Liliana Orizel Martínez Martínez
Transcript of Liliana Orizel Martínez Martínez
Tesis defendida por
Liliana Orizel Martínez Martínez
y aprobada por el siguiente Comité
Dr. Serguei Stepanov Director del Comité
Dr. Eliseo Hernández Hernández Dr. Eugenio Rafael Méndez Méndez
Miembro del Comité Miembro del Comité
Dra. Diana Tentori SantaCruz Dr. Evgeny Kuzin
Miembro del Comité Miembro del Comité
D. Pedro Negrete Reganon Dr. Jesús Favela Vara
Coordinador del Posgrado en Óptica
Director de la Dirección de Estudios de Posgrado
Mayo, 2014
CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR
DE ENSENADA, BAJA CALIFORNIA
Programa de Posgrado en Ciencias
en Óptica
Influencia de la migración espacial del estado excitado en la formación de las
rejillas de población en fibras ópticas dopadas con tierras raras
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
Doctor en Ciencias Presenta:
Liliana Orizel Martínez Martínez
Ensenada, Baja California, México 2014
i
Resumen de la tesis de Liliana Orizel Martínez Martínez presentada como requisito parcial para la obtención del grado de Doctor en Ciencias en ópticas con orientación en Óptica Física.
Resumen en español Influencia de la migración espacial del estado excitado en la formación de las
rejillas de población en fibras ópticas dopadas con tierras raras
Resumen aprobado por:
___________________________
Dr. Serguei Stepanov
En este trabajo, se analiza la influencia que tiene la migración del estado de excitación sobre la formación de las rejillas dinámicas de población en fibras de sílice dopadas con tierras raras, en particular en fibras dopadas con erbio (FDE). Se presentan los resultados experimentales del mezclado de dos ondas (MDO) transitorio producido por las rejillas dinámicas generadas en fibras ópticas con concentración de dopante de erbio en el rango de (640 – 5600) ppm; para la generación de las rejillas dinámicas se han empleado tres fuentes de luz con longitudes de onda de 1492, 1526, y 1568 nm, las cuales se encuentran dentro del espectro de absorción de los iones de erbio. Además, se presentan los resultados experimentales sobre la polarización de la fluorescencia en las mismas FDE excitadas por luz linealmente polarizada de las longitudes de onda antes mencionadas. Para explicar esta los datos de fluorescencia obtenidos se realizó un análisis teórico usando los modelos de dipolos independientes con orientación aleatoria y de anisotropía reducida, este último modelo se utilizó previamente para explicar datos experimentales del efecto polarization hole burning (PHB). También se presenta una simulación numérica sobre la migración espacial de los estados excitados en una red aleatoria con la interacción dipolo-dipolo de Förster, para ello se ha empleado el método de Monte Carlo. El conjunto de los resultados obtenidos indica que si hay migración espacial debido a tres factores: la acelerada relajación de las rejillas dinámicas, la reducción de las amplitudes de las rejillas dinámicas, y la polarización de la fluorescencia reducida de fluorescencia que ocurre en las fibras con alta concentración de erbio. Para una comparación cuantitativa probablemente sea necesario hacer una modificación del modelo de la red aleatoria introduciendo los clústeres de los iones de erbio.
Palabras clave: Fibras dopadas con Erbio, Fluorescencia y luminiscencia de materiales, rejillas de población, Monte Carlo.
ii
Abstract of the thesis presented by Liliana Orizel Martínez Martínez as a partial requirement to obtain the Doctor in Science degree in Optics with orientation in physical optics
Resumen en ingles
Influence of a spatial migration of the excited states on formation of the population gratings in the rare-earth doped fibers.
Abstract approved by:
__________________________
Dr. Serguei Stepanov
In this work, influence of the excited state migration on formation of the population dynamic gratings in rare-earth doped fibers (and, in particular, in those doped with erbium) is analyzed. The experimental results on the transient two-wave mixing via dynamic gratings in fibers with erbium concentration (640-5600)ppm are presented; for their recording three different coherent light sources with wavelength 1492, 1526 and 1568nm from the absorption spectrum of the erbium ions were utilized. Also, the experimental results on polarization of the fluorescence from the same fibers excited by linearly polarized light of the above-mentioned wavelengths are presented. For explication of significant depolarization of the fluorescence, the model of the independent, randomly orientated dipoles with reduced anisotropy, utilized earlier for interpretation of polarization hole burning (PHB) effect, was used. The numerical simulation of the excited states spatial migration in a random lattice with Förster dipole-dipole type interaction was performed using Monte Carlo method. The set of the obtained results indicates that the spatial migration demonstrates itself in accelerated relaxation of the dynamic gratings, reduction of their amplitudes, and in additional depolarization of the fluorescence in fibers with high erbium concentration. For the quantitative comparison with the experimental results, some modifications of the model of the random lattice (probably, introducing the ion cluster formation) are needed.
Keywords: Erbium doped fibers, Fluorescence and luminiscence materials, population gratings, Monte Carlo.
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Dedicatorias
A mi madre, un ejemplo de vida.
A mi padre, el hombre eternamente interesado en mí.
A mi esposo, el ser especial que me acompaña en la vida.
A mis hermanos, mis cómplices.
A mis sobrinos, la alegría de la familia.
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Agradecimientos
Muchas personas participaron directa e indirectamente en la realización de este trabajo así
como en la formación de su servidor, Gracias a todas ellas.
Al Dr. Serguei Stepanov por creer en mí y haberme permitido se parte de su equipo, y por su
valiosa guía.
Al Dr. Eliseo Hernández por su asesoría y paciencia en el laboratorio.
A los demás miembros de comité de tesis: Dra. Tentori, Dr. Mendez y Dr. Kuzin por sus
valiosos comentarios y sugerencias durante el desarrollo de este trabajo.
Al Dr. Joseph Haus por la colaboración brindada durante la estancia de investigación.
A mis padres por educarme con el ejemplo, por su cariño y buenos consejos; son y serán
siempre mi fuente de inspiración
A mi esposo por su amor y apoyo incondicional, por estar conmigo en los buenos y malos
momentos y por creer en mi.
A mis hermanos: Kalina, Sinuhe y Mayté por la fe que siempre tienen en mi y darme esos
sobrinos que con una de sus risas y “gritos” me dieron energía para llegar a esta meta.
A mis “hermanos”: Anna, Héctor y Manuel por compartir este camino, con todas sus
aventuras y experiencias.
A los demás miembros de mi familia y amigos por acompañarme en esta etapa de mi vida
Al Centro de Investigación Científica y Educación Superior de Ensenada (CICESE), por
aceptarme en el programa de posgrado de óptica.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por brindarme el financiamiento.
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Contenido
Resumen en español ................................................................................................ i
Resumen en ingles .................................................................................................. ii
Dedicatorias ............................................................................................................ iii
Agradecimientos ..................................................................................................... iv
Lista de Figuras ...................................................................................................... vii
Lista de Tablas ....................................................................................................... xv
Capítulo 1 Introducción ........................................................................................... 1
1.1 Fibras dopadas con tierras raras en la óptica moderna ................................. 1
1.2 Efectos de alto dopaje en las fibras ópticas ................................................... 4
1.3 Polarización de la fluorescencia..................................................................... 6
1.4 Rejillas dinámicas de población en fibras y el efecto de la reducción de su amplitud ............................................................................................................... 8
1.5 Objetivos y metas del trabajo ....................................................................... 11
1.6 Estructura de la tesis ................................................................................... 12
Capítulo 2 Conceptos básicos ............................................................................... 14
2.1 Espectroscopía óptica del Er3+ en sílice ...................................................... 14
2. 2 Interacción de luz con un material saturable de dos niveles ....................... 21
2.3 Rejillas dinámicas de población en fibras saturables ................................... 25
2.4 Migración del estado de excitación .............................................................. 32
2.4.1 Migración de excitación y rejillas dinámicas en materiales de volumen 34
2.4.2 Migración de excitación y polarización de la fluorescencia .................... 36
2.5 Polarization hole burning ............................................................................. 39
Capítulo 3 Equipo, material y muestras experimentales utilizadas ....................... 43
3.1 El equipo óptico, optoelectrónico y electrónico más importante .................. 43
3.2 Elementos de fibra óptica ............................................................................ 45
3.3 Fibras dopadas con erbio ............................................................................ 48
3.3.1 Datos generales .................................................................................... 48
3.3.2 Preparación de las muestras utilizadas, conectorización ...................... 49
3.3.3 Caracterización ...................................................................................... 49
vi
Capítulo 4 Polarización de la fluorescencia .......................................................... 58
4.1 Configuración experimental y técnicas de medición .................................... 58
4.2 Resultados experimentales .......................................................................... 63
4.3 Modelo de dipolos independientes con orientación aleatoria ....................... 68
4.4 Modelo de centros con anisotropía reducida ............................................... 74
4.5 Conclusiones parciales ................................................................................ 79
Capítulo 5 Análisis teórico de la migración del estado excitado en FDE ............... 80
5.1 Formación aleatoria de cadenas de iones ................................................... 80
5.2 Simulación de Monte Carlo para una red aleatoria ...................................... 83
5.2.1 Consideraciones generales ................................................................... 83
5.2.2 Algoritmo de cálculo .............................................................................. 85
5.2.3 Simulación de migración en una red regular ......................................... 87
5.2.4 Simulación de migración para una red aleatoria .................................... 90
5.3 Conclusiones parciales ................................................................................ 93
Capítulo 6 Rejillas dinámicas en FDE ................................................................... 95
6.1 Experimentos con las rejillas ....................................................................... 95
6.1.1 Pruebas de formación de las rejillas con un haz transversal ................. 95
6.1.2 MDO con dos ondas contrapropagándose .......................................... 101
6.2 Discusión del conjunto de datos ................................................................ 106
6.2.1 Las propuestas anteriores ................................................................... 107
6.2.2 Influencia de la anisotropía reducida de los iones ............................... 109
6.2.3 Influencia de la migración espacial ...................................................... 110
Conclusiones ....................................................................................................... 115
Referencias bibliográficas ................................................................................... 119
Apéndice Programa de MC en Matlab para la migración de energía en FDE ..... 124
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Lista de Figuras
1. Sistema de tres niveles de energía de los iones Er3+ en sílice usado para amplificación/generación óptica alrededor de 1.55 m. Adaptado de (Digonnet 2001)…………………………………………................................
2. Grabado de las rejillas de población mediante dos ondas coherentes (
y ) contrapropagándose en fibra dopada con tierra rara. Adaptado de (Stepanov 2008)………………………………………………………………..
3. Procesos de transferencia de energía entre iones vecinos: Transferencia
de energía de resonancia – a, Conversión ascendente asistida – b, Luminiscencia asistida – c y Absorción del estado excitado – d. Adaptado de (Stepanov 2008)…………………………………………………………….
4. Dependencia de la despolarización de fluorescencia (p) con la
concentración: a) Er2O3 para vidrio de silicato – 1 y de fosfato – 2 excitado con una longitud de onda de 532 nm. b) Tm2O3 para vidrio de antimonio-sílice – 1 y germanato – 2 excitado con una longitud de onda de 791 nm. Adaptado de (Rokhmin, Nikonorov y Przhevuski 2005)………………….
5. Perfil de grabación de una rejilla de población; la línea continua muestra
el patrón de interferencia de grabación con un periodo espacial de la rejilla L y un contraste de 0.8 y la línea punteada el perfil normalizado correspondiente de la absorción óptica ⁄ de la rejilla grabada. Adaptado de (Stepanov 2008)………………………………………………...
6. Valor relativo de la señal transitoria de MDO ∆ ⁄ como función de la
potencia de entrada normalizada de un haz. La curva continua corresponde al ajuste del modelo de saturación y las líneas punteadas al ajuste con el factor de reducción de la amplitud de la rejilla = 1/2 – 1, 1/4 – 2 y 1/8 – 3. Adaptado de (Stepanov, Nuñez Santiago 2006)………..
7. Ilustración simplificada del perfil del modo transversal fundamental en
una fibra dopada. Adaptado de (Stepanov 2008)………………………….. 8. Estructura del vidrio de sílice mostrando la posición de los iones de erbio
(Er3+) y los codopantes (M). Adaptado de (Becker, Olsson y Simpson 1999)……………………………………………………………………………
2 3 5 7
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10 15
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9. a) Diagrama de niveles de energía para vidrio dopado con erbio que muestra las transiciones de absorción y de emisión; las longitudes de onda de las transiciones, están dadas en nanómetros, y están indicadas solamente para transiciones experimentalmente observadas en fibras de silicato y fluorocirconato dopadas con erbio. b) División de dos niveles más bajos en un sistema de subniveles. Adaptado de (Desurvire 1994)…………………………………………………………………………….
10. a) Dependencia espectral de la absorción de la FDE. b) Sección
transversal de emisión (línea punteada) y absorción (línea continua) del Er3+. Adaptado de (Desurvire 1994)………………………………………….
11. Sistema de dos niveles con una diferencia de energía y un tiempo
característico de decaimiento de . y : las poblaciones del estado base y del estado metaestable, respectivamente…………………………..
12. Formación del perfil espacial de absorción óptica en una fibra con
absorción saturable……………………………………………………………. 13. Perfiles de la absorción óptica (líneas continuas) formados como
resultado de la saturación de un sistema de dos niveles por el patrón de luz sinusoidal (línea punteada) con diferentes intensidades normalizadas de luz promedio ⁄ = 0.5, 1, 2, 4 y 8 (desde la parte superior a la parte inferior). Adaptado de (Stepanov 2008)………………
14. Configuración del interferómetro de Sagnac utilizado para la observación
de MDO dinámico en FDE. CP1, CP2: Controladores de polarización, MEO, modulador de luz electro-óptico. El recuadro muestra los picos del MDO en respuesta a una modulación de fase rectangular introducido por las ondas de grabación. Adaptado de (Stepanov, Nuñez Santiago 2006)………………………………………………………………...................
15. Eficiencia del mezclado de dos ondas en estado estacionario en función
de la intensidad de la onda de grabado normalizada I I⁄ en fibras con diferentes densidades ópticas, = 0.5 – a, 1 – b, 2 – c, 4 – d y 8 – 3. Adaptado de (Stepanov 2008)………………………………………………...
16. Razones de decaimiento de la señal de mezclado de dos ondas como
función de la potencia de entrada P , observada en las fibras 1 ( ) y 2 ( ). La línea continua representa la curva teórica original, mientras que la punteada representa la línea teórica desplazada. Adaptado de (Stepanov, Hernández 2005)………………………………………………….
17. Migración de energía resonante………………………………………………
18 20 22 26
27 28 29 31 32
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18. Configuración experimental para grabar/detectar rejillas dinámicas en
fluoresceína sódica en etanol al 99%. El ángulo entre los pulsos de excitación que forman la rejilla se varió de 16° a 180° (con 180° mostrados). El pulso de prueba es acoplado en el ángulo de Bragg y es polarizado a 55° respecto a los pulsos de excitación para evitar efecto de despolarización en la señal de la rejilla. HV: Fuente de poder de alto voltaje, PMT: tubo fotomultiplicador, R: Reflector parcial, VS: Divisor de haz del 50%. Adaptada de (Gomez-Jahn, Kasinski y Miller 1985)……….
19. Espectros de luminiscencia de Eu3+ en vidrio de fosfato para detección
I∥ I 1 y para I∥ I 2, 3 para las longitudes de onda de excitación de: 2) λ = 4650 Å, 3) λ = 3940 Å. Adaptada de (Lebedev, Przhevuskii 1977)…………………………………………………………………………….
20. Arreglo experimental para la detección de fluorescencia: (1) láser de
neodimio λ = 532 nm, (2) láser de titanio-zafiro λ = 790 a 1000 nm, (3) Cristal LiNbO3 ; (4) prisma Glan, (5) muestra; (6) filtro infrarrojo; (7, 9) polarizadores; (8) placa λ 2⁄ ; (10) monocromador, (11) detector, (12) lock-in-amplificador, (13) computadora. Adaptada de (Rokhmin, et al. 2004)…………………………………………………………………………….
21. Espectros de luminiscencia para una concentración de Er2O3 al 0.1
mol%. en vidrios de silicato – 1 y fosfato – 2 para detección I∥ I para una longitud de onda de excitación de λ = 800 nm. Adaptada de (Rokhmin, et al. 2004)………………………………………………………...
22. Diagramas del patrón de interferencia formado en la fibra óptica por dos
ondas y contrapropagándose con a) polarizaciones lineales paralelas y b) polarizadas ortogonalmente. Adaptada de (Stepanov, Hernández y Plata 2005b)…………………………………………………………………....
23. Amplitud relativa del MDO transitorio en función del ángulo θ entre las
polarizaciones lineales de las señales y , cuando la polarización lineal de S corresponde a uno de los ejes de birrefringencia de la fibra dopada con erbio. El recuadro muestra dependencias similares en función del ángulo de rotación de la polarización lineal de la señal S para θ=0-π y 90°-(-). Adaptada de (Stepanov, Hernández y Plata 2005b)……………..
24. Mediciones de saturación y PHB de ganancia en dependencia de la
potencia de entrada para FDE, ajustes al modelo de dipolos independientes con anisotropía = 0.535 con longitud de onda de bombeo de 1480 nm y una señal de 1558 nm. Adaptada de (Wysocki, Mazurczyk 1996)……………………………………………………………...
36 37
38 39 40 41 42
x
25. Esquema de un acoplador de fibra óptica. ………………………………..
26. Esquema de un aislador óptico. ……………………………………………
27. Esquema de un circulador de fibra óptica………………………………….
28. Esquema de un polarímetro. (AD: adaptador de fibra, L: lente, POL:
polarizador lineal, DET: detector). Adaptado de (Plata 2007)…………….
29. Relación de la longitud de onda con la densidad óptica no saturada y su longitud para la fibra Er103 (198 cm): negro; Er107 (140 cm): azul; Er112 (31 cm): verde y Er123: rojo para el rango de longitudes de onda 1400 a 1650 nm……………………………………………………………..................
30. Arreglo experimental para la detección de la transmitancia no lineal…….
31. Transmitancia vs Potencia de entrada para las longitudes de onda (nm):
1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 () para la fibra Er103. La línea continua muestra el ajuste a la Ecuación (29)………………………………………….
32. Arreglo experimental utilizado para la caracterización de fluorescencia en
una dirección transversal. …………………………………………...........
33. Razones de crecimiento (■) y decaimiento (▲) de la fluorescencia en función de la potencia de entrada P para la fibra Er112 y una longitud de onda de 1526 nm……………………………………………………….....
34. Promedio de intensidad de fluorescencia como una función de la potencia
de la luz incidente observada en Er103 (a) y en Er123 (b) bajo la excitación con la longitud de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 (). Las líneas continuas muestran los ajustes teóricos utilizados para la evaluación de la potencia de saturación……………………………………..
35. Configuraciones experimentales para la observación de fluorescencia en
FDE de manera a) longitudinal y b) transversal…………………………….
36. Arreglo experimental utilizado para la observación transversal de la polarización de la fluorescencia en la FDE (AV – atenuador variable, CP – 1 controlador de la polarización, MEO – modulador electro-óptico, FD – fotodetector). El recuadro muestra la señal de fluorescencia típica que aparece en respuesta al cambio de polarización lineal periódica entre las orientaciones ±45°………………………………………………………...
46 46 47 48
50 52 53 54 55 56 59 61
xi
37. Dependencia de la amplitud normalizada de la señal de polarización de la fluorescencia de la respuesta de fluorescencia con la orientación de dirección de detección ( ). (Er123, = 1492 nm, = 0.5 mW, frecuencia de modulación 11 Hz)………………………………………………………….
38. Dependencias de la señal de la polarización de la fluorescencia contra la
potencia de entrada normalizada para a) las fibras Er103 ( ) y Er123 ( ) a 1492 nm y b) la fibra Er123 para las longitudes de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 ()……………………………………………………….
39. Dependencias de la señal de la polarización de la fluorescencia
normalizada con concentración de erbio observada a una longitud de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 () para potencias de excitación de entrada iguales a los potencias de saturación correspondientes…………
40. Trazas de la señal de relajación de polarización normalizada observada
en el osciloscopio para la fibra Er123 con una longitud de onda de 1492 nm obtenidas para una potencia de entrada P (V): 0.31 – 1, 1.54 – 2 y 2.5 – 3. Las líneas continuas muestran curvas exponenciales de ajuste...
41. Dependencia de la señal de polarización AC con la frecuencia de
modulación observada en la fibra Er123 para una longitud de onda de 1492 nm con potencia de entrada 1.54 V (línea punteada indica la posición de la frecuencia de corte)………………………………….............
42. Dependencia de la velocidad de relajación de la señal de la polarización
de la fluorescencia con la potencia de entrada, observada en la fibra: Er103 (■) para la longitud de onda de 1492 nm y Er123 para la longitud de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 ()………………………………..
43. Polarización de la fluorescencia de dipolos orientados (a) colinealmente
y (b) aleatoriamente……………………………………………………………
44. Orientación entre la polarización del campo eléctrico de excitación E y
del dipolo efectivo de los iones de erbio………………………………...
45. Intensidad de fluorescencia normalizada de un conjunto de dipolos que no interactúan entre ellos como una función de la potencia de excitación normalizada: dipolos colineales (Figura 43a) – línea continua; dipolos orientados aleatoriamente (Figura 43b): componente con polarización paralela – línea en trazos y la componente polarizada ortogonalmente – línea punteada………………………………………………………………….
62 64 65 66 67 68
69
71 73
xii
46. Elipsoide de las secciones transversales del ion con anisotropía reducida…………………………………………………………………………
47. Intensidades normalizadas de las componentes polarizadas
ortogonalmente de fluorescencia: paralelos (líneas continuas) y perpendiculares (líneas discontinuas) calculadas para diferentes valores de . Como referencia, la línea formada de puntos y rayas muestra la intensidad de fluorescencia normalizada a partir del conjunto de dipolos orientados colinealmente……………………………………………………..
48. Profundidad de modulación de la señal de la polarización de la
fluorescencia observada para la modulación periódica de la polarización de la luz de bombeo calculada para: dipolos orientados aleatoriamente (línea continua) y para los iones con anisotropía reducida para : 0.2 (línea punteada), 0.4 (línea de puntos y rayas), y 0.6 (línea discontinua)……………………………………………………………………..
49. Profundidad de modulación de la señal de la polarización de la
fluorescencia en función del parámetro de anisotropía contra la potencia de excitación normalizada ⁄ : 0.2 (línea continua), 0.5 (línea discontinua), 1 (línea punteada) y 2 (línea de puntos y rayas)…………………………………………………………………………….
50. Pares/cadenas de iones o cadenas en FDE con concentración
normalizada C : a) 0.013 y b) 0.11. Las líneas conectan los iones que se encuentran a una distancia menor al radio de Föster……………..
51. Dependencia del porcentaje de iones que interactúan fuertemente (i. e.,
los iones en pares o cadenas) en función de la concentración normalizada del erbio. ………………………………………………………...
52. Representación de los pesos asignados a los iones cercanos……………
53. Red cúbica regular con periodo espacial ………………………………….
54. Dependencia de la razón ´⁄ con el número de vecindad al que se
puede presentar la migración…………………………………………………
55. Trayectoria con saturación de la migración en los límites de una red cúbica regular………………………………………………………………......
56. Desplazamiento cuadrático medio en una red regular con : 1 – a y
0.2 – b…………………………………………………………………………...
75 76 77 78 82 83 86 87 88 89 90
xiii
57. Ejemplificación de la migración de energía en una red aleatoria para diferentes concentraciones normalizadas a , C; 1 – a, 10 – b y 40 – c. En el centro del cubo, en gris, se muestra el ion de inicio…………………
58. Dependencias temporales del desplazamiento cuadrático medio para
diferentes concentraciones C normalizadas a : en a) 125 ( ), 100 ( ) y 63 () y en b) 25 ( ), 6 ( ) y 1 ( )……………………………………………
59. Dependencia del coeficiente de difusión con la concentración
normalizada………………………………………………………………….....
60. Dependencia de la longitud de difusión con la concentración normalizada para una red: aleatoria – línea continua: y regular – línea punteada……..
61. Sistema experimental para la detección de la rejilla dinámica por la
fluorescencia transversal transitoria. (FDE: Fibra dopada con erbio, MEO: modulador electro-óptico, FD: fotodiodo, CP1 y CP2: controladores de polarización, AV: atenuador óptico variable). El recuadro muestra la señal típica de fluorescencia transitoria en respuesta a una modulación de fase rectangular………………………………………………………………………
62. Configuración experimental usada para la formación de la rejilla con una
onda longitudinal y una transversal (AV1 y AV2: atenuadores ópticos variables, CP: controladores de polarización, MEO: modulador electro-óptico y FDE: Fibra dopada con erbio)……………………………….
63. Esquema del centrado de la iluminación a la fibra “transversal” a la fibra
“longitudinal” (esta última dopada con erbio y en la figura tiene orientación vertical). Spot de la fibra transversal). Spot de la fibra vertical: en ausencia de la fibra longitudinal – a; la iluminación sale de los límites de la fibra longitudinal – b y c; toda la iluminación está en los límites de la fibra (entonces, está bien centrada) – d. …………………………………
64. Dispersión de la onda de señal transversal, sin fibra “longitudinal”– a, con
fibra SMF28 como fibra longitudinal – b, con fibra longitudinal Er123 sin gel acoplador – c y con fibra longitudinal Er123 con gel acoplador – d. Modulación periódica de fase con frecuencia 25 Hz……………………....
65. Dependencias de la amplitud relativa del MDO con la potencia incidente
en las fibras ( ) Er103 y ( ) Er123 obtenidas para las longitudes de onda (nm): 1492 – a, 1526 – b y 1568 – c…………………………………….........
91 92 92 93 96 97 98 100 103
xiv
66. La dependencia de la razón de relajación del MDO con la potencia incidente para las fibras Er103 y Er123 (símbolos vacíos y llenos, respectivamente) obtenidos para diferentes longitudes de onda (nm): 1492 – a, 1526 – b y 1568 – c………………………………………………….
67. Perfiles de las componentes transversal y longitudinal ∥ del campo del
modo fundamental LP01 de una fibra escalonada con parámetros (a = 2.5 m, AN=0.18 y = 7 m). Adaptada de (Stepanov 2008)………………………………………………………………………….....
105 108
xv
Lista de Tablas 1. Parámetros de las fibras dopadas con erbio del fabricante INO (INO). .......... 49
2. Densidad óptica no saturada para diferentes longitudes de onda. .......... 51
3. Parámetros de las fibras obtenidos mediante ajuste de los datos de la transmitancia a la Ecuación (32) para la fibra Er103 y las longitudes de onda 1492, 1526 y 1568 nm. .......................................................................... 53
4. Potencia de saturación (en mW) evaluada a partir de las de la razones de crecimiento de la fluorescencia para las fibras utilizadas con las tres longitudes de onda de trabajo. ........................................................................ 55
5. Potencia de saturación (en mW) evaluada a partir de la intensidad de fluorescencia. .................................................................................................. 57
6. Factores de reducción del MDO. .................................................................. 104
7. Desplazamiento vertical normalizado de la razón de formación en la fibra Er123. ................................................................................................... 106
8. Coeficiente y longitud de difusión para la fibra Er103 ................................... 112
1
Capítulo 1 Introducción
El éxito de la tecnología de fibra óptica se produjo durante la década de los años 50
con el primer uso práctico de la fibra de vidrio. (Kapany 1967), fue el primero en
utilizar el término "fibra óptica". Una de las primeras aplicaciones que tuvo fue la
transmisión de imágenes, por lo cual las fibras ópticas encontraron rápidamente
aplicaciones en el campo de la medicina (Epstein 1976). En el campo de las
comunicaciones por fibra óptica (Agrawal 2013), el inicio de su uso fue alrededor de
hace 50 años; ya para la década de los años 80 comenzaron las investigaciones
sobre las propiedades no lineales en fibras ópticas (Agrawal 2013).
1.1 Fibras dopadas con tierras raras en la óptica moderna
El desarrollo de la tecnología láser fue el siguiente paso importante en el
establecimiento de la industria de la fibra óptica (Goff 2002). En ese momento ya se
conocía la propiedad de amplificación óptica de las tierras raras, razón por la cual,
(Snitzer 1966) se propuso el uso de tierras raras como dopante en las fibras,
permitiendo ser usadas como medio amplificador y cavidad resonante. Cabe
mencionar que las tierras raras son los elementos químicos del grupo lantánidos,
de las cuales el disprosio (Dy), erbio (Er), iterbio (Yb), tulio (Tm), holmio (Ho) y
europio (Eu) son los más usados en medios láser (Siegman 1986). En 1964, Koester
y Snitzer hicieron el primer análisis de amplificadores de fibras dopadas con tierras
raras caracterizando la ganancia de estos dispositivos (Koester, Snitzer 1964).
La tecnología de fibra óptica continúa en evolución y las fibras dopadas con
tierras raras ahora se encuentran en el núcleo de una nueva rama de la óptica, ya
que la combinación de la ganancia óptica de los iones de tierras raras con el gran
confinamiento óptico disponible en una fibra óptica monomodo, hacen de estas
fibras un medio fascinante con el que se pueden producir dispositivos
2
optoelectrónicos muy pequeños, robustos y extremadamente eficientes (Digonnet
2001).
En particular, el uso de las fibras dopadas con tierras raras mejora el
desempeño de los amplificadores ópticos y ancho de banda, en comparación con
sus contrapartes electrónicas, empleadas en sistemas de comunicaciones ópticos.
Además, los amplificadores de fibra dopada con erbio, que operan en la primera
ventana de baja absorción del sílice de 1.55 m son muy importantes para
telecomunicaciones (Agrawal 2013) ya que presentan propiedades casi ideales para
estas aplicaciones, como son una alta ganancia y bajo ruido óptico (Digonnet 2001).
En la Figura 1 se presenta un sistema simplificado de tres niveles de energía
de los iones de Er3+ en sílice, el cual se utiliza para amplificación láser alrededor de
1.55 m con bombeo óptico a una longitud de onda de 0.98 m.
Figura 1. Sistema de tres niveles de energía de los iones Er3+ en sílice usado para amplificación/generación óptica alrededor de 1.55 μm. Adaptado de (Digonnet 2001).
Otra ventaja importante en la fabricación de láseres de fibra óptica es la
posibilidad de formar, en las mismas fibras, rejillas de Bragg de diferentes tipos
(Kashyap 1999). Entre otras aplicaciones que se han encontrado para las fibras
dopadas con tierras raras, podemos mencionar a las aplicaciones en sensores y en
3
fuentes para giroscopios de fibra (Digonnet 2001), entre muchas otras que siguen
desarrollándose.
Una característica interesante de las fibras dopadas con tierras raras es la
posibilidad de crear rejillas dinámicas de población de tipo Bragg dentro de su
núcleo. Esto se lleva a cabo por dos ondas coherentes ( y ) en contrapropagación
a través de la misma fibra (ver Figura 2). En (Frisken 1992) se reportó por primera
vez el grabado de las rejillas dinámicas en Fibras Dopadas con Erbio (FDE),
provocando la atención a sus aplicaciones potenciales. Las rejillas de este tipo se
forman por saturación óptica de la absorción o ganancia en las franjas brillantes del
patrón de interferencia; su grabado requiere potencias promedio de radiación láser
de onda continua de alrededor de 0.1 - 10 mW y se forman y desaparecen con
tiempos característicos menores o iguales que el tiempo de relajación del nivel
metaestable del ion activo.
Figura 2. Grabado de las rejillas de población mediante dos ondas coherentes ( y ) contrapropagándose en fibra dopada con tierra rara. Adaptado de (Stepanov
2008).
Hoy en día, las fibras dopadas con diferentes tierras raras forman una base
para un espectro amplio de diversos dispositivos optoelectrónicos originales, tales
como: láseres de fibra de onda continua (CW) de sólo una frecuencia, sensores
ópticos de fibra, amplificadores ópticos, interferómetros adaptativos, elementos de
memoria óptica, entre otros. Dichos dispositivos son ligeros, resistentes, con
inmunidad a las vibraciones mecánicas e interferencia electromagnética, de alta
sensibilidad, capacidad de ajuste, compatibilidad con otros sistemas de fibra óptica,
etc.
R S
4
1.2 Efectos de alto dopaje en las fibras ópticas
En aplicaciones como comunicaciones ópticas y sensores, usualmente se emplean
fibras de sílice dopadas con tierras raras de muy baja concentración. En particular,
se sabe que para que un amplificador de fibra óptica dopada con erbio tenga una
eficacia óptima, la concentración del erbio debe ser menor a 100 ppm (Desurvire
1994). En dichas fibras de baja concentración de dopante se puede considerar a
cada ion activo como independiente de sus iones vecinos, por lo que no hay
interacción entre ellos y por lo tanto no se observa transferencia de energía de un
ion excitado a otro. Sin embargo se han reportado amplificadores con 14.4 dB de
ganancia en fibras de sílice dopada con erbio con concentraciones de 900 ppm, lo
que indica que con altas concentraciones de erbio se pueden producir dispositivos
útiles (Becker, Olsson y Simpson 1999).
En algunas aplicaciones importantes, como en los láseres de una sola
frecuencia, es necesario utilizar fibras cortas con altos niveles de dopante para
obtener alto rendimiento y alta potencia de salida (Ainslie, et al. 1988). Sin embargo,
al aumentar la concentración del dopante, los iones de erbio tienden a unirse en
pares y/o grupos (cluster, en inglés) que se comportan como un solo ion, lo cual
reduce la eficiencia de los dispositivos. Para evitar (por lo menos, parcialmente) la
formación de estos clústeres/grupos se insertan codopantes, como aluminio y/o
germanio, en la estructura del sílice, esto al momento de la fabricación de la fibra,
específicamente al momento de doparla (Becker, Olsson y Simpson 1999).
Los efectos más importantes que aparecen debido a la interacción entre
iones vecinos de tierras raras en fibras con alta concentración de dopante, se
pueden ver en la Figura 3. La transferencia de energía de resonancia (Figura 3a) es
el proceso de transferencia de energía entre dos iones vecinos, uno de los cuales
se encuentra en el estado excitado (nivel 2 de la Figura 3a). Este ion pasa su
excitación a otro ion en el estado fundamental (nivel 1) a través de la interacción
dipolo-dipolo (o multipolar-multipolar) mediante un proceso no radiativo (Powell
1998). Este proceso puede repetirse varias veces durante el tiempo de vida del
ion en el estado metaestable, dando lugar a la difusión espacial de largo alcance (o
5
migración) de la excitación. Este proceso no cambia la población media del nivel
metaestable, por lo que no hay pérdida de energía y, como tal, no influye en la
eficiencia de los amplificadores o láseres de fibra óptica.
Figura 3. Procesos de transferencia de energía entre iones vecinos: Transferencia de energía de resonancia – a, Conversión ascendente asistida – b, Luminiscencia asistida – c y Absorción del estado excitado – d. Adaptado de (Stepanov 2008).
El efecto de conversión ascendente asistida (CFUC, por sus siglas en inglés,
cooperative frequency up-conversion) es la transferencia de energía entre dos iones
que se encuentran en el estado excitado: un ion será el donante de energía y otro
el receptor (Figura 3b). Como resultado, el ion donante desciende al estado
fundamental (nivel 1), mientras que el ion receptor es ascendido a un estado
excitado superior para después relajarse rápidamente y no radiativamente al estado
de excitación inicial. El resultado neto es la aniquilación de un estado excitado, es
decir, el sistema pierde la mitad de su energía de excitación provocando que el
tiempo de vida de la luminiscencia de los donantes sea más corto.
Un proceso de transferencia de energía entre dos iones excitados similar al
efecto de conversión ascendente asistida es el proceso de luminiscencia asistida
(en inglés, cooperative luminiscence). En este proceso, el ion receptor después de
ir a un estado superior, decae rápidamente al estado fundamental perdiendo la
energía inicialmente suministrada al sistema (Figura 3c).
En la Figura 3d se muestra también la absorción del estado excitado (ESA,
por sus siglas en inglés, excited state absorption). En este proceso el ion en el nivel
excitado absorbe la energía de otro fotón elevándose a un nivel de energía más alto.
6
Este proceso afecta a los láseres y amplificadores ópticos ya que ésta absorción
puede elevar el umbral para el bombeo (Becker, Olsson y Simpson 1999).
El aumento en la concentración del dopante de tierra rara resulta en un
incremento en la razón de la migración de energía resonante de excitación entre los
iones vecinos (Powell 1998), y es el efecto de interés en este trabajo de tesis. La
migración como tal no es producto de una pérdida directa de la excitación
(inversión), pero facilita su transporte entre los iones agrupados, por lo que la
relajación del estado excitado ocurre a una mayor velocidad. Este efecto es muy
importante para el desarrollo de dispositivos eficientes y hasta este momento es el
objetivo de las consideraciones teóricas y simulaciones numéricas realizadas
utilizando el método de Monte Carlo [(Khoptyar, Sergeyev y Jaskorzynska 2005),
(Philipsen, Bjarklev 1997)].
1.3 Polarización de la fluorescencia
La migración de la excitación en el nivel metaestable también se acompaña con una
pérdida de información sobre la orientación del vector de polarización (ó
despolarización) de los iones activos inicialmente excitados por la luz láser. En
particular, (Gochanour, Fayer 1981) en estudios con Rodamina 6G se encontró que
a medida que aumenta la concentración del dopante, también aparecerá la
transferencia de energía a iones orientados aleatoriamente y, como resultado, la
fluorescencia se despolariza significativamente.
Se espera que lo mismo suceda con las tierras raras en sílice amorfo ya que
el material tampoco posee simetría y, por lo tanto, absorbe y emite
anisotrópicamente; aunque la absorción y emisión de los iones dopantes
particulares depende de su orientación y de la polarización de la luz de excitación.
En efecto, cuando se excita con luz polarizada linealmente, la fluorescencia está
significativamente polarizada, aún en el caso de que los iones activos
independientes se encuentren orientados aleatoriamente (ver (Feofilov 1961)). Sin
embargo, cuando la excitación migra varias veces a partir de un ion a otro con
7
orientaciones aleatorias, tarde o temprano la orientación original de la polarización
de los iones inicialmente excitados se perderá, y la fluorescencia observada estará
significativamente despolarizada.
Existen publicaciones anteriores sobre la polarización de la fluorescencia
significativamente reducida en vidrios dopados con tierras raras (véase, por ejemplo
(Lebedev, Przhevuskii 1977)). En particular, hay datos que muestran que la
polarización depende de la concentración del dopante, y ponen al descubierto la
influencia de la migración espacial (Figura 4), para vidrios de silicato dopados con
erbio (Rokhmin, et al. 2004), ver Figura 4a y para vidrios de antimonio-sílice y
germanato dopados con tulio (Rokhmin, Nikonorov y Przhevuski 2005) ver Figura
4b.
a b
Figura 4. Dependencia de la polarización de la fluorescencia (P) con la concentración: a) Er2O3 para vidrio de silicato – 1 y de fosfato – 2 excitado con una longitud de onda de 532 nm. b) Tm2O3 para vidrio de antimonio-sílice – 1 y germanato – 2 excitado con una longitud de onda de 791 nm. Adaptado de (Rokhmin, Nikonorov y Przhevuski 2005).
Además de la polarización de la fluorescencia, existe otro efecto similar que
puede verse afectado por la migración del estado excitado entre los iones activos
8
orientados aleatoriamente, es el efecto Polarization Hole Burning (Wysocki,
Mazurczyk 1996). Este efecto se observa generalmente como una saturación
preferencial en la ganancia del amplificador de fibra óptica para una determinada
polarización de la señal a ser amplificada. Los autores (Wysocki, Mazurczyk 1996)
y (Wagener, et al. 1998) atribuyeron la debilidad del efecto Polarization Hole Burning
(PHB) observado experimentalmente a la anisotropía óptica reducida de los iones
de erbio individuales, considerando que los iones de Er3+ no son dipolos con valores
máximos únicos de las secciones transversales de absorción/emisión.
1.4 Rejillas dinámicas de población en fibras y el efecto de la reducción de su
amplitud
Como se mencionó anteriormente, las rejillas dinámicas de población en fibras
dopadas con tierras raras se graban mediante dos ondas coherentes
contrapropagándose en el núcleo de la fibra (ver Figura 2). Estas dos ondas con
igual polarización forman un patrón de interferencia periódico sinusoidal de
máximos y mínimos de intensidad de luz, como se representa en la Figura 5 usando
una línea continua. Si la longitud de onda de la luz es absorbida por los iones, el
patrón de interferencia inducirá un patrón de saturación de la absorción. En las
franjas brillantes los iones son excitados hacia un nivel superior, saturando la
absorción en esa zona de la fibra (zona de baja absorción), mientras que en las
franjas oscuras los iones permanecen en el estado base, disponibles para ser
excitados (zona con alta absorción).
Así se forman las zonas espacialmente periódicas de máximos y mínimos de
absorción con el periodo espacial del patrón de interferencia de grabado. La línea
punteada de la Figura 5 muestra el perfil normalizado de la absorción óptica ⁄
de la rejilla grabada.
9
Figura 5. Perfil de grabado de una rejilla de población; la línea continua muestra el patrón de interferencia de grabado con un periodo espacial de la rejilla L y un contraste de 0.8 y la línea punteada el perfil normalizado correspondiente de la absorción óptica ⁄ de la rejilla grabada. Adaptado de (Stepanov 2008).
El interés principal en estas rejillas de Bragg en fibras dopadas con tierras
raras es su gran aplicabilidad, esto debido a la baja potencia de grabación, su alta
resolución espacial, su corto tiempo de respuesta y su compatibilidad con sistemas
de fibra óptica. Entre las aplicaciones de las rejillas dinámicas de población en fibras
dopadas con tierras raras se encuentran los filtros sintonizables de fibra (Feuer
1998), láseres de fibra de una sola frecuencia de generación (Horowitz, et al. 1994),
(Paschotta, et al. 1997), holografía dinámica, sensores, vibrometría e
interferómetros adaptativos (Stepanov 2008).
A pesar de las aplicaciones prometedoras, las rejillas dinámicas grabadas en
fibras dopadas con Er o Yb, muestran amplitudes significativamente más débiles
que las predichas por el modelo de saturación local de la absorción de la fibra
(véase, por ejemplo, (Stepanov 2008)). Este hecho limita muchas aplicaciones
potenciales de las rejillas. Esta reducción de la amplitud de la rejilla se observa en
la Figura 6 como la dependencia de la amplitud relativa de la señal transitoria de
Mezclado de Dos Ondas (MDO) como función de la potencia de entrada
normalizada junto con su curva teórica (línea continua) (Stepanov, Nuñez Santiago
2006).
10
Figura 6. Valor relativo de la señal transitoria de MDO ∆ ⁄ como función de la potencia de entrada normalizada de un haz. La curva continua corresponde al ajuste del modelo de saturación y las líneas punteadas al ajuste con el factor de reducción de la amplitud de la rejilla = 1/2 – 1, 1/4– 2 y 1/8 – 3. Adaptado de (Stepanov, Nuñez Santiago 2006).
Se puede observar en esta Figura 6 que la dependencia obtenida
experimentalmente sigue muy bien a las predicciones teóricas (líneas continuas) del
modelo de saturación, al igual que la posición del máximo; dado que la amplitud de
la rejilla grabada es menor que la esperada en los cálculos teóricos se introdujo un
factor de reducción χ (líneas punteadas). En otros experimentos de detección de la
rejilla dinámica por el método de fluorescencia transversal transitoria (Stepanov,
Hernández-Hernández 2007), la amplitud de la rejilla mostró un factor de reducción
adicional que es dependiente de longitud de onda de grabado: 5 – 10 veces para
1526 nm, y casi 1.5 -2 veces para 1492 nm. En realidad, esta diferencia en la
amplitud de la rejillas se mencionó en los experimentos de otros grupos [(Norcia-
Molin, et al. 2006), (Fan, He y Hotate 2005)].
La reducción en la amplitud de la rejilla mencionada anteriormente puede ser
debida a diferentes razones; en particular, a la diferencia de las orientaciones de las
polarizaciones en las ondas de grabado en contrapropagación y al efecto de
conversión ascendente asistida Sin embargo se ha demostrado que estas dos
razones no pueden explicar el valor de la reducción observada experimentalmente
11
(Stepanov, Hernández y Plata 2005). Otra posible razón es el proceso de migración
de energía resonante; en éste, un ion en el estado excitado cede su energía a otro
ion vecino no excitado, reduciendo así el contraste de la rejilla (patrón espacial de
población de nivel metaestable).
En la literatura existen bastantes resultados experimentales sobre la
contribución de la migración espacial del estado excitado en la formación de las
rejillas dinámicas de población en los materiales de volumen: cristales moleculares
(Salcedo, et al. 1978), o cristales láser (Powell 1998). Al momento de inicio de este
trabajo de tesis, prácticamente no existían publicaciones similares sobre este
aspecto de las rejillas en fibras dopadas con tierras raras. La única excepción es el
artículo anterior del grupo de CICESE (Stepanov, Hernández 2005), donde la
investigación fue limitada a una sola una longitud de onda. Cabe mencionar que los
datos detallados sobre la migración obtenida por el método de las rejillas dinámicas
pueden ser de gran ayuda en las investigaciones de la eficiencia del efecto de
conversión ascendente asistida [(Philipsen, Bjarklev 1997), (Nikonorov, Przhevuskii
y Chukharev 2003), (Khoptyar, Sergeyev y Jaskorzynska 2005)], el cual, a su vez,
es muy importante para el desarrollo de los amplificadores y láseres de fibra óptica
eficientes.
1.5 Objetivos y metas del trabajo
Considerando todo lo anterior, podemos formular el objetivo principal del trabajo
como:
La generación de nuevos conocimientos sobre la migración espacial del
estado excitado en materiales con estructura aleatoria.
Las metas particulares son:
1. Investigar experimentalmente en fibras dopadas con diferente concentración
de erbio y para diferentes longitudes de onda (en el rango espectral de 1480
12
– 1570 nm) el efecto de reducción de la amplitud de las rejillas dinámicas de
población y la polarización de la fluorescencia.
2. Investigar experimentalmente la dinámica del cambio temporal de
polarización de la fluorescencia y de las rejillas de población en fibras dopas
con erbio.
3. Analizar teóricamente, incluyendo el método de Monte Carlo, la eficiencia de
la migración del estado de excitación en fibras dopadas de erbio con
concentración en el rango de [640,5600] ppm.
4. Comparar los resultados experimentales y teóricos; evaluar la contribución
de los efectos de migración del estado excitado en la formación de las rejillas
de población y la polarización de la fluorescencia en fibras dopadas con erbio.
1.6 Estructura de la tesis
La estructura de la tesis es la siguiente:
En el capítulo 2 se muestran los conceptos básicos de los iones de Er3+ en
sílice, como su espectroscopia básica y la saturación óptica de la FDE. También se
encuentran en este capítulo los fundamentos teóricos sobre la formación de las
rejillas dinámicas de población en fibras saturables y los principales datos
experimentales para las FDE. Además se presentan otros conceptos de interés para
esta tesis como son los efectos de la migración de la excitación, conversión
ascendente asistida y PHB en materiales dopados con tierras raras, en particular en
FDE.
En el capítulo 3 se detalla el equipo y las muestras utilizadas en el desarrollo
de los experimentos realizados a lo largo de este trabajo de tesis, así como la
descripción de los sistemas experimentales utilizados y datos sobre la
caracterización de las FDE.
En el capítulo 4 se explica la configuración experimental utilizada para el
análisis de la polarización de la fluorescencia y se muestran los resultados
13
obtenidos. Estos resultados son comparados con el modelo de dipolos orientados
aleatoriamente y ajustados al modelo de anisotropía reducida.
En el capítulo 5 se presenta un análisis teórico detallado sobre la migración
en las FDE: en particular se analiza la formación de las cadenas aleatorias de iones
y se presenta una simulación de Monte Carlo para la migración en una red aleatoria.
Esta simulación se comprueba mediante los resultados para un red regular
La descripción de los experimentos y los resultados obtenidos sobre la
formación de las rejillas se encuentra en el capítulo 6, para fibras con diferentes
concentraciones y longitudes de ondas de grabación. En este capítulo también se
realiza una discusión sobre los resultados obtenidos. Por último en el capítulo 7 se
presentan las conclusiones.
14
Capítulo 2 Conceptos básicos
En este capítulo presentamos los conceptos básicos sobre los efectos físicos
relacionados al tema principal de este trabajo de tesis. En particular, se consideran
las propiedades ópticas de los iones de Er3+ en fibras ópticas, los procesos de
saturación óptica, formación de las rejillas de población y migración del estado de
excitación entre los iones vecinos.
2.1 Espectroscopia óptica del Er3+ en sílice
Una fibra óptica es una guía de onda dieléctrica de forma cilíndrica, fabricada
comúnmente de sílice (SiO2). Consta de un núcleo central por el que se guía la luz
mediante reflexión interna total, y de un revestimiento exterior cuyo índice de
refracción es ligeramente menor al del núcleo (Saleh, Teich 1991). La propagación
de la luz dentro de la fibra se da en forma de modos, asociados a las posibles
soluciones de la ecuación de onda. Durante las últimas décadas las fibras ópticas
se han convertido en una tecnología alternativa competitiva con los sistemas de
telecomunicación eléctrica (Agrawal 2002). Esto es resultado de: que el desarrollo
de fibras de baja pérdida, diodos láser compactos eficientes, dispositivos para
modulación de luz, detectores rápidos, amplificadores ópticos y de los equipos
auxiliares necesarios para conectar estos componentes, que han mejorado la
comunicación por fibras.
En particular las fibras ópticas dopadas con tierras raras, por ejemplo, con
erbio [(Digonnet 2001), (Becker, Olsson y Simpson 1999)] forman una base para los
amplificadores ópticos incorporados en las líneas de comunicaciones ópticas de
larga distancia en una forma más natural. También se usan ampliamente en los
láseres de fibra óptica y tienen un potencial muy grande para el desarrollo de
sensores para varias aplicaciones. Las fibras ópticas dopadas con tierras raras, son
fibras estándar de sílice en las que durante el proceso de fabricación se introduce
15
una pequeña fracción de un elemento perteneciente al grupo de las tierras raras (al
núcleo). Estos dopantes se concentran en la parte central de la fibra (Figura 7). La
técnica empleada para dopar las fibras puede ser mediante deposición de vapores
químicos modificados, deposición axial de vapores o deposición de vapores por
fuera (Simpson 1990).
Figura 7. Ilustración simplificada del perfil del modo transversal fundamental en una fibra dopada. Adaptado de (Stepanov 2008).
Las fibras dopadas con tierras raras, por lo general, tienen un perfil del índice
de refracción escalonado. La parte central es el núcleo de la fibra (ver la Figura 7)
con un diámetro típico (2a) que se encuentra dentro del rango de 5 - 6 m y el
diámetro modal efectivo es de alrededor de 6 - 8 m a una longitud de onda
de 1.5 m. La longitud de onda de corte (es decir, la longitud de onda mínima para
seguir observando la propagación monomodo) típicamente es de alrededor de
0.9 m, y la apertura numérica (AN) de la fibra es de alrededor de 0.2. El diámetro
externo de la fibra suele ser el estándar de 125 m, y el recubrimiento de la fibra es
un recubrimiento plástico.
En el mercado se encuentran disponibles una gran variedad de fibras ópticas
dopadas con tierras raras que pueden ser: monomodo, mantenedora de
polarización, multimodo, de doble revestimiento, fibras de doble núcleo, etc. Los
dopantes pueden ser Erbio (Er), Iterbio (Yb), Neodimio (Nd), Samario (Sm), Tulio
(Tm), Er + Yb, entre otros. La concentración del dopante, elemento perteneciente a
16
las tierras raras que podemos encontrar en las fibras dopadas, va desde una parte
por millón hasta varios miles de partes por millón (ppm) [(Digonnet 2001), (Becker,
Olsson y Simpson 1999)].
El amplio uso de las fibras dopadas con tierras raras en los amplificadores
ópticos y láseres se debe a que estos elementos químicos pertenecen al grupo de
los lantánidos que presentan una transición interna. Esto significa que ellos no
siguen el modelo clásico del átomo en el que un núcleo está rodeado por orbitales
electrónicos, los cuales se llenan gradualmente según aumenta la energía, y los
orbitales electrónicos sucesivos los cuales van aumentando su radio. En el grupo
de tierras raras el orbital inferior 4f tiene un radio muy pequeño y se encuentra
incompleto, mientras que los orbitales superiores 5s, 5p y 6s tienen energías
menores y están completos formando un escudo por lo que una perturbación
externa no cambia las propiedades ópticas determinadas por las transiciones
“internas”. Las características espectroscópicas de estas transiciones son muy poco
sensibles al tipo de material anfitrión (Becker, Olsson y Simpson 1999) y tienen
líneas estrechas de absorción/emisión (y como resultado, de las transiciones láser)
similares a las observadas en estos elementos para los iones libres.
El enlace químico más común de los átomos de las tierras raras cuando
entran a otro material sólido es el iónico en estado trivalente. En particular, de esta
manera entra al sílice (SiO2) el erbio (Er3+), fundido después de perder tres
electrones, provocando que los niveles de energía se ensanchen ligeramente. Esto
es porque el SiO2 fundido es un material amorfo y cada átomo de Er3+ “ve” diferente
configuración de otros átomos vecinos en su cercanía: unos se enlazan con átomos
de Si y otros con O2. Esto hace que los átomos no se afecten de igual manera
convirtiendo así las fibras dopadas con Erbio en un medio idóneo activo para
amplificadores ópticos y láseres de fibra, debido a que pueden amplificar luz dentro
de una banda amplia de longitudes de onda.
Al aumentar las concentración de erbio, los iones empiezan a agruparse
(clustering), efecto que reduce el número de átomos activos que pueden participar
en el proceso de amplificación óptica. Para evitar este efecto, el clustering, se
adicionan codopantes (típicamente 5.0 mol% de GeO2 (Ainslie, et al. 1987) y
17
8.5 mol% de Al2O3 (Poole 1988)) esto es para abrir la estructura del sílice y aumentar
la solubilidad del erbio (Figura 8).
Figura 8. Estructura del vidrio de sílice mostrando la posición de los iones de erbio (Er3+) y los codopantes (M). Adaptado de (Becker, Olsson y Simpson 1999).
Los estados atómicos del erbio se expresan de la forma: 2S+1LJ que es la
terminología del acoplamiento Russell-Saunders en la que se suman los momentos
angulares orbitales de todos los electrones para dar un L total. Todos los espines
se suman para dar un S total, y estos L y S resultantes se acoplan para dar un
momento angular J total. Para los valores de L = 0,1,2,3,4..., le corresponden las
letras S, P, D, F, G…,respectivamente (Digonnet 2001). En la Figura 9a se muestran
los niveles de energía del erbio en sílice para cada estado atómico. En esta figura
podemos ver las transiciones de absorción en el visible y en infrarrojo cercano, así
como las transiciones radiativas.
Notemos que la transición fundamental que conecta dos estados de energía
más bajos ⁄ ↔ ⁄ del Er3+ corresponde a la longitud de onda alrededor de
1.53 m. Esta longitud de onda se encuentra muy cerca del mínimo absoluto de
atenuación óptica (~0.2 dB km-1) en las fibras de sílice (Jeunhomme 1983),
convirtiendo a este tipo de fibras dopadas en parte de dispositivos de gran utilidad
en las comunicaciones ópticas. Los niveles de energía ⁄ y ⁄ son el estado
18
base y el estado metaestable respectivamente, y en un ion aislado (en la fase de
vapor) son realmente un conjunto de subniveles “degenerados” (Figura 9b), ya que
se encuentran en el mismo nivel de energía.
A
B
Figura 9. a) Diagrama de niveles de energía para vidrio dopado con erbio que muestra las transiciones de absorción y de emisión; las longitudes de onda de las transiciones, están dadas en nanómetros, y están indicadas solamente para transiciones experimentalmente observadas en fibras de silicato y fluorocirconato dopadas con erbio. b) División de dos niveles más bajos en un sistema de subniveles. Adaptado de (Desurvire 1994).
La degeneración de los niveles es debida a interacciones electrostáticas
(interacciones de Coulomb), acoplamiento espín-órbita y el efecto Stark (Desurvire
1994). También, la degeneración de los niveles de energía se debe a que al ser
19
colocados los iones de erbio en el material anfitrión se destruye la simetría esférica
que los iones de erbio tienen en su fase de vapor (Becker, Olsson y Simpson 1999).
Entonces, debido a la diferencia en las distribuciones locales de los átomos vecinos,
en cada ion de erbio la línea de absorción/emisión sufre un ensanchamiento
heterogéneo. Cabe mencionar que la población de los subniveles que aparecen en
esta manera, sigue la distribución térmica (Maxwell-Boltzmann).
Las transiciones de absorción de nuestro interés son en las longitudes de
onda de 1480 y 980 nm (Figura 10a) que se generan entre los niveles ⁄ →
⁄ y ⁄ → ⁄ , respectivamente (Figura 9a). La última longitud de onda es
utilizada por el denominado bombeo óptico en las FDE, por lo que se suele describir
al Er3+ en vidrio como un sistema de tres niveles, ver Figura 1. Este sistema está
compuesto del nivel base (nivel 1), el nivel metaestable (nivel 2) y el nivel de bombeo
(nivel 3).
En ausencia de bombeo óptico, todos los iones de erbio se encuentran en el
estado base. Al bombear la fibra con una longitud de onda de 980 nm, los iones
absorben energía de los fotones y son llevados al estado excitado ⁄ , de donde
decaen al estado metaestable casi instantáneamente (con tiempos característicos
de ~ 6 s) a través de una transición no radiativa (Desurvire 1994). Durante el
proceso de bombeo óptico, después de un lapso de tiempo se acumulan en el
estado metaestable más iones de erbio que en el estado base, lográndose una
inversión de población, es decir, un medio activo o con ganancia.
Del estado metaestable, los iones pueden decaer al estado base en
aproximadamente 10 ms, liberando un fotón (=1530 nm) con energía igual a la
diferencia energética entre el estado metaestable y el estado base. Los fotones
liberados por el proceso de emisión espontánea son incoherentes, se emiten en
todas direcciones y con estado de polarización aleatoria. A estas emisiones se les
conoce como fluorescencia, mientras que el proceso de emisión estimulada genera
ganancia, el de emisión espontánea produce ruido.
20
a
b
Figura 10. a) Dependencia espectral de la absorción de la FDE. b) Sección transversal de emisión (línea punteada) y absorción (línea continua) del Er3+. Adaptado de (Desurvire 1994).
Las FDE también se pueden bombear con 1480 nm a los subniveles más
altos del estado ⁄ , que excita iones al nivel superior de la propia transición láser
⁄ → ⁄ . La banda de absorción ancha e intensa alrededor de 1530 nm
(Figura 10b) indica que el vidrio dopado con erbio es un medio altamente absorbente
cuando no es activado por algún mecanismo de bombeo. Sin embargo, al ser
21
bombeado ópticamente alrededor de las longitudes de onda de 980 nm o 1480 nm
irradiará luz en la banda de 1550 nm, pudiendo ser utilizados en amplificación óptica
o láseres (descrito a través de un esquema de láser de tres o dos niveles).
El promedio de los perfiles espectrales de los iones de absorción/emisión
correspondientes a la transición óptica entre dos estados más bajos tiene una
amplia y muy suave curva, ver Figura 10b. Téngase en cuenta que hasta ahora, las
posiciones más probables de los iones de erbio en la matriz de sílice fundido aún
están en discusión (Desurvire 1994). También tiene que considerarse que el
ensanchamiento de las líneas de absorción/emisión observadas (D 50 nm a
1500 nm corresponde a Δ 0.030 eV) es comparable a la energía característica
de la excitación térmica 0.025 eV a temperatura ambiente (Stepanov 2008).
Como se mencionó anteriormente, los subniveles de los niveles excitados
están poblados según la distribución térmica. Los procesos de termalización en FDE
ocurren con tiempos muy cortos, alrededor de 1 ns para la temperatura ambiente
(Desurvire 1994). Por esta razón los perfiles de absorción y emisión son bastante
diferentes: la excitación ocurre según la densidad de los estados en el nivel
metaestable, mientras que la emisión ocurre según la ocupación térmica de estos
niveles
2. 2 Interacción de luz con un material saturable de dos niveles
El vidrio de sílice dopado con Er3+ fue descrito en la sección anterior como un
sistema de tres niveles, pero en el caso de iluminación con una sola longitud de
onda cercana a la absorción fundamental, alrededor de 1530 nm, es posible
limitarse a la consideración de un sistema de dos niveles (Figura 11, donde se
muestran los proceso se absorción estimulada, emisión espontánea y emisión
estimulada en un sistema de dos niveles).
En un sistema de dos niveles las poblaciones del estado base (nivel 1) y del
estado metaestable (nivel 2) serán y , respectivamente, considerándose
entonces que es la población total; la condición para la inversión de
22
población es 0. Los cambios de población entre estos dos niveles se
relacionan como:
1 2dN t dN t
dt dt . (1)
Figura 11. Sistema de dos niveles con una diferencia de energía y un tiempo característico de decaimiento de . y : las poblaciones del estado base y del estado metaestable, respectivamente. (De izquierda a derecha se muestran la absorción estimulada, emisión espontánea y emisión estimulada)
Analicemos un sistema de dos niveles basándonos en el trabajo de (Siegman
1986). En su análisis, los átomos fluyen desde el nivel i hacia el nivel j a una
velocidad , donde es la razón de relajación y es la
probabilidad de la transición de la emisión estimulada. La ecuación de razón para
los niveles de población y en este sistema es:
1 2
12 12 1 21 21 2
dN t dN tW N t W N t
dt dt . (2)
En el caso de que los niveles de energía no fueran degenerados, podríamos
considerar que las transiciones de la emisión estimulada son iguales y
que el cociente entre las razones de relajación cumple con la ecuación de relajación
de Boltzman: ⁄ ⁄ , donde es la temperatura alrededor de
los iones y es la distancia entre los niveles. En esta caso los niveles de energía
en equilibrio térmico ( y ) se relacionan según la expresión ⁄
⁄ , y la diferencia de población en equilibrio térmico es:
23
21 120 10 20
21 12
tanh 2a BN N N N N k T
. (3)
En un sistema simple donde la población total es la suma de las poblaciones
de cada uno de los dos niveles es suficiente con definir una ecuación de razón de
población para conocer la diferencia de población, ∆ , que obtenemos al
combinar las ecuaciones de razón para cada nivel (Ec. (2)):
21 1212 21 12 21
21 12
dN t W W N t N t N
dt
. (4)
Sabemos que en un sistema no degenerado se cumple que y si
definimos el tiempo de relajación de los dos niveles de energía como:
12 21
1
, (5)
entonces la simplificación de la Ecuación (4) es:
21 1221
21 12
12
dN t W N t N t N
dt
. (6)
Notemos también que podemos expresar esta ecuación en términos de la diferencia
de población en equilibrio térmico utilizando la Ecuación (3)
21 0
12
dN t W N t N t N
dt ; (7)
y si la inversión de población que se produce en total es ∆ , se tiene entonces
que
21
12
dN t W N t N t N
dt . (8)
El primer término del lado derecho de la ecuación anterior, 2 ∆ ,
corresponde a la señal estimulada y es el que lleva la diferencia de población a cero,
es decir, satura la diferencia de población; la probabilidad de la transición estimulada
24
es proporcional al de la intensidad, por lo que la Ecuación (7) se puede escribir
como:
12
a
d IN t N t N t N
dt
. (9)
En general, el comportamiento de la saturación es directamente proporcional a la
diferencia de población ya que un sistema se satura con el aumento de la señal de
intensidad (Siegman 1986); como resultado el coeficiente de absorción óptica
estacionario está dado por:
0
1stsatI I
, (10)
donde es la absorción inicial no saturada definida como:
0 0 aN , (11)
mientras que la intensidad de saturación se define como:
0sat
a e
I
, (12)
donde y son las secciones transversales de absorción y emisión,
respectivamente. La razón de relajación de un ion de erbio excitado es:
1 10 1
sat
I
I
. (13)
De la intensidad de saturación , la cual está determinada por las
características del dopante (tiempo de relajación, área efectiva de absorción)
podemos evaluar la potencia de saturación . La potencia de saturación es un
parámetro muy importante para las fibras dopadas y también está relacionada con
la geometría de la fibra (diámetro modal de la fibra ) mediante:
2
4sat M satP D I
. (14)
25
Esta última relación nos permite sustituir en las Ecuaciones (10) y (13) el
término de la intensidad normalizada ⁄ , por el de la potencia normalizada
⁄ .
Al excitar la fibra con una longitud de onda en la banda fundamental de
absorción (1480 a 1570 nm), el nivel metaestable es excitado en forma directa.
Como resultado de transiciones espontáneas, desde el nivel metaestable al nivel
fundamental ⁄ , aparecerá la fluorescencia. Su intensidad depende de la
población en el nivel metaestable, por esta razón, puede expresarse mediante la
siguiente relación:
1 1
sat satf
sat sat
I I P PI
I I P P
. (15)
La relajación de la señal de fluorescencia mantiene el mismo comportamiento de la
relajación de la población del nivel metaestable, por lo que en oscuridad (es decir,
entre dos pulsos de luz de excitación consecutivos) la fluorescencia se relaja con
una razón de relajación espontánea [(Agrawal 2013), (Becker, Olsson y
Simpson 1999)], mientras que bajo iluminación la fluorescencia crece hasta
alcanzar su nivel del estado estacionario, distinto de cero, con un crecimiento dado
por la Ecuación (13) (Siegman 1986).
2.3 Rejillas dinámicas de población en fibras saturables
Continuando con la consideración de la sección anterior, en un medio con absorción
saturable, por ejemplo una FDE, la propagación de la luz es nolineal. El coeficiente
de absorción óptico en cada sección transversal a lo largo del eje por donde se
propaga el haz es función de la intensidad. De esta manera, la FDE puede ser
utilizada para formar una rejilla (Stepanov 2008) cuando la fibra está iluminada por
un patrón de interferencia generado por dos ondas mutuamente coherentes y con
la misma polarización ( y ). En la Figura 12 se muestra como el perfil de intensidad
de este patrón se transforma en un perfil de absorción.
26
Figura 12. Formación del perfil espacial de absorción óptica en una fibra con absorción saturable.
Un patrón de interferencia sinusoidal puede ser descrito por la siguiente
ecuación:
0 1 cos ,I z I m Kz (16)
donde es el promedio de la intensidad de la luz, es la profundidad de
modulación y 2 Λ⁄ es la frecuencia espacial. El perfil de absorción , por
consiguiente una rejilla de amplitud, se puede obtener de la sustitución de la
ecuación del patrón de intensidad de grabación (16) en la Ecuación (10). En la
Figura 13 se presenta el perfil de absorción óptica para diferentes intensidades de
la luz promedio. En general, este perfil representa una réplica invertida pero
distorsionada del patrón de la luz sinusoidal inicial, .
La amplitud del primer armónico espacial (que en la mayoría de los casos,
corresponde a la componente correspondiente de la rejilla de Bragg de interés) se
puede obtener fácilmente en una aproximación de bajo contraste ≪ 1 (Stepanov
2008). En este caso, para la rejilla grabada:
1 cosst stz m Kz , (17)
también tiene un contraste bajo:
27
0
01sat
sat
mI Im
I I
(18)
y su amplitud está dada por:
0 02
01sat
sat
m I I
I I
. (19)
Figura 13. Perfiles de la absorción óptica (líneas continuas) formados como resultado de la saturación de un sistema de dos niveles por el patrón de luz sinusoidal (línea punteada) con diferentes intensidades normalizadas de luz promedio ⁄ = 0.5, 1, 2, 4 y 8 (desde la parte superior a la parte inferior). Adaptado de (Stepanov 2008).
En la mayoría de las aplicaciones y también para propósitos de investigación,
observación y caracterización de las rejillas dinámicas grabadas, se utiliza
ampliamente la configuración de mezclado de dos ondas (MDO), ver Figura 14. En
esta técnica las mismas ondas que graban la rejilla también se difractan por la
misma rejilla y esto resulta en el cambio de la intensidad y de fase de las mismas
ondas de grabado a la salida de la rejilla. Estos cambios se detectan mediante los
fotodiodos en las ondas transmitidas en la fibra. Las propagación de estos dos
28
haces coherentes ( y ) entran por ambos extremos de la fibra y se propagan en
sentidos contrarios, se describen mediante el siguiente conjunto de ecuaciones
(Stepanov, Plata 2004):
2 2
2 2
S mS R
z
R mR S
z
, (20)
Figura 14. Configuración del interferómetro de Sagnac utilizado para la observación de MDO dinámico en FDE. CP1, CP2: Controladores de polarización, MEO, modulador de luz electro-óptico. El recuadro muestra los picos del MDO en respuesta a una modulación de fase rectangular introducido por las ondas de grabación. Adaptado de (Stepanov, Nuñez Santiago 2006).
En la Figura 14 se muestra una configuración típica para la observación del
MDO en fibras ópticas dopadas con tierras raras. Cabe mencionar que esta
configuración de MDO típicamente se usa para observar MDO transitorio (Stepanov,
29
Nuñez Santiago 2006) cuando en un haz de grabado se introduce modulación de
fase con un perfil rectangular (por el modulador electro-óptico), y en la salida se
detectan picos transitorios de cambio de las potencias transmitidas; ver recuadro de
la Figura 14.
En la Figura 15 se muestran curvas teóricas (Stepanov, Nuñez Santiago
2006) para la amplitud ∆ de los picos de MDO transitorios normalizadas al nivel
promedio en función de la intensidad de iluminación de entrada también
normalizada a la intensidad de saturación de la fibra para diferentes densidades
ópticas de la fibra.
Figura 15. Eficiencia del mezclado de dos ondas en estado estacionario en función de la intensidad de la onda de grabado normalizada ⁄ en fibras con diferentes densidades ópticas, = 0.5 – a, 1 – b, 2 – c, 4 – d y 8 – 3. Adaptado de (Stepanov 2008).
El análisis fue realizado para la rejilla de amplitud (rejilla de saturación de
absorción), en el caso de dos ondas de grabado de la misma intensidad incidente,
y utilizando las condiciones de frontera pertinentes. También se toman en cuenta
los perfiles espacialmente no-uniformes de la absorción óptica saturada y de la rejilla
(Ec. (19)) grabada. De las curvas presentadas, puede observarse claramente que
30
el efecto se maximiza para una intensidad incidente total (de las dos ondas)
alrededor de la intensidad de saturación .
Como mencionamos en la Introducción (ver por ejemplo Figura 6), los valores
experimentales de la eficiencia de las rejillas y de MDO reportados por diferentes
grupos para FDE (Stepanov 2008) siempre son mucho menores a lo que la teoría
predice. En los experimentos reportados en (Stepanov, Hernández 2005) se
utilizaron dos fibras monomodales codopadas con aluminio, germanio y erbio
denominadas Er103 y Er123 referidas mas adelante como muestras 1 y 2
respectivamente. Las fibras tienen diámetros de núcleos similares (4 1 μm), pero
sus atenuaciones fueron de 4 1 y 35 1 dB/m a 1531 nm, por lo que tienen una
diferencia significativa en la concentración de erbio: casi diez veces. Para garantizar
condiciones similares en el grabado de la rejilla se utilizaron diferentes longitudes
de la fibra (L = 8.8, 1.0 m) lo que proporcionó densidades ópticas no saturadas de
4.0 y 4.5 para la longitud de onda de 1549 nm.
Las razones del decaimiento (relajación) de los picos de MDO se muestran
en la Figura 16. En esta gráfica se observa claramente un desplazamiento de los
datos obtenidos para la fibra 2 con respecto a la fibra 1, este desplazamiento es
independiente de la intensidad y tiene un valor de 30 s-1. Dicho desplazamiento
está acompañado con una disminución de la amplitud del MDO, como se puede
observar en el recuadro de la Figura 16 Los autores (Stepanov, Hernández 2005)
atribuyeron esta diferencia a la migración del estado excitado de los iones de erbio,
lo cual debe ser claramente más efectivo en la fibra con concentración de dopante
más alto.
El principal problema aquí es que la desviación en la amplitud de la señal de
la predicción teórica es mucho más grande que el crecimiento de la razón de
relajación de la rejilla. Por ejemplo, para las fibras usadas en el artículo (Stepanov,
Hernández 2005) el factor de reducción en la amplitud de la rejilla fue de alrededor
de 5 – 10, sin embargo, el crecimiento en razón de su formación no fue mas que
décimas de porciento. Entonces, los resultados obtenidos en general indican que el
modelo convencional de la migración del estado excitado no es útil para explicar la
reducción de la amplitud de la rejilla completamente en las fibras dopadas.
31
Figura 16. Razones de decaimiento de la señal de mezclado de dos ondas como función de la potencia de entrada , observada en la fibra 1 ( ) y 2 ( ). La línea continua representa la curva teórica original, mientras que la punteada representa la línea teórica desplazada. Adaptado de (Stepanov, Hernández 2005).
Un estudio de la dependencia espectral de las rejillas se muestra en
(Stepanov, Hernández 2007). Los autores encontraron las amplitudes máximas de
las rejillas normalizadas al valor promedio (Δ ⁄ = 45, 15 y 4.5%) y una densidad
óptica ( 4, 6 y 2) a la longitud de onda de 1492, 1526 y 1568 nm,
respectivamente, para una fibra Er123 de 1 m de longitud. Dichos autores
(Stepanov, Hernández 2007) encontraron que la eficiencia del MDO, en el rango de
longitudes de onda de 1490 a 1500 nm, es significativamente mayor.
Los autores (Stepanov, Hernández 2005) encontraron el coeficiente de
difusión ( =2.3 10-9 cm2/s) para la fibra 2 a partir de los resultados
experimentales de las razones de decaimiento de la señal de mezclado de
dos ondas y la ecuación para medios de volumen,
1 1 20g I K D , (21)
donde = 100 s-1 y a partir de este coeficiente de difusión calcularon la longitud
de difusión ( = 48 nm) a partir de la relación:
32
0DL D . (22)
Con estos resultados concluyen que la migración del estado excitado en la
fibra de más alta concentración (5600 ppm) alcanza hasta 18 distancias
interatómicas, mientras que en la fibra con menor concentración (640 ppm) no se
presenta.
2.4 Migración del estado de excitación
Una razón física probable de la reducción observada experimentalmente en la
amplitud de las rejillas (ver Figura 16), es la difusión (o migración de energía
resonante) de los estados excitados de los iones activos. Este proceso, obviamente,
puede disminuir el contraste de la distribución espacial de los iones foto-excitados
(en el estado metaestable) en comparación con el patrón de interferencia inicial.
Como se vio en la sección 1.2, se habla de migración cuando se tiene una
secuencia de donadores potenciales (iones), en donde un ion en el estado
excitado cede su energía a otro de los iones cercanos el cual no está excitado, ver
Figura 17. A su vez, este segundo ion (ya excitado) puede transferir su energía a
otro ion en el estado base y así sucesivamente, en este proceso, no hay una única
trayectoria por la cual se transfiere la excitación entre dos iones, sino más bien un
conjunto infinito de posibles caminos que involucran a muchos de los iones en la
muestra.
Figura 17. Migración de energía resonante.
33
La migración espacial de la excitación en los materiales láser se produce a
través de la interacción dipolo-dipolo (o de órdenes más altos: cuadripolo-
cuadripolo, etc.) entre los iones activos mediante un proceso no radiativo, esto es,
sin radiación ni absorción de un fotón (Powell 1998). La eficiencia de este proceso
se caracteriza por el llamado radio de Förster que es la distancia entre los iones
para la cual la probabilidad de saltar de un ion a otro durante el tiempo de vida de
excitación es igual a uno. Para la distancia entre los iones la probabilidad de
salto de excitación está dada por:
6
0s
RP r
r
, (23)
para la interacción dipolo-dipolo, mientras que la dependencia es aún más fuerte
(con una potencia de 8) para la interacción cuadripolo-cuadripolo, etc. (Powell
1998). Esta probabilidad es normalizada al tiempo de vida de excitación ,
⁄ :
6
0
0
1 RP r
r
(24)
En la literatura actual dedicada a consideraciones teóricas de la contribución
de la migración en la eficiencia de bombeo óptico, para las fibras dopadas con erbio
el radio de Förster se supone que es de cerca de 2 nm [(Nikonorov, Przhevuskii y
Chukharev 2003), (Khoptyar, Sergeyev y Jaskorzynska 2005)]. Debido a la
dependencia tan fuerte de la distancia entre iones (Ec.(24)), es evidente que si la
distancia entre dos iones es menor que el radio de Förster, la energía de excitación
casi seguramente pasara de un ion a otro durante su tiempo de vida. Mientras que
si la distancia entre los iones es más grande, se puede prescindir de este proceso
y considerar estos iones como independientes.
Tenga en cuenta que, en sí, el proceso de migración del estado excitado no
cambia la población media del nivel metaestable, aunque de una manera indirecta
puede reducir el desempeño de amplificadores y láseres [(Nikonorov, Przhevuskii y
Chukharev 2003), (Khoptyar, Sergeyev y Jaskorzynska 2005), (Digonnet 2001),
34
(Delevaque, et al. 1993)]. Esto es debido a que facilita los procesos de la
transferencia de la excitación de los centros activos (pares de iones a corta distancia
o clústeres) con una relajación del estado excitado mucho más rápida, que en
particular produce un efecto conocido como “extinción de fluorescencia debido a la
concentración”.
Por otro lado, la migración puede jugar un papel positivo en los procesos de
bombeo. Esto se utiliza en materiales codopados con Er e Yb (Powell 1998),
aprovechando la absorción de luz de bombeo de 980 nm. Después, por una
migración espacial del estado excitado entre los iones de iterbio la excitación se
transfiere a un ion de erbio. El cual pasa a un estado excitado y participa, en esta
forma, en el proceso de amplificación óptica o de laseo con longitud de onda en el
rango deseado de 1530 – 1570 nm.
2.4.1 Migración de excitación y rejillas dinámicas en materiales de volumen
El proceso de migración suaviza el contraste de la rejilla de población grabada y por
esta razón puede reducirse la eficiencia de las rejillas y la amplitud del mezclado de
dos ondas (MDO) observado experimentalmente en las FDE. También se evidencia
en el aumento de la velocidad de relajación de las rejillas de población, que
normalmente crece a la segunda potencia de la frecuencia espacial de la rejilla
(French, Powell 1991). Cabe mencionar que esta técnica no es aplicable a fibras
dopadas con tierras raras donde es prácticamente imposible cambiar la frecuencia
espacial de las rejillas de población grabadas por dos ondas en contrapropagación.
En soluciones y materiales ópticos cristalinos de volumen, existen bastantes
publicaciones donde se reportan los efectos de la influencia en las rejillas de
población por dicha migración y, en particular, en Rodamina 6G en glicerina
(Gochanour, Fayer 1981), en fluoresceína sódica en etanol (Gomez-Jahn, Kasinski
y Miller 1985), en cristales moleculares (Salcedo, et al. 1978), en Tm, Ho: YAG
(French, Powell 1991) en Cr: Er: YSGG (Noginov, et al. 1996). En realidad los
autores observaron experimentalmente la dependencia de la razón de relajación, es
35
decir, el tiempo inverso de la rejilla dinámica en función de la frecuencia espacial
2 Λ⁄ :
1 2 21 DK L . (25)
Aquí es la longitud de difusión del estado excitado y Λ es el periodo espacial de
la rejilla. Un punto muy importante para este modelo teórico es que el tiempo de
formación de la rejilla y su amplitud estacionaria disminuyen proporcionalmente por
el mismo factor 1 . Cabe mencionar, que en los experimentos reportados
para los materiales de volumen casi nunca se presentan los datos para la amplitud
de la rejilla grabada.
Una versión particular de este método de observación está basada en la
técnica de la rejilla transitoria utilizando pulsos cortos de grabado, lo cual involucra
el uso de pulsos láser ultracortos (femtosegundos) coincidentes en tiempo y que se
crucen dentro de la muestra bajo análisis. De esta manera se forma una rejilla de
difracción cuya periodicidad está dada por:
2 sin / 2ex
n
, (26)
donde es la longitud de onda de excitación, es el índice de refracción del medio
irradiado y es el ángulo de refracción entre los haces que se cruzan. La amplitud
de la rejilla formada se evalúa mediante un tercer haz retrasado en tiempo.
Un arreglo experimental típico usado en (Gomez-Jahn, Kasinski y Miller
1985) para la investigación de la rejillas dinámicas en fluoresceína sódica en etanol
al 99% con una longitud de onda de 266 nm se muestra en la Figura 18.
La difusión espacial debida al transporte energético de la distribución
sinusoidal inicial de los estados excitados se determina en estos experimentos
mediante la medición del tiempo de relajación de la rejilla como una función de
Λ . Utilizando la dependencia de la razón de relajación mediante el ajuste al
modelo de transporte de energía difusiva:
22
2 8 DK
. (27)
36
Los autores (Salcedo, et al. 1978) encontraron, para cristales moleculares (C18H14),
que el coeficiente de difusión es de = 2 cm2/s, para una concentración de 1.6
10-3 mol/mol de pentaceno; de igual manera en (French, Powell 1991) se ajustó
un coeficiente de difusión de 4 cm2/s para Tm, Ho: YAG con una concentración del
dopante (Tm3+) de 8.3 1020 cm-3
Figura 18. Configuración experimental para grabar/detectar rejillas dinámicas en fluoresceína sódica en etanol al 99%. El ángulo entre los pulsos de excitación que forman la rejilla se varió de 16° a 180° (con 180° mostrados). El pulso de prueba es acoplado en el ángulo de Bragg y es polarizado a 55° respecto a los pulsos de excitación para evitar efecto de despolarización en la señal de la rejilla. HV: Fuente de poder de alto voltaje, PMT: tubo fotomultiplicador, R: Reflector parcial, VS: Divisor de haz del 50%. Adaptada de (Gomez-Jahn, Kasinski y Miller 1985).
2.4.2 Migración de excitación y polarización de la fluorescencia
La polarización de la fluorescencia cuando se utiliza luz linealmente polarizada de
excitación, se ha estudiado en materiales de volumen. Sin embargo, en la literatura
científica no encontramos ninguna información sobre el proceso de despolarización
de fluorescencia en las FDE o en fibras dopadas con otros elementos de tierras
raras. A continuación se mencionan dos trabajos experimentales realizados en este
tema.
37
Se espera que al excitar la fibra dopada con erbio con luz polarizada, la
fluorescencia emitida esté polarizada. Esto debido a que la excitación predominante
por la luz polarizada hace que las orientaciones de sus dipolos se alinean a lo largo
del eje de polarización. Estos mismos dipolos son los que emiten los fotones de
fluorescencia, los cuales deben tener predominantemente la misma polarización.
Sin embargo, la migración produce un intercambio de excitación entre iones
vecinos, los cuales, en un material amorfo, como las FDE, no tienen orientaciones
similares. Entonces, se espera que después de algún número de saltos sucesivos,
la excitación “olvide” su polarización inicial. Por lo tanto la migración de energía
resonante puede ocasionar la pérdida de la polarización de la fluorescencia, es
decir, puede ocasionar despolarización de fluorescencia.
La relación entre la intensidad de la luz polarizada y la intensidad total
en un punto , se le conoce como grado de polarización (Al-Qasimi, et al.
2007):
pI rP r
I r . (28)
Figura 19. Espectros de luminiscencia de Eu3+ en vidrio de fosfato para detección ∥ 1 y para ∥ 2, 3 para las longitudes de onda de excitación de: 2) = 4640 Å, 3) = 3940 Å. Adaptada de (Lebedev, Przhevuskii 1977).
38
En los 70´s los autores Lebedev y Przhevuskii (1977) encontraron que la
luminiscencia de vidrios activados con iones de tierras raras está parcialmente
polarizada. En sus experimentos observaron cambios en la forma espectral de la
luminiscencia con la longitud de onda de la luz de excitación y la composición del
vidrio, ver Figura 19.
El ejemplo de un arreglo experimental más reciente para la detección de la
polarización de la fluorescencia en vidrio de volumen (Rokhmin, et al. 2004) se
muestra en la Figura 20. Aquí, el grado de polarización de la fluorescencia es
definido mediante la relación:
I IP
I I
, (29)
donde ∥ e son las componentes de luminiscencia polarizada paralela y
perpendicularmente a la luz de excitación, respectivamente.
Figura 20. Arreglo experimental para la detección de fluorescencia: (1) láser de neodimio l= 532 nm, (2) láser de titanio-zafiro = 790 a 1000 nm, (3) Cristal LiNbO3 ; (4) prisma Glan, (5) muestra; (6) filtro infrarrojo; (7, 9) polarizadores; (8) placa 2⁄ ; (10) monocromador, (11) detector, (12) amplificador lock-in, (13) computadora. Adaptada de (Rokhmin, et al. 2004).
Se encontró para vidrios de silicato y fosfato dopados con erbio (0.1 – 0.8 mol%
Er2O3), que un aumento en la concentración del dopante resulta en un decremento
39
significativo en la polarización de la fluorescencia, ver Figura 4. En la Figura 21 se
muestran los espectros de luminiscencia ∆ I∥ I obtenidos para estos vidrios.
Los autores sugieren que estos espectros junto con el grado de polarización son un
resultado directo de un incremento en la razón de migración de excitación entre los
iones de erbio en la muestra con la concentración más alta.
Figura 21. Espectros de luminiscencia para una concentración de Er2O3 al 0.1 mol%. en vidrios de silicato – 1 y de fosfato – 2 para detección ∥ para una longitud de onda de excitación de = 800 nm. Adaptada de (Rokhmin, et al. 2004).
La definición del grado de polarización utilizada por estos autores (Rokhmin,
et al. 2004) y definido por la Ecuación (29), en otras publicaciones se le conoce
simplemente como polarización (Lakowicz, 2006), ya que no es la definición rigurosa
del grado de polarización (Ec. (28)); sin embargo, es posible demostrar que dichas
definiciones son equivalentes para polarización parcial lineal (Fowles 1975).
2.5 Polarization hole burning
El efecto Polarization hole burning (PHB) se observa por lo general como una
saturación selectiva de la ganancia de la fibra óptica, producida por la señal
amplificada con su propia polarización comparada con la experimentada por una
40
onda de prueba débil adicionalmente introducida y polarizada ortogonalmente
[(Wysocki, Mazurczyk 1996), (Stepanov, Hernández y Plata 2005b)].
El origen físico de este efecto es el siguiente: los iones de Er3+ en FDE son
un conjunto de centros ópticos con una anisotropía individual en su orientación.
Como resultado de la iluminación por la onda linealmente polarizada, los iones con
las orientaciones correspondientes a sus ejes principales alineados con dicha onda
son excitados de forma preferente.
El efecto PHB en experimentos de mezclado de dos ondas (MDO) con fibra
birrefringente dopada con erbio de densidad óptica de = 3.8, se reporta en
(Stepanov, Hernández y Plata 2005b), utilizando una longitud de onda de 1549 nm.
El efecto PHB lo observan en la amplitud relativa de la señal del MDO con
polarizaciones lineales ortogonales de las ondas contrapropagándose dentro de la
fibra, ver Figura 22 y Figura 23.
Figura 22. Diagramas del patrón de interferencia formado en la fibra óptica por dos ondas y contrapropagándose con a) polarizaciones lineales paralelas y b) polarizaciones ortogonales. Adaptada de (Stepanov, Hernández y Plata 2005b).
En el caso de que las ondas ( y ) tengan polarizaciones paralelas ( = 0°),
Figura 22a, la señal del MDO tiene una amplitud máxima, Figura 23. En cambio
41
cuando las polarizaciones lineales son ortogonales ( = 90°) no habrá modulación
de potencia debida al patrón de interferencia, Figura 22b. Sin embargo, se sigue
observando una señal del MDO, i.e. el mínimo de la señal de la Figura 23 es
diferente de cero.
Figura 23. Amplitud relativa del MDO transitorio en función del ángulo θ entre las polarizaciones lineales de las señales y , cuando la polarización lineal de S corresponde a uno de los ejes de birrefringencia de la fibra dopada con erbio. El recuadro muestra dependencias similares en función del ángulo de rotación de la polarización lineal de la señal S para =0 – y 90° . Adaptada de (Stepanov, Hernández y Plata 2005b).
Los autores (Stepanov, Hernández y Plata 2005b) interpretan este hecho
como una evidencia directa de la anisotropía en la grabación de las rejillas
dinámicas en fibras dopadas con erbio, es decir, aquellas rejillas que a diferencia
de las rejillas de absorción (que almacenan la distribución de potencia del patrón de
interferencia grabado), almacenan el estado de polarización de la luz.
Para explicar los valores experimentales obtenidos para PHB, los autores
(Wysocki, Mazurczyk 1996) proponen un modelo de iones con orientaciones
anisótropas (anisotropía reducida), esto es las secciones transversales de
absorción y emisión del erbio se caracterizan por diferentes elipsoides con tres
42
diferentes ejes y diferentes orientaciones, este modelo se analizará en detalle en la
sección 4.4.
Dichos autores, utilizaron este modelo para explicar resultados
experimentales del efecto PHB en amplificadores de FDE que produce 5 dB de
saturación y 120 mdB de PHB para una señal de -13.7 dBm a 1558 nm, para una
fibra de 16.7 m, bombeado con una potencia de 14 mW a 1480 nm, encontrando
que con un parámetro de anisotropía α) de 0.535 puede explicar el efecto PHB, ver
Figura 24.
Las discrepancias del ajuste que se observan en algunas regiones (Figura
24), los autores (Wysocki, Mazurczyk 1996) las atribuyen en parte a errores de
medición y en parte a efectos que pueden aumentar o disminuir la ganancia de la
señal ortogonal.
Figura 24. Mediciones de saturación y PHB de ganancia en dependencia de la potencia de entrada para las FDE, ajustes al modelo de dipolos independientes con anisotropía = 0.535 con longitud de onda de bombeo de 1480 nm y una señal de 1558nm. Adaptada de (Wysocki, Mazurczyk 1996).
43
Capítulo 3 Equipo, material y muestras experimentales utilizadas
El armado de los diferentes arreglos experimentales, necesarios para la
caracterización de las muestras de fibra óptica, realización de experimentos de
polarización de la fluorescencia y mezclado de dos ondas requiere de equipo y
material cuyas características se describen a continuación.
3.1 El equipo óptico, optoelectrónico y electrónico más importante
Láser DFB
En nuestros experimentos se emplearon tres diodos láser de onda continua de
retroalimentación distribuida (DFB, por sus siglas en inglés) con salida de fibra
óptica, del fabricante NTT Electronics. Sus longitudes de onda de emisión se
encuentran centradas en 1492, 1526 y 1568 nm a temperatura ambiente. Estas
longitudes de onda nos permitieron analizar las diferentes regiones espectrales (a
un lado, al centro y al otro lado respectivamente) de interés en línea de absorción
de iones de erbio. La potencia máxima de salida de dichos diodos fue de 20 mW
con longitud de coherencia mayor o iguales a 15 m (Plata 2007).
Fotodetectores
El monitoreo de la potencia óptica suministrada o detectada a las fibras bajo análisis,
se llevó a cabo mediante la utilización de fotodiodos tipo p-i-n de InGaAs de la
compañía Thorlabs. Los modelos utilizados fueron el DET10C y el DET410; estos
fotodetectores de InGaAs tienen una responsividad de 0.95 A/W para las longitudes
de onda comprendidas en el rango espectral 1480 – 1570 nm, usados en nuestros
experimentos.
Modulador electro-óptico (MEO)
En general, este dispositivo óptico puede modular la fase, polarización, amplitud, o
la frecuencia de un haz de radicación láser. El MEO se compone de un cristal, cuyo
44
índice de refracción depende de la intensidad, se modifica al ser expuesto a un
campo eléctrico. La modulación de polarización se realiza para la polarización de
luz incidente orientada a 45 grados con respecto a los ejes propios del cristal para
los cuales los cambios de índices de refracción inducidos por el voltaje externo son
diferentes.
En nuestros experimentos se utilizó un MEO de Micro Photonix con entrada
y salida de fibra óptica birrefringente, que permite mantener la polarización;
terminados con conectores FC/PC. El modulador fue caracterizado previamente
encontrándose que tiene una transmitancia de 0.34 a 1549 nm y de 0.37 a 1526 nm
(García Casillas 2006).
Generador de funciones
Un generador de funciones permite generar ondas dinámicas de tensión eléctrica
de diferentes formas (sinusoidales, cuadradas, etc.) con las cuales se estimulan
otros sistemas; en nuestro caso se utilizó como fuente de voltaje alterno para el
MEO. Utilizamos un generador de funciones digital Agilent 33120A, con un rango
de amplitud de 50 mVpp – 10 Vpp, rango de frecuencia para una señal cuadrada de
100 μHz – 100 kHz, impedancia de salida de 50 Ω y resolución de 10 μHz.
Osciloscopio
Un osciloscopio es un instrumento de captura y procesamiento de señales eléctricas
que pueden variar en algún instante determinado del tiempo; en nuestro caso, son
las señales ópticas previamente convertidas en señales eléctricas con los
fotodetectores. Se usó más frecuentemente el osciloscopio digital Wavesurfer 422
de dos canales, un ancho de banda de 200 MHz, frecuencia de muestreo 2 GS/s,
sensibilidad 1 mV/div – 10 V/div (LECROY). Este dispositivo cuenta con una interfaz
USB para guardar de manera externa las señales de interés, para posteriormente
poder procesarlas con un programa de computadora.
45
Amplificador Lock-in
Un amplificador lock-in es, en realidad, un filtro con un ancho de banda muy angosto
y una frecuencia central que se sintoniza usando una señal de referencia con la
frecuencia de la señal detectada. De esta forma se aumenta significativamente la
sensibilidad para la detección de las amplitudes (y fases) de las señales periódicas.
En nuestros experimentos utilizamos uno de la compañía Stanford Research
Systems modelo SR510. Los principales parámetros de este lock-in son: rango de
frecuencias 0.5 – 100 kHz, sensibilidad de 100 nV – 0.5 V, impedancia para el voltaje
de entrada 100 MΩ (SRS).
Analizador de espectros ópticos
El analizador de espectros HP70951A del fabricante Hewlett Packard con entrada y
salida de fibra óptica, muestra la potencia de la luz detectada contra la longitud de
onda, en el intervalo de longitud de onda que va desde 600 nm hasta 1700 nm. Este
instrumento está basado en rejillas de difracción, hace un barrido de 40 nm en tan
solo 50 ms, tiene una resolución espectral hasta de 0.1 nm, sensibilidad máxima
hasta -90 dBm y rango dinámico de -60 dB. Por otro lado, cuenta con conectores
FC/PC en cada una de las entradas /salidas de la fibra óptica monomodo/multimodo.
3.2 Elementos de fibra óptica
Acoplador de fibra óptica
Un acoplador de fibra óptica es un dispositivo pasivo que permite distribuir la
potencia de la luz proveniente de una fibra principal en un grupo de fibras con el fin
de realizar funciones de monitoreo en todo tipo de sistemas de comunicaciones
ópticas, con buena relación de acoplamiento. En nuestros experimentos utilizamos
acopladores de la compañía Australian Fibre Works (AFW) con diferentes relaciones
de acoplamiento, una longitud de onda central de 1550 nm, y con pérdidas de
inserción de ~3 dB (AFW). Los acopladores utilizados cuentan con cuatro puertos
46
bidireccionales, que se usan para distribución y combinación de la potencia de
entrada, ver Figura 25.
.
Figura 25. Esquema de un acoplador de fibra óptica.
Aislador Óptico
Un aislador óptico es un dispositivo con dos puertos, el cual solo guía la luz en una
dirección y elimina las ondas propagadas en la dirección contraria evitando que las
reflexiones no deseadas lleguen a otros dispositivos del sistema. El aislador óptico
utilizado es de la compañía Australian Fibre Works (AFW), modelo ISOD-48-P-2-L-
1-1 para la longitud de onda de 1480 nm. Dicho dispositivo es insensible a la
polarización, acoplado con fibra SMF-28e y conectores FC/PC; con pérdidas
máximas de inserción 0.85 dB, acepta una potencia máxima de 300 mW (AFW).
Figura 26. Esquema de un aislador óptico.
47
Controlador de polarizador (PC)
El estado de polarización de la luz en nuestros sistemas de fibra óptica se controló
mediante un controlador de polarización de la compañía Thorlabs modelo FPC560.
El estado de polarización es controlado mediante la birrefringencia inducida por
estrés mediante tres segmentos de fibra embobinada sobre discos que funcionan
como placas retardadoras. El control del estado de polarización se realiza mediante
el cambio de orientación relativa de estos discos.
Atenuador variable
Una posibilidad de controlar la potencia óptica, acción muy importante en nuestros
experimentos, se llevó a cabo utilizando un atenuador óptico variable de la
compañía OZ Optics modelo AV BB-500-11-1300/1549-9/125-s-40-SCSC-3-1-ND
con un rango de longitudes de onda de trabajo de 800 – 1625 nm. La atenuación en
este dispositivo es controlada por medio de un filtro variable de densidad neutra. La
atenuación máxima que puede obtenerse es de 40 dB.
Circulador
Un circulador es un tipo de aislador, el cual tiene tres puertos que permite a la luz
viajar sólo en una dirección, desde el puerto 1 al puerto 2 (Figura 3.1) o desde el
puerto 2 al puerto 3. Para nuestros experimentos se utilizó el circulador 6015-3-FC
de Thorlabs para el rango de 1525 – 1610 nm. Está acoplado con fibra SMF-28e y
conectores FC/PC; tiene pérdidas máximas por inserción de 1 dB, aislamiento
mínimo >40 dB, pérdidas dependientes de la polarización 0.1 dB (Thorlabs).
Figura 27. Esquema de un circulador de fibra óptica.
48
Polarímetro
Se utilizó también un dispositivo que nos permitió conocer el estado de polarización
que sale de la fibra. Este dispositivo es conocido como polarímetro y consta de una
montura con un conector de fibra tipo FC/PC seguido por una lente, la cual enfoca
la luz al fotodetector y un polarizador de película lineal colocado en una montura
giratoria.
Figura 28. Esquema de un polarímetro. (AD: adaptador de fibra, L: lente, POL: polarizador lineal, DET: detector). Adaptado de (Plata 2007).
3.3 Fibras dopadas con erbio
3.3.1 Datos generales
En los experimentos presentados se utilizaron fibras dopadas con erbio del
proveedor INO (National Institute of Optics), diseñadas principalmente para
aplicaciones en sistemas de telecomunicaciones ópticas. Las fibras empleadas
fueron aquellas con las denominaciones Er103, Er107, Er112 y Er123 (el número
ascendente indica una mayor concentración de iones de erbio). Estas son fibras
monomodo con una longitud de onda de corte de 900 100 nm.
Según el proveedor, los iones de erbio se encuentran distribuidos
uniformemente a través de todo el núcleo de la fibra (i.e., el factor de confinamiento
es unitario). Tomando esto en cuenta, y a partir de la absorción óptica máxima
(proporcionada por el proveedor, ver la Tabla 1) de las fibras, del diámetro del
49
núcleo de cada una de ellas (4 1 μm), y del valor máximo de la sección transversal
de absorción (a) de los iones de erbio Er3+ a 1531 nm, que es de aproximadamente
5.5 10 cm2 (Digonnet 2001), se ha obtenido la concentración de iones para las
fibras utilizadas, estas son: ~ 1.6 1018, 3.5 1018 6.8 1018 y 14 1019 cm-3
para las fibras Er103, Er107, Er112 y Er123, respectivamente, o equivalentemente
a 640, 1400, 2700 y 5600 ppm. Dado que el proveedor da un diámetro de núcleo
con una precisión de 1 m, esta evaluación también tiene un error de 50%
aproximadamente.
Tabla 1. Parámetros de las fibras dopadas con erbio del fabricante INO (INO).
Parámetros Er103 Er107 Er112 Er123
Concentración estimada de erbio
640 ppm
1400 ppm
2700 ppm
5600 ppm
Apertura numérica 0.16 ± 10% 0.16 ± 10% 0.2 ± 10% 0.16 ± 10%
Absorción máxima @980 nm 3 ± 1 dB/m 7 ± 1 dB/m 9 ± 1 dB/m 23 ± 1 dB/m
Absorción máxima @1531 nm 4 ± 1 dB/m 9 ± 1 dB/m 17 ± 1 dB/m 35 ± 1 dB/m
Pérdidas @ 1200 nm < 10 dB/km < 10 dB/km < 25 dB/km < 25 dB/km
3.3.2 Preparación de las muestras utilizadas, conectorización
Para minimizar las pérdidas por interconexión con otros elementos de fibra óptica,
debido a la diferencia de diámetros modales y facilitar la movilidad de las muestras
entre arreglos experimentales, se decidió empalmarlas con pequeños pedazos de
fibra óptica SMF-28e terminados con conectores FC/PC. Este tipo de conectores
tienen pérdidas típicas por inserción menores a 0.2 dB.
Las longitudes de las fibras utilizadas son de 198, 140, 31 y 21.5 cm para las
fibras Er103, Er107, Er112 y Er123, respectivamente.
3.3.3 Caracterización
La densidad óptica no saturada de las fibras utilizadas, es decir, el producto de su
absorción para bajos niveles de iluminación (entonces, sin saturación óptica) por su
50
longitud física es una característica particular básica de cada muestra de fibra
dopada. También es un criterio de homogeneización para poder realizar
comparaciones entre los resultados obtenidos para las diferentes muestras
utilizadas. La ley de Beer-Lambert (Saleh, Teich 1991) nos proporciona la relación
entre la intensidad de salida y la de entrada de una muestra con absorción lineal, y
está dada por:
0Lsal enI I e , (30)
en donde el término (densidad óptica) puede obtenerse realizando estudios de
espectroscopia a las muestras.
Figura 29. Relación de la densidad óptica no saturada y su longitud con la longitud de onda para la fibra Er103 (198 cm): negro; Er107 (140 cm): azul; Er112 (31 cm): verde y Er123: rojo para el rango de longitudes de onda 1400 a 1650 nm.
Las densidades ópticas no saturadas (obtenidas con potencias bajas de la
fuente de luz blanca del analizador de espectros ópticos) con respecto a la longitud
de onda se muestra en la Figura 29 en el rango de longitudes de onda de 1400
a1650 nm. Los perfiles obtenidos están en muy buena concordancia con los datos
conocidos de la literatura (ver, por ejemplo, Figura 10). Pensamos que el
1400 1450 1500 1550 1600 16500
1
2
3
Den
sida
d op
tica
L
)
Longitud de onda (nm)
51
desplazamiento general vertical en las dependencias experimentales está asociado
con las pérdidas adicionales por un acoplamiento no ideal de las fibras dopadas con
el espectrofotómetro. Estos niveles constantes se muestran por las líneas rectas
horizontales del color correspondiente.
En la Tabla 2 se muestra la densidad óptica no saturada por solo absorción
de erbio para cada una de las diferentes fibras, y para las diferentes longitudes de
onda de trabajo, obtenidas a partir del espectro de transmitancia (Figura 29).
Tabla 2. Densidad óptica no saturada para diferentes longitudes de onda.
Fibras
Densidad óptica ( )
1492 nm 1526 nm 1568nm
Er103 1.20 2.29 0.59
Er107 1.75 3.05 0.92
Er123 1.23 2.1 0.77
Dado que las fibras dopadas con erbio son un medio de absorción saturable,
un parámetro óptico importante a conocer es la potencia de saturación dada
por la Ecuación (14), la cual se relaciona con las características del dopante, es
decir, de los iones de erbio y de las características geométricas de la fibra.
La potencia de saturación puede obtenerse a través de la medición de la
transmitancia no lineal en función de la potencia de la luz incidente utilizando la
solución de la Ecuación (20), dada por:
[e e ]en satP PL
en sat
en sat
W P PT
P P
, (31)
donde W x es la función de Lambert, esta función representa una solución analítica
de la ecuación expy x y x x .
A esta ecuación es necesario agregar las pérdidas por contacto entre la fibra dopada y la fibra estándar , obteniendo:
52
[T e e ]c en satT P PL
c en satc
en sat
W P PT T
P P
, (32)
El arreglo experimental que se utilizó para las mediciones de transmitancia
no lineal (con saturación) para las longitudes de onda de trabajo se muestra en la
Figura 30.
Figura 30. Arreglo experimental para la detección de la transmitancia no lineal.
En dicha Figura 30 se muestra un acoplador 50/50, un diodo láser conectado
al brazo 1 del acoplador a través de un atenuador óptico variable (AV), el cual
permite controlar la potencia de entrada a la fibra que se puede monitorear mediante
el fotodetector FD2 en el brazo 4 del acoplador. La FDE se encuentra conectada al
extremo 3 y su potencia de salida es monitorea por el fotodetector FD1. El extremo
2 se encuentra libre e inmerso en gel acoplador para eliminar reflexiones hacia atrás
y de esta manera reducir las fluctuaciones por la interferencia en las intensidades
detectadas
La relación entre la transmitancia y la potencia de entrada a la fibra se
muestra en la Figura 31, para la fibra Er103 a las tres longitudes de onda de trabajo
1492, 1526 y 1568 nm, junto con el ajuste a la Ecuación (32). Los parámetros de
ajuste son: la densidad óptica , la potencia de saturación y el parámetro
de acoplamiento , estos resultados se muestran en la Tabla 3.
53
Figura 31. Transmitancia vs Potencia de entrada para las longitudes de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 () para la fibra Er103. La línea continua muestra el ajuste a la Ecuación (32).
Tabla 3. Parámetros de las fibras obtenidos mediante ajuste de los datos de la transmitancia a la Ecuación (32) para la fibra Er103 y las longitudes de onda 1492, 1526 y 1568 nm.
Longitud de onda (nm)
Fibra Er103
Psat
(mW)
Tc
1492 0.83 0.9 1.02
1526 0.29 0.9 2.29
1568 0.5 0.85 0.43
En la Figura 32 se muestra el sistema experimental utilizado para detectar la
fluorescencia de manera transversal por el fotodetector FD1 (Stepanov, Nuñez
Santiago 2006). En los experimentos se utilizaron diferentes diodos láser para cada
una de las tres longitudes de onda de trabajo y un acoplador 50/50 el cual nos
permite monitorear la potencia de entrada con el fotodetector FD2. Los extremos
0 1 20.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Pin (mW)
Tra
nsm
itan
cia
54
libres de fibra óptica (no conectados a ningún elemento) en el sistema mostrado en
la Figura 32 se encuentran inmersos con gel acoplador para eliminar reflexiones.
Para evitar el cambio significativo de potencia que excita la fluorescencia detectada,
las mediciones se realizaban muy cerca del inicio de la fibra dopada, a unos 5 – 10
cm de la entrada de la fibra.
Figura 32. Arreglo experimental utilizado para la caracterización de fluorescencia en una dirección transversal.
En el recuadro de la Figura 32 podemos observar la forma temporal de la
señal típica de fluorescencia; de esta gráfica podemos obtener la razón de
decaimiento de fluorescencia generada por los iones de erbio en su proceso
de emisión espontánea y la razón de crecimiento de la fluorescencia en el
proceso de su excitación. Es claro que estas formas temporales pueden
aproximarse a una función exponencial y así encontrar la razón de crecimiento y
decaimiento de fluorescencia. Estas aproximaciones se realizaron con el programa
OriginPro y se muestran sus resultados y como función de la potencia de
entrada en la Figura 33 para la fibra Er112 y la longitud de onda de 1526 nm.
En la Figura 33 podemos observar que el tiempo de decaimiento de
fluorescencia permanece constante en 10 ms (100 s-1) que corresponde al tiempo
55
de la relajación espontánea, mientras que el tiempo de crecimiento de la
fluorescencia es constante con la potencia de entrada.
Figura 33. Razones de crecimiento (■) y decaimiento (▲) de la fluorescencia en función de la potencia de entrada para la fibra Er112 y una longitud de onda de 1526 nm.
Tabla 4. Potencia de saturación (en mW) evaluada a partir de las de la razones de crecimiento de la fluorescencia para las fibras utilizadas con las tres longitudes de onda de trabajo.
Fibras
Potencia de saturación(mW)
1492 nm 1526 nm 1568nm
Er103 1.23 2.26 0.68
Er112 1.06 0.32 1.28
Er123 0.7 0.3 0.8
De la relación entre las razones de crecimiento y decaimiento, Ec. (13),
podemos deducir que cuando la razón de crecimiento de la fluorescencia es dos
0 1 2 30
200
400
600
800
1000
-1 (
s-1)
Pin (mW)
56
veces más grande que la razón de decaimiento en la oscuridad, la potencia de
entrada es igual a la potencia de saturación. Entonces, según la Figura 33, para la
fibra Er112, la potencia de saturación de la fibra es = 0.32 mW. En nuestros
experimentos repetimos este procedimiento para todas las fibras utilizadas y en la
Tabla 4 se muestran las potencias de saturación obtenidas.
Otra técnica para obtener la potencia de saturación a partir de los datos de la
fluorescencia detectada transversalmente, es mediante la dependencia
experimental de la intensidad promedio de la fluorescencia en función de la potencia
de la luz incidente. Las dependencias experimentales de este tipo se muestran en
la Figura 34 para las fibras Er103 y Er123 junto con el ajuste teórico (líneas
continuas) usando la Ecuación (15). Estos resultados se obtuvieron con el mismo
sistema experimental de fluorescencia transversal (Figura 32).
Figura 34. Promedio de intensidad de fluorescencia como una función de la potencia de la luz incidente observada en Er103 (a) y en Er123 (b) bajo la excitación con la longitud de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 (). Las líneas continuas muestran los ajustes teóricos utilizados para la evaluación de la potencia de saturación.
Para evitar la contribución de la luz que se propaga en la cubierta afuera del núcleo
de la fibra dopada (por un acoplamiento malo de la fibra convencional con la fibra
dopada), la intensidad de fluorescencia se medía a una distancia (5 – 10 cm) desde
el extremo de entrada del segmento de la fibra dopada. Por esta razón, los valores
0 1 2 30
1
2
3
4
Inte
nsid
ad d
e fl
uore
sce
ncia
(m
V)
Potencia de entrada (mW)
0 1 2 30
5
10
15
20
Inte
nsi
dad
de
fluor
esce
ncia
(m
V)
Potencia de entrada (mW)
57
de la potencia de saturación obtenidos por esta técnica pueden considerarse más
bien como una evaluación de la cota superior de los valores reales de la potencia
de saturación; estos valores son presentados en la Tabla 5.
Tabla 5. Potencia de saturación (en mW) evaluada a partir de la intensidad de fluorescencia.
Fibras
Potencia de saturación (mW)
1492 nm 1526 nm 1568nm
Er103 0.86 0.49 1.1
Er107 1.2 0.67 1.9
Er112 1.1 0.49 1
Er123 1.6 0.74 1.2
58
Capítulo 4 Polarización de la fluorescencia
Como tal, el vidrio de sílice, con el cual se forma el núcleo de las FDE, es un material
amorfo y, como resultado, no debe tener ninguna anisotropía en las propiedades
ópticas lineales (la absorción óptica, o su índice de refracción). La fluorescencia es
un efecto inducido por iluminación externa a la fibra, y se espera que la fluorescencia
presente anisotropía, la cual se refleja en la dirección de propagación y en la
orientación de la polarización de la luz de bombeo incidente. Numerosos datos
sobre el uso de amplificadores de FDE [(Lebedev, Przhevuskii 1977), (Rokhmin, et
al. 2004)], indican que la radiación de la fluorescencia producida por la transición
fundamental ⁄ → ⁄ es anisótropa y, por lo tanto, es posible observar la
polarización, por lo menos parcial, de luminiscencia para esta transición (Rokhmin,
et al. 2004). Investigar la polarización de la fluorescencia en las FDE nos da
información importante para comprender los fenómenos ópticos no lineales en
dichas fibras, como es la migración del estado excitado entre los iones activos de
erbio en las FDE.
A continuación en este capítulo se presentan los resultados experimentales
originales sobre la polarización de la fluorescencia en fibras dopadas con erbio
excitadas por luz linealmente polarizada para tres longitudes de onda en el rango
espectral de la absorción fundamental de Er3+ (1492, 1526 y 1568 nm). Los datos
presentados se obtuvieron para un conjunto de fibras monomodo con diferente
concentración de erbio en el rango [640, 5600] ppm del fabricante INO – un líder
mundial en área de fibras dopadas. También se realiza la comparación de estos
resultados experimentales con los modelos teóricos de dipolos independientes y de
anisotropía reducida.
4.1 Configuración experimental y técnicas de medición
Al ser la FDE excitada (bombeada ópticamente) a través de uno de sus extremos,
la fluorescencia puede ser detectada longitudinalmente a partir de la señal de la
59
configuración experimental de la Figura 35a. Si el nivel de excitación por el bombeo
es baja y la inversión del sistema es insignificante es posible omitir la emisión
estimulada amplificada y considerar que la señal detectada representa la señal de
fluorescencia inicial. En esta configuración longitudinal la señal de fluorescencia
puede ser grande pero la señal detectada es emitida por diferentes secciones
transversales a lo largo de la fibra donde la potencia de bombeo, debido a la
absorción de la fibra, puede ser diferente y variarse con el nivel de bombeo.
a
b
Figura 35. Configuraciones experimentales para la observación de fluorescencia en la FDE de manera a) longitudinal y b) transversal.
Este problema puede ser resuelto, al menos en gran parte, con la detección
de la fluorescencia transversalmente (Figura 35b). En este caso la señal de
fluorescencia es detectada a un lado de un pequeño segmento de la fibra dopada
en donde las condiciones de bombeo pueden ser consideradas como uniformes. Si
el punto de detección se encuentra cercano a la entrada de la fibra dopada, la
potencia de bombeo puede ser considerada constante e igual a la potencia
incidente. Claro que en la configuración para la detección de la fluorescencia, la
detección transversal tiene menor sensibilidad que la configuración con la detección
longitudinal, pero es más apropiada para las mediciones cuantitativas de amplitud y
temporales mediante señales de bombeo moduladas.
La fluorescencia observada en este trabajo aparece como resultado de una
transición espontánea (con un tiempo característico = 10 ms [(Digonnet 2001),
(Becker, Olsson y Simpson 1999)]) desde el nivel metaestable ⁄ al nivel
fundamental ⁄ (Figura 1). Por lo general, la FDE es excitada por una longitud
60
de onda de bombeo de 980 nm a través del tercer nivel de energía ⁄ . Debido
al corto tiempo, ~ 15μs (Digonnet 2001), de transición no radiativa de este nivel
comparado con el tiempo de vida del nivel metaestable se puede omitir la estancia
del ion en este nivel de energía y considerar que la excitación pasa casi
inmediatamente al nivel metaestable. Ahora, si la fibra es iluminada por una longitud
de onda en la banda de absorción fundamental 1480 – 1570 nm (como se hace en
este trabajo) el nivel metaestable es excitado en forma directa.
El esquema de la configuración experimental utilizado para analizar el estado
de la polarización de la fluorescencia se presenta en la Figura 36. La señal de
fluorescencia se detectó transversalmente con del fotodiodo FD1 a unos 5.5 cm del
extremo de entrada de la fibra, esto para evitar cambios significativos en la potencia.
La fibra se encuentra desforrada en este punto de detección para evitar posibles
interferencias debido a imperfecciones de la cubierta de la fibra. La potencia de
entrada a la Fibra Dopada con Erbio puede ser cambiada con el atenuador variable
AV y es monitoreada con el fotodiodo FD2 en la salida 4 del acoplador 50/50. En
este experimento se mantuvo una potencia óptica de entrada a la fibra constante
mientras se aplicaban saltos de la orientación de polarización de luz de entrada
entre ± 45°. Estos saltos se realizaron por medio del modulador de fase electro-
óptico MEO (micro Photonix) y un controlador de polarización (CP) localizados en
el brazo 3 del acoplador.
El voltaje de modulación periódica de forma rectangular con 2.7 Vp-p de
amplitud y una frecuencia de modulación de 11 Hz se aplica al modulador electro-
óptico. Este voltaje asegura saltos bruscos de polarización de luz en la salida de
modulador entre dos orientaciones ortogonales (+45 y -45). La frecuencia de
modulación mencionada se seleccionó por las siguientes razones: el semiperiodo
de la modulación (alrededor de 45 ms en este caso) debe ser lo bastante grande
para que todos los procesos se relajen en el tiempo de la relajación espontánea,
alrededor de 10 ms (Desurvire 1994).
La señal detectada por el fotodiodo FD1 con una resistencia de carga de
~300 k es preamplificada mediante un lock-in SR510 y monitoreada con un
osciloscopio digital Wavesurfer 422. Esta resistencia de carga junto con la
61
capacitancia del cable usado (alrededor de 200 pF para 2 metros de cable), nos da
el tiempo característico del circuito RC < 0.1 ms, suficientemente corto para una
detección precisa de los procesos observados.
Figura 36. Arreglo experimental utilizado para la observación transversal de la polarización de la fluorescencia en la FDE (AV - atenuador variable, CP - controlador de la polarización, MEO - modulador electro-óptico, FD - fotodetector). El recuadro muestra la señal de fluorescencia típica que aparece en respuesta al cambio de polarización lineal periódica entre las orientaciones ±45°.
En el recuadro de la Figura 36 se muestra la respuesta temporal típica de la
señal de fluorescencia detectada, cuando la polarización de la luz incidente a la fibra
se cambia periódicamente entre dos orientaciones ortogonales (± 45°) a lo largo y
perpendicularmente a la dirección de observación. Tengamos en cuenta que, por la
contribución de los procesos de transiciones estimuladas, el osciloscopio presenta
el tiempo de crecimiento/integración inferior al tiempo de relajación espontánea del
nivel metaestable de las FDE, 10 ms. La amplitud normalizada de la señal de
polarización de la fluorescencia se evaluó como la relación entre la señal efectiva
de AC (que se muestra, en particular, en el recuadro de la Figura 36 y se mide
usando un lock-in y un osciloscopio en el régimen AC) y el nivel promedio de la
62
señal de fluorescencia, el cual se monitoreó directamente con el osciloscopio
operando en el régimen DC.
Para permitir la medición de una dependencia angular θ de la señal de
fluorescencia de un determinado segmento de la fibra dopada con erbio, esta se
colocó verticalmente en la configuración experimental. La dependencia angular
obtenida se muestra en la Figura 37 para la fibra Er123, para una longitud de onda
de 1492nm y una potencia de entrada constante de 0.5 mW.
Figura 37. Dependencia de la amplitud normalizada de la señal de la polarización de la fluorescencia con la orientación de detección . (Er123, = 1492 nm, = 0.5 mW, frecuencia de modulación 11 Hz).
Como se esperaba para la señal de fluorescencia, la dependencia angular
de la señal detectada experimentalmente tiene una contribución sinusoidal (Figura
37). Esto es debido a que en la señal de fluorescencia en el estado estacionario los
dipolos excitados están polarizados principalmente a lo largo de la polarización de
la luz de excitación y, por esta razón, tiene menor intensidad en esta dirección. Los
extremos máximo y mínimo (la señal invertida) observados en esta curva sinusoidal
corresponden a la dirección de observación paralela y perpendicular a la
polarización inicial de la luz de excitación. Las posiciones del mínimo y del máximo
0 50 100 150 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
Am
plitu
d (u
.a.)
Angulo de detección (grados)
63
en esta curva se intercambian si cambiamos la fase de la señal de referencia usado
para el lock-in por la fase opuesta.
Al detectar la señal de AC, también se detecta un desplazamiento promedio
del nivel 0 (señal off-set, ver la Figura 37, línea punteada). Nosotros atribuimos esta
señal a una modulación de intensidad residual de la luz de excitación introducida
por el MEO. Mediciones directas de dicha intensidad, arrojan un valor del 1% de
modulación intensidad para nuestro MEO.
A fin de eliminar esta señal de off-set hemos utilizado dos fotodiodos
idénticos (véase la Figura 36) uno de ellos situado a lo largo de la posición angular
del máximo y el otro a lo largo de la posición de la respuesta mínima en la Figura
37. Los colocamos a una distancia tal de la fibra que los valores promedio en los
dos fotodetectores sean iguales. En caso de una supresión significativa de la señal
de off-set, la amplitud de la señal AC de polarización se podría medir con estos dos
fotodetectores a través del amplificador lock-in operado en modo diferencial ,
aumentando de esta manera la sensibilidad de detección, pudiendo así encontrar la
amplitud máxima de la señal de polarización de la fluorescencia.
4.2 Resultados experimentales
Las dependencias de la señal de polarización de la fluorescencia normalizada
contra la potencia promedio de la luz incidente, observadas mediante el sistema
mostrado en la Figura 36, se obtuvieron para las longitudes de onda de excitación
de 1492, 1526 y 1568 nm. En estas gráficas la potencia incidente de luz está
normalizada a la potencia de saturación medida para cada fibra para esta longitud
de onda particular. Para el caso particular de la longitud de onda de excitación 1492
nm tales dependencias se presentan en la Figura 38a para las fibras con máximas
y mínimas concentraciones de erbio, Er103 y Er123 respectivamente. A su vez en
la Figura 38b se muestran las dependencias similares obtenidas para la fibra Er123
para tres diferentes longitudes de onda de excitación (1492, 1526 y 1568 nm).
64
a
b
Figura 38. Dependencias de la señal de polarización de la fluorescencia contra la potencia de entrada normalizada para a) las fibras Er103 ( ) y Er123 ( ) a 1492 nm y b) la fibra Er123 para las longitudes de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 ().
Para permitir la comparación de la polarización de la fluorescencia observado
en las diferentes fibras con excitación a diferentes longitudes de onda, en la Figura
39 se presentan las señales de polarización de la fluorescencia normalizadas,
medidas a la potencia de luz de excitación igual a la potencia de la saturación de la
fibra en cuestión en esta longitud de onda de excitación particular. De esta figura se
0 1 2 30.0
0.1
0.2
0.3
Se
ñal d
e po
lariz
ació
n no
rmal
izad
a (%
)
Potencia de entrada normalizada
0 1 2 30.0
0.1
0.2
0.3
S
eñal
de
pola
rizac
ión
norm
aliz
ada
(%)
Potencia de entrada normalizada
65
puede observar la tendencia general: la polarización de la fluorescencia es mínimo
para la excitación de longitud de onda central de 1526 nm y aumenta en las fibras
de concentración de erbio superior.
Figura 39. Dependencias de la señal de polarización de la fluorescencia normalizada con la concentración de erbio observada a una longitud de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 () para potencias de excitación de entrada iguales a los potencias de saturación correspondientes.
También se analizó la dinámica del crecimiento de la señal de polarización.
En particular, la Figura 40 muestra las trazas del osciloscopio para la relajación de
la señal de polarización de la fluorescencia al nivel estacionario observado en la
fibra Er123 para la longitud de onda de 1492 nm y diferentes potencias incidentes,
= 0.3, 1.54 y 2.5. Estos procesos pueden ser aproximados a una función
exponencial y evaluar así las velocidades de relajación correspondientes τ , es
decir, los tiempos de relajación inversos. Para las potencias aplicadas se obtuvo
208, 312 y 400 s-1, respectivamente.
0 2000 4000 60000.0
0.1
0.2
Señ
al d
e po
lariz
acio
n no
rmal
izad
a (%
)
Concentración de Erbio (ppm)
66
Figura 40. Trazas de la señal de relajación de polarización normalizada observada en el osciloscopio para la fibra Er123 con una longitud de onda de 1492 nm obtenidas para una potencia de entrada (V): 0.31 – 1, 1.54 – 2 y 2.5 – 3. Las líneas continuas muestran curvas exponenciales de ajuste.
En este caso, la velocidad de relajación puede ser obtenida a partir de la
amplitud de la señal de polarización AC en dependencia de la posición de la
frecuencia de corte , con frecuencia de modulación, ver Figura 41, esto mediante
la relación:
1 2 cf (33)
La Figura 42 muestra la dependencia de la razón de relajación (es decir, el
tiempo de relajación inverso) con la potencia de entrada normalizada a la potencia
promedio, observada en las fibras con la máxima y mínima concentración (Er123 y
Er103, respectivamente). En esta gráfica se observa el crecimiento lineal esperado
de las razones de relajación con la potencia de la luz incidente y un aumento general
de la razón de relajación en Er123 con respecto a la fibra Er103.
-0.010 -0.005 0.000
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
3
2
Señ
al d
etec
tata
nor
mal
izad
a
Tiempo (s)
1
67
10 100
1
10
Am
plit
ud
de
flu
ore
scen
cia
(V
)
Frecuencia de modulación (Hz)
Figura 41. Dependencia de la señal de polarización AC con la frecuencia de modulación observada en la fibra Er123 para una longitud de onda de 1492 nm con potencia de entrada 1.54 V (línea punteada indica la posición de la frecuencia de corte).
En particular, la Figura 42 muestra que en la fibra Er123, la de mayor
concentración de Erbio, la fluorescencia se despolariza más rápido que la relajación
de fluorescencia misma, ya que esta razón de relajación en las bajas potencias de
excitación resulta ser significativamente mayor que la razón característica del nivel
metaestable esperada para la relajación de la fluorescencia, 100 s-1. Por el
contrario, en la fibra Er103, con baja concentración de erbio, es posible despreciar
la migración del estado excitado. La polarización de la fluorescencia se establece
para bajas potencias incidentes con la razón de relajación característica de 100 s-
1, la cual también aumenta aproximadamente dos veces cuando la potencia
incidente es igual a la potencia de saturación de la fibra. Tenga en cuenta que un
aumento similar en la razón de la formación de la rejilla dinámica a 1549 nm se
informó también en (Stepanov, Hernández 2007) para la fibra Er123 en comparación
con Er103.
68
Figura 42. Dependencia de la velocidad de relajación de la señal de polarización de la fluorescencia con la potencia de entrada, observada en la fibra: Er103 (■) para la longitud de onda de 1492 nm y Er123 para la longitud de onda (nm): 1492 ( ), 1526 ( ) y 1568 ().
4.3 Modelo de dipolos independientes con orientación aleatoria
A continuación en este Capítulo se presenta el análisis teórico más sencillo
de la polarización de la fluorescencia en las FDE, basado en el modelo de material
fluorescente como un conjunto de dipolos independientes con orientaciones
aleatorias (Feofilov 1961). En este caso las propiedades de absorción y de emisión
de los iones de erbio se caracterizan por las secciones transversales de absorción
y emisión ( y respectivamente), las cuales dependen de la longitud de onda.
En un modelo simplificado de saturación en un sistema de dos niveles
(Siegman 1986) todos los iones activos que participan se representan como dipolos
orientados colinealmente (Figura 43a), que son excitados por luz linealmente
polarizada con la misma orientación que los dipolos activos. Como resultado, la
fluorescencia se encontrará polarizada y se detecta como en la irradiación de un
dipolo particular. En particular, no debe observarse ninguna fluorescencia a lo largo
del eje de orientación de los dipolos , ver Figura 43a y su intensidad debe ser
0.0 0.5 1.0 1.50
100
200
300
400
Raz
ón d
e re
laja
ción
(s-1
)
Potencia de entrada normalizada (Pin)
69
máxima en la dirección ortogonal a la orientación de los dipolos ∥ , es decir, en la
dirección paralela a la polarización de la luz de excitación.
En este caso todos los dipolos son excitados por la luz incidente de la misma
manera, y la población del nivel metaestable puede ser expresada de manera simple
por la relación (Siegman 1986):
2 0 1sat a
sat e a
I IN N
I I
(34)
donde es la intensidad de la onda incidente e es la intensidad de saturación
del ion activo que esta dada por la Ecuación (12).
a b
Figura 43. Polarización de la fluorescencia de dipolos orientados (a) colinealmente y (b) aleatoriamente.
Dado que la intensidad de fluorescencia depende solo de la población del
nivel metaestable, entonces se puede expresar como la Ecuación (15), la cual
vamos a simplificar usando la relación satP P P :
1f
PI
P
, (35)
70
La relajación temporal de la señal de fluorescencia resulta de la relajación de
población del nivel metaestable. Por esta razón, en la oscuridad, es decir, entre dos
pulsos de luz de excitación consecutivos, la fluorescencia se relaja con la razón de
relajación espontanea . Esto es válido solo si despreciamos los efectos
secundarios de absorción/amplificación de la fluorescencia en el mismo material, lo
cual es razonable en la configuración experimental de observación transversal (ver
la Figura 36). Sin embargo, bajo iluminación por la luz de excitación, la fluorescencia
aumenta hasta alcanzar su nivel estacionario con una razón más alta (Siegman
1986), ver la Ecuación (13) que podemos reescribir en términos de P :
1 10 1f P . (36)
Es fácil ver a partir de las Ecuaciones (35) y (36) cómo la intensidad de
fluorescencia depende de la potencia de la luz incidente y que la razón de
crecimiento de la fluorescencia también puede usarse para la evaluación de la
potencia de saturación de la fibra dopada (ver sección 3.3.3).
Sin embargo, en el caso real de los iones de erbio en sílice, debido a la
naturaleza amorfa del material anfitrión, los iones tienen orientaciones aleatorias
(Figura 43b). La fluorescencia observada en este caso debe ser parcialmente
despolarizada porque los iones de diferentes orientaciones a la orientación de la
polarización de la luz de excitación también hacen sus contribuciones a la señal de
fluorescencia total con polarizaciones correspondientes a sus propias orientaciones.
Debemos destacar que este efecto se observa incluso si los dipolos no interactúan,
es decir, cuando no hay migración de la excitación entre los iones (Powell 1998).
Para estimar la dependencia de esta polarización de la fluorescencia de la
potencia incidente, consideremos el caso de los dipolos con orientaciones aleatorias
(Figura 43b) en detalle. Supongamos que en la FDE se propaga una onda óptica
plana con intensidad I y frecuencia resonante, la cual puede saturar a los iones de
erbio. Esta onda de excitación se propaga a la largo del eje de la fibra, y está
polarizada a la largo del eje , (ver la Figura 44). La intensidad de la luz de excitación
efectiva que sienten los iones es igual a cos , en donde es el ángulo entre el
vector de polarización de la luz y el eje del dipolo . La componente de la luz
71
polarizada ortogonalmente a esta dirección no interactúa con el dipolo. Abajo
evaluamos la intensidad de fluorescencia irradiada en el plano ortogonal a la
propagación a la luz de excitación: a lo largo de las direcciones ortogonal y colineal
a la polarización de la luz (eje y ).
Figura 44. Orientación entre la polarización del campo eléctrico de excitación y
del dipolo efectivo de los iones de erbio.
En el caso de dipolos con orientaciones aleatorias, bajo nuestra
consideración para obtener la intensidad de fluorescencia total, es necesario
integrar para todas las posibles orientaciones de los iones que tienen densidad
normalizada:
1sen d
4d
. (37)
Para la componente de fluorescencia con polarización paralela a la de la luz de
excitación (paralela a ) e irradiada a lo largo del eje esta integración nos da:
2 4 4
2 20 0 0
1 sen cos sen cos
4 1 cos 2 1 cosf
PI
P
P Pd d d
. (38)
En esta ecuación también tomamos en cuenta que la intensidad de la fluorescencia
irradiada por este dipolo en el plano perpendicular a la polarización de la luz de
excitación, con la misma polarización, es proporcional a cos . La ecuación anterior
representa la intensidad de fluorescencia normalizada a la máxima (saturada)
72
intensidad de fluorescencia emitida por el mismo número total de dipolos con la
misma orientación colineal.
Del mismo modo, la fluorescencia detectada a lo largo de la misma dirección
pero polarizada de una manera perpendicular ( ) a la onda del bombeo tiene la
siguiente intensidad normalizada:
22 3 3
22 2
0 0 0
21 sen cos sen cossen
4 1 cos 1 cos4f
P PI d d d
P P
. (39)
Estas intensidades normalizadas de las dos componentes de fluorescencia con las
polarizaciones ortogonales, junto con el resultado de referencia para el caso de
fluorescencia de los iones completamente colineales, Ec. (34), se presenta en la
Figura 45.
Cualitativamente la polarización de la fluorescencia detectado a lo largo de
eje (Figura 43b) es usualmente definido como (Feofilov 1961):
f f
f f
I Ip
I I
. (40)
En realidad, este valor numérico también tiene el mismo nombre (la
polarización de la fluorescencia (Lakowicz 2006)).
En la Figura 45 podemos ver que la intensidad de fluorescencia a lo largo de
la dirección perpendicular a la polarización de la luz de excitación es alta, de
alrededor de40%. No obstante, por simetría, la fluorescencia debe estar totalmente
despolarizada a lo largo de la dirección paralela al eje (Figura 43b). Los dos
componentes de fluorescencia polarizados ortogonalmente ( y ) son iguales a
y la fluorescencia no está polarizada para esta dirección de observación.
En nuestra configuración experimental (Figura 36) el fotodiodo detecta toda
la intensidad de fluorescencia (las dos componentes con polarizaciones
ortogonales). En nuestros experimentos cambiamos periódicamente la polarización
de la luz de excitación entre dos direcciones ortogonales por lo que, la profundidad
de modulación (la razón entre la resta y la suma de las señales máxima y mínima)
de la señal de fluorescencia detectada es:
73
3
f f f f f
f ff f f
I I I I Im
I II I I
, (41)
la Figura 48 muestra esta profundidad de modulación en función de potencia de luz
incidente.
Figura 45. Intensidad de fluorescencia normalizada de un conjunto de dipolos que no interactúan entre ellos como una función de la potencia de excitación normalizada: dipolos colineales Figura 43a) – línea continua; dipolos orientados aleatoriamente (Figura 43b): componente con polarización paralela – línea en trazos y la componente polarizada ortogonalmente – línea punteada.
En esta figura se observa, que de acuerdo a la teoría, la profundidad de
modulación de la señal de fluorescencia obtenida con estos cambios periódicos de
la polarización de la luz de excitación, puede alcanzar 1/3 para bajas potencias de
excitación y disminuye con la potencia incidente. El decaimiento de la señal
detectada se observa en nuestros experimentos (Figura 38). Cabe mencionar que
este efecto es bastante claro, con el crecimiento de la potencia incidente casi todos
los dipolos están muy bien saturados (sin importar sus orientaciones) y la
fluorescencia de dipolos con orientaciones aleatorias “pierde la memoria” sobre la
0 2 4 6 8 100.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Inte
nsid
ad d
e flu
ores
cenc
ia
Potencia de excitacion normalizada (p´)
74
polarización de la luz de excitación. Como resultado, nuestra señal normalizada
decae.
Sin embargo la teoría predice una mayor polarización de la fluorescencia a
la obtenida experimentalmente (Figura 38 y Figura 39). Por lo que este modelo
simplificado de dipolos independientes (sin migración del estado de excitación)
orientados aleatoriamente no puede explicar ni el valor absoluto de polarización de
la fluorescencia, ni la dependencia de la polarización de la fluorescencia en función
de la concentración del dopante.
4.4 Modelo de centros con anisotropía reducida
Los intentos previos [(Wysocki, Mazurczyk 1996), (Wagener, et al. 1998)] por
explicar los datos experimentales existentes del efecto PHB observado en las FDE
con el modelo similar de dipolos independientes con orientaciones aleatorias
también han fracasado. Estos autores han encontrado que experimentalmente el
efecto PHB, la polarización de la fluorescencia en nuestros experimentos, resulta
ser significativamente menor que el predicho por este modelo. Sin dar una
explicación microscópica detallada de tal discrepancia de los datos experimentales,
los autores de los artículos [(Wysocki, Mazurczyk 1996), (Wagener, et al. 1998)]
propusieron un enfoque fenomenológico, el cual incorpora la anisotropía reducida a
las propiedades ópticas de los iones de erbio.
Formalmente, ellos supusieron que las secciones transversales de absorción
y emisión de los iones se caracterizan por elipsoides con tres eigenvalores
principales, los cuales corresponden a tres ejes ortogonales, ver Figura 46. En este
modelo, el centro puede absorber no solo la energía de luz la polarizada a lo largo
del eje del dipolo, sino en sus tres componentes (pero con eficiencia diferente), y
también emite la fluorescencia con tres polarizaciones ortogonales. Cabe mencionar
que el centro aquí no es un dipolo tridimensional, es mas bien un conjunto de tres
dipolos ortogonales los cuales juntan las energías de excitación (por tres
componentes de polarización de luz incidente) en una forma incoherente y después
75
emiten esta energía (también en una forma incoherente) en estas tres
polarizaciones.
Figura 46. Elipsoide de las secciones transversales del ion con anisotropía reducida.
En su forma general, este modelo abarca un gran número de parámetros de
ajuste: tres valores de los ejes principales para cada sección transversal y tres
ángulos adicionales que describen la orientación mutua de estos dos elipsoides.
Para simplificar el modelo, los autores asumen que ambos elipsoides tienen simetría
cilíndrica, y los juegos de dos semiejes con la misma razón, α σ σ σ ∥⁄
σ σ ∥⁄ , y que se encuentran colinealmente orientados, Figura 46. Note que el
modelo anteriormente considerado de los dipolos orientados aleatoriamente es un
caso especial de este modelo de elipsoide, cuando =0. Como en el modelo de
dipolos antes considerado (Figura 43b), también se acepta que los iones tengan
una distribución angular aleatoria. Con estas suposiciones los autores lograron
explicar la reducción del valor del efecto PHB en las FDE utilizando sólo un
parámetro de ajuste de anisotropía 0.5 – 0.7 [(Wysocki, Mazurczyk 1996),
(Wagener, et al. 1998)].
Más adelante, en este trabajo de tesis, se aplica el mismo enfoque para
explicar los resultados experimentales sobre la polarización de la fluorescencia en
las FDE. Para aplicar este modelo se supone que la potencia de la luz incidente se
divide en tres polarizaciones orientadas a lo largo de los tres semiejes propios de
cada ion con su orientación aleatoria. La potencia total de la luz absorbida por el ion
76
se considera como una suma incoherente de estas tres componentes. Después,
también se supone que el ion irradia una potencia de fluorescencia con tres
componentes polarizadas ortogonalmente entre sí y también incoherentes e
independientes.
Es necesario tener en cuenta que la incoherencia entre las polarizaciones
ortogonales de los procesos de la absorción de la luz y la irradiación es una
característica muy importante de este modelo. De hecho, los dipolos
tridimensionales (donde la luz con polarizaciones ortogonales se absorbe y se emite
en una forma coherente) dan aún una mayor polarización de la fluorescencia que el
obtenido con el modelo anterior de los dipolos unidimensionales orientados
aleatoriamente.
Figura 47. Intensidades normalizadas de las componentes ortogonales de fluorescencia polarizada: paralelos (líneas continuas) y perpendiculares (líneas discontinuas) calculadas para diferentes valores de . Como referencia, la línea formada de puntos y rayas muestra la intensidad de fluorescencia normalizada a partir del conjunto de dipolos orientados colinealmente.
Para un ion con una cierta orientación angular y en el sistema de
coordenadas mostrado en la Figura 46, se tiene que la intensidad efectiva absorbida
es proporcional a cos sin . Ahora, promediando al igual que en el modelo
de dipolos independientes y haciendo la simplificación de las ecuaciones,
Inte
nsi
dad n
orm
aliz
ad
a
Potencia de excitación normalizada
77
encontramos que los resultados para las dos componentes polarizadas
ortogonalmente de la intensidad de fluorescencia normalizada son:
22 2
´
2 20
sen cos sen´
2 1 ´ cos senf
PI
P
(42)
2 2 2 2
´
2 20
sin cos sin sin cos´
4 1 ´ cos sinf
PI
P
. (43)
En la Figura 47, como en el modelo de dipolos independientes (Figura 45),
se presentan las intensidades normalizadas de las dos componentes de la
fluorescencia polarizadas ortogonalmente como funciones de la potencia de la luz
incidente para los mismos valores de anisotropía , calculados utilizando las
Ecuaciones (42) y (43).
Figura 48. Profundidad de modulación de la señal de la polarización de la fluorescencia observada para la modulación periódica de la polarización de la luz de bombeo calculada para: dipolos orientados aleatoriamente (línea continua) y para los iones con anisotropía reducida para : 0.2 (línea punteada), 0.4 (línea de puntos y rayas), y 0.6 (línea discontinua).
0 2 4 6 8 100.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Pro
fund
idad
de
mod
ulac
ión
Potencia de excitación normalizada
78
La Figura 48 muestra la profundidad de modulación de la señal de
fluorescencia total detectada en nuestro sistema experimental inducido por un
rápido cambio periódico de polarización de la luz de excitación (Ec. (41)). Estas
evaluaciones fueron realizadas para un conjunto discreto de los valores de
anisotropía = 0.2, 0.4 y 0.6.
La Figura 49 muestra la dependencia de la profundidad de modulación de
esta señal (observado a baja potencia de la luz de excitación) como una función del
parámetro de anisotropía .
Figura 49. Profundidad de modulación de la señal de la polarización de la fluorescencia en función del parámetro de anisotropía contra la potencia de excitación normalizada ⁄ : 0.2 (línea continua), 0.5 (línea discontinua), 1 (línea punteada) y 2 (línea de puntos y rayas).
De las simulaciones presentadas, se encontró que para una anisotropía de
= 0.6 la profundidad de modulación máxima esperada en la señal de polarización
de la fluorescencia se reduce a el valor de 1%, que es bastante cercano a los valores
observados experimentalmente – ver la Figura 49 (Martínez-Martínez, Hernández-
Hernández y Stepanov 2011).
A su vez, este valor, de hecho, se aproxima al parámetro de anisotropía
(0.535) que fue utilizado en (Wysocki, Mazurczyk 1996) para explicar el PHB
79
observado experimentalmente a 1558 nm, o de 0.67 que fue evaluado por
(Wagener, et al. 1998) para 1559 nm. Para un ajuste más preciso se necesitan datos
experimentales más detallados y precisos de fluorescencia.
4.5 Conclusiones parciales
La polarización de la fluorescencia observada experimentalmente para todas
nuestras fibras y longitudes de onda mostró el deterioro esperado con la potencia
de la luz de excitación incidente. También resultó ser significativamente más débil
en la longitud de onda de excitación central de 1526 nm.
Sin embargo, el valor máximo del efecto observado experimentalmente
(0.5%) es significativamente menor de lo que se predijo por el modelo de los dipolos
independientes orientados aleatoriamente. Esta discrepancia se puede explicar por
la anisotropía reducida (con el valor de anisotropía de (0.6 – 0.7) de la
absorción/emisión de los iones de erbio, que se utilizó anteriormente para explicar
la reducción del efecto PHB observada experimentalmente en las FDE.
Se encontró que la razón de relajación de la fluorescencia es más rápida para
altas concentraciones de erbio.
La reducción adicional de la polarización de la fluorescencia así como la
acelerada relajación de la polarización de la fluorescencia observada
experimentalmente en las fibras de alta concentración no pueden explicarse por
este modelo de anisotropía reducida, probablemente es atribuible a la migración
espacial del estado excitado.
80
Capítulo 5 Análisis teórico de la migración del estado excitado en FDE
En este capítulo se presenta una consideración teórica de la migración del estado
excitado en FDE. Se utilizó el método de Monte Carlo (MC) para simular los
múltiples saltos de la excitación en una red aleatoria con diferentes concentraciones
de iones activos. Los resultados son aplicados en el análisis de la influencia de la
migración del estado excitado en la formación de las rejillas dinámicas de población
y en la polarización de la fluorescencia en las FDE.
El uso de este método de MC ya ha sido utilizado para el problema de eficiencia de
bombeo en FDE [(Khoptyar, Jaskorzynska 2005), (Sergeyev 2003), (Przhevuskii,
Nikonorov 2003)]
5.1 Formación aleatoria de cadenas de iones
Como ya se ha mencionado anteriormente, en las FDE con alta concentración de
erbio hay una tendencia de los iones de formar clústeres, esto es, grupos de iones
cercanos donde los iones no se comportan como iones independientes. Los
clústeres se caracterizan por una relajación acelerada del estado excitado del ion,
y por esta razón es un efecto desfavorable para las principales aplicaciones de las
FDE: amplificadores ópticos y láseres. El codopaje con aluminio y germanio en las
FDE se usa para impedir la formación de estos clústeres, por lo que en este capítulo
consideramos estructuras de este tipo.
Aun en las FDE sin clústeres, los iones de erbio que se encuentran a una
distancia menor que la distancia promedio entre los iones pueden agruparse en
pares o cadenas de diferentes tamaños y con diferentes cantidades de iones. La
migración del estado excitado dentro de estas cadenas puede ser más efectiva y
por lo tanto hacer una muy importante contribución a este efecto. Para un análisis
cualitativo, podemos dividir a todos los iones de erbio en dos grupos: “iones
independientes” y “cadenas” formadas por k iones de erbio. Es importante detectar
81
la presencia y caracterizar la abundancia de estas cadenas en las fibras dopadas
con tierras raras, así como su dependencia con la concentración. Esto es debido a
que su presencia favorece la interacción efectiva entre iones, aumentando la
migración del estado excitado.
La interacción dipolo-dipolo entre los iones depende de su distancia de
separación, y su eficiencia está determinada por el radio de Förster (véase la Ec.
(23)). En las FDE, el radio de Förster generalmente aceptado es de 2 nm [(Noginov,
et al. 1996), (Khoptyar, Sergeyev y Jaskorzynska 2005)]. Dado que la probabilidad
de migración, expresada en la Ecuación (23), depende fuertemente de la distancia
entre los dos iones , es fácil ver que cuando es menor que el radio de Förster, la
energía de excitación tiene una gran probabilidad de migrar de un ion a otro durante
su tiempo de vida media. Si la distancia es mayor, se puede prescindir de este
proceso y considerar a estos iones como independientes, es decir, no pasan su
energía a otros iones (o no la aceptan de ellos) durante el tiempo promedio de vida
de excitación .
Para analizar estos posibles efectos de la migración de energía resonante,
se realizó una simulación mediante el programa computacional “R” (R-project), en
donde se consideró que los iones se encuentran distribuidos de manera aleatoria
pero uniforme (sin correlación) en el núcleo de la fibra. Podemos decir que todos los
puntos en el volumen del núcleo tienen la misma probabilidad de tener un ion de
erbio. Sin embargo, en nuestro análisis simplificado no se consideraron las
orientaciones aleatorias de los iones. Se supone que todos ellos tienen la misma
orientación.
Una vez ubicados el total de los iones con una concentración dada, se calculó
la distancia entre los iones para determinar el porcentaje de estos que se
encuentran a una distancia menor que el radio de Förster: iones que pueden formar
las cadenas. También se evaluó el porcentaje de los iones separados a una
distancia mayor que el radio de Förster. Estos pueden considerarse como los iones
independientes.
En la Figura 50 se muestran algunas realizaciones representativas de las
distribuciones aleatorias de los iones para los casos particulares de las fibras Er103,
82
Figura 50a, y Er123, Figura 50b, cuyas concentraciones del dopante normalizadas
a un volumen son C = 0.013 y C = 0.11, respectivamente. Cabe mencionar que
en estas unidades de concentración C = 1 corresponde al caso cuando un ion ocupa
el volumen . Cada punto en las figuras representa un ion y la formación de los
pares (o cadenas) se representa mediante líneas que conectan los iones de una
cadena.
C = 0.013 , 16% C = 0.11 , 78%
a b
Figura 50. Pares/cadenas de iones o cadenas en FDE con concentración normalizada C : a) 0.013 y b) 0.11. Las líneas conectan los iones que se encuentran a una distancia menor al radio de Förster.
Estos resultados se resumen en la Figura 51, que muestra el porcentaje
promedio de los iones independientes en función de su concentración normalizada.
Obsérvese que para la fibra Er103 con baja concentración de erbio (C = 0.013 )
prácticamente no se presentan pares o cadenas. Razón por lo que en la fibra con
esta concentración de dopante, prácticamente podemos despreciar la migración del
estado excitado. Entonces, no se espera una pérdida de la polarización de la
fluorescencia debida a la migración del estado excitado. Esto significa que la
fluorescencia es polarizada en esta fibra casi como está previsto por el modelo de
iones independientes orientados aleatoriamente (ver Capítulo 4). Sin embargo, esto
83
es sólo un resultado de una simulación de formación de cadenas de los iones para
el caso de la distribución aleatoria de los iones (sin correlación entre los iones).
Figura 51. Dependencia del porcentaje de iones que interactúan fuertemente (i. e., los iones en pares o cadenas) en función de la concentración normalizada del erbio.
Por otro lado se puede ver que para la fibra Er123 con concentración alta de
erbio (C = 0.11 ), la concentración de iones "independientes" es bastante baja,
lo que puede conducir a una significativa despolarización de la fluorescencia por
medio de la migración.
5.2 Simulación de Monte Carlo para una red aleatoria
5.2.1 Consideraciones generales
Los procesos físicos que intervienen en el transporte de partículas o energía son
procesos estocásticos ya que cada evento es en cierto grado impredecible. Estos
procesos pueden ser resueltos mediante el uso deliberado de números aleatorios,
específicamente con el método de Monte Carlo (MC), el cual permite la solución
numérica de problemas no probabilísticos por métodos probabilísticos. En el método
0.00 0.05 0.10 0.150
20
40
60
80
100
Par
es d
e io
nes/
cade
nas
(%)
Concentracion normalizada (C)
84
de MC, los valores que se muestrean aleatoriamente son grabados [(Robert, Casella
2005), (Rubinstein, Kroese 2011)]; la simulación realiza esta operación veces y el
resultado es una distribución de probabilidad de todas las pruebas; por otro lado el
error de la evaluación decae con el número de pruebas, siendo el error de 1 √⁄
(Weinzierl 2000).
En un camino aleatorio, las transiciones (i.e. los saltos de excitación entre los
iones) son independientes, por lo que se presentan cambios abruptos y frecuentes
de dirección. Por esta razón, el desplazamiento medio converge a cero. Un
parámetro importante de considerar en esta situación es el desplazamiento
cuadrático medio, el cual claramente no es cero; este último, después del n-ésimo
salto, se puede escribir como:
22 1n ir R R
N , (44)
donde es la posición final de la excitación después de la n-ésima transición,
es la posición inicial y es el número de pruebas independientes.
En (Einstein 1905) se determina que el desplazamiento cuadrático medio en
un sistema de una dimensión está dado por:
2 2r Dt , (45)
donde D es el coeficiente de difusión, este coeficiente es de gran interés para este
trabajo de tesis. De la ecuación de Einstein:
BD k T , (46)
se obtiene la ley de difusión de Einstein, generalizada para dimensiones:
2 2 r d Dt ; (47)
este análisis es para una red tridimensional por lo que = 3.
Para resolver nuestro problema de migración en una red de iones,
consideramos una red aleatoria y asumimos una interacción dipolo-dipolo
(Philipsen, et al. 1999) entre los iones. En este caso, cada salto tiene una
85
probabilidad de transición que es inversamente proporcional a la sexta potencia de
la distancia entre iones , y está dada por la Ecuación (23). Note que la probabilidad
de transición en esta ecuación está normalizada por el tiempo de relajación
espontánea del estado metaestable, i.e. el tiempo de vida media de la excitación, el
cual para los iones de Er3+ en sílice es de 10 ms (Desurvire 1994).
5.2.2 Algoritmo de cálculo
En nuestro cálculo, por simplicidad, se supone que cada salto se realiza a la misma
velocidad, de modo que el n-ésimo salto ocurre en el n-ésimo tiempo de Δ 10 ns.
Por esta razón, asociado al tiempo de vida media en el estado excitado puede haber
un millón de saltos. Es claro que la probabilidad de transición durante el corto
intervalo de tiempo esta dado por:
6
0RtW
r
, (48)
Note que esta probabilidad es muy pequeña, ~10 para esta distancia mínima
entre los iones vecinos de Er3+ en una FDE de aproximadamente 0.35 nm [(Philipsen
y Bjarklev, 1997), (Khoptyar, et al., 2005)].
Para nuestro propósito se realizó una simulación en el programa Matlab. El
primer paso de este programa es la generación de una red tridimensional cúbica
regular con una distancia mínima entre celdas de = 0.2 (ver Figura 53). Se
supone que en cada punto de la red se encuentra un ion. Posteriormente se eliminan
aleatoriamente puntos de la red con iones. La cantidad de iones a eliminar depende
de la concentración de iones a evaluar, generando así una red de huecos aleatoria.
Por simplicidad, suponemos que en cada proceso la migración inicia en el ion
más cercano al centro de la red cúbica aleatoria generada y que como resultado de
un salto va a migrar a un ion vecino (o permanecer en el mismo lugar). A cada uno
de los iones vecinos cercanos al ion inicial se le asigna un “peso” determinado
por la probabilidad de saltar a este ion, ver Figura 52. Los pesos para cada uno de
los iones vecinos, se calculan con la Ecuación (48). Una vez asignados los
86
correspondientes “pesos” a todos los iones cercanos, estos se suman para obtener
la probabilidad de que se presente migración:
1
n
ii
b p
, (49)
donde es el número de iones cercanos. Para disminuir el tiempo de ejecución del
programa y dada la dependencia tan fuerte de la probabilidad por la distancia entre
iones (en factor de 6) se considera como ion cercano a los iones que se encuentran
a una distancia igual o menor que √8 (octava vecindad), ya que para iones que se
encuentran a una mayor distancia la probabilidad de migrar en el tiempo Δ es
menor al1%.
Figura 52. Representación de los pesos asignados a los iones cercanos.
Dado que la probabilidad de que no se presente migración es muy grande
1 90% y para disminuir el tiempo de ejecución de nuestro algoritmo, se genera
un número aleatorio en el rango de 0, , es decir, vamos a obligar a que siempre
se presente la migración. Este número aleatorio va a determinar a qué ion vecino
se va a migrar, i.e. si es mayor que cero pero menor o igual que la migración
será al ion uno (Figura 52), mientras que si cumple que la relación la
migración será al ion dos, etc. En general la migración se dará al i -esímo ion si el
número aleatorio cumple .
Después de este salto, todo el procedimiento se repite una vez más pero
ahora con la excitación localizada en el nuevo ion. Este procedimiento se repite
veces, donde (el número de saltos) depende del tiempo.
87
Se realizaron 1,000 pruebas para las concentraciones normalizadas “altas”
de 125 a 50, esto toma un tiempo aproximado de 24 hr. y 100,000 pruebas para las
concentraciones “bajas”, de 50 a 1 en un tiempo de 5 días. La simulación se corrió
en una laptop Sony Vaio Pcg-71311u con procesador Intel® Core™ i3-330M @
2.13GHz1 con memoria RAM de 8G.
5.2.3 Simulación de migración en una red regular
Para verificar nuestro algoritmo, lo aplicamos a un problema mas sencillo: la
migración aleatoria en un red regular. Es el primer paso para la solución de
problemas mayores, como lo es la migración aleatoria en una red aleatoria. Este
problema nos permite comparar los datos de la simulación de MC con resultados
analíticos. Consideremos una red regular cúbica con una longitud de arista de cada
celda de , ver la Figura 53, donde la probabilidad de transferencia Γ de excitación
a un ion vecino está dada por:
6
01 R
r
(50)
Figura 53. Red cúbica regular con periodo espacial .
88
De la literatura (Haus, Kehr 1987) sabemos que para un camino aleatorio en
una red regular el coeficiente de difusión está definido por:
2´D a , (51)
para una red tridimensional, en donde las migraciones solo se dan para los iones a
una distancia √1 (primera vecindad).Al aumentar el número de vecindad al que
puede presentar la migración, este coeficiente de difusión aumentará hasta alcanzar
la saturación, ver Figura 54 en donde se muestra la relación entre los coeficientes
de difusión cuando solo puede migrar a la primera vecindad ´ y el coeficiente de
difusión para cuando puede migras hasta la n-esíma vecindad . En nuestro
caso, donde la migración se puede dar hasta la octava vecindad (hasta una
distancia √8), el coeficiente de difusión se duplica, esto es:
22D a (52)
Figura 54. Dependencia de la razón ´⁄ con el número de vecindad al que se puede presentar la migración,
Otra consideración es el compromiso con la longitud de los lados de la red
cúbica a crear en la simulación ya que si es muy grande solo ocupa espacio/tiempo
de la simulación, en cambio sí es muy pequeño se puede tener una saturación en
0 2 4 6 8 100.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Dn/D
´
n-ésima vecindad
89
el desplazamiento cuadrático medio debido a que la migración llega a los límites de
la red cúbica como se observa en la Figura 55. Para “bajas concentraciones” se
utiliza una red cúbica de lado 10 nm mientras que para “altas concentraciones” fue
de 20 nm.
Figura 55. Trayectoria con saturación de la migración en los límites de una red cúbica regular.
En la Figura 56 se muestra el desplazamiento cuadrático medio obtenido con
la simulación de MC para un periodo espacial de celdas de 1 y 0.2 ; también se
muestra el ajuste a la Ecuación (47) de donde se obtiene el coeficiente de difusión
de 2700 y 1700000 nm2/s respectivamente. Los cuales son comparables con los
valores esperados, por la Ecuación (51), de 2400 y 1500000 nm2/s.
90
a
b Figura 56. Desplazamiento cuadrático medio en una red regular con :1 – a y 0.2 – b.
5.2.4 Simulación de migración para una red aleatoria
La Figura 57 muestra posibles trayectorias de la migración para diferentes
concentraciones normalizadas de los iones (C = 1, 10 y 40 )
0.0 5.0x10-7 1.0x10-6 1.5x10-60.000
0.001
0.002
Tiempo (s)
0.0 5.0x10-7 1.0x10-60.0
0.3
0.6
0.9
1.2
Tiempo (s)
91
a
b
c
Figura 57. Ejemplificación de la migración de energía en una red aleatoria para diferentes concentraciones normalizadas a , C: 1 – a, 10 – b y 40 – c. En el centro del cubo, en gris, se muestra el ion de inicio.
El desplazamiento cuadrático medio encontrado por el método de MC para
diferentes concentraciones de los iones en una red aleatoria, muestra un
comportamiento lineal en el rango de tiempo utilizado (ver Figura 58). Este rango de
92
tiempo fue limitado por el tiempo de ejecución de la simulación. Las simulaciones
también predicen que para el rango de concentración normalizada (1-125) iones/R ,
el coeficiente de difusión depende linealmente de C (ver Figura 59) mediante la
relación:
50C * 1100 R sD . (53)
a b
Figura 58. Dependencias temporales del desplazamiento cuadrático medio para diferentes concentraciones C normalizadas a : en a) 125 ( ), 100 ( ) y 63 () y en b) 25 ( ), 6 ( ) y 1 ( ).
Figura 59. Dependencia del coeficiente de difusión con la concentración normalizada.
0.0 5.0x10-7 1.0x10-6 1.5x10-60.0
0.3
0.6
0.9
Time (sec)
0.0 1.0x10-6 2.0x10-6 3.0x10-6 4.0x10-60.0
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0 50 100 1500
1x105
2x105
D (
R02 /s
)
Concentración (u.n.)
93
Otro parámetro, el cual es muy importante para la interpretación de los datos
experimentales sobre las rejillas dinámicas, es la longitud de difusión . Esto es,
la distancia media recorrida durante el tiempo de vida media de la excitación. Esta
distancia puede ser calculada mediante la Ecuación (22).
La gráfica de la Figura 60 presenta la dependencia de la longitud de difusión (en
unidades de radio de Förster) como función de la concentración normalizada. Para
comparar se presenta la misma dependencia obtenida para una red regular.
Figura 60. Dependencia de la longitud de difusión con la concentración normalizada para una red: aleatoria – línea continua: y regular – línea punteada.
5.3 Conclusiones parciales
Se realizó una simulación de la migración del estado excitado por el método de
Monte Carlo. Esta simulación fue validada con los resultados para un red regular.
Se obtuvo el coeficiente de difusión de una red regular para dos tamaños de celda
(0.2 y 1 ) mediante la simulación y analíticamente mediante la Ecuación (52). Se
encontró una diferencia de solo el 10%.
0 50 100 1500
50
100
150
L D (
R0)
Concentración (u. n.)
94
Para una red regular en el rango de tiempo simulado se tiene un coeficiente de
difusión con una dependencia lineal con la concentración, esta dependencia es
dada por la ecuación ∗ 1000 ⁄ .
95
Capítulo 6 Rejillas dinámicas en FDE
En este capítulo se presentan los resultados experimentales del mezclado de dos
ondas (MDO) transitorio por las rejillas dinámicas en fibras ópticas dopadas con
erbio. Los principales datos experimentales fueron obtenidos para las longitudes de
onda 1492, 1526 y 1568 nm en fibras ópticas dopadas con erbio, mediante un
arreglo experimental basado en el interferómetro de Sagnac. También se presenta
un análisis de las razones físicas que pueden contribuir a la disminución de las
rejillas, en particular, por la migración del estado excitado.
6.1 Experimentos con las rejillas
En los experimentos de formación de las rejillas dinámicas en materiales de
volumen, el ángulo entre los haces de grabado puede ser variado libremente de 0°
a 180° y los haces de salida pueden ser detectados por dos fotodiodos diferentes.
Por otro lado, en un sistema conformado exclusivamente por fibra óptica, la
formación de la rejilla dentro de la fibra (y también el efecto de MDO) solo puede
realizarse en la geometría de haces en contrapropagación. Entonces, el ángulo
entre los haces de grabado es siempre de 180°. Esto es una clara limitante para
realizar caracterizaciones de la longitud de difusión, pues para esto, se requiere
variar el periodo espacial significativamente. Para intentar resolver este problema
principal de la configuración de fibra óptica, primero probamos una configuración
original con formación de la rejilla con haces de grabado enfocados e incidentes en
un lado de la fibra (haces transversales).
6.1.1 Pruebas de formación de las rejillas con un haz transversal
En el artículo (Stepanov, Hernández-Hernández 2007) se realizaron experimentos
originales de detección de las rejillas (sin MDO) utilizando dos haces de grabado en
contrapropagación y detección de la rejilla mediante la medición de la fluorescencia
transversal transitoria, ver Figura 61.
96
Figura 61. Sistema experimental para la detección de la rejilla dinámica por la fluorescencia transversal transitoria. (FDE: Fibra dopada con erbio, MEO: modulador electro-óptico, FD: fotodiodo, CP1 y CP2: controladores de polarización, AV: atenuador óptico variable). El recuadro muestra la señal típica de fluorescencia transitoria en respuesta a una modulación de fase rectangular.
En este trabajo los autores utilizan un modulador electro-óptico (MEO) para
introducir cambios periódicos de fase de rad en el patrón de interferencia
formado con las dos ondas contrapropagándose con polarizaciones lineales
paralelas; las polarizaciones son ajustadas mediante los dos controladores de
polarización (CP1 y CP2). La señal de fluorescencia es detectada transversalmente
por el fotodetector FD separado a una distancia de 1 mm de la fibra dopada. En el
recuadro de la Figura 61 se muestra la traza típica de la señal de fluorescencia
mostrada por el osciloscopio.
Utilizando esta técnica original de detección de la rejilla dinámica por la
fluorescencia de un pedazo de fibra muy pequeña (unos milímetros), probamos
detectar las rejillas grabadas con dos haces con 90° entre ellos. Los experimentos
se realizaron conforme a la configuración presentada en la Figura 62 con un diodo
láser de una longitud de onda de 1492 nm. A la salida de éste se conecta un aislador
para evitar reflexiones. A continuación, se usó un acoplador 70/30, el cual se
conecta al aislador mediante el brazo 1. De aquí, el 70% del haz sale del acoplador
97
por el brazo 3, el cual está conectado a un atenuador óptico variable (AV1). Este
nos permite controlar la potencia que iluminará transversalmente a la FDE, la cual
se encuentra desforrada para evitar algún tipo de esparcimiento debido a la cubierta
plástica. El AV1 está conectado a un segmento de sistema que permite introducir
cambios de fase en uno de los brazos de entrada a la FDE. Este se compone de un
modulador electro-óptico (MEO) con un controlador de polarización (CP). Un
generador de funciones inyecta una señal cuadrada al MEO con una frecuencia de
25 Hz y una amplitud de 2.6 Vpp que asegura saltos de fase bruscos por rad. La
luz de salida del modulador se usa para iluminar la fibra dopada con erbio
transversalmente, para esto la salida del modulador de fibra óptica se acerca a la
fibra dopada tanto como es posible.
Figura 62. Configuración experimental usada para la formación de la rejilla con una onda longitudinal y una transversal (AV1 y AV2: atenuadores ópticos variables, CP: controladores de polarización, MEO: modulador electro-óptico y FDE: Fibra dopada con erbio).
El 30% restante de la potencia de luz que entra al acoplador 70/30, sale por
el brazo 4, el cual está conectado a un atenuador óptico variable AV2 y un
controlador de polarización CP. Esta luz de potencia y polarización controlada entra
a la FDE (a lo largo de la fibra). Este sistema permite que la iluminación a la FDE
tenga la misma polarización y la misma potencia de entrada a la fibra ( = 1.0
mW). Se supone que en el segmento de FDE iluminado por dos haces se forma un
patrón de interferencia y se espera la formación de la rejilla dinámica de población.
98
Se coloca un fotodiodo de manera transversal (atrás del plano de formación
de la rejilla) a la FDE para detectar la señal de fluorescencia transitoria y visualizarla
mediante el osciloscopio Lecroy Wave Surfer 422. Para centrar la iluminación
transversal al núcleo de la FDE, ésta última se colocó en un conjunto de monturas
micrométricas; con la finalidad de hacer un barrido a lo alto de la sección transversal
de la fibra y aproximar lo más posible la iluminación transversal a la FDE sin que
estas se toquen, ver Figura 63.
Figura 63. Esquema del centrado de la iluminación a la fibra “transversal” a la fibra “longitudinal” (esta última dopada con erbio y en la figura tiene orientación vertical). Spot de la fibra transversal). Spot de la fibra vertical: en ausencia de la fibra longitudinal – a; la iluminación sale de los límites de la fibra longitudinal – b y c; toda la iluminación está en los límites de la fibra (entonces, está bien centrada) – d.
Con ayuda de una luz roja de prueba (generada por un probador de fallas
para fibras del fabricante Fiber Instrument Sales) y una pantalla blanca de
observación colocada atrás de la fibra iluminada, se podía observar claramente
cuándo estábamos en los límites de la fibra, obteniendo que la altura de la sección
transversal es de 130 μm. Posteriormente, se acercaron las dos fibras lo más
posible sin que se tocaran, para después colocar gel acoplador a fin de evitar
reflexiones y mejorar el acoplamiento entre dos fibras con una orientación
transversal.
99
Por otra parte, si en el sistema iluminamos a la fibra dopada con dos ondas
de luz longitudinales (esto es, a lo largo de la FDE) con modulación de fase
rectangular en una de las ondas de grabado (Figura 62), se espera que la señal de
fluorescencia transitoria sea del 3% del valor estacionario de 2 mV detectado con
una resistencia de carga de 1 M (i. e., de 60 V) bajo nuestras condiciones
experimentales reales. Mientras que si usamos solo la iluminación transversal con
la misma potencia transmitida en la fibra (Figura 62), tenemos una mancha de
iluminación en el plano de núcleo de la fibra dopada de alrededor de 30 30 m,
entonces la intensidad baja casi 3x3 10 veces en comparación con la potencia
que se propaga longitudinalmente dentro del área del núcleo.
Debido a que la fibra dopada es iluminada transversalmente solo en una
fracción de aproximadamente 30 μm de longitud; esto es también 30 veces menor
que la longitud del área fotosensible del fotodiodo (1 mm2), la cual es
aproximadamente igual a la longitud de la fibra dopada de cual se detecta la
fluorescencia. Por esta razón la señal de fluorescencia promedio excitada por la luz
transversal debe ser alrededor de 2/300 mV 7 V. Se espera que la amplitud de
la señal transitoria de la rejilla sea ~3% de este valor promedio (esto es, alrededor
de 0.2 V).
Claramente las señales con amplitudes tan bajas no son observables con el
osciloscopio (sensibilidad de 1 mv/div). Una alternativa es la detección de la señal
mediante un lock-in o usando un preamplificador de banda ancha.
Previamente se analizó la dispersión de la luz transversal en esa
configuración donde tenemos una modulación de fase y la señal observada por el
osciloscopio es amplificada por el lock-in. Para esto observamos la señal detectada
por el fotodiodo (localizado en el plano superior de nuestra configuración) de la onda
transversal sin fibra dopada (Figura 64a) con gel acoplador a la salida de la fibra.
Después se colocó una fibra SMF28 en la posición de la fibra dopada observando
la dispersión mostrada en la Figura 64b, ahora, sí volvemos a colocar la FDE y la
iluminamos solo por la fibra transversal podemos observar las señales de dispersión
en las Figura 64c y d con y sin gel acoplador, respectivamente.
100
Consideramos, que las señales parásitas se deben a las fluctuaciones
periódicas de la polarización de la luz que hay a la salida del modulador. Como
resultado aparece una modulación periódica de la polarización en la luz transversal,
esto implica una modulación significativa de la luz esparcida por la superficie de la
fibra con simetría cilíndrica. Esta es detectada por el fotodiodo y es desplegada por
el lock-in como una señal fluctuante y con amplitud de alrededor de 0.5 μV.
Figura 64. Dispersión de la onda de señal transversal, sin fibra “longitudinal” a, con fibra SMF28 como fibra longitudinal – b, con fibra longitudinal Er123 sin gel acoplador – c y con fibra longitudinal Er123 con gel acoplador – d. Modulación periódica de fase con frecuencia 25 Hz.
Como mencionamos anteriormente, se espera que la señal de fluorescencia
transitoria (del segundo armónico de la frecuencia de modulación) para una rejilla
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10-6
-4
-2
0
2
4
6
Am
plit
ud
(V
)
Tiempo (s)
a
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10-6
-4
-2
0
2
4
6
Am
plitu
d (V
)
Tiempo (s)
b
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
-4
-2
0
2
4
Am
plit
ud
(V
)
Tiempo (s)
c
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
-2
0
2
Am
plitu
d(
V)
Tiempo (s)
d
101
grabada con dos haces con 90° entre ellos sea menor a 0.2 μV. No es posible
detectar la señal con el osciloscopio debido a su restricción de mínima sensibilidad;
por otro lado, con el lock-in tampoco es posible detectar esta señal debido a la
dispersión parásita.
6.1.2 MDO con dos ondas contrapropagándose
Los experimentos del mezclado de dos ondas (MDO) transitorio fueron realizados
utilizando la configuración tradicional del interferómetro de Sagnac modificado, ver
Figura 14. En dicha configuración, las dos ondas de grabado mutuamente
coherentes, se contrapropagan a lo largo del núcleo de la fibra dopada; una de las
ondas se mantiene con una fase constante ( : onda de referencia) mientras que en
la otra onda ( : señal modulada) se introducen los cambios de fase inyectando una
señal rectangular de Vpp al MEO. La modulación de fase creará un patrón de
franjas vibrante el cual inducirá una rejilla de absorción en el núcleo de la FDE. El
tiempo de formación de dicha rejilla depende fuertemente de la potencia total
incidente en la fibra.
En la Figura 14, la utilización de dos controladores de polarización (CP1 y
CP2) asegura la adecuada polarización de la señal de entrada al MEO así como la
igualdad de las polarizaciones de las señales de grabación ( y ) a lo largo de la
FDE. Las potencias de las dos ondas de grabado se ajustaron utilizando los
atenuadores ópticos AV1 y AV2, la relación entre las potencias de entrada de las
dos ondas de grabación es ⁄ 1.
La forma de onda típica del MDO se muestra en el recuadro de la Figura 14,
como picos transitorios. Estos se deben al cambio abrupto en la transmitancia de la
FDE debido a la modulación rectangular aplicada. Esta señal es detectada en el
brazo 3 del circulador. La eficiencia del MDO se caracteriza por la relación de la
amplitud pico a pico ∆ y el valor promedio , como se aprecia en la siguiente
ecuación para la amplitud relativa del MDO:
102
0
´V
VV
. (54)
La dependencia teórica de la amplitud relativa observada para el MDO está dada
por (Stepanov, Plata 2004):
02
/'
2 1 /t sat
t sat
L P PV
P P
, (55)
esta ecuación puede analizarse para tres casos límites: 1) ≪ , en este
régimen ∆ ´ crece linealmente con ; 2) , en este caso ∆ ´ alcanza su valor
máximo de 4⁄ , y 3) ≫ , en este régimen ∆ ´ decrece como 1⁄ .
Se obtuvieron resultados de MDO transitorio para las fibras Er103 y Er123 de
1.98 y 0.215 m de longitud, respectivamente. Dichas longitudes físicas de la fibra
permitieron homogeneizar sus densidades ópticas a las longitudes de onda de
trabajo, como se puede ver en la Tabla 2.
Las dependencias experimentales de la amplitud relativa del MDO observada
en las fibras Er103 y Er123 para las tres longitudes de onda de trabajo (1492, 1526
y 1568 nm) se presentan en la Figura 65. Para eliminar la dependencia de la
absorción óptica de la longitud de onda de grabado, los valores presentados están
normalizados a la densidad óptica de la fibra para cada longitud de onda particular.
0.1 1
0.01
0.1
V/(
V0
0L)
Pt (mW)
103
a
b
c
Figura 65. Dependencias de la amplitud relativa del MDO con la potencia incidente en las fibras ( ) Er103 y ( ) Er123 obtenidas para las longitudes de onda (nm): 1492 – a, 1526 – b y 1568 – c.
Obsérvese de la Figura 65 que los máximos obtenidos de los datos
experimentales se observan cuando , lo que está en concordancia con la
Ecuación (55). Sin embargo, nuevamente es necesario la utilización de un factor de
reducción para poder hacer coincidir la curva teórica con los datos experimentales.
Los factores de reducción, definidos como la razón entre el valor 0.25 teóricamente
0.1 1
0.01
0.1
V
/(V
0 0L
)
Pt (mW)
0.1 1
0.01
0.1
V
/(V
0
0L)
Pt (mW)
104
esperando y el valor experimental de la amplitud relativa del MDO normalizada a
se muestran en la Tabla 6.
Tabla 6. Factores de reducción del MDO.
Fibra
Factor de reducción ( )1492 nm 1526 nm 1568nm
Er103 3.2 6.0 13
Er123 6.0 13 45
Nótese también de la Figura 65 que el factor de reducción para la fibra de
menor concentración de iones de Er3+ siempre es menor que para la fibra de mayor
concentración, lo cual también se encuentra en concordancia con los resultados
originales publicados en (Stepanov, Hernández 2005). También se reportó en
(Stepanov, Hernández 2007) que el factor de reducción es menor para la menor
longitud de onda de 1490 nm.
La Figura 66 muestra las dependencias experimentales de la razón de
relajación de las rejillas en función de la potencia total de la luz incidente
(P P P ).
a
0.0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
Raz
ón d
e fo
rmac
ión
de la
rej
illa
(s-1)
Pt (mw)
105
b
c
Figura 66. La dependencia de la razón de relajación del MDO con la potencia incidente para las fibras Er103 y Er123 (símbolos vacíos y llenos, respectivamente) obtenidos para diferentes longitudes de onda (nm): 1492 – a, 1526 – b y 1568 – c.
De la Figura 66 se puede notar lo siguiente:
1. En ambas fibras y para todas las longitudes de onda, las razones de
formación de la rejilla crecen con la potencia total de la luz. Este crecimiento
0.0 0.2 0.4 0.6 0.80
200
400
600
800
Raz
ón d
e fo
rmac
ión
de la
rej
illa
(s-1)
Pt (mW)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.80
100
200
300
400
Raz
ón d
e fo
rmac
ón d
e la
rej
illa
(s-1)
Pt (mW)
106
es más rápido que el crecimiento similar para la razón de fluorescencia, ver
Capítulo 3.
2. Los procesos de formación de las rejillas son mas rápidos para la longitud de
onda de 1526 nm.
3. Para todas las longitudes de onda en la fibra con baja concentración de erbio
y para baja potencia de grabado, la razón de formación siempre inicia en la
razón de relajación espontanea ( 100 s-1). Se observa un desplazamiento
vertical de la razón de formación en la fibra con mayor concentración, la cual
crece un poco con la potencia. Este desplazamiento observado para ≪
y normalizado a 100 s-1 se muestra en la Tabla 7.
Tabla 7. Desplazamiento vertical normalizado de la razón de formación en la fibra Er123.
Fibra
Desplazamiento vertical normalizado
1492 nm 1526 nm 1568nm
Er123 0.21 0.47 0.29
6.2 Discusión del conjunto de datos
El objetivo principal de esta tesis, como se mencionó en la introducción, es un
análisis de la contribución de la migración del estado de excitación a los procesos
de formación de las rejillas de población en fibras dopadas con erbio. Antes de
considerar los resultados originales de nuestro trabajo en este aspecto, vamos a
revisar los modelos anteriores propuestos en la literatura existente para explicar el
efecto de reducción de la amplitud de las rejillas dinámicas en FDE. Cabe repetir
una vez más que el efecto de la reducción significativa de las rejillas dinámicas en
FDE, no son solo resultados publicados por el grupo de “Rejillas dinámicas” del
CICESE, sino que hay bastantes datos similares de investigación reportados – ver,
por ejemplo, (Barmenkov, Kir’yanov y Andrés 2005).
107
6.2.1 Las propuestas anteriores
A. Desajuste de las polarizaciones de los haces de grabado
Este modelo fue propuesto casi desde el inicio de la actividad en este trabajo. La
ilustración más sencilla de este efecto – es la formación de la rejilla en una fibra con
birrefringencia aleatoria. En realidad, las fibras monomodo convencionales (sin
birrefringencia inducida) tienen una birrefringencia aleatoria asociadas a la d
orientación de ejes propios, por cuestiones inherentes a su fabricación y por
dobleces aleatorios de la fibra en una configuración experimental real. En este caso,
si las polarizaciones de las ondas de grabado en los extremos opuestos de la fibra
dopada son iguales, después de propagarse a lo largo de la misma, las
polarizaciones de estas ondas cambiarán. Como resultado, en diferentes secciones
de la fibra la polarización mutua de estas dos ondas sufre cambios: en algunos
segmentos de la fibra son parecidas, en otros, son ortogonales. Esto ocasiona que
el contraste efectivo del patrón de interferencia disminuya, y como resultado, la
amplitud efectiva de la rejilla grabada también disminuye.
Los experimentos realizados con una FDE birrefringente (Stepanov,
Hernández y Plata 2005b) mostraron que aun las rejillas dinámicas grabadas con
dos ondas de la misma polarización lineal (Figura 22a) muestran amplitudes bajas
– casi las mismas que en una fibra convencional sin birrefringencia. Otro resultado
de estos experimentos fue que las s de grabado con polarizaciones ortogonales
(Figura 22b) también pueden formar una rejilla dinámica bastante efectiva (solo dos
veces menor para la longitud de onda de 1550 nm). Entonces, podemos concluir
que este efecto puede contribuir en la reducción de la amplitud de la rejilla dinámica,
pero no puede explicar los factores de reducción de las rejillas de 5 10veces
reportados en la literatura existente.
Cabe mencionar que en (Stepanov 2008) se consideró un efecto de
discrepancia de polarizaciones más fino, que está asociado con una desviación de
la polarización de un modo fundamental de la fibra monomodo de la orientación
absolutamente ortogonal del eje de la fibra (Jeunhomme 1983). Se mostró que este
108
efecto de desviación de polarización se observa sólo cerca de la periferia del núcleo
de la fibra (donde no hay iones de erbio) y también es bastante débil para explicar
los factores de reducción de las rejillas dinámicas experimentalmente observados.
Figura 67 Perfiles de las componentes transversal y longitudinal ∥ del campo del modo fundamental LP01 de una fibra escalonada con parámetros (a=2.5 m, AN=0.018 y = 7 m). Adaptada de (Stepanov 2008).
B. Influencia de Conversión ascendente asistida
Como se mencionó en la sección 1.2, existe un efecto importante y bastante
característico para las FDE, llamado conversión ascendente asistida (CFUC), ver la
Figura 3. Este efecto se muestra como una relajación acelerada del estado de
excitación dentro de los clústeres o pares cercanos de los iones de erbio
[(Khoptyar, Jaskorzynska 2005), (Sergeyev 2003)]. Esto resulta en una reducción
de la eficiencia de bombeo en las FDE con muy alta concentración de erbio. El
efecto de la migración del estado de excitación en los clústeres y pares de iones
cercanos es también de gran importancia y el método de MC se usa para simular
los procesos relacionados (Khoptyar, Sergeyev y Jaskorzynska 2005).
Pero aquí en el contexto de esta sección, para nosotros es más importante
que fenomenológicamente este efecto se muestra en apariencia como una
109
componente de absorción óptica de la FDE en el rango espectral de absorción
fundamental que no es saturable, es decir, se comporta como una absorción
constante. Este mismo resultado (componente de absorción no saturable) aparece
también en el caso de otro efecto nolineal de absorción del estado excitado, ESA
(Barmenkov, et al. 2009) en el cual se absorbe un fotón incidente por un ion ya
excitado, dicho ion se promueve a un nivel energético más alto. La pregunta es si
estos efectos son importantes para la formación de la rejilla dinámica, la cual
también necesita una población en el nivel metaestable bastante alta.
Podemos decir que la influencia de la componente de absorción no saturable
sí se observa en nuestros experimentos (o de otros grupos Barmenkov, et al. 2009),
sin embargo, no es lo bastante grande. En particular, en nuestros experimentos de
transmitancia nolineal en FDE, casi siempre se observa una componente de esta
absorción. Casi nunca esta absorción adicional alcanza el nivel de 10% y, a veces,
se atribuye a las pérdidas por empalmes entre la fibra convencional (SMF28) con la
FDE. Claro que la presencia de esta absorción puede reducir la profundidad de
modulación en el patrón de absorción de la rejilla dinámica grabada, esto es debido
a que sólo la componente de la absorción saturable participa en la formación de la
rejilla. Sin embargo para la fibra dopada con una densidad óptica típica inicial
1 – 2, esta corrección no puede ser más grande de algunas decenas de porciento
y no puede explicar la reducción de las rejillas experimentalmente observada.
Ahora, los efectos de CFUC y de ESA (si olvidamos el efecto mismo de la
migración espacial) son efectos locales. Entonces, no debe existir ninguna
diferencia en como ellos se muestran en la saturación de la fibra espacialmente
uniforme y en la formación de la rejilla en la misma fibra. Por otra parte, el problema
de la reducción de la amplitud de la rejilla discutida en esta tesis es exactamente la
diferencia significativa entre como se satura la fibra en estos dos experimentos.
6.2.2 Influencia de la anisotropía reducida de los iones
El trabajo de esta tesis tampoco nos clarificó otra característica importante
de las propiedades ópticas de las FDE, y que no fue discutida con respecto a la
110
formación de las rejillas dinámicas: la anisotropía óptica reducida de los centros de
absorción del erbio. Este modelo se ha utilizado en literatura anterior [(Wysocki,
Mazurczyk 1996), (Wagener, et al. 1998)] para explicar el efecto de PHB en las FDE,
también significativamente reducido comparado con los resultados teóricos para el
modelo de dipolos independientes con orientaciones aleatorias.
En realidad es un modelo bastante fenomenológico y los autores no dicen
mucho de cómo se deben entender dichos centros ópticos: si es un ion de erbio, un
clúster, o una cadena de iones con diferentes orientaciones etc. Sin embargo, si
aceptamos razonablemente que esto es un centro del tamaño efectivo mucho menor
que el periodo espacial de la rejilla (≪ Λ 2⁄ 80 nm), debemos también concluir
que esta anisotropía también es un efecto local para las rejillas grabadas y tampoco
puede influir en sus amplitudes.
Tampoco se puede explicar la reducción de las rejillas grabadas por la
orientación aleatoria de los iones de erbio. Si hacemos una consideración de
formación de la rejilla para el caso de los dipolos independientes y con orientación
aleatoria como en el caso de fluorescencia (ver Capítulo 4), los resultados
principales son que el valor efectivo de la absorción promedio y de la fluorescencia
se reducen tres veces y la potencia de saturación efectiva crece dos veces. La
amplitud relativa de la rejilla de población (y su dependencia con la potencia
incidente) casi no cambia; entonces esto no influye la eficiencia del proceso MDO.
6.2.3 Influencia de la migración espacial
Cabe mencionar, que la consideración de esta razón física para la explicación de la
atenuación de la rejilla dinámica en FDE no es original, fue propuesta inicialmente
en el artículo (Stepanov, Hernández 2005). Más adelante en esta tesis comparamos
las predicciones teóricas de este modelo con una mayor cantidad de datos
experimentales y también con los resultados de una simulación numérica realizada
por el método MC.
Los factores de reducción de las rejillas grabadas en las fibras Er103 y Er123,
ver Tabla 6, son dependientes de la longitud de onda, y el menor factor de 3 – 6
111
veces se ubica en la longitud de onda de 1492 nm. Los factores de reducción son
mayores que los encontrados en trabajos previos (Stepanov, Hernández-Hernández
2007), donde encontraron un factor de reducción en la amplitud de la rejilla de: 1.5
– 2 veces para 1492 nm y 5 – 10 veces para 1526 nm para otra fibra Er123, del
mismo proveedor.
Como muestran nuestros datos experimentales, ver la Figura 66, en la fibra
Er103 con baja concentración de erbio casi no se observa aceleración en la razón
de formación de las rejillas para ningunas de las longitudes onda de trabajo. Por
esta razón, como en (Stepanov, Hernández 2005), vamos a suponer que el
desplazamiento de la razón de formación de la rejilla en la fibra Er123 con alta
concentración de erbio se debe a la difusión del estado de excitación. A partir de la
Ecuación (21) podemos ver que el coeficiente de difusión esta dado por:
2
Desplazamiento verticalD
K , (56)
donde el desplazamiento vertical normalizado de la razón esta dado en la Tabla 7
para la fibra Er123. La frecuencia espacial de la rejilla esta dada por:
4 n
K
(57)
donde =1.53 para todas las muestras, obteniendo una frecuencia espacial de
12.93, 12.60 y 12.26 m-1 para las longitudes de onda 1492, 1526 y 1568 nm,
respectivamente. Los coeficientes de difusión obtenidos se muestran en la Tabla 8
junto a la longitud de difusión calculada mediante la Ecuación (22). La última
longitud característica es la distancia media recorrida durante el tiempo de vida de
la excitación en la FDE.
Cabe mencionar que las longitudes de difusión evaluadas de nuestros datos
experimentales están en buena concordancia con las encontradas previamente en
(Stepanov, Hernández 2005), donde se reporta una longitud de difusión de 48 nm
para la misma fibra (Er123) y una longitud de onda de 1549 nm.
112
Tabla 8. Coeficiente y longitud de difusión para la fibra Er103
Longitud de onda
( )
Coeficiente de Difusión
D (cm2/s)
Longitud de Difusión
LD (nm)
1492 1.26 10-9 36
1526 2.96 10-9 54
1568 1.93 10-9 44
Por otro lado, también podemos comparar estos resultados experimentales
con el análisis teórico presentado anteriormente en el Capítulo 5, en particular, para
la fibra Er123, con la más alta concentración de erbio 5600 ppm (concentración
normalizada C = 0.11 ), el coeficiente de difusión, obtenido mediante la Ecuación
(53) es de aproximadamente 4.4 10-11 cm2/s. Este resultado implica una longitud
de difusión (es decir, la distancia media recorrida durante el tiempo de vida de la
excitación en FDE) de:
7nmDL D . (58)
Por su parte, el factor de reducción, el cual esta dado por:
21 1 1.01 1.01DKL (59)
Claramente, como tal, el análisis teórico basado en el método de Monte Carlo
para simular los múltiples saltos de la excitación en una red aleatoria no es el
adecuado para explicar los resultados experimentales en las FDE bajo
consideración. Probablemente, es necesario considerar la formación de clústeres
de los iones de erbio dentro del núcleo de la fibra. Si la migración cae en un ion
dentro de un clúster entonces las probabilidades de que la energía migre a otro ion
del clúster aumentaran significativamente el coeficiente de difusión también
aumentará. De hecho, en la literatura (ver por ejemplo Ageev, et al. 2009) hay
indicaciones que en el vidrio de sílice pueden formarse canales donde las
113
nanopartículas (y probablemente los iones dopantes) pueden formar cadenas
bastante largas.
El análisis teórico nos dice que la difusión del estado de excitación influye en
la misma escala en la razón de formación de la rejilla que en la amplitud estacionaria
de la rejilla dinámica. Entonces, si en las fibras con más alta concentración de erbio
las rejillas son más rápidas (Tabla 7) también deben ser menos eficientes. En
nuestros experimentos presentados anteriormente (ver Tabla 6) se observa esta
tendencia predicha por la teoría: la eficiencia de MDO transitorio (la cual es
proporcional a la amplitud estacionaria de la rejilla) es menor en las fibras con la
concentración más alta (Er123). Sin embargo podemos ver que el cambio de la
amplitud es significativamente más grande que el cambio de la razón de formación,
entonces sí podemos hablar de una concordancia cualitativa, todavía no hay
concordancia cuantitativa.
La migración de estado de excitación tampoco puede explicar las razones de
reducción de la amplitud de la rejilla en las fibras con baja concentración de erbio
(ver Tabla 6): ya que esta reducción no está acompañada por ninguna aceleración
en la formación de la rejilla típica para la significativa migración. Probablemente este
problema necesita otro mecanismo físico para su explicación, el cual no está
asociado directamente con la migración espacial del estado de excitación.
Sin embargo, la migración puede explicar por lo menos cualitativamente la
diferencia entre los cambios de razón y de amplitud de la rejilla observado para
diferentes longitudes de onda (ver Tablas VI y VII). De hecho, el efecto del cambio
es siempre menos fuerte para la longitud de onda 1492 nm que para 1526 y 1568
nm. Podemos suponer que esto es por la diferencia entre las secciones
transversales de absorción ( ) y de emission ( ) observadas para las diferentes
longitudes de onda presentadas en la Figura 10b.
De hecho, las rejillas dinámicas de población son más efectivas para las
potencias incidentes alrededor de la potencia de saturación las cuales son
diferentes para diferentes longitudes de onda. Para diferentes valores de las
secciones transversales, la intensidad de saturación está definida por la Ecuación
114
(12), mientras que la población promedio del nivel base está dada por la Ecuación
(34).
Entonces, para la longitud de onda 1492 nm, donde la sección transversal de
emisión es mucho menor que la de absorción, y cuando la potencia incidente es
igual a la potencia de saturación, la población del nivel base es significativamente
menor que para otras longitudes de onda. Como resultado, para los estados
excitados hay menos centros vacantes para saltar y el proceso de la migración es
menos efectivo.
Por otro lado, la migración del estado de excitación evaluado por el método
MC es lo bastante grande como para influir en la polarización de la fluorescencia.
Por ejemplo, para la fibra Er103 (C = 0.013 ) el valor promedio de la distancia
entre los iones de erbio es de 7.5nm. Por otro lado, la longitud de difusión evaluada
por el método de MC es de alrededor de 2.1 nm. Podemos ver que en este caso el
desplazamiento promedio del estado excitado por la migración es mucho menor que
la distancia promedio y podemos despreciar los saltos de la excitación, los cuales
pueden acompañarse con la pérdida del estado de polarización de excitación. Esta
misma también se obtiene de la Figura 50a.
Mientras que para la fibra Er123 (con C = 0.11 ) la distancia promedio
entre los iones es de alrededor de 3.7 nm con una longitud de difusión de 7 nm.
Entonces vemos que aquí el valor promedio de la difusión es casi dos veces mayor
que la distancia promedio entre los iones. Por esta razón se espera una pérdida de
polarización del estado de excitación y una reducción adicional de la polarización
de la fluorescencia. La misma conclusión también se obtiene con la Figura 50b en
donde se observa que la mayoría de los iones en esta fibra están incorporados en
las cadenas. En realidad, experimentalmente, nosotros observamos una
polarización de la fluorescencia reducida (ver la Figura 39) y una relajación
acelerada del de la señal de polarización de la fluorescencia (ver la Figura 42) en la
fibra Er123.
115
Conclusiones
Se realizó la preparación y caracterización de una serie de muestras de fibras
dopadas con erbio del fabricante INO de concentración del erbio en el rango de
[640 – 5600] ppm. Los parámetros de interés son la potencia de saturación ( )
y la densidad óptica no saturada ( ) los cuales se obtuvieron mediante las
técnicas de espectroscopia de transmitancia convencional, de transmitancia
nolineal y fluorescencia detectada transversalmente y excitada por láseres de
longitudes de onda de 1492, 1526 y 1568 nm.
Se desarrolló y armó una configuración original experimental para la
investigación del estado de polarización en la fluorescencia detectada
transversalmente en las fibras dopadas con erbio. Se encontró que la
polarización de la fluorescencia es de alrededor de 0.3% y muestra un
decrecimiento con la potencia de excitación y con la concentración de erbio; la
mínima polarización se observó en la región central del espectro de
investigación, 1526 nm.
Se realizó un análisis teórico de la polarización de la fluorescencia excitada por
luz linealmente polarizada a partir del modelo de dipolos independientes (sin
interacción entre sí) y con orientaciones aleatorias. La polarización de la
fluorescencia observada experimentalmente demostró ser significativamente
más baja que lo predicho (hasta 30%) por este modelo de dipolos
independientes. Se muestra que los resultados experimentales se pueden
explicar usando el modelo modificado con la anisotropía reducida de los iones
individuales descritos por elipsoides de las secciones transversales de
absorción/emisión óptica usando un factor de anisotropía de 0.6 – 0.8, usado
anteriormente para interpretar los datos experimentales de “polarization hole
burning” en FDE. Sin embargo, este enfoque no puede explicar la dependencia
116
experimentalmente observada de la polarización de la fluorescencia con la
concentración de dopante.
Se realizó una simulación numérica por el método de Monte Carlo de la
migración espacial de los estados excitados entre los iones de tierras raras en
vidrio de estructura aleatoria y con una distribución de los iones aleatoria. Se
encontró una relación del coeficiente de difusión y la concentración normalizada,
∗ 1000 ⁄ . En particular, se evaluaron los coeficientes de difusión
efectivos para las concentraciones promedio de los iones usados
experimentalmente y se compararon con los coeficientes de difusión en caso
clásico de la distribución en una red regular, encontrándose que el coeficiente
de difusión es menor para una red regular ( = 1300 nm2/s) que para una red
aleatoria ( = 13500 nm2/s) con igual concentración.
Se realizaron experimentos de MDO en fibras dopadas con erbio de diferentes
concentraciones (640 y 5600 ppm) y con diferentes longitudes de onda (1492,
1526 y 1568 nm) en un rango de potencia de grabado de [0,1] mW
encontrándose que el factor de reducción de la amplitud en las rejillas es más
grande en las fibras con la concentración más alta para todas longitudes de
onda usadas. También se observó que la razón de formación de la rejilla crece
con la potencia de grabado y que este crecimiento no se inicia en el punto
esperado (100 s-1) sino que presenta una desviación más grande para las
concentraciones altas.
En cuanto a las rejillas dinámicas, nuestras evaluaciones por el método MC
predice el factor de reducción de la amplitud y la razón de crecimiento de la
rejilla dinámica 1 2 Λ⁄ 1.01 para el periodo espacial típico Λ 0.05 nm.
Este factor teórico de reducción no es suficiente para explicar los resultados
observados experimentalmente en FDE con alta concentración de erbio y
probablemente, indica que es necesario considerar la formación de grandes
clústeres de iones con separación espacial reducida. Sin embargo, el efecto de
117
migración de esta escala (por 7 nm) más grande que la distancia promedio
entre los iones (3.6 nm) y puede explicar la polarización de la fluorescencia
adicionalmente reducida en las FDE con la concentración de dopante alta.
Los resultados de este trabajo de tesis se presentaron en los congresos
internacionales y nacionales: Liliana O. Martínez-Martínez, Joseph Haus
,Eliseo Hernández-Hernández, and Serguei Stepanov, “Monte-Carlo simulation
of excitation migration in erbium-doped fibers” MOPM’13, Martínez-Martínez L.
O., Eliseo H. Hernández, Serguei I. Stepanov, “Spectral distribution of the
fluorescence depolarization excited in erbium-doped fibers in 1490-1570 nm
range” SPIE Optics+photonics, Liliana O. Martínez-Martínez, Eliseo Hernández-
Hernández, and Serguei Stepanov, “Fluorescence depolarization in erbium-
doped fibers excited in 1490-1570 nm spectral range” FiO´11, y Eliseo
Hernández-Hernández, Liliana O. Martínez-Martínez, and Serguei Stepanov,
“On the influence of the excited state migration on the population gratings
amplitude recorded in the transient two wave mixing configuration in Er-doped
optical fibers.” XXII ICO´11.
Se publicaron los artículos: Liliana O. Martínez-Martínez, Eliseo Hernández-
Hernández, Serguei Stepanov “Polarization of the fluorescence excited in
erbium doped fiber in 1490-1570 nm spectral range” Opt. Comm. 309, 258-264
(2013). L. O. Martínez-Martínez, E. Hernández-Hernández, S. Stepanov, “On
polarization of the fluorescence in erbium-doped fibers” RFM 59(4) 302-308
(2013) y Eliseo Hernández-Hernández, Liliana O. Martínez-Martínez, Serguei
I. Stepanov, “On the influence of the excited state migration on the population
gratings amplitude recorded in the transient two wave mixing configuration in Er-
doped optical fibers” SPIE Digital Library 10.1117/12.902481 (2011). Un artículo
adicional sobre las simulaciones de MC y comparación con resultados
experimentales de MDO está en preparación.
118
Dentro de proyecto de tesis se realizó una estancia de tres meses con el grupo
de Prof. J.Haus de Universidad Dayton (EU).
119
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Apéndice Programa de MC en Matlab para la migración de energía en FDE
clear all; format long; %%parametros ladocubo=10; red=0.2; tamanodevecindad=0.8; t=10E-9; pruebas=100000; pa=[10,50,100,500,1000,2000]; per1=[99]; %% Crear la matriz regular para una distancia mínima entre iones de red. r2=zeros(length(per1),length(pa)); r=zeros(length(per1),length(pa)); rb2=zeros(length(per1),length(pa)); rb=zeros(length(per1),length(pa)); lc=zeros(length(per1),length(pa)); sc=zeros(length(per1),length(pa)); b=zeros(length(per1),length(pa)); gamanew=zeros(length(per1),length(pa)); pescape=zeros(length(per1),length(pa)); ions=zeros((ladocubo/red)^3,3); cont2=0; ii=-red; for i=1:ladocubo/red ii=ii+red; jj=-red; for j=1:ladocubo/red kk=-red; jj=jj+red; for k=1:ladocubo/red kk=kk+red; cont2=cont2+1; ions(cont2,1)=ii; ions(cont2,2)=jj; ions(cont2,3)=kk; end end end for l=1:length(per1) %%Inicio 1 concentración per=per1(l); for kk=1:length(pa) %%Inicio 2 # brincos pasos=pa(kk); iones=ions;
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%borrar iones para crear red aleatoria bb=randsample(length(iones),(ladocubo/red)^3*(per/100)); iones(bb,:)=[]; begin=find(iones(:,1)<=ladocubo/2+4 & iones(:,2)<=ladocubo/2+4 & iones(:,3)<=ladocubo/2+4 & iones(:,1)>=ladocubo/2-4 & iones(:,2)>=ladocubo/2-4 & iones(:,3)>=ladocubo/2-4); inicio=begin(floor(length(begin)/2)+1); distancia=[]; distanciab=[]; lengthcluster=[]; cc=[]; bb=[]; gaman=[]; for k=1:pruebas %%Inicio 3 pruebas p=inicio; maxpp=0; cluster=[p]; gama=0; for h=1:pasos %%Inicio 4 brincos %%create the neighborhood and probability iq = [1:size(iones,1)]'; q = find(iq >= p - (ladocubo/red)^3*0.09 & iq <= p + (ladocubo/red)^3*0.09 & iq ~= p); d =sqrt((iones(p,1) - iones(q,1)).^2 + (iones(p,2) - iones(q,2)).^2 +(iones(p,3) - iones(q,3)).^2); idx = find(d <= tamanodevecindad+0.00001); vecindad = q(idx); probabilidad= cumsum(t/0.01*d(idx).^(-6)); maxp=max(probabilidad); maxpp=maxpp+maxp; %%Generate a random number to see if migrate and where b1=random('unif',0,maxp); ix=[2:size(probabilidad,1)+1]'; probabilidad=[0,[probabilidad]']; prob=find(probabilidad(ix-1)<b1 & b1<=probabilidad(ix)); p= vecindad(prob); TF = isempty(p); if TF==1 p=inicio; end cluster=union(cluster,p); gama=gama+b1; end %% Fin de ciclo 4 distancia=[distancia,((iones(inicio,1)-iones(p,1))^2+(iones(inicio,2)-iones(p,2))^2+(iones(inicio,3)-iones(p,3))^2)];
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distanciab=[distanciab,(((iones(inicio,1)-iones(p,1))^2+(iones(inicio,2)-iones(p,2))^2+(iones(inicio,3)-iones(p,3))^2))*maxpp/pasos]; bb=[bb,maxpp/pasos]; gaman=[gaman,gama/pasos]; lengthcluster=[lengthcluster,length(cluster)]; ic = [1:length(cluster)]'; c =sqrt((iones(inicio,1) - iones(cluster(ic),1)).^2 + (iones(inicio,2) - iones(cluster(ic),2)).^2 +(iones(inicio,3) - iones(cluster(ic),3)).^2); cc=[cc,max(c)]; end %%Fin de ciclo 3 %% Promedio de resultados r2(l,kk)= mean(distancia)