Lógica Matemática PROF. JEAN · LÓGICA MATEMÁTICA -CONTEÚDO Definição de Termo e...

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Lógica MatemáticaLógica Matemática

1

PROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEANPROF. JEAN

LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO

� Definição de Termo e Proposição

� Valor Lógico

� Proposição Simples e Proposição Composta

2

� Proposição Simples e Proposição Composta

� Conectivos

� Tabela-Verdade

Definição de um objeto.

TERMO (Palavra) – Definição:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

Exemplo:

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Paula

Um filme de terror

Triângulo retângulo

Exemplo:

Todo o conjunto de termos ou símbolos

que exprimem um pensamento

de sentido completo.

PROPOSIÇÃO – Definição:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

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de sentido completo.

Todo homem é mortal.

A Lua é um satélite da Terra.

Exemplo:

As PROPOSIÇÕES

transmitem pensamentos,

isto é,

PROPOSIÇÃO

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

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isto é,

afirmam fatos ou exprimem juízos

que formamos a

respeito de determinados entes.

Lógica Matemática

Adota regras fundamentais do pensamento:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:

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Uma proposição NÃO pode ser

FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.

O Brasil é pentacampeão de futebol.O Brasil é pentacampeão de futebol.

O Brasil possui pena de morte.O Brasil possui pena de morte.

Verdade (V)Verdade (V)

Falso (F)Falso (F)

Lógica Matemática

Adota regras fundamentais do pensamento:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:

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Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa,

isto é, verifica-se sempre um destes casos

e nunca um terceiro.

LÓGICA BIVALENTELÓGICA BIVALENTE

O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:

VALOR LÓGICO

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

VERDADE se esta for VERDADEIRA;

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VERDADE se esta for VERDADEIRA;

FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

Dos 2 princípios e do valor lógico:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

VALOR LÓGICO

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Toda proposição tem um,

e somente um,

dos valores V, F.

Proposição NÃO contém nenhuma outra

proposição como parte integrante

de si mesmo.

PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

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Minha casa é grande.

Seu olhos são azuis.

Está calor.

São designadas pelas letras latinas

minúsculas p,q,r,s,...,

chamadas letras proposicionais.

PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

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p: Minha casa é grande.

q: Seu olhos são azuis.

r: Está calor.

Formada pela combinação de 2 ou mais

PROPOSIÇÕES.

PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

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Minha casa é grande e meu carro é azul.

Seu olhos são azuis ou verdes.

Se está calor então é verão.

São designadas pelas letras latinas

maiúsculas P,Q,R,S,...,

chamadas letras proposicionais.

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)

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P: Minha casa é grande e meu carro é azul.

Q: Seu olhos são azuis ou verdes.

R: Se está calor então é verão.

Também chamadas de

fórmulas proposicionais ou fórmulas.

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS)

Notação:

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Notação:

P(q,r,s) – significa que P

é uma proposição composta das

proposições atômicas q,r e s.

Termos usados para formar novas

proposições a partir de outras.

CONECTIVO – Definição:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

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E OU

SE...

ENTÃO... SOMENTE SE...

...SE E

SOMENTE SE...

CONECTIVO – Exemplos:

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

P: Minha casa é grande e meu carro é azul.

Q: Choverá amanhã ou cairá uma ponte.

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R: Se sou maringaense então sou paranaense.

S: O triângulo é equilátero se e

somente se é equiângulo.

Exibe todos os possíveis valores lógicos da

proposição composta correspondentes a

todas as possíveis atribuições de

valores lógicos às proposições simples componentes.

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

TABELA-VERDADE:

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valores lógicos às proposições simples componentes.Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos

possíveis para cada um deles é:

Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos

possíveis para cada um deles é:

p12

VF

q12

VF

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

Seja P uma molécula: P(p,q).

A tabela-verdade para P é:

Seja P uma molécula: P(p,q).

A tabela-verdade para P é:

TABELA-VERDADE:

p qArranjos

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p q1 V V2 V F3 F V4 F F

Arranjos

Binários

com

repetição de

2 elementos:

V e F

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

Seja Q uma molécula: Q(p,q,r). Seja Q uma molécula: Q(p,q,r).

TABELA-VERDADE:

Arranjos

p q r1 V V V2 V V F

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Arranjos

Ternários

com

repetição de

2 elementos:

V e F

2 V V F 3 V F V 4 V F F5 F V V6 F V F7 F F V8 F F F

NOTAÇÃO

LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL

V(p): Valor lógico da proposição atômica p.

V(p) = V ou V(p)=F

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V(P): Valor lógico da proposição molecular P.

V(P) = V ou V(P)=F

Operadores LógicosOperadores Lógicos

Assim como operamos comnúmeros, asproposições tambémpodem ser “operadas”utilizando os operadores lógicos. São eles:

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�� ConjunçãoConjunção -- EE ((ΛΛ))�� DisjunçãoDisjunção -- OuOu ((VV))�� CondicionalCondicional –– SeSe ...... entãoentão ((��))�� BiBi--condicionalcondicional –– SeSe ee somentesomente sese ((↔↔))

E

p q p ΛΛΛΛ q

V V V

V F F

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V F F

F V F

F F F

Valor V somente quando ambas as proposições p e q forem iguais a V!!!

p: A neve é branca . (V)

q: 2 < 5 (V)

p ΛΛΛΛ q : A neve é branca e 2 < 5 (V)

p: O enxofre é verde . (F)

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p: O enxofre é verde . (F)

q: 7 é um número primo . (V)

p ΛΛΛΛ q : O enxofre é verde e 7 é umnúmero primo (F)

OUOU

p q p V q

V V V

V F V

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V F V

F V V

F F F

Valor F somente quando ambas as proposições p e q forem iguais a F!!!

p: Paris é a capital da França . (V)

q: 9 – 4 = 5 (V)

p V q : Paris é a capital da Françaou 9 – 4 = 5 (V)

p: Roma é a capital da Rússia . (F)p: Roma é a capital da Rússia . (F)

q: ππππ é um número irracional. (V)

p V q : Roma é a capital da Rússia ou ππππ é um número irracional (V)

p: O Jean é cabeludo . (F)

q: O Maradona é gente boa. (F)

p V q : O Jean é cabeludo ou o

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p V q : O Jean é cabeludo ou oMaradona é gente boa. (F)

CondicionalCondicional

p q p → q

V V V

V F F

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V F F

F V V

F F V

Valor F somente quando o antecedente (p) for igual a V e o consequente (q) for igual a F!!!

p: Hitler era austríaco . (V)

q: 10 + 3 = 13 (V)

p →→→→ q : Se Hitler era austríacoentão 10 + 3 = 13. (V)

p: O mês de maio tem 31 dias . (V)

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p: O mês de maio tem 31 dias . (V)

q: A Terra é plana .(F)

p →→→→ q : Se o mês de maio tem 31dias então a Terra é plana . (F)

BiBi--condicionalcondicional

p q p ↔ q

V V V

V F F

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V F F

F V F

F F V

Valor V somente quando ambas as proposições p e q forem iguais!!!

p: Roma fica na Europa . (V)

q: A neve é branca . (V)

p ↔↔↔↔ q : Roma fica na Europa se esomente se a neve é branca . (V)

p: A Terra é plana . (F)

30

p: A Terra é plana . (F)

q: ππππ é um número racional. (F)

p ↔↔↔↔ q : A Terra é plana se esomente se ππππ é um númeroracional. (V)

NegaçãoNegação

Dada uma proposição p, sua negação serádenotada por ~p (não p).

Se p é verdadeiraentão~p seráfalsa e vice

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Se p é verdadeiraentão~p seráfalsa e viceversa.

NegaçãoNegação

Ex:

p = Paula está usando tênis preto.

~p = Paula não está usando tênis preto.

32

NegaçãoNegação

Ex:

p = Paula está usando tênis preto.

~p = Paula não está usando tênis preto.

33

Ex:

p = Esta frase possui cinco palavras.

NegaçãoNegação

Ex:

p = Paula está usando tênis preto.

~p = Paula não está usando tênis preto.

34

Ex:

p = Esta frase possui cinco palavras.

~p = Esta frase não possui cinco palavras.

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é

35

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

36

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

� A negação de “nunca” é

37

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”

38

que”

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”

39

que”

� A negação de “p e q” é

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”

40

que”

� A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”

41

que”

� A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

� A negação de “p ou q” é

Algumas observações sobre a negaçãoAlgumas observações sobre a negação

� A negação de “sempre” é “existe uma vezque não”

� A negação de “nunca” é “existe uma vezque”

42

que”

� A negação de “todos” é “existe algumquenão”

• A negação de “nenhum” é “existe algumque”

(CESGRANRIO – CAPES/2008) Chama-setautologia à proposição composta quepossui valor lógico verdadeiro, quaisquerque sejam os valores lógicos dasproposições que a compõem. Sejam p e qproposições simples e ~p e ~q as suas

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proposições simples e ~p e ~q as suasrespectivas negações. Em cada uma dasalternativas abaixo, há uma proposiçãocomposta, formada por p e q. Qualcorresponde a uma tautologia?

a) p ^ q

p q p ^ qV

VV

F

V

F

44

F

FV

F

F

F

Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !

b) p ^ ~q

p q ~q p ^ ~qV

VV

F

F

V

F

V

45

F

FV

F

F

F

F

V

Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !

c) (p ^ q) →→→→ (~p ^ q)

p q ~p p ^ q ~p ^ q (p ^ q) →→→→ (~p ^ q)

V V VF F F

46

V

F

F

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !

d) (p v q) →→→→ (p ^ q)

p q p v q p ^ q (p v q) →→→→ (p ^ q)

V V V V V

47

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

Não é uma tautologia, é uma Não é uma tautologia, é uma contingênciacontingência ! !

e) (p ^ q) →→→→ (p ^ q)

p q p ^ q p ^ q (p ^ q)→→→→ (p ^ q)

V V V V VV

48

V

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

VV

VV

VV

É uma tautologia! É uma tautologia!

Tabela verdadeTabela verdade

Dada uma composição de proposições,podemos construir sua tabela verdade.A tabela verdade é uma tabela que mostra ovalor lógico da composiçãoa partir do valor

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valor lógico da composiçãoa partir do valorlógico de suas premissas.

Ex:

(p ΛΛΛΛ (~q v r)) � (~r ↔ q)

p q r ~q ~r ~q v r pΛΛΛΛ (~qvr) ~r↔↔↔↔q propV

F

V

F

F

V

FF

VV

VV

V

F

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

(p ΛΛΛΛ (~q v r)) ���� (~r ↔↔↔↔ q)

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V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

FF

VV

VV

VV

VV

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V