Licenciatura em Matemática – 2007 - Prof. Piteri Programação … · seguida, obter o valor da...

FCT UNESP CAMPUS DE P. PRUDENTE

Aula 03

Observao em relao a aula passada:

Grfico da Funo:

Licenciatura em Matemtica 2007 - Prof. Piteri

Programao Orientada a Sistemas de Processamento Simblica

GRFICOS BIDIMENSIONAIS

( ) ln( ) /y f x x x= =

*:ln( )

fx x

+

?


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Observao em relao a aula passada:

No MATLAB a funo que expressa o logaritmo natural dado pelo smbolo log(x).

>> help log

LOG Natural logarithm.LOG(X) is the natural logarithm of the elements of X.Complex results are produced if X is not positive.

LOG Logaritmo natural.LOG(X) o logaritmo natural do argumento X.

Resultados complexos so produzidos, se X no for positivo.


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Observao em relao a aula passada:>> log(0)

Warning: Log of zero.

ans = -Inf

>> log(-2)

ans = 0.6931 + 3.1416i

>> log(-pi)

ans = 1.1447 + 3.1416i


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Observao em relao a aula passada:Grfico da Funo: ( ) ln( ) /y f x x x= =

Observem que a escala no eixo-y pode nos induzir a erros de avaliao em relao ao grfico da funo.


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Observao em relao a aula passada:( ) ln( ) /y f x x x= =

Observem a escala no eixo-y.


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GRFICOS BIDIMENSIONAIS (com eixos em escalas lineares):

Grficos de Funes de uma Varivel ( y = f(x) );



sin( ), 0 2y x x =

cos( 2 ) ( 2 ), [ 2, 1]2xy x x x= + + +

3 23 ( 2 ) 3 (4 ) 8 , [0,1]x x xy x x x x = +



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sin( ), 0 2y x x = GRFICOS BIDIMENSIONAIS


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cos( 2 ) ( 2 ), [ 5, 2]2xy x x x= + + +



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3 23 ( 2 ) 3 (4 ) 8 , [ 20,20]x x xy x x x x = +



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A escala no eixo-y pode nos induzir a erros de INTERPRETAO.

ATENO QUANDO USAREM O MATLAB PARA VISUALIZAREM GRFICOS DE

FUNES!!!


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GRFICOS BIDIMENSIONAIS (com eixos em escalas lineares):



Problema: Vamos imaginar que desejamos gerar/desenhar o grfico da funo sen(x) no intervalo [0,2].

Soluo: Sabemos que no intervalo [0,2] h infinitos valores no eixo-x. Uma alternativa, seria gerar um conjunto finito de valores nesse eixo, e, em seguida, obter o valor da funo f(x) em cada um destes pontos. Com isso, vamos obter um conjunto de pontos no plano-xy e, assim, podemos conseguir uma aproximao da curva pretendida unindo pares de pontos consecutivos (segundo a abscissa), atravs de segmentos de retas.



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Exemplo: Na figura da esquerda foram gerados 10 pontos, enquanto na figura da direita foram gerados 40 pontos. Qual delas aproxima melhor a curva?



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Exemplo: Unindo pares (x,y) de pontos consecutivos no plano (segundo a abscissa), por meio de segmentos de retas, iremos obter respectivamente, asseguintes aproximaes da curva pretendida para os conjuntos definidos anteriormente. Qual delas aproxima melhor a curva?



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Exemplo: Curvas aproximadas para os respectivos conjuntos de pontos, sem os marcadores sobre os pontos. Qual delas aproxima melhor a curva?



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Concluses Bsicas (intuitivas) :

Quanto mais prximos forem os pontos, mais precisa (fidedigna) ser a representao da funo que estamos visualizando;

Isto implica que devemos fazer uma boa amostragem inicial, ou seja, escolher um nmero significativo de pontos;

Na verdade, existem outras formas matemticas de se obter a aproximaode uma curva ou de uma superfcie. Uma abordagem mais profunda sobre este assunto ser visto na disciplina de Clculo Numrico (3 ano).!

Por ora, o importante saber que o MATLAB desenha grficos bidimensionais atravs dos recursos discutidos acima.

Observe que nas regies em que a curvatura mais acentuada, um nmero maior de pontos colocado automaticamente pelo MATLAB;



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Constatao : Vimos que importante gerar uma quantidade significativa de dados, muitas vezes, algumas centenas deles, o que torna o processo extremamente moroso e montono.

Questo : Ser que existe uma forma automtica de gerar os dados?

Resposta : Felizmente sim. Na verdade existem duas formas bsicas.



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A rigor, deveramos introduzir o conceito de vetores antes, mas os recursos que precisamos so poucos e assim, podemos avanar o mais rpido possvel para o traado (desenho) de funes.

Comando linspace(.) : Cria um nmero especificado de pontos igualmente espaados num dado intervalo.

Forma Geral:(Primeira Forma)

>>linspace(valor_inicial, ltimo_valor, nmero_de_valores)*cte

Observaes:

Atravs do uso deste comando, no possvel especificar o incremento entre os pontos. O MATLAB calcula automaticamente;

Os valores gerados podem ser associados a uma varivel estruturada do tipo vetor atravs do comando de atribuio. Se a constante cte no for especificada, o MATLAB a interpreta com o valor 1 (pontos igualmente espaados).



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Primeira Forma :>>x = linspace(1,10,100); % gera 100 pontos igualmente espaados no

intervalo [1,10] e atribui estes valores a varivel x.

Varivel estruturada de nome x que

armazena todos os valores gerados.

x

Cada componente do vetor x estassociado a uma nica posio que

determinada por um ndice que varia de 1 ao nmero mximo

1 3 100



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Exemplos:

>>x = linspace(0,2*pi,10); % gera 10 pontos igualmente espaados no intervalo fechado [0,2] e associa estes valores a varivel estruturada x.

>>x = linspace(-2*pi,2*pi,60); % gera 60 pontos igualmente espaados no intervalo fechado [- 2,2] e associa estes valores a varivel x.


>>a = 2*pi; % a varivel simples x recebe o valor 2*pi.


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Observao:


possvel acessar e manipular o contedo de cada uma das componentes da varivel estruturada (vetor) x, de forma independente;

Forma Geral de como acessar uma componente de um vetor:

NomeVarivel ( i )

i: indica o ndice (posio) da componente que se deseja acessar.


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Exemplos:


>>x = linspace(-2*pi,2*pi,60); gera 60 pontos igualmente espaados no intervalo fechado [-2,2] e associa estes valores a varivel x.

As seguintes instrues so vlidas:>>x(33) Visualizando o contedo (valor) da varivel

estruturada de nome x, na posio 33.

>>b = x(12)+x(47)*sqrt(x(21)) Usando os valores das componentes numa expresso aritmtica.

>>i= 34;

>>j = 53;

>>a = x(i)*x(j)+sin(x(11))

Acessando os valores das componentes de forma indexada (atravs de um ndice).


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Uma outra maneira de gerar pontos de forma completamente automtica atravs do operador dois-pontos :

Forma Geral:(Segunda Forma)

>> x = (valor_inicial : incremento : valor_final)*cte

Observao:O ltimo valor calculado menor ou igual ao valor_final.

Cria um conjunto de valores que inicia em valor_inicial e cuja distncia entre pontos consecutivos dada por um incremento. Todos os valores gerados no intervalo [valor_inicial, valor_final] so multiplicados pela constante correspondente.


>> x = valor_inicial : incremento : valor_final*cte


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Exemplos: Gerao automtica usando o operador : (dois-pontos)



>>x = (0:0.1:1)*pi % cada um dos valores gerados no intervalo multiplicado por pi

>>x = (0:0.001:2*pi); % Inicia a gerao no ponto igual a zero com incremento entre os pontos de um fator 0.001. O ltimo nmero gerado ser menor ou igual a 2.


>>x = (-10:0.001:10); % Inicia a gerao no ponto igual a -10 com incremento entre os pontos de um fator 0.001. O ltimo nmero gerado ser menor ou igual a 10.


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O MATLAB possui recursos poderosos para gerar grficos bidimensionais e tridimensionais, embora nossos interesses aqui estaro restritos ao grficos bidimensionais.

Todo desenho (sada grfica) visualizada numa janela denominada Janela de Figuras, que se abre automaticamente toda vez que voc executar o comando plot().

O comando plot(.) um dos responsveis pela criao de grficos bidimensionais no MATLAB (h outros). Na verdade, a partir de um conjunto de valores no eixo-x (representado por um vetor), o MATLAB calcula os respectivos valores no eixo-y (um outro vetor com mesma dimenso) e liga os pontos (x,y) consecutivos no plano (segundo a abscissa) atravs de segmentos de retas.

O comando plot() ajusta os eixos (proporo) automaticamente a partir dos dados de entrada associados ao eixo-x. Alm disso, coloca uma escala numrica em ambos os eixos.



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GRFICOS DE FUNES: Comando plot(.)



Forma Geral Bsica:

Propsito: Cria um grfico no plano-xy, na cor azul e com linha contnua, onde: x e y so vetores de mesma dimenso.

>> plot(x,y);

Observao: Toda vez que voc executa o comando plot(.), uma nova janela denominada Janela de Figuras aberta. Se essa janela j estiver ativa (com outra figura) o MATLAB limpa-a e cria o novo grfico sobre ela.



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Exemplo- 01 >> x = linspace(-2*pi,2*pi,30);

>> y = sin(x)

>> plot(x,y)

% criando 30 pontos no eixo-x (varivel x)

% criando 30 pontos no eixo-y a partir de x

% ligando os pontos atravs de segmentos, ...

Grfico da funo seno no intervalo [-2*pi,2*pi]

Resultado aps a execuo do comando plot(.).


Janela de Figuras


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Observaes: Em funo do fato de estarmos realizando operaes sobre vetores para o traado de grficos, muitas vezes necessrio realizar operaes elementos a elementos (componente a componente).



Para fazer esta distino, o MATLAB acrescenta o operador ponto (.) antes da operao pretendida.

.^potenciao

./diviso

.*multiplicao

SmboloOperadores(elemento a elemento)

Exemplo:

Seja x = (1,2) e y = (2, 3), entoA operao x.*y igual a (2 6) e a operao x.^y igual a (1 8) .

Experimentem ??????



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Quais os resultados das operaes vetoriais x.*y e x.^y?

Experimentem ??????


>> x = linspace(1,3,3);

>> y = linspace(5,7,3);

Exemplo: Sejam x = (1,2,3) e y = (5,6,7), dois vetores em3.

x.*y = (5,12,21)

x.^y = (1,64,2187)

Soluo:

Os vetores acima podem ser gerados, respectivamente, pelos seguintes comandos:


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Observaes: Os operadores elemento a elemento so muito utilizados para se computar o valores de uma funo ( y = f(x) ) nos respectivos pontos no eixo-x (eixo independente).



Exemplos: As funes

>> y3 = 2*sin(x).*cos(x);

>> y4 = sin(x)./(cos(x)+eps);

2sin( )cos( )sin( ) /(cos( ) )

y x xy x x eps== +

devem ser computadas no MATLAB da seguinte forma:

Multiplicao (.*) e diviso (./) componente a componente


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Exerccios:01: Gerar o grfico da funo anterior com 10, 20, 30, 40, 50 e 100 pontos e verificar a diferena entre os resultados. Tire suas concluses.

02: Coloque multiplicadores (maiores e menores que 1) no argumento da funo e verifique como o perodo se comporta.

03: Obtenha os grficos da funes abaixo, nos respectivos intervalos. Aps uma gerao inicial, sinta-se a vontade para alterar os limites.

cos( )sin( ) , 0 2xy x x =

cos( 2 ) ( 2 ), [ 2, 1]2xy x x x= + + +

3 23 ( 2 ) 3 (4 ) 8 , [0,1]x x xy x x x x = +



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Outras Verses do Comando plot(.)

>>plot(x,y,cmt) cria um grfico no plano-xy, na cor c, com marcadorm e com tipo de linha t.

pretokbrancow

amareloymagentam

cianocvermelhor

verdegazulbCorSmbolo



traos e pontos-.tracejada--

pontilhada:

contnua-

Tipo de LinhaSmbolo



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>>plot(x,y,cmt) cria um grfico no plano-xy, na cor c, com marcador m e com tipo de linha t.



losangodtringulo para baixovquadradostringulo para cima^estrela*

tringulo a esquerdaxx

hexagramahcrculoopentagramapponto.MarcadorSmboloMarcadorSmbolo

Observao: Os marcadores so aplicados somente aos pontos do plano-xy. Se no houver a especificao de um tipo de linha, somente os pontos so desenhados.



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>>plot(x,y,cmt) cria um grfico no plano-xy com a cor c, com marcador m e com tipo de linha t.



Exemplo : Desenhando o grfico de uma funo na cor vermelha, com linha pontilhada e com marcadores estrela nos pontos de controle gerados do plano-xy.

Exemplo:

>> x = linspace(0,2*pi,30);

>> y = sin(x);

>> plot(x,y,r*: );

OBSERVAO: Se voc no especificar nenhuma cor, o MATLAB inicia o desenho pela cor azul e desenha o grfico das prximas funes com as cores na ordem em que elas aparecem na tabela.



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Desenhando vrias funes com atributos diferentes atravs do comando plot(.), na mesma Janela de Figuras.

>>plot( x1,y1,cmt1,x2,y2,cmt2,..., xn,yn,cmtn)

Cria um grfico no plano-xy para desenhar n curvas. Em cada uma delas voc pode especificar uma cor, um marcador e um tipo de linha. Se voc no especificar nenhuma cor, o MATLAB inicia o desenho pela cor azul e desenha o grfico das prximas funes seguindo as na ordem em que elas aparecem na tabela.



Parmetros da Curva 1

Parmetros da Curva 2

Parmetros da Curva n...



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Exemplo : Desenhando um grfico com trs curvas, diferentes cores, tipos de linhas e marcadores.

Exemplo:>> x = linspace(0,2*pi,30);

>> y = sin(x);

>> z = cos(x);

>> w = sqrt(x);

>> plot(x,y,b:p, x,z,cs-, x,w,ro- );



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Exemplo : O mesmo exemplo anterior, mas sem os marcadores.

Exemplo:>> x = linspace(0,2*pi,30);

>> y = sin(x);

>> z = cos(x);

>> w = sqrt(x);

>> plot(x,y,b-, x,z,c-, x,w,r- );



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Exemplo : Podemos acrescentar outras informaes ao grfico?


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Mais Funes Bsicas para incrementar a Janela de Figuras.



OBJETIVOS: Acrescentar informaes a Janela de Figuras, como ttulo, nomes associados aos eixos, legendas, nomes relativos as funes, etc. Estas caractersticas aumentam a legibilidade da figura como um todo, tornando-a mais compreensvel.

Comandos:

>>grid on/off Ativa/Desativa exibio de uma grade auxiliar

>>box on/off Ativa/Desativa exibio de uma caixa em linhas slidas que contorna o grfico

>>title(Ttulo do Grfico) Define um ttulo para o grfico (parte superior)

>>legend sua_legenda Cria uma legenda (canto superior direito) para o grfico. possvel mover a legenda com o boto esquerdo do mouse. A opo off remove a legenda.



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Outras Funes Bsicas.



>>xlabel(Seu Texto) Define um nome para o eixo-x.

>>ylabel (Seu Texto)

Observao: Alguns destes comandos esto disponveis na Barra de Menus da Janela de Figuras.

>>text(x,y,Seu texto) Cria um texto na posio especificada pelas coordenadas (x,y) no espao de coordenadas do grfico.

>>gtext(Seu texto) Posiciona o texto na Janela de Figurasfazendo uso do mouse. Aps encontrar posio de sua escolha, basta clicar com o boto direito.

Define um nome para o eixo-y.



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Mais Funes Bsicas.



>>hold on No remove os grficos j existentes a cada novo comando plot(), ou seja, novas curvas so acrescentadas.

>>hold on/off Toda vez que voc utiliza o comando plot(), se a Janela de Figuras j estiver ativada, o contedo (grfico) apagado um novo grfico desenhado. O comando hold permiteAtivar/Desativar a exibio de grficos numa mesma janela.

>>hold off Remove os grficos existentes e desenha um novo a partir do comando plot().

>>ishold Funo bolena que retorna o valor 1 (true) se a funo holdest on, e, 0 (false), caso contrrio.

Observao: Se os grficos esto em escalas diferentes (limites dos eixos), ento o MATLAB se encarrega de atualizar todos para a nova escala (reescalar).



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Mais Funes Bsicas. >> subplot(m,n,p)

Divide uma Janela de Figuras numa matriz de mxn regies, em que cada uma delas pode conter grficos independentes e com diferentes eixos coordenados. As regies so numeradas da esquerda para a direita, e, de cima para baixo.


Janela 1

(p=1)

Janela 2

(p=2)

Janela 4

(p=4)Janela 3

(p=3)

>>subplot(2,2,p)


Aula 03

Observao:



>>subplot(m,n,p)

O comando subplot() vem sempre acompanhado do comando plot(). Na verdade, o comando subplot() escolhe a regio em que ser desenhada a curva, enquanto o comando plot(), gera o grfico correspondente.


O parmetro p indica em qual das reas o comando plot() ir atuar.

Em cada uma das reas possvel usar comandos diferentes, como: axis, title, gtext, etc.


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Usando o comando subplot().



Observaes:

Quando voc usa o comando subplot() ativando, por exemplo, o subgrfico 1, ele permace ativo at que um novo subgrfico seja ativado. Logo, os comandos axis(), hold, xlabel(), ylabel(), title(), grid e box provocam efeitos somente no subgrfico que est ativado;

Um novo comando subplot() alterando o nmero de subgrficos na Janela de Figuras faz com que alguns dos anteriores sejam perdidos;

Para voltar ao modo padro (default) e usar integralmente a rea relativa a Janela de Figuras, suficiente executar o comando subplot() com os seguintes parmetros:

>> subplot(1,1,1);



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GRFICOS DE FUNES: Exemplo do uso da funo subplot(): .



>>x = linspace(0,2*pi,40);

>>y1 = sin(x), y2 = cos(x);

>>y3 = 2*sin(x).*cos(x), y4 = sin(x)./(cos(x)+eps);

>>subplot(2,2,1);

>>plot(x,y1), axis([0 2*pi -1 1]), title(seno(x));

>>subplot(2,2,2);

>>plot(x,y2), axis([0 2*pi -1 1]), title(cos(x))

>>subplot(2,2,3);

>>plot(x,y3), axis([0 2*pi -1 1]), title(2*seno(x)*cos(x))

>>subplot(2,2,4);

>>plot(x,y4), axis([0 2*pi -20 20]), title(seno(x)/cos(x))

Definindo valores no eixo-x e 4 funes

% Selecionando janela 1




Desenho no prximo slide



Aula 03



Resultado da execuo dos

comandos anteriores



Aula 03

Funes Bsicas de Personalizao de Eixos.



Define os valores mnimos e mximos associados aos eixos.

Observe que at agora, s especificamos os limites (valores) em relao ao eixo-x, enquanto o MATLAB se encarrega de encontrar os valores adequados para o eixo-y. Porm, possvel alterar as caractersticas de proporo entre os eixos atravs do comando axis. H uma quantidade enorme de valores associados a este comando. Entretanto, para os nossos propsitos iniciais, vamos ver aqui somente alguns deles.

>>axis( [xmin xmax ymin ymax] )

Volta aos valores originais (default) do MATLAB (valores automticos), onde:

>>axis auto

xmin = min(x) xmax = max(x)

ymin = min(y) ymax = max(y)



Aula 03

Funes Bsicas de Personalizao de Eixos.



Retira a cor de fundo, a grade, os nomes dos eixos, a caixa (box) e os marcadores. Mantm somente o ttulo e os textos e gerados pelos comandos text() e gtext().

>>axis off

>>axis on Restaura os atributos retirados pela opo off atravs do comando axis().

Observao: Somente no caso de terem sido definidos.

Observaes:

Em todos os exemplos de grficos, usamos sempre escalas lineares. Em muitas situaes poder ser til usar escalas logartmicas em ambos os eixos, ou, em algum deles.

O MATLAB faz tambm outros tipos de grficos bidimensionais, como por exemplo: em formatos de pizza, histogramas, etc.


Aula 02

1.Ttulo: MATLAB 6 Curso CompletoAutor(es): Duane C. Hanselman, Bruce C. Littlefield.Editora: Prentice Hall Brasil

FCT UNESP CAMPUS DE P. PRUDENTELicenciatura em Matemtica 2007 - Prof. Piteri

Programao Orientada a Sistemas de Processamento Simblico

INTRODUO AO MATLAB: Conceitos Operatrios Bsicos

AULA DE HOJE: Captulos trabalhados integralmente ou em parte:

Captulo : 25.

Aula 02

2.Ttulo: Programao em MATLAB para engenheirosAutor(es): Stephen J. Chapman.Editora: Thomson Pioneira




Captulo : No h captulo especfico.


Aula 02

2.Ttulo: MATLAB com aplicao em EngenhariaAutor(es): Amos Gilat.Editora: Bookman Companhia Ed.




Captulos : 5.



Aula 03



Arquivos M no MATLAB;

Prxima Aula: Em duas semanas.

Manipulao de Grficos com Arquivos M.

Com o tempo e a familiaridade com o ambiente MATLAB e a continuidade do uso dessa ferramenta em outras disciplinas, vocs iro aprender outros recursos de manipulao de grficos. Por exemplo, quando vocs estiverem fazendo Clculo Diferencial e Integral II, podero manipular grficos de funes e superfcies no espao 3D.


Segundo Trabalho;

Semana que vem: Evento Acadmico.


Aula 03



Trabalho de Pesquisa


Elaborar um texto (documento) sobre o tema de nmeros complexos (tudo o que voc achar importante):

Aspectos histricos;

Operaes sobre o corpo dos complexos;

Aplicaes, etc.

Contextualizar as operaes sobre os nmeros complexos no MATLAB, ou seja, exemplificar como as operaes so realizadas no MATLAB.

Tome suas decises em relao a formatao, nmero de pginas e organizao do documento.


Aula 03



Trabalho de Pesquisa


Grupos de at 4 pessoas;

Documento a ser elaborado no Word ou Powerpoint, ou um outro software semelhante;

Colocar uma pgina inicial no trabalho com os nomes dos integrantes do grupo;

Prazo de Entrega 06 de setembro de 2007.

Enviar para [email protected]


Aula 03



A linguagem apenas o instrumento da cincia, e as palavras no passam de smbolos das idias.

Samuel Johnson (1709-1794)

Um bom programador pode superara uma linguagem ruim ou um sistema operacional desajeitado, mas nem mesmo um excelente ambiente de programao poder salvar um programador ruim.

Brian W. Kernighan e Rob Pike

The Practice of Programming



Aula 03



Na primeira noite /eles se aproximam

Colhem uma flor de nosso jardim/

E no dizemos nada./Na segunda noite/

J no se escondem;/pisam as flores/

Matam nosso co/ e no dizemos nada/

At um dia/ o mais frgil deles/

Entra sozinho em nossa casa/rouba-nos a lua e,/

conhecendo nosso medo/

Arranca-nos a voz da garganta./

E porque no dissemos nada,/

J no podemos dizer nada.

Maiakowski


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