PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA – TURMA PDE 2016

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

FICHA DE PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA – TURMA PDE 2016

TÍTULO: Jogos Matemáticos como Recurso Facilitador para o Ensino da Matemática.

AUTOR: Valdevir Bergamini.

DISCIPLINA/ÁREA: Matemática.

ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO:

Colégio Estadual Santo Agostinho – Ensino Fundamental, Médio e Profissionalizante.

MUNICÍPIO DA ESCOLA: Palotina/PR.

NRE: Toledo.

PROFESSOR ORIENTADOR:

Dr. Marcos Lübeck.

IES: Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu.

RELAÇÃO INTERDISCIPLINAR:

Matemática e História.

RESUMO: O propósito desse estudo é apresentar uma metodologia e fazer reflexões sobre a utilização de Jogos Matemáticos como Recurso Facilitador para o Ensino da Matemática à alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, no Colégio Estadual Santo Agostinho – Ensino Fundamental, Médio e Profissional, do município de Palotina, NRE de Toledo. Logo, para seu desenvolvimento, realizamos pesquisas em livros, vídeos e artigos científicos, trazendo à tona indagações e construindo uma metodologia de trabalho de forma a fazer intervenções no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, de forma a interagir mais com os alunos. Ainda, na composição desse estudo, exploramos alguns conceitos da Etnomatemática e do Multiculturalismo. Com isso, a finalidade principal será motivar e desenvolver a autoconfiança, a concentração, o raciocínio lógico, o senso de cooperação, a tomada de decisões e a estratégia de ação dos alunos, através da implementação com jogos vindos de diferentes culturas. Nisto, não serão os jogos por si mesmos que irão fazer a diferença, mas sim a metodologia e os encaminhamentos dados pelo professor.

PALAVRAS-CHAVE: Jogos Matemáticos; Ensino de Matemática; Etnomatemática; Multiculturalismo.

FORMATO DO MATERIAL DIDÁTICO:

Unidade Didática.

PÚBLICO: Alunos do 7º Ano do Ensino Fundamental.

INTRODUÇÃO

Sempre nos questionamos sobre como os nossos alunos estão assimilando o

que passamos a eles. Será que estamos realmente contribuindo para sua formação?

Aliás, nos questionamos, ainda, sobre como desenvolver metodologias que venham

a facilitar o ensino e a aprendizagem. Porém, é bom lembrar que em todos os

processos que utilizam inovações, seja tecnológica, como o computador e softwares,

quer seja um jogo, ou um outro material, o papel do professor continua sendo de

fundamental importância para o andamento e o desenvolvimento harmônico da aula.

Por isso, nos propomos a trabalhar com os princípios da Etnomatemática e

com o Multiculturalismo, construindo um caderno de atividades que venha a auxiliar

na fixação de conteúdos, o qual explora operações aritméticas e o cálculo mental

por meio de jogos. Assim, procuramos em nosso trabalho, primeiramente, entender

como a Matemática pode ser explorada dentro de uma diversidade cultural. E nisto,

temos como principal desígnio levar o estudante a descobrir que em sua volta existe

muita Matemática, e que a mesma se encontra presente em todas as culturas.

Nosso interesse em explorar essa ideia surgiu ao olharmos à nossa volta, a

nossa gente, o nosso mundo. Ora, o Brasil é um país formado por uma população

heterogênea, com uma cultura (ou várias culturas) muito diversificada, e tem

proporções continentais. Esses fatores não devem ser ignorados, principalmente

quando se trata de educação. Formas diferentes de falar, de pensar, de agir e

diferentes formas de os indivíduos se relacionarem entre si são características

essenciais das pessoas, e isso deve ser levado em conta na hora de educar.

As diferenças culturais, como linguagem, religião, princípios morais, etc., nos

remetem a uma gama de conceitos e de valores. Neste cenário, concordamos com

D’Ambrósio (1999), quando este profere que a diversidade cultural nos leva a

diferentes formas de agir, de pensar e de nos relacionar, e é na escola onde

acontece a culminância desses valores, cabendo a ela promover um intercâmbio, o

que induz, por seu turno, a um aprendizado mais significativo e contextualizado por

parte dos alunos, quando isso é bem trabalhado em sala de aula.

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

OBJETIVOS

Objetivo Geral

Com a intenção de aprimorar e melhorar o ensino de Matemática, nos

propomos a confeccionar e a utilizar jogos matemáticos em sala de aula para

fixar uma diversidade de conteúdos, tais como números inteiros, equações

algébricas, geometria, dentre outros, para assim equiparar todos os alunos

diante da Matemática, procurando alternativas para aumentar a motivação e a

aprendizagem, e desenvolver a autoconfiança, a concentração, a atenção, o

raciocínio lógico e o senso cooperativo dos nossos alunos.

Objetivos Específicos

Aplicar um plano de trabalho e verificar o nível de aprendizagem e motivação

despertada nos alunos;

Suprir as carências de aprendizagem detectadas nos alunos, utilizando jogos

matemáticos de forma que as dificuldades e limitações sejam superadas,

oportunizando a percepção, o pensamento reflexivo, o aprendizado e a

interação social entre todos os alunos;

Ouvir nossos pares (professores da área) e também os alunos envolvidos no

processo, proporcionando assim atividades lúdicas e desafiadoras;

Favorecer o desenvolvimento de atitudes e o espírito de cooperação, e o

trabalho em grupo, para que os alunos possam explorar, fazer tentativas,

testar, argumentar e raciocinar logicamente;

Estimular o desenvolvimento de estratégias, o fomento de discussões e a

tomada de decisões, possibilitando a criação de técnicas para a resolução

de possíveis problemas.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A escola atual é permeada por complexas relações, e no momento ainda

passa por grandes transformações. Contudo, não é de hoje que a escola vem sendo

repensada, onde se procura, dentre outros, desviar-se do modelo usual de instrução.

Mesmo assim, esta instituição encontra-se muito focada na reprodução de saberes,

esquecendo-se de dar uma formação mais crítica e mais criativa aos seus alunos.

Como educadores, nós devemos mudar essa característica e ser capazes de

criar novos mecanismos pedagógicos que favoreçam a aquisição, a produção e a

construção de conhecimentos por parte dos alunos. Por esse ponto de vista, os

jogos compõem um meio favorável para o desenvolvimento dos estudantes, pois o

trabalho com jogos, na imensa maioria das vezes, traduz-se em aprendizagem.

Dessa forma, os jogos aliados com a Matemática, sem dúvida, serão um

facilitador do ensino dessa disciplina. E quanto ao professor, compactuamos com

Freire (1996) quando este nos diz que o seu papel no processo de ensino e de

aprendizagem é o de um mediador. Neste contexto, nos pautamos nos princípios da

Etnomatemática, conforme explicita Ubiratan D’Ambrósio, e do multiculturalismo,

como define Claudia Zaslavsky, pois ambas vêm ao encontro da nossa proposta.

De fato, Claudia Zaslavsky, em seus livros “Jogos e Atividades Matemáticas

do Mundo Inteiro” (2000) e “Mais Jogos e Atividades Matemáticas do Mundo Inteiro”

(2009), faz uma reflexão sobre as relações entre a Matemática e as culturas do

mundo todo. Seu trabalho enfoca, principalmente, a Etnomatemática e o estudo das

formas pelas quais os conceitos matemáticos são expressos e utilizadas na vida

diária de diversas culturas. Além disso, no que se refere ao multiculturalismo, esta

autora o vê como um fenômeno que estabelece a coexistência de várias culturas em

um mesmo espaço territorial.

Em tempo, no que se refere a cultura, D’Ambrósio (1999, p. 37) afirma que

“cultura é um conjunto de mitos, valores, normas de comportamento e estilos de

conhecimento compartilhados por indivíduos vivendo num determinado tempo e

espaço”. Igualmente, D’Ambrósio (2001) se refere a Etnomatemática como um

Programa que valoriza as diferenças culturais, trazendo-as para o contexto da

escola e impulsionando a construção do conhecimento.

Decididamente, a Etnomatemática está presente em todas as culturas. E

relacionar o cotidiano com o ensino da Matemática é um dos pilares do Programa

Etnomatemática. Esclarecendo, D’Ambrósio (2012), em uma entrevista concedida ao

Canal da Universidade Virtual do Estado de São Paulo – UNIVESPTV – (que está

disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=nYwcwJjIKKE; acessado em: 29

mai. 2016), nos diz que:

O etno não significa cor de pele ou raça, uma palavra que se usa muito. Não é isso. O etno significa o ambiente em que o sujeito está inserido a maior parte da vida dele. É esse outro caminho de se

relacionar com o real, com o dia a dia, com o quotidiano, é uma coisa que está produzindo efeito [...]. O que eu ensino. Ensino a preparar o sujeito para viver no mundo real, e nós sabemos que uma das estratégias mais importantes, um dos meios mais importantes que a gente tem para lidar com o mundo real são de natureza matemática. Você aprende a contar, você aprende a comparar, você aprende a medir, isso tudo, são aquelas práticas que são necessárias para o seu cotidiano. (D’AMBRÓSIO, 2012, 5’22”-5’47”; 6’24”-6’58”).

No nosso entendimento, o cotidiano de uma criança, ou de qualquer

pessoa, como afirma D’Ambrósio, inclui também as brincadeiras, os jogos, os quais

que podemos “transportar” para a sala de aula, para com eles, quem sabe, melhor

contextualizarmos conceitos matemáticos. Isso acontece porque, de acordo com

Smole et al. (2008, p. 10):

Por sua dimensão lúdica, o jogar pode ser visto como uma das bases sobre a qual se desenvolve o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar e abstrair e a capacidade de interagir socialmente. [...]. Esse aspecto lúdico faz do jogo um contexto natural para o surgimento de situações-problema cuja superação exige do jogador alguma aprendizagem e certo esforço na busca por sua solução.

Contudo, é óbvio que apenas jogar não irá resolver, como um milagre, os

problemas em sala de aula. Além da inclusão do jogo, uma mudança de atitude é

necessária e deve ocorrer especialmente na forma como trabalhamos a Matemática.

Por isso, sair do tradicional e aplicar novas metodologias pode induzir a grandes

resultados, desde que pensados e aplicados sob uma metodologia bem traçada, de

forma a tornar as aulas interessantes, e não fazer com que se tornem uma lúdica

brincadeira ou apenas uma tentativa fracassada de ensinar de forma diferente.

Pelos nossos conhecimentos, estes adquiridos em trabalhos anteriores

com jogos realizados em sala de aula, podemos fazer certas observações e assim

criar certas regras e inferir sobre certos acontecimentos. Portanto, cabe ao professor

tomar alguns cuidados antes de trabalhar com jogos. Vejamos aqui alguns deles:

Os jogos selecionados ou desenvolvidos não devem ser fáceis demais ou

muito difíceis;

O professor deve conhecer e entender as dificuldades que os alunos irão

enfrentar, para não os desestimular;

Os jogos devem ser testados e analisados pelo professor, antes de aplicá-los,

evitando possíveis erros;

Cabe ao professor calcular o tempo necessário para o desenvolvimento do

jogo. Que não seja muito longo, correndo o risco de o aluno não terminar ou

cansado e que não seja curto demais, para que o aluno não fique ocioso;

Os conteúdos intrínsecos aos jogos devem estar de acordo com o conteúdo

trabalhado em sala e também com o grau de desenvolvimento dos alunos;

Compete ao professor, ainda, o direcionamento adequado do jogo, pois este

deve gerar prazer, alegria e não estresse;

O professor não deve se preocupar em demasia com a algazarra em sala,

pois os alunos estarão num clima de troca de conhecimento, competição e

descontração, e isso incentiva a autonomia, o movimento, a agitação e a

aprendizagem do aluno.

Pode até parecer que em um jogo há apenas um vencedor. Mas, contrariando

essa lógica, na realidade, todos ganham, pois não tem como chegar ao término de

um jogo matemático e não ter aprendido alguma coisa que venha a facilitar o cálculo

ou a memorização de alguns conceitos importantes.

JOGOS DESTA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Depois de estudarmos, desenvolvemos um caderno de atividades pensando

no nível da turma com a qual iremos trabalhar, o 7º Ano do Ensino Fundamental,

perfazendo um total de 32 horas. Aqui, adaptamos os conteúdos à realidade dos

alunos, certos de que poderemos contribuir efetivamente nas aulas de Matemática.

Como dito, pensamos em atividades embasadas em jogos, fundamentadas de

perto por conceitos etnomatemáticos e multiculturalistas, apresentados, sobretudo,

por D’Ambrósio (1989; 1999; 2001) e Zaslavsky (2000; 2009). Estas atividades

servirão de suporte didático-pedagógico ao professor que, por sua vez, será um

mediador que organizará todo processo de ensino, possibilitando que se desenvolva

uma educação com características multiculturais.

Portanto, inicialmente, iremos trabalhar com uma versão do jogo Mancala,

que bastante conhecido mundo afora e, depois, com o jogo Quem Soma Mais, que

foi por nós desenvolvido.

O JOGO MANCALA

A Mancala, ou Mankala, é uma designação genérica dada por antropólogos a

um grupo numeroso de jogos desenvolvidos na África, que guardam entre si

diversas semelhanças, tendo uma origem em comum no Egito, por volta de 3.500

anos atrás. Muitos acham que a Mancala é apenas um jogo em específico, mas na

verdade há uma grande variedade de jogos de Mancala. Conforme a região onde é

jogado, a Mancala é conhecida por um determinado nome. O jogo pertence a uma

família de jogos de tabuleiro, chamados de jogos de semeadura ou jogos de

contagem e captura.

Nisto, Zaslavsky (2000) nos faz um relato sobre o jogo Mankala e a sua

diversidade:

Certos especialistas consideram que os Mankala estão entre os melhores jogos do mundo. Os jogos de Mankala são muito difundidos. Podemos encontrá-los na maioria dos países africanos, bem como na Índia, na Indonésia, nas Filipinas, no Sri Lanka, na Ásia Central e nos países árabes. Capturados no terrível comércio de escravos, os africanos trouxeram os jogos até as Américas - à costa brasileira, para o Suriname e às ilhas do Caribe, onde ainda hoje são populares. Jogos deste tipo existem há milhares de anos. Tabuleiros foram esculpidos nas pedras de vários templos do Antigo Egito. Outros tabuleiros muito antigos, cinzelados na rocha, também foram descobertos em Gana, em Uganda e no Zimbábue. Mankala é uma palavra árabe, que significa “transferir”. Pedras ou sementes são transferidas de um recipiente a outro em um tabuleiro com duas, três ou quatro filas de recipientes. Em cada região o jogo tem seu próprio nome e seu próprio conjunto de regras. O tabuleiro de duas filas é conhecido no Norte, Oeste e partes do Leste Africano sob nomes como Wari, Oware, Ayo e Giuthi. Na Ásia, as pessoas jogam Sungka, Dakort e Congklak em tabuleiros de duas filas. No leste e sul da África, o tabuleiro de quatro filas é mais comum, com nomes como Bao (que significa “tabuleiro” em swahili), Nchuba e Mweso. Na Etiópia há versões de três filas. O jogo tem sido praticado por reis, em belos tabuleiros entalhados em madeira ou em tabuleiros de ouro, e por crianças, que fazem buracos no chão. Há cerca de 400 anos, Shyaam aMbul aNgoong, um rei da África Central, trouxe o jogo a seu povo, os Kuba, que viviam no Congo. Ele os induziu a trocarem as atividades guerreiras pelas artes pacíficas. Uma estátua do rei, atualmente no Museu Britânico, mostra-o sentado diante de um tabuleiro de Mankala. (p. 32).

MANCALA

O que nos impressiona nos jogos de Mancala é o seu funcionamento. Nele,

não se pode contar com a sorte, pois ele é totalmente dependente do raciocínio

lógico. E esse fator foi preponderante para a determinação da nossa escolha.

Além do raciocínio logico e da estratégia, essenciais ao jogo, ele possibilita

que sejam abordados conceitos de lateralidade, noções de quantidade e de

sequência, antecessor e sucessor, mesmo sem perceber. Podemos trabalhar, ainda,

coleta de dados, combinações, matrizes, probabilidade e até mesmo uma produção

textual como atividade interdisciplinar (cf. RÊGO; RÊGO, 2000).

Os jogadores africanos de Mancala tem grande agilidade e concentração, que

é de impressionar até o mais experiente enxadrista. Durante o jogo de Mancala, é

preciso realizar e prever contagens numéricas, que giram num tabuleiro simétrico, e

desenvolver uma estratégia para escolher as casas onde se deve lançar as

sementes, que são as peças do jogo.

Segundo alguns estudiosos, algumas versões do jogo Mancala podem ser

mais complexas que o xadrez, uma vez que no jogo de xadrez move-se uma peça

por vez. Já no jogo Mancala, são movidas várias peças por vez e invariavelmente a

configuração do tabuleiro é alterada (cf. MACEDO et al., 2000).

Portanto, o nosso principal objetivo, ao aplicar o jogo de Mancala com a turma

de 7º ano, é levar o aluno a despertar o raciocínio lógico e a atenção. Com o

andamento das atividades esperamos que o aluno desenvolva uma maior facilidade

em memorização e na resolução de operações matemáticas mentais básicas.

Esperamos que a turma escolhida para o experimento nos dê, assim, o

respaldo esperado, fixando com mais facilidade os conteúdos envolvendo o conjunto

dos Números Inteiros (ℤ), seja por meio de cálculos ou ainda por representações

geométricas e estatísticas.

Dentre a diversidade de jogos Mancala, iremos trabalhar com a versão

Oware, de Gana. As Figuras 1 e 2 representam tabuleiros de Mancala do tipo 2x6+2:

(2X6) mais 2 reservatórios para as sementes. A Figura 2 mostra a disposição inicial

das sementes.

Figura 1: Tabuleiro de Mancala. Versão Oware,

proveniente de Gana.

Figura 2: Mancala com a disposição

inicial das peças.

Fonte: http://www.oware.ca/images/wisdomknot.jpg.

Fonte: Autores, 2016.

O JOGO MANCALA OWARE

Regras:

São 48 sementes, que devem ser distribuídas 24 para cada jogador;

Devem ser colocadas 4 sementes em cada um dos doze buracos;

Para semear, deve-se escolher um buraco em seu campo e pegar todas as

sementes nele contidos e semear no sentido anti-horário;

É proibido semear nos armazéns (ou reservatórios);

O buraco de saída não pode ser preenchido na mesma jogada;

Caso a última semente semeada caia do lado adversário num buraco com 2

ou 3 sementes, essas devem ser recolhidas no seu armazém e, recuando no

tabuleiro, recolhemos também as sementes dos buracos que contenham 2 ou

3 (mas isso ocorre somente na sequência de buracos vizinhos);

O campo que esvaziar primeiro, deve ser enchido pelo adversário na próxima

jogada, caso não seja possível, o jogo acaba e cada um recolhe as sementes

que estiverem em seu campo.

Regras extras:

A jogada não pode ser iniciada na casa onde há apenas uma semente;

Durante as capturas sucessivas que esgotem as peças do adversário, a

jogada deve ser encerrada e as peças não podem ser tomadas.

Nesta primeira etapa pretendemos despertar nos alunos a curiosidade sobre

os diferentes tipos de jogos em diversas culturas, por meio de pesquisas na internet.

Apresentaremos uma versão do Jogo Mancala com suas regras. Confeccionaremos

a Mancala para jogar em sala de aula. Esta etapa terá duração total de 10 horas,

divididas entre a pesquisa, a confecção de material e a resolução das atividades.

Atividade 1: Pesquisa e Confecção do Tabuleiro de Mancala.

Após pesquisa na internet, confeccionaremos com os alunos a Mancala

Oware. O tabuleiro escolhido para o jogo é do tipo 2x6+2, por este ser um dos mais

conhecidos.

Duração: 4 horas.

Materiais Necessários:

Caixas de ovos;

Papel cartão;

Tesoura;

Cola;

Pincel;

Canetas coloridas;

Tinta guache;

Sementes (feijão, milho, ou outras);

Papel, lápis e borracha.

Cada aluno terá sua Mancala e a levará para casa.

Confecção:

Recorte a tampa de uma caixa de ovos. Em seguida, pegue a tampa da caixa

e recorte as duas extremidades, em torno de 15 cm;

Pegue as extremidades recortadas da tampa e cole cada uma delas em uma

das extremidades da caixa de ovos para fazer o reservatório das sementes;

Fazer a pintura da caixa ao seu gosto. A Mancala também poderá ser

decorada com símbolos africanos. Para isso, os alunos deverão fazer uma

pesquisa para conhecê-los;

ATIVIDADES

Copiar as regras do jogo em papel cartão, decorando-os com símbolos

africanos e guardando-os junto ao jogo;

Após a confecção e a fixação das regras, cada Mancala será usada em aula.

Atividade 2: Atividades com a Mancala online.

No Laboratório de Informática, jogar a Mancala online. Será disponibilizada

duas versões do jogo em dois sites diferentes. Assim, acesse os endereços abaixo.

Duração: 3 horas.

a) Mancala online – versão 1. Disponível em:

http://www.awale.info/joc/ca/index.html. Acessado em: 24 nov. 2016.

Figura 3: Tabuleiro de Mancala online – versão 1.

Fonte: http://www.awale.info/joc/ca/index.html.

b) Mancala online – versão 2. Disponível em:

http://play-mancala.com/#/157d872c062729b9d263ce9cc. Acessado em: 24 nov.

2016.

Figura 4: Tabuleiro de Mancala online – versão 2.

Fonte: http://play-mancala.com/#/157d872c062729b9d263ce9cc.

Atividade 3: Atividades matemáticas de raciocínio lógico e desenvolvimento de

estratégias com base na experiência com a Mancala.

As atividades a seguir irão testar o raciocínio lógico após o desenvolvimento

do jogo Mancala.

Duração: 4 horas.

Materiais Necessários:

Papel, lápis e borracha.

Quadro 1: Atividades de Raciocínio Lógico.

a) A balança da Figura 5 está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?

Figura 5: Balança em Equilíbrio.

Fonte: OBMEP, 2006.

b) Quando Joana entrou em sua sala de aula, a professora estava apagando o quadro negro, mas ela ainda pôde ver algo escrito, conforme mostra a Figura 6. Qual é o número que foi apagado?

Figura 6: Quadro Negro.

Fonte: OBMEP, 2006.

c) Fábio precisa obter exatamente quatro litros de água. Para isso ele usará apenas os

dois únicos baldes de água que tem em sua casa e uma torneira. Sabendo que um dos baldes que Fábio tem em sua casa tem capacidade de três litros, e outro tem capacidade de cinco litros, determine uma maneira com a qual Fábio pode obter a quantidade de água que necessita.

d) Vou fazer sanduíches. Cada um terá um recheio e um tipo de pão. Os recheios serão

presunto, queijo, ricota ou atum. Os tipos de pães são francês, de forma ou integral. Quantos tipos diferentes de sanduíche posso fazer? i) 12. ii) 13. iii) 14. iv) 15.

Fonte: http://www.obmep.org.br/.

Neste momento, podemos também trabalhar com o Quadrado Mágico, que é

um elemento que desperta o interesse pela Matemática e põe em prática o

raciocínio lógico. A título de conhecimento, apresentaremos um histórico envolvendo

o Quadrado Mágico.

Quadro 2: História e Mística do Quadrado Mágico.

O Quadrado Mágico

Relatos históricos atribuem a origem do quadrado mágico a Dayu, o fundador da dinastia Xia, China antiga, cerca de 3000 anos atrás. Conta a lenda que uma tartaruga emergiu do Rio Lo e em seu casco continha números de 1 a 9, cada número estampado num gomo do casco. Os números estavam dispostos de tal forma no casco que a soma dos gomos horizontais ou verticais era sempre 15. Esse padrão ainda hoje é chamado “Luoshu”, ou também “Guishu” (padrão tartaruga).

Figura 8: Tartaruga com números no casco.

Figura 9: Quadrado Mágico Luoshu.

Fonte:http://cienciadegaragem.blogspot.com.br/2015/09/quad

rados-magicos.html.

Fonte:http://cienciadegaragem.blogspot.com.br/2015/09/quad

rados-magicos.html.

Diz-se que Dayu estudou esse padrão e adquiriu um grande conhecimento através

dele. Posteriormente, Dayu tornou-se imperador da China, dividindo-a em nove províncias, usando o Luoshu como guia. Nesse padrão, os pontos brancos representam números yang (ímpares) e os pontos pretos, números yin (pares). Yin e Yang são dois conceitos do taoísmo (tradição filosófica e religiosa originária da China) que expõem a dualidade de tudo o que existe no universo. Descrevem as duas forças fundamentais, opostas e complementares, que se encontram em todas as coisas: o yin é o princípio feminino, a água, a passividade, escuridão e absorção. Oyang é o princípio masculino, o fogo, a luz e a atividade.

Segundo essa ideia, cada ser, objeto ou pensamento possui um complemento do qual depende para a sua existência. Esse complemento existe dentro de si. Assim, se deduz que nada existe no estado puro: nem na atividade absoluta, nem na passividade absoluta, mas sim em transformação contínua. O quadrado mágico derivado do Luoshu atualmente é apresentado na forma de um quadriculado com números hindu-arábicos, na sequência indicada abaixo:

Figura 10: Representação Hindu-Arábica

do Quadrado Mágico.

Fonte: Adaptação do Quadrado Mágico

Luoshu pelos autores, 2016.

A ordem de um quadrado mágico depende do seu número de linhas ou colunas: no caso do Luoshu, sua ordem é 3. Nos quadrados mágicos tradicionais, os números que preenchem as células são inteiros, começando do 1 e chegando até o quadrado da ordem. No exemplo acima, o quadrado (sendo de ordem 3) possui números que vão de 1 a 3 ao quadrado, ou seja, 9. Se tivéssemos um quadrado de ordem 4, os números variariam de 1 a 4 ao quadrado, ou 16. No Luoshu, a soma de qualquer linha, coluna ou diagonal principal é sempre 15. Este número é comumente chamado de constante mágica e existe uma fórmula para calculá-la, conforme indicado a seguir:

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑀á𝑔𝑖𝑐𝑎 (𝑛) = (𝑛3 + 𝑛)

2

Onde n é a ordem do quadrado mágico. Ou seja, num quadrado mágico de ordem 3,

temos:

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑀á𝑔𝑖𝑐𝑎 (3) =(33 + 3)

2=

(27 + 3)

2=

30

2= 15

De forma análoga, num quadrado mágico tradicional de ordem 4, utilizando os 16

números inteiros, um para cada célula, a soma de qualquer linha, coluna ou diagonal principal deverá resultar:

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑀á𝑔𝑖𝑐𝑎 (4) =(43 + 4)

2=

(64 + 4)

2=

68

2= 34

É possível a construção de quadrados mágicos para qualquer n, exceto n = 2.

Para n = 3 admite-se somente uma solução (desprezando inversões e rotações). Para n = 4,

admite-se 880 possibilidades. E esse número cresce rapidamente nas ordens seguintes. Um outro personagem histórico, que retratou a mística do quadrado mágico foi

Albrecht Dürer, em sua obra “Melancholia I”, de 1514. Albrecht Dürer (1471 - 1528), alemão

da cidade de Nuremberg, mestre renascentista da pintura e ilustração, também era interessado em matemática, geografia, geometria e arquitetura. Ele mostrou profundo conhecimento matemático, não somente pelo uso de símbolos, como bússola, balança ou ampulheta entre outros em sua obra, mas principalmente por um quadrado mágico 4 X 4 com os números de 1 a 16, resultando exatamente em 34 ao somarmos qualquer uma das linhas, colunas ou diagonais principais.

Em um quadrado mágico de ordem 3 existe apenas uma única combinação de

números que permite obter a constante mágica, que é justamente a distribuição de números do Luoshu. Já para um quadrado mágico de ordem 4 existem 880 combinações diferentes para a obtenção da constante mágica; para um quadrado de ordem 5 existem 275.305.224 combinações diferentes entre os 25 números disponíveis para a obtenção de sua constante mágica (que é 65). E as combinações possíveis crescem a variações exorbitantes para quadrados mágicos de ordens superiores a 5.

Vamos analisar mais a fundo a obra de Albrecht Dürer.

Figura 11: Obra “Melancholia I”, de Albrecht Dürer (1514).

Fonte: Boyer, 1986.

O que tem de tão especial nesse quadrado? Analise.

Figura 12: Quadrados mágicos extraídos da obra “Melancholia I”.

Fonte: BOYER, 1986.

Fonte: BOYER, 1986; adaptação dos autores, 2016.

Agora, descubra os valores ocultos no Quadrado Mágico. Lembre-se que a

soma tem que ser a mesma nas diagonais, linhas e colunas do quadrado. Dica: o

número do centro do quadrado é sempre a terça parte da soma. Complete-os de

acordo com o que se pede:

Quadro 3: Completando os Quadrados Mágicos.

Que a soma seja 360

Que a soma seja 15

Que a soma seja 33

15

10

Que a soma seja 24

8

4 14

Coloque os nove primeiros números ímpares para que a soma seja 27.

Que a soma seja 120

30 40

35

Fonte: Autores, 2016.

O JOGO QUEM SOMA MAIS

Façamos o seguinte desafio aos alunos: peça à eles para contar ao contrário

a partir de 7, subtraindo sempre 3. Eles encontrarão os seguintes números: 4, 1, –2,

e outros. Peça que escrevam as subtrações efetuadas:

7 – 3 = 4 4 – 3 = 1 1 – 3 = – 2 ???

A partir deste ponto, podemos fomentar uma discussão em classe, pois

alguns poderão dizer que não sabem o que significa – 2. Trata-se de uma subtração

ainda não vista por eles. Este é o momento para introduzir o jogo Quem Soma Mais.

QUEM SOMA MAIS

Mas, você pode estar se perguntando: Por que jogar? E por que nossos

alunos têm tanta dificuldade em Matemática? Será que jogar ajudará o aluno a

aprender Matemática?

Agora, procurem lembrar: quando criança, no nosso dia a dia, em casa, na

escola, em sala de aula, os jogos faziam parte da nossa rotina. Acolá, aprendíamos

elementos da Matemática brincando, pois ela é uma parte importante na vida de

qualquer pessoa.

Lembrem-se, também, que as crianças são muito espertas na hora de criar

novas formas de pensar e resolver determinadas situações. Elas são muito criativas,

e o jogar as leva a produzir seus próprios conhecimentos.

Nossa proposta não é substituir as atividades em sala de aula por jogos, mas

pensar em uma Matemática mais atrativa, desafiadora, baseada na troca de

experiências. Com essa finalidade, então, desenvolvemos o jogo intitulado Quem

Soma Mais. Importa dizer que, para uma metodologia dar certo, não basta apenas

inventar algo e aplicar. Precisa-se de pesquisa, planejamento e experimentação.

O jogo consiste em pegar um baralho normal com todas as suas 55 cartas (52

cartas mais 3 cartas coringa que tem um papel importante do desenrolar do jogo).

Formar grupos com 4 alunos, para não ocorrer à falta de cartas. No desenrolar do

jogo, fazer no mínimo 5 jogadas e no máximo 10.

Este jogo pode ser utilizado em dois graus de dificuldades. Em um primeiro

momento, apenas introduziremos o conceito de número inteiro e a operação de

soma. E em um segundo momento, abrangeremos operações mais complexas,

inclusive operações com números racionais.

Assim, nesta segunda etapa trabalharemos com o Jogo Quem Soma Mais –

Nível 1. O jogo trata da introdução do conceito de número inteiro (ℤ) e a operação

de soma. Esta etapa terá duração de 10 horas divididas em desenvolvimento do

jogo e resolução de diversas atividades.

JOGO QUEM SOMA MAIS – NÍVEL 1: Introdução e Desenvolvimento.

O jogo Quem Soma Mais”, no nível 1, consiste em utilizar um baralho normal

de 52 cartas. O coringa não participa do jogo no nível 1. Aqui, para jogar, formar

grupos com 4 alunos cada para não ocorrer à falta de cartas.

Duração: 4 horas.

Materiais Necessários:

Papel, lápis e borracha.

Regras e Metodologia de Trabalho:

Decidimos apresentar as regras e metodologia de trabalho juntas, pois fica

mais fácil o entendimento em futuras análises. Então, vamos lá:

Cada carta vale o valor numérico que ela representa;

Tabela 1: Valor numérico das cartas

Ás = 1

2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5 6 = 6 7 = 7

8 = 8 9 = 9 10 = 10 Dama = 11 Valete = 12 Rei = 13

Fonte: Autores, 2016.

Cada naipe do baralho corresponde à adição ou subtração. Os naipes pretos

(espada e paus), correspondem a adição e os naipes vermelhos (ouro e

copas), equivalem a subtração;

Tabela 2: Sinais Matemáticos referentes a cada naipe do baralho.

Ouro = subtração Espada = adição Copas = subtração Paus = adição

( – ) ( + ) ( – ) ( + )

Fonte: Autores, 2016.

Observe o exemplo de retirada de cartas:

Tabela 3: Exemplo de retirada de cartas com seus respectivos valores.

– 13 + 1 + 11 – 8

Fonte: Autores, 2016.

Os alunos utilizarão um dado para determinar a ordem das jogadas;

Cada jogador constrói uma tabela com o nome dos jogadores e o número de

jogadas, para respectivo preenchimento;

Tabela 4: Exemplo de tabela para registro das jogadas.

Jogadores 1º jogada 2º jogada 3º jogada 4º jogada n... jogadas Total

Fonte: Autores, 2016.

O baralho é colocado sobre a mesa e cada aluno do grupo retira uma carta e

anota na tabela o valor retirado;

Após as 10 rodadas, irão fazer o somatório dos pontos;

Cada aluno poderá montar uma expressão para calcular seus pontos ou fazer

o somatório mentalmente na sequência que for retirando as cartas;

Simulação com a retirada de cartas com 5 rodadas:

Ana, Miguel, Júlia e Camila estão jogando o jogo Quem Soma Mais. O

vencedor será aquele que tiver a maior pontuação. Começou o jogo e sucederam as

seguintes jogadas:

- Camila retira: 3 vermelho; 5 preto; rei preto; 8 vermelho; 9 vermelho;

- Ana retira: valete preto; 2 vermelho; ás vermelho; 6 preto; 10 vermelho;

- Miguel retira: ás preto; rei vermelho; 10 vermelho; 7 preto; 8 preto;

- Júlia retira: dama preta; 4 preto; 9 vermelho; 5 preto; 10 vermelho.

Vamos preencher a tabela:

Tabela 5: Simulação de jogadas.

Jogadores 1º Jogada 2º Jogada 3º Jogada 4º Jogada 5º Jogada Total

Camila – 3 + 5 + 13 – 8 – 9 – 2

Ana +12 – 2 – 1 + 6 – 10 + 5

Miguel + 1 – 13 – 10 + 7 + 8 – 5

Júlia + 11 + 4 – 9 + 5 – 10 0

Fonte: Autores, 2016.

Em seguida, cada aluno irá construir a sua expressão numérica. O

interessante é que cada aluno irá fiscalizar o outro, corrigindo as expressões;

Como exemplo, analisaremos as jogadas de Camila. Há duas possibilidades

de cálculo para Camila:

Tabela 6: Resolução da expressão numérica após as jogadas.

Resolução 1 Resolução 2

– 3 + 5 + 13 – 8 – 9 = + 2 + 13 – 8 – 9 =

+ 15 – 8 – 9 = + 7 – 9 =

– 2

– 3 + 5 + 13 – 8 – 9 = – 3 – 8 – 9 + 5 + 13 =

– 20 + 18 = – 2

Fonte: Autores, 2016.

Também tem o aluno, que é bom em cálculo mental e irá fazer de forma

direta. Mas a finalidade do trabalho é estimular e ajudar o aluno com dificuldades.

Logo após a resolução, será feito a construção e a indicação na reta numérica

dos valores encontrados para uma melhor visualização;

Quadro 4: Representação na reta numérica dos valores encontrados.

Fonte: Autores, 2016.

Fazer também uma representação gráfica dos resultados do grupo. Pode ser

construindo pelo aluno um gráfico de barras ou linhas;

Gráfico 1: Representação dos resultados encontrados

Fonte: Autores, 2016.

-6-5-4-3-2-10123456

Camila Ana Miguel Julia

Pontu

ação

Jogadores

ANÁLISE DOS RESULTADOS

Aqui podemos fazer alguns questionamentos do tipo: a) Quem fez mais

pontos?; b) Quem fez menos pontos?

Poderemos, também, fazer comparações e associações dos resultados como,

por exemplo: uma conta bancária, com créditos e débitos; escala termométrica;

altitude e profundidade; linha do tempo; etc.. Podemos abordar, ainda, certos

conceitos de simetria e módulo. É uma atividade um tanto simples, mas que fixa

conceitos que, se não for bem assimilados, irão atrapalhar a aprendizagem futura do

aluno.

Atividade 4: Atividades Matemáticas com o Quem Soma Mais – Nível 1.

Duração: 4 horas.

Materiais Necessários:

Papel, lápis e borracha.

Quadro 5: Resolvendo atividades com números inteiros.

a) Represente as afirmações abaixo usando números inteiros positivos ou números inteiros negativos, dependendo do caso:

i) A água ferve a 100ºC ao nível do mar. ii) O freezer está marcando uma temperatura de 7,5ºC abaixo de zero.

iii) José tem um saldo bancário de R$ 785,30 de crédito. iv) Minha empresa teve um prejuízo de R$ 3.728,35 este ano. v) A Petrobrás explora poços de petróleo localizados a 2000 metros abaixo da

superfície da água. vi) O ponto mais alto do Brasil é o Pico da Neblina, com 3014 metros de altura. vii) Foram 8 os gols sofridos por uma equipe de handebol durante um torneio.

b) A diferença de temperatura entre o ponto mais quente do planeta Terra e o mais frio pode superar os cem graus. Há locais em que o frio atinge extremos que podem tornar quase impossível qualquer tipo de vida, seja ela humana, animal ou vegetal. A menor temperatura registrada até hoje foi na Estacion Vostok, Antártica, no Polo Sul, a mais de

3500 metros do nível do mar. No dia 21 de julho de 1983, os termômetros marcaram −89,2°C. Já a maior temperatura já registrada no planeta foi em Dasht-e-Lut, um grande deserto de sal no sudeste do Irã. Em 2005, um satélite da NASA registrou 70°C na superfície da localidade. O calor, combinado com a aridez, disputa com o Deserto do Atacama o título de lugar mais seco do planeta. Ali, a existência de vida é praticamente impossível. - Qual a diferença entre a maior e a menor temperatura já registradas?

c) João estava assistindo a um jogo de futebol americano pela TV. “Os Pernas de Pau”, time pela qual ela estava torcendo, perdeu 8 jardas na primeira jogada. Logo em seguida, avançou 6 jardas e perdeu 10 jardas na próxima jogada. Qual foi a variação da posição de seu time em campo? Mesmo resolvendo mentalmente, monte uma expressão numérica e também represente fazendo o esquema na reta numérica.

d) Três amigos, Pedro, Paulo e Antônio, jogam bola de gude todo dia na escola, entre si e com outras crianças. Para terem maior controle dos ganhos, montaram a seguinte tabela:

Dias da Semana / Quantidade de Bolas de Gude

Nome Segunda-

Feira Terça-Feira

Quarta-Feira

Quinta-Feira

Sexta-Feira

Operação que resume a semana

Pedro Perdeu

8 Ganhou

5 Ganhou

7 Não

Jogou Perdeu

1

Paulo Não ganhou e nem perdeu

Perdeu 12

Ganhou 9

Ganhou 10

Perdeu 3

Antônio Perdeu

5 Perdeu

10 Perdeu

3 Ganhou

12 Perdeu

9

e) Gertrudes tem uma barraca de doces na feira. Por ser comerciante, ela precisa ter uma conta bancária, que ultimamente anda negativa. A tabela a seguir mostra a movimentação dessa conta durante os últimos dias. Observe-a e preencha os espaços em branco, e responda quanto Gertrudes deve ao banco?

DATA MOVIMENTO SALDO

03/08 Saldo anterior R$ 300,00

05/08 Cheque de R$ 250,00

06/08 Depósito de R$ 150,00

08/08 Saque de R$ 550,00

09/08 Cheque de R$ 175,00

f) Complete os quadrados mágicos com números inteiros positivos e negativos:

g) Efetue as operações a seguir: i) + (–3) – (– 9) + ( +13) + (– 18 ) – ( + 3 ) + ( + 17) – ( – 15 ) =

ii) + 8 – (– 13) – 8 + (– 5 ) + 19 – ( – 13 ) + 3 – 12 – ( – 4) =

Fonte: Autores, 2016.

Atividade 5: Atividades online com base no jogo Quem Soma Mais.

No Laboratório de Informática, jogar o jogo Quadrados Mágicos online.

Disponível em: http://jogosonlinegratis.uol.com.br/jogoonline/quadrado-magico/.

Acessado em: 26 nov. 2016.

Duração: 3 horas.

Materiais Necessários:

Papel, lápis e borracha.

Figura 13: Tela Inicial do Jogo Quadrados Mágicos.

Fonte: http://jogosonlinegratis.uol.com.br/jogoonline/quadrado-magico/.

Ainda, no Laboratório de Informática, jogar o jogo Corrida Matemática de

Números Inteiros online. O jogo consiste em realizar cálculos matemáticos de

adição, subtração, multiplicação e divisão, com números inteiros para vencer a

corrida. Disponível em: http://www.atividadesdematematica.com/jogar-jogos-de-

matematica/jogo-corrida-de-matematica-inteiros . Acessado em: 26 nov. 2016.

Figura 14: Tela Inicial do jogo Corrida Matemática de Números Inteiros.

Fonte: http://www.atividadesdematematica.com/jogar-jogos-de-matematica/jogo-corrida-

de-matematica-inteiros

Nesta terceira etapa, usaremos o jogo Quem Soma Mais – Nível 2, com um

grau maior de dificuldade. Neste momento, serão tratadas as 4 operações com

números inteiros e operações com números racionais. Esta etapa terá duração de

12 horas divididas em apresentação e desenvolvimento do jogo e resolução diversas

atividades.

Após o jogo, o aluno deverá ser capaz de reconhecer a sua aplicabilidade,

utilizar seus mecanismos e intervir em sua realidade. Fazer a representação na reta

numérica, efetuar operações em expressões numéricas e solucionar situações-

problema que envolvam números negativos, utilizando-se de diferentes estratégias

de resolução.

JOGO QUEM SOMA MAIS – NÍVEL 2: Introdução e Desenvolvimento.

Este nível do jogo segue o princípio do nível 1, mas com o acréscimo de

outras operações matemáticas.

Duração: 4 horas.

Materiais Necessários:

Papel, lápis e borracha.

Regras e Metodologia de Trabalho:

Cada carta vale o valor numérico que ela representa;

Tabela 7: Valor numérico das cartas.

Ás = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5 6 = 6 7 = 7

8 = 8 9 = 9 10 = 10 Dama = 11 Valete = 12 Rei = 13

Fonte: Autores, 2016.

Nesta fase (nível 2), como no (nível 1), as cartas de naipes vermelhos (ouro e

copas) valem valores negativos ( - ) e as cartas de naipes pretos (espada e

paus) valores positivos ( + );

Tabela 8: Sinais matemáticos referentes a cada naipe do baralho.

Ouro = subtração Espada = adição Copas = subtração Paus = adição

( – ) ( + ) ( – ) ( + )

Fonte: Autores, 2016.

Além das cartas de naipes vermelhos (ouro e copas) serem de sinal negativas

( - ) e as cartas de naipes pretas (espada e paus) de sinal positivas ( + ), a

carta com naipe de ouro equivale à operação de adição ( + ), a carta com

naipe de espada equivale à operação de subtração ( - ), a carta com naipe de

copas equivale à operação de multiplicação ( × ) e, por sua vez, a carta com

naipe de paus equivale a operação de divisão ( ÷ );

Observação: Tomar cuidado para não confundir sinal do número ( - ) e ( + ),

(com operação matemática (adição ( + ), subtração ( - ), multiplicação ( × )

e divisão ( ÷ )).

Tabela 9: Operações matemáticos referentes a cada naipe do baralho.

Operações Matemáticas

Ouro = adição Espada = subtração Copas = multiplicação Paus = divisão

( + ) ( – ) ( × ou . ) ( ÷ ou : )

Fonte: Autores, 2016.

Neste nível, o uso do coringa é opcional. Mas, se for utilizá-lo, siga as regras

a seguir:

- Quando sair o coringa, ele terá valor de parênteses ( ). As próximas duas

jogadas que acontecerem ficarão entre parêntese;

- Se acontecer de o coringa sair antes das duas jogadas terminarem, o

segundo fica valendo como um colchete [ ], pelas próximas três jogadas;

- Quando acontecer de um aluno retirar o coringa, que equivale aos parênteses

ou aos colchetes, dependendo da ordem na expressão, ele deve retirar outra

carta, ou seja, ele ganha uma jogada a mais. Se acontecer de o aluno retirar

dois coringas seguidos um deles passa a ser colchetes;

- O sinal de mais ( + ) sempre antecederá os parentes e colchetes;

- O coringa pode ser um fator multiplicativo com um valor numérico a ser

definido, antes de começar o jogo, ou ainda, representar uma potência ou um

radical. Devemos deixar claro o significado dos parênteses e colchetes e qual

a operação que representa.

Observe um exemplo de retirada de cartas:

Tabela 10: Exemplo de retirada de cartas com seus respectivos valores e operações

matemáticas.

× (– 13) – (+ 1) ÷ (+ 11) + (– 8)

Fonte: Autores, 2016.

Tiramos um oito de ouro, por exemplo, cujo valor absoluto da carta é “8”; o

sinal da carta é “negativo”, pois é vermelha; a carta é de ouro, logo operação é de

“adição”. Montamos, então, a seguinte sequência: 1º) operação matemática; 2º) sinal

do número; 3º) valor absoluto do número. Assim, teremos: + (– 8).

Quando uma carta de copas, que equivale à multiplicação ( × ), ou de paus,

que equivale a divisão ( ÷ ), sai na 1º rodada, deve-se colocar o número “um”

para que a operação tenha sentido.

É importante que o aluno faça uma pilha de cartas na sequência que retirou

para possíveis conferencias.

Simulação com a retirada de cartas com 5 rodadas:

Ana, Miguel, Júlia e Camila estão jogando o jogo Quem Soma Mais. O

vencedor será aquele que tiver a maior pontuação. Começou o jogo e sucederam as

seguintes jogadas:

– Camila retira: 8 de paus; coringa; 9 de ouros, dama de copas, 5 de espadas,

2 de ouros;

– Ana retira: 5 de espadas; ás de copas, rei de ouros; 8 de espadas; 2 de paus;

– Miguel retira: rei de copas, 5 de espadas, 2 de copas, dama de ouro, dez de

ouro;

– Júlia retira: 7 de espadas, dama de copas, 10 de paus, coringa, Ás de ouro, 9

de copas.

Vamos preencher a tabela abaixo:

Tabela 11: Simulação das jogadas.

Jogadores 1º Jogada 2º Jogada 3º Jogada 4º Jogada 5º Jogada Total

Camila 1 : (+8) + [ (– 9 x (– 11) ] – (+5 ) + (– 2) +92,125

Ana – ( + 5 ) x (– 1 ) + (– 13 ) – (+ 8) : ( + 2 ) – 12

Miguel 1 x (– 13) – (+ 5) x ( – 2 ) + (– 11) + ( – 10) – 24

Júlia – ( + 7 ) x (– 11 ) : ( + 10 ) +[ (– 1 ) x (– 9 ) ] + 16

Fonte: Autores, 2016.

Em seguida, cada aluno irá construir a sua expressão numérica. O

interessante é que cada aluno irá fiscalizar o outro, corrigindo as expressões.

Como exemplo, analisaremos as jogadas de Camila. Há duas possibilidades

de cálculo para Camila:

Tabela 12: resolução da expressão numérica após as jogadas.

Resolução 1 Resolução 2

1: (+8) + [ (– 9) x (–11) ] – (+5 ) + (– 2 ) =

0,125 + [ +99 ] – 5 – 2 =

99,125 – 5 – 2 =

94,125 – 2 =

92,125

1: (+8) + [ (– 9) x (–11) ] – (+5 ) + (– 2 ) =

+ [ (– 9) x (–11) ] – (+5 ) + (– 2 ) =

+ [ +99 ] – 5 – 2 =

+ 99 – 7 =

92,125

Fonte: Autores, 2016.

Logo após a resolução, será feito a construção e a indicação na reta numérica

dos valores encontrados para uma melhor visualização;

Quadro 5: Representação na reta numérica os valores encontrados

Fonte: Autores, 2016.

Fazer também uma representação gráfica dos resultados do grupo. Pode ser

construindo pelo aluno um gráfico de barras ou linhas;

8

1

8

1

8

1 8

56

8

792

8

1

8

737

Gráfico 2: Representação dos resultados encontrados.

Fonte: Autores, 2016.

Podemos fazer agora alguns questionamentos, tais como: Quem fez mais

pontos? Quem fez menos pontos?

Com esse jogo podemos trabalhar as operações com números racionais. É

importante que se mostre ao aluno caminhos que ele possa seguir; fazer relações

fração-decimal, pois a representação é diferente, mas o valor é o mesmo;

representar também os valores encontrados na reta numerada.

Ao trabalhar com o jogo Quem Soma Mais – nível 2, entramos em um

território em que há a necessidade de compreensão das regras dos sinais na

multiplicação. A título de conhecimento, apresentaremos uma explicação

matemática da regra dos sinais na multiplicação.

Quadro 6: Regra dos Sinais.

A Regra do Jogo de Sinais Um dos grandes desafios na Matemática, para os professores do ensino

fundamental, sobretudo do 7º ano, surge quando precisam convencer seus alunos que o cálculo de 5 – 9 = – 4. É chegado o momento de trabalharmos o conjunto dos números inteiros (ℤ).

Todos sabemos que (a – b) é um cálculo simples, com (a > b). Mas o problema agora é outro: (a – b) com (a < b).

Posso tentar convencer meu aluno fazendo algumas afirmações: - É negativo, porque ele ficou devendo; - É negativo, porque o número está à esquerda do zero na reta numérica; - É negativo, porque o número representa uma temperatura e está abaixo de zero; - É negativo, porque perdeu.

-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10

0102030405060708090

100

Camila Ana Miguel Júlia

Po

ntu

ação

Jogadores

ANÁLISE DOS RESULTADOS

Até aí tudo bem, pois nos referimos a adição ou a subtração. Mas quando envolvemos multiplicação e divisão de números inteiros, ou quando envolvemos expressões numéricas mais complexas é que a coisa fica difícil.

Para tanto, há a necessidade de uma regra. Nos limitamos a apresentar a regra, e como o próprio nome diz, “regra” e tocamos o barco para a frente. Vamos a regra:

[ (+) × (+) = (+) ] [ (–) × (+) = (–) ] [ (+) × (–) = (–) ] [ (–) × (–) = (+) ]

Quando explicamos para o aluno que “[ (+) × (+) = (+) ]; [ (–) × (+) = (–) ]; [ (+) × (–) =

(–) ]”, podemos utilizar o modelo de ganho e de perda. Mas, quando explicamos o “[ (–) × (–) = (+) ]”, isso é mais simbólico do que concreto. Mas como surgiu o conceito que deu origem a regra?

Para fazermos essa explicação, recorremos à estudos na História da Matemática e encontramos explicações extensas baseadas em axiomas e teoremas. Para nossa explicação e analogia, escolhemos em específico uma demonstração, baseado nos “Modelos de Área”, de Diofanto de Alexandria.

Este modelo justifica a regra dos sinais para a multiplicação, utilizando a relação atribuída à Diofanto: [ (a – b)(c – d) ] = [ ac – ad – bc + bd ].

Em Hogben (1956, p. 287), encontramos a seguinte representação, que faz referência a Diofanto de Alexandria e a relação: [(a – b)(c – d) ] = [ ac – ad - bc + bd], que a utilizaremos para chegar a Regra dos Sinais para a Multiplicação. Observe a construção atribuída a Diofanto, da qual, em termos de área do retângulo, podemos escrever:

Relação de Diofanto

ac = (a – b) (c – d) + b(c – d) + d(a – b) + bd

ac = (a – b) (c – d) + bc – bd + ad – bd + bd

(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd

As incursões de Diofanto no campo da Geometria foram poucas, mas esta demonstração geométrica produziu uma pequena pérola, que o desenvolvimento do produto (a – b)(c – d) nos leva ao resultado: ac – ad – bc + bd.

Isso nos mostra que a regra de sinais possui uma explicação geométrica. Dessa forma, podemos estabelecer uma relação para tais regras levando em conta a propriedade distributiva do produto em relação à soma, ou seja, uma regra que venha a valer para os números negativos. Resumindo, essa é a essência da abordagem de Diofanto.

Portanto, fazendo uma analogia, termo a termo, do resultado: (a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd, chegamos à conclusão que:

[ (+) × (+) = (+) ] [ (–) × (+) = (–) ] [ (+) × (–) = (–) ] [ (–) × (–) = (+) ]

Fonte: Autores, 2016.

Atividade 6: Atividades Matemáticas com o Quem Soma Mais – Nível 2.

Duração: 6 horas.

Materiais Necessários:

Papel, lápis e borracha.

Quadro 7: Resolvendo atividades com números inteiros.

a) Coloque os números em ordem crescente.: 5, -3, 1, 0, -1, 20, -18, +8, -9.

b) Coloque os números em ordem decrescente.: +3, -6, +5, -4, 0, -2, 1, 8, -10.

c) Determine o valor das expressões abaixo: i) [(-6) – (+7)] + [(+5) – (+4)] = ii) [(+4) – (-6) + (+4)] + (-12) = iii) [(-5) x (-6) : (-2) + (+5)] : (-10) = iv) {[(-32) : (-8) – (-2)] : (+3)} – (+2) =

v) 5

8+ 1 −

2

3= vi) (

3

4+

1

4−

1

2) :

3

2=

vii) {- 20 + (- 7 + 9)3 - [- 7 + 9 - (- 1 + 5) 2] - (- 1)3} viii) 11

2× [−

7

6: (−

14

3) −

11

4] =

d) Responda: i) Qual é o sucessor de +10? = ii) Qual é o antecessor de -7? = iii) Qual é o antecessor de 0 ? = iv) Qual é o sucessor de 0 =

e) Complete os Quadrados Mágicos com números inteiros positivos e negativos.

f) Nas pirâmides a seguir, cada tijolinho é representado pela adição algébrica dos dois tijolinhos de baixo. Com base nesta lei, preencha os números que faltam.

Fonte: Autores, 2016.

REFERÊNCIAS BOYER, C. B. História de la Matemática. Madrid: Alianza, 1986.

CIÊNCIA DE GARAGEM: Quadrados Mágicos. Disponível em:

http://cienciadegaragem.blogspot.com.br/2015/09/quadrados-magicos.html. Acessado em: 10 out. 2016. D’AMBROSIO, U. Educação para uma Sociedade em Transição. Campinas:

Papirus, 1999. D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo: Ática, 1989. D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo

Horizonte: Autêntica, 2001. FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo. Paz e Terra, 1996. HOGBEN, L. Maravilhas da Matemática: influência e função da matemática

nos conhecimentos humanos. 4. ed. Trad. P. M. da Silva. Rio de Janeiro: Globo, 1956. v. 1. JOGOS ANTIGOS. Disponível em: http://www.jogos.antigos.nom.br/mancala.asp . Acessado em: 29 mai. 2016. LA REVISTA DIGITAL GRATUITA "MÓN AUALÉ" AL TEU ABAST: Awalé i altres jocs Mancala. Disponível em: http://webfacil.tinet.org/jtc . Acessado em: 21 set. 2016. MACEDO, L.; PETTY, A. L. S.; PASSOS, N. C. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000. 120p.

NÚMEROS E OPERAÇÕES: Jogos e Etnomatemática. Canal da Universidade Virtual do Estado de São Paulo – UNIVESPTV, 2012. Entrevista com Ubiratan D’Ambrósio. 13’44”. Disponível em: https://youtu.be/nYwcwJjIKKE. Acessado em: 29 mai. 2016. OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Disponível: http://www.obmep.org.br/. Acessado em: 18 out. 2016. OWARE CANADA. Disponível em: http://www.oware.ca/. Acessado em: 20 nov. 2016. RÊGO, R. G.; RÊGO, R. M. Matematicativa. João Pessoa: Universitária, UFPB, 2000.

SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; PESSOA, N.; ISHIHARA, C.; Cadernos do Mathema:

Jogos de Matemática de 1° a 3° Ano - Ensino Médio. Porto Alegre: Grupo A, 2008. ZASLAVSKY, C. Jogos e Atividades Matemáticas do Mundo Inteiro: diversão multicultural para idades de 8 a 12 anos. Porto Alegre: Artmed, 2000. ZASLAVSKY, C. Mais Jogos e Atividades Matemáticas do Mundo Inteiro:

diversão multicultural a partir dos 9 anos. Porto Alegre: Artmed, 2009.