Lições de Cálculo Poliádico Tomo I Volume I

LIÇÕES

DE

CÁLCULO

POLIÁDICO

TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME I

por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto

Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C

Goiânia (GO) – Brasil

2008

II

© 2008 - Elysio R. F. Ruggeri

Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri

Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri

Capa: Luciano Dalmiglio e Elysio R. F. Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada

página da reprodução.

Contato com o autor:

[email protected]

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo.

Lições de cálculo poliádico : tomo I, volume I, álgebra /

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed.

do Autor, 2008.

XX, 444 p.

ISBN 978-85-907001-0-4

1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares.

3. Matemática aplicada. I. Título.

CDU 514.742

mailto:[email protected]

III

À minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida,

Leila Maria;

e aos nossos resignados filhos (e meus netos),

Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (João

Antônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane,

com algum remorso pelos sacrifícios impostos.

À

ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ...

onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil;

outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação;

cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência;

cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentada

pela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos

93 anos.

Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável,

Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian)

com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meu

trabalho idealista.

IV

GRATIDÃO

Ao meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), Professor

Emérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento desta

primeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy Tadeuz

Sielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões e

informações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamento

de Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim e

Dr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto

(durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desse

Departamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitário

Elysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas.

Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno ou

contrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino da

engenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tanta

generosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes das

seguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCO

Mineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORRO

VELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia.

Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A.,

Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A..

À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000

- na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DE

MINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger.

Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNAS

CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de

2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desde

abril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituados

laboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo prático

da engenharia.

Goiânia, novembro de 2008.

E. Ruggeri

V

APRESENTAÇÃO

O Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da Matemática

Aplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distinto

ex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular -

Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - Geometria

Descritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de

1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minas

de Ouro Preto, iniciativa de minha autoria.

Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (onde

havia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física,

Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc.

Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos

(estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, sua

permanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, o

autor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por vários

anos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtor

de barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro".

A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fiel

testemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P.,

em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades.

Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autor

soube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra.

Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura Científica

Brasileira.

E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ...

Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.

Antônio Moreira Calaes

Professor Emérito

Universidade Federal de Ouro Preto

VI

PREFÁCIO

Algum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmente

verdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode ser

profana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceber

intuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos do

sublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que,

com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e pouco

habilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessária

para a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio a

alguma sapiência.

Estas "Lições" tenta atender as necessidades da ciência dos fatos; deve, pois, agradar

a maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatos

concretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazer

aos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física e

Matemática (Aplicada).

Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente e

mais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com a

compacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos,

mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido.

Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor,

repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitos

emitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certa

prolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado.

A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e a

quântica excluídas),

da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que,

nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a P

direções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezas

escalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2),

caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemática

aqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se dirá

de "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição da

natureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamente

certas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá que

realmente atingimos o objetivo pretendido.

Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria,

devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial e

Álgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade e

aridez exacerbadas.

VII

O leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursos

de graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da Mecânica

Racional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - uma

quebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensor

de inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seus

conhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, o

mesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão

(de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nas

relações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando da

introdução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos.

O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirão

irremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problema

que se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vão

desde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise do

desempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variados

materiais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferentes

elementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelece

certamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dos

estudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos,

afirmamos seguramente que

o Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação em

Engenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro.

Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção de

uniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre dar

continuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estrutura

organizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançado

tivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiu

incluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico.

No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetores

recíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de um

espaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando o

assunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de ter

conseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova dedução

da fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e §

05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior).

Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricos

de pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dos

vetores recíprocos.

Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelos

sistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9

dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindo

insistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV do

volume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,

VIII

são aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítulo

seguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma nova

operação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volume

II) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novas

operações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumas

operações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador

(§14).

Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordens

estrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntos

tratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante.

É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser uma

combinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidas

arbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, a

matemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válida

a seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadas

por um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes

(na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estas

formassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para o

leitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer a

utilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, no

seu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, de

imediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para as

demais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil?

A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma,

módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricas

primárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até nove

dimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s

10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16

esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso fica

estabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dos

problemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria da

Elasticidade, por exemplo.

No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamos

uma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita no

capítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemas

convenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo de

uma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos

(§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TL's

por essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege a

clássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como um

caso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádico

cíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornam-

se corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03).

Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter

"quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de uma

forma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta

IX

o mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra base

particular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nem

sempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias,

concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a mais

lógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos).

Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas;

apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o que

comprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e da

decomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica de

materiais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aos

poliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós,

estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo,

deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações.

A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramente

em volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principais

fórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foram

dispostas entre o sinal onde começam e o sinal onde terminam.

Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças de

estilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico,

especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema de

referência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos.

Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio por

questões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior das

hipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentro

da Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada e

Engenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulação

da Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma forma

elegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e de

generosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física.

Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem os

engenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos Meios

Porosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dos

Cristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendo

magistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos Meios

Contínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteis

e simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbs

por volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorial

clássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, das

obras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bem

menos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e

1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., Die

Ausdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foram

descobertos em 1843).

X

Civita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é o

Cálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certa

para a abordagem de problemas de engenharia.

... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos de

Cálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção e

desenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada com

economia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte.

Goiânia (GO), outubro de 2008

E. R. F. Ruggeri

XI

CONVENÇÕES

NUMERAÇÕES DIVERSAS

Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos

e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01).

As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo.

As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada

capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi

feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos).

A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira

figura do § 02 do capítulo III.

As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo

ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses.

Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o

mesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de uma

fórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I.

Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, as

fórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da

esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula

de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice,

à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, a

citação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e não

representará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têm

significados totalmente distintos.

CITAÇÕES E REFERÊNCIAS

Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de

conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com

a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido

conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: a

terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03

do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo

em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo.

ABREVIATURAS

CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15.

EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59.

Teor. - Teorema, pagina 22.

Corol. - Corolário, pagina 23.

Propr. - Propriedade, pagina 19.

nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30.

Min - Mínimo, menor, pagina 419.

Med - Médio, pagina 419.

Max - Máximo, maior, pagina 419.

sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.

XII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS

SÍMBOLOS REPRESENTAÇÃO TOM PÁGINA

Xi, Yj, A, B,

Números, variáveis numéricas, funções de valor

numérico, coordenadas de pontos e de vetores.

Natural 3,11,20

A o Vetor nulo Negrito 3

L u, v, ei ,ei, Vetores (sem seta) Negrito 3,11,14,17

F ab, aiei Díade, diádicos em forma N-nomial Negrito 72,78

A ... ,ˆ ,ˆ jiv Vetor e díade unitários Negrito 3,86

B I Operador de Argand (ver rodapé da página 129) Natural 129

E M Diádico de Moreira Negrito 96

T I J K Z, , ,

Operadores diádicos especiais Negrito 129

O Pau( , ) Par de diádicos de Pauly Natural 142

{e*} Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3 Negrito 47

L

A

T

I

N

O

A Diádicos em geral Negrito 73,109

L ), ), ... Planos: Natural 91

F Diádico unidade, poliádico unidade Negrito

86

A Diádico nulo Negrito 86

B (i,) Diádico de rotação (de eixo i e ângulo ) Negrito 356

E Diádico de mudança de base Negrito 298

T Diádico ciclotônico Negrito

357

O ij,

ij Deltas de Kronecker Natural 49

ij, ijk, ijk Alternadores, ou Permutadores Natural 50

G Diádico cisalhante Negrito 362,365

R k Diádico de Argand Negrito 129

E

G {*} Base diádica definida por diádicos 1, 2, ... Negrito 224

O

XIII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas)

Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao natural

SÍMBOLO

REPRESENTAÇÃO

PÁGINA

. Multiplicação escalar ou pontuada 11

Multiplicação vetorial ou cruzada 14

: Dupla multiplicação escalar ou pontuada 134 Dupla multiplicação vetorial ou cruzada 134 . Dupla multiplicação mista

134

. Dupla multiplicação mista 134

~ Adjunto (sobre-índice) 165

e * Símbolos que substituem . e . 134

Aproximadamente igual 322

Idêntico 70

[ ] Matriz 183

Det[A] Determinante da matriz A 229

| | Módulo, determinante 2,17

|| ||

Norma 158

{ } Base, matriz coluna 47,186

E, V Escalar e vetor do diádico 80

(x , y) Ângulo ou plano dos vetores x e y 12,15

(xyz), () Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos , e . 18,261

, , ,... Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos 7,23

A Texto B O texto é hipótese nos dois sentidos 24,30,40

|| , Paralelismo e perpendicularidade 15,12

Diádico cíclico 354

T Transposto ou conjugado do diádico 76

Adjunto do diádico 165

-1 Inverso ou recíproco do diádico 166

P Principal do diádico 168

2 Segundo do diádico 167

3 Terceiro do diádico 82

Hom() Homológico do diádico 96

l(x) Função linear vetorial do vetor x 70

< ... > Produto cruzado dos diádicos , , ..., 248

( ... ) Produto misto dos diádicos , , ..., 261

Cnp Combinações de n objetos tomados p a p 223, 243

EN Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3) 47

2EG Espaço de diádicos, de dimensão G (G N2) 224

XIV

SUMÁRIO

GRATIDÃO ..................................................................................................................................................... IV APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................................ V PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... VI CONVENÇÕES ................................................................................................................................................ XI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS ........................................................................................................ XII

CAPÍTULO I

VETORES § 01 - VETOR. .................................................................................................................................................... 1

§ 01.01 - Definição, notação. ............................................................................................................. 1 § 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3 § 01.03 - Alguns tipos de vetores. ...................................................................................................... 3 § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. ................................................................... 3 § 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5 § 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6

Soma de vetores. .............................................................................................................. 6 Propriedades da adição. .................................................................................................... 7

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. ............................................................................. 8 Produto de vetor por número real. .................................................................................... 8 Propriedades da multiplicação de vetor por número real. ................................................. 8

§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória. ...................................................... 10 § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11

Produto escalar. .............................................................................................................. 11 Propriedades da multiplicação escalar. ........................................................................... 11 Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14 Produto Vetorial. ............................................................................................................ 14 Propriedades da multiplicação vetorial. .......................................................................... 14 Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16 Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores. .................................................................................. 18 Produto misto. ................................................................................................................ 18 Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18 Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. ................................................. 20

§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21 § 03.01 - Os VR de vetores paralelos. .............................................................................................. 22

Inversão na reta. ............................................................................................................. 22 Construção gráfica de vetores recíprocos na reta. ........................................................... 22 O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta. ..................................... 23 Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta. ........................................................... 24

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. ........................................................................................... 25 Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25 Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano. ...................................................... 26 Grupo Ortocêntrico no plano .......................................................................................... 26 Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27 Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares. ....................................................... 27 O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos. ................................. 29 Vetores término colineares. ............................................................................................ 31 Varias formas de equação da reta (no plano). ................................................................. 32 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano). ...................................... 33

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34 Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34

XV

Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço. .................................................... 35 Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos. .......................................................... 36 Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37 Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37 O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos. ............................. 39 O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. .................................................................. 41 Vetores término coplanares. ........................................................................................... 43 Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço). .................................... 45

§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. ........................................................................... 46 § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. .............................................................................. 46

Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos. .............................................. 48 § 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. ............................................................................... 49

Similarmente comprovaríamos que ................................................................................ 51 Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51 Produto de permutadores. ............................................................................................... 51

§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos. .......................................................... 52 § 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. ........................ 55 § 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. ....................................................................... 59

§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. ............................................................................................. 59 § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. ............................................................................. 59 § 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. ................................................ 62 § 05.03 - Generalização de identidades clássicas. ............................................................................ 64

§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68

CAPÍTULO II

DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR. ....................... 69 § 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72

§ 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72 § 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73 § 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73

Propriedades. .................................................................................................................. 74 § 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75 § 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76 § 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77 § 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78

O motivo de um diádico. ................................................................................................ 79 Casos de igualdade. ........................................................................................................ 79

§ 02.08- Invariantes primários de um diádico. ................................................................................. 80 O escalar e o vetor. ......................................................................................................... 80 O terceiro. ...................................................................................................................... 82

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. ................................................................ 85 Diádico unidade. ............................................................................................................ 86 Diádicos opostos ............................................................................................................ 88

§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. .................................................................................... 89 § 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89 § 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. ..................................................................... 94

Propriedades. .................................................................................................................. 96 § 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96

Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96 Quadrângulos transpostos. .............................................................................................. 98

§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS. ...................................................................................................................... 99 § 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99

Propriedades. .................................................................................................................. 99 § 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. ........................................ 101

XVI

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107 § 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107

Propriedades. ................................................................................................................ 107 § 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. ....................................................................... 110

Propriedades: ................................................................................................................ 111 § 05.03 - Terceiro e transposto de um produto. .............................................................................. 112 § 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. ................................................ 113

Exceções. ..................................................................................................................... 114 Produto nulo de diádicos não nulos. ............................................................................. 117

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. ........................................................ 121 § 06.01 - Definições e propriedades. .............................................................................................. 121

Propriedades. ................................................................................................................ 121 § 06.02- Fórmulas notáveis. ........................................................................................................... 124 § 06.03 - Escalar e vetor de r ..................................................................................................... 125 § 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. ............................................................................................... 126 § 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. ........................................................... 127

Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128 Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129 Generalizações. ............................................................................................................ 131

§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS. ........................................................................................................... 134 § 07.01 - Definições e propriedades. .............................................................................................. 134

Propriedades. ................................................................................................................ 137 § 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140

Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141 Diádicos de Pauly. ........................................................................................................ 142 Diádicos ortogonais. ..................................................................................................... 144 Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145

§ 07.03 - Invariância. ..................................................................................................................... 146 § 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. ........................................................................ 147 § 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153 § 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. ............................................................ 154

Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155 Propriedades. ................................................................................................................ 156

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158 § 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165

§ 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165 Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169

§ 08.02 - Invariância e invariantes. ................................................................................................ 171 § 08.03 - Propriedades formais. ..................................................................................................... 171 § 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo). ...................................................... 176

Casos particulares......................................................................................................... 177 § 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. ................ 177 § 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. ................................................................... 179

§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180 § 09.01 - Definições. ...................................................................................................................... 180 § 09.02 - Matriz associada a um diádico. ....................................................................................... 182

Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187 § 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187

Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico ............................................. 188 § 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. ................................................................. 189 § 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana. ........................................................................ 191 § 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. ............................................................ 191

Expressões matriciais de . ........................................................................................ 192 Expressões matriciais de Ia e a .............................................................................. 192

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). ........................................................... 193 Quádrica centrada. ........................................................................................................ 196

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. .......................................................................... 198 § 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200

Propriedades Gerais...................................................................................................... 201 Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202

XVII

Caracterização dos ortolineares:. .................................................................................. 203 Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares ......................................................... 205 Caracterização dos ortoplanares. .................................................................................. 206 Os diádicos antitriangulares e sua caracterização. ........................................................ 207

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. ........................... 210 § 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215

§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. ........................................................................................ 217 § 10.01 - Espaço diádico. ............................................................................................................... 217

Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos. ..................................................... 218 § 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. .............................. 223

Decomposição cartesiana de diádico em base diádica. ................................................. 226 Diádico posicional. ....................................................................................................... 227 Bases diádicas recíprocas. ............................................................................................ 229 Constituição de bases. .................................................................................................. 231 Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice). ................................... 232 Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233 Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235 Bases diádicas ortonormadas. ....................................................................................... 237

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. ............................................................ 238 Biflechas ...................................................................................................................... 238 Independência de pontos e bases. ................................................................................. 239 União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239 Graus de liberdade de um espaço diádico. .................................................................... 241

§ 10.04 – Ordem no espaço diádico. .............................................................................................. 242 § 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243

Direção e orientação. .................................................................................................... 243 Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243 Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244 O paralelotopo. ............................................................................................................. 245 Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional. ......................... 246

§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES. .................................... 246 § 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla. ..................................................................................... 246

Identidades notáveis ..................................................................................................... 251 § 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255

Ângulo de dois espaços. ............................................................................................... 256 Ortotopos...................................................................................................................... 256

§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS. ........................................ 256 § 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261

Propriedades ................................................................................................................. 263 Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana. ....................................... 269 Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma

cartesiana. ....................................................................................................... 270 § 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES. .............................................................................................. 270 § 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275

Projeção qualquer. ........................................................................................................ 275 Projeção paralela. ......................................................................................................... 276

§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277 § 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278 § 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279

Definições. ................................................................................................................... 279 Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280

§ 16.03 - Equações de espaços. ...................................................................................................... 282 Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282 Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283 Várias formas de equação de um 3-espaço. .................................................................. 284 Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................ 286

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. ................................................................................ 287 § 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies. ............................... 288

BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289

XVIII

CAPÍTULO III

GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA. ........................................................................... 291

§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291 § 01.02 - Propriedades fundamentais. ............................................................................................ 292 § 01.03 - Aplicação numérica. ....................................................................................................... 295

§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE. ........................................... 299 § 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299 § 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. .................................................... 300

Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301 § 02.03 - Matriz de mudança de base. ............................................................................................ 305 § 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares.

Tensores clássicos. ............................................................................................. 307 Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307 Transformação das coordenadas de diádicos ................................................................ 308

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. ................................................................ 311 Diádicos com simetria externa em relação a um plano. ................................................ 312 Pesquisa de sistemas convenientes de representação .................................................... 314

§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS. ....................................................................... 314 § 03.01 - Polinômio mínimo. ......................................................................................................... 314 § 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. ............................................... 318 § 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321

Diádicos com autovalores nulos. .................................................................................. 327 § 03.04 - Outros exemplos numéricos. ........................................................................................... 330

§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332 § 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC............................................... 332 § 04.01,A - Autovalores imaginários. ............................................................................................ 332

Caso de diádicos uniplanares. ....................................................................................... 336 Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336 Outras reduções. ........................................................................................................... 337

§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. ........................................................ 338 Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340 Tônicos associados a uma homologia ........................................................................... 343

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C. ............................................... 344 Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. ................................................... 347 § 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS. ........................................................... 349

§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis. ...................................................................... 350 § 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. ............................................................... 351 § 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) ...................................................... 352

Diádico cíclico. Rotação elíptica. ................................................................................. 352 Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358 Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359

§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* ................................................................. 362 Cisalhamento simples. Diádico cisalhante. ................................................................... 362

§ 05.02,C - TL regida pelo : =ab*+bc*, ........................................................................................ 365 § 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos. ................................................... 366

§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368 § 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368

Caracterização dos cíclicos e rotores. ........................................................................... 374 Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. ...................................................................................... 378 § 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares). ............................................................. 379 § 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. ............................................. 379

Cíclicos e rotores biquadrantais. ................................................................................... 379 Produto de biquadrantais. ............................................................................................. 382

XIX

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. ................................................. 384 Expressão cartesiana para . ........................................................................................ 385 Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387 Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo

do outro. ......................................................................................................... 388 Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais. ............................... 391 Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393 Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400 Raízes K-ésimas do diádico unidade. ........................................................................... 401 Potências de expoente inteiro de um cíclico. ................................................................ 402 Representação do cíclico em série de Mac Laurin. ....................................................... 404 Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico. ................................................... 406 Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados. .................................... 407 Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408 Diádico de rotação e diádico de Argand associados. .................................................... 408

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. ........................................................ 411 § 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR. ........................... 413

§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. .............................................................................. 413 § 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415 § 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. ...................................................................................... 427

Diádico reto e deformação de um corpo. ...................................................................... 428 § 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429 § 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos ............................................. 432

APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440

VOLUME II (deste Tomo I)

Capítulo IV - Poliádicos Capítulo V - Poliádicos complexos

TOMO II

Capítulo VI - Análise Poliádica Capítulo VII - Campos de poliádicos

Poliádicos - Ruggeri

CAPÍTULO I

VETORES

§ 01 - VETOR.

§ 01.01 - Definição, notação.

A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente.

Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro,

sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; esta

passa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada.

Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitos

pontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-se

por AB; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmento

orientado; e o sentido de A para B, o seu sentido.

Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentos

orientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre o

mesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução da

origem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidos

são concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig.

01.01)2.

Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entre

as distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, com

os conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, de

um ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OA

segmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou,

geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa do

ponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhuma

unidade de medida).

Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Para

construí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente,

2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções".

2


um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de um

eixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa U

fixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo,

com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A OU , assinalando-se A

sobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OU

é denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medida

algébrica de OA em relação a OU .

Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado AB

por eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro

(não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre as

abscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se,

então:

OU)AB(AB , (01)3,

independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se AB

tem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo,

pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro,

representado por |B-A| OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB. Logo (01)

pode ser escrita na forma

OU|AB|AB , (02),

onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado seja

concordante ou não com o do eixo.

Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesma

direção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numa

concretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; e

toda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, é

válida, igualmente, para as demais retas do feixe.

Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção

(pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e o

mesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retas

paralelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados,

então, diferentes vetores livres.

3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".

§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. 3


Aos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentos

orientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc.

O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade,

nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É também

representado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada por

flecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: ABAB , justificando-se

esta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A,

cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelo

vetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavra

latina vehere que significa transportar.

Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelas

letras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1, B

2, etc. Os vetores serão

denotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos,

por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.

§ 01.02 - Igualdade vetorial.

Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: u

igual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe;

isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.

§ 01.03 - Alguns tipos de vetores.

Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assim

dois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando,

paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u v v u ou . Vetores

coplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, sempre

coplanares.

Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero.

Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Por

convenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano e

seu sentido é qualquer.

Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente para

especificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo: v .

§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.

Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecer

a sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade,

projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não é

necessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário,

basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de:

ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhas

quebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, da

circunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessa

mesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais à

Geometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e

§ 01.05 - O uso dos vetores em Física. 4


propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzir

propriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedade

a partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira.

Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisão

e economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparato

pesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Por

exemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de um

modo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se um

aparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem,

se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver o

problema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta que

não é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dos

métodos elementares.

Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hoje

praticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4

com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à sua

utilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecem

ter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, os

métodos vetoriais são expressivos.

Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em Geometria

Elementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada à

finalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nos

interessa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.

§ 01.05 - O uso dos vetores em Física.

4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.

A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades que

participam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias para

atender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito,

pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência.

Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc..

O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de se

expressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas,

criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezas

denominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhado

de uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc.

Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam ser

representadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força,

velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, que

serão apresentadas mais à frente.

Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores.

Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetor

cuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos,

agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida,

com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou -

conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor,

§ 02 - Operações fundamentais com vetores. 5


poderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquela

grandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim,

quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as considerações

geométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nos

parágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quando

conveniente, o seu significado em Física.

O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébrico-

geométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor uma

velocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas são

de naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter os

mesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porque

representam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm também

correspondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forças

paralelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricos

estendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, em

forças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modo

mais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física.

5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra o conceito ou o assunto em referência.

O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiu

a criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é,

numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaço

físico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta,

porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Isto

significa, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nas

proximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmente

estranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um pouco

distantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda de

um ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não mais

que uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada de

pistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática em

Física.

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES.

São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessas

operações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar o

desenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente.

Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos de

dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento

unidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (| x |=1 e | y |=1). Não

obstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer de

comparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.

§ 02.01 - Adição de vetores.. 6


§ 02.01 - Adição de vetores.

Soma de vetores.

Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: u

mais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a sua

origem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v,

lendo-se: s é igual a u mais v.

A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma.

Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v,

consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e s'

os vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso e

noutro, são iguais, o que acarreta s = s' já que s e s' têm o mesmo módulo, a mesma direção

e o mesmo sentido.

Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cuja

extremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de u

com v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra do

paralelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para compor

velocidades e forças.

A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a soma

de vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assim

sucessivamente. Escreve-se, então: s u v w [( ) ] ... .

A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamente

vetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento"

da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada,

conforme esquematizado na Fig. 02.02.

§ 02.01 - Adição de vetores.. 7


Do ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de uma

mesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, faria

sentido somar força com velocidade?

Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representação

gráfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é o

mesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto,

essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a sua

correta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo do

vetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções,

pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometria

e calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetores

representam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seus

módulos sejam as mesmas.

Propriedades da adição.

1ª) - É operação associativa:

a b c, , : ( ) ( )a b c a b c , (01)6,

o que é evidente;

2ª) - É operação comutativa:

a b, : a b b a , (02),

o que também é evidente, pela definição de soma;

3ª) - Adição com o vetor zero:

a : a o a , (03).

Com efeito, pondo aMN tem-se, obviamente, pela definição: MNMN NN ; logo,

tem-se (03), pois, oNN . Observando-se, ainda, que MNMMMN e que, por (02),

MMNMMN , tem-se oMM . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetor

nulo, isso é, o vetor nulo é único.

4ª) - Adição com vetores opostos:

a : a a o ( ) , (04).

Pondo-se aMN , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmo

módulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: o NMMN , isso é, a a o ( ) .

6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").

5ª) - Subtração de vetores:

Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v

(ler: u menos v), o vetor d tal, que

d u v u v ( ).

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 8


A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Esta

operação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa da

adição. Ademais:

a) u u u o: ;

b) graficamente, d u v obtém-se como a diagonal do paralelogramo construído

sobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig.

02.03).

§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.

Produto de vetor por número real.

Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que se

lê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que v

se M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:

vu M .

A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fim

determinar o produto do vetor pelo número real7.

Propriedades da multiplicação de vetor por número real.

1ª) - É sempre possível e unívoca;

2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:

1v v , (05),

o que é evidente;

3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,

A B AB( ) ( ) ,v v (06).

7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.



Pondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r. Ora, r tem a mesma direção de v porque r e

v têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contrário

se A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, r

terá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e B

forem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de

(06) tem precisamente as mesmas características de r, isso é, tem a mesma direção que v, o

módulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentido

contrário ao de r se A e B têm sinais contrários;

4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:

( ...) ...,A B A B v v v (07).

Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para dois

números A e B é fácil provar, bastando considerar: 1) - que os vetores (A+B)v, Av e Bv

são paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde a

igualdade dos módulos; 3) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dos

vetores (A+B)v e Av+Bv.

Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é,

( ) ... .A B ... N A B N v v v v Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos os

membros da igualdade anterior, temos: X Y A B N Yv v v v v v ... . Como, por

hipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos X Y X Yv v v ( ) , isso

é, ( ) ... ,A B ... N Y A B N Y v v v v v e a propriedade é válida para um número

qualquer de parcelas dentro dos parênteses;

5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,

A A A( ...) ...,u v u v (08),

Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O,

(Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética,

de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seu

vetor soma As, isso é, A A As u v ... . Logo, tem-se (08).

A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica,

valendo as seguintes fórmulas:



A,B, , , ,...:a b v

A

A A ou

A A

. o o

. a o

a o a o

a a

,

,

,

( ) ,

0

0

( ) ,

( ) ,

( ) ,

A A

A A A

A B A B

a a

a b a b

a a a

||/ ˆ vvv (09).

Demonstraremos apenas a fórmula (09)18. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) =

Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessa

igualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:

A A A A Ao o o o o ( ).

Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o o o A , donde,

novamente considerando (03), Ao=o.

8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".

•

Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa em

m/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: vvv ˆ)(m/s|| 2 . Essa expressão de v destaca,

através de v , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de

| |( / )v m s2 o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente,

omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesse

representando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):

| |( ) |( ) ,f f f a aunidade de M| kgm/ s 2

expressão que destaca, por f ou a , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) a

intensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitos

desses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.

§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória.

Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operações

fundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetor

NN

22

11 A...AA eeea ;

diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei com

coeficientes Ai.

Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriais

podemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinte

convenção, denominada

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 11


Convenção Somatória:

Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveis

diferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressão

fazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s),

previamente fixado(s).

Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices são

representados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menores

do que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números que

indexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta na

forma sintética e simples:

a e A (i = 1,2,... , N).i

i ,

Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta uma

particularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar,

necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que a

representada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A2e2 etc.

deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações,

ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétrico

etc, para que A1e1, A2e2 etc. representem forças.

§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.

Produto escalar.

Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: x

escalar y), o número real

x. y x y x y| || |cos( , ), (01)9.

A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o

produto escalar desses vetores.

Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será o

produto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y um

deslocamento, x.y representa trabalho.

Propriedades da multiplicação escalar.

1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca;

2ª) - (Interpretação Geométrica):

O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do

módulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte do

primeiro.

9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".



Pois, com efeito, temos, de (01):

yxyxyxx.y xproj|| )],(cos|[||| || , (021)10,

onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nulo

conforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente.

Similarmente, poderíamos escrever:

x. y y x x y y xy | |[| |cos( , )] | | ,proj (022).

Resulta, logo:

x. y x y 0 , (03)11.

Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetor

nulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor,

inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é,

esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente.

Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:

y x. y x o: , 0 (04).

Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o.

3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:

x y x.y y.x, : , (05),

o que é evidente por (01).

4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:

M M M M, , : ( ) ( ) ( ),x y x . y x. y x. y (06).

Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0

e -A se M<0, tem-se, de (01):

10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".

11 O símbolo representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".

( ) | || |cos( , ) | || |cos( , ) ( ).M M M M Mx . y x y x y x y x y x. y

A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente.

5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

x y z x y . z x. z y. z, , : ( ) , (07).

De (022) podemos escrever:

w. z z wz| |proj .



Se, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw se

distribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor soma

é igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,

( ) | | ( ) | |( ),x y . z z x y z x yz z z proj proj proj

tendo-se, logo, (07).

6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; a

raiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:

x.x x x.x 0, | | ; (x.x x o 0 ) (08).

Exercício:

a .x a xii

ii com i G | | 0 12 0, ,... .

A dado conjunto {a1, a2, ..., aG} tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazer

corresponder o conjunto {b1, b2, ..., bG} tal que para todo i, ai +bi =xi . Então

( ) ( ) ( ) ( )a b .x x x xi ii G ... 1

22

2 2 0 ,

porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | | | |x x1 2 ... 0 .

A recíproca é de demonstração evidente.

Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores.

A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo as

seguintes fórmulas:

( ) ( )a b . x y a.x a. y b.x b. y

( ) ( ) ( )x y . x y x y x y x. y 2 2 2

2

( ) ( )x y . x y x y 2 2

etc., (09).

As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente das

propriedades fundamentais.

De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convenção

somatória (§ 02.03):

( ) ( ) ( ,2,... , ; ,2,... , ),A B A B i N j Mi

i

j

j

i j

i je . r e .r 1 1 (10),

expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com dois

índices repetidos.

§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 14


§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.

Produto Vetorial.

Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por xy (ler: x vec y), o

vetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |xy| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedro

definido pelos vetores xy, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .

A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o

produto vetorial desses vetores13.

Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de xy será o produto das

dimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, xy

representará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho).

Propriedades da multiplicação vetorial.

1ª) - É operação sempre possível e unívoca.

2ª) - (Interpretação geométrica):

O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente à

área do paralelogramo construído sobre esses vetores.

Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então

|y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).

12 Para se fixar o sentido de x y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés na

origem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x y; se, estando esse observador voltado para o

interior do triedro x y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto.

13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x y e lia x cross y.



Sendo:

sen(A)|| |||| yxyx , resulta: H|||| xyx ,

isso é, o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo que

tem x e y por lados.

Em razão desta interpretação geométrica o produto vetorial é usado em muitas

situações, na Física notadamente, como um "vetor-área", ou como um "elemento

paralelogrâmico" de área.

Deduzimos, logo:

Uma CNS para que dois vetores sejam paralelos é que o seu produto vetorial

seja o vetor zero:

yxoyx | | , (01)14.

Se x×y=o, a área do paralelogramo construído sobre x e y é nula. Então, os vetores x

e y são paralelos, um deles, ou ambos, podendo ser o vetor zero (o vetor zero é paralelo a

qualquer vetor). A recíproca é evidente. Se x || y (um deles ou ambos podendo ser o vetor

zero), o ângulo (x,y) é o ângulo nulo; então sen(x,y)=0 e o módulo de yx é zero, ou seja,

oyx .

É óbvio que:

oxxx : , (011).

3ª) - A operação é anticomutativa, isso é,

xyyx , (02).

Com efeito, os vetores yx e xy têm o mesmo módulo, são ambos

perpendiculares ao plano definido por x e y (têm, pois, a mesma direção), mas têm sentidos

opostos. Logo yx e xy são iguais.

4ª) - A operação é associativa em relação a fatores escalares:

)M()(M)(M :,M, yxyxyxyx , (03).

De fato, independentemente de ser M>0 ou M<0 as direções dos vetores de ambos

os membros de (03) são a da normal ao plano de x e y e seus módulos são obviamente

iguais (porque são iguais o seno de um ângulo e o seno do suplemento desse ângulo).

Quanto ao sentido dos vetores, deve-se observar que se M>0 os sentidos dos vetores

yx )(M , M( yx ) e )M( yx são os mesmos, obviamente; se M<0, o sentido de Mx se

inverte e o sentido de yx )(M é contrário ao de yx que, por sua vez, terá seu sentido

invertido quando for multiplicado por M<0. Analogamente raciocinaríamos em relação aos

vetores )M( yx e yx .

14 O símbolo || representa paralelismo, conforme nossas "Notações Gerais".



5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:

yzxzyxzzyx )( :,, (04).

Consideremos a Fig. 02.07 onde se destacam os vetores x, y, x+y, z, xz e yz .

Projetemos ortogonalmente sobre o plano ortogonal a z os vetores x, y e x+y. Os

vetores 1OB e 1OC são, necessariamente, coplanares com CO xz e BO yz , e

B'ÔC' = B1ÔC1 porque seus lados são perpendiculares; logo, o paralelogramo OC'D'B' é roto-

homotético de OB1D1C1 sendo /2 o ângulo de rotação e a razão de homotetia |z|. Então:

ODODDO1

zz , ou seja,

)( yxzyzxz .

Sendo BCCBCB11

zz , tem-se, também:

)( yxzyzxz .

Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores.

A multiplicação vetorial segue as leis da multiplicação numérica, respeitada a

anticomutatividade. Tem-se, por exemplo:

,)()( ybxbyaxayxba

yxyxyx 2)()( etc..

Obviamente, tal como mostramos para o caso da multiplicação escalar de duas

combinações lineares vetoriais,

ji

ji

j

j

i

i BA)B()A( rere , (i=1,2,...,N; j=1,2,...,M) (05).

É claro que, não obstante as diferentes representações físicas das letras Ai, B j e dos

vetores ei, rj, o segundo membro de (05) deve representar uma soma de vetores de mesma

dimensão, necessariamente.

À igualdade (05) pode dar-se expressão mais simpática quando as combinações

lineares vetoriais com as quais se efetua o produto vetorial assumem as formas particulares

seguintes:

1,2,3.=ji,ou 1,2,=ji,ou 1ji, ,BeAj

ji

i ebea



Nesses casos temos, respectivamente:

oba ,

2121

21

BB

AAeeba ,

321

321211332

BBB

AAA

eeeeee

ba

, (06),

desde que convencionemos desenvolver o pseudo-determinante (ou determinante

simbólico) (06)3 entendendo os vetores da primeira linha como se fossem números.

Com efeito, para i,j=1 os vetores a e b são paralelos a e1 e oba . Para i,j=1,2

deduzimos, lembrando a anticomutatividade da multiplicação vetorial e a nulidade do

produto vetorial com vetores iguais:

, )BABA(BABA

)BB()AA(

21

1221

12

12

21

21

2

2

1

1

2

2

1

1

eeeeee

eeeeba

expressão equivalente a (06)2. Para i,j=1,2,3 podemos efetuar cálculos análogos e

comprovar, facilmente, (06)3.

Identidade de Lagrange.

Uma conexão entre os produtos escalar e vetorial de dois vetores é realizada pela

identidade seguinte, que denominamos identidade de Lagrange:

:, yx 2222 )()( yxyxx.y , (07),

ou sua equivalente,

:, yx y.yy.x

x.yx.xyx.yxyx )()()( 2

, (071).

Sabemos que:

x. y x y x y| || |cos( , ), e ),sen(|| |||| yxyxyx .

Então, elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade e somando membro a

membro encontramos (07).

Lembrando a teoria dos determinantes e a propriedade comutativa da multiplicação

escalar de vetores encontra-se logo (071).

•

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores 18


Consideremos, agora, os vetores a e b, combinações lineares arbitrárias dos vetores

(quaisquer) e1 e e2:

2

2

1

1

2

2

1

1 BB e AA eebeea .

Os vetores a, b, e1 e e2 são, obviamente, coplanares.

Escrevendo as expressões de a.e1, a.e2, b.e1 e b.e2 podemos, em seguida, calcular a

diferença entre (a.e1)(b.e2) e (a.e2)(b.e1). Encontramos, facilmente, após simplificações e

evidências:

a. e a. e

b. e b. ee e e . e

1 2

1 2

1 2

1 2 1

2

2

2

1 2

2

A A

B B[( ) ( ) ( ) ].

Lembrando (07) notamos que o número entre colchetes, no segundo membro, é o

quadrado de e1e2. Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (06)2 por

e1e2 e comparando o seu segundo membro com o segundo membro da expressão obtida

acima, deduzimos:

21

21

2121)()( :coplanares ,,,,

b.eb.e

a.ea.eee.baeeba , (08).

Obviamente, (08) é uma forma mais geral da Identidade de Lagrange (071).

§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores.

Produto misto.

Chama-se produto misto de três vetores x, y e z, nessa ordem, e indica-se por (xyz),

o produto escalar do produto vetorial dos dois primeiros vetores (que é um vetor) pelo

terceiro:

y.zxxyz )( , (01).15

A multiplicação mista de três vetores é a operação que tem por fim determinar o

produto misto desses três vetores.

Propriedades da multiplicação mista.

1ª) – É uma operação sempre possível e unívoca.

2ª) – (Interpretação geométrica)

O produto misto de três vetores representa, em grandeza e sinal, a medida

numérica do volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores

dispostos co-inicialmente numa representação gráfica.

15 Gibbs denominou esse produto de scalar triple product e usava a notação [xyz].



Consideremos a Fig. 02.08 onde se representam os vetores x, y e yx . Da

definição de produto escalar escrevemos:

cosA|| ||)( zyxy.zxxyz .

Ora, |z|cosA - distância (numérica) da extremidade de z ao plano (x,y) - é positiva se z

forma com yx um ângulo agudo, isso é, se z e yx estão no mesmo semi-espaço em

relação ao plano (x,y); é negativa em caso contrário. O módulo de yx é numericamente

igual à área do paralelogramo construído sobre x e y (§ 02.04, propr. 2ª), paralelogramo

este que, por sua vez, é uma base do paralelepípedo construído sobre x, y e z. Logo

|x×y||z|cosA é numericamente igual ao volume desse paralelepípedo (positivo ou negativo).

Em vista desta interpretação geométrica poderíamos denominar o produto misto de

"produto caixa" ou "produto paralelepípedo".

*

Exercício:

Demonstre que |( )| | || || |xyz x y z , isso é, o volume de um paralelepípedo

oblíquo é menor que ou no máximo igual ao volume do paralelepípedo reto

que tenha as mesmas arestas.

*

3ª) - (Nulidade do produto misto)

Resulta logo:

Uma CNS para que seja nulo o produto misto de três vetores é que eles sejam

coplanares (podendo ser todos não paralelos, dois deles paralelos, ou os três

paralelos).

De fato, em qualquer um dos casos uma das dimensões do paralelepípedo seria nula

e seu volume se anularia. Com outras palavras, diríamos, também:

Uma CNS para que três vetores sejam coplanares é que seu produto misto

seja nulo,

ou, ainda:

É nulo um produto misto com dois vetores paralelos:

( ) ( ) ...xxz xzz 0, (02).

4ª) - É associativa em relação a fatores escalares:

...)M()M()(M :,,M, y.zxy.zxxyzzyx , (03).



Essa propriedade decorre imediatamente da associatividade das multiplicações

escalar e vetorial.

5ª) - Um produto misto não se altera quando se permutam ciclicamente os

vetores que o compõem:

x y z xyz yzx zxy, , : ( ) ( ) ( ), (04),

mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:

( ) ( ) ( ) ( ),xyz yxz xzy zyx (041).

De fato, no primeiro caso (permutação cíclica) o volume do paralelepípedo manter-

se-ia em grandeza e com o mesmo sinal; no segundo, mudar-se-ia apenas o sinal.

6ª) - Os símbolos operatórios são comutativos:

zx.yy.zxzyx :,, , (05),

pois, pela propriedade anterior e pela comutatividade da multiplicação escalar, tem-se:

zx.yz.xyy.zx .

Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais.

Tal como nos casos anteriores, se os vetores x, y, e z, no produto misto (xyz), forem

combinações lineares vetoriais, isso é, por exemplo, se

X Y e Z

com (i N j M k P)

i

i

j

j

k

kx e y r z s

, ,

,2, ... , ; ,2, ... , ; ,2, ... , ,1 1 1

então:

( ) ( ),xyz e r s X Y Zi j k

i j k (06),

igualdade cujo segundo membro tem NxMxP parcelas. Com efeito, pois, conforme vimos

(§ 02.05):

ji

jiYX reyx ,

igualdade cujo segundo membro contém NxM parcelas. Logo (§ 02.04),

)(ZYXZYX)(kji

kji

kji

kjisre.srexyzy.zx ,

o último membro contendo (NxM)xP parcelas.

§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais. 21


Não obstante as diferentes representações físicas que as letras Xi, Yj, Zk e os vetores

ei, rj, sk possam ter (cada uma com sua dimensão), deve ser observado que no segundo

membro de (06) deveremos ter sempre uma soma de parcelas de dimensões todas iguais à

dimensão do primeiro membro.

À fórmula (06) pode dar-se uma feição especial quando os vetores x, y e z, são

combinações lineares de um mesmo terceto de vetores. Assim,

e1 ,e2 , e3 , Xi , Yi , Zi , x = Xi ei , y = Yi ei , z = Zi ei , (i = 1,2,3):

( ) ( ) ,xyz e e e 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

X X X

Y Y Y

Z Z Z

(061).

Aplicando-se a fórmula ((06)3,§ 02.05)16 para o cálculo de yx e em seguida

multiplicando-se escalarmente ambos os membros da expressão obtida por z deduz-se logo

(061). Basta, para isso, anularem-se as parcelas em que um dos fatores é um produto misto

com vetores iguais (ocorrem seis delas), evidenciar-se o fator comum a todas as outras

(aplicando-se a propr. 5ª da multiplicação mista) e reconhecer-se na soma das três parcelas

positivas e três negativas remanescentes o determinante do segundo membro de (061).

§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS.

Recordemos inicialmente que, dados N vetores ei e N números reais Ai, existe,

determinado e único, o vetor a,

a e A (i N)ii , , ,..., ,12

combinação linear vetorial dos ei. Dados, entretanto, um vetor x e o conjunto dos ei, será

sempre possível determinar N números reais Xi tais, que

16 Conforme nossas "Convenções", ((06)3, § 02.05) significa: a terceira fórmula do grupo (de fórmulas) (06), do § 02.05, do presente capítulo.

x e X , (i 1,2,...,N)ii ?

No primeiro caso, a função linear vetorial dos ei é uma identidade vetorial. No

segundo caso, essa função é uma equação vetorial de variáveis escalares, devendo-se

procurar números Xi - que se chamam incógnitas da equação - que a tornem uma

identidade; determinar esses números é procurar as soluções da equação, ou resolver a

equação.

Importa considerar para as operações que serão definidas a seguir, que os módulos

de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento

unidade de medida de distâncias comum aos respectivos eixos (| x | e | y | = 1). Nesse caso

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. 22


poderemos escrever: xxx ˆ|| e yyy ˆ|| . Uma vez estabelecida essa convenção

poderemos adotar quaisquer vetores não nulos paralelos a x e a y, digamos ex e ey, para

servirem de “nova” unidade de medida. Escreveremos, nesse caso: || xxexx e e

yy|| eyy e , onde com | |x

ex

estamos representando a quantidade necessária de ex para

formar x e com y

|| ey a quantidade de ey para formar y. Então:

| ||| || xxexx e e | ||| || yy

eyy e ,

de onde deduzimos:

| ||||| xxexx e e | ||||| yy

eyy e .

Assim, quando se adota ex para comparação, o módulo do vetor x (isso é, | |xe

x

) difere do

seu módulo (|x|) quando se adota x para comparação apenas por um fator igual ao inverso

do módulo de ex. A mesma análise se faz com relação ao vetor y.

O uso de vetores quaisquer para referência em uma, duas ou três direções distintas,

nas condições expostas, é perfeitamente admissível desde que os vetores recíprocos sejam

utilizados na forma apresentada nos parágrafos seguintes.

§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos.

Inversão na reta.

Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dada reta (r).

Teor. 1: (existência)

Se e1o é paralelo à reta (r), existe um e um único e1o paralelo a (r) tal, que

e .e11 1 , (01).

Com efeito, e1 e e1 devem ter, necessariamente, o mesmo sentido para que (01)

subsista, o que é sempre possível; logo, bastará que se determine o e1 paralelo a (r) que

tenha por módulo o inverso do módulo de e1, número esse que se determina univocamente.

Definições:

Os vetores e1 e e1 paralelos a dada reta (r), cujo produto escalar seja igual a

um, são denominados vetores recíprocos ou duais na reta. A operação,

sempre possível e unívoca numa reta, que tem por fim determinar o recíproco

de dado vetor paralelo a essa reta, denomina-se inversão nessa reta.

Construção gráfica de vetores recíprocos na reta.



Seja T o ponto de contato da tangente à circunferência de centro na origem de e1 e

de raio unitário (circunferência de inversão)17, situada num plano qualquer que contenha o

vetor e1. Seja X a projeção de T sobre o suporte de e1. Da semelhança dos triângulos

retângulos OTX e OET deduz-se: OX OE.: :1 1 Como e1 e o vetor de origem O e

extremidade X, x, têm a mesma direção podemos escrever x .e 1 1 , isso é, x=e1 (Fig.

03.01). Se fosse |e1|<1 far-se-ia a construção no sentido inverso.

Teor. 2:

a1, b, e1 paralelos,

oebb

eaa

1

111

.

., (02) 18.

Com efeito, se ao menos um dos vetores é o vetor zero a identidade é evidente

porque o determinante (02) teria uma fila (linha ou coluna) com elementos nulos. Se os

vetores são todos não nulos, podemos escrever: a a u b b u1 1 | | , | | , onde u é o unitário

da direção comum a esses vetores. Temos, então, evidentemente, para qualquer e1 (paralelo

a u ): ueabb.eauebaab.e ˆ|| || ||)( e ˆ|| || ||)( 11111111 . A igualdade dos primeiros

membros dessas expressões (já que os segundos são iguais) é, obviamente, equivalente a

(02).

17 Esse problema é típico do estudo das transformações das figuras por inversão.

18 Já convencionamos desenvolver um pseudodeterminante como se os vetores fossem números; veja ((06)3, §02.05).

O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta.

Corol. 1:

Todo vetor a, colinear com os recíprocos e1 e e1, pode ser expresso como

combinações lineares vetoriais únicas desses vetores, isso é:

11

11

11

)(

)( :paralelos }{},{,

ea.ea

ea.eaeea , (021).

Com efeito, se fizermos na identidade geral (02), b = e1, a1=a e desenvolvermos o

determinante considerando (01), obteremos (021)2; em seguida, se fizermos b = e1, a1=a e

e1 = e1 obtemos (021)1.

Nota:



Deve ser observado que se a representasse uma grandeza física, digamos uma força, esta poderia ser representada por qualquer das expressões (02

1) com uma mesma unidade de

medida (digamos, N) embutida nas expressões de a.e1 e a.e1. Mas as quantidades a.e

1 e

a.e1 são diferentes porque representam, respectivamente, quantidades de a referidas a e1

e e1, as quais são diferentes (nesse caso, inversas). Veremos, passo a passo, que a

existência dos vetores recíprocos elimina a imposição desnecessária (§ 02.01) de que os vetores de referência tenham os mesmos módulos em todas as direções.

Corol. 2:

A CNS para que dois vetores quaisquer, a e e o1 , sejam paralelos, é

que a=A1e1, sendo A1 um número real qualquer:

11

11 A | | eaoeea , (022)19.

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de produto de

vetor por número real.

Corol. 3:

A CNS para que dois vetores e1 e e2 sejam paralelos é que exista uma

combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não

simultaneamente nulos20:

oeeee 22

11

21 AA | | ou, 1,2)(i nsn, A ,A ii

i oe , (023).

Se e1 e e2 são nulos eles são paralelos e satisfazem a condição com quaisquer valores

de A1 e A2. Se ao menos um deles não é nulo, e1 por exemplo, então, pelo Corol. 2: e2 =

A'1e1. Mas sendo sempre possível determinar dois números A1 e A2 0 tais que A'1 =

A1/A2, resulta: A1e1+A2e2 = o. A recíproca se demonstra analogamente.

19 As indicações entre os símbolos e representam as mesmas hipóteses nos dois sentidos, conforme as

nossas "Notações Gerais".

20 Usaremos doravante, oportunamente, a abreviatura nsn para representar "não simultaneamente nulos", conforme as nossas "Notações Gerais".

Corol. 4:

Se e1o, a solução da equação em X, e1X = a, é X = a.e1:

e o e a a.e1 11 e X X , (024).

Com efeito, por (022), a e e1 são paralelos; e por (021), tem-se: X = a.e1.

Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta.

Consideremos sobre uma reta, em relação a uma origem arbitrária, O, o "ponto

unidade", U, isso é, o ponto distante 1 de O, e dois outros, X1 e X2. Os vetores posicionais

correspondentes (relativos a O) são u para U (um vetor unitário), x1 para X1 e x2 para X2.

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 25


Seja, então, X o ponto corrente da reta, de posicional x. Os módulos desses vetores

representam as distâncias dos pontos correspondentes à origem. A cada módulo juntaremos

o sinal + se o sentido do vetor correspondente for coincidente com o de u ; e o sinal – em

caso contrário. O módulo do vetor posicional acompanhado do sinal é a abscissa da sua

extremidade.

Chama-se razão anarmônica dos quatro pontos X, U, X1 e X2, nessa ordem, o

número definido pela expressão:

1

2

2

1

UX

UX

XX

XXX (03),

em que os segmentos são orientados. Como o domínio de trabalho é a reta, esses segmentos

podem ser substituídos pelas diferenças das abscissas (x, x1 etc.) de suas origens e

extremidades, caso em que

)1x)(xx(

)1x)(xx(X

12

21

(031).

A razão anarmônica dos quatro pontos é, então, uma função homográfica em que a variável

independente é a abscissa do ponto corrente X da reta.

Para o que nos interessa no presente livro essa questão da determinação da razão

anarmônica de quatro pontos não pode ainda ser mais desenvolvida. Voltaremos a ela

repetidas vezes.

§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.

Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dado plano. Estes, têm os

conjuntos dos vetores paralelos a uma reta como um subconjunto, desde que a reta seja

paralela ao plano.

Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano.


Dado um par {e1,e2} de vetores não paralelos, existe um e um único par

{e1,e2} de vetores também não paralelos, do plano (e1,e2) tal, que:

e .e e .e e .e e .e11

22 1

22

1 0 1 e , (01).

Com efeito, apliquemos e1 e e2 num ponto qualquer, O. Sobre as normais a e1 e e2

conduzidas por O, no plano (e1,e2), é sempre possível determinar univocamente os vetores

e1 e e2, respectivamente, tais, que: e .e e .e11

22 1 . De fato, devendo ser

| || |cos( , ) | || |cos( , )e e e e e e e e11

11

22

22 1 , bastará que e1 e e2 tenham por módulos os

recíprocos das projeções dos módulos de e1 e e2, respectivamente, sobre os seus suportes;

tem-se então, para i = 1,2: | | /| |sen( , ) /| |,e e e eii iOE 1 11 2 o ponto Ei sendo a projeção

ortogonal da extremidade de ei sobre o suporte de ei. Sendo, ainda, por construção, e1

perpendicular a e2 e e2 perpendicular a e1, deduzimos: e1.e2 = e2.e1 = 0, o que comprova o



teorema. Considerando-se que os ângulos (e1,e2) e (e1,e2) são suplementares, tem-se

também: | | /| |sen( , ) /| |e e e eii iOE 1 11 2 , o ponto Ei sendo a projeção ortogonal de ei sobre o

suporte de ei. Então: | || |sen( , ) | || |sen( , ) | || |sen( , ) ....e e e e e e e e e e e e11

1 2 11 1 2

22

1 2 .

Definições:

Os pares (ou sistemas) de vetores coplanares {e1,e2} e {e1,e2} que satisfazem

a (01) são denominados pares (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no seu

plano. Para dois pares recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos

homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.

A operação, sempre possível e unívoca num plano, que tem por fim determinar os

recíprocos de um par de vetores desse plano denomina-se inversão nesse plano.

Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano.

Sejam U e V as extremidades de dois vetores quaisquer co-iniciais u e v de

recíprocos a determinar (Fig. 03.02). A projeção U* (V*), sobre o suporte da normal a v

(u), do ponto de contato da tangente à circunferência (de inversão) de raio 1 conduzida pela

projeção U' (V') de U (V) sobre essa normal, é o ponto inverso de U' (V'), ou seja, é a

extremidade de u* (v*).

Com efeito, pela projeção efetuada podemos escrever: OU' cos( | | , )u u u . Conforme

já comprovamos (§ 03.01), se O é o centro da circunferência, o segmento OU* é o inverso

do segmento OU'. Logo, OU cos( | | , )u u u 1. Como devemos ter também

u .u u u u u cos( ) 1 | || | , , U* é a extremidade de u*.

Grupo Ortocêntrico no plano

Sejam 1 e 2 os pontos de interseção dos suportes dos

pares de recíprocos homólogos no plano

( , ) ( , )e e e e11

22 e , quando os sistemas recíprocos

( , ) ( , )e e e e1 21 2 e são aplicados respectivamente, nos

pontos arbitrários O e O* desse plano (Figura 03.03).

Em vista da construção realizada o triângulo OO*2 tem

o ponto 1 por ortocentro. Logo as retas OO* e 12 são

sempre perpendiculares entre si quaisquer que sejam os

pontos O e O*.

É fácil ver que o grupo de quatro pontos O, O*,

1 e 2 forma um grupo ortocêntrico de pontos, isso é,

eles são tais que o triângulo formado por três deles tem



o quarto ponto como ortocentro (como os vértices de um triângulo e seu ortocentro). Os

quatro triângulos formados são denominados um grupo ortocêntrico de triângulos.

Desafio:

Provar que o incentro de um triângulo e seus três ex-incentros formam um grupo

ortocêntrico.

Exercício:

Demonstrar que são inversas (ou recíprocas) as elipses cujos semi-diâmetros

conjugados sejam pares de vetores recíprocos.

Propriedade fundamental de pares recíprocos.

Teor. 2:

Se {e1,e2} e {e1,e2} são pares recíprocos, os produtos vetoriais e1 e2 e e1 e2

são recíprocos na reta ortogonal ao plano dos pares:

1)()( 21

21 ee.ee , (02).

Com efeito, é o que decorre imediatamente de ((08),§ 02.05) e (01).

Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares.

Se a, b e c são vetores quaisquer de um plano, os vetores a b, b c e c a são

todos paralelos, por serem ortogonais a esse plano. Existem, obviamente, os vetores

a (b c), b (c a), c (a b), são geralmente distintos, porém todos pertencem ao plano

dos vetores a, b e c. Vetores assim definidos são denominados duplos produtos vetoriais21

por razões óbvias; a dupla multiplicação vetorial no plano, numa certa associação de três

vetores, é a operação que tem por fim determinar o duplo produto vetorial desses vetores

nessa associação.

Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares)

,)()()()( :0)( com ,,, cbaac.bbc.aabcabccba (03).

Se um ao menos dos vetores é o vetor zero, (03) é verdadeira por evidência. Se r é

um vetor qualquer do plano dos vetores não nulos a, b e c, podemos escrever, aplicando

((08),§ 02.05):

].)()[())(())(()()( ac.bbc.ar.c.br.ac.ar.bc.ac.b

r.ar.bab.cr

Lembrando propriedades da multiplicação mista, podemos também escrever:

21 Gibbs denominou esse produto de vector triple product.



)];([)()( abcr.ab.cr

então, .0]})()[()({ ac.bbc.aabcr. Por ser r qualquer, o vetor entre chaves é o

vetor nulo conforme ((04), § 02.04); o que justifica, então, os dois primeiros membros de

(03). A igualdade do primeiro com o terceiro membro de (03) é de dedução imediata em

vista da anticomutatividade da multiplicação vetorial.

Corol. 1:

Se {e1,e2} e {e1,e2} são recíprocos,

,)(

)( ,

)(

)(

2

21

1212

2

21

2121

ee

eeee

ee

eeee

(031).

Pois, aplicando (03), escrevemos:

,)()()(2121

2

2212e.eeeeeee e ;)()()(

1212

2

1121e.eeeeeee

donde:

.)()()()]([

,)()()()]([

2

21

2

2

2

11212

2

12

2

1

2

22121

.eeeeeee.e

.eeeeeee.e

Considerando a identidade de Lagrange ((07),§ 02.05) temos, ainda:

1)(

)(

)(

)(

2

21

121

22

21

212

1

ee

eee.e

ee

eee.e ;

logo, lembrando as (01), deduzimos as (031).

Notas: 1)- As fórmulas (031) podem ser demonstradas geometricamente sem recorrência às fórmulas (03) e (01); 2)- Nos numeradores das (031) os parênteses são dispensáveis, pois, por exemplo:

.)()()()(2121

2

2212212e.eeeeeeeeee

Evidentemente, podemos também escrever:

221

121

2221

212

1 )(

)( ,

)(

)(

ee

eeee

ee

eeee

, (032).

Teor. 4:

a1, a2, e1, e2 e b coplanares:

o

b.eb.eb

.ea.eaa

.eaeaa

21

22122

21111 .

, (04).

Com efeito, usando (03) podemos escrever a identidade:



obee.aaaaeeb )]()[()()]([21212121

uma vez que a1 a2.b = 0 (a1,a2 e b são coplanares). Operando na primeira parcela

escrevemos, ainda, mais uma vez aplicando (03):

obee.aaa.aeeba.aeeb )]()(])([])([212121211221

Lembrando, agora, propriedade da multiplicação mista, escrevemos:

obee.aaaee.baaee.ba )()()()()()(212122111212

.

Aplicando ((08),§ 02.05), esta expressão pode ser escrita na forma:

a .e a . e

b. e b.ea

a . e a . e

b. e b.ea

a . e a . e

a . e a . eb o

2 1 2 2

1 21

1 1 1 2

1 22

1 1 1 2

2 1 2 2

,

ou, ainda, na forma do determinante simbólico (04), como facilmente se comprova.

O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.

Corol. 1:

Todo vetor a, coplanar com os pares recíprocos {e1,e2} e {e1,e2}, pode ser

expresso como funções lineares únicas dos vetores de cada par:

a e e e e

a a. e e a. e e a. e e

a a. e e a. e e a. e e

, , } , } :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ,2),

{ e { coplanares

i

i

i

i

i

1 2

1 2

1

1

2

2

1

1

2

21

(041).

Com efeito, se aplicarmos (04) para b = a, a1 = e1 e a2 = e2, teremos imediatamente

(041)2. Se fizermos ainda, em (04), b = a, a1 = e1 , a2 = e2, e1 = e1 e e2 = e2, obteremos

(041)1. Os coeficientes das funções lineares (041) são únicos porque se existissem outros

números, A1, A2, A1, A2 tais, que

,AAou ,AA 22

112

21

1 eeaeea

deduziríamos:

a e a e. , .1 1 2 A A etc,2

isso é, os números a.e1, a.e2, ... são únicos.

Nota: É válida aqui a mesma observação feita relativamente à expressão (02

1), § 03.01. A

existência e a utilização dos pares recíprocos possibilitam total liberdade de expressão e de representação gráfica de um vetor qualquer de um plano já que fica eliminada a imposição de que os vetores e

1 e e

2, de direções diferentes, tenham o mesmo módulo; isso é, que nas

representações gráficas, a todas as direções correspondam vetores de comparação de mesmo módulo (basta que os unitários das direções tenham o mesmo comprimento).



Corol. 2:

A CNS para que um vetor qualquer a seja coplanar com dois vetores não

paralelos e1 e e2 é que a seja uma combinação linear de e1 e e2:

1,2)(i ,AAA

, 0)(

ii

22

11

2121

eeea

aoeeeae, (042).

A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de soma dos

vetores A1e1 e A2e2.

Corol. 3:

A CNS para que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares é que exista uma

combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não

simultaneamente nulos:

( )

A ,

e e e

e e e o e

1 2 3

1 23

3

0

A A A A nsn (i=1,2,3),1 2 ii

i (043).

Sejam e1, e2 e e3 coplanares. Se e1 e e2, por exemplo, forem paralelos, de

((023),§03.01) podemos escrever (se A1 e A2 são nsn): A A1 2e e o1 2 , ou,

A A1 2e e e o1 2 30 , existindo, pois, combinação linear dos vetores com coeficientes não

simultaneamente nulos. Se e1 e e2 não forem paralelos, o corolário anterior permitirá

escrever:

e e e e e e o3 1 2 1 2 3 A A ou, A A A1 2 1 2 3, ,

porque é sempre possível determinar um terceto de números A1, A2 e A3 0 tal, que

A A A'i i 3 / (i = 1,2). Também neste caso existirá uma combinação linear nula entre os

vetores com coeficientes não simultaneamente nulos.

Reciprocamente, existindo a combinação linear Aiei=o com pelo menos A3 0,

podemos escrever: e e e3 1 2 A A com A A A1 2 1 1 3, , e o corolário 2 mais uma vez

permite concluir que e1, e2 e e3 são coplanares.

Corol. 4:

Se e1 e e2 são não paralelos, as soluções da equação em X1 e X

2,

e1X1+e2X

2=a são X1=a.e1 e X2=a.e2, isso é,

22112

2

1

121X e X XX e a.ea.eaeeoee , (044).

Com efeito, por (042), a, e1 e e2 são vetores coplanares; e por (041) deduzimos os

valores das incógnitas.

Exercício 1:

Comprove que, quando os vetores das duplas recíprocas { 32 ˆ,ˆ uu } e },{ 32uu são

dispostos co-inicialmente num ponto O, a extremidade de u2 é a interseção da normal a 3u

por O com a normal a 2u pela sua extremidade. Analogamente, mutatis mutandis, em

relação a u3.



Exercício 2:

Os unitários u u2 3 e formam um ângulo 1. O unitário

( )u

, coplanar com os

primeiros, forma um ângulo com u2. Comprove então, que:

]ˆ sen ˆ ) (sen [sen γ

1ˆ

3211

)( uuu .

Vetores término colineares.

O Corol. 3 exige apenas que os coeficientes da dependência linear de três vetores

coplanares sejam nsn (não simultaneamente nulos).

Teor. 5: (direto)

Se três pontos A, B e C são colineares, seus posicionais a, b e c,

respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência

linear nula com coeficientes de soma nula.

Como os vetores c-a e c-b têm o mesmo suporte, o Corol. 3 do Teor. 2 garante a

existência de números nsn L e M tais, que L(c-a)+M(c-b)=o. Então,

ocba M)L(ML , (05),

isso é, a dependência linear nula de a, b e c tem coeficientes de soma nula.

Teor. 6: (recíproco)

Se três vetores co-iniciais a, b e c, de extremidades A, B e C,

respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma

nula, suas extremidades são colineares.

Os vetores a, b e c, por terem dependência linear nula, são coplanares (Corol. 3,

Teor. 4); seja ocba NML a expressão dessa dependência com L+M+N=0. Então,

ocba M)L(ML , ou seja, obcac )N()L( .

Pelo Corol. 3, Teor. 2, § 03.01, os vetores c-a e c-b devem ser paralelos. Como ambos têm

origem em C, as suas extremidades A e B são colineares com C.

Definição: (vetores término colineares)

Vetores co-iniciais com extremidades colineares são ditos término

colineares.

*

Muitos problemas em Geometria Plana podem ser facilmente resolvidos por

métodos vetoriais. Qualquer vetor do plano pode ser referido a dois vetores fixos quaisquer

desse plano, co-iniciais num ponto arbitrário, tomados como referência. Quando o ponto de

início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico da

solução pode ser apreciavelmente simplificado22. Para o que nos interessa no contexto desta

obra faremos menção apenas às várias formas de equação da reta.

22 O leitor poderá consultar obras [1, 2, 4, 8] que detalham as aplicações.



Varias formas de equação da reta (no plano).

Um ponto de uma reta tem um "grau de liberdade": o de percorrer a reta; depende,

pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Com efeito, pondo, na equação (05),

=M/L tem-se bac )1( . Se, agora, entendermos os pontos A e B como pontos fixos

e o parâmetro como uma variável real continua (assumindo todos os valores de - a +),

a cada valor de corresponderá um ponto C sobre a reta definida por A e B. Na notação

usual o ponto corrente da reta é representado por X e seu posicional por x. Assim e equação

vetorial da reta definida pelos pontos A e B é

bax )1( , (061).

Para x=a deve ser =0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais a e b

devem ser distintos. Pondo a equação na forma bax )1 vê-se que deve ser =

para x=b, ou seja, ao ponto B corresponde o valor do parâmetro.

Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo A e é

paralela ao vetor unitário u . Como o vetor x-a, de módulo , variável, deve, então, ser

paralelo a u , escrevemos uax ˆ , ou seja,

uax ˆ , (062),

ou, se estivermos resolvendo um problema no espaço tridimensional,

ouax ˆ)( , (062').

As equações (061) e (062) são as equações paramétrica da reta no plano; a forma

(062') é a forma normal de equação dessa mesma reta.

Consideremos agora a equação C a.x em que a e C são vetor e escalar

constantes. Tem-se: d ||),cos( || ||C aaxaxa.x em que d é a projeção (constante) de

x sobre a. Conseqüentemente os pontos pertencem a uma reta ortogonal a a cuja distância

à origem é C/|a|=d. A equação dada,

C a.x , (07),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na

forma mais simples d ˆ x.a .

Pesquisemos a equação da reta que passa por um ponto fixo A e seja ortogonal à

direção u . Ora, x-a deve ser então, ortogonal a u ; logo,

0ˆ )( u.ax , (08),

equação essa denominada forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o

primeiro membro podemos escrever, ainda,

Cˆ ˆ u .au.x , (091),

por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta.

*



Se levarmos em conta que os posicionais a e b admitem os recíprocos a* e b

* a

equação paramétrica (061) pode assumir uma forma hessiana. Multiplicando-se

escalarmente ambos os seus membros por, digamos a*, resulta 1)1( x.a , ou seja,

)1(||

1ˆ

aax. , (092).

A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano).

Sejam e1 e e2 dois vetores de extremidades 1 e 2, respectivamente, co-iniciais num

ponto 0 do plano que definem; e U o ponto de posicional u=e1+e2, denominado "ponto

unidade" do plano em relação a esses vetores. Justifica-se a nomenclatura pelo fato de U ter

coordenadas 1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se

associarem coordenadas univocamente a um ponto qualquer, P, em termos de certas razões

anarmônicas (ver § 03.01).

A reta do plano, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta a reta 12 (oposta ao

ponto 0) no ponto L0 e as retas suporte de e1 e e2 nos pontos L2 e L1, respectivamente. A

reta L1L2 (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1 e 2) tem por

equação vetorial,

pux )1( , (10),

em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de

corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor j do

parâmetro para j=0,1,2, sendo

jjj )( lupl , (101).

A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1 ou 2) é o número:

UL

PL.

PL

UL)UP,LL(X

0

0

k

kokk

em que UL0 , PL0 , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos

têm a mesma direção, podemos escrever, também:

)( )(X)( )( k0k0k lp.lulp.lu ,

ou, ainda, substituindo os valores de pl k e 0lu obtidos de (101) e simplificando:

0kk /X , (11).

Vê-se, assim, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos de um plano: 0, 1 e

2, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do

ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2, ou pelo

terceto de números 0, 1 e 2. Por métodos vetoriais pudemos, assim, estabelecer essa

forma de proceder, fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento

está fora do escopo deste livro). Nos capítulos seguintes esses conceitos serão transmitidos

facilmente para espaços de dimensões maiores.



§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.

Consideremos o conjunto formado por três vetores quaisquer, não coplanares, cujos

suportes definem um triedro. É sempre possível aplicar esses vetores co-inicialmente num

ponto qualquer do espaço, O, e denotá-los por letras seqüenciais de um alfabeto (a, b e c,

por exemplo). Podemos, também, denotá-los por uma mesma letra indexada (e1, e2 e e3, por

exemplo), de forma a que o triedro definido por eles seja positivo23 em relação a uma

seqüência básica (por exemplo: abc ou 123). Nestas condições diremos também que o

terceto e1, e2, e3 é positivo ou direto.

Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço.


Dado um terceto direto de vetores não coplanares {e1,e2,e3}, existe um e um

único terceto direto de vetores não coplanares, {e1,e2,e3} tal, que:

2

e .e e .e e .e

e .e e .e e .e e .e e .e e .e

11

22

33

12

23

31

13

21

3

1

0

, (01).

Denotemos por e3 um vetor com módulo finito, a determinar, paralelo a e1^e2 e de

mesmo sentido que este; seja, então:

23 Relembremos que, segundo a regra do observador, um triedro definido pelos vetores co-iniciais e1, e2, e3 é

positivo quando este, voltado para o interior do triedro, com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo

dirigido segundo o vetor ei , vê o vetor ej à sua direita e o vetor ek à sua esquerda, desde que ijk forme uma permutação par do grupo (123).

,E1

21

3eee com E = número finito positivo, (A).

Nestas condições e3 encontra-se, em relação ao plano (e1,e2), no mesmo semi-espaço que

e3. O ângulo (e3,e3) é agudo, sendo possível determinar, de modo unívoco, um módulo para

e3, tal, que:

e .e33 1 , (B).

A fórmula (A) dá, então, imediatamente:

E=( 1e e e2 3 ) , e e .e e .e13

23 0 , (C),

uma vez que o segundo membro de (A) é um produto misto com dois vetores iguais.

Com um raciocínio análogo poderíamos mostrar a existência de dois outros vetores,

e2 e e1, de determinações únicas, satisfazendo relações dos tipos (B) e (C) que, em conjunto,

ficam resumidas a (01).

Das igualdades (01) consideremos, por exemplo, e .e e .e31

32 0 . Então, e3 é

ortogonal ao plano (e1,e2); logo, podemos escrever, pela definição de produto vetorial de

§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 35


dois vetores: ,E

1 21

3eee

onde E* é um número finito positivo a determinar (não nulo

porque e3 tem módulo finito). Considerando (B), deduzimos:

E = ( ) .e e e1 2 3 0

Concluímos, assim, que os ei são não coplanares.

Em resumo, então:

),/()( ),/()( ),/()(32121

3

32113

2

32132

1eeeeeeeeeeeeeeeeee (02),

e

),/()( ),/()( ),/()( 32121

3

32113

2

32132

1eeeeeeeeeeeeeeeeee (021),

igualdades que mostram que se {e1, e2, e3} é direto, então, {e1, e2, e3} é direto; e

reciprocamente.

Definições:

Os tercetos (ou sistemas) de vetores {e1,e2,e3}{e*

} e {e1,e2,e3}{e*}, que

satisfazem a (01), são denominados tercetos (ou sistemas) recíprocos (ou

duais) no espaço. Para dois tercetos recíprocos, os vetores de mesmos

índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.

A operação, sempre possível e unívoca no espaço, que tem por fim determinar os

recíprocos de dado terceto de vetores não coplanares, denomina-se inversão no espaço.

Nota: Deve ser observado que os vetores e1, e2 e e3, recíprocos de e1, e2 e e3 no E3, não têm haver com os recíprocos dos pares (e1, e2), (e2, e3) e (e3, e1), pois cada par admite um par recíproco no seu próprio plano (§ 03.02).

Exercícios:

1) - Mostrar que se { , }u u u u2 32 e { , }3 são sistemas recíprocos num plano, então, se

n é um unitário normal a esse plano, os sistemas },,ˆ{ e },,ˆ{ 3232 uunuun são recíprocos no

espaço.

2) - Existe um e apenas um elipsóide que admite três vetores não coplanares

quaisquer por semi-diâmetros. Então, o elipsóide que admite os vetores de um terceto por

semi-diâmetros, é inverso do elipsóide que admite por semi-diâmetros os vetores do terceto

recíproco do primeiro24.

Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço.

A superfície esférica de raio unitário centrada na origem comum dos vetores, O,

intercepta o conhecido plano definido pelos recíprocos homólogos e1 e e1 (ortogonal ao

definido por e2 e e3) segundo a circunferência de raio um e centro O. Se | e1|>1 e E1 é a

24 Exploraremos um pouco mais esse assunto no Cap. V, Tomo II.



projeção ortogonal da extremidade de e1 sobre o suporte de e1, então o vetor e1 e o vetor de

extremidade E1 têm também o mesmo sentido. A projeção ortogonal, E1, do ponto de

contato, T, da tangente à circunferência, conduzida por E1, sobre o suporte de e1, define a

extremidade de e1 (Fig. 03.04).

Com efeito, por evidência, OE cos( , )1 | |e e e1 11 . Sendo, ainda, OE x OE

1

1 1 - pois, da

semelhança dos triângulos retângulos OTE1 e OE1T deduzimos OE OT OT OE1

1: : -

tem-se: 1=),cos(||OE 111

1eee , os vetores de extremidades E1 e E1 tendo o mesmo

sentido. Mas devendo ser e .e11 1 , e tendo então o vetor de extremidade E1 a mesma

direção, o mesmo módulo e o mesmo sentido que e1, resulta que a extremidade de e1 é E1.

Se |e1|<1 aplica-se a operação inversa da descrita para a determinação do recíproco.

Não é difícil interpretar o caso em que um dos vetores tem módulo igual a um.

Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos.

Teor. 2:

São números recíprocos os produtos mistos dos vetores de tercetos

recíprocos ordenados homologamente:

, ... ))((1))(( 213213

321321 eeeeeeeeeeee (03).

Da fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares ((03),§ 03.02), temos:

.)()()(322232322

e.eee.eeeee

Multiplicando escalarmente ambos os membros por e3/(e1e2e3) e considerando (02)1 e (01),

deduzimos: )/()(32122

31

2eee.ee.eee . Como um produto misto não se altera pelo

intercâmbio dos sinais operatórios, )/()(32122

31

2eee.eee.ee . Dividindo, agora,

ambos os membros dessa igualdade por (e1e2e3), considerando (021)2 e simplificando,

resultará (03)25.

25 Como se vê, a fórmula (03) pode ser demonstrada sem recorrência à fórmula adiante, de número (04), dita fórmula do duplo produto vetorial no espaço (expressão do Teor. 3).



Dupla multiplicação vetorial (no espaço).

Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial)26

,)()()( :,,321231321321

e.eee.eeeeeeee (04).

A fórmula é válida se os vetores são coplanares, conforme ((03),§ 03.02). Se os

vetores não são coplanares eles admitem um terceto recíproco. Temos, considerando (021)3

e propriedade da multiplicação mista:

21

1

21

131

321 ))(( .eeee.ee.eeeee .

Subtraindo ao primeiro membro desta igualdade o termo nulo (e2.e1)(e3.e2)(e1e2e3) e

lembrando que e2.e2=1, podemos escrever:

211

2312

2 213

321 )] )( () )( )[(( e.eee.ee.e.eee.eeee ,

donde, transpondo termos e fatorando:

0]})())[(({ 2

312213

3211

1 .ee.eee.eeeeeee .

Conforme propriedade da multiplicação escalar, o vetor entre chaves, se não é o

vetor nulo, é ortogonal a e2; é também ortogonal a e1 porque seu produto escalar por e1 é

nulo. Logo, por (021)3, esse vetor deve ser paralelo a e3. Mas o seu produto escalar por e1

também é nulo. Então esse vetor deve ser paralelo a e3 e ortogonal a e1; logo, só pode ser o

vetor nulo, uma vez que e1 e e3 não são necessariamente ortogonais. Assim, se

substituirmos na expressão desse vetor, e1 pela sua expressão (02)1, resultará:

])())[()(()(321231321

321

321e.eee.eeeeeeeeeee .

Considerando, agora, (03), resulta (04).

Generalização da identidade vetorial de Lagrange.

Teor. 4:

Tem-se:

,)()( :,,,y.by.a

x.bx.aba.yxbayx (05).

Com efeito, lembrando propriedade da multiplicação mista e aplicando (04)

podemos escrever, sucessivamente:

,])()[(])[()()( .bxy.ayx.a.bayxba.yx

tendo-se, logo, (05). Obviamente, (05) é uma forma mais geral que ((08),§ 02.05).

26 Diferentes deduções originais desta fórmula, sem recorrer a expressões cartesianas dos vetores, foram também

apresentadas por: Moreira, L.C.A., Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1957; Bricard R., Le Calcul

Vectoriel, Coleção Armand Colin, 1929, e em anexo a demonstração de El Annabi; Chattelun, L., Calcul Vectoriel, tomo I, Gauthier-Villars, 1952; Calaes A. M. , Coleção de Estudos Matemáticos, Editora UFOP, 1993.



Teor. 5:

a, e1,e2,e3:

321213132321)()()()( eea.eeea.eeea.eaeee , (06).

Podemos escrever, por evidência:

),()()(

).()()()(

132132

132132132321

eaeeeea.e

eaeea.eeeeea.eaeee

ou, recalculando o duplo produto vetorial na segunda parcela deste último membro:

.)()()()(231321132321

e.eeae.eeaeea.eaeee

Aplicando propriedades da multiplicação mista e da vetorial às duas últimas parcelas

encontramos, logo, (06).

Corol. 1:

,)( :,,,,

321

321

321

321321

y.ey.ey.e

x.ex.ex.e

eee

yxeeeeeeyx (061).

Com efeito, fazendo-se yxa , a última parcela do segundo membro de (06)

pode ser escrita na forma

321

21

321321)]()[()( e

y.ey.e

x.ex.eeee.yxeea.e ,

conforme nos possibilita (05). A referida parcela é, então, o produto de e3 pelo seu

complemento algébrico no pseudodeterminante em (061). Operando analogamente com

todas as parcelas de (06) encontraríamos as demais parcelas do referido

pseudodeterminante desenvolvido segundo Laplace pelos elementos da primeira linha, o

que comprova (061).

Corol. 2:

x y z e e e xyz e e e

x.e x.e x.e

y.e y.e y.e

z.e z.e z.e

, , , , , : ( )( ) ,1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(062)27.

Com efeito, para demonstrar: 1º) basta multiplicar-se escalarmente ambos os

membros de (061) por z; 2º) considerar-se que, no segundo membro, essa operação é

equivalente a multiplicar escalarmente no pseudo-determinante, a primeira linha de vetores

por z; 3º) deslocar-se a primeira linha do determinante assim formado para a posição de

terceira linha, o que não altera o seu valor.

27 Deve ser observado que esta fórmula é válida mesmo quando sejam coplanares os vetores do terceto {e1,e2,e3}, ou os do terceto {x,y,z}.



Teor. 6:

o

b.eb.eb.eb

.ea.ea.eaa

.ea.ea.eaa

.ea.ea.eaa

bea

321

3323133

3222122

3121111

ii :1,2,3)=(i ,, , (07)28.

Desenvolvendo a identidade óbvia oabbaaa )()(3321

colocada na

forma oaaabbaaa )()()()(213321

e operando de forma conveniente,

encontramos: oaabaaababaaaabaa 213123321321 )()()()( . Mais uma vez aplicando

propriedades da multiplicação mista, escrevemos, ainda:

( ) ( ) ( ) ( ) .a a b a a a b a a a b a a a a b o2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 2 3

Multiplicando ambos os membros dessa identidade pelo produto misto (e1e2e3) dos vetores

quaisquer e1, e2, e3 e lembrando a fórmula geral (062), temos:

.

332313

322212

312111

3

321

322212

312111

2

321

332313

312111

1

321

332313

322212

ob

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

a

b.eb.eb.e

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

a

b.eb.eb.e

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

a

b.eb.eb.e

.ea.ea.ea

.ea.ea.ea

Não é difícil, agora, comprovar-se que essa identidade é equivalente ao determinante

simbólico (07) desenvolvido segundo Lapalace pelos elementos da primeira coluna.

28 Esta fórmula tem ((02), § 03.01) e ((04), § 03.02) como correspondentes na reta e no plano.

O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.

Corol. 1:

É sempre possível exprimir qualquer vetor a do espaço por combinações

lineares únicas dos vetores de cada terceto de dois tercetos recíprocos:

1,2,3),(i ) (...) (

) (...) ( :},,{ },,,{ ,

i11

ii

11

321321

ee.aee.aa

ee.aee.aaeeeeeea

i

(071).

Esta fórmula é análoga a ((041),§ 03.02) e sua demonstração pode ser feita por

analogia. Assim, por exemplo, se fizermos na fórmula geral (07), b = a, ai = ei (i = 1,2,3) e

desenvolvermos o determinante, encontraremos facilmente (071)1. Se fizermos, para i =

1,2,3, ei = ei, ai = ei, e b = a, de (07) deduziremos também (071)2.



É fácil interpretar geometricamente o significado dos coeficientes a.ei e a.ei (como

veremos no § 04.01), sendo desnecessário, mais uma vez, destacar-se que a existência e a

utilização dos tercetos recíprocos eliminam a imposição de que os vetores e1, e2 e e3 devam

ter os mesmos módulos (ver § 04.01 à frente) 29.

Corol. 2:

A CNS para que três vetores e1, e2, e3 sejam não coplanares é que

qualquer a do espaço possa exprimir-se como uma combinação linear

única desses vetores:

( )e e e a a e1 2 3 0 A (i = 1,2,3),i

i (072).

A condição é necessária pelo Corol. 1. Vamos provar que ela é suficiente por

redução ao absurdo, isso é: se qualquer vetor a pode exprimir-se como duas combinações

lineares (pelo menos) dos vetores e1, e2 e e3, então esses vetores são coplanares. Pois,

escrevendo: a e e e e e e A A A A A A1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 , onde ao menos um dos A

difere do correspondente A', deduzimos:

( ) ( ) ( )A A A A A A1 1 2 2 3 3 e e e o1 2 3

isso é, os vetores e1, e2 e e3 são coplanares conforme ((043),§ 03.02); o que é um absurdo.

Corol. 3:

Uma condição necessária para que quatro vetores e1, e2, e3 e e4 sejam

não coplanares é que exista a combinação linear, Aiei = o, (i = 1,2,3,4),

com os Ai nsn:

e e oi

i

i

i não copla nares, (i = 1,2,3,4) A A nsn, , (073).

A condição é necessária porque se os quatro vetores são não coplanares, existe

necessariamente dentre eles um terceto de não coplanares, podendo acontecer, entretanto,

que dentre os quatro: 1º) um (apenas) seja o vetor nulo; 2º) dois (apenas) sejam colineares;

3º) três (apenas) sejam coplanares. Então, por (072), o quarto vetor, e4, por exemplo, - o

vetor nulo, um vetor paralelo a apenas um dos três, o vetor coplanar com dois quaisquer dos

outros três - poderá ser escrito como uma combinação linear única dos três não coplanares

e1, e2, e3, na forma: e e e e4 1 2 3 Z Z Z1 2 3 .Como, para qualquer A4 0, é sempre

possível determinar um Ai tal que Z A A (i=1,2,3),i i 4 / , a substituição desses valores

na expressão de e4 nos leva à tese (já que pelo menos A4 0).

29 Deve ser observado que para a dedução dessas fórmulas não é necessário recorrer-se à "decomposição cartesiana de um vetor" (conceito que será abordado no § 04).

Corol. 4:

Se e1, e2, e3 são não coplanares, as soluções da equação eiXi = a são Xi =

a.ei:

( ) ,e e e e a a.e1 2 3 0 e X (i=1,2,3) Xii i i (074).



O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores.

Sejam { , , } { , , }a b c a b c e sistemas recíprocos30, isso é,

)(abccba , ... e

)(

cba

cba , ... .

Definições: As retas suportes de vetores recíprocos homólogos (como a e a* etc.) serão

ditas retas homólogas; as demais, não homólogas. Os pares de planos (a,b)

e (a*,b*) etc., serão ditos planos homólogos.

É clara a correspondência existente entre os planos homólogos e as retas homólogas

que lhes são ortogonais.

A aplicação de (04) permite concluir imediatamente que

occbbaa , (08).

Com efeito, para o par homólogo (a,a*) escrevemos:

])()[()(

1)(

ca.bba.cabcabc

cbaaa , (091),

ou

])()[()(

1

)(

c.bab.ca

cbaa

cba

cbaa , (092).

Para os demais pares escreveríamos expressões similares. Somando as expressões

correspondentes a (091), ou as correspondentes a (092), comprovamos facilmente (08).

Então os produtos vetoriais dos recíprocos homólogos, formando um contorno

fechado (soma nula), são, por isso, coplanares.

Por (091) e (092) vemos, ainda, que aa é um vetor do plano (b,c), mas também

de (b*,c*). Então aa é paralelo à interseção desses planos homólogos, isso é, o suporte

de aa é a reta comum a esses planos homólogos. Analogamente, os suportes de bb e cc são, respectivamente, as retas comuns dos planos homólogos (c,a),(c*,a*) e

(a,b),(a*,b*). Logo:

Teor. 7:

São coplanares as interseções de planos homólogos de sistemas recíprocos.

Consideremos os vetores dos sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente num

mesmo ponto do espaço; seja ) o plano que contém os produtos aa , bb e cc e

e) a reta ortogonal a ) tirada por esse ponto. Como aa é ortogonal ao plano (a,a*),

resulta que esse plano contém e). Analogamente, podemos comprovar que os planos (b,b*)

e (c,c*) contêm o eixo e). Logo:

30 A nova notação, que certamente não dificultará o entendimento, é mais adequada em Geometria.



Teor. 8:

Os planos das retas homólogas de sistemas recíprocos têm uma reta comum.

Definição:

A reta e) e o plano ) serão denominados eixo e plano do sistema de vetores

recíprocos.

Apliquemos, agora, co-inicialmente, os tercetos recíprocos { , , } { , , }a b c a b c e nos

pontos arbitrários D e D*, respectivamente, de uma reta qualquer paralela ao eixo e) do

sistema. Por força do Teor. 8, os pares de retas homólogas a e a*, b e b*, e c e c* se

interceptam necessariamente; sejam, respectivamente, A, B e C essas interseções (Figura

03.05).

Seja, ainda, H a interseção de e) com o plano )(ABC), plano esse que é,

evidentemente, paralelo ao plano ) do sistema.

Como a e a* são respectivamente perpendiculares aos planos homólogos (b,c) e

(b*c*) que lhes correspondem, o plano (DD*A), além de ser perpendicular ao plano do

sistema (por conter uma reta perpendicular a esse plano) é também perpendicular à reta

comum desses planos, BC, num ponto A'. Logo: 1) - tal plano é seção reta do diedro

formado pelos planos homólogos (b,c) e (b*,c*), sendo 1DAD o ângulo diedro

correspondente; 2) - a aresta DA do tetraedro ABCD é ortogonal à sua oposta BC; 3º) –

deduções análogas podemos fazer com relação aos dois outros planos homólogos, o que

mostra que D* é o ponto de encontro das quatro alturas do tetraedro ABCD.; tal tetraedro

particular recebe o nome de ortocêntrico. Logo:

Os tetraedros ABCD e ABCD* associados aos sistemas recíprocos

{ , , } { , , }a b c a b c e são tetraedros ortocêntricos, D* sendo o ortocentro de

ABCD e D o de ABCD*.



Não é difícil ver que o grupo dos cinco pontos D, D*, A, B e C forma um grupo

ortocêntrico de pontos no espaço, isso é, eles são tais que o tetraedro formado por quatro

quaisquer deles tem o quinto ponto como ortocentro. Os quatro tetraedros formados são

chamados o grupo ortocêntrico de tetraedros e gozam de várias propriedades.

Desafio:

É sabido que um tetraedro tem uma superfície esférica inscrita e quatro ex-inscritas

(estas, tangentes a cada face e ao prolongamento das outras três); o centro da inscrita é o

incentro do tetraedro e os centros das ex-inscritas, os ex-incentros. Provar que, num

tetraedro, o incentro e os quatro ex-incentros formam um grupo ortocêntrico.

Exercícios:

1) - Os ângulos das retas homólogas de sistemas recíprocos são iguais aos ângulos

dos planos homólogos que lhes correspondem.

2) - Em sistemas recíprocos, os ângulos diedros de planos homólogos são iguais às

diferenças dos ângulos do eixo do sistema com os vetores recíprocos (homólogos) que lhes

são correspondentes.

3) - Verificar as singularidades que ocorrem quando em um dos tercetos de um

sistema de vetores recíprocos um vetor é perpendicular ao plano dos outros dois.

4) - Comprovar que para sistemas de vetores recíprocos, a soma de dois vetores

quaisquer de um sistema é ortogonal à diferença dos homólogos correspondentes do outro.

Vetores término coplanares.

O Corol. 3 do Teor. 6 exige apenas que os coeficientes da dependência linear nula de

quatro vetores não coplanares e co-iniciais sejam nsn.

Teor.9: (direto)

Se quatro pontos A, B, C e D são coplanares, seus posicionais a, b, c e d,

respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência

linear nula com coeficientes de soma nula.

Como os vetores d-a, d-b e d-c pertencem ao mesmo plano, o Corol. 3 do Teor. 4, §

03.02, garante a existência de números nsn, L, M e N tais, que

ocdbdad )N( )M()L( . Então,

odcba N)ML(NML , (10),

isso é, a dependência linear nula de a, b, c e d tem coeficientes de soma nula.


Se quatro vetores co-iniciais a, b, c e d, de extremidades A, B, C e D,

respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma

nula, suas extremidades são pontos de um mesmo plano.

Os vetores a, b, c e d, por terem dependência linear nula, são não coplanares (Corol.

3, Teor. 6); seja odcba PNML essa dependência, com L+M+N+P=0. Então,



odcba N)ML(NML , ou seja, ocdbdad )N()M()L( .

Pelo Corol. 3, Teor. 4, § 03.02, os vetores d-a, d-b e d-c dever ser coplanares. Logo, os

pontos A, B, C e D pertencem necessariamente a um mesmo plano.

Definição: (vetores término coplanares)

Vetores co-iniciais com extremidades num mesmo plano são ditos término

coplanares.

É útil lembrar novamente que muitos problemas em Geometria Espacial podem ser

facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Tal como no caso da Geometria Plana,

qualquer vetor do espaço pode ser referido a três vetores desse espaço, co-iniciais num

ponto arbitrário, fixos, quaisquer, tomados como referência. Quando o ponto de co-início e

os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico é

substancialmente simplificado. Para algumas aplicações consulte as obras [1],[2] e [8]

listadas na referencia. Interessa-nos apenas mencionar os dois itens seguintes.

Várias formas de equação de um plano.

No E3, duas retas concorrentes quaisquer definem um plano. Um ponto de um plano

tem dois "graus de liberdade" porque para atingir uma posição qualquer desse plano esse

ponto pode percorrer duas e apenas duas trajetórias paralelas às retas dadas. Isto significa

que a determinação analítica de um ponto qualquer do plano dependerá de dois e apenas

dois parâmetros (independentes). Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3 (ou duas

quaisquer das retas por eles definidas), bastam para determinar unicamente um plano, sua

equação, como facilmente se deduz a partir de (09), é

321) xxxx , (101),

onde x1, x

2 e x

3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a um

ponto arbitrário 0, e 1 e 2 são parâmetros variáveis. A forma (101) de representação do

plano é denominada paramétrica.

Todos os pontos das retas definidas por (x1, x

2), (x

2 e x

3) e (x

1, x

3) pertencem ao

plano (101).

Para x=x1 vê-se que deve ser e 1=2=0 porque os pontos não são colineares. Se

1,20 podemos dividir ambos os membros da equação por 12 e escrevê-la na forma

3

1

21

111

111)111( xxxx

, (102).

Para x=x2 tem-se, simplificando termos semelhantes em x

2 e em seguida evidenciando o

fator comum em ambos os membros,

)1(1)11(1 31

1

2

1

xxx

.



Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são:

2=qualquer e 1=. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os

valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: 1=qualquer e 2=.

A forma, denominada geral, é a que representa o plano que passa por um ponto 1 e é

paralelo a duas direções 1u e 2u . O vetor x-x1 deve, pois, ser coplanar com 1u e 2u ; logo,

0))(ˆˆ( 121 xxuu , (11).

A forma normal de representação do plano está ligada à condição desse plano

passar por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção u . Nesse caso, os vetores x-x1 e x-x

2,

contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a u ; logo, o produto vetorial

deles deve ser paralelo a u , isso é,

ouxxxx ˆ)]()[( 21 , (12).

A equação do plano que passa pelo ponto 1 e é perpendicular à direção u é,

evidentemente,

0ˆ )( 1 u.xx , (13),

posto que para o ponto corrente x, o vetor x-x1 deve ser necessariamente ortogonal a u ; esta

é a forma hessiana de representação do plano no espaço. O número dˆ 1 u:x é a distância

da origem ao plano.

A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço).

Sejam e1, e2 e e3 três vetores não coplanares, de extremidades 1, 2 e 3,

respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do espaço; e U o ponto de posicional u=e1+e2+e3,

denominado "ponto unidade" do espaço em relação a esses vetores (ou aos 4 pontos 0, 1, 2

e 3). Justifica-se a nomenclatura, como no caso do plano (§ 03.02) pelo fato de U ter

coordenadas 1,1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se

associarem coordenadas a um ponto qualquer, P, de forma unívoca, em termos de certas

razões anarmônicas (ver § 03.01 e § 03.02).

A reta do espaço, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta o plano 123 (oposto

ao ponto 0) no ponto L0 e os planos 230 (oposto a 1), 301 (oposto a 2) e 012 (oposto a 3)

nos pontos L1, L2 e L3, respectivamente. A reta PU (definida por P, posto que U só dependa

dos pontos dados 0, 1, 2 e 3) tem por equação vetorial,

pux ˆ)1( , (14),

em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de

corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor j do

parâmetro para j=0,1,2,3, sendo

jjj )( lupl , (141).



A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1, ou 2, ou 3) é o

número

UL

PL.

PL

UL)UP,LL(X

0

0

k

kokk

em que UL0 , PL0 , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos

têm a mesma direção, podemos escrever, também:

)( )(X)( )( k0k0k lp.lulp.lu ,

ou, ainda, substituindo os valores de pl k e 0lu obtidos de (101) e simplificando:

0kk /X , (15).

Vê-se, assim, como no caso do mesmo problema a duas dimensões, que, em relação

a um terceto arbitrário de pontos do espaço, 1, 2 e 3, do qual derivamos um ponto unidade,

U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser

definidas pelas razões anarmônicas X1, X2 e X3, ou pela quadra de números 0, 1, 2 e 3.

Novamente, por métodos vetoriais, podemos estabelecer essa forma fundamental de

proceder em Geometria Projetiva Algébrica. Voltamos a insistir no fato de que, nos

capítulos seguintes, esses conceitos serão transmitidos, dentro dessa mesma linha de

atuação, para espaços de dimensões maiores.

§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS.

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.

Qualquer conjunto de vetores, para os quais estejam definidas as operações de

multiplicação por número real (como no § 02.02) e de adição (como no § 02.01), a primeira

operação gozando das propriedades:

1

A(B AB)

A + B+... ) A B

A( A A

v v

v v

v v v

u v u v

,

) ( ,

( ... ,

... ) ... ,

e a segunda, das propriedades ( ) ( ),

,

,

( ) ,

a b c a b c

a b b a

a o a

a a o

denomina-se um espaço vetorial sobre a Geometria Euclidiana.

§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 47


Assim, o conjunto E1 dos vetores paralelos a dada reta, o conjunto E2 dos vetores

paralelos a dado plano, formam espaços vetoriais particulares; o conjunto E3 de todos os

vetores do espaço da Geometria Euclidiana forma também um espaço vetorial, espaço esse

que contém os demais como espaços particulares ou subespaços31.

Demonstramos alguns teoremas (de existência) para esses espaços. Assim, vimos

que:

A CNS para que um vetor e1 seja nulo, dois vetores e1 e e2 sejam paralelos, e

que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares, é que existam combinações

lineares entre esses vetores com coeficientes não simultaneamente nulos:

nsn, A 1,2,3)=(i A 0)(

nsn, A 1,2),=(i A =

nsn, A 1),=(i A

i

i

i

321

i

i

i

21

i

i

i

1

oeeee

oeoee

oeoe

(01).

Dizemos, em vista disso, que o vetor nulo em E1, E2 e E3, dois vetores paralelos em E2 e E3

e três vetores coplanares em E3 são sempre linearmente dependentes.

Demonstramos, ainda, outros teoremas (de existência) segundo os quais: se um vetor

é não nulo em E1, E2 e E3, se dois são não paralelos em E2 e E3 e se três são não coplanares

em E3, então qualquer vetor paralelo ao vetor não nulo em E1, E2 e E3, qualquer vetor

coplanar com dois outros não paralelos em E2 e E3 e um vetor qualquer em relação aos três

não coplanares em E3, pode exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores

(de referência) nas formas respectivas ((021),§ 03.01), ((041),§ 03.02) e ((071),§ 03.03).

Com outras palavras, diríamos que para um vetor não nulo e1 em E1, E2 e E3, para dois

vetores não paralelos e1, e2 em E2 e E3 e para três vetores não coplanares e1, e2, e3, em E3,

as combinações lineares respectivas (01) são possíveis se, e somente se, os coeficientes

dessas combinações são simultaneamente nulos. Assim, contrariamente ao caso anterior,

um vetor não nulo em E1, dois vetores não paralelos em E2 e três vetores não coplanares em

E3 são ditos linearmente independentes. O número máximo de vetores linearmente

independentes de um espaço é dito a dimensão desse espaço e qualquer conjunto desses

vetores é dito uma base do mesmo. Assim, qualquer vetor não nulo é uma base de um

espaço de vetores paralelos e sua dimensão é um; qualquer par de vetores não paralelos é

uma base de um espaço de vetores coplanares e dois é a sua dimensão; qualquer terceto de

vetores não coplanares é uma base no espaço de toda a Geometria Euclidiana e três é a sua

dimensão. As bases serão denotadas pelos seus vetores entre chaves: {e1} e {e1}, {e1,e2} e

{e1,e2} e {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3} ou, sinteticamente, nos espaços respectivos: {e*} e {e*}.

Bases como {e*} e {e*} são ditas recíprocas e desempenham papel expressivo na Física.

Conduzamos pela extremidade do vetor do E3

31 Esses conceitos são aqui destacados porque podem ser estendidos para conjuntos de objetos quaisquer, como:

polinômios, números reais etc.; tornam-se, nesse caso, mais gerais, porem muito abstratos. A teoria matemática que cuida dessas generalizações é a Álgebra Linear. A álgebra que aqui desenvolvemos - não obstante ter servido

de inspiração ao desenvolvimento da Álgebra Linear - é um caso particular desta. Justifica-se, porém, essa nossa

abordagem específica e particular, pelo valor da sua aplicação prática imediata e objetiva em Física, em Geometria e, conseqüentemente, em Engenharia.

iii

i AA eea , (i=1,2,3) (02),



co-inicial com a origem, o plano paralelo ao plano (ej,ek), que é furado pelos vetor ei no

ponto Ai para todo ijk. Analogamente, o plano conduzido pela extremidade de a

paralelamente ao plano (ej,ek) é furado pelo vetor ei no ponto Ai. Tal como A

i é a projeção

da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek), também Ai é a

projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,e

k). Como

todos os eixos têm uma unidade de distância comum, podemos associar-lhes um sistema de

coordenadas cartesianas e escrever:

...ˆ OA...ˆ OA 111

1 eea , ou ... ||

OA...

||

OA 1

11

11

1

ee

ee

a .

Então, em vista de (02):

... ,||AOA 111

e e ... ,||AOA 111 e

Comprovamos, assim, que os três coeficientes Ai e os três Ai representam, precisa e

respectivamente, as coordenadas da extremidade do vetor a nas bases {e*} e {e*} porque

os módulos dos vetores de base (determinados em relação a uma unidade comum de medida

de distâncias) representam as escalas (virtuais) com que são graduados os vários eixos. Por

isso mesmo, os coeficientes das decomposições (02) - decomposições essas denominadas

cartesianas - são denominadas coordenadas cartesianas do vetor a nas bases respectivas

{e*} e {e*}. Os segmentos i OA e

i OA costumam ser denominados as “componentes

físicas” de a. Como as coordenadas de um mesmo vetor variam de uma base para a sua

recíproca, convencionaremos que aquelas coordenadas relativas à base representada por

vetores cujas letras estejam indexadas em nível inferior sejam denominadas

contravariantes; contrariamente, as outras coordenadas serão denominadas co-variantes.

Assim, em (02), as coordenadas Ai são as coordenadas contravariantes de a (na base {e*});

as Ai são as coordenadas co-variantes de a (na base {e*}). Coordenadas co-variantes e

contravariantes de vetores referem-se então, necessariamente, a bases vetoriais recíprocas.

Apenas os sistemas de vetores recíprocos permitem essa representação

cartesiana geral, elegante e versátil dos vetores.

Vale salientar mais uma vez que os conceitos de coordenadas contravariantes e co-

variantes de um mesmo vetor são válidos quaisquer que sejam as unidades de medida

fixadas para cada eixo de um terceto de vetores, desde que exista uma unidade de medida

de distâncias comum a todos eles, pouco importando qual seja ela. Esta é a única limitação

- embora muito forte - para a dedução de tudo aquilo que almejamos daqui a diante.

Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos.

A introdução das coordenadas de um vetor (em relação a uma base) impõe-nos um

modo de trabalho aparentemente paradoxal, como veremos, paulatinamente. Por ora,

devemos entender - salvo por prova em contrário - que todas as propriedades, fórmulas etc.

que venhamos a desenvolver ou a demonstrar a seguir, são válidas em relação à base a que

se referem as coordenadas dos vetores. Fica o leitor desde já alertado para essa importante

questão, porque até o momento não temos critério para decidir se algo que "é certo" em

relação a uma base (ou em relação a um observador) deve ser "igualmente certo" em



relação a outra base (ou outro observador). Isso é, a adoção de coordenadas e vetores de

base induz, intuitivamente, a separação do que seja "invariante", "universal", válido para

todos os observadores, do que seja específico para dado observador. Na essência dessa

"separação" é que residem os "métodos tensoriais", o "tensorialismo" ou o chamado

Cálculo Tensorial e o seu significado para a Física.

Evitando os sistemas de coordenadas de um lado, mas apegando-nos

inevitavelmente a bases vetoriais (vetores independentes) por outro lado, fomos levados

naturalmente ao desenvolvimento da teoria dos vetores recíprocos. Mostraremos

oportunamente, em cada capítulo, a importância dos recíprocos para os "métodos

poliádicos", métodos esses que serão confrontados com o "modo cartesiano" ou tensorial.

Em resumo: no Cálculo Tensorial, as coordenadas desempenham um papel fundamental,

sendo usadas, entretanto, para provar que o que tem "caráter tensorial" independe de

coordenadas32. No Cálculo Poliádico é dispensável a coordenada para a formulação dos

problemas, mas é inevitável a recorrência indireta a uma base na forma de vetores

independentes.

O Cálculo Tensorial, de índole algébrica, foi essencial para a estruturação lógica e

matemática da Física. O Cálculo Poliádico, de índole geométrica, se nos apresenta mais

"natural" e mais "piedoso" para a mesma tarefa. Ao se efetuarem medidas das grandezas

(com o uso de suas componentes, necessariamente) os métodos poliádicos devem ser

degradados em métodos numéricos, tal como os métodos tensoriais. Mas a caça aos

invariantes pelos métodos poliádicos supera de longe, por sua simplicidade e elegância, os

métodos tensoriais, como pretendemos expor nesse texto.

§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores.

Chamam-se Deltas de Kronecker símbolos (adimensionais) contendo dois índices

em níveis diferentes e assim definidos, quando todos os seus índices assumem os valores do

conjunto {1,2,3}: valem a unidade positiva sempre que dois dos índices numéricos são

iguais e zero quando esses índices são diferentes. Representando-os por ij, ou por

ij,

escrevemos, sinteticamente:

ji para 0

ji para 1ji

j i , isso é: 1

1 = 22 = 3

3 =11=...= 1 e 1

2 = 13 = 2

3 = = ... = 0. (01).

Em função dos Deltas de Kronecker os produtos escalares de vetores recíprocos no

espaço euclidiano N dimensional EN (com N=1, ou 2, ou 3), podem ser escritos

resumidamente na forma:

.. ji

j ii

jji eeee , (i,j=1,2, ..., N), (02).

Chamam-se Permutadores (ou alternadores) símbolos (adimensionais) com N (=2,

ou 3) índices no mesmo nível, tais que quando todos os índices assumem todos os valores

do conjunto {1,2,...,N}:

32 Bertrand Russel manifestou-se a esse respeito, em sua "Análise da Matéria", Zahar Editores, Rio de Janeiro,

1978, Cap. VII, pag. 83: "...O método dos tensores primeiro determina coordenadas, e depois mostra como obter resultados que, embora expressos em termos de coordenadas, realmente não depende delas."



a) valham +1 sempre que os índices formem uma permutação par, considerando

como fundamental a permutação 1,2,...,N, isso é, sempre que os N índices ocorrem na

seqüência cíclica positiva 12 se N = 2, 12312 se N = 3;

b) valham -1 sempre que os índices formem uma permutação ímpar em relação à

permutação fundamental 12 ou 123, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência

cíclica negativa 21 se N = 2, ou 32132 se N = 3;

c) valham zero sempre que dois dos índices numéricos ocorrem repetidos.

Denotando estes símbolos por ij ou ij, se N = 2, e ijk ou ijk se N = 3, podemos

escrever:

1212

123 231 312123 231 312

2121

321 213 132321

2211 22

112 122

1

1

1

1

0

...

... =0= ...

11

221

Em resumo, para ijk:

no E2: 1jiij ; e no E3: 1jikikjkjikijjkiijk ,

todos os demais casos correspondendo à nulidade dos símbolos.

Não é difícil comprovar que as igualdades ((031) e (032),§ 03.02), ((02) e (021),§

03.03) podem ser escritas, em função dos permutadores, nas formas respectivas:

1,2),=j(i, ,)(

)(ou ,

)(

)(

2

21

21ji

ij2

21

21jiji

ee

eeee

ee

eeee

(03),

221

21j

iji )(

)(

ee

eeee

, ou

221

21j

i

ij

)(

)(

ee

eeee

, (i,j=1,2), (031),

k

ijk321ji)( eeeeee , ou

k

321ji

kij )(2 eeeeee , (i,j,k=1,2,3), (04),

k

ijk321ji )( eeeeee , ou k

321ji

kij)(2 eeeeee , (i,j,k=1,2,3), (041).

Em vista de propriedades da multiplicação mista relativas às permutações cíclicas e

anticíclicas das letras representativas dos vetores, podemos também escrever:

( ) ( ),e e e e e ei j k ijk (i, j, k = 1,2,3), 1 2 3 (05),

( ) ( ), (i, j, k = 1,2,3)e e e e e ei j k ijk

1 2 3

, (051).



Similarmente comprovaríamos que

21ijji eeee e 21ijji eeee , (052).

Produtos de Deltas de Kronecker.

Têm-se as seguintes fórmulas:

N

N (i, j, ...= 1,2, ... , N),

ij

jk

ik

ij

ji

ii

ij

nk

km

ij

nm

ij

jk

km

im

ij

jk

ki

ii

,

,

,

,

,

(06).

Demonstremos a primeira fórmula. Podemos escrever, em relação às bases

recíprocas {e*} e {e*}: j

j ij

jii )( ee.eee com i,j=1,2,...,N. Multiplicando escalarmente

ambos os membros por ek, temos, finalmente: k j

j i

kj

j i

k i

ki )( .ee.ee .

Aplicando (06)1, temos, sucessivamente: m i

m k

k i

m k

k j

j i .

Por procedimento análogo podemos demonstrar as demais fórmulas (06) que

traduzem uma “regra de substituição” no sentido de que na multiplicação de dois deltas que

apresentem índice repetido – dito índice mudo - o produto correspondente pode ser

substituído por um único delta cujos índices sejam aqueles não repetidos.

Produto de permutadores.

Teor. 1: Determinante de Gram (de um produto de permutadores)

Tem-se:

(i, j, m, n = 1,2);

i, j, k, m, n, p = 1,2,3),

ij

mn i

m

i

n

j

m

j

n

ijk

mnp

i

m

i

n

i

p

j

m

j

n

j

p

k

m

k

n

k

p

,

, (

(07).

Com efeito, para N = 3, podemos escrever, lembrando ((03),§ 03.03), (05) e (051):

ijk

mnp

ijk

mnp

i j k

m n p ( ) ( ) ( ) ( ).e e e e e e e e e e e e1 2 3

1 2 3

Agora, aplicando ((062),§ 03.03) e lembrando que e .eij

ij

, encontramos, logo, (07)2. A

demonstração de (07)1 é análoga à de (072), bastando considerar ((052), (053) e

(02),§03.02).

§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos. 52


Os determinantes (07) são denominados determinantes de Gram nos seus

respectivos espaços.

Corol. 1:

);( )( nmjin

jm j

n i

m imnk

ijk ee.ee

);( )(2 2 jmji

m i

mjkijk ee.ee

)( )(6 jiji

ijkijk ee.ee , (071).

Temos, com efeito, relativamente à primeira das fórmulas:

),(])[()( )(

)( )(

nmk

kji

nmk

kji

knm

kji

mnk

ijk

ee.e.eeee.ee.eee

eeeeee

donde, aplicando ((071),§ 03.03) ao primeiro fator e, em seguida, ((05),§ 03.03):

.

)()(

n

i

m

j

n

j

m

in

j

m

j

n

i

m

in

j

m

j

n

i

m

i

nm

ji

mnk

ijk

.ee.ee

.ee.ee

ee.ee

Fazendo n = j na primeira fórmula, considerando que jj

jj 3 e .e e que

jm

ij

im

(conforme (061)), encontramos, logo, a segunda; fazendo nesta, i = m,

deduzimos a terceira.

A partir de (04)1 e (041)1, aplicando (071)2, podemos demonstrar imediatamente a

validade de (04)2 e (041)2. Com efeito, multiplicando ambos os membros de (04)1, por

exemplo, por pij , e somando (em i e j), temos:

.)(22)()( p

321

kp

k321

k

kij

pij

321ji

pijeeeeeeeeeeeeee

§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos.

Ponhamos, em relação a bases recíprocas {e*} e {e*} de EN:

x e e y e e z e e X X Y Y e Z Z (i, j, k = 1,2,... , N).i

i i

i j

j j

j k

k k

k, ,

Teor. 1:

O produto escalar de dois vetores, expressos cartesianamente em bases

recíprocas, é igual à soma dos produtos das coordenadas contravariantes de

um pelas coordenadas co-variantes correspondentes do outro:

x . y X Y X Yii i

i (i = 1,2,...,N), (01).



Com efeito, aplicando propriedades da multiplicação escalar de vetores e as

definições dos Deltas de Kronecker, escrevemos: x. y e .e X Y X Yi

j i

j i

j ij , ou

x. y e .e X Y X Y (i, j = 1,2,... , N).i

j i

j i

j ij , Efetuando as somas indicadas em i e em j,

observando que para i j a parcela correspondente é nula, temos, logo, (01).

A regra da substituição (§04.02) pode ser estendida ao caso em que um dos fatores

não é um delta de Kronecker. Assim: ij

ij YY , o que é equivalente a efetuar a soma

indicada em j.

Corol. 1:

O quadrado escalar (ou a norma) de um vetor expresso cartesianamente

em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das suas coordenadas

co-variantes e contravariantes correspondentes:

x2 X X

i

i (i=1,2,...,N), (011).

Exercício: Comprovar que

vv e v e

e e

v e v e

e e

v e v e

e e:

, ) , , ) , , ) ,

cos ( cos ( )

cos ( , )

cos ( cos ( )

cos ( , )

cos ( cos ( )

cos ( , )1 2 3

11

1

22

2

33

3 1.

Teor. 2:

Tem-se, para o produto vetorial:

- para N=1:

oyx ,

- para N=2:

2121

21

YY

XXeeyx , e 21

21

21 YY

XXeeyx , (02);

- para N=3:

321

321

321

321

YYY

XXX)(

eee

eeeyx e

321

321

321321

YYY

XXX)(

eee

eeeyx (03)33.

Os casos N = 1 e N = 2 podem ser comprovados facilmente. O caso N = 3 também é

de comprovação imediata. Com efeito, se na fórmula geral ((061),§ 03.03) os vetores e1, e2

e e3 são considerados independentes, eles admitem um terceto recíproco; logo,

considerando a propriedade fundamental ((03), §03.03) e considerando que x.ei=Xi,

comprovamos (03)2. Analogamente comprovaríamos (03)1.

33 O desconhecimento ou o esquecimento dessas fórmulas podem nos levar a conclusões desastrosas. Veja artigo

do autor: "Um engano matemático repetido por 100 anos", Revista Escola de Minas, REM – Rev. Escola de Minas, Ouro Preto, 56(3):211-218, jul. set. 2003.



Corol. 1:

- para N = 2:

,YY

XX)()( e

YY

XX)()(

21

21

2121

2121 ee.yxee.yx (021);

- para N = 3:

,

YYY

XXX))(( e

YYY

XXX))((

321

321

321

321321

321

321

321

eee

eeeyx

eee

eeeyx (031).

Para comprovar estas fórmulas basta lembrar que as bases {e*} e {e*} são

recíprocas. Assim, por exemplo, multiplicando ambos os membros de (03)2 por (e1e2e3), e

lembrando ((03), § 03.03), encontraríamos, logo, (031).

Corol. 2:

Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente na mesma

base, sejam paralelos, é que as suas coordenadas homônimas

correspondentes nessa base sejam proporcionais.

Com efeito, pois se x e y são paralelos, oyx e (031)1 fornece, relativamente à

base {e*}, por exemplo, para N=3: X Y X Y X Y X Y X Y X Y 0,2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

isso é,

X

Y

X

Y

X

YK.

1

1

2

2

3

3

A recíproca se demonstra analogamente, isso é, se as coordenadas Xi e Yi dos

vetores x e y na base {e*} são proporcionais, então o determinante em (031)1 é nulo e

oyx ; logo .

Corol. 3:

Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente numa mesma

base, sejam iguais é que as suas coordenadas homônimas

correspondentes nessa base sejam iguais.

Teor. 3:

Tem-se, para o produto misto:

( ) ( ) ( ) ( ) ,xyz e e e xyz e e e 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

X X X

Y Y Y

Z Z Z

, ou

X X X

Y Y Y

Z Z Z

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(04);

( )( ) ( )( ) ,xyz e e e xyz e e e1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

X X X

Y Y Y

Z Z Z

, ou

X X X

Y Y Y

Z Z Z

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(05).

§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 55


Estas fórmulas são evidentes a partir da fórmula geral ((062),§ 03.03), devendo

observar-se, apenas, que, aqui, o terceto {e1,e2,e3} constitui uma base, sendo, então,

(e1e2e3)(e1e2e3) = 1 e Xi = x.ei, Xi = x.ei .

Nota: A multiplicação escalar de ambos os membros das (031) por z e a aplicação de propriedades elementares dos determinantes conduzem também a uma demonstração imediata dessas fórmulas.

Corol. 1:

Se det*

e det* representam os determinantes cujas linhas sejam formadas

com as coordenadas co-variantes e as contravariantes, respectivamente,

de três vetores quaisquer nas bases recíprocas {e*} e {e*

}, então:

det = det ( ) e det = det ( )1 2 3

2 1 2 3 2

e e e e e e , (051).

A demonstração é imediata porque, das (04), escrevemos: ( )det1 2 3e e e

( )det ;1 2 3e e e logo, considerando ((03),§ 03.03), comprovamos as (051).

Exercício: Determinar as equações cartesianas de retas e planos correspondentes às equações

vetoriais apresentadas no § 03.02 e no § 03.03.

§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de

vetores recíprocos.

Consideremos os N vetores independentes, ai, de EN, de representações cartesianas

na base {e*},

N),1,2,...,=j(m, A jj

mm ea (01).

No caso N = 1, a expressão cartesiana do recíproco a1 é de determinação imediata:

.A

11

11 ea

No caso N = 2, deve ser, conforme ((02)2,§ 04.03):

2

2

1

2

2

1

1

12121 AA

AA |A| com ),(|A| eeaa ;

logo,

)(|A|A)(21k

k

j21jeeeaaa .



Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por mj e somando em j obtemos, no

primeiro membro, aplicando ((03)1,§ 04.02), m2

21)( aaa ; aplicando ((03)2,§ 04.02) ao

segundo membro podemos escrever, então:

i

ik

2

21

k

j

mjm2

21)(|A|A)( eeeaaa ,

ou melhor, lembrando a expressão de a1×a2 e simplificando:

.|A|

A i

k

j

k i

mjmea

Examinemos as somatórias do segundo membro desta igualdade. Se m = i as parcelas não

nulas ocorrerão para j = k i e mjik

i m ( )1 1; se m i, as parcelas não nulas

ocorrerão para j = i e k = m, sendo, ainda, mjik

i m ( )1 1. Então, mj ik j

kA é o

co-fator (ou complemento algébrico) do elemento Ami em |A|. Pondo, então, cof(Am

i) = Ami,

escrevemos:

a em

mi i A

|A| (i, m 1,2). ,

No caso N = 3, escrevemos analogamente, lembrando ((04)1,§ 04.02):

i

irs321

s

k

r

jsr

s

k

r

jkj)(AAAA eeeeeeaa .

Multipliquemos o primeiro e o último membros por mjk/[2(a1a2a3)] e somemos. No

primeiro membro teremos a expressão de am, conforme ((04)2,§ 04.02); considerando que:

( ) | )a a a e e e1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0, A|( com |A|

A A A

A A A

A A A

1 1 1

2 2 2

3 3 3

e simplificando no segundo membro, resulta:

a em

mjk

irs jr

ks

iA A

2|A|

.

Para m = 1 e i = 2, por exemplo, temos:

)AAAA(AA3

k1j213

1k

3j231

1jksk

rj2rs

jk1



).cof(A2AA

AA2)AAAA(2

)AAAA()AAAA(

213

31

3

32

123

31

21

33

2

32

13

12

33

13233

12

13

32

123

Tal como no caso anterior, comprovamos que

mjk

irs jr

ks

mi m

iA A cof(A A 2 2) .

Logo:

a emm

i i A

|A| (i,m 1,2,3).

Em vista desses resultados podemos escrever, então, as expressões dos recíprocos dos

vetores dados por (01):

a emm

i i A

|A| (i,m 1,2,...,N), (02).

Multiplicando ambos os membros de (02) por an e depois por ek, temos:

|A| A e |A| A (i,k,m,n 1,2,...,N),nm m

ii

nm

km

k e .a a .e (A).

Mas, de (01), escrevemos: a .eri

ri

A . Logo, por substituição desta igualdade na

primeira das igualdades (A), onde façamos r = n, temos:

| ,A| A Anm m

i ni (i, m, n = 1,2,...,N), (03).

Multiplicando ambos os membros da segunda das igualdades (A) por Ami temos, ainda:

A A |A|( A A|( |A|m

k mi

k

m

mi

k

m

m

i

k

i e .a e .a a .e e .e) | )( ) ,

isso é,

A A A|m

k mi

ki| , (031).

As igualdades (03) e (031) traduzem interessantes propriedades dos determinantes:

1º)- É igual a zero a soma de todos os produtos dos elementos de uma fila de

um determinante pelos complementos algébricos dos elementos

correspondentes de outra fila paralela (i k);

2º)- Todo determinante vale a soma dos produtos dos elementos de uma fila

qualquer pelos seus respectivos complementos algébricos (i = k)34.

Multiplicando, agora, ambos os membros de (01) por Amk e aplicando (031) temos,

sucessivamente:

A A A |A| |A| km

m km

mj

j kj

j ka e e e ;

logo:

34 Para determinantes estas proposições são válidas para qualquer N finito.



e ak km

m

A

|A|, (m,k 1,2,...,N), (04).

As equações (04) são as inversas das (01).

Para N = 2,

2121|A| eeaa ,

e 2121 |X| eeaa .

Multiplicando membro a membro teremos: |A||X| = 1, ou |X| = |A|-1. Então, de (02), fazendo

m = 1 e 2, e multiplicando vetorialmente membro a membro, temos:

)(AA|A|

1 ji2

j

1

i 2

21eeaa .

O determinante

|~

,A|A A

A A

1 1

2 2

1 2

1 2

denomina-se adjunto de |A|; e tem-se:

21

2

21

|A|

|A~

|eeaa ,

isso é, considerando-se que |X| = |A|-1: |A| |A|~ .

Para N = 3 em (01), teríamos:

( ) |A|( ),1 2 3 1 2 3a a a e e e (B),

e, por (02), para m = 1,2 e 3:

|A| A|(3

( ) |~

),a a a e e e1 2 3 1 2 3

(C),

sendo

|~

.A|A A AA A AA A A

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Deduzimos, então, multiplicando membro a membro (B) e (C): |A| |A| .2~

Genericamente, então:

|A| |A| , (N 2 ou 3),N 1~ (05).

Representando por |R| o determinante das coordenadas dos vetores ei na base {a*

},

escrevemos, de (04):

|R| |A

|A||

|A|

|A|

mk

N

~

.

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. 59


Então, considerando (05): |A||R| |A||A|

|A|1.

N

~

O determinante |R| denomina-se o recíproco

(ou inverso) de |A|, sendo mais prático representá-lo por |A|-1. Temos, então:

|A||A|

|A|,

N 1

~

(06).

Assim:

O determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores de

uma base numa outra base é recíproco do determinante cujas linhas são

formadas pelas coordenadas dos vetores correspondentes dessa base

naquela.

§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos.

Vimos que as propriedades da figuras na Geometria ordinária podem ser buscadas de

uma maneira mais simples usando os métodos vetoriais. Isto também pode ser verificado

em Geometria Analítica (GA); as equações de retas e de planos, já deduzidas nos

parágrafos anteriores, respondem por essa afirmação quando as comparamos com as suas

expressões clássicas em GA.

Como exercício, o leitor poderá utilizar os conceitos relativos a expressões

cartesianas de vetores e produtos (§04.01 ao §04.03) para encontrar as várias formas de

equação de retas e de planos da GA em duas e três dimensões.

Desafio:

No (§ 03.03) os vetores x1, x

2 e x

3 são não coplanares (eles definem uma base) e

admitem recíprocos (x1, x2 e x3, respectivamente). Então, a equação cartesiana do plano

definido por x1, x2 e x3 é 1XXX 321 , desde que X1, X2 e X3 sejam as coordenadas

co-variantes do ponto corrente desse plano em relação à base {x1, x

2, x

3}.

§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES.

§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.

Consideremos a equação vetorial de variáveis escalares Xi,

a bi

iX (i 1,2,... , N), (01),

com b o e os ai independentes. Pelas considerações anteriores, o vetor a1 é paralelo a b,

no caso N = 1; os vetores ai e b são coplanares, no caso N = 2; os vetores ai e b são não

coplanares, no caso N = 3. Em qualquer caso, os vetores ai, independentes, definem uma

base nos espaços que lhes correspondem.

Sejam, em relação a uma base qualquer {e*

} = {e1,e2,...,eN} de EN:

a e b em mj

j

j

j A e B (m, j 1,2,... , N), (02).



Substituindo-se as (02) em (01), agrupando-se convenientemente, aplicando-se as

propriedades fundamentais e igualando-se as coordenadas homônimas dos vetores (iguais)

de ambos os membros, resultam as equações:

A X B (m, j 1,2,... , N),mj m j

(03),

ou, ainda, em forma expandida:

A X A X A X B

A X A X A X B

A X A X A X B

1

1

2

2

N

N 1

12 1

22 2

N2 N 2

1N 1

2N 2

NN N N

1 1 1

...

...

... ,

(031).

O sistema (031) tem N equações (N = 1, ou 2, ou 3) e N incógnitas. Na sua constituição

observa-se que os coeficientes Amj das incógnitas Xm são as coordenadas (contravariantes,

no caso) dos vetores am na base arbitrária {e*} do espaço vetorial EN; os termos

independentes são, analogamente, as coordenadas (contravariantes) do vetor b nessa mesma

base.

Claramente, vê-se que, fixada uma base {e*} de EN, a equação (01) e o sistema (031)

são equivalentes; resolvendo esse sistema, encontra-se a solução da equação vetorial, ou

vice-versa; solução essa que existe sempre porque o determinante do sistema (031) é não

nulo.

Por outro lado, observa-se que, escolhendo-se uma outra base, {r*}, de EN,

encontrar-se-ia certamente um sistema diferente de (031), equivalente à mesma equação

vetorial (01), uma vez que as coordenadas (co-variantes ou contravariantes, pouco importa)

dos vetores ai nessa nova base seriam certamente diferentes das primeiras (teríamos novas

expressões (02) para os vetores ai e b). Mas, pelos corolários 4 dos teoremas: 2 do § 03.01,

4 do § 03.02 e 6 do § 03.03, os números Xi (soluções da equação) são únicos; logo, os

infinitos sistemas (031) que podem ser formados a partir de (01) com uma Mudança de

Base, admitem a mesma solução. Diríamos, em outras palavras, que:

A solução da equação vetorial (01) é um invariante numa mudança de base

no espaço EN a que está referida; e a equação (01) será dita universal ou

tensorial em EN.

Ora, se a equação (01) independe de bases de EN, deverá certamente ser possível

determiná-la sem alusão a essas bases. Mas isso já é do nosso conhecimento, pois, com

efeito, os mesmos corolários atrás já referidos, dão:

X ,m m b.a (m=1,2,...N), (04),

uma vez que, sendo os am independentes em EN, os seus recíprocos, am, estão univocamente

determinados. Assim, concluímos que, dado um sistema do tipo (031), ao acaso, podemos

sempre montar uma equação vetorial do tipo (01) que lhe seja equivalente, impondo que os

coeficientes de cada incógnita sejam as coordenadas de N vetores a1, a2,...,aN em certa base

(virtual) de um espaço (virtual) de vetores e que os termos independentes sejam as



coordenadas de um vetor b nessa mesma base desse espaço. Resolvida essa equação

vetorial por aplicação de (04), teremos, então, as soluções de (031). Por já termos deduzido,

no parágrafo anterior, as expressões cartesianas de sistemas de vetores recíprocos, a

aplicação das fórmulas (04) dá imediatamente as incógnitas Xm. De fato, considerando

((02),§ 04.04), escrevemos: ,B|)A|/A(X jij

imm .ee ou, operando e somando:

XA

A B (i,m=1,2,...,N),m im i

1

| |, (041),

expressão na qual, relembremos, Ami = cof(Am

i) em |A*| = |Ami|.

Se expressarmos os vetores am e b na base {e*}, isso é, pondo:

a e b em mj

j

j

jA e B (m, j 1,2,... , N),

então (04) dá expressão análoga a (041) para Xm:

X1

|A |A B , (m, i 1,2, ... , N),

m mi

i

(042),

onde Ami = cof(Ami) em |A*

| = |Ami|.

Por outro lado, se pretendêssemos a expressão das incógnitas em função dos vetores

(conhecidos) figurantes na equação vetorial (01), escreveríamos:

- para N = 1,

X(

, pois ,1 1 b.a

aa

a

a

1

12

1

12

)

| | | | (05);

- para N = 2, aplicando ((03)1,§ 04.02) e propriedades da multiplicação mista de

vetores:

2

21

21kmkmm

)(

)()(X

aa

aa.abb.a

,

ou,

,)(

)()(X e

)(

)()(X

2

21

2112

2

21

2121

aa

aa.ab

aa

aa.ab

(06);

- para N = 3, aplicando ((04)2,§ 04.02):

X (m,i, j 1,2,3);m m mij i j b a

ba a

a a a.

( )

( ),

2 1 2 3

ou, fazendo m = 1,2,3, somando i e em j e aplicando propriedades da multiplicação mista:

X X X1 2 3 ( )

( ),

( )

( ),

( )

( ),

ba a

a a a

a ba

a a a

a a b

a a a2 3

1 2 3

1 3

1 2 3

1 2

1 2 3

(07).

O leitor pode, facilmente, comprovar a equivalência das expressões (05), (06) e (07)

com as expressões (041) e (042). Importa frisar, entretanto, que as expressões (05), (06) e

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. 62


(07) são universais, isso é, elas são válidas em qualquer base; nas bases recíprocas {e*} e

{e*}, particularmente, elas assumem as formas (041) e (042).

Se pusermos:

|A |

B A A

B A A

B A A

|A |

A B A

A B A

A B A

etc,1

1

N

1

2

N

2

N N

N

N

2

1

1

N

1

1

2

N

2

1

N N

N

N

1

2

2

2

2

1

2

,

e

|A |

B A A

B A A

B A A

etc,1

1 N1

2 N2

N N NN

21

22

2

escreveremos:

X|A |

|A |

|A |

|A | (i 1,2, ... , N),

ii

i

(043).

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante.

Deve ser salientado que, não obstante a invariância dos Xi, os determinantes |Ai|,

|Ai|, |A*|, |A*| em ((043),§05.01), bem como os seus elementos, variam em geral com as

bases escolhidas. Tais determinantes só serão invariantes em relação a bases

unimodulares, ou seja, bases tais que: (e1)2 = 1, se N = 1; (e1

×e2)2 = 1, se N = 2 e (e1e2e3)

2 =

1, se N = 3. São unimodulares, por exemplo, as bases ortonormadas: aquelas formadas por

um unitário se N = 1 e unitários ortogonais se N = 2 ou N = 3.

Dissemos que algo tem caráter universal ou tensorial quando independe de bases

ou, o que é o mesmo, independe de sistema de referência. Assim é uma equação vetorial de

variáveis escalares, posto que os vetores que a compõem, e a sua solução, são universais,

conforme já mostramos (§05.01). Por comodidade, para facilidade de cálculos ou de

medições experimentais, uma equação vetorial poderá ser resolvida em relação a uma base

virtual particular. Mostraremos agora, entretanto, que nem tudo que é geral e invariante

numa base particular é igualmente geral e invariante em qualquer outra base.

Se o estudo de um particular evento, envolvendo grandezas vetoriais (como num

sistema físico ou numa figura geométrica), é feito vetorialmente (sem alusão a qualquer

base), esse estudo é universal e as propriedades daí deduzidas são universais. Entretanto, os

"resultados" oriundos desses eventos, deduzidos relativamente a uma base particular,

podem não ter ampla generalidade.

Com efeito, pondo, para i, j, ... = 1,2,...,N:

x e e a e e X X e A A ,i

i j

j i

i j

j

temos:

0AA ,0XX ,XAXAi

i2i

i2iii

i axa.x ,

e

§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. 63


)AXAX)(AXAX()(2rmmr

rmmr2 ax , (r,m=1,2, ..., N).

Substituindo esses resultados na identidade vetorial de Lagrange ((07),§ 02.05),

escrevemos, então:

A A X X A X A X +

+12

(X A X A )(X A X A ), (i, j, r, m 1,2, ... , N),

ii

jj

ii j

j

r m m rr m m r

(01),

identidade que denominamos: identidade das 4N letras.

Para destacar, poremos:

A A, A B, A C, A A' , A B' , A C' ;

X X, X Y, X Z, X X' , X Y' , X Z' .

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Assim, deduzimos de (01) os seguintes casos particulares:

- para N = 2:

(AA' +BB')(XX' +YY')

(AX' +BY')(A' X + B' Y) + (XB YA)(X' B' Y' A' ),

(011);

- para N = 3:

(AA + BB' +CC')(XX' +YY' + ZZ' )

(AX' +BY' + CZ' )(A' X + B' Y + C' Z) +

+ (XB YA)(X' B' Y' A' ) + (ZA CX)(Z' A' C' X' ) +

+ (YC ZB)(Y' C' Z' B' ),

(012).

Quando os vetores estão referidos a bases ortonormadas, as coordenadas co-

variantes e contravariantes dos vetores são idênticas. Nestas condições, das identidades

(011) e (012), resultam como casos mais particulares, respectivamente, as clássicas

identidades de Fibonacci:

(A + B )(X +Y ) (AX + BY) +(XB YA) ,2 2 2 2 2 2 (013),

e de Lagrange,

(A + B + C )(X + Y + Z )

(AX + BY + CZ) + (XB YA) + (ZA CX) + (YC ZB) ,

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

(014)35.

35 Essas identidades especiais são referidas por E. Lucas, para números inteiros, em sua obra Theorie de

Nombres, Gauthier-Villar, 1891, Livre I, Chapitre VIII, seção 69. Na seção 70 Lucas afirma que Lagrange

generalizou essas identidades para um número qualquer de quadrados. Podemos encontrar essas mesmas fórmulas com a “identidade diádica de Lagrange” (ver § 11.01, Cap. II).

§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas. 64


•

Devemos destacar dois aspectos fundamentais em torno da idéia de que as bases têm

igual “status" no estudo dos fenômenos físicos e das figuras geométricas.

As leis naturais e as propriedades das figuras geométricas são verdades

independentes de observadores, de bases ou de referenciais. Toda medida ou conjunto de

medidas, entretanto, é dependente de uma referência; assim, um mesmo vetor tem

diferentes conjuntos de coordenadas (suas medidas) em relação a diferentes bases. Com

esses conjuntos de medidas é possível formular juízos sobre o sistema em estudo. Um juízo

somente será elevado à categoria de lei natural ou de propriedade de uma figura se, com

uma mudança de base, ficar assegurada a invariância do mesmo (já que ele deve independer

de base).

Esse modo de proceder, além de natural, parece ser realmente correto. Devemos,

entretanto, estar alertas para os dois aspectos seguintes, para não incorrermos em

impropriedades:

1º) Nem sempre o que é invariante em relação a mudanças de bases particulares é

igualmente invariante em relação a mudanças de bases quaisquer. Assim, por exemplo: os

determinantes det* e det* das coordenadas co-variantes e contravariantes de três vetores

independentes são iguais e invariantes em relação a mudanças de bases ortonormadas, mas

diferentes e variantes em relação a mudanças de bases quaisquer. Com efeito, conforme

((05),§ 04.03), o invariante (xyz) - volume do paralelepípedo construído sobre x, y e z -

pode ser escrito nas formas:

( ) ( ) ( ) .xyz e e e e e e

1 2 3

1 2 3det det

Logo, serão variáveis, necessariamente, det* e det*, uma vez que, obviamente, os produtos

mistos dos vetores de base dependem dessas bases.

2º) É sabido que bases particulares, geralmente as ortonormadas, favorecem e

simplificam cálculos. Esse favorecimento, entretanto, pode ocultar juízos (propriedades)

mais gerais, facilmente determináveis em bases quaisquer. Com efeito, como mostramos,

(013) e (014), válidas em bases ortonormadas, são casos particulares de (011) e (012),

relativas a bases quaisquer.

Façamos, pois, uma advertência:

Resultados gerais e invariantes em relação a bases especiais podem ser

particularidades e variâncias em relação a bases quaisquer.

§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas.

A identidade das 12 letras, ((012), § 05.02), refere-se a dois vetores expressos

cartesianamente em bases recíprocas. Podemos deduzir esta mesma identidade a partir de

quatro vetores expressos cartesianamente numa mesma base ortonormada { , , }i j k . Sejam:

s i j k

x i j k

r i j k

y i j k

A + B + C ,

X + Y + Z ,

A' + B' + C' ,

X' + Y' + Z' .

§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas. 65


Aplicando ((03),§ 04.03) para o caso particular de bases ortonormadas, escrevemos:

).XBYABX)((AY+)ZAXCAZ)((CX+

+)YCZB)(YCZB(

ZYX

CBA

ˆˆˆ

ZYX

CBA

ˆˆˆ

)()(

kji

.

kji

yr.xs

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos também:

ZZYYXXCZBYAX

ZCYBXACCBBAA)()(

x.yx.r

s.ys.ryr.xs .

Igualando os últimos membros das expressões obtidas de (s×x).(r×y) encontramos

facilmente (012), § 05.02.

Finalmente, para gáudio dos algebristas, podemos "super generalizar" a identidade

(01), § 05.02, deduzindo a "identidade das 8N letras". Sejam, para i = 1,2,...,N:

s e e x e e r e e y e e S S ; X X ; R R ; Y Y ,i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i

as representações cartesianas dos vetores s, x, r e y nas bases recíprocas {e*} e {e*}.

Para o caso N = 3, por ((03),§ 04.03) escrevemos:

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

321

YYY

RRR

XXX

SSS

YYY

RRR

XXX

SSS)()(

eee

.

eeeeee

.

eee

yr.xs ,

isso é, utilizando a convenção somatória:

)YRY)(RXSX(S2

1)YRY)(RXSX(S

2

1)()( ijji

ijjiijjiijji yr.xs , (01).

Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos:

jj

jj

ii

ii

jj

jj

ii

ii

YXRX

YSRS

YXRX

YSRS)()(

x.yx.r

s.ys.ryr.xs , (011),

ou, j

j

i

i

j

j

i

ij

j

i

i

j

j

i

i RXYSYXRSRXYSYXRS)()( yr.xs , (012).

Se igualarmos o penúltimo membro de (01) com o penúltimo membro de (012), ou o

último membro de (01) com o último membro (012), obteremos novas identidades com 12

letras, idênticas entre si, mas distintas de (01), § 05.02):

§ 06 - O tensorialismo das expressões vetoriais. 66


jj

ii

jj

ii

ijjiijji RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S

2

1 , (013),

ou

jj

iij

ji

iijji

ijji RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2

1 , (014),

Particularmente, se os vetores forem referidos a uma base ortonormada, pondo, então:

x(X,Y,Z), y(X’,Y’,Z’), r(A,B,C) e s(A’,B’,C’),

obteremos a identidade:

(A’Y-B’X)(AY’-BX’)+(B’Z-C’Y)(BZ’-CY’)+(A’Z-C’X)(AZ’-CX’)=

=(AA’+BB’+CC’)(XX’+YY’+ZZ’)-(AX+BY+CZ)(A’X’+B’Y’+C’Z’), (015).

Entretanto, da soma do penúltimo membro de (01) com o último membro de (012)

igualada com o último membro de (01) somado com o penúltimo membro (012), obteremos

a seguinte identidade:

,RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2

1

RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2

1

jj

iij

ji

iijjiijji

jj

iij

ji

iijjiijji

(02).

O desenvolvimento das somatórias indicadas para vetores do E3 implica escrever a

identidade acima na forma:

)RX+RX+R)(XYS+YS+Y(S

)YX+YX+Y)(XRS+RS+R(S+)YRY)(RXSX(S+

+)YRY)(RXSX(S+)YRY)(RXSX(S

33

22

11

33

22

11

33

22

11

33

22

113223

3223

13311331

21122112

).RX+RX+R)(XYS+YS+Y(S

)YX+YX+Y)(XRS+RS+R(S+)YRY)(RXSX(S+

+)YRY)(RXSX(S+)YRY)(RXSX(S

33

22

11

33

22

11

33

22

11

33

22

113223

3223

13311331

21122112

Não é difícil comprovar que (02) é válida para i, j = 1 (identidade óbvia) e i, j = 1,2

(identidade das 16 letras); isso é, para i,j = 1,2,...N, (02) é a "identidade das 8N letras"36.

36 Essas identidades são válidas quaisquer que sejam os sinais de i

i ii XX eSS porque uma das bases escolhidas

poderia ser positiva e a outra negativa.

•

§ 06 - O caráter tensorial das expressões vetoriais. 67


Em estudos avançados, criam-se espaços vetoriais abstratos de um número qualquer

(finito ou infinito) de dimensões. Não é difícil, apenas trabalhoso, mostrar que (02) é válida

para um número qualquer, N, finito. Para N tendendo para o infinito, muitas considerações

devem ser preliminarmente estabelecidas no estudo da questão; isto, entretanto, está muito

além das pretensões desta exposição.

§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS.

A criação dos conceitos de base e coordenadas de vetores em relação a uma base

levou-nos, no § 04.01, a um primeiro contato com o Tensorialismo. Do § 04.02 ao § 04.04

aplicamos a técnica das coordenadas para expressar produtos (escalares, vetoriais e mistos),

e condições geométricas diversas entre vetores (paralelismo, perpendicularidade e

coplanaridade). Nessa ordem de idéias mostramos no § 05 que a solução de uma equação

vetorial é um invariante numa mudança de base. Apresentamos essa solução na forma

cartesiana ((043), § 05) e na forma vetorial ((04), § 05). Neste mesmo § 05 mostramos que

com a adoção da técnica das coordenadas expomo-nos ao risco do empecilho de enxergar

mais longe; com efeito, ((02),§05.03) não é uma identidade mais geral que ((012),§05.02) ?

Com essas exemplificações modestas, mas didáticas - que de forma alguma

pretendem fechar definitivamente essas discussões - concluímos que as representações

cartesianas de produtos, de condições geométricas entre vetores, de soluções de uma

equação vetorial etc., variam com as bases escolhidas; os produtos, em si, e as expressões

vetoriais tradutoras de condições geométricas e as soluções de equações vetoriais, ficam

invariantes em EN. Assim, diríamos:

1°) - aiXi = b é uma equação vetorial cujas soluções são Xi = b.ai ;

2°) - (x.y)2+(xy)2 = x2y2 é a identidade universal de Lagrange ;

3°) - (sx).(ry)=(s.r)(x.y)-(x.r)(s.y) é a “super” identidade (universal) de

Lagrange (que tem a anterior como caso particular)... e coisas tais.

O que importa, nesse instante, é destacar o tensorialismo ou o universalismo das

expressões vetoriais em EN. Particularmente, é mister considerar-se o vetor, na forma como

o concebemos no § 01.01, como um tensor, já que os conceitos que o caracterizam:

módulo, direção e sentido têm o mesmo significado para todos os observadores. Em vista

das considerações anteriores, é necessária certa cautela nas conclusões quando a

consideração de um tensor é feita em relação a bases particulares.

Bibliografia 68


BIBLIOGRAFIA.

É bastante extensa a bibliografia existente sobre Vetores. Limitamo-nos aqui à

listagem apenas das obras que tiveram uma maior influência na exposição.

1 - 1901: GIBBS, J. W. and WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New

Haven, Connecticut, USA, 436 pp. (Yale Bicentennial Publications, Dover).

Republished in 1913, 1916, 1922, 1925, 1929, 1931, 1943, 1947 and 1948.

2 - 1921: WEATHERBURN, C. E., Elementary Vector Analysis (with applications to

Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltda, London, 184 p.. Reeditado em

1926, 1928 e 1931.

3 - 1927: SANTOS, C. C., Cálculo Vetorial - (Lições professadas na Escola de Minas de

Ouro Preto), Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, Ouro Preto

159. p.

4 - 1929: BRICARD, R., Le Calcul Vectoriel, Librairie Armand Colin, Paris. Reeditado em

português, em 1958, pela Editora Ao Livro Técnico Ltda., Rio de Janeiro, 184

p.

5 - 1937: CARAÇA, B. J., Cálculo Vetorial, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa,

254 p. Reeditado em 1957.

6 - 1953: DIAS, A. T., Álgebra Vetorial e Exercícios, Oficinas Gráficas da Escola de Minas

de Ouro Preto, 109 p.

7 - 1960: MOREIRA, L. C. A., Vetores recíprocos, Boletim n° 8, Departamento de

Matemática, Escola de Minas de Ouro Preto.

8 - 1974: CALAES, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, Imprensa da Universidade Federal

de Ouro Preto, 328 p. Reeditado em 1979 pela Fundação Gorceix, Ouro Preto,

tomos I e II, com 415 p..


CAPÍTULO II

DIÁDICOS

§ 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E

DE VALOR VETOR.

É intuitivo o conceito de variável numérica: uma letra X que pode representar

qualquer número de dado conjunto de números. Por analogia, uma variável vetorial é uma

letra que pode representar um vetor qualquer de dado conjunto de vetores. Assim, por

exemplo:

1º) r poderia representar o conjunto de todos os vetores paralelos a dado vetor

unitário r - esses vetores seriam, então, vetores de dado E1 -, caso em que

rrr ˆ||

Se |r|, variável numérica, varia dentro de um intervalo conhecido, os vetores r ficam

determinados; a variável vetorial r representa, assim, qualquer um dos vetores desse

conjunto, ou seja, do espaço E1 (§ 04,I)37;

2º) Se a é um vetor cuja direção, módulo e sentido não se alteram, a é dito um vetor

constante. Imaginemos, entretanto, o vetor a com a sua origem deslizando sobre dada reta

(r). Em relação a certo ponto fixo, O, do espaço, os conjuntos dos vetores x de origem O e

extremidade em pontos X de (r), e os axx ' ficam, então, determinados; e as variáveis

vetoriais x e 'x podem representar cada vetor dos respectivos conjuntos (Fig.01.01). Assim,

a X0 corresponderia o vetor x0 de um conjunto e o vetor 0x do outro conjunto; a X1

corresponderiam x1 e 1x etc..

Se X é uma variável numérica e Y outra variável numérica que dependa de alguma

forma da variável X, escrevemos: Y=F(X); F expressa essa dependência e dizemos que Y é

função de X. A variável Y é dita o valor da função e X o seu argumento.

37 Conforme nossas "Convenções", com (§ 04,I) estamos nos referindo ao § 04 do cap.I.


Podemos estender estes conceitos aos vetores. Consideremos o segundo exemplo

atrás citado. Como a cada ponto X de (r) podemos fazer corresponder o vetor xam e o

escalar M = a.x, dizemos que m e M são funções de valor vetor e valor escalar,

respectivamente, do vetor x; o vetor x é dito também o argumento da função. Se a cada x

corresponde um e um único vetor m ou escalar M, como no caso do exemplo citado,

dizemos também que as funções vetoriais xa e a.x são unívocas.

Genericamente representaremos por f(x), f em negrito, uma função de valor vetor de

um vetor x; e por F(x), F ao natural, uma função de valor escalar do vetor x. Assim, em

resumo, diremos que f(x) e F(x) são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente,

do argumento vetor x. Esta notação é adequada porque ela permite facilmente distinguir

uma função de valor escalar e argumento vetor de uma função escalar ordinária (de variável

numérica).

Do ponto de vista geométrico podemos entender uma função de valor vetor e

argumento vetor como alguma operação sobre o argumento que transforma esse vetor no

valor da função (que é outro vetor). Assim diremos também que f(x) é o transformado de

x mediante a função f( ).

Uma função de valor vetor, v, que tenha por argumento uma combinação linear de

vetores: x = Xixi, é dita linear, e se escreve v = l(x), se

v l x l x l x ( ) ( ) ( ),X Xii

ii (01),

donde

o l o ( ) , (011).

Assim, por exemplo, conforme sabemos (§ 02.04 e § 02.05,I), sendo

)(X)X(i

i

i

ixaxaxam ,

e

M X Xi

i

i

i a.x a. x a.x( ) ( ),

para a vetor constante e x variável, concluímos que as operações de multiplicação vetorial e

escalar de vetores são, respectivamente, funções lineares de valor vetor e valor escalar,

entendendo-se:

al() , ou a.l () .

Doravante todas as funções a serem consideradas serão funções lineares de

argumento vetor e valor vetor, razão pela qual a ela nos referiremos apenas como função

vetorial linear ficando o restante subentendido, salvo onde for observado o contrário.

Além disso, todos os índices deverão assumir os valores do conjunto {1,2,...,N},

sendo N = 1, ou N = 2, ou N = 3, casos em que estaremos nos referindo a espaços uni, bi e

tridimensionais de vetores, respectivamente (§ 04,I).

§ 01- Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor 71


Teor. 1: Uma função vetorial linear na reta, no plano e no espaço, fica univocamente

determinada se são conhecidos os seus valores para um vetor não nulo, dois

vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente.

Com efeito, se bi são os transformados de N vetores independentes ai mediante a

função l( ), isso é, se )( ii alb então o transformado de qualquer vetor x = Xiai (i =

1,2,...,N) é

ii

ii

ii X)(X)X()( balalxl .

Como por hipótese são conhecidos os Xi e os bi, resulta l(x) determinada.

A função vetorial linear, entendida como uma operação é também dita operadora de

uma transformação linear. Esta nomenclatura tem mais sentido geométrico (matemático)

do que físico, mas pode ser entendida de uma forma bem ampla.

Em relação ao espaço N dimensional o conceito de transformação linear pode ser

entendido de três pontos de vista:

1º) - ponto de vista algébrico. A transformação linear x’ = l(x) é uma operação que

transforma um conjunto ordenado de N números reais (coordenadas do vetor x em certa

base) em outro conjunto ordenado de N números reais (coordenadas de x' na mesma base a

que se refere x) através de relações lineares;

2º) - ponto de vista geométrico. Seja P(Xi) o ponto genérico de um domínio D, N

dimensional, definido em relação a um sistema cartesiano por equações Xi = Xi(A1, A2,

...,AN), i = 1, 2, ..., N, onde os parâmetros Aj variam dentro de intervalos definidos. Seja

P'(Xi) o ponto de um domínio D' tal, que

jj

ii X AX'ou ),(' xlx (i,j=1,2,...,N), (02),

onde os Ai j não dependem dos Xj. Uma função vetorial linear pode, pois, ser entendida

como uma transformação de pontos P de D em pontos P' de D';

3º) - ponto de vista físico. Nesse caso a transformação linear não pode ser entendida

de um modo tão elementar quanto o algébrico e o geométrico. Diríamos que a

transformação linear, em Física, é a própria expressão da lei física representativa de dado

fenômeno que correlacione duas grandezas vetoriais na forma (01). Por exemplo, na lei de

Newton: f = Ma, da Mecânica, a massa M proporcionaria uma transformação linear da

aceleração em força atuante, ou, o inverso da massa proporcionaria uma transformação da

força atuante em aceleração; similarmente, diríamos que a carga elétrica proporciona uma

transformação do campo elétrico em força atuante, conforme a expressão clássica: f=Qe.

É curioso observar que, do ponto de vista geométrico, a transformação linear tem um

"significado físico" - um transporte de pontos de D para D' - enquanto que em Física pode

parecer não caber, em geral, qualquer "significado geométrico" para as leis físicas. Por

outro lado, poder-se-ia questionar: quais seriam as equações (02) se interessasse conhecer o

tempo para D transformar-se em D'? Quais seriam as trajetórias, as velocidades, as

acelerações dos pontos? Paralela e relativamente às leis físicas, faria sentido questionar, por

exemplo: em quanto tempo ou com que velocidade, o inverso da massa de um corpo

transforma a força atuante em aceleração? Está fora do escopo destas "Lições" a análise de

algumas destas questões.

§ 02.01- Definições e notações. 72


§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES

FUNDAMENTAIS.

§ 02.01- Definições e notações.

Vimos (§ 03, I) que qualquer vetor x pode ser expresso nas formas

x x.e e x x.e e ( ) ( ) ,ii i

i ou (i = 1,2,...,N), (01),

onde, relembremos, N (= 1, ou 2, ou 3) é a dimensão do espaço a que pertence x. Nestas

expressões é até dispensável o uso dos parênteses, uma vez que relações do tipo

x x. e e x x. e e ( ) ( ),ii i

i ou (i = 1,2,...,n finito), (02),

não têm, até o momento, nenhum significado.

Poderíamos, por outro lado, postular que as (02) acarretassem as (01),

correspondentemente, caso em que estaríamos admitindo: 1º)- uma expressão do tipo (eiei),

ou (eiei), obtida por somas simbólicas de "produtos justapostos" de vetores de um conjunto

de N vetores independentes pelos seus correspondentes recíprocos; 2º)- uma operação entre

esta expressão e o vetor x que gerasse o próprio x. Isto constitui, de fato, nosso interesse,

mas de uma forma mais ampla.

Objetivando generalizar a expressão e a operação atrás referidas, consideremos dois

dados conjuntos ordenados de P vetores quaisquer, duas P-plas de vetores:

finito), (P },...,,,{=}{ e },...,,,{=}{P321P

P321P bbbbbaaaaa (03),

onde cada vetor aj do conjunto {a}P tem um correspondente bj no conjunto {b}P, qualquer

um dos vetores podendo pertencer a um E1, a um E2 ou ao E3.

Chamam-se díades desses conjuntos, quaisquer "produtos justapostos" de um

vetor de um dos conjuntos com o seu correspondente do outro conjunto, sem nenhuma

interposição de sinal de operação entre eles; por isso mesmo esses símbolos foram

chamados por Gibbs de produtos indeterminados. São díades, então, os símbolos

abstratos:

a b a b a b1

1

2

2, ,..., .

P

P

Da esquerda para a direita, o primeiro e o segundo vetores em cada díade são ditos,

respectivamente, o antecedente e o conseqüente da díade.

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. 73


Chama-se diádico dos conjuntos {a}P e {b}P, nessa ordem, a soma simbólica e

abstrata de todas as suas díades, em qualquer ordem. Assim,

1

1P

P2

2i

iP

P2

21

1 ...... bababababababa , (i=1,2 ... ,P) (04),

justificando-se a notação compacta do produto justaposto de vetores do último membro

desde que convencionemos aplicar-lhe a convenção somatória (§ 02.02, I).

Os vetores dos conjuntos {a}P e {b}P são ditos, respectivamente, os antecedentes e

os conseqüentes do diádico. Dizemos que o diádico é gerado de EN se todos os seus

antecedentes e conseqüentes são vetores desse EN.

Quando, em (03), P = 1, diz-se que o diádico está escrito em forma monomial;

quando P = 2, em forma binomial; quando P = 3 em forma trinomial e, geralmente, em

forma polinomial ou P-nomial (quando se pretende especificar o número de díades).

Notação:

Manteremos a notação introduzida (§ 01.01, I) para vetores e números. Os

diádicos serão representados, na maioria das vezes: 1º)- pelas letras

minúsculas do alfabeto grego, em negrito: , , etc., salvo onde for

observado o contrário; 2º)- também pelas latinas maiúsculas em negrito e

ocasionalmente em itálico e negrito.

§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos

paralelos.

Chama-se produto de um diádico (e, portanto, de uma díade) por um número M, e

representa-se por M ou M, o diádico que se obtém de multiplicando os seus

antecedentes ou os seus conseqüentes por esse número, ou, ainda, distribuindo o número A

de alguma forma (por fatoração arbitrária) entre todos os antecedentes e todos os

conseqüentes de . Assim, se M = A.B, então:

M = M( ) = (M ) = M A Bj

j

j

j

j

j

j

j a b a b a b a b( ) ( )( ), (01).

A multiplicação do diádico por um número real M é a operação que tem por fim

determinar o produto M = M.

Por analogia com os vetores, os diádicos e M serão ditos paralelos.

§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor.

Chama-se produto pontuado anterior (posterior) do diádico = ajbj (j = 1,2,...,P)

pelo vetor r, e representa-se por .r (r.), lendo-se ponto r (r ponto ), o vetor que se

obtém como uma multiplicidade vetorial linear dos seus antecedentes (conseqüentes) cujos

§ 02.03- Multiplicação escalar entre diádico e vetor. 74


coeficientes são os produtos escalares dos correspondentes conseqüentes (antecedentes)

pelo vetor r38. Assim:

. r a b .r a b .r a b .r a b .r ( ) ( ) ( ) ( ) ... ,j

j

j

j

1

1

2

2 (01),

ou,

r. r. a b r.a b r.a b r.a b = ( ) = ( ) = ( ) + ( ) +... ,j

j

j

j

1

1

2

2 (011).

A multiplicação pontuada de diádico por vetor é a operação que tem por fim

determinar o produto escalar anterior ou o posterior do diádico pelo vetor. É uma operação

sempre possível e unívoca, porque o são as operações vetoriais em (01) e (011).

Propriedades.

1º) - O produto pontuado (anterior ou posterior) de qualquer diádico pelo

vetor nulo é sempre o vetor nulo.

: , o. .o o (02).

Com efeito, pois em (01) teríamos: . o a b .o o i

i( ) similarmente, em (011),

o. o.a b o ( ) .ii

38 Gibbs denominou este produto de "direct product of into r".

2º) - A operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva

em relação a adição de vetores, isso é:

M( ) (M ) (M ) e ( + +...) + +..., .r . r .r . a b .a .b (03).

Tem-se:

M( ) M ( ) M( M Mj

j

j

j

j

j . r a b .r a b .r a b . r . r [ )] [ ( )] ( ),

e

. a b a b . a b a b .a a b .b .a .b( + +...) [ ( + +...)] ( ) +i

i

i

i

i

i ( ) ... ....

Assim, genericamente, se, em relação à base {e*}:

r eR ii , (para i=1, 2, ..., N), então, (R ) R ( Ri

ii

ii

i .r . e .e .e ) , (031).

3°) - A operação é associativa em relação a fatores vetores se o diádico está

entre vetores:

a b a. .b a. .b a. .b, , ( ) ( ) : , (04).

§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L. 75


§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L..

Teor. 1:

Qualquer diádico, quando usado como pré-fator ou pós-fator em

multiplicação pontuada por vetor, é operador (ou regente) de uma

transformação linear (T.L.); reciprocamente, toda T.L. sobre vetores (na

reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um

diádico para ser usado como pré ou pós-fator em multiplicação pontuada

por vetor.

Com efeito, o teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação

pontuada de diádico por vetor, nas formas das expressões ((01) e (011), §02.03) e da

definição de transformação linear dada por ((01), §01), bastando entender-se l . (l

idêntico a ponto).

Reciprocamente, se l é uma função vetorial linear (representativa de uma T.L.)

determinada pelo conhecimento dos vetores bi, transformados dos vetores independentes ai

(Teor.1, §01), tem-se (lembrando a teoria dos recíprocos, § 03, I):

l a b b b a .a b a .a( ) ( ) ( ) ,i i j ij

jj

i jj

i (i, j=1,2,...,N).

Assim, denotando por o diádico bjaj - único, porque são conhecidos os bj e os aj se

determinam univocamente - podemos escrever:

l a .a( ) .i i Como também se possa escrever:

l a b b a .a b a . a b( ( ) ( ),i i ij

j i

j

j i

j

j) (i, j 1,2,... , N),

resulta, pondo = ajbj (diádico também único ): l a a .( ) ,i i como queríamos demonstrar.

Corol. 1:

Um diádico gerado de um EN fica univocamente determinado quando são

conhecidos os seus produtos pontuados por N vetores independentes

quaisquer de EN, isso é,

ab .a b a

c a . a ci

i i i

i

i i

i

i

independentes (i = 1,2, ... , N),

(01).

Corol. 2:

Dadas duas N-plas de vetores independentes de EN, existe sempre um e

um único diádico que, usado como pré ou pós-fator, transforma uma N-pla na outra.

§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L. 76


Aplicação:

Mostrar que em qualquer T.L. no E3, pontos dependentes de uma reta ou de

um plano transformam-se, respectivamente, em pontos dependentes de uma

reta ou de um plano.

Denotemos por o diádico que rege a transformação de pontos R em pontos R', isso

é, seja r' = .r. Os vetores posição r1, r2 e r3 de três pontos colineares R1, R2 e R3 satisfazem

a função vetorial linear Airi = o, (i = 1,2,3), com A1+A2+A3 = 0 (Teor. 5, §03.01, I). Logo,

lembrando ((031), §02.03): Airi' = Ai(.ri) = .(Airi) = .o = o, o que mostra serem os

pontos R1', R2' e R3' também colineares.

Similarmente podemos demonstrar o caso em que os pontos são dependentes de um

plano recorrendo ao Teor. 9, §03.03, I.

§ 02.05 - Transposição diádica.

Teor. 1: A operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor não é

comutativa, isso é,

.r r. ,

o que é evidente pelas ((01) e (011),§ 02.03).

Observemos, porém, que das ((01),§ 02.03) podemos, ainda, escrever:

.r a b .r r.b a r. b a jj j

jj

j( ) ( ) ( ). , (j 1, 2, ... , P) .

Os diádicos cujos antecedentes e conseqüentes são mutuamente alternados são

denominados transpostos ou conjugados39 um do outro. Assim, sendo = ajbj com (j =

1,2,...,P), seu transposto, que se representa por T (ou C na notação de Gibbs), é escrito na

forma: T = bjaj. Logo:

a b b aj

j T j

j , (j 1, 2, ... , P) (01).

Resulta que:

39 A denominação conjugado é de Gibbs; transposto é uma denominação mais moderna, como acentuaremos mais à frente (§09.02).

. r r.T

, (02),

De ((01),§ 02.04) escrevemos, então:

b l a .a a .i i i i

T ( ) , (i 1, 2, ..., N) (021).

§ 02.06- Igualdade de diádicos. 77


A operação que consiste em alternar correspondentemente os antecedentes e os

conseqüentes de dado diádico - operação esta sempre possível e unívoca - é denominada

transposição diádica.

Resulta, logo, de (01), que uma dupla transposição diádica - operação também

sempre possível e unívoca - é operação idêntica, isso é,

( ) , T T TT

(03).

§ 02.06- Igualdade de diádicos.

Diz-se que dois diádicos e são iguais, e escreve-se = (ler igual a ) se,

nas mesmas condições de multiplicação pontuada (anterior ou posterior), transformam um

mesmo e qualquer vetor em vetores iguais:

r

. r . r

r. r. , (01).

Teor. 1:

v r v. .r v. .r v. .r v. .r, ( ) ( ) , (02)

Como efeito, se = temos de (01), lembrando ((04),§ 02.03): v. .r v. .r( ) = ( ) ,

sendo irrelevante o uso dos parênteses nesta expressão.

Reciprocamente, de (02) deduzimos: o.r.rv. )( .Ora, não sendo o vetor entre

parênteses necessariamente ortogonal a v (pois v é qualquer), deve ser .r - .r = o, isso é,

.r = .r; logo = , pois r é qualquer.

Teor. 2: A multiplicação direta de vetores é distributiva em relação à adição de

vetores:

( )( ) ,j

A B A B (i, j = 1,2,...,P),i

i j

j i

j ia b a b (03).

Com efeito, para qualquer r, tem-se:

. r a b .r (A )[B ( )].i

i j

j

Ora, Aiai é uma soma de vetores e Bj(bj.r) é uma soma de escalares. Como a operação de

multiplicação de vetor por número é distributiva em relação à adição de vetores e à adição

de escalares, e associativa em relação a fatores numéricos, tem-se, considerando também

((01),§ 02.03):

. r a b .r a b .r A B ( ) (A Bi

j i

j i

j i

j) ,

§ 02.06- Igualdade de diádicos. 78


sendo imutáveis no último membro a ordem dos vetores nas parcelas entre parênteses. Os

diádicos e AiBjaibj são, pois, iguais, pela definição de igualdade; donde, então, (03).

§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos.

Teor.1:

Qualquer diádico pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro maneiras

distintas, como uma soma de N díades de que antecedentes ou conseqüentes

sejam N vetores independentes arbitrários de EN.

Sejam: = cjdj (j = 1,2,...,P) um diádico dado em forma polinomial, gerado de um

EN, e {e} e {e} sistemas quaisquer de vetores recíprocos desse espaço. Como seja sempre

possível expressar antecedentes ou conseqüentes de por combinações lineares (únicas)

dos ei e ei (§ 03,I), escrevendo dj = (dj.ei)ei = (dj.ei)ei, resulta = [cj(d

j.ei)]ei = [cj(dj.ei)]e

i.

Assim, pondo

c d .e a c d .e vjj i i

jj

i i( e ) ( ) , (i = 1, 2, ..., N), (j = 1, 2, ..., P) (01),

resulta

v e a eii i

i (i 1,2,...,N),, (011),

onde, então, os conseqüentes são independentes, nada se podendo afirmar, nesse particular,

a respeito dos antecedentes ai e vi.

Com um raciocínio análogo, podemos expressar os antecedentes da forma

polinomial de , em relação a {e*} e {e*}, para obter expressões análogas a (011), nas

quais, agora, os antecedentes de são esses vetores independentes. Escrevemos:

c c .e e c .e e c .e d b c .e d wj j ii

ji

i ji j i

j ij

i( ) ( ) , ( ) , ( ) , (02),

e

e b e wii i

i , (i = 1, 2, ..., N) (021);

donde

e . w e . bi ii i, , (022).

Também nesse caso, não se pode decidir sobre a dependência ou independência dos wi e bi.

Podemos, então, escrever:

a e v e b e w eii i

i T ii i

i e , (i N),12, ,..., (03),

sendo, geralmente, T40.

Definições: (forma e redução N-nomial)

As formas (011) e (021) são denominadas formas N-nomiais (§ 02.01) de

representação de um diádico. Quando se expressa um diádico em forma N-

nomial diz-se que se pratica uma redução N-nomial do diádico; diz-se

também que se reduz o diádico à forma N-nomial.

40A possibilidade de ser =T será analisada no § 04.02.

§ 02.07- Redução N-nomial e motivo de diádicos. 79


Particularmente, em E1 a redução se dirá monomial; em E2, binomial e em E3,

trinomial.

Evidentemente, um mesmo diádico pode ser reduzido de infinitos modos a uma

forma N-nomial, uma vez que existem infinitas N-plas de vetores independentes em EN.

Por analogia com as representações cartesianas e nomenclaturas vetoriais, diremos

que = aiei e = viei são , respectivamente, representações N-nomiais contravariantes e

co-variantes de nas bases (recíprocas) {e*} e {e*}; analogamente, os vetores ai e vi serão

ditos as coordenadas vetoriais contravariantes e co-variantes de naquelas bases

(recíprocas).

As representações (011) e (021) têm o mesmo status; são válidas, para ambas, as

mesmas nomenclaturas. Ordinariamente vamos nos referir a uma representação N-nomial

com conseqüentes independentes, exceto onde for observado o contrário.

O motivo de um diádico.

Conforme já observamos, os diádicos podem representar certas grandezas físicas, tal

como os vetores podem representar grandezas físicas vetoriais. No caso dos vetores, tanto

as coordenadas escalares quanto os tercetos de vetores independentes podem representar

grandezas físicas. Da mesma forma, os antecedentes e/ou os conseqüentes de um diádico -

vetores - podem representar "partes" da grandeza complexa que ele representa, mas pelo

menos um dos tercetos deve ser constituído de vetores independentes (representando ou

não alguma grandeza física).

Assim, numa redução N-nomial de um diádico, distinguem-se sempre duas N-plas

de vetores: uma que denominaremos "espacial" ou "referencial", de vetores independentes

e outra "substancial" de vetores (independentes ou não), em correspondência (biunivoca)

com a primeira. Quando a N-pla espacial é de natureza geométrica, a substancial é relativa

a um motivo específico do diádico (uma tensão, por exemplo). Quando os dois tercetos são

de natureza física, o motivo é misto. É esta a concepção matemática que, sutil e

imperceptivelmente, está implícita nas leis físicas. E da arbitrariedade e independência de

pelo menos um dos tercetos de vetores brota a necessidade dos vetores recíprocos porque

num fenômeno físico um terceto tomado ao acaso não é ortonormado necessariamente.

Casos de igualdade.

Teor. 2:

Dois diádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos

antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes

(antecedentes); e reciprocamente.

e

a e b e a b

i

i

i

i

i

i i

indep. (i 1,2, ... , N),

, , (04).

Consideremos os diádicos iguais e , reduzidos a uma forma N-nomial com iguais

conseqüentes independentes ei, isso é, sejam

a e b ei

i

i

i e (i 1,2,... , N).

§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 80


Para qualquer r escrevemos, pela definição de igualdade de diádicos ((01),§ 02.06):

r. r.

isso é,

( ) ( ) .i

i

i

ir.a e r.b e

Resulta então (Corol.3, Teor.2, § 04.03, I):

r.a r.b r. a bi i i i

, isto é , ( ) 0, (i 1,2,... , N).

Mas sendo r qualquer, ai - bi = o conforme ((04),§ 02.04,I); ou ai = bi, isso é, os

conseqüentes de e são também iguais.

Reciprocamente, se dois diádicos têm antecedentes e conseqüentes respectivamente

iguais, eles são iguais porque, obviamente, transformam um mesmo e qualquer vetor em

vetores iguais.

Corol. 1: Uma CNS para que dois diádicos sejam iguais, é que, escritos N-

nomialmente com os mesmos conseqüentes (antecedentes), os seus

antecedentes (conseqüentes) sejam respectivamente iguais.

Corol. 2:

CNS para que dois diádicos e sejam iguais é que, nas mesmas

condições de multiplicação pontuada, transformem os mesmos N vetores

independentes, vi, em vetores iguais:

indep. (i 1,2,...N) ,i i iv . v . v (041).

O teorema direto é evidente por definição de igualdade de diádicos. Reciprocamente,

pondo: wi = .vi = .vi, resulta de ((01),§ 02.04):

w v w vi

i i

i e ,

isso é, pelo corolário anterior, = .

§ 02.08- Invariantes primários de um diádico.

O escalar e o vetor.

De cada diádico é possível deduzir alguns números e alguns vetores. Os principais são os

denominados: escalar e vetor do diádico , que se representam por E e V,

respectivamente, e que se obtêm inserindo entre as suas díades os sinais operatórios de

multiplicação pontuada e cruzada. Assim,



se j

jdc (j=1,2,...,P), então:

j

jV

j

jE.

dc

dc

(01).

Doravante consideraremos que o sinal (ponto vazio) represente tanto a

multiplicação escalar de vetores quanto a vetorial. Então as igualdades (01) são

representadas unicamente por

j

jdc

(j=1, 2, ..., P),

a pequena bola vazia usada como índice representando também os índices E (escalar) e V

(vetor).

É óbvio que o escalar e o vetor de um diádico são determinados univocamente,

porque as operações de que dependem as suas determinações são unívocas.

De ((01),§ 02.02) deduzimos:

M)M( , (02),

entendendo-se, por exemplo, que o vetor de M, isso é, (M)V: 1º)- é paralelo ao vetor de

2º)- tem módulo M vezes o do vetor de ; 3º)- tem o mesmo sentido do vetor de se M >

0, e o sentido contrário se M < 0.

Decorre também, imediatamente, de ((01), § 02.05) e de propriedades das

multiplicações escalar e vetorial entre vetores, que:

( ) , ou ,T

E E E

T

E (03),

e

( ) , ou ,T

V V V

T

V (031).

Teor. 1: São invariantes (logo, únicos) o escalar e o vetor de um diádico.

Com efeito, sejam

e

os escalares ou os vetores de obtidos de uma forma P-

nomial = cjdj (j = 1,2,...,P) e de uma forma N-nomial (N=1,2 ou 3) = aiei, (i=1,2,...,N),

respectivamente. Escrevemos:

j

jdc

(j=1,2,...,P) e

i

iea

(i=1,2,...,N).

Provemos que

=

. Ora, das relações ((01),§ 02.07) escrevemos: i

ij

j)]([ e.edc

.

Mas, sendo distributivas as multiplicações escalar e vetorial de vetores em relação à soma

de vetores, e associativas em relação a fatores escalares,

])[(i

ij

je.edc

.

Observando que o vetor entre colchetes é dj, concluímos a demonstração da tese.



O terceiro.

Seja = aiei, (i = 1,2,...,N), ei independentes, uma redução N-nomial qualquer de

dado diádico .

Definição: (terceiro de um diádico)

Expresso um diádico em forma N-nomial, chama-se terceiro desse diádico,

e representa-se por , o produto pontuado do antecedente pelo conseqüente,

se N = 1; o produto pontuado do produto cruzado dos antecedentes pelo

produto cruzado dos conseqüentes, se N = 2; o produto dos produtos mistos

dos antecedentes e correspondentes conseqüentes, se N = 3:

3,N se ),)((

2;N se ),()(

1;N se ,

N)1,2,...,(i ,

321

321

3

21

21

3

1

1

3

i

i

eeeaaa

ee.aa

.ea

ea

(04).

Devemos notar que o cálculo do terceiro no E2 apela para vetores do E3. O leitor não

deve entender que isto seja um defeito da estrutura da teoria. Pelo contrário, isso é um alerta

em relação às operações que serão definidas futuramente com poliádicos cujos espaços têm

dimensões muito superiores a três.

Teor. 1: (Invariância)

É um invariante o terceiro de um diádico.

Com efeito, consideremos duas reduções N-nomiais quaisquer de um diádico ,

com, digamos, antecedentes independentes,

a b c dii

jj e (i, j 1,2,...,N).

Devemos provar que, para um mesmo valor de N (mesmo espaço), (3 )1= (3)2, sendo,

conforme a definição (04),

).)((

)()()( e

))((

)()()(

321

321

21

21

1

1

23

321

321

21

21

1

1

13

dddccc

dd.cc

.dc

bbbaaa

bb.aa

.ba

Expressando os ai em função dos cj, escrevemos, lembrando ((021),§ (03.01,I),

((041),§ (03.02,I), e ((071),§ (03.03,I), correspondentemente a N = 1, N = 2 e N = 3: ai =

(ai.cj)cj. Assim, para N = 3, por exemplo, podemos escrever, lembrando ((04)1,§ (04.03,I):

( ) | |( );ija a a a .c c c c1 2 3 1 2 3 logo: ( )3 1 1 2 3

1 2 3|a .c | c c c b b bij ( )( ).

Nestas condições,

a b a .c c b c a .c bii

ij

ji

j ij i( ) [( ) ];



então, como todo diádico é igual a si próprio, resulta (Teor.2, § 02.07):

d a .c b d d d a .c b b bji

j i 3i

j 3( ) , donde ( ) | |( ). 1 2 1 2

Assim,

( ( )( ) ( )| |( ),3 2 3

33 i

j 3 ) c c c d d d c c c a .c b b b1 2

1 21 2

1 2

isso é, ( ( ) .1 2

3 3)

Para N = 2 teríamos, analogamente, pondo a a .c ci i

j

j( ) e aplicando ((02)1, §

04.03,I):

)()()()()( 21

212

2

1

2

2

1

1

121

2113bb.cc

.ca.ca

.ca.cabb.aa .

Pondo ainda, por outro lado:

a b a .c c b c a .c b c dii

ij

ji

j ij i

jj( ) [( ) ] , (i, j , ),12

resulta: dj = (ai.cj)bi; donde:

)( 21

2

2

1

2

2

1

1

121bb

.ca.ca

.ca.cadd .

Logo:

)()()()()( 21

212

2

1

2

2

1

1

121

2123bb.cc

caca

cacaddcc

..

... ,

isso é ( ) ( ) . 3 1 3 2

Para N = 1 a demonstração é evidente.

Teor. 2: (não nulidade do terceiro)

Uma CNS para que o terceiro de um diádico seja diferente de zero é que ele

seja redutível a uma forma N-nomial com antecedentes e conseqüentes

simultaneamente independentes (não nulos se N = 1, não paralelos se N = 2

e não coplanares se N = 3).

A condição é necessária porque se = aiei com ei independentes e 30, as (04)

implicam a independência dos ai, isso é, a independência dos antecedentes. A recíproca é de

demonstração evidente.



Teor. 3: (interpretação geométrica do terceiro)

Na T.L. regida pelo diádico , o seu terceiro rege a transformação numérica

(algébrica) das distâncias se o espaço é unidimensional, a das áreas se o

espaço é bidimensional e dos volumes se o espaço é tridimensional:

ando transform vol.)area, dist.,(

ado transform vol.)area, dist.,(3 (05).

Sejam bi (i = 1,2,...,N) os transformados de N vetores independentes ai,

respectivamente, mediante um diádico , isso é, sejam bi = .ai. Se N = 1, a1 representa

(numericamente) uma distância entre pontos; se N = 2, 21 aa representa o vetor-área do

paralelogramo construído sobre a1 e a2; se N = 3, (a1a2a3) representa o volume do

paralelepípedo construído sobre a1, a2 e a3. Ora, b a b ai i i

i . ,conforme Corol.1,

Teor.1, § 02.04, qualquer que seja a dimensão N do espaço. Logo:

| ,)(| / |)(|))((

| ,|/|||| ||)()(

| ,|/||

321321321

321

212121

2121

21

111

1

3

aaabbbaaabbb

aabbaabbaa.bb

ab.ab

onde os sinais são positivos se e somente se: 1º)- para N = 1, b1 e a1 têm o mesmo sentido;

2º)- para N = 2 e qualquer vetor c ortogonal ao plano desse espaço (bidimensional), os

triedros c, b1, b2 e c, a1, a2 são igualmente orientados; 3º)- para N = 3 os triedros b1, b2, b3 e

a1, a2, a3 são igualmente orientados. Em qualquer caso, o terceiro do diádico representará

sempre, em grandeza e sinal, os elementos geométricos correspondentes a cada dimensão

do espaço (distância se N = 1, área se N = 2 e volume se N = 3), o que demonstra o

teorema.

Teor. 4:

Se X0 é um número real qualquer, então, para um diádico gerado de EN,

3i

3 X)X( (i=1, ou 2, ou 3) (06).

Sendo = aibi e pondo X = (Xai)b

i deduzimos, aplicando a definição e lembrando

propriedade das multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores:

3,N se ,X))](([X

2;N se ,X)()(X)()X(X

1;N se ,X)X()X(

)X(

3

3321

321

3

3

221

21

221

21

3

i

i

i

i

3

bbbaaa

bb.aabb.aa

.ba.ba

expressões sintetizadas por (06).

Teor. 5:

: 3 3

T , (07).

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 85


É o que decorre imediatamente da definição (04) uma vez que:

1N se ,3T

1

11

13 .ab.ba

2;N se ,)( )()()( T

3 21

2121

213 aa.bbbb.aa

3,N se ,))(())(( T

3 321

321321

3213 aaabbbbbbaaa

Teor. 6: (Desigualdade de Hadamard)

Se o módulo de uma base é menor que o da sua recíproca, o quadrado do

terceiro de um diádico é menor ou no máximo igual ao produto dos

quadrados dos seus vetores motivo nessa base:

:E do },{},{ 3

j

ji

iebeaee

( ) ( ) ) ,

( ) ( ) ) ,

3

2 2 2

3

2

e e e e e e a a a

e e e e e e b b b

1 2 3

1 2 3

1 2 2 3

1 2 3

1 2 3 1

2

2

2

3

2

( | | | | | |

( | | | | | |

(08).

Tem-se:

3

( )( ) = ( )( ) a a a e e e b b b e e e1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 e ( )3

2 ( )( ) a a a b b b1 2 3

1 2 3.

Ora,

( ) ( )e e e e e e1 2 3

1 2 3 porque ( )( ) = 1e e e e e e1 2 3

1 2 3 ;

logo, ( ) ( )a a a b b b1 2 31 2 3 . Assim,

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ).

e e e e e e b b b a a a

e e e e e e b b b a a a

1 2 31 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 31 2 3 1 2 3

1 2 3

Então, correspondentemente,

( ) ( )

( ) ( )

23

2 2

23

2 2

b b b a a a

a a a b b b

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

( ) ,

( ) .

Agora, considerando o exercício do § 02. 06, I, i.e., sendo x y z xyz x y z, , : ( ) 2 2 2 2 ,

concluímos logo a demonstração da a tese.

§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.

Consideremos os diádicos dos conjuntos definidos por uma N-pla de vetores

independentes quaisquer e seu sistema recíproco; sejam eiei e riri dois quaisquer desses

diádicos para (i = 1,2,...,N). Escrevemos, para qualquer vetor v:

)()( ii

ii eev.ev.ev , e N).1,2,...,(i , )()( i

ii

i rrv.rv.rv



Diádico unidade.

As igualdades anteriores mostram que existem diádicos que transformam qualquer vetor em

si mesmo executando, então, a "transformação identidade"; são denominados diádicos

unidade (ou idem fatores), sendo representáveis de infinitas maneiras (pois existem

infinitas N-plas de vetores independentes)41.

Como podemos escrever, também:

: ( ) ( ) ( ) ... ,i

i i

i i

iv v v. e e v. e e v. r r

resulta da definição de igualdade de diádicos que todos os diádicos unidade são iguais; são

representados, por isso, por um único símbolo: a letra maiúscula (em negrito) do alfabeto

grego. Assim,

r r e e e ei

i

i

i i

i ... , (i 1,2,... , N), (01),

se os ri , os ei etc. são independentes.

Resulta também, imediatamente:

: ( ) ( ) (i 1,2,...,N),i

i i

i .e e .e e , (011),

pois, pondo jj

ii ebea (i,j=1,2,3), tem-se, por exemplo: i

ii

i )( ebe.e .

No caso particular em que os vetores independentes são os unitários ortogonais , , ,i j k de E3, escrevemos:

ii jj kk+ + .

Lembrando propriedades dos recíprocos deduzimos, logo, para reduções no EN:

E V 3

N , e , o 1 (02).

Diádico nulo.

Seja, agora, um diádico reduzido à forma N-nomial

N).1,2,...,(i tes,independen , iii ene

Para qualquer r,

).( ii

.rne.r

41 Compare esta situação com a apresentada no início do § 02.01



O vetor ei(ni.r) é nulo se, e somente se, ni.r = 0, para todo i. Mas sendo r qualquer, r

não é ortogonal a nenhum dos ni necessariamente (tão pouco a todos simultaneamente), isso

é,

, e tesindependen , : iiii

ono.rener (03).

Sendo, ainda, para qualquer r: ,)( ii

nr.er. o vetor (r . ei) ni é nulo se, e somente se,

os ni são todos nulos porque, do contrário, existiriam tantas combinações dos ni quantas se

quisessem sem que os mesmos fossem nulos; o que é impossível.

Como poderíamos aplicar o mesmo raciocínio ao caso em que o diádico fosse

reduzido à forma N-nomial com conseqüentes independentes, concluímos que:

A CNS para que um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo é que os

seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos.

Dada a arbitrariedade do vetor r concluímos que todos os diádicos que transformam

qualquer vetor no vetor nulo são iguais; esse diádico, único, é denominado diádico nulo e

representado, assim, por um único símbolo: a letra maiúscula (em negrito) do alfabeto

grego.

Obviamente

,0 , , 0 3VE o

Teor. 1:

MM 0M , (04).

Pois, escrevendo nas várias formas N-nomiais (01), teríamos, nos diferentes

membros das expressões de 0, ou 0, diádicos todos iguais ao diádico nulo (com todos os

antecedentes ou todos os conseqüentes nulos).

Reciprocamente, se M = M = , todos os antecedentes ou todos os conseqüentes

de M = M são nulos. Como os antecedentes e os conseqüentes de não são nulos, deve ser

M = 0.

Teor. 2:

:0)( ,0)(,, 321321, i

i eeeaaaea

,

33

32

31

3

23

22

21

2

13

12

11

1

321

.e.ae.ae.ae

.e.ae.ae.ae

.e.ae.ae.ae

aaa

(05)

desde que os vetores da última coluna sejam os antecedentes nas díades a

serem formadas.

Pois, considerando (011) e a identidade evidente:

,))()(())(( ii321

321321

321 a.aeeeaaaeeeaaa



pode deduzir-se, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):

].)(+)(+)[(]))([(

])(+)(+)()[(

))((

321213132i

i321

321213132

321

321

321

aaaaaaaaa.e.eeee

aaa.aaa.aaa.eee

eeeaaa

Mas,

))(())(())(())((213132321

i

i321ee.eee.eee.ee.eeee ;

logo, aplicando ((05), § 03.03,I):

))((

))((

3

23

13

22

122

13

33

12

321

33

23

32

22

1

321321

a.ae.ae

.ae.aea

.ae.ae

.ae.aea

.ae.ae

.ae.ae.e

eeeaaa

( )( ...) ( )( ...) .ee .a e .a

e .a e .aa .e

e .a e .a

e .a e .aa

32

32

13

12

1

13

12

13

22

23

1 .

Os conseqüentes das três díades no segundo membro podem ser representados pelos

determinantes

. e ,

32

22

12

31

21

11

321

33

23

13

31

21

11

321

33

23

13

32

22

12

321

.ae.ae.ae

.ae.ae.ae

aaa

.ae.ae.ae

.ae.ae.ae

aaa

.ae.ae.ae

.ae.ae.ae

aaa

Conforme ((062),§ 03.03,I), (a1a2a3)(e1e2e3) é o co-fator de em (05); e os determinantes

simbólicos, antes referidos, são os complementos algébricos dos demais elementos da

quarta coluna de (05). Assim, a expressão a que chegamos é o desenvolvimento do

determinante (05), segundo Laplace, pelos elementos da quarta coluna.

Diádicos opostos

Consideremos, agora, dois diádicos e que transformam um vetor qualquer, v, em

vetores opostos, isso é,

,w.v e .v w .

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 89


Se os ei são independentes (i = 1,2,...,N) e eiai e eib

i são as reduções N-nomiais de e ,

escrevemos: e a . v e b vi

i

i

i( ) ( ).. Então, necessariamente, a . v b . v

i i para todo i,

isso é: a bi i

. Logo:

Se dois diádicos, reduzidos a uma forma N-nomial com antecedentes

(conseqüentes) independentes, transformam por multiplicação pontuada

posterior (anterior) um mesmo vetor em vetores opostos, seus conseqüentes

(antecedentes) são vetores opostos.

É evidente que a recíproca desta propriedade é verdadeira e que os mesmos

resultados poderiam ser obtidos caso os diádicos fossem reduzidos a forma N-nomial com

conseqüentes independentes.

Diádicos que transformam um mesmo vetor em vetores opostos são denominados

diádicos opostos.

É evidente, em vista da definição de multiplicação de diádico por número real (§

02.03), que se dois diádicos são opostos um deles é igual ao outro multiplicado por (-1).

Assim, se é oposto de , = (-1), isso é, a todo diádico corresponde um único oposto,

e o representamos por - . Então:

( 1) , (06);

logo:

( ) ( ) , ( ) ( ) e ( ( 1) ,E E V V 3N

3 ) (07).

§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS.

§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.

Numa redução N-nomial de um diádico com antecedentes (conseqüentes)

independentes, os conseqüentes (antecedentes) poderão ser ou não independentes. Um

diádico é dito completo (ou não degenerado) quando, reduzido a uma forma N-nomial,

tem antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes; ele é dito incompleto em

caso contrário.

Consideremos a forma N-nomial = eibi (i = 1,2,...,N) em que, por hipótese, os

antecedentes são independentes. Se os bi não forem independentes eles serão,

necessariamente: coplanares no E3, paralelos no E2, e nulo no E1.

No E3 dois casos podem acontecer relativamente aos conseqüentes (Fig.03.01):

1)- pelo menos um deles é nulo. Geometricamente, ilustraríamos esse caso com a

Figura (a), em que o plano de b1 e b2 é o plano dos três vetores; ou em que tal plano é



qualquer plano que contenha a reta suporte de b1 (Figura (b)); ou, que tal plano é

indeterminado (o diádico correspondente é o diádico nulo).

2º)- Todos eles são não nulos (Figura (c)), com dois subcasos: dois dos

conseqüentes são paralelos, (Figura (d)), ou os três paralelos, (Figura (e)). Neste último

caso os vetores pertencem a qualquer um dos infinitos planos que contenham a direção

comum a esses vetores.

No caso 1º), Figura 03.01(a), b3 = o e o diádico fica reduzido a forma binomial =

e1b1+e2b

2 uma vez que e3b3 = (díade nula). Se dois dos conseqüentes são nulos, b2 = b3

= o, por exemplo, então fica reduzido à forma monomial: = e1b1.

No caso 2º), em que os três conseqüentes são não nulos, podemos expressar um

deles em função dos outros dois, escrevendo, por exemplo, b b b3 3 1 3 2

B + B ; logo:

e b e b e b b e e b e B e b1

1

2

2

3

3 1 3 3+ + (B + B B

2

1 3

1

2

3

3

2) ( ) ( ) .

Pondo

e e e e e e1

3

3 1 2

3

3 2+ B e + B ,

temos, finalmente:

e b e b1

1

2

2+ ,

isso é, fica reduzido a uma forma binomial.

Caso dois dos bi sejam paralelos, por exemplo b b2

3

|| , podemos escrever: b3 =

B3b2 e, então,

e b e b e b e b e e b1 2 1

1

2 3

21 2

3

3 2 3+ + (B B) ( ) ,

isso é, fica reduzido à forma binomial.



Finalmente, é óbvio que se todos os conseqüentes são paralelos, o diádico pode ser

reduzido à forma monomial.

Analogamente, no E2 dois casos podem acontecer, relativamente aos conseqüentes

de uma redução binomial do diádico:

1º) ao menos um dos vetores é nulo: = e1b1+e2b2 com b2 = o. Então, obviamente,

o diádico fica reduzido à forma monomial = e1b1;

2º) os conseqüentes são não nulos, mas paralelos. Nesse caso podemos escrever: b1

= B1b e b2 = B2b; e = (B1e1+B2e2)b = eb, sendo e = B1e1+B2e2. Assim, também nesse

caso, o diádico fica reduzido a uma forma monomial.

Definições:

No E3, diádicos redutíveis à forma binomial denominam-se planares; no E3

ou no E2, os diádicos redutíveis à forma monomial denominam-se lineares.

Quando um diádico está reduzido a uma forma não passível de maior

redução no espaço a que pertence, dizemos que ele está representado em

redução mínima ou em forma mínima.

Assim, no E3, a forma mínima de um diádico planar é a binomial e a de um diádico

linear a monomial. No E2 a forma mínima de um diádico linear é a monomial.

Teor. 1: A todo diádico planar no E3 está associado um e um único par de planos; a

todo diádico linear no E3 ou no E2 está associado um e um único par de

direções.

Seja, no E3, = eibi uma redução trinomial do diádico com antecedentes

independentes, e o plano dos seus conseqüentes. Este diádico transforma, por

multiplicação pontuada posterior, qualquer vetor r de E3 no vetor r do plano (Figura

03.02) pois, r r. r.e b ( ) .i

i

Logo, como o transformado de qualquer outro vetor v , v', é ainda um vetor do plano ,

concluímos que, nestas condições (multiplicação pontuada posterior e redução com

antecedentes independentes), o diádico transforma qualquer plano do espaço no plano .



Suponhamos, agora, que a redução de seja = rici, com os ri independentes. Então

o plano definido pelos mesmos vetores r e v, anteriormente considerados, deve ser

transformado no plano ' dos seus novos conseqüentes c1, c2 e c3. Mas como a

transformação regida por é unívoca, o transformado do plano de r e v é um só, isso é, e

' são confundidos ou paralelos.

Se fizéssemos a redução trinomial do mesmo diádico , agora com conseqüentes

independentes e quaisquer - operação sempre possível (Teor.1, § 02.07) - , os antecedentes

de deveriam ser coplanares porque, por hipótese, é planar. Procedendo como

anteriormente poderíamos comprovar que esse plano tem orientação única.

Então, não obstante serem, correspondentemente, os antecedentes (dois pares) de

duas reduções binomiais arbitrárias de um mesmo diádico, vetores diferentes, esses vetores

são coplanares; o mesmo ocorre com os conseqüentes. Logo, a todo diádico planar estão

associados dois planos, em geral distintos.

A demonstração da segunda parte do teorema, no E3 ou no E2, é análoga a primeira.

Definições:

No E3, os planos associados a um diádico planar e a interseção desses

planos são ditos, respectivamente, os planos e a direção desse diádico; se

esses planos são paralelos o diádico é dito uniplanar, se ortogonais,

ortoplanares.

No E3, ou no E2, a direção e o plano associados a um diádico linear são ditos

a direção e o plano desse diádico, respectivamente; se o antecedente e o

conseqüente de um diádico linear são paralelos o diádico é dito unilinear, se

ortogonais, ortolineares.

No E2, todos os diádicos são uniplanares; no E1 todos os diádicos são unilineares.

Corol. 1: Todo diádico planar (gerado do E3) transforma qualquer figura (uni, bi

ou tridimensional) numa figura de um dos seus planos.

Corol. 2: Todo diádico linear (gerado do E3 ou de um E2) transforma qualquer

figura (uni, bi ou tridimensional) em pontos ou segmentos de reta de uma

de suas direções.

Não é demais observar que, tanto aos diádicos planares (do E3), quanto aos lineares

(do E3 e do E2), estão associados, respectivamente, uma direção única (interseção de dois

planos) e um plano único (união de duas direções); geralmente, entretanto, essas direções

não têm haver com as direções dos vetores desses diádicos. Por outro lado, quando, no E3,

um diádico é uniplanar, o seu vetor é ortogonal ao seu plano; quando, no E3, um diádico é

linear, o seu vetor é ortogonal ao seu plano, e quando ele é unilinear o seu vetor é o vetor

nulo.

Exercício:

Demonstre que a direção do diádico planar (gerado do E3) é paralela ao vetor

.V

.



Teor. 2: Todo diádico completo transforma vetores independentes em vetores

independentes; reciprocamente, se um diádico transforma vetores

independentes em vetores independentes, ele é completo.

Com efeito, se é completo e os ai são independentes, então, sendo bi = .ai, tem-se: = bia

i, conforme ((01),§ 02.04). Mas se é completo, os seus antecedentes são

independentes (os ai já o são, por hipótese). Reciprocamente, se um diádico transforma os

vetores independentes ai nos vetores independentes bi, isso é, bi = .ai, então = biai e é

completo.

Corol. 1:

Uma CNS para que um diádico seja completo é que transforme vetores

independentes em vetores independentes.

Corol. 2: Uma CNS para que um diádico seja completo é que seu terceiro seja

diferente de zero.

,0 completo 3 (01).

Teor. 3:

Se é completo e .r = o, então, r = o:

, e 03 oror. (02).

Escrevamos o diádico completo, , numa qualquer forma N-nomial: = eibi com os

ei independentes. Então, também por hipótese, .r = ei(bi.r) = o. Como os ei são

independentes, bi.r = 0 para todo i, isso é, r = o porque r não poderia ser ortogonal a N

vetores independentes simultaneamente.

Teor. 4:

, ro e .r = o é incompleto, (03).

Reduzamos o diádico à forma N-nomial com conseqüentes ei independentes.

Deduzimos, então: .r = ai(ei.r) = o. Ora, os coeficientes ei.r na combinação linear dos

vetores ai não podem ser simultaneamente nulos porque os vetores ei são independentes e r

é qualquer. Logo (Corol.3, Teor.4, § 03.02, I) os ai são dependentes e é incompleto.

Teor. 5:

ai independentes e .ai = o (i = 1,2,...,N) = , (04).

Pois teríamos de ((01),§ 02.04): = oa1 se N = 1, ou = oa1+oa2 se N = 2, ou =

oa1+oa2+oa3 se N = 3, isso é, = .

Teor. 6:

Se é completo, então para qualquer ro, tem-se .ro e r.o; ou,

, e : ,03 or.o.ror (05).

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. 94


Escrevendo = eibi, com 0)( 321 eee , tem-se .r = ei(b

i.r). Ora, ao menos um dos

números entre parênteses é não nulo porque o vetor não nulo, r, não poderia ser ortogonal

aos três vetores independentes bi simultaneamente; logo o.r . Analogamente

comprova-se que o.r .

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares.

Consideremos, no E3 , dois diádicos completos, e , escritos, por exemplo, nas

formas trinomiais seguintes (com antecedentes independentes)

e a e pi

i

i

i e (i 1, 2, 3) , (01),

com a condição de que os pi, não nulos, sejam paralelos aos correspondentes ai, isso é,

p a p a p a1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3

X X X (X , X , X , , , 0) , (011).

Então podemos dar a a nova representação:

e ai

i iX (i 1, 2, 3) 42, (012).

Aplicados os ai e os pi co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, suas

extremidades A1, A2, A3 e P1, P2, P3 definirão os triângulos espacialmente homológicos,

A1A2A3 e P1 P2 P3. O centro dessa homologia é O e seu eixo é a interseção dos planos dos

triângulos, interseção esta que contém, ademais, os pontos de interseção B1, B2 e B3 dos

lados homólogos (A2A3, P2 P3), (A3A1, P3 P1) e (A1A2, P1 P2), respectivamente (Fig. 03.03).

Explicitando os vetores ai em (011) e substituindo em (01), vemos que as

representações de e de são análogas, porem com coeficientes recíprocos:

e pi i

i

X

1, (013).

42 Notar que quando dois índices aparecem repetidos num mesmo nível mas seguidos do mesmo índice em nível diferente, fica estabelecida a somatória convencionada; e apenas nestes caso. Por isso, as expressões (01

1)

poderiam ser escritas na forma 3) 2, 1,(i iiXi ap .

§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. 95


Definição: (diádicos homológicos)

Diádicos como e , cujos conseqüentes satisfazem (011), serão ditos

reciprocamente homológicos (ou, simplesmente, homológicos).

Escritos os diádicos nas formas (01)1 e (012), diremos que é homológico

com e tem coeficientes de homologia Xi; e escreveremos = Hom.

Nota:

Quando não houver perigo de confusão escreveremos, simplesmente Hom e

1Hom para representar a reciprocidade homológica dos diádicos. Devemos notar,

entretanto, neste caso, que a substituição da segunda igualdade na primeira dá:

HomHom1

.

Segue-se das considerações geométricas estabelecidas que, a dado par de diádicos

homológicos, é possível associar, de modo unívoco, o diádico que, escrito em forma

trinomial com antecedentes ei, é e bi

i (i=1, 2, 3), os vetores b

i sendo co-iniciais em O e

tendo extremidades Bi sobre o eixo da homologia (portanto, colineares).

Definição: (diádico término colinear)

Um diádico que, escrito em forma trinomial, tem por vetores motivos, vetores

término colineares quando co-iniciais, é dito término colinear.

É geometricamente evidente que resultados análogos poderiam ser obtidos fazendo-se a projeção do sistema espacial de triângulos homológicos da Figura 03.03 sobre um

plano arbitrário, paralelamente a uma direção também arbitrária do espaço. Nesse caso, os

diádicos homológicos e , antes completos, agora devem ser considerados dados por

expressões idênticas às (01), com a condição se serem ambos planares, seus conseqüentes

satisfazendo (011).

Mantêm-se as mesmas denominações e notações já estabelecidas no caso da

homologia espacial. Particularmente, o diádico término colinear associado com essa

homologia tem seu plano coincidente com o plano da mesma.

Exercícios:

1) – Teorema da invariância da homologia: A homologia de dois diádicos

homológicos independe de suas representações N-nomiais.

2) - Se =eiXia

i é homológico de = eia

i com (e1e2e3)0 e (a

1a

2a

3)0, então o eixo

da homologia é paralelo ao vetor

321321321321 )XX(X)XX(X)XX(X aaaa ;

e este é perpendicular ao vetor 321

aaa .

*

No caso particular em que os coeficientes da homologia (plana ou espacial) de dois

diádicos são todos iguais, os diádicos correspondentes são paralelos; os triângulos que lhes

correspondem são semelhantes e têm planos paralelos.

§ 03.03 - Diádicos de Moreira. 96


Propriedades.

1) - O transposto do homológico de um diádico é igual ao homológico do

transposto desse diádico:

)Hom()Hom( TT , (02).

Pois

(Hom X ) X e Hom( ) X (i 1, 2, 3)T

i

i i T i i

i

T i i

i ) ( e a a e a e .

2) - O terceiro do homológico de um diádico é igual ao produto do terceiro

desse diádico pelos coeficientes de suas homologias:

( )Hom X X X1 2 3 3 3 , (03).

Pois,

))((XXX)XXX)(()X()(Hom 321321

3213322113213

iii3

aaaeeea.aaeeeae .

3°) - Se dois diádicos são paralelos (§ 02.03), seus homológicos são

igualmente paralelos:

K Hom K Hom , (04).

Pois

Hom(K K X K( X ) KHom(i

ii

i ii

i ii

ie a e a e a e a) ).

§ 03.03 - Diádicos de Moreira.

Quadrângulo associado.

Consideremos um feixe qualquer de três planos 1), 2) e 3), de charneira e),

Figura 03.04. Podemos escolher de uma (múltipla) infinidade de maneiras dois tercetos de

vetores não coplanares, },,{ 321 eee e { , , }a a a1 2 3 , tais, que para i=1,2,3, ei e ai pertençam

ao plano i). Com esses tercetos podemos constituir o diádico, digamos completo43,

M e a M i

i (i 1 03

,2,3), , (01).

43 Nada impede que esse diádico possa ser planar.



Decorre dessa construção que os vetores das díades de M são coplanares, isso é,

0)()()( 3

3

2

2

1

1 ae.aeae , (02).

Com efeito, pois esses vetores são ortogonais a planos que têm uma reta comum.

O plano ), ao qual são paralelos os vetores das díades de M, é, evidentemente,

ortogonal a e). É evidente, ainda, que MV (em geral não nulo) também é paralelo a ).

Em resumo: se os planos das díades de um diádico completo formam um feixe, o

vetor (em geral não nulo) desse diádico e os vetores de suas díades são paralelos a um

mesmo plano que é ortogonal à charneira do feixe.

•

Os suportes dos vetores constituintes de cada díade de M haverão de se interceptar

quando os tercetos de antecedentes e conseqüentes forem aplicados co-inicialmente em

pontos arbitrários, D* e D, respectivamente, da charneira e) do feixe a ele associado. Se A,

B e C são as interseções de e1 com a1, de e2 com a2 e de e3 com a3, respectivamente, resulta

que o plano (ABC) é necessariamente paralelo ao plano ).

Representemos no plano (ABC) os pontos: HA, de interseção do plano (e1,a1) com

BC, HB de interseção de (e2,a2) com CA, HC de interseção de (e3,a

3) com AB, e H,

interseção de DD* com (ABC).



Definições: (Quadrângulo)

Quadrângulo44, é a figura formada por 4 pontos quaisquer, de que são os

vértices, e os 6 segmentos que definem, de que são os lados.

Constatamos, então, na representação geométrica do diádico M e ai

i , Fig. 03.05, a

existência de um quadrângulo (no caso, um tetraedro), DABC, e três quadrângulos planos,

DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com um par de vértices em comum. No quadrângulo

ABCD, os lados que não possuem vértices comuns, ditos lados opostos, são três pares: DA

e BC, AB e CD, CA e BD.

Assim, ao suporte de a1 corresponde o suporte (oposto) de 1

1ae etc. Ora, 1

1ae

(que é paralelo a BC) é perpendicular a e1 (que é paralelo a D*A) e a a1 (que é paralelo a

DA); o mesmo ocorre com 2

2ae em relação a e2 e a a2 etc. O quadrângulo é, por isso,

um quadrângulo especial, cujos lados opostos (de comprimentos diferentes em geral e

variáveis com DD*) são ortogonais; denomina-se um ortoquadrângulo na nomenclatura de

Moreira. Os pontos HA, HB e HC são, assim, os pés das alturas do triângulo ABC, ou seja, H

é o ortocentro desse triângulo.

A escolha de novos pontos D e D* sobre a reta e) implica a formação de novos

quadrângulos, todos de lados paralelos aos lados do primeiro. Como os antecedentes e os

conseqüentes do diádico são quaisquer, o ortoquadrângulo que lhe é associado, é um

ortoquadrângulo qualquer.

44 Conforme Moreira, L. C. de A., Fundamentos da Geometria dos Quadrângulos, Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1960, p. 95 a 126.

É óbvio que poderíamos constituir diádicos M tais que um dos tercetos que definem

o feixe fosse constituído de vetores coplanares, ou ambos os tercetos fossem coplanares e

seus planos distintos, ou, mesmo, confundidos. Ficará a cargo do leitor a discussão

geométrica dessas situações particulares, casos em que M seria planar ou uniplanar.

Definição: (diádico de Moreira)

Denominaremos diádico de Moreira todo diádico cujos planos de suas

díades constituam um feixe.

Assim, aos diádicos de Moreira estão sempre associados um eixo e) e um plano ),

ortogonais, que serão denominados eixo e plano desse diádico. Deve ser observado, porém,

que diferentes diádicos de Moreira podem ter um mesmo eixo e um mesmo plano.

Quadrângulos transpostos.

Exploraremos um pouco mais o assunto no § 08 06. Por ora podemos deduzir que

se certo diádico é um diádico de Moreira, o seu transposto também é.

Se aplicarmos os antecedentes e os conseqüentes de MT nos mesmos pontos D e D* de

aplicação dos antecedentes e conseqüentes de M, o novo quadrângulo formado tem seus

vértices simétricos dos vértices do primeiro em relação ao ponto médio de DD*. Os

diádicos M e MT têm, pois, eixos coincidentes e planos paralelos; poderíamos denominar o

quadrângulo associado a MT o quadrângulo transposto ou conjugado do primeiro.

Devemos observar que qualquer plano e a reta a ele ortogonal constituem,

respectivamente, o plano e o eixo de uma representação do diádico unidade.

§ 04.01- Definição e propriedades. 99


Nota: Esses conceitos generalizam aqueles apresentados no § 03.03,I para sistemas de vetores recíprocos, sendo fácil detectar a correspondência existente entre os vários conceitos envolvidos. Assim, por exemplo, qualquer diádico de Moreira está para o seu ortoquadrângulo assim como o diádico unidade está para o quadrângulo ortocêntrico. Deve ser notado também que qualquer plano e qualquer reta podem constituir o plano e o eixo do diádico unidade.

§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS.

§ 04.01 - Definição e propriedades.

Chama-se soma de dois diádicos e , e representa-se por + (ler: mais ), o

diádico cujas díades são as de e as de . Assim, se = ai bi e = cj d j, para i e j

quaisquer, tem-se:

+ + +...+ + +....1

1 a b a b c d c d2

2

1

1

2

2

A soma de dois diádicos é, pois, a soma simbólica de todas as díades desses

diádicos. A adição de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar a soma desses

diádicos; ela é, obviamente, extensível a mais de dois diádicos.

Como, para qualquer vetor r,

( + +...) ( + +...) ( ) +i

i

i

i

i

i

i

i . r a b c d .r a b .r c d .r ( ) ... ,

vemos que a adição de diádicos goza das mesmas propriedades que a adição de vetores45.

Por outro lado, como é sempre possível, com diádicos gerados do EN, reduzir

qualquer diádico a uma forma N-nomial (com antecedentes ou conseqüentes

independentes), vemos que a realização de uma redução N-nomial similar dos diádicos

parcela (com os mesmos antecedentes, por exemplo) pode conduzir-nos rapidamente à

determinação do diádico soma. Assim, por exemplo,

se e , então, + ( + i Ni

i

i

i

i

i i e b e c e b c ), ( ,2,... , ),1 (01).

Nestas condições, demonstram-se facilmente as seguintes

Propriedades.

1º)- É sempre possível e unívoca.

Com efeito, dados dois diádicos é sempre possível reduzi-los a forma N-nomial com

antecedentes (ou conseqüentes) independentes; além disso, a soma dos conseqüentes (ou

antecedentes) é também possível e unívoca.

45 Essa operação de adição juntamente com a de multiplicação de diádico por número real (§ 02.02) e algumas

de suas propriedades permitem enquadrar o conjunto dos diádicos como um "espaço vetorial no corpo dos números reais" em linguagem da Álgebra Linear.



2º)- É comutativa e associativa:

+ + ,

+ + +... ( + ) + +..., (02),

o que é evidente.

3º)- Chama-se diferença de dois diádicos e , e representa-se por - ,

o diádico que se obtém somando ao primeiro o oposto do segundo.

Esta operação é, também, sempre possível e unívoca, podendo ser estendida a vários

diádicos. Tem-se também,

, (03),

isso é, a diferença de dois diádicos iguais é o diádico nulo.

4º)- A operação é distributiva em relação à multiplicação por número:

M( + +...) M + M +..., (04),

porque:

M( + +...) M[ ( + +... )] (M

M M M M M M .

i

i i

i

i i

i

i i

i

i

i

i

a b c a b c

a b c a b a c

)( ... )

( ... ) ( ) ( ) ... ...

5º)- A multiplicação pontuada de diádico por vetor é distributiva em relação

à adição de diádicos:

( + +...) + +..., .r .r .r (05).

É evidente a demonstração.

6º)- O diádico transposto de uma soma algébrica de diádicos é igual à soma

algébrica dos transpostos dos diádicos parcela:

( + +...) + +... ,T T T

(06).

( + +...) [ ( + +...)]T

i

i i T i i

i

i

i

i

i

T T a b c b c a b a c a( ...) ... ...

7º)- O escalar e o vetor de uma soma algébrica de diádicos são

respectivamente iguais à soma algébrica dos escalares e dos vetores dos

diádicos parcela:

......)(

, (07).

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 101


Com efeito, reduzindo os diádicos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes, tem-se (com denotando E ou )

.........)(

...)]([...)++(

i

i

i

i

ii

i

ii

i

cabacba

cba

§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição

aditiva.

Sejam s1, s2, ..., N vetores não simultaneamente nulos que, em relação a uma base

qualquer {e*

} de EN, são escritos na forma:

s s .e e s .e s .ei i jj

i j j i( ) com , (i, j 1,2,...,N).

Existe sempre (Corol.1,Teor.1,§ 02.04) um diádico S que transforma os vetores da base

recíproca de {e*

} nos vetores si, isso é, se si = S.ei, então, em forma N-nomial, S = siei.

Para qualquer r,

S. r s e .r s .e e .r e i

i

i j

i j( ) ( ) ,

ST

j

j j i

i j( ). r e s . r s . e r.e e ( ) .

Por serem si.ej = sj.ei para todo i e j, resulta da definição de igualdade de diádicos

que S=ST. Existem, pois, diádicos que são iguais aos seus respectivos transpostos;

denominam-se diádicos simétricos e são representados genericamente por S. O diádico

nulo e o diádico unidade são exemplos particulares de diádicos simétricos.

Similarmente, seja a N-pla de vetores não simultaneamente nulos

jjii )( e.eaa com ijji

.ea.ea (i,j=1,2, ..., N).

Existe sempre um diádico, digamos A, que transforma os vetores da base {e*} nos vetores

ai; logo A = aiei. Então:

A. r a e .r a .e e .r e i

i

i j

i j( ) ( )

e

AT

j

j j i

i j( ) ( ). r e a .r a .e e .r e .

Logo, por ser - ai.ej = aj.ei e lembrando a definição de igualdade de diádicos e diádicos

opostos: A = - AT. Existem, pois, diádicos que são iguais aos opostos dos seus respectivos



transpostos; são denominados diádicos anti-simétricos e representados geralmente por

A46. O diádico nulo é um exemplo particular de diádico anti-simétrico para qualquer N.

Teor. 1: A soma e a diferença de qualquer diádico com o seu transposto são,

respectivamente, diádicos simétrico e anti-simétrico.

Com efeito, pois pela propriedade 6ª (§ 04.01) e considerando ((03),§ 02.05), temos,

com correspondência de sinais:

( ) ( );T T T TT T T

isso é,

T T T

( ) , (01),

donde a tese.

Teor. 2: Qualquer diádico pode ser decomposto de modo único na soma de um

diádico simétrico com um anti-simétrico.

Da identidade

1

2( + ) +

1

2( ),

T T (02),

e do teorema anterior, resulta, logo, comprovada a possibilidade da decomposição.

Demonstremos que ela é única. Pondo

1

2

1

2( ) ( ),

T T e

temos: = '+''. Se existissem dois outros diádicos ' e '' tais, que

+ com e ,T

T

então poderíamos escrever:

, com , e +

para que . Sendo e , respectivamente, simétrico e anti-simétrico, deduzimos:

( + ) + e ( ) ( ).T T

46 A simetria e a anti-simetria dos diádicos aqui apresentadas são "internas". Oportunamente (§02.05,III) serão apresentadas as "externas".



Mas sendo simétrico e anti-simétrico, deduzimos também, aplicando propriedade da

adição:

. é, isto , e TT

Logo: e , e a decomposição é única.

Definições:

A identidade (02) representa a decomposição aditiva do diádico . Nesta

decomposição de , o diádico parcela (+T)/2, simétrico, é dito a parte

simétrica de ; o diádico ( - T)/2, anti-simétrico, é dito a parte anti-simétrica de . Esses diádicos serão representados, respectivamente, por

sim e ant .

Então:

sim ant , com simT

antT1

2( + ) e

12

( ), (03).

Corol. 1:

Se um diádico é simétrico, a sua parte anti-simétrica é nula, e

reciprocamente.

Corol. 2:

Se um diádico é anti-simétrico a sua parte simétrica é nula, e

reciprocamente.

Teor. 3:

Os diádicos anti-simétricos, , são nulos no E1, unilineares no E2. No E3

eles são uniplanares e, particularmente,

r.Ar.AA.rArr 222 : TV , (04),

isso é, o vetor de um diádico anti-simétrico é perpendicular ao seu plano.47

No E1, A = ae = - ea implicam a.e = 0; como a é paralelo a e: ou a = o, ou e = o e A

é o diádico nulo. No E2, A deveria ser ao menos linear, logo, da forma A = ae = - ea com

ao e eo. Mas, para qualquer r de E2: A.r = a(e.r) = - e(a.r), isso é, a e e são paralelos;

logo A é unilinear. Por ser A = - AT, A3 = (-1)N A3, isso é, 3 = 0 para N=1, ou 3. Então, no

E3, A deve ser ao menos planar porque A3=0. Com efeito, por ser A=-AT tem-se, lembrando

((06), § 02.09) e ((07), § 02.08): 3 33

3 31 ( ) ( )T ; logo, no E3, A3=0. Então

47 Dispensam-se considerações aos vetores de diádicos anti-simétricos em E1 e E2 porque são sempre nulos.



esse diádico pode ser escrito na forma A=ab+cd. Mas devendo ser, também, A=-ba-dc,

resulta que os planos (a,c) e (b,d) são coincidentes e é uniplanar. Então:

,c.rda.rbd.rc+b.raA.rr )()()()( :

Mas

dr.ccr.dar.bbr.adcrbarAr )()()()()()(V

,

donde, considerando a igualdade anterior

A.rr.Ar.Acr.dar.bAr 222])()[(2 T

V ,

o que comprova (041). Analogamente, podemos escrever:

r.Adr.cbr.aAr 2])()[(2V

.

Como r é qualquer, V é perpendicular a qualquer combinação linear de a e c e de b e d;

isso é, perpendicular ao plano do diádico.

Corol. 1:

e VT

o .

Pois, por (04) seria or. para todo e qualquer r, ou seja, conforme (03), § 02.09,

. A recíproca é evidente pois o diádico nulo é anti-simétrico e tem vetor nulo.

Corol. 2:

Todo diádico anti-simétrico gerado do E3 tem escalar e terceiro nulos, e

vetor não nulo:

oV

3

ET ,0

,0

A

AA

AA (041).

Que o vetor de A é não nulo é evidente porque, se não fosse, o Corol. 1 garantiria ser

esse diádico o diádico nulo; o que é contra a hipótese. Por ser A = - AT, deduzimos,

igualando os escalares e os terceiros de ambos os membros: AE = - ATE e A3 = - (AT )3.

Mas, segundo ((03) e (07),§ 02.08),

ATE = AE e A3 = (AT)3; logo AE = 0 = A3.

Corol. 3:

r r. .r: = - T 0, (042).

Pois, sendo r. .r r. .r T , temos, evidentemente:

r. .r r. r. r. .r r. .r ( ) ( ) .



Teor. 4:

Todo diádico simétrico tem vetor nulo; reciprocamente, se um diádico tem

vetor nulo ele é simétrico.

Pois se S=ST, então, SV=(ST)V, isso é, lembrando ((031),§ 02.08), SV=-SV, ou SV=o.

Reciprocamente, por hipótese SV=o. Mas, para qualquer diádico , (T)V=- V; logo:

(ST)V=-SV=o=SV, ou seja, lembrando ((07), 04.01): (ST-S)V=o. Mas o diádico ST-S é anti-

simétrico (Teor. 1); e tendo vetor nulo, o Corol. 1 do Teor. 3 garante ser ST-S=, ou seja,

ST=S.

Corol. 1: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo:

T

V o (05).

Logo (§ 03.03):

todo diádico simétrico é um diádico de Moreira.

Exercício:

Caracterizar o diádico de Moreira associado a um diádico simétrico.

Corol. 2: No E3 todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear). No

E2 todo diádico linear simétrico é unilinear.

Com efeito, se é simétrico, V=o pelo corolário anterior; sendo planar podemos

escrevê-lo, em redução mínima, =miai (i=1,2). Logo, oam i

i , igualdade que implica

serem coplanares os antecedentes m1, m2 e os conseqüentes a1, a2 de . Então é

uniplanar.

A demonstração para o caso linear tanto no E3 quanto no E2 é evidente.

Nota: A recíproca deste teorema para o caso planar não é verdadeira porque, obviamente, existem diádicos uniplanares cujos vetores não são nulos, logo não simétricos.

Corol. 3: Os diádicos ortoplanares e os ortolineares são não simétricos.

Com efeito, se fossem simétricos seriam uniplanares os ortoplanares e unilineares os

ortolineares, o que é absurdo.

Teor. 5:

A todo vo de E3 é possível associar, de infinitas maneiras, um diádico anti-simétrico (uniplanar), de plano perpendicular a v, cujo vetor seja 2v.



Com efeito, sejam e1 e e2 dois dos infinitos vetores não paralelos arbitrários do plano

ortogonal a dado vetor v tais, que v=e1×e2. O diádico e1e2-e2e1 é anti-simétrico porque

e e e e e e e e1 2 2 1 1 2 2 1 ( )T

; e seu vetor é 2e1×e2=2v, o que comprova o teorema.

Teor. 6: O escalar e o vetor de um diádico são iguais, respectivamente, ao escalar de

sua parte simétrica e ao vetor de sua parte anti-simétrica.

Com efeito, sendo sim ant e considerando os teoremas 3 e 4 deduzimos:

E sim E ant E sim E+ , e V sim V ant V ant V + .

Teor. 7:

Se dois diádicos têm vetores iguais, então suas partes anti-simétricas são

iguais; e reciprocamente.

Com efeito, se e são quaisquer e V=V, então: (-)V = o e - é diádico

simétrico (Teor.4). Logo: -=(-)T, ou, -T=-T e as partes anti-simétricas desses

diádicos são iguais.

A demonstração da recíproca é imediata, pois, devendo ser -T=-T, então: (-

T)V=(-T)V, isso é, pelo Teor.6, V=V.

Corol. 1:

Se o vetor V de um diádico é igual ao vetor AV de um diádico anti-

simétrico A, então A é a parte anti-simétrica de :

, V V ant A A A: (06).

Pois, pelo Teor.7 as partes anti-simétricas de e A são iguais e a parte anti-simétrica de A é o próprio A.

Corol. 2:

Se dois diádicos anti-simétricos têm vetores iguais, eles são iguais.

Exercício: Provar que

antVantVVV2 :, .. , (07).



Teor. 8:

Se a soma (diferença) de dois diádicos é um diádico simétrico (anti-

simétrico), as suas partes anti-simétricas (simétricas) são diádicos opostos

(iguais), e reciprocamente:

)((2

1)(

2

1 , )( TTT , (08),

expressões em que os sinais se correspondem.

Pois se ( )T T T , então por transposição de termos resulta:

T T T ( ) .


Exercício: Qualquer combinação linear de diádicos simétricos (anti-simétricos) é diádico

simétrico (anti-simétrico).

§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS.

§ 05.01- Definição e propriedades.

Chama-se produto pontuado do diádico = aibi (i = 1,2,...,P) pelo diádico = cjd

j

(j = 1,2,...,Q), nessa ordem, e representa-se por . (lendo-se ponto ), o diádico

representado pela soma simbólica das díades que se obtém multiplicando escalarmente o

conseqüente de cada díade de pelos antecedentes de cada díade de . Escreve-se:

. , sendo:

a b .c d a b .c d +a b .c d + +a b .c d + ,i

ij

j ... ... ( ) ( ) ( ) ( )1

11

11

12

22

21

1 (01).

Na ordem inversa o produto pontuado dos diádicos é:

. c d .a b c d .a b c d .a b j

ji

i( ) ( ) ( ) ... ,1

11

11

12

2 (011).

A multiplicação pontuada de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar

o produto pontuado desses diádicos.

Propriedades.

1ª)- É operação sempre possível e unívoca,

o que é evidente.

2ª)- É operação não comutativa:

. . , (02),

o que é evidente por (01) e (011).



3ª)- A operação é associativa em relação a fatores escalares:

N( ) (N ) (N ) ( )N, . . . . (03).

Tem-se, por exemplo, aplicando (01) e lembrando ((01),§ 02.02):

N( ) [ ( N N N )i

ij

ji

ij

ji

ij

j . N a b .c d a b .c d a b . c d . ) ] [( ) ] [( ) ] ( ) ( .

O terceiro e quarto membros de (03) podem ser deduzidos analogamente.

4ª)- É associativa em relação a fator vetor, se o vetor não aparecer entre os

diádicos, isso é:

( ) ( ), . . r . .r (04),

mas, geralmente,

( ) ( ) . r . . r. , (041).

De fato,

( ) [ ( ) ] ( )( ) { [ ( )]}

[ ( )] ( ) ( ) ( ).

. . r a b . c d . r a b .c d . r a b . c d . r

a b . . r a b . . r . . r

i

i

j

j

i

i

j

j

i

i

j

j

i

i

i

i

A expressão (041) é verdadeira porque, sendo:

( ) ( ) ( )( ) . r . a b .r . b .r a .c d i

i i

i i

j combinação linear dos dj,

e

. r. . r. c d r.c a b .d( ) ( ) ( ) ( ) j

j j

i

i j = combinação linear dos ai,

a combinação linear dos dj sendo, geralmente, diferente da combinação linear dos ai.

Concluímos, logo:

: , . (042).

Com efeito, para comprovar basta fazer em (04) = , considerar que .r = r,

considerar que r é qualquer e lembrar a definição de igualdade de diádicos.

5ª)- Para quaisquer a e b:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),a. . .b a. . .b a. . .b a. . .b (05).

Pondo .b=v e lembrando ((02),§ 02.06), o primeiro membro de (05) pode ser assim

escrito: ( ) ( ) [ ( )].a. . v a. . v a. . .b Mas lembrando (04) e em seguida

reaplicando ((02),§ 02.06), o último membro da expressão obtida é escrito na forma:

a. . .b a. . .b[( ) ] ( ) ,



o que comprova a igualdade do primeiro e terceiro membros de (05). As demais fórmulas

podem ser demonstradas analogamente.

6ª)- A operação é distributiva em relação à adição de diádicos,

. . .( + +...) + +..., (06).

Com efeito, pondo = aibi e lembrando que a multiplicação pontuada de vetor por

soma de diádicos é distributiva (propr. 5ª, § 04.01), temos:

. a b . a b . b .( + +...) [ ( + +...)] ( + +...i

ii

i i

Entre os parênteses do último membro temos uma soma de vetores; e sendo distributiva a

multiplicação justaposta de vetores em relação à adição de vetores (Teor.2, § 02.06),

deduzimos:

. a b . a b . . .( ...) ( ) ( ) ... ... i

i

i

i

7ª)- A operação é associativa em relação a fatores diádicos, isso é:

( ) ... ( ) ..., . . . . . . (07).

Pondo = aibi, = cjd

j e = fkgk, quaisquer que sejam os campos de variação dos

índices, temos:

( ) [ ( ) ] ( ) [( )( ) ]. . . a b .c d . f g a b .c d . f g i

i

j

j

k

k

i

i

j

j

k

k

Dentro dos colchetes, no último membro, existe uma soma de vetores cujos coeficientes são

somas de escalares; tais coeficientes podem ser escritos na forma:

b . c d . f b . . fi

jj

ki

k[( ) ] ( ),

donde,

( )( ) [( ) ] [ ( )];ij

jk

k ik

k ik

kb .c d . f g b . . f g b . . f g

logo,

( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ).i

ii

i . . a b . . a b . . . .

8ª)- Critério de igualdade de diádicos:

: ou

,

. .

. .

(08);

§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. 110


para diádico completo, a recíproca de (08) é verdadeira:

, ou

,

30

. .

. .

(081).

Se = ' e r é um vetor qualquer, temos, lembrando (04):

: ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ; . .r . .r . .r . .r

logo, os diádicos . e .' são iguais em vista da definição de igualdade de diádicos (§

02.06), o que comprova (08).

Se .=.', completo, temos:

r. . r. . r. . r. .( ) ( ' ) ( ) ( ) ' .

Pondo r.=v, v é qualquer porque r é qualquer e é qualquer e completo; logo:

v. v. ,

isso é, como conseqüência da definição de diádicos iguais, ='.

9ª)- (Produto pontuado nulo)

Se é qualquer e o produto pontuado de um diádico por é o diádico

nulo, , então =; e reciprocamente:

, . (09).

Com efeito, pois, para qualquer r:

,)( o.r.r.

ou,

. . r o .r( ) .

Mas r' é qualquer porque e r o são. Logo, por definição de diádico nulo (§ 02.09), =.


§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro.

Chama-se potência de expoente inteiro e positivo, P, de um diádico , e indica-se

por P, o produto pontuado de P fatores diádicos , isso é,

P

P fatores

... . . . , (01).

§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. 111


Para P = 0 põe-se, por definição,

0 , (011).

A potenciação diádica é a operação que tem por fim determinar a potência de um

diádico, e goza das seguintes

Propriedades:

1ª)- É sempre possível e unívoca, o que é evidente.

2ª)- O produto pontuado de potências de diferentes expoentes de um mesmo

diádico é igual à potência da soma dos expoentes desse diádico, isso é:

P M P+M ,. (02),

cuja demonstração é evidente.

3ª)- Qualquer potência do diádico unidade é igual ao diádico unidade:

P , (03).

•

Por extensão de conceitos algébricos ordinários, define-se o polinômio diádico

inteiro como toda expressão diádica do tipo:

P 0

P

1

P 1

2

P 2

PA A A A( ) ... ,

(04),

onde os Ai são números reais e P é inteiro positivo.

Genericamente, dois polinômios diádicos de um mesmo diádico , podem ser

escritos nas formas:

P i

P i

M j

M jA e B (i 1,2,...P; j 1,2,...M),( ) ( ) ,

e tem-se:

P M M P

( ) ( ) ( ) ( ), . . (05).

Com efeito, pois, sendo:

P M i j

P i M j

i j

(P+M) (i+ j)A B A B( ) ( ) . .

e

M P j i

M j P i

i j

(P+M) (i+ j)B A A B( ) ( ) , . .

deduzimos logo, (05). Assim,

''É comutativo o produto pontuado de dois polinômios diádicos de um mesmo

diádico''.

§ 05.03- Determinante e transposto de um produto. 112


§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto.

Teor. 1: O transposto de um produto de diádicos é igual ao produto dos transpostos

dos diádicos multiplicados em ordem inversa, isso é:

( (... ), . . . . . . ...) T T T T (01).

Temos:

( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) . . a b .c d d b .c a d c .b a d c . b a .T

i

i

j

j T j i

j i

j

j

i

i

j

j

i

i

T T

A generalização é imediata.

Corol. 1: O transposto da enésima potência de um diádico é igual à enésima

potência do seu transposto:

( ) ( ) , P T T P (02).

Corol. 2: O produto de qualquer diádico pelo seu transposto é diádico simétrico.

Porque deduzimos, de (01), lembrando ((03).§ 02.05):

( )T T TT T T . . . , (03),

isso é, o diádico .T é igual ao seu transposto, sendo, pois, simétrico.

Definições: (produtos simétricos de um diádico)

O produto pontuado de um diádico pelo seu transposto será denominado

produto simétrico: esquerdo se o diádico é fator multiplicando (.T), direito

se é fator multiplicado (T.).

Teor. 2:

O terceiro de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado

dos terceiros dos diádicos fatores:

( ) ,3 3 3

. (04).

Reduzamos os diádicos e a formas N-nomiais em que os antecedentes de um são

o sistema recíproco dos conseqüentes do outro; sejam:

a e e bii

jj e , (i, j 1,2,...,N).

§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 113


Então, aplicando ((04),§ 02.08) escrevemos, sucessivamente, lembrando a teoria dos

recíprocos (§ 03, I):

.3N se ),)(())()()((

;2N se ),()(

)()})]((){[(

)]())][(()[(

;1N se ,])[())((

321

321

321

321

321

321

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

33

bbbaaabbbeeeeeeaaa

bb.aa

bb.eeee.aa

bb.eeee.aa

.ba.be.ea.be.ea

Mas

. a e .e b a b i

i

j

j

i

i( )

e, reaplicando ((04),§ 02.08), deduzimos:

3.N se ),)((

2;N se ),()(

1;N se ,

)(

321

321

21

21

1

1

3

bbbaaa

bb.aa

.ba

.

Comparando os resultados obtidos para os valores correspondentes de N, temos

demonstrado o teorema qualquer que seja a dimensão do espaço dos vetores a que se

refiram os diádicos.

§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.

Dados dois diádicos quaisquer, e , a interpretação do produto . pode ser levada

a bom termo escrevendo-se o multiplicando, , e o multiplicador, , nas formas N-nomiais

a e e bii

jj

e (i, j 1,2,... , N), (01),

onde os conseqüentes de e os antecedentes de constituem sistemas recíprocos; isso é

sempre possível conforme nos garante o teorema da redução N-nomial (Teor.1,§ 02.07).

Assim,

. a b ii, (i 1,2,... , N), (02).

Resultam então, facilmente, as seguintes propriedades, para diádicos gerados no

E348.

48Propriedades correlatas no E2 podem ser deduzidas facilmente.



Teor. 1: O produto pontuado de dois diádicos em que um é completo é um diádico

completo, planar ou linear conforme o outro seja um diádico completo,

planar ou linear, respectivamente.

Se é completo, os ai são não coplanares; e se é completo os bi são não

coplanares. Logo, por (02), vemos que . é completo. Mas se é completo e é planar

(os bi são coplanares), . é planar. Se é linear (os bi são paralelos), . é linear.

Teor. 2: Em geral o produto pontuado de dois diádicos em que: 1º) um é planar, é um

diádico planar ou linear conforme o outro seja, respectivamente, planar e

linear; 2º) ambos são lineares, é um diádico linear.

A demonstração é análoga à do Teor.1.

Corol. 1:

Se e são planares, ., 2.

Exceções.

O enunciado do Teor.2 exigiu a expressão "em geral" porque nem sempre ele é

verdadeiro, isso é, existem exceções a todos esses casos de multiplicação.

Teor. 3: (planar.planar = linear)

O produto pontuado de dois diádicos planares em que o plano dos

conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do

multiplicador é um diádico linear.

Reciprocamente, todo diádico linear pode ser decomposto, de uma infinidade

de maneiras, no produto de dois planares, em que o plano dos conseqüentes

do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador.

Sejam ' = aimi e ' = njd

j dois dados diádicos planares com (a1a2a3) 0, (d1d2d3)

0, (m1m2m3) = 0 = (n1n2n3), o plano dos mi sendo ortogonal ao dos ni (Figura 05.01). Se b

é um vetor não nulo, arbitrário, porém ortogonal ao plano dos mi, e c um segundo vetor,

também arbitrário, mas ortogonal ao plano dos ni, então b.c = 0 (b c). Os diádicos

=ai(mib) e = (cnj)d

j são planares; e o plano dos conseqüentes de é ortogonal ao plano

dos antecedentes de . Temos, então: jj

ii )]()[( dnc.bma. . Mas, aplicando

propriedade da multiplicação mista e a fórmula do duplo produto vetorial, sucessivamente,



podemos escrever: ))(()()()( ji

ji

ji b.nc.mc.nbmnc.bm porque b.c = 0. Logo:

adb..cdb.n.cma. ))(())(( jj

ii o que comprova o teorema direto.

Reciprocamente, seja = ad um diádico linear. Se {a1,a2,a3} e {d1,d2,d3} são dois

tercetos de vetores não coplanares quaisquer, escolhendo arbitrariamente dois vetores

ortogonais b e c, podemos determinar, de infinitos modos, os vetores mi perpendiculares a

b (logo coplanares) e os vetores nj perpendiculares a c (também coplanares) tais, que:

.)( e )( jj

ii db.nd.cmaa

Então, de uma dupla infinidade de maneiras,

a m .c b.n d .c b.i

i

j

j( )( ) ( )( ),

sendo = aimi e = njd

j diádicos planares, o plano dos conseqüentes de sendo ortogonal

ao plano dos antecedentes de .

Também de uma dupla infinidade de maneiras, os diádicos ' =ai(ni b) e ' =

(cnj) dj são ainda planares, o plano dos conseqüentes de ' sendo ortogonal ao plano dos

antecedentes de '; e tem-se:

j

j

i

i)()(. dnc.bma .

Mas, tal como na demonstração do teorema direto:

))(()()(j

ij

j

ib.n.cmdnc.bm ,

isso é,

ad .c b. .( )( ) ,

igualdade que comprova a recíproca.

Corol.1:

Se o quadrado de um diádico planar é linear, esse diádico é ortoplanar.

Teor. 4:

Se u2 é um vetor unitário paralelo à interseção dos planos de um diádico

planar dado, , e u1 e u

3 vetores unitários cujo ângulo seja o ângulo diedro

dos planos de , então pode ser escrito na forma:

B +C + E + F u u u u u u u u1 2 1 3 2 2 2 3

, (03),



ou na forma

( ) ) B + E +(C + Fu u u u u u1 2 2 1 2 3

, (031),

sendo

21 ˆ ˆB u..u , 31ˆ. .ˆC uu , 22 ˆ ˆE u..u , 32

ˆ. .ˆF uu , (032).

Seja iirs (i = 1, 2) uma redução mínima arbitrária do diádico planar e u

2 o

unitário que define a direção da interseção dos seus planos. Sejam, ainda, u1 e u

3 os

unitários da seção reta desses planos, tais que o triedro { , , }u u u1 2 3

seja direto (Fig.

05.02).

Nestas condições, os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de são

( , ) ( , )u u u u1 2 2 3

e , respectivamente. Como os unitários definem sistemas ortonormados

nos seus respectivos planos, podemos escrever:

r u .r u s s .u ui j i j

i i

k k (j e (k ( ) ,3) ( ) ,2)2 1 .

Efetuando os produtos justapostos e lembrando a propriedade 3ª da multiplicação pontuada

de diádico por vetor (§ 02.03) temos:

jkjkˆˆ)ˆ ˆ( uuu..u , (k = 1,2; j = 2,3).

Agora, desenvolvendo as somas indicadas comprovamos facilmente a tese.

Corol. 1:

Todo diádico ortoplanar, , pode ser escrito na forma:

(F C + (B + E ) ,

)

j i k i j j (04),

em que B, C, E e F são números, { i j k } um triedro direto de unitários,

j sendo paralelo à interseção dos planos (ortogonais) do diádico49, i

pertencendo ao plano dos antecedentes e k ao plano dos conseqüentes.

49 Oportunamente (§ 09.09) poderemos demonstrar que, na representação (04), FB=CE.



Corol. 2: (quadrado e cubo de um ortoplanar)

Se um diádico é ortoplanar de escalar não nulo: 1º)- 2, linear, tem

seu antecedente e seu conseqüente pertencentes, respectivamente, ao

plano dos antecedentes e dos conseqüentes de ; 2º)- 3 é igual ao

quadrado de multiplicado pelo escalar de : 3 = E 2.

Com efeito, quadrando (04), encontramos:

2 (B + E )(F + E ), i j k j (041),

o que mostra que 2 é linear e que seu antecedente é do plano s1s

2, e seu conseqüente do

plano r1,r2. Multiplicando pontuadamente (04) por (041) temos: 3 E(B + E )(F + E ), i j k j

donde, observando que, segundo (04),

E

E , j. . j (05),

deduzimos:

3E

2 , (06).

Exercício:

Comprovar que, se é ortoplanar, 22-PE

P .

Produto nulo de diádicos não nulos.

Teor. 5:

No E3, é nulo o produto pontuado: 1º)- de um diádico planar por um linear

quando o plano dos conseqüentes do primeiro é ortogonal ao antecedente do

segundo, e reciprocamente; 2º)- de um diádico linear por um planar quando

o conseqüente do primeiro é ortogonal ao plano dos antecedentes do

segundo, e reciprocamente; 3º)- de dois diádicos lineares quando o

conseqüente do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e

reciprocamente.

As demonstrações são simples e imediatas a partir das representações desses

diádicos em redução mínima.

Corol. 1:

Se e são incompletos, não nulos e .=, ao menos um dos diádicos

é linear.

Pois, pelo Corol.1 do Teor.2 ambos não podem ser planares.

Teor. 6:

Se um diádico é ortolinear, seu quadrado é o diádico nulo; e

reciprocamente:

, ortolinear 2 (07).



Pois, com efeito, representando o ortolinear em redução mínima por = ab, temos:

bb.aa )(2 , pois ab. Reciprocamente, se 2 = , pelo corolário anterior, deve

ser linear. Então, escrevendo = ab, temos: 2 = a(b.a)b=, o que implica b.a = 0, isso é,

b a; e é ortolinear.

Teor. 7:

Se um diádico é ortoplanar e tem escalar nulo, seu quadrado é ortolinear e

seu cubo é o diádico nulo; e reciprocamente.

3

2

Eortolinear

0 ,ortoplanar (08).

Segundo (05), j. . j 0. Então, por (041), deduzimos: (2)E = E2 = 0, isso é, 2 é

ortolinear (Teor. 6). Logo, segundo (06), 3 .

Reciprocamente, suponhamos 3 = e 2 ortolinear. Ponhamos:

22 3 .. .

Ora, não pode ser linear porque, se fosse, 2 deveria ser linear; e para que fosse nulo o

produto deles, em qualquer ordem, o conseqüente do multiplicando deveria ser ortogonal ao

antecedente do multiplicador. Então, se

= xy, é 2 = x (y.x) y, e 3 2 x x. y y( ) ,

isso é, x y para que 3 = . Assim, seria ortolinear e, portanto, 2 = , o que é contra a

hipótese (2 é ortolinear). Então, deve ser planar; e sendo 2 ortolinear, o conseqüente de

2 deve ser perpendicular ao plano dos antecedentes de (porque 2. = ) e o

antecedente de 2 perpendicular ao plano dos conseqüentes de . Logo, os planos dos

antecedentes e conseqüentes de são ortogonais e é ortoplanar. Escrevendo-se na

forma (04), 2 é dado por (041). Como

2 é ortolinear, (

2)E = E2 = 0, isso é, E = 0. Então

F C B jk ik ij e E = 0.

Corol. 1:

Se um diádico é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base

ortonormada { i , j , k } , da qual i é vetor do plano dos seus

antecedentes, k é vetor do plano dos seus conseqüentes e j é paralelo à

interseção desses planos, em relação à qual fica reduzido à forma

( ) ( ) ( ) , F C B

j. .k jk i. .k ik i. . j ij (09);

e reciprocamente.



Nota: Se um diádico ortoplanar tem escalar nulo, nem B nem F podem ser nulos, pois, do contrário, o diádico seria linear (o que é absurdo).

Corol. 2:

Se um diádico é ortoplanar de escalar nulo, existem dois pares de

vetores: e1,e2 e e2,e3, respectivamente pertencentes aos planos dos seus

conseqüentes e antecedentes, que gozam das propriedades: e2 . e3 = e1 . e

2

= e1 . e3 = 0 , e que reduzem à forma:

e e e e1

2

2

3+ , (10);

e reciprocamente.

De (09), escrevemos, lembrando que B 0 e F 0:

(

)(

) [(

)

(

)]

(

)(

)[(

)].j. . k i. . j i

i. . k k i. . j j

j. . k i. . jj. . k j k

F

B

Pondo:

,ˆ

,)ˆˆ)(ˆˆ(

]ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ[(

,ˆ)ˆˆ(

,ˆ)ˆˆ)(ˆˆ(

3

2

2

1

ke

j..ik..j

jj..ikk..ie

jk..je

ij..ik..je

(11),

resulta a forma (10) de representação de na qual, obviamente, destaca-se a ortogonalidade

do plano (e2,e1) dos antecedentes com o plano (e3,e2) dos conseqüentes. Constata-se, ainda,

que E=0, pois, e1.e2=0=e2.e

3.

A recíproca é evidente, pois, se existem dois pares de vetores: e2,e1 e e3,e2 tais, que

e2.e3=e1.e

2=e1.e3=0 e que reduzem certo diádico à forma (10), então é ortoplanar

(porque o plano dos seus antecedentes contém o vetor e1 que é ortogonal ao plano dos seus

conseqüentes ) e E=0.

Notas:

1) - Deve ser observado que e2.e2=1 e e2.e1=0, mas estas condições não são necessárias

para a demonstração da recíproca.

2) - Se é tal, que F2B=1, então se tomando e i1 F resultam: e

1.e1=( )e e e

1 2 3 1 e

B/)ˆBˆC(3 kje . Nesse caso os sistemas de vetores {e1e

2e

3} e {e1e2e3} são recíprocos,

{e2e

3} e {e2e3} sendo recíprocos planares.

3) – No §09.09 justificaremos a nomenclatura "diádicos antitriangulares" que dispensaremos aos diádicos ortoplanares de escalar nulo.



Exercícios:

S, S1, S2, ... são diádicos simétricos, A, A1, A2, ... são diádicos anti-simétricos e v, a,

b, ... são vetores.

1°) - Mostre que são anti-simétricos os diádicos:

A) - S .S S .S1 2 2 1

,

( ) ( )

( )

) )

( ) ( ) .

S .S S . S

S . S S .S

S .S . S S .S .S

S .S . S S .S .S

1

2

2 2 1

2

1 2

2

2

2

1

1 2 1

2

1

2

2 1

2 1 2

2

2

2

1 2

,

( ) ,

( ( ,

B) - v S. v S. v v( ) ( ) ,

v S . v S . v v

S. v S . v S . v S. v

S. A A.S

S. A A .S

v A. v A. v v

v A. v A. v v

A .A A . A

( ) ( ) ,

( )( ) ( )( ),

,

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 2 2 1

+

,

( ) ( )

C) - S .S .S S .S .S S .S .S1 2 3 2 3 1 3 1 2

S .S .S S .S .S S .S .S2 1 3 1 3 2 3 2 1 ,

( )( ) ( )( )

( ) [( ] ,

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

S . v S . v S . v S . v

v S .S S .S . v S .S S .S . v v

S. ab ba ab ba .S

A. ab ba ab ba . A

1 2 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1

)

2°) - Mostre que são simétricos os diádicos:

A) - S2,

B) - S .S S .S1 2 2 1

,

( ,

,

S .S S . S

S . S S .S

1

2

2 2 1

2

1 2

2

2

2

1

) ( )

( ) ( )

C) - vS. v S. vv ,

vS . v S . vv2 2

,

D) - S. A A.S

A.S. A

S . A A.S

A.S. A A .S. A

,

,2 2

2 2

,

§ 06.01- Definições e propriedades. 121


E) - A. v A. v

,

,

22 .vA.vA.vA.vA

A.vvvA.v

.)()(

,)()(

,

2122

21

12

22

21

1221

A.A.AA

.AAAA

.AA.AA

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR.

§ 06.01 - Definições e propriedades.

Chama-se produto cruzado anterior (posterior) do diádico pelo vetor r, e

indica-se por r (r), lendo-se: cruz r (r cruz ), o diádico cujos antecedentes

(conseqüentes) são os de e cujos conseqüentes (antecedentes) são os produtos vetoriais

dos conseqüentes (antecedentes) do diádico pelo vetor. Assim, se =aibi,

)( i

irbar e i

i)( barr , (i=1,2,...,N) (01).

A multiplicação cruzada anterior ou posterior de diádico por vetor é a operação

que tem por fim determinar o produto cruzado entre o diádico e o vetor50. Esta operação

goza das seguintes

Propriedades.

1ª)- É operação sempre possível e unívoca.

2ª)- Os diádicos produto r e r são sempre incompletos.

No E3, esses diádicos são planares se é completo ou planar, e não passível de

maior redução; lineares se é linear; nulos se, sendo linear, os conseqüentes ou os

antecedentes de são, respectivamente, paralelos a r.

Se é completo, r e r são planares porque, correspondentemente, os seus

conseqüentes em (01)1, e os seus antecedentes em (01)2, são tercetos de vetores contidos

num mesmo plano perpendicular ao vetor r.

Se é planar, com b1, b2 e b3 distintos mas coplanares: 1º)- os vetores bir em

(01)1, são sempre distintos mas coplanares, e r é planar; 2º)- os vetores rai, em (01)2,

são coplanares mas distintos, e é planar.

Se é planar e dois quaisquer dos seus conseqüentes são paralelos, r e r são,

ainda, planares.

50 Gibbs denominou este produto de "skew product of into r".



Se é linear, os seus conseqüentes são paralelos a um mesmo vetor b, donde

escrevermos = aibi = ai(B

ib). Pondo Biai = a, temos: = ab. Logo: r e r são

lineares.

Se, sendo linear, r é paralelo a b, resulta r = e se r é paralelo a a, resulta r

= , o que demonstra a última parte da propriedade.

Se é um diádico de um E2 (logo, uniplanar em E3), os diádicos r e r são,

necessariamente, diádicos lineares de E3, pois têm, respectivamente, conseqüentes e

antecedentes ortogonais ao plano de E2. Então, os terceiros de r e r são sempre

nulos:

33)(0)( :, rrr , (011).

3ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um diádico completo:

, )ou ( e 03

orrr (02);

logo:

,orrr (021).

4ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um vetor qualquer:

,)ou ( : rrr (03).

Com efeito, reduzindo à forma N-nomial aibi com conseqüentes independentes,

temos: r = ai(bir) = . Ora, os conseqüentes de r, coplanares em E3 e colineares em

E2, não são nulos necessariamente, porque os bi e r são quaisquer; logo, ai = o e = .

5ª)- Operação com vetores e diádico quaisquer:

a.bba.ba )( :,, , (04).

Pois, lembrando propriedades do produto misto, escrevemos:

a.b.babaa.bbab.ababa. )]([)()()( i

i

i

i

i

i.

A fórmula (04) é válida em qualquer espaço, acontecendo, apenas, que

oa.bba.ba )( :Eou E de ,,12

, (041).

6ª)- Operação envolvendo diádicos iguais e um vetor qualquer:

rr

rrr , (05).



Temos, com efeito, para quaisquer r e v, aplicando ((01),§ 02.06):

)()( vr.vr. ;

mas, aplicando (04) aos dois membros, temos, também: ,r.vr.v isso é, os

diádicos r e 'r transformam um vetor qualquer, v, no mesmo vetor. Logo esses

diádicos são iguais: r = 'r.

Reciprocamente, se para qualquer r, r = 'r, então, para qualquer v:

.vr.vr )()( ,

donde, reconsiderando (04): , ,é isto ),()( vr.vr. porque r e v são

quaisquer.

A fórmula (05)2 pode ser comprovada analogamente.

7ª)- Operação em que o vetor é um produto vetorial:

.abbaba

abba.b.aa.bbaba

)()(

)()()()( :,, , (06).

Lembrando a fórmula do duplo produto vetorial e pondo = eiai , temos:

])()[()]([)( ii

i

i

ib.aaa.baebaaeba ,

donde, agrupando convenientemente:

b.aa.bb.aaea.baeba )()()]([)]([)( i

i

i

i

A obtenção do último membro de (06)1 é imediata, bastando evidenciar-se no segundo

membro já comprovado.

Tem-se também, similarmente, sem delongas:

.abbaab.eaaa.eb

aa.beb.aeaebaba

)()()(

])()[(])[()(

i

i

i

i

i

ii

i

i

Decorre imediatamente das (06), para = I:

abbabababa )()( :, , (07),

ou, ainda, por serem a e b vetores quaisquer:

rrr : , (08).



8ª)- Tem-se:

TTTT )( donde, ,)( : , rrrrr , (09).

Transpondo no primeiro e o último membros de (06)1 aplicando (01), § 05.03 a este

último membro, substituindo por T em (06)2 e comparando os resultados obtidos,

encontramos: TT ])[()( baba .

Por serem a e b quaisquer, ab = r é qualquer, o que comprova (09)1. Trocando-se, em

(09)1, por T e transpondo-se, resulta, logo, (09)2.

Casos particulares.

Para os diádicos simétricos:

TT )( : SSSS rr , (10).

Logo, para S = : T)( rr , (11).

Lembrando (08), concluímos também:

TT )()( rrrr , (12);

assim, o diádico r é diádico anti-simétrico. Como I é uma constante universal vemos de

imediato que a todo vetor r está associado o diádico anti-simétrico rr cujo vetor é

-2r. Voltaremos a tratar desse assunto no § 06.05.

Para os diádicos anti-simétricos A,

T)( ArrA , (13).

§ 06.02- Fórmulas notáveis.

Em diferentes multiplicações com diádicos e vetores, estão demonstradas as

seguintes fórmulas, contendo:

- um diádico no centro e vetores nas laterais

)()(

)()(

)()(

)()(

.ba..ba.

ba.ba.

.ba.ba

baba

, (01),

ou,

§ 06.03 - Escalar e vetor de r. 125


)()( bababa , (011),

independentemente de e * estarem representando os sinais da multiplicação pontuada ou

da cruzada;

- dois diádicos com um vetor na lateral:

);02( ,)()(ou )()(

)()(

)02( ),()(ou )()(

)()(

1

.r.r.r.r

.r..r.

r.r.r.r.

.r..r.

- um diádico na lateral com dois vetores:

)()()(

)()()(

)()(

)()()()(

)(

)( TT

a.bb.aab

b.aa.bba

.abbaba

abba.b.aa.bba

.abb.a

a.bb.ab.aa.bba.

, (03);

- dois diádicos com um vetor no centro:

)()()(

)()(

.e.ee.

e....e , (04).

§ 06.03 - Escalar e vetor de r

O escalar e o vetor do diádico ×r podem ser calculados com muita simplicidade.

Temos: r.babr.arbar )()()()( i

i

i

i

i

iV , isso é, rbar.r

E

i

iV)()( , ou

melhor,

.rr )()(E

T

V , (01).

Para expressão do escalar de r, temos:

.rbar.bar ii

iiE)( ,

isso é,

VE)( r.r , (02).

§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. II-126


Resultam como casos particulares de (01) e (02), para = :

rr 2)(V

, (011),

0)(Er , (021),

pois E V

3 e o ((02),§ 02.09).

§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias.

Teor. 1:

O duplo do oposto da parte anti-simétrica de qualquer diádico é igual ao

produto cruzado anterior ou posterior de seu vetor pelo diádico unidade, isso

é

VV

T

ant 21

21)(

21 : , (01).

Com efeito, seja = aibi uma das reduções trinomiais de com antecedentes

independentes. Temos, aplicando ((07),§ 06.01:

Ti

ii

ii

iV)( baabba .

Analogamente, aplicando a mesma fórmula, deduzimos:

Tiii

i)iiV )(( .baabba .

Nota:

Por este teorema pode-se confirmar a anti-simetria do diádico r uma vez que sendo

qualquer, seu vetor V = r é qualquer.

Corol. 1:

O produto pontuado anterior da parte anti-simétrica de um diádico

qualquer por um vetor qualquer é igual à metade do produto cruzado

desse vetor pelo vetor do diádico:

.rrr.rr )(21

21

21 : , T

VVant , (011).

Pois temos, de (01), aplicando ((01)2,§ 06.02):

VVVV

T

ant)()()(2 rr.r.r.r.r .

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. 127


Corol. 251: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo.

, VT

o (012).

A condição é suficiente, pois, se o vetor V do diádico é nulo, então (01) dá: T =

; assim, é simétrico. A condição é necessária porque se = T, (01) dá: V = ,

igualdade que implica V = o, conforme ((021),§ 06.01).

Corol. 3:

CNS para que um diádico seja anti-simétrico é que ele seja igual ao

oposto da metade do produto vetorial do seu vetor pelo diádico unidade.

A condição é necessária pelo teorema 1, porque se - A = AT, então (01) dá

51 A proposição seguinte já foi demonstrada por outras vias (Teor.4, § 04.02).

VV

T

21

21 AAAA , (013).

A condição é suficiente porque se um diádico satisfaz à igualdade anterior, (01) dá

2 = donde, = ,T T TA A A A A , e A é anti-simétrico.

Corol. 4:

Tem-se, para qualquer :

Vsim 21 , (014).

Com efeito, é o que resulta da substituição de (01) em ((03),§ 04.02).

§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand.

Teor. 1:

Para qualquer vetor q, a operação q em E3 equivale a uma transformação

linear representada pelo diádico anti-simétrico Iq = qI para ser usado

como pré-fator.

Considerando que, obviamente, qr = .(qr), e que, por ((04),§ 06.01),

q.rrq , (01),

§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 128


a transformação que q opera sobre r é equivalente à do diádico anti-simétrico q, se

usado como pré-fator. Temos também, da igualdade anterior e de ((12),§ 06.01):

qr.qr.qr T)(

ou

qr.qr , (011).

De (01) e (011) resulta então que, se no produto cruzado, r precede ou segue q, então

o diádico Iq deve ser usado como pós ou pré-fator, respectivamente.

Corol. 1:

O diádico correspondente ao operador )( ba é dado por ba - ab.

É o que se deduz imediatamente de (01), (011) e ((07),§ 06.01).

Corol. 2:

A qualquer vetor q corresponde o diádico anti-simétrico qq .

Nota: Todo produto vetorial de vetores pode ser substituído pelo produto pontuado do diádico anti-simétrico associado a um dos vetores pelo outro vetor.

Interpretação geométrica do diádico de Argand.

A operação k que o unitário k realiza sobre o vetor v que lhe é ortogonal é uma

rotação de v, de um ângulo reto, em torno do eixo k , no sentido anti-horário, no plano

ortogonal a k , quando se observa o plano do semi-espaço para o qual aponta k . Logo o

diádico anti-simétrico kk ˆˆ roda de um ângulo reto no sentido anti-horário,

qualquer vetor v ortogonal a k . O diádico k se confunde então com o operador de

Argand do Cálculo Vetorial52.

Se o vetor r não é ortogonal a k , podemos decompô-lo na direção de k e na direção

ortogonal a k no plano ( k ,r); seja r = v+K k . Sendo:

.vkvk.rkrk ˆˆˆˆ ,

vemos que o diádico k transformará qualquer r num vetor ortogonal a k girando de um

ângulo reto no sentido anti-horário a componente v de r ortogonal a k (Fig.06.01).

52Essa nomenclatura não é de uso geral; veja Calaes, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, 2ª edição, Fundação

Gorceix, 1979, tomo I, cap.III. Outros autores usam a notação ( / )2 e, no caso geral, ( ).



Assim, a operação que o operador de Argand do Cálculo Vetorial executa sobre vetores de

um plano, fica estendida para qualquer vetor do espaço pelo diádico k ; e a este diádico

denominaremos diádico de Argand (do unitário k ).

Potências do diádico de Argand.

Se o diádico de Argand é aplicado várias vezes sobre o mesmo vetor ele provoca a

rotação da componente ortogonal desse vetor em relação a k de tantos ângulos retos

quantas aplicações sejam feitas. Essas aplicações são equivalentes a potências inteiras desse

diádico e podem ser calculadas com facilidade tal como se calculam as potências inteiras do

operador de Argand no Cálculo Vetorial53.

Pondo

kJ ˆ , (J é uniplanar), (02),

escrevemos, lembrando ((02)2.§ 06.02):

kkk.kk.kJk ˆ)ˆ(ˆ])ˆ[()ˆ()ˆ()ˆ(22 ,

donde, lembrando ((03)5,§ 06.02):

)ˆˆ()ˆˆ(ˆ)ˆ(2

kkIIk.kkkI.J , (021).

*

Exercício:

Como r: rr r rr 2 , então, sendo rJr || resulta de (021):

)()( : 22 rrrrr , (022).

O diádico (022) é o diádico de inércia da Mecânica Racional.

*

Pondo, ainda:

k k , (I é uniplanar)54, (03),

teremos:

I I I. J J2

, , (04),

53 Essa operação será generalizada no capítulo III.

54Observar a diferença de notação entre I e (diádico unidade). Notar, ainda, que I , uniplanar, é o diádico

unidade do plano ortogonal a k .



e

J I J J . J I. J J J I I2 3 2 4 2, , etc., (05).

Da quinta potência em diante podemos escrever:

Para N=1,2,3,... J I J J J I J J4N 4N+1 4N+2 4N+3

, , , , (051).

Notemos mais uma vez que o diádico de Argand kkJ ˆˆ só produz rotações

de 90o sobre os vetores perpendiculares a k , anulando aqueles vetores paralelos a k . Esse

efeito anulador de kJ ˆ sobre os vetores paralelos a k pode ser eliminado

transformando vetores quaisquer do espaço pelo diádico

kkJkkkkkkZ ˆˆˆˆˆˆˆˆ , (06).

Nesse caso, teríamos:

rkkr.rk.rkkk ˆ)ˆ(ˆ)ˆˆˆ( ,

resultado de interpretação geométrica evidente, conforme ilustrado na Figura 06.02.

As potências inteiras sucessivas de Z são calculadas com simplicidade; temos:

etc.

,

,ˆˆ

,ˆˆˆˆˆˆ

,ˆˆˆˆ2

2246

45

4

3

2

Z.ZZZ

Z.ZZZ

kkZ

kkJkkkkZ

kkkkZ

(07),

Não é difícil provar que Z é completo. Com efeito, se i e j são dois unitários

ortogonais do plano perpendicular a k podemos escrever:

kkkZ ˆˆˆ , sendo kkjjii ˆˆˆˆˆˆ ,

donde,

kkijjiZ ˆˆˆˆˆ e 1)ˆˆˆ)(ˆˆ(3 kijkjiZ (08).



Obviamente, é também igual à unidade positiva o terceiro de qualquer potência de Z, donde

concluirmos, ainda, que todos os diádicos Z P são completos para P finito.

Exercício: Se P>4 e P=4Q+R, então Z

P=Z

R.

Generalizações.

Esses resultados podem ser generalizados. Sejam a, b e c três vetores independentes

e a*, b* e c* seus correspondentes recíprocos. Temos:

)()()( accabbaaaa ,

e

)()()( accabbaaaaaaa .

Logo:

)]()())[(()(3

ac.abaaaabcaaa .

Sendo baaaababaaa

2)()()( ,

o número entre colchetes vale

)()(])([ 22 cabaac.baaaab .

Então, aplicando propriedades dos recíprocos, escrevemos o valor do terceiro em pauta na

forma

( ) ( ) ( ) ( )( );abc a ab c abc a a b c a.a2 2

donde, novamente lembrando as propriedades dos recíprocos:

4

33)( aaaaZ .

Este resultado, obviamente, generaliza a fórmula (08).

Calculemos agora as potências N-ésimas do diádico Z=×a+aa. Notemos,

preliminarmente, que, se e são dois diádicos não nulos que gozem da propriedade:

.. ,

então, e não são completos (§ 05.04) e

,)( NNN .. (09).



Com efeito, para N = 2, por exemplo, temos:

( ) . 2 2 2 2 2

. .

Logo, se (09) for válida para o expoente N - 1, escrevemos:

( ) , N 1 N 1 N 1

donde

( ) ( ) ( ) . N N 1 N 1 N N N 1 N 1

. . .

Porém

2N2N1N )( .... ,

e

;)( 2N2N1N ....

donde, então, a fórmula (09), válida para qualquer N inteiro positivo.

Ora,

),() ()()(])[() ()( a.aaaaaa.aaa.aaaa.a (A);

logo, de (09), escrevemos:

NNNN )()()( aaaaaaZ , (10).

A segunda parcela de (10) pode ser calculada imediatamente; temos:

( ) | | ( ),(

a a a a a N N 1)

2 (11).

Com efeito, é simples comprovar que a fórmula é válida para N = 2,3,...; supondo que ela

valha para o expoente N - 1, escrevemos:

( ) | | ( ),(

a a a a a N 1 N 2)

2

donde, multiplicando escalarmente ambos os membros por (aa):

( ) | | ( ) | | | | ( ) | | ( )( ( (a a a a a a a a a a a a N N 2) N 2) N 1) 2 2 2 2 2 ;

isso é, a fórmula é válida para qualquer expoente.

O cálculo da primeira parcela de (10) é mais trabalhoso. Temos:

aaa 2HH12H ||)1()( , (H=1,2,...,N) (12),

ou



21)-2(H1H2H )(||)1()( aaa , (H=1, 2,..., N), (121),

conforme o expoente seja ímpar ou par, respectivamente.

É fácil comprovar que essas fórmulas são válidas para H = 1,2,..., isso é,

etc. )(||)( ,||)( 22423 aaaaaa (B).

Supondo que valham para H=N-1, escrevemos:

aaa 1)(N21N12N ||)1()(

e

.)(||)1()( 22)N(2N1)2(N aaa

Então, multiplicando ambos os membros da primeira por (I×a)2, deduzimos:

aaaaa 2NN3)1N(21N12N ||)1()(||)1()(

isso é, (12) é válida para H=N. Similarmente, multiplicando ambos os membros da segunda

por (×a)2, escrevemos:

42)N(2N2N )(||)1()( aaa

Lembrando (B)2,, resulta:

21)N(21NN2 )(||)1()( aaa

isso é, (121) é válida para qualquer H.

Podemos, assim, finalmente, apresentar as expressões das potências enésimas de Z =

×a+aa em função de a e (aa) nas formas:

) (||)(||)1( 1)2(2N21)2(N1N2N aaaaa Z (13),

E

) (||||)1( 4N2NN12N aaaaa Z (131),

conforme o expoente seja par ou ímpar, respectivamente55.

55Notar que as potências pares de Z podem ser expressas em função de e aa, bastando considerar que

.||)( 22 aaaa

§ 07.01 - Definições e propriedades 134


§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS.

§ 07.01 - Definições e propriedades.

Dados dois diádicos em forma polinomial:

a b c di

i

j

j (i 1,2,... , P) e (j 1,2,... ,Q),

chama-se duplo produto de por , e representa-se por (ler: operando operando

), a expressão:

))(()( )( jiji

jj

ii dbcadcba (011)

56,

a cujo terceiro membro deve ser aplicada a convenção somatória (ele apresenta PxQ

parcelas). Este produto é um número se as operações indicadas são a de multiplicação

pontuada, um diádico se as referidas operações são as de multiplicação cruzada, ou um

vetor se as operações representadas por e * são distintas. Assim:

Q.1,2,...,j e P1,2,...,i ,

vetor), )( (

vetor), )( (

diádico ), )( (

escalar ), )( (

jiji

jiji

jiji

jiji

d.bca

dbc.a

dbca

d.bc.a:

.

.

(01).

A primeira expressão representa o duplo produto pontuado, a segunda o duplo produto

cruzado, as duas últimas os duplos produtos mistos dos diádicos e .

A multiplicação dupla (pontuada, cruzada ou mista) de dois diádicos é a

operação que tem por fim determinar o duplo produto (pontuado, cruzado ou misto) desses

dois diádicos.

Considerando-se ((01),§ 02.08), a expressão (01)1 pode ser escrita nas formas:

i ji j

E i ji j

E

j ij i

E j ij i

E

: a c b .d a . c b d

c a d .b c .a d b

[ ( )] [( ) ]

[ ( )] [( ) ] ;

ou, ainda, inserindo-se os números dentro dos parênteses entre os antecedentes e os

conseqüentes das díades (operação possível conforme (§ 02.02)):

i

i j

j E

i

i j

j

E j

j i

i E

j

j i

i

E: a b .d c b a .c d c d .b a d c .a b [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .

56 Entender-se-á, doravante, que o símbolo * disposto entre vetores terá o mesmo significado que , isso é, poderá representar uma multiplicação escalar ou uma multiplicação vetorial.



Nos diferentes membros da expressão acima, vemos dentro dos colchetes a própria

expressão de definição do produto pontuado de diádicos; logo, correspondentemente,

T

E

T

E

T

E

T

E: . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) , (02).

Então, a operação dupla multiplicação pontuada de diádicos acrescenta um novo número à

nossa Álgebra, número esse que, em princípio, é independente dos escalares de e .

Fazendo-se = T, (02) dá:

E2T )( : , (02

1).

Exercício:

Provar que

PE

PE )()( :inteiro P ,, .. , (022),

e generalizar: São iguais os escalares de uma mesma potência de produtos de diádicos em

que os fatores formem uma permutação cíclica:

PE

PE

PE ) ... ( ... ) ... () ... ( ............... , (023).

•

Fórmulas análogas a (02) não podemos deduzir para a dupla multiplicação cruzada

uma vez que o produto cruzado de dois diádicos (que dá um triádico, como veremos

oportunamente) não está definido; tão pouco está definido o que seja "vetor de um

triádico". Porém, para a Álgebra dos Diádicos, essa operação acrescenta mais um diádico

associado aos diádicos e . Por outro lado, pondo: =eiai, =ej b

j, com ei independentes,

e ai = (ai. er)er, bj = (bj. es)e

s, escrevemos:

1,2,3)sr,j,(i, ),)()()(( srjis

jr

i eeee.eb.ea , (A).

Aplicando ((04),(041),(07),§ 04.02,I) e ((03),§ 03.03,I) escrevemos, ainda, sucessivamente:

( )( )a .e b .e e ei

r

j

s

rsk

ijm

m

k

( )( ) .a . e b . e e ei

r

j

s

i

r

j

r

m

r

i

s

j

s

m

s

i

k

j

k

m

k

m

k

Desenvolvendo o determinante e efetuando as somas indicadas em cada uma das seis

parcelas do último membro, encontramos:



( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js i

r

j

s

m

k mk

ii

jj

kk

E E,

( )( ) ( )( ) ( )a .e b .e e e a .e b .e e e b e .a eir

js j

r

m

s

i

k mk

ij

jm

mi

jj

ii

T T. ,

( )( ) ( )( ) ( )a .e b .e e e a .e b .e e e a e .b eir

js m

r

j

k

i

s mk

im

ji

mj

ii

jj

T T. ,

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js i

k

j

s

m

r mk

im

jj

mi

E

ii E

Ta e ,

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js j

k

m

s

i

r mk

ii

jm

mj

E

jj E

Tb e ,

( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir

js m

k

j

r

i

s mk

ij

ji

mm

[ ( ) ] ( ) .b e . a e .jj

ii E

T TE

Logo:

ETTT

ET

ETTTT

EE )(++ ... (03),

ou, transpondo, agrupando convenientemente, fatorando e aplicando (022) para P=1:

])([)()() (EEE

T ...

(031).

A fórmula (03) é válida em E3, quaisquer que sejam os diádicos e (completos,

planares ou lineares). No E2, entretanto, temos, de (A), para i,j = 1, 2:

).)()]()((

))(())((+))([(

21211

12

2

12

21

21

12

22

11

eeee.eb.ea

.eb.ea.eb.ea.eb.ea

Somando e subtraindo, dentro dos colchetes, as parcelas

( )( ) ( )( )a .e b .e a .e b .e11

11

22

22 e ,

agrupando convenientemente, fatorando e lembrando (01)1, vem:

),)()](+( )+(

)+)(+[(

2121

22

112

21

1

22

11

22

11

eeeebebe:eaea

.be.be.ae.ae

isso é,

em E2:

)( TEE

: , (032),

expressão em que

é o diádico unidade do espaço unidimensional ortogonal de E2.

Entretanto, em E3, as duplas multiplicações cruzadas de diádicos planares que têm

um plano homônimo coincidente, dão como resultado diádicos unilineares do mesmo

espaço cujas direções são perpendiculares aos respectivos planos (coincidentes) dos

diádicos fatores; para estes aplica-se a fórmula (03).

•



Raciocinando e operando como anteriormente, podemos escrever (01)3 e (01)4 nas

formas respectivas:

,)(])([

,)(])([

VT

Vjji

i

VT

Vj

jii

.c.dba.

.d.cab.

(04),

para concluirmos: as duplas multiplicações mistas acrescentam novos vetores à nossa

Álgebra, vetores esses que, em princípio, são independentes dos vetores de e de .

Por analogia com o duplo produto de por , definido por (011), poderíamos definir

outros duplos produtos, denominá-los duplos produtos horizontais e representá-los por

*, escrevendo:

))(( jij

i dacb (05).

Teríamos, assim, o duplo produto pontuado horizontal .., o duplo produto cruzado

horizontal e os duplos produtos mistos horizontais . e ., acrescentando com

isto novos elementos à nossa Álgebra (um número, um diádico e dois vetores).

Deduzimos, facilmente:

)( )( i

ijj

abdc

,

isso é T

, (06).

Em vista de (06), a dupla multiplicação horizontal fica reduzida à dupla

multiplicação definida por (011), sendo, pois, desnecessária. Deve ser observado,

entretanto, que o escalar, os vetores e o diádico dados por (05), geralmente são diferentes

daqueles dados por (01); uma exceção, por exemplo, verifica-se quando =T ( simétrico),

situação muito comum nas aplicações. Manteremos as definições de Gibbs.

As duplas multiplicações gozam das seguintes

Propriedades.

1ª)- São sempre possíveis, unívocas e os seus resultados são invariantes,

o que é evidente.

2ª)- São comutativas as duplas multiplicações pontuadas e cruzadas:

,

, or ,

:: (07).

Com efeito, para comprovar basta comutarem-se as letras dentro dos parênteses em

(01)1,2 e em seguida aplicar-se a definição (01) à expressão obtida.



3ª)- O escalar de um produto pontuado de diádicos é igual ao escalar do

produto pontuado desses mesmos diádicos em ordem inversa:

( ) ( ) , . .E E (08).

Com efeito, é o que podemos deduzir considerando o segundo e o último membros

de (02), ou o terceiro e o quarto.

4ª)- A dupla multiplicação mista de diádicos é anti-comutativa:

,

, or ,

..

..

(09).

De (01)3 podemos escrever:

)( )( ))(( ii

jj

ijij

ba.dcbd.ac. ,

o que comprova (09)1. Similarmente podemos comprovar (09)2.

Decorre imediatamente da anti-comutatividade da dupla multiplicação mista,

representada por (09), que,

o. : (09)1.

Esta propriedade, aliás, pode ser confirmada pelas igualdades (04), pois, para = , T. é

diádico simétrico (Corol. 2, Teor. 1, § 05.03), logo, de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, §

04.02).

5ª)- As duplas multiplicações mistas não se alteram se, simultaneamente,

comutamos os símbolos operatórios e substituímos os diádicos fatores pelos

seus respectivos transpostos:

,

,

or , TT

TT

TT

..

..

(10).

Com efeito, pois podemos escrever (01)3 na forma:

)( )())(( j

ji

iji

ji cd.ab.cadb. ,

o que comprova (10)1. Similarmente podemos comprovar (10)2.



6ª)- As duplas multiplicações são associativas em relação a fatores

escalares:

A)A( = )A() (A

, (11).

A demonstração é imediata, bastando lembrar-se a definição de produto de diádico

por número (§ 02.02) e considerar-se que os produtos escalar e vetorial de vetores são

associativos em relação a fatores escalares.

7ª)- As duplas multiplicações são distributivas em relação à adição de

diádicos:

... ...)( (12).

Reduzamos, por exemplo, os diádicos entre parênteses a formas trinomiais com os

mesmos antecedentes independentes. Ponhamos:

e a e b x yi

i

i

i

i

i etc e , .

Então deduzimos, sucessivamente, por duplas multiplicações:

...).)((

...)]()[(...)]([ )(

jijiji

jjiji

jjj

ii

byayex

bayexbaeyx

Considerando agora a distributividade da multiplicação de números por soma de

números, ou a de números por soma de vetores ou a de multiplicação direta de vetor por

soma de vetores, temos:

...))(())((...)( jiji

jiji

byexayex .

Considerando a definição (01), reconhecemos nas parcelas do segundo membro as parcelas

do segundo membro de (12).

Nota: As propriedades 6ª) e 7ª) mostram que as duplas multiplicações são operações lineares:

... B A )... B A ( (13).

8ª)- A dupla multiplicação cruzada não é associativa:

) ( ) (

(14).

Para comprovar basta desenvolver ambos os membros de (14) para verificarmos que

os antecedentes de um (bem como os conseqüentes) são diferentes dos correspondentes do

outro.

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 140


9ª)- O transposto de um duplo produto cruzado de diádicos é igual ao duplo

produto cruzado dos transpostos dos diádicos:

TTT ) (

(15).

Com efeito, pois de (01)2 podemos escrever:

TTji

jiT ))(() (

cadb .

10ª)- O duplo produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto

pontuado dos seus transpostos:

T T

: : , (16).

Com efeito, pois de (01)1 podemos escrever:

TT

jj

ii

jiji )( )())((: :cd:ab.ca.db

§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.

Teor.1: (CNS para que um duplo produto seja nulo)

0

= o , (01).

Analisemos em primeiro lugar a dupla multiplicação cruzada, pondo, para tal, =

eiai e = ejb

j, com ei independentes. Temos, com diádicos gerados do E3:

=

)()())(( jikijk321

jiji baeeeebaee .

Logo, efetuando as somas indicadas e considerando que os conseqüentes de devem

ser todos nulos (§ 02.09):

.

,

,

1221

3113

2332

baba

baba

baba

Para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3) as igualdades acima só são possíveis se

a a a o1 2 3

, o que implica = .

Analisemos, agora, a dupla multiplicação pontuada, pondo = eiai e = ejbj, com

(e1e2e3)0. Temos: =i

j ij

ii

: e .e a .b a .b( )( ) . 0 Tal como no caso anterior, para

todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3), esta igualdade só é possível se a a a o1 2 3

, isso

é, se = .

Poderíamos analisar analogamente a operação . com as reduções = aiei e =

bjej.

A recíproca do teorema é de demonstração evidente.



Duplo produto nulo de diádicos não nulos.

O Teor. 1 só é verdadeiro para qualquer , isso é, para dado , não

acarreta =. Com efeito, sejam, iiae e j

jbe com 0)( 321 eee , oa i , ob j .

Sendo , resultam a2×b3 = a3×b2, .... Essas igualdades serão possíveis se os

vetores a1, a2, a3 e b1, b2, b3, além de coplanares, satisfizerem também as condições (de

igualdade de áreas orientadas):

| || |sen( , ) =| || |sen( , )

| || |sen( , ) =| || |sen( , )

| || |sen( , ) =| || |sen( , ),

2 3 2 3 3 2 3 2

3 1 3 1 1 3 1 3

1 2 1 2 2 1 2 1

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

(02),

onde os ângulos (a2,b3), (a3,b2) etc. são orientados no plano dos vetores.

Destas três condições deduzimos, se nenhum dos vetores é o vetor zero:

sen

sen

sen

sen

sen

sen

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , ),

a b

a b

a b

a b

a b

a b

1 2

1 3

2 3

2 1

3 1

3 21 (021);

ou, ainda, lembrando a definição de razão simples de três raios:

(a b b )(a b b )(a b b ) = 1,1 2 3 2 3 1 3 1 2

(022).

Denominaremos um feixe de seis raios que satisfaça a (022) um "feixe de Ceva".

Traçando-se arbitrariamente retas paralelas a b1, b

2 e b

3 e denotando-se por B1 a

interseção de b2 com b

3, B2 a de b

3 com b

1 e B3 a de b

1 com b

2, estas definem um triângulo

B1B

2B

3 cujos ângulos internos só dependem de . Então as paralelas aos a

i conduzidas

pelos Bi, que interceptam as b

i nos pontos A

i, são dependentes de um ponto V, (Fig.07.02).

Se é nulo o duplo produto cruzado de dois diádicos não nulos as retas suporte dos seus (seis) conseqüentes (ou antecedentes) em uma redução trinomial arbitrária formam um feixe de Ceva.

Fig.07.02

Com efeito, ponhamos (021) na forma equivalente

1),(sen

),(sen

BB

BB

),(sen

),(sen

BB

BB

),(sen

),(sen

BB

BB21

31

23

13

13

23

12

32

32

12

31

21

ab

ab

ab

ab

ab

ab,



e reescrevamos essa expressão, agora lembrando a expressão da razão simples de três

pontos expressa em função da razão simples de três raios que os projetam dos centros B1,

B2 e B

3 (Fig. 07.02); teremos:

1BA

BA

BA

BA

BA

BA

23

13

12

32

31

21

,

expressão que confirma a nossa assertiva, conforme o clássico teorema de Ceva.

Diádicos de Pauly.

Definição: (diádicos de Pauly)

Dois diádicos que, reduzidos a formas trinomiais com os mesmos

antecedentes independentes, admitam por conseqüentes vetores cujos

suportes definam um feixe de Ceva, são denominados diádicos de Pauly, ou

par de Pauly; serão indicados por Pau( , ).

Logo:

Se o duplo produto cruzado de dois diádicos é o diádico nulo, esses diádicos

formam um par de Pauly.

A recíproca deste teorema não é verdadeira:

O duplo produto cruzado dos diádicos de um par de Pauly não é nulo

necessariamente.

Com efeito, de (022) ou (021) não se deduzem as (02).

Com mais forte razão, podemos escrever:

0,0 33 , (03).

Da mesma forma, sendo completo, qualquer um de seus homológicos é completo;

logo

Hom ,03 , (04).

Consideremos, agora, o par de diádicos de Pauly, e , de conseqüentes

a a a b b b1 2 3 1 2 3 e , , , , . O duplo produto cruzado de por tem por conseqüentes os

vetores não nulos

,

,

,

1221

3113

2332

obaba

obaba

obaba

sendo, pois, em geral, não nulo; isso é, embora os conseqüentes de e formem um feixe

de Ceva, os vetores paralelos 32

ba e 23

ba etc. podem ter módulos diferentes. Isto

significa que, em geral, o sistema (02) não se verifica.

Entretanto, podemos determinar os vetores c ai i iX (i = 1, 2, 3)57, paralelos aos ai,

tais que o sistema (02) se verifique. Para isto bastará comprovarmos que o sistema

57 Deve ser notado, conforme já convencionamos, que no segundo membro não está estabelecido somatória.



0 X + | sen( X | sen( X

| sen( X + 0X + | sen( X 0

| sen( X | sen( X + 0X 0

1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

|| | , ) || | , )

|| | , ) || | , )

|| | , ) || | , )

0

admite solução diferente da trivial. Com efeito, o determinante do sistema,

| || || || || || |

[ , ) , ) , ) , ) , ) , )],

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b

1 2 3 1 2 3

1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2sen( sen( sen( sen( sen( sen(

é nulo porque, em vista da validade de (021), o fator entre colchetes é nulo, isso é, as retas

suporte dos vetores formam um feixe de Ceva. Assim, se (X1,X2,X3) for uma solução do

sistema, as demais serão do tipo K(X1,X2,X3), em que K é uma constante arbitrária.

Então, existem diádicos planares (formando uma família), de conseqüentes paralelos

aos ai, portanto homológicos do diádico fator , que anulam o duplo produto cruzado de

qualquer um deles pelo diádico .

Ora, como os vetores ci, em vez de paralelos aos ai, poderiam ser tomados paralelos

aos bi, concluímos:

Teor. 2:

Dado um par de Pauly, de diádicos e , existe uma família de diádicos

semelhantes e homológicos com (ou ), tal, que o duplo produto cruzado

de qualquer dos membros dessa família, Hom X (ou Hom 1/X), por (ou )

seja o diádico nulo:

. Hom

Hom ),Pau(

1/X

X

Observação:

Os Xi são determinados em função dos diádicos e do par de Pauly; estão, pois,

associados a esse par. Por isso mesmo, usamos a notação HomX para especificar os

membros da família interessada já que HomX é um subconjunto de Hom.

•

É fácil justificar porque

0

,E do gerados , os para 3

o

. não , (05).

Ponhamos =eiai e =ejbj com (e1e2e3)0. Então:

))(( jij

i ba.ee.

nulo).(escalar 0

zero)(vetor )( i

ij

iji

obaba



Sendo , os seus conseqüentes, bi, não são simultaneamente nulos; para que

ai bi seja nula basta, por exemplo, que os bi sejam correspondentemente ortogonais aos ai,

se ., ou que os bi sejam correspondentemente paralelos aos ai, se . Assim, existem

infinitos diádicos não nulos que anulam o duplo produto . , qualquer que seja .

Diádicos ortogonais.

Consideremos um diádico linear cujo antecedente seja perpendicular ao plano dos

antecedentes de um diádico planar dado. É evidentemente nulo o duplo produto pontuado

desses diádicos não nulos, isso é,

Teor. 3: Se o antecedente (conseqüente) de um diádico linear é perpendicular ao

plano dos antecedentes (conseqüentes) de um diádico planar, o duplo

produto pontuado deles é nulo.

É evidente também a demonstração do seguinte

Teor. 4: É nulo o duplo produto pontuado de dois diádicos lineares cujos

antecedentes ou conseqüentes sejam perpendiculares.

Existem, pois, diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo.

Definição: (diádicos ortogonais)

Diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo são ditos ortogonais ( ou

perpendiculares)

Teor. 5: Todo diádico completo pode ser decomposto na soma de dois diádicos

ortogonais, um planar e um linear.

Com efeito, seja ax by cz um diádico completo de antecedentes e

conseqüentes co-iniciais num ponto arbitrário, O, do espaço. Sejam, ainda, A' e B' as

interseções dos vetores a e b com o plano conduzido pela extremidade C de c. Seja C’ a

projeção ortogonal da extremidade C de c sobre o plano (a,b) quando c é co-inicial com a e

b em O. Decompondo o vetor o vetor de origem O e extremidade C’ em relação a a e b,

podemos escrever: ba NMOC' . Então: nc OC' , sendo n ortogonal a a e b. Assim,

ax by n a b z ax by nz( )M N ,

sendo x x z y y z z z M N e , . Então o completo é a soma do planar ax + by

com o linear nz cujo antecedente é perpendicular ao plano dos antecedentes de ax+by.

Logo, o duplo produto pontuado desses diádicos vale zero, e eles são perpendiculares.



Teor. 6:

Se A é anti-simétrico, então todo diádico simétrico, S, é ortogonal a A.

Reciprocamente, se todo diádico simétrico, S, é ortogonal a certo diádico A,

então A é anti-simétrico:

T T S S : S 0, (06).

Se T e S S T é qualquer, então T T: S : S . Aplicando ao segundo

membro a propr. 5ª da multiplicação pontuada dupla, vem S:AS:A , donde : S 0,

isso é, A é ortogonal a S.

Reciprocamente, se certo diádico A é ortogonal a todo e qualquer diádico simétrico

A, isso é, : S 0, então, aplicando a propr. 5 da multiplicação pontuada dupla de

diádicos ao primeiro membro dessa igualdade, vem: T T : S 0; ou, ainda,

considerando que S S T , T : S 0 . Logo, ( T ) : S 0, isso é, T é

ortogonal a todo S S T; e o Teor. 1 exige seja T porque S, embora simétrico, é

qualquer. Portanto A deve ser anti-simétrico.

•

O ortogonalismo dos diádicos será detalhadamente discutido no §10 e no §11, não

sendo possível precisar, no momento, em que condições e a quantos diádicos dado diádico

possa ser ortogonal; mas um mesmo diádico pode ser ortogonal a pelo menos dois outros.

Exercício 1: Se um diádico é ortogonal a dois outros, ele é ortogonal a qualquer combinação

linear desses últimos.

Diádicos paralelos.

Particularmente, no caso dos diádicos paralelos (§ 02.02), e = M , temos,

conforme (04), § 07.01:

o. a paralelo , (07).

Com efeito, pois o.. V

T ) (M já que T. é simétrico (Corol. 2, Teor.1, §

05.03), logo de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02).

Teor. 7: A CNS para que seja nulo o produto misto de dois diádicos é que o produto

pontuado de um deles pelo transposto do outro seja um diádico simétrico:

TTTT )( ...o.

(08).



A condição é necessária porque sendo o. , (042), § 07.01 implica a anulação

do vetor de . T , ou seja, que esse diádico seja simétrico. A condição é suficiente pois,

dados dois diádicos e tais que . T seja simétrico, então o vetor desse produto é o

vetor zero e, logo, ainda conforme (042), § 07.01, o. .

Corol. 1:

Todo diádico é paralelo a si próprio:58

o. , (09).

Com efeito, . T é diádico simétrico.

Corol. 2:

Se um diádico é simétrico, ele é paralelo ao seu transposto:

o.

T T , (091).

Nota: A recíproca desse teorema não é verdadeira. Existem diádicos não simétricos paralelos aos seus respectivos transpostos, mas os seus quadrados são simétricos

necessariamente; pois, TT )( ..o.

.

Corol. 3:

A CNS para que um diádico seja simétrico é que seja nulo o seu produto

misto pelo diádico unidade:

o. T , (10).

Com efeito, em (08) poderia ser .

Notas: 1) - Não se conclua daí que seja sempre nulo o produto misto de dois diádicos simétricos.

Com efeito, mesmo que e sejam simétricos, (042), § 07.01 não nos permite concluir que

o. = porque . não é em geral diádico simétrico.

2) - Entretanto, dois diádicos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

§ 07.03 - Invariância.

Teor. 1: (substituição de diádicos iguais em dupla multiplicação)

, (01).

58 Provaremos no § 07.07 que todo diádico não nulo jamais é ortogonal a si próprio.

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 147


No E3, ponhamos em forma trinomial, com (e1e2e3)0,

, e , jji

ii

i beaeae

sendo um diádico qualquer. Se = ', então, ai = a'i e

))(())(( j

ijij

iji

baeebaee

uma vez que vetores iguais se substituem tanto em multiplicação escalar quanto em

multiplicação vetorial de vetores. Considerando a definição de duplo produto de diádicos,

do último membro da expressão de

concluímos a veracidade do teorema direto.

Reciprocamente,

.

0

)( :

o

Como é qualquer, destas relações deduzimos: = ', conforme (01),§ 07.02.

E óbvio que

and (02).

Então: 1º) por não alterar-se um duplo produto de diádicos quando estes são substituídos

por outros que lhes sejam iguais; 2º) porque diádicos iguais podem ser reduzidos a formas

trinomiais de infinitas maneiras, concluímos:

Teor. 2: os duplos produtos são invariantes,

isso é, independem da forma sob que se apresentem os diádicos fatores.

§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.

Os duplos produtos apresentam valores notáveis quando um dos diádicos é o diádico

unidade.

Teor. 1:

Tem-se:

,=

,=

:

ET

E

:

(01).

Estas fórmulas são, respectivamente, conseqüências imediatas de ((02) e (03) ou

(031), § 07.01) para = .

*



Exercício:

Provar que ) ( TT

*

Particularmente, para rr , temos: 2 rrrrr

. Considerando (022), §

06.05, deduzimos:

2)( : rrrr , (011).

Recorrendo a (121), § 06.05, temos:

) (||)1() ( : )12(N1NN

rrrrrr , (012).

Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja o diádico nulo é que seu duplo

produto cruzado com o diádico unidade seja o diádico nulo.

(013).

A condição é necessária porque de (01)2 deduzimos: T = E; donde, tomando o

escalar de ambos os membros: E = 3E, ou E = 0. Então: = 0 = .

A condição suficiente é evidente.

Nota:

Este corolário é também um caso particular do Teor.1 do § 07.02, bastando considerar =

(pois é um diádico completo).

Corol. 2: Uma CNS para que um diádico (não nulo) tenha escalar nulo é que ele

seja ortogonal ao diádico unidade:

0 0,E

: (014).

A demonstração decorre imediatamente de (01)1.

Corol. 3: Uma CNS para que um diádico tenha escalar nulo é que o oposto do seu

transposto seja igual ao seu duplo produto cruzado com o diádico

unidade:

0 ET

, (015).

Pois, se E = 0, (01)2 dá: T

Reciprocamente, se T

, então (01)2

também fornece: E = , isso é, conforme ((04).§ 02.09), E = 0.

Decorrem imediatamente das (01) as seguintes expressões:

3 , 2

: , (016).



Particularmente (01)5 dá:

T AAA , (017).

Nota: Em vista de (01)2 a fórmula ((031),§ 07.01) pode ser escrita também na forma

)() () (

.. (018)

Considerando (016)1, (01)2 pode ser escrita na forma:

TE )

2

1(

, (019).

Exercício: Provar que

2EE

22T )(2) ( : .

Teor. 2:

E

V

] )[(2I)( )(

,] )[()( )(

,+)( )(

: e

aba.bb:a

abbab.a

baabba

ba

(02).

Com o intuito de abreviar as demonstrações não explicitaremos as diversas

propriedades utilizadas da multiplicação mista e da dupla multiplicação vetorial de vetores.

Pondo = eiei = ejej, temos, para i, j,... = 1,2,3:

).)((+)(()(

)()()()(

))](()[()( )(

iij

jji)

ji

jiji

jiji

jiji

a.beeeeeeee.ba

eee.beaeeb.eea

eeebeaba

Observando que a primeira parcela pode ser escrita na forma

ba.ba.baeeee.ba 22)() ()()()()( jiji

e a segunda na forma

)())(( iij

j aba.beeee ,

deduzimos, aplicando ((07),§ 06.01):

baabbaabbaba ++2)( )( ,

o que comprova (02)1.



Sendo jj

i

i )( e)( eebbeeaa deduzimos também:

.ii

ii

jij

i

] )[()]( )[()()(

))(( )()( )(

abeeabebea

.eeebeab.a

Lembrando (01)2 concluímos: )()( )( a.babb.a . É fácil, agora, encontrar

(02)2 e (02)3.

Corol. 1:

Se A = - AT e B = - BT em E3, então:

,) (2 4

,] )[( 4

,) (4 4

SVVVV

VVVVV

TVVVV

BA.BAB:A

BABAB.A

BABAABBA

(021).

Com efeito, pois lembrando ((013),§ 06.04), escrevemos:

)( )( 4VV

BABA

Aplicando, agora, as fórmulas (02) podemos facilmente encontrar as (021).

Notas:

1 - O primeiro e o último membros de (021)1 mostram que, não obstante serem A e B anti-simétricos, o seu duplo produto cruzado é simétrico.

2 - As fórmulas (021)2 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem não nulos, o

seu duplo produto misto será nulo quando os planos desses diádicos forem paralelos (caso em que seus vetores são paralelos).

3 - As fórmulas (021)3 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem nulos, o seu

duplo produto pontuado é geralmente não nulo, exceto quando os vetores (ou os planos) desses diádicos são ortogonais.

Corol. 2:

Não há mais que três diádicos anti-simétricos ortogonais entre si.

Com efeito, pois não há mais que três vetores (ou três planos) ortogonais entre si.

Corol. 3:

Se A = - AT , em E3,

,2

1

,

,2

1

2

V

VV

AA:A

oA.A

AAAA

(022)59.

59 Por (01

6)

2 e (02

2)

3 vemos que o duplo produto pontuado de I por si próprio e o do anti-simétrico A por si

próprio são números positivos. No § 07.07 essa propriedade será demonstrada verdadeira para qualquer diádico.



Teor. 3: (produto cruzado de um vetor por um duplo produto de diádicos)

TT

TT

)()() (

)(-)() ( :,,

.x.xx

x.x.xx

(03).

Pondo = aiei e = bjej, temos:

)]()()[())(() ( jij

iij

jij

ieebx.aax.beebaxx .

Independentemente da operação que possa representar, podemos agrupar

convenientemente os fatores das duas parcelas no último membro, mantendo a ordem dos

vetores ai, bj e de ei ej (um escalar ou um vetor). Então:

)()()()() ( jij

iji

ij eebx.aeeax.bx .

Não é difícil, agora, comprovar-se que a primeira parcela é igual a )( x. e que a

segunda é igual a TT)( x. ; o que comprova (03)1.

Analogamente podemos demonstrar (03)2.

Corol. 1:

,)()() (

,)()() ( :,,

..x..xx.

.x.xxx (031).

Quando em (03)2 a operação é a multiplicação pontuada, . é um vetor.

Sendo .x um vetor, T..x = (.x)., fazendo-se necessários os parênteses em vista de

((04)1,§ 06.02); mas a transposição é irrelevante. Comprova-se, assim, (031)2.

Aplicando-se as ((09),§ 06.01) à segunda parcela do segundo membro de (03)2

encontra-se logo (031)1.

Corol. 2:

) (=) (2

1 :, .xxx , (032).

Teor. 4: (produto pontuado de um produto vetorial de vetores por um

duplo produto de diádicos)

)()()()() ()( :,,, x.y.y.x..yxyx

(04).

Pré-multipliquemos escalarmente ambos os membros de (03)1 por y. Aplicando

propriedade do produto misto de vetores, no caso em que a multiplicação é a pontuada, e

((03)1, § 06.02) no caso em que a multiplicação é a cruzada, escrevemos:

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto vetorial de diádicos (em E3). II-152


) ()(=) (=] ([

.yxx.yxy. .

Ainda, usando ((01)1,§ 06.02), escrevemos:

)()(=)( T x.y..xy. ,

e, por evidência

)()()()( TTT y.x..yx.x.y. .

Logo, temos (04).

Corol. 1: (caso de multiplicação pontuada)

),()()()() ()(

),()()()() ()( :,,,

x..y.y..x..yx

x.y.y.x..yxyx

. (041).

Corol. 2: (caso de multiplicação cruzada com diádicos iguais)

), ()()() (2

1

)()() (2

1)(

:,,

.y.xyx.

y.x..yx

yx

(042).

Teor. 5: (Produto pontuado dos vetores de dois diádicos)

)( )( : , V

TVV

::. , (05)

Pondo jjV

iiV

jj

ii

, temos, , dcbadcba ; logo, aplicando ((05),

§ 03.03,I):

))(())(()()( jij

ijijiji

ji

jijij

ji

iVV.da.cb.db.ca

.db.cb

.da.cadc.ba. .

Aplicando a definição de duplo produto pontuado ao último membro da expressão obtida

temos:

)()()()(j

jii

jj

iiVV

cd: badc:ba. ,

donde a tese.

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. 153


§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de

diádicos.

Teor. 1:

, gerados do E3:

.... VVVVV) ( , (01),

e

EEEE)() ( .

, (02).

Temos, de ((01)2,§ 07.01), em relação ao E3, aplicando a fórmula do duplo produto

vetorial: ijji

jiji

V )()() ( acdbcadb , para i,j=1,2,3. Considerando que

Vjji

iijji )()()( .cd.baacdb e V

ii

jj

ii

jjji

ji )()()()( .ba.dcbadccadb ,

temos demonstrado (01)1.

Por outro lado poderíamos ainda escrever: jiji

ijjiV )()() ( dbcabdca

, ou

aplicando propriedades:

jj

ii

ii

jjV )()() ( dcbabadc

. Então: .. VVV) ( ,

o que comprova (01)2.

Ainda de ((01)2,§ 07.01), aplicando ((05),§ 03.03,I):

1,2,3)=j(i, ),)(())(() (i

jij

jj

iiE

.ad.bc.dc.ba .

Mas,

EEj

ji

i ))(( .dc.ba , e

( )( ) [ ( ) ] [( ) ( )] ( ) ;c .b a . d a b . c d a b . c d .j

ii

ji

ij

jE i

ij

jE E

logo, comprovamos (02).

*

Exercício:

Comprovar que “o produto pontuado da parte anti-simétrica de um diádico pelo

vetor de um outro é o vetor oposto ao produto pontuado da parte anti-simétrica deste pelo

vetor do primeiro”, isso é o.. VT

VT )()( .

*

Corol. 1:

Tem-se, :

E22

EE

VVV

)()() (

) (2

1

..

, (021),

fórmulas que se comprovam fazendo = em (01) e em (02).

Decorre de (021) que TVV .. , mas isso não significa que seja simétrico

(especialmente porque Vo). Mas se é simétrico o V) ( .

§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. 154


Corol. 2:

Tem-se:

,2) (

,) (

EE

VV

(022),

fórmulas que se comprovam fazendo-se = em (01) e em (02), e considerando-se que

E

3 .

Se A = - AT, deduzimos, de ((022)1 e (022)3,§ 07.04):

A:AAAA 2) 2(2

vS

, (023).

De (022)2, ou de (021)2 para = , tem-se:

6) (E

, (024).

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos.

Posto que a dupla multiplicação cruzada de dois diádicos é um diádico, caberá uma

segunda dupla multiplicação deste com um terceiro diádico, e assim sucessivamente.

Teor. 1:

, e no E3:

], ) [(+] ) [( ) (

) ( ) (+) (] ) (

TTT

TTTTT

....

....:: (01).

Pondo = aibi, = cjd

j e = ekfk, com (i,j,k = 1,2,3), temos:

])][()[(] ) ( [ e ))(() (k

jikji

TT ji

jiT edbfcacadb

Desenvolvendo os duplos produtos vetoriais, efetuando os produtos diretos e agrupando

convenientemente, escrevemos:

])()][()()[(] ) [( ijk

jikij

kji

kTT b.ded.bea.cfc.af

jj

kk

ii

jj

kik

i ))(())()(( d.cf.ebadc.fa.eb

.))(())()(( ii

kk

jj

iik

jkj b.af.edcba.ed.fc

§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 155


Ora,

) (=)()]()[())()(( TEE

kk

ii

jj

kik

i:.fe.badc.fa.eb

a b .e f .c d .e f . . .i

i

k

k

j

j

k

k( )( ) ( )( ) .

Desenvolvendo analogamente as duas outras parcelas, comprovamos (01)1, expressão esta

que pode, ainda, ser escrita na forma:

])(+)([+])(+)([ ) (E

TTE

TTT ......

.

Lembrando agora ((01)2,§ 07.04), encontramos (01)2.

Como casos particulares das (01), temos:

TE

TTTTT )(] )[( ) (2

1 .....

) (+) ( ) ( TTT

..

TE

23T

2TT )()() ( ) (2

1

.

4 ) (

) (+ )(= ) ( TT

.. (02).

Dupla multiplicação mista de três diádicos.

Definição: (duplo produto misto)

Chama-se duplo produto misto de três diádicos , e , numa certa ordem,

e representa-se por (), o duplo produto pontuado do primeiro pelo duplo

produto cruzado dos dois seguintes:

) (

: , (03).

A dupla multiplicação mista de três diádicos é a operação que tem por fim

determinar um duplo produto misto qualquer desses diádicos.

Se, em representação trinomial,

a e b e c ei

i

j

j

k

k = e , (i,j,k = 1, 2, 3),

tem-se:

§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 156


( ) ( )( ) i j k

i j k

i

i

i

j

i

k

j

i

j

j

j

k

k

i

k

j

k

k

a b c e e e

a . e a . e a . e

b . e b . e b . e

c . e c . e c . e

, (031).

Com base em (031) demonstram-se as seguintes

Propriedades.

1ª) – Os símbolos operatórios são comutativos:

= :,, ::

, (04).

Pois, operando no segundo membro de (031), escrevemos:

)()])([())(( k

kji

jikji

kji ec:eebae.eec.ba: ,

donde, lembrando as definições dos duplos produtos:

)( )]( )[( k

kj

ji

i ec:ebea:

,

resultando, logo, a tese.

2ª) – Um duplo produto misto não se altera quando se permutam os diádicos

que o compõem:

... ) (

::: , (05).

Pois os duplos produtos são comutativos, isso é,

...

:::

3ª) – Se os três diádicos de um duplo produto misto são iguais, esse duplo

produto é igual a 6 vezes o seu terceiro:

3 6

: , (06).

Pois teríamos de (031): ( ) ( )( ) i j k

i j k a b c e e e , donde, aplicando (05) e (051), §

04.02, I: ( ) ( )( ) ijk

ijk

1 2 3

1 2 3 a a a e e e . Conforme ((071)3,§ 04.02,I), o produto dos

permutadores vale 6 e o produto dos produtos mistos vale 3; isto conclui a comprovação

de (06).

*

§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 157


Exercícios:

1°) - É nulo o duplo produto misto dos diádicos de uma dupla de Pauly (§07.02)

por qualquer um dos diádicos da família a eles associada:

0 ... Hom Hom ),Pau(1/XX

:: .

Pois temos, por exemplo, aplicando a propr. 2ª),

Hom HomHom XXX

:::

.

Agora, lembrando o Teor. 2, §07.02, concluímos a tese.

2°) - A CNS para que um duplo produto misto de três diádicos seja nulo é que um

deles seja ortogonal ao duplo produto cruzado dos outros dois.

É evidente a demonstração em face da definição de diádicos ortogonais (§ 07.02).

3°) - Comprovar que:

, , : ( ) ( )

( ) ( ) .

( )

( )

E E E E E

E E E E E E

. . . .

. . .

Com base nessa fórmula:

a) - pondo

2

12

, E1K , 2E 2

2

1K 3

E 33

1K ,

comprovar também que

)2(2

1K 2E

2E 2 e )33(

3

1K 32EE

3 E3 .

b) - comprovar ainda, que:

1) – ) ( ] ) ( ) [() (E

:...

.

2) –

) )( () )( ( :,,, :::::

). ( ) () ( ) ( TTTT .:..:.

3) - E

T )]}( )[(+)]( ){[() ( :,,, ....:

.

4) - 0 ou 0 0 ,0 Se P33

:: , pois

P3 2 ::

.

5) - 0 ou 0 0 ,0 Se P33

:: , pois

P3 2 ::

.

*

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. 158


§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos60.

Definição: (norma)

Denominaremos norma de um diádico , e a representaremos por || ||, o

duplo produto pontuado desse diádico por si próprio:

|| || : , (01).

Sendo um invariante um duplo produto pontuado (§07.03), concluímos que a norma

de um diádico é mais um de seus invariantes.

Resulta logo de (02),§ 07.01 que podemos também escrever:

ET

ET )()( .. , (01

1).

Considerando (021), § 07.01 e (05), § 07.04 deduzimos logo, também:

|| ||V

2

E : ( ) ( )2 , (012).

*

Exercício: Uma CNS para que um diádico seja simétrico é que a sua norma seja igual ao escalar

do seu quadrado.

*

Teor. 1:

A norma de todo diádico não nulo é um número positivo:

0 : : , (02)61.

Se é um diádico linear (logo não nulo) a proposição é evidente, pois

mn : mn : mn m n = ( () ) 2 2 0.

Se é um diádico planar (não nulo) podemos escrevê-lo na forma binomial genérica

ax by em que a não é paralelo a b nem x paralelo a y. Então,

60Esses conceitos são aqui apresentados pela primeira vez na teoria dos diádicos.

61 Na linguagem da Álgebra Linear dizemos que "o espaço vetorial dos diádicos munido da operação de dupla multiplicação escalar como a multiplicação escalar de dois de seus vetores é um espaço euclidiano".

=: a x b y a.b x. y2 2 2 2 2 ( )( ) .

§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 159


Os módulos dos antecedentes e dos conseqüentes do diádico são arbitrários, podendo-se

considerar | || | | || |a x b y . Nesse caso, sendo

(| || | | || |) || || || |a x b y a x b y a x b y 2 2 2 2 20, 2| ou , ,

com mais forte razão é

a x b y a b x y a b x y a.b x. y2 2 2 2 2| 2 || || || | ( )( )cos( , )cos( , ) =

porque o primeiro membro é maior que o maior valor possível do segundo membro. Logo,

: 0.

Se, entretanto, for | || | | || |a x b y , escreveremos:

K (K2 2( ) | || |)ax by a x e K cos ( )cos( , )]4: a b x y 2 1[ , .

Ora, o produto dos co-senos é maior que -1 porque por hipótese o diádico é planar. Logo

: 0.

Suponhamos agora que o diádico seja completo e escrito na forma ax by cz

com (abc) 0 e (x'y'z') 0. Pelo Teor. 5, § 07.02 podemos sempre escrever esse diádico

como uma soma de um planar ax+by e um linear nz perpendiculares. Então,

: ax by : ax by n z ( ) ( ) 2 2

já que (ax+by):nz = 0. Como a primeira parcela do segundo membro é um número positivo

– porque (ax+by) é um diádico planar – resulta : 0.

Corol. 1: Apenas o diádico nulo é ortogonal a si próprio:

0= : , (021).

Corol. 2:

As normas dos diádicos unidade e nulo são, respectivamente, 3 e 0:

0||| | ,3| | | | , (022).

Teor. 2: (desigualdade de Schwarz)

O quadrado do duplo produto pontuado de dois diádicos é sempre menor que

o produto de suas normas:

, ( || || : ) || ||2: , (03).

Seja o diádico X onde e são diádicos quaisquer. Tem-se:

X X2: : : : 2( ) ( ) .



Lembrando (01) e o Teor. 1, deve ser

|| || ( ) X X || || >2 2 0: ;

e para tal o discriminante dessa inequação deve ser negativo porque o coeficiente de X2 é

positivo. Então, ( ) || || || ||: 2 0 , donde a tese.

•

De (03), considerando que as normas são números positivos, deduzimos:

1 1

:

|| || || ||, (031),

isso é,

existe um ângulo definido por dois diádicos e cujo co-seno vale o duplo

produto pontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas positivas

das suas normas.

Assim, podemos escrever:

cos ( , ): || || || || , (032).

Definições: (módulo e ângulo)

À raiz quadrada positiva da norma de um diádico denominaremos módulo

desse diádico, e o representaremos por || ou mod :

: | | mod || || , (03).

O ângulo (,), definido por e por , que satisfaz (032), será denominado

ângulo dos diádicos e .

Escrevemos então, finalmente:

cos ( , ): | || | , (04),

expressão que apresenta espetacular analogia com a expressão do produto escalar

(pontuado) de dois vetores; voltaremos a esse assunto no § 16. A introdução de uma

representação gráfica será feita no §10.03.

Tem-se logo, então, de (022):

0 mod ,3 mod , (041).

*



Exercício:

Consideremos os diádicos ( )tt

tt 2 e ( )ss

ss 2 com t. t s. s 1 e

|t|=|s|. Seja 19 28' . Então: 1) - Se 0s.t (ou 0.ts ), o ângulo dos diádicos não

pode assumir valores superiores a 90 nem inferiores a 90 ; 2) - Se 0s.t (ou

0.ts ) o ângulo dos diádicos não pode assumir valores inferiores a 90 nem

superiores a 90 .

*

Teor. 3: (norma do produto de um número real por um diádico)

K, : ||K || K , logo |K | K| |2 || || , (05).

Com efeito, pois K K K 2 : : .

Teor. 4:

A norma e o módulo de um diádico são respectivamente iguais à norma e ao

módulo do seu transposto ou do oposto do seu transposto:

: || || || || || || , logo, | | | | | |T T T T , (06).

Pois, conforme ((16), § 07.01), T T: : .

Teor. 5:

Norma e módulo de um diádico anti-simétrico:

e T

V V : ( ) | |

12

2

22 , (07).

Com efeito, é o que se deduz imediatamente de (022), § 07.04.

Teor. 6: (norma de uma soma)

A norma de uma soma de diádicos é igual à soma de suas normas com os

duplos dos seus duplos produtos pontuados dois a dois:

, , ... : || ...|| || || || || || || ...

... +2 ... 2 2( ) ( ) ( ) : : : , (08).

Para uma soma de dois diádicos, por exemplo, temos:

, : || || : ) ) + ) ( ) ( ) ( ( (: : :2 ,

isso é,

, : || || || || ) || || 2( : , (081).

Por indução completa podemos facilmente comprovar (08).

*

Exercício:

Comprove que |+|<||+||, mas ||+||<||||+|||| se o ângulo de com é agudo e

||+||>||||+|||| se o ângulo de com é obtuso.

*



Corol. 1: (norma de uma combinação linear)

, , ... , A, B, ... : || A B C ... || A B C ... 2 2 2 || || || || || ||

2 2AB AC ... +2BC ...( ) ( ) ( ) : : : , (082).

Notas: 1 – O desenvolvimento da norma de uma soma pode ser entendido como um "quadrado simbólico da soma", isso é, pela expressão clássica do desenvolvimento do quadrado de uma soma de números onde se troquem números por diádicos e produtos (de números)

por duplos produtos pontuados (de diádicos). Assim, 2))((|| || .

2 – Mostraremos no §09.06,IV (esboço da geometria do espaço diádico) que a fórmula (081) tem por corresponde a fórmula de Carnot da Trigonometria Plana clássica (no espaço dos vetores).

Teor. 7: (norma de um produto pontuado de diádicos)

A norma de um produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto

pontuado do produto simétrico direito do multiplicando pelo produto

simétrico esquerdo do multiplicador:

, : || || ( T T . . : .( ) ) , (09).

Aplicando a definição e (02), § 07.01 temos:

|| || ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) T

E

T T

E . . : . . . . . . . .

Agora, aplicando (08), § 07.01 ao último membro considerando-se T como um dos fatores,

e depois reaplicando (02), § 07.01 temos, finalmente:

|| || ( ) ( ) ( ) T T

E

T T . . . . . : . .

Corol. 1: (norma de duplo produto pontuado de diádicos simétricos ou

anti-simétricos)

|| || T T 2 , : : : 2, (091).

Teor. 8: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos)

| | | | | | | | ) ( | | | | | | | | | | | | :, TT2 ..:

, (10).

Aplicando propriedade do duplo produto misto de três diádicos, escrevemos:

) () ( ) ( | | | | ::

.

Fazendo T em (01), § 07.06 obtemos:

....: TT) ( | || | ) (

.



Então,

)( )() ( | || | | || | | | | | TT2 :..:..:

.

Mas aplicando ((02),§07.01) duas vezes seguidamente, podemos escrever a terceira parcela

na forma

( ) ( ) ( ) ( ) T T T

E

T T. . : . . . . : . ,

donde, lembrando (09), ( ) || || T T. . : . . Operando analogamente com a última

parcela comprovamos (10).

Corol. 1: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos simétricos)

| | | | 2) ( | || | | || | | | | | :, 2TT .:

, (101).

Exercícios:

Comprovar que : , , TT

| | | || | | || | | |2

1| || |2 22

2

(11);

2

S)( | || | 7 | | | |

, (111);

])()()[(8

1| | | | 2

VV2

V2

V .

, (112).

Teor. 9:

O ângulo de dois diádicos é igual ao ângulo de diádicos que lhes sejam

paralelos:

, , K, M: K , M ( , ) ( ) , (12).

Com efeito, pois considerando (04) e (05), escrevemos:

cos ( , ) =

| |

KM

KM | |

(K M

K | M |cos (K M

: : :

| | | |

) ( )

| |, ) .

Teor. 10: (Co-seno do ângulo de um diádico com o seu transposto)

: )

( )

|| || cos ( ,

T E

T2 :

:, (13).

§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 164


Pois, de (01) e (021), § 07.01 deduzimos:

cos ( ,

|

TT

T

E E

)

| | |

( )

| |

( )

|| ||

:2

2

2

.

Se 02E então é perpendicular a

T. Reciprocamente, se é perpendicular a

T,

0T : , ou seja, relembrando (021), § 07.01, 02E . Logo:

Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que

seja nulo o escalar do seu quadrado.

Considerando (012) comprovamos também que

Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que o

módulo desse diádico seja igual ao módulo do seu vetor.

Teor. 11: (Co-seno do ângulo de um diádico com o diádico unidade)

: )

| | cos ( ,

E

3

3, (14).

Pois temos, sem delongas, lembrando ((01)1,§07.04): cos ( ,

E

)

| | | | | |

:

3;

racionalizando, encontramos (14).

Corol. 1:

Todos os diádicos de escalar nulo são ortogonais ao diádico unidade.

Teor. 12:

O ângulo de dois diádicos anti-simétricos é igual ao ângulo dos seus vetores:

T T

V V ( , ), : ( , ), (15).

Lembrando (07) e (021)3, § 07.04, podemos escrever:

),( cos

|| ||2

12

1

),( cos VV

VV

VV

.:

,

donde, então, a igualdade dos ângulos.

Corol. 1: A CNS para que dois diádicos anti-simétricos sejam ortogonais é que os

seus vetores o sejam.



§ 08 – SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL.

§ 08.01 – Definições e principais propriedades.

Denotemos por ~ o diádico T) (2

1

, isso é, ponhamos:

TTT~ 2

1) (

2

1=

(01),

e procuremos, no E3, uma redução trinomial para ~ a partir de uma redução trinomial de

, = aibi, com (a1a2a3)0. Desenvolvendo os produtos vetoriais dos conseqüentes

(independentes) de ~ , escrevemos, lembrando ((04)1,§ 04.02,I):

)(21

321~ aaa 1,2,3).kj,(i, )( kji

ijk abb

Pondo

,)()(2

1k

jiijk321

bbbaaa (02),

resulta a redução trinomial de ~ :

~

k

k b a , (03).

Se os conseqüentes de forem independentes, e nesse caso será completo, 3 =

(a1a2a3)(b1b2b3)0 e ~ também será completo. Com efeito, temos, efetuando os produtos

vetoriais na expressão de b'k, considerando mais uma vez ((04)1,§ 04.02,I) e ((071)2,§

04.02,I):

rkr

321ijrijk321k 2)

21()()(

21 bbbbaaab

3b

r,

isso é:

b bk 3 k

, (04).

Então, os antecedentes de ~ , sendo paralelos aos recíprocos dos conseqüentes de , são

necessariamente independentes; logo, 3~ 0 e ~ é completo.

Ora, então, uma vez que

~3 k

k( ), b a (05),

deduzimos, lembrando propriedade do terceiro de um diádico ((06),§ 02.08):

3~

33

kk

33( ( ( ) ) ( ) )( ),b a b b b a a a

3 1 2 31 2 3

isso é:

3~ 2( ,

3) (06).



A propriedade (06) e a lembrança da teoria dos determinantes justificam a seguinte

Definição: (adjunto)

Chama-se adjunto de ao diádico ~ dado por (03).

De (06) concluímos logo:

"Um diádico é completo ou incompleto conforme o seu adjunto seja,

respectivamente, completo ou incompleto; e reciprocamente".

Segundo (05), o adjunto do diádico = aibi difere do diádico completo bka

k apenas

pelo fator ; ademais,

1( ) ( ) ( )~

kk

ii

kk

3

. . b a a b . b a a a a ai ki k

i

i,

e

,1

)])([(

1))(()(1

33

321321

3213213

kk

bbbaaaaaabbbab (07).

Definição: (inverso)

Estas igualdades sugerem representar o diádico bkak, completo e único, por

-1 e denominar-lhe diádico inverso ou recíproco de .bk.

Das (07) deduzimos, ainda:

3 i

i 1i

i 13 3

10, , ( ) 0, a b b a (08),

. .

1 1, (09),

~3

1 , (10),

~ ~3

, . . (11).

De (08) deduzimos a seguinte regra:

"Dado um diádico (completo) em forma trinomial, o seu inverso (em forma

trinomial) obtém-se do seu transposto onde se substituam os seus

antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes vetores recíprocos".

Quando é completo, a regra enunciada e a fórmula (10) permitem estabelecer a

redução trinomial de ~ .

Dado um diádico , o seu inverso, dado por (08) e satisfazendo a (09), só é

determinável se é completo; a inversão diádica é a operação que tem por fim determinar

o inverso de um diádico, sendo unívoca quando possível. O adjunto de um diádico,

entretanto, existirá sempre, único, completo, planar, linear, determinável por (02) e (03),

satisfazendo, ainda, (10) ou (11) quando o diádico é completo.



Faremos oportunamente (§ 09) uma associação da teoria dos diádicos com a teoria

das matrizes no E3. A definição (01) é interessante porque a fórmula (11) tem uma

isomórfica matricial. No entender de Gibbs, entretanto, esse diádico cede lugar a um outro,

que introduziu com a seguinte

Definição: (segundo de um diádico)

Chama-se segundo de um diádico qualquer, , e representa-se por 2, a

metade do seu duplo produto cruzado por si próprio:

2

12

, (12).

É evidente, então, que

2

~ T , (13),

2

T T2

. . 3 , (14),

e

2

T: : 33

~ , (15).

Então, podemos enunciar:

O triplo do terceiro de um diádico é igual ao duplo produto pontuado desse

diádico pelo seu segundo, ou do seu transposto pelo seu adjunto,

donde concluirmos, também, que:

A CNS para que um diádico seja incompleto é que ele seja ortogonal ao seu

segundo.

*

Exercício 1: (segundo e terceiro de uma soma de vários diádicos)

Tem-se:

:,, C, B, A,

CABCABCBA

)CBA(

222

22

2

)ABC(

CB CA BC BA AC AB

CBA

)CBA(

22

22

22

22

22

22

33

33

33

3

::::::

Estas fórmulas podem ser deduzidas facilmente por recorrência a fórmulas com duas

parcelas dentro dos parênteses; a generalização delas é imediata.

*



Conforme mostrou Moreira (1966) – e entendeu isso como o principal,

especialmente por sua utilidade prática – entre os diádicos completos deve-se distinguir um

outro, que introduziu com a seguinte

Definição: (principal de um completo)

Dado um completo, , em redução N-nomial, chama-se principal desse

diádico, e representa-se por P, o diádico que dele se obtém substituindo-se

os seus antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes recíprocos.

Assim,

e a e ai

i

3 P

j

j 0 (i, j ... , N), , ,2,1 , (16),

e

. e a .a e( ) ( )P

Ti

ij

j e e e ei j

i ji

i

( ) ( ) P

Ti

ij

j. a e .e a a a a ai j

i ji

i .

Sendo, ainda,

PP e ( ) ( ) P

Tj

j TP

a e ,

concluímos, em resumo:

( ) ( ) P

T TP P

T PT 1, donde T

P 1 (17).

Então, transpondo ambos os membros de (10) e considerando (17), temos:

2 P

3, (18).

Multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (18) por , considerando (15),

temos:

P

: 3, (19).

Concluímos:

1) – O segundo de um diádico é igual ao produto do seu terceiro pelo seu

principal;

2) – É igual a três o duplo produto pontuado de um diádico pelo seu

principal.

*

Exercício 2:

Demonstrar que

ant2simantT

P3VV

322

332

PP333

33

4 ~ 2) 3( -3)

)()()( -2)

]1) )( [() ( -1)

:0 and 0 com ,,

:::..

::

4) - ) ( 2

1 ) (

2

1) () () ( TT

222 ....::



*

Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).

Teor. 1: Uma CNS para que um diádico seja incompleto é que o seu produto

pontuado pelo seu adjunto, em qualquer ordem, seja o diádico nulo:

..~~

3 0 , (20).

O teorema direto é evidente em face de (11). Reciprocamente, se ..~~

então, por (11), 3 =, ou, ainda, conforme (04), § 02.09, II, 3 = 0 e é incompleto.

Teor. 2: Se um diádico é linear, o seu terceiro e o seu adjunto são nulos.

Com efeito, porque os antecedentes (conseqüentes) desse diádico, sendo todos

paralelos, implicarão que seu terceiro seja nulo e que seu adjunto, tendo por conseqüentes

(antecedentes) vetores nulos, seja o diádico nulo.

Corol. 1: As CsNsSs para que um diádico seja planar são que seu terceiro seja

nulo e seu adjunto linear:

linear. ) (

2

1

0

planar T~

3

A condição é necessária porque se = aibi (com (a1a2a3)0) é planar, os seus

conseqüentes, bi , são dependentes de um de seus planos e seu terceiro é nulo. Além disso,

pelo menos dois dos seus conseqüentes não são colineares ( é planar, Fig.08.01), isso é,

todos os antecedentes do seu adjunto (dados por (02)) são paralelos (ao menos um é não

nulo); então ~ é linear.

Imagens possíveis dos conseqüentes do diádico planar = aibi com (a1a2a3)0, e dos

antecedentes do seu adjunto: quando os três bi são não colineares (Fig.(a)), e quando dois dos

bi são colineares (Fig (b)).

Fig.08.01



A condição é suficiente porque se o diádico tem terceiro nulo, seus conseqüentes,

bi, são necessariamente coplanares, isso é, é planar ou linear. Mas, pelo Teor.2, não

pode ser linear porque teria adjunto nulo e contrariaria a hipótese (o adjunto deve ser

linear).

Corol. 2: As CsNsSs para que um diádico seja linear são que seu terceiro e o seu

adjunto sejam nulos.

As condições são necessárias pelo Teor.2. As condições são suficientes porque se

tem terceiro nulo ele é planar ou linear; mas tendo adjunto nulo, ele não pode ser planar

(corolário anterior); logo, deve ser linear.

Corol. 3:

O adjunto de um diádico anti-simétrico é unilinear e seu escalar, sempre

positivo, vale o quadrado da metade do módulo do seu vetor.

Pois, considerando ((022)1,§ 07.04) e (01), temos:

A A A~

V V

1

4, (21),

donde,

A AE

~

V

2(1

2> 0, ) (211).

Exercício:

Comprovar que: a : aaa ~)( .

Corol. 4: As CsNsSs para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) são que ele

seja planar e seu adjunto seja ortolinear (unilinear).

Para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) ele deve ser necessariamente planar;

logo, deve ter adjunto linear (Corol. 1). Mas, como os planos dos seus conseqüentes e

antecedentes são ortogonais (paralelos), o antecedente e o conseqüente do seu adjunto são

ortogonais (paralelos), isso é, esse adjunto é ortolinear (unilinear).

Reciprocamente, se um diádico é planar e tem adjunto ortolinear (unilinear), os

antecedentes e os conseqüentes desse diádico devem ser necessariamente de planos

ortogonais (paralelos), isso é, esse diádico é ortoplanar (uniplanar).

Teor. 3:

TE2

~) ( :

, ou E~

2) ( (22).

Com efeito, colocando ((01)2,§ 07.04) na forma ET +

e lembrando

((15), ,§ 07.02), vem:

)( )(2

1 ~)( ~) (

EEE

.

§ 08.03 - Propriedades formais. 171


Operando, reaplicando (132) e as fórmulas citadas, e simplificando, encontramos,

facilmente, (22)1. A fórmula (222) pode ser obtida de (221) por transposição.

*

Exercício 3:

1) - 32EE3) ( : . Então:

])[( a . Comprove esse resultado a

partir de (22), considerando o exercício 1, bem como a parte 1) do exercício 2.

2) – Demonstre que se 3

0 , a CNS para que

seja incompleto é que 2E

1.

*

§ 08.02 - Invariância e invariantes.

Visto que as duplas multiplicações são operações invariantes (§ 07.03), concluímos

de ((01) e (10),§ 08.01) que o adjunto e o inverso de um diádico e por conseqüência, o

segundo e o principal, são outros invariantes desse mesmo diádico.

Os invariantes elementares do adjunto, do inverso, do segundo e do principal de um

diádico podem ser expressos diretamente em função dos invariantes elementares desse

diádico. Além das expressões ((06) e (08)2,§ 08.01), temos, também:

2EE22

E~E ])()[(

2

1 , .. V2VV~

VT~

V ) ( , (01),

e

V

1

3

V~

P V E1

E~

P E

1,

1,

3

(02).

De ((021),§ 07.05) e de ((13),§ 08.01) obtêm-se imediatamente as fórmulas (01); as (02) são

óbvias em vista de ((10),§ 08.01).

§ 08.03 - Propriedades formais.

Teor. 1: O adjunto (segundo) de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto

pontuado dos adjuntos (segundo) desses diádicos multiplicados em ordem

inversa (na mesma ordem):

( ...) ... ,~ ~ ~ ~

. . . . . (01),

..........)..( 2222 , (01)1.

Se os diádicos são todos completos, a mesma propriedade é válida para a

inversão:

( ...) .... ,1 1 1 1

. . . . . (02).

Com efeito, pondo = aiei e = ejbj temos . = aibi; logo, aplicando a definição

((01),§ 08.01), deduzimos:

))((2

1)]( )[(

2

1 ~)( ji

jiT

jj

ii aabbbaba.

.



Mais uma vez aplicando a definição, escrevemos:

).)((21 e ))((

21 mi

mi

~kj

kj

~aaeeeebb

Então,

).)(())((4

1mi

mikj

kj~~ aaee.eebb.

Lembrando ((05),§ 03.03,I) e efetuando as somas, escrevemos:

~ ~

. ))()((4

1mik

ij

mk

mj

ikj aabb δδδδ

)])(())([(4

1mi

immi

mi aabbaabb

ou, ainda, finalmente

~mimi

~~ )())((2

1 .aabb.

Se os diádicos são completos podemos escrever para dois quaisquer deles, usando

((10),§ 08.01):

( )1

(( ) .1 ~

.

..

)3

De (01) e de ((04),§ 05.03) deduzimos então, facilmente, agrupando convenientemente:

( ) ,1

~

3

~

. .

3

donde, relembrando ((10),§ 08.01):

( ) .1 1 1

. .

A generalização desses resultados para mais de dois diádicos é imediata.

A demonstração para o caso do segundo é imediata uma vez que o transposto de um

produto é igual ao produto dos transpostos em ordem inversa (§05.03, Teor. 1).

Corol. 1: O escalar do adjunto de um produto de diádicos é igual ao escalar do

adjunto do produto desses diádicos em ordem inversa:

( ) ( ) ,E

~

E

~ . . (011).

Pois de (01), lembrando ((08),§ 07.01), deduzimos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .E

~ ~ ~

E

~ ~

E E

~

E

~ . . . . .



Corol. 2:

O adjunto da P-ésima potência de um diádico é igual à P-ésima potência

do adjunto desse diádico:

( ) ( ) ,P ~ ~ P

(012).

Se o diádico é completo,

( ) ( ) ,P 1 1 P

(021).

Para simplicidade da notação e sem perigo de erros, poremos:

( ) e .1 P P P~ P

~

Decorre imediatamente de (012) que

P~ Q~ ~ P Q P Q ~

( ( ) ,.

) (013),

e de (021):

P Q (P+Q)

P Q P Q

1 P Q Q P

P Q PQ Q P QP

,

,

( ) ,

( ) ( ) ,

.

.

( ) ,P Q PQ

(022).

Teor. 2: X,

(X ) X~ 2 ~ e (X ) X22

2 (03);

e se é completo e X0:

(X ) X1 1

1 e (X ) XP1 P (04).

Com efeito, pois considerando ((11),§ 07.01) temos:

~222~ X) (2

1X) (X

2

1)(X

Se é completo podemos escrever: (X ) (X ) ,1

. de onde, pós multiplicando ambos os

membros por X-1-1, agrupando e simplificando, deduzimos (04).

Por simples transposição podemos demonstrar as demais fórmulas.

Corol. 1:

(X ) XP1

T 1 (041).



Teor. 3:(Adjunto do adjunto e inverso do inverso de com 30).

~~ 3 2 2( ) (05),

( ) ,1 1 (06).

Substituindo em ((11),§ 08.01) por ~ , temos: ~ ~~ 3~ ,. donde, pré-

multiplicando ambos os membros por , reconsiderando ((11),§ 08.01) e lembrando ((06),§

08.01):

3 3. ~~ 2( . )

Logo, dividindo ambos os membros por 30, encontramos os dois primeiros membros de

(05). Analogamente comprovamos o terceiro membro.

Similarmente, trocando em ((09),§ 08.01) por -1 e em seguida pré ou pós-

multiplicando ambos os membros por ou -1, encontramos, logo, (06).

Corol. 1: (inverso e principal do adjunto)

( ) ( ) ,~ 1

3

1 ~

( ) ( ) ,~P P

~ (07).

Com efeito, se tomarmos o inverso e depois o adjunto de ambos os membros de

((10),§ 08.01) e considerarmos (04) e (05), comprovaremos (07)1. Por transposição de (07)1

obtemos (07)2.

Teor. 4: O adjunto e o inverso do diádico unidade são o próprio diádico unidade:

~ 1

,

(08).

Com efeito, de ((11),§ 08.01) temos:

~ ~ ~

=| | 1 ;. .

e de ((10),§ 08.01):

1 ~ ~1

.

3

Teor. 5: O adjunto e o inverso do transposto são iguais, respectivamente, aos

transpostos do adjunto e do inverso:

: ( ) ( )T ~ ~ T ~ T

2 , (09);



e se 30:

( ) ( ) , T 1 1 T T

(10).

A demonstração de (09) é evidente a partir da própria definição de adjunto.

Sendo

1 1 T T 1 T

( ) ( ) ,. . . temos, pré-multiplicando o primeiro e

último membro por (T)-1:

( ) ( ) ( ) ( ) ,T 1 T 1 T 1 T 1 T

. .

o que demonstra (10).

Corol. 1: O adjunto de um diádico simétrico é um diádico simétrico (que é igual ao

seu segundo):

T

~ ~ T( ) , 2

(091).

Se o diádico simétrico é completo, o seu inverso é simétrico; e

reciprocamente:

T3

1 T e 0 (101).

Esses resultados são facilmente comprovados a partir de (09) e (10).

Nota:

A fórmula (091) não é válida em sentido contrário, isso é: T

2 não ~ .

É ~TT~ ~ , mas dois diádicos que têm o mesmo adjunto não são iguais

necessariamente; com efeito, se ~ ~

, temos, tomando o adjunto de ambos os

membros e aplicando (05): 3 3

. Mas 3

~ 2

3

~ 2 ( ) ( )

3 3, isso é

3 3

e, portanto, . Podemos, assim, enunciar:

Se um diádico tem adjunto e segundo iguais ele é simétrico ou anti-simétrico.

Teor. 6: Se é nulo o produto pontuado de dois diádicos não nulos, então ambos são

incompletos:

0, , , 33 . (11).

Com efeito, porque se ao menos um dos diádicos fosse completo, digamos ,

existiria -1 (§ 08.01) e de . = deduziríamos:

,11 ...

o que é contra a hipótese ().

§ 08.04 - Significado geométrico. II-176


Corol. 1: Se é nulo o produto pontuado de vários diádicos não nulos, então ao

menos dois desses diádicos são incompletos:

s,incompleto diadicos dois menos ao ..... e ,...,, . (12).

*

Exercício 4:

|| |>|| | donde , | || | 2| | | | | | | || | ~| | 2 | | , | || || | : 22

22T ;

, : ) ) || || ( || || ( || ||2P

23 2 3 3

10 2 2 2 .

*

§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo).

Temos insistido em mostrar a utilidade dos diádicos como regentes de uma

transformação linear (Teor.1,§ 02.04). Assim, os vetores posição, x, de pontos de dado

domínio Dx, transformam-se em vetores posição, y, de pontos de um novo domínio, DY, por

multiplicação pontuada com um diádico regente, ; algebricamente, escrevemos: y .x .

Se esse diádico é completo ( 0) ele admite um inverso: -1; então, pré-multiplicando

ambos os membros da expressão acima por -1, deduzimos: .= 1.yx Interpretamos

geometricamente o resultado obtido, por analogia com a interpretação anterior, dizendo que

o diádico inverso opera uma transformação inversa da anterior: os vetores posição, y, de

pontos de DY, transformam-se univocamente em vetores posição de pontos de Dx.

Se x' é o vetor posição de um outro ponto qualquer de Dx, então x - x' é o vetor

genérico de Dx, pois liga dois pontos quaisquer de Dx. Sendo, obviamente:

y y . x x ( ), dizemos que a transformação linear regida por , bem como sua inversa,

aplica-se a qualquer vetor do domínio.

Se, agora, x e y são dois vetores quaisquer antes da transformação executada por

(logo, são pontos de DX), o produto vetorial deles, x×y, é o seu vetor-área. Após a

transformação, tais vetores são .x e .y e seu produto vetorial, (.x)×(.y), é o "vetor-área

transformado". Que relação existe entre esses vetores?

Lembrando ((042)2,§ 07.04) e ((01),§ 08.01) temos:

)()()()( 2~ yx..yx.y.x , (01).

Interpretando (01), podemos enunciar:

"Na T.L. regida pelo diádico usado como pré-fator (pós-fator), o seu

segundo (adjunto), usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação

pontuada, rege a transformação das áreas".

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. 177


Nota: Um modo de calcular a relação entre os valores numéricos das áreas (a transformar e transformada) será apresentado no § 01.02 do cap. III.

Casos particulares.

Numa situação particular em que o diádico (gerado do E3) seja planar - caso em

que transforma, por multiplicação pontuada posterior (anterior) qualquer vetor num vetor

do plano dos seus antecedentes (conseqüentes) (Corol.1,Teor.1,§ 03 e 01) - o seu adjunto,

linear (Corol.1,Teor.2,§ 08.01), terá por conseqüentes (antecedentes) vetores paralelos à

direção da normal ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de e transforma, em

multiplicação pontuada anterior (posterior), qualquer vetor num vetor paralelo à essa

direção, Fig.08.02.

Então, conforme (01), por serem x e y arbitrários, podemos concluir:

Teor. 1: Se um diádico é planar, e é usado como pré-fator (pós-fator) em

multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor do plano

dos seus antecedentes (conseqüentes); o seu adjunto, linear, usado como pós-

fator (pré-fator) em multiplicação pontuada, transforma qualquer vetor num

vetor ortogonal ao plano dos seus antecedentes (conseqüentes).

Similarmente, em vista do Corol.2 do Teor.2, § 08.01, podemos também enunciar:

Teor. 2: Se um diádico é linear e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação

pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor paralelo à direção do seu

antecedente (conseqüente); o seu adjunto, que é o diádico nulo, transforma

qualquer vetor no vetor zero.

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e

principais numa homologia.

Seja o diádico e ai

i e um seu homológico arbitrário (§ 03.02), Hom Xi

i i e a .

§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. 178


Teor. 1:

Tem-se:

T~~

22

)Hom ( )X( Hom

Hom )X(Hom :

, (01).

Com efeito, podemos escrever:

]. ... +))(()X+(X[X)(

... +))(()]X+(XX)[( ... +))((X

] ... +))(Hom[()])((2

1Hom[Hom

3232

322

3232

323232

1

3232

jiji2

aaee

aaeeaaee

aaeeaaee

Por outro lado, temos:

, ... +))((X+))((X

))((X)X( )(Hom

2323

23232

3

jiji

jjjj

ii

aaeeaaee

aaeeaeae

não sendo difícil, agora, completar a demonstração.

Transpondo em ambos os membros da fórmula encontrada, lembrando ((02),§

03.02) e ((13),§08.01), encontramos imediatamente ((01)2.

O Teorema 1 é válido para qualquer diádico. Quando este é completo a soma dos

coeficientes da homologia, X, pode ser calculada como o duplo produto pontuado do seu

homológico com o seu principal, isso é:

Teor. 2:

com 0 : X Hom 3 P

: , (02).

Com efeito, temos: etc. ,X).Hom( 11

1 a.e ; então, somando membro a membro

estas igualdades, vem: X Hom ) Hom ) (ii

ii

e . .a : e a( ( ) , o que comprova (02).

Teor. 3:

A CNS para que

Hom é que seja linear.

Pois, sendo linear, é 2 (Teor. 2, § 08.01); e conforme (01),

Hom .

Reciprocamente, se

Hom ,

... ))()(X+X( 3232

32 aaee ,

isso é,

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. 179


))(X+X())(X+X())(X+X( 212113133232 aaaaaao .

Então a1 // a2 // a3, e é linear.

Teor. 4:

,Hom 1

) Hom( Hom

Hom ) Hom(Hom

: 0 com

3PPP

2P2

3

:

:

T

3

1-P

1-

TP

)Hom (1

) Hom(Hom

)Hom ( ~) Hom( ~Hom

:

:, (03).

Estas fórmulas são conseqüências imediatas das (01) e (02) e das relações já

estabelecidas (no § 08.01) entre o adjunto, o segundo, o principal e o recíproco de um

diádico.

§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.

Seja iiaeM (i = 1, 2, 3) qualquer diádico de Moreira e ABCD um

ortoquadrângulo a ele associado, Fig. 03.05, § 03.03. O segundo de M tem por expressão

))(())(())(( 1313

3232

21212 aaeeaaeeaaeeM .

Então, M2V

, tal como MV

, é um vetor paralelo ao plano ) desse diádico, pois, conforme

indica a referida figura, o vetor da primeira díade é paralelo a BC, o da segunda é paralelo a

CA e o da terceira a AB. Logo:

O plano de um diádico de Moreira é paralelo ao plano definido pelo seu

vetor e o vetor do seu segundo.

Segundo ((17) e (18), § 08.01), M M M M M 1

P

T

P e

2 3. Então, concluímos:

Se um diádico (completo) é um diádico de Moreira, o transposto, o principal,

o segundo, o adjunto e o recíproco desse diádico são também diádicos de

Moreira, todos com eixos paralelos e planos paralelos.

Ž

Consideremos ainda a figura citada. O vetor 1

1ae é um vetor paralelo a BC e

32 ee é perpendicular a BC porque 32 ee é perpendicular a qualquer reta do plano

(D*BC). Logo e1 é paralelo ao plano ),( 11 ae . Analogamente podemos comprovar que e2

é paralelo ao plano ),( 22 ae e e3 paralelo ao plano ),( 3

3 ae . Imaginando o sistema

§ 09.01 - Definições. 180


{ 321 ,, eee } aplicado em D, vemos que o eixo associado aos sistemas recíprocos

{ , , }e e e1 2 3

e { 321 ,, eee } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC).

Os mesmos resultados são válidos para o sistema recíproco de { 321 ,, aaa }, isso é,

sendo 11

ae paralelo a BC e 32 aa perpendicular a BC, a1 pertence ao plano ),( 1

1 ae

etc.. Se { , , }a a a1 2 3

é aplicado em D*, o eixo associado aos sistemas recíprocos

{ , , }a a a1 2 3

e { 321 ,, aaa } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC).

Assim, ampliamos a propriedade anterior, enunciando:

Se um diádico completo é um diádico de Moreira, todos os seus derivados

(transposto, principal, segundo etc.) são também diádicos de Moreira. Os

eixos e os planos desses diádicos são todos paralelos ao eixo e ao plano do

diádico unidade quando este é representado pelos antecedentes do diádico (e

seus recíprocos), ou pelos conseqüentes do diádico (e seus recíprocos).

*

Exercício: Estudar a norma de um diádico de Moreira.

*

Consideremos agora o quadrângulo plano, DD*AHA (Fig. 03.05, § 03.03). Os

vetores e1 e a1 são paralelos ao plano desse quadrângulo, suas direções sendo,

respectivamente, as normais aos lados D*HA e DHA. Portanto, os suportes desses vetores,

quando estes estão aplicados em D e D*, respectivamente, interceptam esses lados em

pontos da circunferência de diâmetro DD*. Resultados análogos podem ser obtidos com

permutação circular das letras nos (planos dos) demais quadrângulos.

Concluímos, então:

As interseções dos tercetos de lados DHA, DHB, DHC e D*HA, D*HB, D*HC

dos quadrângulos planos DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com a esfera de

diâmetro DD* definem, respectivamente, com D* e D, as direções dos

antecedentes e conseqüentes de MP.

§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA.

Daqui em diante a teoria dos diádicos passa a ter algum parecer com o modo

tensorial, tal como ocorreu com a teoria dos vetores do §04,Cap.I em diante.

§ 09.01 - Definições.

Dado um diádico, numa forma polinomial qualquer, podemos sempre reduzi-lo a

uma forma N-nomial com, por exemplo, conseqüentes gj independentes (Teor.1,§ 02.07);

seja, então:

a gj

j (j 1,2,... , N), (01),

uma forma qualquer contravariante de representação de (§ 02.07).

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 181


Cada um dos antecedentes de pode ser expresso, por sua vez (§ 03,I), em função

de suas coordenadas contravariantes (em relação à base {g*}) ou em função de suas

coordenadas co-variantes (em relação à base {g*}) nas formas

a a .g g a a .g gj j k

k

j j

k

k( ) , ou, ( ) (k 1,2,... , N), (02).

Então, por substituição das (02) em (01):

( ) , ou ( ) (j, k 1,2,... , N)j k

k j

j

k

k

ja .g g g a .g g g (03).

Nota: Se for conveniente poder-se-á também expressar cada um dos antecedentes do diádico em relação a outro sistema {r*},{r*} de vetores recíprocos.

Poderíamos, por outro lado, reduzir o mesmo diádico a uma forma N-nomial que

tivesse por conseqüentes os recíprocos dos mesmos gj independentes, caso em que

(Teor.1,§ 02.07) estaríamos escrevendo em forma co-variante

b gjj (j 1,2,... , N), (011).

Como também podemos escrever:

b b .g g b b .g gj j k

k

j j

k

k( ) , ou ( ) (k 1,2,... , N), (021),

deduzimos, ainda, que

( ) , ou ( ) (j, k 1,2,... , N),j k

k j

j

k

k

jb .g g g b .g g g (031).

Pondo-se:

kjkjjk .. gaag

,, ,

j kk

j. ga

, (04)62,

kjkj. gb

kj

kj. gb

pode ser escrito em qualquer uma das formas seguintes:

kj

k jg g ,

kj k

jg g ,

kj

k jg g ,

jk

kj gg , (05).

62Notar que cada índice ocupa um posto, como sobre-índice ou como sub-índice. Nunca representaremos letras duplamente indexadas com índices encavalados ou sobrepostos (em níveis diferentes) no mesmo posto.



Vemos, assim, que qualquer diádico pode ser expresso na forma de uma combinação

linear de N2 díades, obtidas como produtos diretos de N vetores independentes entre si ou

pelos seus recíprocos. Quando se expressa um diádico em qualquer uma das formas (05)

diz-se que se pratica uma redução N2-nomial, ou, cartesiana do diádico. As formas (05)

são ditas, em geral, N2-nomiais: monomiais para N = 1, tetranomiais para N = 2 e

eneanomiais para N = 3; suas díades são denominadas díades basais (ou fundamentais) e

os coeficientes destas, coordenadas do diádico nas bases recíprocas {g*} e {g*}.

Por ser um diádico uma entidade estritamente relacionada a pares de vetores

(justapostos em produto direto) podemos considerar qualquer uma das (05) como uma

expressão (ou decomposição) cartesiana do diádico nas bases recíprocas {g*} e {g*}. A

analogia com as expressões correspondentes dos vetores é evidente.

Numa redução N2-nomial, as coordenadas de um diádico estarão sempre

relacionadas com a sua "parte substancial" (ou "motivo") (§ 02.07), isso é, as suas

coordenadas são os "quinhões" da grandeza que ele representa distribuídos por cada par de

vetores de duas bases (idênticas ou recíprocas).

Cada parcela do diádico (produto de cada coordenada pela díade que lhe

corresponde) é dita uma componente do mesmo. As parcelas correspondentes a índices

iguais são denominadas componentes normais ou radiais do diádico (ou da forma); as

demais componentes são denominadas transversais ou tangenciais. As coordenadas kj,

por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais co-variantes (bj) do

diádico (§ 02.07), denominam-se: coordenadas duplamente co-variantes do diádico, ou,

simplesmente, coordenadas co-variantes ; as coordenadas kj por representarem

coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais contravariantes (aj) do diádico,

denominam-se: coordenadas uma vez contravariante uma vez co-variante, ou, mistas.

Analogamente, as jk são as coordenadas duplamente contravariantes, ou

simplesmente coordenadas contravariantes; e as kj, coordenadas uma vez

contravariante e uma vez co-variante, ou mistas63.

Deve ser observado que, em geral,

kj jk kj

kj

kj k

j e , ... , (06).

As formas e as componentes correspondentes a essas coordenadas recebem os

mesmos nomes dessas coordenadas.

§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.

A cada uma das formas N2-nomiais ((05),§ 09.01) podemos associar uma matriz

quadrada de ordem N64 cujo elemento genérico é dado pela coordenada genérica do diádico

63Estas nomenclaturas tornar-se-ão mais expressivas quando tratarmos dos poliádicos de ordem p+q, que

poderão ser p vezes contravariantes e q vezes co-variantes etc.. 64Chama-se matriz de ordem MxN a um conjunto de MxN números - representados genericamente por uma letra

com dois índices, letra indexada essa denominada elemento genérico da matriz - dispostos ordenadamente em M

linhas N colunas. Quando MN a matriz se diz retangular; quando M=N, quadrada. Quando N=1, a matriz denomina-se matriz coluna ou vetor; quando M=1, matriz linha ou vetor linha.



nas referidas formas, desde que convencionemos que os índices dos antecedentes e os dos

conseqüentes das díades representem, respectivamente, a linha e a coluna da coordenada na

matriz65. Representando as matrizes com duplas chaves escrevemos, para o caso em que N

= 3, por exemplo:

[ ]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, [ ]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

[ ]

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

, [ ]

11

12

13

21

22

23

31

32

33

, (01).

Qualquer uma das matrizes (01) é denominada matriz associada ao diádico;

diremos também que [**] é a matriz contravariante, [**

] é a co-variante, [**] a

matriz mista contra/co-variante e [**], a matriz mista co/contravariante.

Genericamente a matriz associada ao diádico será representada por [].

Devemos notar que, nas matrizes (01), as colunas representam as coordenadas

cartesianas dos antecedentes do diádico, representado em formas trinomiais nas quais os

vetores de base (gi ou gj) aparecem como conseqüentes.

Resultados análogos seriam obtidos com as representações trinomiais =gjcj=g

jdj

(T=gja

j=bjg

j).

Pondo:

g .g g .gj k jk kjj k jkG G e G G ,kj (011),

escrevemos, relembrando a teoria dos recíprocos:

g g .g g g gj j k

k

jk

k k( ) G G

kj ,

g g .g g g gj j k

k

jk

k

kj

k( ) G G , (j,k = 1,2,...,N).

Logo, por ser = gj gj = Gjk g

k gj = gj gj = Gjk gk gj, escrevemos, para N = 3 por exemplo66:

65Uma matriz só pode ser associada a um diádico ou a um vetor. Aparentemente não é possível essa associação a triádicos, tetrádicos etc. porque estes estão associados a três, quatro ou mais índices. Esse assunto será abordado

no § 03.04 do Cap. IV.

66Duas matrizes de mesma ordem são iguais se são iguais seus elementos correspondentes (os de mesma linha e mesma coluna). Duas matrizes, cujas linhas de uma são as colunas de mesmo nome da outra, são ditas

transpostas; é o caso, por exemplo, das matrizes [ij] e [ji]. Quando duas transpostas são iguais elas são ditas

simétricas; é o caso das [Gij] e [Gji], e o das [Gij] e [Gji],por conseqüência das (011). Quando duas transpostas são opostas elas são ditas anti-simétricas; nesse caso os elementos de sua diagonal principal são todos nulos.



[ ] [ ] ,

G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

[ ] [ ] ,

G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

G G G

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

e, relembrando que g .gj

k

jk (

j

k, deltas de Kronecker, §04.02,I):

[ ] [ ] [ ] ,G G

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(012)67.

As matrizes [G**], [G**] e [] são denominadas matrizes métricas contravariante,

co-variante e mista, respectivamente, da base {g1,g2,g3}.

Nota 1:

Deve ser notado que não tem significado falar de uma matriz associada a um diádico sem

mencionar: 1) - a sua natureza, isso é se ela é a co-variante [**], a contravariante [**], a

mista contra/co-variante [**], ou a mista co/contravariante [**]; 2) - a matriz métrica da

base a que ela se refere; 3) - Obviamente, quando a matriz é a mista (qualquer uma delas) a matriz métrica correspondente, qualquer que seja a base, é a matriz unidade. A menção de apenas uma matriz mista, entretanto, não especifica o diádico (exceto se for definida a base).

É fácil, também, mostrar que para N = 3,

,

000

000

000

][][][][][

(013)68.

Teor. 1:

Obtém-se o transposto de um diádico expresso em forma N2-nomial,

simplesmente trocando, em cada uma de suas componentes, o antecedente

pelo conseqüente:

se j

k j

k ,g g então,

T

j

k

k

j ,g g (02).

67As matrizes métricas mistas de qualquer base, todas iguais, são denominadas matriz unidade. 68As matrizes associadas ao diádico nulo, todas iguais, são denominadas matriz zero ou matriz nula.



Com efeito, pois, sendo, na forma das coordenadas mistas, por exemplo, = jkgjg

k,

é, também, = akgk com ak = j

kgj. Então T = gkak = gkjkgj. Mas sendo distributivo o

produto direto de vetores em relação a soma de vetores (Teor.2,§ 02.06), resulta, T =

jkg

kgj , c.q.d..

Corol. 1: As transpostas das matrizes co-variantes e contravariantes associadas a

um diádico são iguais às matrizes homônimas correspondentes

associadas ao transposto de :

])[(][ **TT** , ])[(][ **TT

** , (031)69.

A transposta da matriz mista de certo nome associada a um diádico é

igual à matriz mista do mesmo nome associada ao transposto de .

])[(][ TT

, ou ])[(][

TT

, (03).

Pois, sendo, por exemplo:

k

j

j

k

1

1

2

1

3 1

2...g g g g g g g g g g 1

1

1

2 1

1

3

2

1

e

T k

j k

j 1

1

1 1

2 1

2 1

3 1

3 2

1 2

1 ... ,g g g g g g g g g g 1

temos:

[ ]

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

; [(T

) ]

1

1

1

2

1

3

2

1

2

2

2

3

3

1

3

2

3

3

[ ] .

T

Analogamente provaríamos para os demais casos de representação de .

Teor. 2: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais

díades, têm suas coordenadas respectivamente iguais; e reciprocamente.

Com efeito, expressos os diádicos e em forma N2-nomial em termos das

mesmas díades basais escrevemos, por exemplo:

e j

k

k

j g g j

k

k

jg g .

69Por este corolário, justifica-se a (nossa) nomenclatura: "transposto de um diádico", em relação a: "conjugado de um diádico" (de Gibbs) mencionada no §02.05.



Pondo kj g

j = u

k e kj g

j = v

k, e sendo = , escrevemos: gkuk = gkv

k. Ora, estando os

diádicos expressos em forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes,

resulta uk = v

k (Teor.2,§ 02.07). Então: j

k j

j

k j

j

k

j

k , isto é , .g g

Sejam agora dois diádicos e expressos em termos das mesmas díades basais e

com coordenadas iguais:

j

k

k

j e g g j

k

k

j

j

k

j

k com g g .

Escrevemos, logo: = gkuk e = gkv

k, com uk = v

k =

kj gj =

kj g

j. Então, = .

Corol. 1:

Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais

díades basais, têm matrizes associadas iguais70.

Teor. 3: A multiplicação de um diádico por um número é operação equivalente à

multiplicação de sua matriz associada por esse número71.

Com efeito, as coordenadas co-variantes ou contravariantes dos seus antecedentes ou

conseqüentes, expressas por ((04),§ 09.01), estarão multiplicadas por esse número; logo, os

elementos da matriz associada ao diádico em (01) estarão multiplicados por esse número.

Teor. 4: A pré-multiplicação pontuada de diádico por vetor é operação equivalente à

pré-multiplicação da sua matriz mista associada co/contravariante

(contra/co-variante) pela matriz coluna co-variante (contravariante)

associada ao vetor72. O vetor produto vem expresso por sua matriz coluna

co-variante (contravariante):

r .r { } [ ] { },

r . r (04).

Pondo, por exemplo:

r g r g R , R e kk

ii i

j i

j , (i, j, k 1,2,... , N),g g

deduzimos:

70Deve ser observado que se um mesmo diádico esta expresso em formas cartesianas homônimas em termos de diferentes díades de base, suas matrizes associadas (de mesmo nome) não são iguais, mas similares; este conceito

será explorado no § 02.04, III.

71Chama-se produto de um número por dada matriz a uma matriz cujos elementos são os elementos correspondentes da matriz dada multiplicados por esse número.

72Chama-se produto de uma matriz A, de ordem MxN, por uma matriz coluna {v}, de ordem Nx1, à matriz

coluna de ordem Mx1, {v'}, cujo elemento da i-ésima linha é a soma dos produtos de cada elemento da i-ésima linha de A pelo seu correspondente da matriz coluna.

r .r ( ) ( ) ( ) , i

j i

j k

k

i

j

k

i

j

k

i

k

k

iR R Rg g . g g g .g g

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas. 187


de onde resulta, considerando a expressão cartesiana co-variante de r : R R i i k

k . Esta

expressão é equivalente a (04), quando se faz (k, i = 1,2,...,N).

Nota 2:

Em pós-multiplicação, escreveríamos:

v v. v v . { } { } [ ],T T (05),

e, no caso específico de (04):

r . r r. r r .

T T T T , donde { } { } [

] .

Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos

Se A é diádico simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeie

j, deve ser Aij=Aji. Então, para

i=1,2,3, A12=A21, A23=A32, A31=A13. Resultados análogos seriam obtidos escrevendo-se

A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um

diádico simétrico são, assim, matrizes simétricas, e apenas estas.

Da mesma forma, se A é diádico anti-simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeie

j, deve ser

Aij=-Aji. Então, para i=1, A11=A22=A33=0 e A12=-A21= A23=-A32=A31=-A13, resultados

análogos podendo ser obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a

duplamente contravariante associadas a um diádico anti-simétrico são, assim, matrizes anti-

simétricas, e apenas estas.

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas

Posto que a multiplicação pontuada entre diádico e vetor é associativa em relação a

números, deduzimos, por exemplo, que:

sendo jk

j k,g g então g . .gr s jk r

j k

s(g .g g .g)( ),

isso é,

g . .gr s rs (r, s = 1,2,... , N).,

Similarmente, considerando as outras formas fundamentais de , poderíamos deduzir

expressões análogas para as demais coordenadas do diádico. Como regra geral, diríamos

que uma coordenada de um diádico, expresso em forma cartesiana, pode ser obtida por pré

e pós-multiplicação do diádico pelos recíprocos dos antecedentes e dos conseqüentes de

suas díades fundamentais. Assim:

rs

rs

s

r

r

s

g . . g

g . . g

g . . g

g . . g

r s

r s

r

s

r

s

,

,

,

, (01).

§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas. 188


Ora, não sendo independentes as coordenadas co-variantes e contravariantes de

vetores (§ 04, I), podemos esperar não serem também independentes as coordenadas de um

diádico. De fato, substituindo, por exemplo, em (01)1 as expressões de dadas por ((05),§

09.01), deduzimos:

rs rk

k

s

rs rk

kj

js

rs

j

r js

G

G G

G ,

,

, (02),

sendo, conforme já definimos ((01)1,§ 09.02), Grk = g

r.gk = G

kr.

Similarmente, podemos deduzir das (01):

r

s

rk

ks

rs rk

kj

js

s

r rj

js

G

G G

G

(03),

onde Grk = gr.gk.

As fórmulas (02) e (03) são correspondentemente inversas porque, por exemplo, se a

(02)2 exprime as coordenadas contravariantes em função das co-variantes, a (03)2 exprime

as coordenadas co-variantes em função das contravariantes etc.

Tal como com as (02) exprimimos as coordenadas contravariantes em função das

demais coordenadas, poderíamos também exprimir as coordenadas co-variantes em função

de todas as outras coordenadas.

Exprimindo todas as coordenadas de em função apenas das coordenadas mistas,

s

r por exemplo, teríamos:

rs

k

r ks

rs rk s

k

r

s

rk j

k js

G ,

G ,

G G ,

(04).

As expressões (02), (03) e (04) podem ser expressas em forma matricial, e essas

novas expressões podem ser obtidas na tábua de multiplicação seguinte.

Tábua de multiplicação de matrizes associadas a um mesmo diádico

[**

] [**] [*

*] [**]

[**

]= - [G**].[**].[G**] [**].[G**] [G**].[*

*]

[**]= [G**].[**].[G**] - [G**].[

**] [*

*].[G**]

[**]= [**].[G**] [G**].[**] - [G**].[*

*].[G**]

[**]= [G**].[

**] [**].[G**] [G**].[**].[G**] -

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. 189


§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.

Da consideração das ((05),§ 09.01) obtemos, logo:

E jk

jk jk

jk

j

j

j

jG G , (j, k 1,2,... , N), (01),

tornando-se óbvio que a forma mais simples de se obter o escalar de um diádico é pelas

suas formas cartesianas mistas pois, com efeito, este é o traço73 de qualquer uma das

matrizes associadas (mistas).

Não se deve confundir, entretanto, o traço de uma matriz com o escalar de um

diádico, pois, em geral,

Tr[ ] E Tr [ ] ] ],

Tr[ Tr[

excetuado quando a base a que se refere o diádico é ortonormal ou ortonormada.

Temos também de ((05)1 e (05)3,§ 09.01), as formas mais simples de expressão de

V:

kj

jkkj

jk == ggggV

, (02),

ou, ainda, em forma expandida:

para N = 1, V = o, (021);

para N = 2, 21211221

2112V )(=)(= gggg , (022);

para N = 3, aplicando ((04) e (04)1,§ 04.02),I) e efetuando as somas:

V ])()())[(( 32112

21331

13223321 gggggg

ou (023)74.

V ])()())[(( 32112

21331

13223321

gggggg

Das representações N-nomiais (01) e (011), § 09.01 deduzimos:

;1=N se ,= = 1

11

1

3.ga.ga

2;=N se ),()(=)()( = 21

2121

21

3gg.aagg.aa

.3=N se ),)((=))((= 321

321321

321

3gggaaagggaaa

73O traço de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos da sua diagonal principal (os da i-ésima linha

e i-ésima coluna); é representado, às vezes, por TrA.

74Pelas expressões (021),(022) e (023) pode-se definir o vetor de uma matriz (co-variante ou contravariante), conceito pouco difundido e pouco utilizado nos tratados de Álgebra Linear e de Cálculo Matricial.

§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. 190


Considerando as expressões ((02) e (021),§ 09.01) deduzimos também, lembrando a teoria

dos recíprocos (§ 03,I):

)(||)(||)( :3N para 321 321

321 ggggggaaa

,

)(||)(||)(321

321

321ggggggbbb

;

para N=2: )(|||| 21 21

21 ggggaa

,

)(||)(|| 21

2121ggggbb

;

para N=1: 11

1 |||| gga

11

1 |||| ggb ,

isso é

3

1,=N para | ,|||)(||)(||

2;=N para | ,|||)(||)(||

3;=N para | ,|||)(||)(||

2121

221221

23212321

gg

gggg

gggggg

(03).

É óbvio, por (03), que:

A CNS para que um diádico, expresso cartesianamente, seja completo, é que

o determinante associado a qualquer uma de suas matrizes seja diferente de

zero.

Para os diádicos anti-simétricos A=-AT tem-se:

).|A||A||A)(|2(

)|A||A||A)(|(2

,0

,0

312

231

123321

312

231

123321

V

3

E

eeeeee

eeeeeeA

A

A

, (04),

resultados compatíveis com ((041), (§ 04.02)). Para os diádicos simétricos nada de

extraordinário se vai acrescentar além do fato de que eles têm vetor nulo; e este pode ser

calculado pelas suas coordenadas duplas contravariantes ou co-variantes.

Algumas observações devem ser feitas no tocante à determinação dos invariantes

elementares de um diádico quando este é dado em forma cartesiana.

Em primeiro lugar, lembremo-nos de que a representação de um diádico por uma de

suas matrizes associadas (a co-variante, a contravariante ou as mistas) deve sempre ser

acompanhada da especificação da base a que ela se refere. A especificação dessa base pode

ser feita pela configuração de seus vetores (em módulo, direção e sentido) e ângulos

mútuos, ou por uma das matrizes métricas dessa base (§ 09.02). Em qualquer caso as

matrizes associadas ao diádico deverão satisfazer as relações ((04),§09.03).

§ 09.06- Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. 191


Em segundo lugar, observemos que, se dispomos da matriz mista para o cálculo do

vetor de um diádico, este não pode ser realizado pelas expressões (023) porque estas são

válidas para coordenadas co-variantes ou contravariantes do diádico. Mas, de posse da

matriz associada mista, [**], por exemplo, e da matriz métrica [G

**] (ou sua inversa)

poderemos, por ((04)2,§ 09.03), determinar [**

], e somente então, calcular V por (023).

Finalmente, observemos que, sendo 3 e E invariantes de , os determinantes |**| e

|**

| e os traços Tr** e Tr**

associados às matrizes contravariantes e co-variantes de

não são invariantes, mas apenas aqueles das matrizes mistas. Com outras palavras: o traço e

o determinante de uma matriz associada ao diádico nem sempre são iguais ao seu escalar e

ao seu terceiro (apenas os traços e os determinantes das matrizes mistas). Obviamente, tais

determinantes (excluídos os traços) serão invariantes se, e somente se, os vetores de base a

que se referem definem paralelepípedos de volumes unitários. Nesse caso as bases são

denominadas unimodulares e, dessas, as bases ortonormadas são um caso particular.

Novamente devemos observar que, quando a base adotada é ortonormada, as quatro

matrizes associadas ao diádico são iguais; e apenas nesse caso, determinantes e traços são

respectivamente iguais ao terceiro e ao escalar do diádico. Entretanto, nem sempre é

vantajoso, possível e prudente, o uso de bases ortonormadas (§05,Cap.I; §04 e §05,Cap.III).

§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana.

Teor. 1: A adição de diádicos, expressos em forma cartesiana em termos das mesmas

díades basais, é operação equivalente à adição de suas matrizes

associadas75.

Com efeito, sendo, por exemplo,

ij

i j e g g =ij

i j , (i, j 1,2,... , N),g g

deduzimos, agrupando convenientemente e aplicando ((01),§ 04.01):

+ g g g g giij

jij

jij ij

i j( + ) ( ) , donde, [ + ] [ + ]ij ij

[ ]+[ ],

o que, evidentemente, comprova o teorema.

As propriedades já demonstradas da adição de diádicos (§ 01) podem ser também

demonstradas para as matrizes.

§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana.

75Chama-se soma de duas matrizes de mesma ordem, [A] e [B], a matriz de mesma ordem que as matrizes

parcela, [C], cujos elementos são as soma dos elementos correspondentes de [A] e de [B]; escreve-se: [C]=[A]+[B].

Em relação às bases não ortonormadas a matriz associada ao produto de dois

diádicos nem sempre é igual ao produto das matrizes associadas aos diádicos, exceto se as

matrizes forem mistas de mesmos nomes.

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 192


Expressões matriciais de .

Se . , são válidas as seguintes fórmulas, que podem ser comprovadas

facilmente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

. . . .

. . . .

G

G

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

. . . .G

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], G

. . . . (01).

São válidas para as matrizes as propriedades já demonstradas para os diádicos no §

05.03 e no § 05.04. O enunciado dessas propriedades pode ser obtido daqueles trocando-se

neles a palavra diádico por matriz (quadrada), devendo ser observado que no caso da

transposição a matriz pode ser retangular.

•

Temos assinalado certo isomorfismo entre a álgebra dos diádicos e a conhecida

álgebra das matrizes. Esse isomorfismo fica, entretanto, incompleto, uma vez que não se

estuda na teoria das matrizes a operação que poderia ser denominada multiplicação cruzada

entre matriz e vetor, cujo resultado fosse uma matriz (veja § 06).

Este § 09 - Representação de diádicos por matrizes - tem significado prático quando

as funções vetoriais lineares devem estar referidas a uma base. Nesse caso, no estudo de um

problema físico ou geométrico, poderá ser cômoda essa representação numérica

(cartesiana).

Expressões matriciais de Ia e a

Ponhamos I=gigi e a=Ajg

j. Tem-se: Ia=Ajgig

ig

j=(g

1g

2g

3)Aj

ijkgigk, os números

(g1g

2g

3)Aj

ijk sendo as coordenadas duplamente contravariantes do diádico. Efetuando-se as

somas indicadas podemos escrever a matriz [(Ia)**

]. Tem-se:

)(

0AA

A0A

AA0

])[( 321

12

13

23

ggga

(02).

Analogamente provaríamos que

)(

0AA-

A-0A

AA0

])[( 321

12

13

23

gggaI

(021).

Se o vetor a é um dos vetores da base {g*}, por exemplo, a = g3, isso é,



000

001

010

)(A]A[ então, ,A se 3213

33

33

ggggIga (022),

e

000

001

010

)(A]A[ então, ,A se 32133

33 3 ggggIga , (023).

Lembrando ((02)2, §06.02, II), podemos escrever:

)()( v.v.v . Para

quaisquer e postos, por exemplo, na forma

=ijg

igj e =k

mg

kgm, tem-se: .=i

kk

m g

igm ,

isto é, em termos matriciais:

[.]**=[]*

*.[]*

*.

Então, para o produto cruzado v escreveríamos:

][ ][][ ][][

v.v.v , (024).

§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).

Os polinômios homogêneos (nas variáveis independentes X, Y, Z, ... ), também

denominados formas, são os polinômios cujos termos têm todos o mesmo grau. Assim, se

A, B, C, ... são coeficientes (de polinômios),

AX, AX + BY, AX+ BY+CZ , (01),

são formas lineares (ou polinômios homogêneos do grau um);

AX , AX + BY +2CXY, AX + BY +CZ DXY EYZ FZX2 2 2 2 2 2 2 2 2 , (02),

são formas quadráticas etc. Formas quadráticas isentas de termos quadrados são

denominadas retangulares.

Se uma forma tem apenas uma variável independente, como as formas (01)1 e (02)1,

ela é dita unária; se tem duas, como a (01)2 e (02)2, ela é dita binária; se tem três, ternária

etc. Então, por exemplo, (02)2 e (02)3 são, respectivamente, formas quadráticas binária e

ternária.

Consideremos, no E3, por exemplo76, dado diádico, , e os vetores variáveis co-

iniciais x e y; e representemo-los cartesianamente nos vários modos possíveis, a saber:

76 Tudo o que fizermos nesse espaço poderá ser desenvolvido igualmente para os espaços de dimensões 1 e 2.



iji j ij

i j ji

ij

i

j ij

ii i

i ii i

i X X Y Y com i, j

e e e e e e e e

x e e y e e

,

, ,2,3.1

, (03).

Os polinômios

e . .xk kjj j

k jX X k , ,2,31 ,

representados (para cada valor de k) das duas maneiras distintas correspondentes ao

segundo e terceiro membros, são formas lineares nas coordenadas co-variantes ou nas

contravariantes de x. São também formas lineares nestas mesmas letras os polinômios

e . .xk kjj

k

j

jX X k , ,2,31 .

O polinômio

x. .x X X X Xiij

ji

ijj

é uma forma quadrática. Mas esse polinômio é um invariante (independe das mais diversas

representações que se possam dar ao diádico e ao vetor). Se o representarmos, porém, nas

formas (possíveis, evidentemente)

x. .x X X X Xi ji j i

i

j

j , (04),

caímos aparentemente num outro problema pois nem o segundo e nem o terceiro membros

de (04) se encaixam na definição de forma quadrática. De fato, nestas representações as

variáveis não são independentes, pois x2 X Xii estabelece uma ligação entre elas. Como

Xj=XkG

kj, tem-se: x..x=Xi

ijG

kjXk; e lembrando ((041), §09.03): x..x=Xi

ikXk. Assim,

(04) é, apenas, uma forma diferente de expressar-se uma forma quadrática.

*

Representando na forma da soma de sua parte simétrica, sim , com a sua parte

anti-simétrica, ant , podemos escrever:

x. .x x. .x sim ,

posto que, conforme (042), §04.02,

, ant x x. .x: 0, (041).

Então, qualquer que seja o diádico , a forma quadrática x .. x pode sempre ser substituída

por uma forma quadrática equivalente como o diádico (simétrico) igual à parte simétrica de

. Tais formas são denominadas formas quadráticas simétricas. Assim, poderemos

escrever (04) na forma



:,x jjiij

ij

jiiji

sim X)(X2

1X)(X

2

1 .xx..xx. , (042).

Em resumo:

toda forma quadrática x..x pode sempre ser cartesianamente representada

em função das coordenadas contravariantes(co-variantes) do vetor x e pela

parte simétrica da matriz co-variante (contravariante) associadas ao diádico

.

*

Consideremos o polinômio x. . y (nas variáveis representativas das coordenadas

dos vetores co-iniciais x e y) o qual, considerando as representações (03), pode ser

representado nos quatro modos distintos seguintes:

ji

j ijj

iijij

ij

iji YXYXYXYX.. yx , (05).

Esse polinômio x. . y é uma função linear em y porque, se y u v U V , então

x. . y x. .u x. . v U V( ) ( ) ,

isso é,

se y u v U V , o polinômio x. .y é uma combinação linear, de coeficientes

U e V, de polinômios que se obtêm de x. .y substituindo-se y por u e v.

Então esse mesmo polinômio, linear em y, é, também, linear em x.

Definição: (forma bilinear)

Todo polinômio da forma (05), em que é um diádico dado e x e y são

vetores quaisquer, será dito uma forma bilinear do diádico nos vetores x e

y.

Deve ser observado que

, T x y x. . y y. .x, , (06),

porque

.xy..yx. T , (061),

e, evidentemente,

y. .x y. .x T .



Mas

T x. .y y. .x , (062).

Definição: Formas bilineares com diádicos simétricos são ditas formas bilineares

simétricas.

Resulta dessas definições que as formas quadráticas são casos particulares das

formas bilineares. Com efeito, as quadráticas são as bilineares que derivam de (05) onde

se faça y = x.

Ponhamos, lembrando ((03), §04.02),

x y x. . y x. . y, , : ( ) sim ant , (07).

Ora, conforme (061),

x. .y y. .x y. .x ant ant T

ant

e, conforme (062),

x. .y y. .x sim sim .

Como a substituição de y por x em (07) acarreta, lembrando (041), forma quadrática

simétrica apenas pela parcela x. .ysim , diz-se que a forma bilinear simétrica x. .ysim é

uma forma polarizada77 da forma quadrática x. .xsim .

Quádrica centrada.

Consideremos uma forma quadrática representada genericamente por (042). Quando

se dá a x o valor x0, ou seja, quando se especifica certo ponto do espaço (extremidade do

vetor x), a forma assume certo valor, digamos F0. O terceiro e o quarto membros de (041),

por outro lado, mostram (não trivialmente) que é possível encontrar outros vetores co-

iniciais com x, ou outros pontos do espaço, que dêem a essa forma o mesmo valor F0. Ao

conjunto dos pontos x corresponde o conjunto dos pontos simétricos em relação à origem

comum porque os vetores -x também dão à forma o valor F0.

Definição: (quádrica centrada)

O conjunto dos pontos definidos pelas extremidades dos vetores co-iniciais,

x, da forma quadrática simétrica x..x que assume o valor F0, denomina-se

quádrica centrada relativo a F0.

Como o diádico da forma e o valor F0 são genéricos, podemos sempre, sem perda de

generalidade, dizer que

77 A nomenclatura, embora introduzida por via matricial no estudo das cônicas e quádricas, parece ser conhecida como equação de Joachimsthal.



Quádrica centrada num ponto O é o lugar geométrico dos pontos do espaço,

extremidades dos vetores co-iniciais em O, x, vetores esses que, para dado

diádico , atribuam à forma x. .x o valor +1.

Como toda forma quadrática pode ser escrita na forma simétrica, resulta que

a dado diádico, , está associada de modo unívoco a quádrica centrada

x. .xsim 1, (08).

Mas o contrário não é verdadeiro, isso é, a dada quádrica centrada não está associado um

único diádico. Com efeito, conforme Teor. 8, § 04.02, para que dois diádicos distintos

tenham a mesma parte simétrica, basta que a diferença deles seja um diádico anti-simétrico.

Não cabe aqui desenvolver a teoria das quádricas centradas. Demonstraremos alguns

teoremas a título de aplicação. Uma alteração da dimensão do espaço permite também

deduzir propriedades análogas para as cônicas centradas. A introdução de "coordenadas

homogêneas" permite generalizar a teoria para as quádricas em geral.

Teor. 1: Uma quádrica centrada é interceptada por uma reta do espaço em dois

pontos, reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou

impróprios.

Se X é um parâmetro e r e s são vetores co-iniciais num ponto O, definindo dois

pontos R e S do espaço, o vetor posicional x do ponto corrente X da reta (relativo a X) que

passa por esses pontos é (1+X)x = r + Xs. A CNS para que esse ponto X pertença à

quádrica é que ele satisfaça (08), isso é,

( ) ( ) (r s . . r s X X X)sim2 1 , (09).

Desenvolvendo esta equação e considerando (062), vem:

( ) ( )1 2 1 0 s. .s r. .s r. .r sim2

sim simX X +1 , (10),

equação do segundo grau em X78 que, resolvida, dará dois valores para X; são eles:

1 1 1 1

1

2

( ) ( ) ( )( )r. .s r. .s s. .s r. .r

s. .s

sim sim sim sim

sim

, (101),

Com esses valores, que representaremos por X1 e X2, podemos construir dois vetores co-

iniciais em O cujas extremidades certamente pertencem à quádrica. Discutindo as soluções

dessa equação, o leitor poderá determinar em que condições esses pontos são reais ou

imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios, bem como o caso em que a

equação (10) seja uma identidade.

78 Diríamos que essa é uma forma diádica de representação da clássica "equação de Jochimsthal" da Geometria Projetiva Algébrica.

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana.. 198


Definição: ( pontos conjugados)

Os pontos R e S serão ditos conjugados em relação à quádrica centrada do

diádico se eles forem conjugados harmônicos em relação aos pontos A1 e

A2 segundo os quais a reta (1+X)x=r+Xs intercepta a quádrica.

Ora, os pontos A1 e A2 estarão harmonicamente separados por R e E se, e somente

se, X1 + X2 = 0, conforme sabemos. Então, de (101), concluímos:

Teor. 2: A CNS para que os pontos R e S, de vetores posicionais r e s, sejam

conjugados em relação à quádrica x. .xsim 1 é que valha um a forma

polarizada de r. . r sim , isso é: r. . s sim =1.

Como (fixo o r) a equação r. . s sim = 1 é linear em s, concluímos, imediatamente:

Corol. 1: É um plano o lugar geométrico dos pontos conjugados de um ponto fixo

em relação a uma quádrica centrada.

O plano a que se refere o Corol. 1 denomina-se plano polar do ponto fixo em

relação à quádrica.

Corol. 2: Se o plano polar de um ponto (em relação a uma quádrica centrada)

passa por um determinado ponto, então o plano polar deste ponto (em

relação à mesma quádrica) passa pelo primeiro.

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana.

Denotemos por jk o complemento algébrico do elemento k

j (observe a inversão

dos índices) no determinante

| |

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

(01),

determinante este associado à forma cartesiana mista contravariante/co-variante de (§

02.01),

k

j

j

k,g g (02).

§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. 199


Temos, então:

~

k

j

j

k, g g (03),

e

1 k

j

jk=

1,

3

g g (04).

Com efeito, pondo

v gk k

j

j , temos, de (02), ,k

k v g (05);

logo, lembrando a definição de adjunto (§ 08.01), escrevemos:

)sr)(sr(2

1~ vvgg (06).

Conforme ((04)1,§ 04.02,I), é

m

jkm321

k

s

j

r sr)( ggggvv (07);

conforme ((041)1,§ 04.02,I) é

trst321sr )( gggggg .

Então:

~

1

2. r

j

s

k rst

jkm t

m g g

Para t = 1 e m = 2, por exemplo, temos:

.)(

)(2

1

)(2

1

2

1

21

12

21

32

13

33

12

21

32

13

33

12

12

33

13

32

21jk2

k2

j

3 k3

j

2 2

1jk2rs1k

s jr

gggg

gg

gggg

Fazendo cálculos análogos podemos comprovar (03). A fórmula (04) é conseqüência

imediata de (03) e ((10),§ 08.01).

Poderíamos obter resultados análogos pela consideração das outras três formas de

representação cartesiana de .

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 200


A matriz associada a ~

é:

[ ]~

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

, (08),

e denomina-se a adjunta de []. Assim:

"para constituir-se a matriz mista de certo nome do adjunto de um diádico,

basta substituir, na matriz mista transposta de mesmo nome desse diádico,

cada elemento pelo seu respectivo complemento algébrico".

Similarmente, a matriz associada a -1 é, em vista de (04):

[ ] =1

[ ]1 ~

3

.

Definição: (matriz inversa)

[-1] denomina-se a matriz inversa de [],

sendo representada também por []-1. Dada [], a determinação de []-1 é imediata em

vista das fórmulas anteriores

Como a representação cartesiana de um diádico é conseqüência de uma redução

trinomial do mesmo, vemos que as propriedades das matrizes adjunta e inversa da matriz de

um diádico são as mesmas do adjunto e do inverso desse diádico79.

Se fizermos em ((041)3, § 09.03), considerando as ((012), § 09.02), deduzimos:

[ ] [ ] [ ], G G. (09).

o que nos permite concluir serem inversas as matrizes métricas de bases recíprocas.

§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma

cartesiana.

O problema consiste em, sendo dadas a matriz métrica de uma base (por inversão

dessa matriz deduzimos a matriz métrica da base recíproca ((09),§09.08)) e a especificação

de uma das matrizes associadas ao diádico (logo, as outras estão determinadas (§09.03)),

determinar as características geométricas desse diádico, isso é, dizer se ele é completo,

planar, linear, uniplanar, ortoplanar, determinar seus planos, direções etc..

79Esses resultados, todos concordantes com o Cálculo Matricial, também justificam a introdução do adjunto na teoria dos diádicos, juntamente com o "segundo" de Gibbs.



Para a resolução do problema proposto é relevante termos em mente as seguintes

Propriedades Gerais.

1°) - Um diádico é incompleto ou completo quando o determinante de

qualquer uma de suas matrizes associadas é nulo ou não nulo,

respectivamente.

2°) - A CNS para que um diádico seja simétrico (anti-simétrico), é que: ou a

sua matriz contravariante ou a co-variante associada seja simétrica (anti-

simétrica), ou que a sua matriz mista de certo nome seja igual à transposta

da matriz mista de nome contrário.

Pois, se a matriz co-variante (contravariante) associada ao diádico é simétrica, a

matriz contravariante (co-variante) correspondente é também simétrica; nesse caso, o vetor

do diádico, dado por ((023)1 ou (023)2, §09.04) é nulo e o diádico é simétrico. No caso das

matrizes mistas, se [ ] [ ] [ ] ji

i j T

j i , então j

ii

jj i

ij g g g g , donde T j

i ji g g ,

conforme (05),§09.01. As recíprocas são de demonstração evidente.

A demonstração para o caso de diádico anti-simétrico é análoga.

Notar que

Um diádico não é necessariamente simétrico (anti-simétrico), se qualquer

uma de suas matrizes mistas é simétrica (anti-simétrica)80.

3°) - O escalar do diádico tem a expressão geral E , : e pode ser

calculado pelas fórmulas

E ii

ii jk

jk jkjkG G ,

o que é garantido por ((01), §09.04).

4°) - Se um diádico é completo (incompleto), seu adjunto é completo

(incompleto); e reciprocamente, porque 3~ ( ) .

32

Os teoremas demonstrados no §08.01 permitirão caracterizar o diádico quanto ao seu

grau de nulidade. Assim, esse problema se reduz à caracterização do diádico ~

representado por uma de suas matrizes associadas. Na forma mista esta matriz é dada por

((08), §09.08), cujo elemento genérico é (notar a inversão da posição dos índices j e k):

k

jcomplemento algébrico de j

k em [

].

80 Essa questão será abordada mais a diante neste parágrafo. No § 04.01,A, III, fórmulas (10) e (11), esse

aspecto poderá ser observado no caso de diádico anti-simétrico; ou no § 04.01, B,III, Teor.4, no caso de diádico simétrico.



Na forma co-variante, a matriz associada a ~

tem elemento genérico:

jk ( )g g g1 2 32 complemento algébrico de kj em [ ];

e na forma contravariante:

jk ( )g g g1 2 3 2 complemento algébrico de kj em [ ],

sendo:

~ jk

j k jk

j kg g g g .

Exemplos:

1) Se em determinada base (qualquer) a matriz contravariante associada ao

diádico (incompleto) é

.

36 1836

18 9 18

3618 36

)(][ então ,

524

282

42 5

][ 2321

ggg

2) Analogamente, se

.

6 6 3

221

6 6 3

)(][ então ,

563

2 3 1

664

][ 2321~

ggg

Para a caracterização dos diádicos planares, lineares e seus variantes aplicaremos os

critérios gerais listados a seguir.

Caracterização dos diádicos lineares.

Serão lineares todos os diádicos em cujas matrizes (qualquer uma delas) se constate:

1) a ocorrência de apenas duas filas (linhas ou colunas) paralelas nulas;

2) a ocorrência de uma fila nula, paralela a duas outras proporcionais;

3) a ocorrência de três filas paralelas proporcionais.

Deve ser observado que em todas as matrizes associadas a um mesmo diádico

(linear) verifica-se um dos casos acima citados. Assim, por exemplo, se em uma das

matrizes duas colunas são nulas, numa outra as colunas poderão ser proporcionais.



Exemplos:

1)

3 6 6

2 2

3 6 6 1 1 1

1

1 1 1

1 1 1, ,

matrizes com três filas paralelas proporcionais;

2)

1

1

1

,

0 2

1 0 2

0 0 0

0 2 2

0 1

0 1

,

matrizes com uma coluna nula, paralela a duas outras proporcionais;

3)

0 0 2

0 0 1

0 0 3

0 0 2

0 0 0

0 0 0

,

,

matrizes com apenas duas colunas paralelas nulas.

Caracterização dos ortolineares.

Estes diádicos são lineares (caso anterior) e têm escalar nulo.

Exemplos:

1) - o de matriz mista

211

000

422

][ , numa base qualquer.

2) - o de matriz co-variante

[ ]

12 18 12

0 0 0

6 9 6

,

na base de métrica co-variante

[ ] .G

2 2 1

2 5 1

1 1 2



Com efeito, pois, sendo: [ ] [ ] [ ] G

. , e

[ ] [ ]G G

1 19

9 3 3

3 3 0

3 0 6

,

encontramos:

E ij

jkG

1

912 9 18 3 12 3 6 3 9 0 6 6) 0( .

Notar que [ ] tem uma linha nula, as duas outras paralelas proporcionais, e traço

não nulo (veja final do § 09.04).

3°) - Analogamente, é ortolinear o diádico de matriz co-variante

000

000

031

][

,

na base de métrica co-variante idêntica à do exemplo anterior. Observa-se novamente, pela

análise de [ ] , que o diádico é linear, mas seu escalar (um invariante) não é traço de

[ ] (que vale - 1); pois: E jk

jkG 0, conforme ((01), § 09.04).

Caracterização dos planares.

Relativamente à sua matriz associada (qualquer uma delas) caracterizam-se estes:

1°) - pela ocorrência de uma fila de coordenadas nulas e as outras duas filas

paralelas não proporcionais; caso em que um dos vetores do motivo do diádico (§ 02.07) é

o vetor nulo e os outros dois não são paralelos;

Exemplo:

3 0 0

A 3 0

B C 0

,

2°) - pela ocorrência de apenas duas filas paralelas proporcionais, caso em que

apenas dois dos vetores do motivo são paralelos.

Exemplos:

2 0

0 3 0

2 2 1

1

1 0 1

1 1 3

1 0 1

2 1 1

2 1 1

2 2 1

, , .



3°) - pela ocorrência de uma fila que é uma combinação linear das outras duas; caso

em que os três vetores do motivo são coplanares, mas não paralelos.

Exemplos:

4 6 6

1 3 2

3 6 5

, (a terceira linha é igual à metade da primeira subtraída da segunda);

0 2 3

10 6 5

5 4 4

, (a terceira linha é igual à semi-soma das duas primeiras).

Caracterização dos uniplanares e dos unilineares

Observemos inicialmente que, conforme Corol. 2, Teor. 4, § 04.02: todo diádico

planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear); mas existem diádicos uniplanares que não

são simétricos. Além disso, se a matriz mista associada a um diádico é simétrica (anti-

simétrica) o diádico não é simétrico (anti-simétrico) necessariamente. Assim se {a,b,c} e

{a*,b*,c*} são bases recíprocas e )N( bccb , com

[ ] ,

0 0

0 0

0

0

N

N 0

T

, não obstante ser [ ] [ ] .

T Analogamente, se com )N( bccb

[ ] ,

0 0

0 0

0

0

N

N 0

T

, não obstante ser [ ] [ ] .

T Isto se justifica porque as matrizes associadas são

as mista.

Entretanto se um diádico estiver representado pela sua matriz contravariante, ou por

sua matriz co-variante, a constatação de sua uniplanaridade poderá ser feita pela simples

verificação da unilinearidade do seu adjunto. Com efeito, a unilinearidade de um diádico

dado por sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, é constatada pela

condição de que qualquer uma dessas matrizes tenha todos os elementos nulos, exceto um,

e apenas um, pertencente à diagonal principal.



Exemplo:

Digamos que a matriz contravariante de (na base {g1,g2,g3}) seja

[ ] .

3 0 0

1 3 0

0 0 0

Que é planar é obvio, porque uma das filas (linha ou coluna) é nula e as outras duas não

são proporcionais. O adjunto de , ,~

porém, tem matriz co-variante

[ ] ,

0 0 0

0 0 0

0 0 9

isso é, ~

, 93 3

g g diádico obviamente unilinear. Logo, é uniplanar (Corol.4, Teor.2, §

08.01). Deve ser observado ainda, neste exemplo, que, não obstante ser uniplanar, não é

simétrico:

3 3 3 31 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2g g g g g g g g g g g gT

.

Exercício:

Comprovar que é uniplanar o diádico que na base ortonormada {ijk} tem matriz

associada

[ ] .

ijk

0 0

0 0

0

sen

cos

sen cos

,

e especificar seus planos.

Caracterização dos ortoplanares.

O ortoplanar é caracterizado por ter adjunto ortolinear (Corol.4,Teor.1,§ 08.01).

Exemplos:

1°) [ ] , ] .

1 2

10 5

5 4

[

5 2 5

25 10 25

15 6 15

~

3

5

5



A matriz mista [ ]

~ tem três filas proporcionais e tem traço nulo; logo, o diádico

~ é

ortolinear e, portanto, é ortoplanar.

2) [ ] ] .~

0

0

0 0

A 0

B C 3

, (A 0); [

0 0 0

3A 0 0

AC 0 0

A matriz [ ]

~ tem apenas duas colunas nulas (por hipótese A0); logo

~ é diádico

ortolinear porque é linear e tem escalar nulo (nesse caso o traço de [ ]

~ é o escalar de

~

).

3) - O diádico de matriz co-variante [ ] ,

4 2 4

4 2 4

5 4 5

na base de matriz métrica

co-variante [ ] ,G

2 2 1

2 5 1

1 1 2

é diádico ortoplanar. Porque, sendo

[ ] [ ]

~

6 0

0 0

6 6

6

0

0

,

e kjjk~ gg , tem-se:

E

~ jk

jkG 6 2 6 2 6 1 6 1 0,

isso é, o adjunto de é ortolinear (é linear e tem escalar nulo); logo, é ortoplanar. (Notar

que o traço de [ ]~

é -6 e não representa o escalar de ~

).

Os diádicos antitriangulares e sua caracterização.

Vimos (Corol.1, Teor.7, § 05.04) que se um diádico é ortoplanar e tem escalar

nulo, existe uma base ortonormada { , , }i j k em relação a qual fica reduzido a uma forma

tal, que:

jkj..kiki..kiji..j ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ( TTTT

e reciprocamente. Então, nessa base - em que i é do plano dos conseqüentes de T, k é do

plano dos antecedentes e j é o vetor unitário da interseção desses planos, a matriz (única)

associada a T é:



[ ]

,

T T

T T

0 0 0

0 0

0

j. . i

k. . i k. . j

(01),

donde

[ ]

,

0

0 0

0 0 0

i. . j i. . k

j. . k (02).

Definição: (diádico antitriangular)

Em vista de (01) e (02), o diádico ortoplanar de escalar nulo será

denominado diádico antitriangular81 ; a esse nome poder-se-á acrescer o

vocábulo "superior" ou "inferior" quando se pretender especificar a posição

do triângulo de elementos não nulos, em relação à diagonal principal.

Exemplos:

1°) - Se em certa base (qualquer), [ ] ,

0

2

2

1 0

2 2

3 2

o diádico correspondente,

, é antitriangular. Que E 0 é evidente; provemos que é ortoplanar. Temos:

81Justifica-se o nome porque as clássicas matrizes triangulares são aquelas que apresentam elementos todos nulos situados apenas de um dos lados da diagonal principal.

[ ] ,

2 2

0 0 0

2 2

2

2

isso é, ~

, o adjunto de , é ortolinear (linear de escalar nulo); logo, é ortoplanar.

2°) - O diádico de matriz co-variante [ ]

1 2 2

3 1 1

6 2 2

na base de métrica co-

variante

[ ]G

1 2

2 1

1 5

2

1

2

é antitriangular.



Com efeito, [ ] ] [ ][ ] .G

9 5

7 6 4

5 4 3

, e [ G

0 1 1

1 0 0

1 0 0

7

Sendo

[ ] ] ,

T ~

0 1 1

1 0 0

1 0 0

e [

0 0

1 1

1 1

0

0

0

vê-se que ~

é ortolinear (linear de escalar nulo), isso é, é ortoplanar. Mas E 0;logo

é antitriangular. Se pusermos

)22(63

3212

3211

gggrgggr

32

2

11ggs

gs

escreveremos: iisr (i=1,2), o plano dos antecedentes sendo ortogonal ao plano dos

conseqüentes ( 21 rr é ortogonal a ) 21 ss . Denotando por i k e os unitários das

normais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de , respectivamente, podemos

comprovar, não sem algum trabalho, que:

.22ˆ

,17

2ˆˆˆ

),71012(17

1ˆ

321

1

321

gggk

gikj

gggi

Então, em relação a {, , }i j k , a matriz de é:

016

0017

21000

17

4

0ˆˆˆˆ

00ˆˆ

000

][ ijk

j..ki..k

i..j

, pois: 17

84ˆˆ i..j , 17

24ˆˆ i..k , 17

4ˆˆ j..k .

*

Exercício:

Se M=ajej=A

ijeiej é um diádico de Moreira: A

12A

23A

31=A

21A

13A

32; e reciprocamente.

Mostrar, então, aplicando a condição ((02), §03.03), que o diádico de matriz contravariante

associada

433

653

631

,

em relação à base {e*}, é um diádico de Moreira.

§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 210


§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de

variáveis escalares.

Uma equação vetorial de três variáveis escalares (§ 03,I), do tipo

a b c oX + Y + Z = , (01),

onde a, b e c são vetores dados não paralelos (logo, não nulos) e independentes das letras

X, Y e Z, é dita uma equação homogênea. As letras X, Y e Z, cujos valores estão a

determinar, são ditas as incógnitas da equação; um conjunto delas que torne (01) uma

identidade é dito o conjunto solução de (01).

Obviamente, toda equação homogênea admite a solução X = Y = Z = 0; esta é

denominada a solução nula ou trivial de (01). Uma CNS para que (01) apresente solução

diferente da trivial é que os vetores a, b e c sejam coplanares, conforme ((043),§ 03.02,I).

Se os vetores a, b e c são coplanares e não paralelos existem infinitos conjuntos

solução para a equação (01), nenhuma incógnita sendo nula. Quando dois quaisquer dos

vetores são paralelos a equação (01) padece de certa singularidade, não muito relevante.

Uma equação homogênea em que os três vetores são paralelos implica, necessariamente, a

solução indeterminada. Com efeito, a equação seria da forma (AX+BY+CZ) a = o, com A,

B e C constantes; logo, AX+BY+CZ = 0, isso é, X, Y e Z indeterminados.

Procuremos inicialmente uma solução essencialmente geométrica para a equação.

O plano dos vetores a, b e c é um subespaço do espaço tridimensional, bastando dois

dos vetores, digamos a e b, para caracterizá-lo. Designando por a* e b* os seus recíprocos

- ambos facilmente determináveis (§ 03.02,I) - podemos multiplicar escalarmente ambos os

membros de (01) por esses vetores e transpor termos para obtermos, sucessivamente:

)Z(Y-)Z(X-

c.bc.a

, (02).

Observemos por (01) que se um terceto (X,Y,Z) é solução dessa equação, então

(MX,MY,MZ), M = número real arbitrário 0, é também solução da mesma. Isto significa

que, em (02), podemos atribuir um valor arbitrário a Z para obter qualquer um dos infinitos

tercetos solução da equação. Se, entretanto, impusermos que os números X, Y e Z

satisfaçam a determinada relação arbitrária,

F(X,Y, Z) 0, (03),

a equação (01) admitirá um número finito de soluções. Se (03) for uma relação linear a

solução de (01) será única.

Podemos abordar a solução geométrica de (01) de outro ponto de vista. Indexando as

letras, podemos escrever a equação na forma:

a a a a o1

1

2

2

3

3

i

iX + X + X X , (04),



sendo

( ) .a a a1 2 3 0

Se x é um vetor que em relação a uma base {g1,g2,g3} tem coordenadas Xi, escrevemos:

x g x.g X , donde, Xi

i

i i (05).

Logo, (04) pode ser escrita na forma:

a g .x a g .xi

i

i

i( ) ( ) 0.

Pondo-se

a gi

i3

, com 0, (06),

resulta a expressão diádica equivalente a (04):

.x o= . (07).

Assim:

Toda equação vetorial homogênea de três variáveis escalares, do tipo (04),

pode ser representada, em relação a uma base virtual, por uma equação do

tipo (07), onde: 1º) o diádico , planar, tem por antecedentes os vetores da

equação (04); 2º) o vetor x, a incógnita, tem por coordenadas, naquela base,

os coeficientes Xi em (04).

Posto que, então, seja diádico planar - no caso com antecedentes dependentes - a

incógnita x de (04) é transformada num vetor do plano dos antecedentes. O adjunto de ,

linear, usado como pós-fator, transforma qualquer vetor r de E3 num vetor ortogonal ao

plano dos antecedentes de (Teor.1,§ 08.04); porém, usado como pré-fator, transforma

qualquer vetor num dos infinitos vetores solução de (07). Com efeito, temos, lembrando

((11),§ 08.01) e que 3 = 0:

. . r . r r o( ) ( . ) .~ ~ 3

Então qualquer vetor paralelo a ~

. r é solução de (07) e, portanto, de (04).

Temos, ainda:

~ ),()(

2

1))((

2

1jik

ijk321ji

ji aaggggaagg (08),

e

~

m. g 1

2( ) (

1 2 3 ijk

i j m kg g g a a g g ) .



Um vetor paralelo a ~

m. g é, então, por exemplo:

x. g

g g g

~

m

1 2 3( )

1

2(

ijk

i j m k a a g g) .

Ora, se n é unitário da normal ao plano dos antecedentes de podemos escrever o número

(aiajgm) na forma |ai||aj|sen(ai,aj) n .gm; logo:

x g a a a a n.gk i j i j m| || |sen( , )( ) (i j k 1,2,3). 82

Então, um vetor solução de (07) é

xa a

ag

sen( , )

| | i j k 1,2,3,

i j

kk (09),

sendo x a a a n.g x| || || |( ) .3 m1 2

Procuremos, agora, uma solução algébrica para a equação. Se pusermos, em relação

à base {g1,g2,g3}:

a g a a ai i

j

j 3, com ( ) 0, 1 2 (10),

o diádico será escrito na forma ((02),§ 09,08), e a equação (04) na forma:

i

j iX 0 (i, j 1,2,3), (11);

ou, na forma expandida:

1

1 1

2

1 2

3

1 3

1

2 1

2

2 2

3

2 3

1

3 1

2

3 2

3

3 3

X + X + X 0

X + X + X 0

X + X + X 0,

(12).

Em (12) temos um sistema de equações lineares, homogêneas, cujo determinante é nulo

porque a matriz do sistema, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores ai na

base {g1,g2,g3}, é:

82Observar que não se aplica, aqui, a convenção somatória porque os índices repetidos estão todos no mesmo nível.



[ ]

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

, e

| | 0.

Temos também:

[ ]T

1

1

1

2

1

3

2

1

2

2

2

3

3

1

3

2

3

3

, donde,

[~

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

] .

Pondo ((03).§ 09.08) na forma

~

k n

k n( g g ), (14),

e comparando esta expressão com (08), vemos que as linhas de [~

], representadas também

pelos vetores kng

n em (14), são proporcionais entre si porque os vetores ji aa em (08)

são todos ortogonais ao plano dos antecedentes de (e, portanto, paralelos)83. Isto, aliás,

também já sabíamos (§ 09.09) porque ~

é linear.

Como ~

.gm é paralelo ao vetor solução do sistema, de (14) deduzimos:

~

m m

k

k ,. g g

isso é: qualquer coluna de [~

] é paralela ao vetor solução.

Resulta, então, facilmente, a seguinte regra para a determinação da solução de (12):

já tendo escrito a matriz []T, as coordenadas do vetor x, solução do sistema,

são os complementos algébricos dos elementos de uma qualquer de suas

colunas.

Exemplo numérico.

Seja resolver o sistema homogêneo, de determinante nulo:

1X +1X + 0X 0

+9X + 3X + 6X 0

+8X + 0X + 4X 0,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(15).

83Isto comprova um clássico teorema: "Em todo determinante nulo os complementos algébricos dos elementos de uma fila são proporcionais aos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela".



Tem-se logo:

[ ] ,T

9 8

1 3 0

0 6 4

1

donde, considerando a terceira coluna, por exemplo:

{ } [xT

9

0 6

1 9

1 3 6 12] 6 [1 1 2],

1 3

0 6

16

vetor solução do sistema.

Verifiquemos a proporcionalidade das colunas de [~

]:

2ª coluna:

{ } [

x

T

8

0 4

1 8

1 0 4 8] 4 [1 1 2];

1 0

0 4

14

1ª coluna:

{ } [

x

T

8

6 4 9 8

3 0 12 24] 12 [1 1 2]

3 0

6 4

912

sendo, obviamente, x x x| | | | , todos soluções de (14).

Similarmente podem ser resolvidos os sistemas:

1X +1X + 0X 0

9X +1X + 6X

8X + 0X + 6X

3X +1X + 0X

9X +5X + 6X

8X + 0X + 2X 0,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

0,

0

0 (16).

É fácil, agora, analisar certas particularidades já aludidas no início deste parágrafo.

No caso em que b c a a| | | | (ou )2 3 por exemplo, deduzimos resultados análogos com

algumas particularidades não muito relevantes. Assim, as duas últimas linhas de []T são

proporcionais, o que acarreta a primeira linha de [~

] com elementos nulos. Então, o vetor

solução tem como primeira coordenada o número zero, sendo, pois, solução da equação,

qualquer vetor do plano (g2,g3).

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. 215


No caso em que os três vetores são paralelos, todas as linhas de []T são

proporcionais ( é linear) e todos os elementos de [~

] são nulos (~

= ), resultado que,

aliás, já conhecíamos (Corol.2,Teor.2,§ 08.01). Nesse caso, então, um vetor solução é o

vetor zero (que corresponde à solução trivial). Por outro lado, se escrevermos: ai = uAi,

então,

.x o u g .x (A ) ,i

i

isso é, pondo

u.gu.aga ii

ii )(A ,

deduzimos:

( ) 0.u. .x

Logo:

Se (g1g2g3)0, se = aigi é linear, e se u é o unitário que define a direção

dos antecedentes de , então qualquer x do plano ortogonal ao vetor û. é

solução da equação .x = o.

*

Exercício: Resolver o sistema

2X + 4X + 6X 0

X + 2X + 3X 0

3X + 6X + 9X 0.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

*

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial.

Para ampliar a harmonia do Cálculo Poliádico com o Cálculo Matricial é necessário

definir novas operações para este último visando a tradução das duplas multiplicações de

diádicos por meio das matrizes que lhes são associadas84.

Definição: (duplo produto pontuado de duas matrizes)

Chamaremos duplo produto pontuado de duas matrizes A e B, de mesmas

ordens, e o representaremos por A : B, o número que se obtenha somando-se

todos os produtos dos seus elementos correspondentes.

84 Uma ampliação dessa operação será feita no § 06.02, IV.

§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. 216


Assim, se A e B são de ordem M x N e têm elementos genéricos correspondentes Aij e Bij,

então:

[A] [B] A B A B A B ... A Bi ji j

1111

1212

MNMN: , (01).

A dupla multiplicação pontuada matricial é a operação que tem por fim

determinar o duplo produto pontuado de duas matrizes. É uma operação sempre possível e

unívoca, e goza das mesmas propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos.

Particularmente, lembrando ((01),§ 09.04), tem-se:

][Tr][Tr]G[][]G[][]G[][][][

:::G: , (011).

Escrevendo

i ji j i j

i j ji

ij

i j i

j e e e e e e e e

temos, por definição de norma de um diádico (§ 07.02):

|| || i j

i j j

i

i

j: , (01),

isso é:

A norma de um diádico vale a soma dos produtos de suas coordenadas

correspondentes de nomes contrários.

Em termos matriciais escrevemos:

|| || [ ] ] [ ]

[ [ ]

: : , (011);

então:

A norma de um diádico - um número sempre positivo - é igual ao duplo

produto pontuado de suas matrizes associadas de nomes contrários85.

Ž

Surge espontaneamente a necessidade da definição de uma operação entre matrizes

quadradas 3 x 3, de resultado matriz quadrada 3 x 3, que pudesse representar a matriz

associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos a partir das matrizes 3 x 3 associadas

aos diádicos fatores.

85Quando o espaço das matrizes é referido a bases ortonormadas, a operação de dupla multiplicação de uma matriz por si própria - que define a norma dessa matriz - caracteriza esse espaço como euclidiano.

Consideremos a expressão geral ((03), § 07.01) que dá o duplo produto cruzado de

dois diádicos e em função deles próprios (de seus transpostos e de seus escalares) e de

I:

E

TTTE

TE

TTTTEE

)(++ ...

(02).

§ 10.01 - Espaço diádico. 217


Ora, o elemento genérico da matriz associada a é a soma dos elementos

correspondentes das matrizes associadas aos vários diádicos parcela, EE , TT . etc.

Pondo j

i

i

j

j

i

i

j e e e e e , deduzimos de (02),

js

si

j

iEEj

i

j

i) () ( .e.e

i

s

s

j

E i

j

E i

j

n

m

m

n

i

j , (021).

A segunda parcela em (021), i

s

s

j , representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima

coluna do produto [ ]

T

T[ ]

. . Analogamente, a terceira parcela, i

s

s

j , representa o

elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [ ]

T

T[ ]

. . A última parcela é

representada por ( ] [ [ ] )[ ]

T

: . Então, lembrando ((031), § 09.02):

T

T

T

T EE

][][][][] [ ..

) ][ ][ (][][

T E

T E : , (03).

Portanto:

A matriz mista de certo nome associada ao duplo produto cruzado de dois

diádicos se expressa em função de operações com as matrizes mistas de

nome contrário associadas aos seus transpostos.

§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS.

§ 10.01 - Espaço diádico.

O conjunto de todos os diádicos, , etc., criados dentro da Geometria Euclidiana,

para os quais estão definidas as operações de multiplicação por número real e de adição,

como no § 02.02 e no § 04, respectivamente, a primeira operação gozando das

propriedades:

...,AA...)A(

...,BA...)+B+A(

,AB)()A(B

, 1

e a segunda, das propriedades

,)(

,

,

),()(



constitui um espaço linear montado sobre a Geometria Euclidiana. Por serem diádicos os

seus elementos, chamá-lo-emos também de espaço diádico86. Esse espaço, entretanto, não

pode conter as figuras em geral da Geometria Euclidiana, nem o espaço dos vetores.

O conjunto dos diádicos lineares e unilineares, planares e uniplanares (§ 03.01),

formam espaços diádicos particulares (subespaços) dentro da Geometria Euclidiana.

Para os conceitos que serão emitidos a seguir faltará provisoriamente o importante

suporte da interpretação geométrica com o qual vínhamos respaldando a teoria; quando for

possível esta interpretação, ela poderá ser extremamente complexa (ver § 10.03 e

seguintes). A teoria será, então, exposta em forma essencialmente algébrica, mantendo

espetacular analogia com as teorias vetoriais, até que se introduzam novos conceitos

geométricos.

Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos.

Dados G diádicos i, podemos ordená-los e dispô-los mentalmente em ordem cíclica

positiva (horária) nos vértices de um G-ágono regular. Interessa-nos pesquisar a existência

de G números Mi, não simultaneamente nulos (nsn), com os quais possamos constituir a

combinação linear desses diádicos: iiM .

Escrevamos cada um dos diádicos i, por hipótese gerados do E3, em relação às

bases vetoriais recíprocas {e*} e {e*}, nas formas trinomial e cartesiana mista87 (co-

variante /contravariante) seguintes :

i ik

k a e , (i = 1, 2, ..., G e k = 1, 2, 3), (01),

e

i

j

i k j

kA e e , (i = 1, 2, ..., G e j, k = 1, 2, 3), (02),

a cada diádico i estando associada a matriz 3 x 3

[ ] i

1

i 1

1

i 2

1

i 3

2

i 1

2

i 2

2

i 3

3

i 1

3

i 2

3

i 3

A A A

A A A

A A A

, (021).

Temos, também, evidentemente, partindo da expressão iiM :

j G: ( Mj i

i1 0,2,... , ) : , (03).

A combinação linear em referência é, então, relativamente às (01), equivalente ao sistema

homogêneo de 3 equações vetoriais,

86 Na linguagem da Álgebra Linear, o espaço diádico é um "espaço vetorial" cujos "vetores" são diádicos.

87 É evidente que poderíamos escrevê-los também nas formas cartesianas duplamente co-variantes e duplamente contravariantes.



M M M M

M M M M

M M M M

1 2

21

3

31

G

G1

1 2

22

3

32

G

G2

1 2

23

3

33

G

G3

a a a a o

a a a a o

a a a a o

11

12

13

...

...

... ,

(011),

ou, relativamente às (02), ao sistema linear homogêneo de 9 equações algébricas,

A M A M A M ... + A M

A M A M A M ... + A M

.

.

A M A M A M ... + A M

1

1 1

1 1

2 1

2 1

3 1

3 1

G 1

G

1

1 2

1 1

2 2

2 1

3 2

3 1

G 2

G

3

1 3

1 3

2 3

2 3

3 3

3 3

G 3

G

0

0

0,

. (022),

ou, ainda, relativamente às (03), ao sistema de G equações algébricas lineares,

( )M ( )M ( )M ... + ( )M

( )M ( )M ( )M ... + ( )M

.

.

( )M ( )M ( )M ... + ( )M

1 11

1 22

1 33

1 GG

2 11

2 22

2 33

2 GG

G 11

G 22

G 33

G GG

: : : :

: : : :

: : : :

0

0

0

.

,

(031).

A esses sistemas podemos associar, respectivamente:

1) - a matriz 3 x 9, de elementos vetores, cuja i-ésima coluna é formada com os

antecedentes dos diádicos i:

a a a a

a a a a

a a a a

11 21 G1

12 22 32 G2

13 23 33 G3

31 ...

...

...

, (013);

2) - a matriz numérica 9 x G,

A A A A ... A

A A A A ... A

A A A ... ... A

... ... ... ... ... ...

A A A A ... A

A A A A ... A

1

1 1

1

2 1

1

3 1

1

4 1

1

G 1

1

1 2

1

2 2

1

3 2

1

4 2

1

G 2

1

1 3

1

2 3

1

3 3

1

G 3

3

1 2

3

2 2

3

3 2

3

4 2

3

G 2

3

1 3

3

2 3

3

3 3

3

4 3

3

G 3

, (023),



cuja i-ésima coluna, imaginada dividida essa matriz em três blocos horizontais de três

linhas cada um, tem para elementos do primeiro bloco os elementos correspondentes da

primeira linha da matriz (021) associada a i, para elementos do segundo bloco os

elementos correspondentes da segunda linha dessa matriz, e para os do terceiro bloco os da

terceira linha; 3) - a matriz G x G

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... ...

( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ... ( )

1 1 1 2 1 3 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 1 G 1 2 G 3 G 1 G

G 1 G 2 G 3 G G

: : : :

: : :

: : : :

: : : :

... ... ...

1

, (032).

Definições: (matriz associada e matriz métrica de G diádicos)

A matriz de elementos vetoriais aik, dada por (013) e a de elementos

numéricos dada por (023), ou suas transpostas, serão denominadas matrizes

associadas aos G diádicos. A matriz simétrica (032), de elementos i:

j será

denominada matriz métrica do conjunto dos G diádicos.

Examinemos o sistema vetorial (011) que representa combinações lineares entre os

correspondentes antecedentes dos i.

Imaginados os G vetores de cada uma das combinações dispostos co-inicialmente

num ponto O do espaço, algumas hipóteses relativas às eventuais singularidades

(coplanaridade e paralelismo) de grupos desses vetores podem ser aventadas:

1)- Se G = 2, os correspondentes antecedentes de 1 e 2 são paralelos.

Nesse caso os diádicos são ditos paralelos (e já foram definidos no § 02.02). Devemos

notar que esses diádicos podem ser completos (Fig. 10.01,a)), planares (Fig. 10.01,b)) ou

lineares.

2)- Se G = 3, os correspondentes antecedentes de 1, 2 e 3 são coplanares.



Nesse caso, como no anterior, os diádicos poderão ser completos, planares ou lineares.

Quando completos, definem uma estrela de (no máximo) 12 planos: três correspondentes a

cada diádico completo (no total, 9) e um correspondente a cada combinação (no total, 3),

Fig.10.02.

Diremos, por isso, que esses três diádicos são dodecaplanares ou, simplesmente,

12-planares.

Quando um, dois ou os três diádicos são incompletos a estrela definida tem,

respectivamente, 10, 8 e 6 planos no máximo; e os três diádicos são ditos decaplanares (ou

10-planares), octoplanares (ou 8-planares) e hexaplanares (ou 6-planares).

Além disso, poderá acontecer também que dois dos diádicos, ou todos os três, sejam

paralelos. Nesse último caso os tercetos de antecedentes correspondentes estarão dispostos

segundo as arestas de um triedro desde que os três diádicos sejam completos (Fig.

10.03,a)); os três diádicos serão ditos triplanares (ou 3-planares).

Esses antecedentes poderão, ainda, estar dispostos segundo duas retas concorrentes,

ou segundo três retas concorrentes coplanares (Fig. 10.03,b)) se todos os diádicos forem

planares, caso em que serão ditos uniplanares.

Finalmente, esses vetores poderão estar dispostos segundo uma única reta se todos

os diádicos forem lineares, e os três diádicos serão ditos unilineares.



3)- Se G = 4, três casos gerais podem ocorrer (em cada uma das três combinações

lineares) com relação aos quatro antecedentes dos diádicos i:

a)- eles são não coplanares (Fig. 10.04,a));

b)- apenas três são não coplanares, o quarto vetor podendo ser paralelo a

um dos planos definidos pelos anteriores (Fig. 10.04,b)), ou, mesmo, ser paralelo a um dos

vetores anteriores (Fig. 10.04,c));

c)- os quatro vetores são coplanares, podendo ocorrer dois paralelos, dois

pares paralelos, três paralelos ou quatro paralelos.

Para a análise que será feita a seguir é oportuno observar de início que a cada

diádico completo estão associados 3 planos e a cada incompleto 1 plano. Portanto, se dentre

os 4 diádicos temos c completos e i incompletos, o número de planos da estrela de planos

por eles definido é 3 c + i.

Se em todas as três combinações ocorrer o caso a), cada combinação definirá C4

2 = 6

planos distintos em geral; logo essas combinações definirão, no máximo, 18 planos para a

estrela de planos correspondente. Se, além disso, dentre os 4 diádicos existirem i

incompletos teremos (4 - i) x 3 + i + 18 planos, isso é, (30 - 2 i) planos; os 4 diádicos

correspondentes serão ditos, por isso, (30 - 2i)-planares. Teremos, pois, nesses casos, 4

diádicos 30, 28, 26, 22 e 20-planares.

Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso b), cada combinação definirá 3

planos para a estrela, logo num total de 9. Se i dentre os quatro diádicos são incompletos, a

estrela terá, então, no máximo, (21 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (21

- 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 21,19, 17, 15 e 13-planares.

Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso c), cada combinação definirá 1

plano para a estrela, logo num total de 3. Se i dentre os quatro diádicos forem incompletos,

a estrela terá, então, no máximo, (15 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos,

(15 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 15,13,11, 9 e 7-planares.

Os casos em que G > 4 podem ser analisados analogamente, ficando bem evidente

as dificuldades de interpretação geométrica a serem encontradas.

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 223


Se dentre G diádicos de um conjunto existem i incompletos, o número de planos por

eles definido é no máximo 3 G - 2 i.

Se, ainda, em cada uma das três combinações lineares dos antecedentes dos diádicos

do conjunto, os G vetores que a formam são não coplanares, estarão definidos 3CG

2 novos

planos para compor a estrela de planos associada ao conjunto. Teremos pois, nesse caso,

um total de, no máximo,

3G - 2i + 3C32

G(G +1) -2iG

2

planos distintos na estrela do conjunto. Para um conjunto de 8 diádicos completos, por

exemplo, a estrela correspondente tem 84 planos.

Se, em geral, apenas G - P dos antecedentes correspondentes de cada uma das

combinações ( G - P > 2), e em todas as combinações, são não coplanares, estarão definidos

CG-P

2 planos para cada combinação linear dos vetores. Logo o número total de planos da

estrela será 3G -2i + 3C32

G(G +1) -2i - P(3G - P -1)G-P

2 , isso é, se G - P dos antecedentes

em cada combinação são não coplanares, o número total de planos da estrela diminui, em

relação ao caso anterior, de P(3G - P - 1).

Esses conjuntos de diádicos ainda constituem espaços diádicos dentro da Geometria

Euclidiana. Por apresentarem singularidades - multiplanaridade de grupos dos antecedentes

correspondentes (ou dos conseqüentes) de suas representações cartesianas – recebem a

denominação especial de multiplanos.

§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases

diádicas.

Os sistemas ((022), ou (031), § 10.01), representativos de um multiplano, têm nove

equações (porque nove são os elementos das matrizes (021) associadas aos diádicos) e G

equações, respectivamente; ambos têm G incógnitas, Mi. Seja P o grau do determinante

principal da matriz88 associada aos G diádicos i (matriz do sistema).

Se for P = G a matriz métrica ((032), § 10.01) dos G diádicos será regular e o sistema

(031) admitirá apenas as soluções nulas. Então:

Se a matriz ((023),§10.01) associada a G diádicos i, tem o principal do grau

G, ou se a matriz métrica de G diádicos i, (032), é regular, a combinação

linear iiM (i = 1, 2, ..., G) só é possível para os Mi simultaneamente

nulos.

Nesse caso diremos que os G diádicos são linearmente independentes no G-espaço a que

pertencem. Assim, no espaço diádico montado sobre o E3 existem, no máximo, 9 diádicos

linearmente independentes, cuja matriz métrica 9 x 9 é regular. Nos subespaços diádicos

88 Recordemos que o principal de uma matriz é o determinante não nulo da maior ordem que se pode extrair dessa matriz; o grau desse determinante é a característica ou o posto (rank, em inglês) da matriz.



(ou multiplanos) os diádicos linearmente independentes são em número G < 9, e as matrizes

métricas G x G de cada conjunto são regulares.

Se for G > P, isso é, se a matriz métrica dos G diádicos for não regular, haverá G - P

incógnitas não principais e o sistema admitirá outras soluções além das soluções nulas89.

Então:

Se a matriz (023) associada a G diádicos i tem o principal do grau menor

que G, ou se a matriz métrica de G diádicos i, (032), é não regular, a

combinação linear iiM (i = 1, 2, ..., G) é possível para os Mi não

simultaneamente nulos (e de infinitas maneiras).

Nesse caso os G diádicos serão ditos linearmente dependentes no espaço diádico a

que pertencem. Assim, no espaço diádico, 10 diádicos são sempre linearmente dependentes;

num multiplano onde G diádicos são independentes, G+1 serão sempre dependentes.

Definição: (base e dimensão)

Qualquer conjunto de G diádicos linearmente independentes de um espaço

diádico montado sobre o EN é dito uma base diádica desse espaço; e G - o

número máximo de diádicos linearmente independentes desse espaço - a sua

dimensão.

Notação: O espaço diádico de dimensão G, montado sobre o EN (espaço dos vetores,

de dimensão N, com N=1, ou 2, ou 3), será denotado por 2EG sendo GN

2; uma base de

2EG,

formada com os diádicos 1, 2, ... , G, será denotada por {*}.

Resultam demonstrados, então, os seguintes teoremas:

Teor. 1:

Uma CNS para que G diádicos de um espaço (G 9) formem uma base é que

o principal da matriz (de ordem 9 x G) associada a esses diádicos seja do

grau G.

Teor. 2:

O determinante da matriz métrica de uma base diádica pode ser considerado

um número sempre positivo.

Pois, se o principal da matriz métrica dos G diádicos inicialmente ordenados de uma

base for um número negativo - caso em que a base será dita negativa - poderemos

reordená-los de modo a que esse principal seja positivo. Para tal, bastará que troquemos de

posição dois quaisquer dos diádicos contíguos (pois o principal simplesmente trocará de

sinal); e a nova base será dita positiva.

Definição:

Norma de uma base {*} é o determinante de sua matriz métrica, e se

representa por ||*||. A raiz quadrada positiva da norma de uma base será

dita o seu módulo, e será representada por |*|.

89Qualquer sistema fundamental de soluções do sistema consta de G - P soluções.



Temos, então:

| | || || ,

sendo

|| ||

...

...

1 1 1

2 2 2

... ... ... ...

...

1 2 G

1 2 G

G 1 G 2 G G

: : :

: : :

: : :

(01).

*

Exercício 1:

Sejam e os ângulos dos vetores e1 e e2 respectivamente com o unitário i de dada

base ortonormada { ji ˆ,ˆ } de um E2. 1) – Identifique as condições para que as díades e1e1,

e1e2, e2e1, e2e2 constituam uma base para o espaço dos diádicos gerados desse E2 e

determine o sistema recíproco delas; 2) – Comprove, então, que o quarteto auto-recíproco

jjijjiii ˆˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ constitui uma base de diádicos unitários e ortogonais entre si para o espaço dos

diádicos gerados do E2.

*

Se {e*} e {e*} são bases vetoriais recíprocas do E3, as 9 díades

e e e e e e e e e e1

1

1

2

1

3

2

1

3

3 ... , , , , ,

- diádicos particulares (lineares) cada um com apenas uma díade - constituem uma base do

espaço diádico 9-dimensional. Com efeito, é impossível encontrar nesse espaço nove

números Aij não simultaneamente nulos, tais, que j

iij A ee (i,j=1, 2, 3). Observando que

podemos escrever Aijeiej=a

jej com aj=A

ijei, vê-se que para que A

ijeiej=, deve ser a

j=o para

qualquer j, o que é impossível, pois os Aij não são simultaneamente nulos. Então,

simbolicamente escrevemos:

{ },{ }

...

e e e e

e e : e e e e : e e e e : e e



|| ||

...

... ... ... ...

...

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

3

3

3

3

1

1

3

3

1

2

3

3

3

3

0, (02).

Ainda,

{ },{ }

...

e e e e




|| ||

...

... ... ... ...

...

11

11

11

12

11

33

12

11

12

12

12

33

33

11

33

12

33

33

0 , (021),



podendo-se também escrever, por analogia, expressões para ||e*e*|| e ||e*e*||. Resulta dessas

expressões,

| || | | || |e e e e e e e e

1 , (03).

Com efeito, no primeiro caso, por exemplo, o produto da j-ésima linha do i-ésimo bloco

horizontal do determinante (02) pela s-ésima coluna do r-ésimo bloco vertical do

determinante (021) para G=9 é

( )( )e e : e e e e : e e e e : : e ei

j

m

n m

n

r

s i

j 4 r

s i

r

s

j .

Então, todos os elementos do determinante produto serão nulos, exceto os pertencentes à

sua diagonal principal; e esse determinante é igual a +1.

*

Pelo simples fato de {e*} e {e*} constituírem bases recíprocas, qualquer conjunto de

G díades distintas dentre as 9 díades, sinteticamente denotados por {e* e*}, {e* e

*}, {e* e

*} e

{e* e*}, constituirão bases diádicas recíprocas do

2E9 (espaço diádico de 9 dimensões). De

fato, as matrizes associadas às díades do conjunto {e*,e*}, por exemplo, em relação às bases

vetoriais recíprocas são:

000000001

])[( 11ee ,

000000010

])[( 21ee ,

000000100

])[( 31ee ,

000001000

])[( 12ee ,

etc.. A matriz associada ao conjunto é a matriz unidade 9x9 cujo determinante é igual a um.

Exercício 2:

Comprovar que as mesmas matrizes acima indicadas são associadas às díades dos

demais conjuntos {e* e*}, {e* e

*}, {e

* e*}. Comprovar, ainda, que qualquer conjunto de G<9

díades de qualquer um dos conjuntos constitui base de um 2EG.

Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.

Fica também comprovado o seguinte

Teor. 3:

Se, num 2EG gerado do E3 (G9), é um diádico qualquer e { , , } 1 2 G ... ,

é uma base diádica qualquer, existe um e um único conjunto de G números

Mi tal, que = Mi

i (i=1,2,...,G):

, , , } , ( ,2, ... , ) { ... , E M i G R, G 91 G

3 i

2 1 = Mi

i (04).

Pois , , ,1 2 G ... , são G + 1 diádicos de um mesmo subespaço, logo,

linearmente dependentes. Então, existem números nsn,

A, N1, N2, ..., NG tais, que iiNA .

A 0 porque, do contrário, seria Nii = e todos os Ni deveriam ser nulos também (posto

que os 's constituem uma base). Mas isso é impossível porque A e todos os Ni não podem

ser simultaneamente nulos (eles são linearmente dependentes por hipótese). Logo,



N

AM

i i

i

i .

Os números Mi são únicos porque se existissem outros, M'i, teríamos:

iii )MM( Mas como os i são linearmente independentes (formam uma base) a

combinação implica que os coeficientes sejam todos nulos, isso é, Mi = M'i.

Com outras palavras diríamos:

Todo diádico de um 2EG pode ser representado como uma combinação linear

única dos diádicos de uma base desse espaço.

Definição: (coordenadas cartesianas)

Os G números Mi, únicos, que, na base diádica { , , } 1 2 G ... , de um 2EG,

determinam univocamente dado diádico do mesmo, são ditos as coordenadas

cartesianas desse diádico naquela base diádica (do 2EG). A expressão

= Mi

i é dita, então, a decomposição cartesiana do diádico na base

{ , , } 1 2 G ... , (do 2EG).

Esses conceitos generalizam a noção de coordenadas cartesianas de um diádico, já

definida no § 09, onde os "diádicos de base" eram as 9 díades e e e e1

1

1

2 ..., , .

Diádico posicional.

Sem muito esforço podemos conceber "geometricamente", por abstração, "pontos no

espaço diádico", cada ponto sendo definido por um "diádico posicional" em relação a uma

origem fixa, diádico esse que, em relação a uma "base diádica" do espaço, é definido por G

números (G 9), suas "coordenadas"90. O espaço diádico (de até nove dimensões) pode,

assim, ser concebido geometricamente tal como o espaço dos vetores (de até três

dimensões).

Teor. 4:

Se { , , } 1 2 ... , G é uma base diádica de um 2EG, e Ai são G números

dados, existe um e um só diádico desse espaço tal, que

Ai i i: : , (i = 1, 2, ..., G), (05).

Se é um diádico qualquer do 2EG em referência podemos escrever, pelo Teor. 2:

Mk

k , (k = 1, 2, ..., G), expressão na qual os Mk são as G coordenadas cartesianas de

, a determinar, na base { , , } 1 2 ... , G ; estas coordenadas, se existirem, são únicas.

Devemos ter:

i

k

i k = M : : , i, k = 1, 2, ..., G,

90 Esses conceitos serão mais formalmente expostos no §10.03 para os diádicos e generalizados no Cap. IV.



isso é,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

...

( ) ( ) ( ) ,

1 1

1

1 2

2

1 G

G

1

2 1

1

2 2

2

2 G

G

2

G 1

1

G 2

2

G G

G

G

M M ... M

M M ... M

M M ... M

: : : :

: : : :

: : : :

ou, em forma matricial, considerando que Ai i: :

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 G 2 G G

1

2

G

1

2

G

1

2

G

...

... ... ... ...

...

M

M

...

M

A

A

...

A

: : :

: : :

: : :

:

:

:

...

....

, (051).

A matriz coluna das incógnitas está, pois, pré-multiplicada pela matriz métrica da base e

esta é regular. Logo, os G números Mk existem e são univocamente determinados; serão

simultaneamente nulos ou não conforme os Ai forem, respectivamente, todos nulos ou não.

Corol. 1:

Se { , , } 1 2 ... , G é uma base diádica de um espaço, e Aij são G2 números

dados, existe um e um só conjunto de diádicos desse espaço,

{ , , } 1 2

... ,G

tal, que

j

i

j

i A: (i,j = 1, 2, ..., G), (06).

Pois, agora, escreveríamos a equação matricial (051) na forma

[ ] [ ] [ ]E M A

. , (061),

onde [M**] é a matriz quadrada das incógnitas (coordenadas dos diádicos j) e [A**] é a

matriz quadrada formada pelos números dados. Como [E**] admite inversa, [M**] está

univocamente determinada, isso é, os diádicos j estão determinados.

Corol. 2:

A CNS para que G diádicos j de um 2EG constituam uma base desse

espaço é que, sendo { , , } 1 2 ... , G uma base qualquer do mesmo,

0]det[A] det[ ij

ij : para i,j = 1, 2, ..., G.

A proposição é evidente por (061) porque [E**] admite inversa; e para que [M**]

também admita (CNS para que os diádicos j constituam uma base), basta que também

[A**] admita inversa; e nesse caso A** será o módulo da base.



Bases diádicas recíprocas.

Teor. 5:

Se { , , } 1 2 ... , G é uma base diádica de um 2EG, existe uma e apenas uma

base { , , } 1 2

... ,G

nesse mesmo espaço, tal, que

i

j j

i : (i, j = 1,2, ..., G), (07),

os ij sendo os deltas de Kronecker.

Pois, se em (061), A j

i

j

i , então [ [ [A ] I] e [M ] E ]

1 .

Definições: (bases diádicas recíprocas)

As bases diádicas { , , } 1 2 ..., G e { , , } 1 2

...,G

de um espaço, que

representaremos respectivamente por { } e { }

, e cujos diádicos

satisfazem (07), serão denominadas bases diádicas recíprocas do espaço em

referência. Os diádicos de bases recíprocas, de mesmos índices (em níveis

diferentes), serão ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.

Nota: Por (07) vemos que cada diádico de uma base é ortogonal (§ 07.02) a todos os diádicos não homólogos da base recíproca. A questão da ortogonalidade de diádicos, entretanto, será tratada de um modo mais geral no parágrafo seguinte.

Teor. 6:

São inversas as matrizes métricas de bases diádicas recíprocas; logo, essas

bases são ambas positivas, ou ambas negativas.

Pois, pelo Teor. 5, a matriz métrica da base recíproca de { , , } 1 2 ... , G seria

[M**] que é inversa de [E**].

A matriz métrica da base { , , } 1 2

... ,G

será representada doravante por [E**],

sendo, pois,

[ ] [ ] [E E I]G

G

G

G

G

G

. , (071).

Por (071) concluímos que as bases recíprocas têm o mesmo sinal uma vez que o

determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes

fatores, isso é, det[E**].det[E**

]=1.

•

Como visto (Exercício 2), qualquer um dos conjuntos {e* e*}, {e* e

*}, {e* e

*} e {e

*

e*} – de G díades distintas - definidos por vetores de duas bases vetoriais recíprocas no E3,

podem ser consideradas bases de um subespaço diádico G-dimensional. Mas a recíproca de

uma dessas bases não se obtém substituindo-se simplesmente em cada díade, antecedentes e

conseqüentes pelos correspondentes vetores recíprocos das bases vetoriais recíprocas a que



pertencem. Assim, a base recíproca de {e1e1, e1e

2, e1e

3} não seria {e

1e1, e

1e2, e

1e3} como

poderia parecer. Embora sejam verdadeiras as relações

e e : e e e e : e e e e : e e e e : e e e e : e e1

1 1

1 1

2 1

2 1

3 1

3 1

1 1

2 1

1 1

31 0 e ...

as díades e1e1, e

2e1 e e

3e1

não pertencem ao subespaço de e1e

1, e1e

2 e e1e

3. Com efeito, a

díade e1e1, por exemplo, por pertencer a um

2E3, é perpendicular a apenas duas das díades

de base do 2E9 cuja base é {e*e

*}, e não às outras seis. Demonstraremos isso de uma forma

geral por um corolário do seguinte

Teor. 7: (decomposição cartesiana em bases diádicas recíprocas)

,{ } { } ) ) e : = ( ( (i = 1,2, ..., G)i

i i

i: : , (08).

Podemos escrever, conforme Teor. 1: = Mi

i . Então, por dupla multiplicação de

ambos os membros pelos diádicos do sistema recíproco dos {*}, vem:

M M j i

i

j i j

i: : ( ) ,

donde, somando:

Mj j

: , (09).

Substituindo este valor de Mj na expressão do diádico, encontramos uma primeira

expressão da tese. Podemos determinar a segunda expressão analogamente.

Corol. 1:

Num espaço não existe diádico não nulo que seja simultaneamente ortogonal

a todos os diádicos de uma base desse espaço.

Pois se existisse tal diádico todas as suas coordenadas, dadas por (09), seriam nulas e

esse diádico seria o diádico nulo, o que é absurdo.

Notas: 1ª) - O Corol. 1 do Teor. 7 diz, com outras palavras, que se alguns diádicos de uma base de um espaço constituem base de um espaço de dimensão menor (o que é sempre possível), os diádicos da base recíproca do primeiro espaço não têm haver com os diádicos da base recíproca do segundo. Esta mesma observação já foi feita em relação aos vetores recíprocos no plano e no espaço (§ 03.03, I). 2ª) - Nos espaços diádicos tridimensionais não são válidas, em geral, fórmulas análogas às deduzidas no § 03.03 do Cap. I para o cálculo dos sistemas recíprocos, isso é,

para I,j,k=1,2,3,… kijk321ji )(

kijk321ji )(

, (10),

ou, conforme (04), § 07.06, 321321 )( : , e

)( )( 321ijkkji , )()( 321ijkkji , (101).

Estas fórmulas são verdadeiras, entretanto, se os diádicos são lineares (por exemplo, do tipo e1e2, e2e3, e3e1, ou e1e1, e2e2, e3e3 etc.), caso em que seus adjuntos são nulos. Isso, entretanto, não implica que o adjunto de todo e qualquer diádico desse espaço seja o diádico nulo.

3ª) – Ainda nos espaços tridimensionais, para : 3,2,1k j, i, C e B ,A kk

jj

ii



321

321

321

321BBBAAA )(

,

321

31

321

321CCCBBBAAA

)() ( (102),

fórmulas essas que serão válidas apenas quando os diádicos de base forem lineares. Vamos generalizar esses conceitos mais à frente (§ 11 e 13).

Exercício 3:

Comprovar que

:

cos ( , ) cos ( , )

cos ( , )

cos ( , ) cos ( , )

cos ( , ) ...

cos ( , ) cos ( , )

cos ( , )

1

11

2

22

GG

GG

1 21.

Constituição de bases.

Os teoremas a seguir fornecem um meio pelo qual poderemos efetuar a

decomposição cartesiana de um diádico ndada base diádica de um espaço.

Teor. 8:

Constitui base de um espaço G-dimensional o conjunto de diádicos obtido

substituindo-se qualquer diádico de uma base pelo seu correspondente

recíproco.

Sejam as bases recíprocas {*} e {*} e, por exemplo, o conjunto {1, 2, ..., G}. A

matriz métrica desse conjunto,

1 1 1 1

1

1

: : :

: : :

: : :

...

... ... ... ...

...

2 G

2 2 2 2 G

G G 2 G G

...

,

é regular. De fato, todos os elementos da primeira linha são nulos, exceto o da primeira

coluna. Então, desenvolvendo o determinante dessa matriz pelos elementos dessa linha,

concluímos que ele é igual ao produto da norma de 1 pelo determinante da matriz métrica

do conjunto de G - 1 diádicos da base {*} em que não figure o diádico 1. Mas esse

conjunto constitui uma base de um subespaço G - 1 dimensional; logo, o determinante de

sua matriz métrica é não nulo, e a matriz considerada é regular. Então, o conjunto {1, 2,

..., G} constitui uma base.

Corol. 1:

Num espaço diádico é sempre possível constituir uma base diádica a

partir de uma base dada, substituindo-se um, dois etc. diádicos dessa

base por diádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos.

Teor. 9: Todo diádico de um espaço G-dimensional pode ser decomposto numa soma

de J + 1 diádicos, um deles perpendicular a J < G outros não paralelos.

Sejam as bases recíprocas {*} e {*} de um espaço diádico G dimensional. Pelo

Corol. 1 do Teor. 8, constitui uma base desse mesmo espaço o conjunto formado por J < G



diádicos quaisquer de {*} (logo, não paralelos), digamos 1,2, ..., J, com os G - J outros

não homólogos da base {*} (aos quais 1,2, ..., J são perpendiculares).

Mas do espaço, existem números M1, M2, ..., MJ, MJ + 1, ..., MG, tais que

M M ... M + M ... M1

1

2 J

J J 1

J 1

G

G

2

ou seja,

M M ... M1

1

2 J

J2,

expressão na qual , sendo uma combinação linear de diádicos perpendiculares a 1,2, ...,

J, é também perpendicular a 1,2, ..., J (§ 07.02, Exercício 1); e o teorema fica, assim,

demonstrado.

Teor. 10: Os 9 diádicos de uma base de um espaço diádico qualquer não podem ser

todos simétricos, nem todos anti-simétricos.

Pois, se T , M i

i, então T i

iT

iM ( ) . Se os diádicos de base

fossem todos simétricos, ou todos anti-simétricos, seria, correspondentemente, T , o

que é absurdo.

Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).

Se {e1,e2} e {e1,e

2} são bases recíprocas num E2, a todo vetor desse espaço podemos

associar uma matriz coluna de duas linhas em relação a cada uma dessas bases. Dessas

bases vetoriais podemos gerar (Exercício 1) as bases diádicas recíprocas {e*e*} e {e*e

*},

bem como {e*e*} e {e

*e*} para referir os diádicos do

2E4 gerados do E2. Aos diádicos do

2E4

poderemos associar matrizes 2x2 cujos elementos sejam as coordenadas cartesianas do

diádico em relação às bases vetoriais escolhidas; ou associar matrizes colunas de quatro

linhas em relação às bases diádicas, bastando convencionar um modo de dispor essas

coordenadas nas matrizes. Assim, para

jiij ee , ji

ij ee , ji

ij ee ou j

ij i ee , i,j=1,2, (11),

escreveremos, conforme já convencionado:

e][ ,

e][ etc..

Agora, por convenção, vamos escrever:

,

,

21

12

22

1

etc., (111),

ou

T }{ etc., (112).



As mesmas considerações podem ser feitas em relação às bases vetoriais {e*} e {e*} do E3

e aos diádicos de 2E9 gerados de E3. Assim, se nas (111) considerarmos i,j=1,2,3

escreveremos, por convenção:

T }{ , seguindo Voigt, (113);

ou, usando a notação mais moderna:

T }{ , (114).

É evidente que existem as demais fórmulas análogas.

Pode ser mais cômodo, por outro lado, escrever-se

u

uuu com u=1,2, ...,9, (12),

desde que se substituam os pares de índices ij por um único, u, segundo algumas

convenções; por exemplo:

11/1, 22/2, 33/3, 23/4, 13/5, 12/6, 32/7, 13/8, 21/9, (segundo Voigt) (121),

ou a mais moderna,

11/1, 22/2, 33/3, 12/4, 23/5, 13/6, 21/7, 32/8, 13/9, (122).

Nesses casos é mais prático o uso da notação

T }{ , (123),

mas é preciso especificar a convenção adotada (se (121) ou (122)). Para as coordenadas co-

variantes escrevemos, analogamente:

T }{ (124);

e para as mistas:

...}{ T

e , ou ...}{ T

, (125).

É necessário, entretanto tomar-se certo cuidado para não confundir nestas representações

aos coordenadas duplas com as mistas porque nem sempre as bases vetoriais ou diádicas

utilizadas são ortonormadas (ver Exercício 1).

Bases no espaço diádico simétrico.

O espaço diádico simétrico é o espaço cujos diádicos são simétricos, um subespaço

do espaço diádico. Em relação a uma base definida pelas díades constituídas com os vetores

de uma base vetorial arbitrária, nove diádicos simétricos quaisquer, i, podem ser

representados na forma contravariante kjjk

ii A ee (j,k=1,2,3), sendo kj

ijk

i AA para



qualquer i=1,2, ...,9. Por estarmos tratando de diádicos simétricos, poderíamos representá-

los, também, pelas coordenadas co-variantes. Em ambos os casos (e apenas nestes casos) as

matrizes associadas devem ser simétricas (§ 09.09). Dispondo as coordenadas desses

diádicos em linhas, a matriz 9x9 a eles associada,

33 9

32 9

12 9

11 9

33 3

12 3

11 3

33 2

21 2

13 2

12 2

11 2

33 1

32 1

31 1

23 1

22 1

21 1

13 1

12 1

11 1

i

AA.........AA

...

A.........AA

A.........AAAA

AAAAAAAAA

e , (13),

tem a segunda coluna igual à quarta (pois Ai12

=Ai21

, ...), a terceira igual à sétima (pois

Ai13

=Ai31

, ...) e a sexta igual à oitava. Logo a característica dessa matriz é, no máximo igual

a seis, o que significa que "o espaço dos diádicos simétricos tem, no máximo, seis

dimensões"; ou, ainda,

"uma base no espaço diádico simétrico é qualquer conjunto de seis

diádicos (simétricos) linearmente independentes".

Com essa diminuição de dimensão torna-se prático adotar a representação de Voigt para as

coordenadas dos diádicos simétricos. Esta representação consiste em se substituírem os

pares de índices por um único, conforme o esquema de Voigt em que os índices 7, 8 e 9 em

(121) podem ser substituídos por 4, 5 e 6, respectivamente, em vista da igualdade das

coordenadas correspondentes; assim, 333 4,23 2,22 5,13 6,12 ,111 . Nesse caso, a

matriz (13) assume uma forma mais simples:

3 9

4 9

6 9

1 9

3 3

6 3

1 3

3 2

6 2

5 2

6 2

1 2

3 1

4 1

5 1

4 1

2 1

6 1

5 1

6 1

1 1

i

AA.........AA

...

A.........AA

A.........AAAA

AAAAAAAAA

e , (131),

mantendo ainda, evidentemente, o seu grau (9) e as igualdades dos três pares de colunas já

referidos.

A base vetorial {e*} é arbitrária. Os diádicos (simétricos) de representações

... ,2/)( ,... , ,23324222111

eeeeeeee (14),

provenientes de (12), constituem uma base arbitrária do espaço diádico simétrico; a sua

recíproca é constituída pelos diádicos

... ,2/)( ,... , , 23324222111 eeeeeeee (141).

De fato, pois a matriz 6x9 associada a eles,



00000A0A000A000A000A0A00000100000000000010000000000001

, com 21/A ,

tem característica 6 (seis). O principal (ou característico) correspondente, de valor A/2, é

formado pelas colunas 1, 5, 9, 6, 7 e 4 (foram eliminadas a segunda, a terceira e a oitava ).

Na base diádica {*}, definida por (14), a matriz coluna (com coordenadas

contravariantes) associada ao diádico simétrico i é, então, {i}T=[Ai

1 Ai

2 ... Ai

6] usando,

digamos, a notação de Voigt. Então a matriz 6x6 associada aos 6 (seis) primeiros diádicos

(dentre os nove) i anteriormente considerados pode ser escrita, então (com a notação de

Voigt), na forma mais simples e compacta:

6 6

4 2

3 2

2 6

1 6

6 5

1 5

6 4

1 4

6 3

2 3

1 3

6 2

5 2

4 2

3 2

2 2

1 2

6 1

5 1

4 1

3 1

2 1

1 1

}{

A2...A2AAA

A2A

A2......A

A2......AA

A2A2A2AAA

A2A2A2AAA

][ , (15).

O característico dessa matriz é, então, do grau 6 no máximo; no §13 daremos a ele um novo

significado em função dos próprios diádicos i.

A base recíproca de (14) é obtida simplesmente elevando-se os índices em (14), ou

seja, simplesmente constituindo base análoga à (14) com a base recíproca de {e1e2e3}.

Notar que não é possível constituir bases simétricas com díades mistas.

O espaço diádico simétrico pode ter também seus subespaços, por exemplo, o

conjunto de todos os diádicos simétricos com uma característica especial qualquer;

digamos, aqueles com terceiro nulo, aqueles com escalar nulo etc.. Espaços diádicos

simétricos especiais podem ter dimensão menor que 6 (seis).

Bases no espaço diádico anti-simétrico.

Um espaço diádico anti-simétrico é aquele cujos diádicos sejam diádicos anti-

simétricos. Estes, quando representados na base das díades constituídas com os vetores de

uma base vetorial arbitrária {e*} do E3, só têm três coordenadas não nulas, pois, na forma

contravariante (por exemplo) kjjk

ii A ee (j,k=1,2,3), deve ser kj

ijk

i AA para qualquer

i=1,2, ...,9. A matriz coluna associada ao anti-simétrico i será, então,

{i}T=[0 0 0 A

4 A

5 A

6]

e a matriz 9x9 associada aos nove diádicos dispostos por linhas,



0A-...0A-AA0

.........

0

0

0...0...A0

0...0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

23 9

12 9

13 9

12 9

12 4

12 3

13 3

12 3

23 2

13 2

23 2

12 2

13 2

12 2

23 1

13 1

23 1

12 1

13 1

12 1

i e , (16),

tem a primeira, a quinta e a nona colunas nulas, o que, numa primeira instância, baixa a

ordem do seu característico para seis. Como a soma da segunda coluna com a quarta, a

soma da terceira com a sétima e a da sexta com a oitava não alteram o valor do

característico, concluímos que a ordem deste é três no máximo, uma vês que três novas

colunas nulas podem ser introduzidas no determinante associado à matriz. O característico

de (16) é, assim,

12 3

31 3

23 3

12 2

31 2

23 2

12 1

31 1

23 1

AAA

AAA

AAA

, (17).

Observando-se que o vetor do anti-simétrico i é (§09.04)

)AAA)((2 312i

231i

123i321iV eeeeee ,

vê-se que o característico é igual a um oitavo do produto da norma da base {e*} pelo

produto misto dos vetores dos diádicos (§04.03, I); e só se anularia se estes fossem

coplanares. Então, "o espaço dos diádicos anti-simétricos tem, no máximo, três dimensões",

ou, ainda,

"uma base no espaço diádico anti-simétrico é qualquer conjunto de três

diádicos (anti-simétricos) linearmente independentes".

Com a notação de Voigt, escrevemos:

0A-...0A-AA0

.........

0

0

0...0...A0

0...0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

0A-A-A0A-AA0

4 9

6 9

5 9

6 9

6 4

6 3

5 3

6 3

4 2

5 2

4 2

6 2

5 2

6 2

4 1

5 1

4 1

6 1

5 1

6 1

i e , (171),



Os diádicos representados na base {e*} do E3 por

2/)( e 2/)( ,2/)( 122133113223321 eeeeeeeeeeee , (18),

todos anti-simétricos, constituem uma base arbitrária do espaço diádico anti-simétrico; sua

recíproca é

2/)( e 2/)( ,2/)( 122133113223321 eeeeeeeeeeee , (181).

De fato, a matriz 3x9 associada aos diádicos (181),

00000A0A000A000A000A0A00000

,

com 21/A , tem característica 3 (três). O característico correspondente, de valor A/2, é

formado pelas colunas 6, 3 e 2. Na base diádica {*}, definida por (05), a matriz associada

aos 3 (três) diádicos i anteriormente considerados (i=1,2,3) pode ser escrita, então, com a

notação de Voigt, na forma mais simples e compacta

2

AAA

AAA

AAA

][6

35 3

4 3

6 2

5 2

4 2

6 1

5 1

4 1

}{

, (19).

Deve ser observado que não é possível constituir base anti-simétrica com díades

mistas ((§09.01).

O espaço diádico anti-simétrico pode ter também seus subespaços, logo, com dimensão

menor que 3; por exemplo, o conjunto de todos os diádicos anti-simétricos cujos vetores

fossem coplanares (caso em que o característico (171) seria do segundo grau).

Resultados análogos, mutatis mutandis, podem ser deduzidos para os diádicos anti-

simétricos gerados com vetores do E2, em relação a uma base (e1,e2}, caso em que esse

espaço tem dimensão 1 e bases recíprocas 2/)( 1221 eeee e 2/)( 1221eeee .

Bases diádicas ortonormadas.

As bases diádicas de módulo 1 são ditas unimodulares. Quando os diádicos de uma

base unimodular são mutuamente ortogonais e têm módulo 1, caso em que a sua matriz

associada é a matriz unidade G x G, essa base e dita ortonormada.

Resta considerar a representação de diádico simétrico em base diádica simétrica

construída à partir de um terceto de unitários triortogonais { kji ˆ,ˆ,ˆ }. Nesse caso, o conjunto

correspondente a (14) é da forma:

),ˆˆˆ(2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ,ˆˆ ,ˆˆ ,ˆˆ ijjikiikjkkjkkjjii (20),

base esta, ortonormada. Em relação a estas bases desaparece a diferença entre coordenadas

contravariantes, co-variantes e mistas (§09.01).

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 238


Analogamente, devemos considerar a representação de diádico anti-simétrico em

base diádica anti-simétrica construída à partir de um terceto de unitários triortogonais

{ kji ˆ,ˆ,ˆ }. Nesse caso, o conjunto correspondente a (18) é da forma:

kijjijkiikijkkj ˆ

2

1)ˆˆˆ(

2

1 ,ˆ

2

1)ˆˆˆˆ(

2

1 ,ˆ

2

1)ˆˆˆˆ(

2

1 (21),

base esta, também ortonormada.

*

Exercício: Comprovar que a base

),ˆˆˆ(2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ),ˆˆˆˆ(

2

1 ,ˆˆ ijjikiikjkkjkkjjkkjjii (201),

alem de simétrica é ortonormada.

*

§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico.

Biflechas.

Um espaço diádico (montado sobre a Geometria Euclidiana) é, pois, qualquer

reunião de diádicos; existem infinitos deles. Denotaremos os espaços diádicos pelos

símbolos 2EG,

2E'G,

2SG etc.. Para que em um espaço diádico se concebam novas figuras

euclidianas – as quais comporão a Geometria Diádica – é necessário ampliar, por força

exclusiva da imaginação, as idéias primárias de ponto, reta, plano e espaço91. Assim,

postularemos e existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços

(G9) ou hiperplanos que são regiões definidas por um, dois, três, quatro, ...,

G+1 pontos dados (isso é, qualquer outro ponto da região está de algum

modo ligado aos primeiros), tendo dimensões zero um, dois, ... G.

Para destacar a dimensão, G, de um espaço diádico usaremos ainda a notação 2EG,

2E'G etc., como no (§ 07.07).

Qualquer que seja o diádico , /|| tem norma +1, logo módulo + 1 (§ 07.07); tais

diádicos são chamados unitários e são representados (como os vetores) por ˆ||/ .

Num espaço diádico de dimensão G (§ 10), com G9, as G coordenadas de um diádico

unitário são necessariamente, em módulo, números menores que a unidade. Por isso

mesmo, as coordenadas de um diádico unitário são denominadas co-senos diretores da

“hiper” direção desse diádico (no seu G-espaço). Assim, com um grau de abstração um

pouco mais elevado, um diádico de um G-espaço pode ser imaginado representado

graficamente por uma "biflecha livre" – uma seta com origem e duas ponteiras na

extremidade – apresentando uma "hiper” direção; e um "comprimento" que, na mesma

escala adotada para representar os vetores, represente o seu módulo (a distância entre a

91 Seguiremos parcialmente a orientação de Sommerville, D. M. Y., An Introduction to the Geometry of N Dimensions, Dover, New York, 1958.



origem e a extremidade). Assim, as biflechas livres, ou simplesmente flechas, num 2EG

poderão ser "aplicadas" (com origem) num ponto qualquer do (seu) espaço.

Para G=1 as flechas só estão definidas sobre o suporte (único) do espaço; para G=2,

as flechas estão definidas num (único) plano, mas são livres nesse plano; e assim por diante.

Independência de pontos e bases.

Os G+1 pontos que definem um 2EG serão sempre arbitrariamente numerados a

partir de zero. Se R<G, um 2ER – que é determinado por R+1 dentre os G+1 pontos dados –

está inteiramente contido no 2EG. Da mesma forma, para RG, R desses pontos não podem

estar contidos num mesmo 2ER-2. Com efeito, porque R-1 dos pontos dados – que

determinam o 2ER-2 considerado – juntamente com os G+1-R pontos restantes deveriam ser

suficientes para determinar o espaço todo; o que é absurdo, pois o total de pontos para tal

seria (G+1-R)+(R-1)=G, e não G+1.

Definição:

Um sistema de R+1 pontos (de um 2ER), R quaisquer deles não contidos num

mesmo 2ER-2, é denominado um sistema de pontos linearmente

independentes.

Consideremos um sistema de G+1 pontos independentes e os G diádicos definidos

com origem no ponto zero e extremidades nos demais pontos. Dois quaisquer desses

diádicos (definidos por R=3 pontos independentes, origem inclusa) não são paralelos

porque, do contrario, as suas origens comuns e suas extremidades deveriam ser três pontos

colineares (e os pontos dados não seriam independentes). Três quaisquer desses diádicos

(definidos por R=4 pontos independentes) não podem ser coplanares porque, se fossem, os

R pontos pertenceriam a um plano (e os pontos dados não seriam independentes). E assim

sucessivamente.

Consideremos as biflechas ordenadas 1, 2, ..., G de uma base de um 2EG aplicadas

co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O. As extremidades (pontos) 1, 2, ..., G

dessas flechas juntamente com o ponto origem O0, constituem um sistema linearmente

independente de G+1 pontos. Dois quaisquer desses pontos e o ponto 0 não podem ser

colineares, pois, do contrário, os diádicos correspondentes seriam paralelos e não poderiam

compor a referida base. Três quaisquer desses pontos e o ponto 0 não são coplanares

porque, do contrário, os três diádicos correspondentes estariam contidos num plano e não

poderiam compor uma base. E assim sucessivamente.

Logo:

Num 2EG (G9) é sempre possível constituir-se uma base com um sistema de

G+1 pontos linearmente independentes; vice versa, com uma base de um 2EG

é sempre possível constituir-se um sistema de G+1 pontos linearmente

independentes desse espaço.

União e interseção de espaços.

Consideremos agora dois espaços diádicos, 2ER e

2ES, o primeiro determinado por

R+1 pontos, o segundo por S+1. Se estes espaços forem "físicos", que sejam, então, de

grandezas de mesma dimensão, isso é, ambos de tensões, ambos de deformações etc..



Se 2ER e

2ES não têm ponto comum, a união dos dois apresenta R+S+2 pontos

independentes que determinam um 2ER+S+1. Se R+S+1>G,

2ER e

2ES terão necessariamente

uma região de dimensão X em comum, definida por X+1 pontos independentes. Como essa

região comum rouba X da dimensão de 2ER e X da de

2ES, a determinação de

2ER e

2ES

requer R+1-(X+1)+(S+1)-(X+1)=R-X+S-X pontos adicionais independentes. O total de

pontos independentes para a determinação de 2EG é, pois, X+1+R-X+S-X=R+S-X+1, com

os quais se determina um 2ER+S-X. Podemos então enunciar:

Se um 2ER e um

2ES têm X+1 pontos em comum (ou um

2EX em comum) eles

estão contidos num 2ER+S-X; se não têm ponto em comum, ambos estão

contidos num 2ER+S+1.

Assim, por exemplo, à união de dois 2E que têm um ponto em comum (X=0) corresponde o

"espaço diádico soma dos espaços dados", de dimensão R+S. Vejamos como interpretar a

questão do ponto de vista algébrico. Representemos por 0 o ponto comum aos dois espaços

e em cada um deles imaginemos traçadas as flechas de base co-iniciais em 0. Um diádico

de qualquer um desses espaços é uma combinação linear dos respectivos diádicos de base.

Como é impossível expressar um diádico de uma base pelos diádicos da outra base (eles

pertencem a espaços de dimensões diferentes), a união deles é um diádico expresso em

função de R+S diádicos independentes de um novo espaço (de dimensão R+S): o espaço

soma, que poderá estar contido ou não no 2EG. Se o espaço estiver contido em

2EG diremos

que 2ER e

2ES são complementares em

2EG.

Para o caso em que G=9 (o espaço considerado é todo o espaço diádico),

enunciamos:

Se um 2ER e um

2ES estão contidos em

2E9 e R+S+1>9, eles têm em comum

um 9-SR2 E (ou R+S-8 pontos em comum); se R+S<9 eles não têm ponto em

comum.

Se um 2ER e um

2ES tiverem X+1 pontos em comum, diremos que eles se

interceptam segundo um 2EX; se não tiverem pontos em comum (X+1=0), diremos que

eles se interceptam segundo um 2E-1 (espaço de dimensão –1, definido por zero pontos, um

espaço vazio). Se R+S=9 e 2ER e

2ES estão contidos em

2E9 eles são complementares em

2E9.

*

Exemplos:

1) – No caso particular de dois espaços diádicos simétricos, com a mesma dimensão

(§10.02), isso é, R=S=6 (cada um definido por 7 pontos), tem-se R+S>9 (12>9); então os

dois espaços têm 6+6-8=4 pontos em comum, ou, o que é mesmo, eles se interceptam

segundo um 2E3. Esse subespaço

2E3, devendo ter por base (um terceto de) diádicos

simétricos, é simétrico necessariamente.

2) – Tal como no caso anterior, para dois espaços diádicos anti-simétricos, também

com a mesma dimensão (§10.02), isso é, R=S=3 (definidos por 4 pontos cada), tem-se

R+S<9 (6<9); e os dois espaços não têm ponto comum ou não se interceptam.

3) – Um espaço diádico simétrico (R=6) e um anti-simétrico (S=3) são

complementares no 2E9 (e têm necessariamente um ponto em comum).



4) – Sejam: R=5 e S=7. O 2E5 é definido por 6 pontos; o

2E7 por 8 pontos. Logo o

espaço soma tem 12 pontos. Como estão contidos no 2E9 (definido por 10 pontos) existem 4

pontos em excesso, isso é, os espaços têm um 2E3 comum.

Exercício:

Demonstrar que três espaços diádicos anti-simétricos têm uma reta comum.

*

Graus de liberdade de um espaço diádico.

Seja dado um 2EP contido num

2EG. O

2EP é dado por P+1 pontos, cada ponto tendo

P graus de liberdade, isso é, estão dadas (P+1)P condições que definem o 2EP. Mas, em

relação ao 2EG, os P+1 pontos de

2EP devem ser definidos por P+1 diádicos, cada um com G

coordenadas, requerendo, pois, um total de (P+1)G condições. Como G>P, restam (P+1)(G-

P) condições; dizemos:

o número de condições para determinar-se um 2EP contido num

2EG é

(P+1)(G-P).

Exemplo:

Em Elasticidade, o número de condições para determinar-se um "estado plano de

deformações ou de tensões" (caso P=3, porque o espaço dos diádicos planares simétricos

tem dimensões92), é, então: (3+1)(6-3)=12.

Isto porque o espaço das tensões planas (por ser tridimensional) deve ser definido

por 4 pontos e cada um desses é definido por um diádico do 2E6 (espaço dos diádicos

simétricos), requerendo, pois, 4x6=24 coordenadas (ou condições). Por outro lado, como os

4 pontos do 2E3 dos diádicos planares simétricos tem 4x3 graus de liberdade e, estando

dado, já foram dadas 12 das 24 condições necessárias. Restam, pois, 24-12=12.

Podemos esclarecer a questão de dois pontos de vista: 1) – O estado plano de

deformações, por ter três dimensões, é determinado por quatro pontos independentes. Como

cada ponto nesse espaço requer três coordenadas para a sua fixação, necessitaremos um

total de 12; 2) – Dentre os 36 elementos que compõem a matriz associada a 6 diádicos

(simétricos) candidatos a uma base (do estado de deformações ou tensões), apenas 12 deles

são independentes, todos os demais sendo combinações destes. O grau do principal da

referida matriz é 3 e seus 9 elementos são definidos por relações entre 12 números.

92 A linguagem da Teoria da Elasticidade é ligeiramente diferente da do Cálculo Poliádico. Lá falamos de estado plano de tensões; aqui falamos de espaço uniplanar de tensões (porque o diádico de tensões é planar simétrico).

*

Se o 2EP em referência, contido num

2EG, tem apenas R+1 pontos conhecidos - logo,

contém um 2ER e são necessários ainda P-R outros pontos para determiná-lo - o número de

graus de liberdade desse espaço é (P-R)(G-P); então podemos enunciar:

O número de graus de liberdade de um 2EP, contido num

2EG, que passa (ou

contém) um 2ER, é (P-R)(G-P).

§ 10.04 – Ordem no espaço diádico. II-242


Exemplo 6:

O número de graus de liberdade de um estado plano de tensões (de três dimensões,

P=3), contido no estado pleno das tensões (G=6), estado plano esse que, ainda, contém

certo estado duplo de tensões (R=2) é 6. Um "estado duplo" de tensões é um estado plano

de tensões com a particularidade de ter uma das coordenadas sempre nula.

*

O teorema anterior (para G>P>R) pode ser enunciado também da seguinte maneira:

O número de condições para que um 2EP, contido num

2EG, passe (ou

contenha) um 2ER, é (R+1)(G-P).

Se um 2ER pode deslocar-se num

2EQ, ele tem (R+1)(Q-R) graus de liberdade. Então,

O número de condições para que um 2EP e um

2EQ, ambos contidos num

2EG,

se interceptem num 2ER, é (R+1)[(G-P)-(Q-R)],

o que implica G-PQ-R. Se for G-P<Q-R eles se interceptam numa região de dimensão

P+Q-9 que é maior que R.

§ 10.04 – Ordem no espaço diádico.

Embora a idéia de movimento não seja de índole geométrica, usamos comumente

em Geometria o termo "ponto corrente" com o intuito de representar um ponto que possa

mover-se pelo espaço (eventualmente sobre uma reta, sobre um plano etc.). A

transformação de uma figura muitas vezes é também (inadvertidamente) relacionada com

uma "movimentação rígida" de uma mesma figura pelo espaço. Essas "idéias mecânicas"

são substituídas pelos conceitos de ordem (ou seqüência) e congruência, a cada um

correspondendo um grupo de axiomas os quais não serão aqui apresentados.

Vamos estender ao espaço diádico os conceitos de ordem da Geometria ordinária.

Um ponto divide uma reta em duas semi-retas, mas não divide um plano; uma reta

divide um plano em dois semi-planos, mas não divide o 3-espaço; um plano divide o 3-

espaço em dois semi-espaços mas não divide um 4-espaço; e assim sucessivamente.

Se A1 e A2 são dois pontos de uma reta, eles determinam um segmento que consiste

do conjunto de todos os pontos P dessa reta encontrados na seqüência A1PA2 (ou A2PA1).

Os pontos dividem a reta em três partes, numa primeira parte correspondendo a ordem

PA1A2 (ou A2A1P), numa segunda A1PA2 (ou A2PA1) e, na terceira, A1A2P (ou PA2A1).

Os três pontos não colineares A1, A2 e A3 de um plano determinam três retas que

formam um triângulo cujos lados são os segmentos A1A2 (ou A2A1) etc.. Se A12 representa

algum ponto do segmento A1A2, o interior do triângulo consiste de todos os pontos P

encontráveis na seqüência A3PA12 etc. sobre o segmento A3A12. Assim, os três pontos

dividem o plano em 7 regiões (tantas quantas são a soma das combinações de três

elementos tomados um a um, dois a dois e três as três): uma região interior, uma sobre cada

um dos lados e uma sobre cada um dos vértices.

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. 243


Analogamente podem ser separadas as 12CCCC 444

34

24

14 regiões definidas

por quatro pontos não coplanares, mantendo-se as nomenclaturas clássicas: vértices, lados,

faces.

É evidente, em face do exposto, a caracterização de regiões nos espaços de dimensão

G maior que três, no total de 2G+1

-1. No espaço diádico, chamaremos (como em Geometria

N-dimensional) simplex, ou ainda, um (G+1)-ponto, a figura formada por: CG+11=G+1

pontos independentes, de que são os vértices; os CG+12 segmentos definidos, de que são os

lados; os CG+13 planos definidos, de que são as faces, os CG+1

4 3-espaços definidos, de que

são os 3-espaços etc..

É evidente, face ao exposto, que as extremidades 1, 2, ..., G dos G diádicos

ordenados 1, 2, ..., G de uma base de um G-espaço, aplicados co-inicialmente num ponto

arbitrário O, definem, juntamente com O, um simplex (nesse espaço). Eixos de origem O,

construídos com a mesma escala, e orientados segundo as ponteiras dos diádicos

constituirão um sistema cartesiano natural de referência nesse espaço, sistema esse que

poderá, arbitrariamente, ser denominado positivo (ou negativo).

§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico.

Direção e orientação.

Um sistema de retas num plano, com um ponto comum, é denominado um feixe de

retas; o ponto comum fica determinado por duas quaisquer das retas do feixe. Um sistema

de pontos, com uma reta comum, é denominado uma pontilhada; a reta comum é definida

por dois quaisquer dos pontos da pontilhada. Feixe de retas e pontilhadas são figuras duais.

Um sistema de retas no espaço, com um ponto comum, é denominado uma estrela

de retas, seu dual é um sistema de pontos com um plano comum (um sistema

bidimensional).

Retas todas paralelas a uma mesma reta têm, também, um elemento comum: uma

direção, que é determinada de forma única por duas quaisquer das retas. Uma direção e um

ponto determinam uma única reta. Uma direção e dois pontos determinam um único plano,

pois a direção e um dos pontos determinam uma reta e esta reta e o segundo ponto

determinam o plano. Analogamente, duas direções juntamente com um ponto determinam

unicamente um plano. Por conseguinte uma direção assume o papel de um ponto na

determinação de retas e planos

Duas direções, por si sós, não determinam um plano, apenas a orientação de um

plano. Assim, uma orientação e um ponto determinam unicamente um plano. Se forem

dadas as orientações de dois planos, a interseção deles terá uma direção determinada; isso é,

duas orientações determinam unicamente uma direção. Por conseguinte uma orientação

assume o papel de uma reta na determinação de planos e pontos. Duas retas somente

determinam um ponto quando têm plano comum; duas orientações (em três dimensões)

sempre determinam uma direção. Assim, orientações se correspondem com retas com

plano comum.

Pontos impróprios (ou no infinito).

Se associarmos a palavra direção com ponto impróprio ou ponto no infinito, diremos

que um sistema de retas todas paralelas a uma mesma reta têm um elemento comum: um

ponto impróprio, assim denominado para distingui-lo dos demais pontos da reta, que são



próprios. Da mesma forma, se associarmos a palavra orientação com reta imprópria ou no

infinito, diremos que planos paralelos a um mesmo plano têm um elemento comum: uma

reta imprópria para distingui-la das demais retas do plano, que são próprias.

Nestas condições um ponto impróprio num plano é a direção de alguma reta contida

nesse plano. A orientação determinada por duas direções contém essas direções; então, a

reta imprópria é determinada por dois pontos impróprios. Como duas retas de um plano

determinam a orientação desse plano, dois pontos impróprios quaisquer de um plano

determinam a mesma reta imprópria.

Muitos outros resultados podem ser deduzidos das proposições enunciadas. Assim,

um plano contém apenas uma reta imprópria; duas retas de um plano são paralelas se elas

têm um ponto comum com a reta imprópria desse plano.

Duas retas impróprias quaisquer sempre determinam um ponto impróprio; então

todas as retas impróprias têm um plano comum, o plano impróprio ou no infinito. Esse

plano contém ainda todas as orientações do espaço de três dimensões. O ponto impróprio de

uma reta e a reta imprópria de um plano são as interseções dessa reta e desse plano com o

plano impróprio, em um ponto (impróprio).

Extensão de conceitos.

Num 2EG existe um único

2EG-1 impróprio (ou no infinito). Diremos que dois

espaços, 2EG-1 e

2E'G-1 são paralelos se o

2EG-2 comum a ambos é um

2EG-2 impróprio, ou

seja, 2EG-2 é um elemento do

2EG-1 impróprio.

Dois 2E2 , sem pontos comuns, ambos contidos num

2E3, podem não ter nenhum

espaço impróprio e serão ditos oblíquos. Dois 2E3, sem pontos próprios comuns: 1) –

estando contidos no mesmo 2E4 , têm um

2E2 (plano) impróprio em comum; 2) – estando

contidos no mesmo 2E5, terão

2E1 (reta) imprópria comum; 3) – estando contidos num

2E6,

terão um 2E0 (ponto) impróprio comum; 4) – se eles não estão contidos num mesmo

2E6,

serão oblíquos. No caso 1) os espaços são ditos completamente paralelos; no caso 2), dois

terços paralelos e no caso 3), um terço paralelos.

No caso geral, dois espaços, 2EP e

2EQ, com PQ, por hipótese ambos contidos num

2EP+Q-R, interceptar-se-ão em geral num

2ER. Pois

2EP+Q-R é definido por P+Q-R+1 pontos,

existindo então, P+1+Q+1-(P+Q-R+1) pontos comuns, isso é, R+1.Mas não tendo pontos

(próprios) comuns, 2EP e

2EQ serão ditos (R+1)/Q paralelos se tiverem em comum um

2ER

impróprio. Como R+1 e Q são inteiros, espaços (R+1)/Q paralelos são ditos, em geral,

racionalmente paralelos.

*

Exemplo:

Considerados dois espaços diádicos tridimensionais (P=Q=3) que não têm ponto

comum: 1) – se eles estão contidos num mesmo 2E4 (R=2) e têm um

2E2 impróprio comum,

são “um paralelos”; 2) – se estão contidos num mesmo 2E5 (R=1), e têm uma reta imprópria

em comum são “2/3 paralelos”; 3) – se estão contidos num mesmo 2E6 (R=0), e têm um

ponto impróprio comum eles são “1/3 paralelos”; 4) – se eles não estão contidos no mesmo 2E6 (R=0) eles são oblíquos.93

*

93 Analisaremos essa mesma questão no §09,IV em relação ao espaço dos tetrádicos.



Ora, se 2EP e

2EQ, com PQ, estão contidos num

2EP+Q-R, eles têm pelo menos um

2ER-1 impróprio em comum porque, se eles se interceptam o

2ER comum a eles contém um

único 2ER-1 impróprio. Por conseguinte, para que dois espaços diádicos sejam paralelos, não

é suficiente que eles tenham certa dimensionalidade de pontos impróprios em comum; eles

precisam ter também nenhum ponto próprio em comum.

Paralelismo completo pode ocorrer entre espaços diádicos de um número qualquer

de dimensões menor que 9. Paralelismos parciais requerem um mínimo de dimensões.

Assim, meio paralelismo somente aparece pela primeira vez quando dois 2E2 (P=Q=2) estão

contidos num 2E4 e têm um

2E0 (R=0, ponto) impróprio comum. Um terço de paralelismo

não aparece entre espaços de dimensões menores que 6 (porque deveria ser Q=3(R+1) com

R>0). Em geral, o paralelismo de ordem (R+1)/Q, em que R+1 é primo com Q, requer

espaços de pelo menos 2Q-R dimensões, o que acarreta a existência de um 2EP e um

2EQ

contidos num mesmo 2EP+Q-R para PQ.

O paralelotopo.

Podemos, agora, procurar no espaço diádico as figuras correspondentes aos

paralelogramos e paralelepípedos do espaço dos vetores. Um 2E4 é definido por 4 diádicos

independentes (formando uma base), 1, 2, 3, 4, os quais, aplicados co-inicialmente em

um ponto arbitrário, 0, definem o 5-ponto (01234). Vamos construir um paralelotopo sobre

os quatro diádicos co-iniciais dados, tal como construímos um paralelepípedo sobre três

vetores. Contendo o ponto 0, um 2E5 tem: 4 (i.é., C4

3) 3-espaços, definidos por tercetos de

diádicos, 6 (C42) 2-espaços (planos), definidos por pares de diádicos e 4 (C4

1) 1-espaços

(retas), definidos por cada diádico. A cada um dos 4 vértices 1,2,3,4 corresponde um 3-

espaço oposto. Ao vértice 1 corresponde o 3-espaço oposto definido pelos pontos 0, 2, 3 e

4, que representaremos por (1-0234); os demais são: (2-1034), (3-1204) e (4-1230). Por

cada um dos 4 vértices 1, 2, 3, 4 podemos conduzir um 3-espaço paralelo ao respectivo

espaço oposto. Então o número de fronteiras do paralelotopo, de dimensão 3, é 2xC41=8.

O 3-espaço conduzido por 1, paralelamente ao seu oposto (0234), intercepta os 3-

espaços (0231), (0214) e (0134) segundo os 2-espaços (023), (024) e (034),

respectivamente. Esse 3-espaço intercepta também: 1) – o 3-espaço conduzido por 2,

paralelamente a (0341), segundo um 2-espaço paralelo a (034); 2) -–o conduzido por 3,

paralelamente a (0412) segundo um 2-espaço paralelo a (024); 3) – finalmente, o conduzido

por 4 paralelamente a (0123) por um 2-espaço paralelo a (023). Essas interseções

constituem 3 pares de 2-espaços paralelos.

A mesma análise de interseções pode ser feita em relação aos 3-espaços conduzidos

por 2, 3 e 4 paralelamente aos respectivos espaços opostos. No caso do 3-espaço conduzido

por 2, paralelamente a (1034), dentre os três pares de 2-espaços paralelos, interseções de

(1034) com (2034), (1024) e (1032), encontraremos apenas o par (04) repetido, significando

isto que dois novos planos paralelos a (034) foram encontrados, o que eleva o número de

pares de 2-espaços paralelos para 4. Prosseguindo essa análise, teremos encontrado tantos

grupos de 4 (22) 2-espaços paralelos quantos são os 2-espaços definidos pelos diádicos, ou

sejam, C42. Então: as fronteiras de duas dimensões do paralelotopo montado sobre os quatro

diádicos independentes formam C42 grupos de 2

2 2-espaços paralelos, ou sejam, 2

2x C4

2=24.

Por caminho semelhante, embora bem mais cansativo, poderíamos concluir que as

fronteiras de uma dimensão do paralelotopo em pauta formam C41=4 grupos de 2

3=8 1-

espaços paralelos (aos diádicos dados), ou sejam 23x C4

3=32.

§ 11.01 – Multiplicação cruzada. 246

II,§11.01

Finalmente, devemos considerar que 4 grupos de 23 retas paralelas cada um se

interceptam segundo 24 pontos, posto que por cada vértice devam passar 4 retas (uma

paralela a cada um dos diádicos) e que sobre uma reta não pode existir mais de dois vértices

(porque, do contrário, haveria diádicos de base paralelos); tais pontos são os vértices do

paralelotopo.

Esses resultados foram determinados, assim, para um 2E4. É possível demonstrar que

a quantidade de R-espaços fronteira de um paralelotopo de um G-espaço diádico é dado por

2G-R

xCGR. O número CG

R é a quantidade de R-espaços fronteira que passam por um vértice,

sendo, ainda, a quantidade de grupos existentes de R-espaços completamente paralelos. O

número 2G-R

é a quantidade de R-espaços completamente paralelos contidos em cada um

dos CGR grupos.

Para o espaço diádico podemos, então, montar o quadro apresentado abaixo.

Número de fronteiras R-dim de um paralelotopo de um G-espaço diádico: 2G-R CG

R

G \ R 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 Segmentos – diádico unilinear

2 4 4 Paralelogramos – Diádico linear

3 8 12 6 Paralelepípedos - Diádico anti-simétrico, uniplanar

4 16 32 24 8 Diádico de Argand

5 32 80 80 40 10

6 64 192 240 160 60 12 Diádico simétrico

7 128 448 672 560 280 84 14 Diádico antitriangular

8 256 1024 1792 1792 1120 448 114 16 Diádico planar

9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18

*

Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional.

Mais uma vez encontraremos operações com diádicos que guardam forte analogia

com umas similares já estudadas para os vetores e que poderão ser estendidas para os

"espaços vetoriais" abstratos da Álgebra Linear.

§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA.

PERPENDICULARIDADES.

§ 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla.

Já vimos alguns casos de existência de diádicos ortogonais (§ 07.02, § 10.02) mas

não pudemos, ainda, determinar em que condições e a quantos diádicos (no máximo) um

diádico pode ser perpendicular.

Consideremos uma base diádica {*} de um

2EG e uma base {

*} de um subespaço

2EV de

2EG (logo, V < G). Procurando (se é que existe) um diádico não nulo de

2EG, escrito

na forma Mi

i , com i=1, 2, ..., G, que seja perpendicular a 1, 2, ..., V, escrevemos,

para traduzir a hipotética ortogonalidade:

iijj M) (0 :V1,2,...,j :: , (01),

ou, equivalentemente, escrevendo as coordenadas dos diádicos em linha,

§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 247


1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

V 1 2 V G

1

2

G

...

... ... ... ...

...

M

M

...

M

0

0

...

0

: : :

: : :

: : :V

...

.

, (011).

A determinação do diádico requer, então, uma discussão em torno das possíveis soluções

do sistema homogêneo indeterminado (011), de V equações com G incógnitas, logo de

ordem de indeterminação G-V.

O grau do principal (ou posto) da matriz desse sistema, isso é, o grau de um

determinante não nulo de mais alta ordem que se possa extrair dessa matriz é V (porque,

por hipótese, os V diádicos formam uma base de um subespaço de 2EG).

Para V=G-1, o sistema terá G-1 equações (caso em que a ordem de indeterminação é

–1), suas soluções não nulas – as coordenadas de em relação à base {*} de 2EG – são

proporcionais aos menores do grau G-1 que se extraem da matriz dos coeficientes por

eliminação de uma coluna (a de elementos 1:

i,

2:

i, etc.) multiplicados pela potência de

(-1) cujo expoente é igual à ordem da coluna menos um. Então:

D D D ...

DL

1 2 3

G

G

=constante, (02),

sendo

G1G31G21G

G23222

G13121

1

...

............

...

...

D

:::

:::

:::

,

D

2

1 1 1 3 1 G

2 1 2 3 2 G

G 1 1 G 1 3 G 1 G

: : :

: : :

: : :

...

...

... ... ... ...

...

etc., (021).

Esse diádico assim determinado, ortogonal a diádicos 1, 2, ..., G - 1 de um 2EG-1,

pertence, evidentemente, ao 2EG.

Definição: (produto cruzado múltiplo de diádicos)

Denominaremos produto cruzado múltiplo de 2G-18 diádicos 1, 2, ...,

G - 1 de um 2EG-1 contido num

2EG, nesta ordem, e o representaremos por <

12...G - 1 >, o diádico do 2EG cuja representação cartesiana numa base

{*}, tenha coordenadas Mk dadas por (02), onde se faça L igual ao módulo

da base { }

, |*|, se ela for positiva (caso presente) e -|*| se ela for

negativa:

k

k1G321 D|| ...

, (k = 1, 2, ..., G) (03).



Então, podemos escrever o produto cruzado, referido a uma base positiva, na forma

do pseudodeterminante:

G1G21G11G

G12111

G21

1G321

...

............

...

...

|| ...

:::

:::

, (031),

convencionando-se desenvolvê-lo segundo Laplace pelos elementos (diádicos) da primeira

linha.

Por analogia com o espaço dos vetores, diremos também, por definição, que o

produto cruzado múltiplo de G-1 diádicos de um 2EG-1 é o "diádico–área" do paralelotopo

(§10.05) construído sobre esses diádicos, seu módulo sendo a "área do paralelotopo". Tal

diádico-área é perpendicular a todos os diádicos que definem o paralelotopo, tendo, pois,

uma direção bem definida no espaço diádico.

*

Particularmente, se fizermos em (031) i = i (i = 1, 2, ..., G - 1), isso é, para G - 1

dos diádicos recíprocos da base positiva {*}, a matriz (G-1)xG do sistema (011) é

01...000

00...000

..................

00...100

00...010

00...001

, (04),

o que implica

D = 0 = D = ... = D e D1 2 G 1 G | | ,

isso é,

G1G21 || ... , (05);

a fórmula (05) generaliza (10), § 10.02. Então:

Um diádico qualquer de uma base positiva do 2EG, ampliado do módulo da

base recíproca, é igual ao produto cruzado (diádico-área) dos G - 1 diádicos

não correspondentes da base recíproca, multiplicados na ordem cíclica.

A operação que tem por fim determinar um produto cruzado múltiplo de G - 1

diádicos de um espaço G-dimensional chama-se multiplicação cruzada múltipla desses

diádicos. É evidente que esta operação está definida quando a base em consideração é

composta por G quaisquer das díades do conjunto formado por bases vetoriais recíprocas.

Então, um diádico de uma base é ortogonal a todos os diádicos não homólogos da base

recíproca.



Essa operação, sempre possível e unívoca, goza ainda das seguintes

Propriedades

1ª) - O produto cruzado (ou, o diádico-área) de diádicos é nulo:

a) - se um dos diádicos é o diádico nulo,

pois a matriz de (011) tem uma linha nula e, conseqüentemente, todos os Di têm uma linha

nula (e o produto é nulo);

b) - se dois diádicos são paralelos,

pois a matriz de (011) teria duas linhas proporcionais, o mesmo ocorrendo em todos os Di;

c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos

diádicos fatores,

pois a matriz de (011) tem uma linha que é uma combinação linear de duas ou mais outras

linhas paralelas, o mesmo acontecendo nos Di.

2ª) - Alternância.

Permutando-se dois diádicos contíguos quaisquer na permutação

fundamental 1, 2, ..., G - 1, o produto cruzado correspondente troca de

sinal.

Por exemplo, para G = 9: 1 2 3 6 7 1 2 3 6 75 4 8 4 5 8 . Pois

quando se permutam dois diádicos contíguos, permutam-se duas linhas contíguas dos

determinantes Di. Então, todos os Di trocam de sinal e, conseqüentemente, o produto

cruzado.

Essa propriedade pode ser generalizada. Se w é o número de inversões contadas

entre os diádicos de um produto cruzado em relação a uma permutação fundamental, o

produto cruzado correspondente troca de sinal w vezes. Então a multiplicação cruzada será

comutativa para w par e anticomutativa para w ímpar. Isso significa que

No K-espaço, uma permutação circular dos fatores de um produto cruzado

(de K diádicos desse espaço) muda K -2 vezes o seu sinal.

3ª) - A multiplicação cruzada é distributiva em relação à adição de diádicos,

sendo, por exemplo, para G = 9:

1 2 4 6 1 2 4 1 2 43 7 8 3 6 7 8 3 6 7 8( + ) .

Com efeito, no exemplo os elementos da 5ª linha da matriz (011) são binômios.

Logo, os elementos dessa mesma linha dos determinantes Di serão binômios e estes

determinantes se desdobram na soma de dois outros determinantes do grau 8, cada um se

obtendo do determinante Di trocando-se nele a referida linha por uma linha de termos do

binômio.

Mais geralmente comprovaríamos que:

A multiplicação cruzada é uma operação linear.



4ª) - G - 1 diádicos de um 2EG e seu produto cruzado são linearmente

independentes no 2EG;

Particularmente, se, por exemplo, 8 diádicos m estão expressos cartesianamente em

relação às bases vetoriais positivas {e*} e {e*} na forma:

m jm

ii

jF e e (m = 1, 2, ..., 8; i, j = 1, 2, 3), (06),

temos, lembrando (01), § 10.02 e (031), § 11:

1 2

111

112

113

211

313

121

122

123

221

323

131

132

133

231

333

181

182

183

281

383

...

F F F F ... F

F F F F ... F

F F F F ... F

.... ... ... ... ... ...

F F F F ... F

8

11

12

13

21

33

| |

...

e e

e e e e e e e e e e

, (061),

devendo ser notada a inversão da posição dos índices nas díades do fator |e*e*| no segundo

membro e nas díades da primeira linha do determinante.

*

Exercício:

Dar à expressão (061) uma representação utilizando a notação de Voigt (estabelecida

no §10.02).

*

Consideremos agora o caso do sistema (011) em que V = G – P, P sendo a ordem

de indeterminação, com P = 2. Temos então, de partida, diádicos componentes de uma base

de um 2EG-2. O sistema (011) é, então:

0

...

0

0

M

...

M

M

.

...

............

...

...

G

2

1

G2-G22G12-G

G22212

G12111

:::

:::

:::

, (012).

Como o principal é do grau G-2, o sistema é indeterminado, admitindo (duas) infinidades

de soluções porque existem duas incógnitas não principais (MG-1 e MG).

Para entender essa assertiva basta imaginar calculadas as G-2 incógnitas principais

(M1, M2, ..., MG-2) em função das não principais e atribuir valores arbitrários às não

principais para termos uma solução para o sistema. Qualquer outra solução poderá ser

obtida atribuindo-se novos valores às incógnitas não principais. Se esses novos valores não

forem proporcionais aos primeiros obteremos um diádico solução não paralelo ao anterior.

Geometricamente isto significa que, no 2E2 que complementa o

2EG-2 (em relação ao

2EG),



existe uma infinidade de diádicos (quaisquer) ortogonais a todos os diádicos do 2EG-2

considerado; devendo-se observar, de passagem, que os diádicos do 2E2 são independentes.

Como o 2E2 tem duas dimensões, concluímos que os diádicos de qualquer base de

2E2 são

ortogonais aos diádicos da base considerada do 2EG-2.

As mesmas considerações poderiam ser feitas para P=3, P=4 etc., ou sejam, G=V-

3, G=V-4 etc..

Poderíamos agora, invertendo posições, considerar P diádicos quaisquer do 2EP

(com P=2,3, ...) e definir com eles um novo produto, por exemplo, um diádico que fosse

certa combinação linear de G-P dos diádicos da base {*}, ou quem sabe, um novo

conceito. Não nos interessa explorar essas questões no momento94.

Identidades notáveis

Para o caso 2EG com G = 3 (produto cruzado de dois diádicos de um

2E3, gerados do

E3), considerando que:

i

i1

ii11 ) () ( :: e j

j2

jj22 ) ( ) ( :: para i,j=1,2,3,

temos, para uma base positiva:

32

22

12

31

21

11

321

322212

312111

321

21 ||||

:::

:::

:::

:::

, (032).

Em geral, para os diádicos do 2E3, gerados do E3,

2121

, (033).

Entretanto, vale aqui (para diádicos gerados do E3) a fórmula de Lagrange,

| ||| | || || || || || | 212121 : , (034),

que escreveremos na forma

2212

211121 | || |

::::

, (035).

Multiplicando dupla e pontuadamente o segundo e o terceiro membros de (032),

vem, ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (23,

31 e 12) e considerando que |*||*|=1:

94 Hostetter, I. M., em Polyadic Products, Journal of Mathematics and Physics, vol. 22, 1943, mostra, definindo um "star product", como generalizar a definição de cross product de vetores introduzida por Gibbs (o. c.).



3

22

2

31

21

3222

312121

| || |

::

::

::

::

2

21

22

11

1

2212

2111

12

32

11

31

1232

1131

::

::::::

::

::::::

Desenvolvendo o produto dos determinantes correspondente à primeira parcela temos:

))(())((

))(())((

21

122211

1212

21

112111

1111

32

31

22

21

3222

3121

32

22

31

21

3222

3121

::::::

::::::

::

::

::

::

::

::

::

::

Assim, o produto é equivalente à soma dos quatro determinantes seguintes:

2212

2111

::

::,

))((

))((2

11212

21

1111

:::

::: ,

)())((

)())((221

112

2111

11

:::

::: ,

+))(())((

))(())((2

1121

112

21

1111

11

::::

::::,

o último deles sendo evidentemente nulo. Desenvolvendo da mesma forma os produtos

relativos às duas outras parcelas obteremos expressões análogas com uma parcela comum

(o primeiro dos determinantes acima). Os determinantes:

) )( (

) )( (

21

1212

21

1111

:::

::: ,

) () (

) )( (

22

2212

22

2111

:::

::: e

) )( (

) )( (

23

3212

23

3111

:::

:::

têm as primeiras colunas iguais e a soma deles é equivalente a um único determinante que

se obtém conservando-se a primeira coluna e somando as segundas. O elemento da primeira

linha e segunda coluna será então

2123

3122

2121

11 ))(())(())(( ::::::: .

Com a soma das outras três parcelas podemos obter resultado análogo, isso é, a segunda

linha da segunda coluna vale:

2223

3222

2221

12 ))(())(())(( ::::::: .

Esses resultados comprovam a fórmula (035).

De (034), então, resulta, trocando-se 1 por e

2 por :

),(sen | || | | || || || | 2 , (036),

fórmula em tudo idêntica à norma do produto vetorial de vetores ((07), §02.05,I).

Exercício: Comprovar que de (034) podemos deduzir identidades análogas às do (§05.02,I) que

são válidas para os vetores.



*

Calculemos agora a norma do produto cruzado múltiplo <> no 2E4. Tem-se:

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

4321

||

||

::::

::::

::::

::::

::::

::::

donde:

...

| || |

143

143

143

143

143

143

432

432

432

432

432

432

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

:::

tal como no caso anterior, agora com determinantes de ordem 3 e, em cada parcela,

ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (234, 341,

412 e 123). Por caminho idêntico ao seguido no caso anterior (num espaço de 3 dimensões)

encontraríamos resultado análogo, agora apresentado na forma:

222 )(| || |)(| || |)(| || |))()((2| || | | || | | || |

| || |

::::::

:::

:::

:::

, (04),

fórmula essa, válida num 2E4, correlata de (035) que é válida num

2E3. Ponhamos em

evidência em (04) o produto das normas dos diádicos (§07.07), ou seja, o produto dos

quadrados dos seus módulos. Nesse caso os duplos produtos pontuados poderão ser

substituídos pelos co-senos dos ângulos formados pelos diádicos, sendo, então:

)CcosBcosAcos2CcosBcosAcos1(|| || ||| || | 222222 .

Vê-se, pela expressão obtida e por analogia com o caso dos vetores, que o módulo do

produto cruzado múltiplo dos três diádicos é equivalente ao volume do paralelotopo

construído sobre as biflechas (§10.03) desses diádicos.

Ponhamos: i

iii AA , j

jjj BB e k

kkk CC .

Então:

iiAA||| | >0, j

jBB||| | >0, kkCC||| | >0,

jji

i BABA: , kkj

j CBCB: , iik

k ACAC: , (041).

Vimos que a norma do produto cruzado de três diádicos se expressa como uma soma

de quatro parcelas representadas, cada uma, por produtos de dois determinantes do grau

três. Lembrando que as colunas desses determinantes estão ordenadas por permutação

cíclica dos índices dos diádicos de base, o referido produto pode ser escrito na forma:



ijkkjikjjikkji A)CBCB)(CBACBACBA(| || | .

Efetuando-se esses produtos e somas no segundo membro tem-se:

)ACB)(CBA()ACB)(CBA()ACB)(CBA(

)CBA)(CBA()CBA)(CBA()CBA)(CBA(

A)CBCB)(CBACBACBA(

ijkikj

ijkjik

ijkkji

kjiikj

kjijik

kjikji

ijkkjikjjikkji

.

Da primeira parcela do segundo membro deduzimos:

| || | | || | | || |)CC)(BB)(AA()CBA)(CBA( kk

jj

ii

kjikji ;

A segunda e a terceira são iguais, pois,

)AC)(CB)(BA()AC)(CB)(BA( )CBA)(CBA()CBA)(CBA( ii

kk

jjk

kj

ji

ikjiikj

kjijik

e

:)AC()AC( e ):()CB()CB( ),:()BA()BA( iik

kkkj

jjji

i ;

logo

):)(:)(:(2)CBA)(CBA()CBA)(CBA( kjiikj

kjijik

Agrupando na quarta parcela, deduzimos:

2k

kjj

ii

ijkkji ):)(:()CB)(CB)(AA()ACB)(CBA( ;

e operando da mesma forma nas demais parcelas obtemos resultados idênticos. Em resumo,

verificando-se as (041), verifica-se também a seguinte identidade com 24 letras:

)BA)(BA)(CC()AC)(AC)(BB()BC)(CB)(AA(

)AC)(CB)(BA(2)CC)(BB)(AA(

A)CBCB)(CBACBACBA(

iik

kj

jjji

ik

kk

kj

ji

i

kk

jj

iik

kj

ji

i

ijkkjikjjikkji

, (042).

Se os diádicos estão referidos a bases diádicas ortonormadas desaparece a distinção

entre suas coordenadas (co-variantes, contravariantes e mistas). Isto significa que as três

primeiras igualdades (041) ficam reduzidas a somas de quadrados. As demais ficam

reduzidas a apenas uma expressão e poderemos dispor todos os índices num mesmo nível,

sem perigo de confusão. Assim, digamos, iiBA: , jjCB: e kkAC: .

Ponhamos, nesse caso, para destacar: A1=A, A2=B, A3=C, A4=D, B1=P, B2=Q,

B3=R, B4=S e C1=X, C2=Y, C3=Z e C4=W. A identidade (042) poderá, então, ser escrita na

forma de uma identidade de 12 letras:

ZYXRQPCBA

YXWQPSBAD

XWZPSRADC

WZYSRQDCB

2222

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. 255


)WZYX)(SRQP)(DCBA( 222222222222

)DWZCYBXA)(DWCZQYPX))(DSCRBQAP(2

22222 )DWCZQYPX)(DCBA( (043).

22222 )WDZCYBXA)(SRQP(

22222 )DSCRBQAP)(WZYX( .

É fácil, mas bastante trabalhoso, generalizar esses resultados para espaços de

dimensões maiores.

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico.

Vimos (§10.03) que o número de graus de liberdade de um 2EP contido num

2EG, que

passa (ou contém) um 2ER, é (P-R)(G-P). Logo, o número de graus de liberdade de uma reta

(P=1) que passa por dado ponto O no G-espaço diádico (R=0) é G-1, o que significa que

essa reta pode girar em torno de O, com G-1 graus de liberdade.

Vimos também que o número de condições para que um 2EP e um

2EQ, ambos

contidos num 2EG, se interceptem num

2ER, é (R+1)(G-P-Q+R), mas P+QG+R; isso é, são

necessárias G-2 condições para que duas retas de um G-espaço (G2) passem por um ponto

dado, pouco importando o ângulo formado pelas mesmas.

Como o espaço complementar de qualquer 1-espaço (reta) contido num G-espaço

tem dimensão G-1, segue-se que uma reta perpendicular a uma reta dada, no ponto O desta,

pertence ao (G-1)-espaço que contém O e tem G-2 graus de liberdade. Com outras palavras

diríamos que a reta do (G-1)-espaço, que passa por O, gira em torno de O, com G-2 graus

de liberdade. Se o ângulo das duas retas for de um reto, diremos que a reta é ortogonal ao

(G-1)-espaço. Isso justifica geometricamente: 1) - a existência do produto cruzado (diádico-

área) de G-1 diádicos de um 2EG-1, diádico esse perpendicular a cada um dos diádicos

fatores (§11.01); 2) – por que cada diádico de uma base é perpendicular a todos os diádicos

não homólogos da base recíproca (§10.02).

Consideremos agora duas retas a e b de um G-espaço, perpendiculares num ponto O.

Cada uma dessas retas é ortogonal a um (G-1)-espaço, a reta a pertencendo ao (G-1)-espaço

complementar de b e a reta b ao complementar de a. Para que uma terceira reta r do G-

espaço seja perpendicular a a e b em O é suficiente que r esteja contida no (G-2)-espaço

interseção dos (G-1)-espaços ortogonais às retas a e b. E assim sucessivamente. Isto

justifica geometricamente a previsão algébrica (já referida no §11.01) da existência de G

retas mutuamente perpendiculares no G-espaço diádico, ou seja, a existência de bases

diádica ortogonais.

P retas mutuamente ortogonais dentre G delas (mutuamente ortogonais) de um G-

espaço diádico determinam um 2EP; as G-P restantes determinam um

2EG-P. Esses dois

espaços diádicos, complementares, têm o ponto O em comum e, evidentemente, são tais,

§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. 256


que qualquer reta de um deles, que passe por O, é perpendicular a todas as retas do outro,

que passem também por O. Dois espaços que gozem dessa propriedade são ditos

completamente perpendiculares.

Certamente a nomenclatura "completamente ortogonais" insinua a possibilidade de

ortogonalidades parciais ou graus de ortogonalidade, os quais realmente existem. A

discussão dessa questão envolve referência a polares, coordenadas homogêneas, cônicas e

quádrica virtuais etc., assuntos que estão fora do escopo deste livro.

Ângulo de dois espaços.

No espaço diádico, o ângulo de dois 1-espaços (retas) com um ponto comum é o

ângulo de dois diádicos quaisquer de base, um de cada espaço (§07.07).

Consideremos um 2EP e um

2EQ com um ponto comum, O, ambos, pois, contidos

num 2EP+Q (espaço soma), com P+Q9 e P>Q>1. Existe sempre um e um só diádico (logo,

uma e uma só reta) perpendicular ao 2EP por O: o suporte do diádico produto cruzado de P

quaisquer diádicos de uma base de 2EP, diádico esse que está contido num

2EP+1, isso é,

contido em 2EP+Q qualquer que seja Q. Existe sempre, também, um e um só diádico

perpendicular a um 2EQ: o produto cruzado de Q quaisquer diádicos de base, contido num

2EQ+1, que por sua vez está contido no

2EP+Q. Esses dois produtos diádicos, ambos

pertencentes ao espaço soma, formam, pois, um ângulo, com vértice em O; esse ângulo é

denominado "ângulo dos espaços" 2EP e

2EQ. Quando o ângulo de dois espaços (com ponto

comum) é de um reto, os espaços são ditos "ortogonais".

Ortotopos.

A existência de bases diádicas ortogonais justifica a existência de paralelotopos

cujos R-espaços fronteira são ortogonais (são retas ortogonais, planos ortogonais, 3-espaços

ortogonais, retas ortogonais a planos etc.). Esses paralelotopos recebem a denominação

particular de ortotopos.

§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G

DIÁDICOS.

Se um diádico fator, i , de um produto cruzado múltiplo, , de diádicos de um

subespaço 2EG-1 de um espaço

2EG dado, é um segundo produto cruzado múltiplo de outros

G - 1 diádicos, 1, 2, ..., G - 1 de outro subespaço 2EG-1, então e os i são linearmente

dependentes porque i deve ser perpendicular a e aos G - 1 diádicos 1, 2, ..., G - 1.

Definição:

Chamaremos duplo produto cruzado múltiplo, , de G - 1 diádicos 1, 2,

..., G - 1 de um 2EG-1 de dado espaço

2EG, um produto cruzado múltiplo

diádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado múltiplo, < 1 2

... G - 1 >, de diádicos de outro 2EG-1 de

2EG.

§ 12 - Multiplicação cruzada dupla de G diádicos. 257


Assim, por exemplo, se G - 1 é o segundo produto cruzado,

1 2 2 ... ... G 1 2 G 1 .

A multiplicação dupla cruzada dupla de diádicos de um 2EG é a operação que tem por

fim determinar um duplo produto cruzado de diádicos nesse espaço. Essa operação é,

evidentemente, sempre possível e unívoca.

O produto cruzado fator de um duplo produto cruzado deve ter por fatores,

evidentemente, diádicos linearmente independentes de um 2EG-1, pois, do contrário, esse

produto seria o diádico nulo e, conseqüentemente, seria também nulo o duplo produto.

Teor. 1:(determinante simbólico do duplo produto cruzado múltiplo)

Tem-se:

1 2 G 2 G 1 1 2 G 1 ... , e ... , , :

1 2 G 2 1 2 G 1 ... ...

1G2G2G2G32G22G12G

1G3G2G3G33G23G13G

1G22G2322212

1G12G1312111

1G2G321

...

...

..................

...

...

...

:::::

:::::

:::::

:::::

, (01)95.

A fórmula (01) estende para o espaço diádico a clássica fórmula do duplo produto

vetorial de vetores.

Como o diádico e os i são linearmente dependentes, podemos escrever,

M i

i , (i = 1, 2, ..., G - 1), (A),

onde os Mi são números a determinar. Mostremos inicialmente que M1 não depende de 1.

Seja '1 um novo diádico e ' o duplo produto cruzado:

95 Essa fórmula é a análoga de (03), § 03.02, I e de (04),§ 03.03, I.

1 2 G 2 1 2 G 1 ... ... .

A expressão correlata de (A) é

M M ... M 1

1

2

2

G 1

G 1, (B).

§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos. 258


Exprimamos '1 em função dos G diádicos linearmente independentes 1, 2, ..., G - 1 e

do espaço diádico. Seja, então,

1 N M i

i , (C),

onde ao menos um dos coeficientes é diferente de zero.

Isto posto, de (C), da definição de multiplicação cruzada de G - 1 diádicos e de suas

propriedades, escrevemos:

1 1 1 2

2

2 G

1

2 G 1

2

2 G 1

G 1

G 1 2 G 1 G 1

... N ... N ... ...

N ... M ... ,

ou seja, calculando o duplo produto 1 2 G 2 1 2 G 1 ... ... , lembrando a

propriedade 1,b da multiplicação cruzada:

N M ... ... 1

1 2 G 2 2 G 1 .

Por conseguinte, substituindo (B) e (A) nesta expressão, vem:

M M ... M N (M M ... M 1

1

2

2

G 1

G 1

1 1

1

2

2

G 1

G 1 )

M ... ... 1 2 G 2 2 G 1 ,

ou, substituindo (C):

M (N N ... N M ) M ... M 1 1

1

2

2

G 1

G 1

2

2

G 1

G 1 )

N (M M ... M 1 1

1

2

2

G 1

G 1 ) M ... ... 1 2 G 2 2 G 1 (D).

O duplo produto cruzado relativo à última parcela do segundo membro se exprime

linearmente em função de , 2, ..., G - 1 porque esse duplo produto é do subespaço desses

diádicos (notar que não aparece nesta expressão parcela em 1 ). Então os dois membros de

(D) são expressões lineares dos G - 1 diádicos , 2, ..., G - 1 . Como os únicos termos em

1 são M'1N11 no primeiro membro e M1N1

1 no segundo, deve ser, necessariamente,

M'1N1 = M1N1.

Podemos considerar N1 0 porque, do contrário, teríamos:

1

2

2

3

3

G 1

G 1N N ... N M .

Se escolhêssemos, então, em vez de , o diádico 1

1 , teríamos:

1

1

1

2

2

3

3

G 1

G 1N N N ... N M 1,



e o coeficiente de 1 seria diferente de zero (o que é absurdo). Então, sendo N1 0, temos

M'1 = M1 , isso é, M1 não depende de 1.

Similarmente provaríamos que M2 não depende de 2 etc..

Ora, sendo 1, 2, ...,G - 2, escrevemos:

j j : : 0, (j = 1, 2, ..., G - 2),

ou seja, considerando (A):

( ) j i

i M: 0, (j = 1, 2, ..., G - 2; i = 1, 2, ..., G - 1), (E).

O sistema (E) tem G - 2 equações, G - 1 incógnitas (M1, ..., MG - 1) e sua matriz é

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 G 2 G 1

1 2 G 2 G 1

G 3 1 G 3 2 G 3 G 2 G 3 G 1

G 2 1 G 2 2 G 2 G 2 G 2 G 1

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

...

...

... ... ... ... ...

...

...

G

G

2

1

.

Se L é uma constante à determinar, as soluções do sistema são:

M L

...

... ... ... ... ...

...

LD1

2 3 G G 1

2 3 G G 1

G 3 2 G 3 3 G 3 G G 3 G 1

G 2 2 G 2 3 G 2 G G 2 G 1

1

1 1 1 2 1

2 2 2 2 2

2

2

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

... ... ,

2

1G2G2G2G32G12G

1G3G2G3G33G13G

1G22G23212

1G12G13111

2 LD

...

...

...............

...

...

LM

::::

::::

::::

::::

etc..

Nestas expressões, os Di, determinantes do grau G - 2, têm representações evidentes, e ao

menos um deles é diferente de zero.

Levando as soluções a (A) podemos escrever na forma do pseudodeterminante de

grau G - 1:

L

...

... ... ... ... ... ...

...

1 2 3 G 2 G 1

1 2 3 G 2 G 1

1 2 3 G 2 G 1

G 3 1 G 3 2 G 3 3 G 3 G 2 G 3 G 1

G 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: : : : :

: : : : :

: : : : :

:

...

...

1 G 2 2 G 2 3 G 2 G 2 G 2 G 1 ... : : : :

, (F),



desde que convencionemos desenvolvê-lo pelos elementos (diádicos) da primeira linha.

O número L é independente dos i, podendo ser determinado por (F) numa situação

particular. Os G-1 diádicos 1,

2, ...,

G-1 constituem uma base no

2EG-1, base esta extraída

da base {1,

2, ...,

G-1,

G} de

2EG, cuja recíproca é {1, 2, ..., G-1, G}. (Vale observar,

de passagem, que os diádicos 1, 2, ..., G-1 não constituem base recíproca de {1,

2, ...,

G-1

} em 2EG-1).

Se 1-G21 ... , então G|| conforme sabemos (05, § 11.01).Em

relação à base {*} podemos escrever, agora aplicando ((03), § 11):

1 2 G 2 1 2 G 1 ... ...

||0...000

...

..................

...

...

...

G3G1G3G33G23G13G

G21G2322212

G11G1312111

G1G321

:::::

:::::

:::::

.

Desenvolvendo o determinante acima, simplificando, lembrando que |*||*|=1 (§ 10.02) e

comparando o resultado obtido com (F) concluímos que deve ser L=1.

Esses resultados são válidos na hipótese de ao menos um dos Di (i = 1, 2, ..., G - 1)

ser não nulo. Procuremos os resultados a que chegaríamos se todos os Di fossem nulos.

Suponhamos que 1 0 1: . Então, para que os Di sejam nulos, deve haver ao

menos uma linha da matriz do sistema (E) proporcional à primeira; se esta é a i-ésima,

H

...

1G1

1Gi

21

2i

11

1i

:

:

:

:

:

:,

donde, então

)H( ... )H( 0)H( 1i51i21i1 ::: .

Dois casos podem acontecer:

1°) - 1i H , e nesse caso: ou i é paralelo a 1, ou i se H = 0. Em

qualquer um dos casos =;

2) - 1i H , caso em que esse diádico é perpendicular aos G - 1 diádicos

1, 2, ..., G - 1 . Então, 1i H é paralelo ao produto cruzado < 1 2 ... G - 1 > desses G

- 1 diádicos. Se H é um número não nulo, arbitrário, temos:

§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 261


i 1 1 2 G 1H H ... , ou, 1G211i ... HH ,

e os diádicos i , 1 e < 1 2 ... G - 1 > são linearmente dependentes. Logo =.

Se, finalmente, todos os coeficientes dos Mi em (06) são nulos, todos os i são

paralelos por serem todos perpendiculares aos diádicos do conjunto 1, 2, ..., G - 1. Mais

uma vez =. Logo a fórmula (01) é válida em todos os casos, desde que 1, 2, ..., G - 1

sejam linearmente independentes no subespaço a que pertencem.

Se os i não fossem linearmente independentes, < 1 2 ... G - 1 > = e,

obviamente, =. Por outro lado, nesse caso, poderíamos expressar, digamos, G - 1 em

função dos demais G 1

1 2 G 2

G 2Q Q ... Q

1 2

e teríamos, para K=1, 2, ..., G -

2:

1 2 3 G 2

k

k

1 2 3 G 2

k

k

1 2 3 G 2

k

k

G 3 1 G 3 2 G 3 3 G 3 G 2 G 3

k

k

G 2 1 G

... Q

Q

Q

... ... ... ... ... ...

... Q

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: : : : :

: : : : :

: : : : :

:

...

...

2 2 G 2 3 G 2 G 2 G 2

k

k ... Q: : : :

,

determinante no qual a última coluna é uma combinação linear das demais, a primeira

estando multiplicada por Q1, a segunda por Q2, ..., a penúltima por QG - 2. Logo =.

Então, (01) é válida em todos os casos.

§ 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS.

Chama-se produto misto de 3G9 diádicos de um espaço diádico G-dimensional,

1, 2, ..., G, nessa ordem, e indica-se por (12...G), o número real definido pelo duplo

produto pontuado do produto cruzado dos G - 1 primeiros (que é um diádico) pelo último:

( ) 1 2 G 1 G 1 2 G 1 G ... ... : , (01).

A operação que tem por fim determinar o produto misto de G diádicos de um espaço

de dimensão G é a multiplicação mista de G diádicos.

Para G = 3, lembrando (033), § 11:

321321 : )( , (011);

portanto, (01) generaliza operações e conceitos conhecidos quando aplicados a um 3-

espaço. Deve ser observado que usamos a mesma notação utilizada para a representação do

duplo produto misto de três diádicos definida no §07.06, embora seja, como já assinalamos,

321321 ::

.



Lembrando que G

G : 1, resulta logo, de ((05), § 11), num espaço diádico de

dimensão G:

|| ) ... ( G21 , (021),

isso é:

O produto misto dos diádicos de uma base de um 2EG é igual ao módulo

dessa base multiplicado por +1 ou –1 conforme ela seja positiva ou negativa.

O módulo de um base é igual, então, ao produto do modulo do diádico-área

construído sobre os diádicos 12...G-1

pelo módulo de G e pelo co-seno do ângulo entre

esses dois diádicos, ou seja, produto da área do paralelotopo construído sobre 12...G-1

pela distância entre a extremidade de G e esse paralelotopo. Isto sugere comparar o

produto misto dos G diádicos ao "volume do paralelotopo" construído sobre os diádicos.

Como o módulo de uma base (o volume de um paralelotopo) é um número diferente de

zero, concluímos, logo:

Teor. 1: A CNS para que G diádicos de um espaço de dimensão G constituam uma

base é que o produto misto deles, em qualquer ordem (ou, o volume do

paralelotopo construído sobre eles), seja diferente de zero.

No caso particular dos diádicos de base serem da forma

e e e e e e e e e e1

1

1

2

1

3

2

1

3

3 ... , , , , , ,

temos, lembrando ((02), § 10.02):

|| || ( ) ( ) ( )e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

1

1

1

2

3

3

1

1

1

2

3

3

1

1

1

2

3

3 2 ... ... ... , (022).

Analogamente,

etc. ,) ... (| || | ,) ... (| || | 2332111

23

32

11

1 eeeeeeeeeeeeeeee (023).

Esses resultados, válidos também para os espaços de dimensão G, comprovam mais uma

vez que a norma de uma base é um número positivo.

Considerando ((03), § 11) e (021) deduzimos, imediatamente:

( ) ( ) ) 1 2 3 G

G k

k G ... ... D ( 1 2 3

: , (k = 1, 2, ..., G).

Ora, k G : são os elementos da última linha do determinante:

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 G 2 G G... ... ...

...

: : :

: : :

: : :

...

...

..., (03),



e os Dk, dados por ((021), §11) são os seus respectivos complementos algébricos. Logo,

( ) ( ) 1 2 3 G

G ... ...

1 2 3

1 1 1 2 1 G

2 1 2 2 2 G

G 1 G 2 G G

... ... ...

...

: : :

: : :

: : :

...

...

..., (04).

Como a base é arbitrária, (04) pode ser escrita na forma

( ... ) ( ... )

...

...

... ... ...

...

G G

1 1 1

G

2 2 2

G

G G G

G

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

: : :

: : :

: : :

..., (041).

Em resumo:

Num espaço diádico de dimensão G, o produto misto de G diádicos, numa

certa ordem, é igual ao produto do produto misto dos G diádicos de uma

base (na sua ordem natural) pelo determinante de grau G cuja i-ésima linha

e j-ésima coluna tem por elemento o duplo produto pontuado do diádico de

ordem i do produto misto e o diádico de ordem j da base recíproca.

É simples comprovar-se que (04) e (041) são válidas quando as bases são conjuntos

de díades do conjunto das 9 díades de bases recíprocas. Deve ser ressalvado, entretanto,

mais uma vez, que com diádicos de uma base de um espaço é sempre possível a

constituição de bases de espaços de dimensão menor, mas os diádicos da base recíproca do

primeiro nada têm haver com os diádicos da base recíproca dos segundos.

Além de ser uma operação sempre possível e unívoca, a multiplicação mista goza

ainda das seguintes

Propriedades

todas facilmente demonstráveis com base no determinante (03).

1ª) - Um produto misto de G diádicos é nulo:

a) - se um dos diádicos é nulo;

b) - se ao menos dois diádicos são paralelos;

c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos

diádicos fatores.

Assim, por exemplo, é nulo o produto misto de G-1 diádicos quaisquer de um G-

espaço e o diádico soma deles. Portanto tais G diádicos (os G-1 do G-espaço e o soma) são

linearmente dependentes e pertencem a um espaço de dimensão menor ou igual a G-1.

2ª) - Linearidade:

( ( )) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ... B C B ... C ... G 1 G 1 G 1 , (05).



3ª) - Alternância.

Um produto misto trocará de sinal ao se alternarem dois quaisquer de seus

diádicos fatores contíguos.

Com efeito, quando se permutam duas filas paralelas contíguas (linhas ou colunas)

de um determinante ele muda de sinal; logo o produto misto troca de sinal.

Conforme (04), o sinal do produto será alternado tantas vezes quantas se alternar o

sinal do determinante do segundo membro. Assim, como levar-se o primeiro fator para o

último posto equivale a fazer-se da primeira linha do determinante sua última linha - caso

em que o determinante troca de sinal G - 1 vezes - resulta:

Num espaço de dimensão G, uma permutação cíclica dos fatores muda G - 1

vezes o sinal do produto misto.

Valem, pois, as seguintes fórmulas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 2 3 1

3 1 2 3 1 2

1

1

... ...

... ...

G 1 G G 1 G 1 G

2(G 1) G 1 G G 1 G

( ) ( )

( ) ( )

1

1

4 1 2 3

4 1 2 3

3(G 1) G 1 G

G 1 G 1 G

...

... ...

, (06).

Particularmente, podemos enunciar:

Nos espaços de dimensão ímpar o produto misto de G diádicos é invariante

numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal.

Teor. 2:

São números recíprocos os produtos mistos dos diádicos homólogos de bases

recíprocas:

{ }

e { } ( ... )( ... ) 1G

G

1 2

1 2, (07).

Pois sendo inversas as matrizes associadas a bases recíprocas (Teor. 6, § 10.02),

inversos ou recíprocos são também os seus determinantes, isso é, as normas e os módulos

dessas bases. Agora, de (021), deduzimos (07) facilmente.

Teor. 3:

G > i 1,2, ... , G, { },{ }:

i

i(G 1)i 1 i 2 G i 2 i 1

1 2 i 1 i i 1 G

... ...

... ...

( )

( ),1

1



j j(G 1) j j 2 G j 2 j 1

j 1 j j 1 G

... ...

... ...

( )( )

11 1

1 2

, (08).

Consideremos por exemplo a expressão

( ) 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 ... ... G G : .

O primeiro membro é diferente de zero porque, por hipótese os diádicos constituem uma

base. Então

14 5 1 2

4 5 1 2 33

...

...

G

G( ): .

Pelas propr. 3ª) podemos escrever:

1 14 5 1 2

1 23

( )( )

3(G 1)G

G

...

...

: ,

e pelo Teor. 5, § 10.02,

3

4 5 1 2

1 21

( )( )

3(G 1)G

G

...

... ,

ou seja, a fórmula (08) é válida para i = 3.

Analogamente podemos comprovar que ela é válida para todos os valores de i, desde

1 até G. Deve ser observado, porem, na aplicação da fórmula, que: 1°) - quando o índice de

um diádico superar o valor G, deve-se subtrair-lhe G unidades; 2°) - não existe índice zero,

nem índice negativo.

Da expressão (08) deduzimos logo, após transposições convenientes:

j

i i 1 i 1 G

j 1 j 1 G ... ... ... ...

1 2

1 2: , (081).

Com efeito, consideremos o produto pontuado duplo de (08)1 por (08)2, cujo

resultado é ij. O produto dos denominadores é efetivamente igual a 1, uma vez que dentro

dos parênteses aparecem todos os G diádicos correspondentes das bases recíprocas. O

produto cruzado de G - 1 dos G diádicos de bases,

i 1 i 2 G i 2 i 1... ...1

(em que falta o diádico i) troca de sinal G - 1 vezes quando passamos o último diádico para

o primeiro posto. Como temos i - 1 diádicos após G , podemos escrever:

i 1 i 2 G i 2 i 1 (i 1)(G 1) 1 2 i 1 i 1 G... ... ... ... 1 1( )

Escrevendo expressão análoga para o fator



j j 2 G j 2 j 1

... ...1 1

,

e multiplicando dupla e pontualmente as expressões obtidas encontramos facilmente (081)

pois o expoente de (-1) nesse produto,

i(G 1) (i 1)(G 1) j(G 1) +(j 1)(G 1) 2(i j 1)(G 1),

é um número par quaisquer que sejam i,j e G.

Teor. 4:

Se G diádicos 1, 2, ..., G são expressos na base {*}, na forma cartesiana

r r i

iM , (i, r = 1, 2, ..., G),

então,

( ) ( ) 1 2

1 2 ... M ... G

G , (09),

onde

M

M M ... M

M M ... M

... ... ... ...

M M ... M

11 12 1G

21 22 2G

G1 G2 GG

, (091).

Com efeito, pois é M ri r i : , e a expressão (09) não difere de (04), nem (03) de

(091).

Corol. 1

G21G21 ..., ,, e ..., ,, de um mesmo G-espaço,

( ... )( ... )

G

G

1 1 1

G2 2 2

G

G G G

G

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

: : :

: : :

: : :

...

...

... ... ... ...

...

, (092).

Para demonstrar, lembremo-nos inicialmente de que um determinante não se altera

se trocarmos suas linha pelas correspondentes colunas. Então, multipliquemos membro a

membro (04) por (041) trocando previamente em (04) i por i , e em (041) i por i e as

colunas pelas linha correspondentes. Conforme o Teor. 2, o produto dos produtos mistos

dos diádicos de bases recíproca vale 1. O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do

produto dos determinantes é dado por

( )( ) ( )( ) ( )( ) i

1

1

j

i

2

2

j

i

G

G

j ... : : : : : : .



Aplicando propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos e considerando (08), §

10.02, a expressão acima pode ser escrita na forma

[( ) i

k

k

j

i

j ] : : : ,

o que conclui a demonstração.

Teor. 5:

Se, em relação a uma base {* } de um 2EG, G - 1 diádicos ..., , , 21 são

expressos na forma cartesiana

r r i

iM , (r = 1, 2, ..., G - 1; i = 1, 2, ..., G),

então tem-se, para expressão do produto cruzado dos G - 1 diádicos:

1 2

1 2

1 2

... ( ... )M M ... M

... ... ... ...

M M ... M

G 1

G

G

11

12

1G

(G 1) 1

(G 1) 2

(G 1) G

...

, (10).

Com efeito, tal como na demonstração do teorema anterior, a expressão (10) não

difere de ((031), § 11) porque irir M : e ||)...( G21 .

Corol. 1:

1 2, , ,{ } ... , e { }:G 1

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

... ( ... ) ...

... ... ... ...

...

G 1 G

G

1 1 1

G

G 1 G 1 G 1

G

...

: : :

: : :

, (11),

expressão esta, homóloga de ((031), § 11).

Teor. 6: (invariância do produto misto)

É um invariante o produto misto de (ou o volume do paralelotopo construído

sobre) G diádicos de um 2EG.

Com efeito, denotemos os produtos mistos de G diádicos 1, 2, ..., G, calculados

em relação às bases recíprocas {*}, {*} e {*},{*}, por (12 ... G) e (12 ... G).

Temos, conforme (03) e (04):



GG

2G

1G

G2

22

12

G1

21

11

G21G21

... ............

...

...

) ... () ... (

:::

:::

:::

,

GGG2G1

2G2221

1G1211

G21G21

...............

...

...

) ... () ... (

:::

:::

:::

.

Multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por (12 ... G) e aplicando (092),

vem:

.

:::

:::

:::

... ............ ...

...

) ... () ... (

GG2G1G

G22212

G12111

G21G21

GG

2G

1G

G2

22

12

G1

21

11

... ............

...

...

:::

:::

:::

. .

Tem-se, ainda, aplicando (092):

... ............ ...

...

) ... () ... (

GG2G1G

G22212

G12111

G21G21

:::

:::

:::

.

Ora, o produto dos determinantes do segundo membro da primeira igualdade é igual ao

determinante do segundo membro da segunda igualdade, pois o elemento da i-ésima linha e

j-ésima coluna desse produto é

( )( ) ( )( ) ( )( ) i 1

1

j i 2

2

j i G

G

j ... : : : : : : ,

ou melhor, evidenciando e mais uma vez considerando ((08), § 10.02):

jij

rri ]) [( ::: .

Isto posto, igualando os primeiros membros e cancelando o fator comum, concluímos:

)...()...( G21G21 ,

ou seja, o produto misto de G diádicos independe das bases em relação às quais é calculado,

sendo pois, um invariante.



Produto misto de nove diádicos dados em forma cartesiana.

Se nove diádicos m

i estão expressos na formas cartesianas

m

i

j m

k i j

kA e e (m, i, j, k = 1, 2, 3),

às quais correspondem as matrizes

i 3 m 3

i 2 m 3

i 1 m 3

i 3 m 2

i 2 m 2

i 1 m 2

i 3 m 1

i 2 m 1

i 1 m 1

AAA

AAA

AAA

, (12),

então,

( ) ( )

... ... ...

. 1 1 1 2 3

1 2 3 1 3

1 1

1 1

1 1

2 1

1 1

3 1

2 1

1 1

3 1

3 1

1 1

1 2

1 1

2 2

1 1

3 2

2 1

1 2

3 1

3 2

1 1

1 3

1 1

2 3

1 1

3 3

3 1

3 3

1 2

1 1

3 2

3 1

1 3

1 3

1 3

2 3

1 3

3 3

2 3

1 3

3 3

3 3

...

A A A A ... A

A A A A ... A

A A A ... ... A

A ... ... ... ... A

... ... ...

A A A A ... A

e e , (121).

Para comprovarmos esta fórmula basta aplicar (03) e (04) para o caso particular em

que G = 9 e fazer 1 1

1

1

2 ... e e e e, ,2

, 1 1

1 1 2 2 ... , , .

Se fosse

m

i

m

jk i

j kA e e (m, i, j, k = 1, 2, 3),

seria

( ) ( )

... ... ...

1 1 1 2 3

1 2 3 1 3

1

11 1

1

12 1

1

13 1

1

33 1

1

11 2

1

12 2

1

13 2

1

33 2

1

11 3

3

11 3

3

12 3

3

13 3

3

33 3

...

A A A ... A

A A A ... A

A ... ... ... ...

... ...

A A A ... A

e e , (122).

Outras fórmulas análogas poderiam ser deduzidas.

Tanto em (121) como em (122) e nas análogas, a regra para escrever-se o produto

misto quando os diádicos são dados em forma cartesiana é bem clara. O determinante pode

ser imaginado subdividido em três blocos horizontais de três linhas cada um e três blocos



verticais de três colunas cada um. Os blocos verticais correspondem a j = 1, j = 2 e j = 3; os

blocos horizontais a m = 1, m = 2 e m = 3. No j-ésimo bloco vertical, à primeira coluna

corresponde o índice k = 1, à segunda, o índice k = 2 e à terceira, o índice k = 3.

Analogamente, no m-ésimo bloco horizontal, à primeira linha corresponde o índice i = 1, à

segunda, o índice i = 2 e à terceira, i = 3.

Isto significa, em resumo, que a primeira linha do determinante é composta com as

coordenadas do diádico 11; a segunda linha com as coordenadas de 1

2 etc.. Os três

primeiros elementos de cada linha formam precisamente a primeira linha da matriz (12)

associada ao diádico; os três seguintes formam a segunda linha e os três últimos a terceira

linha.

Podemos escrever sinteticamente, sem perigo de erro:

( ) ( )| | 1 1 1 2 3

1 2 3 1 3

... A

e e , (13),

( ) ( )| | 1 1 1 2 3

1 2 3 1 3

... A

e e , (131),

análogas,

( ) ( )| | 11 12 13 21 33

... A

e e , (14),

|A|)() ... (

3321131211

ee , (141)

e outras.

Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma cartesiana.

No espaço diádico simétrico as representações (14), (141), assumem formas

particulares porque, em primeiro lugar, o número de diádicos fatores é, no máximo 6 (o

produto de sete quaisquer é sempre nulo); em segundo lugar, os duplos índices podem ser

substituídos por um único (notação de Voigt). Assim, o produto misto de 6 diádicos

simétricos pode ser representado pelo determinante da matriz ((15), §10.02).

No caso espaço diádico anti-simétrico (que tem até três dimensões) é fácil

comprovar que o produto misto de três diádicos quaisquer é igual a um oitavo do produto

misto dos vetores desses diádicos, ou, o que é o mesmo, igual a um oitavo do determinante

((17), §10.02).

§ 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES.

Seja 1 2, , ... , G a seqüência fundamental de um conjunto de G 9 diádicos. O

produto misto desses diádicos em qualquer ordem pode ser expresso em função do produto

misto ( ) 1 2 ... G da seqüência fundamental com a introdução de um símbolo, mediante

a seguinte

Definição: (permutador)

Chama-se permutador a G índices (G 9), e representa-se por

ij ... m

ij ... m ou , um símbolo com G índices num mesmo nível tal, que ao se

atribuírem a todos os índices os valores 1, 2, ..., G, esse símbolo valha zero

se dois dos índices são iguais, + 1 se for par o número de inversões contadas

§ 14 - Permutador a G índices. 271


entre os índices considerando como fundamental a seqüência 1, 2, 3, ..., G; e

- 1 se esse número for ímpar:

ij ... m

dois índices iguais

1, nú mero par de inversões

, nú mero ímpar de inversões,

0,

1

(01).

O permutador com apenas um índice vale sempre + 1. O permutador a G índices

amplia o conceito de permutador já estabelecido para G 3 no § 04.02, I.

Então, evidentemente:

( ) ( ) i j m ij ... m 1 2 G ... ... , (02).

Ora, por definição,

( ) i j k m i j k m

G fatores

... ... : .

Então, considerando (02) deduzimos,

i j k m ... : ij ... m 1 2 G ... ( ) , (021).

Se ( ) 1 2 G ... 0 o conjunto admite recíprocos. Então, pós justapondo m a

ambos os membros de (021), somando em m (de 1 até G) e lembrando o Teor. 7, § 10.02,

concluímos:

( ) ,2, 1 2 G ... , i, j, ... , k, m ... , G 0 1

...

i j k

G 1 fatores

...

G índices

ij ... km 1 2 Gm

( ) , (03).

Analogamente, podemos escrever:

( ) ,2, 1 2

0 1 ... , i, j, ... , k, m ... , G G

...

fatores 1G

usr

índicesG

mG21um ... rs ) ... (

, (04).

As fórmulas (03) e (04) estendem aos espaços diádicos de G dimensões as fórmulas (03) e

(04), § 04.02, I, válidas para os espaços dos vetores de até 3 dimensões.

Particularmente, para G = 3, vimos (§10.02, Notas) que se tem (em geral):



jiji

;

da mesma forma,

kjikji ) (

.

Teor. 1: (generalização do determinante de Gram)

Tem-se, para dois conjuntos de G índices, i, j, ..., p e r, s, ..., q, cada índice

variando de 1 a G:

ij ... kprs ... uq

ri

si

qi

rj

sj

qj

rp

sp

qp

i j k pr s u q

...

... ... ... ...

...

... ...

...

( )( ) , (05).

Pois, pós-multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (03) por p, os

de (04) por q, multiplicando membro a membro as expressões obtidas e lembrando ((07),

§ 13), deduzimos:

( )( ) i j k pr s u q

ij ... kprs ... uq ... ... .

Aplicando ((092),§13) para o cálculo do produto indicado no primeiro membro

encontramos o determinante de (05).

O determinante (05), equivalente a um produto de permutadores a vários índices,

generaliza os correspondentes a ((07), § 04.02, I).

Definição: (determinante de Gram)

Os determinantes da forma (05) são denominados determinantes de Gram

nos seus respectivos espaços.

Corol. 1:(produtos de permutadores)

Tem-se, para i, j, ... p, r, s, ... , q ... , G: 1,2,

... ...

G índices

ij ... kprs ... up

i j kr s u

G índices G 1 fatores G 1 fatores

:

ri

si

ui

rj

sj

uj

rk

sk

uk

...

... ... ... ...

...

...

, (06);

expressão que estende aos diádicos a fórmula ((071), § 04.02, I).



Os dois primeiros membros de (06) são conseqüência imediata do duplo produto

pontuado de (03) por (04). Desenvolvendo (05) pelos elementos da última coluna, onde se

faça q = p, vem:

ij ... kp

rs ... up

r

i

s

i

p

i

r

j

s

j

p

j

r

p

s

p

p

p

2G

p

p

r

i

s

i

u

i

r

j

s

j

u

j

r

k

s

k

u

k

...

... ... ... ...

...

...

... ... ... ...

...

...

( )

...

1

...

... ... ... ...

...

... ...

...

...

2G 1

p

k

r

i

s

i

u

i

r

j

s

j

u

j

r

p

s

p

u

p

G 2

p

j

r

i

s

i

u

i

r

k

s

k

u

k

r

p

s

p

u

p

( )

...

( )

...

... ... ...1 1

...

...

...

G 1

p

i

r

j

s

j

u

j

r

k

s

k

u

k

r

p

s

p

u

p

( )

...

... ... ....1

Seja o complemento algébrico (co-fator) de pp:

ri

si

ui

rj

sj

uj

rk

sk

uk

...

... ... ... ...

...

...

.

A última parcela da soma indicada representa uma soma (em p) de determinantes cujos

coeficientes são todos nulos exceto quando p = i. Então, substituindo-se p por i nesse

determinante e deslocando-se a última linha para a posição de primeira linha, o valor do

determinante se conserva em módulo e muda de sinal G - 2 vezes; ou seja, esse

determinante vale (- 1) G+1+G-2 = - . Por iguais motivos a penúltima parcela vale (- 1) G+2+G-3 = - , já que devemos fazer da última linha uma segunda linha (e o determinante

muda de sinal G - 3 vezes); e assim sucessivamente para todas as parcelas, iguais a - . A

primeira das G primeiras parcelas vale G . , pois pp = G. Logo:

ij ... kp

rs ... up G G [ ( )]1 ,

o que conclui a demonstração do teorema.



•

Para o caso G = 2 (diádicos de um 2E2), temos:

ij

rj

i

r (i, r, j 1,2) .

Mas aplicando ((07), § 04.02, I) para o caso G = 2, temos:

ij

rj

r

i

j

i

r

j

j

j r

i

j

i

r

j

r

i (i, r, j 1,2) 2 , (07),

pois jj = 2. Resulta, então:

ir r

i i jr j

ir

< > (i, r, j 1,2) : : , (071).

Para o caso G = 3 (diádicos de um 2E3) temos, aplicando sucessivamente as ((07),

(071), § 04.02, I):

1°) -

1,2,3) sj,r,(i, < >

><

srji

ksrkji

rsij

rskijk

:

:

, (08);

2°) -

ijk

rjk

i j k

r j k r

i i

r < > (i, r 1,2,3) : :2 2 , (09);

3°) -

ijk

ijk

i j k

i j k < > (i, j, k 1,2,3) : 6 , (10).

Para o caso G = 4, temos:

1°) - :4,3,2,1ts,r,k,j,i, Para

ijkm

rstm

ijk

rst

i j k

r s t

r

i

s

i

t

i

r

j

s

j

t

j

r

k

s

k

t

k

< > : , (11);

2°) - Fazendo k = t em (11)

ijkm

rskm

ijk

rsk

ij

rs

r

i

s

i

r

j

s

j (i, j, r, s , ,2,3,4)1 , (12);

3°) - Fazendo j = s em (12), temos:

ijkm

rjkm

ij

rj r

i (i, j, k, m, r 3 1, ,2,3,4) , (13);

§ 15 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico. 275


4°) - Finalmente,

ijkm

ijkm i

i (i, j, k, m 3 3 4 12 1, ,2,3,4), (14);

Genericamente, o produto de dois permutadores a G índices, com todos os índices

correspondentes repetidos, vale G (G - 1):

ijk ... m

ijk ... m(G 1)G (i, j, k, ... , m G 1,2, ... , ) , (15).

Se apenas G - 1 dos índices correspondentes são repetidos o produto vale G - 1 vezes os

deltas de Kronecker com os índices não repetidos:

ijk ... m

rjk ... m r

i(G 1) (i, j, k, ... , m, r G 1,2, ... , ) , (16).

Daí em diante pode aplicar-se a fórmula (07), isso é, se G - 2 dos índices correspondentes

são repetidos, o produto vale o produto dos permutadores com os dois índices não

repetidos:

ijk ... m

rsk ... m

ij

rs

r

i

s

i

r

j

s

j (i, j, k, ... , m, r, s G 1,2, ... , ) , (17);

e assim sucessivamente.

§ 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO.

Projeção qualquer.

Vamos, agora, estender as operações de projeção do espaço dos vetores ao espaço

dos diádicos. Quando se faz projeção, projeta-se um elemento geométrico desde um

segundo elemento sobre um terceiro elemento. O elemento a projetar pode ser um ponto,

uma reta, um plano, um P-espaço qualquer, que se vai projetar desde um espaço qualquer

(um ponto, uma reta, etc.) sobre um outro espaço qualquer. A união do elemento em

projeção com o elemento desde o qual se projeta chama-se espaço projetante.

Assim, num 2EG, a projeção de um ponto P, desde um segundo ponto C (o centro de

projeção), sobre um 2EG-1 (o espaço de projeção), , que não contenha C, é o ponto de

interseção da reta (projetante) PC com . A projeção de uma reta r que não contém C, sobre

o 2EG-1 é a reta interseção do plano , definido por C e r (plano projetante), com o

2EG-1.

De um modo geral,

a projeção de um 2EP que não contém um ponto C, desde esse ponto, sobre

um 2EG-1 (P<G-1), é o

2EP segundo o qual o projetante

2EP+1 (definido por C

e 2EP), corta o

2EG-1.

Com efeito, pois o 2EP+1 e o

2EG-1, ambos contidos no

2EG, devem ter em comum um

2EP+1+G-1-G, ou seja, um

2EP. Quando o

2EP contém o ponto C, a projeção é um

2EP-1.

§ 15 – Projeções no espaço diádico. 276


Nesta concepção de projeção cada elemento tem uma única projeção, mas a dada

projeção 2EP em um espaço de projeção pode corresponder qualquer

2EP que pertença ao

2EP+1 que aquele define com C.

Seja um 2EG-2 o espaço de projeção. Se o centro de projeção é uma reta s (o eixo da

projeção) que não deve interceptar 2EG-2, um ponto P tem por projeção o ponto P' segundo o

qual o projetante (plano) Ps intercepta o 2EG-2 (a dimensão do espaço é 2+G-2-G). Em geral,

a projeção de um 2EP, desde uma s que não intercepte certo

2EG-2, sobre esse

2EG-2, é o

2EP segundo o qual o projetante

2EP+2 corta o

2EG-2.

Seja o espaço de projeção um 2ES e adotemos como eixo de projeção um

2EG-(S+1)

que não corte 2ES. Então, a projeção de um ponto P é o ponto segundo o qual o projetante

2EG-S (definido por P e

2EG-(S+1)) corta

2ES. Em geral,

a projeção de um 2EP sobre um

2ES (P<S), segundo um

2EG-(S+1) que não

corta um 2ES, é o

2EP segundo o qual o

2EG-S+P definido por

2EP e

2EG-(S+1),

corta o 2ES.

Se o 2EP corta o

2ES segundo um

2ER-1 a projeção é um

2EP-R (um ponto, se P=R; uma reta,

se P=R+1 etc.).

Projeção paralela.

A projeção de um subespaço 2EP sobre um outro subespaço

2ES é dita paralela se o

eixo de projeção é um 2EG-(S+1) impróprio (§10.05), e a região imprópria de

2ES não

intercepta a do 2EG-(S+1) impróprio.

Os 2EG-S que projetam pontos são todos completamente paralelos um ao outro.

Como o 2EG-(S+1) impróprio esta contido no espaço impróprio, a projeção de qualquer

elemento impróprio é um elemento impróprio.

Se um 2

EP e um 2EQ (com PQ) não têm ponto em comum e são paralelos do grau

(R+1)/Q - logo eles se interceptam segundo um 2ER impróprio - suas projeções sobre um

2ES (com S> PQ) são também paralelas do grau (R+1)/Q. Por isso, a projeção de um

paralelotopo é um paralelotopo.

Consideremos a expressão cartesiana do vetor v, iiV ev . É óbvio que a projeção

(paralela) da extremidade V do vetor v (um 2E0, P=0) sobre o plano 12 (um

2E2, S=2),

segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o eixo 3 (uma paralela ao eixo 3), é a

extremidade do vetor 33 V ev (um

2E0) segundo o qual a reta (

2E3-2+0) definida por V (

2E0)

e pelo ponto (2E3-(2+1)) impróprio (ou seja, a paralela), corta o plano 12 (

2ES). Por isso o

vetor 33 V ev pode ser dito a projeção de v paralelamente a e3.

Analogamente, consideremos um diádico dado em forma trinomial, iiea , na

base vetorial {e*}, ou em forma cartesiana, jiijA ee com j

iji A ea . A projeção da

extremidade F do diádico (um 2E0, P=0) sobre o 8-espaço (S=8) definido pelos diádicos

de base local {e1e2, e1e3, e2e1, ..., e3e3), segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o

eixo e1e1 (uma paralela a esse eixo), é o ponto extremidade do diádico 1111A ee segundo

o qual a reta (2E9-8+0) definida por F (um

2E0) e pelo ponto (

2E9-(8+1)) impróprio, corta o 8-

§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico. 277


espaço (023...9). Esse diádico é a projeção do diádico nas condições especificadas. A

matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao referencial global, é mesma de

com exceção do elemento de índices 11 que é nulo.

Da mesma forma, a projeção da extremidade F de sobre o 7-espaço (S=7) de

base local {e1e3, e2e1, ..., e3e3}, segundo o 2E1 impróprio (reta) que não corta o plano (

2E2)

{e1e1, e1e2} (logo, uma paralela a esse plano), é o ponto extremidade do diádico

)AA( 2112

1111 eeee segunda o qual o plano (

2E9-7+0) definido por F (um

2E0) e pelo reta

(2E9-(7+1)) imprópria, corta o 7-espaço (034...89). Esse diádico é a própria projeção de nas

condições especificadas. A matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao

referencial global, é a mesma de com exceção do elemento de índices 11 e 12 que são

nulos. E assim sucessivamente.

Merece destaque a projeção (da extremidade) de sobre o subespaço de base local

{e2e2, e2e3, e3e2, e3e3}, paralelamente ao subespaço de base local {e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1},

base essa de cujas díades o vetor e1 é antecedente ou conseqüente. Essa projeção é o diádico

planar 33

22

11 eaeaea (já escrito em forma binomial) que tem por matriz associada,

na base global, a mesma de com zeros na primeira linha e na primeira coluna.

Invertendo-se os espaços de projeção e eixo de projeção, comprovaríamos que a

matriz associada à projeção de sobre o subespaço de base local {e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1}

paralelamente ao subespaço de base local {e2e2, e2e3, e3e2, e3e3} é a mesma de , exceto

pelos elementos não pertencentes à primeira linha e primeira coluna que são todos nulos.

As matrizes 2x2 associadas aos diádicos projeção planares, relativas ao referencial local,

poderão ser degeneradas ou não, caso em que os diádicos correspondentes serão completos

ou não, respectivamente.

Esses conceitos serão utilizados no Cap. IV quando do estudo dos auto sistemas de

um poliádico (§ 13, IV).

Nota: A projeção ortogonal é uma projeção paralela cujo eixo de projeção (impróprio) só pode ser definido (a rigor) com a utilização de operações entre diádicos e tetrádicos que serão estudadas no § 09.03 do Capítulo IV.

§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO

DIÁDICO.

Na Geometria Analítica do Espaço Diádico (doravante, sintetizado por GAED),

como na sua correlata do espaço dos vetores (GAEV) - pesquisam-se as propriedades

projetivas (ou gráficas) e métricas das suas figuras. Propriedade é uma proposição que

enuncia, para uma determinada figura, algo que se mantenha invariante para qualquer

mudança de sistema de referência, i.e., universal. Os vetores e os diádicos, em geral, são

entidades cuja existência independe de sistemas de referência; o que significa que equações

envolvendo vetores e diádicos são universais.

Um desenvolvimento amplo da GAED requer uma quantidade de espaço bem maior

que a correspondente dos vetores, razão pela qual faremos aqui alusão a apenas alguns

aspectos.

§ 16.02 - Baricentros. 278


§ 16.01 – Espaços opostos nos simplex.

Na GAEV qualquer ponto do espaço estará referido a um simplex (final do § 10.04)

de 4 pontos; na GAED, qualquer ponto estará referido a um simplex de 10 pontos. Na

GAEV a todo ponto corresponde um espaço (triângulo) oposto e a cada lado, um lado

oposto. Na GAED essa correspondência multiplica-se assustadoramente. Num 2EG

(definido por um simplex de G+1 pontos, G9) o 2EJ-1 (definido por J quaisquer dentre os

G+1 pontos dados) é oposto ao 2EG-J definido pelos (G+1-J) pontos restantes. Assim, se G é

ímpar, G=2F-1 para F=1, 2, ..., existem F conjuntos de J1GC , ou

J1GC

2

1 , pares de

2EJ-1

opostos a 2EG-J, conforme seja JF, ou J=F, respectivamente. Se G é par, G=2F, existem F

conjuntos de J1GC pares de

2EJ-1 opostos a

2EG-J. O quadro apresentado a seguir mostra a

quantidade de pares de espaços opostos.

Quantidade de pares de espaços opostos de dimensões J-1 e G-J

G F\ J 1 (ponto) 2 (reta) 3 (plano) 4 (3-espaço) 5 (4-espaço) Total

1 1 1 Unilinear 1

2 1 (reta) 3 Linear 3

3 2 (plano) 4 (reta) 3 Anti-simétrico, Uniplanar 7

4 2 (3-espaço) 5 (plano) 10 Argand 15

5 3 (4-espaço) 6 (3-espaço) 15 (plano) 10 31

6 3 (5-espaço) 7 (4-espaço) 21 (3-espaço) 35 Simétrico 63

7 4 (6-espaço) 8 (5-espaço) 28 (4-espaço) 56 (3-espaço) 35 Antitriangular 127

8 4 (7-espaço) 9 (6-espaço) 36 (5-espaço) 84 (4-espaço)126 Planar 255

9 5 (8-espaço) 10 (7-espaço) 45 (6-espaço)120 (5-espaço)210 (3-espaço)126 411

Na GAEV um dos pontos de um 5-ponto deve ser necessariamente um ponto

variável, o ponto móvel do espaço, os quatro outros, fixos, formando um sistema de

referência (para o ponto móvel). O 5-ponto pode ser também denominado um

quinquângulo; todas as propriedades do tetraedro são propriedades do quinquângulo

degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos, pertence a um dos

lados, ou pertence a uma das faces). No plano (o 2-espaço), um dos pontos de um 4-ponto

deve ser necessariamente um ponto móvel; a ele, por analogia, deveríamos denominar um

quadrângulo plano ou quadrângulo degenerado; todas as propriedades de quadriláteros e

triângulos são propriedades dos quadrângulos planos desde que não se distingam as

diagonais dos lados. Na reta (ou 1-espaço), um dos pontos de um 3-ponto deve ser um

ponto móvel; teríamos aí o biângulo retilíneo ou triângulo degenerado, nomenclatura essa

que só faz certo sentido por extensão de idéias (já estamos acostumados com outras

nomenclaturas); todas as propriedades dos segmentos de reta são propriedades dos

biângulos retilíneos.

Na GAED um dos pontos de um 11-ponto deve ser necessariamente um ponto

variável posto que os 10 outros definam um 10-ponto fixo de referência. Constituímos,

assim, um unodecângulo; todas as propriedades do decângulo são propriedades do

unodecângulo degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos,

pertence a um dos lados, pertence a uma das faces ou, em geral pertence a um dos

subespaços). Um G-espaço diádico qualquer (com G9), deve ser referido a um (G+1)-

ângulo de referência, fixo, definido por G+1 pontos; logo um (G+2)-ângulo deve ter um

vértice móvel. Também nesse caso, evidentemente, todas as propriedades do (G+1)-ângulo

serão propriedades do (G+2)-ângulo degenerado. Obviamente um (G+2)-ângulo pode ser

um triângulo, um quadrângulo, um quinquângulo etc., figuras do 2EG.

§ 16.02 - Baricentros. 279


§ 16.02 - Baricentros.

Definições.

Suponhamos que a cada ponto Rj de dado (G+1)-ponto num 2EG possamos associar

certo "atributo", um número Pj. Em relação a dois quaisquer desses pontos, Ri e Rj,

determinemos um terceiro, Rij, sobre a reta suporte do segmento por eles definido, segundo

a lei

i

j

jij

iij

P

P

RR

RR , (01);

isso é, de forma tal que a razão da distância desse ponto (o módulo de um diádico) aos

pontos escolhidos (extremidades das flechas de dois diádicos) seja igual à do inverso dos

correspondentes atributos com o sinal trocado. Se i, j e ij são, respectivamente, os

diádicos posicionais de Ri, Rj e Rij, em relação a uma origem arbitrária do espaço,

deduzimos de (01):

ji

jjii

ij PP

P P

, (011).

O ponto Rij, determinado segundo a lei (01) e de diádico posicional dado por (011), é

denominado centróide de Ri e Rj; e a ele associamos o atributo igual à soma dos atributos

dos pontos que lhe deram origem.

Quando os atributos dos pontos são iguais o centróide denomina-se "centro de

meias distâncias"; sem perigo de confusão com conceitos físicos denominá-lo-emos

doravante "baricentro" dos pontos; seu atributo é 2 e é definido pelo posicional

)(21

jiij , (02).

estando situado a meia distância dos pontos que lhe dão origem.

Aplicando (011), escrevemos a expressão do posicional do baricentro Rijk do par Rij,

Rk , para k i,j:

)2(31

kijijk , (03),

ou, ainda, considerando (02):

)(31

kjiijk , (031).

Concluímos, então, por (03) e (031) que o baricentro do par de pontos Rk e Rij coincide com

o baricentro do terceto de pontos Ri, Rj e Rk. Ora, Rijk é um ponto da reta suporte do

segmento ijk RR . Tomando esse segmento como referência, a expressão (03) mostra que o

baricentro do triângulo (um 2-espaço) de vértices Ri, Rj e Rk esta situado aos 2/3 desse

segmento a partir do ponto Rk.

Essas propriedades simples, aplicadas reiteradas vezes a dois subespaços definidos

por pontos dentre os pontos do (G+1)-ponto dado, permitem generalizar com facilidade a

§ 16.02 – Baricentros. 280


fórmula (03). Assim, se Rij...p e Rrs...q são, respectivamente, os baricentro dos subespaços de

P e Q dos G+1 pontos dados (logo, com P+Q=G+1), o baricentro Rij...prs...q de Rij...p e Rrs...q

coincide com o baricentro do (G+1)-ponto, sendo

) ... ... (1G

1)QP(Q+P

1qsrpjirs...qij...p.qij...prs..

, (04).

Os dois primeiros membros de (04) mostram que ao se tomar o segmento de origem Rij...p e

extremidade Rrs...q como referência, o baricentro do (G+1)-ponto, ou (P + Q)-ponto, estará

situado aos (QP

P

)-avos desse segmento a partir de Rrs...q, ou aos (QP

Q

)-avos a partir de

Rij...p.

Bimedianas e medianas.

Antes de deduzir outras propriedades é conveniente a introdução de alguma

nomenclatura. Os subespaços opostos de um (G+1)-ponto podem ser definidos por iguais

ou diferentes números de pontos. Os segmentos determinados pelos baricentros de

subespaços opostos definidos com iguais e diferentes números de pontos serão ditos,

respectivamente, as bimedianas e as medianas do (G+1)-ponto.

Assim, no segmento (G+1=2), um vértice é oposto do outro e sua bi mediana

coincide com o próprio segmento. No quadrângulo (G+1=4), os pares de lados (12, 34) são

opostos, bem como (13, 24) e (14, 23); suas bimedianas são os segmentos que ligam os

pontos médios desses lados. Nos 2H-ângulos (G+1=2H), as bimedianas dos pares de

espaços opostos (1,2,...,H) e (H+1, H+2, ...,2H), por exemplo, são os segmentos que ligam

os seus baricentros. São também H-espaços opostos (2,3,...,H,H+1) e (H+2, H+3, ..., 2H, 1)

etc. e as bimedianas correspondentes são os segmentos que ligam seus respectivos

baricentros. As medianas dos 2H-ângulos são, por exemplo, as que ligam um vértice,

digamos (1), ao baricentro do respectivo subespaço oposto, (2,3,...,2H-1, 2H);

analogamente para o vértice (2) e seu subespaço oposto (3,4,...,2H,1) etc.. Existem também

as medianas que ligam os baricentros dos lados (12), (13), ..., (1(2H)) aos baricentros dos

respectivos espaços opostos (3,4,...,2H), (4,5, ..., 2H, 2), as que ligam os baricentros dos

lados (23), (24), ..., (2(2H)) aos baricentros dos respectivos espaços opostos (4, 5, ...,

2H,1,), (5,6,...,2H,1,3) etc..

É evidente que os triângulos (G+1=3), quinquângulos (G+1=5), e, em geral, (G+1)-

ângulos (com G+1=2H+1), por não apresentarem subespaços opostos definidos pela mesma

quantidade de pontos (G+1 é ímpar), não têm bimedianas. Nos triângulos (G=2), as três

medianas ligam cada vértice ao ponto médio do respectivo lado oposto (o que está de

conformidade com a nomenclatura clássica). Nos quinquângulos (G=4), as medianas são:

os 5 segmentos definidos por um vértice e o baricentro do seu tetraedro (3-espaço) oposto, e

os 10 outros segmentos definidos pelos pontos médios de um lado (1-espaço) e o baricentro

do seu triângulo (2-espaço) oposto. Num (2H+1)-ângulo (G=2H), as medianas são: os

2H+1 segmentos que ligam cada vértice ao baricentro do respectivo G-espaço oposto; os 2

1GC segmentos que ligam os pontos médios dos lados do (G+1)-ponto ao baricentro do

respectivo (G-1)-espaço oposto, os 31GC segmentos que ligam o baricentro de cada

triângulo ao baricentro do respectivo (G-2)-espaço oposto etc..

A tabela anteriormente apresentada fornece as quantidades de bimedianas e

medianas para cada valor de G+1.

§ 16.02 – Baricentros. 281


*

As (6) bimedianas de um quadrângulo contêm o seu baricentro. Ainda, conforme

(04), vemos que a distância do baricentro do quadrângulo ao baricentro (ponto médio) do

lado ij está para o comprimento desta bimediana assim como 2 está para 4. Concluímos,

então:

Num quadrângulo as suas 6 bimedianas se bissectam mutuamente no

baricentro dos seus vértices.

É evidente que essa propriedade é um caso particular de uma propriedade mais geral

válida para os 2H-ângulos em geral (caso G+1=2H). Todas as H2HC bimedianas de um 2H-

ângulo contêm, evidentemente, o seu baricentro e conforme (04), a distância desse

baricentro ao baricentro do subespaço ij...p está para o comprimento desta bimediana assim

como H está para P+Q (ou 2H), isso é 1 para 2. Como esse resultado independe dos valores

atribuídos aos índices i, j, ...p, resulta:

Num 2H-ângulo as suas H2HC bimedianas se bissectam mutuamente no

baricentro dos seus vértices.

*

Pelo mesmo raciocínio anteriormente feito, deduzimos de (03) e (031) que

As medianas de um triângulo concorrem no baricentro dos seus vértices a

2/3 de cada uma delas a partir dos vértices.

Pela (04) podemos também generalizar essa propriedade das medianas dos

triângulos para os (2H+1)-ângulos em geral considerando os diferentes valores que P e Q

podem assumir, ou sejam: 1 e 2H, 2 e 2H-1, 3 e 2H-2 etc. Ao primeiro caso correspondem 1

12HC medianas; ao segundo, 212HC ; ao terceiro, 3

12HC , etc. todas elas se interceptando

no baricentro do (2H+1)-ponto. Alem disso, o baricentro está situado aos P/2H de cada

mediana a partir do baricentro de vértices r, s, ..., q, ou aos Q/2H dessa mediana a partir do

baricentro dos vértices i, j, ..., p. Esse resultado é válido também, evidentemente, para os

2H-ângulos. Assim,

Todas as medianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu baricentro que

está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-ângulos (P<G)

na proporção (G-P)/G+1

Como casos particulares têm-se as propriedades clássicas para triângulos e

quadrângulos seguintes: 1) - As medianas de um triângulo (G=2) concorrem no seu

baricentro aos 2/3 dos seus vértices (P=0); 2) – as medianas de um quadrângulo (G=3)

concorrem no seu baricentro aos 3/4 dos seus vértices (P=0).

*

Para o caso G+1=2H (segmentos, quadrângulos, hexângulos etc.) a propriedade

acima também é válida, pois, para P=H-1 (respectivamente, pontos, retas, planos etc.), a

proporção é de 1/2 (meias distâncias), resultado interessante que não fica destacado no

enunciado. Assim, a propriedade mais geral poderia ser enunciada na forma seguinte:

§ 16.03 - Equações de espaços. 282


Teorema:

Todas as medianas e bimedianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu

baricentro que está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-

ângulos (P<G) na proporção (G-P)/G+1.

No espaço dos diádicos simétricos, por exemplo, em que o simplex de referência é

um 7-ponto (heptângulo) haverá 35 bimedianas e 28 medianas concorrentes no seu

baricentro; este bissecta as bimedianas, divide 7 dentre as medianas na proporção 5/7 a

partir dos vértices e as 21 outras na proporção 4/7 a partir dos pontos médios dos lados.

No espaço dos diádicos anti-simétricos em que o simplex de referência é um 4-ponto

(quadrângulo), haverá 10 bimedianas e 5 medianas concorrentes no seu baricentro, o qual

bissecta as bimedianas e que divide as medianas na proporção 3/4.

§ 16.03 - Equações de espaços.

Várias formas de equação de uma reta.

Num 2EG qualquer (G2), pontos de uma reta têm um grau de liberdade; dependem

pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Uma reta é, ainda, determinada

univocamente por dois pontos fixos distintos, dados: 1 e 2, se for G=2 (logo, o 2EG está

definido por 0, 1 e 2); dois quaisquer 1 e 2, se for G3 etc.. Para G2 os posicionais serão

1 e

2, respectivamente, em relação ao ponto 0 de

2EG; logo, pode ser representada pela

equação:

21 , (011),

em que é o diádico posicional do seu ponto corrente96 e é um parâmetro variável. Para

=1 deve ser =0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais

1 e

2

devem ser distintos. Pondo a equação na forma 21)1 vê-se que deve ser

= para =2, ou seja, ao ponto 2 corresponde o valor do parâmetro.

Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo 1 e é

paralela ao diádico unitário . Como o diádico -1, de módulo variável deve, então, ser

paralelo a ; escrevemos ˆ1 , se G=2, ou seja,

ˆ1 , (012),

ou, se G397,

ˆ)( 1 , (012').

96 Os diádicos aqui utilizados são, em geral, co-iniciais na origem. Referir-se a um diádico 1 é equivalente a

referir-se à sua extremidade.

97 O produto cruzado de dois diádicos (do 2-espaço por eles definido) é, por definição, um diádico de um 3-espaço.



As equações (011) e (012) são equações paramétrica da reta no 2EG; e a forma (012')

é a forma normal no 2EG para G3.

Consideremos agora, no 2E2, a equação C 1 : em que

1 e C são diádico e

escalar constantes. Tem-se: d ||),cos( || ||C 1111 : em que d é a projeção

(constante) de sobre 1. Conseqüentemente os pontos pertencem a uma reta ortogonal a

1 cuja distância à origem é C/|

1|=d. A equação dada,

C 1 : , (02),

é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na

forma mais simples d ˆ 1 : .

Vamos procurar, ainda no 2E2, a equação da reta que passa por um ponto fixo

1 e

seja ortogonal a uma direção . Ora, -1 deve ser, então, ortogonal a ; logo,

0ˆ )( 1 : , (03),

equação essa dita forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro

membro podemos escrever, ainda,

Cˆ ˆ 1 :: , (031),

por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta.

Várias formas de equação de um plano.

Observemos inicialmente que a equação (02), considerada no 2EG para G>2, pode

também ser a equação do plano ortogonal a 1 cuja distância à origem é C/|

1|=d. Nada se

pode dizer sobre uma equação, dada ao acaso, sem que seja dado o significado das letras e o

espaço em que ela deve ser válida.

Como num 2EG, para G3, os pontos de um plano (

2E2) têm dois graus de liberdade,

a determinação analítica de um ponto qualquer desse plano dependerá de dois parâmetros.

Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3, bastam para determinar unicamente um

plano, então sua equação é

321) , (041),

onde 1,

2 e

3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a 0, e 1

e 2 são parâmetros variáveis. A forma (041) de representação da reta é denominada

paramétrica.

Todos os pontos das retas definidas por (1,

2), (

2,

3) e (

1,

3) pertencem ao

plano (041).

Para =1 vê-se que deve ser 1=2=0 porque os pontos não são colineares. Se

1,20 podemos dividir ambos os membros da equação por 12 e escrevê-la na forma

3

1

21

111

111)111(

.



Para =2 tem-se, simplificando termos semelhantes em



)1(1)11(1 31

1

2

1

.

Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são:

2=qualquer e 1=. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os

valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: ,1=qualquer e 2=.

Ora, se os diádicos 1,

2,

3 e devem pertencer ao mesmo 3-espaço o produto

misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,

0)( 321 , (05),

representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G4. Uma outra

forma, ainda denominada, também, geral, é a que representa o plano que passa por um

ponto e é paralelo a duas direções 1 e 2 . O diádico -1 deve, pois, ser paralelo ao

produto cruzado de 1 e 2 ; logo,

0))(ˆˆ( 121 , (06).

A forma paramétrica relativa a (06) é, evidentemente,

211 ˆˆ) , (061).

A forma normal de representação do plano está liga à condição desse plano passar

por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção . Nesse caso, os diádicos -1 e -

2,

contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a ; logo, o produto cruzado

deles deve ser paralelo a , isso é,

ˆ))(( 21 , (07).

No 2EG, com G3, equação do plano que passa por

1 e é perpendicular à direção

é, evidentemente,

0ˆ )( 1 : , (08),

posto que para o ponto corrente , o diádico -1 deve ser necessariamente ortogonal a ;

esta é a forma hessiana de representação do plano nesse espaço.

Várias formas de equação de um 3-espaço.

O raciocínio feito para a determinação das equações de retas e planos pode ser

estendido para o 3-espaço. Como num 2EG, para G4, os pontos de um 3-espaço (

2E3) têm

três graus de liberdade, a determinação analítica de um ponto qualquer dependerá de três

parâmetros. Como quatro pontos não coplanares, fixos, 1, 2, 3 e 4, bastam para determinar

unicamente um 3-espaço, a sua equação é

4321) , (091),



onde 1,

2,

3 e

4 são os posicionais dos pontos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, em relação a

0, e 1, 2 e 3 são parâmetros variáveis. A forma (091) de representação do 3-espaço é a

paramétrica.

Todos os pontos das retas definidas por (1,

2), (

2 e

3) e (

1,

3) e dos planos

definidos por (1,

2,

3), (

1,

2,

4) etc. pertencem ao 3-espaço (041).

Para =1 vê-se que deve ser 1=2=3=0 porque os pontos não são co-espaciais.

Se 1,2,30 podemos dividir ambos os membros da equação por 123 e escrevê-

la na forma

4

1

3

1

21

1111

1111)1111(

.

Para =2 tem-se, simplificando termos semelhantes em



)111(1)111(1 4312

.

Como os pontos não são co-espaciais, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são:

2, 3=quaisquer e 1=. E assim por diante.

Como os diádicos 1,

2,

3,

4 e devem pertencer ao mesmo 4-espaço, o produto

misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,

0)( 4321 , (10),

representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G4.

Pode estabelecer-se a forma, também denominada geral, que representa o 3-espaço

que passa por um ponto 1 e é paralelo a três direções (não coplanares) 1 , 2 e 3 que

definem um3-espaço. O diádico -1 deve, pois, ser paralelo ao produto cruzado de 1 , 2

e 3 ; logo,

0))(ˆˆˆ( 1321 , (11).

A forma paramétrica relativa a (11) é, evidentemente,

3211 ˆˆˆ) , (111).

Cabem, ainda, dois problemas adicionais (não cabíveis nos espaços anteriores) que

consiste em determinar-se a equação do 3-espaço que: 1) - passa por dois pontos, 1 e 2, e é

paralelo a duas direções 1 e 2 (que definem uma orientação); e 2) – passa por três

pontos e é paralelo a uma direção 1 (uma reta). No primeiro problema deve-se escrever

que a normal aos diádicos -1 e -

2, isso é, o produto cruzado deles, é ortogonal à normal

às duas direções simultaneamente, isso é, normal ao produto cruzado de 1 e 2 . Então:

0ˆˆ ))(( 2121 : , (12).



Para o segundo problema, desenvolvendo o mesmo raciocínio, escrevemos:

1221 ˆ))()(( , (13).

As equações (12) e (13) poderiam ser denominadas formas normais de representação do 2E3.

No 2EG, com G4, a equação do 3-espaço que passa por

1 e é perpendicular a três

direções 1 , 2 e 3 é, evidentemente,

3211 ˆˆˆ )( , (14),

posto que para o ponto corrente , o diádico -1, por pertencer ao 3-espaço, deve ser

necessariamente paralelo à normal a 1 , 2 e 3 ; esta é a forma hessiana de

representação do 3-espaço.

Cabe, ainda, finalmente, determinar a equação do 3-espaço que passa por dois

pontos (reta) e é ortogonal a duas direção 1 e 2 (que definem uma orientação). Nesse

caso, a normal aos diádicos -1 e -

2 (ambos pertencentes ao 3-espaço) deve ser paralela

à normal à orientação definida por 1 e 2 . Então,

2121 ˆˆ ))(( , (15).

Várias formas de equação de um espaço qualquer.

Em geral, num 2EG (GP+1), a equação de um

2EP-1 definido por P dentre os G+1

pontos independentes (excluído o ponto 0), de posicionais 1,

2, ...,

P em relação ao ponto

0 de 2EG é

P

1-P21 ... , (16),

onde 1, 2, ..., P-1 são (P-1) parâmetros variáveis compatíveis com os P-1 graus de

liberdade de um ponto qualquer desse espaço; tal é a equação paramétrica do 2EP-1. A

cada posição de em 2EP-1 corresponde um conjunto de valores dos parâmetros 1, 2, ...,

P-1. Para =1, isso é, ao ponto 1, correspondem valores todos nulos dos parâmetros; ao

ponto 2, corresponde o valor 1= e valores quaisquer para os demais parâmetros; e assim

sucessivamente.

Um outro modo de expressar essa equação consiste em escrever-se que os

posicionais (relativos a 0) dos P pontos fixos e o do ponto corrente do respectivo 2EP-1

apresentam necessariamente um produto misto nulo (§13),

0).( P21 , (161),

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. 287


simplesmente porque esses P+1 diádicos pertencem ao mesmo 2EP-1; tal é a equação geral

de 2EP-1.

Os demais tipos de equação são determinados como anteriormente, cada um deles

exigindo no máximo P condições para ficar perfeitamente determinado. Assim, por

exemplo, num 2EG, a equação do

2EP-1 (que não contém 0), que passa por (ou contém) um

2ER-1 e é paralelo a um

2ES (RS), este definido por S direções S21

ˆ ..., ,ˆ ,ˆ (não

pertencentes a um mesmo 2ES-1), é, para R+S=G+1,

S21R21 ˆ ... ˆˆ )(... ))(( : , (17).

Tal é a equação normal do 2EP-1.

A equação de um 2EP-1 (que não contém 0), que passa por R (R2) pontos e é

ortogonal a S direções (S2) é, para R+S=G+1 (logo, G3):

S21R21 ˆ ... ˆˆ )(... ))(( , (18).

*

Exercício:

Se, num 2EG, em relação a um simplex de referência de centro de gravidade , um

ponto variável, , descreve a reta que passa pelos pontos e , o centro de gravidade do

(G+2)-ponto (variável) formado pelo simplex e pela extremidade de descreve uma reta

que passa pelos pontos (+)/G+1 e (+)/G+1. Generalizar o problema.

*

§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica.

Consideremos um simplex de G+1 pontos (num 2EG) e a base diádica

correspondente, {1, 2, ..., G}, com diádicos co-iniciais no ponto 0.

O ponto de posicional 1+ 2+ ..., G, é denominado o ponto unidade do espaço; na

base indicada, esse ponto unidade tem as G coordenadas iguais a um e seu posicional (não

unitário) será denotado por .

A reta que liga um ponto dado do espaço, P, de posicional , ao ponto unidade U,

intercepta o 2EG-1 oposto ao ponto J do simplex (ponto 0 incluído) num ponto Lj de

posicional j (logo j=0, 1, 2, ...,G). A equação paramétrica dessa reta (§ 16.02) é

)1( , em que é o posicional do seu ponto corrente e um parâmetro variável.

Para =0, tem-se 00 )( ; analogamente, para =j, tem-se jjj )( .

A razão anarmônica dos pontos P, U, L0 e Lj - o número Xj que, para U e dado P

(logo, com L0 fixo) varia apenas com Lj - é definida pela expressão:

j

j

j

o

ojo X

UL

PL

PL

UL)UP,LL( .

Os segmentos, todos paralelos, podem ser expressos por diferenças de diádicos posicionais

e seus produtos por duplos produtos pontuados entre os respectivos diádicos. Logo:

§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies 288


)-()(X)()-( j0jj0 :: ,

ou seja, considerando as expressões deduzidas da equação da reta:

)-()(X)(1)-( j0jjj

0 ::

.

Simplificando a expressão obtida, resulta: jj X . Vê-se assim que, para dado P e,

logo, um L0 (ou 0) fixo, a cada Lj (j=1, 2 ...,G) corresponde uma razão anarmônica Xj

univocamente determinada. Portanto, com essa associação, podemos afirmar que a cada

ponto de uma reta num 2EG estão associados os G+1 números univocamente determinados,

0, X1, X2, ..., XG; esta forma de proceder é fundamental em Geometria Projetiva Algébrica

(cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro).

*

§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas,

superfícies.

É necessário observar que estamos longe de completar essa geometria do espaço

diádico.

Um politopo, num 2EG (no caso presente, G9) é a generalização dos conceitos de

polígonos e poliedros em duas e três dimensões na geometria dos vetores. É uma figura

formada por espaços fronteira 2EG-1, em número de G+1, que se interceptam dois a dois

segundo espaços fronteira 2EG-2, em número de 2

1GC , três a três em fronteiras 2EG-3 em

numero de 31GC etc.. É preciso caracterizar bem essas fronteiras e determinar suas relações

pelo menos nos casos mais simples.

O conteúdo de um 2EG é a generalização dos conceitos de medida de um segmento

de reta, da área de um triângulo, do volume de um tetraedro válidos na geometria dos

vetores. No caso geral, esse conteúdo é o conteúdo (volume) do paralelotopo representado

pelo produto misto de G diádicos independentes desse espaço (§ 13). Mas é necessário

também o cálculo de conteúdos de pirâmides, prismas etc. e seus troncos.

O que dizer sobre a generalização do Teorema de Euler-Descartes relativo aos

poliedros do espaço dos vetores? E sobre os politopos regulares?

O estudo de curvas e superfícies no espaço diádico requer consideração a diádicos

que variem com um ou mais parâmetros, tal como para as curvas e superfícies do espaço

dos vetores. Esses importantes conceitos, que nos levam às derivações e integrações, serão

discutidos apenas no Tomo II.

Essas breves informações são suficientes para mostrar a frente ampla de trabalho que

se descortina para constituir, de uma forma metódica, axiomática, a Geometria Euclidiana

Multidimensional e utilizá-la para interpretar problemas físicos envolvendo diádicos (e

poliádicos, em geral).

Bibliografia 289


BIBLIOGRAFIA.

Há autores que expõem a teoria dos diádicos na forma de anexo às suas obras. Deu

maior sustentação a esse capítulo as obras 1 e 3 listadas. Entretanto, é nas obras de Moreira

e Sielawa que aprendemos a utilizar os vetores recíprocos como rotina.

1 - 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New

Haven, Connecticut, USA, 436p., reeditado em 1913, 1916, 1922, 1925 ,1929,

1931, 1943, 1947 e 1948.

2 - 1924: WEATHERBURN, C. E., Advanced Vector Analysis (with applications to

Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltd., London, 222 p., reeditado em

1926 e 1928.

3 - 1966: MOREIRA, L.C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata,

vol. XXV, n° 2 e 3, 39 p., Ouro Preto.

4 - 1970: SIELAWA, J. T., Métodos matemáticos da Mecânica do Contínuo, Instituto

Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 430 p..

Bibliografia 290



CAPÍTULO III

GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR.

§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA.

§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL.

Partindo do conceito elementar de função de valor numérico e argumento numérico,

alcançamos, no § 01 do Cap. II, o conceito de função de valor vetor e argumento vetor.

Dentre essas funções, definimos as funções lineares vetoriais, de grande utilidade em Física

e em Geometria. Interpretamos a função linear vetorial como uma operação sobre o

argumento vetor (o paciente) que o transforma em um novo vetor (o valor da função); a

função linear vetorial passou, então, a ser um conceito equivalente a uma Transformação

Linear (TL) e pudemos entendê-la de três pontos de vista: o algébrico, o geométrico e o

físico.

Neste capítulo, exploraremos a TL, de forma ampla, do ponto de vista geométrico.

Segundo esse ponto de vista, se O é um ponto fixo de EN (da reta, do plano, ou do espaço),

e se x é o vetor posição (em relação a O) do ponto X de EN - ponto este que

denominaremos ponto objeto - então x l x( ) é a transformação linear de x mediante o

operador l( ); em relação a O, x é o vetor posição do ponto X - denominado ponto

imagem - transformado do ponto X. Definidos os diádicos (§ 02,II) e algumas operações

entre diádico e vetor, mostramos (§ 02.04,II) que todo diádico é operador de uma TL sobre

vetores e que toda TL (sobre vetores) pode ser convenientemente representada por um

diádico (para ser usado em multiplicação pontuada anterior ou posterior com vetores).

Então:

x l x x .x x.( ) , T

(01),

ou

l .( ) , ou . T, (011),

isso é, a dada TL corresponde um único operador (que pode ter infinitas representações);

e reciprocamente.

A correspondência (011) da direita para a esquerda é de assimilação imediata, o que

não se verifica, similarmente, da esquerda para a direita. Se nos lembrarmos, porém (Corol

1, Teor 1, § 02.04,II), que o diádico regente de uma TL fica perfeitamente determinado, em

EN, quando são conhecidos os seus produtos escalares (que são vetores) por N vetores

independentes, quaisquer, especificados, de EN, essas dificuldades desaparecem. Um outro

modo de eliminar essas mesmas dificuldades consiste em utilizar o Corol 2, Teor 1, §

02.04,I: se for sabido (de alguma forma) que N vetores especificados (de EN), são os

transformados de N outros vetores independentes especificados (também de EN ), então o

diádico gerado de EN, que transforma um conjunto no outro, esta univocamente

determinado. Agora, se existirem dificuldades, estas estarão nas formas de especificar tais

vetores. Especificaremos os vetores: 1º) - pelos seus módulos, direções, sentidos, ângulos

§ 01.02 - Propriedades fundamentais 292


de uns com os outros etc. - uma especificação geométrica espacial, ou, simplesmente

euclidiana; 2º) - pelas suas coordenadas em relação a certa base - uma especificação

tipicamente analítica, ou, simplesmente cartesiana. Ora, é evidente que a primeira é

universal, isso é, é única e independente de bases; a segunda só é determinada (inteligível)

para cada base particularmente especificada, podendo, pois, ser concretizada de infinitas

maneiras. Dada qualquer uma dessas especificações, entretanto, podemos deduzir a outra;

logo, ambas são formas equivalentes de especificar-se uma TL.

Como se correlacionam duas especificações cartesianas e a especificação euclidiana

correspondente de uma mesma TL? À especificação euclidiana corresponde um diádico

único (para qualquer observador). Quando um primeiro observador adota uma base (e, logo,

a sua recíproca) para referência, em geral ele pode associar quatro matrizes ao diádico

regente da TL (§ 09.02, II) e apenas uma se a base é ortonormada. Tais matrizes, entretanto,

não são independentes; correlacionam-se conforme a tabela de multiplicação apresentada

no (§ 09.03, II) via as matrizes métricas (inversas) das bases recíprocas adotadas. Se um

segundo observador adota uma outra base para o estudo da mesma TL que o primeiro

observador estuda, ele associará quatro novas matrizes ao mesmo diádico regente da

transformação (na especificação euclidiana), para as quais são válidas, ainda, as fórmulas

indicadas na tabela acima referida. Mostraremos oportunamente (§ 02.03), que existem

quatro relações entre as matrizes dos observadores, uma para cada par de matrizes

homônimas.

Imponhamos, agora, a dois observadores, cada um com a sua base, a condição de

estudarem uma mesma TL, com uma mesma matriz. Será isto possível? Em geral, não!

Apenas ocorrerá que, entre os diferentes diádicos dos observadores, ficará estabelecida uma

conexão (ver § 02.02) via um terceiro diádico, completo, cujos antecedentes e conseqüentes

são os vetores de base de cada observador; mas cada diádico regerá uma determinada TL.

Entretanto, há situações em que isso é possível, conforme veremos no § 02.04.

§ 01.02 - Propriedades fundamentais.

Algumas das principais propriedades das TL's já foram demonstradas a título de

interpretação geométrica ou ilustração de propriedades dos diádicos, ou de operações entre

diádicos e vetores. Com efeito, já comprovamos (§ 02.04, II) a seguintes:

Propr. 1: No E3,, os pontos dependentes de uma reta (pontos colineares), e os

dependentes de um plano (pontos coplanares), são transformados,

respectivamente, em pontos dependentes de uma reta e de um plano.

Como corolário dessa propriedade constata-se facilmente a seguinte

Propr. 2: Em E3, as retas e os planos se transformam, respectivamente, em retas e

planos.

Propr. 3:

Em E3, retas paralelas e planos paralelos transformam-se, respectivamente,

em retas paralelas e em planos paralelos.



Se x e y são os pontos correntes das retas paralelas ao unitário u e que passam

respectivamente, pelos pontos A e B, escrevemos:

x a u

y b u

M

N

,

onde a e b são os vetores posição de A e B, e M e N são parâmetros. Multiplicando

escalarmente ambos os membros das relações acima por , obtemos nos primeiros membros

os transformados dos pontos correntes das retas paralelas; e nos segundos membros os

transformados dos pontos A e B e do unitário u , isso é

x .x .a .u a u

y . y .b .u b u

M M

N N

.

As retas transformadas passam pelos pontos A e B (extremidades de a’ e b’) e são ambas

paralelas ao vetor u, isso é, são paralelas.

A demonstração para o caso dos planos pode ser feita por analogia.

Propr. 4: A transformada da superfície esférica é sempre um elipsóide.

Seja X o ponto corrente da superfície esférica de centro C e raio R. Os

transformados dos pontos X e C são X e C tais, que

x .x c .c e .

A equação da superfície esférica é

( ) ,x c 2

R2

de onde, substituindo x e c em função de x c e , operando e agrupando convenientemente,

deduzimos:

( ) ( ) ( ) , x c . . . x c T 2R1 (01).

O primeiro membro da equação acima (equação da transformada da superfície esférica) é

uma forma quadrática ternária (§09.07,II) nas coordenadas de x c e apresenta, por isso,

apenas os termos quadrados e retangulares; a equação é, portanto, a de uma quádrica

centrada em C , simétrica em relação a C e fechada porque x c é vetor de módulo

finito. Esta quádrica é, pois, um elipsóide.

O desenvolvimento da equação cartesiana do elipsóide requer a adoção de um

referencial para que o vetor x c e o diádico sejam dados por suas coordenadas. Assim

procedendo, a determinação das características desse elipsóide (valor dos semi-eixos,

direção dos semi-eixos, seu volume, etc.) poderá ser feita pelos métodos da Geometria

Analítica.



Notas:

1 - Não é difícil comprovar que o transformado de um elipsóide é também um elipsóide e

que o de uma circunferência (ou elipse) é sempre uma elipse.

2 - Mostraremos mais tarde que uma transformação linear é, numa situação particular (em

Mecânica), fisicamente equivalente a uma deformação homogênea, razão pela qual, muitas vezes, os elipsóides são denominados "elipsóides de deformação".

Propr. 5:

Na TL regida por , o quadrado da razão da distância (|x’|) entre dois

pontos imagem para a distância (|x|) entre os respectivos pontos objeto,

estes, definidores de uma direção n , é dado por:

n...nn.x

xˆ)(ˆ)ˆ()

||

||( T22

, (02).

Por serem x .x e x x n| | , tem-se:

| | ( ) | | ( ) x .x x .n2 2 2 2 ,

de onde, dividindo ambos os membros por |x|2, deduzimos (02).

Propr. 6:

Na TL regida por , o quadrado da razão da área imagem, A , para a

correspondente área objeto, A - esta, ortogonal à direção n - é dada por:

( ) ( ) ( ) ,~

A

A~T T2 2

.n n. . .n (03).

Se x e y são dois vetores do domínio objeto, yx é o vetor área definido pelos

mesmos; seus transformados mediante são os vetores . x e . y, e o vetor área que lhes

corresponde é )()( .y.x . Sabemos ((01), § 08.04, II) que:

~)()( )()( 2 .yxyx..y.x .

O primeiro e o último membros da relação acima mostram como conecta os

vetores-área antes e após a transformação. Sejam:

|)()(|A | ,|A .y.xyx ,

e n o unitário da normal ao plano de x e y. Temos, então:

n...nyx..yx ˆ ~ ~ˆA)( ~ ~)()A( T2T2 ,

de onde, considerando ((01),§ 08.03,II), deduzimos imediatamente (03).

§ 01.03 - Aplicação numérica. 295


Propr. 7:

O terceiro do diádico de uma transformação rege a transformação dos

volumes.

Esta propriedade já foi demonstrada como interpretação geométrica do terceiro de

um diádico (Teor. 3, § 02.08, II).

§ 01.03 - Aplicação numérica.

A arbitrariedade do ponto fixo de referência implica, por si só, a independência da

transformação relativamente a referenciais, isso é, uma TL depende apenas do diádico que a

rege. Isto, aliás, é até intuitivo porque, do contrário, uma mesma figura objeto seria

transformada em tantas figuras imagem quantos fossem os observadores da transformação,

cada qual com o seu sistema de referência. Por outro lado, paradoxalmente, parece razoável

admitir que enquanto alguma coisa deve variar com a mudança de referencial, alguma outra

coisa deve não variar para que a figura imagem seja a mesma para os diferentes

observadores. Isso tudo é verdadeiro intuitivamente do ponto de vista físico; oportunamente

veremos como traduzir matematicamente essa questão. Vale lembrar, entretanto, a nossa

intuição nem sempre traduz ou representa uma realidade.

Na prática das previsões e medições, não obstante a consideração conceitual atrás

exposta, torna-se imperioso - senão absolutamente necessário - a adoção de um sistema de

referência adequado em relação ao qual se possam determinar posições, distâncias, ângulos

etc., bem como, munindo o referido sistema de um cronômetro, determinar-se o tempo.

Abandonando provisoriamente o parâmetro tempo - de extrema importância em

aplicações - refiramos certo domínio D, de ponto objeto corrente X, a um conveniente e

bem determinado sistema cartesiano de referência (não necessariamente ortogonal), O-

x1x2x3, e de vetores de base e1, e2 e e3 (não necessariamente unitários). Se Xi (i=1,2,3) são

as coordenadas de X em relação ao sistema, escrevemos:

x e= X , com X = X ( , ,i

i

i i 1 2 3 ), (01),

os argumentos i sendo variáveis numéricas que variem continuamente dentro de intervalos

bem determinados (o significado das funções será detalhado no Tomo II desta obra).

O diádico , dado, regente da transformação, pode ser escrito na forma cartesiana (§

09,II)

= k

j k

j , ( j, k = 1,2,3),e e (02),

as kj sendo as suas coordenadas mistas e [k

j] a sua matriz associada (§ 09.02,II) . (É claro

que poderia ser definido por um tipo qualquer de componentes uma vez que sendo

conhecidas as de um tipo, as demais ficam perfeitamente determinadas, conforme sabemos

(§ 09.03,II)).

Deduzimos:

x .x= = ( ) (X ) = X ( j

k

k

j i

i j

k i

k

j

i e e . e e e .e ),

isso é, por ser i ii

j .ee resulta: kik

i X ex .



Sendo, ainda, X'k as coordenadas de x', escrevemos:

X = X ,k

k i

k i

ke e

donde, igualando as coordenadas homônimas:

X = Xk

i

k i ;

igualdade que pode ser escrita na forma matricial:

{X } = [ ] {X },

. (03),

onde, evidentemente,

{ , ,

X } =

X

X

X

{X } =

X

X

X

[ ]

1

2

3

1

2

3

=

1 1 1

1 2 32

12

22

33

13

23

3

, (04).

A transformação inversa pode ser escrita na forma matricial:

{X } = [ ] {X },

1

. (05).

Nota:

A fórmula (03) é geral, aplicando-se inclusive no caso em que os vetores de base sejam

unitários triortogonais. Nesse caso, ocorrerá apenas que as componentes contravariantes dos vetores x e x' serão confundidas com as co-variantes, e as componentes mistas do diádico confundidas com as contravariantes e co-variantes.

Exemplo Numérico 1:

Estudemos, em relação à base ortonormada { , , ,} i j k , a TL regida pelo diádico:

= , ,ii ij ji jj kk 2 15

cuja matriz associada é

[ ] , .

1 1 0

2 1 5 0

0 0 1

Procuremos, por exemplo, caracterizar a figura transformada do quadrado do plano

( , )i j , centrado na origem, cujos lados são paralelos aos unitários i j e , e têm comprimento

igual a duas unidades.

Solução:

Nesse problema elementar, o domínio D é o quadrado que se encontra perfeitamente

determinado; o domínio D' será a figura em que se transformará esse quadrado por ação do



diádico especificado em forma cartesiana. (Note-se que, por ser a base ortonormada, as

componentes contravariantes, co-variantes e mistas de são idênticas).

Pelas propriedades das TL's, a figura imagem é um paralelogramo porque os lados

do quadrado (que são paralelos) se transformam em segmentos paralelos; basta, pois, para

caracterizar o paralelogramo, determinar as imagens dos vértices do quadrado (Fig. 01.01).

Aplicando (03) aos vértices A, B, C e D do quadrado, cujos vetores posição são

facilmente determinados, encontra-se, para expressão dos vetores posição dos

transformados:

{ , ; ;

A } =

1 1 0

2 1,5 0

0 0 1

{B } = [ ]

. .

1

1

0

0

3 5

0

1

1

0

2

0,5

0

{ , , ,

C } = [ ]

e {D } = [ ]

. .

1

1

0

0

3 5

0

1

1

0

2

0 5

0

Devemos observar que tanto o domínio objeto quanto o domínio imagem têm um

centro de simetria, propriedade que, aliás, é geral das TL's, isso é, se o domínio objeto

apresentar pontos, eixos ou planos de simetria assim também deverá se apresentar o

domínio imagem. Neste exemplo numérico particular ocorre que o centro de simetria é

coincidente com a origem do referencial, condição que não é necessária para verificar-se a

propriedade.

Para ampliar um pouco mais o problema proposto, poderíamos verificar que a

circunferência de raio unitário, inscrita no quadrado, se transforma numa elipse inscrita no

paralelogramo. Obteremos a equação da elipse por consideração de ((01), § 01.02) onde

deveremos fazer c'=o (centro coincidente com a origem), R=1 e X3=0 (esfera e elipsóide

secionados pelo plano X3=0). Sendo

x . . .x( ) = 1T 1 ,

e



22

1T

50,300

0250,0

050,025,6

5,3

1])[( . ,

resulta logo, para equação da elipse imagem:

6,25(X ) X X + 2(X ) = 3,5 .1

2

1 2 2

2 2

Notemos que os pontos de contato da circunferência com os lados AB, BC, CD e

DA do quadrado (pontos médios desses lados), de coordenadas respectivas:

(0;1;0), ( 1;0;0), (0; 1;0) e (1;0;0) ,

têm por imagem os pontos de coordenadas

( 1;1,5;0), ( 1; 2;0), (1; 1,5;0) e (1;2;0) ,

respectivamente, e estes são os pontos médios dos lados do paralelogramo imagem.

Notemos também, por outro lado, que esses mesmos pontos médios (M', N', etc.) são os

pontos de tangência dos lados do paralelogramo com a elipse, mas não são de modo algum

os vértices da elipse, como poderia parecer. O ponto Q, interseção da semidiagonal OA

com o arco de circunferência NM, tem como imagem o ponto Q' tal, que

0

475,2

0

2

2

0

2/7

0

2

2

0

1

1

][}{ . ;

e este, por sua vez, também não é vértice da elipse.

Pelos métodos da Geometria Analítica e a partir da equação da elipse podemos

calcular as coordenadas do seu vértice V'. Qual seria o ponto objeto V? Quais os

comprimentos dos semi-eixos da elipse? Quais os ângulos desses semi-eixos com o

unitário i ? Qual o par de raios da circunferência (raios objeto) que se corresponde com o

par de semi-eixos da elipse? Esses assuntos serão analisados de forma ampla mais à frente.

Por ora o leitor poderia se preocupar em responder às perguntas formuladas representando

graficamente a elipse ou efetuando os cálculos pelos métodos da Geometria Analítica.

Para completar este exemplo numérico elementar, o leitor poderá comprovar gráfica

e analiticamente as propriedades 5, 6, e 7 das TL's. Fazendo a figura numa escala adequada,

o leitor poderá se surpreender com a precisão dos resultados gráficos quando comparados

com valores exatos que podem ser calculados sem dificuldades.

§ 02.01 - Diádicos de mudança de base. 299


§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR

SIMILARIDADE.

§ 02.01 - Diádicos de mudança de base.

Sejam {e*} e {r

*} duas bases quaisquer e distintas de EN, e {e*} e {r*} suas

correspondentes recíprocas. Existe sempre (Corol. 2, Teor. 1, § 02.04, II) um e um único

diádico completo, , que, usado como pré-fator por exemplo, transforma os vetores de uma

base nos vetores da outra. Assim,

r .e r e r ei i i

i (i = 1,2,... , N) { },{ } , (01).

Dada a generalidade das bases e se é usado como pré-fator, a constituição de

esta determinada: os seus antecedentes são os vetores da base transformada e os seus

conseqüentes são os recíprocos dos vetores da base a transformar.

Definição: (diádico de mudança de base)

O diádico , dado por (01), que transforma por multiplicação pontuada

anterior os vetores da base {e*

} nos vetores da base {r*

} denomina-se

diádico de mudança de base {e*

} para a base {r*

},

tornando-se evidente que todo diádico completo é um diádico de mudança de base, e

reciprocamente.

Então: 1) - o diádico de mudança da base {r*} para a base {e*} é T i

i e r ; 2) -

o diádico de mudança de base {r*} para a {e

*} deve ser o recíproco de , 1 e r

i

i ,

porque opera a transformação inversa de ; 3) - o diádico de mudança de base {e*} para a

base {r*}, isso é, entre as bases recíprocas das bases dadas, é r ei

i, isso é, o principal de

(§ 08,II). Assim, entre as bases {e*}, (r

*} e suas recíprocas existem as transformações

representadas pelos diádicos , ,T

P

1 e

, conforme esquematizado na Fig.02.01.

Em resumo:

se = então, i

i

T i

i1

i

i

P

T i

i

r e

e r

e r

r e

,

,

(02).

§ 02.02 - Transformações por semelhança. Diádicos semelhantes. 300


As relações entre estes diádicos já foram estabelecidas no §08.01,II, sendo, por exemplo,

1

3T

P3 ~ ou, P32 . (03),

e

.. 11 e ~ ~ 3 .. (031).

Por (01) vemos que o diádico de mudança da base {e*} para a base {r

*} executa

uma transformação linear sobre os vetores da base {e*}. Para qualquer vetor v de EN

escrevemos, então: v . v ; e, em relação a qualquer base fixa, interpretamos esse

resultado dizendo que v transformou-se em v por ação de . Como temos acentuado,

podemos entender também que, em relação a qualquer base fixa, por ação de , o ponto V

foi transformado em V . Esse é um dos pontos de vista para a interpretação da

transformação regida pelo diádico sobre os pontos do espaço.

Nesse primeiro ponto de vista, então, elegemos uma base fixa, {e*}, em relação à

qual o operador transformou o ponto V no ponto V . Isso é, um observador, O, fixo em

{e*}, veria o ponto V deslocar-se para V por ação de .

Num segundo ponto de vista podemos inverter a situação: imaginando marcado o

ponto V do espaço, o observador O deverá fazer uma mudança de base. Nestas condições,

de uma outra base qualquer, fixa no espaço, um segundo observador O verá o observador O

mudar continuamente de posição (alterando de alguma forma os ângulos e os módulos dos

vetores da base inicial) até que ele venha a assumir a nova base. Nesse movimento, o

observador O sentirá que o ponto V sofreu um deslocamento, enquanto que para o

observador O (da base fixa), o primeiro observador, O, foi quem se movimentou, o ponto V

tendo ficado fixo. Se o observador O mudou-se para a base {r*}, quais serão, então, para

ele, as coordenadas de V ?. Em que condições será possível ao observador O descobrir

que, na realidade, V V ? Não cabe aqui fazer uma discussão detalhada sobre o modo como

o observador O vê as coisas em função do seu movimento, Isto, de fato, constitui objeto da

Física.

Em resumo:

A transformação de v em . v pode ser vista como resultante de uma

transformação linear sobre os pontos do espaço (em relação a uma base

fixa), ou como resultante de uma mudança de base para os pontos fixos do

espaço.

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares.

Sejam: o diádico =ejbj com antecedentes independentes, e a base {r

*}. Denotando

por o diádico de mudança da base {e*} para a {r

*}, escrevemos: =rie

i.

Consideremos agora o diádico de antecedentes ri e cujos conseqüentes ai sejam os

vetores transformados dos bi mediante P , isso é,

seja = com i

i i

P

i r a a .b , (01).

§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 301


Então:

. . . .1 1

, , ou, (02).

Com efeito, tem-se:

r a .e .b . e b .i

i

i P

i

i

i

P

T( )( ) ( ) ,

donde, lembrando ((02)3, § 02.01), comprovamos (02)1.

Analogamente, de ((02)2, § 02.01) e (01)2 escrevemos:

e b .r .aj

j

j P

1 j( )( ),

1 ou

( )( ) ( ) .

1 1. r a . . r a .

j

j

P

T

j

j

P

T

Ora, sendo P

T

j

j e

r a resulta, logo, (02)2.

Reciprocamente, se = riai e = ejb

j são as reduções trinomiais de dois diádicos e

com antecedentes independentes, se = riei é o diádico de mudança da base {e

*} para a

{r*}, e se subsistem as (02), então os conseqüentes de e são transformados mediante

P . Pois,

. . . e b . . e .b r .b1

( ) ( )( ) ( )i

i 1

i

T i

i P

i;

e sendo = riai. Logo: ai = P.bi e os conseqüentes de e se transformam mediante P .

Nota:

Encontraríamos ainda (02) partindo de outras reduções trinomiais de como, por exemplo,

jj eb , base {r

*} e diádico

ii ra com ii b.a .

Definição: (Transformação similar, diádicos similares)

Se é um diádico completo e e são diádicos entre os quais existe a

relação

. .1, então dizemos que é obtido de mediante uma

transformação similar na qual é o diádico de transformação. O diádico

é dito, ainda, similar a , mediante .

Em vista da existência de (02)2, podemos dizer que se é similar a mediante ,

é similar a mediante 1

. Sem perigo de confusão poderemos dizer simplesmente que e

são similares; e não são completos necessariamente (ver Teor. 6 à frente).

Propriedades dos diádicos e das transformações similares.

Podemos, então, enunciar:

Teor. 1:

A CNS para que dois diádicos, e , reduzidos a formas trinomiais com

antecedentes independentes, distintos e índices no mesmo nível, sejam

similares, é que os conseqüentes de sejam transformados dos conseqüentes

de mediante o principal do diádico de mudança da base dos antecedentes

de para a base dos antecedentes de .



As propriedades e as entidades derivadas dos diádicos, invariantes mediante relações

de similaridade entre eles, são propriedades e entidades que se conservam numa mudança

arbitrária de base (já que é um diádico arbitrário).

Tais propriedades e entidades são, pois (§05, I), tensoriais no espaço euclidiano ao

qual são relativas (mas as propriedades tensoriais não são apenas aquelas comuns a diádicos

similares).

Teor. 2:

Se dois diádicos são similares mediante o diádico de mudança das bases

definidas por seus tercetos espaciais em reduções trinomiais arbitrárias, são

iguais as suas coordenadas mistas homônimas relativas às respectivas bases;

e reciprocamente.

Com efeito, consideremos as reduções trinomiais arbitrárias seguintes, com

antecedentes independentes, dos diádicos similares e : =riai e =eib

i. Seja, ainda, o

diádico de mudança da base {e*} para a base {r

*}. Podemos escrever:

( ) ( ) ,a .r r r b .e e ei

j i

j i

j i

j e expressões estas que representam as formas

cartesianas mistas de e nas bases {r*} e {e

*} definidas por suas partes espaciais.

Devemos comprovar que ai.rj=bi.ej para todo i e j. Por hipótese, subsiste (02)1; logo:

jij

i )( rr.ra

.)()(

)(])[()(

jij

iji

nj

im n

m

jj

nmn

mii

rr.ebrr.eb

re.ee.eb.er

Igualando as coordenadas do primeiro membro e do último da igualdade acima, concluímos

a tese.

Reciprocamente, se são iguais as coordenadas mistas homônimas das reduções

eneanomiais de dois diádicos em bases diferentes, esses diádicos são similares mediante o

diádico de mudança dessas bases. Com efeito, ponhamos: A e j

i

i

je e B j

i

i

jr r com

A B j

i

j

i . Sendo r ei

i o diádico de mudança, tem-se: i

iP er , ii e.r e

jPj e.r . Logo: A A j

i

i P

j

j

i

i

j

P

T( )( ) ( ) .. e . e . e e . Lembrando que

P

T

1, resulta: 1 . . , e e são similares mediante .

Corol. 1:

A CNS para que dois diádicos sejam similares mediante o diádico de

mudança de seus tercetos espaciais em reduções eneanomiais arbitrárias

é que as suas matrizes mistas homônimas correspondentes sejam iguais:

1 . .

ji

ij rr ,

ji

ij ee

e ii e.r , com i

Pi b.a [

ij]r=[

ij]e (03)1,

ou

1TT . . jij

i rr , jij

i ee

e i

Pi e.r , com ii b.a [i

j]r=[i

j]e, (03)2.



Não é difícil comprovar, no tocante às coordenadas duplamente co-variantes ou

contravariantes, que:

T . . jiij rr , ji

ij ee

e ii e.r , com iP

i b.a [ij]r=[

ij]e (03)3;

e 1P . . ji

ij rr , ji ij ee

e iP

i e.r , com iPi b.a [ij]r=[ij]e, (03)4.

Já observamos (§ 09.02,II, Nota 1) que ao estudar-se uma TL pela matriz associada

ao diádico que a rege, devem ser mencionadas a natureza (variância) dessa matriz e a base a

que ela se refere. Assim:

1) - Seja [Aij] a matriz relativa à base {e*} com = Ai

jeiej e a matriz [Bi

j]

relativa à base {r*} com = Bijrir

j . Como rege uma única TL, deve haver alguma relação

entre suas matrizes associadas, assunto que será discutido mais à frente (§02.04).

2) – O estudo das TLs fica extremamente simplificado se as bases a serem

consideradas forem todas ortonormadas, desaparecendo a distinção entre as diferentes

matrizes associadas. Isso é muito vantajoso por um lado, mas nem sempre possível e

adequado por outro.

Teor. 3:

Se dois diádicos são similares (mediante certo completo), similares são

também as suas potências de expoente inteiro, K, (mediante o mesmo

completo):

, : , K >K K. . . .1 1 0, (05),

e

, , : ,3

1 10 K,K K. . . . (051).

Pois temos:

2 1 1 1 1 2 1

( ) ( ) ( ) ,. . . . . . . . . . . .

131213 )()( ....... etc.,

propriedade que, então, é válida para potências 2,3 etc.não sendo difícil comprovar-se que

ela é válida para qualquer expoente positivo. Se o diádico for completo, a propriedade

será válida, também, para expoentes negativos.

Teor. 4:

Diádicos similares (completos ou incompletos) têm a mesma equação

característica, logo os mesmos autovalores.

Sejam e diádicos similares com

. .1. Tem-se, lembrando ((04),

§05.03,II e (08), §08.01,II): 3 3 3

13

. . 3

, isso é, e têm o mesmo terceiro.



Considerando, agora, as ((02), §07.01,II) escrevemos:

E E E E E E

( ) [( ) ] [ ( )] ( ) ,. . . . . . .

1 1 1

isso é, e têm os mesmos escalares.

Tomando o adjunto de ambos os membros da relação de similaridade, escrevemos,

lembrando ((01), §08.03,II): ~ ~ ~ ~ . 1 . . Considerando ainda ((10), §08.01,II) e,

depois, ((07), §08.03,II), tem-se, ainda:

1133

-1 ~ ~)( ~ .... , (logo, ~ ~

e são similares),

de onde deduzimos, tal como anteriormente: ~E

~E . Assim, os diádicos similares têm

a mesma equação característica e, por conseqüência, os mesmos autovalores.

Para provar que -1 = .-1.-1 podemos adotar o mesmo caminho que o adotado

acima relativamente ao adjunto.

Corol. 1:

Diádicos similares têm o mesmo grau de nulidade: são ambos completos,

ambos planares ou ambos lineares.

O teorema é óbvio porque os diádicos similares têm o mesmo terceiro. Poder-se-ia

demonstrar também a proposição porque produto do tipo ..-1 (em que é completo)

têm o mesmo grau de nulidade do fator (Teor. 1, §05.04,II).

É fácil também demonstrar o seguinte

Teor. 5:

Se é similar a mediante , então T

( )~

é similar a T

( )~

mediante

T

( ).~

As transformações por similaridade gozam, ainda, das seguintes propriedades:

1ª) - Os similares de uma soma e de um produto de diádicos são iguais,

respectivamente, à soma e ao produto dos similares dos diádicos:

. . . . . .( ...) ... , 1 1 1 (06),

...,)()(...)( 111..........

(061);

2ª) - O similar da P-ésima potência (P inteiro positivo) de um diádico, é a P-ésima potência de um similar desse diádico:

. . . .P P

( P inteiro positivo),

1 1( ) , (07);

§ 02.03 - Matriz de mudança de base. 305


e se é completo, P é um inteiro qualquer:

3

1 10, ( P inteiro),P P. . . .( ) , (071).

Pois, (071) é um caso particular de (061) para = = ... = .

3ª) - O similar de um polinômio diádico P() é o mesmo polinômio de um

similar de :

.P . P . .( ) (1 1 ), (08).

Com efeito, essa propriedade é conseqüência imediata das duas primeiras:

. . . .

. . . . . .

P( ) C C C

C C P(

1

0 1 2

0 1

1

( ... )

( ) ( ) ... ).

2 1

1 1

4ª) – Se X é um autovalor do diagonalizável , então P() tem P(X) por

autovalor.

Pois, se é o diádico que diagonaliza então P(..-1

) é certo polinômio diádico

de diagonalizado. Sendo X autovalor de , e também de ..-1

, P(X) é autovalor de

P(..-1

), o qual, pela propriedade anterior e pelo Teor. 4, é também autovalor de P().

§ 02.03 - Matriz de mudança de base.

Sendo r ei

i, podemos escrever, decompondo os antecedentes ri na base {e

*}:

( ) ,r .e e ei

j

j

i (01).

Decompondo, por outro lado, os conseqüentes na base {r*}, escrevemos:

r e .r r r .e r ri

i

j

j

j

i

i

j( ) ( ) ,

ou, ainda, trocando os índices indicativos das somatórias:

( )r .e r ri

j

j

i, (02).

Vemos por (01) e (02) que se o diádico μ de mudança da base {e*} para a base {r*} esta

expresso em forma cartesiana mista, tendo como díades fundamentais as obtidas nos

produtos justapostos dos vetores de qualquer das bases pelos seus recíprocos, as suas

matrizes associadas são iguais.

§ 02.03 - Matriz de mudança de base. 306


Definição: (matriz de mudança de base)

A matriz:

[ ] ,

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

(03),

cujos elementos da i-ésima coluna são as coordenadas do vetor ri na base

{e*

}, denomina-se matriz de mudança da base {e*

} para a base {r*

}.

Deduzimos imediatamente que o determinante da matriz de mudança da base {e*}

para a base {r*

} é igual ao terceiro do diádico de mudança da base {r*} para a base {e*},

3=T

3. Com efeito, conforme ((062), §03.03,I) o determinante da matriz (03) é igual a

(r1r2r3)(e1e

2e

3), ou seja, μ3.

Entre as matrizes dos diádicos ,T

e 1

existem, obviamente, relações análogas

às dos diádicos correspondentes:

[ ] [ ] , T T

(04),

][][ ][][ ][ 11I.. , (05).

Com efeito, a matriz de T

é a de mudança da base {r*} para a {e*}; seu elemento

genérico, o da i-ésima coluna e j-ésima linha é, pois, ei.rj. Ora, este elemento é o genérico

da matriz de , pertencendo à sua i-ésima linha e j-ésima coluna; logo, tem-se (04).

Sendo rj.ei = ei.rj o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de [] e ek.r

j = rj.ek

o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna de [-1](ver §09.08,II), ou seja

33

23

13

32

22

12

31

21

11

1

][

e.re.re.r

e.re.re.r

e.re.re.r

, (03)1,

então o elemento genérico da i-ésima linha e k-ésima coluna de [].[-1]é:

( )( ) [( ) ] .e .r r .e e .r r .e e .ei

j

j

k

i

j

j

k

i

k k

i

Logo, [].[-1]= []. Similarmente, demonstra-se a igualdade do segundo e do terceiro

membros de (05).

As matrizes [] e [-1], satisfazendo (05), são, pois, inversas (uma da outra).

§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 307


Procuremos, agora, a relação existente entre []T e []-1. Determinemos, por

exemplo, o complemento algébrico do elemento e1.r2 de []T. Considerando ((05),§04.03,I)

esse número é escrito na forma

)()(

13

32

13

33

12

32

rr.eer.er.e

r.er.e .

Lembrando propriedades dos recíprocos escrevemos, ainda,

]det[ )())()(()()( 21321

3212113

32 .rerrreee.rerr.ee .

Fazendo cálculos análogos concluímos que a matriz associada a []-1, multiplicada pelo

terceiro de , é a matriz que se obtém de []T substituindo cada um de seus elementos pelo

seu co-fator.

A matriz que se obtém de uma matriz dada, [], substituindo-se na sua transposta

cada elemento pelo seu complemento algébrico, é a matriz adjunta de [], e representa-se

por []~ (ver §09.08,II). Então,

~][]].[det[ 1 , (06),

e, por recorrência às (05), deduzimos também:

]].[det[][ ~][ ~][][ .. , (07).

Estabelecido o conceito de matriz de mudança de base, podemos, agora, comprovar

que todas as propriedades dos diádicos e transformações lineares similares mediante um

diádico μ podem ser estendidas às matrizes homônimas desses diádicos; essas matrizes são

ditas similares mediante a matriz de mudança de base.

*

Exercício: Comprovar que as matrizes homônimas de diádicos similares mediante um diádico μ

de mudança de base são similares mediante a matriz de mudança de base [μ].

*

§ 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de

base. Matrizes similares. Tensores clássicos.

Se é o diádico de mudança da base {e*} para a base {r

*}, então

r .e r ei i i

i e . A matriz de mudança da base {e

*} para a base {r

*} é ((03), §02.03),

e de mudança de{r*} para {e

*}, [-1], é dada por ((03)1,§02.03).

Transformação de coordenadas de vetores.

Escrevendo o mesmo vetor genérico v nas formas

v e e r r E E R Ri

i j

j i

i j

j, (02),

deduzimos, imediatamente:



E R E Rj i

i

j

j i

i

j ( ), ( )r .e r .e (03),

e

R E R Ej i

i

j

j i

i

j ( ), ( ),e .r e .r (04).

Fazendo-se i,j = 1,2,3, as relações (03) e (04) podem ser escritas matricialmente nas

formas correspondentes

E

E

E

R

R

R

E

E

E

R

R

R

1

2

1

2

3

1

2

3

P

1

2

3

3

[ ] , [ ] , . . (031),

e (sua inversa):

R

R

R

E

E

E

R

R

R

E

E

E

1

2

3

1

2

3

1

2

3

T1

2

3

[ ] , [ ] ,

1. . (041).

As fórmulas (031) e (041) mostram que, conhecendo-se as coordenadas de certo

nome de um vetor numa certa base e a matriz de mudança desta base para uma outra, as

coordenadas de mesmo nome deste vetor nesta última base podem ser determinadas.

O modo clássico de se conceberem os tensores cartesianos de ordem um é baseado

nas fórmulas (031) e (041); esses tensores são entidades que, numa mudança de bases, têm

as suas coordenadas em diferentes bases relacionadas por essas fórmulas.

Deve ser observado que não faz sentido imaginar os vetores de base como tensores

porque eles são usados para definir esses tensores (de ordem um). Assim: nem todos os

vetores são tensores de ordem um.

Transformação das coordenadas de diádicos

Seja um diádico regente de uma TL e =ekbk=ria

i suas reduções trinomiais em

relação a duas bases quaisquer {r*} e {e

*}; então:

s

kks

sks

k E)( eeee.eb e ji

ij

jij

i R)( rrrr.ra (05),

são as suas representações cartesianas mistas (contravariantes/co-variantes) nas bases {e*}

e {r*}. Sendo, ademais,

r r .e e r r .e ei i

k

k

j j

s

s e ( ) ( ) ,

escrevemos, ainda,

( ) ( )( )( ) .b .e e e r .e a .r r .e e ek

s k

s

i

k i

j

j

s k

s

Logo,

b .e r .e a .r r .ek

s i

k i

j

j

s ( )( )( ), (06).



Escrevendo (05) na forma

E R s

k

k

s

j

i

i

je e r r , (051),

temos, de (06):

E R s

k k

i j

i j

i ( ) ( ),e .r r .e (061).

Ora, (ek.ri)Rij é a soma dos produtos dos elementos da k-ésima linha da matriz [] pelos

correspondentes elementos da i-ésima coluna da matriz

[ .R]

R R R

R R R

R R R

1

1

2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

3

Então, Eks é o elemento da k-ésima linha e s-ésima coluna do produto [].[R].[]-1, ou seja,

e . r e . r e . r

e . r e . r e . r

e . r e . r e . r

. .

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

1

1

1

2

1

32

1

2

2

2

33

1

3

2

3

3

1

3

1

1

1

2

1

32

1

2

2

2

33

1

3

2

3

3

R R R

R R R

R R R

1 2

1

3

1

1

2

2

2

3

2

1

3

2

3

3

.

Assim, para o (mesmo) diádico regente da TL:

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],

. . . .1 1 (07).

Se escrevêssemos

( ) ( ) ,b .e e e e e a .r r r r rk s

k s

k s

k s

i j

i j

i j

i jE e R

deduziríamos para as matrizes [E**] e [R**] as expressões

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],

. . . .1 1 (08).

Analogamente,

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],

. . . .1 1 (071),

[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],

. . . .1 1 (081).

Definição: (matrizes auto-similares).

Duas matrizes, relativas a um mesmo diádico, que satisfazem as igualdades

(07), (071), ou (081) são ditas auto-similares mediante a mudança de base

operada pela matriz não singular []. Diz-se, também, que estas matrizes são

obtidas uma da outra por uma transformação de auto-similaridade.

As fórmulas (07), (071), (08) e (081) mostram como, conhecendo-se as coordenadas

da certo nome de um diádico numa certa base e a matriz de mudança de uma base para a



outra, determinar as coordenadas correspondentes de mesmo nome nesta última base,

porque

Se duas bases se transformam mediante a matriz [], então são auto-

similares mediante [] as matrizes homônimas de um mesmo diádico

(regente de uma TL) nessas bases.

Esta proposição é equivalente à seguinte:

"Se duas bases se transformam mediante a matriz [], então são auto-

similares mediante [] as matrizes homônimas representativas de uma

mesma transformação linear nessas bases";

ou, ainda,

"Se [R] é a matriz que representa a TL regida pelo diádico na base {r*

}, e

se [] é a matriz de mudança da base {e*

} para a base {r*

}, então

[].[R].[]-1 é a matriz [E] que representa a TL na base {e*

}".

Não é difícil demonstrar os teoremas seguintes, similares aos Teor. 1 e 3 e 4 do

§02.02:

Teor. 1:

Se duas matrizes são auto-similares, auto-similares são também as suas

potências:

[ [ ] [ [ [ ] [ [ ] ,E] R] [ ] E] R] P >P P

. . . .1 1

0, (09),

e

| ,[ [ [ ] [ [ ] ,R| E] = [ ] [R] [ ] E] R] PP P

01 1

. . . . (091).

Teor. 2:

Matrizes auto-similares têm o mesmo determinante, o mesmo traço e

adjuntas e inversas similares.

Corol. 1:

Se duas matrizes são similares, são iguais os traços e os determinantes

das suas adjuntas e os das suas inversas.

Teor. 3:

Se [E] é similar a [R] mediante [], então [R]T e [R]~ são similares a [E]T e

[E]~ mediante []T e []~, respectivamente.

Tal como no caso dos vetores, é precisamente pelas fórmulas (07), (071), (08) e (081)

que são (classicamente) definidos os tensores cartesianos de ordem 2; assim,

Tensores de ordem dois são diádicos que, numa mudança de base definida

por uma matriz [], têm as suas matrizes associadas relacionadas pelas leis

(07), (071), (08) e (081);

ou, o que é o mesmo:

Tensores de ordem 2 são diádicos auto-similares.

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. 311


Pelas (07), (071), (08) e (081) e pelas (031) e (041) fica fácil comprovar que

os vetores motivo de um diádico são tensores de ordem um.

Pois, por exemplo, as coordenadas co-variantes E j

i i

j a .e de ai na base {e*} são

expressas em função das coordenadas R j

i i

j a .r do vetor ai na base {r*} na forma (031)2,

que expressa o "regime tensorial". Com efeito, sendo

A R j

i i

j

i

k

k

j

k

j k

i a .e a .r r .e r .e[( ) ] ( ) ,

resulta, fazendo-se j = 1, 2, 3 e somando-se em k:

A

A

A

R

R

R

R

R

R

1

i

2

i

3

i

1

i

2

i

3

iP

1

i

2

i

3

i

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

r . e r . e r . e

. .

1

1

2

1

3

11

2

2

2

3

21

3

2

3

3

3

[ ] .

Deve ser observado que diádicos similares regem transformações lineares distintas,

ambos podendo ser tensores. De fato, se 1 .. e se 1 .. ( é um diádico

auto-similar), então: )()( 11 .... e )()( 1111 ........ , ou

seja, 111 )()( ...... . Ora, μ e são quaisquer e μ-1

..μ é um diádico de

mudança de base. Logo é auto-similar. Em resumo:

Se dois diádicos são similares e um deles é um tensor, o outro também é

um tensor.

Entretanto, dois diádicos podem ser similares e nenhum deles um tensor; ou, ainda:

todo tensor de ordem 2 é um diádico auto-similar, mas nem todo diádico

é um tensor.

O melhor exemplo de diádico que não é tensor é o de mudança de base . Nem faz sentido

essa consideração porque esses diádicos são usados para definir o tensor.

§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos.

A igualdade de um diádico com o seu transposto – o que caracteriza a sua simetria

(§04.02,II) - será dita, ainda, a condição da sua “simetria interna”. Por enquanto essa

nomenclatura tem um caráter apenas formal.

Quando, por exemplo, uma propriedade física de um material é representada por um

diádico (simétrico ou não), pode acontecer que (por alguma imposição decorrente da

natureza do material) ele deva ser invariante em certa transformação geométrica. As

transformações geométricas mais comuns são: as simetrias em relação a planos e as

rotações de certos ângulos em torno de certos eixos. Em outras palavras, à luz do que vimos

no § 02.04, o diádico representativo da propriedade deve ser auto-similar mediante o

diádico que caracteriza aquela transformação. Essas imposições incorporam ao diádico

certas características de simetria que o qualificam como invariante nesta ou naquela

transformação; dizemos, nesses casos, que esse diádico apresenta “simetrias externas”.

As simetrias externas nas rotações serão estudadas mais à frente (§06.04).



Diádicos com simetria externa em relação a um plano.

Seja R' o ponto simétrico de R em relação a um plano, paralelamente a dado vetor

e398. Dois vetores arbitrários e não paralelos desse plano, e e

1 2 e , definem com e3 uma base

no espaço dos vetores. Então podemos escrever em relação a uma origem arbitrária:

33

22

11

ii RRR e R : eeererr .

O diádico que rege a simetria de R em relação ao plano paralelamente a e3 é

e e e e e e1

1

2

2

3

3, (01),

pois, sendo ii .R er ,

.rr.er.eer.eer.er T3

32

21

1 )()()( .

A matriz associada a μ na base {e*} é

1-00

010

001

][ ** e , (011).

O diádico pode ser entendido como o diádico de mudança da base { , , }e e e1 2 3

para a base { , , }e e e1 2 3

, ou, ainda, da base { , , }e e e1 2 3

para a base { , , }e e e1 2 3

. Isto

significa que 1, com 3

1 , o que é fácil comprovar por (01).

Seja R" o simétrico de R' em relação à origem arbitrada. Temos:

r r .r( ) , (02),

Sendo

( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e . e e e e e e e e e e e e . e e e e e e1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

resulta que R é transformado em R" por dois estágios comutativos de simetria: em relação

ao plano ( )e e2 3, paralelamente a e1 e em relação ao plano ( )e e

3 1, paralelamente a e2.

Por outro lado, escrevendo (02) na forma:

)( r.rr ,

vemos que a dupla simetria atrás referida é equivalente a uma inversão do ponto R em

relação à origem, seguida de uma simetria em relação ao plano ( )e e1 2, , paralelamente à

direção e3; o que é geometricamente evidente. No §06.03,A mostraremos que essa operação

é idêntica à dos diádicos biquadrantais, caso particular dos diádicos denominados cíclicos.

Finalmente, observemos que

Uma simetria em relação a três planos, paralelamente às suas

interseções, é equivalente a uma inversão em relação ao ponto comum a

esses planos,

98 Numa situação particular essa simetria poderia ser a “ortogonal”.



pois,

r.reeeeee.eeeeee.eeeeee )()()( 33

22

11

33

22

11

33

22

11 .

*

Se jjbe é a representação trinomial do diádico em relação à base {e*}, então:

33

23

13

32

22

12

31

21

11

** ][

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

e .

Se esse diádico deve ser auto-similar em relação ao diádico que rege simetrias em relação

ao plano (e1, e2) paralelamente a e3, tem-se: )()( 33

22

11

33

22

11 eeeeee..eeeeee .

Operando no segundo membro, virá:

).( 33

22

11 bebebe , ou, ainda, .be.be.be 3

32

21

1 .

Então, (por ser jjbe )

.bb.bb.bb 332211 e , ,

isso é, 31 eb , pois 3

13

13

13

1 )( .ebe.b.e.b.eb . Analogamente comprovaríamos

que b2.e3=0, logo 3

2 eb ; e b3.e1= b

3.e2=0, logo 33 | | eb .

Assim, em relação às bases recíprocas {e*} e {e*} a matriz mista associada a é

33

22

12

21

11

}{**

00

0

0

][

.eb

.eb.eb

.eb.eb

e , (03),

sendo evidente que [*

*]e=[μ*

*].[*

*].[μ**].

A matriz duplamente co-variante associada a é dada por [**]=[G**].[**]

(conforme Tabela, §09.03,II), isso é,

33

2212

2111

33

23

13

32

22

12

31

21

11

332313

322212

312111

**

00

0

0

.][

.e.e

.e.e.e.e

.e.e.e.e

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

.eb.eb.eb

.ee.ee.ee

.ee.ee.ee

.ee.ee.ee

.

Se for simétrico internamente, vê-se que a matriz [**] será simétrica

necessariamente, pois e1..e2=e2..e1.

§ 03.01 - Polinômio mínimo. 314


Pesquisa de sistemas convenientes de representação

Pelas expressões ((03)1, § 02.04), ou suas inversas ((04)1, § 02.04), podemos

calcular as coordenadas de um ponto quando efetuamos uma mudança de base.

Similarmente, pelas expressões ((07), § 02.04), podemos calcular as novas coordenadas de

um diádico numa mudança de base.

Ora, se, em relação a uma determinada base, tivermos que estudar a TL regida por

um diádico , e se tivermos que calcular as coordenadas dos transformados de diversos

pontos (mediante ) - sempre aplicando a fórmula (03), § 01.03) como exemplificado pelo

exemplo numérico 1, § 01.03 - será bastante oportuno procurar uma representação

cartesiana para que facilite esse trabalho. Com outras palavras, será oportuno encontrar

uma base adequada, em relação à qual essas operações (dentre outras) e o estudo de

propriedades sejam facilitados; caso em que, com uma mudança de base, a matriz associada

a um diádico será certamente mais simples (contendo muitos elementos nulos, por exemplo,

ou sendo simétrica, triangular etc.).

Conhecidas, então, as fórmulas de transformação ((08), § 02.04), resta-nos encontrar

a mudança de base adequada que simplifique a matriz associada ao diádico.

§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS.

§ 03.01 - Polinômio mínimo.

Definimos (§ 05.02,II) o polinômio diádico inteiro pela expressão:

PQ

( ) C C C C ,0 1 2 Q

Q 2 ... , (01),

onde os Ci são números reais99 e Q é inteiro positivo. Quando o diádico é completo

(30) os expoentes podem ser também números inteiros negativos.

Se, em relação a um EN,

P e g e x eQ i

ii

ii

e ( ) , independentes, (i = 1,2,...,N), (02),

são reduções N-nomiais (contravariantes)100 de e de PQ () (§ 02.07,II), então podemos

escrever a redução N-nomial correspondente de PQ () na forma:

PQ

( )

= = [C + C + C ( C

... C

ii

i 0i

1i

2i

jj

3i

jj

kk

Qi

jj

kk

rv

ww

e g e e x x . e x x . e x . e x

x . e x . e x . e x . e x

) ( )( ) ...

( )( )( )... ( ) ],

99 No Cap. V examinaremos os casos em que os Ci são números complexos.

100Com uma redução N-nomial co-variante a teoria em desenvolvimento poderia ser conduzida analogamente para obterem-se os mesmos resultados.



onde i,j,k,...,v,w = 1,2,...,N. Logo:

g e x x .e x x .e x .e x .e xi

0

i

1

i

2

i

j

j

P

i

j

j

k

v

w

w= C +C +C ( C) ... ( )( )...( ) , (03).

Se decompusermos os vetores gi e xi na base {e1,e2,e3}, escrevendo

g g .e e e x x .e e ei i

m

m

m

i m i i

m

m

m

i m= ( ) = G e = ( ) = X , (04),

obteremos de (03) as coordenadas cartesianas mistas de PQ ():

G = C + C X + C X X +...+C X X ...X X , mi

0 mi

1 mi

2 ji

mj

Q ji

k

j

wv

mw (05).

Com as decomposições (04), as matrizes mistas associadas aos diádicos e PQ ()

são:

[ ] [ ] ( )] ,

X

X X X

X X X

X X X

e [P

G G G

G G G

G G G

mi

1 2 1

3 1

12

22

32

13

23

33

Q

1 1

2 1

3

12

22

32

13

23

33

1 1

(06);

logo, de (05) escrevemos101, para i,m = 1,2,...,N:

[ ( )]PQ C C C C

0 1 2 QQ[ ] [ ] [ ] ... [ ], 2 (07).

Assim, ao polinômio diádico (01), relativamente à base {e1,e2,e3}, está associada a

expressão (07) definida como um polinômio matricial inteiro da matriz [].

Examinemos as condições de existência de números reais Ci para que um polinômio

diádico de dado diádico possa anular-se. Ora, sendo dados os Xim, as equações (05), em

número de N2, constituirão um sistema homogêneo de N2 equações com Q+1 incógnitas:

C0,C1,C2,...,CQ. Da Álgebra sabemos que a CNS para que o sistema homogêneo (05) admita

soluções não nulas (e se admitir uma admitirá infinitas) é que o grau do determinante

principal do sistema102 seja menor que Q+1 (número de incógnitas). Como este vale, no

máximo, N2, resulta que a existência de números Ci, não simultaneamente nulos, que

anulem PQ (), fica condicionada à verificação da desigualdade em números inteiros

N < Q + 1, ou, simplesmente, N Q,2 2 (08),

101Notar que ao fazermos todos os índices assumirem (ordenadamente) os valores 1,2,...,N, Gi

m representará o

elemento da i-ésima linha e m-ésima coluna na matriz [PP()], Xim o correspondente na matriz [], Xi

jXjm (notar

a somatória em j) o correspondente na matriz [2] etc.

102O determinante principal do sistema é qualquer determinante não nulo, da maior ordem possível que se pode

formar com os coeficientes das incógnitas; a ordem do principal é às vezes denominada a classe ou o posto do determinante (rank em inglês).



isso é,

Q 1 no E , Q 4 no E e Q 9 no E .1 2 3

Logo, temos demonstrado o seguinte

Teor. 1: (existência de coeficientes)

Existem infinitos conjuntos de N2+1 números reais não simultaneamente

nulos: C0, C1, C2, ..., CN2 , tais, que para qualquer gerado de EN,,

=C+...+C+C+C2

2N

N

2210 , (09);

ou, em forma matricial equivalente,

][=][C+...+][C+][C+][C2

2N

N

2210 , (091).

Se trocarmos no polinômio diádico (01), o diádico Q por XQ, obteremos o

polinômio:

P (X) = C C X +C X C XQ 0 1 22

NN

2

2 ... , (092),

o qual será denominado polinômio associado ao polinômio diádico (01) ou ao polinômio

matricial (07).

Por outro lado, dado ao acaso um polinômio de coeficientes reais como (092),

diremos que ele anula certo diádico ou certa matriz [], se forem verificadas (09) e (091),

respectivamente.

Observando que o teorema acima demonstrado não exclui a possibilidade de alguns

dos Ci serem nulos (eventualmente o CN2, por exemplo), concluímos:

Corol. 1:

Dado um diádico qualquer, , gerado de EN, o grau do polinômio real que

anula não é maior que N2.

Teor. 2:

O polinômio que anula um(a) diádico(matriz), anula também os(as)

seus(suas) similares.

Se é similar a (§ 02.02) mediante , = ..-1. Então, se

2

2N

N

2210Q C+ ... +C+C+C)(P ,

tem-se



1N

N

11

10

1Q

2

2C...CC)( ........P ,

ou, ainda, lembrando ((09), § 02.04):

2

2N

N

2210 C...CCC .

É fácil demonstrar o teorema para as matrizes.

Teor. 3: (unicidade)

O polinômio de menor grau que anula um diádico é único.

Demonstremos o teorema por redução ao absurdo. Suponhamos existirem dois

polinômios, do mesmo grau, M, que anulem :

=K+...+K+K+K=)( MM

2210MP

e

=L+...+L+L+L=)( Mm

2210MQ .

Multiplicando ambos os membros de PM() por LM, o de QM() por KM e subtraindo

membro a membro, temos:

=)LKK(L+...+)KLK(L+)KLK(L 1M1mM1mMM11MM00M

.

Esse polinômio não é identicamente nulo porque se fosse,

K

L

K

L

K

L0

0

1

1

m

m

...

e os dois polinômios, PM() e QM(), seriam iguais (o que contraria a hipótese e demonstra

o teorema). Mas se o polinômio não é identicamente nulo, ele é um polinômio de grau

menor que M, que anula ; então PM() e QM() não são polinômios de menor grau que

anulam , o que também é contra a hipótese. Logo, o polinômio de menor grau que anula

é único.

Definição: (polinômio mínimo)

O polinômio escalar de menor grau que anula um diádico denomina-se

"polinômio mínimo" de ; representa-se por: Pmin(), e seu polinômio

diádico associado: Pmin() = 103.

103Notar que, por ser Pmin() um escalar, a letra P aparece ao natural, enquanto que para o polinômio diádico

Pmin()=, a letra P aparece em negrito.

§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. 318


Teor. 4:

Diádicos e matrizes similares têm o mesmo polinômio mínimo.

É evidente o teorema em vista do Teor. 2.

Teor. 5:

O polinômio mínimo de um diádico é fator de qualquer polinômio que

anula esse diádico.

Com efeito, seja PQ(), Q N2, um polinômio que anule o diádico . Podemos

escrever, pelas regras da Álgebra:

P ) = Q( ) P ( ) + R ),Q

(min R

. ( (10),

sendo RR() = 0 um polinômio de grau R menor que o grau de Pmin(). Então, o polinômio

diádico correspondente a (10) é:

P Q .P RP min R= ( + (( ) ) ( ) ) , (11).

Como, por hipótese, PQ() anula , PQ() = . Mas Pmin () também anula ; logo,

RR()=. Então RR() é um polinômio de grau menor que o de Pmin() que anula . Como

ele não é o polinômio mínimo, RR() = 0 necessariamente. Então:

P ( ) = Q( ) P ( ),P min .

isso é, P ( )min é fator de P ( )Q .

Corol. 1: Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de

grau não maior que o grau do seu polinômio mínimo.

Pois, dado o polinômio diádico (01) com grau P qualquer, podemos escrever, de

(11): PR() = RR(), porque Pmin() =.

Nota:

A determinação de RR() fica, entretanto, na dependência da determinação de Pmin(). Com

efeito, dado PP() escrevemos PP(); então, de (10), determinaremos RR() - e, logo, RR()

- desde que predeterminemos Pmin().

§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico.

Teor. 1: (o adjunto como um polinômio diádico do segundo grau)

Tem-se:

: = + [( ) ( ) ] ,~ 2

E E

2 2

E 1

2 (01).



Com efeito, trocando por ~

em ((01)2,§ 07.04,II), transpondo e considerando

((01)1,§ 08.02,II), escrevemos:

])()[(2

1 ~) ( E

22E

T .

Fazendo = no terceiro membro de ((02)1,§ 07.06,II), transpondo e lembrando ((01),§

08.01,II), escrevemos também:

E2T ) (

.

Igualando os segundos membros dessas expressões encontramos (01)104.

Corol. 1:

Qualquer que seja o diádico , o polinômio real, único,

C ( ) = X X + X ,3

3

E

2

E

~

3 (02),

anula o diádico , isso é,

=+=)( 3~E

2E

33 C , (03).

Com efeito, escrevendo (01) na forma mais compacta:

104 Podemos obter o mesmo resultado considerando-se = em ((03), § 07.01, II).

~ 2E E

~= + , (011),

multiplicando ambos os seus membros por , considerando ((11),§ 08.01,II) e transpondo

termos, encontramos (03). Logo, o polinômio (02) anula .

Definição: (polinômio característico)

O polinômio real do terceiro grau, (02), que anula , denomina-se

polinômio característico de , e seu polinômio diádico associado, polinômio

de Cayley-Hamilton (CH) de .

Corol. 2: O polinômio mínimo de um diádico é fator de seu polinômio

característico, ou se identifica com ele.

Porque pelo Teor. 5, § 03.01, o polinômio mínimo de um diádico é fator de qualquer

polinômio que o anula; logo, é fator do polinômio característico (ou é o próprio).



Nota: Os teoremas até aqui demonstrados não fornecem maiores informações quanto às condições em que os polinômios mínimo e característico se confundem; essa questão será resolvida mais à frente.

Corol. 3:

Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de

grau não maior que dois.

Pois, dado o polinômio PQ() podemos associar-lhe PQ(); e dado podemos

escrever C3(). Pelas regras da Álgebra, escrevemos:

P ( ) = Q( )C ( ) + R ( ), R < 2.Q 3 R

Substituindo nesta expressão as potências de X por potências iguais de , considerando

(03), teremos: P RQ R

( = ( ) ) .

Regra: A demonstração deste corolário já constitui uma regra para o cálculo de um polinômio

diádico, de grau qualquer, de dado diádico .

*

Exemplo numérico 1:

Escrever o polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a do exemplo

numérico 1 do § 01.03 e verificar (03).

Solução:

Tem-se, no caso:

E E

~3

e = 3,5. 3 51 5 0

0 1

1 0

0 1

1 1

2 1 51 5 1 3 5 6,, ;

,

,, ,

Logo:

C ) X + X 3,5,3

3 2( , 3 5X 6

devendo, então, verificar-se (03), isso é,

3,56+5,3)( 233C .

De fato, sendo:

[ ] , ,

,

]

,75

, ,625 , 2 3

1 1 0

2 1 5 0

0 0 1

1 1 0

2 1 5 0

0 0 1

1 2 5 0

5 0,25 0

0 0 1

6 2 0

5 5 4 0

0 0 1

. , e [

tem-se:

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 321


6 2 75 0

5 5 4 625 0

0 0 1

,

, , +

3 5 8,75 0

17 5 0,875 0

0 0 3 5

6 6 0

12 9 0

0 0 6

3 5 0 0

0 3 5 0

0 0 3 5

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

,

,

,

,

,

.

*

§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um

diádico.

Definições: (equação e valores característicos)

Os zeros do polinômio característico105 ((02) § 03.02) são denominados:

zeros, raízes, ou valores característicos do diádico

Esses zeros são, então, as raízes da equação:

X X + X = 0,3E

2E~

3 (01);

A equação (01) é denominada a equação característica de . Os valores

característicos são denominados, ainda, valores próprios e autovalores de .

*


Determinar os zeros do polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a

do exemplo numérico 1 do § 01.03.

Solução:

Resolvendo a equação característica de ,

X + X 3,53 2 3 5X 6 0,,

encontramos:

X X i i, X i i.1 2 3 1 1 7 1 1 1 7 1 1, ,25 ,75 ,25 ,391941 ,25 ,75 ,25 ,391941


Determinar os autovalores do diádico cuja matriz mista associada é

[ ] .

2 0 2

0 1 1

1 1 0

Solução:

Tem-se:

4 e 522110

02

01

22

01

11 ;3 3

~E E

105Zero de um polinômio PP(X) é todo valor X0 de X que anula esse polinômio, isso é, X0 é tal que PP(X0)=0.



Logo, a equação característica de é:

04X5X3X 23 ,

cujas raízes (autovalores de ) são:

1,46775i0,77325X e 1,46775i0,77325X ,4535,1X 321

•

É óbvio que diferentes diádicos podem ter os mesmos valores próprios, bastando que

sejam iguais os seus escalares, os escalares dos seus adjuntos e os seus terceiros (os

coeficientes da equação (04)). Assim, em vista das relações ((03),§02.08),II),

((07),§02.08),II), ((09),§08.03,II) fica comprovada a seguinte propriedade:

Teor. 1: São iguais os autovalores de diádicos transpostos.

Logo:

Corol. 1: Diádicos transpostos têm a mesma equação característica.

Em vista do Teor. 4, § 02.02 e do seu Corol. 1, concluímos:

Teor. 2:

São iguais os polinômios característicos (e, portanto os autovalores) de

diádicos (matrizes) similares.

Pois, com efeito, são iguais os coeficientes da equação característica desses diádicos.

*

Exercícios:

1) - Provar que, quaisquer que sejam os diádicos e , . e . têm a mesma

equação característica (Sylvester)106.

2) - Generalização do exercício anterior:

Os produtos (cíclicos)

1 2 3 1 1. . . . . . . . ... ...

i i i k e

i i k i ... ... . . . . . . . .

1 1 2 3 1

têm a mesma equação característica.

•

Denotando-se por A, B e C os zeros característicos do diádico , e lembrando que

todo polinômio vale o produto do coeficiente do seu termo de mais alto grau por todos os

binômios que se obtêm subtraindo da letra representativa de sua variável cada um dos seus

zeros, escrevemos:

C3 ( ) = (X A)(X B)(X C), (02).

106 Conforme Mirsky, L., An Introduction to Linear Algebra, Clarendon Press, 1955, Teor. 7.2.3, § 7.2, Cap. VII.



Desenvolvendo (02), ordenando segundo as potências decrescentes de X, e comparando

com ((02), § 03.02) deduzimos:

E

E~

3

= A + B + C,

= AB + BC + CA,

= ABC,

(03).

Teor. 3: A CNS para que um diádico seja completo é que todos os seus valores

característicos sejam não nulos.

A demonstração é evidente por (03)3 mesmo que dois autovalores do diádico sejam

complexos (conjugados).

*


Verificar, pelas fórmulas (03), a veracidade dos valores encontrados para os

autovalores dos diádicos dos exemplos numéricos 1 e 2.

Solução:

Tem-se, para exemplo numérico 1:

E 1 2 3

E~

1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

X + X + X +

X X + X X + X X + +

X X X +

1 2 1 3 5

1 1 1 2 1 6

1 1 1 3 5

2 2

2 2

,25 , ;

,25 ( ,391941... ) ,25 ;

( ,25 ,391941... ) , .

Analogamente, para o exemplo numérico 2, tem-se:

47522,24535,1XXX

513392,1246775,177325,0XXXXXX

0,377325,024535,1

3213

22133221

~E

E

•

De (02) podemos escrever o polinômio diádico ((03),§ 03.02) na forma de produtos

de binômios:

=)C()B()A(=)( :reais C, B, A, 3 ..C , (04),

ou,

=]BC+C)+(B[)A(=)( :complexos C e B real,=A 23 .C , (041),

em cujos segundos membros a ordem dos diádicos pode ser qualquer. Se, então, X

representar qualquer uma das raízes reais de , qualquer um dos diádicos do segundo

membro de (04) - denominados diádicos característicos de - pode ser representado por

-X. Devemos ter sempre, de (04):

X = A, B, ou C ( X ) = 0,3

(05),



porque se um dos característicos fosse completo, o polinômio CH seria do segundo grau, o

que é absurdo. Como (05) é do terceiro grau em X, ela se identifica com (01). O terceiro

( X )3

é denominado terceiro característico de .

Como, por (05), todos os diádicos característicos de são incompletos, escrevemos,

de ((11), § 08.01,II):

=)A()A(=)A()A( : realA ~~ .. , (06).

Lembrando ((01),§ 08.01,II) e aplicando ((15), § 07.01,II), ((01)2 e (016)1,§ 07.04,II),

deduzimos, facilmente :

( A ) = +A +A(A ) ,~ ~

E (07).

Teor. 4:

Se A é raiz real simples de A não pode ser ortoplanar nem linear.

Porque se A fosse ortoplanar, (-A)~ seria ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, §

08.01,II); se A fosse linear, (-A)~ seria o diádico nulo (Corol. 2, Teor. 2, § 08.01,II);

em qualquer caso, ( -A ) 0E~ I . Mas, de (07) temos:

( ) , A A A( B C)E~

E~

E E

donde, lembrando (03)1, (03)2 e ((02)1, § 02.09,II):

( ) A AB+ BC +CA +A(A + B+C) 3A(B+ C) 0,E

~

ou, simplificando: ( . A ) (A B)(A C)E~ 0 Esta igualdade é absurda porque AB e

AC. Logo, A não pode ser ortoplanar, nem linear.

Teor. 5: Se A, B e C forem reais:

( A ) = ( C ) ( B ) ( B ) ( C ),

( B ) = ( C ) ( A ) = ( A ) ( C ),

( C ) = ( B ) ( A ) = ( A ) ( B ),

~

~

~

. .

. .

. .

(08).

Com efeito, lembrando a expressão ((011),§03.02), ou seja a de ~ como um polinômio do

segundo grau em , escrevemos, de (07), agrupando e evidenciando:

( ( ) . A ) A) +( A +A~

E E

~

E

2

2

Considerando as (03) resulta, então: ( ( , A ) B+C) + BC~

2

de onde, por

fatoração (comutativa) no segundo membro, encontramos (08)1.

Analogamente comprovaríamos as demais expressões.

•



Se um característico -X é planar e se ) e ) são os planos dos seus antecedentes e

conseqüentes, respectivamente, então a direção do antecedente do seu adjunto, (-X)~, é

ortogonal a ); e a do seu conseqüente, ortogonal a ). Representando por x e y,

respectivamente, dois quaisquer dos infinitos vetores paralelos à direção do antecedente e

do conseqüente de (-X)~, escrevemos:

( X ) = , ou = X , .x o .x x (09),

e

y. o y. y . y( X ) = , ou = X = ,T

(10),

isso é, e T transformam vetores paralelos às direções do antecedente e do conseqüente de

(-X)~, respectivamente, em vetores paralelos a essas mesmas direções (Fig. 03.01).

Se um característico -X é linear ele pode ser escrito na forma X = ; mn nesse

caso, qualquer vetor x do plano ortogonal a n e qualquer vetor y do plano ortogonal a m

(Fig. 03.02) satisfazem a relações dos tipos (09) e (10), respectivamente.

Se, finalmente, um característico X é nulo, é óbvio que qualquer vetor do

espaço satisfaz a uma equação do tipo (09) ou do tipo (10).

Definição: (autovetor)

Se X for um autovalor (real) de , qualquer vetor, x, tal que: .x = Xx, será

dito um autovetor ou um vetor próprio de associado a X. A direção de x

será dita, também, uma direção própria de .



Como todo diádico tem ao menos um autovalor real, resulta:

Teor. 6: Todo diádico tem ao menos uma direção própria real.

*


Determinar um autovetor do diádico do exemplo numérico do § 01.03.

Solução:

Para a solução da questão é necessário o cálculo preliminar dos autovalores do

diádico, o que já foi realizado no exemplo numérico 1 deste parágrafo. Em seguida,

estaremos aptos para resolver o sistema homogêneo de equações lineares traduzido pela

expressão diádica (09), ou seja,

( )

( , )

( ) ,

1 1 1 0 0

2 1 5 1 0 0

0 0 1 1 0

L L L

L L L

L L L

1 2 3

1 2 3

1 2 3

donde,

L L e L1 2 3 0 número arbitrário.

Então, a direção de k é a única direção própria de (correspondente ao autovalor +1).

*

Teor. 7:

São paralelos os vetores próprios de K e de (K inteiro positivo), mas os

autovalores de K são as potências K-ésimas dos de :

e K inteiro positivo, K K= X ,.x x (11);

e se é completo, (11) vale para K inteiro negativo:

com 3 0 e K inteiro, K K= X ,.x x (12).

Com efeito, pré-multiplicando ambos os membros de (09) por e aplicando a

mesma relação (09) ao segundo membro formado, temos: 2.x = X.x = X2x, isso é, (11) é

válida para P = 2. Por procedimentos análogos, aplicando o postulado da indução completa,

podemos comprovar que (11) é válida para qualquer K positivo.

Se é completo, podemos pré-multiplicar ambos os membros de (09) por -1 e

agrupar convenientemente; temos, então: -1.x = X-1 x, isso é (12) é válida para P = -1. Tal

como anteriormente, poderíamos provar que (12) é válida para qualquer K negativo.



Teor. 8:

Se e são similares mediante , e a é vetor próprio de relativo ao

autovalor A, então b = .a e A são, respectivamente, vetor próprio e valor

próprio correspondentes de :

. .

. a a. . a .a b

1

AA A( ) ( ) , (13).

Temos (§ 02.02):

.a . . .a . . .a ( ) ( ),1 1

ou, ainda, considerando que .a = Aa, vem: 1. . .a a( ) .A Agora, pré-multiplicando

ambos os membros por :

. .a .a .b b( ) ), , A( ou, A

isso é, b = .a é vetor próprio de correspondente ao seu autovalor A.

Corol. 1:

Diádicos similares mediante têm os mesmos autovalores e autovetores

transformados mediante ..

Diádicos com autovalores nulos.

Teor. 9:

A CNS para que um diádico seja ortoplanar é que ele seja planar e tenha

apenas dois autovalores nulos.

Se é ortoplanar, ~ é ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II); então: 3 = 0 e

E~ 0 . Sua equação característica é X3-EX2 = 0, o que implica apenas dois autovalores

nulos para . Reciprocamente, se é um diádico planar que tem apenas dois autovalores

nulos, 3 = 0 e E~ 0 em vista das (03). Então ~

é ortolinear e é ortoplanar (Corol. 4,

Teor. 2, § 08.01,II).

Corol. 1:

Se dois diádicos são similares e um deles é ortoplanar, então o outro

também é ortoplanar.

Pois ambos são planares (Teor. 2, § 02.02) e têm os mesmos autovalores (Corol. 1,

Teor. 8).

*


Comprovar que é ortoplanar o diádico de matriz co-variante



[ ]

4 2 4

4 2 4

5 4 5

na base de métrica

[ , ]G ] ou [G

2 2 1

2 5 1

1 1 2

1

9

9 3 3

3 3 0

3 0 6

.

Solução:

Temos, conforme ((031)3, §09.03,II):

[ ] [ ][ ]

G

1 0 1

0 0 0

2 2 2

.

Logo: E E

~

3 e = 0. 3 0, Então, a equação característica de é: X3 2 3X 0,

donde, X X e X1 2 3 0 3. Sendo planar o diádico, e tendo dois autovalores nulos, é

ortoplanar107.

*

Teor. 10:

A CNS para que um diádico seja antitriangular é que ele seja planar e tenha

três autovalores nulos.

Com efeito, se é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo), é: 3 = 0, E

0 e

E~ 0 ; e sua equação característica é X3 = 0, isso é, seus três autovalores são nulos.

Reciprocamente, se é um diádico planar com três autovalores nulos, é: 3 = E~

E = 0. Sendo E~ 0, ~ é ortolinear (porque é planar); o que acarreta ortoplanar

(Corol. 4, Teor. 2, § 08.01, II). Sendo, ademais, E = 0, é antitriangular.

Corol. 1:

Se dois diádicos são similares e um deles é antitriangular, então o outro

também é antitriangular.

Pois seriam ambos ortoplanares (Corol. 1 Teor. 9) e teriam o mesmo escalar (Teor.

4, § 02.02, II), que é zero.

*


Comprovar que o diádico de matriz mista

107Esse problema já foi resolvido por outras vias ((§ 09.09,II) - Caracterização dos ortoplanares).

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos 329


[ ]

0 1 0

2 2 2

2 3 2

na base {g*} (mencionado no exemplo numérico 5) é antitriangular. (Ver a última nota de

rodapé).

Solução:

A equação característica desse diádico é X3 = 0, pois

E E

~3

e 0

0

2 2

3 2

0 0

2 2

0 1

2 22 0 2 0, .

Logo, esse diádico é planar e os seus três autovalores são nulos. Então, pelo Teor. 9, ele é

antitriangular.

*

Teor. 11:

A CNS para que um diádico seja ortolinear é que ele seja linear e tenha três

autovalores nulos.

Se é ortolinear, ~ é o diádico nulo e 3 = E = E~ 0; logo, a equação

característica de é X3 = 0, e tem três autovalores nulos.

Reciprocamente, se é um diádico linear que tem os três autovalores nulos, deve

ser, conforme as (03), E = 0 (além de 3 = E~ 0). Logo é ortolinear.

Corol. 1:

Se dois diádicos são similares e um deles é ortolinear, então o outro

também é ortolinear.

Pois ambos seriam lineares (Teor. 2, § 02.02) e teriam o mesmo escalar (Teor. 4, §

02.02), que é zero.

*


Comprovar que o diádico de matriz mista

[ ]

2 2 4

0 0 0

1 1 2

(numa base qualquer) é ortolinear. (Ver § 09.09, II - Caracterização dos ortolineares).



Solução:

A equação característica de é X3 = 0, pois:

E E

~3

+ + e 0;

00 0

1 2

2 4

1 2

2 2

0 00;

logo todos os seus autovalores são nulos. Ademais, é linear porque a sua matriz [ ]

tem uma linha nula e as outras duas proporcionais; ou seja, pelo Teor. 10, ele é ortolinear.

*

§ 03.04 - Outros exemplos numéricos.

Nos exemplos seguintes os diádicos são todos dados por suas matrizes mistas

contravariante/co-variante numa base arbitrária {g*}, e os seus autovetores são definidos

por suas coordenadas contravariantes.

Comprovar, então, a veracidade dos autovalores A, B, C e dos autovetores

correspondentes a, b, e c dos diádicos apresentados nos seguintes casos:

1° caso: ABC

1 exemplo108:

2 1 0

9 4 6

8 0 3

, elementos característicos

A

B

C

1 1 3 4

1 1 1 2

3 3 3 4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g g

b g g g

c g g g

2 exemplo109:

1 1 0

0 2 1

0 0 3


A

B

C

1 1 0 0

2 1 1 0

3 1 2 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g g

b g g g

c g g g

3 exemplo:

3 1 0

1 2 1

0 1 3


A

B

C

1 1 2 1

3 1 0 1

4 1 1 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g g

b g g g

c g g g

108 Calaes, A. M. Curso de Cálculo Matricial, Imprensa da UFOP, 1984, pag.99.

109 Noble B. e Daniel, J.W., Álgebra Linear Aplicada, Prentice Hall do Brasil, 2 edição, 1986.



4 exemplo:

2 1 0

1 2 1

0 1 2


A

B

C

2 2 1 2 1

2 1 0 1

2 2 1 2 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a g g g

b g g g

c g g g

2 caso: AB=C

1 exemplo:

5 4 3

1 0 3

1 2 1

, elementos característicos A

B C

2 1 1 1

4 1 1 11 2 3

1 2 3

a g g g

c g g g

Comprovar que

a g g g c g g g 0

1

2

1

21

1

2

1

21 2 3 1 2 3

e

são autovetores de T.

2)exemplo:

5 6 6

1 4 2

3 6 4

,elementos característicos.

A

B C qualquer par de vetores do

plano dos antecedentes de

1 3 1 1

2

1

1 2 3a g g g

3 exemplo:

K

K

K

1 1

1 1

1 1


A K 2

B C K qualquer par de vetores

ortogonais do plano de K

a g g g1 2 3

1

2 ( )

3 caso: A=B=C

1 exemplo:

3 4 4

1 3 2

2 4 3


A

B

C

1

1 4

1

1 2 3a g g g

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 332


Comprovar que 1 = bc* com b = 2g1g2+2g3 e c* = g12g22g3, sendo b.c* =

a.c* = 0. Comprovar que o vetor desse diádico é um de seus autovetores (relativo ao

autovalor triplo +1), ou seja, V a .

2 exemplo:

0 1 0

2 2 2

2 3 2


A

B

C

0

0 1 0 1

0

1 2 3a g g g

Comprovar que é antitriangular e pode ser escrito na forma = ab* + bc*, sendo

a g g g b g g g

b g g g c g g g

1 0 1 0 1 1

0 1 0 2 2 2

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

,

e

a.b b.c a.c b.b 0 1 e .

Notar que a.b=(g1-g3).(g2+g3) não é nulo necessariamente, o que justifica

(numericamente) a nota 1 apresentada no final do Corol. 2 do Teor. 7, §05.04, II.

*

§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS.

§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC.

Nesse caso todos os diádicos característicos são distintos e o polinômio mínimo do

diádico se confunde com o seu polinômio característico. A existência de autovetores no

campo real ficará dependente da existência de autovalores reais. Também, nenhum dos

característicos (distintos), pode ser ortoplanar, nem linear (Teor. 4, § 03.03).

§ 04.01,A - Autovalores imaginários.

Consideremos, agora, aqueles diádicos, representados genericamente por , que

admitem um autovalor real A e dois autovalores complexos (conjugados), B = M+Ni e C =

M-Ni, (N0). Pondo, conforme é de praxe na teoria dos números complexos,

M = cos e N= sen , ( 0), (01),

onde > 0 é o módulo do complexo e o seu argumento, tem-se também a norma do

complexo, 2, e a tangente trigonométrica da metade do seu argumento:

2 2 2= M + N e tg

2

M

+ M

, (02).

Do diádico , conhecemos, pois:

E 3

2 2

E

~ 2 2= A +2M, = A(M + N ) e = M + N +2MA, (03).

Assim, se A0, é completo, bem como ~, porque ~3 = (3)

2 (Teor.06,§ 08.01,II).



Trocando na fórmula geral ((01)1,§08.02,II) por -A, e operando, temos:

2 3 22

( ( ( ) . A ) A) A +AE

~

E

2 2

E

Lembrando, agora, as (03), escrevemos, após agrupamentos e simplificações:

2 42

( ( ( ) . A ) M A) +2A(A +2M) 3AE

~ 2

E

2

Mas, reaplicando ((01)1,§08.02,II) e as (03), obtemos:

( ) ( ) ( 2 2

2E E E

~ 2 2 2 2 2 2A +2M) 2(M + N +2AM) = A +2(M N ).

Então,

2 4

2

(

,

A ) (M + A 2AM) A 2(M N ) + 2A(A + 2M) 3A

M + A 4AM + N

E

~ 2 2 2 2 2 2

2 2 2

ou seja, finalmente:

( , A ) (A M) + NE

~ 2 2 (031).

A equação característica de pode ser escrita na forma

(X A)(X 2 cos X + ) = 0,2 2

(04),

e, conforme ((041),§ 03.03), o seu polinômio diádico característico, na forma

=)+ cos2()A( 22 . , (05).

Teor. 1:

Se A, M+Ni e M-Ni (N0) são os autovalores de um diádico , existem bases

recíprocas {a,b,c} e {a*,b*,c*} em relação às quais fica reduzido à forma

cartesiana mista

A M( Naa bb cc cb bc) ( ), (06),

cuja matriz mista associada é

abc

A 0 0

0 M N

0 N M

, (061),

a e a* sendo autovetores de e T respectivamente, correspondentes ao

mesmo autovalor A.



Sendo A uma raiz simples de (nula ou não nula), -A é um diádico planar, mas

não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Sejam b e c dois vetores arbitrários, não paralelos, do

plano ) dos antecedentes de -A; seja, ainda, a um vetor arbitrário ortogonal ao plano )

dos conseqüentes de -A, mas tal, que o triedro {a,b,c} seja direto (Fig.04.01).

Então ( A ).a o, isso é, a é um autovetor de correspondente ao autovalor A. Se

{a*,b*,c*} é o sistema recíproco de {a,b,c}, os vetores b* e c* são paralelos ao plano ) e

a* é ortogonal a ). Podemos, pois, escrever:

A = P P Q Qb b c c c b( ) ( ),

os conseqüentes de - A formando combinações lineares de b* e c*, com coeficientes a

determinar a partir da condição de que A, M+Ni e M-Ni sejam os autovalores de . Ora, na

expressão de cada um dos conseqüentes, um dos coeficientes pode ser fixado

arbitrariamente, desde que diferente de zero. Ponhamos: -P' = Q' = N. Então:

A P N Q Nb b c c c b( ) ( ),

donde

( ) ( ) .~

A PQ+ N2

aa

Logo:

( A ) P +Q = 2(M A)E ,

e lembrando (031):

( ) ) ; A PQ + N (M A + NE

~ 2 22

portanto,

2(M A) = P + Q

(M A) = PQ.2

Então: P = Q = M-A, e

A = (M A)( + + N(bb cc cb bc) ),



ou seja, indiferentemente de ser A um autovalor nulo ou não nulo, fica reduzido à forma

(06).

Teor. 2:

Todo diádico redutível à forma cartesiana mista (06) tem A, M+Ni e M-Ni

(N0) por autovalores e a por autovetor associado a A.

Se for A = 0, obviamente é planar, e ~ = (M2+N2)aa*. Logo:

E E

~ 2 2M e M + N 2 .

A equação característica de é

X MX M + N )X = 03 2 2 2 2 ( ,

e suas raízes são: 0, M+Ni, M-Ni, c.q.d..

Suponhamos A0. O adjunto de é completo e pode ser calculado facilmente, não

sem algum trabalho. Considerando (01), lembrando que a dupla multiplicação cruzada de

diádicos é comutativa e observando que

)-()-(

aaaaaa ;

aaaaaa )-( )-( ,

)()(

cbbccbbcaa , 0)( )(

cbbcaa ,

aacbbccbbc )( )( ,

deduzimos:

~

( ) ),

M + N ) + MA( NA(2 2

aa aa bc cb (07),

mas poderíamos encontrar o mesmo resultado partindo da matriz mista (061).

De (03), (06) e (07) calculamos os coeficientes da equação característica de ; esta

se escreve na forma:

X (A +2M)X +(M + N +2MA)X A(M + N ) = 0,3 2 2 2 2 2

sendo evidentemente satisfeita para X = A; logo:

[X 2MX+(M + N )] (X A) = 0,2 2 2 .

ou, ainda,

[X (M+ Ni)][X (M Ni)](X A) = 0,

isso é, A, M+Ni, M-Ni são os autovalores de .



Corol. 1:

A CNS para que um diádico tenha apenas uma raiz real é que ele seja

redutível à forma cartesiana mista (06), em que {a,b,c} e {a*,b*,c*} são

sistemas recíprocos e N0.

A proposição direta é conseqüência imediata do Teor. 1; a proposição recíproca é

conseqüência do Teor. 2.

Nota: Do sistema {a,b,c} requer-se apenas que a seja perpendicular ao plano dos conseqüentes

de - A. Poderíamos, pois, sem perda de generalidade, escolher

| | | | | | , ) ( , )a b c b c c a 12

e (

.

Nesse caso,

A M( N( ) )aa bb cc cb bc , (061),

sendo

| | | | , | | , , c c b a a b 1 | |

1

sen

Caso de diádicos uniplanares.

Seja, por hipótese,

M( N(bb cc cb bc) ), (08),

um diádico uniplanar com o autovalor real nulo (A=0) e dois autovalores complexos

conjugados (Teor. 2). Nesse caso, as duplas {b c b c, } e { , } são recíprocas no plano de .

Dada a arbitrariedade de b e c podemos fazer |b|=|c|=1, caso em que

|b*|=|c*|=1/sen, sendo o ângulo de .b c com Então:

sen

M( N( ) )bb cc cb bc , (081).

Se i é o unitário da normal ao plano de , orientado de forma a que {, , }i b c seja direto,

sen V VN isto é, N=1

2sen 2 , | |i .

Caso de diádico anti-simétrico

Se, ainda, arbitrarmos = /2 (já que b e c são arbitrários) os sistemas recíprocos

{ , b c} e { b *, c*} se confundem. Pondo, então: , ,b j c k escrevemos:

M( N( ) ),jj kk kj jk

e

T

M( N( ) );jj kk jk kj

donde, por soma:



T

M(2 ).jj kk

Então, se = /2 e M = 0, é anti-simétrico; reciprocamente, se, = /2 e é anti-simétrico, M = 0. Então,

ikjjk ˆN)ˆˆˆˆN( , ( kj ˆˆ ) (09),

isso é, é um diádico de Argand (§06.05,II). Logo:

Teor. 3:

A CNS para que um diádico seja um diádico de Argand é que ele tenha um

autovalor nulo e os outros dois imaginários puros, Ni e -Ni, mas devendo ser

N= -1/2|V|.

Outras reduções.

Entretanto, poderá ser A = M = 0 sem que seja uniplanar (tampouco anti-simétrico), caso em que (agora um ciclotônico planar) fica reduzido à forma

N(cb bc ), (10)110.

Se, por outro lado, for A = M = 0 e uniplanar, poderemos fazer |b| = |c| = 1, caso

em que |b*| = |c*| = 1/sen; assim, fica reduzido à forma

N

sen( cb * bc *), ou =

1

2| |( V cb * bc *), (11),

forma que provem de (081) para M = 0, com

N =1

2senV | | , (12).

Deve ser observado que, nestas condições (A = M = 0 e uniplanar), não é,

necessariamente, diádico anti-simétrico, porque N-1/2|V|.

Os principais resultados relativos a reduções de diádicos com autovalores complexos

estão resumidos no Quadro I, em Apêndice, no final deste capítulo.

110 Notar que, embora a matriz mista associada a seja anti-simétrica, o diádico não é anti-simétrico; sê-lo-ia,

entretanto, se essa matriz (anti-simétrica) fosse a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).



§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral.

Em vista das considerações anteriores, fica evidente que, se ABC (algum deles

eventualmente nulo), todos os diádicos característicos de são distintos, bem como são

distintas as suas direções próprias111.

Se os vetores (não coplanares) a, b e c são autovetores de correspondentes aos

autovalores A,B e C, escrevemos:

.a a .b b .c c= A , = B e = C ;

e se a*, b*, c* são os recíprocos de a, b e c:

= A + B + C ,aa bb cc

(13),

conforme Corol. 1,Teor. 1,§ 02.04,II.

Observando-se que, por ser {a,b,c} uma base, (13) é uma representação cartesiana

de , a sua matriz associada é

[ ] ,abc

A

B

C

0 0

0 0

0 0

(131).

Concluímos, então:

Teor. 4:

Todo diádico que tem autovalores reais e distintos, tem também autovetores

reais e distintos; suas matrizes associadas (mistas), na base desses

autovetores, são idênticas e só contêm coordenadas diagonais (que são os

seus próprios autovalores)112.

Fica evidente, de (13), a demonstração do teorema seguinte.

Teor. 5:

Se ABC são os autovalores de correspondentes aos autovetores (não

coplanares) a, b e c, então os recíprocos destes são autovetores de T,

correspondentes aos mesmos autovalores ABC.

Corol. 1: Se um diádico tem autovalores distintos, os seus autovetores e os do seu

transposto constituem sistemas recíprocos.

111 Isso é válido mesmo que um dos autovalores seja nulo.

112 Com outras palavras: a todo diádico com autovalores reais e distintos corresponde uma única matriz

simétrica (mista) na base dos seus autovetores, mas o diádico não é necessariamente simétrico, exceto se essa matriz é a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).



Definição: (forma tônica ou diagonal e diádico tônico ou diagonal)

Se {e*

} e {e*} são bases recíprocas e D1, D2 e D3 são números reais

quaisquer, todo diádico representado na forma seguinte - dita forma

diagonal ou tônica -,

= D (i = 1,2,3),i i

ie e (14),

será denominado um diádico tônico ou diagonal.

Resulta então:

Teor. 6:

Todo diádico que tem autovalores reais e distintos é um diádico tônico; ou, o

que é o mesmo, é representável, de uma única maneira, numa forma

diagonal.

Corol. 1:

Se um diádico é tônico, os seus autovetores e os do seu transposto

constituem sistemas recíprocos.

A forma diagonal de um diádico (sabidamente tônico) nem sempre está dada; as

considerações feitas no § 03.03, entretanto, permitem deduzi-la.

Definição: (redução diagonal)

Denomina-se redução diagonal ou diagonalização de um diádico o conjunto

de operações pelas quais dá-se a um diádico (tônico) a sua forma ou

representação diagonal. Diz-se também, quando se dá a um diádico (tônico)

a sua forma ou representação diagonal, que se pratica a sua redução

diagonal.

Teor. 7:

A CNS para que um diádico seja tônico é que ele tenha três autovetores

independentes.

Com efeito, se é tônico, ele pode ser escrito na forma (14) em que {e*} e {e*} são

sistemas recíprocos; e dela deduzimos:

. e e .e e .e e1 1 2 2 3 3 D D e D1 2 3, ,

igualdades que mostram que os vetores ei são autovetores de (logo, independentes).

Reciprocamente, se é um diádico que tem três autovetores independentes, ei,

podemos escrever:

. e e .e e .e e1 1 2 2 3 3 A A e A1 2 3, ,

Então, se {e1,e2,e3} é o sistema recíproco de {e1,e2,e3} podemos escrever:

= A i iie e ,

e é tônico.



*

Exercício:

Demonstrar que todo diádico tônico (completo) é um diádico de Moreira.

*

Resulta imediatamente do Corol. 1,Teor. 8, § 03.03 o seguinte

Teor. 8:

Se dois diádicos são similares mediante e um deles é tônico, então o outro

também é tônico; os vetores característicos de um e os recíprocos dos

vetores característicos do outro são os antecedentes e os conseqüentes de .

Elementos característicos de diádicos simétricos.

Teor. 9:

Os valores característicos de um diádico simétrico são todos reais.

Pois, se não fossem, esse diádico seria redutível à forma ((06),§ 04.01,A); e sendo

simétrico por hipótese, deduzimos, da referida expressão:

A + M( ) N( ) = A + M( ) N( .aa aa bc cb a a a a c b b c

)

Transpondo termos, simplificando e agrupando, escrevemos:

=)](+)N[()A)((M cbcbbcbcaaaa ,

ou, ainda, aplicando ((03)4,§ 06.02,II) e evidenciando:

=]NNA)[(M bcbcaa .

Lembrando ((02)1,§ 06.01,II) resulta (de ser =T e redutível à forma (06),§ 04.01):

cbbcaa NN)AM( .

Multiplicando escalarmente ambos os membros dessa expressão por a*, deduzimos:

.= ou, ,= cb.aac.b.acb.abc

Agora, dividindo ambos os membros por (a*b*c*) e lembrando que {a,b,c} e {a*,b*,c*}

são recíprocos, concluímos: c b2 2

= , o que é um absurdo. Logo, se =T, tem todos os

seus valores característicos reais.

Teor. 10:

Se um diádico é simétrico, dois vetores característicos quaisquer, associados

com duas raízes características distintas, são ortogonais entre si.



Sejam A e B (AB), dois autovalores de aos quais correspondem os autovetores a

e b, respectivamente; escrevemos:

.a a .b b= A e = B ,

onde, por ser = T:

a. a b. b = A e = B .

Então:

a . .b a.b a. .b a.b = A e = B ,

donde, subtraindo membro a membro:

(A B) = 0, a.b

isso é, a.b = 0, ou ab, porque AB.

Corol. 1:

Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, seus autovetores são

triortogonais; logo, esse diádico é diagonalizável.

•

Sejam , i j k e autovetores (unitários) de um diádico simétrico e completo

correspondentes aos autovalores A, B e C. Escrevemos, então:

A B C ,ii jj kk (15).

Podemos admitir o terceto { , , }i j k direto porque se não for bastará inverter o sentido de

apenas um dos vetores para que o novo terceto o seja (não deixando, ainda, de serem tais

novos unitários, autovetores unitários de ). Comprovamos, então, o seguinte

Teor. 11:

Todo diádico simétrico pode ser reduzido à forma (15) em que A,B e C são

os seus autovalores (com os seus respectivos sinais) e { , , }i j k o terceto

direto dos seus autovetores unitários.

Se for 3>0, ou os três autovalores de são positivos ou apenas um é positivo. No

primeiro caso poderemos escrever

(| | | ),A| B| C|ii jj kk (151);

e no segundo (se apenas C é positivo):

[| ) | ) | ],A|( B|( C|i i j j kk (152).



Tanto em (151) quanto em (152) antecedentes e conseqüentes formam tercetos diretos,

porem distintos113.

Se for 3 < 0, ou os três autovalores são negativos ou apenas um é negativo. No

primeiro caso escrevemos:

(| | | ),A| B| C|ii jj kk (153);

e no segundo (se apenas C é negativo)

[| ) | ) | ],A|( B|( C|i i j j kk (154),

o sistema { , , } i j k sendo, ainda, direto (obviamente distinto de { , , }i j k ).

Temos, então, demonstrado o seguinte

Teor. 12:

Todo diádico simétrico completo, , pode ser reduzido à forma

(| | | ),A| B| C|i i j j k k (155),

em que { , , }i j k e { , , } i j k são dois tercetos ortogonais diretos de

autovetores unitários e paralelos, correspondentes aos autovalores A,B e C.

Nota: As representações (15), (15

1) e (15

3) são representações cartesianas do diádico porque

{, , }i j k é auto-recíproco idêntico. As representações (152), (15

4) e (15

5) serão analisadas

no § 07.01 (representação normal).

Teor. 13:

Se A é raiz simples do diádico simétrico , o seu característico -A é

uniplanar.

Com efeito, pelo Teor. 2 do § 03.03, -A é planar (mas não ortoplanar). Mas, sendo

= T, tem-se: -A = T-A = (-A)T, isso é, -A é planar simétrico; logo é uniplanar

(Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).

Corol. 1:

Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, os seus diádicos

característicos, uniplanares e distintos, se interceptam segundo as

direções (triortogonais) dos seus autovetores.

113 - Se de um termo direto invertem-se dois qualquer dos vetores, o novo triedro continua direto.

Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores reais e

distintos estão resumidos no Quadro II, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C 343


Tônicos associados a uma homologia

Seja e ai

i uma redução trinomial de um diádico qualquer, , com antecedentes

independentes. O homológico de , de coeficientes X1, X

2 e X

3, é (ver § 03.02,II):

Hom Xi

i i e a . Podemos escrever:

Hom X X Xj

j ji

ij

j ji

ij

j j e e .e a e e .e a e e .( ) ( ) ( ) ,

ou, ainda, pondo

e ej

j jX , (16),

resulta

Hom . , (17).

Se a redução trinomial de fosse feita com conseqüentes independentes, gj,

escreveríamos, jjgb ; e teríamos:

Hom X )X Xj jj

jj

i ii

jj

i ii

b g b g .g g b g . g g( ( ) ( ) ,

ou, pondo

g gi ii

X , (18),

resulta

Hom . , (19).

Então,

Hom . . , (20).

De (16), (17), (18) e (19), concluímos:

Teor. 14:

Um homológico qualquer de um diádico, em redução trinomial arbitrária,

vale o produto pontuado anterior (posterior) desse diádico pelo tônico cujos

autovalores são os coeficientes da homologia e cujos autovetores são os

antecedentes (conseqüentes) da redução trinomial.

Definição: (tônicos associados a uma homologia)

Os tônicos e , cujos autovalores são os coeficientes de uma homologia

Hom, e cujos autovetores são os antecedentes ou os conseqüentes de uma

redução trinomial arbitrária de , são denominados os tônicos associados à

homologia.

Teor. 15:

Se é completo, os tônicos associados a uma homologia Hom são similares

mediante .

Pois (20) dá: . . . .1 1 e , o que comprova a tese.

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C 344


§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C.

Se um diádico tem um autovalor duplo, B = C,

A B = C são reais e A B = C , (01),

sendo:

( B ) = A B 0, ( A ) = 2(B A) 0, E E (02),

e

( B ) = , ( A ) = ,V V V V (021).

Das expressões (02) podemos concluir que nenhum dos característicos é o diádico

antitriangular ou o diádico ortolinear; das expressões (021) podemos concluir que os

característicos serão simétricos se, e somente se, o diádico for simétrico.

Teor. 1:

Se AB = C, -B só pode ser ortoplanar ou linear.

Com efeito, pelo Teor. 4 §03.03, -A é planar (mas não ortoplanar). Se -B fosse

planar também, seu quadrado seria planar (Teor. 2, §05.04,II). Mas, segundo ((08)1,

§03.03), (-A)~ = (-B)2; o que é um absurdo porque (-A)~ é linear. Logo, -B ou é

ortoplanar, ou é linear.

Teor. 2:

Sendo -A planar e -B = -C linear (logo T):

1º) o polinômio mínimo de é

P ( ) = (X A)(X B),min (03),

2º) pode ser reduzido de infinitas maneiras à forma diagonal

= A + B + B ,aa bb cc

com

B000B000A

][ abc , (04),

onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos, sendo a* e a

respectivamente ortogonais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de

-A(=(B-A)bb*+(C-A)cc*);

3º) os vetores dos sistemas {a,b,c} e {a*,b*,c*} são autovetores de e T,

respectivamente, correspondentes aos mesmos autovalores A, B e C = B:

.a a .b b .c c= A , = B , = B , (05)

e

T T T

= A , = B , = B ,.a a .b b .c c

(051).

A expressão (03) decorre imediatamente de ((08)3,§ 03.03) pois (-C)~ = .

§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C. 345


Denotemos por a* e a, respectivamente, os vetores ortogonais aos planos dos

antecedentes e conseqüentes de -A, ajustando-os de forma a que a.a* = 1 (o que é sempre

possível). Considerando que, conforme ((08), § 03.03), (-A).(-B) = , então -B

(linear por hipótese) tem antecedente paralelo a a e conseqüente paralelo a a*; assim,

podemos escrever: -B = Kaa*. Então, sendo (-B)E = K, e lembrando (02)1, resulta:

B = (A B) . aa

Se b e c são dois vetores arbitrários, não paralelos, do plano dos antecedentes de -

A, resulta que o terceto de vetores a, b e c é de vetores não coplanares (- não é

ortoplanar). Podemos, agora, determinar os vetores b* e c* (do plano dos conseqüentes de

-A) tais que {a,b,c} e {a*,b*,c*} sejam recíprocos.

Então, sendo = aa*+bb*+cc*, da expressão deduzida para -B podemos escrever

na forma diagonal (04) de infinitas maneiras (b e c são arbitrários). De (04) deduzimos,

finalmente as (05) e (051); o que comprova a terceira parte do teorema.

Teor. 3:

Sendo -A planar e -B = -C ortoplanar (logo T):

1º) o polinômio mínimo de é o próprio polinômio CH:

P ( ) = C ( ) = (X A) (X B) ,min 3

2 . (06);

2º) pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma

= A + B( + ) + B ,aa bb cc cb

com [ ] abc

A 0 0

0 B 0

0 B B

(07),

ou à forma equivalente

= B +(A B) + B ,

aa cb (08),

onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos, com a* e a respectivamente

ortogonais aos planos dos antecedentes b e c e conseqüentes b* e c* de A

(=(B-A)(bb*+cc*)+Bcb*);

3º) só admite dois autovetores reais: a e c, correspondentes aos

autovalores A e B:

.a a .c c= A e = B , (09).

A expressão (06) decorre imediatamente de ((08)1,§ 03.03), fazendo-se

B = C , multiplicando-se ambos os seus membros por (-A) e aplicando-se

((06),§ 03.03).



Sendo A uma raiz simples de (nula ou não nula), -A é um diádico planar, mas

não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Seja a um autovetor de relativo a A, logo perpendicular

ao plano dos conseqüentes de -A; e a* o vetor perpendicular ao plano dos antecedentes de

-A, mas tal, que a.a* = 1.

O diádico -B é ortoplanar por hipótese. Denotando por c e b autovetores de e

T relativos ao autovalor duplo B = C, temos: (-B).c = o = b*.(-B). Então, os vetores

(ortogonais) c e b* são, respectivamente, ortogonais aos planos dos conseqüentes e dos

antecedentes de -B; e, portanto, respectivamente paralelos aos planos dos antecedentes e

conseqüentes de -B.

O diádico (-B)2 é linear e tem antecedente e conseqüente pertencentes,

respectivamente, aos planos dos antecedentes e conseqüentes de -B (Corol.2,Teor.

4,§05.04,II). Mas, sendo

=)A()B()B()A( 22 .. ,

resulta que o antecedente de (-B)2 é paralelo a a e o conseqüente paralelo a a*. Logo, a e

c são paralelos ao plano dos antecedentes de -B; e a* e b

*, paralelos ao plano dos

conseqüentes. Podemos, assim, escrever:

B L + M (com aa cb b a b c, ), e

determinar L e M com a condição de que (-B)E =A-B. Encontramos: L=A-B. Logo:

B (A B) + M (com aa cb b a b c, ), M podendo ser uma constante arbitrária

não nula (igual a 1, -1, ou B, por exemplo).

Poderemos, agora, determinar um vetor c* no plano dos conseqüentes de -A, e um

b no plano dos antecedentes de -A tais, que os sistemas {a,b,c} e {a*,b*,c*} sejam

recíprocos.

Diádicos simétricos

Teor. 4:

Se AB = C e = T, -A é uniplanar, -B é unilinear e

[ ] ijk

A 0 0

0 B 0

0 0 B

.

Que -A é uniplanar decorre imediatamente do Teor. 13, § 04.01. Pelo Teor. 1, -

B deve ser linear; mas, sendo = T, -B é unilinear (Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).

Sendo, então, = T e AB = C, - A é uniplanar e - B unilinear (Teor. 4).

Logo: ( - B)~ = ( - C)~ =, e de ((18)3, § 03.03), deduzimos:

( - A).( - B) =, (10).

Logo, o polinômio mínimo de é (X-A)(X-B).



Seja i o unitário ortogonal ao plano de - A. Sendo - B unilinear, podemos

escrever, em vista de (10):

- B = L i i ,

onde L é uma constante a determinar. Mas ( - B)E = A-B, isso é, L = A-B. Logo:

A B( ),i i j j k k (11),

j k e sendo dois unitários ortogonais arbitrários do plano de - A. Logo:

Se AB=C, =T e uniplanar. A normal ao seu plano é a direção do seu

autovetor relativo a A e os outros dois autovetores são quaisquer vetores

ortogonais pertencentes a esse plano.

Os principais resultados relativos às reduções de diádicos com autovalores reais

duplos estão resumidos no Quadro III, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.

Se um diádico (não nulo) tem autovalor triplo, esses autovalores são reais

necessariamente; e os seus diádicos característicos são todos iguais. Verificam-se então,

simultaneamente:

( A ) A = 0E E 3 (01),

e

3)A( , (02),

podendo ser, ainda, (-A)2 = e -A = (casos em que (02) fica satisfeita).

Teor. 1:

O característico (único) -A: 1) ou é antitriangular, caso em que A = B =

C = 0 e T; 2) ou é ortolinear, caso em que A = B = C 0 e T; 3)

ou é nulo, caso em que A = B = C 0 e =T=AI ( é diádico escalar).

Com efeito, apenas o diádico nulo, o ortolinear e o anti-triangular satisfazem (01) e

(02) simultaneamente. Além do mais, = T só se -A =, porque os diádicos

ortoplanares (e, portanto os antitriangulares) e ortolineares são não simétricos (Corol. 3,

Teor. 4, § 04.02,II).

Então, o Teor. 7, § 05.04,II, e seu Corol. 2, permitem demonstrar o seguinte

Teor. 2:

Se A = B = C = 0 e - A = é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo):

1) - O polinômio mínimo de é

P ) = Xmin

3( , (03);

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. 348


2) - Existem dois pares de vetores, um em cada plano de (Fig.04.02): a,b

(ab) e b*,c*, sendo b paralelo à interseção desses planos, que reduzem à

forma

ab bc , (04),

gozando tais vetores das seguintes propriedades:

b.c a.c a.b a.b 0 , e b.b 1, (05);

3) - A normal ao plano dos conseqüentes (antecedentes) de é a única

direção própria real de (T):

.a a .c c

A AT

, ,e

000100010

][ abc (06).

•

Determinando os vetores a* e a (a*//a) de forma que os sistemas {a,b,c} e

{a*,b*,c*} sejam recíprocos, escreveremos

aa bb cc , os sistemas {b,c} e {b*,c*}

sendo, também, pares recíprocos no plano dos conseqüentes de .( § 03.02, I ).

Teor. 3:

Se A = B = C0 e -A é ortolinear:

1º) o polinômio mínimo de -A é

2min )AX()A( P , (07);

2º) existem vetores b e c* (Fig.04.03), paralelos a duas direções ortogonais

(logo, ortogonais), que reduzem (de infinitas maneiras) à forma

§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. 349


= A + , bc

e [ ] abc

A 0 0

0 A 1

0 0 A

(08);

3º) qualquer direção ortogonal a c* (b) é direção própria de ();

particularmente, .V = AV = T .V.

As demonstrações são evidentes.

Teor. 4:

Se A = B = C0 e - A é o diádico nulo:

1) - O polinômio mínimo de é

P ) = X A,min ( (09);

2) - O diádico é escalar,

A , (10);

3) - Qualquer vetor do espaço é autovetor de e [ ] ] A[ ;

o que é evidente.

Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores triplos

estão resumidos no Quadro IV, em Apêndice, no final deste capítulo.

§ 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS.

No § 01 induzimos a procura de certas bases em relação às quais a descrição de uma

TL pudesse ser facilitada. No § 03 descobrimos um modo prático de reduzir os diádicos a

formas mais compactas (as formas canônicas), o que certamente facilita a referida

descrição. Nestas condições, efetuada a redução canônica do diádico regente da

transformação, é oportuno e didático, para a descrição das TL's, dividir os diádicos em duas

classes: os tônicos (ou diagonalizáveis) e os não diagonalizáveis. Conforme vimos (§ 03),

§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis. 350


todos os diádicos tônicos têm autovalores reais, enquanto que os não diagonalizáveis

podem ter autovalores tanto reais quanto complexos.

§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis.

Os diádicos tônicos (cinco no total), são distinguidos pela multiplicidade dos seus

autovalores (A,B,C) e pela natureza dos seus diádicos característicos ( - A, - B e -

C). São os seguintes:

1°) - dois que apresentam autovalores simples, A B C, os simétricos e os não

simétricos, apresentados no Quadro II do Apêndice;

2°) - dois que apresentam autovalores duplos, A B = C, apresentados no quadro

III, no final deste capítulo;

a) - os diádicos não simétricos, com - A planar e - B linear;

b) - os diádicos simétricos, com - A uniplanar e - B unilinear.

3°) - os que apresentam autovalor triplo, A = B = C 0, simétricos, apresentados no

Quadro IV do Apêndice.

Todos esses diádicos podem ser reduzidos à forma canônica geral

A B Caa bb cc ,

onde os sistemas recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*}, formam os tercetos de autovetores de e

T, respectivamente. Esses diádicos serão incompletos se qualquer um dos seus autovalores

for nulo.

Os efeitos gerais de um diádico tônico, , são descritos pelas seguintes propriedades:

1) - as direções a,b,c ficam imutáveis no espaço porque elas são os seus

autovetores;

2) - v = VAa+VBb+VCc, tem-se:

v . v aa bb cc . a b c a b c ( ) ( ) ,A B C V V V AV BV CVA B C A B C

isso é, as coordenadas de v segundo a,b,c são distendidas ou contraídas, respectivamente,

nas proporções A:1, B:1 e C:1. Como A, B ou C podem ser positivos e negativos, as

coordenadas homônimas de v e v' podem ter sinais contrários, o que, evidentemente,

acarreta mudança nos sentidos dos vetores componentes correspondentes.

3) - se o diádico é completo, a transformada da superfície esférica sempre é um

elipsóide: a) - de semi-eixos distintos, se ABC; b) - com dois semi-eixos iguais se A B

= C (elipsóide de revolução); c) - com três semi-eixos iguais, se A = B = C (superfície

esférica de raio A vezes o raio da primeira).

É comutativa a multiplicação pontuada de dois tônicos que tenham os mesmos

autovetores (quaisquer que sejam os seus autovalores, no caso, distintos); o produto deles é

§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. 351


ainda um tônico com os mesmos autovetores e suas coordenadas (seus autovalores) são os

produtos das coordenadas homônimas (autovalores) dos tônicos fatores.

Por isso mesmo, qualquer tônico pode ser fatorado num produto de três outros

tônicos na forma

( ) ( ) ( ),A B Caa bb cc . aa bb cc . aa bb cc

onde a ordem dos fatores é irrelevante. Cada tônico fator, distende ou contrai as

componentes de um vetor paralelas a um dos seus autovetores; e deixa imutável as

componentes desse vetor, paralelas aos outros dois autovetores.

Seja { , , }i j k uma base ortonormada e -1 o diádico de mudança dessa base (§ 02.01)

para a base {a,b,c}. Então:

1ai bj ck e .ia jb kc Logo, o diádico

. . ii jj kk 1

1A B C

é um diádico similar a mediante (§ 02.02). Referindo o espaço a { , , }i j k , verificar-se-ão para 1 as mesmas propriedades já estabelecidas para com algumas particularidades

que serão abordadas no § 07.

§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis.

Os diádicos não diagonalizáveis, quatro no total, são os seguintes:

1) - os que apresentam um par de autovalores complexos conjugados, constantes do

Quadro I do Apêndice, e que são redutíveis à forma canônica geral

A M( N(aa bb cc cb bc) ), (01),

onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos e A, B = M+Ni e C = M-Ni (N0) os

seus autovalores;

2) - os que apresentam autovalores duplos (logo, todos reais), A B = C, com -A

planar e -B ortoplanar, constante do Quadro III do Apêndice. Nesse caso o diádico é

redutível à forma:

A B Baa bb cc cb( ) , (02),

em que {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos;

3°) - os que, não simétricos, apresentam autovalores triplos, A = B = C, o seu

diádico característico, único, -A, podendo ser:

a) - antitriangular, caso em que , com autovalores todos nulos, pode ser

reduzido à forma:

ab bc a b b b b.b, , || , ), ( 1 (03),

o vetor b pertencendo também ao plano dos conseqüentes (Fig. 04.02);

b) - ortolinear, caso em que , com autovalores não nulos, A, pode ser reduzido à

forma:

A + com bc b c , (04),

(Fig. 04.03), constantes do Quadro IV do Apêndice.

§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 352


§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb

*+cc

*)+N(cb

*-bc

*)

Relembrando que:

M = cos , N = sen 0 ( < < ),

M N ( > 0), tg1

2

B

+ B e B = M + Ni,

2 2

podemos escrever na forma de produto comutativo:

[ ( )] [ ( ) )]

[ ( ) )] [ ( )],

A + + + cos + sen (

+ cos + + sen ( A + +

aa bb cc . aa bb cc cb bc

aa bb cc cb bc . aa bb cc

(05).

O diádico Aaa*+(bb*+cc*) é tônico. Seu efeito (§ 05.01) é: 1) - distender (porque

> 0) os vetores paralelos a b e c na proporção :1; 2) - distender (se A > 1) ou contrair

(se A < 1) os vetores paralelos a a, na proporção A:1, e até inverter a direção desses vetores

se A < 0.

Diádico cíclico. Rotação elíptica.

Estudemos, então, a transformação regida pelo diádico seguinte, fator de ,

(aa*, ) aa bb cc cb bccos sen ( ( ) ), (06),

definido em função dos vetores das bases recíprocas {a,b,c} e {a*,b

*,c

*}e do ângulo . A

matriz mista associada a esse diádico nessas bases é

[(aa*, )]abc

1 0 0

0

0

cos sen

sen cos

tendo ele por terceiro a unidade positiva, qualquer que seja , autovalores: 1, ei

=cos+i

sen, e-i

=cos-i sen, e apenas o autovetor real a correspondente ao autovalor +1114.

Esse diádico pode ser ainda escrito na forma equivalente a (06),

(aa*, )

ccbbcbaa ]

2sen(

2cos([)sencos( (061).

Consideremos o vetor

cbr sencos)( , (07),

114 Os autovetores do cíclico são: a, 2/)i( e 2/)i( cbcb onde i2=-1, e não compõem um sistema

ortogonal. Voltaremos a esse assunto no Capítulo V do volume II deste Tomo.



onde é um parâmetro, vetor esse do plano ) definido por b e c. Vamos aplicar esses

vetores co-inicialmente num ponto arbitrário, O, de ). A cada valor do argumento

corresponde um e um único vetor )(r . Fazendo variar entre 0 e 2 rd, a extremidade de

)(r descreverá a elipse Er de semi-diâmetros conjugados b e c (Fig.05.01).

Com efeito, sendo

cbr ˆYˆX)( com X=|b|cos e Y=|c|sen,

então, no sistema de eixos coordenados oblíquos OXY,

X Y2 2

| | | |,

b c2 2 1

o que comprova a assertiva. É evidente que:

r(0)=b, r(/2)=c, cbr cossen)( , r()=-r(0)=-b etc.

Ao acréscimo de /2 ao argumento , corresponde o vetor semi-diâmetro conjugado de r().

Consideremos no plano ) uma elipse qualquer Ev, homotética de Er, de razão de

homotetia K (constante). A dado r() de Er corresponderá um v() de Ev tal, que

)()( K rv , (071).

Assim, a b corresponde um bv, a c um cv etc. tais, que bv=Kb, cv=Kc etc.. Fazendo variar

a extremidade de v() descreverá toda a elipse Ev.

Teor. 1:

O vetor transformado de v() mediante usado como pré-fator é v(+).

Considerando (07) podemos escrever (061) na forma

(aa*, )

crbraa )()( .



Tem-se, então:

)senK(cos)sen(cos)K( )()()()()(),(

rrcb.crbraa.v

aa,

ou seja,

)()(),( v.v

aa (08),

pois

)(

)()(

cossencos(sensensencos(cos

)cossen(sen)sen(coscossencos

rcb

cbcbrr

Então:

O diádico (aa*,), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por

um vetor de argumento da elipse Ev, transforma esse vetor no vetor de

argumento + dessa mesma elipse.

*

Todos os resultados anteriores podem ser verificados em relação ao plano (b*,c

*) por

consideração do diádico T

(aa*,) transposto de (aa*,), sendo, como é fácil constatar,

T

(aa*,)=(a*a,-).

Assim, enquanto (aa*,) roda elipticamente um vetor de Ev no plano (b,c) em torno de a*

para a posição correspondente ao acréscimo de ao seu argumento, T

(aa*,) roda

elipticamente vetores do plano (b*,c

*) em torno de a para a posição correspondente ao

decréscimo de ao seu argumento.

*

Estudemos agora a transformação que (a a*, ) opera sobre dado vetor v, qualquer,

do espaço. Os vetores a e v definem um plano que intercepta o plano (b,c) segundo uma

reta bem determinada. Sendo,

cv.cbv.bav.av )()()( , podemos escrever: )()( vav.av ,

v() tendo significado evidente. Então, lembrando (062) e (07), deduzimos:

v.b*=Kcos e v.c

*=Ksen

donde,

v.b

v.ctg e 22 )()(K v.cv.b , (09).

Tem-se, então:

av.a.v

aa)(

),( )(),( .v

aa,

ou, pelo Teor. 1:



av.a.v

aa)(

),( )( v =v’,

Assim, (aa*,), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por um vetor v,

transforma esse vetor num outro, v’, que tem a mesma componente de v segundo a e uma

componente no plano (b,c) que é rodada elipticamente por (aa*,) da componente v() de v

contida nesse plano.

*

Exercícios:

1 - Sejam: v=2a+2b+c e o diádico (aa*,) com =30. Comprove que : =2634’,

K=2,236 e v’=2a+1,232b+1,866c. Esboce geometricamente o problema.

2 - Comprove que o argumento de um dos pontos de interseção do plano (a,a*)

com a elipse E* de (b,c) é dado por tg=(a*.c

*)/(a

*.b

*).

*

Definições: (diádico cíclico e rotação elíptica)

A transformação regida pelo diádico

(aa*,) = aa*+cos(bb*+cc*)+sen(cb*- bc*), (10),

onde { , , } { , , }a b c a b c e são sistemas recíprocos, é denominada rotação

elíptica. O diádico (aa*,) recebe o nome de diádico cíclico; é o

argumento desse diádico, a* é o seu eixo e (b,c) o seu plano.

*

Sabemos da Geometria que toda elipse é projeção paralela de uma circunferência.

Então, existe (e é possível determinar) uma circunferência de raio unitário

kjr ˆsenˆcosˆ que, em projeção paralela, projeta-se segundo a elipse

cbv sencos)( , os semi-diâmetros unitários ortogonais j e k projetando-se

segundo os semi-diâmetros conjugados b e c, r segundo v() e seu centro H segundo O.

Seja i o unitário com sentido tal, que }ˆ,ˆ,ˆ{ kji seja ortonormado direto; e denotemos por

o diádico de mudança da base {a,b,c} para a base {, , }i j k (ver §02.01), isso é, seja

i a j b k c tal que ˆ , .jb.ia , etc..

Então,

1 ai bj ck e ˆ ,ˆ 11 j.bi.a ,

e

(aa*,) 1 . i i j j k k j k k j[ } cos sen .



Pondo

( , )i } i i j j k k j k k j cos sen , (11),

temos:

( , )i .(aa*,).1, (12),

isso é, o diádico ( , )i é similar a (aa*,) mediante .

Em relação, então, ao sistema auto-recíproco idêntico {, , }i j k , temos, para um vetor

v qualquer cuja projeção ortogonal no plano ( kj ˆ,ˆ ) é v():

(, ) (, ) (, )[()]i i i. v . v. i i .v().

Relembrando que ( , )i é cíclico de eixo i e autovetor i , temos:

(, )

i . i i e )()(),ˆ()(),ˆ(ˆKˆK

vv..vii

ou seja,

)(),ˆ(ˆ)ˆ( viiv..v

i .

Portanto, em relação ao sistema {, , }i j k , a componente )(v de v, do plano ( kj ˆ,ˆ ),com sua

origem fixa em H, tem sua extremidade rodada (circularmente) de um ângulo ; a

componente de v segundo i , com origem na extremidade de )(v , é conservada na

transformação regida por (, )i , sendo transladada paralelamente a si própria (ou a i )

segundo a referida circunferência (Fig. 05.02).



Definições: (rotação e rotor)

Denomina-se rotação circular, ou simplesmente rotação, a transformação

em que os pontos do espaço descrevem trajetórias circulares em torno de

uma reta fixa denominada o eixo da rotação.

Todo diádico (, )i , da forma (11), recebe o nome de diádico de rotação, ou

rotor (versor na nomenclatura de Gibbs); é o seu ângulo de rotação e i o

unitário do seu eixo.

*

Exercício:

Comprovar que o rotor (11) pode ser escrito na forma compacta

iiiiii

ˆsen)ˆˆcosˆˆ),ˆ(

, (13).

*

Vê-se, que o cíclico (aa*,) e o rotor (, )i , embora similares, regem rotações

diferentes. Quando, na circunferência de raio )(v o ângulo central, , varia de um valor

(algébrico) , o raio vetor correspondente descreve um setor circular cuja área é R2 2 (

em radianos). Na elipse do plano (b,c) do cíclico o raio vetor de argumento , de que o

anterior é projeção, ao ser transformado no raio vetor de argumento +, descreve um setor

elíptico. Lembrando que em projeção paralela as áreas correspondentes são projetadas

numa razão constante, escrevemos:

área setor elíptico

área setor circular

área elipse

área círculo, ou,

area setor eliptico

area elipse

2=

area setor circulararea circulo

.

Como se vê, a relação entre as áreas do setor elíptico e da elipse no plano (b,c) independe

do vetor paciente na transformação, isso é, a relação só depende do ângulo que ocorre na

expressão do diádico (aa*,). Assim:

O diádico cíclico (11), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por

vetor r da elipse de que b e c são semi-diâmetros conjugados, adianta esse

vetor de um setor (elíptico) cuja área está para a área de toda a elipse, assim

como está para 2.

Os mesmos resultados, com as devidas mudanças, são válidos para todos os diádicos

derivados do cíclico, isso é, seu transposto, seu principal e seu inverso. A determinação

dessas “mudanças” ficará a cargo do leitor.

Como se vê, comparando (11) com (10), o rotor é um diádico cíclico particular; o

seu eixo é também direção do seu autovetor. Pela importância que esses diádicos

apresentam em aplicações, as rotações (elípticas e circulares) serão estudadas em seção

especial (§ 06).



Resulta imediatamente dessas interpretações que o diádico - é um rotor que

transforma um vetor no seu oposto; diz-se por isso que ele rege uma simetria em relação a

origem, ou inversão. A inversão em relação à origem é também denominada inversão

central.

Numa situação limite, poderá ser nulo o diedro dos planos (b,c) e (b*,c

*), caso em

que o cíclico correspondente será um diádico uniplanar. Esse cíclico terá seu autovalor real

igual a zero, ao qual corresponderá o autovetor (paralelo ao seu eixo) ortogonal ao seu

plano; e poderá ser reduzido à forma (08), § 04.01,A. Portanto, esse diádico rege rotações

elípticas no seu plano (em torno do seu eixo). Por uma mudança de base podemos

determinar um rotor planar que lhe seja similar, rotor esse cujo eixo é ortogonal ao seu

plano.

Diádico ciclotônico.

Em vista de (05) e das considerações geométricas anteriores podemos, enunciar:

Teor. 1: Se um diádico tem autovalores complexos (conjugados), ele pode ser

decomposto num produto comutativo de um diádico tônico por um diádico

cíclico de argumento igual ao argumento dos autovalores complexos.

Definição: (diádico ciclotônico)

Os diádicos da forma (01), por combinarem propriedades dos diádicos

cíclico e tônico, são denominados ciclotônicos.

As propriedades dos tônicos já foram estabelecidas. As propriedades dos cíclicos e

rotores serão estudadas no §06. De certa forma as propriedades dos ciclotônicos estão

associadas com as propriedades dos tônicos e dos cíclicos.

Teor. 2:

Se dois diádicos 1 e 2 são similares mediante , e um deles é ciclotônico,

ambos têm os mesmos autovalores e os autovetores de um são os

transformados dos vetores característicos do outro mediante .

Tem-se: 1 2 . . 1. Sendo,

2 A M ( N (

2 2 2aa bb cc cb bc) ),

tem-se também:

).(N)(M))((A 112

112

121

..bc..cb..cc..bb.a.a

Pondo

.a a .b b .c c 1 1 1, , , e

vem:



a a b b c c aa bb cc1 1 1

1

1 1 1, ,

sendo { , , } { , , }a b c a b c1 1 1 1 1 1

e sistemas recíprocos. Então, a . a 1

1 etc. e

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A M ( N (

2 2 2a a b b c c c b b c) ),

o que comprova a propriedade.

Auto-similaridade dos ciclotônicos.

Se pusermos

Aaa bb cc( ) ,

escreveremos (05) no forma

=.=., (14).

onde, por brevidade, estamos representando, evidentemente, por o diádico cíclico (06).

Então:

.-1 = , ..-1 = ., -1.. = .,

ou melhor,

= ..-1 = -1.., (15).

Concluímos:

Teor. 3: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante o seu fator cíclico.

Imponhamos, agora, a condição de que um diádico arbitrário, , seja similar a si

próprio mediante dado diádico cíclico, digamos dado por (06). Então esse diádico deve

verificar (15), ou, ainda, a condição

. = . (16).

Em relação aos sistemas recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*} é

[]

1 0 0

0

0

cos sen

sen cos

.



Seja, então,

[ ]

X

X

X

Y

X

Z

Y

X

Y

Y

Y

Z

Z

X

Z

Y

Z

Z

.

Calculando os produtos matriciais correspondentes a (16) obtemos as seguintes igualdades

simultâneas:

X X X X X X X X

Y Z Y Y Y Y Z

Y Y Y Z

Y Z Z Z Z Y Z

Z Z

X X Y Z Y Y Z Z

X X X Y Z Y Y

Y Z Z Z

X X X Y Z Y Y

Y

; cos sen ; sen cos ;

cos sen ; cos sen cos sen ;

sen cos cos sen ;

sen cos cos sen sen cos ;

sen

Z Z Zcos sen cos ; Y Z

Encontramos, após simplificações:

X

X

X

Y

X

Z

Y

X

Z

X

Y

Y

Z

Z

Y

Z

Z

Y e , 0, 0, ,

sendo, então

[ ]

X

X

Y

Y

Y

Z

Y

Z

Y

Y

0 0

0

0

,

e, portanto:

X

X

Y

Y

y

Z( (aa bb cc bc cb) ), (17),

expressão idêntica a (01), § 05.02. Logo:

Teor. 4: Se um diádico é similar a si próprio mediante um cíclico, esse diádico é

ciclotônico e admite o cíclico como fator.

Em vista desse teorema e do Teor. 3, concluímos, ainda:

Teor. 5:

A CNS para que um diádico seja ciclotônico é que ele seja similar a si

próprio mediante um cíclico.



De (16) deduzimos:

. = 2..-1 , ou, ..-1 = 2..(2)-1 ,

isso é,

= 2..(2)-1 .

Analogamente poderíamos comprovar que

= (2)-1..2,

expressão que pode ser generalizada para qualquer potência inteira, P. Assim,

Teor. 6: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante qualquer potência

de expoente inteiro do seu cíclico fator:

= P..(P)-1 = (P)-1 ..P, (18).

Ainda a partir de (16) podemos escrever:

. = 2 = ..-1...-1 = .2.-1 ,

Ou

2 = -1...-1.. = -1.2.,

e assim sucessivamente para potências maiores de . Então:

Teor. 7:

Qualquer potência de expoente inteiro de um diádico ciclotônico é similar a

si própria mediante o seu cíclico fator:

P = .P.-1 = -1.P., (19).

Como um diádico potência de um cíclico é, ainda, um cíclico, resulta:

Teor. 8: Qualquer potência de expoente inteiro de um ciclotônico é similar a si

própria mediante qualquer outra potência de expoente inteiro do seu cíclico

fator:

P, Q inteiros: Q = P.Q.(P)-1 = (P)-1 .Q.P, (20).

§ 05.02,B - TL regida por: = Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* 362


§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb

*+cc

*)+Bcb

*

Esse diádico, cuja matriz associada na base {a,b,c} é

BB0

0B0

00A

][ abc ,

pode ser representado na forma do produto comutativo do diádico tônico

A B(aa bb cc ), (21),

pelo diádico

cb , com c b (22),

isso é,

[ )] ( ) ( ) [ )].A B( A B(aa bb cc . cb cb . aa bb cc

Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.

Estudemos, pois, a TL regida pelo diádico +cb*, de matriz associada

110

010

001

][ abccb ,

já que a regida pelo tônico (21) está determinada (§ 05.01).

Tem-se, para qualquer v paralelo a b*:

( ) ( ) ' ; cb . v v v.b c v

e, para qualquer vetor w de um plano arbitrário de referência, (a,c), ortogonal a b*:

( ) . cb . w w

Assim: 1°) - +cb* deixa inalterados todos os vetores paralelos ao plano de referência (a,c);

2°) - desloca a extremidade V, de qualquer v, paralelamente à direção de c (Fig. 05.03), da

quantidade (algébrica)

VV' = (v. b *)|b*||c| , pois (v.b*) c = (v. b *)|b*||c| c = |v||b*||c| c = VV' c .

§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* 363


Pondo c = k , b * = j e Q = |c||b*| (logo Q > 0 e arbitrário), podemos escrever:

jkQcb ˆˆ , (Q 0) (23),

e, por ser VV' Q V" V ,

v v k v kVV QV V , (231).

Nestas condições, podemos concluir que os pontos dos planos paralelos ao plano de

referência (a, k ), são deslocados (sobre esses mesmos planos) na direção de k , de uma

mesma quantidade, Q V" V. Essa quantidade é, então, proporcional à distância (algébrica)

V" V do plano de referência ao plano considerado. Denotando por o ângulo agudo

VV V do triângulo retângulo VV'V'' (reto em V), e considerando (231), podemos

escrever:

tg VV

VVQ > 0

(Q arbitrário, porém constante).

Então, VV e V" V têm sempre o mesmo sinal. Isto significa que o sentido do

deslocamento dos pontos é o de k , ou o sentido oposto, conforme tais pontos estejam

situados, em relação ao plano (a, k ), no semi-espaço para o qual aponta o unitário j ou no

semi-espaço oposto, respectivamente (Fig.05.03).

Assim, nesta transformação, todos os planos inicialmente ortogonais ao plano de

referência e a k , tornam-se inclinados, em relação a esse plano de referência, de /2 - .

A transformação regida pelo diádico (23), então, é caracterizada por três elementos

geométricos essenciais: a direção definida por j (a partir da qual arbitramos um plano de

referência que lhe seja ortogonal), a direção definida por k e o ângulo agudo cuja

tangente é Q. Como essa transformação pode representar exatamente a solicitação mecânica

denominada cisalhamento, justificam-se por analogia, as seguintes

Definições: (cisalhamento simples)

A transformação regida pelo diádico jkQ denomina-se

cisalhamento simples; o diádico , diádico cisalhante. A direção

definida por k denomina-se direção do cisalhamento; o plano ortogonal

a j , plano do cisalhamento; o número positivo Q, módulo do

cisalhamento e o ângulo cuja tangente é Q, ângulo de cisalhamento.

Resulta, então, o seguinte

Teor. 1:

A transformação regida pelo diádico (02), § 05.02 é equivalente ao produto

comutativo das transformações regidas pelo diádico tônico (21) e pelo

diádico cisalhante (22).

Definição: (cisotônico)

Os diádicos da forma

A B( Baa bb cc cb) ,

§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* 364


por combinarem propriedades dos diádicos cisalhante e tônico, serão

denominados cisotônicos.

Teor. 2:

No cisalhamento são conservados: 1) - os volumes; 2) - as distâncias em

qualquer direção nos planos paralelos ao plano de cisalhamento; 3) - as

áreas nos planos ortogonais à direção do vetor do diádico.

Com efeito, escrevendo na forma

ccbcbaa )( ,

temos, lembrando ((04)3,§ 02.08,II) e a propriedade 7 das TL (§ 01.02):

1))](()[())()(( ******3 cbaaccabccbaccba

uma vez que (acc) = 0. Então, lembrando a propr. 7 das TL's (§ 01.02), comprovamos que

os volumes são conservados. Ora, sendo:

**2**T . bbccbcbI

resulta, para qualquer n b :

1ˆ)(ˆ T n...n

Então, conforme a propriedade 5 das TL's, são conservadas as distâncias em qualquer

direção n ortogonal a b*, ou seja, nos planos paralelos ao plano de cisalhamento.

Analogamente, sendo: -cb ~ e c-b ~T , resultam, para todo i c e, por ser

V=b*c (logo perpendicular a b

* e c), para todo i paralelo a V:

ccbcbcb.. 2**TT )(-I ~ ~ ~)( e 1ˆ ~)(ˆ T i...i .

Assim, lembrando a propriedade 6 das TL's, concluímos que são conservadas as áreas em

qualquer plano ortogonal à direção do vetor de .

Teor. 3:

O recíproco de um cisalhante é um cisalhante. Cisalhantes recíprocos têm a

mesma direção de cisalhamento, o mesmo plano de cisalhamento e o mesmo

módulo cisalhante, mas os sentidos dos cisalhamentos são opostos.

Com efeito, pois o recíproco de +cb* é - cb*, como facilmente se comprova; e

estes regem transformações inversas.

Nota: O Teor. 3 é válido também para o adjunto do cisalhante porque o adjunto e o recíproco do cisalhante são iguais.

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos 365


§ 05.02,C - TL regida pelo : =ab*+bc

*,

com ab, ab*, ac*, bc* e b.b* = 1.

O diádico , de matriz associada

000

100

010

][ abc ,

é antitriangular (§09.09,II) e + pode ser representado na forma do produto não

comutativo de dois diádicos cisalhantes de direções ortogonais,

( ) ( ),bc . ab (24).

Logo:

A soma de um diádico antitriangular com o diádico unidade é sempre

decomponível num produto não comutativo de dois diádicos cisalhantes de

direções de cisalhamento ortogonais, o plano de cisalhamento do primeiro

sendo paralelo ao plano dos antecedentes do antitriangular (Fig. 05.04).

Se {a,b,c} e {a*,b*,c*} forem sistemas recíprocos com ab, ab*, ac*, bc* e

b.b* = 1 poderemos escrever sempre:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ab . bc bc . ab . ac (241),

Com efeito, lembrando que b.b* = 1 e .ac* = (ab*+bc*) .ac* =,

( ) ( ) ( ) ( ) ab . bc ac . ac ,

donde, considerando (24), tem-se a tese.

Ora, |a| |b*|, |b| |c*| e |a| |c*| são, respectivamente, os módulos dos cisalhantes do

segundo membro de (241); |a| |c*| vale o produto dos módulos de +ab* e +bc* dividido por

|b*| |b|, isso é, multiplicado pelo co-seno do complemento do ângulo dos planos de +ab* e

+bc*. Logo:

Teor. 1:

O produto, numa certa ordem, de dois cisalhantes de direções ortogonais, é

igual ao produto deles na ordem inversa pós-multiplicado pelo cisalhante

que tem a direção do primeiro, o plano do segundo e módulo igual ao

produto dos módulos dos fatores pelo seno do ângulo diedro dos seus planos.

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos 366


Resumidamente, escrevemos, para o par ordenado (1, 2):

32112 ... (25),

donde a seguinte

Definição: (cisalhante complexo, comutante)

O diádico ( ) ( ),bc . ab com ab, ab*, ac*, bc* e b.b* =

1 denomina-se cisalhante complexo.

Ao cisalhante que pós-multiplicado pelo produto dos cisalhantes de direções

ortogonais de um par ordenado, implica o produto dos cisalhantes do par

inverso, denominaremos o comutante do par.

Teor. 2:

Se um cisalhante é comutante de um par (de cisalhantes de direções

ortogonais), o seu recíproco é comutante do par inverso.

Com efeito pois designando por '3 o comutante do par (2,1), escrevemos:

31221 ...

Mas sendo 3 o comutante do par (1,2) deduzimos desta igualdade, por pós-multiplicação

de ambos os seus membros por 3:

3312321 .....

Agora, considerando (25) e lembrando que 2.1 é completo, resulta:

I. 33 ,

donde a tese.

§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos.

Os autovalores reais ou imaginários e as suas possíveis multiplicidades permitiram

efetuar reduções nas expressões dos diádicos. São elas:

1°) - A, B, C reais: A B Caa bb cc , diádico tônico;

2°) - A, M + Ni, M - Ni:

)](sen+)(cos+[)]+(+A[ bccbccbbaa.ccbbaa ,

produto comutativo de um tônico (de autovalor duplo) por um cíclico;

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 367


3°) - A, B = C:

a) - A B(aa bb cc ), se A é planar e B linear ou unilinear,

diádico tônico (com um autovalor duplo);

b) - [ )] ( )A B(aa bb cc . cb se A é planar e B ortoplanar,

produto comutativo de um tônico (com um autovalor duplo) por um cisalhante (simples);

4°) - A = B = C:

a) - A = B = C = 0, ab bc ( é antitriangular), caso em que + é um

produto (não comutativo) de dois cisalhantes simples de direções ortogonais; denomina-se

cisalhante complexo;

b) - A = B = C 0, podendo ser:

A bc , caso em que A é ortolinear; é um diádico de

cisalhamento simples;

A , caso em que é tônico.

Tais reduções são denominadas canônicas porque a representação de um diádico

qualquer, dado ao acaso, pode sempre ser reduzida a uma delas.

Conseqüentemente, qualquer diádico pode ser classificado como um dos tipos

seguintes, ou como um produto deles, sete no total:

- os diagonalizáveis:

- três tônicos (com autovalores simples, um duplo e um triplo), pelos

quais as distâncias nas direções dos seus autovetores aumentam ou diminuem em diferentes

proporções, ou em proporções iguais em duas ou em três dessas direções;

- e os não diagonalizáveis:

- um cíclico, que rege rotações elípticas (diádicos de rotação incluídos);

- um cisalhante simples, que rege cisalhamento;

- um cisalhante complexo, soma de um antitriangular com o diádico

unidade, e que é fatorável no produto de dois cisalhantes simples.

Um resumo dos principais resultados deste § 05 está apresentado no Quadro V, no

final deste capítulo.



§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES).

§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.

Sejam { , , } { , , }a b c a b c e sistemas recíprocos,

(cc*,)= )(sen)(cos abbabbaacc (01),

um cíclico a eles associados115 e o diádico de rotação associado (similar) a esse cíclico,

( , )k

) kk ii jj ij ji cos sen , (02),

k sendo o seu eixo, o seu ângulo de giro (o argumento do cíclico) e ( , i j) o par de semi-

diâmetros da circunferência de que se projeta no par (a,b) de semi-diâmetros conjugados

da elipse de (Figura 05.02, § 05.02,A).

Como esses diádicos são similares, eles têm os mesmos autovalores, a saber: 1, ei e

e-i; têm , também, necessariamente, o mesmo escalar 1+2cos, sendo, então:

-1(cc*,)E=E),ˆ(

k

3, (011).

Se v() é a projeção do vetor genérico v paralelamente a c sobre o plano (a,b),

escrevemos:

bbvaavv ).().( )()()(

, sendo )(*)( vcv.cv .

Conforme vimos (§ 05.02,A), se r() é o vetor de argumento da elipse de semi-diâmetros

conjugados a e b, paralelo a v(), e se K=|v()|/|r()|, então v()=Kr() e v=(v.c*)c+ Kr(),

sendo )sencos(K)( bav . Tem-se, ainda:

v´=(cc*,). )(K)( vcv.cv , pois, (cc*,).v()=v(+).

Como |v()|≠|v(+)|, resulta que |v´|≠|v|.

Seja, agora, u um vetor arbitrário em módulo e sentido, mas paralelo à interseção

dos planos ortogonais (a,b) e (c,c*). Nesse caso particular, o ângulo de u com c é o

complemento do ângulo de c com c*. Ora, (cc*,).c=c. Como (cc*,).u=u' é elipticamente

rodado de u, o ângulo de u' com c, nesse caso particular, será evidentemente diferente do

ângulo de u com c; no caso geral, então, essa diferença fica também comprovada.

Logo, podemos enunciar:

Teor. 1:

Nas rotações elípticas as distâncias e os ângulos não são conservados, em

geral.

115 Para o que interessa daqui a diante será mais interessante essa forma de representação do cíclico que é, evidentemente, tão legítima quanto a utilizada no § 05.02,A.



•

Escrevamos o cíclico (01) na forma

(cc*,) a r bs cc r a b s a b( ) , com cos sen sen cos .

Tem-se, como é fácil calcular:

( ) ( )rsc a b c ,

existindo, pois, o sistema recíproco de },,{ csr ; encontramos, facilmente:

- homólogo de (-r): cos sen a b ;

- homólogo de s: sen cos a b ;

- homólogo de c*: c.

Então podemos escrever o principal (§08,II) do cíclico na forma

(cc*, )P (cos sen ) + (sen cos + a a b b a b c c ) (03),

ou, ainda, na forma

(cc*, )P cos ( ) sen ( ) c c a a b b a b b a (04).

Então, o principal do cíclico é ainda um cíclico de eixo c e ângulo , isso é:

(cc*,)P = (c*c,), (05).

Transpondo em (04), temos, lembrando que o transposto do principal é igual ao recíproco:

(cc*,)-1 cos ( ( ) sen ( ( ) cc aa bb ab ba ) ) (06),

ou seja,

(cc*,)-1 = (cc*,-), (061).

Transpondo em (01), vem:

(cc*,)T cos ( ) sen ( ) c c a a b b a b b a( ) ( ) =(c*c,-) (07),

expressão formalmente idêntica à (04) onde se troque por - ; então:

(cc*,)T = (cc*,-)P, (071).



Em resumo:

(cc*,)≠(cc*,)T=(c*c,-)=(c*c,)

-1 =(c*c,)P

-1

(cc*,)≠(cc*,)-1

=(cc*,-) , (08).

(cc*,)≠(cc*,)P=(c*c,)=(c*c,-)-1

=(cc*,)-T

Deve ser observado que (cc*,) e seu inverso têm o mesmo eixo c*, o mesmo autovetor c e

argumentos opostos; similarmente, (cc*,)T e seu inverso (o principal de (cc*,)) têm o

mesmo eixo c, o mesmo autovetor c* e argumentos opostos.

No caso de rotação circular existe, entretanto, a igualdade

( ) ( ) ( ) ( )k k k k, P , ,

T

,

, ou

1, (081),

porque o sistema {, , }i j k é auto-recíproco idêntico. Logo:

Teor. 2:

Se um diádico é de rotação (circular) ele é igual ao seu principal; ou, o seu

transposto é igual ao seu recíproco.

Como preliminar à demonstração da recíproca desse teorema provaremos o seguinte

Teor. 3:

Se um diádico é igual ao seu principal, os seus autovalores são

1, e e ei i .

Se P

, então T 1 e . .T T ; logo 3

1 e, considerando ((10),

§ 08.01,II): T 1 ~ . A equação característica desse diádico é, então:

X X X 1= 03

E

2

E ,

expressão em que os sinais se correspondem. A unidade positiva ou negativa é,

evidentemente, um autovalor do diádico, e, se B e C são os outros dois,

2cosCB1E e BC=1.

Então, B e C são as raízes da equação

X X2

E ( ) 1 1 0

pois

X X X 1 X3

E

2

E ( )1 [X X2

E ( ) ] 1 1 0.



Para que B e C sejam reais é CNS que ( )E1 42 , ou seja, , ou B C 2. Mas B C = 1;

logo deve ser (B 1)2 0, ou (B 1)2 0.

A primeira hipótese só é admissível se for B = - 1, caso em que será também C = - 1,

ou seja A = 1 e B = C = - 1. Então o diádico ou tem um autovalor duplo ou um autovalor

triplo. No caso de autovalor duplo, é linear e é tônico com um autovalor duplo

(Teor. 2, § 04.02); no caso de autovalor triplo, é ortolinear e pode ser reduzido à

forma jk , com j.k 0 (Teor. 3, § 04.03).

A segunda hipótese ((B 1)2 0) é sempre possível, mesmo para B = ± 1, caso em

que A = ± 1 e B = C = ± 1, ou seja, o diádico tem autovalores duplos ou triplos. Esse caso,

então, é idêntico ao anterior (se B = ± 1). Se for B ± 1, será A = ± 1 e B C ± 1 e será

tônico com autovalores distintos.

O caso ortolinear (implicado na primeira hipótese) é inadmissível porque

sendo, então, jk , ou seja ( ) ii jj j k k , é P ( ) ii j k j kk kj , isso

é, P

, o que é absurdo.

O caso (implicado na primeira hipótese e na segunda) em que possa ser tônico com

A=±1 e BC±1 (alem, é óbvio, de B0 e C0), também é inadmissível. Com efeito,

conforme Teor.6, §04.01,B, esse diádico pode ser escrito na forma geral Ai i

ie e onde

A1=A, A2=B ... e os ei são os autovetores de . É fácil comprovar que P j

j

jA ) ( /1 e e ,

não sendo possível comparar esses diádicos nessas formas (pois não têm os mesmos

antecedentes e os mesmos conseqüentes). Podemos, entretanto, escrever:

A Ei

i j

i je e com E i j i j e .e

e ji

jP E)A/1( com ijijji EE .ee .

Como =P,

ijj

jij

iji E)A/1(E)A/1(EA :ji, ,

de onde podemos deduzir (impondo a condição de que esses diádicos devam ter o mesmo

vetor, igualando as coordenadas desses vetores e resolvendo o sistema formado) que

A=B=C=1, o que é um absurdo.

Os autovalores B e C devem ser, pois, complexos conjugados. Ponhamos: B=M+Ni

e C=M-Ni. Como BC=1, M2+N2=1, isso é, os módulos de B e C são unitários; então B=ei

e C=e-i, com M=cos e N=sen.

Teor. 4: (recíproco do Teor. 2)

Se um diádico é igual ao seu principal (ou seu transposto é igual ao seu

inverso), esse diádico é de rotação:

P cos sen ) kk ii jj ij ji , (09),



Pelo Teor. 3 o diádico tem os autovalores complexos 1, ei

e e-i

; pelo

Teor.1,§04.01,A, existem bases recíprocas em relação às quais podemos escrever esse

diádico na forma:

cos ( + ) +sen ( + ) cc aa bb ab ba ,

caso em que

abc

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

, (a).

No caso geral, se j

i

i

j a a , então kr

rk 3

1 )/1( aa , sendo k

r o complemento

algébrico (ou co-fator) de r

k no determinante

|, conforme §09.08,II. Então,

1

Acos -Asen 0

Asen Acos 0

0 0 1

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

,

pois 3=A=±1. Mas, sendo =P,

][][][][ 1T

1

P

, (b),

e, conforme ((041)3, § 09.03, II),

[ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 G G. . , ou [ ] [ ] [ ] [ ]

1 1 G G. . , (c),

porque [ ] [ ]G e G são inversas. Sendo, ademais, (§ 09.02, II)

[ ]G

a. a a.b a. c

b.a b.b b. c

c. a c.b c. c

,

e considerando (a) e (b), escrevemos (c) na forma:

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

.

a.a a.b a.c

b.a b.b b.c

c.a c.b c.c

a.a a.b a.c

b.a b.b b.c

c.a c.b c.c

.

cos -sen 0

sen cos 0

0 0 1

.

Operando temos, no primeiro membro:

a b. a a.b b a. c b. c

a b. a a.b b a. c b. c

c. a c.b c. c

2

2

cos ( )sen cos sen cos ( sen

sen cos sen cos sen ( cos

2

2

( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

,



e no segundo,

a a.b a a.b a. c

b. a b b. a b b. c

c. a c.b . a c.b c. c

2 2

2 2

cos sen - sen cos

cos sen sen cos

cos sen -(c sen cos

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ) ( ) ( )

.

Igualando as coordenadas homônimas dessas matrizes deduzimos, sem delongas:

- da 1ª) linha e 1ª) coluna: a . b = 0;

- logo, da 1ª) linha e 2ª) coluna: |a| = |b|;

- da 1ª) linha e 3ª) coluna: - (b . c) sen = (a . c)( 1 – cos );

- da 3ª) linha e 1ª) coluna: (b . c) sen = (c . a)( 1 – cos ). Então, desta condição e

da última obtida resultam: b . c = 0 e, por isso, c . a = 0;

- da 3ª) linha e 3ª) coluna vemos que |c| é arbitrário.

Concluímos, em resumo, que se P

, a base {a,b,c} é triortogonal, devendo ser

|b|=|a| e |c| arbitrário. Então podemos fazer a i b j c k , e e escrever na forma (09).

Corol. 1:

A CNS para que um diádico seja de rotação é que ele seja igual ao seu

principal, ou que o seu transposto seja igual ao seu inverso:

PT, ou 1

cos sen ) kk ii jj ij ji , (10),

expressão na qual {, , }i j k é um sistema direto de unitários triortogonais.

•

Deve ser observado que o ângulo de rotação é menor que radianos. Com efeito,

para <<2 pode-se sempre substituir por (2-), uma vez que

e = cos(2 ) isen(2 ) = e ,

e = cos(2 ) + isen(2 ) = e .

i i(2

i i(2

)

)

Isto equivale a uma rotação num sentido, de ângulo maior que radianos, ou uma rotação

em sentido contrário, de ângulo menor que radianos.

*

Exercícios:

1) - Todo diádico de rotação tem norma igual a 3. (Sugestão: considerar

((19),§08.01) e (10)).



2) - O vetor de um rotor é um de seus autovetores, ao qual correspondente a unidade

positiva como um de seus autovalores: V V

. . Ou, o que é o mesmo: Todo rotor

rege uma rotação em torno do suporte do seu vetor.

*

Caracterização dos cíclicos e rotores.

Para simplificar a notação em estudos posteriores, escreveremos doravante um

ciclotônico na forma

A M( Ncc aa bb ab ba) ( ), (11),

e seu fator cíclico na forma correspondente

( , )( ) ( )

cccc aa bb ab ba

+ cos + sen , (111).

Conforme garante o Teor. 1, § 04.01, c deve ser o autovetor deles e c* o eixo do cíclico (§

05.02,A). Os demais vetores que comparecem numa qualquer de suas representações

constituem sistemas recíprocos, mas são totalmente arbitrários; o que significa que os

cíclicos e os ciclotônicos podem ser escritos de infinitas maneiras com a mesma díade cc*.

Então um cíclico não fica caracterizado apenas pelos vetores c e c* -

respectivamente seu autovetor e seu eixo – tais que c.c*=1, e pelo argumento de giro, ,

argumento dos seus autovalores complexos (conjugados). De fato, as projeções dos pontos

do espaço (extremidades dos vetores pacientes), sobre o plano ortogonal ao eixo,

descreverão elipses homotéticas de diferentes razões de homotetia. Para que um cíclico

fique caracterizado é necessário especificar a família de elipses homotéticas no plano

ortogonal ao eixo. Essa especificação é feita ao escolher-se o par de vetores (a,b), isso é,

dois dos semi-diâmetros conjugados de uma elipse da família.

Em resumo: um cíclico fica univocamente caracterizado por um terceto de vetores

independentes e um ângulo.

*

Exercício:

Provar que existe e estudar o cíclico cujo argumento de giro elíptico seja igual ao

ângulo formado pelo seu autovetor e o seu eixo.

*

Os rotores, por outro lado, podem ser caracterizados de uma forma mais simples,

posto que (§ 06.01), para eles, c=c*= k , isso é, o seu eixo é o seu próprio autovetor. Assim,

qualquer vetor paralelo a k e cujo módulo seja uma função definida de caracterizará

perfeitamente a rotação. Tem-se, como facilmente se constata por (02):

k sen2V e cos21E , (12),

donde

kq ˆ2

tg1 E

V

, (13)



Definição: (vetor semitangente de rotação)

O vetor q, dado por (13), será denominado vetor semitangente de rotação,

e caracterizará evidentemente a rotação de ângulo e eixo k regida por .

Nota: É necessário observar-se que, não obstante o vetor q caracterize uma rotação, não tem sentido “somar” duas rotações definidas por q1 e q2 simplesmente somando esses vetores. Como veremos (§06.03,A,Teor. 16), as rotações são compostas por “produtos” e o vetor semitangente correspondente será calculado como função de q1 e q2 algo diferente de

simples soma.116

Como o rotor é um cíclico particular, dois rotores que tenham, sabidamente, o

mesmo eixo (logo, o mesmo autovetor), digamos, k , podem ser escritos na forma (02), §

06.01, correlata de (111):

( , )

) k

kk ii jj ij ji cos sen , (14),

e

( , )

) k

kk ii jj ij ji

cos sen , (141),

Consideremos o rotor que transforma pontos Ai, de vetores posicionais ai, em

pontos Bi de vetores posicionais bi em relação a um ponto arbitrário O do eixo do rotor (que

denominaremos origem ou centro da rotação). Escrevemos: b .ai i= .

Para dois pontos arbitrários A1 e A2 tem-se, também:

b b . a a2 1 2 1 = ( ), donde ( ) ( ) ( ) ( )Tb b a a . . . a a

2 1

2

2 1 2 1 ,

ou seja, considerando (10): ( ) = ( )b b a a2 1

2

2 1

2 . Em vista da arbitrariedade dos pontos

A1 e A2 podemos concluir:

Teor. 5:

Nas rotações as distâncias são sempre conservadas,

contrariamente ao caso das rotações (elípticas) com cíclicos.

Corol. 1: Na rotação, o ângulo de duas direções quaisquer é sempre conservado.

Com efeito, o produto escalar dos vetores b1 e b2, respectivamente transformados

dos vetores a1 e a2 mediante , pode ser escrito na forma:

b .b .a . .a a . . .a a .a1 2 1= ( ) ( ) = ( ) = .1 2T

2 1 2

116 Em outras palavras: o vetor semitangente de rotação não é um tensor (pois há vetores que não são tensores).

Como a rotação conserva os módulos dos vetores: |b1| = |a1| e |b2| = |a2|; logo,

cos( , ) = cos( , ), ou, ( , ) = 2k ( , ),2 2b b a a b b a a1 1 2 1 2 1

isso é, (b1,b2) = (a1,a2) uma vez que o ângulo de duas direções é sempre positivo e menor

que rad.



Corol. 2:

Um diádico de rotação transforma um terceto de vetores que formem

entre si certos ângulos, num outro terceto que, correspondentemente, têm

os mesmos módulos e formam entre si os mesmos ângulos,


Todo diádico de rotação transforma um tetraedro num outro tetraedro

congruente com o primeiro.

Por conseqüência deste corolário, a transformação regida por é denominada,

também, uma transformação normogonal (ou congruente) pelo fato de manter as normas

dos vetores e seus ângulos.

Generalização de conceitos clássicos.

Definição: (tercetos normogonais, ou congruentes)

Dois tercetos positivos quaisquer de vetores, { , , }g g g1 2 3 e { , , }e e e1 2 3 tais,

que para todo i,j=1,2,3, | | | |g ei i e ângulos ( , ) ( , )g g e ei j i j , serão ditos

tercetos de vetores normogonais (ou congruentes), ou, simplesmente,

tercetos normogonais.

Resulta da definição que pares de sistemas ortonormados são sistemas

normogonados (muito particulares): aqueles cujos ângulos entre os vetores (unitários) de

um sistema e outro são todos iguais a um reto.

Por conseqüência do Corol. 2, Teor.1, §02.04, II, existirá sempre um e um único

diádico que transforma um terceto num outro que lhe seja normogonal. Se, então, ii .eg ,

tem-se i

ieg e jkji

kijjik

kiP ))(()()( eg.ee.gge.eeg.gg .

Da normogonalidade dos tercetos deduzimos,

jiji .gg.ee e kj j

kji

ikji

ik ))(())(( .gg.gg.gg.ee.gg .

Podemos, assim, escrever jj

jk

kj P egeg . Então, concluímos:

Teor.6: (direto)

Se duas bases são normogonadas, o diádico de mudança de uma base para a

outra é igual ao seu principal, ou seja é um diádico de rotação.

Aplicando o Teor. 6 para duas bases normogonadas (ou congruentes), em dois

sentidos opostos, vemos que se =P num sentido, deve ser -1

=-1

P=T no sentido oposto,

isso é: se um diádico é igual ao seu principal, o seu transposto é igual ao seu inverso

(conforme já sabíamos, Teor. 2).

O recíproco do Teor. 6 é verdadeiro, isso é,


Se um diádico de mudança de base é igual ao seu principal (ou um diádico

de rotação), as bases são congruentes.

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. 377


Seja o diádico de mudança da base {e*} para a base {g*}, isso é, gi=.ei para

i=1,2,3. Então: =giei; e devendo ser =P, será também, necessariamente,

T=

-1. Tem-se,

então, para quaisquer i,j=1,2,3: gi.gj=ei.(T.).ej, ou seja, gi.gj=ei.ej. Logo, os tercetos são

normogonados.

Corol. 1:

A CNS para que duas bases sejam congruentes é que o diádico de

mudança de uma base para a outra seja um diádico de rotação.

Corol. 2:

A CNS para que um diádico seja um diádico de rotação é que ele seja

redutível a uma forma trinomial iieg de que os conseqüentes {e

1, e

2,

e3} sejam os recíprocos de um terceto {e1, e2, e3} congruente com os

antecedentes {g1, g2, g3}:

1,2,3)ji,( jijii

iP .ee.ggeg , (15),

ou,

A CNS para que uma diádico seja um diádico de rotação é que ele seja

redutível a uma forma trinomial iieg de que os antecedentes {g1, g2,

g3} sejam os recíprocos de um terceto {g1, g

2, g

3} congruente com os

conseqüentes {e1, e

2, e

3}.

Este Corol. 2 generaliza um teorema clássico de Gibbs:

A CNS para que um diádico seja de rotação é que ele seja redutível à

forma

' ' ' ,ii jj kk (16),

onde { , , }i j k e { ' , ' , '}i j k são dois tercetos de unitários triortogonais.

Resulta então dessas considerações que, dadas duas bases congruentes, existe um e

um único diádico de rotação que as superpõe com uma única rotação117. Seja, então, um

diádico de rotação que “roda” (ou pode superpor) duas bases congruentes. Se k é o unitário

do seu eixo de rotação e é o seu ângulo, isso é, pondo

jiijjjiikkk

ˆˆˆsenˆˆˆˆcosˆˆ),ˆ(

,

então

117 Veremos no Tomo II, que esse teorema permitirá uma exposição da Mecânica Racional onde, com ganho de generalidade e sem prejuízo da simplicidade, os triedros triortogonais darão lugar aos "triedros quaisquer".

iiVV

ˆsen2 egk e iiEE cos21 .eg .

Assim, calculados o vetor e o escalar do diádico por meio dos vetores dos sistemas

normogonados, poderemos determinar o eixo k e o ângulo de rotação de . Com efeito,

lembrando que, conforme (011), § 06.01, para 0 e , é 1 3E

:



))(1-(3ˆ

EE

V

k e

2

1cos E

.

•

Se dois diádicos e são similares mediante (o completo) , escrevemos:

. . . .T T ou =, (17),

caso em que e são ditos, também, normogonalmente similares mediante . No caso

particular de bases ortonormadas, e são ditos ortogonalmente similares.

Definições:

Diremos, doravante, que os pontos ou os vetores são rodados pelo diádico de

rotação em torno do seu eixo de um ângulo igual ao seu ângulo de rotação.

Por analogia com os conceitos do § 02.02,

os diádicos e que satisfazem as igualdades (17), serão ditos, também,

rodados por ; e nesse caso particular, as leis (17) serão ditas leis de

rotação dos diádicos e . A direção do vetor de um rotor denomina-se,

também, o seu eixo de rotação.

§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias.

Vimos (§05.02,A) que o terceiro de qualquer diádico cíclico é 1. Portanto é 1 o

terceiro de qualquer rotor, o que também pode ser confirmado calculando-se o terceiro de

por (15); pois deve ser: 3=(g1g2g3)(e1e

2e

3), com (g1g2g3)=(e1e2e3)=(e

1e

2e

3)

-1. Nesse caso, o

sinal será positivo se os triedros forem ambos de mesma paridade (são ambos diretos ou

ambos indiretos); e negativo se um é direto e o outro indireto.

Definições:

Diz-se que os rotores com terceiro positivo regem uma rotação própria. Os

demais rotores regem uma rotação imprópria. Os primeiros denominam-se

rotores próprios e os segundos, impróprios.

Teor. 1:

Nas rotações próprias os volumes se transformam identicamente; nas

impróprias, são números simétricos.

Com efeito, pela propr.3 das TL's (§ 01.01), o terceiro de um diádico é igual à razão

dos volumes transformados; logo, nas rotações próprias eles são iguais e nas rotações

impróprias são números simétricos.

Teor. 2:

O inverso de um rotor próprio e o de um impróprio são, respectivamente,

rotores próprio e impróprio.



Se = P, então 1 1P . Mas, conforme ((171), § 08.01,II), P P

1 1( ) .

Logo, 1 1P , isso é, 1, por ser igual ao seu principal, é um diádico de rotação.

Como ( ) . 13 3 3

131 os terceiro de rotores recíprocos devem ser do mesmo

sinal, isso é, ou são ambos próprios ou ambos impróprios.

Teor. 3:

O produto de dois rotores é rotor próprio se ambos são próprios ou

impróprios; o produto é impróprio se um próprio e o outro impróprio.

Sejam e dois rotores próprios, isso é, tais, que:

T 1 T 13 3

e com +1.

Escrevendo = ., temos, multiplicando membro a membro as expressões acima e

considerando ((01), § 05.03,II) e ((02), § 08.03,II):

com +1.T 13 3

3

Também, escrevendo ' = ., temos:

T T 1 1 T 1 , ( ) ( ). . . . ou, ( ' ) ( ' ) , com ' +1,T 13

isso é, e ' são diádicos de rotação próprios. Se e fossem impróprios teríamos

também: 3 = '3 = +1.

Fica evidente a segunda parte da demonstração do teorema.

Corol. 1:

A rotação regida pelo rotor impróprio é equivalente à rotação regida

pelo rotor próprio - seguida de uma simetria em relação à origem.

Com efeito, pois tem-se: = (- ).(- ).

Nota:

Por este corolário, vê-se que é suficiente estudar as rotações próprias; é o que faremos

doravante salvo onde for observado o contrário.

Exercício:

Uma combinação linear de diádicos de rotação nunca é um diádico de rotação.

§ 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.

Cíclicos e rotores biquadrantais.

Definição:(quadrantais e biquadrantais)

Diádicos quadrantais e biquadrantais são, respectivamente, cíclicos de

ângulo de giro igual a /2 e radianos.

§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 380


Se c e c* são o autovetor e o eixo de um cíclico (logo, também do quadrantal e

biquadrantal do qual derivam) podemos escrever, no caso do biquadrantal:

(cc*,)=2cc*-I, com c.c

*=1, (01),

devendo observar-se, de imediato, que o ângulo de c com c* é agudo e que |c||c*|1. O

plano do cíclico (plano ortogonal ao eixo c*) é, também o plano do biquadrantal.

Notação para os biquadrantais

Considerando que o ângulo de giro tem um valor específico, inequívoco, podemos

simplificar a notação pondo

( , )cc cccc

2

( ), (011),

sendo, então

E

( ) ( )

:cc cc

1, (012).

*

Os autovalores de um biquadrantal são: 1, ei=e i =-1, isso é, os biquadrantais são

diádicos tônicos com um autovalor duplo (§ 04.02). Ao autovalor duplo corresponde o

diádico característico linear ( )cc

cc 2 . Conforme o Teor. 2, (§ 04.02), existem

sistemas de vetores recíprocos em relação aos quais podemos dar ao biquadrantal a forma

diagonal. Utilizando c e c* para se constituírem esses sistemas, escrevemos:

( )

[( )( ) ( )( )]cc

cc a a b b , (013),

expressão na qual { , , } { , , } a b c a b c e constituem sistemas recíprocos. A

equivalência entre (01) e (013) é clara pois podemos escrever: aa bb cc .

A interpretação geométrica da transformação regida por um biquadrantal é,

evidentemente, a mesma relativa aos cíclicos, mas com um ângulo de giro igual a

radianos. Portanto ( )cc reflete obliquamente qualquer vetor em relação ao seu plano,

paralelamente ao seu autovetor (ver §02.05), operação essa realizada no plano ortogonal a

esse plano e que contém o vetor. Essa transformação generaliza a operação elementar

denominada reflexão; poderíamos denominá-la reflexão obliqua.

Por ser, evidentemente,

(cc*,)2=I,

resulta

Teor. 1: Todo biquadrantal é igual ao seu recíproco, tem terceiro igual + 1 e escalar

igual a - 1.

Como, para todo cíclico, o adjunto e o recíproco são iguais, tem-se, em resumo:

( ) ( ) ( ) ( )

~cc cc cc cc T1 , (014),



mas

( ) ( )

~

( ) ( )cc cc cc cc

E E

E E

T 1 1, (015).


Se é um diádico igual ao seu recíproco ( 1), se tem terceiro igual a +

1 e escalar igual a - 1 ( 3 1 E ), então é um biquadrantal.

Se o terceiro de um diádico é igual a + 1, o seu adjunto é igual ao seu recíproco.

Como, por hipótese, 1 , resulta, 1 ~ e, logo, E E ~

1. Então a equação

característica do diádico é X X X X X3 2 1 0 1 1 2( )( ) ; e seus autovalores: 1, - 1,

-1. Mas

TT ~

ET ~ ~ ~ )( ) )(

2

1)(

,

de onde concluímos que ( )~

E 0. Então (Teor. 1, § 04.02), só pode ser

ortoplanar ou linear. Entretanto, por ser ( ) ( ) 2 2 2 2 , esse diádico não

pode ser ortoplanar (Corol. 2, Teor. 4, § 05.04, II). Então, sendo linear, podemos

escrevê-lo na forma 2tt . Mas, sendo

( ) E E E 1 3 2,

resulta que se deva fazer t. t 1. Então, o diádico é um biquadrantal.

Corol. 1: A CNS para que um diádico seja um biquadrantal é que ele seja igual ao

seu recíproco, tenha terceiro igual a + 1 e escalar igual a - 1.

Teor. 3:

O módulo de qualquer biquadrantal é finito e no mínimo igual a 3 .

Com efeito, tem-se, conforme a definição de norma (§ 07.07, II):

|| || ( )( )

tt

tt : tt t t 2 2 1 4 02 2 ( ) .

Mas, sendo t . t* = 1, isso é, t t t t2 2 sec2 ( , ) , tem-se:

|| || ( , )( )

tt

t t 1 4 sec2 .

Como 0 1 cos2 ( , )t t , resulta:

3 , ou 3 || || | |( ) ( )

tt tt

, (016),

•



O diádico característico relativo ao autovalor + 1,

( )

( )cc

cc 2 , (02),

é, evidentemente, planar uma vez que c e c* podem ser usados para uma representação de I;

seu escalar vale - 4:

( )( )

cc

E 4 , (021).

O adjunto desse diádico, uniplanar (de plano coincidente com o plano do biquadrantal), é

( ) ( )( )

~

cccc c c 2 , (03),

e seu escalar

( )( )

~

cc E

4 , (031).

Assim, a equação característica de ( )cc

é X(X X2 4 4 0) e seus autovalores 0, -2

e -2. Seus autovetores são, então, c e cc .

Os autovalores do diádico linear ( )cc

cc 2 são 0, 0 e 2; seus autovetores são

os mesmos de ( )cc

: cc e c.

Produto de biquadrantais.

Consideremos os biquadrantais

( ) ( )tt ss

tt ss 2 2 e , com t. t s. s 1 (04),

independentes por hipótese, nessa ordem; e representemos por o produto deles, isso é,

seja

= ( ) ( )tt ss

. , (05).

O diádico é completo por ser um produto de diádicos completos (biquadrantais);

seu terceiro vale + 1. Logo, lembrando ((11), § 08.01, II), ~ 1 . Expressando em

função dos autovetores e dos eixos dos seus fatores, vem:

2 4( ) ( )tt ss t . s ts , (06),

sendo

E ) 1 4( )(t . s t. s , (061).

Invertendo (05) e considerando as (014), deduzimos:

1 2 4( ) ( )

( ) ( ) ~ss tt

. tt ss t. s st , (062),

e

E E E ET ~ 1 , (063).



Reconhecemos imediatamente, pela expressão (062), quando comparada com as

propriedades (014) dos biquadrantais, que

o produto de dois biquadrantais em geral não é um biquadrantal,

(tão pouco um cíclico), porque 1.

É fácil comprovar que

)1())((4)( ET~~ stst , (07),

de onde deduzimos, facilmente,

( )~ E E3 , (071).

A expressão do adjunto do produto em função dos autovetores e eixos dos fatores pode

também ser deduzida sem dificuldades:

))((4)(4)(2)])((43[~ ststts.stttsst.s.st , (072).

De (072), de (061) e (062) podemos confirmar (063) facilmente.

A equação característica de é

X X X 1 03E

2E , (08),

a qual é satisfeita para X = 1. Então

X X X 1 (X )[X X 1] = 03E

2E

2E 1 1( ) , (081),

e os autovalores de são:

A = 1, B = R R2 1 e C = R R2 1 , (082),

sendo

R )E

1

21 2( )(t . s t. s , (083).

Teor. 4: Um autovetor de um produto de biquadrantais relativo ao autovalor +1 é o

produto vetorial dos unitários dos seus eixos.

Com efeito, pois, pós multiplicando escalarmente ambos os membros de (06) por st tem-se:

sts.t , (084).



Resultam imediatamente de (082) e (083):

Teor. 5:

A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja cíclico é que o seu

escalar seja maior que - 1 e menor que 3.

Teor. 6:

A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja tônico é que o seu

escalar seja maior ou igual que 3 e menor ou igual que -1.

Esses resultados são ilustrados pela Fig. 06.01.

Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1.

Se for R E 1 , então ( )( )t . s t . s 0, isso é, o autovetor de um dos fatores

biquadrantais é ortogonal ao eixo do outro fator. Reciprocamente, se o autovetor de um

fator biquadrantal de um produto é ortogonal ao eixo do outro fator, o escalar desse produto

é - 1. Em resumo:

Teor. 7:

A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais seja - 1 é que o

autovetor de um fator e o eixo do outro sejam ortogonais:

( )( ) ( )

tt ss

. t .s E 1 0 , ou t . s 0, (09).

Então, se E 1 o diádico é ortoplanar. Com efeito, aplicando a segunda

fórmula do Exerc. 1, § 08.01,II, e observando que 2 E E: ~ , temos:

( ) 3 3 3 2 2 1 1 0 E E: : .



Por outro lado deduzimos, aplicando diretamente a definição de adjunto:

( )~ ~ ( ) ~ TE

T ; logo, ( )~ E 0,

porque, lembrando (063),

~ ET

E E 1.

Então ( )~ é ortolinear e, portanto, é ortoplanar (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II).

Reciprocamente, se é um produto de biquadrantais e é ortoplanar, então

E 1. Pois, sendo

( )~ [ ~ ( ) ] ~ ( ) ET

E E ET

E E1 3 1 ,

e devendo ser ( )~ E 0, a reconsideração de (063) acarreta E 1. Então:

Corol. 1: A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais valha - 1 é que a

soma desse produto com o diádico unidade seja um diádico ortoplanar,


Corol. 2: A CNS para que o autovetor de um fator de um produto de biquadrantais

seja ortogonal ao eixo do outro fator é que a soma desse produto com o

diádico unidade seja ortoplanar.

Devemos considerar ainda que

Teor. 8:

Se ( )tt

e ( )ss

são biquadrantais e o autovetor de ( )tt

é perpendicular

ao eixo de ( )ss

, o plano dos autovetores, (s,t), e o plano dos eixos, (s*,t*),

não podem ser ortogonais.

Com efeito, se os referidos planos fossem ortogonais, seria nulo o produto escalar

)()( ts.ts , pois seus fatores são ortogonais a esses planos. Mas isso é um absurdo

porque esse produto vale 1:

11

01)()(

t.st.tt.s

s.ts.sts.ts , (A).

Expressão cartesiana para .

Procuremos dar a uma expressão referida a sistemas recíprocos.

A normal comum a s* e a t* é a interseção dos planos *) e *) ortogonais a esses

vetores. Ora, 2ss* - I, usado com pré-fator, roda elipticamente um vetor qualquer, c,

paralelo à interseção de *) com *), de rad no plano *). Pois 2ss* - I, acrescentando

rad ao argumento de c em qualquer elipse de *) que o tenha por raio vetor, o transforma

em - c. O vetor - c, agora considerado raio vetor de qualquer elipse do plano *), terá

também seu argumento acrescido de rad, o que o transformará em c. Logo, o diádico

mantém a direção de c invariante no espaço, sendo, pois, tal direção a direção de um dos

seus autovetores.



Raciocinando analogamente podemos concluir que um vetor qualquer, c*, paralelo à

interseção dos planos ) e ), respectivamente ortogonais a s e t, é mantido no espaço por

ação de T.

Pondo tsc e tsc , tem-se c.c* =1, conforme a expressão (A).

Escolhamos arbitrariamente no plano (s,t) dos autovetores um vetor a ortogonal à

interseção desse plano com o plano (s*,c*), ou seja, ortogonal ao plano (s*,s) do

biquadrantal ( )ss

. Então ( )sac 0 porque c, que é ortogonal ao plano (s*,t*) dos eixos,

não pode ser paralelo ao plano (a,s), ou melhor, ao plano (s,t) dos autovetores. De fato,

conforme já foi demonstrado (Teor. 11), os planos (s,t) e (s*,t*) não são ortogonais. Vamos

dar um sentido a a de forma que o ângulo de a com t* seja agudo e ajustar o seu módulo

convenientemente quando for oportuno. Então o homólogo de c no sistema recíproco de

{s,a,c} é c* porque esse vetor é ortogonal ao plano (a,s) e c.c* = 1, Fig.06.02.

O homólogo de a é sccas )( , um vetor do plano (s*,t*) dos eixos, ortogonal a s

e a c. Esse vetor é, pois, paralelo a t* porque s.t* = 0 e c . t* = 0. Pondo tsccas M)( , tem-se M ( )( )cst s a c porque t.t* = 1. Mas, sendo a.t* > 0 e

( )( )csa s a c a.t M( ) 1 resulta M > 0, isso é, o vetor c s tem o mesmo sentido de t*.

O homólogo de a é, pois, ( )( )cst s a c t . Ajustando, agora, o módulo de a de forma que

( ) ( )cst sac , o homólogo de a é t*, sendo, então, a . t* = 1.

O homólogo se s é cacas )( , um vetor do plano (s*,t*) dos eixos mas paralelo a

s* porque a, por construção, é ortogonal ao plano (s*,c*). Pondo scacas P)( vem

( )( )sac s a c P 1.

Em resumo: os sistemas { , , }c s a c s t e { , , } são recíprocos. A Fig. 06.02, na

qual D e D* são pontos do eixo associado ao sistema (§ 03.03, I), ilustra esses resultados.

Então, 12

( ) ( ) ss tt at ss cc ss tt ,

isso é,

12

( ) ( ) cc a t t .

Lembrando que a . t* = 1 tem-se (a - t) . t* = 0. Então, o vetor a - t é ortogonal a t*.

Mas sendo esse vetor paralelo ao plano (s,t) dos autovetores, ele é paralelo a s. Por isso, os



planos do diádico planar + são os dos vetores (c, s) e (c*,t*), evidentemente ortogonais

porque s é ortogonal a t* e a c*.

Pondo a - t = N s vem, multiplicando ambos os membros dessa igualdade por s*:

N s . t . Então,

2 2cc s . t st( ) ,

ou, ainda,

cc ss at s . t st( ) ( )2 .

Os autovetores de são c e s, aos quais correspondem os autovalores + 1 e - 1,

respectivamente. Como E 1, o terceiro autovalor é, também, - 1. Então, conforme o

Teor. 4, § 04.02, o coeficiente de st* deve ser - 1, isso é, s . t 1 2 ; escrevemos,

finalmente:

2cc st , sendo [ ] csa

1 0 0

0 1 1

0 0 1

(10),

Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3.

Se E 3, então, conforme (061):

( )( )t . s t . s 1, ou ( )( ) ( )( )t . t s . s t . s t . s 0 .

Aplicando a fórmula ((05),§03.03,I), resulta:

0)()( 3)(E)()(

st.st.

sstt , (11).

Três casos podem acontecer em que (11) é verificada:

1) - st é ortogonal a st ;

2) - os autovetores t e s são paralelos;

3) - os eixos t* e s* são paralelos.

No primeiro caso, conforme (07), ( )~ E 0. Então, sendo ( )~ ortolinear,

é ortoplanar; e por ser, por hipótese, E 3, é antitriangular (§09.09,II).

Reciprocamente, se é antitriangular (( )E=0), o produto de dois biquadrantais

cujos autovetores ou cujos eixos sejam não paralelos, tem escalar 3. Logo:

A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos

autovetores ou eixos sejam não paralelos é que esse produto subtraído do

diádico unidade seja antitriangular.

No segundo caso, t s || , podemos por t sA ; daí resultam: ts ss A e

t . t t . s 1 A . Logo, (t . s ts ss ) e, de (06):

2 2 2tt ss s t s( )A .



Então, é ortolinear. Reciprocamente, se o produto de dois biquadrantais subtraído

do diádico unidade é ortolinear, mas os eixos desses biquadrantais são não paralelos, então,

sendo

2 2 2t t t . s s ss[ ( ) ] ,

tem-se: E 3 e t s || porque t t . s s s ( ) K (ou seja t* não é paralelo a s*).

No terceiro caso, t s || , tal como no caso anterior, deduzimos que

2( )At s s , isso é, é ortolinear. Reciprocamente, se o produto de dois

biquadrantais subtraído do diádico unidade é ortolinear, mas os autovetores desses

biquadrantais são não paralelos, então, conforme (06), sendo

t t s t . s t s( ) [ ( ) ]( )2 2 2 ,

tem-se E 3 e t s || porque, por hipótese, t s t . s t2( ) , ou seja, s e t são não

paralelos. Assim,

A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos

autovetores ou cujos eixos sejam paralelos é que esse produto subtraído do

diádico unidade seja ortolinear.

Essas duas propriedades podem ser assim resumidas:

Teor. 9: A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos

autovetores ou cujos eixos sejam paralelos (não paralelos) é que esse

produto subtraído do diádico unidade seja ortolinear (antitriangular).

Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo do

outro.

Suponhamos que o autovetor de cada fator de um produto tônico de dois

biquadrantais seja paralelo ao eixo do outro (s paralelo a t* e s* paralelo a t), Fig. 06.03.

Se pusermos s t P e s t Q resultará P Q = 1 e ss t t . Então:

| |

| |

| |

| |

s

t

t

s ,

isso é:

Teor. 10:

Se ( )tt

e ( )ss

são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo

ao eixo do outro, e se os vetores representativos dos autovetores e dos eixos

deles estão aplicados co-inicialmente, então são paralelas as retas que unem

as extremidades do autovetor e do eixo de cada um deles.



Sendo, também,

( ) ( )tt ss T ,

é simétrico. Considerando as (014) escrevemos, em resumo:

( ) ( ) ( )tt ss ss

P

T

e

( ) ( ) ( ) ( )ss ss tt tt. .

P P.

Então:

Teor. 11:

Se ( )tt

e ( )ss


ao eixo do outro, um fator qualquer do produto deles pode ser substituído

pelo principal do outro.

Por outro lado,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. ( ) ( . )tt ss ss tt tt ss ss tt

. . T T T T T T,

donde podermos enunciar:

Teor. 12:

Se ( )tt

e ( )ss


ao eixo do outro, o produto do transposto de qualquer um deles pelo outro é

um diádico simétrico.

•

Em relação aos vetores t e t*, pode ser escrito na forma:

2 4 2( )tt t t t tt , (12).

pois ss t t . Então, se o ângulo de t com t*,

E 2 E 2 2 2tg e ( ) tg sec

1

21 2

1

21 4 ,

os autovalores de são, em resumo:

1 2 2, ) ) T (tg sec e T (tg sec+ .

Conforme a fórmula geral (084), ao autovalor 1 corresponde, agora, o autovetor tt , pois t é paralelo a s*; então,

tttt. )( , ou . k k ,

se k é o unitário da normal ao plano (t,t*) orientado de forma que o triedro , ,k t t seja

positivo.



Representando o sistema recíproco de { , , }t t k por { , , }t t k pois k é seu próprio

homólogo, caso em que, no plano (t,t*), os sistemas { , }t t e { , }t t são recíprocos, temos:

t. t t t . t t( ) ( ) 0 ,

ou seja:

imaginados os sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente, então t t ( )

tem extremidade na interseção das normais a t e a t conduzidas,

respectivamente, pela extremidade (origem) de t* e pela origem

(extremidade) de t,

conforme ilustra a Fig. 06.03.

Sendo, ainda,

t t . t t t . t t t t t ( ) ( ) 2 , e t t. t t t. t t t t t ( ) ( ) 2

vem:

tt tt t tt t t t t t t t tt t tt tt 2 2 2, e .

Em relação aos sistemas recíprocos { , , }t t k e { , , }t t k a matriz mista associada a é,

então:

( , , )t t k

t t t

t

1 4 2 0

2 1 0

0 0 1

2 2 2

2 , (121).

A determinação dos dois outros autovetores ortogonais, do plano (t,t*), autovetores

de , não será conseguida facilmente; um deles pode escrito na forma

j tt

t

T 1

2 2.



Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais.

Suponhamos seja cíclico o diádico produto dos biquadrantais ( ) ( )tt ss e ,

2 4( ) ( )tt ss t . s ts , (13)

caso em que, sendo o seu argumento de giro,

E = cos 1 4 1 2( )( )t . s t .s , (131),

1 2( )( )t . s t . s cos , (132).

( )( )t . s t . s cos > 0,2

com 90) ,( st e 90) ,( st , (133).

Procuremos dar a esse produto uma representação cartesiana, isso é, procuremos

sistemas de vetores recíprocos - cuja existência está assegurada pelo Teor. 1, § 04.01,A -

em relação aos quais possamos dar a esse produto uma representação adequada, tão simples

quanto possível, como a (06), § 04 01,A118.

Como é cíclico, o plano (t,s) dos autovetores não pode ser ortogonal ao plano

(t*,s*) dos eixos. Pois, se fosse, seria 0)()( ts.ts , ou seja, lembrando (133),

sen 0,2 isso é, = 0, o que não é necessariamente verdadeiro.

Sejam c e c* vetores com módulos a determinar, respectivamente ortogonais ao

plano dos eixos, (t*,s*), e ao plano dos autovetores, (t,s), orientados de forma que os

triedros c,s,t e c*,s*,t* sejam ambos diretos. Nesse caso o ângulo de c e c* é agudo e igual

ao ângulo diedro, D, dos planos (t*,s*) e (t,s). Ora, c e c* são respectivamente paralelos a ts e a ts , Fig. 06.04.

118 A representação (13) desse produto em relação aos vetores s, t, ... é simples de certa forma; mas esses vetores

não compõem sistemas recíprocos porque, embora s . s* = 1, s . t* 0.



Ponhamos, por definição,

tsc2

sen , expressão na qual é o argumento de rotação

do cíclico produto, e calculemos M de forma que tsc M e c . c* = 1. Temos, então:

))((11

1))((Msen

s.tt.s

t.s

s.ttsts

Logo, considerando (133), resulta M = sen /2. Em resumo:

tsc2

sen , tsc

2sen , c .c 1, (134).

Os vetores c e c* são, respectivamente, os autovetores de de T relativos ao

autovalor + 1, pois . c c e T . c c . Logo, c* é eixo de , e os sistemas recíprocos

procurados devem ter c e c* por recíprocos homólogos.

Seja a um vetor do plano (t,s) dos autovetores, de direção ortogonal ao plano (c*,s*),

com módulo e sentido tais que

tsta

2tg , (14).

Como o módulo de ts é numericamente igual à área do paralelogramo construído

sobre s e t, a paralela a t conduzida pela extremidade de s intercepta o suporte de a

precisamente na extremidade de tg2

a . Com efeito, o paralelogramo construído sobre esse

vetor e t tem a mesma área que o anterior (Fig. 06.04).

Os vetores c, s e a são não coplanares porque c não é paralelo ao plano (t,s); ou seja

(cas) 0. Determinemos, assim, os recíprocos do terceto {c,a,s}. O homólogo de a é

cscasa 1)( , vetor do plano (t*,s*) dos eixos, ortogonal a c e a s. O homólogo de s,

accas 1)( , é s* porque s* é ortogonal a a por construção, é ortogonal a c, e s . s 1. O

homólogo de c, sacas 1)( , é c* porque c . c 1, c é ortogonal a s e a a.

Assim, { , , } e {c a s c a s , , } constituem sistemas recíprocos. Sejam

t t .a a t . s s ( ) ( ) , e t t . a a t . s s ( ) ( ) , (15),

as expressões cartesianas de t e t* nesses sistemas. Substituindo esses valores de t e t* na

expressão de , bem como o da díade t t*, reduzindo termos semelhantes e agrupando

convenientemente encontramos:

cc t . s t . s ss t . a t . a aa

t . s t . a as t . a t . s sa

[ ( )( )] [ ( )( )]

( )( )] ( )( )]

1 2 1 2

2 2

, (16).

Calculando E por (16) vem, já simplificando, transpondo termos e considerando

(131), (132) e (133):

1 2 ( )( )t .a t .a cos , (17),

ou

sen 2 ( )( )t . a t .a , (171).



Sendo:

c

sac

t.st

sac

csta

)(2tg

)(2tg

2tg , e

csac

t.at

sac

acts

)()(,

concluímos, levando esses resultados a (14) e simplificando:

tg2

t .s t .a , (18).

Multiplicando ambos os membros de (18) por (t.s*), reconsiderando (133) e simplificando,

vem:

cos2

tg2

2 ( )( )t .a t . s ,

ou seja,

2( )( )t .a t . s sen , (19).

Mas, de (171) e (133), deduzimos:

4 4( )( )( )( )t .a t . s t . s t .a sen cos sen2 2 2

.

Então, desta expressão, considerando (19), resulta, após simplificações:

2( )( )t . s t .a sen , (191).

Assim, a expressão final de é

cc aa ss as sacos sen ) ), (20).

Fatoração de cíclicos e rotores.

Sendo t. t s. s 1, temos, também:

| || |,

t tt t

1

cos( ) e | || |

,s s

s s

1

cos( ), (21),

onde

cos( ) > 0 e cos( ) > 0t t s s, , , (211).

Analogamente, de (133), vem:

| || || || |, ,

t t s st s t s

cos

cos( )cos( )

2

2, (212),

sendo, então

cos( )cos( ) > 0t s t s , , (213).

Das duas primeiras igualdades (134), deduzimos, tomando módulos:

sen 2

sen ( ) 0

| | | || | ,c s t s t , sen 2

sen ( ) 0

| | | || | ,c s t s t ,



justificando-se as desigualdades porque, sendo um cíclico por hipótese, os autovetores

dos fatores, bem como os seus eixos, são não paralelos. Com efeito, do contrário, teria

escalar igual a 3 (Teor. 9) e seria tônico (Teor. 3).

Lembrando que D é o ângulo diedro dos planos dos eixos e autovetores dos fatores

biquadrantais, multiplicando membro a membro essas últimas expressões, e considerando a

terceira igualdade (134), vem:

sen cos D sen( ) sen( ) 2

2 s t s t t t s s, , | || || || |.

Desta igualdade e do resultado da multiplicação membro a membro de (21) e (21)2, vem:

sen cos Dsen( ) sen( )

cos( ) cos( )

2

2

s t s t

t t s s

, ,

, ,, (22).

As retas suportes dos vetores s, t, s* e t* definem C4 2 ângulos, isso é, 6. As normais

aos planos (s,t) dos autovetores e (s*,t*) dos eixos, definem mais um ângulo: o ângulo

diedro (agudo) desses planos. Mas, como é fácil comprovar, dentre os seis primeiros

ângulos, apenas quatro são necessários para fixar aquelas direções, digamos: os ângulos de

t com t*, o de s com s*, o de t com s e o de t* com s*. Assim a expressão (22) é suficiente

para correlacionar os ângulos entre eixos, autovetores, o argumento de giro do cíclico

produto e o ângulo diedro D.

Esses resultados nos permitem enunciar o seguinte

Teor. 13:

Se o produto de dois biquadrantais é um cíclico:

1) - o seu autovetor e o seu eixo são respectivamente ortogonais ao plano

dos eixos e ao plano dos autovetores dos fatores;

2) - o seu argumento de giro está correlacionado por (22) com: o ângulo

diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo plano dos eixos dos

fatores; com o ângulo dos autovetores dos fatores; com o ângulo dos eixos

dos fatores; e com os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator.

Respeitadas as condições (211), (213) etc., alguns casos particulares poderiam ser

analisados. O mais importante deles é o caso em que os biquadrantais, cíclicos, são de

rotação circular, isso é

t t t s s s e = , (23).

Nesse caso: 1) - D = 0 porque os planos dos autovetores e dos eixos são coincidentes; 2) -

são iguais os ângulos dos autovetores, dos eixos, e os do autovetor de cada biquadrantal

com o eixo do outro:

( ) ( ) ( ) ( )s t s t t s t s , , , , 0.

De (23) resulta, após a extração da raiz quadrada (positiva):

sen 2

sen ( ) s t, , ou seja, 2 ( , )s t , (231).



Interpretando (231), resulta demonstrado o seguinte

Corol. 1: (rotor produto de rotores biquadrantais)

O produto de dois rotores biquadrantais de eixos distintos é um rotor de

eixo ortogonal aos eixos dos fatores e ângulo igual ao dobro do ângulo

desses eixos.

Teor. 14: (fatoração de um cíclico)

Todo cíclico é fatorável, de infinitas maneiras, em produtos de dois fatores

biquadrantais cujos eixos e autovetores sejam respectivamente ortogonais ao

autovetor e ao eixo do cíclico e cujo ângulo de giro se correlaciona, na

forma (22), com: o ângulo diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo

plano dos eixos dos fatores; o ângulo dos autovetores dos fatores; o ângulo

dos eixos dos fatores; e os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator.

Seja o cíclico de eixo c*, autovetor c e argumento de giro 0,

( , )cc

baabbbaacc sencos , (24).

Os vetores a e b, relembremos, são arbitrários e ortogonais ao eixo c*; os sistemas { , , }a b c

e { , , }a b c são recíprocos. O produto de ( , )cc pelo biquadrantal

( )bbbb 2 é

( , ) ( )cc bb

.

baabbbaacc sencos ,

que pode também ser escrito na forma

( , ) ( )( ( )

cc bb. aa bb ab ba

1 1cos cos sen , (25).

Quadrando (25), verificamos que o resultado é o diádico unidade, isso é,

( , ) ( )cc bb

.

é igual ao seu recíproco; seu escalar vale - 1 e seu terceiro + 1. Então, pelo Teor. 2, esse

diádico é um biquadrantal.

Ponhamos, então:

( , ) ( ) ( )cc bb tt. tt

2 , com t . t 1, (26),

sendo t um vetor do plano (a,b) e t* um vetor do plano (a*,b*), ambos a determinar. Deve

ser

obt e obt , (261),

porque, do contrário, seria ( , ) ( ) ( )cc bb bb.

, ou seja, o cíclico seria o diádico

unidade e exigiria que fosse nulo, o que é absurdo. Então, como conseqüência de (261),

temos:

t.a t .b t.b t .a 0, 0, 0, 0, (262),



a primeira porque t. c 0, a segunda porque t .c 0, a terceira porque tc.aat.c e c

não é paralelo ao plano (a,t), a quarta porque .cbtc.bt e c* não é paralelo ao

plano (b*,t*).

Podemos escrever, em relação aos sistemas recíprocos { , , }a b c e { , , }a b c :

t t .a a t .b b ( ) ( ) , e t t . a a t . b b ( ) ( ) , (27).

Dessas relações podemos calcular o valor da díade tt*, substituir em (26) e comparar o

resultado com (25); os vetores t e t* devem, então, satisfazer as seguintes relações

simultâneas:

2 1

2 1

2 2

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

t .b t .b

t .a t .a

t .b t .a t .a t .b

cos cos

cos sen

sen

2

2

, (28).

Da primeira das relações (27), pós multiplicando vetorialmente ambos os membros

por ( )t .b t , considerando a primeira e a terceira das relações (28) e simplificando,

deduzimos:

otba

)2

(tg , (29),

igualdade que fixa a direção de t, Fig. 06.05.

Operando analogamente a partir da segunda das relações (27), considerando as

mesmas relações (28), vem:

otba

)2

(tg , (291),

igualdade que fixa a direção de t*. Podemos, agora, fixar os módulos e sentidos de t e t* de

forma que, por exemplo, tbc A e

tbcsen , e calcular A para que c . c* = 1.

Assim, multiplicando escalarmente essas expressões, membro a membro, vem:

A sen2

1 ( )( )t .b t .b .



Considerando a primeira das relações (28), concluímos ser A sen2

. O biquadrantal

( )tt está, pois, bem determinado.

Operando como na demonstração do teorema anterior, podemos deduzir fórmula

idêntica a (22) onde se troque s por b e s* por b*.

Nota: Da mesma forma como é arbitrária a representação do cíclico, é também arbitrária a fatoração do cíclico em produto de biquadrantais, respeitados apenas o seu autovetor, o seu eixo e o seu ângulo de giro.

Corol. 1: (fatoração do rotor)

Qualquer rotor pode ser decomposto no produto de dois biquadrantais cujos

eixos definam um plano ortogonal ao eixo do rotor e um ângulo igual à

metade do ângulo de rotação do rotor.

Pois nesse caso, devendo ser t t t e b b b= , é, evidentemente, D = 0 (os

planos dos autovetores e eixos dos biquadrantais são coincidentes) e ),sen(2sen tb , ou

melhor ),ang(2/ tb , o que conclui a demonstração do corolário.

Outros casos de fatoração em que o autovetor, t, devesse ocupar posições especiais

poderiam ser analisados.

Além dos corolários dos teoremas gerais sobre cíclicos enunciados nos parágrafos

anteriores, outras proposições relativas a rotores podem ser demonstradas.

Teor. 15: (rotor produto de rotores de eixos distintos)

Sejam a a1 2 e dois unitários respectivamente ortogonais aos unitários

q q1 2 e dos eixos dos rotores

1 2 e , e que formem com o unitário b da

normal ao plano desses eixos, ângulos iguais à metade dos ângulos de

rotação de 1 2 e . Então o produto desses rotores, em qualquer ordem, é

um rotor cujo eixo é perpendicular ao plano de a a1 2 e

e cujo ângulo de

rotação é o dobro do ângulo formado por a a1 2 e (Fig. 06.06).



Com efeito, pelo Corol. 1 do Teor.14, podemos escrever:

1 1 12 2= ( ) ( ), bb . a a 2 2 22 2= ( ) ( ), a a . bb

donde, multiplicando o segundo pelo primeiro:

2 1 2 22

1 12 2. a a . bb . a a= (2 ) ( ) ( ) .

Mas, sendo (2 ) =2 bb , tem-se: 2 1 2 2 1 12. a a . a a= (2 ) ( ) . Agora, reutilizando o

Corol. 1 do Teor. 14 comprova-se a tese. Facilmente comprova-se que o produto dos

rotores é comutativo.

Teor. 16: (vetor semitangente de um produto)

Se 1 e 2 são dois rotores cujos vetores semitangente são q1 e q2, então o

vetor semitangente de 1.2 é

21

12213

1 .qq

qqqqq

, (30).

Ponhamos, como no teorema anterior:

1

2

= ( ) ( ) = ( ) + ,

= (2 ) ( ) = ( ) + ;

2 2 4 2 2

2 4 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

bb . a a a .b ba a a bb

a a . bb a .b a b a a bb

então:

2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 12 4 2 2. . a a . a a a .a a a a a a a1 1 2 (2 ) ( ) ( ) + .

Mas,

q q q1

V

1E2

V

2E3

V

3E

=1+

, =1+

, =1+

,

1 2 3

e

11V1ˆˆ)ˆˆ(4 abb.a , bab.a ˆˆ)ˆˆ(4 22V2 , 1212V12

ˆˆ)ˆˆ(4)( aaa.a.

1)ˆˆ(4 21E1 b.a , 1)ˆˆ(4 2

2E2 b.a , 1)ˆˆ(4)( 212E12 a.a.

Logo:

.ˆ

)ˆˆ)(ˆˆ(

)ˆˆˆ(= donde ,

ˆˆ

ˆˆ= ,

ˆˆ

ˆˆ= ,

ˆˆ

ˆˆ=

21

2112

21

213

2

22

1

11 b

a.bb.a

abaqq

a.a

aaq

a.b

abq

b.a

baq

Lembrando a teoria dos vetores recíprocos escrevemos, para qualquer r:

)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆˆ( 12122121 baar.aabr.abar.abar

donde, para r = b :

)ˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ 12122121 baa.baab.baba.babab .

Então,



3

21

2121

21

21

1

1

2

212

)ˆˆ)(ˆˆ(

ˆˆ

)ˆˆ)(ˆˆ(

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆq

a.bb.a

a.aqq

a.bb.a

aa

b.a

ba

a.b

abqq

ou,

)ˆˆ()ˆˆ(

)ˆ)(ˆˆ(1221

21

213 qqqq

a.a

ab.b.aq .

Finalmente, considerando que:

)ˆ)(ˆˆ(

)ˆˆ(1

)ˆ)(ˆˆ(

)ˆˆ)((ˆˆ()ˆ)(ˆˆ(

)ˆ)(ˆˆ(

)ˆ()ˆˆ(

21

21

21

2121

21

2121

ab.b.a

a.a

ab.b.a

b.ba.aab.b.a

ab.b.a

ab.ba.qq

,

e levando este resultado à expressão de q3 encontraremos (30).

Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.

Chama-se pequena rotação ou rotação de pequeno ângulo qualquer rotação cujo

ângulo de rotação é um pequeno ângulo no sentido trigonométrico, isso é, menor que 3

graus. Para esses ângulos os arcos praticamente se confundem com as cordas e estas com as

tangentes e senos. Pelas fórmulas de Mac Laurin, comprova-se que:

sen =3!

+ + cos = 12!

+ +3 2

5 7 4 6

5 7 4 6! !... ,

! !....

e

tg

23

165

3 5

! !..., (31).

Então, para pequenos arcos, desprezando as potências de superiores a 2,

3 1

sen tg , e cos

1

2

2

, (311).

Escrevemos, então,

( , )) )

cccc aa bb ab ba

(1 )

2

2, (312)

e

kkkkk

kˆ)ˆˆ)(1(ˆˆ

),ˆ( , (313).

Nas pequenas rotações circulares, o vetor semitangente de rotação tem módulo

muito próximo de zero a ponto de poder-se desprezar o produto escalar de dois deles frente

à unidade e o produto vetorial deles frente a eles próprios; os diádicos correspondentes

denominam-se pequenos rotores. Às pequenas rotações elípticas, analogamente,

correspondem os pequenos cíclicos.

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 400


Teor. 17:

Se 1 e 2 são dois pequenos rotores, de vetores semitangente q1 e q2, então

o vetor semitangente de 1.2, é:

q q q3 1 2= + , (32).

Com efeito, é o que se obtém de (30) considerando que, para pequenas rotações,

1.1 21 qq e 211221

qqqqqq .

§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo

autovetor.

Teor. 1: A multiplicação pontuada de dois cíclicos de mesmo autovetor e mesmo eixo

é comutativa; o produto deles é um cíclico de mesmo autovetor e mesmo eixo

que os fatores e ângulo de rotação é igual à soma dos ângulos de rotação

desses fatores:

( ( + ( ( )

, cc cc cc cc cc

. .

, ) ( , ) , ) , ) ,

(01).

Recorramos à interpretação geométrica das transformações regidas pelos cíclicos

fatores (§ 05.02,A). Seja v'() a projeção de um vetor qualquer, r, sobre o plano (a,b)

paralelamente a c. Sendo, então,

r = (r.c*)c+v'() = r(), tem-se: r'() = (cc*, ).r() = v'(+)+(r.c*)c.

Ainda,

(cc*, ').(().r()) = (cc*, ').r'() = v'('++)+(r.c*)c, (A).

Por outro lado,

(cc*, ').r() = r('+)

e

(cc*, ).((cc*, ').r()) = (cc*, ).r('+) =

= (cc*, ).[v'(+)+(r.c*)c] = v'('++a)+(r.c*)c, (B).

Dada a arbitrariedade de r, resulta, associando em (A) e (B):

(cc*, ).(cc*, ') = (cc*, ').(cc*, ).

Como, ainda, podemos escrever:

v'(+'+)+(r.c*)c = (cc*, +').[v()+(r.c*)c] = (cc*, +').r(),



resulta que (cc*, +') é igual ao produto comutativo (cc*, ).(cc*, ') já que podemos

associar no primeiro membro de (A) e r é arbitrário.

Notas: 1 - Recorrendo a fórmulas trigonométricas bem conhecidas, esse teorema poderia ser demonstrado efetuando-se diretamente o produto de dois cíclicos escritos na forma ((02), § 06.03) a cada um correspondendo um ângulo de giro.

2) - Até o momento tem-se usado um rotor como pré-fator. Note-se, porém que, se

.abk ),ˆ(

, então, T

),ˆ(.

kab ; mas sendo,

),ˆ(

T

),ˆ(

kk , tem-se:

),ˆ(),ˆ(

kka..ab ,

isso é, as rotações correspondentes às multiplicações escalares com um rotor usado como pré e pós-fator são de sentidos contrários. Essa propriedade, entretanto não é válida para os cíclicos.

A generalização dessa propriedade é imediata, estendendo-se a um número

qualquer, finito, de diádicos cíclicos (de mesmo autovetor e mesmo eixo). Tem-se, então o

seguinte

Corol. 1: (produto de N cíclicos)

(cc*, 1).(cc*,

2).....(cc*,

N) = (cc*,

1+

2+...+

N), (02).

Corol. 2: (Potência P-ésima de um cíclico)

Tem-se, para todo P inteiro, positivo ou negativo:

( , ) ( , )( ) ( )

cc cccc aa bb ab ba

P

P + cos P + senP , (03).

A propriedade é evidente em vista de (02).

Raízes K-ésimas do diádico unidade.

Importa ressaltar o caso em que = 2/K, com K inteiro positivo. Nesse caso, tem-se:

( , / )

( ) ( ),cc

cc aa bb ab ba2

Kcos

2K

sen 2K

donde, lembrando (03);

( , /

,cc 2 K)

K (04),

Por (04) definiremos a raiz K-ésima do diádico unidade:

K

K)

( , /,

cc 2 (05).



No caso em que K é um número racional (da forma Q/P, com P e Q inteiros),

teremos, ainda:

P Q PQ

P Q)

( , /cc 2 , (051).

No caso em que K é irracional, poderemos sempre determinar um expoente R tal,

que R(cc*, ) difira tão pouco quanto se queira do diádico unidade: R

(cc*, ) .

Então, em resumo:

Qualquer diádico cíclico pode ser entendido como uma raiz do diádico

unidade.

Potências de expoente inteiro de um cíclico.

Supondo que { , , }a b c e { , , }a b c sejam sistemas recíprocos, consideremos:

- o diádico linear

cc , (061);

- o diádico planar

J ab ba , (062);

- o diádico planar (de mesmos planos que J )

aa bb K , (063).

É fácil comprovar que esses três diádicos são tensores (§ 02.04). Seja o diádico

que transforme os vetores da base { , , }a b c na base { , , }u v w , isso é, seja u = . a etc. .

Então ua ... . Para J , por exemplo, escrevemos, então:

.J. ua . ab ba . au ub va . au uv vu 1 ( ( ) ...) ( + ) ( ...) + ( ...) ,

isso é, J se transforma segundo o regime tensorial.

Os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de eJ são os mesmos, mas esses

diádicos não são paralelos, isso é,

0BA BA J , (07).

Como K é linear e seu antecedente (conseqüente) é perpendicular ao plano dos

conseqüentes (antecedentes) de e J , temos:

J.KI.KK.JK.I , (08).

Deduzimos, ainda:

I . J J J . I , (081).

Comprovam-se também, finalmente, as seguintes expressões de potências inteiras

positivas (posto que ,J e K não são completos):



P inteiro positivo:

PI , (09),

2H H 2H HJ J J ( ) , ( ) ,1 11 1 (10),

PK K , (11).

Sendo

Z J K ab ba cc , com [ ]Z

0 1 0

1 0 0

0 0 1

(12),

temos:

Z I K K2 2 ,

Z J K Z J3 2 ,

Z4 , Z Z5 , Z Z6 2 etc., (13).

O diádico Z é completo porque, de (12) escrevemos:

Z abc b a c3 1 ( )( ) .

Como ( ) ( )Z ZP P3 3 1 , concluímos que todas as potências de Z são diádicos

completos.

Consideremos o cíclico

( , )) )

cccc aa bb ab ba

cos sen , (14),

que podemos escrever na forma

( , )cc

K J

cos sen , (141).

Pelo Corol. 2 do Teor. 1 e por (141), podemos escrever a potência enésima do diádico na

forma

( , )ccK J

N cos N sen N , (15).

Mas em face das (07) a (11) podemos também escrever:

( , )( )

ccK J

N Ncos sen ,

porque são nulos os produtos da forma K . JP Qcos sen ( ) . Então

( , )ccK .J

N N N N Ncos Ncos sen ... 1 1 ,



ou melhor,

( , ) !ccK J

N N N N 2cos Ncos sen

N(N 1)cos sen ... 1 2

2, (16).

Subtraindo membro a membro (15) e (16) e agrupando, vem:

.}sencos!3

2)-1)(NN(Nsencos{senN

}sencos!2

1)N(NcoscosN{

33N1N

22NN

J

Considerando (07) vemos que os fatores de e J devem ser simultaneamente nulos.

Resultam então as fórmulas (clássicas)

cos N cosN(N 1)

cos sen ...N N 2

22

!, (17).

e

sen!

N Ncos sen N(N 1)(N 2)

cos sen ...N N 3

1 3

3, (18).

Representação do cíclico em série de Mac Laurin.

A matrizes mistas (contravariante/co-variante) associadas aos diádicos ,J , K e ao

cíclico (14) são, respectivamente119

( )abc

0 0 0

0 0 0

0 0 1

, Jabc( )

0 1 0

1 0 0

0 0 0

, ( )abc

1 0 0

0 1 0

0 0 0

, (19),

e

[( , ) ( )]

cc abc

cos sen

sen cos

0

0

0 0 1

, (20).

Considerando as fórmulas (31), § 06.03, A, se pusermos,

A J= , ou [ ] [ ],J (21),

escreveremos:

[( , )

] [ ] [ ]![ ]

![ ]

ccA A A

12

13

2 3 ... , (211),

e

( , ) ! !cc

A A A

12

13

2 3 ... , (212).

119 Deve ser notado que embora a matriz associada a J seja anti-simétrica o diádico não é anti-simétrico.



Da analogia entre as expressões (211) e (212) com o clássico desenvolvimento em

série de Mac Laurin de e x pomos, por

Definição:

Se { , , }a b c e { , , }a b c são sistemas recíprocos de vetores,

... !3

1!2

1e 32),( AAAA

cc , JA , baabJ , (22).

O diádico (211), A= J , é tal que

A A A KE e 0 3

2~ , (23).

Logo, sua equação característica é X X = 03 e seus autovalores são 0, i e - i. Seu

vetor é paralelo a JV

, pois A JV V . Escrevamos o cíclico na forma

KJcc )cos1(sencos),( , (24).

Conforme ((01)2,§08.02,II): .. VVT

2V : ; e sendo T

2

~KJJ

T , resulta

que VT

VV2 J.JKJ . Calculando o vetor do cíclico pela expressão (24), vem:

VT

VT

VV ] )cos1( sen[ )cos1(sen J.JJ.JJ

cc

,

ou melhor,

VT

V )

2tg(sen J.J

cc

, (25).

Concluímos, assim, que o vetor do cíclico é o transformado do vetor de J pelo diádico

)2

tg(senT

J

. Esse diádico é completo, não sendo difícil comprovar que o seu terceiro

é sen3sec2(/2) , e que o seu principal, , é

]/2)(sec/2)tg( /2)[tg(2

1 2TKJ .

De (25) deduzimos, então:

.Jcc VV

, (26).

*

Exercícios:

1) - Comprovar que

) ( ) ()3( :),(),(E),(),(),(

cccccccccc.



2) - Se, por definição,

... !P

1 ...

!3

1

!2

1e P32 : ,

e se .. , então

ee e . .

3) - Se é tônico, isso é, A i iig g , então e e A

iii g g .

4) - Se X , então e ee X .

*

Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico.

De (141), considerando (06), temos:

J

ccsencos(

),(, (27).

Observando que 2222 )(= AJJ , vem:

2),( ]

2

2sen

[21sen

AAcc

, (271),

donde, então, a expressão do cíclico em função de A:

2),( )]

2(

2

2sen

[2sen AAcc

, (272),

De (141), considerando mais uma vez as fórmulas (07) a (11), deduzimos:

JKcc

cossen2 sencos[()( 22

),(

)sen1)(cos-2(cos J ,

e

]sen)1 coscos2)(cos2 ),( Jcc .

Então, somando membro a membro, vem:

AJcccc

sen2sen2)(cos2)( ),(

2),( ,

ou melhor,



)( )(2sen ),(E),(),(

cccccc .A , (28),

que é a expressão de A em função do cíclico.

Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados.

No caso particular dos rotores

)senˆ(+)cosˆˆ(+ˆˆ=),ˆ(

kkkkkk

, (29),

o diádico J é anti-simétrico porque

kJijjijiijJ ˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆT , (291).

Logo, também é anti-simétrico o diádico , a ele estando associada a matriz anti-simétrica

[ ] ],[000001010

J

(30).

São válidas para os rotores todas as propriedades já assinaladas para os cíclicos. Em

vista de (22), a qual, nesse caso particular, pode ser escrita na forma:

Ak

e...+3!

1+

2!

1++ 32

),ˆ(

, com kJA ˆ , (31),

vemos que a todo rotor está associado um diádico anti-simétrico do tipo (291) cujo vetor é

paralelo ao eixo de , pois temos: kA ˆ2=V . Lembrando ((12),§06.01), isso é,

k sen 2V , deduzimos, então:

VV sen

A , donde

sen 2ˆ.

2ˆ

V

V

k

k.A

, (32).

A expressão (28), particularmente, passa a ser escrita na forma

],[)(2sen E

. (33),

ou, ainda, na forma

)()(ˆ 2

ˆ

E

V

V

.k.

k.AA , (34).



Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação.

Consideremos agora, as fórmulas:

.)+(1=

ˆ2sen=

senˆ+)cosˆˆ(+ˆˆ=

EV

V

q

k

kkkkk

Por ser q paralelo a -V, e este paralelo a k , podemos escrever:

)(sen)(cosq.q

q

q.q

qq

q.q

qq

, (35);

ou, recorrendo às fórmulas trigonométricas que expressam as linhas de um arco em função

da tangente do arco metade:

,1

2)(

1

122

2

qqq.q

qq

q

q

q.q

qq

(351).

As fórmulas (35) e (351) expressam, pois, o rotor em função do vetor semitangente de

rotação.

Diádico de rotação e diádico de Argand associados.

Denotando por o diádico de Argand (do vetor q), q, temos, lembrando

((13),§06.01), depois ((01) § 06.04,II) e por último (291):

Jq2

tg11 E

T

E

V

(361),

donde

V 2q, (362).

Por ser = J , conforme (31), deduzimos, também:

12

tg ( / 2)

/ 2

, ou 2

2

/

tg ( / 2) (363).

Então, de (363), considerando (33), vem:

22

/

tg ( / 2)

/( ) [ ],

2

2sen ( / 2) cos ( / 2) E .

donde, após simplificações:

1

1

EE( ) ( ),. (364).



Ainda, considerando (361):

T

E= ( ) ( ). ,

donde, lembrando que T = -1 e multiplicando escalarmente ambos os membros por

=+ E2

E3 , (365).

O polinômio (365) é o polinômio associado ao polinômio CH de (§ 03.02)120.

Lema:

Tem-se:

)( : vqv.vqvv , (37).

Com efeito, os vetores v+q×v e v-q×v têm o mesmo módulo porque v é ortogonal a

vq . Logo, (37) esta compatível porque sendo um rotor ele conserva os módulos dos

vetores.

Para concluirmos a demonstração basta provar que o ângulo de rotação de é igual

ao ângulo das componentes de v+q×v e v-q×v no plano ortogonal a k (Fig.06.07).

Denotando-se por c a componente de v ortogonal a k , temos: q×v = q×c, pois |v| sen(q,v) =

|c|, e ambos os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Logo, as componentes de

v+q×v e v-q×v ortogonais a k , além de terem os mesmos módulos (porque v+q×v e v-q×v

têm os mesmos módulos), valem c+q×c e c-q×c. Então, lembrando que q = k tg/2, temos:

)]2/(tg1[)()()( 2222 ccqccqc.cqc ,

)]2/(tg1[)()()( 222222 ccqccqccqc ;

e, designando por o ângulo dos vetores c+q×c e c-q×c,

cos

2/tg1

2/tg1cos

)(

)()(2

2

2cqc

cqc.cqc.

Logo, = uma vez que < rd.

120É evidente que, seguindo caminho contrário, isso é, partindo de (36

5 ) e considerando (31

1 ), podemos também

deduzir (364

).



Teor. 2:

Tem-se:

= ( + ) ( ) ,1

.

(38).

Com efeito, pois sendo:

.v.vqvqv )()( ,

e considerando (37), escrevemos:

( + ) = ( ) . . v . . v

Como v é arbitrário,

+ = ( ) . , (A).

Mas - é completo porque, sendo

)ˆˆˆ(2

tg2

tgˆ ijjik

( ) ( ) ( ),i i j j i j k k tg2

tg2

segue-se que:

( ) 3

( )(( )( )( )) .ijk i j i j k tg2

tg2

tg sec2 2 1

2 20

Logo, pós multiplicando ambos os membros da igualdade (A) por (-)-1, encontramos

(38).

Corol. 1:

Tem-se, também:

( + ) ( ),1 . (39).

Pois, sendo: + ) . ( . , podemos escrever, após agrupamentos

convenientes, ; donde, imediatamente, (39), porque + é completo. Com efeito,

( ) (

3

1

4 1

cos sen 0

sen 1 + cos 0

0 0 2

cos ) 0.

Nota: Lembrando que é comutativo o produto pontuado de dois polinômios de um mesmo diádico (§ 05.02,II), escrevemos, também:

= ( ) 1 ( + ), e = ( ) ( + ) 1, . . (40).



Teor. 3:

Se 1, 2 e são os diádicos anti-simétricos associados aos diádicos de

rotação 1, 2 e = 1.2, respectivamente, então:

= ( ) ( + ) ( + ) ( ) ,2 1 2

1

1 2 2

1

. . . . (41).

Temos, segundo (38):

1 1 1

1 2 2 2

1= ( + ) ( ) e = ( + ) ( ) , . .

donde, segundo (40):

= = ( ) ( + ) ( + ) ( ) .1 2 1

1

1 2 2

1. . . .

Então, desta igualdade deduzimos:

= ( ) [ ( ) ( ) + ( + ) ( + )] ( ) =

= 2( ) ( +

1

1

1 2 1 2 2

1

1

1

1 2

. . .

.. ) ( ) ,2

1

e, analogamente,

+ 2( ) ( + ( )1

1

1 2 2

1

. . .) .

Desta última, temos:

( + ) =1

2( ) ( + ) ( ).

1

2 1 2

1

1

. .

Agora, aplicando (32), operando e simplificando, encontramos (41).

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos.

Constatamos no §02.05 a necessidade da consideração dos diádicos com simetria

externa. Diádicos com simetria externa em relação a um eixo é sinônimo de diádicos auto-

similares (§02.02) numa rotação em torno desse eixo com ângulo qualquer. Adotemos o

vetor unitário k , paralelo a esse eixo, como um dos vetores de uma base vetorial

ortonormada fixada escolhendo-se arbitrariamente dois outros unitários i e j . Para a

dedução das características da matriz associada ao diádico nessa base,

333231

232221

131211

][ ,

devemos escrever, na forma matricial equivalente a ((17), §06.01), que

cossen-sencos

]..[cossensen-cos

][ ,

pois esse diádico deve ser similar a si próprio (§02.02) mediante o diádico de rotação de

eixo k e ângulo arbitrário . Então,

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. 412


sencossensencoscos 2212211111

cossencoscossensen 2212211122

sencoscossencossen 2212211112

cossensencossencos 2212211121

sencos 231313

cossen 231323

sencos 323131

cossen 323132

3333 .

Da primeira e da segunda equações, e em seguida, da terceira e quarta, deduzimos,

considerando que 0:

cos)(sen) 21122211 ; e sen)(cos) 21122211 .

Como essas equações devem subsistir qualquer que seja , deve ser, necessariamente,

0 e 0 21122211 .

Colocando a quinta e a sexta equações nas formas

sen)cos1( 2313 e sencos1( 1323

deduzimos, ainda, que deve ser 02313 . Analogamente, com a sétima e oitava

equações comprovaríamos serem 31 e 32 nulos. Assim, a matriz associada a é

33

1112

1211

00

0

0

][ , (01).

Se, ainda, apresenta simetria interna, deve ser 01212 .

Alem de simetria em relação ao eixo k poderia haver simetria externa em relação a

um eixo de unitário i ortogonal ao primeiro. Assim, alem da matriz dada por (01), deveria

corresponder ao diádico a matriz

3323

2322

22

0

0

00

][ , (02),

que deve ser igual à primeira; então [] é matriz diagonal com elementos 11=22 e 33.

Deduz-se desses resultados que se tem simetria externa em relação a três eixos

ortogonais deve ser 11=22=33, tendo ainda, simetria em relação a qualquer outro eixo. Em

resumo:

Se qualquer eixo do espaço é eixo de simetria de um diádico, esse

diádico é diádico escalar, isto é, da forma AI.

§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. 413


§ 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO.

DECOMPOSIÇÃO POLAR.

§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições.

Consideremos a transformação linear regida pelo diádico completo, qualquer, ,

usado como pré-fator. Seja P o ponto corrente da superfície esférica de raio unitário,

definido pelo unitário posicional r de origem no centro O da superfície, por hipótese

coincidente com um ponto fixo. Se P' é o transformado de P mediante , e r' é o seu vetor-posição de origem O, escrevemos:

r .r r .r , , ou

1

donde,

r . . . r( ) T 1

1, (01).

Tal é a equação do elipsóide transformado da superfície esférica (§01.02, propr. 4).

Se ) é o plano tangente à superfície esférica em P, então o seu transformado, '), é

tangente ao elipsóide em P'. Com efeito, se não fosse, esse plano teria mais um ponto

comum (ao menos), Q, com o elipsóide. Como as transformações direta e inversa são

unívocas, o transformado inverso de Q', Q, deveria pertencer a ) e à esfera, o que é

impossível (a esfera e ) só tem P por ponto comum).

Então, a todo cubo circunscrito à superfície esférica corresponde um e um único

paralelepípedo (oblíquo) circunscrito ao elipsóide; e às três direções ortogonais que ligam

os pontos de concurso das diagonais das faces opostas (quadrados) do cubo, correspondem

três direções (geralmente não ortogonais) que ligam os pontos de concurso das diagonais

das faces opostas (paralelogramos) do paralelepípedo; e vice-versa.

Logo:

ao paralelepípedo reto, único, que circunscreve o elipsóide, corresponde um

e um único cubo circunscrito à superfície esférica.

Sejam kji ˆ e ˆ ,ˆ os unitários posicionais dos centros de três faces quaisquer do cubo

circunscrito, co-iniciais em O e tais, que o triedro { , i j k , } seja direto. Se, então, l', m' e n',

são os vetores posição (co-iniciais em O e triortogonais) dos centros das três faces

correspondentes (retângulos) do paralelepípedo circunscrito ao elipsóide, podemos

escrever: l' = . ,i ... . Então:

l i m j n k , (02),

é uma forma trinomial de .

Usando o diádico como pós-fator é possível tirar conclusões análogas.

Temos, assim, demonstrado o seguinte

§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. 414


Teor. 1:

É sempre possível reduzir um diádico completo a uma forma trinomial de

que os conseqüentes (antecedentes) formem um terceto ortonormado direto e

os antecedentes (conseqüentes) um terceto triortogonal.

Sendo:

3 ( )( ) ( ),l m n i j k l m n

vemos que {l', m', n'} é triedro positivo ou negativo conforme 3 seja positivo ou negativo.

Associemos às direções dos semi-eixos do elipsóide os unitários i , j e k

correspondentes aos unitários , i j k , , tais, que { i , j , k } seja direto; então:

, , com 0 : = L + M + N3

i i j j k k (03),

onde L, M e N são números finitos, não nulos e cujos módulos são os valores dos semi-eixos do elipsóide.

Resulta, então, demonstrado o seguinte

Corol. 1:

É sempre possível reduzir um diádico completo a uma soma de três

díades cujos antecedentes e conseqüentes sejam dois tercetos

ortonormados diretos e cujos coeficientes sejam números finitos e não

nulos.

Definição: (forma e redução normal)

A forma (03) de redução do diádico completo , em que { , i j k , } e

{ i , j , k } são tercetos diretos ortonormados e L, M e N números finitos não

nulos, denomina-se forma normal do completo . Redução normal é o

conjunto das operações através das quais se reduz um diádico completo à

sua forma normal.

Sendo, ainda

3 LMN( LMN,' ' ' )( )i j k ijk

vemos que:

1) - Se for 3 0, dois casos podem acontecer: apenas um dos coeficientes é

positivo, ou todos são positivos. No primeiro caso, se, digamos, L > 0, escrevemos:

| ' | ' ) | ' ) ,L| M|( N|(i i j j k k

caso em que o triedro { ' , ' , '}i j k ainda é direto121; no segundo caso, escrevemos:

(| ' | ' | ' ).L| M| N|i i j j k k

121 Se de um triedro direto se invertem dois quaisquer dos eixos o novo triedro continua direto.

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 415


2) - se for 30, dois outros casos podem se dar: apenas um dos coeficientes é

negativo, ou todos são negativos. No primeiro caso, se, digamos, L<0, escrevemos:

[ L| + M|( + N|(| ' | ' ) | ' ) ]i i j j k k ,

sendo ainda direto o triedro dos antecedentes; e no segundo caso,

(| ' | ' | ' ).L| M| N|i i j j k k

Temos assim demonstrado o seguinte

Teor. 2:

Todo diádico completo pode ser reduzido a uma soma de três díades de que

antecedentes e conseqüentes formem sistemas diretos ortonormados, e cujos

coeficientes sejam números todos positivos ou todos negativos:

, | | ), 0: = (|L| + M| + N|3

i i j j k k (04).

Deve ser observado que na forma normal de , (03), os módulos dos coeficientes da

forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio

unitário pelo diádico .T - são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas)

dos autovalores L2, M2 e N2 do diádico .T (ou T.), correspondentes ao sistema direto

dos unitários dos autovetores ' , ' ' , , )i j k i j k e (ou , não tendo nenhum relacionamento com

os autovalores do diádico . Com efeito, pois

. i i j j k k . ii jj kk

i i j j k k

T

2 2

L| M| |N| L| M| N|

L| M| N|

(| ' | ' ' ) (| ' | ' | ' )

| ' ' | ' ' | ' ' ,2 (05),

e, analogamente:

T 2 2L| + M| + N| . i i j j k k| | | ,2 (06).

Então:

( )|

' '|

' '|

' ' , . i i j j k kT

2 2 2L| M| N|

11 1 1

(07).

Nota: Esse teorema é geral, aplicando-se, inclusive, aos diádicos simétricos, conforme já comprovamos (Teor. 11 e 12, § 04.01,B).

§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.

Em vista das considerações do § 07.01, o problema do cálculo da redução normal de

um diádico pode ser conduzido seguindo a marcha de cálculo cujos passos apresentamos

a seguir:

1 passo:

determina-se uma das matrizes mistas associadas ao diádico .T.



Qualquer que seja a redução cartesiana, dada, do diádico , será sempre possível a

execução desse primeiro passo usando-se as fórmulas deduzidas no § 09.02 e no § 09.03 do

cap. II. Com efeito, se é dado por [**], escrevemos:

[( ) ] [ ] [( ) ] [ ].[ ] , . .T

T

T

com122

[ ] [ ] [ ][ ].

G . G

Logo:

[( ) ] [ ][ ][ ] [ ]. . .T

TG G

(01).

Se é especificado por [**], escrevemos, de (01) e das fórmulas referidas:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] . . . .T

T TG

,

ou melhor:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], . . . .T

TG G

(011).

Se é especificado por [**

], escrevemos, de (011) e das referidas fórmulas:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], . . . . . . . .T

TG G G G G G

ou melhor:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] , . G . . G .T

T

(012).

2° passo:

de posse de [(.T)**], determinam-se os autovalores L2, M2 e N2 (todos

positivos) e os correspondentes auto-unitários ' , ' 'i j k, de . T.

Para tal escrever-se-á a equação característica

X X + X 3 T

E

T

E

~ T ( ) ( ) ( ) . . .2

30, (02),

ou,

0)(X|| ~| |X| || |X 23

23 , (021),

cujos coeficientes se determinam diretamente de [(.T)**]. Para cada autovalor, calcular-

se-á um autovetor correspondente por suas coordenadas contravariantes. Assim, ao

autovalor L2 (que podemos designar como o menor deles) corresponderá o autovetor l' = L'i

gi , a M2 o autovetor m' = M'i gi e a N2 (o maior deles), o autovetor n' = N'i gi.

122 Relembremos a Nota apresentada no § 09.02: a matriz associada a um diádico só tem significado quando é especificada a base (ou a métrica da base) a que ela se refere.



Como gi = Gij gj, poder-se-á calcular, também,

l g g' , L' L' Gj

j iij

j

isso é,

L'

L'

L'

G

L'

L'

L'

1

2

3

1

2

3

[ ] ,. (03).

Então:

( ' ) [ ] ,l2

L' L' L' L' L' ][G

L'

L'

L'

i

i

1 2 3

1

2

3 e ' ,l g g L' L'i

i ii (04),

onde

' |

' |

L'L'

| e L'

L'

|i

i

i

i

l l (041).

Analogamente calculam-se ' 'm n e .

Uma verificação de cálculos poderá ser feita, nesse instante, pois

(

L'

L'

L'

M'

M'

M'

N'

N'

N'

( )

L'

L'

L'

M'

M'

M'

N'

N'

N'

( ) ,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

l m n g g g g g g' ' ' ) =1 2 3

1

1 2 31 (05),

e

( ) | |, ) | |g g g g g g1 2 3

1 2 3

G ( G (051).

Se for (' ' ' )l m n 1, far-se-á: ' ' ,l i 'm j e 'n k . Se for (' ' ' )l m n 1,

poder-se-á inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, 'l , para que o novo

triedro seja direto. Far-se-á, então: ' ' ,l i 'm j e 'n k .

3 passo:

repetem-se os dois primeiros passos em relação ao diádico T..

No primeiro passo, particularmente, as expressões correlatas de (01), (011) e (012),

são:

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], T

T

G G. . . .

(06);

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], T

T G G. . . .

(061);

[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], T

TG G. . . .

(062).



Conforme já comprovamos, os diádicos .T e T. têm a mesma equação

característica (o que pode ser verificado calculando os coeficientes da equação pela matriz

(06)) e os mesmos autovalores (L2, M2 e N2).

Tal como anteriormente, podem ser calculados os autovetores: l = Li gi = Li gi

correspondente a L2, m = Mi gi = Mi gi correspondente a M2, e n = Ni gi = Ni gi

correspondente a N2, sendo:

L

L

L

[G ]

L

L

L

1

2

3

1

2

3

, etc., (07).

Também,

l2

L L L L L G

L

L

L

i

i

1 2 3

1

2

3

[ ][ ] e ,l g g L Lii i

i (08),

onde

| |

,LL

| | e L

Li

i

i

i

l l (09).

As expressões correspondentes para m e n são análogas.

Finalmente, dever-se-á calcular

(

L L L

M M M

N N N

( )

L L L

M M M

N N N

( ) ,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

lmn g g g g g g) =1 2 3

1 2 3 1 (10).

Se for ( )l m n = +1, far-se-á: , .l i m j n k e Se for ( )l m n 1, poder-se-á

inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, l , para que o novo triedro seja

direto. Far-se-á, então: , l i m j n k e .

4 passo:

escreve-se, simplesmente, a expressão de em sua forma normal

L M ' N '' i i j j k k , (11).

Notar que é

L ' M ' N ' l l m m n n (111),

com L, M e N positivos, {' , ' , '}l m n e {, , }l m n sendo diretos ou não.



A cada inversão de um unitário (num triedro ou no outro) para tornar o triedro

positivo, corresponderá uma troca de sinal na díade correspondente da expressão (111). Daí,

então, será gerada a forma (11), escrevendo-se: ' ' , ...l i ; justifica-se, assim, dizer que

os números L, M, e N são positivos e negativos.

Exemplo numérico.

Reduzir à forma normal o diádico (completo),

2 2 3 11

11

21

32

1g g g g g g g g ... ,

cuja matriz mista contravariante/ co-variante associada é:

[ ] ,

2 2 3

1 1 1

13 3 1

(12).

As bases recíprocas diretas { , , }g g g1 2 3

e { , , }g g g1 2 3 têm as seguintes matrizes métricas

(recíprocas):

[ ] ] ,G e [G

2 1 2

1 2 1

2 1 5

9 7 5

7 6 4

5 4 3

(13).

Solução:

Observemos, de imediato, que as bases {g*} e {g*} são quaisquer mas

(acidentalmente) unimodulares, pois

( ) | |( ) ( ),g g g g g g g g g1 2 3

1 2 3 1 2 3

G

isso é

( ) ( ) , ( ) ( ),g g g g g g g g g g g g1 2 3

2 1 2 3 2

1 2 3

1 2 31 ou +1

porque, por hipótese, {g*} e {g*} são diretas.

1 passo:

Levando, então, (12) e (13) à (01), escrevemos:

[( ) ] . . . .T

2 2 3

1 1 1

13 3 1

9 7 5

7 6 4

5 4 3

2 1 13

2 1 3

3 1 1

2 1 2

1 2 1

2 1 5

440 165 1 016

74 30 174

2 620 1 014 6 098

.

. . .

, (14),



isso é:

. g g g g g g g gT

. 440 165 1 016 741

1

1

2

1

3

2

1. ...

2 passo:

Equação característica: X X + X (3 T

E

2 T

E

~ T ( ) ( ) ) . . .3

0.

Tem-se:

|| || ( ) ( ) ] . . ;

|| || ( ).

. . .. . .

( ) ( ) ( .

~

. .

.

. .

T

E

T

T

E

~

T

3

T

3

Tr[ + +

+ + + +

440 30 6 098 6 568

440 165

74 30

440 1016

2.620 6 098

30 174

1014 6 098990 21200 6 504 28 694;

66) 4.3563 3

2 2

Logo:

X X X 4.356 = 03 2 6568 28 694. . (15).

Com valores corretos até a sexta casa decimal, as raízes dessa equação são123:

X L

X M

X N

min

2

med

2

max

2

0 1574857

4 2140805

6 563 628433

,

,

. , ,

(16).

Cálculo de um autovetor l', correspondente ao autovalor L2:

( ) .

( )

. . ( . )

440 165 1 016 0

74 30 174 0

2 620 1 014 6 098 0

X L L L

L X L L

L L X L

min

1 2 3

1

min

2 3

1 2

min

3

Arbitrando L'3

1

1 0160 00098425

., , escrevemos:

439 8425143 165 1

74 29 842514174

1 016

,

,.

,

L' L'

L' L'

1 2

1 2

donde

L'1 0 0017299, e L'2 0,00144919 .

(Podemos, agora, verificar a terceira equação do sistema).

Então:

123 Não nos preocupamos, aqui, em precisar erros cometidos com aproximações.



10 17 299 14 4919 9 842541 2 3

l g g g' , , , , (171).

Cálculo de um autovetor correspondente a Xmed:

435 7859194 165 1 016 0

74 25 785919 174 0

2 620 1 014 6 093 785919 0

, .

,

. . . , .

M' M' M'

M' M' M'

M' M' M'

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Arbitrando M'3

1

1 016., resolvemos o sistema

11 237 14041 25 785919 1016 25 785919

12 210 1 016 25 785919 165174

1 016

. , , ,

. . ,.

.

M' M'

M' M'

1 2

1 2

Então

M' M' M'1 2 3 0 002540917 0 00065027788 0 000984252, , , , , ,

e

10 25 6,5027788 9 8425241 2 3

m g g g' ,40917 , , + (172).

Cálculo de um autovetor correspondente a Xmax:

6123 165 N' 016 0

74 6 533 174 0

2.620 1014 465 0

. ,628433 N' .

. ,628433 N'

. ,628433 N' .

1 2 3

1 2 3

1 2 3

+1 N'

N' N'

N' N'

Arbitramos: N'3

1

1 016. e resolvemos o sistema

6123 1

74 6 533174

1016

. ,628433 N'

. ,6628433 N.

.

1 2

1 2

+165 N'

N' '

Encontramos

N' N' e N'1 2 3 0 000164058 0 00002807018 0 000984252, , , , ,

donde

10 1 0,2807018 9 84252041 2 3

n g g g' ,64058 , , + (173).

Temos, então, em (171), (172) e (173) as expressões de l', m' e n' (multiplicados por

104) na base {g*}. Por (03) podemos obter as expressões desses mesmos vetores na base

{g*}. Assim, por exemplo:

10

2 1 2

1 2 1

2 1 5

17 2990

14 4919

9 8425

0 42106

1 84228

0 12270

4

L'

L'

L'

1

2

3

.

,

,

,

,

,

,

.

Analogamente,



897039,4

257248,48

636079,37

84252,9

5027788,6

40917,25

512

121

212

M'

M'

M'

10

3

2

1

4. ,

e

10

2 1 2

1 2 1

2 1 5

1 64058

0 2807018

9 84252

22 685538

8 763324

52 774502

4

N'

N'

N'

1

2

3

.

,

,

,

,

,

,

.

Então:

10 0,42106 1 84228 0,12270

10 37 48,257248 4 897039

10 22 8,763324 52

4 1 2 3

4 1 2 3

4 1 2 3

l g g g

m g g g

n g g g

' ,

' ,636079 ,

' ,685538 ,774502 ,

+ +

+

+

(174).

Nesse instante podemos fazer algumas verificações com o objetivo de detectar

eventuais erros grosseiros de cálculo, já que aqueles oriundos de aproximações são

inevitáveis. Estando os vetores l', m' e n' expressos por suas coordenadas co-variantes e

contravariantes podemos, facilmente, por multiplicação escalar, verificar a ortogonalidade

simultânea desses vetores. Com efeito, basta verificar a nulidade das expressões l'.m' =

m'.n' = n'.l'. Assim, de (171) e (174), temos:

10 17 299 14 4919 9 8425

48 257248 4 897039

17 299 37 636079 14 4919 48 257248

0 073575

81 2 3

1 2 3

l . m g g g .

. g g g

' ' ( , , , )

, , )

( , ) ( , ) , ( , )

. ,

(-37,636079

+ (9,8425) (4,897039) =

ou seja

l .m' ' ... 0,0735 10 08 .

Analogamente podemos fazer os demais cálculos.

Para o cálculo dos unitários basta que determinemos os módulos de l',m' e n'

recorrendo às expressões de l', m' e n' em bases recíprocas; temos:

10 17 299 14 4919 9 8425 0 42106 1 84228 0 12270

35 189729

8 2

1 2 3

1 2 3l g g g . g g g' ( , , , ) ( , , , )

, ,

donde:

10 5 9320934 | ' | , ,l (175).

Analogamente encontramos:



10 36 308497 23 6455464 | ' | , | ' | , ,m n e 104 (176).

Logo, na base {g*}, por aplicação das (04)1, escrevemos, partindo das fórmulas (171),

(172), (173), (175), e (176),:

' ,916171 ,442966 ,659195

'

'

l g g g

m g g g

n g g g

2 2 1

0,699813 0,179098 0,271080

0,069383 0,011871 0,416253

1 2 3

1 2 3

1 2 3

+ +

+

+

(19).

Mutatis mutandis, na base {g*}, encontramos:

'

' ,036564 ,329090

' ,231900

l g g g

m g g g

n g g g

0,070980 0,310562 0,020684

1 1 0,134873

0,959400 0,370612 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

+ +

+

+

(191).

Novas verificações de cálculo podem ser feitas. Assim, por exemplo, de (19)1 e

(191)1 temos

' ( ,9161712) ( ... ,000001... ;l 2 2 0,07098) 1 1

e de (19)1 e (191)2 vem:

' ' ( ,9161712) ( ,036564) ... ... ;l .m 2 1 0,000341 0

e assim sucessivamente.

Podemos agora verificar se o triedro {' , ' , '}l m n é direto; temos, de (19), aplicando

(05):

(' ' ' )

,916171... ,442966... ,659195...

... ... ...

... ...

( ) ,00000038... ,l m n g g g

2 2 1

0,699813 0,179098 0,271080

0,069383 0,011871 0,416253

1 11 2 3

porque (g1g2g3)=1. Logo: {' , ' , '}l m n é direto. Faremos, então:

' ' , ' ' ' 'l i m j n k e , (20).

3 passo:

Aplicando (06) temos:

[( ) ] T

. . .

9 7 5

7 6 4

9 4 3

2 1 13

2 1 3

3 1 1

2 1 2

1 2 1

2 1 5

2 2 3

1 1 1

13 3 1

=



7 422 1 070 67

5 697 821 52

4 105 593 33

. .

.

.

, (21),

isso é

T

,. g g g g g g g g 7 422 1 070 67 5 6971

1

1

2

1

3

2

1. . . ... (211).

Calculamos, facilmente:

( ) .

( ).

.

. . .

( ) ( ) ( .

T

E

T

E

~

T T

+ +

+ +

.

.

. .

7.422 821 33 6 568

821 52

593 33

7.422 67

4.105 33

7.422 1070

5 697 821

3 743 30109 2.328 28 694

66) 4.3563 3 3

2

Comprovamos, assim, que a equação característica de T. identifica-se com a de

.T; o que corresponde a dizer que os autovalores de T. e .T são os mesmos.

Tal como no segundo passo de cálculo, podemos encontrar autovetores para T.

Assim, na base {g*}, temos:

- correspondentemente a L2 = 0,1574857:

,25373,14978738,49010373,7210 3214

gggl (231);

- correspondentemente a M2 = 4,21408055:

,25373,14989528,495454003,810 3214

gggm (232);

- correspondentemente a N2 = 6.563,628433:

10 269 207 14941 2 3

n g g g ,75813 ,05861 ,25373 ,+ + (233).

Aplicando as (06) calculamos as coordenadas co-variantes desses vetores; resultam:

10 645 08738 760 21730 111 27381

10 331 31194 58 00857 679 28257

10 33 95019 4 89464 0 30622

4 1 2 3

4 1 2 3

4 1 2 3

l g g g

m g g g

n g g g

, , ,

, , ,

, , , ,

(24).



Verificações:

10 49 026 7 0 00049 0

10 0 19405 0 19 10

348 03513 0 00348

8

8 8

l.m l.m

m.n m.n

n. l n. l

. , , , ... ;

, , , ...

. , , , ...

donde

donde 0;

10 donde 0.8

Os módulos de l, m e n são determinados facilmente; temos:

10 72 10 490,78 149

645 760,21 111 343155 1772

8 2

1 2 3

1 2 3

l g g g .

. g g g

( , ... ... ,25... )

( ,08... ... ,27... ) . , ,

donde:

10 585 7944

| | ,l

Analogamente, encontramos:

10 309 2890 89 99504

| | , | | , .m n e 104

Logo: , , ,

, , ,

, , , ,

l g g g

m g g g

n g g g

0 123087 0 837816 0 254789

0 027629 0 161323 0 482570

2 997479 2 300779 1 658467

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(25),

ou , , ,

, , ,

, , , ,

l g g g

m g g g

n g g g

1 101219 1 297755 0 189954

1 071205 0 187555 2 196271

0 377245 0 054388 0 003403

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(26),

sendo ( )lmn 1.

4 passo:

Como ( ) ...( ) ...( ) ,l m n g g g g g g 1 2 3

1 2 3 0,962765 0,973631 1 o triedro

{, , }l m n é negativo. Trocando-se os sinais no segundo membro de l , o triedro { , , }l m n

passará a ser positivo (e i l continuará sendo auto-unitário de T.).

Ponhamos, então: , l i m j n k e . Nestas condições a forma normal de

pode ser assim escrita:

),ˆ'ˆ 628433,563.6ˆ'ˆ 21408055,4ˆ'ˆ 1574857,0( kkjjii (27),

onde {, , } ' , ' , '}i j k i j k e { são triedros diretos; ou, ainda, assim:

( ' ,0528226 ' ,016222 ' ),0,396847 2 81 i i j j k k (271).



Verificação:

Ora, = ijgig

j. Para expressarmos em função de , , i j k e ' , ' , 'i j k basta

expressarmos gi e gj em função de i, j, k e i', j', k'.

Para expressarmos os gi em função de ' , ' 'i j k e , bastará invertermos o sistema (19)

onde ' ' , ' ' ' ' .l i m j n k e Encontraremos:

g i j k

g i j k

g i j k

1

2

3

0,071332 1 0,9593988

0,3101075 1 0,3706125

0,0207338 0,134882 2

' ,036587 ' '

' ,328984 ' '

' ' ,23189996 ' ,

(28).

Analogamente, invertendo o sistema (26) onde já tenhamos trocado l i por ,

escrevemos:

g i j k

g i j k

g i j k

1

2

3

0,122031 0,015146 2

0,854716 0,077449 2

0,132509 0,441315 1

,964006

,275088

,639945 ,

(29).

Assim, se ' , ' 'i j k e são os antecedentes e {, , }i j k os conseqüentes, a matriz

associada a será:

...639945,1...441315,0...132509,0

...275088,2...077449,0...854716,0

...964006,2...015146,0...122031,0

1313

111

322

...231900,2...370611,0...959398,0

...134882,0...328985,1...036588,1

...020734,0...310108,0...071332,0

016222,8100

00528226,20

00396847,0

...111765,80...243306,0...073040,0

...001278,0...132359,2....577040,0

....000002,00...396819,0

,

o que comprova (271), com certo erro devido a arredondamentos e propagações.

Deve ser observado que na forma normal de , os módulos dos coeficientes da

forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio

unitário - , são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2,

M2 e N2 do diádico .T (ou T.), correspondentes ao sistema direto dos auto-unitários ' , ' ' , , ),i j k i j k e (ou não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do diádico .

Podemos aclarar mais a questão por meio do exemplo numérico apresentado. A

equação característica de é

X 2X 41X 66 0,3 2

e suas raízes são

X X X 6,6648... .min med max

6 2498 1 585, ... , ...

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. 427


Os módulos dessas raízes (autovalores), entretanto, não são os valores extremados

assumidos pelos módulos dos vetores transformados mediante . Com efeito, para i , por

exemplo, tem-se:

. i )2547887,08378156,01232055,0()( 321i

j ggg.ggj

i

3

2

1

113

312

1312

]2547887,0 8378156,0 1232055,0[

g

g

g

..

'ˆL'6569866,09693988,01576761,1 321 ilggg

)6591984,14429656,29161712,2(396845,0 321 ggg ,

isso é,

39683,0|ˆ| i. .

Fica, pois, comprovado numericamente que os autovalores de não são os valores

dos semi-eixos do elipsóide em que ele transforma a superfície esférica de raio unitário.

Ou, ainda: o maior e o menor dos valores dos módulos de .r são os correspondentes a

r i r k e (que são os semi-eixos extremados do elipsóide).

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura.

Vimos no §07.01 (Teor. 2) que todo diádico completo pode ser reduzido à forma dita

normal,

L M N ' ' ' ,i i j j k k (01),

onde {i',j',k'} e {, , }i j k são dois tercetos ortonormados diretos e L,M e N números reais.

Vimos também que:

. i i j j k kT 2

L M N 2 2' ' ' ' ' ' , (02),

T 2

L M N . i i j j k k 2 2 , (021).

Os diádicos .T e T., distintos, são simétricos, de autovalores todos positivos

(iguais aos quadrados dos coeficientes da redução normal de ) e seus autovetores unitários

são, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes da redução normal de .

Estenderemos essas características dos diádicos .T e T. para diádicos em geral

com a seguinte

§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. 428


Definição: (diádico reto)

Denominam-se diádicos retos os diádicos da forma

A B C com A, B,C > 0, i i j j k k (03),

e {, , }i j k triedro ortonormado direto.

Os diádicos retos são, pois, tônicos com autovalores positivos.

Resultam logo os seguintes teoremas:

Teor. 1:

O produto pontuado de qualquer diádico completo pelo seu transposto é

diádico reto.

Teor. 2:

A CNS para que um diádico seja reto é que ele seja simétrico e tenha os

autovalores todos positivos.

Com efeito, se um diádico é reto (da forma (03)) ele é simétrico e seus autovalores

(A,B e C) são todos positivos. Reciprocamente, se um diádico é simétrico e tem todos os

seus autovalores positivos (logo ele é completo), ele pode ser reduzido à forma (03) em que

, i j k e são os seus auto-unitários (Teor. 11, §04.01,B).

Os diádicos retos são casos particulares dos tônicos (§04.01,B). A descrição das

TL’s por eles regidas é idêntica à dos tônicos (§05.01) com a particularidade de que, por

serem A,B,C > 0, as coordenadas homônimas (na base dos auto-unitários) dos vetores

transformando e transformado não podem ter sinais contrários (as componentes homônimas

não mudam de direção). Isto significa que essas coordenadas são distendidas (aumentadas)

se os autovalores correspondentes são maiores que um, ou contraídas (diminuídas) se os

autovalores correspondentes são menores que um, nas proporções A:1, B:1 e C:1. Assim,

se v i j k v i j k V V V V V V1 2 3 1 2 3 , ' ' ' ' ,

e

v . v i i j j k k . v' ( ) A B C ,

então

V'

V

A

1

V'

V

B

1 e

V'

V

C

11

1

2

2

3

3

, .

Diádico reto e deformação de um corpo.

Precisamente o fato de serem os autovalores do diádico reto, números todos

positivos, é que lhe atribui a possibilidade de representar concretamente o fenômeno físico

de deformação de um corpo. Com efeito, se um dos autovalores fosse negativo, um

paralelepípedo de volume positivo antes da transformação seria negativo após a

transformação; então, no problema físico que estivéssemos estudando, esse volume teria se

anulado necessariamente, para depois se tornar negativo. Conseqüentemente, estaríamos

aceitando a possibilidade de destruição da matéria (volume zero), o que é impossível.

§ 07.04 - Decomposição polar. 429


Essas considerações físicas sugerem a seguinte

Definição: (deformação pura)

A transformação regida pelo diádico reto é denominada deformação pura;

A,B e C são os valores principais da deformação e as direções de i , j ke , as

direções principais da deformação.

§ 07.04 - Decomposição polar.

Se é um diádico completo qualquer e

L M N ' ' ' ,l l m m n n

é a sua redução normal (§07.01), então podemos escrever (Teor. 2, §07.01):

(| | ' | | ' | | ' ),L M Ni i j j k k (01),

onde {' , ' , '}i j k e {, , }i j k são dois tercetos ortonormados diretos. De (01) podemos

escrever, qualquer que seja o completo :

(| |' ' | |' ' | | ' ' ) (' ' ' ),L M Ni i j j k k . i i j j k k (02),

ou

(' ' ' )i i j j k k . (| | | | | | ),L M N i i j j k k (021).

Ora, o diádico ' ' ' i i j j k k - o mesmo fator nos segundos membros de (02) e

(021) - é um diádico de rotação (Corol. 2, Teor. 7, §06.01) e representa, pois, uma rotação;

ele transforma um dos tercetos ortonormados no outro. Dizemos, ainda, que o terceto

{' , ' , '}i j k é rodado de {, , }i j k por e que {, , }i j k é rodado de {' , ' , '}i j k por T

1.

O vetor semi-tangente de - que determina a rotação ((13),§06.01) – é

)ˆˆˆˆˆˆ(1

ˆˆˆˆˆˆ

1E

V

k.kj.ji.i

kkjjiiq

, (03).

Os demais diádicos fatores nos segundos membros de (02) e (021) são diádicos retos

e representam uma deformação pura (§07.03). Em (02), as direções principais da

deformação são as de ' , ' 'i j k e , enquanto que em (021) essas direções são as de , i j k e ;

em ambas as deformações, os valores principais são os mesmos.

Se na redução (01) ocorrer o sinal negativo, o mesmo ocorrerá em (02) e (021); nesse

caso, então, as rotações e as deformações têm com elas associada uma inversão completa de

direções no espaço.

Esses resultados podem ser enunciados em formas alternativas diversas.

§ 07.04 - Decomposição polar: aplicação 430


Teor. 1:

Todo diádico completo é redutível ao produto de um diádico de rotação por

um diádico de deformação pura, em qualquer ordem, com um sinal positivo

ou negativo.

Denotando por ' e os diádicos retos em (02) e em (021), respectivamente,

escrevemos, então:

.. , (04).

Corol. 1:

O diádico é ortogonalmente similar a ' mediante T.

Com efeito, pré multiplicado escalarmente o segundo e o terceiro membro de (04)

por T, deduzimos:

, ' T .. (041),

o que, conforme ((17), §06.01), demonstra a proposição.

Teor. 2:

Todo diádico completo, , pode ser decomposto nos produtos (04), onde é

um diádico de rotação e e ' diádicos retos de autovalores iguais e

positivos e auto-unitários rodados por .

Definição: (decomposição polar ou multiplicativa)

A decomposição de em que aparece como pré-fator é denominada

decomposição direita de ; a outra, é denominada decomposição

esquerda; ambas as decomposições são denominadas decomposições

polares (ou multiplicativas) do diádico.

A decomposição polar de um diádico - de significativa utilidade em Física - pode

ser assim interpretada geometricamente:

A transformação regida pelo diádico completo, , reduzido à forma

normal

(| |'

| |'

| |'),L M Ni i j j k k

é equivalente à deformação pura regida pelo diádico reto

(| | | | | | ),L M N i i j j k k

precedida da rotação (rígida) regida pelo rotor

' ' ' i i j j k k ;

ou à rotação regida pelo rotor seguida da deformação pura regida

pelo diádico reto

' | |' ' | | ' ' | | ' ' , L M Ni i j j k k

ambas seguidas ou não de inversão de direções.

§ 07.04 - Decomposição polar: aplicação 431


Portanto, a transformação mais geral (dos pontos do espaço) regida por um diádico

consiste do produto de uma rotação de eixo e ângulo de rotação definidos (pelo vetor semi-

tangente (03)), acompanhada de uma deformação pura com inversão ou não de direções.

A rotação e a deformação podem ser operadas em qualquer ordem, nas quais,

entretanto, a rotação e os valores principais das deformações, se definirão conforme a

deformação pura seja precedida ou seguida da rotação. No primeiro caso, o sistema de

direções principais de deformação poderá ser obtido de outro através do diádico de rotação,

usado como pós-fator.

Exemplo numérico.

Efetuar a decomposição polar do diádico do exemplo numérico do §07.02.

Solução:

O diádico foi dado por sua matriz mista ((12), §07.02) nas bases recíprocas {g*} e

{g*} cujas matrizes métricas são ((13), §07.02). A redução normal encontrada para foi

dada por ((271), §07.02),

( ' ,0528226 ' ,016222 ' ),0,396847 2 81 i i j j k k (05).

Podemos escrever, então, de (05):

( ) ( , , , )i i j j k k . ii jj kk0 396847 2 0528226 81016222

ou

( , , , ) ( )0 396847 2 0528226 81016222i i j j k k . i i j j k k .

Conforme ((19), (191) e (20), §07.02):

' , , ,

' , , ,

' , , , ,

i l g g g

j m g g g

k n g g g

2 916171 2 442966 1 659195

0 699813 0 179098 0 271080

0 069383 0 011871 0 416253

1 2 3

1 2 3

1 2 3

' , , ,

' , , ,

' , , , ,

i l g g g

j m g g g

k n g g g

0 070980 0 310562 0 020684

1 036564 1 329090 0 134873

0 959400 0 370612 2 231900

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e, conforme ((25) e (26), §07.02):

, , ,

, , ,

, , , ,

i l g g g

j m g g g

k n g g g

0 123087 0 837816 0 254789

0 027629 0 161323 0 482570

2 997479 2 300779 1 658467

1 2 3

1 2 3

1 2 3

§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos 432


, , ,

, , ,

, , , .

i l g g g

j m g g g

k n g g g

1101219 1 297755 0 189954

1 071205 0 187555 2 196271

0 377245 0 054388 0 003403

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Agora, é fácil encontrar as expressões dos diádicos rotor e reto da decomposição polar nas

bases recíprocas {g*} e {g*}. Devemos observar que a decomposição polar foi efetuada

para -; portanto, após a rotação e a deformação executadas pelos fatores da decomposição

polar, dever-se-á efetuar uma inversão em relação à origem para completar a transformação

regida por .

A rotação, por exemplo, regida por i i j j k k , poderá ser caracterizada em

relação às bases recíprocas dadas, determinando o seu eixo (V ) e o seu ângulo de giro ();

para tal, deveremos utilizar as fórmulas (03), ou as (03), § 06.03.

*

Exercício :

Partindo de (04), comprove que

: cos ( ) cos ( )

| |T T E

, ,3

3

e que, para o exemplo numérico apresentado, ( , ) ( , ) ' " T T 89 18 36 .

*

§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos

Teor. 1:

Se é um diádico reto, então:

0 : .rr.or , (01).

De fato, considerando ((03),§07.04), escrevemos:

0)ˆC()ˆB()ˆA( 222 kr.jr.ir..rr. ,

uma vez que, no segundo membro, todas as parcelas são positivas.

Em geral, diádicos para os quais, para qualquer ro, r..r>0, são ditos diádicos

definidos positivos; é o caso dos diádicos retos.

Os diádicos para os quais, para qualquer r, r..r0, são ditos diádicos

semidefinidos positivos. Vale observar que, para r=o, é r..r=0, mas pode também ser

r..r=0 para algum ro; é o caso, por exemplo, dos diádicos retos gerados de um E2.

Se o oposto de um diádico é um diádico definido positivo (semidefinido positivo),

ele é dito definido negativo (semidefinido negativo).



Seja um diádico simétrico semidefinido positivo – logo, com autovalores (reais) Xi

(i=1,2,3) e autovetores ie unitários e ortogonais entre si (Teor. 11, §04.01,B) – que

podemos escrever, então, na forma tônica iii ˆˆX ee . Sendo: 0)ˆ(X.. , 2ii er.rrr ,

segue-se que X10, X20 e X30 sem que os Xs sejam simultaneamente nulos

Existe, pois, o diádico, denotado por 1/2

tal, que

iii2/1 ˆˆ X ee , (02),

evidentemente simétrico semidefinido positivo. O quadrado de 1/2

, isso é,

1/2.

1/2, é igual

a . O diádico 1/2

é único pois se existisse um segundo, digamos (1/2

) tal, que 2 = ,

então, sendo u um autovetor de relativo ao autovalor A0,

uu. ˆAˆ , ou u.uu. ˆˆAˆ 22 .

Assim, o autovetor u de relativo ao autovalor A é autovetor de relativo ao autovalor

A2. Portanto, cada autovalor de é a raiz quadrada positiva de um autovalor de ; e

=1/2

, isso é, 1/2

é único.

Dado o diádico iii ˆˆX ee , simétrico semidefinido positivo, o diádico 1/2

, dado por

(02), também simétrico semidefinido positivo, será dito a sua raiz quadrada positiva.

Se um diádico iii ˆˆX ee , simétrico semidefinido positivo é completo (nenhum dos

seus autovalores Xi é nulo), ele admite também uma raiz quadrada completa, dada por (02),

que admitirá inversa; em resumo:

i

i

2/1ii

2/1ii3

T ˆˆ X

1 e ˆˆ X ,ˆˆX 0 , eeeeee iii , (03).

Os diádicos .T e

T. são simétricos semidefinidos positivos; e se 30, são

simétricos definidos positivos.

*

Exercício: (adaptado de Chadwick124)

Seja dado um diádico =T (simétrico). Então, para qualquer diádico =

T

(simétrico), provar que existem, únicos, o escalar A e o diádico S=ST (simétrico) tais, que

=A+S, com :S=0 ( é ortogonal a S), (04).

Provar, ainda, que se 1=1T, 2=2

T e se é ortogonal a 1 ( : 1=0) para todo

ortogonal a 2 ( : 2=0), então 1 é paralelo a 2.

Solução:

Podemos reduzir à sua forma tônica: iii ˆˆX ee (em que os Xi não são

simultaneamente nulos). Logo: ii2

i2 ˆˆ )X( ee e, portanto, (

2)E=(X1)

2+(X2)

2+(X3)

2>0.

Sendo , (2)E=:=||||0; e reciprocamente.

124 Chadwick, P., Continuum Mechanics (concise Theory and Problems), Dover, New York, 1999, p. 27)



Então, para qualquer ψ=ψT, o número A=(:)/(

2)E está univocamente

determinado, bem como o diádico simétrico S=-A. Da primeira igualdade, porém,

deduzimos:

:=A(:), ou seja, :(-A)=0,

ou seja, considerando a segunda igualdade: :S=0 ( é ortogonal a S). Esses resultados

comprovam (04).

Se em (04) fizermos =1=1T e =2=2

T, escreveremos: 1=A2+S, com 2:S=0.

Como por hipótese 1:=0 para todo ortogonal a 2, isto é, 2:=0, então (para =S) é

1:S=0. Isto significa (considerando que 1=A2+S) que S:S=0=||S||, ou seja S= e, pois,

que 1=A2 (1 é paralelo a 2).

Apêndice 435


APÊNDICE

QUADRO I

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS

Forma cartesiana Equação e det. característicos E

= A+B+C = 11+2

2+3

3

j

i

i

je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0

E~ = AB+BC+CA = 1

1+2

2+3

3

[] =

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

1

2

3

= 0 3 =

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores

A real, B = M+Ni, C = M-Ni (cíclicos)

A=0, 3=0, M=0 A=0,

3=0, M0 A0,

30

Diádico

Característico

-A planar (não ortoplanar)

-B e -C não existem no campo real.

Polinômio

Mínimo X(X2+N2) X[X2-2MX+(M2+N2)] (X-A)[X2-MX+(M2+N2)]

Redução

Canônica

=N(cb*-bc*)

A=N( kj jk )=N i

[]abc=0 0 0

0 0

0 0

N

N

=+M(bb*+cc*)+

+(cb*-bc*)

[]abc=0 0 0

0

0

M N

N M

=aa*+M(bb*+cc*)+

+N(cb*-bc*)

[]abc=A

N

0 0

0

0

M

N M

Autovetores

de Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de -A,

a por exemplo

Autovetores

de T Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de T-A,

a* por exemplo

Configuração

Esquemática

Apêndice 436


QUADRO II



= A+B+C = 11+2

2+3

3

j

i

i

je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0

E~ = AB+BC+CA = 1

1+2

2+3

3

[] =

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

1

2

3

= 0 3 =

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores ABC (tônicos)

e T = T T

Diádico Característico

Uniplanares, distintos, triortogonais. Planares (não ortoplanares, nem uni-

planares), distintos.

Polinômio

Mínimo (X-A)(X-B)(X-C)

Redução

Canônica

A B C ii jj kk

({ , , }i j k terceto ortonormado)

[]ijk = A

B

0 C

0 0

0 0

0

A B Caa bb cc

{a,b,c} e {a*,b*,c*} recíprocos

[]abc = A

B

0 C

0 0

0 0

0

Autovetores

de

{ , , }i j k

{a,b,c}

Autovetores

de T {a*,b*,c*}

Configuração

Esquemática

Apêndice 437


QUADRO III



= A+B+C = 11+2

2+3

3

j

i

i

je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0

E~ = AB+BC+CA = 1

1+2

2+3

3

[] =

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

1

2

3

= 0 3 =

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores AB = C

e T T = T


-A planar

-B ortoplanar -A planar -B linear

-A uniplanar

-B unilinear

Polinômio

Mínimo (X-A)(X-B)2 (X-A)(X-B)

Redução

Canônica

=Aaa*+B(bb*+cc*)+

+Bcb* (cisotônicos)

[]abc=A

B

B B

0 0

0 0

0

=Aaa*+B(bb*+cc*)

[]abc=A

BB

0 00 00 0

-A=(B-A)(bb*+cc*)

= A + B( + ) ii jj kk

[]ijk=A

B

B

0 0

0 0

0 0

- B = (A - B) ii

Autovetores

de

a plano dos conseqüentes

de -A, e c plano dos con

seqüentes de -B.

a plano dos conseqüentes.

de -A e b e c arbitrários. i plano de -A, j

e k arbitrários, mas j

k . Autovetores

de T

a* plano dos antecedentes

de -A, e b* plano

antecedentes de -B.

a* plano dos antecedentes

de -A e b* e c*

arbitrários.

Configuração

Esquemática

Apêndice 438


QUADRO IV



= A+B+C = 11+2

2+3

3

j

i

i

je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0

E~ = AB+BC+CA = 1

1+2

2+3

3

[] =

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

11

2 1

3

1 22

32

1 23

33

X

X

X

1

2

3

= 0 3 =

1 2 1

3 1

12

22

32

13

2 3

1

3 3

= ABC

Autovalores A = B = C

e T T = T


Antitriangular

A = B = C = 0

Ortolinear

A = B = C0

Diádico Nulo ( )

A = B = C0

Polinômio

Mínimo X3 (X-A)2 X-A

Redução

Canônica

= ab*+bc*

(+I é cisalh. complexo)

[]abc = 0 1 0

0 0 1

0 0 0

= A+bc* (bc*)

(cisalhante para A=1)

[]abc = A

A

A

0 0

0 1

0 0

= A

(diádico esférico)

[]abc = A

AA

0 00 00 0

Autovetores

de

Qualquer vetor ortogo-

nal ao plano dos conse-

qüentes de (ou || a a )

Qualquer vetor ortogonal a

c* (b por exemplo., ou o

vetor de ).

. .V V

T

VA Qualquer direção

do

espaço

Autovetores

de T

Qualquer vetor ortogonal

ao plano dos antecedentes

de (ou || a a*)

Qualquer vetor ortogonal a b

(c* por exemplo, ou o vetor

de ).

. .V V

T

VA

Configuração

Esquemática

Qualquer triedro triortogonal

do espaço

Apêndice 439


QUADRO V

DESCRIÇÃO DAS TLs PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS

D

I

A

G

O

N

A

L

I

Z

A

V

E

I

S

Diádicos Tônicos: A B Caa bb cc (§ 04.01,B)

- Seus autovalores A,B e C são todos reais e {a,b,c} é recíproco de {a*,b*,c*}.

- Sua matriz, na base {a, b, c}, é diagonal, e os elementos da diagonal principal são os seus autovalores.

- Efeitos da ação de um tônico (§ 05.01):

- As direções paralelas aos seus autovetores ficam inalteradas;

- As coordenadas dos vetores segundo os autovetores são distendidas ou contraídas ma proporções

A:1, B:1, C:1.

- Se o tônico é completo: a superfície esférica se transforma num elipsóide, a circunferência se

transforma em elipse; se incompleto: a superfície esférica se transforma numa área elíptica, a

circunferência numa elipse.

- Todo tônico, com autovalores todos positivos, é similar a um diádico reto; este rege uma deformação

pura (§ 07.02 e (§ 07.03).

N

Ã

O

D

I

A

G

O

N

A

L

I

Z

A

V

E

I

S

Diádico Ciclotônico: A M Naa bb cc cb bc( ) ( ) (§ 05.02,A).

- Seus autovalores são: A real, M+Ni, M-Ni com M = cos , N = sen .

- Fatoração comutativa (§ 05.02,A):

[ ( )][ cos ( ) sen ( )Aaa bb cc aa bb cc cb bc

- Cíclico:

[ cos ( ) sen ( )aa bb cc cb bc

- Rege rotação elíptica no seu plano (b,c).

- Efeitos: 1°) - roda elipticamente a componente de qualquer vetor no seu plano (o da elipse cujos

semi-diâmetros conjugados são |b| e |c|), levando sua extremidade do ponto de argumento (da

elipse) para o ponto de argumento + (da mesma elipse), logo, alterando-lhe o módulo; 2) –

apenas translada a componente do vetor na direção a, paralelamente a a.

- Todo cíclico é similar a um diádico de rotação; este rege uma rotação (circular) de ângulo em torno

de um eixo (§ 06).

Diádico Cisotônico: A B( Baa bb cc cb) (§ 05.02,B).

- Seus autovalores, reais, são: AB = C.

- Fatoração comutativa: [ )] ( )A B(aa bb cc . cb (§ 05.02,B).

- Diádico cisalhante: ,ˆˆ Q jkcb Q tg > 0.

- Rege uma transformação do tipo cisalhamento mecânico, Fig.05.03, § 05.02,B.

- Efeitos: 1) - os vetores paralelos ao plano de cisalhamento ficam inalterados; 2) - desloca qualquer

ponto paralelamente à direção de cisalhamento; 3) - todos os pontos de um mesmo plano paralelo

ao plano do cisalhamento se deslocam da mesma quantidade; 4) - em relação a um plano de

referência paralelo ao plano do cisalhamento, os deslocamentos são proporcionais às distâncias dos

pontos a esse plano. 5) - planos inicialmente ortogonais à direção de cisalhamento tornam-se

inclinados, em relação ao plano de cisalhamento, do complemento do ângulo de cisalhamento, isso

é, de /2-.

- Propriedades principais: 1ª) - Conserva os volumes; 2ª) - Conserva as áreas nos planos ortogonais

à direção de do vetor do diádico; 3ª) - Conserva as distâncias em qualquer direção paralela ao plano

de cisalhamento.

Diádico Cisalhante Complexo: + , sendo

.1 e , , , com ,

b.bcbcabababcab (§ 04.03).

- Fatoração não comutativa de +: ( ) ( )bc . ab (§ 05.02).

(Produto de dois cisalhantes de direções de cisalhamento ortogonais).


440

BIBLIOGRAFIA.

O trabalho pioneiro sobre o assunto, dentro do estilo, é o de Gibbs [1], que foi seguido por

vários autores, inclusive Moreira [2] a quem coube o mérito do uso freqüente dos vetores

recíprocos e a introdução do conceito de “diádico principal” de um diádico completo dado.

1- 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New

Haven, Connecticut, USA, 436 p..

2- 1966: MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata,

vol. XXV n 2 e 3, 39 p., Ouro Preto


ÍNDICE REMISSIVO

A

Adjunto de um diádico adjunto do adjunto .........................................177

definição .......................................................169

em forma cartesiana ......................................204 invariantes .....................................................174

inverso e principal do adjunto .......................177 significado geométrico ..................................179

Ângulo

de cisalhamento .............................................371 de diádico(s) ..................................................160

anti-simétricos ..........................................167

com o diádico unidade..............................167 com o seu transposto ................................166

de dois espaços diádicos ................................261

de rotação ......................................................365 Argumento de um cíclico ...................................363

Auto-similaridade

de diádicos (tensores cartesianos) .................317 de matrizes ....................................................316

dos ciclotônicos .............................................367

Autovalores de um diádico definição .......................................................328

imaginários....................................................339

reais ....................................................... 345, 347 Autovetores de um diádico

definição .......................................................333

triortogonais ..................................................348

B Base(s)

diádica(s)

constituição de bases ................................235 definição...................................................228

norma, módulo .........................................229 ortonormadas............................................242

recíprocas .................................................230

recíprocas .................................................233

unimodulares ............................................242

matrizes métricas de uma base ......................188

no espaço diádico anti-simétrico ...................240 no espaço diádico simétrico ..........................238

vetoria(is)

normogonadas (ou congruentes ................385 vetorial(is)

ortonormadas............................................. 63

recíprocas .................................................. 48 Biflechas ............................................................243

Biquadrantais .....................................................388

C Cíclicos quadrantais e biquadrantais ..................388 Cisalhamento

complexo .......................................................374

simples ..........................................................370

direção, plano, módulo e ângulo do

cisalhamento ....................................... 371 CNS para que .......................................................XI

dois diádicos

anti-sim. sejam ortogonais ....................... 168 sejam iguais ............................................... 81

sejam similares ................................. 308, 309 dois vetores

sejam paralelos ..................................... 15, 54

duas bases sejam congruentes ....................... 385

G diádicos (G 9) formem uma base ........... 229

G diádicos de um 2EG constituam uma base . 267

o autovetor de um fator de um produto de biquadr. seja ortogonal ao eixo do outro fator

................................................................. 394

o escalar de um produto de biquadr. valha - 1 ................................................................. 393

o produto de dois biquadr. seja cíclico ou tônico

................................................................. 392 o terceiro de um diádico seja ≠ de zero ........... 85

seja nulo o produto misto

de 3 vetores ................................................ 19 de dois diádicos ........................................ 148

três vetores sejam coplanares .................... 19, 30

um diádico seja anti-simétrico ................................... 129, 205

antitriangular ............................................ 335

ciclotônico ............................................... 368 completo .................................... 94, 194, 330

de rotação ......................................... 381, 386

incompleto ....................................... 170, 172 o diádico nulo .......................................... 150

ortolinear .................................................. 336

ortoplanar ................................................. 334 perpendicular ao seu transposto ............... 167

reto ........................................................... 437

simétrico .................................. 107, 161, 205

tônico ....................................................... 347

um biquadrantal ....................................... 390

um diádico de Argand .............................. 344 um diádico tenha

apenas uma raiz real ................................. 343

escalar nulo .............................................. 151 um diádico transforme qualquer vetor no vetor

nulo ............................................................ 88

um duplo produto de diádicos seja nulo ........ 142 um duplo produto misto de diádicos seja nulo

................................................................. 160

valha 3 o escalar do produto de dois biquadr. cujos autovet ou cujos eixos sejam (não)

paralelos .............................................. 397

Conteúdo ........................................................... 294 Convenção somatória ........................................... 11


D

Deltas de Kronecker

definição ........................................................ 50 produtos ......................................................... 51

Díade ................................................................... 73

Diádico(s) ..........................................................295 adição ............................................................101

em forma cartesiana .................................195

adjunto ..........................................................169 antecedentes, conseqüentes ............................ 74

anti-simétrico ................................................103

antitriangulares caracterização ...........................................211

definição...................................................212 auto-similares ................................................317

bases diádicas ................................................227

biquadrantais .................................................388 cálculo dos inv. em forma cartesiana .............192

caract. geométrica em forma cartesiana.........204

característico(s) antitriangular ............................................447

antitriangular ou ortolinear .......................355

definição...................................................331 nulo(s) .............................................. 357, 447

ortolinear(es) .................................... 356, 447

ortoplanar ou linear ..................................351 planar(es) ......................................... 444, 445

um planar e um linear ....................... 352, 446

um planar e um ortoplanar................ 352, 446 um uniplanar e um unilinear ............. 354, 446

uniplanar(es) ............................................445

característico(s) uniplanares) .........................350 cíclico(s) .......................................................360

caracterização ...........................................382

definição...................................................363 propriedades geométricas .........................376

quadrantais e biquadrantais ......................388

ciclotônico(s) definição...................................................366

cisalhante ......................................................371

cisalhante complexo ......................................374 cisotônico(s) ..................................................371

classificação geral .........................................374

com autovalores nulos ...................................334

como operador de uma T.L ............................ 76

completos e incompletos

definição.................................................... 91 redução mínima ......................................... 92

comutante (de um par de cisahantes ..............374

coordenadas cartesianas covariantes e contravartiantes...................185

em base diádica ........................................231

mistas .......................................................186 relações entre elas ....................................191

critério de igualdade ......................................111

de Argand ......................................................130 de Moreira ............................................... 98, 182

ortoquadrângulos ......................................100

de mudança de base .......................................305 de Pauly ........................................................144

de rotação

caracterização .......................................... 383

propriedades geométricas ................. 376, 384 decomposição aditiva .................................... 104

decomposição cartesiana

de diádico em base diádica ....................... 231 definições e notações ...................................... 73

diagonalização .............................................. 346

diagonalizáveis ............................................. 357 na classif. geral ........................................ 375

dupla multiplicação cruzada .......................... 142

dupla multiplicação mista de três diádicos .... 158 duplo produto cruzado

invariantes elementares do ....................... 155 elementos característicos............................... 321

autovalores e autovetores ......................... 328

diádicos característicos ............................ 330 equação característica .............................. 328

polinômio característico ........................... 325

polinômio CH (Cayley-Hamilton).... 325, 326 polinômio mínimo ............................ 321, 324

espaço ........................................................... 222

fórmulas notáveis com duplos produtos ................................ 150

com produtos simples .............................. 126

homológicos .................................................... 95 igualdade ......................................................... 78

invariantes primários

escalar e vetor ............................................ 82 terceiro

definição ............................................... 83

interpretação geométrica ....................... 85 inverso ou recíproco de um completo ........... 169

lineares

caraterização ............................................ 206 definição .................................................... 92

linearmente dependentes e independentes ..... 227

matriz associada ............................................ 186 tábua de multiplicação ............................. 192

módulo e ângulo ........................................... 163

motivo ............................................................. 80 multiplicação

dupla

mais de dois diádicos .......................... 157

em forma cartesiana ................................. 195

simples

cruzada diádico por vetor .................... 123 pontuada

de diádicos ..................................... 109

diádico por vetor .............................. 75 por número real ..................................... 74

multiplicação dupla

pontuada, cruzada e mista ........................ 137 multiplicação múltipla

com diádicos ............................................ 251

cruzada ..................................................... 251 identidades notáveis ............................ 256

perpendicularidade .............................. 260

dupla multiplicação cruzada ..................... 261 mista de G diádicos .................................. 267


produto misto em forma cartesiana ..........274

não diagonalizáveis .......................................359

na classif. geral .........................................375 norma ............................................................160

normogonalmente (ou congruentemente)

similares ...................................................386 nulidade de duplos produtos ..........................142

ortogonais......................................................147

ortolineares caracterização ...........................................207

definição.................................................... 94

ortoplanares caracterização ...........................................210

definição.................................................... 93 paralelos ........................................................148

planares

caracterização ...........................................208 definição.................................................... 92

posicional ......................................................232

potenciação ordinária ....................................112 principal de um diádico completo .................171

produto

nulo de diádicos não nulos .......................119 pontuado de completos e incompletos ......115

quadrado e cubo de um ortoplanar ................119

quadrantais e biquadrantais interpretação geométrica ..........................389

produto .....................................................391

redução N2-nomial ou cartesiana ...........................185

N-nomial e motivo .................................... 79

redução(ões) tônica ou espectral ....................................345

redução(ões)diagonal(is) ...............................346

reduções canônicas ........................................339 representações e coordenadas ......................... 80

rodados ..........................................................386

segundo de um diádico ..................................170 simetria externa .............................................318

simetria interna..............................................318

simetrias externas em relação a planos ..................................318

simétrico .......................................................103

similares ........................................................307

subespaços multiplanares ..............................222

terceiro e transposto de um produto ..............113

término colinear ............................................. 97 tônico ou diagonal .........................................346

transposição ................................................... 77

unidade, nulo e oposto.................................... 87 unilineares e uniplanares

caracterização ...........................................209

definição.................................................... 93 unitário ..........................................................243

E Eixo de rotação .................................. 363, 365, 387 Equação(ões)

da reta ............................................................ 32

no plano..................................................... 32 de espaços .....................................................287

de retas e de planos ......................................... 59

de um plano .................................................... 44

vetoriais homogêneas, resolução ................... 214 Espaço

diádico .......................................................... 221

ângulo de dois espaços ............................. 261 anti-simétrico ........................................... 240

baricentros ............................................... 284

bimedianas e medianas............................. 285 conteúdo (definição) ................................ 294

dimensão .................................................. 228

fronteiras de um paralelotopo ................... 251 geometria analítica do .............................. 283

graus de liberdade .................................... 245 idéias geométricas .................................... 243

oblíquos ................................................... 249

opostos no simplex ................................... 283 ordem (ou seqüência) ............................... 247

ortotopos .................................................. 261

paralelismo ............................................... 248 paralelotopo ............................................. 250

perpendicularidade ................................... 260

politopo (definição) .................................. 294 politopos regulares ................................... 294

ponto unidade........................................... 293

pontos impróprios .................................... 248 pontos linearmente independentes............ 244

projeções .................................................. 280

espaço de projeção .............................. 281 espaço projetante ................................. 281

projeção ortogonal .............................. 283

projeção paralela ................................. 281 racionalmente paralelos............................ 249

razão anarmônica de 4 pontos .................. 293

simétrico .................................................. 238 simplex, ou (G+1)-ponto .......................... 247

soma ......................................................... 245

teorema de Euler para politopos ............... 294 união e interseção de espaços ................... 244

vetorial

dimensão,base,coordenadas ....................... 46 Expressões cartesianas

de diádicos em bases diádicas ....................... 231

de produtos de vetores .................................... 53

de sistemas de vetores recíprocos.................... 56

F Forma

monomial, binomial, polinomial ..................... 74

tônica ou diagonal ......................................... 346

Forma bilinear.................................................... 199 Função

de valor escalar ou valor vetor ........................ 71

de variável vetorial.......................................... 70 linear ............................................................... 71

G Geometria Projetiva Algébrica ........................... 293

Gibbs ............................................... 4, 69, 295, 449 Grupo ortocêntrico

no espaço ........................................................ 43


H Homologia

relações entre adjuntos, segundos, etc. ..........181

I Identidade(s)

clássicas(generalização) ................................. 65

das 4N letras ................................................... 63 das 8N letras ................................................... 66

de Fibonacci ................................................... 64

de Lagrange .................................................... 64 Incompleto

caracterização pelo ajunto .............................172

definição ........................................................ 91 Invariante ............................................................ 49

Inverso de um diádico completo definição .......................................................169

invariantes .....................................................174

inverso do inverso .........................................177

M Matriz

adjunta...........................................................204

associada a G diádicos ..................................224 associada a um diádico ..................................186

auto-similares ................................................316

coluna associada a diádico ............................237 de mudança de base

vetorial .....................................................311

dupla multiplicação pontuada matricial .........219 inversa ...........................................................204

métrica

de bases diádicas recíprocas .....................234 de G diádicos............................................224

polinômio matricial inteiro ............................322

Moreira ................................................ 69, 295, 449 Mudança de base

diádica ...........................................................305

vetorial ........................................................... 60 transf. de coordenadas

de diádicos ..........................................315 de vetor ...............................................314

N Norma

de um diádico ................................................160

de um diádico anti-simétrico .........................164

de um duplo produto

cruzado de diádicos simétricos .................166 pontuado de simétricos e anti-simétricos ..165

de um produto

pontuado de diádicos ................................165 de uma soma de diádicos ...............................164

do diádico unidade ........................................162

do transposto .................................................164 Notação

convenção somatória ...................................... 10

de índices de Voigt.................................... 238, 239, 242

moderna ...................................................238

P Paralelotopo .......................................................250

fronteiras R-dim ............................................ 251

volume do ..................................................... 267

Permutador a vários índices ............................................. 276

determinante de Gram .............................. 277

produtos ................................................... 278 até 3 índices .................................................... 50

determinante de Gram ................................ 52

produtos ..................................................... 52 Polinômios homogêneos (ou formas) ................. 197

Politopos ............................................................ 294

Ponto unidade .................................................... 293 Principal de um diádico completo

definição ....................................................... 171 invariantes ..................................................... 174

Produto(s)

justapostos ...................................................... 73

Q Quadrângulo(s)

ortoquadrângulo ............................................ 100

transpostos .................................................... 100 Quadrantais ........................................................ 388

Quádrica centrada .............................................. 200

R Razão anarmônica .......................................... 24, 45

Redução(ões) canônica(s) dos diádicos ...... 339, 357

com autovalor duplo ..................................... 351 com autovalor triplo ...................................... 354

com autovalores simples ............................... 339

Reduções canônicas dos diádicos....................... 375 Reflexão obliqua ................................................ 389

Rotação

circular .......................................................... 364 composição ................................................... 388

com cíclicos de eixos e autovetores distintos

............................................................ 388 elíptica .......................................................... 360

definição .................................................. 363

própria e imprópria ....................................... 387 Rotor (ver diádico de rotação) ........................... 364

S Segundo de um diádico

definição ....................................................... 170

invariantes ..................................................... 174

Semidiâmetros conjugados (de uma elípse)27, 361, 363, 365, 376, 448

Sielawa .............................................................. 295

Simetria externa dos diádicos ............................ 318 Simetria interna dos diádicos ............................. 318

Similaridade

transformação(ões) por ................................. 306 Sistemas convenientes de representação ............ 320

T Tensores

cartesianos de ordem 1 ............................................... 314

de ordem 2 ............................................... 317

Tensorialismo ...................................................... 67 Terceiro ............................................................... 83


Terno(s) de vetores

normogonais ou congruentes .........................384

ortonormados ................................................384 Transformação(ões)

congruente(s) ou normogonal(is) ..................384

linear(es) ................................................. 72, 297 da circunferência ......................................304

das distâncias, das áreas e dos volumes ....300

do quadrado ..............................................303 propriedades .............................................298

por similaridade ............................................306

similar(es) definição...................................................307

propriedades .............................................308

V Versor (diádico de rotação, conforme Gibbs) .....364

Vetor(es)

adição ............................................................... 6 combinação linear .......................................... 10

conceitos geométricos estendidos ..................... 3

coordenadas cartesianas ................................. 48 contravariantes .......................................... 48

covariantes ................................................ 48

coplanares ........................................................ 3 de base ........................................................... 48

definição, notação ............................................ 1

especificações euclidiana e cartesiana ...........297

identidade de Lagrange ............................. 17, 37

igualdade ........................................................... 3

linearmente dependentes e independentes ....... 47 multiplicação .................................................... 8

dupla multiplicação vetorial

de vetores coplanares ............................ 27 no espaço .............................................. 37

escalar de dois vetores ............................... 11

mista de três vetores ................................... 18 por número real ............................................ 8

vetorial de dois vetores .............................. 14

nulo (ou zero) .................................................... 3 opostos .............................................................. 3

paralelos ............................................................ 3 recíprocos ....................................................... 21

coplanares .................................................. 25

na reta ........................................................ 22 não coplanares ........................................... 34

rodados ......................................................... 386

semitangente de rotação ................................ 383 término colineares ........................................... 31

término coplanares .......................................... 43

unitário .............................................................. 3

W Weatherburn ................................................ 69, 295

Wilson ................................................. 69, 295, 449

Lições de Cálculo Poliádico Tomo I Volume I

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