Aula 2_1 Lei de Gauss I Física Geral e Experimental III

Prof. Cláudio Graça

Capítulo 3

Conceito de Fluxo do campo elétrico

• Fluxo do campo elétrico num campo uniforme

Suponhamos uma superfície plana de área colocada num campo elétrico uniforme de intensidade E . Seja n a normal à superfície e o ângulo que a normal faz com as linhas do campo:

Por definição, chama-se de fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície plana colocada num campo elétrico uniforme ao produto:

Conceito de Fluxo do campo elétrico

• Variação de Φ em função de α

Conceito de Fluxo do campo elétrico

• Variação de Φ em função de α

Interpretação mecânica do fluxo de um vetor

O volume de fluido que atravessa a seção S por unidade de tempo, será dado por :

portanto

O fluxo de fluido , denominado vazão é o fluxo do vetor velocidade de um fluido

Interpretação do fluxo de um vetor

Onde

No caso da superfície fechada a notação da Integral será:

Interpretação do fluxo do campo elétrico

Onde No caso da superfície fechada a notação da Integral será:

Interpretação do fluxo de um vetor

No caso da superfície fechada não conter nem fontes nem sumidouros, o fluxo será nulo:

a

a

i no qAd.E

Lei de Gauss

Cálculo do Campo Elétrico

• Lei de Coulomb

Força entre duas cargas pontuais, foi usada para calcular campos elétricos.

OU

• Lei de Gauss

Relaciona o campo elétrico com a

distribuição espacial de cargas.

Utiliza o conceito de Fluxo Elétrico

Dipolo Elétrico: Análise Qualitativa

Superfícies esféricas

centradas em :

a

a) +q (verde)

b

b) -q (vermelho)

c

c) (+q-q=0) (amarela)

• Todas linhas saem de a (fluxo +)

• Todas as linhas entram em b (fluxo -)

• O mesmo número de linhas que

sai, entra em c (fluxo nulo)

Conclusões

Lei de Gauss - Questão Conceitual

As linhas de campo (16 no total), furam a

superfície gaussiana retangular.

Contando as linhas que entram na

superfície , como negativas, e as que saem,

como positivas, quantas cruzam a

superfície?

A) zero

B) +8

C) -8

Pois a carga total no interior desta superfície gaussiana é nula

Lei de Gauss -Superfícies Gaussianas

Linhas de campo elétrico "furando" uma superfície, mostrando que o existe fluxo de campo elétrico através da superfície.

As linhas de campo elétrico entram e saem da superfície, portanto o fluxo de campo elétrico sobre a superfície é nulo.

Lei de Gauss: fluxo do campo elétrico

dAcosR

kqdAn̂Ed

dAn̂ˆ

R

dAd

2

2

dE

dA de através elétrico campo do Fluxo

d sólido ângulo Vetor

radianos) (em sólido Ângulo

kq4dRR

kq 2

2E

esfera uma Para

Fluxo

Integral de Superfície

As integrais de superfície, calculam o fluxo, somando o fluxo que atravessa cada elemento de superfície

Duas situações importantes:

• Se o campo elétrico é tangente à superfície,

em todos os pontos da mesma, então

• Se o campo elétrico é normal, em

todos os pontos da superfície, então EA

0

E

E

AdEAEE

Lei de Gauss – Fluxo do Campo Elétrico

Fluxo do campo Elétrico

• O que significa esta equação? – A integral é calculada sobre uma SUPERFÍCIE FECHADA

– O fluxo assim calculado é um ESCALAR

– é normal à superfície a aponta para FORA.

– A componente do campo é NORMAL à SUPERFICIE

AdEE

• Definição:

– o fluxo do campo elétrico, E através

de uma superfície fechada, A

• Conclusões: – O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é uma soma das das

componentes do fluxo devido à componente do campo elétrico normal à superfície.

– Atenção que a componente do campo normal, se o campo sai da superfície é “+ “

e se penetra a superfície é “-”

AdE

Ad

E

E

Lei de Gauss Problema Considere um cubo de lado a localizado em uma região de campo elétrico constante com módulo E como o da figura.

Quais dos seguintes valores, representa o fluxo do campo elétrico E através da superfície externa do cubo?

(a) E = 0 (b) E 2Ea2 (c) E 6Ea2

a

a

Lei de Gauss • Lei de Gauss (uma Lei FUNDAMENTAL):

O fluxo elétrico total, através de qualquer superfície fechada (Gaussiana) é proporcional à carga contida no volume limitado por essa superfície.

i no qAdE

Lei de Gauss

ino QAdE

Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga q em seu interior, como por exemplo a superfície da figura ao lado A forma dessa superfície S pode ser qualquer, contudo, a fim de facilitar os cálculos uma esfera de raio r centrada na carga Q, como por exemplo a superfície gaussiana representada na figura

Lei de Gauss

• Como e quando se aplica? Esta equação é SEMPRE VÁLIDA

• Nessa forma integral é muito fácil de usar para problemas em que E exibe uma SIMETRIA completa.

• Para resolver esta equação deve-se ESCOLHER uma Gaussiana, para a qual a solução é SIMPLES.

Direção: a superfície deve ser escolhida especialmente para casos em que o

campo ou é perpendicular ou tangencial à superfície.

Módulo: a superfície, deve ser escolhida tal que E possua o mesmo valor para todos os pontos da superfície em que seja perpendicular à mesma.

Portanto: isto permitirá tirar E fora da integral.

i no QAdE

Gauss Coulomb • Como ilustração é possível mostrar, que para cargas

pontuais, a Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb.

E d AAdE

• Simetria Campo E de uma carga pontual

é radial e esféricamente simétrico

• Trace uma esfera de raio R centrada na carga.

– Por que?

E é normal a cada ponto da superfície E possui o mesmo valor em todos pontos da superfície

E pode ficar fora da integral!

E

+Q r

A escolha da superfície deve guardar simetria com a distribuição de carga…esta superfície é denominada “ Superfície Gaussiana”

2r4Ed AEEd AAdE

• Portanto,

• Lei de GAUSS: QEr4 2

o 2

o r

Q

4

1E

dA

Geometria e Integrais de Superfície

d AEEd AAdE

ab2b c2ac2d A

Quando E é constante sobre a superfície e é normal a ela, em todos

os pontos, E pode ser tirado fora da integral, deixando só a integral de área.

a b

c

x

y

z

r

z

r

L 2r4dA 2r2rL2d A

+ + + + + + + + + x

y

+ + + + + + + + + + +

Linha de Carga Infinita • Simetria Campo E é ^ à

linha e, depende só da distância à linha

Er

• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento h alinhada com o eixo dos x.

• Aplique a Lei de Gauss:

h

Er

+ + + + + + + + +

Nas tampas,

Na superfície cilindrica, rhE2AdE

0AdE

A carga no interior da superfície, hQ i n

oo

inh

rhEQ

AdE

2

Distribuição esférica de carga • Simetria Campo E é ^ à superfície

e, depende só da distância à superfície

• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana esférica de raio r, simétrica com a distribuição de carga: r ≤ R; r ≥ R

• Aplique a Lei de Gauss

• O fluxo para essas gaussianas será, sempre:

• A carga no interior da gaussiana: 3

in

3

in

R3

4QRr

r3

4QRr

para

para

2

E r4EAdE

2

o

3

o

r3

RERr

r3

ERr

E

r R

R3

Eo

R

3m/C c a rg a d e d e n s id a d e

Distribuição plana de carga • Simetria Campo E é ^ à superfície

e, depende só da distância à superfície

2

E rE20E A2AdE

• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento h alinhada com o campo elétrico...

• O fluxo do campo elétrico será:

• A carga no interior da gaussiana:

• Aplique a Lei de Gauss

2

i n rQ

o

22

o2

ErrE2

O campo elétrico é independente da

distância à placa!!!

Lei de Gauss: Questão Conceitual

1. Qual destes campos podem

representar um campo elétrico

estático?

A) b, c

B) a, b

C) a, d

D) c, d

E) todos

3. Em qual das opções certas, existem cargas no quadro apresentado?

A) Nas duas

B) Em nenhuma delas

C) Outra opção:

2. Qual a razão da resposta?