4T1C 44

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Leo... y aprendo

Leo... y aprendo

Leo... y ap

rendo

Juana Aurora Cavazos CavazosSecretaria de Educacin

Ramona Idalia Reyes CantSubsecretaria de Educacin Bsica

Sanjuana D. Saucedo Quintanilla

Jefa del Departamento Tcnico de Educacin SecundariaAnastacia Rivas Olivo

Directora de Educacin Secundaria

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Maestr@s que imparten MatemticasDesarrollar las competencias de nuestros alumnos a lo largo de la Educacin Bsica es el Enfoque de las asignaturas de los Plan y Programas de Estudios 2011.Dentro de las competencias para el aprendizaje permanente y para el manejo de la informacin, el alumno requiere habilidad lectora, integrarse a la cultura escrita y aprender a aprender entre otros requerimientos.La habilidad lectora es fundamental para que los alumnos comprendan las situaciones que se les plantean, los problemas, las consignas, la comunicacin matemtica que se les pide, donde ellos van a dar a conocer sus procedimientos de solucin y validar sus respuestas. Los estudiantes que no tienen estas destrezas se desalientan por no entender lo que les pide el problema y eso trae como consecuencia rezago y apata hacia la asignatura.Todas las asignaturas de la currcula abonamos para que el alumno vaya paulatinamente adquiriendo profundidad en la lectura de textos, en su comprensin, en la redaccin, en la argumentacin y en todo lo referente a la comunicacin oral y escrita.Sabemos que para que el alumno desarrolle las competencias que se proponen en Matemticas necesitan saber leer y leer bien, para poder ampliar su pensamiento matemtico. Atendiendo a esta necesidad y a una de las prioridades nacionales, se propone que dediquemos un tiempo del espacio curricular para afianzar las competencias lectoras de nuestros alumnos.Les hemos preparado, con mucho gusto una serie breve de lecturas que hacen referencia a las Matemticas, con el fin de que dentro de sus planeaciones incorporen algunas de ellas, no cuando haya tiempo porque sabemos que en nuestra asignatura nunca terminamos, sino que al menos una vez a la semana dediquemos espacio para practicar la lectura.Este breve conjunto de lecturas, son una propuesta con el fin de que toda la comunidad de maestros de Matemticas la enriquezcamos y tengamos un compendio del cual podamos tener material para esta actividad.Esperamos que estas lecturas les sean de utilidad para ir poco a poco llevando a nuestros alumnos a lograr una profunda comprensin lectora que sea una herramienta para el avance en las competencias matemticas de los estudiantes.Academia Estatal de Matemticas

Armando Aguilar AguilarCarlos Rafael Gutirrez SaldvarElva Olinda Gracia GonzlezMara del Rosario Licea GarcaRal Carlos Balderas GuerreroRosa Mara del Carmen Estrada VidalesServando Quiones lvarez

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1. Cmo se numeran las calles?.............................................................. 3 EJERCICIO 1........................................ 42. Burros, ms que burros................................... 5 EJERCICIO 2..................................... 63. Las vasijas de agua..................................... 7 EJERCICIO 3...................................... 84. Galletitas...................................... 9 EJERCICIO 4.......................... ...................... 105. El precio del humo .................................... 11 EJERCICIO 5..................................... 126. Qu son los teselados?........................................................................ 13 EJERCICIO 6..................................... 157. Familia de tringulos.................................... 16 EJERCICIO 7..................................... 178. El barril, una unidad de medida.............................. 18 EJERCICIO 8...................................... 199. Manuel el arriero....................................... 20 EJERCICIO 9...................................... 2110. Quin invent la geometra?............................................................... 22 EJERCICIO 10.................................... 2411. El tringulo soy yo.................................. 26 EJERCICIO 11...................................... 3012. Las aventuras de Beremiz.................................. 33 EJERCICIO 12........................................... 3413. Reflexiones en torno a Harry Potter............................... 37 EJERCICIO 13................................................. 3814. El planeta en el que viajamos................................. 42 EJERCICIO 14......................................... 4015. Las matemticas del rbol...................................... 41 EJERCICIO 15............................................................................. 4216. La historia de Gauss....................................... 43 EJERCICIO 16............................................ 4417. La criba de Eratstenes..................................... 45 EJERCICIO 17........................................... 4618. El epitafio de Diofanto....................................... 47 EJERCICIO 18........................................... 4819. La altura de la pirmide de Keops y el Teorema de Tales....................... 50 EJERCICIO 19............................................ 5120. Descrates, la mosca y las coordenadas cartesianas............................... 52 EJERCICIO 20........................................... 53

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1. CMO SE NUMERAN LAS CALLES?

En la gran mayora de las ciudades, la numeracin parte del punto ms cercano a la Plaza Central, Plaza Mayor, Ayuntamiento, o un lugar emblemtico. Ejemplos: En el caso de Madrid, ese punto es la plaza de Puerta del Sol.

En Sevilla, lo que era el antiguo centro de la ciudad (hoy calle Jos Gestoso). En Zaragoza, el cruce de las calles Csar Augusto, Coso y Conde Aranda, etc.

Por contra, en algunas ciudades costeras, la numeracin parte del mar hacia la montaa (es el caso de Barcelona).

En todos los casos, se sitan los nmeros pares en la acera de la derecha y los impares en la izquierda, en el sentido creciente de la numeracin.

CALLE MORELOS

AV

EN

IDA

JU

R

EZ

AVENIDA CENTRAL

9

7

5

3

1

10

8

6

4

2

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CALL

E M

ORE

LOS

AVENIDA JUREZ

AVEN

IDA

CENT

RAL

EJERCICIO 1CMO SE NUMERAN LAS CALLES?

1. Escribe tu direccin completa:_____________________________________________________________________________Calle/avenida/. Nmero / Colonia ____________________________________ _______________________________________ Localidad / Estado

2. La acera de tu domicilio, Corresponde a los pares o a los impares? _____________________________________________________________________________

3. Cuando sales de tu casa a la calle, Qu nmero encuentras a tu izquierda y cul a tu derecha? Izquierda ______________________ derecha __________________________

4. Escribe aqu el nombre de 5 calles de tu colonia, pueblo o ciudad.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. En la capital de Espaa, A partir de qu lugar se empiezan a numerar las calles? _____________________________________________________________________________

5. En Sevilla A partir de qu lugar se empiezan a numerar las calles?_____________________________________________________________________________

6. En la gran mayora de las ciudades, De dnde parte la numeracin de las calles? _____________________________________________________________________________

7. Aqu tienes el plano de una calle. Debes completar los nmeros que faltan.

2871

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2874

2877 2881

2882

2887

2890

2. BURROS, MS QUE BURROS

"Dos burros estaban atados entre s. A uno y otro lado, a cinco metros aproximadamente, su dueo haba puesto dos montones de verde y rica alfalfa.

Torpes, como burros que eran, acuciados por el hambre, se empearon en comer cada uno del montn que tenan ms cerca. Tantas eran las ansias por comer, tanto el esfuerzo al tirar cada uno por su lado, tanta la obcecacin y la cabezonera y tanto su egosmo, que se agotaron sin probar bocado.

A punto estuvieron, cada uno por su lado, de tocar con su hocico la hierba de enfrente pero no lo lograron. Eso aument ms su sufrimiento, su angustia y su esfuerzo intil. Pasaron as una hora, hasta que, extenuados por el hambre, el trabajo y la rabia, cayeron al suelo a dos dedos (a dos dedos tan slo!) de la alfalfa.

Dos vacas que pasaban por all, en maravillosa camaradera, se pararon y, con parsimonia inteligente, liquidaron uno de los montones y, despus, con idntico entendimiento, acabaron con el segundo."

Alfonso Francia.

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EJERCICIO 2BURROS, MS QUE BURROS

1. Qu alimento le puso el dueo a los burros?_____________________________________________________________________________

2. Qu distancia haba desde un montn de comida al otro?

a) 5 metros b) 55 metrosc) 0 metros d) 10 metros

3. Por qu queran los burros comer? _____________________________________________________________________________

4. Por qu los burros no llegaron a comer nada?_____________________________________________________________________________5. Consulta en el diccionario el significado de las siguientes palabras.

a) Obcecacin b) Egosmo c) Hocico d) Extenuados e) Parsimonia f) Acuciados

6. Por qu las vacas s pudieron comer?_____________________________________________________________________________

7. Aqu tienes una vieta con el cuento contado de otra forma. Escrbelo fijndote cuadro a cuadro(Intenta hacerlo muy bien, este ejercicio es muy importante y vale 3 puntos).

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3. LAS VASIJAS DE AGUA

"Un cargador de agua de la India tena dos grandes vasijas que colgaba a los extremos de un palo y que llevaba encima de los hombros. Una de las vasijas tena varias grietas, mientras que la otra era perfecta y conservaba toda el agua al final del largo camino a pie desde el arroyo hasta la casa de su patrn, pero cuando llegaba, la vasija rota solo tena la mitad del agua.

Durante dos aos completos esto fue as diariamente. Desde luego la vasija perfecta estaba muy orgullosa de sus logros, pues se saba perfecta para los fines para los que fue creada. Pero la pobre vasija agrietada estaba muy avergonzada de su propia imperfeccin y se senta miserable porque solo poda hacer la mitad de todo lo que se supona que era su obligacin.

Despus de dos aos, la tinaja quebrada le habl al aguador as, dicindole:

-Estoy avergonzada y me quiero disculpar contigo porque debido a mis grietas solo puedes entregar la mitad de mi carga y solo obtienes la mitad del valor que deberas recibir. El aguador, le dijo compasivamente -Cuando regresemos a la casa quiero que notes las bellsimas flores que crecen a lo largo del camino.

As lo hizo la tinaja. Y en efecto vio muchsimas flores hermosas a lo largo, pero de todos modos se senta apenada porque al final, solo quedaba dentro de s la mitad del agua que deba llevar. El aguador le dijo entonces: -Te diste cuenta de que las flores solo crecen en tu lado del camino? Siempre he sabido de tus grietas y quise sacar el lado positivo de ello. Sembr semillas de flores a todo lo largo del camino por donde vas y todos los das las has regado y por dos aos yo he podido recoger estas flores para decorar el altar de mi Maestro. Si no fueras exactamente como eres, con todo y tus defectos, no hubiera sido posible crear esta belleza.

Cada uno de nosotros tiene sus propias grietas. Todos somos vasijas agrietadas, pero debemos saber que siempre existe la posibilidad de aprovechar las grietas para obtener buenos resultados. Uno no deja de rer por hacerse viejo, se hace uno viejo por dejar de rer.

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EJERCICIO 3LAS VASIJAS DE AGUA

1 Qu diferencia haba entre una vasija y la otra?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. El aguador En qu pas viva? En qu continente est ese pas?

a) Pas ____________________________b) Continente _______________________

3. El aguador llevaba su carga hasta su casa? Razona tu respuesta__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Cuntos das de la semana trabajaba el aguador? _____________________________________________________________________________

5. Elige una opcin para cambiar cada una de estas palabras que hay en el texto: a los extremos ( ) miserable ( )a) Desgraciadob) En medioc) Apenadod) En las puntase) Alegref) De Extremadurag) Tonto

6. Sobre qu parte de su cuerpo el aguador cargaba el peso de las vasijas?_____________________________________________________________________________

7. Una vasija se saba perfecta para los fines para los que fue creada Qu fines eran esos? _____________________________________________________________________________

8. Utiliza estos ejes de simetra y dibuja una vasija.

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4. GALLETITAS

A una estacin de trenes llega una tarde una seora muy elegante. En la ventanilla le informan que el tren est retrasado y que tardar aproximadamente una hora en llegar a la estacin.

Un poco fastidiada, la seora va al puesto de diarios y compra una revista, luego pasa al kiosco y compra un paquete de galletitas y una lata de gaseosa.Preparada para la forzosa espera, se sienta en uno de los largos bancos del andn. Mientras hojea la revista, un joven se sienta a su lado y comienza a leer un diario.

Imprevistamente la seora ve, por el rabillo del ojo, cmo el muchacho, sin decir una palabra, estira la mano, agarra el paquete de galletitas, lo abre y despus de sacar una comienza a comrsela despreocupadamente. La mujer est indignada.No est dispuesta a ser grosera, pero tampoco a hacer de cuenta que nada ha pasado; as que,

Por toda respuesta, el joven sonre y toma otra galletita.La seora gime un poco, toma una nueva galletita y, con ostensibles seales de fastidio, se la come sosteniendo otra vez la mirada en el muchacho.El dilogo de miradas y sonrisas contina entre galleta y galleta. La seora cada vez ms irritada, el muchacho cada vez ms divertido.

Finalmente, la seora se da cuenta de que en el paquete queda slo la ltima galletita. No podr ser tan caradura, piensa, y se queda como congelada mirando alternativamente al joven y a las galletitas. Con calma, el muchacho alarga la mano, toma la ltima galletita y, con mucha suavidad, la corta exactamente por la mitad. Con su sonrisa ms amorosa le ofrece media a la seora.- Gracias - dice la mujer tomando con rudeza la media galletita.- De nada contesta el joven sonriendo angelical mientras come su mitad.

El tren llega. Furiosa, la seora se levanta con sus cosas y sube al tren. Al arrancar desde el vagn ve al muchacho todava sentado en el banco del andn y piensa: Insolente. Siente la boca reseca de ira. Abre la cartera para sacar la lata de gaseosa y se sorprende al encontrar, cerrado, su paquete de galletitas intacto!

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EJERCICIO 4GALLETITAS

1. Teniendo en cuenta que el tren tena previsto llegar a las 16 horas y 10 minutos A qu hora lleg con el retraso? _____________________________________________________________________________

2. Cmo se sinti la seora cuando le dijeron que el tren traa retraso?_____________________________________________________________________________

3. Qu compr la seora en el kiosco?

( ) Un revista y un peridico ( ) Un paquete de galletas y una revista ( ) Una lata de gaseosa y galletas. ( ) Una gaseosa y una revista

4. Quin se sent primero en el banco: la seora o el joven? _____________________________________________________________________________

5. Cmo se puso la seora cuando el joven abri el paquete de galletas sin su permiso? _____________________________________________________________________________

6. Saca una galletita que exhibe frente al joven La palabra subrayada NO la podemos sustituir por una de estas palabras:a) enseab) muestrac) exponed) escondee) ostenta

7. Cuando la seora cogi la primera galletita Qu dijo el muchacho?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Cuando el joven cogi la primera galleta Cun preocupado estaba l?_____________________________________________________________________________

9. Cuenta algn viaje que t hayas hecho (si es en tren mejor).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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5. EL PRECIO DEL HUMO

Un da, un campesino fue a la ciudad a vender sus productos. De regreso a casa entr en una posada a descansar un rato. Como era da de mercado, la posada se encontraba llena de gente.- Qu quieres comer? - le pregunt el posadero.

- Una hogaza de pan y un jarrillo de vino respondi el campesino. Mientras el posadero se alejaba, el campesino fij sus ojos en una pieza que estaba asndose en la chimenea y que desprenda un olor delicioso Cunto le gustara tomar un poco de aquella carne! Pero A saber cunto costaba!Al cabo de un rato, el posadero regres con el pan y con el jarrillo de vino. El campesino empez a comer sin poder apartar los ojos del asado ola tan bien!De pronto, tuvo una idea. Se levant con el pan en la mano y se acerc al fuego. Coloc el pan sobre el humo que despeda el asado y esper unos minutos. Cuando el pan se impregn bien de aquel olor tan suculento, lo retir del fuego y se dispuso a comer. Pero al ir a morderlo oy una voz que gritaba:- Te crees muy listo, verdad? Intentabas engaarme, pero tendrs que pagar lo que me has robado.Los gritos del posadero despertaron la curiosidad de la gente. Las conversaciones se interrumpieron y todo el mundo mir hacia los dos hombres.- Yoyo no te he quitado nada. Te pagar el pan y el vino. - S, claro y el humo, qu? Acaso no piensas pagarlo?El campesino, sin salir de su asombro, intentaba defenderse: - El humo no vale nada, pens que no te importara - Cmo que el humo no vale nada? Todo lo que hay en esta posada es mo. Y quien lo quiera, debe pagar por ello.En ese momento, un noble que se encontraba comiendo en la posada con otros ilustres caballeros intervino en la discusin: - Clmate, posadero! Cunto pides por el humo? - Me conformo con cuatro monedas- respondi satisfecho el posadero.El pobre campesino exclam preocupado: - Cuatro monedas! Es todo lo que he ganado hoy.Entonces el noble se acerc al campesino y le dijo algo en voz baja. El campesino abri su bolsa y le dio sus cuatro monedas al caballero. - Escucha, posadero- dijo el noble haciendo sonar en su mano las monedas- Ya ests pagado. - Cmo que ya estoy pagado? Dadme las monedas! Clin, clin!, sonaban las monedas en la mano del noble. -Las monedas?-pregunt el posadero-. -

Acaso se comi la carne el campesino?l slo cogi el humo. Pues para pagar el humo del asado bastar con el ruido de las monedas.Y ante las risas de todos, el posadero no tuvo ms remedio que volver a su trabajo y dejar marchar tranquilamente al campesino.

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EJERCICIO 5 EL PRECIO DEL HUMO1. Para qu fue el campesino a la ciudad? ___________________________________________________________________________ 2. En aquella ciudad Todos los das haba mercado? __________________________________

3. Pidi el campesino una gran comida porque tena mucho dinero? ____________________ _________________________________________________________________________

4. Puedes explicar cmo estaba relleno el bocadillo que se prepar el campesino?_________ _________________________________________________________________________

5. El posadero quera que le pagase tres cosas: a) __________________________________________________________________________ b) _________________________________________________________________________ c) _________________________________________________________________________

6. En este trozo de lectura el posadero hace dos preguntas, cpialas aqu:1. ___________________________________________________________________________2. ___________________________________________________________________________-7. Une estas palabras de la lectura con sus posibles significados:

posada alimento exquisito y jugoso hogaza se llen de sabor jarrillo hotel humildeimpregn pieza de pan grande suculento recipiente con asa para bebidas

8. Aqu tienes 4 refranes cul crees que encaja mejor con esta lectura?-La avaricia y la ambicin, congelan al corazn.-La abundancia mata la gana.-La comida reposada, y la cena paseada.-La desgracia de un loco es dar con otro. Subraya el que elijas.

9. Escribe aqu un men que te gustara tomar en un restauranteAperitivos: _____________________________________________________________________________Primer Plato:_____________________________________________________________________________Segundo Plato:_____________________________________________________________________________Postre:_____________________________________________________________________________

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6. QU SON LOS TESELADOS?

Los teselados son los diseos de figuras geomtricas que por s mismas o en combinacin cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados para la construccin de casas y templos cerca del ao 4000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geomtricos. El material usado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban.

Posteriormente otros grupos demostraron maestra en este tipo de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.El grupo matemtico de los pitagricos analizaron tales construcciones y probablemente stas los haya conducido al famoso teorema que establece que la suma de los ngulos interiores es igual a un ngulo llano.La palabra teselado proviene de tessellae. As llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad.

Tipos de teseladosLos teselados pueden ser regulares o irregulares. Dentro de los regulares existen los semirregulares y demirregulares. Los regulares se logran a partir de la repeticin y traslacin de polgonos regulares.

Los demirregulares (fig. izquierda) se logran a partir de la combinacin de varios tipos de polgonos regulares pero de modo que no todos los vrtices tengan la misma distribucin, en cambio, los semirregulares (fig. derecha) se forman con la combinacin de dos o ms polgonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vrtices aparezcan los mismos polgonos y en el mismo orden.

Por ltimo, los irregulares, se forman gracias a la deformacin de los lados de un polgono regular.

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Cmo cubrir el plano.Para generar teselados podemos aplicar los movimientos de traslacin, rotacin y simetra axial. La primera, se logra copiando, trasladando y pegando la figura. La segunda, tomando un punto y girando a su alrededor. Por ltimo, la simetra axial es el movimiento inverso en el plano para que una figura sea superponible a su homloga ya que para esto no basta con deslizarla sobre el plano.Algunas cosas para tener en cuenta:No siempre es posible teselar un motivo: Slo existen tres tipos de polgonos regulares que nos permiten teselar: el tringulo, el cuadrado y el hexgono regular. Es necesario que los polgonos regulares tengan sus lados congruentes.El poder teselar depende de la suma de los ngulos interiores de las distintas figuras que concurren en un punto.

En este modelo concurren dos tringulos equilteros consecutivos, un cuadrado, otro tringulo equiltero y otro cuadrado ms, en ese orden.

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EJERCICIO 6QU SON LOS TESELADOS?

Despus de leer el texto Qu son los teselados? Contesta las siguientes preguntas:

1. Qu movimientos se pueden aplicar para generar teselados?_____________________________________________________________________________

2. Histricamente, qu grupos lograron maestra en el arte de teselado?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Explica Por qu el teselado es un arte?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. De acuerdo a lo que observas en tu entorno, qu aplicaciones puede tener el teselado? (menciona 3 aplicaciones).

a) _______________________________________________________

b) _______________________________________________________

c) _______________________________________________________

5. Si t quisieras hacer un teselado, qu elementos utilizaras y por qu?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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7. FAMILIA DE TRINGULOS

rase una vez un nio llamado Issceles. Se mud a un pueblo llamado Pocoms. Estaba emocionado pues asistira a una nueva escuela, ste cursaba el quinto grado.En su primer da de clases su maestra, llamada Geometra, present a todos sus compaeros de clase, por sus nombres, entre ellos se encontraba un nio llamado Cuadrado, otro Rectngulo, tambin Trapecio, Rombo y Paralelogramo. Issceles mir a todos lados, y se percat que sus compaeros eran muy diferentes a l.

SALN DE CLASESLa maestra asign que escribieran sobre su familia y que construyeran su rbol familiar. Issceles fue a su casa y le narr a su mam lo sucedido. Hijo mo, te contar la historia de nuestra familia y construirs tu rbol familiar.

Mi padre,( tu abuelo), se llamaba Rectngulo, era un hombre de carcter fuerte y muy recto en sus ideas.Mis hermanos, muy diferentes y opuestos en sus pensamientos. Tenan por nombres Obtusngulo y Acutngulo, este ltimo era un nio hermoso por sus facciones perfectas. Tu padre, Escaleno, proviene de una familia muy pequea. Su padre se llamaba Equiltero, fue un gran hombre, con valores incalculables y muy justo con el prjimo. De esta manera Issceles construy su rbol familiar y lo present a su maestra, la Sra. Geometra. Ella qued muy complacida con su trabajo. La maestra les explic que no todas las familias son iguales, ni su nmero de componentes tampoco."Mam, pregunt Issceles, Porqu yo no me parezco a mis compaeros de clase. Ellos son ms corpulentos y ms fuertes que yo." Issceles, no todos pertenecemos a la misma familia, ni llevamos el mismo apellido. Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadriltero. S, mam, Tambin me he dado cuenta , que nosotros nos parecemos pero no somos iguales, mi abuelo y mi pap son diferentes a m. Hijo, contest su madre, nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Tringulos, aunque nos parecemos en nuestra apariencia, no somos iguales.

Nadie en el mundo es exactamente igual a otra persona.Issceles pens en la forma ms rpida de construir su rbol familiar y diseo el siguiente diagrama.

Sus compaeros de clase comprendieron porque, Issceles era diferente a ellos. Issceles tuvo muchos amigos y comprendi que debemos amar al prjimo sin establecer diferencias.

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EJERCICIO 7FAMILIA DE TRINGULOS

Despus de leer el texto FAMILIA DE TRINGULOS contesta las siguientes preguntas:

1. De acuerdo a la medida de sus lados, Cmo se clasifican los tringulos?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Dibuja unos ejemplos.

3. De acuerdo a la medida de sus ngulos. Cmo se clasifican los tringulos?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Redacta tu opinin sobre la frase que aparece en el texto:

Nadie en el mundo es exactamente igual a otra persona.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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8. EL BARRIL, UNA UNIDAD DE MEDIDA

El barril es el nombre de una unidad de volumen usada en el Reino Unido, en los Estados Unidos y en otros pases productores de petrleo.Se toma generalmente como referencia al hablar de barril de crudo o petrleo a la unidad de 42 galones (aproximadamente 159 litros). Esta curiosa medida considerada como estndar, perdura en el tiempo como recuerdo de la poca colonial inglesa. Pues si en los tiempos en los que vivimos, gran parte de las unidades de medida se han sometido a la universalizacin del Sistema Internacional de Unidades, en el mercado del petrleo han mantenido la medida de los precursores de su comercializacin y explotacin, que fueron los estadounidenses. Y como todo tiene un sentido lgico de mercado y de valorizacin por comparativa y utilidad, la capacidad del barril de 42 galones tiene una larga historia.

En 1866, el estado estadounidense de Pensilvania lideraba la produccin mundial de petrleo. En agosto de ese ao, los principales productores de petrleo en ese estado adoptaron como unificacin de medida para la comercializacin o venta del petrleo, un barril con una capacidad de 42 galones. La razn de esa eleccin obedeca a la relativa facilidad de manejo de un barril por parte de una pareja de hombres (pues un barril de petrleo pesa aproximadamente unos 136 kilogramos), y a la vez el tamao del mismo permita que 20 barriles de petrleo pudiesen ser colocados sobre un vagn de carga de los trenes de la poca, lo que abarataba el coste del transporte del producto extrado.

Pero ms que eso, la eleccin de un barril de petrleo con una capacidad de 42 galones (en vez de otra medida) se bas en la sencilla razn de que el barril de 42 galones ya era un patrn de medida utilizado profusamente en las diversas transacciones comerciales del da a da. Era el envase tradicional y de uso comn con el que se almacenaba y comercializaba la mayora de los productos de consumo, como el arenque, el salmn, el vino, la melaza, la mantequilla, el jabn, y hasta el aceite de ballena. Todos ellos se transportaban y comercializaban en barriles o toneles de 42 galones de capacidad. Y este atpico valor de 42 galones como referencia de medida de volumen en el comercio estadounidense de finales del siglo XIX, era una herencia de la poca colonial. Tal medida de capacidad haba sido impuesta bajo el reinado de Ricardo III de Inglaterra (1483-1485) y trado a tierras americanas por los primeros colonos. Adicional a esto, el estatuto de Pensilvania de 1700 haba establecido el barril de 42 galones como el contenedor estndar para el transporte de todo tipo de productos y comestibles, por lo que su uso adquira contexto legal en el comercio.La existencia de dicho empaque fue circunstancialmente aprovechada cuando se dio inicio a la explotacin petrolera, y los productores se encontraron frente a la necesidad de almacenar y transportar el petrleo que, como por arte de magia, sala a raudales de las entraas de la tierra, siendo entonces los estadounidenses pioneros tanto en la explotacin como en la comercializacin del petrleo. Por lo tanto, el barril de 42 galones de capacidad (159 litros) permanece hasta nuestros das como la medida referencial de comercializacin del petrleo. No importa que el mismo sea transportado por kilomtricos oleoductos o grandes buques cisterna, la unidad de medida para la compra-venta mundial del petrleo es el barril de 42 galones de capacidad. Dependiendo de la densidad del petrleo, la masa de un barril de petrleo est entre 119 kg y 151 kg.

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EJERCICIO 8EL BARRIL, UNA UNIDAD DE MEDIDA

Despus de leer el texto sobre el Barril, una unidad de medida, contesta las siguientes preguntas:1. De acuerdo a la lectura, qu razones se tuvieron para emplear el barril como unidad de medida?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cuntos litros contiene un barril y cul es su peso?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. En qu lugares de nuestro pas se emplea esta unidad de medida?____________________________________________________________________________

4. Investiga, cul es la produccin de barriles de petrleo actualmente en nuestro pas?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Investiga las siguientes conversiones.

SISTEMA INGLS SISTEMA MTRICO DECIMAL PULGADA PIE YARDA MILLA TERRESTRE MILLA NUTICA

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9. MANUEL EL ARRIERO

De los muchos oficios que ejerci Manuel en su juventud, quizs sea el de arriero del que guarda un mejor recuerdo. Se levantaba muy tempranito, a las cinco de la madrugada, y antes de despuntar el da ya estaba con sus tres mulas en el remate 2 de monte o de carbn, dispuesto a cargarlas y regresar al pueblo.

Hace algn tiempo, me cont que Andrs y Donato eran por aquel entonces en el pueblo los intermediarios del carbn y de las varas para los tomateros, y siempre le estaban reprochando que si primero atenda a uno que al otro, cuando la verdad era que l se rompa la cabeza tratando de satisfacerlos de la mejor manera que poda y saba. Por esta razn, muchas veces haca viajes en los que unas mulas traan varas y otras carbn, o viceversa, con el fin de contentar a ambos.

Una vez se encontr en la situacin de tener que acarrear 60 sacos de carbn y 80 fejes3 de varas, y se plante llevar en cada viaje carbn y varas, de modo que en todos los viajes fuera siempre el mismo nmero de sacos de carbn y tambin fuera fijo el nmero de fejes de varas.

Luego de darle muchas vueltas lleg a la conclusin de que esto era posible, y as poda satisfacer tanto a Donato como Andrs al comenzar y terminar el mismo da el transporte de ambos productos y, adems, cada da les traera una cantidad fija del respectivo material.

Fue feliz durante los das que dur el trabajo y pudo dedicar mucho de su tiempo a observar la naturaleza, de la que siempre estuvo enamorado, al no tener que pensar en cada viaje qu cantidad de cada elemento deba cargar en sus mulas. Me hizo observar que l nunca cargaba a ninguna con ms de 2 fejes de varas o 3 sacos de carbn, pues stas constituan su principal medio de trabajo y no quera arriesgarse a que alguna, por exceso de carga, se le mancase.

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EJERCICIO 9MANUEL EL ARRIERO

Despus de leer el texto Manuel el Arriero contesten lo siguiente:

1. Podran ustedes animarse e intentar hallar el nmero de viajes que tuvo que hacer y los sacos de carbn y fejes de varas que transportaba en cada viaje?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Podra Manuel, respetando las condiciones de carga de sus mulas, haber finalizado en un mismo viaje el transporte si las cantidades hubieran sido 83 fejes de varas y 60 de carbn? Explica tu respuesta.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Y cuntos viajes hubiera tenido que hacer para finalizar conjuntamente el transporte si el carbn hubiera sido 60 sacos y 20 los fejes de varas?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. Investiga el significado de las siguientes palabras:

a) Arrierob) Rematec) Intermediariosd) Fejee) Mancar

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10. QUIN INVENT LA GEOMETRA?

Proclo, filsofo griego del siglo V d.C., en su libro Comentario de Euclidesescribe lo siguiente:

Muchos autores informan que los egipcios fueron los inventores de la geometra,y que naci de la necesidad de medir la tierra cuando las frecuentes crecidas del Nilo borraban el lmite entre las propiedades.

Esto suceda 3.000 aos antes de nuestra era. El Nilo inundaba todos los aos las tierras de sus orillas, tapando con su limo* las separaciones entre las distintas parcelas. Despus de la inundacin, bajo la geomtrica vigilancia de las pirmides, un grupo de hombres (los agrimensores) acudan a aquellas tierras, donde an coleteaban los peces, y, tras mediciones con cuerdas, y clculos cuidadosos, devolvan a cada labrador su campo. Con estas labores los egipcios inventaban la geometra.

Por esta razn, la palabra geometra significa medida de las tierras.Est formada por dos palabras griegas: ge, que significa tierra (...), y metron, que significa medida.

Quiz te preguntes: entonces, si la geometra la inventaron los egipcios, por qu tiene un nombre griego?La razn es muy sencilla: los egipcios conocan ciertas tcnicas para trazar un ngulo recto, para medir el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, el volumen de prismas y pirmides, pero eran reglas aisladas, nacidas para resolver problemas reales muy concretos, y no constituan un saber ordenado, general y lgico, es decir, una ciencia. Fueron los griegos, a partir del siglo VI a.C., quienes se despegaron de lo utilitario* y prctico, de lo concreto y aislado, para edificar un bello edificio de conocimientos generales, justificados todos ellos por la razn, al que llamaron, y llamamos, Geometra.

Cuando la fsica, la qumica, la biologa y la geologa an no haban nacido, la geometra era ya una verdadera ciencia. Slo la astronoma, tan necesaria en la navegacin, estaba suficientemente desarrollada, y eso porque, en esencia, era pura geometra.

Un autor actual, Lucio Lombardo Radice, ha escrito lo siguiente en su libro Las matemticas de Pitgoras a Newton (ed. Laia):

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Los griegos consideraron la geometra como una ciencia formativa, es decir, como una ciencia que acostumbra al hombre a razonar, que afina la inteligencia.Incluso decan que no haba que estudiarla con fines prcticos, sino para el honor de la mente humana. Platn, el gran filsofo discpulo de Scrates, en su escuela (La Academia) donde se discutan los ms difciles problemas de la lgica, de la poltica, del arte, de la vida y de la muerte, haba mandado escribir encima de la puerta: No entre aqu el que no sepa geometra.

Este culto a la geometra como ciencia soberana, que es la clave para la comprensin de todo el universo, estaba an muy vivo en el gran Galileo Galilei (1564-1642). He aqu lo que escriba Galilei: Este grandsimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos (hablo del universo) no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en que est escrito. Est escrito en lengua matemtica y los caracteres son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas.

En efecto, si te fijas un poco, o b s e r v a r s q u e l a s f i g u r a s geomtricas estn en todas las obras de la naturaleza y del hombre.

Texto e ilustraciones en GRUPO GAUSS (1985). Geometra Activa. Salamanca: ICE Universidad deSalamanca. Pgs 13-14.

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EJERCICIO 10QUIN INVENT LA GEOMETRA?

1. A partir de la lectura del texto, Cul de las siguientes afirmaciones te parece correcta?

a) La geometra fue una idea que tuvieron los egipcios para construir las pirmides .............b) En sus inicios, la geometra consista en reglas prcticas que usaban los griegos para trazar ngulos y medir reas de figuras.....................................................................c)Aunque la geometra la usaron los egipcios para medir tierras, ya la haban inventado antes los griegos..............................................................................................................d) Si bien la palabra geometra proviene del griego, fueron los egipcios quienes emplearon tcnicas geomtricas por primera vez en la Historia.........................................................

2. Qu significa la palabra agrimensor? ____________________________________________________________________________

3. Seala por qu fueron importantes en la historia de las matemticas._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. Explica el significado etimolgico (*) (*Etimolgico: relativo al origen de una palabra) de la palabra geometra.____________________________________________________________________________5. Segn dice el texto, la geometra griega era verdaderamente una ciencia. Cules de las siguientes caractersticas no corresponden al saber cientfico?:

a) Es un saber ordenado.b) Con ella slo se resuelven problemas prcticos muy concretos y aisladosc) Sirve para establecer conocimientos generales.d) Sus resultados se justifican mediante el razonamiento lgico.

6. Qu otras ciencias, aparte de la geometra, se mencionan en el texto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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7. Expresa en un par de lneas por qu la geometra era importante para los griegos (por ejemplo, para el filsofo griego Platn).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. El texto contiene una cita de Galileo. Resume en dos lneas la opinin que tiene este cientfico acerca de la geometra.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Qu tipo de texto es ste que acabas de leer? Seala la opcin correcta:

_____ Historieta de humor y pasatiempos.

_____ Relato de ficcin histrica.

_____ Fbula con moraleja.

_____ Artculo instructivo.

10. Enumera por lo menos cuatro figuras o formas geomtricas que se mencionen en el texto.Al lado de cada una de ellas, traza un dibujo esquemtico que la represente, e indica un objeto de la naturaleza o inventado por el hombre que tenga esa forma. Puedes organizar tu respuesta en un cuadro como el siguiente:

N o m b re d e la fo rm a

D ib u jo

E je m p lo d e o b je to

c o n e s a fo rm a

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11. EL TRINGULO SOY YO

Hola! Cuando te diga quin soy, s que vas a decir que me conoces de casi toda la vida, que me has tratado en muchas ocasiones. Pero yo no estoy tan seguro de que realmente sepas mucho sobre m, aunque te pueda dar esa impresin. Soy el tringulo; s, en efecto, esa figura plana de tres lados que entr en tu vida hace muchos aos... Primero me conociste de vista pues jugabas conmigo cuando eras pequeo, pero no supiste mi nombre hasta que fuiste a la escuela y all te lo dijeron.

O quiz fueron tus padres? Te has preguntado alguna vez por qu me dedican tanto espacio en los libros? Haz un poco de memoria y recuerda que de las dems figuras casi no se deca nada y sin embargo de m haba pginas y pginas. Eso quiere decir, sencillamente, que soy importante, pero t sabes por qu?

Por si acaso no lo sabes, tratar de explicrtelo dndote algunos datos de mi vida. No te los dar todos porque no deseo cansarte con mis cosas, aunque quiero que sepas que mi vida es larga en el tiempo y que est llena de muchos episodios, tantos que si algn da me decido a escribir mis memorias tendr para una larga obra. Quiero que compruebes si lo que te voy a contar ya lo sabas o slo tenas alguna vaga idea.

Mi partida de nacimiento no existe porque cuando nac no se haca este tipo de registros, y adems la poca es tan remota que dudo mucho que el dato se haya conservado hasta hoy. De mi infancia ms tierna conservo algunos recuerdos. As, por ejemplo, en el Egipto de los faraones conoc a un escriba que se llamaba Ahmes (o Ahmosis, no recuerdo bien). Era un tipo realmente curioso. Le gustaba hablar con los mayores a los que escuchaba con respeto. Precisamente de uno de ellos recibi unas enseanzas que a su vez haba odo a sus antecesores. Ahmes, en los ratos libres que le dejaba su trabajo como agrimensor del faran, fue pasando aquellas ideas a un papiro.

Como sabes, ste era un material sobre el que se escriba en Egipto. No era malo y adems ste del que te hablo ha llegado hasta hoy y se le conoce como el papiro Omnipresente:En todos lados. Rhind, y se conserva en el Museo Britnico. En l vers que Ahmes me hizo varios retratos, muy buenos, por cierto, lo cual no es de extraar teniendo en cuenta lo curioso que era.Como bien conoces, dispongo de una gama infinita de trajes. A m me gustan todos por igual pero reconozco que hay modelos que algunos prefieren por encima de otros.

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En una ocasin me vi sorprendido porque nada menos que Dios me escogi vestido de equiltero, puso su ojo dentro y me utiliz a partir de entonces como uno de sus smbolos. Desde luego es un traje que me queda muy bien.Resulta equilibrado con los tres ngulos y los tres lados iguales.

Con este traje me puedes ver en la bandera de Nicaragua.

Tambin debes saber que soy de los pocos polgonos regulares que teselamos el suelo, es decir, que utilizndome de forma reiterada soy capaz de recubrir cualquier superficie porque, como mi ngulo vale 60, si nos reunimos seis conseguimos los 360 y no dejamos huecos libres. Esto lo pueden hacer tambin el cuadrado y el hexgono regular. Pero ningn polgono ms de los llamados regulares.

Conocido traje mo es el rectngulo. No creo que haya estudiante, por flojo que sea, que no me conozca con este modelo. Y es que estoy relacionado con el, posiblemente, ms popular de los teoremas; el teorema de Pitgoras que dice aquello de: En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Ten cuidado, porque algunos dicen es igual a la suma de los catetos al cuadrado, y esto es otra cosa, No?

Uno de los mayores xitos de mi vida lo obtuve cuando alguien nunca he podido saber quin fue- se dio cuenta de que soy el polgono ms estable. Me explico. Si con algn tipo de varilla construyes un polgono cualquiera que no sea como yo, podrs comprobar con facilidad que es una forma endeble. Si empujas un poco por algn vrtice se deforma.Sin embargo, conmigo eso no ocurre porque mi estructura es firme como un roble. Tengo tanta personalidad que para cambiarme tienen que destruirme. Por esta razn, cuando a un cuadrado o a cualquier otra estructura se le quiere hacer fuerte y segura, acuden a m para conseguirlo. Fjate por ejemplo en los torreones de la luz. Son una autntica sinfona de tringulos.Si a partir de ahora de fijas un poco, me vers en casi todas partes.9Pero, donde realmente se nota mi vala, es en la medida de la superficie de las reas poligonales. Todo empez cuando en la antigua Grecia un hombre, que recuerdo bien y al que nunca podr agradecer suficientemente su descubrimiento, obtuvo una frmula que permite conocer el valor de mi rea sabiendo cunto miden mis lados. La frmula lleva el nombre de ese ilustre griego: Hern. Es muy sencilla, sobre todo hoy, con la ayuda de las calculadoras. Te la voy a explicar:

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Si mis lados miden a, b y c, y unidades, sabes que entonces mi permetro esP = a+b+c. Pues bien, la mitad de P es mi semipermetro, p = (a+b+c)/2 y la frmula de Hern establece que mi rea es:

a

bc

as que todo se reduce a sencillas operaciones.

M

Fjate ahora qu aplicaciones ms interesantes e importantes se logran con eso. Considerando un polgono cualquiera, te puedes colocar en un vrtice M y desde all divides el polgono en tringulos (es lo que se llama proceso de triangulacin)y basta con ir midiendo las longitudes de los distintos lados de los tringulos que resulten y aplicar la frmula de Hern para calcular su rea en cada caso.

Cuando las sumes todas tendrs el valor ms o menos exacto (depende de lo que te hayas esmerado) del rea del polgono.

Ten en cuenta que prcticamente todos los terrenos, solares, fincas, parcelas... tienen formas poligonales con lo que ya puedes percatarte de mi importancia para estos negocios inmobiliarios...

Claro que tal vez t conozcas otra frmula para calcular mi rea: aquella de base por altura partido por dos.

Es la que se suele explicar a los estudiantes. Surge de los hechos siguientes:

1. El rea de un paralelogramo cualquiera es base por altura.

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1. Un tringulo es siempre la mitad de un paralelogramo. Esta segunda propiedades muy fcil de comprobar.2. Un tringulo es siempre la mitad de un paralelogramo. Esta segunda propiedades muy fcil de comprobar.

Teniendo en cuenta las dos propiedades, surge esta popular frmula:

b a2

De todos modos, conviene que sepas que la de Hern es ms til y no entiendo bien por qu ya casi ni aparece en los libros de matemticas.

En fin, si quieres saber algo ms de mi vida puedes preguntar a tu profesor o profesora de matemticas. Seguro que gustosamente te contar muchas ms cosas sobre m.

Un fuerte abrazo,El Tringulo

Texto e ilustraciones deBALBUENA, L. (2008). Cuentos del cero. Madrid: Nivola. pgs. 5359.

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EJERCICIO 11EL TRINGULO SOY YO

1. En relacin con el tipo de texto que acabas de leer, Cul de estas afirmaciones es verdadera y cul es falsa?:

_____ Es un relato epistolar, que utiliza un recurso literario consistente en personificar a un concepto abstracto.

_____ Es un texto acadmico, y su finalidad es explicar conceptos y procedimientos geomtricos bsicos.

_____ Es un artculo que posiblemente provenga de una consulta del trmino tringulo en un diccionario o enciclopedia.

_____ El autor pretende poner de relieve las razones por las que considera importante el estudio del tringulo.

_____ El estilo en que est escrito refleja la intencin de su autor de instruir sobre matemticas de forma amena.

2. Escribe al menos tres razones por las que el tringulo tiene mucha importancia, segn el autor de este texto. Aade alguna otra razn por la que t lo consideres importante.1) _______________________________________________________2) _______________________________________________________3) _______________________________________________________4) _______________________________________________________

3. Seala el prrafo referido a los orgenes histricos de la geometra, y contrasta lo que se dice con las conclusiones que sacaste de la lectura del texto 1 (fjate especialmente en las respuestas dadas a las dos primeras preguntas del cuestionario).____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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4. Ahmes tena dos profesiones: escriba y agrimensor. Explica en un par de lneas en qu consistan estos oficios. _______________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Completa el siguiente cuadro sobre propiedades y conceptos matemticos que debes tener claros para una buena comprensin del texto:

CONCEPTO DEFINICIN PROPIEDADES DE SUS NGULOS

Tringulo

Tringulo equiltero

Tringulo rectngulo

Hipotenusa

Catetos

Paralelogramo

6. Completa este otro cuadro sobre procedimientos geomtricos que aparecen en el texto:

NOMBRE DEL PROCEDIMIENTO SIGNIFICADO Recubrir una superficie mediante

polgonos sin dejar huecos

PROCESO DE TRIANGULACIN DE UN POLGONO

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7. Escribe una definicin de polgono regular.

QUINO (1980). Mafalda 9. Barcelona. Lumen.

8. De paso, podras ayudar a Felipe a hacer sus deberes de geometra. Explica qu clase de tringulo sostiene en la mano.

Recoge los resultados de tus investigaciones, junto con tus comentarios al chiste, en una cartulina mural. Es importante que cites tus fuentes.

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_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12. LAS AVENTURAS DE BEREMIZ

Este texto forma parte de un cuento, ambientado en el Islam, que narra las aventuras de un

viajero persa llamado Beremiz que asombra a prncipes y consejeros con sus habilidades

matemticas. En el captulo XVIII, el protagonista dialoga con el prncipe y un poeta sobre los

descubrimientos geomtricos de los sabios de la India.

(...) - Nueve o diez siglos antes de Mahoma, vivi en la India un brahmn

(*) (* Brahmn: sacerdote hind, perteneciente a la 1 de las cuatro castas de la India) ilustre que

se llamaba Apastamba. Con la intencin de ilustrar a los sacerdotes sobre los sistemas de

construccin de altares y sobre la orientacin de los templos, este sabio escribi una obra llamada

Suba-sutra que contiene numerosas enseanzas matemticas. Es muy poco probable que esta

obra haya recibido influencia de los pitagricos, porque la geometra del sacerdote hind no sigue

el mtodo de los investigadores griegos. Se encuentran, sin embargo, en las pginas de Suba-

sutra varios teoremas de Matemticas y pequeas reglas sobre construccin de figuras. Para

ensear la transformacin conveniente de un altar, el sabio Apastamba propone la construccin

de un tringulo rectngulo cuyos lados miden respectivamente 39, 36 y 15 pulgadas*. Para la

solucin de este curioso problema, el brahmn aplicaba un principio que era atribuido al griego

Pitgoras:

EL AREA DEL CUADRADO CONTRUIDO SOBRE LA HIPOTENUSA

ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LAS REAS DE LOS CUADRADOS

CONSTRUIDOS SOBRE LOS CATETOS.

Beremiz mir hacia donde estaba el jeque* Iezid, que escuchaba con mucha atencin, y habl as:

- Sera ms prctico explicar por medio de figuras esta proposicin famosa que todos deben

conocer.

El jeque Iezid llam a sus auxiliares. Al cabo de un momento dos esclavos trajeron al saln una

gran caja de arena. Sobre la superficie lisa podra Beremiz trazar figuras y esbozar clculos y

problemas a fin de aclarar sus problemas al prncipe de Lahore. - Aqu tenemos explic Beremiz

trazando en la arena las figuras con ayuda de una vara de bamb-, un tringulo rectngulo. Su

lado mayor se llama hipotenusa y los otros dos catetos.

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Dibujemos ahora, sobre cada uno de los lados de este tringulo, un cuadrado; uno sobre la hipotenusa, otro sobre el primer cateto y el tercero sobre el segundo cateto. Ser fcil probar que el cuadrado mayor, construido sobre la hipotenusa, tiene un rea exactamente igual a la suma de las reas de los otros dos cuadrados construidos sobre los catetos.As queda demostrada la veracidad del principio enunciado por Pitgoras.Entonces pregunt el prncipe si aquella relacin era vlida para todos los tringulos.Beremiz respondi: - Es vlida y constante para todos los tringulos rectngulos. Afirmo, sin miedo a equivocarme, que la ley de Pitgoras expresa una verdad eterna. Incluso antes de brillar el sol que nos ilumina, antes de existir el aire que respiramos, ya el cuadrado construido sobre la hipotenusa era igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.El prncipe estaba muy interesado en las explicaciones que escuchaba aBeremiz. Dijo con simpata al poeta Iezid: - Cuestin maravillosa es, oh amigo mo, la Geometra! Qu ciencia tan notable! Percibimos en sus enseanzas dos aspectos que encantan al hombre ms rudo o ms despreocupado de las cosas del pensamiento: claridad y sencillez.Coloc su mano izquierda en el hombro de Beremiz, y pregunt al calculador con naturalidad:MATEMTICAS

Demostracin grfica del Teorema de Pitgoras. Los lados del tringulo miden respectivamente tres, cuatro y cinco centmetros. La relacin pitagrica se verifica con la igualdad:

- Esta proposicin que los griegos estudiaron aparece ya en el libro Subasutra del viejo brahmn Apastamba?. Beremiz respondi: - As es, oh prncipe! El llamado Teorema de Pitgoras puede leerse en las hojas del Suba-sutra en forma apenas diferente(...).

Texto e ilustraciones de TAHAN, M. (2003). El hombre que calculaba. Buenos Aires: Pluma y

Papel, ed. de Goldfinger S.A. pginas 132-134.

Demostracin grfica del Teorema de Pitgoras. Los lados del trangulo miden respectivamente tres, cuatro y cinco centmetros. la relacin pitagrica se verifica con la igualdad.

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EJERCICIO 12LAS AVENTURAS DE BEREMIZ

1. Seala cul de las siguientes aseveraciones te parece correcta como resumen de las enseanzas del texto:

_____ Un sabio hind segua el mtodo del griego Pitgoras para construir templos._____ El griego Pitgoras y el hind Apastamba llegaron a las mismos conocimientos geomtricos por caminos distintos._____ En sus escritos, el hind Apastamba copi un teorema inventado por un griego.

2. Con el trmino teorema nos referimos a las afirmaciones que en matemticas se consideran verdaderas, como el enunciado de Pitgoras del que versa el dilogo. Hay otros trminos, que tambin aparecen en el texto, referidos a las verdades matemticas. Seala, al menos dos de esos trminos. Busca en el diccionario su significado precisoA) _______________________________________________________B) _______________________________________________________

3. Cules eran las medidas del tringulo rectngulo que Apastamba construa en su libro? Ilustra tu respuesta dibujando un modelo de dicho tringulo.

4. Comprueba que el tringulo de Apastamba verifica el Teorema de Pitgoras.

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5. Recuerda las caractersticas que, segn el texto 1 de este cuaderno, deba tener un saber cientfico. Seala una caracterstica que venga remarcada en este nuevo texto Qu cualidades aprecian Beremiz y el jeque en la ciencia geomtrica. Pon ttulo a este texto._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Te proponemos un juego, para el que debers consultar informacin de los dems textos de este cuaderno. Consiste en emparejar cada cuadro de la izquierda con una de las frases de la derecha, trazando una lnea. Debajo de cada personaje, indica el siglo en que vivi.

PITGORAS Descubre una frmula para hallar reas de tringulos.

GALILEO Funda La Academia, donde se ensalza la geometra.

APASTAMBA Demuestra un teorema sobre el tringulo rectngulo. HERN Construye templos empleando un teorema atribuido a los griegos.

AGRIMENSORES Inventan tcnicas geomtricas tiles para su trabajo. EGIPCIOS

PLATN Destaca la geometra como esencial para conocer el universo.

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13. REFLEXIONES EN TORNO A HARRY POTTERGnero: argumentativorea: Literatura

Pas con la horrorosa moda de los Pokmon , los abominables monstruos de bolsillo que invadieron el mercado el ao pasado: mucho antes de que logrramos enterarnos de qu se trataba precisamente, ya estbamos dedicando una porcin importante del presupuesto familiar a comprar tarjetas, muequitos y videojuegos ( y es que la acumulacin de objetos era la esencia misma del programa de video y del programa de televisin derivado de l). Y antes pas con las tortugas ninja, que empezaron a existir en la conciencia de los adultos cuando un nio resolvi meterse por el huevo de una alcantarilla a buscar sus hroes de moda.

Quiz eso explique en parte que, The Philosophers Stone, ( La Piedra filosofal) haya llegado tan rpidamente a la lista de los libros ms vendidos cuando fue publicado en 1997: el libro sigue siendo un terreno comn para padres e hijos y adems ha sido santificado en el undcimo mandamiento escolar (leers a tus hijos a la hora de acostarse) . Es ms fcil justificar el tiempo perdido leyendo uno de los cuatro volmenes de la Vida y Milagros de Harry Potter que echarse a dormir con el insoportable ruido de Men in black (Hombres de negro).Harry Potter y la piedra filosofal fue publicado en septiembre de 1998 en Estados Unidos como The Sorcerers Stone (presumiblemente porque la palabra filosofal podra resultar extraa para los nios norteamericanos). No obstante, lleg en segundos a la lista de los ms vendidos del diario New York Times, seguido de La cmara de los secretos. Ante la perspectiva de que el tercero de la serie, El prisionero de Azkaban, se llevara el tercero de diez puestos disponibles, los editores estadounidenses protestaron y el peridico acab abriendo una nueva lista de best-sellers infantiles (con tres subcategoras, en dos de las cuales reina hoy Harry).El cuarto volumen de la serie, The Goblet of Fire ( publicado en ingls en julio de este ao), rompi todos los registros de la industria. Para empezar, debe haber sido el libro que ms atencin ha recibido de los medios masivos de comunicacin, a lo cual contribuy la decisin de los editores estadounidenses de salir simultneamente con la edicin inglesa. Hicieron bien: en junio, Amazon.com inform que estaba prevendiendo ejemplares de The Goblet of Fire a razn de veinte mil diarios y el 7 de julio ( un da antes de la fecha de publicacin) haba vendido ms de 400 000 copias. Scholastic hizo una primera impresin de 3.8 millones, cifra nunca vista.En ese momento, los tres primeros libros de Harry Potter haban vendido ms de 30 millones de copias en ingls y haban sido traducidos a ms de 31 lenguas. Harry ha estado en la portada de la revista Time, lleva ms de cien semanas en la lista de los ms vendidos del New York Times y las pelculas ya estn en camino.

El Malpensante Qu hay de nuevo, viejo? Margarita Valencia, No. 27, 2000

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EJERCICIO 13REFLEXIONES EN TORNO A HARRY POTTER

Despus de leer el texto de Reflexiones sobre Harry Potter1. Escribe sobre la raya de la derecha la letra de la columna de la izquierda que le corresponde:

a. 3.8 millones de copias ____ Nmero de lenguas a las que se han traducido las Historias de Harry Potter.

b. 30 millones de copias ____ Cantidad aproximada de copias vendidas por Amazon.com hasta el da 7 de julio.

c. 31 ____ Nmero de copias que se haban vendido de los tres primeros libros.

d. 400 000 ____ Nmero de copias que vendan a diario. en Amazon.com.

e. 20 000 ____ Primera impresin de The Goblet of Fire.

2. Une por medio de lneas el nombre del libro con el ao de su publicaicn

The Philosophers 1999 The Sarcerers Stone 2000 La cmara de los secretos 1997 El prisionero de Azkaban 1998 The Goblet of Fire 1999

3. Segn Margarita Valencia es preferible leer a Harry Potter que:

a. _____ Comprar tarjetas, muequitos y videojuegosb. _____ Ver las Tortugas Ninjac. _____ Dormir con el ruido insoportable de Men in Blackd._____ Meterse en los huecos de las alcantarillas

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4. The New York Times debi abrir una lista de best-sellers infantiles debido a:

a._____ Que la palabra filosofal podra resultar extraa para los nios norteamericanosb. _____ Que ha sido santificado en el undcimo mandamiento escolarc. _____ Que los editores estadounidenses protestaron contra el peridico d. _____ Que ha sido el libro que ms atencin ha recibido de los medios de comunicacin

5. La acumulacin de objetos es la esencia del programa de video y de televisin.

a. _____ Los Pokemnb. _____Las Tortugas Ninjac. _____ The Philosophers Stoned. _____ Men in Black

6. Seala cul de las siguientes opciones no corresponden a las afirmaciones que se hacen sobre Harry Potter.

a._____ Harry ha estado en la portada de la revista Time

b._____ Las pelculas sobre las historias de Harry ya estn en camino

c._____ Las obras llevaban ms de cien semanas en la lista de los ms vendidos.

d. _____ Empez a existir para los adultos cuando un nio resolvi meterse en un hueco.

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14. EL PLANETA EN EL QUE VIAJAMOS

Aunque no parezca, la Tierra viaja por el Universo con todos nosotros. Cuando creemos que estamos quietos, en realidad estamos viajando. Nuestra casa, pegada a la tierra, viaja a una velocidad como de 1 600 km /h ms rpido que los aviones ms grandes y que los ms veloces. Viaja tan rpido la Tierra, dando vueltas y vueltas que no sentimos un viento muy fuerte como cuando viajamos a toda velocidad. Los hombres han estudiado mucho esto y han dicho que todas las estrellas parecen dar una vuelta a la tierra cada da, cuando se levantan en la noche por el oriente y se acuestan por el occidente al amanecer. Han encontrado razones para decir que es la tierra la que se mueve y no el cielo y han concluido que la tierra viaja como un trompo en el Universo. Da vueltas sobre un eje y en cada vuelta se demora un da y una noche, al tiempo que va dando una vuelta alrededor del sol y en esa vuelta grande se desarrolla un ao.

Adems de todo, viajamos con el Sol, con todos sus planetas, viaja por el espacio a travs de la galaxia. Esta Galaxia, que desde la antigedad se llama la Va Lctea, tiene millones y millones de estrellas como nuestro Sol. En las noches y estrelladas en el campo las vemos como un camino blanco de leche.La Va Lctea tiene ms estrellas que el resto del cielo. Sabes, cuntas estrellas calculan los cientficos que tiene la Va Lctea? Pues ni ms ni menos que cien mil millones 100 000 000 000 de estrellas!Y si seguimos viajando con nuestra imaginacin, buscando el final, la orilla del Universo, qu pasara?. Bueno, pues no sabemos si tiene final o no. Lo cierto es que es muy grande y est muy lleno de estrellas con nombres raros y hasta chistosos: enanas, blancas, gigantes rojas, novas y supernovas. Y despus de mirar el cielo y observar tantas estrellas y saber que all arriba estn Jpiter, Marte, Venus y millones de soles como el nuestroEs increble saber que en ninguno de estos planetas ni de esas estrellas es probable que haya vida como en la tierra. Al menos hasta donde han podido confirmar los cientficos. No crees entonces, que vale la pena cuidar y disfrutar el planeta en que viajamos?

Cucl Cucl El Planeta en que viajamos No. 1 Colciencias- MEN, Bogot, abril de 1990.

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EJERCICIO 14EL PLANETA EN EL QUE VIAJAMOS

Despus de leer el texto El Planeta en que viajamos contesta lo siguiente:1. Escribe en la lnea de la columna de la derecha, la letra de la columna de la izquierda que corresponda:a. 1600km/h ( ) Lo que dura la tierra en dar toda una vuelta sobre su eje. b. 100 000 000 000 ( ) Lo que dura la Tierra en dar una vuelta al Sol.

c. un ao ( ) Velocidad a la que viaja la tierra.

d. un da y una noche. ( ) Nmero aproximado de estrellas que tiene la Va Lctea.

2. Completa los siguientes enunciados teniendo en cuenta la informacin del textoa) Los hombres han _________________ mucho esto y han _________________ que todas las estrellas parecen _________________ una vuelta a la Tierra cada ______________________.

b) La Tierra viaja como un ________________________ en el __________________________.

c) La Tierra da vueltas sobre su ____________ y en cada vuelta demora un __________ y una __________.

d) El Sol, con todos sus ___________ viaja por el espacio a travs de una _________________.

3. Une por medio de lneas los siguientes datos.

a. Nombre de la Revista El Planeta en el que viajamosb. Fecha de publicacin Ciencias Socialesc. Ciudad Cucli Cuclid. Gnero de lectura Colciencias-MENe. Ttulo del artculo Abril de 1990f. Institucin que lo publica Bogotg. rea a la que pertenece Expositivo

4. La galaxia dentro de la cual viajamos se llama Va Lctea porque:a. _____ Tiene aproximadamente 100 000 000 000 de estrellasb. _____ Parece un camino de lechec. _____ Tiene estrellas con nombres muy curiososd. _____ Se puede mirar en una noche despejada

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15. LAS MATEMTICAS DEL RBOL

Qu sera de la vida del hombre y del nio sin el rbol? Desde siempre buscamos refugio en su sombra cuando nos agobia el calor del verano. En los juegos es fiel compaero, y de nuestras escondites, cmplice silencioso. Cuando queremos escapar de algn peligro, siempre hay un rbol al que podemos trepar.

Qu diferente hubiera sido nuestra historia sin el rbol! Hasta en la ciencia se ha entrometido: Cuentan que Newton descubri las leyes de la gravedad cuando de un rbol le cay una manzana en la cabeza. Te has preguntado por qu los rboles tienen esas formas tan curiosas? Primero hay que saber que el rbol necesita de la luz del sol para vivir; gracias a ella puede fabricar sustancias nutritivas que le dan energa. La luz solar es captada por la superficie expuesta, es decir por la piel del rbol.

Como la corteza no basta para las necesidades del rbol, estn las hojas. Las hojas son superficies especializadas que captan la luz gracias a la clorofila, un pigmento que les da su color verde. Ahora bien, estas hojas necesitan repartirse alrededor del tronco de manera que todas reciban luz solar. Si todas las hojas estuvieran pegadas al tronco es muy probable que las de arriba cubriran a las de abajo, impidindoles recibir la luz del sol. Para evitar eso, los rboles tienen ramas. Las ramas se organizan de manera que las ms largas quedan debajo y las ms cortas arriba as las hojas de arriba nunca tapan a las de abajo. Esto se logra de manera natural, ya que las primeras ramas que nacen en el tronco son las que quedan abajo. Por esta razn, el rbol tienen una estructura piramidal. A la vez que va subiendo, las ramas nuevas giran alrededor del tronco; siguen una espiral ascendente que ayuda tambin a que las hojas de arriba no tapen a las de abajo. Esta colocacin de las ramas en espiral se llama filo taxia y la encontramos en todas las plantas. Si observamos una planta desde arriba y en particular, una de sus ramas, vemos que la que sigue ha girado un poco alrededor del tronco, y la siguiente otro poco, hasta que encontramos una ramita en la misma posicin que la primera. Se ha cerrado el crculo, pero como pas mucho tiempo hasta que naciera la ltima, la primera creci y es tan grande que la ltima no le tapa el sol. Si t cuentas el nmero de vueltas alrededor del tronco y el nmero de ramas dela segunda a la ltima obtendrs un quebrado que es la filo taxia de esa planta y que se expresa as: nmero de vueltas entre el nmero de ramas. Debes saber que todo rbol, como toda planta tiene su filo taxia propia. Por ejemplo, el manzano y el roble tienen una filo taxia de 2/5. Esto quiere decir, que partiendo de una rama y girando alrededor del tronco hacia arriba se hacen dos vueltas hasta encontrar otra rama en la misma posicin y se cuentan 5 ramas.

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EJERCICIO 15LAS MATEMTICAS DEL RBOL

Despus de leer el texto las matemticas del rbol contesta lo siguiente:1. Se deduce que el autor siente:a. ( ) Asombro ante los rbolesb. ( ) Afecto por los rbolesc. ( ) Miedo ante los rbolesd. ( ) Extraeza ante los fenmenos naturales2. Se puede inferir que Newton:a. ( ) Qued grave despus de la cada de la manzanab. ( ) Era arboricultorc. ( ) Era cientficod. ( ) Cultivaba manzanas3. El cuarto prrafo responde bsicamente a la pregunta:a. ( ) Qu funcin cumple la corteza?b. ( ) Qu funcin cumplen las hojasc. ( ) Qu funcin cumplen las ramasd. ( ) Qu funcin cumple la luz del sol

4. Se puede sacar como conclusin que las formas de los rboles se deben fundamentalmente a: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. En el cuarto prrafo al emplear la palabra especializada el autor quiere ____________________________________________________________________________

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16. LA HISTORIA DE GAUSS

Esta historia, es sencilla, corta, pero aclara el panorama de lo que

acabo de decir; porque tiene que ver con alguien que pens

diferente, y en el camino, resolvi un problema de forma

impensada para su profesor. La historia se sita alrededor de 1784

en Brunswick, Alemania.

una maestra de segundo grado de la escuela primaria, estaba

cansada del escndalo que los chicos hacan en su clase, y para

tenerlos quietos un poco, les dio el siguiente ejercicio: calculen la

suma de los primeros cien nmeros. La idea era mantenerlos

callados durante un buen rato. Solo paso un momento cuando uno

de los nios levant la mano, sin darle tiempo a su profesora de

acomodarse en su silla.

Si?, pregunt la maestra mirando al nio. Ya est seorita, respondi el pequeo, el resultado es

5050.

La maestra quedo desconcertada ante la rapidez de la respuesta, adems correcta. La maestra le

pidi entonces, dar la explicacin de lo que haba hecho.

El joven comenz a escribir los nmeros: 1+2+3+4+5++98+99+100, y el joven prosigui, lo que

hice fue sumar el primer nmero con el ltimo (1+100 = 101), despus, el segundo con el

penltimo (2+99 = 101). De esta forma, juntando los nmeros y sumndolos se obtienen 50

pares de nmeros 101; luego, 50 x 101 = 5050.

Bien, el jovencito se llamaba Carl Friedrich Gauss. Nacin en Brunswick, Alemania, el 30 de Abril

de 1777, y muri en 1855 en Gottingen, Hanover, Alemania. Gauss, es considerado el prncipe

de la matemtica y es uno de los mejores de la historia.

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EJERCICIO 16 LA HISTORIA DE GAUSS

Despus, de leer LA HISTORIA DE GAUSS contesta las siguiente preguntas:

1. A qu se refiere la frase de la lectura:

tiene que ver con alguien que pens diferente

2. Qu problema plante la maestra a sus alumnos?

____________________________________________________________________________

3. Utiliza el procedimiento de Gauss para sumar los nmeros del 1 al 1000.

4. Relaciona la fecha con el suceso de acuerdo a la lectura.

a. 1777 muerte de Gauss

b. 1784 fecha de la historia

c. 1855 nacimiento de Gauss

5. Investiga, Qu otros descubrimientos hizo Gauss que son muy tiles para las Matemticas.

____________________________________________________________________________

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Calcul que el intervalo entre los trpicos era de 11/83 de la circunferencia terrestre, por lo que el

resultado era de 23 51' 19'', cifra que ms tarde adopt Claudio Ptolomeo. Segn algunos,

Eratstenes en realidad obtuvo una cifra de 24, y fue Ptolomeo el que afin hasta los 23 51' 19''.

Observando los eclipses, calcul que la distancia al Sol era de 804.000.000 de estadios. Si el

estadio meda 185 metros, esto daba 148.752.000 kilmetros, cifra muy cercana a la unidad

astronmica.

Calcul tambin que la distancia a la Luna era de 780.000 estadios, aunque en realidad es casi tres

veces mayor. Tambin calcul que el dimetro del Sol era 27 veces mayor que el de la Tierra,

aunque en realidad es 109 veces mayor.

La criba de Eratstenes, permite determinar los nmeros primos menores de 100. Para

construirla, se comienza eliminando de dos en dos todos los nmeros a partir del 4, ya que son

mltiplos de dos y, por tanto, no pueden ser primos.

A continuacin se elimina a partir del seis y de tres en tres todos los nmeros no tachados

anteriormente, ya que son mltiplos de tres. Despus se hace lo mismo de cinco en cinco y as

sucesivamente. Al final de este proceso, solo quedan los nmeros primos.

17. LA CRIBA DE ERATSTENES.

Eratstenes fue un sabio griego que vivi en el siglo III a.C. Ide el

primer procedimiento que se conoce para medir el radio de la tierra

con gran exactitud.

Se destac como orador, filsofo y poeta.

Se le atribuye la invencin de la esfera armilar que todava en el siglo

XVII se utilizaba. Probablemente usara este instrumento para sus

observaciones astronmicas, pero slo se tiene constancia de que

gracias a esta esfera determin la oblicuidad de la eclptica.

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EJERCICIO 17

LA CRIBA DE ERATSTENES

Te presento aqu la criba de Eratstenes para que t descubras cuales son los nmeros primos

menores que 100. Anmate, vamos a descubrirlos, utiliza este cuadro y comienza a descubrir los

nmeros primos, siguiendo las indicaciones que se te dan en la lectura.

Anota aqu los nmeros primos menores que 100 que obtuviste: _______________________

____________________________________________________________________________

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18. EL EPITAFIO DE DIOFANTO

La muerte del matemtico alejandrino Diofanto nos trajo el

siguiente acertijo, al menos segn recoge una coleccin griega de

acertijos del siglo V:

La historia ha conservado pocos rasgos biogrficos de Diofanto,

notable matemtico de la antigedad. Todo lo que se conoce acerca

de l ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro,

inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico.

Reproducimos esta inscripcin:

En la lengua verncula: En el idioma del lgebra

Caminante! Aqu fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los nmerospueden mostrar, Oh milagro!, cun larga fue su vida,

Cuya sexta parte constituy su hermosa infancia.

Haba transcurrido adems una duodcima parte desu vida, cuando de vello cubrise su barbilla

Y la sptima parte de su existencia transcurrien un matrimonio estril.

Pas un quinquenio ms y le hizo dichoso el nacimiento de su preciosoprimognito,

Que entreg su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra,que dur tan slo la mitad de la de su padre

Y con profunda pena baj a la sepultura, habiendo sobrevividocuatro aos al deceso de su hijo

Dime cuantos aos haba vivido Diofanto cuando le lleg la muerte.

X

X/6

X/12

X/7

5

X/2

X = + + + + +X = + + + + +6

X_12

X_7

X_2

X_5 4

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EJERCICIO 18 EL EPITAFIO DE DIOFANTO

Despus de leer el Texto EL EPITAFIO DE DIOFANTO contesta lo siguiente:

1. Consideras que la forma de encontrar la edad de Diofanto sigue siendo un acertijo para

nosotros actualmente? Explica tu respuesta

____________________________________________________________________________

2. Sin hacer la ecuacin, puedes identificar Qu momento de la vida de Diofanto fue la ms

larga? _______________________________________________________________________

3. Cunta parte de su haba pasado al ser adolescente?

____________________________________________________________________________

4. Relaciona cada palabra con su significado de acuerdo al Texto

alejandrino inscripcin en el sepulcro

acertijo primer hijo de una familia

epitafio su muerte

duodcima sin hijos

estril referente a la ciudad de origen

primognito adivinanza

deceso referente al lugar doce

5. Al resolver la ecuacin el valor de la incgnita es 84 con base a ese resultado contesta

a) Cunto dur la infancia de Diofanto ____________________________________________

b) Cunto tiempo de su vida transcurri con un matrimonio estril?____________________

c) Cuntos aos haba vivido Diofanto cuando lleg a su muerte? _____________________

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19. LA ALTURA DE LA PIRMIDE DE KEOPS

Y EL TEOREMA DE TALES

En la Necrpolis de Guiza en Egipto, la ms antigua de las siete maravillas del

mundo y la nica que an se conserva, se encuentran las famosas pirmides

construidas por los faraones de la cuarta dinasta, Keops, Kefrn y Micerino:

Jufu (Keops), tambin conocida como la Gran Pirmide, Jafra (Kefrn) y, algo

ms pequea, Menkaura (Micerino).

Cuenta la leyenda relatada por Plutarco que Tales de Mileto, uno de los llamados siete sabios de

Grecia, durante uno de sus viajes a Egipto se encontr cierto da visitando la Necrpolis con el

joven e inquieto Rey de Egipto, quien deslumbrado por la fama y sabidura de Tales le pregunt si

poda medir la altura de la majestuosa pirmide de Keops que se levantaba ante ellos.Era por la

maana, muy temprano, y acababa de salir el sol por el horizonte. Es sabido que a esa hora las

sombras que las personas y los objetos proyectan son muy largas, luego se acortan a medida que

avanza el da, sobre todo al medioda, y ya por la tarde empiezan de nuevo a alargarse. Ante la

pregunta del Rey, Tales reflexion unos instantes y le contest que no solo la calculara, sino que

incluso la medira sin ayuda de ningn instrumento. Dicho esto, tom dos bastones de igual

longitud (tambin pueden ser distintos, e incluso con uno solo es posible), coloc uno en

posicin vertical y el otro en horizontal, y se puso a esperar. Como todava era muy pronto, la

sombra proyectada por el bastn vertical superaba con mucho la longitud del bastn horizontal,

pero a medida que avanzaba el da esa sombra se fue acortando. Cuando su longitud se hizo igual

que la del bastn apoyado en la arena, Tales le dijo al Rey: Ahora ya es muy fcil conocer la altura

de la pirmide.

Cmo resolvi Tales el reto? En qu se bas para medir la altura de la pirmide?

Si en un tringulo se traza una lnea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos tringulos

semejantes (sus ngulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales entre si).

Este teorema recoge uno de los principios bsicos de la geometra, siendo su principal aplicacin,

y la razn de su fama, el establecimiento de la condicin de semejanza de tringulos, de la cual se

obtiene el siguiente corolario: Si dos tringulos son semejantes sus lados son proporcionales.

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EJERCICIO 19

LA ALTURA DE LA PIRMIDE DE KEOPS

Y EL TEOREMA DE TALES

Despus de leer el texto LA ALTURA DE LA PIRMIDE DE KEOPS Y EL TEOREMA DE TALES contesta

las siguientes preguntas:

1. Ordena los sucesos de acuerdo a como los describe el texto, escribe 1 al primero que se seala

, 2 al segundo y as sucesivamente.

( ) Tales de Mileto tom dos bastones de igual longitud para medir la sombra

( ) El teorema recoge uno de los principios bsicos de la geometra

( ) Era por la maana muy temprano cuando el rey le pregunt a Tales

( ) En la Necrpolis de Egipto existen varias pirmides

( ) Ante la pregunta del rey, Tales reflexion unos instantes

( ) Tales resolvi la pregunta del rey aplicando conocimientos sobre

tringulos semejantes.

2. De qu pirmide calcul la altura Tales?

a. de la de Jafra

b. de la de Menkaura

c. de la de Jufu o Keops

d. de la de Micerino

3. Elige la respuesta correcta

a. ( ) La leyenda es contada por Keops

b. ( ) La leyenda es contada por Tales

c. ( ) La leyenda es relatada por Plutarco

d. ( ) La leyenda es relatada por los egipcios

4. Explica el teorema de Tales, puede ser mediante un dibujo o un escrito.