Laboratório de Física Experimental I · Capítulo 1 Introdução ao Laboratório de Física...

INSTITUTO DE FÍSICA

Guias e roteiros para

Laboratório de Física

Experimental I

Prof. Dr. Wellington Akira IwamotoProf. Dr. Cristiano Alves GuaranyProf. Dr. Mauricio FoschiniProf. Dr. Antonino Di Lorenzo

Uberlândia - MG

2014

1a Edição

Normas de Segurança do

Laboratório

Para segurança dos usuários e melhor andamento das atividadesneste laboratório, não é permitido durante as aulas:

1. Uso de bermudas, calçados abertos e regatas no laboratório.Os usuários devem utilizar calçados fechados, calça e camisetacom manga.

2. Entradas com garrafas de água.

3. Consumo de bebidas ou alimentos.

4. Uso de celular ou qualquer outro equipamento eletrônico quenão tenha �nalidade de apoio às práticas laboratoriais.

5. Utilização dos equipamentos dispostos na bancada sem ins-truções e orientações do professor.

6. Atividades paralelas durante o experimento.

7. Entrada no laboratório após 10 minutos do início da aula.

8. Introdução de qualquer objeto que não seja um plug de energianas tomadas.

Recomendamos lavar as mãos e organizar as bancadas após aaula.

Contamos com a compreensão de todos.

Coordenação

1

Sumário

1 Introdução 5

2 Conceitos básicos e algumas regras 72.1 Incertezas aleatórias e incertezas sistemáticas . . . . . . . . . . 72.2 Valor médio, Erro Estatístico e Erro total . . . . . . . . . . . . 92.3 Algarismos signi�cativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Apresentação de uma medida experimental . . . . . . . 10

3 Análise estatística 123.1 Notação cientí�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Propagação da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Linearização e Lei de Potência 16

5 Regressão Linear 205.1 Método de mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Regressão linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2.1 Exemplo de Regressão Linear e propagação de erros . . 235.3 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Elaboração de tabelas e grá�cos 296.1 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Grá�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Exemlos de grá�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Barras de erros no grá�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Guia para Relatórios 347.1 Estrutura do Relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.1.1 Redação do Relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

SUMÁRIO 3

8 Instrumentos de medidas 398.1 Régua, trena e �ta métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Paquímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.3 Micrômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.4 Cronômetros digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Guia para experimentos 45

10 Medidas e Instrumentos 4610.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.3 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11 Movimento Retilíneo Uniforme 4911.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 4911.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

12 Queda Livre 5412.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 5512.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

13 Movimento de um Projétil em duas dimensões 5913.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 6013.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

14 2a Lei de Newton-Galileo 6414.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 6514.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

15 Rotação: Movimento Circular 6815.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 6915.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 SUMÁRIO

16 Lei de Hooke 7116.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7316.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 7316.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17 Colisão em Duas Dimensões 7617.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7617.2 Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7617.3 Instruções para realizar as medidas . . . . . . . . . . . . . . . 7717.4 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A Notas de estatísticas 81A.1 Medida de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.2 Medida de mais variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.3 Propagação da incerteza com correlação . . . . . . . . . . . . 86A.4 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.4.1 Espaço de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.5 Distribuições de probabilidade importantes . . . . . . . . . . . 88

A.5.1 Distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.5.2 Distribuição Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Capítulo 1

Introdução ao Laboratório de

Física Experimental 1

A apostila é destinada aos estudantes de Física, Química, Engenhariae cursos a�ns da primeira disciplina de laboratório de Física Experimentalcom o objetivo de orientar os estudantes às práticas, às análises e às discus-sões de experimentos de um laboratório de física, concomitantemente coma metodologia cientí�ca. O texto não implica trazer inovações ou originali-dade, mas apenas tornar alguns conceitos e práticas experimentais acessíveisaos estudantes de graduação. Logo, nos roteiros (a partir do Capítulo 9)são preservados alguns aspectos da versão da apostila �Física Experimental-Mecânica� escrita pelo Engenheiro e Ex-Professor Titular de Física da UFU,Everaldo Ribeiro Franco).

Resumidamente, a apostila faz uma introdução à teoria de erros e me-didas, tornando tais parâmetros aplicáveis ao tratamento dos dados expe-rimentais. É possível adiantar que a análise dos dados experimentais seráefetuada pelos estudantes no desenvolvimento de todos os relatórios devidoa importância para a discussão e entendimento fenomenológico do conceitoexperimental e/ou teórico, por isso é reservado um capítulo para análises deerros (Capítulo 3). Além disso, não apenas para o curso em questão, maspara todos os demais laboratórios posteriores, essa metodologia também éaplicada.

Não menos relevante é a exposição e divulgação do trabalhocientí�co à comunidade. É fácil observar que muitos estudantese pro�ssionais terão uma bolsa de estudos, farão um estágio oumesmo trabalharão numa empresa, e deverão apresentar relató-rios e/ou projetos descrevendo suas atividades. Assim, torna-sefundamental a realização de relatórios como meio de organizar osresultados obtidos em cada experimento. Logo, nesta apostila, uma

5

6 Capítulo 1. Introdução

estrutura padrão da manufatura do relatório também é mostradano Capítulo 7.

Após a introdução são apresentados os guias das práticas experimentaisdivididos em seus respectivos capítulos. Cada roteiro traz, sucintamente,conceitos básicos a serem estudados que são baseados numa metodologia emontagem experimental. Portanto, neste cenário, recomenda-se, for-temente ao estudante, a prévia leitura e preparação do relatóriorelacionados ao procedimento experimental a ser estudado. O co-nhecimento prévio do experimento (aparato), dos dados que serãocoletados, da análise e qual o objetivo principal do estudo são, cer-tamente, ingredientes fundamentais para o bom desenvolvimento esucesso na realização do experimento.

Capítulo 2

Conceitos básicos e algumas

regras

Basicamente, dois tópicos devem ser abordados no curso no que diz res-peito às analises de incertezas, à propagação de erro e à análise estatísticas:as incertezas aletórias, as quais podem ser tratadas estatisticamente, e asincertezas sistemáticas, que não podem1.

2.1 Incertezas aleatórias e incertezas sistemá-

ticas

• Erros Aleatórios ou estatísticos: incertezas experimentais que po-dem ser obtidas a partir da repetição de medições. Estes erros se mani-festam na forma de pequenas variações nas medidas de uma amostra,feitas em sucessão pelo mesmo analista, com todas as precauções ne-cessárias e em condições de análise praticamente idênticas. Eles sãoproduzidos por fatores sobre os quais o analista não tem controle e,em geral, não podem ser controlados. Por exemplo, nas medições demassa com uma balança, o tempo de um voo de um projétil, o númerode desintegrações que ocorre em 1 minuto em uma amostra de mate-rial radiotaivo. Se o mensurado é este valor médio, cada medição temerro estatístico intrínseco, que só pode ser reduzido repetindo-se muitasvezes a medição para melhorar a precisão do valor médio.

• Erros Sistemáticos: Incertezas experimentais não são obtidas a par-tir de um número de repetições. São erros que podem ser evitados ou

1Para mais detalhes pesquise a bibliogra�a: TAYLOR, J. R. Introdução à Análise deErros. 2a edição. Editora: Bookman Companhia Editora LTDA, Porto Alegre-RS, 2012.

7

8 Capítulo 2. Conceitos básicos e algumas regras

cujas magnitudes podem ser determinadas. Os mais importantes sãoos erros operacionais e os erros devidos aos equipamentos.

� Erros operacionais. Estes erros são causados por fatores de res-ponsabilidade do analista que não estão relacionados ao métodoou ao procedimento que ele usou. A maior parte deles é de ordemfísica e acontece quando a técnica analítica não é seguida comrigor.

� Erros instrumentais. Estes erros se devem a defeitos nos instru-mentos de medida. Devem-se também a precisão destes instru-mentos.

Para que seja possível uma melhor distinção entre erros aleatórios eerros sistematícos, considera-se a analogia representada na Figura 2.1.

Figura 2.1: Erros sistemáticos e aleatórios. (A) Os erros aleatórios são aindapequenos, mas os erros sistemáticos são bem maiores - os pontos estão �sistemati-camente� fora do centro, em direção à direita. (B) Como todos os pontos atingirampontos próximos, podemos dizer que os erros aleatórios são pequenos. Como a dis-tribuição de pontos está concentrada no centro do alvo, os erros sistemáticos sãotambém pequenos. (C) Ambos os erros aleatórios e sistemáticos são grandes. (D)Os erros aleatórios são grandes, mas os erros sistemáticos são pequenos - os pontosestáo amplamente espalhados, mas não estão sistematicamente fora do centro.

O experimento baseia-se numa série de pontos dispostos em um alvo; �me-didas� acuradas são os pontos que estão próximos do centro. Erros aleatóriossão causados por alguma coisa que faça os pontos atingirem posições dis-tintas aleatoriamente. Por exemplo, o atirador pode ter uma mão trêmula,ou condições atmosféricas entre o atirador e o alvo podem distorcer a visãodo alvo de uma forma aleatória. Erros sistemáticos surgem quando algumadireção; por exemplo, se a mira da arma estiver desalinhada. Observe naFigura 2.1 como os resultados mudam de acordo com as várias combinaçõesde erros aleatórios ou sistemáticos, pequenos ou grandes.

2.2. Valor médio, Erro Estatístico e Erro total 9

2.2 Valor médio, Erro Estatístico e Erro total

A melhor forma de determinar a magnitude de uma medida x, por exem-plo, é realizar uma série medidas (N vezes) sempre nas mesmas condiçõese com o mesmo instrumento. Nesse caso, o valor verdadeiro (ou o melhorvalor, ou o valor mais provável) é dado pelo valor médio:

x =N∑i=1

xiN

(2.1)

Além disso, para um conjunto �nito de medidas, a teoria de erros nosmostra que esse valor deve estar relacionado à dispersão entre todos os valoresao redor da média. Assim, de�ne-se o desvio quadrático médio ou desviopadrão (para mais detalhes, veja Apêndice A):

σ =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

(x− xi)2 (2.2)

O valor verdadeiro ou o valor médio tem uma alta probabilidade de serencontrado dentro de um intervalo de valor. O número que melhor representaesse intervalo é dado pelo desvio padrão da média (ou erro estatístico):

σx = ∆xestat =σ√N

=

√√√√ 1

N(N − 1)

N∑i=1

(x− xi)2 (2.3)

Como foi mencionado na Seção 2.1, o intrumento de medição tambémtem um erro associado (∆xinstr). É possível relacionar o erro intrumental eo erro estatístico, apresentando o erro total:

∆xtotal =

√(∆xestat)

2 + (∆xinstr)2 (2.4)

A Expressão 2.4 não pode ser rigorosamente demonstrada, no entanto elapelo menos exprime uma estimativa razoável da incerteza total, desde que osinstrumentos tenham incertezas sistemáticas que não conseguimos eliminar.Em particular, ∆xtotal não pode nunca ser menor do que ∆xinstr. Esse fatosimplesmente con�rma que, na prática, uma grande redução da incertezarequer melhorias nas técnicas ou nos equipamentos para se reduzir ambos oserros sistemáticos e aleatórios em cada uma das medidas.

10 Capítulo 2. Conceitos básicos e algumas regras

2.3 Algarismos signi�cativos

Às vezes, os valores das medidas de alguns parâmetros são dados sem umaindicação do erro. Por convenção, se faz a hipótese que o último algarismoescrito tenha uma incerteza.

Este processo, porém deve ser evitado. Sempre indiquem o erro

das medidas, não con�em nos algarismos signi�cativos para isso.

A�nal, o número de algarismos depende dos seres humanos ter escolhido abase 10 para contar. Por exemplo, o número 10,4, sem outra indicação, épara se ler como um número entre 10,3 e 10,5? ou entre 10,2 e 10,6? Aliás, seusarmos a base binária, 10,4 vira 1010.01100110011001100110011001100110.Se a incerteza é (na base decimal) 0,1, deveríamos truncar o número como1010.0110, mas se a incerteza for 0,2 então teríamos 1010.011. Em seguida,damos algumas instruções para operar com números que não são acompa-nhados do erro, a ser aplicadas somente se alguém repassar o valor de umamedida nesta forma.Convenção: um número inteiro como 180, 75, 33, se considera conhecidocom precisão arbitrária. Se quiser dizer que tem incerteza no último al-garismo, escreva {180,; 75,; 33,}, ou melhor ainda use notação cientí�ca1, 80× 102, 7, 5× 10 3, 3× 10. Há uma ambiguidade para números entre 0 e9 com um dígito signi�cativo, que em notação cientí�ca se escrevem 0× 100,etc. Nestes casos, coloquem um ponto 0.×100 para �car claro que não trata-se de um inteiro exato.Regras aritméticas: quando �zer uma das quatro operações +,-,×,/, consi-derar os dois números com os algarísmos dados, depois arredondar o resultadoao menor número de algarismos. Ex. 2,1+4,88=6,98=7,0. Convenção: Umnúmero que termina por 5 se arredonda para cima (tem outras convenções,porém).

2.3.1 Exemplos do processo de apresentação correta de

uma medida experimental

Suponha-se que foram realizadas três medidas do mesmo lado de um qua-drado, utilizando o mesmo instrumento, cuja incerteza instrumental, ∆L =5×10−3 m. As medidas foram: L1 = (680±5)×10−3 m, L2 = (660±5)×10−3

m e L3 = (670± 5)× 10−3 m.

• Calcule o valor mais próximo do verdadeiro entre as três medidas, uti-lizando a Eq. 2.1:

L = 670× 10−3 m

2.3. Algarismos signi�cativos 11

• Calcule o erro estatístico através da Eq. 2.3:

∆Lestat = 5, 7735026...× 10−3 m

• Calcule o erro total pela Eq. 2.4:

∆LT = 7, 63762...× 10−3 m

Entretanto, expressar essa medida da forma (670 × 10−3 ± 7, 63762... ×10−3) m é totalmente incorreta. Segue abaixo uma das formas apropria-das de representar essa medida, considerando um algarismo signi�cativo naincerteza.

• Então, considerando apenas um algarismo signi�cativo na incerteza eaplicando a regra de arrendondamento:

∆LT = 8× 10−3 m

• Realize o arrendondamento apropriado para os valor L = 670×10−3 m.Nesse caso, repare que também não separação dos valores por vírgula.

• Logo, uma das formas corretas de representar essa medida é através daexpressão:

(670± 8)× 10−3 m.

Outro exemplo:

• Suponha-se um tempo qualquer t = 670× 10−13 s.

• O erro total determinado é ∆t = 1, 340298...× 10−11 s.

• Considerando um algarismo signi�cativo e utilizando o mesmo proce-dimento anterior:

∆t = 0, 1× 10−10 s

• Realizando o arrendontamento apropriado:

t = 0, 7× 10−10 s

• Portanto, uma das formas corretas de representar essa medida é atravésda expressão:

t = (0, 7± 0, 1)× 10−10 s.

Observação: recomenda-se, fortemente, escrever os resultados anotação cientí�ca.

Capítulo 3

Análise estatística para

laboratórios de física

3.1 Notação cientí�ca

As unidades que usamos no dia a dia não sempre se prestam a escrever osnúmeros em forma compacta. Ex., em notação decimal comum, a massa dopróton é 0,00000000000000000000000000167262178 kg. Todos aqueles zerosna frente não trazem nenhuma informação relevante além de estabelecer aordem de grandeza, e ocupam muito espaço também. Imaginem se tentassemcolocar este número numa calculadora cientí�ca, que tem 10 dígitos: dariazero! Nas ciências, então, se utiliza uma notação compacta da forma x =a × 10n, com n um inteiro. Claramente, podemos escolher a e n de váriasmaneiras. A mais conveniente, porém, é escolher 1 ≤ |a| < 10, assim não temzeros desnecessários. Porém, os engenheiros preferem escolher n um múltiplode três, então 1 ≤ a < 1000. Isso porque as potências 10−3, 103, 106, etc. temnomes. Então, na notação da engenharia �ca mais fácil falar os números,enquanto na notação cientí�ca �ca mais fácil escrevê-los. No caso da massado próton, temosmP = 1, 67262178×10−27 kg. A massa do elétron se escreveme = 9, 1093829×10−31 kg em notação cientí�ca eme = 910, 93829×10−27 kgem notação de engenharia. Neste caso, como não tem um pre�xo para dizer10−27, a notação de engenharia não ajuda muito. Porém, considerem o pesoda Red Bull RB7, o carro do campeão do mundo 2012 de F1. O peso do carroé 640 kg em notação de engenharia, e 6, 40 × 102 kg em notação cientí�ca.Se tiver que falar o valor, a notação de engenharia é mais prática. Para a�nalidade do curso de laboratório de Física Experimental 1 é padronizadoo uso da notação cientí�ca devido a utilização nas análises dos dados econfecções de relatórios cientí�cos compostos de textos.

12

3.2. Incerteza 13

3.2 Incerteza

Todas as medidas têm uma incerteza, às vezes chamada de erro. Nestecurso as palavras erro(s) e incerteza(s) serão utilizadas como sinônimos. Otermo erro expressa a incerteza da medida e não signi�ca que a medida estáerrada. Ingenuamente, poderia-se pensar que utilizando instrumentos mais emais precisos a incerteza iria para zero a medida que a precisão aumenta. Po-rém não é assim. Quando medimos uma grandeza física, tem uma incertezaintrínseca, devida à própria de�nição da grandeza não poder ser rigorosa.Quando eliminamos as incertezas devidas aos instrumentos de medida (oumelhor quando �zermos elas extremamente pequenas) e as condições am-bientais variáveis, conseguimos medir esta incerteza intrínseca, que é tãoimportante quanto o valor da grandeza.

Exemplo: medimos a largura de duas mesas, uma da fábrica A, outrada fábrica B. A largura da mesa da fábrica A é 120,0 cm, com uma incertezaestatística (a ser de�nida abaixo) sA = 1, 5 cm. A largura da mesa da fábricaB é 110,02 cm, com uma incerteza estatística sB = 0, 20 cm. O valor médionos diz que as mesas da fábrica A tem largura maior, porém a incertezaestatística revela que as mesas da fábrica B são mais regulares.

3.3 Propagação da incerteza

O procedimento experimental é baseado em medidas que geram de al-guma forma incertezas, conforme observado na Seção 2. Parâmetros podemser encontrados de uma forma direta, por exemplo, a medida de um lado deum paralelepípedo com o intrumento apropriado (régua, paquímetro, etc) e,também, podem ser encontrados de forma indireta1, por exemplo, determi-nar o volume desse paralelepípedo, a partir das medidas de cada lado desseobjeto. Se a medida de cada lado apresenta uma incerteza associada a essamedida (a ± σa, b ± σb e c ± σc), qual seria o valor do volume desse objetoe sua incerteza associada, σV ? Nesta seção é apresentada uma equação quetornará possível encontrar tal incerteza associada.

Assim, considere uma grandeza u que esteja relacionado com outras gran-dezas x1, x2, x3, ..., xn:

u = f(x1, x2, x3, ..., xn)

Cada grandeza xi apresenta sua incerteza σi correspondente, isto é, cadagrandeza é mostrada na forma xi±σi. Assumindo que as incertezas nas gran-dezas xi são independentes entre si (mas se houver correlação, veja Apêndice

1RABINOVICH, S. G., Measurement Errors and Uncertainties - Theory and Practice.Third Edition. Publisher: Springer. New York, USA, (2005).

14 Capítulo 3. Análise estatística

A.3), as grandezas tenham distribuições normais, com média e desvio padrãobem conhecidos, a incerteza do parâmetro u é dada pela Equação 3.1 (desdeque as medições ocorram com boa precisão e pequenos valores nas incertezas,σi):

σ2u =

(∂u

∂x1

)2

σ2x1

+

(∂u

∂x2

)2

σ2x2

+ · · · +(∂u

∂xn

)2

σ2xn

(3.1)

na equação σxj é a incerteza no valor da j-ésima grandeza de �entrada� eσu é a incerteza no valor da grandeza de �saída�. Apesar da Eq. 3.1 serapresentada diretamente (sem demonstração) devido ao curso ser apenas in-trodutório ao Laboratóro de Física Experimental, assim como a não inclusãode parâmetro como covariância2, essa equação será utilizada durante todas asanálises experimentais nesse curso e nas disciplinas posteriores de laboratóriode física.

Voltando, então, ao exemplo citado anteriormente, o volume, V , do pa-ralelepípedo é escrito como função das variáveis a, b e c:

V = V (a, b, c) = abc

Através da Eq. 3.1:

σ2V =

(∂V

∂a

)2

σ2a +

(∂V

∂b

)2

σ2b +

(∂V

∂c

)2

σ2c

= (bc)2 σ2a + (ac)2 σ2

b + (ab)2 σ2c

Particularmente, essa relação ainda pode ser expressa na forma reduzidapara facilitar o cálculo, dividindo-a por V 2 = (abc)2:(σV

V

)2

=(σaa

)2

+(σbb

)2

+(σcc

)2

Essa expressão na forma reduzida é conhecida como incerteza relativa3.Como exemplo numérico, considere as seguintes dimensões do paralelepí-

pedo: a = 50, 23± 0, 05 mm, b = 60, 14± 0, 05 mm e c = 42, 78± 0, 05 mm.O valor do volume é dado pelo produto das três dimensões:

2A demonstração não é menos importante, a qual pode se encontrada na bibliogra�a:VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2a edição. Editora: Editora EdgardBlucher LTDA. São Paulo-SP, (1996).

3A incerteza relativa é de�nida como ε = σy , onde y é o valor experimental e σ é a sua

incerteza. Pode ser expressa como incerteza porcentual, ε (%) = 100ε = 100σy .

3.3. Propagação da incerteza 15

V (a, b, c) = abc = 129, 2312...× 103 mm(σVV

)2

=

(0, 05

50, 23

)2

+

(0, 05

60, 14

)2

+

(0, 05

42, 78

)2

σV = 0, 22562...× 103 mm (3.2)

Portanto, a partir das regras de arredonamento (ver Capítulo 2) o volume doobjeto é expresso da seguinte forma:

V = (129, 2± 0, 2)× 103 mm3

Capítulo 4

Linearização e Lei de Potência

Para analisar o trabalho experimental, normalmente, faz-se o uso de grá�-cos, nos quais relacionam o comportamento entre duas variáveis. As grande-zas determinadas quantitativamente são obtidas a partir de análises simples,como os parâmetros de uma reta (y = ax + b, onde a = coe�ciente angulare b é o coe�ciente linear). A Tabela 4.1 apresenta um exemplo de um expe-rimento onde para cada medida da posição d (em centímetros) mediu-se otempo, t (em segundos).

Tabela 4.1: Tabela da distância, di ± ∆di percorrida de um projétil em funçãodo tempo ti ±∆ti.

t±∆t (s) d±∆d (cm)0,8 ± 0,2 1,1 ± 0,21,9 ± 0,4 4,5 ± 0,93,0 ± 0,6 11,2 ± 2,23,9 ± 0,8 16,1 ± 3,24,8 ± 1,0 20,8 ± 4,25,9 ± 1,2 35,6 ± 7,16,8 ± 1,4 49,2 ± 9,87,8 ± 1,6 62 ± 129,0 ± 1,8 83 ± 17

Entretanto, os dados representados numa tabela não indicam facilmenteo comportamento entre os dois parâmetros, tornando mais apropriado umavisualização grá�ca desse conjunto de dados, conforme a Figura 4.1.

No grá�co da Figura 4.1 nota-se a di�culdade de obter alguma informaçãoquanto ao comportamento (quadrático, cúbico, etc) da posição com relaçãoao tempo medido. Logo, é possível sugerir uma relação geral, Eq. 4.1, quebusca determinar essa dependência:

16

17

0 2 4 6 8 1 0 1 20

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0Po

sição

(cm)

T e m p o ( s )

M o d e l o t e ó r i c o D a d o E x p e r i m e n t a l

M o v i m e n t o d o p r o j é t i l

Figura 4.1: Grá�co da distância percorrida de um projétil em função do tempode voo.

d = Atn (4.1)

onde A e n são constantes a serem determinadas.Então, aplicando o logaritmo natural1 na Equação 4.1, obtemos:

Ln(d) = Ln(A) + nLn(t) (4.2)

Assim, relacionando essa equação com uma reta y = b + ax, obtemosy = Ln(d), b = Ln(A), a = n e x = Ln(t).

Observa-se que o coe�ciente linear e o angular estão relacionados com asconstantes A e n, respectivamente. Logo, é possível determiná-los da seguintemaneira:

1. Construa uma Tabela 4.2 com os parâmetros y = Ln(d) e x = Ln(t).Note que os parâmetros d e t apresentam incertezas, logo essas incerte-zas devem ser propagadas, pela relação 3.1, isto é, determinar yi±∆yie xi ±∆xi;

1O Logaritmo em outras bases, por exemplo, na base 10 pode ser utilizada desde quefor conveniente.

18 Capítulo 4. Linearização e Lei de Potência

σy = σLnd =

√(∂y

∂d

)2

(∆d)2 =

∣∣∣∣∆dd∣∣∣∣

σx = σLnt =

√(∂x

∂t

)2

(∆t)2 =

∣∣∣∣∆tt∣∣∣∣

Tabela 4.2: Tabela do logaritmo da distância percorrida de um projétil em funçãodo logaritmo do tempo de voo.

Ln(t) ± 0,2 Ln(d) ± 0,2-0,2 0,10,6 1,51,1 2,41,4 2,81,6 3,01,8 3,61,9 3,92,1 4,12,2 4,4

2. A partir da Tabela 4.2, elabore um grá�co de Ln(d) em função deLn(t), como apresentado na Figura 4.2;

- 1 0 1 2 30

1

2

3

4

5 D a d o s e x p e r i m e n t a i s A j u s t e l i n e a r

Ln(d)

L n ( t )Figura 4.2: Logaritmo da distância d do projétil em função do logaritmo dotempo de voo. A distância está em centímetros e o tempo em segundos. A linhavermelha mostra o ajuste linear, y = b+ ax.

19

3. Trace a melhor reta (reta médida) que passa pelos pontos;

4. Determine, através da melhor reta (não é para usar os pontosda tabela para determinar o coe�ciente angular), o coe�cienteangular e linear. Em seguinda, encontrar as constantes A ± ∆A en ± ∆n. Pelo método grá�co não será possível determinar ∆A e/ou∆n (pelo menos nesse curso2).

Os pontos escolhidos a partir da reta são: P1 (1;0,3) e P2 (4;2), logoo coe�ciente angular é dado por: a = 4−1

2−0,3≈ 1, 8. Já o coe�ciente

linear é determinado quando Ln(t) = 0. Isso acontece quando t = 1 s,pois Ln(1) = 0, mas com a unidade apropriada. Da Figura 4.2, temos,b ≈ 0, 4 = Ln(A). Portanto A ≈ 1, 5 cm/s2.

2Há formas de estimar os erros das grandezas a partir do grá�co também, porém nãoserão aplicadas durante o curso. Para se determinar os erros dessas grandezes, no curso,serão utilizados o método de mínimos quadrados discutido na Seção 5.1.

Capítulo 5

Método de mínimos quadrados

para Regressão Linear

Ao analisar os dados experimentais, ajustando-os a uma função, f(x), talanálise é chamada de regressão. E, quando o ajuste é realizado para umafunção de uma reta, esse procedimento é chamado de regressão linear. Asrelações mostradas nesse capítulo são destinadas ao ajuste linear, no qual éutilizado o método de mínimos quadrados para encontrar os melhores valoresdo coe�ciente angular, a, e do coe�ciente linear, b, de uma reta (y = ax+ b).

5.1 Método de mínimos quadrados

Se os pares medidos (x, y), fossem valores �verdadeiros�, cada par seriarepresentado gra�camente por um ponto e a reta passaria sobre todos eles.Entretanto, como y e x estão sujeitos a erros, a posição de cada ponto nãoé determinada exatamente. Assim, ao invés do ponto ideal, tem-se o pontoassociado a sua incerteza, σ.

Para um processo de medição com apenas duas variáveis x e y, um con-junto de n pontos experimentais pode ser representado pelas Relações 5.1

{x1, y1, σ1} , {x2, y2, σ2} , ..., {xi, yi, σi} , ..., {xn, yn, σn} , (5.1)

onde a variável independente x é considerada isenta de erros, enquanto aincerteza em yi é dada por σi.

O método de mínimos quadrados para o ajuste de uma função f(x) a umconjunto de pontos experimentais pode ser deduzido quando as distribuiçõesde erros são Gaussianas e a melhor função f(x) deve ser determinada a partirde uma função geral f(x, a1, a2, ..., an) tem forma e número de parâmetrospredeterminados. Considerando um conjunto de dados experimentais das

20

5.2. Regressão linear 21

Relações 5.1, a probabilidade Pi de obtermos um resultado qualquer xi, yi, σié proporcional à função Gaussiana de densidade de probabilidade:

Pi =C

σiexp

[−1

2

(yi − yiσi

)2], (5.2)

onde yi é o valor médio verdadeiro corresponde a yi e C é uma constante denormalização. Logo, a probalidade P de ocorrer o conjunto de resultados édado pelo produto das probabilidades de cada resultado:

P = P1P2...Pn =Cn

σ1σ2σnexp

[−1

2

n∑i=1

(yi − yiσi

)2]

(5.3)

Para a melhor aproximação f(x) deve ser tal que a esta probabilidade émáxima, se f(x) é admitida como a função verdadeira. Assim, substituindoyi por f(xi, a1, a2, ..., an) na Eq. 5.3, obtém-se:

P =Cn

n∏i=1

σi

exp

[−1

2χ2

](5.4)

onde

χ2 =n∑i=1

(yi − f(xi, a1, a2, ..., an)

σi

)2

(5.5)

Logo, os parâmetros a1, a2, ..., an devem ser tais que a probabilidade Pseja máxima. Isso acontece quando χ2 é mínimo. Portanto, o método dosmínimos quadrados consiste em ajustar os parâmetros a1, a2, ..., an de talforma que:

∂χ2

∂a1

= 0,∂χ2

∂a2

= 0, . . . ,∂χ2

∂an= 0 (5.6)

5.2 Regressão linear

Suponha um conjunto de dados experimentais (yi ± σi, xi) que sejamdescritas para uma melhor função linear f(x) = axi + b. O objetivo seresume em determinar o valor do coe�ciente angular, a ± σa, e o coe�centelinear, b± σb, através do método de mínimos quadrados (veja Seção 5.1).

A relação χ2 é escrita da seguinte forma para o caso particular de umajuste linear:

22 Capítulo 5. Regressão Linear

χ2 =n∑i=1

(yi − axi − b

σi

)2

(5.7)

É possível determinar os coe�cientes a partir das Relações 5.6:

∂χ2

∂a= 0 = 2

n∑i=1

1

σ2i

(yi − axi − b)(−xi)

∂χ2

∂b= 0 = 2

n∑i=1

1

σ2i

(yi − axi − b)(−1) (5.8)

As Relações 5.8 é um sistema de duas equações e duas incógnitas. Bastaresolvê-lo para a incógnita, a, e para a incógnita, b (encorajamos o estu-dante a realizar essa passagem):

a =

(n∑i=1

wi

)(n∑i=1

wiyixi

)−(

n∑i=1

wiyi

)(n∑i=1

wixi

)∆

b =

(n∑i=1

wiyi

)(n∑i=1

wix2i

)−(

n∑i=1

wixiyi

)(n∑i=1

wixi

)∆

(5.9)

onde wi = 1σ2ie

∆ =

(n∑i=1

wi

)(n∑i=1

wix2i

)−

(n∑i=1

wixi

)2

(5.10)

Também é possível determinar os erros associados a partir da relação depropagação de incertezas (encorajamos o estudante a realizar essas passagens,revendo o Capítulo 3 para auxiliá-lo):

σ2a =

n∑i=1

wi

∆

σ2b =

n∑i=1

wix2i

∆(5.11)


As Equações 5.9, 5.10 e 5.11, são gerais e valem para o caso onde cadaσi seja diferente dos outros. No caso das incertezas serem iguais σi = σ,isto é, o mesmo valor para todos os valores de yi, as relações de a, b, σa e σbsão simpli�cadas:

a =

N

(n∑i=1

yixi

)−(

n∑i=1

yi

)(n∑i=1

xi

)∆

b =

(n∑i=1

yi

)(n∑i=1

x2i

)−(

n∑i=1

xiyi

)(n∑i=1

xi

)∆

(5.12)

onde N é o número total de medidas.

∆ = N

(n∑i=1

x2i

)−

(n∑i=1

xi

)2

(5.13)

Os erros associados, neste caso, são:

σ2a =

N

∆σ2

σ2b =

n∑i=1

x2i

∆σ2 (5.14)

Observação: considere todas incertezas iguais, σi = σ, e mostre as re-lações acima.

5.2.1 Exemplo de aplicação da regressão linear �passo a

passo�

Observação: o exemplo a seguir, �passo a passo�, contém também aplica-ções das regras de propagação de erros, regras de arrendondamento, a formacorreta de apresentar tabelas e expressar os resultados �nais.

Suponha um experimento �ctício envolvendo decaimento radioativo denúcleos, onde é possível medir a quantidade de radionuclídeos que decaemnum certo tempo. A lei de decaimento é exponencial, conforme a Eq. 5.15:

N = N0e− tτ (5.15)


onde N é o número de núcleos restantes em um dado instante t, N0 é onúmero de núcleos em t = 0 dias e τ é uma constante chamada de tempo ca-racterístico e é particular de cada nuclídeo. Os dados coletados desse �ctícioexperimento envolvendo o decaimento de um núcleo radiotivo estão repre-sentados na Tabela 5.1:

Tabela 5.1: A tabela representa o decaimento de um mesmo nuclídeo com seurespectivo tempo, onde n representa a sequência no qual foi realizada a medida.

n N(1023) nuclídeos (t1 ± 1) dias (t2 ± 1) dias (t3 ± 1) dias1 9,40 2 - -2 8,78 4 - -3 7,42 10 - -4 5,55 20 19 21

A partir desses dados experimentais, determine o número de nuclídeosinicial e o tempo característico do nuclídeo.

Solução: a determinação desses parâmetros é realizada a partir da re-gressão linear. Assim, aplica-se primeiramente Ln1 na Eq. 5.15, uma vezque a lei de decaimento deve seguir as medidas experimentais:

Ln(N) = Ln(N0) +

(− tτ

)(5.16)

Repare que, para esse caso em particular, não há incerteza experimentaisna medida do número de nuclídeos. Há apenas as incertezas experimentaisassociadas à medida do tempo, segundo a Tabela 5.1, ou seja, necessita-sereescrever a Eq. 5.16 da seguinte forma:

t = τLn(N0) + (−τ)Ln(N) (5.17)

Assim, os parâmetros lineares �cam dispostos segundo as novas variáveisdependentes e independentes2:

y = t = variável dependentea = −τ = coe�ciente angular

b = τLn(N0) = coe�ciente linearx = Ln(N) = variável independente

1O Logaritmo em outras bases, por exemplo, na base 10 pode ser utilizada desde quefor conveniente.

2Terminologia adotada do ponto de vista apenas do cálculo, sem nenhum signi�cadofísico.


para uma reta proposta do tipo y = b+ ax.Antes de prosseguir com as análises, é importante reparar que o tempo

foi medido 3 vezes na última medida. Logo, é necessário determinar o erroestatístico para esse ponto:

A partir da Eq. 2.1 é possível determinar o valor verdadeiro:

t =20 + 19 + 21

3= 20 dias

O erro estatístico é dado pela Eq. 2.3:

∆testat =

√(20− 21)2 + (20− 19)2 (20− 20)2

3(3− 1)= 1, 0127...dias

Para esse caso em particular o erro instrumental é desprezível, de forma queo erro total é simplesmente o erro estatístico. Assim, realizando o arrendon-tamento correto, segundo as regras enunciadas no Capítulo 2, essa grandezadeve ser expressa da seguinte forma:

t = 20± 1 dias.

A Tabela 5.2 mostra os dados coletados inicialmente após a aplicação doLn e analisado o erro na quarta medida:

Tabela 5.2: A tabela representa o decaimento de um mesmo nuclídeo com seurespectivo tempo, onde n representa a sequência das medidas.

n (t± 1 dias) Ln(N)1 2 55,200022 4 55,131933 10 54,963644 20 54,67326

É possível observar que apenas as medidas do tempo apresentam oserros associados. Logo se tornam as variáveis dependentes, �y�, que per-mitem a aplicação das Eqs. 5.14 para determinar os parâmetros a e b,conforme o método dos mínimos quadrados tratados neste capítulo. Alémdisso, nota-se, também, que os erros são todos iguais, ou seja, o cenário éσi = σ = constante. Portanto, adota-se as Eqs. 5.14, para determinarmosos parâmetros da equação da reta, y = ax+ b.

Para se evitar erros de contas, recomenda-se efetuar os cálculos parcial-mente, conforme constam a seguir:


∑x = 219, 9689(∑

x)2

= 48, 3863× 103∑x2 = 12, 09674× 103∑xy = 1, 97403× 103∑y = 36

Determina-se o valor de ∆ pela Eq. 5.13:

∆ = 4× 12, 09674× 103 − 48, 3863× 103 = 0, 66

Determina-se os coe�centes a e b:

a =4× 1, 97403× 103 − 219, 9689× 36

0, 66= −34, 4891

b =36× 12, 09674× 103 − 1, 9740294× 219, 9689

0, 66= 1, 9054× 103

Determina-se os valores dos respectivos erros σa e σb através das Eqs.5.14:

σa =

√4

0, 66× 12 = 2, 4618

σb =

√48, 3863× 103

0, 66× 12 = 0, 27076× 103

Logo, utilizando as regras de arredondamento discutidas nesse capítulo:

a = −34, 4891± 2, 4618 =⇒ a = −34, 5± 2, 5

b = (1, 9054± 0, 27076)× 103 =⇒ b = (1, 9× 103 ± 0, 3)× 103

Para calcular o número de nuclídeos inicial (N0) e o tempo característico(τ) é necessário voltar aos parâmetros da equação y = ax+ b:


y = t = variável dependente

a = −τ = coe�ciente angularb = τLn(N0) = coe�ciente linearx = Ln(N) = variável independente

Então, do coe�ciente angular:

τ = −a = −(−34, 5) = 34, 5 dias

Já a partir do coe�ciente linear:

Ln(N0) =b

τ=

1, 9× 103

34, 5

Ln(N0) = 55, 0725

N0 = e55,0725 = 0, 8273× 1024 nuclídeos

Além disso, é importante lembrar que as grandezas τ e N0 dependemde variáveis que possuem incertezas, ou seja, τ = τ(a) e N0 = N0(τ, b),logo, deve-se propagar as incertezas pela Eq. 3.1, efetuar o arredondamentoadequado e expressá-las na forma τ ±∆τ e N0 ±∆N0:

• Cálculo do erro ∆τ :

∆τ =

√(∂τ

∂a

)2

∆a2 =

√(−1)2 (2, 5)2 = 2, 5

Logo, τ = 34, 5± 2, 5 dias.

• Cálculo do erro ∆LnN0: mantendo o ideal do �passo a passo�, primei-ramente calculamos ∆(LnN0). Para facilitar a notação, u = LnN0 = b

τ:

(∆u)2 =

(∂u

∂b

)2

(∆b)2 +

(∂u

∂τ

)2

(∆τ)2

Para simpli�car os cálculos, divide-se ambos lados da equação acimapor u2 =

(bτ

)2:

(∆u

u

)2

=

(∆b

b

)2

+

(∆τ

τ

)2

Assim, ∆u = ∆(LnN0) = 9,2795, ou seja, LnN0 = 55, 1± 9, 3.

Agora, calculamos ∆N0, novamente, pela equação da propagação deerros, Eq. 3.1


• Cálculo do erro ∆N0: Ainda utilizando, u = LnN0, então, N0 = eu

∆N0 =

√(∂N0

∂u

)2

(∆u)2

=

√(eu)2 (∆u)2 =

√(e55,1)2 (9, 3)2 = 7, 90877× 1024

Portanto, N0 = (1± 8)× 1024 nuclídeos.

Nota-se que a aplicação acima não é necessariamente um exemplo envol-vendo experimento de mecânica clássica, assim, �quem atentos como realizaras análises dos dados experimentais. Para maiores detalhes e aprofunda-mento no método é recomendável a consulta das bibliogra�as abaixo:

5.3 Bibliogra�a

1. VUOLO, J. H., Fundamentos da teoria de erros. 2a edição. Editora:Editora Edgard Blucher LTDA. São Paulo-SP, (1996).

2. TAYLOR, J. R., An introduction to error analysis: the study of uncer-tainties in physical measurements. Second Edtion. Editora: UniversityScience Books. Sausalito-CA, (1997).

3. RABINOVICH, S. G., Measurement Errors and Uncertainties - Theoryand Practice. Edição: Third Edition. Editora: Springer. New York,USA, (2005).

4. DE CASTRO, W. J. C., Propagaçao de erros. 1a edição. Editora IPT,São Paulo-SP, (1979).

Capítulo 6

Elaboração de tabelas e grá�cos

Tabelas e grá�cos são normalmente utilizadas para a representar os da-dos coletados durante os experimentos. Elas dão suporte para que o leitorentenda melhor os fatos contidos no relatório, portanto tabelas, grá�cos e�guras devem ser muito bem apresentadas, para que elas façam sentido notexto. Segue, abaixo, uma lista de informações mínimas que um elas precisamapresentar:

6.1 Tabelas

A tabela deve conter um resumo com o máximo de informações divididosnos seguintes itens:

• Cabeçalho: localizada parte superior da tabela contendo as informa-ções sobre o conteúdo da cada coluna.

• Coluna: a coluna deve apresentar, por exemplo, a grandeza medida.Ainda sobre a coluna, ela deve apresentar a unidade de medida e in-certezas e, se for necessário, a potência de 10 pela qual os valores dacoluna devem ser multiplicados.

• Legenda: deve conter uma breve descrição do conteúdo da tabela e ascondições nas quais os dados foram obtidos.

• Outros: a ordem da medida deve ser indicada se a ordem em que foramrealizadas as medidas foram importantes. Quando houver abreviações,ela deve ser explicada no próprio cabeçalho.

Segue um exemplo de tabela com mínimas informações na Tabela 6.1:

29

30 Capítulo 6. Elaboração de tabelas e grá�cos

Tabela 6.1: Parâmetros experimentais referentes aos �lmes �nos amorfos de Si-lício (Si) dopados com elementos de terras-raras (RE), a-Si:RE. Os �lmes estãoordenados a partir dos íons Re3+ magnéticos para os íons não magnéticos, exceto aprimeira medida que corresponde ao �lme sem dopagem. As colunas representam,da esquerda para direita, os tipos de �lmes �nos dopados com RE, a sua área (emmm2) de deposição de elementos de RE sobre os �lmes, assim como a sua concen-tração em (%). A partir de experimentos e de análises da técnica de Ressonânciade Spin Eletrônico (RSE) foi possível determinar o número de spins por centímetroquadrado nessas amostras.

N Filmes área RE Concentração RE Densidade D0 ± 0,2(mm2) (at%) (x 1015 spins/cm2)

1 aSi 0 0 5,22 aSi:Gd 7 0,05(5) 1,63 aSi:Er 6 0,05(5) 1,74 aSi:Lu 5,5 0,05(5) 5,05 aSi:Y 5 0,05(5) 4,8

6.2 Grá�cos

É a forma de detectar visualmente como uma componente (y) varia emfunção de outra componente (x), ou seja, é possível observar e estudar ocomportamento de uma certa grandeza em relação a outra. Assim, torna-seimprescindível o uso do papel adequado (milimitrado, mono-log e/ou log-log)para a construção de um grá�co ou algum software1 para edição de grá�cos,por exemplo, Qtiplot, Winplot, etc.

• Eixos: os eixos devem ser apresentados de forma clara, indicando-osnão apenas pelas letras y, x. As grandezas, suas unidades de medidase a pontência de 10, quando houver, devem ser também indicadas nosrespectivos eixos.

• Escalas: as escalas devem ser expandidas adequadamente, de modoa ocupar a maior área no papel, para que as informações possam serextraídas do grá�co. É muito comum o estudante gra�car os dadosexperimentais numa escala muito pequena ou escalas desproporcionaisda vertical em relação à horizontal, de forma que o comportamento realdos dados experimentais �cam mascarados, comprometendo o estudo

1No curso de Laboratório de Física Experimental 1 não é permitido o uso de programaspara análises de dados.

6.3. Exemlos de grá�cos 31

pela análise grá�ca. Além disso, não é necessário que o grá�co inicieexatamente do zero, e sim, a partir de uma valor pouco abaixo do menorvalor medido. Por �m, salienta-se que os dois eixos não necessitam tera mesma escala e mesma origem.

• Título e legenda: no grá�co, também, é necessário ter título e le-genda, pois elas indicam o que representam a �gura.

• Pontos: as indicações dos pontos (dados experimentais) devem serrepresentados por círculos, quadrados, etc. Elas devem ser, cuidadosa-mente, expressas do tamanho adequado para não comprometer a leituracorreta dos dados experimentais.

• Traço: a curva, quando for necessária, deve ser grá�cada de modo arepresentar a tendência média dos pontos experimentais.

6.3 Exemlos de grá�cos

Os grá�cos também devem vir acompanhados de legendas e de uma brevedescrição, sendo que a descrição deve vir logo abaixo do grá�co. Eles são tra-tados como �guras, assim na legenda as mesmas devem iniciar com Figurano (Figura e Tabela devem ter status de nome próprio e deve portanto iniciarcom letra maiúscula) seguida de um pequeno texto explicativo. Um grá�cobem produzido é uma das melhores formas de apresentar os dados experi-mentais. Há muitos parâmetros que devem ser escolhidos criteriosamentecomo a função a ser representada, as escalas dos eixos, o tamanho, o símbolopara os pontos experimentais, etc. A Figura 6.1 mostra um grá�co com osparâmetros mínimos cuidadosamente escolhidos, o qual é possível veri�carque o modelo teórico (posição = 0, 5t2) segue o mesmo comportamento doresultado experimental.

Os mesmos dados experimentais da Figura 6.1 estão representados nova-mente nos quatro grá�cos da Figura 6.2 para ilustrar os erros muito comunsna elaboração do grá�co.

Na Figura 6.2 o grá�co 1 exibe os pontos experimentais conectados atravésde linhas retas, o correto seria traçar uma curva suave que passa-se por umponto médio entre os dados experimentais. O tamanho dos pontos deve sertal que cada ponto seja bem visível, nem muito pequeno e nem exageradocomo no grá�co 2. No grá�co 2, os números das escalas são difíceis de ler e oos nomes dos eixos não estão bem claros, quanto a grandeza e a unidade. Nográ�co 3 as escalas foram mal escolhidas, desaproveitando a área, e os nomesdos eixos x e y não deixa claro do que se trata a informação que o grá�co

32 Capítulo 6. Elaboração de tabelas e grá�cos

0 2 4 6 8 1 0 1 20

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Posiç

ão (c

m)

T e m p o ( s )

M o d e l o t e ó r i c o D a d o E x p e r i m e n t a l

M o v i m e n t o d o p r o j é t i l

Figura 6.1: Exemplo de uma apresentação adequada de um grá�co no relatório.O grá�co representa a posição do projétil coletados no experimento em funçãodo tempo de voo. A linha preta descreve o comportamento teórico dos dadosexperimentais.

0 2 4 6 8 1 00

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Posiç

ão (c

m)

T e m p o ( s )

G r á f i c o R u i m 1

0 2 4 6 8 1 00

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Y

t ( s )


0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 00

2 0

4 0

6 0

8 0

Y

X


- 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

posiç

ão

T e m p o


Figura 6.2: Exemplo de uma apresentação incorreta de um grá�co no relatório.

6.4. Barras de erros no grá�co 33

deve passar. No grá�co 4 a escala horizontal é indicada por meio de traçosnos valores dos pontos, além de não exibir as unidades das escalas em cadaeixo.

6.4 Barras de erros no grá�co

Repare também que os pontos das medidas são apresentados com as bar-ras de erros, numa �gura adequada. A posição central do ponto é a medida(x,y) e a barra de erro é o valor do erro da medida (∆x e ∆y). A Figura6.3 exempli�ca como realizar uma barra de erro. A barra de erro da absissacomeça em t − ∆t e vai até t + ∆t, e o mesmo raciocínio para o caso daordenada.

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

5

6

7

8

9

Posiç

ão (c

m)

T e m p o ( s )

( 1 0 ± 5 ; 7 ± 2 )

Figura 6.3: Exemplo de uma apresentação correta da barra de erro no grá�co.

Capítulo 7

Guia para Redação de Relátorios

Cientí�cos

O relatório de pesquisa é o documento escrito pelo pro�ssional ou umgrupo de pro�ssionais que buscam relatar as conclusões de um trabalho ouprojeto (mesmo que parciais). Portanto, tal documento tem como funçãodivulgar informações e também servir de registro de um trabalho executado.Assim, o texto deve dar ao leitor uma clara compreensão dos fatos, dados econclusões, o que torna o documento por si só explicativo, isto é, com a sualeitura um outro pro�ssional deve ser capaz de entender e repetir o trabalhocontido no texto.

7.1 Estrutura do Relatório

Atenção: colar textos de livros, apostilas, outros relatórios,mesmo citando a fonte, é inaceitável. Tais conteúdos são prote-gidos por leis de direito autorais, levando o indivíduo a respondercriminalmente.

Tão importante quanto realizar o experimento proposto é a apresentaçãodo relatório de pesquisa. O relatório deve em primeiro lugar, retratar o quefoi realmente realizado no experimento, sendo de fundamental importânciaa apresentação de um documento bem ordenado e de fácil manuseio. Alémdisso, deve ser o mais sucinto possível e descrever as atividades experimen-tais realizadas, a base teórica dessas atividades, os resultados obtidos e suasdiscussões e conclusões, além da citação da bibliogra�a consultada. Comoauxílio para redação do relatório deve-se adotar, na sequência, os seguintestópicos:

• Capa

34

7.1. Estrutura do Relatório 35

Uma página com o título da experiência, a data, o nome do autores, eo curso. O nome dos autores devem, também, conter seus números dematrícula e suas assinaturas, respectivamente.

• Índice ou conteúdo O índice ou conteúdo do relatório é a parteessencial de um relatório de pesquisa, pois auxilia o leitor a familiarizar-se com o trabalho, facilita seu manuseio e permite que as informaçõessejam localizadas com facilidade. O índice deve conter uma lista deassuntos tratados no relatório, de maneira organizada, com indicaçãoda numeração da página respectiva.

• Resumo

Inicialmente, deve ser feito um resumo dos principais aspectos a seremabordados no relatório, tomando por base, as etapas constantes doprocedimento experimental desenvolvido e dos resultados obtidos. Esteitem deve ser elaborado de forma clara e sucinta para proporcionar aoleitor os tipos de informações fornecidas no documento. Sugere-se nãoultrapassar de 100 palavras.

• IntroduçãoEscrita com palavras próprias, o estudante resume o problema ou ofenômeno que está pretendendo estudar, e a teoria pertinente. Na intro-dução deve-se apresentar os pontos básicos do estudo ou atividades de-senvolvidas, especi�cando as principais aquisições teórico-metodológicas,referentes às técnicas empregadas. Neste item é dado um embasa-mento teórico do experimento descrito para situar o leitor naquiloque se pretendeu estudar no experimento. A literatura é consultada,apresentando-se uma revisão do assunto. Normalmente, as citações bi-bliográ�cas são feitas por números entre parênteses e listadas no �naldo relatório. Deve-se ter em mente que a introdução não é uma cópiada literatura. Não copie os textos consultados, para isso bastaria umamáquina de fotocópias. Aém disso, nesta seção deve conter somenteinformações que são pertinentes ao experimento realizado, evitandoinformações desnecessárias. Deve ser demonstrado, também, todo odesenvolvimento matemático relativo à teoria utilizada, as equaçõesprincipais que deverão ser utilizados nos cálculos dos resultados deve-rão ser numeradas em ordem sequencial.

• ObjetivosDeve-se fazer uma abordagem sucinta do que se pretende atingir comos experimentos que serão realizados. Não é um resumo e sim uma

36 Capítulo 7. Guia para Relatórios

descrição do que se desejar alcançar.

• Procedimento Experimental

Uma seção descrevendo como a experiência foi feita, os materiais e ins-trumentos usados. Neste tópico é feita uma descrição detalhada doexperimento realizado, dos métodos analíticos e técnicas empregadas,bem como descrição dos instrumentos utilizados. Não é um receituário.Este item precisa conter elementos su�cientes para que qualquer pessoapossa ler e reproduzir o experimento no laboratório. É recomendávelutilizar desenhos e diagramas para esclarecer sobre a montagem daaparelhagem. Todos os instrumentos utilizados devem vir acompanha-dos de uma descrição contendo marca, modelo e precisão dos mesmos.Também não se deve incluir discussão de resultados no procedimentoexperimental.

• Resultados e DiscussõesEsta é a parte principal do relatório, na qual serão mostrados todos osresultados obtidos, que podem ser numéricos ou não. Atenção: utilizeapenas os dados obtidos experimentalmente, ou seja, não invente oucopie dados do vizinho ou do colega do ano anterior. Seja honesto ecultive desde início a ética pro�ssional. Deverá ser feita uma análisedos resultados obtidos, com as observações e comentários pertinentes.Em um relatório cientí�co espera-se uma discussão dos resultados emtermos dos fundamentos estabelecidos na introdução, mas também queos resultados inesperados e observações sejam relatados, procurandouma justi�cativa plausível para o fato.

Os procedimentos de cálculo devem ser claramente descritos, para per-mitir a conferência e recálculo pelo mesmo caminho. Quando a apre-sentação dos resultados necessitarem cálculos repetitivos utilizando amesma equação é recomendável que se demonstre somente como se cal-cula um dos resultados e os seguintes devem ser organizados em umatabela. Devem sempre ser considerados apenas os algarismos signi�-cativos nos resultados �nais. Em textos cientí�cos utilizam-se tabelas,grá�cos e �guras como suporte para melhor esclarecer o leitor do quese pretende dizer.

• ConclusõesNeste item deverá ser feita uma avaliação global do experimento reali-zado, são apresentados os fatos extraídos do experimento, comentando-se sobre as adaptações ou não, apontando-se possíveis explicações e

7.1. Estrutura do Relatório 37

fontes de erro experimental. Não é uma síntese do que foi feito (isso jáestá no resumo) e também não é a repetição da discussão. Uma seçãoconclusiva, onde se comparam os resultados com o que era esperado,ou se comparam dois valores da mesma grandeza medidos de maneirasdiferentes. Deve ser discutido se a discrepância é aceitável, ou seja, seela �cai� dentro de incerteza experimental. Se isso não for o caso, oestudante deverá formular umas hipóteses razoáveis e fundadas paraexplicar a divergência.

• Referências Bibliográ�cas e Bibliogra�aReferência bibliográ�ca é o conjunto de elementos que permitem a iden-ti�cação de documentos impressos ou registrados em qualquer suportefísico, tais como: livros, periódicos e materiais audiovisuais, no todo ouem parte. Quando se faz uma referência bibliográ�ca deve-se levar emconsideração a ordem convencional dos seus elementos, prevista pelasnormas da ABNT (associação brasileira de normas técnicas).

Numa referência bibliográ�ca tem-se a seguinte ordem de elementos:autor, título, edição, local, editora, data, volume e páginas. Não sedeve confundir referência bibliográ�ca com bibliogra�a. Referênciasbibliográ�cas é a relação das fontes utilizadas pelo autor ao fazer umtrabalho. Todas as obras citadas no trabalho devem obrigatoriamenteconstar nas referências bibliográ�cas. Bibliogra�a é a relação dos docu-mentos existentes sobre determinado assunto ou de determinado autor.A lista bibliográ�ca apresentada ao �nal de um trabalho pode ser feitade forma alfabética, sistemática (por assunto) ou cronológica, com re-ferências numeradas consecutivamente em algarismos arábicos. Nestalista não se repete a mesma entrada da referência (autor ou título). Aseguir é dado exemplo de como referenciar a fonte de consulta:

SOBRENOME, Nome. Título. Edição. Editora: Cidade, data depublicação.

7.1.1 Redação do Relatório

Cada pesquisador tem seu estilo de redação. Todavia, são importantesalgumas considerações sobre a técnica de redação usada num relatório depesquisa:

• UnidadeO texto deve ser uniforme, isto é, dar a impressão ao leitor que foiescrito por uma única pessoa, mesmo que tenha sido fruto de várias

38 Capítulo 7. Guia para Relatórios

cabeças. Nada mais desagradável do que a leitura de um relatório comestilos de redação diversos. Esta variedade de estilos quebra a unidadedo texto e prejudica a compreensão do conteúdo.

• CoerênciaO texto do relatório deve ser coerente com os fatos apresentados. Devetambém existir uma coerência entre o texto e a metodologia ou outraspartes do relatório.

• LinguagemNa redação do relatório de pesquisa devemos tomar especial cuidadocom a linguagem. Os seguintes pontos devem ser observados: o rela-tório deve ser redigido de uma forma clara, precisa e lógica. Redijasempre de forma impessoal, utilizando-se a voz passiva no tempo pas-sado. Ex. a massa das amostras sólidas foi determinada utilizando-seuma balança. Devem ser evitadas expressões informais ou termos quenão sejam estritamente técnicos. Não utilize em hipótese alguma ad-jetivo possessivo, como por exemplo, minha reação, nosso cronômetro,meu qualquer coisa. É bastante recomendável, efetuar uma revisão dorelatório para retirar termos redundantes, clari�car pontos obscuros ereti�car erros no original. Uma atenção especial deve ser dada aostermos técnicos, resultados, fórmulas e expressões matemáticas. Asilustrações (tabelas, fórmulas, grá�cos) deverão vir na sequência maisadequada ao entendimento do texto e seus títulos e legendas devemconstar próximos a estes. O Capítulo 6 é discutido a elaboração degrá�cos e tabelas.

Capítulo 8

Instrumentos de medidas

No laboratório serão utilizados alguns intrumentos simples de medidascomo trena, �ta métrica, régua, paquímetro, micrômetro, balança e cronô-metro, além do aparato experimental de cada prática. A utilização dessesinstrumentos requer cuidados e conhecimento das suas limitações. Toda lei-tura num instrumento não é absoluta, ela está contida dentro de um certovalor que dependerá da precisão do instrumento utilizado nas medições.

Como regra geral, a leitura da medida deve incluir todos os dígitos que oinstrumento permite ler diretamente mais um dígito que deve ser estimadopelo observador.

8.1 Régua, trena e �ta métrica

O exemplo será baseado somente na régua, uma vez que a trena e �ta mé-trica seguem o mesmo padrão. A Figura 8.1 apresenta uma medida realizadado comprimento de um objeto através de uma régua.

Figura 8.1: Medida do comprimento de um objeto através de uma régua comprecisão de 1 mm.

39

40 Capítulo 8. Instrumentos de medidas

Observa-se a posição do lápis com relação a régua que se encontra entre136 mm e 137 mm, no entanto não temos certeza do valor. Porém, é possívela�rmar que a posição �nal localiza-se em 136,5 ± 0,5 mm. Portanto, o lápistem 136,5 ± 0,5 mm de comprimento, ou seja, qualquer valor entre 136 e137 mm é aceitável. Então, dizemos que a medida realizada está dentroda precisão do equipamento. Note que foi utilizada a seguinte regra para aprecisão da régua: metade da menor medida, que é a adotada nesse curso1.

8.2 Paquímetro

O paquímetro é um instrumento usado para medir com precisão as di-mensões de pequenos objetos, realizando medidas lineares externas, internase de profundidade por contato. Ela é composta de uma régua graduada, comencosto �xo, sobre a qual desliza um curso. Sua capacidade de medição podevariar de acordo com o tipo de instrumento sendo mais comum encontrarmospaquímetros com capacidade para medir 100 mm, 150 mm e até 200 mm. Aprecisão deste instrumento também é bem superior a de uma régua podendoter resoluções de até 0,01 mm. A graduação é normalmente dada em milí-metros e também em polegadas para que possamos realizar as medições. Ocursor móvel tem uma escala de medição que se denomina nônio ou Venier.

A escala é chamada de nônio ou vernier em homenagem aos seus criadores:o português Pedro Nunes e o Francês Pierre Vernier. O Venier (nônio) possuiuma escala com várias divisões para cada divisão da escala �xa. A Figura 8.2ilustra um típico paquímetro universal com a descrição de seus elementos. Aprecisão de 0,05 mm, nesse caso, está descrita no paquímetro. Observação:o paquímetro é um instrumento muito delicado, ou seja, não forceo paquímetro.

A leitura no paquímetro é realizada abrindo os bicos do instrumento coma ajuda do impulsor. O objeto a ser medido é posto entre os encostos dosbicos e os mesmos são ajustados para encostar-se ao objeto. O parafuso de�xação é girado para travar o bico móvel. O valor da medida será dado pelacoincidência mais próxima do zero do nônio com a régua graduada, em muitassituações será observado que o zero do nônio não coincide perfeitamentecom a graduação, neste caso deve se procurar uma graduação do nônio quecoincida perfeitamente com a régua graduada, o valor lido será os décimos demilímetros da leitura. A Figura 8.3 ilustra como se realizar a medida externade uma arruela. Portanto, nesse exemplo, a leitura correta do diâmetroexterno da arruela realizado pelo paquímetro é dado por dexterno = 13,80 ±0,05 mm.

1Utilizar essa regra somente quando não se tem a indicação da precisão do equipamento.

8.3. Micrômetro 41

Figura 8.2: Representação dos elementos de um paquímetro universal.

Figura 8.3: Exemplo de medição externa com o paquímetro. O zero do nôniopassou da graduação 13,00 mm na régua graduada, e a graduação 8 do nônio éa única que coincide com a graduação da escala, desta forma 0,80 mm deve sersomado a 13,00 mm, totalizando 13,80 ± 0,05 mm.

Já as medidas de dimensões internas também podem ser realizadas com opaquímetro como ilustra a Figura 8.4. Através do mesmo raciocínio realizadopara medidas do diâmetro externo, a leitura da medida do diâmetro internototal da arruela é dado por dinterno = 13,60 ± 0,05 mm.

8.3 Micrômetro

Quando se necessita medir um objeto com uma precisão maior que apermitida pelo paquímetro geralmente se recorre a um instrumento chamadomicrômetro. O micrômetro é um instrumento para medida linear de alta pre-


Figura 8.4: Exemplo de medição do diâmetro interno com o paquímetro. Amedição total do diâmetro interno da arruela é 16,60 ± 0,05 mm.

cisão. Foi inventado por Jean Louis Palmer e inicialmente permitia leiturasde centésimos de milímetros, com seu aperfeiçoamento foi possível chegar amedições mais precisas que um paquímetro. Os componentes de um micrô-metro são ilustrados na Figura 8.5.

Figura 8.5: Componentes de um micrômetro.

A capacidade de medição dos micrômetros usualmente é de 25 mm ou1� (uma polegada), variando o tamanho do arco de 25 em 25 mm podendochegar até 2000 mm. A resolução geralmente é de 0,01 mm, contudo pode serencontrado comercialmente micrômetros com resolução de 0,001 mm. Ob-servação: O micrômetro é ainda mais delicado que o paquímetro,ou seja, nunca force o micrômetro. Além disso, o micrômetro deveser apertado pela catraca para não afetar a medida em um objetomacio, e também não dani�car o instrumento.

A leitura do comprimento no micrômetro é realizada observando a mar-

8.3. Micrômetro 43

cação no cilindro graduado e somando ao valor do tambor graduado quecoincide com a linha de leitura principal. No cilindro graduado as gradu-ações acima da linha de leitura principal indicam milímetros (1 mm). Asgraduações abaixo da linha de leitura principal indicam meios milímetros(0,5 mm). A Figura 8.6 ilustra uma leitura de dimensão realizada com omicrômetro.

Figura 8.6: Exemplo de leitura em um micrômetro. Como o tambor ultrapassoua graduação de 15 mm e a graduação no tambor que coincide com a linha de leituraprincipal é 25, lemos 15,25 ± 0,01 mm no instrumento.

Portanto, nesse exemplo, a leitura correta do diâmetro externo da arruelarealizado pelo micrômetro é dado por dexterno = 15,25 ± 0,01 mm.

Outro exemplo:Suponhamos que a medida tenha a con�guração segundo a Figura 8.7.

Figura 8.7: Exemplo da leitura realizada no micrômetro com incerteza de 0,01mm.

A leitura é realizada da seguinte forma:

1. Leia os milímetros inteiros do comprimento do micrômetro = 17, 00mm;


2. Leia os meios milímetros também no comprimento do micrômetro =0, 50 mm;

3. Leia os centésimos de milímetros na escala do tambor = 0, 32 mm;

4. Finalmente, some esses valores = 17, 82± 0, 01 mm;

8.4 Cronômetros digitais

Para os instrumentos digitais, como o representado na Figura 8.8, o con-ceito de divisão da escala não se aplica, logo a incerteza é o menor valor que oinstrumento possa medir2. No caso do cronômetro utilizado nesse laboratórioa incerteza é de 0,0001 s.

Figura 8.8: A �gura ilustra o cronômetro digital. Utilize o botão reset para zerara contagem de tempo.

O cronônetro é ligado por um interruptor no painel traseiro.

2Observe que esta variação nem sempre é unitária, muitos intrumentos digitais, comomultímetros, apresentam escalas, sendo importante considerar o fator multiplicativo dasua escala ou mesmo a tolerância fornecida pelo fabricante.

Capítulo 9

Guia básico para realização dos

Experimentos

Os próximos capítulos descrevem experimentos básicos envolvendo fun-damentos da mecânica clássica, nos quais são possíveis aplicar metodologiasadequadas para que o estudante desenvolva senso crítico e habilidade emresolver problemas cientí�cos. Cada arcabouço está previamente montadopara o estudante realizar o experimento. Além disso, no guia consta, re-sumidadmente, o procedimento experimental com algumas recomendações,mas cabe, também, ao estudante desenvolver, gradativamente, a metodolo-gia cientí�ca. Portanto, recomenda-se fortemente ao estudante, aprévia leitura e preparação do relatório relacionados ao procedi-mento experimental a ser estudado, pois o conhecimento prévio doexperimento (aparato), dos dados que serão coletados, da análisee qual principal objetivo do estudo são, certamente, ingredientesfundamentais para o bom desenvolvimento, aprendizagem, inde-pendência e sucesso na realização do experimento.

45

Capítulo 10

Medidas e Instrumentos

10.1 Introdução

A utilização dos intrumentos de medidas e o conhecimento dos seus limi-tes são muito importantes para o desenvolvimento dos cursos de laboratóriode Física. Assim, o primeiro experimento aborda medidas diretas das dimen-sões de determinados objetos prede�nidos no laboratório e, a partir dessesparâmetros, obter indiretamente o valor do volume dos objetos com suasrespectivas incertezas. É importante salientar que, apesar de aparen-temente, o experimento ser simples, a prática requer a utilizaçãocuidadosa dos intrumentos e da análise dos dados, tornando im-portante a leitura e preparação antecipada do experimento.

10.2 Experimento

Para realização desse experimento são utilizadas régua, paquímetro e mi-crômetro (consulte o Capítulo 8 para operar esses instrumentos). É fornecidauma variedade de objetos (�os, cilindros maciços ou ocos, esferas, etc) paraserem estudados, entretando para a realização do relatório são selecionadosapenas quatro tipos de objetos: arruela, moeda, objeto A e objeto B,conforme ilusta a Figura 10.1.

Realize o experimento medindo, com o micrômetro (no caso da moeda),pelo menos três vezes cada parâmetro necessário para se obter o volumedo objeto. A Figura 10.2 exempli�ca as dimensões de uma moeda que devemser obtidas.

Além disso, para facilitar as análises dos dados experimentais é recomen-dável que as medidas obtidas sejam organizadas segundo a Tabela 10.1. Noteque, no caso da moeda, é necessário apenas do seu raio e da sua altura para

46

10.2. Experimento 47

Figura 10.1: Objetos a serem estudados.

Figura 10.2: Medidas das dimensões de uma moeda através do micrômetro.

determinar seu volume. Logo, duas colunas, indicando tais parâmetros, sãosu�cientes.

Tabela 10.1: Medidas sequênciais do diâmetro a1±∆a1 e da altura a2±∆a2 damoeda, em milímetros, realizadas com o micrômetro.

N a1 ± ∆a1 (mm) a2 ± ∆a2 (mm)

A partir das medidas obtidas, calcule o valor que mais se aproxima dovalor verdadeiro de a1 e a2, os erros estatísticos, erro total1, o valor do volume

1Reveja sobre Erro estatístico e Erro total na Seção 2.2.

48 Capítulo 10. Medidas e Instrumentos

e seu respectivo erro2. Por �m, expresse o valor do volume na forma Vmoeda ±∆Vmoeda

3. Além disso, descreva, em detalhes, como realizou as medidas ediscuta sobre os motivos que os levaram realizar as análises dessa forma.Para fortalecer e enriquecer sua discussão, encontre o volume desse mesmoobjeto (mesmo procedimento), mas utilizando a régua como instrumento demedida.

Com o objetivo de explorar os intrumentos de medidas e os conceitos deanálises dos dados experimentais, assim como, as discussões, realize as medi-das dos outros objetos (arruela, objeto A e objeto B), seguindo as seguintesrecomendações com relação aos intrumentos de medidas:

• Arruela: utilize o paquímetro para mensurar o diâmetro interno e omicrômetro para medir o diâmetro externo e a sua espessura.

• Objeto A e objeto B: utilize somente o paquímetro.

Realize o mesmo procedimento, análises e discussões realizados para amoeda, porém não há necessidade de efetuar as medidas para o mesmo ob-jeto com outro intrumento, como ocorreu no caso da moeda. Apenas sigaas recomendações acima. E, de forma organizada apresente um relatório,conforme o guia ilustrado no Capítulo 7.

10.3 Bibliogra�a



2Reveja sobre Propagação de erro na Seção 3.3Reveja sobre arredondamento e algarismos signi�cativos na Seção 2.3.

Capítulo 11

Movimento Retilíneo Uniforme

11.1 Introdução

Nesta prática é estudada o movimento retilíneo uniforme (MRU) de umobjeto, cujo comportamento deve ocorrer quando a velocidade escalar é cons-tante, em outras palavras, deve percorrer distâncias iguais em intervalos detempos iguais. Assim, a partir de um experimento bem planejado e sobadequadas condições experimentais é possível estudar tal movimento. É im-portante salientar que, apesar de aparentemente, o experimento sersimples, a prática requer a utilização cuidadosa dos intrumentos eda análise dos dados, tornando importante a leitura e preparaçãoantecipada do experimento.

11.2 Experimento

Nesta experiência um carro (ou planador), sob certas condições, é co-locado em movimento, obtendo-se o tempo gasto para esse carro percorreruma distância conhecida. Uma parte da montagem experimental consiste deum trilho de ar com os sensores de movimento e cronômetro (discuta, tam-bém, no relatório sobre o motivo de utilizar tais equipamentos e a forma queobtiveram as medidas), segundo ilustrado na Figura 11.1.

11.3 Instruções para realizar as medidas

1. A realização do experimento consiste em colocar as massas de tração nosuporte que traciona o carro. Utilize 30, 0±0, 1 g de massa1. Mantenha

1Veri�que a precisão do instrumento.

49

50 Capítulo 11. Movimento Retilíneo Uniforme

Figura 11.1: Sistema de trilho de ar para medida da velocidade de um móvel.Em 1 há um trilho de ar. 2 é o sensor de disparo do cronômetro, 3 é o sensor detravamento do cronômetro, que cessa a contagem de tempo. 4 é o cronômetro deprecisão para medida de tempo.

um banco de apoio com espuma para que o peso repouse sobre o mesmomuito antes de o carro chegar ao �m do trilho (discuta, também, norelatório sobre essas condições), como mostra a Figura 11.2A e Figura11.2B, respectivamente.

Figura 11.2: Massas de tração do carro. Em A o peso na posição inicial quandoo carro está preso pelo seu imã. Em B o peso percorreu sua altura máxima e desseponto em diante o carro passa a se movimentar com velocidade constante.

2. Ligue o soprador de ar ilustrado na Figura 11.3 e ajuste o �uxo mínimode ar para que o carro �utue (e deslize praticamente sem atrito) sobre

11.3. Instruções para realizar as medidas 51

o trilho.

Figura 11.3: Soprador de ar para o trilho de ar. Na parte frontal encontra-se oajuste de �uxo de ar e o soprador é ligado por um interruptor no painel traseiro.

3. Solte o carro com o auxílio do disparador ilustrado na Figura 11.4.

Figura 11.4: O disparador consiste de um pequeno imã que atrai outro imã �xoao carro. Ao ser puxado pela parte traseira o carro passa a se movimentar.

4. Veri�que para qual posição do carro que o peso de tração repousa naespuma, veja no trilho de ar qual é esta posição e posicione o primeirosensor (sensor de disparo do cronômetro) à, aproximadamente, 5 cmapós essa posição. A partir que o peso de tração repousa a velocidadedo carro se torna constante (discuta, também, sobre essas condiçõesexperimentais no relatório.)

5. Leve o carro para a posição inicial no disparador e veri�que se o bar-bante de tração está passando pela polia na outra extremidade do trilhode ar.

6. Mantendo o primeiro sensor �xo, ajuste a distância entre os sensoresde movimento para, por exemplo, 200, 0 ± 0, 5 mm. Utilize a trena

52 Capítulo 11. Movimento Retilíneo Uniforme

para aferir a distância de separação entre esse dois sensores, medindodo início do primeiro sensor até o início do segundo sensor.

7. Ligue o cronômetro (Figura 11.5) através do interruptor no painel tra-seiro e pressione o reset para zerar a contagem de tempo.

Figura 11.5: A �gura ilustra o cronômetro. Utilize o botão reset para zerar acontagem de tempo.

8. Solte o carro com o auxílio do disparador, e aguarde o mesmo passarpelos dois sensores. Anote o valor de tempo mostrado no cronômetro.ATENÇÃO: Não deixe o planador colidir no suporte �nal dotrilho!

9. Repita as etapas 5, 7 e 8 três vezes para a mesma distância entre ossensores.

10. Mantendo o sensor de disparo de cronômetro �xo, afaste o sensor detravamento do cronômetro por mais, aproximadamente, 0,1 m em rela-ção a sua posição inicial, mensure a distância precisa com o auxílio datrena.

11. Repita os procedimentos dos passos 5, 7, 8, 9 e 10 até chegar a umaseparação máxima entre os sensores de ∼ 1 m. Preencha a Tabela11.1 com os dados coletados (consulte o guia de elaboração de tabelano Capítulo 6, sobre incertezas instrumentais no Capítulo 8 e sobrepropagação de incertezas no Capítulo 3).

12. Proponha uma equação geral: y = ktn (reveja o Capítulo 4). ApliqueLn nessa equação, identi�cando o caráter linear da eq. obtida, entãoassocie os parâmetros da eq. aos coe�cientes angular e linear.

13. Construa uma tabela contendo Ln(d) ± ∆Ln(d) e Ln(t) ± ∆Ln(t).(Reveja o Capítulo 4 e o Capítulo 6).

11.4. Bibliogra�a 53

Tabela 11.1: Parâmetros obtidos do experimento de MRU. Para cada medida deespaço (ou posição), d± δd (mm), foram medidos três vezes o tempo, ti ± δti (s),para seu respectivo percurso.

Medida d ± δd t1 ± δt1 t2 ± δt2 t3 ± δt3 t± ∆testatistico ttotal ± ∆ttotalNo (mm) (s) (s) (s) (s) (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

14. Elabore um grá�co a partir da tabela com os dados do Ln, proponhae trace a melhor reta que descreva esse conjunto de pontos. Determineo coe�ciente angular e linear da reta proposta. (Reveja o Capítulo 6 eo Capítulo 4). Utilize papel milimitrado.

15. A partir desses parâmetros experimentais discuta sobre o movimento doobjeto e encontre a velocidade do objeto (utilize também a Bibliogra�a,Seção 11.4, sugerida para auxiliá-lo nessa discussão).

16. Elabore um relatório com todas as informações coletadas e calculadasneste experimento, conforme instruções do Guia para redações de Re-latórios Cientí�cos, Capítulo 7. Lembrem-se que os erros devem serpropagados em todos os experimentos!

11.4 Bibliogra�a

1. HALLIDAY, D., RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física.Vol 1. 9a Edição. Rio de Janeiro: LTC, (2012).

2. TIPLER, P. Física. Vol 1. Rio de Janeiro: LTC, (2000).

3. SEARS, F., YOUNG. H. D., FREEDMAN, R.A., ZEMANSKY, M.W., Física, vol 1. Addison Wesley (2002).

4. NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica Mecânica, Edgard Blucher, (2002).



Capítulo 12

Movimento Uniformemente

Variável: Queda Livre

12.1 Introdução

O movimento é considerado uniformemente variável quando a velocidadeescalar do objeto em estudo é alterado com o decorrer do tempo. Se o mo-vimento for em uma única direção a velocidade escalar sofre variações sem-pre iguais em intervalos de tempo iguais. Logo, nesse caso o movimento éuniformemente acelerado (MRUV). Assim, sob certas condições experimen-tais é possível estudar, quantitativamente, o movimento desse objeto (nãose esqueça de discutir no relatório sob essas condições, baseando-se no ar-cabouço experimental e nos resultados obtidos). É importante salientarque, apesar de aparentemente, o experimento ser simples, a prá-tica requer a utilização cuidadosa dos intrumentos e da análise dosdados, tornando importante a leitura e preparação antecipada doexperimento.

12.2 Experimento

Neste experimento uma pequena esfera metálica é abandonada a umadistância (di ± ∆di) conhecida e o tempo (ti ± δti) para percorrer essadistância, também, é mensurado (discuta no relatório sobre montagem ex-perimental, indicando os critérios utilizados para realizar o experimento). Amontagem do sistema utilizado nesta experiência é ilustrada na Figura 12.1.

54


Figura 12.1: Montagem experimental para medida do tempo do objeto. (1)cronômetro para medida de tempo; (2) haste suporte com graduação em centíme-tros; (3) disparador (constituído, basicamente, de um eletroimã) da esfera metálica;(4) plataforma para paralisar a contagem de tempo.


1. Primeiramente ligue o cronômetro e ajuste a altura do disparador (cons-tituído, basicamente, de um eletroimã) para ∼ 5 cm (mas, anote preci-samente o seu valor d1 ± ∆d1), solte a trava do disparador e posicionea medida correta voltando a travar após o ajuste, como ilustra a Figura12.2(a). A medida correta de altura ocorre quando a parte superior dodisparador está exatamente sobre a marca graduada da haste suporte,ver Figura 12.2(b). Anote o tempo de percurso (t1 ± δt1).

Figura 12.2: Ajuste da altura de lançamento da esfera. (a) quando a alavanca égirada no sentido horário permite ajustar a altura do disparador, no sentido anti-horário trava a posição do disparador; (b) a altura correta a qual a esfera serálançada é indicada quando a parte superior do disparador estiver na marcação dahaste graduada.

56 Capítulo 12. Queda Livre

2. Coloque a esfera de metal em seu apoio no disparador como ilustra aFigura 12.3.

Figura 12.3: Fixação da esfera metálica no disparador.

3. Pressione o botão reset no cronômetro para zerar o tempo.

4. Pressione a alavanca no disparador como ilustra a Figura 12.4. A conta-gem de tempo pelo cronômetro se inicia automaticamente e é paralisadaquando a esfera chega à plataforma vermelha.

Figura 12.4: Disparo da esfera em queda livre.

5. Para a mesma altura posicione a esfera no disparador, zere o cronômetroe repita mais duas medidas de tempo, completando 3 medidas do tempopara a mesma distância.

6. Aumente a altura do disparador em mais 5 cm (mas, anote a leituraprecisa, di ± ∆di) e repita os passos de 1 a 5. Faça medidas variandoa altura de 5 cm em 5 cm (mas, anote a leitura precisa, di ± ∆di)até chegar a máxima altura possível na haste suporte, medindo seurespectivo tempo de voo (ti ± δti).


7. Organize os dados experimentais, segundo, por exemplo, a Tabela 12.1para ajudar na análise das medidas (consulte o guia de elaboração detabela no Capítulo 6, sobre incertezas instrumentais no Capítulo 8 esobre propagação de incertezas no Capítulo 3).

Tabela 12.1: Tabela da altura, di ± ∆di (mm), que a esfera é abandonada emfunção do tempo, ti ± δti (s).

Medida d ± δd t1 ± δt1 t2 ± δt2 t3 ± δt3 t± ∆testatistico ttotal ± ∆ttotalNo (mm) (s) (s) (s) (s) (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8. Faça um grá�co da altura em função do tempo médio em papel mili-metrado (discuta também sobre as razões para apresentar esse grá�coe consulte sobre construção de grá�cos no Capítulo 6).

9. Proponha uma equação geral: y = ktn (reveja o Capítulo 4). ApliqueLn nessa equação, identi�cando o caráter linear da eq. obtida, entãoassocie os parâmetros da eq. aos coe�cientes angular e linear.

10. Construa uma tabela contendo Ln(d) ± ∆Ln(d) e Ln(t) ± ∆Ln(t).(Reveja o Capítulo 4 e o Capítulo 6).


12. Realize também uma outra análise. Assuma que, de fato, o movimentodependa do quadrado do tempo (y = At2), onde A é uma constante quese relaciona com a aceleração. Para isso, gra�que o espaço percorridoem função do tempo ao quadrado (t2) e determine pelo método grá�coo coe�ciente angular. Lembre-se de construir uma tabela apropriada eas devidas propagações de erros. (Consulte os Capítulos 6 e 3).

13. A partir desses parâmetros experimentais discuta sobre o movimentodo objeto e encontre a aceleração do objeto através das duas maneirasenunciadas acima (itens 11 e 12). (Utilize também a Bibliogra�a, Seção12.4, sugerida para auxiliá-lo nessa discussão).

58 Capítulo 12. Queda Livre


12.4 Bibliogra�a







Capítulo 13

Movimento de um Projétil em

duas dimensões

13.1 Introdução

Um movimento de um projétil é considerado em duas dimensões quandoduas das três coordenadas (x, y, z ) que de�nem a posição cartesiana de umapartícula, relativamente a um certo referencial, variam no decurso do tempo,isto é, x = x(t), y = y(t) e z = constante. Um projétil é qualquer corpolançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória determinadaexclusivamente pela aceleração da gravidade (g) e pela resistência do ar.Para o presente experimento os efeitos da resistência do ar, da curvatura eda rotação da Terra podem ser desprezados (discuta também no relatório sobquais condições experimentais tais efeitos podem ser desprezados).

13.2 Experimento

O objeto de estudo desse experimento é o movimento de um corpo que semove em um plano (duas dimensões), sob a ação da gravidade: o chamadomovimento de um projétil. Para isso, será medida a trajetória de um corpo(esfera metálica) lançado de uma rampa, a uma determinada altura do solo,com uma velocidade horizontal inicial diferente de zero e velocidade verticalinicial igual a zero sujeita a variação devido à ação da aceleração da gravi-dade. Tal movimento pode ser dividido em dois movimentos independentes:(1) movimento retilíneo uniforme e (2) movimento retilíneo uniformementevariado, conforme a Figura 13.1 (discuta também essas condições no rela-tório). O método realizado no experimento determina o tipo de análise equais parâmetros podem ser desprezados para futuras análises dos dados,

59

60 Capítulo 13. Movimento de um Projétil em duas dimensões

implicando a importância das discussões físicas sobre quaisquer condiçõesexperimentais. Portanto, apesar de parecer redundante, é importante sa-lientar que a prática requer a utilização cuidadosa dos intrumentose da análise dos dados, tornando importante a leitura e preparaçãoantecipada do experimento.

Figura 13.1: Esquema do lançamento de um projétil bidimensional (y,x).


O arcabouço experimental consiste de uma rampa de lançamento e umanteparo para colisão do projétil, segundo mostra a Figura 13.2. O alcancemáximo da esfera irá depender da altura da rampa de lançamento em relaçãoao solo.

1. Posicione a rampa de lançamento na extremidade da bancada. No ante-paro montado no suporte �xe duas folhas de papel branco com auxíliode �ta adesiva, como ilustra a Figura 13.3. Observe que, primeira-mente, a folha de papel deve ser posicionada na mesma altura de ondea esfera será abandonada. Mensure essa altura com relação ao solo.

2. Agora posicione o anteparo com o lado do papel carbono voltado parafrente da rampa de lançamento de modo que ao se abandonar a esferaa mesma colida com o anteparo produzindo uma marcação no papelbranco da posição de colisão da esfera. Deixe o anteparo a uma dis-tância de ∼ 5 cm da rampa de lançamento (mas, realize a leitura na


Figura 13.2: Montagem do lançador de projétil. (1) Rampa de lançamento daesfera (projétil). (2) anteparo de colisão do projétil para determinação da alturavertical em relação a posição horizontal.

Figura 13.3: Fixação do papel branco sobre o anteparo de colisão. O papel deveser �xado na mesma altura que a esfera será abandonada.

trena precisa, x±∆x), ajuste essa distância com ajuda de uma trena.Posicione a esfera na parte superior da rampa de lançamento, Figura13.4, e solte-a sem introduzir nenhum impulso, deixe agir somente açãoda gravidade. A esfera deverá colidir com o anteparo produzindo umamarcação. Repita esse procedimento três vezes para mesma distânciaentre a rampa e o anteparo.

3. Repita o procedimento anterior sempre aumentando a distância do an-teparo em relação à rampa de lançamento de, aroximadamente, 5 em5 cm (mas, realize a leitura precisa no equipamento) até a esfera nãomais incidir sobre o anteparo.

62 Capítulo 13. Movimento de um Projétil em duas dimensões

Figura 13.4: Rampa de lançamento. A esfera deve sempre ser abandonada damesma altura.

4. Retire cuidadosamente o papel carbono sem retirar o papel branco doanteparo. Como para cada distância do anteparo foi realizado, pelomenos, três lançamentos é esperado encontrar três marcações semprepróximas umas das outras, determine a altura média (yi ± δyi) paracada conjunto de marcação. Organize os dados obtidos, através, porexemplo, da tabela 13.1 (reveja o Capítulo 6). Lembre-se de anexar opapelo branco com as marcações realizadas no experimento no relatório.

Tabela 13.1: Tabela da posição horizontal xi ± ∆xi (mm), que a esfera éabandonada em função da altura (posição vertical), yi ± δyi (mm).

Medida x ± ∆x y1 ± δy1 y2 ± δy2 y3 ± δy3 y ± ∆yest ytotal ± ∆ytotalNo (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5. Faça um grá�co em papel milimetrado da posição horizontal (x ) emfunção da posição vertical (y). (Consulte sobre elaboração de tabelasno Capítulo 6).

6. Proponha uma equação geral: y = kxn (reveja o Capítulo 4). ApliqueLn nessa equação, identi�cando o caráter linear da eq. obtida, entãoassocie os parâmetros da eq. aos coe�cientes angular e linear.

7. Construa uma tabela contendo Ln(y) ± ∆Ln(y) e Ln(x) ± ∆Ln(x).(Reveja o Capítulo 4 e o Capítulo 6).



9. Realize também uma outra análise. Assuma que, de fato, o movimentodependa do quadrado do tempo (y = Ax2), onde A é uma constante quese relaciona com a velocidade inicial. Para isso, gra�que o espaço per-corrido em função da posição horizontal ao quadrado (x2) e determineo coe�ciente angular. Lembre-se de construir uma tabela apropriada eas devidas propagações de erros. (Consulte os Capítulos 6 e 3).

10. A partir desses parâmetros experimentais discuta sobre o movimento doobjeto e encontre a velocidade inicial do objeto através das duas manei-ras mencionadas acima (itens 8 e 9). (Utilize também a Bibliogra�a,Seção 13.4, sugerida para auxiliá-lo nessa discussão). Assuma que aaceleração da gravidade na cidade de Uberlândia-MG seja g ≈ 9, 79m/s2.


13.4 Bibliogra�a







Capítulo 14

2a Lei de Newton-Galileo

14.1 Introdução

Devido aos trabalhos teóricos e experimentais de Galileo Galilei e de IsaacNewton a mecânica é bem estabelecida. Diante disso, foi possível observara depedência da função linear entre a aceleração e a da força de um objeto,na qual �cou conhecida como a Lei de Movimento ou a 2a Lei de Newton.É importante salientar que a prática requer a utilização cuidadosados intrumentos e da análise dos dados, tornando importante aleitura e preparação antecipada do experimento.

14.2 Experimento

Neste experimento é determinada a aceleração da gravidade e veri�cada adependência entre a força e a aceleração do sistema, utilizando o mesmo apa-rato experimental do roteiro do experimento de movimento retilíneo uniformeque se encontra no Capítulo 11:

A experiência consiste, basicamente, de um trilho de ar sobre a qual umplanador de massa M desliza, praticamente, sem atrito e é puxado por umporta-pesos de massa m, segundo mostra a Figura 14.1. Tais objetos sãoconectados por um �o que passa por uma polia �xa, consideradas ambasideais (discuta também essas considerações físicas no relatório). Além disso,há sensores de movimento ligados ao cronômeto para medidas de tempo depercurso do planador.

64


Figura 14.1: Sistema de trilho de ar para medida do tempo de percurso do objeto.Em 1 há um trilho de ar. 2 é o sensor de disparo do cronômetro, 3 é o sensor detravamento do cronômetro, que cessa a contagem de tempo. 4 é o cronômetro deprecisão para medida de tempo. 5 é o planador+massas. 6 é porta-pesos+massas.7 são as massas. 8 é o disparador. 9 é soprador. O soprador é ligado por uminterruptor no painel traseiro.


1. Certi�que-se se todos os itens do aparato experimental estejam presen-tes na bancada e se o trilho de ar esteja nivelado. A primeira fotocéluladeve ser cuidadosamente ajustada de modo que o cronômetro inicie suacontagem logo que o planador é liberado do disparador (também dis-cuta essas condições no relatório).

2. Ajuste a segunda fotocélula a uma distância de ∼ 0,70 m (mas anotea leitura precisa da forma, x ± ∆x) e sempre observe se o �o estáconectado devidamente à polia para não prejudicar a realização doexperimento e/ou dani�car os dispositivos.

3. Faça um diagrama de forças para cada corpo do ponto de vista de umobservador num referencial inercial (a essa altura do curso é esperadoque já seja de praxe a leitura antecipada e um pré-relatório, ou seja, aomenos o diagrama seja do conhecimento prévio do estudante). Consulte

66 Capítulo 14. 2a Lei de Newton-Galileo

a Bibliogra�a sugerida para auxiliá-lo.

4. Veri�que se a distância entre o porta-pesos e o chão esteja adequadapara que o movimento durante a contagem de tempo esteja sempreacelerado. Além disso mantenha uma espuma no chão para que o pesonão choque violentamente com o chão.

5. Ligue o soprador de ar ilustrado na Figura 14.1 e ajuste o �uxo mínimode ar para que o carro �utue (e deslize praticamente sem atrito) sobreo trilho. ATENÇÃO: Não deixe o planador colidir no suporte�nal do trilho!

6. Mensure a massa total (mT ±∆mT ) do sistema sujeito ao movimento.Nesse caso, a massa mT = m+M é alterada. Nota-se que m pode serdado como a massa do porta-peso+massas e M pode ser dado como amassa do planador+massas.

7. Distribua as massas entre o planador e porta-pesos de modo que �quea maior parte das massas no planador. Meça o valor da massa doporta-peso+massas (m±∆m) no qual permanece constante.

8. Anote o valor do primeiro valor do conjuto massa do planador+massa(M ± ∆M) e solte o disparador. Anote o tempo t ± δt (Reveja esseprocedimento no experimento de movimento retilíneo uniforme que seencontra no Capítulo 11). Repita 3 vezes essa medida. (Nesse caso, amassa do planador+massa é alterada.)

9. Retire 2 massas do planador e solte novamente o disparador. Nova-mente, realize 3 vezes essa medida.

10. Siga o mesmo procedimento anterior de duas em duas massas, totali-zando a retirada de 5 pares de massas.

11. Organize os dados conforme a Tabela 14.1.

12. Construa o grá�co da aceleração em função da massa total do sistemae discuta seu comportamento. (Reveja o Capítulo 6 para auxiliá-lo naconstrução de grá�cos.)

13. Proponha uma equação geral: a = km(n)T (reveja o Capítulo 4). Aplique

Ln nessa equação, identi�cando o caráter linear da eq. obtida, entãoassocie os parâmetros da eq. aos coe�cientes angular e linear.

14. Construa uma tabela contendo Ln(a)±∆Ln(a) e Ln(mT )±∆Ln(mT ).(Reveja o Capítulo 4 e o Capítulo 6).


Tabela 14.1: Dados obtidos do exprimento 2a Lei de Newton, onde M ± ∆M(g) é a massa do planador+massas, mT ±∆mT é massa total do sistema, ti ± δti(s) é o tempo que o planador percorre a distância de �xa a partir do repouso ea ± ∆a (m/s2) é a aceleração do sistema.

M ± ∆M mT ± ∆mT t1 ± δt1 t2 ± δt2 t3 ± δt3 t± ∆test ttotal ± ∆ttotal(g) (g) (s) (s) (s) (s) (s)

15. Utilize o método de mínimos quadrados para determinar os coe�cientesangular e linear, com seus respectivos erros. (Reveja a Seção 5.1 e aaula sobre mínimos quadrados para auxiliá-lo no método.)

16. A partir desses coe�cientes determine n±∆n, discutindo sobre o com-portamento da aceleração do sistema em função da massa total e en-contre a aceleração gravitacional da Terra (g ±∆g). (Utilize tambéma Bibliogra�a, Seção 14.4, sugerida para auxiliá-lo nessa discussão).


14.4 Bibliogra�a







Capítulo 15

Rotação: Movimento Circular

15.1 Introdução

Um corpo rígido está em movimento de rotação pura relativamente a umcerto referencial, se todos os pontos se movem ao longo de circunferências cujocentro está sobre o eixo de rotação e todos os pontos descrevem o mesmoângulo no mesmo intervalo de tempo. É importante salientar que aprática requer a utilização cuidadosa dos intrumentos e da análisedos dados, tornando importante a leitura e preparação antecipadado experimento.

15.2 Experimento

A Figura 15.1 apresenta o aparato experimental para o estudo do movi-mento circular. Basicamente, ele é constituído de um aro suspenso por seueixo central vertical, ligado a um outro sistema semelhante a um rolamento.Quando um peso é adicionado ao porta-peso que está preso a um �o, umtorque é produzido, levando o aro ao movimento circular. Além disso, oequipamento deve ser ajustado enrolando-se o �o em torno de um pequenotambor em que está ligado, tantas vezes forem necessárias para que o arorealize o número de voltas desejado. Isso acontece após, cuidadosamente, re-tirar uma haste lateral, liberando o aro para seu movimento. Mede-se, dessaforma, o tempo que o aro completou uma volta.

68


Figura 15.1: Esquema do aparato utilizado para o experimento de estudo domovimento circular.


1. Enrole o �o no tambor o número de vezes igual ao número de voltas de-sejado no aro. Conecte um peso adequado para produzir o movimentocircular no aro (teste qual a massa adequada). Com auxílio da haste,trave o aro e estabilize-o.

2. Retire a haste e ligue o cronômetro simultaneamente para medir otempo de uma (isto é, a 1a) volta completa do aro. Siga mensurandoe anotando o tempo da 2a, 3a,.., 5a volta (para essas medidas utilize aopção "slap" do cronômetro). Organize os dados como a Tabela 15.1.

Tabela 15.1: Dados obtidos do experimento Movimento Circular, onde a primeiracoluna indica o número da volta. ti ± δti (s) é o tempo para que o aro leva paracompletar uma volta e t

No da Volta tA ± δtA tB ± δtB tC ± δtC tD ± δtD tE ± δtE t± ∆test ttotal ± ∆ttotal(2π) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s)

1

2

3

4

5

3. Construa o grá�co do número de voltas em função do tempo total quee discuta seu comportamento. (Reveja o Capítulo 6 para auxiliá-lo naconstrução de grá�cos.)

70 Capítulo 15. Rotação: Movimento Circular

4. Proponha uma equação geral: θ = Atn (reveja o Capítulo 4). ApliqueLn nessa equação, identi�cando o caráter linear da eq. obtida, entãoassocie os parâmetros da eq. aos coe�cientes angular e linear.

5. Construa uma tabela contendo Ln(θ) ± ∆Ln(θ) e Ln(t) ± ∆Ln(t).(Reveja o Capítulo 4 e o Capítulo 6).

6. Utilize o método de mínimos quadrados para determinar os coe�cientesangular e linear, com seus respectivos erros. (Reveja a Seção 5.1 e aaula sobre mínimos quadrados para auxiliá-lo no método.)

7. A partir desses parâmetros experimentais determine n±∆n, discutindosobre o comportamento do movimento do aro em função do tempo eencontre a aceleração angular, (α ± ∆α), desse corpo rígido. (Utilizetambém a Bibliogra�a sugerida para auxiliá-lo nessa discussão).

8. Construa um grá�co a partir da tabela com os dados do Ln, proponha etrace a melhor reta que descreva esse conjunto de pontos. Determine oparâmetro n e a aceleração angular, α. Compare os resultados obtidos.(Reveja o Capítulo 6 e o Capítulo 4). Utilize papel milimitrado.

9. Elabore um relatório com todas as informações obtidas. Siga as ins-truções do Guia para redações de Relatórios Cientí�cos, Capítulo 7.Lembrem-se que os erros devem ser propagados em todos os experi-mentos!

15.4 Bibliogra�a







Capítulo 16

Força Elástica: Lei de Hooke

16.1 Introdução

Forças elásticas são forças que são exercidas por sistemas elásticos quandosofrem deformações, isto é, dependem da posição. Esse tipo de força é con-servativa e não constante (consulte a Bibliogra�a, Seção 16.4). Neste ex-perimento são caracterizadas duas molas, além de estudar a associação demolas em série e em paralelo. É importante salientar que a prática re-quer a utilização cuidadosa dos intrumentos e da análise dos dados,tornando importante a leitura e preparação antecipada do experi-mento.

É de conhecimento que para uma certa faixa de comprimentos, a molatem comportamento elástico, ou seja, a força realizada pela mola segue a Leide Hooke, dada pela Equação 16.1:

F = −k∆L (16.1)

onde F é força exercida pela mola, k é constante da mola e ∆L é o desloca-mento da mola. Na Figura 16.1 um corpo de massa m é preso a uma molade constante elástica, k, que produz um deslocamento ∆L.

Como a massa é pendurada na extremidade da mola e considerando sis-tema de referência com o eixo y apontando na mesma direção da aceleraçãoda gravidade:

P = mg = k∆L (16.2)

• Acoplamento de duas Molas em Série

Na Figura 16.2 duas molas, de constantes elásticas k1 e k2, são acopla-das em série a uma massa na extremidade.

71

72 Capítulo 16. Lei de Hooke

Figura 16.1: Esquema de um sistema massa-mola. L0 representa a posição inicialda mola no seu estado relaxado e L após ser esticada através de uma força provadapela adição de objeto de massa m.

Figura 16.2: Esquema de um sistema de molas em série. LS0 representa a posiçãoinicial da mola no seu estado relaxado e LS após ser esticada através de uma forçaprovada pela adição de objeto de massa m.

Nesse caso, é possível representar o comportamento do conjunto massa-molas (série) com a Equação 16.4 (não se esqueça, também, dedemonstrar essa Equação no relatório):

P = mg = kserie∆Lserie (16.3)

onde1

kserie=

1

k1

+1

k2

(16.4)

e ∆LS representa o deslocamento conjunto de molas associadas emsérie.

• Acoplamento de duas molas em paralelo

16.2. Experimento 73

A Figura 16.3 representa as duas molas acopladas em paralelo.

Figura 16.3: Esquema de um sistema de molas em paralelo. LP0 representa aposição inicial da mola no seu estado relaxado e LP após ser esticada através deuma força provada pela adição de objeto de massa m.

Ness caso os deslocamentos das molas são iguais, ∆LP = ∆LP1 =∆LP2 = ∆Lparalelo, e o comportamento do conjunto massa-molas (pa-ralelo) pode ser dado pela Equação 16.6 (não se esqueça, também,de demonstrar essa Equação no relatório):

P = mg = kparalelo∆Lparalelo (16.5)

onde

kparalelo = k1 + k2 (16.6)

e ∆Lparalelo representa o deslocamento conjunto de molas associadasem paralelo.

16.2 Experimento

O experimento consiste em determinar as constantes das molas indivi-dualmente e das associações acima variando-se as massas e medindo-se avariações do comprimento da mola.


As instruções a seguir são utilizadas para determinar todas as constanteselásticas com diferentes tipos de acoplamentos. Utilize g ≈ 9,79 m/s2.

1. Prenda a(s) mola(as) na haste de apoio.

74 Capítulo 16. Lei de Hooke

2. Conecte um peso de massa m±∆m. Anote a variacão do comprimentoda mola ∆L± δL

3. Faça o procedimento acima, pelo menos, para 5 diferentes massas.

4. Faça o procedimento acima para as duas molas e para as duas associ-ações enunciadas no guia.

5. Organize os dados, por exemplo, numa Tabela 16.1 (faça uma tabelacomo essa para as 2 molas e para as duas associações):

Tabela 16.1: Dados obtidos do experimento Lei de Hooke, onde a primeira colunaindica a sequência da medida, m ± ∆m (g) é massa colocada na extremidade damola e ∆L± δL (mm) é a variação do comprimento da mola, com seus respectivoserros experimentais.

N m±∆m ∆L± δL(g) (mm)

12345

6. Para cada uma das molas e para cada uma das associações construaum grá�co da massa em função do deslocamento. (Consulte o Capítulo6 para auxiliá-lo na construção de tabelas e grá�cos.)

7. Para cada uma das molas determine k1 ±∆k1 e k2 ±∆k2. (Consultea Seção 5.1 para auxiliá-lo sobre mínimos quadrados.)

8. Para cada uma das associações determine kserie ± ∆kserie e kparalelo ±∆kparalelo. (Consulte a Seção 5.1 para auxiliá-lo sobre mínimos quadra-dos.)

9. Calcule kserie ± ∆kserie e kparalelo ± ∆kparalelo utilizando k1 ± ∆k1,k2 ± ∆k2 determinados no item 7 e compare os resultados dentro doserros experimentais. (Não se esqueça de discutir sobre esses valores norelatório, consultando as bibliogra�as na Seção 16.4.)



16.4 Bibliogra�a







Capítulo 17

Colisão em Duas Dimensões

17.1 Introdução

Um fenômeno muito importante no cotidiano é a colisão (choques e/ou in-terações). As interações são o mecanismo que o seres humanos se comunicamcom o mundo ao seu redor e as utilizam para entender o seu comportamento,por exemplo, as propriedades dos gases, que podem ser entendidos em ter-mos das colisões entre moléculas. De forma geral, qualquer medida que sefaça é uma interação, na qual o aparelho de medida, ou o observador, ouambos, interagem com o objeto a ser medido. A partir desse cenário, estuda-se a colisão entre dois corpos no experimento, considerando que não hajanenhuma ação de qualquer outro corpo in�uenciando essa interação. É im-portante salientar que a prática requer a utilização cuidadosa dosintrumentos e da análise dos dados, tornando importante a leiturae preparação antecipada do experimento.

17.2 Experimento

No experimento é estudado a mecânica das colisões entre duas esferas combaixas velocidades e com trajetórias curtas (não se esqueça, também, deexplicar o motivo de realizar as medidas nessas condições), a partirda veri�cação da conservação do momento linear. De fato, é analisado omovimento antes e após o choque das esferas. A Figura 17.1 ilustra o aparatoexperimental para o estudo desse experimento.

76


Figura 17.1: Aparato experimental para estudo da colisão entre duas esferas.Os números 1 e 2, representam as esferas incidente e alvo, respectivamente. 3 e4 indicam o �o de prumo e a rampa de lançamento, respectivamente. 5 mostra opino utilizado para deslocar a esfera alvo, provocando a colisão não frontal.


A rampa é utilizada para garantir que a esfera 1 (incidente) tenha semprea mesma velocidade antes do choque, desde que seja solta sempre do mesmolugar. O alcance máximo depende da velocidade horizontal do corpo.

1. Faça alguns lançamentos testes com e sem choques (e sem o papelcarbono) para regular a melhor altura com relação ao chão, evitandoque alguma esfera caia fora do papel.

2. Fixe o papel de maneira apropriada para que as esferas não caem forado papel.

3. Solte a esfera 1 de um certo ponto da canaleta e deixe ela cair sobreo papel (sem colisão). Coloque agora o papel carbono no local aproxi-mado do impacto da esfera 1 e solte a esfera 1 do mesmo ponto anteriorda canaleta. Repita 5 vezes essa medida. A distância entre a projeçãodo �m da canaleta até o ponto de impacto é proporcional a velocidade.Utilize o �o de prumo para a marcação inicial.

4. Mensure as massas das esferas e a altura h±∆h entre o ponto de colisãodas esferas e o chão.

78 Capítulo 17. Colisão em Duas Dimensões

5. Utilize o pino para deslocar a esfera 2 (alvo). Repare que ao giraresse pino, a colisão não será mais frontal (choque de raspão). Gireo pino de modo que possam ser realizados o experimento para doisângulos distintos para esquerda e dois ângulos distintos para direitacom relação ao eixo horizontal (lançamento da esfera 1 sem colisão).

6. Para o primeiro ângulo, solte a esfera 1 da mesma posição escolhida doitem 3. Repita 5 vezes esse procedimento. Marque as origens de cadaesfera, utilizando o �o de prumo para auxiliá-lo. Após a colisão asesferas caem no papel, assim, por exemplo, para um ângulo, é possívelesboçar o resultado do papel, segundo a Figura 17.2.

Figura 17.2: Esquema da projeção das esferas após a colisão. O1 representa aorigem para esfera 1 (projeção na mesa do �m da canaleta), O2 é a origem para aesfera 2 (projeção na mesa do pino onde o alvo está apoiado). Marque esses pontoscuidadosalmente usando o �o de prumo. (Figura extraída do roteiro experimentaldo curso de Laboratório de Fisica 1, A. Turtelli, Instituto de Física Gleb Wathagin-UNICAMP).

7. De acordo a Figura 17.2, o segmento O1i é proporcional à velocidade(antes do choque) da esfera 1. Os segmentos O1j são proporcionaisàs velocidades �nais (após o choque) da esfera 1, para os parâmetros


1 até 4 (j varia de 1 até 4). Cada j é a posição média de cada 5lançamentos, para cada posição do pino (ou para cada ângulo). Ossegmentos O2j (variando de 1 até 4) são proporcionais às velocidades�nais (após os choque) da esfera 2 para os quatro ângulos diferentes.Para cada ângulo, a posição é dada pela média de 5 lançamentos.

Marque cuidadosamente no papel todos os pontos de impacto, seguindoa convensão acima. Apenas coloque o carbono após efetuar algunslançamentos e ter uma idéia de onde as esferas cairão. Use pedaçospequenos de carbono somente nos pontos de impactos previamente es-timados.

8. Estime um círculo que circunscreva um conjunto das marcas para cadaângulo. Considere o centro do círculo como valor médio da posição dechoque (x,y) do impacto da esfera. Além disso, o raio do círculo seriao valor do erro associado1 ao valor x e y, conforme ilustrado na Figura17.2.

Para o relatório discuta os seguintes itens na forma de redação:

1. Mostre claramente que os segmentos O1j e O2j são proporcionais àsvelocidades após o choque e O1i à velocidade da esfera 1 antes dochoque. Determine numericamente a constante de proporcionalidade.

2. Encontre o tempo de queda t ± ∆t em função de h ± ∆h. Utilizeg = 9, 8± 0, 5 m/s2.

3. Determine os vetores velocidades ~v de cada esfera antes e depois do cho-que para cada ângulo (j) nas formas : ~v = (vx ±∆vx) i+ (vy ±∆vy) j.

4. Determine os vetores momento linear ~p de cada esfera antes e depoisdo choque, utilizando o resultado do item 3 e m ±∆m de cada esferanas formas ~p = (px ±∆px) i+ (py ±∆py) j.

5. Determine, gra�camente, no papel, o vetor velocidade relativa de apro-ximação antes do choque (~v1i − ~v2i) e o de afastamento após o choque(~v2f−~v1f ), para dois ângulos diferentes. Discuta sobre o tipo de choque.

6. Discuta se é possível considerar o sistema das duas esferas é consideradoum sistema isolado na análise do choque, mesmo que o sistema estejasob ação da força gravitacional.

1Se fossem realizados in�nitos lançamentos para um único ângulo, teríamos as posi-ções marcadas no papel circunscritos à dois círculos, um para cada esfera. Estes círculosocorrem devido ao erro estatístico na direção x e y.

80 Capítulo 17. Colisão em Duas Dimensões

7. Para dois ângulos distintos faça um estudo detalhado sobre a conserva-ção do momento linear antes e depois do choque, considerando a análisedos erros.

8. Para dois ângulos diferentes, realize um estudo detalhado da conserva-ção da energia entre o �m da canaleta (imediatamente antes do choque)e o instante em que as esferas tocam no chão, quando ambas têm velo-cidades também na direção z.

9. Elabore um relatório com todas as informações coletadas e calculadasneste experimento, conforme instruções do Guia para redações de Re-latórios Cientí�cos, Capítulo 7. Lembrem-se que os erros devem serpropagados em todos os experimentos! Consulte a Bibliogra�a 17.4sugerida.

17.4 Bibliogra�a







Apêndice A

Notas de estatísticas

A.1 Medida de uma variável

Sejam x1, x2, . . . , xN os N resultados de uma medida repetida sob asmesmas condições. A média (aritmética) é

x =x1 + x2 + · · ·+ xN

N.

Note que N é um inteiro conhecido com precisão arbitrária. De�nimos odesvio padrão (amostral)

s2x =

(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · ·+ (xN − x)2

N − 1.

Para N = 1, sx tem a forma indeterminada 00. Isso re�ete o fato que quando

�zermos uma medida repetida somente uma vez, não tem como estimar oerro estatístico, que �ca indeterminado. O desvio da média é

Ex =sx√N.

Tem uma diferença importante: sx diz quanto uma medida entre as N feitaspode se diferenciar da média x, em quanto Ex mede quanto o valor médio xobtido na medida difere do valor ideal µx que seria obtido fazendo in�nitasmedidas. Em geral, sx para N grande estabiliza a um valor que depende dascondições experimentais. Então, Ex vai para zero como 1/

√N . Por isso é

bom repetir uma medida muitas vezes.Outra fonte de incerteza é dada pela resolução δx do instrumento de

medida, ou seja, a mínima quantidade que o instrumento pode discriminar.

81

82 Capítulo A. Notas de estatísticas

Ex. a resolução de uma trena é 1mm. A incerteza associada pode ser consi-derada 0,5 mm, no sentido que normalmente todos os valores, por exemplo,entre 9,5 mm e 10, 5mm são lidos como 10 mm.

Um instrumento é também caracterizado pela sensibilidade, ou sejao valor mínimo que o instrumento consegue medir. Por ex., uma balançaeletrônica comum tem uma sensibilidade de 5 kg e uma resolução de 100 g.

A incerteza total sobre a medida de x é

∆x =√δ2x/4 + s2

x.

Se δx � sx, não vale a pena repetir a medida muitas vezes, já que a incer-teza estatística é desprezível. Ex. se medir o comprimento de uma mesaretangular com uma trena com sensibilidade δx = 5,×10−1 cm, por quantoa medida seja repetida, o resultado obtido vai ser sempre o mesmo. Paraver o erro estatístico é preciso mudar de instrumento, e utilizar um maissensível. Ex. medir o comprimento da mesa com um instrumento que tenhaδx = 0, 01 mm. Então a cada repetição da medida vai ser obtido um valordiferente, devido ao fato que a mesa tem imperfeições, as dimensões variamcom a temperatura, etc.

Importante: Poderia-se pensar que uma vez que o δx for muito pequeno,se �zermos a medida com muito cuidado para eliminar as fontes externas deerro estatístico, como variações de temperatura, de umidade, raios cósmi-cos, etc., conseguiríamos chegar a medir o valor verdadeiro xV . Porém nãoé assim. Quando todas as possíveis fontes externas de indeterminação se-rem eliminadas, vai sobrar uma indeterminação intrínseca, devida à próprianatureza da quantidade sendo medida, à própria imprecisão da de�nição.Voltando ao exemplo da mesa: quando dizemos vamos medir o comprimentoda mesa, estamos fazendo a hipótese implícita que a mesa seja um retânguloperfeito. Porém na realidade não é assim. Se queremos carregar a mesa,saber se ela cabe dentro de um caminhão, quantas mesas podemos empilhar,etc., então tudo bem, podemos esquecer que estamos idealizando a mesacomo um retângulo. Porém se �zermos medidas de grande precisão, vamosver que nossa ideia não corresponde à realidade. A mesa vai ter muitas ir-regularidades, dependendo da altura onde medimos o comprimento, este vaimudar, e se nosso δx chegar as dimensões atômicas ou subatômicas, vamosver também que o comprimento �utua no tempo. Aliás, vai ser difícil dizeronde termina a mesa e onde começa o resto do mundo!

Todos os conceitos dinâmicos que utilizamos (tempo, distância, veloci-dade, momento angular, etc.) têm o mesmo fundamento inde�nido que ocomprimento da mesa no exemplo anterior, ou seja, eles se aplicam às idea-lizações que existem somente na nossa cabeça. Em de�nitiva não existe o

A.1. Medida de uma variável 83

valor verdadeiro xV . Quando chegamos a este nível de precisão, em quenossos conceitos revelam seus fundamentos falazes, temos que abandonar amecânica clássica e aplicar a mecânica quântica.]

Exemplo 1: temos um cronômetro, com uma resolução δt = 1×10−2 s =10 ms. Medimos o tempo de descarga de um capacitor, obtendo os seguin-tes valores {10,01; 9,50; 11,16; 10,78; 9,83; 10,65; 11,04; 9,97; 10,42; 10,58}s. A média é t = 10, 394 s. Por em quanto, vamos arredondar colocandoum algarismo a mais que a resolução do instrumento. O desvio padrão ést = 0, 548 s. O erro total é Et = 0, 548 s, já que (0, 005)2 é desprezívelcomparado com (0, 548)2. Agora, vamos arredondar o erro a dois al-

garismos signi�cativos, Et = 0, 55 s. Analogamente, o valor da média vaiser arredondado à casa decimal dada pelo último algarismo signi�cativo doerro. O valor a ser reportado é então tdescarga = (10, 39 ± 0, 55) s, e podeser escrito também 10, 39(55) s. Esta segunda notação é muito útil quandoa medida tem uma precisão grande. A massa do elétron, por exemplo, éme = (9, 10938291± 0, 00000040)× 10−31 kg. Claramente, não é convenienteescrever todos aqueles zeros, e a notação me = 9, 10938291(40)× 10−31 kg émuito mais compacta.

Exemplo 2: Ao lugar do cronômetro, se utiliza um relógio comum, quedá os seguintes resultados {10,;10,;10,;10,;10,;10,;10,;10,;10,;10,} s. O desviopadrão amostral é nulo, mas a resolução é δt = 1 s. A incerteza total éEt = 0, 5 s. Não podemos dizer nada sobre a incerteza estatística σ, alémdela ser com certeza bem menor que a resolução.

É sempre possível escrever o resultado de uma medida com um valormédio e um erro? Somente se a distribuição for Gaussiana, o que acontececom muita frequência, mas não sempre. Em princípio, toda a informaçãoda medida é contida na série de dados. Não é prático repassar tudo isso,considerando também que a série de dados vai variar de uma repetição daexperiência para outra, e que ela pode ocupar muita memória. É preciso su-por que os dados sejam distribuídos de acordo com uma lei aleatória. Muitasvezes, pode se justi�car em base a um teorema conhecido como teorema dolimite central, esta distribuição é dada por:

Π(x) =1√2πσ

exp[−(x− µ)2/2σ2].

A função Π é conhecida como função Gaussiana, e representa uma densidadede probabilidade. Isso quer dizer que a probabilidade do resultado da medidaser entre x1 e x2 (que poderiam ser, por exemplo, dois valores contíguos doinstrumento dentro da resolução dele; pense no cronômetro, sendo x1 = 9, 545s e x2 = 9, 555 s os valores do intervalo para os quais a leitura dá 9, 55) éP (x ∈ [x1, x2]) =

∫ x2

x1dxΠ(x). Notem como a distribuição Π depende de dois


parâmetros, µ e σ. A média x e o desvio padrão sx fornecem estimativas paraesses dois números. Resumindo: Cada vez que você dá como resultado

de uma medida um valor médio e uma incerteza, você está dizendo

implicitamente que a distribuição dos dados é uma Gaussiana.

Figura A.1: Um histograma. Os valores na ordenada são os números Nj , maspoderiam colocar as frequências dividindo por N =

∑j Nj .

Pode acontecer, porém, que os dados não se distribuam de acordo comuma Gaussiana. Como veri�car isso? Em princípio, deveríamos dividir ointervalo [xmin, xmax] entre a leitura mínima e máxima do detector em tantosintervalos, cada um de tamanho δx. Vamos retomar o exemplo do cronômetro.Os valores são 0, 00; 0, 01, . . . 100, 00 s (digamos que no máximo o cronômetrochegue até 100 s). Vamos considerar o intervalo [0;100] dividido nos seguintessegmentos (em segundos):

[0; 100] = [0; 0, 005] ∪ [0, 005; 0, 015] ∪ [0, 015; 0, 025] ∪ · · · ∪ [99, 995; 100],

o simbolo ∪ indica a união. Com a excepção do primeiro e do últimosegmento, todos são centrados num possível valor de leitura tj do cronô-metro. Agora, vamos medir o tempo t um número muito grande, N , devezes. A cada vez que o valor da medida é tj, acrescentamos 1 ao nú-mero Nj, partindo de Nj = 0. Depois de muitas repetições, temos umhistograma das frequências, ou seja um grá�co que associa a cada valor tj(ou melhor a cada intervalo centrado em tj) o número fj = Nj/N (que émenor ou igual a um). Vejam um exemplo de histograma na �gura A.1.Agora, calculem a média t e o desvio padrão st, e construam a GaussianaΠ(t) = (1/

√2πst) exp[−(t− t)2/2s2

t ]. Calculem as probabilidades de obter t

A.2. Medida de mais variáveis 85

em cada intervalo, ou seja pj =∫ tj+0,005

tj−0,005dtΠ(t), e também p0 =

∫ 0,005

−∞ dtΠ(t)

e pjmax =∫ +∞

99,995dtΠ(t), onde jmax é o último valor de j, neste exemplo

jmax = 10000. Agora comparem os valores pj com fj para cada j (clara-mente um computador vai fazer isso para vocês!). Se os valores estão bastantepertos, então a hipótese que distribuição é Gaussiana é con�rmada. O quequer dizer �bastante pertos�? É de se esperar que (pj − fj)2 ≤ fj(1− fj)/N .

Outra noção importante: se é de se esperar que os dados não sejam distri-buídos de acordo com uma Gaussiana, mas de acordo com outra distribuiçãocaracterizada por, digamos, dois parâmetros µ e σ, não sempre acontece quea melhor estimativa de µ seja dada pela média aritmética, nem que a melhorestimativa de σ seja dada pelo desvio padrão. Isso acontece somente com adistribuição Gaussiana. Porém, nas experiências que vamos fazer nos nossoslaboratórios você poderá considerar sempre a média aritmética e o desviopadrão.

A.2 Medida de mais variáveis

Poderia parecer que quando medir N variáveis, tudo o que tem que fazeré providenciar N médias e N incertezas.Porém não é tão simples! As variáveis podem ser correlacionadas. Su-pondo uma distribuição Gaussiana (ou normal), é preciso fornecer N médiasx1, x2, . . . xN e, além das N varianças s2

x1, s2x2, . . . , s2

xNtambém as correlações

xjxk − xj xk, (j 6= k). Estas últimas são em número de N(N − 1)/2. Muitasvezes estas covarianças podem ser nulas, isso quer dizer que as variáveis sãoindependentes. Porém, é para veri�car se isso acontece.

Procedimento geral:

1. Medir cada variável xj um númeroM de vezes, obtendo x(1)j , x

(2)j , . . . , x

(M)j .

2. Calcular as médias

xj =1

M

M∑k=1

x(k)j

3. Calcular as varianças e covarianças

Cj,k = xjxk − xj xk

4. Considerar a matriz Cj,k e invertê-la, achando A = C−1.

5. Construir a distribuição Gaussiana multivariada

Π(x) =1√

(2π)Ndet(C)exp

[−1

2xTAx

],


onde x é o vetor coluna com componentes x1−x1, x2−x2, . . . , xN−xN ,xT o correspondente vetor linha, e se entende o produto sendo entrematriz e vetor.

6. Veri�car se a distribuição Gaussiana acima aproxima bem os dadosexperimentais.

A.3 Propagação da incerteza com correlação

Sejam x, y duas variáveis com incerteza ∆x,∆y, e nenhuma correlaçãoentre elas. Seja f(x, y) uma função das duas variáveis e z = f(x, y) umanova variável. Por exemplo, se medimos com um dinamômetro a força gra-vitacional sobre um corpo, temos que L, o alongamento da mola, e, k, suaconstante elástica, são as duas variáveis, em quanto a quantidade derivada éF = kL. Em geral, a incerteza (ao quadrado) sobre z é dada por

∆2z =

(∂f

∂x

)2

∆2x +

(∂f

∂y

)2

∆2y

Esta equação se aplica supondo que não tem correlação entre x e y.Suponha-se que as medições foram realizadas em dias diferentes, com

temperaturas diferentes. ∆x e ∆y são incertezas associdas aos lados de umquadrado. Há uma causa externa à medição que permite associar um erroem ∆x a um ∆y. Essa causa é a temperatura e intruduz uma tendência dosresultados. Se houver mais dias quentes os resultados serão diferentes dosobtidos no caso contrário e, nesse caso há uma correlação entre as incertezas.

Assim, sendo z = f(x1, x2, . . . , xN), a equação para ser aplicada é

∆2z =

∑j,k

∂f

∂xj

∂f

∂xkγj,k,

com γj,k = 14δj,kδ

2j + xjxk − xj xk. Aqui δj,k é a delta de Kronecker: ela

vale 1 se j = k, e 0 nos outros casos. Não é para confundir com δj, com umíndice só, que indica a resolução. No caso que as variáveis são independentes,γj,k é 0 para j 6= k, e então os quadrados dos erros se somam, porém, setiver dependência, pode acontecer por ex. que C1,2 < 0, ou seja, os errosparcialmente se compensam!

A.4 Probabilidade

Dizemos que a probabilidade é um número real e positivo que mede nossacon�ança relativa no acontecimento de um evento entre uma coleção de even-

A.4. Probabilidade 87

tos possíveis. Quando dizemos �nossa�, não queremos dizer que a probabili-dade seja completamente subjetiva, mas que qualquer ser racional, possuindoas mesmas informações, assinaria o mesmo valor à probabilidade. Esta viraentão inter-subjetiva. Geralmente as probabilidades são normalizadas a um.Exemplo 1: temos uma moeda a qual, pelo que sabemos, é perfeitamentesimétrica e homogênea. Sabemos também que a moeda é jogada no ar, sendo-lhe aplicado um torque que faz-la girar rapidamente, e depois cai no chão,onde veri�ca-se se a moeda tem a cara ou a coroa para cima. Pelo que sabe-mos, também, a moeda está inicialmente com a cara ou a coroa para cima,indiferentemente, e o torque aplicado independe dessa circunstância. Base-ado nesse conhecimento, dizemos que a probabilidade de cara é a mesma quea de coroa, 1/2.Exemplo 2: a priori, a probabilidade de obter um dos seis resultados jo-gando um dado é 1/6, a menos que não se saiba que o dado não é perfeito,que o jeito de jogar ele não é totalmente randômico, etc.

Suponhamos de ter uma variável que pode assumir um número �nitode valores mutuamente exclusivos x1, x2, . . . , xk. A probabilidade p(xj) doevento xj é um número não negativo e não maior que 1, 0 ≤ p ≤ 1 talque

∑j p(xj) = 1. A probabilidade pode ser estimada medindo a variável

x repetidas vezes, mas certi�cando-se ao mesmo tempo que as medidas sãoindependentes uma da outra. Se mede o número de vezes nj que o evento xjse produziu, e se calcula a frequência fj = nj/

∑j nj. No limite que

∑j nj

é muito grande, as frequências aproximam o valor da probabilidade. Poréma de�nição de probabilidade é independente da frequência! Aliás, imaginemde jogar um dado em cima de uma mesa, onde tem uma mancha grudenta.Na primeira jogada o resultado é 6, o que quer dizer que a face do 1 estáno chão. Por acaso o 1 aterriza em cima da mancha que gruda nela. Agorana segunda jogada, como a face do 1 está mais pesada, é mais provável quesaia o 6. Isso quer dizer que as repetições não são independentes. Se medira frequência do 6, ela vai ser maior que 1/6, e a do 1 menor.

A.4.1 Espaço de probabilidade

A probabilidade, então, é uma função que associa um número a um evento.Mas a combinação de eventos é também um evento. Então como assinamosuma probabilidade à ocorrência x1 ∧ x2 ou a x1 ∨ x2, onde ∧ signi�ca que osdois eventos acontecem, e ∨ que pelo menos um dos eventos entre x1 e x2

acontece? Sem entrar nos detalhes, fornecemos as fórmulas que ligam estasprobabilidades:

P (x1 ∨ x2) = P (x1) + P (x2)− P (x1 ∧ x2).


A probabilidade que o evento x não aconteça (o que indicamos com ¬x) éP (¬x) = 1 − P (x). Se dois eventos são independentes, então P (x1 ∧ x2) =P (x1)P (x2) e P (x1 ∨ x2) = P (x1) + P (x2). Mais importante é de�nir a pro-babilidade condicional de um evento x1 sabendo que o evento x2 se veri�cou(ou se veri�cará, a ordem temporal não importa aqui). Esta probabilidadese indica com P (x1|x2) = P (x1 ∧ x2)/P (x2).

A.5 Distribuições de probabilidade importan-

tes

A.5.1 Distribuição binomial

É a distribuição que descreve N repetições independentes de uma ob-servação, na qual um evento pode acontecer com probabilidade p, ou nãoacontecer, com probabilidade q = 1− p. Por exemplo, dados N átomos numestado excitado, podemos nos perguntar com qual probabilidade um númeron de átomos vão decair durante um intervalo de tempo �xo, supondo queo decaimento de um não in�uencie o decaimento de outro. Ou ainda, umjogador tem uma probabilidade p �xa de ganhar num jogo. Se ele jogar Nvezes, qual é a probabilidade que ele ganhe n vezes? Aqui é para supor que ojogador não melhore seu jogo, se este depende das habilidades dos jogadores,ou que o jogo seja puramente de sorte (por exemplo, uma rifa).

Agora, consideramos uma sequência de N números que podem ser 0 (oevento não acontece) ou 1 (o evento acontece). Quantas são as combinaçõespossíveis? Como tem duas possibilidades para cada elemento, em total NT =2N . Quantas destas combinações contém n vezes 1 e N − n vezes 0? Estenúmero é dado pelo binômio de Newton:

(Nn

). A probabilidade de cada uma

dessas sequências é pnqN−n, já que os eventos são supostos independentes, eentão a probabilidade total é o produto das probabilidades síngulas. A�nal

P (n|N) =

(N

n

)pnqN−n.

Notem que automaticamente∑N

n=0 P (n|N) = 1, já que a soma nada é maisque a expansão da potência (p+ q)N e p+ q = 1.

A distribuição binomial é importante em várias aplicações. Em particular,ela explica porquê a frequência observada de um evento tende à probabilidadedo evento quando o número N é muito grande. Mais precisamente, ela prevêque a discrepância entre frequência e probabilidade diminua como 1/

√N .

Vamos ver como.

A.5. Distribuições de probabilidade importantes 89

Se o evento ocorreu n vezes em N repetições, a frequência é fN = n/N .A probabilidade disso acontecer é dada pela equação acima. Para ter umaidéia, colocamos p = 1/π, e desenhamos um histograma para vários valoresde N . Quando N aumentar, a probabilidade �ca mais e mais concentradanuma frequência perto de p. Qual é a diferença entre p e fN? Na médiatemos ∑

n

(p− n

N

)2

P (n|N) =∑n

(N

n

)(p− n

N

)2

pnqN−n =pq

N.

Temos então que a frequência fN aproxima a probabilidade p com uma pre-cisão

√pq/N . Por isso, quantas mais medidas fazemos, melhor a frequência

de um evento aproxima-se da probabilidade verdadeira, se as medidas foremindependentes.

A.5.2 Distribuição Gaussiana

Trata-se de uma distribuição para uma variável x que pode ter valores emtoda a reta, x ∈ (−∞,∞). Não temos mais uma probabilidade P , ou sejaum número puro, mas uma densidade de probabilidade Π, que tem dimensãoinversa à de x. A probabilidade de achar um valor x dentro de um intervaloin�nitesimal dx0 centrado no ponto x0 é P (x ∈ [x0 − dx0/2, x0 + dx0/2) =Π(x0)dx0. Claramente, a integral sobre x0 tem que dar 1, já que com certezaa variável x está em algum lugar na reta. A distribuição Gaussiana é

Π(x) =1√2πσ

exp[−(x− µ)2/2σ2].

Ela depende de dois parâmetros, a média µ e a variança σ2. Em geral,quando se faz uma medição de uma variável que pode ter valores em toda areta, a distribuição é suposta Gaussiana. Isto pode ser justi�cade pelo teo-rema do limite central, o qual estabelece que, quando muitas perturbaçõesindependentes se somam sobre uma variável, esta tem uma distribução Gaus-siana. Por isso, dado um conjunto de pontos experimentais, descrevemos-ocom a média aritmética, que aproxima o valor µ, e com a incerteza, queaproxima o valor σ.

Laboratório de Física Experimental I · Capítulo 1 Introdução ao Laboratório de Física...

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