KRUKOSKI 2010 - PL aplicada ao mercado de opções na criação de um portfólio seguro.pdf

PROGRAMAO LINEAR APLICADA AO MERCADO DE OPES NA

CRIAO DE UM PORTFLIO SEGURO

FRANKLIN ANGELO KRUKOSKI



Dissertao apresentada como requisito

parcial obteno do grau de mestre em

Cincias, do Programa de Ps-Graduao em

Mtodos Numricos em Engenharia, na rea

de Concentrao em Programao

Matemtica, dos setores de Cincias Exatas e

de Tecnologia da Universidade Federal do

Paran.

Orientador

Prof. Dr. Celso Carnieri

CURITIBA

2010

i

TERMO DE APROVAO

FRANKLIN ANGELO KRUKOSKI



Dissertao apresentada como requisito parcial obteno do grau de Mestre em

Cincias, do Programa de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia, na rea de

Concentrao em Programao Matemtica, dos setores de Cincias Exatas e de Tecnologia

da Universidade Federal do Paran.

Orientador: ____________________________________________

Prof. Celso Carnieri, D.Eng.

Programa de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia PPGMNE / UFPR

____________________________________________

Prof. Arinei Carlos Lindbeck da Silva, D.Eng.

Programa de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia PGMNE / UFPR

____________________________________________

Prof. Rubens Robles Ortega Junior, Dr.

Departamento de Matemtica / UTFPR...

ii

Curitiba, 30 de setembro de 2010.

iii

Aos meus pais, minha irm e minha noiva, por

serem meu alicerce e minha inspirao em

todos os momentos de minha vida.

iv

AGRADECIMENTOS

Aos meus familiares, e minha noiva pelo amor incondicional, apoio em todos os sentidos e

momentos, sem os quais nada teria o menor sentido.

Ao professor Celso Carnieri, pela amizade, orientao, apoio e disposio.

Aos professores e colegas do curso, por proporcionarem um ambiente de aprendizado e

amizade.

Aos meus amigos que, de uma forma ou de outra, ajudaram na construo desse trabalho e

tornaram esse sonho possvel.

v

Se eu vi mais longe, foi por estar de p sobre ombros de gigantes.

Isaac Newton

vi

SUMRIO

1 INTRODUO ................................................................................................ 1

1.1 OBJETIVOS ................................................................................................... 2

1.1.1 OBJETIVO GERAL ................................................................................. 2

1.1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS ................................................................... 2

1.1.3 IMPORTNCIA DO TRABALHO ............................................................ 2

1.1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................ 2

2 FUNDAMENTAO TERICA .................................................................... 4

2.1 MERCADO DE OPES ............................................................................... 6

2.2 PRECIFICAO DAS OPES O MODELO DE BLACK E SCHOLES .... 8

2.3 VOLATILIDADE .............................................................................................. 11

2.4 AS GREGAS ................................................................................................... 12

2.4.1 Delta ..................................................................................................... 12

2.4.2 Gama .................................................................................................... 13

2.4.3 Theta ..................................................................................................... 14

2.4.4 Vega ...................................................................................................... 14

2.4.5 R ......................................................................................................... 15

2.5 OPERAES COM OPES ...................................................................... 15

2.5.1 Comprar opo de compra a seco. ........................................................ 16

2.5.2 Vender opo de compra a seco ............................................................ 17

2.5.3 Venda coberta de opo de compra ....................................................... 18

2.5.4 Spreads ................................................................................................. 19

2.5.5 Call credit spread.................................................................................. 19

2.5.6 Call debit spread ................................................................................... 20

2.5.7 Borboleta .............................................................................................. 21

2.5.8 Condor .................................................................................................. 23

2.5.9 Call ratio backspread (Boi) ................................................................... 25

2.5.10 Call ratio spread (Vaca) ........................................................................ 26

2.5.11 Spread Calendrio ................................................................................ 27

3 PROGRAMAO LINEAR.......................................................................... 29

3.1 PROGRAMAO LINEAR INTEIRA ........................................................ 29

vii

3.2 MTODOS DE RESOLUO DOS PPLS E PPLIS ................................... 31

3.3 MOTIVAO E OUTROS TRABALHOS RELACIONADOS. ................... 32

4 O PROBLEMA ............................................................................................... 34

4.1 LINGO ......................................................................................................... 35

4.2 VISUAL BASIC ........................................................................................... 36

4.3 O PROGRAMA ............................................................................................ 36

5 RESULTADOS ............................................................................................... 40

6 CONSIDERAES FINAIS.......................................................................... 47

6.1 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS ......................................................... 47

REFERNCIAS ..................................................................................................... 49

ANEXOS ................................................................................................................. 53

viii

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 - VARIAO DE DELTA COM RELAO AO PREO DA OPO ........... 13

FIGURA 2 LUCRO DA OPERAO COMPRA DE OPO DE COMPRA A SECO

COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO ............................................................... 16

FIGURA 3 LUCRO DA OPERAO VENDA DE OPO DE COMPRA A SECO COM

RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO ........................................................................ 17

FIGURA 4 - LUCRO DA OPERAO VENDA DE OPO DE COMPRA COBERTA

COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO ............................................................... 18

FIGURA 5 - LUCRO DA OPERAO CALL CREDIT SPREAD COM RELAO AO

SPOT NO VENCIMENTO .................................................................................................. 20

FIGURA 6 - LUCRO DA OPERAO CALL DEBIT SPREAD COM RELAO AO


FIGURA 7 - LUCRO DA OPERAO BORBOLETA (TIPO 1) COM RELAO AO


FIGURA 8 - LUCRO DA OPERAO BORBOLETA (TIPO 1) COM RELAO AO


FIGURA 9 - LUCRO DA OPERAO CONDOR COM RELAO AO SPOT NO

VENCIMENTO ................................................................................................................... 24

FIGURA 10 - LUCRO DA OPERAO CONDOR COM RELAO AO SPOT NO

VENCIMENTO ................................................................................................................... 25

FIGURA 11 - LUCRO DA OPERAO CALL RATIO BACKSPREAD BOI COM

RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO ........................................................................ 26

FIGURA 12 - LUCRATIVIDADE DA OPERAO CALL RATIO BACKSPREAD -

VACA - COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO................................................. 27

FIGURA 13 - TELA INICIAL DO PROGRAMA ................................................................ 37

FIGURA 14 - TELA DO PROGRAMA COM DADOS CARREGADOS ............................ 38

FIGURA 15 - MODELO DO PROGRAMA NO LINGO ..................................................... 39

FIGURA 16 ACOMP. PARA SADA DE MERCADO PARA A OPERAO 1 ............. 43

FIGURA 17 ACOMP. PARA SADA DE MERCADO DA OPERAO 9 ..................... 44

FIGURA 18 ACOMP. PARA SADA DE MERCADO DA OPERAO 20 ................... 44

ix

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - TAXAS OPERACIONAIS DA BOVESPA ...................................................... 6

TABELA 2 - OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO PARA OPES COM DE

UMA AO ....................................................................................................................... 41

TABELA 3 - OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO PARA OPERAES COM

OPES DE DUAS AES .............................................................................................. 42

TABELA 4 - LUCRO DAS OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO ....................... 46

x

RESUMO

Os investimentos em aes e opes na bolsa de valores esto se tornando cada vez mais

acessveis para pequenos investidores, que buscam desde uma fonte alternativa de renda

independncia financeira. Esses investidores procuram muito mais do que uma operao

fortemente lucrativa, uma operao segura, com menos riscos. Pensando em uma operao,

lucrativa e com baixo risco, que se desenvolve esse trabalho. A partir da programao linear

busca-se uma operao que tenha um lucro livre de riscos, mesmo que no seja to

substancial. Geralmente as estratgias de compra e venda de opes so planejadas com

antecedncia, baseadas na experincia dos investidores, e de acordo com modelos j

conhecidos. Outros procuram criar portflios baseando-se em um ou mais parmetros,

buscando um portflio que minimize os riscos da operao. Para isso so adicionadas ao

problema algumas outras variveis alm das convencionais. Isso dificulta a deciso da

operao a ser realizada em determinado momento. Uma sada encontrada para esse problema

a formulao de um problema de programao linear para definir a operao a ser realizada.

Com isso pode-se obter uma soluo relativamente simples, mesmo com um nmero grande

de variveis. Este trabalho busca atravs da soluo de um problema de programao linear

estabelecer a estratgia de compra ou venda de opes que maximiza a lucratividade,

minimizando os riscos. Para maximizar a lucratividade, busca-se, atravs do modelo de

precificao de Black-Scholes, estimar os preos tericos das opes, e ento, comparam-se

esses preos com os preos atuais das opes, determinando, assim, as opes sub-avaliadas

ou sobre-avaliadas. Ao mesmo tempo, devem-se considerar as gregas do modelo para cada

opo considerada no problema, buscando-se a neutralidade de cada uma das gregas. Dessa

forma o modelo ser neutro e pouco sensvel a pequenas alteraes no mercado. O PPL

determinar o portflio da operao.

Palavras chave: Mercado de opes, gregas de Black e Scholes, programao linear;

xi

ABSTRACT

Investments in shares and options on stock exchanges are becoming increasingly accessible to

small investors, from seeking an alternative source of income to financial independence.

These investors seek more than a highly profitable operation, a safe operation, riskless. Based

on a profitable operation, and with little risk, this work is developed. From the linear

programming search is an operation that has a risk free profit, although not so substantial.

Often the strategies of buying and selling options are planned in advance, based on the

experience of investors, and according to known models. Others seek to create portfolios

based on one or more parameters, seeking a portfolio that minimizes the risks of the

operation. To this are added to the problem some other variables beyond the conventional.

This complicates the decision of the operation to be performed at any given time. A solution

found to this problem is to formulate a linear programming problem to define the operation to

be performed. Thus one can obtain a relatively simple solution, even with a large number of

variables. This job try, by solving a linear programming problem to establish the strategy of

buying or selling options that maximize profitability while minimizing risk. To maximize

profitability, through the pricing model Black-Scholes it estimates theoretical prices of

options, and then compares these prices with the current prices of options, determining thus

under-priced options or over-assessed. At the same time, should be considered the Greek

letters for each option considered in the problem, seeking the neutrality of each Greek letter.

Thus the model will be neutral and not very sensitive to small changes in the market. The PPL

will determine the portfolio of the operation.

Keywords: Options Market, Black and Scholes Greeks, linear programming;

1

CAPITULO I

1 INTRODUO

Uma opo um direito negocivel que d ao seu portador o direito de compra ou

venda uma determinada ao por um preo e perodo predeterminados. Por esse direito o

portador/comprador da opo pagar um valor, o prmio, e esse direito poder ser exercido

at a data de vencimento da opo.

O prmio de uma opo no mercado determinado pela lei da oferta e da procura, mas

pode ser estimado atravs de mtodos matemticos considerando-se alguns fatores como: o

preo da ao correspondente, o preo do exerccio da opo, tempo para o vencimento da

opo, taxa de juros, inflao no perodo, dividendos, volatilidade, entre outros.

Fischer Black e Myron Scholes formularam um mtodo que indica o preo justo de

uma opo, o mtodo de Black e Scholes (HULL, 1996). na utilizao deste mtodo e suas

implicaes que este trabalho procura uma operao que visa lucratividade minimizando os

riscos. Para isso formulado um problema de programao linear, considerando as variveis

chamadas gregas de Black e Scholes.

As gregas so obtidas pela derivao da frmula do modelo, em relao s diferentes

variveis. Por exemplo, Delta a derivada (taxa de variao) do prmio em relao ao preo

da ao, ou seja, quanto varia o preo da opo com o aumento ou decremento do valor da

ao correspondente.

Determinando as gregas pode-se assumir uma posio que no sofre grandes efeitos

com relao s variaes do mercado, j que ser considerada a neutralidade das gregas. O

problema de programao linear maximizar o possvel lucro da operao considerando estas

neutralidades.

Em resumo, este trabalho, aps reviso bibliogrfica, procura uma operao a partir da

neutralizao das gregas de Black e Scholes que maximize a lucratividade. Para isso, um

modelo de programao linear ser montado a partir dos valores determinados para as gregas

de cada opo e dos valores determinados pelo modelo de precificao de Black e Scholes.

2

1.1 OBJETIVOS

1.1.1 OBJETIVO GERAL

Construo e implementao de um modelo de programao linear considerando o

Modelo de Black e Scholes e suas implicaes para encontrar uma operao de compra ou

venda de opes que maximize o lucro, protegendo-a da sensibilidade do mercado de opes

a partir da neutralizao das gregas.

1.1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

Testar em diversas situaes possveis a eficcia e aplicabilidade desse modelo no

mercado de opes para diferentes volumes de aplicaes.

Analisar os resultados obtidos para futura aplicao do mtodo para operaes reais no

mercado de opes.

1.1.3 IMPORTNCIA DO TRABALHO

Desenvolver um modelo que encontre uma operao resistente s variaes do

mercado de opes fundamental para um investidor ou grupo de investidores que no quer

ver seu capital desvalorizando, por certo tempo. Com ela o investidor pode contar, alm de

seu conhecimento subjetivo, com uma ferramenta que o auxilie na tomada de deciso da

forma de entrar no mercado. A operao resistente a sensibilidade do mercado, pode no ser a

mais lucrativa, mas certamente a operao mais segura para o investidor.

1.1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho esta organizado em seis captulos, sendo o primeiro o capitulo

introdutrio.

O captulo II apresenta a fundamentao terica do mercado de aes. Sua

organizao hierrquica, seu funcionamento e o posicionamento do mercado de opes.

Descreve o modelo de Black e Scholes e mostra algumas das principais operaes utilizadas

por investidores.

O captulo III refere-se programao linear e inteira, os mtodos utilizados para esses

problemas e menciona outros trabalhos relacionados.

3

O captulo IV descreve o problema, sua formulao e desenvolvimento, utilizando os

softwares LINGO e Visual Basic, alm do link com a corretora.

O captulo V apresenta os resultados obtidos, dividindo-os em cenrios para

comparaes com operaes j utilizadas no mercado.

O capitulo VI finaliza o trabalho com as consideraes finais e sugestes para

trabalhos posteriores.

4

CAPITULO II

2 FUNDAMENTAO TERICA

Neste captulo sero expostos, brevemente, os conceitos bsicos e definies relativas

ao Sistema Financeiro Nacional, com o intuito de localizar o Mercado de Opes nesse

contexto.

O Sistema Financeiro Nacional (SFN) composto de instituies responsveis pela

captao de recursos financeiros, pela distribuio e circulao de valores e pela regulao

desse processo [CAPITAIS]. O Conselho Monetrio Nacional, CMN, seu maior

organismo, quem define as diretrizes de atuao do sistema. Ligados a ele esto o Banco

Central do Brasil BACEN e a Comisso de Valores Mobilirios CVM, esta responde

pela regulamentao e fomento do Mercado de Valores Mobilirios e aquele atua como rgo

executivo.

Valores Mobilirios so definidos pelas Leis 6.385 de 07/12/76 e 10.303 de 31/10/01

como sendo:

I. as aes, debntures e bnus de subscrio;

II. os cupons, direitos, recibos de subscrio e certificados de desdobramento relativos

aos valores mobilirios;

III. os certificados de depsito de valores mobilirios;

IV. as cdulas de debntures;

V. as cotas de fundos de investimento em valores mobilirios ou de clubes de

investimento em quaisquer ativos;

VI. as notas comerciais;

VII. os contratos futuros, de opes e outros derivativos, cujos ativos subjacentes

sejam valores mobilirios;

VIII. outros contratos derivativos, independentemente dos ativos subjacentes;

IX - quando ofertados publicamente, quaisquer outros ttulos ou contratos de

investimento coletivo, que gerem direito de participao, de parceria ou de remunerao,

inclusive resultante de prestao de servios, cujos rendimentos advm do esforo do

empreendedor ou de terceiros.

Este ltimo introduzido pela Lei 10.303 de 31/10/01.

5

A Comisso de Valores Mobilirios (CVM), criada pela Lei 6.385 de 07/12/76,

uma autarquia especial, vinculada ao Ministrio da Fazenda, tem por objetivo fiscalizar e

normatizar o mercado de valores mobilirios, visando assegurar o exerccio das prticas

equitativas e restringir qualquer tipo de irregularidade. A CVM tambm procura desenvolver

polticas e iniciativas capazes de promover o desenvolvimento do mercado [CAPITAIS].

O Mercado de Valores Mobilirios ou Mercado de Capitais um sistema de

distribuio de valores mobilirios, que tem por objetivo proporcionar liquidez (quando um

ttulo pode ser comprado e vendido rapidamente, a um preo justo e determinado pelo

exerccio natural das leis da oferta e da procura) aos ttulos de emisso de empresas e

possibilitar seu processo de captao de recursos. formado pelas Bolsas de Valores,

Sociedades Corretoras e outras instituies autorizadas.

As Bolsas de Valores so locais que proporcionam as condies e os sistemas

necessrios para as negociaes de ttulos e valores mobilirios de forma transparente. Seu

papel principal oferecer um mercado para cotao de ttulos, alm de fiscalizar e orientar os

servios prestados por seus intermedirios, facilitar a comunicao e a troca de informaes

constante sobre empresas e sobre os negcios que se realizam sobre seu controle. As bolsas de

valores propiciam liquidez s aplicaes de mdio e longo prazos, por intermdio de um

mercado contnuo, representado por seus preges dirios [CAPITAIS].

No Brasil, a principal Bolsa de Valores a BM&FBOVESPA S/A, BOVESPA. Ela

administra os mercados de Bolsa e de Balco Organizado. A diferena desses mercados so as

regras de negociao estabelecidas para os ativos negociados em cada um deles. A

BOVESPA tambm responsvel por administrar o Mercado de Bolsa de Derivativos e

Futuros [Portal do investidor].

Na BOVESPA so disponibilizados os seguintes mercados:

A Vista: A entrega dos ttulos vendidos (liquidao fsica) acontece no terceiro dia til

aps a realizao do negcio em bolsa, bem como o pagamento e/ou recebimento do valor da

operao (liquidao financeira). Tanto a liquidao fsica como a financeira so processadas

pela Companhia Brasileira de Liquidao e Custdia CBLC.

A Termo: Tem prazos de liquidao diferidos, geralmente trinta, sessenta ou noventa

dias. Para esse mercado so requeridos alm do registro na CBLC, um limite mnimo para

transao e depsito de valores no CBLC, que sero utilizados como margem de garantia para

a operao. O contrato pode ser liquidado antes do vencimento.

De Opes: A opo garante ao investidor que a adquire o direito, mas no a

obrigao, de comprar ou vender determinado lote de aes a outro investidor, por um preo

6

preestabelecido durante certo perodo de tempo. Por esse direito o investidor paga um valor,

chamado Prmio. A qualquer momento o investidor poder Zerar sua posio, vendendo a

opo que comprou ou comprando as opes que vendeu.

atravs das Sociedades Corretoras, que os investidores tm acesso aos sistemas de

negociao para efetuar suas transaes de compra e venda de valores mobilirios. Sociedades

corretoras so instituies financeiras devidamente credenciadas pelo BACEN, pela CVM e

pelas Bolsas de Valores, so as intermedirias especializadas em executar as ordens e

operaes, por conta prpria e por seus clientes, na Bolsa de Valores (CAPITAIS).

Pela prestao do servio de executar a ordem de compra ou venda de valores

mobilirios, o investidor paga a corretora uma taxa, a corretagem. Essa taxa varia de acordo

com o tipo de sistema utilizado pelo investidor, que pode ser via Home Broker ou via Mesa de

Operaes.

O Home Broker um sistema interligado ao sistema de operaes da BOVESPA, a

MEGABOLSA, onde o investidor pode executar suas operaes via internet utilizando o site

da corretora (Bovespa 3)

A Mesa de operaes funciona em uma corretora quando o investidor no tem acesso

ao Home Broker ou prefere esse sistema, as ordens so enviadas para a corretora atravs de

telefonemas.

Existem tambm outras taxas pagas pelo investidor, ao negociar uma opo, como o

Emolumento, que uma taxa operacional aplicada pela BOVESPA, que incide sobre o valor

da operao realizada. A CBLC tambm possui taxas operacionais, relativas liquidao e

registro. Essas taxas sofrem alteraes quando as operaes so do tipo day-trade (compra e

venda no mesmo dia).

Mercado de opes Negociao Liquidao Registro Total

Pessoas fsicas e demais

investidores 0,06% 0,01% 0,07% 0,13%

Fundos e Clubes de

Investimento 0,04% 0,01% 0,05% 0,10%

Day-trade (para todos os

investidores) 0,03% 0,01% 0,01% 0,05% TABELA 1 - TAXAS OPERACIONAIS DA BOVESPA

2.1 MERCADO DE OPES

Segundo HISSA (2007), uma opo um derivativo, isto , seu valor e suas

caractersticas de negociao esto ligados a um ativo subjacente, uma ao, por exemplo.

7

Este ativo pode ser tambm um ndice, um contrato futuro, entre outros. Este trabalho

considera principalmente as opes ligadas a aes, mas os conceitos bsicos podem ser

estendidos a qualquer forma de opo.

Sendo assim precisam-se definir as aes para ento tratar das opes.

Aes so ttulos de renda varivel, que representam a menor frao de capital da

empresa emitente. Podem ser escriturais, funcionam como uma conta corrente, onde os

valores so lanados a dbito ou a crdito dos acionistas, no havendo movimentao fsica de

documentos, ou nominativas, quando cautelas ou certificados apresentam o nome do

acionista e cuja transferncia feita com entrega da cautela e averbao do termo, em livro

prprio da sociedade emitente, sendo indicado o novo acionista (CAPITAIS).

A rentabilidade de uma ao varivel, dependendo de sua composio. Pode ser na

forma de dividendos ou participao nos resultados e benefcios concedidos pela empresa.

Quando a empresa obtm lucro, parte dele destinado a reinvestimentos, parte para reservas e

parte para pagamento de dividendos (CAPITAIS).

Opes so direitos de comprar ou vender um determinado lote de opes por um

preo e prazo preestabelecidos. As opes de compra (calls) permitem ao seu titular o direito

de comprar uma ao pelo preo de exerccio, enquanto o lanador (quem vendeu a opo)

tem a obrigao vender a ao, caso o direito seja exercido, pelo preo de exerccio. Uma

opo de venda (put) permite ao titular o direito de vender uma ao pelo preo de exerccio,

enquanto o lanador tem a obrigao de comprar a ao, caso o direito seja exercido, pelo

preo de exerccio.

Por esses direitos o titular de uma opo paga o prmio (preo da opo), podendo

exerc-los at a data de vencimento, no caso da opo estilo americano, ou na data de

vencimento, opo estilo europeu, ou revend-los no mercado. Caso o direito, ou seja, a ao

no seja exercida at o vencimento ela deixa de existir (OPES).

No Brasil, as opes negociadas so do tipo americano, entretanto dificilmente uma

opo exercida antes do seu vencimento, fazendo com que sejam parecidas com as do tipo

europeu.

Como j foi dito, uma opo est ligada a uma ao. Desta forma classifica-se uma

opo de acordo com o preo da ao que ela corresponde. Segundo HISSA (2007), tm-se as

seguintes classificaes:

1 In The Money (ITM): quando o preo da ao superior ao preo de exerccio da

opo;

8

2- At The Money (ATM): quando o preo da ao correspondente igual ou muito

prximo do preo de exerccio da opo;

3 Out The Money (OTM): quando o preo da ao correspondente inferior ao

preo de exerccio da opo;

Segundo HISSA (2007), o preo de uma opo (prmio) pode ser consistido em Valor

Intrnseco (poro In the Money do premio de uma opo), Valor Extrnseco (poro do

prmio alm do valor Intrnseco), ou uma combinao dos dois. Os exemplos a seguir ajudam

a diferenciar esses conceitos.

A opo de compra de PETRH40 (opo de compra de Petrobrs PN para agosto, com

preo de exerccio de R$ 40,00) possui R$ 2,00 de valor intrnseco se PETR4 estiver cotada a

R$ 42,00. Se a mesma opo estiver valendo R$ 3,00, alm dos R$ 2,00 do valor intrnseco,

soma-se R$ 1,00 do valor extrnseco.

De acordo com (OPES) as opes recebem denominaes que as diferenciam com

relao ao correspondente, ao ms de vencimento e ao prmio. As quatro primeiras letras

so o cdigo da ao que a opo corresponde. A quinta letra indica se a opo de compra

ou venda e o ms do vencimento, sendo que de A a L so opes de compra com vencimento

de Janeiro a Dezembro, respectivamente e de M a X so opes de venda com vencimento no

mesmo perodo, respectivamente. Os dois nmeros se referem ao prmio da opo, que

geralmente so divididos em intervalos de 2 em 2. Sendo assim:

PETRH18 Opo de compra sobre Petrobrs PN, com vencimento em agosto e preo

de exerccio de R$ 18,00 por lote de cem aes.

VALEV22 Opo de venda sobre Vale do Rio Doce PNA, com vencimento em

outubro e preo de exerccio de R$22,00 por lote de cem aes.

2.2 PRECIFICAO DAS OPES O MODELO DE BLACK E SCHOLES

Segundo HULL (1996), existem seis fatores que alteram o preo de uma opo, sendo

eles:

- o preo atual da ao;

- o preo de exerccio;

- o tempo para o vencimento;

- a volatilidade do preo da ao;

- a taxa de juros livre de risco;

- os dividendos esperados durante a vida da opo.

9

Analisando esses fatores individualmente e considerando a suposio que enquanto

um deles varia os outros se mantm fixos, pode-se observar como eles afetam o preo das

opes. Considerando o preo da ao, quanto maior mais valor ter a opo, j que o retorno

esperado da ao a diferena entre o preo da ao e o preo de exerccio. O contrrio

acontece com o preo de exerccio, pois quanto mais prximo do preo da ao estiver o

preo de exerccio, menor ser o retorno.

O passar do tempo deprecia o preo da opo, j que quanto menos tempo a opo

tem, menor ser a possibilidade de que a ao atinja determinado valor. O mesmo acontece

com a volatilidade da ao, j que a volatilidade uma medida de incerteza quanto s

oscilaes do mercado com relao ao preo da ao. Sendo assim, quanto menor a

volatilidade menor ser o preo da opo.

Segundo HULL (1996), a taxa de juros afeta o preo da opo de compra de uma

maneira menos trivial. O aumento das taxas de juros tende a aumentar a taxa de crescimento

esperada para o preo da ao, porm diminui quaisquer fluxos de caixa a serem recebidos

pelo titular da opo no futuro. O primeiro efeito prevalece sobre o segundo, e, portanto, na

teoria o preo das opes de compra aumenta com a taxa de juros livre de risco. Na prtica,

quando o juro cresce, o preo da ao tende a cair, o que diminui o preo das opes. Os

dividendos aumentam o preo das opes, pois eles diminuem o preo de exerccio da opo.

O preo das opes determinado naturalmente pelas leis da oferta e da procura,

porm no incio dos anos setenta, Fischer Black e Myron Scholes desenvolveram um modelo

que estima o preo justo de uma opo, considerando alguns fatores e suposies. Esse

modelo, embora muito criticado por alguns investidores, devido s suposies iniciais que so

necessrias, o modelo mais usado para estimar preos tericos de opes, por sua

simplicidade e menor quantidade de dados e clculos (HISSA, 2007).

As suposies necessrias para a aplicao do modelo de Black e Scholes, segundo

HULL (1996), so as seguintes:

1 O comportamento do preo da ao corresponde a um modelo de distribuio

lognormal com e constantes;

2 - No existem custos operacionais ou impostos.

3 No so pagos dividendos s aes durante a vida das opes;

4 No h oportunidade de arbitragens sem risco;

5 A negociao com ttulos acontece no campo contnuo;

6 Os investidores podem captar ou emprestar mesma taxa de juro livre de risco;

10

7 A taxa de juro livre de risco de curto prazo, r, constante.

Segundo HULL (1996), a suposio que fundamenta o modelo de Black e Scholes

que os preos de aes seguem um movimento aleatrio. na distribuio lognormal que o

valore da varivel, preo da ao, segue esse movimento, variando em torno de uma mdia

com valores estritamente positivos.

Para estimar o comportamento do preo da ao com o modelo de distribuio

lognormal, so necessrios dois parmetros, o retorno mdio esperado e a volatilidade do

preo da ao. O primeiro estimado pela mdia anualizada de retorno ganho pelos

investimentos em um curto prazo de tempo, e representa a mdia da distribuio. J o segundo

uma medida de incerteza quanto s oscilaes do preo da ao no futuro, que no modelo

representa o desvio padro.

Com base nessa suposio o modelo de Black e Scholes foi desenvolvido e ser

brevemente sintetizado nos prximos pargrafos. Dessa forma o preo terico de uma opo

de compra dado por:

, (2.1)

e o preo terico de uma opo de venda, por:

. (2.2)

Onde C o prmio da opo de compra, P o prmio da opo de venda, S o Spot(preo

atual) do ativo subjacente(ao), K o Strike (preo garantido pela opo), r a taxa de juros

livre de risco (taxa base da economia - SELIC), a volatilidade em percentagem ao ano, t

o tempo para o vencimento da opo em anos, N(x) a distribuio Normal Acumulada e

ln(x) o logaritmo natural, e d1 e d2 so clculos intermedirios para tornar frmula mais

legvel, dados por:

(2.3)

(2.4)

As probabilidades calculadas por N(d1) e N(d2) representam a probabilidade do preo

de uma opo de compra ficar abaixo de seu Strike e a probabilidade de uma opo de compra

ser exercida, respectivamente (COSTA, 1998).

O modelo de Black e Scholes fornece o preo justo de uma opo. o valor para o

qual, se fosse exercido no traria vantagens para compradores nem para vendedores. Sabendo-

11

se que o mercado oferece resistncias, seja por excesso de oferta ou de demanda, o valor

praticado por ele nem sempre ser igual ao preo justo (PFZENREUTER, 2008).

2.3 VOLATILIDADE

Segundo PFZENREUTER (2008), a volatilidade desempenha um papel crucial no

clculo de preos de opes. Duas consideraes importantes devem ser analisadas quando se

trata de volatilidade. Ela se refere ao retorno do investimento e no ao valor total de um ativo,

por isso, no lida com a situao onde o ativo vira p. E em segundo lugar, presume-se que os

retornos sero distribudos segundo uma distribuio normal. Sendo assim, a maioria dos

valores gira em torno de uma mdia, e retornos extraordinrios so raros.

No modelo de Black e Scholes, so utilizadas cinco variveis, preo de exerccio das

opes (Strike), preo atual da ao (Spot), taxa de juros, prazo de vencimento e a

volatilidade, todas com valor liquido e certo. Porm no caso da volatilidade, o que se utiliza

a volatilidade histrica, que calculada a partir dos valores de fechamentos anteriores da

ao, conforme descrito a seguir.

Registra-se o preo da ao observado em intervalos fixos de tempo, geralmente

utilizando-se o preo de fechamento dirio e definido, segundo HULL (1996), como:

n+1: nmero de observaes;

Si: preo da ao no final do i-simo intervalo (i=0,1, ..., n);

: intervalo de tempo em anos;

Ainda,

(2.5)

Uma estimativa, s, do desvio padro dos valores de ui dada por:

(2.6)

Pode-se ainda, calcular a volatilidade implcita, que justamente o valor que faz os

Preos Tericos das opes calculadas por Black e Scholes serem iguais aos Preos do

Mercado. Para tal, no existe uma frmula especfica, mas pode-se utilizar o Mtodo de

Newton ou interpolao linear.

Segundo PFZENREUTER (2008), alguns investidores consideram a volatilidade

implcita como uma forma de cotar opes. Muitos ainda tomam decises considerando mais

a volatilidade implcita do que o prmio propriamente dito.

12

Analisando a volatilidade implcita de uma serie de opes (opes da mesma ao

com vencimento no mesmo ms), nota-se que os valores, em geral, para opes ITM e OTM

so maiores que para opes ATM, ou seja quanto mais prximo do Spot est o Strike, menor

a Volatilidade Implcita. Essa caracterstica chamada Sorriso da Volatilidade por alguns

autores.

2.4 AS GREGAS

2.4.1 Delta

Obtidas a partir da derivao da frmula do modelo de Black e Scholes, as Gregas

sero os principais parmetros utilizados nesse trabalho para formulao do problema de

programao linear. A mais conhecida e utilizada por investidores o Delta, que definido

como a taxa de variao do preo da opo com relao ao preo da ao (HULL, 1996).

(2.7)

Ele muito utilizado para proteger operaes de aes com opes, j que est

diretamente relacionado com as variaes dos preos, tanto da opo como da ao. Essa

proteo chamada por HULL (1996) de Hedge de Delta e exemplificado a seguir.

Um delta de 0,6, por exemplo, significa que para cada R$ 1,00 que o preo da ao

varie, o preo da opo deve variar R$ 0,60. Supondo que um investidor venda 3000 opes

de compra, sua posio pode ser protegida pela compra de 0,6 x 3.000 = 1.800 aes. O lucro

ou perda na posio em opes tender a ser compensado pela perda ou lucro na posio nas

aes. Nessa operao, uma variao de R$ 1,00 no preo da ao para mais, traria um lucro

de R$ 1.800,00, que seria compensado com um prejuzo de 0,6 x 3.000 = 1.800,00 com as

opes lanadas.

Delta varia de 0 a 1 de acordo com o preo da opo, conforme a figura a seguir.

Quanto mais ITM a opo, menor ser Delta e quanto mais OTM mais prximo de 1 Delta

ser. Se a opo ATM, Delta aproxima-se de 0,5.

13

FIGURA 1 - VARIAO DE DELTA COM RELAO AO PREO DA OPO

importante ressaltar que uma operao fica protegida com delta neutro por um

tempo relativamente curto, sendo necessria nova transao de opes ou aes para manter

essa posio protegida.

2.4.2 Gama

O Gama de uma carteira de opes a taxa de variao de Delta em relao ao preo

da ao. Ou seja, a derivada segunda do preo da opo com relao ao preo da ao.

Analiticamente, para uma opo de compra dada por:

(2.8)

Segundo HULL (1996), Gama indica como ocorrer a variao de Delta. Se Gama for

pequeno em mdulo, a variao de Delta ocorrer vagarosamente, indicando uma pequena

sensibilidade de Delta com relao as variaes do preo da ao. Se Gama for grande em

mdulo, a variao de Delta ser mais sensvel as variaes do preo da ao.

A unidade de Gama Deltas por $1 de mudana no preo da ao. Se gama de 4%

e Delta 20%, a subida de preo de $1 da ao faz Delta subir para 24%.

Por ser a segunda derivada do Strike com relao ao Spot, o Gama est intimamente

ligado ao fato de a opo ser ITM, ATM ou OTM. Os valores so maiores quando a opo

ATM e menores para ITM e OTM.

Uma carteira protegida por Delta e Gama estar protegida das pequenas oscilaes do

preo da ao por Delta e das oscilaes maiores por Gama, e dessa forma a posio no

precisar ser constantemente modificada (o que diminui consideravelmente os custos de

corretagens).

14

2.4.3 Theta

O Theta de uma carteira de opes, , a taxa de variao de seu valor ao longo do

tempo, ou seja, conforme T diminui com as demais variveis permanecendo constantes. Para

uma opo de compra, tem-se:

(2.9)

Como se observa, Theta composto de duas parcelas: a primeira, sempre negativa e

mais influente, estima o decaimento do tempo; e a segunda estima o efeito da taxa de juros,

sendo positiva para opes de venda e negativa para opes de compra. Como este trabalho s

trata de opes de compra, devido baixa liquidez das opes de venda no Brasil, Theta ser

sempre negativo (PFZENREUTER, 2008).

Para o pequeno investidor, Theta a mais importante das gregas, pois ela quem faz a

opo virar p (quando a opo perde todo seu valor) quando ATM ou OTM. Ela representa o

decaimento no valor da opo em R$ por dia, ou seja, um Theta de -0,05 significa que a opo

desvaloriza R$0,05 por dia.

A variao de Theta com relao ao tempo tambm depende do preo da opo. Se

ITM ou OTM, Theta tem comportamentos semelhantes, iniciam prximas a zero, diminuem e

voltam a se aproximar de zero, enquanto opes ATM tm Theta expressivo negativamente e

aproxima-se de zero com o passar do tempo.

Como Theta uma varivel que certamente no permanecer constante, j que o

tempo para o vencimento sempre diminui, ter o Theta de uma carteira igual a zero, ou

prximo a zero, significa que a carteira de opes sofrer poucas alteraes num intervalo de

tempo relativamente pequeno, e torna-se muito custoso manter essa varivel igual a zero.

2.4.4 Vega

Admitiu-se at aqui que a volatilidade de uma ao constante. No mercado, ela varia

com o tempo, e sendo assim o valor de uma opo varia de acordo com mudanas na

volatilidade da ao. Vega a taxa de variao do valor da carteira com relao volatilidade

da ao. Se Vega for elevado em termos absolutos a opo tende a sofrer grandes alteraes

em seu valor, e se for baixo, tende a sofrer poucas alteraes em seu valor (HULL, 1996).

Vega, para uma opo de compra tem a seguinte frmula:

(2.10)

15

A unidade de Vega , geralmente, a oscilao do prmio em centavos correspondente

a o aumento de um ponto percentual da volatilidade. Ou seja, um Vega de 15,82% significa

que se a volatilidade variar de 25% para 26% a opo valoriza R$ 0,15 (PFZENREUTER,

2008).

Vega comporta-se com relao ao preo das opes analogamente a Gama, com

valores menores para opes ITM e OTM e maiores para opes ATM. Por ser semelhante a

Gama, alguns investidores limitam-se a utilizar apenas Delta, Gama e Theta.

As maiores influncias causadas por Vega so nas opes ATM, quando se considera

a alterao no prmio em centavos, mas nas opes OTM que Vega tem maior efeito, j que

o prmio destas relativamente pequeno (PFZENREUTER, 2008).

Se o Vega de uma carteira de opes for zero, pequenas alteraes na volatilidade das

opes no implicaro grandes mudanas no portflio de opes. Porm, existem dois

problemas que precisam ser considerados e interpretados; o primeiro que alteraes na

volatilidade so to certas quanto s alteraes no tempo, e segundo que o que se tem uma

medida da volatilidade histria, que certamente difere da volatilidade real das aes.

2.4.5 R

R a taxa de variao do valor da carteira de opes com relao taxa de juros. Sua

frmula dada, para uma opo de compra, por:

(2.11)

a menos importante das gregas, pois taxa de juros no costumam mudar do dia para

a noite e as opes no Brasil tm curto prazo, e por isso no ser considerada nesse trabalho.

No modelo, um R de 0,0914, por exemplo, significa que para um aumento de 1% na

taxa de juros a opo valoriza 9,14 centavos (PFZENREUTER, 2008).

Neutralizando Delta, Gama, Theta e Vega tm-se uma carteira pouco sensvel s

variaes do mercado em curto prazo. As operaes esperadas para esse conjunto de

restries visada por market makers, que necessitam manter a todo o momento ordens de

compra e venda de uma ao ou de uma srie de opes de uma determinada empresa no

mercado. Os lucros no precisam ser expressivos, desde que tambm no se tenham prejuzos.

2.5 OPERAES COM OPES

Um dos objetivos desse trabalho elaborar um programa que encontre uma operao

com aes e opes que ser montada no mercado de opes. Porm faz-se necessrio

16

analisar algumas operaes, j muito utilizadas por investidores, a fim de compar-las com as

obtidas pela resoluo desse problema.

Devido baixa liquidez das opes de venda no Brasil, as operaes contempladas por

esse trabalho limitar-se-o a operaes com operaes entre opes de compra e aes.

2.5.1 Comprar opo de compra a seco

Quem compra uma opo de compra a seco, nesse caso a seco significa comprar

somente uma opo de compra e nada mais, espera que a ao suba, e desta forma a opo se

valorize rapidamente. Essa a primeira operao de muitos investidores do mercado. (HISSA,

2007).

A idia da compra a seco realmente muito tentadora, pois pode proporcionar lucros

expressivos em poucos dias. Uma situao que uma opo comprada por R$1,00 pode

vencer valendo R$ 4,00. Isso daria ao investidor um lucro de 300%.

Porm, os pontos fracos dessa operao, e talvez o pontos para o qual os investidores

mais devem prestar ateno que, como pode dar lucros altos, pode desvalorizar e dar

prejuzos grandes, inclusive, todo o capital investido, e para que o lucro exista, necessrio

que a opo suba mais do que ela desvalorizada pelo tempo.

Se o Spot da ao for R$100,00 e for comprada uma opo de compra com Strike

tambm igual a R$100,00 e o prmio da opo for de R$2,00 a operao fica representada da

seguinte maneira:

FIGURA 2 LUCRO DA OPERAO COMPRA DE OPO DE COMPRA A SECO COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO

17

O grfico mostra que essa operao muito tentadora, pois se a ao realmente subir,

por exemplo, at um spot de R$ 120,00, um lucro de R$18,00 ser alcanado para cada opo

adquirida. Ou seja, uma operao que custou R$2,00x100 = R$200,00 pode gerar um lucro de

R$18,00x100 = R$1800,00 (HISSA, 2007).

Porm que a probabilidade de isso acontecer muito baixa. Na verdade, a

probabilidade de perder todo o capital investido 45% e 20% de perder parte do capital.

Apenas 35% de chances de ganhar alguma coisa, visto que o spot da ao no dia do

vencimento deve ser maior que o Strike mais o prmio, para que o investidor tenha algum

lucro.

2.5.2 Vender opo de compra a seco

Quem vende uma opo de compra a seco espera que a opo no suba ou que

desvalorize. Essa operao representada por um grfico simetricamente oposto ao da

compra de opo de compra (PFZENREUTER, 2008).

O lucro mximo obtido o valor recebido pela venda da opo, e o risco mximo

ilimitado, pois se a ao valorizar muito ser necessrio desembolsar muito mais para honrar

o compromisso no vencimento.

Se o spot da ao for R$100,00 e for comprada uma opo de compra com Strike

tambm igual a R$100,00 e o prmio da opo for de R$2,00 a operao fica representada da

seguinte maneira:

FIGURA 3 LUCRO DA OPERAO VENDA DE OPO DE COMPRA A SECO COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO

18

O grfico mostra o quo desastroso pode ser, principalmente para o pequeno

investidor, caso uma operao dessas seja exercida, porm a probabilidade de ser exercido

menor do que a de no ser, so 65% de chances de no ser exercido e apenas 35% de ser

exercido (PFZENREUTER, 2008).

Tanto na compra como na venda de opes de compra a seco, existem situaes de

risco de perder todo o capital investido, ou ainda mais. Mas existem formas de se investir,

sem arriscar tanto, simplesmente abrindo mo de parte do lucro que poderia ser obtido. Nesse

caso entram as operaes compostas, que consistem da compra e venda de aes e compra e

venda de opes, de forma que uma complete a outra com relao lucratividade e ao risco.

2.5.3 Venda coberta de opo de compra

O risco de vender uma opo de compra a ao subir muito. A presena da ao

correspondente na carteira anula esse risco, j que, se ela subir, o que se perde com a opo se

ganha com a valorizao da ao (HISSA, 2007).

Nesse caso, necessrio ter ou comprar uma ao, e vender uma opo de compra. O

risco mximo a desvalorizao da ao, e o lucro mximo o prmio da opo adicionado

ao Strike menos o custo da ao.

FIGURA 4 - LUCRO DA OPERAO VENDA DE OPO DE COMPRA COBERTA COM RELAO

AO SPOT NO VENCIMENTO

19

O lucro limitado a certo valor, mesmo nas fortes altas do mercado. Apresenta maior

vantagem quando utilizada vrias vezes, ms aps ms, como forma de remunerar uma

carteira de aes.

Segundo PFZENREUTER (2008), essa operao s vai dar lucros consistentes em

mercados bem comportados, onde os preos oscilam numa faixa conhecida, permitindo ao

investidor escolher bem a hora de lanar a opo.

Essa operao tem duas desvantagens considerveis. Alm de exigir bastante capital

para a aquisio da ao, que bem mais cara que a opo, ainda cobrado Imposto de Renda

sobre o prmio da opo, mesmo que ela seja exercida por um valor menor do que seu custo

original. (CAPITAIS)

2.5.4 Spreads

Existem operaes que envolvem somente opes, os Spreads. Essas operaes

procuram explorar a diferena no prmio entre duas ou mais opes. Essas diferenas podem

ser: Strikes diferentes dentro da mesma srie (opes com vencimento no mesmo ms);

vencimentos diferentes, conhecidos por spreads de calendrio; sorriso da volatilidade e ativos

subjacentes (aes) diferentes.

Pode-se classificar, segundo PFZENREUTER (2008), os Spreads de duas maneiras,

segundo o investimento para montar a operao e segundo a viso do mercado. Para primeira

maneira, chama-se debit spread, onde h desembolso lquido de prmio para montar a

operao e credit spread, quando h recebimento lquido do prmio, que o mais comum.

Para a segunda, Bull o nome dado a uma operao cujo lucro mximo obtido numa alta do

mercado e Bear, quando o lucro mximo se d quando o mercado cai.

2.5.5 Call credit spread

Call credit spread, reverso ou trava de baixa, so nomes dados a operao com

opes que envolvem a venda de uma opo de compra e a compra de outra opo de compra

com strike mais alto, ambas da mesma ao.

A opo que comprada, por ter Strike mais elevado, mais barata. Sendo assim o

investidor recebe dinheiro ao mont-la. Essa quantia recebida o lucro mximo que pode ser

alcanado, caso as duas opes venam OTM, ou seja, virem p. Se as opes vencerem ITM,

o investidor exercido na opo vendida e exerce a comprada, tendo um prejuzo igual a

diferena entre os dois Strikes (PFZENREUTER, 2008).

20

Supondo, por exemplo, que PETRE32 esteja valendo R$2,31 e PETRE34 R$0,97,

ento uma operao montada a partir dessas opes, teria uma lucratividade ou prejuzo

representado pelo grfico a seguir:

FIGURA 5 - LUCRO DA OPERAO CALL CREDIT SPREAD COM RELAO AO SPOT NO

VENCIMENTO

Caso a ao vena valendo menos de R$ 32, ou seja ambas opes estejam OTM o

lucro obtido igual a R$ 1,34 por opo, R$ 2,31 R$ 0,97. Caso a ao vena valendo mais

que R$ 34 ambas as opes sero exercidas e o prejuzo ser de R$ 0,66, por opo.

Uma operao ATM tem chance mdia de sucesso. Para chances maiores, devem ser

utilizadas opes mais OTM, e talvez evitar a operao se a volatilidade implcita estiver

muito baixa (HISSA, 2007).

2.5.6 Call debit spread

a operao inversa da Call credit spread, e tambm chamada trava de alta. Consiste

da compra de uma opo de compra e da venda de uma opo de compra com strike maior

que a comprada, ambas da mesma ao.

Como a opo com Strike maior mais barata, nessa operao o investidor

desembolsa certa quantia para mont-la. E nesse caso esse o risco mximo que o investidor

corre, caso as duas opes virem p. O lucro mximo ser alcanado quando as duas opes

forem exercidas, e o lucro aferido ser a diferena entre os dois strikes menos o valor

desembolsado na montagem da operao (HISSA, 2007).

21

Se os prmios de PETRE32 e PETRE34 forem os mesmos que anteriormente, a

operao tem lucratividade apresentada no grfico a seguir:

FIGURA 6 - LUCRO DA OPERAO CALL DEBIT SPREAD COM RELAO AO SPOT NO

VENCIMENTO

Essa operao ter mais chances de ser lucrativa se forem utilizadas opes ITM na

montagem da operao, assim apostar-se-ia na alta, que a tendncia para o longo prazo.

2.5.7 Borboleta

Essa operao pode se classificada como do tipo 1 ou do tipo 2. A Borboleta do tipo 1

envolve a compra e venda de opes de compra com trs Strikes diferentes. Consiste na

compra de uma opo de compra com Strike S1, outra compra com Strike S3 e duas vendas

de opo de compra com Strike S2, sendo que o valor de S1 menor que S2 que menor que

S3 (HULL, 1996).

Geralmente S2 est prximo ao preo da ao e o investidor acredita que o preo da

ao no vai variar muito nos prximos dias ou semanas. O investidor dever desembolsar

certa quantia para montar a operao, j que a opo com Strike S1 mais cara que as outras.

Se, por exemplo, PETRE32, PETRE34 e PETRE36, custarem R$ 4,21, R$ 2,44 e R$

1,06, ento o valor a ser desembolsado ser de R$ 0,39 por opo (- 4,21 1,06 + 2 x 2,44 = -

0,39), e esse ser o risco mximo, caso nenhuma das opes seja exercida ou caso as trs

sejam, e o retorno mximo se dar se a ao vencer valendo R$ 34, com um lucro de (S2 S1

custo = 34 32 0,39) R$ 1,61 por opo.

22

O grfico a seguir mostra os rendimentos, de acordo com esses preos.

FIGURA 7 - LUCRO DA OPERAO BORBOLETA (TIPO 1) COM RELAO AO SPOT NO

VENCIMENTO

J a Borboleta do tipo 2, invertida em relao a do tipo 1. Trata-se de uma venda de

S1, duas compras de S2 e uma venda de S3. Com S2 no dinheiro, o investidor assume o

risco, caso a operao perde se o mercado permanece inalterado mas ganha se o ao ganhar

ou perder valor.

Se, conforme o exemplo anterior, PETRE32, PETRE34 e PETRE36, custarem R$

4,21, R$ 2,44 e R$ 1,06, ento a operao vai proporcionar um lucro mximo de R$ 0,39 por

opo (4,21 + 1,06 2 x 2,44). Se a ao vencer valendo R$34, o prejuzo ser mximo e

igual a R$1,61 por opo.

O grfico a seguir mostra os rendimentos e prejuzos, de acordo com esses preos.

23

FIGURA 8 - LUCRO DA OPERAO BORBOLETA (TIPO 1) COM RELAO AO SPOT NO

VENCIMENTO

2.5.8 Condor

Trata-se de uma operao que envolve compras e vendas de opes de compras com

quatro Strikes diferentes. Tambm envolve dois tipos de operao (HULL, 1996).

Para a condor do tipo 1, precisa-se comprar uma opo de compra com Strike S1,

vender uma com Strike S2, outra com Strike S3 e por fim, comprar outra opo com Strike

S4. S1, S2, S3 e S4 representam Strikes em ordem crescente, e dessa forma S1 o mais caro e

S2 o mais barato.

Pode-se montar uma condor com um investimento razoavelmente baixo, j que as

opes vendidas financiam parte das compras. Por exemplo, se as opes consideradas

fossem VALEF46 VALEF48, VALEF52 e VALEF54, com prmios R$ 4,62, R$ 3,26, R$

1,31 e R$ 0,71, respectivamente, o investimento para a operao seria de R$ 0,76 por opo.

Nesse caso o investidor acredita num intervalo maior de spots que ao montar uma

borboleta, mas continua apostando que o mercado no sofrer grandes alteraes. O grfico

abaixo mostra a lucratividade da operao.

24

FIGURA 9 - LUCRO DA OPERAO CONDOR COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO

J para a condor do tipo 2, precisa-se vender uma opo de compra com Strike S1,

comprar uma com Strike S2, outra com Strike S3 e por fim, vender outra opo com Strike

S4.

Por exemplo, se VALEF38, VALEF40, VALEF42 E VALEF44 custam,

respectivamente, R$4,50, R$2,92, R$1,70 e R$0,84, ento, essa operao, o investidor ter

um retorno de R$0,72, que ser o lucro mximo se a ao vencer abaixo de R$38 ou acima de

R$44. O prejuzo mximo ser de R$1,28 se a ao vencer valendo entre R$40 e R$42.

O grfico abaixo mostra os valores que podem ser obtidos pela operao.

25

FIGURA 10 - LUCRO DA OPERAO CONDOR COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO

2.5.9 Call ratio backspread (Boi)

Essa operao leva o adjetivo ratio devido proporo entre compras e vendas.

montada com um nmero X de reverses e um nmero Y-X de compras a seco. A proporo

entre Y e X ser 3:2, 2:1 ou 3:1 (PFZENREUTER, 2008).

Consiste na venda de X opes de compra com Strike S1 e na compra de Y opes de

compra com strike S2, normalmente X = 1 e Y = 2. Normalmente procuram-se opes em que

o prmio lquido pago aproxime-se de zero.

Com essa operao financiam-se opes a seco, por meio de reverses, possibilitando

apostar numa forte alta do mercado com pouco capital. O risco mximo ser o a diferena

entre os strikes S2-S1 multiplicado pelo nmero de opes vendidas. E o lucro mximo

ilimitado (PFZENREUTER, 2008).

Se VALEE48 e VALEE50 valem R$ 2,68 e R$ 1,40 respectivamente, a operao

precisaria de um investimento na montagem de R$ 0,12 (2,68 2 x 1,40), e o risco mximo

ocorre se a ao vencer valendo 50, pois somente a opo que foi vendida seria exercida,

nesse caso o prejuzo seria de R$ 2,12, pois o investidor deveria comprar VALE5 por

R$50,00 para vend-la por R$ 48,00 alm do investimento realizado na montagem da

operao.

Essa operao parece mais interessante se for montada ITM, para que a faixa de

prejuzo fique numa posio menos provvel. O grfico a seguir apresenta essa operao e sua

lucratividade.

26

FIGURA 11 - LUCRO DA OPERAO CALL RATIO BACKSPREAD BOI COM RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO

2.5.10 Call ratio spread (Vaca)

Esta operao consiste na combinao de um debit spread com vrios credit spreads

mais OTM. As travas de baixa financiam os credit spreads da seguinte forma: compra-se uma

opo de compra com strike S1, vende-se X opes de compra com strike S2, normalmente X

= 3, maior que S1, compra-se X-1 opes de compra com strike S3 ainda maior que S2.

essencialmente o contrrio do Boi, pois aposta todas as fichas num pequeno

intervalo de spots. Por isso deve ser montada ATM, e espera-se que o mercado permanea

inalterado.

Se as opes VALEE46, VALEE50 e VALEE52, esto com prmios iguais a R$ 3,75,

R$ 1,13 e R$ 0,48, respectivamente, se X = 5, o lucro mximo ser R$ 3,98 quando o spot

vencer em R$ 50, e o risco mximo ser de R$ 8,02 se o spot vencer maior que R$ 52. Se o

mercado no subir e ficar abaixo de R$ 46, o prejuzo ser de R$ 0,02.

27

FIGURA 12 - LUCRATIVIDADE DA OPERAO CALL RATIO BACKSPREAD - VACA - COM

RELAO AO SPOT NO VENCIMENTO

A faixa lucrativa (de R$ 46 a R$ 50) est nos patamares mais provveis do mercado

(spot atual R$ 48,51), e, portanto, a chance de se sair dessa operao com algum lucro muito

boa.

2.5.11 Spread Calendrio

Todas as operaes vistas at agora, so operaes em que todas as opes envolvidas

tm o mesmo vencimento. Num spread calendrio as opes tm o mesmo preo, com

vencimentos diferentes (HULL, 1996).

Pode ser realizado com a venda de uma opo de compra com vencimento em maio,

VALEE48, que estar valendo R$ 2,24, nesse exemplo, e com a compra de uma opo de

compra, VALEF48, que vale R$ 3,26. O investidor ter lucro nessa operao se a opo de

vencimento mais curto estiver prxima de seu preo de exerccio no vencimento.

Para entender lucros e riscos dessa ao, devem-se considerar algumas situaes.

Numa situao em que VALEE48 vire p no vencimento, o investidor no ser exercido,

porm VALEF48 estar muito prxima a zero e o investidor, nesse caso ter uma perda

menor que seu custo inicial. Caso a ao esteja valendo muito mais que R$ 48,00 no

vencimento da opo, ambas as opes estaro valorizadas e o investidor ter um pequeno

custo para desmontar sua operao, para no ser exercido. Mas se o preo da ao estiver

28

prxima ao Strike, ento a opo com vencimento anterior custar uma pequena quantia ou

nada, enquanto a com vencimento mais longo lhe proporcionar um lucro expressivo.

29

CAPTULO III

3 PROGRAMAO LINEAR

Programao linear envolve problemas onde uma funo objetivo, linear, precisa ser

minimizada ou maximizada. Ela est sujeita a restries, tambm lineares, que podem ser

igualdades ou desigualdades (MURTY, 1985).

Segundo MURTY (1985), formular o problema de programao linear uma arte em

si, pois existem vrios mtodos que resolvem problemas depois de formulados, mas no h

muita teoria para ajudar a formular os problemas de programao linear.

O problema deve satisfazer condies essenciais, chamadas restries, relacionadas

com as variveis de deciso. Essas restries devem envolver a diversas situaes do

problema, so representadas por equaes ou inequaes, dependendo do conjunto de valores

que as variveis podem assumir (PUCCINI, 1978).

Uma vez descrito o modelo linear, atravs da funo objetivo e das restries, busca-

se a soluo tima, buscando maximizar ou minimizar a funo objetivo, sem que nenhuma

das restries seja desobedecida.

Existem atualmente vrios mtodos para se solucionar um modelo de programao

linear, dentre eles o Mtodo Simplex e o Mtodo do Ponto Interior, que sero discutidos mais

adiante.

3.1 PROGRAMAO LINEAR INTEIRA

So numerosas e diversificadas as aplicaes de programao linear, porm no se

pode deixar de falar de uma limitao muito importante, a hiptese da divisibilidade. Muitos

problemas requerem que os valores das variveis de deciso sejam inteiros, como, por

exemplo, o nmero de funcionrios em cada perodo, nmero de mquinas trabalhando em

determinado setor, ou a quantidade de opes de determinada ao que ser comprada ou

vendida. Nesse caso tem-se um problema de programao linear inteira (HILLER;

LIEBERMAN, 2006).

Em alguns casos foge-se da Programao Linear Inteira atravs de arredondamentos,

que um procedimento muito tentador, pois necessita menos esforo computacional. O

arredondamento deve ser utilizado, segundo HILLER e LIEBERMAN (2006), considerando-

se dois riscos: se o arredondamento no inviabiliza o modelo, ou seja, se ele continua

30

atendendo todas as restries e no h nenhuma garantia de que a soluo arredondada ser a

soluo tima inteira. Porm em alguns casos, e esse o caso desse trabalho, os

arredondamentos tero um impacto relativamente pequeno em termos de erro.

Em particular, um Problema de Programao Linear Inteira (PI) difere-se de um

Problema de Programao Linear apenas na incluso da restrio de que as variveis, algumas

ou todas, devem ser inteiras. Porm os mtodos de resoluo so diferentes, e nesse caso

temos inmeros algoritmos, como Mtodo de Branch and Bound e outros algoritmos

heursticos.

As aplicaes da Programao Linear e da Programao Inteira so inmeras, e,

algumas relacionadas com este trabalho esto as descritas a seguir:

O problema da seleo de Portflio foi introduzido por Markowitz no Jounal of

Finance, em 1952, consiste em reduzir o risco do portflio de aes selecionando aes que

no so altamente correlacionadas e visa estabelecer relaes entre risco e retorno. O modelo

bsico de Markowitz dado por:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Onde E o retorno esperado da carteira, V a varincia da carteira, xi a frao da

ao na formao do portflio, o retorno esperado de cada ao e i,j a covarincia entre a

ao i e a ao j, se ij, ou a varincia da ao i, para i=j.

Willian Sharpe (1964) e John Lintner (1965) apresentaram os conceitos modelo

CAPM (Capital Asset Pricing Model), que oferece condies intuitivas e poderosas sobre

como medir a relao entre risco e retorno esperado de um ativo (ao). (Fama e French,

2004)

Segundo PFZENREUTER (2007), o risco definido, no modelo CAPM, como a

varincia do retorno. Ttulos do governo tem varincia zero, e portanto, so considerados

perfeitamente seguros. Nenhum ttulo que rende menos que eles merece ser considerado.

O modelo CAPM considera apenas o risco no-diversificvel, ou seja, aquele que afeta

o mercado como um todo. Os riscos que no so explicados pela correlao entre os

rendimentos no so considerados.

31

De acordo com esse modelo, todos os ativos devem estar organizados sobre uma linha

reta num grfico ( x Retorno), chamada Security Market Line (SML), que uma linha que

cruza o eixo y num ponto chamado Risk Free. O significado de a medida de risco do

ativo.

O modelo desenvolvido por Konno(1991) introduziu como medida de risco o desvio

absoluto mdio, e o minimiza, sendo sua funo objetivo dada por:

(3.5)

Onde E[.] representa o valore esperado da varivel Rj, que o retorno da ao j e xj a

quantidade de dinheiro a investir na ao j. As demais restries do modelo so dadas por:

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Sendo que M0 o capital disponvel inicialmente, e uj a quantidade mxima a ser

investido em j.

3.2 MTODOS DE RESOLUO DOS PPLS E PPLIS

Os mtodos utilizados para a resoluo de um PPL ou um PI so vrios, cada um

adequando-se mais precisamente a certo tipo de problema. Dos apresentados a seguir o

Mtodo Simplex e o Mtodo do Ponto Interno destinam-se a Programao Linear e o Mtodo

de Branch and Bound programao Inteira.

O mtodo simplex um procedimento iterativo que fornece a soluo exata de

qualquer problema de programao linear. Tambm indica se o problema tem soluo

ilimitada, se tem infinitas solues ou se no possui soluo. Esse procedimento parte de uma

soluo vivel bsica, e percorre as solues bsicas possveis at que se obtenha a soluo

tima. Isso sempre possvel, se a soluo tima existe, devido ao fato de que o conjunto de

restries serem um conjunto convexo (MURTY, 1985).

O mtodo do ponto interior, tambm iterativo, parte de uma soluo inicial vivel, e

percorrendo pontos interiores do conjunto de solues viveis, por isso o nome, e chega

soluo vivel que tima. As vantagens do mtodo do ponto interior sobre o mtodo

simplex so observadas somente em problemas de grande porte (HILLER; LIEBERMAN,

2006).

32

O Mtodo Branch and Bound um mtodo iterativo, baseado, segundo HILLER e

LIEBERMAN (2006), na ideia de dividir para conquistar, utilizado para resolver problemas

de Programao Inteira. Nesse mtodo leva-se em considerao que os problemas de

programao inteira tm um nmero finito e enumervel de solues possveis e que,

geralmente, devido a grande quantia de solues, uma busca entre todas as possveis seria

invivel. Sendo assim, divide-se o problema original em subproblemas menores de forma que

seja possvel uma avaliao que indique se cada subconjunto pode ou no conter a soluo

tima para o problema original.

Todos se tratam de mtodos conhecidos e muito utilizados, juntamente com suas

variantes na maioria dos pacotes de resoluo de problemas de programao linear, como o

LINGO, que ser descrito posteriormente.

3.3 MOTIVAO E OUTROS TRABALHOS RELACIONADOS

Com base nos artigos de Papahristodoulou (2004) e Horasanl (2007), este trabalho

buscar, a partir das gregas do modelo de Black e Scholes, uma operao com aes e opes

de aes que seja livre de riscos, ou seja, que seja protegida de pequenas alteraes do

mercado.

No artigo de Papahristodoulou, foram consideradas opes de compra e venda de uma

ao (Erickson) e o autor buscou uma operao a partir das gregas de Black e Scholes. Foram

consideradas vrias modelagens diferentes, com diferentes quantidades de gregas envolvidas,

desde uma nica at todas.

Tambm se fez consideraes como a utilizao de variveis inteiras para as variveis

de deciso, o que reduz muito o valor alcanado pela funo objetivo. Mencionou-se a criao

de uma restrio que no foi utilizada por ele, devido a sua complexidade, ao considerar os

prmios pagos e recebidos e as margens exigidas em certas operaes. Devido a ausncia

dessa restrio, notou-se que o valor objetivo alcanado apenas um valor hipottico

mximo, j que no so consideradas tais peculiaridades.

A lucratividade depende exclusivamente do tamanho da operao, ou seja, quanto

mais opes estiverem envolvidas na operao, maior ser a funo objetivo. Sendo assim,

uma restrio evitou que o problema fosse ilimitado. O somatrio de todas as opes

compradas e vendidas juntamente com as aes compradas devia ser inferior a certo limite.

Foram verificadas vrias simulaes considerando-se diferentes quantidades de

restries (gregas) envolvidas, e notou-se que quanto menos restries foram utilizadas, maior

o valor alcanado pela funo objetivo, por se tratar de um portflio cada vez menos seguro.

33

O artigo de Horasanli, considerado pelo prprio autor como uma extenso do trabalho

de Papahristodoulou, foram consideradas opes de compra e venda de trs aes (Novartis,

Sanofi e AstraZeneca). Desenvolveu-se semelhantemente ao trabalho descrito anteriormente,

exceto pelo fato de que ao final desse trabalho, o autor fez breve meno s variveis do

problema dual, bem como suas implicaes no modelo.

34

CAPTULO IV

4 O PROBLEMA

Neste trabalho sero consideradas as quatro mais influentes, das cinco, gregas de

Black e Scholes. R no ser considerada, pois a taxa de juros no mercado brasileiro no sofre

alteraes com frequncia. As outras quatro, Delta, Gama, Theta e Vega, sero consideradas.

A funo objetivo procura comprar opes subavaliadas e vender as sobreavaliadas,

pois, mesmo que o mercado nunca atinja o preo terico, a probabilidade de que se aproxime

desse valor maior do que se afaste.

Opes subavaliadas so opes que tem o preo de mercado menor do que o preo

terico, e a tendncia que ganhem valor no decorrer do tempo, enquanto que as

sobreavaliadas so as que tm preo de mercado maior que o preo terico, e tendem a perder

valor com o tempo.

Sendo assim, a funo objetivo ser dada pela maximizao da soma das diferenas

encontradas entre o preo terico da opo i, pti, e o preo de mercado da opo i, pmi, das

opes de compra escolhidas, dentre as opes das aes da Vale do Rio Doce e Petrobrs.

As variveis de deciso sero as quantidades de opes de compra que sero

compradas, x, ou vendidas, y e as quantidades de aes que sero compradas. Conforme a

seguir:

(4.1)

A primeira restrio procura a neutralizao de Delta (d), que representa a variao do

prmio da opo com relao variao do preo da ao. includo nessa restrio o

somatrio das diferenas entre as aes compradas (ac), e vendidas (av), que, conforme

mostra o exemplo a seguir, pode contribuir para a neutralizao de Delta.

(4.2)

Se, por exemplo, PETRF30 est com delta de 0,4365. Com j se discutiu, um delta de

0,4365 significa que para cada um real que a ao sobe ou desce, a opo valoriza ou

desvaloriza R$ 0,4365. Para deixar montar uma operao segura, devem ser vendidas

PETRF30 e compradas PETR4 na proporo de 1 para 0,4365 e dessa forma deixar a posio

neutra. Se forem vendidas 1000 opes PETRF30, devem ser compradas 436,5 aes PETR4,

35

considerando que essa uma operao possvel. Com essa operao uma valorizao na ao,

ser compensada por um prejuzo na opo e vice-versa.

As restries seguintes fazem meno s gregas consideradas, Theta (t), Gama(g) e

Vega(v), buscando sempre um somatrio das quantidades de opes compradas ou vendidas

multiplicado pelos coeficientes das gregas calculadas igual a zero, conforme abaixo:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

Como o lucro mximo do portflio depende de seu tamanho, uma restrio includa,

a qual limita o nmero de operaes a um valor mximo (M), evitando o problema de ser

ilimitado, e tambm, que um grande nmero de operaes certamente envolveria muitos

gastos com corretagens, o que poderia roer todo o lucro obtido pela operao. Segundo

HULL, o lucro esperado por esse tipo de operao, neutra e segura contra grandes oscilaes

do mercado, deve ser apenas a taxa de juros livre de riscos, j que a operao no envolve

riscos.

(4.6)

Devido incerteza de algumas variveis, como por exemplo, as margens exigidas

pelas corretoras na criao de operaes com venda de opes, no ser formulada nesse

trabalho uma restrio que diga a esse respeito. Nesse caso em particular, em alguns casos

nem mesmo as corretoras sabem informar quais so as frmulas utilizadas para o clculo

dessas margens.

Ser desenvolvido um sistema em Visual Basic para a determinao das operaes. O

problema de programao linear ser resolvido pelo software LINGO e os dados necessrios

para o problema sero recebidos em tempo real, a partir de um link DDE (Dymanic Data

Exchange) de uma corretora.

4.1 LINGO

um pacote de ferramentas completo, incluindo uma linguagem de modelagem e um

solver, que permite modelar sistemas de equaes lineares e no-lineares com muitas

variveis de forma simples e concisa, resolv-los e possibilita a interpretao dos resultados.

36

A linguagem de modelagem utilizada por esse pacote permite a formulao do

problema, de forma simplificada e clara, utilizando o conceito de Conjuntos como seu

componente bsico fundamental. Cada conjunto pode ter atributos associados a ele, e so

esses atributos que oferecem os dados necessrios para o problema. (LINGO)

O LINGO possui ferramentas que permitem a comunicao entre softwares como o

Microsoft Excel a partir do comando OLE (Object Linking and Embedding) e a Bancos de

Dados a partir do comando ODBC (Open Data Base Connectivity), alm de possibilitar a

comunicao entre aplicaes atravs de ponteiros, que armazenam e transportam as

informaes, temporariamente, enquanto o programa executado.

4.2 VISUAL BASIC

Visual Basic uma linguagem de programao da Microsoft, que permite a criao de

aplicaes atravs de ferramentas que possibilitam o desenvolvimento da interface utilizada

pelo usurio, e a comunicao entre outros aplicativos e bancos de dados (MICROSOFT). O

software utilizado para desenvolvimento do programa foi o Visual Studio 2008, Verso 9.0.

4.3 O PROGRAMA

O programa foi desenvolvido de forma que o usurio no tenha problemas no

momento que deve definir os parmetros iniciais, sendo eles as Aes, o Nmero de Opes

de cada ao, o Ms e o Nmero de vencimentos, conforme mostra a figura 13.

Apenas aes de duas empresas podem ser escolhidas nos clculos, devido ao nmero

de negociaes de suas opes, Vale do Rio Doce e Petrobrs. No programa pode-se escolher

trabalhar com cada uma delas individualmente ou com ambas.

O item nmero de opes refere-se ao nmero total de opes que sero trabalhadas

entre as aes que foram escolhidas no primeiro item.

O item Ms corresponde ao ms do primeiro vencimento que se deseja trabalhar e o

item Nro Vencimentos quantidade de meses que se deseja trabalhar, por exemplo,

escolhendo o Ms 1 e o Nmero de Vencimentos 2, estaro sendo trabalhadas com opes de

Janeiro e Fevereiro.

37

FIGURA 13 - TELA INICIAL DO PROGRAMA

Depois de selecionado o Nmero de Vencimentos, o programa carrega, via link DDE,

os campos SPOT e VOLAT, que representam o preo atual da ao e sua volatilidade.

Comparando os Strikes das opes da srie escolhida, de acordo com o ms de vencimento,

com o Spot, seleciona quais opes sero carregadas na tabela seguinte.

A seleo formada pelas opes cuja diferena entre seu Strike e o Spot da ao

correspondente a menor. Isso garante que sempre ser trabalhado com as opes mais ATM

possveis, para os parmetros selecionados. Pode acontecer que uma ao tenha mais opes

contempladas do que outra, dependendo dos valores j mencionados.

Selecionadas as opes o programa carrega, via link, os valores das variveis Strike e

P_M (preo de mercado) e calcula internamente as variveis P_T (preo terico), Delta,

Theta, Gama e Vega, apresentando-os na tabela 2, conforme mostra a figura 14.

38

FIGURA 14 - TELA DO PROGRAMA COM DADOS CARREGADOS

Depois de carregado a primeira vez, o sistema se atualiza, ou seja, refaz o

carregamento atravs do Link e os clculos dos valores a cada 15 segundos, segundo os

parmetros escolhidos. Essa opo pode ser alterada para 30 ou 60 segundos.

A tecla Limpar Valores limpa as tabelas e zera as opes escolhidas, reiniciando o

programa.

A tecla Calcular envia os valores para o calculo no LINGO atravs dos comandos

@POINTER e @STATUS efetuam os clculos conforme discriminado na figura 15 e retorna

os resultados para o programa para avaliao dos resultados. Posteriormente armazena em

uma planilha os valores utilizados para o clculo e os resultados obtidos com o intuito de

construir uma base de dados.

39

FIGURA 15 - MODELO DO PROGRAMA NO LINGO

40

CAPTULO V

5 RESULTADOS

O modelo descrito anteriormente foi rodado 344 vezes, com diferentes condies de

mercado e configuraes iniciais. As configuraes iniciais foram agrupadas em cenrios, que

apresentavam as mesmas condies iniciais, conforme descrito a seguir:

Nos cenrios de 1 4 foram consideradas apenas opes da Petrobrs, e nos cenrios 5

8 foram consideradas opes da Petrobrs e da Vale do Rio Doce, simultaneamente.

Com relao ao nmero de vencimentos, os cenrios 1 e 5 consideraram apenas um

vencimento, sendo esse o ms de setembro, ou seja opes que venceriam e 20 de setembro

de 2010. Os cenrios 2, 3, 6 e 7 consideraram os vencimentos de setembro e outubro e os

cenrios 4 e 8 consideraram os vencimentos de setembro, outubro e novembro.

A quantidade total de opes, ou seja, o nmero de Strikes diferentes, consideradas em

cada cenrio, a partir do primeiro foi: 8 para o cenrio 1, 12 para o cenrio 2, 18 para os

cenrios 3 e 4, 12 para o cenrio 5, 16 para os cenrios 6, e 24 para os cenrios 7 e 8. Porm,

esse o nmero total de opes, que foram subdivididas para cada vencimento, de acordo

com o nmero de vencimentos considerado.

Para cada cenrio o modelo foi executado 43 vezes do dia 18 de agosto ao dia 03 de

setembro de 2010, em diferentes horrios do prego. Os resultados obtidos foram

armazenados em um banco de dados para posterior anlise e interpretao. Esses resultados

foram apresentados atravs de um relatrio individual para cada cenrio, onde as operaes

definidas pelo modelo puderam ser agrupadas de acordo com sua forma e quantidade de

opes envolvidas. No ANEXO 1 so listados os resultados de cada execuo.

A partir desses agrupamentos, puderam-se analisar, de maneira geral, os conjuntos

formados nos cenrios e pode-se avaliar o momento de sada do mercado, considerando que a

entrada tenha acontecido no momento da execuo. Pode-se ainda verificar se houve lucro ou

prejuzo na operao, considerando os preos de mercado das opes e aes envolvidas.

Para cada um dos conjuntos de operaes, de cenrio a cenrio, sugeridas pelo

modelo, foram analisadas as principais caractersticas de cada operao como a data de

execuo (que ser considerada data de entrada no mercado), a data de sada e o lucro

alcanado.

41

As tabelas a seguir mostram, resumidamente, os resultados obtidos depois de

agrupados. As colunas preo das tabelas referem-se ao Spot no momento da execuo. As

simbologias adotadas ATM+ e ATM- servem para referir-se a Strikes prximos, acima e

abaixo, de valores ATM, mas no o valor mais ATM.

Salienta-se que em todos os resultados obtidos, em todos os cenrios, o nmero de

opes e aes compradas e vendidas foi limitado a uma constante, com valor igual a 1000.

Sendo assim o nmero de compras e vendas ser sempre comparado a essa constante em

forma de percentagem. A diferena entre a soma das quantidades e 100% devido aos

arredondamentos da generalizao para cada grupo de operaes e da forma que construda

a restrio de tamanho, ver eq. (4.6).

OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO PARA OPES DE UMA AO

Cenrio Nmero de

opes Aes OPERAO

COMPRAR VENDER

OPCAO PREO QUANT OPCAO PREO QUANT

1 8 PETR4

1 PETRI DITM 50% PETRI ITM 45%

PETRI ATM 1% PETR4

4%

2 PETRI ATM 7% PETRI DITM 2%

PETR4

0,4% PETRI OTM 89%

2 12 PETR4

3 PETRJ ATM 20% PETRJ ITM 10%

PETR4

1% PETRJ OTM 70%

4

PETRI ATM+ 0,2% PETRI DITM 32%

PETRJ ITM 38% PETRJ OTM 28%

PETR4

1,5%

5

PETRI ATM 0,05% PETRI DITM 4,20%

PETRJ ATM 19,30% PETRJ OTM 76%

PETR4

0,50%

3 18 PETR4

6 PETRI DITM 50% PETRJ ITM 48%

PETRJ OTM 0,80% PETR4

6%

7 PETRJ ATM+ 19,00% PETRJ ATM- 11%

PETR4

0,02% PETRJ OTM 70%

8

PETRI ATM+ 0,02% PETRI ITM 5%

PETRJ ATM+ 13% PETRJ OTM 82%

PETR4

0,02%

9

PETRI ATM+ 0,02% PETRI ITM 33%

PETRJ ITM 35% PETRJ OTM 32%

PETR4

0,03%

4 18 PETR4

10

PETRI ATM- 6% PETRI DITM 9%

PETRK ATM- 11% PETRJ OTM 75%

PETR4

0,70%

11

PETRI ATM 8% PETRI DITM 22%

PETRK ITM 22% PETRJ OTM 48%

PETR4

1%

12

PETRI ATM+ 8% PETRJ OTM 69%

PETRK ATM+ 16% PETRK ITM 7%

PETR4

0,04%

13

PETRI ATM- 7,00% PETRI ITM 24%

PETRK ITM 26,00% PETRK OTM 43%

PETR4

0,70%

TABELA 2 - OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO PARA OPES COM DE UMA AO

OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO PARA OPES DAS DUAS AES

Cenrio Nmero de

opes Aes OPERAO

COMPRAR VENDER

OPCAO PREO QUANT OPCAO PREO QUANT

5 12

PETR4

E

VALE5

14

PETRI ITM 65% PETRI OTM 0,06%

VALEI OTM 13% VALEI ITM 47%

PETR4

26%

42

15 VALEI ATM- 23% VALEI ATM+ 45%

VALEI OTM 33% PETR4

3 %

16 PETRI ATM 8% PETRI OTM 80%

VALEI OTM 7% VALEI ATM 7%

PETR4

2%

6 16

PETR4

E

VALE5

17

PETRI ATM- 16% PETRJ OTM 53%

VALEJ OTM 15% VALEI ATM- 13%

VALE5

1%

18

VALEI ATM 12% PETRJ OTM 16%

VALEJ OTM 25% VALEJ ATM 30%

VALE5

17%

7 24

PETR4

E

VALE5

19


VALEJ OTM 15% VALEJ ITM 31%

VALE5

19%

20 VALEI OTM 16% PETRJ ITM 18%

VALEJ OTM+ 16% VALEJ ITM 24%

VALE5

25%

21

PETRI ATM 16% PETRJ OTM 48%

VALEJ OTM 14,50% VALEI ITM 16%

VALE5

5%

8 24

PETR4

E

VALE5

22

VALEJ ATM+ 35% PETRK ATM+ 9%

VALE5

20% VALEJ ITM 4%

VALEK ITM 30%

23


VALEK ATM 16% VALEJ ITM 34%

VALE5

14%

24

PETRI ATM+ 5% PETRK ATM 19%

VALEJ OTM 32% VALEJ ITM 27%

VALE5

16,50%

TABELA 3 - OPERAES SUGERIDAS PELO MODELO PARA OPERAES COM OPES DE

DUAS AES

Observando-se as operaes 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14 e 16, que apresentam uma grande

diferena entre as quantidades de opes comparadas e vendidas, pode-se concluir que o

modelo, captou momentos distores no mercado, e sugeriu compras ou vendas, praticamente,

a seco de opes, e sabe-se que tal operao no segura. Isso pode indicar fragilidade do

sistema e do mtodo de precificao a partir da volatilidade implcita.

Porm mesmo nessas operaes, constatou-se, como ser mostrado a seguir, que

possvel obter lucros, caso o momento de sair do mercado seja escolhido corretamente.

As operaes 1, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 e 24, mostraram-se mais

equilibradas, com quantidades de compras e vendas melhor distribudas entre as opes

escolhidas pelo modelo.

Algumas operaes sugeridas merecem destaque especial, por se tratarem de

operaes semelhantes a operaes comumente realizadas por investidores no mercado. o

caso, por exemplo, das operaes 1, 6, 15, 17 e 21, que poderiam representar uma trava de

alta, uma calendrio, uma borboleta e duas operaes envolvendo dois calendrios, um de

cada ao.

43

Os resultados obtidos foram acompanhados, um de cada operao, desde a entrada de

mercado, considerada como o momento da execuo do programa, at o momento de sada,

onde atravs de dados histricos pode-se avaliar o lucro ou prejuzo obtido pelo investidor

com a operao, em um curto perodo de tempo.

Figura 16 - Acompanhamento para sada de mercado para a operao 1

A Figura 16 mostra o acompanhamento da operao sugerida pelo modelo para o

primeiro cenrio. Os valores representam o lucro/custo para o investidor no momento de

desmontagem da operao, caso ela acontea nos momentos apontados.

Os zeros do grfico mostram momentos de ausncia de negociao das opes

escolhidas pela operao. Os valores acima mostram lucros na desmontagem, e os valores

abaixo custos. O lucro efetivo da operao deve levar em conta tanto o lucro/custo na

montagem, como na desmontagem.

A Figura 17 ilustra o rendimento da operao 9, descrita na tabela 4. A grande

quantidade de variaes no grfico mostra a densidade das negociaes envolvendo as opes

selecionadas pelo modelo. Alm disso, o perodo analisado para a operao 9 foi de treze dias,

enquanto o da operao 1 foi de 3 dias.

44

Figura 17 Acompanhamento para sada de mercado da operao 9

A operao 20, com rendimentos de sada representados na figura 18 apresenta vrias

oportunidades de sada de mercado, com valores relativamente altos. Mas esses valores no

so o lucro efetivo da operao, j que necessrio um investimento inicial alto, j que so

compradas tambm uma grande quantidade de aes, como mostra a tabela 4.

Figura 18 - Acompanhamento para sada de mercado da operao 20

45

Dentre as operaes, a maioria auferiu lucros, apesar de serem relativamente

pequenos. Estes so expressos na tabela a seguir, onde esto informadas as quantidades de

compras e vendas, preo de cada opo na entrada do mercado e preo das opes na

desmontagem da operao. A diferena obtida foi considerada como lucro, desconsiderando-

se os custos operacionais como corretagens. No ANEXO 2 esto os dados histricos que

serviram para verificao dos lucros alcanados pelo modelo.

OPERAES LUCRO OPERAES - MOMENTOS DE ENTRADA E SADA

1 118,26

OPES

KRUKOSKI 2010 - PL aplicada ao mercado de opções na criação de um portfólio seguro.pdf

Documents

Transcript of KRUKOSKI 2010 - PL aplicada ao mercado de opções na criação de um portfólio seguro.pdf