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ISEL - Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Departamento de Engenharia Electrotécnica e Automação

Secção de Sistemas de Energia

ECONOMIA DE ENERGIA

Despacho Económico de Grupos Térmicos de Produção de Energia Eléctrica

JJoorrggee AAllbbeerrttoo MMeennddeess ddee SSoouussaa

Dezembro 2005

DDeessppaacchhoo EEccoonnóómmiiccoo ddee GGrruuppooss TTéérrmmiiccooss ddee PPrroodduuççããoo ddee EEnneerrggiiaa EEllééccttrriiccaa

- i -

ÍNDICE

1. Introdução 1

2. Aspectos técnicos e económicos da produção de energia eléctrica 2

2.1. Tecnologias de produção 2 2.1.1. Hidráulica 3 2.1.2. Térmica convencional 4 2.1.3. Ciclo combinado 5 2.1.4. Nuclear 6

2.2. Custos de produção 8

3. Despacho Económico 13

3.1. Formulação do problema 13

3.2. Optimização com restrições 14

3.3. Solução do problema 17

4. Exemplo de aplicação 21

5. Bibliografia 28


- 1 -

1. Introdução

A disciplina de Economia de Energia é parte integrante do curso bi-etápico de

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – Automação Industrial e Sistemas de

Potência, do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa.

Esta disciplina consta do plano curricular do curso ao nível do 1º Ciclo, estando

colocada no 2º Semestre do 3º ano, englobando os seguintes conteúdos

programáticos:

1. Despacho económico de grupos térmicos de produção de energia eléctrica

2. Comissionamento de grupos térmicos pelo método da lista prioritária

3. Coordenação hidrotérmica usando o método das áreas e optimização dos

custos de produção térmica recorrendo a centrais hídricas reversíveis

4. Análise de investimentos baseados na produção de energia eléctrica a partir de

fontes renováveis

5. Funcionamento dos mercados liberalizados de energia eléctrica e aplicação no

contexto do Mercado Ibérico de Electricidade (MIBEL)

A presente lição versa sobre o primeiro tópicos dos conteúdos referidos - Despacho

económico de grupos térmicos de produção de energia eléctrica, que é apresentada

aos alunos em 3 aulas de 90 minutos.

Este tópico visa dotar os alunos de competências ao nível da capacidade para

estabelecer o perfil óptimo de produção de energia eléctrica, na perspectiva da

minimização do custo total de produção, quando estão disponíveis vários grupos

térmicos para satisfazer o consumo de energia eléctrica num dado momento.

Para alcançar este objectivo é necessário fornecer bases ao nível da optimização com

restrições sendo introduzido o Teorema de Kuhn-Tucker e sua aplicação ao problema

do Despacho Económico.

A consolidação das competências adquiridas é efectuada pela dedução dos resultados

a partir dos fundamento teóricos, da resolução de exercícios e da motivação intuitiva

para os resultados obtidos.


- 2 -

2. Aspectos técnicos e económicos da produção de energia eléctrica

2.1. Tecnologias de produção

Num sistema de energia eléctrica coexistem diversas tecnologias de produção de

energia com base em diferentes fontes primárias. Com particular predominância

surgem a energia hidráulica, a que resulta da queima de combustíveis fósseis e a

energia nuclear. Outras fontes para produção de energia eléctrica em franca expansão

na actualidade são as energias renováveis tais como a eólica, solar, biomassa e dos

oceanos.

Em Portugal, a produção anual de energia eléctrica a partir das fontes primárias é

apresentada na Figura 2.1, onde se observa a satisfação do consumo a partir do

carvão de forma estável e elevada (32% a 38%), do gás natural com penetração

crescente (6% a 21%), do fuelóleo em percentagem mais reduzida (11% a 19%) e da

hidráulica com forte relação com a hidraulicidade do ano (17% a 34%).

Figura 2.1 Produção anual de energia eléctrica por tecnologias em Portugal (1998-2002)


- 3 -

2.1.1. Hidráulica

A produção de energia eléctrica a partir da energia hidráulica é efectuada em centrais

cujo princípio de funcionamento é ilustrado na Figura 2.2 para uma central hidráulica

de albufeira.

Figura 2.2 Esquema de funcionamento de uma central hidráulica

Fonte: Endesa

Por forma a se obter uma determinada potência eléctrica à saída da central o caudal

de água armazenada na albufeira criada pela barragem (1) é controlado pela válvula

de admissão (2) com vista a accionar a turbina hidráulica (3). Esta turbina

encontra-se acoplada ao eixo do alternador (4), fornecendo energia mecânica ao

rotor. A variação espacial resultante do movimento de rotação do campo magnético

criado no rotor induz, nos enrolamentos do estator, uma força electromotriz à qual

está associada uma corrente eléctrica. Através do transformador elevador (5) a

energia produzida é colocada na rede eléctrica (6) para satisfação do consumo.


- 4 -

2.1.2. Térmica convencional

A produção de energia eléctrica a partir de combustíveis fosseis segue o princípio

descrito na Figura 2.3, que pretende representar uma central a carvão ou a fuelóleo.

Figura 2.3 Esquema de funcionamento de uma central térmica convencional

Fonte: Endesa

A produção de energia eléctrica obtém-se pela queima na caldeira (1) do combustível

(2) utilizado na central (carvão, fuelóleo). A energia térmica libertada pela combustão

é transferida à agua que circula na serpentina da caldeira por forma a produzir vapor

nas condições indicadas de pressão e temperatura. O vapor obtido é então injectado

na turbina de vapor (3) o que promove a conversão em energia mecânica de rotação

da turbina que se encontra acoplada ao eixo do alternador (4). A variação espacial

resultante do movimento de rotação do campo magnético criado no rotor induz, nos

enrolamentos do estator, uma força electromotriz à qual está associada uma corrente

eléctrica. Através do transformador elevador (5) a energia produzida é colocada na

rede eléctrica (6) para satisfação do consumo. O vapor de saída da turbina é

arrefecido no condensador (7) cuja circulação é garantida pela bomba do circuito de

refrigeração. A fonte fria necessária para o arrefecimento pode ser constituída por

água disponível na proximidade da central: água do rio, tal como na central a fuelóleo


- 5 -

do Carregado ou água mar, tal como na central a carvão de Sines ou, caso tal não

seja viável, através de uma torre de refrigeração (11) situação da central

termoeléctrica do Ribatejo (TER). Os gases de escape resultantes da combustão

passam pelo sistema de redução de emissões (9) e são expelidos pela chaminé (19).

2.1.3. Ciclo combinado

Um combustível cuja contribuição tem sido crescente para a produção de energia

eléctrica é o gás natural. A utilização do gás natural para produção de energia

eléctrica surge com vantagem quando se tornou possível adaptar a tecnologia usada

nos motores dos aviões a jacto para construir turbinas a gás. Para além de promover

a desejada diversificação das fontes primárias fósseis de energia, o rendimento de

uma central de ciclo combinado a gás natural é consideravelmente superior (na ordem

dos 57%) e o nível de emissões é mais reduzido (cerca de 1/3 das emissões

específicas de uma central a carvão).

Na Figura 2.4 apresenta-se o esquema de funcionamento de uma central de ciclo

combinado.

Figura 2.4 Esquema de funcionamento de uma central de ciclo combinado

Fonte: Endesa


- 6 -

Uma central de ciclo combinado combina um ciclo a gás com um ciclo de vapor. No

ciclo a gás é utilizado um compressor para aumentar a pressão do ar à entrada antes

de entrar na câmara de combustão. A entrada do gás é efectuada através da estação

de regulação e medida (1) e os gases quentes e a alta pressão que resultam da

combustão accionam a turbina a gás (2) existindo filtros no sistema (3).

A turbina a gás encontra-se acoplada ao alternador (4) e a produção de energia é

efectuada da forma já descrita para as outras tecnologias e colocada, através de um

transformador elevador (5), na rede eléctrica (6).

A temperatura à entrada da turbina é da ordem dos 1300ºC e a temperatura dos

gases de escape é de aproximadamente 500ºC, o que significa que o rendimento

teórico não é muito elevado (cerca de 51%). No entanto a temperatura dos gases de

escape é suficientemente elevada para alimentar uma caldeira de recuperação (7) que

é utilizada para produzir vapor a ser injectado numa segunda turbina a vapor (8)

acoplada a um alternador (9). Deste modo tem-se um rendimento global efectivo na

ordem dos 57%, o que corresponde a um valor consideravelmente superior ao

verificado para outros tipos de centrais.

O arrefecimento do vapor é efectuado no condensador (10) com circulação

assegurada pela bomba (11) em que a fonte fria representada no esquema é o ar

com permutação de calor efectuada através da torre de refrigeração (12).

2.1.4. Nuclear

Embora em Portugal não exista energia nuclear esta é uma das formas de produção

de energia eléctrica com grande relevo a nível mundial. De facto, em meados dos

anos 90 existiam cerca de 450 centrais nucleares em todo o mundo instaladas em 30

países, que representavam cerca de um sexto da capacidade instalada e produziam

um nono da energia eléctrica anual.

Em quatro países a energia nuclear representava mais de metade da energia eléctrica

produzida: a Lituânia (cerca de 90%), a França (aproximadamente 80%), a Bélgica e

a República da Eslováquia (mais de 50%).


- 7 -

Na Figura 2.5 apresenta-se o esquema de funcionamento de uma central nuclear.

Figura 2.5 Esquema de funcionamento de uma central nuclear

Fonte: Endesa

A produção de energia eléctrica numa central nuclear segue os mesmos princípios de

uma central térmica clássica excepto na forma como se obtém o calor. Enquanto que

numa central clássica a energia calorífica resulta da queima de um combustível, numa

central nuclear deriva da reacção que se verifica no reactor nuclear (1). Essa reacção

consiste na cisão de núcleos de átomos de urânio enriquecido (10), normalmente

U-235 ou U-238, que liberta grandes quantidades de energia. O calor resultante da

reacção é utilizador no gerador de vapor (2) para accionar uma turbina a vapor (3).

Tal como numa central térmica convencional a turbina está acoplada ao alternador (4)

que coloca a energia eléctrica, através do transformador elevador (5), na rede

eléctrica (6). A refrigeração é feita pelo circuito composto pelo condensador (7),

bomba (8) e torres de refrigeração (11).

Devido ao facto dos elementos resultantes do processo de reacção serem radioactivos

é necessária a existência de um edifício de contenção (9).


- 8 -

2.2. Custos de produção

Os custos associados à produção de energia eléctrica a partir de um grupo térmico

podem ser classificadas em custos de investimento, de combustível e de operação e

manutenção. Na perspectiva da operação de um sistema de energia os custos mais

relevantes são os associados ao combustível utilizado na produção de energia, pelo

que são estes os custos focados na presente secção.

Um grupo térmico de produção de energia eléctrica pode ser representado de forma

simplificada pelo esquema apresentado na Figura 2.6, onde se representa uma

caldeira que gera vapor para accionar um sistema acoplado de turbina-alternador.

Figura 2.6 Esquema de um grupo térmico com caldeira-turbina-alternador

A potência gerada por este sistema é fornecida à rede de energia eléctrica para

satisfação do consumo observado em cada momento, sendo uma fracção destinada a

alimentar os serviços auxiliares do próprio grupo. Os valores típicos do consumo

relativo aos serviços auxiliares são da ordem dos 2% a 6% da produção bruta, que se

destinam a alimentar as bombas de circulação da caldeira, as ventoinhas de

arrefecimento, as bombas de circulação de água do condensador, entre outros

consumos próprios do grupo térmico. Deste modo, distingue-se a potência bruta à

saída do alternador da potência líquida fornecida à rede (P).

Uma característica de relevância fundamental para a operação económica de um

grupo de produção de energia eléctrica consiste na relação existente entre a potência

térmica à entrada (H), resultante da queima do combustível, e a potência eléctrica à

saída do grupo (P). Esta relação característica de cada grupo pode ser obtida

Turbina

P G T B

Aux

Caldeira Alternador

Serviços Auxiliares

H


- 9 -

experimentalmente por ensaios a diferentes regimes de carga. O conjunto dos pontos

que relacionam a potência eléctrica de saída com a potência térmica de entrada para

os vários valores de potência são normalmente aproximados por uma função

polinomial do segundo grau, dada pela equação (2.1).

2cba)( PPPH ++= (2.1)

Em que:

H : Potência térmica de entrada [GJ/h]

P : Potência eléctrica de saída [MW]

a, b, c : Parâmetros característicos do grupo

Para se obter a função de custo de produção relativa ao grupo térmico, basta

multiplicar H(P), dado por (2.1), pelo custo do combustível queimado no grupo.

( ) FPPPC 2cba)( ++= (2.2)

Em que:

C : Custo de produção [€/h]

F : Custo do combustível [€/GJ]

O custo de produção é assim apresentado, para efeitos de cálculo, como uma função

contínua e convexa tal como se ilustra na Figura 2.7, determinado pela expressão

(2.2) avaliada para potências compreendidas entre os limites técnicos mínimo e

máximo de operação do grupo (Pmin, Pmax) .


- 10 -

Figura 2.7 Custo de produção em função da potência eléctrica de saída

Pmin Pmax

Cus

to d

e pr

oduç

ão

C

(P)

[€/h

]

Potência eléctrica P [MW]

O custo de produção é uma medida integral pois indica o custo total de produzir uma

determinada quantidade de energia.

Uma outra medida de grande utilidade na operação económica óptima de um sistema

térmico é a de custo marginal.

O custo marginal de produção é o custo associado à última unidade produzida

(unidade marginal) e é dado matematicamente pela derivada da função de custo total

(equação (2.2)).

Deste modo, enquanto que C(100) representa o custo de produzir cem unidades,

C’(100) representa o custo de produzir a centésima unidade.

O custo marginal associado à expressão de custo expressa em (2.2) é dado por:

( ) FPPC c2b)(' += (2.3)


- 11 -

Na Figura 2.8 está representada graficamente a função de custos marginais que

apresenta uma evolução linear crescente o que indica que para potências superiores o

custo de cada unidade marginal aumenta.

Figura 2.8 Custo marginal de produção em função da potência eléctrica de saída

Pmin Pmax

Cus

to m

argi

nal

C'(P

) [€

/MW

h]

Potência eléctrica P [MW]

O custo marginal, ao indicar o custo da última unidade produzida, não reflecte custos

fixos de curto-prazo que devem ser afectados a todas as unidades produzidas. Neste

sentido surge o conceito de custo médio que é dado pelo custo total de produção a

dividir pelo número de unidades produzidas.

FPPp

PC⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++= cb

a)( (2.4)

A representação do custo médio é efectuada na Figura 2.9 onde se evidencia uma

zona decrescente do custo médio, decorrente da diluição da componente fixa dos

custos por um maior número de unidades (termo a/P), e por uma zona de

crescimento devida ao aumento dos custos marginais (termo cP).


- 12 -

Figura 2.9 Custo médio de produção em função da potência eléctrica de saída

Pmin Pmax

Cus

to m

édio

C(P

)/P [

€/M

Wh]

Potência eléctrica P [MW]P*

Deste modo, verifica-se existir um ponto de funcionamento que minimiza o custo

médio e que se pode obter pela resolução do problema de minimização de (2.4).

FPP

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++ cba

min (2.5)

Este problema de optimização não tem restrições e a função objectivo é diferenciável

e convexa pelo que a condição necessária e suficiente de óptimo corresponde ao

ponto (P*) em que a derivada seja nula.

0cba **

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++ FP

PdPd

(2.6)

Cuja solução é dada por:

ca* =P (2.7)


- 13 -

3. Despacho Económico

3.1. Formulação do problema

Considere-se o sistema electroprodutor representado na Figura 3.1 constituído por n

grupos térmicos ligados a um barramento comum e que satisfazem o consumo total

do sistema (Pcarga). A potência de saída de cada grupo é dada por Pi e o custo

associado a esse valor de potência é Ci.

Figura 3.1 Sistema electroprodutor com n grupos que alimentam uma carga

O problema do despacho económico consiste na determinação do perfil óptimo de

produção dos grupos por forma a minimizar o custo total de produção (CT) e tendo em

consideração a satisfação do consumo e os limites técnicos de operação dos grupos.

Matematicamente este problema pode ser formalizado como um problema de

optimização com restrições dado por:

∑=

≡n

iiT PCC

1i)(min (3.1)

Sujeito a:

∑=

=n

iaci PP

1arg Produção igual ao consumo (3.2)

niPPP iii ,...,1maxmin

=≤≤ Limites técnicos de operação (3.3)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Pcarga

C1 P1 G1 T1 B1

C2 P2 G2 T2 B2

Cn Pn Gn Tn Bn


- 14 -

A solução deste problema requer a utilização de técnicas de programação não linear

com restrições cujos conceitos básicos são apresentados na secção seguinte.

3.2. Optimização com restrições

A formulação geral do problema de programação não linear pode ser expressa como a

maximização de uma função, designada por função objectivo, sujeita a que estejam

satisfeitas um conjunto de restrições expressas como desigualdades de maior ou igual

a zero e igualdades a zero, de acordo com o problema (3.4).

mmixhmixg

asxf

i

i,...,10)(

,...,10)(.

)(max

1

1+==

=≥ (3.4)

Em que:

f : En E , função objectivo

gi : En E , funções de restrição

n : número variáveis de decisão

m1 : número de restrições de maior ou igual a zero

m : número total de restrições

Deve notar-se que nem todos os problemas se apresentam directamente na forma do

problema (3.4). No entanto, é sempre possível escrever um problema de programação

não linear na forma geral, efectuando para isso algumas transformações matemáticas.

Neste sentido, atente-se ao seguinte exemplo de problema de programação não linear

com restrições:

200)ln()(100)(

5023)(.

4)(min

3213

23212

211

32112

1 2

=+−=≤+−=

≥++=

++=

xxxxgxxxxg

xxxgas

xxxexxxf x

(3.5)


- 15 -

Neste exemplo verifica-se que o problema não está escrito na forma geral, uma vez

que:

Estamos perante um problema de minimização e não de maximização

Existem restrições de menor ou igual

O lado direito das restrições é diferente de zero

Para escrevermos o problema (3.5) na forma geral enunciada em (3.4) devemos

atender a que:

Minimizar uma função é equivalente a maximizar o seu simétrico no sentido em

que conduz ao mesmo ponto óptimo

As restrições podem ser reescritas por forma a que o lado direito seja igual a

zero

Deste modo, o problema (3.5), escrito na forma normal, exprime-se como:

0200)ln()(0100)(

05023)(.

)4()(max

3213

23212

211

32112

1 2

=−+−=≥+−+−=

≥−++=

++−=

xxxxgxxxxg

xxxgas

xxxexxxf x

(3.6)

A teoria da programação não linear conheceu o seu advento em 1950 com o chamado

“Teorema de Kuhn-Tucker”. Este teorema foi demonstrado no artigo “Nonlinear

Programming” da autoria de dois matemáticos de Princeton: Albert W. Tucker e

Harold W. Kuhn.

A versão do Teorema de Kuhn-Tucker, adaptada a problemas de programação

não-linear com restrições de igualdade e desigualdade, é enunciado seguidamente.


- 16 -

Teorema de Kuhn-Tucker

Considere-se o problema de programação não linear:

mmixhmixg

asxf

i

i,...,10)(

,...,10)(.

)(max

1

1+==

=≥

em que f(x), gi(x) e hi(x) são funções diferenciáveis.

Se x* é solução óptima do problema.

Então verificam-se as seguintes três condições:

Condições de Kuhn-Tucker (KT)

KT1 : x* verifica as restrições do problema, ou seja:

mmixh

mixg

i

i,...,10*)(

,...,10*)(

1

1+==

=≥

Existem multiplicadores 1,...,1,0 mii =≥µ e mmii ,...,1,sirrestrito 1 +=λ :

KT2 : 1,...,1,0*)( mixgii ==µ

KT3 : 0*)(*)(*)(11 1

1

=∇λ+∇µ+∇ ∑∑+==

m

miii

m

iii xhxgxf


- 17 -

3.3. Solução do problema

Para encontrar a solução do problema do despacho económico pode aplicar-se o

teorema de Kuhn-Tucker apresentado na secção anterior.

Para tal, escreve-se o problema representado por (3.1), (3.2), (3.3) na forma geral:

∑=

−≡−n

iiT PCC

1i)(max (3.7)

Sujeito a:

0)(1

arg∑=

=−≡n

iaci PPh P

niPPg iii ,...,10)(min

=≥−≡P

niPPg iii ,...,10)(max

=≥−≡P

Em que P representa o vector das potências de cada grupo.

As condições de Kuhn-Tucker deste problema são dadas por:

KT1: 01

arg∑=

=−n

iaci PP

niPP ii ,...,10min

=≥−

niPP ii ,...,10max

=≥−

Existem multiplicadores niii ,...,1,0, =≥µµ e irrestritoλ :

KT2: ( ) niPP iii ,...,10min

==−µ

( ) niPP iii ,...,10max

==−µ

KT3: ( ) niPC iiii ,...,10' ==µ−µ+λ+−


- 18 -

A terceira condição de Kuhn-Tucker (KT3) enuncia a condição a que deve satisfazer o

custo marginal de cada grupo:

( ) niPC iiii ,...,1' =µ−µ+λ= (3.8)

A solução do problema do despacho económico pode ser obtida pela resolução do

sistema de equações resultante das condições de Kuhn-Tucker, cuja obtenção é

realizada numericamente com recurso a algoritmos computacionais para sistemas de

grande dimensão.

No entanto, podem explicitar-se as condições implícitas nas equações obtidas, por

forma a alcançar a intuição do resultado do despacho económico óptimo.

Para tal, atente-se ao facto dos multiplicadores µ poderem ser nulos ou positivos, o

que conduz a quatro hipóteses para cada grupo térmico i:

iµ iµ

1) 0 0

2) 0 +

3) + 0

4) + +

1) iµ = iµ = 0

Da hipótese 1) obtém-se a seguinte condição para os custos marginais dada por KT3:

( ) niPC ii ,...,1' =λ= (3.9)

Este resultado indica que o custo marginal de cada grupo é igual a λ. Uma vez que o

valor de λ não depende do grupo em questão, então esta condição indica que todos os

grupos devem operar ao mesmo custo marginal.

Esta conclusão é particularmente intuitiva pois, quando as restrições técnicas não são

activas, o óptimo deve corresponder a custos marginais iguais em todos os grupos.


- 19 -

Caso contrário, com custos marginais distintos, facilmente se encontra uma solução

com menor custo aumentando a produção nos grupos que apresentam custos

marginais inferiores e diminuindo a produção dos grupos com custos marginais

superiores, de forma a que a soma da produção continue a igualar o consumo.

2) iµ = 0 , iµ > 0

Da hipótese iµ > 0 obtém-se a seguinte condição a partir de KT2:

KT2 : ( )minmin

0 iiiii PPPP =⇒=−µ

Sendo KT3 dada por:

KT3 : ( ) 0' =µ+λ+− iii PC

logo

( ) λ>µ+λ= iii PC ' (3.10)

Este resultado indica que o custo marginal dos grupos nas condições da hipótese 2) é

superior a λ e que estes grupos operam no seu limite técnico mínimo.

Assim, admite-se que um grupo possa operar a custo marginal superior ao dos

restantes, desde que esteja a operar à potência mínima.

Intuitivamente, um grupo que esteja a custo marginal superior deveria ver reduzida a

sua potência, mas tal não é possível caso ele esteja à potência mínima.

3) iµ > 0 , iµ = 0

Da hipótese iµ > 0 obtém-se a seguinte condição a partir de KT2:

KT2 : ( )maxmax


Sendo KT3 dada por:

KT3 : ( ) 0' =µ−λ+− iii PC

logo

( ) λ<µ−λ= iii PC ' (3.11)


- 20 -

Este resultado indica que o custo marginal dos grupos nas condições da hipótese 3) é

inferior a λ e que estes grupos operam no seu limite técnico máximo.

Assim, admite-se que um grupo possa operar a custo marginal inferior ao dos

restantes desde que esteja à potência máxima.

Intuitivamente, um grupo que esteja a custo marginal inferior deveria ver aumentada

a sua potência, mas tal não é possível caso ele esteja à potência máxima.

4) iµ > 0 , iµ > 0

Das hipóteses iµ > 0 e iµ > 0 obtêm-se as seguintes condições a partir de KT2:

KT2 : ( )minmin


( )maxmax


Esta hipótese é impossível de estar satisfeita pois indica que um grupo está

simultaneamente à sua potência mínima e à sua potência máxima.

Resumindo, das equações de Kuhn-Tucker aplicadas ao problema do Despacho

Económico resultam três condições possíveis às quais o perfil óptimo de geração deve

respeitar. Assim, no óptimo, cada grupo deve observar uma das seguintes condições:

1) ( ) λ=ii PC ' e maxmin iii PPP ≤≤

2) ( ) λ>ii PC ' e minii PP =

3) ( ) λ<ii PC ' e maxii PP =

O valor de λ é designado por custo marginal do sistema e reflecte o custo da última

unidade produzida. Matematicamente, ao ser o multiplicador de Lagrange associado à

restrição do consumo, indica qual a variação da função objectivo (custo total de

produção) quando a restrição do consumo (produção igual ao consumo) é relaxada

em uma unidade, ou seja, quanto aumenta o custo total de produção quando o

consumo aumenta em uma unidade infinitesimal.


- 21 -

4. Exemplo de aplicação

Uma empresa com activos na área da produção de energia eléctrica detém três

grupos térmicos que satisfazem um consumo constante de 325 MW. O sistema

eléctrico referido encontra-se representado na Figura 4.1.

Figura 4.1 Sistema electroprodutor com três grupos de produção que alimentam uma carga

Os limites técnicos de operação e a função de custos de produção de cada grupo são

apresentadas na tabela seguinte:

Grupo

i

Pmin

(MW)

Pmáx

(MW)

Ci(Pi)

(c€/kWh)

1 80 220 15.3 + 1.17 P1 + 0.00145 P12

2 40 150 13.7 + 1.30 P2 + 0.00163 P22

3 25 90 10.3 + 1.48 P3 + 0.00226 P32

a) Pretende-se determinar o perfil óptimo de produção dos grupos por forma a

satisfazer o consumo ao mínimo custo total de produção (problema do Despacho

Económico).

b) Pretende-se resolver o problema enunciado na alínea a) para um consumo de

200 MW.

c) Pretende-se resolver o problema enunciado na alínea a) para um consumo de

450 MW.

Pcarga

C1 P1 G1 T1 B1

C2 P2 G2 T2 B2

C3 P3 G3 T3 B3


- 22 -

Resolução:

Objectivo da empresa: Minimização do custo total de produção

Restrições: Consumo e limites técnicos de operação dos grupos

Variáveis de decisão:

P1 : potência fornecida pelo grupo 1



Formulação do problema:

)()()(min 332211 PCPCPCCusto ++≡ (4.1)

Sujeito a:

carga321 PPPP =++ Igualdade entre produção e consumo (4.2)

22080 1 ≤≤ P Limites técnicos de operação grupo 1 (4.3)



a) MW325carga =P

Em primeiro lugar resolve-se o sistema na hipótese de que os grupos estão ao mesmo

custo marginal e que a soma das potências de cada um iguala o consumo:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

λ=+

λ=+

λ=+

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

λ=′

λ=′

λ=′

325

00452.048.1

00326.030.1

00290.017.1

)(

)(

)(

321

3

2

1

carga321

33

22

11

PPP

P

P

P

PPPP

PC

PC

PC

a solução deste sistema de equações é dada por:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=λ

=

=

=

cEuro/kWh667.1

MW3.41

MW5.112

MW2.171

3

2

1

P

P

P


- 23 -

Como a potência de todos os grupos está dentro dos limites técnico de operação esta

é a solução óptima.

Nesta situação todos os grupos operam ao mesmo custo marginal tal como se

representa na Figura 4.2.

Figura 4.2

Identificação do óptimo para uma carga de 325 MW


- 24 -

b) MW200carga =P

Para um consumo de 200 MW resolve-se novamente o sistema na hipótese de que os

grupos estão ao mesmo custo marginal e que a soma das potências de cada um iguala

o consumo:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

λ=+

λ=+

λ=+

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

λ=′

λ=′

λ=′

200

00452.048.1

00326.030.1

00290.017.1

)(

)(

)(

321

3

2

1

carga321

33

22

11

PPP

P

P

P

PPPP

PC

PC

PC

a solução deste sistema é dada por:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=λ

=

=

=

cEuro/kWh523.1

MW6.9

MW5.68

MW9.121

3

2

1

P

P

P

Esta solução não respeita os limites técnicos de operação do grupo 3 uma vez que a

sua potência é inferior ao limite mínimo que é de 25 MW.

Deste modo, tenta resolver-se o sistema fazendo a potência do grupo 3 igual ao seu

valor mínimo de 25.0 MW e efectua-se o despacho económico dos grupos 1 e 2 para a

potência de consumo residual (consumo total de 200 MW subtraído dos 25 MW

satisfeitos pelo grupo 3). A solução deste sistema é dada por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=λ

=

=

cEuro/kWh500.1

MW3.61

MW7.113

2

1

P

P

Relativamente ao grupo 3 tem-se:

MW25ecEuro/kWh593.1)25( min333 ==λ>=′ PPC

Deste modo a solução óptima está encontrada pois os grupos 1 e 2 estão dentro dos

seus limites técnicos de operação e como tal o seu custo marginal marca o custo

marginal do sistema (λ). O grupo 3 tem um custo marginal superior mas está a operar

no seu limite inferior.


- 25 -

Na Figura 4.3 apresenta-se graficamente a solução encontrada.

Figura 4.3



- 26 -

c) MW450carga =P

Para um consumo de 450 MW resolve-se novamente o sistema na hipótese de que os

grupos estão ao mesmo custo marginal e que a soma das potências de cada um iguala

o consumo:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

λ=+

λ=+

λ=+

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

λ=′

λ=′

λ=′

450

00452.048.1

00326.030.1

00290.017.1

)(

)(

)(

321

3

2

1

carga321

33

22

11

PPP

P

P

P

PPPP

PC

PC

PC

a solução deste sistema é dada por:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=λ

=

=

=

cEuro/kWh810.1

MW0.73

MW4.156

MW6.220

3

2

1

P

P

P

Esta solução não respeita os limites técnicos de operação dos grupos 1 e 2 uma vez

que a sua potência é superior ao limite máximo que é de 220 MW e 150 MW

respectivamente.

Deste modo, tenta resolver-se o sistema fazendo a potência dos grupos 1 e 2 iguais

aos seus valores máximos e determina-se a potência do grupo 3 pelo consumo

residual (consumo total de 450 MW subtraído dos 220 MW satisfeitos pelo grupo 1 e

dos 150 MW satisfeitos pelo grupo 2).

As potências obtidas por este método são dadas por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

MW0.80

MW0.150

MW0.220

3

2

1

P

P

P

Os custos marginais correspondentes são dados por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

λ==′

=λ<=′

=λ<=′

cEuro/kWh842.1)(

ecEuro/kWh789.1)(

ecEuro/kWh808.1)(

33

max2222

max1111

PC

PPPC

PPPC


- 27 -

Deste modo a solução óptima está encontrada pois o grupo 3 está dentro dos seus

limites técnicos de operação, e como tal o seu custo marginal marca o custo marginal

do sistema (λ) e os grupos 1 e 2 têm um custo marginal inferior mas estão a operar

no seu limite máximo.

Na Figura 4.4 apresenta-se graficamente a solução encontrada.

Figura 4.4



- 28 -

5. Bibliografia

Power Generation, Operation and Control, A. J. Wood, B. F. Wollenberg, 2ª

Edição, John Wiley & Sons, 1996.

Nonlinear Programming: A Unified Approach, Willard J. Zangwill, Prentice-Hall,

1969.

Guia da Energia, Janet Ramage, MONITOR - Projectos e Edições, Lda: 1ª Edição,

2003.

Redes de Energia Eléctrica – Uma Análise Sistémica, J. P. Sucena Paiva, IST

Press, 2005.

Síntese técnica 2002, Lisboa: REN - Rede Eléctrica Nacional, 2003.

http://pw.elec.kitami-it.ac.jp/ueda/java/ELD/

www.endesa.es

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