Lógica Proposicional Clássica - Filosofia 10º ano · ConceitodeLógicaFormal...

Lógica Proposicional ClássicaFilosofia 10º ano

Professor Domingos FariaColégio Pedro Arrupe

Ano Lectivo 2017/18

Professor Domingos Faria:Lógica Proposicional Clássica 1/122

Sumário1 Conceito de Lógica Formal2 Formalização em linguagem lógica proposicional3 Âmbito das Conetivas4 Exercícios de Formalização5 Funções de Verdade6 Tabelas de Verdade7 Avaliação de fórmulas proposicionais8 Inspetores de Circunstâncias9 Derivações Lógicas


Figura 1: Bons argumentos


Avaliar argumentos filosóficos

Para avaliar argumentos filosóficos precisamos de fazer trêsquestões:

1 As premissas suportam/justificam efetivamente aconclusão? Ou seja, será que o argumento é válido?

2 As premissas são verdadeiras? Ou seja, será que oargumento é sólido?

3 As premissas são mais plausíveis/aceitáveis que aconclusão? Ou seja, será que o argumento é cogente?


ExercíciosAvalie os seguintes argumentos quanto à validade, solidez, ecogência:• “A Terra tem três luas e Marte é uma estrela. Logo, a Terra temtrês luas”.• Resposta: argumento válido, mas não sólido (a premissa éfalsa).

• “Se os objetos mais pesados não caíssem mais depressa do queos mais leves, um quilo de chumbo não cairia mais depressa doque um quilo de algodão. Mas um quilo de chumbo cai maisdepressa do que um quilo de algodão. Logo, os objetos maispesados caem mais depressa do que os mais leves”.• Resposta: argumento válido, com aparência de sólido ecogência. Mas, de acordo com Galileu Galilei e a lei doscorpos em queda, a segunda premissa é falsa (numasituação em vácuo).


Exercícios• “A Terra tem uma lua e Marte é um planeta. Logo, a Terra temuma lua”.• Resposta: válido e sólido, mas não cogente.

• “A relva é verde ou o universo não existe. Logo, a água é H2O”.• Resposta: não é válido.

• Todos os seres humanos suspeitos de crimes devem sertratados de acordo com as regras de um Estado de Direito. Osprisioneiros de Guantanamo são seres humanos suspeitos decrimes. Daqui se segue que os prisioneiros de Guantanamodevem ser tratados de acordo com as regras de um Estado deDireito.• Resposta: argumento cogente.


Conceito de Lógica Formal




• Para se conseguir determinar com rigor se um argumento édedutivamente válido ou inválido é importante estudar lógicaproposicional clássica.

• Esta lógica chama-se proposicional porque dá atenção àsproposições simples e às compostas que constituem osargumentos.• Uma proposição simples é uma proposição sem conetivasou operadores proposicionais.

• As proposições compostas resultam da ligação deproposições simples.

• Os elementos que ligam as proposições simples para formarproposições compostas são os operadores ou conectivas(como “se. . . então”, “se e somente se”, “ou”, “e”, “não”).

• Este tipo de lógica remonta aos estoicos, mas desenvolveu-semuito a partir do século XX com os trabalhos dos filósofosGottlob Frege e Bertrand Russell.

• É designada por “clássica” para se distinguir das restantes lógicascontemporâneas.



ExercíciosDestaque a proposição complexa, as proposições simples, e osoperadores/conectivas:

1 “A filosofia é uma atividade crítica e a priori”.2 “Se Deus existe, então não há mal no mundo”.3 “O realismo moral não consegue explicar a diversidademoral no mundo”.

4 “Se temos uma ideia simples de Deus, então temosexperiência direta de Deus e, além disso, não podemosduvidar da sua existência”.

5 “Não é o caso que se a crença em Deus fosse uma questãopuramente intelectual, então todas as pessoas inteligentesseriam crentes ou todas as pessoas inteligentes não seriamcrentes”.



Forma LógicaUma lógica formal começa pela tomada de consciência de que avalidade de alguns argumentos depende de certos aspetos dasua estrutura. Isso é visível nos dois exemplos seguintes:

Argumento 1:1 Se o conhecimento é sensação, então os porcos têmconhecimento.

2 Mas os porcos não têm conhecimento.3 Logo, o conhecimento não é sensação.

Argumento 2:1 Se a vida tem sentido, então Deus existe.2 Mas Deus não existe.3 Logo, a vida não tem sentido.



Forma Lógica

Apesar de os dois argumentos serem diferentes, é evidente quetêm uma estrutura comum. Essa estrutura capta-se bem doseguinte modo:

1 Se p, então q.2 Não-q.3 Logo, não-p.

É a esta estrutura partilhada por diferentes argumentos que sechama forma lógica.


Formalização em linguagem lógica proposicional

Formalização em linguagem lógicaproposicional



Linguagem da LPOs símbolos que constituem esta linguagem são:• Um número infinito de variáveis proposicionais1: p, q, r, . . .• As conectivas ou operadores verofuncionais2:

• Negação: ¬• Conjunção: ∧• Disjunção inclusiva: ∨• Disjunção exclusiva: Y• Condicional: →• Bicondicional: ↔

• Parêntesis: (, )• Símbolo de conclusão: ∴1Representam proposições simples (i.e. sem qualquer conectiva).2O valor de verdade da proposição mais complexa é determinado apenas

pelos valores de verdade das proposições que a compõem.Professor Domingos Faria:Lógica Proposicional Clássica 13/122


Linguagem da LPAs fórmulas (ou fbfs: ‘fórmulas bem formadas’) da linguagem LPsão geradas, recursivamente, a partir das variáveisproposicionais, pelas seguintes regras:

1 Qualquer variável proposicional é uma fbf.2 O resultado de prefixar qualquer fbf com “¬” é uma fbf.3 O resultado de juntar quaisquer duas fbfs por “∧” ou “∨” ou“→” ou “↔” e delimitar o resultado com parêntesis é umafbf.

Convenção: os parêntesis exteriores de uma fórmula podem seromitidos. Mas devem ser restaurados quando uma das regrasanteriores lhe é aplicada.



Formalização: Negação

• Formalização da negação:• ¬p

• Expressão canónica:• “O conhecimento não é sensação”.

• Expressões alternativas:• “Não é verdade que o conhecimento seja sensação”.• “É falso que o conhecimento seja sensação”.



Formalização: Conjunção

• Formalização da conjunção:• (p ∧ q)

• Expressão canónica:• “A vida tem sentido e Deus existe”.

• Expressões alternativas:• “A vida tem sentido,mas Deus também existe”.• “Tanto a vida tem sentido como Deus existe”.• “Embora a vida tenha sentido, Deus existe”.



Formalização: Disjunção Inclusiva• Formalização da disjunção inclusiva:

• (p ∨ q)• Expressão canónica:

• “O José ganhou o Euromilhões ou a Vera ganhou oEuromilhões”.

• Expressões alternativas:• “O José ou a Vera ganharam o Euromilhões”.• “O José ganhou o Euromilhões a não ser que a Vera o tenhaganho”.

• “O José ganhou o Euromilhões a menos que a Vera o tenhaganho”.



Formalização: Disjunção Exclusiva

• Formalização da disjunção exclusiva:• (p Y q)• Alternativa: ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q))

• Expressão canónica:• “Ou Sócrates nasceu em Atenas ou nasceu em Roma”.

• Expressões alternativas:• “Sócrates nasceu ou em Atenas ou em Roma”.• “Sócrates nasceu em Atenas ou em Roma, mas não emambos”.



Formalização: Condicional / Implicação• Formalização condicional / implicação:

• (p → q)• Expressão canónica:

• “Se o conhecimento é sensação, então os porcos têmconhecimento”.

• Expressões alternativas:• “Os porcos têm conhecimento se o conhecimento ésensação”.

• “Os porcos têm conhecimento desde que o conhecimentoseja sensação”.

• “O conhecimento é sensação só se os porcos tiveremconhecimento”.

• “Sempre que o conhecimento é sensação, os porcos têmconhecimento”.



Formalização: Bicondicional / Equivalência• Formalização da bicondicional / equivalência:

• (p ↔ q)• Expressão canónica:

• “Uma coisa é ouro se, e só se, tem número atómico 79”• Expressões alternativas:

• “Uma coisa é ouro se, e somente se, tem número atómico79”.

• “Se uma coisa é ouro, então tem o número atómico 79 evice-versa”.• “Uma condição necessária e suficiente para alguma coisaser ouro é ter o número atómico 79”.


Âmbito das Conetivas




Âmbito das conectivas

• O âmbito de uma conectiva numa determinada fórmulalógica é a parte sobre a qual ela opera.

• Por exemplo, na fórmula (p ∧ ¬q) a negação aplica-seapenas à variável proposicional “q”, enquanto a conjunçãose aplica a toda a fórmula. Por isso, a conjunção é aconectiva com maior âmbito.

• A conectiva principal ou com maior âmbito é a que se aplicaa toda a proposição.



Âmbito das conectivas• As seguintes proposições são diferentes:

1 Se não é verdade que a vida tem sentido, então Deus existe.2 Não é verdade que se a vida tem sentido, então Deus existe.

• Na proposição (1) a negação só afeta a antecedente dacondicional, operando a conectiva da condicional sobretoda a proposição. Por isso, neste caso, a condicional é aconectiva de maior âmbito. A formulação de (1) é a seguinte:• (¬p → q)

• Já na proposição (2), a conectiva da negação não operaapenas sobre a antecedente mas sobre toda a condicional,tendo a seguinte formulação lógica:• ¬(p → q)



Âmbito das conectivas• É também diferente afirmar:

3 Deus existe, e se a vida tem sentido, então há entrega ativa aprojetos de valor.

4 Se Deus existe e a vida tem sentido, então há entrega ativa aprojetos de valor.

• Em (3) a conectiva com maior âmbito é a conjunção. Aformulação lógica é:• (p ∧ (q → r))

• Mas em (4) a conectiva com maior âmbito é a condicional. Aformulação lógica é:• ((p ∧ q)→ r)



Normas para a formalizaçãoAlgumas normas para a formalização:

1 Representar canonicamente a proposição ou o argumentoem análise.

2 Construir um dicionário que torne claro quais são asvariáveis proposicionais que abreviam as proposiçõessimples ou elementares3.

3 Uma vez feito o dicionário, formalizar em linguagem lógica(i.e. com as conectivas e as variáveis proposicionais) aproposição ou argumento.

3As proposições simples ou elementares são aquelas proposições que nãotêm qualquer conectiva proposicional


Exercícios de Formalização




Exercícios de formalização: proposições

• "Raimundo é estudioso e não gosta de Florbela".

Dicionário:• p = “Raimundo é estudioso”.• q = “Raimundo gosta de Florbela”.

Formalização:• (p ∧ ¬q)



1 “Florbela não gosta de Raimundo nem é estudiosa”.2 “Não é verdade que Raimundo seja trabalhador e divertido”.3 “Raimundo não é trabalhador mas é divertido”.4 “Raimundo não é honesto ou ele gosta tanto de Flor comode Beatriz”.

5 “Raimundo gosta de Florbela ou de Beatriz, mas não deambas em simultaneo”.

6 “Raimundo vai convidar Florbela, a não ser que tenha detrabalhar”.

7 “Se Florbela admira Platão ou Aristóteles, então não admiraDescartes”.

8 “Raimundo admira Platão se, e apenas se, não admiraAristóteles nem Hume”.

9 “Platão e Aristóteles são ambos filósofos, mas Aristófanes não é”.10 “A inflação vai subir, a menos que o desemprego se mantenha acima do

10%”.Professor Domingos Faria:Lógica Proposicional Clássica 28/122


Exercícios de formalização: proposições1 “Florbela não gosta de Raimundo nem é estudiosa”.

• Dicionário:• p = “Florbela gosta de Raimundo”.• q = “Florbela é estudiosa”.

• Formalização:• (¬p ∧ ¬q)

2 “Não é verdade que Raimundo seja trabalhador e divertido”.• Dicionário:

• p = “Raimundo é trabalhador”.• q = “Raimundo é divertido”.

• Formalização:• ¬(p ∧ q)



Exercícios de formalização: proposições3 “Raimundo não é trabalhador mas é divertido”.

• Dicionário:• p = “Raimundo é trabalhador”.• q = “Raimundo é divertido”.

• Formalização:• (¬p ∧ q)

4 “Raimundo não é honesto ou ele gosta tanto de Flor comode Beatriz”.• Dicionário:

• p = “Raimundo é honesto”.• q = “Raimundo gosta de Flor”.• r = “Raimundo gosta de Beatriz”.

• Formalização:• (¬p ∨ (q ∧ r))



Exercícios de formalização: proposições5 “Raimundo gosta de Florbela ou de Beatriz, mas não deambas em simultaneo”.• Dicionário:

• p = “Raimundo gosta de Florbela”.• q = “Raimundo gosta de Beatriz”.

• Formalização:• (p Y q)• Alternativa: ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q))

6 “Raimundo vai convidar Florbela, a não ser que tenha detrabalhar”.• Dicionário:

• p = “Raimundo vai convidar Florbela”.• q = “Raimundo tem de trabalhar”.

• Formalização:• (¬q→ p)



7 “Se Florbela admira Platão ou Aristóteles, então não admiraDescartes”.• Dicionário:

• p = “Florbela admira Platão”.• q = “Florbela admira Aristóteles”.• r = “Florbela admira Descartes”.

• Formalização:• ((p ∨ q)→ ¬r)

8 “Raimundo admira Platão se, e apenas se, não admiraAristóteles nem Hume”.

• Dicionário:• p = “Raimundo admira Platão”.• q = “Raimundo admira Aristóteles”.• r = “Raimundo admira Hume”.

• Formalização:• (p↔ (¬q ∧ ¬r))



Exercícios de formalização: proposições



Exercícios de formalização: argumentosSe somos determinados, não somos livres. Mas somos livres. Logo,não somos determinados.• Representação canónica:

1 Se somos determinados, não somos livres. [Premissa]2 Somos livres. [Premissa]3 Logo, não somos determinados. [Conclusão]

• Dicionário:• p = “somos determinados”.• q = “somos livres”.

• Formalização:1 (p → ¬q)2 q3 ∴ ¬p



Exercícios de formalização: argumentos

Temos conhecimento moral. Isto porque se nós temos conhecimentomoral, então os princípios morais básicos são demonstráveis ouautoevidentes. Ora, eles são tanto demonstráveis comoautoevidentes.• Representação canónica:

1 Se nós temos conhecimento moral, então os princípiosmorais básicos são demonstráveis ou autoevidentes.

2 Os princípios morais básicos são demonstráveis eautoevidentes.

3 Logo, temos conhecimento moral.




• Dicionário:• p = “Temos conhecimento moral”.• q = “Os princípios morais básicos são demonstráveis”.• r = “Os princípios morais básicos são autoevidentes”

• Formalização:1 (p → (q ∨ r))2 (q ∧ r)3 ∴ p




• A minha morte será um sono perpétuo ou a minha morte seráa entrada para uma vida melhor. Se a minha morte for umsono perpétuo, então eu não devo ter medo da morte. Se aminha morte for uma entrada para uma vida melhor, então eunão devo ter medo da morte. Logo, de qualquer forma, eu nãodevo temer a morte.

• Deus existe no pensamento. Ora, se Deus existe no pensamentoe não na realidade, então um ser mais perfeito do que Deus éconcebível. Mas, não é concebível um ser mais perfeito do queDeus. Deste modo, Deus existe na realidade.


Exercícios de FormalizaçãoSe Cícero é um orador persuasivo, então utiliza um discurso sedutore cativa o auditório. Cícero é um orador persuasivo. Logo, Cícerocativa o auditório.• Representação canónica:

1 Se Cícero é um orador persuasivo, então utiliza um discursosedutor e cativa o auditório.

2 Cícero é um orador persuasivo.3 Logo, Cícero cativa o auditório.

• Dicionário:• p = “Cícero é um orador persuasivo”.• q = “Cícero utiliza um discurso sedutor”.• r = “Cícero cativa o auditório”.

• Formalização:1 (p → (q ∧ r))2 p3 ∴ r



Mas será o argumento anterior válido?

Para isso, temos primeiro de ver as funções de verdade, ou seja,as circunstâncias que fazem uma proposição ser verdadeira oufalsa, expressas por cada conectiva proposicional.


Funções de Verdade

Funções de Verdade


Funções de VerdadeLPC é uma lógica bivalente - cada proposição pode ser ouverdadeira (V) ou falsa (F).Para cada conetiva ou operador proposicional temos asseguintes funções de verdade:• Negação: Inverte o valor de verdade.• Conjunção: Só é verdadeira se as proposições elementaresque a compõem forem ambas verdadeiras.

• Disjunção inclusiva: Só é falsa se as proposiçõeselementares que a compõem forem ambas falsas.

• Disjunção exclusiva: Só é verdadeira quando umaproposição elementar for verdadeira e a outra falsa evice-versa.

• Condicional / implicação: Só é falsa se a antecedente forverdadeira e a consequente falsa.

• Bicondicional / equivalência: Só é verdadeira se os seus doislados tiverem o mesmo valor de verdade.


Tabelas de Verdade

Tabelas de Verdade


Tabelas de Verdade

Tabelas de Verdade• Com base nas funções de verdade da LPC podem-seconstruir tabelas de verdade.• Estas tabelas são diagramas lógicos que listam todas aspossíveis combinações de valores de verdade para cadavariável proposicional presente numa determinada fórmulaproposicional

• e que nos mostram, além disso, se essas fórmulasproposicionais são verdadeiras ou falsas em cada uma daspossíveis combinações de valores de verdade.

• As linhas das tabelas de verdade variam consoante onúmero de variáveis proposicionais, de acordo com afórmula 2n (em que n representa o número de variáveis).


Tabelas de Verdade

Negação

p ¬ pV F VF V F


Tabelas de Verdade

Conjunção

p q ( p ∧ q )V V V V VV F V F FF V F F VF F F F F


Tabelas de Verdade

Disjunção Inclusiva

p q ( p ∨ q )V V V V VV F V V FF V F V VF F F F F


Tabelas de Verdade

Disjunção Exclusiva

p q ( p Y q )V V V F VV F V V FF V F V VF F F F F


Tabelas de Verdade

Condicional / Implicação

p q ( p → q )V V V V VV F V F FF V F V VF F F V F


Tabelas de Verdade

Bicondicional / Equivalência

p q ( p ↔ q )V V V V VV F V F FF V F F VF F F V F


Avaliação de fórmulas proposicionais




Tautologia, Contradição, e Contingência

• As fórmulas proposicionais podem ser classificadas comotautológicas, contraditórias, ou contingentes.• Tautologia (ou verdade lógica): quando a fórmulaproposicional tem o valor “V” em todas as possíveiscombinações de valores de verdade.

• contradição (falsidade lógica): quando a fórmulaproposicional tem o valor “F” em todas as possíveiscombinações de valores de verdade.

• Contingência: Caso a fórmula proposicional tenha o valor“V” nalgumas circunstâncias e o valor “F” nas outrascircunstâncias.



Exemplos:

• ¬(p ∨ ¬ q)p q ¬ ( p ∨ ¬ q )V V F V V F VV F F V V V FF V V F F F VF F F F V V F• Contingência.



Exemplos:

• (p ∨ ¬ p)p ( p ∨ ¬ p )V V V F VF F V V F• Tautologia



Exemplos:

• (p ∧ ¬ p)p ( p ∧ ¬ p )V V F F VF F F V F• Contradição.



Exemplos:

• ((¬q ∧ (p→ q))→ ¬p)p q (( ¬ q ∧ ( p → q ))→ ¬ p )V V F V F V V V V F VV F V F F V F F V F VF V F V F F V V V V FF F V F V F V F V V F• Tautologia



Exemplos:• ¬((p→ q) ∨ (p→ r))

p q r ¬ (( p → q ) ∨ ( p → r ))V V V F V V V V V V VV V F F V V V V V F FV F V F V F F V V V VV F F V V F F F V F FF V V F F V V V F V VF V F F F V V V F V FF F V F F V F V F V VF F F F F V F V F V F• Contingência.



Avaliar equivalências lógicasDuas fórmulas proposicionais com os mesmos valores deverdade em quaisquer circunstâncias são fórmulas equivalentes.• Avalie se as seguintes formulas lógicas são equivalentes:

1 (p → q)2 (¬q → ¬p)

p q ( p → q ) ( ¬ q → ¬ p )V V V V V F V V F VV F V F F V F F F VF V F V V F V V V FF F F V F V F V V F• As fórmulas (1) e (2) são fórmulas lógicas equivalentes.



Avaliar equivalências lógicas

• Avalie se as seguintes formulas lógicas são equivalentes:3 ¬(p → q)4 (p ∧ ¬q)

p q ¬ ( p → q ) ( p ∧ ¬ q )V V F V V V V F F VV F V V F F V V V FF V F F V V F F F VF F F F V F F F V F• As fórmulas (3) e (4) são fórmulas lógicas equivalentes.


Inspetores de Circunstâncias




Avaliação da validade de argumentos



Avaliação da validade de argumentos

• Um argumento é válido se a conclusão for umaconsequência lógica das premissas.

• Um argumento é válido quando é impossível ter aspremissas todas verdadeiras e a conclusão falsa.

• Ou, por outras palavras, se um argumento é válido, entãonão existe qualquer possibilidade ou circunstância (linha)em que todas as premissas sejam verdadeiras e a conclusãofalsa.

• Avaliamos a validade dos argumentos com recurso aoinspetor de circunstâncias ou tabelas de validade.



Inspetor de circunstâncias (ou tabelas de validade)• Inspetor de circunstâncias:

• consiste num dispositivo gráfico com uma sequência detabelas de verdade que mostra o valor de verdade de cadapremissa e da conclusão em todas as circunstânciaspossíveis (ou, por outras palavras, em todas as possíveiscombinações de valores de verdade).

• Se existir pelo menos uma circunstância em que todas aspremissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, então oargumento é inválido. Caso contrário, o argumento é válido.

• Exemplo da avalição da validade de um argumento:• Se Deus existe, não há mal no mundo. Mas há mal no mundo.Logo, Deus não existe.



Inspetor de circunstâncias (ou tabelas de validade)• Representação canónica:

1 Se Deus existe, então não há mal no mundo2 Há mal no mundo.3 Logo, Deus não existe.

• Dicionário:• p = “Deus existe”.• q = “Há mal no mundo”.

• Formalização:1 (p → ¬q)2 q3 ∴ ¬p



Inspetor de circunstâncias (ou tabelas de validade)

(p → ¬q), q ∴ ¬pp q ( p → ¬ q ) q ∴ ¬ pV V V F F V V F VV F V V V F F F VF V F V F V V V FF F F V V F F V F• Argumento válido: não há qualquer circunstância em que aspremissas sejam todas verdadeiras e a conclusão falsa.



Um outro exemploDeus existe no pensamento. Ora, se Deus existe no pensamento enão na realidade, então um ser mais perfeito do que Deus éconcebível. Mas, não é concebível um ser mais perfeito do que Deus.Deste modo, Deus existe na realidade.

Dicionário:• p = “Deus existe no pensamento”.• q = “Deus existe na realidade”.• r = “Um ser mais perfeito do que Deus é concebível”.

Formalização:1 p2 ((p ∧ ¬q)→ r)3 ¬r4 ∴ q



Um outro exemplop, ((p ∧ ¬q)→ r), ¬r ∴ q

Inspetor de circunstâncias:p q r p (( p ∧ ¬ q )→ r ) ¬ r ∴ qV V V V V F F V V V F V VV V F V V F F V V F V F VV F V V V V V F V V F V FV F F V V V V F F F V F FF V V F F F F V V V F V VF V F F F F F V V F V F VF F V F F F V F V V F V FF F F F F F V F V F V F F• Argumento válido.



Exercícios1 O realismo moral não consegue explicar a diversidademoral no mundo. Mas se o realismo moral é verdadeiro,então ele consegue explicar a diversidade moral no mundo.Deste modo, o realismo moral não é verdadeiro.

Dicionário:• p = “O realismo moral consegue explicar a diversidademoral no mundo.”

• q = “O realismo moral é verdadeiro”.Formalização:

1 ¬p2 (q → p)3 ∴ ¬q



Exercícios

Inspetor de circunstâncias:p q ¬ p ( q → p ) ∴ ¬ qV V F V V V V F VV F F V F V V V FF V V F V F F F VF F V F F V F V F• Argumento válido.



Exercícios2 Se a ética depende da vontade de Deus, então algo só ébom porque é desejado por Deus. Mas não é verdade quealgo só é bom porque é desejado por Deus. Assim, a éticanão depende da vontade de Deus.

Dicionário:• p = “A ética depende da vontade de Deus”.• q = “Algo só é bom porque é desejado por Deus”.

Formalização:1 (p → q)2 ¬q3 ∴ ¬p



Exercícios

Inspetor de circunstâncias:p q ( p → q ) ¬ q ∴ ¬ pV V V V V F V F VV F V F F V F F VF V F V V F V V FF F F V F V F V F• Argumento válido.



Exercícios3 Se os animais não-humanos sentem dor ou prazer, entãoeles são dignos de ter estatuto moral. Ora, os animaisnão-humanos são dignos de ter estatuto moral. Logo, osanimais não-humanos sentem dor ou prazer.

Dicionário:• p = “os animais não-humanos sentem dor”.• q = “os animais não-humanos sentem prazer”.• r = “os animais não-humanos são dignos de ter estatutomoral”.

Formalização:1 ((p ∨ q)→ r)2 r3 ∴ (p ∨ q)



ExercíciosInspetor de circunstâncias:p q r (( p ∨ q )→ r ) r ∴ ( p ∨ q )V V V V V V V V V V V VV V F V V V F F F V V VV F V V V F V V V V V FV F F V V F F F F V V FF V V F V V V V V F V VF V F F V V F F F F V VF F V F F F V V V F F FF F F F F F V F F F F F• Argumento inválido.



4 Se há conhecimento, então algumas coisas são conhecidas sem provasou nós podemos provar cada premissa por argumentos préviosinfinitamente. Ora, há conhecimento. Porém, nós não podemos provartodas as premissas por argumentos prévios infinitamente. Portanto,algumas coisas são conhecidas sem provas.

Dicionário:• p = “há conhecimento”.• q = “algumas coisas são conhecidas sem provas”.• r = “nós podemos provar cada premissa por argumentosprévios infinitamente”.

Formalização:1 (p → (q ∨ r))2 p3 ¬r4 ∴ q



ExercíciosInspetor de circunstâncias:p q r ( p → ( q ∨ r )) p ¬ r ∴ qV V V V V V V V V F V VV V F V V V V F V V F VV F V V V F V V V F V FV F F V F F F F V V F FF V V F V V V V F F V VF V F F V V V F F V F VF F V F V F V V F F V FF F F F V F F F F V F F• Argumento válido.



5 A justificação de qualquer crença é inferida de outras crenças. Sea justificação de qualquer crença é inferida de outras crenças,então dá-se uma regressão infinita. Se há uma regressão infinita,as nossas crenças não estão justificadas. Logo, as nossas crençasnão estão justificadas.

Dicionário:• p = “a justificação de qualquer crença é inferida de outrascrenças”.

• q = “há regressão infinita (na justificação)”.• r = “as nossas crenças estão justificadas”.

Formalização:1 p2 (p → q)3 (q → ¬r)4 ∴ ¬r



ExercíciosInspetor de circunstâncias:p q r p ( p → q ) ( q → ¬ r ) ∴ ¬ rV V V V V V V V F F V F VV V F V V V V V V V F V FV F V V V F F F V F V F VV F F V V F F F V V F V FF V V F F V V V F F V F VF V F F F V V V V V F V FF F V F F V F F V F V F VF F F F F V F F V V F V F• Argumento válido.



Exercícios

6 Os nossos sentidos enganam-nos algumas vezes. Se osnossos sentidos nos enganam algumas vezes, então nãopodemos saber se nos estão a enganar neste momento. Senão podemos saber se os nossos sentidos nos estão aenganar neste momento, então não podemos confiar nasinformações adquiridas através deles. Logo, não podemosconfiar nas informações adquiridas através dos sentidos.


Derivações Lógicas




Um argumento a favor do incompatibilismo

Se o determinismo é verdadeiro, então as nossasações são a consequência das leis da natureza e deeventos que ocorreram num passado remoto. Masnão somos capazes de alterar as leis da natureza nemos eventos que ocorreram num passado remoto. Ora,se as nossas ações são a consequência das leis danatureza e de eventos que ocorreram num passadoremoto, e se não somos capazes de alterar as leis danatureza nem os eventos que ocorreram num passadoremoto, então não temos possibilidades alternativas.Mas, se não temos possibilidades alternativas, entãonão somos livres. Por isso, se o determinismo éverdadeira, então não somos livres.



Avaliação do argumentoRepresentação canónica:

1 Se o determinismo é verdadeiro, então as nossas ações sãoa consequência das leis da natureza e de eventos queocorreram num passado remoto

2 Não somos capazes de alterar as leis da natureza nem oseventos que ocorreram num passado remoto.

3 Se as nossas ações são a consequência das leis da naturezae de eventos que ocorreram num passado remoto, e se nãosomos capazes de alterar as leis da natureza nem oseventos que ocorreram num passado remoto, então nãotemos possibilidades alternativas.

4 Se não temos possibilidades alternativas, então não somoslivres.

5 Logo, se o determinismo é verdadeiro, então não somoslivres.



Avaliação do argumentoConstruir um dicionário:• p = o determinismo é verdadeiro.• q = as nossas ações são a consequência das leis danatureza.

• r = as nossas ações são a consequência de eventos queocorreram num passado remoto.

• s = sermos capazes de alterar as leis da natureza.• t = sermos capazes de alterar os eventos que ocorreramnum passado remoto.

• u = termos possibilidades alternativas.• v = sermos livres.



Avaliação do argumento

Formalizar o argumento:1 (p → (q ∧ r))2 (¬s ∧ ¬t)3 (((q ∧ r) ∧ (¬s ∧ ¬t))→ ¬u)4 (¬u → ¬v)5 ∴ (p → ¬v)



Avaliação do argumento• Qual é o próximo passo para avaliar a validade doargumento?

• Uma possibilidade é construir um inspetor decircunstâncias.

• Mas dado que temos 7 variáveis proposicionais, precisamosde um inspetor de circunstâncias com 128 linhas (uma vezque 27 = 128).

• Mas construir um inspetor com 128 linhas é complicado epouco legível.

• Haverá um método de teste de validade que seja maissimples? SIM. . .

• . . . as derivações ou provas formais, que, além de serem umbom método para se testar a validade dos argumentos,também ajudam a desenvolver as nossas competências deraciocínio.




• As derivações são um procedimento por redução ao absurdoque divide um argumento complexo numa série depequenos passos inferenciais.

• Uma vez que esses passos são baseados nas principaisformas de inferência válidas, convém destacá-las.

• Vamos examinar 6 inferências válidas, 2 equivalênciaslógicas, e 6 simplificações. Essas serão as regras parafazermos as derivações.



6 Inferências válidas



Inferências Válidas [MP]

Modus Ponens [MP]1 (A → B)2 A3 ∴ B [de 1 e 2]

Instância de MP1 (¬p → (q → r))2 ¬p3 ∴ (q → r) [de 1 e 2]



Inferências Válidas [MP]

Inspetor para MPA B ( A → B ) A ∴ BV V V V V V VV F V F F V FF V F V V F VF F F V F F F



ATENÇÃO!!!Não confundir o MP com a falácia da afirmação da consequente:

1 (A → B)2 B3 ∴ A [de 1 e 2]

A B ( A → B ) B ∴ AV V V V V V VV F V F F F VF V F V V V FF F F V F F F• Esta é uma forma lógica inválida.



Inferências Válidas [MT]

Modus Tollens [MT]1 (A → B)2 ¬B3 ∴ ¬A [de 1 e 2]

Instância de MT1 (¬p → (q → r))2 ¬(q → r)3 ∴ ¬¬p [de 1 e 2]



Inferências Válidas [MT]

Inspetor para MTA B ( A → B ) ¬ B ∴ ¬ AV V V V V F V F VV F V F F V F F VF V F V V F V V FF F F V F V F V F



ATENÇÃO!!!Não confundir o MT com a falácia da negação do antecedente:

1 (A → B)2 ¬A3 ∴ ¬B [de 1 e 2]

A B ( A → B ) ¬ A ∴ ¬ BV V V V V F V F VV F V F F F V V FF V F V V V F F VF F F V F V F V F• Esta é uma forma lógica inválida.



Inferências Válidas [SH]

Silogismo Hipotético [SH]1 (A → B)2 (B → C)3 ∴ (A → C) [de 1 e 2]

Instância de SH1 (¬(p ∧ q)→ (r ∨ ¬s))2 ((r ∨ ¬s)→ (t → ¬u))3 ∴ (¬(p ∧ q)→ (t → ¬u)) [de 1 e 2]



Inferências Válidas [SH]

Inspetor para SHA B C ( A → B ) ( B → C ) ∴ ( A → C )V V V V V V V V V V V VV V F V V V V F F V F FV F V V F F F V V V V VV F F V F F F V F V F FF V V F V V V V V F V VF V F F V V V F F F V FF F V F V F F V V F V VF F F F V F F V F F V F



Inferências Válidas [SD]

Silogismo Disjuntivo [SD]

1. (A ∨ B)2. ¬A3. ∴ B [de 1 e 2]

Silogismo Disjuntivo [SD]

1. (A ∨ B)2. ¬B3. ∴ A [de 1 e 2]

Instância de SD1 (¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ s))2 (p ∧ q)3 ∴ (r ∧ s) [de 1 e 2]



Inferências Válidas [SD]

Inspetor para SDA B ( A ∨ B ) ¬ A ∴ BV V V V V F V VV F V V F F V FF V F V V V F VF F F F F V F F



Inferências Válidas [SC]Silogismo Conjuntivo [SC]

1. ¬(A ∧ B)2. A3. ∴ ¬B [de 1 e 2]

Silogismo Conjuntivo [SC]

1. ¬(A ∧ B)2. B3. ∴ ¬A [de 1 e 2]

Instância de SC1 ¬((p → q) ∧ ¬(r → s))2 ¬(r → s)3 ∴ ¬(p → q) [de 1 e 2]



Inferências Válidas [SC]

Inspetor para SCA B ¬ ( A ∧ B ) A ∴ ¬ BV V F V V V V F VV F V V F F V V FF V V F F V F F VF F V F F F F V F



Inferências Válidas [RA]Redução ao Absurdo [RA]

Uma forma argumentativa válida por redução ao absurdo partedo oposto do que se quer provar e mostra que, se partirmosdessa suposição, gera-se um absurdo ou, por outras palavras,uma contradição (como B e ¬B). Ora, como uma suposição queleva a uma contradição tem de ser falsa, então na conclusãorejeita-se a suposição inicial. Portanto, a ideia fundamental éque uma suposição é falsa se conduz a uma contradição.

1 Suposição inicial: A2 A suposição leva a: B3 A suposição leva a: ¬B4 ∴ A suposição inicial é falsa: ∴ ¬A



Inferências Válidas [RA]

Inspetor para RAA B A B ¬ B ∴ ¬ AV V V V F V F VV F V F V F F VF V F V F V V FF F F F V F V F



2 Equivalências Lógicas



Equivalências Lógicas

Duas fórmulas proposicionais com os mesmos valores deverdade em quaisquer circunstâncias são fórmulas equivalentes.Ora, se tivermos fórmulas equivalentes, então de uma dadafórmula equivalente podemos inferir a outra mantendo osmesmos valores de verdade. Assim, quando temosequivalências podemos também fazer inferências válidas.

Duas equivalências lógicas:• Leis de De Morgan• Contraposição



Equivalências Lógicas [LM]O matemático Augustus De Morgan formulou equivalênciasimportantes a partir destes dois princípios:• A negação da disjunção “A ou B” é igual à conjunção “Não-Ae Não-B”.

• A negação da conjunção “A e B” é igual à disjunção “Não-Aou Não-B”.

1. ¬(A ∨ B)2. ∴ (¬A ∧ ¬B) [de 1]

1. (¬A ∧ ¬B)2. ∴ ¬(A ∨ B) [de 1]

1. ¬(A ∧ B)2. ∴ (¬A ∨ ¬B) [de 1]

1. (¬A ∨ ¬B)2. ∴ ¬(A ∧ B) [de 1]



Equivalências Lógicas [LM]A B ¬ ( A ∨ B ) ( ¬ A ∧ ¬ B )V V F V V V F V F F VV F F V V F F V F V FF V F F V V V F F F VF F V F F F V F V V F

A B ¬ ( A ∧ B ) ( ¬ A ∨ ¬ B )V V F V V V F V F F VV F V V F F F V V V FF V V F F V V F V F VF F V F F F V F V V F



Equivalências Lógicas [CP]Uma outra equivalência lógica a partir da qual podemos fazerinferências é a contraposição:

1. (A → B)2. ∴ (¬B → ¬A) [de 1]

1. (¬B → ¬A)2. ∴ (A → B) [de 1]

A B ( A → B ) ( ¬ B → ¬ A )V V V V V F V V F VV F V F F V F F F VF V F V V F V V V FF F F V F V F V V F



6 Simplificações Lógicas


Derivações LógicasExistem algumas formas de inferência válidas que nos ajudam asimplificar proposições complexas sem cometermos qualquererro de raciocínio lógico. Poderá ser útil conhecermos asseguintes inferências:

Simplificação da Dupla Negação [SDN]1. ¬¬A2. ∴ A [de 1]

De uma fórmula com duplanegação podemos inferir a suaafirmação.

Simplificação da Negação da Condicional [SNC]1. ¬(A → B)2. ∴ A [de 1]2. ∴ ¬B [de 1]

Se tivermos uma negação de umacondicional, podemos concluir aafirmação da antecedente, bemcomo a negação do consequente.



Simplificações LógicasSimplificação da Negação da Disjunção [SND]

1. ¬(A ∨ B)2. ∴ ¬A [de 1]2. ∴ ¬B [de 1]

Se tivermos uma negação deuma disjunção, podemosconcluir a negação de qualqueruma das disjuntas.

Simplificação da Conjunção [SDC]1. (A ∧ B)2. ∴ A [de 1]2. ∴ B [de 1]

Se tivermos uma afirmação daconjunção, podemos concluir aafirmação de qualquer uma dasconjuntas.



Simplificações LógicasSimplificação da Bicondicional [SDB]

1. (A ↔ B)2. ∴ (A → B) [de 1]2. ∴ (B → A) [de 1]

Se tivermos uma afirmação dabicondicional, podemos concluirduas condicionais: uma com aantecedente a implicar aconsequente e outra com oinverso.

Simplificação da Negação da Bicondicional [SNB]

1. ¬(A ↔ B)2. ∴ (A ∨ B) [de 1]2. ∴ ¬(A ∧ B) [de 1]

Se tivermos uma negação dabicondicional, podemos concluir umadisjunção e uma negação da conjunção.Dizer ¬(A↔ B) é dizer que A e B têmdiferentes valores de verdade (assim, Aou B é verdadeiro, mas não ambos).



Síntese das principais formas de inferênciaválidas


Derivações Lógicas6 inferências válidas• Modus Ponens [MP] (A→ B), A ∴ B• Modus Tollens [MT] (A→ B),¬B ∴ ¬A• Silogismo Hipotético [SH] (A→ B), (B→ C) ∴ (A→ C)• Silogismo Disjuntivo [SD] (A ∨ B),¬A ∴ B• Silogismo Conjuntivo [SC] ¬(A ∧ B), A ∴ ¬B• Redução ao Absurdo [RA] A, B,¬B ∴ ¬A

2 equivalências lógicas• Leis de De Morgan [LM] ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)• ¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)• Contraposição [CP] (A→ B) ≡ (¬B→ ¬A)

6 simplificações lógicas• da Dupla Negação [SDN] ¬¬A ∴ A• da Negação da Condicional [SNC] ¬(A→ B) ∴ A,¬B• da Negação da Disjunção [SND] ¬(A ∨ B) ∴ ¬A,¬B• da Conjunção [SDC] (A ∧ B) ∴ A, B• da Bicondicional [SDB] (A↔ B) ∴ (A→ B), (B→ A)• da Negação da Bicondicional [SNB] ¬(A↔ B) ∴ (A ∨ B),¬(A ∧ B)



Fazer derivações



DerivaçõesCom as 14 formas de inferência válidas conseguimos fazerqualquer derivação. Para isso, iremos usar uma estratégiaindireta de prova, onde primeiro supomos o oposto do quequeremos provar. Ou seja, vamos fazer derivações utilizando aestratégia de redução ao absurdo. Para isso, basta negar aconclusão da forma argumentativa e ajustá-la às premissas demodo a encontrar-se uma contradição. A conclusão negadadesigna-se por “suposição”.

Quando, ao longo da derivação, se chega à contradição, nega-sea “suposição” e deriva-se assim a conclusão final. Caso asuposição nos conduza a uma contradição, o argumento éválido, mas se não levar a uma contradição, o argumento éinválido (pois as premissas podem ser verdadeiras e aconclusão falsa).



Um exemplo. . .Por exemplo, depois de Descartes argumentar a favor daexistência de Deus, apresenta um argumento no qual concluique os objetos materiais existem:

Se nós temos sensações de alegados objetos materiaise os objetos materiais não existem, então Deus é umenganador. Ora, temos sensações de alegados objetosmateriais. Mas, Deus não é um enganador. Logo, osobjetos materiais existem.



Um exemplo. . .

Em linguagem lógica proposicional, podemos fazer o seguintedicionário:• p = “Ter sensações de alegados objetos materiais”• q = “Objetos materiais existem”• r = “Deus é um enganador”


Derivações LógicasCom base no dicionário, podemos formalizar o argumento doseguinte modo:

1 ((p ∧ ¬q)→ r)2 p3 ¬r4 ∴ q

Para construir facilmente uma derivação desta formaargumentativa, recorremos a uma estratégia com três etapas:

1 Na formalização do argumento bloqueamos a conclusão (com "| “) eacrescentamos uma linha com”Sup:"(de “suposição”), onde escrevemos ooposto da conclusão.

2 Utilizamos as “formas de inferência válidas”, de modo a derivar novaslinhas até se encontrar uma contradição.

3 Ao encontrar-se uma contradição utilizamos a regra da redução aoabsurdo para derivarmos a conclusão original. Caso não se consigaderivar uma contradição, então é possível termos premissas verdadeirase conclusão falsa e, por isso, o argumento será inválido.



Um exemplo. . .1. ((p ∧ ¬q)→ r)2. p3. ¬r| ∴ q4. ¬q [Sup]

5. ∴ ¬(p ∧ ¬q) [MT, de 1 e 3]6. ∴ ¬p [SC, de 4 e 5]

7. ∴ q [RA 4, de 2 e 6]

Argumento válido.



Exercício 1

1 (p → (q → r))2 (p ∧ q)

• | ∴ r3 ¬r [Sup]4 ∴ p [SDC, de 2]5 ∴ q [SDC, de 2]6 ∴ (q → r) [MP, de 1 e 4]7 ∴ ¬q [MT, de 3 e 6]8 ∴ r [RA 3, de 5 e 7]

Argumento válido.



Exercício 2

1 (p ∨ q)2 (p → ¬r)3 (q → ¬r)

• | ∴ ¬r4 r [Sup]5 ∴ ¬p [MT, de 2 e 4]6 ∴ ¬q [MT, de 3 e 4]7 ∴ p [SD, de 1 e 6]8 ∴ ¬r [RA 4, de 5 e 7]

Argumento válido.



Exercício 3

1 (p ∨ q)2 ¬(q ∧ r)

• | ∴ p3 ¬p [Sup]4 q [SD, de 1 e 3]5 ¬r [SC, de 2 e 4]

. . .

Argumento inválido.



Voltando ao argumento incompatibilistista1 (p → (q ∧ r))2 (¬s ∧ ¬t)3 (((q ∧ r) ∧ (¬s ∧ ¬t))→ ¬u)4 (¬u → ¬v)5 | ∴ (p → ¬v)6 ¬(p → ¬v) [Sup]7 ∴ p [de 6, SNC]8 ∴ v [de 6, SNC]9 ∴ u [de 4 e 8, MT]10 ∴ ¬((q ∧ r) ∧ (¬s ∧ ¬t)) [de 3 e 9, MT]11 ∴ ¬(q ∧ r) [de 2 e 10, SC]12 ∴ ¬p [de 1 e 11, MT]13 ∴ (p → ¬v) [de 6, 7 e 12, RA]Este argumento é válido.



Um outro exemplo

1 (¬p ∨ ¬q)2 ¬(r ∧ q)

• | ∴ (¬p → ¬r)3 ¬(¬p → ¬r) [Sup]4 ∴ ¬p [SNC, de 3]5 ∴ r [SNC, de 3]6 ∴ ¬q [SC, de 2 e 5]

Este argumento é inválido



Dúvidas

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