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Aula 5 _ Funo Polinomial do 1 Grau

Professor Luciano Nbrega

Maria Auxiliadora

LGEBRA

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FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU

Uma funo polinomial do 1 grau (ou simplesmente, funo do 1 grau) uma relao entre a varivel dependente y e a varivel independente x.

EXEMPLOS:f(x) = 3x + 2; f(x) = ().x f(x) = 5 2x f(x) = 7

Podemos observar que a forma algbrica do tipo f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais, x a varivel independente e

y a varivel dependente de x. OBS: f(x) = yEXEMPLO:Encontre os valores de a e b nos exemplos acima.

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FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU

DEFINIOUma funo f: R R do 1 grau (ou afim) quando a todo valor de x est associado um nico valor y = f(x) = ax + b, com a e b sendo nmeros reais e a 0

EXEMPLO:f(x) = 2x + 1; a = 2 e b = 1OBS: Toda funo do 1o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na altura b.

Funo Linear Uma funo recebe o nome de funo linear quando a cada elemento x associa o elemento ax. Isto : y = f(x) = ax, ou seja, b = 0.OBS: O grfico da funo linear f(x) = ax, passa sempre pela origem do plano cartesiano.

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FUNO POLINOMIAL DO 1 GRAU

Outras importantes funes do 1 grauFuno Constante Uma funo recebe o nome de funo constante quando a cada elemento x associa sempre o mesmo elemento c. Isto , f(x) = c

Funo identidade Uma funo recebe o nome de funo identidade quando a cada elemento x associa o prprio elemento x. Isto , f(x) = x.OBS: O grfico da funo identidade uma reta que contm as bissetrizes do 1 e do 3 quadrante.

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Coordenadas cartesianas

Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y);

1 Quadrante2 Quadrante

3 Quadrante 4 Quadrante

P(+x, +y)Q(-x, +y)

R(-x, -y)S(+x, -y)

x Eixo das abscissas

y Eixo das ordenadasPLANO CARTESIANO

Coeficiente Angular e linear

A inclinao de uma reta ou, em outras palavras, o coeficiente angular de uma reta dado por:

x

y

x1 x2

y1

y2

12

12

xx

yytg

Passando o denominador para o outro lado e fazendo tg = m, temos: y2 y1 = m.(x2 x1)

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OBS: Na funo do 1 grau f(x) = ax + b, o coeficiente a denominado coeficiente angular, tem-se que tg = a, e portanto a determina o grau de inclinao da reta.

OBS: O coeficiente b denominado coeficiente linear, ele determina o ponto em que a reta corta o eixo y.

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EXEMPLO: Em um mesmo plano cartesiano, construa os grficos das funes f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x 1 e h(x) = 2x.

Responda:a) Os grficos tem algum

ponto em comum?b) As retas so paralelas

entre si?c) Quais os coeficientes

angulares das funes?d) Quais os coeficientes

lineares?

Coeficiente Angular e linear

x

y

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Raiz da funo do 1 grau

todo nmero x que possui imagem nula. Isto , f(x) = 0.

Determinando o zero da funo do 1 grauf(x) = ax + b, fazendo f(x) = 0, temos:

f(x) = ax + b = 0 ax = b x = b/a

EXEMPLO:f(x) = 2x 1 2x 1 = 0 2x = 1 x =

OUTROS EXEMPLOS:Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equaes: a) f(x) = 2x+5 b) f(x) = -x+2 c) f(x) = (1/3)x+3 d) f(x) = 1-5x e) f(x) = 4x

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Funo Crescente ou Decrescente

CRESCENTEA funo crescente se o coeficiente angular for positivo. Ex: y = 2x +1 a = 2 a > 0 FUNO CRESCENTE

DECRESCENTEA funo decrescente se o coeficiente angular for negativo. Ex: y = x + 3a = 3 a < 0 FUNO DECRESCENTE

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Estudo do Sinal da Funo do 1 Grau

Estudar o sinal de uma funo significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0.

EXEMPLO:Estudar o sinal da funo y = f(x) cujo grfico est ao lado representado.

SOLUO:Dizemos que nos pontos em que o grfico se encontra no eixo x, y = 0. Ou seja, f(x) = 0 quando x = 1 ou x = 2 ou x = 4 ou x = 7.

Na regio do grfico acima do eixo x, a funo positiva.Na regio do grfico abaixo do eixo x, a funo negativa.

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Estudo do Sinal da Funo do 1 Grau

Para analisarmos o sinal da funo do 1 grau precisamos observar primeiro se o coeficiente angular positivo ou negativo.

1 CASO a > 0

FUNO CRESCENTE

2 CASO a < 0

FUNO DECRESCENTE

OBS: De uma forma geral podemos dizer que a direita da raiz possui o mesmo sinal de a .

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Inequao do 1 Grau

DEFINIOEm sua definio mais simples e compreensvel, uma inequaodo 1 grau pode ser definida como uma funo do 1 grau que apresenta um sinal de desigualdade.Assim:ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0

EXEMPLO:Determine todos os possveis nmeros inteiros positivospara os quais satisfaa a inequao 3x + 5 < 17

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Inequao do 1 Grau

EXEMPLO:Resolva em R a seguinte inequao 6 2x 0.

2x 6 x 3 S = ] , 3]

Multiplicando-se ou dividido-se os dois membros da inequao por um nmero negativo, devemos inverter o sinal da inequao.

EXEMPLO:Resolva em R a seguinte inequao 3x + 2 < x + 3 x + 4 .

e x + 3 x + 4

2x 12x 1

x

A interseo desses dois conjuntos S = [ ; [

2 + 3

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Inequao Produto e Quociente

So inequaes do tipo:PRODUTOf(x).g(x) > 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) 0 f(x).g(x) 0QUOCIENTEf(x)/g(x) > 0

f(x)/g(x) < 0 f(x)/g(x) 0

f(x)/g(x) 0

EXEMPLO: Resolva em R a inequao (x 3).(2x + 4) > 0

SOLUO: 1) Devemos determinar os zeros das funes:x 3 = 0 x = 3 e 2x + 4 = 0 x = 2

2) Devemos estudar o sinal das funes:

3 +

+ 2

3) Verificamos a interseo:

3 ++ 2

>

Soluo: S = ] 2, 3 [

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Inequao Produto e Quociente

EXEMPLOS:

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra

de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00o lucro final ser dado em funo das x unidades vendidas.Responda.a) Qual a lei dessa funo?b) Para que valores de x temos f (x < 0)? Como pode serinterpretado este caso.c) Para que valor de x haver um lucro de R$ 315,00?d) Para que valores de x o lucro ser maior que R$ 280,00?e) Para que valores de x o lucro estar entre R$ 100,00 e R$180,00?

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

2 Certo dia de janeiro, a temperatura em So Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu uniformemente desde 23 C, s 10 h, at 38 C, s 15 h. Fazendo-se um grfico cartesiano que representa tal situao trmica, no qual se marca os tempos (em horas) nas abscissas e as temperaturas (em graus centgrados) nas ordenadas, obtem-se o segmento de reta AB, como mostra a figura.a) Encontre uma funo que indique a temperatura em SoLeopoldo em funo do tempo verificada no intervalo [10,15].b) A partir de que horas a temperatura ultrapassa 32?

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

3 Uma locadora de veculos apresenta, para aluguel de certotipo de carro a seguinte tabela:

Em uma diria, com percurso no superior a 100 km, para que a2 opo seja menor em reais, necessrio que o nmero dequilmetros percorridos pelo locatrio pertena ao intervalo:a) [60, 100] c) ]60, 100] e) [0, 60[b) ]60, 100[ d) [0, 60]

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TESTANDO OS CONHECIMENTOS

Resolva os exerccios do livro:P.124 _ 1P.128 _ 9, 10 e 11P.129 _ 14, 15, 16 e 18P.130 _ 21 e 22P.135 _ 24 e 25P.145 _ 27, 28, 30 e 31P.146 _ 38 e 40P.147 _ 43P.149 _ 48P.150 _ 51P.152 _ 54 e 55OBS: Foram selecionados 23 exerccios de um total de 58 exerccios do referente captulo do livro.

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