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LEILA ELEANOR MONTEIRO VEIGA

LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PRAIA, SETEMBRO DE 2006

TRABALHO CIENTÍFICO APRESENTADO AO I.S.E. PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE LICENCIATURA EM ENSINO DE

MATEMÁTICA.

Memória apresentado pela Leila Eleanor Monteiro Veiga sob a orientação da

Doutora TetyanaV. K. Mendes Gonçalves

PRAIA, SETEMBRO DE 2006

LEILA ELEANOR MONTEIRO VEIGA

Aprovado pelos membros do Júri e homologado pelo Presidente do Instituto Superior de

Educação, como requisito parcial à obtenção do grau de Licenciatura em Ensino de

Matemática.

O Júri

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_____________________________________________________________

Praia _________ de _________________________ de 2006

Índice

Introdução……………………………………………………………………………………..4

I Abordagem Histórica do número de ouro………………………………………………...7

II O número de ouro do ponto de vista da teoria elementar de números………………..21

2.1 Número de ouro como fracção contínua infinita…………………………………...21

2.2 Rácio dourado – irracionalidade quadrática………………………………………..29

III Extensões quadráticas de corpos e construtividade dos números……………………32

3.1 Considerações gerais………………………………………………………………..32

3.2 Construções geométricas com ajuda de instrumentos euclideanos………………....34

3.3 Construção do número de ouro……………………………………………………..37

3.4 Divisão de um segmento em média e extrema razão……………………………….39

IV “Proporção divina” nas construções de figuras geométricas………………………....43

4.1 Rectângulo de ouro. “Razão áurea” num rectângulo……………………………….43

4.2 Triangulo de ouro…………………………………………………………………...49

4.3 Pentagrama pitagórico……………………………………………………………....50

4.4 Decágono regular…………………………………………………………………...52

4.5 Espiral maravilhosa………………………………………………………………....53

Conclusão………………………………………………………………………………….....55

Fontes bibliográficas………………………………………………………………………...57

À Volta do Número de Ouro

4

INTRODUÇÃO

Desde os tempos primitivos, o ser humano tem procurado estabelecer uma ordem e

comparação entre os objectos que o rodeiam.

No processo de comparação é necessário um critério especial, denominada medida. As

medidas são padrões específicos que relacionam cada objecto com outros de “estruturas”

semelhantes.

Como a beleza é subjectiva, o ser humano procura demonstrar sua harmonia a partir de

medidas comparativas, estabelecidas como proporções.

Na tentativa de estabelecer proporções chegou-se ao número de ouro.

O número de ouro, também conhecido como rácio dourado ou proporção divina, é um

número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da

natureza em forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao

mundo. Costuma-se representar pela letra grega maiúscula (fi) e corresponde a metade da

soma da raiz quadrada de cinco com a unidade. É um número irracional, dado pela dízima

infinita não periódica 1,61803398...

...618033989,12

51

A designação adoptada para este número, é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e

arquitecto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.

Um exemplo desta maravilha é o facto de que se desenharmos um rectângulo cujos lados

tenham uma razão ente si igual ao número de Ouro este pode ser dividido num quadrado e


5

noutro rectângulo cuja razão entre os dois lados consecutivos é também igual ao número de

Ouro. Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a mesma razão.

O número de ouro é interessante em vários aspectos.

Toda essa maravilha e ainda mais algumas curiosidades citadas em baixo estiveram na

origem da escolha desse tema, que será dedicado ao estudo desse fenómeno, através de

análise das diferentes propriedades e características do mesmo.

O ciclo menstrual da mulher é de 28 dias, portanto

1 de 28 será 17,5 dias, onde

é a fase final de amadurecimento, sendo garantida a fertilização.

A razão entre a altura de uma pessoa e a medida do seu umbigo ao chão é igual

ao número de ouro.

Assim propomos como estrutura do trabalho o seguinte paradigma:

O primeiro capítulo vai encerrar um pouco da história do número de ouro e a observação de

alguns polígonos áureos e da espiral de ouro nas pinturas e na natureza; o capítulo 2 será

dedicado à representação do citado número pela fracção contínua infinita e sua apresentação

como uma irracionalidade quadrática, um número algébrico e ainda prova que ele é um

número irracional; o capítulo 3 será consagrado às extensões quadráticas de corpos,

construção de números com ajuda de régua e compasso, em particular número de ouro e a

divisão de um segmento em média e extrema razão; Construção do rectângulo de ouro,

triângulo de ouro, pentagrama pitagórico, decágono regular e a espiral maravilhosa são

explicados no último capítulo.

É de notar que as designações são próprias em cada capítulo.

Com esta abordagem pretendemos focalizar as mais variadas perspectivas do número de

ouro (rácio dourado) e analisar as suas aplicabilidades/ funcionalidades. Para tal julgamos ser


6

fundamental socorrer de diversas fontes bibliográficas que enformam sobre os estudos que se

prendem com o fabuloso número também conhecido por proporção divina. Fazendo recurso a

diversas gravuras e perspectivas emergentes do estudo sobre o número de ouro, procuraremos

dar conta quer do seu sentido mítico/ mitológico e em última instância do seu sentido técnico-

científico.


7

I – ABORDAGEM HISTÓRICA DO NÚMERO DE

OURO

O número de ouro é um número irracional muito particular. Foi usado pelos Egípcios na

construção das suas pirâmides.

Para os Gregos era um número mágico e usavam-no na construção dos seus edifícios.

Também foi usado na Arte (na pintura, por exemplo), e aparece inúmeras vezes ligado a

uma concepção estética, bem como na Biologia e na construção de violinos.

1.1 OS EGÍPCIOS

Os Egípcios consideravam o número de ouro sagrado, tendo uma importância extrema na

sua religião, e chamavam-no não de número de ouro, mas sim de "número sagrado".

Utilizavam-no para a construção de templos e sepulcros para os mortos, pois consideravam

que caso isto não acontecesse, o templo poderia não agradar aos deuses, ou a alma do falecido

não conseguiria chegar ao Além. Para além disso, os Egípcios consideravam-no muito

agradável esteticamente, usando-o também no seu sistema de escrita e na decoração dos seus

templos.


8

Fig.1

1.1.1 A Arte Egípcia

Durante a maior parte da história do Egipto, as proporções da figura humana foram

relacionadas com a largura da palma da mão, e baseavam-se no "número sagrado".

Fig.2

Os Egípcios usavam medidas estabelecidas pelas proporções do corpo humano devido ao

facto de estas serem proporcionais, de acordo com a razão de ouro (0.618...), tornando as suas

obras esteticamente mais agradáveis.

Estas ideias foram utilizadas pelos construtores e artesãos, para estabelecer as malhas

quadrangulares que usavam para as proporcionalidades do seu trabalho.


9

1.1.2 Os Hieróglifos

Muitos hieróglifos têm proporções baseadas no número de ouro. Os Egípcios utilizavam

o número de ouro para que fosse mais fácil que todos conseguissem escrever de acordo com

as mesmas proporções. Egípcia

Fig.3

Na figura 3, a letra "h" é, de facto, uma espiral de ouro. Outros símbolos, como o "p" e

"sh" são rectângulos de ouro. O uso das mãos e dos pés nos hieróglifos mostra que os

Egípcios tinham conhecimento que o corpo humano está relacionado de diversas formas com

o número de ouro.

1.1.3 Os Templos

Observando a fig. 4 são visíveis Na fachada do templo vários rectângulos de ouro, e

existem inúmeras arcadas criadas por centenas de pilares, todos eles proporcionais ao

rectângulo de ouro

Em egípcio antigo, ‘Philae’ significa ‘o fim’, e definia a fronteira sul do Egipto. Este

templo era dedicado à deusa Isis, esposa de Osiris e mãe de Horus.


10

Fig.4-Templo de Philae

A figura 5, o Templo de Dendara foi conhecido como a morada de Hathor, a deusa do

amor, felicidade e beleza. As arcadas são proporcionais ao rectângulo de ouro, e no interior do

templo existe uma escadaria em espiral, com uma forma muito semelhante à da espiral de

ouro.

Fig.5-Templo de Dendara

1.2 OS GREGOS

O Parthénon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Atenas por volta de

447 e 433 a. C. Nele podemos observar a proporção áurea, no rectângulo que contem a

fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa.


11

Fig.5-

Parthénon

Posteriormente, os gregos consideraram que o rectângulo cujos lados apresentavam esta

relação apresentava uma especial harmonia estética que lhe chamaram rectângulo áureo ou

rectângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi

um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao

método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de

análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro.

1.2.1 Os Pitagóricos

Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal.

(Fig.6). Estes não conseguiram exprimir a razão existente entre o lado do pentágono regular

estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência como

quociente entre dois números inteiros. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito

espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam e

por isso lhe chamaram irracional. Este número era o número ou secção de ouro.


12

Fig.6

1.3 ARTE

O Rectângulo de Ouro é uma das formas geométricas mais satisfatórias visualmente.

Vários peritos têm encontrado exemplos do rectângulo de ouro quer em fachadas de

construções da Grécia Antiga, quer em obras-primas da escultura e da pintura.

Leonardo da Vinci 1 e Piet Mondrian

2pensavam ambos que a Arte deve manifestar

beleza e movimento. Assim, ambos expressavam movimento introduzindo rectângulos de

ouro nas suas obras, pois o facto destes poderem definir espirais que curvam até ao infinito

dão uma sensação de movimento. Ao introduzir a secção de ouro nas suas pinturas, permitiam

que estas se tornassem mais agradáveis à vista.

Leonardo da Vinci

Observe a face do esboço de um homem idoso de Leonardo da Vinci, apresentado na

(Fig.7). Este desenhou nesta face um quadrado, que por sua vez foi subdividido em vários

rectângulos, alguns dos quais com dimensões muito próximas das do rectângulo de ouro.

1 Leonardo DA VINCI (1452 - 1519) – Italiano, foi Pintor, Escultor, Arquitecto e Engenheiro.

2 Piet MONDRIAN (1872 - 1944) – Holandês.


13

Fig.7

Observe a pintura de Mona Lisa, (Fig.8) nota-se que é possível desenhar um quadrilátero

que englobe o rosto da Mona Lisa. O quadrilátero resultante é exactamente o rectângulo de

ouro. É fácil observar que as três principais áreas da pintura (o rosto, do pescoço à zona

mesmo acima das mãos, do decote do vestido até à zona imediatamente abaixo das mãos)

podem definir também rectângulos de ouro.

As dimensões do quadro em si também coincidem com as dimensões do rectângulo de

ouro.

Fig.8

Da Vinci estudou intensivamente as proporções do corpo humano.

No esboço abaixo é possível confirmar a aplicação da secção de ouro.

Fig.9


14

Nesta obra de Leonardo da Vinci, se dividirmos a distância dos pés até ao umbigo do homem

pela distância do umbigo até ao topo da cabeça, obtemos aproximadamente o valor 0.618.

Piet Mondrian

Piet Mondrian utilizou linhas pretas horizontais e verticais para delimitar blocos de puro

branco, vermelho, azul ou amarelo, exprimindo a sua concepção da harmonia e do equilíbrio

plenos.

Composição em Vermelho, Amarelo e Azul

Esta obra foi concebida em 1942, encontrando-se

agora em Londres. Pretende mostrar o equilíbrio

existente entre a Natureza e as construções humanas.

Pode-se verificar a existência de alguns rectângulos de

ouro na pintura.

A Cidade de New York

Esta obra foi inspirada pela visita que Mondrian

efectuou a Nova Iorque. Apesar de as formas geométricas

já serem menos rígidas e mais complexas, ainda é possível

encontrar na pintura alguns rectângulos de ouro.


15

1.4 BIOLOGIA

1.4.1 Girassóis e Pinhas

A espiral de ouro pode ser encontrada quer nas pinhas, quer nos girassóis.

Pode-se ver que as sementes nas pinhas parecem formar espirais que curvam quer para a

direita quer para a esquerda. Tendo as sementes dispostas desta maneira, formando as

espirais, permite que as sementes se encontrem distribuídas uniformemente, não se

encontrando concentradas demais no centro e dispersas demais nos bordos, tendo todas as

sementes o mesmo tamanho.

Este padrão não é perfeito na maioria dos girassóis, mas se se conseguir encontrar um

bom especímen verifica-se que as suas sementes formam espirais, curvando quer para a

esquerda quer para a direita, de forma a estarem todas equidistantes. Afirma-se que esta

disposição permite melhorar a eficiência dos girassóis na captação quer de água, quer de luz.


16

1.4.2. As conchas marinhas (Nautilus)

O primeiro diagrama mostra uma concha marinha. O segundo diagrama mostra que é

possível desenhar uma espiral ao longo da concha, que é exactamente a espiral de ouro. Isto

acontece devido ao facto de o crescimento da concha ser proporcional ao crescimento do

organismo que contém.

1.4.3. O embrião humano

Conforme se vai desenvolvendo o embrião humano, é possível observar neste

crescimento um padrão semelhante ao que permite traçar a espiral de ouro, à medida que se

afasta cada vez mais do centro. Neste caso, o padrão ocorre no desenvolvimento do embrião

humano devido ao facto de o crescimento do organismo ser proporcional ao tamanho do

organismo.


17

1.4.4. A Mão Humana

Um exemplo muito interessante é o da mão humana. Para explicá-lo, devemos pegar,

como na Secção Áurea, linhas nas quais as maiores são “fi” vezes as menores, como mostrado

na figura:

Agora veja a radiografia de um dedo indicador. Cada parte do dedo é maior que a parte

anterior de acordo com a Secção Áurea.

A Razão entre a medida da mão e a medida do braço é a razão áurea.

1.4.5. A Orelha humana

É possível observar nas orelhas um padrão semelhante ao que

permite traçar a espiral de ouro.


18

1.5 SERIE DE FIBONACCI

A contribuição de Fibonacci3 para o número de ouro está relacionada com a solução de

um problema por ele formulado que veio dar origem a uma sucessão a que posteriormente se

associou o seu nome - Fibonacci - ficando assim conhecida na história como a Sucessão de

Fibonacci. O problema é: "Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando

com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do

segundo mês?" Todo este problema considera que os coelhos estão permanente fechados num

certo local e que não ocorrem mortes.

Leonardo prosseguiu para os cálculos: no primeiro mês, teremos um par de coelhos que se

manterá no segundo mês, tendo em consideração que se trata de um casal de coelhos jovens;

no terceiro mês de vida darão origem a um novo par, e assim teremos dois pares de coelhos;

para o quarto mês só temos um par a reproduzir, o que fará com que obtenhamos no final

deste mês, três pares. Em relação ao quinto mês serão dois, os pares de coelhos a reproduzir, o

que permite obter cinco pares destes animais no final deste mês. Continuando desta forma, ele

mostra que teremos 233 pares de coelhos ao fim de um ano de vida do par de coelhos com que

partimos. Listando a sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 na margem dos seus

apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do terceiro é obtido pela adição

dos dois números antecessores, e assim podemos fazê-lo em ordem a uma infinidade de

números de meses.

Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão

vai tender para um certo valor.

Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se continuarmos

assim sucessivamente, obtemos a seguinte sequência de números:

1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048;

1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ...

Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de (Phi)

Esta expansão decimal prolongar-se-á sem nunca se repetir (logo é um número irracional).

De facto, quando se prolongam estas "razões de Fibonacci" indefinidamente, o valor gerado

aproxima-se cada vez mais do número de ouro.

3 Leonardo de pisa (Fibonacci) (1175 a 1250) - nasceu em Pisa (Itália)


19

1.6 O NÚMERO DE OURO E A CONSTRUÇÃO DE

VIOLINOS

Não há como negar a beleza do instrumento violino. Parece que nós, seres humanos,

percebemos a beleza ou sentimos a beleza de uma forma quando segue um padrão ou algo que

não sabemos definir, que está embutido em nosso ser, provavelmente porque esta forma

mantém relações em suas linhas que nos causam essa sensação do belo. Assim, um violino é

uma dessas peças. Quando o violino foi criado a estética das proporções foi objecto de

preocupação de vários artistas. Alguns violinos foram criados a partir do que foi chamado "O

Número de Ouro" e em suas linhas pode-se observar essas relações.

Vejamos como este violoncelo, com estas medidas, tem relações métricas que são

relações áureas.

Relação Áurea:

614,121

34

21+34 = 55; 618,134

55


20

34 + 55 = 89; 618,155

89


21

II. O NÚMERO DE OURO DO PONTO DE VISTA

DA TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS

2.1 NÚMERO DE OURO COMO UMA FRACÇÃO

CONTÍNUA INFINITA

Sendo o número de ouro um número Real, é possível apresentá-lo sob a forma de uma

fracção contínua infinita.

Definição 2.1.1. Ao número escrito sob a forma:

(1)

3

2

1

0

1

1

1

aa

a

a

À Volta do Número de Ouro 22

onde a0, a1, a2, … são números inteiros tais que: ),...,2,1(,1 nisendoai , chama-se

fracção contínua infinita.

Podemos também escrever (1) sob a forma [a0; a1, a2, …] onde os números a0; a1, a2, …

são elementos de uma fracção contínua com parte inteira a0.

Para uma fracção contínua infinita (1), vamos considerar as fracções próximas:

,,1

1,

1,

2

1

02

1

0100

aa

aAa

aAaA

Definição 2.1.2. n – ésima fracção próxima ( 0n ) para uma fracção contínua infinita

(1) é da forma:

n

n

n

n

a

aaA

Q

P

1

1

1

0

(2)

Onde P0, P1, P2 … e Q0, Q1, Q2, …, definidas por recorrência, pondo:

,21. nnnn PaPP

,21. nnnn QaQQ n2 (3)

Com condições iniciais:

11101000 ,1.,1, aQaaPQaP (4)

É fácil ver que (3) e (4) determinam univocamente os números P0, P1, P2 … e a Q0, Q1, Q2, …

a partir dos elementos ....,,, 210 aaa

s

s

s

aa

aa

a

aA

1

1

1

1

1

1

3

2

1

0


Teorema 2.1.1. Se a0, a1, a2, …são elementos da fracção contínua (1), então a sucessão de

números P0, P1, P2, …, Q0, Q1, Q2, …, definidas pelas fórmulas (3) e (4) tem a propriedade

seguinte: para todo n (n 2) o número racional n

n

Q

Pé igual a n-ésima fracção próxima (2).

Na sequência disso vem a definição 3:

Definição 2.1.3. A fracção contínua infinita (1) chama-se convergente se existir e for

finito o limite das suas fracções próximas, isto é, se existir um número tal que:

.lim n

n

n Q

P (5)

Assim se o valor de (1) for igual a , escreve-se = [a0, a1, a2, …].

Exemplo 2.1.1. Para o número de ouro (2

51) que se decompõe em fracção contínua

infinita [1; 1, 1, 1, …] encontram-se as seguintes fracções próximas:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

Pn 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …

Qn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

Teorema 2.1.2. Qualquer fracção contínua infinita é convergente.

Definição 2.1.4. Seja = [a0; a1, a2, …]; aos quocientes completas na decomposição de

chamaremos de 1, 2, 3, …, definidos pelas igualdades

1,0 0 sparas .

Teorema 2.1.3. Seja = 0 1 2; , ,...a a a , s+1 – quociente completo na decomposição de

, então:

1

3

2

1

0

1

1

1

1

1

s

sa

a

aa

a

a


)7(

)6(

111

11

11

ss

sss

sss

sss

PQ

QP

e

QQ

PP

Onde Ps, Qs, Ps-1, Qs-1 são os numeradores e denominadores de s-ésima e (s-1)-ésima

fracções próximas a .

Teorema 2.1.4. Cada número real se decompõe numa fracção continua (finita ou

infinita).

Demonstração.

IR Se é um número racional então existe uma única fracção contínua

finita igual a .

Consideremos o caso quando é um número irracional.

Designemos por a0 a parte inteira de e por ,1

0

1a

logo, .1

1

0

a Assim

como é um número irracional, 10 ea , também, é irracional, além disso,

.11 Desse modo, para qualquer irracional, é possível encontrar um número inteiro a0 =

[ ] e um número irracional 1 tais que .1

1

0

a Determinado, da mesma maneira, para

1 os números: a1 = [ 1] e 12 , para 2 – os números: a2 = [ 2] e 3 >1, etc., obtemos:

........

1

........

8,........

1

1

1

11

2

11

0

1

0

ss

s

ss aa

aa

aa


Onde para s 1 todos os números irracionais 1s . Desse modo, para todos os tais s os

números 1 ssa .

Os números 0a , 1a , 2a , … formam uma sucessão infinita dos inteiros e, sendo que para

s 1 se verifica 1s , podemos, a partir desses números, formar uma fracção contínua

infinita 0 1 21 1 ...a a a que segundo o teorema 2 é convergente.

Mostremos agora que o valor dessa fracção é igual ao número dado . Realmente, das

igualdades (8) obtemos: 0 1 2 1 11 1 ... 1 1s sa a a a

e tendo em conta o teorema 1.3: ,11

11

sss

sss

QQ

PP

.11

)(

12

1

2

1111

11

ssssssss

s

sss

sss

S

s

QQQQQQ

P

QQ

PP

Q

P

Assim como ,sQ o

valor de ,s

s

Q

P com o crescimento de s, torna-se menor do que qualquer que seja número

positivo dado, isto é, s

s

s Q

Plim .

Exemplo 2.1.2. Encontrar os quatro primeiros elementos da decomposição em fracção

contínua do número 618033989,12

51

Encontremos primeiro, 0

1 5

2a

= 1;

1 = 15

2

2

15

1

12

51

1

1,618033988095…; 1 1 1a ;

2 = ...956180339880,12

51

115

2

1

a-

1

11

; 2 2 1a ;


3 = ...956180339880,115

2

12

51

1

a-

1

22

; 3 3 1a ;

Deste modo,

Ou

3

2

2

1

1

11

8

858

252

411

4

252

15

211

2

51

rr

rr

r

1

11

11

11

2

51 = [1; 1, 1, 1, …]

Sendo ri =

1

1

ia

Teorema 2.1.5. Seja = 0 1 2[ ; , ,...].a a a Designemos por s= 1 2[ ; , ,...].s s sa a a Então:

(i) 0 1 2 1[ ; , ,..., , ],s sa a a a isto é s= s representa o s-ésimo quociente completo na

decomposição de ;

(ii) sa = [ s] para todos s.

Consideremos a questão inversa

Exemplo 2.1.3. Determinar um número real correspondente à fracção contínua infinita

seguinte:

Segundo o teorema 4 temos:


= 23

23

QQ

PP

.

Utilizando a tabela anteriormente apresentada, encontramos:

0a 1a 2a 3a

1 1 1 1

Pn 1 2 3 5

Qn 1 1 2 3

Logo P3 = 5, P2 = 3, Q3 =3 e Q2 = 2, onde n = 0,1,2,3.

Assim, 25 33 3 3 0

3 2

e sendo que 0 , obtemos:

1 5

2

.

Teorema 2.1.6. Para qualquer número real , a fracção continua que o representa é

única.

Teorema 2.1.7. Para qualquer número real , existe um conjunto de fracções racionais

b

a tais que:

25

1

b

a-

b (i)

Demonstração:

Comecemos por decompor em fracção contínua.

Mostremos que de três quaisquer fracções próximas vizinhas nn QP pelo menos uma

poderá servir como ba na desigualdade (i).

A demonstração será feita pelo método de redução ao absurdo.

Suponhamos que para quaisquer três fracções próximas vizinhas se verificam as

desigualdades:

)(.5

1

.5

1,

.5

12

11

1

22

11

1 iiQQ

Pe

QQ

P

QQ

P

nn

n

nn

n

nn

n

Como nnnn QPeQP 11 se situam em lados opostos de , então a partir das

desigualdades (ii) e supondo n par vem que:


2

11

1

2 .5

1

5

1

nn

n

nn

n

QQ

P

QQ

P

O que nos permite concluir que em ambos os casos temos,

11

1

22

1.

111

5

1

nnn

n

n

n

nnQQQ

P

Q

P

QQ

Se multiplicarmos por 2

nQ ( 02 nQ ) vem,

1

2

1

2

.1

5

1

nn

n

n

n

QQ

Q

Q

Q donde

11

2 51

n

n

n

n

Q

Q

Q

Q logo 01.5

1

2

1

n

n

n

n

Q

Q

Q

Q

O que significa,

04

1

4

5.

2

5.2

1

2

1

n

n

n

n

Q

Q

Q

Q

Ou que

22

1 2

1

2

5

n

n

Q

Q

donde

2

51

1

n

n

Q

Q

........Porque nQ e 1nQ são números inteiros, então a igualdade nunca tem lugar podendo

ocorrer apenas,

2

51

1

n

n

Q

Q (iii)

nn QP / e 11 / nn QP situam-se em lados opostos de , então pelas desigualdades de(ii)

obtém-se:

2

511

n

n

Q

Q (iv)

Tendo em conte que 11 na , vem que,

2

51

51

21

2

51

11.

2

51

1

1

1

1

111

n

n

n

n

n

n

n

nnn

n

n

Q

Qa

Q

QQ

Q

QaQ

Q

Q

O facto de termos suposto que ocorriam as três desigualdades de (ii) levou-nos a uma

contradição. Assim, podemos concluir que pelo menos, para, para uma das três fracções


próximas 11 / nn QP , nn QP / , 11 / nn QP , tomando como ba / , devem satisfazer a

desigualdade (i).

…….Ao atribuir a n , valores diferentes, obtemos um conjunto infinito de fracções que

satisfazem a desigualdade (i)

2.2. RÁCIO DOURADO – IRRACIONALIDADE

QUADRÁTICA

Os números racionais são raízes das equações lineares: 0bax , com coeficientes

inteiros.

No conjunto dos números irracionais destaca-se uma classe de irracionalidades que são

raízes das equações quadráticas com coeficientes inteiros. A tais números vamos chamar

irracionalidades quadráticas.

Definição 2.2.1. Um número real chama-se irracionalidade quadrática se é raiz

irracional de uma equação da forma:

02 cbxax (1)

com coeficientes inteiros que não são iguais a zero simultaneamente. É claro, que para tal

será a 0,0 c .

Os coeficientes cba ,, de (1) podem ser tomados primos entre si; nesse caso ao

discriminante da equação (1) D = acb 42 vamos chamar de discriminante de .

As raízes de (1) são: .2

4

2

4 22

a

acbbe

a

acbb Logo, qualquer irracionalidade

quadrática pode ser representada sob a forma ,Q

DP onde P e Q são números inteiros,


(D> 1) – inteiro que não é quadrado de um número inteiro. À raiz ,Q

DP chama-se

irracionalidade quadrática conjugada com .

OBS 2.2.1: Na definição da irracionalidade quadrática é fundamental que os coeficientes

das equações quadráticas sejam números inteiros.

Lembremos alguns factos importantes nesse contexto:

Definição 2.2.2. Chama-se número algébrico a todo o número que seja solução de uma

equação do tipo:

(2)

com os coeficientes nn aaaaa ,,...,, 1210 , inteiros

OBS 2.2.2 o seu grau é o menor número possível em (2)

A equação de menor grau para um dado número algébrico é essencialmente única.

Outras equações possíveis são as que se obtêm a partir daquela, multiplicando-a por diferentes

factores.

Definição 2.2.3. Um polinómio mínimo de um número algébrico é polinómio

mónico de grau mínimo, com coeficientes racionais que tem como sua raiz.

Exemplo 2.2.1. O número de ouro

é algébrico de grau 2 e também uma irracionalidade quadrática pois é raiz de uma equação do

2º grau com coeficientes inteiros. O seu polinómio mínimo é: ,012 xx de coeficientes

inteiros (ver pág.23).

Essa equação tem uma outra raiz que é 2

51 .

É fácil mostrar que o número de ouro é um número irracional.

Para provar essa afirmação, utilizemos o raciocínio de redução ao absurdo.

Suponhamos que é um racional, isto é b

a , com a , b inteiros, e m.d.c ( a , b )=1,

ou seja, a e b não têm factores comuns, e é uma fracção irredutível.

Como baabbabab

a

b

a

b

a

b

a

222

2

22

2 111 , então

00... 1

2

2

1

10

aaxaxaxaxa nn

nnn


a 2b logo a b o que é um absurdo, pois por hipótese a e b não têm factores comuns.

A contradição obtida prova a afirmação.


III. EXTENSÃO QUADRÁTICA DE CORPOS –

CONSTRUTIVIDADE DOS NÚMEROS

3.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Definição 3.1.1. Se a raiz de uma equação do segundo grau sobre um corpo , não

pertence a , então a extensão simples algébrica ∆( ), obtida de por junção a , chama-

se extensão quadrática de ∆.

Teorema 3.1.1. Se 1 – extensão quadrática de então qualquer ξ 1 se exprime por

radicais quadráticos sobre o corpo .

Demonstração:

Se 1 é uma extensão quadrática de , então 1 = ( 1), onde 1 – raiz de

02 cbxax

onde a ,b , c , a ≠ 0, ., 21

É óbvio que .),( 12112 a

bpois


(segundo as fórmulas de Viett4)

0,21

21

aa

c

a

b

Logo, 1 1 1 2( ) ( ) é o corpo de decomposição de 2( )f x ax bx c , pois

contém todas as raízes de ( )f x e qualquer número de ( 1) se exprime por radicais

quadráticos sobre , pois 21, se exprimem em radicais quadráticos sobre .

Teorema 3.1.2. Um número ξ exprime-se por radicais quadráticos sobre um corpo sse

existe uma sucessão finita de corpos 1 , 2 , …, n tais que:

(i) 1 - extensão quadrática de ;

(ii) 1 i - extensão quadrática de i ; (i = 1,1 n );

(iii) ξ n

Quando é que um número é construtível ou não sobre um corpo ∆:

Se , a resposta é obvia.

Se , então consideremos uma extensão simples ),(

Se é construtível sobre ∆, então todos os números de ),( são construtíveis.

Quer dizer a possibilidade de construir sobre ∆ é equivalente a possibilidade de construir

todos os números de )( sobre ∆.

Teorema 3.1.3 Um número ξ IR é construtível sobre um corpo IR , sse ξ se

exprime por radicais quadráticos sobre .

Demonstração:

Condição suficiente:

Suponhamos que ξ se exprime por radicais quadráticos sobre , isto é, ξ se obtém como

resultado de uma sucessão finita das operações de extracção de raiz quadrática dos números

de e outras operações aritméticas.

Sabendo que os resultados das operações racionais sobre “números construtíveis”são,

também, construtíveis e a raiz quadrada de um número construtível 0a é, também,

construtível (pois o segmento de comprimento a é possível construir com ajuda de régua e

4 Viett (Fransua) – Matemático Francês (1540 - 1603)


compasso como média geométrica entre segmentos dos comprimentos a e 1), podemos

concluir que ξ é, também, construtível.

Condição necessária

Seja ξ é construtível sobre .

Isso significa que é conhecida uma sucessão finita das construções com régua e compasso que

leva dos pontos de um conjunto (de coordenadas de ) ao ponto com coordenada ξ. A

utilização da régua não leva fora de .

Com uma ajuda do compasso podemos construir números que pertencem a ou a 1 –

extensão quadrática de . Aplicando os mesmos raciocínios a 1, obtemos 2 que é uma

extensão quadrática de 1.

Da mesma maneira obtemos 3, 4, …, i, … – uma sucessão das extensões quadráticas em que

cada i é uma extensões quadráticas de i-1 ( Ii ).

Assim como a sucessão das construções é finita, num determinado passo chegamos a k que

contem ξ.

Logo, existe um fio de extensões quadráticas k ...21

tal que .k

Segundo o teorema 3.1.2, ξ exprime-se por radicais quadráticas sobre .

3.2 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS COM AJUDA DE

INSTRUMENTOS EUCLIDEANOS

Os problemas geométricos de construção com régua não graduada e compasso podem

ser interpretadas algebricamente, utilizando o método de coordenadas.

O objectivo das construções geométricas é a construção pedida a partir dos objectos

inicialmente dados.


Em cada problema de construção podemos distinguir dois sistemas de pontos:

o Sistema dos pontos dados

o Sistema dos pontos procurados (a construir).

Se considerarmos os pontos num sistema de coordenadas (plano cartesiano real)

podemos dizer que é dado um conjunto dos números reais (coordenadas dos pontos dados) e

precisamos de determinar o outro conjunto dos números reais (coordenadas dos pontos

procurados).

Quando um problema de construção é solúvel por meio de instrumentos euclideano

(régua e compasso), podemos dizer que cada número procurado pode ser construído a partir

dos números do conjunto dado.

Definição 3.2.1. Dizemos que um numero IR é construtível sobre um conjunto

IRM se, sabendo coordenadas de m pontos (que pertencem a M), é possível construir com

régua e compasso pelo menos um ponto que tem como uma das coordenadas.

Tomamos: (0,1) M

Designemos por MT o conjunto de todos os números reais construtíveis sobre M, onde

.MTM

OBS. 3.2.2: MT é sempre um corpo numérico.

Pois com a, b (b ≠0) MT

São construtíveis os números ; ; ; ; .aa b a b ab ab

Em particular, são construtíveis todos os números racionais Q pois Q contém (0,1).

OBS. 3.2.3: Se MP é corpo numérico mínimo que contem M, então cada número

MP é construtível. (pois mínimocorpodedefiniçãoporTMP M )

Em particular, qualquer número racional é construtível, pois Q é um corpo mínimo que

contém (0,1).


Sendo que a possibilidade de construir um número ξ a partir do conjunto M dos

números dados é equivalente à sua construtividade a partir de MP , podemos

considerar o conjunto de números dados como um corpo.

A essência algébrica de uso de régua e compasso em construções geométricas

caracteriza-se pelas afirmações seguintes:

É impossível construir um novo número sobre um corpo ∆ (número que não

pertence a ∆) com ajuda de uma só régua (não graduada).

Se um número é construtível sobre ∆ com ajuda de compasso, então

pertence a ∆ ou a uma extensão quadrática de ∆.

Estas afirmações são consequências do facto de que as equações de rectas são lineares, e as

equações da circunferência são do 2º grau.

Por isso, as coordenadas dos pontos de intersecção de tais linhas exprimem-se pelas

coordenadas dos pontos que determinam essas linhas, e são racionais ou obtém-se por

extracção de raízes quadráticas.

Teorema 3.2.1. Um número ,IR é construtível sobre um corpo IRIK sse se

exprime por radicais quadráticos sobre IK.

OBS. 3.2.4: A resolubilidade de um problema de construção com régua e compasso e a

resolubilidade de uma equação algébrica por meio de radicais quadráticos são aspectos de

um mesmo problema.

OBS. 3.2.5: No contexto do trabalho, considerando a questão de construtividade de

números expressos por radicais quadráticos, lembremos o algoritmo de construção de a :

Passo1. Construímos AB e BC tais que A B C e 1,AB BC a ;

Passo2. Com centro em M (ponto médio de AC ) e raio1

2

aMA MC

, traçamos a

circunferência (M, MA).

Passo 3. Tiramos uma perpendicular a AC em B que intersecta a circunferência em dois

pontos, D e D .

Passo 4. O segmento BD tem comprimento igual a a .

Demonstração:

A justificação da veracidade do processo acima descrito baseia-se no seguinte:

Seja BD = x,


Como (critério AA ) se tem

,1

x BD BC a

AB BD x donde 2 , . ,x a i é x a BD

3.3 CONSTRUÇÃO DO NÚMERO DE OURO

Tendo em conta a fundamentação teórica, acima exposta podemos afirmar que o

número de ouro 1 5 1 1

52 2 2

pertence a )5(Q (extensão quadrática de Q) pois

expressa-se sob a forma 5a b , onde ba, Q e pode ser construído com ajuda

instrumentos euclideanos

Como é que se realiza tal construção?

O procedimento é a seguinte:

Passo 1: Considera-se um segmento de recta AB de comprimento igual à unidade.


Passo 2: Determina-se o ponto médio, M, do segmento de recta AB.

Passo 3: Com o compasso em B e abertura igual ao comprimento do segmento de recta AB,

traça-se uma circunferência.

Passo 4: Traça-se uma recta perpendicular ao segmento de recta AB, que passe por B, e

determine-se um ponto T de intersecção da recta com a circunferência.

Passo 5: Une-se o ponto M com o ponto T. Com o compasso em M e abertura até T traça-se o

arco, e determina-se o ponto G = ),( MTMAB


AG - é procurado

Porque é que AG ?

Demonstração:

Mostremos que o comprimento do segmento AG é igual ao número procurado.

Realmente, Se 1AB então MB =2

1.

Do Teorema de Pitágoras vem:

2

2 2 2 2 2 21 5 5 51

2 4 2 2MT MB BT MT MT MT MT

Como MT é um comprimento, então o seu valor tem de ser positivo.

Donde 5

2MT .

Da construção realizada (passo 5), sabe-se que MT MG .

Logo, 1 5 1 5

2 2 2AG AM MG AG AG

.

3.4 DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM MÉDIA E EXTREMA

RAZÃO

Euclides5, escreveu uma colecção de 13 (treze) volumes sobre geometria, intitulada

“Elementos ”.

5 Euclides – Matemático Grego (365 a.C. 300 a.C.)


Esta é uma das obras matemáticas mais importantes até ao nosso século.

A geometria euclideana está assente em definições básicas (noções primitivas) e axiomas

ou postulados. A partir destes o matemático provou outros factos aos quais chamou de

proposições.

Assim sendo, encontramos no Livro 6, a Definição3 que é a definição de divisão de um

segmento de recta em média e extrema razão.

Definição 3.4.1. Um segmento de recta diz-se dividido em média e extrema razão quando

o comprimento total do segmento de recta está para o maior, assim como o segmento maior

está para o menor.

CB

AC

AC

AB

Como dividir um segmento em média e extrema razão?

Dado um segmento de recta AB procura-se encontrar um ponto C AB tal que

AB AC

AC CB (1)

Divide-se o segmento de recta AB em dois segmentos, de modo que o menor deles seja

BC e o maior AC.

Supõe-se que aAB e bAC então de (1) vem que

ba

b

b

a

Faz-se a

bx

Logo,

2

51

2

51

2

51011

1

1 22

xxxxxxx

x

x

x

Como se está a tratar de medidas, exclui-se 2

51x .

Então 2

51x . Como abab

b

a

a

bx 51

2

1

2

51

2

51


Nota-se que fazendo a=1 vem 2

51b . A este valor chama-se razão de ouro, ou

razão áurea.

Para se encontrar o ponto C, basta fazer a seguinte construção geométrica:

Passo 1. Traça-se o segmento AB e constrói-se o quadrado ABA'B';

Passo 2. Constrói-se M como o ponto médio de AA';

Passo 3. Prolonga-se o segmento AA' e constrói-se a circunferência de centro M e raio MB';

Passo 4. Acha-se o ponto X de intersecção da circunferência com a semi-reta AA';

Passo 5. Constrói-se o quadrado de lado A'X;

Passo 6. O prolongamento do lado DD' determina o ponto C em AB que secciona o segmento

na razão desejada.

Justificação da construção

Seja o triângulo MA B , fazendo AB a e MX d ,

Pelo teorema de Pitágoras vem que:

2

2 2

2

ad a

22 2

4

ad a

5

2

ad


logo:

5 ( 5 1)

2 2 2

a a aA X

Fazendo a =1 temos 5 1

2A X


VI. PROPORÇÃO DIVINA NAS CONSTRUÇÕES DE

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Relacionadas com o Número de Ouro estão algumas figuras geométricas muito

conhecidas e utilizadas na Matemática, como por exemplo o rectângulo, o triângulo,

pentágono e o decágono.

De seguida será apresentado um estudo das referidas figuras geométricas.

4.1 RECTÂNGULO DE OURO. “RAZÃO ÁUREA” NUM

RECTÂNGULO

Definição 4.1.1: Um rectângulo é de ouro se a razão entre o comprimento e a largura é

igual ao número de ouro.


Como construir um rectângulo de ouro?

Os Gregos tinham um processo simples de construir rectângulo de ouro. Vejamos os

passos necessários do referido processo:

Passo 1 – Desenha-se um quadrado ABEF cujo comprimento do lado consideramos igual à

unidade.

Passo 2 – Marca-se o ponto médio de um dos lados, escolhe-se por exemplo o lado BF

Passo 3 – Do ponto médio M, do segmento BF traça-se um arco cujo comprimento é igual a

ME .

Passo 4 – Completa-se o rectângulo ABCD.


Demonstração:

O rectângulo obtido é o rectângulo de ouro. Porquê?

Se BF =1 então MF =2

1.

Pelo Teorema de Pitágoras vem que

2

2 2 2 2 2 21 5 5 51

2 4 2 2ME MF FE ME ME ME ME

Como ME é um comprimento, então o seu valor tem se ser positivo.

Donde 5

2ME .

Pela construção feita, sabe-se que ME MC .

Então 1 5 1 5

2 2 2BC BM MC BC BC

, que é o comprimento do rectângulo.

A largura do referido rectângulo é 1.

Logo a razão entre o comprimento e a largura do rectângulo é: 2

51

1

2

51

, que é o

número de ouro.

OBS 4.1.2: Um rectângulo de ouro pode tornar-se num quadrilátero e noutro rectângulo

de ouro. Deste modo FCDE é igualmente um rectângulo de ouro.

Este processo pode ser continuado repetidamente.


Para além do processo acima descrito, existe um outro que permite obter um rectângulo

com medidas muito próximas às do rectângulo de ouro.

Passo 1 – Começa-se com um quadrado de lado unitário.

Passo 2 – Junta-se um quadrado de lado unitário de forma a formar um

rectângulo.

Este rectângulo não é o rectângulo de ouro, uma vez que a razão entre o comprimento e a

largura é 2.

Passo 3 – Continua-se a juntar, sucessivamente, quadrados cujos lados têm a medida do

comprimento dos rectângulos.

Este rectângulo não é um rectângulo de ouro uma vez que 5,12

3

arg

ural

ocompriment

Este rectângulo não é o rectângulo de ouro, porque

)6(,13

5

arg

ural

ocompriment


Este rectângulo também não é o rectângulo de ouro,

pois 8

1,6arg 5

comprimento

l ura

Este rectângulo não é o rectângulo de ouro, pois 625,18

13

arg

ural

ocompriment. No entanto é um

valor que é muito próximo do Número de Ouro.

À medida que o comprimento aumenta, aumenta também a largura, e a razão entre o

comprimento e a largura se aproxima mais do número de ouro.

Um problema que também é bastante interessante, é o que a seguir se cita:


“Dados um rectângulo qualquer e um triângulo inscrito no rectângulo dado, de forma que

quando removido deixa três triângulos todos com a mesma área. Será que os lados do

rectângulo estão divididos na mesma razão? E qual é essa razão?”

Demonstração:

Sejam: ACEF um rectângulo e

AB x ACEF AB x BC y CD w DE z unidades de medida.

(1) A área do triângulo ABF é A= 2

zwx

(2) A área do triângulo é A=2

wy

(3) A área do triângulo é A= 2

yxz

Igualando as áreas iguais dos triângulos ABF, BCD e DEF obtemos:

2 2 2 2

x w z x w y z x yy w

( )x w y yw x w z z x y

ywx xw zy

w z

yw y wx

w z x z

Donde se conclui que os dois lados do rectângulo são divididos na mesma razão.

Tendo em conta esse resultado, estamos em condições de determinar a referida razão.

Realmente, 0112

2

22

222

z

w

z

w

z

zw

z

wzwzw

z

w

w

zw

z

w

zw

yw

y


Designando a razão z

w por X , a última equação toma a forma: 012 XX e terá como

solução positiva o Número de Ouro, ou seja, 2

51 .

Conclui-se que x

y

z

w

2

51, isto é, cada lado do rectângulo é dividido na mesma razão,

que é o Número de ouro.

4.2. TRIÂNGULO DE OURO

Definição 4.2.1 Um triângulo diz-se de ouro se a razão entre a base e um dos seus lados

é igual ao número de ouro.

Proposição 4.2.1.: O triângulo isóscele cujos ângulos têm de amplitude 72º, 72º e 36º é

um triângulo de ouro.

Demonstração:

Bissecta-se o ângulo ADC, obtém-se assim o triângulo , que também é isóscele,

uma vez que tem dois ângulos com a mesma amplitude.

Assim DCDF .

ADF, 36ˆ FDA , 36ˆ FAD e 108ˆ DFA .Então o triângulo é

isóscele, logo DFAF .


Tem-se que DCDF e DFAF , então AFDCDF .

O triângulo é semelhante ao triângulo porque têm de um para o outro dois

ângulos respectivamente iguais ( ACDFCD ˆˆ e DCACFD ˆˆ ).

Como triângulo triângulo então têm de um para o outro os respectivos lados

proporcionais, isto é,

DC

AD

DF

CA

FC

CD . Como AFDF e AFDC vem que r

AF

AD

AF

CA

FC

AF

Faz-se 1FC então rAFrAF

rFC

AF

1.

1 rACFCAFAC

2

51

2

51

2

411011

1 22

rrrrrrrr

r

rr

AF

CA

Como 2

51r é um número negativo e por definição r é positivo, logo escolhe-se

2

51r , que é o número de ouro.

Logo 2

51

DC

AD, isto é, a razão entre a medida de um dos lados do triângulo e a medida da

sua base é o Número de Ouro.

4.3 PENTAGRAMA PITAGÓRICO

O Pentagrama é um símbolo muito mais antigo do que se pode pensar.

Para os Pitagóricos, o Pentagrama, era um símbolo sagrado que mostrava a harmonia

entre o corpo e a alma. Era também usado como um símbolo de reconhecimento entre eles.

Os Pitagóricos atribuíam virtudes especiais ao pentagrama, porque é uma figura que

pode ser construída com uma única linha fechada entrelaçada, por isso é considerada por eles

como um símbolo de perfeição.


O Pentagrama contém o Número de Ouro.

Considere-se um pentágono regular, com as respectivas diagonais:

Proposição 4.3.1.: O quociente entre as suas diagonais e os seus lados é o Número de

Ouro.

Demonstração:

Como já é nosso conhecido da geometria, a amplitude de um ângulo interno de polígono

regular com n lados é igual a: .360

180n

Neste caso 5n então

108721805

360180 .

O triângulo é isóscele, uma vez que EDAE , então EDAEAD ˆˆ , e 108ˆ DEA .

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 360 ,

logo

.36ˆˆ272ˆ2108180

ˆ2108180ˆˆˆ180

EDAEDAEDA

EDAEDAEADDEA

Como EDAEAD ˆˆ então º.36DÂE

O triângulo é geometricamente igual ao triângulo , porque CBADEA ˆˆ ,

AEAB e EDBC .

Então 36ˆ CAB e 36ˆ ACB .


Considere-se agora o triângulo ADC,

.36ˆ36108ˆ36ˆ36108ˆˆˆˆ CADCADCADCABCADDAEA

.72ˆˆ36108ˆˆˆ

.72ˆˆ36108ˆˆˆ

DCADCADCAACBC

CDACDACDAADED

Logo o triângulo é um Triângulo de Ouro então:

4.4 DECÁGONO REGULAR

Proposição 4.4.1 O lado do decágono regular é áureo em relação ao raio da

circunferência circunscrita a volta dele

Demonstração

Tendo em conta que um ângulo central relativo a cada lado do decágono mede 36º, e o facto

que o triângulo OAB é isóscele (pois AO = OB = raio), das proporções trigonométricas

conhecidas vem:

1

18º ,2 2 18º

asen

r sen

º182senr

a

1

r

a

2

51

DC

AD


4.5 A ESPIRAL MARAVILHOSA (logarítmica)

A Espiral de Ouro é baseada no padrão de quadrados que pode ser construído no interior

de um Rectângulo de Ouro.

Consideremos o processo de construção desse fenómeno.

Passo 1: Para iniciar a construção de uma espiral logarítmica com régua e compasso,

desenha- se um rectângulo áureo ABCD, marcando um ponto E em AB, tal que:

CE BD;

Passo 2: Traça-se uma perpendicular EF por E isto é EF AB;

Passo 3: Com o centro em E, faz-se o arco BF;

Passo 4: Com o raio DF, determinam-se os Pontos G em AD e H em EF;


Passo 5: Com o raio HF e centro em H, traça-se o arco GF

Passo 6…etc: repete-se sucessivamente o procedimento acima, e determina-se a Espiral

Logarítmica, Também chamada Espiral Equiangular.

Ao desenhar-se os arcos descritos anteriormente na construção dos quadrados, consegue-se

construir a curva logarítmica conhecida pela Espiral de Ouro.


CONCLUSÃO

Definido a estratégia, assumimos uma abordagem centrada nos mais variados

paradigmas focalizando a concepção desse número e a sua função utilitária. Inferimos ser o

número de ouro uma dimensão complexa na medida em que encerra conceitos como

harmonia, a beleza e o equilíbrio que são, em suma, apanágio da Matemática enquanto

ciência. A multidimensionalidade desse número resulta, em parte, das suas múltiplas funções,

e extremas aplicabilidades. É um número que pode ser usado para reforçar conceitos sobre

sistema de medição e divisão com números decimais, equação do 2º grau literal, progressão

geométrica e soma, enfim pode-se tirar proveito desse “número fantástico”, sobretudo no

processo ensino – aprendizagem da disciplina de Matemática onde o seu virtuosismo é de

grande alcance.

Ora, se a Matemática constitui um dos pilares da realização da vida humana, é certo que

o número de ouro engloba as mais variadas vertentes dessa realização. Esse número, pela sua

abrangência, engloba sectores como história, biologia, zoologia, arte clássica e moderna,

enfim, esse número, pela sua aplicabilidade e funções, acaba por constituir assim a perfeição

das coisas. Pode-se concluir que é uma espécie de número síntese da natureza, pois nos mais

variados sectores de realização técnico-científica o número de ouro pode ser aplicado. Na

arquitectura e na engenharia ele pode ser a chave para equacionamento do equilíbrio, e para o

estabelecimento de várias situações tendentes à resolução de vários problemas.

Não podemos deixar de focalizar ainda o lado lúdico desse número, pois as várias fórmulas

existentes para a sua identificação e para a sua aplicabilidade encerram um sentido lúdico, que


pode constituir motivação básica para despertar no aluno o gosto pela Matemática e o gosto

pela descoberta. Não é de se estranhar as dificuldades que os alunos experimentam no

processo de aprendizagem, mas é de se crer que o professor devidamente apetrechado pode

bem contribuir para o despertar de uma nova atitude face a esta disciplina. E eis uma questão

motivadora – a identificação e a descoberta do número de ouro, a sua aplicabilidade e

funcionalidade.

Será sempre o número de ouro um número curioso, pelo seu significado, pela sua

significância, e pelos aspectos míticos e reais que ele encerra. Atesta tal facto inúmeras

situações da aplicabilidade.

Provamos ser o número de ouro um número irracional e particular nas suas funções e

aplicabilidades. Desde a sua identificação até aos nossos dias, a sua trajectória continua a ter

um significado crescente. Se no Egipto, por exemplo, era considerado um número sagrado

(veja-se a dimensão mítica e mitológica atribuído ao número), nos tempos modernos o seu

significado extrapola dessa dimensão, para chegar a uma dimensão técnico-científica. Basta

ver a sua aplicabilidade na arquitectura e noutros ramos do saber e actividades humanas.

Pondo a questão nesta perspectiva estamos convictos de que o número de ouro tem

exercido e continua a exercer uma função utilitária nos vários domínios. Senão vejamos: a

nível da arte. A essência artística na arquitectura e na pintura (traços convencionais definidos

pelo artista) é revelado pelo número de ouro.

Falando ainda das virtudes que esse fabuloso número encerra (ver as gravuras

estampadas no corpo deste trabalho), somos a reconhecer que a sua função utilitária realiza-se

numa infinita extensão, e que devidamente explorada pode levar o homem a aplicabilidades

fantásticas. Pode-se ensinar o aluno a desenhar explorando as nuances desse número, pode-se

ensinar a Matemática e a Geometria aplicando as curiosidades da natureza onde impera a

essência desse número. Enfim somos de opinião que o ensino de Matemática pode centrar-se

no número de ouro como elemento fulcral da motivação de aprendizagem, e defendemos a

necessidade dos planos curriculares a qualquer nível incluirem conteúdos programáticos que

versam à volta dessa questão. Outrossim defendemos ainda a necessidade de todos aqueles

que conhecem as virtualidades desse número se unirem à volta de um projecto que visa a

divulgação e a projecção de um número que constitui a perfeição das coisas.


FONTES BIBLIOGRÁFICOS

BURSTAB A.A..“Teoria dos números”. Moscovo (1966).

BIEMBENGUT, Maria Salett. “Número de ouro e secção Áurea – considerações e

sugestões para a sala de aula.”Editora da FURB, (1996);

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Gabay. Paris (1980).

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Traduzido por José Sousa Pinto. Gradiva universidade de Aveiro, (1999).

LELTCHUK, U. I., PALEVTCHENKO, I. I.. “Aulas práticas de Álgebra e Teoria dos

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http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm

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