Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

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DesenhoGeométrico

Alberto Luiz Fernandes QueirogaClaudio Barros Vitor

Manaus 2007

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FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice-GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto

Pró-Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró-Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró-Reitor de Pós-Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes

Queiroga, Alberto Luiz Fernandes.

Q3d Desenho geométrico. / Alberto Luiz Fernandes Queiroga,Cláudio Barros Vitor. - Manaus/AM : UEA, 2007. - (Licenciatura emMatemática. 2. Período)

113 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia e anexo.

1. Desenho geométrico. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Série. III.Título.

CDU (1997): 514.11

CDD (19.ed.): 604.2

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SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Introdução ao desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – O material utilizado no desenho geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Entes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Operações com segmentos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

UNIDADE II – Construções de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TEMA 04 – Uso do esquadro, compasso e régua para construção de ângulos e retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

UNIDADE III – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

TEMA 05 – Divisão de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 06 – Divisão em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 07 – Média proporcional ou geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 08 – Divisão harmônica e segmento áureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

UNIDADE IV – Figuras da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TEMA 09 – Divisão de circunferência em duas partes iguais (pelo ângulo central) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 10 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 11 – Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 12 – Trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Lozangos e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

UNIDADE V – Polígonos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

TEMA 14 – Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 15 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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Alberto Luiz Fernandes QueirogaBacharel em Desenho Industrial – UFPB

Especialista em Design, Propaganda e Marketing – UFAM

Cláudio Barros VitorLicenciado em Matemática – UFAM

Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

PERFIL DOS AUTORES

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PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-

der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo técnico−científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-

tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história

da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-

tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-

no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios

que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

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UNIDADE IIntrodução ao desenho geométrico

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TEMA 01

MATERIAL UTILIZADO NO DESENHOGEOMÉTRICO

Um breve histórico

Como linguagem de comunicação e expres-são, a arte do desenho antecede em muito ada escrita. O que é a escrita senão a combi-nação de pequenos símbolos desenhados?Por meio de gravuras traçadas nas paredesdas cavernas, o homem pré-histórico registroufatos relacionados ao seu cotidiano, deixandoindicadores importantes para os pesquisado-res modernos estudarem os ancestrais de nos-sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algoinerente ao homem.

Não se sabe quando, ou onde, alguém formu-lou pela primeira vez, em forma de desenho,um problema que pretendia resolver – talveztivesse sido um “projeto” de moradia ou tem-plo, ou algo semelhante. Mas esse passo re-presentou um avanço fundamental na capaci-dade de raciocínio abstrato, pois esse desenhorepresentava algo que ainda não existia, queainda viria a se concretizar. Essa ferramenta,gradativamente aprimorada, foi muito impor-tante para o desenvolvimento de civilizações,como a dos babilônios e a dos egípcios, asquais, como sabemos, realizaram verdadeirasfaçanhas arquitetônicas.

Porém uma outra civilização, que não hesitavaem absorver elementos de outras culturas,aprendeu depressa como passar à frente deseus predecessores; em tudo que tocavam,davam mais vida. Eram os gregos. Em todasas áreas do pensamento humano em que sepropuseram a trabalhar, realizaram feitos quemarcaram definitivamente a história da huma-nidade.

Foram os gregos que deram um molde deduti-vo à Matemática. A obra Elementos, de Eucli-des (?300 a.C.), é um marco de valor inesti-mável, na qual a Geometria é desenvolvida demodo bastante elaborado. É na Geometria gre-ga que nasce o Desenho Geométrico que aquivamos estudar.

Na realidade, não havia entre os gregos umadiferenciação entre Desenho Geométrico eGeometria. O primeiro aparecia simplesmentena forma de problemas de construções geo-métricas, após a exposição de um item teóricodos textos de Geometria. Essa conduta eucli-diana é seguida até hoje em países como aFrança, Suíça, Espanha, etc., mas, infelizmen-te, os problemas de construção foram há muitobanidos dos nossos livros de Geometria.

Assim, pode-se dizer que o Desenho Geomé-trico é um capítulo da Geometria que, com oauxílio de dois instrumentos, a régua e o com-passo, se propõe a resolver graficamente pro-blemas de natureza teórica e prática.

Material de desenho e seu uso

O lápis

Em desenho geométrico, utilizaremos o lápiscom grafite HB para os traçados de letras, con-tornos e esboços.

Para seu desenho ter as linhas bem definidas,mantenha a grafite sempre bem-apontada, emforma cônica, usando para isso um pedaço delixa.

A lapiseira

Você pode também utilizar as práticas lapisei-ras com grafites 0.5mm, pois elas têm grossuraideal para o desenho geométrico.

A borracha

Use borracha macia para não deixar marcas nopapel.

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

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Para limpá-la, esfregue-a em um papel qualquer.

A borracha não deve ser lavada.

A régua

Há réguas de vários comprimentos. Use umade material acrílico transparente, graduada emcentímetros e milímetros, que tenha um cortetransversal chanfrado para facilitar a leitura.

Os esquadros

Esquadro de 450 e de 600

Devem ser de material acrílico e transparente.

São utilizados para traçados de paralelas e deperpendiculares e para construção de ângulos.

O transferidor

De material acrílico transparente, em forma deum semicírculo, graduado de 00 a 1800, é usa-do para medir e construir ângulos.

O compasso

É o instrumento usado para traçados de arcosde circunferência, transporte de medidas econstruções de ângulos.

TEMA 02

ENTES FUNDAMENTAIS

Na construção de uma teoria geométrica,tomam-se, inicialmente, certos conceitos aosquais se acrescentam postulados e definiçõesa fim de, então, deduzir teoremas e proprieda-des.

Tais conceitos podem ser primitivos ou con-vencionados. Os conceitos primitivos consti-tuem-se num apelo à nossa intuição.

Assim, são entes fundamentais da geometria:ponto, reta e plano.

O ponto

A idéia de ponto é primitiva. Não se define. Oponto não tem dimensão e fica determinadopelo encontro de duas linhas retas ou curvas.Indicamos o ponto utilizando letras maiúsculasdo alfabeto latino.

A reta

Da mesma forma que o ponto, não tem defi-nição. A idéia de linha reta é a de um pontoque se move numa mesma direção. Indicamosa reta utilizando letras minúsculas do alfabetolatino.

A semi-reta

Um ponto qualquer de uma reta divide-a emduas partes distintas chamadas semi-retas. Es-se ponto recebe o nome de origem.

O segmento de reta

Segmento de reta é o conjunto formado pordois pontos tomados sobre uma reta e todosos pontos da reta compreendidos entre os dois.A reta à qual pertence o segmento chama-sereta suporte do segmento.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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⎯AB: é o segmento de reta;

A e B: são os extremos;

r: é a reta suporte do segmento AB.

Segmentos que pertencem à mesma reta cha-mam-se colineares.

Segmentos que possuem uma extremidade emcomum chamam-se consecutivos.

O plano

A noção intuitiva de plano apóia-se na idéia desuperfícies como a de um quadro ou a de umaparede.

O plano é uma figura ideal. A partir da idéiaque dele fazemos, deve-se entendê-lo comoformado por infinitos pontos. Ele é aberto einfinito.

A identificação do plano é dada por letrasminúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, ϕ, ψ,etc.

TEMA 03

OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E ÂNGULOS

Transporte de segmentos

O transporte gráfico de segmento consiste emconstruir um segmento congruente ao segmen-to dado.

Assim, dado o segmento ⎯AB, para transportá-

lo de modo a que tenha por extremidade M eesteja na reta r, faz-se ponta-seca do compas-so em M e abertura

⎯AB, descrevendo-se um

arco de circunferência, obtendo-se N. Assim,obtém-se

⎯MN ≡ AB.

⎯MN ≡

⎯AB.

Adição de segmentos

A soma gráfica de segmentos é obtida pelotransporte sucessivo dos segmentos dados.

⎯MN ≡

⎯AB e

⎯NP ≡

⎯CD

⎯MP é o segmento-soma.

Subtração de segmentos

Transportam-se os segmentos dados parauma reta suporte r, com centro em P.

⎯PQ ≡

⎯AB e

⎯PR ≡

⎯CD

⎯QR é o segmento-diferença.

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

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Ângulos

Um breve histórico

O conceito de ângulo aparece primeiramenteem materiais gregos no estudo de relações en-volvendo elementos de um círculo junto com oestudo de arcos e cordas. As propriedades dascordas, como medidas de ângulos centrais ouinscritas em círculos, eram conhecidas desdeo tempo de Hipócrates. Talvez Eudoxo tenhausado razões e medidas de ângulos na deter-minação das dimensões do planeta Terra e nocálculo de distâncias relativas entre o Sol e aTerra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.–194a.C.) já tratava de problemas relacionados commétodos sistemáticos de uso de ângulos e cor-das.

Desde os tempos mais antigos, os povos vêmolhando para o céu na tentativa de encontrarrespostas para a vida na Terra e entender oscorpos celestes que aparecem à nossa vista.Assim, a Astronomia talvez tenha sido a pri-meira ciência a incorporar o estudo de ânguloscomo uma aplicação da Matemática.

Na determinação de um calendário ou de umahora do dia, havia a necessidade de realizarcontagens e medidas de distâncias.Freqüentemente, o Sol servia como referência,e a determinação da hora dependia da incli-nação do Sol e da relativa sombra projetadasobre um certo indicador (relógio de sol).

Para obter a distância que a Lua estava acimado horizonte, dever-se-ia calcular uma distân-cia que nunca poderia ser medida por um serhumano comum. Para resolver esse problema,esticava-se o braço e calculavam-se quantosdedos comportava o espaço entre a Lua e ohorizonte, ou então, segurava-se um fio entreas mãos afastadas do corpo e media-se a dis-tância.

Os braços deveriam permanecer bem estica-dos para que a resposta fosse a mais fiel pos-sível. A medida era diferente de uma medidacomum, e esse modo foi o primeiro passo paramedir um ângulo, objeto este que se tornouimportantíssimo no contexto científico.

Algumas definições históricas

Grécia antiga

“Um ângulo é uma deflexão ou quebra em umalinha reta”.

Euclides

“Um ângulo plano é a inclinação recíproca deduas retas que num plano têm um extremocomum e não estão em prolongamento”.

H. Schotten

Em 1893, resumiu as definições de ângulo emtrês tipos:

1. A diferença de direção entre duas retas.

2. A medida de rotação necessária para trazerum lado de sua posição original para aposição do outro, permanecendo entre-mentes no outro lado do ângulo.

3. A porção do plano contida entre as duasretas que definem o ângulo.

P. Henrigone

Em 1634, definiu ângulo como um conjunto depontos, definição essa que tem sido usada commais freqüência. Neste trabalho, aparece pelaprimeira vez o símbolo “<” para representarângulo.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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Ângulos

Definição

Ângulo é a figura plana formada por duassemi-retas de mesma origem.

A origem comum chama-se vértice, e as semi-retas chamam-se lados.

A medida usual ao ângulo é o grau, e o instru-mento usado para medi-lo é o transferidor.

Ângulos de mesma medida dizem-se congru-entes.

Indica-se o ângulo ou utilizando-se letras do al-fabeto grego α, β, γ, ou por três letras minús-culas do alfabeto, ou por três letras maiúsculasdo alfabeto latino, indicando a letra do meio ovértice do ângulo e as outras duas os lados.

Ângulo β ou ângulo ROQ.

Para obter a medida aproximada de um ângu-lo traçado em um papel, utilizamos um instru-mento denominado transferidor, que contémum segmento de reta em sua base e um semi-círculo na parte superior marcado com uni-dades de 0 a 180. Alguns transferidores pos-suem a escala de 0 a 180 marcada em ambosos sentidos do arco para a medida do ângulosem muito esforço.

Para medir um ângulo, coloque o centro dotransferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, ali-nhe o segmento de reta OA (ou OE) com umdos lados do ângulo, e o outro lado do ângulodeterminará a medida do ângulo, como mostraa figura.

O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura ante-rior, podemos ler diretamente as medidas dosseguintes ângulos:

Transporte gráfico de ângulos

Passo a passo

1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qual-

quer, com centro no vértice do ângulo dado

para a origem de uma semi-reta.

2. Ponta-seca do compasso em R e abertura

do arco igual a ⎯PQ, determinamos S e o

ângulo α ≡ β.

Adição gráfica de ângulos

Transportam-se os ângulos α e β de modo que

fiquem adjacentes. Ou seja, adicionam-se os

arcos de mesmo raio, qualquer, de medidas αe β.

Subtração gráfica de ângulos

Dados os ângulos α e β, transportamos para

uma semi-reta de origem P, determinando o

ângulo-diferença.

m(AÔB) = 27º m(AÔC)=70º m(AÔD)=120º m(AÔE)=180º

m(EÔB)=153º m(EÔC)=110º m(EÔD)=60º m(EÔA)=180º

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

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1. Dados os segmentos de medidas a, b e c, ob-tenha o segmento de medida 2a + b + c.

2. Obtenha, sobre uma reta r, o segmento cujamedida corresponde ao perímetro das figurasdadas.

a)

b)

c)

3. Dados os segmentos de medidas a, b e c, obte-nha os segmentos de medidas (b – a) + (c – b).

4. Sabendo que AB = 55mm, CD = 37mm e EF = 40mm, desenhe o segmento de medida2AB – 10(EF – CD).

5. A partir de , dado graficamente abaixo,transporte AOB e AOC, em cada caso:

a)

b)

6. Tome um ângulo qualquer e transporte parauma outra semi-reta, usando o compasso, umângulo congruente ao ângulo determinado.

7. Verifique, por transporte de ângulos, as rela-ções de ângulos congruentes na figura dada.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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8. Mostre, por transporte de ângulos, que a somados ângulos internos de um triângulo é umângulo raso.

9. Dado o triângulo ABC, verifique se “o ânguloexterno é a soma dos ângulos internos não-adjacentes”.

10. Dado α e β, encontre o que se pede:

a) α + β

b) β – α

c) 3α – β

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Desenho Geométrico – Introdução ao desenho geométrico

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UNIDADE IIConstrução de ângulos e retas

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TEMA 04

USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUAPARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS ERETAS.

Bissetriz de um ângulo

É a semi-reta que, partindo do vértice do ângu-lo, divide-o em dois ângulos congruentes.

Determinar a bissetriz do ângulo dado

Passo a passo

1. Ponta-seca em O e abertura qualquer, des-crevemos o arco AB.

2. Ponta-seca em A e depois em B e umaabertura maior do que a metade do arcoAB, determinamos o ponto C.

3. A semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB.

Bissetriz de um ângulo inacessível

Determinar a bissetriz do ângulo formado pelasretas r e s.

Passo a passo

1. Traçamos um reta t qualquer determinandoos pontos A e B.

2. Determinamos as bissetrizes dos ângulosformados, encontrando os pontos C e D.

3. A reta que passa por A e B é a bissetriz pro-curada.

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Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas

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UEA – Licenciatura em Matemática

Construindo ângulos

Ângulo de 600

Passo a passo

1. Determinamos uma semi-reta de origem O.

2. Ponta-seca em O e uma abertura qualquer,determinamos na semi-reta o ponto A.

3. Ponta-seca em A e raio ⎯OA, encontramos B.

AÔB = 600

Ângulo de 900

Passo a passo

1. Determinamos uma semi-reta de origem O.

2. Prolongamos a semi-reta e traçamos umângulo raso AÔB.

3. Encontramos a bissetriz do ângulo AÔB.

AÔC = 900

Ângulo de 1350

Passo a passo

1. Utilizando o processo anterior, determina-mos o ângulo reto AÔC.

2. Traçamos a bissetriz de BÔC.

BÔD = 450, logo DÔA = 1350 (suplementares)

Esquadros e construção de retas

Os esquadros são usados para traçar linhas pa-

ralelas e linhas perpendiculares. Para a determi-

nação desses traços, utilizamos os esquadros

em conjunto, ficando um sempre fixo, enquan-

to o outro se desloca, apoiado nele.

Retas paralelas

Passo a passo

1. Faça a borda maior do esquadro de 450

coincidir com a reta dada.

2. Encoste a borda maior do esquadro de 600

no esquadro de 450 .

3. Segure o esquadro de 600, movimente o de

450 e trace as linhas paralelas.

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Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas

Retas perpendiculares

Passo a passo

1. Faça a borda maior do esquadro de 450

coincidir com a reta dada.

2. Encoste a borda maior do esquadro de 600

no esquadro de 450.

3. Mude a posição do esquadro de 450, con-forme a figura.

4. Segure o esquadro 600, movimente o de 450

até o ponto P e trace a perpendicular.

Compasso e régua

Perpendicular a uma reta

Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r.

Passo a passo

1. Com a ponta-seca do compasso em P euma abertura maior que a distância de P ar, traçamos um arco de circunferência queintercepta a reta r em A e B.

2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber-tura maior que a semi-distância AB, traça-mos um arco e repetimos o processo, coma mesma abertura, em B, determinando oponto Q.

3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, queé a reta perpendicular à reta r.

Observação: a reta s é a mediatriz do seg-mento AB.

Dada a reta r e um ponto P, onde P ∈ r.

Passo a passo

1. Com a ponta-seca do compasso em P euma abertura qualquer, traçamos umasemicircunferência que intercepta a reta rem A e B.

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UEA – Licenciatura em Matemática

2. Agora, com a ponta-seca em A e uma aber-tura maior que a semi-distância AB, traça-mos um arco e repetimos o processo, coma mesma abertura, em B. Determina-se,assim, o ponto Q.

3. Traçamos a reta s, passando por P e Q, queé a reta perpendicular à r procurada.

Dada a semi-reta , determinar a perpen-dicular passando por O.

Passo a passo

1. Ponta-seca do compasso em O e uma aber-tura qualquer, traçamos uma semicircun-ferência.

2. Com a ponta-seca em P e a mesma abertu-ra, determinamos sobre a semicircunferên-cia o ponto Q.

3. Repetimos o processo em Q, determinandoR, depois em R determinando S.

4. Temos ⊥ .

Paralela a uma reta

Dada a reta r e um ponto P, onde P ∉ r, deter-mina a reta s // r onde P ∈ s.

Passo a passo

1. Ponta-seca do compasso em P e uma aber-tura maior do que a distância a reta r, traça-mos um arco, determinando em r o ponto O.

2. Ponta-seca do compasso em O e a mesmaabertura, traçamos um arco, passando porP, determinando em r o ponto Q.

3. Ponta-seca do compasso em O e aberturaigual a PQ , traçamos um arco determinan-do ponto R.

O

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25

Desenho Geométrico – Construção de ângulos e retas

4. A reta que passa por P e R é a reta s para-lela a reta dada.

1. Dada a reta r e o ponto P, tal que P ∉ r, deter-mine as retas s (paralela) e t (perpendicular),passando por P. Utilize o jogo de esquadradospara traçar as retas s e t.

2. Resolva o exercício anterior utilizando o com-passo.

3. Trace m, pelo ponto A, tal que m ⊥ r. Trace n,pelo ponto B, tal que n ⊥ s. Chame {P} = m ∩ n.Pelo ponto P trace m’ // r e n’ // s.

4. Trace a reta t, tangente à circunferência dada,tal que t // r.

5. Trace a reta a perpendicular a r e a reta b per-pendicular a s, ambas passando por P.

6. Prolongando os lados do triângulo ABC, deter-mine a altura relativa a cada lado.

7. Faça o transporte do ângulo B, do exercício an-terior, para a semi-reta e encontre a reta s,passando por P, paralela a essa nova semi-reta.

8. Trace um ângulo de 300.

9. Trace um ângulo de 1500.

10. Trace um ângulo de 22030’.

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UNIDADE IIIDivisão de segmentos e segmentos proporcionais

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29

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

TEMA 05

DIVISÃO DE SEGMENTO

Por volta do ano 600 a.C., o sábio grego Talesde Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó jáconhecia sua fama de grande matemático. Ou-vira dizer até que Tales era capaz de uma in-crível façanha: podia calcular a altura de umaconstrução, por maior que fosse, sem precisarsubir nela.

Por ordem do monarca, alguns matemáticosegípcios foram ao encontro do visitante e pedi-ram-lhe que calculasse a altura de uma daspirâmides. Tales ouviu-os com atenção e dis-pôs-se a atendê-los imediatamente.

Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fin-cou no chão uma vara, na vertical. Observandoa posição da sombra, Tales deitou a vara nochão, a partir do ponto em que foi fincada,marcando na areia o tamanho do seu compri-mento. Depois, voltou a vara à posição vertical.“Vamos esperar alguns instantes”, disse ele.“Daqui a pouco, poderei dar a resposta”.Ficaram todos ali, observando a sombra que avara projetava. Num determinado momento, asombra ficou exatamente do comprimento davara. Tales disse então aos egípcios: “Vão de-pressa até a pirâmide, meçam sua sombra eacrescentem ao resultado a medida da metadedo lado da base. Essa soma é a altura exata dapirâmide.

Razão entre dois segmentos

Consideremos os segmentos consecutivos dafigura seguinte:

Temos: ⎯AB = 1mm,

⎯AC = 2mm,

⎯AD = 3mm,

⎯AE = 4mm,

etc.

A razão entre dois segmentos é a razão entreas medidas desses segmentos em uma mes-ma unidade.

Temos, na figura acima, por exemplo:

1.

2. ou

3.

Segmentos proporcionais

Sabemos que proporção é uma igualdade en-tre duas razões.

Exemplo:

Consideremos, agora, quatro segmentos, AB,CD, EF e GH, nessa ordem.

Dizemos, então, que quatro segmentos, na or-dem, são proporcionais quando a razão de suasmedidas (mesma unidade) forma uma pro-porção.

Page 30: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

30

UEA – Licenciatura em Matemática

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina em duasretas transversais segmentos correspondentesproporcionais.

Na figura, temos:

e , logo,⎯PQ,

⎯QR,

⎯PS

e⎯ST, nessa ordem, são proporcionais.

Aplicando o Teorema de Tales

Dividir um segmento em n partes de medidas iguais

Dividir um segmento AB em três partes demedidas iguais.

Passo a passo

1. Por uma das extremidades, traçamos umasemi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traçamos três segmentos consecutivos econgruentes sobre a semi-reta.

3. Unimos o ponto 3 à extremidade B, obten-do o segmento B3.

4. Traçamos por 2 e 1 paralelas a B3, determi-

nando sobre⎯AB três segmentos congruen-

tes.

Dividir um segmento AB em sete partes de

medidas iguais.

1. Por uma das extremidades, traçamos uma

semi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,

traçamos sete segmentos consecutivos e

congruentes sobre a semi-reta.

3) Unimos o ponto 7 à extremidade B, obten-

do o segmento B7.

4. Traçamos por 6, 5, 4, 3, 2 e 1 paralelas a B7,

determinando sobre⎯AB, sete segmentos con-

gruentes.

Page 31: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

31

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

Dividir um segmento numa razão dada

Determinar M, sobre ⎯AB tal que .

Passo a passo

1. Por uma das extremidades, traçamos umasemi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traçamos cinco (3 + 2 da razão dada) seg-mentos consecutivos e congruentes sobrea semi-reta.

3. Unimos o ponto 5 à extremidade B, obten-do o segmento B5.

4. Traçamos em 3, para obtermos a razão ,

uma paralela a B5, determinando sobre ⎯AB

o ponto M.

Assim .

Determinar M sobre ⎯AB tal que .

Passo a passo

1. Por uma das extremidades, traçamos umasemi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traçamos seis (1 + 5 da razão dada) seg-mentos consecutivos e congruentes sobrea semi-reta.

3. Unimos o ponto 6 à extremidade B, obten-do o segmento B5.

4. Traçamos em 1, para obtermos a razão ,

uma paralela a B6 determinando sobre ⎯AB

o ponto M.

Page 32: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

32

UEA – Licenciatura em Matemática

Assim .

1. Divida o segmento dado em oito partes de me-didas iguais.

2. Divida o segmento dado em treze partes de me-didas iguais.

3. Dados os segmentos⎯AB = 3cm,

⎯CD = 5cm e⎯

EF = 2cm, trace a circunferência com centroem A e raio igual à sétima parte do segmento-soma

⎯AB +

⎯CD +

⎯EF.

4. Divida o perímetro do triângulo ABC, em seispartes iguais.

5. Determine o quadrado de lado igual a do

segmento AB.

6. Trace um segmento ⎯PQ = 8,5 e determine o

ponto R que divide ⎯PQ na razão de .

7. Encontre os pontos M e N que dividem o seg-

mento ⎯AB nas razões e respectivamente.

8. Dado o segmento AB, determine dois segmen-

tos AX e XB, de modo que: .

9. Dado a, divida-o por 3 e, em seguida, destaque

o segmento de medida .

10. Dado o triângulo ABC com ⎯AB já dividido em

5 partes de medidas iguais, divida ⎯BC e

⎯AC

também em 5 partes de medidas iguais.

Page 33: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

33

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

TEMA 06

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

Dividir um segmento em partes proporcionais a 2, 4 e 3

Passo a passo

1. Por uma das extremidades, traçamos umasemi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traçamos nove (2 + 4 + 3) segmentos con-secutivos e congruentes sobre a semi-reta.

3. Unimos o ponto 9 à extremidade B, obten-do o segmento B9.

4. Traçamos em 2 e depois em 5 uma paralelaa B9, determinando sobre

⎯AB os ponto M e

N, dividindo o segmento dado em partesproporcionais a 2, 3 e 4.

Assim , etc.

Dividir um segmento em partes proporcionais a 3, 5 e 7

Passo a passo

1. Por uma das extremidades, traçamos umasemi-reta qualquer.

2. Ponta-seca em A e uma abertura qualquer,traçamos quinze (3 + 5 +7) segmentos con-secutivos e congruentes sobre a semi-reta.

3. Unimos o ponto 15 à extremidade B, obten-do o segmento B15.

4. Traçamos em 3 e depois em 8 uma paralelaa B15, determinando sobre

⎯AB os ponto M

e N, dividindo o segmento dado em partesproporcionais a 3, 5 e 7.

M N

Page 34: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

34

UEA – Licenciatura em Matemática

Assim , etc.

Quarta proporcional

Dados três segmentos de medidas a, b e c,denomina-se quarta proporcional desses seg-mentos um segmento de medida x, tal que:

Determinar a quarta proporcional aos segmen-tos AB = a, BC = b e AD = c, nessa ordem.

Passo a passo

1. Sobre uma reta r marcamos os segmentosAB e BC.

2. Traçamos pela extremidade A uma semi-reta s e marcamos o segmento AD = c.

3. Traçamos o segmento BD e por ele tra-çamos uma paralela passando por C, deter-minando na semi-reta o ponto X. O seg-mento DX é a quarta proporcional.

Terceira proporcionalDados dois segmentos de medidas a e b, de-nomina-se terceira proporcional desses seg-mentos um segmento de medida x, tal que:

Determinar a terceira proporcional aos segmen-tos AB = a e BC = b.

Passo a passo

1. Sobre uma reta r marcamos os segmentosAB e BC.

2. Por A, traçamos uma semi-reta s qualquer,ponta-seca do compasso em A e abertura iguala

⎯AB, determinamos em s o segmento

⎯AD.

3. Unimos os pontos B e D, obtendo o seg-mento BD.

4. Traçamos por C uma reta paralela a ⎯BD,

determinando em s o ponto E.

O segmento DE é a terceira proporcionalprocurada.

Page 35: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

TEMA 07

MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA

Dados dois segmentos de medidas a e b,denomina-se média geométrica ou propor-cional desses segmentos um segmento demedida x, tal que:

Aplicação:

Determinar a média geométrica dos segmen-tos AB e BC dados.

Passo a passo

1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos osdois segmentos.

2. Determinamos M, ponto médio de ⎯AC.

3. Ponta-seca em M e medida ⎯AM, traçamos

uma semicircunferência.

4. Por B traçamos uma perpendicular à reta r,determinando na semicircunferência o pon-to D.

O segmento BD é a média geométrica dossegmentos dados.

Outra forma de encontrar a média geométrica

1. Sobre uma reta r qualquer, marcamos osegmento AB.

2. A partir do ponto A e para direita, marcamoso segmento AC.

3. Determinamos em r, o ponto M (ponto mé-dio do segmento AB).

4. Ponta-seca em M e uma abertura ⎯AM,

traçamos uma semicircunferência.

5. Traçamos por C uma perpendicular a r, deter-minando na semicircunferência o ponto D.

D

O segmento AD é a média geométrica pro-curada.

35

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

Page 36: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

1. Marque os pontos M e N, no segmento AB

dado, de modo que .

2. Construa um triângulo ABC cujo perímetro sejaigual a 10,5cm, e os seus lados sejam propor-cionais aos segmentos que medem 2,5cm;3,5cm e 5,0cm.

3. Construa a quarta proporcional entre os seg-mentos m, n e p dados.

4. Dados três segmentos de medidas a, b e c,obtenha, nessa ordem, um segmento x, de

modo que .

5. Dados dois segmentos de medidas a = 5,0cme b = 3,5cm, obtenha um terceiro segmento

de medida x, de modo que . (terceira

proporcional)

6. Construa a terceira proporcional entre os seg-mentos dados.

7. Construa a quarta proporcional entre os seg-mentos m, n e p:

8. Determine, graficamente, a média geométricados segmentos que medem a = 4,0cm e b = 3,0cm.

9. Dados os segmentos de medidas a e b, deter-mine, graficamente, a média geométrica entreeles.

10. Construa o quadrado de lado igual à média geo-métrica dos segmentos dados.

11. Construir o retângulo ABCD de lados de medi-das x e y, sabendo que x é a quarta propor-cional de a, b e c e que y é a média geométri-ca de b e c.

12. Construa o triângulo ABC retângulo, sabendoque as projeções dos catetos sobre a hipote-nusa medem 5,5cm e 3,5cm.

13. Construa o triângulo DEF retângulo, sabendoque a hipotenusa mede 8,0cm e a projeção deum dos catetos mede 2,5cm.

36

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 37: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

TEMA 08

DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTOÁUREO

Em Alexandria, durante o reinado de Diocle-ciano (284 – 305), viveu um grande matemáti-co, seguidor das idéias de Eudoxo e Arqui-medes, Papus de Alexandria, como ficou con-hecido. Ele escreveu, por volta de 320, um livromuito importante com o título de Coleção(Synagoge). Deve-se a sua importância a vá-rios fatores. Contém conteúdos inéditos paraépoca, é uma rica fonte histórica da matemáti-ca grega e apresenta provas novas e lemassuplementares para as obras de Euclides, Ar-quimedes, Apolônio e Ptolomeu. No livro III,seção 2 da Coleção, Papus teve como preocu-pação o problema de colocar num mesmosemi-círculo as três médias: aritmética, geo-métrica e harmônica, mas inicia a seção comas definições pitagóricas dessas médias.Assim, dados dois números a e c (com c < a),seja b, com c < b < a, então a razão (a-b):(b-c) deve ser proporcional a a:ac = c:c para amédia aritmética, a a:b para a média geométri-ca e a a:c para a harmônica. Assim:

Média aritmética:

Média Geométrica:

Média harmônica:

Razão de seção

Chama-se razão de seção de um ponto numsegmento a razão das distâncias do ponto aosextremos do segmento. Quando o ponto é

interior ao segmento, as duas partes por eledeterminadas chamam-se segmentos aditivos;quando o ponto é exterior, as duas partes de-nominam-se segmentos subtrativos. Em am-bos os casos, o ponto estará à esquerda doponto médio do segmento se a razão de seçãofor própria, isto é, menor que a unidade; oponto estará à direita do ponto médio do seg-mento se a razão de seção for imprópria, istoé, maior que a unidade.

Dado o segmento AB e seu ponto médio.

Tomando os pontos M e N à esquerda do pon-to médio, como indicado na figura, determina-remos as seguintes razões.

(razões próprias)

Tomando os pontos M e N à direita do pontomédio, como indicado na figura, determinare-mos as seguintes razões.

(razões impróprias)

Dado um segmento AB, dividi-lo harmonicamente numa razão dada

Na razão .

Passo a passo

1. Efetuamos a divisão do segmento na razãodeterminada.

37

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

Page 38: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

2. Por B traçamos uma paralela à semi-reta A5e com ponta-seca em B e raio

⎯A1, determi-

namos 6 e 7.

3. A interseção entre→

AB e →

37, o ponto Q, é oconjugado harmônico de P.

Os pontos A, P, B e Q formam uma divisãoharmônica.

Dados um segmento AB e o conjugado harmônico interno M obter o outro

Passo a passo

1. Ponta-seca em A e raio ⎯AM e ponta-seca

em B e raio ⎯BM, determinamos dois arcos.

2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep-ta um dos semi-arcos em 1.

3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à→

A1, encontrando 2.

4. A interseção entre →

AB e →

12 é o conjugadoharmônico de M.

Dados um segmento AB e o conjugado harmônico externo M obter o outro

Passo a passo

1. Ponta-seca em A e raio ⎯AN e ponta-seca em

B e raio ⎯BN, determinamos dois arcos.

2. Por A traçamos uma semi-reta que intercep-ta um dos semi-arcos em 1.

3. Por B traçamos uma semi-reta paralela à→

A1, encontrando 2.

4. A interseção entre →

AB e →

12 é o conjugadoharmônico de N.

38

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 39: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

DIVISÃO ÁUREA

Euclides de Alexandria (365 a.C. – 300 a.C.)

Também teve grande importância para a his-tória da geometria. Ele elaborou a teoria daproporção áurea, em que dois números (X e Y,por exemplo) estão em proporção áurea se arazão entre o menor deles sobre o maior forigual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja,X/Y = Y/X+Y). Esta proporção estabelece umcoeficiente áureo, onde se pode analisar que,basicamente, tudo que se encontra na nature-za está inscrito nessa proporção, seja o corpohumano, uma colmeia de abelhas, uma estrelado mar, uma concha, etc.

Segmento áureo

Sejam ⎯AB um segmento e P um ponto perten-

cente a reta-suporte desse segmento.

P é interior

P é exterior

Diz-se que um segmento está dividido por umponto na razão áurea quando uma das partespor ele determinada é a média geométricaentre o segmento e a outra parte.⎯AP

2=

⎯AB .

⎯PB

O segmento ⎯AP é o chamado áureo de

⎯AB.

Determinação algébrica do segmentoáureo.

1.o caso: P é interior a ⎯⎯AB.

Por definição temos:⎯AP

2=

⎯AB .

⎯PB ⇒ x2 = a .(a – x) ⇒

x2 + ax – a2 = 0, cujas raízes são:

, descartamos a raiz

negativa.

2.o caso: P é exterior a ⎯⎯AB.

Por definição temos:⎯AP

2=

⎯AB .

⎯PB ⇒ x2 = a .(a + x) ⇒

x2 – ax – a2 = 0, cujas raízes são:

, descartamos a raiz

negativa.

39

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

Page 40: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

A razão entre cada segmento áureo e o seg-mento a que ele se refere é um número de ouro.

e

Resolução gráfica

Dividir o segmento AB em média e extremarazão.

Passo a passo

1. Por B traçamos uma perpendicular a ⎯AB.

2. Ponta-seca em B e raio , encontramos

na perpendicular o ponto O.

3. Traçamos a circunferência de centro O eraio

⎯OB, e os pontos C e D (interseção da

semi-reta AO com a circunferência).

4. Ponta-seca em A e raio ⎯AC e depois

⎯AD,

determinamos sobre o segmento AB ospontos P e P’.

⎯AP = 0,618 .

⎯AB e

⎯AP’ = 1,618 .

⎯AB

RETÂNGULO ÁUREO

É o retângulo que tem os seus lados a e b narazão áurea a/b = f = 1,618034. Portanto o ladomenor (b) é o segmento áureo do lado maior (a).

O retângulo áureo exerceu grande influênciana arquitetura grega. As proporções do Par-tenon prestam testemunho dessa influência.Construído em Atenas, no século V a.C., oPartenon é considerado uma das estruturasmais famosas do mundo. Quando seu frontãotriangular ainda estava intacto, suas dimen-sões podiam ser encaixadas quase exata-mente em um retângulo áureo.

Construção do retângulo áureo

Dado o quadrado ABCD

40

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 41: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

Passo a passo

1. Determinamos o ponto médio de ⎯AB.

2. Ponta-seca em M e raio ⎯MC, determinamos

na semi-reta AB o ponto E.

3. Passando por E, traçamos uma semi-retavertical a

→AE, cuja interseção com

→DC é o

ponto F.

O retângulo AEFD é um retângulo áureo.

Arco capaz

Dado um segmento AB e um ângulo k, pergun-ta-se: qual é o lugar geométrico de todos ospontos do plano que contém os vértices dosângulos cujos lados passam pelos pontos A eB sendo todos os ângulos congruentes aoângulo k? Este lugar geométrico é um arco decircunferência denominado arco capaz.

Construção do arco capaz

1. Traçar um segmento de reta AB.

2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando como segmento AB um ângulo congruente a k.

3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t

passando pelo ponto A.

4. Determinar o ponto médio M do segmento

AB e traçar a reta mediatriz m ao segmento

AB.

O

5. Obter o ponto O que é a interseção entre a

reta p e a mediatriz m. Ponta-seca no ponto

O e abertura OA, traçar o arco de circunfe-

rência localizado acima do segmento AB.

O arco que aparece acima no gráfico é o

arco capaz.

41

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

O

Page 42: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

1. Divida, harmonicamente, o segmento AB nasrazões dadas.

a)

b)

c)

2. Dado o segmento, obtenha o conjugado har-mônico externo de P.

3. Dado o segmento, obtenha o conjugado har-mônico interno de Q.

4. Divida o segmento AB em média e extremarazão (seção áurea).

5. Divida o segmento AB em média e extremarazão (seção áurea).

6. Construa o arco capaz de um ângulo de 300,conhecendo o segmento GH.

7. O segmento RS mede 3,8cm e α forma comele um ângulo de 600. Trace o arco capaz cor-respondente.

8. Determine os pontos da reta r que vêem o seg-mento PQ sob um ângulo de 350.

9. São dados o segmento EF, a reta x e um ângu-lo de 400. Determine os pontos da reta x quevêem o segmento EF sob o mesmo ângulo.

10. Construa o arco capaz a um segmento de5,0cm sob um ângulo de 450.

A língua é a expressão falada ou escrita dopensamento humano. A cada povo corres-ponde um idioma diferente variado, igual-mente, por meio da evolução peculiar a cadaum, sua representação gráfica. Essa repre-sentação, principalmente no mundo ociden-tal, é feita por meio do alfabeto de origemfenícia, que passou à Grécia e à Roma, e pelasua simplicidade constituiu-se no principalveículo de transmissão do conhecimento hu-mano. Anteriormente, essa comunicação erafeita por meio do desenho, às vezes bem rudi-mentar, do homem primitivo, por meio de hie-róglifos como no Egito ou no México, grava-dos ou esculpidos nos monumentos, ou pormeio dos caracteres cuneiformes das civiliza-ções da Mesopotâmia, ou, ainda, por meiodos caracteres ideográficos sino-japoneses.Algumas tribos primitivas serviam-se de paus,pedras, fios tecidos, colares, e com eles fazi-am palavras, compondo frases e expressan-do idéias.

É a escrita mnemônica. De origem americana,esta escrita transmite idéias ou fatos semdesenhá-los, isto é, não tem forma gráfica.

Os principais exemplos deste sistema são os“quipos” dos índios do Peru e os “wampus”dos índios irogueses.

Em síntese, a evolução da escrita pode serresumida em:

42

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 43: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

Pictografia – Desenhos de figuras rudimenta-res – do latim “pictus” (pintado) e do grego“grafe” (descrição). Escrita figurada usada pelohomem primitivo para fixar, nas paredes dascavernas, seus principais feitos, cenas decaçadas, objetos de uso pessoal, etc. Res-tringia a linguagem gráfica, limitando-a ao re-gistro de fatos e coisas materiais com o máxi-mo de realidade possível. Se eles queriamexprimir a palavra “bisão”, desenhavam um ouvários bisões, e para a palavra “caça”, desen-havam homens com lanças ou arcos e animais.

“Disco de Faisto”, século XIV a. C. Ele encerra uma espiral de hieróglifos da antiga Creta, que até hoje

não foram decifrados.

Ideografia – Fixação das idéias por meio dossímbolos – sinais que, muitas vezes, não signifi-cavam acontecimentos vistos e palpáveis. Sãosignos convencionais correspondentes a deter-minadas expressões por meio das quaissurgem idéias. Cada desenho isolado tem umsignificado, por onde o abstrato pode ser repre-sentado. A lua e as estrelas simbolizavam omês; um olho, a vigilância; o desenho do sol,por exemplo, já não designava somente oastro, e sim, o tempo de luz solar entre duasnoites, isto é, o dia.

Fonetismo – Nesse sistema, as figuras lidasevocavam seu primitivo sentido acrescido daexpressão sonora. Pássaro, ao invés de sim-bolizar apenas rapidez, adquiria o valor sono-ro de ave.Isto é, equivaliam ao som, processo seme-lhante ao usado atualmente nas cartas enig-máticas, onde é comum o símbolo do sol maiso do dado, representar a palavra soldado.

A linguagem gráfica e o mundo das formas na nossa vida

Esses mosaicos matemáticos nem sempre

43

Desenho Geométrico – Divisão de segmentos e segmentos proporcionais

Page 44: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

são construídos pelo homem. O surpreen-dente é que podemos observá-los tambémna natureza, vejamos:

Nos favos de mel das abelhas, encontramos ummosaico de hexágonos regulares.

(Hexágonos são polígonos de seis lados)

Um mosaico de hexágonos aparece também na casca do abacaxi.

44

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 45: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

UNIDADE IVFiguras da geometria plana

Page 46: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1
Page 47: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

47

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

TEMA 09

DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUASPARTES IGUAIS (PELO ÂNGULO CENTRAL)

1 Divisão de circunferência em duas partesiguais.3600 / 2 = 1800

2. Divisão de circunferência em três partes iguais.3600 / 3 = 1200

3. Divisão de circunferência em quatro partesiguais.3600 / 4 = 900

4. Divisão de circunferência em cinco partes iguais3600 / 5 = 720

5. Divisão de circunferência em seis partes iguais 3600 / 6 = 600

6. Divisão de circunferência em sete partes iguais

3600 / 7 = 510

7. Divisão de circunferência em oito partes iguais

3600 / 8 = 450

8. Divisão de circunferência em nove partes

iguais

3600 / 9 = 400

9. Divisão de circunferência em dez partes iguais

3600 / 10 = 360

10. Divisão de circunferência em doze partesiguais.3600 / 12 = 180

Page 48: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

48

UEA – Licenciatura em Matemática

1. Dividir a pizza em seis partes iguais.

2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam algunsraios para que possa pedalar entregandopães. Complete os raios faltantes.

3. No visor do relógio de parede caíram os pon-tos indicadores das horas: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 e11 horas.

4. Para ver o sol nascer belo e vigoroso divida-oem vinte partes iguais, projetando seus raiosem forma de triângulos a partir da circunferên-cia para fora. Seu centro coincide com a quinado muro.

5. A aranha está encontrando dificuldades paraarmar sua teia, pois faltam fios importantes quesaem do centro e passam pelas bordas dospolígonos.

6. Complete o desenho da roda dentada de acor-do com a sua metade pronta.

7. As duas circunferências foram divididas emoito partes cada, e seus pontos não são coli-neares. Verifique que figura surgirá ao ligar ospontos das duas circunferências em seqüên-cia.

Page 49: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

8. A partir dessa divisão de circunferência, usan-do todos os pontos como centros, a ligaçãodos números e a ligação das letras mostrarãoduas figuras em sobreposição, de forma que ocentro 1 ligará com um arco os pontos a e d, eassim por diante, pois o raio é constante. Osnúmeros darão origem à figura formada pelasletras, e as letras darão origem à figura forma-da pelos números.

9. A hélice do ventilado quebrou num desses diasde calor intenso, e, para piorar, o condicio-nador de ar não funciona. Coloque, então, umanova hélice sabendo que o ângulo entre elas éde 600 (destacar as hélices).

10. Verifique se os ângulos α da divisão da circun-ferência têm ângulos medidos iguais.

11. Dada a circunferência, divida-a em nove partesiguais e construa um polígono estrelado regu-lar inscrito (eneágono estrelado) ligando osseus vértices em intervalos de dois em dois.

12. Construa um polígono estrelado regular inscritode nove pontas (eneágono estrelado), ligandoseus vértices em intervalos de três em três.

13. Complete o pentágono estrelado regular ins-crito dada uma de suas pontas.

49

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

β

α

Page 50: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

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UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 10

TRIÂNGULOS

BREVE HISTÓRICO

Os triângulos são formas geométricas que apre-sentam rigidez e estabilidade pela agudez desuas quinas e orientam-se por uma base. Sãofiguras de grande influencia nas culturas hu-manas, como egípcios, babilônios e Pitágoras,enfim, seja nas construções, seja nas artes, namatemática, etc.

O triângulo é o menor entre os polígonos.

Os polígonos regulares (expressão, harmoniae simetria) admitem uma circunferência inscri-ta e circunscrita.

PROCESSOS DE CONSTRUÇÃO DETRIÂNGULOS.

1. Construir um triângulo eqüilátero de lado⎯AB = 3 cm, usando somente a régua e o par deesquadros.

a) 1.o passo:

Traçar o lado ⎯AB = 3cm

b) 2.o passo:

Posicione os esquadros de forma a obter apartir de A e B ângulos de 600 cruzando-see obtendo-se o ponto C (vértice oposto àbase

⎯AB).

2. Construir um triângulo eqüilátero de lado⎯AB = 3cm utilizando régua e compasso.

a) 1.o passo:

Traçar o lado ⎯AB = 3cm

b) 2.o passo:

Abrir o compasso com a distância ⎯AB e

colocar sua ponta seca em A, traçando umarco a partir de B. Com a ponta seca em Be a mesma abertura, traçar um arco a partirde A, encontrando, assim, o ponto C, po-dendo, então, ligar os pontos e definir o tri-ângulo desejado.

3. Construir um triângulo eqüilátero inscrito sen-do dada a circunferência de raio = 1,25cm.

a) 1.o passo:

Traçar a circunferência e o seu diâmetro.

b) 2.o passo:

Com a ponta-seca do compasso em umadas extremidades do diâmetro e aberturaigual ao raio, traçar um arco cruzando acircunferência duas vezes definindo,assim, os dois pontos (vértices) que geramo triângulo.

A B

A B

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51

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

c) 3.o passo:

Finalmente, ligam-se os pontos e define-seo triângulo.

4. Construir um triângulo isósceles dado o ladomenor (base)

⎯AB = 2cm e sua altura

⎯MC = 3,2cm.

a) 1.o passo:

Traçar o lado base ⎯AB = 2cm.

b) 2.o passo:

Pelo ponto médio de ⎯AB, levantar uma per-

pendicular e nela marcar a altura ⎯MC.

c) 3.o passo:

Ligar os pontos ABC do triângulo isósceles.

5. Construir um triângulo isósceles dado o lado(base)

⎯AB = 3cm e um ângulo α = 700 adja-

cente à base.

a) 1.o passo:

Traçar a base AB.

b) 2.o passo:

Traçar o ângulo α a partir de A, estendendoo traçado.

c) 3.o passo:

Repetir a operação a partir de B obtendo-se oponto C pelo encontro dos ângulos le-vantados, ligando os três pontos do triângulo.

6. Construir um triângulo retângulo isósceles ins-crito à circunferência dada.

a) 1.o passo:

Traçar a circunferência.

b) 2.o passo:

Traçar pelo centro da circunferência o ladoAB igual a diâmetro.

M C

A B

A B

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UEA – Licenciatura em Matemática

c) 3.o passo:

Pelo centro da circunferência, levantar umaperpendicular igual ao raio da circunferência.

d) 4.o passo:

Finalmente, ligar os pontos A e B com o ponto C.

7. Construir um triângulo retângulo dados oslados

⎯AB = 4,4cm e

⎯AC = 1,8cm.

a) 1.o passo:

Traçar o lado AB.

b) 2.o passo:Traçar uma perpendicular à extremidade A.

c) 3.o passo:

Ligar os pontos A, B e C, definindo o triân-gulo pedido.

8. Construir um triângulo escaleno dados oslados

⎯AB = 5cm,

⎯BC = 2,7cm e

⎯AC = 2cm.

a) 1.o passo:

Traçar o lado base ⎯AB = 6cm.

b) 2.o passo:

Abrir o compasso com a distância igual a ACe com a ponta seca em B traçando um arco.

c) 3.o passo:

Abrir o compasso com a distância BC, colo-cando a ponta seca em A e traçando um arcoque cruze o arco BC definindo o ponto C.

d) 4.o passo:

Ligar os pontos dos vértices A, B e C.

9. Construir um triângulo escaleno dado o ladobase

⎯AB = 5cm e dois ângulos adjacentes a A

e B com ângulos α = 450 e 600 respectivamente.

a) 1.o passo:

Traçar o lado (base) AB.

b) 2.o passo:

A partir de ⎯AB, levantar o ângulo de 450 pela

extremidade A.

c) 3.o passo:

Levantar o ângulo de 600 pela extremidade

A B

Page 53: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

53

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

B, cruzando a reta do ângulo de 450 noponto C.

10. Construir um triângulo eqüilátero de lado =3cm, circunscrevê-lo e inscrevê-lo.

a) 1.o passo:

Construir o triângulo por um dos processosjá vistos.

b) 2.o passo:

Traçar as três alturas que também são asbissetrizes do triângulo. O cruzamento des-sas alturas determinará o centro inscritível ecircunscritível do triângulo.

c) 3.o passo:

Com a ponta-seca do compasso no pontoO (centro) e abertura a qualquer um dosvértices, circunscrever o triângulo (por fora).

d) 4.o passo:

Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir

a abertura do compasso ⎯OM e inscrever o

triângulo.

Observe que, nesse caso, os lados do triân-gulo são tangentes à circunferência.

1. Dado o triângulo retângulo isósceles circuns-crevê-lo.

2. Desenhar um triângulo escaleno, dados oslados

⎯AB = 4cm,

⎯BC = 3cm e

⎯CA = 2cm.

3. Desenhar um triangulo dada a base ⎯AB = 4cm e

dois ângulos adjacentes à base α = 450 e β = 600.

4. Desenhar um triangulo retângulo dado o ladomaior

⎯AB = 4cm, a hipotenusa = 4,5cm.

5. Dada a circunferência, circunscreva um triân-gulo retângulo sabendo que seu lado maiorcorresponde ao diâmetro.

6. Desenhar um triângulo dada a base⎯AB =5,5cm e

⎯AC = 3,5cm e um ângulo adja-

cente à base a partir de A igual α = 600.

7. Dividir com um traço o triângulo retângulo isós-celes abaixo para obter outros dois triângulosretângulos isósceles.

Page 54: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

8. Complete o triângulo abaixo dado o seu ladobase

⎯AB e a sua altura.

9. Classifique os triângulos existentes na figuraabaixo quanto à forma e quanto ao ângulo.

10. Complete a placa de sinalização “SIGA EMFRENTE” para que não haja transtornos notrânsito da rua.

11. O triângulo incompleto abaixo oculta um outrotriângulo idêntico. Defina este triângulo.

12. Quantos triângulos eqüiláteros há nesta figura?

13. Dado o módulo triangular, crie um módulo maiorrepetindo-se quatro vezes, orientadondo-se peloeixo perpendicular.

14. Dado o triângulo eqüilátero, divida-o para obterquatro triângulos eqüiláteros (basta usar trêstraços).

15. A marca da Mercedes Bens (automóveis) émundialmente conhecida apresentando geome-tria muito simples. Reproduza a marca abaixocom precisão, citando o nome do triângulo baseda marca.

54

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 55: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

16. Dado o triângulo de base ⎯AB, reproduza um

outro exatamente igual abaixo, usando amesma base.

17. Construir um triângulo eqüilátero circunscritode lado

⎯AB = 5cm.

18. Construir um triângulo retângulo isósceles dadoo lado base

⎯AB = 3cm e sua altura

⎯MC = 5cm.

19. Construir um triângulo escaleno de lados⎯AB = 6cm,

⎯AC = 4cm e

⎯BC = 5cm.

20. Dado o triângulo retângulo isósceles, circuns-creva-o.

TEMA 11

QUADRILÁTEROS

Quadrados e retângulos

BREVE HISTÓRICO

Tanto entre os Sumérios quanto entre os egíp-cios, os campos primitivos tinham forma retan-gular. Também os edifícios possuíam plantasregulares, o que obrigava os arquitetos a cons-truir muitos ângulos retos (de 90o). Embora debagagem intelectual reduzida, aqueles homensjá resolviam o problema como um desenhistade hoje. Por meio de duas estacas cravadas naterra, assinalavam um segmento de reta. Emseguia, prendiam e esticavam cordas que fun-cionava à maneira de compassos: dois arcosde circunferência se cortam e determinam doispontos que, unidos, secionam perpendicular-mente a outra reta, formando os ângulos retos.

Definição

São polígonos que possuem quatro lados, comformas que apresentam aspecto de rigidez,conservadorismo e estabilidade – no caso dosquadrados, retângulos e trapézios.

São figuras poligonais fechadas, que limitamuma área do espaço.

Podem ser côncavos ou convexos.

Tem ângulo Todos os ângulosinterno de 180º internos são

menores que 180º

a) Quadriláteros paralelogrâmicos

Quadriláteros que possuem lados opostosparalelos entre si. Pertencem a este grupo:o quadrado, o retângulo, o losango e oparalelogramo.

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Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

Page 56: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

b) Trapézios

Quadriláteros que possuem dois lados para-lelos entre si chamados de bases (maior oumenor). Os lados não-paralelos são chama-dos de transversais. A distancia entre ladosparalelos é chamado de altura (h).

Podem ser divididas em: retângulo, isósce-les e escaleno.

c) Trapezóides

Quadriláteros que não apresentam para-lelismo entre os lados.

CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS

1. Construir um quadrado (regular) dado o ladoAB = 2,7cm.

a) 1.o passo:

Traçar uma linha horizontal indefinida e nelamarcar a distância AB.

b) 2.o passo:Pelos pontos A e B, levantam-se duas per-pendiculares.

c) 3.o passo:

Com centro em A e raio ⎯AB, corta-se a per-

pendicular que sobe de A no ponto D. Como mesmo raio e com centro em B, corta-sea perpendicular que sobe de B no ponto C,ligando-se os pontos C e D, obtendo-se,assim, o quadrado pedido.

2. Construir um quadrado (regular), dadas suasdiagonais.

a) 1.o passo:

Traçar as duas diagonais prolongadas,cruzando-as no ponto O (centro).

b) 2.o passo:

Com a ponta-seca do compasso em O eabertura qualquer, traça-se uma circunfer-ência, determinando quatro pontos.

c) 3.o passo:

Ligam-se os pontos na ordem A, B e C, quesão os lados do quadrado.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 57: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

3. Construir um retângulo dados os lados⎯AB = 4,8cm e AD = 2cm.

a) 1.o passo:

Traçar uma linha suporte horizontal e, sobreela, traçar o lado

⎯AB = 4,8cm.

b) 2.o passo:

Pela extremidade A, levanta-se uma per-pendicular, marcando sobre esta o lado⎯AD = 2cm.

c) 3.o passo:

Traçar uma paralela ao lado ⎯AB partindo

por D.

d) 4.o passo:

Levantar uma perpendicular a partir de B,obtendo o quarto vértice C e o retângulopedido.

4. Construir um quadrado conhecendo-se a suadiagonal

⎯AB = 3,3cm.

a) 1.o passo:

Traçar uma linha suporte horizontal, mar-cando o segmento retilíneo

⎯AB.

b) 2.o passo:

Traçar uma perpendicular cortando o seg-mento

⎯AB ao meio (centro O).

c) 3.o passo:

Marcar, com a medida do raio ⎯AO, as dis-

tâncias ⎯OC para cima e

⎯OD para baixo.

Unindo-se os pontos A, B, C, e D, teremoso quadrado pedido.

5. Construir um retângulo dado o lado ⎯AB = 6cm

e sua diagonal ⎯AC = 6,5cm.

a) 1.o passo:

Traçar uma linha suporte horizontal, mar-cando sobre ela a distância AB.

b) 2.o passo:Levantar duas perpendiculares ao segmen-to

⎯AB, pelas extremidades A e B.

c) 3.o passo:Com centro em qualquer de suas extremi-dades, no caso A, e com raio igual ao com-primento

⎯AC da diagonal, descreve-se um

arco de círculo que cortará a outra perpen-dicular no ponto C.

57

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

A D

A B

Page 58: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

d) 4.o passo:

Traçar uma paralela a AB passando pelo pontoC, determinado, assim, o quarto vértice D doretângulo pedido, ligando agora os vértices.

QUADRILÁTEROS

1. Construir um quadrado circunscrito, conhe-cendo-se suas diagonais e seu raio = 3cm.

2. Utilizando quatro triângulos retângulos isósce-les, construir dois quadrados: um externo eoutro interno.

3. Dadas os pares de paralelas perpendicularesentre si, construa a cruz que simboliza a saúdeno mundo inteiro.

4. Que objeto surgirá a partir desta figura com-posta de retângulos? Escreva e/ou desenhe.

5. Construir um retângulo, dado o triângulo ABCabaixo, sabendo que o ponto C é o cruzamen-to das diagonais do retângulo pedido.

6. A construtora “JOÃO DE BARRO”, possui umterreno em área valorizada, mas totalmentefora de esquadro ou alinhamento, dificultandosua venda. Faça a divisão do terreno e vejaquantos lotes de 1cm x 2cm (no desenhoabaixo), podemos conseguir.

7. Dada o cubo abaixo, como é o desenho deleaberto (planificado), usando medidas reais docubo: largura, altura e comprimento?

8. A partir do retângulo ABCD e uma diagonal,desenhe dois outros retângulos, sendo que oretângulo interno tem lado menor igual a 1cm,e o maior tem diagonal igual a 7cm.

9. A figura abaixo contém diversas formas: planase tridimensionais que se relacionam entre si. Citequais formas podemos encontrar nessa figura.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 59: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

10. Construa dois quadrados sendo um interno eoutro externo, utilizando quatro trapéziosisósceles.

a) A figura abaixo é um exemplo de ilusão deótica. Olhando para ela, temos a impressãode ver pequenos quadrados ou manchascinza nos cruzamentos das faixas brancas.

Você sabe por que isso ocorre?

R: Quando as faixas se cruzam, o contrasteentre o branco e o preto fica menor e,assim, podemos ver essas manchas cinzaclaras.

b) As diagonais AB e CD dos paralelogramossão iguais.

R: Sim. Confira.

c) A figura ABCD é um quadrado?

R: Sim.

TEMA 12

TRAPÉZIOS

INTRODUÇÃO

Os trapézios são triângulos truncados com for-mas que transmitem estabilidade e ascensão,projeção.

Ao contrário dos Egípcios, as civilizações anti-gas da América Central não construíram seusmonumentos com base na forma triangular,mas na forma de trapézios.

CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS

1. Construir um trapézio isósceles conhecendo-se o lado maior

⎯AB = 4cm, a base menor

⎯CD = 2cm e sua altura = 3,3cm.

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e marcar a medida⎯AB, e em seguida marcar a metade de

⎯AB

(ponto médio).

59

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

A B

Page 60: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

b) 2.o passo:Levantar uma perpendicular a partir de M.

c) 3.o passo:

Marcar a altura do trapézio MM e traçar umareta paralela a AB passando por M.

d) 4.o passo:

Marcar sobre esta reta paralela a AB a me-dida CD, sendo que a metade desta medidaMC está para a esquerda e MD para a dire-ita. Unindo-se os pontos A, B, C e D, obtém-se o trapézio pedido.

2. Construir um trapézio isósceles conhecendo-sea base maior

⎯AB = 4,8cm, sua altura = 2,8cm

e o ângulo adjacente à base maior é α = 600.

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e nela marcar amedida

⎯AB. Em seguida, marque a altura,

traçando-se uma paralela a ⎯AB.

b) 2.o passo:

Construir o ângulo α com origem em A edepois com origem em B. Os ângulos le-vantados cortarão a altura em C e D,definindo, assim, o lado menor e o trapézio(de lados A, B, C e D) pedido.

4. Construir um trapézio retângulo conhecendo-sea base maior

⎯AB = 4,8cm, o lado CD = 3,5cm

e sua altura = 2cm.a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e nela marcar amedida AB.

b) 2.o passo:Traçar a altura a partir do ponto A da basemaior, marcando-se a medida dada, obten-do-se, assim, o ponto C.

c) 3.o passo:Traçar uma reta paralela a

⎯AB passando

pelo ponto C.

d) 4.o passo:Medir, então, sobre a paralela traçada ocumprimento da base menor

⎯CD. Unindo-

se A, B, C e D respectivamente, teremos otrapézio pedido.

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UEA – Licenciatura em Matemática

h

Page 61: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

4. Construir um trapézio escaleno sendo a basemaior

⎯AB = 4,8cm, a base menor

⎯CD = 1,5cm,

o lado ⎯AC = 2,7cm e o ângulo adjacente à

base AB a partir de A, sendo α = 70°.

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e nela marcar amedida

⎯AB.

b) 2.o passo:

Medir e traçar o ângulo α sobre a base ⎯AB

com origem em A.

c) 3.o passo:

Marcar e medir ⎯AC sobre o ângulo levanta-

do e, pelo ponto C, traçar uma paralela a⎯AB.

d) 4.o passo:

Medir então, sobre a paralela traçada ocomprimento da base menor

⎯CD. Unindo-

se então A, B, C e D respectivamente, tere-mos o trapézio pedido.

5. Construir um trapezóide dada a base maior⎯AB = 4,85cm, sua base menor

⎯CD = 2cm, o

lado ⎯AC = 3cm, o lado

⎯BD = 2,9cm e um ângu-

lo = 70° adjacente a AB com origem em A.

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e nela marcar a dis-tância AB.

b) 2.o passo:

Medir e traçar o ângulo sobre ⎯AB com cen-

tro em A.

c) 3.o passo:

Marcar a medida ⎯AC sobre o lado do ângu-

lo levantado.

d) 4.o passo:

Com centro em C e abertura⎯CD = 3cm (feita

com compasso) faz-se um arco aleatório.

e) 4.o passo:Com centro em B e abertura do compassocom a medida

⎯BD, faz-se outro arco cortan-

do o arco anterior originando o ponto D.Une-se, então, os pontos A, B, C e D paraobter o trapézio pedido.

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Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

Page 62: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

TRAPÉZIOS

1. Construir um trapézio isósceles, dada a suabase maior

⎯AB = 5cm , sua altura h = 4cm e

um ângulo de 80° adjacente à base ⎯AB.

2. Dado o triângulo eqüilátero A B C, construir umtrapezóide, sendo o lado

⎯AD = 4cm e o lado⎯

BE = 3cm.

3. Construir e identificar o trapézio conhecendo-seo lado

⎯AD = 4,5cm, suas diagonais

⎯AC = 6,8cm

e ⎯BD = 7,7 cm, com altura h = 4,4cm.

4. Construir um trapézio retângulo conhecendo-se a base maior

⎯AB = 6cm, a base menor⎯

CD = 2cm e sua altura ⎯AD = 3cm.

5. Construir um trapézio retângulo, dada a suabase maior

⎯AB = 6cm e o ponto médio dessa

base (metade de ⎯AB).

6. Descreva as características de um trapézioquanto:

Aos lados: ________________________________

Aos ângulos: _____________________________

7. Dada a circunferência abaixo, construir umtrapézio isósceles, sabendo-se que sua basemaior é o diâmetro da circunferência e seusquatro pontos (A, B, C e D) tocam essa circun-ferência.

8. Determine o perímetro do trapézio dado sobrea linha abaixo.

9. Abaixo, temos um quadrado e uma de suasdiagonais. Com apenas um traço, divida oquadrado em dois trapézios retângulos.

10. Construir um trapézio isósceles, dada a basemaior

⎯AB = 6cm, base menor

⎯CD = 4cm e

sua altura = 4cm.

11. Desenhar um trapézio isósceles circunscrito,dada a base maior

⎯AB = 6cm, um ângulo adja-

cente à base α = 60°, em que a base maior éo diâmetro da circunferência.

12. Complete o desenho da barra de ouro unindoos vértices das letras iguais.

13. Dado o trapézio, divida-o de forma a obter:

a) Um trapézio retângulo.

b) Um triângulo retângulo.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 63: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

14. Construir um trapézio escaleno, dada a basemaior

⎯AB =6cm, a base menor

⎯CD = 2.5cm, o

lado ⎯AC =3cm e dois ângulos adjacentes à

base maior, α = 60° e β = 45°.

15. Complete, com um trapézio isósceles, o dese-nho da casa.

16. Dado o quadrado, divida-o para obter quatrotrapézios isósceles).

17. Dadas três figuras, monte um trapézio.

18. Decomponha a figura dada em:

a) Dois trapézios retângulos.

b) Um triângulo equilátero.

c) Um trapézio isósceles.

19. Vamos ligar os pontos na ordem alfabética ever que figura vai surgir.

20. No futebol de rua, a garotada jogou a bola con-tra uma janela, estilhaçando a vidraça. Des-taque as partes de vidro que formam trapézios.

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Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

Page 64: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

TEMA 13

LOSANGOS E PARALELOGRAMOS

Diferenciam-se dos quadriláteros retangularespela sua inclinação ou angulação, proporcio-nada pelas suas diagonais de tamanho, trans-mitindo sensação de desequilíbrio e, aomesmo tempo, dinamismo, parecendo estarem movimento ou deslocamento.

Sensação de movimento

O quadrado é estático.

O losango tem movimento diagonal.

Aplicações

CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMOS

1. Construir um losango dados um lado ⎯AB = 2,7cm

e um ângulo α = 60°.

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e, sobre esta, mar-car o segmento retilíneo

⎯AB, que é o lado

dado.

b) 2.o passo:

Marca-se o ângulo a partir do segmento ⎯AB,

tendo como origem a extremidade A, pro-longando-se o outro lado do ângulo.

c) 3.o passo:

Com centro em A e abertura igual a ⎯AB, le-

vanta-se um arco, cruzando o lado doângulo levantado.

d) 4.o passo:

Traçar, a partir de B, um segmento paraleloa

⎯AC (prolongado). Da mesma forma, traçar

uma reta paralela a ⎯AB passando por C e

definindo o último ponto que é o D. Unindoos pontos A, B, C, D, e A teremos o losan-go desejado.

2. Construir um losango, dadas as duas diago-nais, sendo a diagonal maior

⎯AB = 4cm e a

diagonal menor ⎯CD = 2,5cm.

a) 1.o passo:

Traçar as duas diagonais perpendicularesentre si (prolongadas) que se cruzam emseus meios (origem).

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UEA – Licenciatura em Matemática

Page 65: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

b) 2.o passo:

Marcar, a partir do cruzamento das diago-nais (O), a metade da medida AB, sendo⎯AO = 2cm e

⎯OB = 2cm (diagonal maior).

c) 3.o passo:

Desta vez, marcar a partir de O a metade damedida

⎯CD, sendo

⎯OC = 0,8cm e

⎯OD = 0,8cm

a diagonal menor. Obtido os quatro pontos,liga-se e obtém-se o losango pedido.

3. Construir um losango sabendo-se o seu lado⎯AB = 2,7cm. (usar compasso e régua).

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e nela marcar osegmento

⎯AB.

b) 2.o passo:

Com centro em A e abertura ⎯AB, traça-se

um arco acima de B.

c) 3.o passo:

Com centro em B e mesma abertura ⎯BC,

traça-se um arco que cruzará o arco anteri-or definindo o ponto C.

d) 4.o passo:

Com centro em C e abertura (mesma) ⎯CB,

traça-se um arco cruzando o arco ⎯BA e

definindo o ponto D. Unindo-se os pontosA, B, D e C, temos o losango desejado.

4. Construir um paralelogramo dado o lado⎯AB = 4,8cm, o lado

⎯AC = 2,2cm e o ângulo

adjacente a AB, α = 45°

a) 1.o passo:

Traça-se uma reta suporte e marca-se amedida AB.

b) 2.o passo:

Constrói-se o ângulo α sobre o segmento⎯AB com origem em A.

c) 3.o passo:

Traça-se sobre o lado do ângulo α levanta-do a medida

⎯⎯AC.

65

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

O

O

Page 66: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

d) 4.o passo:

Traça-se uma paralela ao lado ⎯⎯AB passan-

do por C e outra ao lado ⎯⎯AC passando por

B, definindo o ponto D. Unem-se os pontoscom traço forte e obtém-se o paralelogramopedido.

5. Construir um paralelogramo, dados os lados⎯⎯AB = 4,8cm, um ângulo α = 45° adjacente aolado

⎯⎯AB e sua altura = 1,4cm.

a) 1.o passo:

Traçar uma reta suporte e marcar a medidaAB.

b) 2.o passo:

Constrói-se o ângulo a partir do segmento⎯⎯AB com centro em A, alongando-se o ladodo ângulo aberto.

c) 3.o passo:

Repete-se a mesma operação para a cons-trução do ângulo, tendo a extremidade Bcomo centro.

d) 4.o passo:

Traça-se a altura perpendicular ao segmen-to

⎯⎯AB. Em seguida constrói-se uma paralela

a ⎯⎯AB cruzando os ângulos levantados nos

pontos C e D, onde A, B, C e D formam oparalelogramo.

1. Desenhar um losango, dado o lado ⎯⎯AB = 4cm.

2. Desenhar um losango, dadas as diagonais⎯⎯AC = 5cm e

⎯⎯BD = 3cm.

3. Desenhar um paralelogramo, dado o ladomaior

⎯⎯AB = 5,5cm e o lado menor

⎯⎯AD = 2,5cm

e o ângulo adjacente à ⎯⎯AB α = 45°.

4. Construir um paralelogramo, dado o ladomaior

⎯⎯AB = 5cm, um ângulo adjacente à base

α = 60° e sua altura = 2cm.

5. Dada a circunferência e a sua divisão, construatrês losangos para obter uma figura a saber.

6. Divida o hexágono regular com dois losangospara obter um cubo.

7. Complete o desenho da casa com um losango.

66

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 67: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

8. Dado o módulo abaixo, repita-o para formarum painel (composição por repetição).

9. Dado o retângulo, divida-o para obter um para-lelogramo.

10. Complete o desenho da bandeira do Brasilsabendo que os lados do retângulo são⎯⎯AB = 7cm e

⎯⎯BC = 4cm e o losango tem dia-

gonais ⎯⎯AC = 6cm e

⎯⎯BD =3,5cm.

11. Dados os quadrados e uma linha poligonal,ligue as letras iguais para obter um objeto tridi-mensional com um furo.

12. O desenho tridimensional do parafuso estáincompleto, restando duas faces em forma delosangos; finalize-o.

13. Observe a linha poligonal abaixo e reproduzaeste caminho, utilizando losangos.

14. Construa um triângulo eqüilátero e divida-opara obter três losangos que, ao serem escure-cidos, fará surgir a marca “MITSUBISHI”.

15. Monte pelo menos cinco combinações dife-rentes com os dois paralelogramos abaixo.

67

Desenho Geométrico – Figuras da geometria plana

Page 68: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1
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UNIDADE VPolígonos e Poliedros

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71

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

TEMA 14

POLÍGONOS

Introdução

É a região do plano limitada por uma linha poli-gonal fechada.

Os polígonos estão presentes em quase todasas coisas que usamos ou vemos, enchendo omundo que nos cerca, com suas variadas for-mas e composições. Basta observar coisasque você esta usando ou ao seu redor.

Ao longo do tempo, fomos aprendendo a ob-servar, associar e aplicar as formas geométri-cas naturais ao nosso mundo próprio.

1. Classificando os polígonos (com mais decinco lados)

1. Polígonos regulares e irregulares

a. Polígonos regulares – São formas inscritase circunscritas por circunferência. Possuiângulos externos também iguais, sendoque a soma dos ângulos internos é igual a360°.

b. Polígonos não-regulares – Possuem ladoscom tamanhos diferentes e ângulos inter-nos e externos diferentes, sendo que asoma dos ângulos internos é também de360°.

2. Polígonos inscritos e circunscritos.

a. Polígonos inscritos – Os vértices do polí-gono estão sobre a circunferência.

b. Polígonos circunscritos – Os lados dopolígono são tangentes à circunferência.

3. Polígonos convexos e côncavos.a. Polígonos convexos – São polígonos que

não possuem vértices reentrantes, ou seja,todas as diagonais estão na região interna.

Page 72: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

72

UEA – Licenciatura em Matemática

b. Polígonos côncavos – São polígonos quepossuem ângulos reentrantes, ou seja, vér-tices em direção ao interior do polígono.

Observação:

A tendência de um polígono, à medida queaumenta o seu número de lados, é de se apro-ximar da forma de uma circunferência.

Construção de Polígonos Regulares emfunção do lado

1. Construir um pentágono regular, conhecendo-se o seu lado

⎯AB = 1,6cm.

1.o passo:

Traçar o lado ⎯AB e com centro em A e raio

⎯AB,

construir uma circunferência.

2.o passo:

Com centro em B e mesmo raio, traça-se outra

circunferência, cortando-se os pontos P e O,

pelos quais passam uma linha prolongada.

3.o passo:

Com centro em O e raio ⎯AB, traça-se a última

circunferência, que vai cortar o segmento ⎯OP

no ponto G e as duas circunferências já

traçadas nos pontos 1 e 2.

4.o passo:

Une-se o ponto 1 ao ponto G e prolonga-se a

linha assim obtida até a circunferência do cen-

tro A. Une-se depois o ponto 2 ao ponto G e

prolonga-se também esta reta até que ela corte

a circunferência do centro B.

5.o passo:

As duas linhas traçadas determinarão, no en-

contro com as duas circunferências, os pontos

P

P

O

O

Page 73: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

73

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

C e D que, unidos respectivamente a A e a B,

definindo mais dois lados sendo, ⎯AC e

⎯BD.

6.o passo:

Com centro em C e raio ⎯AB, traça-se um arco

X e, em seguida, com o mesmo raio e centroem D, descreve-se o arco Y, cortando o arco Xno ponto E. Unindo-se o ponto E ao ponto C ea D, teremos os dois lados restantes,

⎯EC e

⎯ED

do pentágono pedido.

2. Construir um hexágono regular conhecendo-se o lado

⎯AB = 1,6cm.

1.o passo:

Traça-se o lado ⎯AB e com centro em A e raio

⎯AB, descreve-se o arco 2. Com o centro em B emesmo raio, traça-se o arco 1 que cortará oprimeiro arco em O.

2.o passo:

Com centro em O e raio ⎯AB, traça-se uma cir-

cunferência.

3.o passo:

Com a distância ⎯AB e centro em B, marca-se

sobre a circunferência o ponto C, utilizando-seo ponto seguinte como centro, até marcar osexto ponto do hexágono, no caso F.

4.o passo:

Finalmente, ligam-se os pontos A, B, C, D, E, F,A, nessa ordem, para obter o hexágono regu-lar pedido.

3. Construir um heptágono regular conhecendo-se o seu lado

⎯AB = 2cm.

1.o passo:

Marca-se sobre uma linha suporte horizontal adistancia

⎯AB igual ao lado conhecido, e em

seguida a distância ⎯BC igual a

⎯AB na mesma

linha.

2.o passo:

Admitindo-se o seguimento ⎯AC como base de

um triângulo eqüilátero, constroe-se esta figurade vértices A, C e D.

P

E P

Page 74: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

74

UEA – Licenciatura em Matemática

3.o passo:Levanta-se uma perpendicular por B, que é omeio da base

⎯AC, e em seguida traça-se outra

perpendicular, desta vez pelo meio do lado ⎯CD,

cortando a altura ⎯BD em O.

4.o passo:Com centro em O e raio

⎯OA, traça-se uma cir-

cunferência que circunscreverá o triângulo.Aplique-se agora o lado

⎯AB.

5.o passo:Com centro em A e distância

⎯AB, marca-se

sobre a circunferência no ponto 1, onde A1 é oprimeiro lado da figura.

6.o passo:

Marca-se a distância ⎯AB sobre a circunferência

para obter os lados pelos pontos 1, 2, 3, 4, 5,6, A, que unidos completarão o heptágonopedido.

4. Construir um octógono conhecendo-se o seulado AB = 1,5cm.

1.o passo:

Traça-se uma reta suporte e sobre esta marca-se a medida do lado, levantando-se em segui-da duas perpendiculares a este lado a partir deA e de B.

2.o passo:

Traçam-se as duas bissetrizes destes doisângulos retos, uma com origem em A e outracom origem em B.

3.o passo:

Marca-se sobre a reta do ângulo de origem Amedida

⎯AC, e sobre a reta do ângulo de

origem B a medida ⎯BD.

Page 75: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

75

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

4.o passo:

Levantam-se pelos pontos C e D duas perpen-diculares à reta suporte de

⎯AB, nas quais mar-

cam-se as distâncias ⎯CE e

⎯DF, respectivamente

iguais a ⎯AB.

5.o passo:

Com centro em E e raio ⎯AB, corta-se a perpen-

dicular que passa por A no ponto G; com omesmo raio e centro em F, corta-se agora aperpendicular a

⎯AB que parte de B no ponto H.

Ligando-se agora os pontos A, B, D, F, H, G, E,C e A teremos o octógono pedido.

2. CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS INSCRITOSEM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

1. Dividir a circunferência em três partes iguais econstruir um triângulo eqüilátero circunscrito.

1.o passo:

Traça-se o diâmetro horizontal ⎯AB da circunfer-

ência e levanta-se uma perpendicular pelomeio(M) do raio

⎯AO. Esta linha vai cortar a cir-

cunferência nos pontos C e D.

2.o passo:Os pontos B, C e D são os três lados do triân-gulo inscrito.

2. Dividir a circunferência de raio ⎯OA = 1,7cm em

quatro e oito partes iguais, ou então construirum quadrado e um octógono inscritos.

1.o passo:Traçam-se, inicialmente, os diâmetros

⎯AB e

⎯CD

perpendiculares, dividindo a circunferência emquatro partes iguais.

2.o passo:Traça-se uma circunferência com centro em Oe abertura

⎯OA, que vai tocar os diâmetros nos

pontos A, B, C, e D.

3.o passo:A ligação dos pontos

⎯AD,

⎯DB,

⎯BC e

⎯CA deter-

mina o quadrado inscrito.

O

Page 76: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

76

UEA – Licenciatura em Matemática

4.o passo:

Traça-se uma perpendicular pelo meio doslados

⎯AC e

⎯BD, cortando a circunferência nos

pontos E e F, obtendo-se mais dois pontos dafigura.

5.o passo:

Desta vez, traça-se uma perpendicular pelomeio dos lados

⎯AD e

⎯BC, obtendo-se sobre a

circunferência os pontos G e H, que são os últi-mos pontos da figura circunscrita.

6.o passo:

Ligando-se, respectivamente, os pontos A, G, D,F, B, H, C, E, A, teremos um octógono inscrito.

3. Construir um pentágono circunscrito conhe-cendo-se a circunferência.

1.o passo:

Traçam-se, em primeiro lugar, os dois diâme-tros perpendiculares da circunferência, sendoestes

⎯AB e

⎯CD.

2.o passo:

Divide-se o raio ⎯OD ao meio, determinando o

ponto X. Com raio ⎯XA, descreve-se um arco que

vai cortar o diâmetro ⎯AB (horizontal) no ponto P.

3.o passo:

Agora, com o centro em A e raio ⎯AP, traça-se

outro arco, que vai determinar na circunferên-cia o ponto E, que unido com A dará o lado dopentágono circunscrito.

4.o passo:

Finalmente, com centro em E e medida con-stante

⎯AE, marcam-se sobre a circunferência

os pontos E, F, G, H, A restantes que ligadosdefinirão o pentágono regular inscrito.

E

E H

F G

Page 77: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

77

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

4. Construir um hexágono regular conhecendo-se a circunferência de diâmetro

⎯AB = 3,4cm.

1.o passo:

Traça-se uma reta suporte horizontal na qualmarca-se o diâmetro

⎯AB e seu meio O (centro).

2.o passo:

Traça-se a circunferência, e com centro em A eraio

⎯AO, descreve-se arco de círculo que cor-

tará a circunferência duas vezes, obtendo-seos pontos C e D, onde

⎯AC ou

⎯AD já é o lado do

pentágono circunscrito.

3.o passo:

Agora, com centro em B e raio ⎯BO, descreve-se

um outro arco de circulo que cortará a circun-ferência nos pontos E e F. Unindo-se os pontosA, C, E, B, F e D, obtem-se o hexágono regularinscrito.

5. Construir um heptágono regular circunscrito,conhecendo-se o diâmetro da circunferênciaAB = 3,4cm.

1.o passo:

Traçar o diâmetro AB horizontal e sua circun-ferência pelo meio de AB.

2.o passo:

Com centro em A raio ⎯AO, traça-se um arco do

círculo que cortará a circunferência nos pontos1 e 3.

3.o passo:

Unindo-se os pontos ⎯13, teremos uma reta per-

pendicular que cortará o diâmetro ⎯AB no ponto

2. O segmento ⎯12 é o lado do heptágono.

4.o passo:

Com centro em 1 e medida ⎯12, traça-se um

arco que cortará a circunferência no ponto A,repetindo-se, então, ao longo da circunferênciaaté o ponto 1. Unem-se os pontos 1, 4, 5, 6, 7,8 e 9 para obter o heptágono regular inscrito.

6. Construir um noneágono regular circunscritoconhecendo-se o diâmetro

⎯AB = 3,4cm da cir-

cunferência.

9

8

7

6

5

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78

UEA – Licenciatura em Matemática

1.o passo:

Traça-se o diâmetro ⎯AB e pelo seu meio O

(centro) constrói-se a circunferência de raioAO.

2.o passo:

Levanta-se uma perpendicular ao raio ⎯OB pelo

ponto C, cortando a circunferência no ponto G.

3.o passo:

Com centro em C o raio ⎯OB, descreve-se um

arco que cortará a perpendicular traçada noponto D.

4.o passo:

Com centro em D e mesmo raio ⎯OB, corta-se o

arco que parte de D no ponto E.

5.o passo:

Liga-se agora E a O. Essa linha corta a circun-ferência no ponto F, que ligado a G determina osegmento retilíneo que é o lado do eneágono.Com abertura

⎯FG marcam-se sobre a circunfer-

ência os nove lados (F, G, H, I, A, J, L, M e N)doeneágono pedido.

POLÍGONOS

1. Construir um pentágono regular de raio⎯OA = 3cm pela divisão da circunferência.

2. Construir um hexágono regular circunscrito,dado o triângulo abaixo.

3. Construir um octógono regular inscrito, dadosa circunferência e os dois diâmetros abaixo.

J

L M

N

H

I

O

BA

A

C

E

G

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79

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

4. Construir um heptágono regular circunscrito,sabendo-se que

⎯AB é o seu lado, e o ponto O

é o centro da figura pedida.

5. Construir um hexágono regular circunscrito,dada a figura abaixo.

6. Construir um decágono (10 lados) regular cir-cunscrito, dado o pentágono regular.

7. Construir um octógono regular circunscrito,dadas as retas paralelas abaixo.

8. Construa a estrutura da roda gigante, saben-do-se que ela possui lados iguais ao lado

⎯AB.

9. Dado o eneágono regular circunscrito, ligar comcordas de circunferência os pontos de quatroem quatro para obter uma figura estrelada.

10. O proprietário de um automóvel esportivo pre-cisou trocar-lhe os pneus e aproveitou e trocouo jogo de aros dos pneus. Crie, então, um no-vo modelo de aro tendo como base um hexá-gono regular (há várias soluções).

11. Complete o desenho do parafuso cuja cabeçatem forma de hexágono regular.

A

I

G

E

C

A B

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80

UEA – Licenciatura em Matemática

12. Dado o pentágono regular circunscritível deraio = 2,4cm, traçar um semelhante de mesmaorigem e raio = 3cm.

13. Os lados do triângulo abaixo são lados de trêspolígonos regulares inscritos sendo:

a) pentágono;

b) hexágono;

c) decágono.

Identifique o lado do triângulo com o lado-basedos polígonos citados.

14. Uma pedra preciosa foi encontrada em suaforma bruta (dodecágono irregular). Lapide-ana forma de um pentágono irregular.

15. A figura seguinte é um polígono estrelado porquê?

16. O proprietário da mesa abaixo, sem condiçõesde comprar uma nova, decidiu modificá-la parauma forma de um octógono irregular inscritíveleliminando as quinas da mesa. Auxilie com odesenho para evitar problemas no corte dasquinas da mesa.

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81

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

TEMA 15

POLIEDROS

Histórico de poliedros

As primeiras construções geométricas surgi-ram com problemas simples, como a medida ea divisão de terra, e a construção da roda. Nes-te estágio, a Geometria era um bando de recei-tas para cálculos de perímetros e áreas. Cedoo homem aprendeu que soluções retilíneas erammais econômicas, aprendeu a trabalhar com fi-guras regulares e a fazer divisões que são fá-ceis de construir. As primeiras construções, asmais primitivas, já eram modelos de cones ecilindros, como, por exemplo, as cabanas deíndios e os poços artesanais. Alguns sólidosregulares, como pirâmides e prismas, talvez porserem mais econômicos, foram sendo mais emais usados. Já por volta de 1000 a.C., monu-mentos imensos, como pirâmides, já tinham sidoerguidos. Já se conhecia como construir ângu-los retos e como retificar a circunferência. Odesejo de se sentir bem nos seus ambienteslevou o homem a desenvolver a estética pormeio da Arquitetura e da Decoração. A Geo-metria encontra-se presente na ArquiteturaEgípcia, Assíria-Babilônica, Grega e Romana,como também na decoração por meio do re-conhecimento e da repetição de módulo e suassimetrias, muito usado nas culturas Egípcia,Grego-Romana e Árabe.

Os poliedros regulares fascinaram os antigoscomo símbolo de perfeição da natureza. OsGregos, mais precisamente os Pitagóricos, jásabiam da existência de três dos cinco po-liedros regulares: o cubo, o tetraedro e o dode-caedro. Cubos e tetraedros já eram conheci-dos de Egípcios e Babilônios. Os Etruscos, porvolta do ano 1000 a.C., construíram um dadoem forma de um dodecaedro. Esses poliedrosforam muito estudados pela Escola de Platão,que construiu uma teoria filosófica baseadaneles, comparando-os com os cinco elemen-tos da natureza.

Introdução

Diz-se poliedro todo sólido limitado por polí-

gonos planos. Os polígonos são colocadoslado a lado, não-coplanares, definindo um tre-cho fechado no espaço.

A palavra edro vem da palavra hedra, que emgrego quer dizer “face”.

No espaço, o pequeno não é pouco, nem ogrande é muito. É a forma, e não a dimensãoque define o espaço; “Um jarro se faz com amassa palpável do envoltório externo; mas é oespaço vazio do seu interior que o faz útil”.

O movimento no espaço tem três liberdades:

Em uma direção – A LINHA.

Em duas direções – O PLANO.

Em três direções – O VOLUME (tridimensional:assim é o espaço).

Um poliedro ocupa três dimensões no espaço:largura, altura e comprimento. Veja, então,como é um poliedro.

Onde:

a) Vértice é o ponto onde três ou mais arestasse encontram.

b) Aresta é a linha do encontro de duas facesdo poliedro.

c) Faces são figuras poligonais planas.

Os poliedros podem ser classificados de acor-do com a forma, com o número de lados e osângulos formando faces, sendo:

a) Poliedros regulares ou platônicos.

b) Poliedros semi-regulares.

c) Poliedros irregulares.

d) Poliedros côncavos e convexos

Poliedros Platônicos

Entre os antigos gregos, os poliedros foramchamados de corpos cósmicos ou sólidos

Page 82: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

platônicos, devido à maneira pela qual Platãoos utilizou para explicar os fenômenos científi-cos relativos ao universo.

Em 388 a.C., Platão foi à Sicília visitar o amigoArquitas e provavelmente , por intermédio deste,tomou conhecimento dos cinco poliedros regu-lares.

a) Poliedros platônicos ou regulares – Sãoos que possuem lados iguais, sendo estes:

1. Tetraedro regular – É o menor de todos ospoliedros. É formado por quatro triânguloseqüiláteros que equivalem a uma pirâmidede base triangular.

2. Hexaedro regular (6 lados) – É formadopor seis quadrados regulares e tem a formade um cubo.

3. Octaedro regular – É formado por oito tri-ângulos eqüiláteros iguais e equivale a duaspirâmides coladas pela base ou a um balãojunino.

4. Dodecaedro regular – É formado por dozepentágonos regulares, e sua forma se apro-xima de uma esfera.

5. Icosaedro regular – É formado por vintetriângulos eqüiláteros e tem a forma de umapedra lapidada.

Durante muitos séculos, quatro desses polie-dros foram associados aos quatro elementosque os gregos acreditavam formar o universo:terra, fogo, ar e água. Essa associação era re-presentada por um esquema do tipo:

O quinto poliedro, o dodecaedro, foi conside-rado por Platão como símbolo do universo. Noentanto foi Euclides, em sua principal obra, Oselementos, que deu um tratamento mais rigo-roso ao estudo desses poliedros.

b) Poliedro semi-regulares – São poliedros for-mados por dois diferentes tipos de polígonos.

82

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 83: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

c) Poliedros irregulares – São os poliedrosformados por diferentes polígonos.

d) Poliedros côncavos e convexos – Polie-dros convexos compreendem as formas quenão possuem ângulos entre os lados maiorque 180°.

Poliedros côncavos possuem como particu-laridade a formação de lados internos aopoliedro, formando furos, rebaixos, etc.

ÂNGULOS POLIÉDRICOS

Os poliedros são corpos geométricos em queos ângulos são traçados de forma a permitirque os lados criem entre si um vértice em for-ma de bico. E para construir um bico, são ne-cessários, no mínimo, três polígonos.

Se traçarmos, numa folha de papel (plano), po-lígonos iguais formando num vértice comumum ângulo final de 360°, torna-se impossívelque esses lados formem um bico, que é oângulo poliédrico; vejamos:

Seis triângulos eqüiláteros regulares;

6 x 60 = 360º

Quatro quadrados regulares;

4 x 90º = 360ºTrês heptágonos regulares ou qualquer outropolígono regular.

Vejamos, então, como se forma um ângulo po-liédrico. Observe que a posição dos lados vaideterminar se os lados formaram um poliedro,ou seja, um corpo geométrico tridimensional.

Veja também que a união dos lados do polígonoorigina arestas que vão fazer que os lados sefechem em torno de um vértice comum aos trêslados, produzindo uma forma não plana.

Vejamos algumas situações:

83

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

Page 84: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

Vamos fazer?

Agora, vamos aprender como surge um ângu-lo poliédrico.

Para começar, vale lembrar que o ângulo polié-drico é formado pela união ou pelo encontrode pelo menos três lados.

1.o passo:

Uma folha de papel sem pautas.

2.o passo:

Traçamos três quadrados regulares de lado5cm.

3.o passo:

Cortamos a figura pelo perímetro, sem dividiros quadrados.

4.o passo:

Marcamos e dobramos as arestas HE e HC(tracejado).

As propriedades dos poliedros regulares(platônicos)

Os poliedros são classificados segundo suaspropriedades, algumas delas sendo numéri-cas, como segue abaixo:

84

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 85: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

Observação – Não só os poliedros regularespossuem essa propriedade, mas todos os po-liedros convexos!

CONSTRUINDO UM POLIEDRO

Inicialmente, é importante saber qual o tipo depoliedro que se quer construir.

Para começar, serão necessários praticamenteos mesmos instrumentos utilizados no traçadode figuras poligonais, acrescentando desta vezum marcador para dobras e cola ou adesivotransparente.

O marcador pode ser a ponta da lapiseira, umalâmina cega, a ponta de uma esferográfica se-ca, etc., que não corte ou separe os lados dopoliedro.

POLIEDROS E SUAS FASES DECONSTRUÇÃO

RECOMENDAÇÕES E INSTRUÇÕES

a) Pegue uma folha de papel/cartolina, nãomuito flexível ou mole, que seja suficientepara planificar ou traçar o poliedro, pregan-do-a sobre uma mesa.

b) Faça o traçado do poliedro desejado.

c) Faça todas as marcações antes de cortar afigura planificada. É importantíssimo dife-renciar as linhas de dobra das linhas decorte. Vejamos:

d) Antes de cortar a figura, vamos traçar “abas”para que, ao montar o poliedro, possamosfixá-lo com mais segurança e facilidade,melhorando sua aparência. Lembre-se,então, de que os lados com abas devem sermarcados para dobras e não para cortes.

e) Finalmente, cortamos a figura pelo seuperímetro.

f) Ao dobrar a figura e as abas, veja que ospróprios lados vão-se deslocando parasuas posições finais. O último lado fecharáo poliedro por meio da aba.

Linha marcada para a do-bra, sem cortar a folha.

Marcador de dobras

85

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

Page 86: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

O traçado planificado

1. O tetraedro – quatro triângulos eqüiláteros re-gulares.

2. O hexágono – seis quadrados.

3. O octaedro – oito triângulos eqüiláteros regulares.

4. O dodecaedro – dez pentágonos regulares.

5. O icosaedro – vinte triângulos eqüiláteros re-

gulares.

86

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 87: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

INSCRIÇÃO – UMA PROPRIEDADE

INTERESSANTE

A inscrição de figuras é bastante aplicada na

engenharia, na arquitetura, nas oficinas mecâ-

nicas, na arte, etc.

Essa propriedade permite que os cinco polie-

dros regulares sejam inscritos de acordo com

suas características já conhecidas: número de

faces, número de vértices e número de arestas.

O poliedro de dentro é denominado poliedro

inscrito, e o de fora é o poliedro circunscrito.

a) Um tetraedro regular, por sua vez, pode ser

inscrito num tetraedro regular.

b) Hexaedro (cubo) regular inscrito num octa-

edro.

Cada vértice do cubo é o centro de uma

face do octaedro.

Octaedro inscrito num cubo.

Cada vértice do octaedro é o centro da face

do cubo

c) O Dodecaedro inscrito num icosaedro.

E o dodecaedro circunscrito ao icosaedro.

A inscrição de uma figura em outra não é feitasomente com poliedros regulares, mas tam-bém com corpos redondos, com figuras pla-nas ou mesmo não-planas.

Uma circunferência inscrita num quadrado

Uma esfera inscrita num cubo

Para Saber...

Homem e o troncoctaedro

Serve como uma orientação segura para pré-dimensionar os macro objetos a serem utiliza-dos pelo homem, sejam armários, bancadas,escrivaninhas, poltronas odontológicas, má-quinas-ferramentas, e etc.

87

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

Page 88: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

PRISMAS E PIRÂMIDES

Prismas – Poliedro irregular limitado por doispolígonos que são as bases do prisma. Suasfaces, que são paralelogramos, variam de acor-do com o número de lados que possuem asbases (triangular, quadrada, pentagonal, etc.).

Prisma reto – O prisma é reto quando asarestas são perpendiculares às bases.

Prisma oblíquo – O prisma é oblíquo (inclina-do) quando as arestas forem oblíquas àsbases.

Prisma regular – O prisma é regular quando éreto e suas faces são polígonos regulares.

Prisma irregular – O prisma é irregular quan-do as suas bases são polígonos irregulares.

Pirâmide – Poliedro regular limitado por umabase e um vértice comum a todas as faces.Possui faces que são triângulos isósceles evariam de acordo com o número de lados dabase (triangular, quadrada, pentagonal, etc.)

Pirâmide reta – A pirâmide é reta quando oeixo que une o seu vértice é perpendicular àbase.

Pirâmide oblíqua – A pirâmide é oblíqua quan-do o eixo que une o vértice ao centro da basenão é perpendicular à base.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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Pirâmide regular – A pirâmide é regular quan-do a base é um polígono regular.

Pirâmide irregular – A pirâmide é irregularquando a base é um polígono irregular.

Vejamos algumas aplicações de prismas nocotidiano.

Construções e edificações

Malhas de geométricas prismáticas usadasem preenchimento (reforço) de divisórias deambientes

POLIEDROS

1. Construir um poliedro regular (platônico) delado igual a 5cm.

2. Construir um prisma regular de base hexago-nal regular, de lado igual a 5cm.

3. Construir uma pirâmide de base pentagonalregular de lado igual a 4cm e altura das facesigual a 8cm.

89

Desenho Geométrico – Polígonos e Poliedros

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Anexos

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93

Desenho Geométrico – Anexos

ANEXO 01

DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO

1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem:

• Saber e compreender o que o grupo está fazendo.• Fazer perguntas se não entenderem.• Participar ativamente na realização das tarefas.• Ajudar os outros.• Respeitar os outros.

2. Só devem chamar o professor:

• Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo apósutilizado vários argumentos.

• Quando tiverem concluído a atividade.

3. Ao final das atividades devem:

• Elaborar um relatório conforme anexo 30.• Ler o que foi escrito.• Organizar a apresentação à turma.

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UEA – Licenciatura em Matemática

ANEXO 02

GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO

Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos:

Identificação do grupo de alunos, indicando:

1. NOME2. NÚMERO DE MATRÍCULA3. TURMA4. MUNICÍPIO

Identificação do trabalho, indicando:

1. DATA DE REALIZAÇÃO2. DISCIPLINA3. TÍTULO

Atividade n.º ______:

1. NOME

2. OBJETIVOS

O que deseja alcançar com a realização das atividades?

3. MATERIAIS UTILIZADOS

Devem ser discriminados os materiais para cada atividade.

4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

a. Relato de todos os passos de cada atividade.b. Explicação dos raciocínios.c. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas.d. Apresentação dos resultados obtidos.

Conclusões

Apreciação crítica do trabalho proposto.

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95

Desenho Geométrico – Anexos

ANEXO 03

TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO

Page 96: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

ANEXO 04

FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO

A minha colaboração na elaboração do relatório foi:

A minha colaboração na apresentação foi:

O que aprendi com as atividades realizadas foi:

As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram:

Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?:

Nome:______________________________________________N.o:____Turma:____

SIM NÃO

Consegui distribuir as tarefas no grupo.

Verifiquei o objetivo da atividade.

Cooperei com os outros elementos do grupo.

Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo.

Fui capaz de moderar a discussão no grupo.

Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema.

Selecionei as estratégias apropriadas.

Justifiquei as conjecturas.

Utilizei os materiais.

Registrei os resultados.

Fui perseverante na resolução do problema.

Obtive conclusões.

Tive boa comunicação com a turma.

Page 97: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

Respostas dos Exercícios

Page 98: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1
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99

Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

UNIDADE IIntrodução ao desenho geométrico

TEMA 03

OPERAÇÕES COMSEGMENTOS E ÂNGULOS

Pág. 16

1.

2. a)

b)

c)

10. a)

b) 3α – β

TEMA 04

USO DO ESQUADRO, COMPASSOE RÉGUA PARA CONSTRUÇÃO

DE ÂNGULOS E RETA

Pág. 25

1.

2.

3.

4.

5.

Page 100: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

100

UEA – Licenciatura em Matemática

6.

8.

UNIDADE IIIDivisão de segmentos

e segmentos proporcionais

TEMA 05

DIVISÃO DE SEGMENTO

Pág. 32

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Page 101: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

101

Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

10.

TEMA 07

MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA

Pág. 36

1.

3.

5.

8.

9.

10.

12.

13.

TEMA 08

DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO-ÁUREO

Pág. 42

1. a)

Page 102: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

102

UEA – Licenciatura em Matemática

b)

c)

2.

3.

4.

5.

6.

8.

UNIDADE IVFiguras da geometria plana

TEMA 09

DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA

Pág. 48

1.

2.

Page 103: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

103

Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

Page 104: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

TEMA 10

TRIÂNGULOS

Pág. 53

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

104

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 105: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

12. 38 Triângulos

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

TEMA 11

QUADRILÁTEROS

Pág. 58

1.

2.

105

Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

Page 106: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

TEMA 12

TRAPÉZIOS

Pág. 62

1.

2.

106

UEA – Licenciatura em Matemática

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3.

4.

5.

6. Aos lados: Lados não paralelos e bases para-lelas.Aos ângulos: Retângulo, isósceles, escaleno

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

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Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

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15.

16.

17.

18.

19.

20.

TEMA 13

LOSANGOS

Pág. 66

1.

2.

3.

4.

5.

6.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa a a

108

UEA – Licenciatura em Matemática

Page 109: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

UNIDADE VPolígonos e Poliedros

TEMA 14

POLÍGONOS

Pág. 78

1.

2.

109

Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

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3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

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UEA – Licenciatura em Matemática

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14.

15.

16.

TEMA 15

POLIEDROS

Pág. 89

1.

2.

3.

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Desenho Geométrico – Respostas dos Exercícios

Page 112: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1
Page 113: Licenciatura Em Matematica - Desenho Geometrico -1

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CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. São Paulo: Ao livro Técnico, 1958.

PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. 1. ed – São Paulo: Editora Moderna, 1991.

JORGE, Sonia. Desenho Geométrico – Idéias e imagens. 1. ed – São Paulo: Editora Saraiva, 1998.

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SÁ, Ricardo. Edros. São Paulo: Editora Projeto editores associados, 1982.

CÂNDIDO, Suzana L., Formas num mundo de formas. 1. ed – São Paulo: Editora Moderna, 1997.

MACHADO, Nilson J., Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Editora Scipione, 2000.

IMENES, Luiz Márcio. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Editora Scipione, 2000.

SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com círculos. São Paulo: Editora Scipione, 1998.

CALFA, Humberto G., ALMEIDA, Luiz A. e BARBOSA, Carvalho B., Desenho geométrico plano. Rio deJaneiro: Editora Bibliex, 1995.

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REFERÊNCIAS