Lima, E. L. - Análise no Espaço Rn - IMPA - Rio de Janeiro (2004)(69s)(PT_BR)(ebook - PDF - Mathe

5/10/2018 Lima, E. L. - An lise no Espa o Rn - IMPA - Rio de Janeiro (2004)(69s)(PT_BR)(eb...

http:///reader/full/lima-e-l-analise-no-espaco-rn-impa-rio-de-janeiro-200469sptbr

~ ~~ ~ ~ --- . -- .--- ------ .$ j

Lima, Elon LagesAnalise no espaco J R l l / Elan Lages Lima . Rio deJanciro : IMPA, 2004.12 8 p. : il. ; 23 em . (Colecao Matematica Univcrsiuir ia)I nclu i b ib li og ra f ia .ISBN 85-244-0189-31. Analise M atem aticu 2. C~11clll0 I. Tftllio. II. Serle.

CDD-S12

+

COLEQAO MATEMATICA UNIVERSITARIA

IitI?,I



Copyright 2004 by Elon Lages LiI1_1J _ .Direitos reservados, 2 0 () 4 p e la A s so ci ac a o lnstitutoN ac io na l d e Maternatica Pura e A plicada ~ I MPAEstrada Do na C a st or in a, Il ()22460-320 Rio de Janeiro, RJ

tf

Im pre ss o n o B ra sil I Printed in Brazil Prefacio da edicao originalCapa: N on i G eig er e R odo lf o C ap eto

Colecao Matematica UnlvcrsitariaComissao Editorial:

Eioll Luges L i r n a (Ed i to r )S 4 C o] I ie r CoutinhoPaLlIa Sad

Este livro rcproduz as licoes que proforimos durante 0 SetimoColoquio Brasileiro de Matcrnatica, em Pecos de Caldas, julho de1969.

Nele sao descnvolvidos os Iundamentos do Calculo para fun-Goes de varias variriveis rcais, ern forma intrinseca.

Isto significa que nsamos a linguagem de vetores, scgundo aqual uma funcao real 1(:c1, x 2, :r3) de 3 variriveis reais passa a scrUlna funcao f(x) do vetor x =(Xl, X2~ x3), pcrtcncente a IR 3, Cl1-

4- 1 1 2 ~1 ~2(1 2 '3 )quanto, por exernplo, duas funcocs rears f (x ~x ,x' .l x, x ,~r'sao eonsideraclas como uma funcao vetorial i: }R3 ~ I I t ( 2 , ondef(x) =(/I(X), j 2 ( : C ) ) , x = (Xl: x 2 : x 3 ) . Analogamente, em vcz darnatriz jacobiana (a I' / 8: x j) , i= 1~2; j= 1)2,3, conxideraremos atransforrnacao linear corrcspondentc f' ( x ) : l R , 3 ---4 IR 2 1 que desem-pcnhara 0 papel da derivada de f.

Tftulos Publicados: Anal i se R ea l, \!olurne 1 - Elan Luges L i r na EDP: Urn C urso de G raduaca o - V a le ri a I or io C urso de A lgebra , V olum e 1 - Abramo Hefez A lgebra L inear - Elan Lages Lima Introd ucao a s C u rv as A lg eb ri ca s Planas ~ I sr ae l V a in se n ch e r Equacoes Difcrenciais A plicadas - D jairo G . de Figueiredo c Aloisio

Freiria Neves G eom etria D iferencial -l)allio V en tu ra A ra ujo Introduciio a Tcoria dos Kll1TICrOS - Jose Plfnio de Oliveira Santos C alculo em U r na \' a ri a v el Cornplexa - Marcia G . Soares Geornctria Analitica e Algebra Linear - Elon Lagcs Lima Num eros Prim os: Mistcrios e R ecordes - Paulo Ribc11b01ITI Analise no Espa~o}R u - Elan Luges Lima Analise Real, Volume 2 - E la n L ug es Lima

Distribuiciio:IMPAEstrada Dona C astorina, 1 102 24 60 -3 20 R io d e J an eiro , I~Jc-rnai I: ddic @ im p a, b rIIt t p: / /\V\V\v. ir np a. b r

,A notacao vetorial simplifica as formulas, esclarecc os cnunci-ados, "limpa" as dcmonstracoes e contribui para Ulna comprecnsfiomelhor dos fenomenos diforenciais. (Vide, par exemplo, a Regra

"cia Cadeia e 0 Teorema ci a Funcao Inversa.) Alem disso, ola de lrnaior amplitude a validcz (10S resultados. Quase todos os teorc-mas aqui dcrnonstrados se mantem vcrdadciros, COITI as mcsmasdcmonstracoes, para 0 Calculo ern Espacos de Banach. Na reali-dade, apenas par motives didaticos c que considcramos as espacoseuclidianos J R : l 1 ern \'CZ de CSI)cl~OS 1101-'111a.(los mais gerais.

Usarnos Iivrernente a linguagern e os resultados elernentarcs



_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

da Algebra Linear e nao nos abster os de usar tarnbern ~lguns f.a.t~ssimples da Topologia dos Espac;os uclidianos. Estcs sao as princi-pais pre-requisites para a leitura d ste livro.

Os originais deste trabalho f ram notas de aula de_urn cursoque lecionei numa universidade c, trangei~a. A traduc;~o_ para 0portugues foi feita por Hcnrique B O\VIlC F11~o,,Israel :,alll~eI~cher"Jair Koiller e Milton Kelrnanson. A redacao final f01 revista pOIJorge Sotomayor, Cesar Camacho e ~,ubens Le~o de Andrade. Atodas estas pessoas rcgistro mcu c rdial agradecimentc

Prefacio da nova edicao

ELON LAGES LI1v lAA origern destc livro remonta as notas rnimcografadas nasquais se baseou 0 curso que lecionci no Setilno Coloquio Brasilciro

de Matematica, em Pocos de Caldas, 1969, No ana seguintc, COIllpequcnos apcrfeicoamentos do texto e acrescimo de alguns exercicios,ele foi publicado pcla Universidacle de Brasilia.

A edicao de 1970 esgotou-se ja faz varies anos. Diversos cole-gas e alunos, \TCh 1)01' C)11tr(1, me sugerem que 1 1 ( 1 interesse em tel'disponf vel uma cxposicfio dos principios c fatos basicos do Calculoa n variriveis que soja ao mesmo tempo concisa o inteligivel. BOll-dosarnente Inc dao a cntender que a presente exposicao curnpre taisrequisites. A sugestao dccisiva coube ao meu colega Paulo Sad, queme convenceu a corrigir as erros de impressao e alguns outros des-cuidos, fazcr a correcao das provas c ultimar a presente publicacao.A elo cabe urn reconhecirnento especial.

Agradeco 0 interesse dcssas pessoas e ao Hogerio Trincladc,que digitou e ilustrou esta cdicao.

Rio de ~ Janciro, 1 de j 111110 de 2002 .



Conteudo

Capitulo 1. Ap'licacoes Diferenchiveis 11.1 Definicao de aplicacao diferenciavcl 11.2 Ccneralizacao 2

Capitulo 2. Exem plos 4 4 ~ ~ ~ + 6Capitulo 3. Classes de Diferenciabilidade 4 4 4 + 16

3. IDe ri\-'(1cls de 0 r ( I CT I l 2 t 4 4 4 4 163.2 Derivadas de ordem superior 19343 Ex eInI)los .... 4 4 4 + + t 203.4 0bservacao sobre carninhos soccionalrnent.e

diere n cia v ' " ei 4.... t 4 4 4 + ~ + t 22Capitulo 4. A regr a da cadeia 25Capitulo 5. A desigualdade do valor media 34Capi tulo 6. Inte grais ' 44

6 + 1 In tcgrag a 0 dec ami1110S + + 4 4 + 4 ~ 446.2 Relacoes entre derivadas e integrais 526.3 Integr ais rcpctidas .. 4 4 4 566 ~4 IIItegI~ai rnii1tip 1as 4... + 4 + 4 + ~ 5 8

" -, ":"

I .Capitulo 7. Derivadas pnr crars 63.. .. .. .. . . .. . . .. . .. .. .. . . . .. ... .. . . . .. ..

Capitulo 8. Teorema de Schwarz 69. .. . .. .. . .. . . . . .. . . . . .+ . . . . . . . . . .73Capitulo 9. A formula de Taylor 73Os tooremas de Taylor .9.1

,. os 799 .2 Maxim 0s e illl III In ~. . 4 4 r 4 4 1

,- l' itas . 84Capitulo 10. Func;oes Imp leI . . 8410.1 0Teorema de FUllGao Inversa .

b - 9110.2 A forma local das 811 rnersoes .Aplicacoes diferenciaveis

9610.3 A fonna local das imersoes .9910 +4 0 teorcma do 1 )osto .' 4 4 ~ ~ 1 Definicao de aplicacao diferenciavel

.44 114A - d" .... .. ............ . . . .. .pen 1ce .,. . . . . t 4 + 4 4

Seja U C }R n um conjunto aberta. Dizemos que uma aplicacaof: U ----t J R . 1 1 e diferencuiuel ern UIn ponto tc E U quando cxistc, navizinhanca de x, Ulna "boa aproximacao linear ') para f.

Mais precisamcnte, cleve existir Ulna trausformacao linearT: J R T n ----t m :ntal que

.. .Capitulo 11. Mudancas de variavcis em Integrals,.It" 1 4 ~ 4 4 10 7mU 1P as. . . ~. 4 4 4 4

f (x+h) =( : r ) +T h+r(h), onde. T ( h )Inn ] =O.'~--rO II .

Na expressao acima, h clever SCI' t.ornado suficientcmente pe-queno para que x +h E U e portanto f( x +h) tenha scntido. CornoU e abcrto, cxiste 7] > 0 tal que It < "7 implica J; + li E U.

A igualdadc f(:r + h) =( x ) +T h + r(h) e simplcsmcnte Hdefini

2 APLICACOES DIFERENCIAvEIS Cap. 1 GENERALIZAr;:AO 3

'- .:.': ..

normados. (As principais excecocs sao as observacoes que farernossabre matrizes jacobianas e outras maneiras de usaf a base can6nicado espaco lR .m.)

Nas paginas seguintes, esta situacao rnais geral sera conside-rada sem maiores cornentarios, especialmento em se tratando desubespacos E, F, etc, de espacos euclidianos lR_n . Tais subespacossao espacos vctoriais normados rnais nao sao, estritamcnte falando,espacos euclidianos J R . 1 ! . Uma outra situacao que escapa ao con-texto do ospacos euclidianos < 5 a consideracao dos espacos E = ( I R _1 n ~ J R n ) de transformacoos linearcs entre espacos euclidianos. Seu E E ( rr tm , I R n ) e luna tr ansforrnacao linear de IR m ern I R . n., suanorma u ) se define naturalmcnte por

bilidade de f: U ---).R _ T l em x E U do seguinte rnodo:f( x +h) = f(x) +T h + p(h) hi, onde lilUp(h) =O .h~--tO ~' -. .:: . . . ., ,: ..

Para tal basta tamar p(h) = ( h ) / hi Isto deixa p(h) sem sentidod " - 0 Mas quando f 6 difercnciavel no ponto x, e naturalquan 0 1 . - 1\ , ,'_.definir p ( O ) =O . Entao p(h) sera uma funcao continua de h no

ponto h =O.Sc f: U - - -4> JR n C difercnciavel no ponte x E U entfio, para

cacla vetor h E IR7n,tem-se eviclenternentc:T ( th)Th=--t f(x + th ) - f ( x ) r(th) hi para todo t i- 0 real.t It h

ul = sup{ u(~ r) ; x E 1 R m ~ I x = I}.Logo: . f ( : r + th) - f ( x )T h = = lim t_,O tE unica, portanto, a transforrnacao linear T: R1n ---).IR n que ch i aboa aproximacao para i perto de ~C. Ela e chamada de derivada def no ponto x, e indicacla par f'(x) au DiCE) .

Abandoncmos agora a notacao provis6ria T. A condicao paraa cliferenciabilidade de uma aplicacao f: U - - -4> JRn(u C IRm aberto)

f( x + h) =( x ) + f'(x ) h + r(h), com HI n T ( h ) / I h = O .Il~O

Lembrarnos que esta norrna induz Ulna topologia emL ( I R . ' T 1 l , J R n ) que a faz linearrnentc homeomorfo a I R n T n . 0horneomor-fisrno associa a cada tr ansforrnacao linear 1L : lRm---).1 R .11 an. m-up laforrnada pelos elcrnentos da rnatriz de u relativa a s bases canonicasde lRm c I R n , arrumados em luna dada ordcm, (Vide Apcndice.)

Mais gcralmcnte, sc E1, ... , Ep e F sao cspacos vctoriais nor-mados, 0 espaco L (E 1, . .. , Ep ; F) das transforrnacocs p-lincarescontfnuas u :E; x x Ep - - -4> F tern uma norma natural, definidapar

em urn ponto x E U sc escrcve:

2 Generalizacao

Frequentcrnente so tern E1 =... E; =E o se escreve L p(E~ F )para indicar 0 espaco vctorial das Lransforrnacoes p-linearcs conti-nuas u: Ex x E " - - - - - - t F.

j\ diferenciabiliclaclc de 111na aplicacao J : U ~ F (U c E ~aberto) depencle cia topologia dos cspacos E c F, mas nao clependedas particulares norrnas usadas nesses cspacos, pois podornos subs-tituir essas norrnas por outras que lhes sao cquivalcntes, scm rnudara validez das assercocs h --70 e r ' ( h ) / / h ) - - -4> O . Ao tcstar, port.auto, aclifercnciabilidadc de uma aplicacao podemos, de acordo COIll nossa

E claro que se f e difcrenciavcl no ponto x entiio f c continuanestc ponto.

As definicoes acima (como tudo 0 rnais nestc livro) se aplicam, COInpoucas excccoes, ao caso mais gcral de urna aplicacao f: U ~ ~onde U 'c - E e urn conjunto aberto c E~F sao espacos vetoriais

__ _

4 APlICAc;oes DIFERENCIAVEIS Cap. 1 I : . . . ...' EXERc ic ros 5convcniencia substituir as normas dos espacos em questao par ou-,tras cquivalentes. (Vide Apcndicc.]

e diferenciavel em todos as pontos de V x B.

Exercicios5. Seja E 0 espaco das matrizes n x ti. (Sc achar conveniente,

identifique E corn ]R u 2.) Defina f: E --t E pondo f ( X ) =X3para cada matriz X. J\tIostre que f 6 difcrcnciavel em todos aspontos de E. (Use 0 mctodo do Excrcicio 1 para deterrninaro candidato a J'(X).)1. Usando a formula f ' ( x ) It = ~ ~ r 6f(x+tI~)-f(x) e admitindo a

cxistencia das dcrivadas ern qucstao, calcule:

a) / ' ( z ) h , ondo f: }R 2 ---+ }R 2 e clefinicla por f ( x , y ) =( x 2 + y, X + y 2 ) , z =(4,-1) c h =(1,2).b) !p' (x ) 'v ~onde x 1 V E I R m sao vetares arbitrarios e ip : J R . . I H ---'f

IRdefinicla por ~(x) = . f (x) g ( x ) , sendo f, _ q : I R _ m --t ]Rfuncionais linearcs.

c) e (x) li, ondo h E IRTn e urn vetor arbit.nirio e ~: U ---'f IRe definida 110 aberto U C I R . l r t do modo seguinte: S~l()cladas / , g : U ---+ f f i _ P diforenciaveis e ~(x) = (f(x),g(x)),para todo x E U , e 0 produto interno dos vctores f (x ) eg (x ).

6. Defina diferenciabilidadc ern cspacos vetoriais norrnados quais-quer. Dados U C E aberto o f: U ---'f F diferenciavel noponto x E U , mostrc que a continuidade de f no ponto x ecquivalente it continuidade da aplicacao linear / I ( X ) : E ---+ F.

7. Usando coordenadas polares, defina a funcao real f: }R 2 ---+ J R . ,pondo f ( x e iy ) =( X / y ) 2 J ~c> 0, 0 < y < 21f. Prove que f--; t ~ .. t f (til.)nao e COIl inua na ongcm, muito crnbora se tonha IlID = =t - - - - - t 0 to para todo vet.or h E lR 2. [Isto vern rnostrar que, cladosx E U C I R 7 7 l , f: U ~ lR'\ pode existir Ulna aplicaciio linearA m rn I T : D 11 1 A } ~ f (x+tJ t) ~ f(x): 1& ~ iN.. ta o qllC It ::= 11111 ' para todo 1 1 E JR.171f-tO t 'sem que f sej a diferenci.i vel no ponto x. J

2. 0 exercicio anterior mostra que) sc existirem as clerivadasJ'(z), t p ' { x ) e e (x ) , elas devem tel' as formas ali obtidas. Proveagora que as 3 derivadas cxistern.

3. Seja U C }RtIl abcrto. Dada f: U ---'f IR H difercnciave. no pontoXn E U , considcre Ulna bola aberta B ( x o ; 0 ) , de centro Xu craio 6, contida e111 U . Prove que a aplicacao T: B ( O ; 8) - - - - - + I R H ,definida par r ( h ) = f ( x o + h ) - f ( x o ) - J ' ( x o ) h , 6 difercnciavelno ponto h. : : : : = o .

4. Sejarn V c U aberto ern I R . _ T n c l5 > 0 urn nurnero tal quex E V, h < 6 implicam x + h E [1. Indique com B abola abert a em I R m COIn centro 0 e raio 6. Sc f: U ---'f IRTL 6diferenciavcl ern todos as pontes de U, cntao, fixado Xo E V,a aplicacao r: V x B ---+ ] R T t , dcfinida par

r(x)~) = ( x + h) - f ( x ) - i' ( x o ) h

_....... ..----.- ..._ _ ... _ _ _ _

2Exemplos

1 ) Aplicacoes constantes. Ulna aplicacao constante e clararncntcdifercnciavel e sua derivada er n qualquer IJOIl to < 5 igual a trans-formacao linear zero.

2 ) Transjormocoes lineares. Urna transformaciio linear T: I R 1 l l --'fI R n e diferenciavcl em cada ponto x E I R T H C T'(x) = T . Defato, por linearidade, T ( x + h ) = 71 X + T h logo 1 " ( h ) = 0 cT'{x) =T.

3 ) Transjormacoes bilineares. Ulna transforniacao bilinearB: I R m x I E t n - - - - + ]R P e diferenciavcl em cacla ponto ( x , y ) E I R . 1 7 1 X]R n e sua derivada e a transforrnacao linear B'ix, y ) : IRl71 XI R T t - - - - -+ IR P definida par

B'(x, y ) ( h , k ) = B(x, k ) + B(h, y ).Dc fato, dada a transformacao bilinear B, existe luna cons-

tantc c > 0 tal que B(h, k) : S c h k para todo h E lR :1IL e paratodo k E I F k T l . Basta tomar c =sup] B(h, k)l; h =1, k =I}.(Vide Apendice.) Ora,

B(x + h, y + k) = B(x, y) + B(:r, k ) + B(h, y) + B(lt, k) .

7Nossa afirrnacao ficarri provada quando mostrarrnos que

\

B(h k)lim ' =o .(hJ,~)-+O ( h , k )Usanda ern ]R m x I R 1 t a Hanna ( h , k) =sup{ h , k}, teremos:

B(h, k)I ( h , k )

B ( h , k ) 1 < cl h Ik _.4 1SUp{ hi, k} - Sllp{ h, kl} - c inf'{ h, k},de onde so segue 0 rcsultado

Casos cspeciais de transformacocs bilincares sao 0 produtointerno ]R m x ]R m - - - - + I R . , dado por ( X 1 Y ) = 2 : = xiyi, e a composicaode transformacoes lineares:

p .: ( l R H , J H l . P ) x ( I R 1 H , J R n ) --'f ( J R Tn, f f i . P )ondo /1(5, T) = ST. Ern particular, a multiplicacao de numerosreais e bilinear.

Tambern e bilinear cl aplicacao

4 ) lnuersiio de matrizes, 0 conjunto GL(f f i .H) C (IRn), dastransformacoes lineares inverl .iveis T: f f i . n - - - - - - - + I R _ n 6 aberto.De fato, T E GL ( I R n ) se, e somentc sc, dct(T) - I - 0, edet: ( f f i 1 . H ) --'f II{ 6 luna Iuncao continua.Considere a aplicacao inversao f: GL ( I R l l ) ---+ ( J R l 1 ) , clef inicla

por f ( X ) =X-I. A cxprcssao classica de X-I ern tcnnos de deter-minan tcs mostra qu e f e continua. Afirrnamos que f e diferenciavolem cada X E G L ( J R n ) e que sua dcrivada f ' ( X ) : ( J R H ) -+( IRH) 6a transforrnacao linear H ~ - X-IIIX-I. De fato, se cscrCv"CII10S

(X + H)-l = = X~l ~ X-1 IIX-l + r ( H )e multiplicamos ambos os rnernbros desta igualdacle por X + Hobtcmos, apos uma Iacil simplificacao, r(H) =X-1 H ) 2 ( X + H) -1.Portanto Ir (H) < X-112 H I2 X + H -1 C Iirn r(f/)/ H =O.H- - - - - + 0



. . . . . ._. . . . .. ~ .

8 EXEMPLOS 9

Em particular, para n = 1 , (IR1) sc identifica COIn l R eGL(lR 1) ~ IR'" = lR . - {o). Seguc-se que a funcao f: IR * ---* lR ,dada por f(x) := 1/ x e difcrcncsivel ern cada x E ]R * e sua derivadae a transformacao linear I'( x ) : IR ---* J R . tal que fl ( x ) h = -hrr;2.Em autras palavras, I' ( x ) e identificada corn 0numero - 1 x 2 . (Vel'Exernplo 8 abaixo.)

Pelo excrnplo anterior se t' I": U 1 R -nadas de f entao " , - - - - - - - + sao as coorde-+

5) As coordenadas de Ulna aplicar;iio diferenciavel. Dado urnconjunto aberto U C IRm, uma aplicacac I : U ---* f f i _ n fica de-terminada par n funcoes rcais II,..., n : U --+ I R , chamadascoordetuuias de f e definidas pela relacao I() = ( fl ( x ) , ,t"(X ) ) , x E U .

I~to ?OSleva a luna expressao classica para a matriz d t .,formacao Iinear J'(x ) IR7TI ~ ! F k r t ~ 1 . , a rans-JR n hecida com . _ro ativa as bases canonicas de f f i _ 1 r le , cO.n . ecida como a matriz jacobitma de f no ponto x 0 )1menta (2 , J) desta rnatriz e a z-esima coordenada do veto f / ( . .) ~ ., ~ -e portanto: r :1 , e J ,

J f ( : L ' ) = . . . . , . .. . . + .. I1 1 IUma aplicacao f 6 difercnciavcl no ponto x E Use, e 50-

mente sc, cada funcao coordenacla fi for rliforenciavel no ponto :r.Alem disso l' ( x ) : J R n 1 ---* } R . n sera dada por f' ( x ) h = (Di' ( x ) h, ... , D f T t ( x ) h) , onde prcfer irnos a not acao D fi para cvi tar es-crever i", qu e ficaria desclegante.

Para provar isto, observe que a igualdacle f (x+h) = f (x)+Th+r(h) e cquivalcntc a n igualdadcs fi(x+h) = j i ( X ) +Tih+ri(h) 1ondc T h = (Tl. h, ... ,Tn. h). Alem disso, r ( h ) / l h ~ 0 SC~ esomente se, ri(h)/ h I --+ 0, para cada i = , .. , n.

Urn resultado inteiramente analogo se verifica para aplicacoesf: U - - - - + t: X E2, U c IF tm aberto, Ei E2 espa

http:///reader/full/lima-e-l-analise-no-espaco-rn-impa-rio-de-janeiro-200469sptbre

10 EXEMPLOS Cap. 2

Corno veremos mais tarde, a dificuldade ai reside no fato deque a dcrivada direcional (8 J /8 el ) ( X , y ), onde el = (1,0), e lunafunciio dcscontinua de (x , y ) na origem.

8 ) C a m in ho s d if er en c ia ve is . Uma aplicacao definida num intcr-valo tomando valores num certo espaco, e chamada de urn,caminho nesse espaco.Dado U111 caminho f: J ~ J R . n ) ~eu uetor velocidade em urn

ponte interior x E .J 6 definido por. f ( x + t) - f ( x ) illlnV = = 111Tl E ~t~ O t

dcsdc que este limite exist.a. Escrcvercrnos v = ( d f J d t ) ( x ) paraindicar vetor vclocidadc do carninho f no ponto .c .o vetor velocidade ( d f / d t) (:r) existe se, C sornentc se , 0 cami-nho f: J ~ I R n C difcrcnciavcl no ponte x. Alern disso, este vetorvelocidade se identifica naturalmente COIn a clerivada f l ( X ) . (Corn-pare com 0 exemplo anterior, onde 0 dominic de f tern dimensao> 1.) Vamos demonst.rar isto.

Primeiro Iembraremos 0 isomorfismo natural ( I R . ; f fi .1 t ) : :. :: :: :R_ n 1que associa a cada transformaciio A E (IR, lRn) 0 vetor a =A I,imagcm de 1E l R por A. Como A t = A ( t 1 ) = t (A 1 ) = t a,ao identificarmos ( J E t , J R n ) CO I n IR H deste modo, a oporacao A t ciatransformaciio A sabre t E f f i . sera intcrprctada como 0 produto t ado escalar t pelo vetor a~

Dada f: J ---4 jRn, e dado x E J , esc rever f (x + t) = f (x) +f l ( x ) t + r e t ) e 0mesmo que escrcver I( x + t) = f ( x ) + t v + r e t ) ,ande v = fl(x) 1. Portanto

r e t ) f( x + t) - f ( x )-= -v .t l tSegue-se que lim r t ~ ) =0 5e, e somente se, f tern urn vetor veloci-t--70 tdade CIU x e, neste caso, este vetor v e idcntificado corn fl (x ).

. : . . , . .. '.

11Em particular, dados J c I R . c f: J ~ IR [uma funcao real

de variavel real), vemos que f e difcrenciavel nurn ponto interiorx E J so, c somente so, f tern derivada no sentido chissico

a =lim I( x + t) - l e x ) = df (x).t . - . . - t O t d t

Neste case, a e um numero que identificamos corn a trans-formacao linear t f - - - - - f at , de J R ern J R . . Esta transforrnacao linear e aderivada 1 1 (x ) no senticlo da nossa definicao.

So as funcoes caordenadas de urn carninho f: J -+ J R . " sao]1,... , jn, 0 vetor velocidade * (x ) e dado par

df l d f T l1 ( x ) , . . . , (x )( t dt A nociio de vctor velocicladc nos del. luna intcrpretacao gcorne-

trica para a derivada 1 1 ( x ) : lRnl ~ J R . n de 111na aplicacao f: U ---+ I R . 7 1(U C I R 1 n , aberto, x E U).

Dado h E ~m, seja .J urn intervalo abcrto contendo 0 tal quex +th E U para cada t E J. A aplicacao f transforrna 0 caminho< 1 > : J ~ f f i .m , 1 ? ( t ) = :1: + th , no caminho t ~ f(:r + th ) E J R n ,e 1 1 ( x ) h e 0 vetor velocidadc deste iil tirno em t = o . Vcremosadiantc que niio c necessaria usar 0 caminho linear tal que ~(O) =x o d e l> / d t (O ) = servira,

+E

fo

-ec D ( t ) = x+th d(fo~)f {X )+h:= (0)dt

----

.. . : - "!!

12 EXEMP lOS Cap. 2 13

9 ) F un coes R eais. Enquanto que a derivada de urn caminhof: J ~ I R r l e urn vel.or , a derivada de uma Iuncao difcrenciavcl1: U ---4 f f i . , U c I R m , em urn ponte x E U , e urn elcmento de(IRnl,IR) = ( J R m ) * = espaco dual de I F k n l . Ou seja, J'(x) e UInfuncional l inear . Nesse caso, a notacao tradicional e ~f(x) emvcz de f' ( x ) , c df (x ) 6 charnada a diferencial de f no pontox. A matriz jacobiana de f' (x ) :=d f ( ;r ) t er n luna linh a e n i

(x , y ). Scja U C C aberto. Uma funcao cornplexa f: U ~ Cdiz-se h olomorfa quando, para cada z E U , cxiste 0 l imite.

A ( z ) =im f ( z + h) - J (z) ,}1-+0 li

colunas:A definicao acima torna-se possivel pcla estrutura de corpo

de C e significa precisamente queJ f ( x ) =

aJ 8ja l(x)''8 (x )x X111 f(z + h) =J(z) + A(z) h + r ( / t ) , ondc lim r(h)j hi = 0,}~40Os numeros :il (x ) sao as coordenadas do funcional linear

df ( x) relati vas a base canoni ca de ( I R m ) " , espaco dual de J R J 1 1 .1 {I 1?1} d ( T [ ] ) 1(1 ) *, cRecordetnos que esta ase e, . . . , e e ~ e cara -

terizada pela propriedade de que, dado qualquer vetor ' 1 . ) =(a I, ... , a m ) E ] R 1 H } tcm-se e' V = a i. POdCI110S, portanto,escrever

Portanto, f e holomorfa se e somento so:1 ) A aplicacao f: U ~ JR 2 c difcrencirivcl ,

m a1 .df ( x) =~ .( x ) e'.~ a~rli= = 1

2 Q ) Sua derivacla 1'(z): ]R 2 ~ ~2 e , em cada z E U , uma trans-formacao linear da forma h ~ A(z) h. (Multiplicacao pelonumcro complexo A(z).)Ora, as transforrnacoes lineares 110 plano que consistem na

multiplicacao por urn numero complexo A sao: a transforrnacaozero (rnultiplicacao polo mimero complexo 0) e as se me llia nc as p o-sitivas (transformacoes cia forma pT, ande p > 0 e T urna rotacaono sentido positivo.) Para se ver isto, basta cscrever A =pe'" ,

Ern rcsumo: uma funcao complexa de variavel complexaI: U --f < C e holornorfa sc , c sorncnte se, vista como uma aplicacaoi:U ____,.l~_2, diferenciavel c, em cada ponto z E U , sua derivacla/ '(z), au e 0, au e uma semelhanca positiva.

Frequelltcmente OR funcionais e i sao escritos eorno dx t 1 jaque os ei podem ser intcrpretacios COIl10 as Iuncoes coordcnadasXi: IRm~ IR, que a cada x ::= (X l , . . . !x " T H ) fazem corresponder suaz-esima coordcnada xi. Como estas Iuncocs sao lineares, tem-scdxi(x) = Xi para cada x E I R l H , Entao, escrevcmos

A expressao acima e urna igualdadc entre funcionais linearcsT'[])111 El fi d t ( 1 1 1 ' 1 ) E 1m'rU.no rn,.. a sigrn ca que, para ca a ve .or u = a, ... , a .If':.. ,

vale: Laf . Lat ( ) idf (x) , v = . ( x ) (d x1 , v) = a x a a x '" . Xli t10) F u n c oe s H ol om or ja s. Vamos idcntificar 0corpo C dos mimeros

cornplexos COIll 0 plano }tt2 pela correspondencia ;r + iy f----)

14 Cap. 2EXEMPLOS

Exercfcios1. Seja f: J R _ 3 ----? JR 4 dada por f ( x ~ 11 , z ) = (x 2 - y2, xy, XZ, z y ) ,

a) Prove que f e difercnciavel em toclos as pontos de I R 3 ccalcule sua ruatriz jacobiana.

b) Mostre que a dcrivada f ' ( X : y, z ) : IR 3 . - - - - - - - t m :1e Hilla trans-formacao linear injctiva, exceto no cixo dos z (isto e,parax=y=O).

c ) Determine a imagcm de J' (0, 0 , z) : f f i .3 -----)R . . ' i .2. Seja f: ]R 2 -4 JR.2 definida por 1(:, y) = ( e X cos y, e X sen y ) .

Considere a transformacao linear T = ' ( 3 ) 7 r / 6 ) : f f i _ 2 ----7 f f i . 2 ,C os vetores h = (1,0), k = (1,1). Qual C 0 angulo Iorrnadopelos vet.ores TlOO h e TIOl k?

3. Seja f: U ---t ]Rrl diferenciavol ern todos os pontes do abertoU c ]Rm. Defina ip : U ----? U X rn;.n e F: U x IRn ---t J R 1 !pondo c p ( x ) = (x, f ( x ) ) e F ( x , y) = f ( x ) - y. Mostre queip e F sao difcrenciaveis, exprirna suas dcrivadas, conclua que< p I ( x ) : I R T n _ _ _ ,. 1 R m . x I R n C injctiva para todo 1: E U e que 0miclco de F'i x, y ) : IR1n X IRn -----)lRIt coincide com a imagem deip ( x ) .[Nota. A irnagern r . p ( U) c U x IR n 6 chamada 0 gTajico de fe 0 espaco vctorial 'P ' (x) m : . m 6 chamado a e sp ac o t an q en ie ac p ( U ) no ponto (x, f ( x ) ) . ]

4. Seja f: lR2 -----) ~:) definida por f ( x , y ) = ( x 2 , y2) ( x + y ) 2 ) .Mestre qHe II (X 1 y ) : m :. 2 -----)R . : ~ tern pas to 2, cxccto na origem.[Isto e, f'(x, y ) . el e J ' ( x , y). e2 sao lineannente indepcndentcssalvo quando x = y = 0 .)

5. Seja f: f f i . 3 ~ IR a dada par2 2 2 3 3 3f(x, y~ z) = (x + y + z}:r + y + z ,x + y + z ).

Mostre que a transforrnacao linear f'(x, y, z) : f f i_ ; { - - -- - ) I f . f 3 6 in-vcrtivel, salvo sc duas das coordcnadas x) y, z sao iguais.

EXERCiclOS 156. Mostre que a derivada da aplicacao f: Ift2 ~ I R . .2, dada por

f (x , y ) = ( e X + eY 1 eX - eY) e uma transformacao linear in-vertivel / ' ( X , y ) : }R 2 ---t JR.2 para todos os pontos z = (x y ) E2 ' IR. Diga se t, considerada eorno uma funcao cornplexa, c

holomorfa,7. Scja E = J R n 2 0 espaco vetorial forrnado pelas matrizcs n x n.

Indicando corn X* a transposta de uma matriz X, considerca aplicacao f: E -----)E dcfinida por f(X) = XX*. Deserevaa derivada f l ( X ) : E ~ E. Mestre que /'(X ) H 6 simctricapara cada H E E, c que se X e ortogonal (isto e, X* =X-I)entiio, para toda rnatriz simetrica S, oxiste pelo rnenos umamatriz H tal que J '(X ) H = S.

8. a) Gcneralizando a Exernplo 3 (Capitulo 2), deterrninc a de-rivada de Ulna aplicacao p-lincar f: IRn1x x I R 1 I 1 ~ I R H .b) Seja E 0 espaco vetorial forrnado pelas rnatrizes nxn. Con-sidere a funcao real f: E -----) definida por f (X) = det(X).Dados X, H E E calcule f'(X) H. Conclua que /'(1) H =traco de H, onde 1 = matriz identidadc n x n.c) Mostre que det'(X) = 0 se, e sornentc se, a posto de X c< n~ 2.

9. Scja U c I R m aberto. Sc f: U ___ ,.R atingc urn maximo (ouminima) relativo no ponto x E U) c f c diferenciavel no pontox, entao / I ( X ) = O .

10. So f: U - - - - - * }R e diferenciavel num aberto limitado U C lR7n C,~para todo a E U - U tem-sc lim f ( x ) = 0, cntiio existo algurnx---+a

Xo E U tal que f ' ( x o ) = O.

3Classes de diferenciabilidade

1 Derivadas de ordem 2Dado U c IR m abert.o, diremos que uma aplicacao f: U ~ I R T 1 Cdifercnciavel em U quando ela for diferonciavel er n todos os pontesx E U . Define-se entao a a p li ca c ii o d er iv ada

Ela associa a cada ponto x E U a transformacfio linear f' (x) : IRm -----1l R l l , a derivacla de f no ponto x. Corno 0 espaco . c ( I R 1 n : IP2~)ternUlna topologia, definida par sua norma, dirernos que f: U ~ ]R1Ie coniinuamenie dijerencuuiel, ou que f e de classe Gl, c cscreve-rernos fECI, quando 1 for difercnciavel e, alem disso, 1': U -----1. c ( I R m , ] R 1 1 ) for continua.

Ao testarmos a diferenciabilidadc de uma aplicacao 1:U _,.IR H ern toelos os pontos x E U , c convenientc escrever a . condicaode clifcrenciabilidade ern forma mais explicita, deixando claro que 0rcsto r nao s6 dcpende de 1 1 , como tambem do ponto x CITl questiioPortanto, f c diferenciavcl ern U precisamcnte quando, para cadax E U , cxistc uma transforrnacao linear J'(x) E .c(Ifrn, J R n ) tal que

f( x +h) = f(x) + f'(x) h+ri x; h) ,

Se~ao 1 DERIVADAS D E O RD EM 2 1 7onde . T (X , h)lim I =O.h-+O I

Isto significa, e claro, que dado e > 0 existe, p ara cada x E U ,urn b = 8(x, c) > 0, dcpcndendo de cede :f, tal que 0 < h < 6implica r(x, h) < cit . Sera provado adiante (Capitulo 5) que SDf E G1 entao podercmos escolher 0 indepcndentc de x em cadasubconjunto compacta de U

Quando f: U -----1 litH C de classe C1, podcrnos perguntarquando a a pli ca ca o f': U ~ (IRnl , l R , n ) tern urna dcrivada. Estapergun ta faz sentido porquc ( ff i. m , r n :. n ) e urn espaco vctorial nor-mado. Se quiserrnos, as elementos de . c ( I R 1 n , I R H ) podem ser pensa-dos eorno matrizes 11X m. . e /' podc ser considerada como a aplicacaoque a cada x E U associa a matriz jacobiana J f(x) de f no pontox. Entiio f E Cl irnplica que a matriz J f ( x ) dependc continua-mente de x E U , isto e , cada Ulna de suas componentes Z ~ (x ) cuma funcao continua do x. (Sera mostrado adianto que a recfprocatambem e verdacleira. Veja 0 Corolario do Tcorcrna 7.1, Capitulo7.) Alern disso, l' e diforcncirivc! no ponto x SC, c sornente se, cadaelemento ~ ;da rnatriz jacobiana for difcrcnciavel no ponte x. Istose segue do Exemplo 5, Capitulo 2.

Se f': U -----1 ( IRm, I R l l ) tern dcrivada no ponto x E U , dizc-mos que f e duos uezes diferer~ciavel no ponto x c CSCrC\rel110Sf"(x): IR m -----1 (lRm,IRH) para indicar a derivada de /' no pontex , isto e , a segunda deriuada de 1eru x. Assim, f"(x) E .c(~m,(JR.m, RH ) ) . Quando f e duas vezes diferenciavel ern todos as pon-tos x E U, dizernos que f c duas vezes diferenciavel em U. S c,alem disso, a aplicacao f" : U -----1 (]R m , (l R rT 1, r n : . T l ) ) for continua,dircmos que f e duas vezes continuumenie diferencitivel em U cescreveremos f E C2 . Podemos dizor tambem que f e de classe C2.

Existe urn isomorfismo natural (IR 1 n , (IR T n , I R l 1 ) ) ~. c 2( I R ? m , IR ll), que associa a cada transforrnacao linear T: ] R m ~.c(IRm, J R 1 l ) a transforrnacao bilinear i: I R 1 n X r n :m ~ I R l 1 tal que~ . ~T(u, v ) =(T 1 1 ) v. Isto nos permitc considerar a derivada scgunda

18 CLASSES DE DIFERENCIABILIDADE Cap. 3como sendo uma t.ransforrnacfio bilinear J" ( x ) : I R m x lR .m --+ I R l l .

Vejamos de mais perto 0 caso especial de uma funcao duasvezes difcrcnciavel f: U ----; R ;" U c ]Rm. Sua derivada 6 Ulnaaplicacao J ': U ----; ( IRm, I I J l . ) dada por

m 81 .J'(x) =L BXi (x)dx\i : : : : = l

onde {d x 1, .. . , dx'i1l} e a notacao trudicional para a base canonicade ( IRm, JR ) = (IR1n)* . As funcoes coordenadas de I ' : U -c (IRm)*sao portanto 3 f 1 " ' " a:t Segue-se do Exernplo 6, Capi tulo 2,que a matriz jacobiana de f' no ponto x tern elementos a; i21 x j (x ) =a ~ i (t!i) ( x ) . Como transforrnacao linear, a aplicacao t" ( x ) : m : TIl --?(IRm)* e caractcrizada par

Vamos, por urn memento. fazer luna distincao entre I" (x ) e a trans-formacao bilinear d 2 (f ) E 2 ( I R m , l E t ) que Ihe e associada pelo iso-morfismo ( IRm, ( I R t n ) *) ~ L2 ( I R . T n , 1 R : ) . Por definicao, d2 f ( x ) ( 1L , 1 1 ) =( f " ( x) u) v. A cxpressiio anterior de f" (x) i nos d a

Lembremos agora que 0 espaco 2 ( I R m , T I t ) tern uma base na-tural, que consiste nas forrnas bilinearcs dx' dx j: f f i . m X J R7 n - - - - ;I R , definidas por dx' dx j ( ' I L l v) = dxi (lL) dx j (v ) = ai{3 j se u(aI, ... , am ) c V = (f3I,...,3m). Qualquer forma bilinear q > E2 ( I R Tn , I R ) se escreve do modo unico < P =~ (L ijd xi d x" , onde aij< P ( ei 1j ). Portanto

2 _ m a 2 f i jd f(x) - " a " ( ) . (x)dx dx~ Xl xJi.i= 1

Set;ao 2 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 19e a expressao de d2 f (x) ern termos da base canonica de 2 (1Rm., I R ) .

Do agora ell} diante, nenhuma distincao sera feita entred2 f e I " 2 Derivadas de ordem superiorAs derivadas de ordern superior sao clefinidas indutivamente. Supo-nhamos que f: U --? I R 1 l seja (k - l)-vezcs diferenciavel. Ent.ao sua(k - 1)-esirna derivada 6 tuna aplicacao t":". U ----;Lk-l (I~m, } R U )de U no espaco das aplicacoes ( k - 1-lincares de IR m ern IR'Tl.

Se j(k-l) for diferenciavei em um ponto x E U , dirernos, que fe k vez es difer'en cio/vel n este p on to e, usando 0 isornorfismo canonico(JR"\ k _ I ( I R r H , jR T l ) ) ~ L\ ( I R T I l , ntH), idcntificaremos j ( k ) ( : C ) , a de-rivada de f(k-1) ern x, com luna aplicacao k-linear de IRmem I R . 1 1 , quechamarernos de k-esin ui derivada de f n o p ot iio x . Quando f { k ) ( x )existe ern cada ponto x E U , (iizCI1IOS que I c k vezes difcrcnciavelem U . Fica cntiio definida a aplicacao f(k): U ~ L k ( l R 711 1}Rn). Dire-mos que f e uma aplicacao de classe c . ou k vezes coniinuamenlcdijerencuiuel, e escrevcremos I E c-, quando j(k) for continua. Porconveniencia, C o indicant 0 conjunto das apl'lcar;i5es continuos,

Dcfinimos (1 import ante classe C r X . das aplicacocs inJ ini ta-ment e d if er en c id v ei s corno sendo a intersecao de todas (18 classesC k : C '" = Co n C1 n C 2 n .... Assim f E CY.) se, e sornente se,possuir derivadas de todas as orclens ern cada ponto de U .

/E claro que C oo c C Ck C Ck~l c C C1 C CD.Frcqiientemcnte e necossario usar uma notacao mais precisa c

entiio, ao inves de c-, se escrevc Ck (U l l R _ H ) para indicar 0 conjuntode todas as aplicacoes f: U --+ J R . n que sao k vezes continuamentediferenciavcis. As regras elementares de diferenciacao (veja abaixo)mostram que cada Ck(U, ~n ) e urn cspaco vetorial real (de dimcnsaoinfinita) c que a derivacao f f--l- Df = f' e luna transforrnacao linearD: Ck(u ,JRn) --? Ck-1(U, ( J R .TH , IRU)).

Entre todas as classes, Coo 6 a iinica que e invariante pela



20 CLASSES DE DIFERENCIABILIOADE Cap. 3

derivacao: f E Coo implica t' E Coo. Isto a faz cspccialmenteinteressante. Uma classe tambem import ante, mais restrita queCoo, 6 a das aplicacoes analiticas. Nao vamos trabalhar muito COIllaplicacoes analiticas aqui, mas algumas palavras sobre elas scraoditas no Capitulo 11~

3 ExemplosI1 ) Seja f: U ~ J R 7 l dada par f ( x ) = ( f l ( x ) , . . . , f n (x ) ) .

Entao f E Ck se, e somente se, cada coordenada 11: U ----;.IR e de classc c- . Se este e a caso, j(j)(x) =o' f ( x )itr j l ( X ) , . . . .o jH(:r)), ondo x E U e j= 1, ... ,k .

2) Tocla transforrnacao linear f: r n ; _ m ----t r n ; _ n C de classe C?' 1 paisf' : } R . n t - ) . L : ( J R m , J R n ) C constante (a saber, I' ( 3 ; ) =f para to-dos os x E I R m ) , portanto j(k) = para k > 1. Analogamentetoda transforrnacao bilinear g : IR"TIlX I P & . ! l -t f f i . P 6 de classe C ' X !porque g ': I R 1 l l X I R 1 t -t . c ( l R 1 H x I R " , ] R P ) e uma transforrnacaolin ea r (cf. E xe mplo 3, Capitulo 2) .

3) Seja f: I F tm - ) . IR uma funcao polinomial, isto e , para x =(z ', ... , x 1 T L ) temos f ( x ) = : Ea jl . ..j m ( x1) j l . . . ( x 1 n ) j m . Dadoh = (hI, . . . , h 1 l l ) E I R . . 7 n , podernos, corn 111ll desenvolvimentoelement ar, colocar: f( x + h) = f ( x ) + P (x) h + r(J.;, h) ,ondo P (x ) h e a soma de todos os tennos de f( x + h) deprimeiro grau rcla tiamente a li C T ( X 1 h) 1 consi der ado comourn polinomio em h ., tern toclos os tennos de gran> 1. P (x ) hpode ser visto como a resultado da operacao de urna matrizm x L, P( x) (cujos elementos sao polinornios ern x) atuandono vetor h. Segue-se que f c diferenciavel e f' (x ) = P( x) 1logo I' E C O ou seja, t e c: Isto mostra que tocla funcaopolinomial e de classc C1. Mas cada coorclenada de jf etambem luna Iuncao polinornial. Portanto f' E C1 isto c,f E C2. E assim por diantc. Entfio f E Ck para cadak > 0, logo f E C ' : X J . Definimos uma aplicaciio polinotnial

" ....

Se~io4 EXEMPlOS 21f: lR m -). I R . 1 1 . como aquela cujas coordenadas sao funcoes poli-nomiais. Transforrnacocs polinomiais sao portanto de classeCoo. Definindo 0 grau de luna funcao polinomial f: lRm ---7 IRdo modo usual, vemos que se 0 grau de f e p entao I(k) =0para k > P + 1. Observe que as aplicacocs p-lincares saoparticulares aplicacoes polinomiais de grau p .

4) Ncnhuma das inclusoes Ck+1(U , ]Rn ) C Ck(U, J R n ) sc reduz itigualdadc. Por exemplo, seja U = I R J l = 1Re considero asIuncoes J k : IR . ---7 lR definidas como so segue:

Xl,;, s c x > 00 , s e x ::; 0

A funcao I o c descontinua, 1 1 e continua mas nao c dife-rencirivel no ponto 0, logo 1 1 E CO - C1. Em geral, comof~=k fk-l, temos l E Ck-1 mas fk t / : - c:UIn exem plo rnais sofisticaclo codas funcoes 9k ( t ) = tk sen (1/t)1se t i= 0 e 9 k ( 0 ) =0 , k =0 ,1 ,2 , .... Entao 90 ~ C O e, paracada k > 0, 92k+l E Ck rnas cIeixa de perteneer a Ck+1 porquesua ( k + l)-esinla derivada nao existe no ponto o . Par outrolado, g2k+2 tern uma (k+1)-esima derivada em todos as pontosmas niio pertcnce a Ck+1 porque sua derivada nao e continuaem o .

5) S e J c 1R e ur n intervale aberta e f: .J -t r n :n e urn cami-nho de classe c-, entjio, para cada j =1, ... , k, a j-csiInaderivada j(j) (x), em x E J , 6 ainda um vetor no I R n . Defata, [": J ---+ I R . n 6 ainda urn caminho, corno sao I", fm, etc.(Ver 0 E~cmpla 8, Capitulo 2. ) Se f ( t ) =( f l ( t ) , . . . .rventao D()) f ( t ) =itr f I ( t ) , . . . .tr f 1 t ( t ) ) . 0vetor D2 f ( t ) echamado de aceleraciio do carninho f no instante t.

22 CLASSES DE DIFERENCIABILIDADE Cap. 3

4 Observacao sobre caminhos seccionalmente dife-., .renciaveisDado urn caminho f: [a 1 b ] ---4 I R . n , dizemos que f e diferencidvel adireita ern urn ponto c E [a , b] quando 0 limite lateral

f'( +) li f( c + h) - f ( c )C = = Inl -------It-tO l~I t>O existe.Chamarnos /' ( c") de deri vacla de f a direiia ern x =C.

Ist01 e claro, faz sentido sorncnte para c I - b. Ulna afirrnacaoequivalente ef ( c + h) =f (c) + I' (c+ ) h + r (h) , lirn 1 ' ( h ) =O.1 1 . - - - + 0 lL, , ,>0

Analogamente se define a derivada it esqucrda j '(c-) , ernponto c E (a, b ].

Por exernplo, 0 caminho f: [-1, +1] ~ JR dado por f (~r) =x , tern derivadas laterais 1'(0+) =1 1'(0-) = -1 110 ponto :1; = =O. 0 caminho f: [-1,+1] ---,> IR , definido por f ( x ) = xsenl/x,( f ( O ) = 0) nao tern derivadas laterais em x = O .

Urn caminho f: [ a , bJ ---,> f f i . n e chamado seccionalmente d i f e -rencuiuel quando for continuo e difcrenciavel a menos de tun numerofinite de pontos X, ... ,Xr E [a 1 b ) , nos quais cxistern as dcrivadaslatcrais I ' (x;) e J'(xj) . Isto e equivalente a dizer que f c continuoc existem a = Xo < Xl < ... < .r, = b tais que f [ X i ~ Xi+I] ediferencia vel, par a calla i = 0, 1, .. ~, r - 1+

Analogamente, urn carninho f: [ a , b ] -* IR H e charnado s e c -cionalmente d e c la sse Ck se f 6 continuo c existcrn pontos a =Xo < Xl < ... < x; = b, tais que 1 1 [ X i , Xi+d e de classe C k parac a (I a i::::::, j k - 1.

EXERCiclOS 23Exercfcios1. Dado U c IR m aberto, seja f: U ~ IRUlna funcao real 3 vezes

difercnciavel no ponto x E U . Mostre que j" ' (x ): f f i . m X I F . m X]RtH ---+ lR e a forma trilinear definicla por

2. Sejam E1, ... ,Ep, F espacos vetoriais norrnados. Ponha E =EI x x Ep. Dada urna aplicacao p-lincar continua ip : E -4F, considere as projecoes 7ri: E - - -+ E, x X Ei-1 X Ei+1 X + + xEp e defina convcnienternente as aplicacocs ( p - l)-lincares P i : E1 x + X Ei-1 X Ei+1 x x Ep ---,> (E, F) tais quep!p' =2 : : : : C P i 0 1fi Conclua que if' E C?' c que cp(j) =0 para

i=lj > P + 1.3. Seja f: I R .3 ~ lR definida por [ (x , ] f , z) = 3x 2 + 2y2 +2x z + Z2 .

Para urn ponto ar bi trari 0 p = x ', ll, z ) E lR3, determine I" ( p ) (h , k), ondc h E ]R 3 ekE IR:~.Mos t re que jf! (p) (h , h) > 0 sc/1 i- o .

4. Sej a I : r n ; .2 ---4 ~ definicla por f (x , y ) = e2x (cos2 y - sen2 y) .

Considere a forma bilinear A: }R 2 x J R 2 _ _ _ _ , . J R : ~ onde A = =tI" (0 , 0 ). Dctcnnine dois vetoros u = (u I ,u2) C V = ( V I , 1)2)

ta is que A (u, u) > 0 e A (v , v ) < O .5. Seja I : f f i . 3 - - -+ I R . definida por f(x, y, z) = yz . Calculc

/ ': ]R 3 ~ (IR:~ ; IR) ,I " : ] R 3 ---4 2 ( J R : 3 ; IR) ,f i l l : I R :~ ~ 3 ( J R : 3 ; I R ) .

6. a) Seja f: (IR m) ~ ( l R T n ) dcfinida por f(X) = X5 . Da-dos arbitrariamente X, H , 1(, L, Al, N ern ( I1 tm) , deterrnine



24 CLAS S E S DE DIFERENCIABILIDADE Cap. 3

f'(X).H, J / I ( X ) ( H , K ), f l l l ( X ) ( H , K, L ), f ( 4 ) ( X ) ( H , K , L , AI)e f ( 5 } ( X ) (H , K, L , ] vI , N ) .b) Considere, rnais ger almente, f (X) = = X k e prove qu e

\ j ( i ) ( X ) \ : : ; k ! ') 1 X\k-i.( k ~ ~ Sejam U c IRm abcrto, f: U -----4 _ 1 R n k vczcs difcrcnciavei e

7. T: IRfl -----4 I R . P linear. Para cadn J = = 0,1, ... ) k, tern-se (T 0J)(j) = = T 0 r .

8. S ej a A: 1Rm x ... JR (m ~ IRn p-lincar. Defina f: 1R7n -----4 I R : _ 1 !pando f(x) = (lin!) A(x , x, .. , x ) . Calcule as dcrivadassucessi vas f(j) (x ), j= 1, 2,

4A regra da cadeia

o teorema abaixo 6 a versao intrinseca da regra da cadcia.Teorema 4.1. Seja711. U c I R m eVe l R _ H cotijunios abertos,f: U ----; . R n uma apl icaciio diferencirivel no p on to x E U, cornf(U) C Vi e g : V ----; .lR .P UTJ1a a p li ca ca o d ije re nc u iu el no po n t oY =f (x ) E V. Eniiio a aplicacao composta g 0 f: U ----; .I R P (idiferen cirivel n o p o n to :r e ( g 0 f ) ' ( x) = 9'(Y ) 0 I' (x ): I P & .1 I l - -- - ; . ]RP.

De modo abreviado: a clcrivada da aplicacao cornposta c acomposta das dorivadas.DEMONSTRAQAO. Podemos escrever

f{x + h) = f { x ) + f ' { x ) h + p{h) It, corn lim p(h) =ah , - - - - t Og (y + k) = g ( y ) + g ' ( y ) k + a(k) k, com k1iln(]'(k) =o .

" - - 1 - 0

Entao( g 0 f ) ( : E + h) = = g ( f ( x ) + f ' ( x ) h + p (h) h,).

Seja agora k = J '(x ) h + p (h) lit . 181.0 chi:(q 0 !)(x + h) = g (y + k) = (y ) + g ' ( y ) J '(x ) I t

+ g ' ( y ) p (h) h + a(k) k l= ( g 0 f ) ( x ) + [ g ' ( y ) 0 f ' { x ) ] h + T(h) h,



26 Cap. 4A REGRA DA CADEIA

onde I tr(h) = g '(y) p(h) + c r ( k ) f '(x) l h + p(h) S e h ----? 0 cntao k ----? 0 C j ' ( X ) (h i h I) e limitada. Portantolim T(h) =0, provando 0 teorema.}l----tO

Corolar io 1. S e f: U ~ I E t n , g : V ~ I R . P sao ambas de classe C ke f (U ) C V J eniiio 9 0 f: U - - - - + I R P e iambem d e c la ss e o - .

De fato, a oxpressao ( g 0 f ) ' ( x ) = ' ( f ( x ) ) 0 f ' e x ) mostra que(g 0f) ' = /- l 0 )..: U ---4 ( I R m , I E ~ . P ) onele 1 1 : . c ( R n ) I R P ) x L ( I R ~ n 1 1 R '. 1) _ __ ,(JRTn, I R P ) e a multiplicacao (composicao) de transformacoes linea-res e ).: U ---4 (JR Tn, I F t P ) x . c (I R T n, I R n ) e dada por suas coordenadas:A =( g ' 0 I, f ' ) . Sabernos (Exemplo 2, Capitulo 3) que 1 1 E c=.Suponharnos que 0 corolario csteja provado para a classe ck-I.(Elc e 6bvio para k =0.) Entao, dadas I~ 9 E c-, temos g ' 0 I,I' E Ck-1 logo A E Ck-1 . (Ver Excmplo I, Capitulo 3.) Portanto(g 0 f) , = I L 0).. E Ck-i, 0 que significa 9 0 f E c-.APLICAQAO: Usernos 0 corolario acima para mostrar que a inversaode transforrnacocs linearcs e Ulna operacao C ' X ! . Seja f: G L ( I R . ' m ) --*(Irtm) a inversao: [(X) =X-l. Por simplicidade, escrcvamos E =( L : ( I R ' . . m ) l ( I t t m ) ) c consideremos a aplicacao linear g : (Irtnt) x( IRm) - - - - + E, que associa a cada par (Y , Z ) de elementos em (ff i .m)o elernento g(Y, Z) E E tal que g(Yl Z) H =Y H Z. Sabe-mos (Exemplo 4, acima) que f e difercnciavel e que sua derivada e/'=-g0( f, f) : GL (IRm) ~ E, ondc (1 , I ) ( X ) = (/(X ), [(X )) =(X-I, X-I). E claro que f E Co. Suponharnos por inducao, queI E Ck-1 Como 9 E Coo, a igualdaclc f' = - 9 0 ( f, f) , junto corno corolario, rnostra que [' E Ck-1, logo f E c . Isto prova quef E C" para todo k, portanto, a invcrsao i: X ___,X-I e de classeCoo.Corolario 2. Seja f: U ---4 IR n di j erencuiue l em X o E U . D adov E }Rm, seja x: t I---) x( t ) u rn c arn in ho ern U J diferencuioel er n

. - ...~~.:"

~. ,

27t = 0, com x(O ) = X o e x'(O) =v. Eniiio f ' ( x o ) v e 0 ectorvelacidade d o c ar ni nh o t ~ f(x(t)) ern t =O .

Dc fato, 0 vetor velocidade do caminho t ~ f (x ( t) ) ern 0 e aderivada (f 0 x ) ' (0) = i' ( x o ) x ' (0) =I' ( x o ) u .NOTA: Este corolario gencraliza 0 modo geornetrico de calcularf ' { x ) v. Vcja 0 firn do Exemplo 8, Capitulo 2. Ali, 0 caminho x ( t )tinha a forma t r - - - - - - + Xo + tv.Corolar io 3. Seja f: U _ __ ,R , 1 l il ijerencuiuel em x E U C ]R1n csu pon ha qu e 1 adm ite u nu i in ver-sa 9 = 1-1: V ~ R'", V C ]RTl,(isto t iJ f e U ) =V , g (V ) =U , fog = idv e gof = idu) aqual e dijeren cu ioel n o pon to y = f (x). Entao f ' (x): ]RrTl ----? lR ,n eu m isomorfismo cu jo inuerso e g ' ( y ) : lR n - - - - + ]RrTl. Em particular,m = = n.

De fato, como (i du)' = i d J R 7 1 ! c ( id v)' =d ' J . n , as relacoes fo g =idv c gof = idu implicam, pelo Tcorcrna 4.1, que / '(x)og'(y) =d J R . He g ' (y ) 0 /' (x) = d n p n , logo f' (x) e g ' (y ) sao isomorfismos, scndourn 0 inverse do outro,Corolar'io 4. (A antiga regra da cadeia.) No Teorema 4.1, suponhaqu e f = 'J', ,In ) e 9 = (r/"", g P ) . Eniiio, p a r a cada i=1, . .. ,p ej =1, .rn , tem os:

8 (g i 0 f) n Bgi . 81ka' (X)="fjk(}(X))a . ( x ) .xJ L,_. Y x Jk = = l

Isto e urna. conseqiiencia irnediata do Tcorcrna 4.1, mais 0 fato deque a matriz da composta de duas transforrnacocs lincarcs e 0 1)[0-duto das matrizes das transforrnacoes.Observa~ao. 1 ) Se U C IRm e f: U ~ 1R_m e difcrcnciavcl no pontox E U , cntao sua derivada f' ( x ) : I R m - - - - + J R m e UIl1 endarnorfismo



2928 A R E GR A DA CADEIA Cap. 4Corohirio 5. (Regras clcmcntares de diferenciacao.) Sejam[ , g : U -+ I R . n diferencitiveis n o ponto x E U C IRTn e )._u rn numeroreal. E niiio f + g : U -+ m : .n e X]: U ---+ I R " H sa o diferencidveisn o p o n i o x , C01Tt (f + g ) ' ( x ) = ' ( x ) +g ' ( x ) e ( ) . _ f ) ' ( x ) = > . . f ' ( x ) .Quando n =1 e f ( x ) = J a para todo x E U, eniiio 1/f: U ~ IR ? ediferencidvel n o p on to x e (1/ ) ' (x) = -(1/ f ( x ) ' 2 ) j'(x). Final -men te, se B : I R n x}Rn ---+ I R P e b il in e ar e ii ti io B ( j , g ) : U ---+ I F i . P , dadap or y ---+ B ' J ( y ), g ( y ) ) , e dijerencuiuei n o ponto x e B (/, g)' (x ) h =B ( f ( x ) h,g ( x )) + B (f ( x ) ) g ' (x) h).

Em particular, quando n =1 e B: ~ x ill. ---+ lR e a mul-t iplicacao de mimeros reais, B(/, g ) =f g , entao (/ g ) ' C r ; )g ( x ) f ' ( x ) +j(x ) g '(x).

Isto resulta do Teorerna 4.1, Be notarmos que f +9 =a 0( / , g ), A I = ).*0 t,1/ j =o1 Bt], g ) = Bot], g ) ondc (/, g ) : U ---+J R T Z e dada por ( j , g ) ( x ) = f ( x ) , g ( x ) ) , a: I F i .Tl X I R T t ---+ f f i _ n 6 dada pora(u , v ) =u+v , _ \* : ]R n ---+ n;tn e dada por . \*(u) =A U e i: JR- { O J ---+J R e dada POt i() =1/t. As aplicacoes a e A * sao l ineares, logoa' (u, v) = a e (A *)' ( ' U , ) = ).* para cada u, v E J R . n . A aplicacao ic ainversao de rnatrizcs niio singulares 1x 1. Usando os Exernplos 3c4 do Capitulo 2, 0 Corolario fica provado.

(isto e , luna transforrnacao linear de um espaco em si mcsmo) e ternsentido falar no seu detcrminante, det(f' ( x ) ) . Ele e chamado de d e -t er min an te ja co bia no de f ern x e pode ser calculado usando a 111 (1 -triz jacobiana J f (x ) =[~~x ) ] . Segue-se do corolario acima queo deterrninante jacobiano da aplicacao composta e 0 produto dosdeterminantes jacobianos das aplicacoes que estamos compondo.2) A notacao classica do Calculo Difercncial - urn poueo mais irn-precisa que a nossa, porcm sugestiva. e de acordo com a pratica(cntao universal) de enfatizar quan i idades C 'y e urna funcao dexl)) ao inves de oplicacoes (,~fleva ;r; ern y " ) - seria a scguintc,para 0 Corolario 4 : Os pontos cIo primeiro cspaco, I R 7 n ~ seriarn es-critos como "z". c os pontes do segundo espaco, ]R'Tl, como "y" i asfuncoes I i seriam escritas como yi(= y i ( X ) ) . A derivada a ( % : ~ J ) seriaa "derivada parcial de g i COIn rcspeito it variavcl xj", indicada por~~~.A forrnulacao equivalentc do Tcorema 4.1 seria:

Esta c, scm duvida, uma formula atraente, cujo prcco, cutretanto,e 0 de escondcr 0 simples significado "de transitividade" (ou func-torial) do Tcorema 4.l. Observacao: Ulna aplicacao bilinear B : I R 1 n X J R l l - - -+ I R _ P pode ser,corn vantagern, cncarada como urn "produto". Sob cste ponte-de-vista, escreveremos sirnplesmente x y E f f i . P , em vez de B(x , y). A

parte final do Corolario 5 assumira entao a forma da deri vada deurn produto e pade ser escrita assirn

3) Corn refercncia ao Corolario 3, temos 0 exemplo classico da;funcao f: I R . --* J R . , dada par f ( t) = t3. E urn homeornorfisrnode classe C ' X ! , cujo inversa s f-). 81/3 nao podc scr diforenciavel noponto 0= ( O ) porque j '( O ) = nfio C urn isornorfismo. (1g ) ' ( x ) = f ' ( x ) g(x) + f ( x ) g '( x ) .

A interpretacao desta formula e a scguintc: dado um vetor ar-bitrario h E ]Rm , tem-se ( f g )'(x) h = ( f ' ( x ) h) g(x) + f ( x ) ( g ' ( x ) h) .Exemplo 4.1. D iferen cia bilid ade d e produtos internos e normas.Urn caso especial do Corolario 5 que merece dcstaque e a funcao'J,g ) : U --* I R , definida par (/, g ) ( x ) =( f ( x ) , g (x )) . Corno a pro-duto interno ( , ): IR'nX Rn ---+ IR e bilinear, a diferenciabilidade de

4) Ainda COIn referencia ao Corolario 3, dele concluirnos que seU C ]Rm , V C I R 1 1 sao abertos c f: U ___,. 6 uma bijecfio dife-renciavel cuja inversa i'. V --4U tambern e difcrcnciavel, entaotri = n, VIn result ado famoso, dcvido a L.E.J. Brouwer, afirmaque se f: U ~ V e 11m homeomorfismo entre abertos U C } R T I l C~J'- C }Rll., entiio ni =n. A domonstracao c bern mais diffcil.



30 A REGRA DA CADEIA Cap. 4

f e 9 no ponto x implica que (/, g ) e diferenciavel no ponto x, e(f,g)'(x) h = ( f ' ( x ) h,g(x)) + (f(:r),g '(x ) h) para todo h E J R m .

Se tomannos f = g , vemos que dada f: U -4}R1l diferenciavelem x, a funcao I f 2: y ~ f ( y ) 1 2 =( f ( y ), f e y )) , c diferenciavel noponto x , e sua derivada e 0 funcional linear h ~ 2(1' ( x ) li , j ( x ) ) .

Ainda pela regra cia cadeia, como a funcao t f - - - - - - - - t t1/2 e diferen-ciavel nos reais positives, segue-so que a norma u ~ u =u , u) 1/21que provcm do produto interno do J R . 1 l , e urna Iuncao diferenciavel

: I R n - { O } _ _ _ _ , .R. (Note que a origem dever ser excluida.) Aderivada de u =(u, U ) 1 / 2 em urn ponto u I - 0 em lRJ C 0 fun-cional linear h 1 - - - + (h, u ) / (u , U ) 1 / 2 . Analogamente, se f: U ~ IR n Cdiferenciavel no ponte x E U c f (x ) # - 0, cntao 1 f : y f - - - - - - - - t f (y ) I =( f ( y ), f ( y )) 1 /2 e difcrenciavel no ponto x e sua derivada C 0 fun-cional linear

h f - - - - - - - - t ( j'(x ) , h , f ( x ) ) / ( f ( x ) , f ( x ) ) 1 / 2 , h E ]R1n .Mais precisamente, as funcocs u f - - - - - - - - t u 2 = (u, u) c U ~ U =

(u , U)1/2 sao de classc C oo em I R n o I R lI - { O } , respcctivamcnte.Devemos chamar a at.enc.io para 0 fato de que so tuna norrna

em }R1l nfio prov6m de produto interno, entao ela nfio 6 necessaria-mente uma funcao diferenciavel em I R n - {a}, nem 1 2 tern de SCI'diferenciavel em } R T t ~

Vamos ilustrar este ponto COIn a norma p(u) =max+] , vllu = ( x , y ) E J R 2 . Esta norma deixa de scr difercncia vel em tOd05os pontos das diagonais x =y e x =-yo Par exernplo, no pontou =(1,1) tern-se 8p/8(et) = 1, E J p j 8 ( e i ) = . 0grafico da funcaop(x, y ) = max{ xl, I y } pode ser facilmente visualizado no IR .3, Euma piramide de quatro faces, infinita, invertida.

EXERCiclOS 31Exercicios1. Seja U C }RTn aberto. Dadas as aplicacoes difercnciaveis

f: U ~ I R n , g : U - - -+ I R P e T: U ~ ( J R ll , J R P ) , dcfina afuncao real ip : U - - -+ IR, pondo para cada x E U , r . p ( x ) =(T ( x ) f (x ) ,9 (x ) ) , onde ( , ) e 0 prod uto interno usual deJ R P , Calcule a derivacla 'P ' ( x ) : ] R T I l ~ lE t (Isto e, torne h E J P 1 . H Iarbitrariamentc e descreva 'P ' ( x ) h.)

2. Sejarn U C J R .1 n ~ V C I R l l abcrtos c f: U - - -+ V, g : V ---+ J R . ] !aplicacocs duas vezes diferenciaveis, Dado x E U , seja y =f ( x ) E V.' Interprete e dcmonstre a seguinte igualdade:

( g 0 f ) " ( x ) = g " ( y ) , f l { X ) f ' ( x ) + g l ( y ) f " ( x ) .3. Seja U C jRnt aberto. Dada f: U -41R difercnciavel, 0 qra-

diente de f no ponto x E U 6 0 vctor U E J R m carncterizadopelo fato de que sou produto intorno par urn vetor arbitrririoh E jRm C igual a I'(x) h. Ou seja, (u,h) = ~h(x). Ulnasuperficic de nivel da funcao f e a imagern inversa I-I (c) deurn numero c E JR . Prove:a ) S e o s valorcs de urn caminho diferenciavcl A : J -? l R T nestao todos conticlos na mcsma superffcic de nivel de f entaocada vetor vcIocidade ) . . 1 ( t) c perpendicular ao gradiente de Ino ponto . \ ( t ) .b) Fixado x E U, entre todos os vctorcs h E J R 1 7 1 COIn (h, h) =1, a dcrivada dirccional Z { (x ) atingc seu valor maximo quandoh 6 urn multiple positivo do gradicntc de l. Qual c esse valormaximo?

4. Seja f: I R m ~ I F l l 1 difcrcnciavel. Supondo que . f ( t x ) =f ( x )para todo x E I R m e todo t E J R . , prove que f c uma trans-formacao linear. Suponha agora que f e duas vezcs difcren-ciavel c que j(tx) = t2 f ( x ) para todos x E IR 1n e t E JR .Mestre que f e uma aplicacfio quadrat.ica, isto c , que existe

32 A R E GR A DA CADEIA Cap. 4 EXERCICIOS 33

B : I R , 1 T l X I R , m --+ J R n bilinear tal que f ( x ) =B (x , x) para toclox E lR_ln. Generalize.Observar;iio: A funcao f: Ilr~--+ J R . , definida par f(x,y) =Jx4 + y\ satisfaz a f(tx, tV ) = t2 f(x, y) rnas nao e quadratica.Por que?

[Suges t iio: deri ve f ( x) = tk f (x) iVC2es ern rolacao a x par aobter a homogeneidade de i'", e depois derive f(i) ( t x )tk- ij( i)(X) k - ivezes ern rclacao a t . ]

8. Seja F = ( f f i _ 2 , J R 2) com a normal T =sup] T v 1 ; Iv} =1.Seja E 0plano J R 2 corn a norma de urn vetor v = (a, b) definiclapor vi = rnax{ a , I b } . Defina f: E ~ F pondo, para v =(a, b) J f ( v ) =T, onde T ( x , y ) =(ax, by). Most re que! e um aimersao isometrica de E cm F (isto c f (v) = v ) e conclu aque a norma de F nao 6 diferenciavel, Generalize: no espaco( IR . m , }Rn), a norma IT = sup{ T v ; v E J R 1 H , Iv = I} na oe difcrcnciavcl.

5. Seja U c Rm aberto. Dada f: U - - -+ ]Rn eluas vezes diferen-ciavel, e dado k E I R . 1 T l , a aplicacao 'P : U ---+ l R _ 1 1 , dctinida por< p ( x ) = f ' ( x ) k, e diferenciavel ~ c p '{ x ) h = ( f " ( x ) h) k .

6~ Sej a U uma bola aberta de centro a em f f i :m. Dada A: U --+(IRm, I R n ) diferenciavel, tome .T E U e defina r . p : (0 , 1 ) ---4E ( IR . 1 7 1 , ] R n ) pondo cp(t) = A(tx). Qual das duas interpretacocspara a formula r . p ' ( t ) = A'(tx) x e verdadcira:

c p '( t ) h =(A '(tx ) x) h au cp'(t) h = (A'(tx) h)x?9. Dada A E . ( J R . n 1 1 I R . n ) defina sua adjunta A * E (IRn, J R . 1 / ! ) pela

condicao (A 1.1, w ) = (v , A * w ) para todo v E J R . 1 n c todo w ERn. Introduza urn produto interno e I n ' ( I R 1 1 1 , I R n ) definindo(A , B) = tr(A* B) onde t T ' significa 0 traco. Conclua queIA = vltrA*A 6 tuna norma cr n ( I F R m , J R 1 l ) , diferenciavclexceto no ponto o . Mostre que, para todo v E J R 1 1 1 , tem-scA v < A Iv ~ onde indica a norma proveniente doproduto intcrno natural.

Dcmonstrc-a.7. Considere J : I F t m - - -+ }Rll de classe c-, tal q ue f ( t x ) = tk (x )

quaisquer que sejam t E 1 F t , x E jRm . Dizemos entao que f ek-homoqenea. Mostre que cada uma de suas derivadas !(i) e(k - i)-homogenea (0 ::; i< k ) e que f(k) e constanto. Mestretambem que, para cada x E }RTn, temos

j(i) (x ) = j(k) (0 ) . (k-i)(k _ i)! x 1

10. Se f: U - - -+ }R1l e k vezes diferenciavel e tf ( x o ) = ()paraj = 1, ... ,k entao D j ( g 0f ) ( x o ) =0 para os mesmos valorcsde i, seja qual for g : V - - -+ RP, k vezes difercnciavcl, COll1J(U) C V . Enuncie e dernonstrc um resultado analogo paraf 0 }~.

o que significak-if(i) ( l ( J } . ) - 1 j~(k) () r" "h ,X L 1, ., tl - ( ~) o X, ~. . , X, 1, ., 1ik ~ l !

11. Seja U C ] F t 1 H Ulna bola. aberta de centro o . Urna aplicacaof: [1 ---+ f f i . 1 l chama-se paT quando f( -x) =f(x) para todox E U . Dizemos que f e impar quando f( -x) = -1(:[;)Sc j e par, suas dcrivadas de ordem par tarnbcm 0 sao, esuas dcrivadas de ordcrn impar sao impares. Em particularj ( k ) ( O ) = 0 sc k = 2 i + 1. Obtcr enunciado analogo para fpliquc a resultado para f: . c ( J R 1 H ) ~ ' ( I R m ) dada por f(X) =x e conclua que

5,A desigualdade do valor rnedio

A seguinte proposicao desernpenha urn papel de importancia fun-damcntal no desenvolvirncnto ci a Calculo em uma variavnl.

Teorema do Valor Medio: Seja f: [ a, a + h ] - - - - - - J . IR Ulna [unci iocontinua tal que f (a, a + h) e diferenciavel. Eniiio eiiste to, 0 : [0 , 1 ] - - - - - - J . IR ,definida por 4 > ( t) =f (a + th). Ela satisfaz a s condicoes do T e or er nado Valor Medic, logo existe to E (O ~1) tal que 4 > (1) - 1 (to).Mas c p ( 1) = f ( a+ h )) 1>(0) =f ( a ) , pela Regra da Cadeia, - p ' ( t o ) =

35

/ ' ( a + t o ) h.Para aplicacoes f: U . - - - - - - - 7 ~n, corn n > 1, nao existe uma

igualdade do valor mcdio, como mostra 0 exemplo abaixo.Exemplo 5.1. Seja f: IR - - - - - - J . JR.2 0 caminho de classe C oo definidopor f ( t ) =e it =(cost, sent). Seu vetor velocidade, f ' ( t ) = i e it =(-sent~ cost), e distinto de zero para todo t E J R . . De fato I' ( t) = 1para todo t. Par outro lado, f ( 2 1 r ) - 1(0) =0, logo nenhurnaigualdade da forma f (27r) - f (0) = f l ( to ) 27rpodera ser verdadeira.

No entanto, uma forma mais fraca do teorerna do valor media,formulada como Ulna desigualdade, e satisfeita para aplicacocs di-ferenciaveis f: U - - - - - - J . r n ; _ n ern gcral. Este teorerna 6 tao util quanta 0resultado classico, pais nas aplicacoes rararnentc se precisa da igual-dade, devido ao fato de nada se saber sabre 0 ruimero interrnediariot o Teorema 5.1. (Desigualdadc do valor rn6dio). Seja f: U - - - - - - J . I R 1 1continua no conjunio aberto U c J R m . Se 0 seg men to de retafechado [ a , a + h] est r i con tido ern U e f e diferet icuiuel em todos osp on tos do se gm en to o be rio (a . 1 a + h) } eniiio

f( a + h) - f(a) ::; lit sup f l ( a + th) O ( t) = f (a + th). Entao 1 > e continuo em [0 , 1 ] c diferencia vele m [ 0,1 ). Como (0)= f(a), < 1 > ( 1 ) = f(a+h) e < 1 > ' ( t ) ='(a+th)h,e suficiente provar que < 1 > (1 ) - 1 > ( 0 ) < 1\,1,onde M = sup ' ( t ) .

Q O . Consideremos 0 conjuntox = {t E [ O , l J ; ( 0 ) < (A I + c ) s para todo s E [ O , t ] } .,E claro que X 6 urn intervalo fechado da forma [ 0 , 0 : ) . Devemos

apenas mostrar que ex = 1. Suponhamos, por absurdo, que a < l.Entao 38 > 0 tal que a+ {;< 1e tal que 0 ::; h < 6 irnplica

36 A DESIGUALDADE DO VALOR MEDIO Cap, 5 37c I > ( a + h ) =q,(a) + '( a ) h + r-(h), onde r(h) ~ e h. Segue-se quec I> (ex+ h ) - ( a ) I : : ; (1\1 + c ) h, se 0 < h < t5 . Como a EX, temostambem < 1 > ( 0 :) - ( O ) < tM + E)a. Portanto, 0 < h < 0 acarreta ( Q + h) - (O)< t M + . : : ) (a + h) . Tendo em conta que a: E X,isto mostra que todo a + h, com 0 < h < 0 , tambcm pcrtcnce a X Contradicao,

Da mesma maneira demonstrarfamos 0 caso em que I e cli-ferenciavel num scgmento do tipo (a , b ]. Em seguida, observarnosque se a desigualdadc do valor medic vale para (a , b ] e [b , c ) , cntaovale para ( a , c ).

a seguinte desiqualdade:I f ( a + h) - f ( a ) - T h : S sup I ' (a + th) - T h.

O 0 tal que f(x, h) =f( x + h) - f(x) - f'(x) h i < clh quaisqu er qu e sejarn x E X eh < 8 corn x + 1 1 E U.Cor olario 1. Sejam U C ] R 1 7 1 11m conjunto aberto concro eI : U ~ I R l 1 u ma a plic ac iio d ijeren cu io e! tal qu e /' (x) =()para

todo x E U. Eniiio f e constanie em U ~Fixemos urn ponte a E U . 0 conjunto X dos pontos tais

que f (x ) =f (a ) e fechado ern U , pais f e continua. Alem disso,se I(x) =[(a), x E U, podemos encontrar J > 0 tal que h < isirnplica que 0 segmento [ x , x + h] csta contido em U. (Basta tomarcomo 0 0 raio de Ulna bola centrada em x e contida ern U.) Entao,pelo teorema, e pelo fato de que /' = 0, vernos que hj < t5 implicaf(x + h) - f ( x ) 1 = 0, isto e, f( x + h) = f ( x ) , donde x + hEX.Portanto X e aberto e fechado ern U , e rlaO vazio. Como U e conexo,scgue-se que X = U , provando 0 corolario.

o rcsultado abaixo representa 111l1aforma mais agucada cI aTeorcrna 5.1

Corolario 3. Seja f: U ~ I R n uma aplicaciio de classe C1. Eniiiof e unijormemente diferencidvel em cada subcotijuuio compactaK c U .

De fato, dado K c U compacto, a distancia de K a R T I "l - Ue > 0, ou seja, existe 6 > 0 tal que x + h E U para todos x E I(e hi < o . Isto implica, ern particular, que para x EKe h < 0 ,o segmento [ x , x + h] esta inteiramente contido ern U. Portanto,podemos aplicar Corolario 2, que da

1 ' ( x , h ) / h i ~ sup f ' ( x + th) - f ' ( x ) ]O

-I

38 IA DESIGUALDADE DO VALOR MEDIO Cap. 5

lim [' (x ) = T E ( I R . m 1 I R . 7 1 ) , enuio f e diferenciavel em c e ] ' (c ) =x----tcT.

Na demonstracfio usamos 0 Corolario 2 corn toda a sua forcae vcmos par que, no Teorerna 5.1, nao supusemos f diferenciavelern todo 0 segmento fechado.

Seja 8 > 0 tal que c + h E U se h < J. Entao, pelo Corola-rio 2 ,

Ir(c, h) If(x + h) - f(x ) - T h .1 < I' ( th ) T= h i - SllI) C+ ~ h 0 0 e c > 0 tais qu eh < J implica X o + h E U e f ( x o + h) - 1x ) >c h DEMONSTRAQAO. [ ' ( X o ) e urn homeornorfismo linear de I R T T l sobroF = J '(xo) I R . T T l . Existe, portanto, uma constante c > 0 tal que

: - . " . . . .... 39I f ' ( x o ) h > 2clh para todo h E ~m. (Vide Apendice.) Sejaagora 8 > 0 tal que hi If'(xo) h -Ir(h) 2 : 2c h i - c h = c h .Corolario. S e f'( xo ) e in jet iva, existe u ma u iz u ilu in ca de X o naq u a l x i= Xa implica f ( x ) f. f(xo) .o corolario acima constitui uma das mais simples ilustracoesdo principia sobre 0 qual repousa a Calculo Diferencial: 0 cornpor-tamento da derivacla J ' ( x o ) nos pennite tirar conclusocs sabre acamportamento de I numa vizinhanca de X a .

Quando f c de classe C1, 0 corolario da Proposicao 5.1 podeser melhorado, no sentido de concluir que f e biunivoca numa vizi-nhanca de X o , desde que J ' ( x o ) seja injetiva. A demonstracao destcfato terri a notacao sirnplificada se supuserrnos X o = 0, f ( x o ) =0 oescrevermos T = J ' ( x o ) . Entao, para todo x nurna vizinhanca de 0,temos f (x) = T x + rex), onde 0 "resto" T ( X ) = I(x) - T x 6 declasse C1 e r'(O) = ' ( O ) - T = O . Seja c > 0 tal que IT x >2c xlpara todo x E I R 1 n e seja t5 > 0 tal que r x < J implique Ir'(x) < c.Entao, para Ix < 6 c y < 0 , temos I r ( y ) - r(x ) ::; e l y - x eportanto na bola abcrta de centro Xo =0 e raio J, vale J(y)-f (x ) = T (y - x) + r ( y ) - r (x )! > 2 c Y - x I - c y - x , au sej a:If(y) - f ( : r ) 1 2 : c y - x

Isto permitc concluir que I e biunivoca na bola de centro X oe raio c 5 .

Se niio supuserrnos fECI , poderemos ter J ' ( x o ) injetiva scmque exista ncccssariamcntc uma vizinhanca de X o na qual f sejabiunivoca. (Vide Excrcicio 1adiante.)Exemplo 5.3. Como urna aplicacao do corolario acima, conside-remos 0 caso de uma fuucao duas vezes diferenciavel f: U ~ lR . SeXo E U tal que f ' ( . T o ) = 0, dizcrnos que X o c urn ponto critico de f.

40 A DESIGUALDADE DO VALOR MEDIO Cap. 5 EXERCiclOS 41

2. Seja U C ]R m ur n aberto convexo. S c f: U -----t IR n posuiderivada limitada em U (isto e , existe AI' > 0 tal que J f ' ( X ) : : : ;M para todo x E U) entfio f c uniforrnerncnte continua ernU . Se f' existe e c uniformementc continua crn U entao fe uniformemcnte difercncirivel em U . Ern particular, se f'lexiste e e limitada em U , .f e uniforrnomente difercnciavelem U .

4. Uma linha poligonal de vertices Xl, 1 Xk E r n ; , 1 1 l e a reuniaodos segmentos de reta [ X i , X k + l ] , i=1,2, ... , k - 1. 0 com-primenio desta poligonal B, por definicao, Elxi+l - Xi a) Seja U c I R m urn aberto conexo. Daclos dais pontesa, b E U , existe uma poligonal contida em U cujo primeirovertice e a e 0 ultimo e b. Indiquemos com du (a, b) 0infimo dos comprimcntos das poligonais contidas em Uligando os pontos a e b. Mestre que du e uma metrica ernU , a qual coincide com a rnctrica usual a - b quando U6 convexo. Para urn aberto conexc arbitrario U , mostreque du e equivalente a metrica usual. Chama-sa du adisiiiticia qeodesica em V.

b) Ainda com U C I R 1 1 l aberto conexo, seja I : U ---4 JR ndiferenciavel. Se, para urn certo M > 0, tern-se I' (x ) 0, for possivel achar J > 0 tal que P I < 8acarrete v - E(P)~ < f. Escrevemos entiio

bV = f(t) dt.

Essa definicac pode ser reformulada mais concisamentc comobj(t) dt =lim E(P).a [PI-tO

/E facil ver que se a integral existe eIa c tinica.Quando a integral de urn caminho i: [ a , b ] ----t lRn existe, dize-

mas que 0 caminho f e inteqrtiuel .Denotemos por B = 8([a, bJ;}Rn ) 0 conjunto de todos as cami-

nhos limitados j: [a , b ] ----t I R . n . Evidentemente as operacoes usuaisf + 9 e Ai tornam l3 urn espaco vetorial. Salvo mcncao explicitaem contrario, considerarcmos B com a topologia da convergcnciauniforme, definida pela norma I f i = sup{ I! ( t ) r; a : : ; t ::;b } .Proposicfio 6.1. Sejam I, g: [a , b ] ----t m .n uiteqrcueis. Eniiio, paraq u alq u er n iu n er o real a e qualquer aplicaciio l inear T: ] R T 1 ----t lR P , asoplicacoes a] , T 0 f e f + 9 sao tambem integniveis. Alem dissovalem as seguintes relacoes:

(1 ) b ( f ( t ) + g ( t ) J dt = u g ( t ) dtb f ( t ) dt +a

(2 ) b a: f ( ) d t =a b f ( t ) dt(3 ) b (T 0 f ) ( t ) dt = T b f ( t ) dt(4 ) b f ( ) dt ::; (b - a) II I I ,

onde If I = sup{ f ( t ) ; a < t < b} .

f46 rNTEGRAIS Cap. 6

DEMONSTRAQAO. Essas relacoes segucm-se, por passagem ao limi-te, dos seguintes fatos evidentes:

E ( f + g ; P ) = E(/; P ) + 2 : ( g ; P ) ; 2 : ( o ; f : P ) = E ( f ; P ) ;E(T 0t, ) = T E ( f ; P); 2:.(1; P )I < ( b - a) if I ,

os quais sao validos para qualquer particao P do intervale [ a , b ] .Naturalmente, (2) e urn caso especial de (3). Urn outro caso

especial de (3) que destacamos para 1l.SO posterior e 0Corolario 1. S e j a T: [ a , b ] ---7 ( r n ; .m , r n ; . n ) inieqniuel. Para iodouetor fixo h E }Rm) 0 caminho t ---+ T( t) h tambem e integnivel eJ:T(t) hdt =( J : T ( t ) dt) h.

IIL

Para a demonstracao, faca em (3) 1= T e considerc para 0papel de T a aplicacao linear S t--'l- S h de (JRm, I R n ) ern ]RTl .

A proposicao acima nos diz que 0 conjunto Idos carninhoslimitados e integraveis e urn subespaco vetorial de Beque a integrale uma transformacao linear I ---+ f f i _ T l . A afirmativa (4 ) significaque f f--* J : f ( t ) dt e uma aplicacao continua. Mais prccisamcnte,temos:

i I

Proposicao 6.2. 0 conjunto I dos caminhos limitados inieqrti-ueis e fechado em B . Em outras palavras, dada uma sequencia decaminhos limit ados inieqrtiueis f T n : [a, bJ -+ ~n) conuerqindo uni-formemente para f: [ a, b J -+ lRn, eniiio f e (limitada e) integnivel.A lem disso, b

f(t) dt = limm-+cob f m ( t ) dt.

DEMONSTRAQAO. Escreva 1 1 7 1 =f: L; ( t) dt, m=1, 2, . . .. COIIlO1m - Ik < (b - a) I l fm - fk ,por (4 ) acima, segue-se que as integr ais1m formam uma sequencia de Cauchy em IR11) e portanto, convergcmpara urn vetor IE I R : T ~ . Afirrnarnos que Ie a integra.l de f. COIl1efeito, seja E > 0 dado. Existe urn inteiro m > 0 tal que f - L 0 tal que IP I < 8acarreta 1 2 : ( f m ; P ) - L; < E /3. Observe que I ~ ( f ; P ) - ~(fm; P) :S(b - a) f - i-. Entao P < IS acarreta I-E ( f ; P ) l : : ; 1-1m l + l I m - ~ ( f m ; P ) + l : . ( f r n ; P ) - " E ( f ; P ) I < c. Isto cornpleta ademOIlstra 0, tomernos 8 < E/kNI, onde M = max I f ( b i ) l Dadal

48 INTEGRAlS Cap. 6

particoes Q. Agora, suponha dado e > O . Seja 1\1=m a x { l f ( s ) ~f ( t ) l ; s, t E [a , b ] } . Escolha J > 0 tal que J < c/(k - 1)A1 c6 < ti+l - t, para todo i= 0, 1, ... , k - 1. Seja Q = { so , . . . , S r }Ulna particao arbitraria de [a , b ], com Q < 6. Nenhum intervalo deQ contera mais de urn ponto de salta t i. Par outro lado, cada inter-valo de P conterti pelo menos urn Sj E Q . Denote por ( s c t ) 8u+1) asintcrvalos de Q que nfio contem nenhum ti, e por ( s{3 , s ;3+d aquelesque contem (exatamentc) urn ti, i =( f 3 ) . Entfio

~(Q) =~(Sa+l - s e J f ( s o ) + ~ ( S f i+ l - s / 3 ) ! ( s f j )=E (S o +1 - S C t ) f ( s e J + E(S{:l+l - ti) f ( s f 1 )+ E ( t i - s f J ) f ( s f J ) ;E(P U Q) =E(Sn+l - S C t ) f ( s C t ) + E[( s; 3+ 1 - tdf(ti)+ ( t i - s p ) f ( s ; 3 ) J .

Portanto

A ultima soma tern k - 1 terrnos. Logo!E (Q ) - I :(P )I ::; (k - 1)6Al < E ,

o que demonstra a proposicao.Corolar io 1. T od o lim it e unijorme de caminhos de salios e in -tegrdvel .

"E fricil rnostrar que todo caminho continuo e urn limite uni-forme de caminhos de saltos. Provaremos agora urn resultado rnaisgcral, caracterizando todos os limites uniformes de caminhos desaltos.

Urn carninho f: [a , b ] . -- -- -- }P 2 _ n diz-se regulada se, para cadaC E [ a , b ], cxistem os limites laterais lim f ( x ) e lim [(x) .x - - - - - 1 - c . ; - X -- + c+

Exernplos de carninhos rcgulados sao os carninhos continuos,assim como os caminhos de saltos. A conhccida funcao f : ~ - } IR,

INTEGRA~AO DE CAM INHOS 49

definida por f ( t) = 0 par a t irr acional e f ( p / q ) = 1 q se 0 racionalp /q esta sob forma irredutivcl, fornece um excmplo de urn carninhoregulado. De fato, para t o d o c E IR, pode-se facilrnente vcr queambos os limites lateriais lim f (x ) e lim f (x ) sao iguais a zero.x _ _ _ _ , c ~ x - - - - r c +Uma funcao mon6tona f: [a , b ] ---+ IR e tambem urn excrnplo decaminho regulado.

U r n carninho f: [a , b J ---+ lR,n 6 regulado s e , e sorncntc se, Co limite uniformc de uma sequencia de caminhos de saltos. Isto Cequivalente a dizer:Proposicao 6.4. 0 conjuuio d o s carninhos requlados f: [a, b ] ---+R" e 0 [echo, em B ( [ a, b] , I R T l ) , do con ju nio dos caminhos de salios.DEMONSTRAQAO. Suponha que f: [a , b ] -t ] R 1 1 e regulado. Afir-mamas que, dado urn e > 0 arbitrario, podo-se achar urn earn-inho de saltos g : [a , b ] -+ ]R1I tal que I f ( t ) - g ( t ) < e para todot E [a , b J . Ora, sendo f regulado, cada x E l a , b J e 0 centrode urn intervalo l; tal que f ( s ) - f ( t ) < E para todos as s,t E Ix n [a , b ], corn s, t < x on x < 5, t. (Nos pontos extremostomcmos L ; = [a , a + 8) , e lb = (b - 6, b ] . ) POI' cornpacidadc, [a , b ]podc ser coberto por um numcro finito lxo' ... ,Ixk desscs interva-los, com a = Xo < Xl < ... < Xk = b. Elimincmos os intervalossuperfluos, de sorte que nenhum f.ri estcja contido na reuniao dosdemais. Assim, para cada i =0,1, ... , k - 1~ existe urn pontoYi E I X i n IXi+l corn Xi < Yi < ;Ci+l Entao /(8) - f ( t ) < e descleque S, t pertencam ao mesmo intervalo aberto ( X i , Yi ) OU ( Y i , xi+dAgora defina uma funcao de saltos g: [a , b J -+ m :. n p o n d o 9 =f nospontos Xi, Yi c, em cada intervale (Xi , Y - i ) OU ( Y i , Xi+l), tomando 9constante e igual ao valor de f no ponto medio do intervalo. Evi-dentemcntc, I f ( t ) - g ( t ) < E para toclos os t E [a , b ].

Por outro lado, considerc uma sequencia de carninhos de saltosL : [a , b ] -+ ~n que convirja uniformente para urn carninhoi.a , b ] . - - - - - - } IRTt. Para dernonstrar quo f e regulado, tome urnC E [ a , b ] arbitrririo (c i = a ) . Mostrernos que lim f ( x ) cxiste.x--+c-De fat 0, sc lim f m ( x ) =Vm afirrnarnos que (vm) converge parax-')-c-

50 INTEGRAlS Cap. 6UIn V E I R m ~ e que v = lim f ( x ) . Senao vejamos: dado e > 0,

X-tC-ache mo tal que m,p ~ 1110 acarrete f m ( x ) - J p ( X ) < c/3 paratodo x E [ a , b ] . Entao, dados m, p > rno podemos escolher x < csuficientcmente proximo a c de modo que I fm(x) - Vm < E /3 eJp (x) - v p l < c/3. Isso fornece

para todo as m, p ~ mo. Assim (V m) C uma seqiiencia de Cauchyem I R n , tendo portanto urn limite v E lR .n. Finalmente, rnostramosque v =lim f(x). Scja e > O. Existe rn tal que Vm - V < c/3 ex-+c-fm ( x ) - f ( x ) / < ~/3 para todo x E l a , b ] . Tambern existe 8 > 0 talque c- 8 < x < c acarreta f m ( x ) - Vrn < /3. Logo, c - 6 " < x < cacarreta f ( x ) - v : : ; f ( x ) - f m ( x ) r + f r n ( x ) - Vrn + Vm. - V < c.

Isto rnostra que 0 conjunto dos caminhos rcgulados 6 fechadosob limites uniforrnes, de sorte que a proposicao estri dcmonstrada.

Corolar io 1. Um caminho tequlado tem, no maximo, uma quan-t idade enumertiuel de descontinuidades.

Realmente, scja 9 0 limite uniforme de uma sequencia do ccl.-minhos de saltos f 1 n . 0 conjunto D dos pontos de descontinuidadede todos os L ; e enumeravcl. Corno 0 lirnite uniforme preservacontinuidadc nurn ponte, f e continuo fora de D.Exemplo 6.1. Damos aqui Ulna aplicacao da intcgracao de carni-nhos a urn topico classico: a formula para 0 comprimento de urncarninho de classe C1~

Urn caminho f: [a , b ] --'I- l R . 1 ! diz-se retificdvel se existe ur nmimero real I = l(/), charnado 0 comprimetiio de i,com a seguintcpropriedade: para todo E > a existe urn c 5 > 0 tal que P{to, , t k } < 5 uma particao de [a , b ] cuja norrna P c < c 5 cntao

k~-l) l ( f ) - Lf ( t i+1) - l(ti) < E.

i=D

.... ". : : I ; .Se'rao 1 I NT EG R A< ;: AO D E CAMINHOS 51poderiamos escrever

k-ll ( f ) = lim l (P), onde l (P) =(f; P ) =L f ( t i + d - !(ti)l.I P I - - + o .1==0

Nem todos as caminhos continuos sao retificaveis. Por cxcm-plo, se f: [0,1] -t ]R 2 e definido par f ( t ) = ( t , t s e n ( l / t ) ) , t i= 0 ,1(0) = (0, 0) pode-se mostrar que f nao e retificavcl. No entanto,afirmamos que se f: [a , b ] --1- I R n e urn caminho de classe C1, cntaof e retificavel e, alem disso, seu comprimcnto e dado por

l ( f ) = b f' ( t) / d t .Realmento, scja > 0 dado. Pela definicao de integral existe{/ > 0 tal que para toda particao P = {t o , . . . , t k } de [a , b ] comIP < 8':

b k- lj'(t) dt - L(ti+1 - ti) j'(ti) < E/2. (* )

i= O

Pela continuidadc uniforme de f' ( t ) , existe 6" > 0 tal que seu, v E [a, b ] com u - v < 8" tern-se l'eu ) ~ / '( V ) < E j2 ( b - a).Assim, se P < 8" , temos, usando a desigualdadc / x l - / y < rx-ye a Corolario 2 da Dcsigualdadc do Valor Medio:

/ ~ I j ( t i + d - !(ti) - E(ti+l - t i ) / f ' ( t i ): s ; ~ f (ti+d - f ( t i) - ( t i+1 - ti) /' ( t i )< ~ ( t i + l - ti) sup I f ' ( t i + S ( t i+ 1 - ti) - f ' ( t i ) 1

O

52 Cap. 6INTEGRAlSErn particular, quando f: [a , b ] ---4 IR .2 e urn caminho no plano,

dado par f ( t ) =( x ( t ) , y ( t ) ) , c a norma ern } R . 2 e a induzida peloproduto interno usual, entao obternos a expressao familiar para 0comprirnento de areo:

l(/) =b 'Jdy .-dt.d t

,2 Relacoes entre derivadas e integraiso Teorema 6.1 abaixo (all seu segundo corolario ) e tradicionalmentcconhccido como 0 Tcorerna Fundamental do Calculo.Proposicao 6.S. Seja f: [ a . ) b] ---4 f f i : n u m cam in ho regulado. Parat o d o x E [ a , b ] tem-se:

x bf ( t ) dt + f ( t ) d t = b f ( t ) d t .

DEIvl0NSTRAQAo. Sejarn g = f [ a , x ] c h = f H x , b 1 Cada partic.ioP de [a , b ] que contcm x como urn ponto de particao induz particoesP' de [a 1 x ] e P " de [ x ~ b}, tais que ~ ( f ; P ) =" (g ; P ') + 'E(h; pl !).Corno todas as tres intcgrais no enunciado da proposicao existcm.podomos calculi-las tomando Ulna sequencia qualquer de particoesPm de [ a , b ], com l P r n l ---4 O. Escolha Ulna tal sequencia corn :1 ' E P rnpara todo m. Entiio

b f ( t ) dt = lim ' E ( f ; Pm ) =lim ~(g; P:n ) + lim "(h; P:~)TIl rn. 111x bf ( t ) dt + f ( t ) di :

Observacfio: A proposicao acirna e valida para urn carninho limi-tado integravel f: [a , b ] ~ ]R n qualqucr, sendo nccessario apenasprovar que f c integnivcl em todo subintervalo de [a , b ].

Se~ao 2 . . . . .RELAC;OES ENTRE DERIVADAS E INTEGRAlS 53. .~.~< Teorema 6.1. Seja f: [a , b J -+ I R n um caminho regulado. Defi -..~:*,~::f - ~ 1 ~ : ' namos F: [ a, b ] --+ J F t n pOT F ( x ) = a x f ( t ) dt . Eniiio F e con t i nua~ ; '; ,, ": : e tern, em cada ponto x E [a, b ) , urna deriuada a direita, F'(x+) =! , : ~ ; . , ' : - f ( x + ) , e, em cada ponto x E (a , bJ , urtui derivada d esquerda

I,',' F'(x-) = f(x-).

I~

DEMONSTRAQAO. A continuidade de F decorre da Proposicao 6.5e do item (4 ) da Proposicao 6.1. Quanta h diferenciabilidade, sejax E [a , b ). Pela Proposicao 6.5, para x < x +h < b, vale:

[ f ( t ) ~ f ( x + ) ] d t( x + h ) - F(x) _ f ( x + )h 1-}~< sup f ( t ) - f ( x + ) 1 ,

x

54 INTEGRAlS Cap. 61 da Desigualdade do Valor Media, f ( x ) =F(x ) +C, sendo Cuma canstante. Como F(a) =0, segue-se que C=( a ) e F ( x ) =f ( x ) - f ( a ) . Em particular, para x =b, obtemos 0 corolario.Corolarlo 3. Seja U c I R r n aberto, Dada f: U - - - -1- JR n de classeC1 J suponha qu e 0 seg men to de reta [x, x +h] est eja c on tido em U.Entiio

1I( x + h) - f ( x ) = fl(x + tit) dt .

Basta observar que 0 caminho ip : [0, 1 ~ m ; _ n , dcfinido por< p e t ) =( x + th), c de classe Ct, com ' P ( O ) = f ( x ) , 'P(l) =( x + h )c, pela regra cia cadeia, ! .p ' (t ) =/'(x + tit) h. 0 resultado segue-soentfio do Corolario 2t

o Corolario 3 e a forma mais convcnientc do Teorema do ValorMedic para aplicacoes de cla..se C1. Dele se deduzem facilmcnte aTearema 5.1 e sen Corolario 2. (Cap! tulo 5.) Note que

1 f ' e x + th) hdt = 1J '(x+ th)dt h.Exemplo 6.2. Sejam U c IRm aberto e f: U ---* IR n uma aplicacaode classe CI. Suponha que A c U seja urn subconjunto com aseguintc proprieeladc: dados dois pontes quaisquer a, b E A existeum caminho ( O ) =a, < 1 > ( 1 ) =b. (Por exernplo, os conjuntos abcrtos conexos temcsta propriedado, pais dois quaisquer de seus pontas podem serligados por uma poligonal contida no conjunto.) Se f' ( x ) = 0para iotlo x E A eniiio f e con stan te ern A. COIn efcito, tomeurn ponto arbitrario a E A. AfirmaITIOS que f ( x ) = f ( a ) paratodo x E A. Corno para quaisquer pontos Xb' .. ,Xk E A temosf ( x ) - f ( a ) = [ f ( X I ) - f ( a ) ] + [ f ( X 2 ) - ! ( X 1 ) ] +. + [ f ( x ) - ! ( X k ) ] ,podcmos supor, em vista c ia hipotese sabre A, que existe urn cami-nh o : [0 , 1 ---* A, de classe C1, com (O)=a, 4> ( 1) =x. Entao

R EL A C ;O ES ENTRE DERIVADAS E INTEGRAlS 55e~ao 2

f 0f! e urn caminho de classe C1 e portanto, pelo Corolario 2 acima,1

f ( x ) - f ( a ) = f (l ) - f < I? ( O ) = ( f 0 ) ' ( t ) dt1fl (1 ) ( t ) ) P ' ( t) dt =

visto que ( t ) E A e f' e zero em A.Isto generaliza 0Corolario 1 da Desigualdadc do Valor Medio.Dizemos que urna sequencia de aplicacoes fi : U ---* IRtl con-

verge local-uniformemente para uma aplicacao f: U ---7 IR H quandocada ponto x E U tern uma vizinhanca V (x ) tal que I i ---* I uni-formemente ern V(x) .Proposicao 6.6. Seja U C ]R1n urn conjunto aberto con ex o.Se u ma sequ en cia de aplicacoes de classe Cl J I i: U ~ IR n Jconverge em 1Ll1l ponto Xo E U e a sequencia de derivadasI i : U ---* ( I R 7 1 1 ; l R , 1 l ) conve r ge l oca l- u n i fo r rn emen te p ara uma apli-caciio g: U ---* ( IRm; I R n ) J entiio ( /d converge local-uniformementepara uma aplicaciio f: U ---* l R mJ d e c La sse CI. A l em disso, I' = g .

Em particular, D(li~ Ii) = l im Di. desde que Di. convirjat 1local-uniformernente +

DEMONSTRAQAO. U e cobcrto por bolas B, em cada uma das quaisI i converge unifonnementc para g. Fixe uma dessas bolas B e scj ad ( B) sen diarnetro. Para cada par de pontos x, y E B,

1f i ( Y ) =i ( X ) + I:(x +t(y - x)) (y ~ x) dt, (* )

logo

Isto mostra que se (ji) converge em algum ponto x E Bela convergeem todos as pontos y E B e de fato ( I i ) converge unifonnemcnte

56 INTEGRAlS Cap. 6em B. Como U e conexo, cada bola B c ia c ob ertu ra da da e 0 ult imoelemento de uma cadeia de bolas Bo, ~ , Bk =B, tais ql1e Xo E Bo,(fd converge uniformemente er n cada B, C B,n Bj+1 f :. 0 . Segue-fieque (fd converge local-uniformcrnente ern U . Finalmente, fazcndoi-- + ex) em (* ) segue-se que

1f( x + h) = f ( x ) + g ( x + th ) hdt,

e portanto f'(x) =(x). [Prova: observe que f(x + h) - f(x) ~g (x) h = r(h) corn r(h) =Jo 1(g(x + th) - g (x)) dt h . J3 Integrais repetidasDada uma aplicacao f: [a , b J x [ c , d J - - - + I R n , suponha que, para cadat E [c , d] , a integral ~ ( t) =J : f( s, t) ds exista, e mais , que t r - - - + ~ ( t )seja urn caminho intcgravcl. Ent.ao

d d~ ( t ) dt =

bf(s, t) ds dt

Cchamada uma integral repetula. Tarnbem C usada a . notacaod bdt f (s, t) ds,

tendo-se em mente a ardem da integracao.As propriedacles das integrais repetidas seguem-se das COD-

cernentes a s integrais simples. Por exemplo, a Proposicao 6.2 dasc : X __,.R . 7 l pando e contin ua.DEMONSTRAQAO. Scja Xo E X arbitnirio. Varnos provar que c J > econtinua no ponto X o . Dado E > 0 , 0 conjunto de todos as pares( x , t) E X x [a , b J tais que 1 1 ( x , t) - f ( x o , t) < / ( b - a ) e, pclacontinuidadc da I,uma parte aberta U c X x [a J b ] que contemXo x [a, b J. Corno f a , bJ c compacto, existe uma vizinhanca V d e Xuem X, tal que V x [a: b ] C U . Isto significa que, para cada x E V,If(x, t) - f ( x o , t) < c/(b - a) qualquer que seja t E [a , b ]. Entaox E V acarreta

 (x ) - ( X o ) : : ; (b - a ) sup f(x, t) - f ( x o , t) < c.Isto cornpleta a dernonstracao.

A Proposicao 6.7 rnostra que uma aplicacao continuaf: [a , b ] x [c , d J ~ I R 7 l posui Ulna integral rcpctida.Exemplo 6.3. 0 que segue e um cxcrnplo simples de Ulna apli-cacao descontinua < P : r a J b ] x [c , d ] x ~n que admite luna integralrepetida, in

Lima, E. L. - Análise no Espaço Rn - IMPA - Rio de Janeiro (2004)(69s)(PT_BR)(ebook - PDF - Mathe

Documents

Transcript of Lima, E. L. - Análise no Espaço Rn - IMPA - Rio de Janeiro (2004)(69s)(PT_BR)(ebook - PDF - Mathe