LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL 1

LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL 1

1

DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO MÉDIA DE UM CARRINHO SOBRE O TRILHO DE AR COM VELOCIDADE VARIÁVEL - MRUV

Objetivos: Estudar as características do movimento retilíneo uniformemente variado e fazer as devidas relações existentes no mesmo.

Material Utilizado: Trilho de ar e acessórios, papel milimetrado e Di-log

PROCEDIMENTO E CÁLCULOS

b) Prenda uma massa de 30 g na extremidade livre do barbante

c) Coloque o 1º sensor a zero cm do carrinho (esse sensor deverá ficar desligado);

d) Coloque o 2º sensor a 10 cm do pino do carrinho;

e) Libere o carrinho e verifique no cronômetro o tempo gasto para percorrer a distância entre os

sensores anotando o resultado na tabela abaixo;

f) Repita a experiência variando a posição do segundo fotosensor de acordo com a tabela

abaixo.

Distância percorrida (m) t1 t2 t3 t4 t5

0,10±0,05

0,20 ±0,05

0,30±0,05

0,40 ±0,05

0,50 ±0,05

1- Construa o o gráfico d x t em papel milimetrado, qual é o tipo de relação entre d e t?

2- Construa o o gráfico d x t2 em papel milimetrado, qual é o tipo de relação entre d e t?

3- Construa o o gráfico d x t em papel Di-log, qual é o tipo de relação entre d e t?

4- Construa o o gráfico v x t, qual é o tipo de relação entre v e t?

5- Calcule a área sob o gráfico v x t. Qual seu significado físico?

6- Determine o valor da inclinação da reta v x t. Qual seu significado físico

7 – Utilizando os dados encontrados, exprima o valor da aceleração com sua respectiva

incerteza

iyi

oxi

yixi

iCMii

CM

gyv

vv

vv

vmvmghE

ImvmghE

mghE

2

vonde

v10

7

2

1

2

1

222

i

CM

2

22

22

11

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Campus de Curitiba

Laboratório de Física 1 - Professor Jorge Alberto Lenz

Nomes: ____________________________________________________________________Data:___________

ROTEIRO DE AULA PRÁTICA

I) Título: Conservação da energia mecânica.

II) Objetivos:

a) Descrição do movimento de uma esfera em um plano inclinado em queda livre.

b) Utilização dos conceitos do movimento de projéteis: alcance, velocidades, energias, etc.

c) Verificação da conservação de energia mecânica.

III) Material utilizado: Plano inclinado, Esferas de aço, Folhas de papel branco com carbono, régua, Régua.

IV) Procedimento: Quando abandonamos um corpo de uma altura h2, em um plano inclinado, a energia

mecânica no ponto mais alto é somente potencial: E = Ep

Em um ponto qualquer da descida:

Comparando e utilizando a conservação de energia mecânica, teremos:

O termo do meio é a energia cinética de translaçãodo centro de massa

da esfera e o último termo corresponde a energia cinética de rotação

da mesma. I é o momento de inércia de uma esfera em relação ao eixo

que passa pelo seu centro que vale (2/5) m r2 e é a velocidade

angular vCM / r.

xi

i

i

oioi xy

gvgtytvx

2 maneira, desta ,

2

1 e 2

2

i

E1

E2

hi

yi

V) Questionário:

a) Prenda as duas folhas na parede da madeira na vertical, na região onde a esfera colide mais

freqüentemente.

b) Abandone a esfera de aço sempre da mesma altura na rampa e meça os valores de x e y para pontos

diferentes de colisão na parede vertical (em torno de 8).

c) Repita 5 (cinco) vezes para cada ponto e obtenha o valor médio.

d) Monte o plano hi x xi num papel milimetrado.

e) Calcule o valor de v0.

f) Calcule E1 e E2 (ou seja, substitua i por 2).

xi yi vyi vi Ei

g) Observe que os valores de Ei devem estar próximos uns dos outros. Compare E1 e E2 com os valores

de Ei na tabela.


Departamento de Física - DAFIS

FÍSICA EXPERIMENTAL 1 – ROTEIRO DE LABORATÓRIO

Professor Walmor Cardoso Godoi

I) Título: Momento de Inércia do Disco

II) Objetivos: Determinação do momento de inércia de um disco a partir do Princípio de Conservação da

Energia

III) Material utilizado: 1 conjunto constituído de 1 disco, massa suspensa (ms),

barbante, cronômetro, trena, trena, fita adesiva, balança, etc.

IV) Procedimento:

1) De posse de um fio inextensível, enrole o mesmo de forma que não deslize ao liberar a

massa suspensa. O comprimento deve ter suficiente para que uma de suas

extremidades ao ser enrolada no disco, dê uma volta no disco e na outra extremidade a

massa suspensa ms, passe pelos dois sensores.

2) Meça o tempo que o disco leva para dar uma volta (período T). T=________ s

3) Meça com a trena a altura de queda h (m), da base inferior da massa suspensa até o

meio do segundo cronômetro. h=_________ m

4) Meça a massa do corpo suspenso na balança:𝑚𝑠 = ___________kg

5) Observe o tempo que a massa suspensa leva para percorrer a distância

(∆d=_____) entre os dois sensores no cronômetro. Repita este procedimento TRÊS vezes

e calcule a média do tempo de queda; ∆𝑡 = ________

6) Calcule a velocidade média através de:

𝑣 =∆𝑑

∆𝑡

7) A partir dos dados obtidos:

Calcule o momento de inércia experimental do disco a partir da lei de conservação de energia mecânica, lembrando que há

movimento de translação e rotação.

𝐸𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

𝑚𝑠𝑔ℎ =1

2𝑰𝑪𝑴,𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝜔𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

2 +1

2𝑚𝑠𝑣2

onde

𝜔 =𝜔𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝜔𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

2

2𝜋

𝑇=

𝜔𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 0

2

𝜔𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =4𝜋

𝑇

𝑰𝑪𝑴,𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐 = _________

8) O momento de inércia de um disco homogêneo com eixo de rotação passando pelo seu centro de massa é ½ mr2.

Utilize este valor teórico para comparar com o valor obtido em 7.

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Departamento de Física - DAFIS

FÍSICA Experimental 01 – ROTEIRO DE LABORATÓRIO

1

PÊNDULO SIMPLES

OBJETIVOS : Verificar de quais grandezas o período depende; Determinar a

aceleração da gravidade local.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL:

1) Determine a massa das esferas com o auxílio da balança (m1, m2 , m3 e m4 )

2) Ajuste o comprimento do pêndulo de modo que tenha 20 cm do ponto de

suspensão (gancho) até o centro da esfera de menor massa. Anote o valor de L na

tabela 1.

3) Desloque a esfera da posição de equilíbrio e determine o tempo necessário para

o pêndulo executar 10 (dez) oscilações completas, )( t∆ . O deslocamento angular

não deve exceder 10°. Repita o procedimento mais duas vezes e determine o

período médio, )(T . Anote o resultado na tabela 1.

4) Repita a experiência para comprimentos de 40,60 e 80 cm . Anote os resultados.

5) Repita todo o procedimento para as outras esferas (tabelas 2 a 4).

DADOS:

Tabela 1

=1m kg

L )(m t∆ )(s T )(s 2T )( 2s

Tabela 2

=2m kg

L )(m t∆ )(s T )(s 2T )( 2s



2

Tabela 3

=3m kg

L )(m t∆ )(s T )(s 2T )( 2s

Tabela 4

=4m kg

L )(m t∆ )(s T )(s 2T )( 2s

CÁLCULOS E RESULTADOS:

1) Trace gráficos do quadrado do período pelo comprimento, para cada uma das

massas.

2) Através das tabelas 1,2,3 e 4, podemos supor alguma dependência do período

em relação às massas? Justifique.

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

3) Qual o tipo de curva que aparece no gráfico? A partir da análise destes gráficos,

qual deve ser a dependência entre T e L ?



3

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

4) Calcule e apresente o valor de g obtido através de cada gráfico e o valor médio,

g , sabendo que gcutba = 9,75 m/s2.

5) Determine o erro percentual, comparando g com o valor da gravidade local de

Curitiba.

% = ã − ã 100

Determinando a aceleração gravitacional1

Fernando Lang da SilveiraInstituto de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

Av. Bento Gonçalves, 9500. Caixa Postal 15051, CEP 91501-970.Porto Alegre. RS. Brasil.

Endereço eletrônico: [email protected]

RESUMO. Apresenta-se uma breve história das primeiras determinações da aceleração gravitacional. São discutidosteoricamente dois métodos, de Bessel e de Kater, e se relatam os resultados obtidos com eles para o valor da aceleraçãogravitacional em Porto Alegre.

1. Introdução

Este trabalho tem por objetivos relatar uma breve história das primeiras determinações da aceleração gravitacional e discutir, teoricamente,dois métodos que podem ser utilizados para determiná-la com bastante precisão. São apresentados resultados da aplicação destes doismétodos na obtenção do valor da aceleração gravitacional em Porto Alegre.

2. Sobre as primeiras determinações da aceleração gravitacional

Quase não é exagerado dizer que a nova física de Galileu, Descartes, Newton começou com o movimento de queda dos corpos. Galileu(1564-1642) afirmou que o movimento de queda dos corpos -"num meio cuja resistência fosse nula", ou seja, em "um espaço totalmentevazio de ar e de qualquer outro corpo"(Galilei, 1988; p.69) - é um movimento uniformemente variado com a mesma aceleração para todosos corpos. Galileu nunca obteve, com razoável grau de precisão, o valor desta aceleração: suas estimativas levaram a um valor cerca de 4m/s2. Como poderia Galileu saber que na queda livre dos corpos a aceleração é a mesma para todos eles, se não tinha condições dedeterminá-la precisamente?

O padre Mersenne (1588-1648) fez diversas tentativas de determinar a aceleração gravitacional medindo tempos de queda (Koyré, 1988).Seus resultados levaram-no a valores bastante maiores do que o de Galileu: da ordem de 8 m/s2. Estas e outras tentativas de obter aaceleração gravitacional, com razoável grau de precisão, esbarraram na inexistência de um método confiável para medir intervalos de tempo.Naquela época não havia ainda relógios precisos. Galileu relatou experimentos nos quais o tempo era medido através da determinação damassa de água que fluía de um tanque (Galilei, 1988); já Mersenne utilizou pêndulos na medida dos tempos. Segundo Koyré (1988; p.297)houve uma "situação paradoxal no momento do nascimento da ciência moderna: posse de leis matemáticas exatas e impossibilidade deaplicá-las porque não era realizável uma medida precisa da grandeza fundamental da dinâmica, isto é, do tempo".

Huygens (16291695) refez o último experimento de Mersenne, em 1659, encontrando valores entre 9 e 10 m/s2 (Koyré, 1988).Conscientizou-se que enquanto não fosse construído um cronômetro confiável não poderia medir com precisão o tempo de queda. Com ointuito de utilizar um pêndulo para medir tempos enfrentou, teoricamente, o problema de determinar a curva que o pêndulo devia descreverpara que o período fosse independente da amplitude - a curva tautócrona - (Boyer,1974); a utilização de um pêndulo que tivesse períodoindependente da amplitude era crucial para determinações precisas de intervalos de tempo. Galileu acreditava, erradamente, que a curvatautócrona era a circunferência, sendo o período de um pêndulo circunferencial o mesmo para qualquer amplitude. Ainda em 1659, Huygensdemonstrou teoricamente que a curva tautócrona era a ciclóide. A resolução teórica desse problema lhe deu também a relação entre o períododo pêndulo e a aceleração gravitacional; essa relação não era procurada originalmente por Huygens, que pretendia simplesmente encontrar acurva tautócrona. Conhecida essa relação, abriu-se um novo caminho para a obtenção da aceleração gravitacional, que não mais exigia amedida de tempos de queda: a partir da medida do período e do comprimento do pêndulo era possível se obter a aceleração gravitacional.Utilizando então um pêndulo com cerca de 15,7 cm, que realizava 4464 pequenas oscilações (oscilações de pequena amplitude) em uma hora(Huygens também demonstrara que para as pequenas amplitudes de um pêndulo não cicloidal o período era constante), determinou aaceleração gravitacional como sendo aproximadamente 9,5 m/s2 .

Em 1666, Newton (1642-1727) abordou um problema que Galileu, em 1632, no seu "Diálogos sobre os dois principais sistemas do mundo"já havia tentado resolver. Uma das argumentações contra o sistema copernicano, mais especificamente, contra o movimento de rotação daTerra em torno de seu eixo, dizia que a "força centrífuga" atuando sobre objetos na superfície da Terra, os lançaria para longe. Galileu já seempenhara em refutar tal argumento e afirmara, erradamente, que não importando qual fosse a velocidade de rotação da Terra, não seafastariam de sua superfície (Koyré,1986).

Newton, em 1666, já deduzira a fórmula que permitia calcular a força no movimento circular e procurou comparar a aceleração centrípeta deum corpo em rotação junto com a Terra com a aceleração gravitacional (Westfall, 1995). Para tanto necessitava conhecer o valor daaceleração gravitacional; não satisfeito com a estimativa de Galileu (cerca de 4 m/s2 ) e provavelmente desconhecendo o resultado deHuygens (sabe-se que a obra de Huygens que trata de relógios de pêndulo - o célebre Horologium oscillatorium - foi publicada em 1673(Boyer, 1974)), calculou o valor da aceleração gravitacional utilizando um pêndulo cônico. O experimento foi realizado com um pêndulo comaproximadamente 2,05 m de comprimento, descrevendo uma trajetória circular na horizontal, tal que o pêndulo ficava inclinado 45 graus1 Publicado em Revista de Ensenãnza de la Física, Córdoba, 10(2): 29-35, 1995.

1

(Westfall, 1995). Ele utilizou a relação que existe entre a força centrípeta e a aceleração gravitacional nesse movimento: a partir do períodode rotação do pêndulo cônico determinou a força centrípeta e desta, a aceleração gravitacional. O valor que encontrou foi aproximadamente10,2 m/s2. Estimou então que a razão entre a aceleração centrípeta no equador da Terra e a aceleração gravitacional era ligeiramente maiordo que 1:350. Ficava assim superada uma das objeções contra o movimento diário da Terra.

Até hoje, determinações precisas da aceleração gravitacional continuam a ser realizadas com pêndulos.. A seguir serão apresentados doismétodos, envolvendo pêndulos, que permitem medidas bastante precisas.

3. O método de Bessel

É comum em disciplinas introdutórias de Física Geral, seja no segundo grau ou na universidade, encontrar-se um experimento que visa aobtenção da aceleração gravitacional utilizando um "pêndulo simples". A conhecida equação do pêndulo simples afirma que, para pequenasamplitudes quando então vale a aproximação linear , o período depende apenas do comprimento do pêndulo simples e da aceleraçãogravitacional. A atividade experimental consiste em construir um "pêndulo simples" (usualmente uma pequena esfera de metal suspensa porum fio), medindo o período e o comprimento, calculando, finalmente, a aceleração gravitacional.

Assumindo uma atitude crítica em relação a esta proposta, nota-se que qualquer sistema real constituído por uma pequena esfera suspensapor um fio não é um "pêndulo simples" mas um pêndulo físico: a massa do pêndulo está distribuída e não localizada em um ponto, como seimagina na dedução da equação do pêndulo simples. Ainda que a massa do fio seja desprezível e que a esfera possua densidade constante,demonstra-se facilmente que o comprimento do pêndulo simples equivalente (o comprimento do pêndulo simples que tem o mesmo períododo pêndulo físico) é maior do que a distância do ponto de suspensão ao centro de gravidade da esfera (Silveira, 1992). Prova-se que ocomprimento do pêndulo simples equivalente é:

DR

52DL

2

(1)

onde:

L- comprimento do pêndulo simples equivalente.D- distância do ponto de suspensão ao centro de gravidade da esfera.R- raio da esfera.

Desta forma, quando se quiser obter uma estimativa para a aceleração gravitacional, com razoável grau de precisão, um dos problemas a serenfrentado experimentalmente é o da determinação do comprimento do pêndulo simples equivalente (importante insistir que este não é adistância entre o ponto de suspensão e o centro de gravidade da esfera). A aceleração gravitacional, em função do período e destecomprimento (para pequenas amplitudes, quando vale a aproximação linear), é dada pela equação abaixo:

22

TL

4πg (2)

onde:

g- aceleração gravitacional.T- período do pêndulo.

A diferença entre L e D, de acordo com a equação 1, depende de R e de D. A forma de diminuir esta diferença é tornar R bastante menor doque D. Por exemplo, se a esfera tiver raio da ordem de alguns centímetros e a distância D for da ordem de metro, a diferença entre L e D éda ordem de décimo de milímetro. Ou seja, para essas dimensões, a menos que se deseje conhecer L com erro inferior a décimo demilímetro, pode-se tomar D por L na equação 2. Entretanto, determinar o comprimento D, mesmo com precisão de milímetro, é difícil pois ocentro da esfera não é reconhecível diretamente.

Bessel, no início do século XIX, idealizou um método para determinar a aceleração gravitacional com um "pêndulo simples", que não requero conhecimento da localização do centro de gravidade da esfera. O procedimento proposto por Bessel baseia-se no fato de que é possívelmedir a diferença de comprimento que um pêndulo sofre, sem conhecer os seus respectivos comprimentos. Ou seja, constrói-se um pêndulocom grande comprimento, digamos da ordem de 3 m e se determina experimentalmente o seu período; em seguida, encurta-se o pêndulo,digamos para 2 m aproximadamente, medindo-se esse encurtamento e o novo período. É fácil demonstrar a partir da equação 2,aproximando-se L por D, que a aceleração gravitacional é:

22

21

2

TTd4πg

(3)

onde:

d diferença ( 21 DD ) entre os dois comprimentos.1T e 2T períodos do pêndulo.

A fim de determinar a aceleração gravitacional no Campus do Vale da UFRGS, construímos um pêndulo com uma esfera de chumbo deaproximadamente 2 cm de raio, suspensa for um fio fino de aço. O comprimento inicial do pêndulo foi cerca de 3 m. Colocamo-lo a oscilar

2

com pequena amplitude, menor do que 2o (para amplitudes de até 2,3o vale a aproximação linear para o período com precisão até décimos demilésimo de segundo, se o período for da ordem de segundos (Silveira, 1992)) e medimos o tempo de 40 oscilações (no final das 40oscilações a amplitude já era tão pequena que dificultava a observação); repetimos esse procedimento 25 vezes. Em seguida, encurtamos ofio por 111,1 cm, medindo 25 vezes o tempo de 40 oscilações (o processo todo durou em torno de 2 horas). Obtivemos no final os seguintesresultados:

s3,5870T_

1 s 0,0006S _

1T

s2,8977T_

2 s0,0006S _

2T

cm111,1d_

cm0,1S _d

Os valores discriminados ao lado das médias (primeira coluna) são as respectivas estimativas de erro (desvio padrão da média para osperíodos e menor divisão da escala da trena no caso do comprimento). Utilizando a conhecida expressão para a propagação dos erros (Vuolo,1992), tem-se que, nesse caso, o erro na aceleração gravitacional é dado por:

2

d

2

T22

21

2

2

_T2

22

1

1

g___

21_ S_

d

_gS_

T_T

_T

_g2S_

T_T

_T

_g2S

(4)

Substituindo-se em 4 os valores referidos acima, encontra-se:

2g

cm/s2S .

Visto que a equação 3 fornece 981g_ cm/s2, pode-se finalmente afirmar, no nível de confiança de 68%, que o verdadeiro valor da

aceleração gravitacional no Campus do Vale da UFRGS está compreendido entre 979 cm/s2 e 983 cm/s2 .

4. O método de Kater

Para qualquer pêndulo físico existem infinitos conjuntos de quatro eixos coplanares e paralelos a um eixo que passa pelo centro de massa oucentro de gravidade (o centro de massa e o centro de gravidade são coincidentes quando o campo gravitacional que atua sobre o corpo éuniforme), tais que os períodos sejam iguais. Dois a dois, esses quatro eixos são eqüidistantes do eixo que passa pelo centro de massa; podeocorrer que algum(ns) desses eixos não intercepte(m) o pêndulo, localizando-se fora do mesmo. Se o eixo que passa pelo centro de massaestiver entre dois eixos não eqüidistantes do centro de massa, então a distância entre esses dois eixos é igual ao comprimento do pêndulosimples equivalente (a demonstração dessa afirmação, bem como das anteriores, pode ser encontrada em textos de mecânica do terceiro grau,por exemplo, Savéliev (1984), Symon (1972) e Timoner e outros (1973)). Esta propriedade está representada na Figura 1.

FIGURA 1. Pêndulo físico e pêndulo simples equivalente.X e Y - distâncias dos eixos paralelos Ox e Oy ao centro de massa CM.

L - comprimento do pêndulo simples equivalente.

Experimentalmente, é possível se determinar com grande precisão dois desses eixos: procura-se dois eixos, não eqüidistantes do centro demassa, em torno dos quais os períodos de oscilação sejam praticamente iguais. A localização dos dois eixos pode ser feita com o grau deprecisão que se deseje, bastando para isso que se meçam os períodos a partir do tempo de um grande número de oscilações de pequenaamplitude. Como o corpo é posto a oscilar, ora em torno de um eixo, ora em torno de outro eixo, ficando o centro de massa entre eles, algunsautores chamam-no "pêndulo reversível" (Timoner e outros; 1973). Em seguida, mede-se a distância entre os dois eixos, o que também podeser feito com pequeno erro. Calcula-se então a aceleração gravitacional pela equação do pêndulo simples, a equação 2. Note-se que estainteressante propriedade dos dois eixos dispensa o conhecimento da distribuição de massa do pêndulo.

3

Na prática utiliza-se um pêndulo com distribuição de massa fortemente assimétrica. A Figura 2 dá a idéia do pêndulo. Ele possui umapequena massa que tem posição ajustável (não representada na figura). Inicia-se o experimento localizando dois eixos em torno dos quais osperíodos são aproximadamente iguais. Fixa-se os dois eixos, alterando depois a posição da pequena massa até que os dois períodos sejam tãoparecidos quanto se deseje. Esse processo é demorado, ocorrendo por tentativas, levando muitas horas se for necessária uma grande precisão.

FIGURA 2 O pêndulo de Kater ou pêndulo reversível.

O experimento que realizamos, após os ajustes iniciais, envolveu a tomada de cinqüenta medidas do tempo de 70 pequenas oscilações paracada um dos eixos (após as 70 oscilações a amplitude era tão pequena que se tornava impraticável observar mais oscilações; iniciávamoscada série com amplitude não superior a 2o para que a equação 2, que é uma aproximação linear, valesse para a precisão que desejávamosobter na determinação dos períodos (Silveira, 1992)). A duração total do experimento foi de mais de quatro horas. Os resultados obtidos,para as médias e as respectivas estimativas de erro, foram os seguintes:

s1,3961T_

1 s0,0003S _

1T

s1,3967T_

2 s0,0002S _

2T

cm48,381L_ cm0,003S _

L

O período a ser utilizado na equação 2 é a média dos dois períodos medidos. Utilizando a conhecida expressão para a propagação dos erros,tem-se que, nesse caso, o erro na aceleração gravitacional é dado por:

2

L_

_

2

T21

2

T21

g_

2_1

_ SL

gS

2

_T

_T

_gS

2

_T

_T

_gS

(5)

Substituindo-se em 5 os valores referidos acima, encontra-se:

2g cm/s3,0S .

Visto que a equação 2 fornece 979,5g_ cm/s2, pode-se finalmente afirmar, no nível de confiança de 68%, que o verdadeiro valor da

aceleração gravitacional no Campus do Vale da UFRGS está compreendido entre 979,2 cm/s2 e 979,8 cm/s2 .

4

5. Conclusão

O pêndulo de Kater ou pêndulo reversível, utilizado pela primeira vez em 1819, continua até hoje sendo usado em medidas bastante precisasda aceleração gravitacional, tais como as que os geólogos fazem com objetivos de prospectar materiais abaixo da superfície da Terra. Ofabricante do pêndulo fornece ao usuário o comprimento do pêndulo simples equivalente, dispensando o trabalhoso processo de localizaçãodos dois eixos, permitindo a determinação da aceleração gravitacional com o pêndulo oscilando em torno de apenas um eixo. O método deBessel tem o inconveniente de que, a cada vez, a diferença no comprimento e os respectivos períodos devem ser medidos; além disso; nãopermite medidas com o grau de precisão do método de Kater. Assim, na Geologia o método de Bessel é preterido a favor do de Kater. Casose deseje aumentar muito a precisão, outras variáveis que em nossos exemplos foram desprezadas, deverão ser consideradas, acarretandouma série de correções: forças resistivas do meio e atrito no eixo; variações do período com a amplitude; variações no comprimento pordilatação térmica; cooscilação da suspensão do eixo;... .

É importante notar que os erros obtidos nessas duas medidas da aceleração gravitacional, principalmente na segunda, são pequenos (partesem mil no primeiro caso e partes em dez mil no segundo caso). Dificilmente estes experimentos poderiam ser propostos, com tal grau deprecisão, como atividade de laboratório de Física Geral, devido ao longo e tedioso processo de determinação dos períodos. Caso se tolereerros maiores do que os obtidos, é possível em uma atividade de laboratório de Física Geral, realizar um dos experimentos.

Uma consideração deve aqui ser feita. Na verdade quando falamos em "aceleração gravitacional" estamos nos referindo à "aceleraçãogravitacional aparente", ou seja, à aceleração em um sistema de referência em rotação junto com a Terra. Recordamos que Newton jádeterminou a diferença entre ambas quando se empenhava em refutar uma importante objeção contra o movimento de rotação da Terra emtorno de seu eixo (conforme vimos na secção 2). Sabe-se que a diferença entre os dois valores pode chegar a ser da ordem de 3 cm/s2 (noequador ela é aproximadamente esta) dependendo do local na Terra; esta diferença torna-se empiricamente importante quando o métodoutilizado na sua determinação envolve erros iguais ou menores do que 3 cm/s2.

A história das determinações da aceleração gravitacional nos esclarece que, contrariamente à epistemologia empirista, o conhecimentocientífico não começa com medidas. Galileu nunca teve condições de medir com razoável grau de precisão a aceleração de um corpo emqueda e, entretanto, afirmou que ela era a mesma para todos os corpos. Esta história também nos mostra que o aumento na precisão dasdeterminações da aceleração gravitacional sempre foi antecedido de importantes avanços teóricos. Sem uma "boa" teoria não é possível arealização de medidas sofisticadas, ou, como tantos epistemólogos já insistiram, "todo o nosso conhecimento é impregnado de teoria,inclusive nossas observações" (Popper, 1975; p. 75).

BIBLIOGRAFIA

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.GALILEI, G. Duas novas ciências. São Paulo: Nova Stella, 1988.KOYRÉ, A. Estudos galilaicos. Lisboa: Dom Quixote, 1986.______ Estudios de historia del pensamiento científico. México: Siglo Veintiuno, 1988.POPPER, K. R. Conhecimento objetivo. São Paulo: EDUSP, 1975.SAVÉLIEV, I. V. Curso de Física Geral. Moscou: MIR, 1984.SILVEIRA, F. L. Considerações sobre o artigo "Métodos numéricos no ensino da Física Experimental". Caderno Catarinense de Ensino da

Física, Florianópolis, 9(1):86-90, 1992.SYMON, K. R. Mechanics. Menlo Park: Addison-Wesley, 1972.TIMONER, A. , MAJORANA, F. S. E HAZOFF, W. Manual de laboratório de Física. São Paulo: Edgard Blücher, 1973.VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. São Paulo: Edgard Blücher, 1992.WESTFALL, R. S. A vida de Isaac Newton. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1995.

AgradecimentosAgradeço às professoras Maria Cristina Varriale e Maria Teresinha Xavier Silva e ao professor Rolando Axt pela leitura crítica que permitiuo aprimoramento deste trabalho.

5




1

OSCILADOR MASSA-MOLA AMORTECIDO PELO AR

OBJETIVOS: Estimar o coeficiente de amortecimento b do ar para um corpo

oscilante suspenso por uma mola vertical; verificar a estabilidade do período e

compará - lo com o período do sistema sem amortecimento.

PROCEDIMENTO:

1- Montar o oscilador com mola de pequeno k e m250g. Anotar a leitura da régua

para a posição de equilíbrio do corpo (y=0) e o valor da massa do corpo,

previamente medida. 2- Provocar no corpo uma deformação inicial y=20cm e

abandoná-lo, tomando este instante como t=0. Fazer duas vezes a medida do tempo

decorrido até a amplitude atingir 18 cm. Anotar na Tabela os valores dos tempos

medidos e da média destes tempos t , em segundos, para cada medida.

3- Repetir o procedimento 2 até a amplitude atingir cada um dos valores

especificados na Tabela.

4- Determinar a constante elástica da mola, em N/m, pelo método estático.

5- Verificar se o período se mantém constante durante as oscilações amortecidas e

depois determinar T’ utilizando 10 oscilações completas. Repetir a medida de T’ pelo

menos mais uma vez.




2

DADOS,TABELAS, CÁLCULOS E GRÁFICOS:

1-TABELA, m = ______ ± ______ (g)

A(cm) ln(A/A0) t(s)

t(s) t (s)

20

18

16

14

12

10

08

06

04

02

2- (a) Fazer o gráfico de A x t utilizando o papel monolog. Obter b a parti deste

gráfico.

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

3- (a) Fazer o gráfico de ln(A/A0)x t. (b)Obter b a partir deste gráfico.

4- Apresentar o valor da deformação da mola no equilíbrio estático, yo, o valor da

massa m utilizada, e o cálculo da determinação da constante elástica. Considerar g

em Curitba (coordenadas Lat -25.42629998o, -49.2242o) igual a 978765 mGal)

(fonte Geografia Ensino & Pesquisa, v. 17, n.1, jan./abr. 2013, 1 Gal = 1 galileu =

0,01 m/s2).

.




3

6- Apresentar os valores do período do sistema oscilante T’ e o seu valor médio.

Como você observou a constância de T’?

7- Calcular o período T0 do sistema oscilante na ausência do amortecimento.

Compare o valor médio de T’ com To (referência). Este resultado já era esperado?

Por quê?

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Departamento de Física - DAFIS FÍSICA EXPERIMENTAL 1 – ROTEIRO DE LABORATÓRIO

Prof. Walmor Cardoso Godoi

ONDAS EM CORDAS

1) Título: Relação entre força de tração e comprimento de onda e força de tração e densidade linear

2) Objetivo: Por meio das medições e observações relacionar as grandezas físicas em fenômenos que acontecem

com ondas em cordas.

3) Procedimentos:

1. Fixar no equipamento o barbante com o fio mais fino.

2. Aplicar no dinamômetro uma força de tração igual a 0,30N (só para esticar um pouco a corda!).

3. Ligar o equipamento deixando vibrar em uma frequência que pode ser próxima a máxima ou pode ser a máxima.

Manter a frequência constante durante o experimento que envolve as questões de 1 a 25.

4. Ajustar o dinamômetro movimentando para cima ou para baixo até encontrar o primeiro modo de vibração.

5. Medir a intensidade da força aplicada no barbante e anotar na tabela abaixo.

6. Com uma trena medir o comprimento de onda e anotar na tabela abaixo

Tabela 1 – Relação das grandezas envolvidas nas atividades de 1 a 25.

No de nós No de ventres F(N) λ(m) λ2 (m2) F / λ2

1° -

2° -

3o -

4o -

7. Movimentar o dinamômetro para baixo diminuindo a intensidade da força aplicada e encontrar o segundo modo

de vibração da onda estacionária.

8. Medir a intensidade da força aplicada no barbante e anotar na tabela acima.

9. Com uma trena medir o comprimento de onda e anotar na tabela acima.

10. Movimentar o dinamômetro para baixo diminuindo a intensidade da força aplicada e encontrar o terceiro modo

de vibração da onda estacionária.



13. Movimentar o dinamômetro para baixo diminuindo a intensidade da força aplicada e encontrar o quarto modo de

vibração da onda estacionária.



16. Calcular a razão entre a força de tração e o comprimento onda ao quadrado.

17. Fazer um gráfico F x λ (força de tração em função do comprimento de onda).

18. Qual é o tipo do gráfico encontrado? ______________________________________ ____________________________.

19. Fazer um gráfico F x λ2, força de tração em função do comprimento de onda ao quadrado.

20. Como é o aspecto do gráfico encontrado? _____________________________________ ____________________________

21. Observando os gráficos acima concluímos que a força de tração é diretamente proporcional ______________________ do

comprimento de onda.

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Departamento de Física - DAFIS FÍSICA EXPERIMENTAL 1 – ROTEIRO DE LABORATÓRIO

b)Relação entre força de tração (F) e a densidade linear (µ).

1. Fixar no equipamento o barbante mais fino.

2. Ligar o equipamento deixando vibrar com a frequência máxima ou próxima dela.

3. Ajustar o dinamômetro movimentando para cima ou para baixo até encontrar o segundo modo de vibração. Feito

o ajuste, manter constante a frequência e o comprimento de onda. Anotar na tabela abaixo a intensidade da força

de tração.

4. No experimento vamos apenas analisar a relação de proporcionalidade entre a força de tração e a densidade linear.

Considerar o seguinte:

µ (kg/m) λ(m) F(N) F/µ

5. Desligar o aparelho sem modificar a frequência trocar o barbante de um fio pelo barbante de espessura média.

6. Ligar o aparelho e ajustar o dinamômetro movimentando para cima ou para baixo até encontrar o segundo modo

de vibração, Anotar na tabela acima a intensidade da força de tração.

7. Repetir os procedimentos acima para o terceiro barbante e completar a tabela acima.

8. Fazer um esboço do gráfico F x µ, força de tração em função da densidade linear.

9. Qual é o aspecto do gráfico encontrado? ___________________________________________________

10. Observando os gráficos acima concluímos que a força de tração é ______________________ (diretamente/ inversamente)

proporcional a _____________________________________________________ .

11. Calcule as frequências obtidas para o 1º, 2º, 3º e 4º harmônico.

Harmônico Frequência de ressonância (Hz)

1º

2º

3º

4º



FÍSICA 2 – ROTEIRO DE LABORATÓRIO

1

Nome:..........................................................Nome:........................................................

Nome:..........................................................Nome:........................................................

Nome:.......................................................... TURMA: ( ) S51 ( )S52

PRÁTICA 04 – ONDULAÇÃO ESTACIONÁRIA LONGITUDINAL

OBJETIVO: Determinação da velocidade v de propagação do som no ar à

temperatura ambiente, mediante freqüência conhecida e ressonância em uma

coluna de ar.

MATERIAL UTILIZADO:

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

PROCEDIMENTO:

1– Coloque o diapasão vibrar na extremidade aberta do tubo e determine os

comprimentos da coluna de ar L1, L3, L5 e L7 onde ocorre ressonância, mediante

ajuste do fundo do tubo. Anote o valor da freqüência f0 do diapasão.

2 – Faça várias medidas de temperatura (pelo menos 05) durante a prática e

determine o valor médio da temperatura ambiente, Tamb, em kelvins ( K ).

DADOS, CÁLCULOS E RESULTADOS:

1 – Apresente os valores de f0, L1, L3, L5, L7 e Tamb.



FÍSICA 2 – ROTEIRO DE LABORATÓRIO

2

2 – Determine o comprimento de onda 0 da onda estacionária que se estabelece

no tubo, através de L3 – L1, L5 – L3 e de L7 – L5 . Calcule o valor médio 0 .

3 – Determine a velocidade da onda v através dos dados experimentais acima e a

velocidade da onda v’ utilizando Tamb . Compare v com v’.

Estudo Dirigido de Física Experimental 1

1. A notação científica facil

lembrando de manter o mesmo número de algarismos significativos.

a) 123,89 km3 para mm

b) 1,576 cm2 para hm

c) 1,3 km/h para mm/s

d) 5,14 cm para m

e) 0,02 g para kg

f) 2,001 kg/m3 para g/cm

2. Na tabela abaixo alguns exemplos de medidas. Diga a quantidade de algarismos

significativos em cada uma.

1,9764 x 10

4,00000 x 10

3. Considere as seguintes medidas: 0,001 m

0,0034 dm2

; 12,00 mm

unidades das medidas para as seguintes unidades: km

cm2, mm

2, µm

2, e nm

4. Considere as seguintes medidas: 0,01 mm

107 nm

3 ; 9,99 x 10

105 dam

3 . Transforme as unidades das

km3, hm

3, dam

3, m

notação científica.

5. Para as figuras de réguas

Estudo Dirigido de Física Experimental 1 – 1ª FASE

A notação científica facilita a transformação de unidades. Faça as transformações

lembrando de manter o mesmo número de algarismos significativos.

mm3

para hm2 (lembrando que h é o prefixo de 102)

1,3 km/h para mm/s

para g/cm3

Na tabela abaixo alguns exemplos de medidas. Diga a quantidade de algarismos

significativos em cada uma.

Medida Número de Algarismos

Significativos

7 x 10 km

0,000005 ohms

0,0013 A

66 x 1011 anos

0,0450 mm

0,0001540 K-1

0,0001540 K-1 35,40 g

9,8067 m/s2

1,9764 x 10-23 átomos de Na

15000 s

4,00000 x 10-3 eV/C

seguintes medidas: 0,001 m2

; 9,876 km2

; 12,00 mm2

; 1,03 x 10-2

dam2

; 16 hm2

. Transforme as

unidades das medidas para as seguintes unidades: km2, hm

2, dam

, e nm2, e escreva o resultado em notação científica.

Considere as seguintes medidas: 0,01 mm3

; 1,678 x 10-4

km

; 9,99 x 10-1

cm3

; 1,00000 x 10-5

m3

; 0,000002 dm

. Transforme as unidades das medidas para as seguintes unidades:

, m3, dm

3, cm

3, mm

3, µm

3, e nm

3, e escreva o resultado em

de réguas abaixo, faça a leitura da medida..

. Faça as transformações

Na tabela abaixo alguns exemplos de medidas. Diga a quantidade de algarismos

2 ; 97,3 cm

2 ;

. Transforme as

, dam2, m

2, dm

2,

a o resultado em notação científica.

km3

; 7,005 x

; 0,000002 dm3

; 1,093 x

medidas para as seguintes unidades:

, e escreva o resultado em

a) Leitura: ______±_____ cm

b) Leitura: ______±_____ m

c) Leitura: ______±_____ mm

d) Leitura: ______±_____ m

6. Nas medidas abaixo, faça os arredondamentos de acordo com o número de

algarismos significativos (A. S.) solicitados.

a. 1,55500 Wb/m2 ........................ ______ Wb/m

2 ( 3 A.S.)

b. 0,00355 cal/g ............................ ______ cal/g ( 2 A.S.)

c. 129,500 g/s ............................... ______ g/s ( 3 A.S.)

d. 1,9500 dyn/cm2 ........................ ______ dyn/cm

2 ( 2 A.S.)

e. 26500 m ....................................... ______m ( 2 A.S.)

f. 28,500 J ....................................... _______ J ( 2 A.S.)

g. 0,0004500 N.m ............................ _______N.m (1 A.S.)

h. 9,50000 C/g .................................. ______C/g ( 1 A.S.)

7. A relação entre a altura h atingida por um líquido em um tubo capilar vertical,

e o raio r do tubo, é dada por: h = 2 / (µµµµgr), onde é a tensão superficial

do líquido, µ sua massa específica, e g a aceleração da gravidade. Determine a

altura atingida pelo álcool em um capilar com 0,40 mm de raio, dado que =

22,3 x 10-5

N/cm, µ = 0,7894 g/cm³ e g = 9,8066 m/s².

8. Reescreva cada uma das seguintes medidas na sua forma mais apropriada

a) = 8,123456 ± 0,0312m/s

b) = 3,1234 × 10 ± 2m

c) = 5,6789 × 10 ± 3 × 10kg

9. Considere que a medição do comprimento L de objetos idênticos, realizada

por um grupo de alunos com o auxílio de uma régua centimetrada, forneceu

as seguintes leituras abaixo. Calcule a) média aritmética das medidas , b) o

desvio padrão das medidas e c) Forneça o valor de L com o erro combinado

(instrumental e estatístico): = ±

i Li (cm)

i Li (cm)

i Li (cm)

i Li (cm)

i Li (cm)

1 241,0 11 240,8 21 241,1 31 240,9 41 240,7

2 241,2 12 240,9 22 241,1 32 241,0 42 240,8

3 241,3 13 241,4 23 241,6 33 240,7 43 241,0

4 240,6 14 241,2 24 240,9 34 240,8 44 241,0

5 241,3 15 241,1 25 241,2 35 241,1 45 240,9

6 241,7 16 240,4 26 240,5 36 241,0 46 241,3

7 241,1 17 241,3 27 240,7 37 241,5 47 240,9

8 240,9 18 241,5 28 240,8 38 240,6 48 241,2

9 240,5 19 240,7 29 241,4 39 241,2 49 241,1

10 240,8 20 241,0 30 241,0 40 241,4 50 240,6

10. Os números anotados na tabela referem-se às medidas do comprimento de

tiras de papel.

L(cm) 13,72 13,70 13,69 13,73 13,74 13,72 13,73 13,72 13,73 13,74 13,71

Calcule (a) o valor médio do comprimento, (b) o desvio padrão, e (c) o erro

combinado e (d)o erro percentual, considerando que o valor tabelado para a amostra

é 13,70 cm

11. Canetas esferográficas idênticas foram medidas por um grupo de alunos com

o auxílio de uma régua milimetrada. O comprimento L de cada uma delas

forneceu as seguintes leituras:

L (mm) 140,2 140,3 140,1 140,3 140,1 139,8 140,0 140,5 140,4 140,0 140,2

140,1 140,3 139,7 140,1 139,8 140,2 139,9 139,8 139,7 139,7 140,0

Calcule (a) o valor mais provável do comprimento (média), (b) o desvio padrão da

medida. (d) Escreva o resultado da medida no formato adequado para um relatório.

12. Usando os dados abaixo, calcule com o respectivo desvio (lembre-se de

utilizar propagação de erro),

a. a área do triângulo: b = (1,00 ± 0,11 mm e h = (1,24 ± 0,02) mm;

b. a área do retângulo: a = (7,48 ± 0,24) km e b = (1,34 ± 0,08) km;

c. o volume do cilindro: D = (2,31 ± 0,09) cm e L = (7,50 ± 0,02) cm;

d. o volume da esfera: D = (9,10 ± 0,03) cm;

e. a área do disco: D = (6,18 ± 0,05) cm;

13. Em um experimento de dilatação volumétrica mediu-se o volume (V) de uma esfera

para várias temperaturas (T), obtendo-se uma tabela de valores de V e de T, cujos

dados foram anotados na tabela abaixo.

V (10-9 m3) 64,1 80,7 97,8 114,9 138,0 162,5 195,0 223,3 260,0

T (oC) 60,00 65,00 70,00 75,00 80,00 85,00 90,00 95,00 100,00

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Construa o gráfico de V x T em papel milimetrado. Cada par de valores (Ti ; Vi), onde i

é o índice que indica a ordem da medida (i = 1,2,3,..., 9), deve ser representado por

um ponto em um gráfico cartesiano do tipo y versus x, ou V versus T, pois o volume

da esfera é dependente da temperatura. Nota-se na própria tabela, que à medida que

a temperatura aumenta, o volume da esfera dilata-se, como consequência.

14. Observou-se o movimento de um bloco que desce deslizando um plano inclinado.

Obteve-se um conjunto de medidas da velocidade e do tempo, que foram anotados

na tabela abaixo. Construa o gráfico em papel milimetrado e a partir do gráfico

encontre o coeficiente angular (o que representa?).

v (10-3 m/s) 105,0 150,0 240,0 290,0 340,0 430,0 500,0

t (10-2 s) 1,00 2,50 6,00 8,00 10,00 13,50 16,00

15. Considere que foram realizadas medidas do movimento retilíneo de um móvel que

se desloca ao longo de uma estrada. Obteve-se um conjunto de valores de sua

posição e do tempo, que foram anotados na tabela abaixo. Construa o gráfico em

papel milimetrado. Linearize o gráfico e a partir do gráfico encontre a aceleração.

x ( m ) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0

t ( s ) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00

Obs.: Note que a curva traçada não é uma reta. A curva obtida nesse gráfico é uma

parábola, e obedece a uma equação geral do tipo: y(x) = a2x² + a1x + a0 , onde os

coeficientes são constantes, e no caso, a1 = 0. Portanto, a curva representada no

gráfico pode ser representada pela equação: x(t) = αt2 + β, onde os coeficientes α e β

são constantes.

16. Num experimento sobre MRUV, um grupo de alunos obteve os seguintes

dados:

x (m) 8,0 61,0 200,0 317,0 402,0

t (s) 2,0 8,0 15,0 18,0 20,0

(a) Faça o gráfico “x(t) versus t” em papel milimetrado. Observe o tipo de curva

obtida.

(b) Faça a curva “ x(t) versus t2 ” para linearizá-lo.

(c) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida.

(d) Escreva a equação para x(t), ajustada aos coeficientes calculados.

17. Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: y(x)

= axn

y (litro) 3,21 5,31 8,23 15,00 26,10 53,80

x (h) 1,69 4,93 10,97 28,47 88,83 288,00

(a) Faça um gráfico “y(x) versus x” em papel milimetrado. Observe que a curva

obtida não é linear.

(b) Para linearizá-la, faça o gráfico “log(y) versus log(x)” em papel milimetrado.

(c) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. (d) Faça o gráfico “y(x)

versus x” em papel di-log.

(e) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida.

(f) Compare os resultados obtidos para as constantes a e n, nos dois tipos de

papéis.

18. Os dados tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: y(x) = aebx

.

y (mC) 2410 826 419 348 104 22

x (s) 1,37 3,39 4,57 4,71 7,02 9,48

(a) Trace um gráfico “y(x) versus x” em papel milimetrado. Note que não é linear.

(b) Para linearizá-la, faça o gráfico “ln(y) versus x” em papel milimetrado.

(c) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida. (d) Faça o gráfico “y(x)

versus x” em papel mono-log.

(e) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida.

(f) Compare os resultados obtidos para as constantes a e b, nos dois tipos de

papéis.

19. Faça a leitura das medidas do paquímetro

20. Qual a resolução dos paquímetros do ex. 18?

21. Faça a leitura das medidas do paquímetro.

1ª. Prova Física

Prof. Dr. Ricardo F. da Silva - Valor:

Nome:_______________________________Turma:____________Data:___/___/_____ ORIENTAÇÕES: - Não será aceito apenas uma resposta numérica sem os devidos - Os gráficos deverão possuir legendas, unidades e título.- É permitido o uso de calculadoras programáveis ou não, bem como uma folha trazidsolução da prova. - É estritamente proibido o uso de celulares, durante toda a prova. A troca de materiais (borracha, calculadoras,

1) (1,0 Pontos) Descreva a leitura das medidas das réguas abaixo

2) (Valor: 2,0 pontos) Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo:

A = A0e-(bt/2m). Esses dados são da amplitude de amortecimento e o tempo

desse amortecimento. Com A

A 20,00

t 41,75

Obtenha a constante de amortecimento do arnecessários e TABELAS criadas. 3) (Valor: 1,0 ponto) Os números anotados na tabela referem

de bastões de alumínio feitas com u

L (cm) 10,45 10,30 10,40

Calcule (a) o valor médio do comprimento (em cm), (b) o desvio padrão (em cm)medida com a incerteza (considere o erro combinado)

4) (Valor: 2,0 pontos) Em um experiento de

dados:

Prova Física Experimental 01 – UTFPR

alor: 10,0 pontos (peso 35%)

Nome:_______________________________Turma:____________Data:___/___/_____

Não será aceito apenas uma resposta numérica sem os devidos raciocínios ou cálculos matemáticos correspondentes.Os gráficos deverão possuir legendas, unidades e título. É permitido o uso de calculadoras programáveis ou não, bem como uma folha trazida pelo aluno com anotações para auxiliar a

É estritamente proibido o uso de celulares, smartphones, tablets e computadores que devem permanecer desligados e guardados A troca de materiais (borracha, calculadoras, etc.) não é permitida.

(1,0 Pontos) Descreva a leitura das medidas das réguas abaixo

Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: . Esses dados são da amplitude de amortecimento e o tempo

Com A0 = 25 cm e m = 248,10 g

16,00 12,00 8,00 4,00

82,95 135,18 206,34 331,15

de amortecimento do ar b GRAFICAMENTE. Apresente TODOS os cálculos criadas.

(Valor: 1,0 ponto) Os números anotados na tabela referem-se às medidas do comprimento feitas com uma régua.

10,50 10,65 10,21 10,47 10,32 10,28

comprimento (em cm), (b) o desvio padrão (em cm)medida com a incerteza (considere o erro combinado)

Em um experiento de MRUV, um grupo de alunos obteve os seguintes

Nome:_______________________________Turma:____________Data:___/___/_____

correspondentes.

a pelo aluno com anotações para auxiliar a

e computadores que devem permanecer desligados e guardados

Os dados abaixo tabelados estão relacionados por uma equação do tipo: . Esses dados são da amplitude de amortecimento e o tempo para ocorrencia

esente TODOS os cálculos

se às medidas do comprimento

10,82 10,63

comprimento (em cm), (b) o desvio padrão (em cm) e (c) apresente a

, um grupo de alunos obteve os seguintes

Obtenha a aceleração do objeto GRAFICAMENTE. Apresente TODOS os cálculos necessários e TABELAS criadas. Esse objeto partiu do repouso, ou possuia alguma velocidade inicial? 5) (Valor: 1,0 pontos) A relação entre a altura h atingida por um líquido em um tubo capilar vertical, e

o raio r do tubo, é dada por: h = 2.δ / (µ.g.r), onde δ é a tensão superficial do líquido, µ sua massa específica, e g a aceleração da gravidade. Determine a altura atingida pelo álcool em um capilar com

0,40 mm de raio, dado que δ = 22,3 x 10-5

N/cm, µ = 0,7894 g/cm³ e g = 9,8066 m/s².

6) (Valor: 1,5 pontos) As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os resultados estão colocados na tabela abaixo.

massa (g) largura (cm) comprimento (cm) 4,51 4,43 21,0 21,1 30,2 29,8 4,46 4,41 21,2 20,9 29,8 30,1 4,56 4,56 20,8 20,8 29,9 29,9 4,61 4,61 21,1 20,7 30,1 29,9

Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine: a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha. b) o desvio padrão das medidas da massa, comprimento e largura da folha.

7) (Valor: 1,5 pontos) Utilizando os resultados do exercício 3 e a teoria de propagação de erros,

determine: a) a área da folha e seu respectivo erro b) densidade superficial da folha e seu respectivo erro.

ALGUMAS FÓRMULAS e

= . + .

+⋯+ .

= +

= ∑ − ! " − 1

= ∑ !"

CO

NST

RUÇ

ÃO

DE

GRÁ

FIC

OS

Físi

ca E

xper

imen

tal 0

1

Grá

fico

em p

ap

el m

ilim

etra

do

Atr

avé

sd

oex

emp

loa

ba

ixo,

veja

mos

com

ose

cons

trói

umg

ráfico

,usa

ndo

op

ap

elm

ilim

etra

do.

V (

10

-9m

3 )6

4,1

80

,79

7,8

11

4,9

13

8,0

16

2,5

19

5,0

22

3,3

26

0,0

T(0 C

)6

0,0

06

5,0

07

0,0

07

5,0

08

0,0

08

5,0

09

0,0

09

5,0

01

00

,00

Coe

fici

ente

de

Cor

rela

ção

de

Pea

rson

Este

coe

fici

ente

pod

e va

ria

r d

e -1

a +

1 e

mos

tra

a

inte

nsid

ad

e da

rel

açã

o lin

ear

entr

e as

dua

s va

riá

veis e

stud

ad

as.

1.

1

1.

1

2

1

2

1

n

yy

n

xx

n

yy

xx

rn i

i

n ii

n ii

i

O Q

uad

rad

o d

a c

orre

laçã

o R2

Mos

tra

o p

erce

ntua

l da v

ariâ

ncia

de

uma

das

variá

veis q

ue p

ode

ser

explic

ado

a p

art

ir d

o va

lor

da o

utra

(co

efic

ient

e d

e det

erm

ina

ção)

.

22

rR

Line

ariz

açã

o

Con

sid

ere

que

for

am

rea

liza

da

s m

edid

as

do

mov

imen

to r

etilí

neo

de

um m

óvel

que

se

des

loca

ao

long

o de

uma

est

rada

. Ob

teve

-se

um c

onju

nto

de

valo

res

de

sua

pos

içã

o e

do

tem

po,

que

for

am

a

nota

dos

na

ta

bel

a a

ba

ixo.

X(m

)5

8,0

84

,01

05

,01

50

,01

88

,02

40

,0

t(s)

5,2

57

,00

8,0

01

0,0

01

1,5

01

3,0

0

Line

ariz

açã

o

A c

urva

ob

tida n

esse

grá

fico

é u

ma

pa

ráb

ola

, e

obed

ece

a u

ma

equa

ção

gera

l do

tipo:

y(x)

= a

2x²

+ a

1x

+ a

0, n

o ca

so

x(t)

= ε

t2 +

γ,

onde

os

coef

icie

ntes

εe γ

são

cons

tant

es.

Com

o d

eter

min

ar

grá

fica

men

te a

s co

nsta

ntes

εe γ

?

Usa

ndo

a téc

nica

da

line

ariza

ção.

Line

ariz

açã

o

Com

para

ção

com

a e

quaç

ão r

eduz

ida

da r

eta

x(t) =

εt2

+ γ

y'(x

') =

a'x

' + b

'. O

bte

mos

, x(

t) =

y'(x

');

ε =

a';

t² =

x';

γ =

b'

Sabem

os q

ue o

grá

fico

“ y

'(x')

vers

us x

' ” é

um

a r

eta

.

x(t)

ver

sus

t ⇒gr

áfic

o nã

o lin

ear

y'(x

') v

ersu

s x'

⇒x(

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ersu

s t²

⇒gr

áfic

olin

ear

Line

ariz

açã

o

Cál

culo

da

nova

tabe

la

X(m

)5

8,0

84

,01

05

,01

50

,01

88

,02

40

,0

t(s)

5,2

57

,00

8,0

01

0,0

01

1,5

01

3,0

0

t2 (s2 )

27

,64

9,0

64

,01

00

,01

32

,21

69

,0

Line

ariz

açã

o

Equa

ção

do

Fenô

men

o Fí

sico

Grá

fico

Não

lin

ear

Grá

fico

Lin

eari

zado

Y(x)

=cx

2+

dY

vers

us x

Y ve

rsus

x2

Y(x)

=cx

1/2

+d

Y ve

rsus

xY

vers

us x

1/2

Y(x)

=cx

-1+

dY

vers

us x

Y ve

rsus

x-1

Y(x)

=cx

3+

dY

vers

us x

Y ve

rsus

x3

Y(x)

=c(

cos(

x))+

dY

vers

us x

Y ve

rsus

cos

(x)

Y(x)

=c(

ln(x

))+d

Y ve

rsus

xY

vers

us ln

(x)

Y(x)

=c(

log(

x))+

dY

vers

us x

Y ve

rsus

log(

x)

Y(x)

=ce

x +d

Y ve

rsus

xY

vers

us e

x

Y(x)

=cx

n +d

Y ve

rsus

xY

vers

us x

n

Exer

cíci

o

Num

exp

erim

ento

sob

re M

RUV,

um

gru

po

de

alu

nos

obte

ve o

s se

gui

ntes

dad

os:

X(m

)8

,06

1,0

20

0,0

31

7,0

40

2,0

t(s)

2,0

8,0

15

,01

8,0

20

,0

(a) F

aça

o gr

áfic

o “x

(t) v

ersu

s t”

em

pap

el m

ilim

etra

do.

(b) F

aça

a cu

rva

“ x(

t) ve

rsus

t2 ”

para

line

ariz

á-l

o.

(c)

Det

erm

ine

os c

oefi

cien

tes a

ngul

ar e

line

ar d

a re

ta o

btid

a.

(d) E

scre

va a

equ

ação

par

a x(

t), a

just

ada

aos

coef

icie

ntes

ca

lcul

ados

. (e

) Cal

cule

o c

oefi

cien

te d

e de

term

inaç

ão p

ara

os d

ados

ob

tidos

CRIT

ÉRIO

S DE

AV

ALIA

ÇÃO

DO

S RE

LATÓ

RIO

S TÉ

CNIC

OS

Físi

ca E

xper

imen

tal 0

1

Tod

osos

rela

tório

sin

icia

rão

aco

rreç

ãoco

mno

ta10

,0;

Par

aca

dacr

itério

desc

rito

post

erio

rmen

te,

háum

valo

rde

pont

osde

scon

tado

spe

lonã

ocu

mpr

imen

to.

GERA

L

Pad

rão

disp

onív

elna

pági

nape

ssoa

ldo

prof

esso

r

Fon

tear

ial1

2(-

0,2)

Var

redu

raco

mco

rret

oror

togr

áfic

o(-

0,5)

Títu

los

e/ou

subt

ítulo

sal

inha

dos

aes

quer

da(-

0,2)

Máx

imo

10la

udas

–En

tre

aIn

trod

ução

eas

Conc

lusõ

es(-

0,2

cada

laud

aex

cede

nte)

FORM

ATAÇ

ÃOT

exto

Just

ifica

do(-

0,2)

Fig

uras

ele

gend

asce

ntra

lizad

as(-

0,2)

Fig

uras

legí

veis

(-0,

5)

Tab

elas

ele

gend

asce

ntra

lizad

as(-

0,2)

Cap

ae

Cont

raCa

pa(-

0,2)

FORM

ATAÇ

ÃO

Res

umo

(-0,

5)

Sum

ário

(-0,

2)

Intr

oduç

ão(-

0,5)

Fun

dam

enta

ção

teór

ica

(-0,

5)

Cont

eúdo

Pro

cedi

men

toex

perim

enta

l(-1

,5)

Res

ulta

dos

eDi

scus

sões

(-2,

5)

Con

clus

ões

(-1,

0)

Bib

liogr

afia

(-0,

5)

Cont

eúdo

Dad

osap

rese

ntad

osco

ma

quan

tidad

eco

rret

ade

alga

rism

ossi

gnifi

cativ

os(-

0,1

cada

)

Res

ulta

dos

apre

sent

ados

com

aqu

antid

ade

corr

eta

deal

garis

mos

sign

ifica

tivos

(-1,

0ca

da)

Dad

osar

redo

ndad

osde

form

aco

rret

a(-

0,1

cada

)

Res

ulta

dos

arre

dond

ados

defo

rma

corr

eta

(-1,

0ca

da)

Dad

os e

Resu

ltado

s Ex

perim

enta

isC

omtít

ulo

(-0,

2)

Com

lege

nda

(-0,

2)

Com

eixo

sno

mea

dos

(-0,

2)

Gráf

icos

Com

grad

e(-

0,2)

Lin

hade

tend

ênci

a(-

1,5)

Alg

aris

mos

sign

ifica

tivos

(-0,

5)

Gráf

icos

Com

títul

o(-

0,2)

Com

lege

nda

(-0,

2)

Tabe

las

Esc

rita

com

oeq

uatio

nou

sim

ilar(

-0,5

cada

)

Cen

tral

izad

ae

num

erad

a(-

0,2

cada

)

Cad

ava

riáve

ldev

ese

rde

finid

aab

aixo

daeq

uaçã

o(-

0,1

cada

)

Equa

ções

Res

ulta

dos

sem

disc

ussõ

esnã

ote

mva

lidad

e,po

rtan

tose

ogr

upo

apen

asap

rese

ntar

osre

sulta

dos

perd

eto

dos

os2,

5po

ntos

doco

nteú

do(R

esul

tado

se

Disc

ussõ

es)

Os

gráf

icos

que

estiv

erem

com

os“p

onto

slig

ados

”pe

rdem

todo

sos

2,8

pont

ospr

evis

tos

em(G

ráfic

os)

GERA

L

Med

idas

e E

rros

Ser

á po

ssív

el o

bter

o v

alor

verd

adei

ro p

or m

eio

de u

ma

med

ida?

NÃ

O.

Sem

pre

exis

tem

lim

itaçõ

es n

as

med

içõe

s ex

perim

enta

is: h

á se

mpr

e um

a in

cert

eza

asso

ciad

a a

cada

m

edid

a ex

perim

enta

l

Med

idas

e E

rros

Err

os d

e m

ediç

ão

Err

os s

iste

mát

icos

:E

sses

err

os o

corr

em s

empr

e e

no m

esm

o se

ntid

o; s

e fo

rem

des

cobe

rtos

pod

em s

er

corr

igid

os o

u el

imin

ados

.

Ex:

Bal

ança

mal

cal

ibra

da, d

efic

iênc

ia d

e fu

nci

on

amen

to,

erro

s d

e o

per

ação

, …

Med

idas

e E

rros

Err

os d

e m

ediç

ão

Err

os a

leat

ório

s:S

ão e

rros

sem

qua

lque

r re

gula

rida

de;

inev

itáve

is;

estim

ativ

as

depe

ndem

de

pess

oa p

ara

pess

oa e

de

med

ição

par

a m

ediç

ão;

tend

em a

anu

lar-

se

num

ele

vado

núm

ero

de m

ediç

ões

.

Ex:

var

iaçõ

es n

o am

bien

te d

o la

bora

tóri

o,

limit

açõ

es d

os

inst

rum

ento

s d

e m

edid

a,…

Med

idas

e E

rros

Err

os d

e m

ediç

ão Boa

pre

cisã

o: b

aixa

dis

pers

ão d

e re

sulta

dos.

Err

os f

ortu

itos

pequ

enos

.E

xist

ênci

a de

err

os s

iste

mát

icos

: re

sulta

do n

ão e

xato

.

Frac

a pr

ecis

ão:

gran

de d

ispe

rsão

de

resu

ltado

s. E

rros

for

tuito

s el

evad

os.

Não

exi

stên

cia

de e

rros

sis

tem

átic

os:

resu

ltado

exa

to.

Frac

a pr

ecis

ão:

gran

de d

ispe

rsão

de

resu

ltado

s. E

rros

for

tuito

s el

evad

os.

Exi

stên

cia

de e

rros

sis

tem

átic

os:

resu

ltado

não

exa

to.

Boa

pre

cisã

o: b

aixa

dis

pers

ão d

e re

sulta

dos.

Err

os f

ortu

itos

pequ

enos

.N

ão e

xist

ênci

a de

err

os s

iste

mát

icos

: re

sulta

do e

xato

.

Med

idas

e E

rros

Dis

tribu

ição

nor

mal

dos

err

os a

leat

ório

s

-Os

erro

s m

enor

es, i

sto

é,

as m

edid

as m

ais

próx

imas

do

valo

r co

rret

o sã

o as

mai

s fr

eque

ntes

.

His

togr

ama

-Os

erro

s te

ndem

a a

nula

r-se

.

-O v

alor

méd

io é

ent

ão o

mai

s di

gno

de c

onfia

nça

Med

idas

e E

rros

Dis

trib

uiçã

o no

rmal

dos

err

os fo

rtuito

sU

m h

isto

gram

a co

m n

úmer

o in

finito

de

med

içõe

s e

larg

ura

de c

olun

a in

finita

men

te p

eque

no te

ria e

ntão

est

a fo

rma.

Pon

to d

e in

flexã

o da

cu

rva

s1

)(

1

2

n

xx

s

n ii

s =

estim

ativ

a do

des

vio

padr

ão (s

):

Med

idas

e E

rros

Dis

trib

uiçã

o no

rmal

dos

err

os fo

rtuito

sQ

ue s

igni

ficad

o te

m e

ntão

o d

esvi

o pa

drão

?

-med

e a

prec

isão

dos

res

ulta

dos

Des

vio

padr

ão r

elat

ivo:

RS

D =

(s/m

)x10

0%

-apr

oxim

adam

ente

68%

dos

val

ores

es

tão

com

pree

ndid

os n

o in

terv

alo m±

1s

-apr

oxim

adam

ente

95%

dos

val

ores

es

tão

com

pree

ndid

os n

o in

terv

alo m±

2s

Med

idas

e E

rros

PR

OB

LEM

A :

Par

ase

dete

rmin

aro

pHde

uma

solu

ção

tam

pão

fora

mef

ectu

adas

7m

ediç

ões

que

forn

ecer

amos

segu

inte

sre

sulta

dos:

5,12

5,20

5,15

5,17

5,16

5,19

5,15

Cal

cule

:

a)a

méd

iab)

ode

svio

padr

ão

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

01

23

45

cm

Qua

nto

med

e a

barr

a ci

nza?

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

01

23

45

cm

4,93

8 cm

5,0

cm4,

94 c

m4,

93 c

mLe

itura

s co

rret

as e

ntre

out

ras

poss

ívei

s

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

01

23

45

cm

4,9

cm4,

90 c

m

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

01

23

45

cm

5 cm

5,00

cm

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

Alg

aris

mos

sig

nific

ativ

os: s

ão

aque

les

a qu

e é

poss

ível

atri

buir

um

sign

ifica

do fí

sico

con

cret

o.

4,94

cm

O a

lgar

ism

o ob

tido

por

estim

ativ

a ta

mbé

m s

e co

nsid

era

sign

ifica

tivo

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

Alg

aris

mos

sig

nific

ativ

os: a

o ef

etua

r m

udan

ças

de u

nida

des

o nú

mer

o de

al

g.si

gnifi

cativ

os n

ão s

e al

tera

m:

4,94

cm

= 0

,049

4 m

Os

zero

s po

sici

onad

os à

esq

uerd

a do

núm

ero

não

são

cont

ados

com

o al

garis

mos

sig

nific

ativ

os

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

os

Alg

aris

mos

sig

nific

ativ

os: a

o ef

etua

r m

udan

ças

de u

nida

des

o nú

mer

o de

al

g.si

gnifi

cativ

os n

ão s

e al

tera

:

494

m =

494

x103

mm

A m

udan

ça p

ara

uma

unid

ade

men

or n

ão p

ode

aum

enta

r o

núm

ero

de a

lg.

sign

ifica

tivos

. U

so d

e po

tênc

ias

de 1

0.

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

osE

XE

RC

ÍCIO

: Q

ual o

núm

ero

de a

lgar

ism

os

sign

ifica

tivos

das

seg

uint

es m

edid

as?:

0,00

56 g

10,2

ºC

5,60

0 x

10-4

g

1,23

00 g

/cm

3

2

Núm

. Alg

. Sig

nific

ativ

os

3 4 5

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

osS

oma

ou s

ubtra

ção

de d

uas

med

idas

:

4,32

cm

+ 2

,1 c

m3

= ?

4,32

cm

+ 2

,1 c

m =

?4,

32 c

m+

2,1

cm

6,42

cm

Res

ulta

do:

6,4

cm(6

,42

arre

dond

a pa

ra 6

,4)

(reg

ra d

a m

enor

cas

a de

cim

al)

Med

idas

e E

rros

Alg

aris

mos

Sig

nific

ativ

osA

rred

onda

men

tos:

4,56

arr

edon

dado

às

déci

mas

: 4,6

4,

54 a

rred

onda

do à

s dé

cim

as: 4

,5

4,55

arr

edon

dado

às

déci

mas

: (d

epen

de d

o cr

itério

)

Com

o o

alga

rism

o qu

e o

prec

ede

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CARACTERÍSTICAS CONCEITUAIS BÁSICAS DA FÍSICA CLÁSSICA

(NOTAS DE AULA)

SILVIO SENO CHIBENI

Departamento de Filosofia - IFCH - UNICAMP

Faremos aqui uma exposição simplificada de algumas características conceituais mais importantes comuns às teorias fundamentais da física clássica, ou seja, a mecânica newtoniana e o eletromagnetismo, características estas que formam o núcleo da visão física do mundo aceita até as primeiras décadas do século XX.

A mecânica clássica assumiu sua estrutura físico-conceitual definitiva na magistral obra de Isaac Newton publicada em 1687, os Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Essa teoria mecânica representou a primeira tentativa bem sucedida do homem em tratar quantitativamente e de forma abrangente os fenômenos do movimento dos corpos em geral, sendo que até hoje encontra amplo campo de aplicação.

Toda a mecânica newtoniana gira em torno de três leis dinâmicas fundamentais, que permitem calcular a evolução do estado de um sistema mecânico a partir das forças que agem sobre ele em cada instante. Para um corpo “pequeno” (“partícula”), esse estado é especificado por sua posição e seu momentum (massa vezes velocidade). Um corpo “grande” pode ser conceitualmente dividido em “partículas”, de modo que o seu estado se caracteriza pela especificação das posições e momenta de cada uma das “partículas” que o compõem. Assim, conhecidas a massa, a posição e a velocidade de uma partícula em um dado instante inicial, as leis dinâmicas de Newton permitem prever sua posição e velocidade em um instante posterior qualquer, se forem especificadas as forças que atuam sobre ela durante esse intervalo de tempo.

Uma das tarefas mais importantes na física clássica era a determinação das expressões matemáticas que dão o valor da força que age sobre um corpo em função de parâmetros diretamente acessíveis à observação, como as massas, posições e velocidades de outros corpos. O próprio Newton encontrou, como é bem sabido, a forma matemática da força de atração gravitacional, uma contribuição valiosa, dada a onipresença dessa força.

Esquematicamente, podemos representar assim o modus operandi básico da mecânica newtoniana:

Leis de Newton, forças

x0, v0 → xt, vt

Figura 1: O modo de operação da mecânica newtoniana.

Neste ponto já podemos destacar uma das características fundamentais da mecânica newtoniana: a evolução do estado de um sistema é completamente determinista: os estados futuros são precisamente determinados pelo estado presente. Assim, se dispuséssemos de um conhecimento completo do estado do Universo (posição e momentum de cada uma de suas

2

partes) em um dado instante, poderíamos em princípio calcular toda a sua evolução futura (bem como o seu passado). Segundo a física newtoniana tudo funciona como uma grande máquina. Todas as demais teorias básicas da física clássica também são deterministas.

*

Antes de passarmos ao eletromagnetismo, é importante, para referências posteriores, mencionar brevemente as características essenciais dos fenômenos ondulatórios. (Para uma exposição mais completa desse assunto, consulte-se o livro Conceitos de Física Quântica, de Osvaldo Pessoa Jr.)

Numa primeira aproximação, podemos dizer que, genericamente, ondas são certas configurações espaciais oscilantes de determinadas grandezas pertinentes a sistemas físicos constituídos de um número grande de partículas. Temos, assim, por exemplo, ondas na superfície de um líquido, ondas em cordas esticadas, ondas sonoras no ar, líquidos e sólidos, etc. A figura abaixo representa um tipo simples de onda, a partir do qual podemos definir, de modo simplificado, algumas grandezas ondulatórias básicas:

amplitude velocidade freqüência: f = v/λ

período: T = 1/f

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

λ

comprimento de onda

Figura 2: Ondas

A amplitude de uma onda é a distância máxima de afastamento em relação ao ponto de equilíbrio. O comprimento de onda é o comprimento de uma oscilação completa. A velocidade da onda é a velocidade com a qual uma “crista” se desloca. A freqüência é o número de oscilações efetuadas em uma unidade de tempo. O período é o tempo de duração de uma oscilação completa (sendo pois o inverso da freqüência).

Uma característica importante dos fenômenos ondulatórios usuais é o chamado princípio de superposição: quando duas ondas se cruzam em um mesmo meio, a onda composta é obtida somando-se em cada ponto os deslocamentos que cada uma das ondas nele produziria se estivesse sozinha. Note-se que um deslocamento “para baixo” somado com um deslocamento “para cima” produz um deslocamento menor do que qualquer um deles separadamente; a soma aqui deve levar em conta o “sinal” do deslocamento.

Um fenômeno ondulatório típico é a difração, que é a capacidade que as ondas têm de contornarem obstáculos em seu caminho. A figura 3 ilustra esse fenômeno, em duas situações importantes. As linhas podem ser entendidas como indicando a posição das cristas das ondas. (Para fins de visualização, pode-se imaginar que a figura representa ondas produzidas em um lago, vistas de cima.)

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Figura 3: O fenômeno da difração

Outro fenômeno ondulatório característico é a interferência, que ocorre quando duas ondas de mesmo comprimento de onda se propagam em um mesmo meio. Em virtude do princípio de superposição, serão formadas regiões em que a amplitude da onda resultante é máxima (interferência construtiva) e outras em que é mínima (interferência destrutiva, que pode significar amplitude nula, se as amplitudes das ondas componentes forem exatamente iguais), além de regiões intermediárias. A figura 4 ilustra esse fenômeno. As linhas marcadas por ‘C’ indicam as regiões de interferência construtiva; as marcadas por ‘D’ indicam as regiões de interferência destrutiva. Se na região marcada pela linha vertical AB forem colocados medidores de intensidade da onda (que, em um ponto, é essencialmente o quadrado do deslocamento máximo naquele ponto), os resultados obtidos poderiam ser expressos no gráfico à direita da figura.

Figura 4: O fenômeno da interferência

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Vejamos agora como essas “marcas registradas” dos fenômenos ondulatórios, ou seja, difração e interferência, nortearam as investigações acerca da natureza da luz. O que aprendermos aqui será também útil em nossas discussões posteriores.

Como na mecânica, também em óptica a primeira teoria digna desse nome foi formulada por Newton, que em 1704 publicou em Inglês a importante obra intitulada Opticks. Essa teoria assume que a luz consiste de feixes de partículas, que se propagam segundo as leis da mecânica. Além do sucesso da recém criada teoria mecânica, a motivação fundamental de tal hipótese residia no fato de que os objetos ordinários projetam sombras nítidas, quando a fonte luminosa tem um tamanho aparente pequeno (como o Sol, visto da Terra, uma vela, colocada a uma certa distância, etc.). Ao tempo de Newton, raciocinava-se que se a luz fosse de natureza ondulatória, isso não ocorreria, observando-se, ao invés, efeitos de difração, que borrariam as sombras. A teoria newtoniana da luz explicava não somente essas observações, mas também os fenômenos de reflexão e refração, bem como a decomposição da luz nas cores do arco-íris.

Antes de Newton, ainda no século XVII, o grande físico holandês Christiaan Huygens havia proposto uma teoria ondulatória da luz, segundo a qual ela consistiria de vibrações de uma substância sutil, a que se chamou “éter luminífero”. Mas a teoria de Huygens não era suficientemente articulada e precisa, e foi logo eclipsada pela teoria corpuscular de Newton, que prevaleceu durante todo o século 18. (As únicas vozes discordantes nesse século foram a de Benjamin Franklin e a do mais famoso matemático da época, o suíço Leonard Euler.)

Tal situação viria a reverter-se a partir do início do século seguinte. Em 1801 o inglês Thomas Young realizou um experimento no qual pôde observar efeitos luminosos com uma configuração típica de interferência. O experimento consistia essencialmente em iluminar com a luz de uma fonte de tamanho aparente pequeno um anteparo contendo dois orifícios diminutos e muito próximos um do outro, como na Figura 4.

Young e o francês Augustin Fresnel elaboraram uma teoria ondulatória da luz que podia explicar qualitativa e quantitativamente o experimento de Young (que naturalmente não podia ser explicado por uma teoria corpuscular), assim como a reflexão e a refração da luz. Explicava ainda por que nas situações ordinárias a luz aparentemente não se difrata, nem interfere (sombras nítidas). Segundo a teoria de Young-Fresnel, os efeitos de difração só são perceptíveis quando as dimensões do objeto (ou buraco) são comparáveis ao comprimento de onda da onda em questão; se forem muito maiores que esse comprimento de onda, a difração ainda ocorre, mas não pode ser detectada sem aparelhos (inexistentes à época). Com base em experimentos auxiliares, essa teoria permitiu calcular o comprimento de onda da luz, como variando entre 0,0001 e 0,001 milímetro, aproximadamente.

Dado seu extraordinário sucesso, a teoria ondulatória da luz reinou absoluta desde Fresnel até as primeiras décadas do presente século. Voltaremos a esse assunto mais tarde. Passemos agora a uma descrição sucinta do eletromagnetismo.

Até a surpreendente descoberta do dinamarquês Hans Christian Oersted em 1820, de que uma corrente elétrica em um fio exerce ação magnética sobre uma bússola em sua proximidade, poucos concebiam a existência de qualquer correlação entre os fenômenos elétricos e magnéticos. (E mesmo a conexão entre os fenômenos galvânicos e de eletricidade estática mal havia sido encontrada.) Essa descoberta de Oersted foi logo seguida por outras não menos importantes, feitas pelo físico inglês Michael Faraday, que mostraram o efeito oposto: pode-se gerar uma corrente elétrica em um circuito movimentando-se ímãs em sua vizinhança (ou produzindo-se correntes elétricas variáveis em um circuito próximo). Os fenômenos elétricos e magnéticos estão, pois, indissociavelmente ligados; passaram, desde então, a constituir um único campo de estudo, o eletromagnetismo.

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Observemos que é sobre tais descobertas e teorias desenvolvidas para explicá-las que repousa grande parte do desenvolvimento tecnológico verificado no final do século XIX e início deste, e que está presente em nosso cotidiano. O fenômeno descoberto por Oersted está na base dos motores elétricos, dos alto-falantes, dos relês, das campainhas, etc.; o descoberto por Faraday é o fenômeno de que depende o funcionamento dos geradores e transformadores de energia elétrica.

Na década de 1860, o físico escocês James Clerk Maxwell sistematizou a descrição teórica dos fenômenos eletromagnéticos. Suas pesquisas culminaram na formulação de quatro equações fundamentais, cuja validade não foi de nenhum modo afetada pelas transformações ocorridas na física em nosso século. Dessas equações Maxwell pôde deduzir a existência de ondas eletromagnéticas, algo completamente fora das cogitações da época, mas que foram confirmadas pelos experimentos realizados por Heinrich Hertz, em 1887. Abriu-se então o caminho para os desenvolvimentos teóricos que levaram ao telégrafo sem fio, ao rádio, à televisão, às microondas, ao radar, etc.

Maxwell pôde também calcular a velocidade de propagação das supostas ondas, e, para seu espanto, verificou que o valor obtido – cerca de 300 000 quilômetros por segundo – era o mesmo da velocidade da luz, encontrado empiricamente por Fizeau, entre outros. Essa coincidência extraordinária sugeria que a luz deveria ser uma forma de onda eletromagnética. Aprofundando suas investigações, Maxwell conseguiu deduzir conexões quantitativas precisas entre os parâmetros ópticos e os parâmetros eletromagnéticos, reduzindo assim a óptica ao eletromagnetismo, domínios até então tidos como completamente independentes.

Antes de prosseguirmos, precisamos ainda tecer algumas considerações sobre dois outros conceitos importantes na física: o de campo e o de átomo.

Tem havido profundas divergências de interpretação em torno do conceito de campo, ao longo da história e em cada época, entre diferentes cientistas e filósofos. Existe, porém, uma interpretação mínima mais imediata, aceita por todos, segundo a qual os campos podem ser tidos como instrumentos matemáticos que facilitam o cálculo das forças que agem sobre um dado corpo. As divergências surgem quando se pergunta se eles são meros instrumentos de cálculo ou algo além disso, e qual a natureza desse algo.

Ilustremos a interpretação instrumentalista dos campos tomando o caso do campo gravitacional. A lei da gravitação universal de Newton descreve a força gravitacional entre duas partículas de massas M e m separadas por uma distância r por meio da expressão F = GMm/r2, onde G é uma constante, conhecida por constante da gravitação universal. (A forma matemática completa dessa expressão inclui ainda a especificação de que a força F atua na direção da linha que une as partículas.)

Consideremos agora uma situação em que seja necessário calcular a força gravitacional exercida por um mesmo corpo (de massa M, digamos) sobre vários outros, como no estudo do movimento dos planetas em torno do Sol. Em todas as expressões que dão as diversas forças aparecerá uma parte comum, que não faz referência às características dos diversos corpos atraídos pelo corpo de massa M, a saber, o fator GM/r2. Multiplicado pelas massas dos vários corpos, esse fator fornece diretamente as forças que o corpo de massa M exerce sobre eles (levando-se em conta, em cada caso, a distância r apropriada). Esse fator só depende de uma propriedade da “fonte” das forças (M) e de um termo espacial (r); pode, pois, ser calculado para todos os pontos do espaço em torno da “fonte”, antes mesmo de se ter em vista um corpo específico que venha a estar presente neste espaço.

Pode-se descrever essa situação alegoricamente dizendo-se que o corpo central de massa M “cria” um “campo de forças” ao seu redor, de intensidade GM/r2 e direção dada pela linha de junção do ponto ao corpo central, e que esse campo age sobre os corpos nele

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colocados. Note-se que em princípio trata-se apenas de uma maneira de expressão; ao invés de se dizer que um corpo exerce uma força sobre um outro, diz-se que ele cria um campo, e que o campo age então sobre o segundo corpo. À primeira vista, esse recurso pode parecer desnecessário, e a rigor isso é verdade; é possível fazer física (clássica, ao menos) sem introduzir-se o conceito de campo. Mas por conveniência de cálculo é muitas vezes preferível trabalhar em termos de campos, como acontece no caso do campo magnético. (Aliás, foi no contexto do eletromagnetismo que a noção de campo foi introduzida, por Faraday.)

O uso freqüente, porém, acabou acostumando os físicos e engenheiros a pensar em campos como coisas substanciais, com existência própria. Essa tendência reforçou-se ainda mais a partir da constatação de dois fatos. Primeiro, obteve-se evidência de que todas as forças da Natureza não agem instantaneamente, gastando um certo tempo para alcançar os corpos distantes. Assim, se pensarmos em termos de campos, podemos imaginar que eles só aos poucos se modificam, em decorrência de alguma alteração ocorrida na fonte, e que os corpos distantes continuam ainda sob a ação do campo local, ainda não afetado pela mudança na fonte.

Depois, no caso específico do campo eletromagnético, a interpretação “substancialista” ganhou ímpeto com a descoberta de dificuldades sérias envolvendo o suposto meio no qual as ondas eletromagnéticas “ondulariam”. Tal meio, o chamado éter, nunca pôde ser detectado experimentalmente; além disso, os cálculos mostram que deveria possuir propriedades estranhas, aparentemente inconciliáveis, como uma extrema rigidez (para dar conta da enorme velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas) e uma extrema rarefação (para possibilitar o livre movimento dos corpos)! Em conseqüência desses problemas, o conceito de éter foi sendo deixado de lado, e começou-se a pensar no campo eletromagnético como algo autônomo e substancial, que não necessita de um “suporte” para existir. Hoje em dia, a interpretação dos campos é objeto de acesos debates, intensificados e complicados com a “quantização dos campos” proposta pela teoria quântica dos campos.

*

A origem do conceito de átomo remonta à Grécia do século 5 a.C., quando Leucipo e Demócrito propuseram que tudo era formado de átomos em movimento no vazio. Aristóteles, porém, logo em seguida se oporia a essa idéia, adotando, em seu lugar, a doutrina dos quatro elementos, de Empédocles, e fornecendo provas da impossibilidade do vazio. As opiniões aristotélicas prevaleceram, e foram aceitas até, pelo menos, o advento da ciência moderna, no século 17. A mecânica newtoniana não continha, ao contrário da aristotélica, nada que contrariasse a teoria atomista, e um contemporâneo ilustre de Newton, Robert Boyle, explicitamente adotou essa teoria (se não no sentido estrito, da existência de partículas indivisíveis, pelo menos no sentido da existência de corpúsculos que se movem no vazio). Com base em tal concepção da estrutura da matéria, Boyle deu início ao desenvolvimento da teoria cinética dos gases, precursora da mecânica estatística.

No século 18, um defensor importante do atomismo foi Antoine Lavoisier, e no início do século seguinte essa doutrina conquistou amplos espaços entre os químicos devido às valiosas contribuições de John Dalton, complementadas pelas de Gay-Lussac e Amadeo Avogadro, entre outros.

Entre os físicos a aceitação da teoria atômica foi mais lenta. O desenvolvimento da mecânica estatística por Maxwell, Boltzmann e Gibbs foi um fator importante nessa aceitação. Ainda no início de nosso século a questão estava em aberto, mesmo entre parte dos químicos. Ficaram famosas naquela época as objeções dos chamados “energeticistas”, liderados pelo famoso químico Wilhelm Ostwald, e de anti-realistas, encabeçados por Ernest Mach, que consideravam os átomos como meros artifícios de cálculo.

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Essa disputa milenar só encontrou termo, pelo menos entre os cientistas, com uma série de eventos desencadeada pela publicação, em 1905, de um artigo da autoria de Einstein, que à época tinha um modesto emprego num escritório de registro de patentes, em Berna. Nesse artigo explicava-se pela primeira vez em termos quantitativos um curioso fenômeno descoberto em 1828 pelo botânico escocês Robert Brown. Brown observou ao microscópio grãos de pólen em suspensão em um líquido, e notou que efetuavam um movimento caótico e incessante. O movimento, que ocorre com qualquer partícula de tamanho reduzido (0,001 milímetro ou menos) suspensa em um fluido (água, ar, etc.), ficou conhecido como movimento browniano, e, embora sem explicação satisfatória, não esteve no centro das atenções dos cientistas até que foi explicado a partir da hipótese atomista por Einstein.

Manejando as equações da mecânica estatística com grande mestria, Einstein pôde mostrar que as flutuações estatísticas no movimento dos átomos eram capazes – contrariamente ao que todos imaginavam – de ocasionar desequilíbrios momentâneos suficientemente grandes na força resultante que eles exercem, por impacto, sobre as partículas brownianas, para produzir os movimentos observados. Calculou a dependência desses desequilíbrios em função do tamanho das partículas, da temperatura e da densidade do fluido, bem como de parâmetros atômicos. As equações assim obtidas foram, nos anos subseqüentes, confirmadas experimentalmente por uma série de cuidadosas experiências conduzidas por Jean-Baptiste Perrin. A evidência que os resultados experimentais forneceu foi bastante para convencer a virtual totalidade dos cientistas que se opunham ao atomismo; até mesmo o obstinado Ostwald capitulou.

Estabelecida a natureza corpuscular da matéria, restava a tarefa difícil de investigar as propriedades de tais corpúsculos, para se determinar, entre outras coisas, se eram ou não realmente átomos no sentido estrito do termo. Explorações neste sentido já vinham se realizando de modo pouco sistemático desde o último lustro do século 19, estimuladas por algumas descobertas surpreendentes.

Em 1895, Wilhelm Röntgen observou um fenômeno que só podia ser explicado pela existência de um tipo desconhecido de “raios”, emitidos de seu aparelho de raios catódicos, chamando-os raios X. No ano seguinte, Henri Becquerel descobriu outro efeito igualmente inusitado, a radioatividade, no qual “raios” de outra natureza eram emitidos espontaneamente por certas substâncias. Em 1897, J. J. Thomson realizou delicada experiência em Cambridge, Inglaterra, com a qual forneceu evidência esmagadora para a existência de “partículas de carga elétrica”. Tais partículas foram batizadas com o nome de elétrons. Em 1902, Ernest Rutherford e Frederick Soddy verificaram em Montreal que a radioatividade acarretava a transmutação dos elementos radioativos, confirmando assim uma idéia na qual somente os alquimistas acreditavam. Nos anos que se seguiram, Rutherford descobriu que, na realidade, as substâncias radioativas emitiam dois tipos de radiação. Denominou-os radiações alfa e beta (a radiação gama só foi descoberta bem mais tarde; a radiação beta consiste de elétrons; a alfa foi depois compreendida como formada de dois prótons e dois nêutrons, ou seja, núcleos de átomos de hélio). Em 1909, Rutherford, já de volta à Inglaterra, realizou, junto com seus colaboradores Hans Geiger e Ernest Marsden, na Universidade de Manchester, uma experiência em que se projetava radiação alfa sobre delgada película de ouro. Diante dos resultados altamente surpreendentes desta experiência, Rutherford propôs um modelo para o átomo no qual quase toda a sua massa estaria concentrada em uma região central, onde também residiria a carga elétrica positiva do átomo; orbitando esse núcleo estariam os elétrons de Thomson. O modelo foi aperfeiçoado pelo físico dinamarquês Niels Bohr, que em 1913 apresentou a sua teoria atômica, mais tarde apelidada de “teoria quântica velha”. Nessa teoria, as órbitas eram “quantizadas”, i.e., só podiam ter diâmetros de determinados valores.

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órbitas permitidas elétrons

núcleo

Figura 5: O modelo atômico de Bohr (átomo de sódio).

A teoria atômica de Bohr explicava quantitativamente o espectro de radiação do hidrogênio; para átomos mais complexos, as previsões não eram precisas, chegando mesmo a ser completamente erradas. Mas qualitativamente o modelo atômico bohriamo fornecia explicações muito atraentes para grande parte das propriedades químicas da matéria, sendo por isso usado até hoje pelos químicos, pelo menos enquanto recurso de visualização. Paradoxalmente, esse modelo possui características flagrantemente incompatíveis com as teorias clássicas básicas, a mecânica newtoniana e o eletromagnetismo: a quantização das órbitas e sua estabilidade eletromagnética. Deve-se acrescentar que segundo a mecânica quântica o modelo de Bohr também é inadequado.

Possuímos agora alguns elementos que possibilitam a enumeração de algumas características conceituais importantes da visão clássica do mundo proposta pela física (incluindo as teorias da relatividade especial e geral – essa é uma observação importante). Simplificadamente, destacamos as seguintes:

1. DETERMINISMO. Os estados futuros de um sistema físico estão rigorosamente fixados por seu estado presente e pelas forças que sobre ele atuam. Segundo as teorias deterministas o mundo seria como um grande relógio.

2. SEPARABILIDADE. Para efeito de análise física, os corpos sempre podem, na física clássica, ser subdivididos em um número qualquer de partes; cada uma delas terá propriedades intrínsecas; ou seja, é possível atribuir propriedades locais a cada uma dessas partes, sem referência direta às demais partes. As propriedades do todo são completamente redutíveis às das partes.

3. LOCALIDADE. As influências de um corpo sobre outro (através de forças, campos, ondas, partículas, ou o que seja) se propagam com velocidade finita. A isto podemos acrescentar a atenuação das forças: todos os campos de força contemplados pelas teorias clássicas diminuem de intensidade com a distância à fonte, até se tornarem praticamente nulos.

4. LINEARIDADE DOS EFEITOS FUNDAMENTAIS. O efeito de duas causas atuando simultaneamente é igual à soma dos efeitos que cada uma delas produziria caso atuasse isoladamente. (Essa propriedade dos efeitos fundamentais – que só através da linguagem matemática pode ser definida de modo rigoroso – já foi ilustrada acima com o princípio de superposição, que rege os fenômenos ondulatórios.)

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5. ONTOLOGIA: PARTÍCULAS E/OU CAMPOS. No caso das teorias construtivas da física clássica, podemos dizer que assumem ou admitem partículas e/ou campos com propriedades correlacionáveis com o auxílio de suas leis teóricas.

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 32, n. 2, 2602 (2010)www.sbfisica.org.br

E assim se fez o quantum. . .(Let there be quantum)

Bruno Feldens, Penha Maria Cardoso Dias e Wilma Machado Soares Santos1

Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, BrasilRecebido em 14/9/2009; Aceito em 31/1/2010; Publicado em 17/1/2011

Neste trabalho, e apresentada a historia do nascimento do conceito de quantum de energia, por Max Planck.A historia pode ser entendida como clarificadora de um conceito, pois ela mostra os problemas que os cientistastentavam resolver e como os conceitos apareceram no decurso das solucoes. Assim sendo, neste trabalho enfasee dada ao problema da interacao da radiacao com a materia e a solucao estabelecida por Planck. Em parti-cular, o conceito de distribuicao e ilustrado pelos modos de distribuir partıculas (bolas coloridas) em estadosmicroscopicos (caixas).Palavras-chave: quantum de energia, distribuicao de Planck, historia da fısica.

In this paper it is presented the history of the creation of the energy quantum by Max Planck.. The historyof science is used to clarify concepts insofar it discloses problems that were proposed, and how concepts wereintroduced in the process of solving them. Therefore, in this paper we emphasize the problem of the interactionof the radiation with matter, and Planck’s solution to it. In particular, the concept of distribution is illustratedby showing the ways to distribute particles (painted spheres) in microscopic states (boxes).Keywords: quantum of energy, Planck’s distribution, history of physics.

1. Introducao

A ideia de um quantum de energia foi introduzida porMax Karl Ernst Ludwig Planck, em 1900. Mas a ideiaso ganhou credibilidade ao ser defendida por AlbertEinstein, apos Einstein te-la usado com sucesso na ex-plicacao do efeito fotoeletrico. Neste artigo, apresen-tamos a historia de como Planck introduziu a ideia dequantum.

Em geral, o trabalho de Max Planck e apresentadode forma pouco clara, na literatura; por exemplo, e co-mum a opiniao de que Planck tentava conciliar a Lei deWien com a de Rayleigh; ora, em seu trabalho Plancknem menciona a lei de Rayleigh e e obvio, pelo cami-nho seguido por ele, que a lei de Rayleigh nao entrouem suas consideracoes. Nem foi a ideia de quantum umaideia isolada; ela surgiu no decurso de um calculo, comocondicao de compatibilidade entre valores da entropia,obtidos por metodos diferentes, de um lado um calculomacroscopico e, de outro, microscopico, o que sera vistoneste trabalho. Um outro ponto confuso nos livros e aenfase ao conceito de “corpo negro”, em detrimento daenfase no problema que Planck, realmente, tentava re-solver, o da interacao da radiacao com a materia. Emgeral, tambem, o conceito de “distribuicao” nao e ela-borado.

A enfase deste artigo encontra-se nas motivacoes dosproblemas em cada etapa do processo de descoberta,de Planck, e nas motivacoes das solucoes. A partehistorica e baseada em Nelson Studart [1] e MartinKlein [2], mas suprimos detalhes de calculo e com-plementamos com uma discussao sobre distribuicao,fazendo uma aplicacao a contagem de modos de se dis-tribuir partıculas em estados microscopicos.

O trabalho de Planck e um bom exemplo, na historiada ciencia, para ilustrar um processo de descobertacientıfica: De um lado, a lei de Wien, um resultado ex-perimental bem estabelecido, e, de outro lado, o metodode calculo, que consiste em achar a entropia; combina-dos, levaram Planck a quantizacao. O artigo pode serentendido como um “estudo de caso”, que exemplificao caminho da descoberta cientıfica.

2. Conceitos preliminares

As leis da termodinamica foram enunciadas por RudolfJulius Emmanuel Clausius, em 1850, no contexto dasmaquinas termicas [3]. Como entendido por Clausius,as duas leis sao condicoes de “recuperabilidade” oucapacidade de recuperar as condicoes iniciais do sis-tema [3]. A Primeira Lei diz respeito a recuperacao

1E-mail: [email protected].

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2602-2 Feldens et al.

do “conteudo de calor” (terminologia de Clausius), U ,da substancia de trabalho (o gas da maquina termica),apos o termino do ciclo:

∮dU = 0. A Segunda Lei

diz respeito a possibilidade de recuperar as condicoesde operacao da maquina, isto e, diz respeito a possibi-lidade da maquina quente retornar as condicoes iniciaisde temperatura e de poder ceder a mesma quantidadede calor. Ora, Clausius raciocinou que a maquina temduas operacoes, que ele chama de transporte de calorda fonte quente para a fria e consumo de calor (calortransformado em trabalho); a condicao de “recuperabi-lidade” e que, ao final do ciclo, essas operacoes se “can-celem”; Clausius demonstra [3] que “cancelamento” ematematicamente descrito por ∆S =

∮dQT = 0. E claro

que, para retornar as condicoes do sistema formado pelasubstancia de trabalho, a substancia de trabalho temde se livrar do calor recebido da fonte quente que naofoi “consumido”, logo deve existir uma fonte fria, ondejogar o calor “nao consumido”. Mais ainda, a demons-tracao de Clausius tem como premissa que, operandoa maquina em sentido reverso, e possıvel devolver afonte o calor retirado dela para operar a maquina. Nascondicoes do teorema (reversibilidade), a Segunda Leie uma lei de conservacao de S; “cancelar” operacoestorna-se “zerar” ∆S, apos o ciclo. Pode ser dito: APrimeira Lei e uma lei de conservacao do conteudo decalor da substancia de trabalho, enquanto a SegundaLei e uma lei da possibilidade de conservar o conteudode calor da fonte quante, ao reverter o ciclo. Clausiusfoi o primeiro a enunciar a Segunda Lei; sua formulacaopode ser parafraseada: O calor transmite-se no sentidode equalizar temperaturas, portanto passa espontanea-mente de um corpo para outro de temperatura maisbaixa. William Thomson enunciou a lei de um mododiferente: Uma transformacao, cujo unico resultado fi-nal seja transformar em trabalho o calor extraıdo deuma fonte que esta a uma unica temperatura, e im-possıvel. Os dois enunciados sao equivalentes, comodemonstrado na Ref. [4, p. 30].

James Clerk Maxwell argumentou que seria possıvelreverter a tendencia de fluxo do calor. Para faze-lo, imaginou um ser — hoje chamado Demonio deMaxwell — pequenino e muito ativo, o qual pode veras moleculas individuais de um gas, por exemplo. ODemonio pode manipular uma pequena janela que se-para duas camaras, A e B, nas quais existe um gas auma mesma temperatura. A abertura da janela e feita,por suposicao, sem nenhuma friccao; o Demonio abre-a,quando ve uma molecula particularmente rapida, vindona direcao da abertura, passando-a para a camara B;ele a fecha, quando uma molecula lenta se aproxima,deixando-a em A. Assim, haveria em B um excessode moleculas rapidas, enquanto as moleculas lentas es-tariam na camara A: B torna-se mais quente e A, maisfria, pois temperatura, como demonstrado por Clau-

sius, em 1857, e a medida da energia cinetica media dasmoleculas. Ora, o resultado da operacao do Demonio ea separacao de um gas, inicialmente a uma temperaturafixa, em duas temperaturas diferentes, em violacao aSegunda Lei, cujo resultado, como enunciado por Clau-sius, e o de equalizar temperaturas.

Por que isso nao poderia ser feito, nao com a ajudade um Demonio, mas pelo uso de algo pequenino, dotamanho molecular, que atuaria do mesmo jeito? Aquestao nao tem uma resposta definitiva, mas e inte-ressante apresentar a resposta de Erwin Schrodinger [5,p. 113-114] e a resposta de Leo Szilard, em 1929 [6],expandida por Leon Brillouin, nos anos 50 do seculoXX [7].

Schrodinger perguntou-se (apud [5, p. 113]): “Porque os atomos sao tao pequenos?” George Gamow re-verte a questao [5, p. 114]: “Por que nos somos taograndes (quando comparados aos atomos)?” O proprioGamow responde: “A resposta e, simplesmente, que umorganismo tao complexo, como o de um ser humano,com seu cerebro, musculos, etc., nao pode ser cons-truıdo somente com uma duzia de atomos, do mesmojeito que nao se pode construir uma catedral gotica compoucas pedras”. Qualquer dispositivo que funcionassecomo um Demonio de Maxwell teria de ser construıdocom um pequeno numero de atomos e nao poderia de-sempenhar sua tarefa; pois resulta das leis da mecanicaquantica que, quanto menor o numero de partıculas,maior a flutuacao estatıstica em seu comportamento;Gamow exemplifica: Um automovel, em que uma dasrodas espontaneamente se transformasse em volante,em que o radiador se tornasse, de repente, um tanque degasolina nao seria confiavel para dirigir! “Similarmente,um Demonio de Maxwell, real ou mecanico, cometeratantos erros estatısticos ao manusear as moleculas, queo projeto inteiro falhara completamente”.

A resposta de Szilard-Brillouin e intrigante, poisfaz uma ligacao entre a entao nascente Teoria da In-formacao com a fısica de sistemas microscopicos.2 Elespartem da suposicao de que a entropia nao e umagrandeza fısica, mas e a medida da falta de informacaosobre as posicoes e velocidades de cada molecula in-dividualmente (no caso classico) ou estado, generica-mente falando. De acordo com a proposta, o Demoniopode ser construıdo, porem ele seria nao-funcional:Para operar, o Demonio teria de enxergar as moleculas,isto e, obter informacao sobre a posicao de cada uma;para obter essa informacao, o Demonio teria que ilu-minar o ambiente e a ideia de Szilard-Brillouin e queo processo de obter informacao “usaria” mais ou, namelhor das hipoteses, “usaria” uma igual quantidadede entropia do que economizaria pela acao de umDemonio. Infelizmente, o argumento nao e posto naforma de um teorema, valido para todo e qualquer sis-tema, mas o gasto de entropia, face a face a sua econo-

2A Teoria de Informacao aqui envolvida e uma teoria sobre emissao e perda de sinais e nao uma teoria jornalıstica. Ela foi inventadapor C. Shannon, durante a Segunda Guerra, por razoes militares.

E assim se fez o quantum. . . 2602-3

mia, tem de ser verificado sistema a sistema.No final do seculo XIX, Ludwig Boltzmann

perguntou-se se haveria uma lei da mecanica que cor-respondesse a segunda lei da termodinamica. Para res-ponder a essa questao, criticando Boltzmann, Maxwellcriou seu Demonio, ilustrando que a lei nao e mecanica,mas e uma lei estatıstica: As moleculas de um gas estaosempre colidindo, mudando a velocidade e a direcao domovimento; ora, um ser que tivesse acesso as moleculasindividuais poderia reverter a lei, logo ela nao pode sermecanica, porem ela e uma lei estatıstica. Isso significaque e possıvel observar um fenomeno que desobedeca aSegunda Lei, por exemplo, que as moleculas de um gasse separem, as rapidas para um lado e as vagarosas parao outro, como na alegoria do Demonio; apenas o eventoe altamente improvavel, o que o torna quase impossıvel.Por exemplo, imagine que sejam colocadas cinquentaesferas verdes em um recipiente e, sobre elas, cinquentaesferas amarelas; o recipiente e fechado e sacudido; ob-viamente, as esferas ficarao misturadas. Se se conti-nuar a agitar, nao e impossıvel que se consiga obter aconfiguracao inicial, com as esferas verdes em baixo eas amarelas em cima, porem a probabilidade que issoaconteca e tao pequena que se pode imaginar que oevento nunca sera observado, mesmo que se espere aidade do Universo. A ideia contida nesse exemplo edita de “ordem” e “desordem”. Esses sao conceitos va-gos, mas para estabelecer um vocabulario, pode-se dizerque as bolas estavam inicialmente, em um “estado deordem” e, apos serem misturadas, passaram a um “es-tado de desordem”.

“Ordem” significa que ha menos possibilidades (ouestados, em fısica) accessıveis e “desordem”, que hamais. Na natureza, os fenomenos tendem a ocorrerno sentido em que a desordem aumente, sendo muitoimprovaveis processos em que a ordem se restabeleca,sem interferencia externa, isto e, colocando trabalhoexterno. Para que ocorra um processo em que o sis-tema passe de um estado menos organizado para umestado mais organizado e necessario gasto de energia.A quantidade que mede o “grau de ordem ou desor-dem” ou numero de estados e a entropia: A desordemaumenta, a entropia cresce. Sempre que um sistemapode distribuir livremente sua energia, ele sempre o fazde maneira que a entropia cresca; do ponto de vistamacroscopico, termodinamico, isso diminui a energiado sistema disponıvel para a realizacao de trabalho.

A entropia de um sistema e, entao, definida comoproporcional ao numero de estados em que o sistemapode estar. Para entender melhor essa afirmacao, ima-gine o seguinte: Um cubo contendo gas e dividido emvarios outros pequenos cubos; cada cubinho representaum estado; quanto mais cubinhos ocupados houver,mais desorganizado e o conjunto e maior a entropia,

pois ela e proporcional ao numero de cubinhos. Umexemplo mais ao gosto da juventude seria o do quarto deum menino; dentro do quarto existe um guarda-roupa(que e menor que o quarto, obviamente); dentro doguarda-roupa existe uma pilha de camisas, bermudase calcas; se essa pilha de roupas for tirada do guarda-roupa e espalhada pelo quarto, tudo ficara mais espa-lhado e vai ser mais difıcil achar a camisa do time defutebol, pois ela podera estar em qualquer lugar doquarto e nao confinada ao guarda-roupa: Ao tirar asroupas do guarda-roupa, aumenta o numero de lugares(estados) em que a camisa pode estar (ocupar), ou seja,aumenta o numero de estados, dessa forma aumenta adesordem e como a entropia esta relacionada a desor-dem, aumenta a entropia tambem.

Em um gas perfeito, o numero de estados, dependedo volume.3 No exemplo, quando se passa do guarda-roupa para o quarto, aumenta-se o volume que pode serocupado pelas pecas de roupa. Na analogia, cada pecade roupa e uma molecula de gas. A probabilidade de en-contrar uma molecula de gas em um cubinho especıficoe inversamente proporcional ao volume, ou seja, quantomaior o volume e menor a probabilidade da moleculaestar em um cubinho determinado ou mais difıcil damolecula ser achada no tal cubinho.

Resumindo, do ponto de vista microscopico, a en-tropia e dada por S = k ln Ω, onde k e uma constante eΩ e o numero de estados. No gas perfeito, Ω ∝ V ∝ 1

W ,onde W = 1

V e a probabilidade de achar uma moleculano volume, V , do recipiente em que o gas esta contido.

3. O problema da radiacao em equilı-brio termico

No dia-a-dia podemos notar que um metal aquecidotorna-se luminoso; para percebe-lo, basta olhar umatorradeira de pao em funcionamento. E tambem conhe-cido que corpos tornam-se luminosos, quando aquecidosa temperaturas suficientemente elevadas [5, p. 117].Alguns exemplos [5, p. 117]: Luz e produzida nos fi-lamentos quentes das lampadas; uma lampada de fila-mento emite uma luz amarelada a cerca de 2000 C.O Sol e as estrelas emitem luz porque suas superfıciestem temperaturas elevadıssimas; a superfıcie do Sol temtemperatura de cerca de 6000 C e emite um espectroluminoso rico em raios azuis. A caracterıstica dessaemissao de luz a dadas temperaturas e que, a medidaque a temperatura cresce, a radiacao se torna mais in-tensa (pico mais alto, na Fig.1) e mais rica em raios defrequencia maior. A distribuicao de energia por unidadede volume em termos da frequencia e dada pela curvana Fig. 1, chamada espectro de emissao de radiacao [8].A emissao de luz por corpos aquecidos depende de duasleis: A lei de Wien e a lei de Stefan-Boltzmann.

3O exemplo citado em muitos livros elementares de Fısica, de um gas que se difunde adiabaticamente entre dois compartimentos,ilustra que a entropia do gas e proporcional ao volume, pois a unica transformacao sofrida pelo gas, nesse processo, e o aumento dovolume, com consequente aumento da entropia.


Figura 1 - A figura (Ref. [8], p. 337) mostra a densidade de ener-gia (energia por unidade de volume) em funcao do comprimentode onda (λ) para quatro temperaturas diferentes. Observa-se queos picos estao sobre uma curva decrescente, da esquerda para adireita, de modo que λ e deslocado para a direita (lei do desloca-mento de Wien, discutida abaixo).

A lei de Stefan-Boltzmann foi enunciada por JosephStefan em 1879. A lei diz que a energia total (area soba curva) emitida pelo corpo e proporcional a quartapotencia da temperatura: u ∝ T 4. A variacao da emis-sao com a temperatura foi notada por muitos cientis-tas, ao longo da historia, embora nao na mesma pro-porcao notada por Stefan [9, p. 10]. Em 1864, Tyn-dall observou, experimentalmente, que a emissao totalde um fio de platina, entre os limites 525 C (brilhobranco intenso) e 1200 C (brilho vermelho fraco) au-menta de cerca de 11, 7 vezes [1, p. 525; 9, p. 11];no Lehrbuch der Experimentalphysik (1875), A. Wull-ner escreve [9, p. 11]: “. . . a quantidade de calor emi-tida aumenta mais rapidamente do que a temperatura,especialmente a altas temperaturas”. Mas foi o expe-rimento de Tyndall que teve impacto imediato no tra-balho de Joseph Stefan; ele assim explica [9, p. 11]:“Essa observacao levou-me, no inıcio, a fazer o calor daradiacao proporcional a quarta potencia da tempera-tura absoluta”(pois 273+1200

273+525 ≈ 1, 8 e 1, 84 ≈ 11, 6).Stefan, entao, mostrou que essa formula concordavacom os resultados de medicoes em uma variedade detemperaturas [9, p. 11]. Porem, foi Ludwig Boltz-mann quem demonstrou rigorosamente esse resultado,em 1884 ([10], apendice XXXIII). Boltzmann baseou-sena existencia de uma pressao de radiacao e sujeitando

a radiacao as leis da Termodinamica, por considera-laum sistema termodinamico. A pressao de radiacao econhecida do Eletromagnetismo e e p = u

3 , onde u ea densidade de energia. Daı, e possıvel mostrar queu = σT 4 e que S = 4

3σT 3.Das leis da termodinamica: TdS = dU + pdV , onde

dQ = TdS, U = V u e S e a entropia; logo

TdS = d (uV ) +u

3dV =

43udV + V

(du

dT

)dT ⇒

dS =(

43

u

T

)dV +

(V

T

du

dT

)dT ≡ ∂S

∂VdV +

∂S

∂TdT.

As derivadas de S sao, pois: ∂S∂V = 4

3uT e ∂S

∂T =VT

dudT . Como S e uma diferencial total

∂2S

∂T∂V= −4

3u

T 2+

43

1T

du

dT=

∂2S

∂V ∂T=

1T

du

dT⇒

du

u= 4

dT

T⇒ ln u = ln T 4 + ln σ = ln σT 4,

onde σ e uma constante de integracao. Logo: u = σT 4.Para obter a entropia, esse resultado e colocado na ex-pressao de dS, acima

∂S

∂V=

43

u

T=

43

σT 4

T=

43σT 3 e

∂S

∂T=

V

T

du

dT=

V

T4σT 3;

integrando

S =43σT 3V + Φ(T ) ⇒

∂S

∂T= 4σT 2 +

dΦdT

≡ V

T4σT 3 ⇒ dΦ

dT= 0;

logo

S =43σV T 3.

A lei de Wien foi enunciada por Wilhelm CarlWerner Otto Fritz Franz Wien, em 1896. A lei dizque o comprimento de onda correspondente a intensi-dade maxima no espectro e inversamente proporcional atemperatura absoluta do corpo: λMAX ∝ 1

T . Os valoresdo comprimento de onda λMAX para os quais a densi-dade de energia e um maximo (a uma temperatura fixa)formam a curva λMAXT = constante, decrescente da es-querda para a direita (Fig. 1), de modo que o valor deλMAX e deslocado para a direita (lei do deslocamento,de Wien).

Wien mostrou por consideracoes teoricas ([10,Apendice XXXIII]), que a densidade de energia paraa frequencia ν e: uν = ν5F

(νT

). As etapas da deducao

sao enumeradas, sem o desenvolvimento dos calculosmatematicos, que podem ser encontrados em [10] e em[11]:


1. E conceitualmente simples, mas trabalhoso, cal-cular a energia com frequencia entre ν e ν + dν,em um angulo solido dω = sin2 θ dθdφ, in-cidente em uma area A (da superfıcie de umcorpo), em um tempo dt. A resposta e: ∆Einc =uν

c4π A cos θ dtdωdν.

2. O passo, agora, e calcular a energia reenviada (dasuperfıcie do corpo), atraves da mesma area A,para a gama de frequencias entre ν e ν+dν. Comonao se conhece a densidade das frequencias en-tre ν + dν entre as frequencias que estao sendoemitidas pela superfıcie (em ultima instancia, eo que se quer achar pelo calculo de uν), nao sepode pode calcular a frequencia emitida entreν + dν como uma onda incidente em A, vindada direcao oposta da do ıtem 1. Wien deu umasolucao elegante: Considerou a onda que sai docorpo por A como uma onda incidente em A,por reflexao de uma onda com frequencia entreν′ + dν′, por um espelho que se move com veloci-dade v, na direcao de propagacao da onda; entao,aplicacao do efeito Doppler fornece a frequenciaν′: ν′ = ν

(1− 2v

c cos θ). Entao: ∆Eemitida =

uν′c4π A cos θ dtdωdν′.

3. Usando serie de Taylor

uν′ = uν(1− 2vc cos θ) ≈ uν + ν

∂uν

∂ν2v

ccos θ + · · · ⇒

∆Eemitida ≈(

uν + ν∂uν

∂ν2v

ccos θ

)×

c

4πA cos θ dtdωdν′.

4. A diferenca de energia entre as ondas que deixama gama de frequencias entre ν e ν + dν e as queentram nessa gama e a energia que permanece nasuperfıcie (onde Av dt ≡ dV e o elemento de vo-lume do corpo)

d (V uν) ≡ ∆Eemitida −∆Einc =

ν∂uν

∂ν2v

ccos θ

c

4πA cos θ dtdωdν′ =

12π

ν∂uν

∂νcos2 θdωdν′ dV.

Integrando sobre todos os angulos solidos no he-misferio, a diferenca e d (uνV ) = 1

3ν ∂uν

∂ν dV , ondeuν e a densidade de energia com frequencia entreν e ν + dν, uνV a energia com frequencia entre νe ν + dν.

5. E trivial verificar que essa equacao e satisfeita poruν = ν3φ

(ν3V

), onde φ e uma funcao desconhe-

cida.

6. Lembrando que, pela lei de Stefan, S ∝ V T 3

e que S e constante (equilıbrio termodinamico),V ∝ 1

T 3 , logo a lei de Wien e: uν = ν3f(

νT

).

A lei de Wien pode ser escrita em funcao do com-primento de onda, ao inves da frequencia. Lembrandoque λ = c

ν e que dλ = −cdνν2 : uλdλ = c4

λ5 f(

cTλ

)=

1λ5 F (λT ) dλ. Calculando o comprimento de onda parao qual uλ e um maximo, acha-se: λMAXT = b, onde be uma constante, hoje chamada de constante de Wiene vale 2, 898 × 10−3 mK. Essa lei foi verificada experi-mentalmente, de maneira bem cuidadosa, por FriedrichPascher e o valor da constante foi verificado por OttoLummer e Ernst Pringsheim, em Berlim.

Em junho de 1896, Wien publicou uma expressaopara a distribuicao uλ = C 1

λ5 e−c

λT onde C e c saoconstantes [12, p. 339]; portanto, F (λT ) = Ce−

cλT .

Essa expressao foi obtida a partir de hipoteses ad hocplausıveis. Paschen ja havia comunicado a Wien adistribuicao experimentalmente achada [12, p. 339]uλ = C 1

λ5,67 e−c

λT .No inıcio de 1900, duas equipes, a de Lummer-

Pringsheim e a de Rubens-Kurlbaum mediram inde-pendentemente a radiacao em regioes de grande com-primento de onda (baixa frequencia) [1, p. 528]: aprimeira equipe mediu na regiao 12 µm < λ < 18 µm,nas temperaturas 300 K < T < 1650 K; a outra equipevarreu a regiao 30 µm < λ < 60 µm, nas temperaturas200 K < T < 1500 K. A Fig. 2 mostra os resultadosexperimentais do comportamento da lei de Wien paraaltas e baixas frequencias, obtidos na epoca de Planck;e a “versao historica” da Fig. 1.

4. A solucao de Planck ao problema daradiacao (a distribuicao)

Em 1897, Planck colocou o problema de deduzir o es-pectro da radiacao, usando as leis de radiacao do Eletro-magnetismo e as leis da Termodinamica, mostrandocomo radiacao e materia interagem para alcancar oequilıbrio termodinamico.

Planck supos que a radiacao eletromagnetica in-teragisse com um conjunto de osciladores harmonicos,chamados por ele de ressonadores. Os ressonadores re-presentam um modelo simplificado da materia, o quefaz sentido, pois ja havia sido mostrado por GustavRobert Kirchhoff que ha uma independencia da emissaode radiacao em relacao a composicao da materia [6,p. 527]. A radiacao e esses ressonadores formam umsistema em equilıbrio termico, de modo que radiacao emateria oscilam com a mesma frequencia.

Em 1899, Planck deduziu a relacao entre a densi-dade de energia (u (ν, T )) da radiacao e a energia media(ρ (ν, T )) do conjunto de osciladores que representam osatomos na superfıcie de um corpo

u (ν, T ) =8π

c3ν2ρ (ν, T ) .


Figura 2 - A figura mostra os valores calculados (berechnet) eobtidos experimentalmente (beobachtet) por Lummer e Pring-sheim ([1, p. 526]).

Os detalhes do calculo se encontram no livro classicode Born [10, apendice XXXIV]:

1. E um resultado conhecido, no eletromagnetismo,que a densidade da radiacao eletromagnetica eproporcional ao quadrado da amplitude da onda:uν = 3

2πτ |f (ν) |2, onde τ e o perıodo e f , a ampli-tude. Um outro resultado do Eletromagnetismoe a expansao do campo em ondas planas (e2πiνt):Ex =

∫ +∞−∞ dνf (ν) e2πiνt

2. Se um ressonador de massa m esta sujeito a umcampo eletrico Ex, na direcao x, a equacao domovimento e mx + kx = qEx, onde q e a cargae k, a constante elastica. Pode ser verificado quea solucao particular correspondendo as condicoesiniciais x (0) = x (0) = 0 e

x (t) =q

2πν0m

∫dt′Ex (t′) sin [2πν0 (t− t′)],

ν0 =12π

√k

m.

3. O trabalho por unidade de tempo (potencia)do campo sobre um ressonador e, por definicao:δPν = q

τ

∫dtxEx. O problema e relacionar essa

expressao com uν , acima. O problema envolve,apenas, virtuosismo matematico e a definicao deEx em ondas planas. A solucao e δPν = π

3q2

m uν

ou, para todos os ressonadores, Press = π3

q2

m u.

4. Por outro lado, os ressonadores oscilam. Apotencia da radiacao de dipolo e um resultadoconhecido no eletromagnetismo: P = 2

3q2

c3 a2,onde a e a aceleracao da oscilacao da carga,a = − (2πν)2 x. A potencia media, durante umperıodo, e: P = 2

3q2

c3 (2πν)4 x2. A energia mediados osciladores e dada por ρ = m (2πν)2 x2, logo:Prad = 2

3q2

c3 (2πν)2 ρ

5. Finalmente, igualando a potencia da radiacao ados ressonadores, obtem-se a expressao de Planck,u (ν, T ) = 8π

c3ν2ρ (ν, T ).

Ora, a distribuicao de Wien e uν = αν3e−β νT ; por

outro lado, Planck deduziu uma relacao entre a densi-dade de energia dos ressonadores e da radiacao coma qual estao em equilıbrio: u (ν, T ) = 8π

c3 ν2ρ (ν, T ).Igualando as duas expressoes e tirando 1

T : 1T =

− 1βν ln

(8πc3ανρ

). Porem, da termodinamica: 1

T = ∂S∂ρ .

Logo

∂S

∂ρ= − 1

βνln

(8π

c3ανρ

)⇒ S = − 1

βν

∫dρ ln

(8π

c3ανρ

);

chamando A′ = αc3

8π e sendo e a base de logarıtmosneperianos, o resultado da integral e

S = − ρ

βνln

(ρ

A′eν

)ou S = − A′

βc3

uν

ν3ln

( uν

eν3c3

);

essa e a entropia do sistema formado pela radiacao emequilıbrio com os ressonadores. Alem disso, S obedeceao requisito de ser nao decrescente: ∂2S

∂u2ν

= − 1uν6> 0.

Planck ja havia sido alertado por Paschen da naouniversalidade da lei de Wien. Em 7 de outubro de1900, Rubens visitou Planck e lhe informou que a leide Wien nao e valida para baixas frequencias (Kangro,apud [1, p. 528]). No mesmo dia, a noite, Planck man-dou um cartao a Rubens, com uma nova solucao parauν (Kangro, apud [1, p. 528]). Essa solucao foi apre-sentada na Academia Alema de Fısica, na sessao de19 de outubro de 1900. Na mesma sessao, Kurlbaumapresentou seus resultados experimentais [1, p. 528].

Planck, entao, pos-se a procurar ([13, p. 536]) “ex-pressoes completamente arbitrarias para a entropia que,embora mais complicadas do que a expressao de Wien,


ainda parecem satisfazer completamente todos os re-quisitos da [T]ermodinamica e da [T]eoria [E]letromag-netica”.

A lei de Wien leva ao resultado ∂2S∂u2

ν= − 1

uν. Entao,

Planck generaliza a entropia

∂2S

∂u2ν

= − αν

uν (βν + uν),

onde αν e βν sao constantes em relacao a uν , mas de-pendem de ν. A justificativa e a seguinte [13, p. 536]:“Esta e, de longe, a mais simples de todas as expressoesque levam S a ser uma uma funcao logarıtmica de u [. . . ]e que, mais ainda, reduz-se a lei de Wien, mencionadaacima, para pequenos valores de u”.

Integrando essa funcao e sendo 1T = ∂S

∂uν, segue-se

1T = α

βνln uν+βν

uν, resolvendo para uν

uν =βν

e

βν

ανT − 1

·

Essa expressao tem de coincidir com a lei de Wien paraν → ∞; nesse limite, a exponencial e muito maior que1, de modo que

uν =βν

e

βν

ανT − 1

ν→∞→ βν

e

βν

ανT

.

Comparando com a lei de Wien na forma uν =ν3f

(νT

)

f( ν

T

)≡ e−

βναν T e

βν

αν= Bν; βν = Aν3,

onde A e B sao constantes, independentes de u, ν e T ;logo a distribuicao de Planck e

uν =Aν3

eB

ν

T − 1(Distribuicao da densidade de energia, de Planck).

Anos depois, Planck rememora essa descoberta(Planck, apud [2, p. 465]):

Ja na manha seguinte, recebi a visita de meucolega Rubens. Ele veio me dizer que, aposo termino do encontro, na mesma noite, elecomparou minha formula com as medidase achou uma concordancia satisfatoria emcada ponto. . .

5. A quantizacao da energia

A entropia apresentada a Sociedade Alema de Fısica,em 19 de outubro de 1900 pede fundamentacao. Ela

e macroscopica, mas do ponto de vista microscopico,entropia e (proporcional ao) o numero de estados(frequencias) accessıveis a cada ressonador (Planck,apud [2, p. 459]):

Mas mesmo que a validade absolutamenteprecisa da formula da radiacao seja assumi-da, na medida em que ela tenha meramenteo status de uma lei revelada por uma sorteda intuicao, ela nao poderia esperar possuirmais do que um significado formal. Por essarazao, no proprio dia em que formulei a lei,comecei a devotar-me a tarefa de de investi-la com um real sentido fısico. Essa procuraautomaticamente levou-me a estudar a in-terrelacao de entropia com probabilidade —em outras palavras, a perseguir a linha depensamento inaugurada por Boltzmann.

A fundamentacao da entropia de 19 de outubro de1900 foi apresentada por Planck a Sociedade Alema deFısica em 14 de dezembro de 1900.

Na primeira parte do calculo, Planck obtem a en-tropia de um ressonador, considerado, ele mesmo, umsistema termodinamico em equilıbrio com a radiacao.Essa entropia deve ser igual a entropia obtida pelometodo de Boltzmann, isto e, contando o numero depossıveis modos de distribuir a energia total por Nressonadores.

5.1. Entropia do ressonador

Escrevendo a energia no volume V

uνV =Aν3

eB

ν

T − 1

V ≡Ac3

8πν

eB

ν

T − 1

(8π

c3V ν2

).

Ora, N (ν) =(

8πc3 V ν2

)e o numero de ressonadores

de frequencia ν que cabem em um cubo de volume V ; ocalculo de N (ν) pode ser encontrado nos livros usuaisde fısica moderna [14, 15]. Portanto, a energia mediade um ressonador com frequencia entre ν e ν + dν e

Uν =

Ac3

8πν

eB

ν

T − 1

.

Agora e possıvel achar a entropia (sν) do ressonador.Como ele esta em equilıbrio termico com a radiacao, atemperatuta T : 1

T = ∂sν

∂Uν. Resolvendo a expressao de

Uν para 1T : 1

T = 1Bν ln

(1 + Uν

A′ν

) − 1Bν ln

(Uν

A′ν

)= ∂sν

∂Uν,

onde A′ = Ac3

8π ; integrando,

sν =1

Bν

∫dUν ln

(1 +

Uν

A′ν

)−

∫dUν ln

(Uν

A′ν

),


lembrando que∫

dy yey = ey (y − 1) e notando que asduas integrais podem ser reduzidas a essa integral pormudanca de variaveis, segue-se

sν =A′

B

(1 +

Uν

A′ν

)[ln

(1 +

Uν

A′ν

)− 1

]−

Uν

A′ν

(ln

Uν

A′ν− 1

),

sν =A′

B

[(1 +

Uν

A′ν

)ln

(1 +

Uν

A′ν

)−

Uν

A′νln

Uν

A′ν

]− A′

B

5.2. Contando estados

Planck considera N ressonadores, cada um com energiau. A energia total e UN = Nu e a entropia e SN = NS,pois sao quantidades aditivas. Continua Planck ([16,p. 539]):

Importa agora encontrar a probabilidadeW, de modo que os N ressonadores possuamem conjunto a energia total uN . Para isto,sera necessario que uN nao seja uma quanti-dade contınua, infinitamente divisıvel, masantes uma grandeza discreta, composta deum numero inteiro de partes infinitas iguais.Denominemos ε a tal parte elementar deenergia; teremos, portanto

UN = Pε,

onde P representa um numero inteiro, emgeral grande. Deixaremos, no momento, in-determinado o valor de ε.

A definicao microscopica de S e: S = kB lnΩ, ondeΩ e o numero de possıveis estados; um ‘estado’ sig-nifica um possıvel modo de repartir a energia UN en-tre os N ressonadores; calcular Ω consiste em contar onumero de maneiras como isso pode ser feito. Ora, paralevar a termo essa contagem, a energia total dos resso-nadores (UN ) e “discretizada” em quanta (ε) de ener-gia. A quantizacao, nesse ponto, e, apenas um artifıciode contagem que permite distribuir um numero inteiro,P , de “pedacos de energia” iguais a ε por N indivıduos(ressonadores); ou, o que e o mesmo, de colocar N bolasem P caixas de “volume” ε. Esse e um problema conhe-cido de analise combinatoria e, nao havendo restricaoao numero de indivıduos que podem ser colocados emuma mesma caixa, a solucao e

Ω = ln[(N + P + 1)!N ! (P − 1)!

].

A expressao vai ser ilustrada na secao 5.3. No mo-mento, para nao perder a continuidade do raciocınio dePlanck, o importante e como um artifıcio de contagemveio a se tornar uma lei da natureza.

De acordo com a teoria microscopica, S =kB ln

[(N+P+1)!N !(P−1)!

]. De acordo com a formula de Stir-

ling, para N muio grande, N ! ≈ NN . Logo, usandoP = numero de pedacos de tamanho ε = UN

ε = NUε

c

SN ⇒ ln(N + P )N+P

NNPP= kB (N + P ) ln (N + P )−N ln N − P ln P

= kBN

(1 +

P

N

)ln

(1 +

P

N

)− P

Nln

P

N

= kBN

(1 +

U

ε

)ln

(1 +

U

ε

)− U

εln

U

ε

.

A entropia de um ressonador e (escevendo Uν emvez de U para lembrar que o ressonador tem umafrequencia)

sν = kB

(1 +

Uν

ε

)ln

(1 +

Uν

ε

)− Uν

εln

Uν

ε

;

essa expressao tem de ser comparada com a entropia deum ressonador anteriormente achada

sν =A′

B

[(1 +

Uν

A′ν

)ln

(1 +

Uν

A′ν

)− Uν

A′νln

Uν

A′ν

]− A′

B.

Claro que coincidem, se ε ≡ A′ν !! Agora a quan-tizacao e algo preocupante, pois o resultado significaque a entropia obtida do espectro da densidade de ener-gia, uma lei corroborada, obedece a definicao conceitualde entropia, so se a energia do sistema for composta depacotes ou quanta εν = A′ν.

5.3. Ilustracao da contagem de estados

Nesta secao, vamos ilustrar como a formula usada porPlanck, Ω = ln

[(N+P+1)!N !(P−1)!

], resulta de um problema de

analise combinatoria. O problema consiste em contar onumero de modos de distribuir N bolinhas em k caixas.


Inicialmente, e preciso saber o que contar. Porexemplo, pode-se contar o numero de frutas em umcesto ou o numero de macas no cesto. No primeirocaso, considera-se as frutas no cesto como formandoum pacote unico, portanto sao ditas indistinguıveis; nosegundo caso, as macas sao consideradas distinguıveisdas outras frutas no cesto. Assim, a distincao a ser feitapara se saber o que contar e se as bolinhas sao iguais(indistinguıveis) ou se sao diferentes (distinguıveis).

No exemplo a seguir, as bolas serao distinguidas pelacor: Azul (A), verde (V ) e preta (P ). Mas se se con-tar as bolas de uma unica cor, elas serao denotadas porX, por serem indistinguıveis. As bolas identicas, porsua vez, podem ser colocadas na caixa de dois modosdiferentes: Sem restricao ao numero de bolas que secoloca em uma caixa ou restringindo a, apenas, umabola por caixa; aqui, so o primeiro caso sera conside-rado. O exemplo consiste em distribuir N = 3 bolas(ressonadores) em k = 3 caixas.

Na Tabela 1, considera-se bolas indistinguıveis, semrestricao ao numero de bolas em cada caixa.

Tabela 1 - Indistinguıveis sem restricao ao numero de bolas nacaixa. N = 3 ressonadores, k = 3 estados (P da formula dePlanck).

# I caixa 1 caixa 2 caixa 3 distribuicao

n1 n2 n3

1 I XXX 3 0 02 XXX 0 3 03 XXX 0 0 34 XX X 2 1 05 XX X 2 0 16 X XX 1 2 07 X X X 1 1 18 X XX 1 0 29 X XX 0 1 210 XX X 0 2 1

A tabela tem Ω = (N+k−1)!N !(k−1)! = (3+3−1)!

3!(3−1)! = 5!3!2! = 10

trincas (linhas). Cada trinca ocorre uma vez. NaTabela 2, considera-se bolas distinguıveis.

Tabela 2 - Distinguıveis. N = 3, k = 3.

# I caixa 1 caixa 2 caixa 3 distribuicao

n1 n2 n3

1 I AVP 3 0 02 AVP 0 3 03 AVP 0 0 34 A VP 1 2 05 A VP 1 0 26 A V P 1 1 17 A P V 1 1 18 VP A 0 2 19 VP A 2 0 110 P V A 1 1 111 V P A 1 1 112 V AP 1 2 013 V AP 1 0 214 V A P 1 1 115 AP V 2 1 016 V AP 0 1 217 AP V 2 0 118 AP V 0 2 119 P A V 1 1 120 P AV 1 2 021 P AV 1 0 222 AV P 2 1 023 P AV 0 1 224 AV P 2 0 125 AV P 0 2 126 A VP 0 1 227 VP A 2 1 0

A tabela tem kN = 33 = 27 trincas (linhas). Onumero de vezes que cada trinca ocorre e Ω = N !

n1!n2!; a

Tabela 3 resume o resultado da Tabela 2.

Tabela 3 - Descricao dos resultados da Tabela 2.

Distribuicao Numero de vezes que ocorre Linha

(n1 = 3, n2 = 0, n3 = 0) I Ω3,0,0 = 3!3!0!0!

= 1 1

(n1 = 0, n2 = 3, n3 = 0) Ω0,3,0 = 3!0!3!0!

= 1 2

(n1 = 0, n2 = 0, n3 = 3) Ω0,0,3 = 3!0!0!3!

= 1 3

(n1 = 1, n2 = 2, n3 = 0) Ω1,2,0 = 3!1!2!0!

= 3 4, 12, 20

(n1 = 1, n2 = 0, n3 = 2) Ω1,0,2 = 3!1!0!2!

= 3 5, 13, 21

(n1 = 0, n2 = 2, n3 = 1) Ω0,2,1 = 3!0!2!1!

= 3 8, 18, 25

(n1 = 2, n2 = 1, n3 = 0) Ω2,1,0 = 3!2!1!0!

= 3 15, 22, 27

(n1 = 0, n2 = 1, n3 = 2) Ω0,1,2 = 3!0!1!2!

= 3 16, 23, 26

(n1 = 2, n2 = 0, n3 = 1) Ω2,0,1 = 3!2!0!1!

= 3 9, 17, 24

(n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1) I Ω1,1,1 = 3!1!1!1!

= 6 6, 7, 10, 11, 14, 19

A analogia com o problema de Planck e:

1. Nos exemplo, N indivıduos (bolas, ressonadores)sao colocados em k estados individuais (caixas). Essesestados individuais podem ser, em mecanica classica,a posicao e o momentum ou um valor da energia; emmecanica quantica, podem ser valores da energia (dis-

creta) ou do spin ou etc.2. Cada trinca ou linha e um “estado” microscopico doconjunto de N bolas. Portanto, o estado microscopicoe caracterizado pelo conjunto de k numeros (k-tupla)n1, n2, . . . , nk, chamado “distribuicao”.3. No caso dos indivıduos indistinguıveis, as linhas tem


de ter diferente distribuicao: Duas linhas com mesmadistribuicao so podem diferir pelos indivıduos na caixas,mas como eles sao indistinguıveis, as distribuicoes con-tam uma unica vez; o numero de “estados” coincide,entao, com o numero de “distribuicoes”. No caso emque nao ha restricao sobre o numero de indivıduos (bo-las) que podem ser colocados em um mesmo “estado”individual (caixas), o numero de “estados” do conjuntode N indivıduos e (N+k−1)!

N !(k−1)! . A entropia e, correspon-

dentemente, definida como S ∝ lnΩ ∝ ln (N+k−1)!N !(k−1)!

4. No caso dos indivıduos distinguıveis, o numero to-tal de “estados” de N indivıduos e kN . Porem, podehaver “estados” com igual “distribuicao”, pois desdeque dois indıviduos permutem de caixa, mantendo adistribuicao, as duas distribuicoes contam como estadosdiferentes; o numero de vezes que uma “distribuicao”ocorre e: Ω = N !

n1!n2!n3!...nk! . A entropia e definida comoS ∝ lnΩ ∝ ln N !

n1!n2!n3!...nk! .5. O caso indistinguıvel em que nao ha limite (excetopelo numero N) para o numero de “bolas” em cada“caixa” corresponde aos possıveis “estados” dos res-sonadores. O numero de estados e, na contagem dePlanck: ΩPlanck = (N+P−1)!

N !(P−1)! (P = k).O caso distinguıvel corresponde aos possıveis “es-

tados” das moleculas de um gas perfeito. LudwigBoltzmann supos que, na situacao de equilıbrio ter-modinamico, as moleculas do gas se distribuem em umacerta k-tupla do conjunto total de enuplas; essa seriaaquela em que Ω = N !

n1!n2!n3!...nk! fosse um maximo. Noexemplo, e a trinca n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1, que ocorre6 vezes. Do ponto de vista da interpretacao estatıstica,essa trinca e o estado em que as moleculas (bolas) temmais probabilidade de serem achadas (supondo que ovalor de E = n1ε1 +n2ε2 +n3ε3 seja fixado) por ocorrermais vezes. Note que a trinca n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1tem seus indivıduos igualmente distribuıdos pelas tres“caixas”.6. Para completar o exemplo, se houvesse restricao aonumero de indivıduos indistinguıveis em uma caixa, acontagem de trincas seria diferente. Por exemplo, res-tringindo a um unico indivıduo em cada caixa, so haum estado: n1 = 1, n2 = 1, n3 = 1. Esse caso refere-se a contagem de partıculas quanticas que sao constitu-intes da materia, v.g. eletrons, protons, etc. (chamadasfermions), enquanto a distribuicao e chamada de es-tatıstica de Fermi-Dirac. O caso de Planck refere-se acontagem de partıculas quanticas que sao constituintesde campos de interacao (chamadas bosons), enquanto adistribuicao e chamada de estatıstica de Bose-Einstein.

6. Amarrando as pontas: quantizacao

O fato da energia ter sido quantizada no problema re-solvido por Planck nao necessariamente significa queo resultado foi entendido em toda sua dimensao. So-mente apos a explicacao do efeito fotoeletrico por Al-

bert Einstein, a hipotese foi adquirindo significado.Mesmo que uma hipotese resolva um problema, naonecessariamente ela tem validade universal e Plancksabia disso. Apenas em 1908, em uma carta a Lorentz,Planck refere-se a quantizacao da energia e a necessi-dade de postular descontinuidades (6, p.532).

A mecanica quantica nao se reduz, apenas, a quan-tizacao da energia; por exemplo, outras quantidadespodem ser quantizadas, como o momentum angular, nomodelo atomico de Bohr. Uma outra diferenca pro-funda entre a mecanica classica e a quantica esta nadiferenca da natureza entre as partıculas classicas e asquanticas: No gas perfeito, que obedece a mecanicaclassica (chamado gas de Boltzmann) as moleculas saodistinguıveis e, no caso dos ressonadores quanticos, dePlanck, eles sao indistinguıveis; o fato de indıvıduosserem distinguıveis ou nao distinguıveis altera a con-tagem de estados ocupados pelos indivıduos. Nao e,pois, de se admirar que Planck so tenha obtido a quan-tizacao apos introduzir a contagem de estados.

Referencias

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Listas de ExercícioA data referese a segundafeira da semana referida.

Os exercícios enumerados pertencem ao livro: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de FísicaVolume 2 Gravitação, Ondas e Termodinâmica, LTC

Oitava EdiçãoAs listas são construídas de forma que um aluno normal gaste de 3 a 4 horas (por semana) com elas.

Semana Exercícios

17/08 Capítulo 12Problemas: 1; 3, 4, 5, 7, 11, 12, 18, 21, 22, 24, 27, 37; 43, 44, 45, 47, 48, 50; 59;

24/08Capítulo 13Problemas: 4, 6, 7, 11, 13, 15, 16, 17, 20, 25, 29, 31, 32, 35, 43, 47, 49, 52, 55, 59,61, 69;

31/08 Capítulo 14Problemas: 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 20, 23, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 35, 38;

07/09 Capítulo 14Problemas: 49, 51, 53, 55, 56, 57, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 74, 77, 79;

14/09 Prova

21/09Capítulo 15Problemas: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 43,45, 47, 49, 53, 57, 59, 63, 111;

28/09 Moysés (Volume 2, 3ed) Capítulo 4Problemas: 7, 9, 14, 15, 16, 17, 18;

05/10Capítulo 16Problemas: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 28, 29; 31, 33, 35, 37, 38, 39,41, 43, 45, 48, 49, 51, 59, 82;

12/10Capítulo 17Problemas: 1, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 39, 43, 45,51, 53, 55, 56, 59, 63, 69, 70;

19/10 Prova

26/10Capítulo 18Problemas: 1, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 33, 35, 40, 41; 43, 45, 46, 47, 48,49, 50, 51, 52, 58, 59, 60, 62, 64, 66;

02/11Capítulo 19Problemas: 1, 3, 5, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 36, 39, 43, 45,47, 49, 51, 53, 55, 57, 58, 60;

09/11 Atividades extras

16/11Capítulo 20Problemas: 1, 3, 4, 7, 8, 10, 13, 14, 15, 19, 20, 21, 22; 23, 25, 29, 31, 32, 33, 35, 37,38, 39, 41, 43, 45, 46, 47, 48, 74;

23/11 Atividades extras30/11 Prova07/12 Fechamento

http://hpc.ct.utfpr.edu.br/~barreto/disciplinas/tempo_de_estudo.html

Conteúdo Programático de Física 2

Semana Conteúdo Aulas

17/08

Apresentação da disciplina, do método de avaliação, da bibliografia edos objetivos.Equilíbrio estático; Centro de gravidade; Forças e potencial em 3dimensões (revisão); Tensão; Elasticidade; Tração, compressão ecisalhamento; Tensão hidrostática;

4

24/08Gravitação; Princípio da superposição; Proximidades da superfície daTerra; Interior do planeta; Energia potencial gravitacional;Velocidade de escape; Leis de Kepler; Princípio da Equivalência;

4

31/08Fluidos; Hidrostática; Pressão; Lei de Stevin; Balde girante; Princípiode Pascal; Vasos comunicantes; Manômetro; Princípio deArquimedes; Variação da Pressão com a altitude;

4

07/09

Noções de Hidrodinâmica; Escoamento estacionário; Equação dacontinuidade; Forças em um fluido em movimento; Equação deBernoulli; Fórmula de Torricelli; Tubo de Pitot; Circulação;Rotacional; Efeito Magnus; Viscosidade;

4

14/09 Prova 1; 4

21/09Movimento harmônico simples; Pêndulos; Oscilador angular;Movimento harmônico amortecido; Noção de Fasores; Oscilaçõesforçadas; Ressonância;

4

28/09 Oscilações Acopladas; Sistema MassaMola: Oscilação Longitudinale Transversal; Pêndulos; Sistemas Mistos; Moléculas; 4

05/10

Ondas transversais; Ondas longitudinais; Comprimento de onda;Frequência; Amplitude; Fase; Equação de onda; Velocidade de umaonda em uma corda; Potência (Energia de uma onda); Princípio dasuperposição; Interferência; Fasores; Reflexão; Ondas estacionárias;Ressonância;

4

12/10 Som; Frentes de onda; Velocidade do som; Intensidade; Batimentos;Efeito Doppler; Ondas de choque; 4

19/10 Prova 2; 4

26/10

Temperatura; Lei 0: Equilibrio térmico; Termômetro; Escalas;Dilatação térmica; Calor (transferência de energia térmica);Capacidade térmica; Calor específico; Transformação de estado;Calor e trabalho; Lei 1: Trabalho, calor e a conservação da energia;Processos reversíveis; Ciclo; Processos adiabáticos; Processosisobáricos; Processos isovolumétricos; Mecanismos de transferênciade calor;

2

02/11Número de Avogadro; Gases ideais; Teoria cinética dos gases; Livrecaminho médio; Distribuição de velocidades; Calor específico molar;Graus de liberdade e a equipartição da energia; Expansão adiabática;

4

09/11Revisão e Exercícios: Introdução à Entropia; ProcessosTermodinâmicos; Energia Interna; Potenciais Termodinâmicos;Exercícios;

4

16/11Processos irreversíveis; Entropia; Lei 2: Seta do tempo; Máquinastérmicas; Ciclo de Carnot; Máquina de Stirling; Eficiência; Visãoestatística da entropia; Refrigerador;

4

23/11 Comparação dos Ciclos Termodinâmicos: Carnot, Stirling, Otto, eDiesel 4

30/11 Prova 3; 4

LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL 1

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