João Pedro da Pontejponte@fc.ul.pt

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Desafios para Alunos e Professores de uma

Abordagem Exploratória da Matemática

CIBEM VICongreso Iberoamericano de Educación Matemática

Puerto Montt, Chile – 04 a 09 de Enero del 2009

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Sumário

1. Mudança curricular em Matemática

2. Novo programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal (1.º ao 9.º ano)

3. O papel do professor

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Mudança curricular em Matemática Ensino directo

Tarefas- Tarefa padrão: Exercício / Situações: artificiais,

- Para cada problema, uma e uma só estratégia e resposta certa.

Papéis- Os alunos recebem “explicações”,- O professor mostra “exemplos” para os alunos aprenderem “como se faz”,

- O professor e o manual são as autoridades na aula.

Comunicação- O professor põe questões e dá feedback (I-R-F),

- Os alunos respondem e põem “dúvidas”.

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Mudança curricular em Matemática Aprendizagem exploratória

Tarefas- Variedade: Explorações, Investigações, Problemas, Projectos, Exercícios…

- As situações são realísticas,- Existem várias estratégias para lidar com um problema.

Papéis- Os alunos trabalham em tarefas e têm de descobrir estratégias,

- ... Explicam e justificam o seu o raciocínio,- … Sendo também uma autoridade.

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Mudança curricular em Matemática Aprendizagem exploratória

Comunicação- Os alunos discutem com os colegas (grupos ou pares),

- No fim de um trabalho, há uma discussão com toda a turma,

- Os significados são negociados na sala de aula.

Os alunos aprendem a partir da

sua experiência matemática e da

sua reflexão sobre essa

experiência

A aula de exploração

Introdução da tarefa

Desenvolvimento do trabalho

Discussão final/Reflexão

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Às voltas com os números (Irene Segurado– 5.º ano)

Escreve em coluna os 20 primeiros múltiplos de 5.

1.Repara nos algarismos das unidades e das dezenas. Encontras algumas regularidades?

2.Investiga agora o que acontece com os múltiplos de 4 e 6.

3. Investiga para outros múltiplos.

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Às voltas com os números

A Tatiana levantando o braço respondeu prontamente: o algarismo das unidades é sempre 0 ou 5, o que foi aceite pelos colegas, ecoando pela sala: é sempre 0; 5, 0; 5...

Professora: Mais? Octávio com um ar feliz: O algarismo das dezenas

repete-se: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3...Carlos, com uma certa agitação, descobri mais uma

coisa... posso ir ao quadro explicar? (...)Já no quadro, explicou: O 0 com o 5 dá 5, o 0 com o

0 dá 0, o 1 com o 5 dá 6, o 1 com o 0 dá 1, o 2 com o 5 dá 7, o 2 com o 0 dá 2, o 3 com o 5 dá 8, estão a perceber? Há uma sequência. Dá 5, salta um, dá 6, salta um, dá 7... ou dá 0, salta um, dá 1, salta um, dá 2...

05101520253035404550556065707580859095

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Às voltas com os números

É importante o modo como o professor

responde às dúvidas dos alunos, dando-lhes atenção e encorajamento sem lhes dar directamente a resposta,

formula as questões, envolvendo toda a turma e levando os alunos a argumentar uns com os outros.

Em tópicos curriculares, onde aparentemente só se podem realizar

exercícios repetitivos, é possível fazer muito trabalho exploratório e

investigativo.

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Como é o aluno típico da turma?(Olívia Sousa – 6º ano)

Supõe que queres comunicar, a um aluno de um país distante, ou mesmo, quem sabe, a um extraterrestre, como são os alunos da tua turma...

Etapas

(i) Preparação das questões de investigação;

(ii) Recolha de dados;

(iii) Tratamento dos dados; e

(iv) Elaboração de relatórios sobre os resultados.

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Como é o aluno típico da turma?

Aprendizagens: Medidas (comprimentos, pesos…) Números decimais (que ganharam significado pelas

medidas), cálculo numérico, escrito e mental Estatística: Comparação, ordenação, agrupamento,

representações, média, mediana, moda.

Uma investigação formulada a partir da realidade dos alunos pode ser o ponto de partida tanto para

o desenvolvimento de competências de investigação como para a aprendizagem de novos

conceitos matemáticos.

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Identificação de relações

directamente proporcionais

Guilherme observa a tabela e questiona a

Investigadora sobre a necessidade de usar o Excel,

uma vez que já sabe que existe proporcionalidade.

Professora: (…) Como sabes que existe proporcionalidade nesta situação?

Guilherme: (Não usa qualquer material) Então, primeiro vi a [linha] A e a [linha] B (aponta para as linhas correspondentes às variáveis A e B). Vi o último par de números.

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Professora: Quais?

Guilherme: (Aponta para a última coluna da tabela) Ao multiplicar 5 por 3 dá 15… Tenho quase a certeza que sim [que existe proporcionalidade]. Com esta conta acreditei que o mesmo se passa com os outros [pares] números e dá, em 7,5 há 3 vezes 2,5. Aqui é igual, basta saber a tabuada para isso, 3 [parte decimal de 4,3] vezes 3 dá 9 [parte decimal de 12,9] e 3 vezes 4 é 12. “Tá” certo.

Professora: Consegues identificar a

constante de proporcionalidade?

Guilherme: É 3, se dividir 15 por 5 dá 3.

Também acontece com os outros [pares de] números.

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AmpliaçõesA situação

Experiência realizada com alunos do 8.ª série pelo professor João Almiro (2005).

A tarefa… A professora de Educação Visual quer ampliar a área da figura 400 vezes. A que distância é que deve colocar o retroprojector da parede? Elabora um relatório que inclua a descrição dastuas pesquisas, os cálculos que efectuaste,as tuas conjecturas e possíveis soluçõespara entregarmos à professora.

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AmpliaçõesReacções dos grupos

Alguns ficaram perdidos, outros agarraram na tarefa e começaram a tentar encontrar caminhos.

Todos perceberam que o rectângulo projectado teria que ter largura e comprimento 20 vezes maiores que o inicial.

A grande dificuldade era saber a que distância colocar o retroprojector da parede para que o comprimento dos segmentos da figura aumentasse 20 vezes.

Quase todos os grupos projectavam, mediam e viam quantas vezes comprimento e largura aumentavam.

Aperceberam que não tinham espaço na sala, pelo que tiveram que fazer cálculos para saber a que distância deviam colocar o retroprojector da parede.

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AmpliaçõesMais reacções

O professor considerou espectacular o trabalho de um grupo Percebeu que havia proporcionalidade

directa entre a distância do retroprojector à parede e o número de vezes que as dimensões eram ampliadas e resolveu o problema.

Quatro grupos, entreajudando-se, foram medindo e discutindo e quando um chegava a uma conclusão trocava com os outros.

Três grupos não conseguiram avançar sozinhos. Brincaram muito e produziram pouco.

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Ampliações

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AmpliaçõesBalanço

Alguns dos alunos (cerca de 1/5) não gostaram destas aulas.

A maioria referiu ter gostado destas aulas e reconheceu ter feito aprendizagens importantes:

Os problemas são um bocadinho mais complicados… Tínhamos que pensar um bocado, desenvolver, tínhamos que pensar métodos diferentes, para

conseguir o método ideal para ter o resultado certo… Nos manuais, as perguntas são directas, dizem logo o

que temos que fazer.

Eu não gostei destas aulas, prefiro aulas normais a fazer exercícios, acho

que aprendo muito mais nas aulas a fazer exercícios e a tirar dúvidas.

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Complexidade reduzida

Exercício Exploração

Fechado Aberto

Problema Investigação

Complexidade elevada

Complexidade reduzida

Fechado Aberto

Complexidade elevada

Complexidade reduzida

Complexidade elevada

Diversos tipos de tarefa

Projecto

Jogos

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Diferentes tipos de tarefas

Na aprendizagem da escrita

Cópia – Ditado – Redacção

Texto orientado – Texto livre

Na Matemática

Exercícios – Problemas

Exploração – Investigação

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As duas faces da Matemática…

A Matemática tem duas faces; é a ciência rigorosa de Euclides, mas é também algo mais... A Matemática em construção aparece como uma ciência experimental, indutiva.

George Pólya, 1957

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A influência do

professor…

Desde que pela primeira vez encontrei o Último Teorema de Fermat, em criança, ele tem sido a minha

maior paixão... Tive um professor que realizara investigações em Matemática e que me emprestou um livro sobre Teoria dos Números, que me deu algumas pistas sobre como começar a atacá-lo. Para começar,

parti da hipótese de que Fermat não conhecia muito mais Matemática do que a que eu aprendera…

Andrew Wiles, 1998

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O aluno e do matemático…

Entre o trabalho do aluno que tenta resolver um problema de geometria

ou de álgebra e o trabalho de criação, pode dizer-se que existe

apenas uma diferença de grau, uma diferença de nível, tendo

ambos os trabalhos uma natureza

semelhante.

Jacques Hadamard, 1944

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2. Novo programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal

1.º ao 9.º ano de escolaridade

-Alunos de 6 a 14 anos

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Números e operações Geometria e Medida Álgebra Organização e tratamento

de dados

Temas matemáticos e Capacidades transversais

Resolução de problemas Raciocínio matemático Comunicação matemática

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Comunicação

1.º ciclo (6-9 anos)

2.º ciclo (10-11 anos)

3.º ciclo (12-14 anos)

… Os alunos progridem na fluência e no rigor com que se exprimem, oralmente e por escrito, tanto na linguagem natural como na linguagem matemática, usando a notação e a simbologia específica dos diversos tópicos matemáticos e desenvolvem a sua capacidade de interagir num grupo e na turma.

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Resolução de problemas

Como ponto de partida para o desenvolvimen

to de novos conceitos e processos

Mobilizando conhecimentos e representações já

conhecidas, tirando partido da tecnologia

Compreender o

problema e formular

um plano

Realizar o plano

Reflectir e analisar o

trabalho feito

Em contextos não matemáticos (sobretudo

do quotidiano) e em contextos matemáticos

Levando os alunos a formular problemas e

a realizar investigações…

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Raciocínio

Na resolução de problemas/exercícios(i) formulação de uma estratégia geral de resolução de um

problema,(ii) realização de uma transformação ou cálculo e sua

justificação.

Em explorações/investigações

(i) formulação de uma conjectura apoiada numa

razão,(ii) definição de uma

estratégia de teste de uma conjectura.

Na demonstração(i) formulação de uma

estratégia de demonstração,

(ii) construção de uma cadeia argumentativa.

(iii) estabelecimento de relações entre objectos matemáticos ou não matemáticos.

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3. O papel do professor

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Competência para a realização da prática lectiva

Planeamento Objectivos curriculares Estrutura das aulas (introdução de conceitos

– exploração – discussão) Tarefas Materiais Organização do trabalho Gestão do tempo

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Competência para a realização da prática lectiva

Realização Introdução e negociação do trabalho

(contrato) Comunicação na sala de aula

Negociação de significados matemáticos Ambiente

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Competência para a realização da prática lectiva

Reflexão Os objectivos curriculares foram atingidos?

Os alunos aprenderam o que se pretendia? As tarefas e os materiais foram adequados?

A estrutura da aula e organização do trabalho funcionou?

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Estudos Recenteshttp://ia.fc.ul.pt

Ana Isabel Silvestre – Proporcionalidade directa, incluindo razões e escalas (6. ano)

Neusa Branco – Equações 1º grau – Padrões, Expressões, Equações, Resolução de problemas (7. ano)

Ana Matos – Álgebra - Sequências, Funções e Equações (literais) do 1.º grau (8. ano)

Idália Pesquita – Álgebra - Ainda os Números e Equações (literais) do 1.º grau (8. ano)

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Estudos Recenteshttp://ia.fc.ul.pt

Nuno Candeias – Geometria - Do Espaço ao Plano” (7. ano), Decomposição de figuras, Teorema de Pitágoras, Lugares geométricos, Translações, Semelhança de triângulos (8. ano)

Ana Henriques – Análise Numérica - Aritmética intervalar, Equações não lineares, Ajustamento de funções, cálculo integral (2º ano licenciatura Escola Naval)

Carmen Salvado – A comunicação na sala de aula no 3.º ciclo

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Estudos em Curso

Neusa Branco – Pensamento algébrico e perspectivas sobre o ensino da Álgebra na formação inicial de professores

Cláudia Nunes – A gestão curricular dos professores do 3.º ciclo e secundário, num contexto colaborativo de escola.

António Guerreiro – A comunicação na sala de aula no 1.º ciclo (estudo colaborativo)

Kátia Medeiros – A aprendizagem da regulação da comunicação na formação inicial de professores

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Estudar

Construir tarefas Procurar tarefas… … Modificá-las, adaptando-as aos alunos, Construir tarefas a partir de situações do dia-a-dia. Perceber como usar as ferramentas das TIC para

resolver tarefas conhecidas e tarefas novas Aprofundar o conhecimento Estudar novos assuntos de Matemática … Conhecer novas aplicações na Saúde, na

Economia… Perceber como é usada noutras disciplinas

escolares.

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Ouvir o aluno

Para apoiar a aprendizagem o professor tem Saber o que aluno está a pensar, … Como ele pensa, … O que compreende e onde tem dificuldade.

Para isso é necessário Dar ao aluno oportunidade de falar, Levá-lo a explicar as suas ideias em pormenor, Habituá-lo a ouvir com atenção os seus colegas, Ajudá-lo a construir argumentos, … E a discutir os argumentos dos outros alunos.

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Colaborar

A colaboração, conjugando os esforços de diversas pessoas, constitui uma estratégia chave para enfrentar os problemas da prática profissional.

Várias pessoas a trabalhar em conjunto: têm mais ideias, mais energia e mais

força para derrubar obstáculos.

capitalizam nas competências individuais.

... mas têm que se adaptar uns aos outros, trabalhando em conjunto de modo eficiente.

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Imagens e pressões

institucionais

sociais sobre a

profissão

Prática lectiva

Professor-Alunos

Formação

inicial

Desenvolver a sua identidade profissional

Prática profissional na escola (com colegas, com alunos,

com pais, com a comunidade)Participação

noutros espaços

profissionais

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Oficinas de FormaçãoObjectivo Sensibilização para as ideias-chave do novo

programa de um tema, num dado ciclo.

Formato 25 horas, em 6 sessões (Sábados), que decorrem em

3/4 meses Trabalho dos professores em grupo Exploração de aspectos do novo programa através

de tarefas e exemplos Concepção e realização de uma tarefa em classe Apresentação e discussão ao grupo.

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Oficinas de Formação

Pressupostos Formação baseada na prática, mas

informada pela teoria educacional Formação que incentiva a troca de

experiências (mais conseguidas e menos conseguidas) e a reflexão como base da cultura profissional.

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Formação na Escola/Agrupamento

Objectivo Desenvolvimento da capacidade de gestão

curricular associada ao novo programa num ciclo (e promovendo a articulação entre ciclos).

Formato Trabalho ao longo do ano, dos professores em

grupo na Escola ou Agrupamento, coordenado por uma equipa e apoiado exteriormente,

Identificação de aspectos críticos na aprendizagem dos alunos,

Concepção e realização de intervenções, sua avaliação e redefinição.

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Formação na Escola/Agrupamento

Pressupostos Formação baseada na prática Formação baseada na

identificação de necessidades e realização de projectos pelo grupo profissional.

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Pesquisar

Pesquisar

Procurar respostas através de recolha e análise sistemática de informação.

Quem pesquisa?

Ao lado dos universitários, cada vez há mais profissionais que pesquisam problemas da sua própria prática

Com que resultados?

Com contributos “locais” importantíssimos para a compreensão e resolução dos problemas

Com uma compreensão acrescida da pesquisa académica

Pesquisa a vários níveis

Aluno pesquisando Matemática

Professor pesquisando como o aluno

aprende Matemática

Educador matemático

pesquisando como alunos e

professores aprendem

Matemática

Matemático pesquisando Matemática

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Pesquisar na prática profissional do professor

Olívia Fui surpreendida por uma ideia... A forte analogia entre o modo como os alunos tinham desenvolvido a sua investigação e o modo como eu estava a desenvolver a minha… Tal como os alunos, também eu senti imensa dificuldade em formular as minhas questões de investigação... Outro aspecto onde senti o paralelismo, foi na dificuldade de comunicar por escrito as minhas ideias e conclusões. Também os alunos sentiram dificuldade na escrita das suas questões de investigação…

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Pesquisar na prática profissional do professor

... Para além dos processos, esta analogia estende-se também aos resultados. Penso que

posso inferir que, tal como eu, também os alunos sofreram um processo evolutivo enquanto

investigaram. Não pretendo dizer que se tornaram investigadores, tal como eu não me

tornei, mas penso que este tipo de experiências pode contribuir para que os alunos se tornem

mais reflexivos e mais competentes na procura de soluções para os seus problemas, quer enquanto

estudantes quer, mais tarde, como cidadãos.

Olívia

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Conhecimento Práticaacadémico académica

Conhecimento PráticaPrático profissional

Conhecimento profissional

informado pela investigação

Conhecimento académico e prática profissional / Teoria e prática

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O grande desafio que se coloca é pôr em diálogo teoria/prática académica e teoria/prática profissional, fazendo com que uma aprenda e se fortaleça com a outra. Para isso é fundamental a colaboração estreita, no campo nacional e internacional. Faço votos para que este encontro possa dar um forte contributo no sentido da emergência de um conhecimento profissional informado pela pesquisa de matemáticos, alunos, professores e investigadores.

Teoria e prática

João Pedro da Pontejponte@fc.ul.pt

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