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Jogos Cooperativos Barganha

Jogos Cooperativos

Prof. Leandro Chaves Rêgo

Programa de Pós-Graduação em Estatística - UFPE

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE

Recife, 31 de Outubro de 2014


Jogos Cooperativos

Introdução

Cooperar significa agir conjuntamente, com um propósito comum. Nestecapítulo nós iremos introduzir um modelo de cooperação entre dois jogadoresque não abandona a hipótese que os jogadores são racionais e buscammaximizar suas utilidades esperadas. A princípio poderíamos tentar modelaresta situação utilizando, por exemplo, jogos em forma extensiva, ondeincluiríamos todas as opções de comunicação e de assinatura de contratosentre os jogadores. Infelizmente, se formos cuidadosos em descrever todas ascoisas que jogadores podem fazer em um processo de barganha, teremos umjogo muito grande com um conjunto de equilíbrios muito grande. Então,precisamos de alguma teoria de seleção cooperativa de equilíbrios.


Jogos Cooperativos

Quando estudamos equilíbrio de Nash, vimos que se entre os equilíbrios, algumdeles tiver alguma propriedade especial que leve os jogadores a focarem nele demaneira que isto seja conhecimento comum, então este equilíbrio que osjogadores esperam é o que realmente é implementado. Uma possívelinterpretação da suposição que jogadores em um jogo podem cooperarefetivamente é que eles podem utilizar comunicação para coordenar aquilo queeles esperam em um equilíbrio focal que tem boas propriedades para obem-estar de alguns ou de todos deles. Então, os fundamentos da teoria dosjogos cooperativos reside, pelo menos em parte, no papel de arbitragem,negociação e propriedades de bem-estar para determinar um equilíbrio focal emum jogo com múltiplos equilíbrios.


Árbitro

Um árbitro é um indivíduo que pode determinar o equilíbrio focal em um jogosugerindo publicamente aos jogadores que eles devem implementar umequilíbrio particular. Para ser um árbitro efetivo, um indivíduo deve ser capazde se comunicar com todos os jogadores, antes do jogo, em uma linguagem queeles entendam e que seja rica o suficiente para descrever qualquer equilíbrio.Também deve ser conhecimento comum entre os jogadores que devido aoprestígio ou autoridade do árbitro todos os jogadores irão atender ou focar emqualquer equilíbrio anunciado pelo árbitro.

Um árbitro imparcial deve tentar basear sua seleção em algum tipo de princípioobjetivo. Então, nosso objetivo poderia ser descobrir qual equilíbrio selecionariaum árbitro imparcial, em um jogo qualquer, se sua seleção se baseasse emprincípios que tratassem os jogadores simetricamente e que selecionasse omesmo equilíbrio em jogos equivalentes. Deste modo, estaríamos tentandodesenvolver uma teoria normativa de arbitragem imparcial em jogos.


Hipótese de Equidade

Em geral, sempre que os jogadores possam identificar um único equilíbrio queum árbitro imparcial selecionaria, este equilíbrio pode se tornar focal apenaspelo fato dele possuir essa propriedade especial, existindo ou não um árbitro.Uma outra possibilidade é que um equilíbrio focal pode ser determinado poralgum processo de comunicação ente os jogadores anterior ao jogo. Umamaneira de fundamentar uma teoria para negociação de seleção de equilíbriosde um jogo, sem termos que modelar os detalhes do processo de negociação, éutilizar a seguinte hipótese de eqüidade:Os resultados de negociações efetivas as quais os jogadores tem oportunidadesiguais de participarem devem ser os mesmos que as recomendações feitas porum árbitro imparcial que sabe a informação que é conhecimento comum entreos jogadores durante o processo de negociação.

Esta hipótese de eqüidade afirma que as predições de uma teoria de negociaçãopara seleção de um equilíbrio focal devem ser as mesmas que uma teoria dearbitragem imparcial faria. A seguir formalizaremos propriedades como eqüidadee eficiência para solucionar um problema de barganha entre dois jogadores.


Problema de Barganha entre 2 Jogadores

Note que quando dois jogadores barganham ou um árbitro imparcial decide, autilidade que os dois jogadores receberão deve depender apenas da utilidadeque eles esperariam se negociação ou arbitragem falharem e no conjunto depossíveis utilidades que são possíveis aos jogadores no processo de negociaçãoou arbitragem. Portanto, define-se um problema de barganha entre doisjogadores como sendo um par (F , v), onde F é um subconjunto fechado econvexo do IR2, v = (v1, v2) ∈ IR2 e o conjunto

F ∩ {(x1, x2) : x1 ≥ v1 e x2 ≥ v2}

é não vazio e limitado. F é o conjunto de utilidades possíveis aos doisjogadores, ou conjunto viável, e v é o vetor de utilidades de discórdia. Asuposição que F é convexo pode ser justificado se assumimos que jogadorespodem concordar em randomizar conjuntamente estratégias, de modo que se ovetor x e o vetor y são possíveis e 0 ≤ θ ≤ 1, então a utilidade esperadaθx + (1 − θ)y pode ser atingida. Além disso, supomos ainda que existe algumvetor de utilidades possível que é pelo menos tão bom quanto o vetor deutilidades de discórdia e que ganhos ilimitados sobre o vetor de discórdia não épossível. Dizemos que um problema de barganha é essencial se existe pelomenos um vetor y ∈ F tal que y1 > v1 e y2 > v2.


Definindo a Partir de Um Jogo em Forma Normal

Para interpretar estas estruturas precisamos especificar como elas seriamderivadas no contexto de um dado jogo em forma normal de duas pessoasΓ = ({1, 2}, C1, C2, u1, u2). Uma possibilidade é definir F da seguinte maneira:

F = {u1(µ), u2(µ)},

onde C = C1 × C2 e ui(µ) =∑

c∈C µ(c)ui(c). Uma outra maneira seria definirF como sendo o menor conjunto convexo que contém como pontos os vetoresde utilidades de todos os equilíbrios de Nash do jogo Γ.


Definindo o Ponto de Discórdia

Uma maneira de determinar o ponto de discórdia v é definir vi como sendo ovalor minimax para o jogador i , então:

v1 = minσ2∈∆(C2)

maxσ1∈∆(C1)

u1(σ1, σ2), e

v2 = minσ1∈∆(C1)

maxσ2∈∆(C2)

u2(σ1, σ2).

Outra maneira seria escolher (σ1, σ2) como sendo algum equilíbrio focal de Γ evi = ui(σ1, σ2) para cada jogador i . Adiante veremos uma outra maneira dedefinir v e discutiremos qual maneira é mais apropriada para cada situaçãodada.


Solução Axiomática

O objetivo de qualquer teoria de negociação ou arbitragem é identificar paratodo problema de barganha de duas pessoas (F , v) um vetor ϕ(F , v) do IR2

que seria selecionado como resultado de um processo de negociação ou por umárbitro imparcial. Iremos abordar este problema através de axiomas, conhecidoscomo axiomas de Nash. Tais axiomas listam propriedades que uma soluçãorazoável para um problema de barganha deve satisfazer.Para quaisquer dois vetores x e y em IR2, escrevemos x ≥ y se, e somente se,x1 ≥ y1 e x2 ≥ y2; e x > y se, e somente se, x1 > y1 e x2 > y2. Os axiomas deNash são:

EF. Eficiência Forte (de Pareto). ϕ(F , v) é um vetor em F , e, paratodo x ∈ F , se x ≥ ϕ(F , v), então x = ϕ(F , v).

Axioma EF afirma que a solução deve ser viável e satisfazer ocritério de eficiência forte de Pareto. Em geral, dado umconjunto F um ponto x ∈ F satisfaz a eficiência forte (dePareto) se não existe nenhum outro ponto y ∈ F tal que y ≥ x

e yi > xi para algum jogador i . E um ponto x ∈ F satisfaz aeficiência fraca (de Pareto) se não existe nenhum ponto y ∈ F

tal que y > x .


Axiomas

RI. Racionalidade Individual. ϕ(F , v) ≥ v .

Axioma RI afirma que nenhum jogador deve estar em umasituação pior na solução que no ponto de discórdia. Dizemosque um vetor x é individualmente racional no problema (F , v)se x ≥ v .


Axiomas

ITAP. Invariância a Transformações Afins Positivas. Para quaisquernúmeros λ1, λ2, γ1, e γ2 tais que λ1 > 0 e λ2 > 0, se

G = {(λ1x1 + γ1, λ2x2 + γ2) : (x1, x2) ∈ F}, e

w = (λ1v1 + γ1, λ2v2 + γ2),

então ϕ(G ,w) = (λ1ϕ1(F , v) + γ1, λ2ϕ2(F , v) + γ2).

Axioma ITAP afirma que se o problema (G ,w) pode serderivado do problema (F , v) por uma transformação afimpositiva, então a solução de (G ,w) pode ser obtida realizandoa mesma transformação na solução de (F , v). Lembre queprovamos que funções utilidades que diferem apenas por umatransformação linear afim positiva representam a mesmapreferência do jogador, portanto (G ,w) e (F , v) representamna verdade o mesmo problema de barganha em escalasdiferentes e portanto devem ter a mesma solução.


Axiomas

IAI. Independência das Alternativas Irrelevantes. Para qualquerconjunto fechado e convexo G , se G ⊆ F e ϕ(F , v) ∈ G , entãoϕ(G , v) = ϕ(F , v).

Axioma IAI afirma que eliminar alternativas viáveis que não sãosoluções não deve alterar a solução.

SM. Simetria. Se v1 = v2 e {(x2, x1) : (x1, x2) ∈ F} = F , entãoϕ1(F , v) = ϕ2(F , v).

Axioma SM afirma que se as posições dos jogadores sãocompletamente simétricas, então a solução deve tratá-lossimetricamente.


Solução de Barganha de Nash

Um resultado importante obtido por Nash é que existe apenas uma únicasolução, chamada solução de barganha de Nash, que satisfaz todos estesaxiomas.

Teorema 2.1

Existe uma única solução ϕ(·, ·) que satisfaz os axiomas EF, RI, ITAP, IAI, eSM. Esta solução satisfaz que para qualquer problema de barganha de duaspessoas (F , v),

ϕ(F , v) ∈ argmaxx∈F ,x≥v (x1 − v1)(x2 − v2).


Prova

Primeiro, suponha que (F , v) é um problema de barganha essencial. Logo,existe algum y ∈ F tal que y1 > v1 e y2 > v2. Seja x o único ponto em F queque atinge o máximo da função (x1 − v1)(x2 − v2), chamada de produto deNash, sobre todo x ∈ F tal que x ≥ v . Este ponto deve satisfazer x > v paraque o produto de Nash calculado nele possa ser positivo, visto que o problemaé essencial. (Exercício: Prove que este ponto de máximo é único.) Sejaλi =

1xi−vi

e γi =−vixi−vi

= −viλi , para todo i . Defina uma função L : IR2 → IR2

tal que

L(y) = (λ1y1 + γ1, λ2y2 + γ2) = (λ1(y1 − v1), λ2(y2 − v2)),

e seja G = {L(y) : y ∈ F}. Para qualquer y ∈ IR2, se z = L(y), entãoz1z2 = λ1λ2(y1 − v1)(y2 − v2), e λ1λ2 é uma constante positiva. Portanto,como x maximiza o produto de Nash com respeito a F , L(x) maximiza oproduto z1z2 com respeito a G . Mas L(x) = (1, 1), e a hipérbole{z ∈ IR2 : z1z2 = 1} tem inclinação -1 no ponto (1, 1). Portanto, a reta{z ∈ IR2 : z1 + z2 = 2}, que tem inclinação -1 e passa pelo ponto (1, 1), temque estar acima e tangente ao conjunto convexo G em (1, 1). SejaE = {z ∈ IR2 : z1 + z2 ≤ 2}. Então, G ⊆ E .


Prova

Para satisfazer os axiomas EF e SM, nossa solução deve satisfazerϕ(E , (0, 0)) = (1, 1). Portanto, pelo axioma IAI ϕ(G , (0, 0)) = (1, 1). ComoL(v) = (0, 0) e G = {L(y) : y ∈ F}, o axioma ITAP implica queL(ϕ(F , v)) = ϕ(G , (0, 0)) = (1, 1), ou seja, ϕ(F , v) = x . Portanto, parasatisfazer os axiomas ϕ deve selecionar o vetor que maximiza o produto deNash entre todos os vetores individualmente racionais em F .Agora suponha que (F , v) não é essencial, no sentido que não existe nenhumponto y ∈ F tal que y > v . Como F é convexo, então existe pelo menos umjogador i tal que, para todo y ∈ F , se y ≥ v , então yi = vi . (Se pudéssemosencontra y e z em F tal que y ≥ v , z ≥ v , y1 > v1, e z2 > v2, então0,5y+0,5z seria um ponto em F que seria estritamente melhor para ambos osjogadores, uma contradição.) Seja x o vetor em F que é melhor para o jogadordiferente de i , sujeito a condição xi = vi . Então, este ponto é o único quesatisfaz eficiência forte de Pareto e racionalidade individual com respeito a v .Portanto, para satisfazer EF e RI, temos que ϕ(F , v) = x onde x maximiza oproduto de Nash que é igual a zero para todo vetor individualmente racional,neste problema de barganha não essencial.


Prova

Mostramos que os 5 axiomas de Nash implicam que a solução do problema debarganha deve selecionar o único vetor que satisfaz a eficiência forte de Paretoe maximiza o produto de Nash. Resta-nos apenas provar que esta solução ϕ

realmente satisfaz os 5 axiomas (Exercício).


Eficiência Fraca

Uma versão mais fraca do axioma da eficiência forte é a seguinte.

Ef. Eficiência Fraca. ϕ(F , v) ∈ F , e não existe nenhum y ∈ F talque y > ϕ(F , v).

Note que na prova do Teorema 2.1, no caso de um problema essencial,podemos substituir EF por Ef. Além disso, note que RI não foi necessário paraa prova do caso de um problema essencial. Portanto, temos que vale o seguinteteorema:

Teorema 2.2

Para um problema de barganha (F , v) de duas pessoas essencial, existe umaúnica solução ϕ(F , v) que satisfaz os axiomas Ef, ITAP, IAI, e SM. Estasolução satisfaz,

ϕ(F , v) ∈ argmaxx∈F ,x≥v (x1 − v1)(x2 − v2).


Comparações Inter-pessoais de Utilidades

Em problemas reais de barganha, é comum que jogadores façam comparaçõesinter-pessoais de utilidade. Uma maneira é aplicar o princípio dos ganhosiguais. Para qualquer problema (F , v), definimos a solução igualitária comosendo o único vetor x ∈ F que é fracamente eficiente em F e satisfaz acondição de ganhos iguais:

x1 − v1 = x2 − v2.

Uma outra maneira de fazer comparações inter-pessoais é aplicar o princípio dobem maior. Para qualquer problema (F , v), definimos uma solução utilitáriacomo sendo qualquer vetor x ∈ F que satisfaz:

x1 + x2 = maxy∈F

(y1 + y2).


λ-igualitária e λ-utilitária

Note que nem a solução igualitária nem a solução utilitária satisfazem o axiomaITAP. Dados quaisquer números λ1, λ2, γ1, e γ2 tais que λ1 > 0 e λ2 > 0,defina para todo y ∈ IR2,

L(y) = (λ1y1 + γ1, λ2y2 + γ2).

Dados quaisquer problema (F , v), seja L(F ) = {L(y) : y ∈ F}. Então, asolução igualitária de (L(F ),L(v)) é L(x), onde x ∈ F é o único vetor que éfracamente eficiente em F tal que

λ1(x1 − v1) = λ2(x2 − v2),

que é conhecido como uma solução λ-igualitária de (F , v). Similarmente, asolução utilitária de (L(F ), L(v)) é L(z), onde z ∈ F satisfaz:

λ1z1 + λ2z2 = maxy∈F

(λ1y1 + λ2y2),

que é conhecido como uma solução λ-utilitária de (F , v).


Comparações Inter-pessoais em barganhas

Portanto, quando pessoas utilizam comparações inter-pessoais em barganhas,temos em geral que responder duas questões:

Qual escala de utilidades das muitas que são equivalentes do ponto devista de preferências dos jogadores devem ser consideradas comparáveisinter-pessoalmente?

As comparações devem ser o usando o princípio de ganhos iguais ou dobem maior?

Para um problema de barganha de dois jogadores essencial existe um vetor λtal que a solução λ-igualitária é igual a solução λ-utilitária, este vetor édenominado de fator de escala natural para (F , v). O vetor em F que éλ-igualitário e λ-utilitário para este fator de escala natural é a solução debarganha de Nash.


Teorema

Teorema 2.3

Seja (F , v) um problema de barganha de dois jogadores essencial, e seja x ∈ F

tal que x ≥ v . Então, x é a solução de barganha de (F , v) se, e somente se,existirem números positivos λ1 e λ2 tais que

λ1(x1 − v1) = λ2(x2 − v2), e

λ1x1 + λ2x2 = maxy∈F

(λ1y1 + λ2y2).


Prova

Defina

H(x , v) = {y ∈ IR2 : (y1 − v1)(y2 − v2) = (x1 − v1)(x2 − v2)}.

O vetor x é a solução de barganha de Nash de (F , v) se, e somente se, ahipérbole H(x , v) é tangente a F em x . Mas, a inclinação da hipérbole H(x , v)

em x é −(x2−v2)(x1−v1)

, então H(x , v) é tangente em x a reta

{y ∈ IR2 : λ1y1 + λ2y2 = λ1x1 + λ2x2},

para quaisquer dois números positivos λ1 e λ2 tais que

λ1(x1 − v1) = λ2(x2 − v2).

Logo, x é a solução de barganha de Nash de (F , v) se, e somente se, F étangente em x a uma reta da forma {y ∈ IR2 : λ1y1 + λ2y2 = λ1x1 + λ2x2},para algum vetor (λ1, λ2) tal que λ1 > 0, λ2 > 0, e λ1(x1 − v1) = λ2(x2 − v2).


Exemplo

Seja v = (0, 0), e seja F = {(y1, y2) : 0 ≤ y1 ≤ 30, 0 ≤ y2 ≤ (30 − y1)1/2}.

(F , v) pode ser interpretado como uma situação em que os jogadores têm quedividir R$30,00 de qualquer forma que eles concordem, ou recebem R$0,00 seeles não chegam em um acordo, onde o jogador 1 é neutro ao risco (temutilidade linear para dinheiro), mas jogador 2 é averso ao risco, com uma escalade utilidades que é proporcional a raiz quadrada do valor monetário de seusganhos. Para encontrar a solução de barganha de Nash, note que

0 = (d

dy1

)(y1(30 − y1)1/2) = (30 − y1)

1/2 − y1

2(30 − y1)1/2

implica que y1 = 20. Então, a solução de barganha de Nash é o vetor deutilidades (20,

√10), que corresponde a uma distribuição de R$20,00 para o

jogador 1, e R$10,00 para o jogador 2.


Exemplo

Fatores de escala naturais para problema são λ1 = 1 e λ2 =√

40. Semodificarmos a utilidade do jogador 2, de modo que um ganho de R$x,00proporcione um aumento de

√40x ao invés de

√x em utilidade, enquanto a

utilidade do jogador 1 permanece a mesma, então a representação desteproblema se torna (G , (0, 0)), onde

G = {(y1, y2) : 0 ≤ y1 ≤ 30, 0 ≤ y2 ≤√

40(30 − y1)1/2}.

Nesta representação, a solução de barganha de Nash é (20, 20), que aindacorresponde a uma distribuição de R$20,00 par o jogador 1, e R$10,00 para ojogador 2, e ainda é um solução igualitária e utilitária.


Utilidade Transferível

Dado Γ = (N, (Ci)i∈N , (ui )i∈N) um jogo qualquer em forma normal, dizer que Γé um jogo com utilidade transferível é dizer que além das estratégias listadasem Ci , cada jogador i tem a opção de transferir qualquer quantidade dedinheiro a qualquer outro jogador, ou apenas de destruir dinheiro, e cadaunidade perdida de dinheiro decresce a utilidade do jogador i em uma unidade.Isto é, um jogo Γ com utilidade transferível pode ser representado pelo jogoΓ = (N, (Ci)i∈N , (ui )i∈N), onde para cada i , Ci = Ci × IRN

+, e

ui((cj , xj )j∈N) = ui ((cj)j∈N)− xi (i) +∑

j 6=i

(xj (i)− xi (j)),

onde xj (k), para k 6= j , representa a quantidade de dinheiro dada pelo jogador jao jogador k ; e xj (j) denota a quantidade de dinheiro destruída por j . Adependência linear de ui nas transferências xj expressa uma suposição implícitade neutralidade com respeito ao risco, que é sempre feita quando dizemos queum jogo tem utilidade transferível.


Utilidade Transferível

Se (F , v) é um problema de barganha de dois jogadores derivado de um jogocom utilidade transferível, então o conjunto de possibilidades F deve ser daforma

F = {y ∈ IR2 : y1 + y2 ≤ v12},

para algum número v12 que representa a máxima utilidade transferível que osjogadores podem atingir conjuntamente. Por exemplo, podemos definir

v12 = maxµ∈∆(C)

(u1(µ) + u2(µ)).

Então, para satisfazer as condições do Teorema 2.3 quando v12 é definido damaneira acima, devemos ter λ1 = λ2, caso contrário maxy∈F (λ1y1 + λ2y2) nãoexistiria, pois {(λ1y1 + λ2y2) : y ∈ F} não seria limitado superiormente. Entãoas condições para ϕ(F , v) do Teorema 2.3 tornam-se

ϕ1(F , v) − v1 = ϕ2(F , v) − v2 e ϕ1(F , v) + ϕ2(F , v) = v12.


Solução de Barganha de Nash com UtilidadeTransferível

Resolvendo estas equações, temos as seguintes fórmulas gerais para a soluçãode barganha de Nash de um jogo com utilidades transferíveis:

ϕ1(F , v) =v12 + v1 − v2

2e ϕ2(F , v) =

v12 + v2 − v1

2. (1)


Ameaças Racionais

Note, na Equação 1 por exemplo, que a utilidade do jogador 1 na solução debarganha de Nash cresce quando a utilidade de discórdia do jogador 2 decresce.Portanto, a possibilidade de prejudicar jogador 2 em caso de discórdia pode naverdade ajudar o jogador 1 se um acordo cooperativo é atingido. Então, aexpectativa de atingir um acordo cooperativo, que dependerá do ponto dediscórdia, pode incentivar os jogadores a se comportarem mais agressivamenteantes do acordo ser determinado, pois cada jogador tentará impor um ponto dediscórdia mais favorável. Este fenômeno pode ser formalizado pela Teoria dasameças racionais de Nash.


Ameaças Racionais

Seja Γ = (N, (Ci), (ui)) um jogo finito em forma normal, e seja F um conjuntoviável derivado de Γ. Suponha que antes de entrar no processo de negociaçãocom o outro jogador, cada jogador i deva escolher uma ameaça τi ∈ ∆(Ci).Suponha também que se os jogadores falharem em chegar a um acordo, entãocada jogador deverá independentemente implementar a ameaça τi que eleescolheu. Então, uma vez escolhidas as ameaças, o ponto de discórdia noproblema de barganha de dois jogadores é (u1(τ1, τ2), u2(τ1, τ2)). Sejawi (τ1, τ2) a utilidade do jogador i na solução de barganha de Nash com esteponto de discórdia, isto é,

wi (τ1, τ2) = ϕi (F , (u1(τ1, τ2), u2(τ1, τ2))).


Ameaças Racionais

Suponha agora que os jogadores esperam que eles irão no final chegar a umacordo que dependerá do ponto de discórdia segundo a solução de barganha deNash. Então, os jogadores não devem se importar em implementar suasameaças, mas devem ao invés avaliar suas ameaças apenas em termos no seuimpacto no acordo cooperativo final. Dizemos que (τ1, τ2) é um par deameaças racionais se

w1(τ1, τ2) ≥ w1(σ1, τ2),∀σ1 ∈ ∆(C1), e

w2(τ1, τ2) ≥ w2(τ1, σ2),∀σ2 ∈ ∆(C2).


Jogo de Ameaças

Ou seja, ameaças racionais formam um equilíbrio de Nash do seguinte jogo deameaças

Γ∗{{1, 2},∆(C1),∆(C2),w1,w2}.Existência de ameaças racionais pode ser provada utilizando o fato que umjogo finito possui pelo menos um equilíbrio em estratégias mistas.


Jogo de Ameaças

Quando existe utilidade transferível, a análise do jogo de ameaças se torna maissimples. Da Equação 1, as utilidades no jogo de ameaças são:

w1(τ1, τ2) =v12 + u1(τ1, τ2)− u2(τ1, τ2)

2e

w2(τ1, τ2) =v12 + u2(τ1, τ2)− u1(τ1, τ2)

2,

onde v12 = maxµ∈∆(C)(u1(µ) + u2(µ)). Note que como v12 é uma constante,maximizar w1(τ1, τ2) é equivalente a maximizar u1(τ1, τ2)− u2(τ1, τ2), emaximizar w2(τ1, τ2) é equivalente a maximizar u2(τ1, τ2)− u1(τ1, τ2).


Jogo Diferença

Então, quando Γ é um jogo com utilidades transferíveis, (τ1, τ2) é um par deameaças racionais se for um equilíbrio de Nash do jogo de soma-zero

Γ∗∗ = ({1, 2},∆(C1),∆(C2), u1 − u2, u2 − u1),

chamado de jogo diferença derivado de Γ.


Escolha do Ponto de Discórdia

Consideramos 3 maneiras diferentes de escolher o ponto de discórdia de umproblema de barganha de um jogo em forma normal Γ:

(1) um equilíbrio de Γ,

(2) valores minimax de Γ,

(3) por ameaças racionais.


Exemplo

Para comparar estes em um contexto de um exemplo considere o jogo Γ emforma normal descrito na seguinte tabela

a2 b2

a1 10,0 -5,1

b1 0,-5 0,10


Exemplo

A maior soma de utilidades que pode ser obtida neste jogo é v12 = 10. Estejogo tem um único equilíbrio de Nash em (b1, b2). Se escolhermos as utilidadesneste equilíbrio para ser o ponto de discórdia temos v = (0, 10). Então, asolução de barganha de Nash é:

ϕ1(F , (0, 10)) =10 + 0 − 10

2= 0 e

ϕ2(F , (0, 10)) =10 + 10 − 0

2= 10.


Exemplo

Suponha agora que determinamos o ponto de discórdia utilizando o critério deminimax. O valor de minimax para o jogador 1 é v1 = 0, e o valor de minimaxpara o jogador 2 é v2 = 1. Para este ponto de discórdia temos que a solução debarganha de Nash é:

ϕ1(F , (0, 1)) =10 + 0 − 1

2= 4,5 e

ϕ2(F , (0, 1)) =10 + 1 − 0

2= 5,5.


Exemplo

O jogo de ameaças derivado de Γ é dado pela tabela seguinte

a2 b2

a1 10,0 2,8

b1 7,5,2,5 0,10


Exemplo

O único equilíbrio de Nash deste jogo de ameaças é (a1, b2), gerando o pontode discórdia (−5, 1). E para este ponto de discórdia temos que a solução debarganha de Nash é:

ϕ1(F , (−5, 1)) =10 − 5 − 1

2= 2 e

ϕ2(F , (−5, 1)) =10 + 1 + 5

2= 8.


Exemplo

De acordo com as três teorias, a estratégias de discórdia do jogador 2 é b2, poisa2 é dominada por b2 tanto se o objetivo de 2 for maximizar u2 ou minimizaru1. A diferença entre essas teorias surgem na especificação do comportamentode discórdia do jogador 1. No caso do equilíbrio de Nash, o comportamento de1 é determinado somente pelo seu objetivo de maximizar u1. No caso deameaças racionais, o comportamento de 1 é determinado por uma únicaestratégia que têm o objetivo de maximizar (u1 − u2). Finalmente, segundo ateoria de minimax, o jogador 1 pode escolher duas ameaças: uma defensiva a1

que maximiza u1 e é utilizada para determinar v1, e outra b1 que minimiza u2 eé utilizada para determinar v2.


Observações

Portanto, a teoria do equilíbrio de Nash para selecionar o ponto de discórdiadeve ser utilizada quando os jogadores não podem se comprometerantecipadamente a nenhuma estratégia pré-planejada para o evento dediscórdia, apenas quando uma discórdia acontece que os jogadores cumpremsuas estratégias de discórdia. A teoria das ameaças racionais é apropriada emsituações, onde cada jogador, antes do processo de negociação, quando não éesperado que este processo não atinja um acordo, se comprometem com umaestratégia pré-planejada não importa quem tenha sido o último a rejeitar umaproposta de acordo. Finalmente, a teoria de minimax é apropriada quando osjogadores podem, antes do processo de negociação, se comprometerem a duasestratégias pré-planejadas, uma defensiva que ele utilizará se ele foi o último arejeitar uma oferta de acordo, e outra ofensiva se o outro jogador foi o último arejeitar uma oferta de acordo.


Um Jogo de Barganha com Ofertas Alternadas

Vamos analisar agora um jogo de barganha no qual dois jogadores alternamfazendo ofertas até que uma delas seja aceita, e na qual existe umaprobabilidade positiva do jogo terminar após cada período em discórdia senenhuma oferta foi aceita até o momento.Nos restringiremos a uma classe menor de jogos de barganha de dois jogadores.Diz-se que um problema de barganha de dois jogadores (F , v) é regular se, esomente se, F é essencial ({y ∈ F : y > v} 6= ∅) e, para todo vetor y ∈ F , (1)se y1 > v1, então ∃z ∈ F tal que v1 ≤ z1 < y1 e z2 > y2, e (2) se y2 > v2,então ∃z ∈ F tal que v2 ≤ z2 < y2 e z1 > y1. Portanto, em um problemaregular, existe um vetor viável que é estritamente melhor que o ponto dediscórdia para ambos jogadores; e sempre que um jogador recebe estritamentemais que sua utilidade de discórdia, existe algo que ele pode fazer que reduzsua utilidade e cresce estritamente a utilidade do outro jogador.


Algumas Definições e Propriedades

Para qualquer problema de barganha de dois jogadores regular (F , v), sejami (F , v) = maxy∈F ,y≥v yi , o máximo que i pode obter com uma estratégia emqualquer vetor individualmente racional em F . Para qualquer número z1 tal quev1 ≤ z1 ≤ m1(F , v), seja h2(z1, F ) = max{y2 : (z1, y2) ∈ F}, a maior utilidadeque jogador 2 pode obter dado que o jogador 1 obtém utilidade z1.Similarmente, define-se h1(z2,F ) para qualquer v2 ≤ z2 ≤ m2(F , v).

Lema 2.4

Para qualquer problema de barganha de dois jogadores regular (F , v), temosque se mi (F , v) ≥ zi > yi ≥ vi , então hj (zi ,F ) < hj(yi , F ), para j 6= i .


Prova

Suponha sem perda de generalidade que i = 1 e j = 2. Suponha porcontradição que m1(F , v) ≥ z1 > y1 ≥ v1 e h2(z1,F ) ≥ h2(y1,F ). Como oproblema é regular, temos que argmaxx1∈[v1,z1]

h2(x1,F ) = {v1}, pois casocontrário se existisse x ′

1 ∈ (v1, z1] tal que x ′1 ∈ argmaxx1∈[v1,z1]

h2(x1,F ), acondição de regularidade implica que existe w1 ∈ [v1, x

′1) tal que

h2(w1,F ) > h2(x′1,F ), uma contradição. Portanto, h2(v1, F ) > h2(z1, F ) e

existe α ∈ (0, 1) tal que y1 = αz1 + (1 − α)v1. Pela convexidade de F , temosque

α(z1, h2(z1,F )) + (1 − α)(v1, h2(v1,F ))

= (y1, αh2(z1, F ) + (1 − α)h2(v1,F )) ∈ F .

Como h2(v1,F ) > h2(z1, F ) ≥ h2(y1, F ), temos queαh2(z1,F ) + (1 − α)h2(v1,F ) > h2(y1,F ), uma contradição.


Propriedade de um Problema de BarganhaRegular

Lema 2.5

Seja (F , v) um problema de barganha de dois jogadores regular, e sejam p1 e p2

números tais que 0 < p1 < 1 e 0 < p2 < 1. Então existe um único par devetores x e y tais que x e y são individualmente racionais e fortementeeficientes em (F , v), e

y1 = (1 − p2)(x1) + p2v1 e x2 = (1 − p1)(y2) + p1v2.


Prova

Note que a condição acima é equivalente a:

x1 − y1 = p2(x1 − v1), e (2)

y2 − x2 =p1(x2 − v2)

1 − p1

. (3)


Prova

Quando fazemos x1 crescer de v1 até m1(F , v), como x é fortemente eficiente,temos pelo Lema 2.4 que x2 decresce de m2(F , v) até v2, e portanto o ladodireito de (3) decresce para 0. Por outro lado, quando fazemos x1 crescer de v1

até m1(F , v), o lado direito de (2) cresce monotonicamente de 0. Além disso,dado que x e y são vetores fortemente eficientes e F é convexo, quandofazemos x1 e x1 − y1 crescer, a diferença y2 − x2 (Exercício: Verifiqueformalmente esta afirmação.) cresce monotonicamente e é igual a 0 sex1 − y1 = 0. Então, quando requeremos que x e y sejam fortemente eficientesem F e satisfaçam (2), o lado esquerdo de (3) cresce monotonicamente de 0.Logo, pela continuidade das condições, existe um único valor para x1 tal que(3) é satisfeita. Para este valor de x1, podemos determinar y1 a partir de (2),x2 = h2(x1,F ), e y2 = h2(y1,F ).


Jogo de Barganha com Ofertas Alternadas

Seja (F , v) um problema de barganha de dois jogadores regular, e sejam p1 ep2 números tais que 0 < p1 < 1 e 0 < p2 < 1. Considere o seguinte jogo debarganha com ofertas alternadas:

O jogador 1 faz uma oferta em F em cada período ímpar, e o jogador 2faz uma oferta em F em cada período par, começando do primeiroperíodo e continuando até que alguma oferta seja aceita, ou o jogotermine em discórdia;

Após cada oferta, o outro jogador pode aceitar ou rejeitar a oferta. Se ojogador i fizer uma oferta e o jogador j rejeitar, para j 6= i , existe umaprobabilidade pi que o jogo terminará em discórdia na qual o jogador jreceberá vj e o jogador i receberá vi . Quando uma oferta é aceita, osjogadores recebem a utilidade da oferta aceita. (Note que os jogadoresrecebem apenas em único período deste jogo, ou quando um acordo éfeito, ou quando o jogo termina em discórdia.)


A Solução

Teorema 2.6

O jogo de barganha de ofertas alternadas descrito acima possui um únicoequilíbrio de subjogo perfeito no qual o jogador 1 planeja sempre oferecer umvetor x , jogador 2 planeja sempre oferecer um vetor y , jogador 1 aceitaqualquer oferta que lhe dê pelo menos y1, e o jogador 2 aceita qualquer ofertaque lhe dê pelo menos x2. Logo, em equilíbrio, o jogo terminará em acordo emx no primeiro período. Este vetores x e y formam o único par de vetores quesão individualmente racionais, satisfazem a eficiência forte, e as seguintescondições:

y1 = (1 − p2)(x1) + p2v1 e x2 = (1 − p1)(y2) + p1v2.


Prova

Note que todos os subjogos que começam em um período ímpar devem ter omesmo conjunto de equilíbrios de subjogo perfeito que o jogo completo.Similarmente, todos os subjogos que começam em um período par devem ter omesmo conjunto de equilíbrios de subjogo perfeito. Além disso, a utilidadeesperada em qualquer equilíbrio não pode estar acima da fronteira eficiente doconjunto convexo F . Seja x1 o supremo e x1 o ínfimo do conjunto de todas aspossíveis utilidades esperadas que o jogador 1 poderia receber em um equilíbriode subjogo perfeito no qual o jogador 1 faz a primeira oferta. Similarmente,seja y2 o supremo e y2 o ínfimo do conjunto de todas as possíveis utilidadesesperadas que o jogador 2 poderia receber em um equilíbrio de subjogo perfeitono qual o jogador 2 faz a primeira oferta. Note que yi ≥ vi , pois como oproblema é essencial os jogadores podem garantir que receberão pelo menos ovalor de discórdia em qualquer equilíbrio de subjogo perfeito.


Prova

Em qualquer equilíbrio de subjogo perfeito deste jogo, o jogador 2 sempreaceitará uma proposta que lhe dê mais que (1 − p1)y2 + p1v2 em um períodoímpar, pois esta é a melhor utilidade que o jogador 2 pode esperar quandorejeita uma oferta do jogador 1. Portanto, a utilidade esperada do jogador 1quando ele faz a primeira oferta não pode ser pior queh1((1 − p1)y2 + p1v2,F ). Além disso, para qualquer ǫ > 0, existe um equilíbriode subjogo perfeito no qual o jogador 2 esperar ter uma utilidade menor que y2

que difira por menos de ǫ de y2 (por definição de supremo) em qualquersubjogo que comece no período 2; logo o jogador 2 pode garantir pelo menos(1 − p1)(y2 − ǫ) + p1v2 no período 1. Como a utilidade esperada em qualquerequilíbrio não pode estar acima da fronteira eficiente do conjunto convexo F , ojogador 1 não pode ter uma utilidade esperada maior queh1((1 − p1)(y2 − ǫ) + p1v2, F ) neste equilíbrio.


Prova

Portanto,x1 = h1((1 − p1)y2 + p1v2,F ) (4)

Um argumento simétrico pode ser usado para mostrar que

y2 = h2((1 − p2)x1 + p2v1,F ) (5)


Prova

Por outro lado, o jogador 2 nunca aceitará uma oferta que lhe dê menos que(1 − p1)y2 + p1v2 em um período ímpar, pois esta é a pior utilidade que ojogador 2 pode esperar quando rejeita uma oferta do jogador 1 em umequilíbrio de subjogo perfeito. Portanto, a utilidade esperada do jogador 1quando ele faz a primeira oferta não pode ser maior queh1((1 − p1)y2 + p1v2,F ). Além disso, para qualquer ǫ > 0, existe um equilíbriode subjogo perfeito no qual o jogador 2 esperar ter uma utilidade maior que y2

que difira por menos de ǫ de y2 (por definição de ínfimo) em qualquer subjogoque comece no período 2; logo o jogador 2 aceitará qualquer oferta que lhe dê(1 − p1)(y2 + ǫ) + p1v2 no período 1. O jogador 1 pode garantir então umautilidade esperada de pelo menos h1((1− p1)(y2 + ǫ)+ p1v2,F ) neste equilíbrio.


Prova

Portanto,x1 = h1((1 − p1)y2 + p1v2,F ) (6)

Um argumento simétrico pode ser usado para mostrar que

y2 = h2((1 − p2)x1 + p2v1,F ) (7)


Prova

Vamos completar a definição dos vetores x , x , y , y definindo x2 = h2(x1,F ),x2 = h2(x1,F ), y1 = h1(y2,F ), e y1 = h1(y2, F ).Vamos provar que x1 = h1(x2,F ). Como (x1, x2) ∈ F , temos queh1(x2,F ) ≥ x1. Suponha por contradição que h1(x2, F ) > x1. Pelo Lema 2.4,temos que h2(h1(x2,F ),F ) < h2(x1,F ) = x2. Porém, como(h1(x2,F ), x2) ∈ F , temos uma contradição. Logo, x1 = h1(x2,F ), o que peloLema 2.4 implica que

x2 = (1 − p1)y2 + p1v2 (8)


Prova

Similarmente, utilizando um argumento similar temos que

y1 = (1 − p2)x1 + p2v1 (9)

x2 = (1 − p1)y2 + p1v2 (10)

y1 = (1 − p2)x1 + p2v1 (11)


Prova

As condições anteriores implicam que os vetores os vetores x , x , y , y sãofortemente eficientes e individualmente racionais. Logo, Lema 2.5, (8), (9),(10), e (11) implicam que x = x e y = y . Portanto, em qualquer equilíbrio desubjogo perfeito, o jogador 1 recebe uma utilidade esperada de x1 em todos ossubjogos que o jogador 1 faz uma oferta primeiro, e o jogador 2 recebe umautilidade esperada de y2 em todos os subjogos que o jogador 2 faz uma ofertaprimeiro.Resta-nos verificar que as estratégias descritas no enunciado do teoremaformam o único equilíbrio de subjogo perfeito. Note que em qualquer equilíbrioem que o jogador 2 tem utilidade esperada y2 no subjogo que começa nosegundo período, se o jogador 1 oferecer 2 mais que x2 = (1 − p1)y2 + p1v2,então o jogador 2 aceitaria, mas nesse caso o jogador 1 receberia menos quex1, e provamos que não existe um equilíbrio de subjogo perfeito com essasutilidades esperadas. Por outro lado, se o jogador 1 oferecer menos que x2,então ela não aceitaria e ele teria uma utilidade esperada de no máximo(1 − p1)y1 + p1v1 < x1, e provamos que não existe um equilíbrio de subjogoperfeito com essas utilidades esperadas. Uma análise similar estabelece que emqualquer equilíbrio de subjogo perfeito o jogador 2 deve oferecer y .

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