LE1

CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DE

MINAS GERAIS

Mestrado em Engenharia Eltrica

THASA RODRIGUES LOBACK DURES

1a LISTA DE EXERCCIOS:

Erros e Sistemas Lineares

Belo Horizonte

07 de abril de 2015

2

1. Introduo

A soluo computacional de um dado problema desenvolvida atravs das

tcnicas de clculo numrico. Para que a aplicao desses tcnicas seja possvel, deve-se

seguir a sequncia de quatro etapas: definio do problema, modelagem matemtica,

soluo numrica e anlise dos resultados.

Ao definir um problema, espera-se chegar a uma determinada soluo atravs da

manipulao matemtica das variveis que influenciem essa soluo. Nessa primeira

etapa, so, ento, identificadas essas variveis e os possveis resultados para a soluo

do problema.

A modelagem matemtica consiste em se obter equaes que relacionem as

variveis conhecidas com os resultados possveis. J a soluo numrica, comea pela

escolha do mtodo numrico mais apropriado para as condies do problema. Passa-se,

ento, para a sua descrio computacional atravs da elaborao de um algoritmo, que,

por sua vez implementado numa das linguagens de programao existentes.

Finalmente, o programa editado em um arquivo e executado pelo computador.

Atravs da anlise dos resultados possvel verificar se houve adequao da

soluo numrica ao problema real, anteriormente definido. Observa-se tambm, nessa

etapa, os possveis erros que a modelagem matemtica e sua implementao pode

incorrer.

Este relatrio tem o objetivo de introduzir alguns mtodos na soluo

computacional de problemas de lgebra linear. Procura-se a implementao de

algoritmos prticos, com baixo custo computacional e com menor infringncia de erros.

Utiliza-se a linguagem de programao C++ para elaborao dos algoritmos e sua

compilao pelo programa DEV C/C++. Para melhor segurana em relao ao uso das

tcnicas apresentadas, comparou-se alguns resultados com os obtidos pelo programa

Matlab.

2. Exerccios Propostos

1) Desenvolva um algoritmo em C para realizar a multiplicao de duas matrizes. No se esqueam de verificar se a multiplicao possvel antes de realiz-la.

Teste os resultados obtidos com aqueles gerados pelo MATLAB. Considerar

preciso simples e preciso estendida. Para comparar os resultados calcule a

norma 2 da matriz resultado. Comente!

2) Desenvolva um algoritmo em C para resolver sistemas lineares triangulares (Superior e Inferior). Teste os resultados obtidos com aqueles gerados pelo

MATLAB. Considerar preciso simples e preciso estendida. Para comparar os

resultados calcule a norma 2 da matriz resultado. Comente!

3) Desenvolva um algoritmo em C para resolver sistemas lineares utilizando eliminao de Gauss com pivoteamento. Como subproduto calcule o

determinante da matriz. Considerar preciso simples e preciso estendida. Para

comparar os resultados calcule a norma 2 da matriz resultado. Comente!

3

4) Apresente uma pesquisa sobre aplicao de sistemas lineares nas seguintes reas: Eletromagnetismo, controle, SEP, modelagem de sistemas. Apresente no

mnimo 4 aplicaes por rea, faa uma breve descrio de cada uma delas

destacando as caractersticas das matrizes e os mtodos utilizados para a soluo

do sistema.

3. Resoluo

1 Exerccio:

A forma geral de representao de um nmero na atimtica de ponto flutuante

tem a seguinte notao cientfica:

onde os s so os dgitos da parte fracionria, tais que

B o valor da base (geralmente 2, 10 ou 16), o nmero de dgitos e um expoente

inteiro. Deste modo, um nmero de ponto flutuante tem trs partes: o sinal, a parte

fracionria (chamada de significando ou mantissa) e o expoente. Essas trs partes tm

um comprimento total fixo que depende do computador e do tipo de nmero: preciso

simples, dupla ou estendida.

A Tabela 1 mostra formato proposto pelo IEEE (Insitute of Electrical and

Electronics Engineers), utilizado pela maioria dos computadores do mundo:

Tabela 1: Formato IEE de ponto flutuante

Propriedade

Preciso

Simples Dupla Estendida

Comprimento total 32 64 80

Bits na mantissa 23 52 64

Bits no expoente 8 11 15

Base 2 2 2

Expoente mximo 127 1023 16383

Expoente mnimo -126 -1022 -16382

Maior nmero Menor nmero Dgitos decimais 7 16 19

Neste primeiro exerccio proposto, o objetivo verificar se possvel a

multiplicao de duas matrizes dadas pelo usurio, realizar a multiplicao dessas

matrizes, tanto na preciso simples, quanto na estendida, calcular a norma-2 da matriz

para os dois casos e comparar os resultados com aqueles obtidos no Matlab.

4

Para que a multiplicao de matrizes seja possvel, basta que o nmero de

colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas da segunda matriz. O mtodo

utilizado para o clculo foi com base na relao das posies dos elementos de cada

matriz e suas equaes para a obteno da matriz resultante.

O algoritmo desenvolvido para a multiplicao de matrizes na preciso simples

mostrado a seguir:

#include

#include

#include

int main ()

{

//Variaveis com numeros de linhas e colunas da matriz 1

short int numeroLinhaMatriz1 = 0;

short int numerocolunasMatriz1 = 0;


short int numeroLinhaMatriz2 = 0;

short int numerocolunasMatriz2 = 0;

//Entrada de dados com os numero de linhas e colunas das matrizes

printf ("****** Primeira Matriz ******\n");

printf ("Entre com o numero de linhas da matriz 1 (maximo 10): ");

scanf ("%hd", &numeroLinhaMatriz1);

printf ("Entre com o numero de colunas da matriz 1 (maximo 10): ");

scanf ("%hd", &numerocolunasMatriz1);

printf ("\n****** Segunda Matriz ******\n");


scanf ("%hd", &numeroLinhaMatriz2);


scanf ("%hd", &numerocolunasMatriz2);

if (numerocolunasMatriz1 == numeroLinhaMatriz2)

{

//Numero de elementos da matriz resultante

short int numeroElementosMatrizResultante = numeroLinhaMatriz1 * numerocolunasMatriz2;

printf ("\n\nNumero de elementos da matriz resultante: %hd\n", numeroElementosMatrizResultante);

//Alocando a primeira matriz

float matriz1[10][10];

//Alocando a segunda matriz

float matriz2[10][10];

int contLinha, contColuna;

float valor;

//Preenchedo a matriz 1

printf ("\n****** Entre com os valores da primeira matriz ******\n"); for (contLinha=0; contLinha

5

for (contColuna=0; contColuna

6

Coloca-se como observao que tanto o algoritmo anterior, como o que vm a

seguir, declaram matrizes correspondentes a sistemas de ordem mxima igual a 10. Para

sistemas de ordem superiores, basta trocar as declaraes das matrizes para as da ordem

desejada. Alm disso, o algoritmo para o clculo da norma 2 est incluso no algoritmo

acima. A seguir apesenta-se o mesmo algoritmo na preciso estendida (nica diferena

do algoritmo anterior). O cdigo da norma 2, embora tenha sido implementado na

prxima rotina computacional, foi omitido para evitar vs repeties.

contLinha = 0; contColuna = 0;

for(contLinha = 0; contLinha < numeroLinhaMatrizResultante; contLinha++)

{

for(contColuna = 0; contColuna < numerocolunasMatrizResultante; contColuna++)

{

printf ("Linha %d coluna %d: %10f \n", contLinha, contColuna, matrizResultante[contLinha][contColuna]);

}

}

float soma = 0;

float normaMatriz = 0;

for(int w=0;w

7

#include

#include

#include

int main ()

{


int numeroLinhaMatriz1 = 0;

int numerocolunasMatriz1 = 0;


int numeroLinhaMatriz2 = 0;

int numerocolunasMatriz2 = 0;

//Entrada de dados com os numero de linhas e colunas das matrizes

printf ("****** Primeira Matriz ******\n");


scanf ("%d",&numeroLinhaMatriz1);


scanf ("%d", &numerocolunasMatriz1);

printf ("\n****** Segunda Matriz ******\n");


scanf ("%d", &numeroLinhaMatriz2);


scanf ("%d", &numerocolunasMatriz2);

if (numerocolunasMatriz1 == numeroLinhaMatriz2)

{

//Numero de elementos da matriz resultante

int numeroElementosMatrizResultante = numeroLinhaMatriz1 * numerocolunasMatriz2;

printf ("\n\nNumero de elementos da matriz resultante: %d\n", numeroElementosMatrizResultante);

//Alocando a primeira matriz

long double matriz1[10][10];

//Alocando a segunda matriz

long double matriz2[10][10];


long double valor;


printf ("\n****** Entre com os valores da primeira matriz ******\n");

for (contLinha=0; contLinha

8

//Iniciando variaveis contadoras

contLinha = 0;

contColuna = 0;


printf ("\n****** Entre com os valores da segunda matriz ******\n");


9

2 Exerccio:

O algoritmo elaborado para esse exerccio pede que o usurio escolha se o

sistema ser triangular inferior ou superior. Para o sistema triangular inferior, os

elementos cuja posio da linha tem valor menor que a posio da coluna so

automaticamente preenchidos com zeros e o sistema solucionado pela expresso a

seguir:

cn

c

c

x

x

x

lll

ll

l

nnnnn

....

....

.,.

0

......

00

2

1

2

1

21

2221

11

.,...,2,1,

1

1ni

l

xlc

xij

i

j

jiji

i

Para o sistema triangular superior, ocorre o contrrio, os elementos cuja posio

da linha superior da coluna que so preenchidos com zero. Esse sistema , por sua

vez, solucionado a partir das seguintes equaes:

nnnn

n

n

d

d

d

x

x

x

u

uu

uuu

....

....

00

.,.......

0 2

1

2

1

222

11211

.1,...,1,,1

nniu

xld

xii

n

ij

jiji

i

}

else

{

printf ("\n\n!!!! Erro\n");

printf ("ERRO!!!! No possvel multiplicar:\n Numero de colunas da primeira matriz diferente do numero de linhas da segunda matriz\n\n");

system("pause");

}

return 0;

}

10

A seguir so apresentados os algoritmos desenvolvidos para a resoluo de

sistemas triangulares superior e inferior, respectivamente, na preciso simples e

estendida. Da mesma forma que no exerccio anterior, a rotina para o clculo da norma

2 mostrada apenas no primeiro algoritmo e as matrizes declaradas corespondem a

sistemas de ordem mxima igual a 10. Para sistemas de ordem superiores, basta trocar

as declaraes das matrizes para as da ordem desejada.

4 Exerccio:

figure(2)

subplot(3,2,1);

plot(t1A,p1A);

gridon

xlabel'Tempo (s)';

ylabel'Potncia (W)';

title'Potncia Ativa 1a noite';

subplot(3,2,2);

plot(t1A,q1A);

gridon

xlabel'Tempo (s)';

ylabel'Potncia (VAr)';

title'Potncia Reativa 1a noite';

subplot(3,2,3);

plot(t2A,p2A);

gridon

xlabel'Tempo (s)';

ylabel'Potncia (W)';

title'Potncia Ativa 2a noite';

#include

#include

#include

int main ()

{

int ordemDoSistema = 0;

char seSuperiorOuInferior;

//Ordem do sistema

printf ("Digite a ordem do sistema (maximo 10): ");

scanf ("%d", &ordemDoSistema);

//Verifica se o sistema e triangular superior ou inferior

printf ("\n\nO Sistema e triangular superior ou inferior?\n (Digite S para superior ou I para inferior): ");

scanf(" %c", &seSuperiorOuInferior);

//Entra com a matriz dos termos independentes printf ("\n\n Entre com a matriz dos termos independentes\n");

float matrizTermosIndependentes[10];

float coeficiente;

for (int a = 0; a < ordemDoSistema; a++)

{

coeficiente = 0;

printf ("Termo %d: ", a);

scanf ("%f", &coeficiente);

matrizTermosIndependentes[a] = coeficiente;

}


//Alocando a matriz

float matriz[10][10];

float valor;

//Preenchedo a matriz dos coeficientes

printf ("\n****** Entre com os valores da matriz dos coeficientes******\n");


11

valor = 0;

printf ("Linha %d coluna %d: ", contLinha, contColuna);

scanf ("%f", &valor);

matriz[contLinha][contColuna] = valor;

}

}

else

{

if(seSuperiorOuInferior == 'S' || seSuperiorOuInferior == 's')

{

if(contLinha

12

Para a preciso estendida, tem-se:

else

{

if(seSuperiorOuInferior == 'I' || seSuperiorOuInferior == 'i')

{

for (int w = 0; w < ordemDoSistema; w++)

{

numerador = 0;

denominador = 0;

numerador = matrizTermosIndependentes[w];

for(int j = 0; j < count; j++)

{

numerador -= matriz[w][w - j -1] * matrizResultado[w - j - 1];

}

denominador = matriz[w][w];

matrizResultado[w] = numerador / denominador;

count = count + 1;

}

}

}

//Imprime matriz resultado

printf ("\n******Resultado******\n");

for (int k=0; k < ordemDoSistema; k++)

{

printf ("%f\n", matrizResultado[k]);

}

// Clculo da norma 2

float adiciona = 0;


for(int w=0;w

13

//Entra com a matriz dos termos independentes

printf ("\n\n Entre com a matriz dos termos independentes\n");

float matrizTermosIndependentes[10];

float coeficiente;

for (int a = 0; a < ordemDoSistema; a++)

{

coeficiente = 0;

printf ("Termo %d: ", a);

scanf ("%f", &coeficiente);

matrizTermosIndependentes[a] = coeficiente;

}


//Alocando a matriz

float matriz[10][10];

float valor;

//Preenchedo a matriz dos coeficientes

printf ("\n****** Entre com os valores da matriz dos coeficientes******\n");


14

scanf ("%f", &valor);

matriz[contLinha][contColuna] = valor;

}

}

else

{

printf("ERRO!!! ESSE SISTEMA NO TRIANGULAR");

}

}

}

}

float matrizResultado[10];

float numerador;

float denominador;

int count = 0;

//Se for superior

if(seSuperiorOuInferior == 'S' || seSuperiorOuInferior == 's')

{

for (int i = ordemDoSistema-1; i >= 0; i--)

{

numerador = 0;

denominador = 0;

numerador = matrizTermosIndependentes[i];


{

numerador -= matriz[i][i+j+1] * matrizResultado[i +j+ 1];

}

denominador = matriz[i][i];

matrizResultado[i] = numerador / denominador;

count = count + 1;

}

}

else

{

if(seSuperiorOuInferior == 'I' || seSuperiorOuInferior == 'i')

{

for (int w = 0; w < ordemDoSistema; w++)

{

numerador = 0;

denominador = 0;

numerador = matrizTermosIndependentes[w];


{


15

3 Exerccio:

.O mtodo da eliminao de Gauss consiste em transformar o sistema linear

original num outro sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular

superior, pois estes so de resoluo imediata. Dizemos que dois sistemas lineares so

equivalentes quando possuem a mesma soluo. O determinante de sistemas lineares

equivalentes so iguais.

Com (n 1) passos o sistema linear Ax = B transformado num sistema

triangular equivalente: Ux= C, o qual se resolve facilmente por substituies.

Obtm-se a soluo de Ax= B em trs etapas:

1 etapa: Matriz Completa

Consiste em escrever a matriz completa ou aumentada do sistema linear original.


{


}

denominador = matriz[w][w];

matrizResultado[w] = numerador / denominador;

count = count + 1;

}

}

}

//Imprime matriz resultado

printf ("\n******Resultado******\n");

for (int k=0; k < ordemDoSistema; k++)

{

printf ("%f\n", matrizResultado[k]);

}

float soma = 0;


for(int z = 0;z

16

2 etapa: Triangulao

Consiste em transformar a matriz A numa matriz triangular superior, mediante uma

seqncia de operaes elementares nas linhas da matriz.

3 etapa: Retro-substituio

Consiste no clculo dos componentes x1, x2, ..., xn, soluo de Ax= B, a partir da

soluo do ltimo componente (xn), e ento o substitui regressivamente nas equaes

anteriores.

Teorema: Seja Ax = B um sistema linear. Aplicando sobre as equaes deste sistema

uma seqncia de operaes elementares escolhidas entre:

i) Trocar a ordem de duas equaes do sistema;

ii) Multiplicar uma equao do sistema por uma constante no nula;

iii) Adicionar um mltiplo de uma equao a uma outra equao;

obtemos um novo sistema Ux= C e os sistemas Ax= B e Ux= C so equivalentes.

O algoritmo para o mtodo de eliminao de Gauss requer o clculo dos

multiplicadores:

a cada etapa do processo. Sendo o coeficiente chamado de piv.

Se o piv for nulo ou se o piv estiver prximo de zero uma ateno especial de

ve ser tomada, pois impossvel trabalhar com um piv nulo. E trabalhar com um piv

prximo de zero pode resultarem resultados totalmente imprecisos. Isto porque em

qualquer calculadora ou computador os clculos so efetuados com preciso finita, e

pivs prximos de zero so origem a multiplicadores bem maiores que a unidade que,

por sua vez, origina uma ampliaodos erros de arredondamento.

Para se contornar esses problemas deve-se adotar uma estratgia de

pivoteamento, ou seja, adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

Esta estratgia consiste em:

i) no incio da etapa k da fase de escalonamento, escolher para piv o elemento de maior

mdulo entre os coeficientes: .

ii) trocar as linhas k e se for necessrio.

A seguir so apresentados os algoritmos desenvolvidos para a resoluo de

sistemas lineares pelo mtodo de Gauss com pivotamento, na preciso simples e

estendida respectivamente. Para a resoluo do sistema triangular superior resultante,

17

utilizou-se os algoritmos j implementados no exerccio anterior e obteve-se a norma 2,

cuja rotina j foi evidenciada nos exerccios anteriores, para os dois tipos de preciso.

#include

#include

#include

int main ()

{

//Variaveis com numeros de linhas e colunas da matriz

unsigned int ordem;

//Escolha da ordem do sistema

printf ("****** Ordem do Sistema ******\n");

printf ("Entre com a ordem do sistema (maximo 10): ");

scanf ("%d", &ordem);

//Alocando as matrizes dos coeficientes e dos termos independentes

float mcoeficientes[10][10];

float mindependentes[10];

char S;

unsigned int x, y;

float valor;

//Preenchedo as matrizes do sistema

printf ("\n****** Entre com os valores da matriz dos coeficientes ******\n");

for (x=0; x

18

for (x=0; x

19

{

novaordem = novaordem - 1;

}

}

printf("\n\n************* MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR ******************\n");

for (x=0; x

20

RESULTADOS 1 Exerccio:

O algoritmo rodado em Dev C++, com preciso simples, apresentou o seguinte

resultado:

****** Primeira Matriz ******

Entre com o numero de linhas da matriz 1: 5

Entre com o numero de colunas da matriz 1: 2

****** Segunda Matriz ******

Entre com o numero de linhas da matriz 2: 2

Entre com o numero de colunas da matriz 2: 7

Numero de elementos da matriz resultante e igual a: 35

****** Entre com os valores da primeira matriz ******

Linha 0 coluna 0: 3.145









Linha 4 coluna 1: 12

****** Entre com os valores da segunda matriz ******












21




****** Resultado da multiplicacao das matrizes ******






























Linha 4 coluna 1: 101.249046

22

Pelo Matlab obtem-se os seguintes resultados para o resultado da multiplicao e

sua norma:

No houve diferenas significativas da preciso simples para a dupla. Observou-

se que com uma maior preciso, o comprimento da matriz fica levemente inferior.

A =

3.1450 0.2340

0.0020 10.4200

8.4400 0.0300

6.1200 0.1500

0.0140 12.0000

B =

2.3500 6.3600 0.1790 0.0980 0.4320 9.3200 7.7700

4.3200 8.4300 0.0860 3.7500 0.7340 8.9500 7.3300

Resultado =

8.4016 21.9748 0.5831 1.1857 1.5304 31.4057 26.1519

45.0191 87.8533 0.8965 39.0752 7.6491 93.2776 76.3941

19.9636 53.9313 1.5133 0.9396 3.6681 78.9293 65.7987

15.0300 40.1877 1.1084 1.1623 2.7539 58.3809 48.6519

51.8729 101.2490 1.0345 45.0014 8.8140 107.5305 88.0688

norma =

287.1871

>>




Linha 4 coluna 5: 107.530479


A norma da Matriz : 289.776093

Pressione qualquer tecla para continuar. . .

23

2 Exerccio:

O algoritmo rodado em Dev C++, com preciso simples, apresentou o seguinte

resultado para um sistema triangular superior:

A mesma implementao feita em Matlab (preciso double):

Digite a ordem do sistema (maximo 10): 3

O Sistema e triangular superior ou inferior?

(Digite S para superior ou I para inferior): S

Entre com a matriz dos termos independentes

Termo 0: 1.4142135

Termo 1: 3.1415926

Termo 2: 1.7320508

****** Entre com os valores da matriz dos coeficientes******







******Resultado******

-1.083555

1.441051

0.637186

Norma da Matriz: 1.9112257

Press any key to continue . . .

>> A

A =

3.1416 2.7183 1.4142

0 1.4142 1.7321

0 0 2.7183

24

Para esse exemplo, observa-se que a preciso simples obtem praticamente os

mesmos valores que a preciso double. O resultado para um sistema triangular inferior

com preciso simples apresentado a seguir:



(Digite S para superior ou I para inferior): I


Termo 0: 1.4142135

Termo 1: 3.1415826

Termo 2: 1.7320508









0.450158

1.356178

-0.461151



>> B

B =

1.4142

3.1416

1.7321

>> c=inv(A)*B

c =

-1.0836

1.4411

0.6372

>> norm(c)

ans =

1.9123

25

A implementao do mesmo sistema triangular inferior, feita em Matlab

(preciso double):

Mais uma vez os resultados da preciso simples e dupla foram os mesmos.

3 Exerccio:

O mtodo de Gauss com pivoteamento foi rodado e apresentou os seguintes

resultados para preciso simples:

A=[3.1415926 0 0; 2.7182818 1.4142135 0; 1.4142135 1.7320508 2.7182818]

A =

3.1416 0 0

2.7183 1.4142 0

1.4142 1.7321 2.7183

>> B=[1.4142135; 3.1415826;1.7320508]

B =

1.4142

3.1416

1.7321

>> C=inv(A)*B

C =

0.4502

1.3562

-0.4612

>> norma=norm(C)

norma =

1.5015

****** Ordem do Sistema ******

Entre com a ordem do sistema (maximo 10): 3

****** Entre com os valores da matriz dos coeficientes ******

Linha 0 coluna 0: 1

Linha 0 coluna 1: -3

Linha 0 coluna 2: 2


Linha 1 coluna 1: 8


Linha 2 coluna 0: 4


Linha 2 coluna 2: 5

26

****** Entre com os valores da matriz dos termos independentes ******

Coluna 0: 11

Coluna 1: -15

Coluna 2: 29

multiplicador 00: -0.250000

multiplicador 10: 0.500000

multiplicador 01: 0.300000

************* MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR ******************


Linha 0 coluna 1: -6.000000








************* MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES ****************

Termo 0: 29.000000

Termo 1: -0.500000

Termo 2: 3.600000

******************* VALOR DO DETERMINANTE *************************

Valor do determinante: -24.000000




(Digite S para superior ou I para inferior): S


Termo 0: 29

Termo 1: -0.5

Termo 2: 3.6


Linha 0 coluna 0: 4


27

4 Exerccio: Pesquisa sobre aplicao de sistemas lineares nas reas de

Eletromagnetismo, SEP, controle e modelagem de sistemas

4.1. Eletromagnetismo

Mtodo das Diferenas Finitas

O Mtodo das Diferenas Finitas apresenta solues diretas para campos

eltricos e magnticos nos pontos de uma malha regular formada pela discretizao de

uma superfcie ou volume de um objeto. Para tanto, divide-se o domnio de clculo em

diversos pontos calcula-se o campo eltrico correspondente a cada ponto a partir dos

valores de pontos adjacentes.

Essa tcnica numrica possibilita resolver situes que abrangem equaes

diferenciais parciais (EDPs), que so equaes envolvendo uma funo de variveis

independentes e suas derivadas. Assim, essa viabilidade permite resolver equaces

como as de Poisson e as de Laplace, delimitando-se um domnio por condies de

contorno e/ou condies iniciais.

Para se determinar o campo eltrico ou potencial eltrico, em muitos casos, so

utilizados a Lei de Coulomb, ou a Lei de Gauss quando a distribuio de cargas

conhecida, ou utilizar a equao que relacion intensidade do campo eltrico direo

contrria do divergente do potencial, quando esse conhecido em uma regio. No

entanto, na maioria das situaes prticas, tais parmetros no so conhecidos.

Ento para essas situaes, onde so apenas conhecidas as condies

eletrostticas em algumas fronteiras numa determinada regio, em que se deseja obter o

campo eltrico e o potencial eltrico ao longo de toda a regio em questo, so

Linha 0 coluna 2: 5

Linha 1 coluna 1: 5




2.000000

-1.000000

3.000000



28

utilizados usualmente a Equao de Poisson ou a de Laplace ou, ainda, o metodo das

imagens.

A idia bsica discretizar as equaes de Maxwell no espao e no tempo,

obtendo-se os campos a partir da resoluo contnua das mesmas, com base nos valores

dos campos adquiridos em iteraes anteriores de maneira alternada.

O sistema de equaes vetoriais de Maxwell mostrado a seguir:

O sistema de coordenadas cartesianas utilizado para expandir o sistema em seis

equaes a derivadas espaciais e temporais:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

As tcnicas de diferenas finitas no domnio do tempo (FDTD) so baseadas em

aproximaes numricas, permitindo transformar equaes diferenciais em equaes

por diferenas finitas. A obteno destas equaes efetuada a partir da expanso em

sries de Taylor. Na prtica, a srie truncada, o que implica na insero de um erro de

aproximao.

Considera-se, por exemplo, uma funo qualquer dentro de um espao

cartesiano discretizado , discretizada tambm no tempo :

29

Onde: so incrementos espaciais; o incremento temporal; e , o

nmero da iterao. Pode-se utilizar a aproximao mostrada abaixo, que demonstrada

na figura 4.1.

( ) (

)

Figura 4. 1: Aproximao por diferenas finitas.

Fonte: Silveira, Jony L., UFSC, 2002

Tm-se, portanto:

* (

) (

)+

* (

) (

)+

* (

) (

)+

Onde: o erro introduzido por truncagem.

E para o tempo:

*

+

Para aplicar as equaes 4.5 e 4.6 tem-se que discretizar a regio com elementos

regulares. O sistema de coordenadas pode ser cartesiano ou polar, e os elementos

quadrados, retangulares ou hexagonais. A figura 4.2 ilustra a clula introduzida por Yee

para discretizao tridimensional.

30

Figura 4. 2: Disposio dos campos E e H na clula de Yee. Fonte: Silveira, Jony L., UFSC, 2002

importante observar que alm de estarem defasados no espao as componentes

sw campo eltrico e magntico sero, por fora da equao 4.6, calculadas em passos de

temmpo alternados. Assim, o campo magntico ser calculado a cada ( ) ,

enquanto o campo eltrico calculado a cada .

Para a resoluo de uma equao de Laplace ou de Poisson, deve-se dividir o

domnio em uma grade de maneira similar ao cubo de Yee. Os ns da grade da

extremidade da regio so prefixados pela condio de contorno e so chamados de ns

fixos,enquanto os ns internos sao denominados de pontos livres. Em seguida, obtm-se

as aproximaes por diferencas finitas para equacao diferencial de Poisson, pela qual

possvel determinar o potencial o potencial em todos os pontos livres.

Abaixo, mostra-se a aplicao das equaes 4.5 e 4.6 na clula de Yee para a

compontente do campo magntico (Eq. 4.7) e eltrico (Eq. 4.8). Encontra-se as

demais componentes de forma anloga, pela mesma aplicao da aproximao por

diferenas finitas s outras equaes 4.2.

(

)

(

)

*

(

)

(

)

(

)+

31

(

)

(

)

[

(

)

(

)

(

)

(

) ]

O mtodo de diferenas finitas permite realizar clculos em geometrias

complexas e materiais com configuraes no homogneas lineares e no lineares. No

entanto, existem alguns inconvenientes ligados a esta tcnica:

Para garantir a estabilidade do mtodo devemos garantir que:

,

onde: a mxima velocidade de fase;

As condies de fronteira devem ser usadas convenientemente para simular a

extenso da soluo no infinito.

Existem, porm,vrias tcnicas aplicveis s fronteiras de modo a simular o

espao aberto. O mtodo das diferenas finitas um mtodo de resoluo de problemas

que englobam equaes diferenciais parciais. Tais problemas so definidos

univocamente por trs caractersticas: seja por uma equao diferencial parcial, como

o caso das equaes de Laplace ou de Poisson; seja pela delimitao de um domnio; ou

at mesmo por condies de contorno e/ou por condies iniciais.

O mtodo de diferenas finitas um dos mais populares na anlise de problemas

no domnio do tempo. Dentre as vrias aplicaes do mtodo, em engenharia eltrica,

destacam-se:

Obteno das caractersticas de espalhadores (scattering);

Anlise de antenas e microstrips;

Avaliao dos efeitos da radiao de microondas em organismos vivos;

Anlise de problemas de interferncia eletromagntica (EMI);

Anlise de propagao em cavidades ressonantes, guias de onda;

Anlise da propagao eletromagntica em fibras opticas, etc.

Como aplicao do mtodo descreve-se apenas a obteno das caracterstias de

espalhadores. O fenmeno de espalhamento eletromagntico pode ser entendido como o

campo gerado a partir da interao entre uma onda eletromagntica viajante e um

obstculo que a intercepta. Caracteriza-se pela influncia dos campos eltrico e

magntico incidentes (Ei ,Hi ) em um corpo, designado objeto espalhador ou,

simplesmente,e spalhador, nele induzindo correntes em sua superfcie ou volume. As

correntes no espalhador variam no tempo e o faz, por sua vez, exercer o papel de uma

antena que irradia campos eletromagnticos espalhados (Es ,Hs ) . Dessa forma, o

32

campoeletromagntico total (Et ,Ht ) se torna uma composio de campos espalhados e

campos incidentes, conforme mostrado a seguir:

A equao 4.9 mostra que o campo eltrico total dado pela soma do campo

eltrico incidente com o campo eltrico espalhado. Da mesma forma, por meio da

equao 4.10, tem-se que o campo magntico total a soma dos campos magnticos

incidente e espalhado.

Em uma situao em que o espao destitudo de corpos, tem-se que toda

medida de campo realizada, em qualquer que seja o ponto desse espao, indica um valor

de campo igual ao campo original produzido pela antena. Entretanto, em situaes em

que um espalhador esteja presente, o objeto iluminado pelos campos eletromagnticos

incidentes e h interao entre estes campos e os campos espalhados, caracterizando

assim, o fenmeno do espalhamento eletromagntico. Assim, tem-se que duas entidades

distintas esto envolvidas neste fenmeno: os campos eletromagnticos e o espalhador.

Considerando-se uma regio fonte de campo eletromagntico e outra onde se

situa um objeto espalhador, o fenmeno de espalhamento ocorre nessa segunda regio.

As influncias dos campos incidentes sobre o espalhador so computadas por meio de

expresses analticas para os campos incidentes originais. Dessa maneira, para o clculo

do campo eletromagntico total, necessrio somente encontrar a parcela do campo

espalhado. Tem-se, tambm, que as ondas eletromagnticas geradas pela fonte

propagam-se pelo espao livre 0 e que a geometria do

espalhador e seu material podem ser considerados arbitrrios.

O espalhamento eletromagntico pode ser modelado matematicamente atravs

das

equaes de campo eletromagntico e das condies de contornos inerentes ao

problema tratado. As equaes de campo, eltrico e magntico, so obtidas atravs das

equaes de Maxwell, conforme demonstrado na explicao do Mtodo das Diferenas

Finitas.

Mtodo Sem Malhas

Diferentemente dos mtodos baseados em malhas, os mtodos sem malha so

caracterizados pelo uso de um conjunto de ns espalhados pelo domnio do problema,

ao invs de uma malha ou grid. Um dos gargalos computacionais desses mtodos o

processamento dos ns, cujo tempo muito grande quando comparado, por exemplo,

com o Mtodo de Elementos Finitos (FEM). Apesar disso, o processamento de cada n

pode ser feito de maneira independente, tornando o processo facilmente paralelizvel. .

Cada n contribui com uma linha do sistema, no interferindo na contribuio dos

demais ns.

33

Embora existam vrios tipos de mtodos sem malha, discute-se aqui em maiores

detalhes o MLPG (Meshless Local Petrov Galerkin method) para a resoluo de

problemas eletromagnticos, principalmente problemas estticos (eletrostticos e

magnetostticos). Esse mtodo foi escolhido por ser um mtodo bastante flexvel e por

ser considerado um mtodo verdadeiramente sem malha.

O conjunto de equaes simplificadas para os casos eletrosttico e

magnetosttico combinadas com as condies de contorno so denominados forma forte

para os problemas eletrostticos e magnetostticos.

Como no existe uma malha para dar conectividade aos ns, um desafio para

esse mtodo determinar com eficincia quais ns pertencem vizinhana de um

determinado n. Para resolver esse problema, utiliza-se uma rvore de busca

denominada kd-tree. Outra dificuldade dos mtodos sem malha est na imposio das

condies de contorno de Dirichlet quando as funes de forma no apresentam a

propriedade do delta de Kronecker, o que o caso para funes de forma construdas a

partir do mtodo de mnimos quadrados mveis (MLS).

No FEM, o processo de gerao da malha pode ser extremamente custoso e no

apresenta a facilidade de ser paralelizado. Alm disso, mtodos com malha nem sempre

so apropriados para quaisquer tipos de problemas, como aqueles em que a

configurao espacial muda com o tempo (e.g. fluidos) ou problemas em que a presena

de elementos degenerados so comuns.

Apesar do grande avano de mtodos tradicionais baseados em malha, existem

casos em que se justifica a utilizao de mtodos sem malha e a paralelizao de tais

mtodos os torna mais competitivos.

O MLPG se difere de outros mtodos sem malha baseados no mtodo de

Galerkin, pois a abordagem Petrov-Galerkin permite que as funes de teste e de forma

sejam diferentes. Esse procedimento torna possvel a soluo do problema global

atravs de integraes de vrios subdomnios locais, ao invs de se resolver uma nica

integrao sobre todo o domnio, como acontece no EFG (Element Free Galerkin). Cada

subdomnio pode ter qualquer tamanho ou forma geomtrica e o conjunto de

subdomnios deve cobrir completamente o domnio global.

Nos mtodos sem malha, a funo de aproximao pode ser definida usando

diferentes abordagens, como o mtodo de Mnimos Quadrados Mveis (MLS),

Reproducing Kernel Particle Method (RKPM), Funes de Base Radial (RBF),

aproximaes polinomiais, entre outras.

A abordagem Petrov-Galerkin, utilizada no MLPG, permite que as funes de

teste e de peso sejam diferentes. Para ilustrar o conceito do MLPG, considere um

domnio arbitrrio descrito por um conjunto de nos dispostos em seu interior e ao

longo de seu contorno . Considera-se como vlida em a seguinte forma fraca:

34

( ) ( )

onde o valor da funo ao longo do contorno , a funo de peso,

um parmetro utilizado pelo mtodo das penalidades para forar o valor de ser igual

ao valor conhecido em um contorno com condies de Dirichlet. O valor da funo

em um n k definido por:

Onde a funo de forma do n e o nmero de ns da vizinhana do n

k que so usadas para calcular a aproximao.

O suporte compacto da funo de peso W define um subdomnio fechado ao

redor de cada n, como ilustrado na figura a seguir:

Figura 4. 2: Representao do domnio.

Fonte: Fonseca, Alexandre R. et al., UFMG, 2008

Conseqentemente, a equao inicial pode ser resolvida localmente em cada

subdomnio , pela seguinte expresso:

( ) ( )

Nos metodos sem malha, a funo de aproximao (2) pode ser definida usando

diferentes abordagens, como o mtodo de Minimos Quadrados Moveis (MLS),

Reproducing Kernel Particle Method (RKPM), Funcoes de Base Radial (RBF),

aproximaes polinomiais, entre outras.

Algumas possveis funes que podem ser usadas para definir W, como a funo

degrau de Heaviside ou a funo de peso MLS. Assume-se que W definido pela

funo de Heaviside, i.e. W = 1, o que leva a:

( ) ( )

35

A funo de Heaviside permite a simplificao da funo da forma fraca local,

eliminando a necessidade de integraes no interior dos subdomnios, o que simplifica o

mtodo e diminui o custo computacional. Substituindo (2) em (4), aplicando o teorema

da divergncia e uma identidade vetorial, obtem-se o sistema linear Kx = f, onde x o

vetor de incognitas, e as matrizes Ke f so dadas por:

Resolvendo o sistema, obtm-se os valores de V em qualquer ponto dentro do

domnio atravs de (2).

4.2. SEP

Anlise de Redes Eltricas

Os sistemas eltricos de potncia nos tempos atuais so, na maioria das vezes,

sistemas complexos, formados a partir de sistemas regionais de mdio porte,

interligados uns aos outros, resultando numa grande rede eltrica, que pode conter

milhares de barras trifsicas e equipamentos, tais como geradores sncronos,

transformadores, autotransformadores, linhas de transmisso e cargas.

Para tratar esses equipamentos de uma forma interligada e dirigida para sistema

ser de grande porte, eles devem ser representados por seus modelos de circuito, no

domnio das fases ou das componentes simtricas, resultando em matrizes de

impedncia ou admitncia primitivas. A interligao destes equipamentos de maneira a

formar a rede eltrica tratada atravs de matrizes de incidncia, que descrevem como

cada um dos elementos est disposto na rede eltrica, dando total informao sobre a

sua topologia. Elas so essenciais para, entre outras funes, se determinar as

formulaes nodal e de lao de redes eltricas.

36

Na formulao nodal, existe a matriz de incidncia elemento-n , que uma

matriz de linhas e colunas que descreve como os elementos esto ligados aos ns

de um grafo orientado. Seus elementos so tais que:

{

J na formulao de lao, existe a matriz de incidncia elemento-lao , que

uma matriz cujo nmero de linhas o nmero de malhas possvesi de se obter em um

determinado grafo. Esta matriz possui colunas e descreve como os elementos de um

grafo esto dispostos numa determinada malha ou lao . Assim, seus elementos so

tais que:

{

As relaes tenso-corrente ou equaes primitivas dos elementos de

circuito podem ser apresentadas no formato de impedncia como:

em que a diferena de potencial entre os terminais da linha,

representa a soma das tenses das fontes existentes na linha, a corrente da

linha e a matriz de impedncias primitiva, que descreve os parmetros da

linha. As formulaes para a resoluo do sistema linear matricial so mostradas

a seguir:

[ ]

Na forma de admitncia, as relaes tenso-corrente so:

37

Que, ao invs da somas das tenses das fontes, so somadas as correntes

das fontes e os parmetros da linha so representados pela matriz admitncia .

As formulaes para a resoluo do sistema linear matricial so mostradas a

seguir:

[ ]

4. Concluses

Esse trabalho propiciou o amadurecimento das tcnicas de mtodos numricos

para sistemas lineares, bem como da programao na linguagem C++. Avaliou-se os

erro susceptveis, diferentes tipos de a preciso e verificou-se um alto custo

computacional dessa linguagem para precises maiores.

5. Referncias Bibliogrficas

CORREA, Sonia M. B. B. (2003). Probabilidade e Estatstica. Segunda

Edio. Belo Horizonte MG. Puc Minas Virtual. 116p.

BOLDRINI, C. (1986). lgebra Linear. 3 ed. Editora Harbra.

PEREIRA, Clever (2012). Redes Eltricas no domnio da frequncia. UFMG.

Belo Horizonte, MG.

SILVEIRA, Jony Laureano (2002). Modelagem numrica 3D de problemas de compatibilidade eletromagntica utilizando o mtodo TLM-TD. Tese de

doutorado. UFSC. Florianpolis, SC.

YEE K. S. Numerical solution of initial Boundary Value Problems involving Maxwells Equations in Isotropic Media. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, New York, v. 14, n. 3, p. 302-307, May 1966.

AZEVEDO, Rayann P. de Alencar; ARAJO, Icaro B. de Queiroz; SANTOS, Eliel P. dos; FONSECA SILVA, Paulo H. da. Aplicao do mtodo das

diferenas finitas para soluo das equaes de Laplace e Poisson para

38

linhas de microfitas acopladas. Instituto Federal de Educacao, Cincia e

Tecnologia da Paraiba. Joo Pessoa, PB.

FONSECA, Alexandre Ramos ; MENDES, Miguel Lima ; MESQUITA, Renato Cardoso ; SILVA, Elson Jos da . Programao Paralela em Mtodos sem

Malha Aplicados a Problemas Eletromagnticos. In: MOMAG 2008 - 13

Simpsio Brasileiro de Microondas e Optoeletrnica - 8 Congresso Brasileiro de

Eletromagnetismo, 2008, Florianpolis. Anais do MOMAG 2008 - 13 Simpsio

Brasileiro de Microondas e Optoeletrnica - 8 Congresso Brasileiro de

Eletromagnetismo., 2008. p. 632-635.

FONSECA, Alexandre Ramos. Algoritmos eficientes em Mtodos sem Malha. Tese de doutorado. UFMG. Belo Horizonte, MG.

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