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Teoria das Desicoes Financeiras II

Jose Fajardo Barbachan

IBMEC Business School

Rio de Janeiro

Teoria das Desicoes Financeiras II – p.1/22

http://professores.ibmecrj.br/pepe

Objetivo

Neste curso o aluno aprenderá diversas ferramentasprobabílisticas, de forma que lhe permitiram modelare resolver problemas em finanças, em especial no

apreçamento de varios tipos de derivativos.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;

• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;

• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;

• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;

• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;

• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;

• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;

• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;

• Opções Reais.


Conteúdo

• Processos Estocásticos;• Esperança Condicionada e Martingalas;• Modelo Binomial;• Modelo e Formula de Black e Scholes;• Opções Americanas;• Swaps;• Value at Risk;• Opções Exóticas;• Opções Reais.


Bibliografia Básica

• Probabilidade para Financas. JoséFajardo. Apostilha 2003.(http://professores.ibmecrj.br/pepe)

• Options, Futures and Other Derivatives.John Hull. 2002. Prentice Hall. 5thEdition.


Bibliografia Básica

• Probabilidade para Financas. JoséFajardo. Apostilha 2003.(http://professores.ibmecrj.br/pepe)

• Options, Futures and Other Derivatives.John Hull. 2002. Prentice Hall. 5thEdition.

Pode ser adquirido diretamente com o representanteda Prentice no Brasil: [email protected],

com desconto do 20% por R$119,60Teoria das Desicoes Financeiras II – p.4/22

Bibliografia Complementar

• Dynamic Aset Pricing Theory. DarrellDuffie. 2001. Prentice Hall. 3rdEdition.

• The Mathematics of Financial Derivatives.Wilmott, P., S. Howison, and J.Dewynne. 1995. Cambridge Press.


Critério de Avaliação

• 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos;

• 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos;• 2 Listas de Exercícios (LE1 e LE2), valendo

10 pontos cada uma;• Participação (P) valendo 10 pontos.



• 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos;• 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos;

• 2 Listas de Exercícios (LE1 e LE2), valendo10 pontos cada uma;

• Participação (P) valendo 10 pontos.



• 1 Prova Parcial (PP) valendo 30 pontos;• 1 Prova Final (PF) valendo 40 pontos;• 2 Listas de Exercícios (LE1 e LE2), valendo

10 pontos cada uma;

• Participação (P) valendo 10 pontos.





A Nota Final (NF) será igual á

NF =PP + PF + LE1 + LE2 + P

10

Sé NF ≥ 6, o aluno estará aprovado.


Datas Importantes

• Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nossábados 7/6 , 14/6 e 19/7 teremos aulas dereposição das 9:00 as 12:30 na sala 302;

• No día 24/6 será a palestra do Prf. João Amaro deMatos da Universidade Nova de Lisboa“Information Flow, Social Interactions and theFluctuations of Prices in Financial Markets”;

• A LE1 estará disponível pela intranet no día 17/6 eterá que ser entregue até o dia 17/7 no 17 andar;

• A LE2 estará disponível pela intranet no día 30/7 eterá que ser entregue até o dia 26/8 na sala deaula;

• A PP e a PF serão realizadas nos días 29/7 e26/8, respectivamente.


Datas Importantes

• Nos dias 1/7, 8/7 e 15/7 não haverá aula. Nossábados 7/6 , 14/6 e 19/7 teremos aulas dereposição das 9:00 as 12:30 na sala 302;

• No día 24/6 será a palestra do Prf. João Amaro deMatos da Universidade Nova de Lisboa“Information Flow, Social Interactions and theFluctuations of Prices in Financial Markets”;

• A LE1 estará disponível pela intranet no día 17/6 eterá que ser entregue até o dia 17/7 no 17 andar;

• A LE2 estará disponível pela intranet no día 30/7 eterá que ser entregue até o dia 26/8 na sala deaula;

• A PP e a PF serão realizadas nos días 29/7 e26/8, respectivamente. Teoria das Desicoes Financeiras II – p.7/22

Observações

• Não haverá provas de reposição;

• O aluno que entregue as listas apôs das datasestípuladas, será penalizado com −2x pontos,onde x é o número de dias fora do prazo;

• Não haverá reprovação por faltas.


Observações

• Não haverá provas de reposição;• O aluno que entregue as listas apôs das datas

estípuladas, será penalizado com −2x pontos,onde x é o número de dias fora do prazo;

• Não haverá reprovação por faltas.


Probabilidade para Financas


Axiomas da Probabilidade

Para entender como se obtem uma medida deprobabilidade precisamos de axiomas muitorazoaveis. Para presentar estes axiomas precisamosda noção de σ−algebra. Para definir este objetodenotemos por Ω o conjunto de possíveis eventos deum experimento.



Para entender como se obtem uma medida deprobabilidade precisamos de axiomas muitorazoaveis. Para presentar estes axiomas precisamosda noção de σ−algebra. Para definir este objetodenotemos por Ω o conjunto de possíveis eventos deum experimento.

Exemplo 1: Lançar uma moeda,Possíveis resultados: cara(c) ou corõa (c), então:

Ω = c, c.



Exemplo 2: Lançar um dado...

Exemplo 3: Número de caras em 50 lances

Exemplo 4: Soma das faces ao lançar 2 dados

Agora denotemos o conjunto de todos ossubconjuntosde Ω por P(Ω) este conjunto possue 2n(Ω) elementospor isto tambem é denotado por 2Ω. O conjunto

vacio será denotado por ∅.


Problemas!

A primeira noção de probailidade que temos é afrequencia, exemplo qual é probabilidade de as facesdos dados somar 7 no ex. 4.

Quando o conjunto é muito grande, como os reais IR,não é possível calcular a probabilidade como umafrequencia.

Porem a maioria de experimentos em finanças podeter um continuo de possibilidades, podendo tornarimpossível o uso de frequencias.

Uma solução a este prolema e definir a probabilidade

em conjuntos menos complexos


Problemas!

A primeira noção de probailidade que temos é afrequencia, exemplo qual é probabilidade de as facesdos dados somar 7 no ex. 4.

Quando o conjunto é muito grande, como os reais IR,não é possível calcular a probabilidade como umafrequencia.

Porem a maioria de experimentos em finanças podeter um continuo de possibilidades, podendo tornarimpossível o uso de frequencias.

Uma solução a este prolema e definir a probabilidade

em conjuntos menos complexosTeoria das Desicoes Financeiras II – p.12/22

Definições

A é uma algebra se satisfaz:1. ∅ ∈ A e Ω ∈ A,

2. Se A ∈ A então Ac ∈ A, onde Ac denota ocomplemento de A em relação a Ω,

3. Se A1, A2, . . . , An ∈ A, então

n⋂

i=1

Ai ∈ A


Definições

A é uma algebra se satisfaz:1. ∅ ∈ A e Ω ∈ A,2. Se A ∈ A então Ac ∈ A, onde Ac denota o

complemento de A em relação a Ω,

3. Se A1, A2, . . . , An ∈ A, então

n⋂

i=1

Ai ∈ A


Definições

Dizemos que A é uma σ−algebra se satisfaz (1), (2) eno lugar de (3) satisfaz

• se A1, A2, A3, . . . ∈ A, então

∞⋃

i=1

Ai ∈ A e∞⋂

i=1

Ai ∈ A

Dado qualquer subconjunto C de P(Ω), temos quea σ−algebra gerada por C, denotada por σ(C), é a

menor σ−algebra que contem C.


Exemplos

• A = ∅, Ω é a σ−algebra trivial

• A subconjunto, então σ(A) = ∅, A, Ac, Ω

• Se Ω = IR, a σ−algebra de Borel é a σ−algebragerada pelos conjuntos abertos, ou pelosfechados.


Exemplos

• A = ∅, Ω é a σ−algebra trivial• A subconjunto, então σ(A) = ∅, A, Ac, Ω

• Se Ω = IR, a σ−algebra de Borel é a σ−algebragerada pelos conjuntos abertos, ou pelosfechados.


Medida de Probabilidade

Uma medida de probabilidade definida numaσ−algebra A de Ω é uma função P : A → [0, 1] quesatisfaz:

• P (∅) = 0 e P (Ω) = 1

• Para cada sequência (An)n≥1 de elementos de A,disjuntos dois a dois, isto é se m 6= n, entãoAn ∩ Am = ∅, temos que

P (∞⋃

n=1

An) =∞∑

n=1

P (An)


Independência

A partir de agora dado um Ω, uma σ−algebra F e umaprobabilidade P definida em F , nos referiremos àtripla (Ω,F , P ) como espaço de probabilidade.

Suponhamos que o evento B ha ocontecido, entãodenotemos por P (A/B) a probabilidade de queaconteça A dado que aconteceu B, então

P (A/B) ≈nfn(A ∩ B)

nfn(B)

Onde fn(A) = #A

ntomando limites teriamos que

P (A/B) =P (A ∩ B)

P (B).


Independência

A partir de agora dado um Ω, uma σ−algebra F e umaprobabilidade P definida em F , nos referiremos àtripla (Ω,F , P ) como espaço de probabilidade.Suponhamos que o evento B ha ocontecido, entãodenotemos por P (A/B) a probabilidade de queaconteça A dado que aconteceu B,

então


nfn(B)

Onde fn(A) = #A


P (A/B) =P (A ∩ B)

P (B).


Independência

A partir de agora dado um Ω, uma σ−algebra F e umaprobabilidade P definida em F , nos referiremos àtripla (Ω,F , P ) como espaço de probabilidade.Suponhamos que o evento B ha ocontecido, entãodenotemos por P (A/B) a probabilidade de queaconteça A dado que aconteceu B, então


nfn(B)

Onde fn(A) = #A


P (A/B) =P (A ∩ B)

P (B).


Independência

Agora que pasaria se o evento A fosse independente deB no sentido de que a informação “B ha acontecido”emnada afeta a possível ocorrência de A.

Entãodevemos ter que P (A/B) = P (A), daqui

P (A) =P (A ∩ B)

P (B)

ou P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Isto motiva a seguinte definição:


Independência

Agora que pasaria se o evento A fosse independente deB no sentido de que a informação “B ha acontecido”emnada afeta a possível ocorrência de A. Entãodevemos ter que P (A/B) = P (A),

daqui

P (A) =P (A ∩ B)

P (B)

ou P (A ∩ B) = P (A)P (B).



Independência

Agora que pasaria se o evento A fosse independente deB no sentido de que a informação “B ha acontecido”emnada afeta a possível ocorrência de A. Entãodevemos ter que P (A/B) = P (A), daqui

P (A) =P (A ∩ B)

P (B)

ou P (A ∩ B) = P (A)P (B).



Independência

Dois eventos A e B são independentes se

P (A ∩ B) = P (A)P (B).

Uma coleção de eventos (Ai)i∈I é uma coleçãoindependente se para todo subconjunto finito J de I,temos

P (⋂

j∈J

Aj) =∏

j∈J

P (Aj)


Independência

Exemplo

Seja Ω = 1, 2, 3, 4 e A = P(Ω).

Seja P (i) = 14 , i = 1, .., 4

.

Seja A = 1, 2, B = 1, 3, C = 2, 3

,

então A, B, C são independentes dois a dois mais

não são independentes.


Independência

Exemplo

Seja Ω = 1, 2, 3, 4 e A = P(Ω).Seja P (i) = 1

4 , i = 1, .., 4 .

Seja A = 1, 2, B = 1, 3, C = 2, 3

,




Independência

Exemplo


4 , i = 1, .., 4 .Seja A = 1, 2, B = 1, 3, C = 2, 3 ,




Independência

Exemplo


4 , i = 1, .., 4 .Seja A = 1, 2, B = 1, 3, C = 2, 3 ,então A, B, C são independentes dois a dois mais



Probabilidade Condicionada

Sejam A, B dois eventos e P (B) > 0. A probabilidadecondicional de A dado B é P (A/B) = P (A ∩ B)/P (B).



Sejam A, B dois eventos e P (B) > 0. A probabilidadecondicional de A dado B é P (A/B) = P (A ∩ B)/P (B).

Teorema 1 Suponha que P (B) > 0

• A e B são independentes se e somente seP (A/B) = P (A)

• A operação A → P (A/B) de A → [0, 1] define umanova medida de probabilidade em A, chamadamedida de probabilidade condicional dado B.



Teorema 2 (Teorema de Bayes) Seja (En) umapartição finita ou enumerável de Ω, e suponhaP (A) > 0. Então

P (En/A) =P (A/En)P (En)∑m P (A/Em)P (Em)


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