Laboratorio 1

Universidad de Santiago de ChileFacultad de Ciencia

Departamento de Matemática y C. de la ComputaciónLic. en Educ. Matemática y Computación código 4500

INFORMELABORATORIO 1

Alumna: Ángela Balladares Elizabeth González

Paulina MezaProfesor : Rogelio RiquelmeAsignatura : Aplicaciones de la MatemáticaCódigo : 1822Carrera : Lic.en Educ. Matemática y

Computación.Código : 4500Fecha : 15 de Octubre del 2010

PREGUNTAS

1) Utilizando lenguaje C, construya un prototipo computacional educativo, que constituya un soporte pedagógico, para el modelamiento de las cónicas en enseñanza media. Utilizando programación visual (tipo Windows), sus requerimientos o posibilidades de acción deben ser:a) Graficar un punto (x,y) en el plano cartesiano, (x,y) ingresado por teclado.b) Construcción de polígonos de n lados (n natural), los puntos se ingresan por

teclado.c) Deducir cada cónica, mediante un procedimiento lógico-matemático, y esta

lógica, programarla como rutina computacional.d) Aplicaciones de problemas naturales, usando el punto c). Construya usted el

contexto cultural de cada problema.2) Investigue el asistente Maple, y programe secuencialmente, los siguientes procesos:

a) Evaluar una función polinomial.b) Evaluar una función trigonométrica.c) Encontrar la integral indefinida dada una función específica.d) Grafique a) y b).

3) Utilizando algún software matemático (escogido por usted), analícelo y proponga una estrategia metodológica, que apoye, aplicaciones matemáticas relacionando con el software analizado.

Laboratorio 1 Aplicaciones de la MatemáticaPágina 2

DESARROLLO

Pregunta 1:

Parte a)

i. Análisis:Para graficar un punto (x,y), utilizando el lenguaje c, no basta con ingresar los puntos por pantalla, e utilizar la función putpixel de la librería graphics.h que dibuja un pixel, dadas las coordenadas x e y y el color del pixel que queremos dibujar, ya que la pantalla donde se muestra esto, no se asemeja al funcionamiento del plano cartesiano, en donde el origen se encuentra en la intersección de los ejes, al centro generalmente. En la pantalla del programa turbo c++ utilizado para programar en lenguaje c, el punto (0,0) se encuentra en la esquina superior derecha, y los pixeles crecen horizontalmente hacia la derecha y verticalmente hacia abajo, que tampoco es usual en el plano cartesiano. Por ello, antes de poder dibujar un punto en C, debemos determinar un nuevo origen en la pantalla, el punto central de esta, para dibujar el plano cartesiano, con sus respectivos ejes, y las divisiones, para ubicar el punto que queremos dibujar como corresponde.

ii. Programación:Lo primero, como mencionábamos anteriormente, es determinar el origen del plano cartesiano, en la pantalla del programa. Para ello utilizamos la función getmaxx() y getmaxy(), que devuelven el valor máximo que pueden tomar a lo ancho y alto, esto porque aunque el programa trabaje con una matriz de pixeles común de 640*480, hay computadores que aguantan otro tipo de resoluciones y en función de eso es preferible trabajar con getmax. Con ello, se obtiene el ancho y alto, y ya tenemos el primer paso, basta con dividir cada uno de estos valores a la mitad para encontrar el punto central. Luego de esto, con los valores encontrados podemos dibujar los ejes, y con ello, realizar algunas divisiones en los ejes, para fijar las distintas coordenadas.

Luego de esto, basta con pedirle al usuario que ingrese las coordenadas y estas ajustarlas a nuestras medidas, es decir, partir del origen establecido, y y sumarle la cantidad entregada por el usuario multiplicada por el ancho de cada división entre dos enteros del plano, en nuestro caso, 40. Luego dibujamos un círculo de radio 2 con centro en las nuevas coordenadas encontradas, y lo pintamos para que parezca un punto.

A continuación, mostramos la programación de la secuencia explicada anteriormente:

case 1:clrscr()int a=0, b=0; /*coordenadas que ingresará el usuario*/printf("Ingrese la coordenada x del punto a graficar\n");scanf("%d",&a);printf("Ingrese la coordenada y del punto a graficar\n");scanf("%d",&b);/*dibujo del plano cartesiano para mostrar el punto*/float x=getmaxx()/2;/*coordenada x del origen*/float y=getmaxy()/2;/*coordenada y del origen*/setcolor(1);


line(x,0,x,2*y);/*eje y*/line(0,y,2*x,y);/*eje x*/

/*división del plano cartesiano*/char ve[2]; for (int i=1; i<15; i++)

{ itoa (i,ve,10);moveto (x+40*i,y+10);outtext(ve);itoa (-i,ve,10);moveto(x-40*i,y+10);outtext(ve);itoa(-i,ve,10);moveto(x+10,y+40*i);outtext(ve);

itoa(i,ve,10); moveto(x+10,y-40*i);

outtext(ve);

line(x+40*i,y-5,x+40*i,y+5);line(x-40*i,y-5,x-40*i,y+5);line(x+5,y+40*i,x-5,y+40*i);line(x+5,y-40*i,x-5,y-40*i);

}int a1,b1;

a1=getmaxx()/2+40*a; /*coordenada x modificada para el plano determinado*/

b1=getmaxy()/2-40*b; /*coordenada y modificada para el plano determinado*/

circle(a1,b1,2); /*dibujo del punto ingresado por el usuario*/setfillstyle(1,1);floodfill(a1,b1,1);getch();

break;

Los mensajes entre /* mensaje */ son comentarios sobre cada uno de los pasos ejecutados.

iii. Marcha blanca:Para llevar a cabo este ejercicio, fue necesario analizar cómo estaban organizados los pixeles de la pantalla del programa turbo c++. Lo primero que en plano horizontal los pixeles crecen de izquierda a derecha, sin embargo, en el plano vertical los pixeles crecen de arriba abajo, lo que provoca que el tratamiento de las coordenadas y ingresadas por usuario, no se le debe sumar si quiero subir desde el origen establecido, sino que restar, al contrario de lo que pasa en el eje x, que basta con sumar.

Por otra parte, no se podía dibujar el punto ingresado sólo con la función putpixel, ya que lamentablemente no se ve el pixel por ser pequeño, era necesario utilizar un círculo de un radio pequeño y pintarlo, para que realmente pareciera un punto.


iv. Ventajas de lo creado:

- A partir del análisis, programación y marcha blanca de este ejercicio, es posible realizar los puntos b) y c) de este mismo ejercicio, ya que este ejercicio es esencial, sin él no es posible continuar programando.

- En general, los programas creados en lenguaje c ocupan muy pocos recursos, y pueden ser utilizados en computadoras con muy bajos recursos, en decir, en colegios e instituciones que no cuentan con un laboratorio de computación avanzado, para mostrar gráficamente a los estudiantes como graficar puntos.

- Al permitir que el usuario ingrese las coordenadas de los puntos, permite que este interactúe con el programa, muy útil en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

v. Desventajas de lo creado:

- Al ser uno de los primero lenguajes de programación que existieron, resulta a veces poco amable, y poco llamativo para los estudiantes, como el software geogebra, que trabaja con la plataforma java, y resulta mucho más atractivo, y proporciona la opción de dibujar puntos con el mouse, que aunque es posible en el turbo c, es menos óptimo y claro.

- Al ser turbo c++ un compilador antiguo, este no es compatible con Windows vista, y por lo mismo, tampoco en Windows 7. Por ello, fue necesario instalar una máquina virtual en el computador en el que trabajamos, con Windows XP para poder programar la secuencia. Sin embargo, al ser un Sistema Operativo dentro de otro, los procesos eran mucho más lentos, y eso perjudico la labor. En el caso de que los estudiantes quisieran probar el programa en sus casas y contaran con los sistemas operativos mencionados no compatibles, no podrían utilizar el soporte pedagógico.

- Resulta complicado graficar puntos que no son enteros, ya que las funciones sólo aceptan valores enteros de pixeles. Para ello, habría que modificar la secuencia, primero, permitiéndole al usuario ingresar reales, y luego aproximando a los enteros más cercanos, para poder graficar un punto.

Parte b)

i. Análisis:Para realizar este ejercicio, es necesario tener 2 cosas claras, la primera es que el usuario ingresa la cantidad de lados, y luego, ingresa las coordenadas de los puntos. Teniendo la cantidad de lados, determinamos cuantos puntos vamos a tener que ingresar, con su respectiva coordenada x e y, para luego dibujar las líneas correspondientes.

ii. Programación:La programación de este ejercicio es similar a la de la parte a), se le pide al usuario que ingrese el número de lados y las coordenadas de los puntos, luego, cada coordenada es modificada según la función usada para graficar un punto en la parte a), a continuación, hay que repetir la secuencia de


dibujo de ejes y divisiones, y luego, dibujar cada uno de los lados del polígono con la función line, con los nuevos valores encontrados.

A continuación, mostramos la programación de la secuencia explicada anteriormente:

case 2:clrscr();int n=0;printf("Ingrese cantidad de lados del poligono, mayor o igual a 3 y

menor o igual a 20") ;scanf("%d",&n);int x1[20],y1[20];for (i=0;i<n;i++){printf("Ingrese coordenada x del punto”,(i+1));scanf("%d",&x1[i]);printf("ingrese coordenada y del punto”,(i+1)");scanf("%d",&y1[i]);}/*división del plano cartesiano*/char ve[2]; for (int i=1; i<15; i++)



outtext(ve);


}int x2[20],y2[20];for(i=0;i<n;i++){

x2[i]=getmaxx()/2+40*x1[i]; /*coordenada x modificada para el plano determinado*/

y2[i]=getmaxy()/2-40*y1[i]; /*coordenada y modificada para el plano determinado*/}


for(i=0;i<(n-1);i++)line(x2[i],y2[i],x2[i+1],y2[i+1])

line(x2[0],y2[0],x2[n-1],y2[n-1]);

break;

iii. Marcha blanca:En la marcha blanca de la puesta en marcha, existieron 2 problemas, el primero, acotar la cantidad de lados del polígono, en el límite inferior, la cantidad de lados no puede ser inferior a 3, ya que si no estaríamos hablando de una línea en el caso de los 2 lados y un punto con 1. Por ello, el mínimo de lados de un polígono es 3. Y en el límite superior, establecimos el polígono de 20 lados, icosaedro, ya que es lo que comúnmente se estudia en los colegios. El segundo, es el dibujo de la línea que une el primer punto con el último. Este no puede ser dibujado con la función for, ya que esta siempre aumenta (o disminuye). Por ello, se ve claramente en la secuencia, que esta se dibuja a parte y al final. Por otro lado, y no menos importante, hay que recordar que cuando se trabaja con vectores, se trabaja desde la posición 0, por ello, cuando dibujamos la línea con el último punto, consideramos la posición n-1, que es la cantidad de lados menos 1, porque, si lo vemos desde el principio, el primer punto está en la posición 0 del vector, el segundo en la posición 1, y así sucesivamente, de tal forma que el último punto está en la posición n-1.

iv. Ventajas de lo creado:

- Las ventajas de esto son similares a las de la parte a), es decir, como los estudiantes determinan la cantidad de lados del polígono y además las coordenadas de los vértices del polígono, esta interactuando con el programa, para luego ver los resultados de lo ingresado por teclado.

- Este programa da paso para más aplicaciones sobre los polígonos, como por ejemplo, la cantidad de diagonales desde un punto, la cantidad de diagonales totales, e incluso determinar si el polígono es regular.

v. Desventajas de lo creado: Posee desventajas similares a las de la parte a).

Parte c)

i. Análisis:Modelar cónicas en lenguaje C no resulta ser nada sencillo. Por una parte, el lenguaje no posee funciones sobre gráficos de funciones reales. Por otro lado, no es posible escribir ecuaciones, para que las ingrese el usuario. Por ello, primero hay que resolver estos 2 problemas, para llevar a cabo la programación de la secuencia buscada.

Lo primero a resolver, es el tema de cómo ingresa el usuario la cónica que quiere ver graficada en el plano cartesiano. Las cónicas son la parábola, la elipse, la circunferencia y la hipérbola. Cada una de ellas posee una forma específica, con sus respectivos coeficientes. Por ello, la primera pregunta al usuario será la cónica que quiera dibujar, luego, se le tendrá que mostrar la ecuación general de la


cónica, y se le pedirá que ingrese los coeficientes correspondientes. Con ello, solucionamos uno de los problemas.

Para solucionar el problema del gráfico en sí, realizaremos la siguiente secuencia. Recordando cómo graficamos con papel y lápiz, lo primero es una tabla de valores, para luego ubicar los puntos en el plano y esbozar la cónica. Algo similar haremos, pero para puntos que están muy cercanos entre sí, de manera de dibujar punto a punto cada cónica. Con una la función for, podemos hacer variar los puntos poco a poco, sin olvidar que cada punto debe ser transformado según la función de la parte a), y luego dibujamos cada pixel, con putpixel. En el caso de la circunferencia, podemos utilizar la función circle, pero primero, con los datos entregados por el usuario, es necesario determinar el centro, y transformarlos, y luego el radio. Ya tenemos resuelto el segundo problema.

ii. Programación:A continuación, mostramos el programa para graficar secciones cónicas.

printf("Bienvenido!!!\n"); printf("Selecciona la opción de la cónica que desear graficar\n"); printf("1.- Parábola\n"); printf("2.- Circunferencia\n"); printf("3.- Elipse\n"); printf("4.- Hipérbola\n"); printf("Ingrese O para salir\n"); scanf("%d",&op);

switch(op) {

case 0:

printf("Gracias pos usar este programa, adios!");

getch();return 0;

case 1:clrscr();printf("La fórmula general de una parábola es (y-k)^2=4p(x-h) \n");

printf("donde el punto (h,k)es el vértice de la parábola y (h+p,k) el foco\n");

int h,k,p;printf("Ingrese h, la coordenada x del vértice\n");scanf("%d",&h);printf("Ingrese k, la coordenada y del vértice\n");scanf("%d",&k);printf("Ingrese p, la distancia entre h y el foco de la parábola\

n");


scanf("%d",&p);

/* draw a line */float x=getmaxx()/2; float y=getmaxy()/2;setcolor(1); line(x,0,x,2*y);line(0,y,2*x,y);char ve[2]; for (int i=1; i<15; i++)



outtext(ve);


}int h1,k1,p1,y;for(i=-5;i<5;i+=0.01){

h1=getmaxx()/2+40*h;k1=getmaxy()/2-40*k;p1=40*p;y=sqrt(4*p*(i-h))+k;putpixel(i,y,1);

}

getch();

break;

case 2:clrscr();

printf("La fórmula general de una circunferencia es (y-h)^2+(y-k)^2=r^2 \n"); printf("donde el punto (h,k)es el centro de la circunferencia y r es el radio\n");


int h,k,r;printf("Ingrese h, la coordenada x del centro\n");scanf("%d",&h);printf("Ingrese k, la coordenada y del centro\n");scanf("%d",&k);printf("Ingrese r, el radio de la circunferencia\n");scanf("%d",&r);

/* draw a line */float x=getmaxx()/2; float y=getmaxy()/2;setcolor(1); line(x,0,x,2*y);line(0,y,2*x,y);char ve[2]; for (int i=1; i<15; i++)



outtext(ve);


}int h1,k1,r1,y;for(i=-5;i<5;i+=0.01){

h1=getmaxx()/2+40*h;k1=getmaxy()/2-40*k;r1=40*r;y=sqrt((r*r)-(i-h)^2)+k;putpixel(i,y,1);

}

break;}

Para el caso de la elipse y la hipérbola, se trabaja de manera similar.


iii. Marcha blanca:En general, no hubo problemas para trabajar, por el apoyo de la parte a). Lo único que resulta problemático, es el tema de las coordenadas. Como son valores reales (float), y la función putpixel trabaja con enteros, se deben aproximar para poder graficarlos.

iv. Ventajas de lo creado:- El estudio de las cónicas en enseñanza media en vago, y poco efectivo, por ello, el

apoyo del programa gráficador de cónicas, puede apoyar enormemente la parte visual.

- Al igual que la parte b), comparte las ventajas de la parte a).

v. Desventajas de lo creado:- Comparte las mismas desventajas de la parte a) y b), agregando el problema de los

valores a graficar.


Pregunta 2:

En esta pregunta, realizaremos cada uno de los pasos en conjunto para todos los ejercicios, ya que todos están relacionados.

i. Análisis:Para realizar este ejercicio, fue necesario instalar el asistente Maple y la plataforma java . En nuestro caso, por asuntos de compatibilidad, se trabajó con el Maple 12, no la última versión, pero una más avanzada que la instalada en el laboratorio de computación (Maple 11). Luego, vino la búsqueda de tutoriales sobre el software, ya que utiliza un lenguaje de programación propio, que tiene algunos atisbos del lenguaje c++ e incluso del lenguaje java, como las funciones que se pueden utilizar, como for, do, entre otras, pero lo más importante, es que posee la capacidad de graficar funciones reales solamente ingresando la función por teclado, y mostrar por pantalla la evaluación de las funciones dando un intervalo dado. También trabaja con integrales, en su mayoría definidas, matrices, derivadas y otras aplicaciones matemáticas. En nuestro caso, nos interesaba saber cómo evaluar las funciones, graficarlas, y calcular integrales indefinidas.

ii. Programación:A continuación, se muestran los ejercicios realizados en maple. Primero, se ingresa la función polinomial (1), luego se evalúa (2), y luego se grafica (3). Luego, se ingresa la función trigonométrica (4), se evalúa (5) y luego se grafica (6). Por último, se ingresa la función (7), y se calcula la integral definida de la función (8).

(1)>

(2)>


(3)>

(4)>

(5)>


(6)>

(7)>

(8)>

>

iii. Marcha blanca:En el trascurso del uso del programa para realizar las actividades, se encontraron 2 problemas: el primero, tenía que ver con la evaluación de la función trigonométrica, que tuvo que ser evaluada aproximando π y por otro lado, que no se pudo calcular la integral indefinida, solo la definida, que en el caso mostrado, fue entre 0 y 1.

iv. Ventajas de lo creado:- El asistente maple es útil, como comentábamos en el análisis, para muchas

aplicaciones matemáticas. En particular para los ejercicios propuestos, se puede notar que evaluar la función, para encontrar puntos es muy útil a la hora de esbozar un gráfico a mano, y luego se puede comprobar este bosquejo directamente graficando la función con plot.


- En el caso de la programación anterior, el programa por sí mismo acotó los intervalos para los gráficos, sin embargo, esto también se puede especificar.

- Muchas veces a los estudiantes se les dificulta visualizar gráficamente las funciones, por ello, este programa permite una visualización rápida, muy útil a la hora de encontrar regularidades.

v. Desventajas de lo creado:- Si el estudiante no está familiarizado con lenguajes de programación, será necesario

realizar una capacitación para el uso del programa, como el ingreso de datos, el uso de funciones, como graficar, etc.

- Al no ser un software libre, dificulta el acceso a los estudiantes. Sin embargo, existe una alternativa libre llamada “gnuplot”, que tiene similares características, creado por el S.O. Linux.

- Es necesario contar con al menos un tutorial para familiarizarse con el lenguaje y funciones disponibles, ya que no es algo trivial.


Pregunta 3:

i. Análisis:

El software matemático escogido es Geogebra, que posee licencia GNU, es decir, es libre para ser distribuido. Geogebra es un programa que integra el álgebra junto con los gráficos; podemos ingresar una función por teclado en el sector inferior donde dice “Entrada”, o bien utilizar el menú que se encuentra en la parte superior izquierda, desplegando los triángulos, para las diferentes opciones. Cada una de las opciones de los menús, viene con las instrucciones para realizar la construcción correspondiente, como en la imagen:

Recta Perpendicular

Punto y recta perpendicular

En la parte izquierda, se encuentra un recuadro donde se lee “Objetos Libres” y “Objetos Dependientes”. En este recuadro, se registra cada una de las construcciones realizadas, tanto las que se han ingresado por teclado, como las creadas a partir de algún menú. Se registran los puntos, las medidas de los segmentos, el área de los polígonos, las ecuaciones de las rectas, funciones, etc.

Al ser un software que mezcla tanto la parte algebraica como geométrica, es muy útil para el estudio de funciones, ecuaciones de la recta, cónica, polígonos, ángulos, transformaciones isométricas, entre otros contenidos. Muchas veces, al no contar con un software especializado en algunas materias como este, y al realizar sólo trabajos en el cuaderno, dificulta y debilita su estudio. El uso de Geogebra permite la visualización rápida e interactiva de objetos matemáticos.

ii. Programación


La aplicación matemática escogida, son las Teselaciones. Las teselaciones son embaldosamientos del plano con figuras a través de Transformaciones Isométricas, es decir, a través de traslaciones, rotaciones y reflexiones o simetrías. El software Geogebra permite realizar estas tres transformaciones con los elementos de cada una de ellas:

- Para realizar una traslación se escoge “traslada objeto por vector”, como se muestra en la figura:

- Así mismo, se puede rotar un objeto en torno a un punto y a un ángulo indicado, y- Realizar reflexiones en torno a un punto o una recta, e incluso, reflejar un punto en una

circunferencia

Para teselar un plano, es necesario escoger una figura base, que sea capaz de embaldosar el plano, tal como baldosas en el piso de una casa. Estas figuras tienen una característica muy importante: al unir estas figuras haciendo coincidir vértices y puntos, se obtiene un ángulo completo, de 360° grados. Para ello, deben ser figuras que tienen todos sus ángulos interiores congruentes, pero también deben ser divisores de 360, como el triángulo equilátero, que cada uno de sus ángulos interiores mide 60°, que es divisor de 360. También cualquier paralelogramo, y los hexágonos regulares, como en el ejemplo:


La estrategia metodológica propuesta, es implementar la unidad de Transformaciones Isométricas con apoyo del software Geogebra, con diferentes actividades, que son esencialmente de descubrimiento, ya que al entregarles la herramienta que rápidamente realiza estas transformaciones, el objetivo es que ellos construyan su propio conocimiento, y descubran las regularidades correspondientes para cada Transformación Isométrica. Por otra parte, es importante también que ellos descubran que es lo que pasa si realizamos composiciones de transformaciones isométricas, que pasa si incluso las mezclamos, o bien, si podemos, a través de traslaciones y rotaciones, realizar una simetría. Estas, y otras preguntas, pueden ser respondidas mediante uso y observación de Geogebra. Por último, con los conocimientos adquiridos, determinar que figuras pueden teselar el plano, y porque, y proponer una figura que pueda teselar el plano.

iii. Marcha Blanca.

El primer paso para llevar a cabo la estrategia metodológica propuesta, para cumplir con el objetivo, es enseñarles a usar el software. Por otro lado, también es importante realizar una breve reseña sobre Geogebra, sus partes más importantes, y que es un software gratuito, que incluso los alumnos pueden instalar en sus computadores, y ser un apoyo para sus clases futuras. Para enseñarles a utilizar el software, se realizará una guía, para trabajar en conjunto con la profesora, para ver paso a paso como utilizarlo.

La guía utilizada será algo así:


Taller Geogebra: Transformaciones Isométricas

Presentación

Geogebra es un software matemático interactivo de uso libre, con el que podrás construir Transformaciones Isométricas. Para comenzar construiremos en conjunto las simetrías, traslaciones y rotaciones que ves a continuación, para que luego tú lo puedas hacer sólo.

Simetría en Geogebra

1) Simetría haciendo una figura en Geogebra


2) Simetría central haciendo una figura en Geogebra

3) Simetría insertando cualquier imagen en Geogebra


Traslación en Geogebra1) Traslación haciendo una figura en Geogebra

2) Traslación insertando cualquier imagen en Geogebra


Rotación en Geogebra1) Rotación en 90° con sentido Horario, haciendo una figura en Geogebra

2) Rotación en 45° con sentido anti horario, insertando cualquier imagen en Geogebra


Luego de esto, se realizará una guía sobre composiciones de transformaciones isométricas, usando el software. Y por último, se realizará una actividad de descubrimiento de las figuras que pueden teselar el plano, proponiendo embaldosar el plano con distintas figuras, entre ellas las que si cumplen con las características mencionadas anteriormente, para que ellos las puedan concluir.

iv. Ventajas de los creado:

Las ventajas de la estrategia metodológica propuesta son:

- La significancia que le darán los alumnos al conocimiento adquirido.- El uso de un software de apoyo permite mejor visualización de los elementos,

evitando el problema de los elementos anexos, como reglas, escuadras, transportadores, compás, que muchas veces perjudican el trabajo de los alumnos, ya que los dibujos no quedan perfectos, y pierden el norte de lo realmente importante.

- Al utilizar el software, se están utilizando realmente las TICs, y se saca al alumno del contexto típico de la sala de clases, dándole la oportunidad real de construir su propio conocimiento.

- Comprenderán que el software no sólo es útil para lo propuesto en clases, si no para muchas más aplicaciones, que pueden ser utilizadas en el futuro.

v. Desventajas de lo creado.

Las desventajas de las propuestas son:

- No siempre existen los recursos en los establecimientos para tener un laboratorio en donde se pueda instalar el software y utilizarlo en las horas de matemática.

- El profesor que lleve a cabo la estrategia metodológica, debe saber utilizar el software en todas sus funciones, para responder a las dudas de los alumnos.

- Al ser una propuesta rápida, es fácil que si falta algún alumno a alguna sesión de clases, se quede atrás fácilmente, para ellos, debe existir un plan de contingencia.

- Lo ideal es que cada alumno pudiera tener el software instalado en algún computador de su hogar, pero hay muchos alumnos que aún no manejan un computador para ello.


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