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João Pedro Barbedo Marques Gutierrez

João Pedro Barbedo Marques Gutierrez

Engenharia Mecânica

jpbmg1988@hotmail.com

Equação do Calor

RESUMO

O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado matematicamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro. O estudo da equação do calor, não somente para o caso desde trabalho, mostra-se fundamental em numerosos campos científicos, portanto a dedução do problema em coordenadas cilíndricas oferece uma melhor compreensão a respeito desse importante assunto.

Palavras-chave: calor, Bessel, Laplaciano, cilindro.

INTRODUÇÃO

Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas, matemáticos debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries trigonométricas. D’Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática da época e aproximaram do que é hoje conhecido como Série de Fourier.

Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor. Seu trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema. Em 1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez resolveu não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus trabalhos só ocorreu mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.

Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos foram algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de Fourier.

APLICAÇÃO

Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua fontes de calor, e é escrita:

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão química. A equação do calor é usado em probabilidade e descreve passeios aleatórios. É aplicada em matemática financeira por esta razão.

É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.

LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES

Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por

Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De acordo com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar a obtenção da solução.

As coordenadas polares são dadas por

Ou ainda

Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter

Derivando-se novamente

Utilizando novamente a regra da cadeia

Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz

Logo, podemos escrever uxx como

Analogamente se obtém uyy como

Segundo a definição do Laplaciano

Agora basta resolver as derivadas

Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a

LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas para as cilíndricas é dada por

Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas cilíndricas fica como

FUNÇÕES DE BESSEL

Equação diferencial de Bessel

As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial

n≥0 (1)

chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por

(2)

A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n, ou função de Neumann.

Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação resultante é

(3)

com solução geral

(4)

A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).

O Método de Frobenius

Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma

(5)

Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se supõe diferente de zero.

Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β (constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar as constantes ck.

Funções de Bessel de primeira espécie

Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como

(6)

Ou

(7)

onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se torna

(8)

A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar, Jn(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J-n(x) n>0, substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que

(9)

Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução geral de (1) é

n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,...

(10)

Funções de Bessel de segunda espécie

Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como

n ≠0,1,2,3,...

(11)

n =0,1,2,3,...

Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):

(12)

onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.

(13)

Função Geratriz de Jn(x)

A função

(12)

é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. È d grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

Fórmulas de Recorrência

Os resultados abaixo valem para todo n:

Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz. Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.

As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo Jn(x).

Funções relacionadas com as funções de Bessel

As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por

(15)

Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem n como

(16)

Se n é inteiro,

(17)

mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.

A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como

n ≠0,1,2,3,...

(18)

n =0,1,2,3,...

Essas funções verificam a equação diferencial

(19)

e a solução geral desta equação é

(20)

ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,

(21)

Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de , onde

(22)

As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de , onde

(23)

Essas funções são úteis em relação à equação

(24)

que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta equação é

(25)

Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x), Kei (x), respectivamente.

Equações transformáveis na equação de Bessel

A equação:

(26)

onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral

(27)

onde . Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como solução

(28)

Fórmulas assintóticas para funções de Bessel

Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:

(29)

Zeros das funções de Bessel

Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de valor. Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de Jn(x) = 0 (os zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =