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1 1 KRIGAGEM (Krigeage, Kriging) A Teoria das Variáveis Regionalizadas tornou possível a Geoestatística Qualquer variável dependente do espaço e/ou tempo em que, além do caráter aleatório, apresente um caráter estrutural pode ser tratada como V.R. e sofrer uma análise segundo o formalismo desenvolvido pela Geoestatística. 2 Aplicações da geoestatística Lavra e prospecção Agricultura de precisão Análise espacial de crimes Cartografia Climatologia Ecologia da paisagem Engenharia Florestal Epidemiologia Geologia ambiental Geologia do petróleo Geotecnia Hidrogeologia Pedologia Softwares para Confecção de Mapas ou Sistemas de Informações Georreferenciadas (Exemplo: SPRING) 3 A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por objetivo o estudo e a representação estrutural das V.R. para a resolução de problemas de estimativa, a partir de dados experimentais medidos sobre suportes que não abrangem totalmente tais domínios (Problema clássico da inferência estatística quando se pretende estudar uma população por meio de amostragem) O melhor estimador para um V.R. deve levar em consideração as respectivas posições relativas e, portanto, a característica estrutural Estimativas são sempre afetadas por erros e é necessária a avaliação da precisão da estimativa 4

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KRIGAGEM (Krigeage, Kriging)

A Teoria das Variáveis Regionalizadas tornou possível a Geoestatística

Qualquer variável dependente do espaço e/ou tempo em que, além do caráter aleatório, apresente um caráter estrutural pode ser tratada como V.R. e sofrer uma análise segundo o formalismo desenvolvido pela Geoestatística.

2

Aplicações da geoestatística

Lavra e prospecção

Agricultura de precisão

Análise espacial de crimes

Cartografia

Climatologia Ecologia da paisagem

Engenharia Florestal

Epidemiologia

Geologia ambiental

Geologia do petróleo

Geotecnia

Hidrogeologia Pedologia

Softwares para Confecção de Mapas ou Sistemas de Informações Georreferenciadas (Exemplo: SPRING)

3

A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por objetivo o estudo e a representação estrutural das V.R. para a resolução de problemas de estimativa, a partir de dados experimentais medidos sobre suportes que não abrangem totalmente tais domínios

(Problema clássico da inferência estatística quando se pretende estudar uma população por meio de amostragem)

O melhor estimador para um V.R. deve levar em consideração as respectivas posições relativas e, portanto, a característica estrutural

Estimativas são sempre afetadas por erros e é necessária a avaliação da precisão da estimativa

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Krigagem

Método geoestatístico estimador que leva em consideração as características espaciais de autocorrelação de variáveis regionalizadas

Nas variáveis regionalizadas deve existir uma certa continuidade espacial, o que permite que os dados obtidos por amostragem de certos pontos possam ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o valor da variável seja desconhecido

Ao ser constatado que a variável não possui continuidade espacial na área estudada, não há sentido lógico em estimar/interpolar usando-se a krigagem

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Análise geoestatística

Estimação

Krigagem simples

Krigagem ordinária (normal)

Krigagem universal

Krigagem indicativa

Co-Krigagem

Simulação

(A estimativa por krigagem tenta obter acurácia e a simulação tenta atingir realismo)

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Único meio disponível para se verificar a existência ou não de continuidade espacial é, se houver, por meio da análise variográfica que determinará os parâmetros que caracterizam o comportamento regionalizado

Utiliza distâncias ponderadas e estimativa por médias móveis, pelo qual os pesos adequados são obtidos a partir de um variograma, representativo da média das diferenças ao quadrado dos valores de Z(xi) distribuídos a intervalos de distâncias especificados (lags h)

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Necessidade de um sistema de equações normais em matrizes, na qual são usados os parâmetros variográficos para a obtenção dos pesos a serem utilizados para o cálculo do valor do ponto a ser estimado/interpolado

Quando um variograma é adequadamente elaborado, a estimativa por krigagem resultante é reconhecida como sendo a estimativa linear melhor e não tendenciosa (BLUE = best, linear, unbiased estimate)

8

3

A krigagem pode ser usada para:

Previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado local dentro do campo geométrico; é um procedimento de interpolação exato que leva em consideração todos os valores observados, o qual pode ser a base para cartografia automática por computador quando se dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos por uma determinada área;

Cálculo médio de uma variável regionalizada para um volume maior que o suporte geométrico como, por exemplo, no cálculo do teor médio de uma jazida a partir de informações obtidas de testemunhas de sondagens

9

O sistema de krigagem necessário para a determinação dos ponderadores associados a cada um dos pontos estimadores baseia-se na ideia que quanto maior a covariância entre uma amostra xi, i=1, 2, ..., n, e o local que está sendo estimado, x0, mais essa amostra deve contribuir para a estimativa. Num método geométrico, como o do inverso do quadrado da distância, o peso entre a amostra xi e x0 também diminui à medida que a amostra fica mais longe, mas essas distâncias são euclidianas.

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No caso da estimativa por krigagem as distâncias são basadas na análise variográfica e alem desse relacionamento entre pontos estimadores e o ponto a ser estimado ha tambem o relacionamento entre os pontos estimadores que vão fornecer informações sobre o agrupamento presente. O sistema de krigagem leva em consideração, portanto, tanto a distância entre amostras como o seu agrupamento.

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Estimativa do valor no ponto A

12

4

Inverso da distância

13

Krigagem ordinária (normal)

14

Krigagem

Estimação por uma combinação linear ponderada

O erro cometido deve ter uma esperança zero

Procura pela máxima precisão

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Cálculo dos ponderadores li

O valor estimado por krigagem Z*(xi) é uma combinação linear de n Variáveis Regionalizadas.

O valor estimado é não enviesado

A variância da estimativa é minimizada

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5

Krigagem ordinária

Quando valores de uma variável regionalizada apresentam media constante, porem desconhecida, o algoritmo a ser aplicado é o da krigagem ordinária, para encontrar os ponderadores ótimos que minimizem a variância do erro de estimação.

Um valor amostral, obtido num ponto, é uma realização parcial de uma função aleatória Z(x), onde x denota a localização espacial.

Para a estimativa de um valor em um local não amostrado, Z(x0), são utilizados realizações parciais Z(x1), Z(x2),...Z(xn), localizadas segundo coordenadas conhecidas. Z*KO = l1 Z(x1) + l2Z(x2) + ... + lnZ(sn), onde os li são os pesos atribuidos a cada valor conhecido.

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•Existe associado a esse estimador um erro, =Z(x0)-Z*KO(x0); uma maneira simples seria representá-lo pela variância da estimativa: 2(s0)=Var[Z*KO(x0)-Z(x0)]

•A variância não pode ser obtida porque não se conhece o valor real que se esta estimando e, portanto, também não se sabe qual o erro associado; a solução é transformar a expressão em termos de quantidades que possam ser calculadas: Z(x) honra a hipótese intrínseca: E[Z(x)] = m Var[Z(sx)-Z(sx+h)] = 2g(h), •(A media é constante, mas como não entra no cálculo, pode continuar desconhecida).

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Variância dos erros: = desvios ao quadrado em relação ao erro médio = média de [(Z(x0) – Z*(x0)]2.

Para estimar tal medida utilizar o variograma, em que são medidas as diferenças de valores ao quadrado.

Num variograma, previamente calculado, dada uma distância h entre os pontos, pode-se estimar a variância simplesmente lendo o valor no eixo dos g´s

g(xi,xj): variância entre os pontos estimadores

g(xi,x0): variância entre o ponto estimador i e o ponto a ser estimado

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É introduzido o multiplicador de Lagrange (m) porque os pesos l devem somar 1

Representa o balanço entre como os valores estimadores se relacionam com o valor a ser estimado e como se relacionam entre si.

A variância da krigagem é homoscedástica

Independe dos valores dos pontos usados para obter o estimador Z*(x0)

Mede apenas a configuração espacial dos dados

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6

Krigagem ordinária para a estimativa de um ponto x0

Cálculo da variância(desvio padrão) associada(o) ao valor obtido por estimativa krigada

[l] = [A]-1 [B]

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Krigagem simples

Conhecimento da média.

Para krigagem pontual:

Z*ks(x0) = Σlz(xi) + [1-Σli]m

A soma dos pesos li não esta restrita a 1

Σlig(xi,xj) = g(x0, x ) para j = 1,2, ...N

Não há necessidade do multiplicador de Lagrange

Para variância da krigagem:

S2ks(x0) = Σlig(xi,x0)

22

23

Exemplos

Ponto

Pontos

xi

xi

yi

yi

valor

zi

1 0 30 500

2 30 30 450

3 0 0 550

4 30 0 490

X 15 15 ?

1 2

3 4

X

D1,2 = D1,3 = D2,4 = D3,4 = 30km; D1,4 = D2,3 = 42,43km; D1,X = D2,X = D3,X = D4,X = 21,21km Modelo linear: g =5h, fornece as variâncias: 21,21: 106,05 km 30,00: 150,00 km 42,43: 212,15 km

24

7

Cálculo dos pesos li

25

Sk = 9,169

Intervalo de confiança: 9,169 * 1,96=18 m.

Estimativa do ponto X: 497,50m±18m

26

1(X) 2

3 4

1

15.212

150

150

0

]B[

g

0

0

0

1

][

Interpolador exato 27

Modelo esférico: Valor de C (variância espacial): 700 ppm2 Valor de C0 (efeito pepita; variância aleatória): 100 ppm2 Valor do patamar, soleira ou sill: C+C0 = 800 (valor de g, segundo o qual o variograma se estabiliza)

Amplitude de influência(a): 100 pés.

g(h) substitui a distância euclidiana g(h = 322,7

5

3

2 1

4

800

322.7

100 (Co)

Co+C

100 21.54

A

28

8

h≤a: campo estruturado até a distância 100

h>a: campo aleatório alem da distância 100

29

Modelo esférico

*755.2 ou 800.00? a=100; 800

30

Axixixi ,],[

1

9,714

5,405

9,420

3,581

7,322

011111

101,7458,7780,8005,790

11,74509,6599,6420,403

18,7789,65903,5814,491

10,8009,6423,58105,415

15,7900,4034,4915,4150

5

4

3

2

1

glg

m

l

l

l

l

l

31

lgl

697618,09

087777,0

266999,0

300746,0

028330,0

372812,0

,, 1 Axixixi

20,27 * 1,96= 39,73 Valor do ponto A deve estar entre 336,72 e 416,28.

32

9

Dados: espessuras, em metros, provenientes de 576 perfurações realizadas em uma jazida de argila de formato tabular.

Efetuar uma análise geoestatística referente à espessura do depósito..

Alem da análise, tecer considerações especificamente com relação às seguintes questões:

Padrão da rede de amostragem. Função de distribuição dos valores. Presença ou não de tendência Isotropia ou anisotropia presente. Qual porção da área pesquisada mereceria uma

amostragem mais densa.

33

Dados

ID X Y Argila 1 1 1 11.9 2 2 1 12.1 3 3 1 15.3 4 4 1 18.1 5 5 1 16.1 6 6 1 16.1 7 7 1 17.9 8 8 1 16.3 9 9 1 16.5 10 10 1 15.2 11 11 1 14.1 12 12 1 12.8 13 13 1 11.3 ...

34

Distribuição dos pontos de amostragem

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

35 36

10

37 38

39

Mapa de variogramas

40

11

Direção EW (90)

41

Modelagem:

g = 4,60 + 5,08 Sph (3,78)

42

IQD

43

Mínima curvatura

44

12

Krigagem

45

Desvios padrão da krigagem

46

Respostas:

Padrão da rede de amostragem: regular.

Função de distribuição dos valores: normal.

Presença ou não de tendência: sem tendência

Isotropia ou anisotropia presente: isotropia.

Qual porção da área pesquisada mereceria uma

amostragem mais densa: nenhuma.

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Krigagem ordinária para áreas (blocos)

Para a estimativa de uma área (ou bloco), em lugar de apenas um ponto x0, considera-se a região com área Ar, com um centro x0.

Desse modo as variâncias entre os pontos amostrados (x1, x2, x3 ...xn) e o ponto interpolado da situação anterior são substituídos pela média das variâncias entre os pontos amostrados e os pontos dentro da área Ar.

48

13

Em notação matricial:

Para a solução dos coeficientes li e m: [li] = [xi,xi] -1 * [xi,Ar]

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Cálculo da variância associada ao valor obtido pela estimativa (²)

[li]' = vetor transposto com os pesos li

[xi, Ar] = vetor com as médias dos semivariogramas entre cada amostra e a área (Ar) desconhecida a ser estimada

[g(Ar,Ar)] = média dos semivariogramas entre todos os possíveis pares de pontos dentro da área estimada por krigagem em bloco

50

51

Estimativa do bloco Ar

52

14

111111

1,69601,7458,7780,8005,790

8,4461,74509,6199,6420,403

9,4568,7789,65903,5814,491

4,5720,8009,6423,58105,415

7,3565,7900,4034,4915,4150

5

4

3

2

1

m

l

l

l

l

l

l1 = 0,346; l2 = 0,023; l3 = 0,269; l4 = 0,234; l5 = 0,127; m = 19,72

Area (Ar) = Aili = 376,5 ppm (ponto A = 376,5)

g(Ar,Ar) = 344

Sk²=128.16 ppm e Sk = 11,32 ppm

Area (Ar): entre 354,35 e 398,65 ppm.

Valor do ponto A(x0) deve estar entre 336,72 e 416,28 53

Valores obtidos por krigagem em blocos são mais suavizados que valores obtidos por krigagem pontual.

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Krigagem pontual e em bloco

Dados: espessuras de 39 poços em uma unidade sedimentar ((Hohn, M. E. (1988) – Geostatistics and Petroleum Geology:

Van Nostrand Reinhold)

ID X Y ESPESSURA 1 0 24 1848 2 2.5 22 1806 3 4 25 2220 4 1 11 2513 5 6 0 3209 6 5 2 3080 7 10 2 3164 8 8 7 2164 9 5.5 11 2400 10 4 14.5 2434…

55

Localização dos pontos

1

2

3

4

5

6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1819

20

21

2223

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

3435

36

37

38

39

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

30

56

15

Variograma: Surfer

0 2 4 6 8 10 12 14

Lag Distance

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

500000

Va

rio

gra

m

Direction: 0.0 Tolerance: 90.0Column D: E

1

9

12

3421

26

21

33

47

29

35

27

41

32

57

Krigagem ordinária pontual (100x100)

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

3300

3400

3500

3600

3700

3800

3900

4000

Krigagem pontual

58

Desvios padrão da krigagem

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

020

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

420

440

460

59 60

16

61

Krigagem em bloco 10x10

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

18

00

19

00

20

00

21

00

22

00

23

00

24

00

25

00

26

00

27

00

28

00

29

00

30

00

31

00

32

00

33

00

34

00

35

00

36

00

37

00

38

00

Krigagem em blocos

62

Desvios padrão da krigagem em bloco 10x10

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

90

110

130

150

170

190

210

230

250

270

290

310

330

350

370

390

63

Krigagem em bloco 5x5

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

190

0

200

0

210

0

220

0

230

0

240

0

250

0

260

0

270

0

280

0

290

0

300

0

310

0

320

0

330

0

340

0

350

0

360

0

64

17

Desvios padrão da krigagem em bloco 5x5

0 5 10 15 20 25 30

0

5

10

15

20

25

30

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

65

Exercícicio 03: Krigagem ordinária pontual

Com o auxílio do SURFER® aplicar o algoritmo “Kriging” aos 359 dados do exercício 01.

Calcular mapas com valores estimados por krigagem pontual para os tres metais pesados (cádmio, cobre e chumbo).

Calcular os respectivos mapas de desvios-padrão da krigagem.

Usar os dados provenientes da modelagem variográfica efetuada no exercício 02.

Os mapas resultantes deverão obedecer a área irregular abrangida pelos pontos de amostragem.

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GRID/DATA/KRIGING

67 68

18

Contorno de áreas

Após a aplicação de um algoritmo estimador, o resultado é apresentado na forma de um mapa com dimensões regulares, um quadrado ou um retângulo, englobando, portanto, uma área maior do que aquela amostrada.

69

Mapa da distribuição de cádmio por krigagem ordinária pontual

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

70

Há, porém, situações em que se quer o resultado referente apenas à área amostrada e, portanto, restrita a um polígono irregular.

Localização dos pontos de amostragem sobre o mapa estimado por krigagem para a variável Cd

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

71

Selecionar mapa: (Map|Contour map|New contour map)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

72

19

No menu Map, escolher a opção Digitize. Em seguida marcar no mapa os pontos de contorno para a área escolhida

73

Após digitalizar os pontos de contorno para a área desejada, gravar o arquivo com a extensão *.bln.

Automaticamente será gravado o arquivo digit.bln, com as coordenadas XY referentes à área escolhida; a primeira linha/primeira coluna contem o número de pontos e a segunda coluna a opção 1. Essa opção significa que a área interna do polígono é que será omitida.

Como não é essa a intenção, entrar nesse arquivo e substituir a opção 1 por 0. Nesse caso a área externa ao polígono é que será omitida.

Regravar o novo arquivo com o nome CdK.bln

74

75

Após gravar o arquivo CdK.bln, com a opção 0, escolher no Menu Grid a opção Blank.

Essa opção tem a finalidade de construir um filtro que permita construir um mapa com limites condicionados pela rede de amostragem

76

20

Abrir o arquivo CdK.grd que originou o mapa utilizado inicialmente.

77

•Em seguida abrir o arquivo CdK.bln •Gerar um novo arquivo contendo pontos em reticulado para a área selecionada e gravá-lo com o nome CdK2.grd

Para a impressão do arquivo CdK2.grd, entrar no Menu Map e escolher Map Contour|New map contour

78

O resultado será um mapa dos valores de cádmio estimados por krigagem, porem restrito à área amostrada.

79

O mesmo procedimento devera ser adotado para obter um mapa dos desvios-padrão da krigagem

80