r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ)), 1 “2κ = λ”. Além disso, para todo conjunto A

e cardinal µ < κ temos que 1 “Aµ = (Aµ ) ”.

Demonstração. Primeiramente, necessitamos fazer o cálculo de |B|. Usando o Teorema 1.3.36,graças à GCH, temos que |Fn(κ ×λ ,2,κ)| ≤ λ . Como é fácil provar que |Fn(κ ×λ ,2,κ)| ≥ λ ,temos que |Fn(κ × λ ,2,κ)| = λ . Agora através do Corolário 1.3.38, sabendo que Fn(κ ×λ ,2,κ) satisfaz κ+-cc, temos que |r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ))| ≤ λ κ = λ . Como obviamente temos|r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ))| ≥ λ , obtemos que |r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ))|= λ .

Agora, sabendo que |B|= λ e da B-absoluticidade da cardinalidade, podemos usar oTeorema 2.6.1 para provar que 1 “2κ ≤ λ”. O Lema 2.6.15 implica que 1 “2κ ≥ λ”, logo1 “2κ = λ”. O fato de que 1 “Aµ = (Aµ ) ” para todo A e todo cardinal infinito µ < κ decorreimediatamente do Lema 2.6.20.

Com esse teorema, podemos provar teoremas de consistência ao estilo Con(ZFC) →Con(ZFC+2κ = λ ), porém com a mesma advertência do fim da subseção anterior, isto é, anecessidade de que κ,λ sejam definíveis em ZFC e r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ))-absolutas em ZFCou ZFC+GCH. Mas isso não é o interessante, uma vez que já poderíamos fazer isso comr.o.(Fn(κ ×λ ,2)), o interessante é a afirmação adicional, 1 “Aµ = (Aµ ) ” para todo A e todocardinal µ < κ , que tem como consequência imediata que, para todo cardinal θ e todo cardinalµ < κ , 1 “θ µ = (θ µ ) ”. Ou seja, a operação θ µ é preservada para todo cardinal µ < κ . Umavez que supomos GCH, θ µ seguirá as mesmas regras que seguia quando era válido GCH, epodemos converter isso numa fórmula, que enunciaremos na próxima definição.

Definição 2.6.23. Para todo cardinal κ , definiremos como GCH<κ a fórmula que representa aseguinte afirmação “Para quaisquer cardinais θ ≥ 2,µ ≥ 2 com ao menos um infinito e µ < κ ,então θ µ tem o mesmo valor de quando se supõe GCH (exibidas na demonstração do Teorema2.6.10)”. Do mesmo modo, definimos GCH≤κ , GCH>κ e GCH≥κ , substituindo apenas aocorrências de < em µ < κ , respectivamente, por ≤,>,≥.

Nota: Cada uma das afirmações acima possui uma única variável livre, a saber, o κ , queexigimos que seja cardinal.

Supondo GCH e fazendo B = r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ)), para κ cardinal regular e λ cardinaltal que cf(λ )> κ , podemos notar que todos os conceitos envolvidos são B-absolutos (incluindo


cofinalidade e infinitude), portanto temos que 1 “GCH<κ”. Tem mais alguma das afirmaçõesda definições acima que o nosso B satisfaz? Existe, é 1 “GCH≥λ

”, como iremos provarabaixo.

Teorema 2.6.24. Suponha GCH e faça B = r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ)), para κ cardinal regular e λ

cardinal tal que cf(λ )> κ . Então vale 1 “GCH≥λ”.

Demonstração. Como já conhecemos a B-absoluticidade de todos os termos da fórmula, preci-samos aqui provar apenas o fato que 1 “θ µ = (θ µ ) ”, para quaisquer cardinais θ ≥ 2,µ ≥ λ ,onde θ µ representa seu valor em GCH (que estamos supondo). Para isso, necessitaremos oseguinte lema:

Lema 2.6.25. Para toda álgebra booleana completa B tal que a cardinalidade é B-absoluta,então, para todo cardinal infinito λ ≥ |B|, temos que 1 “2λ = (2λ ) ” (não é necessário suporGCH).

Demonstração. Use o Teorema 2.6.1 com B-absoluticidade da cardinalidade e o fato que,para todo cardinal κ ≥ 2 com κ ≤ λ , temos que κλ = 2λ (sem usar GCH). Assim derivamos1 “2λ ≤ (2λ ) ”. O fato evidente que 1 “2λ ≥ (2λ ) ” conclui a demonstração.

O lema acima nos fornece a informação que, uma vez que |B| = λ , a operação 2µ épreservada para todo cardinal µ ≥ λ , isto é, vale µ+ uma vez que supomos GCH. Agora, parafinalizar o teorema, o leitor deve analisar a demonstração dos valores de θ µ quando vale GCH(por exemplo, no livro (KUNEN, 1980), onde tal afirmação é o teorema I 10.42), e perceber queé possível adaptá-la a essa versão limitada de GCH, desde que suponhamos µ ≥ λ , provandodiretamente a afirmação desejada, não necessitando usar B-absoluticidade.

Esses últimos resultados nos permitem provar o seguinte resultado generalizado deconsistência:

Teorema 2.6.26. Para quaisquer cardinais infinitos κ,λ tais que κ é regular e cf(λ )> κ , temosCon(ZFC) → Con(ZFC + 2κ = λ + GCH<κ + GCH≥λ ). Aqui estamos considerando implicita-mente o fato de κ,λ serem definíveis em ZFC, todas as hipóteses serem prováveis em ZFC, eZFC ou ZFC + GCH provar que κ,λ são r.o.(Fn(κ ×λ ,2,κ))-absolutas.

O teorema acima se trata de um único teorema, com quantificadores no estilo ∀κ cardinal

definível em ZFC ∀λ cardinal definível em ZFC .... Tal quantificação é permissível em metateoriauma vez que os cardinais definiveis são determinados por fórmulas. O teorema acima nos permite“acrescentar” novas manipulações na aritmética de cardinal além de 2κ = λ . O teorema geralserá mostrado a seguir:


Teorema 2.6.27. Fixe cardinais infinitos κ,λ e suponha que seja válido que 2κ = λ e GCH<κ .Sejam cardinais infinitos κ ′ < κ e λ ′ ≤ λ tais que κ ′ é regular e cf(λ ′) > κ ′. Fazendo B =

r.o.(Fn(κ ′×λ ′,2,κ ′)), teremos que 1 “2κ ′= λ ′”, 1 “GCH<κ ′” e 1 “2θ = (2θ ) ” para

todo cardinal θ ≥ λ ′. Em particular, 1 “2κ = λ”.

Demonstração. Através de GCH<κ , podemos provar que B = r.o.(Fn(κ ′×λ ′,2,κ ′)) satisfazκ ′+-cc e |B|= λ ′. Também sabemos que B é µ-distributivo para todo cardinal infinito µ < κ ′.Assim, o Corolário 2.6.21 nos implica a B-absoluticidade da cofinalidade e cardinalidade. ComoGCH<κ implica que λ ′κ ′

= λ ′, o Teorema 2.6.1 implica que 1 “2κ ′ ≤ λ ′”. O Lema 2.6.15 porsua vez prova que 1 “2κ ′ ≥ λ ′”, portanto, 1 “2κ ′

= λ ′”. O Lema, 2.6.20 junto com GCH<κ ,implica que 1 “GCH<κ ′”. O fato que 1 “2θ = (2θ ) ” para todo cardinal θ ≥ λ ′ segue doLema 2.6.25.

Com o teorema acima podemos “aninhar” o Teorema 2.6.26, provando um teoremade consistência do estilo Con(ZFC) → Con(ZFC + 2κ ′

= λ ′ + 2κ = λ + GCH<κ ′ + GCH≥λ ).Lembrando de todos os requisitos para ambos os pares de cardinais κ ′,λ ′ e κ,λ , junto com osrequisitos adicionais que κ ′ < κ e λ ′ ≤ λ . Por sua vez, o teorema acima permite “aninhar” maisuma vez, e assim por diante.

Ao contrário do fim da subseção anterior, onde provamos um resultado caso não sejasuposto GCH. Nesta subseção, supor GCH é crucial para a conclusão das demonstrações, já queé através dela que provamos o Teorema 2.6.19.

2.7 Colapso de Cardinais

Como o leitor pode ter notado, na seção anterior, foi necessário que κ fosse regularpara sermos capazes de provar que a cofinalidade e, consequentemente, a cardinalidade fosser.o.(Fn(I,J,κ))-absoluta. Essa suposição foi crucial uma vez que, não é possível provar taisr.o.(Fn(I,J,κ))-absoluticidades caso κ seja singular. Mais especificamente, quando κ é singular,é possível provar a existência de cardinais λ tais que, em B = r.o.(Fn(I,J,κ)), 1 “λ não é

cardinal”, isto é, λ “deixará de ser cardinal”, fato que denominei anteriormente como colapsode cardinais. Nessa situação, o menor cardinal maior que λ que não foi “colapsado” passam a“fazer o papel” de λ , já que, uma vez que ZFC assegura a existência de um cardinal infinito paracada ordinal com a associação α ↦→ ωα , nenhum desses cardinais se “extingue”.

O próximo teorema prova que a r.o.(Fn(I,J,κ))-absoluticidade da cardinalidade nãoprecisa ser verdade caso κ não seja regular:

Teorema 2.7.1. Fixe um κ cardinal singular e álgebra booleana completa B tais que existanome G tal que 1 “G é filtro (DFn(κ,2,κ)) -genérico” (por exemplo r.o.(Fn(κ,2,κ))). Entãovale 1 “∃g g é injetora ∧dom(g) = κ ∧ im(g) = (cf(κ)) ”.

2.7. Colapso de Cardinais 99

Demonstração. É possível provar que, para qualquer cardinal singular λ , existe função f :cf(λ )→ λ cofinal, estritamente crescente e tal que f (ξ ) é cardinal infinito para todo ξ < κ .Com essa função podemos construir uma função F : cf(λ )→ λ que seja cofinal, estritamentecrescente e que F(ξ ) é cardinal regular para todo ξ < cf(λ ), a saber, fazendo F(ξ ) = f (ξ )+.Fixe tal F para κ .

Como já sabemos, as hipóteses implicam que 1 “⋃

G : κ → 2”. Assim, a nossa funçãog será criada (em teoria, não exibiremos um nome para a mesma) satisfazendo, para todo α < κ ,g(α) = minξ < cf(κ) : type(η ∈ F(ξ )−F(ξ + 1) :

⋃G(η) = 1) = F(ξ )+α (a função

type(A) aqui está usando a ordem canônica de ordinais implicitamente, por isso foi omitido oR). Falando de modo rigoroso, o que vamos provar é 1 “∃g g : κ → (cf(κ)) ∧ g é injetora

∧∀α ∈ κ(g(α) = minξ < (cf(κ)) : type(η ∈ (F(ξ )− F(ξ +1)) :⋃

G(η) = 1) = F(ξ )+

α)”. Para isso, note que, caso provarmos apenas que 1 “∀α < κ ∃ξ < (cf(κ)) type(η ∈(F(ξ )− F(ξ +1)) :

⋃G(η) = 1) = F(ξ )+α”, a afirmação acima segue de imediato. Então

provaremos apenas isso.

Os conjuntos densos usados aqui serão, para todo α < κ , Dα = q ∈ Fn(κ,2,κ) : ∃ξ <

cf(κ)(((F(ξ + 1)−F(ξ ))) ∈ dom(q)∧ type(η ∈ (F(ξ + 1)−F(ξ )) : q(η) = 1) = F(ξ )+

α). Primeiro precisamos provar que, de fato, eles são densos. Fixe p ∈ Fn(κ,2,κ) arbitrário.Digo que existe ξ < cf(α) tal que α <F(ξ +1) e |dom(p)∩(F(ξ +1)−F(ξ ))|<F(ξ ). De fato,existe β ∈ cf(κ) tal que, para todo γ ∈ cf(κ) com γ ≥ β , vale |dom(p)∩ (F(ξ +1)−F(ξ ))| ≤F(ξ ), pois, caso contrário, teríamos |dom(p)| ≥ supF(ξ ) : β ≤ ξ < cf(κ)= κ , absurdo com|p| < κ . Então basta escolher ξ ≥ β com α ≤ F(ξ ), uma vez que F é cofinal estritamentecrescente.

Uma vez tendo ξ < cf(κ) com α < F(ξ +1) e |dom(p)∩ (F(ξ +1)−F(ξ ))|< F(ξ ),existirá β ∈ (F(ξ + 1)−F(ξ )) tal que, η < β para todo η ∈ (dom(p)∩ (F(ξ + 1)−F(ξ ))),(F(ξ + 1) é regular) e γ = type(η ∈ (dom(p)∩ (F(ξ + 1)−F(ξ ))) : p(η) = 1) < F(ξ ) ≤F(ξ )+α . Então podemos criar q ⊃ p “preenchendo lacunas de p” de modo que (F(ξ +1)−F(ξ ))⊂ dom(q), fazendo q(β +ξ ) = 1 para um número suficiente de ordinais a ponto de valertype(η ∈ (F(ξ + 1)−F(ξ )) : q(η) = 1) = F(ξ )+α . Agora, basta fazer q(η) = 0 para osdemais η ∈ (F(ξ + 1)−F(ξ )) que não estão em dom(p) e, nos demais η ∈ κ , mantendo-secomo era em p, sem acrescentar mais elementos. Isso é o suficiente para provar que q ∈ Dα e,portanto, Dα é denso para α < κ arbitrário.

Com a densidade dos conjuntos, fixe ordinal α < κ arbitrário. Os critérios de ab-soluticidade nos fornece que 1 “q ∈ (Fn(κ,2,κ)) : ∃ξ < (cf(κ)) ((F(ξ + 1)− F(ξ )) ∈dom(q)∧ type(η ∈ (F(ξ + 1)− F(ξ )) : q(η) = 1) = F(ξ )+ α) ∈ (DFn(κ,2,κ)) ”. Unindoisso ao fato de que 1 “G é filtro (DFn(κ,2,κ)) -genérico”, nos permite derivar que 1 “∃ξ <

(cf(κ)) type(η ∈ (F(ξ )− F(ξ + 1)) :⋃

G(η) = 1) = F(ξ )+ (α ) ” e, consequentemente,uma vez que α < κ foi tomado arbitrariamente, vale 1 “∀α < κ ∃ξ < (cf(κ)) type(η ∈(F(ξ )− F(ξ +1)) :

⋃G(η) = 1) = F(ξ )+α”. Como dissemos no segundo parágrafo, isso


permite provar a validade da existência da função enunciada no teorema.

Nota: A demonstração acima não usou nada que seja consequência de B-absoluticidadede cardinalidade ou cofinalidade, isso é importantíssimo para levarmos os argumentos acima atermo. Como consequência, para todos os efeitos, todos os cardinais mencionados dentro de um “” são considerados como simples ordinais.

Qual é o colapso que o teorema acima fornece? Uma vez que cf(α) < α e existefunção f : κ → cf(α) injetora, o cardinal κ é colapsado, isto é, 1 “κ não é cardinal”. Osmesmos fatos enunciados nesse parágrafos implicam 1 “|(cf(κ)) | = |κ|”. De modo geral,1 “|(cf(κ)) |= |α|”, para todo ordinal α entre cf(κ) e κ .

Agora, suponha GCH e, fazendo B = r.o.(Fn(κ,2,κ)), temos que Fn(κ,2,κ) satisfazκ+-cc e o Teorema 1.3.49 implica que Fn(κ,2,κ) é µ-distributiva para todo cardinal µ < cf(κ).Então os teoremas 2.6.4 e 2.6.19 implicam que para todo ordinal α tal que cf(α) ≥ κ+ oucf(α) ≤ cf(κ), vale que 1 “cf(α) = (cf(α)) ”. Portanto, parafraseando a demonstração doTeorema 2.6.6, podemos provar que, para todo cardinal regular λ tal que λ ≤ cf(α) ou λ ≥ κ+,então 1 “λ é cardinal regular”. Concluindo a dedução, parafraseando o mesmo teorema, paratodo cardinal θ satisfazendo θ ≤ cf(κ) ou θ ≥ κ+, vale 1 “θ é cardinal”, então o colapsofica restrito ao cardinais θ satisfazendo cf(α)< θ ≤ κ . Como consequência, o cardinal cf(κ) épreservado (sua regularidade também) e todos os cardinais colapsados colapsam para cf(κ), istoé, 1 “|θ |= (cf(κ)) ” para θ satisfazendo cf(κ)< θ ≤ κ . Essa última afirmação, junto com apreservação de cf(κ) independem de GCH, uma vez que elas usam somente µ-distributividade,e não o chain condition.

De modo mais geral, para conseguirmos colapsar um cardinal κ basta “produzir” umafunção sobrejetora g : α → κ com α < κ . Graças ao Teorema 2.6.11, conseguiremos assegurar aexistência dessa função para qualquer Fn(I,J,κ) com |I| ≥ κ (para assegurar que ela é “nova”,precisamos supor em acréscimo, que |J| ≥ 2, que será verdade em todos os casos interessantes).Em especial no que se refere a colapso de cardinais, temos o seguinte teorema geral.

Teorema 2.7.2. Para todo forcing não atômico do estilo Fn(I,J,κ) e para toda álgebra booleanacompleta B tal que existe nome G tal que 1 “G é filtro (DFn(I,J,κ)) -genérico”, vale 1 “|J| ≤|I|”. Caso valer também |I| ≤ |J|, teremos 1 “|I|= |J|”.

Demonstração. Consequência imediata do Teorema 2.6.11, uma vez que ZFC prova que aexistência de função f : A → B sobrejetora implica |B| ≤ |A|. Para a segunda afirmação, atentepara o fato que |I| ≤ |J| equivale a ∃ f f : I → J∧ f é injetora. Portanto, uma vez que temos quef : I → J∧ f é injetora é absoluta, vale que 1 “|I| ≤ |J|”.

O colapso de cardinais nos permite construir álgebras booleanas completas no qual éválido fragmentos de GCH sem fazer nenhuma suposição acerca da aritmética de cardinais, como

2.7. Colapso de Cardinais 101

o próprio GCH. Porém, isso serve apenas como curiosidade para mostrar que o forcing é capazde provar consistências que são demonstradas pelas técnicas elementares da teoria dos modelostransitivos (como L). O nosso teorema mais geral acerca desse assunto é exibido abaixo.

Teorema 2.7.3. Para todo cardinal infinito κ , existe álgebra booleana completa B tal que1 “2κ = κ+”.

Demonstração. Na demonstração não estamos assumindo nenhuma hipótese sobre aritméticade cardinais, como GCH.

O nosso B será r.o.(Fn(κ+,2κ ,κ+)), note que κ+ ≤ 2κ . O fato de κ+ ser regularimplica, pelo Teorema 1.3.48, que B é κ-distributiva e o Teorema 1.3.33 implica que B satisfaz(2κ)+-cc. Assim, temos que os únicos cardinais θ que são colapsados satisfazem κ+ < θ ≤ 2κ .Este fato e o teorema acima implicam que 1 “κ+ = |2κ |”. Assim, para provarmos o quedesejamos, precisamos provar que 1 “2κ ≤ |2κ |= κ+” (a parte 1 “2κ ≥ |2κ |= κ+” seguediretamente de ZFC).

O Teorema 1.3.36 implica que |Fn(κ+,2κ ,κ+)|= 2κ (como κ+ ≤ 2κ , temos (κ+)κ =

(2κ)κ = 2κ ), agora o Teorema 1.3.37 implica que |r.o.(Fn(κ+,2κ ,κ+))| = 2κ . Com essas in-formações, podemos usar o Teorema 2.6.1 e provar que 1 “2κ ≤ |2κ |”, concluindo nossademonstração.

Com isso conseguimos produzir provas diretas (isto é, usando apenas forcing) de consis-tência do estilo Con(ZFC)→Con(ZFC+2κ = κ+), para qualquer cardinal infinito κ (lembrandoda exigência de κ ser definível e absoluto), em particular, temos Con(ZFC)→Con(ZFC+CH).

103

APÊNDICE

ADEMONSTRAÇÕES DOS TEOREMAS 2.1.14

E 2.1.15

Aqui, para evitar qualquer problema ou confusão, assumiremos como conhecidos asafirmações enunciadas e provadas antes do Teorema 2.1.14.

A.1 Teorema 2.1.14

A.1.1 Breve introdução à lógica

Aqui, o nosso intuito é fazer o leitor entender o que se denota “afirmações logicamente

prováveis”. Essa definição varia largamente em vários textos. Aqui, ela é puramente formal,denotando todas as afirmações entendidas como axiomas da lógica. As afirmações logicamenteprováveis serão, então, todas as afirmações deriváveis a partir desses axiomas (incluindo ospróprios axiomas), através das regras de inferências que iremos denotar.

As afirmações são criadas de modo construtivo, começando com as fórmulas primitivas:R(x1, ...,xn), onde x1, ...,xn são as variáveis livres da fórmula. Quando se escolhe um universo de

domínio, R(x1, ...,xn) se torna “verdadeira” ou “falsa”, quando se substitui cada variável livre porum elemento desse universo. Na lógica, uma das fórmulas primitivas é =, de duas variáveis livres,que denotará a conhecida igualdade. Em acréscimo, na teoria dos conjuntos, um dos principaisassuntos desse texto, incluímos a fórmula ∈, de duas variáveis livres. Denotaremos sempre x ∈ y

e x = y ao invés de ∈ (x,y) e = (x,y). Também podemos incluir funções primitivas F(x1, ...,xn),com um número arbitrário de variáveis livres, incluindo nenhum. Ao se substituir cada variávellivre por um elemento do universo de domínio, a função passa a representar um elemento dessedomínio, caso não possuir variáveis livres, ela representa um elemento fixo do mesmo domínio.Porém, a teoria dos conjuntos não possui funções primitivas (apesar de mencionarmos funções eaté outras fórmulas que parecem ser primitivas ao longo desse texto, elas são apenas definições,

104 APÊNDICE A. Demonstrações dos teoremas 2.1.14 e 2.1.15

de modo que toda fórmula em que elas aparece são apenas “abreviações” da fórmula legítima,criadas para facilitar sua leitura), por isso não entraremos em mais detalhes sobre isso.

O passo de indução usa os conectivos lógicos: ∨ (“ou inclusivo”), ∧ (“e”), ∼ (“negação”ou “falsidade”), → (“implica”), e dos quantificadores ∀ (“para todo”) e ∃ (“existe”), de modoque, se φ e ψ forem fórmulas, também serão:

1. (φ)∨ (ψ)

2. (φ)∧ (ψ)

3. ∼ (φ)

4. (φ)→ (ψ)

5. ∀x(φ)

6. ∃x(φ)

Parênteses servem para denotar as subfórmulas existentes em uma fórmula, por exemplo,φ é uma subfórmula em todos os itens acima, ψ também é subfórmula em todos, exceto ositens 3, 5 e 6, embora seja comum omiti-las sempre quando isso não deixar dúvidas sobre assubfórmulas da fórmula. Todas as subfórmulas de φ e ψ também são subfórmulas das fórmulasonde elas aparecem. É importante salientar que, nos itens 5 e 6, x não é variável livre das fórmulas(independentemente se era ou não em φ , ele nem sequer precisa aparecer nessa subfórmula), mastodas as outras variáveis livres de φ , e somente elas, continuam sendo nesses itens. No item 3, asvariáveis livres prosseguem sendo as mesmas de φ , nos demais itens, suas variáveis livres sãoas variáveis livres de φ e ψ juntas. Dizemos que a subfórmula que o parêntese imediatamenteposterior ao ∃x ou ∀x envolvem, formam o escopo desse quantificador. Esse x passará a servariável quantificada e deixará de ser variável livre somente no escopo, isto é, ela pode continuarsendo variável livre na fórmula, desde que apareça em uma subfórmula fora do escopo, comoocorre, em particular, na fórmula x = y∧∃x y ∈ x. As ocorrências livres, de uma variável x emuma fórmula φ , são todas as suas aparições nela fora de qualquer escopo onde x está quantificado.Uma vez determinados os valores lógicos φ e ψ , os valores lógicos dos itens 1 a 4 ficam definidosconforme as regras conhecidas dos conectivos lógicos, valendo as seguintes equivalências entreeles:

i. (φ)∧ (ψ)≡∼ ((∼ (φ))∨ (∼ (ψ)))

ii. (φ)→ (ψ)≡ (∼ (φ))∨ (ψ)

Quanto à fórmula do item 5, após substituir todas as variáveis livres por elementos douniverso de domínio, ela será intuitivamente verdadeira quando, ao substituir as ocorrências

A.1. Teorema 2.1.14 105

livres de x por qualquer elemento do universo de domínio em φ , ela se torna verdadeira. De modoanálogo, o item 6 será intuitivamente verdadeiro quando existir um elemento desse universo que,após trocá-lo pelas ocorrências livres de x em φ , essa fórmula se tornar verdadeira. Vale tambémas seguintes equivalências:

I. ∃x(φ)≡∼ (∀x(∼ (φ)))

A partir de agora, quando denotarmos uma fórmula no estilo φ(x,y, ...) as variáveisexibidas entre parêntese serão possíveis variáveis livres da fórmula φ , mas não será obrigatórioque as variáveis realmente ocorram livres nessa fórmulas. Denotaremos como φ(x|y) o ato desubstituir todas as ocorrências livres de x em φ pela variável y, o que não destrói o fato de φ

ser fórmula. Tal substituição é dita ser admissível quando todas as ocorrências livres de x em φ

aparecem fora do escopo onde y está quantificado, denotaremos por φ(y) a fórmula resultantedessa transformação (caso y será variável livre caso a substituição seja admissível). Obviamente,φ(x|x) sempre será admissível. Caso existir uma função primitiva F(x1, ...,xn), poderíamos criarnovas fórmulas fazendo a transformação φ(x|F(x1, ...,xn)) (deveríamos incluir isso no passo deindução acima), tal substituição só será admissível caso forem admissíveis as transformaçõesφ(x|x1), ... , φ(x|xn).

As equivalências acima (i,ii e I) serão usadas como definições na nossa teoria lógica,cuja primeira lista de axiomas é a seguinte, para quaisquer fórmulas φ ,ψ,χ:

P1 (φ ∨φ)→ φ

P2 φ → (φ ∨ψ)

P3 (φ ∨ψ)→ (ψ ∨φ)

P4 ((φ ∨ψ)∨χ)→ (φ ∨ (ψ ∨χ))

P5 (φ → ψ)→ ((χ ∨φ)→ (χ ∨ψ))

Esses axiomas (na verdade, cinco esquemas de axiomas) fazem parte do Cálculo Propo-sicional, sua característica é não abordar nada sobre variáveis e quantificadores. A abordagemdesses elementos se faz acrescentando outros quatro novos esquemas de axiomas, que juntocom os axiomas acima formam o Cálculo de Predicados. Os dois primeiros são, para quaisquervariável x, fórmula φ(x) e variável livre y tal que φ(x|y) seja admissível:

Pr1. ∀x φ(x)→ φ(y)

Pr2. φ(y)→∃x φ(x)


Aqui, intuitivamente falando, a admissibilidade da substituição é necessária para evitarprovar afirmações que sejam falsas. Por exemplo, na teoria dos números, ∀x x = 0 →∃y x = y+1é uma afirmação verdadeira, mas aqui, tal substituição gerararia φ(x)≡ (x = 0 →∃y x = y+1),e então axioma Pra1 implicaria que y = 0 →∃y y = y+1 é verdade, um absurdo, que é evitadojá que φ(x|y) é inadmissível. Os próximos dois axiomas são, para qualquer variável x e quaisquerfórmula φ(x), ψ tais que x não é variável livre de ψ , temos que:

Pr3. (∀x(ψ → φ(x)))→ (ψ →∀x φ(x))

Pr4. (∀x(φ(x)→ ψ))→ ((∃x φ(x))→ ψ)

Esses axiomas nos permitem minimizar o escopo de uma variável quantificada, excluindoas subfórmulas onde ela não ocorre livremente.

A característica do cálculo de predicado é que, uma vez definido as fórmulas primitivas,independente do comportamento lógico destas ao substituir as variáveis livres por elementos douniverso de domínio, qualquer afirmação demonstrável por estes axiomas são sempre intuitiva-mente verdadeiros. Porém, nós desejamos que a fórmula primitiva = satisfaça certas propriedadesintuitivas da igualdade conhecida. Assim, nós precisamos acrescentar dois axiomas (na verdade,esquemas) determinando tais propriedades. Eles são, para toda variável x,y e fórmula φ(x) talque y não é variável livre de φ(x), e φ(x|y) é admissível:

L1 x = x

L2 x = y → (φ(x)→ φ(y))

Como esses axiomas impõe certas “características” à formula primitiva =, muitos textostratam esses axiomas fora do âmbito lógico, o que nós não faremos. De fato, combinando oaxioma L1 com o Pr2, podemos obter a consequência ∃x x = x (veremos a demonstração dissoabaixo). Ou seja, provamos que “existe um elemento no universo de domínio”, assim, paratornar estes axiomas intuitivamente verdadeiros, precisamos admitir sempre um universo dedomínio não vazio. Isso explica por que ZFC não necessita de um axioma dizendo que existe umconjunto (o “Axioma 0” da Introdução do livro (KUNEN, 1980), caso não fosse possível provaresse fato, não poderíamos provar que existe /0, que causaria problemas ao definir o axioma doinfinito). Os axiomas P1-P5, Pr1-Pr4, L1 e L2 formam os axiomas da lógica. Uma afirmação ψ

é logicamente provável, se existe φ1, ...,φn sequência finita de fórmulas tais que φn ≡ ψ e, paratodo m com 1 ≤ m ≤ n, φm é axioma da lógica, ou é derivável das fórmulas anteriores a partirdas seguintes regras de inferência:

α

φi A→B

φ j A

φm B

A.1. Teorema 2.1.14 107

γ

φi A

φm ∀x AOnde i, j satisfaz 1 ≤ i, j < m.

Além dessas regras, podemos, em uma fórmula já constatada ser derivável, usar asdefinições, substituindo subfórmulas por suas versões equivalentes, sendo a fórmula resultanteigualmente derivável. Porém, não necessitaremos incluir essa regra de derivação, desde quetornemos essas definições esquema de axiomas, substituindo seu formato A≡B por (A)↔ (B)

e incluindo, do mesmo modo, a equivalência definição (φ)↔ (ψ)≡ ((φ)→ (ψ))∧((ψ)→ (φ))

como axioma. Não demonstraremos essa afirmação, e o leitor que quiser provar precisará deum pouco de sagacidade, pois todos os axiomas usam essas definições. Será portanto precisoprimeiro escolher alguns conectivos e quantificadores como “primitivos” e depois substituirtodas as aparições dos demais conectivos lógicos (exceto à esquerda da definição do respectivosímbolo) pela versão equivalente usando apenas esses símbolos primitivos (uma dica: escolha∨,∼,∀ como primitivos e, dada um caso particular da definição no estilo φ ↔ ψ , onde asvariáveis livres de φ ,ψ sejam as mesmas, prove, por indução sobre o comprimento da fórmula A,a versão equivalente de A↔ A′, onde A′ é a fórmula A com todas as aparições da subfórmula φ

substituídos por ψ . O leitor poderá substituir subfórmulas por versões equivalentes denotadas nasdefinições, desde que esteja ciente que, formalmente falando, isso é apenas uma simplificação dareal fórmula para facilitar o entendimento do leitor).

Nas regras, A,B denotam fórmulas arbitrárias. Como exemplo de como usar as regrasde inferência, vamos provar o fato enunciado acima de que “existe um elemento no universode domínio”, isto é, ∃x x = x. Para deixar claro ao leitor como estamos usando os axiomas,exibiremos as substituições de fórmulas e variáveis com o símbolo /, por exemplo, φ/x = x

significa que estamos usando x = x onde aparecer φ , e y/z significa que estamos usando asvariável z onde aparece y nos respectivos axiomas.

φ1 x = x →∃x x = x Axioma Pr2; φ/(x = x); y/x

φ2 x = x Axioma L1φ3 ∃x x = x Regra α com φ1 e φ2

Agora podemos usar a fórmula ∃x x = x junto com os axiomas para derivar outrasfórmulas com as regras de inferência, e assim por diante. Para formalizar esse fato, você sóprecisa “concatenar” a demonstração acima com a demonstração onde você usou este teorema.

Antes de finalizar esta seção, devo citar as referências que usei para essa introdução. Olivro texto principal usado foi (KNEEBONE, 1963), livro que possui uma abordagem princi-palmente histórica da lógica, com algumas modificações minhas e extraídas de (HALBEISEN,2012). De fato, os Axiomas P1-P5, Pr1,Pr2,L1 e L2 foram extraídos dos Capítulos 2 e 3 de(KNEEBONE, 1963), porém eu os modifiquei para o formato de esquemas de Axiomas demodo a eliminar a necessidade de mencionar regras de substituição citadas no mesmo livro. OsAxiomas Pr3 e Pr4 são oriundos de (HALBEISEN, 2012) e eles permitem substituir as regras


de inferência (γ1) e (γ2) citadas em (KNEEBONE, 1963, 67) pela regra de inferência γ citadaacima. A regra de inferência α desse texto equivale à (β ), citada em (KNEEBONE, 1963, 67). Aparte falando da construção das fórmulas, apesar de possuir inspiração de (HALBEISEN, 2012)e (KNEEBONE, 1963), é bastante original.

A.1.2 Demonstração

Demonstração do Teorema 2.1.14. Note que podemos fragmentar valor booleano de uma fór-mula e torná-lo uma sequência de operações envolvendo o valor booleano de suas subfór-mulas, substituindo os conectivos lógicos ∨ , ∧ , ∼ , →, respectivamente, por = , · (quegeralmente omitimos), − , → (→ booleano: u → v = −u+ v) e os quantificadores ∀, ∃, res-pectivamente, por ∏ , ∑, conforme a Definição 2.1.7 e a Observação 2.1.8. Para os nossosobjetivos, lembre-se da mesma Observação 2.1.8, que diz que [[A→B]] = 1⇔ [[A]]≤ [[B]] e[[A↔B]] = 1⇔ [[A]] = [[B]]. Usaremos essas propriedades para provar a validade de todos osaxiomas.

Como, formalmente falando, estamos considerando as definições como axiomas, somosobrigados a provar a validade de todos eles, isto é, a igualdade entre os valores booleanosdas fórmulas equivalentes. Note que, a respectiva demonstração de → (definição ii) e ↔ está,respectivamente, na Observação 2.1.8, 3 e 4. Pegando o valor booleano da definição i, e tro-cando [[φ ]] e [[ψ]], respectivamente, por u e v, provaremos sua validade se provarmos queuv = −((−u)+ (−v)), que se obtém combinando o Teorema 1.1.2, partes (+)4 e 3. Para avalidade da definição de I, temos que provar que ∑x∈VB [[φ(x)]] = −∏x∈VB −[[φ(x)]], que éconsequência dos Teoremas 1.3.3 e 1.1.2 3.

Indo agora para os axiomas P1-P5, ao fazer a fragmentação, denote [[φ ]], [[ψ]], [[χ]],respectivamente, por u,v,w. A validade dos 4 primeiros axiomas são consequência imediata dasseguintes propriedades, que apenas enunciaremos abaixo, ao lado da propriedade que devemosprovar para conseguir a validade da respectiva afirmação:

P1 u+u ≤ u: Teorema 1.1.2 (+)2

P2 u ≤ u+ v: Teorema 1.1.4 (+)4

P3 u+ v ≤ v+u: Definição 1.1.1 (+)I

P5 (u+ v)+ v ≤ u+(v+w): Definição 1.1.1 (+)II

Já o teorema P5 é mais complexo, teremos que provar a propriedade u → v ≤ (w+u)→ (w+v),isto é, −u+ v ≤−(w+u)+(w+ v). Note que, devido às propriedades conhecidas das álgebrasbooleanas, temos que −(w+u)+(w+v) = (−w)(−u)+w+v = (−w+w+u)(−u+w+v) =

1(−u+ v+w) =−u+ v+w. Como é evidente que −u+ v ≤−u+ v+w, obtemos a validadedo axioma P5.

A.1. Teorema 2.1.14 109

Até aqui, usamos propriedades que valem para quaisquer valores booleanos. Por causadisso, até o momento foi irrelevante denotar quais nomes foram colocados no lugar das variáveislivres das fórmulas, fato essencial numa demonstração de validade. A partir de agora, a situaçãovai mudar.

Para os axiomas Pr1,Pr2, fixe fórmula φ(x) com φ(x|y) admissível. Fixe um nomearbitrário para todas as variáveis livres da fórmula, exceto x, caso for uma variável livre. Noteque, para qualquer x ∈ VB, pela definição de ∏, vale ∏t∈VB [[φ(t)]] ≤ [[φ(x)]]. Isso permite-nos provar que (∀x φ(x))→ φ(y) tem valor booleano 1, para quaisquer nome que troquemosa variável livre y (caso y seja variável livre em φ , devemos preservar o nome anteriormentefixado, mas isso não acarreta prejuízo à demonstração), provando assim a vaidade de Pr1. Ademonstração de Pr2 é análoga, devendo apenas substituir ∀ por ∃ e ∏ por ∑, levando emconsideração que [[φ(x)]]≤ ∑t∈VB [[φ(t)]].

Para os axiomas Pr3,Pr4, fixe uma variável x e duas fórmulas φ(x),ψ tais que x nãoé variável livre em ψ . Deixe um nome fixado para cada variável livre de φ(x),ψ exceto o x

caso assim seja. Note que [[ψ]] permanece um valor constante independentemente do nome quefixamos para a variável livre x. Isso nos permite usar o Teorema 1.3.1 3 para “por para fora” [[ψ]]

em um produtório, do seguinte modo: para Pr3, [[∀x(ψ → φ(x))]] = ∏x∈VB([[ψ]]→ [[φ(x)]]) =∏x∈VB(−[[ψ]] + [[φ ]]). Usando o teorema acima exibido, a última equação é igual a −[[ψ]] +

∏x∈VB [[φ(x)]] que, por sua vez, é igual a [[ψ → ∀x φ(x)]], o suficiente para provar a validadede Pr3, uma vez que era necessário provar apenas que [[∀x(ψ → φ(x))]] ≤ [[ψ → ∀x φ(x)]].Para Pr4, podemos proceder de modo análogo, até obtermos a equação [[∀x(φ(x) → ψ)]] =

∏x∈VB(−[[φ(x)]]+ [[ψ]]) =(∏x∈VB −[[φ(x)]]

)+ [[ψ]]. Agora, podemos usar o Teorema 1.3.3

para provar que ∏x∈VB −[[φ(x)]] =−∑x∈VB [[φ(x)]], assim concluímos que(∏x∈VB −[[φ(x)]]

)+

[[ψ]] = −(∑x∈VB [[φ(x)]]

)+ [[ψ]] = [[(∃x φ(x)) → ψ]], o suficiente para provar a validade do

axioma, já que bastava provar que [[∀x(φ(x)→ ψ)]]≤ [[(∃xφ(x))→ ψ]].

Até o momento, todas as demonstrações precisavam apenas fixar nomes arbitrários e asdemonstrações seguiam normalmente, nos próximos axiomas isso não bastará, precisaremosfazer demonstrações por recursão sobre os nomes.

Para demonstrar a validade do axioma L1, precisamos provar que, para todo x ∈ VB,[[x = x]] = 1. Isso será feito por recursão sobre ρ(x), mas, para esse objetivo, será necessárioacrescentar uma fórmula adicional e provar, via recursão, as duas simultaneamente, esse será oobjetivo do próximo lema:

Lema A.1.1. Para todo x ∈ VB, são válidas as seguintes afirmações:

1. x(t)≤ [[t ∈ x]], para todo t ∈ dom(x)

2. [[x = x]] = 1


Demonstração. Fixe x ∈ VB. Suponha que os dois itens sejam válidos para todo y com ρ(y)<ρ(x).

1: Fixe t ∈ dom(x), então [[t ∈ x]] = ∑u∈dom(x) x(u)[[t = u]]. Como t ∈ dom(x), ρ(t) <

ρ(x) e assim, por hipótese, [[t = t]] = 1. Portanto, x(t) = x(t)[[t = t]]≤ ∑u∈dom(x) x(u)[[t = u]] =

[[t ∈ x]], provando o item.

2: [[x = x]] = [[x ⊂ x]][[x ⊂ x]] = [[x ⊂ x]] = ∏t∈dom(x)(x(t)→ [[t ∈ x]]). Como provamos oitem 1 para x, temos que (x(t)→ [[t ∈ x]]) = 1, para todo t ∈ dom(x), o que implica [[x = x]] = 1.

Nota: O Corolário 2.1.16 diz a mesma coisa que o item 1 deste lema, de fato, a demons-tração em ambos é similar. Mas isso não gera contradição nesse texto, pois o Corolário supõea validade da afirmação lógica x = x, enquanto este supõe apenas que [[y = y]] = 1 para y talque ρ(y)< ρ(x). E, para todos os efeitos, o Corolário 2.1.16 é desconhecido nesse apêndice.Porém, é interessante o fato de que algo que mencionei ser consequência imediata da validadeda afirmação x = x é, na verdade, crucial para sua própria demonstração.

Para a demonstração do axioma L2, ao invés da indução dos nomes, será necessárioo uso da indução por comprimento das fórmulas. Mas, primeiro, usaremos as propriedadesbooleanas para converter o axioma em uma versão mais adequada para a demonstração (nãousaremos lógica em nenhum momento dessa demonstração, embora o que faremos, na maiorparte do tempo, pode ser justificado logicamente). Temos que [[x = y → (φ(x)→ φ(y))]] = [[x =

y]]→ ([[φ(x)]]→ [[φ(y)]]) =−[[x = y]]+(−[[φ(x)]])+ [[φ(y)]] =−([[x = y]][[φ(x)]])+ [[φ(y)]] =[[x = y]][[φ(x)]] → [[φ(y)]]. Portanto, provaremos a validade do axioma caso provarmos que[[x = y]][[φ(x)]]≤ [[φ(y)]]. Caso x não for variável livre do nosso φ(x), a desigualdade anterioré evidente. Assim, na nossa demonstração por indução sobre o comprimento da fórmula, nosrestringiremos ao caso em que x é realmente variável livre de φ(x), além, é claro, de supor que y

não é variável livre de φ(x).

O primeiro caso da hipótese de indução é para as fórmulas primitivas, que, considerandonossas hipóteses, assumem as formas: x = z, z = x, x ∈ z e z ∈ x, onde z pode ser qualquervariável exceto y (podendo ser o próprio x). Mas, como podemos constatar pela definição, vale[[x = z]] = [[x ⊂ z]][[z ⊂ x]] = [[z ⊂ x]][[x ⊂ z]] = [[z = x]]. Assim, só precisamos provar as trêsseguintes afirmações:

1. [[x = z]][[x = y]]≤ [[y = z]]

2. [[x ∈ z]][[x = y]]≤ [[y ∈ z]]

3. [[z ∈ x]][[x = y]]≤ [[z ∈ y]]

Este será o objetivo do nosso próximo lema:

Lema A.1.2. Fixada uma álgebra booleana completa B, vale, para quaisquer nomes x,y,z∈VB:

A.1. Teorema 2.1.14 111

a. [[x = z]][[x = y]]≤ [[y = z]]

b. [[x ∈ z]][[x = y]]≤ [[y ∈ z]]

c. [[z ∈ x]][[x = y]]≤ [[z ∈ y]]

Demonstração. A demonstração será por indução sobre todas as triplas obtidas com x,y,zsimultaneamente, induzida pela ordem <3 sobre (ρ(x),ρ(y),ρ(z)).

a: [[x= z]][[x= y]]≤ [[z⊂ x]][[x= y]]. Este último é igual a(∏v∈dom(z) z(v)→ [[v ∈ x]]

)[[x=

y]] = ∏v∈dom(z)((z(v) → [[v ∈ x]])[[x = y]]). Fixe v ∈ dom(z), então (z(v) → [[v ∈ x]])[[x =

y]] = (−z(v))[[x = y]] + [[v ∈ x]][[x = y]]. Por hipótese de indução sobre o item c, temos que[[v ∈ x]][[x = y]] ≤ [[v ∈ y]], logo, (−z(v))[[x = y]] + [[v ∈ x]][[x = y]] ≤ −z(v) + [[v ∈ y]]. Pelaarbitrariedade de v ∈ dom(z), obtemos [[z ⊂ x]][[x = y]]≤ [[z ⊂ y]].

Por outro lado, [[x = z]][[x = y]]≤ [[y ⊂ x]][[x = z]] = ∏u∈dom(y)((−y(u)+ [[u ∈ x]])[[x =

z]]). Fixando u ∈ dom(y), temos que (−y(u) + [[u ∈ x]])[[x = z]] = (−y(u))[[x = z]] + [[u ∈x]][[x = z]]. Por hipótese de indução sobre o item c, temos que [[u ∈ x]][[x = z]]≤ [[u ∈ z]], assim,(−y(u))[[x = z]]+ [[u ∈ x]][[x = z]]≤−y(u)+ [[u ∈ z]], de onde extraímos, pela arbitrariedade deu ∈ dom(y), [[y ⊂ x]][[x = z]]≤ [[y ⊂ z]].

As duas partes acima nos permitem concluir que [[x = z]][[x = y]]≤ [[y = z]].

b: [[x∈ z]] =∑v∈dom(z) z(v)[[x= v]], então [[x∈ z]][[x= y]] =∑v∈dom(z) z(v)[[x= v]][[x= y]].A hipótese de indução sobre o item a implica que [[x = v]][[x = y]]≤ [[y = v]]. Assim, podemosinferir que, como não se faz suposição sobre v ∈ dom(z), [[x ∈ z]][[x = y]] = ∑v∈dom(z) z(v)[[x =

v]][[x = y]]≤ ∑v∈dom(z) z(v)[[y = v]] = [[y ∈ z]].

c: Primeiramente, fixe t ∈ dom(x), digo que x(t)[[x = y]]≤ [[t ∈ y]]. Pois, como [[x = y]] =∏t∈dom(x) x(t)→ [[t ∈ y]], vale [[x = y]]≤ x(t)→ [[t ∈ y]] =−x(t)+ [[t ∈ y]], portanto, x(t)[[x =

y]]≤ x(t)(−x(t)+[[t ∈ y]]) = x(t)[[t ∈ y]]≤ [[t ∈ y]]. Multiplicando-se ambos os lados por [[z = t]],obtemos [[z = t]]x(t)[[x = y]] ≤ [[z = t]][[t ∈ y]]. Pela hipótese de indução sobre b, deduzimos[[z = t]][[t ∈ y]]≤ [[z ∈ y]] e, pela arbitrariedade de t ∈ dom(x), temos ∑t∈dom(x)[[z = t]]x(t)[[x =

y]]≤ [[z ∈ y]]. Mas, como ∑t∈dom(x)[[z = t]]x(t)[[x = y]] =(∑t∈dom(x)[[z = t]]x(t)

)[[x = y]], sendo

esta última fórmula igual a [[z ∈ x]][[x = y]], provamos, assim, a desigualdade desejada.

Nota: Talvez seja necessária uma melhor explicação sobre o método de indução usadoneste teorema. Ele exige um claro conhecimento sobre a ordem no qual as variáveis x,y,z sãocolocadas em cada tripla possível. O teorema cita as afirmações no formato de uma tripla (x,y,z),porém a demonstração prova várias triplas ao mesmo tempo, como, por exemplo, (y,z,x). Oleitor precisa estar ciente que, no caso dessa tripla, estamos implicitamente provando as mesmasafirmações dos itens, só que substituindo as ocorrências de x,y,z, respectivamente, por y,z,x.Agora, o leitor pode induzir as versões para as outras triplas. Na demonstração, de fato, nósmisturamos as triplas usadas como hipótese. Por exemplo, na demonstração do item a, ondeexibimos a demonstração para a tripla (x,y,z), usamos as hipóteses de indução do item c sobre a


tripla (x,y,z), na primeira parte, e sobre a tripla (x,z,y), na segunda parte. O leitor, caso desejeexplicitar a demonstração do item a para a tripla (y,z,x), irá notar que as hipóteses de induçãoserão do item c, respectivamente sobre as triplas (y,z,x) e (y,x,z). Caso o leitor achar esseprocesso muito suspeito, você pode formalizar como uma demonstração por indução sobre 18fórmulas distintas! 3 para cada tripla, o leitor também perceberá que é possível reduzir bastanteo número de fórmulas, uma vez que nem todas serão usadas como hipóteses.

Uma vez provada a afirmação para as fórmulas primitivas, provaremos o caso de induçãosobre o comprimento da fórmula. Suponha que o axioma já tenha sido provado válido paraas afirmações φ(x),ψ(x) arbitrárias (caso satisfaçam as hipóteses necessárias). Podemos aquiapenas provar que o axioma é válido para as fórmulas φ(x)∨ψ(x), ∼ φ(x) e ∀z φ(x), uma vezque as outras fórmulas são criadas por definição usando usando somente esses operadores. Paraas fórmulas acima satisfazerem as propriedades, é necessário e suficiente que as subfórmulassatisfaçam essas propriedades, a saber, φ(x),ψ(x) não possuam y como variável livre e astransformações φ(x|y) e ψ(x|y) sejam admissíveis. Podemos, sem perda de generalidade, nosrestringir a esse caso.

φ(x)∨ψ(x): Por hipótese de indução, temos [[x= y]][[φ(x)]]≤ [[φ(y)]] e [[x= y]][[ψ(x)]]≤[[ψ(y)]], para quaisquer nomes x,y e outros para as demais variáveis livres. Então, [[x =

y]]([[φ(x)]]+ [[ψ(x)]]) = [[x = y]][[φ(x)]]+ [[x = y]][[ψ(y)]]≤ [[φ(y)]]+ [[ψ(y)]]. Mas, como [[φ ∨ψ]] = [[ψ]]+ [[ψ]], deduzimos, da fórmula acima, que [[x = y]][[φ(x)∨ψ(x)]]≤ [[φ(y)∨ψ(y)]], oque era desejado.

∼ φ(x): O leitor deve notar que, nessa parte da demonstração, a indução é somente sobreo comprimento da fórmula, as variáveis livres usadas podem ser tomadas arbitrariamente. Logo,uma vez feita a demonstração para φ(x), intuitivamente já fizemos a demonstração tambémpara φ(y), desde que φ(y) satisfaça as hipóteses. Como estamos supondo que φ(x) não possuay como variável livre e a transformação φ(x|y) é admissível, uma vez a transformação feita,φ(y) não possuirá x como variável livre e a transformação φ(y|x) será admissível. Unindoesse fato ao fato que [[y = x]] = [[x = y]], temos, por hipótese, que [[x = y]][[φ(y)]] ≤ [[φ(x)]],isto é, ([[x = y]][[φ(y)]]) → [[φ(x)]] = 1. Por sua vez, esta última fórmula equivale a −[[x =

y]]+(−[[φ(y)]])+[[φ(x)]] = 1. Manipulando essas operações, obtemos −[[x = y]]+(−[[φ(y)]])+[[φ(x)]] =−[[x= y]]+(−[[φ(y)]])+(−(−[[φ(x)]])) =−[[x= y]]+(−(−[[φ(x)]]))+(−[[φ(y)]]) =([[x = y]](−[[φ(x)]])) → (−[[φ(y)]]). Logo, por consequência, temos ([[x = y]](−[[φ(x)]])) →(−[[φ(y)]]) = 1, isto é, [[x = y]](−[[φ(x)]]) ≤ −[[φ(y)]]. Então, obtemos o desejado, já que [[∼φ ]] = −[[φ ]] e, portanto, [[x = y]][[∼ φ(x)]] ≤ [[∼ φ(y)]] (lembre-se de prefixar um nome paratodas as outras variáveis presentes na fórmula φ(x)).

∀z φ(x): Agora, o leitor deve notar que nossas demonstrações nesta parte admitemcompleta arbitrariedade nos nomes que atribuímos às variáveis livres, entre elas o z (caso elerealmente seja uma variável livre de φ ). Então temos, por hipótese de indução, [[x= y]][[φ(x,z)]]≤

A.2. Teorema 2.1.15 113

[[φ(y,z)]] para qualquer nome z. Como [[x = y]]∏z∈VB [[φ(x,z)]] = ∏z∈VB([[x = y]][[φ(x,z)]])≤[[x = y]][[φ(x,z)]], temos [[x = y]]∏z∈VB [[φ(x,z)]]≤ [[φ(y,z)]], para qualquer nome z, o que nospermite concluir que [[x = y]]∏z∈VB [[φ(x,z)]] ≤ ∏z∈VB [[φ(y,z)]], o que era necessário provarpara obtermos [[x = y]][[∀z φ(x,z)]] ≤ [[∀z φ(y,z)]] (nesse teorema, consideramos que z sejadiferente de x e y, uma vez que estamos supondo que x é de fato variável livre da fórmula χ(x)

que usamos na demonstração e que χ(x|y) é admissível, nesta última demonstração, o χ(x) quenos referimos é ∀z φ ).

Isso conclui a demonstração da validade do último axioma da lógica que faltava.

Uma vez provado que todos os axiomas da lógica são válidos, para demonstrar que todafórmula logicamente provável é válida, só falta provar que, as regras de derivação α e γ , umavez aplicadas à fórmulas válidas, geram fórmulas válidas. Esse é o nosso próximo objetivo.Nas demonstrações abaixo, como todas as variáveis livres podem ser substituídas por nomesarbitrários, podemos omitir suas aparições, sem perda de generalidade.

Regra α: A validade de A→B equivale a [[A]]≤ [[B]], por hipótese, também temos avalidade de A, que equivale a 1≤ [[A]]. Com essas duas afirmações, concluímos que 1= [[B]],que nos permite derivar a validade de B, a nossa intenção.

Regra γ: Aqui a nossa única hipótese é a validade de A, isto é 1= [[A]] para quaisquernomes a que atribuamos às variáveis livres, entre elas o x (seja ele variável livre de A ou não, issoé irrelevante). Isso nos permite concluir que 1= ∏x∈VB [[A]], onde x é o símbolo que representao nome atribuído a todas as ocorrências livres da variável livre x em A, isso implica facilmente avalidade da fórmula ∀x A, uma vez que as outras variáveis livres prosseguem sendo arbitrárias,como queríamos provar.

Nota: Para a formalização da demonstração da validade das fórmulas logicamenteprováveis, será necessário que o leitor forneça a demonstração dessa fórmula, isto é, a sequênciaφ1, ...,φn aos moldes da nossa definição de fórmula logicamente provável, e depois provar quecada fórmula dessa lista é válida, seguindo as instruções fornecidas na demonstração acima. Porisso é estritamente obrigatório, para nossos objetivos, que essa lista seja finita.

A.2 Teorema 2.1.15

A.2.1 Formalizações Necessárias

Aqui precisamos formalizar o que queremos dizer com φ1, ...,φn ⊢ ψ . Para isso, vamosdefinir a versão geral do conceito ⊢. Dada uma teoria T, diremos que T ⊢ ψ quando existir umalista finita de fórmulas ψ1, ...,ψm com ψm ≡ ψ e, para todo k com 1 ≤ k ≤ m, ψk satisfaz umadas seguintes propriedades:

1. ψk é um dos axiomas de T


2. ψk é logicamente provável, isto é, ⊢ ψk

3. ψk é derivado das fórmulas ψ1, ...,ψk−1 a partir da regra α ou da regra γ

Quando a teoria T se tratar de uma lista finita φ1, ...,φn, poderemos escrever φ1, ...,φn ⊢ψ . Em particular, consideramos o caso ⊢ ψ quando a teoria T não possuir nenhum axioma,consequentemente, ψ é logicamente provável (explicando assim nossa notação). Por causa dadefinição, para toda fórmula ψ tal que T ⊢ ψ , existe uma lista finita φ1, ...,φn de axiomas de Ttal que φ1, ...,φn ⊢ ψ .

Essa definição, além de facilitar a demonstração do nosso teorema, permite fazer umadistinção entre Teoria e Lógica. Na demonstração do teorema, nós suporemos implicitamenteuma sequência nesse estilo, usando o Teorema 2.1.14 quando possível. Porém, o leitor deveráestar ciente que, em uma demonstração estritamente formal, para cada aparição de uma fórmulalogicamente provável, estaremos usando implicitamente uma demonstração ao estilo da seçãoanterior dessa fórmula. Caso assim deseje, o leitor mais cético pode concatenar essas demonstra-ções na nossa lista, eliminando esse “conflito”, porém, será necessário adaptar a demonstraçãopara isso.

A.2.2 Demonstração

Demonstração do Teorema 2.1.15. Fixe o u ∈ B−0 suposto do teorema. Vamos provar quecada fórmula que aparece na lista que comentamos acima é u-válida. Como por hipótese, cadauma das “fórmulas da teoria” φ1, ...,φn é u-válida, já está provado esse caso. Se uma afirmaçãofor logicamente provável, ela é 1-válida, logo, como u ≤ 1, ela também será u-válida. Resta entãoprovar que as regras α e γ , quando aplicadas a fórmulas u-válidas, geram fórmulas u-válidas.Nessa última demonstração, omitiremos as variáveis livres e os nomes atribuídos a ela, semperda de generalidade.

Regra γ: Essa é simples, pois, uma vez que u ≤ [[A]] para qualquer nome x que se atribuaà variável livre x (esteja ela ou não na fórmula A), temos que u ≤ ∏x∈VB [[A]], o que nos permiteinduzir que ∀x A é u-válida.

Regra α: Uma vez suposto que u ≤ [[A → B]] = −[[A]] + [[B]] e u ≤ [[A]], temos queu ≤ (−[[A]]+ [[B]])[[A]] = [[A]][[B]]≤ [[B]], o que nos permite inferir a u-validade de B.

115

APÊNDICE

BVERSÃO DE FORCING COM MODELOS

A abordagem mais comum da técnica de forcing consiste em tomar um modelo transitivoM de uma teoria S que estende ZFC e, através da técnica de forcing, criar uma extensão dessemodelo que satisfaça a teoria T. Caso tivermos êxito nessa construção, a consistência de T estaráligada à consistência de construirmos um modelo transitivo para S. Tal extensão usa um elementoque iremos definir agora.

Definição B.1 (FILTRO M-GENÉRICO). Dado M um modelo transitivo de ZFC (ou uma teoriaque a estende), P ∈ M um forcing em M (isto é, vale (P é forcing)M e, consequentemente, P éforcing), dizemos que G ⊂ P é um filtro M-genérico quando G for filtro e, para todo D ∈ M,caso valer (D ⊂ P∧D é denso em P)M (consequentemente, por absoluticidade, vale D ⊂ P∧D

é denso em P), vale G∩D = /0. Caso o forcing for uma álgebra booleana e G for ultrafiltro,denotaremos G como ultrafiltro M-genérico.Nota: Note que G não precisa pertencer a M.

Como o leitor pode perceber, fixado um modelo transitivo M de ZFC e um forcing Pde M, um filtro M-genérico corresponde ao filtro (DP)

M-genérico conforme a definição usadanesse texto.

O modelo que estende M depende de fixarmos B ∈M tal que vale (B é álgebra booleana

completa)M (B é álgebra booleana em V, mas não necessariamente completa) e tomarmos G

um ultrafiltro M-genérico de B. Ele é denotado por M[G], definido a partir de (VB)M quedenotamos por MB (como M é modelo transitivo de ZFC, é fácil provar, via absoluticidade, queMB = VB ∩M), como faremos na próxima definição.

Definição B.2 (val(x,G)). Dado M modelo transitivo de ZFC, para toda álgebra booleanaB ∈ M completa em M e todo G ultrafiltro M-genérico, definiremos val(x,G), ou xG , para todonome x ∈ VB, da seguinte forma recursiva: val(x,G) = val(t,G) : t ∈ dom(x)∧x(t) ∈ G. Emparticular, definiremos a classe val(x,G) : x ∈ MB como M[G].

116 APÊNDICE B. Versão de Forcing com Modelos

Como 1 ∈ G, podemos provar, por recursão, que xG = x para todo conjunto x, o queimplica: M ⊂ M[G] (é necessário provar que x ∈ M para todo x ∈ M, o que é feito via absolutici-dade). Com isso, é fácil provar que ΓG = G e, como é fácil verificar que Γ ∈ M, vale G ∈ M[G].Sendo M transitivo, é fácil provar que M[G] também o será.

A pedra angular dessa abordagem é o seguinte metateorema:

Teorema B.3. Fixados M modelo transitivo de ZFC (ou teoria que a estenda), B álgebrabooleana completa de M e G ultrafiltro M-genérico. Para toda fórmula φ(x1, ...,xn) com x1, ...,xn

variáveis livres e quaisquer nomes x1, ...,xn ∈ MB, vale φ M[G](val(x1,G), ...,val(xn,G)) se, esomente se, ([[φ(x1, ...,xn)]])

M ∈ G.Nota: A definição [[φ ]] não é absoluta, assim é crucial que se use a versão relativizada (lembre-se,formalmente falando, [[φ ]] é uma definição diferente para cada fórmula φ ).

Demonstração. A demonstração se dá via indução sobre o comprimento da fórmula, veja osdetalhes em (JECH, 1978, 167-169), mais precisamente a demonstração da fórmula (18.30). Nocaso de fórmulas primitivas, teremos que prová-las todas simultaneamente, podendo usar a abso-luticidade de seu valor booleano. Porém, nas fórmulas com quantificadores, tal absoluticidade jánão vale e é necessário considerar sua versão relativizada a M.

Como motivação para o leitor, provaremos o corolário necessário para provar a parte daindução que envolve quantificação.

Lema B.4. Fixados M modelo transitivo de ZFC, G ultrafiltro genérico de uma álgebra booleanacompleta B ∈ M. Então para todo conjunto X ∈ M tal que X ⊂ B e X ⊂ G, vale que ∏X ∈ G.Também, para todo Y ∈ M não vazio tal que Y ⊂B, então ∑Y ∈ G se, e somente se, existe u ∈Y

tal que u ∈ G.

Demonstração. Seja X ∈M tal que X ⊂G, criemos o conjunto DX = u ∈B−0 : ∀v ∈ X u ≤v∪u ∈ B−0 : ∃v ∈ X u ⊥ v. É fácil provar que DX ∈ M. Além disso, DX é denso, pois,fixe u ∈ B−0. Caso u ≤ v para todo v ∈ X , então u ∈ u ∈ B−0 : ∀v ∈ X u ≤ v ⊂ DX .Caso contrário, fixe v ∈ X tal que u ≤ v, como as álgebras booleanas são separativas, existe w ≤ u

tal que w ⊥ v, assim, w ∈ u ∈ B−0 : ∃v ∈ X u ⊥ v ⊂ DX . Portanto, a M-genericidade deG implica DX ∩G = /0, mas, como supomos X ⊂ G que é filtro, deve valer G∩u ∈ B−0 :∃v ∈ X u ⊥ v= /0, então G∩u ∈ B−0 : ∀v ∈ X u ≤ v = /0, isto é, ∃u ∈ G ∀v ∈ X u ≤ v,consequentemente, ∏X ∈ G.

Para provar a outra afirmação, fixe Y ∈ M subconjunto de B. Caso existir u ∈ Y quepertence a G, é consequência imediata de G ser filtro que ∑Y ∈ G. Agora, se ∑Y ∈ G, suponhapor absurdo que não existe u ∈Y tal que u ∈ G, então, já que G é ultrafiltro, segue que Z = −u :u∈Y⊂G. Como é fácil provar que Z ∈M, o que provamos acima implica que −∑Y =∏Z ∈G,absurdo com o fato de G ser filtro.

117

Nota: Lembre-se que ∑,∏ neste teorema só faz sentido dentro do modelo M, uma vezque B não precisa ser completa em V.

A partir desta ferramenta, essa abordagem provará a consistência de uma teoria Tconstruindo para ela um modelo transitivo M[G] para ela, a partir do modelo transitivo M de umateoria S que estende ZFC e um ultrafiltro M-genérico para uma álgebra booleana completa deM. Em uma abordagem assim, será usado várias vezes o metateorema acima junto com o fatode M ser modelo transitivo de S para provar todos os teoremas de consistência que provamosnesse texto e muitos outros. Para nós, porém, uma vez que provamos todas as nossas afirmaçõesdiretamente a partir do universo dos nomes, podemos simplesmente relativizar nossos resultadospara M e usar uma única vez esse metateorema e reobter todos os nossos resultados com essaabordagem. Por exemplo, no Teorema 2.5.5, o que fizemos foi provar (usando ZFC) que, parauma álgebra booleana completa específica, vale 1= [[∃x x ∈L]]. Portanto, para M modelo de ZFC,vale (1= [[∃x x ∈ L]])M e, usando o metateorema acima, para qualquer ultrafiltro M-genérico G,teremos que (∃x x ∈ L)M[G], provando que M[G] é um modelo para V = L (nos teoremas ondeusamos GCH, M precisa ser modelo de GCH também).

Se o leitor desenvolver nessa abordagem os conceitos de absoluticidade e class-preservingque provamos, perceberá que a B-absoluticidade de φ(x1, ...,xn) implica que vale∀x1, ...,xn (φ

M(x1, ...,xn)→ φ M[G](x1, ...,xn)), isto é, a M,M[G]-absoluticidade. Analogamente,verá que uma classe A(y1, ...,yn) ser B-cp implica que ∀y1, ...,yn (AM[G](y1, ...,yn)=AM(y1, ...,yn))

(basta verificar que ([[x ∈ A((y1) , ...,(yn) )]])M = ∑x∈M([[x = x]])M e usar o Lema B.4), em par-

ticular, ONM = ONM[G] e LM = LM[G].

A partir dessa abordagem, podemos obter resultados da forma Con(S’) → Con(T), ondeS’ é a teoria usada para provar que M é modelo transitivo de S e que o G usado é ultrafiltroM-genérico para a álgebra booleana completa de M usada. Mas, quando é que podemos assegurara existência de tais M e G? Caso M for V, já sabemos, pelo Teorema 2.5.2, que tal G não existea menos que a álgebra booleana completa seja atômica. E caso for atômica, ainda vale o casointeressante que todo G obrigatoriamente possuirá um átomo, como provaremos abaixo.

Teorema B.5. Para todo forcing atômico P, se G ⊂ P é filtro DP-genérico, então existe umátomo que pertence a G.

Demonstração. Releia a demonstração do Teorema 2.5.2 na parte que se assume P não atômico.Note que, para que um P atômico não incorra na mesma contradição, P−G não pode ser denso,isto é, existe p ∈ P tal que, para todo q ≤ p, q ∈ P−G, equivalentemente, q ∈ G, então tal p éum átomo e p ∈ G.

118 APÊNDICE B. Versão de Forcing com Modelos

O problema é que todos os resultados de consistência que fizemos nesse texto usaramálgebras booleanas não atômicas. Caso tomarmos M como sendo L, ainda não é possível provara existência de um G para álgebras booleanas completas não atômicas (já que L pode ser V),mas é possível provar a consistência de sua existência, o que é suficiente para obter os resultadosdesse texto por meio dessa abordagem, isso será provado no próximo teorema.

Teorema B.6. Para um B ∈ L que satisfaz (B é álgebra booleana completa)L, é consistentecom ZFC que existe ultrafiltro L-genérico.Nota: Nesse teorema, B precisa ser definido por uma fórmula para que a afirmação acima nãopossua variáveis livres.

Demonstração. Como Con(ZFC)→ Con(ZFC + V = L), podemos supor que vale V = L e assimsupor que B seja álgebra booleana completa em V. Portanto, podemos provar que, para VB,vale [[Γ é ultrafiltro (DB)L-genérico]] = 1. Pois DB = (DB)L e, devido ao fato de L ser B-cp,vale [[((DB)L) = (DB)L]] = 1 (devido ao Teorema 2.2.7), agora é só usar o Teorema 2.4.4.Consequentemente, vale [[∃G G é ultrafiltro (DB)L-genérico]] = 1, provando a consistência daafirmação desejada com ZFC.

Porém, o melhor caso é quando M é um conjunto enumerável, nesse caso, para todoelemento diferente de 0 da álgebra booleana completa existe um ultrafiltro M-genérico que ocontém, como provaremos a seguir.

Teorema B.7. Dado um modelo transitivo enumerável de ZFC M, B ∈ M álgebra booleanacompleta (em M) e u ∈ B−0, existe G ultrafiltro M-genérico tal que u ∈ G.

Demonstração. Seja Dnn∈ω enumeração dos conjuntos densos de B que estão em M. Porindução sobre n ∈ ω , crie a sequência v0 ≥ v1 ≥ ... ≥ vn ≥ ... tal que v0 = u e, para todon ∈ ω , vn+1 ∈ Dn (o que é sempre possível uma vez que Dn é denso), então é fácil provar queG = w ∈B−0 : ∃n ∈ ω vn ≤ w é filtro M-genérico, só resta provar que G é ultrafiltro. Umavez que M é modelo transitivo de ZFC, é fácil de provar que, para todo w ∈ B o conjunto densou ∈ B−0 : u ≤ w∨u ≤−w pertence a M, consequentemente, vale w ∈ G ou −w ∈ G paratodo w ∈ B, e logo B é ultrafiltro.

O problema no que se refere a esse caso é que não dá para provar a existência de modelostransitivos enumeráveis para todo axioma ZFC, ou qualquer teoria que a estenda. Mas existeuma maneira de contornar esse caso. Todas as demonstrações feitas sobre valor booleano de umafórmula exigem apenas um número finito de axiomas para demonstrá-lo. Assim M só precisarásatisfazer um número finito de axiomas. Em particular, todos os teoremas que provamos nesseapêndice só precisam supor também que M satisfaz um número finito de axiomas e, dada umafórmula φ , a respectiva instância do Teorema B.3 para essa fórmula também só necessita que M

satisfaça um número finito de axiomas. Uma vez que, em toda teoria S que estende ZFC, uma

119

vez fixada uma coleção finita de axiomas dela, podemos provar (em S) que existe um modelotransitivo enumerável M para essa lista finita, pode-se usar essa abordagem para provar que, paracada lista finita de axiomas de T, existe um M[G] que seja modelo para essa lista, o suficientepara provar que Con(S) → Con(T).

121

REFERÊNCIAS

HALBEISEN, L. J. Combinatorial Set Theory: With a gentle introduction to forcing. London:Springer-Verlag, 2012. ISBN 978-1-4471-2173-2. Citado 2 vezes nas páginas 107 e 108.

JECH, T. Set Theory. London: Academic Press, 1978. ISBN 0-12-381950-4. Citado 4 vezesnas páginas 46, 63, 73 e 116.

KNEEBONE, G. T. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An introduc-tory survey. London: D. Van Nostrand Company Ltd, 1963. Citado 2 vezes nas páginas 107e 108.

KUNEN, K. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. New York: Noth-HollandPublishing Company, 1980. ISBN 0-444-85401-0. Citado 6 vezes nas páginas 13, 43, 63, 73, 97e 106.

ÍNDICE

∆0-fórmula, 58κ-cc, 43

ccc, 43κ-distributicidade, 45κ-fechado, 48B-absoluticidade, 57B-class-preserving, 60u-válida, 56

Álgebra Booleana, 15Completa, 24Sub-Álgebra Booleana, 32

Completa, 32Anticadeia, 39

Maximal, 39Átomo, 26

Definibilidade, 57Denso, 39

Abaixo de p, 39Aberto, 39

Embarcação, 32Canônica, 32Densa, 32

Filtro, 23, 49M-genérico, 115D-genérico, 50Maximal, 49Ultrafiltro, 23

Forcing, 25Atômico, 26Não Atômico, 26Separativo, 26

Homomorfismo, 32Canônico, 32Completo, 32

Ideal, 23Primo, 23

Isomorfismo, 32Completo, 32

Partição, 39Pré ordem, 25

Refinamento, 39Regular, 20

Set-like, 51

123

ÍNDICE DE SÍMBOLOS

Γ, 74Ω(α), 87 , 53[[φ ]], 53x, 52cl(), 20r.o.(P), 28Fn(), 25int(), 20≤X , 87P, 25VB

α , 52xG, 115VB, 52B, 15Bu, 23Bu, 23B(X ,τ), 20

DP, 74

DpP, 74

GCH≥κ , 96

GCH≤κ , 96

GCH<κ , 96

GCH>κ , 96

val(x,G), 115

⊥, 25

ρ(x), 52

<n, 51

<<ω , 51

M[G], 115

SB, 64

0, 15

1, 15

sat(P), 40

u → v, 20

125

Júnio Luan Pereira - USP · Júnio Luan Pereira The forcing technique and applications Master...

Documents

Transcript of Júnio Luan Pereira - USP · Júnio Luan Pereira The forcing technique and applications Master...