Licenciatura Plena em Ciências Naturais e Matemática-UFMT

Módulo VIIIHabilitação: Matemática

SEQÜÊNCIAS E SÉRIESProfessores:

Demilson, Geraldo, Gladys,Luzia, Vinicius e William

CUIABÁ/JANEIRO/2007

SEQÜÊNCIASNa linguagem do dia-a-dia, o termo seqüência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica, de tamanho, ou lógica).Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes.

Em Matemática, seqüência é usada para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais).Ex. conjunto dos nos pares, dos múltiplos de 7.

(ANTON, 2000, p. 38 e 40)

As seqüências numéricas podem ser:Finita

a) A seqüência dos quatro primeiros números naturais múltiplos de 5:

(0, 5, 10, 15)(a1, a2, a3, a4)

b) A seqüência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto:

(31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31)(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12)

SEQÜÊNCIAS

Infinitaa) A seqüência dos números naturais ímpares:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)

(a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...)

b) A seqüência dos números quadrados perfeitos:

(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)

SEQÜÊNCIAS

Seqüência ou Progressão Aritmética (PA)a) (2, 7, 12, 17, ...)7 – 2 = 5; 12 – 7 = 5; 17 – 12 = 5; ...

ou a2 = 7 = 2 + 5; a3 = 12 = 7 + 5; a4 = 17 = 12 + 5; ...

b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...) 10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10; ...

oua2 = 10 = 20 + (– 10); a3 = 0 = 10 + (– 10);

a4 = –10 = 0 + (– 10); ...

SEQÜÊNCIAS

Crescente

Decrescente

PA é toda seqüência de números na qual:

I. a partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTE;

ouII. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, somado a um número CONSTANTE.

Essa constante chama-se RAZÃO (r).

SEQÜÊNCIAS

SEQÜÊNCIAS

3=9

27=

3

9=

1

3Crescent

e

(1, 3, 9, 27)

(a1, a2, a3, a4)

Seqüência ou Progressão Geométrica (PG)a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais. Repetir esse processo 4 vezes.

b) (512, 128, 32, 8, 2, ...)

SEQÜÊNCIAS

4

1=

8

2=

32

8=

128

32=

512

128 Decrescente

Na seqüência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que:

a2 = 3 = 1 . 3; a3 = 9 = 3 . 3; a4 = 27 = 9 . 3

;4

1•512=128 ;

4

1•128=32

PG é toda seqüência de números não-nulos na qual:

I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE;

ouII. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, multiplicado por uma CONSTANTE.

Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da progressão geométrica.

SEQÜÊNCIAS

SEQÜÊNCIAS

Seqüência formada por uma lei ou função

( )

1+n

n•–1)(=)n(f 1+n

... ,6

5,

5

4,–

4

3,

3

2,–

2

1

SEQÜÊNCIAS: Representações

Numericamente: (2, 4, 6, ...)

Geometricamente

SEQÜÊNCIAS: Representações

Graficamente yy

6 6 (3,6)(3,6)

4 4 (2,4)(2,4)

2 2 (1,2)(1,2)

1 2 3 1 2 3 xx

Termo Valor do termo

a1= 1 2

a2= 2 4

a3 = 3 6

Algebricamente

f(n) = an = 2n, para n lΝ/n 1

Por Chaves

SEQÜÊNCIAS: Representações

+ 2n n=1

Observe as figuras abaixo formadas por palitos.

No de triângulos No de palitos

1 3

2 5

3 7

4 ?...

...

20 ?...

...

n an = ?

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA

a1 = 3 = 3 + 0

a2 = 5 = 3 + 2

a3 = 7 = 3 + 4

a4 = 9 = 3 + 6

= 3 + (1–1).2

= 3 + (2–1).2

= 3 + (3–1).2

= 3 + (4–1).2

= 3 + 0.2

= 3 + 1.2

= 3 + 2.2

= 3 + 3.2

a20 = 3 + (20 – 1) . 2 = 3 + 38 = 41 . . .

an = 3 + (n – 1) . 2 termo geral dessa PA

O termo geral também pode ser expresso como funçãof(n) = an = 3 + (n – 1) . 2

f(n) = 2n + 1

Generalizando – o termo geral de uma PA:

an = a1 + (n – 1) . r

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA

SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita

Quantos casulos são necessários para montar o triângulo abaixo?

O número de casulos em cada linha representa um termo de uma seqüência aritmética.

(1, 2, 3, 4, 5, 6)(1, 2, 3, 4, 5, 6)

S6=[(1 + 6).6]/2

= 21

Sn = [(a1 + an).n]/2

SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PGVoltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras vezes essa divisão.

Estágios da divisão No de regiões

Original E0 : 0 a1 = 1

E1 : 1 a2 = 3

E2 : 2 a3 = 9

E3 : 3 a4 = 27...

...

E12: 12 ?...

... En : n an = ?

a1 = 1

a2 = 3

a3 = 9

a4 = 27

= 1 . 30 = 1 . 30

= 1 . 30.3 = 1 . 31

= 1 . 31.3 = 1 . 32

= 1 . 32.3 = 1 . 33

= 1 . 31-1

= 1 . 32-1

= 1 . 33-1

= 1 . 34-1an = 1 . 3n-1

an = 1 . 3n-1 Termo geral da PG para esse exemplo dado

Generalizando:

Como nesse exemplo tínhamos a1 = 1 e q = 3, então

an = a1 . qn-1

Onde:

an = termo geral;

a1 = 1o termo da seqüência;

n = no de termos da PG (até an);q = razão.

SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG

Somando os termos da seqüência (1, 3, 9, 27)S = 1 + 3 + 9 + 27 ou

3 = 1 . 39 = 3 . 327 = 9 . 381 = 27 . 3

Assim, 3 . S = 3 + 9 + 27 + 81 – S = 1 + 3 + 9 + 27 3 . S – S = 81 – 1 S = 80 : 2 = 40

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita

Generalizando: consideremos uma PG finita (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an) de razão q 1.

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)

Multiplicamos ambos os membros por q:

Sn.q = a1q + a2q + a3q + ... + an-1q + anq

Sn.q = a2 + a3 + ... + an-1 + an + an+1 (II)

Como an+1 = a1qn, fazemos (II) – (I):

Sn.q – Sn = a1qn – a1 (q – 1)Sn = a1(qn – 1)

Sn = [a1(qn – 1)] : (q – 1), q 1

SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita