Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade

Álgebra Booleana Tabelas-Verdade Teoremas Universalidade NAND e NOR Exercícios

Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade

Prof. Ohara Kerusauskas Rayel

Disciplina de Eletrônica Digital - ET75C

Curitiba, PR

9 de abril de 2015

1 / 30Rayel, O.K. — Álgebra Booleana e Tabelas-Verdade


Álgebra BooleanaPrincipal diferença para a álgebra convencional: variáveis sóassumem os valores 0 e 1

É um modo de expressar a relação entre entradas e saídas de umcircuito lógico

Exemplo: A é uma variável booleana. Dois valores possíveis: A = 0e A = 1

Tabela: Termos sinônimos

Lógico 0 Lógico 1

Falso VerdadeiroDesligado Ligado

Baixo AltoNão Sim



Álgebra Booleana

Mais fácil que a álgebra convencional, pois somente 2 valores sãopossíveis!

Não existem portanto frações, números negativos, raízes,logaritmos, números imaginários, e assim por diante!

Só existem 3 operações básicas: AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO).



Operação OR (OU)

Deve retornar verdadeiro quando uma OU outra variável éverdadeira

Exemplo: tela do celular. Deve apagar quando se aproxima do rostoOU quando se aperta o botão para desligar

Digamos que A representa proximidade com o rosto, e B representabotão apertado. X = 0 representa tela ligada, X = 1 tela desligada

Tabela: Operação OU entre A e B

A B X

0 0 00 1 11 0 11 1 1



Operação OR (OU)

É representada pelo sinal + na Álgebra Booleana. Ex.: X = A + B

Quanto é então 1 + 1?



Operação OR (OU)

É representada pelo sinal + na Álgebra Booleana. Ex.: X = A + B

Quanto é então 1 + 1?

1, pois a operação OU entre dois valores VERDADEIRO temresultado VERDADEIRO

Portanto, a operação OU gera resultado 1 sempre que quaisquer dasvariáveis seja 1



Operação AND (E)Deve retornar verdadeiro somente quando uma E outra variável éverdadeira

Exemplo: máquina de lavar roupas. Deve funcionar quando o botãoIniciar é pressionado E a porta estiver fechada

Digamos que A representa botão iniciar pressionado, e B portafechada. X = 0 representa máquina desligada, X = 1 máquinafuncionando

Tabela: Operação E entre A e B

A B X

0 0 00 1 01 0 01 1 1



Operação AND (E)

É representada pelo sinal · na Álgebra Booleana. Ex.: X = A · B

Funciona exatamente como a multiplicação da Álgebra Tradicional.Quanto é então 0 · 1?



Operação AND (E)

É representada pelo sinal · na Álgebra Booleana. Ex.: X = A · B

Funciona exatamente como a multiplicação da Álgebra Tradicional.Quanto é então 0 · 1?

0, a operação E gera resultado 1 somente se todas as variáveisforem 1



Operação NOT (NÃO)

Deve retornar o valor inverso ao valor da variável de entrada

Exemplo: aviso de combustível na reserva. Se o nível NÃO estáacima do volume de reserva, o aviso é emitido.

Digamos que A representa nível acima do volume de reserva. A = 0representa portanto volume abaixo do volume de reserva.

Tabela: Operação NÃO A

A X

0 11 0




É representada pelo sinal X na Álgebra Booleana

Quanto é então 0?




É representada pelo sinal X na Álgebra Booleana

Quanto é então 0?

1, pois a operação NÃO sempre inverte o valor da variável



Precedência de Operador

Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · B + C?





1, pois a operação AND deve ser sempre executada antes daoperação OU

Portanto: A · B = 0.

0 + 1 = 1.

Se tivéssemos executado a operação OU antes, qual seria oresultado?





1, pois a operação AND deve ser sempre executada antes daoperação OU

Portanto: A · B = 0.

0 + 1 = 1.

Se tivéssemos executado a operação OU antes, qual seria oresultado?

0, pois B + C = 1 −→ 0 · 1 = 0




Parênteses possuem precedência sobre a operação AND

Se houver parênteses, a expressão dentro dos mesmos deve ser aprimeira a ser realizada

Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · (B + C )?




Parênteses possuem precedência sobre a operação AND

Se houver parênteses, a expressão dentro dos mesmos deve ser aprimeira a ser realizada

Assuma que A = 0, B = 0 e C = 1. Quanto vale A · (B + C )?

0, pois B + C = 1 = 0 −→ 0 · 0 = 0

Quando a operação não aparece sobre uma expressão, primeiroobtém-se o resultado da expressão, para depois aplicar a operaçãoNÃO



Tabelas-VerdadeNada mais são do que tabelas listando as saídas para todos osvalores de entrada possíveis

Exemplo: A · B + C?

Tabela: Tabela-Verdade X = A · B + C

A B C X

0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1



Exercício

Construa a Tabela-Verdade da seguinte função: x = A · BC · A + D



Exercício

Construa a Tabela-Verdade da seguinte função: x = A · BC · A + D

A B C D t = ABC u = A + D v = A + D x = tv

0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 1 1 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 00 1 0 1 0 1 0 00 1 1 0 1 0 1 10 1 1 1 1 1 0 01 0 0 0 0 1 0 01 0 0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 1 0 01 1 0 0 0 1 0 01 1 0 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 1 0 0



Teoremas Booleanos

Álgebra booleana pode ser usada para auxiliar na descrição decircuitos lógicos

Teoremas booleanos poderão nos ajudar a simplificar estes circuitos

Se simplificamos a expressão algébrica, consequentementesimplificamos o circuito



Teoremas Booleanos

Teorema 1: x · 0 = 0 Teorema 2: x · 1 = x



Teoremas Booleanos

Teorema 3: x · x = x Teorema 4: x · x = 0



Teoremas Booleanos

Teorema 5: x + 0 = x Teorema 6: x + 1 = 1



Teoremas Booleanos

Teorema 7: x + x = x Teorema 8: x + x = 1



Substituindo Variáveis

Podemos aplicar os teoremas anteriores em expressões que possuammais de uma variável, quando possível

Exemplo: AB(AB)

Se chamarmos x = AB, a expressão anterior fica xx

Pelo teorema 4, concluímos que AB(AB) = 0



Teoremas Booleanos

Teorema 9:

x + y = y + x

Comutatividade da operação OR

Teorema 10:

x · y = y · x

Comutatividade da operaçãoAND



Teoremas Booleanos

Teorema 11:

x + (y + z) = (x + y) + z

Associatividade da operação OR

Teorema 12:

x · (y · z) = (x · y) · z = xyz

Associatividade da operaçãoAND



Teoremas Booleanos

Teorema 13:

(w + x) · (y + z) =wy + wz + xy + xz

Lei da Distributividade. Inverso:

A·B ·C+A·B ·C = B(A·C+A·C )

Teorema 14: diferente daálgebra comum. Prove usandoos teoremas anteriores!

x + xy = x



Teoremas Booleanos

Teorema 13:

(w + x) · (y + z) =wy + wz + xy + xz

Lei da Distributividade. Inverso:

A·B ·C+A·B ·C = B(A·C+A·C )

Teorema 14: diferente daálgebra comum. Prove usandoos teoremas anteriores!

x + xy = x

x(1+y) = x(1) = x



Teoremas Booleanos

Teorema 15: Prove usando os teoremas anteriores!

x + xy = x + y



Teoremas Booleanos

Teorema 15: Prove usando os teoremas anteriores!

x + xy = x + y

x(1 + y) + xy

x + xy + xy

x + y(x + x)

x + y



Teoremas de De Morgan

Teorema 16:

(x + y) = x · y

(x + y + z) = x · y · z

Teorema 17:

(x · y) = x + y

(x · y · z) = x + y + z



Universalidade NAND



Universalidade NOR



Exercícios

Construa as Tabela-Verdade das seguintes funções:

1 x = A · B + C · D · (B + D)

2 x = (A + B · D) · D · C + A

3 x = (A + D) · C + B · D + A · C



ExercíciosDetermine a expressão de saída simplificada, sem negação dupla:

Simplifique as seguintes expressões:S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

Resposta: AC + B

S = ABCD+ ABCD+ABC D+ ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Resposta: AB + CD

S = [(B + C + D)(A + B + C ) + C ] + ABC + B(A + C )

Resposta: C + AB

S = A[B(C + D) + A(B + C)] + CD + ABC + AB

Resposta: CD + AB + AD



Exercícios

Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, alémdos seguintes exercícios do livro “Sistemas digitais: princípios e

aplicações": 3-19, 3-20, 3-21, 3-22, 3-24, 3-26, 3-29, 3-32, 3-38 e3-41.


I1447134

Riscado

I1447134

Texto digitado

Lista Algebra Booleana


Próxima Aula:

Mapas de Karnaugh!


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