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Poliádicos - Ruggeri LIÇÕES DE CÁLCULO POLIÁDICO TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME I por Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C Goiânia (GO) – Brasil 2008

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Poliádicos - Ruggeri

LIÇÕES

DE

CÁLCULO POLIÁDICO

TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME I por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto

Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C

Goiânia (GO) – Brasil

2008

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© 2008 - Elysio R. F. Ruggeri Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri Capa: Luciano Dalmiglio e Elysio R. F. Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada página da reprodução. Contato com o autor: [email protected]

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Lições de cálculo poliádico : tomo I, volume I, álgebra / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2008. XX, 444 p. ISBN 978-85-907001-0-4 1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares. 3. Matemática aplicada. I. Título. CDU 514.742

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À minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida,

Leila Maria; e aos nossos resignados filhos (e meus netos),

Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (João Antônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane,

com algum remorso pelos sacrifícios impostos. À

ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ... onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil; outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação; cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência; cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentada pela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos 93 anos. Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável,

Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian) com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meu trabalho idealista.

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GRATIDÃO Ao meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), Professor Emérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento desta primeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy Tadeuz Sielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões e informações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamento de Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim e Dr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto (durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desse Departamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitário Elysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas. Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno ou contrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino da engenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tanta generosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes das seguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCO Mineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORRO VELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia. Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A., Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A.. À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000 - na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DE MINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger. Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de 2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desde abril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituados laboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo prático da engenharia.

Goiânia, novembro de 2008.

E. Ruggeri

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APRESENTAÇÃO O Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da Matemática Aplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distinto ex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular - Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - Geometria Descritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de 1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minas de Ouro Preto, iniciativa de minha autoria. Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (onde havia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física, Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc. Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos (estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, sua permanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, o autor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por vários anos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtor de barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro". A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fiel testemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P., em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades. Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autor soube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra. Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura Científica Brasileira. E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ... Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.

Antônio Moreira Calaes Professor Emérito

Universidade Federal de Ouro Preto

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PREFÁCIO Algum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmente verdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode ser profana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceber intuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos do sublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que, com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e pouco habilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessária para a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio a alguma sapiência. Estas "Lições" tenta atender as necessidades da ciência dos fatos; deve, pois, agradar a maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatos concretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazer aos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física e Matemática (Aplicada). Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente e mais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com a compacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos, mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido. Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor, repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitos emitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certa prolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado. A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e a quântica excluídas), da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que, nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a P direções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezas escalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2), caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemática aqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se dirá de "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição da natureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamente certas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá que realmente atingimos o objetivo pretendido. Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria, devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial e Álgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade e aridez exacerbadas.

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VII

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O leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursos de graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da Mecânica Racional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - uma quebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensor de inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seus conhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, o mesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão (de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nas relações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando da introdução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos. O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirão irremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problema que se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vão desde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise do desempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variados materiais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferentes elementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelece certamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dos estudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos, afirmamos seguramente que

o Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação em Engenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro.

Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção de uniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre dar continuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estrutura organizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançado tivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiu incluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico. No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetores recíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de um espaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando o assunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de ter conseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova dedução da fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e § 05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior). Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricos de pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dos vetores recíprocos. Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelos sistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9 dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindo insistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV do volume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,

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são aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítulo seguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma nova operação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volume II) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novas operações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumas operações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador (§14).

Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordens estrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntos tratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante. É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser uma combinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidas arbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, a matemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válida a seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadas por um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes (na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estas formassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para o leitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer a utilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, no seu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, de imediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para as demais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil? A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma, módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricas primárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até nove dimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s 10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16 esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso fica estabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dos problemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria da Elasticidade, por exemplo. No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamos uma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita no capítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemas convenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo de uma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos (§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TL's por essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege a clássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como um caso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádico cíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornam-se corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03). Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter "quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de uma forma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta

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o mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra base particular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nem sempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias, concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a mais lógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos). Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas; apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o que comprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e da decomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica de materiais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aos poliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós, estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo, deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações. A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramente em volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principais fórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foram dispostas entre o sinal ⇒ onde começam e o sinal ⇐ onde terminam. Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças de estilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico, especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema de referência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos. Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio por questões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior das hipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentro da Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada e Engenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulação da Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma forma elegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e de generosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física. Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem os engenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos Meios Porosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dos Cristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendo magistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos Meios Contínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteis e simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbs por volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorial clássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, das obras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bem menos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e

1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., Die Ausdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foram descobertos em 1843).

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Civita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é o Cálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certa para a abordagem de problemas de engenharia. ... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos de Cálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção e desenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada com economia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte.

Goiânia (GO), outubro de 2008 E. R. F. Ruggeri

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CONVENÇÕES

NUMERAÇÕES DIVERSAS

Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01). As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo. As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos). A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira figura do § 02 do capítulo III. As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses. Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o mesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de uma fórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I.

Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, as fórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice, à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, a citação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e não representará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têm significados totalmente distintos.

CITAÇÕES E REFERÊNCIAS

Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: a terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03 do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo.

ABREVIATURAS

CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15. EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59. Teor. - Teorema, pagina 22. Corol. - Corolário, pagina 23. Propr. - Propriedade, pagina 19. nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30. Min - Mínimo, menor, pagina 419. Med - Médio, pagina 419. Max - Máximo, maior, pagina 419. sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.

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SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS

SÍMBOLOS REPRESENTAÇÃO TOM PÁGINA

Xi, Yj, A, B, Números, variáveis numéricas, funções de valor numérico, coordenadas de pontos e de vetores.

Natural 3,11,20

A o Vetor nulo Negrito 3

L u, v, ei ,ei, Vetores (sem seta) Negrito 3,11,14,17

F ab, aiei Díade, diádicos em forma N-nomial Negrito 72,78

A ... ,ˆ ,ˆ jiv Vetor e díade unitários Negrito 3,86

B I Operador de Argand (ver rodapé da página 129) Natural 129

E M Diádico de Moreira Negrito 96

T I J K Z, , ,

Operadores diádicos especiais Negrito 129

O Pau( , ) Par de diádicos de Pauly Natural 142

e* Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3 Negrito 47

L

A

T

I

N

O

A φφφφ,ψψψψ,αααα,ββββ,.. Diádicos em geral Negrito 73,109

L α), β), ... Planos: α, β Natural 91

F ΙΙΙΙ Diádico unidade, poliádico unidade Negrito

86

A ΟΟΟΟ Diádico nulo Negrito 86

B ΩΩΩΩ(i,ϕ) Diádico de rotação (de eixo i e ângulo ϕ) Negrito 356

E µµµµ Diádico de mudança de base Negrito 298

T ΓΓΓΓ Diádico ciclotônico Negrito

357

O δ ij, δ ij Deltas de Kronecker Natural 49

εij, εijk , εijk Alternadores, ou Permutadores Natural 50

G χχχχ Diádico cisalhante Negrito 362,365

R k×ΙΙΙΙ Diádico de Argand Negrito 129

E

G εεεε* Base diádica definida por diádicos εεεε1, εεεε2, ... Negrito 224

O

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XIII

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SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas)

Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao natural

SÍMBOLO

REPRESENTAÇÃO

PÁGINA

. Multiplicação escalar ou pontuada 11

× Multiplicação vetorial ou cruzada 14

: Dupla multiplicação escalar ou pontuada 134 ×× Dupla multiplicação vetorial ou cruzada 134 .

× Dupla multiplicação mista

134

× . Dupla multiplicação mista 134

~ Adjunto (sobre-índice) 165

° e * Símbolos que substituem . e × . 134

≅ Aproximadamente igual 322

≡ Idêntico 70

[ ] Matriz 183

Det[A] Determinante da matriz A 229

| | Módulo, determinante 2,17

|| || Norma 158

Base, matriz coluna 47,186

φφφφE, φφφφV Escalar e vetor do diádico φφφφ 80

(x , y) Ângulo ou plano dos vetores x e y 12,15

(xyz), (ααααββββγγγγ) Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos αααα,ββββ e γγγγ. 18,261

∀ ∃ ∈, , ,... Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos 7,23

A ⇐ Texto ⇒ B O texto é hipótese nos dois sentidos 24,30,40

|| , ⊥ Paralelismo e perpendicularidade 15,12

Diádico cíclico 354

φφφφT Transposto ou conjugado do diádico φφφφ 76

φφφφ∼ Adjunto do diádico φφφφ 165

φφφφ-1 Inverso ou recíproco do diádico φφφφ 166

φφφφP Principal do diádico φφφφ 168

φφφφ2 Segundo do diádico φφφφ 167

φφφφ3 Terceiro do diádico φφφφ 82

Hom(φφφφ) Homológico do diádico φφφφ 96

l(x) Função linear vetorial do vetor x 70

< αααα ββββ ... λλλλ > Produto cruzado dos diádicos αααα, ββββ, ..., λλλλ 248

(αααα ββββ ... λλλλ) Produto misto dos diádicos αααα, ββββ, ..., λλλλ 261

Cnp Combinações de n objetos tomados p a p 223, 243

EN Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3) 47 2EG Espaço de diádicos, de dimensão G (G ≤ N2) 224

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XIV

SUMÁRIO

GRATIDÃO ..................................................................................................................................................... IV APRESENTAÇÃO............................................................................................................................................ V PREFÁCIO....................................................................................................................................................... VI CONVENÇÕES................................................................................................................................................ XI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS........................................................................................................XII

CAPÍTULO I

VETORES § 01 - VETOR..................................................................................................................................................... 1

§ 01.01 - Definição, notação.............................................................................................................. 1 § 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3 § 01.03 - Alguns tipos de vetores....................................................................................................... 3 § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.................................................................... 3 § 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5 § 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6

Soma de vetores. .............................................................................................................. 6 Propriedades da adição..................................................................................................... 7

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. ............................................................................. 8 Produto de vetor por número real. .................................................................................... 8 Propriedades da multiplicação de vetor por número real. ................................................. 8

§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória....................................................... 10 § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11

Produto escalar............................................................................................................... 11 Propriedades da multiplicação escalar............................................................................ 11 Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14 Produto Vetorial. ............................................................................................................ 14 Propriedades da multiplicação vetorial........................................................................... 14 Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16 Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores................................................................................... 18 Produto misto. ................................................................................................................ 18 Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18 Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. ................................................. 20

§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21 § 03.01 - Os VR de vetores paralelos............................................................................................... 22

Inversão na reta. ............................................................................................................. 22 Construção gráfica de vetores recíprocos na reta............................................................ 22 O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta. ..................................... 23 Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta............................................................ 24

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. ........................................................................................... 25 Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25 Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano....................................................... 26 Grupo Ortocêntrico no plano.......................................................................................... 26 Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27 Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares........................................................ 27 O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.................................. 29 Vetores término colineares. ............................................................................................ 31 Varias formas de equação da reta (no plano).................................................................. 32 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano)....................................... 33

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34 Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34

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XV

Poliádicos - Ruggeri

Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço..................................................... 35 Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos........................................................... 36 Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37 Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37 O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.............................. 39 O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. .................................................................. 41 Vetores término coplanares. ........................................................................................... 43 Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço)..................................... 45

§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. ........................................................................... 46 § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas............................................................................... 46

Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos...............................................48 § 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. ............................................................................... 49

Similarmente comprovaríamos que ................................................................................ 51 Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51 Produto de permutadores................................................................................................ 51

§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos........................................................... 52 § 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. ........................ 55 § 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. ....................................................................... 59

§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. ............................................................................................. 59 § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.............................................................................. 59 § 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante................................................. 62 § 05.03 - Generalização de identidades clássicas............................................................................. 64

§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68

CAPÍTULO II

DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR........................ 69 § 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72

§ 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72 § 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73 § 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73

Propriedades................................................................................................................... 74 § 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75 § 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76 § 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77 § 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78

O motivo de um diádico. ................................................................................................ 79 Casos de igualdade......................................................................................................... 79

§ 02.08- Invariantes primários de um diádico.................................................................................. 80 O escalar e o vetor.......................................................................................................... 80 O terceiro. ...................................................................................................................... 82

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto................................................................. 85 Diádico unidade. ............................................................................................................ 86 Diádicos opostos ............................................................................................................ 88

§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. .................................................................................... 89 § 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89 § 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares...................................................................... 94

Propriedades................................................................................................................... 96 § 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96

Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96 Quadrângulos transpostos............................................................................................... 98

§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS....................................................................................................................... 99 § 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99

Propriedades................................................................................................................... 99 § 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva......................................... 101

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XVI

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107 § 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107

Propriedades................................................................................................................. 107 § 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro........................................................................ 110

Propriedades:................................................................................................................ 111 § 05.03 - Terceiro e transposto de um produto............................................................................... 112 § 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos................................................. 113

Exceções. ..................................................................................................................... 114 Produto nulo de diádicos não nulos. ............................................................................. 117

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR......................................................... 121 § 06.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 121

Propriedades................................................................................................................. 121 § 06.02- Fórmulas notáveis............................................................................................................ 124 § 06.03 - Escalar e vetor de φφφφ×r ..................................................................................................... 125 § 06.04 - Simetrias e anti-simetrias................................................................................................ 126 § 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. ........................................................... 127

Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128 Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129 Generalizações. ............................................................................................................ 131

§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS............................................................................................................ 134 § 07.01 - Definições e propriedades............................................................................................... 134

Propriedades................................................................................................................. 137 § 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140

Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141 Diádicos de Pauly......................................................................................................... 142 Diádicos ortogonais...................................................................................................... 144 Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145

§ 07.03 - Invariância...................................................................................................................... 146 § 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos......................................................................... 147 § 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153 § 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. ............................................................ 154

Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155 Propriedades................................................................................................................. 156

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158 § 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165

§ 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165 Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169

§ 08.02 - Invariância e invariantes. ................................................................................................ 171 § 08.03 - Propriedades formais. ..................................................................................................... 171 § 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo)....................................................... 176

Casos particulares......................................................................................................... 177 § 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia................. 177 § 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.................................................................... 179

§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180 § 09.01 - Definições....................................................................................................................... 180 § 09.02 - Matriz associada a um diádico........................................................................................ 182

Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187 § 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187

Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico............................................. 188 § 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.................................................................. 189 § 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana......................................................................... 191 § 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana............................................................. 191

Expressões matriciais de φφφφ.ψψψψ........................................................................................ 192 Expressões matriciais de I×a e φφφφ×a.............................................................................. 192

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). ........................................................... 193 Quádrica centrada......................................................................................................... 196

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana........................................................................... 198 § 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200

Propriedades Gerais...................................................................................................... 201 Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202

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XVII

Poliádicos - Ruggeri

Caracterização dos ortolineares:. .................................................................................. 203 Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares ......................................................... 205 Caracterização dos ortoplanares. .................................................................................. 206 Os diádicos antitriangulares e sua caracterização. ........................................................ 207

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares............................ 210 § 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215

§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. ........................................................................................ 217 § 10.01 - Espaço diádico................................................................................................................ 217

Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos......................................................218 § 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas............................... 223

Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.................................................. 226 Diádico posicional........................................................................................................ 227 Bases diádicas recíprocas. ............................................................................................ 229 Constituição de bases. .................................................................................................. 231 Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).................................... 232 Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233 Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235 Bases diádicas ortonormadas........................................................................................ 237

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico............................................................. 238 Biflechas ...................................................................................................................... 238 Independência de pontos e bases. ................................................................................. 239 União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239 Graus de liberdade de um espaço diádico..................................................................... 241

§ 10.04 – Ordem no espaço diádico............................................................................................... 242 § 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243

Direção e orientação..................................................................................................... 243 Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243 Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244 O paralelotopo.............................................................................................................. 245 Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional. ......................... 246

§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES..................................... 246 § 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla...................................................................................... 246

Identidades notáveis ..................................................................................................... 251 § 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255

Ângulo de dois espaços. ............................................................................................... 256 Ortotopos...................................................................................................................... 256

§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS......................................... 256 § 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261

Propriedades................................................................................................................. 263 Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana........................................ 269 Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma

cartesiana........................................................................................................ 270 § 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES. .............................................................................................. 270 § 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275

Projeção qualquer......................................................................................................... 275 Projeção paralela. ......................................................................................................... 276

§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277 § 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278 § 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279

Definições. ................................................................................................................... 279 Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280

§ 16.03 - Equações de espaços....................................................................................................... 282 Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282 Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283 Várias formas de equação de um 3-espaço................................................................... 284 Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................286

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica................................................................................. 287 § 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies................................ 288

BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289

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XVIII

CAPÍTULO III

GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR § 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA............................................................................ 291

§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291 § 01.02 - Propriedades fundamentais. ............................................................................................ 292 § 01.03 - Aplicação numérica. ....................................................................................................... 295

§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE............................................ 299 § 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299 § 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares..................................................... 300

Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301 § 02.03 - Matriz de mudança de base............................................................................................. 305 § 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares.

Tensores clássicos.............................................................................................. 307 Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307 Transformação das coordenadas de diádicos................................................................ 308

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos................................................................. 311 Diádicos com simetria externa em relação a um plano................................................. 312 Pesquisa de sistemas convenientes de representação....................................................314

§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS........................................................................ 314 § 03.01 - Polinômio mínimo. ......................................................................................................... 314 § 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico................................................ 318 § 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321

Diádicos com autovalores nulos. .................................................................................. 327 § 03.04 - Outros exemplos numéricos............................................................................................ 330

§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332 § 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C............................................... 332 § 04.01,A - Autovalores imaginários. ............................................................................................ 332

Caso de diádicos uniplanares........................................................................................ 336 Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336 Outras reduções............................................................................................................ 337

§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. ........................................................ 338 Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340 Tônicos associados a uma homologia........................................................................... 343

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠≠≠≠B = C................................................ 344 Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.................................................... 347 § 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS............................................................ 349

§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis....................................................................... 350 § 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. ............................................................... 351 § 05.02,A - TL regida por: ΓΓΓΓ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*)...................................................... 352

Diádico cíclico. Rotação elíptica. ................................................................................. 352 Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358 Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359

§ 05.02,B - TL regida por: φφφφ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* ................................................................. 362 Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.................................................................... 362

§ 05.02,C - TL regida pelo : φφφφ=ab*+bc*,........................................................................................ 365 § 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos.................................................... 366

§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368 § 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368

Caracterização dos cíclicos e rotores. ........................................................................... 374 Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias....................................................................................... 378 § 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).............................................................. 379 § 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.............................................. 379

Cíclicos e rotores biquadrantais.................................................................................... 379 Produto de biquadrantais. ............................................................................................. 382

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XIX

Poliádicos - Ruggeri

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. .................................................384 Expressão cartesiana para ΠΠΠΠ......................................................................................... 385 Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387 Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo

do outro. ......................................................................................................... 388 Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais................................ 391 Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393 Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400 Raízes K-ésimas do diádico unidade. ........................................................................... 401 Potências de expoente inteiro de um cíclico. ................................................................ 402 Representação do cíclico em série de Mac Laurin........................................................ 404 Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico....................................................406 Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados..................................... 407 Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408 Diádico de rotação e diádico de Argand associados. ....................................................408

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. ........................................................ 411 § 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR............................ 413

§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. .............................................................................. 413 § 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415 § 07.03 - Diádico reto. Deformação pura....................................................................................... 427

Diádico reto e deformação de um corpo....................................................................... 428 § 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429 § 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos............................................. 432

APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440 VOLUME II (deste Tomo I) Capítulo IV - Poliádicos Capítulo V - Poliádicos complexos TOMO II Capítulo VI - Análise Poliádica Capítulo VII - Campos de poliádicos

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XX

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Poliádicos - Ruggeri

CAPÍTULO I

VETORES § 01 - VETOR.

§ 01.01 - Definição, notação. A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente. Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro, sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; esta passa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada. Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitos pontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-se por AB ; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmento orientado; e o sentido de A para B, o seu sentido. Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentos orientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre o mesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução da origem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidos são concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig. 01.01)2.

Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entre as distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, com os conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, de um ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OA segmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou, geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa do ponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhuma unidade de medida). Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Para construí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente,

2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções".

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2 § 01 - Vetor

I,§ 01.01

um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de um eixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa U fixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo, com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A× OU , assinalando-se A sobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OU é denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medida algébrica de OA em relação a OU .

Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado AB por eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro (não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre as abscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se, então:

OU)AB(AB −= , (01)3,

independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se AB tem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo, pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro, representado por |B-A|OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB . Logo (01) pode ser escrita na forma

OU|AB|AB −±= , (02),

onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado seja concordante ou não com o do eixo. Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesma direção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numa concretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; e toda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, é válida, igualmente, para as demais retas do feixe. Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção (pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e o mesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retas paralelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados, então, diferentes vetores livres.

3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".

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§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. 3

Poliádicos - Ruggeri

Aos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentos orientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc. O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade, nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É também representado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada por flecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: ABAB −= , justificando-se

esta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A, cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelo

vetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavra latina vehere que significa transportar. Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelas letras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1, B2, etc. Os vetores serão denotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos, por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.

§ 01.02 - Igualdade vetorial.

Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: u igual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe; isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.

§ 01.03 - Alguns tipos de vetores.

Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assim dois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando, paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u v v u= − = − ou . Vetores coplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, sempre coplanares. Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero. Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Por convenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano e seu sentido é qualquer. Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente para especificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo: $v .

§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.

Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecer a sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade, projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não é necessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário, basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de: ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhas quebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, da circunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessa mesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais à Geometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e

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4 § 01 - Vetor

I,§ 01.05

propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzir propriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedade a partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira. Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisão e economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparato pesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Por exemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de um modo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se um aparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem, se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver o problema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta que não é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dos métodos elementares. Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hoje praticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4

com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à sua utilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecem ter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, os métodos vetoriais são expressivos. Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em Geometria Elementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada à finalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nos interessa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.

§ 01.05 - O uso dos vetores em Física.

4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.

A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades que participam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias para atender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito, pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência. Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc.. O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de se expressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas, criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezas denominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhado de uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc. Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam ser representadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força, velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, que serão apresentadas mais à frente. Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores. Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetor cuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos, agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida, com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou - conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor,

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§ 02 - Operações fundamentais com vetores. 5

Poliádicos - Ruggeri

poderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquela grandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim, quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as considerações geométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nos parágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quando conveniente, o seu significado em Física. O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébrico-geométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor uma velocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas são de naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter os mesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porque representam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm também correspondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forças paralelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricos estendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, em forças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modo mais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física.

5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra o conceito ou o assunto em referência.

O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiu a criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é, numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaço físico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta, porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Isto significa, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nas proximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmente estranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um pouco distantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda de um ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não mais que uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada de pistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática em Física. § 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES. São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessas operações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar o desenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente. Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento unidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (|x |=1 e |y |=1). Não

obstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer de comparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.

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6 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.01

§ 02.01 - Adição de vetores.

Soma de vetores.

Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: u mais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a sua origem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v, lendo-se: s é igual a u mais v. A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma.

Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v, consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e s' os vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso e noutro, são iguais, o que acarreta s = s' já que s e s' têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cuja extremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de u com v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra do paralelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para compor velocidades e forças.

A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a soma de vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assim sucessivamente. Escreve-se, então: s u v w= + + +[( ) ] ... . A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamente vetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento" da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada, conforme esquematizado na Fig. 02.02.

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§ 02.01 - Adição de vetores.. 7

Poliádicos - Ruggeri

Do ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de uma mesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, faria sentido somar força com velocidade?

Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representação gráfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é o mesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto, essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a sua correta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo do vetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções, pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometria e calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetores representam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seus módulos sejam as mesmas.

Propriedades da adição.

1ª) - É operação associativa:

∀a b c, , : ( ) ( )a b c a b c+ + = + + , (01)6, o que é evidente;

2ª) - É operação comutativa:

∀a b, : a b b a+ = + , (02), o que também é evidente, pela definição de soma;

3ª) - Adição com o vetor zero:

∀a: a o a+ = , (03).

Com efeito, pondo aMN = tem-se, obviamente, pela definição: MNMN =+ NN ; logo,

tem-se (03), pois, o=NN . Observando-se, ainda, que MNMMMN =+ e que, por (02),

MMNMMN =+ , tem-se o=MM . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetor nulo, isso é, o vetor nulo é único.

4ª) - Adição com vetores opostos:

∀a: a a o+ − =( ) , (04).

Pondo-se a=MN , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmo

módulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: o=+ NMMN , isso é, a a o+ − =( ) .

6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").

5ª) - Subtração de vetores: Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v (ler: u menos v), o vetor d tal, que

d u v u v= − = + −( ).

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8 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.02

A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Esta operação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa da adição. Ademais:

a) ∀ − =u u u o: ; b) graficamente, d u v= − obtém-se como a diagonal do paralelogramo construído sobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig. 02.03).

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.

Produto de vetor por número real.

Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que se lê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que v se M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:

vu M= . A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fim determinar o produto do vetor pelo número real7.

Propriedades da multiplicação de vetor por número real.

1ª) - É sempre possível e unívoca;

2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:

1v v= , (05), o que é evidente;

3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,

A B AB( ) ( ) ,v v= (06).

7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.

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§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 9

Poliádicos - Ruggeri

Pondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r . Ora, r tem a mesma direção de v porque r e v têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contrário se A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, r terá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e B forem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de (06) tem precisamente as mesmas características de r , isso é, tem a mesma direção que v, o módulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentido contrário ao de r se A e B têm sinais contrários;

4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:

( ...) ...,A B A B+ + = + +v v v (07). Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para dois números A e B é fácil provar, bastando considerar: 1°) - que os vetores (A+B)v, Av e Bv são paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2°) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde a igualdade dos módulos; 3°) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dos vetores (A+B)v e Av+Bv. Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é, ( ) ... .A B ... N A B N+ + + = + + +v v v v Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos os membros da igualdade anterior, temos: X Y A B N Yv v v v v v+ = + + + +... . Como, por hipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos X Y X Yv v v+ = +( ) , isso é, ( ) ... ,A B ... N Y A B N Y+ + + + = + + + +v v v v v e a propriedade é válida para um número qualquer de parcelas dentro dos parênteses;

5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,

A A A( ...) ...,u v u v+ + = + + (08), Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O, (Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética, de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seu vetor soma As, isso é, A A As u v= + +... . Logo, tem-se (08).

A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica, valendo as seguintes fórmulas:

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10 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.03

∀A,B, , , ,...:a b v

A

A A ou

A A

.o o

.a o

a o a o

a a

=== ⇒ = =

− = −

,

,

,

( ) ,

0

0

( ) ,

( ) ,

( ) ,

− = −

− = −

− = −

A A

A A A

A B A B

a a

a b a b

a a a

||/ ˆ vvv = (09).

Demonstraremos apenas a fórmula (09)18. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) =

Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessa igualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:

A A A A Ao o o o o− = + −( ).

Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o o o= +A , donde, novamente considerando (03), Ao=o.

8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".

Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa em

m/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: vvv ˆ)(m/s|| 2= . Essa expressão de v destaca,

através de $v , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de | |( / )v m s2 o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente, omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesse representando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):

| |( )$ |( )$ ,f f f a aunidade de M| kgm / s= 2

expressão que destaca, por $f ou $a , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) a intensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitos desses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.

§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória. Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operações fundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetor

NN

22

11 A...AA eeea +++= ;

diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei com coeficientes Ai. Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriais podemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinte convenção, denominada

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§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 11

Poliádicos - Ruggeri

Convenção Somatória: Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveis diferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressão fazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s), previamente fixado(s).

Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices são representados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menores do que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números que indexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta na forma sintética e simples:

a e= A (i = 1,2,... , N).ii ,

Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta uma particularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar, necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que a representada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A

2e2 etc. deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações, ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétrico etc, para que A1e1, A

2e2 etc. representem forças.

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.

Produto escalar. Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: x escalar y), o número real

x. y x y x y=| || |cos( , ), (01)9. A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto escalar desses vetores. Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será o produto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y um deslocamento, x.y representa trabalho.

Propriedades da multiplicação escalar.

1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca;

2ª) - (Interpretação Geométrica): O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do módulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte do primeiro.

9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".

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12 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.04

Pois, com efeito, temos, de (01):

yxyxyxx.y xproj|| )],(cos|[||| || == , (021)10,

onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nulo conforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente. Similarmente, poderíamos escrever:

x. y y x x y y xy= =| |[| |cos( , )] | | ,proj (022).

Resulta, logo: x. y x y= ⇔ ⊥0 , (03)11.

Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetor nulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor, inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é, esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente.

Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:

∀ = ⇔ =y x.y x o: , 0 (04).

Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o.

3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:

∀ =x y x.y y.x, : , (05),

o que é evidente por (01).

4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:

∀ = =M M M M, , : ( ) ( ) ( ),x y x . y x. y x. y (06). Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0 e π-A se M<0, tem-se, de (01):

10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções". 11 O símbolo ⊥ representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".

( ) | || |cos( , ) | || |cos( , ) ( ).M M M M Mx .y x y x y x y x y x. y= = = A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente.

5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

∀ + = +x y z x y .z x. z y. z, , : ( ) , (07). De (022) podemos escrever:

w. z z wz=| |proj .

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§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 13

Poliádicos - Ruggeri

Se, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw se distribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor soma é igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,

( ) | | ( ) | |( ),x y . z z x y z x yz z z+ = + = +proj proj proj tendo-se, logo, (07).

6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; a raiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:

x. x x x. x> =0, | | ; (x.x x o= ⇔ =0 ) (08).

Exercício:

a .x a xii

ii com i G | |= ⇐ ∀ = ⇒ =0 1 2 0, ,... .

A dado conjunto a1, a2, ..., aG tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazer corresponder o conjunto b1, b2, ..., bG tal que para todo i, ai +bi =xi . Então

( ) ( ) ( ) ( )a b .x x x xi ii G ... + = + + + =1

22

2 2 0, porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | | | |x x1 2 ...= = =0 . A recíproca é de demonstração evidente.

Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo as seguintes fórmulas:

( ) ( )a b . x y a.x a.y b.x b.y+ + = + + +

( ) ( ) ( )x y . x y x y x y x. y+ + = + = + +2 2 2 2

( ) ( )x y . x y x y+ − = −2 2 etc., (09). As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente das propriedades fundamentais. De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convenção somatória (§ 02.03):

( ) ( ) ( ,2, ... , ; ,2, ... , ),A B A B i N j Mii

jj

i ji je . r e . r= = =1 1 (10),

expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com dois índices repetidos.

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14 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.05

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.

Produto Vetorial.

Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por x×y (ler: x vec y), o vetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |x×y| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedro definido pelos vetores x×y, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .

A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto vetorial desses vetores13. Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x×y será o produto das dimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, x×y representará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho).

Propriedades da multiplicação vetorial.

1ª) - É operação sempre possível e unívoca.

2ª) - (Interpretação geométrica): O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente à área do paralelogramo construído sobre esses vetores.

Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então |y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).

12 Para se fixar o sentido de x× y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x× y; se, estando esse observador voltado para o interior do triedro x× y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto. 13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x y× e lia x cross y.

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§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 15

Poliádicos - Ruggeri

Sendo: sen(A)|||||| yxyx =× , resulta: H|||| xyx =× ,

isso é, o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo que tem x e y por lados. Em razão desta interpretação geométrica o produto vetorial é usado em muitas situações, na Física notadamente, como um "vetor-área", ou como um "elemento paralelogrâmico" de área.

Deduzimos, logo:

Uma CNS para que dois vetores sejam paralelos é que o seu produto vetorial seja o vetor zero:

yxoyx || ⇔=× , (01)14.

Se x×y=o, a área do paralelogramo construído sobre x e y é nula. Então, os vetores x e y são paralelos, um deles, ou ambos, podendo ser o vetor zero (o vetor zero é paralelo a qualquer vetor). A recíproca é evidente. Se x || y (um deles ou ambos podendo ser o vetor zero), o ângulo (x,y) é o ângulo nulo; então sen(x,y)=0 e o módulo de yx × é zero, ou seja,

oyx =× .

É óbvio que:

oxxx =×∀ : , (011).

3ª) - A operação é anticomutativa, isso é,

xyyx ×−=× , (02).

Com efeito, os vetores yx × e xy × têm o mesmo módulo, são ambos

perpendiculares ao plano definido por x e y (têm, pois, a mesma direção), mas têm sentidos opostos. Logo yx × e xy ×− são iguais.

4ª) - A operação é associativa em relação a fatores escalares:

)M()(M)(M :,M, yxyxyxyx ×=×=×∀ , (03).

De fato, independentemente de ser M>0 ou M<0 as direções dos vetores de ambos os membros de (03) são a da normal ao plano de x e y e seus módulos são obviamente iguais (porque são iguais o seno de um ângulo e o seno do suplemento desse ângulo). Quanto ao sentido dos vetores, deve-se observar que se M>0 os sentidos dos vetores

yx ×)(M , M( yx × ) e )M( yx × são os mesmos, obviamente; se M<0, o sentido de Mx se

inverte e o sentido de yx ×)(M é contrário ao de yx × que, por sua vez, terá seu sentido

invertido quando for multiplicado por M<0. Analogamente raciocinaríamos em relação aos vetores )M( yx × e yx × .

14 O símbolo || representa paralelismo, conforme nossas "Notações Gerais".

Page 36: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

16 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.05

5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

yzxzyxzzyx ×±×=±×∀ )( :,, (04).

Consideremos a Fig. 02.07 onde se destacam os vetores x, y, x+y, z, xz× e yz× .

Projetemos ortogonalmente sobre o plano ortogonal a z os vetores x, y e x+y. Os

vetores 1OB e 1OC são, necessariamente, coplanares com CO ′=× xz e BO ′=× yz , e

B'ÔC' = B1ÔC1 porque seus lados são perpendiculares; logo, o paralelogramo OC'D'B' é roto-homotético de OB1D1C1 sendo π/2 o ângulo de rotação e a razão de homotetia |z|. Então:

ODODDO1

×=×=′ zz , ou seja,

)( yxzyzxz +×=×+× .

Sendo BCCBCB11

×=×=′′ zz , tem-se, também:

)( yxzyzxz −×=×−× .

Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. A multiplicação vetorial segue as leis da multiplicação numérica, respeitada a anticomutatividade. Tem-se, por exemplo:

,)()( ybxbyaxayxba ×+×+×+×=+×+

yxyxyx ×=+×− 2)()( etc..

Obviamente, tal como mostramos para o caso da multiplicação escalar de duas combinações lineares vetoriais,

jiji

jj

ii BA)B()A( rere ×=× , (i=1,2,...,N; j=1,2,...,M) (05).

É claro que, não obstante as diferentes representações físicas das letras Ai, B j e dos vetores ei, r j, o segundo membro de (05) deve representar uma soma de vetores de mesma dimensão, necessariamente. À igualdade (05) pode dar-se expressão mais simpática quando as combinações lineares vetoriais com as quais se efetua o produto vetorial assumem as formas particulares seguintes:

1,2,3.=ji,ou 1,2,=ji,ou 1ji, ,BeA jj

ii === ebea

Page 37: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 17

Poliádicos - Ruggeri

Nesses casos temos, respectivamente:

oba =× ,

2121

21

BB

AAeeba ×=× ,

321

321211332

BBB

AAA

eeeeee

ba

×××=× , (06),

desde que convencionemos desenvolver o pseudo-determinante (ou determinante simbólico) (06)3 entendendo os vetores da primeira linha como se fossem números. Com efeito, para i,j=1 os vetores a e b são paralelos a e1 e oba =× . Para i,j=1,2 deduzimos, lembrando a anticomutatividade da multiplicação vetorial e a nulidade do produto vetorial com vetores iguais:

, )BABA(BABA

)BB()AA(

211221

1212

2121

22

11

22

11

eeeeee

eeeeba

×−=×+×=

=+×+=×

expressão equivalente a (06)2. Para i,j=1,2,3 podemos efetuar cálculos análogos e comprovar, facilmente, (06)3.

Identidade de Lagrange. Uma conexão entre os produtos escalar e vetorial de dois vetores é realizada pela identidade seguinte, que denominamos identidade de Lagrange:

:, yx∀ 2222 )()( yxyxx.y =×+ , (07),

ou sua equivalente,

:, yx∀ y.yy.x

x.yx.xyx.yxyx =××=× )()()( 2 , (071).

Sabemos que:

x. y x y x y=| || |cos( , ), e ),sen(|||||| yxyxyx =× .

Então, elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade e somando membro a membro encontramos (07). Lembrando a teoria dos determinantes e a propriedade comutativa da multiplicação escalar de vetores encontra-se logo (071).

Page 38: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

18 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.06

Consideremos, agora, os vetores a e b, combinações lineares arbitrárias dos vetores (quaisquer) e1 e e2:

22

11

22

11 BB e AA eebeea +=+= .

Os vetores a, b, e1 e e2 são, obviamente, coplanares. Escrevendo as expressões de a.e1, a.e2, b.e1 e b.e2 podemos, em seguida, calcular a diferença entre (a.e1)(b.e2) e (a.e2)(b.e1). Encontramos, facilmente, após simplificações e evidências:

a.e a.e

b.e b.ee e e .e

1 2

1 2

1 2

1 2 12

22

1 22= −

A A

B B[( ) ( ) ( ) ].

Lembrando (07) notamos que o número entre colchetes, no segundo membro, é o quadrado de e1×e2. Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (06)2 por e1×e2 e comparando o seu segundo membro com o segundo membro da expressão obtida acima, deduzimos:

21

212121)()( :coplanares ,,,,

b.eb.e

a.ea.eee.baeeba =××∀ , (08).

Obviamente, (08) é uma forma mais geral da Identidade de Lagrange (071).

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores.

Produto misto. Chama-se produto misto de três vetores x, y e z, nessa ordem, e indica-se por (xyz), o produto escalar do produto vetorial dos dois primeiros vetores (que é um vetor) pelo terceiro:

y.zxxyz ×=)( , (01).15

A multiplicação mista de três vetores é a operação que tem por fim determinar o produto misto desses três vetores.

Propriedades da multiplicação mista.

1ª) – É uma operação sempre possível e unívoca. 2ª) – (Interpretação geométrica) O produto misto de três vetores representa, em grandeza e sinal, a medida numérica do volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores dispostos co-inicialmente numa representação gráfica.

15 Gibbs denominou esse produto de scalar triple product e usava a notação [xyz].

Page 39: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores 19

Poliádicos - Ruggeri

Consideremos a Fig. 02.08 onde se representam os vetores x, y e yx × . Da

definição de produto escalar escrevemos:

cosA||||)( zyxy.zxxyz ×=×= .

Ora, |z|cosA - distância (numérica) da extremidade de z ao plano (x,y) - é positiva se z forma com yx × um ângulo agudo, isso é, se z e yx × estão no mesmo semi-espaço em

relação ao plano (x,y); é negativa em caso contrário. O módulo de yx × é numericamente

igual à área do paralelogramo construído sobre x e y (§ 02.04, propr. 2ª), paralelogramo este que, por sua vez, é uma base do paralelepípedo construído sobre x, y e z. Logo |x×y||z|cosA é numericamente igual ao volume desse paralelepípedo (positivo ou negativo). Em vista desta interpretação geométrica poderíamos denominar o produto misto de "produto caixa" ou "produto paralelepípedo".

* Exercício:

Demonstre que |( )| | || || |xyz x y z ≤ , isso é, o volume de um paralelepípedo oblíquo é menor que ou no máximo igual ao volume do paralelepípedo reto que tenha as mesmas arestas.

* 3ª) - (Nulidade do produto misto)

Resulta logo:

Uma CNS para que seja nulo o produto misto de três vetores é que eles sejam coplanares (podendo ser todos não paralelos, dois deles paralelos, ou os três paralelos).

De fato, em qualquer um dos casos uma das dimensões do paralelepípedo seria nula e seu volume se anularia. Com outras palavras, diríamos, também:

Uma CNS para que três vetores sejam coplanares é que seu produto misto seja nulo,

ou, ainda: É nulo um produto misto com dois vetores paralelos:

( ) ( ) ...xxz xzz= = = 0, (02).

4ª) - É associativa em relação a fatores escalares:

...)M()M()(M :,,M, =×=×=∀ y.zxy.zxxyzzyx , (03).

Page 40: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

20 § 02 - Operações fundamentais com vetores.

I,§ 02.06

Essa propriedade decorre imediatamente da associatividade das multiplicações escalar e vetorial.

5ª) - Um produto misto não se altera quando se permutam ciclicamente os vetores que o compõem:

∀ = =x y z xyz yzx zxy, , : ( ) ( ) ( ), (04),

mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:

( ) ( ) ( ) ( ),xyz yxz xzy zyx= − = − = − (041).

De fato, no primeiro caso (permutação cíclica) o volume do paralelepípedo manter-se-ia em grandeza e com o mesmo sinal; no segundo, mudar-se-ia apenas o sinal.

6ª) - Os símbolos operatórios são comutativos:

zx.yy.zxzyx ×=×∀ :,, , (05),

pois, pela propriedade anterior e pela comutatividade da multiplicação escalar, tem-se:

zx.yz.xyy.zx ×=×=× .

Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais.

Tal como nos casos anteriores, se os vetores x, y, e z, no produto misto (xyz), forem combinações lineares vetoriais, isso é, por exemplo, se

X Y e Z

com (i N j M k P)

ii

jj

kkx e y r z s= = =

= = =

, ,

,2, ... , ; ,2, ... , ; ,2, ... , ,1 1 1

então:

( ) ( ),xyz e r s= X Y Zi j ki j k

(06),

igualdade cujo segundo membro tem NxMxP parcelas. Com efeito, pois, conforme vimos (§ 02.05):

jiji YX reyx ×=× ,

igualdade cujo segundo membro contém NxM parcelas. Logo (§ 02.04),

)(ZYXZYX)(kji

kjikji

kji sre.srexyzy.zx =×==× ,

o último membro contendo (NxM)xP parcelas.

Page 41: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais. 21

Poliádicos - Ruggeri

Não obstante as diferentes representações físicas que as letras Xi, Yj, Zk e os vetores ei, r j, sk possam ter (cada uma com sua dimensão), deve ser observado que no segundo membro de (06) deveremos ter sempre uma soma de parcelas de dimensões todas iguais à dimensão do primeiro membro. À fórmula (06) pode dar-se uma feição especial quando os vetores x, y e z, são combinações lineares de um mesmo terceto de vetores. Assim,

∀ e1 ,e2 , e3 , Xi , Yi , Zi , x = Xi ei , y = Yi ei , z = Zi ei , (i = 1,2,3):

( ) ( ) ,xyz e e e= 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

X X X

Y Y Y

Z Z Z

(061).

Aplicando-se a fórmula ((06)3,§ 02.05)16 para o cálculo de yx × e em seguida

multiplicando-se escalarmente ambos os membros da expressão obtida por z deduz-se logo (061). Basta, para isso, anularem-se as parcelas em que um dos fatores é um produto misto com vetores iguais (ocorrem seis delas), evidenciar-se o fator comum a todas as outras (aplicando-se a propr. 5ª da multiplicação mista) e reconhecer-se na soma das três parcelas positivas e três negativas remanescentes o determinante do segundo membro de (061). § 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. Recordemos inicialmente que, dados N vetores ei e N números reais Ai, existe, determinado e único, o vetor a,

a e= =A (i N)ii , , ,..., ,1 2

combinação linear vetorial dos ei. Dados, entretanto, um vetor x e o conjunto dos ei, será sempre possível determinar N números reais Xi tais, que

16 Conforme nossas "Convenções", ((06)3, § 02.05) significa: a terceira fórmula do grupo (de fórmulas) (06), do § 02.05, do presente capítulo.

x e= =X , (i 1,2,...,N)i

i ?

No primeiro caso, a função linear vetorial dos ei é uma identidade vetorial. No segundo caso, essa função é uma equação vetorial de variáveis escalares, devendo-se procurar números Xi - que se chamam incógnitas da equação - que a tornem uma identidade; determinar esses números é procurar as soluções da equação, ou resolver a equação. Importa considerar para as operações que serão definidas a seguir, que os módulos de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento unidade de medida de distâncias comum aos respectivos eixos (|$x | e |$y | = 1). Nesse caso

Page 42: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

22 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.01

poderemos escrever: xxx ˆ||= e yyy ˆ||= . Uma vez estabelecida essa convenção

poderemos adotar quaisquer vetores não nulos paralelos a x e a y, digamos ex e ey, para servirem de “nova” unidade de medida. Escreveremos, nesse caso: || xx

exx e±= e

yy|| eyy e±= , onde com | |x

ex

estamos representando a quantidade necessária de ex para

formar x e com y

|| ey a quantidade de ey para formar y. Então:

| ||| || xx

exx e= e | ||| || yyeyy e= ,

de onde deduzimos:

| ||||| xxexx e = e | ||||| yy

eyy e = .

Assim, quando se adota ex para comparação, o módulo do vetor x (isso é, | |x

ex

) difere do

seu módulo (|x|) quando se adota x para comparação apenas por um fator igual ao inverso do módulo de ex. A mesma análise se faz com relação ao vetor y. O uso de vetores quaisquer para referência em uma, duas ou três direções distintas, nas condições expostas, é perfeitamente admissível desde que os vetores recíprocos sejam utilizados na forma apresentada nos parágrafos seguintes.

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos.

Inversão na reta. Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dada reta (r).

Teor. 1: (existência) Se e1≠o é paralelo à reta (r), existe um e um único e1≠o paralelo a (r) tal, que

e .e11 1= , (01).

Com efeito, e1 e e1 devem ter, necessariamente, o mesmo sentido para que (01) subsista, o que é sempre possível; logo, bastará que se determine o e1 paralelo a (r) que tenha por módulo o inverso do módulo de e1, número esse que se determina univocamente.

Definições: Os vetores e1 e e1 paralelos a dada reta (r), cujo produto escalar seja igual a um, são denominados vetores recíprocos ou duais na reta. A operação, sempre possível e unívoca numa reta, que tem por fim determinar o recíproco de dado vetor paralelo a essa reta, denomina-se inversão nessa reta.

⇒⇒⇒⇒

Construção gráfica de vetores recíprocos na reta.

Page 43: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. 23

Poliádicos - Ruggeri

Seja T o ponto de contato da tangente à circunferência de centro na origem de e1 e de raio unitário (circunferência de inversão)17, situada num plano qualquer que contenha o vetor e1. Seja X a projeção de T sobre o suporte de e1. Da semelhança dos triângulos

retângulos OTX e OET deduz-se: OX OE.: :1 1= Como e1 e o vetor de origem O e extremidade X, x, têm a mesma direção podemos escrever x .e 1 1= , isso é, x=e1 (Fig. 03.01). Se fosse |e1|<1 far-se-ia a construção no sentido inverso.

⇐⇐⇐⇐ Teor. 2: ∀ a1, b, e1 paralelos,

oebb

eaa=

1

111

.

., (02) 18.

Com efeito, se ao menos um dos vetores é o vetor zero a identidade é evidente porque o determinante (02) teria uma fila (linha ou coluna) com elementos nulos. Se os vetores são todos não nulos, podemos escrever: a a u b b u1 1= =| |$ , | |$ , onde $u é o unitário da direção comum a esses vetores. Temos, então, evidentemente, para qualquer e1 (paralelo a $u ): ueabb.eauebaab.e ˆ||||||)( e ˆ||||||)( 11111111 == . A igualdade dos primeiros

membros dessas expressões (já que os segundos são iguais) é, obviamente, equivalente a (02).

17 Esse problema é típico do estudo das transformações das figuras por inversão. 18 Já convencionamos desenvolver um pseudodeterminante como se os vetores fossem números; veja ((06)3, §02.05).

O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta.

Corol. 1: Todo vetor a, colinear com os recíprocos e1 e e1, pode ser expresso como combinações lineares vetoriais únicas desses vetores, isso é:

==∀ 1

1

11

11

)(

)( :paralelos ,,

ea.eaea.eaeea , (021).

Com efeito, se fizermos na identidade geral (02), b = e1, a1=a e desenvolvermos o determinante considerando (01), obteremos (021)2; em seguida, se fizermos b = e1, a1=a e e1 = e1 obtemos (021)1.

Nota:

Page 44: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

24 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.01

Deve ser observado que se a representasse uma grandeza física, digamos uma força, esta poderia ser representada por qualquer das expressões (02

1) com uma mesma unidade de

medida (digamos, N) embutida nas expressões de a.e1 e a.e1. Mas as quantidades a.e

1 e

a.e1 são diferentes porque representam, respectivamente, quantidades de a referidas a e1

e e1, as quais são diferentes (nesse caso, inversas). Veremos, passo a passo, que a existência dos vetores recíprocos elimina a imposição desnecessária (§ 02.01) de que os vetores de referência tenham os mesmos módulos em todas as direções.

Corol. 2: A CNS para que dois vetores quaisquer, a e e o

1≠ , sejam paralelos, é

que a=A1e1, sendo A1 um número real qualquer:

11

11 A || eaoeea =⇒≠⇐ , (022)19.

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de produto de vetor por número real.

Corol. 3: A CNS para que dois vetores e1 e e2 sejam paralelos é que exista uma combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não simultaneamente nulos20:

oeeee =+⇔ 22

11

21 AA || ou, 1,2)(i nsn, A ,A ii

i == oe , (023).

Se e1 e e2 são nulos eles são paralelos e satisfazem a condição com quaisquer valores de A1 e A2. Se ao menos um deles não é nulo, e1 por exemplo, então, pelo Corol. 2: e2 = A'1e1. Mas sendo sempre possível determinar dois números A1 e A2 ≠ 0 tais que A'1 = A1/A2, resulta: A1e1+A2e2 = o. A recíproca se demonstra analogamente.

19 As indicações entre os símbolos ⇐ e ⇒ representam as mesmas hipóteses nos dois sentidos, conforme as nossas "Notações Gerais". 20 Usaremos doravante, oportunamente, a abreviatura nsn para representar "não simultaneamente nulos", conforme as nossas "Notações Gerais".

Corol. 4: Se e1≠o, a solução da equação em X, e1X = a, é X = a.e1:

e o e a a.e1 11≠ = ⇒ =e X X , (024).

Com efeito, por (022), a e e1 são paralelos; e por (021), tem-se: X = a.e1. ⇒⇒⇒⇒

Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta. Consideremos sobre uma reta, em relação a uma origem arbitrária, O, o "ponto unidade", U, isso é, o ponto distante 1 de O, e dois outros, X1 e X2. Os vetores posicionais correspondentes (relativos a O) são u para U (um vetor unitário), x1 para X1 e x2 para X2.

Page 45: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 25

Poliádicos - Ruggeri

Seja, então, X o ponto corrente da reta, de posicional x. Os módulos desses vetores representam as distâncias dos pontos correspondentes à origem. A cada módulo juntaremos o sinal + se o sentido do vetor correspondente for coincidente com o de u ; e o sinal – em caso contrário. O módulo do vetor posicional acompanhado do sinal é a abscissa da sua extremidade. Chama-se razão anarmônica dos quatro pontos X, U, X1 e X2, nessa ordem, o número definido pela expressão:

1

2

2

1

UX

UX XX

XXX = (03),

em que os segmentos são orientados. Como o domínio de trabalho é a reta, esses segmentos podem ser substituídos pelas diferenças das abscissas (x, x1 etc.) de suas origens e extremidades, caso em que

)1x)(xx(

)1x)(xx(X

12

21

−−−−

= (031).

A razão anarmônica dos quatro pontos é, então, uma função homográfica em que a variável independente é a abscissa do ponto corrente X da reta. Para o que nos interessa no presente livro essa questão da determinação da razão anarmônica de quatro pontos não pode ainda ser mais desenvolvida. Voltaremos a ela repetidas vezes.

⇐⇐⇐⇐ § 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dado plano. Estes, têm os conjuntos dos vetores paralelos a uma reta como um subconjunto, desde que a reta seja paralela ao plano.

Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano.

Teor. 1: (existência) Dado um par e1,e2 de vetores não paralelos, existe um e um único par e1,e2 de vetores também não paralelos, do plano (e1,e2) tal, que:

e .e e .e e .e e .e1

12

2 12

21 0= = = =1 e , (01).

Com efeito, apliquemos e1 e e2 num ponto qualquer, O. Sobre as normais a e1 e e2 conduzidas por O, no plano (e1,e2), é sempre possível determinar univocamente os vetores e1 e e2, respectivamente, tais, que: e .e e .e1

12

2= = 1 . De fato, devendo ser

| || |cos( , ) | || |cos( , )e e e e e e e e11

11

22

22 1= = , bastará que e1 e e2 tenham por módulos os

recíprocos das projeções dos módulos de e1 e e2, respectivamente, sobre os seus suportes; tem-se então, para i = 1,2: | | /| |sen( , ) /| |,e e e ei

i iOE= =1 11 2 o ponto Ei sendo a projeção ortogonal da extremidade de ei sobre o suporte de ei. Sendo, ainda, por construção, e1 perpendicular a e2 e e2 perpendicular a e1, deduzimos: e1.e2 = e2.e1 = 0, o que comprova o

Page 46: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

26 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.02

teorema. Considerando-se que os ângulos (e1,e2) e (e1,e2) são suplementares, tem-se também: | | /| |sen( , ) /| |e e e ei

i iOE= =1 11 2 , o ponto Ei sendo a projeção ortogonal de ei sobre o

suporte de ei. Então: | || |sen( , ) | || |sen( , ) | || |sen( , ) ....e e e e e e e e e e e e11

1 2 11 1 2

22

1 2= = = .

Definições: Os pares (ou sistemas) de vetores coplanares e1,e2 e e1,e2 que satisfazem a (01) são denominados pares (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no seu plano. Para dois pares recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.

A operação, sempre possível e unívoca num plano, que tem por fim determinar os recíprocos de um par de vetores desse plano denomina-se inversão nesse plano. ⇒⇒⇒⇒

Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano.

Sejam U e V as extremidades de dois vetores quaisquer co-iniciais u e v de recíprocos a determinar (Fig. 03.02). A projeção U* (V*), sobre o suporte da normal a v (u), do ponto de contato da tangente à circunferência (de inversão) de raio 1 conduzida pela projeção U' (V') de U (V) sobre essa normal, é o ponto inverso de U' (V'), ou seja, é a extremidade de u* (v*).

Com efeito, pela projeção efetuada podemos escrever: OU' cos(= ∗| | , )u u u . Conforme já comprovamos (§ 03.01), se O é o centro da circunferência, o segmento OU* é o inverso

do segmento OU'. Logo, OU cos(∗ ∗ =| | , )u u u 1. Como devemos ter também

u .u u u u u cos( )∗ ∗ ∗= =1 | || | , , U* é a extremidade de u*.

Grupo Ortocêntrico no plano

Sejam 1 e 2 os pontos de interseção dos suportes dos pares de recíprocos homólogos no plano ( , ) ( , )e e e e1

12

2 e , quando os sistemas recíprocos

( , ) ( , )e e e e1 21 2 e são aplicados respectivamente, nos

pontos arbitrários O e O* desse plano (Figura 03.03). Em vista da construção realizada o triângulo OO*2 tem o ponto 1 por ortocentro. Logo as retas OO* e 12 são sempre perpendiculares entre si quaisquer que sejam os pontos O e O*. É fácil ver que o grupo de quatro pontos O, O*, 1 e 2 forma um grupo ortocêntrico de pontos, isso é, eles são tais que o triângulo formado por três deles tem

Page 47: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 27

Poliádicos - Ruggeri

o quarto ponto como ortocentro (como os vértices de um triângulo e seu ortocentro). Os quatro triângulos formados são denominados um grupo ortocêntrico de triângulos. Desafio: Provar que o incentro de um triângulo e seus três ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. Exercício: Demonstrar que são inversas (ou recíprocas) as elipses cujos semi-diâmetros conjugados sejam pares de vetores recíprocos.

⇐⇐⇐⇐

Propriedade fundamental de pares recíprocos.

Teor. 2: Se e1,e2 e e1,e2 são pares recíprocos, os produtos vetoriais e1× e2 e e1× e2 são recíprocos na reta ortogonal ao plano dos pares:

1)()( 2121

=×× ee.ee , (02).

Com efeito, é o que decorre imediatamente de ((08),§ 02.05) e (01).

Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares. Se a, b e c são vetores quaisquer de um plano, os vetores a× b, b× c e c× a são todos paralelos, por serem ortogonais a esse plano. Existem, obviamente, os vetores a× (b× c), b× (c× a), c× (a× b), são geralmente distintos, porém todos pertencem ao plano dos vetores a, b e c. Vetores assim definidos são denominados duplos produtos vetoriais21 por razões óbvias; a dupla multiplicação vetorial no plano, numa certa associação de três vetores, é a operação que tem por fim determinar o duplo produto vetorial desses vetores nessa associação.

Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares)

,)()()()( :0)( com ,,, cbaac.bbc.aabcabccba ××=−=××=∀ (03).

Se um ao menos dos vetores é o vetor zero, (03) é verdadeira por evidência. Se r é um vetor qualquer do plano dos vetores não nulos a, b e c, podemos escrever, aplicando ((08),§ 02.05):

].)()[())(())(()()( ac.bbc.ar.c.br.ac.ar.bc.ac.b

r.ar.bab.cr −=−==××

Lembrando propriedades da multiplicação mista, podemos também escrever:

21 Gibbs denominou esse produto de vector triple product.

Page 48: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

28 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.02

)];([)()( abcr.ab.cr ××=××

então, .0])()[()( =−−×× ac.bbc.aabcr. Por ser r qualquer, o vetor entre chaves é o

vetor nulo conforme ((04), § 02.04); o que justifica, então, os dois primeiros membros de (03). A igualdade do primeiro com o terceiro membro de (03) é de dedução imediata em vista da anticomutatividade da multiplicação vetorial.

Corol. 1: Se e1,e2 e e1,e2 são recíprocos,

,)(

)( ,

)(

)(2

21

12122

21

2121

ee

eeee

ee

eeee

×

××=

×

××= (031).

Pois, aplicando (03), escrevemos:

,)()()(2121

22212

e.eeeeeee −=×× e ;)()()(1212

21121

e.eeeeeee −=××

donde:

.)()()()]([

,)()()()]([

221

22

211212

212

21

222121

.eeeeeee.e

.eeeeeee.e

−=××

−=××

Considerando a identidade de Lagrange ((07),§ 02.05) temos, ainda:

1)(

)(

)(

)(2

21

12122

21

2121

××=

×

××

ee

eee.e

ee

eee.e ;

logo, lembrando as (01), deduzimos as (031).

Notas: 1)- As fórmulas (031) podem ser demonstradas geometricamente sem recorrência às fórmulas (03) e (01); 2)- Nos numeradores das (031) os parênteses são dispensáveis, pois, por exemplo:

.)()()()(2121

22212212

e.eeeeeeeeee −=××=××

Evidentemente, podemos também escrever:

221

121

2221

212

1 )(

)( ,

)(

)(

ee

eeee

ee

eeee

×××=

×××= , (032).

Teor. 4: ∀ a1, a2, e1, e2 e b coplanares:

o

b.eb.eb

.ea.eaa

.eaeaa

=

21

22122

21111 .

, (04).

Com efeito, usando (03) podemos escrever a identidade:

Page 49: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 29

Poliádicos - Ruggeri

obee.aaaaeeb =××+×××× )]()[()()]([21212121

uma vez que a1× a2.b = 0 (a1,a2 e b são coplanares). Operando na primeira parcela escrevemos, ainda, mais uma vez aplicando (03):

obee.aaa.aeeba.aeeb =××+××−×× )]()(])([])([212121211221

Lembrando, agora, propriedade da multiplicação mista, escrevemos:

obee.aaaee.baaee.ba =××+××−×× )()()()()()(212122111212

.

Aplicando ((08),§ 02.05), esta expressão pode ser escrita na forma:

a .e a .e

b.e b.ea

a .e a .e

b.e b.ea

a .e a .e

a .e a .eb o

2 1 2 2

1 21

1 1 1 2

1 22

1 1 1 2

2 1 2 2

− + = ,

ou, ainda, na forma do determinante simbólico (04), como facilmente se comprova.

O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.

Corol. 1: Todo vetor a, coplanar com os pares recíprocos e1,e2 e e1,e2, pode ser expresso como funções lineares únicas dos vetores de cada par:

= + =

= + ==

a e e e e

a a.e e a.e e a.e e

a a.e e a.e e a.e e

, , , :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ,2),

e coplanares

i

ii

ii

1 21 2

11

22

11

22 1

(041).

Com efeito, se aplicarmos (04) para b = a, a1 = e1 e a2 = e2, teremos imediatamente (041)2. Se fizermos ainda, em (04), b = a, a1 = e1 , a2 = e2, e1 = e1 e e2 = e2, obteremos (041)1. Os coeficientes das funções lineares (041) são únicos porque se existissem outros números, A1, A2, A1, A2 tais, que

,AAou ,AA 22

112

21

1 eeaeea +=+=

deduziríamos:

a e a e. , .1 1 2= =A A etc,2

isso é, os números a.e1, a.e2, ... são únicos.

Nota: É válida aqui a mesma observação feita relativamente à expressão (02

1), § 03.01. A

existência e a utilização dos pares recíprocos possibilitam total liberdade de expressão e de representação gráfica de um vetor qualquer de um plano já que fica eliminada a imposição de que os vetores e

1 e e

2, de direções diferentes, tenham o mesmo módulo; isso é, que nas

representações gráficas, a todas as direções correspondam vetores de comparação de mesmo módulo (basta que os unitários das direções tenham o mesmo comprimento).

Page 50: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

30 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.02

Corol. 2: A CNS para que um vetor qualquer a seja coplanar com dois vetores não paralelos e1 e e2 é que a seja uma combinação linear de e1 e e2:

1,2)(i ,AAA

, 0)(

ii

22

11

2121

==+=

⇒∀≠×⇐=

eeea

aoeeeae, (042).

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de soma dos vetores A1e1 e A2e2.

Corol. 3: A CNS para que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares é que exista uma combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não simultaneamente nulos:

( )

A ,

e e e

e e e o e1 2 3

1 23

3

0= ⇔

+ + = =

A A A A nsn (i=1,2,3),1 2 ii

i (043).

Sejam e1, e2 e e3 coplanares. Se e1 e e2, por exemplo, forem paralelos, de ((023),§03.01) podemos escrever (se A1 e A2 são nsn): A A1 2e e o1 2+ = , ou,

A A1 2e e e o1 2 30+ + = , existindo, pois, combinação linear dos vetores com coeficientes não

simultaneamente nulos. Se e1 e e2 não forem paralelos, o corolário anterior permitirá escrever:

e e e e e e o3 1 2 1 2 3= ′ + ′ + + =A A ou, A A A1 2 1 2 3, ,

porque é sempre possível determinar um terceto de números A1, A2 e A3 ≠ 0 tal, que A A A'i i 3=− / (i = 1,2). Também neste caso existirá uma combinação linear nula entre os vetores com coeficientes não simultaneamente nulos. Reciprocamente, existindo a combinação linear Aiei=o com pelo menos A3 ≠ 0, podemos escrever: e e e3 1 2= ′ + ′ ′ =A A com A A A1 2 1 1 3, , e o corolário 2 mais uma vez

permite concluir que e1, e2 e e3 são coplanares.

Corol. 4: Se e1 e e2 são não paralelos, as soluções da equação em X1 e X2, e1X

1+e2X2=a são X1=a.e1 e X2=a.e2, isso é,

221122

1121

X e X XX e a.ea.eaeeoee ==⇒=+≠× , (044).

Com efeito, por (042), a, e1 e e2 são vetores coplanares; e por (041) deduzimos os valores das incógnitas.

Exercício 1: Comprove que, quando os vetores das duplas recíprocas 32 ˆ,ˆ uu e , 32 uu são

dispostos co-inicialmente num ponto O, a extremidade de u2 é a interseção da normal a 3u

por O com a normal a 2u pela sua extremidade. Analogamente, mutatis mutandis, em

relação a u3.

Page 51: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 31

Poliádicos - Ruggeri

Exercício 2: Os unitários $ $u u

2 3 e formam um ângulo γ1. O unitário $

( )u γ , coplanar com os

primeiros, forma um ângulo γ com $u2. Comprove então, que:

]ˆ sen ˆ ) (sen [sen γ

1ˆ 3211

)( uuu γ+γ−γ=γ .

Vetores término colineares.

O Corol. 3 exige apenas que os coeficientes da dependência linear de três vetores coplanares sejam nsn (não simultaneamente nulos).

Teor. 5: (direto) Se três pontos A, B e C são colineares, seus posicionais a, b e c, respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência linear nula com coeficientes de soma nula.

Como os vetores c-a e c-b têm o mesmo suporte, o Corol. 3 do Teor. 2 garante a existência de números nsn L e M tais, que L(c-a)+M(c-b)=o. Então,

ocba =+−+ M)L(ML , (05),

isso é, a dependência linear nula de a, b e c tem coeficientes de soma nula.

Teor. 6: (recíproco) Se três vetores co-iniciais a, b e c, de extremidades A, B e C, respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma nula, suas extremidades são colineares.

Os vetores a, b e c, por terem dependência linear nula, são coplanares (Corol. 3, Teor. 4); seja ocba =++ NML a expressão dessa dependência com L+M+N=0. Então,

ocba =+−+ M)L(ML , ou seja, obcac =−+− )N()L( .

Pelo Corol. 3, Teor. 2, § 03.01, os vetores c-a e c-b devem ser paralelos. Como ambos têm origem em C, as suas extremidades A e B são colineares com C.

Definição: (vetores término colineares) Vetores co-iniciais com extremidades colineares são ditos término colineares.

* Muitos problemas em Geometria Plana podem ser facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Qualquer vetor do plano pode ser referido a dois vetores fixos quaisquer desse plano, co-iniciais num ponto arbitrário, tomados como referência. Quando o ponto de início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico da solução pode ser apreciavelmente simplificado22. Para o que nos interessa no contexto desta obra faremos menção apenas às várias formas de equação da reta.

22 O leitor poderá consultar obras [1, 2, 4, 8] que detalham as aplicações.

Page 52: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

32 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.02

Varias formas de equação da reta (no plano). ⇒⇒⇒⇒ Um ponto de uma reta tem um "grau de liberdade": o de percorrer a reta; depende, pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Com efeito, pondo, na equação (05), λ=M/L tem-se bac λ+=λ+ )1( . Se, agora, entendermos os pontos A e B como pontos fixos

e o parâmetro λ como uma variável real continua (assumindo todos os valores de -∞ a +∞), a cada valor de λ corresponderá um ponto C sobre a reta definida por A e B. Na notação usual o ponto corrente da reta é representado por X e seu posicional por x. Assim e equação vetorial da reta definida pelos pontos A e B é

bax λ+=λ+ )1( , (061).

Para x=a deve ser λ=0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais a e b devem ser distintos. Pondo a equação na forma bax +λ=+(λ 1−1− )1 vê-se que deve ser λ=∞

para x=b, ou seja, ao ponto B corresponde o valor ±∞ do parâmetro. Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo A e é paralela ao vetor unitário u . Como o vetor x-a, de módulo λ, variável, deve, então, ser paralelo a u , escrevemos uax ˆλ=− , ou seja,

uax ˆλ+= , (062), ou, se estivermos resolvendo um problema no espaço tridimensional,

ouax =×− ˆ)( , (062').

As equações (061) e (062) são as equações paramétrica da reta no plano; a forma (062') é a forma normal de equação dessa mesma reta.

Consideremos agora a equação C =a.x em que a e C são vetor e escalar constantes. Tem-se: d ||),cos( ||||C aaxaxa.x === em que d é a projeção (constante) de

x sobre a. Conseqüentemente os pontos χχχχ pertencem a uma reta ortogonal a a cuja distância à origem é C/|a|=d. A equação dada,

C =a.x , (07),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na forma mais simples d ˆ =x.a . Pesquisemos a equação da reta que passa por um ponto fixo A e seja ortogonal à direçãou . Ora, x-a deve ser então, ortogonal au ; logo,

0ˆ )( =− u.ax , (08),

equação essa denominada forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro membro podemos escrever, ainda,

Cˆ ˆ == u .au.x , (091),

por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta. *

Page 53: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 33

Poliádicos - Ruggeri

Se levarmos em conta que os posicionais a e b admitem os recíprocos a* e b* a equação paramétrica (061) pode assumir uma forma hessiana. Multiplicando-se escalarmente ambos os seus membros por, digamos a*, resulta 1)1( =λ+ ∗x.a , ou seja,

)1(||1ˆ

λ+=

∗∗

aax. , (092).

A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano).

Sejam e1 e e2 dois vetores de extremidades 1 e 2, respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do plano que definem; e U o ponto de posicional u=e1+e2, denominado "ponto unidade" do plano em relação a esses vetores. Justifica-se a nomenclatura pelo fato de U ter coordenadas 1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se associarem coordenadas univocamente a um ponto qualquer, P, em termos de certas razões anarmônicas (ver § 03.01). A reta do plano, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta a reta 12 (oposta ao ponto 0) no ponto L0 e as retas suporte de e1 e e2 nos pontos L2 e L1, respectivamente. A reta L1L2 (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1 e 2) tem por equação vetorial,

pux λλλλλλλλ +=+ )1( , (10),

em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de λ corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor λj do parâmetro para j=0,1,2, sendo

jjj )( lupl −=−λ , (101).

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1 ou 2) é o número:

UL

PL.

PL

UL)UP,LL(X

0

0

k

kokk ==

em que UL 0 , PL 0 , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos

têm a mesma direção, podemos escrever, também:

)( )(X)( )( k0k0k lp.lulp.lu −−=−− ,

ou, ainda, substituindo os valores de pl −k e 0lu − obtidos de (101) e simplificando:

0kk /X λλ= , (11).

Vê-se, assim, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos de um plano: 0, 1 e 2, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2, ou pelo terceto de números λ0, λ1 e λ2. Por métodos vetoriais pudemos, assim, estabelecer essa forma de proceder, fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro). Nos capítulos seguintes esses conceitos serão transmitidos facilmente para espaços de dimensões maiores.

⇐⇐⇐⇐

Page 54: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

34 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.03

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. Consideremos o conjunto formado por três vetores quaisquer, não coplanares, cujos suportes definem um triedro. É sempre possível aplicar esses vetores co-inicialmente num ponto qualquer do espaço, O, e denotá-los por letras seqüenciais de um alfabeto (a, b e c, por exemplo). Podemos, também, denotá-los por uma mesma letra indexada (e1, e2 e e3, por exemplo), de forma a que o triedro definido por eles seja positivo23 em relação a uma seqüência básica (por exemplo: abc ou 123). Nestas condições diremos também que o terceto e1, e2, e3 é positivo ou direto.

Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço.

Teor. 1: (existência) Dado um terceto direto de vetores não coplanares e1,e2,e3, existe um e um único terceto direto de vetores não coplanares, e1,e2,e3 tal, que:

2

e .e e .e e .e

e .e e .e e .e e .e e .e e .e1

12

23

3

12

23

31

13

21

3

1

0

= = == = = = = = ,

(01).

Denotemos por e3 um vetor com módulo finito, a determinar, paralelo a e1^e2 e de mesmo sentido que este; seja, então:

23 Relembremos que, segundo a regra do observador, um triedro definido pelos vetores co-iniciais e1, e2, e3 é positivo quando este, voltado para o interior do triedro, com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo dirigido segundo o vetor ei , vê o vetor ej à sua direita e o vetor ek à sua esquerda, desde que ijk forme uma permutação par do grupo (123).

,E1

213 eee ×= com E = número finito positivo, (A).

Nestas condições e3 encontra-se, em relação ao plano (e1,e2), no mesmo semi-espaço que e3. O ângulo (e3,e

3) é agudo, sendo possível determinar, de modo unívoco, um módulo para e3, tal, que:

e .e33 1= , (B).

A fórmula (A) dá, então, imediatamente:

E=( 1e e e2 3) , e e .e e .e13

23 0= = , (C),

uma vez que o segundo membro de (A) é um produto misto com dois vetores iguais. Com um raciocínio análogo poderíamos mostrar a existência de dois outros vetores, e2 e e1, de determinações únicas, satisfazendo relações dos tipos (B) e (C) que, em conjunto, ficam resumidas a (01).

Das igualdades (01) consideremos, por exemplo, e .e e .e31

32 0= = . Então, e3 é

ortogonal ao plano (e1,e2); logo, podemos escrever, pela definição de produto vetorial de

Page 55: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 35

Poliádicos - Ruggeri

dois vetores: ,E1 21

3eee ×= ∗ onde E* é um número finito positivo a determinar (não nulo

porque e3 tem módulo finito). Considerando (B), deduzimos:

E =∗ ≠( ) .e e e1 2 3 0

Concluímos, assim, que os ei são não coplanares. Em resumo, então:

),/()( ),/()( ),/()(32121

332113

232132

1 eeeeeeeeeeeeeeeeee ×=×=×= (02),

e

),/()( ),/()( ),/()( 321213

321132

321321

eeeeeeeeeeeeeeeeee ×=×=×= (021),

igualdades que mostram que se e1, e2, e3 é direto, então, e1, e2, e3 é direto; e reciprocamente.

Definições: Os tercetos (ou sistemas) de vetores e1,e2,e3≡e* e e1,e2,e3≡e*, que satisfazem a (01), são denominados tercetos (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no espaço. Para dois tercetos recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.

A operação, sempre possível e unívoca no espaço, que tem por fim determinar os recíprocos de dado terceto de vetores não coplanares, denomina-se inversão no espaço.

Nota: Deve ser observado que os vetores e1, e2 e e3, recíprocos de e1, e2 e e3 no E3, não têm haver com os recíprocos dos pares (e1, e2), (e2, e3) e (e3, e1), pois cada par admite um par recíproco no seu próprio plano (§ 03.02).

Exercícios:

1) - Mostrar que se , u u u u2 32 e , 3 são sistemas recíprocos num plano, então, se

n é um unitário normal a esse plano, os sistemas ,,ˆ e ,,ˆ 3232 uunuun são recíprocos no

espaço.

2) - Existe um e apenas um elipsóide que admite três vetores não coplanares quaisquer por semi-diâmetros. Então, o elipsóide que admite os vetores de um terceto por semi-diâmetros, é inverso do elipsóide que admite por semi-diâmetros os vetores do terceto recíproco do primeiro24. ⇒⇒⇒⇒

Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço. A superfície esférica de raio unitário centrada na origem comum dos vetores, O, intercepta o conhecido plano definido pelos recíprocos homólogos e1 e e1 (ortogonal ao definido por e2 e e3) segundo a circunferência de raio um e centro O. Se | e1|>1 e E1 é a

24 Exploraremos um pouco mais esse assunto no Cap. V, Tomo II.

Page 56: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

36 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.03

projeção ortogonal da extremidade de e1 sobre o suporte de e1, então o vetor e1 e o vetor de extremidade E1 têm também o mesmo sentido. A projeção ortogonal, E1, do ponto de contato, T, da tangente à circunferência, conduzida por E1, sobre o suporte de e1, define a extremidade de e1 (Fig. 03.04).

Com efeito, por evidência, OE cos( , )1 =| |e e e1 11 . Sendo, ainda, OE x OE

11 1= - pois, da

semelhança dos triângulos retângulos OTE1 e OE1T deduzimos OE OT OT OE11

: := -

tem-se: 1=),cos(||OE 111

1eee , os vetores de extremidades E1 e E1 tendo o mesmo

sentido. Mas devendo ser e .e11 1 = , e tendo então o vetor de extremidade E1 a mesma

direção, o mesmo módulo e o mesmo sentido que e1, resulta que a extremidade de e1 é E1. Se |e1|<1 aplica-se a operação inversa da descrita para a determinação do recíproco. Não é difícil interpretar o caso em que um dos vetores tem módulo igual a um.

⇐⇐⇐⇐

Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos.

Teor. 2: São números recíprocos os produtos mistos dos vetores de tercetos recíprocos ordenados homologamente:

, ... ))((1))(( 213213

321321 === eeeeeeeeeeee (03).

Da fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares ((03),§ 03.02), temos:

.)()()(322232322

e.eee.eeeee −=××

Multiplicando escalarmente ambos os membros por e3/(e1e2e3) e considerando (02)1 e (01),

deduzimos: )/()(32122

312

eee.ee.eee −=× . Como um produto misto não se altera pelo

intercâmbio dos sinais operatórios, )/()(32122

312

eee.eee.ee −=× . Dividindo, agora,

ambos os membros dessa igualdade por (e1e2e3), considerando (021)2 e simplificando, resultará (03)25.

25 Como se vê, a fórmula (03) pode ser demonstrada sem recorrência à fórmula adiante, de número (04), dita fórmula do duplo produto vetorial no espaço (expressão do Teor. 3).

Page 57: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 37

Poliádicos - Ruggeri

Dupla multiplicação vetorial (no espaço).

Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial)26

,)()()( :,,

321231321321e.eee.eeeeeeee −=××∀ (04).

A fórmula é válida se os vetores são coplanares, conforme ((03),§ 03.02). Se os vetores não são coplanares eles admitem um terceto recíproco. Temos, considerando (021)3 e propriedade da multiplicação mista:

211

21131

321 ))(( .eeee.ee.eeeee ×=×= .

Subtraindo ao primeiro membro desta igualdade o termo nulo (e2.e1)(e3.e2)(e1e2e3) e

lembrando que e2.e2=1, podemos escrever:

211

2312

2 213

321 )] )( () )( )[(( e.eee.ee.e.eee.eeee ×=− ,

donde, transpondo termos e fatorando:

0])())[(( 2312213

32111

=−−× .ee.eee.eeeeeee .

Conforme propriedade da multiplicação escalar, o vetor entre chaves, se não é o vetor nulo, é ortogonal a e2; é também ortogonal a e1 porque seu produto escalar por e1 é nulo. Logo, por (021)3, esse vetor deve ser paralelo a e3. Mas o seu produto escalar por e1 também é nulo. Então esse vetor deve ser paralelo a e3 e ortogonal a e1; logo, só pode ser o vetor nulo, uma vez que e1 e e3 não são necessariamente ortogonais. Assim, se substituirmos na expressão desse vetor, e1 pela sua expressão (02)1, resultará:

])())[()(()(321231321

321321

e.eee.eeeeeeeeeee −=×× .

Considerando, agora, (03), resulta (04).

Generalização da identidade vetorial de Lagrange.

Teor. 4: Tem-se:

,)()( :,,,y.by.a

x.bx.aba.yxbayx =××∀ (05).

Com efeito, lembrando propriedade da multiplicação mista e aplicando (04) podemos escrever, sucessivamente:

,])()[(])[()()( .bxy.ayx.a.bayxba.yx −=××=××

tendo-se, logo, (05). Obviamente, (05) é uma forma mais geral que ((08),§ 02.05). 26 Diferentes deduções originais desta fórmula, sem recorrer a expressões cartesianas dos vetores, foram também apresentadas por: Moreira, L.C.A., Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1957; Bricard R., Le Calcul Vectoriel, Coleção Armand Colin, 1929, e em anexo a demonstração de El Annabi; Chattelun, L., Calcul Vectoriel, tomo I, Gauthier-Villars, 1952; Calaes A. M. , Coleção de Estudos Matemáticos, Editora UFOP, 1993.

Page 58: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

38 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.03

Teor. 5: ∀ a, e1,e2,e3:

321213132321)()()()( eea.eeea.eeea.eaeee ×+×+×= , (06).

Podemos escrever, por evidência:

),()()(

).()()()(

132132

132132132321

eaeeeea.e

eaeea.eeeeea.eaeee

×××+×=

=×−×+×=

ou, recalculando o duplo produto vetorial na segunda parcela deste último membro:

.)()()()(231321132321

e.eeae.eeaeea.eaeee ×−×+×=

Aplicando propriedades da multiplicação mista e da vetorial às duas últimas parcelas encontramos, logo, (06).

Corol. 1:

,)( :,,,,

321

321

321

321321

y.ey.ey.e

x.ex.ex.e

eee

yxeeeeeeyx =×∀ (061).

Com efeito, fazendo-se yxa ×= , a última parcela do segundo membro de (06)

pode ser escrita na forma

321

21321321

)]()[()( ey.ey.e

x.ex.eeee.yxeea.e =××=× ,

conforme nos possibilita (05). A referida parcela é, então, o produto de e3 pelo seu complemento algébrico no pseudodeterminante em (061). Operando analogamente com todas as parcelas de (06) encontraríamos as demais parcelas do referido pseudodeterminante desenvolvido segundo Laplace pelos elementos da primeira linha, o que comprova (061).

Corol. 2:

∀ =x y z e e e xyz e e ex.e x.e x.ey.e y.e y.ez.e z.e z.e

, , , , , : ( )( ) ,1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(062)27.

Com efeito, para demonstrar: 1º) basta multiplicar-se escalarmente ambos os membros de (061) por z; 2º) considerar-se que, no segundo membro, essa operação é equivalente a multiplicar escalarmente no pseudo-determinante, a primeira linha de vetores por z; 3º) deslocar-se a primeira linha do determinante assim formado para a posição de terceira linha, o que não altera o seu valor.

27 Deve ser observado que esta fórmula é válida mesmo quando sejam coplanares os vetores do terceto e1,e2,e3, ou os do terceto x,y,z.

Page 59: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 39

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 6:

o

b.eb.eb.eb

.ea.ea.eaa

.ea.ea.eaa

.ea.ea.eaa

bea =∀

321

3323133

3222122

3121111

ii :1,2,3)=(i ,, , (07)28.

Desenvolvendo a identidade óbvia oabbaaa =×+××× )()(

3321 colocada na

forma oaaabbaaa =×××−××× )()()()(213321

e operando de forma conveniente,

encontramos: oaabaaababaaaabaa =+−− 213123321321 )()()()( . Mais uma vez aplicando

propriedades da multiplicação mista, escrevemos, ainda:

( ) ( ) ( ) ( ) .a a b a a a b a a a b a a a a b o2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 2 3− + − = Multiplicando ambos os membros dessa identidade pelo produto misto (e1e2e3) dos vetores quaisquer e1, e2, e3 e lembrando a fórmula geral (062), temos:

.

332313

322212

312111

3

321

322212

312111

2

321

332313

312111

1

321

332313

322212

ob

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

a

b.eb.eb.e

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

a

b.eb.eb.e

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

a

b.eb.eb.e

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

=−+

+−

Não é difícil, agora, comprovar-se que essa identidade é equivalente ao determinante simbólico (07) desenvolvido segundo Lapalace pelos elementos da primeira coluna.

28 Esta fórmula tem ((02), § 03.01) e ((04), § 03.02) como correspondentes na reta e no plano.

O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.

Corol. 1: É sempre possível exprimir qualquer vetor a do espaço por combinações lineares únicas dos vetores de cada terceto de dois tercetos recíprocos:

1,2,3),(i ) (...) (

) (...) ( :,, ,,, ,

i11

ii

11

321321 =

=+=

=+=∀

ee.aee.aa

ee.aee.aaeeeeeea

i

(071).

Esta fórmula é análoga a ((041),§ 03.02) e sua demonstração pode ser feita por analogia. Assim, por exemplo, se fizermos na fórmula geral (07), b = a, ai = ei (i = 1,2,3) e desenvolvermos o determinante, encontraremos facilmente (071)1. Se fizermos, para i = 1,2,3, ei = ei, ai = ei, e b = a, de (07) deduziremos também (071)2.

Page 60: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

40 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.03

É fácil interpretar geometricamente o significado dos coeficientes a.ei e a.ei (como veremos no § 04.01), sendo desnecessário, mais uma vez, destacar-se que a existência e a utilização dos tercetos recíprocos eliminam a imposição de que os vetores e1, e2 e e3 devam ter os mesmos módulos (ver § 04.01 à frente) 29.

Corol. 2: A CNS para que três vetores e1, e2, e3 sejam não coplanares é que qualquer a do espaço possa exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores:

( )e e e a a e1 2 3 0≠ ⇐ ∀ ⇒ ∃ = A (i = 1,2,3),ii (072).

A condição é necessária pelo Corol. 1. Vamos provar que ela é suficiente por redução ao absurdo, isso é: se qualquer vetor a pode exprimir-se como duas combinações lineares (pelo menos) dos vetores e1, e2 e e3, então esses vetores são coplanares. Pois, escrevendo: a e e e e e e= + + = ′ + ′ + ′A A A A A A1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3, onde ao menos um dos A

difere do correspondente A', deduzimos:

( ) ( ) ( )A A A A A A1 1 2 2 3 3− ′ + − ′ + − ′ =e e e o1 2 3

isso é, os vetores e1, e2 e e3 são coplanares conforme ((043),§ 03.02); o que é um absurdo.

Corol. 3: Uma condição necessária para que quatro vetores e1, e2, e3 e e4 sejam não coplanares é que exista a combinação linear, Aiei = o, (i = 1,2,3,4), com os Ai nsn:

e e oii

ii não copla nares, (i = 1,2,3,4) A A nsn,⇒ ∃ = , (073).

A condição é necessária porque se os quatro vetores são não coplanares, existe necessariamente dentre eles um terceto de não coplanares, podendo acontecer, entretanto, que dentre os quatro: 1º) um (apenas) seja o vetor nulo; 2º) dois (apenas) sejam colineares; 3º) três (apenas) sejam coplanares. Então, por (072), o quarto vetor, e4, por exemplo, - o vetor nulo, um vetor paralelo a apenas um dos três, o vetor coplanar com dois quaisquer dos outros três - poderá ser escrito como uma combinação linear única dos três não coplanares e1, e2, e3, na forma: e e e e4 1 2 3= + +Z Z Z1 2 3 .Como, para qualquer A4 ≠ 0, é sempre

possível determinar um Ai tal que Z A A (i=1,2,3),i i 4=− / , a substituição desses valores na expressão de e4 nos leva à tese (já que pelo menos A4 ≠ 0).

29 Deve ser observado que para a dedução dessas fórmulas não é necessário recorrer-se à "decomposição cartesiana de um vetor" (conceito que será abordado no § 04).

Corol. 4: Se e1, e2, e3 são não coplanares, as soluções da equação eiX

i = a são Xi = a.ei:

( ) ,e e e e a a.e1 2 3 0≠ = ⇒ = e X (i=1,2,3) Xii i i (074).

⇒⇒⇒⇒

Page 61: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 41

Poliádicos - Ruggeri

O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. Sejam , , , , a b c a b c e ∗ ∗ ∗ sistemas recíprocos30, isso é,

)(abccba ×=∗ , ... e

)( ∗∗∗

∗∗ ×=cbacba , ... .

Definições: As retas suportes de vetores recíprocos homólogos (como a e a* etc.) serão ditas retas homólogas; as demais, não homólogas. Os pares de planos (a,b) e (a* ,b*) etc., serão ditos planos homólogos.

É clara a correspondência existente entre os planos homólogos e as retas homólogas que lhes são ortogonais. A aplicação de (04) permite concluir imediatamente que

occbbaa =∗×+×+× ∗∗ , (08). Com efeito, para o par homólogo (a,a*) escrevemos:

])()[()(

1)(

ca.bba.cabcabc

cbaaa −=××=× ∗ , (091),

ou

])()[()(

1)(

∗∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗ −=××=× c.bab.cacba

acbacbaa , (092).

Para os demais pares escreveríamos expressões similares. Somando as expressões correspondentes a (091), ou as correspondentes a (092), comprovamos facilmente (08). Então os produtos vetoriais dos recíprocos homólogos, formando um contorno fechado (soma nula), são, por isso, coplanares.

Por (091) e (092) vemos, ainda, que ∗× aa é um vetor do plano (b,c), mas também

de (b*,c*). Então ∗× aa é paralelo à interseção desses planos homólogos, isso é, o suporte

de ∗× aa é a reta comum a esses planos homólogos. Analogamente, os suportes de ∗× bb e ∗× cc são, respectivamente, as retas comuns dos planos homólogos (c,a),(c*,a*) e

(a,b),(a*,b*). Logo:

Teor. 7: São coplanares as interseções de planos homólogos de sistemas recíprocos.

Consideremos os vetores dos sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente num

mesmo ponto do espaço; seja π) o plano que contém os produtos ∗× aa , ∗× bb e ∗× cc e

e) a reta ortogonal a π) tirada por esse ponto. Como ∗× aa é ortogonal ao plano (a,a*), resulta que esse plano contém e). Analogamente, podemos comprovar que os planos (b,b*) e (c,c*) contêm o eixo e). Logo:

30 A nova notação, que certamente não dificultará o entendimento, é mais adequada em Geometria.

Page 62: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

42 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.03

Teor. 8: Os planos das retas homólogas de sistemas recíprocos têm uma reta comum.

Definição: A reta e) e o plano π) serão denominados eixo e plano do sistema de vetores recíprocos.

Apliquemos, agora, co-inicialmente, os tercetos recíprocos , , , , a b c a b c e ∗ ∗ ∗ nos pontos arbitrários D e D*, respectivamente, de uma reta qualquer paralela ao eixo e) do sistema. Por força do Teor. 8, os pares de retas homólogas a e a* , b e b* , e c e c* se interceptam necessariamente; sejam, respectivamente, A, B e C essas interseções (Figura 03.05).

Seja, ainda, H a interseção de e) com o plano γ)≡(ABC), plano esse que é, evidentemente, paralelo ao plano π) do sistema. Como a e a* são respectivamente perpendiculares aos planos homólogos (b,c) e (b*c*) que lhes correspondem, o plano (DD*A), além de ser perpendicular ao plano do sistema (por conter uma reta perpendicular a esse plano) é também perpendicular à reta comum desses planos, BC, num ponto A'. Logo: 1°) - tal plano é seção reta do diedro

formado pelos planos homólogos (b,c) e (b*,c*), sendo 1DAD γ=′ ∗ o ângulo diedro

correspondente; 2°) - a aresta DA do tetraedro ABCD é ortogonal à sua oposta BC; 3º) – deduções análogas podemos fazer com relação aos dois outros planos homólogos, o que mostra que D* é o ponto de encontro das quatro alturas do tetraedro ABCD.; tal tetraedro particular recebe o nome de ortocêntrico. Logo:

Os tetraedros ABCD e ABCD* associados aos sistemas recíprocos , , , , a b c a b c e ∗ ∗ ∗ são tetraedros ortocêntricos, D* sendo o ortocentro de ABCD e D o de ABCD*.

Page 63: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 43

Poliádicos - Ruggeri

Não é difícil ver que o grupo dos cinco pontos D, D*, A, B e C forma um grupo ortocêntrico de pontos no espaço, isso é, eles são tais que o tetraedro formado por quatro quaisquer deles tem o quinto ponto como ortocentro. Os quatro tetraedros formados são chamados o grupo ortocêntrico de tetraedros e gozam de várias propriedades. Desafio: É sabido que um tetraedro tem uma superfície esférica inscrita e quatro ex-inscritas (estas, tangentes a cada face e ao prolongamento das outras três); o centro da inscrita é o incentro do tetraedro e os centros das ex-inscritas, os ex-incentros. Provar que, num tetraedro, o incentro e os quatro ex-incentros formam um grupo ortocêntrico.

Exercícios: 1) - Os ângulos das retas homólogas de sistemas recíprocos são iguais aos ângulos dos planos homólogos que lhes correspondem.

2) - Em sistemas recíprocos, os ângulos diedros de planos homólogos são iguais às diferenças dos ângulos do eixo do sistema com os vetores recíprocos (homólogos) que lhes são correspondentes.

3) - Verificar as singularidades que ocorrem quando em um dos tercetos de um sistema de vetores recíprocos um vetor é perpendicular ao plano dos outros dois.

4) - Comprovar que para sistemas de vetores recíprocos, a soma de dois vetores quaisquer de um sistema é ortogonal à diferença dos homólogos correspondentes do outro.

⇐⇐⇐⇐ Vetores término coplanares.

O Corol. 3 do Teor. 6 exige apenas que os coeficientes da dependência linear nula de quatro vetores não coplanares e co-iniciais sejam nsn.

Teor.9: (direto) Se quatro pontos A, B, C e D são coplanares, seus posicionais a, b, c e d, respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência linear nula com coeficientes de soma nula.

Como os vetores d-a, d-b e d-c pertencem ao mesmo plano, o Corol. 3 do Teor. 4, § 03.02, garante a existência de números nsn, L, M e N tais, que

ocdbdad =−+−+− )N( )M()L( . Então,

odcba =++−++ N)ML(NML , (10),

isso é, a dependência linear nula de a, b, c e d tem coeficientes de soma nula.

Teor. 10: (recíproco) Se quatro vetores co-iniciais a, b, c e d, de extremidades A, B, C e D, respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma nula, suas extremidades são pontos de um mesmo plano.

Os vetores a, b, c e d, por terem dependência linear nula, são não coplanares (Corol. 3, Teor. 6); seja odcba =+++ PNML essa dependência, com L+M+N+P=0. Então,

Page 64: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

44 § 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais.

I,§ 03.03

odcba =++−++ N)ML(NML , ou seja, ocdbdad =−+−+− )N()M()L( .

Pelo Corol. 3, Teor. 4, § 03.02, os vetores d-a, d-b e d-c dever ser coplanares. Logo, os pontos A, B, C e D pertencem necessariamente a um mesmo plano.

Definição: (vetores término coplanares) Vetores co-iniciais com extremidades num mesmo plano são ditos término coplanares.

É útil lembrar novamente que muitos problemas em Geometria Espacial podem ser facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Tal como no caso da Geometria Plana, qualquer vetor do espaço pode ser referido a três vetores desse espaço, co-iniciais num ponto arbitrário, fixos, quaisquer, tomados como referência. Quando o ponto de co-início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico é substancialmente simplificado. Para algumas aplicações consulte as obras [1],[2] e [8] listadas na referencia. Interessa-nos apenas mencionar os dois itens seguintes. ⇒⇒⇒⇒

Várias formas de equação de um plano. No E3, duas retas concorrentes quaisquer definem um plano. Um ponto de um plano tem dois "graus de liberdade" porque para atingir uma posição qualquer desse plano esse ponto pode percorrer duas e apenas duas trajetórias paralelas às retas dadas. Isto significa que a determinação analítica de um ponto qualquer do plano dependerá de dois e apenas dois parâmetros (independentes). Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3 (ou duas quaisquer das retas por eles definidas), bastam para determinar unicamente um plano, sua equação, como facilmente se deduz a partir de (09), é

321) xxxx 2121 λ+λ+=λ+λ+(1 , (101),

onde x1, x2 e x3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a um ponto arbitrário 0, e λ1 e λ2 são parâmetros variáveis. A forma (101) de representação do plano é denominada paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (x1, x2), (x2 e x3) e (x1, x3) pertencem ao plano (101). Para x=x1 vê-se que deve ser e λ1=λ2=0 porque os pontos não são colineares. Se λ1,λ2≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2 e escrevê-la na forma

3

1

21

111

111)111( xxxxλ

+λλ

+λλ 2222

, (102).

Para x=x2 tem-se, simplificando termos semelhantes em x2 e em seguida evidenciando o fator comum 11/λ em ambos os membros,

)1(1)11(1 31

1

2

1

xxx +λλ

=+λλ 22

.

Page 65: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 45

Poliádicos - Ruggeri

Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2=qualquer e λ1=∞. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: λ1=qualquer e λ2=∞. A forma, denominada geral, é a que representa o plano que passa por um ponto 1 e é paralelo a duas direções 1u e 2u . O vetor x-x1 deve, pois, ser coplanar com 1u e 2u ; logo,

0))(ˆˆ( 121 =−xxuu , (11).

A forma normal de representação do plano está ligada à condição desse plano passar por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direçãou . Nesse caso, os vetores x-x1 e x-x2, contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a u ; logo, o produto vetorial deles deve ser paralelo a u , isso é,

ouxxxx =×−×− ˆ)]()[( 21 , (12).

A equação do plano que passa pelo ponto 1 e é perpendicular à direção u é, evidentemente,

0ˆ )( 1 =− u.xx , (13),

posto que para o ponto corrente x, o vetor x-x1 deve ser necessariamente ortogonal au ; esta é a forma hessiana de representação do plano no espaço. O número dˆ 1 =u:x é a distância da origem ao plano.

A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço). Sejam e1, e2 e e3 três vetores não coplanares, de extremidades 1, 2 e 3, respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do espaço; e U o ponto de posicional u=e1+e2+e3, denominado "ponto unidade" do espaço em relação a esses vetores (ou aos 4 pontos 0, 1, 2 e 3). Justifica-se a nomenclatura, como no caso do plano (§ 03.02) pelo fato de U ter coordenadas 1,1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se associarem coordenadas a um ponto qualquer, P, de forma unívoca, em termos de certas razões anarmônicas (ver § 03.01 e § 03.02). A reta do espaço, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta o plano 123 (oposto ao ponto 0) no ponto L0 e os planos 230 (oposto a 1), 301 (oposto a 2) e 012 (oposto a 3) nos pontos L1, L2 e L3, respectivamente. A reta PU (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1, 2 e 3) tem por equação vetorial,

pux λ+=λ+ ˆ)1( , (14),

em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de λ corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor λj do parâmetro para j=0,1,2,3, sendo

jjj )( lupl −=−λ , (141).

Page 66: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

46 § 04 – Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I,§ 04.01

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1, ou 2, ou 3) é o número

UL

PL.

PL

UL)UP,LL(X

0

0

k

kokk ==

em que UL 0 , PL 0 , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos

têm a mesma direção, podemos escrever, também:

)( )(X)( )( k0k0k lp.lulp.lu −−=−− ,

ou, ainda, substituindo os valores de pl −k e 0lu − obtidos de (101) e simplificando:

0kk /X λλ= , (15).

Vê-se, assim, como no caso do mesmo problema a duas dimensões, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos do espaço, 1, 2 e 3, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2 e X3, ou pela quadra de números λ0, λ1, λ2 e λ3. Novamente, por métodos vetoriais, podemos estabelecer essa forma fundamental de proceder em Geometria Projetiva Algébrica. Voltamos a insistir no fato de que, nos capítulos seguintes, esses conceitos serão transmitidos, dentro dessa mesma linha de atuação, para espaços de dimensões maiores.

⇐⇐⇐⇐ § 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS.

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. Qualquer conjunto de vetores, para os quais estejam definidas as operações de multiplicação por número real (como no § 02.02) e de adição (como no § 02.01), a primeira operação gozando das propriedades:

1

A(B AB)

A + B+... ) A B

A( A A

v v

v v

v v v

u v u v

=

=

= + +

+ + = + +

,

) ( ,

( ... ,

... ) ... ,

e a segunda, das propriedades

( ) ( ),

,

,

( ) ,

a b c a b c

a b b a

a o a

a a o

+ + = + +

+ = +

+ =

+ − = denomina-se um espaço vetorial sobre a Geometria Euclidiana.

Page 67: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 47

Poliádicos - Ruggeri

Assim, o conjunto E1 dos vetores paralelos a dada reta, o conjunto E2 dos vetores paralelos a dado plano, formam espaços vetoriais particulares; o conjunto E3 de todos os vetores do espaço da Geometria Euclidiana forma também um espaço vetorial, espaço esse que contém os demais como espaços particulares ou subespaços31. Demonstramos alguns teoremas (de existência) para esses espaços. Assim, vimos que:

A CNS para que um vetor e1 seja nulo, dois vetores e1 e e2 sejam paralelos, e que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares, é que existam combinações lineares entre esses vetores com coeficientes não simultaneamente nulos:

nsn, A 1,2,3)=(i A 0)(

nsn, A 1,2),=(i A =

nsn, A 1),=(i A

ii

i321

ii

i21

ii

i1

oeeee

oeoee

oeoe

=∃⇔=

=∃⇔×

=∃⇔=

(01).

Dizemos, em vista disso, que o vetor nulo em E1, E2 e E3, dois vetores paralelos em E2 e E3 e três vetores coplanares em E3 são sempre linearmente dependentes. Demonstramos, ainda, outros teoremas (de existência) segundo os quais: se um vetor é não nulo em E1, E2 e E3, se dois são não paralelos em E2 e E3 e se três são não coplanares em E3, então qualquer vetor paralelo ao vetor não nulo em E1, E2 e E3, qualquer vetor coplanar com dois outros não paralelos em E2 e E3 e um vetor qualquer em relação aos três não coplanares em E3, pode exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores (de referência) nas formas respectivas ((021),§ 03.01), ((041),§ 03.02) e ((071),§ 03.03). Com outras palavras, diríamos que para um vetor não nulo e1 em E1, E2 e E3, para dois vetores não paralelos e1, e2 em E2 e E3 e para três vetores não coplanares e1, e2, e3, em E3, as combinações lineares respectivas (01) são possíveis se, e somente se, os coeficientes dessas combinações são simultaneamente nulos. Assim, contrariamente ao caso anterior, um vetor não nulo em E1, dois vetores não paralelos em E2 e três vetores não coplanares em E3 são ditos linearmente independentes. O número máximo de vetores linearmente independentes de um espaço é dito a dimensão desse espaço e qualquer conjunto desses vetores é dito uma base do mesmo. Assim, qualquer vetor não nulo é uma base de um espaço de vetores paralelos e sua dimensão é um; qualquer par de vetores não paralelos é uma base de um espaço de vetores coplanares e dois é a sua dimensão; qualquer terceto de vetores não coplanares é uma base no espaço de toda a Geometria Euclidiana e três é a sua dimensão. As bases serão denotadas pelos seus vetores entre chaves: e1 e e1, e1,e2 e e1,e2 e e1,e2,e3, e1,e2,e3 ou, sinteticamente, nos espaços respectivos: e

* e e*.

Bases como e* e e* são ditas recíprocas e desempenham papel expressivo na Física.

Conduzamos pela extremidade do vetor do E3

31 Esses conceitos são aqui destacados porque podem ser estendidos para conjuntos de objetos quaisquer, como: polinômios, números reais etc.; tornam-se, nesse caso, mais gerais, porem muito abstratos. A teoria matemática que cuida dessas generalizações é a Álgebra Linear. A álgebra que aqui desenvolvemos - não obstante ter servido de inspiração ao desenvolvimento da Álgebra Linear - é um caso particular desta. Justifica-se, porém, essa nossa abordagem específica e particular, pelo valor da sua aplicação prática imediata e objetiva em Física, em Geometria e, conseqüentemente, em Engenharia.

iii

i AA eea == , (i=1,2,3) (02),

Page 68: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

48 § 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I,§ 04.02

co-inicial com a origem, o plano paralelo ao plano (ej,ek), que é furado pelos vetor ei no ponto Ai

para todo i≠j≠k. Analogamente, o plano conduzido pela extremidade de a paralelamente ao plano (ej,ek) é furado pelo vetor ei no ponto Ai. Tal como Ai é a projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek), também Ai é a projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek). Como todos os eixos têm uma unidade de distância comum, podemos associar-lhes um sistema de coordenadas cartesianas e escrever:

...ˆ OA...ˆ OA 111

1 +=+= eea , ou ... ||

OA...

||OA 1

11

11

1

+=+= ee

ee

a .

Então, em vista de (02):

... ,||AOA 111 e= e ... ,||AOA 1

11 e=

Comprovamos, assim, que os três coeficientes Ai e os três Ai representam, precisa e respectivamente, as coordenadas da extremidade do vetor a nas bases e

* e e* porque

os módulos dos vetores de base (determinados em relação a uma unidade comum de medida de distâncias) representam as escalas (virtuais) com que são graduados os vários eixos. Por isso mesmo, os coeficientes das decomposições (02) - decomposições essas denominadas cartesianas - são denominadas coordenadas cartesianas do vetor a nas bases respectivas

e* e e*. Os segmentos i OA e

i OA costumam ser denominados as “componentes

físicas” de a. Como as coordenadas de um mesmo vetor variam de uma base para a sua recíproca, convencionaremos que aquelas coordenadas relativas à base representada por vetores cujas letras estejam indexadas em nível inferior sejam denominadas contravariantes; contrariamente, as outras coordenadas serão denominadas co-variantes. Assim, em (02), as coordenadas Ai são as coordenadas contravariantes de a (na base e

*);

as Ai são as coordenadas co-variantes de a (na base e*). Coordenadas co-variantes e contravariantes de vetores referem-se então, necessariamente, a bases vetoriais recíprocas.

Apenas os sistemas de vetores recíprocos permitem essa representação cartesiana geral, elegante e versátil dos vetores.

Vale salientar mais uma vez que os conceitos de coordenadas contravariantes e co-variantes de um mesmo vetor são válidos quaisquer que sejam as unidades de medida fixadas para cada eixo de um terceto de vetores, desde que exista uma unidade de medida de distâncias comum a todos eles, pouco importando qual seja ela. Esta é a única limitação - embora muito forte - para a dedução de tudo aquilo que almejamos daqui a diante.

Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos. A introdução das coordenadas de um vetor (em relação a uma base) impõe-nos um modo de trabalho aparentemente paradoxal, como veremos, paulatinamente. Por ora, devemos entender - salvo por prova em contrário - que todas as propriedades, fórmulas etc. que venhamos a desenvolver ou a demonstrar a seguir, são válidas em relação à base a que se referem as coordenadas dos vetores. Fica o leitor desde já alertado para essa importante questão, porque até o momento não temos critério para decidir se algo que "é certo" em relação a uma base (ou em relação a um observador) deve ser "igualmente certo" em

Page 69: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 49

Poliádicos - Ruggeri

relação a outra base (ou outro observador). Isso é, a adoção de coordenadas e vetores de base induz, intuitivamente, a separação do que seja "invariante", "universal", válido para todos os observadores, do que seja específico para dado observador. Na essência dessa "separação" é que residem os "métodos tensoriais", o "tensorialismo" ou o chamado Cálculo Tensorial e o seu significado para a Física.

Evitando os sistemas de coordenadas de um lado, mas apegando-nos inevitavelmente a bases vetoriais (vetores independentes) por outro lado, fomos levados naturalmente ao desenvolvimento da teoria dos vetores recíprocos. Mostraremos oportunamente, em cada capítulo, a importância dos recíprocos para os "métodos poliádicos", métodos esses que serão confrontados com o "modo cartesiano" ou tensorial. Em resumo: no Cálculo Tensorial, as coordenadas desempenham um papel fundamental, sendo usadas, entretanto, para provar que o que tem "caráter tensorial" independe de coordenadas32. No Cálculo Poliádico é dispensável a coordenada para a formulação dos problemas, mas é inevitável a recorrência indireta a uma base na forma de vetores independentes.

O Cálculo Tensorial, de índole algébrica, foi essencial para a estruturação lógica e matemática da Física. O Cálculo Poliádico, de índole geométrica, se nos apresenta mais "natural" e mais "piedoso" para a mesma tarefa. Ao se efetuarem medidas das grandezas (com o uso de suas componentes, necessariamente) os métodos poliádicos devem ser degradados em métodos numéricos, tal como os métodos tensoriais. Mas a caça aos invariantes pelos métodos poliádicos supera de longe, por sua simplicidade e elegância, os métodos tensoriais, como pretendemos expor nesse texto.

§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. Chamam-se Deltas de Kronecker símbolos (adimensionais) contendo dois índices em níveis diferentes e assim definidos, quando todos os seus índices assumem os valores do conjunto 1,2,3: valem a unidade positiva sempre que dois dos índices numéricos são iguais e zero quando esses índices são diferentes. Representando-os por δi

j, ou por δij,

escrevemos, sinteticamente:

≠=

=δ=δji para 0

ji para 1ji

j i , isso é: δ1

1 = δ22 = δ3

3 =δ11=...= 1 e δ1

2 = δ13 = δ2

3 =δ12 = ... = 0. (01).

Em função dos Deltas de Kronecker os produtos escalares de vetores recíprocos no espaço euclidiano N dimensional EN (com N=1, ou 2, ou 3), podem ser escritos resumidamente na forma:

.. ji

j ii

jji δ=δ== eeee , (i,j=1,2, ..., N), (02).

Chamam-se Permutadores (ou alternadores) símbolos (adimensionais) com N (=2, ou 3) índices no mesmo nível, tais que quando todos os índices assumem todos os valores do conjunto 1,2,...,N:

32 Bertrand Russel manifestou-se a esse respeito, em sua "Análise da Matéria", Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1978, Cap. VII, pag. 83: "...O método dos tensores primeiro determina coordenadas, e depois mostra como obter resultados que, embora expressos em termos de coordenadas, realmente não depende delas."

Page 70: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

50 § 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I,§ 04.02

a) valham +1 sempre que os índices formem uma permutação par, considerando como fundamental a permutação 1,2,...,N, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência cíclica positiva 12 se N = 2, 12312 se N = 3; b) valham -1 sempre que os índices formem uma permutação ímpar em relação à permutação fundamental 12 ou 123, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência cíclica negativa 21 se N = 2, ou 32132 se N = 3; c) valham zero sempre que dois dos índices numéricos ocorrem repetidos.

Denotando estes símbolos por εij ou εij, se N = 2, e εijk ou εijk se N = 3, podemos escrever:

ε εε ε ε ε ε ε

ε εε ε ε ε

ε ε ε εε ε ε

1212

123 231 312123 231 312

2121

321 213 132321

2211 22

112 122

1

1

1

1

0

= == = = = = =

=− == = = − = =

= = = == = =

...

... =0= ...11

221

Em resumo, para i≠j≠k:

no E2: 1jiij =ε−=ε ; e no E3: 1jikikjkjikijjkiijk =ε−=ε−=ε−=ε=ε=ε ,

todos os demais casos correspondendo à nulidade dos símbolos. Não é difícil comprovar que as igualdades ((031) e (032),§ 03.02), ((02) e (021),§ 03.03) podem ser escritas, em função dos permutadores, nas formas respectivas:

1,2),=j(i, ,)(

)(ou ,

)(

)(

221

21jiij2

21

21jiji

ee

eeee

ee

eeee

×

××=ε

×

××ε= (03),

221

21j

iji )(

)(

ee

eeee

×××ε= , ou

221

21j

iij

)(

)(

ee

eeee

×××=ε , (i,j=1,2), (031),

kijk321ji

)( eeeeee ε=× , ou k321ji

kij )(2 eeeeee =×ε , (i,j,k=1,2,3), (04),

kijk321ji )( eeeeee ε=× , ou

k321ji

kij)(2 eeeeee =×ε , (i,j,k=1,2,3), (041).

Em vista de propriedades da multiplicação mista relativas às permutações cíclicas e anticíclicas das letras representativas dos vetores, podemos também escrever:

( ) ( ),e e e e e ei j k ijk (i, j, k = 1,2,3),= ε 1 2 3 (05),

( ) ( ), (i, j, k = 1,2,3)e e e e e ei j k ijk = ε 1 2 3 , (051).

Page 71: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 51

Poliádicos - Ruggeri

Similarmente comprovaríamos que

21ijji eeee ×=× εεεε e 21ijji eeee ×=× εεεε , (052).

Produtos de Deltas de Kronecker.

Têm-se as seguintes fórmulas:

N

N (i, j, ...= 1,2, ... , N),

ij

jk

ik

ij

ji

ii

ij

nk

km

ij

nm

ij

jk

km

im

ij

jk

ki

ii

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

=

= =

=

=

= =

,

,

,

,

,

(06).

Demonstremos a primeira fórmula. Podemos escrever, em relação às bases

recíprocas e* e e*: j

j ij

jii )( ee.eee δ== com i,j=1,2,...,N. Multiplicando escalarmente

ambos os membros por ek, temos, finalmente: k j

j i

kj

j i

k i

ki )( δδ=δ=δ= .ee.ee .

Aplicando (06)1, temos, sucessivamente: m i

m k

k i

m k

k j

j i δ=δδ=δδδ .

Por procedimento análogo podemos demonstrar as demais fórmulas (06) que traduzem uma “regra de substituição” no sentido de que na multiplicação de dois deltas que apresentem índice repetido – dito índice mudo - o produto correspondente pode ser substituído por um único delta cujos índices sejam aqueles não repetidos.

Produto de permutadores.

Teor. 1: Determinante de Gram (de um produto de permutadores) Tem-se:

(i, j, m, n = 1,2);

i, j, k, m, n, p = 1,2,3),

ijmn i

min

jm

jn

ijkmnp

im

in

ip

jm

jn

jp

km

kn

kp

ε εδ δ

δ δ

ε ε

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

=

=

,

, (

(07).

Com efeito, para N = 3, podemos escrever, lembrando ((03),§ 03.03), (05) e (051):

ε ε ε εijkmnp

ijkmnp

i j km n p = =( ) ( ) ( ) ( ).e e e e e e e e e e e e1 2 3

1 2 3

Agora, aplicando ((062),§ 03.03) e lembrando que e .eij

ij= δ , encontramos, logo, (07)2. A

demonstração de (07)1 é análoga à de (072), bastando considerar ((052), (053) e (02),§03.02).

Page 72: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

52 § 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I, §04.03

Os determinantes (07) são denominados determinantes de Gram nos seus respectivos espaços.

Corol. 1:

);( )( nmjin

jm j

n i

m imnk

ijk ee.ee ××=δδδδ=εε

);( )(2 2 jmji

m i

mjkijk ee.ee ××=δ=εε

)( )(6 jiji

ijkijk ee.ee ××==εε , (071).

Temos, com efeito, relativamente à primeira das fórmulas:

),(])[()( )(

)( )(

nmkkji

nmkkji

knmkji

mnkijk

ee.e.eeee.ee.eee

eeeeee

××=××=

==εε

donde, aplicando ((071),§ 03.03) ao primeiro fator e, em seguida, ((05),§ 03.03):

.

)()(

ni

mj

nj

min

jm

j

ni

mi

nj

mj

ni

mi

nmji

mnkijk

δδ−δδ=δδ

δδ==

=××=εε

.ee.ee

.ee.ee

ee.ee

Fazendo n = j na primeira fórmula, considerando que δ jj

jj= =3 e .e e que

δ δ δjm

ij

im= (conforme (061)), encontramos, logo, a segunda; fazendo nesta, i = m,

deduzimos a terceira.

A partir de (04)1 e (041)1, aplicando (071)2, podemos demonstrar imediatamente a validade de (04)2 e (041)2. Com efeito, multiplicando ambos os membros de (04)1, por exemplo, por εpij , e somando (em i e j), temos:

.)(22)()( p321

kpk321

kkij

pij321ji

pij eeeeeeeeeeeeee =δ=εε=×ε

§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos.

Ponhamos, em relação a bases recíprocas e* e e* de EN:

x e e y e e z e e= = = = = =X X Y Y e Z Z (i, j, k = 1,2, ... , N).ii i

i jj j

j kk k

k, ,

Teor. 1: O produto escalar de dois vetores, expressos cartesianamente em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das coordenadas contravariantes de um pelas coordenadas co-variantes correspondentes do outro:

x . y X Y X Yii i

i==== ==== (i = 1,2,...,N), (01).

Page 73: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos. 53

Poliádicos - Ruggeri

Com efeito, aplicando propriedades da multiplicação escalar de vetores e as

definições dos Deltas de Kronecker, escrevemos: x. y e .e= =X Y X Yij i

j ij i

jδ , ou

x. y e .e= =X Y X Y (i, j = 1,2, ... , N).ij i

j ij i

jδ , Efetuando as somas indicadas em i e em j,

observando que para i ≠ j a parcela correspondente é nula, temos, logo, (01).

A regra da substituição (§04.02) pode ser estendida ao caso em que um dos fatores

não é um delta de Kronecker. Assim: ij

ij YY =δ , o que é equivalente a efetuar a soma

indicada em j.

Corol. 1: O quadrado escalar (ou a norma) de um vetor expresso cartesianamente em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das suas coordenadas co-variantes e contravariantes correspondentes:

x2 = X Xi i (i=1,2,...,N), (011). Exercício: Comprovar que

∀ + + =vv e v e

e e

v e v e

e e

v e v e

e e:

, ) , , ) , , ) ,

cos ( cos ( )

cos ( , )

cos ( cos ( )

cos ( , )

cos ( cos ( )

cos ( , )1 2 3

11

1

22

2

33

3 1.

Teor. 2: Tem-se, para o produto vetorial:

- para N=1: oyx =× ,

- para N=2:

2121

21

YY

XXeeyx ×=× , e 21

21

21 YY

XXeeyx ×=× , (02);

- para N=3:

321

321

321

321

YYY

XXX)(

eee

eeeyx =× e

321

321

321321

YYY

XXX)(

eee

eeeyx =× (03)33.

Os casos N = 1 e N = 2 podem ser comprovados facilmente. O caso N = 3 também é de comprovação imediata. Com efeito, se na fórmula geral ((061),§ 03.03) os vetores e1, e2 e e3 são considerados independentes, eles admitem um terceto recíproco; logo, considerando a propriedade fundamental ((03), §03.03) e considerando que x.ei=Xi, comprovamos (03)2. Analogamente comprovaríamos (03)1.

33 O desconhecimento ou o esquecimento dessas fórmulas podem nos levar a conclusões desastrosas. Veja artigo do autor: "Um engano matemático repetido por 100 anos", Revista Escola de Minas, REM – Rev. Escola de Minas, Ouro Preto, 56(3):211-218, jul. set. 2003.

Page 74: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

54 § 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I, §04.03

Corol. 1: - para N = 2:

,YY

XX)()( e

YY

XX)()(

21

212121

2121 =××=×× ee.yxee.yx (021);

- para N = 3:

,

YYY

XXX))(( e

YYY

XXX))((

321

321

321

321321

321

321

321

eee

eeeyx

eee

eeeyx =×=× (031).

Para comprovar estas fórmulas basta lembrar que as bases e* e e* são recíprocas. Assim, por exemplo, multiplicando ambos os membros de (03)2 por (e1e2e3), e lembrando ((03), § 03.03), encontraríamos, logo, (031).

Corol. 2: Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente na mesma base, sejam paralelos, é que as suas coordenadas homônimas correspondentes nessa base sejam proporcionais.

Com efeito, pois se x e y são paralelos, oyx =× e (031)1 fornece, relativamente à

base e*, por exemplo, para N=3: X Y X Y X Y X Y X Y X Y 0,2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1− = − = − = isso é,

X

Y

X

Y

X

YK.

1

1

2

2

3

3= = =

A recíproca se demonstra analogamente, isso é, se as coordenadas Xi e Yi dos vetores x e y na base e

* são proporcionais, então o determinante em (031)1 é nulo e

oyx =× ; logo .

Corol. 3: Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente numa mesma base, sejam iguais é que as suas coordenadas homônimas correspondentes nessa base sejam iguais.

Teor. 3: Tem-se, para o produto misto:

( ) ( ) ( ) ( ) ,xyz e e e xyz e e e= =1 2 3

1 2 3

1 2 31 2 3

X X X

Y Y Y

Z Z Z

, ou

X X X

Y Y Y

Z Z Z

1 2 3

1 2 31 2 3

1 2 3

(04);

( )( ) ( )( ) ,xyz e e e xyz e e e1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

= =

X X X

Y Y Y

Z Z Z

, ou

X X X

Y Y Y

Z Z Z

1 2 3

1 2 31 2 3

1 2 3

(05).

Page 75: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 55

Poliádicos - Ruggeri

Estas fórmulas são evidentes a partir da fórmula geral ((062),§ 03.03), devendo observar-se, apenas, que, aqui, o terceto e1,e2,e3 constitui uma base, sendo, então, (e1e2e3)(e

1e2e3) = 1 e Xi = x.ei, Xi = x.ei .

Nota: A multiplicação escalar de ambos os membros das (031) por z e a aplicação de propriedades elementares dos determinantes conduzem também a uma demonstração imediata dessas fórmulas.

Corol. 1: Se det

* e det* representam os determinantes cujas linhas sejam formadas

com as coordenadas co-variantes e as contravariantes, respectivamente, de três vetores quaisquer nas bases recíprocas e* e e

*, então:

det = det ( ) e det = det ( )1 2 32 1 2 3 2

∗∗ ∗

∗e e e e e e , (051). A demonstração é imediata porque, das (04), escrevemos: ( )det1 2 3e e e ∗ =

= ∗( )det ;1 2 3e e e logo, considerando ((03),§ 03.03), comprovamos as (051).

Exercício: Determinar as equações cartesianas de retas e planos correspondentes às equações vetoriais apresentadas no § 03.02 e no § 03.03. ⇒⇒⇒⇒

§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos.

Consideremos os N vetores independentes, ai, de EN, de representações cartesianas na base e

*,

N),1,2,...,=j(m, A jj

mm ea = (01).

No caso N = 1, a expressão cartesiana do recíproco a1 é de determinação imediata:

.A 1

1

11 ea =

No caso N = 2, deve ser, conforme ((02)2,§ 04.03):

22

12

21

11

2121 AA

AA |A| com ),(|A| =×=× eeaa ;

logo,

)(|A|A)(21k

kj21j

eeeaaa ××=×× .

Page 76: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

56 § 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I, §04.04

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por εmj e somando em j obtemos, no

primeiro membro, aplicando ((03)1,§ 04.02), m221)( aaa × ; aplicando ((03)2,§ 04.02) ao

segundo membro podemos escrever, então:

iik

221

k j

mjm221

)(|A|A)( eeeaaa ε×ε=× ,

ou melhor, lembrando a expressão de a1

×a2 e simplificando:

.|A|

A i

kj

k imjm ea εε=

Examinemos as somatórias do segundo membro desta igualdade. Se m = i as parcelas não nulas ocorrerão para j = k ≠ i e ε εmj

iki m = − = ++( )1 1; se m ≠ i, as parcelas não nulas

ocorrerão para j = i e k = m, sendo, ainda, ε εmjik

i m = − = −+( )1 1. Então, ε εmj ik j

kA é o

co-fator (ou complemento algébrico) do elemento Ami em |A|. Pondo, então, cof(Am

i) = Ami,

escrevemos:

a emm

i i A

|A| (i, m 1,2).= =,

No caso N = 3, escrevemos analogamente, lembrando ((04)1,§ 04.02):

iirs321

s k

r jsr

s k

r jkj

)(AAAA eeeeeeaa ε=×=× .

Multipliquemos o primeiro e o último membros por εmjk/[2(a1a2a3)] e somemos. No primeiro membro teremos a expressão de am, conforme ((04)2,§ 04.02); considerando que:

( ) | )a a a e e e1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0,= = ≠A|( com |A|

A A A

A A A

A A A

1 1 1

2 2 2

3 3 3

e simplificando no segundo membro, resulta:

a em

mjkirs j

rk

si

A A

2|A|=

ε ε.

Para m = 1 e i = 2, por exemplo, temos:

=ε+εε=εε )AAAA(AA 3k

1j213

1k

3j231

1jksk

rj2rs

jk1

Page 77: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 57

Poliádicos - Ruggeri

).cof(A2AA

AA2)AAAA(2

)AAAA()AAAA(

213

31

3

32

123

31

21

33

2

32

13

12

33

13233

12

13

32

123

=−=−=

=−ε+−ε=

Tal como no caso anterior, comprovamos que

ε εmjkirs j

rk

sm

i miA A cof(A A= =2 2) .

Logo:

a emm

i i A|A|

(i,m 1,2,3).= =

Em vista desses resultados podemos escrever, então, as expressões dos recíprocos dos vetores dados por (01):

a emm

i i A|A|

(i,m 1,2,...,N),= = (02).

Multiplicando ambos os membros de (02) por an e depois por ek, temos:

|A| A e |A| A (i,k,m,n 1,2,...,N),nm m

ii

nm

km

kδ = = =e .a a .e (A).

Mas, de (01), escrevemos: a .eri

riA= . Logo, por substituição desta igualdade na

primeira das igualdades (A), onde façamos r = n, temos:

| ,A| A Anm m

i niδ = (i, m, n = 1,2,...,N), (03).

Multiplicando ambos os membros da segunda das igualdades (A) por Am

i temos, ainda:

A A |A|( A A|( |A|mk m

ik

mm

ik

mm

ik

i= = =e .a e .a a .e e .e) | )( ) ,

isso é,

A A A|mk m

ik

i=| ,δ (031).

As igualdades (03) e (031) traduzem interessantes propriedades dos determinantes:

1º)- É igual a zero a soma de todos os produtos dos elementos de uma fila de um determinante pelos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela (i ≠ k);

2º)- Todo determinante vale a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos seus respectivos complementos algébricos (i = k)34.

Multiplicando, agora, ambos os membros de (01) por Amk e aplicando (031) temos,

sucessivamente:

A A A |A| |A| km

m km

mj

j kj

j ka e e e= = =δ ;

logo:

34 Para determinantes estas proposições são válidas para qualquer N finito.

Page 78: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

58 § 04 - Espaço Vetorial. Bases e Coordenadas.

I, §04.04

e ak km

m A|A|

, (m,k 1,2,...,N),= = (04).

As equações (04) são as inversas das (01). Para N = 2,

2121|A| eeaa ×=× ,

e 2121 |X| eeaa ×=× .

Multiplicando membro a membro teremos: |A||X| = 1, ou |X| = |A|-1. Então, de (02), fazendo m = 1 e 2, e multiplicando vetorialmente membro a membro, temos:

)(AA|A|

1 ji2j

1i 2

21 eeaa ×=× .

O determinante

|~

,A|A A

A A

1 1

2 2=

1 2

1 2

denomina-se adjunto de |A|; e tem-se:

21

2

21

|A||A~|

eeaa ×=× ,

isso é, considerando-se que |X| = |A|-1: |A| |A|~ = .

Para N = 3 em (01), teríamos:

( ) |A|( ),1 2 3 1 2 3a a a e e e= (B),

e, por (02), para m = 1,2 e 3:

|A| A|(3 ( ) |~

),a a a e e e1 2 3 1 2 3= (C), sendo

|~

.A|A A AA A AA A A

1 1 1

2 2 2

3 3 3=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Deduzimos, então, multiplicando membro a membro (B) e (C): |A| |A| .2~ = Genericamente, então:

|A| |A| , (N 2 ou 3),N 1~ = =− (05).

Representando por |R| o determinante das coordenadas dos vetores ei na base a* , escrevemos, de (04):

|R| |A|A|

||A|

|A|

mk

N= =

~.

Page 79: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. 59

Poliádicos - Ruggeri

Então, considerando (05): |A||R| |A||A|

|A|1.

N= =

~ O determinante |R| denomina-se o recíproco

(ou inverso) de |A|, sendo mais prático representá-lo por |A|-1. Temos, então:

|A||A|

|A|,

N− =1

~ (06).

Assim:

O determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores de uma base numa outra base é recíproco do determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores correspondentes dessa base naquela.

§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos.

Vimos que as propriedades da figuras na Geometria ordinária podem ser buscadas de uma maneira mais simples usando os métodos vetoriais. Isto também pode ser verificado em Geometria Analítica (GA); as equações de retas e de planos, já deduzidas nos parágrafos anteriores, respondem por essa afirmação quando as comparamos com as suas expressões clássicas em GA. Como exercício, o leitor poderá utilizar os conceitos relativos a expressões cartesianas de vetores e produtos (§04.01 ao §04.03) para encontrar as várias formas de equação de retas e de planos da GA em duas e três dimensões.

Desafio: No (§ 03.03) os vetores x1, x2 e x3 são não coplanares (eles definem uma base) e admitem recíprocos (x1, x2 e x3, respectivamente). Então, a equação cartesiana do plano definido por x1, x2 e x3 é 1XXX 321 =++ , desde que X1, X2 e X3 sejam as coordenadas

co-variantes do ponto corrente desse plano em relação à base x1, x2, x3. ⇐⇐⇐⇐

§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES.

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. Consideremos a equação vetorial de variáveis escalares Xi,

a biiX (i 1,2, ... , N),= = (01),

com b o≠ e os ai independentes. Pelas considerações anteriores, o vetor a1 é paralelo a b, no caso N = 1; os vetores ai e b são coplanares, no caso N = 2; os vetores ai e b são não coplanares, no caso N = 3. Em qualquer caso, os vetores ai, independentes, definem uma base nos espaços que lhes correspondem. Sejam, em relação a uma base qualquer e

* = e1,e2,...,eN de EN:

a e b em mj

jj

j A e B (m, j 1,2, ... , N),= = = (02).

Page 80: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

60 § 05 - Mudança de base. Invariantes.

I, §05.01

Substituindo-se as (02) em (01), agrupando-se convenientemente, aplicando-se as propriedades fundamentais e igualando-se as coordenadas homônimas dos vetores (iguais) de ambos os membros, resultam as equações:

A X B (m, j 1,2, ... , N),mj m j= = (03),

ou, ainda, em forma expandida:

A X A X A X B

A X A X A X B

A X A X A X B

11

22

NN 1

12 1

22 2

N2 N 2

1N 1

2N 2

NN N N

1 1 1+ + + =+ + + =

+ + + =

...

...

... ,

M (031).

O sistema (031) tem N equações (N = 1, ou 2, ou 3) e N incógnitas. Na sua constituição observa-se que os coeficientes Am

j das incógnitas Xm são as coordenadas (contravariantes, no caso) dos vetores am na base arbitrária e* do espaço vetorial EN; os termos independentes são, analogamente, as coordenadas (contravariantes) do vetor b nessa mesma base. Claramente, vê-se que, fixada uma base e* de EN, a equação (01) e o sistema (031) são equivalentes; resolvendo esse sistema, encontra-se a solução da equação vetorial, ou vice-versa; solução essa que existe sempre porque o determinante do sistema (031) é não nulo. Por outro lado, observa-se que, escolhendo-se uma outra base, r*, de EN, encontrar-se-ia certamente um sistema diferente de (031), equivalente à mesma equação vetorial (01), uma vez que as coordenadas (co-variantes ou contravariantes, pouco importa) dos vetores ai nessa nova base seriam certamente diferentes das primeiras (teríamos novas expressões (02) para os vetores ai e b). Mas, pelos corolários 4 dos teoremas: 2 do § 03.01, 4 do § 03.02 e 6 do § 03.03, os números Xi (soluções da equação) são únicos; logo, os infinitos sistemas (031) que podem ser formados a partir de (01) com uma Mudança de Base, admitem a mesma solução. Diríamos, em outras palavras, que:

A solução da equação vetorial (01) é um invariante numa mudança de base no espaço EN a que está referida; e a equação (01) será dita universal ou tensorial em EN.

Ora, se a equação (01) independe de bases de EN, deverá certamente ser possível determiná-la sem alusão a essas bases. Mas isso já é do nosso conhecimento, pois, com efeito, os mesmos corolários atrás já referidos, dão:

X ,m m= b.a (m=1,2,...N), (04), uma vez que, sendo os am independentes em EN, os seus recíprocos, am, estão univocamente determinados. Assim, concluímos que, dado um sistema do tipo (031), ao acaso, podemos sempre montar uma equação vetorial do tipo (01) que lhe seja equivalente, impondo que os coeficientes de cada incógnita sejam as coordenadas de N vetores a1, a2,...,aN em certa base (virtual) de um espaço (virtual) de vetores e que os termos independentes sejam as

Page 81: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. 61

Poliádicos - Ruggeri

coordenadas de um vetor b nessa mesma base desse espaço. Resolvida essa equação vetorial por aplicação de (04), teremos, então, as soluções de (031). Por já termos deduzido, no parágrafo anterior, as expressões cartesianas de sistemas de vetores recíprocos, a aplicação das fórmulas (04) dá imediatamente as incógnitas Xm. De fato, considerando ((02),§ 04.04), escrevemos: ,B|)A|/A(X j

iji

mm .ee∗= ou, operando e somando:

XA

A B (i,m=1,2,...,N),m im i= ∗

1| |

, (041),

expressão na qual, relembremos, Ami = cof(Am

i) em |A*| = |Ami|.

Se expressarmos os vetores am e b na base e*, isso é, pondo:

a e b em mjj

jjA e B (m, j 1,2, ... , N),= = =

então (04) dá expressão análoga a (041) para Xm:

X 1|A |

A B , (m, i 1,2, ... , N),m mii

= =∗

(042),

onde Ami = cof(Ami) em |A*| = |Ami|.

Por outro lado, se pretendêssemos a expressão das incógnitas em função dos vetores (conhecidos) figurantes na equação vetorial (01), escreveríamos:

- para N = 1,

X(

, pois ,1 1= =b.a

aa

a

a1

12

1

12

)

| | | | (05);

- para N = 2, aplicando ((03)1,§ 04.02) e propriedades da multiplicação mista de vetores:

221

21kmkmm

)(

)()(X

aa

aa.abb.a

×

××ε== ,

ou,

,)(

)()(X e

)(

)()(X

221

21122

21

2121

aa

aa.ab

aa

aa.ab

×

××−=

×

××= (06);

- para N = 3, aplicando ((04)2,§ 04.02):

X (m,i, j 1,2,3);m m mij i j= = =b aba a

a a a.

( )

( ),ε

2 1 2 3

ou, fazendo m = 1,2,3, somando i e em j e aplicando propriedades da multiplicação mista:

X X X1 2 3= = =( )( )

,( )( )

,( )( )

,ba aa a a

a baa a a

a a ba a a

2 3

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2

1 2 3 (07).

O leitor pode, facilmente, comprovar a equivalência das expressões (05), (06) e (07) com as expressões (041) e (042). Importa frisar, entretanto, que as expressões (05), (06) e

Page 82: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

62 § 05 - Mudança de base. Invariantes.

I, §05.02

(07) são universais, isso é, elas são válidas em qualquer base; nas bases recíprocas e* e e*, particularmente, elas assumem as formas (041) e (042). Se pusermos:

|A |

B A A

B A A

B A A

|A |

A B A

A B A

A B A

etc,1

1N

1

2N

2

N NN

N

2

11

N1

12

N2

1N N

NN

= =

12

22

2

1

2

L

M M M

L

M M M,

e

|A |

B A A

B A A

B A A

etc,1

1 N1

2 N2

N N NN

=

21

22

2

L

M M M

escreveremos:

X|A |

|A |

|A |

|A | (i 1,2, ... , N),i

ii= = =∗∗

(043).

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante.

Deve ser salientado que, não obstante a invariância dos Xi, os determinantes |Ai|, |Ai|, |A*|, |A* | em ((043),§05.01), bem como os seus elementos, variam em geral com as bases escolhidas. Tais determinantes só serão invariantes em relação a bases unimodulares, ou seja, bases tais que: (e1)

2 = 1, se N = 1; (e1×e2)

2 = 1, se N = 2 e (e1e2e3)2 =

1, se N = 3. São unimodulares, por exemplo, as bases ortonormadas: aquelas formadas por um unitário se N = 1 e unitários ortogonais se N = 2 ou N = 3. Dissemos que algo tem caráter universal ou tensorial quando independe de bases ou, o que é o mesmo, independe de sistema de referência. Assim é uma equação vetorial de variáveis escalares, posto que os vetores que a compõem, e a sua solução, são universais, conforme já mostramos (§05.01). Por comodidade, para facilidade de cálculos ou de medições experimentais, uma equação vetorial poderá ser resolvida em relação a uma base virtual particular. Mostraremos agora, entretanto, que nem tudo que é geral e invariante numa base particular é igualmente geral e invariante em qualquer outra base. Se o estudo de um particular evento, envolvendo grandezas vetoriais (como num sistema físico ou numa figura geométrica), é feito vetorialmente (sem alusão a qualquer base), esse estudo é universal e as propriedades daí deduzidas são universais. Entretanto, os "resultados" oriundos desses eventos, deduzidos relativamente a uma base particular, podem não ter ampla generalidade. Com efeito, pondo, para i, j, ... = 1,2,...,N:

x e e a e e= = = =X X e A A ,ii j

j ii j

j

temos: 0AA ,0XX ,XAXA i

i2i

i2iii

i >=>=== axa.x ,

e

Page 83: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. 63

Poliádicos - Ruggeri

)AXAX)(AXAX()(2rmmr

rmmr2 −−=× ax , (r,m=1,2, ..., N).

Substituindo esses resultados na identidade vetorial de Lagrange ((07),§ 02.05), escrevemos, então:

A A X X A X A X +

+12 (X A X A )(X A X A ), (i, j, r, m 1,2,... , N),

ii

jj

ii j

j

r m m rr m m r

=

− − = (01),

identidade que denominamos: identidade das 4N letras.

Para destacar, poremos:

A A, A B, A C, A A' , A B' , A C' ;

X X, X Y, X Z, X X' , X Y' , X Z' .

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

= = = = = =

= = = = = =

Assim, deduzimos de (01) os seguintes casos particulares:

- para N = 2:

(AA' +BB')(XX' +YY' )

(AX' +BY')(A' X + B' Y) + (XB YA)(X' B' Y' A' ),

=

= − − (011);

- para N = 3:

(AA + BB' +CC')(XX' +YY' + ZZ')

(AX' +BY' + CZ' )(A' X + B' Y + C' Z) +

+ (XB YA)(X' B' Y' A' ) + (ZA CX)(Z' A' C' X' ) +

+ (YC ZB)(Y' C' Z' B' ),

′ =

=

− − − −

− −

(012).

Quando os vetores estão referidos a bases ortonormadas, as coordenadas co-variantes e contravariantes dos vetores são idênticas. Nestas condições, das identidades (011) e (012), resultam como casos mais particulares, respectivamente, as clássicas identidades de Fibonacci:

(A + B )(X + Y ) (AX + BY) + (XB YA) ,2 2 2 2 2 2= − (013),

e de Lagrange,

(A + B + C )(X + Y + Z )

(AX + BY + CZ) + (XB YA) + (ZA CX) + (YC ZB) ,

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

=

= − − − (014)

35.

35 Essas identidades especiais são referidas por E. Lucas, para números inteiros, em sua obra Theorie de Nombres, Gauthier-Villar, 1891, Livre I, Chapitre VIII, seção 69. Na seção 70 Lucas afirma que Lagrange generalizou essas identidades para um número qualquer de quadrados. Podemos encontrar essas mesmas fórmulas com a “identidade diádica de Lagrange” (ver § 11.01, Cap. II).

Page 84: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

64 § 05 - Mudança de base. Invariantes.

I, §05.03

Devemos destacar dois aspectos fundamentais em torno da idéia de que as bases têm igual “status" no estudo dos fenômenos físicos e das figuras geométricas. As leis naturais e as propriedades das figuras geométricas são verdades independentes de observadores, de bases ou de referenciais. Toda medida ou conjunto de medidas, entretanto, é dependente de uma referência; assim, um mesmo vetor tem diferentes conjuntos de coordenadas (suas medidas) em relação a diferentes bases. Com esses conjuntos de medidas é possível formular juízos sobre o sistema em estudo. Um juízo somente será elevado à categoria de lei natural ou de propriedade de uma figura se, com uma mudança de base, ficar assegurada a invariância do mesmo (já que ele deve independer de base).

Esse modo de proceder, além de natural, parece ser realmente correto. Devemos, entretanto, estar alertas para os dois aspectos seguintes, para não incorrermos em impropriedades:

1º) Nem sempre o que é invariante em relação a mudanças de bases particulares é igualmente invariante em relação a mudanças de bases quaisquer. Assim, por exemplo: os determinantes det

* e det* das coordenadas co-variantes e contravariantes de três vetores

independentes são iguais e invariantes em relação a mudanças de bases ortonormadas, mas diferentes e variantes em relação a mudanças de bases quaisquer. Com efeito, conforme ((05),§ 04.03), o invariante (xyz) - volume do paralelepípedo construído sobre x, y e z - pode ser escrito nas formas:

( ) ( ) ( ) .xyz e e e e e e= =∗∗1 2 3

1 2 3det det

Logo, serão variáveis, necessariamente, det* e det*, uma vez que, obviamente, os produtos

mistos dos vetores de base dependem dessas bases.

2º) É sabido que bases particulares, geralmente as ortonormadas, favorecem e simplificam cálculos. Esse favorecimento, entretanto, pode ocultar juízos (propriedades) mais gerais, facilmente determináveis em bases quaisquer. Com efeito, como mostramos, (013) e (014), válidas em bases ortonormadas, são casos particulares de (011) e (012), relativas a bases quaisquer.

Façamos, pois, uma advertência:

Resultados gerais e invariantes em relação a bases especiais podem ser particularidades e variâncias em relação a bases quaisquer.

§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas.

A identidade das 12 letras, ((012), § 05.02), refere-se a dois vetores expressos cartesianamente em bases recíprocas. Podemos deduzir esta mesma identidade a partir de quatro vetores expressos cartesianamente numa mesma base ortonormada $ , $ , $ i j k . Sejam:

s i j k

x i j k

r i j k

y i j k

====

A + B + C ,

X + Y + Z ,

A' + B' + C' ,

X' + Y' + Z' .

$ $ $

$ $ $

$ $ $

$ $ $

Page 85: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas. 65

Poliádicos - Ruggeri

Aplicando ((03),§ 04.03) para o caso particular de bases ortonormadas, escrevemos:

).XBYABX)((AY+)ZAXCAZ)((CX+

+)YCZB)(YCZB(

ZYX

CBA

ˆˆˆ

ZYX

CBA

ˆˆˆ

)()(

′′−′′−′′−′′−

′′−′′′′−′′=′′′′′′=××

kji

.

kji

yr.xs

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos também:

ZZYYXXCZBYAX

ZCYBXACCBBAA)()(

′+′+′′+′+′′+′+′′+′+′==××

x.yx.r

s.ys.ryr.xs .

Igualando os últimos membros das expressões obtidas de (s×x).(r ×y) encontramos facilmente (012), § 05.02. Finalmente, para gáudio dos algebristas, podemos "super generalizar" a identidade (01), § 05.02, deduzindo a "identidade das 8N letras". Sejam, para i = 1,2,...,N:

s e e x e e r e e y e e= = = = = = = =S S ; X X ; R R ; Y Y ,ii i

i ii i

i ii i

i ii i

i

as representações cartesianas dos vetores s, x, r e y nas bases recíprocas e* e e*. Para o caso N = 3, por ((03),§ 04.03) escrevemos:

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

YYY

RRR

XXX

SSS

YYY

RRR

XXX

SSS)()(

eee

.

eeeeee

.

eee

yr.xs ==×× ,

isso é, utilizando a convenção somatória:

)YRY)(RXSX(S2

1)YRY)(RXSX(S

2

1)()( ijji

ijjiijjiijji −−=−−=×× yr.xs , (01).

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos:

jj

jj

ii

ii

jj

jj

ii

ii

YXRX

YSRS

YXRX

YSRS)()( ===××

x.yx.r

s.ys.ryr.xs , (011),

ou,

jj

ii

jj

iij

ji

ij

ji

i RXYSYXRSRXYSYXRS)()( −=−=×× yr.xs , (012).

Se igualarmos o penúltimo membro de (01) com o penúltimo membro de (012), ou o último membro de (01) com o último membro (012), obteremos novas identidades com 12 letras, idênticas entre si, mas distintas de (01), § 05.02):

Page 86: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

66 § 05 - Mudança de base. Invariantes.

I, §05.03

jj

ii

jj

ii

ijjiijji RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S

2

1−=−− , (013),

ou

jj

iij

ji

iijji

ijji RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2

1−=−− , (014),

Particularmente, se os vetores forem referidos a uma base ortonormada, pondo, então:

x≡(X,Y,Z), y≡(X’,Y’,Z’), r ≡≡≡≡(A,B,C) e s≡(A’,B’,C’),

obteremos a identidade:

(A’Y-B’X)(AY’-BX’)+(B’Z-C’Y)(BZ’-CY’)+(A’Z-C’X)(AZ’ -CX’)=

=(AA’+BB’+CC’)(XX’+YY’+ZZ’)-(AX+BY+CZ)(A’X’+ B’Y’+C’Z’), (015).

Entretanto, da soma do penúltimo membro de (01) com o último membro de (012) igualada com o último membro de (01) somado com o penúltimo membro (012), obteremos a seguinte identidade:

,RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S21

RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2

1

jj

iij

ji

iijjiijji

jj

iij

ji

iijjiijji

+−−=

=+−− (02).

O desenvolvimento das somatórias indicadas para vetores do E3 implica escrever a identidade acima na forma:

=−

−−−

−−−−

)RX+RX+R)(XYS+YS+Y(S

)YX+YX+Y)(XRS+RS+R(S+)YRY)(RXSX(S+

+)YRY)(RXSX(S+)YRY)(RXSX(S

33

22

11

33

22

11

33

22

11

33

22

113223

3223

13311331

21122112

).RX+RX+R)(XYS+YS+Y(S

)YX+YX+Y)(XRS+RS+R(S+)YRY)(RXSX(S+

+)YRY)(RXSX(S+)YRY)(RXSX(S

33

22

11

33

22

11

33

22

11

33

22

113223

3223

13311331

21122112

−−−

−−−−=

Não é difícil comprovar que (02) é válida para i, j = 1 (identidade óbvia) e i, j = 1,2 (identidade das 16 letras); isso é, para i,j = 1,2,...N, (02) é a "identidade das 8N letras"36.

36 Essas identidades são válidas quaisquer que sejam os sinais de i

i ii XX eSS porque uma das bases escolhidas

poderia ser positiva e a outra negativa.

Page 87: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06 - O caráter tensorial das expressões vetoriais. 67

Poliádicos - Ruggeri

Em estudos avançados, criam-se espaços vetoriais abstratos de um número qualquer (finito ou infinito) de dimensões. Não é difícil, apenas trabalhoso, mostrar que (02) é válida para um número qualquer, N, finito. Para N tendendo para o infinito, muitas considerações devem ser preliminarmente estabelecidas no estudo da questão; isto, entretanto, está muito além das pretensões desta exposição. § 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. A criação dos conceitos de base e coordenadas de vetores em relação a uma base levou-nos, no § 04.01, a um primeiro contato com o Tensorialismo. Do § 04.02 ao § 04.04 aplicamos a técnica das coordenadas para expressar produtos (escalares, vetoriais e mistos), e condições geométricas diversas entre vetores (paralelismo, perpendicularidade e coplanaridade). Nessa ordem de idéias mostramos no § 05 que a solução de uma equação vetorial é um invariante numa mudança de base. Apresentamos essa solução na forma cartesiana ((043), § 05) e na forma vetorial ((04), § 05). Neste mesmo § 05 mostramos que com a adoção da técnica das coordenadas expomo-nos ao risco do empecilho de enxergar mais longe; com efeito, ((02),§05.03) não é uma identidade mais geral que ((012),§05.02) ? Com essas exemplificações modestas, mas didáticas - que de forma alguma pretendem fechar definitivamente essas discussões - concluímos que as representações cartesianas de produtos, de condições geométricas entre vetores, de soluções de uma equação vetorial etc., variam com as bases escolhidas; os produtos, em si, e as expressões vetoriais tradutoras de condições geométricas e as soluções de equações vetoriais, ficam invariantes em EN. Assim, diríamos:

1°) - aiXi = b é uma equação vetorial cujas soluções são Xi = b.ai ;

2°) - (x.y)2+(x×y)2 = x2y2 é a identidade universal de Lagrange ;

3°) - (s×x).(r×y)=(s.r)(x.y)-(x.r)(s.y) é a “super” identidade (universal) de Lagrange (que tem a anterior como caso particular)... e coisas tais. O que importa, nesse instante, é destacar o tensorialismo ou o universalismo das expressões vetoriais em EN. Particularmente, é mister considerar-se o vetor, na forma como o concebemos no § 01.01, como um tensor, já que os conceitos que o caracterizam: módulo, direção e sentido têm o mesmo significado para todos os observadores. Em vista das considerações anteriores, é necessária certa cautela nas conclusões quando a consideração de um tensor é feita em relação a bases particulares.

Page 88: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

68 Bibliografia

I,Bibliografia

BIBLIOGRAFIA. É bastante extensa a bibliografia existente sobre Vetores. Limitamo-nos aqui à listagem apenas das obras que tiveram uma maior influência na exposição. 1 - 1901: GIBBS, J. W. and WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New

Haven, Connecticut, USA, 436 pp. (Yale Bicentennial Publications, Dover). Republished in 1913, 1916, 1922, 1925, 1929, 1931, 1943, 1947 and 1948.

2 - 1921: WEATHERBURN, C. E., Elementary Vector Analysis (with applications to

Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltda, London, 184 p.. Reeditado em 1926, 1928 e 1931.

3 - 1927: SANTOS, C. C., Cálculo Vetorial - (Lições professadas na Escola de Minas de

Ouro Preto), Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, Ouro Preto 159. p.

4 - 1929: BRICARD, R., Le Calcul Vectoriel, Librairie Armand Colin, Paris. Reeditado em

português, em 1958, pela Editora Ao Livro Técnico Ltda., Rio de Janeiro, 184 p.

5 - 1937: CARAÇA, B. J., Cálculo Vetorial, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa,

254 p. Reeditado em 1957. 6 - 1953: DIAS, A. T., Álgebra Vetorial e Exercícios, Oficinas Gráficas da Escola de Minas

de Ouro Preto, 109 p. 7 - 1960: MOREIRA, L. C. A., Vetores recíprocos, Boletim n° 8, Departamento de

Matemática, Escola de Minas de Ouro Preto. 8 - 1974: CALAES, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, Imprensa da Universidade Federal

de Ouro Preto, 328 p. Reeditado em 1979 pela Fundação Gorceix, Ouro Preto, tomos I e II, com 415 p..

Page 89: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

Poliádicos - Ruggeri

CAPÍTULO II

DIÁDICOS

§ 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR. É intuitivo o conceito de variável numérica: uma letra X que pode representar qualquer número de dado conjunto de números. Por analogia, uma variável vetorial é uma letra que pode representar um vetor qualquer de dado conjunto de vetores. Assim, por exemplo:

1º) r poderia representar o conjunto de todos os vetores paralelos a dado vetor

unitário r - esses vetores seriam, então, vetores de dado E1 -, caso em que

rrr ˆ||±=

Se |r|, variável numérica, varia dentro de um intervalo conhecido, os vetores r ficam determinados; a variável vetorial r representa, assim, qualquer um dos vetores desse conjunto, ou seja, do espaço E1 (§ 04,I)37;

2º) Se a é um vetor cuja direção, módulo e sentido não se alteram, a é dito um vetor constante. Imaginemos, entretanto, o vetor a com a sua origem deslizando sobre dada reta (r). Em relação a certo ponto fixo, O, do espaço, os conjuntos dos vetores x de origem O e extremidade em pontos X de (r), e os axx +=' ficam, então, determinados; e as variáveis vetoriais x e 'x podem representar cada vetor dos respectivos conjuntos (Fig.01.01). Assim, a X0 corresponderia o vetor x0 de um conjunto e o vetor 0x′ do outro conjunto; a X1

corresponderiam x1 e 1x′ etc..

Se X é uma variável numérica e Y outra variável numérica que dependa de alguma forma da variável X, escrevemos: Y=F(X); F expressa essa dependência e dizemos que Y é função de X. A variável Y é dita o valor da função e X o seu argumento.

37 Conforme nossas "Convenções", com (§ 04,I) estamos nos referindo ao § 04 do cap.I.

Page 90: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

70 § 01- Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor

II,§ 01

Podemos estender estes conceitos aos vetores. Consideremos o segundo exemplo atrás citado. Como a cada ponto X de (r) podemos fazer corresponder o vetor xam ×= e o escalar M = a.x, dizemos que m e M são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente, do vetor x; o vetor x é dito também o argumento da função. Se a cada x corresponde um e um único vetor m ou escalar M, como no caso do exemplo citado, dizemos também que as funções vetoriais xa× e a.x são unívocas.

Genericamente representaremos por f(x), f em negrito, uma função de valor vetor de um vetor x; e por F(x), F ao natural, uma função de valor escalar do vetor x. Assim, em resumo, diremos que f(x) e F(x) são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente, do argumento vetor x. Esta notação é adequada porque ela permite facilmente distinguir uma função de valor escalar e argumento vetor de uma função escalar ordinária (de variável numérica).

Do ponto de vista geométrico podemos entender uma função de valor vetor e argumento vetor como alguma operação sobre o argumento que transforma esse vetor no valor da função (que é outro vetor). Assim diremos também que f(x) é o transformado de x mediante a função f( ). Uma função de valor vetor, v, que tenha por argumento uma combinação linear de vetores: x = Xixi, é dita linear, e se escreve v = l(x), se

v l x l x l x= = =( ) ( ) ( ),X Xii

ii (01),

donde

o l o= ( ) , (011). Assim, por exemplo, conforme sabemos (§ 02.04 e § 02.05,I), sendo

)(X)X(i

ii

i xaxaxam ×=×=×= ,

e

M X Xii

ii= = =a.x a. x a. x( ) ( ),

para a vetor constante e x variável, concluímos que as operações de multiplicação vetorial e escalar de vetores são, respectivamente, funções lineares de valor vetor e valor escalar,

entendendo-se:

×≡ al() , ou a.l ≡() .

Doravante todas as funções a serem consideradas serão funções lineares de argumento vetor e valor vetor, razão pela qual a ela nos referiremos apenas como função vetorial linear ficando o restante subentendido, salvo onde for observado o contrário. Além disso, todos os índices deverão assumir os valores do conjunto 1,2,...,N, sendo N = 1, ou N = 2, ou N = 3, casos em que estaremos nos referindo a espaços uni, bi e tridimensionais de vetores, respectivamente (§ 04,I).

Page 91: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 01- Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor 71

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 1: Uma função vetorial linear na reta, no plano e no espaço, fica univocamente determinada se são conhecidos os seus valores para um vetor não nulo, dois vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente.

Com efeito, se bi são os transformados de N vetores independentes ai mediante a função l( ), isso é, se )( ii alb = então o transformado de qualquer vetor x = X iai (i =

1,2,...,N) é

ii

ii

ii X)(X)X()( balalxl === .

Como por hipótese são conhecidos os Xi e os bi, resulta l(x) determinada. A função vetorial linear, entendida como uma operação é também dita operadora de uma transformação linear. Esta nomenclatura tem mais sentido geométrico (matemático) do que físico, mas pode ser entendida de uma forma bem ampla. Em relação ao espaço N dimensional o conceito de transformação linear pode ser entendido de três pontos de vista:

1º) - ponto de vista algébrico. A transformação linear x’ = l(x) é uma operação que transforma um conjunto ordenado de N números reais (coordenadas do vetor x em certa base) em outro conjunto ordenado de N números reais (coordenadas de x' na mesma base a que se refere x) através de relações lineares;

2º) - ponto de vista geométrico. Seja P(Xi) o ponto genérico de um domínio D, N dimensional, definido em relação a um sistema cartesiano por equações Xi = Xi(A1, A2, ...,AN), i = 1, 2, ..., N, onde os parâmetros Aj variam dentro de intervalos definidos. Seja P'(Xi) o ponto de um domínio D' tal, que

jj

ii X AX'ou ),(' == xlx (i,j=1,2,...,N), (02),

onde os Ai j não dependem dos Xj. Uma função vetorial linear pode, pois, ser entendida

como uma transformação de pontos P de D em pontos P' de D';

3º) - ponto de vista físico. Nesse caso a transformação linear não pode ser entendida de um modo tão elementar quanto o algébrico e o geométrico. Diríamos que a transformação linear, em Física, é a própria expressão da lei física representativa de dado fenômeno que correlacione duas grandezas vetoriais na forma (01). Por exemplo, na lei de Newton: f = Ma, da Mecânica, a massa M proporcionaria uma transformação linear da aceleração em força atuante, ou, o inverso da massa proporcionaria uma transformação da força atuante em aceleração; similarmente, diríamos que a carga elétrica proporciona uma transformação do campo elétrico em força atuante, conforme a expressão clássica: f=Qe. É curioso observar que, do ponto de vista geométrico, a transformação linear tem um

"significado físico" - um transporte de pontos de D para D' - enquanto que em Física pode parecer não caber, em geral, qualquer "significado geométrico" para as leis físicas. Por

outro lado, poder-se-ia questionar: quais seriam as equações (02) se interessasse conhecer o

tempo para D transformar-se em D'? Quais seriam as trajetórias, as velocidades, as acelerações dos pontos? Paralela e relativamente às leis físicas, faria sentido questionar, por exemplo: em quanto tempo ou com que velocidade, o inverso da massa de um corpo transforma a força atuante em aceleração? Está fora do escopo destas "Lições" a análise de algumas destas questões.

Page 92: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

72 § 02 - Díades e diádicos. Conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.01

§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

§ 02.01- Definições e notações. Vimos (§ 03, I) que qualquer vetor x pode ser expresso nas formas

x x.e e x x.e e= =( ) ( ) ,ii i

i ou (i = 1,2,...,N), (01), onde, relembremos, N (= 1, ou 2, ou 3) é a dimensão do espaço a que pertence x. Nestas expressões é até dispensável o uso dos parênteses, uma vez que relações do tipo

x x. e e x x. e e= =( ) ( ),ii i

i ou (i = 1,2,...,n finito),o (02), não têm, até o momento, nenhum significado. Poderíamos, por outro lado, postular que as (02) acarretassem as (01),

correspondentemente, caso em que estaríamos admitindo: 1º)- uma expressão do tipo (eiei), ou (eie

i), obtida por somas simbólicas de "produtos justapostos" de vetores de um conjunto

de N vetores independentes pelos seus correspondentes recíprocos; 2º)- uma operação entre esta expressão e o vetor x que gerasse o próprio x. Isto constitui, de fato, nosso interesse, mas de uma forma mais ampla. Objetivando generalizar a expressão e a operação atrás referidas, consideremos dois

dados conjuntos ordenados de P vetores quaisquer, duas P-plas de vetores:

finito), (P ,...,,,= e ,...,,,= P321PP321P bbbbbaaaaa (03),

onde cada vetor aj do conjunto a P tem um correspondente bj no conjunto b P, qualquer um dos vetores podendo pertencer a um E1, a um E2 ou ao E3.

Chamam-se díades desses conjuntos, quaisquer "produtos justapostos" de um vetor de um dos conjuntos com o seu correspondente do outro conjunto, sem nenhuma interposição de sinal de operação entre eles; por isso mesmo esses símbolos foram chamados por Gibbs de produtos indeterminados. São díades, então, os símbolos abstratos:

a b a b a b1

12

2, ,..., .P

P

Da esquerda para a direita, o primeiro e o segundo vetores em cada díade são ditos, respectivamente, o antecedente e o conseqüente da díade.

Page 93: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. 73

Poliádicos - Ruggeri

Chama-se diádico dos conjuntos a P e b P, nessa ordem, a soma simbólica e abstrata de todas as suas díades, em qualquer ordem. Assim,

11

PP

22

ii

PP

22

11 ...... bababababababa +++==+++ , (i=1,2 ... ,P) (04),

justificando-se a notação compacta do produto justaposto de vetores do último membro desde que convencionemos aplicar-lhe a convenção somatória (§ 02.02, I). Os vetores dos conjuntos a P e b P são ditos, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes do diádico. Dizemos que o diádico é gerado de EN se todos os seus antecedentes e conseqüentes são vetores desse EN. Quando, em (03), P = 1, diz-se que o diádico está escrito em forma monomial; quando P = 2, em forma binomial; quando P = 3 em forma trinomial e, geralmente, em

forma polinomial ou P-nomial (quando se pretende especificar o número de díades).

Notação: Manteremos a notação introduzida (§ 01.01, I) para vetores e números. Os diádicos serão representados, na maioria das vezes: 1º)- pelas letras minúsculas do alfabeto grego, em negrito: φφφφ, ψψψψ, µµµµ etc., salvo onde for observado o contrário; 2º)- também pelas latinas maiúsculas em negrito e ocasionalmente em itálico e negrito.

§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.

Chama-se produto de um diádico φφφφ (e, portanto, de uma díade) por um número M, e representa-se por φφφφM ou Mφφφφ, o diádico que se obtém de φφφφ multiplicando os seus antecedentes ou os seus conseqüentes por esse número, ou, ainda, distribuindo o número A de alguma forma (por fatoração arbitrária) entre todos os antecedentes e todos os conseqüentes de φφφφ. Assim, se M = A.B, então:

M = M( ) = (M ) = M A Bjj

jj

jj

jjφφφφ a b a b a b a b( ) ( )( ),= (01).

A multiplicação do diádico φφφφ por um número real M é a operação que tem por fim determinar o produto Mφφφφ = φφφφM. Por analogia com os vetores, os diádicos φφφφ e Mφφφφ serão ditos paralelos.

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor.

Chama-se produto pontuado anterior (posterior) do diádico φφφφ = ajbj (j = 1,2,...,P)

pelo vetor r, e representa-se por φφφφ.r (r.φφφφ), lendo-se φφφφ ponto r (r ponto φφφφ), o vetor que se obtém como uma multiplicidade vetorial linear dos seus antecedentes (conseqüentes) cujos

Page 94: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

74 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.03

coeficientes são os produtos escalares dos correspondentes conseqüentes (antecedentes) pelo vetor r38. Assim:

φφφφ. r a b . r a b . r a b . r a b . r= = = + +( ) ( ) ( ) ( ) ... ,jj

jj

11

22 (01),

ou,

r. r. a b r.a b r.a b r.a bφφφφ = ( ) = ( ) = ( ) + ( ) +... ,jj

jj

11

22 (011).

A multiplicação pontuada de diádico por vetor é a operação que tem por fim determinar o produto escalar anterior ou o posterior do diádico pelo vetor. É uma operação sempre possível e unívoca, porque o são as operações vetoriais em (01) e (011).

Propriedades.

1º) - O produto pontuado (anterior ou posterior) de qualquer diádico pelo vetor nulo é sempre o vetor nulo.

∀ = =φφφφ φφφφ φφφφ: , o. .o o (02).

Com efeito, pois em (01) teríamos: φφφφ.o a b .o o= =ii( ) ; similarmente, em (011),

o. o.a b oφφφφ = =( ) .ii

38 Gibbs denominou este produto de "direct product of φφφφ into r" .

2º) - A operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva em relação a adição de vetores, isso é:

M( ) (M ) (M ) e ( + +...) + +...,φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. r . r . r . a b .a .b= = = (03).

Tem-se:

M( ) M ( ) M( M Mjj

jj

jjφφφφ φφφφ. r a b . r a b . r a b . r . r= = = =[ )] [ ( )] ( ),

e

φφφφ φφφφ φφφφ. a b a b . a b a b .a a b .b .a .b( + +... ) [ ( + +... )] ( ) +ii

ii

ii= = + = + +( ) ... ....

Assim, genericamente, se, em relação à base e*:

r e=Rii , (para i=1, 2, ..., N), então, (R ) R ( Ri

ii

ii

iφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ.r . e .e .e= = =) , (031).

3°) - A operação é associativa em relação a fatores vetores se o diádico está entre vetores:

∀ = ≡a b a. .b a. .b a. .b, , ( ) ( )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ : , (04).

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§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L. 75

Poliádicos - Ruggeri

§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L..

Teor. 1: Qualquer diádico, quando usado como pré-fator ou pós-fator em multiplicação pontuada por vetor, é operador (ou regente) de uma transformação linear (T.L.); reciprocamente, toda T.L. sobre vetores (na reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um diádico para ser usado como pré ou pós-fator em multiplicação pontuada por vetor.

Com efeito, o teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação pontuada de diádico por vetor, nas formas das expressões ((01) e (011), §02.03) e da

definição de transformação linear dada por ((01), §01), bastando entender-se l ≡≡≡≡ φφφφ. (l idêntico a φφφφ ponto). Reciprocamente, se l é uma função vetorial linear (representativa de uma T.L.) determinada pelo conhecimento dos vetores bi, transformados dos vetores independentes ai

(Teor.1, §01), tem-se (lembrando a teoria dos recíprocos, § 03, I):

l a b b b a .a b a .a( ) ( ) ( ) ,i i j ij

jj

i jj

i (i, j=1,2,...,N).= = = =δ

Assim, denotando por ψψψψ o diádico bjaj - único, porque são conhecidos os bj e os aj se

determinam univocamente - podemos escrever:

l a . a( ) .i i= ψψψψ Como também se possa escrever:

l a b b a .a b a . a b( ( ) ( ),i i ij

j ij

j ij

j) (i, j 1,2, ... , N),= = = = =δ

resulta, pondo φφφφ = ajbj (diádico também único ): l a a .( ) ,i i= φφφφ como queríamos demonstrar.

Corol. 1: Um diádico gerado de um EN fica univocamente determinado quando são conhecidos os seus produtos pontuados por N vetores independentes quaisquer de EN, isso é,

ab .a b a

c a . a ci

i i ii

i ii

i

independentes (i = 1,2, ... , N),= ⇒ =

= ⇒ =

φφφφ φφφφ

ψψψψ ψψψψ (01).

Corol. 2: Dadas duas N-plas de vetores independentes de EN, existe sempre um e

um único diádico que, usado como pré ou pós-fator, transforma uma N-pla na outra.

Page 96: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

76 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.05

Aplicação: Mostrar que em qualquer T.L. no E3, pontos dependentes de uma reta ou de

um plano transformam-se, respectivamente, em pontos dependentes de uma reta ou de um plano.

Denotemos por φφφφ o diádico que rege a transformação de pontos R em pontos R', isso é, seja r ' = φφφφ.r . Os vetores posição r1, r2 e r3 de três pontos colineares R1, R2 e R3 satisfazem a função vetorial linear Air i = o, (i = 1,2,3), com A1+A2+A3 = 0 (Teor. 5, §03.01, I). Logo, lembrando ((031), §02.03): Air i' = Ai(φφφφ.r i) = φφφφ.(A ir i) = φφφφ.o = o, o que mostra serem os pontos R1', R2' e R3' também colineares. Similarmente podemos demonstrar o caso em que os pontos são dependentes de um plano recorrendo ao Teor. 9, §03.03, I.

§ 02.05 - Transposição diádica.

Teor. 1: A operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor não é comutativa, isso é,

φφφφ φφφφ. r r.≠ , o que é evidente pelas ((01) e (011),§ 02.03). Observemos, porém, que das ((01),§ 02.03) podemos, ainda, escrever:

φφφφ.r a b .r r.b a r. b a= = =jj j

jj

j( ) ( ) ( ). , (j 1, 2, ..., P)= .

Os diádicos cujos antecedentes e conseqüentes são mutuamente alternados são

denominados transpostos ou conjugados39 um do outro. Assim, sendo φφφφ = ajbj com (j =

1,2,...,P), seu transposto, que se representa por φφφφT (ou φφφφC na notação de Gibbs), é escrito na forma: φφφφT = bjaj. Logo:

φφφφ φφφφ= ⇔ =a b b ajj T j

j , (j 1, 2, ..., P)= (01).

Resulta que:

39 A denominação conjugado é de Gibbs; transposto é uma denominação mais moderna, como acentuaremos mais à frente (§09.02).

φφφφ φφφφ. r r.= T , (02), De ((01),§ 02.04) escrevemos, então:

b l a .a a .i i i iT= = =( ) ,φφφφ φφφφ (i 1, 2, ..., N)= (021).

Page 97: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.06- Igualdade de diádicos. 77

Poliádicos - Ruggeri

A operação que consiste em alternar correspondentemente os antecedentes e os

conseqüentes de dado diádico - operação esta sempre possível e unívoca - é denominada transposição diádica. Resulta, logo, de (01), que uma dupla transposição diádica - operação também

sempre possível e unívoca - é operação idêntica, isso é,

( ) ,φφφφ φφφφ φφφφT T TT≡ = (03).

§ 02.06- Igualdade de diádicos.

Diz-se que dois diádicos φφφφ e ψψψψ são iguais, e escreve-se φφφφ = ψψψψ (ler φφφφ igual a ψψψψ) se, nas mesmas condições de multiplicação pontuada (anterior ou posterior), transformam um mesmo e qualquer vetor em vetores iguais:

φφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ= ⇐ ∀ ⇒

=

=

r

. r . r

r. r. , (01).

Teor. 1:

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= ⇐ ∀ ⇒ = = = v r v. . r v. . r v. . r v. .r, ( ) ( ) , (02)

Como efeito, se φφφφ = ψψψψ temos de (01), lembrando ((04),§ 02.03): v. . r v. . r( ) = ( )φφφφ ψψψψ , sendo irrelevante o uso dos parênteses nesta expressão. Reciprocamente, de (02) deduzimos: o.r.rv. =− )( ψψψψφφφφ .Ora, não sendo o vetor entre

parênteses necessariamente ortogonal a v (pois v é qualquer), deve ser φφφφ.r - ψψψψ.r = o, isso é, φφφφ.r = ψψψψ.r ; logo φφφφ = ψψψψ, pois r é qualquer.

Teor. 2: A multiplicação direta de vetores é distributiva em relação à adição de vetores:

φφφφ = =( )( ) ,jA B A B (i, j = 1,2,...,P),ii j

j ij i

a b a b (03).

Com efeito, para qualquer r, tem-se:

φφφφ. r a b . r= (A )[B ( )].ii j

j

Ora, Aiai é uma soma de vetores e Bj(b

j.r) é uma soma de escalares. Como a operação de multiplicação de vetor por número é distributiva em relação à adição de vetores e à adição

de escalares, e associativa em relação a fatores numéricos, tem-se, considerando também ((01),§ 02.03):

φφφφ. r a b . r a b . r= =A B ( ) (A Bij i

j ij i

j ) ,

Page 98: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

78 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.07

sendo imutáveis no último membro a ordem dos vetores nas parcelas entre parênteses. Os diádicos φφφφ e AiBjaib

j são, pois, iguais, pela definição de igualdade; donde, então, (03).

§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos.

Teor.1: Qualquer diádico pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro maneiras distintas, como uma soma de N díades de que antecedentes ou conseqüentes sejam N vetores independentes arbitrários de EN.

Sejam: φφφφ = cjd

j (j = 1,2,...,P) um diádico dado em forma polinomial, gerado de um EN, e e∗ e e∗ sistemas quaisquer de vetores recíprocos desse espaço. Como seja sempre possível expressar antecedentes ou conseqüentes de φφφφ por combinações lineares (únicas) dos ei e ei (§ 03,I), escrevendo dj = (dj.ei)ei = (dj.ei)e

i, resulta φφφφ = [cj(dj.ei)]ei = [cj(d

j.ei)]ei.

Assim, pondo

c d .e a c d .e vjj i i

jj

i i( e ) ( ) ,= = (i = 1, 2, ..., N), (j = 1, 2, ..., P) (01),

resulta φφφφ = = =v e a ei

i ii (i 1,2,...,N),, (011),

onde, então, os conseqüentes são independentes, nada se podendo afirmar, nesse particular, a respeito dos antecedentes ai e vi. Com um raciocínio análogo, podemos expressar os antecedentes da forma polinomial de φφφφ, em relação a e

* e e*, para obter expressões análogas a (011), nas

quais, agora, os antecedentes de φφφφ são esses vetores independentes. Escrevemos:

c c .e e c .e e c .e d b c .e d wj j ii

ji

i ji j i

j ij

i( ) ( ) , ( ) , ( ) ,= = = = (02),

e φφφφ = =e b e wi

i ii , (i = 1, 2, ..., N) (021);

donde e . w e . bi i

i i, ,φφφφ φφφφ= = (022).

Também nesse caso, não se pode decidir sobre a dependência ou independência dos wi e bi. Podemos, então, escrever:

φφφφ φφφφ= = = = =a e v e b e w eii i

i T ii i

i e , (i N),12, ,..., (03), sendo, geralmente, φφφφ≠φφφφT40.

Definições: (forma e redução N-nomial) As formas (011) e (021) são denominadas formas N-nomiais (§ 02.01) de

representação de um diádico. Quando se expressa um diádico em forma N-nomial diz-se que se pratica uma redução N-nomial do diádico; diz-se

também que se reduz o diádico à forma N-nomial.

40A possibilidade de ser φφφφ=φφφφT será analisada no § 04.02.

Page 99: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.07- Redução N-nomial e motivo de diádicos. 79

Poliádicos - Ruggeri

Particularmente, em E1 a redução se dirá monomial; em E2, binomial e em E3, trinomial . Evidentemente, um mesmo diádico pode ser reduzido de infinitos modos a uma

forma N-nomial, uma vez que existem infinitas N-plas de vetores independentes em EN.

Por analogia com as representações cartesianas e nomenclaturas vetoriais, diremos

que φφφφ = aiei e φφφφ = viei são , respectivamente, representações N-nomiais contravariantes e

co-variantes de φφφφ nas bases (recíprocas) e* e e*; analogamente, os vetores ai e vi serão

ditos as coordenadas vetoriais contravariantes e co-variantes de φφφφ naquelas bases (recíprocas).

As representações (011) e (021) têm o mesmo status; são válidas, para ambas, as

mesmas nomenclaturas. Ordinariamente vamos nos referir a uma representação N-nomial com conseqüentes independentes, exceto onde for observado o contrário.

O motivo de um diádico.

Conforme já observamos, os diádicos podem representar certas grandezas físicas, tal como os vetores podem representar grandezas físicas vetoriais. No caso dos vetores, tanto as coordenadas escalares quanto os tercetos de vetores independentes podem representar

grandezas físicas. Da mesma forma, os antecedentes e/ou os conseqüentes de um diádico -

vetores - podem representar "partes" da grandeza complexa que ele representa, mas pelo menos um dos tercetos deve ser constituído de vetores independentes (representando ou não alguma grandeza física).

Assim, numa redução N-nomial de um diádico, distinguem-se sempre duas N-plas de vetores: uma que denominaremos "espacial" ou "referencial", de vetores independentes e outra "substancial" de vetores (independentes ou não), em correspondência (biunivoca) com a primeira. Quando a N-pla espacial é de natureza geométrica, a substancial é relativa a um motivo específico do diádico (uma tensão, por exemplo). Quando os dois tercetos são de natureza física, o motivo é misto. É esta a concepção matemática que, sutil e imperceptivelmente, está implícita nas leis físicas. E da arbitrariedade e independência de pelo menos um dos tercetos de vetores brota a necessidade dos vetores recíprocos porque num fenômeno físico um terceto tomado ao acaso não é ortonormado necessariamente.

Casos de igualdade.

Teor. 2: Dois diádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes (antecedentes); e reciprocamente.

φφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ

= ⇐ =

= = ⇒ =

e

a e b e a b

i

ii

ii

i i

indep. (i 1,2, ... , N),

, , (04).

Consideremos os diádicos iguais φφφφ e ψψψψ, reduzidos a uma forma N-nomial com iguais conseqüentes independentes ei, isso é, sejam

φφφφ ψψψψ= = =a e b eii

ii e (i 1,2, ... , N).

Page 100: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

80 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.08

Para qualquer r escrevemos, pela definição de igualdade de diádicos ((01),§ 02.06):

r. r.φφφφ ψψψψ= isso é,

( ) ( ) .ii

iir. a e r.b e=

Resulta então (Corol.3, Teor.2, § 04.03, I):

r. a r.b r. a bi i i i, isto é , ( ) 0, (i 1,2, ... , N).= − = =

Mas sendo r qualquer, ai - bi = o conforme ((04),§ 02.04,I); ou ai = bi, isso é, os conseqüentes de φφφφ e ψ são também iguais. Reciprocamente, se dois diádicos têm antecedentes e conseqüentes respectivamente iguais, eles são iguais porque, obviamente, transformam um mesmo e qualquer vetor em vetores iguais.

Corol. 1: Uma CNS para que dois diádicos sejam iguais, é que, escritos N-nomialmente com os mesmos conseqüentes (antecedentes), os seus antecedentes (conseqüentes) sejam respectivamente iguais. Corol. 2: CNS para que dois diádicos φφφφ e ψψψψ sejam iguais é que, nas mesmas condições de multiplicação pontuada, transformem os mesmos N vetores independentes, vi, em vetores iguais:

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= ⇐ = ⇒ = indep. (i 1,2, ...N) ,i i iv . v . v (041).

O teorema direto é evidente por definição de igualdade de diádicos. Reciprocamente, pondo: wi = φφφφ.vi = ψψψψ.vi, resulta de ((01),§ 02.04):

φφφφ ψψψψ= =w v w vii i

i e , isso é, pelo corolário anterior, φφφφ = ψψψψ.

§ 02.08- Invariantes primários de um diádico.

O escalar e o vetor. De cada diádico é possível deduzir alguns números e alguns vetores. Os principais são os denominados: escalar e vetor do diádico φφφφ, que se representam por φφφφE e φφφφV, respectivamente, e que se obtêm inserindo entre as suas díades os sinais operatórios de multiplicação pontuada e cruzada. Assim,

Page 101: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 81

Poliádicos - Ruggeri

se jjdc=φφφφ (j=1,2,...,P), então:

×=

=

jjV

jjE.

dc

dc

φφφφ

φφφφ (01).

Doravante consideraremos que o sinal o (ponto vazio) represente tanto a multiplicação escalar de vetores quanto a vetorial. Então as igualdades (01) são representadas unicamente por

jj

dc oo

=φφφφ (j=1, 2, ..., P),

a pequena bola vazia usada como índice representando também os índices E (escalar) e V (vetor). É óbvio que o escalar e o vetor de um diádico são determinados univocamente, porque as operações de que dependem as suas determinações são unívocas. De ((01),§ 02.02) deduzimos:

ooφφφφφφφφ M)M( = , (02),

entendendo-se, por exemplo, que o vetor de Mφφφφ, isso é, (Mφφφφ)V: 1º)- é paralelo ao vetor de φ;;;; 2º)- tem módulo M vezes o do vetor de φφφφ; 3º)- tem o mesmo sentido do vetor de φφφφ se M > 0, e o sentido contrário se M < 0.

Decorre também, imediatamente, de ((01), § 02.05) e de propriedades das multiplicações escalar e vetorial entre vetores, que:

( ) , ou ,TE E E

TE

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = (03),

e ( ) , ou ,T

V V VT

Vφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= − = − (031).

Teor. 1: São invariantes (logo, únicos) o escalar e o vetor de um diádico.

Com efeito, sejam o

φφφφ′ e o

φφφφ ′′ os escalares ou os vetores de φφφφ obtidos de uma forma P-

nomial φφφφ = cjdj (j = 1,2,...,P) e de uma forma N-nomial (N=1,2 ou 3) φφφφ = aiei, (i=1,2,...,N),

respectivamente. Escrevemos:

jj

dc oo

=′φφφφ (j=1,2,...,P) e i

i ea oo

=′′φφφφ (i=1,2,...,N).

Provemos que o

φφφφ′ =o

φφφφ ′′ . Ora, das relações ((01),§ 02.07) escrevemos: i

ijj

)]([ e.edc oo

=′′φφφφ .

Mas, sendo distributivas as multiplicações escalar e vetorial de vetores em relação à soma de vetores, e associativas em relação a fatores escalares,

])[(i

ijj

e.edc oo

=′′φφφφ .

Observando que o vetor entre colchetes é dj, concluímos a demonstração da tese.

Page 102: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

82 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.08

O terceiro.

Seja φφφφ = aiei, (i = 1,2,...,N), ei independentes, uma redução N-nomial qualquer de dado diádico φφφφ.

Definição: (terceiro de um diádico)

Expresso um diádico φφφφ em forma N-nomial, chama-se terceiro desse diádico,

e representa-se por φφφφ3, o produto pontuado do antecedente pelo conseqüente, se N = 1; o produto pontuado do produto cruzado dos antecedentes pelo produto cruzado dos conseqüentes, se N = 2; o produto dos produtos mistos dos antecedentes e correspondentes conseqüentes, se N = 3:

3,N se ),)((

2;N se ),()(

1;N se ,

N)1,2,...,(i ,

321321

3

2121

3

11

3

ii

==

=××=

==

==

eeeaaa

ee.aa

.ea

ea

φφφφ

φφφφ

φφφφ

φφφφ (04).

Devemos notar que o cálculo do terceiro no E2 apela para vetores do E3. O leitor não deve entender que isto seja um defeito da estrutura da teoria. Pelo contrário, isso é um alerta em relação às operações que serão definidas futuramente com poliádicos cujos espaços têm dimensões muito superiores a três.

Teor. 1: (Invariância) É um invariante o terceiro de um diádico.

Com efeito, consideremos duas reduções N-nomiais quaisquer de um diádico φφφφ, com, digamos, antecedentes independentes,

φφφφ φφφφ= = =a b c dii

jj e (i, j 1,2,...,N).

Devemos provar que, para um mesmo valor de N (mesmo espaço), (φφφφ3 )1= (φφφφ3)2, sendo, conforme a definição (04),

××=

××=

).)((

)()()( e

))((

)()()(

321321

2121

11

23

321321

2121

11

13

dddccc

dd.cc

.dc

bbbaaa

bb.aa

.ba

φφφφφφφφ

Expressando os ai em função dos cj, escrevemos, lembrando ((021),§ (03.01,I), ((041),§ (03.02,I), e ((071),§ (03.03,I), correspondentemente a N = 1, N = 2 e N = 3: ai = (ai.c

j)cj. Assim, para N = 3, por exemplo, podemos escrever, lembrando ((04)1,§ (04.03,I):

( ) | |( );ija a a a .c c c c1 2 3 1 2 3= logo: ( )φφφφ3 1 1 2 3

1 2 3=|a .c | c c c b b bij ( )( ).

Nestas condições,

φφφφ = = =a b a .c c b c a .c bii

ij

ji

j ij i( ) [( ) ];

Page 103: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 83

Poliádicos - Ruggeri

então, como todo diádico é igual a si próprio, resulta (Teor.2, § 02.07):

d a .c b d d d a .c b b bji

j i 3i

j 3( ) , donde ( ) | |( ).= =1 2 1 2 Assim,

( ( )( ) ( )| |( ),3 2 3

33 i

j 3φφφφ ) = =c c c d d d c c c a .c b b b1 2

1 21 2

1 2

isso é, ( ( ) .

1 2φφφφ φφφφ

3 3) =

Para N = 2 teríamos, analogamente, pondo a a .c ci ij

j( )= e aplicando ((02)1, §

04.03,I):

)()()()()( 21212

21

2

21

1121

2113bb.cc

.ca.ca

.ca.cabb.aa ××=××=φφφφ .

Pondo ainda, por outro lado:

φφφφ = = = = =a b a .c c b c a .c b c dii

ij

ji

j ij i

jj( ) [( ) ] , (i, j , ),12

resulta: dj = (ai.c

j)bi; donde:

)( 212

21

2

21

1121 bb

.ca.ca

.ca.cadd ×=× .

Logo:

)()()()()( 21212

21

2

21

1121

2123bb.cc

caca

cacaddcc ××=××=

..

...φφφφ ,

isso é ( ) ( ) .φφφφ φφφφ

3 1 3 2=

Para N = 1 a demonstração é evidente.

Teor. 2: (não nulidade do terceiro) Uma CNS para que o terceiro de um diádico seja diferente de zero é que ele

seja redutível a uma forma N-nomial com antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes (não nulos se N = 1, não paralelos se N = 2 e não coplanares se N = 3).

A condição é necessária porque se φφφφ = aiei com ei independentes e φφφφ3≠0, as (04) implicam a independência dos ai, isso é, a independência dos antecedentes. A recíproca é de demonstração evidente.

Page 104: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

84 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.08

Teor. 3: (interpretação geométrica do terceiro) Na T.L. regida pelo diádico φφφφ, o seu terceiro rege a transformação numérica (algébrica) das distâncias se o espaço é unidimensional, a das áreas se o espaço é bidimensional e dos volumes se o espaço é tridimensional:

ando transform vol.)area, dist.,(

ado transform vol.)area, dist.,(3 =φφφφ (05).

Sejam bi (i = 1,2,...,N) os transformados de N vetores independentes ai, respectivamente, mediante um diádico φφφφ, isso é, sejam bi = φφφφ.ai. Se N = 1, a1 representa

(numericamente) uma distância entre pontos; se N = 2, 21 aa × representa o vetor-área do paralelogramo construído sobre a1 e a2; se N = 3, (a1a2a3) representa o volume do

paralelepípedo construído sobre a1, a2 e a3. Ora, b a b ai i ii= ⇒ =φφφφ φφφφ. ,conforme Corol.1,

Teor.1, § 02.04, qualquer que seja a dimensão N do espaço. Logo:

±=

××±=××±=××

±=

=

|,)(| / |)(|))((

|,|/||||||)()(

|,|/||

321321321

321

212121

2121

21

111

1

3

aaabbbaaabbb

aabbaabbaa.bb

ab.ab

φφφφ

onde os sinais são positivos se e somente se: 1º)- para N = 1, b1 e a1 têm o mesmo sentido;

2º)- para N = 2 e qualquer vetor c ortogonal ao plano desse espaço (bidimensional), os

triedros c, b1, b2 e c, a1, a2 são igualmente orientados; 3º)- para N = 3 os triedros b1, b2, b3 e a1, a2, a3 são igualmente orientados. Em qualquer caso, o terceiro do diádico representará sempre, em grandeza e sinal, os elementos geométricos correspondentes a cada dimensão do espaço (distância se N = 1, área se N = 2 e volume se N = 3), o que demonstra o teorema.

Teor. 4: Se X≠0 é um número real qualquer, então, para um diádico gerado de EN,

3i

3 X)X( φφφφφφφφ = (i=1, ou 2, ou 3) (06).

Sendo φφφφ = aibi e pondo Xφφφφ = (Xai)b

i deduzimos, aplicando a definição e lembrando propriedade das multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores:

==

==××=××

===

=

3,N se ,X))](([X

2;N se ,X)()(X)()X(X

1;N se ,X)X()X(

)X(

33321

3213

3221

21221

21

3i

ii

i

3

φφφφ

φφφφ

φφφφ

φφφφ

bbbaaa

bb.aabb.aa

.ba.ba

expressões sintetizadas por (06).

Teor. 5: ∀ = :

3 3Tφφφφ φφφφ φφφφ , (07).

Page 105: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 85

Poliádicos - Ruggeri

É o que decorre imediatamente da definição (04) uma vez que:

1N se ,3T

111

13==== φφφφφφφφ .ab.ba

2;N se ,)( )()()( T3 21

2121213

==××=××= φφφφφφφφ aa.bbbb.aa

3,N se ,))(())(( T3 321

3213213213

==== φφφφφφφφ aaabbbbbbaaa

Teor. 6: (Desigualdade de Hadamard) Se o módulo de uma base é menor que o da sua recíproca, o quadrado do terceiro de um diádico é menor ou no máximo igual ao produto dos quadrados dos seus vetores motivo nessa base:

:E do ,, 3j

jii ebeaee ==∀ ∗

∗ φφφφ

( ) ( ) ) ,

( ) ( ) ) ,3

2 2 2

32

e e e e e e a a a

e e e e e e b b b

1 2 31 2 3

1 2 2 3

1 2 31 2 3 1

22

23

2

≥ ⇔ ≤≤ ⇔ ≤

( | | | | | |

( | | | | | |

φφφφφφφφ

(08).

Tem-se:

φφφφ3

( )( ) = ( )( )= a a a e e e b b b e e e1 2 31 2 3 1 2 3

1 2 3 e ( )φφφφ3

2 ( )( )= a a a b b b1 2 31 2 3

.

Ora, ( ) ( )e e e e e e

1 2 31 2 3≠ porque ( )( ) = 1e e e e e e

1 2 31 2 3 ;

logo, ( ) ( )a a a b b b1 2 3

1 2 3≠ . Assim,

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ).

e e e e e e b b b a a a

e e e e e e b b b a a a

1 2 31 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 31 2 3 1 2 3

1 2 3

≥ ⇔ ≤≤ ⇔ ≥

Então, correspondentemente,

( ) ( )

( ) ( )

23

2 2

23

2 2

b b b a a a

a a a b b b1 2 3

1 2 3

1 2 31 2 3

≤ ≤≤ ≤

( ) ,

( ) .

φφφφφφφφ

Agora, considerando o exercício do § 02. 06, I, i.e., sendo ∀ ≤x y z xyz x y z, , : ( ) 2 2 2 2, concluímos logo a demonstração da a tese.

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.

Consideremos os diádicos dos conjuntos definidos por uma N-pla de vetores independentes quaisquer e seu sistema recíproco; sejam eie

i e r ir i dois quaisquer desses diádicos para (i = 1,2,...,N). Escrevemos, para qualquer vetor v:

)()( ii

ii eev.ev.ev == , e N).1,2,...,(i , )()( i

ii

i === rrv.rv.rv

Page 106: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

86 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.09

Diádico unidade.

As igualdades anteriores mostram que existem diádicos que transformam qualquer vetor em si mesmo executando, então, a "transformação identidade" ; são denominados diádicos unidade (ou idem fatores), sendo representáveis de infinitas maneiras (pois existem

infinitas N-plas de vetores independentes)41. Como podemos escrever, também:

∀ = = = = : ( ) ( ) ( ) ... ,ii i

i iiv v v. e e v. e e v. r r

resulta da definição de igualdade de diádicos que todos os diádicos unidade são iguais; são representados, por isso, por um único símbolo: a letra maiúscula ΙΙΙΙ (em negrito) do alfabeto grego. Assim,

ΙΙΙΙ = = = = =r r e e e eii

ii i

i ... , (i 1,2, ... , N), (01), se os r i , os ei etc. são independentes. Resulta também, imediatamente:

∀ = = = : ( ) ( ) (i 1,2,...,N),i

i ii

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ.e e .e e, (011),

pois, pondo j

ji

i ebea ==φφφφ (i,j=1,2,3), tem-se, por exemplo: φφφφφφφφ == ii

ii )( ebe.e .

No caso particular em que os vetores independentes são os unitários ortogonais $ , $ , $ ,i j k de E3, escrevemos:

ΙΙΙΙ = $$ $$ $ $i i jj kk+ + . Lembrando propriedades dos recíprocos deduzimos, logo, para reduções no EN:

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙE V 3

N , e ,= = =o 1 (02).

Diádico nulo.

Seja, agora, ΟΟΟΟ um diádico reduzido à forma N-nomial

N).1,2,...,(i tes,independen , iii == eneΟΟΟΟ

Para qualquer r,

).( ii .rne.r =ΟΟΟΟ

41 Compare esta situação com a apresentada no início do § 02.01

Page 107: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 87

Poliádicos - Ruggeri

O vetor ei(ni.r) é nulo se, e somente se, ni.r = 0, para todo i. Mas sendo r qualquer, r não é ortogonal a nenhum dos ni necessariamente (tão pouco a todos simultaneamente), isso é,

, e tesindependen , : iiii ono.rener =⇔==∀ ΟΟΟΟΟΟΟΟ (03).

Sendo, ainda, para qualquer r : ,)( ii nr.er. =ΟΟΟΟ o vetor (r . ei) ni é nulo se, e somente se,

os ni são todos nulos porque, do contrário, existiriam tantas combinações dos ni quantas se quisessem sem que os mesmos fossem nulos; o que é impossível. Como poderíamos aplicar o mesmo raciocínio ao caso em que o diádico fosse

reduzido à forma N-nomial com conseqüentes independentes, concluímos que:

A CNS para que um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo é que os seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos.

Dada a arbitrariedade do vetor r concluímos que todos os diádicos que transformam qualquer vetor no vetor nulo são iguais; esse diádico, único, é denominado diádico nulo e representado, assim, por um único símbolo: a letra maiúscula ΟΟΟΟ (em negrito) do alfabeto grego. Obviamente

,0 , , 0 3VE === ΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟ o

Teor. 1:

ΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙ ==⇔= MM 0M , (04).

Pois, escrevendo ΙΙΙΙ nas várias formas N-nomiais (01), teríamos, nos diferentes membros das expressões de 0ΙΙΙΙ, ou ΙΙΙΙ0, diádicos todos iguais ao diádico nulo (com todos os antecedentes ou todos os conseqüentes nulos). Reciprocamente, se MΙΙΙΙ = ΙΙΙΙM = ΟΟΟΟ, todos os antecedentes ou todos os conseqüentes de MΙΙΙΙ = ΙΙΙΙM são nulos. Como os antecedentes e os conseqüentes de ΙΙΙΙ não são nulos, deve ser M = 0.

Teor. 2: :0)( ,0)(,, 321

321, ii ≠≠∀ eeeaaaeaφφφφ

,

33

32

31

3

23

22

21

2

13

12

11

1

321

ΟΟΟΟ

φφφφφφφφφφφφ

φφφφ

=

.e.ae.ae.ae

.e.ae.ae.ae

.e.ae.ae.ae

aaa

(05)

desde que os vetores da última coluna sejam os antecedentes nas díades a serem formadas.

Pois, considerando (011) e a identidade evidente:

,))()(())(( ii321

321321

321 a.aeeeaaaeeeaaa φφφφφφφφ=

Page 108: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

88 § 02-Díades e diádicos: conceitos e operações fundamentais.

II,§ 02.09

pode deduzir-se, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

].)(+)(+)[(]))([(

])(+)(+)()[(

))((

321213132ii321

321213132321

321321

aaaaaaaaa.e.eeee

aaa.aaa.aaa.eee

eeeaaa

×××=

=×××=

=

φφφφ

φφφφφφφφφφφφ

φφφφ

Mas,

))(())(())(())((213132321

ii321

ee.eee.eee.ee.eeee ×+×+×= φφφφφφφφφφφφφφφφ ;

logo, aplicando ((05), § 03.03,I):

+++

=

))((

))((

32

31

3

22

122

13

33

12

321

33

23

32

22

1

321321

a.ae.ae

.ae.aea

.ae.ae

.ae.aea

.ae.ae

.ae.ae.e

eeeaaa

φφφφ

φφφφ

+ + + +( )( ...) ( )( ...)φφφφ φφφφ.ee .a e .a

e .a e .aa .e

e .a e .a

e .a e .aa

323

21

3

12

1

13

12

13

22

23

1 .

Os conseqüentes das três díades no segundo membro podem ser representados pelos determinantes

. e , 3

22

21

2

31

21

11

321

33

23

13

31

21

11

321

33

23

13

32

22

12

321

.ae.ae.ae

.ae.ae.ae

aaa

.ae.ae.ae

.ae.ae.ae

aaa

.ae.ae.ae

.ae.ae.ae

aaa

Conforme ((062),§ 03.03,I), (a1a2a3)(e1e2e3) é o co-fator de φφφφ em (05); e os determinantes simbólicos, antes referidos, são os complementos algébricos dos demais elementos da quarta coluna de (05). Assim, a expressão a que chegamos é o desenvolvimento do determinante (05), segundo Laplace, pelos elementos da quarta coluna.

Diádicos opostos

Consideremos, agora, dois diádicos φφφφ e ψψψψ que transformam um vetor qualquer, v, em vetores opostos, isso é,

,w.v=φφφφ e ψψψψ.v w= − .

Page 109: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 89

Poliádicos - Ruggeri

Se os ei são independentes (i = 1,2,...,N) e eiai e eib

i são as reduções N-nomiais de φφφφ e ψψψψ,

escrevemos: e a . v e b vii

ii( ) = −( ).. Então, necessariamente, a . v b .vi i = − para todo i,

isso é: a bi i .= − Logo:

Se dois diádicos, reduzidos a uma forma N-nomial com antecedentes (conseqüentes) independentes, transformam por multiplicação pontuada posterior (anterior) um mesmo vetor em vetores opostos, seus conseqüentes (antecedentes) são vetores opostos.

É evidente que a recíproca desta propriedade é verdadeira e que os mesmos

resultados poderiam ser obtidos caso os diádicos fossem reduzidos a forma N-nomial com conseqüentes independentes. Diádicos que transformam um mesmo vetor em vetores opostos são denominados diádicos opostos. É evidente, em vista da definição de multiplicação de diádico por número real (§

02.03), que se dois diádicos são opostos um deles é igual ao outro multiplicado por (-1).

Assim, se ψψψψ é oposto de φφφφ, ψψψψ = (-1)φφφφ, isso é, a todo diádico φφφφ corresponde um único oposto,

e o representamos por - φφφφ. Então:

− = − ( 1)φφφφ φφφφ, (06); logo:

( ) ( ) , ( ) ( ) e ( ( 1) ,E E V V 3N

3− = − − = − − = −φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ) (07).

§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS.

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

Numa redução N-nomial de um diádico com antecedentes (conseqüentes) independentes, os conseqüentes (antecedentes) poderão ser ou não independentes. Um

diádico é dito completo (ou não degenerado) quando, reduzido a uma forma N-nomial, tem antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes; ele é dito incompleto em caso contrário.

Consideremos a forma N-nomial φφφφ = eibi (i = 1,2,...,N) em que, por hipótese, os

antecedentes são independentes. Se os bi não forem independentes eles serão, necessariamente: coplanares no E3, paralelos no E2, e nulo no E1. No E3 dois casos podem acontecer relativamente aos conseqüentes (Fig.03.01):

1°)- pelo menos um deles é nulo. Geometricamente, ilustraríamos esse caso com a Figura (a), em que o plano de b1 e b2 é o plano dos três vetores; ou em que tal plano é

Page 110: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

90 § 03 - Diádicos Completos e Incompletos

II,§ 03.01

qualquer plano que contenha a reta suporte de b1 (Figura (b)); ou, que tal plano é indeterminado (o diádico correspondente é o diádico nulo).

2º)- Todos eles são não nulos (Figura (c)), com dois subcasos: dois dos conseqüentes são paralelos, (Figura (d)), ou os três paralelos, (Figura (e)). Neste último caso os vetores pertencem a qualquer um dos infinitos planos que contenham a direção comum a esses vetores. No caso 1º), Figura 03.01(a), b3 = o e o diádico fica reduzido a forma binomial φφφφ = e1b

1+e2b2 uma vez que e3b

3 = ΟΟΟΟ (díade nula). Se dois dos conseqüentes são nulos, b2 = b3 = o, por exemplo, então φφφφ fica reduzido à forma monomial: φφφφ = e1b

1. No caso 2º), em que os três conseqüentes são não nulos, podemos expressar um

deles em função dos outros dois, escrevendo, por exemplo, b b b3 3 1 3 2B + B= ′ ; logo:

φφφφ = ′ = + + + ′e b e b e b b e e b e B e b11

22

33 1 3 3+ + (B + B B2

1 31

23

32) ( ) ( ) .

Pondo

e e e e e e13

3 1 23

3 2+ B e + B= ′ ′ = ′ ,

temos, finalmente:

φφφφ = ′ ′e b e b11

22+ ,

isso é, φφφφ fica reduzido a uma forma binomial. Caso dois dos bi sejam paralelos, por exemplo b b2

3|| , podemos escrever: b3 =

B3b2 e, então,

φφφφ = = + +e b e b e b e b e e b1 2 11

2 321 2

33 2 3+ + (B B) ( ) ,

isso é, φφφφ fica reduzido à forma binomial.

Page 111: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 91

Poliádicos - Ruggeri

Finalmente, é óbvio que se todos os conseqüentes são paralelos, o diádico pode ser reduzido à forma monomial. Analogamente, no E2 dois casos podem acontecer, relativamente aos conseqüentes de uma redução binomial do diádico:

1º) ao menos um dos vetores é nulo: φφφφ = e1b1+e2b

2 com b2 = o. Então, obviamente, o diádico fica reduzido à forma monomial φφφφ = e1b

1;

2º) os conseqüentes são não nulos, mas paralelos. Nesse caso podemos escrever: b1 = B1b e b2 = B2b; e φφφφ = (B1e1+B2e2)b = eb, sendo e = B1e1+B2e2. Assim, também nesse caso, o diádico fica reduzido a uma forma monomial.

Definições: No E3, diádicos redutíveis à forma binomial denominam-se planares; no E3

ou no E2, os diádicos redutíveis à forma monomial denominam-se lineares. Quando um diádico está reduzido a uma forma não passível de maior redução no espaço a que pertence, dizemos que ele está representado em redução mínima ou em forma mínima.

Assim, no E3, a forma mínima de um diádico planar é a binomial e a de um diádico linear a monomial. No E2 a forma mínima de um diádico linear é a monomial.

Teor. 1: A todo diádico planar no E3 está associado um e um único par de planos; a todo diádico linear no E3 ou no E2 está associado um e um único par de direções.

Seja, no E3, φφφφ = eib

i uma redução trinomial do diádico φφφφ com antecedentes independentes, e β o plano dos seus conseqüentes. Este diádico transforma, por multiplicação pontuada posterior, qualquer vetor r de E3 no vetor r ′ do plano β (Figura

03.02), pois, ′ = =r r. r.e bφφφφ ( ) .ii

Logo, como o transformado de qualquer outro vetor v , v', é ainda um vetor do plano β, concluímos que, nestas condições (multiplicação pontuada posterior e redução com antecedentes independentes), o diádico φφφφ transforma qualquer plano do espaço no plano β.

Page 112: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

92 § 03 - Diádicos Completos e Incompletos

II,§ 03.01

Suponhamos, agora, que a redução de φφφφ seja φφφφ = r ici, com os r i independentes. Então

o plano definido pelos mesmos vetores r e v, anteriormente considerados, deve ser transformado no plano β ' dos seus novos conseqüentes c1, c2 e c3. Mas como a transformação regida por φφφφ é unívoca, o transformado do plano de r e v é um só, isso é, β e β ' são confundidos ou paralelos. Se fizéssemos a redução trinomial do mesmo diádico φφφφ, agora com conseqüentes

independentes e quaisquer - operação sempre possível (Teor.1, § 02.07) - , os antecedentes de φφφφ deveriam ser coplanares porque, por hipótese, φφφφ é planar. Procedendo como anteriormente poderíamos comprovar que esse plano tem orientação única.

Então, não obstante serem, correspondentemente, os antecedentes (dois pares) de duas reduções binomiais arbitrárias de um mesmo diádico, vetores diferentes, esses vetores são coplanares; o mesmo ocorre com os conseqüentes. Logo, a todo diádico planar estão associados dois planos, em geral distintos.

A demonstração da segunda parte do teorema, no E3 ou no E2, é análoga a primeira.

Definições: No E3, os planos associados a um diádico planar e a interseção desses planos são ditos, respectivamente, os planos e a direção desse diádico; se esses planos são paralelos o diádico é dito uniplanar, se ortogonais, ortoplanares. No E3, ou no E2, a direção e o plano associados a um diádico linear são ditos a direção e o plano desse diádico, respectivamente; se o antecedente e o conseqüente de um diádico linear são paralelos o diádico é dito unilinear, se ortogonais, ortolineares.

No E2, todos os diádicos são uniplanares; no E1 todos os diádicos são unilineares.

Corol. 1: Todo diádico planar (gerado do E3) transforma qualquer figura (uni, bi ou tridimensional) numa figura de um dos seus planos.

Corol. 2: Todo diádico linear (gerado do E3 ou de um E2) transforma qualquer figura (uni, bi ou tridimensional) em pontos ou segmentos de reta de uma de suas direções.

Não é demais observar que, tanto aos diádicos planares (do E3), quanto aos lineares (do E3 e do E2), estão associados, respectivamente, uma direção única (interseção de dois planos) e um plano único (união de duas direções); geralmente, entretanto, essas direções não têm haver com as direções dos vetores desses diádicos. Por outro lado, quando, no E3, um diádico é uniplanar, o seu vetor é ortogonal ao seu plano; quando, no E3, um diádico é linear, o seu vetor é ortogonal ao seu plano, e quando ele é unilinear o seu vetor é o vetor nulo.

Exercício: Demonstre que a direção do diádico planar φφφφ (gerado do E3) é paralela ao vetor

φφφφφφφφ .V .

Page 113: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 93

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 2: Todo diádico completo transforma vetores independentes em vetores independentes; reciprocamente, se um diádico transforma vetores independentes em vetores independentes, ele é completo.

Com efeito, se φφφφ é completo e os ai são independentes, então, sendo bi = φφφφ.ai, tem-se: φφφφ = bia

i, conforme ((01),§ 02.04). Mas se φφφφ é completo, os seus antecedentes são independentes (os ai já o são, por hipótese). Reciprocamente, se um diádico φφφφ transforma os vetores independentes ai nos vetores independentes bi, isso é, bi = φφφφ.ai, então φφφφ = bia

i e φφφφ é completo.

Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja completo é que transforme vetores independentes em vetores independentes.

Corol. 2: Uma CNS para que um diádico seja completo é que seu terceiro seja diferente de zero.

,0 completo 3 ≠⇔ φφφφφφφφ (01).

Teor. 3: Se φφφφ é completo e φφφφ.r = o, então, r = o:

, e 03 oror. =⇒=≠ φφφφφφφφ (02).

Escrevamos o diádico completo, φφφφ, numa qualquer forma N-nomial: φφφφ = eibi com os

ei independentes. Então, também por hipótese, φφφφ.r = ei(bi.r) = o. Como os ei são

independentes, bi.r = 0 para todo i, isso é, r = o porque r não poderia ser ortogonal a N vetores independentes simultaneamente.

Teor. 4: φφφφ≠ΟΟΟΟ, r≠o e φφφφ.r = o ⇒ φφφφ é incompleto, (03).

Reduzamos o diádico φφφφ à forma N-nomial com conseqüentes ei independentes. Deduzimos, então: φφφφ.r = ai(e

i.r) = o. Ora, os coeficientes ei.r na combinação linear dos vetores ai não podem ser simultaneamente nulos porque os vetores ei são independentes e r é qualquer. Logo (Corol.3, Teor.4, § 03.02, I) os ai são dependentes e φφφφ é incompleto.

Teor. 5:

ai independentes e φφφφ.ai = o (i = 1,2,...,N) ⇒ φφφφ = ΟΟΟΟ, (04). Pois teríamos de ((01),§ 02.04): φφφφ = oa1 se N = 1, ou φφφφ = oa1+oa2 se N = 2, ou φφφφ = oa1+oa2+oa3 se N = 3, isso é, φφφφ = ΟΟΟΟ.

Teor. 6: Se φφφφ é completo, então para qualquer r≠o, tem-se φφφφ.r≠o e r.φφφφ≠o; ou,

, e : ,03 or.o.ror ≠≠≠∀≠ φφφφφφφφφφφφ (05).

Page 114: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

94 § 03 - Diádicos Completos e Incompletos.

II,§ 03.02

Escrevendo φφφφ = eibi, com 0)( 321 ≠eee , tem-se φφφφ.r = ei(b

i.r). Ora, ao menos um dos

números entre parênteses é não nulo porque o vetor não nulo, r , não poderia ser ortogonal aos três vetores independentes bi simultaneamente; logo o.r ≠ φφφφ . Analogamente

comprova-se que o.r ≠φφφφ .

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. Consideremos, no E3 , dois diádicos completos, φφφφ e ψψψψ, escritos, por exemplo, nas formas trinomiais seguintes (com antecedentes independentes)

φφφφ ψψψψ= = =e a e pi

ii

i e (i 1, 2, 3), (01),

com a condição de que os pi, não nulos, sejam paralelos aos correspondentes ai, isso é,

p a p a p a1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3X X X (X , X , X= = = ≠, , , 0), (011).

Então podemos dar a ψψψψ a nova representação:

ψψψψ = =e ai

i iX (i 1, 2, 3)42, (012).

Aplicados os ai e os pi co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, suas extremidades A1, A2, A3 e P1, P2, P3 definirão os triângulos espacialmente homológicos, A1A2A3 e P1 P2 P3. O centro dessa homologia é O e seu eixo é a interseção dos planos dos triângulos, interseção esta que contém, ademais, os pontos de interseção B1, B2 e B3 dos lados homólogos (A2A3, P2 P3), (A3A1, P3 P1) e (A1A2, P1 P2), respectivamente (Fig. 03.03).

Explicitando os vetores ai em (011) e substituindo em (01), vemos que as representações de φφφφ e de ψψψψ são análogas, porem com coeficientes recíprocos:

φφφφ = e pi i

i

X

1, (013).

42 Notar que quando dois índices aparecem repetidos num mesmo nível mas seguidos do mesmo índice em nível diferente, fica estabelecida a somatória convencionada; e apenas nestes caso. Por isso, as expressões (01

1)

poderiam ser escritas na forma 3) 2, 1,(i iiXi == ap .

Page 115: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. 95

Poliádicos - Ruggeri

Definição: (diádicos homológicos) Diádicos como φφφφ e ψψψψ, cujos conseqüentes satisfazem (011), serão ditos reciprocamente homológicos (ou, simplesmente, homológicos). Escritos os diádicos nas formas (01)1 e (012), diremos que ψψψψ é homológico com φφφφ e tem coeficientes de homologia Xi; e escreveremos ψψψψ = Homφφφφ.

Nota: Quando não houver perigo de confusão escreveremos, simplesmente φφφφψψψψ Hom= e

ψψψψφφφφ 1Hom −= para representar a reciprocidade homológica dos diádicos. Devemos notar, entretanto, neste caso, que a substituição da segunda igualdade na primeira dá:

HomHom 1− ≠ψψψψ ψψψψ.

Segue-se das considerações geométricas estabelecidas que, a dado par de diádicos homológicos, é possível associar, de modo unívoco, o diádico χχχχ que, escrito em forma

trinomial com antecedentes ei, é χχχχ = e bi

i (i=1, 2, 3), os vetores bi sendo co-iniciais em O e

tendo extremidades Bi sobre o eixo da homologia (portanto, colineares).

Definição: (diádico término colinear) Um diádico que, escrito em forma trinomial, tem por vetores motivos, vetores término colineares quando co-iniciais, é dito término colinear.

É geometricamente evidente que resultados análogos poderiam ser obtidos fazendo-se a projeção do sistema espacial de triângulos homológicos da Figura 03.03 sobre um plano arbitrário, paralelamente a uma direção também arbitrária do espaço. Nesse caso, os diádicos homológicos φφφφ e ψψψψ, antes completos, agora devem ser considerados dados por expressões idênticas às (01), com a condição se serem ambos planares, seus conseqüentes satisfazendo (011). Mantêm-se as mesmas denominações e notações já estabelecidas no caso da homologia espacial. Particularmente, o diádico término colinear associado com essa homologia tem seu plano coincidente com o plano da mesma. Exercícios:

1) – Teorema da invariância da homologia: A homologia de dois diádicos homológicos independe de suas representações N-nomiais.

2) - Se ψψψψ=eiXiai é homológico de φφφφ = eia

i com (e1e2e3)≠0 e (a1a2a3)≠0, então o eixo da homologia é paralelo ao vetor

321321321321 )XX(X)XX(X)XX(X aaaa −+−+−= ;

e este é perpendicular ao vetor 321 aaa ++ .

*

No caso particular em que os coeficientes da homologia (plana ou espacial) de dois diádicos são todos iguais, os diádicos correspondentes são paralelos; os triângulos que lhes correspondem são semelhantes e têm planos paralelos.

Page 116: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

96 § 03 - Diádicos Completos e Incompletos.

II,§ 03.03

Propriedades.

1°) - O transposto do homológico de um diádico é igual ao homológico do transposto desse diádico:

)Hom()Hom( TT φφφφφφφφ = , (02).

Pois

(Hom X ) X e Hom( ) X (i 1, 2, 3)Ti

i i T i ii

T i ii

φφφφ φφφφ) (= = = =e a a e a e .

2°) - O terceiro do homológico de um diádico é igual ao produto do terceiro desse diádico pelos coeficientes de suas homologias:

( )Hom X X X1 2 3φφφφ φφφφ3 3

= , (03).

Pois,

))((XXX)XXX)(()X()(Hom 321321

3213322113213

iii3 aaaeeea.aaeeeae =×==φφφφ .

3°) - Se dois diádicos são paralelos (§ 02.03), seus homológicos são igualmente paralelos:

ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ= ⇔ =K Hom K Hom , (04). Pois

Hom(K K X K( X ) KHom(i

ii

i ii

i ii

ie a e a e a e a) ).= = =

⇒⇒⇒⇒ § 03.03 - Diádicos de Moreira.

Quadrângulo associado.

Consideremos um feixe qualquer de três planos α1), α2) e α3), de charneira e), Figura 03.04. Podemos escolher de uma (múltipla) infinidade de maneiras dois tercetos de vetores não coplanares, ,, 321 eee e , , a a a1 2 3 , tais, que para i=1,2,3, ei e ai pertençam

ao plano αi). Com esses tercetos podemos constituir o diádico, digamos completo43,

M e a M= = ≠i

i (i 1 03

,2,3), , (01).

43 Nada impede que esse diádico possa ser planar.

Page 117: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Diádicos de Moreira. 97

Poliádicos - Ruggeri

Decorre dessa construção que os vetores das díades de M são coplanares, isso é,

0)()()( 33

22

11

=×××× ae.aeae , (02).

Com efeito, pois esses vetores são ortogonais a planos que têm uma reta comum. O plano π), ao qual são paralelos os vetores das díades de M, é, evidentemente, ortogonal a e). É evidente, ainda, que MV (em geral não nulo) também é paralelo a π). Em resumo: se os planos das díades de um diádico completo formam um feixe, o vetor (em geral não nulo) desse diádico e os vetores de suas díades são paralelos a um mesmo plano que é ortogonal à charneira do feixe.

Os suportes dos vetores constituintes de cada díade de M haverão de se interceptar quando os tercetos de antecedentes e conseqüentes forem aplicados co-inicialmente em pontos arbitrários, D* e D, respectivamente, da charneira e) do feixe a ele associado. Se A, B e C são as interseções de e1 com a1, de e2 com a2 e de e3 com a3, respectivamente, resulta que o plano (ABC) é necessariamente paralelo ao plano π).

Representemos no plano (ABC) os pontos: HA, de interseção do plano (e1,a

1) com BC, HB de interseção de (e2,a

2) com CA, HC de interseção de (e3,a3) com AB, e H,

interseção de DD* com (ABC).

Page 118: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

98 § 03 - Diádicos Completos e Incompletos

II,§ 03.03

Definições: (Quadrângulo) Quadrângulo44, é a figura formada por 4 pontos quaisquer, de que são os vértices, e os 6 segmentos que definem, de que são os lados.

Constatamos, então, na representação geométrica do diádico M e a= i

i , Fig. 03.05, a

existência de um quadrângulo (no caso, um tetraedro), DABC, e três quadrângulos planos, DD*AH A, DD*BHB e DD*CHC com um par de vértices em comum. No quadrângulo ABCD, os lados que não possuem vértices comuns, ditos lados opostos, são três pares: DA e BC, AB e CD, CA e BD.

Assim, ao suporte de a1 corresponde o suporte (oposto) de 11

ae × etc. Ora, 11

ae ×

(que é paralelo a BC) é perpendicular a e1 (que é paralelo a D*A) e a a1 (que é paralelo a

DA); o mesmo ocorre com 22

ae × em relação a e2 e a a2 etc. O quadrângulo é, por isso,

um quadrângulo especial, cujos lados opostos (de comprimentos diferentes em geral e variáveis com DD*) são ortogonais; denomina-se um ortoquadrângulo na nomenclatura de Moreira. Os pontos HA, HB e HC são, assim, os pés das alturas do triângulo ABC, ou seja, H é o ortocentro desse triângulo. A escolha de novos pontos D e D* sobre a reta e) implica a formação de novos quadrângulos, todos de lados paralelos aos lados do primeiro. Como os antecedentes e os conseqüentes do diádico são quaisquer, o ortoquadrângulo que lhe é associado, é um ortoquadrângulo qualquer.

44 Conforme Moreira, L. C. de A., Fundamentos da Geometria dos Quadrângulos, Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1960, p. 95 a 126.

É óbvio que poderíamos constituir diádicos M tais que um dos tercetos que definem o feixe fosse constituído de vetores coplanares, ou ambos os tercetos fossem coplanares e seus planos distintos, ou, mesmo, confundidos. Ficará a cargo do leitor a discussão geométrica dessas situações particulares, casos em que M seria planar ou uniplanar.

Definição: (diádico de Moreira) Denominaremos diádico de Moreira todo diádico cujos planos de suas díades constituam um feixe.

Assim, aos diádicos de Moreira estão sempre associados um eixo e) e um plano π), ortogonais, que serão denominados eixo e plano desse diádico. Deve ser observado, porém, que diferentes diádicos de Moreira podem ter um mesmo eixo e um mesmo plano.

Quadrângulos transpostos.

Exploraremos um pouco mais o assunto no § 08 06. Por ora podemos deduzir que

se certo diádico é um diádico de Moreira, o seu transposto também é.

Se aplicarmos os antecedentes e os conseqüentes de MT nos mesmos pontos D e D* de aplicação dos antecedentes e conseqüentes de M, o novo quadrângulo formado tem seus vértices simétricos dos vértices do primeiro em relação ao ponto médio de DD*. Os diádicos M e M T têm, pois, eixos coincidentes e planos paralelos; poderíamos denominar o quadrângulo associado a M T o quadrângulo transposto ou conjugado do primeiro. Devemos observar que qualquer plano e a reta a ele ortogonal constituem, respectivamente, o plano e o eixo de uma representação do diádico unidade.

Page 119: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01- Definição e propriedades. 99

Poliádicos - Ruggeri

Nota : Esses conceitos generalizam aqueles apresentados no § 03.03,I para sistemas de vetores recíprocos, sendo fácil detectar a correspondência existente entre os vários conceitos envolvidos. Assim, por exemplo, qualquer diádico de Moreira está para o seu ortoquadrângulo assim como o diádico unidade está para o quadrângulo ortocêntrico. Deve ser notado também que qualquer plano e qualquer reta podem constituir o plano e o eixo do diádico unidade.

⇐⇐⇐⇐

§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS.

§ 04.01 - Definição e propriedades.

Chama-se soma de dois diádicos φφφφ e ψψψψ, e representa-se por φφφφ+ψψψψ (ler: φφφφ mais ψψψψ), o diádico cujas díades são as de φφφφ e as de ψψψψ. Assim, se φφφφ = ai b

i e ψψψψ = cj d j, para i e j quaisquer, tem-se:

φφφφ ψψψψ+ + +...+ + +....11= a b a b c d c d2

21

12

2 A soma de dois diádicos é, pois, a soma simbólica de todas as díades desses diádicos. A adição de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar a soma desses diádicos; ela é, obviamente, extensível a mais de dois diádicos. Como, para qualquer vetor r ,

( + +... ) ( + +... ) ( ) +ii

ii

ii

iiφφφφ ψψψψ . r a b c d . r a b . r c d . r= = +( ) ... ,

vemos que a adição de diádicos goza das mesmas propriedades que a adição de vetores45. Por outro lado, como é sempre possível, com diádicos gerados do EN, reduzir

qualquer diádico a uma forma N-nomial (com antecedentes ou conseqüentes

independentes), vemos que a realização de uma redução N-nomial similar dos diádicos

parcela (com os mesmos antecedentes, por exemplo) pode conduzir-nos rapidamente à determinação do diádico soma. Assim, por exemplo,

se e , então, + ( + i Nii

ii

ii iφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= = = =e b e c e b c), ( ,2, ... , ),1 (01).

Nestas condições, demonstram-se facilmente as seguintes

Propriedades.

1º)- É sempre possível e unívoca.

Com efeito, dados dois diádicos é sempre possível reduzi-los a forma N-nomial com antecedentes (ou conseqüentes) independentes; além disso, a soma dos conseqüentes (ou antecedentes) é também possível e unívoca.

45 Essa operação de adição juntamente com a de multiplicação de diádico por número real (§ 02.02) e algumas de suas propriedades permitem enquadrar o conjunto dos diádicos como um "espaço vetorial no corpo dos números reais" em linguagem da Álgebra Linear.

Page 120: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

100 § 04- Adição de diádicos.

II,§ 04.01

2º)- É comutativa e associativa:

φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ+ + ,=

φφφφ ψψψψ λλλλ φφφφ ψψψψ λλλλ+ + +... ( + ) + +...,= (02), o que é evidente.

3º)- Chama-se diferença de dois diádicos φφφφ e ψψψψ, e representa-se por φφφφ - ψψψψ, o diádico que se obtém somando ao primeiro o oposto do segundo.

Esta operação é, também, sempre possível e unívoca, podendo ser estendida a vários

diádicos. Tem-se também, ,ΟΟΟΟφφφφφφφφ =− (03),

isso é, a diferença de dois diádicos iguais é o diádico nulo.

4º)- A operação é distributiva em relação à multiplicação por número:

M( + +...) M + M +...,φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= (04), porque:

M( + +... ) M[ ( + +... )] (M

M M M M M M .

ii i

ii i

ii i

ii

ii

φφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ

= = + + =

= + + = + + = + +

a b c a b c

a b c a b a c

)( ... )

( ... ) ( ) ( ) ... ...

5º)- A multiplicação pontuada de diádico por vetor é distributiva em relação à adição de diádicos:

( + +...) + +...,φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. r . r . r= (05). É evidente a demonstração.

6º)- O diádico transposto de uma soma algébrica de diádicos é igual à soma algébrica dos transpostos dos diádicos parcela:

( + +... ) + +... ,T T Tφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= (06).

( + +... ) [ ( + +... )]Ti

i i T i ii

ii

ii

T Tφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= = + + = + + = + +a b c b c a b a c a( ... ) ... ...

7º)- O escalar e o vetor de uma soma algébrica de diádicos são respectivamente iguais à soma algébrica dos escalares e dos vetores dos diádicos parcela:

......)( ++=++

oooψψψψφφφφψψψψφφφφ , (07).

Page 121: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 101

Poliádicos - Ruggeri

Com efeito, reduzindo os diádicos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes, tem-se (com denotando E ou V):

.........)(

...)]([...)++(

ii

ii

iii

iii

++=++=++=

=++=

oo

oo

ooo ψψψψφφφφ

ψψψψφφφφ

cabacba

cba

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva.

Sejam s1, s2, ..., N vetores não simultaneamente nulos que, em relação a uma base qualquer e* de EN, são escritos na forma:

s s .e e s .e s .ei i jj

i j j i( ) com , (i, j 1,2,...,N).= = =

Existe sempre (Corol.1,Teor.1,§ 02.04) um diádico S que transforma os vetores da base

recíproca de e* nos vetores si, isso é, se si = S.ei, então, em forma N-nomial, S = siei. Para qualquer r,

S. r s e . r s .e e . r e= =ii

i ji j( ) ( ) ,

STj

j j ii j( ). r e s . r s .e r. e e= = ( ) .

Por serem si.ej = sj.ei para todo i e j, resulta da definição de igualdade de diádicos que S=ST. Existem, pois, diádicos que são iguais aos seus respectivos transpostos;

denominam-se diádicos simétricos e são representados genericamente por S. O diádico nulo e o diádico unidade são exemplos particulares de diádicos simétricos.

Similarmente, seja a N-pla de vetores não simultaneamente nulos

jjii )( e.eaa = com ijji .ea.ea =− (i,j=1,2, ..., N).

Existe sempre um diádico, digamos A, que transforma os vetores da base e* nos vetores ai; logo A = aiei. Então:

A. r a e . r a .e e . r e= =ii

i ji j( ) ( )

e

ATj

j j ii j( ) ( ). r e a . r a .e e . r e= = .

Logo, por ser - ai.ej = aj.ei e lembrando a definição de igualdade de diádicos e diádicos

opostos: A = - AT. Existem, pois, diádicos que são iguais aos opostos dos seus respectivos

Page 122: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

102 § 04- Adição de diádicos.

II,§ 04.02

transpostos; são denominados diádicos anti-simétricos e representados geralmente por

A46. O diádico nulo é um exemplo particular de diádico anti-simétrico para qualquer N.

Teor. 1: A soma e a diferença de qualquer diádico com o seu transposto são,

respectivamente, diádicos simétrico e anti-simétrico.

Com efeito, pois pela propriedade 6ª (§ 04.01) e considerando ((03),§ 02.05), temos, com correspondência de sinais:

( ) ( );T T T TT T Tφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ± = ± = ± = ± ± isso é,

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ± = ± ±T T T( ) , (01), donde a tese.

Teor. 2: Qualquer diádico pode ser decomposto de modo único na soma de um

diádico simétrico com um anti-simétrico. Da identidade

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= −1

2( + ) +

1

2( ),T T (02),

e do teorema anterior, resulta, logo, comprovada a possibilidade da decomposição. Demonstremos que ela é única. Pondo

′ = + ′′ = −φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ1

2

1

2( ) ( ),T T e

temos: φφφφ = φφφφ'+φφφφ''. Se existissem dois outros diádicos ψψψψ' e ψψψψ'' tais, que

φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ= ′ ′′ ′ = ′ ′′ = − ′′+ com e ,T

T

então poderíamos escrever:

, com , e + ΟΟΟΟχχχχχχχχφφφφψψψψχχχχφφφφψψψψ ≠−′′=′′′=′

para que φφφφφφφφφφφφψψψψψψψψ =′′+′=′′+′ . Sendo ′ ′′ψψψψ ψψψψ e , respectivamente, simétrico e anti-simétrico, deduzimos:

( + ) + e ( ) ( ).T T′ = ′ ′′ − = − ′′ −φφφφ χχχχ φφφφ χχχχ φφφφ χχχχ φφφφ χχχχ

46 A simetria e a anti-simetria dos diádicos aqui apresentadas são "internas". Oportunamente (§02.05,III) serão apresentadas as "externas".

Page 123: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 103

Poliádicos - Ruggeri

Mas sendo φφφφ′ simétrico e φφφφ ′′ anti-simétrico, deduzimos também, aplicando propriedade da

adição:

. é, isto , e TT ΟΟΟΟχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ ==−=

Logo: ′ = ′ψψψψ φφφφ e ′′ = ′′ψψψψ φφφφ , e a decomposição é única.

Definições: A identidade (02) representa a decomposição aditiva do diádico φφφφ. Nesta decomposição de φφφφ, o diádico parcela (φφφφ+φφφφT)/2, simétrico, é dito a parte

simétrica de φφφφ; o diádico (φφφφ - φφφφT)/2, anti-simétrico, é dito a parte anti-simétrica de φφφφ. Esses diádicos serão representados, respectivamente, por φφφφ sim e φφφφ ant.

Então:

φφφφ φφφφ φφφφ= +sim ant, com φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφsimT

antT1

2( + ) e 1

2( ),= = − (03).

Corol. 1: Se um diádico é simétrico, a sua parte anti-simétrica é nula, e reciprocamente.

Corol. 2: Se um diádico é anti-simétrico a sua parte simétrica é nula, e reciprocamente.

Teor. 3:

Os diádicos anti-simétricos, ΑΑΑΑ, são nulos no E1, unilineares no E2. No E3 eles são uniplanares e, particularmente,

r.Ar.AA.rArr 222 : T

V −===×∀ , (04),

isso é, o vetor de um diádico anti-simétrico é perpendicular ao seu plano.47

No E1, A = ae = - ea implicam a.e = 0; como a é paralelo a e: ou a = o, ou e = o e A

é o diádico nulo. No E2, A deveria ser ao menos linear, logo, da forma A = ae = - ea com

a≠o e e≠o. Mas, para qualquer r de E2: A.r = a(e.r) = - e(a.r), isso é, a e e são paralelos; logo A é unilinear. Por ser A = - AT, A3 = (-1)N A3, isso é, ΑΑΑΑ3 = 0 para N=1, ou 3. Então, no E3, A deve ser ao menos planar porque A3=0. Com efeito, por ser A=-AT tem-se, lembrando ((06), § 02.09) e ((07), § 02.08): ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ3 3

33 31= − = − = −( ) ( )T ; logo, no E3, A3=0. Então

47 Dispensam-se considerações aos vetores de diádicos anti-simétricos em E1 e E2 porque são sempre nulos.

Page 124: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

104 § 04- Adição de diádicos.

II,§ 04.02

esse diádico pode ser escrito na forma A=ab+cd. Mas devendo ser, também, A=-ba-dc, resulta que os planos (a,c) e (b,d) são coincidentes e ΑΑΑΑ é uniplanar. Então:

,c.rda.rbd.rc+b.raA.rr )()()()( : −−==∀

Mas dr.ccr.dar.bbr.adcrbarAr )()()()()()(

V−++−=××+××=× ,

donde, considerando a igualdade anterior

A.rr.Ar.Acr.dar.bAr 222])()[(2 TV

=−==+=× ,

o que comprova (041). Analogamente, podemos escrever:

r.Adr.cbr.aAr 2])()[(2V

−=+−=× .

Como r é qualquer, ΑΑΑΑV é perpendicular a qualquer combinação linear de a e c e de b e d; isso é, perpendicular ao plano do diádico.

Corol. 1:

ΟΟΟΟΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ =⇔=−= e VT o .

Pois, por (04) seria or. =ΑΑΑΑ para todo e qualquer r , ou seja, conforme (03), § 02.09, ΟΟΟΟΑΑΑΑ = . A recíproca é evidente pois o diádico nulo é anti-simétrico e tem vetor nulo.

Corol. 2: Todo diádico anti-simétrico gerado do E3 tem escalar e terceiro nulos, e vetor não nulo:

≠==

⇒−=oV

3

ET ,0

,0

AAA

AA (041).

Que o vetor de A é não nulo é evidente porque, se não fosse, o Corol. 1 garantiria ser

esse diádico o diádico nulo; o que é contra a hipótese. Por ser A = - AT, deduzimos,

igualando os escalares e os terceiros de ambos os membros: AE = - ATE e A3 = - (AT )3.

Mas, segundo ((03) e (07),§ 02.08),

ATE = AE e A3 = (AT)3; logo AE = 0 = A3.

Corol. 3:

∀ ⇒ =r r. . r: = - TΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ 0, (042).

Pois, sendo r. . r r. . rΑΑΑΑ ΑΑΑΑ= − T , temos, evidentemente:

r. . r r. r. r. . r r. . rΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ= − = − = −( ) ( ) .

Page 125: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 105

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 4: Todo diádico simétrico tem vetor nulo; reciprocamente, se um diádico tem vetor nulo ele é simétrico.

Pois se S=ST, então, SV=(ST)V, isso é, lembrando ((031),§ 02.08), SV=-SV, ou SV=o.

Reciprocamente, por hipótese SV=o. Mas, para qualquer diádico φφφφ, (φφφφT)V=- φφφφV; logo:

(ST)V=-SV=o=SV, ou seja, lembrando ((07), 04.01): (ST-S)V=o. Mas o diádico ST-S é anti-

simétrico (Teor. 1); e tendo vetor nulo, o Corol. 1 do Teor. 3 garante ser ST-S=ΟΟΟΟ, ou seja, ST=S.

Corol. 1: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo:

φφφφ φφφφ φφφφ= ⇔ =T

V

o (05).

Logo (§ 03.03):

todo diádico simétrico é um diádico de Moreira. Exercício: Caracterizar o diádico de Moreira associado a um diádico simétrico.

Corol. 2: No E3 todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear). No E2 todo diádico linear simétrico é unilinear.

Com efeito, se φφφφ é simétrico, φφφφV=o pelo corolário anterior; sendo planar podemos

escrevê-lo, em redução mínima, φφφφ=miai (i=1,2). Logo, oam =× i

i , igualdade que implica serem coplanares os antecedentes m1, m2 e os conseqüentes a1, a2 de φφφφ. Então φφφφ é uniplanar. A demonstração para o caso linear tanto no E3 quanto no E2 é evidente.

Nota : A recíproca deste teorema para o caso planar não é verdadeira porque, obviamente, existem diádicos uniplanares cujos vetores não são nulos, logo não simétricos.

Corol. 3: Os diádicos ortoplanares e os ortolineares são não simétricos.

Com efeito, se fossem simétricos seriam uniplanares os ortoplanares e unilineares os ortolineares, o que é absurdo.

Teor. 5: A todo v≠o de E3 é possível associar, de infinitas maneiras, um diádico anti-simétrico (uniplanar), de plano perpendicular a v, cujo vetor seja 2v.

Page 126: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

106 § 04- Adição de diádicos.

II,§ 04.02

Com efeito, sejam e1 e e2 dois dos infinitos vetores não paralelos arbitrários do plano

ortogonal a dado vetor v tais, que v=e1×e2. O diádico e1e2-e2e1 é anti-simétrico porque

e e e e e e e e1 2 2 1 1 2 2 1− = − −( )T ; e seu vetor é 2e1×e2=2v, o que comprova o teorema.

Teor. 6: O escalar e o vetor de um diádico são iguais, respectivamente, ao escalar de

sua parte simétrica e ao vetor de sua parte anti-simétrica. Com efeito, sendo φφφφ φφφφ φφφφ= +sim ant e considerando os teoremas 3 e 4 deduzimos:

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφE sim E ant E sim E+ ,= = e φφφφ φφφφ φφφφ φφφφV sim V ant V ant V= =+ .

Teor. 7: Se dois diádicos têm vetores iguais, então suas partes anti-simétricas são iguais; e reciprocamente.

Com efeito, se φφφφ e ψψψψ são quaisquer e φφφφV=ψψψψV, então: (φφφφ-ψψψψ)V = o e φφφφ-ψψψψ é diádico

simétrico (Teor.4). Logo: φφφφ-ψψψψ=(φφφφ-ψψψψ)T, ou, φφφφ-φφφφT=ψψψψ-ψψψψT e as partes anti-simétricas desses diádicos são iguais.

A demonstração da recíproca é imediata, pois, devendo ser φφφφ-φφφφT=ψψψψ-ψψψψT, então: (φφφφ-φφφφT)V=(ψψψψ-ψψψψT)V, isso é, pelo Teor.6, φφφφV=ψψψψV.

Corol. 1: Se o vetor φφφφV de um diádico φφφφ é igual ao vetor AV de um diádico anti-simétrico A, então A é a parte anti-simétrica de φφφφ:

∀ = ⇒ = , V V antφφφφ φφφφ φφφφA A A: (06).

Pois, pelo Teor.7 as partes anti-simétricas de φφφφ e A são iguais e a parte anti-simétrica de A é o próprio A.

Corol. 2: Se dois diádicos anti-simétricos têm vetores iguais, eles são iguais.

Exercício: Provar que

antVantVVV2 :, ψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψψψψψφφφφ .. =−=×∀ , (07).

Page 127: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.01- Definição e propriedades. 107

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 8: Se a soma (diferença) de dois diádicos é um diádico simétrico (anti-simétrico), as suas partes anti-simétricas (simétricas) são diádicos opostos (iguais), e reciprocamente:

)((2

1)(

2

1 , )( TTT ψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ mmm =⇒∀⇐±±=± , (08),

expressões em que os sinais se correspondem.

Pois se φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ± = ± ± = ± +( )T T T , então por transposição de termos resulta:

T T Tφφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψm m m m= + = ( ) .

A recíproca é de demonstração evidente. Exercício: Qualquer combinação linear de diádicos simétricos (anti-simétricos) é diádico simétrico (anti-simétrico).

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS.

§ 05.01- Definição e propriedades.

Chama-se produto pontuado do diádico φφφφ = aibi (i = 1,2,...,P) pelo diádico ψψψψ = cjd

j

(j = 1,2,...,Q), nessa ordem, e representa-se por φφφφ.ψψψψ (lendo-se φφφφ ponto ψψψψ), o diádico χχχχ representado pela soma simbólica das díades que se obtém multiplicando escalarmente o

conseqüente de cada díade de φφφφ pelos antecedentes de cada díade de ψψψψ. Escreve-se: χχχχ φφφφ ψψψψ= . , sendo:

χχχχ = =a b .c d a b .c d +a b .c d + +a b .c d + ,i

ij

j ... ... ( ) ( ) ( ) ( )1

11

11

12

22

21

1 (01).

Na ordem inversa o produto pontuado dos diádicos é:

ψψψψ φφφφ. c d .a b c d .a b c d .a b= = + +j

ji

i( ) ( ) ( ) ... ,1

11

11

12

2 (011).

A multiplicação pontuada de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar o produto pontuado desses diádicos.

Propriedades.

1ª)- É operação sempre possível e unívoca,

o que é evidente.

2ª)- É operação não comutativa:

φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ. .≠ , (02),

o que é evidente por (01) e (011).

Page 128: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

108 § 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

II,§ 05.01

3ª)- A operação é associativa em relação a fatores escalares:

N( ) (N ) (N ) ( )N, φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. . . .= = = (03).

Tem-se, por exemplo, aplicando (01) e lembrando ((01),§ 02.02):

N( ) [ ( N N N )i

ij

ji

ij

ji

ij

jφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. N a b .c d a b .c d a b . c d .= = = =) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( .

O terceiro e quarto membros de (03) podem ser deduzidos analogamente.

4ª)- É associativa em relação a fator vetor, se o vetor não aparecer entre os diádicos, isso é:

( ) ( ) ,φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. . r . . r= (04),

mas, geralmente,

( ) ( )φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. r . . r .≠ , (041). De fato,

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ]

[ ( ) ] ( ) ( ) ( ).

φφφφ ψψψψ

ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ

. . r a b . c d . r a b . c d . r a b . c d . r

a b . . r a b . . r . . r

= = = =

= = =

ii

jj

ii

jj

ii

jj

ii

ii

A expressão (041) é verdadeira porque, sendo: ( ) ( ) ( )( )φφφφ ψψψψ ψψψψ. r . a b . r . b . r a .c d= = =

ii i

i ij combinação linear dos dj,

e φφφφ ψψψψ φφφφ. r . . r . c d r .c a b .d( ) ( ) ( ) ( )= =

jj j

ii j = combinação linear dos ai,

a combinação linear dos dj sendo, geralmente, diferente da combinação linear dos ai. Concluímos, logo:

∀ = : ,φφφφ φφφφ φφφφ. ΙΙΙΙ (042). Com efeito, para comprovar basta fazer em (04) ψψψψ = ΙΙΙΙ, considerar que ΙΙΙΙ.r = r , considerar que r é qualquer e lembrar a definição de igualdade de diádicos.

5ª)- Para quaisquer a e b:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),a. . .b a. . .b a. . .b a. . .bφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= = = (05). Pondo ψψψψ.b=v e lembrando ((02),§ 02.06), o primeiro membro de (05) pode ser assim escrito: ( ) ( ) [ ( ) ].a. . v a. . v a. . .bφφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ= = Mas lembrando (04) e em seguida reaplicando ((02),§ 02.06), o último membro da expressão obtida é escrito na forma:

a. . .b a. . .b[ ( ) ] ( ) ,φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ=

Page 129: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.01- Definição e propriedades. 109

Poliádicos - Ruggeri

o que comprova a igualdade do primeiro e terceiro membros de (05). As demais fórmulas podem ser demonstradas analogamente.

6ª)- A operação é distributiva em relação à adição de diádicos,

φφφφ αααα ββββ φφφφ αααα φφφφ ββββ. . .( + +... ) + +... ,= (06). Com efeito, pondo φφφφ = aib

i e lembrando que a multiplicação pontuada de vetor por soma de diádicos é distributiva (propr. 5ª, § 04.01), temos:

φφφφ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ. a b . a b . b .( + +... ) [ ( + +... ) ] ( + +...i

ii

i i= = . Entre os parênteses do último membro temos uma soma de vetores; e sendo distributiva a multiplicação justaposta de vetores em relação à adição de vetores (Teor.2, § 02.06), deduzimos:

φφφφ αααα ββββ αααα ββββ φφφφ αααα φφφφ ββββ. a b . a b . . .( ... ) ( ) ( ) ... ...+ + = + + = + +i

ii

i

7ª)- A operação é associativa em relação a fatores diádicos, isso é:

( ) ... ( ) ...,φφφφ αααα χχχχ φφφφ αααα χχχχ. . . . . .= (07). Pondo φφφφ = aib

i, ψψψψ = cjdj e χχχχ = fkg

k, quaisquer que sejam os campos de variação dos índices, temos:

( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ].φφφφ ψψψψ χχχχ. . a b . c d . f g a b .c d . f g= =i

ij

jk

ki

ij

jk

k

Dentro dos colchetes, no último membro, existe uma soma de vetores cujos coeficientes são somas de escalares; tais coeficientes podem ser escritos na forma:

b . c d . f b . . fij

jk

ik

[ ( ) ] ( ) ,= ψψψψ

donde,

( )( ) [ ( ) ] [ ( ) ];ij

jk

k ik

k ik

kb .c d . f g b . . f g b . . f g= =ψψψψ ψψψψ

logo,

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ).i

ii

iφφφφ ψψψψ χχχχ ψψψψ χχχχ ψψψψ χχχχ φφφφ ψψψψ χχχχ. . a b . . a b . . . .= = =

8ª)- Critério de igualdade de diádicos:

∀ = ′ ⇒= ′

= ′

φφφφ ψψψψ ψψψψφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ: ou

,

. .

. .

(08);

Page 130: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

110 § 05- Multiplicação escalar de diádicos.

II,§ 05.02

para diádico completo, a recíproca de (08) é verdadeira:

ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ

= ′ ⇐ ∀ ≠ ⇒

= ′

= ′

, ou

,3

0

. .

. .

(081).

Se ψψψψ = ψψψψ' e r é um vetor qualquer, temos, lembrando (04):

∀ = = = : ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ;φφφφ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. . r . . r . . r . . r logo, os diádicos φφφφ.ψψψψ e φφφφ.ψψψψ' são iguais em vista da definição de igualdade de diádicos (§ 02.06), o que comprova (08).

Se φφφφ.ψψψψ=φφφφ.ψψψψ', ∀ φφφφ completo, temos:

r . . r . . r . . r . .( ) ( ' ) ( ) ( ) ' .φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= = = Pondo r.φφφφ=v, v é qualquer porque r é qualquer e φφφφ é qualquer e completo; logo:

v . v .ψψψψ ψψψψ= ′ , isso é, como conseqüência da definição de diádicos iguais, ψψψψ=ψψψψ'.

9ª)- (Produto pontuado nulo) Se ψψψψ é qualquer e o produto pontuado de um diádico φφφφ por ψψψψ é o diádico nulo, ΟΟΟΟ, então φφφφ=ΟΟΟΟ; e reciprocamente:

, ΟΟΟΟφφφφψψψψΟΟΟΟψψψψφφφφ =⇒∀⇐=. (09).

Com efeito, pois, para qualquer r :

,)( o.r.r. ==ΟΟΟΟψψψψφφφφ

ou, φφφφ ψψψψ φφφφ. . r o . r( ) .= = ′

Mas r ' é qualquer porque ψψψψ e r o são. Logo, por definição de diádico nulo (§ 02.09), φφφφ=ΟΟΟΟ. A recíproca é de demonstração evidente.

§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro.

Chama-se potência de expoente inteiro e positivo, P, de um diádico φφφφ, e indica-se por φφφφP, o produto pontuado de P fatores diádicos φφφφ, isso é,

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφP

P fatores

... = . . .1 24 34 , (01).

Page 131: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. 111

Poliádicos - Ruggeri

Para P = 0 põe-se, por definição,

φφφφ 0 = ΙΙΙΙ , (011). A potenciação diádica é a operação que tem por fim determinar a potência de um diádico, e goza das seguintes

Propriedades:

1ª)- É sempre possível e unívoca, o que é evidente.

2ª)- O produto pontuado de potências de diferentes expoentes de um mesmo diádico é igual à potência da soma dos expoentes desse diádico, isso é:

φφφφ φφφφ φφφφP M P+M ,. = (02),

cuja demonstração é evidente.

3ª)- Qualquer potência do diádico unidade é igual ao diádico unidade:

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙP = , (03).

Por extensão de conceitos algébricos ordinários, define-se o polinômio diádico inteiro como toda expressão diádica do tipo:

ΡΡΡΡ ΙΙΙΙP 0

P1

P 12

P 2P

A A A A( ) ... ,φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= + + + +− − (04),

onde os Ai são números reais e P é inteiro positivo. Genericamente, dois polinômios diádicos de um mesmo diádico φφφφ, podem ser escritos nas formas:

ΡΡΡΡ ΡΡΡΡP i

P iM j

M jA e B (i 1,2,...P; j 1,2,...M),( ) ( ) ,φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= = = =− −

e tem-se: ΡΡΡΡ ΡΡΡΡ ΡΡΡΡ ΡΡΡΡ

P M M P( ) ( ) ( ) ( ),φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .= (05).

Com efeito, pois, sendo:

ΡΡΡΡ ΡΡΡΡP M i j

P i M ji j

(P+M) (i+ j)A B A B( ) ( )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .= =− − −

e

ΡΡΡΡ ΡΡΡΡM P j i

M j P ii j

(P+M) (i+ j)B A A B( ) ( ) ,φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .= =− − −

deduzimos logo, (05). Assim,

''É comutativo o produto pontuado de dois polinômios diádicos de um mesmo diádico''.

Page 132: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

112 § 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

II,§ 05.03

§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto.

Teor. 1: O transposto de um produto de diádicos é igual ao produto dos transpostos dos diádicos multiplicados em ordem inversa, isso é:

( (... ),φφφφ ψψψψ χχχχ χχχχ ψψψψ φφφφ. . . . . . ... ) T T T T= (01).

Temos:

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) .φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ. a b .c d d b . c a d c .b a d c . b a .Ti

ij

j T j ij i

jj

ii

jj

ii

T T= = = = =

A generalização é imediata.

Corol. 1: O transposto da enésima potência de um diádico é igual à enésima potência do seu transposto:

( ) ( ) ,φφφφ φφφφP T T P= (02).

Corol. 2: O produto de qualquer diádico pelo seu transposto é diádico simétrico.

Porque deduzimos, de (01), lembrando ((03).§ 02.05):

( )T T TT T Tφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. . .= = , (03), isso é, o diádico φφφφ.φφφφT é igual ao seu transposto, sendo, pois, simétrico.

Definições: (produtos simétricos de um diádico) O produto pontuado de um diádico φφφφ pelo seu transposto será denominado produto simétrico: esquerdo se o diádico é fator multiplicando (φφφφ.φφφφT), direito se é fator multiplicado (φφφφT.φφφφ).

Teor. 2: O terceiro de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado dos terceiros dos diádicos fatores:

( ) ,

3 3 3φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ. = (04).

Reduzamos os diádicos φφφφ e ψψψψ a formas N-nomiais em que os antecedentes de um são o sistema recíproco dos conseqüentes do outro; sejam:

φφφφ ψψψψ= = =a e e bii

jj e , (i, j 1,2,...,N).

Page 133: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 113

Poliádicos - Ruggeri

Então, aplicando ((04),§ 02.08) escrevemos, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03, I):

==

=××=

=××××=

=××××

===

=

.3N se ),)(())()()((

;2N se ),()(

)())](()[(

)]())][(()[(

;1N se ,])[())((

321321

321321

321321

2121

2121

2121

2121

2121

11

11

11

11

11

33

bbbaaabbbeeeeeeaaa

bb.aa

bb.eeee.aa

bb.eeee.aa

.ba.be.ea.be.ea

ψψψψφφφφ

Mas

φφφφ ψψψψ. a e .e b a b= =i

ij

ji

i( )

e, reaplicando ((04),§ 02.08), deduzimos:

=

=××

=

=

3.N se ),)((

2;N se ),()(

1;N se ,

)(

321321

2121

11

3

bbbaaa

bb.aa

.ba

.ψψψψφφφφ

Comparando os resultados obtidos para os valores correspondentes de N, temos demonstrado o teorema qualquer que seja a dimensão do espaço dos vetores a que se refiram os diádicos.

§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. Dados dois diádicos quaisquer, φφφφ e ψψψψ, a interpretação do produto φφφφ.ψψψψ pode ser levada

a bom termo escrevendo-se o multiplicando, φφφφ, e o multiplicador, ψψψψ, nas formas N-nomiais

φφφφ ψψψψ= = =a e e bii

jj

e ( i , j 1,2, ... , N), (01),

onde os conseqüentes de φφφφ e os antecedentes de ψψψψ constituem sistemas recíprocos; isso é

sempre possível conforme nos garante o teorema da redução N-nomial (Teor.1,§ 02.07). Assim,

φφφφ ψψψψ. a b= =ii, ( i 1,2, ... , N), (02).

Resultam então, facilmente, as seguintes propriedades, para diádicos gerados no E3

48.

48Propriedades correlatas no E2 podem ser deduzidas facilmente.

Page 134: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

114 § 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

II,§ 05.04

Teor. 1: O produto pontuado de dois diádicos em que um é completo é um diádico completo, planar ou linear conforme o outro seja um diádico completo, planar ou linear, respectivamente.

Se φφφφ é completo, os ai são não coplanares; e se ψψψψ é completo os bi são não coplanares. Logo, por (02), vemos que φφφφ.ψψψψ é completo. Mas se φφφφ é completo e ψψψψ é planar (os bi são coplanares), φφφφ.ψψψψ é planar. Se ψψψψ é linear (os bi são paralelos), φφφφ.ψψψψ é linear.

Teor. 2: Em geral o produto pontuado de dois diádicos em que: 1º) um é planar, é um diádico planar ou linear conforme o outro seja, respectivamente, planar e linear; 2º) ambos são lineares, é um diádico linear.

A demonstração é análoga à do Teor.1.

Corol. 1: Se φφφφ e ψψψψ são planares, φφφφ.ψψψψ≠ΟΟΟΟ, φφφφ2≠ΟΟΟΟ.

Exceções.

O enunciado do Teor.2 exigiu a expressão "em geral" porque nem sempre ele é verdadeiro, isso é, existem exceções a todos esses casos de multiplicação.

Teor. 3: (planar.planar = linear) O produto pontuado de dois diádicos planares em que o plano dos conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador é um diádico linear. Reciprocamente, todo diádico linear pode ser decomposto, de uma infinidade de maneiras, no produto de dois planares, em que o plano dos conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador.

Sejam φφφφ' = aim

i e ψψψψ' = njdj dois dados diádicos planares com (a1a2a3) ≠ 0, (d1d2d3) ≠

0, (m1m2m3) = 0 = (n1n2n3), o plano dos mi sendo ortogonal ao dos ni (Figura 05.01). Se b é um vetor não nulo, arbitrário, porém ortogonal ao plano dos mi, e c um segundo vetor, também arbitrário, mas ortogonal ao plano dos ni, então b.c = 0 (b⊥ c). Os diádicos φφφφ =ai(m

i×b) e ψψψψ = (c×nj)dj são planares; e o plano dos conseqüentes de φφφφ é ortogonal ao plano

dos antecedentes de ψψψψ. Temos, então: jj

ii )]()[( dnc.bma. ××=ψψψψφφφφ . Mas, aplicando

propriedade da multiplicação mista e a fórmula do duplo produto vetorial, sucessivamente,

Page 135: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 115

Poliádicos - Ruggeri

podemos escrever: ))(()()()( ji

ji

ji b.nc.mc.nbmnc.bm =××=×× porque b.c = 0. Logo:

adb..cdb.n.cma. =′′== ))(())(( jj

ii ψψψψφφφφψψψψφφφφ o que comprova o teorema direto.

Reciprocamente, seja χχχχ = ad um diádico linear. Se a1,a2,a3 e d1,d2,d3 são dois tercetos de vetores não coplanares quaisquer, escolhendo arbitrariamente dois vetores ortogonais b e c, podemos determinar, de infinitos modos, os vetores mi perpendiculares a b (logo coplanares) e os vetores nj perpendiculares a c (também coplanares) tais, que:

.)( e )( jj

ii db.nd.cmaa ==

Então, de uma dupla infinidade de maneiras,

χχχχ φφφφ ψψψψ= =a m .c b.n d .c b.ii

jj( )( ) ( )( ),

sendo φφφφ = aim

i e ψψψψ = njdj diádicos planares, o plano dos conseqüentes de φφφφ sendo ortogonal

ao plano dos antecedentes de ψψψψ. Também de uma dupla infinidade de maneiras, os diádicos φφφφ' =ai(ni ×b) e ψψψψ' = (c×nj) d

j são ainda planares, o plano dos conseqüentes de φφφφ' sendo ortogonal ao plano dos

antecedentes de ψψψψ'; e tem-se:

jj

ii

)()(. dnc.bma ××=′′ ψψψψφφφφ .

Mas, tal como na demonstração do teorema direto:

))(()()(j

ijj

i b.n.cmdnc.bm =×× ,

isso é,

χχχχ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ= = = ′ ′ad .c b. .( )( ) , igualdade que comprova a recíproca.

Corol.1: Se o quadrado de um diádico planar é linear, esse diádico é ortoplanar.

Teor. 4: Se $u

2 é um vetor unitário paralelo à interseção dos planos de um diádico

planar dado, ψψψψ, e $u1 e $u

3 vetores unitários cujo ângulo seja o ângulo diedro

dos planos de ψψψψ, então ψψψψ pode ser escrito na forma:

ψψψψ = B + C + E + F$ $ $ $ $ $ $ $u u u u u u u u1 2 1 3 2 2 2 3

, (03),

Page 136: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

116 § 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

II,§ 05.04

ou na forma

ψψψψ = ( $ $ ) $ $ $ ) $B + E + (C + Fu u u u u u1 2 2 1 2 3

, (031),

sendo

21 ˆ ˆB u..u ψψψψ= , 31 ˆ. .ˆC uu ψψψψ= , 22 ˆ ˆE u..u ψψψψ= , 32 ˆ. .ˆF uu ψψψψ= , (032).

Seja iirs=ψψψψ (i = 1, 2) uma redução mínima arbitrária do diádico planar ψψψψ e $u

2 o

unitário que define a direção da interseção dos seus planos. Sejam, ainda, $u1 e $u

3 os

unitários da seção reta desses planos, tais que o triedro $ , $ , $ u u u1 2 3

seja direto (Fig.

05.02).

Nestas condições, os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de ψψψψ são ( $ , $ ) ( $ , $ )u u u u

1 2 2 3 e , respectivamente. Como os unitários definem sistemas ortonormados

nos seus respectivos planos, podemos escrever:

r u . r u s s .u ui j i j

i ik k

(j e (k= = = =( $ ) $ ,3) ( $ ) $ ,2)2 1 .

Efetuando os produtos justapostos e lembrando a propriedade 3ª da multiplicação pontuada de diádico por vetor (§ 02.03) temos:

jkjk ˆˆ)ˆ ˆ( uuu..u ψψψψψψψψ = , (k = 1,2; j = 2,3).

Agora, desenvolvendo as somas indicadas comprovamos facilmente a tese.

Corol. 1: Todo diádico ortoplanar, ψψψψ, pode ser escrito na forma:

ψψψψ = +(F C + (B + E ) ,$ $) $ $ $ $j i k i j j (04),

em que B, C, E e F são números, $i $j $k um triedro direto de unitários, $j sendo paralelo à interseção dos planos (ortogonais) do diádico49, i

pertencendo ao plano dos antecedentes e k ao plano dos conseqüentes.

49 Oportunamente (§ 09.09) poderemos demonstrar que, na representação (04), FB=CE.

Page 137: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 117

Poliádicos - Ruggeri

Corol. 2: (quadrado e cubo de um ortoplanar)

Se um diádico ψψψψ é ortoplanar de escalar não nulo: 1º)- ψψψψ2, linear, tem seu antecedente e seu conseqüente pertencentes, respectivamente, ao

plano dos antecedentes e dos conseqüentes de ψψψψ; 2º)- ψψψψ3 é igual ao quadrado de ψ ψ ψ ψ multiplicado pelo escalar de ψψψψ: ψψψψ3 = ψψψψE ψψψψ2.

Com efeito, quadrando (04), encontramos:

ψψψψ2 (B + E )(F + E ),= $ $ $ $i j k j (041),

o que mostra que ψψψψ2 é linear e que seu antecedente é do plano s1s2, e seu conseqüente do

plano r1,r 2. Multiplicando pontuadamente (04) por (041) temos: ψψψψ3 E(B + E )(F + E ),= $ $ $ $i j k j donde, observando que, segundo (04),

ψψψψ ψψψψE

E ,= = $ $j. . j (05),

deduzimos: ψψψψ ψψψψ ψψψψ3

E2 ,= (06).

Exercício:

Comprovar que, se ψψψψ é ortoplanar, 22-PE

P ψψψψψψψψψψψψ = .

Produto nulo de diádicos não nulos.

Teor. 5: No E3, é nulo o produto pontuado: 1º)- de um diádico planar por um linear quando o plano dos conseqüentes do primeiro é ortogonal ao antecedente do

segundo, e reciprocamente; 2º)- de um diádico linear por um planar quando o conseqüente do primeiro é ortogonal ao plano dos antecedentes do

segundo, e reciprocamente; 3º)- de dois diádicos lineares quando o conseqüente do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e reciprocamente.

As demonstrações são simples e imediatas a partir das representações desses diádicos em redução mínima.

Corol. 1: Se φφφφ e ψψψψ são incompletos, não nulos e φφφφ.ψψψψ=ΟΟΟΟ, ao menos um dos diádicos é linear.

Pois, pelo Corol.1 do Teor.2 ambos não podem ser planares.

Teor. 6: Se um diádico é ortolinear, seu quadrado é o diádico nulo; e reciprocamente:

, ortolinear 2 ΟΟΟΟφφφφφφφφ =⇔ (07).

Page 138: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

118 § 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

II,§ 05.04

Pois, com efeito, representando o ortolinear em redução mínima por φφφφ = ab, temos:

ΟΟΟΟφφφφ == bb.aa )(2 , pois a⊥ b. Reciprocamente, se φφφφ2 = ΟΟΟΟ, pelo corolário anterior, φφφφ deve

ser linear. Então, escrevendo φφφφ = ab, temos: φφφφ2 = a(b.a)b=ΟΟΟΟ, o que implica b.a = 0, isso é, b⊥ a; e φφφφ é ortolinear.

Teor. 7: Se um diádico ψψψψ é ortoplanar e tem escalar nulo, seu quadrado é ortolinear e seu cubo é o diádico nulo; e reciprocamente.

=⇔=

ΟΟΟΟψψψψψψψψψψψψψψψψ 3

2

Eortolinear 0 ,ortoplanar (08).

Segundo (05), $ $j. . jψψψψ = 0. Então, por (041), deduzimos: (ψψψψ2)E = E2 = 0, isso é, ψψψψ2 é

ortolinear (Teor. 6). Logo, segundo (06), ΟΟΟΟψψψψ =3 .

Reciprocamente, suponhamos ψψψψ3 = ΟΟΟΟ e ψψψψ2 ortolinear. Ponhamos:

ΟΟΟΟψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ === 22 3 .. . Ora, ψψψψ não pode ser linear porque, se fosse, ψψψψ2 deveria ser linear; e para que fosse nulo o produto deles, em qualquer ordem, o conseqüente do multiplicando deveria ser ortogonal ao antecedente do multiplicador. Então, se

ψψψψ = xy, é ψψψψ2 = x (y.x) y, e ψψψψ3 2= x x. y y( ) , isso é, x⊥ y para que ψψψψ3 = ΟΟΟΟ. Assim, ψψψψ seria ortolinear e, portanto, ψψψψ2 = ΟΟΟΟ, o que é contra a hipótese (ψψψψ2 é ortolinear). Então, ψψψψ deve ser planar; e sendo ψψψψ2 ortolinear, o conseqüente de ψψψψ2 deve ser perpendicular ao plano dos antecedentes de ψψψψ (porque ψψψψ2.ψψψψ = ΟΟΟΟ) e o antecedente de ψψψψ2 perpendicular ao plano dos conseqüentes de ψψψψ. Logo, os planos dos antecedentes e conseqüentes de ψψψψ são ortogonais e ψψψψ é ortoplanar. Escrevendo-se ψψψψ na

forma (04), ψψψψ2 é dado por (041). Como ψψψψ2 é ortolinear, (ψψψψ2)E = E2 = 0, isso é, E = 0. Então

ψψψψ = + +F C B$ $ $ $ $$jk ik ij e ψψψψE = 0.

Corol. 1: Se um diádico ψψψψ é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base

ortonormada i , j , k $ $ $ , da qual i é vetor do plano dos seus

antecedentes, k é vetor do plano dos seus conseqüentes e j é paralelo à

interseção desses planos, em relação à qual ψψψψ fica reduzido à forma

ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ= + +( ) ( ) ( ) , F C B

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$j. . k jk i. . k ik i. . j ij124 34 123 123 (09);

e reciprocamente.

Page 139: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 119

Poliádicos - Ruggeri

Nota: Se um diádico ortoplanar tem escalar nulo, nem B nem F podem ser nulos, pois, do contrário, o diádico seria linear (o que é absurdo).

Corol. 2: Se um diádico ψψψψ é ortoplanar de escalar nulo, existem dois pares de vetores: e1,e2 e e2,e3, respectivamente pertencentes aos planos dos seus conseqüentes e antecedentes, que gozam das propriedades: e2 . e

3 = e1 . e2

= e1 . e3 = 0 , e que reduzem ψψψψ à forma:

ψψψψ = e e e e1

22

3+ , (10);

e reciprocamente.

De (09), escrevemos, lembrando que B ≠ 0 e F ≠ 0:

ψψψψ ψψψψ ψψψψψψψψ ψψψψ

ψψψψ ψψψψψψψψ=

++($ $ )($ $)$

[( $ $ ) $ ($ )$]

($ $ )($ $)[( $ $ )$] $ .j. . k i. . j i

i. . k k i. . j j

j. . k i. . jj. . k j k

F

B

124 34 123

Pondo:

,)ˆˆ)(ˆˆ(

]ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ[(

,ˆ)ˆˆ(

,ˆ)ˆˆ)(ˆˆ(

3

2

2

1

ke

j..ik..j

jj..ikk..ie

jk..je

ij..ik..je

=

+=

=

=

ψψψψψψψψψψψψψψψψ

ψψψψ

ψψψψψψψψ

(11),

resulta a forma (10) de representação de ψψψψ na qual, obviamente, destaca-se a ortogonalidade

do plano (e2,e1) dos antecedentes com o plano (e3,e2) dos conseqüentes. Constata-se, ainda, que ψψψψE=0, pois, e1.e

2=0=e2.e3.

A recíproca é evidente, pois, se existem dois pares de vetores: e2,e1 e e3,e2 tais, que e2.e

3=e1.e2=e1.e

3=0 e que reduzem certo diádico ψψψψ à forma (10), então ψψψψ é ortoplanar (porque o plano dos seus antecedentes contém o vetor e1 que é ortogonal ao plano dos seus conseqüentes ) e ψψψψE=0.

Notas: 1) - Deve ser observado que e2.e2=1 e e2.e1=0, mas estas condições não são necessárias para a demonstração da recíproca.

2) - Se ψψψψ é tal, que F2B=1, então se tomando e i1 = F $ resultam: e1.e1=( )e e e1 2 3 = 1 e

B/)ˆBˆC(3 kje +−= . Nesse caso os sistemas de vetores e1e

2e

3 e e1e2e3 são recíprocos,

e2e

3 e e2e3 sendo recíprocos planares.

3) – No §09.09 justificaremos a nomenclatura "diádicos antitriangulares" que dispensaremos aos diádicos ortoplanares de escalar nulo.

Page 140: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

120 § 05- Multiplicação pontuada de diádicos.

II,§ 05.04

Exercícios: S, S1, S2, ... são diádicos simétricos, A, A1, A2, ... são diádicos anti-simétricos e v, a, b, ... são vetores.

1°) - Mostre que são anti-simétricos os diádicos:

A) - S .S S .S1 2 2 1− ,

( ) ( )

( )

) )

( ) ( ) .

S .S S . S

S . S S .S

S .S . S S .S .S

S .S . S S .S .S

12

2 2 12

1 22

22

1

1 2 12

12

2 1

2 1 22

22

1 2

,

( ) ,

( ( ,

B) - v S.v S.v v( ) ( ) ,−

v S . v S . v vS. v S . v S . v S. v

S. A A.SS. A A .Sv A. v A. v vv A. v A. v vA .A A . A

( ) ( ) ,( )( ) ( )( ),

,

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 2 2 1

−−

−−−

+,

( ) ( )

C) - S .S .S S .S .S S .S .S1 2 3 2 3 1 3 1 2+ + − − − −S .S .S S .S .S S .S .S2 1 3 1 3 2 3 2 1 ,

( )( ) ( )( )

( ) [( ] ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

S . v S .v S . v S .v

v S .S S .S . v S .S S .S . v v

S. ab ba ab ba .S

A. ab ba ab ba . A

1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

− +

+ − − −

− + −− − −

)

2°) - Mostre que são simétricos os diádicos:

A) - S2,

B) - S .S S .S1 2 2 1+ ,

( ,

,

S .S S . S

S . S S .S

12

2 2 12

1 22

22

1

) ( )

( ) ( )

+

+

C) - vS.v S.vv+ ,

vS . v S . vv2 2+ ,

D) - S.A A.S−

A.S.A

S . A A.S

A.S. A A .S. A

,

,2 2

2 2

− ,

Page 141: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01- Definições e propriedades. 121

Poliádicos - Ruggeri

E) - A. v A. v

,

,22 .vA.vA.vA.vA

A.vvvA.v

++

.)()(

,)()(

,

2122

21

12

22

21

1221

A.A.AA

.AAAA

.AA.AA

−−

+

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR.

§ 06.01 - Definições e propriedades.

Chama-se produto cruzado anterior (posterior) do diádico φφφφ pelo vetor r , e

indica-se por φφφφ×r (r×φφφφ), lendo-se: φφφφ cruz r (r cruz φφφφ), o diádico cujos antecedentes (conseqüentes) são os de φφφφ e cujos conseqüentes (antecedentes) são os produtos vetoriais dos conseqüentes (antecedentes) do diádico pelo vetor. Assim, se φφφφ=aib

i,

)( ii

rbar ×=×φφφφ e ii)( barr ×=× φφφφ , (i=1,2,...,N) (01).

A multiplicação cruzada anterior ou posterior de diádico por vetor é a operação que tem por fim determinar o produto cruzado entre o diádico e o vetor50. Esta operação goza das seguintes

Propriedades.

1ª)- É operação sempre possível e unívoca.

2ª)- Os diádicos produto φφφφ×r e r×φφφφ são sempre incompletos. No E3, esses diádicos são planares se φφφφ é completo ou planar, e não passível de maior redução; lineares se φφφφ é linear; nulos se, sendo φφφφ linear, os conseqüentes ou os antecedentes de φφφφ são, respectivamente, paralelos a r .

Se φφφφ é completo, φφφφ×r e r×φφφφ são planares porque, correspondentemente, os seus conseqüentes em (01)1, e os seus antecedentes em (01)2, são tercetos de vetores contidos num mesmo plano perpendicular ao vetor r .

Se φφφφ é planar, com b1, b2 e b3 distintos mas coplanares: 1º)- os vetores bi×r em

(01)1, são sempre distintos mas coplanares, e φφφφ×r é planar; 2º)- os vetores r×ai, em (01)2, são coplanares mas distintos, e φφφφ é planar.

Se φφφφ é planar e dois quaisquer dos seus conseqüentes são paralelos, φφφφ×r e r×φφφφ são, ainda, planares.

50 Gibbs denominou este produto de "skew product of φφφφ into r" .

Page 142: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

122 § 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

II,§ 06.01

Se φφφφ é linear, os seus conseqüentes são paralelos a um mesmo vetor b, donde escrevermos φφφφ = aib

i = ai(Bib). Pondo Biai = a, temos: φφφφ = ab. Logo: φφφφ×r e r×φφφφ são

lineares.

Se, sendo φφφφ linear, r é paralelo a b, resulta φφφφ×r = ΟΟΟΟ e se r é paralelo a a, resulta r×φφφφ = ΟΟΟΟ, o que demonstra a última parte da propriedade.

Se φφφφ é um diádico de um E2 (logo, uniplanar em E3), os diádicos φφφφ×r e r×φφφφ são, necessariamente, diádicos lineares de E3, pois têm, respectivamente, conseqüentes e antecedentes ortogonais ao plano de E2. Então, ∀ φφφφ os terceiros de φφφφ×r e r×φφφφ são sempre nulos:

33)(0)( :, φφφφφφφφφφφφ ×==×∀ rrr , (011).

3ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um diádico completo:

, )ou ( e 03

orrr =⇒=×=×≠ ΟΟΟΟφφφφΟΟΟΟφφφφφφφφ (02);

logo: ,orrr =⇒=×=× ΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙ (021).

4ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um vetor qualquer:

,)ou ( : ΟΟΟΟφφφφΟΟΟΟφφφφΟΟΟΟφφφφ =⇒=×=×∀ rrr (03).

Com efeito, reduzindo φφφφ à forma N-nomial aibi com conseqüentes independentes,

temos: φφφφ×r = ai(bi×r ) = ΟΟΟΟ. Ora, os conseqüentes de φφφφ×r , coplanares em E3 e colineares em

E2, não são nulos necessariamente, porque os bi e r são quaisquer; logo, ai = o e φφφφ = ΟΟΟΟ.

5ª)- Operação com vetores e diádico quaisquer:

a.bba.ba ×=×∀ φφφφφφφφφφφφ )( :,, , (04).

Pois, lembrando propriedades do produto misto, escrevemos:

a.b.babaa.bbab.ababa. ×=×=×=×=× φφφφφφφφ )]([)()()( ii

ii

ii

.

A fórmula (04) é válida em qualquer espaço, acontecendo, apenas, que

oa.bba.ba =×=×∀ φφφφφφφφφφφφ )( :Eou E de ,,12

, (041).

6ª)- Operação envolvendo diádicos iguais e um vetor qualquer:

′×=××′=×

⇒∀⇐′=φφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφ

rr

rrr , (05).

Page 143: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01- Definições e propriedades. 123

Poliádicos - Ruggeri

Temos, com efeito, para quaisquer r e v, aplicando ((01),§ 02.06):

)()( vr.vr. ×′=× φφφφφφφφ ;

mas, aplicando (04) aos dois membros, temos, também: ,r.vr.v ×′=× φφφφφφφφ isso é, os

diádicos φφφφ×r e φφφφ'×r transformam um vetor qualquer, v, no mesmo vetor. Logo esses diádicos são iguais: φφφφ×r = φφφφ'×r .

Reciprocamente, se para qualquer r , φφφφ×r = φφφφ'×r , então, para qualquer v:

.vr.vr )()( ×′=× φφφφφφφφ ,

donde, reconsiderando (04): , ,é isto ),()( φφφφφφφφφφφφφφφφ ′=×′=× vr.vr. porque r e v são

quaisquer. A fórmula (05)2 pode ser comprovada analogamente.

7ª)- Operação em que o vetor é um produto vetorial:

−=××−=−=××

∀φφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

.abbaba

abba.b.aa.bbaba

)()(

)()()()( :,, , (06).

Lembrando a fórmula do duplo produto vetorial e pondo φφφφ = eia

i , temos:

])()[()]([)( iii

ii

b.aaa.baebaaeba −=××=××φφφφ ,

donde, agrupando convenientemente:

b.aa.bb.aaea.baeba )()()]([)]([)( ii

ii

φφφφφφφφφφφφ −=−=×× .... A obtenção do último membro de (06)1 é imediata, bastando evidenciar-se φφφφ no segundo membro já comprovado.

Tem-se também, similarmente, sem delongas:

φφφφ

φφφφ

.abbaab.eaaa.eb

aa.beb.aeaebaba

)()()(

])()[(])[()(

ii

ii

iii

ii

−=−=

=−=××=××

Decorre imediatamente das (06), para φφφφ = I :

abbabababa −=××=××∀ ΙΙΙΙΙΙΙΙ )()( :, , (07),

ou, ainda, por serem a e b vetores quaisquer:

ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=×∀ rrr : , (08).

Page 144: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

124 § 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

II,§ 06.02

8ª)- Tem-se:

TTTT )( donde, ,)( : , rrrrr ×−=××−=×∀ φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ , (09).

Transpondo no primeiro e o último membros de (06)1 aplicando (01), § 05.03 a este último membro, substituindo φφφφ por φφφφT em (06)2 e comparando os resultados obtidos, encontramos:

TT ])[()( φφφφφφφφ ××−=×× baba .

Por serem a e b quaisquer, a×b = r é qualquer, o que comprova (09)1. Trocando-se, em (09)1, φφφφ por φφφφT e transpondo-se, resulta, logo, (09)2.

Casos particulares. Para os diádicos simétricos:

TT )( : SSSS ×−=×=∀ rr , (10).

Logo, para S = ΙΙΙΙ: T)( ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×−=× rr , (11).

Lembrando (08), concluímos também:

TT )()( ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ×−=×−=×=× rrrr , (12);

assim, o diádico ΙΙΙΙ×r é diádico anti-simétrico. Como I é uma constante universal vemos de imediato que a todo vetor r está associado o diádico anti-simétrico ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=× rr cujo vetor é -2r . Voltaremos a tratar desse assunto no § 06.05.

Para os diádicos anti-simétricos A,

T)( ArrA ×=× , (13).

§ 06.02- Fórmulas notáveis. Em diferentes multiplicações com diádicos e vetores, estão demonstradas as seguintes fórmulas, contendo:

- um diádico no centro e vetores nas laterais

=×=×

×=×××=××

)()(

)()(

)()(

)()(

.ba..ba.

ba.ba.

.ba.ba

baba

φφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφ

, (01),

ou,

Page 145: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03 - Escalar e vetor de φφφφ×r . 125

Poliádicos - Ruggeri

)()( bababa ∗=∗=∗ φφφφφφφφφφφφ ooo , (011),

independentemente de o e * estarem representando os sinais da multiplicação pontuada ou da cruzada;

- dois diádicos com um vetor na lateral:

=

×=×=

=

×=×=

);02( ,)()(ou )()(

)()(

)02( ),()(ou )()(

)()(

1ψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

.r.r.r.r

.r..r.

r.r.r.r.

.r..r.

oo

oo

- um diádico na lateral com dois vetores:

−=××−=××

−=××−=−=××

×−=××=×−=×−=×=×

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

)()()(

)()()(

)()(

)()()()(

)(

)( TT

a.bb.aab

b.aa.bba

.abbaba

abba.b.aa.bba

.abb.a

a.bb.ab.aa.bba.

, (03);

- dois diádicos com um vetor no centro:

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

×≠×=×≠

)()()(

)()(

.e.ee.

e....e , (04).

§ 06.03 - Escalar e vetor de φφφφ××××r O escalar e o vetor do diádico φφφφ×r podem ser calculados com muita simplicidade.

Temos: r.babr.arbar )()()()( ii

ii

iiV

−=××=×φφφφ , isso é, rbar.rE

iiV

)()( φφφφφφφφ −=× , ou

melhor,

.rr )()(E

TV

ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ +−−=× , (01).

Para expressão do escalar de φφφφ×r , temos:

.rbar.bar ii

iiE)( ×=×=×φφφφ ,

isso é,

VE)( φφφφφφφφ r.r =× , (02).

Page 146: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

126 § 06- Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

II,§ 06.04

Resultam como casos particulares de (01) e (02), para φφφφ = ΙΙΙΙ:

rr 2)(V

−=×ΙΙΙΙ , (011),

0)(

E=× rΙΙΙΙ , (021),

pois ΙΙΙΙ ΙΙΙΙE V

3 e = = o ((02),§ 02.09).

§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias.

Teor. 1: O duplo do oposto da parte anti-simétrica de qualquer diádico é igual ao produto cruzado anterior ou posterior de seu vetor pelo diádico unidade, isso é

VVT

ant 21

21)(

21 : φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ×−=×−=−=∀ , (01).

Com efeito, seja φφφφ = aib

i uma das reduções trinomiais de φφφφ com antecedentes independentes. Temos, aplicando ((07),§ 06.01:

φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙ −=−=××=× Tiii

iiiV

)( baabba .

Analogamente, aplicando a mesma fórmula, deduzimos:

φφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφ −=−=××=× Tiii

i)iiV )(( .baabba .

Nota:

Por este teorema pode-se confirmar a anti-simetria do diádico r×ΙΙΙΙ uma vez que sendo φφφφ qualquer, seu vetor φφφφV = r é qualquer.

Corol. 1: O produto pontuado anterior da parte anti-simétrica de um diádico qualquer por um vetor qualquer é igual à metade do produto cruzado desse vetor pelo vetor do diádico:

.rrr.rr )(21

21

21 : , T

VVantφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ −=−=×=∀ × , (011).

Pois temos, de (01), aplicando ((01)2,§ 06.02):

VVVVT

ant)()()(2 φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφ ×=×−=×−=×−=−= rr.r.r.r.r .

Page 147: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. 127

Poliádicos - Ruggeri

Corol. 251: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo.

, VT o=⇔= φφφφφφφφφφφφ (012).

A condição é suficiente, pois, se o vetor φφφφV do diádico φφφφ é nulo, então (01) dá: φφφφT = φφφφ; assim, φφφφ é simétrico. A condição é necessária porque se φφφφ = φφφφT, (01) dá: ΙΙΙΙ×φφφφV = ΟΟΟΟ, igualdade que implica φφφφV = o, conforme ((021),§ 06.01).

Corol. 3: CNS para que um diádico seja anti-simétrico é que ele seja igual ao oposto da metade do produto vetorial do seu vetor pelo diádico unidade.

A condição é necessária pelo teorema 1, porque se - A = AT, então (01) dá

51 A proposição seguinte já foi demonstrada por outras vias (Teor.4, § 04.02).

VVT

21

21 AAAA ×−=×−=−= ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (013).

A condição é suficiente porque se um diádico satisfaz à igualdade anterior, (01) dá

2 = donde, = ,T T TA A A A A− −, e A é anti-simétrico.

Corol. 4: Tem-se, para qualquer φφφφ:

Vsim 21 φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ ×−= , (014).

Com efeito, é o que resulta da substituição de (01) em ((03),§ 04.02).

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand.

Teor. 1: Para qualquer vetor q, a operação q× em E3 equivale a uma transformação

linear representada pelo diádico anti-simétrico I×q = q×I para ser usado como pré-fator.

Considerando que, obviamente, q×r = ΙΙΙΙ.(q×r ), e que, por ((04),§ 06.01),

q.rrq ×=× ΙΙΙΙ , (01),

Page 148: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

128 § 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

II,§ 06.05

a transformação que q× opera sobre r é equivalente à do diádico anti-simétrico ΙΙΙΙ×q, se usado como pré-fator. Temos também, da igualdade anterior e de ((12),§ 06.01):

qr.qr.qr ×−=×=×− ΙΙΙΙΙΙΙΙ T)(

ou

qr.qr ×=× ΙΙΙΙ , (011).

De (01) e (011) resulta então que, se no produto cruzado, r precede ou segue q, então o diádico I×q deve ser usado como pós ou pré-fator, respectivamente.

Corol. 1:

O diádico correspondente ao operador ×× )( ba é dado por ba - ab.

É o que se deduz imediatamente de (01), (011) e ((07),§ 06.01).

Corol. 2:

A qualquer vetor q corresponde o diádico anti-simétrico ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=× qq .

Nota: Todo produto vetorial de vetores pode ser substituído pelo produto pontuado do diádico anti-simétrico associado a um dos vetores pelo outro vetor.

Interpretação geométrica do diádico de Argand.

A operação ×k que o unitário $k realiza sobre o vetor v que lhe é ortogonal é uma

rotação de v, de um ângulo reto, em torno do eixo $k , no sentido anti-horário, no plano

ortogonal a $k , quando se observa o plano do semi-espaço para o qual aponta $k . Logo o

diádico anti-simétrico ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=× kk ˆˆ roda de um ângulo reto no sentido anti-horário,

qualquer vetor v ortogonal a $k . O diádico k×ΙΙΙΙ se confunde então com o operador de Argand do Cálculo Vetorial52.

Se o vetor r não é ortogonal a $k , podemos decompô-lo na direção de $k e na direção ortogonal a $k no plano ($k ,r ); seja r = v+K $k . Sendo:

.vkvk.rkrk ˆˆˆˆ ×=×=×=× ΙΙΙΙΙΙΙΙ , vemos que o diádico k×ΙΙΙΙ transformará qualquer r num vetor ortogonal a $k girando de um

ângulo reto no sentido anti-horário a componente v de r ortogonal a $k (Fig.06.01).

52Essa nomenclatura não é de uso geral; veja Calaes, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, 2ª edição, Fundação Gorceix, 1979, tomo I, cap.III. Outros autores usam a notação Ι π( / )2 e, no caso geral, Ι ϕ( ).

Page 149: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 129

Poliádicos - Ruggeri

Assim, a operação que o operador de Argand do Cálculo Vetorial executa sobre vetores de um plano, fica estendida para qualquer vetor do espaço pelo diádico k×ΙΙΙΙ ; e a este diádico denominaremos diádico de Argand (do unitário $k ).

Potências do diádico de Argand.

Se o diádico de Argand é aplicado várias vezes sobre o mesmo vetor ele provoca a rotação da componente ortogonal desse vetor em relação a $k de tantos ângulos retos quantas aplicações sejam feitas. Essas aplicações são equivalentes a potências inteiras desse diádico e podem ser calculadas com facilidade tal como se calculam as potências inteiras do operador de Argand no Cálculo Vetorial53. Pondo

kJ ˆ×= ΙΙΙΙ , (J é uniplanar), (02),

escrevemos, lembrando ((02)2.§ 06.02):

kkk.kk.kJk ˆ)ˆ(ˆ])ˆ[()ˆ()ˆ()ˆ( 22 ××=××=××==× ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

donde, lembrando ((03)5,§ 06.02):

)ˆˆ()ˆˆ(ˆ)ˆ(2 kkIIk.kkkI.J −−=−= , (021).

* Exercício: Como ∀r : rr r rr==== 2 $ $ , então, sendo rJr ×= ΙΙΙΙ|| resulta de (021):

)()( : 22 ΙΙΙΙΙΙΙΙ rrrrr +−−=×∀ , (022).

O diádico (022) é o diádico de inércia da Mecânica Racional. *

Pondo, ainda:

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ− =$ $k k , (I é uniplanar)54, (03), teremos:

I I I. J J2 , ,= = (04),

53 Essa operação será generalizada no capítulo III. 54Observar a diferença de notação entre I e ΙΙΙΙ (diádico unidade). Notar, ainda, que I , uniplanar, é o diádico

unidade do plano ortogonal a $k .

Page 150: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

130 § 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

II,§ 06.05

e J I J J . J I. J J J I I2 3 2 4 2, , etc. ,= − = = − = − = = (05).

Da quinta potência em diante podemos escrever:

Para N=1,2,3,... J I J J J I J J4N 4N+1 4N+2 4N+3, , = = =− =−, , (051).

Notemos mais uma vez que o diádico de Argand ΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=×= kkJ ˆˆ só produz rotações

de 90o sobre os vetores perpendiculares a $k , anulando aqueles vetores paralelos a $k . Esse efeito anulador de kJ ˆ×= ΙΙΙΙ sobre os vetores paralelos a $k pode ser eliminado transformando vetores quaisquer do espaço pelo diádico

kkJkkkkkkZ ˆˆˆˆˆˆˆˆ +=+×=+×= ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (06).

Nesse caso, teríamos: rkkr.rk.rkkk ′=+×=+× ˆ)ˆ(ˆ)ˆˆˆ( ΙΙΙΙ ,

resultado de interpretação geométrica evidente, conforme ilustrado na Figura 06.02.

As potências inteiras sucessivas de Z são calculadas com simplicidade; temos:

etc.

,

,ˆˆ

,ˆˆˆˆˆˆ

,ˆˆˆˆ2

2246

45

4

3

2

Z.ZZZ

Z.ZZZ

kkZ

kkJkkkkZ

kkkkZ

==

==

=+=

+−=+×−=

+−=+−=

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

(07),

Não é difícil provar que Z é completo. Com efeito, se $i e $j são dois unitários

ortogonais do plano perpendicular a $k podemos escrever:

kkkZ ˆˆˆ +×= ΙΙΙΙ , sendo kkjjii ˆˆˆˆˆˆ ++=ΙΙΙΙ ,

donde,

kkijjiZ ˆˆˆˆˆ ++−= && e 1)ˆˆˆ)(ˆˆ(3 =−= kijkjiZ (08).

Page 151: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 131

Poliádicos - Ruggeri

Obviamente, é também igual à unidade positiva o terceiro de qualquer potência de Z, donde concluirmos, ainda, que todos os diádicos Z P são completos para P finito. Exercício: Se P>4 e P=4Q+R, então ZP=ZR.

Generalizações. Esses resultados podem ser generalizados. Sejam a, b e c três vetores independentes e a*, b* e c* seus correspondentes recíprocos. Temos:

)()()( accabbaaaa ×+×+×=× ∗∗∗ΙΙΙΙ ,

e

)()()( accabbaaaaaaa ×+×++×=+× ∗∗∗ΙΙΙΙ .

Logo:

)]()())[(()(3

ac.abaaaabcaaa ×××+×=+× ∗∗∗ΙΙΙΙ .

Sendo ∗∗∗∗∗ +−=××+× baaaababaaa 2)()()( ,

o número entre colchetes vale

)()(])([ 22 ∗∗∗∗∗∗ =×+− cabaac.baaaab .

Então, aplicando propriedades dos recíprocos, escrevemos o valor do terceiro em pauta na forma

( ) ( ) ( ) ( )( );abc a ab c abc a a b c a.a2 2∗ ∗ ∗ ∗ ∗= donde, novamente lembrando as propriedades dos recíprocos:

433

)( aaaaZ =+×= ΙΙΙΙ .

Este resultado, obviamente, generaliza a fórmula (08).

Calculemos agora as potências N-ésimas do diádico Z=ΙΙΙΙ×a+aa. Notemos, preliminarmente, que, se φφφφ e ψψψψ são dois diádicos não nulos que gozem da propriedade:

ΟΟΟΟφφφφψψψψψψψψφφφφ == .. ,

então, φφφφ e ψψψψ não são completos (§ 05.04) e

,)( NNN ψψψψφφφφψψψψφφφφΟΟΟΟφφφφψψψψψψψψφφφφ +=+⇒== .. (09).

Page 152: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

132 § 06 - Multiplicação cruzada entre diádico e vetor.

II,§ 06.05

Com efeito, para N = 2, por exemplo, temos:

( ) .φφφφ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ+ = + + + = +2 2 2 2 2. .

Logo, se (09) for válida para o expoente N - 1, escrevemos:

( ) ,φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ+ = +− − −N 1 N 1 N 1

donde

( ) ( ) ( ) .φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ+ = + + = + + +− − − −N N 1 N 1 N N N 1 N 1. . . Porém

ΟΟΟΟψψψψΟΟΟΟψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ === −−− 2N2N1N )( .... ,

e

;)( 2N2N1N ΟΟΟΟΟΟΟΟψψψψφφφφψψψψψψψψφφφφψψψψ === −−− ....

donde, então, a fórmula (09), válida para qualquer N inteiro positivo. Ora,

),() ()()(])[() ()( a.aaaaaa.aaa.aaaa.a ×==×=×=×=× ΙΙΙΙΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ (A);

logo, de (09), escrevemos:

NNNN )()()( aaaaaaZ +×=+×= ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (10).

A segunda parcela de (10) pode ser calculada imediatamente; temos:

( ) | | ( ),(a a a a a N N 1)= −2 (11). Com efeito, é simples comprovar que a fórmula é válida para N = 2,3,...; supondo que ela

valha para o expoente N - 1, escrevemos:

( ) | | ( ),(a a a a a N 1 N 2)− −= 2 donde, multiplicando escalarmente ambos os membros por (aa):

( ) | | ( ) | | | | ( ) | | ( )( ( (a a a a a a a a a a a a N N 2) N 2) N 1)= = =− − −2 2 2 2 2 ; isso é, a fórmula é válida para qualquer expoente. O cálculo da primeira parcela de (10) é mais trabalhoso. Temos:

aaa ×−=× + ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2HH12H ||)1()( , (H=1,2,...,N) (12),

ou

Page 153: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 133

Poliádicos - Ruggeri

21)-2(H1H2H )(||)1()( aaa ×−=× + ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (H=1, 2,..., N), (121),

conforme o expoente seja ímpar ou par, respectivamente. É fácil comprovar que essas fórmulas são válidas para H = 1,2,..., isso é,

etc. )(||)( ,||)( 22423 aaaaaa ×−=××−=× ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ (B).

Supondo que valham para H=N-1, escrevemos:

aaa ×−=× −−− ΙΙΙΙΙΙΙΙ 1)(N21N12N ||)1()(

e .)(||)1()( 22)N(2N1)2(N aaa ×−=× −− ΙΙΙΙΙΙΙΙ

Então, multiplicando ambos os membros da primeira por (I×a)2, deduzimos:

aaaaa ×−=×−=× −−+ ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 2NN3)1N(21N12N ||)1()(||)1()(

isso é, (12) é válida para H=N. Similarmente, multiplicando ambos os membros da segunda por (ΙΙΙΙ×a)2, escrevemos:

42)N(2N2N )(||)1()( aaa ×−=× − ΙΙΙΙΙΙΙΙ

Lembrando (B)2,, resulta:

21)N(21NN2 )(||)1()( aaa ×−=× −+ ΙΙΙΙΙΙΙΙ

isso é, (121) é válida para qualquer H. Podemos, assim, finalmente, apresentar as expressões das potências enésimas de Z = ΙΙΙΙ×a+aa em função de a×ΙΙΙΙ e (aa) nas formas:

) (||)(||)1( 1)2(2N21)2(N1N2N aaaaa −−+ +×−= ΙΙΙΙZ (13),

E

) (||||)1( 4N2NN12N aaaaa +×−=+ ΙΙΙΙZ (131),

conforme o expoente seja par ou ímpar, respectivamente55.

55Notar que as potências pares de Z podem ser expressas em função de ΙΙΙΙ e aa, bastando considerar que

.||)( 22 ΙΙΙΙΙΙΙΙ aaaa −=×

Page 154: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

134 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.01

§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS.

§ 07.01 - Definições e propriedades. Dados dois diádicos em forma polinomial:

φφφφ ψψψψ= = = =a b c dii

jj (i 1,2, ... , P) e (j 1,2, ... ,Q),

chama-se duplo produto de φφφφ por ψψψψ, e representa-se por ψψψψφφφφ o∗ (ler: φφφφ operando operando

ψψψψ), a expressão:

))(()( )( jiji

jj

ii dbcadcba ooo ∗== ∗∗ ψψψψφφφφ (011)

56,

a cujo terceiro membro deve ser aplicada a convenção somatória (ele apresenta PxQ parcelas). Este produto é um número se as operações indicadas são a de multiplicação pontuada, um diádico se as referidas operações são as de multiplicação cruzada, ou um vetor se as operações representadas por o e * são distintas. Assim:

Q.1,2,...,j e P1,2,...,i ,

vetor), )( (

vetor), )( (

diádico ), )( (

escalar ), )( (

jiji

jiji

jiji

jiji

==

×=

×=

××=

=

×

×

××

d.bca

dbc.a

dbca

d.bc.a:

.

.

ψψψψφφφφ

ψψψψφφφφ

ψψψψφφφφ

ψψψψφφφφ

(01).

A primeira expressão representa o duplo produto pontuado, a segunda o duplo produto cruzado, as duas últimas os duplos produtos mistos dos diádicos φφφφ e ψψψψ. A multiplicação dupla (pontuada, cruzada ou mista) de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar o duplo produto (pontuado, cruzado ou misto) desses dois diádicos. Considerando-se ((01),§ 02.08), a expressão (01)1 pode ser escrita nas formas:

φφφφ ψψψψ

i ji j

E i ji j

E

j ij i

E j ij i

E

: a c b .d a .c b d

c a d .b c .a d b

= = =

= =

[ ( )] [( ) ]

[ ( )] [( ) ] ;

ou, ainda, inserindo-se os números dentro dos parênteses entre os antecedentes e os conseqüentes das díades (operação possível conforme (§ 02.02)):

φφφφ ψψψψ ii j

j Ei

i jj

E jj i

i Ej

j ii

E: a b .d c b a .c d c d .b a d c .a b= = = =[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .

56 Entender-se-á, doravante, que o símbolo * disposto entre vetores terá o mesmo significado que o , isso é, poderá representar uma multiplicação escalar ou uma multiplicação vetorial.

Page 155: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.01 - Definições e propriedades 135

Poliádicos - Ruggeri

Nos diferentes membros da expressão acima, vemos dentro dos colchetes a própria expressão de definição do produto pontuado de diádicos; logo, correspondentemente,

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ TE

TE

TE

TE: . . . .= = = =( ) ( ) ( ) ( ) , (02).

Então, a operação dupla multiplicação pontuada de diádicos acrescenta um novo número à nossa Álgebra, número esse que, em princípio, é independente dos escalares de φφφφ e ψψψψ. Fazendo-se ψψψψ = φφφφT, (02) dá:

E2T )( φφφφφφφφφφφφ =: , (02

1).

Exercício: Provar que

PE

PE )()( :inteiro P ,, φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ .. =∀ , (022),

e generalizar: São iguais os escalares de uma mesma potência de produtos de diádicos em que os fatores formem uma permutação cíclica:

PE

PE

PE ) ... ( ... ) ... () ... ( ααααββββχχχχλλλλµµµµααααµµµµλλλλχχχχββββµµµµλλλλχχχχββββαααα ............... === , (023).

Fórmulas análogas a (02) não podemos deduzir para a dupla multiplicação cruzada uma vez que o produto cruzado de dois diádicos (que dá um triádico, como veremos oportunamente) não está definido; tão pouco está definido o que seja "vetor de um triádico". Porém, para a Álgebra dos Diádicos, essa operação acrescenta mais um diádico associado aos diádicos φφφφ e ψψψψ. Por outro lado, pondo: φφφφ=eia

i, ψψψψ=ej bj, com ei independentes,

e ai = (ai. er)er, bj = (bj. es)e

s, escrevemos:

1,2,3)sr,j,(i, ),)()()(( srjis

jr

i =××=×× eeee.eb.eaψψψψφφφφ , (A).

Aplicando ((04),(041),(07),§ 04.02,I) e ((03),§ 03.03,I) escrevemos, ainda, sucessivamente: ψψψψφφφφ ×× = =( )( )a .e b .e e ei

rj

srsk

ijmm

kε ε

= ( )( ) .a .e b .e e eir

js

ir

jr

mr

is

js

ms

ik

jk

mk

mk

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

Desenvolvendo o determinante e efetuando as somas indicadas em cada uma das seis parcelas do último membro, encontramos:

Page 156: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

136 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.01

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js i

rjs

mk m

ki

ij

jk

kδ δ δ = = φφφφ ψψψψE EΙΙΙΙ,

( )( ) ( )( ) ( )a .e b .e e e a .e b .e e e b e .a eir

js j

rm

sik m

ki

jj

mm

ij

ji

iδ δ δ = = = ψψψψ φφφφT T. ,

( )( ) ( )( ) ( )a .e b .e e e a .e b .e e e a e .b eir

js m

rjk

is m

ki

mj

im

ji

ij

jδ δ δ = = = φφφφ ψψψψT T. ,

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js i

kjs

mr m

ki

mj

jm

iδ δ δ = = ψψψψ ψψψψ φφφφ

Ei

i ETa e = ,

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js j

km

sir m

ki

ij

mm

jδ δ δ = = φφφφ φφφφ ψψψψ

Ej

j ETb e = ,

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js m

kjr

is m

ki

jj

im

mδ δ δ = =

= =[ ( ) ] ( ) .b e .a e .jj

ii E

T TE

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙψψψψ φφφφ

Logo:

ΙΙΙΙφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψΙΙΙΙψψψψφφφφψψψψφφφφ ETTT

ET

ETTTT

EE )(++ ... −−−=×× (03),

ou, transpondo, agrupando convenientemente, fatorando e aplicando (022) para P=1:

])([)()() ( EEET ΙΙΙΙφφφφψψψψφφφφψψψψΙΙΙΙψψψψψψψψΙΙΙΙφφφφφφφφψψψψφφφφ ... +−−+−+−=×

× (031).

A fórmula (03) é válida em E3, quaisquer que sejam os diádicos φφφφ e ψψψψ (completos, planares ou lineares). No E2, entretanto, temos, de (A), para i,j = 1, 2:

).)()]()((

))(())((+))([( 21

2111

22

12

21

21

12

22

11

eeee.eb.ea

.eb.ea.eb.ea.eb.ea

××−

−−=×× ψψψψφφφφ

Somando e subtraindo, dentro dos colchetes, as parcelas

( )( ) ( )( )a .e b .e a .e b .e11

11

22

22 e ,

agrupando convenientemente, fatorando e lembrando (01)1, vem:

),)()](+( )+(

)+)(+[( 21

212

21

122

11

22

11

22

11

eeeebebe:eaea

.be.be.ae.ae

××−

−=×× ψψψψφφφφ

isso é, em E2: ⊥

×× −= ΙΙΙΙψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ )( T

EE : , (032),

expressão em que ΙΙΙΙ ⊥ é o diádico unidade do espaço unidimensional ortogonal de E2.

Entretanto, em E3, as duplas multiplicações cruzadas de diádicos planares que têm um plano homônimo coincidente, dão como resultado diádicos unilineares do mesmo espaço cujas direções são perpendiculares aos respectivos planos (coincidentes) dos diádicos fatores; para estes aplica-se a fórmula (03).

Page 157: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.01 - Definições e propriedades 137

Poliádicos - Ruggeri

Raciocinando e operando como anteriormente, podemos escrever (01)3 e (01)4 nas formas respectivas:

,)(])([

,)(])([

VT

Vjji

i

VT

Vj

jii

ψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφ

.c.dba.

.d.cab.

==

==

×

× (04),

para concluirmos: as duplas multiplicações mistas acrescentam novos vetores à nossa Álgebra, vetores esses que, em princípio, são independentes dos vetores de φφφφ e de ψψψψ. Por analogia com o duplo produto de φφφφ por ψψψψ, definido por (011), poderíamos definir

outros duplos produtos, denominá-los duplos produtos horizontais e representá-los por φφφφ o *ψψψψ, escrevendo:

))(( jij

i dacb oo ∗=∗ψψψψφφφφ (05).

Teríamos, assim, o duplo produto pontuado horizontal φφφφ..ψψψψ, o duplo produto cruzado horizontal φφφφ××ψψψψ e os duplos produtos mistos horizontais φφφφ×.ψψψψ e φφφφ.×ψψψψ, acrescentando com isto novos elementos à nossa Álgebra (um número, um diádico e dois vetores). Deduzimos, facilmente:

)( )( iij

j abdc oo ∗=∗ψψψψφφφφ ,

isso é

T φφφφψψψψψψψψφφφφ oo ∗=∗ , (06).

Em vista de (06), a dupla multiplicação horizontal fica reduzida à dupla multiplicação definida por (011), sendo, pois, desnecessária. Deve ser observado, entretanto, que o escalar, os vetores e o diádico dados por (05), geralmente são diferentes

daqueles dados por (01); uma exceção, por exemplo, verifica-se quando φφφφ=φφφφT (φφφφ simétrico), situação muito comum nas aplicações. Manteremos as definições de Gibbs. As duplas multiplicações gozam das seguintes

Propriedades.

1ª)- São sempre possíveis, unívocas e os seus resultados são invariantes, o que é evidente.

2ª)- São comutativas as duplas multiplicações pontuadas e cruzadas:

==

=××

××

∗∗

∗∗ ,

, or ,

φφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφ

φφφφψψψψψψψψφφφφ::

(07).

Com efeito, para comprovar basta comutarem-se as letras dentro dos parênteses em (01)1,2 e em seguida aplicar-se a definição (01) à expressão obtida.

Page 158: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

138 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.01

3ª)- O escalar de um produto pontuado de diádicos é igual ao escalar do produto pontuado desses mesmos diádicos em ordem inversa:

( ) ( ) ,φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ. .E E= (08).

Com efeito, é o que podemos deduzir considerando o segundo e o último membros de (02), ou o terceiro e o quarto.

4ª)- A dupla multiplicação mista de diádicos é anti-comutativa:

−=−=

−=××

××

∗∗ ,

, or ,

φφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφ

φφφφψψψψψψψψφφφφ ....

oo (09).

De (01)3 podemos escrever:

)( )( ))(( ii

jj

ijij ba.dcbd.ac.

×× −=×−=ψψψψφφφφ ,

o que comprova (09)1. Similarmente podemos comprovar (09)2. Decorre imediatamente da anti-comutatividade da dupla multiplicação mista, representada por (09), que,

o. =∀ × φφφφφφφφφφφφ : (09)1.

Esta propriedade, aliás, pode ser confirmada pelas igualdades (04), pois, para ψψψψ = φφφφ, φφφφT.ψψψψ é diádico simétrico (Corol. 2, Teor. 1, § 05.03), logo, de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02).

5ª)- As duplas multiplicações mistas não se alteram se, simultaneamente, comutamos os símbolos operatórios e substituímos os diádicos fatores pelos seus respectivos transpostos:

=

==

××

××

∗∗

,

,

or , TT

TT

TT

ψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

..

..

oo (10).

Com efeito, pois podemos escrever (01)3 na forma:

)( )())(( jj

ii

jiji cd.ab.cadb. ×

× =×=ψψψψφφφφ ,

o que comprova (10)1. Similarmente podemos comprovar (10)2.

Page 159: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.01 - Definições e propriedades 139

Poliádicos - Ruggeri

6ª)- As duplas multiplicações são associativas em relação a fatores escalares:

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ A)A( = )A() (A oooo

∗∗∗∗ ≡= , (11).

A demonstração é imediata, bastando lembrar-se a definição de produto de diádico por número (§ 02.02) e considerar-se que os produtos escalar e vetorial de vetores são associativos em relação a fatores escalares.

7ª)- As duplas multiplicações são distributivas em relação à adição de diádicos:

... ...)( ±±=±± ∗∗∗ χχχχφφφφψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ ooo (12).

Reduzamos, por exemplo, os diádicos entre parênteses a formas trinomiais com os mesmos antecedentes independentes. Ponhamos:

ψψψψ χχχχ φφφφ= = =e a e b x yii

ii

ii etc e , .

Então deduzimos, sucessivamente, por duplas multiplicações:

...).)((

...)]()[(...)]([ )(

jijiji

jjiji

jjj

ii

±±∗=

=±±∗=±±∗

byayex

bayexbaeyx

oo

oo

Considerando agora a distributividade da multiplicação de números por soma de números, ou a de números por soma de vetores ou a de multiplicação direta de vetor por soma de vetores, temos:

...))(())((...)( jiji

jiji ±∗±∗=±±∗ byexayex ooo χχχχψψψψφφφφ .

Considerando a definição (01), reconhecemos nas parcelas do segundo membro as parcelas do segundo membro de (12).

Nota: As propriedades 6ª) e 7ª) mostram que as duplas multiplicações são operações lineares:

... B A )... B A ( ±∗±∗=±±∗ χχχχφφφφψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ ooo (13).

8ª)- A dupla multiplicação cruzada não é associativa:

) ( ) ( χχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ ××

××

××

×× ≠ (14).

Para comprovar basta desenvolver ambos os membros de (14) para verificarmos que os antecedentes de um (bem como os conseqüentes) são diferentes dos correspondentes do outro.

Page 160: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

140 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.02

9ª)- O transposto de um duplo produto cruzado de diádicos é igual ao duplo produto cruzado dos transpostos dos diádicos:

TTT ) ( ψψψψφφφφψψψψφφφφ ××

×× = (15).

Com efeito, pois de (01)2 podemos escrever:

TTji

jiT ))(() ( ψψψψφφφφψψψψφφφφ ××

×× =××= cadb .

10ª)- O duplo produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto pontuado dos seus transpostos:

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ T T: := , (16).

Com efeito, pois de (01)1 podemos escrever:

TTj

ji

iji

ji )( )())((: ψψψψφφφφψψψψφφφφ :cd:ab.ca.db ===

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

Teor.1: (CNS para que um duplo produto seja nulo)

ΟΟΟΟφφφφψψψψΟΟΟΟ

ψψψψφφφφ =⇒∀⇐

0

= oo , (01).

Analisemos em primeiro lugar a dupla multiplicação cruzada, pondo, para tal, φφφφ = eia

i e ψψψψ = ejbj, com ei independentes. Temos, com diádicos gerados do E3:

= ψψψψφφφφ ×× ΟΟΟΟεεεε =×=×× )()())(( jik

ijk321ji

ji baeeeebaee .

Logo, efetuando as somas indicadas e considerando que os conseqüentes de ψψψψφφφφ ×× devem

ser todos nulos (§ 02.09):

×=××=××=×

.

,

,

1221

3113

2332

baba

baba

baba

Para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3) as igualdades acima só são possíveis se a a a o1 = = =2 3 , o que implica φφφφ = ΟΟΟΟ. Analisemos, agora, a dupla multiplicação pontuada, pondo φφφφ = eia

i e ψψψψ = ejbj, com (e1e2e3)≠0. Temos: φφφφ ψψψψ =

ij i

ji

i: e .e a .b a .b( )( ) .= = 0 Tal como no caso anterior, para

todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3), esta igualdade só é possível se a a a o1 = = =2 3 , isso é, se φφφφ = ΟΟΟΟ. Poderíamos analisar analogamente a operação ψψψψφφφφ

.× com as reduções φφφφ = aiei e ψψψψ =

bjej.

A recíproca do teorema é de demonstração evidente.

Page 161: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 141

Poliádicos - Ruggeri

Duplo produto nulo de diádicos não nulos. O Teor. 1 só é verdadeiro para qualquer ψψψψ, isso é, para dado ψψψψ, Ο=×

× ψψψψφφφφ não

acarreta φφφφ=ΟΟΟΟ. Com efeito, sejam, iiae=φφφφ e j

jbe=ψψψψ com 0)( 321 ≠eee , oa ≠i , ob ≠j .

Sendo ΟΟΟΟψψψψφφφφ =×× , resultam a2×b3 = a3×b2, .... Essas igualdades serão possíveis se os

vetores a1, a2, a3 e b1, b2, b3, além de coplanares, satisfizerem também as condições (de igualdade de áreas orientadas):

| || |sen( , ) =| || |sen( , )

| || |sen( , ) =| || |sen( , )

| || |sen( , ) =| || |sen( , ),

2 3 2 3 3 2 3 2

3 1 3 1 1 3 1 3

1 2 1 2 2 1 2 1

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

(02),

onde os ângulos (a2,b3), (a3,b2) etc. são orientados no plano dos vetores. Destas três condições deduzimos, se nenhum dos vetores é o vetor zero:

sen

sen

sen

sen

sen

sen

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , ),

a b

a b

a b

a b

a b

a b

1 2

1 3

2 3

2 1

3 1

3 2 1× × = (021);

ou, ainda, lembrando a definição de razão simples de três raios:

(a b b )(a b b )(a b b ) = 1,1 2 3 2 3 1 3 1 2 (022).

Denominaremos um feixe de seis raios que satisfaça a (022) um "feixe de Ceva". Traçando-se arbitrariamente retas paralelas a b1, b2 e b3 e denotando-se por B1 a

interseção de b2 com b3, B2 a de b3 com b1 e B3 a de b1 com b2, estas definem um triângulo B1B2B3 cujos ângulos internos só dependem de ψψψψ. Então as paralelas aos ai conduzidas pelos Bi, que interceptam as bi nos pontos Ai, são dependentes de um ponto V, (Fig.07.02).

Se é nulo o duplo produto cruzado de dois diádicos não nulos as retas suporte dos seus (seis) conseqüentes (ou antecedentes) em uma redução trinomial arbitrária formam um feixe de Ceva.

Fig.07.02

Com efeito, ponhamos (021) na forma equivalente

1),(sen

),(sen

BB

BB

),(sen

),(sen

BB

BB

),(sen

),(sen

BB

BB21

31

23

13

13

23

12

32

32

12

31

21

=××abab

abab

abab

,

Page 162: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

142 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.02

e reescrevamos essa expressão, agora lembrando a expressão da razão simples de três pontos expressa em função da razão simples de três raios que os projetam dos centros B1, B2 e B3 (Fig. 07.02); teremos:

1BA

BA

BA

BA

BA

BA23

13

12

32

31

21−=×× ,

expressão que confirma a nossa assertiva, conforme o clássico teorema de Ceva.

Diádicos de Pauly.

Definição: (diádicos de Pauly) Dois diádicos que, reduzidos a formas trinomiais com os mesmos antecedentes independentes, admitam por conseqüentes vetores cujos suportes definam um feixe de Ceva, são denominados diádicos de Pauly, ou par de Pauly; serão indicados por Pau( , ).

Logo: Se o duplo produto cruzado de dois diádicos é o diádico nulo, esses diádicos formam um par de Pauly.

A recíproca deste teorema não é verdadeira:

O duplo produto cruzado dos diádicos de um par de Pauly não é nulo necessariamente.

Com efeito, de (022) ou (021) não se deduzem as (02). Com mais forte razão, podemos escrever:

ΟΟΟΟψψψψφφφφψψψψφφφφ ≠⇒≠≠ ×× 0,0 33 , (03).

Da mesma forma, sendo φφφφ completo, qualquer um de seus homológicos é completo; logo

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφ ≠⇒≠ ×× Hom ,03 , (04).

Consideremos, agora, o par de diádicos de Pauly, φφφφ e ψψψψ, de conseqüentes a a a b b b1 2 3 1 2 3 e , , , , . O duplo produto cruzado de φφφφ por ψψψψ tem por conseqüentes os vetores não nulos

≠×−×≠×−×≠×−×

,

,

,

1221

3113

2332

obaba

obaba

obaba

sendo, pois, em geral, não nulo; isso é, embora os conseqüentes de φφφφ e ψψψψ formem um feixe

de Ceva, os vetores paralelos 32 ba × e 23 ba × etc. podem ter módulos diferentes. Isto significa que, em geral, o sistema (02) não se verifica. Entretanto, podemos determinar os vetores c ai i iX= (i = 1, 2, 3)57, paralelos aos ai, tais que o sistema (02) se verifique. Para isto bastará comprovarmos que o sistema

57 Deve ser notado, conforme já convencionamos, que no segundo membro não está estabelecido somatória.

Page 163: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 143

Poliádicos - Ruggeri

0 X + | sen( X | sen( X

| sen( X + 0X + | sen( X 0

| sen( X | sen( X + 0X 0

1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

|| | , ) || | , )

|| | , ) || | , )

|| | , ) || | , )

− =

− =

− =

0

admite solução diferente da trivial. Com efeito, o determinante do sistema,

| || || || || || |

[ , ) , ) , ) , ) , ) , )],

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b

1 2 3 1 2 3

1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2sen( sen( sen( sen( sen( sen(−

é nulo porque, em vista da validade de (021), o fator entre colchetes é nulo, isso é, as retas suporte dos vetores formam um feixe de Ceva. Assim, se (X1,X2,X3) for uma solução do sistema, as demais serão do tipo K(X1,X2,X3), em que K é uma constante arbitrária. Então, existem diádicos planares (formando uma família), de conseqüentes paralelos aos ai, portanto homológicos do diádico fator φφφφ, que anulam o duplo produto cruzado de qualquer um deles pelo diádico ψψψψ. Ora, como os vetores ci, em vez de paralelos aos ai, poderiam ser tomados paralelos aos bi, concluímos:

Teor. 2: Dado um par de Pauly, de diádicos φφφφ e ψψψψ, existe uma família de diádicos semelhantes e homológicos com φφφφ (ou ψψψψ), tal, que o duplo produto cruzado de qualquer dos membros dessa família, Hom φφφφX (ou Hom ψψψψ1/X), por ψψψψ (ou φφφφ) seja o diádico nulo:

==

⇒××

××

. Hom

Hom ),Pau(

1/X

X

ΟΟΟΟφφφφψψψψΟΟΟΟψψψψφφφφ

ψψψψφφφφ

Observação: Os Xi são determinados em função dos diádicos φφφφ e ψψψψ do par de Pauly; estão, pois, associados a esse par. Por isso mesmo, usamos a notação HomφφφφX para especificar os membros da família interessada já que HomφφφφX é um subconjunto de Homφφφφ.

É fácil justificar porque

0

,E do gerados , os para 3

=≠o

. ψψψψφφφφΟΟΟΟψψψψ o não ΟΟΟΟφφφφ =⇒ , (05).

Ponhamos φφφφ=eia

i e ψψψψ=ejbj com (e1e2e3)≠0. Então:

== ))(( jij

i ba.ee. oo ψψψψφφφφ

==δnulo).(escalar 0

zero)(vetor )( i

ij

iji

obaba oo

Page 164: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

144 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.02

Sendo ψψψψ≠ΟΟΟΟ, os seus conseqüentes, bi, não são simultaneamente nulos; para que ai o bi seja nula basta, por exemplo, que os bi sejam correspondentemente ortogonais aos ai, se o ≡., ou que os bi sejam correspondentemente paralelos aos ai, se o ≡×. Assim, existem infinitos diádicos não nulos que anulam o duplo produto ψψψψφφφφ o. , qualquer que seja ψψψψ≠ΟΟΟΟ.

Diádicos ortogonais.

Consideremos um diádico linear cujo antecedente seja perpendicular ao plano dos antecedentes de um diádico planar dado. É evidentemente nulo o duplo produto pontuado desses diádicos não nulos, isso é,

Teor. 3: Se o antecedente (conseqüente) de um diádico linear é perpendicular ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de um diádico planar, o duplo produto pontuado deles é nulo.

É evidente também a demonstração do seguinte

Teor. 4: É nulo o duplo produto pontuado de dois diádicos lineares cujos antecedentes ou conseqüentes sejam perpendiculares.

Existem, pois, diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo.

Definição: (diádicos ortogonais) Diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo são ditos ortogonais ( ou perpendiculares)

Teor. 5: Todo diádico completo pode ser decomposto na soma de dois diádicos ortogonais, um planar e um linear.

Com efeito, seja φφφφ = ′+ ′ + ′ax by cz um diádico completo de antecedentes e conseqüentes co-iniciais num ponto arbitrário, O, do espaço. Sejam, ainda, A' e B' as interseções dos vetores a e b com o plano conduzido pela extremidade C de c. Seja C’ a projeção ortogonal da extremidade C de c sobre o plano (a,b) quando c é co-inicial com a e b em O. Decompondo o vetor o vetor de origem O e extremidade C’ em relação a a e b,

podemos escrever: ba NMOC' += . Então: nc += OC' , sendo n ortogonal a a e b. Assim,

φφφφ = ′+ ′ + + + ′ = + +ax by n a b z ax by nz( )M N , sendo x x z y y z z z= ′ + ′ = ′ + ′ = ′M N e , . Então o completo φφφφ é a soma do planar ax + by com o linear nz cujo antecedente é perpendicular ao plano dos antecedentes de ax+by. Logo, o duplo produto pontuado desses diádicos vale zero, e eles são perpendiculares.

Page 165: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 145

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 6: Se A é anti-simétrico, então todo diádico simétrico, S, é ortogonal a A. Reciprocamente, se todo diádico simétrico, S, é ortogonal a certo diádico A, então A é anti-simétrico:

ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ= − ⇐ ∀ = ⇒ =T T S S : S 0, (06).

Se ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ= − T e S S= T é qualquer, então ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ T T: S : S= − . Aplicando ao segundo membro a propr. 5ª da multiplicação pontuada dupla, vem S:AS:A −= , donde ΑΑΑΑ : S = 0, isso é, A é ortogonal a S. Reciprocamente, se certo diádico A é ortogonal a todo e qualquer diádico simétrico A, isso é, ΑΑΑΑ : S = 0, então, aplicando a propr. 5 da multiplicação pontuada dupla de diádicos ao primeiro membro dessa igualdade, vem: ΑΑΑΑ T T : S = 0; ou, ainda, considerando que S S= T , ΑΑΑΑ T : S= 0. Logo, (ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ+ =T ) : S 0, isso é, ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ+ T é

ortogonal a todo S S= T ; e o Teor. 1 exige seja ΟΟΟΟΑΑΑΑΑΑΑΑ =+ T porque S, embora simétrico, é qualquer. Portanto A deve ser anti-simétrico.

O ortogonalismo dos diádicos será detalhadamente discutido no §10 e no §11, não sendo possível precisar, no momento, em que condições e a quantos diádicos dado diádico possa ser ortogonal; mas um mesmo diádico pode ser ortogonal a pelo menos dois outros. Exercício 1: Se um diádico é ortogonal a dois outros, ele é ortogonal a qualquer combinação linear desses últimos.

Diádicos paralelos. Particularmente, no caso dos diádicos paralelos (§ 02.02), φφφφ e ψψψψ = M φφφφ, temos, conforme (04), § 07.01:

o. =⇒ × ψψψψφφφφψψψψφφφφ a paralelo , (07).

Com efeito, pois o.. ==× VT ) (M φφφφφφφφψψψψφφφφ já que φφφφ φφφφ T. é simétrico (Corol. 2, Teor.1, §

05.03), logo de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02).

Teor. 7: A CNS para que seja nulo o produto misto de dois diádicos é que o produto pontuado de um deles pelo transposto do outro seja um diádico simétrico:

TTTT )( φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ...o. ==⇔=× (08).

Page 166: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

146 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.03

A condição é necessária porque sendo o. =× ψψψψφφφφ , (042), § 07.01 implica a anulação

do vetor de φφφφ ψψψψ. T , ou seja, que esse diádico seja simétrico. A condição é suficiente pois,

dados dois diádicos φφφφ e ψψψψ tais que φφφφ ψψψψ. T seja simétrico, então o vetor desse produto é o vetor zero e, logo, ainda conforme (042), § 07.01, o. =× ψψψψφφφφ .

Corol. 1: Todo diádico é paralelo a si próprio:58

o. =× φφφφφφφφ , (09).

Com efeito, φφφφ φφφφ. T é diádico simétrico.

Corol. 2: Se um diádico é simétrico, ele é paralelo ao seu transposto:

o. =⇒= ×T T φφφφφφφφφφφφφφφφ , (091).

Nota: A recíproca desse teorema não é verdadeira. Existem diádicos não simétricos paralelos aos seus respectivos transpostos, mas os seus quadrados são simétricos

necessariamente; pois, TT )( φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ..o. =⇒=× .

Corol. 3: A CNS para que um diádico seja simétrico é que seja nulo o seu produto misto pelo diádico unidade:

o. =⇔= × ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφ T , (10).

Com efeito, em (08) poderia ser ψψψψ = ΙΙΙΙ .

Notas: 1) - Não se conclua daí que seja sempre nulo o produto misto de dois diádicos simétricos. Com efeito, mesmo que φφφφ e ψψψψ sejam simétricos, (04

2), § 07.01 não nos permite concluir que

o. = ψψψψφφφφ × porque φφφφ.ψψψψ não é em geral diádico simétrico.

2) - Entretanto, dois diádicos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

§ 07.03 - Invariância.

Teor. 1: (substituição de diádicos iguais em dupla multiplicação)

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφφφφφ oo∗∗ ′=⇒∀⇐′= , (01).

58 Provaremos no § 07.07 que todo diádico não nulo jamais é ortogonal a si próprio.

Page 167: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 147

Poliádicos - Ruggeri

No E3, ponhamos em forma trinomial, com (e1e2e3)≠0,

, e , jji

ii

i beaeae =′=′= ψψψψφφφφφφφφ

ψψψψ sendo um diádico qualquer. Se φφφφ = φφφφ', então, ai = a'i e

))(())(( jij

ijij

i baeebaee ooo ′== ∗∗∗ ψψψψφφφφ

uma vez que vetores iguais se substituem tanto em multiplicação escalar quanto em multiplicação vetorial de vetores. Considerando a definição de duplo produto de diádicos, do último membro da expressão de ψψψψφφφφ o∗ concluímos a veracidade do teorema direto.

Reciprocamente,

=′−⇒′=∀ ∗∗∗

.

0

)( :

ΟΟΟΟψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψ oooo

Como ψψψψ é qualquer, destas relações deduzimos: φφφφ = φφφφ', conforme (01),§ 07.02. E óbvio que

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφ ′′=⇒′=′= ∗∗ and oo (02).

Então: 1º) por não alterar-se um duplo produto de diádicos quando estes são substituídos por outros que lhes sejam iguais; 2º) porque diádicos iguais podem ser reduzidos a formas trinomiais de infinitas maneiras, concluímos:

Teor. 2: os duplos produtos são invariantes,

isso é, independem da forma sob que se apresentem os diádicos fatores.

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. Os duplos produtos apresentam valores notáveis quando um dos diádicos é o diádico unidade.

Teor. 1: Tem-se:

+−∀

×× ,=

,=

:

ET

E

ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ

φφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ

:

(01).

Estas fórmulas são, respectivamente, conseqüências imediatas de ((02) e (03) ou (031), § 07.01) para ψψψψ = ΙΙΙΙ.

*

Page 168: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

148 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.04

Exercício:

Provar que ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ ) ( TT ××

×× =

*

Particularmente, para φφφφ = rr , temos: ΙΙΙΙΙΙΙΙ 2 rrrrr +−=×× . Considerando (022), §

06.05, deduzimos:

2)( : rrrr ×=−∀ ×× ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (011).

Recorrendo a (121), § 06.05, temos:

) (||)1() ( : )12(N1NN ΙΙΙΙΙΙΙΙ ××

−+×× −=∀ rrrrrr , (012).

Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja o diádico nulo é que seu duplo produto cruzado com o diádico unidade seja o diádico nulo.

ΟΟΟΟφφφφΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφ =⇔=×

× ,,,, (013).

A condição é necessária porque de (01)2 deduzimos: φφφφT = φφφφEΙΙΙΙ; donde, tomando o escalar de ambos os membros: φφφφE = 3φφφφE, ou φφφφE = 0. Então: φφφφ = 0 ΙΙΙΙ = ΟΟΟΟ. A condição suficiente é evidente.

Nota : Este corolário é também um caso particular do Teor.1 do § 07.02, bastando considerar ψψψψ = ΙΙΙΙ (pois ΙΙΙΙ é um diádico completo).

Corol. 2: Uma CNS para que um diádico (não nulo) tenha escalar nulo é que ele seja ortogonal ao diádico unidade:

φφφφ φφφφ 0 0,

E: ΙΙΙΙ = ⇔ = (014).

A demonstração decorre imediatamente de (01)1.

Corol. 3: Uma CNS para que um diádico tenha escalar nulo é que o oposto do seu transposto seja igual ao seu duplo produto cruzado com o diádico unidade:

0 ET =⇔−=×

× φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ , (015).

Pois, se φφφφE = 0, (01)2 dá: T φφφφΙΙΙΙφφφφ −=×× . . . . Reciprocamente, se T φφφφΙΙΙΙφφφφ −=×

× , então (01)2 também fornece: φφφφEΙΙΙΙ = ΟΟΟΟ, isso é, conforme ((04).§ 02.09), φφφφE = 0. Decorrem imediatamente das (01) as seguintes expressões:

3 , 2 ==×× ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ : , (016).

Page 169: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 149

Poliádicos - Ruggeri

Particularmente (01)5 dá:

ΙΙΙΙ T ××==− AAA , (017).

Nota: Em vista de (01)2 a fórmula ((031),§ 07.01) pode ser escrita também na forma

ΙΙΙΙψψψψφφφφΙΙΙΙψψψψΙΙΙΙφφφφψψψψφφφφ )() () ( ×

×××

××

×× −= .. ,,,, (018)

Considerando (016)1, (01)2 pode ser escrita na forma:

TE )

2

1( φφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφ −=− ×

× , (019).

Exercício: Provar que

ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ 2EE

22T )(2) ( : +−=∀ ×× .

Teor. 2:

E

V

] )[(2I)( )(

,] )[()( )(

,+)( )( : e

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

××

×××

××

==××

=×=××

=××∀

aba.bb:a

abbab.a

baabbaba

(02).

Com o intuito de abreviar as demonstrações não explicitaremos as diversas propriedades utilizadas da multiplicação mista e da dupla multiplicação vetorial de vetores. Pondo ΙΙΙΙ = eie

i = ejej, temos, para i, j,... = 1,2,3:

).)((+)(()(

)()()()(

))](()[()( )(

iij

jji)ji

jiji

jiji

jiji

a.beeeeeeee.ba

eee.beaeeb.eea

eeebeaba

××××=

=××−××=

=××××=×× ×× ΙΙΙΙΙΙΙΙ

Observando que a primeira parcela pode ser escrita na forma

ba.ba.baeeee.ba 22)() ()()()()( jiji ===×× ×

× ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ

e a segunda na forma

)())(( iij

j aba.beeee ××=×× ΙΙΙΙ ,

deduzimos, aplicando ((07),§ 06.01):

baabbaabbaba ++2)( )( =−=×× ×× ΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

o que comprova (02)1.

Page 170: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

150 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.04

Sendo jj

i

i )( e)( eebbeeaa ×=××=× ΙΙΙΙΙΙΙΙ deduzimos também:

.ii

ii

jij

i

] )[()]( )[()()(

))(( )()( )(

oo

o

o

o

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙ××

×× ==××=

=××=××

abeeabebea

.eeebeab.a

Lembrando (01)2 concluímos: oo

o ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ )()( )( a.babb.a +−=×× . É fácil, agora, encontrar

(02)2 e (02)3.

Corol. 1: Se A = - AT e B = - BT em E3, então:

,) (2 4

,] )[( 4

,) (4 4

SVVVV

VVVVV

TVVVV

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ

××

×××

××

××

==

=×−=

=+=

BA.BAB:A

BABAB.A

BABAABBA

(021).

Com efeito, pois lembrando ((013),§ 06.04), escrevemos:

)( )( 4 VV ΙΙΙΙΙΙΙΙ ××= BABA oo

oo

Aplicando, agora, as fórmulas (02) podemos facilmente encontrar as (021).

Notas :

1 - O primeiro e o último membros de (021)1 mostram que, não obstante serem A e B anti-simétricos, o seu duplo produto cruzado é simétrico. 2 - As fórmulas (021)2 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem não nulos, o seu duplo produto misto será nulo quando os planos desses diádicos forem paralelos (caso em que seus vetores são paralelos). 3 - As fórmulas (021)3 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem nulos, o seu duplo produto pontuado é geralmente não nulo, exceto quando os vetores (ou os planos) desses diádicos são ortogonais.

Corol. 2: Não há mais que três diádicos anti-simétricos ortogonais entre si.

Com efeito, pois não há mais que três vetores (ou três planos) ortogonais entre si.

Corol. 3: Se A = - AT , em E3,

,2

1

,

,2

1

2V

VV

AA:A

oA.A

AAAA

=

==

×

××

(022)59.

59 Por (01

6)2 e (02

2)3 vemos que o duplo produto pontuado de I por si próprio e o do anti-simétrico A por si

próprio são números positivos. No § 07.07 essa propriedade será demonstrada verdadeira para qualquer diádico.

Page 171: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 151

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 3: (produto cruzado de um vetor por um duplo produto de diádicos)

TT

TT

)()() (

)(-)() ( :,,

.x.xx

x.x.xx

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

oo

oo

o

o

−=×

=×∀×

× (03).

Pondo φφφφ = aiei e ψψψψ = bje

j, temos:

)]()()[())(() ( jij

iij

jij

i eebx.aax.beebaxx ooo −=××=× × ψψψψφφφφ .

Independentemente da operação que o possa representar, podemos agrupar convenientemente os fatores das duas parcelas no último membro, mantendo a ordem dos vetores ai, bj e de ei o ej (um escalar ou um vetor). Então:

)()()()() ( jij

iji

ij eebx.aeeax.bx ooo −=× × ψψψψφφφφ .

Não é difícil, agora, comprovar-se que a primeira parcela é igual a )( ψψψψφφφφ x.o e que a

segunda é igual a TT)( ψψψψφφφφ ox. ; o que comprova (03)1.

Analogamente podemos demonstrar (03)2.

Corol. 1:

−=××+×=×

∀×

××

,)()() (

,)()() ( :,,

ψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφ..x..xx.

.x.xxx (031).

Quando em (03)2 a operação o é a multiplicação pontuada, ψψψψφφφφ ×. é um vetor.

Sendo ψψψψ.x um vetor, φφφφT.ψψψψ.x = (ψψψψ.x).φφφφ, fazendo-se necessários os parênteses em vista de

((04)1,§ 06.02); mas a transposição é irrelevante. Comprova-se, assim, (031)2. Aplicando-se as ((09),§ 06.01) à segunda parcela do segundo membro de (03)2 encontra-se logo (031)1.

Corol. 2:

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ××∀ ×× ) (=) (

2

1 :, .xxx , (032).

Teor. 4: (produto pontuado de um produto vetorial de vetores por um duplo produto de diádicos)

)()()()() ()( :,,, ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ x.y.y.x..yxyx ooo −=×∀ × (04).

Pré-multipliquemos escalarmente ambos os membros de (03)1 por y. Aplicando propriedade do produto misto de vetores, no caso em que a multiplicação é a pontuada, e ((03)1, § 06.02) no caso em que a multiplicação é a cruzada, escrevemos:

Page 172: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

152 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.04

) ()(=) (=] ([ ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ooo××× ×−×× .yxx.yxy. .

Ainda, usando ((01)1,§ 06.02), escrevemos:

)()(=)( T ψψψψφφφφψψψψφφφφ x.y..xy. oo ,

e, por evidência

)()()()( TTT ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ y.x..yx.x.y. ooo == .

Logo, temos (04).

Corol. 1: (caso de multiplicação pontuada)

−=××−×=×

∀×

××

),()()()() ()(

),()()()() ()( :,,,

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφx..y.y..x..yx

x.y.y.x..yxyx

. (041).

Corol. 2: (caso de multiplicação cruzada com diádicos iguais)

×=×

×=×∀

××

××

), ()()() (2

1

)()() (2

1)(

:,,.y.xyx.

y.x..yxyx

φφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ (042).

Teor. 5: (Produto pontuado dos vetores de dois diádicos)

)( )( : , V

TVV ψψψψΙΙΙΙφφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ×−=−=∀ ::. , (05)

Pondo j

jVi

iVj

ji

i , temos, , dcbadcba ×=×=== ψψψψφφφφψψψψφφφφ ; logo, aplicando ((05),

§ 03.03,I):

))(())(()()( jij

ijijiji

ji

jijij

ji

iVV .da.cb.db.ca.db.cb

.da.cadc.ba. −==××=ψψψψφφφφ .

Aplicando a definição de duplo produto pontuado ao último membro da expressão obtida temos:

)()()()( jji

ij

ji

iVV cd: badc:ba. −=ψψψψφφφφ ,

donde a tese.

Page 173: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. 153

Poliádicos - Ruggeri

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos.

Teor. 1: ∀ φφφφ,ψψψψ gerados do E3:

ψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ .... VVVVV) ( +=+=×× , (01),

e

EEEE)() ( ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ .−=×

× , (02).

Temos, de ((01)2,§ 07.01), em relação ao E3, aplicando a fórmula do duplo produto vetorial: ij

jiji

jiV )()() ( acdbcadb −=×

× ψψψψφφφφ , para i,j=1,2,3. Considerando que

Vjji

iijji )()()( ψψψψφφφφ.cd.baacdb −=×= e V

ii

jj

ii

jjji

ji )()()()( φφφφψψψψ.ba.dcbadccadb =×== ,

temos demonstrado (01)1. Por outro lado poderíamos ainda escrever: ji

jiij

jiV )()() ( dbcabdca −=×× ψψψψφφφφ , ou

aplicando propriedades:

jj

ii

ii

jjV )()() ( dcbabadc −=×

× ψψψψφφφφ . Então: ψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφ .. VVV) ( +=×× ,

o que comprova (01)2.

Ainda de ((01)2,§ 07.01), aplicando ((05),§ 03.03,I):

1,2,3)=j(i, ),)(())(() ( iji

jj

ji

iE .ad.bc.dc.ba −=×× ψψψψφφφφ .

Mas, EE

jj

ii ))(( ψψψψφφφφ=.dc.ba , e

( )( ) [ ( ) ] [( ) ( )] ( ) ;c .b a .d a b .c d a b . c d .j

ii

ji

ij

jE i

ij

jE E

= = = φφφφ ψψψψ

logo, comprovamos (02). *

Exercício: Comprovar que “o produto pontuado da parte anti-simétrica de um diádico pelo vetor de um outro é o vetor oposto ao produto pontuado da parte anti-simétrica deste pelo vetor do primeiro”, isso é: o.. =−+− V

TV

T )()( φφφφψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφ .

* Corol. 1:

Tem-se, φφφφ∀ :

E22

EE

VVV

)()() (

) (2

1

φφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

−=

==

××

×× ..

, (021),

fórmulas que se comprovam fazendo φφφφ = ψψψψ em (01) e em (02).

Decorre de (021) que TVV φφφφφφφφφφφφφφφφ .. = , mas isso não significa que φφφφ seja simétrico

(especialmente porque φφφφV≠o). Mas se φφφφ é simétrico o=×× V) ( φφφφφφφφ .

Page 174: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

154 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.06

Corol. 2: Tem-se:

,2) (

,) (

EE

VV

φφφφΙΙΙΙφφφφ

φφφφΙΙΙΙφφφφ

=

=

××

××

(022),

fórmulas que se comprovam fazendo-se ψψψψ = ΙΙΙΙ em (01) e em (02), e considerando-se que ΙΙΙΙ

E3= .

Se A = - AT, deduzimos, de ((022)1 e (022)3,§ 07.04):

A:AAAA 2) 2( 2vS ==×

× , (023).

De (022)2, ou de (021)2 para φφφφ = ΙΙΙΙ, tem-se:

6) ( E =×× ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (024).

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. Posto que a dupla multiplicação cruzada de dois diádicos é um diádico, caberá uma segunda dupla multiplicação deste com um terceiro diádico, e assim sucessivamente.

Teor. 1:

∀ φφφφ, ψψψψ e χχχχ no E3:

=

=−−=

××

××

××

××

××

××

××

××

], ) [(+] ) [( ) (

) ( ) (+) (] ) (

TTT

TTTTT

ΙΙΙΙχχχχψψψψφφφφΙΙΙΙχχχχφφφφψψψψχχχχψψψψφφφφ

χχχχψψψψφφφφφφφφχχχχψψψψψψψψχχχχφφφφφφφφχχχχψψψψψψψψχχχχφφφφχχχχψψψψφφφφ

....

....:: (01).

Pondo φφφφ = aib

i, ψψψψ = cjdj e χχχχ = ekf

k, com (i,j,k = 1,2,3), temos:

])][()[(] ) ( [ e ))(() ( kjik

jiTT ji

jiT edbfcacadb ××××=××= ××

××

×× χχχχψψψψφφφφψψψψφφφφ ....

Desenvolvendo os duplos produtos vetoriais, efetuando os produtos diretos e agrupando convenientemente, escrevemos:

=−−=××

×× ])()][()()[(] ) [( ij

kji

kijk

jikTT b.ded.bea.cfc.afχχχχψψψψφφφφ

+−= jj

kk

ii

jj

kik

i ))(())()(( d.cf.ebadc.fa.eb

.))(())()(( ii

kk

jj

iik

jkj b.af.edcba.ed.fc −+

Page 175: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 155

Poliádicos - Ruggeri

Ora,

ψψψψχχχχφφφφψψψψχχχχφφφφψψψψ ) (=)()]()[())()(( TEE

kk

ii

jj

kik

i :.fe.badc.fa.eb ==

a b .e f . c d .e f . . .ii

kk

jj

kk( )( ) ( )( ) .= =φφφφ ψψψψ φφφφ χχχχ ψψψψ

Desenvolvendo analogamente as duas outras parcelas, comprovamos (01)1, expressão esta que pode, ainda, ser escrita na forma:

])(+)([+])(+)([ ) ( ETT

ETTT ΙΙΙΙχχχχψψψψχχχχψψψψφφφφΙΙΙΙχχχχφφφφχχχχφφφφψψψψχχχχψψψψφφφφ ...... −−=×

××× .

Lembrando agora ((01)2,§ 07.04), encontramos (01)2. Como casos particulares das (01), temos:

TE

TTTTT )(] )[( ) (2

1 φφφφψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφΙΙΙΙψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφφφφφ ..... +−== ××

××

××

) (+) ( ) ( TTT ΙΙΙΙψψψψφφφφΙΙΙΙφφφφψψψψΙΙΙΙψψψψφφφφ ×

×××

××

×× = ..

TE

23T 2TT )()() ( ) (2

1 φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ +−== ×

×××

×× .

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ 4 ) ( =×

×××

) (+ )(= ) ( TT ΙΙΙΙψψψψφφφφΙΙΙΙψψψψφφφφψψψψΙΙΙΙφφφφ ×

×××

××

×× .. (02).

Dupla multiplicação mista de três diádicos.

Definição: (duplo produto misto) Chama-se duplo produto misto de três diádicos φφφφ, ψψψψ e χχχχ, numa certa ordem, e representa-se por (φφφφψψψψχχχχ), o duplo produto pontuado do primeiro pelo duplo produto cruzado dos dois seguintes:

χχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ ) ( ×

×= : , (03).

A dupla multiplicação mista de três diádicos é a operação que tem por fim determinar um duplo produto misto qualquer desses diádicos. Se, em representação trinomial,

φφφφ ψψψψ χχχχ= =a e b e c eii

jj

kk

= e , (i,j,k = 1, 2, 3),

tem-se:

Page 176: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

156 § 07 – Multiplicações duplas.

II,§ 07.06

( ) ( )( )φφφφ ψψψψ χχχχ i j ki j k

ii

ij

ik

ji

jj

jk

ki

kj

kk

= =a b c e e e

a .e a .e a .e

b .e b .e b .e

c .e c .e c .e

, (031).

Com base em (031) demonstram-se as seguintes

Propriedades.

1ª) – Os símbolos operatórios são comutativos:

χχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ = :,, :: ××

××∀ , (04).

Pois, operando no segundo membro de (031), escrevemos:

)()])([())(( kk

jiji

kjikji ec:eebae.eec.ba: ××=××=×

× χχχχψψψψφφφφ ,

donde, lembrando as definições dos duplos produtos:

)( )]( )[( kk

jj

ii ec:ebea: ×

××× =χχχχψψψψφφφφ ,

resultando, logo, a tese.

2ª) – Um duplo produto misto não se altera quando se permutam os diádicos que o compõem:

... ) ( ==== ×

×××

×× φφφφψψψψχχχχψψψψφφφφχχχχφφφφχχχχψψψψχχχχψψψψφφφφ ::: , (05).

Pois os duplos produtos são comutativos, isso é,

... === ××

××

×× φφφφψψψψχχχχψψψψχχχχφφφφχχχχψψψψφφφφ :::

3ª) – Se os três diádicos de um duplo produto misto são iguais, esse duplo produto é igual a 6 vezes o seu terceiro:

3 6 φφφφφφφφφφφφφφφφ =××: , (06).

Pois teríamos de (031): ( ) ( )( )φφφφ φφφφ φφφφ i j k

i j k= a b c e e e , donde, aplicando (05) e (051), §

04.02, I: ( ) ( )( )φφφφ φφφφ φφφφ ijkijk

1 2 31 2 3

= ε ε a a a e e e . Conforme ((071)3,§ 04.02,I), o produto dos

permutadores vale 6 e o produto dos produtos mistos vale φφφφ3; isto conclui a comprovação de (06).

*

Page 177: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 157

Poliádicos - Ruggeri

Exercícios: 1°) - É nulo o duplo produto misto dos diádicos de uma dupla de Pauly (§07.02) por qualquer um dos diádicos da família a eles associada:

0 ... Hom Hom ),Pau( 1/XX ===⇒ ××

×× ψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ :: .

Pois temos, por exemplo, aplicando a propr. 2ª),

φφφφφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφψψψψφφφφ Hom HomHom XXX ::: ××

××

×× == .

Agora, lembrando o Teor. 2, §07.02, concluímos a tese. 2°) - A CNS para que um duplo produto misto de três diádicos seja nulo é que um deles seja ortogonal ao duplo produto cruzado dos outros dois.

É evidente a demonstração em face da definição de diádicos ortogonais (§ 07.02). 3°) - Comprovar que:

∀ = + + −

− − −

φφφφ ψψψψ χχχχ φφφφ ψψψψ χχχχ φφφφ ψψψψ χχχχ χχχχ φφφφ ψψψψ χχχχ ψψψψ φφφφ

φφφφ ψψψψ χχχχ ψψψψ φφφφ χχχχ χχχχ φφφφ ψψψψ

, , : ( ) ( )

( ) ( ) .

( )

( )E E E E E

E E E E E E

. . . .

. . .

Com base nessa fórmula:

a) - pondo

φφφφφφφφφφφφ 2

12

××= , E1K φφφφ= , 2

E 2 2

1K φφφφ= 3

E 3 3

1K φφφφ= ,

comprovar também que

)2(2

1K 2E

2E 2 φφφφφφφφ −= e )33(

3

1K 32EE

3 E3 φφφφφφφφφφφφφφφφ +−= .

b) - comprovar ainda, que: 1°) – ) ( ] ) ( ) [() ( E χχχχΙΙΙΙψψψψφφφφχχχχΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙψψψψχχχχψψψψφφφφ :... ×

×××

×× −= .

2°) – −+=∀ ××

×× ) )( () )( ( :,,, ααααψψψψββββφφφφββββψψψψααααφφφφββββααααψψψψφφφφββββααααψψψψφφφφ :::::

). ( ) () ( ) ( TTTT ψψψψααααββββφφφφψψψψββββααααφφφφ .:..:. −−

3°) - ET )]( )[(+)]( )[() ( :,,, ααααψψψψββββφφφφββββψψψψααααφφφφββββααααψψψψφφφφββββααααψψψψφφφφ ....: ×

×××

××

×× =∀ .

4°) - 0 ou 0 0 ,0 Se P33 ==⇔=≠ ×× φφφφφφφφφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψ :: , pois P3 2 ψψψψφφφφφφφφφφφφψψψψφφφφ :: =×

× .

5°) - 0 ou 0 0 ,0 Se P33 ==⇔=≠ ×× ψψψψφφφφφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψ :: , pois P3 2 ψψψψφφφφφφφφφφφφψψψψφφφφ :: =×

× .

*

Page 178: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

158 § 07 - Duplas multiplicações.

II,§ 07.07

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos60.

Definição: (norma) Denominaremos norma de um diádico φφφφ, e a representaremos por ||φφφφ ||, o duplo produto pontuado desse diádico por si próprio:

|| ||φφφφ φφφφ φφφφ= : , (01).

Sendo um invariante um duplo produto pontuado (§07.03), concluímos que a norma de um diádico é mais um de seus invariantes. Resulta logo de (02),§ 07.01 que podemos também escrever:

ET

ET )()( φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ .. == , (01

1).

Considerando (021), § 07.01 e (05), § 07.04 deduzimos logo, também:

∀ = + || ||V

2E

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ: ( ) ( )2 , (012).

*

Exercício: Uma CNS para que um diádico seja simétrico é que a sua norma seja igual ao escalar

do seu quadrado.

* Teor. 1: A norma de todo diádico não nulo é um número positivo:

0 : >≠∀ φφφφφφφφΟΟΟΟφφφφ : , (02)61.

Se φφφφ é um diádico linear (logo não nulo) a proposição é evidente, pois

φφφφ φφφφ φφφφ= ⇒ = >mn : mn : mn m n = ( () ) 2 2 0. Se φφφφ é um diádico planar (não nulo) podemos escrevê-lo na forma binomial genérica φφφφ = +ax by em que a não é paralelo a b nem x paralelo a y. Então,

60Esses conceitos são aqui apresentados pela primeira vez na teoria dos diádicos. 61 Na linguagem da Álgebra Linear dizemos que "o espaço vetorial dos diádicos munido da operação de dupla multiplicação escalar como a multiplicação escalar de dois de seus vetores é um espaço euclidiano".

φφφφ φφφφ =: a x b y a.b x. y2 2 2 2 2+ + ( )( ) .

Page 179: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 159

Poliádicos - Ruggeri

Os módulos dos antecedentes e dos conseqüentes do diádico são arbitrários, podendo-se considerar | || | | || |a x b y≠ . Nesse caso, sendo

(| || | | || |) || || || |a x b y a x b y a x b y− > + >2 2 2 2 20, 2| ou , ,

com mais forte razão é

a x b y a b x y a b x y a.b x. y2 2 2 2 2| 2+ > − −|| || || | ( )( )cos( , )cos( , ) = porque o primeiro membro é maior que o maior valor possível do segundo membro. Logo, φφφφ φφφφ : > 0. Se, entretanto, for | || | | || |a x b y= , escreveremos:

φφφφ = + =K (K2 2( $ $ $ $ ) | || |)ax by a x e φφφφ φφφφ K cos ( )cos( , )]4: a b x y= +2 1[ , . Ora, o produto dos co-senos é maior que -1 porque por hipótese o diádico é planar. Logo φφφφ φφφφ : > 0.

Suponhamos agora que o diádico seja completo e escrito na forma φφφφ = ′+ ′ + ′ax by cz com (abc) ≠ 0 e (x'y'z') ≠ 0. Pelo Teor. 5, § 07.02 podemos sempre escrever esse diádico como uma soma de um planar ax+by e um linear nz perpendiculares. Então,

φφφφ φφφφ : ax by : ax by n z= + + +( ) ( ) 2 2

já que (ax+by):nz = 0. Como a primeira parcela do segundo membro é um número positivo – porque (ax+by) é um diádico planar – resulta φφφφ φφφφ : > 0.

Corol. 1: Apenas o diádico nulo é ortogonal a si próprio:

0= φφφφφφφφΟΟΟΟφφφφ :⇔= , (021).

Corol. 2: As normas dos diádicos unidade e nulo são, respectivamente, 3 e 0:

0|||| ,3|| || == ΟΟΟΟΙΙΙΙ , (022).

Teor. 2: (desigualdade de Schwarz) O quadrado do duplo produto pontuado de dois diádicos é sempre menor que o produto de suas normas:

∀ <φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ, ( || || : ) || ||2: , (03).

Seja o diádico γγγγ φφφφ ψψψψ= + X onde φφφφ e ψψψψ são diádicos quaisquer. Tem-se:

γγγγ γγγγ φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψ X X2: : : := + +2( ) ( ) .

Page 180: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

160 § 07 - Duplas multiplicações.

II,§ 07.07

Lembrando (01) e o Teor. 1, deve ser

|| || ( )ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ X X || || >2 + +2 0: ; e para tal o discriminante dessa inequação deve ser negativo porque o coeficiente de X2 é positivo. Então, ( ) || ||φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ || ||: 2 0− < , donde a tese.

De (03), considerando que as normas são números positivos, deduzimos:

− ≤+

≤1 1φφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ

:

|| || || ||, (031),

isso é,

existe um ângulo definido por dois diádicos φφφφ e ψψψψ cujo co-seno vale o duplo produto pontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas positivas das suas normas.

Assim, podemos escrever:

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ cos ( , ): = || || || || , (032).

Definições: (módulo e ângulo) À raiz quadrada positiva da norma de um diádico φφφφ denominaremos módulo desse diádico, e o representaremos por |φφφφ| ou mod φφφφ:

∀ = = +φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ : | | mod || ||, (03).

O ângulo (φφφφ,ψψψψ), definido por φφφφ e por ψψψψ, que satisfaz (032), será denominado ângulo dos diádicos φφφφ e ψψψψ.

Escrevemos então, finalmente:

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ cos ( , ): =| || | , (04), expressão que apresenta espetacular analogia com a expressão do produto escalar (pontuado) de dois vetores; voltaremos a esse assunto no § 16. A introdução de uma representação gráfica será feita no §10.03. Tem-se logo, então, de (022):

0 mod ,3 mod ==== ΟΟΟΟΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙ , (041).

*

Page 181: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 161

Poliádicos - Ruggeri

Exercício: Consideremos os diádicos ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ

( )tttt∗ = −∗2 e ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ

( )ssss∗ = −∗2 com t. t s.s∗ ∗= =1 e

|t|=|s|. Seja α ≅ 19 28'o . Então: 1) - Se 0=s.t (ou 0=∗∗ .ts ), o ângulo dos diádicos não

pode assumir valores superiores a α−o90 nem inferiores a α+o90 ; 2) - Se 0=∗s.t (ou

0=∗ .ts ) o ângulo dos diádicos não pode assumir valores inferiores a α−o90 nem

superiores a α+o90 . *

Teor. 3: (norma do produto de um número real por um diádico)

∀ = = + K, : ||K || K , logo |K | K| |2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ|| || , (05).

Com efeito, pois K K K 2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ: := .

Teor. 4: A norma e o módulo de um diádico são respectivamente iguais à norma e ao módulo do seu transposto ou do oposto do seu transposto:

∀ = ± = = ± = : || || || || || || , logo, | | | | | |T T T Tφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ , (06).

Pois, conforme ((16), § 07.01), φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ T T: := .

Teor. 5: Norma e módulo de um diádico anti-simétrico:

∀ = − = = e TV V

ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ: ( ) | |12

22

2 , (07).

Com efeito, é o que se deduz imediatamente de (022), § 07.04.

Teor. 6: (norma de uma soma) A norma de uma soma de diádicos é igual à soma de suas normas com os duplos dos seus duplos produtos pontuados dois a dois:

∀ + + = + + + , , ... : || ...|| || || || || || || ... αααα ββββ αααα ββββ γγγγ αααα ββββ γγγγ

... +2 ...+ + + +2 2( ) ( ) ( )αααα ββββ αααα γγγγ ββββ γγγγ: : : , (08).

Para uma soma de dois diádicos, por exemplo, temos:

∀ + = + + = + , : || || : ) ) + )αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ( ) ( ) ( ( (: : :2 ,

isso é, ∀ + = + + , : || || || || ) || ||αααα ββββ αααα ββββ αααα αααα ββββ ββββ2( : , (081).

Por indução completa podemos facilmente comprovar (08). *

Exercício: Comprove que |αααα+ββββ|<|αααα|+|ββββ|, mas ||αααα+ββββ||<||αααα||+||ββββ|| se o ângulo de αααα com ββββ é agudo e ||αααα+ββββ||>||αααα||+||ββββ|| se o ângulo de αααα com ββββ é obtuso.

*

Page 182: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

162 § 07 - Duplas multiplicações.

II,§ 07.07

Corol. 1: (norma de uma combinação linear) ∀ + + = + + + + , , ... , A, B, ... : || A B C ... || A B C ... 2 2 2αααα ββββ αααα ββββ γγγγ αααα ββββ γγγγ|| || || || || ||

+ + + +2 2AB AC ... +2BC ...( ) ( ) ( )αααα ββββ αααα γγγγ ββββ γγγγ: : : , (082).

Notas: 1 – O desenvolvimento da norma de uma soma pode ser entendido como um "quadrado simbólico da soma", isso é, pela expressão clássica do desenvolvimento do quadrado de uma soma de números onde se troquem números por diádicos e produtos (de números)

por duplos produtos pontuados (de diádicos). Assim, 2))((|| || ββββααααββββαααα +=+ . 2 – Mostraremos no §09.06,IV (esboço da geometria do espaço diádico) que a fórmula (081) tem por corresponde a fórmula de Carnot da Trigonometria Plana clássica (no espaço dos vetores).

Teor. 7: (norma de um produto pontuado de diádicos) A norma de um produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto pontuado do produto simétrico direito do multiplicando pelo produto simétrico esquerdo do multiplicador:

∀ = , : || || ( T Tφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ. . : .( ) ) , (09).

Aplicando a definição e (02), § 07.01 temos:

|| || ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) TE

T TE

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ. . : . . . . . . .= = = .

Agora, aplicando (08), § 07.01 ao último membro considerando-se φφφφT como um dos fatores, e depois reaplicando (02), § 07.01 temos, finalmente:

|| || ( ) ( ) ( ) T TE

T Tφφφφ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ. . . . . : .= = .

Corol. 1: (norma de duplo produto pontuado de diádicos simétricos ou anti-simétricos)

∀ = ± = ± = || || T T 2φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ, : : : 2, (091).

Teor. 8: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos)

|| || || || ) ( || || || || || || :, TT2 φφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ..: −−+=∀ ×

× , (10).

Aplicando propriedade do duplo produto misto de três diádicos, escrevemos:

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ) () ( ) ( || || :: ××

××

××

××

×× == .

Fazendo χχχχ φφφφT = em (01), § 07.06 obtemos:

φφφφφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφ ....: TT) ( |||| ) ( −−+=××

×× .

Page 183: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 163

Poliádicos - Ruggeri

Então,

ψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφψψψψφφφφ )( )() ( |||| |||| || || TT2 :..:..: −−+=×× .

Mas aplicando ((02),§07.01) duas vezes seguidamente, podemos escrever a terceira parcela na forma

( ) ( ) ( ) ( )φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ T T TE

T T. . : . . . . : .= = ,

donde, lembrando (09), ( ) || ||φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ T T. . : .= . Operando analogamente com a última parcela comprovamos (10).

Corol. 1: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos simétricos)

|| || 2) ( |||| |||| || || :, 2TT ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφ .: −+===∀ ×× , (101).

Exercícios: Comprovar que : , , TT ΒΒΒΒΒΒΒΒΑΑΑΑΑΑΑΑφφφφ −=∀−=∀∀

|| |||| |||| ||2

1||||2 22

2 φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ −== ×× (11);

2

S)( |||| 7 || || φφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ +=×× , (111);

])()()[(8

1|| || 2

VV2

V2

V ΒΒΒΒΑΑΑΑΒΒΒΒΑΑΑΑΒΒΒΒΑΑΑΑ .+=×× , (112).

Teor. 9: O ângulo de dois diádicos é igual ao ângulo de diádicos que lhes sejam paralelos:

∀ = , ,K, M: K ,Mφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ( , ) ( ) , (12). Com efeito, pois considerando (04) e (05), escrevemos:

cos ( , ) =

| | KM

KM | |(K MK | M |

cos (K Mφφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψφφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

: : :| | | |

) ( )| |

, )= = = .

Teor. 10: (Co-seno do ângulo de um diádico com o seu transposto)

∀ = =φφφφ φφφφ φφφφφφφφ

φφφφφφφφ φφφφφφφφ φφφφ

: )( )

|| || cos ( ,

T ET2 :

:, (13).

Page 184: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

164 § 07 - Duplas multiplicações.

II,§ 07.07

Pois, de (01) e (021), § 07.01 deduzimos:

cos ( ,

| T

T

TE Eφφφφ φφφφ

φφφφ φφφφφφφφ φφφφ

φφφφ

φφφφ

φφφφφφφφ)

| | |

( )

| |

( )

|| ||= = =

:2

2

2

.

Se 02E =φφφφ então φφφφ é perpendicular a φφφφT. Reciprocamente, se φφφφ é perpendicular a φφφφT,

0T =φφφφφφφφ: , ou seja, relembrando (021), § 07.01, 02E =φφφφ . Logo:

Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que seja nulo o escalar do seu quadrado.

Considerando (012) comprovamos também que

Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que o módulo desse diádico seja igual ao módulo do seu vetor.

Teor. 11: (Co-seno do ângulo de um diádico com o diádico unidade)

∀ =φφφφ φφφφφφφφφφφφ: )

| | cos ( , EΙΙΙΙ

33

, (14).

Pois temos, sem delongas, lembrando ((01)1,§07.04): cos ( ,

Eφφφφ

φφφφφφφφ

φφφφ

φφφφΙΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙ)

| | | | | |= =

:

3;

racionalizando, encontramos (14).

Corol. 1: Todos os diádicos de escalar nulo são ortogonais ao diádico unidade.

Teor. 12: O ângulo de dois diádicos anti-simétricos é igual ao ângulo dos seus vetores:

∀ = − = − =ΑΑΑΑ ΑΑΑΑ ΒΒΒΒ ΒΒΒΒ ΑΑΑΑ ΒΒΒΒ ΑΑΑΑ ΒΒΒΒT T

V V ( , ), : ( , ), (15).

Lembrando (07) e (021)3, § 07.04, podemos escrever:

),( cos||||

2

12

1

),( cos VV

VV

VVΒΒΒΒΑΑΑΑ

ΒΒΒΒΑΑΑΑ

ΒΒΒΒΑΑΑΑ

ΒΒΒΒΑΑΑΑΒΒΒΒΑΑΑΑΒΒΒΒΑΑΑΑ ===

.:

,

donde, então, a igualdade dos ângulos.

Corol. 1: A CNS para que dois diádicos anti-simétricos sejam ortogonais é que os seus vetores o sejam.

Page 185: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 165

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 – SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL.

§ 08.01 – Definições e principais propriedades.

Denotemos por φφφφ ~ o diádico T) (2

1 φφφφφφφφ ×× , isso é, ponhamos:

TTT~ 2

1) (

2

1= φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ×

××× = (01),

e procuremos, no E3, uma redução trinomial para φφφφ ~ , a partir de uma redução trinomial de φφφφ, φφφφ = aib

i, com (a1a2a3)≠0. Desenvolvendo os produtos vetoriais dos conseqüentes (independentes) de φφφφ ~ , escrevemos, lembrando ((04)1,§ 04.02,I):

)(21

321~ aaa=φφφφ 1,2,3).kj,(i, )( kji

ijk =× abbεεεε

Pondo

,)()(2

1k

jiijk321 bbbaaa ′=×εεεε (02),

resulta a redução trinomial de φφφφ ~ :

φφφφ ~k

k= ′b a , (03). Se os conseqüentes de φφφφ forem independentes, e nesse caso φφφφ será completo, φφφφ3 = (a1a2a3)(b

1b2b3)≠0 e φφφφ ~ também será completo. Com efeito, temos, efetuando os produtos vetoriais na expressão de b'k, considerando mais uma vez ((04)1,§ 04.02,I) e ((071)2,§ 04.02,I):

rkr

321ijrijk321k 2)

21()()(

21 δδδδεεεεεεεε ==′ bbbbaaab φφφφ

3b

r,

isso é: ′ =b bk 3 k

,φφφφ (04).

Então, os antecedentes de φφφφ ~ , sendo paralelos aos recíprocos dos conseqüentes de φφφφ, são

necessariamente independentes; logo, φφφφ 3~ ≠ 0 e φφφφ ~ é completo.

Ora, então, uma vez que

φφφφ φφφφ~3 k

k( ),= b a (05),

deduzimos, lembrando propriedade do terceiro de um diádico ((06),§ 02.08):

φφφφ φφφφ φφφφ 3~

33

kk

33( (= =( ) ) ( ) )( ),b a b b b a a a

3 1 2 31 2 3

isso é:

φφφφ φφφφ 3~ 2( ,=

3) (06).

Page 186: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

166 § 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

II,§ 08.01

A propriedade (06) e a lembrança da teoria dos determinantes justificam a seguinte

Definição: (adjunto) Chama-se adjunto de φφφφ ao diádico ~φφφφ dado por (03).

De (06) concluímos logo:

"Um diádico é completo ou incompleto conforme o seu adjunto seja, respectivamente, completo ou incompleto; e reciprocamente".

Segundo (05), o adjunto do diádico φφφφ = aib

i difere do diádico completo bkak apenas

pelo fator φφφφ3; ademais,

1( ) ( ) ( )~

kk

ii

kk

φφφφφφφφ φφφφ φφφφ

3

. . b a a b . b a= = = a a a ai ki k

ii ,δ = = ΙΙΙΙ

e

,1)])([(

1))(()( 13

3321

321

3213213

kk

−==== φφφφφφφφbbbaaa

aaabbbab (07).

Definição: (inverso) Estas igualdades sugerem representar o diádico bka

k, completo e único, por

φφφφ-1 e denominar-lhe diádico inverso ou recíproco de φ=αφ=αφ=αφ=ακ.bk.

Das (07) deduzimos, ainda:

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ3 i

i 1i

i 13 3

10, , ( ) 0,≠ = ⇔ = = ≠− − −a b b a (08),

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .− −= =1 1 ,ΙΙΙΙ (09),

φφφφ φφφφ φφφφ~3

1,= − (10),

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ~ ~3

, . .= = ΙΙΙΙ (11).

De (08) deduzimos a seguinte regra:

"Dado um diádico (completo) φφφφ em forma trinomial, o seu inverso (em forma

trinomial) obtém-se do seu transposto onde se substituam os seus antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes vetores recíprocos".

Quando φφφφ é completo, a regra enunciada e a fórmula (10) permitem estabelecer a redução trinomial de φφφφ ~ . Dado um diádico φφφφ, o seu inverso, dado por (08) e satisfazendo a (09), só é determinável se φφφφ é completo; a inversão diádica é a operação que tem por fim determinar o inverso de um diádico, sendo unívoca quando possível. O adjunto de um diádico, entretanto, existirá sempre, único, completo, planar, linear, determinável por (02) e (03), satisfazendo, ainda, (10) ou (11) quando o diádico é completo.

Page 187: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 167

Poliádicos - Ruggeri

Faremos oportunamente (§ 09) uma associação da teoria dos diádicos com a teoria das matrizes no E3. A definição (01) é interessante porque a fórmula (11) tem uma isomórfica matricial. No entender de Gibbs, entretanto, esse diádico cede lugar a um outro, que introduziu com a seguinte

Definição: (segundo de um diádico) Chama-se segundo de um diádico qualquer, φφφφ, e representa-se por φφφφ2, a metade do seu duplo produto cruzado por si próprio:

φφφφφφφφφφφφ 2

12

××= , (12).

É evidente, então, que φφφφ φφφφ

2~ T= , (13),

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

2T T

2. .= =

3ΙΙΙΙ , (14),

e φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

2T: := =3

3~ , (15).

Então, podemos enunciar:

O triplo do terceiro de um diádico é igual ao duplo produto pontuado desse diádico pelo seu segundo, ou do seu transposto pelo seu adjunto,

donde concluirmos, também, que:

A CNS para que um diádico seja incompleto é que ele seja ortogonal ao seu segundo.

*

Exercício 1: (segundo e terceiro de uma soma de vários diádicos) Tem-se:

:,, C, B, A, ηηηηψψψψφφφφ∀

φφφφηηηηηηηηψψψψψψψψφφφφηηηηψψψψφφφφ

ηηηηψψψψφφφφ××

××

×× +++++

=++

CABCABCBA

)CBA(

222

22

2

)ABC(

CB CA BC BA AC AB

CBA

)CBA(

22

22

22

22

22

22

33

33

33

3

φψηφψηφψηφψηψψψψηηηηφφφφηηηηηηηηψψψψφφφφψψψψηηηηφφφφψψψψφφφφ

ηηηηψψψψφφφφ

ηηηηψψψψφφφφ

++++++++

+++

=++

::::::

Estas fórmulas podem ser deduzidas facilmente por recorrência a fórmulas com duas parcelas dentro dos parênteses; a generalização delas é imediata.

*

Page 188: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

168 § 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

II,§ 08.01

Conforme mostrou Moreira (1966) – e entendeu isso como o principal, especialmente por sua utilidade prática – entre os diádicos completos deve-se distinguir um outro, que introduziu com a seguinte

Definição: (principal de um completo) Dado um completo, φφφφ, em redução N-nomial, chama-se principal desse diádico, e representa-se por φφφφP, o diádico que dele se obtém substituindo-se os seus antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes recíprocos.

Assim,

φφφφ φφφφ φφφφ= ≠ ⇒ = =e a e ai

i3 P

jj

0 (i, j ... , N), , ,2,1 , (16),

e φφφφ φφφφ. e a .a e( ) ( )

PT

ii

jj= = e e e e

i ji j

iiδ = = ΙΙΙΙ

( ) ( )φφφφ φφφφ

PT

ii

jj. a e .e a= = a a a a

i ji j

iiδ = = ΙΙΙΙ .

Sendo, ainda, φφφφ φφφφPP = e ( ) ( )φφφφ φφφφ

PT

jj T

P= =a e ,

concluímos, em resumo:

( ) ( )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφP

T TP P

T PT= ≡ = = −1, donde φφφφ φφφφT

P= −1 (17).

Então, transpondo ambos os membros de (10) e considerando (17), temos:

φφφφ φφφφ φφφφ2 P

=3

, (18).

Multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (18) por φφφφ, considerando (15), temos:

φφφφ φφφφ P

: = 3, (19).

Concluímos:

1°) – O segundo de um diádico é igual ao produto do seu terceiro pelo seu principal; 2°) – É igual a três o duplo produto pontuado de um diádico pelo seu principal.

* Exercício 2: Demonstrar que

ant2simantT

P3VV

322

332

PP333

33

4 ~ 2) 3( -3)

)()()( -2)

]1) )( [() ( -1)

:0 and 0 com ,,

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ

ψψψψφφφφψψψψφφφφ

:::..

::

=−=−=

==

−=

≠≠∀

××

4) - φφφφψψψψφφφφψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ ) ( 21

) ( 21

) () () ( TT222 ....:: ×

×××

×× −−+=

Page 189: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 169

Poliádicos - Ruggeri

* Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).

Teor. 1: Uma CNS para que um diádico seja incompleto é que o seu produto pontuado pelo seu adjunto, em qualquer ordem, seja o diádico nulo:

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ ==⇔= .. ~~3 0 , (20).

O teorema direto é evidente em face de (11). Reciprocamente, se ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφφφφφ == .. ~~

então, por (11), φφφφ3ΙΙΙΙ =ΟΟΟΟ, ou, ainda, conforme (04), § 02.09, II, φφφφ3 = 0 e φφφφ é incompleto.

Teor. 2: Se um diádico é linear, o seu terceiro e o seu adjunto são nulos.

Com efeito, porque os antecedentes (conseqüentes) desse diádico, sendo todos paralelos, implicarão que seu terceiro seja nulo e que seu adjunto, tendo por conseqüentes (antecedentes) vetores nulos, seja o diádico nulo.

Corol. 1: As CsNsSs para que um diádico seja planar são que seu terceiro seja nulo e seu adjunto linear:

=

=⇔

×× linear. ) (

2

1

0 planar

T~

3

φφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφ

A condição é necessária porque se φφφφ = aibi (com (a1a2a3)≠0) é planar, os seus

conseqüentes, bi , são dependentes de um de seus planos e seu terceiro é nulo. Além disso, pelo menos dois dos seus conseqüentes não são colineares (φφφφ é planar, Fig.08.01), isso é, todos os antecedentes do seu adjunto (dados por (02)) são paralelos (ao menos um é não nulo); então φφφφ ~ é linear.

Imagens possíveis dos conseqüentes do diádico planar φφφφ = aib

i com (a1a2a3)≠0, e dos antecedentes do seu adjunto: quando os três bi são não colineares (Fig.(a)), e quando dois dos bi são colineares (Fig (b)).

Fig.08.01

Page 190: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

170 § 08 - Segundo e Adjunto. Inverso e Principal.

II,§ 08.01

A condição é suficiente porque se o diádico φφφφ tem terceiro nulo, seus conseqüentes, bi, são necessariamente coplanares, isso é, φφφφ é planar ou linear. Mas, pelo Teor.2, φφφφ não pode ser linear porque teria adjunto nulo e contrariaria a hipótese (o adjunto deve ser linear).

Corol. 2: As CsNsSs para que um diádico seja linear são que seu terceiro e o seu adjunto sejam nulos.

As condições são necessárias pelo Teor.2. As condições são suficientes porque se φφφφ tem terceiro nulo ele é planar ou linear; mas tendo adjunto nulo, ele não pode ser planar (corolário anterior); logo, deve ser linear.

Corol. 3: O adjunto de um diádico anti-simétrico é unilinear e seu escalar, sempre positivo, vale o quadrado da metade do módulo do seu vetor.

Pois, considerando ((022)1,§ 07.04) e (01), temos:

A A A~V V

1

4,= (21),

donde,

A AE~

V2(

1

2> 0,= ) (211).

Exercício: Comprovar que: a∀ : aaa =× ~)(ΙΙΙΙ .

Corol. 4: As CsNsSs para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) são que ele seja planar e seu adjunto seja ortolinear (unilinear).

Para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) ele deve ser necessariamente planar; logo, deve ter adjunto linear (Corol. 1). Mas, como os planos dos seus conseqüentes e antecedentes são ortogonais (paralelos), o antecedente e o conseqüente do seu adjunto são ortogonais (paralelos), isso é, esse adjunto é ortolinear (unilinear).

Reciprocamente, se um diádico é planar e tem adjunto ortolinear (unilinear), os antecedentes e os conseqüentes desse diádico devem ser necessariamente de planos ortogonais (paralelos), isso é, esse diádico é ortoplanar (uniplanar).

Teor. 3:

TE2

~) ( : φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ +=∀ ×× , ou φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ E

~2) ( +=×

× (22).

Com efeito, colocando ((01)2,§ 07.04) na forma ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ ET + −=×

× e lembrando

((15), ,§ 07.02), vem:

)( )(2

1 ~)( ~) ( EEE ΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ +−+−=+−= ×

××× .

Page 191: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.03 - Propriedades formais. 171

Poliádicos - Ruggeri

Operando, reaplicando (132) e as fórmulas citadas, e simplificando, encontramos, facilmente, (22)1. A fórmula (222) pode ser obtida de (221) por transposição.

* Exercício 3:

1) - 32EE3) ( : φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ −=∀ ×× . Então: ΟΟΟΟΙΙΙΙΙΙΙΙ =× ×

× ])[( a . Comprove esse resultado a

partir de (22), considerando o exercício 1, bem como a parte 1) do exercício 2.

2) – Demonstre que se φφφφ3

0≠ , a CNS para que ΙΙΙΙφφφφ ×× seja incompleto é que φφφφ

2E= 1.

*

§ 08.02 - Invariância e invariantes.

Visto que as duplas multiplicações são operações invariantes (§ 07.03), concluímos de ((01) e (10),§ 08.01) que o adjunto e o inverso de um diádico e por conseqüência, o segundo e o principal, são outros invariantes desse mesmo diádico. Os invariantes elementares do adjunto, do inverso, do segundo e do principal de um diádico podem ser expressos diretamente em função dos invariantes elementares desse diádico. Além das expressões ((06) e (08)2,§ 08.01), temos, também:

2EE22

E~E ])()[(

21 φφφφφφφφφφφφφφφφ =−= , φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφ .. V2VV

~V

T~V ) ( =−===

×× , (01),

e

φφφφφφφφ

φφφφ φφφφ φφφφφφφφ

φφφφ φφφφV1

3V~

P V E1

E~

P E

1,

1,− −= = − = =

3

(02).

De ((021),§ 07.05) e de ((13),§ 08.01) obtêm-se imediatamente as fórmulas (01); as (02) são óbvias em vista de ((10),§ 08.01).

§ 08.03 - Propriedades formais.

Teor. 1: O adjunto (segundo) de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado dos adjuntos (segundo) desses diádicos multiplicados em ordem inversa (na mesma ordem):

( ... ) ... ,~ ~ ~ ~φφφφ ψψψψ χχχχ χχχχ ψψψψ φφφφ. . . . .= (01),

..........)..( 2222 χχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ = , (01)1.

Se os diádicos são todos completos, a mesma propriedade é válida para a inversão:

( ... ) .... ,1 1 1 1φφφφ ψψψψ χχχχ χχχχ ψψψψ φφφφ. . . . .− − − −= (02). Com efeito, pondo φφφφ = aiei e ψψψψ = ejbj temos φφφφ.ψψψψ = aibi; logo, aplicando a definição ((01),§ 08.01), deduzimos:

))((2

1)]( )[(

2

1 ~)( ji

jiT

jj

ii aabbbaba. ××== ×

×ψψψψφφφφ .

Page 192: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

172 § 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

II,§ 08.03

Mais uma vez aplicando a definição, escrevemos:

).)((21 e ))((

21 mi

mi~kj

kj~ aaeeeebb ××=××= φφφφψψψψ

Então,

).)(())((4

1 mimi

kjkj

~~ aaee.eebb. ××××=φφφφψψψψ

Lembrando ((05),§ 03.03,I) e efetuando as somas, escrevemos:

ψψψψ φφφφ~ ~. =×−×= ))()((4

1 miki

jm

km

jikj aabb δδδδ

)])(())([(4

1mi

immi

mi aabbaabb ××−××=

ou, ainda, finalmente

~mimi

~~ )())((2

1 ψψψψφφφφφφφφψψψψ .aabb. =××=

Se os diádicos são completos podemos escrever para dois quaisquer deles, usando ((10),§ 08.01):

( )1

(( ) .1 ~φφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ.

..− =

)3

De (01) e de ((04),§ 05.03) deduzimos então, facilmente, agrupando convenientemente:

( ) ,1~

3

~

φφφφ ψψψψψψψψ

ψψψψ

φφφφ

φφφφ. .− =

3

donde, relembrando ((10),§ 08.01):

( ) .1 1 1φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ. .− − −=

A generalização desses resultados para mais de dois diádicos é imediata.

A demonstração para o caso do segundo é imediata uma vez que o transposto de um produto é igual ao produto dos transpostos em ordem inversa (§05.03, Teor. 1).

Corol. 1: O escalar do adjunto de um produto de diádicos é igual ao escalar do adjunto do produto desses diádicos em ordem inversa:

( ) ( ) ,E~

E~φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ. .= (011).

Pois de (01), lembrando ((08),§ 07.01), deduzimos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .E~ ~ ~

E~ ~

E E~

E~φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ. . . . .= = = =

Page 193: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.03 - Propriedades formais. 173

Poliádicos - Ruggeri

Corol. 2: O adjunto da P-ésima potência de um diádico é igual à P-ésima potência do adjunto desse diádico:

( ) ( ) ,P ~ ~ Pφφφφ φφφφ= (012).

Se o diádico é completo,

( ) ( ) ,P 1 1 Pφφφφ φφφφ− −= (021). Para simplicidade da notação e sem perigo de erros, poremos:

( ) e .1 P P P~ Pφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ− −= = ~

Decorre imediatamente de (012) que

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφP~ Q~ ~ P Q P Q ~( ( ) ,. = =+ +) (013),

e de (021):

φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

− − −

− −

− − −

=

=

=

= = =

P Q (P+Q)

P Q P Q

1 P Q Q P

P Q PQ Q P QP

,

,

( ) ,

( ) ( ) ,

.

.

( ) ,P Q PQφφφφ φφφφ− −= (022).

Teor. 2: ∀ X,

(X ) X~ 2 ~φφφφ φφφφ= e (X ) X22

φφφφ φφφφ= 2 (03);

e se φφφφ é completo e X≠0:

(X ) X1 1

1φφφφ φφφφ− − −= e (X ) XP1 Pφφφφ φφφφ= − (04).

Com efeito, pois considerando ((11),§ 07.01) temos:

~222~ X) (2

1X) (X

2

1)(X φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ === ×

×××

Se φφφφ é completo podemos escrever: (X ) (X ) ,1φφφφ φφφφ− =. ΙΙΙΙ de onde, pós multiplicando ambos os

membros por X-1φφφφ-1, agrupando e simplificando, deduzimos (04). Por simples transposição podemos demonstrar as demais fórmulas.

Corol. 1: (X ) XP

1

Tφφφφ φφφφ− −=1 (041).

Page 194: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

174 § 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

II,§ 08.03

Teor. 3:(Adjunto do adjunto e inverso do inverso de φφφφ com φφφφ3≠0).

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ~~ = =3 2 2( ) (05),

( ) ,1 1φφφφ φφφφ− − = (06).

Substituindo em ((11),§ 08.01) φφφφ por φφφφ ~ , temos: φφφφ φφφφ φφφφ~ ~~ 3~ ,. = ΙΙΙΙ donde, pré-

multiplicando ambos os membros por φφφφ, reconsiderando ((11),§ 08.01) e lembrando ((06),§ 08.01):

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ3 3ΙΙΙΙ. ~~ 2( .= )

Logo, dividindo ambos os membros por φφφφ3≠0, encontramos os dois primeiros membros de (05). Analogamente comprovamos o terceiro membro.

Similarmente, trocando em ((09),§ 08.01) φφφφ por φφφφ-1 e em seguida pré ou pós-multiplicando ambos os membros por φφφφ ou φφφφ-1, encontramos, logo, (06).

Corol. 1: (inverso e principal do adjunto)

( ) ( ) ,~ 1

3

1 ~φφφφ φφφφφφφφ φφφφ− −= = ( ) ( ) ,~

P P~φφφφ φφφφ= (07).

Com efeito, se tomarmos o inverso e depois o adjunto de ambos os membros de ((10),§ 08.01) e considerarmos (04) e (05), comprovaremos (07)1. Por transposição de (07)1 obtemos (07)2.

Teor. 4: O adjunto e o inverso do diádico unidade são o próprio diádico unidade:

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ~ 1 , = =− (08). Com efeito, de ((11),§ 08.01) temos:

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ~ ~ ~ =| | 1 ;. .= = = = e de ((10),§ 08.01):

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ− = =1 ~ ~1

.3

Teor. 5: O adjunto e o inverso do transposto são iguais, respectivamente, aos transpostos do adjunto e do inverso:

∀ = ≡ = : ( ) ( )T ~ ~ T ~T

2φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ , (09);

Page 195: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.03 - Propriedades formais. 175

Poliádicos - Ruggeri

e se φφφφ3≠0:

( ) ( ) , T 1 1 T Tφφφφ φφφφ φφφφ− − −= ≡ (10). A demonstração de (09) é evidente a partir da própria definição de adjunto.

Sendo ΙΙΙΙ = = =− − −φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ1 1 T T 1 T( ) ( ) ,. . . temos, pré-multiplicando o primeiro e

último membro por (φφφφT)-1:

( ) ( ) ( ) ( ) ,T 1 T 1 T 1 T 1 Tφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ− − − −= =. .

o que demonstra (10).

Corol. 1: O adjunto de um diádico simétrico é um diádico simétrico (que é igual ao seu segundo):

φφφφ φφφφ T= ⇒ φφφφ φφφφ φφφφ~ ~ T( ) ,= =2

(091).

Se o diádico simétrico é completo, o seu inverso é simétrico; e reciprocamente:

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= ≠ ⇔ =− −T

31 T e 0 (101).

Esses resultados são facilmente comprovados a partir de (09) e (10).

Nota: A fórmula (091) não é válida em sentido contrário, isso é: T

2 não ~ φφφφφφφφφφφφφφφφ ±=⇒= .

É ~TT~ ~ φφφφφφφφφφφφ == , mas dois diádicos que têm o mesmo adjunto não são iguais

necessariamente; com efeito, se φφφφ ψψψψ ~ ~= , temos, tomando o adjunto de ambos os

membros e aplicando (05): φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ3 3

= . Mas φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ 3

~ 2

3

~ 2= = =( ) ( )3 3

, isso é ψψψψ φφφφ3 3

= ±

e, portanto, ψψψψ φφφφ= ± . Podemos, assim, enunciar:

Se um diádico tem adjunto e segundo iguais ele é simétrico ou anti-simétrico.

Teor. 6: Se é nulo o produto pontuado de dois diádicos não nulos, então ambos são incompletos:

0, , , 33 ==⇒=≠≠ ψψψψφφφφΟΟΟΟψψψψφφφφΟΟΟΟψψψψΟΟΟΟφφφφ . (11).

Com efeito, porque se ao menos um dos diádicos fosse completo, digamos φφφφ,

existiria φφφφ-1 (§ 08.01) e de φφφφ.ψψψψ = ΟΟΟΟ deduziríamos:

,11 ΟΟΟΟΟΟΟΟφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφ === −− ... o que é contra a hipótese (ψψψψ≠ΟΟΟΟ).

Page 196: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

176 § 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

II,§ 08.04

Corol. 1: Se é nulo o produto pontuado de vários diádicos não nulos, então ao menos dois desses diádicos são incompletos:

s,incompleto diadicos dois menos ao ..... e ,...,, ⇒=≠ ΟΟΟΟχχχχψψψψφφφφΟΟΟΟχχχχψψψψφφφφ . (12).

* Exercício 4:

|||>||| donde , |||| 2|| || || |||| ~|| 2 ||, |||||| : 22

22T φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ =−==∀ ;

∀ ≠ = = −φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ, : ) ) || || ( || || ( || ||2

P2

3 2 3 310 2 2 2 .

*

§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo). Temos insistido em mostrar a utilidade dos diádicos como regentes de uma transformação linear (Teor.1,§ 02.04). Assim, os vetores posição, x, de pontos de dado domínio Dx, transformam-se em vetores posição, y, de pontos de um novo domínio, DY, por multiplicação pontuada com um diádico regente, φφφφ; algebricamente, escrevemos: y .x= φφφφ .

Se esse diádico é completo (φφφφ3 ≠ 0) ele admite um inverso: φφφφ-1; então, pré-multiplicando

ambos os membros da expressão acima por φφφφ-1, deduzimos: .= 1.yx −φφφφ Interpretamos

geometricamente o resultado obtido, por analogia com a interpretação anterior, dizendo que o diádico inverso opera uma transformação inversa da anterior: os vetores posição, y, de

pontos de DY, transformam-se univocamente em vetores posição de pontos de Dx.

Se x' é o vetor posição de um outro ponto qualquer de Dx, então x - x' é o vetor genérico de Dx, pois liga dois pontos quaisquer de Dx. Sendo, obviamente: y y . x x− ′ = − ′φφφφ ( ), dizemos que a transformação linear regida por φφφφ, bem como sua inversa,

aplica-se a qualquer vetor do domínio. Se, agora, x e y são dois vetores quaisquer antes da transformação executada por φφφφ

(logo, são pontos de DX), o produto vetorial deles, x×y, é o seu vetor-área. Após a

transformação, tais vetores são φφφφ.x e φφφφ.y e seu produto vetorial, (φφφφ.x)×(φφφφ.y), é o "vetor-área transformado". Que relação existe entre esses vetores? Lembrando ((042)2,§ 07.04) e ((01),§ 08.01) temos:

)()()()( 2~ yx..yx.y.x ×=×=× φφφφφφφφφφφφφφφφ , (01).

Interpretando (01), podemos enunciar:

"Na T.L. regida pelo diádico φφφφ, usado como pré-fator (pós-fator), o seu segundo (adjunto), usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, rege a transformação das áreas".

Page 197: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. 177

Poliádicos - Ruggeri

Nota: Um modo de calcular a relação entre os valores numéricos das áreas (a transformar e transformada) será apresentado no § 01.02 do cap. III.

Casos particulares.

Numa situação particular em que o diádico φφφφ (gerado do E3) seja planar - caso em que φφφφ transforma, por multiplicação pontuada posterior (anterior) qualquer vetor num vetor

do plano dos seus antecedentes (conseqüentes) (Corol.1,Teor.1,§ 03 e 01) - o seu adjunto, linear (Corol.1,Teor.2,§ 08.01), terá por conseqüentes (antecedentes) vetores paralelos à direção da normal ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de φφφφ e transforma, em multiplicação pontuada anterior (posterior), qualquer vetor num vetor paralelo à essa direção, Fig.08.02.

Então, conforme (01), por serem x e y arbitrários, podemos concluir:

Teor. 1: Se um diádico é planar, e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor do plano dos seus antecedentes (conseqüentes); o seu adjunto, linear, usado como pós-fator (pré-fator) em multiplicação pontuada, transforma qualquer vetor num vetor ortogonal ao plano dos seus antecedentes (conseqüentes).

Similarmente, em vista do Corol.2 do Teor.2, § 08.01, podemos também enunciar:

Teor. 2: Se um diádico é linear e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor paralelo à direção do seu antecedente (conseqüente); o seu adjunto, que é o diádico nulo, transforma qualquer vetor no vetor zero.

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e

principais numa homologia. Seja o diádico φφφφ = e a

ii e um seu homológico arbitrário (§ 03.02), Hom X

ii iφφφφ = e a .

Page 198: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

178 § 08 - Adjunto e inverso de um diádico.

II,§ 08.05

Teor. 1: Tem-se:

T~~

22

)Hom ( )X( Hom

Hom )X(Hom :

φφφφφφφφφφφφΣΣΣΣφφφφ

φφφφφφφφφφφφΣΣΣΣφφφφφφφφ

××

××

−=

−=∀ , (01).

Com efeito, podemos escrever:

]. ... +))(()X+(X[X)(

... +))(()]X+(XX)[( ... +))((X

] ... +))(Hom[()])((2

1Hom[Hom

3232

322

3232

323232

1

3232

jiji2

aaee

aaeeaaee

aaeeaaee

××−=

=××−=××=

=××=××=

φφφφΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

φφφφ

Por outro lado, temos:

, ... +))((X+))((X

))((X)X( )(Hom

2323

23232

3

jiji

jjjj

ii

aaeeaaee

aaeeaeae

××××=

=××== ××

×× φφφφφφφφ

não sendo difícil, agora, completar a demonstração. Transpondo em ambos os membros da fórmula encontrada, lembrando ((02),§ 03.02) e ((13),§08.01), encontramos imediatamente ((01)2. O Teorema 1 é válido para qualquer diádico. Quando este é completo a soma dos coeficientes da homologia, ΣX, pode ser calculada como o duplo produto pontuado do seu homológico com o seu principal, isso é:

Teor. 2: ∀ ≠ = com 0 : X Hom

3 Pφφφφ φφφφ φφφφ φφφφΣΣΣΣ : , (02).

Com efeito, temos: etc. ,X).Hom( 1

11 =a.e φφφφ ; então, somando membro a membro

estas igualdades, vem: ΣX Hom ) Hom ) (ii

ii

= =e . .a : e a( ( )φφφφ φφφφ , o que comprova (02).

Teor. 3: A CNS para que ΟΟΟΟφφφφφφφφ =×

× Hom é que φφφφ seja linear.

Pois, sendo φφφφ linear, é ΟΟΟΟφφφφ =2 (Teor. 2, § 08.01); e conforme (01), ΟΟΟΟφφφφφφφφ =×

× Hom .

Reciprocamente, se ΟΟΟΟφφφφφφφφ =×× Hom ,

ΟΟΟΟ=+×× ... ))()(X+X( 32

3232 aaee ,

isso é,

Page 199: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. 179

Poliádicos - Ruggeri

))(X+X())(X+X())(X+X( 212113133232 aaaaaao ×=×=×= .

Então a1 // a2 // a3, e φφφφ é linear.

Teor. 4:

,Hom 1

) Hom( Hom

Hom ) Hom(Hom

: 0 com

3PPP

2P2

3

φφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφ

××

××

−=

−=

≠∀

:

:

T

3

1-P

1-

TP

)Hom (1

) Hom(Hom

)Hom ( ~) Hom( ~Hom

φφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

××

××

−=

−=

:

:, (03).

Estas fórmulas são conseqüências imediatas das (01) e (02) e das relações já estabelecidas (no § 08.01) entre o adjunto, o segundo, o principal e o recíproco de um diádico. ⇒⇒⇒⇒

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.

Seja ii aeM = (i = 1, 2, 3) qualquer diádico de Moreira e ABCD um

ortoquadrângulo a ele associado, Fig. 03.05, § 03.03. O segundo de M tem por expressão

))(())(())(( 1313

3232

21212 aaeeaaeeaaeeM ××+××+××= .

Então, M2V

, tal como MV

, é um vetor paralelo ao plano π) desse diádico, pois, conforme

indica a referida figura, o vetor da primeira díade é paralelo a BC, o da segunda é paralelo a CA e o da terceira a AB. Logo:

O plano de um diádico de Moreira é paralelo ao plano definido pelo seu vetor e o vetor do seu segundo.

Segundo ((17) e (18), § 08.01), M M M M M− = =1

P T

P e

2 3. Então, concluímos:

Se um diádico (completo) é um diádico de Moreira, o transposto, o principal, o segundo, o adjunto e o recíproco desse diádico são também diádicos de Moreira, todos com eixos paralelos e planos paralelos.

Consideremos ainda a figura citada. O vetor 11

ae × é um vetor paralelo a BC e

32 ee × é perpendicular a BC porque 32 ee × é perpendicular a qualquer reta do plano

(D*BC). Logo e1 é paralelo ao plano ),( 11 ae . Analogamente podemos comprovar que e2

é paralelo ao plano ),( 22 ae e e3 paralelo ao plano ),( 3

3 ae . Imaginando o sistema

Page 200: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

180 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana.

II,§ 09.01

321 ,, eee aplicado em D, vemos que o eixo associado aos sistemas recíprocos

, , e e e1 2 3

e 321 ,, eee é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC).

Os mesmos resultados são válidos para o sistema recíproco de 321 ,, aaa , isso é,

sendo 11 ae × paralelo a BC e 32 aa × perpendicular a BC, a

1 pertence ao plano ),( 1

1 ae

etc.. Se , , a a a1 2 3

é aplicado em D*, o eixo associado aos sistemas recíprocos

, , a a a1 2 3

e 321 ,, aaa é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC).

Assim, ampliamos a propriedade anterior, enunciando:

Se um diádico completo é um diádico de Moreira, todos os seus derivados (transposto, principal, segundo etc.) são também diádicos de Moreira. Os eixos e os planos desses diádicos são todos paralelos ao eixo e ao plano do diádico unidade quando este é representado pelos antecedentes do diádico (e seus recíprocos), ou pelos conseqüentes do diádico (e seus recíprocos).

* Exercício: Estudar a norma de um diádico de Moreira.

*

Consideremos agora o quadrângulo plano, DD*AH A (Fig. 03.05, § 03.03). Os vetores e1 e a

1 são paralelos ao plano desse quadrângulo, suas direções sendo,

respectivamente, as normais aos lados D*HA e DHA. Portanto, os suportes desses vetores, quando estes estão aplicados em D e D*, respectivamente, interceptam esses lados em pontos da circunferência de diâmetro DD*. Resultados análogos podem ser obtidos com permutação circular das letras nos (planos dos) demais quadrângulos.

Concluímos, então:

As interseções dos tercetos de lados DHA, DHB, DHC e D*HA, D*HB, D*HC dos quadrângulos planos DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com a esfera de diâmetro DD* definem, respectivamente, com D* e D, as direções dos antecedentes e conseqüentes de M

P.

⇐⇐⇐⇐

§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA.

Daqui em diante a teoria dos diádicos passa a ter algum parecer com o modo tensorial, tal como ocorreu com a teoria dos vetores do §04,Cap.I em diante.

§ 09.01 - Definições.

Dado um diádico, φφφφ, numa forma polinomial qualquer, podemos sempre reduzi-lo a

uma forma N-nomial com, por exemplo, conseqüentes gj independentes (Teor.1,§ 02.07); seja, então:

φφφφ = =a gj j (j 1,2, ... , N), (01),

uma forma qualquer contravariante de representação de φφφφ (§ 02.07).

Page 201: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 181

Poliádicos - Ruggeri

Cada um dos antecedentes de φφφφ pode ser expresso, por sua vez (§ 03,I), em função de suas coordenadas contravariantes (em relação à base g*) ou em função de suas coordenadas co-variantes (em relação à base g*) nas formas

a a .g g a a .g gj j kk

j jk

k( ) , ou, ( ) (k 1,2, ... , N),= = = (02). Então, por substituição das (02) em (01):

φφφφ φφφφ= = =( ) , ou ( ) (j, k 1,2, ... , N)j kk j

jk

kja .g g g a .g g g (03).

Nota: Se for conveniente poder-se-á também expressar cada um dos antecedentes do diádico em relação a outro sistema r*,r* de vetores recíprocos.

Poderíamos, por outro lado, reduzir o mesmo diádico φφφφ a uma forma N-nomial que tivesse por conseqüentes os recíprocos dos mesmos gj independentes, caso em que (Teor.1,§ 02.07) estaríamos escrevendo φφφφ em forma co-variante

φφφφ = =b gjj (j 1,2, ... , N), (011).

Como também podemos escrever:

b b .g g b b .g gj j kk

j jk

k( ) , ou ( ) (k 1,2, ... , N),= = = (021),

deduzimos, ainda, que

φφφφ φφφφ= = =( ) , ou ( ) (j, k 1,2, ... , N),j kk j

jk

kjb .g g g b .g g g (031).

Pondo-se:

kjkjjk .. φ== gaag,, ,

j kk

j. φ=ga

, (04)62,

kjkj. φ=gb

kj

kj. φ=gb

φφφφ pode ser escrito em qualquer uma das formas seguintes:

φφφφ = φ kjk jg g ,

φφφφ = φ kj k

jg g ,

φφφφ = φ kjk jg g ,

jk

kj ggφ=φφφφ , (05).

62Notar que cada índice ocupa um posto, como sobre-índice ou como sub-índice. Nunca representaremos letras duplamente indexadas com índices encavalados ou sobrepostos (em níveis diferentes) no mesmo posto.

Page 202: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

182 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana.

II,§ 09.02

Vemos, assim, que qualquer diádico pode ser expresso na forma de uma combinação linear de N2 díades, obtidas como produtos diretos de N vetores independentes entre si ou pelos seus recíprocos. Quando se expressa um diádico em qualquer uma das formas (05)

diz-se que se pratica uma redução N2-nomial, ou, cartesiana do diádico. As formas (05)

são ditas, em geral, N2-nomiais: monomiais para N = 1, tetranomiais para N = 2 e eneanomiais para N = 3; suas díades são denominadas díades basais (ou fundamentais) e os coeficientes destas, coordenadas do diádico nas bases recíprocas g* e g*. Por ser um diádico uma entidade estritamente relacionada a pares de vetores (justapostos em produto direto) podemos considerar qualquer uma das (05) como uma expressão (ou decomposição) cartesiana do diádico φφφφ nas bases recíprocas g* e g*. A analogia com as expressões correspondentes dos vetores é evidente.

Numa redução N2-nomial, as coordenadas de um diádico estarão sempre relacionadas com a sua "parte substancial" (ou "motivo") (§ 02.07), isso é, as suas coordenadas são os "quinhões" da grandeza que ele representa distribuídos por cada par de vetores de duas bases (idênticas ou recíprocas). Cada parcela do diádico (produto de cada coordenada pela díade que lhe corresponde) é dita uma componente do mesmo. As parcelas correspondentes a índices iguais são denominadas componentes normais ou radiais do diádico (ou da forma); as demais componentes são denominadas transversais ou tangenciais. As coordenadas φkj, por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais co-variantes (bj) do

diádico (§ 02.07), denominam-se: coordenadas duplamente co-variantes do diádico, ou, simplesmente, coordenadas co-variantes ; as coordenadas φk

j por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais contravariantes (aj) do diádico,

denominam-se: coordenadas uma vez contravariante uma vez co-variante, ou, mistas. Analogamente, as φjk são as coordenadas duplamente contravariantes, ou simplesmente coordenadas contravariantes; e as φk

j, coordenadas uma vez contravariante e uma vez co-variante, ou mistas63. Deve ser observado que, em geral,

φ φ φ φ φ φkj jk kjkj

kj k

j e ≠ ≠ ≠ ≠, ... , (06).

As formas e as componentes correspondentes a essas coordenadas recebem os mesmos nomes dessas coordenadas.

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.

A cada uma das formas N2-nomiais ((05),§ 09.01) podemos associar uma matriz quadrada de ordem N64 cujo elemento genérico é dado pela coordenada genérica do diádico

63Estas nomenclaturas tornar-se-ão mais expressivas quando tratarmos dos poliádicos de ordem p+q, que poderão ser p vezes contravariantes e q vezes co-variantes etc.. 64Chama-se matriz de ordem MxN a um conjunto de MxN números - representados genericamente por uma letra com dois índices, letra indexada essa denominada elemento genérico da matriz - dispostos ordenadamente em M linhas N colunas. Quando M≠N a matriz se diz retangular; quando M=N, quadrada. Quando N=1, a matriz denomina-se matriz coluna ou vetor; quando M=1, matriz linha ou vetor linha.

Page 203: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 183

Poliádicos - Ruggeri

nas referidas formas, desde que convencionemos que os índices dos antecedentes e os dos conseqüentes das díades representem, respectivamente, a linha e a coluna da coordenada na matriz65. Representando as matrizes com duplas chaves escrevemos, para o caso em que N = 3, por exemplo:

[ ]φφφφ∗∗ =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, [ ]φφφφ∗∗ =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

[ ]φφφφ∗∗ =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11

21

31

12

22

32

13

23

33

, [ ]φφφφ∗

∗ =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11

12

13

21

22

23

31

32

33

, (01).

Qualquer uma das matrizes (01) é denominada matriz associada ao diádico; diremos também que [φφφφ**] é a matriz contravariante, [φφφφ** ] é a co-variante, [φφφφ**] a matriz mista contra/co-variante e [φφφφ**], a matriz mista co/contravariante. Genericamente a matriz associada ao diádico φφφφ será representada por [φφφφ].

Devemos notar que, nas matrizes (01), as colunas representam as coordenadas cartesianas dos antecedentes do diádico, representado em formas trinomiais nas quais os vetores de base (gi ou gj) aparecem como conseqüentes.

Resultados análogos seriam obtidos com as representações trinomiais φφφφ=gjcj=gjdj

(≠φφφφT=gjaj=bjg

j). Pondo:

g .g g .gj k jk kjj k jkG G e G G ,kj= = = = (011),

escrevemos, relembrando a teoria dos recíprocos:

g g .g g g gj j kk

jkk k( ) G G

kj= = = ,

g g .g g g gj j kk

jkk

kjk( ) G G= = = , (j,k = 1,2,...,N).

Logo, por ser ΙΙΙΙ= gj g

j = Gjk gk gj = gj gj = Gjk gk gj, escrevemos, para N = 3 por exemplo66:

65Uma matriz só pode ser associada a um diádico ou a um vetor. Aparentemente não é possível essa associação a triádicos, tetrádicos etc. porque estes estão associados a três, quatro ou mais índices. Esse assunto será abordado no § 03.04 do Cap. IV. 66Duas matrizes de mesma ordem são iguais se são iguais seus elementos correspondentes (os de mesma linha e mesma coluna). Duas matrizes, cujas linhas de uma são as colunas de mesmo nome da outra, são ditas transpostas; é o caso, por exemplo, das matrizes [φij ] e [φji ]. Quando duas transpostas são iguais elas são ditas simétricas; é o caso das [Gij ] e [Gji ], e o das [Gij ] e [Gji ],por conseqüência das (011). Quando duas transpostas são opostas elas são ditas anti-simétricas; nesse caso os elementos de sua diagonal principal são todos nulos.

Page 204: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

184 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.02

[ ] [ ] ,ΙΙΙΙ∗∗ ∗∗= =

=

G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

[ ] [ ] ,ΙΙΙΙ∗∗ ∗∗

= =

=

G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

e, relembrando que g .gjk

jk= δ (δ

jk , deltas de Kronecker, §04.02,I):

[ ] [ ] [ ] ,G G∗∗ ∗

∗= = =

ΙΙΙΙ

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(012)67.

As matrizes [G** ], [G** ] e [ΙΙΙΙ] são denominadas matrizes métricas contravariante, co-variante e mista, respectivamente, da base g1,g2,g3.

Nota 1: Deve ser notado que não tem significado falar de uma matriz associada a um diádico φφφφ sem mencionar: 1°) - a sua natureza, isso é se ela é a co-variante [φφφφ**], a contravariante [φφφφ**], a mista contra/co-variante [φφφφ**], ou a mista co/contravariante [φφφφ**]; 2°) - a matriz métrica da base a que ela se refere; 3°) - Obviamente, quando a matriz é a mista (qualquer uma delas) a matriz métrica correspondente, qualquer que seja a base, é a matriz unidade. A menção de apenas uma matriz mista, entretanto, não especifica o diádico (exceto se for definida a base).

É fácil, também, mostrar que para N = 3,

,

000

000

000

][][][][][

===== ∗∗∗

∗∗∗

∗∗ ΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟ (013)68.

Teor. 1: Obtém-se o transposto de um diádico expresso em forma N2-nomial, simplesmente trocando, em cada uma de suas componentes, o antecedente pelo conseqüente:

se φφφφ = φ j

k jk ,g g então, φφφφ T = φ j

k

kj ,g g (02).

67As matrizes métricas mistas de qualquer base, todas iguais, são denominadas matriz unidade. 68As matrizes associadas ao diádico nulo, todas iguais, são denominadas matriz zero ou matriz nula.

Page 205: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 185

Poliádicos - Ruggeri

Com efeito, pois, sendo, na forma das coordenadas mistas, por exemplo, φφφφ = φjkgjg

k, é, também, φφφφ = akg

k com ak = φjkgj. Então φφφφT = gkak = gkφj

kgj. Mas sendo distributivo o produto direto de vetores em relação a soma de vetores (Teor.2,§ 02.06), resulta, φφφφT = φj

kgkgj , c.q.d..

Corol. 1: As transpostas das matrizes co-variantes e contravariantes associadas a um diádico φφφφ são iguais às matrizes homônimas correspondentes associadas ao transposto de φφφφ:

])[(][ **TT** φφφφφφφφ = , ])[(][ **

TT** φφφφφφφφ = , (031)

69.

A transposta da matriz mista de certo nome associada a um diádico φφφφ é igual à matriz mista do mesmo nome associada ao transposto de φφφφ.

])[(][ TT ∗

∗∗

∗ = φφφφφφφφ , ou ])[(][ TT

∗∗

∗∗ = φφφφφφφφ , (03).

Pois, sendo, por exemplo:

φφφφ = φ φ φ φ φ kj

jk

11

21

3 12 ...g g g g g g g g g g= + + + +1

11

2 11

32

1

e

φφφφ T = φ φ φ φ φ kj k

j 11

1 12 1

2 13 1

3 21 2

1 ... ,g g g g g g g g g g= + + + +1

temos:

[ ]φφφφ ∗∗ =

φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ

11

21

31

12

22

32

13

23

33

; [( T φφφφ ) ]∗

∗ =φ φ φφ φ φφ φ φ

11

12

13

21

22

23

31

32

33

= [ ] .φφφφ

T∗

Analogamente provaríamos para os demais casos de representação de φφφφ.

Teor. 2: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais díades, têm suas coordenadas respectivamente iguais; e reciprocamente.

Com efeito, expressos os diádicos φφφφ e ψψψψ em forma N2-nomial em termos das mesmas díades basais escrevemos, por exemplo:

φφφφ = e jk

kjφ g g ψψψψ = ψ j

kk

jg g .

69Por este corolário, justifica-se a (nossa) nomenclatura: "transposto de um diádico", em relação a: "conjugado de um diádico" (de Gibbs) mencionada no §02.05.

Page 206: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

186 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.02

Pondo φkj g

j = uk e ψkj g

j = vk, e sendo φφφφ = ψψψψ, escrevemos: gkuk = gkv

k. Ora, estando os

diádicos expressos em forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes,

resulta uk = vk (Teor.2,§ 02.07). Então: φ ψ φ ψ jk j

jk j

jk

jk , isto é , .g g= =

Sejam agora dois diádicos φφφφ e ψψψψ expressos em termos das mesmas díades basais e com coordenadas iguais:

φφφφ = φ jk

kj e g g ψψψψ = ψ φ ψ j

kk

j jk

jk com g g = .

Escrevemos, logo: φφφφ = gku

k e ψψψψ = gkvk, com uk = vk = φkj gj = ψk

j gj. Então, φφφφ = ψψψψ.

Corol. 1: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais díades basais, têm matrizes associadas iguais70.

Teor. 3: A multiplicação de um diádico por um número é operação equivalente à multiplicação de sua matriz associada por esse número71.

Com efeito, as coordenadas co-variantes ou contravariantes dos seus antecedentes ou conseqüentes, expressas por ((04),§ 09.01), estarão multiplicadas por esse número; logo, os elementos da matriz associada ao diádico em (01) estarão multiplicados por esse número.

Teor. 4: A pré-multiplicação pontuada de diádico por vetor é operação equivalente à pré-multiplicação da sua matriz mista associada co/contravariante (contra/co-variante) pela matriz coluna co-variante (contravariante) associada ao vetor72. O vetor produto vem expresso por sua matriz coluna co-variante (contravariante):

′ = ⇔r .rφφφφ [ ] , ′ =∗ ∗

∗∗r . rφ (04).

Pondo, por exemplo:

r g r g= ′ = ′ =R , R e kk

ii φφφφ φ i

j ij , (i, j, k 1,2, ... , N),g g =

deduzimos:

70Deve ser observado que se um mesmo diádico esta expresso em formas cartesianas homônimas em termos de diferentes díades de base, suas matrizes associadas (de mesmo nome) não são iguais, mas similares; este conceito será explorado no § 02.04, III. 71Chama-se produto de um número por dada matriz a uma matriz cujos elementos são os elementos correspondentes da matriz dada multiplicados por esse número. 72Chama-se produto de uma matriz A, de ordem MxN, por uma matriz coluna v, de ordem Nx1, à matriz coluna de ordem Mx1, v', cujo elemento da i-ésima linha é a soma dos produtos de cada elemento da i-ésima linha de A pelo seu correspondente da matriz coluna.

′ = =r . rφφφφ ( ) ( ) ( ) ,φ φ φi j i

j kk

i j

ki

jk

i k

kiR R Rg g . g g g .g g= =

Page 207: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas. 187

Poliádicos - Ruggeri

de onde resulta, considerando a expressão cartesiana co-variante de ′ ′ =r : R R i i k

kφφφφ . Esta expressão é equivalente a (04), quando se faz (k, i = 1,2,...,N).

Nota 2 :

Em pós-multiplicação, escreveríamos:

′ = ⇔ ′ =v v. v v .ψψψψ ψψψψ [ ],T T (05),

e, no caso específico de (04): ′ = = ′∗ = ∗ ∗∗r . r r. r r .φφφφ φφφφ φφφφT T T T , donde [ ] .

Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos Se A é diádico simétrico (§ 04.02), pondo A=Aije

iej, deve ser Aij=Aji. Então, para i=1,2,3, A12=A21, A23=A32, A31=A13. Resultados análogos seriam obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um diádico simétrico são, assim, matrizes simétricas, e apenas estas. Da mesma forma, se A é diádico anti-simétrico (§ 04.02), pondo A=Aije

iej, deve ser A ij=-Aji. Então, para i=1, A11=A22=A33=0 e A12=-A21= A23=-A32=A31=-A13, resultados análogos podendo ser obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um diádico anti-simétrico são, assim, matrizes anti-simétricas, e apenas estas.

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas Posto que a multiplicação pontuada entre diádico e vetor é associativa em relação a números, deduzimos, por exemplo, que:

sendo φφφφ= φ jkj k ,g g então g . .gr sφφφφ = φ jk r

j ks(g .g g .g)( ),

isso é,

g . .gr sφφφφ = φ rs (r, s = 1,2,... , N)., Similarmente, considerando as outras formas fundamentais de φφφφ, poderíamos deduzir expressões análogas para as demais coordenadas do diádico. Como regra geral, diríamos que uma coordenada de um diádico, expresso em forma cartesiana, pode ser obtida por pré

e pós-multiplicação do diádico pelos recíprocos dos antecedentes e dos conseqüentes de suas díades fundamentais. Assim:

φ

φ

φ

φ

rs

rs

sr

r s

=

=

=

=

g . .g

g . .g

g . .g

g . .g

r s

r s

rs

rs

,

φφφφ

φφφφ

φφφφ

φφφφ

,

,

, (01).

Page 208: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

188 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.03

Ora, não sendo independentes as coordenadas co-variantes e contravariantes de vetores (§ 04, I), podemos esperar não serem também independentes as coordenadas de um diádico. De fato, substituindo, por exemplo, em (01)1 as expressões de φφφφ dadas por ((05),§ 09.01), deduzimos:

φ φ

φ φ

φ φ

rs rkk s

rs rkkj

js

rs jr js

G

G G

G ,

=

=

=

,

, (02),

sendo, conforme já definimos ((01)1,§ 09.02), Grk = gr.gk = Gkr. Similarmente, podemos deduzir das (01):

φ φ

φ φ

φ φ

r s

rkks

rs rkkj

js

sr rj

js

G

G G

G

=

=

=

(03),

onde Grk = gr.gk. As fórmulas (02) e (03) são correspondentemente inversas porque, por exemplo, se a (02)2 exprime as coordenadas contravariantes em função das co-variantes, a (03)2 exprime as coordenadas co-variantes em função das contravariantes etc. Tal como com as (02) exprimimos as coordenadas contravariantes em função das demais coordenadas, poderíamos também exprimir as coordenadas co-variantes em função de todas as outras coordenadas. Exprimindo todas as coordenadas de φφφφ em função apenas das coordenadas mistas, φ

sr por exemplo, teríamos:

φ φ

φ φ

φ φ

rs kr ks

rs rk sk

r s

rk jk js

G ,

G ,

G G ,

=

=

=

(04).

As expressões (02), (03) e (04) podem ser expressas em forma matricial, e essas novas expressões podem ser obtidas na tábua de multiplicação seguinte.

Tábua de multiplicação de matrizes associadas a um mesmo diádico [φφφφ** ] [φφφφ** ] [φφφφ*

*] [φφφφ**]

[φφφφ** ]= - [G** ].[φφφφ** ].[G** ] [φφφφ**].[G

** ] [G** ].[φφφφ**]

[φφφφ** ]= [G** ].[φφφφ** ].[G** ] - [G** ].[φφφφ**] [φφφφ*

*].[G** ]

[φφφφ**]= [φφφφ** ].[G** ] [G** ].[φφφφ** ] - [G** ].[φφφφ*

*].[G** ]

[φφφφ**]= [G** ].[φφφφ** ] [φφφφ** ].[G** ] [G** ].[φφφφ*

*].[G** ] -

Page 209: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. 189

Poliádicos - Ruggeri

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. Da consideração das ((05),§ 09.01) obtemos, logo:

φφφφ E = φ φ φ φjkjk jk

jk jj

j jG G , (j, k 1,2, ... , N),= = = = (01),

tornando-se óbvio que a forma mais simples de se obter o escalar de um diádico é pelas suas formas cartesianas mistas pois, com efeito, este é o traço73 de qualquer uma das matrizes associadas (mistas).

Não se deve confundir, entretanto, o traço de uma matriz com o escalar de um diádico, pois, em geral,

Tr[φφφφ∗∗ ≠] φφφφ E Tr= [ ] ] ],φφφφ φφφφ φφφφ∗∗ ∗

∗ ∗∗= ≠Tr[ Tr[ excetuado quando a base a que se refere o diádico é ortonormal ou ortonormada. Temos também de ((05)1 e (05)3,§ 09.01), as formas mais simples de expressão de φφφφV:

kjjkkj

jk == ggggV

×φφ ×φφφφ , (02),

ou, ainda, em forma expandida:

para N = 1, φφφφV = o, (021);

para N = 2, 21211221

2112V )(=)(= gggg ×φφ×φφ −−φφφφ , (022);

para N = 3, aplicando ((04) e (04)1,§ 04.02),I) e efetuando as somas:

φφφφV = = = = ])()())[(( 32112

21331

13223321 gggggg φ−φ+φ−φ+φ−φ

ou (023)74.

φφφφV = = = = ])()())[(( 32112

21331

13223321 gggggg φ−φ+φ−φ+φ−φ

Das representações N-nomiais (01) e (011), § 09.01 deduzimos:

;1=N se ,= = 111

13

.ga.gaφφφφ

2;=N se ),()(=)()( = 212121

213

gg.aagg.aa ××××φφφφ

.3=N se ),)((=))((= 321321321

3213

gggaaagggaaaφφφφ

73O traço de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos da sua diagonal principal (os da i-ésima linha e i-ésima coluna); é representado, às vezes, por TrA. 74Pelas expressões (021),(022) e (023) pode-se definir o vetor de uma matriz (co-variante ou contravariante), conceito pouco difundido e pouco utilizado nos tratados de Álgebra Linear e de Cálculo Matricial.

Page 210: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

190 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.04

Considerando as expressões ((02) e (021),§ 09.01) deduzimos também, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

)(||)(||)( :3N para 321 321

321 ggggggaaa ∗∗

∗∗ === φφφφφφφφ ,

)(||)(||)(321

321321

ggggggbbb ∗∗∗∗ == φφφφφφφφ ;

para N=2: )(|||| 21

2121 ggggaa ×=×=× ∗

∗∗∗ φφφφφφφφ ,

)(||)(|| 21

2121 ggggbb ×∗∗×∗∗× == φφφφφφφφ ;

para N=1: 11

1 |||| gga ∗∗∗∗ == φφφφφφφφ

11

1 |||| ggb ∗∗∗∗ == φφφφφφφφ ,

isso é

φφφφ3

=

=====×=×===

∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

1,=N para |,|||)(||)(||

2;=N para |,|||)(||)(||

3;=N para |,|||)(||)(||

2121

221221

23212321

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

gg

gggg

gggggg

(03).

É óbvio, por (03), que:

A CNS para que um diádico, expresso cartesianamente, seja completo, é que o determinante associado a qualquer uma de suas matrizes seja diferente de zero.

Para os diádicos anti-simétricos A=-AT tem-se:

++=

=++=

==

).|A||A||A)(|2(

)|A||A||A)(|(2

,0

,0

312

231

123321

312

231

123321

V

3

E

eeeeee

eeeeeeA

A

A

, (04),

resultados compatíveis com ((041), (§ 04.02)). Para os diádicos simétricos nada de extraordinário se vai acrescentar além do fato de que eles têm vetor nulo; e este pode ser calculado pelas suas coordenadas duplas contravariantes ou co-variantes. Algumas observações devem ser feitas no tocante à determinação dos invariantes elementares de um diádico quando este é dado em forma cartesiana.

Em primeiro lugar, lembremo-nos de que a representação de um diádico por uma de suas matrizes associadas (a co-variante, a contravariante ou as mistas) deve sempre ser acompanhada da especificação da base a que ela se refere. A especificação dessa base pode ser feita pela configuração de seus vetores (em módulo, direção e sentido) e ângulos mútuos, ou por uma das matrizes métricas dessa base (§ 09.02). Em qualquer caso as matrizes associadas ao diádico deverão satisfazer as relações ((04),§09.03).

Page 211: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.06- Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. 191

Poliádicos - Ruggeri

Em segundo lugar, observemos que, se dispomos da matriz mista para o cálculo do vetor de um diádico, este não pode ser realizado pelas expressões (023) porque estas são válidas para coordenadas co-variantes ou contravariantes do diádico. Mas, de posse da matriz associada mista, [φφφφ** ], por exemplo, e da matriz métrica [G** ] (ou sua inversa) poderemos, por ((04)2,§ 09.03), determinar [φφφφ* *], e somente então, calcular φφφφV por (023).

Finalmente, observemos que, sendo φφφφ3 e φφφφE invariantes de φφφφ, os determinantes |φφφφ**| e |φφφφ** | e os traços Trφφφφ** e Trφφφφ** associados às matrizes contravariantes e co-variantes de φφφφ não são invariantes, mas apenas aqueles das matrizes mistas. Com outras palavras: o traço e o determinante de uma matriz associada ao diádico nem sempre são iguais ao seu escalar e ao seu terceiro (apenas os traços e os determinantes das matrizes mistas). Obviamente, tais determinantes (excluídos os traços) serão invariantes se, e somente se, os vetores de base a que se referem definem paralelepípedos de volumes unitários. Nesse caso as bases são denominadas unimodulares e, dessas, as bases ortonormadas são um caso particular.

Novamente devemos observar que, quando a base adotada é ortonormada, as quatro matrizes associadas ao diádico são iguais; e apenas nesse caso, determinantes e traços são respectivamente iguais ao terceiro e ao escalar do diádico. Entretanto, nem sempre é vantajoso, possível e prudente, o uso de bases ortonormadas (§05,Cap.I; §04 e §05,Cap.III).

§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana.

Teor. 1: A adição de diádicos, expressos em forma cartesiana em termos das mesmas díades basais, é operação equivalente à adição de suas matrizes associadas75.

Com efeito, sendo, por exemplo,

φφφφ = φ iji j e g g ψψψψ = ψij

i j , (i, j 1,2, ... , N),g g =

deduzimos, agrupando convenientemente e aplicando ((01),§ 04.01):

φφφφ ψψψψ+ = g g g g giij

jij

jij ij

i j( +φ ψ φ ψ) ( )= + , donde, [ + ]φφφφ ψψψψ = [ + ]ij ijφ ψ = [ ] +[ ],φφφφ ψψψψ

o que, evidentemente, comprova o teorema. As propriedades já demonstradas da adição de diádicos (§ 01) podem ser também demonstradas para as matrizes.

§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana.

75Chama-se soma de duas matrizes de mesma ordem, [A] e [B], a matriz de mesma ordem que as matrizes parcela, [C], cujos elementos são as soma dos elementos correspondentes de [A] e de [B]; escreve-se: [C]=[A]+[B].

Em relação às bases não ortonormadas a matriz associada ao produto de dois diádicos nem sempre é igual ao produto das matrizes associadas aos diádicos, exceto se as matrizes forem mistas de mesmos nomes.

Page 212: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

192 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.06

Expressões matriciais de φφφφ.ψψψψ Se χχχχ φφφφ ψψψψ= . , são válidas as seguintes fórmulas, que podem ser comprovadas facilmente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

χχχχ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

χχχχ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

∗∗ ∗∗∗∗

∗∗ ∗∗ ∗∗

∗∗

∗∗

∗∗ ∗∗∗∗

∗∗ ∗∗∗∗

∗∗ ∗∗

= = =

= = =

. . . .

. . . .

G

G

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]χχχχ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ∗∗

∗∗∗∗

∗∗ ∗∗

∗∗

∗∗

∗∗= = =. . . .G

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],χχχχ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ G∗∗ ∗∗

∗∗∗∗

∗∗ ∗∗

∗∗

∗∗= = =. . . . (01).

São válidas para as matrizes as propriedades já demonstradas para os diádicos no §

05.03 e no § 05.04. O enunciado dessas propriedades pode ser obtido daqueles trocando-se neles a palavra diádico por matriz (quadrada), devendo ser observado que no caso da transposição a matriz pode ser retangular.

Temos assinalado certo isomorfismo entre a álgebra dos diádicos e a conhecida álgebra das matrizes. Esse isomorfismo fica, entretanto, incompleto, uma vez que não se estuda na teoria das matrizes a operação que poderia ser denominada multiplicação cruzada entre matriz e vetor, cujo resultado fosse uma matriz (veja § 06).

Este § 09 - Representação de diádicos por matrizes - tem significado prático quando as funções vetoriais lineares devem estar referidas a uma base. Nesse caso, no estudo de um problema físico ou geométrico, poderá ser cômoda essa representação numérica (cartesiana).

Expressões matriciais de I××××a e φφφφ××××a Ponhamos I=g ig

i e a=Ajgj. Tem-se: I×a=Ajgig

i×gj=(g1g2g3)A jεijkgigk, os números (g1g2g3)A jεijk sendo as coordenadas duplamente contravariantes do diádico. Efetuando-se as somas indicadas podemos escrever a matriz [(I×a)** ]. Tem-se:

)(

0AA

A0A

AA0

])[( 321

12

13

23

ggga

−−

−=× ∗∗ΙΙΙΙ (02).

Analogamente provaríamos que

)(

0AA-

A-0A

AA0

])[( 32112

13

23

gggaI

−=× ∗∗ (021).

Se o vetor a é um dos vetores da base g*, por exemplo, a = g3, isso é,

Page 213: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 193

Poliádicos - Ruggeri

−=×=

000

001

010

)(A]A[ então, ,A se 3213

33

33 ggggIga (022),

e

−=×=

000

001

010

)(A]A[ então, ,A se 32133

33 3 ggggIga , (023).

Lembrando ((02)2, §06.02, II), podemos escrever: )()( v.v.v ×=×=× ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ . Para

quaisquer αααα e ββββ postos, por exemplo, na forma

αααα=αijgigj e ββββ=βk

mgkgm, tem-se: αααα.ββββ=αikβk

m gigm ,

isto é, em termos matriciais:

[αααα.ββββ]**=[αααα]*

*.[ββββ]**.

Então, para o produto cruzado φφφφ×v escreveríamos:

∗∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗ ×=×=× ][ ][][ ][][ v.v.v ΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ , (024).

⇒⇒⇒⇒ § 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

Os polinômios homogêneos (nas variáveis independentes X, Y, Z, ... ), também denominados formas, são os polinômios cujos termos têm todos o mesmo grau. Assim, se A, B, C, ... são coeficientes (de polinômios),

AX, AX+ BY, AX+ BY +CZ , (01), são formas lineares (ou polinômios homogêneos do grau um);

AX , AX + BY + 2CXY, AX + BY + CZ DXY EYZ FZX2 2 2 2 2 2+ + +2 2 2 , (02), são formas quadráticas etc. Formas quadráticas isentas de termos quadrados são denominadas retangulares. Se uma forma tem apenas uma variável independente, como as formas (01)1 e (02)1, ela é dita unária; se tem duas, como a (01)2 e (02)2, ela é dita binária ; se tem três, ternária etc. Então, por exemplo, (02)2 e (02)3 são, respectivamente, formas quadráticas binária e ternária. Consideremos, no E3, por exemplo76, dado diádico, φφφφ, e os vetores variáveis co-iniciais x e y; e representemo-los cartesianamente nos vários modos possíveis, a saber:

76 Tudo o que fizermos nesse espaço poderá ser desenvolvido igualmente para os espaços de dimensões 1 e 2.

Page 214: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

194 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.07

φφφφ = = = =

= = = = =

φ φ φ φiji j ij

i j ji

ij

i j i

j

ii i

i ii i

i X X Y Y com i, j

e e e e e e e e

x e e y e e

,

, ,2,3.1, (03).

Os polinômios

e . .xk kjj j

k jX X kφφφφ = = ∀ =φ φ , ,2,31 ,

representados (para cada valor de k) das duas maneiras distintas correspondentes ao segundo e terceiro membros, são formas lineares nas coordenadas co-variantes ou nas contravariantes de x. São também formas lineares nestas mesmas letras os polinômios

e . .xk kjj

k j

jX X kφφφφ = = ∀ =φ φ , ,2,31 .

O polinômio

x. .xφφφφ = =X X X Xiij

ji

ijj φ φ

é uma forma quadrática. Mas esse polinômio é um invariante (independe das mais diversas representações que se possam dar ao diádico e ao vetor). Se o representarmos, porém, nas formas (possíveis, evidentemente)

x. .xφφφφ = =X X X Xi ji j i

i j

j φ φ , (04),

caímos aparentemente num outro problema pois nem o segundo e nem o terceiro membros de (04) se encaixam na definição de forma quadrática. De fato, nestas representações as variáveis não são independentes, pois x2 = X Xi i estabelece uma ligação entre elas. Como X j=XkG

kj, tem-se: x.φφφφ.x=XiφijG

kjXk; e lembrando ((041), §09.03): x.φφφφ.x=XiφikXk. Assim, (04) é, apenas, uma forma diferente de expressar-se uma forma quadrática.

*

Representando φφφφ na forma da soma de sua parte simétrica, φφφφ sim, com a sua parte anti-simétrica, φφφφ ant, podemos escrever:

x. . x x. . xφφφφ φφφφ= sim , posto que, conforme (042), §04.02,

∀ = , antφφφφ φφφφx x. .x: 0, (041). Então, qualquer que seja o diádico φφφφ, a forma quadrática x .φφφφ. x pode sempre ser substituída por uma forma quadrática equivalente como o diádico (simétrico) igual à parte simétrica de φφφφ. Tais formas são denominadas formas quadráticas simétricas. Assim, poderemos escrever (04) na forma

Page 215: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 195

Poliádicos - Ruggeri

:,xφφφφ∀ jjiij

ij

jiiji

sim X)(X2

1X)(X

2

1 φ+φ=φ+φ== .xx..xx. φφφφφφφφ , (042).

Em resumo:

toda forma quadrática x.φφφφ.x pode sempre ser cartesianamente representada em função das coordenadas contravariantes(co-variantes) do vetor x e pela parte simétrica da matriz co-variante (contravariante) associadas ao diádico φφφφ.

* Consideremos o polinômio x. . yφφφφ (nas variáveis representativas das coordenadas dos vetores co-iniciais x e y) o qual, considerando as representações (03), pode ser representado nos quatro modos distintos seguintes:

jij ij

j iij

iji

jij

i YXYXYXYX.. φ=φ=φ=φ=yx φφφφ , (05).

Esse polinômio x. . yφφφφ é uma função linear em y porque, se y u v= +U V , então

x. . y x. .u x. . vφφφφ φφφφ φφφφ= +U V( ) ( ) , isso é,

se y u v= +U V , o polinômio x. .yφφφφ é uma combinação linear, de coeficientes U e V, de polinômios que se obtêm de x. .yφφφφ substituindo-se y por u e v.

Então esse mesmo polinômio, linear em y, é, também, linear em x.

Definição: (forma bilinear) Todo polinômio da forma (05), em que φφφφ é um diádico dado e x e y são vetores quaisquer, será dito uma forma bilinear do diádico φφφφ nos vetores x e y.

Deve ser observado que

∀ ≠ ⇒ ≠ , TΣΣΣΣ ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ ΣΣΣΣx y x. . y y. . x, , (06), porque

.xy..yx. TΣΣΣΣΣΣΣΣ = , (061),

e, evidentemente,

y. .x y. .xΣΣΣΣ ΣΣΣΣT ≠ .

Page 216: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

196 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.07

Mas ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ= ⇔ =T x. . y y. .x, (062).

Definição: Formas bilineares com diádicos simétricos são ditas formas bilineares simétricas.

Resulta dessas definições que as formas quadráticas são casos particulares das formas bilineares. Com efeito, as quadráticas são as bilineares que derivam de (05) onde se faça y = x. Ponhamos, lembrando ((03), §04.02),

∀ = +x y x. . y x. . y, , : ( )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ sim ant , (07). Ora, conforme (061),

x. .y y. .x y. .xφφφφ φφφφ φφφφant ant T

ant= = −

e, conforme (062),

x. .y y. .xφφφφ φφφφsim sim= . Como a substituição de y por x em (07) acarreta, lembrando (041), forma quadrática simétrica apenas pela parcela x. .yφφφφsim , diz-se que a forma bilinear simétrica x. .yφφφφsim é

uma forma polarizada77 da forma quadrática x. .xφφφφsim .

Quádrica centrada. Consideremos uma forma quadrática representada genericamente por (042). Quando se dá a x o valor x0, ou seja, quando se especifica certo ponto do espaço (extremidade do vetor x), a forma assume certo valor, digamos F0. O terceiro e o quarto membros de (041), por outro lado, mostram (não trivialmente) que é possível encontrar outros vetores co-iniciais com x, ou outros pontos do espaço, que dêem a essa forma o mesmo valor F0. Ao conjunto dos pontos x corresponde o conjunto dos pontos simétricos em relação à origem comum porque os vetores -x também dão à forma o valor F0.

Definição: (quádrica centrada) O conjunto dos pontos definidos pelas extremidades dos vetores co-iniciais, x, da forma quadrática simétrica x.φφφφ.x que assume o valor F0, denomina-se quádrica centrada relativo a F0.

Como o diádico da forma e o valor F0 são genéricos, podemos sempre, sem perda de generalidade, dizer que

77 A nomenclatura, embora introduzida por via matricial no estudo das cônicas e quádricas, parece ser conhecida como equação de Joachimsthal.

Page 217: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 197

Poliádicos - Ruggeri

Quádrica centrada num ponto O é o lugar geométrico dos pontos do espaço, extremidades dos vetores co-iniciais em O, x, vetores esses que, para dado diádico φφφφ, atribuam à forma x. .xφφφφ o valor +1.

Como toda forma quadrática pode ser escrita na forma simétrica, resulta que

a dado diádico, φφφφ, está associada de modo unívoco a quádrica centrada

x. .xφφφφsim = 1, (08). Mas o contrário não é verdadeiro, isso é, a dada quádrica centrada não está associado um único diádico. Com efeito, conforme Teor. 8, § 04.02, para que dois diádicos distintos tenham a mesma parte simétrica, basta que a diferença deles seja um diádico anti-simétrico. Não cabe aqui desenvolver a teoria das quádricas centradas. Demonstraremos alguns teoremas a título de aplicação. Uma alteração da dimensão do espaço permite também deduzir propriedades análogas para as cônicas centradas. A introdução de "coordenadas homogêneas" permite generalizar a teoria para as quádricas em geral.

Teor. 1: Uma quádrica centrada é interceptada por uma reta do espaço em dois pontos, reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios.

Se X é um parâmetro e r e s são vetores co-iniciais num ponto O, definindo dois pontos R e S do espaço, o vetor posicional x do ponto corrente X da reta (relativo a X) que passa por esses pontos é (1+X)x = r + Xs. A CNS para que esse ponto X pertença à quádrica é que ele satisfaça (08), isso é,

( ) ( ) (r s . . r s+ + = +X X X)sim2φφφφ 1 , (09).

Desenvolvendo esta equação e considerando (062), vem:

( ) ( )1 2 1 0− + − − =s. .s r. .s r. .rφφφφ φφφφ φφφφsim2

sim simX X +1 , (10), equação do segundo grau em X78 que, resolvida, dará dois valores para X; são eles:

1 1 1 11

2− ± − − − −−

( ) ( ) ( )( )r. .s r. .s s. .s r. . rs. .s

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφφφφφ

sim sim sim sim

sim, (101),

Com esses valores, que representaremos por X1 e X2, podemos construir dois vetores co-iniciais em O cujas extremidades certamente pertencem à quádrica. Discutindo as soluções dessa equação, o leitor poderá determinar em que condições esses pontos são reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios, bem como o caso em que a equação (10) seja uma identidade. 78 Diríamos que essa é uma forma diádica de representação da clássica "equação de Jochimsthal" da Geometria Projetiva Algébrica.

Page 218: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

198 § 09 - Redução N2-nomial ou cartesiana

II,§ 09.08

Definição: ( pontos conjugados) Os pontos R e S serão ditos conjugados em relação à quádrica centrada do diádico φφφφ se eles forem conjugados harmônicos em relação aos pontos A1 e A2 segundo os quais a reta (1+X)x=r+Xs intercepta a quádrica.

Ora, os pontos A1 e A2 estarão harmonicamente separados por R e E se, e somente se, X1 + X2 = 0, conforme sabemos. Então, de (101), concluímos:

Teor. 2: A CNS para que os pontos R e S, de vetores posicionais r e s, sejam conjugados em relação à quádrica x. .xφφφφsim = 1 é que valha um a forma polarizada de r. . rφφφφ sim , isso é: r. . sφφφφ sim =1.

Como (fixo o r ) a equação r. . sφφφφ sim = 1 é linear em s, concluímos, imediatamente:

Corol. 1: É um plano o lugar geométrico dos pontos conjugados de um ponto fixo em relação a uma quádrica centrada.

O plano a que se refere o Corol. 1 denomina-se plano polar do ponto fixo em relação à quádrica.

Corol. 2: Se o plano polar de um ponto (em relação a uma quádrica centrada) passa por um determinado ponto, então o plano polar deste ponto (em relação à mesma quádrica) passa pelo primeiro.

⇐⇐⇐⇐

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. Denotemos por Φj

k o complemento algébrico do elemento φkj (observe a inversão

dos índices) no determinante

| |φφφφ ∗∗ =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11

21

31

12

22

32

13

23

33

(01),

determinante este associado à forma cartesiana mista contravariante/co-variante de φφφφ (§ 02.01),

φφφφ = φ kj

jk ,g g (02).

Page 219: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. 199

Poliádicos - Ruggeri

Temos, então:

φφφφ ~ kj

jk ,= Φ g g (03),

e

φφφφφφφφ

−1 k

j

jk=

1,

3

Φ g g (04).

Com efeito, pondo

v gk kj

j , = φ temos, de (02), ,k

kφφφφ = v g (05);

logo, lembrando a definição de adjunto (§ 08.01), escrevemos:

)sr)(sr(2

1~ vvgg ××=φφφφ (06).

Conforme ((04)1,§ 04.02,I), é

mjkm321

ks

jr sr

)( ggggvv εφφ=× (07);

conforme ((041)1,§ 04.02,I) é

trst321sr )( gggggg ε=× .

Então:

φφφφ ~ =1

2. r

j sk rst

jkm tmφ φ ε ε g g

Para t = 1 e m = 2, por exemplo, temos:

.)(

)(2

1

)(2

1

2

1

21

12

21

32

13

33

12

21

32

13

33

12

12

33

13

32

21jk2

k2

j3

k3

j2

21jk2

rs1ks

jr

gggg

gg

gggg

Φ=φφ−φφ−=

=φφ+φφ−φφ−φφ=

=εφφ−φφ=εεφφ

Fazendo cálculos análogos podemos comprovar (03). A fórmula (04) é conseqüência imediata de (03) e ((10),§ 08.01). Poderíamos obter resultados análogos pela consideração das outras três formas de representação cartesiana de φφφφ.

Page 220: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

200 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.09

A matriz associada a φφφφ ~ é:

[ ]~φφφφ =

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

11

21

31

12

22

32

13

23

33

, (08),

e denomina-se a adjunta de [φφφφ]. Assim:

"para constituir-se a matriz mista de certo nome do adjunto de um diádico, basta substituir, na matriz mista transposta de mesmo nome desse diádico, cada elemento pelo seu respectivo complemento algébrico".

Similarmente, a matriz associada a φφφφ-1 é, em vista de (04):

[ ] = 1 [ ]1 ~φφφφ φφφφ φφφφ−

3.

Definição: (matriz inversa)

[ φφφφ-1] denomina-se a matriz inversa de [φφφφ],

sendo representada também por [φφφφ]-1. Dada [φφφφ], a determinação de [φφφφ]-1 é imediata em vista das fórmulas anteriores Como a representação cartesiana de um diádico é conseqüência de uma redução trinomial do mesmo, vemos que as propriedades das matrizes adjunta e inversa da matriz de um diádico são as mesmas do adjunto e do inverso desse diádico79. Se fizermos φφφφ = ΙΙΙΙ em ((041)3, § 09.03), considerando as ((012), § 09.02), deduzimos:

[ ] [ ] [ ],ΙΙΙΙ = ∗∗∗∗G G. (09).

o que nos permite concluir serem inversas as matrizes métricas de bases recíprocas.

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.

O problema consiste em, sendo dadas a matriz métrica de uma base (por inversão dessa matriz deduzimos a matriz métrica da base recíproca ((09),§09.08)) e a especificação de uma das matrizes associadas ao diádico (logo, as outras estão determinadas (§09.03)), determinar as características geométricas desse diádico, isso é, dizer se ele é completo, planar, linear, uniplanar, ortoplanar, determinar seus planos, direções etc..

79Esses resultados, todos concordantes com o Cálculo Matricial, também justificam a introdução do adjunto na teoria dos diádicos, juntamente com o "segundo" de Gibbs.

Page 221: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 201

Poliádicos - Ruggeri

Para a resolução do problema proposto é relevante termos em mente as seguintes

Propriedades Gerais.

1°) - Um diádico é incompleto ou completo quando o determinante de qualquer uma de suas matrizes associadas é nulo ou não nulo, respectivamente.

2°) - A CNS para que um diádico seja simétrico (anti-simétrico), é que: ou a sua matriz contravariante ou a co-variante associada seja simétrica (anti-simétrica), ou que a sua matriz mista de certo nome seja igual à transposta da matriz mista de nome contrário.

Pois, se a matriz co-variante (contravariante) associada ao diádico é simétrica, a matriz contravariante (co-variante) correspondente é também simétrica; nesse caso, o vetor do diádico, dado por ((023)1 ou (023)2, §09.04) é nulo e o diádico é simétrico. No caso das matrizes mistas, se [ ] [ ] [ ]φ φ φ j

ii j T

j i= = , então φφφφ= =φ φ j

ii

jj i

ij g g g g , donde φφφφT= =φ j

i ji g g φφφφ,

conforme (05),§09.01. As recíprocas são de demonstração evidente. A demonstração para o caso de diádico anti-simétrico é análoga. Notar que

Um diádico não é necessariamente simétrico (anti-simétrico), se qualquer uma de suas matrizes mistas é simétrica (anti-simétrica)80.

3°) - O escalar do diádico tem a expressão geral φφφφ φφφφE ,= : ΙΙΙΙ e pode ser calculado pelas fórmulas

φφφφ E = φ φ φ φ i

iii jk

jk jkjkG G= = = ,

o que é garantido por ((01), §09.04).

4°) - Se um diádico é completo (incompleto), seu adjunto é completo (incompleto); e reciprocamente, porque φφφφ φφφφ

3~ = ( ) .

32

Os teoremas demonstrados no §08.01 permitirão caracterizar o diádico quanto ao seu

grau de nulidade. Assim, esse problema se reduz à caracterização do diádico φφφφ ~ representado por uma de suas matrizes associadas. Na forma mista esta matriz é dada por ((08), §09.08), cujo elemento genérico é (notar a inversão da posição dos índices j e k):

Φ kj = complemento algébrico de j

kφ em [ φφφφ ∗∗ ] .

80 Essa questão será abordada mais a diante neste parágrafo. No § 04.01,A, III, fórmulas (10) e (11), esse aspecto poderá ser observado no caso de diádico anti-simétrico; ou no § 04.01, B,III, Teor.4, no caso de diádico simétrico.

Page 222: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

202 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.09

Na forma co-variante, a matriz associada a φφφφ ~ tem elemento genérico:

Φjk = ×( )g g g1 2 32 complemento algébrico de φkj em [ ];φφφφ∗∗

e na forma contravariante:

Φjk = ×( )g g g1 2 3 2 complemento algébrico de kjφ em [ ],φφφφ∗∗

sendo:

φφφφ ~ = =Φ Φjkj k jk

j kg g g g .

Exemplos:

1) Se em determinada base (qualquer) a matriz contravariante associada ao diádico (incompleto) φφφφ é

.

36 1836

18 9 18

3618 36

)(][ então ,

524

282

42 5

][ 2321

−−−−

=

−−−−−−−

= ∗∗∗∗ gggΦΦΦΦφφφφ

2) Analogamente, se

.

6 6 3

221

6 6 3

)(][ então ,

563

2 3 1

664

][ 2321~

−−−

=

−−−

−−= ∗∗

∗∗ gggφφφφφφφφ

Para a caracterização dos diádicos planares, lineares e seus variantes aplicaremos os critérios gerais listados a seguir.

Caracterização dos diádicos lineares. Serão lineares todos os diádicos em cujas matrizes (qualquer uma delas) se constate: 1°) a ocorrência de apenas duas filas (linhas ou colunas) paralelas nulas; 2°) a ocorrência de uma fila nula, paralela a duas outras proporcionais; 3°) a ocorrência de três filas paralelas proporcionais. Deve ser observado que em todas as matrizes associadas a um mesmo diádico

(linear) verifica-se um dos casos acima citados. Assim, por exemplo, se em uma das matrizes duas colunas são nulas, numa outra as colunas poderão ser proporcionais.

Page 223: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 203

Poliádicos - Ruggeri

Exemplos:

1°)

− −

− − −

3 6 6

2 2

3 6 6 1 1 1

1

1 1 1

1 1 1, ,

matrizes com três filas paralelas proporcionais;

2°)

1

1

1

,

0 2

1 0 2

0 0 0

0 2 2

0 1

0 1

− −

,

matrizes com uma coluna nula, paralela a duas outras proporcionais;

3°)

0 0 2

0 0 1

0 0 3

0 0 2

0 0 0

0 0 0

,−

,

matrizes com apenas duas colunas paralelas nulas.

Caracterização dos ortolineares. Estes diádicos são lineares (caso anterior) e têm escalar nulo. Exemplos:

1°) - o de matriz mista

−−−=∗

211

000

422

][ φφφφ , numa base qualquer.

2°) - o de matriz co-variante

[ ]φφφφ∗∗ =

− − −

12 18 12

0 0 0

6 9 6

,

na base de métrica co-variante

[ ] .G∗∗ =

2 2 1

2 5 1

1 1 2

Page 224: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

204 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.09

Com efeito, pois, sendo: [ ] [ ] [ ]φφφφ φφφφ G∗∗ ∗∗

∗∗= . , e

[ ] [ ]G G

∗∗∗∗

−= =

− −

1 19

9 3 3

3 3 0

3 0 6

,

encontramos:

φφφφ E = φ ijjkG = × + × + × + × + × + × =

1

912 9 18 3 12 3 6 3 9 0 6 6) 0( .

Notar que [ ]φφφφ∗∗ tem uma linha nula, as duas outras paralelas proporcionais, e traço não nulo (veja final do § 09.04).

3°) - Analogamente, é ortolinear o diádico de matriz co-variante

−−=∗∗

000

000

031

][φφφφ

,

na base de métrica co-variante idêntica à do exemplo anterior. Observa-se novamente, pela análise de [ ]φφφφ∗∗ , que o diádico é linear, mas seu escalar (um invariante) não é traço de

[ ]φφφφ∗∗ (que vale - 1); pois: φφφφ E = φ jkjkG = 0, conforme ((01), § 09.04).

Caracterização dos planares.

Relativamente à sua matriz associada (qualquer uma delas) caracterizam-se estes:

1°) - pela ocorrência de uma fila de coordenadas nulas e as outras duas filas paralelas não proporcionais; caso em que um dos vetores do motivo do diádico (§ 02.07) é o vetor nulo e os outros dois não são paralelos; Exemplo:

3 0 0

A 3 0

B C 0

,

2°) - pela ocorrência de apenas duas filas paralelas proporcionais, caso em que apenas dois dos vetores do motivo são paralelos. Exemplos:

2 0

0 3 0

2 2 1

1

1 0 1

1 1 3

1 0 1

2 1 1

2 1 1

2 2 1

, , .

Page 225: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 205

Poliádicos - Ruggeri

3°) - pela ocorrência de uma fila que é uma combinação linear das outras duas; caso em que os três vetores do motivo são coplanares, mas não paralelos. Exemplos:

4 6 6

1 3 2

3 6 5

− −

− −

, (a terceira linha é igual à metade da primeira subtraída da segunda);

0 2 3

10 6 5

5 4 4

, (a terceira linha é igual à semi-soma das duas primeiras).

Caracterização dos uniplanares e dos unilineares

Observemos inicialmente que, conforme Corol. 2, Teor. 4, § 04.02: todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear); mas existem diádicos uniplanares que não

são simétricos. Além disso, se a matriz mista associada a um diádico é simétrica (anti-simétrica) o diádico não é simétrico (anti-simétrico) necessariamente. Assim se a,b,c e a* ,b* ,c* são bases recíprocas e )N( ∗∗ −= bccbφφφφ , com

[ ] ,φφφφ∗∗ = −

0 0

0 0

0

0

N

N 0

φφφφ φφφφ≠ − T , não obstante ser [ ] [ ] .φφφφ φφφφ∗∗

∗∗= − T Analogamente, se com )N( ∗∗ += bccbφφφφ

[ ] ,φφφφ∗∗ =

0 0

0 0

0

0

N

N 0

φφφφ φφφφ≠ T , não obstante ser [ ] [ ] .φφφφ φφφφ∗∗

∗∗= T Isto se justifica porque as matrizes associadas são

as mista. Entretanto se um diádico estiver representado pela sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, a constatação de sua uniplanaridade poderá ser feita pela simples verificação da unilinearidade do seu adjunto. Com efeito, a unilinearidade de um diádico dado por sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, é constatada pela condição de que qualquer uma dessas matrizes tenha todos os elementos nulos, exceto um, e apenas um, pertencente à diagonal principal.

Page 226: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

206 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.09

Exemplo: Digamos que a matriz contravariante de φφφφ (na base g1,g2,g3) seja

[ ] .φφφφ∗∗ =

3 0 0

1 3 0

0 0 0

Que φφφφ é planar é obvio, porque uma das filas (linha ou coluna) é nula e as outras duas não

são proporcionais. O adjunto de φφφφ φφφφ, ,~ porém, tem matriz co-variante

[ ] ,ΦΦΦΦ∗∗ =

0 0 0

0 0 0

0 0 9

isso é, φφφφ ~ ,= 9 3 3g g diádico obviamente unilinear. Logo, φφφφ é uniplanar (Corol.4, Teor.2, §

08.01). Deve ser observado ainda, neste exemplo, que, não obstante ser φφφφ uniplanar, φφφφ não é simétrico:

φφφφ φφφφ= + + ≠ = + +3 3 3 31 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2g g g g g g g g g g g gT . Exercício: Comprovar que é uniplanar o diádico que na base ortonormada ijk tem matriz associada

[ ] .φαα

α αijk = −

0 0

0 0

0

sen

cos

sen cos

,

e especificar seus planos.

Caracterização dos ortoplanares. O ortoplanar é caracterizado por ter adjunto ortolinear (Corol.4,Teor.1,§ 08.01). Exemplos:

1°) [ ] , ] .φφφφ φφφφ∗∗

∗∗=

−−−

=− −

− −− −

1 2

10 5

5 4

[

5 2 5

25 10 25

15 6 15

~

3

5

5

Page 227: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 207

Poliádicos - Ruggeri

A matriz mista [ ]φφφφ∗∗

~ tem três filas proporcionais e tem traço nulo; logo, o diádico φφφφ ~ é

ortolinear e, portanto, φφφφ é ortoplanar.

2°) [ ] ] .~φφφφ φφφφ∗∗

∗∗=

≠ =

0

0

0 0

A 0

B C 3

, (A 0); [

0 0 0

3A 0 0

AC 0 0

A matriz [ ]φφφφ∗∗

~ tem apenas duas colunas nulas (por hipótese A≠0); logo φφφφ ~ é diádico

ortolinear porque é linear e tem escalar nulo (nesse caso o traço de [ ]φφφφ∗∗

~ é o escalar de

φφφφ ~ ).

3°) - O diádico de matriz co-variante [ ] ,φφφφ∗∗ =

4 2 4

4 2 4

5 4 5

na base de matriz métrica

co-variante [ ] ,G∗∗ =

2 2 1

2 5 1

1 1 2

é diádico ortoplanar. Porque, sendo

[ ] [ ]φφφφ∗∗∗∗=

=~

6 0

0 0

6 6

6

0

0

ΦΦΦΦ ,

e kjjk~ ggΦ=φφφφ , tem-se:

φφφφ E~ jk

jkG= = − × + × + × − × =Φ 6 2 6 2 6 1 6 1 0,

isso é, o adjunto de φφφφ é ortolinear (é linear e tem escalar nulo); logo, φφφφ é ortoplanar. (Notar

que o traço de [ ] ~φφφφ∗∗ é -6 e não representa o escalar de φφφφ ~ ).

Os diádicos antitriangulares e sua caracterização.

Vimos (Corol.1, Teor.7, § 05.04) que se um diádico ψψψψ é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base ortonormada $ , $ , $ i j k em relação a qual ψψψψ fica reduzido a uma forma tal, que:

jkj..kiki..kiji..j ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ( TTTT ψψψψψψψψψψψψψψψψ ++=

e reciprocamente. Então, nessa base - em que $i é do plano dos conseqüentes de ψψψψT, $k é do

plano dos antecedentes e $j é o vetor unitário da interseção desses planos, a matriz (única) associada a ψψψψT é:

Page 228: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

208 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.09

[ ] $ $

$ $ $ $

,ψψψψ ψψψψ

ψψψψ ψψψψ

T T

T T

=

0 0 0

0 0

0

j. . i

k. . i k. . j

(01),

donde

[ ]

$ $ $ $

$ $ ,ψψψψ

ψψψψ ψψψψ

ψψψψ=

0

0 0

0 0 0

i. . j i. . k

j. . k (02).

Definição: (diádico antitriangular) Em vista de (01) e (02), o diádico ortoplanar de escalar nulo será

denominado diádico antitriangular81 ; a esse nome poder-se-á acrescer o vocábulo "superior" ou "inferior" quando se pretender especificar a posição do triângulo de elementos não nulos, em relação à diagonal principal.

Exemplos:

1°) - Se em certa base (qualquer), [ ] ,φφφφ∗∗ = −

0

2

2

1 0

2 2

3 2

o diádico correspondente,

φφφφ, é antitriangular. Que φφφφ E = 0 é evidente; provemos que φφφφ é ortoplanar. Temos:

81Justifica-se o nome porque as clássicas matrizes triangulares são aquelas que apresentam elementos todos nulos situados apenas de um dos lados da diagonal principal.

[ ] ,ΦΦΦΦ∗∗ =

− −

2 2

0 0 0

2 2

2

2

isso é, φφφφ ~ , o adjunto de φφφφ, é ortolinear (linear de escalar nulo); logo, φφφφ é ortoplanar.

2°) - O diádico de matriz co-variante [ ]φφφφ∗∗ =

− − −

− −

− − −

1 2 2

3 1 1

6 2 2

na base de métrica co-

variante

[ ]G

1 2

2 1

1 5

∗∗ = −

2

1

2

é antitriangular.

Page 229: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 209

Poliádicos - Ruggeri

Com efeito, [ ] ] [ ][ ] .G

9 5

7 6 4

5 4 3

, e [ G

0 1 1

1 0 0

1 0 0

∗∗ ∗∗

∗∗∗∗=

− −

= =

− −

7

φφφφ φφφφ

Sendo

[ ] ] ,φφφφ φφφφ∗∗

∗∗=

= − −

T ~

0 1 1

1 0 0

1 0 0

e [

0 0

1 1

1 1

0

0

0

vê-se que φφφφ ~ é ortolinear (linear de escalar nulo), isso é, φφφφ é ortoplanar. Mas φφφφ E = 0;logo φφφφ é antitriangular. Se pusermos

−+−=−+−=

)22(63

3212

3211

gggrgggr

+==

32

2

11ggs

gs

escreveremos: iisr=φφφφ (i=1,2), o plano dos antecedentes sendo ortogonal ao plano dos

conseqüentes ( 21 rr × é ortogonal a ) 21 ss × . Denotando por $ $i k e os unitários das

normais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φφφφ, respectivamente, podemos comprovar, não sem algum trabalho, que:

−−=

−=×=

++−=

.22ˆ

,17

2ˆˆˆ

),71012(17

321

1

321

gggk

gikj

gggi

Então, em relação a $, $, $i j k , a matriz de φφφφ é:

=

=

016

0017

21000

17

4

0ˆˆˆˆ00ˆˆ000

][ ijk

j..ki..k

i..j

φφφφφφφφφφφφφφφφ , pois:

17

84ˆˆ =i..j φφφφ , 17

24ˆˆ =i..k φφφφ , 17

4ˆˆ =j..k φφφφ .

* Exercício: Se M=ajej=Aijeiej é um diádico de Moreira: A12A23A31=A21A13A32; e reciprocamente. Mostrar, então, aplicando a condição ((02), §03.03), que o diádico de matriz contravariante associada

−−−433

653

631

,

em relação à base e*, é um diádico de Moreira.

Page 230: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

210 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.10

⇒⇒⇒⇒

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares.

Uma equação vetorial de três variáveis escalares (§ 03,I), do tipo

a b c oX + Y + Z = , (01), onde a, b e c são vetores dados não paralelos (logo, não nulos) e independentes das letras X, Y e Z, é dita uma equação homogênea. As letras X, Y e Z, cujos valores estão a determinar, são ditas as incógnitas da equação; um conjunto delas que torne (01) uma identidade é dito o conjunto solução de (01). Obviamente, toda equação homogênea admite a solução X = Y = Z = 0; esta é denominada a solução nula ou trivial de (01). Uma CNS para que (01) apresente solução diferente da trivial é que os vetores a, b e c sejam coplanares, conforme ((043),§ 03.02,I). Se os vetores a, b e c são coplanares e não paralelos existem infinitos conjuntos solução para a equação (01), nenhuma incógnita sendo nula. Quando dois quaisquer dos vetores são paralelos a equação (01) padece de certa singularidade, não muito relevante. Uma equação homogênea em que os três vetores são paralelos implica, necessariamente, a solução indeterminada. Com efeito, a equação seria da forma (AX+BY+CZ) a = o, com A, B e C constantes; logo, AX+BY+CZ = 0, isso é, X, Y e Z indeterminados. Procuremos inicialmente uma solução essencialmente geométrica para a equação. O plano dos vetores a, b e c é um subespaço do espaço tridimensional, bastando dois

dos vetores, digamos a e b, para caracterizá-lo. Designando por a* e b* os seus recíprocos

- ambos facilmente determináveis (§ 03.02,I) - podemos multiplicar escalarmente ambos os membros de (01) por esses vetores e transpor termos para obtermos, sucessivamente:

==

∗∗

)Z(Y-)Z(X-

c.bc.a , (02).

Observemos por (01) que se um terceto (X,Y,Z) é solução dessa equação, então (MX,MY,MZ), M = número real arbitrário ≠0, é também solução da mesma. Isto significa que, em (02), podemos atribuir um valor arbitrário a Z para obter qualquer um dos infinitos tercetos solução da equação. Se, entretanto, impusermos que os números X, Y e Z satisfaçam a determinada relação arbitrária,

F(X,Y, Z) 0,= (03), a equação (01) admitirá um número finito de soluções. Se (03) for uma relação linear a solução de (01) será única. Podemos abordar a solução geométrica de (01) de outro ponto de vista. Indexando as letras, podemos escrever a equação na forma:

a a a a o11

22

33

iiX + X + X X ,= = (04),

Page 231: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 211

Poliádicos - Ruggeri

sendo

( ) .a a a1 2 3 0= Se x é um vetor que em relação a uma base g1,g2,g3 tem coordenadas Xi, escrevemos:

x g x.g= =X , donde, Xii

i i (05). Logo, (04) pode ser escrita na forma:

a g .x a g .xii

ii( ) ( )= = 0.

Pondo-se

φφφφ φφφφ= =a gi

i3

, com 0, (06),

resulta a expressão diádica equivalente a (04):

φφφφ.x o= . (07). Assim:

Toda equação vetorial homogênea de três variáveis escalares, do tipo (04), pode ser representada, em relação a uma base virtual, por uma equação do tipo (07), onde: 1º) o diádico φφφφ, planar, tem por antecedentes os vetores da equação (04); 2º) o vetor x, a incógnita, tem por coordenadas, naquela base, os coeficientes Xi em (04).

Posto que, então, φφφφ seja diádico planar - no caso com antecedentes dependentes - a incógnita x de (04) é transformada num vetor do plano dos antecedentes. O adjunto de φφφφ, linear, usado como pós-fator, transforma qualquer vetor r de E3 num vetor ortogonal ao plano dos antecedentes de φφφφ (Teor.1,§ 08.04); porém, usado como pré-fator, transforma qualquer vetor num dos infinitos vetores solução de (07). Com efeito, temos, lembrando ((11),§ 08.01) e que φφφφ3 = 0:

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. . r . r r o( ) ( . ) .~ ~= = =3

Então qualquer vetor paralelo a φφφφ ~ . r é solução de (07) e, portanto, de (04). Temos, ainda:

φφφφ ~ = ),()(2

1))((

2

1jik

ijk321ji

ji aaggggaagg ×ε=×× (08),

e

φφφφ ~m.g =

1

2( ) (1 2 3 ijk

i j m kg g g a a g gε ) .

Page 232: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

212 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.10

Um vetor paralelo a φφφφ ~m.g é, então, por exemplo:

′ = =x.g

g g g

φφφφ ~m

1 2 3( )

1

2(ijk

i j m kε a a g g) .

Ora, se $n é unitário da normal ao plano dos antecedentes de φ,φ,φ,φ, podemos escrever o número (aiajgm) na forma |ai||aj|sen(ai,aj) $n .gm; logo:

′ = ≠ ≠ =x g a a a a n.gk i j i j m| || |sen( , )( ) (i j k 1,2,3).$ 82

Então, um vetor solução de (07) é

xa a

ag= ≠ ≠ =

sen( , )

| | i j k 1,2,3,i j

kk (09),

sendo ′ =x a a a n.g x| || || |( ) .3 m1 2 $ Procuremos, agora, uma solução algébrica para a equação. Se pusermos, em relação à base g1,g2,g3:

a g a a ai ij

j 3, com ( ) 0,= =φ 1 2 (10),

o diádico será escrito na forma ((02),§ 09,08), e a equação (04) na forma:

φ ij iX 0 (i, j 1,2,3),= = (11);

ou, na forma expandida:

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11 1

21 2

31 3

12 1

22 2

32 3

13 1

23 2

33 3

X + X + X 0

X + X + X 0

X + X + X 0,

=

=

=

(12).

Em (12) temos um sistema de equações lineares, homogêneas, cujo determinante é nulo porque a matriz do sistema, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores ai na base g1,g2,g3, é:

82Observar que não se aplica, aqui, a convenção somatória porque os índices repetidos estão todos no mesmo nível.

Page 233: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 213

Poliádicos - Ruggeri

[ ]φφφφ =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11

21

31

12

22

32

13

23

33

, e

| | 0.φφφφ =

Temos também:

[ ]φφφφ T =

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

11

12

13

21

22

23

31

32

33

, donde,

[ ~ 11

21

31

12

22

32

13

23

33

φφφφ ] .=

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

Pondo ((03).§ 09.08) na forma

φφφφ ~k n

k n( = g gΦ ), (14),

e comparando esta expressão com (08), vemos que as linhas de [φφφφ ~ ], representadas também

pelos vetores Φkng

n em (14), são proporcionais entre si porque os vetores ji aa × em (08)

são todos ortogonais ao plano dos antecedentes de φφφφ (e, portanto, paralelos)83. Isto, aliás,

também já sabíamos (§ 09.09) porque φφφφ ~ é linear.

Como φφφφ ~ .gm é paralelo ao vetor solução do sistema, de (14) deduzimos:

φφφφ ~m m

kk ,.g g= Φ

isso é: qualquer coluna de [φφφφ ~ ] é paralela ao vetor solução. Resulta, então, facilmente, a seguinte regra para a determinação da solução de (12):

já tendo escrito a matriz [φφφφ] T, as coordenadas do vetor x, solução do sistema, são os complementos algébricos dos elementos de uma qualquer de suas colunas.

Exemplo numérico. Seja resolver o sistema homogêneo, de determinante nulo:

− =

=

=

1X +1X + 0X 0

+9X + 3X + 6X 0

+8X + 0X + 4X 0,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(15).

83Isto comprova um clássico teorema: "Em todo determinante nulo os complementos algébricos dos elementos de uma fila são proporcionais aos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela".

Page 234: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

214 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.10

Tem-se logo:

[ ] ,φφφφ T

9 8

1 3 0

0 6 4

=

1

donde, considerando a terceira coluna, por exemplo:

[x T 9

0 6

1 9

1 3 6 12] 6 [1 1 2],= −

− −

= − = −1 3

0 6

16

vetor solução do sistema.

Verifiquemos a proporcionalidade das colunas de [φφφφ ~ ]: 2ª coluna:

[′ = −−

−−

= − − = − −x T 8

0 4

1 8

1 0 4 8] 4 [1 1 2];

1 0

0 4

14

1ª coluna:

[′′ = −

= − = −x T 8

6 4 9 8

3 0 12 24] 12 [1 1 2]

3 0

6 4

912

sendo, obviamente, x x x| | | |′ ′′ , todos soluções de (14). Similarmente podem ser resolvidos os sistemas:

1X +1X + 0X 0

9X +1X + 6X

8X + 0X + 6X

3X +1X + 0X

9X +5X + 6X

8X + 0X + 2X 0,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

=

=

=

− =

=

=

0

0,

0

0 (16).

É fácil, agora, analisar certas particularidades já aludidas no início deste parágrafo. No caso em que b c a a| | | | (ou )2 3 por exemplo, deduzimos resultados análogos com algumas particularidades não muito relevantes. Assim, as duas últimas linhas de [φφφφ]T são

proporcionais, o que acarreta a primeira linha de [φφφφ ~ ] com elementos nulos. Então, o vetor solução tem como primeira coordenada o número zero, sendo, pois, solução da equação, qualquer vetor do plano (g2,g3).

Page 235: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. 215

Poliádicos - Ruggeri

No caso em que os três vetores são paralelos, todas as linhas de [φφφφ]T são

proporcionais (φφφφ é linear) e todos os elementos de [φφφφ ~ ] são nulos (φφφφ ~ = ΟΟΟΟ), resultado que, aliás, já conhecíamos (Corol.2,Teor.2,§ 08.01). Nesse caso, então, um vetor solução é o vetor zero (que corresponde à solução trivial). Por outro lado, se escrevermos: ai = uA i, então,

φφφφ. x o u g .x= = (A ) ,ii

isso é, pondo

φφφφu.gu.aga === ii

ii )(A ,

deduzimos:

( ) 0.u. .xφφφφ = Logo:

Se (g1g2g3)≠0, se φφφφ = aigi é linear, e se $u é o unitário que define a direção

dos antecedentes de φφφφ, então qualquer x do plano ortogonal ao vetor û.φφφφ é solução da equação φφφφ.x = o.

*

Exercício: Resolver o sistema

2X + 4X + 6X 0

X + 2X + 3X 0

3X + 6X + 9X 0.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

=

=

=

⇐⇐⇐⇐ *

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial.

Para ampliar a harmonia do Cálculo Poliádico com o Cálculo Matricial é necessário definir novas operações para este último visando a tradução das duplas multiplicações de diádicos por meio das matrizes que lhes são associadas84.

Definição: (duplo produto pontuado de duas matrizes) Chamaremos duplo produto pontuado de duas matrizes A e B, de mesmas ordens, e o representaremos por A : B, o número que se obtenha somando-se todos os produtos dos seus elementos correspondentes.

84 Uma ampliação dessa operação será feita no § 06.02, IV.

Page 236: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

216 § 09 - Redução N2 - nomial ou cartesiana.

II, § 09.11

Assim, se A e B são de ordem M x N e têm elementos genéricos correspondentes Aij e Bij, então:

[A] [B] A B A B A B ... A Bi ji j

1111

1212

MNMN: = = + + + , (01).

A dupla multiplicação pontuada matricial é a operação que tem por fim determinar o duplo produto pontuado de duas matrizes. É uma operação sempre possível e unívoca, e goza das mesmas propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos. Particularmente, lembrando ((01),§ 09.04), tem-se:

][Tr][Tr]G[][]G[][]G[][][][

∗∗

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗ ===== φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ :::G: , (011).

Escrevendo

φφφφ = = = =φ φ φ φi ji j i j

i j ji

ij

i j i

j e e e e e e e e

temos, por definição de norma de um diádico (§ 07.02):

|| ||φφφφ φφφφ φφφφ= = = i ji j j

ii j: φ φ φ φ , (01),

isso é:

A norma de um diádico vale a soma dos produtos de suas coordenadas correspondentes de nomes contrários.

Em termos matriciais escrevemos:

|| || [ ] ] [ ]φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ= =∗∗∗∗ ∗

∗∗

∗ [ [ ]

: : , (011);

então:

A norma de um diádico - um número sempre positivo - é igual ao duplo produto pontuado de suas matrizes associadas de nomes contrários85.

Surge espontaneamente a necessidade da definição de uma operação entre matrizes quadradas 3 x 3, de resultado matriz quadrada 3 x 3, que pudesse representar a matriz associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos a partir das matrizes 3 x 3 associadas aos diádicos fatores.

85Quando o espaço das matrizes é referido a bases ortonormadas, a operação de dupla multiplicação de uma matriz por si própria - que define a norma dessa matriz - caracteriza esse espaço como euclidiano.

Consideremos a expressão geral ((03), § 07.01) que dá o duplo produto cruzado de dois diádicos φφφφ e ψψψψ em função deles próprios (de seus transpostos e de seus escalares) e de I :

ΙΙΙΙφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψψψψψφφφφφφφφψψψψΙΙΙΙψψψψφφφφψψψψφφφφ ETTT

ET

ETTTT

EE )(++ ... −−−=×× (02).

Page 237: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.01 - Espaço diádico. 217

Poliádicos - Ruggeri

Ora, o elemento genérico da matriz associada a ψψψψφφφφ ×× é a soma dos elementos

correspondentes das matrizes associadas aos vários diádicos parcela, ΙΙΙΙψψψψφφφφ EE , TT φφφφψψψψ . etc.

Pondo φφφφ ψψψψ= =φ ψ ji

ij

ji

ij e e e e e, deduzimos de (02),

+φψ+δ== ××

××

js

si

j iEE

ji

j i ) () ( ψψψψφφφφψψψψφφφφψψψψφφφφ .e.e

is

sj

E ij

E ij

nm

mn

i j+ − − −φ ψ φ ψ ψ φ δψψψψ φφφφ , (021).

A segunda parcela em (021), ψ φ is

sj , representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima

coluna do produto [ ]ψψψψ φφφφ

T

T[ ]∗∗

∗∗. . Analogamente, a terceira parcela, φ ψ

is

sj , representa o

elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [ ]φφφφ ψψψψ

T

T[ ]∗∗

∗∗. . A última parcela é

representada por ( ] [ [ ] )[ ]

T

φφφφ ψψψψ∗∗

∗∗

∗∗: ΙΙΙΙ . Então, lembrando ((031), § 09.02):

−++][= ∗

∗∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

××

T

T

T

T EE

][][][][] [ ψψψψφφφφφφφφψψψψΙΙΙΙψψψψφφφφψψψψφφφφ ..

][−−− ∗

∗∗∗

∗∗

∗∗ ΙΙΙΙψψψψφφφφψψψψφφφφφφφφψψψψ ) ][ ][ (][][

T E

T E : , (03).

Portanto:

A matriz mista de certo nome associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos se expressa em função de operações com as matrizes mistas de nome contrário associadas aos seus transpostos.

§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS.

§ 10.01 - Espaço diádico.

O conjunto de todos os diádicos, φφφφ, ψψψψ etc., criados dentro da Geometria Euclidiana, para os quais estão definidas as operações de multiplicação por número real e de adição, como no § 02.02 e no § 04, respectivamente, a primeira operação gozando das propriedades:

...,AA...)A(

...,BA...)+B+A(

,AB)()A(B

, 1

++=++++=

==

ψψψψφφφφψψψψφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφφφφφ

e a segunda, das propriedades

,)(

,

,

),()(

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφΟΟΟΟφφφφ

φφφφψψψψψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφχχχχψψψψφφφφ

=−+=+

+=+++=++

Page 238: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

218 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.01

constitui um espaço linear montado sobre a Geometria Euclidiana. Por serem diádicos os seus elementos, chamá-lo-emos também de espaço diádico86. Esse espaço, entretanto, não pode conter as figuras em geral da Geometria Euclidiana, nem o espaço dos vetores. O conjunto dos diádicos lineares e unilineares, planares e uniplanares (§ 03.01), formam espaços diádicos particulares (subespaços) dentro da Geometria Euclidiana. Para os conceitos que serão emitidos a seguir faltará provisoriamente o importante suporte da interpretação geométrica com o qual vínhamos respaldando a teoria; quando for possível esta interpretação, ela poderá ser extremamente complexa (ver § 10.03 e seguintes). A teoria será, então, exposta em forma essencialmente algébrica, mantendo espetacular analogia com as teorias vetoriais, até que se introduzam novos conceitos geométricos.

Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos. Dados G diádicos ααααi, podemos ordená-los e dispô-los mentalmente em ordem cíclica positiva (horária) nos vértices de um G-ágono regular. Interessa-nos pesquisar a existência de G números Mi, não simultaneamente nulos (nsn), com os quais possamos constituir a

combinação linear desses diádicos: ΟΟΟΟαααα =iiM .

Escrevamos cada um dos diádicos ααααi, por hipótese gerados do E3, em relação às bases vetoriais recíprocas e* e e*, nas formas trinomial e cartesiana mista87 (co-variante /contravariante) seguintes :

αααα i ikk

= a e , (i = 1, 2, ..., G e k = 1, 2, 3), (01),

e αααα i

ji k j

kA = e e , (i = 1, 2, ..., G e j, k = 1, 2, 3), (02),

a cada diádico ααααi estando associada a matriz 3 x 3

[ ]αααα i 1i 1

1i 2

1i 3

2i 1

2i 2

2i 3

3i 1

3i 2

3i 3

A A A

A A A

A A A

=

, (021).

Temos, também, evidentemente, partindo da expressão ΟΟΟΟαααα =iiM :

∀ = = j G: ( Mj i

i1 0,2,... , )αααα αααα: , (03).

A combinação linear em referência é, então, relativamente às (01), equivalente ao sistema homogêneo de 3 equações vetoriais,

86 Na linguagem da Álgebra Linear, o espaço diádico é um "espaço vetorial" cujos "vetores" são diádicos. 87 É evidente que poderíamos escrevê-los também nas formas cartesianas duplamente co-variantes e duplamente contravariantes.

Page 239: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.01 - Espaço diádico. 219

Poliádicos - Ruggeri

M M M M

M M M M

M M M M

1 221

331

GG1

1 222

332

GG2

1 223

333

GG3

a a a a o

a a a a o

a a a a o

11

12

13

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

...

...

... ,

(011),

ou, relativamente às (02), ao sistema linear homogêneo de 9 equações algébricas,

A M A M A M ... + A M

A M A M A M ... + A M

. .A M A M A M ... + A M

11 1

1 12 1

2 13 1

3 1G 1

G

11 2

1 12 2

2 13 2

3 1G 2

G

31 3

1 32 3

2 33 3

3 3G 3

G

+ + + =+ + + =

+ + + =

0

0

0,

. (022),

ou, ainda, relativamente às (03), ao sistema de G equações algébricas lineares,

( )M ( )M ( )M ... + ( )M

( )M ( )M ( )M ... + ( )M

. .

( )M ( )M ( )M ... + ( )M

1 11

1 22

1 33

1 GG

2 11

2 22

2 33

2 GG

G 11

G 22

G 33

G GG

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααααααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

: : : :: : : :

: : : :

+ + + =+ + + =

+ + + =

0

0

0

.

,

(031).

A esses sistemas podemos associar, respectivamente:

1) - a matriz 3 x 9, de elementos vetores, cuja i-ésima coluna é formada com os antecedentes dos diádicos ααααi:

a a a a

a a a a

a a a a

11 21 G1

12 22 32 G2

13 23 33 G3

31 ...

...

...

, (013);

2) - a matriz numérica 9 x G,

A A A A ... A

A A A A ... A

A A A ... ... A

... ... ... ... ... ...

A A A A ... A

A A A A ... A

11 1

12 1

13 1

14 1

1G 1

11 2

12 2

13 2

14 2

1G 2

11 3

12 3

13 3

1G 3

31 2

32 2

33 2

34 2

3G 2

31 3

32 3

33 3

34 3

3G 3

, (023),

Page 240: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

220 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.01

cuja i-ésima coluna, imaginada dividida essa matriz em três blocos horizontais de três linhas cada um, tem para elementos do primeiro bloco os elementos correspondentes da primeira linha da matriz (021) associada a ααααi, para elementos do segundo bloco os elementos correspondentes da segunda linha dessa matriz, e para os do terceiro bloco os da terceira linha; 3) - a matriz G x G

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... ...

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ... ( )

1 1 1 2 1 3 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 1 G 1 2 G 3 G 1 G

G 1 G 2 G 3 G G

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

αααα αααα αααα αααα αααα αααα

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

: : : :

: : :

: : : :

: : : :

... ... ...− − − −

1

, (032).

Definições: (matriz associada e matriz métrica de G diádicos) A matriz de elementos vetoriais aik, dada por (013) e a de elementos numéricos dada por (023), ou suas transpostas, serão denominadas matrizes associadas aos G diádicos. A matriz simétrica (032), de elementos ααααi:ααααj será denominada matriz métrica do conjunto dos G diádicos.

Examinemos o sistema vetorial (011) que representa combinações lineares entre os correspondentes antecedentes dos ααααi. Imaginados os G vetores de cada uma das combinações dispostos co-inicialmente num ponto O do espaço, algumas hipóteses relativas às eventuais singularidades (coplanaridade e paralelismo) de grupos desses vetores podem ser aventadas: 1)- Se G = 2, os correspondentes antecedentes de αααα1 e αααα2 são paralelos. Nesse caso os diádicos são ditos paralelos (e já foram definidos no § 02.02). Devemos notar que esses diádicos podem ser completos (Fig. 10.01,a)), planares (Fig. 10.01,b)) ou lineares.

2)- Se G = 3, os correspondentes antecedentes de αααα1, αααα2 e αααα3 são coplanares.

Page 241: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.01 - Espaço diádico. 221

Poliádicos - Ruggeri

Nesse caso, como no anterior, os diádicos poderão ser completos, planares ou lineares. Quando completos, definem uma estrela de (no máximo) 12 planos: três correspondentes a cada diádico completo (no total, 9) e um correspondente a cada combinação (no total, 3), Fig.10.02.

Diremos, por isso, que esses três diádicos são dodecaplanares ou, simplesmente, 12-planares. Quando um, dois ou os três diádicos são incompletos a estrela definida tem, respectivamente, 10, 8 e 6 planos no máximo; e os três diádicos são ditos decaplanares (ou 10-planares), octoplanares (ou 8-planares) e hexaplanares (ou 6-planares). Além disso, poderá acontecer também que dois dos diádicos, ou todos os três, sejam paralelos. Nesse último caso os tercetos de antecedentes correspondentes estarão dispostos segundo as arestas de um triedro desde que os três diádicos sejam completos (Fig. 10.03,a)); os três diádicos serão ditos triplanares (ou 3-planares).

Esses antecedentes poderão, ainda, estar dispostos segundo duas retas concorrentes, ou segundo três retas concorrentes coplanares (Fig. 10.03,b)) se todos os diádicos forem planares, caso em que serão ditos uniplanares. Finalmente, esses vetores poderão estar dispostos segundo uma única reta se todos os diádicos forem lineares, e os três diádicos serão ditos unilineares.

Page 242: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

222 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.01

3)- Se G = 4, três casos gerais podem ocorrer (em cada uma das três combinações lineares) com relação aos quatro antecedentes dos diádicos ααααi:

a)- eles são não coplanares (Fig. 10.04,a));

b)- apenas três são não coplanares, o quarto vetor podendo ser paralelo a um dos planos definidos pelos anteriores (Fig. 10.04,b)), ou, mesmo, ser paralelo a um dos vetores anteriores (Fig. 10.04,c));

c)- os quatro vetores são coplanares, podendo ocorrer dois paralelos, dois pares paralelos, três paralelos ou quatro paralelos. Para a análise que será feita a seguir é oportuno observar de início que a cada diádico completo estão associados 3 planos e a cada incompleto 1 plano. Portanto, se dentre os 4 diádicos temos c completos e i incompletos, o número de planos da estrela de planos por eles definido é 3 c + i. Se em todas as três combinações ocorrer o caso a), cada combinação definirá C

42 = 6

planos distintos em geral; logo essas combinações definirão, no máximo, 18 planos para a estrela de planos correspondente. Se, além disso, dentre os 4 diádicos existirem i incompletos teremos (4 - i) x 3 + i + 18 planos, isso é, (30 - 2 i) planos; os 4 diádicos correspondentes serão ditos, por isso, (30 - 2i)-planares. Teremos, pois, nesses casos, 4 diádicos 30, 28, 26, 22 e 20-planares. Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso b), cada combinação definirá 3 planos para a estrela, logo num total de 9. Se i dentre os quatro diádicos são incompletos, a estrela terá, então, no máximo, (21 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (21 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 21,19, 17, 15 e 13-planares. Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso c), cada combinação definirá 1 plano para a estrela, logo num total de 3. Se i dentre os quatro diádicos forem incompletos, a estrela terá, então, no máximo, (15 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (15 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 15,13,11, 9 e 7-planares. Os casos em que G > 4 podem ser analisados analogamente, ficando bem evidente as dificuldades de interpretação geométrica a serem encontradas.

Page 243: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 223

Poliádicos - Ruggeri

Se dentre G diádicos de um conjunto existem i incompletos, o número de planos por eles definido é no máximo 3 G - 2 i.

Se, ainda, em cada uma das três combinações lineares dos antecedentes dos diádicos do conjunto, os G vetores que a formam são não coplanares, estarão definidos 3× C

G2 novos

planos para compor a estrela de planos associada ao conjunto. Teremos pois, nesse caso, um total de, no máximo,

3G -2i + 3C 32

G(G +1) - 2iG2 =

planos distintos na estrela do conjunto. Para um conjunto de 8 diádicos completos, por exemplo, a estrela correspondente tem 84 planos.

Se, em geral, apenas G - P dos antecedentes correspondentes de cada uma das combinações ( G - P > 2), e em todas as combinações, são não coplanares, estarão definidos C

G-P2 planos para cada combinação linear dos vetores. Logo o número total de planos da

estrela será 3G - 2i + 3C 32

G(G +1) - 2i - P(3G - P -1)G-P2 = , isso é, se G - P dos antecedentes

em cada combinação são não coplanares, o número total de planos da estrela diminui, em relação ao caso anterior, de P(3G - P - 1). Esses conjuntos de diádicos ainda constituem espaços diádicos dentro da Geometria Euclidiana. Por apresentarem singularidades - multiplanaridade de grupos dos antecedentes correspondentes (ou dos conseqüentes) de suas representações cartesianas – recebem a denominação especial de multiplanos.

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas.

Os sistemas ((022), ou (031), § 10.01), representativos de um multiplano, têm nove equações (porque nove são os elementos das matrizes (021) associadas aos diádicos) e G equações, respectivamente; ambos têm G incógnitas, M i. Seja P o grau do determinante principal da matriz88 associada aos G diádicos ααααi (matriz do sistema).

Se for P = G a matriz métrica ((032), § 10.01) dos G diádicos será regular e o sistema (031) admitirá apenas as soluções nulas. Então:

Se a matriz ((023),§10.01) associada a G diádicos ααααi, tem o principal do grau G, ou se a matriz métrica de G diádicos ααααi, (032), é regular, a combinação

linear ΟΟΟΟαααα =iiM (i = 1, 2, ..., G) só é possível para os Mi simultaneamente

nulos. Nesse caso diremos que os G diádicos são linearmente independentes no G-espaço a que pertencem. Assim, no espaço diádico montado sobre o E3 existem, no máximo, 9 diádicos linearmente independentes, cuja matriz métrica 9 x 9 é regular. Nos subespaços diádicos

88 Recordemos que o principal de uma matriz é o determinante não nulo da maior ordem que se pode extrair dessa matriz; o grau desse determinante é a característica ou o posto (rank, em inglês) da matriz.

Page 244: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

224 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

(ou multiplanos) os diádicos linearmente independentes são em número G < 9, e as matrizes métricas G x G de cada conjunto são regulares.

Se for G > P, isso é, se a matriz métrica dos G diádicos for não regular, haverá G - P incógnitas não principais e o sistema admitirá outras soluções além das soluções nulas89. Então:

Se a matriz (023) associada a G diádicos ααααi tem o principal do grau menor que G, ou se a matriz métrica de G diádicos ααααi, (032), é não regular, a

combinação linear ΟΟΟΟαααα =iiM (i = 1, 2, ..., G) é possível para os Mi não

simultaneamente nulos (e de infinitas maneiras). Nesse caso os G diádicos serão ditos linearmente dependentes no espaço diádico a que pertencem. Assim, no espaço diádico, 10 diádicos são sempre linearmente dependentes; num multiplano onde G diádicos são independentes, G+1 serão sempre dependentes.

Definição: (base e dimensão) Qualquer conjunto de G diádicos linearmente independentes de um espaço diádico montado sobre o EN é dito uma base diádica desse espaço; e G - o número máximo de diádicos linearmente independentes desse espaço - a sua dimensão.

Notação: O espaço diádico de dimensão G, montado sobre o EN (espaço dos vetores, de dimensão N, com N=1, ou 2, ou 3), será denotado por 2EG sendo G≤N2; uma base de 2EG, formada com os diádicos εεεε1, εεεε2, ... , εεεεG, será denotada por εεεε*. Resultam demonstrados, então, os seguintes teoremas:

Teor. 1: Uma CNS para que G diádicos de um espaço (G ≤ 9) formem uma base é que o principal da matriz (de ordem 9 x G) associada a esses diádicos seja do grau G.

Teor. 2: O determinante da matriz métrica de uma base diádica pode ser considerado um número sempre positivo.

Pois, se o principal da matriz métrica dos G diádicos inicialmente ordenados de uma base for um número negativo - caso em que a base será dita negativa - poderemos reordená-los de modo a que esse principal seja positivo. Para tal, bastará que troquemos de posição dois quaisquer dos diádicos contíguos (pois o principal simplesmente trocará de sinal); e a nova base será dita positiva.

Definição: Norma de uma base εεεε* é o determinante de sua matriz métrica, e se representa por ||εεεε*||. A raiz quadrada positiva da norma de uma base será dita o seu módulo, e será representada por |εεεε*|.

89Qualquer sistema fundamental de soluções do sistema consta de G - P soluções.

Page 245: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 225

Poliádicos - Ruggeri

Temos, então:

| | || ||εεεε εεεε∗ ∗= ,

sendo

|| ||

...

...εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

∗ =

1 1 1

2 2 2

... ... ... ...

...

1 2 G

1 2 G

G 1 G 2 G G

: : :

: : :

: : :

(01).

* Exercício 1:

Sejam α e β os ângulos dos vetores e1 e e2 respectivamente com o unitário i de dada

base ortonormada ji ˆ,ˆ de um E2. 1) – Identifique as condições para que as díades e1e1,

e1e2, e2e1, e2e2 constituam uma base para o espaço dos diádicos gerados desse E2 e determine o sistema recíproco delas; 2) – Comprove, então, que o quarteto auto-recíproco

jjijjiii ˆˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ constitui uma base de diádicos unitários e ortogonais entre si para o espaço dos

diádicos gerados do E2. *

Se e* e e* são bases vetoriais recíprocas do E3, as 9 díades

e e e e e e e e e e1

11

21

32

13

3 ... , , , , ,

- diádicos particulares (lineares) cada um com apenas uma díade - constituem uma base do espaço diádico 9-dimensional. Com efeito, é impossível encontrar nesse espaço nove

números Aij não simultaneamente nulos, tais, que ΟΟΟΟ=ji

ij A ee (i,j=1, 2, 3). Observando que

podemos escrever Aijeiej=ajej com aj=Aijei, vê-se que para que Aijeiej=ΟΟΟΟ, deve ser aj=o para qualquer j, o que é impossível, pois os Aij não são simultaneamente nulos. Então, simbolicamente escrevemos:

,

...

e e e e

e e : e e e e : e e e e : e e

e e : e e e e : e e e e : e e

e e : e e e e : e e e e : e e

∗∗

∗∗⇔ = > || ||

...

... ... ... ...

...

11

11

11

12

11

33

12

11

12

12

12

33

33

11

33

12

33

33

0, (02).

Ainda,

,

...

e e e e

e e : e e e e : e e e e : e e

e e : e e e e : e e e e : e e

e e : e e e e : e e e e : e e

∗∗

∗∗⇔ = > || ||

...

... ... ... ...

...

11

11

11

12

11

33

12

11

12

12

12

33

33

11

33

12

33

33

0, (021),

Page 246: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

226 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

podendo-se também escrever, por analogia, expressões para ||e*e*|| e ||e*e* ||. Resulta dessas expressões,

| || | | || |e e e e e e e e∗∗ ∗

∗∗ ∗

∗ ∗= =1 , (03).

Com efeito, no primeiro caso, por exemplo, o produto da j-ésima linha do i-ésimo bloco horizontal do determinante (02) pela s-ésima coluna do r-ésimo bloco vertical do determinante (021) para G=9 é

( )( )e e : e e e e : e e e e : : e ei

jm

n mn

rs i

j 4 rs i

r sj = =ΙΙΙΙ δ δ .

Então, todos os elementos do determinante produto serão nulos, exceto os pertencentes à sua diagonal principal; e esse determinante é igual a +1.

*

Pelo simples fato de e* e e* constituírem bases recíprocas, qualquer conjunto de G díades distintas dentre as 9 díades, sinteticamente denotados por e* e*, e* e*, e* e

* e e* e*, constituirão bases diádicas recíprocas do 2E9 (espaço diádico de 9 dimensões). De fato, as matrizes associadas às díades do conjunto e*,e

*, por exemplo, em relação às bases vetoriais recíprocas são:

=∗

∗000000001

])[( 11ee ,

=∗

∗000000010

])[( 21ee ,

=∗

∗000000100

])[( 31ee ,

=∗

∗000001000

])[( 12ee ,

etc.. A matriz associada ao conjunto é a matriz unidade 9x9 cujo determinante é igual a um.

Exercício 2: Comprovar que as mesmas matrizes acima indicadas são associadas às díades dos demais conjuntos e* e*, e* e*, e* e*. Comprovar, ainda, que qualquer conjunto de G<9 díades de qualquer um dos conjuntos constitui base de um 2EG.

Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.

Fica também comprovado o seguinte

Teor. 3: Se, num 2EG gerado do E3 (G≤9),φφφφ é um diádico qualquer e , , εεεε εεεε εεεε1 2 G ... , é uma base diádica qualquer, existe um e um único conjunto de G números Mi tal, que φφφφ εεεε= M

ii (i=1,2,...,G):

∀ ∈ ∃ = ∈ ≤φφφφ εεεε εεεε εεεε, , , , ( ,2, ... , ) ... , E M i G R, G 91 G3 i

2 1 | φφφφ εεεε= Mi

i (04).

Pois φφφφ εεεε εεεε εεεε, , ,1 2 G ... , são G + 1 diádicos de um mesmo subespaço, logo, linearmente dependentes. Então, existem números nsn,

A, N1, N2, ..., NG tais, que ΟΟΟΟεεεεφφφφ =+ iiNA .

A ≠ 0 porque, do contrário, seria Niεεεεi = ΟΟΟΟ e todos os Ni deveriam ser nulos também (posto que os εεεε's constituem uma base). Mas isso é impossível porque A e todos os Ni não podem ser simultaneamente nulos (eles são linearmente dependentes por hipótese). Logo,

Page 247: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 227

Poliádicos - Ruggeri

φφφφ εεεε εεεε= − =N

AMi i

ii .

Os números Mi são únicos porque se existissem outros, M'i, teríamos:

ΟΟΟΟεεεε =′− iii )MM( Mas como os εεεεi são linearmente independentes (formam uma base) a

combinação implica que os coeficientes sejam todos nulos, isso é, Mi = M'i. Com outras palavras diríamos:

Todo diádico de um 2EG pode ser representado como uma combinação linear única dos diádicos de uma base desse espaço.

Definição: (coordenadas cartesianas) Os G números Mi, únicos, que, na base diádica , , εεεε εεεε εεεε1 2 G ... , de um 2EG, determinam univocamente dado diádico do mesmo, são ditos as coordenadas cartesianas desse diádico naquela base diádica (do 2EG). A expressão φφφφ εεεε= M

ii é dita, então, a decomposição cartesiana do diádico φφφφ na base

, , εεεε εεεε εεεε1 2 G ... , (do 2EG). Esses conceitos generalizam a noção de coordenadas cartesianas de um diádico, já definida no § 09, onde os "diádicos de base" eram as 9 díades e e e e

11

12 ..., , .

Diádico posicional.

Sem muito esforço podemos conceber "geometricamente", por abstração, "pontos no espaço diádico", cada ponto sendo definido por um "diádico posicional" em relação a uma origem fixa, diádico esse que, em relação a uma "base diádica" do espaço, é definido por G números (G ≤ 9), suas "coordenadas"90. O espaço diádico (de até nove dimensões) pode, assim, ser concebido geometricamente tal como o espaço dos vetores (de até três dimensões).

Teor. 4: Se , , εεεε εεεε εεεε1 2 ... , G é uma base diádica de um 2EG, e Ai são G números dados, existe um e um só diádico χχχχ desse espaço tal, que

χχχχ εεεε εεεε χχχχ Ai i i: := = , (i = 1, 2, ..., G), (05).

Se χχχχ é um diádico qualquer do 2EG em referência podemos escrever, pelo Teor. 2: χχχχ εεεε= M

kk , (k = 1, 2, ..., G), expressão na qual os Mk são as G coordenadas cartesianas de

χχχχ, a determinar, na base , , εεεε εεεε εεεε1 2 ... , G ; estas coordenadas, se existirem, são únicas. Devemos ter:

εεεε χχχχ εεεε εεεεik

i k = M : : , i, k = 1, 2, ..., G,

90 Esses conceitos serão mais formalmente expostos no §10.03 para os diádicos e generalizados no Cap. IV.

Page 248: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

228 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

isso é,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

...

( ) ( ) ( ) ,

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε χχχχ

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε χχχχ

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε χχχχ

1 11

1 22

1 GG

1

2 11

2 22

2 GG

2

G 11

G 22

G GG

G

M M ... M

M M ... M

M M ... M

: : : :

: : : :

: : : :

+ + + =

+ + + =

+ + + =

ou, em forma matricial, considerando que χχχχ εεεε Ai i: = :

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε χχχχ

εεεε χχχχ

εεεε χχχχ

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 G 2 G G

1

2

G

1

2

G

1

2

G

...

... ... ... ...

...

M

M

...

M

A

A

...

A

: : :

: : :

: : :

:

:

:

...

....

=

=

, (051).

A matriz coluna das incógnitas está, pois, pré-multiplicada pela matriz métrica da base e esta é regular. Logo, os G números Mk existem e são univocamente determinados; serão simultaneamente nulos ou não conforme os Ai forem, respectivamente, todos nulos ou não.

Corol. 1: Se , , εεεε εεεε εεεε1 2 ... , G é uma base diádica de um espaço, e Ai

j são G2 números

dados, existe um e um só conjunto de diádicos desse espaço, , , χχχχ χχχχ χχχχ

1 2 ... ,

G tal, que

χχχχ εεεε

ji

ji A: = (i,j = 1, 2, ..., G), (06).

Pois, agora, escreveríamos a equação matricial (051) na forma

[ ] [ ] [ ]E M A ∗∗

∗∗ ∗∗=. , (061),

onde [M** ] é a matriz quadrada das incógnitas (coordenadas dos diádicos χχχχj) e [A** ] é a matriz quadrada formada pelos números dados. Como [E** ] admite inversa, [M** ] está univocamente determinada, isso é, os diádicos χχχχj estão determinados.

Corol. 2: A CNS para que G diádicos χχχχj de um 2EG constituam uma base desse espaço é que, sendo , , εεεε εεεε εεεε1 2 ... , G uma base qualquer do mesmo,

0]det[A] det[ ij

ij ≠=εεεεχχχχ : para i,j = 1, 2, ..., G.

A proposição é evidente por (061) porque [E** ] admite inversa; e para que [M** ] também admita (CNS para que os diádicos χχχχj constituam uma base), basta que também [A * * ] admita inversa; e nesse caso |A** | será o módulo da base.

Page 249: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 229

Poliádicos - Ruggeri

Bases diádicas recíprocas.

Teor. 5: Se , , εεεε εεεε εεεε1 2 ... , G é uma base diádica de um 2EG, existe uma e apenas uma base , , εεεε εεεε εεεε

1 2 ... ,

G nesse mesmo espaço, tal, que

εεεε εεεεi

j ji : = δ (i, j = 1,2, ..., G), (07),

os δ ij sendo os deltas de Kronecker.

Pois, se em (061), A j

i ji= δ , então [ [ [A ] I] e [M ] E ]

∗∗

∗∗∗∗ −= = 1.

Definições: (bases diádicas recíprocas) As bases diádicas , , εεεε εεεε εεεε1 2 ..., G e , , εεεε εεεε εεεε1 2 ..., G de um espaço, que

representaremos respectivamente por εεεε∗ e εεεε∗ , e cujos diádicos

satisfazem (07), serão denominadas bases diádicas recíprocas do espaço em referência. Os diádicos de bases recíprocas, de mesmos índices (em níveis diferentes), serão ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.

Nota: Por (07) vemos que cada diádico de uma base é ortogonal (§ 07.02) a todos os diádicos não homólogos da base recíproca. A questão da ortogonalidade de diádicos, entretanto, será tratada de um modo mais geral no parágrafo seguinte.

Teor. 6: São inversas as matrizes métricas de bases diádicas recíprocas; logo, essas bases são ambas positivas, ou ambas negativas.

Pois, pelo Teor. 5, a matriz métrica da base recíproca de , , εεεε εεεε εεεε1 2 ... , G seria [M ** ] que é inversa de [E** ]. A matriz métrica da base , , εεεε εεεε εεεε

1 2 ... ,

G será representada doravante por [E** ],

sendo, pois, [ ] [ ] [E E I]

GG

GG

GG

∗∗∗∗ =. , (071).

Por (071) concluímos que as bases recíprocas têm o mesmo sinal uma vez que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes fatores, isso é, det[E** ].det[E** ]=1.

Como visto (Exercício 2), qualquer um dos conjuntos e* e*, e* e*, e* e* e e*

e* – de G díades distintas - definidos por vetores de duas bases vetoriais recíprocas no E3, podem ser consideradas bases de um subespaço diádico G-dimensional. Mas a recíproca de uma dessas bases não se obtém substituindo-se simplesmente em cada díade, antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes vetores recíprocos das bases vetoriais recíprocas a que

Page 250: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

230 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

pertencem. Assim, a base recíproca de e1e1, e1e

2, e1e3 não seria e1e1, e

1e2, e1e3 como

poderia parecer. Embora sejam verdadeiras as relações

e e : e e e e : e e e e : e e e e : e e e e : e e11 1

1 12 1

2 13 1

3 11 1

2 11 1

31 0 e ...= = = = = =

as díades e1e1, e2e1 e e3e1

não pertencem ao subespaço de e1e1, e1e

2 e e1e3. Com efeito, a

díade e1e1, por exemplo, por pertencer a um 2E3, é perpendicular a apenas duas das díades de base do 2E9 cuja base é e*e

*, e não às outras seis. Demonstraremos isso de uma forma geral por um corolário do seguinte

Teor. 7: (decomposição cartesiana em bases diádicas recíprocas) ∀ =∗

∗φφφφ εεεε εεεε φφφφ φφφφ εεεε εεεε φφφφ εεεε εεεε, ) ) e : = ( ( (i = 1,2, ..., G)i

i ii

: : , (08).

Podemos escrever, conforme Teor. 1: φφφφ εεεε= Mi

i . Então, por dupla multiplicação de

ambos os membros pelos diádicos do sistema recíproco dos εεεε*, vem:

φφφφ εεεε εεεε εεεε M M j i

ij i j

i: := =( ) δ ,

donde, somando:

φφφφ εεεε Mj j

: = , (09).

Substituindo este valor de Mj na expressão do diádico, encontramos uma primeira expressão da tese. Podemos determinar a segunda expressão analogamente.

Corol. 1: Num espaço não existe diádico não nulo que seja simultaneamente ortogonal a todos os diádicos de uma base desse espaço.

Pois se existisse tal diádico todas as suas coordenadas, dadas por (09), seriam nulas e esse diádico seria o diádico nulo, o que é absurdo.

Notas: 1ª) - O Corol. 1 do Teor. 7 diz, com outras palavras, que se alguns diádicos de uma base de um espaço constituem base de um espaço de dimensão menor (o que é sempre possível), os diádicos da base recíproca do primeiro espaço não têm haver com os diádicos da base recíproca do segundo. Esta mesma observação já foi feita em relação aos vetores recíprocos no plano e no espaço (§ 03.03, I). 2ª) - Nos espaços diádicos tridimensionais não são válidas, em geral, fórmulas análogas às deduzidas no § 03.03 do Cap. I para o cálculo dos sistemas recíprocos, isso é, para I,j,k=1,2,3,… k

ijk321ji )( εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ε≠××

kijk321ji )( εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ε≠×

× , (10),

ou, conforme (04), § 07.06, 321321 )( εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε :××≠ , e

)( )( 321ijkkji εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ε≠ , )()( 321ijkkji εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ε≠ , (101).

Estas fórmulas são verdadeiras, entretanto, se os diádicos são lineares (por exemplo, do tipo e1e2, e2e3, e3e1, ou e1e1, e2e2, e3e3 etc.), caso em que seus adjuntos são nulos. Isso, entretanto, não implica que o adjunto de todo e qualquer diádico desse espaço seja o diádico nulo.

3ª) – Ainda nos espaços tridimensionais, para : 3,2,1k j, i, C e B ,A kk

jj

ii ==== εεεεχχχχεεεεψψψψεεεεφφφφ

Page 251: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 231

Poliádicos - Ruggeri

321321321

321BBBAAA )( εεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεψψψψφφφφ ≠×× ,

32131321

321CCCBBBAAA

)() ( εεεεεεεεεεεεχχχχψψψψφφφφ ≠ (102),

fórmulas essas que serão válidas apenas quando os diádicos de base forem lineares. Vamos generalizar esses conceitos mais à frente (§ 11 e 13).

Exercício 3: Comprovar que

∀ + + + =φφφφφφφφ εεεε φφφφ εεεε

εεεε εεεεφφφφ εεεε φφφφ εεεε

εεεε εεεεφφφφ εεεε φφφφ εεεε

εεεε εεεε: cos ( , ) cos ( , )

cos ( , )

cos ( , ) cos ( , )

cos ( , ) ...

cos ( , ) cos ( , )

cos ( , )

1

11

2

22

GG

GG

1 2 1.

Constituição de bases.

Os teoremas a seguir fornecem um meio pelo qual poderemos efetuar a decomposição cartesiana de um diádico ndada base diádica de um espaço.

Teor. 8: Constitui base de um espaço G-dimensional o conjunto de diádicos obtido substituindo-se qualquer diádico de uma base pelo seu correspondente recíproco.

Sejam as bases recíprocas ε* e ε* e, por exemplo, o conjunto ε1, ε2, ..., εG. A matriz métrica desse conjunto,

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

1 1 1 1

1

1

: : :

: : :

: : :

... ... ... ... ...

...

2 G

2 2 2 2 G

G G 2 G G

...

,

é regular. De fato, todos os elementos da primeira linha são nulos, exceto o da primeira coluna. Então, desenvolvendo o determinante dessa matriz pelos elementos dessa linha, concluímos que ele é igual ao produto da norma de εεεε1 pelo determinante da matriz métrica do conjunto de G - 1 diádicos da base εεεε* em que não figure o diádico εεεε1. Mas esse conjunto constitui uma base de um subespaço G - 1 dimensional; logo, o determinante de sua matriz métrica é não nulo, e a matriz considerada é regular. Então, o conjunto εεεε1, εεεε2, ..., εεεεG constitui uma base.

Corol. 1: Num espaço diádico é sempre possível constituir uma base diádica a partir de uma base dada, substituindo-se um, dois etc. diádicos dessa base por diádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos.

Teor. 9: Todo diádico de um espaço G-dimensional pode ser decomposto numa soma de J + 1 diádicos, um deles perpendicular a J < G outros não paralelos.

Sejam as bases recíprocas εεεε* e εεεε* de um espaço diádico G dimensional. Pelo Corol. 1 do Teor. 8, constitui uma base desse mesmo espaço o conjunto formado por J < G

Page 252: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

232 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

diádicos quaisquer de εεεε* (logo, não paralelos), digamos εεεε1,εεεε2, ..., εεεεJ, com os G - J outros não homólogos da base εεεε* (aos quais εεεε1,εεεε2, ..., εεεεJ são perpendiculares). Mas ∀φφφφ do espaço, existem números M1, M2, ..., MJ, MJ + 1, ..., MG, tais que

φφφφ εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε= + + + + +++M M ... M + M ... M1

12 J

J J 1J 1

GG

2

ou seja, φφφφ εεεε εεεε εεεε εεεε= + + + +M M ... M1

12 J

J2,

expressão na qual εεεε, sendo uma combinação linear de diádicos perpendiculares a εεεε1,εεεε2, ..., εεεεJ, é também perpendicular a εεεε1,εεεε2, ..., εεεεJ (§ 07.02, Exercício 1); e o teorema fica, assim, demonstrado.

Teor. 10: Os 9 diádicos de uma base de um espaço diádico qualquer não podem ser todos simétricos, nem todos anti-simétricos.

Pois, se ∀ ≠± Tφφφφ φφφφ , φφφφ εεεε= M ii, então φφφφ φφφφ εεεε εεεεT i

iT

iMm m= ( ) . Se os diádicos de base

fossem todos simétricos, ou todos anti-simétricos, seria, correspondentemente, Tφφφφ φφφφ= ± , o que é absurdo.

Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice). Se e1,e2 e e1,e2 são bases recíprocas num E2, a todo vetor desse espaço podemos associar uma matriz coluna de duas linhas em relação a cada uma dessas bases. Dessas bases vetoriais podemos gerar (Exercício 1) as bases diádicas recíprocas e*e* e e*e*, bem como e*e

* e e*e* para referir os diádicos do 2E4 gerados do E2. Aos diádicos do 2E4 poderemos associar matrizes 2x2 cujos elementos sejam as coordenadas cartesianas do diádico em relação às bases vetoriais escolhidas; ou associar matrizes colunas de quatro linhas em relação às bases diádicas, bastando convencionar um modo de dispor essas coordenadas nas matrizes. Assim, para

jiij eeφ=φφφφ , ji

ij eeφ=φφφφ , ji

ij eeφ=φφφφ ou j

ij i eeφ=φφφφ , i,j=1,2, (11),

escreveremos, conforme já convencionado:

φφφφ= 2221

1211∗∗

e][φφφφ ,

φφφφ=

2212

1211∗∗ e][φφφφ etc..

Agora, por convenção, vamos escrever:

φφφφ

=21122211

∗∗εεεεφφφφ ,

φφφφ

=

21

12

22

11

∗∗ εεεεφφφφ ,

φφφφ

=1

∗∗

21

12

22

1

εεεεφφφφ etc., (111),

ou [ ]21122211∗∗ φφφφ=T εεεεφφφφ etc., (112).

Page 253: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 233

Poliádicos - Ruggeri

As mesmas considerações podem ser feitas em relação às bases vetoriais e* e e* do E3 e aos diádicos de 2E9 gerados de E3. Assim, se nas (111) considerarmos i,j=1,2,3 escreveremos, por convenção:

[ ]132132121323332211∗∗ φφφφφφφφφ=T εεεεφφφφ , seguindo Voigt, (113);

ou, usando a notação mais moderna:

[ ]133221132312332211∗∗ φφφφφφφφφ=T εεεεφφφφ , (114).

É evidente que existem as demais fórmulas análogas. Pode ser mais cômodo, por outro lado, escrever-se

uuu

u εεεεεεεεφφφφ φ=φ= com u=1,2, ...,9, (12),

desde que se substituam os pares de índices ij por um único, u, segundo algumas convenções; por exemplo:

11/1, 22/2, 33/3, 23/4, 13/5, 12/6, 32/7, 13/8, 21/9, (segundo Voigt) (121), ou a mais moderna,

11/1, 22/2, 33/3, 12/4, 23/5, 13/6, 21/7, 32/8, 13/9, (122). Nesses casos é mais prático o uso da notação

[ ]987654321∗ φφφφφφφφφ=T εεεεφφφφ , (123),

mas é preciso especificar a convenção adotada (se (121) ou (122)). Para as coordenadas co-variantes escrevemos, analogamente:

[ ]987321∗ φφφ.........φφφ=T εεεεφφφφ (124);

e para as mistas:

[ ]98321∗∗ φφφφφ= ... T

eφφφφ , ou [ ]98321∗

∗ φφφφφ= ... T εεεεφφφφ , (125).

É necessário, entretanto tomar-se certo cuidado para não confundir nestas representações aos coordenadas duplas com as mistas porque nem sempre as bases vetoriais ou diádicas utilizadas são ortonormadas (ver Exercício 1).

Bases no espaço diádico simétrico. O espaço diádico simétrico é o espaço cujos diádicos são simétricos, um subespaço do espaço diádico. Em relação a uma base definida pelas díades constituídas com os vetores de uma base vetorial arbitrária, nove diádicos simétricos quaisquer, ααααi, podem ser

representados na forma contravariante kjjk

ii A ee=αααα (j,k=1,2,3), sendo kj i

jk i AA = para

Page 254: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

234 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

qualquer i=1,2, ...,9. Por estarmos tratando de diádicos simétricos, poderíamos representá-los, também, pelas coordenadas co-variantes. Em ambos os casos (e apenas nestes casos) as matrizes associadas devem ser simétricas (§ 09.09). Dispondo as coordenadas desses diádicos em linhas, a matriz 9x9 a eles associada,

[ ]

=

33 9

32 9

12 9

11 9

33 3

12 3

11 3

33 2

21 2

13 2

12 2

11 2

33 1

32 1

31 1

23 1

22 1

21 1

13 1

12 1

11 1

i

AA.........AA...

A.........AAA.........AAAAAAAAAAAAA

eαααα , (13),

tem a segunda coluna igual à quarta (pois Ai

12=Ai21, ...), a terceira igual à sétima (pois

A i13=Ai

31, ...) e a sexta igual à oitava. Logo a característica dessa matriz é, no máximo igual a seis, o que significa que "o espaço dos diádicos simétricos tem, no máximo, seis dimensões"; ou, ainda,

"uma base no espaço diádico simétrico é qualquer conjunto de seis diádicos (simétricos) linearmente independentes".

Com essa diminuição de dimensão torna-se prático adotar a representação de Voigt para as coordenadas dos diádicos simétricos. Esta representação consiste em se substituírem os pares de índices por um único, conforme o esquema de Voigt em que os índices 7, 8 e 9 em (121) podem ser substituídos por 4, 5 e 6, respectivamente, em vista da igualdade das coordenadas correspondentes; assim, 333 4,23 2,22 5,13 6,12 ,111 →→→→→→ . Nesse caso, a matriz (13) assume uma forma mais simples:

[ ]

=

3 9

4 9

6 9

1 9

3 3

6 3

1 3

3 2

6 2

5 2

6 2

1 2

3 1

4 1

5 1

4 1

2 1

6 1

5 1

6 1

1 1

i

AA.........AA

...

A.........AA

A.........AAAA

AAAAAAAAA

eαααα , (131),

mantendo ainda, evidentemente, o seu grau (9) e as igualdades dos três pares de colunas já referidos.

A base vetorial e* é arbitrária. Os diádicos (simétricos) de representações

... ,2/)( ,... , , 23324222111 eeeeeeee +=== εεεεεεεεεεεε (14),

provenientes de (12), constituem uma base arbitrária do espaço diádico simétrico; a sua recíproca é constituída pelos diádicos

... ,2/)( ,... , , 23324222111 eeeeeeee +=== εεεεεεεεεεεε (141).

De fato, pois a matriz 6x9 associada a eles,

Page 255: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 235

Poliádicos - Ruggeri

00000A0A000A000A000A0A00000100000000000010000000000001

, com 21/A = ,

tem característica 6 (seis). O principal (ou característico) correspondente, de valor A/2, é formado pelas colunas 1, 5, 9, 6, 7 e 4 (foram eliminadas a segunda, a terceira e a oitava ).

Na base diádica εεεε*, definida por (14), a matriz coluna (com coordenadas contravariantes) associada ao diádico simétrico ααααi é, então, ααααi

T=[A i1 Ai

2 ... Ai6] usando,

digamos, a notação de Voigt. Então a matriz 6x6 associada aos 6 (seis) primeiros diádicos (dentre os nove) ααααi anteriormente considerados pode ser escrita, então (com a notação de Voigt), na forma mais simples e compacta:

=

6 6

4 2

3 2

2 6

1 6

6 5

1 5

6 4

1 4

6 3

2 3

1 3

6 2

5 2

4 2

3 2

2 2

1 2

6 1

5 1

4 1

3 1

2 1

1 1

A2...A2AAA

A2A

A2......A

A2......AA

A2A2A2AAA

A2A2A2AAA

][ εεεεαααα , (15).

O característico dessa matriz é, então, do grau 6 no máximo; no §13 daremos a ele um novo significado em função dos próprios diádicos ααααi.

A base recíproca de (14) é obtida simplesmente elevando-se os índices em (14), ou seja, simplesmente constituindo base análoga à (14) com a base recíproca de e1e2e3. Notar que não é possível constituir bases simétricas com díades mistas.

O espaço diádico simétrico pode ter também seus subespaços, por exemplo, o conjunto de todos os diádicos simétricos com uma característica especial qualquer; digamos, aqueles com terceiro nulo, aqueles com escalar nulo etc.. Espaços diádicos simétricos especiais podem ter dimensão menor que 6 (seis).

Bases no espaço diádico anti-simétrico. Um espaço diádico anti-simétrico é aquele cujos diádicos sejam diádicos anti-simétricos. Estes, quando representados na base das díades constituídas com os vetores de uma base vetorial arbitrária e* do E3, só têm três coordenadas não nulas, pois, na forma

contravariante (por exemplo) kjjk

ii A ee=αααα (j,k=1,2,3), deve ser kj i

jk i AA −= para qualquer

i=1,2, ...,9. A matriz coluna associada ao anti-simétrico ααααi será, então,

ααααiT=[0 0 0 A4 A5 A6]

e a matriz 9x9 associada aos nove diádicos dispostos por linhas,

Page 256: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

236 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.02

[ ]

=

0A-...0A-AA0

.........

0

0

0...0...A0

0...0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

23 9

12 9

13 9

12 9

12 4

12 3

13 3

12 3

23 2

13 2

23 2

12 2

13 2

12 2

23 1

13 1

23 1

12 1

13 1

12 1

i eαααα , (16),

tem a primeira, a quinta e a nona colunas nulas, o que, numa primeira instância, baixa a ordem do seu característico para seis. Como a soma da segunda coluna com a quarta, a soma da terceira com a sétima e a da sexta com a oitava não alteram o valor do característico, concluímos que a ordem deste é três no máximo, uma vês que três novas colunas nulas podem ser introduzidas no determinante associado à matriz. O característico de (16) é, assim,

12 3

31 3

23 3

12 2

31 2

23 2

12 1

31 1

23 1

AAA

AAA

AAA

, (17).

Observando-se que o vetor do anti-simétrico ααααi é (§09.04)

)AAA)((2 312i

231i

123i321iV eeeeee ++=αααα ,

vê-se que o característico é igual a um oitavo do produto da norma da base e* pelo produto misto dos vetores dos diádicos (§04.03, I); e só se anularia se estes fossem coplanares. Então, "o espaço dos diádicos anti-simétricos tem, no máximo, três dimensões", ou, ainda,

"uma base no espaço diádico anti-simétrico é qualquer conjunto de três diádicos (anti-simétricos) linearmente independentes".

Com a notação de Voigt, escrevemos:

[ ]

=

0A-...0A-AA0

.........

0

0

0...0...A0

0...0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

4 9

6 9

5 9

6 9

6 4

6 3

5 3

6 3

4 2

5 2

4 2

6 2

5 2

6 2

4 1

5 1

4 1

6 1

5 1

6 1

i eαααα , (171),

Page 257: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 237

Poliádicos - Ruggeri

Os diádicos representados na base e* do E3 por

2/)( e 2/)( ,2/)( 122133113223321 eeeeeeeeeeee −=−=−= εεεεεεεεεεεε , (18),

todos anti-simétricos, constituem uma base arbitrária do espaço diádico anti-simétrico; sua recíproca é

2/)( e 2/)( ,2/)( 122133113223321 eeeeeeeeeeee −=−=−= εεεεεεεεεεεε , (181).

De fato, a matriz 3x9 associada aos diádicos (181),

−−

00000A0A000A000A000A0A00000

,

com 21/A = , tem característica 3 (três). O característico correspondente, de valor A/2, é formado pelas colunas 6, 3 e 2. Na base diádica εεεε*, definida por (05), a matriz associada aos 3 (três) diádicos ααααi anteriormente considerados (i=1,2,3) pode ser escrita, então, com a notação de Voigt, na forma mais simples e compacta

2AAAAAAAAA

][6 3

5 3

4 3

6 2

5 2

4 2

6 1

5 1

4 1

=εεεεαααα , (19).

Deve ser observado que não é possível constituir base anti-simétrica com díades mistas ((§09.01).

O espaço diádico anti-simétrico pode ter também seus subespaços, logo, com dimensão menor que 3; por exemplo, o conjunto de todos os diádicos anti-simétricos cujos vetores fossem coplanares (caso em que o característico (171) seria do segundo grau).

Resultados análogos, mutatis mutandis, podem ser deduzidos para os diádicos anti-simétricos gerados com vetores do E2, em relação a uma base (e1,e2, caso em que esse

espaço tem dimensão 1 e bases recíprocas 2/)( 1221 eeee − e 2/)( 1221 eeee − .

Bases diádicas ortonormadas.

As bases diádicas de módulo 1 são ditas unimodulares. Quando os diádicos de uma base unimodular são mutuamente ortogonais e têm módulo 1, caso em que a sua matriz associada é a matriz unidade G x G, essa base e dita ortonormada.

Resta considerar a representação de diádico simétrico em base diádica simétrica

construída à partir de um terceto de unitários triortogonais kji ˆ,ˆ,ˆ . Nesse caso, o conjunto

correspondente a (14) é da forma:

),ˆˆˆ(2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ,ˆˆ ,ˆˆ ,ˆˆ ijjikiikjkkjkkjjii +++ (20),

base esta, ortonormada. Em relação a estas bases desaparece a diferença entre coordenadas contravariantes, co-variantes e mistas (§09.01).

Page 258: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

238 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.03

Analogamente, devemos considerar a representação de diádico anti-simétrico em base diádica anti-simétrica construída à partir de um terceto de unitários triortogonais

kji ˆ,ˆ,ˆ . Nesse caso, o conjunto correspondente a (18) é da forma:

kijjijkiikijkkj ˆ2

1)ˆˆˆ(

2

1 ,ˆ

2

1)ˆˆˆˆ(

2

1 ,ˆ

2

1)ˆˆˆˆ(

2

1 ×−=−×−=−×−=− ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ (21),

base esta, também ortonormada.

* Exercício: Comprovar que a base

),ˆˆˆ(2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ,ˆˆ ijjikiikjkkjkkjjkkjjii +++++− (201),

alem de simétrica é ortonormada. *

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico.

Biflechas.

Um espaço diádico (montado sobre a Geometria Euclidiana) é, pois, qualquer reunião de diádicos; existem infinitos deles. Denotaremos os espaços diádicos pelos símbolos 2EG, 2E'G, 2SG etc.. Para que em um espaço diádico se concebam novas figuras euclidianas – as quais comporão a Geometria Diádica – é necessário ampliar, por força exclusiva da imaginação, as idéias primárias de ponto, reta, plano e espaço91. Assim,

postularemos e existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços (G≤9) ou hiperplanos que são regiões definidas por um, dois, três, quatro, ..., G+1 pontos dados (isso é, qualquer outro ponto da região está de algum modo ligado aos primeiros), tendo dimensões zero um, dois, ... G.

Para destacar a dimensão, G, de um espaço diádico usaremos ainda a notação 2EG, 2E'G etc., como no (§ 07.07). Qualquer que seja o diádico φφφφ, φφφφ/|φφφφ| tem norma +1, logo módulo + 1 (§ 07.07); tais

diádicos são chamados unitários e são representados (como os vetores) por φφφφφφφφφφφφ ˆ||/ = . Num espaço diádico de dimensão G (§ 10), com G≤9, as G coordenadas de um diádico unitário são necessariamente, em módulo, números menores que a unidade. Por isso mesmo, as coordenadas de um diádico unitário são denominadas co-senos diretores da “hiper” direção desse diádico (no seu G-espaço). Assim, com um grau de abstração um pouco mais elevado, um diádico de um G-espaço pode ser imaginado representado graficamente por uma "biflecha livre" – uma seta com origem e duas ponteiras na extremidade – apresentando uma "hiper” direção; e um "comprimento" que, na mesma escala adotada para representar os vetores, represente o seu módulo (a distância entre a 91 Seguiremos parcialmente a orientação de Sommerville, D. M. Y., An Introduction to the Geometry of N Dimensions, Dover, New York, 1958.

Page 259: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 239

Poliádicos - Ruggeri

origem e a extremidade). Assim, as biflechas livres, ou simplesmente flechas, num 2EG poderão ser "aplicadas" (com origem) num ponto qualquer do (seu) espaço. Para G=1 as flechas só estão definidas sobre o suporte (único) do espaço; para G=2, as flechas estão definidas num (único) plano, mas são livres nesse plano; e assim por diante.

Independência de pontos e bases. Os G+1 pontos que definem um 2EG serão sempre arbitrariamente numerados a partir de zero. Se R<G, um 2ER – que é determinado por R+1 dentre os G+1 pontos dados – está inteiramente contido no 2EG. Da mesma forma, para R≤G, R desses pontos não podem estar contidos num mesmo 2ER-2. Com efeito, porque R-1 dos pontos dados – que determinam o 2ER-2 considerado – juntamente com os G+1-R pontos restantes deveriam ser suficientes para determinar o espaço todo; o que é absurdo, pois o total de pontos para tal seria (G+1-R)+(R-1)=G, e não G+1.

Definição: Um sistema de R+1 pontos (de um 2ER), R quaisquer deles não contidos num mesmo 2ER-2, é denominado um sistema de pontos linearmente independentes.

Consideremos um sistema de G+1 pontos independentes e os G diádicos definidos com origem no ponto zero e extremidades nos demais pontos. Dois quaisquer desses diádicos (definidos por R=3 pontos independentes, origem inclusa) não são paralelos porque, do contrario, as suas origens comuns e suas extremidades deveriam ser três pontos colineares (e os pontos dados não seriam independentes). Três quaisquer desses diádicos (definidos por R=4 pontos independentes) não podem ser coplanares porque, se fossem, os R pontos pertenceriam a um plano (e os pontos dados não seriam independentes). E assim sucessivamente. Consideremos as biflechas ordenadas 1, 2, ..., G de uma base de um 2EG aplicadas co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O. As extremidades (pontos) 1, 2, ..., G dessas flechas juntamente com o ponto origem O≡0, constituem um sistema linearmente independente de G+1 pontos. Dois quaisquer desses pontos e o ponto 0 não podem ser colineares, pois, do contrário, os diádicos correspondentes seriam paralelos e não poderiam compor a referida base. Três quaisquer desses pontos e o ponto 0 não são coplanares porque, do contrário, os três diádicos correspondentes estariam contidos num plano e não poderiam compor uma base. E assim sucessivamente.

Logo:

Num 2EG (G≤9) é sempre possível constituir-se uma base com um sistema de G+1 pontos linearmente independentes; vice versa, com uma base de um 2EG é sempre possível constituir-se um sistema de G+1 pontos linearmente independentes desse espaço.

União e interseção de espaços.

Consideremos agora dois espaços diádicos, 2ER e 2ES, o primeiro determinado por R+1 pontos, o segundo por S+1. Se estes espaços forem "físicos", que sejam, então, de grandezas de mesma dimensão, isso é, ambos de tensões, ambos de deformações etc..

Page 260: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

240 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.03

Se 2ER e 2ES não têm ponto comum, a união dos dois apresenta R+S+2 pontos independentes que determinam um 2ER+S+1. Se R+S+1>G, 2ER e 2ES terão necessariamente uma região de dimensão X em comum, definida por X+1 pontos independentes. Como essa região comum rouba X da dimensão de 2ER e X da de 2ES, a determinação de 2ER e 2ES requer R+1-(X+1)+(S+1)-(X+1)=R-X+S-X pontos adicionais independentes. O total de pontos independentes para a determinação de 2EG é, pois, X+1+R-X+S-X=R+S-X+1, com os quais se determina um 2ER+S-X. Podemos então enunciar:

Se um 2ER e um 2ES têm X+1 pontos em comum (ou um 2EX em comum) eles estão contidos num 2ER+S-X; se não têm ponto em comum, ambos estão contidos num 2ER+S+1.

Assim, por exemplo, à união de dois 2E que têm um ponto em comum (X=0) corresponde o "espaço diádico soma dos espaços dados", de dimensão R+S. Vejamos como interpretar a questão do ponto de vista algébrico. Representemos por 0 o ponto comum aos dois espaços e em cada um deles imaginemos traçadas as flechas de base co-iniciais em 0. Um diádico de qualquer um desses espaços é uma combinação linear dos respectivos diádicos de base. Como é impossível expressar um diádico de uma base pelos diádicos da outra base (eles pertencem a espaços de dimensões diferentes), a união deles é um diádico expresso em função de R+S diádicos independentes de um novo espaço (de dimensão R+S): o espaço soma, que poderá estar contido ou não no 2EG. Se o espaço estiver contido em 2EG diremos que 2ER e 2ES são complementares em 2EG. Para o caso em que G=9 (o espaço considerado é todo o espaço diádico), enunciamos:

Se um 2ER e um 2ES estão contidos em 2E9 e R+S+1>9, eles têm em comum um 9-SR

2 E + (ou R+S-8 pontos em comum); se R+S<9 eles não têm ponto em

comum. Se um 2ER e um 2ES tiverem X+1 pontos em comum, diremos que eles se interceptam segundo um 2EX; se não tiverem pontos em comum (X+1=0), diremos que eles se interceptam segundo um 2E-1 (espaço de dimensão –1, definido por zero pontos, um espaço vazio). Se R+S=9 e 2ER e 2ES estão contidos em 2E9 eles são complementares em 2E9.

* Exemplos: 1) – No caso particular de dois espaços diádicos simétricos, com a mesma dimensão (§10.02), isso é, R=S=6 (cada um definido por 7 pontos), tem-se R+S>9 (12>9); então os dois espaços têm 6+6-8=4 pontos em comum, ou, o que é mesmo, eles se interceptam segundo um 2E3. Esse subespaço 2E3, devendo ter por base (um terceto de) diádicos simétricos, é simétrico necessariamente. 2) – Tal como no caso anterior, para dois espaços diádicos anti-simétricos, também com a mesma dimensão (§10.02), isso é, R=S=3 (definidos por 4 pontos cada), tem-se R+S<9 (6<9); e os dois espaços não têm ponto comum ou não se interceptam. 3) – Um espaço diádico simétrico (R=6) e um anti-simétrico (S=3) são complementares no 2E9 (e têm necessariamente um ponto em comum).

Page 261: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 241

Poliádicos - Ruggeri

4) – Sejam: R=5 e S=7. O 2E5 é definido por 6 pontos; o 2E7 por 8 pontos. Logo o espaço soma tem 12 pontos. Como estão contidos no 2E9 (definido por 10 pontos) existem 4 pontos em excesso, isso é, os espaços têm um 2E3 comum.

Exercício: Demonstrar que três espaços diádicos anti-simétricos têm uma reta comum.

*

Graus de liberdade de um espaço diádico. Seja dado um 2EP contido num 2EG. O 2EP é dado por P+1 pontos, cada ponto tendo P graus de liberdade, isso é, estão dadas (P+1)P condições que definem o 2EP. Mas, em relação ao 2EG, os P+1 pontos de 2EP devem ser definidos por P+1 diádicos, cada um com G coordenadas, requerendo, pois, um total de (P+1)G condições. Como G>P, restam (P+1)(G-P) condições; dizemos:

o número de condições para determinar-se um 2EP contido num 2EG é (P+1)(G-P).

Exemplo: Em Elasticidade, o número de condições para determinar-se um "estado plano de deformações ou de tensões" (caso P=3, porque o espaço dos diádicos planares simétricos tem dimensões92), é, então: (3+1)(6-3)=12.

Isto porque o espaço das tensões planas (por ser tridimensional) deve ser definido por 4 pontos e cada um desses é definido por um diádico do 2E6 (espaço dos diádicos simétricos), requerendo, pois, 4x6=24 coordenadas (ou condições). Por outro lado, como os 4 pontos do 2E3 dos diádicos planares simétricos tem 4x3 graus de liberdade e, estando dado, já foram dadas 12 das 24 condições necessárias. Restam, pois, 24-12=12.

Podemos esclarecer a questão de dois pontos de vista: 1) – O estado plano de deformações, por ter três dimensões, é determinado por quatro pontos independentes. Como cada ponto nesse espaço requer três coordenadas para a sua fixação, necessitaremos um total de 12; 2) – Dentre os 36 elementos que compõem a matriz associada a 6 diádicos (simétricos) candidatos a uma base (do estado de deformações ou tensões), apenas 12 deles são independentes, todos os demais sendo combinações destes. O grau do principal da referida matriz é 3 e seus 9 elementos são definidos por relações entre 12 números.

92 A linguagem da Teoria da Elasticidade é ligeiramente diferente da do Cálculo Poliádico. Lá falamos de estado plano de tensões; aqui falamos de espaço uniplanar de tensões (porque o diádico de tensões é planar simétrico).

*

Se o 2EP em referência, contido num 2EG, tem apenas R+1 pontos conhecidos - logo, contém um 2ER e são necessários ainda P-R outros pontos para determiná-lo - o número de graus de liberdade desse espaço é (P-R)(G-P); então podemos enunciar:

O número de graus de liberdade de um 2EP, contido num 2EG, que passa (ou contém) um 2ER, é (P-R)(G-P).

Page 262: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

242 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.04

Exemplo 6: O número de graus de liberdade de um estado plano de tensões (de três dimensões, P=3), contido no estado pleno das tensões (G=6), estado plano esse que, ainda, contém certo estado duplo de tensões (R=2) é 6. Um "estado duplo" de tensões é um estado plano de tensões com a particularidade de ter uma das coordenadas sempre nula.

* O teorema anterior (para G>P>R) pode ser enunciado também da seguinte maneira:

O número de condições para que um 2EP, contido num 2EG, passe (ou contenha) um 2ER, é (R+1)(G-P).

Se um 2ER pode deslocar-se num 2EQ, ele tem (R+1)(Q-R) graus de liberdade. Então,

O número de condições para que um 2EP e um 2EQ, ambos contidos num 2EG, se interceptem num 2ER, é (R+1)[(G-P)-(Q-R)],

o que implica G-P≥Q-R. Se for G-P<Q-R eles se interceptam numa região de dimensão P+Q-9 que é maior que R.

§ 10.04 – Ordem no espaço diádico. Embora a idéia de movimento não seja de índole geométrica, usamos comumente em Geometria o termo "ponto corrente" com o intuito de representar um ponto que possa mover-se pelo espaço (eventualmente sobre uma reta, sobre um plano etc.). A transformação de uma figura muitas vezes é também (inadvertidamente) relacionada com uma "movimentação rígida" de uma mesma figura pelo espaço. Essas "idéias mecânicas" são substituídas pelos conceitos de ordem (ou seqüência) e congruência, a cada um correspondendo um grupo de axiomas os quais não serão aqui apresentados. Vamos estender ao espaço diádico os conceitos de ordem da Geometria ordinária. Um ponto divide uma reta em duas semi-retas, mas não divide um plano; uma reta divide um plano em dois semi-planos, mas não divide o 3-espaço; um plano divide o 3-espaço em dois semi-espaços mas não divide um 4-espaço; e assim sucessivamente.

Se A1 e A2 são dois pontos de uma reta, eles determinam um segmento que consiste do conjunto de todos os pontos P dessa reta encontrados na seqüência A1PA2 (ou A2PA1). Os pontos dividem a reta em três partes, numa primeira parte correspondendo a ordem PA1A2 (ou A2A1P), numa segunda A1PA2 (ou A2PA1) e, na terceira, A1A2P (ou PA2A1).

Os três pontos não colineares A1, A2 e A3 de um plano determinam três retas que formam um triângulo cujos lados são os segmentos A1A2 (ou A2A1) etc.. Se A12 representa algum ponto do segmento A1A2, o interior do triângulo consiste de todos os pontos P encontráveis na seqüência A3PA12 etc. sobre o segmento A3A12. Assim, os três pontos dividem o plano em 7 regiões (tantas quantas são a soma das combinações de três elementos tomados um a um, dois a dois e três as três): uma região interior, uma sobre cada um dos lados e uma sobre cada um dos vértices.

Page 263: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. 243

Poliádicos - Ruggeri

Analogamente podem ser separadas as 12CCCC 444

34

24

14 −=+++ regiões definidas

por quatro pontos não coplanares, mantendo-se as nomenclaturas clássicas: vértices, lados, faces. É evidente, em face do exposto, a caracterização de regiões nos espaços de dimensão G maior que três, no total de 2G+1-1. No espaço diádico, chamaremos (como em Geometria N-dimensional) simplex, ou ainda, um (G+1)-ponto, a figura formada por: CG+1

1=G+1 pontos independentes, de que são os vértices; os CG+1

2 segmentos definidos, de que são os lados; os CG+1

3 planos definidos, de que são as faces, os CG+14 3-espaços definidos, de que

são os 3-espaços etc.. É evidente, face ao exposto, que as extremidades 1, 2, ..., G dos G diádicos ordenados εεεε1, εεεε2, ..., εεεεG de uma base de um G-espaço, aplicados co-inicialmente num ponto arbitrário O, definem, juntamente com O, um simplex (nesse espaço). Eixos de origem O, construídos com a mesma escala, e orientados segundo as ponteiras dos diádicos constituirão um sistema cartesiano natural de referência nesse espaço, sistema esse que poderá, arbitrariamente, ser denominado positivo (ou negativo).

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico.

Direção e orientação.

Um sistema de retas num plano, com um ponto comum, é denominado um feixe de retas; o ponto comum fica determinado por duas quaisquer das retas do feixe. Um sistema de pontos, com uma reta comum, é denominado uma pontilhada; a reta comum é definida por dois quaisquer dos pontos da pontilhada. Feixe de retas e pontilhadas são figuras duais. Um sistema de retas no espaço, com um ponto comum, é denominado uma estrela de retas, seu dual é um sistema de pontos com um plano comum (um sistema bidimensional). Retas todas paralelas a uma mesma reta têm, também, um elemento comum: uma direção, que é determinada de forma única por duas quaisquer das retas. Uma direção e um ponto determinam uma única reta. Uma direção e dois pontos determinam um único plano, pois a direção e um dos pontos determinam uma reta e esta reta e o segundo ponto determinam o plano. Analogamente, duas direções juntamente com um ponto determinam unicamente um plano. Por conseguinte uma direção assume o papel de um ponto na determinação de retas e planos Duas direções, por si sós, não determinam um plano, apenas a orientação de um plano. Assim, uma orientação e um ponto determinam unicamente um plano. Se forem dadas as orientações de dois planos, a interseção deles terá uma direção determinada; isso é, duas orientações determinam unicamente uma direção. Por conseguinte uma orientação assume o papel de uma reta na determinação de planos e pontos. Duas retas somente determinam um ponto quando têm plano comum; duas orientações (em três dimensões) sempre determinam uma direção. Assim, orientações se correspondem com retas com plano comum.

Pontos impróprios (ou no infinito).

Se associarmos a palavra direção com ponto impróprio ou ponto no infinito, diremos que um sistema de retas todas paralelas a uma mesma reta têm um elemento comum: um ponto impróprio, assim denominado para distingui-lo dos demais pontos da reta, que são

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244 § 10 - Espaço diádico e bases diádicas.

II, § 10.05

próprios. Da mesma forma, se associarmos a palavra orientação com reta imprópria ou no infinito, diremos que planos paralelos a um mesmo plano têm um elemento comum: uma reta imprópria para distingui-la das demais retas do plano, que são próprias. Nestas condições um ponto impróprio num plano é a direção de alguma reta contida nesse plano. A orientação determinada por duas direções contém essas direções; então, a reta imprópria é determinada por dois pontos impróprios. Como duas retas de um plano determinam a orientação desse plano, dois pontos impróprios quaisquer de um plano determinam a mesma reta imprópria.

Muitos outros resultados podem ser deduzidos das proposições enunciadas. Assim, um plano contém apenas uma reta imprópria; duas retas de um plano são paralelas se elas têm um ponto comum com a reta imprópria desse plano. Duas retas impróprias quaisquer sempre determinam um ponto impróprio; então todas as retas impróprias têm um plano comum, o plano impróprio ou no infinito. Esse plano contém ainda todas as orientações do espaço de três dimensões. O ponto impróprio de uma reta e a reta imprópria de um plano são as interseções dessa reta e desse plano com o plano impróprio, em um ponto (impróprio).

Extensão de conceitos.

Num 2EG existe um único 2EG-1 impróprio (ou no infinito). Diremos que dois espaços, 2EG-1 e 2E'G-1 são paralelos se o 2EG-2 comum a ambos é um 2EG-2 impróprio, ou seja, 2EG-2 é um elemento do 2EG-1 impróprio. Dois 2E2 , sem pontos comuns, ambos contidos num 2E3, podem não ter nenhum espaço impróprio e serão ditos oblíquos. Dois 2E3, sem pontos próprios comuns: 1) – estando contidos no mesmo 2E4 , têm um 2E2 (plano) impróprio em comum; 2) – estando contidos no mesmo 2E5, terão 2E1 (reta) imprópria comum; 3) – estando contidos num 2E6, terão um 2E0 (ponto) impróprio comum; 4) – se eles não estão contidos num mesmo 2E6, serão oblíquos. No caso 1) os espaços são ditos completamente paralelos; no caso 2), dois terços paralelos e no caso 3), um terço paralelos.

No caso geral, dois espaços, 2EP e 2EQ, com P≥Q, por hipótese ambos contidos num 2EP+Q-R, interceptar-se-ão em geral num 2ER. Pois 2EP+Q-R é definido por P+Q-R+1 pontos, existindo então, P+1+Q+1-(P+Q-R+1) pontos comuns, isso é, R+1.Mas não tendo pontos (próprios) comuns, 2EP e 2EQ serão ditos (R+1)/Q paralelos se tiverem em comum um 2ER impróprio. Como R+1 e Q são inteiros, espaços (R+1)/Q paralelos são ditos, em geral, racionalmente paralelos.

*

Exemplo: Considerados dois espaços diádicos tridimensionais (P=Q=3) que não têm ponto comum: 1) – se eles estão contidos num mesmo 2E4 (R=2) e têm um 2E2 impróprio comum, são “um paralelos”; 2) – se estão contidos num mesmo 2E5 (R=1), e têm uma reta imprópria em comum são “2/3 paralelos”; 3) – se estão contidos num mesmo 2E6 (R=0), e têm um ponto impróprio comum eles são “1/3 paralelos”; 4) – se eles não estão contidos no mesmo 2E6 (R=0) eles são oblíquos.93

*

93 Analisaremos essa mesma questão no §09,IV em relação ao espaço dos tetrádicos.

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§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. 245

Poliádicos - Ruggeri

Ora, se 2EP e 2EQ, com P≥Q, estão contidos num 2EP+Q-R, eles têm pelo menos um 2ER-1 impróprio em comum porque, se eles se interceptam o 2ER comum a eles contém um único 2ER-1 impróprio. Por conseguinte, para que dois espaços diádicos sejam paralelos, não é suficiente que eles tenham certa dimensionalidade de pontos impróprios em comum; eles precisam ter também nenhum ponto próprio em comum. Paralelismo completo pode ocorrer entre espaços diádicos de um número qualquer de dimensões menor que 9. Paralelismos parciais requerem um mínimo de dimensões. Assim, meio paralelismo somente aparece pela primeira vez quando dois 2E2 (P=Q=2) estão contidos num 2E4 e têm um 2E0 (R=0, ponto) impróprio comum. Um terço de paralelismo não aparece entre espaços de dimensões menores que 6 (porque deveria ser Q=3(R+1) com R>0). Em geral, o paralelismo de ordem (R+1)/Q, em que R+1 é primo com Q, requer espaços de pelo menos 2Q-R dimensões, o que acarreta a existência de um 2EP e um 2EQ contidos num mesmo 2EP+Q-R para P≥Q.

O paralelotopo.

Podemos, agora, procurar no espaço diádico as figuras correspondentes aos paralelogramos e paralelepípedos do espaço dos vetores. Um 2E4 é definido por 4 diádicos independentes (formando uma base), αααα1, αααα2, αααα3, αααα4, os quais, aplicados co-inicialmente em um ponto arbitrário, 0, definem o 5-ponto (01234). Vamos construir um paralelotopo sobre os quatro diádicos co-iniciais dados, tal como construímos um paralelepípedo sobre três vetores. Contendo o ponto 0, um 2E5 tem: 4 (i.é., C4

3) 3-espaços, definidos por tercetos de diádicos, 6 (C4

2) 2-espaços (planos), definidos por pares de diádicos e 4 (C41) 1-espaços

(retas), definidos por cada diádico. A cada um dos 4 vértices 1,2,3,4 corresponde um 3-espaço oposto. Ao vértice 1 corresponde o 3-espaço oposto definido pelos pontos 0, 2, 3 e 4, que representaremos por (1-0234); os demais são: (2-1034), (3-1204) e (4-1230). Por cada um dos 4 vértices 1, 2, 3, 4 podemos conduzir um 3-espaço paralelo ao respectivo espaço oposto. Então o número de fronteiras do paralelotopo, de dimensão 3, é 2xC4

1=8.

O 3-espaço conduzido por 1, paralelamente ao seu oposto (0234), intercepta os 3-espaços (0231), (0214) e (0134) segundo os 2-espaços (023), (024) e (034), respectivamente. Esse 3-espaço intercepta também: 1) – o 3-espaço conduzido por 2, paralelamente a (0341), segundo um 2-espaço paralelo a (034); 2) -–o conduzido por 3, paralelamente a (0412) segundo um 2-espaço paralelo a (024); 3) – finalmente, o conduzido por 4 paralelamente a (0123) por um 2-espaço paralelo a (023). Essas interseções constituem 3 pares de 2-espaços paralelos. A mesma análise de interseções pode ser feita em relação aos 3-espaços conduzidos por 2, 3 e 4 paralelamente aos respectivos espaços opostos. No caso do 3-espaço conduzido por 2, paralelamente a (1034), dentre os três pares de 2-espaços paralelos, interseções de (1034) com (2034), (1024) e (1032), encontraremos apenas o par (04) repetido, significando isto que dois novos planos paralelos a (034) foram encontrados, o que eleva o número de pares de 2-espaços paralelos para 4. Prosseguindo essa análise, teremos encontrado tantos grupos de 4 (22) 2-espaços paralelos quantos são os 2-espaços definidos pelos diádicos, ou sejam, C4

2. Então: as fronteiras de duas dimensões do paralelotopo montado sobre os quatro diádicos independentes formam C4

2 grupos de 22 2-espaços paralelos, ou sejam, 22x C42=24.

Por caminho semelhante, embora bem mais cansativo, poderíamos concluir que as fronteiras de uma dimensão do paralelotopo em pauta formam C4

1=4 grupos de 23=8 1-espaços paralelos (aos diádicos dados), ou sejam 23x C4

3=32.

Page 266: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

246 § 11 – Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

II, § 11.01

Finalmente, devemos considerar que 4 grupos de 23 retas paralelas cada um se interceptam segundo 24 pontos, posto que por cada vértice devam passar 4 retas (uma paralela a cada um dos diádicos) e que sobre uma reta não pode existir mais de dois vértices (porque, do contrário, haveria diádicos de base paralelos); tais pontos são os vértices do paralelotopo.

Esses resultados foram determinados, assim, para um 2E4. É possível demonstrar que a quantidade de R-espaços fronteira de um paralelotopo de um G-espaço diádico é dado por 2G-RxCG

R. O número CGR é a quantidade de R-espaços fronteira que passam por um vértice,

sendo, ainda, a quantidade de grupos existentes de R-espaços completamente paralelos. O número 2G-R é a quantidade de R-espaços completamente paralelos contidos em cada um dos CG

R grupos.

Para o espaço diádico podemos, então, montar o quadro apresentado abaixo.

Número de fronteiras R-dim de um paralelotopo de um G-espaço diádico: 2G-R CGR

G \ R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 Segmentos – diádico unilinear 2 4 4 Paralelogramos – Diádico linear 3 8 12 6 Paralelepípedos - Diádico anti-simétrico, uniplanar 4 16 32 24 8 Diádico de Argand 5 32 80 80 40 10 6 64 192 240 160 60 12 Diádico simétrico 7 128 448 672 560 280 84 14 Diádico antitriangular 8 256 1024 1792 1792 1120 448 114 16 Diádico planar 9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18

*

Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional. Mais uma vez encontraremos operações com diádicos que guardam forte analogia com umas similares já estudadas para os vetores e que poderão ser estendidas para os "espaços vetoriais" abstratos da Álgebra Linear. § 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES.

§ 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla.

Já vimos alguns casos de existência de diádicos ortogonais (§ 07.02, § 10.02) mas não pudemos, ainda, determinar em que condições e a quantos diádicos (no máximo) um diádico pode ser perpendicular. Consideremos uma base diádica εεεε* de um 2EG e uma base αααα* de um subespaço 2EV de 2EG (logo, V < G). Procurando (se é que existe) um diádico não nulo de 2EG, escrito na forma φφφφ εεεε= M

ii , com i=1, 2, ..., G, que seja perpendicular a αααα1, αααα2, ..., ααααV, escrevemos,

para traduzir a hipotética ortogonalidade:

iijj M) (0 :V1,2,...,j εεεεααααααααφφφφ :: ===∀ , (01),

ou, equivalentemente, escrevendo as coordenadas dos diádicos em linha,

Page 267: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 247

Poliádicos - Ruggeri

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεεαααα εεεε αααα εεεε αααα αααα

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

V 1 2 V G

1

2

G

...

... ... ... ... ...

MM...

M

00...0

: : :: : :

: : :V

...

.

=

, (011).

A determinação do diádico φφφφ requer, então, uma discussão em torno das possíveis soluções do sistema homogêneo indeterminado (011), de V equações com G incógnitas, logo de ordem de indeterminação G-V. O grau do principal (ou posto) da matriz desse sistema, isso é, o grau de um determinante não nulo de mais alta ordem que se possa extrair dessa matriz é V (porque, por hipótese, os V diádicos formam uma base de um subespaço de 2EG). Para V=G-1, o sistema terá G-1 equações (caso em que a ordem de indeterminação é –1), suas soluções não nulas – as coordenadas de φφφφ em relação à base εεεε* de 2EG – são proporcionais aos menores do grau G-1 que se extraem da matriz dos coeficientes por eliminação de uma coluna (a de elementos αααα1:εεεεi, αααα2:εεεεi, etc.) multiplicados pela potência de (-1) cujo expoente é igual à ordem da coluna menos um. Então:

Μ Μ Μ Μ1 2 3

D D D ...

DL

1 2 3

G

G

= = = = = =constante, (02),

sendo

G1G31G21G

G23222

G13121

1

...

............

...

...

D

εεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

:::

:::

:::

−−−

= ,

D

2

1 1 1 3 1 G

2 1 2 3 2 G

G 1 1 G 1 3 G 1 G

= −

− − −

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

: : :

: : :

: : :

...

...

... ... ... ...

...

etc., (021).

Esse diádico φφφφ assim determinado, ortogonal a diádicos αααα1, αααα2, ..., ααααG - 1 de um 2EG-1, pertence, evidentemente, ao 2EG.

Definição: (produto cruzado múltiplo de diádicos) Denominaremos produto cruzado múltiplo de 2≤G-1≤8 diádicos αααα1, αααα2, ..., ααααG - 1 de um 2EG-1 contido num 2EG, nesta ordem, e o representaremos por < αααα1αααα2...ααααG - 1 >, o diádico φφφφ do 2EG cuja representação cartesiana numa base εεεε*, tenha coordenadas Mk dadas por (02), onde se faça L igual ao módulo da base εεεε∗ , |εεεε* |, se ela for positiva (caso presente) e -|εεεε* | se ela for

negativa:

k k

1G321 D|| ... εε>=αααα< ∗− , (k = 1, 2, ..., G) (03).

Page 268: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

248 § 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

II, § 11.01

Então, podemos escrever o produto cruzado, referido a uma base positiva, na forma do pseudodeterminante:

G1G21G11G

G12111

G21

1G321

...

............

...

...

|| ...

εεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεεεεεεεεε

εεεεαααααααααααααααα

:::

:::

−−−

∗− >=< , (031),

convencionando-se desenvolvê-lo segundo Laplace pelos elementos (diádicos) da primeira linha. Por analogia com o espaço dos vetores, diremos também, por definição, que o produto cruzado múltiplo de G-1 diádicos de um 2EG-1 é o "diádico–área" do paralelotopo (§10.05) construído sobre esses diádicos, seu módulo sendo a "área do paralelotopo". Tal diádico-área é perpendicular a todos os diádicos que definem o paralelotopo, tendo, pois, uma direção bem definida no espaço diádico.

* Particularmente, se fizermos em (031) ααααi = εεεεi (i = 1, 2, ..., G - 1), isso é, para G - 1 dos diádicos recíprocos da base positiva εεεε*, a matriz (G-1)xG do sistema (011) é

01...000

00...000

..................

00...100

00...010

00...001

, (04),

o que implica

D = 0 = D = ... = D e D1 2 G 1 G− ∗=| |εεεε , isso é,

G1G21 || ... εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ∗− >=< , (05);

a fórmula (05) generaliza (10), § 10.02. Então:

Um diádico qualquer de uma base positiva do 2EG, ampliado do módulo da base recíproca, é igual ao produto cruzado (diádico-área) dos G - 1 diádicos não correspondentes da base recíproca, multiplicados na ordem cíclica.

A operação que tem por fim determinar um produto cruzado múltiplo de G - 1 diádicos de um espaço G-dimensional chama-se multiplicação cruzada múltipla desses diádicos. É evidente que esta operação está definida quando a base em consideração é composta por G quaisquer das díades do conjunto formado por bases vetoriais recíprocas. Então, um diádico de uma base é ortogonal a todos os diádicos não homólogos da base recíproca.

Page 269: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 249

Poliádicos - Ruggeri

Essa operação, sempre possível e unívoca, goza ainda das seguintes

Propriedades

1ª) - O produto cruzado (ou, o diádico-área) de diádicos é nulo:

a) - se um dos diádicos é o diádico nulo, pois a matriz de (011) tem uma linha nula e, conseqüentemente, todos os Di têm uma linha nula (e o produto é nulo);

b) - se dois diádicos são paralelos,

pois a matriz de (011) teria duas linhas proporcionais, o mesmo ocorrendo em todos os Di;

c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos diádicos fatores,

pois a matriz de (011) tem uma linha que é uma combinação linear de duas ou mais outras linhas paralelas, o mesmo acontecendo nos Di.

2ª) - Alternância. Permutando-se dois diádicos contíguos quaisquer na permutação fundamental αααα1, αααα2, ..., ααααG - 1, o produto cruzado correspondente troca de sinal.

Por exemplo, para G = 9:< >= − < >αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα1 2 3 6 7 1 2 3 6 75 4 8 4 5 8 . Pois quando se permutam dois diádicos contíguos, permutam-se duas linhas contíguas dos determinantes Di. Então, todos os Di trocam de sinal e, conseqüentemente, o produto cruzado. Essa propriedade pode ser generalizada. Se w é o número de inversões contadas entre os diádicos de um produto cruzado em relação a uma permutação fundamental, o produto cruzado correspondente troca de sinal w vezes. Então a multiplicação cruzada será comutativa para w par e anticomutativa para w ímpar. Isso significa que

No K-espaço, uma permutação circular dos fatores de um produto cruzado (de K diádicos desse espaço) muda K -2 vezes o seu sinal.

3ª) - A multiplicação cruzada é distributiva em relação à adição de diádicos,

sendo, por exemplo, para G = 9:

< >=< > + < >αααα αααα αααα αααα λλλλ µµµµ αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα λαλαλαλα αααα αααα αααα αααα αααα αααα µαµαµαµα αααα αααα1 2 4 6 1 2 4 1 2 43 7 8 3 6 7 8 3 6 7 8( + ) . Com efeito, no exemplo os elementos da 5ª linha da matriz (011) são binômios. Logo, os elementos dessa mesma linha dos determinantes Di serão binômios e estes determinantes se desdobram na soma de dois outros determinantes do grau 8, cada um se obtendo do determinante Di trocando-se nele a referida linha por uma linha de termos do binômio. Mais geralmente comprovaríamos que:

A multiplicação cruzada é uma operação linear.

Page 270: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

250 § 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

II, § 11.01

4ª) - G - 1 diádicos de um 2EG e seu produto cruzado são linearmente independentes no 2EG;

Particularmente, se, por exemplo, 8 diádicos ααααm estão expressos cartesianamente em relação às bases vetoriais positivas e* e e* na forma:

αααα m jmi

ijF= e e (m = 1, 2, ..., 8; i, j = 1, 2, 3), (06),

temos, lembrando (01), § 10.02 e (031), § 11:

< >= ∗∗αααα αααα αααα1 2

111

112

113

211

313

121

122

123

221

323

131

132

133

231

333

181

182

183

281

383

...

F F F F ... F

F F F F ... F

F F F F ... F

.... ... ... ... ... ...

F F F F ... F

8

11

12

13

21

33

| |

...

e e

e e e e e e e e e e

, (061),

devendo ser notada a inversão da posição dos índices nas díades do fator |e*e

* | no segundo membro e nas díades da primeira linha do determinante.

*

Exercício: Dar à expressão (061) uma representação utilizando a notação de Voigt (estabelecida

no §10.02). *

Consideremos agora o caso do sistema (011) em que V = G – P, P sendo a ordem de indeterminação, com P = 2. Temos então, de partida, diádicos componentes de uma base de um 2EG-2. O sistema (011) é, então:

=

− 0

...

0

0

M

...

M

M

.

...

............

...

...

G

2

1

G2-G22G12-G

G22212

G12111

εεεεααααεεεεααααεεεεαααα

ααααααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

:::

:::

:::

, (012).

Como o principal é do grau G-2, o sistema é indeterminado, admitindo (duas) infinidades de soluções porque existem duas incógnitas não principais (MG-1 e MG). Para entender essa assertiva basta imaginar calculadas as G-2 incógnitas principais (M1, M2, ..., MG-2) em função das não principais e atribuir valores arbitrários às não principais para termos uma solução para o sistema. Qualquer outra solução poderá ser obtida atribuindo-se novos valores às incógnitas não principais. Se esses novos valores não forem proporcionais aos primeiros obteremos um diádico solução não paralelo ao anterior. Geometricamente isto significa que, no 2E2 que complementa o 2EG-2 (em relação ao 2EG),

Page 271: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 251

Poliádicos - Ruggeri

existe uma infinidade de diádicos (quaisquer) ortogonais a todos os diádicos do 2EG-2 considerado; devendo-se observar, de passagem, que os diádicos do 2E2 são independentes. Como o 2E2 tem duas dimensões, concluímos que os diádicos de qualquer base de 2E2 são ortogonais aos diádicos da base considerada do 2EG-2. As mesmas considerações poderiam ser feitas para P=3, P=4 etc., ou sejam, G=V-3, G=V-4 etc.. Poderíamos agora, invertendo posições, considerar P diádicos quaisquer do 2EP (com P=2,3, ...) e definir com eles um novo produto, por exemplo, um diádico que fosse certa combinação linear de G-P dos diádicos da base εεεε*, ou quem sabe, um novo conceito. Não nos interessa explorar essas questões no momento94.

Identidades notáveis Para o caso 2EG com G = 3 (produto cruzado de dois diádicos de um 2E3, gerados do E3), considerando que:

ii

1i

i11 ) () ( εεεεεεεεααααεεεεεεεεαααααααα :: == e jj

2j

j22 ) ( ) ( εεεεεεεεααααεεεεεεεεαααααααα :: == para i,j=1,2,3,

temos, para uma base positiva:

32

22

12

31

21

11

321

322212

312111

321

21 ||||

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεεεεεεεεεεεεεαααααααα

:::

:::

:::

::: ∗∗ =>=< , (032).

Em geral, para os diádicos do 2E3, gerados do E3,

2121 αααααααααααααααα ××>≠< , (033).

Entretanto, vale aqui (para diádicos gerados do E3) a fórmula de Lagrange,

|||| |||||||||||| 212121 αααααααααααααααααααααααα =><+: , (034), que escreveremos na forma

2212

211121 |||| αααααααααααααααα

αααααααααααααααααααααααα ::::=>< , (035).

Multiplicando dupla e pontuadamente o segundo e o terceiro membros de (032), vem, ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (23, 31 e 12) e considerando que |εεεε* ||εεεε* |=1:

94 Hostetter, I. M., em Polyadic Products, Journal of Mathematics and Physics, vol. 22, 1943, mostra, definindo um "star product", como generalizar a definição de cross product de vetores introduzida por Gibbs (o. c.).

Page 272: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

252 § 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

II, § 11.01

+=><3

22

23

12

1

3222

312121

||||

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααααααααααα

::

::

::

::

2

21

22

11

1

2212

2111

12

32

11

31

1232

1131

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

::::

::::

::::

:::: ++

Desenvolvendo o produto dos determinantes correspondente à primeira parcela temos:

))(())((

))(())((

21

122211

1212

21

112111

1111

32

31

22

21

3222

3121

32

22

31

21

3222

3121

ααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεαααααααααααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

::::::

::::::

::

::

::

::

::

::

::

::

−−−−=

==

Assim, o produto é equivalente à soma dos quatro determinantes seguintes:

2212

2111

αααααααααααααααααααααααααααααααα

::

::,

))((

))((2

11212

21

1111

ααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεαααααααααααα

:::

:::− , )())((

)())((221

112

2111

11

ααααααααααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεαααα

:::

:::− ,

+))(())((

))(())((2

1121

112

21

1111

11

ααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεαααα

::::

::::,

o último deles sendo evidentemente nulo. Desenvolvendo da mesma forma os produtos relativos às duas outras parcelas obteremos expressões análogas com uma parcela comum (o primeiro dos determinantes acima). Os determinantes:

) )( (

) )( (

21

1212

21

1111

ααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεαααααααααααα

:::

:::− ,

) () (

) )( (

22

2212

22

2111

ααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεαααααααααααα

:::

:::− e

) )( (

) )( (

23

3212

23

3111

ααααεεεεεεεεααααααααααααααααεεεεεεεεαααααααααααα

:::

:::−

têm as primeiras colunas iguais e a soma deles é equivalente a um único determinante que se obtém conservando-se a primeira coluna e somando as segundas. O elemento da primeira linha e segunda coluna será então

2123

3122

2121

11 ))(())(())(( ααααααααααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεαααα ::::::: =++ .

Com a soma das outras três parcelas podemos obter resultado análogo, isso é, a segunda linha da segunda coluna vale:

2223

3222

2221

12 ))(())(())(( ααααααααααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεααααααααεεεεεεεεαααα ::::::: =++ .

Esses resultados comprovam a fórmula (035).

De (034), então, resulta, trocando-se αααα1 por αααα e αααα2 por ββββ:

),(sen |||| |||||||| 2 βα=>< ββββαααααβαβαβαβ , (036),

fórmula em tudo idêntica à norma do produto vetorial de vetores ((07), §02.05,I).

Exercício: Comprovar que de (034) podemos deduzir identidades análogas às do (§05.02,I) que são válidas para os vetores.

Page 273: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 253

Poliádicos - Ruggeri

* Calculemos agora a norma do produto cruzado múltiplo <ααααββββγγγγ> no 2E4. Tem-se:

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

||

||

εεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεεεεεεεεεεεεε

εεεε

εεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεααααεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεαβγαβγαβγαβγ

::::

::::

::::

::::

::::

::::∗

∗ =>=<

donde:

...

||||

143

143

143

143

143

143

432

432

432

432

432

432

++=><εεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

εεεεγγγγεεεεγγγγεεεεγγγγεεεεββββεεεεββββεεεεββββεεεεααααεεεεααααεεεεαααα

αβγαβγαβγαβγ:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

tal como no caso anterior, agora com determinantes de ordem 3 e, em cada parcela, ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (234, 341, 412 e 123). Por caminho idêntico ao seguido no caso anterior (num espaço de 3 dimensões) encontraríamos resultado análogo, agora apresentado na forma:

222 )(||||)(||||)(||||))()((2|||| |||| ||||

||||

ββββααααγγγγααααγγγγββββγγγγββββααααααααγγγγγγγγββββββββααααγγγγββββαααα

γγγγγγγγββββγγγγααααγγγγγγγγββββββββββββααααββββγγγγααααββββαααααααααααα

αβγαβγαβγαβγ

::::::

:::

:::

:::

−−−++

==><

, (04),

fórmula essa, válida num 2E4, correlata de (035) que é válida num 2E3. Ponhamos em evidência em (04) o produto das normas dos diádicos (§07.07), ou seja, o produto dos quadrados dos seus módulos. Nesse caso os duplos produtos pontuados poderão ser substituídos pelos co-senos dos ângulos formados pelos diádicos, sendo, então:

)CcosBcosAcos2CcosBcosAcos1(|| || |||||| 222222 +−−−=>< γγγγββββαααααβγαβγαβγαβγ .

Vê-se, pela expressão obtida e por analogia com o caso dos vetores, que o módulo do produto cruzado múltiplo dos três diádicos é equivalente ao volume do paralelotopo construído sobre as biflechas (§10.03) desses diádicos.

Ponhamos: i

iii AA εεεεεεεεαααα == , j

jjj BB εεεεεεεεββββ == e k

kkk CC εεεεεεεεγγγγ == .

Então:

ii AA|||| =αααα >0, j

jBB|||| =ββββ >0, kkCC|||| =γγγγ >0,

jji

i BABA: ==ββββαααα , kkj

j CBCB: ==γγγγββββ , iik

k ACAC: ==ααααγγγγ , (041).

Vimos que a norma do produto cruzado de três diádicos se expressa como uma soma de quatro parcelas representadas, cada uma, por produtos de dois determinantes do grau três. Lembrando que as colunas desses determinantes estão ordenadas por permutação cíclica dos índices dos diádicos de base, o referido produto pode ser escrito na forma:

Page 274: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

254 § 11 - Multiplicação dupla cruzada. Perpendicularidades.

II, § 11.01

ijkkjikjjikkji A)CBCB)(CBACBACBA(|||| −++=>< αβγαβγαβγαβγ .

Efetuando-se esses produtos e somas no segundo membro tem-se:

)ACB)(CBA()ACB)(CBA()ACB)(CBA(

)CBA)(CBA()CBA)(CBA()CBA)(CBA(

A)CBCB)(CBACBACBA(

ijkikj

ijkjik

ijkkji

kjiikj

kjijik

kjikji

ijkkjikjjikkji

−−−

++=

=−++

.

Da primeira parcela do segundo membro deduzimos:

|||| |||| ||||)CC)(BB)(AA()CBA)(CBA( kk

jj

ii

kjikji γγγγββββαααα== ;

A segunda e a terceira são iguais, pois,

)AC)(CB)(BA()AC)(CB)(BA( )CBA)(CBA()CBA)(CBA( ii

kk

jjk

kj

ji

ikjiikj

kjijik +=+

e ααααγγγγγγγγββββββββαααα :)AC()AC( e ):()CB()CB( ),:()BA()BA( i

ikkk

kjjj

jii ====== ;

logo ):)(:)(:(2)CBA)(CBA()CBA)(CBA( kji

ikjkji

jik ααααγγγγγγγγββββββββαααα=+

Agrupando na quarta parcela, deduzimos:

2kkj

ji

iijk

kji ):)(:()CB)(CB)(AA()ACB)(CBA( γγγγββββαααααααα−=−=− ;

e operando da mesma forma nas demais parcelas obtemos resultados idênticos. Em resumo, verificando-se as (041), verifica-se também a seguinte identidade com 24 letras:

)BA)(BA)(CC()AC)(AC)(BB()BC)(CB)(AA(

)AC)(CB)(BA(2)CC)(BB)(AA(

A)CBCB)(CBACBACBA(

iik

kj

jjji

ik

kk

kj

ji

i

kk

jj

iik

kj

ji

i

ijkkjikjjikkji

−−−

−+=

=−++

, (042).

Se os diádicos estão referidos a bases diádicas ortonormadas desaparece a distinção entre suas coordenadas (co-variantes, contravariantes e mistas). Isto significa que as três primeiras igualdades (041) ficam reduzidas a somas de quadrados. As demais ficam reduzidas a apenas uma expressão e poderemos dispor todos os índices num mesmo nível, sem perigo de confusão. Assim, digamos, ii BA: =ββββαααα , jjCB: =γγγγββββ e kkAC: =ααααγγγγ .

Ponhamos, nesse caso, para destacar: A1=A, A2=B, A3=C, A4=D, B1=P, B2=Q, B3=R, B4=S e C1=X, C2=Y, C3=Z e C4=W. A identidade (042) poderá, então, ser escrita na forma de uma identidade de 12 letras:

ZYXRQPCBA

YXWQPSBAD

XWZPSRADC

WZYSRQDCB

2222

=+++

Page 275: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. 255

Poliádicos - Ruggeri

++++++++++= )WZYX)(SRQP)(DCBA( 222222222222

−++++++++++ )DWZCYBXA)(DWCZQYPX))(DSCRBQAP(2

−++++++− 22222 )DWCZQYPX)(DCBA( (043).

−++++++− 22222 )WDZCYBXA)(SRQP(

22222 )DSCRBQAP)(WZYX( ++++++− .

É fácil, mas bastante trabalhoso, generalizar esses resultados para espaços de dimensões maiores.

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. Vimos (§10.03) que o número de graus de liberdade de um 2EP contido num 2EG, que passa (ou contém) um 2ER, é (P-R)(G-P). Logo, o número de graus de liberdade de uma reta (P=1) que passa por dado ponto O no G-espaço diádico (R=0) é G-1, o que significa que essa reta pode girar em torno de O, com G-1 graus de liberdade. Vimos também que o número de condições para que um 2EP e um 2EQ, ambos contidos num 2EG, se interceptem num 2ER, é (R+1)(G-P-Q+R), mas P+Q≤G+R; isso é, são necessárias G-2 condições para que duas retas de um G-espaço (G≥2) passem por um ponto dado, pouco importando o ângulo formado pelas mesmas.

Como o espaço complementar de qualquer 1-espaço (reta) contido num G-espaço tem dimensão G-1, segue-se que uma reta perpendicular a uma reta dada, no ponto O desta, pertence ao (G-1)-espaço que contém O e tem G-2 graus de liberdade. Com outras palavras diríamos que a reta do (G-1)-espaço, que passa por O, gira em torno de O, com G-2 graus de liberdade. Se o ângulo das duas retas for de um reto, diremos que a reta é ortogonal ao (G-1)-espaço. Isso justifica geometricamente: 1) - a existência do produto cruzado (diádico-área) de G-1 diádicos de um 2EG-1, diádico esse perpendicular a cada um dos diádicos fatores (§11.01); 2) – por que cada diádico de uma base é perpendicular a todos os diádicos não homólogos da base recíproca (§10.02). Consideremos agora duas retas a e b de um G-espaço, perpendiculares num ponto O. Cada uma dessas retas é ortogonal a um (G-1)-espaço, a reta a pertencendo ao (G-1)-espaço complementar de b e a reta b ao complementar de a. Para que uma terceira reta r do G-espaço seja perpendicular a a e b em O é suficiente que r esteja contida no (G-2)-espaço interseção dos (G-1)-espaços ortogonais às retas a e b. E assim sucessivamente. Isto justifica geometricamente a previsão algébrica (já referida no §11.01) da existência de G retas mutuamente perpendiculares no G-espaço diádico, ou seja, a existência de bases diádica ortogonais. P retas mutuamente ortogonais dentre G delas (mutuamente ortogonais) de um G-espaço diádico determinam um 2EP; as G-P restantes determinam um 2EG-P. Esses dois espaços diádicos, complementares, têm o ponto O em comum e, evidentemente, são tais,

Page 276: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

256 § 12 - multiplicação cruzada Dupla de G diádicos.

II, § 12

que qualquer reta de um deles, que passe por O, é perpendicular a todas as retas do outro, que passem também por O. Dois espaços que gozem dessa propriedade são ditos completamente perpendiculares. Certamente a nomenclatura "completamente ortogonais" insinua a possibilidade de ortogonalidades parciais ou graus de ortogonalidade, os quais realmente existem. A discussão dessa questão envolve referência a polares, coordenadas homogêneas, cônicas e quádrica virtuais etc., assuntos que estão fora do escopo deste livro.

Ângulo de dois espaços. No espaço diádico, o ângulo de dois 1-espaços (retas) com um ponto comum é o ângulo de dois diádicos quaisquer de base, um de cada espaço (§07.07). Consideremos um 2EP e um 2EQ com um ponto comum, O, ambos, pois, contidos num 2EP+Q (espaço soma), com P+Q≤9 e P>Q>1. Existe sempre um e um só diádico (logo, uma e uma só reta) perpendicular ao 2EP por O: o suporte do diádico produto cruzado de P quaisquer diádicos de uma base de 2EP, diádico esse que está contido num 2EP+1, isso é, contido em 2EP+Q qualquer que seja Q. Existe sempre, também, um e um só diádico perpendicular a um 2EQ: o produto cruzado de Q quaisquer diádicos de base, contido num 2EQ+1, que por sua vez está contido no 2EP+Q. Esses dois produtos diádicos, ambos pertencentes ao espaço soma, formam, pois, um ângulo, com vértice em O; esse ângulo é denominado "ângulo dos espaços" 2EP e 2EQ. Quando o ângulo de dois espaços (com ponto comum) é de um reto, os espaços são ditos "ortogonais".

Ortotopos. A existência de bases diádicas ortogonais justifica a existência de paralelotopos cujos R-espaços fronteira são ortogonais (são retas ortogonais, planos ortogonais, 3-espaços ortogonais, retas ortogonais a planos etc.). Esses paralelotopos recebem a denominação particular de ortotopos. § 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS. Se um diádico fator, ααααi , de um produto cruzado múltiplo, ππππ, de diádicos de um subespaço 2EG-1 de um espaço 2EG dado, é um segundo produto cruzado múltiplo de outros G - 1 diádicos, ββββ1, ββββ2, ..., ββββG - 1 de outro subespaço 2EG-1, então ππππ e os ββββi são linearmente dependentes porque ααααi deve ser perpendicular a ππππ e aos G - 1 diádicos ββββ1, ββββ2, ..., ββββG - 1.

Definição: Chamaremos duplo produto cruzado múltiplo, ππππ, de G - 1 diádicos αααα1, αααα2, ..., ααααG - 1 de um 2EG-1 de dado espaço 2EG, um produto cruzado múltiplo diádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado múltiplo, < ββββ1 ββββ2 ... ββββG - 1 >, de diádicos de outro 2EG-1 de 2EG.

Page 277: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 12 - Multiplicação cruzada dupla de G diádicos. 257

Poliádicos - Ruggeri

Assim, por exemplo, se ααααG - 1 é o segundo produto cruzado,

ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ=< < >>− −1 2 2 ... ... G 1 2 G 1 . A multiplicação dupla cruzada dupla de diádicos de um 2EG é a operação que tem por fim determinar um duplo produto cruzado de diádicos nesse espaço. Essa operação é, evidentemente, sempre possível e unívoca. O produto cruzado fator de um duplo produto cruzado deve ter por fatores, evidentemente, diádicos linearmente independentes de um 2EG-1, pois, do contrário, esse produto seria o diádico nulo e, conseqüentemente, seria também nulo o duplo produto.

Teor. 1:(determinante simbólico do duplo produto cruzado múltiplo) Tem-se: ∀ =< >− − −αααα αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ1 2 G 2 G 1 1 2 G 1 ... , e ... , , :

ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ=< < >>=− −1 2 G 2 1 2 G 1 ... ...

1G2G2G2G32G22G12G

1G3G2G3G33G23G13G

1G22G2322212

1G12G1312111

1G2G321

...

...

..................

...

...

...

−−−−−−−

−−−−−−−

−−

−−

−−

=

ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββββββββββββββββββ

:::::

:::::

:::::

:::::

, (01)95.

A fórmula (01) estende para o espaço diádico a clássica fórmula do duplo produto vetorial de vetores. Como o diádico ππππ e os ββββi são linearmente dependentes, podemos escrever,

ππππ ββββ= M i

i , (i = 1, 2, ..., G - 1), (A),

onde os Mi são números a determinar. Mostremos inicialmente que M1 não depende de ββββ1. Seja ββββ'1 um novo diádico e ππππ' o duplo produto cruzado:

95 Essa fórmula é a análoga de (03), § 03.02, I e de (04),§ 03.03, I.

′ =< < ′ >>− −ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ1 2 G 2 1 2 G 1 ... ... . A expressão correlata de (A) é

′ = ′ ′ + ′ + + ′ −−ππππ ββββ ββββ ββββM M ... M

11

22

G 1G 1, (B).

Page 278: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

258 § 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos.

II, § 12

Exprimamos ββββ'1 em função dos G diádicos linearmente independentes ββββ1, ββββ2, ..., ββββG - 1 e µµµµ do espaço diádico. Seja, então,

′ = +ββββ ββββ µµµµ1 N M i

i , (C),

onde ao menos um dos coeficientes é diferente de zero. Isto posto, de (C), da definição de multiplicação cruzada de G - 1 diádicos e de suas propriedades, escrevemos:

< ′ >= < > + < > +

+ < > + < >

− − −

−− − −

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ

ββββ ββββ ββββ µβµβµβµβ ββββ

1 1 1 2

2

2 G1

2 G 12

2 G 1

G 1G 1 2 G 1 G 1

... N ... N ... ...

N ... M ... ,

ou seja, calculando o duplo produto ′ =< < ′ >>− −ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ1 2 G 2 1 2 G 1 ... ... , lembrando a propriedade 1,b da multiplicação cruzada:

′ = + < < >>− −ππππ ππππ αααα αααα αααα µβµβµβµβ ββββN M ... ... 1

1 2 G 2 2 G 1 .

Por conseguinte, substituindo (B) e (A) nesta expressão, vem:

′ ′ + ′ + + ′ = + + + +−−

−−M M ... M N (M M ... M

11

22

G 1G 1

1 11

22

G 1G 1ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ )

+ < < >>− −M ... ... 1 2 G 2 2 G 1αααα αααα αααα µβµβµβµβ ββββ ,

ou, substituindo (C):

′ + + + + + ′ + + ′ =−−

−−M (N N ... N M ) M ... M

1 11

22

G 1G 1

22

G 1G 1ββββ ββββ ββββ µµµµ ββββ ββββ )

= + + + +−−N (M M ... M

1 11

22

G 1G 1ββββ ββββ ββββ ) M ... ... 1 2 G 2 2 G 1< < >>− −αααα αααα αααα µβµβµβµβ ββββ (D).

O duplo produto cruzado relativo à última parcela do segundo membro se exprime linearmente em função de µµµµ, ββββ2, ..., ββββG - 1 porque esse duplo produto é do subespaço desses diádicos (notar que não aparece nesta expressão parcela em ββββ1 ). Então os dois membros de (D) são expressões lineares dos G - 1 diádicos µµµµ, ββββ2, ..., ββββG - 1 . Como os únicos termos em ββββ1 são M'1N1ββββ1 no primeiro membro e M1N1ββββ1 no segundo, deve ser, necessariamente, M'1N1 = M1N1.

Podemos considerar N1 ≠ 0 porque, do contrário, teríamos:

′ = + + + +−−ββββ ββββ ββββ ββββ µµµµ1

22

33

G 1G 1N N ... N M .

Se escolhêssemos, então, em vez de µµµµ , o diádico µµµµ µµµµ ββββ1

1= + , teríamos:

′ = − + + + + +−−ββββ ββββ ββββ ββββ ββββ µµµµ1

11

22

33

G 1G 1N N N ... N M

1,

Page 279: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos. 259

Poliádicos - Ruggeri

e o coeficiente de ββββ1 seria diferente de zero (o que é absurdo). Então, sendo N1 ≠ 0, temos M'1 = M1 , isso é, M1 não depende de ββββ1. Similarmente provaríamos que M2 não depende de ββββ2 etc.. Ora, sendo ππππ ⊥ αααα1, αααα2, ...,ααααG - 2, escrevemos:

αααα ππππ ππππ ααααj j : := = 0, (j = 1, 2, ..., G - 2), ou seja, considerando (A):

( )αααα ββββj ii

M: = 0, (j = 1, 2, ..., G - 2; i = 1, 2, ..., G - 1), (E).

O sistema (E) tem G - 2 equações, G - 1 incógnitas (M1, ..., MG - 1) e sua matriz é

αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 G 2 G 1

1 2 G 2 G 1

G 3 1 G 3 2 G 3 G 2 G 3 G 1

G 2 1 G 2 2 G 2 G 2 G 2 G 1

: : : :: : : :

: : : :: : : :

...

...... ... ... ... ...

...

...

− −

− −

− − − − − −

− − − − − −

G

G

2

1

.

Se L é uma constante à determinar, as soluções do sistema são:

M L

... ... ... ... ... ... ...

LD1

2 3 G G 1

2 3 G G 1

G 3 2 G 3 3 G 3 G G 3 G 1

G 2 2 G 2 3 G 2 G G 2 G 1

1= =

− −

− −

− − − − − −

− − − − − −

αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

1 1 1 2 1

2 2 2 2 2

2

2

: : : :: : : :

: : : :: : : :

... ... ,

2

1G2G2G2G32G12G

1G3G2G3G33G13G

1G22G23212

1G12G13111

2 LD

...

...

...............

...

...

LM −=−=

−−−−−−

−−−−−−

−−

−−

ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

::::

::::

::::

::::

etc..

Nestas expressões, os Di, determinantes do grau G - 2, têm representações evidentes, e ao menos um deles é diferente de zero.

Levando as soluções a (A) podemos escrever ππππ na forma do pseudodeterminante de grau G - 1:

ππππ

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα

=

− −

− −

− −

− − − − − − −

L

... ... ... ... ... ... ... ...

1 2 3 G 2 G 1

1 2 3 G 2 G 1

1 2 3 G 2 G 1

G 3 1 G 3 2 G 3 3 G 3 G 2 G 3 G 1

G 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2: : : : :: : : : :

: : : : ::

...

...

ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ1 G 2 2 G 2 3 G 2 G 2 G 2 G 1 ... − − − − − −: : : :

, (F),

Page 280: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

260 § 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos.

II, § 12

desde que convencionemos desenvolvê-lo pelos elementos (diádicos) da primeira linha. O número L é independente dos ββββi, podendo ser determinado por (F) numa situação particular. Os G-1 diádicos ββββ1, ββββ2, ..., ββββG-1 constituem uma base no 2EG-1, base esta extraída da base ββββ1, ββββ2, ..., ββββG-1, ββββG de 2EG, cuja recíproca é ββββ1, ββββ2, ..., ββββG-1, ββββG. (Vale observar, de passagem, que os diádicos ββββ1, ββββ2, ..., ββββG-1 não constituem base recíproca de ββββ1, ββββ2, ..., ββββG-1 em 2EG-1).

Se >=<′ 1-G21 ... ββββββββββββππππ , então G|| ββββββββππππ ∗=′ conforme sabemos (05, § 11.01).Em relação à base ββββ* podemos escrever, agora aplicando ((03), § 11):

ππππ αααα αααα αααα ββββ ββββ ββββ=< < >>=− −1 2 G 2 1 2 G 1 ... ...

||0...000

...

..................

...

...

...

G3G1G3G33G23G13G

G21G2322212

G11G1312111

G1G321

−−−−−−

=

ββββββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββααααββββαααα

ββββββββββββββββββββ

:::::

:::::

:::::

.

Desenvolvendo o determinante acima, simplificando, lembrando que |ββββ*||ββββ*|=1 (§ 10.02) e comparando o resultado obtido com (F) concluímos que deve ser L=1. Esses resultados são válidos na hipótese de ao menos um dos Di (i = 1, 2, ..., G - 1) ser não nulo. Procuremos os resultados a que chegaríamos se todos os Di fossem nulos. Suponhamos que αααα ββββ1 0 1: ≠ . Então, para que os Di sejam nulos, deve haver ao menos uma linha da matriz do sistema (E) proporcional à primeira; se esta é a i-ésima,

H

...

1G1

1Gi

21

2i

11

1i

==== −

ββββααααββββαααα

ββββααααββββαααα

ββββααααββββαααα

:

:

:

:

:

:,

donde, então

)H( ... )H( 0)H( 1i51i21i1 ααααααααββββααααααααββββααααααααββββ −==−==− ::: .

Dois casos podem acontecer:

1°) - ΟΟΟΟαααααααα =− 1i H , e nesse caso: ou ααααi é paralelo a αααα1, ou ΟΟΟΟαααα =i se H = 0. Em qualquer um dos casos ππππ =ΟΟΟΟ;

2°) - ΟΟΟΟαααααααα ≠− 1i H , caso em que esse diádico é perpendicular aos G - 1 diádicos

ββββ1, ββββ2, ..., ββββG - 1 . Então, 1i Hαααααααα − é paralelo ao produto cruzado < ββββ1 ββββ2 ... ββββG - 1 > desses G - 1 diádicos. Se H é um número não nulo, arbitrário, temos:

Page 281: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 261

Poliádicos - Ruggeri

αααα αααα ββββ ββββ ββββi 1 1 2 G 1H H ... − = ′ < >− , ou, ΟΟΟΟββββββββββββαααααααα >=<′−− −1G211i ... HH ,

e os diádicos ααααi , αααα1 e < ββββ1 ββββ2 ... ββββG - 1 > são linearmente dependentes. Logo ππππ =ΟΟΟΟ.

Se, finalmente, todos os coeficientes dos Mi em (06) são nulos, todos os ααααi são paralelos por serem todos perpendiculares aos diádicos do conjunto ββββ1, ββββ2, ..., ββββG - 1. Mais uma vez ππππ =ΟΟΟΟ. Logo a fórmula (01) é válida em todos os casos, desde que ββββ1, ββββ2, ..., ββββG - 1 sejam linearmente independentes no subespaço a que pertencem.

Se os ββββi não fossem linearmente independentes, < ββββ1 ββββ2 ... ββββG - 1 > = ΟΟΟΟ e, obviamente, ππππ =ΟΟΟΟ. Por outro lado, nesse caso, poderíamos expressar, digamos, ββββG - 1 em função dos demais ββββ ββββ ββββ ββββG 1

1 2 G 2G 2Q Q ... Q−

−−= + + +1 2

e teríamos, para K=1, 2, ..., G -

2:

ππππ

ββββ ββββ ββββ ββββ ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββαααα ββββ αααα

=

− − − − − −

1 2 3 G 2k

k

1 2 3 G 2k

k

1 2 3 G 2k

k

G 3 1 G 3 2 G 3 3 G 3 G 2 G 3k

k

G 2 1 G

... Q

Q

Q... ... ... ... ... ... ... Q

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: : : : :

: : : : :

: : : : :

:

...

...

− − − − −2 2 G 2 3 G 2 G 2 G 2k

k ... Q: : : :ββββ αααα ββββ αααα ββββ αααα ββββ

,

determinante no qual a última coluna é uma combinação linear das demais, a primeira estando multiplicada por Q1, a segunda por Q2, ..., a penúltima por QG - 2. Logo ππππ =ΟΟΟΟ. Então, (01) é válida em todos os casos. § 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS.

Chama-se produto misto de 3≤≤≤≤G≤≤≤≤9 diádicos de um espaço diádico G-dimensional, αααα1, αααα2, ..., ααααG, nessa ordem, e indica-se por (αααα1αααα2...ααααG), o número real definido pelo duplo produto pontuado do produto cruzado dos G - 1 primeiros (que é um diádico) pelo último:

( )αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα1 2 G 1 G 1 2 G 1 G ... ... − −=< > : , (01). A operação que tem por fim determinar o produto misto de G diádicos de um espaço de dimensão G é a multiplicação mista de G diádicos. Para G = 3, lembrando (033), § 11:

321321 : )( αααααααααααααααααααααααα >=< , (011);

portanto, (01) generaliza operações e conceitos conhecidos quando aplicados a um 3-espaço. Deve ser observado que usamos a mesma notação utilizada para a representação do duplo produto misto de três diádicos definida no §07.06, embora seja, como já assinalamos,

321321 αααααααααααααααααααααααα :: ××≠>< .

Page 282: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

262 § 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

II, § 13

Lembrando que εεεε εεεεGG

: = 1, resulta logo, de ((05), § 11), num espaço diádico de

dimensão G:

|| ) ... ( G21 ∗±= εεεεεεεεεεεεεεεε , (021),

isso é:

O produto misto dos diádicos de uma base de um 2EG é igual ao módulo dessa base multiplicado por +1 ou –1 conforme ela seja positiva ou negativa.

O módulo de um base é igual, então, ao produto do modulo do diádico-área construído sobre os diádicos αααα1αααα2...ααααG-1 pelo módulo de ααααG e pelo co-seno do ângulo entre esses dois diádicos, ou seja, produto da área do paralelotopo construído sobre αααα1αααα2...ααααG-1 pela distância entre a extremidade de ααααG e esse paralelotopo. Isto sugere comparar o produto misto dos G diádicos ao "volume do paralelotopo" construído sobre os diádicos.

Como o módulo de uma base (o volume de um paralelotopo) é um número diferente de zero, concluímos, logo:

Teor. 1: A CNS para que G diádicos de um espaço de dimensão G constituam uma base é que o produto misto deles, em qualquer ordem (ou, o volume do paralelotopo construído sobre eles), seja diferente de zero.

No caso particular dos diádicos de base serem da forma

e e e e e e e e e e1

11

21

32

13

3 ... , , , , , ,

temos, lembrando ((02), § 10.02):

|| || ( ) ( ) ( )e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e∗∗ = =

11

12

33

11

12

33

11

12

33 2 ... ... ... , (022).

Analogamente,

etc. ,) ... (|||| ,) ... (|||| 2332111

23

32

11

1 eeeeeeeeeeeeeeee == ∗∗∗∗ (023).

Esses resultados, válidos também para os espaços de dimensão G, comprovam mais uma vez que a norma de uma base é um número positivo. Considerando ((03), § 11) e (021) deduzimos, imediatamente:

( ) ( ) )αααα αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε αααα1 2 3 GG k

k G ... ... D ( =1 2 3

: , (k = 1, 2, ..., G).

Ora, εεεε ααααk G : são os elementos da última linha do determinante:

∆ =

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεεαααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 G 2 G G... ... ...

...

: : :: : :

: : :

...

......

, (03),

Page 283: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 263

Poliádicos - Ruggeri

e os Dk, dados por ((021), §11) são os seus respectivos complementos algébricos. Logo,

( ) ( )αααα αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε εεεε1 2 3 GG

... ... =1 2 3

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 G 2 G G

... ... ...

...

: : :

: : :

: : :

...

...

..., (04).

Como a base é arbitrária, (04) pode ser escrita na forma

( ... ) ( ... )

...

...

... ... ...

...

G G

1 1 1G

2 2 2G

G G GG

αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

αααα εεεε αααα εεεε αααα εεεε

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

=

: : :

: : :

: : :

..., (041).

Em resumo:

Num espaço diádico de dimensão G, o produto misto de G diádicos, numa certa ordem, é igual ao produto do produto misto dos G diádicos de uma base (na sua ordem natural) pelo determinante de grau G cuja i-ésima linha e j-ésima coluna tem por elemento o duplo produto pontuado do diádico de ordem i do produto misto e o diádico de ordem j da base recíproca.

É simples comprovar-se que (04) e (041) são válidas quando as bases são conjuntos de díades do conjunto das 9 díades de bases recíprocas. Deve ser ressalvado, entretanto, mais uma vez, que com diádicos de uma base de um espaço é sempre possível a constituição de bases de espaços de dimensão menor, mas os diádicos da base recíproca do primeiro nada têm haver com os diádicos da base recíproca dos segundos. Além de ser uma operação sempre possível e unívoca, a multiplicação mista goza ainda das seguintes

Propriedades

todas facilmente demonstráveis com base no determinante (03).

1ª) - Um produto misto de G diádicos é nulo: a) - se um dos diádicos é nulo; b) - se ao menos dois diádicos são paralelos; c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos diádicos fatores.

Assim, por exemplo, é nulo o produto misto de G-1 diádicos quaisquer de um G-espaço e o diádico soma deles. Portanto tais G diádicos (os G-1 do G-espaço e o soma) são linearmente dependentes e pertencem a um espaço de dimensão menor ou igual a G-1.

2ª) - Linearidade:

( ( )) ( ) ( )αααα αααα αααα ββββ γγγγ αααα αααα αααα ββββ αααα αααα αααα γγγγ1 2 1 2 1 2 ... B C B ... C ... G 1 G 1 G 1− − −+ = + , (05).

Page 284: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

264 § 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

II, § 13

3ª) - Alternância. Um produto misto trocará de sinal ao se alternarem dois quaisquer de seus diádicos fatores contíguos.

Com efeito, quando se permutam duas filas paralelas contíguas (linhas ou colunas) de um determinante ele muda de sinal; logo o produto misto troca de sinal.

Conforme (04), o sinal do produto será alternado tantas vezes quantas se alternar o sinal do determinante do segundo membro. Assim, como levar-se o primeiro fator para o último posto equivale a fazer-se da primeira linha do determinante sua última linha - caso em que o determinante troca de sinal G - 1 vezes - resulta:

Num espaço de dimensão G, uma permutação cíclica dos fatores muda G - 1 vezes o sinal do produto misto.

Valem, pois, as seguintes fórmulas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα

1 2 3 2 3 1

3 1 2 3 1 2

1

1

... ...

... ...

G 1 G G 1 G 1 G

2(G 1) G 1 G G 1 G

− − −

− − −

= − =

= − = =

= − =

= −

− −

− −

( ) ( )

( ) ( )

1

1

4 1 2 3

4 1 2 3

3(G 1) G 1 G

G 1 G 1 G

...

... ...

αααα αααα αααα αααα αααα αααα

αααα αααα αααα αααα αααα αααα, (06).

Particularmente, podemos enunciar:

Nos espaços de dimensão ímpar o produto misto de G diádicos é invariante numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal.

Teor. 2: São números recíprocos os produtos mistos dos diádicos homólogos de bases recíprocas:

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε∗

∗ ⇔ = e ( ... )( ... ) 1GG

1 21 2

, (07).

Pois sendo inversas as matrizes associadas a bases recíprocas (Teor. 6, § 10.02), inversos ou recíprocos são também os seus determinantes, isso é, as normas e os módulos dessas bases. Agora, de (021), deduzimos (07) facilmente.

Teor. 3: ∀ = ∗

∗G > i 1,2 , . . . , G , , :εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεi

i(G 1)i 1 i 2 G i 2 i 1

1 2 i 1 i i 1 G... ...

... ... = − < >−

+ + − −

− +( )( )

,11

Page 285: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 265

Poliádicos - Ruggeri

εεεεεεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεj j(G 1) j j 2 G j 2 j 1

j 1 j j 1 G

... ...

... ... = −

< >− + + − −

− +( )

( )1

1 1

1 2

, (08).

Consideremos por exemplo a expressão

( )εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 ... ... G G=< > : . O primeiro membro é diferente de zero porque, por hipótese os diádicos constituem uma base. Então

14 5 1 2

4 5 1 2 33= < >εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεεεεε ...

...

G

G( ): .

Pelas propr. 3ª) podemos escrever:

1 14 5 1 2

1 23= − < >−( )

( )3(G 1)

G

G ...

... εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεεεεεε: ,

e pelo Teor. 5, § 10.02,

εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεεεεε εεεε εεεε3

4 5 1 2

1 21= − < >−( )( )

3(G 1)G

G ...

... ,

ou seja, a fórmula (08) é válida para i = 3. Analogamente podemos comprovar que ela é válida para todos os valores de i, desde 1 até G. Deve ser observado, porem, na aplicação da fórmula, que: 1°) - quando o índice de um diádico superar o valor G, deve-se subtrair-lhe G unidades; 2°) - não existe índice zero, nem índice negativo.

Da expressão (08) deduzimos logo, após transposições convenientes:

δ ji i 1 i 1 G

j 1 j 1 G ... ... ... ... =< > < >− +

− +εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε1 21 2

: , (081).

Com efeito, consideremos o produto pontuado duplo de (08)1 por (08)2, cujo resultado é δi

j. O produto dos denominadores é efetivamente igual a 1, uma vez que dentro dos parênteses aparecem todos os G diádicos correspondentes das bases recíprocas. O produto cruzado de G - 1 dos G diádicos de bases,

< >+ + − −εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεi 1 i 2 G i 2 i 1... ...1 (em que falta o diádico εεεεi) troca de sinal G - 1 vezes quando passamos o último diádico para o primeiro posto. Como temos i - 1 diádicos após εεεεG , podemos escrever:

< >= − < >+ + − − − − − +εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεεi 1 i 2 G i 2 i 1 (i 1)(G 1) 1 2 i 1 i 1 G... ... ... ... 1 1( ) Escrevendo expressão análoga para o fator

Page 286: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

266 § 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

II, § 13

< >+ + − −εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε εεεε

j j 2 G j 2 j 1... ...

1 1,

e multiplicando dupla e pontualmente as expressões obtidas encontramos facilmente (081) pois o expoente de (-1) nesse produto,

i(G 1) (i 1)(G 1) j(G 1) + (j 1)(G 1) 2(i j 1)(G 1),− + − − + − − − = + − − é um número par quaisquer que sejam i,j e G.

Teor. 4: Se G diádicos αααα1, αααα2, ..., ααααG são expressos na base εεεε*, na forma cartesiana

αααα εεεεr r ii

M= , (i, r = 1, 2, ..., G),

então,

( ) ( )αααα αααα αααα εεεε εεεε εεεε1 21 2

... M ... GG

= , (09),

onde

M

M M ... MM M ... M... ... ... ...

M M ... M

11 12 1G

21 22 2G

G1 G2 GG

= , (091).

Com efeito, pois é M ri r i= αααα εεεε: , e a expressão (09) não difere de (04), nem (03) de (091).

Corol. 1

G21G21 ..., ,, e ..., ,, ψψψψψψψψψψψψφφφφφφφφφφφφ∀ de um mesmo G-espaço,

( ... )( ... )

GG

1 1 1G

2 2 2G

G G GG

φφφφ φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ ψψψψ

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψφφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψ

1 21 2

1 2

1 2

1 2

=

: : :

: : :

: : :

...

...... ... ... ...

...

, (092).

Para demonstrar, lembremo-nos inicialmente de que um determinante não se altera se trocarmos suas linha pelas correspondentes colunas. Então, multipliquemos membro a membro (04) por (041) trocando previamente em (04) ααααi por φφφφi , e em (041) ααααi por ψψψψi e as colunas pelas linha correspondentes. Conforme o Teor. 2, o produto dos produtos mistos dos diádicos de bases recíproca vale 1. O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto dos determinantes é dado por

( )( ) ( )( ) ( )( )φφφφ εεεε εεεε ψψψψ φφφφ εεεε εεεε ψψψψ φφφφ εεεε εεεε ψψψψi1

1j

i2

2j

iG

Gj

... : : : : : :+ + + .

Page 287: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 267

Poliádicos - Ruggeri

Aplicando propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos e considerando (08), § 10.02, a expressão acima pode ser escrita na forma

[( )φφφφ εεεε εεεε ψψψψ φφφφ ψψψψik

kj

ij

] : : := ,

o que conclui a demonstração.

Teor. 5: Se, em relação a uma base εεεε* de um 2EG, G - 1 diádicos ..., , , 21 φφφφφφφφ são

expressos na forma cartesiana

φφφφ εεεεr r ii

M= , (r = 1, 2, ..., G - 1; i = 1, 2, ..., G),

então tem-se, para expressão do produto cruzado dos G - 1 diádicos:

< >=−

− − −

φφφφ φφφφ φφφφ εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε

1 21 2

1 2

... ( ... )M M ... M

... ... ... ...

M M ... M

G 1G

G

11 12

1G

(G 1) 1

(G 1) 2

(G 1) G

...

, (10).

Com efeito, tal como na demonstração do teorema anterior, a expressão (10) não difere de ((031), § 11) porque irir M εεεεφφφφ := e ||)...( G21 ∗±= εεεεεεεεεεεεεεεε .

Corol. 1:

∀ − ∗∗φφφφ φφφφ φφφφ εεεε εεεε1 2, , , ... , e :G 1

< >=−

− − −

φφφφ φφφφ φφφφ εεεε εεεε εεεε

εεεε εεεε εεεε

φφφφ εεεε φφφφ εεεε φφφφ εεεε

φφφφ εεεε φφφφ εεεε φφφφ εεεε

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

... ( ... ) ...

... ... ... ...

...

G 1 G

G1 1 1

G

G 1 G 1 G 1G

...

: : :

: : :

, (11),

expressão esta, homóloga de ((031), § 11).

Teor. 6: (invariância do produto misto) É um invariante o produto misto de (ou o volume do paralelotopo construído sobre) G diádicos de um 2EG.

Com efeito, denotemos os produtos mistos de G diádicos φφφφ1, φφφφ2, ..., φφφφG, calculados em relação às bases recíprocas εεεε*, εεεε* e µµµµ*, µµµµ*, por (φφφφ1φφφφ2 ... φφφφG)ε e (φφφφ1φφφφ2 ... φφφφG)µ. Temos, conforme (03) e (04):

Page 288: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

268 § 13 - Multiplicação mista de G diádicos.

II, § 13

GG

2G

1G

G2

22

12

G1

21

11

G21G21

... ............ ... ...

) ... () ... (

εεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφ

εεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφ

εεεεεεεεεεεεφφφφφφφφφφφφ εεεε

:::

::::::

= ,

GGG2G1

2G2221

1G1211

G21G21

...............

...

...

) ... () ... (

µµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφ

µµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφ

µµµµµµµµµµµµφφφφφφφφφφφφ µµµµ

:::

::::::

= .

Multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por (µµµµ1µµµµ2 ... µµµµG) e aplicando (092), vem:

.

:::

::::::

... ............ ... ...

) ... () ... (

GG2G1G

G22212

G12111

G21G21

εεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµ

εεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµεεεεµµµµ

µµµµµµµµµµµµφφφφφφφφφφφφ εεεε =

GG

2G

1G

G2

22

12

G1

21

11

... ............ ... ...

φφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεε

φφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεεφφφφεεεε

:::

::::::

. .

Tem-se, ainda, aplicando (092):

... ............ ... ...

) ... () ... (

GG2G1G

G22212

G12111

G21G21

φφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµ

φφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµφφφφµµµµ

µµµµµµµµµµµµφφφφφφφφφφφφ µµµµ

:::

::::::

= .

Ora, o produto dos determinantes do segundo membro da primeira igualdade é igual ao determinante do segundo membro da segunda igualdade, pois o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna desse produto é

( )( ) ( )( ) ( )( )µµµµ εεεε εεεε φφφφ φφφφ εεεε εεεε φφφφ µµµµ εεεε εεεε φφφφi 11

j i 22

j i GG

j ... : : : : : :+ + + ,

ou melhor, evidenciando e mais uma vez considerando ((08), § 10.02):

jijr

ri ]) [( φφφφµµµµφφφφεεεεεεεεµµµµ ::: = .

Isto posto, igualando os primeiros membros e cancelando o fator comum, concluímos:

µµµµεεεε φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ )...()...( G21G21 = ,

ou seja, o produto misto de G diádicos independe das bases em relação às quais é calculado, sendo pois, um invariante.

Page 289: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 269

Poliádicos - Ruggeri

Produto misto de nove diádicos dados em forma cartesiana.

Se nove diádicos αααα

m i estão expressos na formas cartesianas

αααα

m i

j m k i j

kA = e e (m, i, j, k = 1, 2, 3),

às quais correspondem as matrizes

i 3 m 3

i 2 m 3

i 1 m 3

i 3 m 2

i 2 m 2

i 1 m 2

i 3 m 1

i 2 m 1

i 1 m 1

AAA

AAA

AAA

, (12),

então,

( ) ( )

... ... ...

.αααα αααα αααα αααα αααα1 1 1 2 3 1 2 3 1 3

1 1 1 1

1 1 2 1

1 1 3 1

2 1 1 1

3 1 3 1

1 1 1 2

1 1 2 2

1 1 3 2

2 1 1 2

3 1 3 2

1 1 1 3

1 1 2 3

1 1 3 3

3 1 3 3

1 2 1 1

3 2 3 1

1 3 1 3

1 3 2 3

1 3 3 3

2 3 1 3

3 3 3 3

...

A A A A ... A

A A A A ... A

A A A ... ... A

A ... ... ... ... A

... ... ...

A A A A ... A

= ∗∗e e , (121).

Para comprovarmos esta fórmula basta aplicar (03) e (04) para o caso particular em que G = 9 e fazer εεεε εεεε

1 11

12 ...= =e e e e, ,

2, αααα αααα αααα αααα

1 1 1 1 2 2 ...= =, , .

Se fosse

ααααm i

m jk i

j kA = e e (m, i, j, k = 1, 2, 3),

seria

( ) ( )

... ... ...

αααα αααα αααα αααα αααα1 1 1 2 3 1 2 3 1 3

111 1

112 1

113 1

133 1

111 2

112 2

113 2

133 2

111 3

311 3

312 3

313 3

333 3

...

A A A ... A

A A A ... A

A ... ... ... ...

... ...

A A A ... A

= ∗ ∗e e , (122).

Outras fórmulas análogas poderiam ser deduzidas. Tanto em (121) como em (122) e nas análogas, a regra para escrever-se o produto misto quando os diádicos são dados em forma cartesiana é bem clara. O determinante pode ser imaginado subdividido em três blocos horizontais de três linhas cada um e três blocos

Page 290: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

270 § 14 - Permutador a vários índices.

II, § 14

verticais de três colunas cada um. Os blocos verticais correspondem a j = 1, j = 2 e j = 3; os blocos horizontais a m = 1, m = 2 e m = 3. No j-ésimo bloco vertical, à primeira coluna corresponde o índice k = 1, à segunda, o índice k = 2 e à terceira, o índice k = 3. Analogamente, no m-ésimo bloco horizontal, à primeira linha corresponde o índice i = 1, à segunda, o índice i = 2 e à terceira, i = 3. Isto significa, em resumo, que a primeira linha do determinante é composta com as coordenadas do diádico αααα1

1; a segunda linha com as coordenadas de αααα12 etc.. Os três

primeiros elementos de cada linha formam precisamente a primeira linha da matriz (12) associada ao diádico; os três seguintes formam a segunda linha e os três últimos a terceira linha.

Podemos escrever sinteticamente, sem perigo de erro:

( ) ( )| |αααα αααα αααα αααα αααα1 1 1 2 3 1 2 3 1 3

... A= ∗

∗ ∗ ∗∗ ∗e e , (13),

( ) ( )| |αααα αααα αααα αααα αααα1 1 1 2 3 1 2 3 1 3

... A= ∗ ∗ ∗

∗∗ ∗e e , (131),

análogas,

( ) ( )| |αααα αααα αααα αααα αααα11 12 13 21 33

... A

= ∗ ∗ ∗∗∗∗e e , (14),

|A|)() ... (

3321131211 ∗∗∗∗

∗∗= eeαααααααααααααααααααα , (141)

e outras.

Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma cartesiana.

No espaço diádico simétrico as representações (14), (141), assumem formas particulares porque, em primeiro lugar, o número de diádicos fatores é, no máximo 6 (o produto de sete quaisquer é sempre nulo); em segundo lugar, os duplos índices podem ser substituídos por um único (notação de Voigt). Assim, o produto misto de 6 diádicos simétricos pode ser representado pelo determinante da matriz ((15), §10.02). No caso espaço diádico anti-simétrico (que tem até três dimensões) é fácil comprovar que o produto misto de três diádicos quaisquer é igual a um oitavo do produto misto dos vetores desses diádicos, ou, o que é o mesmo, igual a um oitavo do determinante ((17), §10.02). § 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES.

Seja αααα αααα αααα1 2, , ... , G a seqüência fundamental de um conjunto de G ≤ 9 diádicos. O produto misto desses diádicos em qualquer ordem pode ser expresso em função do produto misto ( )αααα αααα αααα1 2 ... G da seqüência fundamental com a introdução de um símbolo, mediante a seguinte

Definição: (permutador) Chama-se permutador a G índices (G ≤ 9), e representa-se por ε εij ... m

ij ... m ou , um símbolo com G índices num mesmo nível tal, que ao se

atribuírem a todos os índices os valores 1, 2, ..., G, esse símbolo valha zero se dois dos índices são iguais, + 1 se for par o número de inversões contadas

Page 291: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 14 - Permutador a G índices. 271

Poliádicos - Ruggeri

entre os índices considerando como fundamental a seqüência 1, 2, 3, ..., G; e - 1 se esse número for ímpar:

εεεεij ... m

dois índices iguais1, nú mero par de inversões , nú mero ímpar de inversões,

=== += −

0,

1 (01).

O permutador com apenas um índice vale sempre + 1. O permutador a G índices amplia o conceito de permutador já estabelecido para G ≤ 3 no § 04.02, I. Então, evidentemente:

( ) ( )αααα αααα αααα αααα αααα ααααi j m ij ... m 1 2 G ... ... = ε , (02). Ora, por definição,

( )αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα ααααi j k m i j k m

G fatores

... ... =< > :1 244 344 .

Então, considerando (02) deduzimos,

< >αααα αααα αααα ααααi j k m ... : = ε ij ... m 1 2 G ... ( )αααα αααα αααα , (021). Se ( )αααα αααα αααα1 2 G ... ≠ 0 o conjunto admite recíprocos. Então, pós justapondo ααααm a ambos os membros de (021), somando em m (de 1 até G) e lembrando o Teor. 7, § 10.02, concluímos: ( ) ,2,αααα αααα αααα1 2 G ... , i, j, ... , k, m ... , G ≠ = ⇒0 1

⇒ < >−

...

i j k

G 1 fatores

αααα αααα αααα1 24 34

...

G índices

ij ... km 1 2 Gm

678

= ε ( )αααα αααα αααα αααα, (03).

Analogamente, podemos escrever: ( ) ,2,αααα αααα αααα

1 20 1 ... , i, j, ... , k, m ... , G

G≠ = ⇒

...

fatores 1G

usr 43421−

><⇒ αααααααααααα321

índicesG

mG21um ... rs ) ... ( ααααααααααααααααε=

, (04).

As fórmulas (03) e (04) estendem aos espaços diádicos de G dimensões as fórmulas (03) e (04), § 04.02, I, válidas para os espaços dos vetores de até 3 dimensões. Particularmente, para G = 3, vimos (§10.02, Notas) que se tem (em geral):

Page 292: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

272 § 14 - Permutador a G índices.

II, § 14

jiji αααααααααααααααα ×

×>≠< ;

da mesma forma,

kjikji ) ( αααααααααααααααααααααααα ××

××>≠< .

Teor. 1: (generalização do determinante de Gram) Tem-se, para dois conjuntos de G índices, i, j, ..., p e r, s, ..., q, cada índice variando de 1 a G:

ε ε

δ δ δδ δ δ

δ δ δ

ij ... kprs ... uq

ri

si

qi

rj

sj

qj

rp

sp

qp

i j k pr s u q

...

... ... ... ...

...

... ... = =

...

( )( )αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα , (05).

Pois, pós-multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (03) por ααααp, os de (04) por ααααq, multiplicando membro a membro as expressões obtidas e lembrando ((07), § 13), deduzimos:

( )( )αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα ααααi j k pr s u q

ij ... kprs ... uq ... ... = ε ε .

Aplicando ((092),§13) para o cálculo do produto indicado no primeiro membro encontramos o determinante de (05).

O determinante (05), equivalente a um produto de permutadores a vários índices, generaliza os correspondentes a ((07), § 04.02, I).

Definição: (determinante de Gram) Os determinantes da forma (05) são denominados determinantes de Gram nos seus respectivos espaços.

Corol. 1:(produtos de permutadores) Tem-se, para i, j, ...p, r,s, ..., q ..., G:= 1,2,

... ...

G índices

ij ... kprs ... up

i j kr s u

G índices G 1 fatores G 1 fatores

ε ε =< > < >=

− −

αααα αααα αααα αααα αααα αααα:123 1 24 34 1 24 34

δ δ δδ δ δ

δ δ δ

ri

si

ui

rj

sj

uj

rk

sk

uk

...

... ... ... ...

...

...

, (06);

expressão que estende aos diádicos a fórmula ((071), § 04.02, I).

Page 293: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 14 - Permutador a G índices. 273

Poliádicos - Ruggeri

Os dois primeiros membros de (06) são conseqüência imediata do duplo produto pontuado de (03) por (04). Desenvolvendo (05) pelos elementos da última coluna, onde se faça q = p, vem:

ε εij ... kprs ... up

ri

si

pi

rj

sj

pj

rp

sp

pp

2G pp

ri

si

ui

rj

sj

uj

rk

sk

uk

...

... ... ... ...

...

...

... ... ... ...

...

= = − +

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

...

( )

...

1

...

... ... ... ...

...

... ...

...

...

2G 1 pk

ri

si

ui

rj

sj

uj

rp

sp

up

G 2 pj

ri

si

ui

rk

sk

uk

rp

sp

up

+ − + + − +− +( )

...

( )

...

... ... ...1 1δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

...

...

...

G 1 pi

rj

sj

uj

rk

sk

uk

rp

sp

up

+ − +( )

...

... ... ....1 δ

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

Seja ∆ o complemento algébrico (co-fator) de δp

p:

∆ =

δ δ δδ δ δ

δ δ δ

ri

si

ui

rj

sj

uj

rk

sk

uk

...

... ... ... ...

...

...

.

A última parcela da soma indicada representa uma soma (em p) de determinantes cujos coeficientes são todos nulos exceto quando p = i. Então, substituindo-se p por i nesse determinante e deslocando-se a última linha para a posição de primeira linha, o valor do determinante se conserva em módulo e muda de sinal G - 2 vezes; ou seja, esse determinante vale (- 1) G+1+G-2 ∆ = - ∆. Por iguais motivos a penúltima parcela vale (- 1) G+2+G-3 ∆ = - ∆, já que devemos fazer da última linha uma segunda linha (e o determinante muda de sinal G - 3 vezes); e assim sucessivamente para todas as parcelas, iguais a - ∆. A primeira das G primeiras parcelas vale G . ∆, pois δp

p = G. Logo:

ε εij ... kprs ... up

G G= − − =[ ( )]1 ∆ ∆ ,

o que conclui a demonstração do teorema.

Page 294: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

274 § 14 - Permutador a G índices.

II, § 14

Para o caso G = 2 (diádicos de um 2E2), temos:

ε ε ε εijrj

ir (i, r, j 1,2)= = .

Mas aplicando ((07), § 04.02, I) para o caso G = 2, temos:

ε εδ δ

δ δδ δ δ δij

rj

ri

ji

rj

jj r

i ji

rj

ri (i, r, j 1,2)= = − = =2 , (07),

pois δjj = 2. Resulta, então:

ε ε δi

r ri i j

r ji

r < > (i, r, j 1,2)= =< > = =αααα αααα αααα αααα αααα αααα: : , (071).

Para o caso G = 3 (diádicos de um 2E3) temos, aplicando sucessivamente as ((07), (071), § 04.02, I): 1°) -

1,2,3) sj,r,(i, < >

><

srji

ksrkji

rsij

rskijk

==<

=>=<εε=εε

αααααααααααααααα

αααααααααααααααααααααααα

:

:, (08);

2°) -

ε ε δijkrjk

i j kr j k r

i ir

< > (i, r 1,2,3)=< > = = =αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα αααα: :2 2 , (09);

3°) -

ε εijkijk

i j ki j k

< > (i, j, k 1,2,3)=< > = =αααα αααα αααα αααα αααα αααα: 6 , (10).

Para o caso G = 4, temos: 1°) - :4,3,2,1ts,r,k,j,i, Para =

ε ε ε ε

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

ijkmrstm

ijkrst

i j kr s t

ri

si

ti

rj

sj

tj

rk

sk

tk

< >= =< > =αααα αααα αααα αααα αααα αααα: , (11);

2°) - Fazendo k = t em (11)

ε ε ε ε ε εδ δ

δ δijkm

rskmijk

rskij

rs

ri

si

rj

sj

(i, j, r, s= = = =, ,2,3,4)1 , (12);

3°) - Fazendo j = s em (12), temos:

ε ε ε ε δijkmrjkm

ijrj r

i (i, j, k, m, r= = =3 1, ,2,3,4), (13);

Page 295: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 15 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico. 275

Poliádicos - Ruggeri

4°) - Finalmente,

ε ε δijkmijkm i

i (i, j, k, m= = × = =3 3 4 12 1, ,2,3,4), (14);

Genericamente, o produto de dois permutadores a G índices, com todos os índices correspondentes repetidos, vale G (G - 1):

ε εijk ... mijk ... m

(G 1)G (i, j, k, ... , m G= − = 1,2, ... , ), (15).

Se apenas G - 1 dos índices correspondentes são repetidos o produto vale G - 1 vezes os deltas de Kronecker com os índices não repetidos:

ε ε δijk ... mrjk ... m r

i(G 1) (i, j, k, ... , m, r G= − = 1,2, ... , ), (16).

Daí em diante pode aplicar-se a fórmula (07), isso é, se G - 2 dos índices correspondentes são repetidos, o produto vale o produto dos permutadores com os dois índices não repetidos:

ε ε ε εδ δ

δ δijk ... m

rsk ... mij

rs

ri

si

rj

sj

(i, j, k, ... , m, r, s G= = = 1,2, ... , ), (17);

e assim sucessivamente. § 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO.

Projeção qualquer. Vamos, agora, estender as operações de projeção do espaço dos vetores ao espaço dos diádicos. Quando se faz projeção, projeta-se um elemento geométrico desde um segundo elemento sobre um terceiro elemento. O elemento a projetar pode ser um ponto, uma reta, um plano, um P-espaço qualquer, que se vai projetar desde um espaço qualquer (um ponto, uma reta, etc.) sobre um outro espaço qualquer. A união do elemento em projeção com o elemento desde o qual se projeta chama-se espaço projetante.

Assim, num 2EG, a projeção de um ponto P, desde um segundo ponto C (o centro de projeção), sobre um 2EG-1 (o espaço de projeção), π, que não contenha C, é o ponto de interseção da reta (projetante) PC com π. A projeção de uma reta r que não contém C, sobre o 2EG-1 é a reta interseção do plano α, definido por C e r (plano projetante), com o 2EG-1.

De um modo geral,

a projeção de um 2EP que não contém um ponto C, desde esse ponto, sobre um 2EG-1 (P<G-1), é o 2EP segundo o qual o projetante 2EP+1 (definido por C e 2EP), corta o 2EG-1.

Com efeito, pois o 2EP+1 e o 2EG-1, ambos contidos no 2EG, devem ter em comum um

2EP+1+G-1-G, ou seja, um 2EP. Quando o 2EP contém o ponto C, a projeção é um 2EP-1.

Page 296: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

276 § 15 – Projeções no espaço diádico.

II, § 15

Nesta concepção de projeção cada elemento tem uma única projeção, mas a dada

projeção 2EP em um espaço de projeção pode corresponder qualquer 2EP que pertença ao 2EP+1 que aquele define com C.

Seja um 2EG-2 o espaço de projeção. Se o centro de projeção é uma reta s (o eixo da projeção) que não deve interceptar 2EG-2, um ponto P tem por projeção o ponto P' segundo o qual o projetante (plano) Ps intercepta o 2EG-2 (a dimensão do espaço é 2+G-2-G). Em geral,

a projeção de um 2EP, desde uma s que não intercepte certo 2EG-2, sobre esse 2EG-2, é o 2EP segundo o qual o projetante 2EP+2 corta o 2EG-2.

Seja o espaço de projeção um 2ES e adotemos como eixo de projeção um 2EG-(S+1) que não corte 2ES. Então, a projeção de um ponto P é o ponto segundo o qual o projetante 2EG-S (definido por P e 2EG-(S+1)) corta 2ES. Em geral,

a projeção de um 2EP sobre um 2ES (P<S), segundo um 2EG-(S+1) que não corta um 2ES, é o 2EP segundo o qual o 2EG-S+P definido por 2EP e 2EG-(S+1), corta o 2ES.

Se o 2EP corta o 2ES segundo um 2ER-1 a projeção é um 2EP-R (um ponto, se P=R; uma reta, se P=R+1 etc.).

Projeção paralela. A projeção de um subespaço 2EP sobre um outro subespaço 2ES é dita paralela se o eixo de projeção é um 2EG-(S+1) impróprio (§10.05), e a região imprópria de 2ES não intercepta a do 2EG-(S+1) impróprio.

Os 2EG-S que projetam pontos são todos completamente paralelos um ao outro. Como o 2EG-(S+1) impróprio esta contido no espaço impróprio, a projeção de qualquer elemento impróprio é um elemento impróprio. Se um 2EP e um 2EQ (com P≥Q) não têm ponto em comum e são paralelos do grau (R+1)/Q - logo eles se interceptam segundo um 2ER impróprio - suas projeções sobre um 2ES (com S> P≥Q) são também paralelas do grau (R+1)/Q. Por isso, a projeção de um paralelotopo é um paralelotopo. Consideremos a expressão cartesiana do vetor v, i

iV ev= . É óbvio que a projeção

(paralela) da extremidade V do vetor v (um 2E0, P=0) sobre o plano 12 (um 2E2, S=2), segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o eixo 3 (uma paralela ao eixo 3), é a extremidade do vetor 3

3 V ev− (um 2E0) segundo o qual a reta (2E3-2+0) definida por V (2E0)

e pelo ponto (2E3-(2+1)) impróprio (ou seja, a paralela), corta o plano 12 (2ES). Por isso o vetor 3

3 V ev− pode ser dito a projeção de v paralelamente a e3.

Analogamente, consideremos um diádico φφφφ dado em forma trinomial, i

i ea=φφφφ , na

base vetorial e*, ou em forma cartesiana, jiijA ee=φφφφ com j

iji A ea = . A projeção da

extremidade F do diádico φφφφ (um 2E0, P=0) sobre o 8-espaço (S=8) definido pelos diádicos de base local e1e2, e1e3, e2e1, ..., e3e3), segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o eixo e1e1 (uma paralela a esse eixo), é o ponto extremidade do diádico 11

11A ee−φφφφ segundo

o qual a reta (2E9-8+0) definida por F (um 2E0) e pelo ponto (2E9-(8+1)) impróprio, corta o 8-

Page 297: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico. 277

Poliádicos - Ruggeri

espaço (023...9). Esse diádico é a projeção do diádico φφφφ nas condições especificadas. A matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao referencial global, é mesma de φφφφ com exceção do elemento de índices 11 que é nulo.

Da mesma forma, a projeção da extremidade F de φφφφ sobre o 7-espaço (S=7) de

base local e1e3, e2e1, ..., e3e3, segundo o 2E1 impróprio (reta) que não corta o plano (2E2) e1e1, e1e2 (logo, uma paralela a esse plano), é o ponto extremidade do diádico

)AA( 2112

1111 eeee +−φφφφ segunda o qual o plano (2E9-7+0) definido por F (um 2E0) e pelo reta

(2E9-(7+1)) imprópria, corta o 7-espaço (034...89). Esse diádico é a própria projeção de φφφφ nas condições especificadas. A matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao referencial global, é a mesma de φφφφ com exceção do elemento de índices 11 e 12 que são nulos. E assim sucessivamente.

Merece destaque a projeção (da extremidade) de φφφφ sobre o subespaço de base local e2e2, e2e3, e3e2, e3e3, paralelamente ao subespaço de base local e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1, base essa de cujas díades o vetor e1 é antecedente ou conseqüente. Essa projeção é o diádico planar 3

32

21

1 eaeaea +=−φφφφ (já escrito em forma binomial) que tem por matriz associada,

na base global, a mesma de φφφφ com zeros na primeira linha e na primeira coluna.

Invertendo-se os espaços de projeção e eixo de projeção, comprovaríamos que a matriz associada à projeção de φφφφ sobre o subespaço de base local e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1 paralelamente ao subespaço de base local e2e2, e2e3, e3e2, e3e3 é a mesma de φφφφ, exceto pelos elementos não pertencentes à primeira linha e primeira coluna que são todos nulos. As matrizes 2x2 associadas aos diádicos projeção planares, relativas ao referencial local, poderão ser degeneradas ou não, caso em que os diádicos correspondentes serão completos ou não, respectivamente.

Esses conceitos serão utilizados no Cap. IV quando do estudo dos auto sistemas de um poliádico (§ 13, IV).

Nota: A projeção ortogonal é uma projeção paralela cujo eixo de projeção (impróprio) só pode ser definido (a rigor) com a utilização de operações entre diádicos e tetrádicos que serão estudadas no § 09.03 do Capítulo IV.

⇒⇒⇒⇒ § 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO.

Na Geometria Analítica do Espaço Diádico (doravante, sintetizado por GAED), como na sua correlata do espaço dos vetores (GAEV) - pesquisam-se as propriedades projetivas (ou gráficas) e métricas das suas figuras. Propriedade é uma proposição que enuncia, para uma determinada figura, algo que se mantenha invariante para qualquer mudança de sistema de referência, i.e., universal. Os vetores e os diádicos, em geral, são entidades cuja existência independe de sistemas de referência; o que significa que equações envolvendo vetores e diádicos são universais. Um desenvolvimento amplo da GAED requer uma quantidade de espaço bem maior que a correspondente dos vetores, razão pela qual faremos aqui alusão a apenas alguns aspectos.

Page 298: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

II, § 16.01

278

§ 16.01 – Espaços opostos nos simplex.

Na GAEV qualquer ponto do espaço estará referido a um simplex (final do § 10.04) de 4 pontos; na GAED, qualquer ponto estará referido a um simplex de 10 pontos. Na GAEV a todo ponto corresponde um espaço (triângulo) oposto e a cada lado, um lado oposto. Na GAED essa correspondência multiplica-se assustadoramente. Num 2EG (definido por um simplex de G+1 pontos, G≤9) o 2EJ-1 (definido por J quaisquer dentre os G+1 pontos dados) é oposto ao 2EG-J definido pelos (G+1-J) pontos restantes. Assim, se G é

ímpar, G=2F-1 para F=1, 2, ..., existem F conjuntos de J1GC + , ou J

1GC2

1+ , pares de 2EJ-1

opostos a 2EG-J, conforme seja J≠F, ou J=F, respectivamente. Se G é par, G=2F, existem F conjuntos de J

1GC + pares de 2EJ-1 opostos a 2EG-J. O quadro apresentado a seguir mostra a

quantidade de pares de espaços opostos.

Quantidade de pares de espaços opostos de dimensões J-1 e G-J G F\ J 1 (ponto) 2 (reta) 3 (plano) 4 (3-espaço) 5 (4-espaço) Total 1 1 1 Unilinear 1

2 1 (reta) 3 Linear 3

3 2 (plano) 4 (reta) 3 Anti-simétrico, Uniplanar 7

4 2 (3-espaço) 5 (plano) 10 Argand 15

5 3 (4-espaço) 6 (3-espaço) 15 (plano) 10 31

6 3 (5-espaço) 7 (4-espaço) 21 (3-espaço) 35 Simétrico 63

7 4 (6-espaço) 8 (5-espaço) 28 (4-espaço) 56 (3-espaço) 35 Antitriangular 127

8 4 (7-espaço) 9 (6-espaço) 36 (5-espaço) 84 (4-espaço)126 Planar 255

9 5 (8-espaço) 10 (7-espaço) 45 (6-espaço)120 (5-espaço)210 (3-espaço)126 411

Na GAEV um dos pontos de um 5-ponto deve ser necessariamente um ponto variável, o ponto móvel do espaço, os quatro outros, fixos, formando um sistema de referência (para o ponto móvel). O 5-ponto pode ser também denominado um quinquângulo; todas as propriedades do tetraedro são propriedades do quinquângulo degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos, pertence a um dos lados, ou pertence a uma das faces). No plano (o 2-espaço), um dos pontos de um 4-ponto deve ser necessariamente um ponto móvel; a ele, por analogia, deveríamos denominar um quadrângulo plano ou quadrângulo degenerado; todas as propriedades de quadriláteros e triângulos são propriedades dos quadrângulos planos desde que não se distingam as diagonais dos lados. Na reta (ou 1-espaço), um dos pontos de um 3-ponto deve ser um ponto móvel; teríamos aí o biângulo retilíneo ou triângulo degenerado, nomenclatura essa que só faz certo sentido por extensão de idéias (já estamos acostumados com outras nomenclaturas); todas as propriedades dos segmentos de reta são propriedades dos biângulos retilíneos.

Na GAED um dos pontos de um 11-ponto deve ser necessariamente um ponto variável posto que os 10 outros definam um 10-ponto fixo de referência. Constituímos, assim, um unodecângulo; todas as propriedades do decângulo são propriedades do unodecângulo degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos, pertence a um dos lados, pertence a uma das faces ou, em geral pertence a um dos subespaços). Um G-espaço diádico qualquer (com G≤9), deve ser referido a um (G+1)-ângulo de referência, fixo, definido por G+1 pontos; logo um (G+2)-ângulo deve ter um vértice móvel. Também nesse caso, evidentemente, todas as propriedades do (G+1)-ângulo serão propriedades do (G+2)-ângulo degenerado. Obviamente um (G+2)-ângulo pode ser um triângulo, um quadrângulo, um quinquângulo etc., figuras do 2EG.

Page 299: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16.02 - Baricentros. 279

Poliádicos - Ruggeri

§ 16.02 - Baricentros.

Definições.

Suponhamos que a cada ponto Rj de dado (G+1)-ponto num 2EG possamos associar certo "atributo", um número Pj. Em relação a dois quaisquer desses pontos, Ri e Rj, determinemos um terceiro, Rij, sobre a reta suporte do segmento por eles definido, segundo a lei

i

j

jij

iij

P

P

RR

RR−= , (01);

isso é, de forma tal que a razão da distância desse ponto (o módulo de um diádico) aos pontos escolhidos (extremidades das flechas de dois diádicos) seja igual à do inverso dos correspondentes atributos com o sinal trocado. Se ρρρρi, ρρρρj e ρρρρij são, respectivamente, os diádicos posicionais de Ri, Rj e Rij, em relação a uma origem arbitrária do espaço, deduzimos de (01):

ji

jjiiij PP

P P

++

=ρρρρρρρρ

ρρρρ , (011).

O ponto Rij, determinado segundo a lei (01) e de diádico posicional dado por (011), é denominado centróide de Ri e Rj; e a ele associamos o atributo igual à soma dos atributos dos pontos que lhe deram origem. Quando os atributos dos pontos são iguais o centróide denomina-se "centro de meias distâncias"; sem perigo de confusão com conceitos físicos denominá-lo-emos doravante "baricentro" dos pontos; seu atributo é 2 e é definido pelo posicional

)(21

jiij ρρρρρρρρρρρρ += , (02).

estando situado a meia distância dos pontos que lhe dão origem. Aplicando (011), escrevemos a expressão do posicional do baricentro Rijk do par Rij, Rk , para k ≠ i,j:

)2(31

kijijk ρρρρρρρρρρρρ += , (03),

ou, ainda, considerando (02):

)(31

kjiijk ρρρρρρρρρρρρρρρρ ++= , (031).

Concluímos, então, por (03) e (031) que o baricentro do par de pontos Rk e Rij coincide com o baricentro do terceto de pontos Ri, Rj e Rk. Ora, Rijk é um ponto da reta suporte do

segmento ijk RR . Tomando esse segmento como referência, a expressão (03) mostra que o

baricentro do triângulo (um 2-espaço) de vértices Ri, Rj e Rk esta situado aos 2/3 desse segmento a partir do ponto Rk.

Essas propriedades simples, aplicadas reiteradas vezes a dois subespaços definidos por pontos dentre os pontos do (G+1)-ponto dado, permitem generalizar com facilidade a

Page 300: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

II, § 16.02

280

fórmula (03). Assim, se Rij...p e Rrs...q são, respectivamente, os baricentro dos subespaços de P e Q dos G+1 pontos dados (logo, com P+Q=G+1), o baricentro Rij...prs...q de Rij...p e Rrs...q coincide com o baricentro do (G+1)-ponto, sendo

) ... ... (1G

1)QP(Q+P

1qsrpjirs...qij...p.qij...prs.. ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ +++++++

+=+= , (04).

Os dois primeiros membros de (04) mostram que ao se tomar o segmento de origem Rij...p e extremidade Rrs...q como referência, o baricentro do (G+1)-ponto, ou (P + Q)-ponto, estará

situado aos (QP

P+

)-avos desse segmento a partir de Rrs...q, ou aos (QP

Q+

)-avos a partir de

Rij...p.

Bimedianas e medianas.

Antes de deduzir outras propriedades é conveniente a introdução de alguma nomenclatura. Os subespaços opostos de um (G+1)-ponto podem ser definidos por iguais ou diferentes números de pontos. Os segmentos determinados pelos baricentros de subespaços opostos definidos com iguais e diferentes números de pontos serão ditos, respectivamente, as bimedianas e as medianas do (G+1)-ponto. Assim, no segmento (G+1=2), um vértice é oposto do outro e sua bi mediana coincide com o próprio segmento. No quadrângulo (G+1=4), os pares de lados (12, 34) são opostos, bem como (13, 24) e (14, 23); suas bimedianas são os segmentos que ligam os pontos médios desses lados. Nos 2H-ângulos (G+1=2H), as bimedianas dos pares de espaços opostos (1,2,...,H) e (H+1, H+2, ...,2H), por exemplo, são os segmentos que ligam os seus baricentros. São também H-espaços opostos (2,3,...,H,H+1) e (H+2, H+3, ..., 2H, 1) etc. e as bimedianas correspondentes são os segmentos que ligam seus respectivos baricentros. As medianas dos 2H-ângulos são, por exemplo, as que ligam um vértice, digamos (1), ao baricentro do respectivo subespaço oposto, (2,3,...,2H-1, 2H); analogamente para o vértice (2) e seu subespaço oposto (3,4,...,2H,1) etc.. Existem também as medianas que ligam os baricentros dos lados (12), (13), ..., (1(2H)) aos baricentros dos respectivos espaços opostos (3,4,...,2H), (4,5, ..., 2H, 2), as que ligam os baricentros dos lados (23), (24), ..., (2(2H)) aos baricentros dos respectivos espaços opostos (4, 5, ..., 2H,1,), (5,6,...,2H,1,3) etc.. É evidente que os triângulos (G+1=3), quinquângulos (G+1=5), e, em geral, (G+1)-ângulos (com G+1=2H+1), por não apresentarem subespaços opostos definidos pela mesma quantidade de pontos (G+1 é ímpar), não têm bimedianas. Nos triângulos (G=2), as três medianas ligam cada vértice ao ponto médio do respectivo lado oposto (o que está de conformidade com a nomenclatura clássica). Nos quinquângulos (G=4), as medianas são: os 5 segmentos definidos por um vértice e o baricentro do seu tetraedro (3-espaço) oposto, e os 10 outros segmentos definidos pelos pontos médios de um lado (1-espaço) e o baricentro do seu triângulo (2-espaço) oposto. Num (2H+1)-ângulo (G=2H), as medianas são: os 2H+1 segmentos que ligam cada vértice ao baricentro do respectivo G-espaço oposto; os

21GC + segmentos que ligam os pontos médios dos lados do (G+1)-ponto ao baricentro do

respectivo (G-1)-espaço oposto, os 3 1GC + segmentos que ligam o baricentro de cada

triângulo ao baricentro do respectivo (G-2)-espaço oposto etc.. A tabela anteriormente apresentada fornece as quantidades de bimedianas e medianas para cada valor de G+1.

Page 301: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16.02 – Baricentros. 281

Poliádicos - Ruggeri

* As (6) bimedianas de um quadrângulo contêm o seu baricentro. Ainda, conforme (04), vemos que a distância do baricentro do quadrângulo ao baricentro (ponto médio) do lado ij está para o comprimento desta bimediana assim como 2 está para 4. Concluímos, então:

Num quadrângulo as suas 6 bimedianas se bissectam mutuamente no baricentro dos seus vértices.

É evidente que essa propriedade é um caso particular de uma propriedade mais geral válida para os 2H-ângulos em geral (caso G+1=2H). Todas as H

2HC bimedianas de um 2H-

ângulo contêm, evidentemente, o seu baricentro e conforme (04), a distância desse baricentro ao baricentro do subespaço ij...p está para o comprimento desta bimediana assim como H está para P+Q (ou 2H), isso é 1 para 2. Como esse resultado independe dos valores atribuídos aos índices i, j, ...p, resulta:

Num 2H-ângulo as suas H2HC bimedianas se bissectam mutuamente no

baricentro dos seus vértices.

* Pelo mesmo raciocínio anteriormente feito, deduzimos de (03) e (031) que

As medianas de um triângulo concorrem no baricentro dos seus vértices a 2/3 de cada uma delas a partir dos vértices.

Pela (04) podemos também generalizar essa propriedade das medianas dos triângulos para os (2H+1)-ângulos em geral considerando os diferentes valores que P e Q podem assumir, ou sejam: 1 e 2H, 2 e 2H-1, 3 e 2H-2 etc. Ao primeiro caso correspondem

112HC + medianas; ao segundo, 2 12HC + ; ao terceiro, 3

12HC + , etc. todas elas se interceptando

no baricentro do (2H+1)-ponto. Alem disso, o baricentro está situado aos P/2H de cada mediana a partir do baricentro de vértices r, s, ..., q, ou aos Q/2H dessa mediana a partir do baricentro dos vértices i, j, ..., p. Esse resultado é válido também, evidentemente, para os 2H-ângulos. Assim,

Todas as medianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu baricentro que está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-ângulos (P<G) na proporção (G-P)/G+1

Como casos particulares têm-se as propriedades clássicas para triângulos e quadrângulos seguintes: 1) - As medianas de um triângulo (G=2) concorrem no seu baricentro aos 2/3 dos seus vértices (P=0); 2) – as medianas de um quadrângulo (G=3) concorrem no seu baricentro aos 3/4 dos seus vértices (P=0).

* Para o caso G+1=2H (segmentos, quadrângulos, hexângulos etc.) a propriedade acima também é válida, pois, para P=H-1 (respectivamente, pontos, retas, planos etc.), a proporção é de 1/2 (meias distâncias), resultado interessante que não fica destacado no enunciado. Assim, a propriedade mais geral poderia ser enunciada na forma seguinte:

Page 302: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

II, § 16.03

282

Teorema: Todas as medianas e bimedianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu baricentro que está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-ângulos (P<G) na proporção (G-P)/G+1.

No espaço dos diádicos simétricos, por exemplo, em que o simplex de referência é um 7-ponto (heptângulo) haverá 35 bimedianas e 28 medianas concorrentes no seu baricentro; este bissecta as bimedianas, divide 7 dentre as medianas na proporção 5/7 a partir dos vértices e as 21 outras na proporção 4/7 a partir dos pontos médios dos lados. No espaço dos diádicos anti-simétricos em que o simplex de referência é um 4-ponto (quadrângulo), haverá 10 bimedianas e 5 medianas concorrentes no seu baricentro, o qual bissecta as bimedianas e que divide as medianas na proporção 3/4.

§ 16.03 - Equações de espaços.

Várias formas de equação de uma reta. Num 2EG qualquer (G≥2), pontos de uma reta têm um grau de liberdade; dependem pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Uma reta é, ainda, determinada univocamente por dois pontos fixos distintos, dados: 1 e 2, se for G=2 (logo, o 2EG está definido por 0, 1 e 2); dois quaisquer 1 e 2, se for G≥3 etc.. Para G≥2 os posicionais serão χχχχ1 e χχχχ2, respectivamente, em relação ao ponto 0 de 2EG; logo, pode ser representada pela equação:

21 χχχχχχχχχχχχ λ+=λ)+(1 , (011),

em que χχχχ é o diádico posicional do seu ponto corrente96 e λ é um parâmetro variável. Para χχχχ=χχχχ1 deve ser λ=0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais χχχχ1 e χχχχ2 devem ser distintos. Pondo a equação na forma 21)1 χχχχχχχχχχχχ +λ=+(λ 1−1− vê-se que deve ser

λ=∞ para χχχχ=χχχχ2, ou seja, ao ponto 2 corresponde o valor ∞ do parâmetro. Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo 1 e é paralela ao diádico unitário µµµµ . Como o diádico χχχχ-χχχχ1, de módulo λ variável deve, então, ser

paralelo a µµµµ ; escrevemos µµµµχχχχχχχχ ˆ1 λ=− , se G=2, ou seja,

µµµµχχχχχχχχ ˆ1 λ+= , (012),

ou, se G≥397,

ΟΟΟΟµµµµχχχχχχχχ >=−< ˆ)( 1 , (012').

96 Os diádicos aqui utilizados são, em geral, co-iniciais na origem. Referir-se a um diádico χχχχ1 é equivalente a referir-se à sua extremidade. 97 O produto cruzado de dois diádicos (do 2-espaço por eles definido) é, por definição, um diádico de um 3-espaço.

Page 303: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16.03 - Equações de espaços. 283

Poliádicos - Ruggeri

As equações (011) e (012) são equações paramétrica da reta no 2EG; e a forma (012') é a forma normal no 2EG para G≥3.

Consideremos agora, no 2E2, a equação C 1 =χχχχχχχχ : em que χχχχ1 e C são diádico e

escalar constantes. Tem-se: d ||),cos( ||||C 1111 χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ ===: em que d é a projeção

(constante) de χχχχ sobre χχχχ1. Conseqüentemente os pontos χχχχ pertencem a uma reta ortogonal a χχχχ1 cuja distância à origem é C/|χχχχ1|=d. A equação dada,

C 1 =χχχχχχχχ : , (02),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na forma mais simples d ˆ 1 =χχχχχχχχ : .

Vamos procurar, ainda no 2E2, a equação da reta que passa por um ponto fixo χχχχ1 e seja ortogonal a uma direção µµµµ . Ora, χχχχ-χχχχ1 deve ser, então, ortogonal a µµµµ ; logo,

0ˆ )( 1 =− µµµµχχχχχχχχ : , (03),

equação essa dita forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro membro podemos escrever, ainda,

Cˆ ˆ 1 == µµµµχχχχµµµµχχχχ :: , (031),

por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta.

Várias formas de equação de um plano. Observemos inicialmente que a equação (02), considerada no 2EG para G>2, pode também ser a equação do plano ortogonal a χχχχ1 cuja distância à origem é C/|χχχχ1|=d. Nada se pode dizer sobre uma equação, dada ao acaso, sem que seja dado o significado das letras e o espaço em que ela deve ser válida. Como num 2EG, para G≥3, os pontos de um plano (2E2) têm dois graus de liberdade, a determinação analítica de um ponto qualquer desse plano dependerá de dois parâmetros. Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3, bastam para determinar unicamente um plano, então sua equação é

321) χχχχχχχχχχχχχχχχ 2121 λ+λ+=λ+λ+(1 , (041),

onde χχχχ1, χχχχ2 e χχχχ3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a 0, e λ1 e λ2 são parâmetros variáveis. A forma (041) de representação da reta é denominada paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (χχχχ1, χχχχ2), (χχχχ2, χχχχ3) e (χχχχ1, χχχχ3) pertencem ao plano (041). Para χχχχ=χχχχ1 vê-se que deve ser λ1=λ2=0 porque os pontos não são colineares. Se λ1,λ2≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2 e escrevê-la na forma

3

1

21

111

111)111( χχχχχχχχχχχχχχχχλ

+λλ

+λλ 2222

.

Page 304: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

II, § 16.03

284

Para χχχχ=χχχχ2 tem-se, simplificando termos semelhantes em χχχχ2 e em seguida evidenciando o fator comum 1−λ em ambos os membros,

)1(1)11(1 31

1

2

1

χχχχχχχχχχχχ +λλ

=+λλ 22

.

Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2=qualquer e λ1=∞. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: ,λ1=qualquer e λ2=∞. Ora, se os diádicos χχχχ1, χχχχ2, χχχχ3 e χχχχ devem pertencer ao mesmo 3-espaço o produto misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,

0)( 321 =χχχχχχχχχχχχχχχχ , (05),

representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G≥4. Uma outra forma, ainda denominada, também, geral, é a que representa o plano que passa por um ponto e é paralelo a duas direções 1µµµµ e 2µµµµ . O diádico χχχχ-χχχχ1 deve, pois, ser paralelo ao

produto cruzado de 1µµµµ e 2µµµµ ; logo,

0))(ˆˆ( 121 =−χχχχχχχχµµµµµµµµ , (06).

A forma paramétrica relativa a (06) é, evidentemente,

211 ˆˆ) µµµµµµµµχχχχχχχχ 2121 λ+λ+=λ+λ+(1 , (061).

A forma normal de representação do plano está liga à condição desse plano passar por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção µµµµ . Nesse caso, os diádicos χχχχ-χχχχ1 e χχχχ-χχχχ2,

contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a µµµµ ; logo, o produto cruzado

deles deve ser paralelo a µµµµ , isso é,

ΟΟΟΟµµµµχχχχχχχχχχχχχχχχ >=>−−<< ˆ))(( 21 , (07).

No 2EG, com G≥3, equação do plano que passa por χχχχ1 e é perpendicular à direção µµµµ

é, evidentemente,

0ˆ )( 1 =− µµµµχχχχχχχχ : , (08),

posto que para o ponto corrente χχχχ, o diádico χχχχ-χχχχ1 deve ser necessariamente ortogonal a µµµµ ;

esta é a forma hessiana de representação do plano nesse espaço.

Várias formas de equação de um 3-espaço. O raciocínio feito para a determinação das equações de retas e planos pode ser estendido para o 3-espaço. Como num 2EG, para G≥4, os pontos de um 3-espaço (2E3) têm três graus de liberdade, a determinação analítica de um ponto qualquer dependerá de três parâmetros. Como quatro pontos não coplanares, fixos, 1, 2, 3 e 4, bastam para determinar unicamente um 3-espaço, a sua equação é

4321) χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ 321321 λ+λ+λ+=λ+λ+λ+(1 , (091),

Page 305: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16.03 - Equações de espaços. 285

Poliádicos - Ruggeri

onde χχχχ1, χχχχ2, χχχχ3 e χχχχ4 são os posicionais dos pontos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, em relação a 0, e λ1, λ2 e λ3 são parâmetros variáveis. A forma (091) de representação do 3-espaço é a paramétrica. Todos os pontos das retas definidas por (χχχχ1, χχχχ2), (χχχχ2 e χχχχ3) e (χχχχ1, χχχχ3) e dos planos definidos por (χχχχ1, χχχχ2,χχχχ3), (χχχχ1, χχχχ2, χχχχ4) etc. pertencem ao 3-espaço (041). Para χχχχ=χχχχ1 vê-se que deve ser λ1=λ2=λ3=0 porque os pontos não são co-espaciais. Se λ1,λ2,λ3≠0 podemos dividir ambos os membros da equação por λ1λ2λ3 e escrevê-la na forma

4

1

3

1

21

1111

1111)1111( χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ233232233232 λλ

+λλ

+λλ

+λλλ

=λλ

+λλ

+λλ

+λλλ

.

Para χχχχ=χχχχ2 tem-se, simplificando termos semelhantes em χχχχ2 e em seguida evidenciando o fator comum 1−λ em ambos os membros,

)111(1)111(1 4312 χχχχχχχχχχχχχχχχ2332123321 λ

+λλλ

+λλλ

.

Como os pontos não são co-espaciais, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são: λ2, λ3=quaisquer e λ1=∞. E assim por diante. Como os diádicos χχχχ1, χχχχ2, χχχχ3, χχχχ4 e χχχχ devem pertencer ao mesmo 4-espaço, o produto misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,

0)( 4321 =χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ , (10),

representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G≥4. Pode estabelecer-se a forma, também denominada geral, que representa o 3-espaço que passa por um ponto 1 e é paralelo a três direções (não coplanares) 1µµµµ , 2µµµµ e 3µµµµ que

definem um3-espaço. O diádico χχχχ-χχχχ1 deve, pois, ser paralelo ao produto cruzado de 1µµµµ , 2µµµµ

e 3µµµµ ; logo,

0))(ˆˆˆ( 1321 =−χχχχχχχχµµµµµµµµµµµµ , (11).

A forma paramétrica relativa a (11) é, evidentemente,

3211 ˆˆˆ) µµµµµµµµµµµµχχχχχχχχ 321321 λ+λ+λ+=λ+λ+λ+(1 , (111).

Cabem, ainda, dois problemas adicionais (não cabíveis nos espaços anteriores) que consiste em determinar-se a equação do 3-espaço que: 1) - passa por dois pontos, 1 e 2, e é paralelo a duas direções 1µµµµ e 2µµµµ (que definem uma orientação); e 2) – passa por três

pontos e é paralelo a uma direção 1µµµµ (uma reta). No primeiro problema deve-se escrever

que a normal aos diádicos χχχχ-χχχχ1 e χχχχ-χχχχ2, isso é, o produto cruzado deles, é ortogonal à normal às duas direções simultaneamente, isso é, normal ao produto cruzado de 1µµµµ e 2µµµµ . Então:

0ˆˆ ))(( 21

21 >=<>−−< µµµµµµµµχχχχχχχχχχχχχχχχ : , (12).

Page 306: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

II, § 16.03

286

Para o segundo problema, desenvolvendo o mesmo raciocínio, escrevemos:

ΟΟΟΟµµµµχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ >=>−−−<< 1221 ˆ))()(( , (13).

As equações (12) e (13) poderiam ser denominadas formas normais de representação do 2E3. No 2EG, com G≥4, a equação do 3-espaço que passa por χχχχ1 e é perpendicular a três direções 1µµµµ , 2µµµµ e 3µµµµ é, evidentemente,

ΟΟΟΟµµµµµµµµµµµµχχχχχχχχ >>=<−< 321

1 ˆˆˆ )( , (14),

posto que para o ponto corrente χχχχ, o diádico χχχχ-χχχχ1, por pertencer ao 3-espaço, deve ser necessariamente paralelo à normal a 1µµµµ , 2µµµµ e 3µµµµ ; esta é a forma hessiana de

representação do 3-espaço. Cabe, ainda, finalmente, determinar a equação do 3-espaço que passa por dois pontos (reta) e é ortogonal a duas direção 1µµµµ e 2µµµµ (que definem uma orientação). Nesse

caso, a normal aos diádicos χχχχ-χχχχ1 e χχχχ-χχχχ2 (ambos pertencentes ao 3-espaço) deve ser paralela à normal à orientação definida por 1µµµµ e 2µµµµ . Então,

ΟΟΟΟµµµµµµµµχχχχχχχχχχχχχχχχ >>=<>−−<< 21

21 ˆˆ ))(( , (15).

Várias formas de equação de um espaço qualquer.

Em geral, num 2EG (G≥P+1), a equação de um 2EP-1 definido por P dentre os G+1 pontos independentes (excluído o ponto 0), de posicionais χχχχ1, χχχχ2, ..., χχχχP em relação ao ponto 0 de 2EG é

P1-P

21 ... χχχχχχχχχχχχχχχχ λ++λ+= 1 , (16),

onde λ1, λ2, ..., λP-1 são (P-1) parâmetros variáveis compatíveis com os P-1 graus de liberdade de um ponto qualquer desse espaço; tal é a equação paramétrica do 2EP-1. A cada posição de χχχχ em 2EP-1 corresponde um conjunto de valores dos parâmetros λ1, λ2, ..., λP-1. Para χχχχ=χχχχ1, isso é, ao ponto 1, correspondem valores todos nulos dos parâmetros; ao ponto 2, corresponde o valor λ1=∞ e valores quaisquer para os demais parâmetros; e assim sucessivamente. Um outro modo de expressar essa equação consiste em escrever-se que os posicionais (relativos a 0) dos P pontos fixos e o do ponto corrente do respectivo 2EP-1 apresentam necessariamente um produto misto nulo (§13),

0).( P21 =... χχχχχχχχχχχχχχχχ , (161),

Page 307: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. 287

Poliádicos - Ruggeri

simplesmente porque esses P+1 diádicos pertencem ao mesmo 2EP-1; tal é a equação geral de 2EP-1.

Os demais tipos de equação são determinados como anteriormente, cada um deles exigindo no máximo P condições para ficar perfeitamente determinado. Assim, por exemplo, num 2EG, a equação do 2EP-1 (que não contém 0), que passa por (ou contém) um 2ER-1 e é paralelo a um 2ES (R≥S), este definido por S direções S21 ˆ ..., ,ˆ ,ˆ µµµµµµµµµµµµ (não

pertencentes a um mesmo 2ES-1), é, para R+S=G+1,

ΟΟΟΟµµµµµµµµµµµµχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ >=<>−−−< S21R21 ˆ ... ˆˆ )(... ))(( : , (17).

Tal é a equação normal do 2EP-1. A equação de um 2EP-1 (que não contém 0), que passa por R (R≥2) pontos e é ortogonal a S direções (S≥2) é, para R+S=G+1 (logo, G≥3):

ΟΟΟΟµµµµµµµµµµµµχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ >>=<>−−−<< S21R21 ˆ ... ˆˆ )(... ))(( , (18).

* Exercício: Se, num 2EG, em relação a um simplex de referência de centro de gravidade γγγγ, um ponto variável, χχχχ, descreve a reta que passa pelos pontos αααα e ββββ, o centro de gravidade do (G+2)-ponto (variável) formado pelo simplex e pela extremidade de χχχχ descreve uma reta que passa pelos pontos (γγγγ+αααα)/G+1 e (γγγγ+ββββ)/G+1. Generalizar o problema.

*

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. Consideremos um simplex de G+1 pontos (num 2EG) e a base diádica correspondente, εεεε1, εεεε2, ..., εεεεG, com diádicos co-iniciais no ponto 0. O ponto de posicional εεεε1+ εεεε2+ ..., εεεεG, é denominado o ponto unidade do espaço; na base indicada, esse ponto unidade tem as G coordenadas iguais a um e seu posicional (não unitário) será denotado por νννν . A reta que liga um ponto dado do espaço, P, de posicional ππππ, ao ponto unidade U, intercepta o 2EG-1 oposto ao ponto J do simplex (ponto 0 incluído) num ponto Lj de posicional λλλλj (logo j=0, 1, 2, ...,G). A equação paramétrica dessa reta (§ 16.02) é

ππππννννχχχχ λ+=λ+ )1( , em que χχχχ é o posicional do seu ponto corrente e λ um parâmetro variável.

Para χχχχ=λλλλ0, tem-se 00 )( λλλλννννππππλλλλ −=−λ0 ; analogamente, para χχχχ=λλλλj, tem-se jjj )( λλλλννννππππλλλλ −=−λ .

A razão anarmônica dos pontos P, U, L0 e Lj - o número Xj que, para U e dado P (logo, com L0 fixo) varia apenas com Lj - é definida pela expressão:

jj

j

o

ojo X

UL

PL

PL

UL)UP,LL( == .

Os segmentos, todos paralelos, podem ser expressos por diferenças de diádicos posicionais e seus produtos por duplos produtos pontuados entre os respectivos diádicos. Logo:

Page 308: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do espaço diádico.

II, §16.05

288

)-()(X)()-( j0jj0 λλλλννννλλλλππππλλλλππππλλλλνννν :: −=− ,

ou seja, considerando as expressões deduzidas da equação da reta:

)-()(X)(1)-( j0jjj

0 λλλλννννλλλλππππλλλλννννππππλλλλ :: −=−λ

λ− 0 .

Simplificando a expressão obtida, resulta: jj X=/λλ0 . Vê-se assim que, para dado P e,

logo, um L0 (ou λ0) fixo, a cada Lj (j=1, 2 ...,G) corresponde uma razão anarmônica Xj univocamente determinada. Portanto, com essa associação, podemos afirmar que a cada ponto de uma reta num 2EG estão associados os G+1 números univocamente determinados, λ0, X1, X2, ..., XG; esta forma de proceder é fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro).

* ⇐⇐⇐⇐

§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies.

É necessário observar que estamos longe de completar essa geometria do espaço diádico. Um politopo, num 2EG (no caso presente, G≤9) é a generalização dos conceitos de polígonos e poliedros em duas e três dimensões na geometria dos vetores. É uma figura formada por espaços fronteira 2EG-1, em número de G+1, que se interceptam dois a dois segundo espaços fronteira 2EG-2, em número de 2

1GC + , três a três em fronteiras 2EG-3 em

numero de 31GC + etc.. É preciso caracterizar bem essas fronteiras e determinar suas relações

pelo menos nos casos mais simples. O conteúdo de um 2EG é a generalização dos conceitos de medida de um segmento de reta, da área de um triângulo, do volume de um tetraedro válidos na geometria dos vetores. No caso geral, esse conteúdo é o conteúdo (volume) do paralelotopo representado pelo produto misto de G diádicos independentes desse espaço (§ 13). Mas é necessário também o cálculo de conteúdos de pirâmides, prismas etc. e seus troncos. O que dizer sobre a generalização do Teorema de Euler-Descartes relativo aos poliedros do espaço dos vetores? E sobre os politopos regulares? O estudo de curvas e superfícies no espaço diádico requer consideração a diádicos que variem com um ou mais parâmetros, tal como para as curvas e superfícies do espaço dos vetores. Esses importantes conceitos, que nos levam às derivações e integrações, serão discutidos apenas no Tomo II. Essas breves informações são suficientes para mostrar a frente ampla de trabalho que se descortina para constituir, de uma forma metódica, axiomática, a Geometria Euclidiana Multidimensional e utilizá-la para interpretar problemas físicos envolvendo diádicos (e poliádicos, em geral).

Page 309: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

Bibliografia 289

Poliádicos - Ruggeri

BIBLIOGRAFIA. Há autores que expõem a teoria dos diádicos na forma de anexo às suas obras. Deu maior sustentação a esse capítulo as obras 1 e 3 listadas. Entretanto, é nas obras de Moreira e Sielawa que aprendemos a utilizar os vetores recíprocos como rotina.

1 - 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, Connecticut, USA, 436p., reeditado em 1913, 1916, 1922, 1925 ,1929, 1931, 1943, 1947 e 1948.

2 - 1924: WEATHERBURN, C. E., Advanced Vector Analysis (with applications to Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltd., London, 222 p., reeditado em 1926 e 1928.

3 - 1966: MOREIRA, L.C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata, vol. XXV, n° 2 e 3, 39 p., Ouro Preto.

4 - 1970: SIELAWA, J. T., Métodos matemáticos da Mecânica do Contínuo, Instituto

Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 430 p..

Page 310: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

Bibliografia

II, Bibliografia

290

Page 311: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

Poliádicos - Ruggeri

CAPÍTULO III

GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR.

§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA.

§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. Partindo do conceito elementar de função de valor numérico e argumento numérico, alcançamos, no § 01 do Cap. II, o conceito de função de valor vetor e argumento vetor. Dentre essas funções, definimos as funções lineares vetoriais, de grande utilidade em Física e em Geometria. Interpretamos a função linear vetorial como uma operação sobre o argumento vetor (o paciente) que o transforma em um novo vetor (o valor da função); a função linear vetorial passou, então, a ser um conceito equivalente a uma Transformação

Linear (TL) e pudemos entendê-la de três pontos de vista: o algébrico, o geométrico e o físico. Neste capítulo, exploraremos a TL, de forma ampla, do ponto de vista geométrico. Segundo esse ponto de vista, se O é um ponto fixo de EN (da reta, do plano, ou do espaço),

e se x é o vetor posição (em relação a O) do ponto X de EN - ponto este que

denominaremos ponto objeto - então ′ =x l x( ) é a transformação linear de x mediante o

operador l( ); em relação a O, ′x é o vetor posição do ponto ′X - denominado ponto

imagem - transformado do ponto X. Definidos os diádicos (§ 02,II) e algumas operações entre diádico e vetor, mostramos (§ 02.04,II) que todo diádico é operador de uma TL sobre vetores e que toda TL (sobre vetores) pode ser convenientemente representada por um diádico (para ser usado em multiplicação pontuada anterior ou posterior com vetores). Então:

′ = ⇔ ′ = =x l x x . x x.( ) , Tφφφφ φφφφ (01), ou

l .( ) ,⇔ φφφφ ou . φφφφT, (011), isso é, a dada TL corresponde um único operador φφφφ (que pode ter infinitas representações); e reciprocamente. A correspondência (011) da direita para a esquerda é de assimilação imediata, o que não se verifica, similarmente, da esquerda para a direita. Se nos lembrarmos, porém (Corol 1, Teor 1, § 02.04,II), que o diádico regente de uma TL fica perfeitamente determinado, em EN, quando são conhecidos os seus produtos escalares (que são vetores) por N vetores independentes, quaisquer, especificados, de EN, essas dificuldades desaparecem. Um outro modo de eliminar essas mesmas dificuldades consiste em utilizar o Corol 2, Teor 1, § 02.04,I: se for sabido (de alguma forma) que N vetores especificados (de EN), são os transformados de N outros vetores independentes especificados (também de EN ), então o diádico gerado de EN, que transforma um conjunto no outro, esta univocamente determinado. Agora, se existirem dificuldades, estas estarão nas formas de especificar tais vetores. Especificaremos os vetores: 1º) - pelos seus módulos, direções, sentidos, ângulos

Page 312: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

292 § 01 - TL, propriedades, aplicação numérica

III, §01.02

de uns com os outros etc. - uma especificação geométrica espacial, ou, simplesmente

euclidiana; 2º) - pelas suas coordenadas em relação a certa base - uma especificação tipicamente analítica, ou, simplesmente cartesiana. Ora, é evidente que a primeira é universal, isso é, é única e independente de bases; a segunda só é determinada (inteligível) para cada base particularmente especificada, podendo, pois, ser concretizada de infinitas maneiras. Dada qualquer uma dessas especificações, entretanto, podemos deduzir a outra; logo, ambas são formas equivalentes de especificar-se uma TL. Como se correlacionam duas especificações cartesianas e a especificação euclidiana correspondente de uma mesma TL? À especificação euclidiana corresponde um diádico único (para qualquer observador). Quando um primeiro observador adota uma base (e, logo, a sua recíproca) para referência, em geral ele pode associar quatro matrizes ao diádico regente da TL (§ 09.02, II) e apenas uma se a base é ortonormada. Tais matrizes, entretanto,

não são independentes; correlacionam-se conforme a tabela de multiplicação apresentada no (§ 09.03, II) via as matrizes métricas (inversas) das bases recíprocas adotadas. Se um segundo observador adota uma outra base para o estudo da mesma TL que o primeiro observador estuda, ele associará quatro novas matrizes ao mesmo diádico regente da transformação (na especificação euclidiana), para as quais são válidas, ainda, as fórmulas indicadas na tabela acima referida. Mostraremos oportunamente (§ 02.03), que existem quatro relações entre as matrizes dos observadores, uma para cada par de matrizes homônimas. Imponhamos, agora, a dois observadores, cada um com a sua base, a condição de estudarem uma mesma TL, com uma mesma matriz. Será isto possível? Em geral, não! Apenas ocorrerá que, entre os diferentes diádicos dos observadores, ficará estabelecida uma conexão (ver § 02.02) via um terceiro diádico, completo, cujos antecedentes e conseqüentes são os vetores de base de cada observador; mas cada diádico regerá uma determinada TL. Entretanto, há situações em que isso é possível, conforme veremos no § 02.04.

§ 01.02 - Propriedades fundamentais.

Algumas das principais propriedades das TL's já foram demonstradas a título de interpretação geométrica ou ilustração de propriedades dos diádicos, ou de operações entre diádicos e vetores. Com efeito, já comprovamos (§ 02.04, II) a seguintes:

Propr. 1: No E3,, os pontos dependentes de uma reta (pontos colineares), e os dependentes de um plano (pontos coplanares), são transformados, respectivamente, em pontos dependentes de uma reta e de um plano.

Como corolário dessa propriedade constata-se facilmente a seguinte

Propr. 2: Em E3, as retas e os planos se transformam, respectivamente, em retas e planos.

Propr. 3: Em E3, retas paralelas e planos paralelos transformam-se, respectivamente, em retas paralelas e em planos paralelos.

Page 313: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 01.02 - Propriedades fundamentais 293

Poliádicos - Ruggeri

Se x e y são os pontos correntes das retas paralelas ao unitário $u e que passam respectivamente, pelos pontos A e B, escrevemos:

x a u

y b u

= +

= +

M

N

$

$ ,

onde a e b são os vetores posição de A e B, e M e N são parâmetros. Multiplicando escalarmente ambos os membros das relações acima por φφφφ, obtemos nos primeiros membros os transformados dos pontos correntes das retas paralelas; e nos segundos membros os transformados dos pontos A e B e do unitário $u , isso é

′ = = + = ′ +

′ = = + = ′ +

x .x .a .u a u

y . y .b .u b u

φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ

M M

N N

$

$ .

As retas transformadas passam pelos pontos ′ ′A e B (extremidades de a’ e b’) e são ambas paralelas ao vetor u, isso é, são paralelas. A demonstração para o caso dos planos pode ser feita por analogia.

Propr. 4: A transformada da superfície esférica é sempre um elipsóide.

Seja X o ponto corrente da superfície esférica de centro C e raio R. Os transformados dos pontos X e C são ′ ′X e C tais, que

′ = ′ =x . x c . cφφφφ φφφφ e . A equação da superfície esférica é

( ) ,x c− =2 R2 de onde, substituindo x e c em função de ′ ′x c e , operando e agrupando convenientemente, deduzimos:

( ) ( ) ( ) ,′ − ′ ′ − ′ =−x c . . . x cφφφφ φφφφ T 2R1 (01). O primeiro membro da equação acima (equação da transformada da superfície esférica) é uma forma quadrática ternária (§09.07,II) nas coordenadas de ′ − ′x c e apresenta, por isso, apenas os termos quadrados e retangulares; a equação é, portanto, a de uma quádrica centrada em ′C , simétrica em relação a ′C e fechada porque ′ − ′x c é vetor de módulo finito. Esta quádrica é, pois, um elipsóide.

O desenvolvimento da equação cartesiana do elipsóide requer a adoção de um referencial para que o vetor ′ − ′x c e o diádico φφφφ sejam dados por suas coordenadas. Assim procedendo, a determinação das características desse elipsóide (valor dos semi-eixos, direção dos semi-eixos, seu volume, etc.) poderá ser feita pelos métodos da Geometria Analítica.

Page 314: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

294 § 01 - TL, propriedades, aplicação numérica

III, §01.02

Notas :

1 - Não é difícil comprovar que o transformado de um elipsóide é também um elipsóide e que o de uma circunferência (ou elipse) é sempre uma elipse.

2 - Mostraremos mais tarde que uma transformação linear é, numa situação particular (em Mecânica), fisicamente equivalente a uma deformação homogênea, razão pela qual, muitas vezes, os elipsóides são denominados "elipsóides de deformação".

Propr. 5: Na TL regida por φφφφ, o quadrado da razão da distância (|x’|) entre dois pontos imagem para a distância (|x|) entre os respectivos pontos objeto, estes, definidores de uma direção $n , é dado por:

n...nn.xx

ˆ)(ˆ)ˆ()||

||( T22 φφφφφφφφφφφφ ==′

, (02).

Por serem ′ =x . xφφφφ e x x n=| | $ , tem-se:

| | ( ) | | ( $ )′ = =x . x x .n2 2 2 2φφφφ φφφφ , de onde, dividindo ambos os membros por |x|2, deduzimos (02).

Propr. 6: Na TL regida por φφφφ, o quadrado da razão da área imagem, ′A , para a

correspondente área objeto, A - esta, ortogonal à direção $n - é dada por:

( ) ( $ ) $ ( ) $ ,~′= =A

A~T T2 2φφφφ φφφφ φφφφ. n n. . . n (03).

Se x e y são dois vetores do domínio objeto, yx × é o vetor área definido pelos

mesmos; seus transformados mediante φφφφ são os vetores φφφφ. x e φφφφ. y, e o vetor área que lhes corresponde é )()( .y.x φφφφφφφφ × . Sabemos ((01), § 08.04, II) que:

~)()( )()( 2 φφφφφφφφφφφφφφφφ .yxyx..y.x ×=×=× .

O primeiro e o último membros da relação acima mostram como φφφφ conecta os

vetores-área antes e após a transformação. Sejam:

|)()(|A |,|A .y.xyx φφφφφφφφ ×=′×= ,

e $n o unitário da normal ao plano de x e y. Temos, então:

n...nyx..yx ˆ ~ ~ˆA)( ~ ~)()A( T2T2 φφφφφφφφφφφφφφφφ =××=′ ,

de onde, considerando ((01),§ 08.03,II), deduzimos imediatamente (03).

Page 315: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 01.03 - Aplicação numérica. 295

Poliádicos - Ruggeri

Propr. 7: O terceiro do diádico de uma transformação rege a transformação dos volumes.

Esta propriedade já foi demonstrada como interpretação geométrica do terceiro de um diádico (Teor. 3, § 02.08, II).

§ 01.03 - Aplicação numérica. A arbitrariedade do ponto fixo de referência implica, por si só, a independência da transformação relativamente a referenciais, isso é, uma TL depende apenas do diádico que a rege. Isto, aliás, é até intuitivo porque, do contrário, uma mesma figura objeto seria transformada em tantas figuras imagem quantos fossem os observadores da transformação, cada qual com o seu sistema de referência. Por outro lado, paradoxalmente, parece razoável admitir que enquanto alguma coisa deve variar com a mudança de referencial, alguma outra coisa deve não variar para que a figura imagem seja a mesma para os diferentes observadores. Isso tudo é verdadeiro intuitivamente do ponto de vista físico; oportunamente veremos como traduzir matematicamente essa questão. Vale lembrar, entretanto, a nossa intuição nem sempre traduz ou representa uma realidade. Na prática das previsões e medições, não obstante a consideração conceitual atrás

exposta, torna-se imperioso - senão absolutamente necessário - a adoção de um sistema de referência adequado em relação ao qual se possam determinar posições, distâncias, ângulos

etc., bem como, munindo o referido sistema de um cronômetro, determinar-se o tempo.

Abandonando provisoriamente o parâmetro tempo - de extrema importância em

aplicações - refiramos certo domínio D, de ponto objeto corrente X, a um conveniente e bem determinado sistema cartesiano de referência (não necessariamente ortogonal), O-x1x2x3, e de vetores de base e1, e2 e e3 (não necessariamente unitários). Se Xi (i=1,2,3) são as coordenadas de X em relação ao sistema, escrevemos:

x e= X , com X = X ( , ,ii

i i 1 2 3ξ ξ ξ ), (01),

os argumentos ξi sendo variáveis numéricas que variem continuamente dentro de intervalos bem determinados (o significado das funções será detalhado no Tomo II desta obra). O diádico φφφφ, dado, regente da transformação, pode ser escrito na forma cartesiana (§ 09,II)

φφφφ = φ kj k

j , ( j, k = 1,2,3),e e (02), as φk

j sendo as suas coordenadas mistas e [φkj] a sua matriz associada (§ 09.02,II) . (É claro

que φφφφ poderia ser definido por um tipo qualquer de componentes uma vez que sendo conhecidas as de um tipo, as demais ficam perfeitamente determinadas, conforme sabemos (§ 09.03,II)). Deduzimos:

′x . x= =φφφφ ( ) (X ) = X ( jk

kj i

i jk i

kj

iφ φe e . e e e .e) ,

isso é, por ser i ii

j δ=.ee resulta: kik

i X ex φ=′ .

Page 316: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

296 § 01 - TL, propriedades, aplicação numérica

III,§ 01.03

Sendo, ainda, X'k as coordenadas de x', escrevemos:

′X = X ,kk i

k ike eφ

donde, igualando as coordenadas homônimas:

′X = Xk ik iφ ;

igualdade que pode ser escrita na forma matricial:

X = [ ] X , ′∗ ∗∗ ∗φφφφ . (03),

onde, evidentemente,

, ,′

∗ ∗∗

∗X =

X

X

X

X =

X

X

X

[ ]

1

2

3

1

2

3

φφφφ =

1 1 1φ φ φφ φ φφ φ φ

1 2 32

12

22

331

32

33

, (04).

A transformação inversa pode ser escrita na forma matricial:

X = [ ] X ,

1∗∗

∗ − ∗′φφφφ . (05).

Nota :

A fórmula (03) é geral, aplicando-se inclusive no caso em que os vetores de base sejam unitários triortogonais. Nesse caso, ocorrerá apenas que as componentes contravariantes dos vetores x e x' serão confundidas com as co-variantes, e as componentes mistas do diádico confundidas com as contravariantes e co-variantes.

Exemplo Numérico 1:

Estudemos, em relação à base ortonormada , , ,$ $ $i j k , a TL regida pelo diádico:

φφφφ = ,$$ $$ $$ $$ $ $ ,i i ij ji jj kk− + + +2 15

cuja matriz associada é

[ ] , .φφφφ =−

1 1 02 1 5 00 0 1

Procuremos, por exemplo, caracterizar a figura transformada do quadrado do plano ( $ , $)i j , centrado na origem, cujos lados são paralelos aos unitários $ $i j e , e têm comprimento igual a duas unidades.

Solução: Nesse problema elementar, o domínio D é o quadrado que se encontra perfeitamente determinado; o domínio D' será a figura em que se transformará esse quadrado por ação do

Page 317: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 01.03 - Aplicação numérica. 297

Poliádicos - Ruggeri

diádico especificado em forma cartesiana. (Note-se que, por ser a base ortonormada, as componentes contravariantes, co-variantes e mistas de φφφφ são idênticas).

Pelas propriedades das TL's, a figura imagem é um paralelogramo porque os lados do quadrado (que são paralelos) se transformam em segmentos paralelos; basta, pois, para caracterizar o paralelogramo, determinar as imagens dos vértices do quadrado (Fig. 01.01).

Aplicando (03) aos vértices A, B, C e D do quadrado, cujos vetores posição são facilmente determinados, encontra-se, para expressão dos vetores posição dos transformados:

, ; ;′

=

=

A =

1 1 0

2 1,5 0

0 0 1

B = [ ]

. .

1

1

0

0

3 5

0

1

1

0

2

0,5

0

φφφφ

, , ,′−−

= −

′ −

=

C = [ ]

e D = [ ]

φφφφ φφφφ. .

110

03 50

110

20 50

Devemos observar que tanto o domínio objeto quanto o domínio imagem têm um centro de simetria, propriedade que, aliás, é geral das TL's, isso é, se o domínio objeto apresentar pontos, eixos ou planos de simetria assim também deverá se apresentar o domínio imagem. Neste exemplo numérico particular ocorre que o centro de simetria é

coincidente com a origem do referencial, condição que não é necessária para verificar-se a propriedade. Para ampliar um pouco mais o problema proposto, poderíamos verificar que a circunferência de raio unitário, inscrita no quadrado, se transforma numa elipse inscrita no paralelogramo. Obteremos a equação da elipse por consideração de ((01), § 01.02) onde deveremos fazer c'=o (centro coincidente com a origem), R=1 e X3=0 (esfera e elipsóide secionados pelo plano X3=0). Sendo

′ ′−x . . . x( ) = 1T 1φφφφ φφφφ , e

Page 318: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

298 § 01 - TL, propriedades, aplicação numérica

III,§ 01.03

−−

=−

22

1T

50,300

0250,0

050,025,6

5,3

1])[( φφφφφφφφ. ,

resulta logo, para equação da elipse imagem:

6,25(X ) X X + 2(X ) = 3,5 .1

2

1 2 2

2 2′ − ′ ′ ′

Notemos que os pontos de contato da circunferência com os lados AB, BC, CD e DA do quadrado (pontos médios desses lados), de coordenadas respectivas:

(0;1;0),( 1;0;0),(0; 1;0) e (1;0;0)− − , têm por imagem os pontos de coordenadas

( 1;1,5;0),( 1; 2;0),(1; 1,5;0) e (1;2;0)− − − − , respectivamente, e estes são os pontos médios dos lados do paralelogramo imagem. Notemos também, por outro lado, que esses mesmos pontos médios (M', N', etc.) são os pontos de tangência dos lados do paralelogramo com a elipse, mas não são de modo algum os vértices da elipse, como poderia parecer. O ponto Q, interseção da semidiagonal OA com o arco de circunferência NM, tem como imagem o ponto Q' tal, que

=

=

=′0

475,2

0

2

2

0

2/7

0

2

2

0

1

1

][ .φφφφφφφφ ;

e este, por sua vez, também não é vértice da elipse. Pelos métodos da Geometria Analítica e a partir da equação da elipse podemos calcular as coordenadas do seu vértice V'. Qual seria o ponto objeto V? Quais os

comprimentos dos semi-eixos da elipse? Quais os ângulos desses semi-eixos com o

unitário $i ? Qual o par de raios da circunferência (raios objeto) que se corresponde com o

par de semi-eixos da elipse? Esses assuntos serão analisados de forma ampla mais à frente. Por ora o leitor poderia se preocupar em responder às perguntas formuladas representando graficamente a elipse ou efetuando os cálculos pelos métodos da Geometria Analítica. Para completar este exemplo numérico elementar, o leitor poderá comprovar gráfica e analiticamente as propriedades 5, 6, e 7 das TL's. Fazendo a figura numa escala adequada, o leitor poderá se surpreender com a precisão dos resultados gráficos quando comparados com valores exatos que podem ser calculados sem dificuldades.

Page 319: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.01 - Diádicos de mudança de base. 299

Poliádicos - Ruggeri

§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE.

§ 02.01 - Diádicos de mudança de base.

Sejam e* e r * duas bases quaisquer e distintas de EN, e e* e r * suas correspondentes recíprocas. Existe sempre (Corol. 2, Teor. 1, § 02.04, II) um e um único diádico completo, µµµµ, que, usado como pré-fator por exemplo, transforma os vetores de uma base nos vetores da outra. Assim,

r .e r e r ei i ii ( i = 1,2, ... , N)= ⇐ ∀ ⇒ =∗ ∗µµµµ µµµµ , , (01).

Dada a generalidade das bases e se µµµµ é usado como pré-fator, a constituição de µµµµ esta determinada: os seus antecedentes são os vetores da base transformada e os seus conseqüentes são os recíprocos dos vetores da base a transformar.

Definição: (diádico de mudança de base) O diádico µµµµ, dado por (01), que transforma por multiplicação pontuada

anterior os vetores da base e* nos vetores da base r* denomina-se diádico de mudança de base e* para a base r* ,

tornando-se evidente que todo diádico completo é um diádico de mudança de base, e reciprocamente.

Então: 1°) - o diádico de mudança da base r * para a base e* é µµµµT ii

= e r ; 2°) -

o diádico de mudança de base r * para a e* deve ser o recíproco de µµµµ, µµµµ − =1 e ri

i ,

porque opera a transformação inversa de µµµµ; 3°) - o diádico de mudança de base e* para a

base r *, isso é, entre as bases recíprocas das bases dadas, é r eii, isso é, o principal de µµµµ

(§ 08,II). Assim, entre as bases e*, (r * e suas recíprocas existem as transformações

representadas pelos diádicos µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ, ,T

P

1 e − , conforme esquematizado na Fig.02.01.

Em resumo:

se = então, i

i

T ii

1i

i

PT i

i

µµµµµµµµµµµµµµµµ µµµµ

r e

e r

e r

r e

,

,

==

= =

(02).

Page 320: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

300 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade.

III,§ 02.02

As relações entre estes diádicos já foram estabelecidas no §08.01,II, sendo, por exemplo,

13

T P3 ~ −== µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ ou, P32 µµµµµµµµµµµµ .= (03),

e ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµµµµµ == −− .. 11 e ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ ~ ~ 3== .. (031).

Por (01) vemos que o diádico de mudança da base e* para a base r* executa uma transformação linear sobre os vetores da base e*. Para qualquer vetor v de EN escrevemos, então: ′ =v . vµµµµ ; e, em relação a qualquer base fixa, interpretamos esse

resultado dizendo que v transformou-se em ′v por ação de µµµµ . Como temos acentuado,

podemos entender também que, em relação a qualquer base fixa, por ação de µµµµ, o ponto V foi transformado em ′V . Esse é um dos pontos de vista para a interpretação da transformação regida pelo diádico µµµµ sobre os pontos do espaço. Nesse primeiro ponto de vista, então, elegemos uma base fixa, e*, em relação à qual o operador µµµµ transformou o ponto V no ponto ′V . Isso é, um observador, O, fixo em e*, veria o ponto V deslocar-se para ′V por ação de µµµµ. Num segundo ponto de vista podemos inverter a situação: imaginando marcado o ponto V do espaço, o observador O deverá fazer uma mudança de base. Nestas condições, de uma outra base qualquer, fixa no espaço, um segundo observador O verá o observador O mudar continuamente de posição (alterando de alguma forma os ângulos e os módulos dos vetores da base inicial) até que ele venha a assumir a nova base. Nesse movimento, o observador O sentirá que o ponto V sofreu um deslocamento, enquanto que para o observador O (da base fixa), o primeiro observador, O, foi quem se movimentou, o ponto V

tendo ficado fixo. Se o observador O mudou-se para a base r *, quais serão, então, para ele, as coordenadas de ′V ?. Em que condições será possível ao observador O descobrir que, na realidade, V≡ ′V ? Não cabe aqui fazer uma discussão detalhada sobre o modo como o observador O vê as coisas em função do seu movimento, Isto, de fato, constitui objeto da Física.

Em resumo: A transformação de v em µµµµ . v pode ser vista como resultante de uma transformação linear sobre os pontos do espaço (em relação a uma base fixa), ou como resultante de uma mudança de base para os pontos fixos do espaço.

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. Sejam: o diádico ψψψψ=ejb

j com antecedentes independentes, e a base r *. Denotando por µµµµ o diádico de mudança da base e* para a r *, escrevemos: µµµµ=r ie

i. Consideremos agora o diádico φφφφ de antecedentes r i e cujos conseqüentes ai sejam os vetores transformados dos bi mediante µµµµ P, isso é,

seja = com ii i

Piφφφφ µµµµr a a .b= , (01).

Page 321: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 301

Poliádicos - Ruggeri

Então:

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ ψψψψ µµµµ φφφφ µµµµ= =− −. . . .1 1, , ou, (02).

Com efeito, tem-se:

φφφφ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ= = =r a .e .b . e b .ii

i Pi

ii

PT( )( ) ( ) ,

donde, lembrando ((02)3, § 02.01), comprovamos (02)1. Analogamente, de ((02)2, § 02.01) e (01)2 escrevemos:

ψψψψ µµµµ µµµµ= = − −e b . r . aj

j

j P

1 j( )( ),1 ou ψψψψ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ= =− − − −( )( ) ( ) .1 1. r a . . r a .j

j

P

T

j

j

P

T

Ora, sendo µµµµ µµµµ φφφφPT

jj e − = =r a resulta, logo, (02)2.

Reciprocamente, se φφφφ = r iai e ψψψψ = ejb

j são as reduções trinomiais de dois diádicos φφφφ e ψψψψ com antecedentes independentes, se µµµµ = r ie

i é o diádico de mudança da base e* para a r *, e se subsistem as (02), então os conseqüentes de φφφφ e ψψψψ são transformados mediante µµµµ P . Pois,

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ= = = =− − −. . . e b . . e .b r .b1 ( ) ( )( ) ( )i

i 1

i

T i

i P

i ;

e sendo φφφφ = riai. Logo: ai = µµµµP.b

i e os conseqüentes de φφφφ e ψψψψ se transformam mediante µµµµ P .

Nota: Encontraríamos ainda (02) partindo de outras reduções trinomiais de ψψψψ como, por exemplo,

jj eb′=ψψψψ , base r* e diádico i

i ra′=φφφφ com ii b.a ′=′ µµµµ .

Definição: (Transformação similar, diádicos similares) Se µµµµ é um diádico completo e φφφφ e ψψψψ são diádicos entre os quais existe a

relação φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ= −. . 1, então dizemos que φφφφ é obtido de ψψψψ mediante uma transformação similar na qual µµµµ é o diádico de transformação. O diádico φφφφ é dito, ainda, similar a ψψψψ, mediante µµµµ.

Em vista da existência de (02)2, podemos dizer que se φφφφ é similar a ψψψψ mediante µµµµ, ψψψψ

é similar a φφφφ mediante µµµµ −1. Sem perigo de confusão poderemos dizer simplesmente que φφφφ e

ψψψψ são similares; e não são completos necessariamente (ver Teor. 6 à frente).

Propriedades dos diádicos e das transformações similares.

Podemos, então, enunciar:

Teor. 1: A CNS para que dois diádicos, φφφφ e ψψψψ, reduzidos a formas trinomiais com antecedentes independentes, distintos e índices no mesmo nível, sejam similares, é que os conseqüentes de φφφφ sejam transformados dos conseqüentes de ψψψψ mediante o principal do diádico de mudança da base dos antecedentes de ψψψψ para a base dos antecedentes de φφφφ.

Page 322: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

302 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade.

III,§ 02.02

As propriedades e as entidades derivadas dos diádicos, invariantes mediante relações de similaridade entre eles, são propriedades e entidades que se conservam numa mudança arbitrária de base (já que µµµµ é um diádico arbitrário). Tais propriedades e entidades são, pois (§05, I), tensoriais no espaço euclidiano ao qual são relativas (mas as propriedades tensoriais não são apenas aquelas comuns a diádicos similares).

Teor. 2: Se dois diádicos são similares mediante o diádico de mudança das bases definidas por seus tercetos espaciais em reduções trinomiais arbitrárias, são iguais as suas coordenadas mistas homônimas relativas às respectivas bases; e reciprocamente.

Com efeito, consideremos as reduções trinomiais arbitrárias seguintes, com antecedentes independentes, dos diádicos similares φφφφ e ψψψψ: φφφφ=r ia

i e ψψψψ=eibi. Seja, ainda, µµµµ o

diádico de mudança da base e* para a base r *. Podemos escrever:

φφφφ ψψψψ= =( ) ( ) ,a . r r r b .e e eij i

j ij i

j e expressões estas que representam as formas

cartesianas mistas de φφφφ e ψψψψ nas bases r * e e* definidas por suas partes espaciais. Devemos comprovar que ai.r j=bi.ej para todo i e j. Por hipótese, subsiste (02)1; logo:

== φφφφjij

i )( rr.ra

.)()(

)(])[()(

jij

iji

nj

im n

m

jj

nmn

mii

rr.ebrr.eb

re.ee.eb.er

=δδ=

==

Igualando as coordenadas do primeiro membro e do último da igualdade acima, concluímos a tese. Reciprocamente, se são iguais as coordenadas mistas homônimas das reduções eneanomiais de dois diádicos em bases diferentes, esses diádicos são similares mediante o

diádico de mudança dessas bases. Com efeito, ponhamos: ψψψψ = A e ji

ije e φφφφ = B j

ii

jr r com

A B ji

ji= . Sendo µµµµ = r ei

i o diádico de mudança, tem-se: ii

P er=µµµµ , ii e.r µµµµ= e

jPj e.r µµµµ= . Logo: φφφφ µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ= =A A j

ii P

j ji

ij

PT( )( ) ( ) ..e .e . e e . Lembrando que

µµµµ µµµµ PT = −1, resulta: 1 −= µµµµψψψψµµµµφφφφ . . , e φφφφ e ψψψψ são similares mediante µµµµ.

Corol. 1: A CNS para que dois diádicos sejam similares mediante o diádico de mudança de seus tercetos espaciais em reduções eneanomiais arbitrárias é que as suas matrizes mistas homônimas correspondentes sejam iguais:

1 −= µµµµψψψψµµµµφφφφ . . ⇐ ji

ij rrφ=φφφφ , j

iij eeψ=ψψψψ

e ii e.r µµµµ= , com iP

i b.a µµµµ= ⇒ [φij]r=[ψi

j]e (03)1,

ou

1TT −= µµµµψψψψµµµµφφφφ . . ⇐ jij

i rrφ=φφφφ , jij

i eeψ=ψψψψ

e iP

i e.r µµµµ= , com ii b.a ′=′ µµµµ ⇒ [φij]r=[ψi

j]e, (03)2.

Page 323: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 303

Poliádicos - Ruggeri

Não é difícil comprovar, no tocante às coordenadas duplamente co-variantes ou contravariantes, que:

T µµµµψψψψµµµµφφφφ . . = ⇐ jiij rrφ=φφφφ , ji

ij eeψ=ψψψψ

e ii e.r µµµµ= , com iP

i b.a µµµµ= ⇒ [φij]r=[ψij]e (03)3;

e 1P −= µµµµψψψψµµµµφφφφ . . ⇐ ji

ij rrφ=φφφφ , ji ij eeψ=ψψψψ

e iP

i e.r µµµµ= , com iPi b.a ′=′ µµµµ ⇒ [φij]r=[ψij]e, (03)4.

Já observamos (§ 09.02,II, Nota 1) que ao estudar-se uma TL pela matriz associada ao diádico que a rege, devem ser mencionadas a natureza (variância) dessa matriz e a base a que ela se refere. Assim:

1) - Seja [Aij] a matriz relativa à base e* com φφφφ = Aijeie

j e a matriz [Bij] relativa à base r * com φφφφ = Bi

jr irj . Como φφφφ rege uma única TL, deve haver alguma relação

entre suas matrizes associadas, assunto que será discutido mais à frente (§02.04).

2) – O estudo das TLs fica extremamente simplificado se as bases a serem consideradas forem todas ortonormadas, desaparecendo a distinção entre as diferentes matrizes associadas. Isso é muito vantajoso por um lado, mas nem sempre possível e adequado por outro.

Teor. 3: Se dois diádicos são similares (mediante certo completo), similares são também as suas potências de expoente inteiro, K, (mediante o mesmo completo):

∀ = ⇒ = ∀− −φφφφ ψψψψ φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ, : , K >K K. . . .1 1 0, (05), e

∀ ≠ = ⇒ = ∀− −φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ, , : ,3

1 10 K,K K. . . . (051).

Pois temos:

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ µµµµ2 1 1 1 1 2 1= = =− − − − −( ) ( ) ( ) ,. . . . . . . . . . . .

131213 )()( −−− == µµµµψψψψµµµµµµµµψψψψµµµµµµµµφφφφµµµµφφφφ ....... etc.,

propriedade que, então, é válida para potências 2,3 etc.não sendo difícil comprovar-se que ela é válida para qualquer expoente positivo. Se o diádico ψψψψ for completo, a propriedade será válida, também, para expoentes negativos.

Teor. 4: Diádicos similares (completos ou incompletos) têm a mesma equação característica, logo os mesmos autovalores.

Sejam φφφφ e ψψψψ diádicos similares com φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ= −. . 1. Tem-se, lembrando ((04), §05.03,II e (08), §08.01,II): φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ ψψψψ

3 3 31

3= =−. .

3, isso é, φφφφ e ψψψψ têm o mesmo terceiro.

Page 324: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

304 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade.

III,§ 02.02

Considerando, agora, as ((02), §07.01,II) escrevemos:

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ ψψψψ µµµµ µµµµ µµµµ ψψψψ ψψψψ ψψψψE E E E E E

= = = = =− − −( ) [( ) ] [ ( )] ( ) ,. . . . . . .1 1 1 ΙΙΙΙ

isso é, φφφφ e ψψψψ têm os mesmos escalares. Tomando o adjunto de ambos os membros da relação de similaridade, escrevemos, lembrando ((01), §08.03,II): φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµ~ ~ ~ ~.= −1 . . Considerando ainda ((10), §08.01,II) e, depois, ((07), §08.03,II), tem-se, ainda:

1133

-1 ~ ~)( ~ −− == µµµµψψψψµµµµµµµµµµµµψψψψµµµµφφφφφφφφ .... , (logo, φφφφ ψψψψ~ ~ e são similares),

de onde deduzimos, tal como anteriormente: ~E

~E ψψψψφφφφ = . Assim, os diádicos similares têm

a mesma equação característica e, por conseqüência, os mesmos autovalores.

Para provar que φφφφ-1 = µµµµ.ψψψψ-1.µµµµ-1 podemos adotar o mesmo caminho que o adotado acima relativamente ao adjunto.

Corol. 1: Diádicos similares têm o mesmo grau de nulidade: são ambos completos, ambos planares ou ambos lineares.

O teorema é óbvio porque os diádicos similares têm o mesmo terceiro. Poder-se-ia

demonstrar também a proposição porque produto do tipo µµµµ.ψψψψ.µµµµ-1 (em que µµµµ é completo) têm o mesmo grau de nulidade do fator ψψψψ (Teor. 1, §05.04,II). É fácil também demonstrar o seguinte

Teor. 5:

Se φφφφ é similar a ψψψψ mediante µµµµ, então ψψψψ ψψψψT ( )~ é similar a φφφφ φφφφT ( )~ mediante

µµµµ µµµµT ( ).~ As transformações por similaridade gozam, ainda, das seguintes propriedades:

1ª) - Os similares de uma soma e de um produto de diádicos são iguais, respectivamente, à soma e ao produto dos similares dos diádicos:

µµµµ αααα ββββ µµµµ µµµµ αααα µµµµ µµµµ ββββ µµµµ. . . . . .( ... ) ... ,+ + = + +− − −1 1 1 (06),

...,)()(...)( 111 .......... −−− = µµµµββββµµµµµµµµααααµµµµµµµµββββααααµµµµ (061);

2ª) - O similar da P-ésima potência (P inteiro positivo) de um diádico, é a P-ésima potência de um similar desse diádico:

µµµµ φφφφ µµµµ µµµµ φφφφ µµµµ. . . .P P ( P inteiro positivo),− −= ∀1 1( ) , (07);

Page 325: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.03 - Matriz de mudança de base. 305

Poliádicos - Ruggeri

e se φφφφ é completo, P é um inteiro qualquer:

φφφφ µµµµ φφφφ µµµµ µµµµ φφφφ µµµµ3

1 10,≠ = ∀− − ( P inteiro),P P. . . .( ) , (071).

Pois, (071) é um caso particular de (061) para αααα = ββββ = ... = φφφφ.

3ª) - O similar de um polinômio diádico P(χχχχ) é o mesmo polinômio de um similar de χχχχ:

µµµµ χχχχ µµµµ µµµµ χχχχ µµµµ.P . P . .( ) (1 1− −= ), (08). Com efeito, essa propriedade é conseqüência imediata das duas primeiras:

µµµµ χχχχ µµµµ µµµµ χχχχ χχχχ µµµµ

µµµµ µµµµ µµµµ χχχχ µµµµ µµµµ χχχχ µµµµ

. . . .

. . . . . .

P( ) C C C

C C P(

1

0 1 2

0 1

1

− −

− − −

= + + + =

= + + =

( ... )

( ) ( ) ... ).

ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ

2 1

1 1

4ª) – Se X é um autovalor do diagonalizável χχχχ, então P(χχχχ) tem P(X) por autovalor.

Pois, se µµµµ é o diádico que diagonaliza χχχχ então P(µµµµ.χχχχ.µµµµ-1) é certo polinômio diádico de χχχχ diagonalizado. Sendo X autovalor de χχχχ, e também de µµµµ.χχχχ.µµµµ-1, P(X) é autovalor de P(µµµµ.χχχχ.µµµµ-1), o qual, pela propriedade anterior e pelo Teor. 4, é também autovalor de P(χχχχ).

§ 02.03 - Matriz de mudança de base.

Sendo µµµµ = r eii , podemos escrever, decompondo os antecedentes r i na base e*:

µµµµ = ( ) ,r .e e eij

ji (01).

Decompondo, por outro lado, os conseqüentes na base r *, escrevemos:

µµµµ = =r e . r r r .e r rii

jj

ji

ij( ) ( ) ,

ou, ainda, trocando os índices indicativos das somatórias:

µµµµ = ( )r .e r rij

ji , (02).

Vemos por (01) e (02) que se o diádico µ de mudança da base e* para a base r * esta expresso em forma cartesiana mista, tendo como díades fundamentais as obtidas nos produtos justapostos dos vetores de qualquer das bases pelos seus recíprocos, as suas matrizes associadas são iguais.

Page 326: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

306 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade.

III,§ 02.03

Definição: (matriz de mudança de base) A matriz:

[ ] ,µµµµ =

r . e r . e r .e

r . e r . e r . e

r .e r . e r . e

11

21

31

12

22

32

13

23

33

(03),

cujos elementos da i-ésima coluna são as coordenadas do vetor r i na base

e* , denomina-se matriz de mudança da base e* para a base r* . Deduzimos imediatamente que o determinante da matriz de mudança da base e* para a base r* é igual ao terceiro do diádico de mudança da base r* para a base e*, µµµµ3=µµµµT

3. Com efeito, conforme ((062), §03.03,I) o determinante da matriz (03) é igual a (r 1r 2r 3)(e

1e2e3), ou seja, µ3.

Entre as matrizes dos diádicos µµµµ µµµµ µµµµ, T e −1 existem, obviamente, relações análogas às dos diádicos correspondentes:

[ ] [ ] ,µµµµ µµµµT T= (04),

][][ ][][ ][ 11 I.. == −− µµµµµµµµµµµµµµµµ , (05).

Com efeito, a matriz de µµµµ T é a de mudança da base r * para a e*; seu elemento

genérico, o da i-ésima coluna e j-ésima linha é, pois, ei.r j. Ora, este elemento é o genérico

da matriz de µµµµ, pertencendo à sua i-ésima linha e j-ésima coluna; logo, tem-se (04).

Sendo r j.ei = ei.r j o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de [µµµµ] e ek.r

j = r j.ek

o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna de [µµµµ-1](ver §09.08,II), ou seja

=−

33

23

13

32

22

12

31

21

11

1

][e.re.re.re.re.re.re.re.re.r

µµµµ , (03)1,

então o elemento genérico da i-ésima linha e k-ésima coluna de [µµµµ].[µµµµ-1]é:

( )( ) [( ) ] .e . r r .e e . r r . e e .ei

j

j

k

i

j

j

k

i

k k

i= = = δ

Logo, [µµµµ].[µµµµ-1]= [ΙΙΙΙ]. Similarmente, demonstra-se a igualdade do segundo e do terceiro membros de (05).

As matrizes [µµµµ] e [µµµµ-1], satisfazendo (05), são, pois, inversas (uma da outra).

Page 327: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 307

Poliádicos - Ruggeri

Procuremos, agora, a relação existente entre [µµµµ]T e [µµµµ]-1. Determinemos, por exemplo, o complemento algébrico do elemento e1.r2 de [µµµµ]T. Considerando ((05),§04.03,I) esse número é escrito na forma

)()(

13

32

13

33

12

32

rr.eer.er.e

r.er.e ××= .

Lembrando propriedades dos recíprocos escrevemos, ainda,

]det[ )())()(()()( 21321

3212113

32 µµµµ.rerrreee.rerr.ee ==×× .

Fazendo cálculos análogos concluímos que a matriz associada a [µµµµ]-1, multiplicada pelo terceiro de µµµµ, é a matriz que se obtém de [µµµµ]T substituindo cada um de seus elementos pelo seu co-fator.

A matriz que se obtém de uma matriz dada, [µµµµ], substituindo-se na sua transposta

cada elemento pelo seu complemento algébrico, é a matriz adjunta de [µµµµ], e representa-se por [µµµµ]~ (ver §09.08,II). Então,

~][]].[det[ 1 µµµµµµµµµµµµ =− , (06),

e, por recorrência às (05), deduzimos também:

]].[det[][ ~][ ~][][ ΙΙΙΙµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµ == .. , (07).

Estabelecido o conceito de matriz de mudança de base, podemos, agora, comprovar que todas as propriedades dos diádicos e transformações lineares similares mediante um diádico µ podem ser estendidas às matrizes homônimas desses diádicos; essas matrizes são ditas similares mediante a matriz de mudança de base.

* Exercício: Comprovar que as matrizes homônimas de diádicos similares mediante um diádico µ de mudança de base são similares mediante a matriz de mudança de base [µ].

*

§ 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares. Tensores clássicos.

Se µµµµ é o diádico de mudança da base e* para a base r *, então

r .e r ei i ii e = =µµµµ µµµµ . A matriz de mudança da base e* para a base r * é ((03), §02.03),

e de mudança der * para e*, [ µµµµ-1], é dada por ((03)1,§02.03).

Transformação de coordenadas de vetores.

Escrevendo o mesmo vetor genérico v nas formas

v e e r r= = = =E E R Rii j

j ii j

j , (02),

deduzimos, imediatamente:

Page 328: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

308 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade.

III,§ 02.04

E R E Rj ii

jj i

ij= =( ) , ( )r . e r . e (03),

e

R E R Ej ii

jj i

ij= =( ) , ( ) ,e . r e . r (04).

Fazendo-se i,j = 1,2,3, as relações (03) e (04) podem ser escritas matricialmente nas formas correspondentes

EEE

RRR

EEE

RRR

1

2

1

2

3

1

2

3

P

1

2

33

=

=

[ ] , [ ] ,µµµµ µµµµ. . (031),

e (sua inversa):

RRR

EEE

RRR

EEE

1

2

3

1

2

3

1

2

3

T1

2

3

=

=

−[ ] , [ ] ,µµµµ µµµµ1 . . (041).

As fórmulas (031) e (041) mostram que, conhecendo-se as coordenadas de certo nome de um vetor numa certa base e a matriz de mudança desta base para uma outra, as coordenadas de mesmo nome deste vetor nesta última base podem ser determinadas.

O modo clássico de se conceberem os tensores cartesianos de ordem um é baseado nas fórmulas (031) e (041); esses tensores são entidades que, numa mudança de bases, têm as suas coordenadas em diferentes bases relacionadas por essas fórmulas.

Deve ser observado que não faz sentido imaginar os vetores de base como tensores porque eles são usados para definir esses tensores (de ordem um). Assim: nem todos os vetores são tensores de ordem um.

Transformação das coordenadas de diádicos Seja φφφφ um diádico regente de uma TL e φφφφ=ekb

k=r iai suas reduções trinomiais em

relação a duas bases quaisquer r* e e*; então:

sk

ks

sks

k E)( eeee.eb ==φφφφ e ji

ij

jij

i R)( rrrr.ra ==φφφφ (05),

são as suas representações cartesianas mistas (contravariantes/co-variantes) nas bases e* e r*. Sendo, ademais,

r r . e e r r . e ei ik

kj j

ss e = =( ) ( ) ,

escrevemos, ainda,

φφφφ = =( ) ( )( )( ) .b .e e e r .e a . r r .e e eks k

si

k ij

js k

s

Logo,

b .e r .e a . r r .eks i

k ij

js= ( )( )( ), (06).

Page 329: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 309

Poliádicos - Ruggeri

Escrevendo (05) na forma

φφφφ = =E R sk

ks

ji

ije e r r , (051),

temos, de (06):

E R sk k

i ji j

i= ( ) ( ) ,e . r r . e (061).

Ora, (ek.r i)Rij é a soma dos produtos dos elementos da k-ésima linha da matriz [µµµµ] pelos

correspondentes elementos da i-ésima coluna da matriz

[ .R]

R R R

R R R

R R R

1 1

2 1

3 1

12

22

32

13

23

33

=

Então, Eks é o elemento da k-ésima linha e s-ésima coluna do produto [µµµµ].[R].[µµµµ]-1, ou seja,

e . r e . r e . r

e . r e . r e . r

e . r e . r e . r

. .

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

11

12

13

21

22

23

31

32

33

1

3

11

12

13

21

22

23

31

32

33

R R R

R R R

R R R

1 2 1

3 1

12

22

32

13

23

3

.

Assim, para o (mesmo) diádico regente da TL:

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ], ∗∗

∗∗ −

∗∗ −

∗∗= =µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ. . . .1 1 (07).

Se escrevêssemos

φφφφ φφφφ= = = =( ) ( ) ,b .e e e e e a . r r r r rk sk s

k sk s

i ji j

i ji j

E e R

deduziríamos para as matrizes [E** ] e [R** ] as expressões

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ], ∗∗ ∗∗ − ∗∗ − ∗∗= =µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ. . . .1 1 (08).

Analogamente,

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ], ∗∗

∗∗ −

∗∗ −

∗∗= =µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ. . . .1 1 (071),

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],∗∗ ∗∗

−∗∗

−∗∗= =µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ. . . .1 1 (081).

Definição: (matrizes auto-similares). Duas matrizes, relativas a um mesmo diádico, que satisfazem as igualdades (07), (071), ou (081) são ditas auto-similares mediante a mudança de base operada pela matriz não singular [ µµµµ] . Diz-se, também, que estas matrizes são obtidas uma da outra por uma transformação de auto-similaridade.

As fórmulas (07), (071), (08) e (081) mostram como, conhecendo-se as coordenadas da certo nome de um diádico numa certa base e a matriz de mudança de uma base para a

Page 330: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

310 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade.

III,§ 02.04

outra, determinar as coordenadas correspondentes de mesmo nome nesta última base, porque

Se duas bases se transformam mediante a matriz [µµµµ], então são auto-similares mediante [µµµµ] as matrizes homônimas de um mesmo diádico (regente de uma TL) nessas bases.

Esta proposição é equivalente à seguinte:

"Se duas bases se transformam mediante a matriz [µµµµ], então são auto-similares mediante [µµµµ] as matrizes homônimas representativas de uma mesma transformação linear nessas bases";

ou, ainda,

"Se [R] é a matriz que representa a TL regida pelo diádico φφφφ na base r* , e se [µµµµ] é a matriz de mudança da base e* para a base r* , então

[ µµµµ] .[R] .[ µµµµ] -1 é a matriz [E] que representa a TL na base e* ".

Não é difícil demonstrar os teoremas seguintes, similares aos Teor. 1 e 3 e 4 do §02.02:

Teor. 1: Se duas matrizes são auto-similares, auto-similares são também as suas potências:

[ [ ] [ [ [ ] [ [ ] ,E] R] [ ] E] R] P >P P= ⇒ = ∀− −µ µ µ µ. . . .1 1 0, (09), e

| ,[ [ [ ] [ [ ] ,R| E] = [ ] [R] [ ] E] R] PP P≠ ⇒ = ∀− −0 1 1µµµµ µµµµ µµµµ µµµµ. . . . (091).

Teor. 2: Matrizes auto-similares têm o mesmo determinante, o mesmo traço e adjuntas e inversas similares.

Corol. 1: Se duas matrizes são similares, são iguais os traços e os determinantes das suas adjuntas e os das suas inversas.

Teor. 3: Se [E] é similar a [R] mediante [µµµµ], então [R]T e [R]~ são similares a [E]T e [E] ~ mediante [µµµµ] T e [µµµµ] ~, respectivamente.

Tal como no caso dos vetores, é precisamente pelas fórmulas (07), (071), (08) e (081) que são (classicamente) definidos os tensores cartesianos de ordem 2; assim,

Tensores de ordem dois são diádicos que, numa mudança de base definida por uma matriz [µµµµ], têm as suas matrizes associadas relacionadas pelas leis (07), (071), (08) e (081);

ou, o que é o mesmo:

Tensores de ordem 2 são diádicos auto-similares.

Page 331: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. 311

Poliádicos - Ruggeri

Pelas (07), (071), (08) e (081) e pelas (031) e (041) fica fácil comprovar que

os vetores motivo de um diádico são tensores de ordem um.

Pois, por exemplo, as coordenadas co-variantes E ji i

j= a .e de ai na base e* são

expressas em função das coordenadas R ji i

j= a . r do vetor ai na base r * na forma (031)2,

que expressa o "regime tensorial". Com efeito, sendo A R

ji i

ji

kk

jk

j ki= = =a .e a . r r . e r .e[( ) ] ( ) ,

resulta, fazendo-se j = 1, 2, 3 e somando-se em k:

A

A

A

R

R

R

R

R

R

1i

2i

3i

1i

2i

3i

P

1i

2i

3i

=

=

r . e r . e r . e

r .e r . e r . e

r . e r . e r . e

. .

11

21

31

12

22

32

13

23

33

[ ]µµµµ .

Deve ser observado que diádicos similares regem transformações lineares distintas, ambos podendo ser tensores. De fato, se 1−= µµµµψψψψµµµµφφφφ .. e se 1−= ηηηηφφφφηηηηφφφφ .. (φφφφ é um diádico

auto-similar), então: )()( 11 −−= ηηηηµµµµψψψψµµµµηηηηφφφφ .... e )()( 1111 µµµµηηηηµµµµψψψψµµµµηηηηµµµµµµµµφφφφµµµµψψψψ ........ −−−− == , ou

seja, 111 )()( −−−= µµµµηηηηµµµµψψψψµµµµηηηηµµµµψψψψ ...... . Ora, µ e ηηηη são quaisquer e µ-1.ηηηη.µ é um diádico de

mudança de base. Logo ψψψψ é auto-similar. Em resumo:

Se dois diádicos são similares e um deles é um tensor, o outro também é um tensor.

Entretanto, dois diádicos podem ser similares e nenhum deles um tensor; ou, ainda:

todo tensor de ordem 2 é um diádico auto-similar, mas nem todo diádico é um tensor.

O melhor exemplo de diádico que não é tensor é o de mudança de base . Nem faz sentido essa consideração porque esses diádicos são usados para definir o tensor.

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. A igualdade de um diádico com o seu transposto – o que caracteriza a sua simetria (§04.02,II) - será dita, ainda, a condição da sua “simetria interna”. Por enquanto essa nomenclatura tem um caráter apenas formal. Quando, por exemplo, uma propriedade física de um material é representada por um diádico (simétrico ou não), pode acontecer que (por alguma imposição decorrente da natureza do material) ele deva ser invariante em certa transformação geométrica. As transformações geométricas mais comuns são: as simetrias em relação a planos e as rotações de certos ângulos em torno de certos eixos. Em outras palavras, à luz do que vimos no § 02.04, o diádico representativo da propriedade deve ser auto-similar mediante o diádico que caracteriza aquela transformação. Essas imposições incorporam ao diádico certas características de simetria que o qualificam como invariante nesta ou naquela transformação; dizemos, nesses casos, que esse diádico apresenta “simetrias externas”. As simetrias externas nas rotações serão estudadas mais à frente (§06.04).

Page 332: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

312 § 02 - Mudança de base. Transformações por similaridade..

III,§ 02.05

Diádicos com simetria externa em relação a um plano.

Seja R' o ponto simétrico de R em relação a um plano, paralelamente a dado vetor e3

98. Dois vetores arbitrários e não paralelos desse plano, e e1 2 e , definem com e3 uma base

no espaço dos vetores. Então podemos escrever em relação a uma origem arbitrária:

33

22

11

ii RRR e R : eeererr −+=′=∀ .

O diádico que rege a simetria de R em relação ao plano paralelamente a e3 é

µµµµ = + −e e e e e e1

12

23

3, (01),

pois, sendo ii .R er= ,

.rr.er.eer.eer.er µµµµµµµµ ==−+=′ T3

32

21

1 )()()( .

A matriz associada a µ na base e* é

=1-00

010

001

][ ** eµµµµ , (011).

O diádico µµµµ pode ser entendido como o diádico de mudança da base , , e e e1 2 3

para a base , , e e e1 2 3

, ou, ainda, da base , , e e e1 2 3

para a base , , e e e1 2 3

− . Isto

significa que µµµµ µµµµ= −1, com µµµµ3

1= − , o que é fácil comprovar por (01).

Seja R" o simétrico de R' em relação à origem arbitrada. Temos:

′′ = − ′ = −r r . r( )µµµµ , (02), Sendo

− = − + + − + = − + − + +µµµµ ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e . e e e e e e e e e e e e . e e e e e e1

12

23

31

12

23

31

12

23

31

12

23

3

resulta que R é transformado em R" por dois estágios comutativos de simetria: em relação ao plano ( )e e

2 3, paralelamente a e1 e em relação ao plano ( )e e

3 1, paralelamente a e2.

Por outro lado, escrevendo (02) na forma:

)( r.rr −=′−=′′ µµµµ ,

vemos que a dupla simetria atrás referida é equivalente a uma inversão do ponto R em relação à origem, seguida de uma simetria em relação ao plano ( )e e

1 2, , paralelamente à

direção e3; o que é geometricamente evidente. No §06.03,A mostraremos que essa operação é idêntica à dos diádicos biquadrantais, caso particular dos diádicos denominados cíclicos.

Finalmente, observemos que

Uma simetria em relação a três planos, paralelamente às suas interseções, é equivalente a uma inversão em relação ao ponto comum a esses planos,

98 Numa situação particular essa simetria poderia ser a “ortogonal”.

Page 333: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. 313

Poliádicos - Ruggeri

pois,

r.reeeeee.eeeeee.eeeeee −=++−+−−+ )()()( 33

22

11

33

22

11

33

22

11 .

*

Se jjbe=φφφφ é a representação trinomial do diádico φφφφ em relação à base e*, então:

=

33

23

13

32

22

12

31

21

11

** ][

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

eφφφφ .

Se esse diádico deve ser auto-similar em relação ao diádico µµµµ que rege simetrias em relação

ao plano (e1, e2) paralelamente a e3, tem-se: )()( 33

22

11

33

22

11 eeeeee..eeeeee −+−+= φφφφφφφφ .

Operando no segundo membro, virá:

µµµµφφφφ ).( 33

22

11 bebebe −+= , ou, ainda, µµµµµµµµµµµµφφφφ .be.be.be 3

32

21

1 −+= .

Então, (por ser jjbe=φφφφ )

µµµµµµµµµµµµ .bb.bb.bb 332211 e , −=== ,

isso é, 3

1 eb ⊥ , pois 31

31

31

31 )( .ebe.b.e.b.eb −=−== µµµµ . Analogamente comprovaríamos

que b2.e3=0, logo 32 eb ⊥ ; e b3.e1= b3.e2=0, logo 33 || eb .

Assim, em relação às bases recíprocas e* e e* a matriz mista associada a φφφφ é

=

33

22

12

21

11

**

00

0

0

][

.eb

.eb.eb

.eb.eb

eφφφφ , (03),

sendo evidente que [φφφφ*

*]e=[µ**].[φφφφ*

*].[µ**].

A matriz duplamente co-variante associada a φφφφ é dada por [φφφφ** ]=[G** ].[φφφφ*

*] (conforme Tabela, §09.03,II), isso é,

=

=

33

2212

2111

33

23

13

32

22

12

31

21

11

332313

322212

312111

**

00

0

0

.][

.e.e

.e.e.e.e

.e.e.e.e

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

.ee.ee.ee

.ee.ee.ee

.ee.ee.ee

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

φφφφ .

Se φφφφ for simétrico internamente, vê-se que a matriz [φφφφ** ] será simétrica necessariamente, pois e1.φφφφ.e2=e2.φφφφ.e1.

Page 334: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

314 § 03 –Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.01

Pesquisa de sistemas convenientes de representação Pelas expressões ((03)1, § 02.04), ou suas inversas ((04)1, § 02.04), podemos calcular as coordenadas de um ponto quando efetuamos uma mudança de base. Similarmente, pelas expressões ((07), § 02.04), podemos calcular as novas coordenadas de um diádico numa mudança de base. Ora, se, em relação a uma determinada base, tivermos que estudar a TL regida por um diádico φφφφ, e se tivermos que calcular as coordenadas dos transformados de diversos

pontos (mediante φφφφ) - sempre aplicando a fórmula (03), § 01.03) como exemplificado pelo

exemplo numérico 1, § 01.03 - será bastante oportuno procurar uma representação cartesiana para φφφφ que facilite esse trabalho. Com outras palavras, será oportuno encontrar uma base adequada, em relação à qual essas operações (dentre outras) e o estudo de propriedades sejam facilitados; caso em que, com uma mudança de base, a matriz associada a um diádico será certamente mais simples (contendo muitos elementos nulos, por exemplo, ou sendo simétrica, triangular etc.).

Conhecidas, então, as fórmulas de transformação ((08), § 02.04), resta-nos encontrar a mudança de base adequada que simplifique a matriz associada ao diádico.

§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS.

§ 03.01 - Polinômio mínimo. Definimos (§ 05.02,II) o polinômio diádico inteiro pela expressão:

PQ

( )φφφφ = + + + + ∀C C C C ,0 1 2 Q

QΙΙΙΙ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ2 ... , (01),

onde os Ci são números reais99 e Q é inteiro positivo. Quando o diádico φφφφ é completo (φφφφ3≠0) os expoentes podem ser também números inteiros negativos. Se, em relação a um EN,

P e g e x eQ i

ii

ii

e ( ) ,φφφφ φφφφ= = independentes, (i = 1,2,...,N), (02),

são reduções N-nomiais (contravariantes)100 de φφφφ e de PQ (φφφφ) (§ 02.07,II), então podemos

escrever a redução N-nomial correspondente de PQ (φφφφ) na forma: P

Q( )φφφφ =

= = [C + C + C ( C

... C

ii

i 0i

1i

2i

jj

3i

jj

kk

Qi

jj

kk

rv

ww

e g e e x x .e x x .e x .e x

x .e x .e x .e x .e x

) ( )( ) ...

( )( )( )... ( ) ],

+ +

+

99 No Cap. V examinaremos os casos em que os Ci são números complexos. 100Com uma redução N-nomial co-variante a teoria em desenvolvimento poderia ser conduzida analogamente para obterem-se os mesmos resultados.

Page 335: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.01 - Polinômio mínimo. 315

Poliádicos - Ruggeri

onde i,j,k,...,v,w = 1,2,...,N. Logo:

g e x x .e x x .e x .e x .e xi0

i1

i2

ij

jP

ij

jk

vw

w= C + C + C ( C) ... ( ) ( )... ( ) ,+ + (03).

Se decompusermos os vetores gi e xi na base e1,e2,e3, escrevendo

g g .e e e x x .e e ei im

m mi m i i

mm

mi m= ( ) = G e = ( ) = X , (04),

obteremos de (03) as coordenadas cartesianas mistas de PQ (φφφφ):

G = C + C X + C X X +...+C X X ...X X , mi

0 mi

1 mi

2 ji

mj

Q ji

k

j

wv

mwδ (05).

Com as decomposições (04), as matrizes mistas associadas aos diádicos φφφφ e PQ (φφφφ) são:

[ ] [ ] ( )] ,φφφφ φφφφ= =

=

X

X X X

X X X

X X X

e [P

G G G

G G G

G G G mi

1 2 1

3 1

12

22

32

13

23

33

Q

1 1

2 1

3

12

22

32

13

23

33

1 1

(06);

logo, de (05) escrevemos101, para i,m = 1,2,...,N:

[ ( )]PQ

φφφφ = + + + +C C C C0 1 2 Q

Q[ ] [ ] [ ] ... [ ],ΙΙΙΙ φφφφ φφφφ φφφφ2 (07).

Assim, ao polinômio diádico (01), relativamente à base e1,e2,e3, está associada a expressão (07) definida como um polinômio matricial inteiro da matriz [φφφφ]. Examinemos as condições de existência de números reais Ci para que um polinômio

diádico de dado diádico possa anular-se. Ora, sendo dados os Xim, as equações (05), em

número de N2, constituirão um sistema homogêneo de N2 equações com Q+1 incógnitas: C0,C1,C2,...,CQ. Da Álgebra sabemos que a CNS para que o sistema homogêneo (05) admita soluções não nulas (e se admitir uma admitirá infinitas) é que o grau do determinante principal do sistema102 seja menor que Q+1 (número de incógnitas). Como este vale, no máximo, N2, resulta que a existência de números Ci, não simultaneamente nulos, que anulem PQ (φφφφ), fica condicionada à verificação da desigualdade em números inteiros

N < Q + 1, ou, simplesmente, N Q,2 2 ≤ (08), 101Notar que ao fazermos todos os índices assumirem (ordenadamente) os valores 1,2,...,N, Gi

m representará o elemento da i-ésima linha e m-ésima coluna na matriz [PP(φφφφ)], Xi

m o correspondente na matriz [φφφφ], XijX

jm (notar

a somatória em j) o correspondente na matriz [φφφφ2] etc. 102O determinante principal do sistema é qualquer determinante não nulo, da maior ordem possível que se pode formar com os coeficientes das incógnitas; a ordem do principal é às vezes denominada a classe ou o posto do determinante (rank em inglês).

Page 336: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

316 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.01

isso é,

Q 1 no E , Q 4 no E e Q 9 no E .1 2 3

≥ ≥ ≥

Logo, temos demonstrado o seguinte

Teor. 1: (existência de coeficientes) Existem infinitos conjuntos de N2+1 números reais não simultaneamente nulos: C0, C1, C2, ..., CN2 , tais, que para qualquer φφφφ gerado de EN,,

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ =C+...+C+C+C2

2N

N2

210 , (09);

ou, em forma matricial equivalente,

][=][C+...+][C+][C+][C2

2N

N2

210 ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ , (091).

Se trocarmos no polinômio diádico (01), o diádico φφφφQ por XQ, obteremos o polinômio:

P (X) = C C X + C X C XQ 0 1 22

NN

22+ + +... , (092),

o qual será denominado polinômio associado ao polinômio diádico (01) ou ao polinômio matricial (07). Por outro lado, dado ao acaso um polinômio de coeficientes reais como (092), diremos que ele anula certo diádico φφφφ, ou certa matriz [φφφφ], se forem verificadas (09) e (091), respectivamente. Observando que o teorema acima demonstrado não exclui a possibilidade de alguns dos Ci serem nulos (eventualmente o CN2, por exemplo), concluímos:

Corol. 1: Dado um diádico qualquer, φφφφ, gerado de EN, o grau do polinômio real que anula φφφφ não é maior que N2.

Teor. 2: O polinômio que anula um(a) diádico(matriz), anula também os(as) seus(suas) similares.

Se φφφφ é similar a ψψψψ (§ 02.02) mediante µµµµ, φφφφ = µµµµ.ψψψψ.µµµµ-1. Então, se

ΟΟΟΟψψψψψψψψψψψψΙΙΙΙψψψψ ==2

2N

N2

210Q C+ ... +C+C+C)(P ,

tem-se

Page 337: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.01 - Polinômio mínimo. 317

Poliádicos - Ruggeri

ΟΟΟΟµµµµψψψψµµµµµµµµψψψψµµµµµµµµΙΙΙΙµµµµµµµµψψψψµµµµ =+++= −−−− 1NN

11

10

1Q

2

2C...CC)( ........P ,

ou, ainda, lembrando ((09), § 02.04):

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙ =++++2

2N

N2

210 C...CCC .

É fácil demonstrar o teorema para as matrizes.

Teor. 3: (unicidade) O polinômio de menor grau que anula um diádico φφφφ é único.

Demonstremos o teorema por redução ao absurdo. Suponhamos existirem dois polinômios, do mesmo grau, M, que anulem φφφφ:

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ =K+...+K+K+K=)( MM

2210MP

e

ΟΟΟΟφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ =L+...+L+L+L=)( Mm

2210MQ .

Multiplicando ambos os membros de PM(φφφφ) por LM, o de QM(φφφφ) por KM e subtraindo membro a membro, temos:

ΟΟΟΟφφφφφφφφΙΙΙΙ =)LKK(L+...+)KLK(L+)KLK(L 1M1mM1mMM11MM00M

−−− −−− .

Esse polinômio não é identicamente nulo porque se fosse,

K

L

K

L

K

L0

0

1

1

m

m= = =...

e os dois polinômios, PM(φφφφ) e QM(φφφφ), seriam iguais (o que contraria a hipótese e demonstra o teorema). Mas se o polinômio não é identicamente nulo, ele é um polinômio de grau menor que M, que anula φφφφ; então PM(φφφφ) e QM(φφφφ) não são polinômios de menor grau que anulam φφφφ, o que também é contra a hipótese. Logo, o polinômio de menor grau que anula φφφφ é único.

Definição: (polinômio mínimo)

O polinômio escalar de menor grau que anula um diádico φφφφ denomina-se

"polinômio mínimo" de φφφφ; representa-se por: Pmin(φφφφ), e seu polinômio diádico associado: Pmin(φφφφ) = ΟΟΟΟ 103.

103Notar que, por ser Pmin(φφφφ) um escalar, a letra P aparece ao natural, enquanto que para o polinômio diádico Pmin(φφφφ)=ΟΟΟΟ, a letra P aparece em negrito.

Page 338: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

318 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.01

Teor. 4: Diádicos e matrizes similares têm o mesmo polinômio mínimo.

É evidente o teorema em vista do Teor. 2.

Teor. 5: O polinômio mínimo de um diádico φφφφ é fator de qualquer polinômio que anula esse diádico.

Com efeito, seja PQ(φφφφ), Q ≤ N2, um polinômio que anule o diádico φφφφ. Podemos escrever, pelas regras da Álgebra:

P ) = Q( ) P ( ) + R ),Q

(min R

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. ( (10),

sendo RR(φφφφ) = 0 um polinômio de grau R menor que o grau de Pmin(φφφφ). Então, o polinômio diádico correspondente a (10) é:

P Q .P RP min R= ( + (( ) ) ( ) )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ , (11). Como, por hipótese, PQ(φφφφ) anula φφφφ, PQ(φφφφ) = ΟΟΟΟ. Mas Pmin (φφφφ) também anula φφφφ; logo, RR(φφφφ)=ΟΟΟΟ. Então RR(φφφφ) é um polinômio de grau menor que o de Pmin(φφφφ) que anula φφφφ. Como ele não é o polinômio mínimo, RR(φφφφ) = 0 necessariamente. Então:

P ( ) = Q( ) P ( ),P minφφφφ φφφφ φφφφ.

isso é, P ( )min φφφφ é fator de P ( )Q

φφφφ .

Corol. 1: Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de grau não maior que o grau do seu polinômio mínimo.

Pois, dado o polinômio diádico (01) com grau P qualquer, podemos escrever, de (11): PR(φφφφ) = RR(φφφφ), porque Pmin(φφφφ) =ΟΟΟΟ.

Nota : A determinação de RR(φφφφ) fica, entretanto, na dependência da determinação de Pmin(φφφφ). Com

efeito, dado PP(φφφφ) escrevemos PP(φφφφ); então, de (10), determinaremos RR(φφφφ) - e, logo, RR(φφφφ)

- desde que predeterminemos Pmin(φφφφ).

§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico.

Teor. 1: (o adjunto como um polinômio diádico do segundo grau)

Tem-se:

∀ − − : = + [( ) ( ) ] ,~ 2E E

2 2Eφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

1

2ΙΙΙΙ (01).

Page 339: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. 319

Poliádicos - Ruggeri

Com efeito, trocando φφφφ por φφφφ ~ em ((01)2,§ 07.04,II), transpondo e considerando ((01)1,§ 08.02,II), escrevemos:

ΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ ])()[(2

1 ~) ( E

22E

T −+−=×× .

Fazendo ψψψψ = ΙΙΙΙ no terceiro membro de ((02)1,§ 07.06,II), transpondo e lembrando ((01),§ 08.01,II), escrevemos também:

φφφφφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφ E2T ) ( +−=×

× .

Igualando os segundos membros dessas expressões encontramos (01)104.

Corol. 1: Qualquer que seja o diádico φφφφ, o polinômio real, único,

C ( ) = X X + X ,

33

E2

E~

3φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ− − (02),

anula o diádico φφφφ, isso é,

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ =+=)( 3~E

2E

33 −−C , (03).

Com efeito, escrevendo (01) na forma mais compacta:

104 Podemos obter o mesmo resultado considerando-se φφφφ = ψψψψ em ((03), § 07.01, II).

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ~ 2

E E~= + ,− Ι (011),

multiplicando ambos os seus membros por φφφφ, considerando ((11),§ 08.01,II) e transpondo termos, encontramos (03). Logo, o polinômio (02) anula φφφφ.

Definição: (polinômio característico)

O polinômio real do terceiro grau, (02), que anula φφφφ, denomina-se polinômio característico de φφφφ, e seu polinômio diádico associado, polinômio

de Cayley-Hamilton (CH) de φφφφ.

Corol. 2: O polinômio mínimo de um diádico é fator de seu polinômio característico, ou se identifica com ele.

Porque pelo Teor. 5, § 03.01, o polinômio mínimo de um diádico é fator de qualquer polinômio que o anula; logo, é fator do polinômio característico (ou é o próprio).

Page 340: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

320 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.02

Nota : Os teoremas até aqui demonstrados não fornecem maiores informações quanto às condições em que os polinômios mínimo e característico se confundem; essa questão será resolvida mais à frente.

Corol. 3: Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de grau não maior que dois.

Pois, dado o polinômio PQ(φφφφ) podemos associar-lhe PQ(φφφφ); e dado φφφφ podemos escrever C3(φφφφ). Pelas regras da Álgebra, escrevemos:

P ( ) = Q( )C ( ) + R ( ), R < 2.Q 3 R

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

Substituindo nesta expressão as potências de X por potências iguais de φφφφ, considerando (03), teremos: P R

Q R( = (φφφφ φφφφ) ) .

Regra : A demonstração deste corolário já constitui uma regra para o cálculo de um polinômio diádico, de grau qualquer, de dado diádico φ.

* Exemplo numérico 1:

Escrever o polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a do exemplo numérico 1 do § 01.03 e verificar (03).

Solução:

Tem-se, no caso:

φφφφ φφφφ φφφφE E

~3

e = 3,5.= = + + = + + =3 51 5 0

0 1

1 0

0 1

1 1

2 1 51 5 1 3 5 6,, ;

,

,, ,

Logo: C ) X + X 3,5,

33 2( ,φφφφ = − −3 5X 6

devendo, então, verificar-se (03), isso é,

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφφφφφ =−−= 3,56+5,3)( 233C .

De fato, sendo:

[ ] , ,

,

]

,75

, ,625 ,φφφφ φφφφ2 3

1 1 0

2 1 5 0

0 0 1

1 1 0

2 1 5 0

0 0 1

1 2 5 0

5 0,25 0

0 0 1

6 2 0

5 5 4 0

0 0 1

=−

=− −

=− −

. , e [

tem-se:

Page 341: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 321

Poliádicos - Ruggeri

− −−

6 2 75 05 5 4 625 00 0 1

,, , +

3 5 8,75 0

17 5 0,875 0

0 0 3 5

6 6 0

12 9 0

0 0 6

3 5 0 0

0 3 5 0

0 0 3 5

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

,

,

,

,

,

.− −−

+−

+−

−−

=

*

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico.

Definições: (equação e valores característicos) Os zeros do polinômio característico105 ((02) § 03.02) são denominados: zeros, raízes, ou valores característicos do diádico φ.φ.φ.φ.

Esses zeros são, então, as raízes da equação:

X X + X = 0,3E

2E~

3− −φφφφ φφφφ φφφφ (01);

A equação (01) é denominada a equação característica de φφφφ. Os valores característicos são denominados, ainda, valores próprios e autovalores de φφφφ.

* Exemplo numérico 1:

Determinar os zeros do polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a do exemplo numérico 1 do § 01.03.

Solução: Resolvendo a equação característica de φφφφ,

X + X 3,53 2− − =3 5X 6 0,,

encontramos:

X X i i, X i i.1 2 3

= = + ≅ + = − ≅ −1 1 7 1 1 1 7 1 1, ,25 ,75 ,25 ,391941 ,25 ,75 ,25 ,391941

Exemplo numérico 2:

Determinar os autovalores do diádico cuja matriz mista associada é

[ ] .φφφφ ∗∗ =

− −

2 0 2

0 1 1

1 1 0

Solução:

Tem-se:

4 e 522110

02

01

22

01

11 ;3 3

~E E −==++=

−−

+−−

+−−

=−= φφφφφφφφφφφφ

105Zero de um polinômio PP(X) é todo valor X0 de X que anula esse polinômio, isso é, X0 é tal que PP(X0)=0.

Page 342: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

322 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.03

Logo, a equação característica de φφφφ é:

04X5X3X 23 =+++ ,

cujas raízes (autovalores de φφφφ) são:

1,46775i0,77325X e 1,46775i0,77325X ,4535,1X 321 −−≅+−≅−≅

É óbvio que diferentes diádicos podem ter os mesmos valores próprios, bastando que sejam iguais os seus escalares, os escalares dos seus adjuntos e os seus terceiros (os coeficientes da equação (04)). Assim, em vista das relações ((03),§02.08),II), ((07),§02.08),II), ((09),§08.03,II) fica comprovada a seguinte propriedade:

Teor. 1: São iguais os autovalores de diádicos transpostos.

Logo:

Corol. 1: Diádicos transpostos têm a mesma equação característica.

Em vista do Teor. 4, § 02.02 e do seu Corol. 1, concluímos:

Teor. 2: São iguais os polinômios característicos (e, portanto os autovalores) de diádicos (matrizes) similares.

Pois, com efeito, são iguais os coeficientes da equação característica desses diádicos.

* Exercícios:

1) - Provar que, quaisquer que sejam os diádicos φφφφ e ψψψψ, φφφφ . ψψψψ e ψψψψ . φφφφ têm a mesma equação característica (Sylvester)106.

2) - Generalização do exercício anterior: Os produtos (cíclicos)

χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ1 2 3 1 1. . . . . . . . ... ...

i i i k− + e χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχi i k i

... ... . . . . . . . .+ −1 1 2 3 1

têm a mesma equação característica.

Denotando-se por A, B e C os zeros característicos do diádico φφφφ, e lembrando que todo polinômio vale o produto do coeficiente do seu termo de mais alto grau por todos os binômios que se obtêm subtraindo da letra representativa de sua variável cada um dos seus zeros, escrevemos:

C3 ( ) = (X A)(X B)(X C),φφφφ − − − (02). 106 Conforme Mirsky, L., An Introduction to Linear Algebra, Clarendon Press, 1955, Teor. 7.2.3, § 7.2, Cap. VII.

Page 343: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 323

Poliádicos - Ruggeri

Desenvolvendo (02), ordenando segundo as potências decrescentes de X, e comparando com ((02), § 03.02) deduzimos:

φφφφ

φφφφ

φφφφ

E

E~

3

= A + B + C,

= AB + BC + CA,

= ABC,

(03).

Teor. 3: A CNS para que um diádico seja completo é que todos os seus valores característicos sejam não nulos.

A demonstração é evidente por (03)3 mesmo que dois autovalores do diádico sejam complexos (conjugados).

* Exemplo numérico 3:

Verificar, pelas fórmulas (03), a veracidade dos valores encontrados para os autovalores dos diádicos dos exemplos numéricos 1 e 2.

Solução:

Tem-se, para exemplo numérico 1:

φφφφ

φφφφ

φφφφ

E 1 2 3

E~

1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

X + X + X +

X X + X X + X X + +

X X X +

= = × =

= = × × ≅

= = × ≅

1 2 1 35

1 1 1 2 1 6

1 1 1 3 5

2 2

2 2

,25 , ;

,25 ( ,391941... ) ,25 ;

( ,25 ,391941... ) , .

Analogamente, para o exemplo numérico 2, tem-se:

47522,24535,1XXX

513392,1246775,177325,0XXXXXX

0,377325,024535,1

3213

22133221

~E

E

−≅×−≅=

≅×++=++≅

−≅×−−≅

φφφφ

φφφφ

φφφφ

De (02) podemos escrever o polinômio diádico ((03),§ 03.02) na forma de produtos de binômios:

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ =)C()B()A(=)( :reais C, B, A, 3 −−− ..C , (04),

ou,

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφφφφφ =]BC+C)+(B[)A(=)( :complexos C e B real,=A 23 −− .C , (041),

em cujos segundos membros a ordem dos diádicos pode ser qualquer. Se, então, X representar qualquer uma das raízes reais de φφφφ, qualquer um dos diádicos do segundo

membro de (04) - denominados diádicos característicos de φφφφ - pode ser representado por

φφφφ-XΙΙΙΙ. Devemos ter sempre, de (04):

X = A, B, ou C ( X ) = 0,3

⇒ −φφφφ ΙΙΙΙ (05),

Page 344: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

324 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.03

porque se um dos característicos fosse completo, o polinômio CH seria do segundo grau, o que é absurdo. Como (05) é do terceiro grau em X, ela se identifica com (01). O terceiro ( X )

3φφφφ − ΙΙΙΙ é denominado terceiro característico de φφφφ.

Como, por (05), todos os diádicos característicos de φφφφ são incompletos, escrevemos, de ((11), § 08.01,II):

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ =)A()A(=)A()A( : realA ~~ −−−− .. , (06).

Lembrando ((01),§ 08.01,II) e aplicando ((15), § 07.01,II), ((01)2 e (016)1,§ 07.04,II), deduzimos, facilmente :

( A ) = + A + A(A ) ,~ ~Eφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ− −ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ (07).

Teor. 4: Se A é raiz real simples de φ,φ,φ,φ, φφφφ − AΙΙΙΙ não pode ser ortoplanar nem linear.

Porque se φφφφ − AΙΙΙΙ fosse ortoplanar, (φφφφ-AΙΙΙΙ)~ seria ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, §

08.01,II); se φφφφ − AΙΙΙΙ fosse linear, (φφφφ-AΙΙΙΙ)~ seria o diádico nulo (Corol. 2, Teor. 2, § 08.01,II);

em qualquer caso, ( -A ) 0E~φφφφ I = . Mas, de (07) temos:

( ) ,φφφφ φφφφ φφφφ− = + + − −A A A( B C)E~

E~

E EΙ Ι

donde, lembrando (03)1, (03)2 e ((02)1, § 02.09,II):

( )φφφφ − = − =A AB + BC + CA + A(A + B + C) 3A(B + C) 0,E~ΙΙΙΙ

ou, simplificando: ( .φφφφ − = − − =A ) (A B)(A C)

E~Ι 0 Esta igualdade é absurda porque A≠B e

A≠C. Logo, φφφφ − AΙΙΙΙ não pode ser ortoplanar, nem linear.

Teor. 5: Se A, B e C forem reais:

( A ) = ( C ) ( B ) ( B ) ( C ),

( B ) = ( C ) ( A ) = ( A ) ( C ),

( C ) = ( B ) ( A ) = ( A ) ( B ),

~

~

~

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ

− − − = − −

− − − − −

− − − − −

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

. .

. .

. .

(08).

Com efeito, lembrando a expressão ((011),§03.02), ou seja a de φφφφ~ como um polinômio do segundo grau em φφφφ, escrevemos, de (07), agrupando e evidenciando:

( ( ) .φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ− = − − −A ) A) + ( A + A~E E

~E

2ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2

Considerando as (03) resulta, então: ( ( ,φφφφ φφφφ φφφφ− = −A ) B + C) + BC~ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2 de onde, por fatoração (comutativa) no segundo membro, encontramos (08)1. Analogamente comprovaríamos as demais expressões.

Page 345: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 325

Poliádicos - Ruggeri

Se um característico φφφφ-XΙΙΙΙ é planar e se α) e β) são os planos dos seus antecedentes e

conseqüentes, respectivamente, então a direção do antecedente do seu adjunto, (φφφφ-XΙΙΙΙ)~, é ortogonal a β); e a do seu conseqüente, ortogonal a α). Representando por x e y, respectivamente, dois quaisquer dos infinitos vetores paralelos à direção do antecedente e

do conseqüente de (φφφφ-XΙΙΙΙ)~, escrevemos:

( X ) = , ou = X ,φφφφ φφφφ− ΙΙΙΙ .x o .x x (09), e

y. o y. y . y( X ) = , ou = X = ,Tφφφφ φφφφ φφφφ− ΙΙΙΙ (10),

isso é, φφφφ e φφφφT transformam vetores paralelos às direções do antecedente e do conseqüente de

(φφφφ-XΙΙΙΙ)~, respectivamente, em vetores paralelos a essas mesmas direções (Fig. 03.01).

Se um característico φφφφ-XΙΙΙΙ é linear ele pode ser escrito na forma φφφφ − X = ;ΙΙΙΙ mn nesse caso, qualquer vetor x do plano ortogonal a n e qualquer vetor y do plano ortogonal a m (Fig. 03.02) satisfazem a relações dos tipos (09) e (10), respectivamente.

Se, finalmente, um característico φφφφ − XΙΙΙΙ é nulo, é óbvio que qualquer vetor do espaço satisfaz a uma equação do tipo (09) ou do tipo (10).

Definição: (autovetor) Se X for um autovalor (real) de φφφφ, qualquer vetor, x, tal que: φφφφ.x = Xx, será dito um autovetor ou um vetor próprio de φφφφ associado a X. A direção de x será dita, também, uma direção própria de φφφφ.

Page 346: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

326 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.03

Como todo diádico tem ao menos um autovalor real, resulta:

Teor. 6: Todo diádico tem ao menos uma direção própria real.

*

Exemplo numérico 4: Determinar um autovetor do diádico φφφφ do exemplo numérico do § 01.03. Solução: Para a solução da questão é necessário o cálculo preliminar dos autovalores do diádico, o que já foi realizado no exemplo numérico 1 deste parágrafo. Em seguida, estaremos aptos para resolver o sistema homogêneo de equações lineares traduzido pela expressão diádica (09), ou seja,

( )

( , )

( ) ,

1 1 1 0 0

2 1 5 1 0 0

0 0 1 1 0

− − × + × =+ − + × =

× + × + − × =

L L L

L L L

L L L

1 2 3

1 2 3

1 2 3

donde,

L L e L1 2 3= = =0 número arbitrário. Então, a direção de $k é a única direção própria de φφφφ (correspondente ao autovalor +1).

*

Teor. 7: São paralelos os vetores próprios de φφφφK e de φφφφ (K inteiro positivo), mas os

autovalores de φφφφK são as potências K-ésimas dos de φφφφ:

∀ φφφφ e ∀ K inteiro positivo, φφφφ K K= X ,. x x (11);

e se φφφφ é completo, (11) vale para K inteiro negativo:

∀ φφφφ com φφφφ3 ≠ 0 e ∀ K inteiro, φφφφ K K= X ,. x x (12).

Com efeito, pré-multiplicando ambos os membros de (09) por φφφφ e aplicando a mesma relação (09) ao segundo membro formado, temos: φφφφ2.x = Xφφφφ.x = X2x, isso é, (11) é válida para P = 2. Por procedimentos análogos, aplicando o postulado da indução completa, podemos comprovar que (11) é válida para qualquer K positivo.

Se φφφφ é completo, podemos pré-multiplicar ambos os membros de (09) por φφφφ-1 e

agrupar convenientemente; temos, então: φφφφ-1.x = X-1 x, isso é (12) é válida para P = -1. Tal como anteriormente, poderíamos provar que (12) é válida para qualquer K negativo.

Page 347: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 327

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 8: Se φφφφ e ψψψψ são similares mediante µµµµ, e a é vetor próprio de ψψψψ relativo ao autovalor A, então b = µµµµ.a e A são, respectivamente, vetor próprio e valor próprio correspondentes de φφφφ:

φφφφ µµµµ ψψψψ µµµµψψψψ

φφφφ µµµµ µµµµ=

=

⇒ = =

−. .

. a a. . a .a b

1

AA A( ) ( ) , (13).

Temos (§ 02.02):

ψψψψ µµµµ φφφφ µµµµ µµµµ φφφφ µµµµ. a . . . a . . . a= =− −( ) ( ),1 1

ou, ainda, considerando que ψψψψ.a = Aa, vem: µµµµ φφφφ µµµµ− =1. . . a a( ) .A Agora, pré-multiplicando ambos os membros por µµµµ:

φφφφ µµµµ µµµµ φφφφ. .a .a .b b( ) ), ,= =A( ou, A isso é, b = µµµµ.a é vetor próprio de ψψψψ correspondente ao seu autovalor A.

Corol. 1: Diádicos similares mediante µµµµ têm os mesmos autovalores e autovetores transformados mediante µµµµ..

Diádicos com autovalores nulos.

Teor. 9: A CNS para que um diádico seja ortoplanar é que ele seja planar e tenha apenas dois autovalores nulos.

Se φφφφ é ortoplanar, φφφφ~ é ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II); então: φφφφ3 = 0 e

φφφφ E~ 0= . Sua equação característica é X3-φφφφEX2 = 0, o que implica apenas dois autovalores

nulos para φφφφ. Reciprocamente, se φφφφ é um diádico planar que tem apenas dois autovalores nulos, φφφφ3 = 0 e φφφφ E

~ 0= em vista das (03). Então φφφφ~ é ortolinear e φφφφ é ortoplanar (Corol. 4,

Teor. 2, § 08.01,II).

Corol. 1: Se dois diádicos são similares e um deles é ortoplanar, então o outro também é ortoplanar.

Pois ambos são planares (Teor. 2, § 02.02) e têm os mesmos autovalores (Corol. 1, Teor. 8).

*

Exemplo numérico 5: Comprovar que é ortoplanar o diádico de matriz co-variante

Page 348: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

328 § 03 – Elementos característicos de diádicos.

III,§ 03.03

[ ]φφφφ∗∗ =

4 2 4

4 2 4

5 4 5

na base de métrica

[ , ]G ] ou [G∗∗∗∗=

=

− −

2 2 1

2 5 1

1 1 2

1

9

9 3 3

3 3 0

3 0 6

.

Solução:

Temos, conforme ((031)3, §09.03,II):

[ ] [ ][ ]φφφφ φφφφ

G∗∗ ∗∗

∗∗= =

1 0 1

0 0 0

2 2 2

.

Logo: φφφφ φφφφ φφφφE E

~3

e = 0.= =3 0, Então, a equação característica de φφφφ é: X 3 2− =3X 0,

donde, X X e X1 2 3= = =0 3. Sendo planar o diádico, e tendo dois autovalores nulos, é

ortoplanar107. *

Teor. 10: A CNS para que um diádico seja antitriangular é que ele seja planar e tenha três autovalores nulos.

Com efeito, se φφφφ é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo), é: φφφφ3 = 0, φφφφ E

0= e

φφφφ E~ 0= ; e sua equação característica é X3 = 0, isso é, seus três autovalores são nulos.

Reciprocamente, se φφφφ é um diádico planar com três autovalores nulos, é: φφφφ3 = φφφφ E~ =

φφφφE = 0. Sendo φφφφ E~ = 0, φφφφ~ é ortolinear (porque φφφφ é planar); o que acarreta φφφφ ortoplanar

(Corol. 4, Teor. 2, § 08.01, II). Sendo, ademais, φφφφE = 0, φφφφ é antitriangular.

Corol. 1: Se dois diádicos são similares e um deles é antitriangular, então o outro também é antitriangular.

Pois seriam ambos ortoplanares (Corol. 1 Teor. 9) e teriam o mesmo escalar (Teor. 4, § 02.02, II), que é zero.

* Exemplo numérico 6: Comprovar que o diádico de matriz mista

107Esse problema já foi resolvido por outras vias ((§ 09.09,II) - Caracterização dos ortoplanares).

Page 349: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos 329

Poliádicos - Ruggeri

[ ]φφφφ ∗∗ = −

0 1 0

2 2 2

2 3 2

na base g* (mencionado no exemplo numérico 5) é antitriangular. (Ver a última nota de rodapé). Solução:

A equação característica desse diádico é X3 = 0, pois

φφφφ φφφφ φφφφE E~

3 e 0= =−−

+ +−

= + + − = =02 2

3 2

0 0

2 2

0 1

2 22 0 2 0, .

Logo, esse diádico é planar e os seus três autovalores são nulos. Então, pelo Teor. 9, ele é antitriangular.

* Teor. 11: A CNS para que um diádico seja ortolinear é que ele seja linear e tenha três autovalores nulos.

Se φφφφ é ortolinear, φφφφ~ é o diádico nulo e φφφφ3 = φφφφE = φφφφ E

~ = 0; logo, a equação

característica de φφφφ é X3 = 0, e φφφφ tem três autovalores nulos. Reciprocamente, se φφφφ é um diádico linear que tem os três autovalores nulos, deve ser, conforme as (03), φφφφE = 0 (além de φφφφ3 = φφφφ E

~ = 0). Logo φφφφ é ortolinear.

Corol. 1: Se dois diádicos são similares e um deles é ortolinear, então o outro também é ortolinear.

Pois ambos seriam lineares (Teor. 2, § 02.02) e teriam o mesmo escalar (Teor. 4, § 02.02), que é zero.

*

Exemplo numérico 7: Comprovar que o diádico de matriz mista

[ ]φφφφ ∗∗ =

− − −

2 2 4

0 0 0

1 1 2

(numa base qualquer) é ortolinear. (Ver § 09.09, II - Caracterização dos ortolineares).

Page 350: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

330 § 03 - Elementos característicos. de diádicos.

III,§ 03.03

Solução: A equação característica de φφφφ é X3 = 0, pois:

φφφφ φφφφ φφφφE E

~3

+ + e 0;= =− − − −

= =00 0

1 2

2 4

1 2

2 2

0 00;

logo todos os seus autovalores são nulos. Ademais, φφφφ é linear porque a sua matriz [ ] φφφφ ∗∗

tem uma linha nula e as outras duas proporcionais; ou seja, pelo Teor. 10, ele é ortolinear.

*

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos. Nos exemplos seguintes os diádicos são todos dados por suas matrizes mistas contravariante/co-variante numa base arbitrária g*, e os seus autovetores são definidos por suas coordenadas contravariantes. Comprovar, então, a veracidade dos autovalores A, B, C e dos autovetores correspondentes a, b, e c dos diádicos apresentados nos seguintes casos: 1° caso: A≠B≠C

1° exemplo108:

2 1 0

9 4 6

8 0 3

− −

, elementos característicos

AB C

= → = + −= → = + −= → = − −

1 1 3 41 1 1 23 3 3 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g gb g g gc g g g

2° exemplo109:

1 1 00 2 10 0 3

, elementos característicos

AB C

= → = + += → = + += → = + +

1 1 0 02 1 1 03 1 2 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g gb g g gc g g g

3° exemplo:

3 1 0

1 2 1

0 1 3

− −

, elementos característicos

ABC

= → = + += → = + −= → = − +

1 1 2 13 1 0 14 1 1 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g gb g g gc g g g

108 Calaes, A. M. Curso de Cálculo Matricial, Imprensa da UFOP, 1984, pag.99. 109 Noble B. e Daniel, J.W., Álgebra Linear Aplicada, Prentice Hall do Brasil, 2° edição, 1986.

Page 351: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos 331

Poliádicos - Ruggeri

4° exemplo:

2 1 0

1 2 1

0 1 2

− −

, elementos característicos

AB

C

= − → = + += → = + −

= + → = − +

2 2 1 2 12 1 0 1

2 2 1 2 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g gb g g g

c g g g

2°°°° caso: A≠B=C 1° exemplo:

5 4 3

1 0 3

1 2 1

− −

, elementos característicos

AB C

= − → = − −= = → = − +

2 1 1 14 1 1 1

1 2 3

1 2 3

a g g gc g g g

Comprovar que

a g g g c g g g∗ ∗= − − = + +012

12

112

12

1 2 3 1 2 3 e

são autovetores de φφφφT. 2°)exemplo:

5 6 6

1 4 2

3 6 4

− −−

− −

,elementos característicos.

A

B C qualquer par de vetores do

plano dos antecedentes de

= → = − + −

= = →−

1 3 1 1

2

1

1 2 3a g g g

φφφφ ΙΙΙΙ

3° exemplo:

KK

K

1 11 11 1

, elementos característicos

A K 2

B C K qualquer par de vetores

ortogonais do plano de K

= + → = + +

= = − →− +

a g g g1 2 3

1

2φφφφ ( )ΙΙΙΙ 3°°°° caso: A=B=C 1° exemplo:

3 4 4

1 3 2

2 4 3

− −−

− −

, elementos característicos

A

B

C

== → = + +

=

1

1 4

11 2 3a g g g

Page 352: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

332 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,A

Comprovar que φφφφ−1ΙΙΙΙ = bc* com b = 2g1−g2+2g3 e c* = g1−2g2−2g3, sendo b.c* = a.c* = 0. Comprovar que o vetor desse diádico é um de seus autovetores (relativo ao autovalor triplo +1), ou seja, φφφφ

V= a .

2° exemplo:

0 1 0

2 2 2

2 3 2

− −

, elementos característicos

A

B

C

== → = + −

=

0

0 1 0 1

01 2 3a g g g

Comprovar que φφφφ é antitriangular e pode ser escrito na forma φφφφ = ab* + bc*, sendo

a g g g b g g g

b g g g c g g g

= + − = + +

= + + = − +∗ ∗

1 0 1 0 1 1

0 1 0 2 2 2

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

,

e

a.b b.c a.c b.b∗ ∗ ∗ ∗= = = =0 1 e .

Notar que a.b=(g1-g3).(g2+g3) não é nulo necessariamente, o que justifica (numericamente) a nota 1 apresentada no final do Corol. 2 do Teor. 7, §05.04, II.

*

§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS.

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C. Nesse caso todos os diádicos característicos são distintos e o polinômio mínimo do diádico se confunde com o seu polinômio característico. A existência de autovetores no campo real ficará dependente da existência de autovalores reais. Também, nenhum dos característicos (distintos), pode ser ortoplanar, nem linear (Teor. 4, § 03.03).

§ 04.01,A - Autovalores imaginários.

Consideremos, agora, aqueles diádicos, representados genericamente por ΓΓΓΓ, que admitem um autovalor real A e dois autovalores complexos (conjugados), B = M+Ni e C = M-Ni, (N≠0). Pondo, conforme é de praxe na teoria dos números complexos,

M = cos e N= sen , ( 0) ,ρ α ρ α α ≠ (01),

onde ρ > 0 é o módulo do complexo e α o seu argumento, tem-se também a norma do complexo, ρ2, e a tangente trigonométrica da metade do seu argumento:

ρα ρ

ρ2 2 2= M + N e tg

2

M

+ M=

−, (02).

Do diádico ΓΓΓΓ, conhecemos, pois:

ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓE 3

2 2E~ 2 2= A + 2M, = A(M + N ) e = M + N + 2MA, (03).

Assim, se A≠0, ΓΓΓΓ é completo, bem como ΓΓΓΓ~, porque ΓΓΓΓ~3 = (ΓΓΓΓ3)

2 (Teor.06,§ 08.01,II).

Page 353: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C 333

Poliádicos - Ruggeri

Trocando na fórmula geral ((01)1,§08.02,II) φφφφ por ΓΓΓΓ-AΙΙΙΙ, e operando, temos:

2 3 22( ( ( ) .ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = − − −A ) A) A + AE~

E2 2

E Lembrando, agora, as (03), escrevemos, após agrupamentos e simplificações:

2 4 2( ( ( ) .ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ ΓΓΓΓ− = − − −A ) M A) + 2A(A + 2M) 3AE~ 2

E2

Mas, reaplicando ((01)1,§08.02,II) e as (03), obtemos:

( ) ( ) (ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ2 2 2E E E~ 2 2 2 2 2 2A + 2M) 2(M + N + 2AM) = A + 2(M N ).= − = − −

Então,

2 4

2

(

,

ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = − − − − − =

= −

A ) (M + A 2AM) A 2(M N ) + 2A(A + 2M) 3A

M + A 4AM + N

E~ 2 2 2 2 2 2

2 2 2

ou seja, finalmente:

( ,ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = −A ) (A M) + NE~ 2 2 (031).

A equação característica de ΓΓΓΓ pode ser escrita na forma

(X A)(X 2 cos X + ) = 0,2 2− − ρ α ρ (04), e, conforme ((041),§ 03.03), o seu polinômio diádico característico, na forma

ΟΟΟΟΙΙΙΙΓΓΓΓΓΓΓΓΙΙΙΙΓΓΓΓ =)+ cos2()A( 22 ραρ−− . , (05).

Teor. 1: Se A, M+Ni e M-Ni (N≠0) são os autovalores de um diádico ΓΓΓΓ, existem bases recíprocas a,b,c e a*,b*,c* em relação às quais ΓΓΓΓ fica reduzido à forma cartesiana mista

ΓΓΓΓ = + + + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗A M( Naa bb cc cb bc) ( ) , (06),

cuja matriz mista associada é

[ ]ΓΓΓΓ abc

A 0 0

0 M N

0 N M

= −

, (061),

a e a* sendo autovetores de ΓΓΓΓ e ΓΓΓΓT respectivamente, correspondentes ao mesmo autovalor A.

Page 354: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

334 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,A

Sendo A uma raiz simples de ΓΓΓΓ (nula ou não nula), ΓΓΓΓ-AΙΙΙΙ é um diádico planar, mas não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Sejam b e c dois vetores arbitrários, não paralelos, do

plano β) dos antecedentes de ΓΓΓΓ-AΙΙΙΙ; seja, ainda, a um vetor arbitrário ortogonal ao plano γ)

dos conseqüentes de ΓΓΓΓ-AΙΙΙΙ, mas tal, que o triedro a,b,c seja direto (Fig.04.01).

Então (ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− =A ).a o, isso é, a é um autovetor de ΓΓΓΓ correspondente ao autovalor A. Se a*,b*,c* é o sistema recíproco de a,b,c, os vetores b* e c* são paralelos ao plano γ) e a* é ortogonal a β). Podemos, pois, escrever:

ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− + ′ + + ′∗ ∗ ∗ ∗A = P P Q Qb b c c c b( ) ( ) , os conseqüentes de ΓΓΓΓ - AΙΙΙΙ formando combinações lineares de b* e c*, com coeficientes a

determinar a partir da condição de que A, M+Ni e M-Ni sejam os autovalores de ΓΓΓΓ. Ora, na expressão de cada um dos conseqüentes, um dos coeficientes pode ser fixado

arbitrariamente, desde que diferente de zero. Ponhamos: -P' = Q' = N. Então:

ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = − + +∗ ∗ ∗ ∗A P N Q Nb b c c c b( ) ( ) , donde

( ) ( ) .~ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = ∗A PQ + N2 aa

Logo: (ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = −A ) P + Q = 2(M A)E ,

e lembrando (031):

( ) ) ;ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− = = −A PQ + N (M A + NE~ 2 22

portanto, 2(M A) = P + Q

(M A) = PQ.2

Então: P = Q = M-A, e

ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ− − −∗ ∗ ∗ ∗A = (M A)( + + N(bb cc cb bc) ),

Page 355: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C 335

Poliádicos - Ruggeri

ou seja, indiferentemente de ser A um autovalor nulo ou não nulo, ΓΓΓΓ fica reduzido à forma (06).

Teor. 2: Todo diádico redutível à forma cartesiana mista (06) tem A, M+Ni e M-Ni (N≠0) por autovalores e a por autovetor associado a A.

Se for A = 0, obviamente ΓΓΓΓ é planar, e ΓΓΓΓ~ = (M2+N2)aa*. Logo:

ΓΓΓΓ ΓΓΓΓE E~ 2 2M e M + N= =2 .

A equação característica de ΓΓΓΓ é

X MX M + N )X = 03 2 2 2− +2 ( ,

e suas raízes são: 0, M+Ni, M-Ni, c.q.d.. Suponhamos A≠0. O adjunto de ΓΓΓΓ é completo e pode ser calculado facilmente, não sem algum trabalho. Considerando (01), lembrando que a dupla multiplicação cruzada de diádicos é comutativa e observando que

)-()-( ∗∗××

∗ = aaaaaa ΙΙΙΙΙΙΙΙ ; ∗∗××

∗ = aaaaaa )-( )-( ΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

)()( ∗∗∗∗××

∗ −−=− cbbccbbcaa , 0)( )( =−− ∗∗××

∗ cbbcaaΙΙΙΙ ,

∗∗∗××

∗∗ =−− aacbbccbbc )( )( ,

deduzimos:

ΓΓΓΓ ΙΙΙΙ~ ( ) ),= − − −∗ ∗ ∗ ∗M + N ) + MA( NA(2 2 aa aa bc cb (07), mas poderíamos encontrar o mesmo resultado partindo da matriz mista (061). De (03), (06) e (07) calculamos os coeficientes da equação característica de ΓΓΓΓ; esta se escreve na forma:

X (A + 2M)X + (M + N + 2MA)X A(M + N ) = 0,3 2 2 2 2 2− − sendo evidentemente satisfeita para X = A; logo:

[X 2MX + (M + N )] (X A) = 0,2 2 2− −. ou, ainda,

[ X (M + Ni )][ X (M Ni )](X A ) = 0,− − − −

isso é, A, M+Ni, M-Ni são os autovalores de γγγγ.

Page 356: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

336 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,A

Corol. 1: A CNS para que um diádico γγγγ tenha apenas uma raiz real é que ele seja redutível à forma cartesiana mista (06), em que a,b,c e a*,b*,c* são sistemas recíprocos e N≠0.

A proposição direta é conseqüência imediata do Teor. 1; a proposição recíproca é conseqüência do Teor. 2.

Nota: Do sistema a,b,c requer-se apenas que a seja perpendicular ao plano dos conseqüentes de ΓΓΓΓ - AΙΙΙΙ. Poderíamos, pois, sem perda de generalidade, escolher

| | | | | | $ , $) ( $ , $ )a b c b c c a= = = = =12

e (π

.

Nesse caso,

ΓΓΓΓ = + + + −∗ ∗ ∗A M( N($ $ $ $ ) $ $ $ )aa bb cc cb bc , (061), sendo

| | | | , | | , $ , $c c b a a b∗ ∗ ∗= = = =1 | |1

sen

θθ = ( ).

Caso de diádicos uniplanares. Seja, por hipótese,

ΓΓΓΓ = + + −∗ ∗ ∗ ∗M( N(bb cc cb bc) ) , (08), um diádico uniplanar com o autovalor real nulo (A=0) e dois autovalores complexos conjugados (Teor. 2). Nesse caso, as duplas b c b c, e , ∗ ∗ são recíprocas no plano de ΓΓΓΓ. Dada a arbitrariedade de b e c podemos fazer |b|=|c|=1, caso em que |b*|=|c*|=1/senθ, sendo θ o ângulo de $ $ .b c com Então:

senθ ΓΓΓΓ = + + −∗ ∗ ∗ ∗M( N($ $ $ $ ) $ $ $$ )bb cc cb bc , (081). Se $i é o unitário da normal ao plano de ΓΓΓΓ, orientado de forma a que $, $ , $i b c seja direto,

senθ ΓΓΓΓ ΓΓΓΓV VN isto é, N =1

2sen= − −2 $ , | |i θ.

Caso de diádico anti-simétrico

Se, ainda, arbitrarmos θ = π/2 (já que b e c são arbitrários) os sistemas recíprocos $ , $b c e $b *, $c * se confundem. Pondo, então: $ $ , $ $ ,b j c k= = escrevemos:

ΓΓΓΓ = + + −M( N($$ $ $ ) $$ $ $ ) ,jj kk kj jk e

ΓΓΓΓ T M( N(= + + −$$ $ $ ) $ $ $$);jj kk jk kj donde, por soma:

Page 357: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C 337

Poliádicos - Ruggeri

ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ+ = +T M(2 $$ $ $ ).jj kk

Então, se θ = π/2 e M = 0, ΓΓΓΓ é anti-simétrico; reciprocamente, se, θ = π/2 e ΓΓΓΓ é anti-simétrico, M = 0. Então,

ikjjk ˆN)ˆˆˆˆN( ×=−= ΙΙΙΙΓΓΓΓ , ( kj ˆˆ ⊥ ) (09),

isso é, ΓΓΓΓ é um diádico de Argand (§06.05,II). Logo:

Teor. 3: A CNS para que um diádico ΓΓΓΓ seja um diádico de Argand é que ele tenha um

autovalor nulo e os outros dois imaginários puros, Ni e -Ni, mas devendo ser

N= -1/2|ΓΓΓΓV|.

Outras reduções.

Entretanto, poderá ser A = M = 0 sem que ΓΓΓΓ seja uniplanar (tampouco anti-simétrico), caso em que ΓΓΓΓ (agora um ciclotônico planar) fica reduzido à forma

ΓΓΓΓ = −∗ ∗N(cb bc ) , (10)110. Se, por outro lado, for A = M = 0 e ΓΓΓΓ uniplanar, poderemos fazer |b| = |c| = 1, caso em que |b*| = |c*| = 1/senθ; assim, ΓΓΓΓ fica reduzido à forma

ΓΓΓΓ=N

senθ( $ $cb* − $$bc*), ou ΓΓΓΓ = −

1

2| |($ $ΓΓΓΓV cb* − $$bc*), (11),

forma que provem de (081) para M = 0, com

N =1

2senV− | |ΓΓΓΓ θ, (12).

Deve ser observado que, nestas condições (A = M = 0 e ΓΓΓΓ uniplanar), ΓΓΓΓ não é,

necessariamente, diádico anti-simétrico, porque N≠-1/2|ΓΓΓΓV|. Os principais resultados relativos a reduções de diádicos com autovalores complexos estão resumidos no Quadro I, em Apêndice, no final deste capítulo.

110 Notar que, embora a matriz mista associada a ΓΓΓΓ seja anti-simétrica, o diádico não é anti-simétrico; sê-lo-ia, entretanto, se essa matriz (anti-simétrica) fosse a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).

Page 358: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

338 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,B

§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. Em vista das considerações anteriores, fica evidente que, se A≠B≠C (algum deles eventualmente nulo), todos os diádicos característicos de φφφφ são distintos, bem como são distintas as suas direções próprias111. Se os vetores (não coplanares) a, b e c são autovetores de φφφφ, correspondentes aos autovalores A,B e C, escrevemos:

φφφφ φφφφ φφφφ.a a .b b .c c= A , = B e = C ; e se a*, b*, c* são os recíprocos de a, b e c:

φφφφ = A + B + C ,aa bb cc∗ ∗ ∗ (13), conforme Corol. 1,Teor. 1,§ 02.04,II. Observando-se que, por ser a,b,c uma base, (13) é uma representação cartesiana de φφφφ, a sua matriz associada é

[ ] ,φφφφabc

A

B

C

=

0 0

0 0

0 0

(131).

Concluímos, então:

Teor. 4: Todo diádico que tem autovalores reais e distintos, tem também autovetores reais e distintos; suas matrizes associadas (mistas), na base desses autovetores, são idênticas e só contêm coordenadas diagonais (que são os seus próprios autovalores)112.

Fica evidente, de (13), a demonstração do teorema seguinte.

Teor. 5: Se A≠B≠C são os autovalores de φφφφ, correspondentes aos autovetores (não coplanares) a, b e c, então os recíprocos destes são autovetores de φφφφT, correspondentes aos mesmos autovalores A≠B≠C.

Corol. 1: Se um diádico tem autovalores distintos, os seus autovetores e os do seu transposto constituem sistemas recíprocos.

111 Isso é válido mesmo que um dos autovalores seja nulo. 112 Com outras palavras: a todo diádico com autovalores reais e distintos corresponde uma única matriz simétrica (mista) na base dos seus autovetores, mas o diádico não é necessariamente simétrico, exceto se essa matriz é a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).

Page 359: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C 339

Poliádicos - Ruggeri

Definição: (forma tônica ou diagonal e diádico tônico ou diagonal) Se e* e e* são bases recíprocas e D1, D2 e D3 são números reais

quaisquer, todo diádico ψψψψ representado na forma seguinte - dita forma

diagonal ou tônica -, ψψψψ = D ( i = 1,2,3),i i

ie e (14),

será denominado um diádico tônico ou diagonal.

Resulta então:

Teor. 6: Todo diádico que tem autovalores reais e distintos é um diádico tônico; ou, o que é o mesmo, é representável, de uma única maneira, numa forma diagonal.

Corol. 1: Se um diádico é tônico, os seus autovetores e os do seu transposto constituem sistemas recíprocos.

A forma diagonal de um diádico (sabidamente tônico) nem sempre está dada; as

considerações feitas no § 03.03, entretanto, permitem deduzi-la.

Definição: (redução diagonal)

Denomina-se redução diagonal ou diagonalização de um diádico o conjunto

de operações pelas quais dá-se a um diádico (tônico) a sua forma ou

representação diagonal. Diz-se também, quando se dá a um diádico (tônico) a sua forma ou representação diagonal, que se pratica a sua redução diagonal.

Teor. 7: A CNS para que um diádico seja tônico é que ele tenha três autovetores independentes.

Com efeito, se φφφφ é tônico, ele pode ser escrito na forma (14) em que e* e e* são sistemas recíprocos; e dela deduzimos:

φφφφ φφφφ φφφφ.e e .e e .e e1 1 2 2 3 3= = =D D e D1 2 3, , igualdades que mostram que os vetores ei são autovetores de φφφφ (logo, independentes). Reciprocamente, se φφφφ é um diádico que tem três autovetores independentes, ei, podemos escrever:

φφφφ φφφφ φφφφ.e e .e e .e e1 1 2 2 3 3= = =A A e A1 2 3, ,

Então, se e1,e2,e3 é o sistema recíproco de e1,e2,e3 podemos escrever:

φφφφ = A i iie e ,

e φφφφ é tônico.

Page 360: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

340 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,B

* Exercício: Demonstrar que todo diádico tônico (completo) é um diádico de Moreira.

* Resulta imediatamente do Corol. 1,Teor. 8, § 03.03 o seguinte

Teor. 8: Se dois diádicos são similares mediante µµµµ e um deles é tônico, então o outro também é tônico; os vetores característicos de um e os recíprocos dos vetores característicos do outro são os antecedentes e os conseqüentes de µµµµ.

Elementos característicos de diádicos simétricos.

Teor. 9: Os valores característicos de um diádico simétrico são todos reais.

Pois, se não fossem, esse diádico seria redutível à forma ((06),§ 04.01,A); e sendo simétrico por hipótese, deduzimos, da referida expressão:

A + M( ) N( ) = A + M( ) N( .aa aa bc cb a a a a c b b c∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗− − − − − −ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ) Transpondo termos, simplificando e agrupando, escrevemos:

ΟΟΟΟ=)](+)N[()A)((M ∗∗∗∗∗∗ −−−−− cbcbbcbcaaaa ,

ou, ainda, aplicando ((03)4,§ 06.02,II) e evidenciando:

ΟΟΟΟΙΙΙΙ =]NNA)[(M ××−×−×− ∗∗∗ bcbcaa .

Lembrando ((02)1,§ 06.01,II) resulta (de ser ΓΓΓΓ=ΓΓΓΓT e redutível à forma (06),§ 04.01):

∗∗∗ ×−=×−×− cbbcaa NN)AM( .

Multiplicando escalarmente ambos os membros dessa expressão por a*, deduzimos:

.= ou, ,= ∗∗∗∗∗∗∗∗ ×−××× cb.aac.b.acb.abc Agora, dividindo ambos os membros por (a*b*c*) e lembrando que a,b,c e a*,b*,c*

são recíprocos, concluímos: c b2 2= ,− o que é um absurdo. Logo, se ΓΓΓΓ=ΓΓΓΓT, ΓΓΓΓ tem todos os seus valores característicos reais.

Teor. 10: Se um diádico é simétrico, dois vetores característicos quaisquer, associados com duas raízes características distintas, são ortogonais entre si.

Page 361: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: A≠B≠C 341

Poliádicos - Ruggeri

Sejam A e B (A≠B), dois autovalores de φφφφ aos quais correspondem os autovetores a e b, respectivamente; escrevemos:

φφφφ φφφφ.a a .b b= A e = B , onde, por ser φφφφ = φφφφT:

a. a b. bφφφφ φφφφ= A e = B . Então:

a . .b a.b a. .b a.bφφφφ φφφφ= A e = B , donde, subtraindo membro a membro:

(A B) = 0,− a.b isso é, a.b = 0, ou a⊥b, porque A≠B.

Corol. 1: Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, seus autovetores são triortogonais; logo, esse diádico é diagonalizável.

Sejam $ , $ $i j k e autovetores (unitários) de um diádico simétrico e completo correspondentes aos autovalores A, B e C. Escrevemos, então:

φφφφ = + +A B C$$ $$ $ $ ,i i jj kk (15). Podemos admitir o terceto $ , $ , $ i j k direto porque se não for bastará inverter o sentido de apenas um dos vetores para que o novo terceto o seja (não deixando, ainda, de serem tais novos unitários, autovetores unitários de φφφφ). Comprovamos, então, o seguinte

Teor. 11: Todo diádico simétrico pode ser reduzido à forma (15) em que A,B e C são os seus autovalores (com os seus respectivos sinais) e $ , $ , $ i j k o terceto direto dos seus autovetores unitários.

Se for φφφφ3>0, ou os três autovalores de φφφφ são positivos ou apenas um é positivo. No primeiro caso poderemos escrever

φφφφ = + + +(| $$ | $$ | $ $ ) ,A| B| C|i i jj kk (151); e no segundo (se apenas C é positivo):

φφφφ = + − + − +[| $) $ | $) $ | $ $ ],A|( B|( C|i i j j kk (152).

Page 362: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

342 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,B

Tanto em (151) quanto em (152) antecedentes e conseqüentes formam tercetos diretos, porem distintos113. Se for φφφφ3 < 0, ou os três autovalores são negativos ou apenas um é negativo. No primeiro caso escrevemos:

φφφφ = − + +(| $$ | $$ | $ $ ) ,A| B| C|i i jj kk (153); e no segundo (se apenas C é negativo)

φφφφ = − − + − +[| $) $ | $) $ | $ $ ],A|( B|( C|i i j j kk (154), o sistema $ , $ , $ − −i j k sendo, ainda, direto (obviamente distinto de $ , $ , $ i j k ). Temos, então, demonstrado o seguinte

Teor. 12: Todo diádico simétrico completo, φφφφ, pode ser reduzido à forma

φφφφ = ± ′ + ′ + ′(| $ $ | $ $ | $ $ ),A| B| C|i i j j k k (155),

em que $ , $ , $ i j k e $ , $ , $ ′ ′ ′i j k são dois tercetos ortogonais diretos de autovetores unitários e paralelos, correspondentes aos autovalores A,B e C.

Nota: As representações (15), (151) e (153) são representações cartesianas do diádico porque $, $, $ i j k é auto-recíproco idêntico. As representações (152), (154) e (155) serão analisadas no § 07.01 (representação normal).

Teor. 13: Se A é raiz simples do diádico simétrico φφφφ, o seu característico φφφφ-AΙΙΙΙ é uniplanar.

Com efeito, pelo Teor. 2 do § 03.03, φφφφ-AΙΙΙΙ é planar (mas não ortoplanar). Mas, sendo

φφφφ = φφφφT, tem-se: φφφφ-AΙΙΙΙ = φφφφT-AΙΙΙΙ = (φφφφ-AΙΙΙΙ)T, isso é, φφφφ-AΙΙΙΙ é planar simétrico; logo é uniplanar (Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).

Corol. 1: Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, os seus diádicos característicos, uniplanares e distintos, se interceptam segundo as direções (triortogonais) dos seus autovetores.

113 - Se de um termo direto invertem-se dois qualquer dos vetores, o novo triedro continua direto.

Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores reais e distintos estão resumidos no Quadro II, em Apêndice, no final deste capítulo.

Page 363: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C 343

Poliádicos - Ruggeri

⇒⇒⇒⇒ Tônicos associados a uma homologia

Seja µµµµ = e ai

i uma redução trinomial de um diádico qualquer, µµµµ, com antecedentes

independentes. O homológico de µµµµ, de coeficientes X1, X2 e X3, é (ver § 03.02,II): Hom X

ii iµµµµ = e a . Podemos escrever:

Hom X X Xj

j ji

ij

j ji

ij

j jµµµµ µµµµ= = =e e .e a e e .e a e e .( ) ( ) ( ) ,

ou, ainda, pondo εεεε = e e

jj jX , (16),

resulta Homµµµµ εεεε µµµµ= . , (17).

Se a redução trinomial de φφφφ fosse feita com conseqüentes independentes, gj,

escreveríamos, jjgb=µµµµ ; e teríamos:

Hom X )X Xj jj

jj

i ii

jj

i ii

µµµµ = = =b g b g .g g b g . g g( ( ) ( ) ,

ou, pondo ξξξξ = g gi i

iX , (18),

resulta Homµµµµ µµµµ ξξξξ= . , (19).

Então,

Homµµµµ µµµµ ξξξξ εεεε µµµµ= =. . , (20).

De (16), (17), (18) e (19), concluímos:

Teor. 14: Um homológico qualquer de um diádico, em redução trinomial arbitrária, vale o produto pontuado anterior (posterior) desse diádico pelo tônico cujos autovalores são os coeficientes da homologia e cujos autovetores são os antecedentes (conseqüentes) da redução trinomial.

Definição: (tônicos associados a uma homologia) Os tônicos εεεε e ξξξξ, cujos autovalores são os coeficientes de uma homologia Homµµµµ, e cujos autovetores são os antecedentes ou os conseqüentes de uma redução trinomial arbitrária de µµµµ, são denominados os tônicos associados à homologia. Teor. 15: Se µµµµ é completo, os tônicos associados a uma homologia Homµµµµ são similares mediante µµµµ.

Pois (20) dá: εεεε µµµµ ξξξξ µµµµ ξξξξ µµµµ εεεε µµµµ= =− −. . . .1 1 e , o que comprova a tese. ⇐

Page 364: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

344 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.01,B

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C. Se um diádico tem um autovalor duplo, B = C,

A B = C são reais e A B = C ,≠ − ≠ − −φφφφ φφφφ φφφφΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ (01), sendo:

( B ) = A B 0, ( A ) = 2(B A) 0, E Eφφφφ φφφφ− − ≠ − − ≠ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ (02), e

( B ) = , ( A ) = ,V V V Vφφφφ φφφφ φφφφ φφφφ− −ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ (021). Das expressões (02) podemos concluir que nenhum dos característicos é o diádico antitriangular ou o diádico ortolinear; das expressões (021) podemos concluir que os característicos serão simétricos se, e somente se, o diádico φφφφ for simétrico.

Teor. 1: Se A≠B = C, φφφφ -B ΙΙΙΙ só pode ser ortoplanar ou linear.

Com efeito, pelo Teor. 4 §03.03, φφφφ-AΙΙΙΙ é planar (mas não ortoplanar). Se φφφφ-BΙΙΙΙ fosse planar também, seu quadrado seria planar (Teor. 2, §05.04,II). Mas, segundo ((08)1,

§03.03), (φφφφ-AΙΙΙΙ)~ = (φφφφ-BΙΙΙΙ)2; o que é um absurdo porque (φφφφ-AΙΙΙΙ)~ é linear. Logo, φφφφ-BΙΙΙΙ ou é ortoplanar, ou é linear.

Teor. 2: Sendo φφφφ-AΙΙΙΙ planar e φφφφ-BΙΙΙΙ = φφφφ -CΙΙΙΙ linear (logo φφφφ≠φφφφT): 1º) o polinômio mínimo de φφφφ é

P ( ) = (X A)(X B),min φφφφ − − (03),

2º) φφφφ pode ser reduzido de infinitas maneiras à forma diagonal

φφφφ = A + B + B ,aa bb cc∗ ∗ ∗ com

B000B000A

][ abc , (04),

onde a,b,c e a*,b*,c* são sistemas recíprocos, sendo a* e a respectivamente ortogonais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de

φ φ φ φ -AΙ Ι Ι Ι (=(B-A)bb*+(C-A)cc*);

3º) os vetores dos sistemas a,b,c e a*,b*,c* são autovetores de φφφφ e φφφφT, respectivamente, correspondentes aos mesmos autovalores A, B e C = B:

φφφφ φφφφ φφφφ.a a .b b .c c= A , = B , = B , (05)

e

φφφφ φφφφ φφφφT T T= A , = B , = B ,.a a .b b .c c∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (051).

A expressão (03) decorre imediatamente de ((08)3,§ 03.03) pois (φφφφ-CΙΙΙΙ)~ = ΟΟΟΟ.

Page 365: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C. 345

Poliádicos - Ruggeri

Denotemos por a* e a, respectivamente, os vetores ortogonais aos planos dos

antecedentes e conseqüentes de φφφφ-AΙΙΙΙ, ajustando-os de forma a que a.a* = 1 (o que é sempre

possível). Considerando que, conforme ((08), § 03.03), (φφφφ-AΙΙΙΙ).(φφφφ-BΙΙΙΙ) = ΟΟΟΟ, então φφφφ-BΙΙΙΙ (linear por hipótese) tem antecedente paralelo a a e conseqüente paralelo a a*; assim,

podemos escrever: φφφφ-BΙΙΙΙ = Kaa*. Então, sendo (φφφφ-BΙΙΙΙ)E = K, e lembrando (02)1, resulta:

φφφφ − − ∗B = (A B) .ΙΙΙΙ aa

Se b e c são dois vetores arbitrários, não paralelos, do plano dos antecedentes de φφφφ-AΙΙΙΙ, resulta que o terceto de vetores a, b e c é de vetores não coplanares (φφφφ-ΙΙΙΙ não é ortoplanar). Podemos, agora, determinar os vetores b* e c* (do plano dos conseqüentes de

φφφφ-AΙΙΙΙ) tais que a,b,c e a*,b*,c* sejam recíprocos.

Então, sendo ΙΙΙΙ = aa*+bb*+cc*, da expressão deduzida para φφφφ-BΙΙΙΙ podemos escrever φφφφ na forma diagonal (04) de infinitas maneiras (b e c são arbitrários). De (04) deduzimos, finalmente as (05) e (051); o que comprova a terceira parte do teorema.

Teor. 3: Sendo φφφφ-AΙΙΙΙ planar e φφφφ-BΙΙΙΙ = φφφφ-CΙΙΙΙ ortoplanar (logo φφφφ≠φφφφT): 1º) o polinômio mínimo de φφφφ é o próprio polinômio CH:

P ( ) = C ( ) = (X A) (X B) ,min 32φφφφ φφφφ − −. (06);

2º) φφφφ pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma

φφφφ = A + B( + ) + B ,aa bb cc cb∗ ∗ ∗ ∗ com [ ]φφφφ abc =

A 0 0

0 B 0

0 B B

(07),

ou à forma equivalente

φφφφ = B + (A B) + B ,ΙΙΙΙ − ∗ ∗aa cb (08),

onde a,b,c e a* ,b* ,c* são sistemas recíprocos, com a* e a respectivamente ortogonais aos planos dos antecedentes b e c e conseqüentes b* e c* de φφφφ−AΙΙΙΙ (=(B-A)(bb*+ cc*)+B cb*);

3º) φφφφ só admite dois autovetores reais: a e c, correspondentes aos autovalores A e B:

φφφφ φφφφ.a a .c c= A e = B , (09).

A expressão (06) decorre imediatamente de ((08)1,§ 03.03), fazendo-se

φφφφ φφφφ− −B = CΙΙΙΙ ΙΙΙΙ , multiplicando-se ambos os seus membros por (φφφφ-AΙΙΙΙ) e aplicando-se ((06),§ 03.03).

Page 366: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

346 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.02

Sendo A uma raiz simples de φφφφ (nula ou não nula), φφφφ-AΙΙΙΙ é um diádico planar, mas não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Seja a um autovetor de φφφφ relativo a A, logo perpendicular

ao plano dos conseqüentes de φφφφ-AΙΙΙΙ; e a* o vetor perpendicular ao plano dos antecedentes de

φφφφ-AΙΙΙΙ, mas tal, que a.a* = 1.

O diádico φφφφ-BΙΙΙΙ é ortoplanar por hipótese. Denotando por c e b∗ autovetores de φφφφ e

φφφφT relativos ao autovalor duplo B = C, temos: (φφφφ-BΙΙΙΙ).c = o = b* .(φφφφ-BΙΙΙΙ). Então, os vetores (ortogonais) c e b* são, respectivamente, ortogonais aos planos dos conseqüentes e dos

antecedentes de φφφφ-BΙΙΙΙ; e, portanto, respectivamente paralelos aos planos dos antecedentes e

conseqüentes de φφφφ-BΙΙΙΙ. O diádico (φφφφ-BΙΙΙΙ)2 é linear e tem antecedente e conseqüente pertencentes,

respectivamente, aos planos dos antecedentes e conseqüentes de φφφφ-BΙΙΙΙ (Corol.2,Teor. 4,§05.04,II). Mas, sendo

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ =)A()B()B()A( 22 −−=−− .. ,

resulta que o antecedente de (φφφφ-BΙΙΙΙ)2 é paralelo a a e o conseqüente paralelo a a* . Logo, a e

c são paralelos ao plano dos antecedentes de φφφφ-BΙΙΙΙ; e a* e b*, paralelos ao plano dos

conseqüentes. Podemos, assim, escrever: φφφφ − = ⊥ ⊥∗ ∗ ∗ ∗B L + M (com ΙΙΙΙ aa cb b a b c, ), e

determinar L e M com a condição de que (φφφφ-BΙΙΙΙ)E =A-B. Encontramos: L=A-B. Logo:

φφφφ − = − ⊥ ⊥∗ ∗ ∗ ∗B (A B) + M (com ΙΙΙΙ aa cb b a b c, ), M podendo ser uma constante arbitrária não nula (igual a 1, -1, ou B, por exemplo).

Poderemos, agora, determinar um vetor c* no plano dos conseqüentes de φφφφ-AΙΙΙΙ, e um

b no plano dos antecedentes de φφφφ-AΙΙΙΙ tais, que os sistemas a,b,c e a*,b* ,c* sejam recíprocos.

Diádicos simétricos

Teor. 4: Se A≠B = C e φφφφ = φφφφT, φφφφ-AΙΙΙΙ é uniplanar, φφφφ-BΙΙΙΙ é unilinear e

[ ]φφφφ ijk =

A 0 0

0 B 0

0 0 B

.

Que φφφφ-AΙΙΙΙ é uniplanar decorre imediatamente do Teor. 13, § 04.01. Pelo Teor. 1, φφφφ-BΙΙΙΙ deve ser linear; mas, sendo φφφφ = φφφφT, φφφφ-BΙΙΙΙ é unilinear (Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).

Sendo, então, φφφφ = φφφφT e A≠B = C, φφφφ - AΙΙΙΙ é uniplanar e φφφφ - BΙΙΙΙ unilinear (Teor. 4).

Logo: (φφφφ - BΙΙΙΙ)~ = (φφφφ - CΙΙΙΙ)~ =ΟΟΟΟ, e de ((18)3, § 03.03), deduzimos:

(φφφφ - AΙΙΙΙ).(φφφφ - BΙΙΙΙ) =ΟΟΟΟ, (10).

Logo, o polinômio mínimo de φφφφ é (X-A)(X-B).

Page 367: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: A≠B = C. 347

Poliádicos - Ruggeri

Seja $i o unitário ortogonal ao plano de φφφφ - AΙΙΙΙ. Sendo φφφφ - BΙΙΙΙ unilinear, podemos escrever, em vista de (10):

φφφφ - BΙΙΙΙ = L$ $i i ,

onde L é uma constante a determinar. Mas (φφφφ - BΙΙΙΙ)E = A-B, isso é, L = A-B. Logo:

φφφφ = + +A B( $ $ $ $ $ $ ) ,i i j j k k (11),

$ $j k e sendo dois unitários ortogonais arbitrários do plano de φφφφ - AΙΙΙΙ. Logo:

Se A≠B=C, φφφφ=φφφφT e uniplanar. A normal ao seu plano é a direção do seu autovetor relativo a A e os outros dois autovetores são quaisquer vetores ortogonais pertencentes a esse plano.

Os principais resultados relativos às reduções de diádicos com autovalores reais duplos estão resumidos no Quadro III, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.

Se um diádico (não nulo) tem autovalor triplo, esses autovalores são reais

necessariamente; e os seus diádicos característicos são todos iguais. Verificam-se então, simultaneamente:

(φφφφ φφφφ− = −A ) A = 0E EΙΙΙΙ 3 (01), e

ΟΟΟΟΙΙΙΙφφφφ =− 3)A( , (02),

podendo ser, ainda, (φφφφ-AΙΙΙΙ)2 = ΟΟΟΟ e φφφφ-AΙΙΙΙ = ΟΟΟΟ (casos em que (02) fica satisfeita).

Teor. 1: O característico (único) φφφφ -AΙΙΙΙ: 1°) ou é antitriangular, caso em que A = B = C = 0 e φφφφ ≠ φφφφT; 2°) ou é ortolinear, caso em que A = B = C ≠ 0 e φφφφ ≠ φφφφT; 3°) ou é nulo, caso em que A = B = C ≠ 0 e φφφφ =φφφφT=AI (φφφφ é diádico escalar).

Com efeito, apenas o diádico nulo, o ortolinear e o anti-triangular satisfazem (01) e

(02) simultaneamente. Além do mais, φφφφ = φφφφT só se φφφφ-AΙΙΙΙ =ΟΟΟΟ, porque os diádicos ortoplanares (e, portanto os antitriangulares) e ortolineares são não simétricos (Corol. 3, Teor. 4, § 04.02,II). Então, o Teor. 7, § 05.04,II, e seu Corol. 2, permitem demonstrar o seguinte

Teor. 2: Se A = B = C = 0 e φφφφ - AΙΙΙΙ = φφφφ é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo):

1°) - O polinômio mínimo de φφφφ é

P ) = Xmin3( ,φφφφ (03);

Page 368: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

348 § 04 - Formas e reduções canônicas dos diádicos.

III,§ 04.03

2°) - Existem dois pares de vetores, um em cada plano de φφφφ (Fig.04.02): a,b (a⊥b) e b* ,c* , sendo b paralelo à interseção desses planos, que reduzem φφφφ à forma

φφφφ = +∗ ∗ab bc , (04),

gozando tais vetores das seguintes propriedades:

b.c a.c a.b a.b∗ ∗ ∗= = = =0 , e b.b∗ = 1, (05);

3°) - A normal ao plano dos conseqüentes (antecedentes) de φφφφ é a única direção própria real de φφφφ (φφφφT):

φφφφ φφφφ.a a . c c= =∗ ∗A AT, ,e

000100010

][ abc (06).

Determinando os vetores a* e a (a* //a) de forma que os sistemas a,b,c e

a* ,b* ,c* sejam recíprocos, escreveremos ΙΙΙΙ = + +∗ ∗ ∗aa bb cc , os sistemas b,c e b* ,c* sendo, também, pares recíprocos no plano dos conseqüentes de φφφφ.( § 03.02, I ).

Teor. 3: Se A = B = C≠0 e φ φ φ φ -AΙΙΙΙ é ortolinear:

1º) o polinômio mínimo de φ φ φ φ -AΙΙΙΙ é

2min )AX()A( −=− ΙΙΙΙφφφφP , (07);

2º) existem vetores b e c* (Fig.04.03), paralelos a duas direções ortogonais (logo, ortogonais), que reduzem φφφφ (de infinitas maneiras) à forma

Page 369: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. 349

Poliádicos - Ruggeri

φφφφ = A + ,ΙΙΙΙ bc∗ e [ ]φφφφ abc =

A 0 0

0 A 1

0 0 A

(08);

3º) qualquer direção ortogonal a c* (b) é direção própria de φφφφ(φφφφΤ); particularmente, φφφφ .φφφφV = AφφφφV = φφφφT .φφφφV.

As demonstrações são evidentes.

Teor. 4: Se A = B = C≠0 e φφφφ - AΙΙΙΙ é o diádico nulo:

1°) - O polinômio mínimo de φφφφ é

P ) = X A,min (φφφφ − (09);

2°) - O diádico φφφφ é escalar,

φφφφ = A ,ΙΙΙΙ (10);

3°) - Qualquer vetor do espaço é autovetor de φφφφ e [ ] ]φφφφ = A[ ΙΙΙΙ ; o que é evidente.

Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores triplos estão resumidos no Quadro IV, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 05 - DESCRIÇÃO DAS TL' S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS. No § 01 induzimos a procura de certas bases em relação às quais a descrição de uma TL pudesse ser facilitada. No § 03 descobrimos um modo prático de reduzir os diádicos a formas mais compactas (as formas canônicas), o que certamente facilita a referida descrição. Nestas condições, efetuada a redução canônica do diádico regente da transformação, é oportuno e didático, para a descrição das TL's, dividir os diádicos em duas classes: os tônicos (ou diagonalizáveis) e os não diagonalizáveis. Conforme vimos (§ 03),

Page 370: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

350 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.01

todos os diádicos tônicos têm autovalores reais, enquanto que os não diagonalizáveis podem ter autovalores tanto reais quanto complexos.

§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis. Os diádicos tônicos (cinco no total), são distinguidos pela multiplicidade dos seus

autovalores (A,B,C) e pela natureza dos seus diádicos característicos (φφφφ - AΙΙΙΙ, φφφφ - BΙΙΙΙ e φφφφ - CΙΙΙΙ). São os seguintes:

1°) - dois que apresentam autovalores simples, A ≠ B ≠ C, os simétricos e os não simétricos, apresentados no Quadro II do Apêndice;

2°) - dois que apresentam autovalores duplos, A ≠ B = C, apresentados no quadro III, no final deste capítulo;

a) - os diádicos não simétricos, com φφφφ - AΙΙΙΙ planar e φφφφ - BΙΙΙΙ linear;

b) - os diádicos simétricos, com φφφφ - AΙΙΙΙ uniplanar e φφφφ - BΙΙΙΙ unilinear.

3°) - os que apresentam autovalor triplo, A = B = C ≠ 0, simétricos, apresentados no Quadro IV do Apêndice. Todos esses diádicos podem ser reduzidos à forma canônica geral

φφφφ = + +∗ ∗ ∗A B Caa bb cc ,

onde os sistemas recíprocos a,b,c e a* ,b* ,c*, formam os tercetos de autovetores de φφφφ e φφφφT, respectivamente. Esses diádicos serão incompletos se qualquer um dos seus autovalores for nulo.

Os efeitos gerais de um diádico tônico, φφφφ, são descritos pelas seguintes propriedades:

1°) - as direções a,b,c ficam imutáveis no espaço porque elas são os seus autovetores;

2°) - ∀ v = VAa+VBb+VCc, tem-se:

′ = = + + + + = + +∗ ∗ ∗v . v aa bb cc . a b c a b cφφφφ ( ) ( ) ,A B C V V V AV BV CVA B C A B C isso é, as coordenadas de v segundo a,b,c são distendidas ou contraídas, respectivamente, nas proporções A:1, B:1 e C:1. Como A, B ou C podem ser positivos e negativos, as coordenadas homônimas de v e v' podem ter sinais contrários, o que, evidentemente, acarreta mudança nos sentidos dos vetores componentes correspondentes.

3°) - se o diádico é completo, a transformada da superfície esférica sempre é um

elipsóide: a) - de semi-eixos distintos, se A≠B≠C; b) - com dois semi-eixos iguais se A ≠ B

= C (elipsóide de revolução); c) - com três semi-eixos iguais, se A = B = C (superfície esférica de raio A vezes o raio da primeira).

É comutativa a multiplicação pontuada de dois tônicos que tenham os mesmos autovetores (quaisquer que sejam os seus autovalores, no caso, distintos); o produto deles é

Page 371: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. 351

Poliádicos - Ruggeri

ainda um tônico com os mesmos autovetores e suas coordenadas (seus autovalores) são os produtos das coordenadas homônimas (autovalores) dos tônicos fatores. Por isso mesmo, qualquer tônico pode ser fatorado num produto de três outros tônicos na forma

φφφφ = + + + + + +∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗( ) ( ) ( ) ,A B Caa bb cc . aa bb cc . aa bb cc

onde a ordem dos fatores é irrelevante. Cada tônico fator, distende ou contrai as componentes de um vetor paralelas a um dos seus autovetores; e deixa imutável as componentes desse vetor, paralelas aos outros dois autovetores.

Seja $ , $ , $ i j k uma base ortonormada e µµµµ-1 o diádico de mudança dessa base (§ 02.01)

para a base a,b,c. Então: µµµµ − = + +1 ai bj ck$ $ $ e µµµµ = ∗ + ∗ + ∗$ $ $ .ia jb kc Logo, o diádico

µµµµ φφφφ µµµµ φφφφ. . i i jj kk− = + + =11A B C$$ $$ $ $

é um diádico similar a φφφφ mediante µµµµ (§ 02.02). Referindo o espaço a $ , $ , $ i j k , verificar-se-ão para φφφφ1 as mesmas propriedades já estabelecidas para φφφφ com algumas particularidades que serão abordadas no § 07.

§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis.

Os diádicos não diagonalizáveis, quatro no total, são os seguintes:

1°) - os que apresentam um par de autovalores complexos conjugados, constantes do Quadro I do Apêndice, e que são redutíveis à forma canônica geral

ΓΓΓΓ = + + + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗A M( N(aa bb cc cb bc) ) , (01),

onde a,b,c e a* ,b* ,c* são sistemas recíprocos e A, B = M+Ni e C = M-Ni (N≠0) os seus autovalores;

2°) - os que apresentam autovalores duplos (logo, todos reais), A ≠ B = C, com φφφφ-AΙΙΙΙ planar e φφφφ-BΙΙΙΙ ortoplanar, constante do Quadro III do Apêndice. Nesse caso o diádico é redutível à forma:

φφφφ = + + +∗ ∗ ∗ ∗A B Baa bb cc cb( ) , (02),

em que a,b,c e a*,b*,c* são sistemas recíprocos;

3°) - os que, não simétricos, apresentam autovalores triplos, A = B = C, o seu

diádico característico, único, φφφφ-AΙΙΙΙ, podendo ser:

a) - antitriangular, caso em que φφφφ, com autovalores todos nulos, pode ser reduzido à forma:

φφφφ = + ⊥ =∗ ∗ ∗ ∗ab bc a b b b b.b, , || , ), ( 1 (03),

o vetor b pertencendo também ao plano dos conseqüentes (Fig. 04.02);

b) - ortolinear, caso em que φφφφ, com autovalores não nulos, A, pode ser reduzido à forma:

φφφφ = ⊥∗ ∗A + com ΙΙΙΙ bc b c , (04), (Fig. 04.03), constantes do Quadro IV do Apêndice.

Page 372: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

352 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,A

§ 05.02,A - TL regida por: ΓΓΓΓ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) Relembrando que:

M= cos , N= sen 0 ( < < ),

M N ( > 0), tg1

2

B

+ B e B = M + Ni,2 2

ρ ϕ ρ ϕ π ϕ π

ρ ρ ϕρ

ρ

≠ −

= + =−

podemos escrever ΓΓΓΓ na forma de produto comutativo:

ΓΓΓΓ = + − =

= −

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

[ ( )] [ ( ) )]

[ ( ) )] [ ( )],

A + + + cos + sen (

+ cos + + sen ( A + +

aa bb cc . aa bb cc cb bc

aa bb cc cb bc . aa bb cc

ρ ϕ ϕ

ϕ ϕ ρ (05).

O diádico Aaa*+ρ(bb*+cc*) é tônico. Seu efeito (§ 05.01) é: 1°) - distender (porque

ρ > 0) os vetores paralelos a b e c na proporção ρ:1; 2°) - distender (se A > 1) ou contrair (se A < 1) os vetores paralelos a a, na proporção A:1, e até inverter a direção desses vetores se A < 0.

Diádico cíclico. Rotação elíptica. Estudemos, então, a transformação regida pelo diádico seguinte, fator de ΓΓΓΓ,

(aa*, ϕ)= + + + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗aa bb cc cb bccos sen (ϕ ϕ( ) ) , (06), definido em função dos vetores das bases recíprocas a,b,c e a*,b*,c*e do ângulo ϕ. A matriz mista associada a esse diádico nessas bases é

[(aa*, ϕ)]abc=

1 0 0

0

0

cos sen

sen cos

ϕ − ϕϕ ϕ

tendo ele por terceiro a unidade positiva, qualquer que seja ϕ, autovalores: 1, eiϕ=cosϕ+i

senϕ, e-iϕ=cosϕ-i senϕ, e apenas o autovetor real a correspondente ao autovalor +1114. Esse diádico pode ser ainda escrito na forma equivalente a (06),

(aa*, ϕ)∗∗∗ ϕ)+π+ϕ)+π+ϕ+ϕ+= ccbbcbaa ]

2sen(

2cos([)sencos( (061).

Consideremos o vetor

cbr α+α=α sencos)( , (07),

114 Os autovetores do cíclico são: a, 2/)i( e 2/)i( cbcb −+ onde i2=-1, e não compõem um sistema

ortogonal. Voltaremos a esse assunto no Capítulo V do volume II deste Tomo.

Page 373: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 353

Poliádicos - Ruggeri

onde α é um parâmetro, vetor esse do plano α) definido por b e c. Vamos aplicar esses vetores co-inicialmente num ponto arbitrário, O, de α). A cada valor α do argumento corresponde um e um único vetor )(αr . Fazendo α variar entre 0 e 2π rd, a extremidade de

)(αr descreverá a elipse Er de semi-diâmetros conjugados b e c (Fig.05.01).

Com efeito, sendo

cbr ˆYˆX)( +=α com X=|b|cosα e Y=|c|senα,

então, no sistema de eixos coordenados oblíquos OXY,

X Y2 2

| | | |,

b c2 2 1+ =

o que comprova a assertiva. É evidente que:

r (0)=b, r (π/2)=c, cbr α+α−=π/2+α cossen)( , r (π)=-r (0)=-b etc.

Ao acréscimo de π/2 ao argumento α, corresponde o vetor semi-diâmetro conjugado de r (α). Consideremos no plano α) uma elipse qualquer Ev, homotética de Er, de razão de homotetia K (constante). A dado r (α) de Er corresponderá um v(α) de Ev tal, que

)()( K αα = rv , (071).

Assim, a b corresponde um bv, a c um cv etc. tais, que bv=Kb, cv=Kc etc.. Fazendo α variar a extremidade de v(α) descreverá toda a elipse Ev.

Teor. 1:

O vetor transformado de v(α) mediante usado como pré-fator é v(α+ϕ). Considerando (07) podemos escrever (061) na forma

(aa*, ϕ)∗

π/2+ϕ∗

ϕ∗ ++= crbraa )()( .

Page 374: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

354 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,A

Tem-se, então:

)senK(cos)sen(cos)K( )()()()()(),( π/2+ϕϕ∗

π/2+ϕ∗

ϕ∗

αϕ α+α=α+α++=∗ rrcb.crbraa.vaa

,

ou seja,

)()(),( ϕ+ααϕ =∗ v.vaa

(08),

pois

)(

)()(

cossencos(sensensencos(cos )cossen(sen)sen(coscossencos

ϕ+α

π/2+ϕϕ=ϕ)α+αϕ+ϕ)α−ϕα=

=ϕ+ϕ−α+ϕ+ϕα=α+αrcb

cbcbrr

Então:

O diádico (aa*,ϕ), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por um vetor de argumento α da elipse Ev, transforma esse vetor no vetor de argumento α+ϕ dessa mesma elipse.

* Todos os resultados anteriores podem ser verificados em relação ao plano (b*,c*) por

consideração do diádico T(aa*,ϕ) transposto de (aa*,ϕ), sendo, como é fácil constatar,

T(aa*,ϕ)=(a*a,-ϕ).

Assim, enquanto (aa*,ϕ) roda elipticamente um vetor de Ev no plano (b,c) em torno de a*

para a posição correspondente ao acréscimo de ϕ ao seu argumento, T(aa*,ϕ) roda

elipticamente vetores do plano (b*,c*) em torno de a para a posição correspondente ao decréscimo de ϕ ao seu argumento.

*

Estudemos agora a transformação que (a a*, ϕ) opera sobre dado vetor v, qualquer, do espaço. Os vetores a e v definem um plano que intercepta o plano (b,c) segundo uma reta bem determinada. Sendo,

cv.cbv.bav.av )()()( ∗∗∗ ++= , podemos escrever: )()( α∗ += vav.av ,

v(α) tendo significado evidente. Então, lembrando (062) e (07), deduzimos:

v.b*=Kcosα e v.c*=Ksenα

donde,

∗=α

v.bv.c

tg e 22 )()(K ∗∗ += v.cv.b , (09).

Tem-se, então:

+= ∗ϕ∗ av.a.v

aa)(

),( )(),( αϕ∗ .v

aa,

ou, pelo Teor. 1:

Page 375: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 355

Poliádicos - Ruggeri

+= ∗ϕ∗ av.a.v

aa)(

),( )( ϕ+αv =v’,

Assim, (aa*,ϕ), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por um vetor v, transforma esse vetor num outro, v’, que tem a mesma componente de v segundo a e uma

componente no plano (b,c) que é rodada elipticamente por (aa*,ϕ) da componente v(α) de v contida nesse plano.

* Exercícios: 1 - Sejam: v=2a+2b+c e o diádico (aa*,ϕ) com ϕ=30°. Comprove que : α=26°34’, K=2,236 e v’=2a+1,232b+1,866c. Esboce geometricamente o problema. 2 - Comprove que o argumento β de um dos pontos de interseção do plano (a,a*) com a elipse E* de (b,c) é dado por tgβ=(a*.c*)/(a*.b*).

*

Definições: (diádico cíclico e rotação elíptica) A transformação regida pelo diádico

(aa*,ϕ) = aa*+cosϕ(bb*+cc*)+senϕ(cb*- bc*), (10), onde , , , , a b c a b c e ∗ ∗ ∗ são sistemas recíprocos, é denominada rotação

elíptica. O diádico (aa*,ϕ) recebe o nome de diádico cíclico; ϕ é o argumento desse diádico, a* é o seu eixo e (b,c) o seu plano.

*

Sabemos da Geometria que toda elipse é projeção paralela de uma circunferência. Então, existe (e é possível determinar) uma circunferência de raio unitário

kjr ˆsenˆcosˆ α+α= que, em projeção paralela, projeta-se segundo a elipse

cbv α+α=α sencos)( , os semi-diâmetros unitários ortogonais j e k projetando-se

segundo os semi-diâmetros conjugados b e c, r segundo v(α) e seu centro H segundo O.

Seja i o unitário com sentido tal, que ˆ,ˆ,ˆ kji seja ortonormado direto; e denotemos por µµµµ

o diádico de mudança da base a,b,c para a base $, $, $i j k (ver §02.01), isso é, seja

µµµµ = + +∗ ∗ ∗$ $ $i a j b k c tal que ˆ , µµµµµµµµ .jb.ia == ∗∗ , etc..

Então,

µµµµ − = + +1 ai bj ck$ $ $ e ˆ ,ˆ 11 j.bi.a −− == µµµµµµµµ ,

e

(aa*,ϕ)= + + +−µµµµ µµµµ1 . i i j j k k j k k j[ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ cos sen ϕ ( ϕ(− + )]. .

Page 376: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

356 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,A

Pondo

ΩΩΩΩ ( ,$ )i ϕ = + + +$ $ $ $ $ $ $ $ $ $i i j j k k j k k j cos sen ϕ ( ϕ(− + ), (11),

temos:

ΩΩΩΩ ( ,$ )i ϕ = µµµµ.(aa*,ϕ) .µµµµ −1, (12),

isso é, o diádico ΩΩΩΩ ( ,$ )i ϕ é similar a (aa*,ϕ) mediante µµµµ.

Em relação, então, ao sistema auto-recíproco idêntico $, $, $i j k , temos, para um vetor

v qualquer cuja projeção ortogonal no plano (kj ˆ,ˆ ) é v(α):

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ($, ) ($, ) ($, )[( $)$]i i i. v . v. i iϕ ϕ ϕ= + .v(α).

Relembrando que ΩΩΩΩ ( ,$ )i ϕ é cíclico de eixo i e autovetor i , temos:

ΩΩΩΩ ($, )$ $

i . i iϕ = e )()(),ˆ()(),ˆ( ˆKˆK ϕ+ααϕαϕ == vv..v ii ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ou seja,

)(),ˆ(ˆ)ˆ( α+ϕϕ += viiv..viΩΩΩΩ .

Portanto, em relação ao sistema $, $, $i j k , a componente )(αv de v, do plano ( kj ˆ,ˆ ),com sua

origem fixa em H, tem sua extremidade rodada (circularmente) de um ângulo ϕ; a

componente de v segundo i , com origem na extremidade de )(αv , é conservada na

transformação regida por ΩΩΩΩ ($, )i ϕ , sendo transladada paralelamente a si própria (ou a i )

segundo a referida circunferência (Fig. 05.02).

Page 377: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 357

Poliádicos - Ruggeri

Definições: (rotação e rotor) Denomina-se rotação circular, ou simplesmente rotação, a transformação em que os pontos do espaço descrevem trajetórias circulares em torno de uma reta fixa denominada o eixo da rotação. Todo diádico ΩΩΩΩ ($, )i ϕ , da forma (11), recebe o nome de diádico de rotação, ou

rotor (versor na nomenclatura de Gibbs); ϕ é o seu ângulo de rotação e $i o unitário do seu eixo.

*

Exercício: Comprovar que o rotor (11) pode ser escrito na forma compacta

iiiiiiˆsen)ˆˆcosˆˆ

),ˆ( ×ϕ+−ϕ(+=ϕ ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ , (13).

*

Vê-se, que o cíclico (aa*,ϕ) e o rotor ΩΩΩΩ ($, )i ϕ , embora similares, regem rotações

diferentes. Quando, na circunferência de raio )(αv o ângulo central, α, varia de um valor

(algébrico) ϕ, o raio vetor correspondente descreve um setor circular cuja área é R2ϕ 2 (ϕ

em radianos). Na elipse do plano (b,c) do cíclico o raio vetor de argumento α, de que o anterior é projeção, ao ser transformado no raio vetor de argumento ϕ+α, descreve um setor elíptico. Lembrando que em projeção paralela as áreas correspondentes são projetadas numa razão constante, escrevemos:

área setor elíptico

área setor circular

área elipse

área círculo,= ou,

area setor elipticoarea elipse = ϕ

π2 = area setor circulararea circulo .

Como se vê, a relação entre as áreas do setor elíptico e da elipse no plano (b,c) independe do vetor paciente na transformação, isso é, a relação só depende do ângulo ϕ que ocorre na

expressão do diádico (aa*,ϕ). Assim:

O diádico cíclico (11), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por vetor r da elipse de que b e c são semi-diâmetros conjugados, adianta esse vetor de um setor (elíptico) cuja área está para a área de toda a elipse, assim como ϕ está para 2π.

Os mesmos resultados, com as devidas mudanças, são válidos para todos os diádicos derivados do cíclico, isso é, seu transposto, seu principal e seu inverso. A determinação dessas “mudanças” ficará a cargo do leitor. Como se vê, comparando (11) com (10), o rotor é um diádico cíclico particular; o seu eixo é também direção do seu autovetor. Pela importância que esses diádicos apresentam em aplicações, as rotações (elípticas e circulares) serão estudadas em seção especial (§ 06).

Page 378: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

358 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,A

Resulta imediatamente dessas interpretações que o diádico -ΙΙΙΙ é um rotor que

transforma um vetor no seu oposto; diz-se por isso que ele rege uma simetria em relação a origem, ou inversão. A inversão em relação à origem é também denominada inversão central.

Numa situação limite, poderá ser nulo o diedro dos planos (b,c) e (b*,c*), caso em que o cíclico correspondente será um diádico uniplanar. Esse cíclico terá seu autovalor real igual a zero, ao qual corresponderá o autovetor (paralelo ao seu eixo) ortogonal ao seu plano; e poderá ser reduzido à forma (08), § 04.01,A. Portanto, esse diádico rege rotações elípticas no seu plano (em torno do seu eixo). Por uma mudança de base podemos determinar um rotor planar que lhe seja similar, rotor esse cujo eixo é ortogonal ao seu plano.

Diádico ciclotônico. Em vista de (05) e das considerações geométricas anteriores podemos, enunciar:

Teor. 1: Se um diádico tem autovalores complexos (conjugados), ele pode ser decomposto num produto comutativo de um diádico tônico por um diádico cíclico de argumento igual ao argumento dos autovalores complexos.

Definição: (diádico ciclotônico) Os diádicos da forma (01), por combinarem propriedades dos diádicos cíclico e tônico, são denominados ciclotônicos.

As propriedades dos tônicos já foram estabelecidas. As propriedades dos cíclicos e rotores serão estudadas no §06. De certa forma as propriedades dos ciclotônicos estão associadas com as propriedades dos tônicos e dos cíclicos.

Teor. 2: Se dois diádicos ΓΓΓΓ1 e ΓΓΓΓ2 são similares mediante µµµµ, e um deles é ciclotônico, ambos têm os mesmos autovalores e os autovetores de um são os transformados dos vetores característicos do outro mediante µµµµ.

Tem-se: ΓΓΓΓ ΓΓΓΓ

1 2= −µµµµ µµµµ. . 1. Sendo,

ΓΓΓΓ

2= + + + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗A M ( N (

2 2 2aa bb cc cb bc) ),

tem-se também:

).(N)(M))((A 112

112

121

−∗−∗−∗−∗−∗ −+++= µµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµµΓΓΓΓ ..bc..cb..cc..bb.a.a

Pondo

µµµµ µµµµ µµµµ. a a .b b . c c= = =1 1 1, , , e

vem:

Page 379: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 359

Poliádicos - Ruggeri

µµµµ µµµµ= + + = + +∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗a a b b c c aa bb cc1 1 1

11 1 1

, ,

sendo , , , , a b c a b c

1 1 1 1 1 1∗ ∗ ∗ e sistemas recíprocos. Então, a . a∗ − ∗=µµµµ 1

1 etc. e

ΓΓΓΓ

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗A M ( N (

2 2 2a a b b c c c b b c) ),

o que comprova a propriedade.

Auto-similaridade dos ciclotônicos. Se pusermos

ττττ = + +∗ ∗ ∗Aaa bb ccρ( ) , escreveremos (05) no forma

ΓΓΓΓ=.ττττ=ττττ., (14).

onde, por brevidade, estamos representando, evidentemente, por o diádico cíclico (06). Então:

ΓΓΓΓ.-1 = ττττ, .ΓΓΓΓ.-1 = .ττττ, -1.ΓΓΓΓ. = ττττ., ou melhor,

ΓΓΓΓ = .ΓΓΓΓ.-1 = -1.ΓΓΓΓ., (15). Concluímos:

Teor. 3: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante o seu fator cíclico.

Imponhamos, agora, a condição de que um diádico arbitrário, ΓΓΓΓ, seja similar a si próprio mediante dado diádico cíclico, digamos dado por (06). Então esse diádico deve verificar (15), ou, ainda, a condição

ΓΓΓΓ. = .ΓΓΓΓ (16). Em relação aos sistemas recíprocos a,b,c e a* ,b* ,c* é

[]=

1 0 0

0

0

cos sen

sen cos

ϕ − ϕϕ ϕ

.

Page 380: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

360 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,A

Seja, então,

[ ]ΓΓΓΓ =

Γ Γ Γ

Γ Γ Γ

Γ Γ Γ

X X

X Y

X Z

Y X

Y Y

Y Z

Z X

Z Y

Z Z

.

Calculando os produtos matriciais correspondentes a (16) obtemos as seguintes igualdades simultâneas:

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ

X X X X X X X X

Y Z Y Y Y Y Z

Y Y Y Z

Y Z Z Z Z Y Z

Z Z

X X Y Z Y Y Z Z

X X X Y Z Y Y

Y Z Z Z

X X X Y Z Y Y

Y

= + = + =

− = − = −

− = −

+ = − = +

− +

; cos sen ; sen cos ;

cos sen ; cos sen cos sen ;

sen cos cos sen ;

sen cos cos sen sen cos ;

sen

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ Z Z Zcos sen cos ;ϕ ϕ ϕ= +Γ ΓY Z

Encontramos, após simplificações:

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ΓX X

X Y

X Z

Y X

Z X

Y Y

Z Z

Y Z

Z Y e , = = = = = = −0, 0, ,

sendo, então

[ ]Γ =

Γ

Γ −Γ

Γ Γ

X X

Y Y

Y Z

Y Z

Y Y

0 0

0

0

,

e, portanto:

ΓΓΓΓ = + + + − +∗ ∗ ∗ ∗ ∗Γ Γ ΓX X

Y Y

y Z( (aa bb cc bc cb) ), (17),

expressão idêntica a (01), § 05.02. Logo:

Teor. 4: Se um diádico é similar a si próprio mediante um cíclico, esse diádico é ciclotônico e admite o cíclico como fator.

Em vista desse teorema e do Teor. 3, concluímos, ainda:

Teor. 5: A CNS para que um diádico seja ciclotônico é que ele seja similar a si próprio mediante um cíclico.

Page 381: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02,A - TL regida por: Γ=Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 361

Poliádicos - Ruggeri

De (16) deduzimos:

.ΓΓΓΓ = 2.ΓΓΓΓ.-1 , ou, .ΓΓΓΓ.-1 = 2.ΓΓΓΓ.(2)-1 , isso é,

ΓΓΓΓ = 2.ΓΓΓΓ.(2)-1 . Analogamente poderíamos comprovar que

ΓΓΓΓ = (2)-1.ΓΓΓΓ.2, expressão que pode ser generalizada para qualquer potência inteira, P. Assim,

Teor. 6: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante qualquer potência de expoente inteiro do seu cíclico fator:

ΓΓΓΓ = P.ΓΓΓΓ.(P)-1 = (P)-1 .ΓΓΓΓ.P, (18). Ainda a partir de (16) podemos escrever:

ΓΓΓΓ.ΓΓΓΓ = ΓΓΓΓ2 = .ΓΓΓΓ.-1..ΓΓΓΓ.-1 = .ΓΓΓΓ2.-1 , Ou

ΓΓΓΓ2 = -1.ΓΓΓΓ..-1.ΓΓΓΓ. = -1.ΓΓΓΓ2., e assim sucessivamente para potências maiores de ΓΓΓΓ. Então:

Teor. 7: Qualquer potência de expoente inteiro de um diádico ciclotônico é similar a si própria mediante o seu cíclico fator:

ΓΓΓΓP = .ΓΓΓΓP.-1 = -1.ΓΓΓΓP., (19). Como um diádico potência de um cíclico é, ainda, um cíclico, resulta:

Teor. 8: Qualquer potência de expoente inteiro de um ciclotônico é similar a si própria mediante qualquer outra potência de expoente inteiro do seu cíclico fator:

∀ P, Q inteiros: ΓΓΓΓQ = P.ΓΓΓΓQ.(P)-1 = (P)-1 .ΓΓΓΓQ.P, (20).

Page 382: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

362 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,B

§ 05.02,B - TL regida por: φφφφ=Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* Esse diádico, cuja matriz associada na base a,b,c é

=BB0

0B0

00A

][ abcφφφφ ,

pode ser representado na forma do produto comutativo do diádico tônico

A B(aa bb cc∗ ∗ ∗+ + ) , (21), pelo diádico

χχχχ = + ∗ΙΙΙΙ cb , com c b ⊥ ∗ (22), isso é,

φφφφ = + + + = + + +∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗[ )] ( ) ( ) [ )].A B( A B(aa bb cc . cb cb . aa bb ccΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

Cisalhamento simples. Diádico cisalhante. Estudemos, pois, a TL regida pelo diádico ΙΙΙΙ+cb*, de matriz associada

=+Ι ∗

110

010

001

][ abccb ,

já que a regida pelo tônico (21) está determinada (§ 05.01).

Tem-se, para qualquer v paralelo a b* :

( ) ( ) ' ;ΙΙΙΙ + = + =∗ ∗cb . v v v.b c v e, para qualquer vetor w de um plano arbitrário de referência, (a,c), ortogonal a b*:

( ) .ΙΙΙΙ + =∗cb . w w

Assim: 1°) - ΙΙΙΙ+cb* deixa inalterados todos os vetores paralelos ao plano de referência (a,c);

2°) - desloca a extremidade V, de qualquer v, paralelamente à direção de c (Fig. 05.03), da quantidade (algébrica)

VV' = (v. $b *) |b* ||c| , pois (v.b*) c = (v. $b *)|b*||c| $c = ±|v||b* ||c|$c = VV' $c .

Page 383: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.02,B - TL regida por: φφφφ=Aaa*+B(bb*+cc* )+Bcb* 363

Poliádicos - Ruggeri

Pondo $c = $k , $b * = $j e Q = |c||b*| (logo Q > 0 e arbitrário), podemos escrever:

jkQcb ˆˆ+=+= ∗ ΙΙΙΙΙΙΙΙχχχχ , (Q > 0) (23),

e, por ser VV' Q V" V= ,

′ = + ′ = + ′′v v k v kVV QV V $ $ , (231). Nestas condições, podemos concluir que os pontos dos planos paralelos ao plano de referência (a, $k ), são deslocados (sobre esses mesmos planos) na direção de $k , de uma

mesma quantidade, Q V" V . Essa quantidade é, então, proporcional à distância (algébrica)

V" V do plano de referência ao plano considerado. Denotando por ξ o ângulo agudo VV V$ ′′ ′ do triângulo retângulo VV'V'' (reto em V), e considerando (231), podemos escrever:

tg VVVV

Q > 0ξ = ′′′

= (Q arbitrário, porém constante).

Então, VV′ e V" V têm sempre o mesmo sinal. Isto significa que o sentido do deslocamento dos pontos é o de $k , ou o sentido oposto, conforme tais pontos estejam situados, em relação ao plano (a, $k ), no semi-espaço para o qual aponta o unitário $j ou no

semi-espaço oposto, respectivamente (Fig.05.03). Assim, nesta transformação, todos os planos inicialmente ortogonais ao plano de

referência e a $k , tornam-se inclinados, em relação a esse plano de referência, de π/2 - ξ. A transformação regida pelo diádico (23), então, é caracterizada por três elementos geométricos essenciais: a direção definida por $j (a partir da qual arbitramos um plano de

referência que lhe seja ortogonal), a direção definida por $k e o ângulo agudo ξ cuja tangente é Q. Como essa transformação pode representar exatamente a solicitação mecânica

denominada cisalhamento, justificam-se por analogia, as seguintes

Definições: (cisalhamento simples)

A transformação regida pelo diádico jkˆˆQ+= ΙΙΙΙχχχχ denomina-se

cisalhamento simples; o diádico χχχχ, diádico cisalhante. A direção

definida por $k denomina-se direção do cisalhamento; o plano ortogonal

a $j , plano do cisalhamento; o número positivo Q, módulo do cisalhamento e o ângulo ξ cuja tangente é Q, ângulo de cisalhamento.

Resulta, então, o seguinte

Teor. 1: A transformação regida pelo diádico (02), § 05.02 é equivalente ao produto comutativo das transformações regidas pelo diádico tônico (21) e pelo diádico cisalhante (22).

Definição: (cisotônico) Os diádicos da forma

φφφφ = + + +∗ ∗ ∗ ∗A B( Baa bb cc cb) ,

Page 384: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

364 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.02,B

por combinarem propriedades dos diádicos cisalhante e tônico, serão denominados cisotônicos.

Teor. 2: No cisalhamento são conservados: 1°) - os volumes; 2°) - as distâncias em

qualquer direção nos planos paralelos ao plano de cisalhamento; 3°) - as áreas nos planos ortogonais à direção do vetor do diádico.

Com efeito, escrevendo χχχχ na forma

∗∗∗ +++= ccbcbaa )(χχχχ ,

temos, lembrando ((04)3,§ 02.08,II) e a propriedade 7 das TL (§ 01.02):

1))](()[())()(( ******3 =+=+= cbaaccabccbaccbaχχχχ

uma vez que (acc) = 0. Então, lembrando a propr. 7 das TL's (§ 01.02), comprovamos que os volumes são conservados. Ora, sendo:

**2**T . bbccbcbI +++=χχχχχχχχ resulta, para qualquer $n b ⊥ ∗:

1ˆ)(ˆ T =n...n χχχχχχχχ

Então, conforme a propriedade 5 das TL's, são conservadas as distâncias em qualquer direção $n ortogonal a b* , ou seja, nos planos paralelos ao plano de cisalhamento.

Analogamente, sendo: ∗= -cbΙΙΙΙχχχχ ~ e c-b∗= ΙΙΙΙχχχχ ~T , resultam, para todo $i c ⊥ e, por ser

χχχχV=b*×c (logo perpendicular a b* e c), para todo i paralelo a χχχχV:

ccbcbcb.. 2**TT )(-I ~ ~ ~)( ++== χχχχχχχχχχχχχχχχ e 1ˆ ~)(ˆ T =i...i χχχχχχχχ .

Assim, lembrando a propriedade 6 das TL's, concluímos que são conservadas as áreas em qualquer plano ortogonal à direção do vetor de χχχχ.

Teor. 3: O recíproco de um cisalhante é um cisalhante. Cisalhantes recíprocos têm a mesma direção de cisalhamento, o mesmo plano de cisalhamento e o mesmo módulo cisalhante, mas os sentidos dos cisalhamentos são opostos.

Com efeito, pois o recíproco de ΙΙΙΙ+cb* é ΙΙΙΙ- cb* , como facilmente se comprova; e estes regem transformações inversas.

Nota: O Teor. 3 é válido também para o adjunto do cisalhante porque o adjunto e o recíproco do cisalhante são iguais.

Page 385: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos 365

Poliádicos - Ruggeri

§ 05.02,C - TL regida pelo : φφφφ=ab*+bc*, com a⊥b, a⊥b* , a⊥c*, b⊥c* e b.b* = 1.

O diádico φφφφ, de matriz associada

=000

100

010

][ abcφφφφ ,

é antitriangular (§09.09,II) e φφφφ+ΙΙΙΙ pode ser representado na forma do produto não comutativo de dois diádicos cisalhantes de direções ortogonais,

φφφφ + = + +∗ ∗ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ( ) ( ) ,bc . ab (24).

Logo:

A soma de um diádico antitriangular com o diádico unidade é sempre decomponível num produto não comutativo de dois diádicos cisalhantes de direções de cisalhamento ortogonais, o plano de cisalhamento do primeiro sendo paralelo ao plano dos antecedentes do antitriangular (Fig. 05.04).

Se a,b,c e a* ,b* ,c* forem sistemas recíprocos com a⊥b, a⊥b* , a⊥c*, b⊥c* e b.b* = 1 poderemos escrever sempre:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ+ + = + + +∗ ∗ ∗ ∗ ∗ab . bc bc . ab . ac (241),

Com efeito, lembrando que b.b* = 1 e φφφφ.ac* = (ab*+bc*) .ac* =ΟΟΟΟ,

( ) ( ) ( ) ( )ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ+ + = + + = + +∗ ∗ ∗ ∗ab . bc ac . acφφφφ φφφφ ,

donde, considerando (24), tem-se a tese. Ora, |a| |b* |, |b| |c* | e |a| |c* | são, respectivamente, os módulos dos cisalhantes do segundo membro de (241); |a| |c* | vale o produto dos módulos de ΙΙΙΙ+ab* e ΙΙΙΙ+bc* dividido por |b* | |b|, isso é, multiplicado pelo co-seno do complemento do ângulo dos planos de ΙΙΙΙ+ab* e ΙΙΙΙ+bc* . Logo:

Teor. 1: O produto, numa certa ordem, de dois cisalhantes de direções ortogonais, é igual ao produto deles na ordem inversa pós-multiplicado pelo cisalhante que tem a direção do primeiro, o plano do segundo e módulo igual ao produto dos módulos dos fatores pelo seno do ângulo diedro dos seus planos.

Page 386: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

366 § 05 - Descrição das TL's pelas reduções canônicas.

III,§ 05.03

Resumidamente, escrevemos, para o par ordenado (χχχχ1, χχχχ2):

32112 χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ ... = (25),

donde a seguinte

Definição: (cisalhante complexo, comutante) O diádico φφφφ + = + +∗ ∗ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ( ) ( ) ,bc . ab com a⊥b, a⊥b*, a⊥c*, b⊥c* e b.b* = 1 denomina-se cisalhante complexo.

Ao cisalhante que pós-multiplicado pelo produto dos cisalhantes de direções ortogonais de um par ordenado, implica o produto dos cisalhantes do par inverso, denominaremos o comutante do par.

Teor. 2: Se um cisalhante é comutante de um par (de cisalhantes de direções ortogonais), o seu recíproco é comutante do par inverso.

Com efeito pois designando por χχχχ'3 o comutante do par (χχχχ2,χχχχ1), escrevemos:

31221 χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ ′= ...

Mas sendo χχχχ3 o comutante do par (χχχχ1,χχχχ2) deduzimos desta igualdade, por pós-multiplicação de ambos os seus membros por χχχχ3:

3312321 χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ ..... ′=

Agora, considerando (25) e lembrando que χχχχ2.χχχχ1 é completo, resulta:

I. =′ 33 χχχχχχχχ ,

donde a tese.

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos. Os autovalores reais ou imaginários e as suas possíveis multiplicidades permitiram efetuar reduções nas expressões dos diádicos. São elas: 1°) - A, B, C reais: φφφφ = + +∗ ∗ ∗A B Caa bb cc , diádico tônico; 2°) - A, M + Ni, M - Ni:

)](sen+)(cos+[)]+(+A[ ∗∗∗∗∗∗∗∗ −ϕ+ϕρ= bccbccbbaa.ccbbaaΓΓΓΓ ,

produto comutativo de um tônico (de autovalor duplo) por um cíclico;

Page 387: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 367

Poliádicos - Ruggeri

3°) - A, B = C: a) - φφφφ = + +∗ ∗ ∗A B(aa bb cc ), se φφφφ − AΙΙΙΙ é planar e φφφφ − BΙΙΙΙ linear ou unilinear, diádico tônico (com um autovalor duplo); b) - φφφφ = + + +∗ ∗ ∗ ∗[ )] ( )A B(aa bb cc . cbΙΙΙΙ se φφφφ − AΙΙΙΙ é planar e φφφφ − BΙΙΙΙ ortoplanar, produto comutativo de um tônico (com um autovalor duplo) por um cisalhante (simples); 4°) - A = B = C: a) - A = B = C = 0, φφφφ = +∗ ∗ab bc (φφφφ é antitriangular), caso em que φφφφ + ΙΙΙΙ é um produto (não comutativo) de dois cisalhantes simples de direções ortogonais; denomina-se cisalhante complexo; b) - A = B = C ≠ 0, podendo ser: φφφφ = + ∗AΙΙΙΙ bc , caso em que φφφφ − AΙΙΙΙ é ortolinear; φφφφ é um diádico de cisalhamento simples; φφφφ = AΙΙΙΙ , caso em que φφφφ é tônico. Tais reduções são denominadas canônicas porque a representação de um diádico qualquer, dado ao acaso, pode sempre ser reduzida a uma delas. Conseqüentemente, qualquer diádico pode ser classificado como um dos tipos seguintes, ou como um produto deles, sete no total: - os diagonalizáveis: - três tônicos (com autovalores simples, um duplo e um triplo), pelos quais as distâncias nas direções dos seus autovetores aumentam ou diminuem em diferentes proporções, ou em proporções iguais em duas ou em três dessas direções; - e os não diagonalizáveis: - um cíclico, que rege rotações elípticas (diádicos de rotação incluídos);

- um cisalhante simples, que rege cisalhamento;

- um cisalhante complexo, soma de um antitriangular com o diádico unidade, e que é fatorável no produto de dois cisalhantes simples. Um resumo dos principais resultados deste § 05 está apresentado no Quadro V, no final deste capítulo.

Page 388: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

368 § 06 - Rotações.

III,§ 06.01

§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES) .

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. Sejam , , , , a b c a b c e ∗ ∗ ∗ sistemas recíprocos,

(cc*,ϕ)= )(sen)(cos ∗∗∗∗∗ −ϕ++ϕ+ abbabbaacc (01),

um cíclico a eles associados115 e o diádico de rotação associado (similar) a esse cíclico,

ΩΩΩΩ( ,$ )k ϕ

= + + + −$ $ $$ $$) $$ $$kk i i jj ij ji cos sen ϕ ( ϕ ( + ), (02),

$k sendo o seu eixo, ϕ o seu ângulo de giro (o argumento do cíclico) e ($, $i j ) o par de semi-

diâmetros da circunferência de ΩΩΩΩ que se projeta no par (a,b) de semi-diâmetros conjugados

da elipse de (Figura 05.02, § 05.02,A). Como esses diádicos são similares, eles têm os mesmos autovalores, a saber: 1, eiϕ e e-iϕ; têm , também, necessariamente, o mesmo escalar 1+2cosϕ, sendo, então:

-1≤(cc*,ϕ)E= E),ˆ( ϕΩ k ≤3, (011).

Se v(α) é a projeção do vetor genérico v paralelamente a c sobre o plano (a,b), escrevemos:

bbvaavv ).().( )()()(∗

α∗

αα += , sendo )(* )( α+= vcv.cv .

Conforme vimos (§ 05.02,A), se r (α) é o vetor de argumento α da elipse de semi-diâmetros conjugados a e b, paralelo a v(α), e se K=|v(α)|/|r (α)|, então v(α)=Kr (α) e v=(v.c*)c+ Kr (α), sendo )sencos(K)( bav α+α=α . Tem-se, ainda:

v´=(cc*,ϕ). )(K)( ϕ+α∗ += vcv.cv , pois, (cc*,ϕ).v(α)=v(α+ϕ).

Como |v(α)|≠|v(α+ϕ)|, resulta que |v´|≠|v|. Seja, agora, u um vetor arbitrário em módulo e sentido, mas paralelo à interseção dos planos ortogonais (a,b) e (c,c*). Nesse caso particular, o ângulo de u com c é o

complemento do ângulo de c com c* . Ora, (cc*,ϕ).c=c. Como (cc*,ϕ).u=u' é elipticamente rodado de u, o ângulo de u' com c, nesse caso particular, será evidentemente diferente do ângulo de u com c; no caso geral, então, essa diferença fica também comprovada. Logo, podemos enunciar:

Teor. 1: Nas rotações elípticas as distâncias e os ângulos não são conservados, em geral.

115 Para o que interessa daqui a diante será mais interessante essa forma de representação do cíclico que é, evidentemente, tão legítima quanto a utilizada no § 05.02,A.

Page 389: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 369

Poliádicos - Ruggeri

Escrevamos o cíclico (01) na forma

(cc*,ϕ)= − + + − = − = +∗ ∗ ∗ ∗ ∗a r bs cc r a b s a b( ) , com cos sen sen cos ϕ ϕ ϕ ϕ . Tem-se, como é fácil calcular:

− =∗ ∗ ∗ ∗( ) ( )rsc a b c , existindo, pois, o sistema recíproco de ,, ∗− csr ; encontramos, facilmente:

- homólogo de (-r ): cos sen ϕ ϕa b− ; - homólogo de s: sen cos ϕ ϕa b+ ; - homólogo de c* : c. Então podemos escrever o principal (§08,II) do cíclico na forma

(cc*, ϕ)P (cos sen ) + (sen cos += − +∗ ∗ ∗a a b b a b c cϕ ϕ ϕ ϕ ) (03), ou, ainda, na forma

(cc*, ϕ)P cos ( ) sen ( )= + + + − +∗ ∗ ∗ ∗ ∗c c a a b b a b b aϕ ϕ (04). Então, o principal do cíclico é ainda um cíclico de eixo c e ângulo ϕ, isso é:

(cc*,ϕ)P = (c*c,ϕ), (05). Transpondo em (04), temos, lembrando que o transposto do principal é igual ao recíproco:

(cc*,ϕ)-1 cos ( ( ) sen ( ( )= + − + + − − +∗ ∗ ∗ ∗ ∗cc aa bb ab baϕ ϕ ) ) (06),

ou seja,

(cc*,ϕ)-1 = (cc*,-ϕ), (061).

Transpondo em (01), vem:

(cc*,ϕ)T cos ( ) sen ( )= + − + + − − +∗ ∗ ∗ ∗ ∗c c a a b b a b b a( ) ( )ϕ ϕ =(c*c,-ϕ) (07),

expressão formalmente idêntica à (04) onde se troque ϕ por - ϕ; então:

(cc*,ϕ)T = (cc*,-ϕ)P, (071).

Page 390: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

370 § 06 - Rotações.

III,§ 06.01

Em resumo:

(cc*,ϕ)≠(cc*,ϕ)T=(c*c,-ϕ)=(c*c,ϕ)

-1 =(c*c,ϕ)P-1

(cc*,ϕ)≠(cc*,ϕ)-1=(cc*,-ϕ) , (08).

(cc*,ϕ)≠(cc*,ϕ)P=(c*c,ϕ)=(c*c,-ϕ)-1=(cc*,ϕ)

-T

Deve ser observado que (cc*,ϕ) e seu inverso têm o mesmo eixo c*, o mesmo autovetor c e

argumentos opostos; similarmente, (cc*,ϕ)T e seu inverso (o principal de (cc*,ϕ)) têm o

mesmo eixo c, o mesmo autovetor c* e argumentos opostos. No caso de rotação circular existe, entretanto, a igualdade

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ( $ ) ( $ ) ( $ ) ( $ )k k k k, P , ,

T,

, ou ϕ ϕ ϕ ϕ

= = −1, (081),

porque o sistema $, $, $i j k é auto-recíproco idêntico. Logo:

Teor. 2: Se um diádico é de rotação (circular) ele é igual ao seu principal; ou, o seu transposto é igual ao seu recíproco.

Como preliminar à demonstração da recíproca desse teorema provaremos o seguinte

Teor. 3: Se um diádico é igual ao seu principal, os seus autovalores são

± −1, e e ei iϕ ϕ. Se φφφφ φφφφ=

P, então φφφφ φφφφT = −1 e φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .T T= = ΙΙΙΙ ; logo φφφφ

31= ± e, considerando ((10),

§ 08.01,II): φφφφ φφφφ φφφφT = = ±−1 ~ . A equação característica desse diádico é, então:

X X X 1 = 03E

2E

− ±φφφφ φφφφ m ,

expressão em que os sinais se correspondem. A unidade positiva ou negativa é, evidentemente, um autovalor do diádico, e, se B e C são os outros dois,

ϕ=+=± 2cosCB1Eφφφφ e BC=1.

Então, B e C são as raízes da equação

X X2E

− + =( )φφφφ m1 1 0

pois

X X X 1 X3E

2E

− ± =φφφφ φφφφ m m( )1 [X X2E

− + =( ) ]φφφφ m1 1 0.

Page 391: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 371

Poliádicos - Ruggeri

Para que B e C sejam reais é CNS que ( )φφφφEm1 42 ≥ , ou seja, , ou B C+ ≥ 2. Mas B C = 1;

logo deve ser (B 1)2+ ≤ 0, ou (B 1)2− ≥ 0.

A primeira hipótese só é admissível se for B = - 1, caso em que será também C = - 1, ou seja A = ± 1 e B = C = - 1. Então o diádico ou tem um autovalor duplo ou um autovalor triplo. No caso de autovalor duplo, φφφφ + ΙΙΙΙ é linear e φφφφ é tônico com um autovalor duplo (Teor. 2, § 04.02); no caso de autovalor triplo, φφφφ − ΙΙΙΙ é ortolinear e pode ser reduzido à

forma φφφφ = +ΙΙΙΙ $ $jk , com $ $j. k = 0 (Teor. 3, § 04.03).

A segunda hipótese ((B 1)2− ≥ 0) é sempre possível, mesmo para B = ± 1, caso em que A = ± 1 e B = C = ± 1, ou seja, o diádico tem autovalores duplos ou triplos. Esse caso, então, é idêntico ao anterior (se B = ± 1). Se for B ≠ ± 1, será A = ± 1 e B ≠ C ≠ ± 1 e φφφφ será tônico com autovalores distintos.

O caso φφφφ − ΙΙΙΙ ortolinear (implicado na primeira hipótese) é inadmissível porque

sendo, então, φφφφ = +ΙΙΙΙ $ $jk , ou seja φφφφ = + + +$$ $$ ($ $ ) $i i jj j k k , é φφφφP

= + − + = −$$ ($ $ )$ $ $ $$i i j k j kk kjΙΙΙΙ , isso

é, φφφφ φφφφ≠P, o que é absurdo.

O caso (implicado na primeira hipótese e na segunda) em que φφφφ possa ser tônico com A=±1 e B≠C≠±1 (alem, é óbvio, de B≠0 e C≠0), também é inadmissível. Com efeito, conforme Teor.6, §04.01,B, esse diádico pode ser escrito na forma geral φφφφ = A

i iie e onde

A1=A, A2=B ... e os ei são os autovetores de φφφφ. É fácil comprovar que φφφφP j

jj

A )= ( /1 e e ,

não sendo possível comparar esses diádicos nessas formas (pois não têm os mesmos antecedentes e os mesmos conseqüentes). Podemos, entretanto, escrever:

φφφφ = A Ei

i ji j

e e com E i j i j= e .e

e ji

jP E)A/1(=φφφφ com ijijji EE == .ee .

Como φφφφ=φφφφP,

ijj

jij

iji E)A/1(E)A/1(EA :ji, ==∀ ,

de onde podemos deduzir (impondo a condição de que esses diádicos devam ter o mesmo vetor, igualando as coordenadas desses vetores e resolvendo o sistema formado) que A=B=C=±1, o que é um absurdo.

Os autovalores B e C devem ser, pois, complexos conjugados. Ponhamos: B=M+Ni e C=M-Ni. Como BC=1, M2+N2=1, isso é, os módulos de B e C são unitários; então B=eiϕ e C=e-iϕ, com M=cosϕ e N=senϕ.

Teor. 4: (recíproco do Teor. 2) Se um diádico é igual ao seu principal (ou seu transposto é igual ao seu inverso), esse diádico é de rotação:

φφφφ φφφφ φφφφ= ⇒ = + + + −P cos sen $ $ $$ $$) $$ $$kk i i jj ij jiϕ ( ϕ ( + ) , (09),

Page 392: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

372 § 06 - Rotações.

III,§ 06.01

Pelo Teor. 3 o diádico tem os autovalores complexos ±1, eiϕ e e-iϕ; pelo Teor.1,§04.01,A, existem bases recíprocas em relação às quais podemos escrever esse diádico na forma:

cos ( + ) + sen ( + )φφφφ = ± + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗cc aa bb ab baϕ ϕ , caso em que

[ ] [ ]φφφφ φφφφabc

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

=

±

= ∗∗

ϕ ϕ

ϕ ϕ , (a).

No caso geral, se φφφφ = φ

ji

ij a a , então k

rrk 3

1 )/1( aaΦ=− φφφφφφφφ , sendo Φ kr o complemento

algébrico (ou co-fator) de φ rk no determinante |φφφφ

∗∗ |, conforme §09.08,II. Então,

[ ]φφφφ−∗

∗= ±

=

±

1

Acos -Asen 0

Asen Acos 0

0 0 1

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ,

pois φφφφ3=A=±1. Mas, sendo φφφφ=φφφφP,

][][][][ 1T

1

P ∗∗−∗

∗−∗∗

∗∗ === φφφφφφφφφφφφφφφφ , (b),

e, conforme ((041)3, § 09.03, II),

[ ] [ ] [ ] [ ]φφφφ φφφφ−∗

∗∗∗

−∗

∗ ∗∗=1 1 G G. . , ou [ ] [ ] [ ] [ ]φφφφ φφφφ−

∗∗

∗∗ ∗∗−

∗∗=1 1 G G. . , (c),

porque [ ] [ ]G e G∗∗∗∗ são inversas. Sendo, ademais, (§ 09.02, II)

[ ]G ∗∗ =

a.a a.b a.c

b.a b.b b. c

c.a c.b c. c

,

e considerando (a) e (b), escrevemos (c) na forma:

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

±

.

a.a a.b a.c

b.a b.b b.c

c.a c.b c.c

=

a.a a.b a.c

b.a b.b b.c

c.a c.b c.c

.

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

±

.

Operando temos, no primeiro membro:

a b.a a.b b a.c b.c

a b.a a.b b a.c b.c

c.a c.b c. c

2

2

cos ( )sen cos sen cos ( sen

sen cos sen cos sen ( cos

2

2

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

− − −

+ + +

± ± ±

( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

,

Page 393: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 373

Poliádicos - Ruggeri

e no segundo,

a a.b a a.b a.c

b.a b b.a b b.c

c.a c.b .a c.b c. c

2 2

2 2

cos sen - sen cos

cos sen sen cos

cos sen -(c sen cos

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+ + ±

+ − + ±

+ + ±

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ) ( ) ( )

.

Igualando as coordenadas homônimas dessas matrizes deduzimos, sem delongas: - da 1ª) linha e 1ª) coluna: a . b = 0;

- logo, da 1ª) linha e 2ª) coluna: |a| = |b|;

- da 1ª) linha e 3ª) coluna: - (b . c) sen ϕ = (a . c)(± 1 – cos ϕ);

- da 3ª) linha e 1ª) coluna: (b . c) sen ϕ = (c . a)(± 1 – cos ϕ). Então, desta condição e da última obtida resultam: b . c = 0 e, por isso, c . a = 0;

- da 3ª) linha e 3ª) coluna vemos que |c| é arbitrário. Concluímos, em resumo, que se φφφφ φφφφ=

P, a base a,b,c é triortogonal, devendo ser

|b|=|a| e |c| arbitrário. Então podemos fazer a i b j c k= = =$, $ $ e e escrever φφφφ na forma (09).

Corol. 1: A CNS para que um diádico seja de rotação é que ele seja igual ao seu principal, ou que o seu transposto seja igual ao seu inverso:

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφPT, ou = = − ⇔1

⇔ = + + + − cos sen φφφφ $ $ $$ $$) $$ $$kk i i jj ij jiϕ ( ϕ ( + ) , (10), expressão na qual $, $, $i j k é um sistema direto de unitários triortogonais.

Deve ser observado que o ângulo de rotação é menor que π radianos. Com efeito,

para π<ϕ<2π pode-se sempre substituir ϕ por (2π-ϕ), uma vez que

e = cos(2 ) isen(2 ) = e ,

e = cos(2 ) + isen(2 ) = e .

i i(2

i i(2

ϕ π ϕ

ϕ π ϕ

π ϕ π ϕ

π ϕ π ϕ

− − −

− −

− −

− −

)

)

Isto equivale a uma rotação num sentido, de ângulo maior que π radianos, ou uma rotação em sentido contrário, de ângulo menor que π radianos.

* Exercícios: 1) - Todo diádico de rotação tem norma igual a 3. (Sugestão: considerar ((19),§08.01) e (10)).

Page 394: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

374 § 06 - Rotações.

III,§ 06.01

2) - O vetor de um rotor é um de seus autovetores, ao qual correspondente a unidade positiva como um de seus autovalores: ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

V V. = . Ou, o que é o mesmo: Todo rotor

rege uma rotação em torno do suporte do seu vetor.

*

Caracterização dos cíclicos e rotores. Para simplificar a notação em estudos posteriores, escreveremos doravante um ciclotônico na forma

ΓΓΓΓ = + + + − +∗ ∗ ∗ ∗ ∗A M( Ncc aa bb ab ba) ( ), (11), e seu fator cíclico na forma correspondente

∗∗∗∗ ==== ++++ −−−− ++++∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗( , )

( ) ( )cc

cc aa bb ab baϕ

ϕ ϕ+ cos + sen , (111).

Conforme garante o Teor. 1, § 04.01, c deve ser o autovetor deles e c* o eixo do cíclico (§ 05.02,A). Os demais vetores que comparecem numa qualquer de suas representações constituem sistemas recíprocos, mas são totalmente arbitrários; o que significa que os cíclicos e os ciclotônicos podem ser escritos de infinitas maneiras com a mesma díade cc* . Então um cíclico não fica caracterizado apenas pelos vetores c e c* - respectivamente seu autovetor e seu eixo – tais que c.c*=1, e pelo argumento de giro, ϕ, argumento dos seus autovalores complexos (conjugados). De fato, as projeções dos pontos do espaço (extremidades dos vetores pacientes), sobre o plano ortogonal ao eixo, descreverão elipses homotéticas de diferentes razões de homotetia. Para que um cíclico fique caracterizado é necessário especificar a família de elipses homotéticas no plano ortogonal ao eixo. Essa especificação é feita ao escolher-se o par de vetores (a,b), isso é, dois dos semi-diâmetros conjugados de uma elipse da família. Em resumo: um cíclico fica univocamente caracterizado por um terceto de vetores independentes e um ângulo.

* Exercício: Provar que existe e estudar o cíclico cujo argumento de giro elíptico seja igual ao ângulo formado pelo seu autovetor e o seu eixo.

* Os rotores, por outro lado, podem ser caracterizados de uma forma mais simples, posto que (§ 06.01), para eles, c=c*= $k , isso é, o seu eixo é o seu próprio autovetor. Assim, qualquer vetor paralelo a $k e cujo módulo seja uma função definida de ϕ caracterizará perfeitamente a rotação. Tem-se, como facilmente se constata por (02):

k sen2V ϕ−=ΩΩΩΩ e ϕ+= cos21EΩΩΩΩ , (12),

donde

kq ˆ2

tg1 E

V ϕ=+−

=ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ, (13)

Page 395: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 375

Poliádicos - Ruggeri

Definição: (vetor semitangente de rotação) O vetor q, dado por (13), será denominado vetor semitangente de rotação,

e caracterizará evidentemente a rotação de ângulo ϕ e eixo $k regida por ΩΩΩΩ.

Nota: É necessário observar-se que, não obstante o vetor q caracterize uma rotação, não tem sentido “somar” duas rotações definidas por q1 e q2 simplesmente somando esses vetores. Como veremos (§06.03,A,Teor. 16), as rotações são compostas por “produtos” e o vetor semitangente correspondente será calculado como função de q1 e q2 algo diferente de

simples soma.116 Como o rotor é um cíclico particular, dois rotores que tenham, sabidamente, o mesmo eixo (logo, o mesmo autovetor), digamos, $k , podem ser escritos na forma (02), § 06.01, correlata de (111):

ΩΩΩΩ( $ , )

$ $ $$ $$) $$ $$k

kk i i jj ij jiϕ

==== ++++ ++++ ++++ −−−− cos sen ϕ ( ϕ ( + ), (14),

e ΩΩΩΩ( $ , )

$ $ $$ $$) $$ $$k

kk i i jj ij ji′ = + ′ + + ′ −ϕ cos sen ϕ ( ϕ ( + ) , (141),

Consideremos o rotor ΩΩΩΩ que transforma pontos Ai, de vetores posicionais ai, em pontos Bi de vetores posicionais bi em relação a um ponto arbitrário O do eixo do rotor (que denominaremos origem ou centro da rotação). Escrevemos: b .ai i= .ΩΩΩΩ

Para dois pontos arbitrários A1 e A2 tem-se, também:

b b . a a2 1 2 1

− −= ( ),ΩΩΩΩ donde ( ) ( ) ( ) ( )Tb b a a . . . a a2 1

22 1 2 1

− = − −ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ,

ou seja, considerando (10): ( ) = ( )b b a a2 1

22 1

2− − . Em vista da arbitrariedade dos pontos

A1 e A2 podemos concluir:

Teor. 5: Nas rotações as distâncias são sempre conservadas,

contrariamente ao caso das rotações (elípticas) com cíclicos.

Corol. 1: Na rotação, o ângulo de duas direções quaisquer é sempre conservado.

Com efeito, o produto escalar dos vetores b1 e b2, respectivamente transformados dos vetores a1 e a2 mediante ΩΩΩΩ, pode ser escrito na forma:

b .b .a . . a a . . . a a .a1 2 1= ( ) ( ) = ( ) = .1 2T

2 1 2ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

116 Em outras palavras: o vetor semitangente de rotação não é um tensor (pois há vetores que não são tensores).

Como a rotação conserva os módulos dos vetores: |b1| = |a1| e |b2| = |a2|; logo,

cos( , ) = cos( , ) , ou, ( , ) = 2k ( , ) ,2 2b b a a b b a a1 1 2 1 2 1π ±

isso é, (b1,b2) = (a1,a2) uma vez que o ângulo de duas direções é sempre positivo e menor que π rad.

Page 396: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

376 § 06 - Rotações.

III,§ 06.01

Corol. 2: Um diádico de rotação transforma um terceto de vetores que formem entre si certos ângulos, num outro terceto que, correspondentemente, têm os mesmos módulos e formam entre si os mesmos ângulos,

ou, o que é o mesmo:

Todo diádico de rotação transforma um tetraedro num outro tetraedro congruente com o primeiro.

Por conseqüência deste corolário, a transformação regida por ΩΩΩΩ é denominada, também, uma transformação normogonal (ou congruente) pelo fato de manter as normas dos vetores e seus ângulos.

Generalização de conceitos clássicos.

Definição: (tercetos normogonais, ou congruentes) Dois tercetos positivos quaisquer de vetores, , , g g g1 2 3 e , , e e e1 2 3 tais, que para todo i,j=1,2,3, | | | |g ei i==== e ângulos ( , ) ( , )g g e ei j i j==== , serão ditos

tercetos de vetores normogonais (ou congruentes), ou, simplesmente, tercetos normogonais.

Resulta da definição que pares de sistemas ortonormados são sistemas normogonados (muito particulares): aqueles cujos ângulos entre os vetores (unitários) de um sistema e outro são todos iguais a um reto.

Por conseqüência do Corol. 2, Teor.1, §02.04, II, existirá sempre um e um único diádico que transforma um terceto num outro que lhe seja normogonal. Se, então, ii .eg µµµµ= ,

tem-se i

ieg=µµµµ e jkji

kijjik

kiP ))(()()( eg.ee.gge.eeg.gg ==µµµµ .

Da normogonalidade dos tercetos deduzimos,

jiji .gg.ee = e kj j

kji

ikji

ik ))(())(( δ=== .gg.gg.gg.ee.gg .

Podemos, assim, escrever µµµµµµµµ ==δ= jj

jk

kj P egeg . Então, concluímos:

Teor.6: (direto) Se duas bases são normogonadas, o diádico de mudança de uma base para a outra é igual ao seu principal, ou seja é um diádico de rotação.

Aplicando o Teor. 6 para duas bases normogonadas (ou congruentes), em dois sentidos opostos, vemos que se µµµµ=µµµµP num sentido, deve ser µµµµ-1=µµµµ-1

P=µµµµT no sentido oposto, isso é: se um diádico é igual ao seu principal, o seu transposto é igual ao seu inverso (conforme já sabíamos, Teor. 2).

O recíproco do Teor. 6 é verdadeiro, isso é,

Teor. 7: (recíproco) Se um diádico de mudança de base é igual ao seu principal (ou um diádico de rotação), as bases são congruentes.

Page 397: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. 377

Poliádicos - Ruggeri

Seja µµµµ o diádico de mudança da base e* para a base g*, isso é, gi=µµµµ.ei para i=1,2,3. Então: µµµµ=gie

i; e devendo ser µµµµ=µµµµP, será também, necessariamente, µµµµT=µµµµ-1. Tem-se, então, para quaisquer i,j=1,2,3: gi.gj=ei.(µµµµT.µµµµ).ej, ou seja, gi.gj=ei.ej. Logo, os tercetos são normogonados.

Corol. 1: A CNS para que duas bases sejam congruentes é que o diádico de mudança de uma base para a outra seja um diádico de rotação.

Corol. 2: A CNS para que um diádico µµµµ seja um diádico de rotação é que ele seja redutível a uma forma trinomial i

ieg=µµµµ de que os conseqüentes e1, e2,

e3 sejam os recíprocos de um terceto e1, e2, e3 congruente com os antecedentes g1, g2, g3:

1,2,3)ji,( jijii

iP =∀=⇔== .ee.ggegµµµµµµµµ , (15),

ou, A CNS para que uma diádico µµµµ seja um diádico de rotação é que ele seja redutível a uma forma trinomial i

ieg=µµµµ de que os antecedentes g1, g2,

g3 sejam os recíprocos de um terceto g1, g2, g3 congruente com os conseqüentes e1, e2, e3.

Este Corol. 2 generaliza um teorema clássico de Gibbs:

A CNS para que um diádico ΩΩΩΩ seja de rotação é que ele seja redutível à forma

ΩΩΩΩ = + +$$ ' $$ ' $ $ ' ,i i jj kk (16),

onde $ , $ , $ i j k e $ ' , $ ' , $ 'i j k são dois tercetos de unitários triortogonais. Resulta então dessas considerações que, dadas duas bases congruentes, existe um e um único diádico de rotação que as superpõe com uma única rotação117. Seja, então, µµµµ um

diádico de rotação que “roda” (ou pode superpor) duas bases congruentes. Se $k é o unitário do seu eixo de rotação e ϕ é o seu ângulo, isso é, pondo

)−ϕ(+)+ϕ(+== ϕ jiijjjiikkkˆˆˆsenˆˆˆˆcosˆˆ

),ˆ(ΩΩΩΩµµµµ ,

então

117 Veremos no Tomo II, que esse teorema permitirá uma exposição da Mecânica Racional onde, com ganho de generalidade e sem prejuízo da simplicidade, os triedros triortogonais darão lugar aos "triedros quaisquer".

iiVV

ˆsen2 egk ×=ϕ−== ΩΩΩΩµµµµ e iiEE cos21 .eg=ϕ+== µµµµΩΩΩΩ .

Assim, calculados o vetor e o escalar do diádico µµµµ por meio dos vetores dos sistemas

normogonados, poderemos determinar o eixo $k e o ângulo de rotação ϕ de ΩΩΩΩ. Com efeito, lembrando que, conforme (011), § 06.01, para ϕ≠0 e π, é − < <1 3ΩΩΩΩ

E:

Page 398: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

378 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03

))(1-(3ˆ

EE

V

µµµµµµµµµµµµ

+−=k e

2

1cos E −=ϕ µµµµ

.

Se dois diádicos φφφφ e ψψψψ são similares mediante (o completo) ΩΩΩΩ, escrevemos:

φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ= ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ. . . .T T ou =, (17), caso em que φφφφ e ψψψψ são ditos, também, normogonalmente similares mediante ΩΩΩΩ. No caso particular de bases ortonormadas, φφφφ e ψψψψ são ditos ortogonalmente similares.

Definições: Diremos, doravante, que os pontos ou os vetores são rodados pelo diádico de rotação em torno do seu eixo de um ângulo igual ao seu ângulo de rotação.

Por analogia com os conceitos do § 02.02,

os diádicos φφφφ e ψψψψ que satisfazem as igualdades (17), serão ditos, também, rodados por ΩΩΩΩ; e nesse caso particular, as leis (17) serão ditas leis de

rotação dos diádicos φφφφ e ψψψψ. A direção do vetor de um rotor denomina-se, também, o seu eixo de rotação.

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. Vimos (§05.02,A) que o terceiro de qualquer diádico cíclico é ±1. Portanto é ±1 o terceiro de qualquer rotor, o que também pode ser confirmado calculando-se o terceiro de µµµµ por (15); pois deve ser: µµµµ3=(g1g2g3)(e

1e2e3), com (g1g2g3)=(e1e2e3)=(e1e2e3)-1. Nesse caso, o sinal será positivo se os triedros forem ambos de mesma paridade (são ambos diretos ou ambos indiretos); e negativo se um é direto e o outro indireto.

Definições:

Diz-se que os rotores com terceiro positivo regem uma rotação própria. Os

demais rotores regem uma rotação imprópria. Os primeiros denominam-se rotores próprios e os segundos, impróprios.

Teor. 1: Nas rotações próprias os volumes se transformam identicamente; nas impróprias, são números simétricos.

Com efeito, pela propr.3 das TL's (§ 01.01), o terceiro de um diádico é igual à razão dos volumes transformados; logo, nas rotações próprias eles são iguais e nas rotações impróprias são números simétricos.

Teor. 2: O inverso de um rotor próprio e o de um impróprio são, respectivamente, rotores próprio e impróprio.

Page 399: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. 379

Poliádicos - Ruggeri

Se ΩΩΩΩ = ΩΩΩΩP, então ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ− −=1 1P . Mas, conforme ((171), § 08.01,II), ΩΩΩΩ ΩΩΩΩP P

− −=1 1( ) .

Logo, ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ− −=1 1P, isso é, ΩΩΩΩ−1, por ser igual ao seu principal, é um diádico de rotação.

Como ( )ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ . − −= = =13 3 3

131 os terceiro de rotores recíprocos devem ser do mesmo

sinal, isso é, ou são ambos próprios ou ambos impróprios.

Teor. 3: O produto de dois rotores é rotor próprio se ambos são próprios ou impróprios; o produto é impróprio se um próprio e o outro impróprio.

Sejam φφφφ e ψψψψ dois rotores próprios, isso é, tais, que:

φφφφ φφφφ ψψψψ ψψψψ φφφφ ψψψψT 1 T 13 3

e com +1.= = = =− −

Escrevendo χχχχ = ψψψψ.φφφφ, temos, multiplicando membro a membro as expressões acima e considerando ((01), § 05.03,II) e ((02), § 08.03,II):

com +1.T 13 3

χχχχ χχχχ χχχχ φφφφ ψψψψ= = =−3

Também, escrevendo χχχχ' = φφφφ.ψψψψ, temos:

ψψψψ φφφφ ψψψψ φφφφ φφφφ ψψψψ φφφφ ψψψψT T 1 1 T 1, ( ) ( ). . . .= = =− − − ou, ( ' ) ( ' ) , com ' +1,T 13

χχχχ χχχχ χχχχ= =−

isso é, χχχχ e χχχχ' são diádicos de rotação próprios. Se φφφφ e ψψψψ fossem impróprios teríamos também: χχχχ3 = χχχχ'3 = +1.

Fica evidente a segunda parte da demonstração do teorema.

Corol. 1: A rotação regida pelo rotor impróprio ΩΩΩΩ é equivalente à rotação regida

pelo rotor próprio -ΩΩΩΩ seguida de uma simetria em relação à origem.

Com efeito, pois tem-se: ΩΩΩΩ = (- ΙΙΙΙ).(- ΩΩΩΩ).

Nota:

Por este corolário, vê-se que é suficiente estudar as rotações próprias; é o que faremos doravante salvo onde for observado o contrário.

Exercício: Uma combinação linear de diádicos de rotação nunca é um diádico de rotação.

§ 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

Cíclicos e rotores biquadrantais.

Definição:(quadrantais e biquadrantais) Diádicos quadrantais e biquadrantais são, respectivamente, cíclicos de ângulo de giro igual a π/2 e π radianos.

Page 400: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

380 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Se c e c* são o autovetor e o eixo de um cíclico (logo, também do quadrantal e biquadrantal do qual derivam) podemos escrever, no caso do biquadrantal:

(cc*,π)=2cc*-I , com c.c*=1, (01),

devendo observar-se, de imediato, que o ângulo de c com c* é agudo e que |c||c* |≥1. O plano do cíclico (plano ortogonal ao eixo c*) é, também o plano do biquadrantal. Notação para os biquadrantais

Considerando que o ângulo de giro tem um valor específico, inequívoco, podemos simplificar a notação pondo

∗∗∗∗∗∗∗∗==== −−−− ==== ∗∗∗∗( , )cc cccc

π2 ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ( ) , (011),

sendo, então

∀ = −∗ ∗ E

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ( ) ( )

:cc cc

1, (012).

*

Os autovalores de um biquadrantal são: 1, eiπ=e i− π =-1, isso é, os biquadrantais são diádicos tônicos com um autovalor duplo (§ 04.02). Ao autovalor duplo corresponde o diádico característico linear ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ

( )cccc∗ + = ∗2 . Conforme o Teor. 2, (§ 04.02), existem

sistemas de vetores recíprocos em relação aos quais podemos dar ao biquadrantal a forma diagonal. Utilizando c e c* para se constituírem esses sistemas, escrevemos:

ΠΠΠΠ( )

[( )( ) ( )( )]cc

cc a a b b∗∗∗∗ ==== −−−− −−−− −−−− ++++ −−−− −−−−∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ , (013),

expressão na qual , , , , −−−− −−−− −−−− −−−−∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗a b c a b c e constituem sistemas recíprocos. A equivalência entre (01) e (013) é clara pois podemos escrever: ΙΙΙΙ = + +∗ ∗ ∗aa bb cc . A interpretação geométrica da transformação regida por um biquadrantal é, evidentemente, a mesma relativa aos cíclicos, mas com um ângulo de giro igual a π radianos. Portanto −−−− ∗∗∗∗ΠΠΠΠ ( )cc reflete obliquamente qualquer vetor em relação ao seu plano,

paralelamente ao seu autovetor (ver §02.05), operação essa realizada no plano ortogonal a esse plano e que contém o vetor. Essa transformação generaliza a operação elementar denominada reflexão; poderíamos denominá-la reflexão obliqua. Por ser, evidentemente,

(cc*,π)2=I,

resulta

Teor. 1: Todo biquadrantal é igual ao seu recíproco, tem terceiro igual + 1 e escalar igual a - 1.

Como, para todo cíclico, o adjunto e o recíproco são iguais, tem-se, em resumo:

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ( ) ( ) ( ) ( )

~cc cc cc cc∗ ∗ ∗ ∗= = ≠− T1 , (014),

Page 401: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 381

Poliádicos - Ruggeri

mas

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ( ) ( )

~

( ) ( )cc cc cc cc∗ ∗ ∗ ∗= = = = −−E E

E E

T 1 1, (015).

Teor. 2: (recíproco) Se φφφφ é um diádico igual ao seu recíproco (φφφφ φφφφ= −1), se tem terceiro igual a + 1 e escalar igual a - 1 (φφφφ φφφφ3 1= = − E ), então φφφφ é um biquadrantal.

Se o terceiro de um diádico é igual a + 1, o seu adjunto é igual ao seu recíproco. Como, por hipótese, φφφφ φφφφ= −1, resulta, φφφφ φφφφ φφφφ= =−1 ~ e, logo, φφφφ φφφφE E

= = −~1. Então a equação

característica do diádico é X X X X X3 2+ − − = = − +1 0 1 1 2( )( ) ; e seus autovalores: 1, - 1, -1. Mas

TT ~

ET ~ ~ ~ )( ) )(

2

1)( φφφφφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφφφφφΙΙΙΙΙΙΙΙφφφφφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφΙΙΙΙφφφφ −=−=++−+=++=++=+ ×

××× ,

de onde concluímos que ( )

~φφφφ + =ΙΙΙΙ E 0. Então (Teor. 1, § 04.02), φφφφ + ΙΙΙΙ só pode ser

ortoplanar ou linear. Entretanto, por ser ( ) ( )φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ+ = + + = +ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2 2 2 2 , esse diádico não pode ser ortoplanar (Corol. 2, Teor. 4, § 05.04, II). Então, sendo φφφφ + ΙΙΙΙ linear, podemos

escrevê-lo na forma φφφφ + = ∗ΙΙΙΙ 2tt . Mas, sendo

( )φφφφ φφφφ+ = + = − + =ΙΙΙΙ ΙΙΙΙE E E 1 3 2, resulta que se deva fazer t. t ∗ = 1. Então, o diádico é um biquadrantal.

Corol. 1: A CNS para que um diádico seja um biquadrantal é que ele seja igual ao seu recíproco, tenha terceiro igual a + 1 e escalar igual a - 1.

Teor. 3: O módulo de qualquer biquadrantal é finito e no mínimo igual a 3.

Com efeito, tem-se, conforme a definição de norma (§ 07.07, II):

|| || ( )( )

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙtt

tt : tt t t∗ = − − = − + >∗ ∗ ∗2 2 1 4 02 2 ( ) .

Mas, sendo t . t* = 1, isso é, t t t t2 2∗ ∗= sec2 ( , ) , tem-se:

|| || ( , )( )

ΠΠΠΠtt

t t∗ = − + ∗1 4 sec2 .

Como 0 1≤ ≤∗cos2 ( , )t t , resulta:

3≤ ≤∗ ∗ , ou 3 || || | |( ) ( )

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠtt tt

, (016),

Page 402: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

382 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

O diádico característico relativo ao autovalor + 1,

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ( )

( )cc

cc∗∗∗∗ −−−− ==== −−−−∗∗∗∗2 , (02),

é, evidentemente, planar uma vez que c e c* podem ser usados para uma representação de I ; seu escalar vale - 4:

( )( )

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙcc∗∗∗∗ −−−− ==== −−−−E 4, (021).

O adjunto desse diádico, uniplanar (de plano coincidente com o plano do biquadrantal), é

( ) ( )( )

~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙcc

cc c c∗ − = +∗ ∗ 2 , (03),

e seu escalar ( )

( )

~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙcc∗∗∗∗ −−−− ==== E

4, (031).

Assim, a equação característica de ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ

( )cc∗∗∗∗ −−−− é X(X X2 + + =4 4 0) e seus autovalores 0, -2

e -2. Seus autovetores são, então, c e cc ×∗ .

Os autovalores do diádico linear ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ( )cc

cc∗ + = ∗2 são 0, 0 e 2; seus autovetores são

os mesmos de ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ( )cc∗∗∗∗ −−−− : cc ×∗ e c.

Produto de biquadrantais.

Consideremos os biquadrantais

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ( ) ( )tt ss

tt ss∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== −−−− ==== −−−−∗∗∗∗ ∗∗∗∗2 2 e , com t. t s.s∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== ==== 1 (04),

independentes por hipótese, nessa ordem; e representemos por ΠΠΠΠ o produto deles, isso é, seja

= ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ( ) ( )tt ss

.∗∗∗∗ ∗∗∗∗ , (05).

O diádico ΠΠΠΠ é completo por ser um produto de diádicos completos (biquadrantais); seu terceiro vale + 1. Logo, lembrando ((11), § 08.01, II), ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ~ ==== −−−−1. Expressando ΠΠΠΠ em função dos autovetores e dos eixos dos seus fatores, vem:

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ==== −−−− ++++ ++++∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ 2 4( ) ( )tt ss t .s ts , (06),

sendo ΠΠΠΠ E )= − + ∗ ∗1 4( )(t . s t. s , (061).

Invertendo (05) e considerando as (014), deduzimos:

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ−−−− ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== ==== −−−− ++++ ++++ ==== ≠≠≠≠∗∗∗∗ ∗∗∗∗1 2 4

( ) ( )( ) ( ) ~

ss tt. tt ss t. s st , (062),

e ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠE E E E

T = = =−~ 1 , (063).

Page 403: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 383

Poliádicos - Ruggeri

Reconhecemos imediatamente, pela expressão (062), quando comparada com as propriedades (014) dos biquadrantais, que

o produto de dois biquadrantais em geral não é um biquadrantal,

(tão pouco um cíclico), porque ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ≠ −1. É fácil comprovar que

ΙΙΙΙΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΙΙΙΙΠΠΠΠ )1())((4)( ET~~ −++=××=− ∗∗ stst , (07),

de onde deduzimos, facilmente,

( )~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ− = − E E3 , (071). A expressão do adjunto do produto em função dos autovetores e eixos dos fatores pode também ser deduzida sem dificuldades:

))((4)(4)(2)])((43[~ ∗∗∗∗∗∗∗∗ ××+++++−= ststts.stttsst.s.st ΙΙΙΙΠΠΠΠ , (072).

De (072), de (061) e (062) podemos confirmar (063) facilmente. A equação característica de ΠΠΠΠ é

X X X 1 03E

2E− + − =ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ , (08),

a qual é satisfeita para X = 1. Então

X X X 1 (X )[X X 1] = 03E

2E

2E− + − = − − − −ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ1 1( ) , (081),

e os autovalores de ΠΠΠΠ são:

A = 1, B = R R2+ −1 e C = R R2− −1 , (082), sendo

R )E=−

= − + ∗ ∗ΠΠΠΠ 12 1 2( )(t . s t. s , (083).

Teor. 4: Um autovetor de um produto de biquadrantais relativo ao autovalor +1 é o produto vetorial dos unitários dos seus eixos.

Com efeito, pois, pós multiplicando escalarmente ambos os membros de (06) por

∗∗ × st tem-se:

∗∗∗∗ ×=× sts.tΠΠΠΠ , (084).

Page 404: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

384 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Resultam imediatamente de (082) e (083):

Teor. 5: A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja cíclico é que o seu escalar seja maior que - 1 e menor que 3. Teor. 6: A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja tônico é que o seu escalar seja maior ou igual que 3 e menor ou igual que -1.

Esses resultados são ilustrados pela Fig. 06.01.

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. Se for R E= − =1 ΠΠΠΠ , então ( )( )t . s t . s∗ ∗ = 0, isso é, o autovetor de um dos fatores biquadrantais é ortogonal ao eixo do outro fator. Reciprocamente, se o autovetor de um fator biquadrantal de um produto é ortogonal ao eixo do outro fator, o escalar desse produto é - 1. Em resumo:

Teor. 7: A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais seja - 1 é que o autovetor de um fator e o eixo do outro sejam ortogonais:

( )

( ) ( )ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ

tt ss. t .s∗ ∗ = − =⇔ ∗

E 1 0, ou t .s ∗ = 0, (09).

Então, se ΠΠΠΠE = −1 o diádico ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ é ortoplanar. Com efeito, aplicando a segunda fórmula do Exerc. 1, § 08.01,II, e observando que ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ2 E E: = =~ , temos:

( )ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ+ = + + + = + + − =3 3 3 2 2 1 1 0 E E: : .

Page 405: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 385

Poliádicos - Ruggeri

Por outro lado deduzimos, aplicando diretamente a definição de adjunto:

( )~ ~ ( ) ~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ+ = + − + + = − TE

T ; logo, ( )~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ = E 0,

porque, lembrando (063), ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ~ E

TE E= = = −1.

Então ( )~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ é ortolinear e, portanto, ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ é ortoplanar (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II).

Reciprocamente, se ΠΠΠΠ é um produto de biquadrantais e ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ é ortoplanar, então ΠΠΠΠE = −1. Pois, sendo

( )~ [ ~ ( ) ] ~ ( )ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ+ = − + + = − + + ET

E E ET

E E1 3 1 ,

e devendo ser ( )~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ = E 0, a reconsideração de (063) acarreta ΠΠΠΠE = −1. Então:

Corol. 1: A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais valha - 1 é que a soma desse produto com o diádico unidade seja um diádico ortoplanar,

ou, o que é o mesmo:

Corol. 2: A CNS para que o autovetor de um fator de um produto de biquadrantais seja ortogonal ao eixo do outro fator é que a soma desse produto com o diádico unidade seja ortoplanar.

Devemos considerar ainda que

Teor. 8: Se ΠΠΠΠ

( )tt ∗ e ΠΠΠΠ( )ss∗

são biquadrantais e o autovetor de ΠΠΠΠ( )tt ∗ é perpendicular

ao eixo de ΠΠΠΠ( )ss∗

, o plano dos autovetores, (s,t), e o plano dos eixos, (s* ,t*),

não podem ser ortogonais. Com efeito, se os referidos planos fossem ortogonais, seria nulo o produto escalar

)()( ∗∗ ×× ts.ts , pois seus fatores são ortogonais a esses planos. Mas isso é um absurdo

porque esse produto vale 1:

11

01)()( ===×× ∗∗∗

∗∗∗∗

t.st.tt.s

s.ts.sts.ts , (A).

Expressão cartesiana para ΠΠΠΠ.

Procuremos dar a ΠΠΠΠ uma expressão referida a sistemas recíprocos. A normal comum a s* e a t* é a interseção dos planos β*) e α*) ortogonais a esses vetores. Ora, 2ss* - I , usado com pré-fator, roda elipticamente um vetor qualquer, c, paralelo à interseção de β*) com α*), de π rad no plano β*). Pois 2ss* - I , acrescentando π rad ao argumento de c em qualquer elipse de β*) que o tenha por raio vetor, o transforma em - c. O vetor - c, agora considerado raio vetor de qualquer elipse do plano α*), terá também seu argumento acrescido de π rad, o que o transformará em c. Logo, o diádico ΠΠΠΠ mantém a direção de c invariante no espaço, sendo, pois, tal direção a direção de um dos seus autovetores.

Page 406: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

386 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Raciocinando analogamente podemos concluir que um vetor qualquer, c* , paralelo à interseção dos planos β) e α), respectivamente ortogonais a s e t, é mantido no espaço por ação de ΠΠΠΠT. Pondo ∗∗ ×= tsc e ∗∗∗ ×= tsc , tem-se c.c* =1, conforme a expressão (A). Escolhamos arbitrariamente no plano (s,t) dos autovetores um vetor a ortogonal à interseção desse plano com o plano (s* ,c*), ou seja, ortogonal ao plano (s* ,s) do biquadrantal ΠΠΠΠ

( )ss∗. Então ( )sac ≠ 0 porque c, que é ortogonal ao plano (s* ,t*) dos eixos,

não pode ser paralelo ao plano (a,s), ou melhor, ao plano (s,t) dos autovetores. De fato, conforme já foi demonstrado (Teor. 11), os planos (s,t) e (s* ,t*) não são ortogonais. Vamos dar um sentido a a de forma que o ângulo de a com t* seja agudo e ajustar o seu módulo convenientemente quando for oportuno. Então o homólogo de c no sistema recíproco de s,a,c é c* porque esse vetor é ortogonal ao plano (a,s) e c.c* = 1, Fig.06.02.

O homólogo de a é sccas ×∗∗∗ )( , um vetor do plano (s* ,t*) dos eixos, ortogonal a s e a c. Esse vetor é, pois, paralelo a t* porque s.t* = 0 e c . t* = 0. Pondo

∗∗∗∗ =× tsccas M)( , tem-se M = ∗ ∗ ∗( )( )cst s a c porque t.t* = 1. Mas, sendo a.t* > 0 e

( )( )csa s a c a. t∗ ∗ ∗ ∗= =M( ) 1 resulta M > 0, isso é, o vetor c ×××× s tem o mesmo sentido de t* . O homólogo de a é, pois, ( )( )cst s a c t∗ ∗ ∗ ∗ . Ajustando, agora, o módulo de a de forma que ( ) ( )cst sac= , o homólogo de a é t* , sendo, então, a . t* = 1. O homólogo se s é cacas ×∗∗∗ )( , um vetor do plano (s* ,t*) dos eixos mas paralelo a

s* porque a, por construção, é ortogonal ao plano (s* ,c*). Pondo ∗∗∗∗ =× scacas P)( vem

( )( )sac s a c∗ ∗ ∗ = =P 1.

Em resumo: os sistemas , , c s a c s t e , , ∗ ∗ ∗ são recíprocos. A Fig. 06.02, na qual D e D* são pontos do eixo associado ao sistema (§ 03.03, I), ilustra esses resultados. Então,

12

( ) ( )ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ+ = − + = + + − −∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ss tt at ss cc ss tt,

isso é, 12 ( ) ( )ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ+ = + −∗ ∗cc a t t .

Lembrando que a . t* = 1 tem-se (a - t) . t* = 0. Então, o vetor a - t é ortogonal a t* . Mas sendo esse vetor paralelo ao plano (s,t) dos autovetores, ele é paralelo a s. Por isso, os

Page 407: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 387

Poliádicos - Ruggeri

planos do diádico planar ΠΠΠΠ + ΙΙΙΙ são os dos vetores (c, s) e (c* ,t*), evidentemente ortogonais porque s é ortogonal a t* e a c* .

Pondo a - t = N s vem, multiplicando ambos os membros dessa igualdade por s* : N = − ∗s . t . Então,

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ= − + −∗ ∗ ∗2 2cc s . t st( ) ,

ou, ainda, ΠΠΠΠ = − + −∗ ∗ ∗ ∗ ∗cc ss at s . t st( ) ( )2 .

Os autovetores de ΠΠΠΠ são c e s, aos quais correspondem os autovalores + 1 e - 1, respectivamente. Como ΠΠΠΠE = −1, o terceiro autovalor é, também, - 1. Então, conforme o

Teor. 4, § 04.02, o coeficiente de st* deve ser - 1, isso é, s . t∗ = 1 2; escrevemos, finalmente:

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ= − + −∗ ∗2cc st , sendo [ ]ΠΠΠΠ csa = − −−

1 0 0

0 1 1

0 0 1

(10),

Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3.

Se ΠΠΠΠE = 3, então, conforme (061):

( )( )t . s t . s∗ ∗ = 1, ou ( )( ) ( )( )t . t s . s t . s t . s 0∗ ∗ ∗ ∗− = .

Aplicando a fórmula ((05),§03.03,I), resulta:

0)()( 3)( E)()( =××⇔== ∗∗∗∗ st.st. sstt ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ , (11).

Três casos podem acontecer em que (11) é verificada: 1°) - st × é ortogonal a ∗∗ × st ; 2°) - os autovetores t e s são paralelos; 3°) - os eixos t* e s* são paralelos. No primeiro caso, conforme (07), ( )~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− = E 0. Então, sendo ( )~ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− ortolinear, ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− é ortoplanar; e por ser, por hipótese, ΠΠΠΠE = 3, ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− é antitriangular (§09.09,II).

Reciprocamente, se ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− é antitriangular ((ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− )E=0), o produto ΠΠΠΠ de dois biquadrantais cujos autovetores ou cujos eixos sejam não paralelos, tem escalar 3. Logo:

A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos autovetores ou eixos sejam não paralelos é que esse produto subtraído do diádico unidade seja antitriangular.

No segundo caso, t s || , podemos por t s= A ; daí resultam: ts ss∗ ∗= A e

t . t t .s∗ ∗= =1 A . Logo, (t . s ts ss∗ ∗ ∗=) e, de (06):

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− = − + = − +∗ ∗ ∗ ∗2 2 2tt ss s t s( )A .

Page 408: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

388 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Então, ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− é ortolinear. Reciprocamente, se o produto ΠΠΠΠ de dois biquadrantais subtraído do diádico unidade é ortolinear, mas os eixos desses biquadrantais são não paralelos, então, sendo

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− = − − −∗ ∗ ∗ ∗2 2 2t t t . s s ss[ ( ) ] , tem-se: ΠΠΠΠE = 3 e t s || porque t t . s s s∗ ∗ ∗ ∗− ≠ −( ) K (ou seja t* não é paralelo a s*). No terceiro caso, t s∗ ∗ || , tal como no caso anterior, deduzimos que

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− = − ∗2( )At s s , isso é, ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− é ortolinear. Reciprocamente, se o produto ΠΠΠΠ de dois biquadrantais subtraído do diádico unidade é ortolinear, mas os autovetores desses biquadrantais são não paralelos, então, conforme (06), sendo

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ− = − + +∗ ∗ ∗t t s t . s t s( ) [ ( ) ]( )2 2 2 , tem-se ΠΠΠΠE = 3 e t s∗ ∗ || porque, por hipótese, − ≠ + ∗t s t . s t2( ) , ou seja, s e t são não paralelos. Assim,

A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos autovetores ou cujos eixos sejam paralelos é que esse produto subtraído do diádico unidade seja ortolinear.

Essas duas propriedades podem ser assim resumidas:

Teor. 9: A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos autovetores ou cujos eixos sejam paralelos (não paralelos) é que esse produto subtraído do diádico unidade seja ortolinear (antitriangular).

Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo do outro.

Suponhamos que o autovetor de cada fator de um produto tônico de dois biquadrantais seja paralelo ao eixo do outro (s paralelo a t* e s* paralelo a t), Fig. 06.03. Se pusermos s t==== ∗∗∗∗P e s t∗∗∗∗ ==== Q resultará P Q = 1 e ss t t∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== . Então:

| |

| |

| |

| |

s

t

t

s∗ ∗= ,

isso é:

Teor. 10: Se ΠΠΠΠ

( )tt ∗ e ΠΠΠΠ( )ss∗

são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, e se os vetores representativos dos autovetores e dos eixos deles estão aplicados co-inicialmente, então são paralelas as retas que unem as extremidades do autovetor e do eixo de cada um deles.

Page 409: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 389

Poliádicos - Ruggeri

Sendo, também, ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ

( ) ( )tt ss∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== T ,

ΠΠΠΠ é simétrico. Considerando as (014) escrevemos, em resumo:

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ( ) ( ) ( )tt ss ss∗ ∗ ∗= =

PT

e ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ= =∗ ∗ ∗ ∗( ) ( ) ( ) ( )ss ss tt tt

. .P P

.

Então:

Teor. 11: Se ΠΠΠΠ

( )tt ∗ e ΠΠΠΠ( )ss∗

são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, um fator qualquer do produto deles pode ser substituído pelo principal do outro.

Por outro lado,

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. ( ) ( . )tt ss ss tt tt ss ss tt

. .∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = =T T T T T T ,

donde podermos enunciar:

Teor. 12: Se ΠΠΠΠ

( )tt ∗ e ΠΠΠΠ( )ss∗

são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, o produto do transposto de qualquer um deles pelo outro é um diádico simétrico.

Em relação aos vetores t e t*, ΠΠΠΠ pode ser escrito na forma:

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ= − + +∗ ∗ ∗2 4 2( )tt t t t tt , (12). pois ss t t∗ ∗= . Então, se α o ângulo de t com t* ,

ΠΠΠΠ ΠΠΠΠE 2 E 2 2 2tg e ( ) tg sec−

= +−

− =1

2 1 21

2 1 4α α α ,

os autovalores de ΠΠΠΠ são, em resumo:

1 2 2, ) ) T (tg sec e T (tg sec+ = + = −−α α α α . Conforme a fórmula geral (084), ao autovalor 1 corresponde, agora, o autovetor

∗× tt , pois t é paralelo a s* ; então,

∗∗ ×=× tttt. )(ΠΠΠΠ , ou ΠΠΠΠ . k k$ $= ,

se $k é o unitário da normal ao plano (t,t*) orientado de forma que o triedro $ , ,k t t ∗ seja positivo.

Page 410: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

390 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Representando o sistema recíproco de , , $t t k∗ por , , $t t k∗ pois $k é seu próprio

homólogo, caso em que, no plano (t,t*), os sistemas , t t ∗ e , t t ∗ são recíprocos, temos:

t. t t t . t t( ) ( )− = − =∗ ∗ ∗ 0, ou seja:

imaginados os sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente, então t t ( )∗ tem extremidade na interseção das normais a t e a t∗ conduzidas, respectivamente, pela extremidade (origem) de t* e pela origem (extremidade) de t,

conforme ilustra a Fig. 06.03.

Sendo, ainda,

t t . t t t . t t t t t∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = +( ) ( ) 2 , e t t. t t t. t t t t t= + = +∗ ∗ ∗( ) ( ) 2

vem:

tt tt t tt t t t t t t t tt t tt tt∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = + = +2 2 2, e . Em relação aos sistemas recíprocos , , $t t k∗ e , , $t t k∗ a matriz mista associada a ΠΠΠΠ é, então:

[ ]ΠΠΠΠ ( , ,$ )t t k

t t t

t=

− +

− −

∗ ∗1 4 2 0

2 1 0

0 0 1

2 2 2

2 , (121).

A determinação dos dois outros autovetores ortogonais, do plano (t,t*), autovetores de ΠΠΠΠ, não será conseguida facilmente; um deles pode escrito na forma

j tt

t= − +−

∗∗T 1

2 2 .

Page 411: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 391

Poliádicos - Ruggeri

Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais. Suponhamos seja cíclico o diádico produto dos biquadrantais ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ

( ) ( )tt ss∗ ∗ e ,

ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ==== −−−− ++++ ++++∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ 2 4( ) ( )tt ss t .s ts , (13) caso em que, sendo ϕ o seu argumento de giro,

ΠΠΠΠE = cos − + = +∗ ∗1 4 1 2( )( )t . s t .s ϕ , (131),

− + =∗ ∗1 2( )( )t . s t . s cos ϕ, (132).

( )( )t . s t . s∗ ∗ = cos > 0,2 ϕ2 com o90) ,( ≠∗ st e o90) ,( ≠∗∗ st , (133).

Procuremos dar a esse produto uma representação cartesiana, isso é, procuremos sistemas de vetores recíprocos - cuja existência está assegurada pelo Teor. 1, § 04.01,A - em relação aos quais possamos dar a esse produto uma representação adequada, tão simples quanto possível, como a (06), § 04 01,A118. Como ΠΠΠΠ é cíclico, o plano (t,s) dos autovetores não pode ser ortogonal ao plano (t* ,s*) dos eixos. Pois, se fosse, seria 0)()( =×× ∗∗ ts.ts , ou seja, lembrando (133),

sen 0,2 ϕ2 = isso é, ϕ = 0, o que não é necessariamente verdadeiro.

Sejam c e c* vetores com módulos a determinar, respectivamente ortogonais ao plano dos eixos, (t* ,s*), e ao plano dos autovetores, (t,s), orientados de forma que os triedros c,s,t e c* ,s* ,t* sejam ambos diretos. Nesse caso o ângulo de c e c* é agudo e igual ao ângulo diedro, D, dos planos (t* ,s*) e (t,s). Ora, c e c* são respectivamente paralelos a

∗∗ × ts e a ts× , Fig. 06.04.

118 A representação (13) desse produto em relação aos vetores s, t, ... é simples de certa forma; mas esses vetores não compõem sistemas recíprocos porque, embora s . s* = 1, s . t*≠ 0.

Page 412: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

392 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Ponhamos, por definição, ∗∗ ×=ϕtsc

2sen , expressão na qual ϕ é o argumento de rotação

do cíclico produto, e calculemos M de forma que tsc ×=∗M e c . c* = 1. Temos, então:

))((11

1))((Msen ∗∗

∗∗∗ −==××=

s.tt.st.s

s.ttsts

Logo, considerando (133), resulta M = sen ϕ/2. Em resumo:

∗∗ ×=ϕtsc

2sen , tsc ×=ϕ ∗

2sen , c .c ∗ = 1, (134).

Os vetores c e c* são, respectivamente, os autovetores de ΠΠΠΠ de ΠΠΠΠT relativos ao

autovalor + 1, pois ΠΠΠΠ . c c= e ΠΠΠΠT . c c∗ ∗= . Logo, c* é eixo de ΠΠΠΠ, e os sistemas recíprocos procurados devem ter c e c* por recíprocos homólogos.

Seja a um vetor do plano (t,s) dos autovetores, de direção ortogonal ao plano (c* ,s*), com módulo e sentido tais que

tsta ×=×ϕ2

tg , (14).

Como o módulo de ts× é numericamente igual à área do paralelogramo construído sobre s e t, a paralela a t conduzida pela extremidade de s intercepta o suporte de a

precisamente na extremidade de tg 2ϕ

a . Com efeito, o paralelogramo construído sobre esse

vetor e t tem a mesma área que o anterior (Fig. 06.04). Os vetores c, s e a são não coplanares porque c não é paralelo ao plano (t,s); ou seja (cas) ≠ 0. Determinemos, assim, os recíprocos do terceto c,a,s. O homólogo de a é

cscasa ×= −∗ 1)( , vetor do plano (t* ,s*) dos eixos, ortogonal a c e a s. O homólogo de s,

accas ×−1)( , é s* porque s* é ortogonal a a por construção, é ortogonal a c, e s .s ∗ = 1. O

homólogo de c, sacas ×−1)( , é c* porque c . c ∗ = 1, c é ortogonal a s e a a.

Assim, , , e c a s c a s∗ ∗ ∗, , constituem sistemas recíprocos. Sejam

t t . a a t . s s= +∗ ∗( ) ( ) , e t t . a a t . s s∗ ∗ ∗ ∗ ∗= +( ) ( ) , (15),

as expressões cartesianas de t e t* nesses sistemas. Substituindo esses valores de t e t* na expressão de ΠΠΠΠ, bem como o da díade t t* , reduzindo termos semelhantes e agrupando convenientemente encontramos:

ΠΠΠΠ = + − + + − +

+ −

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

cc t . s t . s ss t . a t . a aa

t .s t . a as t . a t . s sa

[ ( )( )] [ ( )( )]

( )( )] ( )( )]

1 2 1 2

2 2

, (16).

Calculando ΠΠΠΠ E por (16) vem, já simplificando, transpondo termos e considerando (131), (132) e (133):

1 2− =∗ ∗( )( )t .a t . a cos ϕ, (17), ou

sen 2 ϕ2 = ∗ ∗( )( )t . a t . a , (171).

Page 413: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 393

Poliádicos - Ruggeri

Sendo:

∗∗∗∗

∗∗∗

∗∗ ϕ=××ϕ=×ϕc

sact.s

tsaccs

ta)(2

tg)(2

tg2

tg , e ∗∗∗∗

∗∗∗

∗∗−=××=× c

sact.a

tsacac

ts)()(

,

concluímos, levando esses resultados a (14) e simplificando:

tg 2 ϕ

t .s t .a∗ ∗= − , (18).

Multiplicando ambos os membros de (18) por (t.s*), reconsiderando (133) e simplificando, vem:

− = ∗ ∗cos 2 tg 2 2 ϕ ϕ( )( )t . a t . s ,

ou seja, − =∗ ∗2( )( )t .a t . s sen ϕ, (19).

Mas, de (171) e (133), deduzimos:

4 4( )( )( )( )t . a t . s t . s t . a sen cos sen2 2 2∗ ∗ ∗ ∗ =ϕ2

ϕ2 = ϕ .

Então, desta expressão, considerando (19), resulta, após simplificações:

− =∗ ∗2( )( )t . s t .a sen ϕ, (191).

Assim, a expressão final de ΠΠΠΠ é

ΠΠΠΠ = + + + − +∗ ∗ ∗ ∗ ∗cc aa ss as sacos sen ϕ ( ϕ () ) , (20).

Fatoração de cíclicos e rotores. Sendo t. t s.s∗ ∗= = 1, temos, também:

| || |,

t tt t

∗∗= 1

cos( ) e | || |

,s s

s s∗

∗= 1cos( )

, (21),

onde cos( ) > 0 e cos( ) > 0t t s s, ,∗ ∗ , (211).

Analogamente, de (133), vem:

| || || || |, ,

t t s st s t s

∗ ∗∗ ∗=cos

cos( )cos( )

2 ϕ2 , (212),

sendo, então cos( )cos( ) > 0t s t s∗ ∗, , (213).

Das duas primeiras igualdades (134), deduzimos, tomando módulos:

sen 2 sen ( ) 0ϕ

| | | || | ,c s t s t= ≠∗ ∗ ∗ ∗ , sen 2 sen ( ) 0ϕ

| | | || | ,c s t s t∗ = ≠ ,

Page 414: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

394 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

justificando-se as desigualdades porque, sendo ΠΠΠΠ um cíclico por hipótese, os autovetores dos fatores, bem como os seus eixos, são não paralelos. Com efeito, do contrário, ΠΠΠΠ teria escalar igual a 3 (Teor. 9) e seria tônico (Teor. 3). Lembrando que D é o ângulo diedro dos planos dos eixos e autovetores dos fatores biquadrantais, multiplicando membro a membro essas últimas expressões, e considerando a terceira igualdade (134), vem:

sen cos D sen( ) sen( ) 2 ϕ2

= ∗ ∗ ∗ ∗s t s t t t s s, , | || || || |.

Desta igualdade e do resultado da multiplicação membro a membro de (21) e (21)2, vem:

sen cos Dsen( ) sen( )

cos( ) cos( )2 ϕ

2=

∗ ∗

∗ ∗s t s t

t t s s

, ,

, ,, (22).

As retas suportes dos vetores s, t, s* e t* definem C4 2 ângulos, isso é, 6. As normais

aos planos (s,t) dos autovetores e (s* ,t*) dos eixos, definem mais um ângulo: o ângulo diedro (agudo) desses planos. Mas, como é fácil comprovar, dentre os seis primeiros ângulos, apenas quatro são necessários para fixar aquelas direções, digamos: os ângulos de t com t* , o de s com s* , o de t com s e o de t* com s* . Assim a expressão (22) é suficiente para correlacionar os ângulos entre eixos, autovetores, o argumento de giro do cíclico produto e o ângulo diedro D. Esses resultados nos permitem enunciar o seguinte

Teor. 13: Se o produto de dois biquadrantais é um cíclico:

1°) - o seu autovetor e o seu eixo são respectivamente ortogonais ao plano dos eixos e ao plano dos autovetores dos fatores;

2°) - o seu argumento de giro está correlacionado por (22) com: o ângulo diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo plano dos eixos dos fatores; com o ângulo dos autovetores dos fatores; com o ângulo dos eixos dos fatores; e com os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator.

Respeitadas as condições (211), (213) etc., alguns casos particulares poderiam ser analisados. O mais importante deles é o caso em que os biquadrantais, cíclicos, são de rotação circular, isso é

t t t s s s= = =∗ ∗$ $ e = , (23).

Nesse caso: 1°) - D = 0 porque os planos dos autovetores e dos eixos são coincidentes; 2°) - são iguais os ângulos dos autovetores, dos eixos, e os do autovetor de cada biquadrantal com o eixo do outro:

( ) ( ) ( ) ( )s t s t t s t s , , , ,= = = ≠∗ ∗ ∗ ∗ 0.

De (23) resulta, após a extração da raiz quadrada (positiva):

sen 2 sen ( )ϕ = s t, , ou seja, ϕ = 2 ( , )s t , (231).

Page 415: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 395

Poliádicos - Ruggeri

Interpretando (231), resulta demonstrado o seguinte

Corol. 1: (rotor produto de rotores biquadrantais) O produto de dois rotores biquadrantais de eixos distintos é um rotor de eixo ortogonal aos eixos dos fatores e ângulo igual ao dobro do ângulo desses eixos.

Teor. 14: (fatoração de um cíclico) Todo cíclico é fatorável, de infinitas maneiras, em produtos de dois fatores biquadrantais cujos eixos e autovetores sejam respectivamente ortogonais ao autovetor e ao eixo do cíclico e cujo ângulo de giro se correlaciona, na forma (22), com: o ângulo diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo plano dos eixos dos fatores; o ângulo dos autovetores dos fatores; o ângulo dos eixos dos fatores; e os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator.

Seja o cíclico de eixo c* , autovetor c e argumento de giro ϕ ≠ 0,

∗∗∗∗( , )cc ϕ )+−ϕ(+)+ϕ(+= ∗∗∗∗∗ baabbbaacc sencos , (24).

Os vetores a e b, relembremos, são arbitrários e ortogonais ao eixo c* ; os sistemas , , a b c

e , , a b c∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ são recíprocos. O produto de ∗∗∗∗( , )cc ϕ pelo biquadrantal ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ( )bb

bb∗∗∗∗ ==== −−−−∗∗∗∗2 é

∗∗∗∗ ∗∗∗∗( , ) ( )cc bb.

ϕΠΠΠΠ )+ϕ(−)+−ϕ(+−= ∗∗∗∗∗ baabbbaacc sencos ,

que pode também ser escrito na forma

==== −−−− ++++ −−−− ++++ ++++ −−−− ++++∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

( , ) ( )( ( )

cc bb. aa bb ab baϕ ϕ) ϕ) ϕ (ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ 1 1cos cos sen , (25).

Quadrando (25), verificamos que o resultado é o diádico unidade, isso é,

∗∗∗∗ ∗∗∗∗( , ) ( )cc bb

ΠΠΠΠ

é igual ao seu recíproco; seu escalar vale - 1 e seu terceiro + 1. Então, pelo Teor. 2, esse diádico é um biquadrantal.

Ponhamos, então:

==== ==== −−−−∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗

( , ) ( ) ( )cc bb tt. ttϕ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΙΙΙΙ2 , com t . t ∗∗∗∗ ==== 1, (26),

sendo t um vetor do plano (a,b) e t* um vetor do plano (a* ,b*), ambos a determinar. Deve ser

obt ≠× e obt ≠× ∗∗ , (261), porque, do contrário, seria ====∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗( , ) ( ) ( )cc bb bb

.ϕ ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ , ou seja, o cíclico seria o diádico

unidade e exigiria que ϕ fosse nulo, o que é absurdo. Então, como conseqüência de (261), temos:

t.a t .b t.b t .a∗ ∗ ∗ ∗≠ ≠ ≠ ≠0, 0, 0, 0, (262),

Page 416: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

396 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

a primeira porque t. c∗ = 0, a segunda porque t .c∗ = 0, a terceira porque tc.aat.c ×=× e c não é paralelo ao plano (a,t), a quarta porque ∗∗∗∗∗∗ ×=× .cbtc.bt e c* não é paralelo ao plano (b* ,t*). Podemos escrever, em relação aos sistemas recíprocos , , a b c e , , a b c∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ :

t t . a a t .b b= +∗ ∗( ) ( ) , e t t . a a t . b b∗ ∗ ∗ ∗ ∗= +( ) ( ) , (27).

Dessas relações podemos calcular o valor da díade tt * , substituir em (26) e comparar o resultado com (25); os vetores t e t* devem, então, satisfazer as seguintes relações simultâneas:

2 1

2 1

2 2

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

t .b t .b

t .a t .a

t .b t .a t .a t .b

∗∗∗∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

==== ++++

==== −−−−

==== −−−−

cos cos

cos sen

sen

2

2

ϕ = 2 ϕ2

ϕ = 2 ϕ2

ϕ =

, (28).

Da primeira das relações (27), pós multiplicando vetorialmente ambos os membros por ( )t .b t∗∗∗∗ , considerando a primeira e a terceira das relações (28) e simplificando, deduzimos:

otba =×−ϕ)

2(tg , (29),

igualdade que fixa a direção de t, Fig. 06.05.

Operando analogamente a partir da segunda das relações (27), considerando as mesmas relações (28), vem:

otba =×−ϕ ∗∗∗ )2

(tg , (291),

igualdade que fixa a direção de t* . Podemos, agora, fixar os módulos e sentidos de t e t* de

forma que, por exemplo, tbc ×=∗A e ∗∗ ×=2ϕ

tbcsen , e calcular A para que c . c* = 1.

Assim, multiplicando escalarmente essas expressões, membro a membro, vem:

A sen2 ϕ = − ∗ ∗1 ( )( )t .b t .b .

Page 417: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 397

Poliádicos - Ruggeri

Considerando a primeira das relações (28), concluímos ser A sen2= ϕ. O biquadrantal

ΠΠΠΠ ( )tt ∗ está, pois, bem determinado.

Operando como na demonstração do teorema anterior, podemos deduzir fórmula idêntica a (22) onde se troque s por b e s* por b* .

Nota: Da mesma forma como é arbitrária a representação do cíclico, é também arbitrária a fatoração do cíclico em produto de biquadrantais, respeitados apenas o seu autovetor, o seu eixo e o seu ângulo de giro.

Corol. 1: (fatoração do rotor) Qualquer rotor pode ser decomposto no produto de dois biquadrantais cujos eixos definam um plano ortogonal ao eixo do rotor e um ângulo igual à metade do ângulo de rotação do rotor.

Pois nesse caso, devendo ser t t t= =∗ $ e b b b= ∗ = $ , é, evidentemente, D = 0 (os planos dos autovetores e eixos dos biquadrantais são coincidentes) e ),sen(2sen tb=ϕ/ , ou

melhor ),ang(2/ tb=ϕ , o que conclui a demonstração do corolário.

Outros casos de fatoração em que o autovetor, t, devesse ocupar posições especiais poderiam ser analisados.

Além dos corolários dos teoremas gerais sobre cíclicos enunciados nos parágrafos anteriores, outras proposições relativas a rotores podem ser demonstradas.

Teor. 15: (rotor produto de rotores de eixos distintos) Sejam $ $a a1 2 e dois unitários respectivamente ortogonais aos unitários

$ $q q1 2 e dos eixos dos rotores ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

1 2 e , e que formem com o unitário $b da

normal ao plano desses eixos, ângulos iguais à metade dos ângulos de rotação de ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

1 2 e . Então o produto desses rotores, em qualquer ordem, é

um rotor cujo eixo é perpendicular ao plano de $ $a a1 2 e e cujo ângulo de

rotação é o dobro do ângulo formado por $ $a a1 2 e (Fig. 06.06).

Page 418: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

398 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03,A

Com efeito, pelo Corol. 1 do Teor.14, podemos escrever:

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ1 1 12 2= ( ) ( ),$ $ $ $bb . a a− − ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2 2 22 2= ( ) ( ),$ $ $ $a a . bb− −

donde, multiplicando o segundo pelo primeiro:

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2 1 2 22

1 12 2. a a . bb . a a= (2 ) ( ) ( )$ $ $ $ $ $− − − .

Mas, sendo (2 ) =2$ $bb − ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ , tem-se: ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2 1 2 2 1 12. a a . a a= (2 ) ( )$ $ $ $− − . Agora, reutilizando o Corol. 1 do Teor. 14 comprova-se a tese. Facilmente comprova-se que o produto dos rotores é comutativo.

Teor. 16: (vetor semitangente de um produto) Se ΩΩΩΩ1 e ΩΩΩΩ2 são dois rotores cujos vetores semitangente são q1 e q2, então o vetor semitangente de ΩΩΩΩ1.ΩΩΩΩ2 é

21

12213 1 .qq

qqqqq

−×++

= , (30).

Ponhamos, como no teorema anterior:

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ1

2

= ( ) ( ) = ( ) + ,

= (2 ) ( ) = ( ) + ;

2 2 4 2 2

2 4 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

bb . a a a .b ba a a bb

a a . bb a .b a b a a bb

− − − −

− − − −

então:

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 12 4 2 2. . a a . a a a .a a a a a a a1 1 2 (2 ) ( ) ( ) + .= = − − = − −$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

Mas,

q q q1

V

1E2

V

2E3

V

3E

=1+

, =1+

, =1+

,− − −ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ1 2 3

e

11V1 ˆˆ)ˆˆ(4 abb.a ×=ΩΩΩΩ , bab.a ˆˆ)ˆˆ(4 22V2 ×=ΩΩΩΩ , 1212V12 ˆˆ)ˆˆ(4)( aaa.a. ×=ΩΩΩΩΩΩΩΩ

1)ˆˆ(4 21E1 −= b.aΩΩΩΩ , 1)ˆˆ(4 2

2E2 −= b.aΩΩΩΩ , 1)ˆˆ(4)( 212E12 −= a.a.ΩΩΩΩΩΩΩΩ

Logo:

.ˆ)ˆˆ)(ˆˆ(

)ˆˆˆ(= donde ,

ˆˆ

ˆˆ= ,

ˆˆˆˆ

= ,ˆˆ

ˆˆ=

21

2112

21

213

2

22

1

11 b

a.bb.a

abaqq

a.aaa

qa.b

abq

b.a

baq −××××

Lembrando a teoria dos vetores recíprocos escrevemos, para qualquer r :

)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆˆ( 12122121 baar.aabr.abar.abar ×+×+×=

donde, para r = $b :

)ˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ12122121 baa.baab.baba.babab ×+×+×= .

Então,

Page 419: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 399

Poliádicos - Ruggeri

321

2121

21

21

1

1

2

212

)ˆˆ)(ˆˆ(

ˆˆ

)ˆˆ)(ˆˆ(

ˆˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

qa.bb.a

a.aqq

a.bb.a

aa

b.a

ba

a.b

abqq +−−=

×+

×−

×−=×

ou,

)ˆˆ()ˆˆ(

)ˆ)(ˆˆ(1221

21

213 qqqq

a.a

ab.b.aq ×++= .

Finalmente, considerando que:

)ˆ)(ˆˆ(

)ˆˆ(1

)ˆ)(ˆˆ(

)ˆˆ)((ˆˆ()ˆ)(ˆˆ(

)ˆ)(ˆˆ(

)ˆ()ˆˆ(

21

21

21

2121

21

2121

ab.b.a

a.a

ab.b.a

b.ba.aab.b.a

ab.b.a

ab.ba.qq −=

−=

××= ,

e levando este resultado à expressão de q3 encontraremos (30).

Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.

Chama-se pequena rotação ou rotação de pequeno ângulo qualquer rotação cujo ângulo de rotação é um pequeno ângulo no sentido trigonométrico, isso é, menor que 3

graus. Para esses ângulos os arcos praticamente se confundem com as cordas e estas com as tangentes e senos. Pelas fórmulas de Mac Laurin, comprova-se que:

sen = 3! + + cos = 1 2! + +3 2

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − − −5 7 4 6

5 7 4 6! ! ... , ! ! ....

e

tg ϕ ϕ ϕ ϕ= + + +2 3 16 5

3 5

! ! ..., (31).

Então, para pequenos arcos, desprezando as potências de ϕ superiores a 2,

α αα

αα≅ ⇔ = ≅3 1o sen tg

, e cos ϕ ϕ≅ −1 2

2

, (311).

Escrevemos, então,

= + − + + − +∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

( , )) )

cccc aa bb ab baϕ ( ϕ ((1 )

ϕ2

2 , (312)

e

)×ϕ(+−2

ϕ−+=2

ϕ kkkkkkˆ)ˆˆ)(1(ˆˆ

),ˆ(ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ , (313).

Nas pequenas rotações circulares, o vetor semitangente de rotação tem módulo muito próximo de zero a ponto de poder-se desprezar o produto escalar de dois deles frente à unidade e o produto vetorial deles frente a eles próprios; os diádicos correspondentes

denominam-se pequenos rotores. Às pequenas rotações elípticas, analogamente, correspondem os pequenos cíclicos.

Page 420: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

400 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03.B

Teor. 17: Se ΩΩΩΩ1 e ΩΩΩΩ2 são dois pequenos rotores, de vetores semitangente q1 e q2, então o vetor semitangente de ΩΩΩΩ1.ΩΩΩΩ2, é:

q q q3 1 2= + , (32).

Com efeito, é o que se obtém de (30) considerando que, para pequenas rotações,

1.1 21 ≅+ qq e 211221

qqqqqq +≅×++ .

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor.

Teor. 1: A multiplicação pontuada de dois cíclicos de mesmo autovetor e mesmo eixo é comutativa; o produto deles é um cíclico de mesmo autovetor e mesmo eixo que os fatores e ângulo de rotação é igual à soma dos ângulos de rotação desses fatores:

( ( + ( ( )

, cc cc cc cc cc

. .∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ==== ==== ′′′′ ′′′′ ′′′′, ) ( , ) , ) , ) ,ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

(01).

Recorramos à interpretação geométrica das transformações regidas pelos cíclicos fatores (§ 05.02,A). Seja v'(α) a projeção de um vetor qualquer, r , sobre o plano (a,b) paralelamente a c. Sendo, então,

r = (r.c*)c+v'(α) = r (α), tem-se: r '(α) = (cc*, ϕ).r (α) = v'(ϕ+α)+(r.c*)c. Ainda,

(cc*, ϕ').((ϕ).r (α)) = (cc*, ϕ').r '(α) = v'(ϕ'+ϕ+α)+(r.c*)c, (A). Por outro lado,

(cc*, ϕ').r (α) = r (ϕ'+α) e

(cc*, ϕ).((cc*, ϕ').r (α)) = (cc*, ϕ).r (ϕ'+α) =

= (cc*, ϕ).[v'(ϕ+α)+(r.c*)c] = v'(ϕ'+ϕ+a)+(r.c*)c, (B). Dada a arbitrariedade de r, resulta, associando em (A) e (B):

(cc*, ϕ).(cc*, ϕ') = (cc*, ϕ').(cc*, ϕ). Como, ainda, podemos escrever:

v'(ϕ+ϕ'+α)+(r.c*)c = (cc*, ϕ+ϕ').[v(α)+(r.c*)c] = (cc*, ϕ+ϕ').r (α),

Page 421: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 401

Poliádicos - Ruggeri

resulta que (cc*, ϕ+ϕ') é igual ao produto comutativo (cc*, ϕ).(cc*, ϕ') já que podemos associar no primeiro membro de (A) e r é arbitrário.

Notas: 1 - Recorrendo a fórmulas trigonométricas bem conhecidas, esse teorema poderia ser demonstrado efetuando-se diretamente o produto de dois cíclicos escritos na forma ((02), § 06.03) a cada um correspondendo um ângulo de giro.

2) - Até o momento tem-se usado um rotor como pré-fator. Note-se, porém que, se

.ab k ),ˆ( ϕ= ΩΩΩΩ , então, T),ˆ(. ϕ= kab ΩΩΩΩ ; mas sendo,

),ˆ(T

),ˆ( ϕ−ϕ = kk ΩΩΩΩΩΩΩΩ , tem-se:

),ˆ(),ˆ( ϕ−ϕ ==kk

a..ab ΩΩΩΩΩΩΩΩ ,

isso é, as rotações correspondentes às multiplicações escalares com um rotor usado como pré e pós-fator são de sentidos contrários. Essa propriedade, entretanto não é válida para os cíclicos.

A generalização dessa propriedade é imediata, estendendo-se a um número qualquer, finito, de diádicos cíclicos (de mesmo autovetor e mesmo eixo). Tem-se, então o seguinte

Corol. 1: (produto de N cíclicos)

(cc*, ϕ1).(cc*, ϕ

2).....(cc*, ϕ

N) = (cc*, ϕ

1+ϕ

2+...+ϕ

N), (02).

Corol. 2: (Potência P-ésima de um cíclico)

Tem-se, para todo P inteiro, positivo ou negativo:

∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== ==== ++++ −−−− ++++∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗( , ) ( , )

( ) ( )cc cc

cc aa bb ab baϕ ϕ

ϕ ϕPP

+ cos P + senP , (03).

A propriedade é evidente em vista de (02).

Raízes K-ésimas do diádico unidade.

Importa ressaltar o caso em que ϕ = 2π/K, com K inteiro positivo. Nesse caso, tem-se:

∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗==== ++++ ++++ ++++ −−−− ++++

( , / )( ) ( ),

cccc aa bb ab ba

π πK

cos 2K sen 2K

donde, lembrando (03);

∗∗∗∗ ====( , /

,cc 2π K)

K ΙΙΙΙ (04),

Por (04) definiremos a raiz K -ésima do diádico unidade:

ΙΙΙΙKK)

==== ∗∗∗∗( , /,

cc 2π (05).

Page 422: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

402 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03.B

No caso em que K é um número racional (da forma Q/P, com P e Q inteiros), teremos, ainda:

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙP Q PQ

P Q) ==== ==== ∗∗∗∗( , /cc 2 π

, (051).

No caso em que K é irracional, poderemos sempre determinar um expoente R tal,

que R(cc*, ϕ) difira tão pouco quanto se queira do diádico unidade: R

(cc*, ϕ) ≅ ΙΙΙΙ. Então, em resumo:

Qualquer diádico cíclico pode ser entendido como uma raiz do diádico unidade.

Potências de expoente inteiro de um cíclico. Supondo que , , a b c e , , a b c∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ sejam sistemas recíprocos, consideremos:

- o diádico linear ΚΚΚΚ = ∗cc , (061);

- o diádico planar J ab ba= − +∗ ∗ , (062);

- o diádico planar (de mesmos planos que J )

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= + = −∗ ∗aa bb K , (063).

É fácil comprovar que esses três diádicos são tensores (§ 02.04). Seja µµµµ o diádico que transforme os vetores da base , , a b c na base , , u v w , isso é, seja u = µµµµ . a etc. .

Então µµµµ = +∗ua ... . Para J , por exemplo, escrevemos, então: µµµµ µµµµ. J. ua . ab ba . au ub va . au uv vu− ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + − + = − + = − +1 ( ( ) ...) ( + ) ( ...) + ( ...) ,

isso é, J se transforma segundo o regime tensorial. Os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de ΙΙΙΙ eJ são os mesmos, mas esses diádicos não são paralelos, isso é,

0BA BA ===+ ⇔ΟΟΟΟΙΙΙΙ J , (07). Como K é linear e seu antecedente (conseqüente) é perpendicular ao plano dos conseqüentes (antecedentes) de ΙΙΙΙ e J , temos:

ΟΟΟΟ==== J.KI.KK.JK.I , (08). Deduzimos, ainda:

I . J J J . I = = , (081). Comprovam-se também, finalmente, as seguintes expressões de potências inteiras positivas (posto que ΙΙΙΙ ,J e K não são completos):

Page 423: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 403

Poliádicos - Ruggeri

∀ P inteiro positivo:

PI = ΙΙΙΙ, (09),

2H H 2H HJ J J= − = −− −( ) , ( ) ,1 11 1ΙΙΙΙ (10),

PK K= , (11). Sendo

Z J K ab ba cc= + = − + +∗ ∗ ∗ , com [ ]Z =−

0 1 0

1 0 0

0 0 1

(12),

temos: Z I K K2 2= − + = − +ΙΙΙΙ ,

Z J K Z J3 2= − + = − ,

Z 4 = ΙΙΙΙ , Z Z5 = , Z Z6 2= etc., (13).

O diádico Z é completo porque, de (12) escrevemos:

Z abc b a c3 1= − =∗ ∗ ∗( )( ) .

Como ( ) ( )Z ZP P

3 3 1= = , concluímos que todas as potências de Z são diádicos

completos.

Consideremos o cíclico

==== ++++ ++++ ++++ −−−− ++++∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗

( , )) )

cccc aa bb ab baϕ ϕ ( ϕ (cos sen , (14),

que podemos escrever na forma

==== ++++ ++++∗∗∗∗( , )ccK J

ϕϕ ϕ cos sen ΙΙΙΙ , (141).

Pelo Corol. 2 do Teor. 1 e por (141), podemos escrever a potência enésima do diádico na forma

==== ++++ ++++∗∗∗∗( , )cc K Jϕ ϕ ϕ N cos N sen NΙΙΙΙ , (15).

Mas em face das (07) a (11) podemos também escrever:

==== ++++ ++++∗∗∗∗( , ) ( )cc K Jϕ ϕ ϕ N Ncos sen ΙΙΙΙ ,

porque são nulos os produtos da forma K . JP Qcos sen ( )ϕ ϕ ΙΙΙΙ + . Então

==== ++++ ++++ ++++∗∗∗∗−−−− −−−−

( , )cc K .Jϕ ϕ ϕ ϕ N N N N Ncos Ncos sen ...ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ1 1 ,

Page 424: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

404 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03.B

ou melhor,

==== ++++ ++++ −−−−−−−− ++++∗∗∗∗

−−−− −−−−( , ) !cc K Jϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕN N N N 2cos Ncos sen

N(N 1)cos sen ...ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ1 2

2 , (16).

Subtraindo membro a membro (15) e (16) e agrupando, vem:

.sencos!3

2)-1)(NN(NsencossenN

sencos!2

1)N(NcoscosN

33N1N

22NN

J...]+ϕϕ−−ϕϕ[Ν−ϕ+

+...]+ϕϕ−−ϕ[−ϕ=

−−

− ΙΙΙΙΟΟΟΟ

Considerando (07) vemos que os fatores de ΙΙΙΙ e J devem ser simultaneamente nulos. Resultam então as fórmulas (clássicas)

cos N cosN(N 1)

cos sen ...N N 2ϕ ϕ ϕ ϕ += −− −

22

!, (17).

e

sen!

N Ncos sen N(N 1)(N 2)

cos sen ...N N 3ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= −− −

+− −1 3

3, (18).

Representação do cíclico em série de Mac Laurin.

A matrizes mistas (contravariante/co-variante) associadas aos diádicos ΙΙΙΙ ,J , K e ao cíclico (14) são, respectivamente119

[[[[ ]]]]ΚΚΚΚ( )abc

====

0 0 0

0 0 0

0 0 1

, [[[[ ]]]]Jabc( )

====

−−−−

0 1 0

1 0 0

0 0 0

, [[[[ ]]]]ΙΙΙΙ ( )abc====

1 0 0

0 1 0

0 0 0

, (19),

e

[( , ) ( )] ∗∗∗∗ ====

−−−−

cc abcϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

cos sen

sen cos

0

0

0 0 1

, (20).

Considerando as fórmulas (31), § 06.03, A, se pusermos,

A J= ,ϕ ou [ ]ΑΑΑΑ = ϕ [ ],J (21), escreveremos:

[( , )

] [ ] [ ]![ ]

![ ] ∗∗∗∗ ==== ++++ ++++ ++++ ++++

ccA A Aϕ ΙΙΙΙ 1

213

2 3 ... , (211),

e

∗∗∗∗ ==== ++++ ++++ ++++ ++++( , ) ! !cc

A A Aϕ ΙΙΙΙ 12

13

2 3 ... , (212).

119 Deve ser notado que embora a matriz associada a J seja anti-simétrica o diádico não é anti-simétrico.

Page 425: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 405

Poliádicos - Ruggeri

Da analogia entre as expressões (211) e (212) com o clássico desenvolvimento em série de Mac Laurin de ex pomos, por

Definição: Se , , a b c e , , a b c∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗ são sistemas recíprocos de vetores,

... !3

1!2

1e 32),( ++++==ϕ∗ AAAA

cc ΙΙΙΙ , JA ϕ= , ∗∗ +−= baabJ , (22).

O diádico (211), A=ϕ J , é tal que

A A A KE e ==== ==== ====0 3

2~ ϕ , (23). Logo, sua equação característica é X X = 03 + ϕ2 e seus autovalores são 0, iϕ e - iϕ. Seu vetor é paralelo a J

V, pois A JV V

= ϕ . Escrevamos o cíclico na forma

KJcc )cos1(sencos),( ϕ−+ϕ+ϕ=ϕ∗ ΙΙΙΙ , (24).

Conforme ((01)2,§08.02,II): φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ .. VVT

2V : ==∀ ; e sendo T2

~ KJJ T == , resulta

que VT

VV2 J.JKJ −=−= . Calculando o vetor do cíclico pela expressão (24), vem:

VT

VT

VV ] )cos1( sen[ )cos1(sen J.JJ.JJ

ccϕ−−ϕ=ϕ−− ϕ=

ϕ∗ ΙΙΙΙ )))),,,,((((,

ou melhor,

VT

V )

2tg(sen J.J

cc

ϕ−ϕ=ϕ∗ ΙΙΙΙ )))),,,,((((

, (25).

Concluímos, assim, que o vetor do cíclico é o transformado do vetor de J pelo diádico

)2

tg(sen TJϕ−ϕ ΙΙΙΙ . Esse diádico é completo, não sendo difícil comprovar que o seu terceiro

é sen3ϕsec2(ϕ/2) , e que o seu principal, ψψψψ, é

]/2)(sec/2)tg( /2)[tg(21 2T KJ ϕ+ϕ+ϕ= ΙΙΙΙψψψψ .

De (25) deduzimos, então:

ψψψψ )))),,,,(((( .Jcc VV ϕ∗= , (26).

*

Exercícios: 1°) - Comprovar que

) ( ) ()3( : ),(),(E),(),(),( ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ××ϕ

××

××ϕ

××ϕϕϕ ∗∗∗∗∗ ==+∀ cccccccccc .

Page 426: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

406 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03.B

2°) - Se, por definição,

... !P

1 ...

!3

1

!2

1e P32 : ++++++=∀ ααααααααααααααααΙΙΙΙαααα αααα ,

e se ααααββββββββαααα .. = , então

ββββααααββββαααα += ee e . . 3°) - Se ττττ é tônico, isso é, ττττ = A i i

ig g , então e e Ai

iiττττ = g g . 4°) - Se ΙΙΙΙααααφφφφ X+= , então ααααφφφφ e ee X= .

*

Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico. De (141), considerando (06), temos:

ΙΙΙΙΙΙΙΙ +ϕ+1)−ϕ=ϕ∗ Jcc sencos(),(

, (27).

Observando que 2222 )(= AJJ =ϕ=ϕϕ− 2 ΙΙΙΙ , vem:

2),( ]

2

2sen

[21sen

AAcc ϕ

ϕ

ϕ+=ϕ∗ ΙΙΙΙ , (271),

donde, então, a expressão do cíclico em função de A:

2),( )]

2(

2

2sen

[2sen AAcc ϕ

ϕ

ϕ+=ϕ∗ ΙΙΙΙ , (272),

De (141), considerando mais uma vez as fórmulas (07) a (11), deduzimos:

=1)−ϕϕ(++ϕ]−1)−ϕ= 2ϕ∗ JK

cc cossen2 sencos[()( 22

),(ΙΙΙΙ

)sen1)(cos-2(cos Jϕ+ϕϕ= ΙΙΙΙ ,

e

]sen)1 coscos2)(cos2 ),( Jcc ϕ+−ϕ[(ϕ=−ϕ ϕ∗ ΙΙΙΙΙΙΙΙ .

Então, somando membro a membro, vem:

AJcccc ϕϕ=ϕ=−ϕ+−− ϕϕ ∗∗

sen2sen2)(cos2)( ),(

2),( ΙΙΙΙΙΙΙΙ ,

ou melhor,

Page 427: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 407

Poliádicos - Ruggeri

)( )(2sen ),(E),(),( ϕϕϕ ∗∗∗ −−

ϕϕ= cccccc .A ΙΙΙΙΙΙΙΙ , (28),

que é a expressão de A em função do cíclico.

Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados. No caso particular dos rotores

ϕ×ϕ−ϕ

)senˆ(+)cosˆˆ(+ˆˆ=),ˆ(

kkkkkk

ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ , (29),

o diádico J é anti-simétrico porque

kJijjijiijJ ˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆT ×−=−=+−−=+−= ΙΙΙΙ , (291).

Logo, também é anti-simétrico o diádico ΑΑΑΑ, a ele estando associada a matriz anti-simétrica

[ ]ΑΑΑΑ = ],[000001010

Jϕ=

ϕ (30).

São válidas para os rotores todas as propriedades já assinaladas para os cíclicos. Em vista de (22), a qual, nesse caso particular, pode ser escrita na forma:

Ak

e...+3!

1+

2!

1++ 32

),ˆ(==ϕ ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΙΙΙΙΩΩΩΩ , com kJA ˆ ×ϕ= ϕ= ΙΙΙΙ , (31),

vemos que a todo rotor está associado um diádico anti-simétrico do tipo (291) cujo vetor é

paralelo ao eixo de ΩΩΩΩ, pois temos: kA ˆ2=V ϕ− . Lembrando ((12),§06.01), isso é,

k sen 2V ϕ=ΩΩΩΩ , deduzimos, então:

VV senΩΩΩΩϕ

ϕ−=A , donde

ϕ=

ϕ−=

sen 2ˆ.

V

V

k

k.A

ΩΩΩΩ, (32).

A expressão (28), particularmente, passa a ser escrita na forma

],[)(2sen E ΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΑΑΑΑ −−

ϕϕ= . (33),

ou, ainda, na forma

)()(ˆ 2

ˆE

V

V ΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΙΙΙΙΩΩΩΩΩΩΩΩ

−−= .k.

k.AA , (34).

Page 428: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

408 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03.B

Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação.

Consideremos agora, as fórmulas:

.)+(1=

ˆ2sen=

senˆ+)cosˆˆ(+ˆˆ=

EV

V

q

k

kkkkk

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ

ϕ−

ϕ×ϕ−

Por ser q paralelo a -ΩΩΩΩV, e este paralelo a k , podemos escrever:

)(sen)(cosq.q

qq.qqq

q.qqq ×ϕ+−ϕ+= ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ , (35);

ou, recorrendo às fórmulas trigonométricas que expressam as linhas de um arco em função da tangente do arco metade:

,1

2)(

1

122

2

qqq.q

qq

q

qq.qqq ×

++−

+−+= ΙΙΙΙΙΙΙΙΩΩΩΩ (351).

As fórmulas (35) e (351) expressam, pois, o rotor em função do vetor semitangente de rotação.

Diádico de rotação e diádico de Argand associados. Denotando por χχχχ o diádico de Argand (do vetor q), ΙΙΙΙ×q, temos, lembrando ((13),§06.01), depois ((01) § 06.04,II) e por último (291):

Jq2

tg11 E

T

E

V ϕ=+

−=+×

−=×=ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΙΙΙΙ

ΙΙΙΙχχχχ (361),

donde χχχχ V = −2q, (362).

Por ser ΑΑΑΑ= ϕJ , conforme (31), deduzimos, também:

χχχχ = 12

tg ( / 2)/ 2ϕ

ϕ ΑΑΑΑ , ou ΑΑΑΑ = 22ϕ

ϕ/

tg ( / 2)χχχχ (363).

Então, de (363), considerando (33), vem:

22ϕ

ϕ/

tg ( / 2)χχχχ= − −

ϕϕ ϕ

/( ) [ ],

22sen ( / 2) cos ( / 2) EΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ.

donde, após simplificações:

χχχχ=+

− −1

1 ΩΩΩΩΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ

EE( ) ( ) ,. (364).

Page 429: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 409

Poliádicos - Ruggeri

Ainda, considerando (361):

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ− − −TE

= ( ) ( ). ,

donde, lembrando que ΩΩΩΩT = ΩΩΩΩ-1 e multiplicando escalarmente ambos os membros por Ω:Ω:Ω:Ω:

ΟΟΟΟΙΙΙΙΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ =+ E2

E3 −− , (365).

O polinômio (365) é o polinômio associado ao polinômio CH de ΩΩΩΩ (§ 03.02)120.

Lema: Tem-se:

)( : vqv.vqvv ×−=×+∀ ΩΩΩΩ , (37).

Com efeito, os vetores v+q×v e v-q×v têm o mesmo módulo porque v é ortogonal a vq × . Logo, (37) esta compatível porque sendo ΩΩΩΩ um rotor ele conserva os módulos dos

vetores. Para concluirmos a demonstração basta provar que o ângulo de rotação de ΩΩΩΩ é igual

ao ângulo das componentes de v+q×v e v-q×v no plano ortogonal a $k (Fig.06.07).

Denotando-se por c a componente de v ortogonal a $k , temos: q×v = q×c, pois |v| sen(q,v) = |c|, e ambos os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Logo, as componentes de

v+q×v e v-q×v ortogonais a $k , além de terem os mesmos módulos (porque v+q×v e v-q×v

têm os mesmos módulos), valem c+q×c e c-q×c. Então, lembrando que q = $k tgϕ/2, temos:

)]2/(tg1[)()()( 2222 ϕ−=×−=×−×+ ccqccqc.cqc ,

)]2/(tg1[)()()( 222222 ϕ+=×+=×+=×± ccqccqccqc ;

e, designando por φ o ângulo dos vetores c+q×c e c-q×c,

ϕ=ϕ+ϕ−=φ=

×+×−×+

cos2/tg1

2/tg1cos

)(

)()(2

2

2cqc

cqc.cqc.

Logo, φ = ϕ uma vez que ϕ<π rd.

120É evidente que, seguindo caminho contrário, isso é, partindo de (365 ) e considerando (311 ), podemos também deduzir (364 ).

Page 430: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

410 § 06 - Rotações.

III,§ 06.03.B

Teor. 2: Tem-se:

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= ( + ) ( ) ,1χχχχ χχχχ. − − (38).

Com efeito, pois sendo:

.v.vqvqv )()( χχχχΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ ×=×±=×± ,

e considerando (37), escrevemos:

( + ) = ( ) .ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙχχχχ χχχχ. v . . v−

Como v é arbitrário,

ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ+ = ( )χχχχ χχχχ. − , (A).

Mas ΙΙΙΙ-χχχχ é completo porque, sendo

=+−ϕ−=ϕ×−=− )ˆˆˆ(2

tg2

tgˆ ijjik ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙχχχχΙΙΙΙ

= + + − + +$( $ $ ) $( $ $) $ ( $ ) ,i i j j i j k k tg2

tg2

ϕ ϕ

segue-se que:

( )ΙΙΙΙ − =χχχχ3

( $$ $ ) (( $ $ )( $ $) ( $ ) ) .ijk i j i j k+ − + = + = ≠ tg2

tg2

tg sec2 2ϕ ϕ ϕ ϕ1

2 20

Logo, pós multiplicando ambos os membros da igualdade (A) por (ΙΙΙΙ-χχχχ)-1, encontramos (38).

Corol. 1: Tem-se, também:

χχχχ = −−( + ) ( ),1ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ. (39). Pois, sendo: ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ+ ) χχχχ χχχχ χχχχ= − = −. ( . , podemos escrever, após agrupamentos convenientes, ; donde, imediatamente, (39), porque ΙΙΙΙ+ΩΩΩΩ é completo. Com efeito,

( ) (ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ+ =

+ −

= + ≠3

1

4 1

cos sen 0

sen 1 + cos 0

0 0 2

cos ) 0.

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

Nota: Lembrando que é comutativo o produto pontuado de dois polinômios de um mesmo diádico (§ 05.02,II), escrevemos, também:

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ= ( ) 1 ( + ), e = ( ) ( + ) 1,− − − −χχχχ χχχχ χχχχ. . (40).

Page 431: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 411

Poliádicos - Ruggeri

Teor. 3: Se χχχχ1, χχχχ2 e χχχχ são os diádicos anti-simétricos associados aos diádicos de rotação ΩΩΩΩ1, ΩΩΩΩ2 e ΩΩΩΩ = ΩΩΩΩ1.ΩΩΩΩ2, respectivamente, então:

χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ= ( ) ( + ) ( + ) ( ) ,2 1 21

1 2 21ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ− −− −. . . . (41).

Temos, segundo (38):

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ1 1 11

2 2 21= ( + ) ( ) e = ( + ) ( ) ,χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ. .− −− −

donde, segundo (40):

ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ= = ( ) ( + ) ( + ) ( ) .1 2 11

1 2 21. . . .− −− −χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ

Então, desta igualdade deduzimos:

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ

− − − − − −

− −

− −

− −

= ( ) [ ( ) ( ) + ( + ) ( + )] ( ) =

= 2( ) ( +

11

1 2 1 2 21

11

1 2

χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ

χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ

. . .

.. ) ( ) ,21

e, analogamente,

ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ+ 2( ) ( + ( )1

11 2 2

1= − −− −χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ. . .) .

Desta última, temos:

( + ) =1

2( ) ( + ) ( ).1

2 1 21

1ΩΩΩΩ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ− −− −χχχχ χχχχ χχχχ χχχχ. .

Agora, aplicando (32), operando e simplificando, encontramos (41).

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos.

Constatamos no §02.05 a necessidade da consideração dos diádicos com simetria externa. Diádicos com simetria externa em relação a um eixo é sinônimo de diádicos auto-similares (§02.02) numa rotação em torno desse eixo com ângulo qualquer. Adotemos o

vetor unitário k , paralelo a esse eixo, como um dos vetores de uma base vetorial

ortonormada fixada escolhendo-se arbitrariamente dois outros unitários i e j . Para a

dedução das características da matriz associada ao diádico φφφφ nessa base,

φφφφφφφφφ

=333231

232221

131211][φφφφ ,

devemos escrever, na forma matricial equivalente a ((17), §06.01), que

1000ϕϕ0ϕϕ

1000ϕϕ0ϕϕ

= cossen-sencos

]..[cossensen-cos

][ φφφφφφφφ ,

pois esse diádico deve ser similar a si próprio (§02.02) mediante o diádico de rotação de eixo k e ângulo arbitrário ϕ. Então,

Page 432: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

412 § 07 - Redução normal do diádico completo. decomposição polar.

III,§ 07.01

ϕ)φ−ϕϕ(φ−ϕ)φ−ϕϕ(φ=φ sencossensencoscos 2212211111

ϕ)φ+ϕϕ(φ+ϕ)φ+ϕϕ(φ=φ cossencoscossensen 2212211122

ϕ)φ−ϕϕ(φ+ϕ)φ−ϕϕ(φ=φ sencoscossencossen 2212211112

ϕ)φ−ϕϕ(φ−ϕ)φ+ϕϕ(φ=φ cossensencossencos 2212211121

ϕφ−ϕφ=φ sencos 231313

ϕφ+ϕφ=φ cossen 231323

ϕφ−ϕφ=φ sencos 323131

ϕφ+ϕφ=φ cossen 323132

3333 φ=φ .

Da primeira e da segunda equações, e em seguida, da terceira e quarta, deduzimos, considerando que ϕ≠0:

ϕφ+φ−=ϕφ−(φ cos)(sen) 21122211 ; e ϕφ+φ=ϕφ−(φ sen)(cos) 21122211 .

Como essas equações devem subsistir qualquer que seja ϕ, deve ser, necessariamente,

0 e 0 21122211 =φ+φ=φ−φ .

Colocando a quinta e a sexta equações nas formas

ϕφ−=ϕ−φ sen)cos1( 2313 e ϕφ=ϕ)−φ sencos1( 1323

deduzimos, ainda, que deve ser 02313 =φ=φ . Analogamente, com a sétima e oitava

equações comprovaríamos serem φ31 e φ32 nulos. Assim, a matriz associada a φφφφ é

φφφ−φφ

=

33

1112

1211

00

0

0

][φφφφ , (01).

Se, ainda, φφφφ apresenta simetria interna, deve ser 01212 =φ−=φ .

Alem de simetria em relação ao eixo k poderia haver simetria externa em relação a

um eixo de unitário i ortogonal ao primeiro. Assim, alem da matriz dada por (01), deveria corresponder ao diádico a matriz

φφ−φφ

φ=

3323

2322

22

0

0

00

][φφφφ , (02),

que deve ser igual à primeira; então [φφφφ] é matriz diagonal com elementos φ11=φ22 e φ33. Deduz-se desses resultados que se φφφφ tem simetria externa em relação a três eixos ortogonais deve ser φ11=φ22=φ33, tendo ainda, simetria em relação a qualquer outro eixo. Em resumo:

Se qualquer eixo do espaço é eixo de simetria de um diádico, esse diádico é diádico escalar, isto é, da forma AI.

Page 433: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. 413

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR.

§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. Consideremos a transformação linear regida pelo diádico completo, qualquer, ψψψψ, usado como pré-fator. Seja P o ponto corrente da superfície esférica de raio unitário, definido pelo unitário posicional $r de origem no centro O da superfície, por hipótese

coincidente com um ponto fixo. Se P' é o transformado de P mediante ψψψψ, e r ' é o seu vetor-posição de origem O, escrevemos:

′ = = ′−r . r r . rψψψψ ψψψψ$ , $ , ou 1

donde,

′ ′ =−r . . . r( )ψψψψ ψψψψT 1 1, (01). Tal é a equação do elipsóide transformado da superfície esférica (§01.02, propr. 4). Se π) é o plano tangente à superfície esférica em P, então o seu transformado, π'), é tangente ao elipsóide em P'. Com efeito, se não fosse, esse plano teria mais um ponto comum (ao menos), Q, com o elipsóide. Como as transformações direta e inversa são unívocas, o transformado inverso de Q', Q, deveria pertencer a π) e à esfera, o que é impossível (a esfera e π) só tem P por ponto comum). Então, a todo cubo circunscrito à superfície esférica corresponde um e um único paralelepípedo (oblíquo) circunscrito ao elipsóide; e às três direções ortogonais que ligam os pontos de concurso das diagonais das faces opostas (quadrados) do cubo, correspondem três direções (geralmente não ortogonais) que ligam os pontos de concurso das diagonais

das faces opostas (paralelogramos) do paralelepípedo; e vice-versa. Logo:

ao paralelepípedo reto, único, que circunscreve o elipsóide, corresponde um e um único cubo circunscrito à superfície esférica.

Sejam kji ˆ e ,ˆ os unitários posicionais dos centros de três faces quaisquer do cubo

circunscrito, co-iniciais em O e tais, que o triedro $, $ $i j k , seja direto. Se, então, l', m' e n', são os vetores posição (co-iniciais em O e triortogonais) dos centros das três faces correspondentes (retângulos) do paralelepípedo circunscrito ao elipsóide, podemos escrever: l ' = ψψψψ.$ ,i ... . Então:

ψψψψ = ′ + ′ + ′l i m j n k$ $ $ , (02),

é uma forma trinomial de ψψψψ. Usando o diádico como pós-fator é possível tirar conclusões análogas. Temos, assim, demonstrado o seguinte

Page 434: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

414 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar..

III,§ 07.01

Teor. 1: É sempre possível reduzir um diádico completo a uma forma trinomial de que os conseqüentes (antecedentes) formem um terceto ortonormado direto e os antecedentes (conseqüentes) um terceto triortogonal.

Sendo:

ψψψψ3

= ′ ′ ′ = ′ ′ ′( )($ $ $ ) ( ),l m n i j k l m n

vemos que l ', m', n' é triedro positivo ou negativo conforme ψψψψ3 seja positivo ou negativo.

Associemos às direções dos semi-eixos do elipsóide os unitários $ ′i ,$ ′j e $ ′k

correspondentes aos unitários $, $ $i j k , , tais, que $ ′i ,$ ′j , $ ′k seja direto; então:

∀ ≠ ′ ′ ′ψψψψ ψψψψ ψψψψ, $ $ $ $ $ $ , com 0 : = L + M + N3

i i j j k k (03),

onde L, M e N são números finitos, não nulos e cujos módulos são os valores dos semi-eixos do elipsóide. Resulta, então, demonstrado o seguinte

Corol. 1: É sempre possível reduzir um diádico completo a uma soma de três díades cujos antecedentes e conseqüentes sejam dois tercetos ortonormados diretos e cujos coeficientes sejam números finitos e não nulos.

Definição: (forma e redução normal) A forma (03) de redução do diádico completo ψψψψ, em que $, $ $i j k , e

$ ′i ,$ ′j , $ ′k são tercetos diretos ortonormados e L, M e N números finitos não

nulos, denomina-se forma normal do completo φφφφ. Redução normal é o conjunto das operações através das quais se reduz um diádico completo à sua forma normal.

Sendo, ainda

ψψψψ3

= =LMN( LMN,$' $' $ ' )($$ $ )i j k ijk

vemos que:

1°) - Se for ψψψψ3 > 0, dois casos podem acontecer: apenas um dos coeficientes é positivo, ou todos são positivos. No primeiro caso, se, digamos, L > 0, escrevemos:

ψψψψ = + + − + −| $' $ | $' )$ | $ ' ) $ ,L| M|( N|(i i j j k k

caso em que o triedro $' , $' , 'i j k− − ainda é direto121; no segundo caso, escrevemos:

ψψψψ = + + +(| $ ' $ | $ ' $ | $ ' $ ).L| M| N|i i j j k k

121 Se de um triedro direto se invertem dois quaisquer dos eixos o novo triedro continua direto.

Page 435: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 415

Poliádicos - Ruggeri

2°) - se for ψψψψ3<0, dois outros casos podem se dar: apenas um dos coeficientes é negativo, ou todos são negativos. No primeiro caso, se, digamos, L<0, escrevemos:

ψψψψ = − − − [ L| + M|( + N|(| $' $ | $' )$ | $ ' ) $ ]i i j j k k ,

sendo ainda direto o triedro dos antecedentes; e no segundo caso,

ψψψψ = − + +(| $ ' $ | $' $ | $ ' $ ).L| M| N|i i j j k k

Temos assim demonstrado o seguinte

Teor. 2: Todo diádico completo pode ser reduzido a uma soma de três díades de que antecedentes e conseqüentes formem sistemas diretos ortonormados, e cujos coeficientes sejam números todos positivos ou todos negativos:

∀ ≠ ± ′ ′ ′ψψψψ ψψψψ ψψψψ, $ $ | $ $ | $ $ ), 0: = (|L| + M| + N|3

i i j j k k (04).

Deve ser observado que na forma normal de ψψψψ, (03), os módulos dos coeficientes da

forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio

unitário pelo diádico ψψψψ.ψψψψT - são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2, M2 e N2 do diádico ψψψψ.ψψψψT (ou ψψψψT.ψψψψ), correspondentes ao sistema direto dos unitários dos autovetores $ ' , $ ' $ ' $ , $ , $ )i j k i j k e (ou , não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do diádico ψψψψ. Com efeito, pois

ψψψψ ψψψψ. i i j j k k . i i jj kk

i i j j k k

T

2 2

L| M| |N| L| M| N|

L| M| N|

= + + + + =

= + +

(| $ ' $ | $ ' $ $ ' $ ) (| $$ ' | $$ ' | $ $ ' )

| $ ' $ ' | $' $ ' | $ ' $ ' ,2 (05),

e, analogamente:

ψψψψ ψψψψT 2 2L| + M| + N| . i i j j k k=| $ $ | $ $ | $ $ ,2 (06).

Então:

( )|

$' $'|

$' $'|

$ ' $ ' ,ψψψψ ψψψψ. i i j j k kT2 2 2L| M| N|

− = + +11 1 1

(07).

Nota: Esse teorema é geral, aplicando-se, inclusive, aos diádicos simétricos, conforme já comprovamos (Teor. 11 e 12, § 04.01,B).

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. Em vista das considerações do § 07.01, o problema do cálculo da redução normal de um diádico ψψψψ pode ser conduzido seguindo a marcha de cálculo cujos passos apresentamos a seguir:

1°°°° passo: determina-se uma das matrizes mistas associadas ao diádico ψψψψ.ψψψψT.

Page 436: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

416 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.02

Qualquer que seja a redução cartesiana, dada, do diádico ψψψψ, será sempre possível a

execução desse primeiro passo usando-se as fórmulas deduzidas no § 09.02 e no § 09.03 do cap. II. Com efeito, se ψψψψ é dado por [ψψψψ** ], escrevemos:

[( ) ] [ ] [( ) ] [ ].[ ] ,ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. .T

T

T∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗∗

∗= =

com122 [ ] [ ] [ ][ ].ψψψψ ψψψψ∗

∗∗∗ ∗

∗ ∗∗= G . G

Logo:

[( ) ] [ ][ ][ ] [ ].ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. .T

TG G∗∗

∗∗ ∗∗

∗∗

∗∗= (01). Se ψψψψ é especificado por [ψψψψ**], escrevemos, de (01) e das fórmulas referidas:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. . . .T

T TG∗∗ ∗∗

∗∗

∗∗∗∗

∗∗= = ,

ou melhor:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ],ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. . . .T

TG G∗∗ ∗∗

∗∗∗∗

∗∗= (011). Se ψψψψ é especificado por [ψψψψ

**], escrevemos, de (011) e das referidas fórmulas:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ],ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. . . . . . . .T

TG G G G G G∗∗ ∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗=

ou melhor:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] ,ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. G . . G .T

T∗

∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗= (012).

2° passo: de posse de [(ψψψψ.ψψψψT)* *], determinam-se os autovalores L2, M2 e N2 (todos

positivos) e os correspondentes auto-unitários $ ' , $ ' $ 'i j k, de ψψψψ ψψψψ. T.

Para tal escrever-se-á a equação característica

X X + X 3 TE

TE~ T− − =( ) ( ) ( )ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. . .2

30, (02),

ou,

0)(X|| ~||X||||X 23

23 =−+− ψψψψψψψψψψψψ , (021),

cujos coeficientes se determinam diretamente de [(ψψψψ.ψψψψT)** ]. Para cada autovalor, calcular-se-á um autovetor correspondente por suas coordenadas contravariantes. Assim, ao autovalor L2 (que podemos designar como o menor deles) corresponderá o autovetor l ' = L'i gi , a M2 o autovetor m' = M'i gi e a N2 (o maior deles), o autovetor n' = N'i gi.

122 Relembremos a Nota apresentada no § 09.02: a matriz associada a um diádico só tem significado quando é especificada a base (ou a métrica da base) a que ela se refere.

Page 437: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 417

Poliádicos - Ruggeri

Como gi = Gij gj, poder-se-á calcular, também,

l g g' ,= =L' L' Gj

j iij

j

isso é,

L'

L'

L'

G

L'

L'

L'

1

2

3

1

2

3

=

∗∗[ ] ,. (03).

Então:

( ' ) [ ] ,l2 = =

∗∗L' L' L' L' L' ][G L'L'L'

ii

1 2 3

1

2

3 e $ ' $ $ ,l g g= =L' L'i

i ii (04),

onde

$' |

$' |

L'L'|

e L'L'

|i

i

ii= =

l l (041).

Analogamente calculam-se $ ' $ 'm n e . Uma verificação de cálculos poderá ser feita, nesse instante, pois

($ $ $

$L' $L' $L'$M' $M' $M'$N' $N' $N'

( )

$L' $L' $L'$M' $M' $M'$N' $N' $N'

( ) ,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

l m n g g g g g g' ' ' ) =1 2 3

11 2 3 1= = ± (05),

e

( ) | |, ) | |g g g g g g1 2 31 2 3= =∗∗

∗∗G ( G (051).

Se for ($ ' $ ' $ ' )l m n = 1, far-se-á: $ ' $ ' ,l i= $ $ 'm j= e $ $ 'n k= . Se for ($ ' $ ' $ ' )l m n = −1,

poder-se-á inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, $ 'l , para que o novo

triedro seja direto. Far-se-á, então: − =$ ' $ ' ,l i $ $ 'm j= e $ $ 'n k= .

3°°°° passo: repetem-se os dois primeiros passos em relação ao diádico ψψψψT.ψψψψ.

No primeiro passo, particularmente, as expressões correlatas de (01), (011) e (012), são:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ],ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψT

T G G. . . .∗

∗ ∗∗∗

∗∗∗ ∗

∗= (06);

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ],ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψT

T G G. . . .∗∗ ∗∗

∗∗∗∗

∗∗= (061);

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ],ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψT

TG G. . . .∗

∗ ∗∗∗∗

∗∗∗∗= (062).

Page 438: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

418 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.02

Conforme já comprovamos, os diádicos ψψψψ.ψψψψT e ψψψψT.ψψψψ têm a mesma equação característica (o que pode ser verificado calculando os coeficientes da equação pela matriz (06)) e os mesmos autovalores (L2, M2 e N2). Tal como anteriormente, podem ser calculados os autovetores: l = Li gi = Li gi correspondente a L2, m = Mi gi = Mi gi correspondente a M2, e n = Ni gi = Ni gi correspondente a N2, sendo:

L

L

L

[G ]

L

L

L

1

2

3

1

2

3

=

∗∗ , etc., (07).

Também,

l 2 = =

∗∗L L L L L G

L

L

L

ii

1 2 3

1

2

3

[ ][ ] e $ $ $ ,l g g= =L Lii i

i (08),

onde

$ $| |

,LL| |

e LL

ii

ii= =

l l (09).

As expressões correspondentes para m e n são análogas.

Finalmente, dever-se-á calcular

($ $ $

$L $L $L

$M $M $M

$N $N $N

( )

$L $L $L

$M $M $M

$N $N $N

( ) ,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

lmn g g g g g g) = 1 2 31 2 3 1= = ± (10).

Se for ($ $ $ )l m n = +1, far-se-á: $ $, $ $ $ $ .l i m j n k= = = e Se for ($ $ $ )l m n = −1, poder-se-á

inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, $l , para que o novo triedro seja

direto. Far-se-á, então: − = = =$ $, $ $ $ $l i m j n k e .

4°°°° passo: escreve-se, simplesmente, a expressão de ψψψψ em sua forma normal

ψψψψ = + +L M ' N '$ ' $ $ $ $ $i i j j k k , (11). Notar que é

ψψψψ = + +L ' M ' N '$ $ $ $ $ $l l m m n n (111), com L, M e N positivos, $ ' , $ ' , $ 'l m n e $, $ , $l m n sendo diretos ou não.

Page 439: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 419

Poliádicos - Ruggeri

A cada inversão de um unitário (num triedro ou no outro) para tornar o triedro positivo, corresponderá uma troca de sinal na díade correspondente da expressão (111). Daí,

então, será gerada a forma (11), escrevendo-se: ± =$ ' $ ' , ...l i ; justifica-se, assim, dizer que os números L, M, e N são positivos e negativos. Exemplo numérico. Reduzir à forma normal o diádico (completo),

ψψψψ = − + + +2 2 3 111

12

13

21g g g g g g g g ... ,

cuja matriz mista contravariante/ co-variante associada é:

[ ] ,ψψψψ ∗∗ =

2 2 3

1 1 1

13 3 1

(12).

As bases recíprocas diretas , , g g g1 2 3 e , , g g g1 2 3 têm as seguintes matrizes métricas

(recíprocas):

[ ] ] ,G e [G∗∗∗∗=

=

2 1 2

1 2 1

2 1 5

9 7 5

7 6 4

5 4 3

(13).

Solução: Observemos, de imediato, que as bases g* e g* são quaisquer mas (acidentalmente) unimodulares, pois

( ) | |( ) ( ),g g g g g g g g g1 2 31 2 3 1 2 3= =∗∗G

isso é

( ) ( ) , ( ) ( ),g g g g g g g g g g g g1 2 32 1 2 3 2

1 2 31 2 31==== ==== ==== ==== ou +1

porque, por hipótese, g* e g* são diretas. 1°°°° passo: Levando, então, (12) e (13) à (01), escrevemos:

[( ) ]ψψψψ ψψψψ. . . .T ∗∗ =

=2 2 31 1 113 3 1

9 7 57 6 45 4 3

2 1 132 1 33 1 1

2 1 21 2 12 1 5

=−

− −−

440 165 1 01674 30 174

2 620 1 014 6 098

.

. . ., (14),

Page 440: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

420 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.02

isso é:

ψψψψ ψψψψ. g g g g g g g gT .= − + − +440 165 1 016 7411

12

13

21. ...

2°°°° passo: Equação característica: X X + X (3 T

E2 T

E~ T− − =( ) ( ) )ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ. . .

30.

Tem-se: || || ( ) ( ) ] . . ;

|| || ( ).. . . . . .

( ) ( ) ( .

~

ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ

ψψψψ ψψψψ ψψψψ

ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ

= = = =

= =−

−−

− = =

= = = − =

∗∗. .

.

. .

TE

T

TE~

T3

T3

Tr[ + +

+ + + +

440 30 6 098 6 568

440 16574 30

440 10162.620 6 098

30 1741014 6 098 990 21200 6 504 28 694;

66) 4.3563 3

2 2

Logo:

X X X 4.356= 03 2− + −6568 28694. . (15). Com valores corretos até a sexta casa decimal, as raízes dessa equação são123:

X L

X M

X N

min2

med2

max2

= =

= =

= =

0 1574857

4 2140805

6 563 628433

,

,

. , ,

(16).

Cálculo de um autovetor l ', correspondente ao autovalor L2:

( ) .

( )

. . ( . )

440 165 1 016 0

74 30 174 0

2 620 1 014 6 098 0

− ′ − ′ + ′ =

− ′ + − ′ − ′ =

′ − ′ + − ′ =

X L L L

L X L L

L L X L

min1 2 3

1min

2 3

1 2min

3

Arbitrando L'3 = =11016

0 00098425.

, , escrevemos:

439 8425143 165 1

74 29 842514174

1 016

,

,.

,

L' L'

L' L'

1 2

1 2

− = −

− + =

donde

L'1 = −0 0017299, e L'2 = 0,00144919. (Podemos, agora, verificar a terceira equação do sistema).

Então:

123 Não nos preocupamos, aqui, em precisar erros cometidos com aproximações.

Page 441: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 421

Poliádicos - Ruggeri

10 17 299 14 4919 9 842541 2 3l g g g' , , , ,= − + + (171).

Cálculo de um autovetor correspondente a Xmed:

435 7859194 165 1 016 0

74 25 785919 174 0

2 620 1 014 6 093 785919 0

, .

,

. . . , .

M' M' M'

M' M' M'

M' M' M'

1 2 3

1 2 3

1 2 3

− + =

− + − =

− + =

Arbitrando M' 3 = 11016.

, resolvemos o sistema

11 237 14041 25 785919 1016 25 785919

12 210 1 016 25 785919 165174

1 016

. , , ,

. . ,.

.

M' M'

M' M'

1 2

1 2

− × = −

− + × = ×

Então M' M' M'1 2 3= − = − =0 002540917 0 00065027788 0 000984252, , , , , ,

e 10 25 6,5027788 9 842524

1 2 3m g g g' ,40917 , ,= − − + (172).

Cálculo de um autovetor correspondente a Xmax:

− − =

− − − =

− − =

6123 165 N' 016 0

74 6 533 174 0

2.620 1014 465 0

. ,628433 N' .

. ,628433 N'

. ,628433 N' .

1 2 3

1 2 3

1 2 3

+1 N'

N' N'

N' N'

Arbitramos: N'3 = 11016.

e resolvemos o sistema

6123 1

74 6 533174

1016

. ,628433 N'

. ,6628433 N.

.

1 2

1 2

+165 N'

N' '

=

− − =

Encontramos

N' N' e N'1 2 3= = − =0 000164058 0 00002807018 0 000984252, , , , , donde

10 1 0,2807018 9 84252041 2 3

n g g g' ,64058 , ,= − + (173).

Temos, então, em (171), (172) e (173) as expressões de l ', m' e n' (multiplicados por 104) na base g*. Por (03) podemos obter as expressões desses mesmos vetores na base g*. Assim, por exemplo:

10

2 1 2

1 2 1

2 1 5

17 2990

14 4919

9 8425

0 42106

1 84228

0 12270

4

L'

L'

L'

1

2

3

=

=

.

,

,

,

,

,

,

.

Analogamente,

Page 442: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

422 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.02

−−

=

−−

=

897039,4

257248,48

636079,37

84252,9

5027788,6

40917,25

512

121

212

M'

M'

M'

10

3

2

14 . ,

e

10

2 1 2

1 2 1

2 1 5

1 64058

0 2807018

9 84252

22 685538

8 763324

52 774502

4

N'

N'

N'

1

2

3

=

= −

.

,

,

,

,

,

,

.

Então:

10 0,42106 1 84228 0,12270

10 37 48,257248 4 897039

10 22 8,763324 52

4 1 2 3

4 1 2 3

4 1 2 3

l g g g

m g g g

n g g g

' ,

' ,636079 ,

' ,685538 ,774502 ,

= −

= − −

= −

+ +

+

+

(174).

Nesse instante podemos fazer algumas verificações com o objetivo de detectar eventuais erros grosseiros de cálculo, já que aqueles oriundos de aproximações são inevitáveis. Estando os vetores l', m' e n' expressos por suas coordenadas co-variantes e contravariantes podemos, facilmente, por multiplicação escalar, verificar a ortogonalidade simultânea desses vetores. Com efeito, basta verificar a nulidade das expressões l '.m' = m'.n' = n'.l'. Assim, de (171) e (174), temos:

10 17 299 14 4919 9 8425

48 257248 4 897039

17 299 37 636079 14 4919 48 257248

0 073575

81 2 3

1 2 3

l .m g g g .

. g g g

' ' ( , , , )

, , )

( , ) ( , ) , ( , )

. ,

= − + +

− + =

= − × − + × − +

× −

(-37,636079

+ (9,8425) (4,897039) =

ou seja l .m' ' ...= − × ≅−0,0735 10 08 .

Analogamente podemos fazer os demais cálculos. Para o cálculo dos unitários basta que determinemos os módulos de l',m' e n' recorrendo às expressões de l', m' e n' em bases recíprocas; temos:

10 17 299 14 4919 9 8425 0 42106 1 84228 0 12270

35 189729

8 21 2 3

1 2 3l g g g . g g g' ( , , , ) ( , , , )

, ,

= − + + − + + =

=

donde:

10 5 9320934 | ' | , ,l = (175). Analogamente encontramos:

Page 443: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 423

Poliádicos - Ruggeri

10 36 308497 23 6455464 | ' | , | ' | , ,m n= = e 104 (176).

Logo, na base g*, por aplicação das (04)1, escrevemos, partindo das fórmulas (171), (172), (173), (175), e (176),:

$' ,916171 ,442966 ,659195

$ '

$ '

l g g g

m g g g

n g g g

= −

= − −

= −

2 2 1

0,699813 0,179098 0,271080

0,069383 0,011871 0,416253

1 2 3

1 2 3

1 2 3

+ +

+

+

(19).

Mutatis mutandis, na base g*, encontramos:

$'

$ ' ,036564 ,329090

$ ' ,231900

l g g g

m g g g

n g g g

= −

= − −

= −

0,070980 0,310562 0,020684

1 1 0,134873

0,959400 0,370612 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

+ +

+

+

(191).

Novas verificações de cálculo podem ser feitas. Assim, por exemplo, de (19)1 e (191)1 temos

$' ( ,9161712) ( ... ,000001... ;l 2 2 0,07098) 1 1= − × − + = ≅ e de (19)1 e (191)2 vem:

$' $ ' ( ,9161712) ( ,036564) ... ... ;l .m = − × − + = − ≅2 1 0,000341 0

e assim sucessivamente. Podemos agora verificar se o triedro $ ' , $ ' , $ 'l m n é direto; temos, de (19), aplicando (05):

($' $ ' $ ' )

,916171... ,442966... ,659195...

... ... ...

... ...

( ) ,00000038... ,l m n g g g=

− −

= ≅

2 2 1

0,699813 0,179098 0,271080

0,069383 0,011871 0,416253

1 11 2 3

porque (g1g2g3)=1. Logo: $ ' , $ ' , $ 'l m n é direto. Faremos, então:

$ ' $ ' , $ ' $ ' $ ' $ 'l i m j n k= = = e , (20).

3°°°° passo: Aplicando (06) temos:

[( ) ]ψψψψ ψψψψT . . .∗∗ =

9 7 5

7 6 4

9 4 3

2 1 13

2 1 3

3 1 1

2 1 2

1 2 1

2 1 5

2 2 3

1 1 1

13 3 1

=

Page 444: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

424 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.02

= − − −

− − −

7 422 1 070 67

5 697 821 52

4 105 593 33

. .

.

.

, (21),

isso é

ψψψψ ψψψψT ,. g g g g g g g g= + + − +7 422 1 070 67 5 69711

12

13

21. . . ... (211).

Calculamos, facilmente:

( ) .

( ).

.

. . .

( ) ( ) ( .

ψψψψ ψψψψ

ψψψψ ψψψψ

ψψψψ ψψψψ ψψψψ ψψψψ

TE

TE~

T T

+ +

+ +

.

.

. .

= − − =

=− −

− − − − − −=

= − =

= = − =

7.422 821 33 6 568

821 52

593 33

7.422 67

4.105 33

7.422 1070

5 697 821

3 743 30109 2.328 28 694

66) 4.3563 3 3

2

Comprovamos, assim, que a equação característica de ψψψψT.ψψψψ identifica-se com a de ψψψψ.ψψψψT; o que corresponde a dizer que os autovalores de ψψψψT.ψψψψ e ψψψψ.ψψψψT são os mesmos. Tal como no segundo passo de cálculo, podemos encontrar autovetores para ψψψψT. Assim, na base g*, temos:

- correspondentemente a L2 = 0,1574857:

,25373,14978738,49010373,7210 3214 gggl ++−= (231);

- correspondentemente a M2 = 4,21408055:

,25373,14989528,495454003,810 3214 gggm ++−= (232);

- correspondentemente a N2 = 6.563,628433:

10 269 207 14941 2 3

n g g g= ,75813 ,05861 ,25373 ,+ + (233).

Aplicando as (06) calculamos as coordenadas co-variantes desses vetores; resultam:

10 645 08738 760 21730 111 27381

10 331 31194 58 00857 679 28257

10 33 95019 4 89464 0 30622

4 1 2 3

4 1 2 3

4 1 2 3

l g g g

m g g g

n g g g

= + +

= − +

= − − −

, , ,

, , ,

, , , ,

(24).

Page 445: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 425

Poliádicos - Ruggeri

Verificações:

10 49 026 7 0 00049 0

10 0 19405 0 19 10

348 03513 0 00348

8

8 8

l.m l.m

m.n m.n

n. l n. l

= = ≅

= = × ≅= = ≅

. , , , ... ;

, , , ...

. , , , ...

donde

donde 0;

10 donde 0.8

Os módulos de l, m e n são determinados facilmente; temos:

10 72 10 490,78 149

645 760,21 111 343155 1772

8 21 2 3

1 2 3

l g g g .

. g g g

= − + +

+ + =

( , ... ... ,25... )

( ,08... ... ,27... ) . , ,

donde:

10 585 7944 | | ,l =

Analogamente, encontramos:

10 309 2890 89 99504 | | , | | , .m n= = e 104 Logo:

$ , , ,

$ , , ,

$ , , , ,

l g g g

m g g g

n g g g

= − + +

= − + +

= − + +

0 123087 0 837816 0 254789

0 027629 0 161323 0 482570

2 997479 2 300779 1 658467

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(25),

ou $ , , ,

$ , , ,

$ , , , ,

l g g g

m g g g

n g g g

= + +

= − +

= − − +

1 101219 1 297755 0 189954

1 071205 0 187555 2 196271

0 377245 0 054388 0 003403

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(26),

sendo ($ $ $ )lmn = −1. 4°°°° passo:

Como ($ $ $ ) ... ( ) ... ( ) ,l m n g g g g g g 1 2 31 2 3= − = − ≅ −0,962765 0,973631 1 o triedro

$, $ , $l m n é negativo. Trocando-se os sinais no segundo membro de $l , o triedro $, $ , $− l m n

passará a ser positivo (e $ $i l= − continuará sendo auto-unitário de ψψψψT.ψψψψ).

Ponhamos, então: − = = =$ $, $ $ $ $l i m j n k e . Nestas condições a forma normal de ψψψψ pode ser assim escrita:

),ˆ'ˆ 628433,563.6ˆ'ˆ 21408055,4ˆ'ˆ 1574857,0( kkjjii ++−=ψψψψ (27),

onde $, $, $ $' , $' , $ ' i j k i j k e são triedros diretos; ou, ainda, assim:

ψψψψ = − + +( $' $ ,0528226$' $ ,016222$ ' $ ),0,396847 2 81 i i j j k k (271).

Page 446: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

426 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.02

Verificação:

Ora, ψψψψ = ψijgig

j. Para expressarmos ψψψψ em função de $, $, $i j k e $ ' , $ ' , $ 'i j k basta expressarmos gi e gj em função de i, j, k e i', j ', k '. Para expressarmos os gi em função de $ ' , $ ' $ 'i j k e , bastará invertermos o sistema (19)

onde $ ' $ ' , $ ' $ ' $ ' $ ' .l i m j n k= = = e Encontraremos:

g i j k

g i j k

g i j k

1

2

3

0,071332 1 0,9593988

0,3101075 1 0,3706125

0,0207338 0,134882 2

= − − +

= − −

= + +

$' ,036587$' $ '

$' ,328984$' $ '

$' $' ,23189996$ ' ,

(28).

Analogamente, invertendo o sistema (26) onde já tenhamos trocado −$ $l i por , escrevemos:

g i j k

g i j k

g i j k

1

2

3

0,122031 0,015146 2

0,854716 0,077449 2

0,132509 0,441315 1

= + −

= − − +

= − + +

$ $ ,964006$

$ $ ,275088$

$ $ ,639945 $ ,

(29).

Assim, se $ ' , $ ' $ 'i j k e são os antecedentes e $, $, $i j k os conseqüentes, a matriz

associada a ψψψψ será:

=

−−−

−−−

...639945,1...441315,0...132509,0

...275088,2...077449,0...854716,0

...964006,2...015146,0...122031,0

1313

111

322

...231900,2...370611,0...959398,0

...134882,0...328985,1...036588,1

...020734,0...310108,0...071332,0

−≅

−−−−−−−

=016222,8100

00528226,20

00396847,0

...111765,80...243306,0...073040,0

...001278,0...132359,2....577040,0

....000002,00...396819,0

,

o que comprova (271), com certo erro devido a arredondamentos e propagações. Deve ser observado que na forma normal de ψψψψ, os módulos dos coeficientes da

forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio

unitário - , são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2,

M2 e N2 do diádico ψψψψ.ψψψψT (ou ψψψψT.ψψψψ), correspondentes ao sistema direto dos auto-unitários $ ' , $ ' $ ' $, $, $ ),i j k i j k e (ou não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do diádico ψψψψ. Podemos aclarar mais a questão por meio do exemplo numérico apresentado. A equação característica de ψψψψ é

X 2X 41X 66 0,3 2− − + = e suas raízes são

X X X 6,6648... .min med max≅ − ≅ ≅6 2498 1 585, ... , ...

Page 447: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. 427

Poliádicos - Ruggeri

Os módulos dessas raízes (autovalores), entretanto, não são os valores extremados assumidos pelos módulos dos vetores transformados mediante ψψψψ. Com efeito, para $i , por

exemplo, tem-se:

ψψψψ. i$ = =−−+ψ )2547887,08378156,01232055,0()( 321i

j ggg.gg ji

=

−−+=

3

2

1

113

312

1312

]2547887,0 8378156,0 1232055,0[

g

g

g

..

=−==−−= 'ˆL'6569866,09693988,01576761,1 321 ilggg

)6591984,14429656,29161712,2(396845,0 321 ggg ++−−= ,

isso é,

39683,0|ˆ| =i.ψψψψ .

Fica, pois, comprovado numericamente que os autovalores de ψψψψ não são os valores

dos semi-eixos do elipsóide em que ele transforma a superfície esférica de raio unitário. Ou, ainda: o maior e o menor dos valores dos módulos de ψψψψ.r são os correspondentes a

r i r k= =$ $ e (que são os semi-eixos extremados do elipsóide).

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. Vimos no §07.01 (Teor. 2) que todo diádico completo pode ser reduzido à forma dita normal,

ψψψψ = + +L M N $ ' $ $ ' $ $ ' $ ,i i j j k k (01), onde i',j ',k ' e $, $, $i j k são dois tercetos ortonormados diretos e L,M e N números reais. Vimos também que:

ψψψψ ψψψψ. i i j j k kT 2L M N = + +2 2$' $' $ ' $ ' $ ' $ ' , (02),

ψψψψ ψψψψT 2L M N . i i j j k k= + +2 2$ $ $ $ $ $ , (021). Os diádicos ψψψψ.ψψψψT e ψψψψT.ψψψψ, distintos, são simétricos, de autovalores todos positivos (iguais aos quadrados dos coeficientes da redução normal de ψψψψ) e seus autovetores unitários são, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes da redução normal de ψψψψ. Estenderemos essas características dos diádicos ψψψψ.ψψψψT e ψψψψT.ψψψψ para diádicos em geral com a seguinte

Page 448: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

428 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.03

Definição: (diádico reto)

Denominam-se diádicos retos os diádicos da forma

∆ = + +A B C com A, B,C > 0,$ $ $ $ $ $i i j j k k (03),

e $, $, $i j k triedro ortonormado direto.

Os diádicos retos são, pois, tônicos com autovalores positivos. Resultam logo os seguintes teoremas:

Teor. 1: O produto pontuado de qualquer diádico completo pelo seu transposto é diádico reto.

Teor. 2: A CNS para que um diádico seja reto é que ele seja simétrico e tenha os autovalores todos positivos.

Com efeito, se um diádico é reto (da forma (03)) ele é simétrico e seus autovalores (A,B e C) são todos positivos. Reciprocamente, se um diádico é simétrico e tem todos os seus autovalores positivos (logo ele é completo), ele pode ser reduzido à forma (03) em que $, $ $i j k e são os seus auto-unitários (Teor. 11, §04.01,B). Os diádicos retos são casos particulares dos tônicos (§04.01,B). A descrição das TL’s por eles regidas é idêntica à dos tônicos (§05.01) com a particularidade de que, por

serem A,B,C > 0, as coordenadas homônimas (na base dos auto-unitários) dos vetores transformando e transformado não podem ter sinais contrários (as componentes homônimas não mudam de direção). Isto significa que essas coordenadas são distendidas (aumentadas) se os autovalores correspondentes são maiores que um, ou contraídas (diminuídas) se os autovalores correspondentes são menores que um, nas proporções A:1, B:1 e C:1. Assim,

se v i j k v i j k= + + = + +V V V V V V1 2 3 1 2 3$ $ $ , ' ' $ ' $ ' $ ,

e

v . v i i j j k k . v' ( $ $ $ $ $ $ )= = + +∆ A B C , então

V'

VA1

V'

VB1

e V'

VC1

1

1

2

2

3

3= = =, .

Diádico reto e deformação de um corpo.

Precisamente o fato de serem os autovalores do diádico reto, números todos positivos, é que lhe atribui a possibilidade de representar concretamente o fenômeno físico de deformação de um corpo. Com efeito, se um dos autovalores fosse negativo, um paralelepípedo de volume positivo antes da transformação seria negativo após a transformação; então, no problema físico que estivéssemos estudando, esse volume teria se anulado necessariamente, para depois se tornar negativo. Conseqüentemente, estaríamos aceitando a possibilidade de destruição da matéria (volume zero), o que é impossível.

Page 449: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.04 - Decomposição polar. 429

Poliádicos - Ruggeri

Essas considerações físicas sugerem a seguinte

Definição: (deformação pura) A transformação regida pelo diádico reto é denominada deformação pura; A,B e C são os valores principais da deformação e as direções de $ $ $i , j ke , as direções principais da deformação.

§ 07.04 - Decomposição polar. Se ψψψψ é um diádico completo qualquer e

ψψψψ = + +L M N $ ' $ $ ' $ $ ' $ ,l l m m n n é a sua redução normal (§07.01), então podemos escrever (Teor. 2, §07.01):

ψψψψ = ± + +(| |$ ' $ | |$ ' $ | | $ ' $ ),L M Ni i j j k k (01), onde $ ' , $' , $ ' i j k e $, $, $i j k são dois tercetos ortonormados diretos. De (01) podemos

escrever, qualquer que seja o completo ψψψψ:

ψψψψ = ± + + + +(| |$ ' $ ' | |$' $' | |$ ' $ ' ) ($ ' $ $ ' $ $ ' $ ),L M Ni i j j k k . i i j j k k (02), ou

ψψψψ = ± + +($ ' $ $ ' $ $ ' $ )i i j j k k . (| |$ $ | |$ $ | | $ $ ),L M N i i j j k k+ + (021).

Ora, o diádico ΩΩΩΩ = + +$ ' $ $ ' $ $ ' $i i j j k k - o mesmo fator nos segundos membros de (02) e

(021) - é um diádico de rotação (Corol. 2, Teor. 7, §06.01) e representa, pois, uma rotação; ele transforma um dos tercetos ortonormados no outro. Dizemos, ainda, que o terceto

$ ' , $' , $ ' i j k é rodado de $, $, $i j k por ΩΩΩΩ e que $, $, $i j k é rodado de $ ' , $' , $ ' i j k por ΩΩΩΩ ΩΩΩΩT = −1.

O vetor semi-tangente de ΩΩΩΩ - que determina a rotação ((13),§06.01) – é

)ˆˆˆˆˆˆ(1

ˆˆˆˆˆˆ

1E

V

k.kj.ji.i

kkjjiiq

′+′+′+×′+×′+×′−=

+−=

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ, (03).

Os demais diádicos fatores nos segundos membros de (02) e (021) são diádicos retos e representam uma deformação pura (§07.03). Em (02), as direções principais da deformação são as de $ ' , $ ' $ 'i j k e , enquanto que em (021) essas direções são as de $, $ $i j k e ; em ambas as deformações, os valores principais são os mesmos. Se na redução (01) ocorrer o sinal negativo, o mesmo ocorrerá em (02) e (021); nesse caso, então, as rotações e as deformações têm com elas associada uma inversão completa de direções no espaço. Esses resultados podem ser enunciados em formas alternativas diversas.

Page 450: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

430 § 07 - Redução normal do diádico completo. Decomposição polar.

III,§ 07.04

Teor. 1: Todo diádico completo é redutível ao produto de um diádico de rotação por um diádico de deformação pura, em qualquer ordem, com um sinal positivo ou negativo.

Denotando por ∆∆∆∆ ∆∆∆∆' e os diádicos retos em (02) e em (021), respectivamente, escrevemos, então:

ΩΩΩΩ∆∆∆∆∆∆∆∆ΩΩΩΩψψψψ .. ′== , (04).

Corol. 1: O diádico ∆∆∆∆ é ortogonalmente similar a ∆∆∆∆' mediante ΩΩΩΩT.

Com efeito, pré multiplicado escalarmente o segundo e o terceiro membro de (04) por ΩΩΩΩT, deduzimos:

, ' T ΩΩΩΩ∆∆∆∆ΩΩΩΩ∆∆∆∆ ..= (041),

o que, conforme ((17), §06.01), demonstra a proposição.

Teor. 2: Todo diádico completo, ψψψψ, pode ser decomposto nos produtos (04), onde ΩΩΩΩ é um diádico de rotação e ∆∆∆∆∆∆∆∆ e ' diádicos retos de autovalores iguais e

positivos e auto-unitários rodados por ΩΩΩΩ.

Definição: (decomposição polar ou multiplicativa) A decomposição de ψψψψ em que ΩΩΩΩ aparece como pré-fator é denominada decomposição direita de ψψψψ; a outra, é denominada decomposição esquerda; ambas as decomposições são denominadas decomposições polares (ou multiplicativas) do diádico.

A decomposição polar de um diádico - de significativa utilidade em Física - pode ser assim interpretada geometricamente:

A transformação regida pelo diádico completo, ψψψψ, reduzido à forma normal

ψψψψ = ± + +(| |$' $ | |$' $ | | $ ' $ ),L M Ni i j j k k

é equivalente à deformação pura regida pelo diádico reto

∆∆∆∆ = + +(| |$ $ | |$ $ | | $ $ ),L M N i i j j k k

precedida da rotação (rígida) regida pelo rotor

ΩΩΩΩ = + +$' $ $' $ $ ' $i i j j k k ;

ou à rotação regida pelo rotor ΩΩΩΩ seguida da deformação pura regida pelo diádico reto

∆∆∆∆ ' | |$ ' $ ' | |$' $' | |$ ' $ ' ,= + +L M Ni i j j k k

ambas seguidas ou não de inversão de direções.

Page 451: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.04 - Decomposição polar: aplicação 431

Poliádicos - Ruggeri

Portanto, a transformação mais geral (dos pontos do espaço) regida por um diádico consiste do produto de uma rotação de eixo e ângulo de rotação definidos (pelo vetor semi-tangente (03)), acompanhada de uma deformação pura com inversão ou não de direções. A rotação e a deformação podem ser operadas em qualquer ordem, nas quais, entretanto, a rotação e os valores principais das deformações, se definirão conforme a deformação pura seja precedida ou seguida da rotação. No primeiro caso, o sistema de direções principais de deformação poderá ser obtido de outro através do diádico de rotação, usado como pós-fator. Exemplo numérico. Efetuar a decomposição polar do diádico ψψψψ do exemplo numérico do §07.02. Solução: O diádico ψψψψ foi dado por sua matriz mista ((12), §07.02) nas bases recíprocas g* e g* cujas matrizes métricas são ((13), §07.02). A redução normal encontrada para ψψψψ foi dada por ((271), §07.02),

ψψψψ = − + +( $' $ ,0528226$' $ ,016222$ ' $ ),0,396847 2 81 i i j j k k (05). Podemos escrever, então, de (05):

− = ′ + ′ + ′ + + ψψψψ ($ $ $ $ $ $ ) ( , $$ , $$ , $ $ )i i j j k k . i i jj kk0 396847 2 0528226 81 016222

ou

− = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ + ′ + ′ ψψψψ ( , $ $ , $ $ , $ $ ) ($ $ $ $ $ )0 396847 2 0528226 81 016222i i j j k k . i i j j k k . Conforme ((19), (191) e (20), §07.02):

$ $' , , ,

$ $ ' , , ,

$ $ ' , , , ,

′ = = − + +

′ = = − − +

′ = = − +

i l g g g

j m g g g

k n g g g

2 916171 2 442966 1 659195

0 699813 0 179098 0 271080

0 069383 0 011871 0 416253

1 2 3

1 2 3

1 2 3

$ $' , , ,

$ $ ' , , ,

$ $ ' , , , ,

′ = = − + +

′ = = − − +

′ = = − +

i l g g g

j m g g g

k n g g g

0 070980 0 310562 0 020684

1 036564 1329090 0 134873

0 959400 0 370612 2 231900

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e, conforme ((25) e (26), §07.02):

− = = − + +

= = − + +

= = − + +

$ $ , , ,

$ $ , , ,

$ $ , , , ,

i l g g g

j m g g g

k n g g g

0 123087 0 837816 0 254789

0 027629 0 161323 0 482570

2 997479 2 300779 1 658467

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Page 452: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

432 § 07 - Redução normal do completo. Decomposição polar

III,§ 07.05

− = = + +

= = − +

= = − − +

$ $ , , ,

$ $ , , ,

$ $ , , , .

i l g g g

j m g g g

k n g g g

1101219 1 297755 0189954

1 071205 0187555 2 196271

0 377245 0 054388 0 003403

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Agora, é fácil encontrar as expressões dos diádicos rotor e reto da decomposição polar nas bases recíprocas g* e g*. Devemos observar que a decomposição polar foi efetuada para -ψψψψ; portanto, após a rotação e a deformação executadas pelos fatores da decomposição polar, dever-se-á efetuar uma inversão em relação à origem para completar a transformação regida por ψψψψ.

A rotação, por exemplo, regida por ΩΩΩΩ = ′ + ′ + ′$ $ $ $ $ $i i j j k k , poderá ser caracterizada em

relação às bases recíprocas dadas, determinando o seu eixo (ΩΩΩΩV ) e o seu ângulo de giro (ϕ); para tal, deveremos utilizar as fórmulas (03), ou as (03), § 06.03.

* Exercício : Partindo de (04), comprove que

∀ = ′ =ψψψψψψψψψψψψ: cos ( ) cos ( ) | |

T T E∆∆∆∆ ΩΩΩΩ ∆∆∆∆ ΩΩΩΩ, , 33

e que, para o exemplo numérico apresentado, ( , ) ( , ) ' "∆∆∆∆ ΩΩΩΩ ∆∆∆∆ ΩΩΩΩT T = ′ ≅ 89 18 36o .

*

§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos

Teor. 1: Se ∆∆∆∆ é um diádico reto, então:

0 : >≠∀ .rr.or ∆∆∆∆ , (01).

De fato, considerando ((03),§07.04), escrevemos:

0)ˆC()ˆB()ˆA( 222 >++= kr.jr.ir..rr.∆∆∆∆ ,

uma vez que, no segundo membro, todas as parcelas são positivas. Em geral, diádicos φφφφ para os quais, para qualquer r≠o, r.φφφφ.r>0, são ditos diádicos definidos positivos; é o caso dos diádicos retos. Os diádicos φφφφ para os quais, para qualquer r , r.φφφφ.r≥0, são ditos diádicos semidefinidos positivos. Vale observar que, para r=o, é r.φφφφ.r=0, mas pode também ser r.φφφφ.r=0 para algum r≠o; é o caso, por exemplo, dos diádicos retos gerados de um E2. Se o oposto de um diádico é um diádico definido positivo (semidefinido positivo), ele é dito definido negativo (semidefinido negativo).

Page 453: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos 433

Poliádicos - Ruggeri

Seja φφφφ um diádico simétrico semidefinido positivo – logo, com autovalores (reais) Xi (i=1,2,3) e autovetores ie unitários e ortogonais entre si (Teor. 11, §04.01,B) – que

podemos escrever, então, na forma tônica iii ˆˆX ee=φφφφ . Sendo: 0)ˆ(X.. , 2ii ≥=∀ er.rrr φφφφ ,

segue-se que X1≥0, X2≥0 e X3≥0 sem que os Xs sejam simultaneamente nulos Existe, pois, o diádico, denotado por φφφφ1/2 tal, que

iii2/1 ˆˆ X ee=φφφφ , (02),

evidentemente simétrico semidefinido positivo. O quadrado de φφφφ1/2, isso é, φφφφ1/2. φφφφ1/2, é igual a φφφφ. O diádico φφφφ1/2 é único pois se existisse um segundo, digamos ψψψψ (≠φφφφ1/2) tal, que ψψψψ2 = φφφφ, então, sendo u um autovetor de ψψψψ relativo ao autovalor A≥0,

uu. ˆAˆ =ψψψψ , ou u.uu. ˆˆAˆ 22 φφφφψψψψ == .

Assim, o autovetor u de ψψψψ relativo ao autovalor A é autovetor de φφφφ relativo ao autovalor A2. Portanto, cada autovalor de ψψψψ é a raiz quadrada positiva de um autovalor de φφφφ; e ψψψψ =φφφφ1/2, isso é, φφφφ1/2 é único. Dado o diádico iii ˆˆX ee=φφφφ , simétrico semidefinido positivo, o diádico φφφφ1/2, dado por

(02), também simétrico semidefinido positivo, será dito a sua raiz quadrada positiva. Se um diádico iii ˆˆX ee=φφφφ , simétrico semidefinido positivo é completo (nenhum dos

seus autovalores Xi é nulo), ele admite também uma raiz quadrada completa, dada por (02), que admitirá inversa; em resumo:

ii

2/1ii

2/1ii3

T ˆˆ X

1 e ˆˆ X ,ˆˆX 0 , eeeeee iii ===⇒≠= −φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ , (03).

Os diádicos ψψψψ.ψψψψT e ψψψψT.ψψψψ são simétricos semidefinidos positivos; e se ψψψψ3≠0, são simétricos definidos positivos.

*

Exercício: (adaptado de Chadwick124) Seja dado um diádico φφφφ=φφφφT (simétrico). Então, para qualquer diádico ψψψψ=ψψψψT≠ΟΟΟΟ (simétrico), provar que existem, únicos, o escalar A e o diádico S=ST (simétrico) tais, que

ψψψψ=Aφφφφ+S, com φφφφ:S=0 (φφφφ é ortogonal a S), (04). Provar, ainda, que se φφφφ1=φφφφ1

T≠ΟΟΟΟ, φφφφ2=φφφφ2T≠ΟΟΟΟ e se µµµµ é ortogonal a φφφφ1 (µµµµ : φφφφ1=0) para todo µµµµ

ortogonal a φφφφ2 (µµµµ : φφφφ2=0), então φφφφ1 é paralelo a φφφφ2.

Solução: Podemos reduzir φφφφ à sua forma tônica: iii ˆˆX ee=φφφφ (em que os Xi não são

simultaneamente nulos). Logo: ii2

i2 ˆˆ )X( ee=φφφφ e, portanto, (φφφφ2)E=(X1)

2+(X2)2+(X3)

2>0.

Sendo φφφφ≠ΟΟΟΟ, (φφφφ2)E=φφφφ:φφφφ=||φφφφ||≠0; e reciprocamente.

124 Chadwick, P., Continuum Mechanics (concise Theory and Problems), Dover, New York, 1999, p. 27)

Page 454: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

434 § 07 - Redução normal do completo. Decomposição polar

III,§ 07.05

Então, para qualquer ψ=ψT, o número A=(φφφφ:ψψψψ)/(φφφφ2)E está univocamente determinado, bem como o diádico simétrico S=ψψψψ-Aφφφφ. Da primeira igualdade, porém, deduzimos:

φφφφ:ψψψψ=A(φφφφ:φφφφ), ou seja, φφφφ:(ψψψψ-Aφφφφ)=0, ou seja, considerando a segunda igualdade: φφφφ:S=0 (φφφφ é ortogonal a S). Esses resultados comprovam (04). Se em (04) fizermos ψψψψ=φφφφ1=φφφφ1

T e φφφφ=φφφφ2=φφφφ2T, escreveremos: φφφφ1=Aφφφφ2+S, com φφφφ2:S=0.

Como por hipótese φφφφ1:µµµµ=0 para todo µµµµ ortogonal a φφφφ2, isto é, φφφφ2:µµµµ=0, então (para µµµµ=S) é φφφφ1:S=0. Isto significa (considerando que φφφφ1=Aφφφφ2+S) que S:S=0=||S||, ou seja S=ΟΟΟΟ e, pois, que φφφφ1=Aφφφφ2 (φφφφ1 é paralelo a φφφφ2).

Page 455: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

Apêndice 435

Poliádicos - Ruggeri

APÊNDICE

QUADRO I

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS

Forma cartesiana Equação e det. característicos φφφφ E = A+B+C = φ1

1+φ22+φ3

3

φφφφ= φ ji

ije e (φφφφ - XΙΙΙΙ)3 = X3-φφφφEX2+φφφφ E

~ X - φφφφ3 = 0 φφφφ E~ = AB+BC+CA = Φ1

1+Φ22+Φ3

3

[φφφφ] =

φφφ

φφφ

φφφ

33

32

31

23

22

21

1 3

1 2

1 1

φ φ φ

φ φ φφ φ φ

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

−−

1

2

3

= 0 φφφφ3 = φ φ φφ φ φφ φ φ

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

A real, B = M+Ni, C = M-Ni (cíclicos) Autovalores

A=0, φφφφ3=0, M=0 A=0, φφφφ3=0, M≠0 A≠0, φφφφ3≠0

Diádico Característico

φφφφ-AΙΙΙΙ planar (não ortoplanar)

φφφφ-BΙΙΙΙ e φφφφ-CΙΙΙΙ não existem no campo real.

Polinômio Mínimo X(X2+N2) X[X 2-2MX+(M2+N2)] (X-A)[X 2-MX+(M 2+N2)]

Redução

Canônica

φφφφ=N(cb*-bc*) A=N( $$ $ $kj jk− )=NΙΙΙΙ× $i

[φφφφ]abc=0 0 00 00 0

NN

φφφφ=+M(bb*+cc*)+

+(cb*-bc*)

[φφφφ]abc=0 0 000

M NN M

φφφφ=aa*+M( bb*+cc*)+

+N(cb*-bc*)

[φφφφ]abc=A

N0 0

00

MN M

Autovetores de φφφφ

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de φφφφ-AΙΙΙΙ, a por exemplo

Autovetores de φφφφT

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de φφφφT-AΙΙΙΙ, a* por exemplo

Configuração Esquemática

Page 456: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

436 Apêndice

III,Apêndice

QUADRO II

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS

Forma cartesiana Equação e det. característicos φφφφ E = A+B+C = φ1

1+φ22+φ3

3

φφφφ= φ ji

ije e (φφφφ - XΙΙΙΙ)3 = X3-φφφφEX2+φφφφ E

~ X - φφφφ3 = 0 φφφφ E~ = AB+BC+CA = Φ1

1+Φ22+Φ3

3

[φφφφ] =

φφφ

φφφ

φφφ

33

32

31

23

22

21

1 3

1 2

1 1

φ φ φ

φ φ φφ φ φ

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

−−

1

2

3

= 0 φφφφ3 = φ φ φφ φ φφ φ φ

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores A≠B≠C (tônicos)

φφφφ e φφφφT φφφφ = φφφφT φφφφ≠φφφφT

Diádico Característico

Uniplanares, distintos, triortogonais. Planares (não ortoplanares, nem uni- planares), distintos.

Polinômio Mínimo (X-A)(X-B)(X-C)

Redução

Canônica

φφφφ = + +A B C$$ $$ $ $i i jj kk

( $ , $ , $ i j k terceto ortonormado)

[φφφφ] ijk = A

B0 C

0 00 00

φφφφ = ∗ + ∗ + ∗A B Caa bb cc

a,b,c e a*,b*,c* recíprocos

[φφφφ]abc = A

B0 C

0 00 00

Autovetores de φφφφ a,b,c

Autovetores de φφφφT

$ , $ , $ i j k

a*,b*,c*

Configuração Esquemática

Page 457: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

Apêndice 437

Poliádicos - Ruggeri

QUADRO III

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS

Forma cartesiana Equação e det. característicos φφφφ E = A+B+C = φ1

1+φ22+φ3

3

φφφφ= φ ji

ije e (φφφφ - XΙΙΙΙ)3 = X3-φφφφEX2+φφφφ E

~ X - φφφφ3 = 0 φφφφ E~ = AB+BC+CA = Φ1

1+Φ22+Φ3

3

[φφφφ] =

φφφ

φφφ

φφφ

33

32

31

23

22

21

1 3

1 2

1 1

φ φ φ

φ φ φφ φ φ

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

−−

1

2

3

= 0 φφφφ3 = φ φ φφ φ φφ φ φ

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores A≠B = C

φφφφ e φφφφT φφφφ≠φφφφT φφφφ = φφφφT

Diádico Característico

φφφφ-AΙΙΙΙ planar

φφφφ-BΙΙΙΙ ortoplanar φφφφ-AΙΙΙΙ planar φφφφ-BΙΙΙΙ linear

φφφφ-AΙΙΙΙ uniplanar

φφφφ-BΙΙΙΙ unilinear

Polinômio Mínimo (X-A)(X-B)2 (X-A)(X-B)

Redução

Canônica

φφφφ=Aaa*+B(bb*+cc*)+ +Bcb*

(cisotônicos)

[φφφφ]abc=A

BB B

0 00 00

φφφφ=Aaa*+B(bb*+cc*)

[φφφφ]abc=A

BB

0 00 00 0

φφφφ-AΙΙΙΙ=(B-A)(bb*+cc*)

φφφφ = A + B( + )$$ $$ $ $i i jj kk

[φφφφ] ijk=A

BB

0 00 00 0

φφφφ - B = ( A - B)ΙΙΙΙ $$i i

Autovetores de φφφφ

a ⊥ plano dos conseqüentes de φφφφ-AΙΙΙΙ, e c ⊥ plano dos con seqüentes de φφφφ-BΙΙΙΙ.

a ⊥ plano dos conseqüentes. de φφφφ-AΙΙΙΙ e b e c arbitrários.

Autovetores de φφφφT

a* ⊥ plano dos antecedentes de φφφφ-AΙΙΙΙ, e b* ⊥ plano antecedentes de φφφφ-BΙΙΙΙ.

a* ⊥ plano dos antecedentes de φφφφ-AΙΙΙΙ e b* e c* arbitrários.

$i ⊥ plano de φφφφ-AΙΙΙΙ, $j e $k arbitrários, mas $j ⊥ $k .

Configuração Esquemática

Page 458: Licoes calculo-poliadico-tomo-1

438 Apêndice

III,Apêndice

QUADRO IV

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS

Forma cartesiana Equação e det. característicos φφφφ E = A+B+C = φ1

1+φ22+φ3

3

φφφφ= φ ji

ije e (φφφφ - XΙΙΙΙ)3 = X3-φφφφEX2+φφφφ E

~ X - φφφφ3 = 0 φφφφ E~ = AB+BC+CA = Φ1

1+Φ22+Φ3

3

[φφφφ] =

φφφ

φφφ

φφφ

33

32

31

23

22

21

1 3

1 2

1 1

φ φ φ

φ φ φφ φ φ

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

−−

1

2

3

= 0 φφφφ3 = φ φ φφ φ φφ φ φ

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores A = B = C

φφφφ e φφφφT φφφφ≠φφφφT φφφφ = φφφφT

Diádico Característico

Antitriangular A = B = C = 0

Ortolinear A = B = C≠0

Diádico Nulo ( ΟΟΟΟ) A = B = C≠0

Polinômio Mínimo X3 (X-A)2 X-A

Redução

Canônica

φφφφ = ab*+bc*

(φφφφ+I é cisalh. complexo)

[φφφφ]abc = 0 1 00 0 10 0 0

φφφφ = AΙΙΙΙ+bc* (b⊥c*)

(cisalhante para A=1)

[φφφφ]abc = A

AA

0 00 10 0

φφφφ = AΙΙΙΙ

(diádico esférico)

[φφφφ]abc = A

AA

0 00 00 0

Autovetores de φφφφ

Qualquer vetor ortogo- nal ao plano dos conse- qüentes de φφφφ (ou || a a )

Qualquer vetor ortogonal a c* (b por exemplo., ou o vetor de φφφφ).

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .V VT

VA= =

Autovetores de φφφφT

Qualquer vetor ortogonal ao plano dos antecedentes de φφφφ (ou || a a*)

Qualquer vetor ortogonal a b (c* por exemplo, ou o vetor de φφφφ).

φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ φφφφ. .V VT

VA= =

Qualquer direção do

espaço

Configuração Esquemática

Qualquer triedro triortogonal do espaço

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Apêndice 439

Poliádicos - Ruggeri

QUADRO V

DESCRIÇÃO DAS TLs PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS

D I A G O N A L I Z A V E I S

Diádicos Tônicos: φφφφ = ∗ + ∗ + ∗A B Caa bb cc (§ 04.01,B) - Seus autovalores A,B e C são todos reais e a,b,c é recíproco de a*,b* ,c*.

- Sua matriz, na base a, b, c, é diagonal, e os elementos da diagonal principal são os seus autovalores.

- Efeitos da ação de um tônico (§ 05.01):

- As direções paralelas aos seus autovetores ficam inalteradas; - As coordenadas dos vetores segundo os autovetores são distendidas ou contraídas ma proporções

A:1, B:1, C:1. - Se o tônico é completo: a superfície esférica se transforma num elipsóide, a circunferência se transforma em elipse; se incompleto: a superfície esférica se transforma numa área elíptica, a circunferência numa elipse.

- Todo tônico, com autovalores todos positivos, é similar a um diádico reto; este rege uma deformação

pura (§ 07.02 e (§ 07.03).

N Ã O

D I A G O N A L I Z A V E I S

Diádico Ciclotônico: ΓΓΓΓ = ∗ + ∗ + ∗ + ∗ − ∗A M Naa bb cc cb bc( ) ( ) (§ 05.02,A).

- Seus autovalores são: A real, M+Ni, M-Ni com M = ρ cos ϕ, N = ρ sen ϕ.

- Fatoração comutativa (§ 05.02,A):

ΓΓΓΓ = ∗ + ∗ + ∗ ∗ ∗ + ∗ + ∗ − ∗[ ( )][ cos ( ) sen ( )Aaa bb cc aa bb cc cb bcρ ϕ ϕ

- Cíclico: = ∗ ∗ + ∗ + ∗ − ∗[ cos ( ) sen ( )aa bb cc cb bcϕ ϕ - Rege rotação elíptica no seu plano (b,c). - Efeitos: 1°) - roda elipticamente a componente de qualquer vetor no seu plano (o da elipse cujos

semi-diâmetros conjugados são |b| e |c|), levando sua extremidade do ponto de argumento α (da elipse) para o ponto de argumento ϕ+α (da mesma elipse), logo, alterando-lhe o módulo; 2°) – apenas translada a componente do vetor na direção a, paralelamente a a.

- Todo cíclico é similar a um diádico de rotação; este rege uma rotação (circular) de ângulo ϕ em torno de um eixo (§ 06). Diádico Cisotônico: φφφφ = ∗ + ∗ + ∗ + ∗A B( Baa bb cc cb) (§ 05.02,B).

- Seus autovalores, reais, são: A≠B = C.

- Fatoração comutativa: φφφφ = ∗ + ∗ + ∗ + ∗[ )] ( )A B(aa bb cc . cbΙΙΙΙ (§ 05.02,B).

- Diádico cisalhante: ,ˆˆ Q jkcb +=∗+= ΙΙΙΙΙΙΙΙχχχχ Q tg > 0.= ξ - Rege uma transformação do tipo cisalhamento mecânico, Fig.05.03, § 05.02,B. - Efeitos: 1°) - os vetores paralelos ao plano de cisalhamento ficam inalterados; 2°) - desloca qualquer

ponto paralelamente à direção de cisalhamento; 3°) - todos os pontos de um mesmo plano paralelo ao plano do cisalhamento se deslocam da mesma quantidade; 4°) - em relação a um plano de referência paralelo ao plano do cisalhamento, os deslocamentos são proporcionais às distâncias dos pontos a esse plano. 5°) - planos inicialmente ortogonais à direção de cisalhamento tornam-se inclinados, em relação ao plano de cisalhamento, do complemento do ângulo de cisalhamento, isso é, de π/2-ξ.

- Propriedades principais: 1ª) - Conserva os volumes; 2ª) - Conserva as áreas nos planos ortogonais à direção de do vetor do diádico; 3ª) - Conserva as distâncias em qualquer direção paralela ao plano de cisalhamento. Diádico Cisalhante Complexo: φφφφ + ΙΙΙΙ, sendo

.1 e , , , com , =∗∗⊥∗⊥∗⊥⊥∗+∗= b.bcbcabababcabφφφφ (§ 04.03).

- Fatoração não comutativa de φφφφ+ΙΙΙΙ: φφφφ + = + ∗ + ∗ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ( ) ( )bc . ab (§ 05.02).

(Produto de dois cisalhantes de direções de cisalhamento ortogonais).

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IV - Bibliografia

440

BIBLIOGRAFIA. O trabalho pioneiro sobre o assunto, dentro do estilo, é o de Gibbs [1], que foi seguido por vários autores, inclusive Moreira [2] a quem coube o mérito do uso freqüente dos vetores recíprocos e a introdução do conceito de “diádico principal” de um diádico completo dado.

1- 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, Connecticut, USA, 436 p..

2- 1966: MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata, vol. XXV n° 2 e 3, 39 p., Ouro Preto

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Poliádicos - Ruggeri

ÍNDICE REMISSIVO

A

Adjunto de um diádico adjunto do adjunto........................................ 177 definição ...................................................... 169 em forma cartesiana ..................................... 204 invariantes.................................................... 174 inverso e principal do adjunto ......................177 significado geométrico................................. 179

Ângulo de cisalhamento............................................ 371 de diádico(s)................................................. 160

anti-simétricos......................................... 167 com o diádico unidade............................. 167 com o seu transposto ............................... 166

de dois espaços diádicos............................... 261 de rotação..................................................... 365

Argumento de um cíclico.................................. 363 Auto-similaridade

de diádicos (tensores cartesianos) ................ 317 de matrizes ................................................... 316 dos ciclotônicos............................................ 367

Autovalores de um diádico definição ...................................................... 328 imaginários................................................... 339 reais.......................................................345, 347

Autovetores de um diádico definição ...................................................... 333 triortogonais................................................. 348

B Base(s)

diádica(s) constituição de bases ............................... 235 definição.................................................. 228 norma, módulo ........................................ 229 ortonormadas........................................... 242 recíprocas................................................ 230 recíprocas................................................ 233 unimodulares........................................... 242

matrizes métricas de uma base ..................... 188 no espaço diádico anti-simétrico .................. 240 no espaço diádico simétrico ......................... 238 vetoria(is)

normogonadas (ou congruentes............... 385 vetorial(is)

ortonormadas............................................. 63 recíprocas.................................................. 48

Biflechas ........................................................... 243 Biquadrantais .................................................... 388

C Cíclicos quadrantais e biquadrantais .................388 Cisalhamento

complexo...................................................... 374 simples ......................................................... 370

direção, plano, módulo e ângulo do cisalhamento .......................................371

CNS para que.......................................................XI dois diádicos

anti-sim. sejam ortogonais .......................168 sejam iguais ...............................................81 sejam similares.................................308, 309

dois vetores sejam paralelos.....................................15, 54

duas bases sejam congruentes .......................385 G diádicos (G ≤ 9) formem uma base ...........229 G diádicos de um 2EG constituam uma base .267 o autovetor de um fator de um produto de

biquadr. seja ortogonal ao eixo do outro fator.................................................................394

o escalar de um produto de biquadr. valha - 1.................................................................393

o produto de dois biquadr. seja cíclico ou tônico.................................................................392

o terceiro de um diádico seja ≠ de zero ...........85 seja nulo o produto misto

de 3 vetores................................................19 de dois diádicos........................................148

três vetores sejam coplanares....................19, 30 um diádico seja

anti-simétrico ...................................129, 205 antitriangular............................................335 ciclotônico ...............................................368 completo ....................................94, 194, 330 de rotação.........................................381, 386 incompleto .......................................170, 172 o diádico nulo ..........................................150 ortolinear..................................................336 ortoplanar.................................................334 perpendicular ao seu transposto ...............167 reto...........................................................437 simétrico ..................................107, 161, 205 tônico .......................................................347 um biquadrantal .......................................390 um diádico de Argand..............................344

um diádico tenha apenas uma raiz real.................................343 escalar nulo ..............................................151

um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo............................................................88

um duplo produto de diádicos seja nulo ........142 um duplo produto misto de diádicos seja nulo

.................................................................160 valha 3 o escalar do produto de dois biquadr.

cujos autovet ou cujos eixos sejam (não) paralelos..............................................397

Conteúdo ...........................................................294 Convenção somatória...........................................11

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D Deltas de Kronecker

definição ........................................................ 50 produtos ......................................................... 51

Díade................................................................... 73 Diádico(s) ......................................................... 295

adição........................................................... 101 em forma cartesiana ................................ 195

adjunto ......................................................... 169 antecedentes, conseqüentes ............................ 74 anti-simétrico ............................................... 103 antitriangulares

caracterização.......................................... 211 definição.................................................. 212

auto-similares............................................... 317 bases diádicas............................................... 227 biquadrantais................................................ 388 cálculo dos inv. em forma cartesiana............ 192 caract. geométrica em forma cartesiana........ 204 característico(s)

antitriangular........................................... 447 antitriangular ou ortolinear...................... 355 definição.................................................. 331 nulo(s) ..............................................357, 447 ortolinear(es) ....................................356, 447 ortoplanar ou linear ................................. 351 planar(es) .........................................444, 445 um planar e um linear.......................352, 446 um planar e um ortoplanar................352, 446 um uniplanar e um unilinear.............354, 446 uniplanar(es) ........................................... 445

característico(s) uniplanares)........................350 cíclico(s) ...................................................... 360

caracterização.......................................... 382 definição.................................................. 363 propriedades geométricas........................ 376 quadrantais e biquadrantais ..................... 388

ciclotônico(s) definição.................................................. 366

cisalhante ..................................................... 371 cisalhante complexo..................................... 374 cisotônico(s)................................................. 371 classificação geral ........................................ 374 com autovalores nulos.................................. 334 como operador de uma T.L ............................ 76 completos e incompletos

definição.................................................... 91 redução mínima......................................... 92

comutante (de um par de cisahantes............. 374 coordenadas cartesianas

covariantes e contravartiantes.................. 185 em base diádica ....................................... 231 mistas ...................................................... 186 relações entre elas ................................... 191

critério de igualdade..................................... 111 de Argand..................................................... 130 de Moreira...............................................98, 182

ortoquadrângulos..................................... 100 de mudança de base...................................... 305 de Pauly ....................................................... 144

de rotação caracterização ..........................................383 propriedades geométricas.................376, 384

decomposição aditiva....................................104 decomposição cartesiana

de diádico em base diádica.......................231 definições e notações ......................................73 diagonalização ..............................................346 diagonalizáveis .............................................357

na classif. geral ........................................375 dupla multiplicação cruzada..........................142 dupla multiplicação mista de três diádicos....158 duplo produto cruzado

invariantes elementares do .......................155 elementos característicos...............................321

autovalores e autovetores .........................328 diádicos característicos ............................330 equação característica ..............................328 polinômio característico...........................325 polinômio CH (Cayley-Hamilton)....325, 326 polinômio mínimo............................321, 324

espaço ...........................................................222 fórmulas notáveis

com duplos produtos................................150 com produtos simples ..............................126

homológicos....................................................95 igualdade.........................................................78 invariantes primários

escalar e vetor ............................................82 terceiro

definição ...............................................83 interpretação geométrica .......................85

inverso ou recíproco de um completo ...........169 lineares

caraterização ............................................206 definição ....................................................92

linearmente dependentes e independentes.....227 matriz associada............................................186

tábua de multiplicação .............................192 módulo e ângulo ...........................................163 motivo.............................................................80 multiplicação

dupla mais de dois diádicos ..........................157

em forma cartesiana .................................195 simples

cruzada diádico por vetor ....................123 pontuada

de diádicos .....................................109 diádico por vetor ..............................75

por número real .....................................74 multiplicação dupla

pontuada, cruzada e mista ........................137 multiplicação múltipla

com diádicos ............................................251 cruzada.....................................................251

identidades notáveis ............................256 perpendicularidade..............................260

dupla multiplicação cruzada.....................261 mista de G diádicos..................................267

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Poliádicos - Ruggeri

produto misto em forma cartesiana ......... 274 não diagonalizáveis ...................................... 359

na classif. geral........................................ 375 norma........................................................... 160 normogonalmente (ou congruentemente)

similares.................................................. 386 nulidade de duplos produtos.........................142 ortogonais..................................................... 147 ortolineares

caracterização.......................................... 207 definição.................................................... 94

ortoplanares caracterização.......................................... 210 definição.................................................... 93

paralelos....................................................... 148 planares

caracterização.......................................... 208 definição.................................................... 92

posicional..................................................... 232 potenciação ordinária ................................... 112 principal de um diádico completo ................ 171 produto

nulo de diádicos não nulos ...................... 119 pontuado de completos e incompletos..... 115

quadrado e cubo de um ortoplanar ............... 119 quadrantais e biquadrantais

interpretação geométrica ......................... 389 produto.................................................... 391

redução N2-nomial ou cartesiana.......................... 185 N-nomial e motivo ....................................79

redução(ões) tônica ou espectral................................... 345

redução(ões)diagonal(is) .............................. 346 reduções canônicas....................................... 339 representações e coordenadas.........................80 rodados......................................................... 386 segundo de um diádico................................. 170 simetria externa............................................ 318 simetria interna............................................. 318 simetrias externas

em relação a planos .................................318 simétrico ...................................................... 103 similares....................................................... 307 subespaços multiplanares ............................. 222 terceiro e transposto de um produto ............. 113 término colinear ............................................. 97 tônico ou diagonal........................................ 346 transposição ................................................... 77 unidade, nulo e oposto.................................... 87 unilineares e uniplanares

caracterização.......................................... 209 definição.................................................... 93

unitário......................................................... 243 E

Eixo de rotação ..................................363, 365, 387 Equação(ões)

da reta ............................................................ 32 no plano..................................................... 32

de espaços .................................................... 287

de retas e de planos .........................................59 de um plano ....................................................44 vetoriais homogêneas, resolução...................214

Espaço diádico ..........................................................221

ângulo de dois espaços.............................261 anti-simétrico ...........................................240 baricentros ...............................................284 bimedianas e medianas.............................285 conteúdo (definição) ................................294 dimensão..................................................228 fronteiras de um paralelotopo...................251 geometria analítica do..............................283 graus de liberdade ....................................245 idéias geométricas....................................243 oblíquos ...................................................249 opostos no simplex...................................283 ordem (ou seqüência)...............................247 ortotopos ..................................................261 paralelismo...............................................248 paralelotopo .............................................250 perpendicularidade...................................260 politopo (definição)..................................294 politopos regulares...................................294 ponto unidade...........................................293 pontos impróprios ....................................248 pontos linearmente independentes............244 projeções..................................................280

espaço de projeção ..............................281 espaço projetante.................................281 projeção ortogonal ..............................283 projeção paralela .................................281

racionalmente paralelos............................249 razão anarmônica de 4 pontos ..................293 simétrico ..................................................238 simplex, ou (G+1)-ponto..........................247 soma.........................................................245 teorema de Euler para politopos...............294 união e interseção de espaços...................244

vetorial dimensão,base,coordenadas .......................46

Expressões cartesianas de diádicos em bases diádicas.......................231 de produtos de vetores ....................................53 de sistemas de vetores recíprocos....................56

F Forma

monomial, binomial, polinomial .....................74 tônica ou diagonal.........................................346

Forma bilinear....................................................199 Função

de valor escalar ou valor vetor ........................71 de variável vetorial..........................................70 linear...............................................................71

G Geometria Projetiva Algébrica...........................293 Gibbs ............................................... 4, 69, 295, 449 Grupo ortocêntrico

no espaço ........................................................43

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H Homologia

relações entre adjuntos, segundos, etc. ......... 181 I

Identidade(s) clássicas(generalização) ................................. 65 das 4N letras................................................... 63 das 8N letras................................................... 66 de Fibonacci................................................... 64 de Lagrange.................................................... 64

Incompleto caracterização pelo ajunto ............................ 172 definição ........................................................ 91

Invariante............................................................ 49 Inverso de um diádico completo

definição ...................................................... 169 invariantes.................................................... 174 inverso do inverso ........................................ 177

M Matriz

adjunta.......................................................... 204 associada a G diádicos ................................. 224 associada a um diádico................................. 186 auto-similares............................................... 316 coluna associada a diádico ...........................237 de mudança de base

vetorial .................................................... 311 dupla multiplicação pontuada matricial........ 219 inversa.......................................................... 204 métrica

de bases diádicas recíprocas.................... 234 de G diádicos........................................... 224

polinômio matricial inteiro........................... 322 Moreira ................................................69, 295, 449 Mudança de base

diádica.......................................................... 305 vetorial ........................................................... 60

transf. de coordenadas de diádicos ......................................... 315 de vetor .............................................. 314

N Norma

de um diádico............................................... 160 de um diádico anti-simétrico ........................ 164 de um duplo produto

cruzado de diádicos simétricos................ 166 pontuado de simétricos e anti-simétricos. 165

de um produto pontuado de diádicos...............................165

de uma soma de diádicos..............................164 do diádico unidade ....................................... 162 do transposto ................................................ 164

Notação convenção somatória...................................... 10 de índices

de Voigt....................................238, 239, 242 moderna .................................................. 238

P Paralelotopo ...................................................... 250

fronteiras R-dim............................................251 volume do .....................................................267

Permutador a vários índices .............................................276

determinante de Gram..............................277 produtos ...................................................278

até 3 índices ....................................................50 determinante de Gram................................52 produtos .....................................................52

Polinômios homogêneos (ou formas).................197 Politopos............................................................294 Ponto unidade ....................................................293 Principal de um diádico completo

definição .......................................................171 invariantes.....................................................174

Produto(s) justapostos ......................................................73

Q Quadrângulo(s)

ortoquadrângulo............................................100 transpostos ....................................................100

Quadrantais........................................................388 Quádrica centrada ..............................................200

R Razão anarmônica..........................................24, 45 Redução(ões) canônica(s) dos diádicos......339, 357

com autovalor duplo .....................................351 com autovalor triplo......................................354 com autovalores simples ...............................339

Reduções canônicas dos diádicos.......................375 Reflexão obliqua................................................389 Rotação

circular..........................................................364 composição ...................................................388

com cíclicos de eixos e autovetores distintos............................................................388

elíptica ..........................................................360 definição ..................................................363

própria e imprópria .......................................387 Rotor (ver diádico de rotação) ...........................364

S Segundo de um diádico

definição .......................................................170 invariantes.....................................................174

Semidiâmetros conjugados (de uma elípse)27, 361, 363, 365, 376, 448

Sielawa ..............................................................295 Simetria externa dos diádicos ............................318 Simetria interna dos diádicos .............................318 Similaridade

transformação(ões) por .................................306 Sistemas convenientes de representação ............320

T Tensores

cartesianos de ordem 1 ...............................................314 de ordem 2 ...............................................317

Tensorialismo ......................................................67 Terceiro ...............................................................83

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Poliádicos - Ruggeri

Terno(s) de vetores normogonais ou congruentes........................ 384 ortonormados ............................................... 384

Transformação(ões) congruente(s) ou normogonal(is) ................. 384 linear(es) .................................................72, 297

da circunferência..................................... 304 das distâncias, das áreas e dos volumes... 300 do quadrado............................................. 303 propriedades............................................ 298

por similaridade ........................................... 306 similar(es)

definição.................................................. 307 propriedades............................................ 308

V Versor (diádico de rotação, conforme Gibbs).... 364 Vetor(es)

adição............................................................... 6 combinação linear .......................................... 10 conceitos geométricos estendidos..................... 3 coordenadas cartesianas ................................. 48

contravariantes .......................................... 48 covariantes ................................................ 48

coplanares ........................................................ 3 de base ........................................................... 48 definição, notação ............................................ 1 especificações euclidiana e cartesiana.......... 297

identidade de Lagrange .............................17, 37 igualdade...........................................................3 linearmente dependentes e independentes.......47 multiplicação ....................................................8

dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares ............................27 no espaço ..............................................37

escalar de dois vetores ...............................11 mista de três vetores...................................18 por número real............................................8 vetorial de dois vetores ..............................14

nulo (ou zero)....................................................3 opostos..............................................................3 paralelos............................................................3 recíprocos .......................................................21

coplanares ..................................................25 na reta ........................................................22 não coplanares ...........................................34

rodados .........................................................386 semitangente de rotação................................383 término colineares...........................................31 término coplanares..........................................43 unitário..............................................................3

W Weatherburn ................................................69, 295 Wilson .................................................69, 295, 449